Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta Solucionario Actividades 1. La empresa Muebles del Norte ha vendido a D. Pedro Sánchez mercancías por importe de 6.000 €. Acuerda con el cliente que los pagos se realicen de la siguiente manera: 3.100 € dentro de un año y 3.100 € dentro de dos años, el interés que se aplica es compuesto anual. Representa gráficamente esta operación financiera determinando los elementos que la componen. Origen de la operación: año cero Final de la operación: año dos Duración de la operación: dos años Acreedor de la operación: Muebles del Norte Deudor de la Operación: Pedro Sánchez Condiciones de la operación: El interés aplicado es compuesto anual Ley Financiera: ley financiera de capitalización compuesta 2. Pon un ejemplo de una operación financiera de capitalización y otro ejemplo de una operación de descuento. Operación de capitalización: Un préstamo, ya que aquí se conoce el capital inicial y se tiene que calcular el final Operación de descuento: Descuento de una Letra, aquí se conoce el importe de la letra en un vencimiento futuro y se calcula el importe de la misma en el momento 0. 3. El capital final obtenido en una operación financiera a un interés simple del 5 % anual, durante nueve meses, fue de 2.801,25 €. ¿Cuál fue el capital inicial invertido? i12 = 0,05/12 = 0,00416666666 interés mensual C0 = 2.801,25 (1+ 9 · 0,00416666666) -1 = 2.700 € 1-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta 4. Sabemos que una inversión de 4.000 € ha producido un montante de 5.280 €. Si el interés aplicado a la operación fue del 8 % anual, ¿cuánto tiempo duró la inversión? 5.280 – 4.000 n = --------------------- = 4 años 4.0 0,08 5. Un capital de 10.000 € invertido durante 6 semestres produjo un montante de 10.700 €. ¿Qué tanto por ciento aplicó el banco a esta operación? 10.700 – 10.000 i 2= ------------------------- = 0,011666666 semestral 10.000 · 6 i = 2,33% anual 6. Calcula el montante que se obtiene al invertir un capital de 7.000 € durante dos años a los siguientes tipos de interés: a) 12 % anual; b) 6 % semestral; c) 3 % trimestral; d) 1 % mensual. Cn = C0 · (1 + n · i) a) 12% anual Cn = 7.000 · (1 + 2 · 0,12) = 8.680€ b) 6% semestral Cn = 7.000· (1 + 4 · 0,06) = 8.680€ c) 3% trimestral Cn = 7.000 · (1 + 8 · 0,03) = 8.680€ d) 1% mensual Cn = 7.000· (1 + 24 · 0,01) = 8.680€ Como se observa los tantos son equivalentes. 7. Una empresa lleva al banco para su descuento la siguiente remesa de efectos. El tanto aplicado a la operación es del 9,5 % simple anual, las comisiones son del 3 ‰ y los gastos fijos, de 8 €. Calcula el valor líquido de la negociación (año comercial). NOMINAL VENCIMIENTO 2-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD 1.450 € 35 días 975€ 90 días 2.525€ 120 días Capitalización simple y compuesta 1.450 ·35 + 975 · 90 + 2.525 · 120 D= ------------------------------------------------- =116,51 360/0.095 Comisión: 3/1.000 · 4.950 = 14,85 Valor Líquido = 4.950 – 116,51 – 14,85 – 8 = 4.810,64€ Solución: VE = 4.810,64 8. Un deudor tiene pendientes tres letras de 5.000, 6.000 y 8.000 €, que vencen dentro de 30, 60, 90 días respectivamente. Si el interés aplicado a la negociación es el 6 % simple anual, ¿en qué momento deberá sustituirlas sin que haya lesión de intereses en los siguientes casos?: a) por una letra única de 19.300 €. b) por una letra única de 19.000 €. c) Suponiendo que el pago se quiere realizar dentro de 50 días, determina la cuantía de la nueva letra. Nominal Vencimiento Nh · th 5.000 30 150.000 6.000 60 360.000 8.000 90 720.000 19.000 1.230.000 a) Vencimiento Común: N = 19.300 € 1.230.000 19.300 – 19.000 + -------------- · 360/0,06 360/0,06 t = -------------------------------------------------19.300 t = 157 días b) Vencimiento medio: N = 19.000 € 1.230.000 3-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta t = ------------- = 65 días 19.000 9. Una empresa compró el día 4 de diciembre una máquina por valor de 15.000 €, y se comprometió a pagarla mediante tres letras de igual cuantía, 5.000 €., con vencimiento en el 20 de enero, el 20 de febrero y 20 de marzo respectivamente. El día 10 de enero, viendo que no puede hacer frente a los pagos, pide al proveedor que sustituya las tres letras por una sola, con vencimiento el 12 de abril. Si el tanto de negociación es el 9% simple anual, determinar el valor de la nueva letra para que ambas propuestas sean financieramente equivalentes. Fecha operación: 4 de diciembre NOMINAL VENCIMIENT O Nh · th 5.000 47 dias 235.000 5.000 78 días 390.000 5.000 107 días 535.000 15.000 1.160.000 Valor nominal nueva letra: N Vencimiento: 130 días Df = 360/0,09 = 4.000 Se tiene que cumplir que E1 = E 2 N · 130 E1 = N - -----------------4.000 E1 = N – 0,0325N = 0,9675N 1.160.000 E2 = 15.000 - -------------- = 14.710 4.000 Hacemos la igualdad 0,9675N = 14.710 N = 15.204,13 € 10. Sabiendo que el descuento racional de un efecto descontado al 7 % de interés simple anual durante 30 días es de 160 €, determina el valor nominal de dicho efecto. 4-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta N · 0,07 · (30/365) 160 = --------------------------1 + 0,07 · (30/365) N = 27.969,52 € 11. Determina el valor final de un capital de 30.000 €, invertido durante 5 años, a los siguientes tipos de interés compuesto: a) 8 % anual; b) 4 % semestral. Cn = C0 (1 + i)n a) 8% anual n = 5 años Cn = 30.000 · (1 + 0,08)5 = 44.079,84 € b) 4% semestral nk = 10 semestres Cn = 30.000 · (1 + 0,04)10 = 44.407,33 € Como se puede observar no ocurre lo mismo que en capitalización simple. Los intereses no son equivalentes. 12. Considerando que los precios varían de acuerdo con el índice de precios al consumo (IPC), calcula dicho índice anual sabiendo que un artículo que costaba 4.000 € hace 8 años hoy cuesta 5.909,82 € En este caso calculamos el valor del % que ha aumentado el IPC i = (5.909,82/4.000) 1/8 – 1 = 0,05 IPC = 5 % anual 13. Un inversor dispone de 200.000 € para invertir durante 3 años y tiene tres ofertas: a) al 9 % capitalizable trimestralmente; b) al 9 % compuesto anual; c) al 3 % cuatrimestral. Averigua el orden de preferencia de las ofertas recibidas. Cn = C0 (1 + i)n a) J4 = 0,09 ; i4 = 0,09/4 = 0,0225 n = 3 x 4 = 12 trimestres Cn = 200.000 (1 + 0,0225)12 = 261.210 euros b) i = 0,09 5-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta n = 3 años Cn = 200.000 (1 + 0,09)3 = 259.005,8 euros c) i3 = 0,03 n = 3 x 3 = 9 cuatrimestres Cn = 200.000 (1 + 0,03)9 = 260.954,64 euros Las opciones por orden de preferencia para el inversor son: a), c) y b) Test de repaso 1. La misma cantidad de dinero vale menos en el futuro que hoy porque, esperar al futuro supone: a) Renunciar al consumo presente b) Renunciar a oportunidades de inversión c) a y b son ciertas d) a y b son falsas 2. En una operación financiera, la acción de capitalizar significa: a) Calcular el valor de Cn a partir de un capital inicial conocido C 0 b) Calcular el valor de C0 partiendo de un capital conocido Cn c) Calcular el valor del tiempo de la operación n, conocidos los valores de Co y Cn d) Calcular el valor del tipo de interés i, conocidos los valores de Co y Cn 3. El período comprendido entre el origen y final de la operación financiera se denomina: a) Origen de la operación b) Final de la operación c) Duración de la operación b) Ley financiera utilizada 4. El precio que debe pagar un deudor por unidad de capital y tiempo se conoce como: a) Cupón b) Tipo de interés c) Principal d) Amortización 6-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario 6 Operaciones financieras. UNIDAD Capitalización simple y compuesta 5. A diferencia del régimen de capitalización simple, en el régimen de capitalización compuesta: a) Se cobran intereses b) Se cobran intereses de forma continua c) El capital de devuelve al final de la operación d) Los intereses se acumulan sin pagar y generan nuevos intereses 6. Si el tipo de interés anual simple es del 3,25%: a) El interés simple semestral es de 1,625% b) El interés simple trimestral es de 0,83% c) El interés simple mensual es el 0,24% d) Todas la anteriores son correctas 7. En una operación de descuento bancario, ocurre que: a) Ingresamos en una entidad el nominal b) El banco nos descuenta un cheque y nos ingresa el efectivo c) El banco anticipa a un cliente el importe de un crédito aún no vencido d) El banco se compromete a cobrar los efectos a su vencimiento e ingresar el importe en la cuenta 8. La equivalencia financiera se produce cuando dos capitales: a) Son equivalentes en distintos momentos del tiempo b) Son equivalentes en el mismo momento del tiempo c) Dos capitales nunca pueden ser equivalentes d) Sólo pueden se equivalentes en el momento cero 9. Hablamos de vencimiento medio cuando el valor nominal de la nueva letra: a) Es superior a la suma de los nominales a sustituir b) Es inferior a la suma de los nominales a sustituir c) El igual a la suma de los nominales a sustituir d) Las tres anteriores son ciertas. 10. En las operaciones financieras a interés compuesto, a la hora de realizar los cálculos nunca se puede usar: a) El tanto efectivo 7-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta b) El tanto nominal c) El tanto equivalente d) Ninguno de los tres anteriores 11. Si el tipo de interés compuesto anual aplicable a una operación es del 2,5%, ¿Cuál es el valor presente de 10.000€ que se recibirán dentro de un año? a) 9.460,33 € b) 10.234,07 € c) 9.967,78 € d) 9.756,10 € 12. En las operaciones financieras, indica la respuesta correcta sobre el interés y el tiempo: a) Pueden ser unidades diferentes b) Depende de la operación financiera c) Siempre tienen que estar en la misma unidad d) Siempre tienen que ser anuales 13. En capitalización compuesta el tanto de interés fraccionado se calcula con la expresión: a) ik = (1 + i)k -1 b) ik = (1 + i) · k c) ik = (1 + i)1/k -1 d) ik = (1 + i·k) -1 Comprueba tu aprendizaje 1. La empresa Canarias Jeans desea comprar una nueva maquinaria para incrementar la producción. Para ello solicita un préstamo de 30.000€ al Banco de Fuerteventura que se compromete a devolver en tres pagos anuales iguales, siendo el interés aplicado del 6% compuesto anual. Representa gráficamente la operación financiera e identifica cada uno de los elementos de dicha operación. 8-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta Origen de la operación: año cero Final de la operación: año tres Duración de la operación: tres años n = 3 Acreedor de la operación: Banco de Fuerteventura Deudor de la Operación: Canarias jeans Condiciones de la operación: El interés aplicado es compuesto anual (6%) y el pago se hace en tres cuotas anuales constantes (a) El Capital inicial Ley Financiera: ley financiera de capitalización compuesta (C0 ): 30.000 euros 2. Tenemos un capital hoy y queremos conocer cuál será su valor dentro de n años aplicando a la operación un tanto de interés simple. ¿Estamos hablando de capitalización o de actualización simple? ¿Qué fórmula utilizarías para resolver este supuesto? Razona la respuesta. En este caso se habla de capitalización, ya que a partir de un capital conocido hoy se calcula el valor de un capital futuro. Para realizar el cálculo se usará la fórmula del capital final o montante: Cn = C0 · (1 + n ·i) 3. Calcula el montante alcanzado por un capital de 23.000€, colocado durante dos años y medio: a) a un interés del 6% simple anual b) a un interés del 6% compuesto anual Razona la respuesta a) 6% simple anual Cn = 23.000· (1 + 2.5 · 0,06) = 26.450 € b) 6% compuesto anual Cn = 23.000 · (1 + 0,06)2,5 = 26.606,79 € El montante calculado con capitalización compuesta es mayor ya que los interés se acumulan al capital y producen más intereses. 9-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta 4. ¿Qué capital se debe invertir hoy al 5% de interés simple anual para que su montante al cabo de 9 meses sea de 20.000 €? C0 = Cn · (1 + n · i) -1 i12 = 0,05/12 = 0,004166666666 C0 = 20.000 · (1 + 9 · 0,004166666666) -1 C0 = 19.277,11 € 5. Un estudiante ingresa en una cuenta de ahorro para sus estudios un capital de 2.000 €. Al cabo de tres años el estudiante recibe un montante de 2.600€. ¿Qué tanto por ciento de interés simple anual aplicó el banco a la operación?. Cn - C 0 i = ------------C0 · n 2.600 - 2.000 i = --------------------- = 0,1 ; i = 10% anual 2.000 · 3 6. Prestamos hoy 12.000€ al 10% simple anual. Al final de la operación nos devuelven 13.200 €. ¿Cuánto tiempo estuvo el capital prestado? Cn - C 0 n = ------------C0 · i 13.200 - 12.000 n = ---------------------- = 1 n = 1 año 12.000 · 0,10 7. Javier necesita un ordenador que cuesta 1.250 € y para ello acude a dos establecimientos que le proponen lo siguiente: Establecimiento Sofware, S. L.: pagar al contado 650 € y, dentro de tres meses, 618 €. Establecimiento Hardware, S. L.: pagar 300 € al contado, 400 € dentro de dos meses y 580,16 € dentro de cuatro meses. Teniendo en cuenta que el interés aplicado en ambas operaciones es del 12 % simple anual, ¿cuál de las dos opciones es más ventajosa para Javier? 10-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta · Establecimiento A: Valor del ordenador hoy Co = 650 + = 1.250€ · Establecimiento B: Valor del ordenador hoy Co = 300 + + = 1.250€ Financieramente las dos propuestas son iguales, por lo que sin tener en cuenta otras consideraciones, a Javier le será indiferente escoger cualquiera de las dos opciones. 8. Dos capitales, de los que se sabe que el segundo es doble del primero, se invierten de la siguiente manera: a) El primero al 0,75% mensual durante un año y medio. b) El segundo al 3,5% semestral durante el mismo tiempo. Sabiendo que el montante obtenido al final de la operación asciende a 16.725€, calcula el importe de los capitales invertidos. Capitalización Simple. Partimos de esta ecuación inicial 2 C1 = C2 Cn1 = C1 · ( 1 + 18 · 0,0075) = 1,135 C1 Cn2 = C2 · ( 1 + 3 · 0,035) = 1,105 C2 Se suman los dos montantes y se igualan al montante total sustituyendo C 2 por el valor de la ecuación inicial. Cn = 1,135 C1 + 1,105 · (2 C1) 16725 = 3,345 C1 C1 = 5.000 € Sustituyendo en la ecuación inicial C2 = 2 · 5.000 = 10.000 € 9. Una empresa compra una maquinaria que vale al contado 25.000€ y acuerda con el acreedor pagarlo del siguiente modo: En el momento de formalizar la venta, 6.000 € (lo llamaremos momento 0) Dentro de 6 meses, 10.000 € Dentro de un año 4.000€ El resto, al cabo de un año y medio de formalizar la operación. 11-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta Si el interés planteado por la empresa vendedora por aplazamiento es del 9% de interés simple anual, calcula el importe del último pago. Actividad de equivalencia financiera. Hay que igualar el valor del bien hoy, con los pagos futuros, teniendo en cuenta los intereses del aplazamiento. Se usará el factor de actualización. Calcularemos el valor de C0 de todos los pagos aplazados. 25.000 = 6.000 + 10.000 (1+ 6 · 0,09/12) -1 + + 4.000 (1 + 1 · 0,09)-1 + Cn (1 + 1,5 · 0,09)-1 25.000 = 19.239,10 + 0,8810572687 C n Cn = 6.538,62 € será el importe del último pago 10. El día 5 de octubre llevamos al banco para su descuento un efecto cuyo valor nominal es de 35.000€. La letra vence el 27 de enero año siguiente. El banco aplica a la operación de descuento un interés del 8% simple anual. Aparte cobra los siguientes gastos: Comisión 3%0 , gastos fijos 6€. Calcula el valor líquido de la negociación. Días de descuento: 114 35.000 · 114 D = ------------------- = 886,67€ 360/0,08 Comisión: 3%0 s/35.000 = 105€ Gastos fijos 6 € VL = 35.000 – 886,67 – 105 – 6 = 34.002,33€ 11. Llevamos al banco para su descuento la remesa de efectos que se indica en la tabla que se muestra a continuación. El tanto aplicado a la operación es del 9,5% simple anual, las comisiones son del 3 ‰ y los gastos fijos, de 8 €. Calcula el valor efectivo de la negociación en un año comercial. 1.425 · 35 + 975 · 90 + 2.525 · 120 D = --------------------------------------------- = 116,28€ 360/0,095 Comisión: 3%0 s/ 4.925 = 14,78€ Gastos fijos: 8€ 12-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta VL: 4.925 – 116,28 – 14,78 – 8 = 4.785,94 € 12. Las condiciones de un banco para la negociación de una remesa de efectos son las siguientes: Interés de descuento: 9% simple anual. Comisiones: o 4%0 para efectos domiciliados, mínimo 9 € o 7%0 para efectos no domiciliados, mínimo 12 € o Si el período de negociación es superior a 90 días, se cobrará el doble de la comisión. Teniendo en cuenta estas condiciones, calcula el líquido de la siguiente remesa: 6.700 · 22 + 12.500 · 45 + 8.400 · 90 + 15.000 · 120 D = --------------------------------------------------------360/0,09 D = 816,48€ Comisión: · 4%0 S/ 6.700 = 26,8 € · 7%0 S/(12.500+8.400) = 146,30 € · 8% S/ 15.000 = 120 € Total comisiones: 293,10 VL = 42.600 - 816,48 – 293,10 = 41.490,42 € 13. Una letra de 15.000€ que vencía el 15 de febrero, se sustituye por otra que vence el 5 de marzo. Si el tanto de descuento es el 9,5% simple anual, ¿cuál será el valor de la nueva letra si ambas dan el mismo valor efectivo si las negociamos el 20 de diciembre? 15.000 · 57 E1 = 15.000 - -------------------- = 14.774,38 € 360/0,095 E1 = E2 N · 75 14.774,38 = N - ----------------- 13-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta 360/0,095 N = 15.072,70 €nominal de la nueva letra 14. Calcula el valor efectivo de un efecto de 5.500€, con vencimiento en 60 días, interés 8,5% simple anual, usando: a) Descuento comercial b) Descuento racional Razona la respuesta a) Descuento comercial 5.500 · 60 E1 = 5.500 - ---------------- = 5.422,08 € 360/0,085 E1 = 5.422,08 € b) Descuento racional 5.500 · 0,085 · (60/365) E2 = 5.500 - ------------------------------- = 5.424,21 € 1 + 0,085 · (60/365) E2 = 5.424,21 € Como se observa, los valores efectivos son distintos. Usando el descuento racional nos da un valor efectivo superior. 15. Queremos sustituir la relación de efectos que se indica en la tabla que se muestra a continuación por los siguientes casos: a) Un efecto de valor nominal 2.120€ b) Un efecto de valor nominal 2.350 € Sabiendo que el interés aplicado es del 10,5% anual, determina el vencimiento del efecto en ambos casos para que no exista lesión de intereses. a) Vencimiento medio: N = 2.120 € 450 · 30 + 700 · 60 + 970 · 90 14-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta t = ----------------------------------------- = 67 días 2.120 b) Vencimiento medio: 2.350 € 142.800 (2.350 – 2.120 + ------------------ ) · 360/0,105 360/0,105 t = ---------------------------------------------------------2.350 t = 396 días 16. Calcula el sueldo mensual que percibía un trabajador hace 10 años, si hoy cobra 2.100 € mensuales y la tasa de aumento de sueldo es el 5% anual acumulativo. Capitalización compuesta. Se trata de calcular C0 donde el interés es el aumento acumulativo anual C0 = 2.100 · (1+0,05)-10 = 1.289,22€ cobraba hace 10 años. 17. Calcular el valor que tiene hoy de un fondo de inversiones que se realizó hace 5 años y 4 meses por importe de 6.000€, sabiendo que los intereses aplicados han sido del 7% compuesto anual. i =(1+0,07)1/12 –1 = 0,005654145387 12 n = (5 ·12) + 4 = 64 meses Cn = 6.000 · (1 + 0,005654145387)64 Cn = 8.607,26 € 18. Calcula los siguientes tantos equivalentes correspondientes al 8% anual: a) Trimestral, b) Semestral, c) Mensual, d) Cuatrimestral. a) i 4=(1+0,08)1/4 –1 = 0,01942654691 b) i 2=(1+0,08)1/2 –1 = 0,03923048454 c) i d) i 3=(1+0,08)1/3 –1 = 0,02598556801 =(1+0,08)1/12 –1 = 0,00643403011 12 19. Ruth abrió una cuenta de ahorros hace 5 años con 10.000 € de una herencia que 15-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta recibió, para pagar sus estudios universitarios. Actualmente la cuenta arroja un saldo de 14.356€. ¿Qué tanto por ciento de interés compuesto anual le aplicaron a la cuenta? i = (Cn/C0)1/n – 1 i = (14.356,29/10.000)1/5 – 1 i = 7,5% anual 20. Disponemos de cierto capital que decidimos invertir de la siguiente manera : Su cuarta parte al 7,5% de interés compuesto anual El resto al 9% nominal capitalizable trimestralmente. Sabiendo que al cabo de 6 años el montante total obtenido es de 66.606 €, determina el valor del capital invertido. 1/4C0 al 7,5% anual, n = 6 años 3/4C0 al 2,25% trimestral, n = 24 trimestres 66.606 = 1/4C0 · (1+ 0,075)6 + 3/4 C0 · (1+0,0225)24 66.606 = 0,3858253814 C0 + 1,279324932 C0 66.606 = 1,665150313 C0 C0 = 40.000 € 21. Una empresa tiene dos deudas con su proveedor de 15.000 y 25.000€ que vencen dentro de 12 y 18 meses respectivamente. La empresa le propone al proveedor cancelar las dos deudas hoy. Si el tipo de interés del mercado para este tipo de operaciones es el 6% compuesto anual, ¿qué importe debe pagar hoy la empresa al proveedor para que no se produzca lesión de intereses? Lo primero será poner el tiempo y el interés en la misma unidad temporal. Como el tiempo viene expresado en meses calcularemos el tanto equivalente mensual. i12 = (1+ 0,06)1/12 – 1 i12 = 0,004867551 Para que ambas operaciones sean equivalentes hay que valorarlas en el mismo momento del tiempo. Lo haremos en el momento 0 que es cuando quiere cancelar las deudas. Por lo tanto el valor en 0 de las dos deudas será lo que tenga que pagar. C0 = 25.000 · ( 1 + 0,004867551)-18 + 15.000 · (1 + 0,004867551)-12 Co = 37.058,63€ 22. La Sra. Alicia tiene una deuda de 8.000€ que tiene que pagar hoy al banco. La Sra. Alicia le propone al banco pagar la deuda de la siguiente manera: 16-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta Si el banco le cobra por el aplazamiento un interés del 12% nominal convertible mensualmente, ¿qué importe debe pagar la Sra. Alicia a los nueve meses para que el banco acepte la propuesta? Lo primero que hay que hacer es calcular el interés efectivo mensual a partir del tanto nominal que nos da el problema. iK = JK / k i12 = 0,12 / 12 i12 = 0,01 tanto equivalente mensual Hay que valorar los tres pagos aplazados en el momento 0, e igualarlos al importe de la deuda en el momento 0 que es 8.000€ 8.000 = 2.700 (1+0,01)-3 + 2.700 (1+0,01)-6 + X (1 + 0,01)-9 8.000 = 2.620,593399 +2.543,522135 + 0,9143398242 · X x = 3.101,57€ 23. Una sociedad de inversión inmobiliaria se plantea dos alternativas de inversión: a) Comprar unos terrenos que le suponen los siguientes desembolsos: 10.000€ al contado, 20.000€ dentro de un año y 40.000 € dentro de tres años. b) Comprar unos locales comerciales cuya forma de pago es la siguiente: 5.000€ al contado, 25.000 € dentro de dos años y 50.000 € dentro de cinco años. Si el tipo de interés del mercado es del 10% efectivo anual, ¿cuál de las dos inversiones le cuesta menos a la sociedad? Para tener una visión exacta de coste de las inversiones hay que valorarlas en el mismo momento del tiempo. En este caso se valorarán en el momento 0 Como el tiempo y el tanto están en la misma unidad temporal, procedemos a la resolución a) C0 = 10.000 + 20.000 · (1+0,1)-1 + 40.000 · (1+0,1)-3 C0 = 58.234,41€ b) C0 = 5.000 + 25.000 . (1+0,1)-2 + 50.000 · (1+0,1)-5 C0 = 56.707,22 € La inversión que cuesta menos es la b) 24. El Sr. Alejandro colocó 120.000 € en un banco. El interés que le ofrece el banco es el siguiente: 3,5 % capitalizable semestralmente durante los dos primeros años 4,5% compuesto anual los tres años siguientes 17-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario Operaciones financieras. 6 UNIDAD Capitalización simple y compuesta 1% trimestral durante los últimos cuatro años ¿A cuánto asciende el montante de la cuenta del Sr. Alejandro al final de los nueve años? Calcular el valor final Primero se igualarán el tiempo y el interés de cada período. · i2 = 0,035/2 = 0,0175; n = 2 · 2 = 4 semestres · i = 0,045; n = 3 años · i4 = 0,01; n = 4 · 4 = 16 trimestres Cn = 120.000 · (1+ 0,0175)4 · (1+ 0,045)3 · (1+0,01)16 Cn = 172.111,45€ asciende el montante al cabo de 9 años 25. Un padre que tiene tres hijos de 9, 12 y 15 años deposita hoy a nombre de cada uno 100.000 € en una institución financiera al 8% de interés compuesto anual. Calcula cuánto cobrará cada uno cuando cumplan los 25 años. - 9 años Cn = 100.000 · (1 + 0,08)16 = 342.594,26 € - 12 años Cn = 100.000 · (1 + 0,08)13 = 271.962,37 € - 15 años Cn = 100.000 · (1 + 0,08)10 = 215892,50 € 26. Halla el tiempo durante el que se invirtió un capital de 50.000 € al 7% nominal capitalizable semestralmente, sabiendo que alcanzó un montante de 78.197,80€. i2 = 0,07/2 = 0,035 Log(Cn/C0) n = ---------------log (1+i) Log(78.197,80/50.000) n = -------------------------------- = 13 semestres log (1+0,035) n = 13 semestres 18-1 | © Mcgraw-Hill Education PIAC. Solucionario