Investigación de Operaciones Carlos A. Vega-Mejía, PhD. Instituto Forum Modelos de Redes Instituto Forum Aplicaciones de Redes 1.La determinación de cantidad de artículos enviados desde una planta de manufactura a los diferentes puntos de distribución. 2.Determinación de la ruta más corta entre dos puntos en una ciudad. 3.Determinación de la capacidad máxima de una red de acueductos para llevar agua desde las represas a diferentes localidades de una ciudad. 4.La determinación del programa de tiempo (fechas de inicio y terminación) de las actividades de un proyecto. … Edificio Ad Portas Instituto Forum Representación de una red GRAFO 1 Nodo S 4 6 2 F Arco S 3 5 1 DIGRAFO 4 7 3 Instituto Forum 6 2 F 5 7 Edificio Ad Portas Problema de Transporte Una compañía produce equipos de precisión para diagnósticos médicos en 2 fábricas. El volumen de producción del siguiente mes está dado por tres órdenes que han hecho tres centros médicos. El costo de envío de un equipo cualquiera a un centro médico particular, el número de equipos que necesita cada centro médico y la capacidad de producción de las fábricas, se dan en la siguiente tabla: Fábrica 1 Fábrica 2 Tamaño de la orden Costo de envío de un equipo Centro Centro Centro médico 1 médico 2 médico 3 $600 $800 $700 $400 $900 $600 300 equipos 200 equipos Edificio Ad Portas Capacidad de producción 400 equipos 500 equipos 400 equipos (a) Represente esta situación en una red. (b) Formule un PL que ayude a la compañía a determinar cuántos equipos enviar desde qué fábrica a qué cliente, de la forma más económica. Instituto Forum Problema de Transporte Consiste en distribuir un conjunto de bienes desde un grupo de centros de distribución (fuentes) a un conjunto de centros de recepción (destinos), buscando minimizar los costos de distribución. S1 D1 Edificio Ad Portas S2 D2 … … Sn Dm Instituto Forum Problema de Transporte En el caso particular en que el problema cumpla: 𝑆𝑖 = 𝐷𝑗 ∀𝑖 ∀𝑗 Se dice que el problema está balanceado Si se cumple la condición anterior, entonces las restricciones de suministro y demanda se pueden escribir como igualdades. Si el problema está balanceado y todos los valores Si y Dj son enteros, entonces todas las variables de decisión tomarán también valores enteros en todas las soluciones básicas factibles. Edificio Ad Portas Instituto Forum Transporte en servicio La Secretaría de Salud de Bogotá está planeando una jornada de vacunación en tres municipios del área metropolitana de la ciudad: Soacha, La Calera y Cajicá. Las vacunas serán aplicadas por estudiantes de medicina que están adelantando su residencia en la Fundación Santa Fe, el Hospital San Ignacio, y la Clínica San Rafael. Se estima que la población vulnerable en los municipios de Soacha, La Calera y Cajicá es de diez mil, cuatro mil y dos mil habitantes, respectivamente. Actualmente, cada institución médica, de las mencionadas anteriormente, puede asignar máximo 55 estudiantes para la jornada, y cada estudiante puede atender 100 personas en promedio. Las distancias aproximadas en Km que debe recorrer cada estudiante desde el hospital o clínica donde está haciendo su residencia a un municipio determinado, se muestran en la siguiente tabla: Hospital / Clínica Fundación Santa Fe Hospital San Ignacio Clínica San Rafael Soacha 28 20 15 Municipio La Calera 21 22 32 Cajicá 29 34 43 Formule un modelo de programación lineal que ayude a determinar cuántos estudiantes debe enviar cada institución médica a cada municipio para cubrir sus necesidades, buscando minimizar la distancia total que deben recorrer. Edificio Ad Portas Instituto Forum Problema de Transbordo Ford tiene 2 plantas (Detroit y Atlanta), 2 bodegas (Denver y Nueva York) y 3 clientes (Los Angeles, Chicago y Filadelfia). Los automóviles se producen en las plantas, se envían a las bodegas y de allí a los clientes. Detroit y Atlanta puede producir 150 y 100 carros por semana, respectivamente. La demanda semanal de carros de Los Angeles, Chicago y Filadelfia es de 90, 75, 85, respectivamente. El costo de fabricar un automóvil, independientemente de la planta, es de US$ 10,000. Considerando los costos de envío dados en la siguiente tabla: Desde Detroit Atlanta Hasta (US$) Denver NY 1,253 637 1,398 841 Desde Denver NY Hasta (US$) LA Chicago Filadelfia 1,059 996 1,691 2,786 802 100 (a) Represente la situación en una red. (b) Formule un modelo de programación lineal para determinar cómo cumplir con la demanda de los clientes de Ford, al mínimo costo. Edificio Ad Portas Instituto Forum Problema de Transbordo Es similar al Problema de Transporte con la diferencia que, además de centros de distribución y recepción, se incluyen centros de transbordo. S1 T1 D1 Edificio Ad Portas S2 T2 D2 … … … Sn Tp Dm Instituto Forum Problema de Ruta Más Corta Bree Tharbad Rivendell The Misty Mountains Moria Lorien Isengard Edoras Dead Marshes Minas Tirith Minas Morgul Cirith Ungol Mount Doom The Shire Bree Tharbad Rivendell The Misty Mountains Moria Lorien Isengard Edoras Dead Marshes Minas Tirith Minas Morgul Cirith Ungol Mount Doom The Shire Frodo Bolsón tiene la misión de destruir el Anillo Único. Asuma que Gandalf anda sin rodeos y, una vez se da cuenta en La Comarca (The Shire) que Frodo tiene el anillo, le dice a Frodo que debe dirigirse de inmediato a la Montaña del Destino (Mount Doom) para destruir el anillo. Considerando la tabla de distancias que se presenta a continuación, ¿cuál ruta le aconsejaría tomar a Frodo si él quiere recorrer la menor distancia posible? 173 248 - 173 188 278 - 248 188 375 203 255 - 278 375 75 173 - 75 263 563 - 203 173 113 - 263 113 225 285 345 - 255 225 150 - 285 150 300 - 563 345 128 113 - 300 128 60 38 - 60 75 113 38 98 75 98 - Edificio Ad Portas Instituto Forum ??? Rivendell Bree The Shire Misty Mountains Moria Tharbad Lorien Edificio Ad Portas Isengard Dead Marshes Cirith Ungol Edoras Minas Tirith Mount Doom Minas Morgul Instituto Forum ??? Rivendell Bree The Shire Misty Mountains Moria Tharbad Lorien Edificio Ad Portas Isengard Dead Marshes Cirith Ungol Edoras Minas Tirith Mount Doom Minas Morgul Instituto Forum ‘Ruta Más Corta’ en planeación de proyectos Considere las siguientes tareas para la realización de un proyecto Tarea A B C D E F Duración 5 3 4 2 3 1 Predecesora A A B C Tarea G H I J K L Duración 4 6 2 5 4 7 Predecesora C D,E D,E F G,H I Formule un modelo de programación lineal para encontrar la ruta crítica del proyecto y la duración estimada del mismo. Tenga en cuenta que la ruta crítica de un proyecto se puede expresar como el camino de mayor duración entre la tarea inicial y la final. Edificio Ad Portas Instituto Forum Modelos de Programación Entera Instituto Forum Problema de la Mochila (Knapsack) Suponga que una empresa transportadora debe entregar 8 pedidos a varios clientes. Cada pedido tiene un peso y una utilidad esperada, como se muestra a continuación Pedido Peso (Ton) Utilidad ($) 1 5 3 2 4 3 3 5 7 4 3 2 5 5 6 6 8 7 7 5 5 8 9 8 En estos momentos casi la totalidad de la flota de camiones que tiene la empresa está ocupada atendiendo otros pedidos y, hasta que vuelvan, sólo se cuenta con un único vehículo con capacidad de peso de 15 toneladas, y el cual sólo se puede utilizar una vez. Formule un modelo matemático que le permita a la empresa decidir cuáles pedidos deberá transportar en el camión, de forma que se pueda maximizar la utilidad total por la entrega de los pedidos. Edificio Ad Portas Instituto Forum Problema de Asignación Cuatro trabajadores están disponibles para llevar a cabo 4 tareas. El tiempo que tarda cada trabajador para llevar a cabo cada tarea se muestra en la siguiente tabla: Tiempo (horas) Trabajador Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1 10 15 10 15 2 12 8 20 16 3 12 9 12 18 4 6 12 15 18 Formule un modelo matemático con el objetivo de asignar las tareas a los trabajadores minimizando el tiempo total requerido para realizar las tareas. Considere que un trabajador sólo puede hacer una tarea, y una tarea sólo puede ser realizada por un trabajador. Edificio Ad Portas Instituto Forum Problema de Cubrimiento de Conjuntos En la ciudad de Bogotá, se debe hacer la reasignación de Estaciones de Bomberos para las distintas Zonas de la ciudad. Cada zona debe estar cubierta por al menos una estación, pero no está restringido el número de Zonas que una Estación de Bomberos podrá atender. El Jefe General de Bomberos considera que actualmente existen muchas Estaciones de Bomberos en Bogotá, por lo cual desea minimizar el número de estaciones de tal manera que pueda redistribuir los recursos totales sólo a las estaciones que finalmente se van a dejar. En particular, no quiere que se tengan más de 8 estaciones en funcionamiento. Considerando que se tienen 20 Zonas en Bogotá y 10 estaciones de bomberos actualmente (ver Figura), formule un programa entero que permita definir qué estaciones se deberían dejar para cubrir toda la ciudad con el servicio de Bomberos y se minimice así la cantidad de estaciones necesarias. Considere que una estación de Bomberos sólo puede dar servicio a las zonas que estén colindando con ella misma. Edificio Ad Portas Instituto Forum Problema de Cubrimiento de Conjuntos Edificio Ad Portas Instituto Forum Problema de Localización de Planta Considere un conjunto de tres depósitos potenciales y un conjunto de cinco clientes que demandan un único producto en la siguientes cantidades: 80, 270, 250, 160 y 180, respectivamente. Suponga que hay un costo fijo asociado de $1000 por el uso de cada depósito, y un costo de transporte por cada unidad de producto que se envía desde un depósito a un cliente, como se establece en la siguiente tabla: C1 C2 C3 C4 C5 D1 4 5 6 8 10 D2 6 4 3 5 8 D3 9 7 4 3 4 Adicionalmente, cada depósito tiene una capacidad de transporte de 500 unidades de producto y cada cliente debe ser atendido por un único depósito. Formule un programa entero que permita determinar cuáles depósitos abrir y cuáles depósitos atienden a cuáles clientes, buscando cumplir la demanda de todos los clientes y minimizar los costos fijos y de transporte. 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