Ondas Electromagnéticas
Guiadas
Compendio de problemas, para Examen Parcial del Curso de
“Ondas Electromagnéticas Guiadas”
ANEXO 2
COMPENDIO DE ALGUNAS RELACIONES Y EXPRESIONES
MATEMÁTICAS, QUE PERMITEN CALCULAR DIVERSAS CANTIDADES DE
INTERÉS EN PROBLEMAS RELACIONADOS CON PROPAGACIÓN DE
SEÑALES SINUSOIDALES EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
a) Para el tema de “Introducción a las líneas de transmisión”:
a.1) Expresiones y relaciones válidas para cualquier línea de Tx uniforme de dos conductores:
−
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
= 𝑅𝑅� 𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝐿𝐿�
;
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
−
−
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)
= 𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝐶𝐶̅
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)
𝜕𝜕𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔)
= (𝑅𝑅� + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿�)𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔) ; −
= (𝐺𝐺̅ + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶̅ )𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = 𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 + 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 ; 𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔) =
1
�𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 �
𝑍𝑍0
𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑉𝑉� (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �
�; si la línea recibe un estímulo temporal sinusoidal en régimen estacionario.
𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝐼𝐼̃(𝑥𝑥, 𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �
𝑅𝑅� + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿�
𝑅𝑅0 + 𝑗𝑗𝑋𝑋0
𝜔𝜔
� + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐿𝐿�)(𝐺𝐺̅ + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶̅ ) ⇒ 𝛾𝛾 = 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 ; 𝑣𝑣𝑝𝑝 =
�(𝑅𝑅
𝑍𝑍0 = �
⇒ 𝑍𝑍0 = �
;
𝛾𝛾
=
𝑗𝑗𝜃𝜃
|𝑍𝑍0 |𝑒𝑒 0
𝛽𝛽
𝐺𝐺̅ + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐶𝐶̅
a.2) Obtención de los parámetros distribuidos de algunas líneas de transmisión, dada su estructura:
Para línea coaxial:
a
b
c
Operando en “bajas frecuencias”:
𝑏𝑏
𝜇𝜇𝑐𝑐
1
1
4𝑐𝑐 2
𝑐𝑐
2
2
𝐿𝐿� =
�𝑏𝑏
−
3𝑐𝑐
+
𝑙𝑙𝑙𝑙 � ���
�𝑙𝑙𝑙𝑙 � � + +
2
2
2
2
(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 )
𝑎𝑎
2𝜋𝜋
4 4(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 )
𝑎𝑎
1 1
1
2𝜋𝜋𝜎𝜎𝑑𝑑
2𝜋𝜋𝜀𝜀𝑑𝑑
𝑅𝑅� =
� + 2
� ; 𝐺𝐺̅ =
; 𝐶𝐶̅ =
2
𝜋𝜋𝜎𝜎𝑐𝑐 𝑎𝑎 (𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 )
𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎 )
𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎)
Operando en “altas frecuencias”:
𝜇𝜇𝑐𝑐
𝑏𝑏
2𝜋𝜋𝜀𝜀𝑑𝑑
𝐿𝐿� =
𝑙𝑙𝑙𝑙 � � ; 𝐶𝐶̅ =
2𝜋𝜋
𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎)
𝑎𝑎
1 1
2𝜋𝜋𝜎𝜎𝑑𝑑
1
� + � ; 𝐺𝐺̅ =
𝑅𝑅� =
𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑏𝑏⁄𝑎𝑎)
2𝜋𝜋𝑙𝑙𝑝𝑝 𝜎𝜎𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏
Para cada una de las expresiones anteriores, tómese en cuenta lo siguiente:
1
𝜎𝜎𝑑𝑑
60
𝑏𝑏
𝑙𝑙𝑝𝑝 = �
; 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛿𝛿𝑑𝑑 =
; 𝑍𝑍0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑙𝑙𝑙𝑙 � �
𝜔𝜔𝜀𝜀𝑑𝑑
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜇𝜇𝑐𝑐 𝜎𝜎𝑐𝑐
𝑎𝑎
�𝜀𝜀𝑟𝑟𝑟𝑟
Elaboró: Heriberto E. González Jaimes
Academia de Electromagnetismo / ESIME Zacatenco
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b) Para el tema de “Distribuciones de tensión, corriente, impedancia y potencia”, en líneas de Tx
b.1) Expresiones para tensión (o voltaje), corriente, impedancia y potencia promedio:
𝑉𝑉� (𝑥𝑥) = 𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾 + 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾
𝐼𝐼̃(𝑥𝑥) =
1
�𝑉𝑉� + 𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑍𝑍0
− 𝑉𝑉� − 𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 �
(forma fasorial) ; 𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �
(forma fasorial) ; 𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 �
(forma instantánea)
(forma instantánea)
(1 + 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑉𝑉�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑉𝑉�𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝐿𝐿 𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑍𝑍𝐿𝐿
𝑉𝑉� + = 𝑉𝑉�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�
=
=
� 𝑒𝑒 ; donde: 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 ≜
�
(1 + 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 − (1 − 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾
2
2
𝑍𝑍0
(1 − 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑉𝑉�𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑉𝑉�𝐿𝐿 − 𝑍𝑍0 𝐼𝐼̃𝐿𝐿 −𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑍𝑍𝐿𝐿
−
�
�
𝑒𝑒
𝑉𝑉 = −𝑉𝑉𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �
�
=
=
;
donde:
𝑧𝑧̂
≜
�
�
𝐿𝐿
(1 + 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 𝛾𝛾𝛾𝛾 − (1 − 𝑧𝑧̂𝐿𝐿 )𝑒𝑒 −𝛾𝛾𝛾𝛾
2
2
𝑍𝑍0
𝑍𝑍(𝑥𝑥) ≜
𝑉𝑉� (𝑥𝑥)
𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ(𝛾𝛾(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥))
𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑗𝑗𝑍𝑍0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛽𝛽(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥))
; 𝑍𝑍(𝑥𝑥)�
= 𝑍𝑍0 �
� ; 𝑍𝑍(𝑥𝑥)|𝛼𝛼=0 = 𝑍𝑍0 �
�
̃𝐼𝐼 (𝑥𝑥)
𝑍𝑍0 + 𝑍𝑍𝐿𝐿 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ(𝛾𝛾(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥))
𝑍𝑍0 + 𝑗𝑗𝑍𝑍𝐿𝐿 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛽𝛽(𝑙𝑙 − 𝑥𝑥))
𝛼𝛼>0
1
𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝐼𝐼̃∗ (𝑥𝑥)} ; si 𝑉𝑉�(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 𝐼𝐼̃(𝑥𝑥) están dadas en valores 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (𝑥𝑥) = �2
𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑉𝑉� (𝑥𝑥)𝐼𝐼̃∗ (𝑥𝑥)} ; si 𝑉𝑉� (𝑥𝑥) 𝑒𝑒 𝐼𝐼̃(𝑥𝑥) están dadas en valores 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
b.2) Coeficiente de reflexión para tensión (o voltaje) y Razón de onda estacionaria (ROE o SWR):
Para una línea de transmisión “con pérdidas” (i.e. 𝛼𝛼 > 0):
Γ(𝑥𝑥) ≜
𝑉𝑉�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝑥𝑥)
𝑍𝑍𝐿𝐿 − 𝑍𝑍0
1 + |ΓL |𝑒𝑒 −2𝛼𝛼(𝑙𝑙−𝑥𝑥)
= ΓL 𝑒𝑒 −2𝛾𝛾(𝑙𝑙−𝑥𝑥) ; ΓL ≜
; 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑥𝑥) =
𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0
1 − |ΓL |𝑒𝑒 −2𝛼𝛼(𝑙𝑙−𝑥𝑥)
𝑉𝑉�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑥𝑥)
Para una línea de transmisión “sin pérdidas” (i.e. 𝛼𝛼 = 0):
Γ(𝑥𝑥) ≜
𝑉𝑉�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝑥𝑥)
𝑍𝑍𝐿𝐿 − 𝑍𝑍0
1 + |ΓL |
= ΓL 𝑒𝑒 −𝑗𝑗2𝛽𝛽(𝑙𝑙−𝑥𝑥) ; ΓL ≜
; 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑥𝑥) =
1 − |ΓL |
𝑍𝑍𝐿𝐿 + 𝑍𝑍0
𝑉𝑉�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑥𝑥)
b.3) Impedancia en cualquier punto de una línea de Tx, en términos del coeficiente de reflexión:
1 + ΓL 𝑒𝑒 −2𝛾𝛾(𝑙𝑙−𝑥𝑥)
� si 𝛼𝛼 > 0 ;
𝑍𝑍(𝑥𝑥) = 𝑍𝑍0 �
1 − ΓL 𝑒𝑒 −2𝛾𝛾(𝑙𝑙−𝑥𝑥)
Elaboró: Heriberto E. González Jaimes
1 + ΓL 𝑒𝑒 −𝑗𝑗2𝛽𝛽(𝑙𝑙−𝑥𝑥)
𝑍𝑍(𝑥𝑥) = 𝑍𝑍0 �
� , si 𝛼𝛼 = 0
1 − ΓL 𝑒𝑒 −𝑗𝑗2𝛽𝛽(𝑙𝑙−𝑥𝑥)
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c) Otras expresiones (o identidades), que pueden ser de utilidad:
1 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 8.686 𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 𝜀𝜀0 =
10−9 𝐹𝐹
� �𝑚𝑚� ; 𝜇𝜇0 = 4𝜋𝜋 × 10−7 �𝐻𝐻�𝑚𝑚�
36𝜋𝜋
Recordar que: 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜀𝜀𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜀𝜀0 , 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜇𝜇𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜇𝜇0 y 𝜇𝜇𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≅ 1; para materiales NO magnéticos.
Para dos complejos 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2 :
𝑍𝑍1 = 𝑍𝑍2 ⟹ 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍1 } = 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍2 } ∧ 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍1 } = 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍2 }
𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 } = 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍1 } + 𝑅𝑅𝑅𝑅{𝑍𝑍2 } ; 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 } = 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍1 } + 𝐼𝐼𝐼𝐼{𝑍𝑍2 }
𝑍𝑍1 𝑛𝑛 𝑟𝑟1 𝜃𝜃1 −𝜃𝜃2
� = � 𝑒𝑒 𝑗𝑗 𝑛𝑛
;
𝑍𝑍2
𝑟𝑟2
𝑛𝑛
𝛽𝛽 =
𝑗𝑗
𝑛𝑛
�𝑍𝑍1 𝑍𝑍2 = �𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 𝑒𝑒
𝑛𝑛
𝜃𝜃1 +𝜃𝜃2
𝑛𝑛
𝑣𝑣𝑝𝑝
𝜔𝜔
2𝜋𝜋
𝑐𝑐
=
; 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 𝑐𝑐(𝐹𝐹. 𝑉𝑉. ) ; 𝐹𝐹. 𝑉𝑉. =
=
; para dieléctricos NO magnéticos
𝑐𝑐
𝑣𝑣𝑝𝑝 𝜆𝜆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
�𝜀𝜀𝑟𝑟𝑑𝑑
Elaboró: Heriberto E. González Jaimes
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ANEXO 3
CASOS ASIGNADOS A CADA EQUIPO, PARA RESOLVER EL PROBLEMA No. 1
Para el Equipo # 1 (caso “A”):
Para el Equipo # 1 (caso “B”):
Para el generador: 𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉�𝑔𝑔 = 1∠0° �𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 � ∧ 𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑔𝑔 = 10 (Ω)
Para la línea: 𝑍𝑍0 = 75 + 𝑗𝑗0 (Ω), 𝛼𝛼 = 0
Para el Equipo # 2 (caso “A”):
𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑚𝑚 � , 𝑣𝑣𝑝𝑝
= 2.1 × 10
8
𝑚𝑚
� 𝑠𝑠 � ∧
Para el generador: 𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉�𝑔𝑔 = 2∠0° �𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 � ∧ 𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑔𝑔 = 20 (Ω)
Para la línea: 𝑍𝑍0 = 100 + 𝑗𝑗0 (Ω), 𝛼𝛼 = 0
Para el Equipo # 3 (caso “A”):
𝑁𝑁𝑁𝑁
� 𝑚𝑚 � , 𝑣𝑣𝑝𝑝
= 1.8 × 10
8
𝑚𝑚
� 𝑠𝑠 � ∧
Para el generador: 𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉�𝑔𝑔 = 3∠0° �𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 � ∧ 𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑔𝑔 = 30 (Ω)
𝑁𝑁𝑁𝑁
𝑙𝑙 = 1.0 (𝑚𝑚)
𝑚𝑚
Para el Equipo # 2 (caso “B”):
𝑙𝑙 = 2.0 (𝑚𝑚)
Nota importante.-: Los valores de V+ y V-, están dados
en valores “RMS”
Para el Equipo # 3 (caso “B”):
Para la línea: 𝑍𝑍0 = 75 + 𝑗𝑗0 (Ω), 𝛼𝛼 = 0 � 𝑚𝑚 � , 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 2.1 × 108 � 𝑠𝑠 � ∧ 𝑙𝑙 = 1.0 (𝑚𝑚)
Elaboró: Heriberto E. González Jaimes
Nota importante.-: Los valores de V+ y V-, están
dados en valores “RMS”
Nota importante.-: Los valores de V+ y V-, están dados
en valores “RMS”
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