TAREA 5

SALIDA 𝑯𝟏
ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA TANQUES
Tanque 1: 𝐴1
Tanque 2: 𝐴2
𝑑
ℎ1 (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑞1 (𝑡)
Válvula 1:
𝑞1 (𝑡) =
ℎ2 (𝑡) = 𝑞1 (𝑡) − 𝑞2 (𝑡)
Válvula 2:
𝑞2 (𝑡) =
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA VÁLVULAS
ℎ1 (𝑡)−ℎ2 (𝑡)
𝑅1
ℎ2 (𝑡)−0
𝑅2
=
ℎ2 (𝑡)
𝑅2
SUSTITUYENDO LAS DOS ECUACIONES DE VALVULAS EN LAS DOS ECUACIONES DE TANQUES REDUCIMOS EL NUMERO
DE ECUACIONES DE 4 A 2. VEAMOS:
APLICAMOS TRANSFORMADA DE LAPLACE
Tanque 1: 𝐴1 𝑠𝐻1 (𝑠) = 𝑈(𝑠) −
Tanque 2: 𝐴2 𝑠𝐻2 (𝑠) =
1
1
𝑅1
𝐻1 (𝑠) +
𝐻1 (𝑠) −
𝑅1
1
𝑅1
1
𝑅1
𝐻2 (𝑠)
𝐻2 (𝑠) −
1
𝑅2
𝐻2 (𝑠)
DADO QUE H1 ES LA SALIDA, DESPEJAREMOS H2 EN TERMINOS DE H1, UTILIZANDO LA
ECUACION DE TANQUE 2
Tanque 2: 𝐴2 𝑠𝐻2 (𝑠) =
𝐴2 𝑠𝐻2 (𝑠) +
1
𝑅1
1
1
𝐻 (𝑠) + 𝐻2 (𝑠)
𝑅1 2
𝑅2
1
1
𝐻1 (𝑠) −
=
1
𝑅1
𝐻2 (𝑠) −
1
𝑅2
𝐻2 (𝑠)
1
𝐻 (𝑠)
𝑅1 1
1
(𝐴2 𝑠 + 𝑅 + 𝑅 )𝐻2 (𝑠) = 𝑅 𝐻1 (𝑠)
1
2
1
𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 +𝑅2 +𝑅1
)𝐻2 (𝑠)
𝑅1 𝑅2
(
1
= 𝑅 𝐻1 (𝑠)
1
1
𝑅1 𝑅2
𝑅1
𝐻2 (𝑠) =
𝐻 (𝑠) =
𝐻1 (𝑠)
𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 1
𝑅
(𝐴
𝑠𝑅
1 2
1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 )
(
)
𝑅1 𝑅2
SUSTITUIMOS EN LA ECUACIONDE TANQUE 1
𝐴1 𝑠𝐻1 (𝑠) = 𝑈(𝑠) −
𝑈(𝑠) =
1
𝑅1
𝑈(𝑠) = (
𝑈(𝑠) = (
𝑈(𝑠) = (
𝐻1 (𝑠) −
1
𝑅1
1
𝑅1
1
𝑅1
1
𝑅1
𝐻1 (𝑠) +
1
𝑅1
𝐻2 (𝑠)
𝐻2 (𝑠) + 𝐴1 𝑠𝐻1 (𝑠)
+ 𝐴1 𝑠)𝐻1 (𝑠) −
+ 𝐴1 𝑠)𝐻1 (𝑠) −
1
𝑅1
1
𝐻2 (𝑠)
[
𝑅1 𝑅2
𝑅1 𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 +𝑅2 +𝑅1 )
𝐻1 (𝑠)]
1
1
𝑅1 𝑅2
+ 𝐴1 𝑠 − ൤
൨)𝐻 (𝑠)
𝑅1
𝑅1 𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 ) 1
𝑈(𝑠) = (
𝑈(𝑠) = (
𝑈(𝑠) = (
𝑈(𝑠) = (
1
𝑅1 𝑅2
+ 𝐴1 𝑠 −
)𝐻 (𝑠)
𝑅1
𝑅1 (𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 )) 1
(1 + 𝐴1 𝑠𝑅1 )𝑅1 (𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 )) − 𝑅1 𝑅1 𝑅2
𝑅1 𝑅1 (𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 ))
(1 + 𝐴1 𝑠𝑅1 )𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 ) − 𝑅1 𝑅2
𝑅1 (𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 ))
(1 + 𝐴1 𝑠𝑅1 )(𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 ) − 𝑅2
𝑈(𝑠) = (
𝑈(𝑠) = (
𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 )
)𝐻1 (𝑠)
)𝐻1 (𝑠)
)𝐻1 (𝑠)
𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 + 𝐴1 𝑠𝑅1 𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝐴1 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝐴1 𝑠𝑅1 𝑅1 − 𝑅2
𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 )
𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 + 𝐴1 𝑠𝑅1 𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝐴1 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝐴1 𝑠𝑅1 𝑅1
𝑅1 (𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1 )
𝐴1 𝑅1 𝐴2 𝑅2 𝑠2 + (𝐴2 𝑅2 + +𝐴1 𝑅2 + 𝐴1 𝑅1 )𝑠 + 1
𝑈(𝑠) = (
𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1
) 𝐻1 (𝑠)
𝐻1 (𝑠)
𝐻1 (𝑠)
=
𝐴1 𝑅1 𝐴2 𝑅2 𝑠2 + (𝐴2 𝑅2 + +𝐴1 𝑅2 + 𝐴1 𝑅1 )𝑠 + 1
𝑈(𝑠)
(
) 𝐻1 (𝑠)
𝐴 𝑠𝑅 𝑅 + 𝑅 + 𝑅
2
1 2
2
1
𝐻1 (𝑠)
1
=
𝐴1 𝑅1 𝐴2 𝑅2 𝑠2 + (𝐴2 𝑅2 + 𝐴1 𝑅2 + 𝐴1 𝑅1 )𝑠 + 1
𝑈(𝑠)
(
)
𝐴 𝑠𝑅 𝑅 + 𝑅 + 𝑅
2
1 2
2
1
𝐻1 (𝑠)
𝐴2 𝑠𝑅1 𝑅2 + 𝑅2 + 𝑅1
=
𝑈(𝑠) 𝐴1 𝑅1 𝐴2 𝑅2 𝑠2 + (𝐴2 𝑅2 + 𝐴1 𝑅2 + 𝐴1 𝑅1 )𝑠 + 1
) 𝐻1 (𝑠)
) 𝐻1 (𝑠)