División Cociente Residuo

1.
2.
3.
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18.
Crear un código de comunicación y enviar por correo electrónico al profesor. Ver
ejemplo. (Actividad en clase)
Realizar un escrito sobre sus aficiones con el código creado en otra página de la Wiki que
se llame "Misterio a resolver-equipo X" (donde la X es el número del equipo) con
algunas pistas, ver ejemplo; los demás equipos eligen el texto de un equipo diferente con
el fin de descubrir su código y escriben la traducción del texto en su propia Wiki en una
página llamada "Misterio desifrado del equipo X" (donde la X es el número del equipo).
(Actividad extra clase)
Investigar el sistema decimal con notación desarrollada y crear un documento en Word
con 25 ejemplos de notación desarrollada (5 por cada integrante del equipo), subirlo a su
Wiki en la página de "Productos con herramientas ofimáticas". (Actividad extra clase)
Investigar el sistema binario, octal y hexadecimal, redactar en un documento de Word,
incluyendo 25 ejemplos (5 por cada integrante del equipo) y subirlo a su Wiki en la página
de "Productos con herramientas ofimáticas". (Actividad extra clase)
Con base en la explicación del profesor, redactar el procedimiento para convertir un
sistema decimal a cualquier otro sistema numérico y desarrollar 15 ejemplos resueltos (3
por cada integrante del equipo) en una página de la Wiki llamada "Conversión del SD a
cualquier sistema numérico". Cada integrante elige un color diferente para visualizar con
facilidad su participación. (Actividad extra clase)
Con base en la explicación del profesor, redactar el procedimiento para convertir de
cualquier otro sistema numérico al sistema decimal y desarrollar 15 ejemplos resueltos (3
por cada integrante del equipo) en una página de la Wiki llamada "Conversión de
cualquier sistema numérico al SD". Cada integrante elige un color diferente para
visualizar con facilidad su participación. (Actividad extra clase)
Diseñar ejercicios de aplicación y subirlos a su Wiki con el nombre "Ejercicios
propuestos I" (Actividad extra clase)
Pedir a los demás equipos que resuelvan los ejercicios propuestos (preguntar al profesor si
el elige que equipo resuelve que ejercicios o si es libre) en hojas y los entreguen a los
equipos para su evaluación. (Actividad en clase)
Crear un escrito en binario (frase celebre) y subirlo a la Wiki con el nombre "Descubre el
texto equipo X", indicar a los demás equipos que traduzcan el texto y lo suban a su Wiki
en una página llamada "Texto traducido de binario a lenguaje natural del equipo X".
(Actividad en clase)
Investigar el algoritmo de la suma en el sistema decimal y redactarlo en una página de la
Wiki con el nombre "Algoritmo de la suma decimal" , incluir 15 ejemplos (3 por cada
integrante del equipo). Cada integrante elige un color con el cual redactará su participación
(Actividad en clase)
Con base en la explicación del profesor, redactar el algoritmo de la suma y resta binaria en
la Wiki con el nombre "Algoritmo de la suma y resta binaria" (Actividad en clase)
Diseñar ejercicios de aplicación y subirlos a su Wiki con el nombre "Ejercicios
propuestos II". (Actividad extra clase)
Pedir a los demás equipos que resuelvan los ejercicios propuestos en hojas y lo entreguen
al equipo correspondiente para su evaluación (Actividad en clase)
Con base en la explicación del profesor, redactar el algoritmo de la multiplicación y división
binaria en la Wiki con el nombre "Algoritmo de la multiplicación y división binaria"
(Actividad en clase)
Crear un escrito donde se realicen operaciones (suma, resta, multiplicación y división) y el
resultado de las mismas den el significado del texto (frase celebre). Ver ejemplo.
(Actividad en clase).
Realizar las actividades de la siguiente liga como reafirmación de conocimientos:Ejercicio
de conversiones (Actividad extra clase)
Diseñar ejercicios de aplicación y subirlos a su Wiki con el nombre "Ejercicios
propuestos III". (Actividad extra clase)
Pedir a los demás equipos que resuelvan los ejercicios propuestos en hojas y lo entreguen
al equipo correspondiente para su evaluación (Actividad en clase)
19. Con base en la explicación del profesor, recuperar experiencias de situaciones cotidianas y
sustituir con los operadores lógicos (booleanos) y relacionales (de comparación). 25
ejemplos en total (5 por cada integrante del equipo) Ver ejemplos. Subirlos a su Wiki en
una página llamada "Ejemplos de abstracción". Cada integrante elige un color para
identificar fácilmente sus participaciones. (Actividad extra clase)
20. Diseñar ejercicios de aplicación y subirlos a su Wiki con el nombre "Ejercicios
propuestos IV". (Actividad extra clase)
21. Pedir a los demás equipos que resuelvan los ejercicios propuestos en hojas y lo entreguen
al equipo correspondiente para su evaluación (Actividad en clase)
22. Investigar las compuertas lógicas AND, OR y su equivalente con los circuitos eléctricos
serie y paralelo, así como la compuerta NOT. Redactar su investigación en la Wiki dentro
de una página llamada "Compuertas lógicas". (Actividad extra clase)
SEGUNDA PARTE
Las preguntas consolidadoras de los aprendizajes son las siguientes:



¿Porqué es importante conocer el lenguaje?
¿Porqué es importante interpretar códigos?
¿Crees que una computadora pueda llegar a ser perfecta en la interpretación de códigos?
Las respuestas a las preguntas serán contestadas en la Wiki de Cibernética, en la sección de
debates
Son distintos sistemas de numeración. Lo que indica el sistema binario o base dos, es que
sólo se trabaja con dos dígitos que son el 0 y el 1.Todos los números se forman sólo con
ellos. Para pasar un número decimal (en base diez, los que usamos nosotros) a binario lo
que tenés que hacer es dividir al número que tenés por 2, tantas veces hasta que quede
reducido a que no se pueda seguir dividiendo, tomás ese último cociente (el resultado de la
última división) y todos los restos de las divisiones anteriores.
Ejemplo: tenés el número 5 y querés pasarlo a binario: 5 : 2= 2 y resto 1. Ahora el 2 que te
dio de resultado lo volvés a dividir por 2, entonces 2 : 2 =1 resto cero. Empezás a contar
desde este último 1 que obtuviste, y el número formado es 101.
Otro ejemplo: el 12 en sistema decimal para pasar a binario: 12 : 2= 6, resto 0
6 : 2 = 3 resto 0
3 : 2 = 1 resto 1
Tomás el cociente 1 y los restos:1, 0, 0.
12 en base 10= 1100 en base dos.
Si lo que querés es pasar de binario a decimal, lo que tenés que hacer es descomponer
polinómicamente al número binario, te doy los ejemplos con los números anteriores.
Si tenés el número 101 en binario y querés pasar a decimal, hacés: 101=1*2elevado a la 0 +
0 * 2 elevado a la primera + 1* 2²=1+0+4=5
otro ejemplo: 1100=0*2 a la cero + 0* 2 a la primera + 1*2² + 1 * 2³=0 + 0 + 4 + 8 =12.
Recordá siempre que el dígito que está a la derecha son las unidades y el exponente que
representa el orden es 0, el orden de las decenas es 1, las centenas es 2, y así sucesivamente.
Si querés trabajar con otros sistemas el manejo es el mismo, nada más que tenés que
cambiar la base, si el sistema que querés usar es el de base tres, cuando dividís al número
en base diez, lo hacés por 3 en vez de 2 como te mostré, y para pasar un número de base 3 a
base 10 lo que hacés es descomponer el número igual que en el ejemplo con la diferencia
que la base de la potencia va a ser 3 y no.
Espero que ésto te ayude. Suerte!!
Lo que te recomiendo para la próxima, es que no expliques algo que no sabés, explica de
los temas que sepas y deriva a tus alumnos a un profesor en matemática. Te lo digo con
toda la buena intención, lo que pasa es que muchas veces cuando los chicos van a particular
les explican mal los temas, y cuando van después a la escuela no entienden nada; hay que
pensar que estamos trabajando con personas y que hay que tenerles mucho respeto, más
cuando se trata de chicos.
Símbolos del Sistema de Numeración Decimal
En la mayoría de las actividades que desarrolla el hombre necesariamente debe llegar a establecer
un resultado o expresión numérica.
En la ingeniería, en la arquitectura, en la medicina, en la química, etc, las magnitudes deban
expresarse en forma concreta.
Los símbolos numéricos que hoy se utilizan fueron introducidos por los matemáticas árabes,
quienes los habrían tomado de los hindúes.
Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración son los siguientes:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
A estos símbolos básicos indoarábicos se les llama también dígitos.
Características principales del Sistema de Numeración Decimal
En un numeral, cada dígito tiene un valor relativo y un valor posicional.
La base del sistema decimal es diez. Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del
orden
inmediatamente superior.
En un numeral, cada posición es diez veces mayor que la que está inmediatamente a su derecha
Valor posicional
El valor de los dígitos según su posición en un numeral, hasta la centena de millón, aparece en el
cuadro siguiente:
1ª Posición unidades
2ªPosición decenas
3ªPosición centenas
4ªPosición unidades de mil
5ªPosición decenas de mil
6ª Posición centenas de mil
7ªPosición unidades de millón
8 Posición decenas de millón
9ªPosición centenas de millón
U
D
C
UM
DM
CM
UMi
DMi
CMi
Diez unidades forman una decena.
Diez decenas forman una centena.
Diez centenas forman una unidad de mil.
Diez unidades de mil forman una decena de mil.
Diez decenas de mil forman una centena de mil.
Diez centenas de mil forman una unidad de millón.
Diez unidades de millón forman una decena de millón.
Diez decenas de millón forman una centena de millón.
En el numeral 222 el mismo dígito tiene distintos valores de acuerdo con cada posición que ocupa
en el numeral 222.
222
2 centenas 2 decenas 2 unidades
Como 1 decena = 10 unidades
1 centena = 100 unidades
Entonces, los valores del dígito 2, según su posición en el numeral son los siguientes:
222
2 x 100 unidades = 200 unidades 2 x 10 unidades = 20 unidades 2 unidades
Forma exponencial de escribir un Numeral
Los valores posicionales de los dígitos en un numeral se pueden expresar en potencias de 10.
Potencias de 10
1=
= 100 La potencia 100 es 1
10 = 10
= 101
100 = 10 x 10
= 102
1.000 = 10 x 10 x 10
= 103
10.000 = 10 x10 x 10 x 10
= 104
100.000 = 10 x10 x 10 x 10 x 10
= 105
1.000.000 = 10 x10 x10 x 10 x 10 x 10
= 106
10.000.000 = 10 x10 x10 x10 x 10 x 10 x 10 = 107
Para cada dígito en el numeral 853.416.027 se puede establecer lo siguiente: 853.416.027
7 x 100
2 x 101
0 x 102
6 x 103
1 x 104
4 x 105
3 x 106
5 x 107
8 x 108
unidades
unidades
unidades
unidades
unidades
unidades
unidades
unidades
unidades
Así, el desarrollo exponencial del numeral 853.416.027 es:
(8 x 108) + (5 x 107) + (3 x 106) + (4 x 105) + (1 x 104) + (6 x 103) + (0 x 102) + (2 x 101) + (7 x 100)
A la inversa, a partir del desarrollo exponencial se puede establecer el respectivo numeral.
En efecto, el numeral correspondiente al desarrollo exponencial:
(3x105)+ (2x1041 +(6x103)+(1 x 102)+(5x101)+(4x100) es = 326.154
puesto que:
3 x 105 = 3 x 100.000 = 300.000
2 x 104 = 2 x 10.000 = 20.000
6 x 103 = 6 x 1.000 =
6.000
1 x 102 = 1 x
100 =
100
5 x 101 = 5 x
10 =
50
4 x 100 = 4 x
1=
4
326.154
Numeración Romana
La numeración romana es e! sistema de representación de los numerales empleados por los
romanos
Símbolos de la Numeración Romana
la numeración romana se representa a través de los siguientes símbolos:
I =1 C=100
V =5
D=500
X =10 M=1.000
L=50
En la numeración romana no existe símbolo para el dígito cero.
Reglas para la representación de los numerales romanos
Un mismo símbolo no se puede repetir más de tres veces.
Los símbolos V y L no se repiten.
Los símbolos que se repiten se suman entre sí.
Los símbolos que van a la derecha de otro mayor se suman.
Un símbolo que va a la izquierda de uno mayor que él se resta
Sólo los símbolos I, X y C se restan a otros mayores.
Equivalencia de decenas son numerales romanos vales romanos
10 = X
40 = XL 70 = LXX
20 = XX
50 = L
80 = LXXX
30 = XXX 60 = LX 90 = XC
Diagrama para representar un numeral romano formado por decenas
Ejemplos:
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
LV = 50 + 5 = 55
IC = 100 - 1 = 99
CM = 1.000 - 100 = 900
Aplicación del diagrama
Representar el numeral 12 en numerales romanos
12 = 1 decena + 2 unidades
Entonces:
1° Escribir las decenas
X
2°¿El dígito de las unidades es cero? No
A la derecha escribir las unidades
XII
Representar el numeral 30 en numeles romanos
30 = 3 decenas + 0 unidad
Entonces:
1° Escribir las decenas
XXX
2° ¿El dígito de las unidades es cero?
sí
Representación concluida
30 = XXX
Algunos Subconjuntos de IN
Números pares son los múltiplos de 2 o que son divisibles por 2.
P={x E IN /x=2n,n E IN}
Ejemplo:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ..., 2n, ...}
Números impares son aquellos que están formados por la adición de un número par y el uno.
I={x E IN/x=2n +1,n E IN}
Ejemplo:
I = {1, 3, 5, 7, 9, ..., (2n + 1), ...
Antecesor y Sucesor de un Número Natural
Excluyendo el cero, el antecesor de un número natural es aquel que está inmediatamente a su
izquierda en la recta numérica.
Por ejemplo:
El número que está inmediatamente a la izquierda del 1, en la recta numérica, es el 0, luego, el
antecesor de 1 es 0.
___________________________________
| | | | | | | |
0 1 2 3 4 5 6 7
antecesor de 1
De igual forma se tiene que:
el antecesor de 3 es 2
el antecesor de 6 es 5
el antecesor de 10 es 9
El sucesor de un número natural es aquel que está inmediatamente
Por Eejemplo:
El número que está inmediatamente a la derecha del 0, en la recta nu mérica, es el 1. Luego, el
sucesor de 0 es 1.
___________________________________
| | | | | | | |
0 1 2 3 4 5 6 7
sucesor de 0
De igual forma se tiene que:
- el sucesor de 2 es 3
- el sucesor de 5 es 6
- el sucesor de 12 es 13
Adición de Números Naturales
Al unir dos conjuntos disjuntos se obtiene un tercer conjunto cuyo cardinal se denomina suma.
Los siguientes son conjuntos disjuntos:
A = {1,3,5}
B = {2,4}
# A=3
#B=2
Al unir los conjuntos disjuntos se obtiene:
# A + B = # {A U B}
3+2=5
suma
Los términos de la adición se llaman sumandos y el resultado se llama suma o total:
25 } sumando
25 + 31 = 56
+ 31
sumando Total
-------56
Para resolver una suma de números naturales se debe ordenar los sumandos de tal modo que
siempre sumen cifras del mismo orden:
unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc.
Asociatividad
a, b,c E IN
(a + b) + c = a + ( b + c)
Si se agrupan los sumandos de distintas maneras, la suma no cambia.
(38 + 15) + 20 = 38 + (15 + 20)
53 + 20 = 38 + 35
73 = 73
Conmutatividad
a,b E IN
a+b=b+a
Si se cambia el orden de los sumandos; .lá suma no,varia.
18 + 3 = 3 + 18
21 = 21
Elemento neutro
a E IN
a+0=a
El elemento neutro es cero. `
25 + 0 = 25
Regularidad
a, b,c E IN .. ,
[a + c = b + c]=>[a = b]
Si: a dos números naturales iguales se le sumán números naturales iguales las sumas son iguales.
[a + 5 = b + 5]=> [a = b]
Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de dos números naturales,excluyendo el cero, es igual a la cardinalidad del
producto
cartesiano delos conjuntos que ellos representan.
Diagrama general de la multiplicación en IN
Con factores más de un dígito
División de Números Naturales Términos de la división
Comparada con la multiplicación, la división es la operación inversa.
Dividir un número a (dividendo) por otro número b (divisor), consiste en dividendo
encontrar un número c (cuociente) tal que multiplicado por el divisor dé el divisor
dividendo.
[a : b = c]<=> ra [a = b • c]
La división está resuelta en IN sólo si el cuociente es un número natural y I residuo
el resto es cero.
Diagrama de la división en IN
Potenciación
La siguiente multiplicación tiene sus factores iguales:
5•5•5
Una multiplicación de factores iguales se llama potencia. En una potencia se distinguen la base y el
exponente.
La base es el factor que se repite y el exponente es el número que indica las veces que se repite la
base como factor.
En la multiplicación 3 • 3 • 3 • 3, la base es 3 y el exponente es 4:
Exponenete
34 base
Si se tiene la potencia 23 , su desarrollo es: 2 • 2 • 2 y el valor nurriérico es 8.
Todas las potencias que tienen como base 10 se llaman potencias de 10. Algunas potencias de 10
son:
101 =10
104 = 10.000
102 = 100
105 = 100.000
103 = 1.000 106 = 1.000.000
- Potencia de cero es aquella cuyo exponente es igual a cero: 20 50
El resultado de una potencia cero de base distinta de cero es igual a 1.
20 = 1 50 = 1
- Potencia de exponente unidad es aquella potencia cuyo exponente es 1
31 71
Una potencia de exponente unidad es igual a la base
31 = 3
71 = 7
Factorización
8 • 3 = 24
factor
fator
Producto
los términos de una multiplicación son: factores y producto.
El producto de una multiplicación puede obtenerse con diferentes pares de factores
8 x 3 = 24
6 x 4 = 24
1 • 24 = 24
Para cada número es posible determinar el conjunto de factores.
Por ejemplo:
Factores de 2 = {1, 2}
Factores de 3 = {1, 3}
Factores de 4 = {1, 2, 4}
Factores de 8 = {1, 2, 4, 8}
- Número primo
Es aquel que tiene solamente dos factores desiguales, el 1 y el propio número.
Ejemplos:
5 = {1, 5}
7 = {1, 7}
Reglas de la divisibilidad
Para saber si la división entre números naturales es exacta, no necesariamente habrá que
resolverla.
Se pueden aplicar determinadas reglas prácticas de divisibilidad para este propósito.
- Divisibilidad por 2
Son divisibles por 2 todos los números cuyo último dígito es cero o par.
Por ejemplo:
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
- Divisibilidad por 3
Son divisibles por 3 todos los números cuya suma de sus dígitos es un múltiplo de 3
Por ejemplo:
360 = 3 + 6 + 0 = 9
Como 9 es múltiplo de 3, el número 360 es divisible por 3.
Por el contrario:
148 = 1 + 4 + 8 = 13
Como 13 no es múltiplo de 3, 148 no es divisible por 3.
- Divisibilidad por 6
Todos los números que son ;divisibles por 2 y 3,,también son divisibles por 6.
Por ejemplo: 144
Es divisible por 2 porque el último dígito es par (4).
Es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3:
1 + 4 + 4 = 9 9 es múltipo de 3
144 es divisible por 6, puesto que es divisible por 2 y 3 a la vez.
- Divisibilidad por 4
Son divisibles por 4 todos'los números terminados en dos,;ceros o cuyos dos últimos dígitos,
forman un número múltiplo de 4.
Por ejemplo:
1.500 es divisible por 4 porque termina en dos ceros.
128 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos (28) forman un número múltiplo de 4.
- Divisibilidad por 5
Son divisibles por 5 todos los números cuyo último dígito es cero o cinco.
Por ejemplo:
120 es divisible por 5 porque el último dígito es cero.
135 es divisible por 5 porque el último dígito es 5.
Divisibilidad por 9
Son divisibles por 9 todos los números cuya.suma de sus dígitos es un múltiplo de 9
Por ejemplo:
567 es divisible por 9 ya que 5 + 6 + 7 = 18 y 18 es múltiplo de 9
Divisibilidad por 10
Son divisibles por 10 todos los números terminados en cero.
Por ejemplo:
20, 30, 100, 1.300, son divisibles por 10 ya que terminan en cero.
Tabla de números primos menores de 300
2 3 5 7 11 13
17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151
157 163 167 181 191 193
197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293
Números compuestos
Es aquel que tiene más de dos factores. Por ejemplo, el 12 es compuesto, porque se puede
descomponer
en más de dos factores.
12 = 1 • 12
12 = 4 • 3
12 = 6 • 2
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de números
primos:
21 = 7 • 3
En este caso el 7 y el 3 son factores primos.
Un número natural se ha factorizado en forma completa cuando está ex presado como producto
de números primos.
- Forma abreviada para factorizar
Dividir el número por el menor número primo por el cual sea divisible y
así sucesivamente cada cuociente se va dividiendo por un número primo
hasta obtener cuociente 1.
Los factores son todos los números primos usados como divisores. 1
Ejemplos:
Factorizar 48:
48 : 2
24 : 2
12 : 2
6:2
3:3
1
Luego,48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 = 24 • 3
Factorizar 136
136 : 2
68 : 2
34 : 2
17 : 17
1
Luego, 136 = 2 • 2 • 2 • 17 = 23 • 17
Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la informaciónnumérica. Se
nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para
representar todos los números.
El sistemahabitual de numeración para las personas es el Decimal, cuya base es diez y corresponde
a los distintos dedos de la mano, mientras que el método habitualmente utilizado por los sistemas
electrónicos digitales es el Binario, que utiliza únicamente dos cifras para representar la
información: el 0 y el 1.
Otros sistemas como el Octal (base 8) y el Hexadecimal (base 16) son utilizados en las
computadoras.
NUMERACIÓN DECIMAL Y BINARIA
Cuando en una numeración se usan diez símbolos diversos, a ésta se la denomina numeración
decimal o en base 10. El valor de cada cifra es el producto de la misma por una potencia a 10 (la
base), cuyo exponente es igual a la posición 0, las decenas la 1 y así sucesivamente.
Por ejemplo, 327 se puede descomponer en:
3 . 10² + 2 . 10¹ + 7 . 10º = 300 + 20 + 7 = 327
Siguiendo con el mismo razonamiento, podemos definir una numeración binariao en base 2,
donde los símbolos 0 y 1 vistos anteriormente asumen el valor numérico 0 y 1. Así, el número
10110 escrito en base 2 o binaria equivale al siguiente número en base 10 o decimal:
1 . 24 + 0 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 0 . 2º = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (22)10
En el sistema binario:
- Con 1 bit el valor más alto que se puede expresar es el 1.
- Con 2 bits el valor más alto que se puede expresar es el 3.
- Con n bits el valor más alto que se puede expresar es el 2 – 1.
Cada bit, según la posición que ocupa dentro del conjunto de un número binario, tiene un peso o
un valor determinado en el sistema decimal.
Como vemos, el sistema binario emplea muchas cifras para representar una información.
Para poder trabajar con más comodidad, los programadores emplean los sistemas octal y
hexadecimal, que permiten operar con muchas menos cifras.
SISTEMA NUMÉRICO BINARIO
Los circuitosdigitales internos que componen las computadoras utilizan el sistema de numeración
Binario para la interpretación de la información y codificación de la misma.
El sistema decimal de numeración que usamos en la vida diaria es de difícil empleo en las
computadoras, ya que para representar los números y trabajar con ellos son necesarios diez
símbolos:
0123456789
Los circuitos de una computadoraque trabajara con el sistema decimal deberían ser capaces de
distinguir entre diez valoreso posiciones de funcionamiento distintas. Esto exigiría una precisión
difícil de conseguir, por lo que se ha elegido un sistema de numeración que simplifica mucho el
diseñode los circuitos, porque exige sólo dos estados o posiciones de funcionamiento.
El sistema binario utiliza sólo dos signos:
01
Estos son mucho más fáciles de representar en el interior de una computadora, donde estas dos
cifras se pueden asociar perfectamente a los dos posibles estados que pueden adoptar los
circuitos o componentes electrónicos: apagado y encendido. La presencia de una corriente
eléctrica = 1 (encendido) y la ausencia = 0 (apagado). Cuando la corriente eléctrica pasa a través de
la computadora, ésta lee un 1 cuando percibe la corriente eléctrica y un 0 cuando no hay corriente
eléctrica.
A las cifras o símbolos binarios les denominaremos, por convención, bits.
bit cero = 0
bit uno = 1
La palabra «bit» es una contracción de las palabras inglesas binary digit, dígito binario.
El bit es la unidad más pequeña de información. Aislado, nos permite distinguir sólo entre dos
posibilidades: sí-no, blanco-negro, abierto-cerrado, positivo-negativo. Permite sólo dar dos
respuestas a una pregunta, sin matices.
La combinación de estos dos símbolos un determinado número de veces permite la codificación de
toda la información posible. Si codificamos una serie de bits dándole a cada uno un significado
según nuestro deseo, el cojunto de bits representa un conjunto de información.
Por consiguiente, si sustituimos el valor dado a cada bit por otro, tendremos que una misma
combinación de bits queda modificada en cuanto al significado:
- Con un solo bit, se representan dos informaciones o estados (2¹).
- Con dos bits (2²), obtenemos cuatro combinaciones de información.
- Con tres bits (2³), ocho combinaciones de información.
- Con cuatro bits (24), dieciséis combinaciones de información.
- Con n bits, (2n) combinaciones de información.
Si deseamos representar cada letra del alfabeto mediante una combinación de bits, necesitamos
que cada letra esté representada por lo menos por 5 bits (25 = 32). Si, además, deseamos abarcar
todos los signos gráficosy las letras, tanto minúsculas como mayúsculas, necesitaremos una
combinación de 7 bits (27 = 128).
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A BINARIO
Para cambiar un número decimal a número binario, se divide el número entre dos. Se escribe el
cociente y el residuo. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente entre dos. Se vuelve a
escribir el cociente y el residuo. Este procesose sigue realizando hasta que el cociente sea uno.
Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el residuo. Para obtener el número binario, una
vez llegados al 1 indivisible, se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número
binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del
más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A
continuación analizaremos dos ejemplos de números decimales transformados al sistema binario:
NÚMERO DECIMAL 26 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO
NÚMERO DECIMAL 8 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO
Recordemos que se comienza a contar desde el cociente 1 hasta el primer residuo que nos resultó.
Sin embargo, existe otra manera de hacerlo y es dividir el cociente 1 entre 2, escribimos 0 como
cociente, posteriormente multiplicamos 2 por 0 (que es cero) y ese resultado se lo restamos al
último residuo que teníamos (que será 1) y tendremos como residuo 1. De esta forma
comenzaremos la cuenta para obtener el valor binario desde el último residuo obtenido (que es
siempre 1, excepto en el caso del número 0) hasta el primero. Podemos utilizar cualquiera de los
dos métodos y ambos son correctos y presentan el último resultado, tal como veremos en los
ejemplos a continuación.
Ahora veremos tres nuevos ejemplos de transformación de un número del sistema decimal al
sistema binario:
TRANSFORMACIÓN DE BINARIO A DECIMAL
Para cambiar un número binario a número decimal se multiplica cada dígito binario por la potencia
y se suman. Para conseguir el valor de la potencia, usamos , donde es la base y es el exponente.
Como estamos cambiando de binario a decimal, usamos la base 2. El exponente nos indica la
posición del dígito. A continuación se transformará el número binario 11010 a decimal:
Para la transformación de binarios a decimales estaremos siempre utilizando potencias a las cuales
será elevado el número 2. El siguiente listado nos presenta progresivamente las primeras 20
potencias con base 2:
LISTA DE POTENCIACIÓN DEL 1 AL 20 CON BASE 2
Veamos tres nuevos ejemplos de transformación de un número del sistema decimal al sistema
binario:
NÚMEROS DECIMALES DEL 0 AL 10 Y SUS EQUIVALENTES EN BINARIO
SUMA DE NÚMEROS BINARIOS
Es similar a la suma decimal excepto que se manejan sólo dos dígitos (0 y 1).
Las sumas básicas son:
Por ejemplo, sumemos 100110101 + 11010101:
Operamos como en decimal: comenzamos a sumar desde la izquierda. En el ejemplo 1 + 1 = 10,
entonces escribimos 0 y "llevamos" 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y
seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).
Ahora presentamos 3 nuevos ejemplos de suma de números binarios en los cuales podremos
apreciar al lado de dichas operaciones, el equivalente de esa suma en el sistema decimal para
facilitar la comprensión:
CUATRO EJERCICIOS DE SUMA DE NÚMEROS BINARIOS
1. Dados los números 30, 35 y 22 en sistema decimal, efectuar la suma y expresar el resultado en
el sistema de numeración binaria.
a) Conversión de 30 a binario.
División Cociente Residuo
30 / 2 = 15 0
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.
b) Conversión de 35 a binario.
División Cociente Residuo
35 / 2 = 15 0
17 / 2 = 8 1
8/2=31
4/2=11
2/2=01
1/2=01
Entonces 35 en el sistema decimal equivale a 100011 en el sistema binario.
c) Conversión de 22 a binario.
División Cociente Residuo
22 / 2 = 11 0
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 22 en el sistema decimal equivale a 10110 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
30+ 11110+
35 100011
22= 10110=
87 1010111
2. Sumar los números decimales 100 y 51, expresando la operación y el resultado en números
binarios.
a) Conversión de 100 a binario.
División Cociente Residuo
100 / 2 = 50 0
50 / 2 = 25 0
25 / 2 = 12 1
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 100 en el sistema decimal equivale a 1100100 en el sistema binario.
b) Conversión de 51 a binario.
División Cociente Residuo
51 / 2 = 25 1
25 / 2 = 12
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 51 en el sistema decimal equivale a 110011 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
100+ 1100100+
51= 110011=
151 10010111
3. Teniendo los valores 42, 6 y 8 en sistema decimal, transformarlos y expresarlos en números
binarios.
a) Conversión de 42 a binario.
División Cociente Residuo
42 / 2 = 21 0
21 / 2 = 10 1
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 42 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.
b) Conversión de 6 a binario.
División Cociente Residuo
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.
c) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
42+ 101010+
6 110
8= 1000=
56 111000
4. Sumar los números decimales 8, 17, 60, 40 y 30, convirtiéndolos y expresando la operación y
resultado de la suma en números binarios.
a) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
b) Conversión de 17 a binario.
División Cociente Residuo
17 / 2 = 8 1
8/2=31
4/2=11
2/2=01
1/2=01
Entonces 17 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
c) Conversión de 60 a binario.
División Cociente Residuo
60 / 2 = 30 0
30 / 2 = 15 0
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 60 en el sistema decimal equivale a 111100 en el sistema binario.
d) Conversión de 40 a binario.
División Cociente Residuo
40 / 2 = 20 0
20 / 2 = 10 0
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.
e) Conversión de 30 a binario.
División Cociente Residuo
30 / 2 = 15 0
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=11
Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.
f) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
8+ 1000+
17 10001
60 111100
40 101000
30= 11110=
155 10011011
GUÍA DE DIEZ EJERCICIOS DE SUMA DE NÚMEROS BINARIOS
INDICACIÓN: Dados los siguientes valores del sistema numérico decimal, convertir cada uno de
ellos a números binarios y luego sumarlos, expresando la respuesta en el sistema numérico
binario.
1. Sumar 4 + 5 +10.
2. Sumar 40 + 91.
3. Sumar 1203 + 101.
4. Sumar 59 + 21.
5. Sumar 5 + 2 + 6.
6. Sumar 25 + 31.
7. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.
8. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.
9. Sumar 7 + 16 + 1.
10. Sumar 27 + 8 + 31.
SOLUCIÓN DE LA GUÍA DE EJERCICIOS
1. Sumar 4 + 5 + 10.
a) Conversión de 4 a binario.
División Cociente Residuo
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 4 en el sistema decimal equivale a 100 en el sistema binario.
b) Conversión de 5 a binario.
División Cociente Residuo
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.
c) Conversión de 10 a binario.
División Cociente Residuo
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 10 en el sistema decimal equivale a 1010 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
4+ 100+
5 101
10= 1010=
19 10011
2. Sumar 40 + 91.
a) Conversión de 40 a binario.
División Cociente Residuo
40 / 2 = 20 0
20 / 2 = 10 0
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.
b) Conversión de 91 a binario.
División Cociente Residuo
91 / 2 = 45 1
45 / 2 = 22 1
22 / 2 = 11 0
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 91 en el sistema decimal equivale a 1011011 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
40+ 101000+
91= 1011011=
131 10000011
3. Sumar 1203 + 101.
a) Conversión de 1203 a binario.
División Cociente Residuo
1203 / 2 = 601 1
601 / 2 = 300 1
300 / 2 = 150 0
150 / 2 = 75 0
75 / 2 = 37 1
37 / 2 = 18 1
18 / 2 = 9 0
9/2=41
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 1203 en el sistema decimal equivale a 10010110011 en el sistema binario.
b) Conversión de 101 a binario.
División Cociente Residuo
101 / 2 = 50 1
50 / 2 = 25 0
25 / 2 = 12 1
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 101 en el sistema decimal equivale a 1100101 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
1203+ 10010110011+
101= 1100101=
1304 10100011000
4. Sumar 59 + 21.
a) Conversión de 59 a binario.
División Cociente Residuo
59 / 2 = 29 1
29 / 2 = 14 1
14 / 2 = 7 0
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 59 en el sistema decimal equivale a 111011 en el sistema binario.
b) Conversión de 21 a binario.
División Cociente Residuo
21 / 2 = 10 1
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 10101 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
59+ 111011+
21= 10101=
80 1010000
5. Sumar 5 + 2 + 6.
a) Conversión de 5 a binario.
División Cociente Residuo
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.
b) Conversión de 2 a binario.
División Cociente Residuo
2/2=10
1/2=01
Entonces 2 en el sistema decimal equivale a 10 en el sistema binario.
c) Conversión de 6 a binario.
División Cociente Residuo
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
5+ 100+
2 101
6= 1010=
13 1101
6. Sumar 25 + 31.
a) Conversión de 25 a binario.
División Cociente Residuo
25 / 2 = 12 1
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 25 en el sistema decimal equivale a 11001 en el sistema binario.
b) Conversión de 31 a binario.
División Cociente Residuo
31 / 2 = 15 1
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
25+ 11001+
31= 11111=
56 111000
7. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.
a) Conversión de 40 a binario.
División Cociente Residuo
40 / 2 = 20 0
20 / 2 = 10 1
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.
b) Conversión de 31 a binario.
División Cociente Residuo
31 / 2 = 15 1
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
c) Conversión de 20 a binario.
División Cociente Residuo
20 / 2 = 10 0
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 20 en el sistema decimal equivale a 10100 en el sistema binario.
d) Conversión de 49 a binario.
División Cociente Residuo
49 / 2 = 24 1
24 / 2 = 12 0
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
Entonces 49 en el sistema decimal equivale a 10001 en el sistema binario.
e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
40+ 101000+
31 11111
20 10100
49= 110001=
140 10001100
8. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.
a) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
b) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
9/2=41
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 9 en el sistema decimal equivale a 1001 en el sistema binario.
c) Conversión de 98 a binario.
División Cociente Residuo
98 / 2 = 49 0
49 / 2 = 24 1
24 / 2 = 12 0
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 98 en el sistema decimal equivale a 1100010 en el sistema binario.
d) Conversión de 45 a binario.
División Cociente Residuo
45 / 2 = 22 1
22 / 2 = 11 0
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 45 en el sistema decimal equivale a 101101 en el sistema binario.
e) Conversión de 11 a binario.
División Cociente Residuo
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 11 en el sistema decimal equivale a 1011 en el sistema binario.
f) Conversión de 33 a binario.
División Cociente Residuo
3/2=11
1/2=11
Entonces 3 en el sistema decimal equivale a 11 en el sistema binario.
g) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
8+ 1000+
9 1001
98 1100010
45 101101
11 1011
3= 11=
174 10101110
9. Sumar 7 + 16 + 1.
a) Conversión de 7 a binario.
División Cociente Residuo
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 7 en el sistema decimal equivale a 111 en el sistema binario.
b) Conversión de 16 a binario.
División Cociente Residuo
16 / 2 = 8 0
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 16 en el sistema decimal equivale a 10000 en el sistema binario.
c) Conversión de 1 a binario.
División Cociente Residuo
1/2=01
Entonces 1 en el sistema decimal equivale a 1 en el sistema binario.
e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
7+ 101000+
16 11111
1= 110001=
24 11000
10. Sumar 27 + 8 + 31.
a) Conversión de 27 a binario.
División Cociente Residuo
27 / 2 = 13 1
13 / 2 = 6 1
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 27 en el sistema decimal equivale a 11011 en el sistema binario.
b) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
c) Conversión de 31 a binario.
División Cociente Residuo
31 / 2 = 15 1
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
27+ 11011+
8 1000
31= 1000111=
66 1000010
Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la informaciónnumérica.
Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para
representar todos los números.
El sistemahabitual de numeración para las personas es el Decimal, cuya base es diez y
corresponde a los distintos dedos de la mano, mientras que el método habitualmente utilizado
por los sistemas electrónicos digitales es el Binario, que utiliza únicamente dos cifras para
representar la información: el 0 y el 1.
Otros sistemas como el Octal (base 8) y el Hexadecimal (base 16) son utilizados en las
computadoras.
NUMERACIÓN DECIMAL Y BINARIA
Cuando en una numeración se usan diez símbolos diversos, a ésta se la denomina numeración
decimal o en base 10. El valor de cada cifra es el producto de la misma por una potencia a 10 (la
base), cuyo exponente es igual a la posición 0, las decenas la 1 y así sucesivamente.
Por ejemplo, 327 se puede descomponer en:
3 . 10² + 2 . 10¹ + 7 . 10º = 300 + 20 + 7 = 327
Siguiendo con el mismo razonamiento, podemos definir una numeración binariao en base 2,
donde los símbolos 0 y 1 vistos anteriormente asumen el valor numérico 0 y 1. Así, el número
10110 escrito en base 2 o binaria equivale al siguiente número en base 10 o decimal:
1 . 24 + 0 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 0 . 2º = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (22)10
En el sistema binario:
- Con 1 bit el valor más alto que se puede expresar es el 1.
- Con 2 bits el valor más alto que se puede expresar es el 3.
- Con n bits el valor más alto que se puede expresar es el 2 – 1.
Cada bit, según la posición que ocupa dentro del conjunto de un número binario, tiene un peso
o un valor determinado en el sistema decimal.
Como vemos, el sistema binarioemplea muchas cifras para representar una información. Para
podertrabajar con más comodidad, los programadores emplean los sistemas octal y
hexadecimal, que permiten operar con muchas menos cifras.
SISTEMA NUMÉRICO BINARIO
Los circuitosdigitales internos que componen las computadoras utilizan el sistema de
numeración Binario para la interpretación de la información y codificación de la misma.
El sistema decimal de numeración que usamos en la vida diaria es de difícil empleo en las
computadoras, ya que para representar los números y trabajar con ellos son necesarios diez
símbolos:
0123456789
Los circuitos de una computadoraque trabajara con el sistema decimal deberían ser capaces de
distinguir entre diez valoreso posiciones de funcionamiento distintas. Esto exigiría una
precisión difícil de conseguir, por lo que se ha elegido un sistema de numeración que simplifica
mucho el diseñode los circuitos, porque exige sólo dos estados o posiciones de funcionamiento.
El sistema binario utiliza sólo dos signos:
01
Estos son mucho más fáciles de representar en el interior de una computadora, donde estas dos
cifras se pueden asociar perfectamente a los dos posibles estados que pueden adoptar los
circuitos o componentes electrónicos: apagado y encendido. La presencia de una corriente
eléctrica = 1 (encendido) y la ausencia = 0 (apagado). Cuando la corriente eléctrica pasa a
través de la computadora, ésta lee un 1 cuando percibe la corriente eléctrica y un 0 cuando no
hay corriente eléctrica.
A las cifras o símbolos binarios les denominaremos, por convención, bits.
bit cero = 0
bit uno = 1
La palabra «bit» es una contracción de las palabras inglesas binary digit, dígito binario.
El bit es la unidad más pequeña de información. Aislado, nos permite distinguir sólo entre dos
posibilidades: sí-no, blanco-negro, abierto-cerrado, positivo-negativo. Permite sólo dar dos
respuestas a una pregunta, sin matices.
La combinación de estos dos símbolos un determinado número de veces permite la codificación
de toda la información posible. Si codificamos una serie de bits dándole a cada uno un
significado según nuestro deseo, el cojunto de bits representa un conjunto de información.
Por consiguiente, si sustituimos el valor dado a cada bit por otro, tendremos que una misma
combinación de bits queda modificada en cuanto al significado:
- Con un solo bit, se representan dos informaciones o estados (2¹).
- Con dos bits (2²), obtenemos cuatro combinaciones de información.
- Con tres bits (2³), ocho combinaciones de información.
- Con cuatro bits (24), dieciséis combinaciones de información.
- Con n bits, (2n) combinaciones de información.
Si deseamos representar cada letra del alfabeto mediante una combinación de bits, necesitamos
que cada letra esté representada por lo menos por 5 bits (25 = 32). Si, además, deseamos
abarcar todos los signos gráficosy las letras, tanto minúsculas como mayúsculas, necesitaremos
una combinación de 7 bits (27 = 128).
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A BINARIO
Para cambiar un número decimal a número binario, se divide el número entre dos. Se escribe el
cociente y el residuo. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente entre dos. Se vuelve
a escribir el cociente y el residuo. Este procesose sigue realizando hasta que el cociente sea uno.
Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el residuo. Para obtener el número binario,
una vez llegados al 1 indivisible, se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo
número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones
subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que
buscamos. A continuación analizaremos dos ejemplos de números decimales transformados al
sistema binario:
NÚMERO DECIMAL 26 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO
NÚMERO DECIMAL 8 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO
Recordemos que se comienza a contar desde el cociente 1 hasta el primer residuo que nos
resultó. Sin embargo, existe otra manera de hacerlo y es dividir el cociente 1 entre 2, escribimos
0 como cociente, posteriormente multiplicamos 2 por 0 (que es cero) y ese resultado se lo
restamos al último residuo que teníamos (que será 1) y tendremos como residuo 1. De esta
forma comenzaremos la cuenta para obtener el valor binario desde el último residuo obtenido
(que es siempre 1, excepto en el caso del número 0) hasta el primero. Podemos utilizar
cualquiera de los dos métodos y ambos son correctos y presentan el último resultado, tal como
veremos en los ejemplos a continuación.
Ahora veremos tres nuevos ejemplos de transformación de un número del sistema decimal al
sistema binario:
TRANSFORMACIÓN DE BINARIO A DECIMAL
Para cambiar un número binario a número decimal se multiplica cada dígito binario por la
potencia y se suman. Para conseguir el valor de la potencia, usamos
, donde
es la base y
es el exponente. Como estamos cambiando de binario a decimal, usamos la base 2. El
exponente nos indica la posición del dígito. A continuación se transformará el número binario
11010 a decimal:
Para la transformación de binarios a decimales estaremos siempre utilizando potencias a las
cuales será elevado el número 2. El siguiente listado nos presenta progresivamente las primeras
20 potencias con base 2:
LISTA DE POTENCIACIÓN DEL 1 AL 20 CON BASE 2
Veamos tres nuevos ejemplos de transformación de un número del sistema decimal al sistema
binario:
NÚMEROS DECIMALES DEL 0 AL 10 Y SUS EQUIVALENTES EN BINARIO
SUMA DE NÚMEROS BINARIOS
Es similar a la suma decimal excepto que se manejan sólo dos dígitos (0 y 1).
Las sumas básicas son:
Por ejemplo, sumemos 100110101 + 11010101:
Operamos como en decimal: comenzamos a sumar desde la izquierda. En el ejemplo 1 + 1 = 10,
entonces escribimos 0 y "llevamos" 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y
seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).
Ahora presentamos 3 nuevos ejemplos de suma de números binarios en los cuales podremos
apreciar al lado de dichas operaciones, el equivalente de esa suma en el sistema decimal para
facilitar la comprensión:
CUATRO EJERCICIOS DE SUMA DE NÚMEROS BINARIOS
1. Dados los números 30, 35 y 22 en sistema decimal, efectuar la suma y expresar
el resultado en el sistema de numeración binaria.
a) Conversión de 30 a binario.
División Cociente Residuo
30 / 2 = 15 0
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.
b) Conversión de 35 a binario.
División Cociente Residuo
35 / 2 = 15 0
17 / 2 = 8 1
8/2=31
4/2=11
2/2=01
1/2=01
Entonces 35 en el sistema decimal equivale a 100011 en el sistema binario.
c) Conversión de 22 a binario.
División Cociente Residuo
22 / 2 = 11 0
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 22 en el sistema decimal equivale a 10110 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
30+ 11110+
35 100011
22= 10110=
87 1010111
2. Sumar los números decimales 100 y 51, expresando la operación y el resultado
en números binarios.
a) Conversión de 100 a binario.
División Cociente Residuo
100 / 2 = 50 0
50 / 2 = 25 0
25 / 2 = 12 1
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 100 en el sistema decimal equivale a 1100100 en el sistema binario.
b) Conversión de 51 a binario.
División Cociente Residuo
51 / 2 = 25 1
25 / 2 = 12 1
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 51 en el sistema decimal equivale a 110011 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
100+ 1100100+
51= 110011=
151 10010111
3. Teniendo los valores 42, 6 y 8 en sistema decimal, transformarlos y expresarlos
en números binarios.
a) Conversión de 42 a binario.
División Cociente Residuo
42 / 2 = 21 0
21 / 2 = 10 1
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 42 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.
b) Conversión de 6 a binario.
División Cociente Residuo
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.
c) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
42+ 101010+
6 110
8= 1000=
56 111000
4. Sumar los números decimales 8, 17, 60, 40 y 30, convirtiéndolos y expresando
la operación y resultado de la suma en números binarios.
a) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
b) Conversión de 17 a binario.
División Cociente Residuo
17 / 2 = 8 1
8/2=31
4/2=11
2/2=01
1/2=01
Entonces 17 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
c) Conversión de 60 a binario.
División Cociente Residuo
60 / 2 = 30 0
30 / 2 = 15 0
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 60 en el sistema decimal equivale a 111100 en el sistema binario.
d) Conversión de 40 a binario.
División Cociente Residuo
40 / 2 = 20 0
20 / 2 = 10 0
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.
e) Conversión de 30 a binario.
División Cociente Residuo
30 / 2 = 15 0
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=11
Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.
f) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
8+ 1000+
17 10001
60 111100
40 101000
30= 11110=
155 10011011
GUÍA DE DIEZ EJERCICIOS DE SUMA DE NÚMEROS BINARIOS
INDICACIÓN: Dados los siguientes valores del sistema numérico decimal,
convertir cada uno de ellos a números binarios y luego sumarlos, expresando la
respuesta en el sistema numérico binario.
1. Sumar 4 + 5 +10.
2. Sumar 40 + 91.
3. Sumar 1203 + 101.
4. Sumar 59 + 21.
5. Sumar 5 + 2 + 6.
6. Sumar 25 + 31.
7. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.
8. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.
9. Sumar 7 + 16 + 1.
10. Sumar 27 + 8 + 31.
SOLUCIÓN DE LA GUÍA DE EJERCICIOS
1. Sumar 4 + 5 + 10.
a) Conversión de 4 a binario.
División Cociente Residuo
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 4 en el sistema decimal equivale a 100 en el sistema binario.
b) Conversión de 5 a binario.
División Cociente Residuo
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.
c) Conversión de 10 a binario.
División Cociente Residuo
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 10 en el sistema decimal equivale a 1010 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
4+ 100+
5 101
10= 1010=
19 10011
2. Sumar 40 + 91.
a) Conversión de 40 a binario.
División Cociente Residuo
40 / 2 = 20 0
20 / 2 = 10 0
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.
b) Conversión de 91 a binario.
División Cociente Residuo
91 / 2 = 45 1
45 / 2 = 22 1
22 / 2 = 11 0
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 91 en el sistema decimal equivale a 1011011 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
40+ 101000+
91= 1011011=
131 10000011
3. Sumar 1203 + 101.
a) Conversión de 1203 a binario.
División Cociente Residuo
1203 / 2 = 601 1
601 / 2 = 300 1
300 / 2 = 150 0
150 / 2 = 75 0
75 / 2 = 37 1
37 / 2 = 18 1
18 / 2 = 9 0
9/2=41
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 1203 en el sistema decimal equivale a 10010110011 en el sistema binario.
b) Conversión de 101 a binario.
División Cociente Residuo
101 / 2 = 50 1
50 / 2 = 25 0
25 / 2 = 12 1
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 101 en el sistema decimal equivale a 1100101 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
1203+ 10010110011+
101= 1100101=
1304 10100011000
4. Sumar 59 + 21.
a) Conversión de 59 a binario.
División Cociente Residuo
59 / 2 = 29 1
29 / 2 = 14 1
14 / 2 = 7 0
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 59 en el sistema decimal equivale a 111011 en el sistema binario.
b) Conversión de 21 a binario.
División Cociente Residuo
21 / 2 = 10 1
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 10101 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
59+ 111011+
21= 10101=
80 1010000
5. Sumar 5 + 2 + 6.
a) Conversión de 5 a binario.
División Cociente Residuo
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.
b) Conversión de 2 a binario.
División Cociente Residuo
2/2=10
1/2=01
Entonces 2 en el sistema decimal equivale a 10 en el sistema binario.
c) Conversión de 6 a binario.
División Cociente Residuo
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.
d) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
5+ 100+
2 101
6= 1010=
13 1101
6. Sumar 25 + 31.
a) Conversión de 25 a binario.
División Cociente Residuo
25 / 2 = 12 1
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 25 en el sistema decimal equivale a 11001 en el sistema binario.
b) Conversión de 31 a binario.
División Cociente Residuo
31 / 2 = 15 1
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
c) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
25+ 11001+
31= 11111=
56 111000
7. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.
a) Conversión de 40 a binario.
División Cociente Residuo
40 / 2 = 20 0
20 / 2 = 10 1
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.
b) Conversión de 31 a binario.
División Cociente Residuo
31 / 2 = 15 1
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
c) Conversión de 20 a binario.
División Cociente Residuo
20 / 2 = 10 0
10 / 2 = 5 0
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 20 en el sistema decimal equivale a 10100 en el sistema binario.
d) Conversión de 49 a binario.
División Cociente Residuo
49 / 2 = 24 1
24 / 2 = 12 0
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
Entonces 49 en el sistema decimal equivale a 10001 en el sistema binario.
e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
40+ 101000+
31 11111
20 10100
49= 110001=
140 10001100
8. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.
a) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
b) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
9/2=41
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 9 en el sistema decimal equivale a 1001 en el sistema binario.
c) Conversión de 98 a binario.
División Cociente Residuo
98 / 2 = 49 0
49 / 2 = 24 1
24 / 2 = 12 0
12 / 2 = 6 0
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 98 en el sistema decimal equivale a 1100010 en el sistema binario.
d) Conversión de 45 a binario.
División Cociente Residuo
45 / 2 = 22 1
22 / 2 = 11 0
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 45 en el sistema decimal equivale a 101101 en el sistema binario.
e) Conversión de 11 a binario.
División Cociente Residuo
11 / 2 = 5 1
5/2=21
2/2=10
1/2=01
Entonces 11 en el sistema decimal equivale a 1011 en el sistema binario.
f) Conversión de 33 a binario.
División Cociente Residuo
3/2=11
1/2=11
Entonces 3 en el sistema decimal equivale a 11 en el sistema binario.
g) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
8+ 1000+
9 1001
98 1100010
45 101101
11 1011
3= 11=
174 10101110
9. Sumar 7 + 16 + 1.
a) Conversión de 7 a binario.
División Cociente Residuo
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 7 en el sistema decimal equivale a 111 en el sistema binario.
b) Conversión de 16 a binario.
División Cociente Residuo
16 / 2 = 8 0
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 16 en el sistema decimal equivale a 10000 en el sistema binario.
c) Conversión de 1 a binario.
División Cociente Residuo
1/2=01
Entonces 1 en el sistema decimal equivale a 1 en el sistema binario.
e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
7+ 101000+
16 11111
1= 110001=
24 11000
10. Sumar 27 + 8 + 31.
a) Conversión de 27 a binario.
División Cociente Residuo
27 / 2 = 13 1
13 / 2 = 6 1
6/2=30
3/2=11
1/2=01
Entonces 27 en el sistema decimal equivale a 11011 en el sistema binario.
b) Conversión de 8 a binario.
División Cociente Residuo
8/2=40
4/2=20
2/2=10
1/2=01
Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.
c) Conversión de 31 a binario.
División Cociente Residuo
31 / 2 = 15 1
15 / 2 = 7 1
7/2=31
3/2=11
1/2=01
Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.
e) Efectuar la suma de los números binarios obtenidos.
Decimal Binario
27+ 11011+
8 1000
31= 1000111=
66 1000010