1 Rectas y segmentos Identificando las avenidas y calles de tu ciudad Pablo quiere conocer los diferentes museos de la ciudad, para ello imprime un mapa del Centro de Lima con las señales de su ubicación, ¿podrá recorrer todos los museos en un día? VALORES Y ACTITUDES RAZONANDO... Valoración de lo nuestro Menciona dos avenidas paralelas. ¿Qué calles son secantes a la Av. Nicolás ¿Consideras importantes a nuestros antepasados? de Piérola? Menciona dos calles y dos avenidas se- cantes. Menciona dos avenidas consecutivas. Geometría Matematica.indb 228 228 ¿Qué aprenderemos en esta unidad? Identifica y representa puntos, rectas, planos, rayos y segmentos. 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:07 a.m. rectas y segmentos Denominamos figura geométrica a la abstracción que se obtiene de la forma de un objeto real o inexistente, cuando nos referimos a inexistentes mencionamos los casos del punto, la recta, el plano, la bisectriz, etc., figuras que, sin embargo, podemos representar. Recta Es el conjunto de puntos que tiene la misma dirección y es limitada en sentidos opuestos. L1 B A ten en cuenta… I. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Paralelas L1 secantes L1 L1 90° L2 L2 L2 L1 // L2 notación de una recta Una recta se denota con: • Una letra minúscula: m, r, s, etc. m Oblicuas: L1 ⊥ L2 m Perpendiculares: • L1 ⊥ L2 Las rectas paralelas no Las rectas secantes tienen un punto en común tienen ningún y pueden ser oblicuas o perpendiculares. punto en común. Dos puntos que pertenecen a una recta. A B AB II. SUBCONJUNTOS DE LA RECTA Rayo segmento Es una porción de la recta que tiene su punto de origen, pero no fin. Es la porción de la recta comprendida entre dos puntos A y B. Notación: OA O • A Notación: OA Se lee: Rayo OA Punto medio de un segmento Es el punto que divide al segmento en dos segmentos parciales de igual longitud o medida. Veamos la figura: Sea “M” Punto medio del AB. a A geometrÍa Matematica.indb 229 B Se lee: Segmento OA A a M 229 B 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:07:08 a.m. rectas y segmentos • Segmentos consecutivos Dos o más segmentos son consecutivos, cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo común. Si los segmentos consecutivos están contenidos en una misma recta, se llaman segmentos colineales, y si no están contenidos en una misma recta, se llama poligonal. A B C D E dato… ejemplo 1 Traza las rectas paralelas s y t. Trazamos rectas que no tienen punto de intersección: t Sabías que las esquinas del techo de una habitación y la pared forman rectas perpendiculares. t // s s Trazamos rectas con infinitos puntos de intersección: t s Rectas coincidentes ejemplo 2 Traza las rectas secantes p y q. Trazamos rectas con infinitos puntos de intersección: p q p⊥q Trazamos rectas con infinitos puntos de intersección: p Recuerda… p⊥q q ejemplo 3 ¿Cuántos segmentos hay en total? A B C Los puntos resaltantes en la recta o segmento siempre se escriben con mayúscula: A, B, C, … ejemplo 4 Julián dibuja una recta que pasa por los puntos alineados A, B y C Dichos puntos permiten identificar rayos y segmentos. D Identificamos la cantidad de segmentos se- gún los espacios: ● 1 espacio entre dos puntos: AB, BC, CD → 3 segmentos ● 2 espacios entre dos puntos: AC, BD → 2 segmentos ● 3 espacios entre dos puntos: AD → 1 segmento Sumamos la cantidad de segmentos: 3+2+1=6 Hay 6 segmentos en total. geometrÍa Matematica.indb 230 230 A B C Identificamos los rayos: OA, BC, AC, CA Se identifican 4 rayos. Identificamos los segmentos: AB, BC, AC Se identifican 3 segmentos. A B C 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:07:09 a.m. Rectas y segmentos Verificando el Aprendizaje 5. ¿Qué avenida es paralela al Jr. Tacna? _______________________________________ Nivel Básico Marca la alternativa según corresponda. 1. El rayo: a) Conjunto de puntos que tiene la misma dirección y es limitada en sentidos opuestos. b) Porción de la recta que tiene su punto de origen, pero no fin. c) Una parte de la recta que tiene inicio y fin. d) Divide al ángulo en dos ángulos iguales. 2. El segmento se define como: a) Porción de la recta que tiene inicio, pero no fin. b) Porción de la recta comprendida entre dos puntos. c) Conjunto de puntos que tiene la misma dirección. d) Rectas que no tienen ningún punto en común. 6. ¿Cómo son entre sí el Jr. Cuzco y la Av. Antonio José de Sucre? _______________________________________ 7. ¿Cómo son entre sí las Av. José Gálvez y el Jr. San Martín? _______________________________________ 8. Nombra avenidas que son secantes entre sí. _______________________________________ Nivel Avanzado 9. ¿Cuántos segmentos hay en la figura? 3. Dos rectas perpendiculares siempre forman: a) Un ángulo de 80° c) Un ángulo de 100° b) Un ángulo de 120° d) Un ángulo de 90° 4. Dos rectas secantes pueden ser: a) Perpendiculares b) Paralelas c) Oblicuas o perpendiculares d) Alabeadas 10. Traza la recta t y ubica en ella los puntos consecutivos A, B, C, D y E. ¿Cuántos segmentos puedes contar? Nivel Intermedio Javier se encuentra en la Jr. Tacna y un volantero le reparte un mapa. Geometría Matematica.indb 231 231 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:10 a.m. 2 Adición y sustracción de segmentos ¿Construirías tu propia casa? Alexander decide construir su propia casa, para ello decide pedir un préstamo al banco para comprar los materiales que necesita y así empezar la construcción de su casa. Uno de sus primos se compromete a ayudarlo, para acabar a fin de año. 140 cm 210 cm VALORES Y ACTITUDES RAZONANDO... Valoración de tu propio trabajo ¿Cómo son los segmentos entre ladrillo y ¿Consideras más importante el trabajo hecho por ti mismo? teado en la imagen? Si la longitud de la pared mide 210 cm y ha completado con 4 ladrillos, donde cada uno mide 35 cm. ¿Cuántos ladrillos le faltarían para completar la longitud del ancho de la pared? Geometría Matematica.indb 244 ladrillo?, ¿se llegan a intersectar? ¿Qué valor tiene x en el problema plan- 244 ¿Qué aprenderemos en esta unidad? Vincula procesos matemáticos al resolver operaciones con longitudes de segmentos. 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:23 a.m. Adición y sustracción de segmentos ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE SEGMENTOS Ten en cuenta… Las operaciones de adición y sustracción de segmentos se llevan a cabo con las medidas de las figuras, es decir, de los segmentos. I.Adición a b A Recuerda… C B x Punto medio de un segmento Es el punto que divide al segmento en dos segmentos de igual medida. Entonces: AC =AB +BC o x = a + b II.Sustracción a b A Notación de la medida de un segmento Se denota la medida o longitud de un segmento con AB = 5 cm. A C B x M B mAM = mMB Entonces: BC = AC – AB o b = x – a Ejemplo 1 En la figura, AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 5 cm. Calcula AD. A B C D Lo que se pide es AD, que es igual a la suma de las longitudes del segmento AB, BC y CD, es decir: AD = AB + BC + CD AD = 2 + 3 + 5 AD = 10 Ejemplo 3 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos AB BC CD A, B, C y D. Calcula BC si = = y 2 3 4 AD = 36 cm. AB BC CD Expresamos = = = k así: AB = 2x; 2 3 4 BC = 3x; CD = 4x. Graficamos y ubicamos los datos: 36 A Ejemplo 2 Sobre el segmento LP, se ubica el punto medio O. Si LO = 4x – 5 y OP = 2x + 3, calcula LP. (Las medidas están expresadas en centímetros). 2x B 3x C 4x D Planteamos la ecuación y resolvemos: 2x + 3x + 4x = 36 → x = 4 Calculamos BC: BC = 3x → BC = 3(4) → BC = 12 cm. Graficamos según los datos. 4x – 5 L 2x + 3 O Ejemplo 4 Halla la medida del segmento BC. P 40 Como O es punto medio LP, se cumple que LO ≅ OP. 4x – 5 = 2 x + 3 → 2x = 8 → x = 4 A 2x Calculamos uno de los segmentos: LO = 4(4) – 5 → LO = OP = 11 Por lo tanto, LP mide 11 + 11 = 22 cm. Geometría Matematica.indb 245 B 30 x C 15 4x 10 D De la figura, se deduce que: x =15 – 10 = 5. 245 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:24 a.m. Adición y sustracción de segmentos Verificando el Aprendizaje 6. En una recta, se marcan los puntos consecutivos A, B, C tal que AB = x y BC = 2x, AC = 18. Calcula: x. Nivel Básico Marca la alternativa según corresponda. 1. En la figura C es punto medio de BD · AB = 2 cm, CD = 3 cm. Calcula: AD. A a) 8 b) 3 B C c) 5 d) 6 D Rpta.: __________________________________ 7. Los puntos consecutivos A, B, C y D se encuentran en una línea recta, de modo que AB = 6, BC = 5, CD = 8; se toman los puntos medios M del segmento AB , y N del segmento CD. Calcula: MN. 2. De la figura, si «M» es punto medio de PQ, Calcula PQ. a+5 13 – a P a) 10 b) 13 Rpta.: __________________________________ 8. Los puntos A, B, C, D se encuentran sobre una línea recta, de modo que BC = 5, AC + BD = 20. Calcula: AD. D M c) 18 d) 26 3. De la figura, calcula AC. 13 + 7a A 7 – 7a B a) 14 b) 17 c) 18 d) 20 Nivel Avanzado C 9. De acuerdo a la figura, relaciona correctamente los datos de ambas columnas. x + 10 A 4. De la figura, calcular CD. 2 a) x b) AB – BM c) AB d) BM ∪ MC 8 A B a) 5 b) 6 C 17 D c) 9 d) 7 x+5 B 9–x M ( ( ( ( ) ) ) ) C 12 5 2 BC 10. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos AB BC CD A, B, C y D. Calcula AB + CD si = = y 3 5 2 AD = 40 cm. Nivel Intermedio 5. De la figura «C» es punto medio de AE , y «B» es punto medio del AC, AE = 20, calcula BC. A B C D E Rpta.: __________________________________ Geometría Matematica.indb 246 246 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:24 a.m. 3 Medidas de Ángulos El ángulo de inclinación más conocido La madre de María le mandó una postal mostrando una foto que se tomó con su primo en el viaje que realizó, lo más gracioso es que la torre que vieron estaba inclinada y se retrataron como si sostuviesen aquello… VALORES Y ACTITUDES RAZONANDO... Valoración de lo nuestro ¿Podrías medir el ángulo que se muestra ¿Consideras importante conocer la cultura de otros países? Si suponemos que el ángulo tiene una Geometría Matematica.indb 258 en la foto? ¿Cuánto es su valor? medida de 78° 36’, ¿su doble sería? ¿Conoces otros lugares en donde encuentres edificios inclinados? Menciona uno. 258 ¿Qué aprenderemos esta semana? Emplea estrategias para calcular la suma y diferencia de ángulos en el sistema sexagesimal. 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:32 a.m. medidas de Ángulos Cada vez que hacemos girar un objeto estamos generando un ángulo, así, por ejemplo, cuando abrimos o cerramos una puerta, el movimiento de las agujas de un reloj, el movimiento de nuestros brazos, etc. Así mismo, encontramos ángulos prácticamente en todo lo que nos rodea: los marcos de las ventanas, nuestra posición al sentarnos, las esquinas de una habitación, etc. El descubrimiento de los ángulos y su importancia data ya de miles de años y nos permite hasta el día de hoy resolver problemas técnicos como la localización de aviones con el radar o estudiar fenómenos naturales como el movimiento de los astros. ángulo Es aquella figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen. A dichos rayos se les denomina lados y al origen común vértice del ángulo. La principal característica de un ángulo es su abertura, es decir, la forma cómo se encuentran separados sus lados. i. mEdida dE un ángulo Recuerda… Vértice: O Rayos: OA y OB Ángulo AOB: ∠AOB, AOB, O Medida del ángulo AOB: mAOB = a La unidad de medida del ángulo es el grado (°), que es la unidad principal del sistema sexagesimal. Para medir ángulos con más precisión, se utilizan unidades menores que el grado: el minuto (’) y el segundo (’’). 1° = 60’ y 1’ = 60’’ Por lo tanto: 1° = 3600’’ Ejemplo 1 Realiza las siguientes conversiones: a) 16,4° a minutos: 16,4 · 60 = 984’ b) 21’ a segundos: 21 · 60 = 1260’’ c) 300’ a grados: 300 ÷ 60 = 5° d) 120’’ a grados: 120 ÷ 3600 = 0,033° ii. adición Y susTRacción dE ángulos Para sumar o restar medidas angulares, se colocan por separado los grados, los minutos y los segundos. Ejemplo 2 Calcula el resultado de 30° 15’ 3’’ – 28° 39’ 50’’. solución Como los minutos y segundos del minuendo son menores que los del sustraendo, realizamos conversiones en el minuendo para poder restar: 39° = 29° + 1 = 29° + 60’ 30° 15’ 3’’ – 28° 39’ 50’’ 75°’ = 74’ + 1’ = 74’ + 60’’ 29° 75’ 3’’ – 28° 39’ 50’’ 29° 74’ 63’’ – 28° 39’ 50’’ importante… Conversión de ángulos × 3 600 × 60 grado × 60 minuto ÷ 60 segundo ÷ 60 ÷ 3 600 1° 35’ 13’’ El resultado es 1° 35’ 13’’. geometrÍa Matematica.indb 259 259 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:07:32 a.m. medidas de Ángulos Ten en cuenta… Ejemplo 3 Expresa los siguientes ángulos en las unidades que se indican. a) 34° en minutos: 34 · 60 = 2040’ b) 648’’ en grados: 648’’ = 648 ÷ 3600 = 0,18° c) 24’ en segundos: 24’ = 24 · 60 = 1440’’ d) 900’’ en minutos: 900’’ = 900 ÷ 60 = 15’ Expresión de un ángulo Un ángulo se puede expresar de dos formas: Incompleja: 42,5° Compleja: 42° 30’ Ejemplo 4 ¿Cuántos grados y minutos hay en 42,5°? solución Descomponemos: 42,5° = 42° + 0,5° = 42° + 0,5 · 60’ = 42° + 30’ En 42,5° hay 42° 30’. Ejemplo 5 Un ángulo mide 2° 4’ 55’’. ¿A cuántos segundos equivale dicha medida? solución Transformamos cada una de las unidades en segundos: 2° → 2 · 3600’’ = 7200’’ 4’ → 4 · 60’’ = 240’’ Sumamos los segundos: 7200’’ + 240’’ + 55’’ = 7495’’ Verificando el aprendizaje 4. ¿La quinta parte de 132° es? a) 26° 30’ b) 26° 42’ c) 26°46’ d) 26° 24’ Nivel Básico 1. ¿Cuál es el doble del ángulo 30° 30’? a) 60° c) 62° b) 61° d) 63° 2. ¿A qué es igual el doble del ángulo 28° 10’ 20’’? a) 56° b)56° 20’ 30’’ c) 56° 20’ 35’ d) 56° 20’ 40’ Nivel Intermedio 5. Determinar la medida del ángulo AOB, si m∠AOC = 140°, m∠BOC = 80°. 3. Si: a = 145° 30’ b = 48° 45’ 30’’ Calcular: a – b. a) 96° 30’ 44’’ b) 96° 44’ 30’’ c) 96° 34’ 44’’ d) 69° 44’ 30’’ geometrÍa Matematica.indb 260 B A O C Rpta.: __________________________________ 260 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:07:33 a.m. Medidas de Ángulos 6. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC? Nivel Avanzado B 9. El triple de 23° 30’ 12’’ más el doble de 120° 32’ 45’’ es: 77 °4 9’ 28 ’’ C O 52° 45’ 52’’ A Rpta.: __________________________________ 7. Si AOC = 80° 15’ 3’’, ¿cuál es la medida del ángulo AOB? 32 °3 8’ 40 ’’ C O x B A Rpta.: __________________________________ 8. Mide los ángulos con el transportador. 10. Multiplicar: 25° 30’ 2’’ por 5. C B A Rpta.: __________________________________ P Q R Rpta.: __________________________________ Geometría Matematica.indb 261 261 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:34 a.m. 4 Bisectriz de un ángulo Cortamos una pizza Seis amigos estaban comiendo una pizza artesanal, hasta que llegaron dos amigos más a la reunión y solo les quedaba las tajadas que muestra la imagen. ¿Qué tendrían que hacer con las tajadas que tienen para compartir la pizza entre todos? 60° VALORES Y ACTITUDES Valoración de la comida artesanal ¿Cuáles son los beneficios de consumir comida artesanal? Geometría Matematica.indb 275 RAZONANDO... ¿Qué se tendría que trazar en cada tajada de pizza para que estas alcancen para 8 personas? Si cada pizza tiene un ángulo de 60°, ¿qué ángulo tendrán las nuevas tajadas de pizza? Si al dividir en dos partes iguales una tajada de pizza, se obtienen los siguientes ángulos: (3x – 6°) y (2x + 6°), ¿cuánto tendría que valer «x»? 275 ¿Qué aprenderemos hoy? Aprenderemos a interpretar y trazar la bisectriz de un ángulo. 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:42 a.m. bisectriz de un Ángulo Cada vez que hacemos girar un objeto estamos generando un ángulo. Así, por ejemplo, cuando abrimos o cerramos una puerta, el movimiento de las agujas de un reloj, el movimiento de nuestros brazos, etc. Así mismo, encontramos ángulos prácticamente en todo lo que nos rodea: los marcos de las ventanas, nuestra posición al sentarnos, las esquinas de una habitación, etc. La bisectriz es aquel rayo ubicado en la región interior del ángulo, cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con sus lados, ángulos de igual medida. A P a a O B En la figura OP es la bisectriz del ángulo AOB. Entonces mAOP = mPOB mAOP = mPOB = mPOB 2 Ejemplo 1 El rayo OF es bisectriz del ángulo AOB de la figura. Calcular el valor de «x». solución B F 2x + 70° 4x + 68° O A Debemos calcular el valor de «x». Igualaremos los ángulos generados por la bisectriz. 2x + 70 = 4x + 68° 2° = 2x 1° = x Ejemplo 2 En los ángulos consecutivos AOB y BOC de la figura, se cumple que m∠AOB = 50° y m∠BOC = 30° se traza la bisectriz OF del ángulo AOB. Calcular m∠FOC. solución F A O 25° 25° 30° B C Debemos calcular la m∠FOC. Calculamos la medida de los ángulos generados por la bisectriz, luego sumaremos la medida del ángulo FOB con la medida del ángulo BOC. m∠FOC = 25° + 30° = 55° geometrÍa Matematica.indb 276 276 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:07:43 a.m. Bisectriz de un ángulo Verificando el Aprendizaje Nivel Básico Nivel Intermedio 1. Calcula la m∠NOC, si ON es bisectriz del ∠DOC. B 5. Si ON es bisectriz del AOB, da como respuesta x . 2x O C N a) 40° c) 60° b) 50° d) 30° 2. Calcula “x”, si OM es bisectriz del ángulo AOB. regular? M A O 60° a) 30° c) 10° b 20° d) 15° L E B C x 7. Si OB es bisectriz del ángulo AOM, calcula el valor de «x». A 56° O c) 66º b) 68º d) 70º 40° O C a) 64º A 25° O N x B es bisectriz del AOE. 3. Si ON es bisectriz del ∠BOC. Calcula «x». B 5x – 27 6. Del gráfico, calcula la medida del ángulo x, si OB B 4x N A 100° O B x C M 4. Calcula «x». 8. En la figura, calcula la medida del ángulo BOD. A O OM = Bisectriz x + 20° 3x A M B a) 5° c) 10° b) 15° d) 30° Geometría Matematica.indb 277 O 277 B b b a a D E 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:43 a.m. Bisectriz de un ángulo 10. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 20° y 30°, respectivamente. Se traza OM, bisectriz del ángulo AOC, determina la medida del ángulo BOM. Nivel Avanzado 9. Calcula m∠BOD del gráfico. A 100° a a O B C D Geometría Matematica.indb 278 278 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:43 a.m. 5 Ángulos según su medida La piedra de los doce ángulos Los primos Milagros y Pedro viajan juntos a Cuzco y lo primero que quieren conocer es la piedra de los doce ángulos, en ella identifican diferentes ángulos aprendidos en el colegio… VALORES Y ACTITUDES RAZONANDO... Valoración de lo nuestro ¿Podrías identificar cada ángulo visto en ¿Consideras importante conocer nuestra propia cultura y antepasado? ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura Geometría Matematica.indb 292 la figura? Menciona. de la piedra? ¿Cuántos ángulos rectos hay en la figura? ¿Cuántos ángulos obtusos hay en la figura? 292 ¿Qué aprenderemos esta semana? Identifica y clasifica ángulos según su medida. 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:54 a.m. Ángulos según su medida Cada vez que hacemos girar un objeto, estamos generando un ángulo. Así, por ejemplo, cuando abrimos o cerramos una puerta, el movimiento de las agujas de un reloj, el movimiento de nuestros brazos, etc. Así mismo, encontramos ángulos prácticamente en todo lo que nos rodea: los marcos de las ventanas, nuestra posición al sentarnos, las esquinas de una habitación, etc. El descubrimiento de los ángulos y su importancia data ya de miles de años y nos permite hasta el día de hoy resolver problemas técnicos como la localización de aviones con el radar o estudiar fenómenos naturales, como el movimiento de los astros. Dependiendo del tamaño de la abertura, los ángulos pueden ser: recuerda… ánguLos segÚn su Medida B Los ángulos según su medida se clasifican de la siguiente manera: ángulo recto a ángulo obtuso b = 90° Mide entre 0° y 90° ángulo llano Mide 90° 90° < q < 180° Mide entre 90° y 180° ángulo de una vuelta d d = 180° ángulo nulo j w j = 360° w = 0° ejemplo 1 Clasifica los ángulos según su medida. Ayúdate con un transportador. ejemplo 2 Calcula la medida de POR y ROQ. solución Q O solución Agudos: AOB, BOC, COD, DOE, AOC, BO D y COE. Recto: AOD Obtusos: AOE y BOE. geometrÍa Matematica.indb 293 a A Vértice: O Rayos: OA y OB Ángulo AOB: ∠AOB, AOB, O Medida del ángulo AOB: mAOB = a q b 0° < a < 90° Vértice O 2x – 10° ángulo agudo R 3x + 20° P Ambos ángulos suman 90°. Planteamos la ecuación: mPOR + mROQ = 90° (3x + 20°) + (2x – 10°) = 90° 5x + 10° = 90° 5x = 80° → x = 16° Calculamos la medida de cada ángulo: mPOR = 3x + 20° = 3(16°) + 20° = 68° mROQ = 2x – 10° = 2(16°) – 10° = 22° 293 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:07:56 a.m. Ángulos según su medida recuerda… ejemplo 3 Calcula el valor de «x». 75° x ángulos Para nombrar las medidas de los ángulos, generalmente se utilizan las letras griegas. a: alfa b: beta q: theta d: delta Ω: omega 85° solución Los ángulos conforman un ángulo llano. 75° + x + 85° = 180° x + 160° = 180° x = 20° ejemplo 4 Calcula el valor de «x». 70° 40° x solución Los ángulos conforman un ángulo agudo de 70°. 40° + x = 70° x = 30° Verificando el aprendizaje Nivel Básico 3. Calcula el valor de «x». 1. Calcula el valor de «x». 120° x 65° a) 15° b) 25° c) 35° d) 30° 2. Calcula el valor de «x». a) 50° c) 60° b) 45° d) 70° 4. Calcula el valor de «x». 130° 55° a) 60° b) 65° geometrÍa Matematica.indb 294 x 2x 3x x c) 70° d) 75° 294 4x a) 10° c) 15° b) 20° d) 30° 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:07:56 a.m. Ángulos según su medida 8. Calcula el valor de «x» en la figura. Nivel Intermedio 5. Si m∠AOB = 160°; m∠COD = 40° y m∠DOB = 50°, ¿cuánto mide el ángulo AOC? R C A x O 25° O Q Rpta.: __________________________________ D x 75° Nivel Avanzado B Rpta.: __________________________________ 9. Calcula el valor de «x», si la m∠AOD = 150°. B 6. Calcula el valor de «x», en el gráfico mostrado. 20° 4x D x x 3x 20° 10° C O A Rpta.: __________________________________ 10. En la figura, calcula la m∠BOD. Rpta.: __________________________________ B A 7. Calcula la medida del ángulo agudo. 5x R O bb 4x O Q Rpta.: __________________________________ Geometría Matematica.indb 295 295 C D a a E Rpta.: __________________________________ 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:07:57 a.m. 6 Ángulos según su posición ¡Construyamos una cerca! Raúl construyó una cerca con listones de madera, tal como se muestra. ¿Qué ángulos se forman con dichos listones? b f d a VALORES Y ACTITUDES RAZONANDO... Valoración de lo nuestro ¿Podrías identificar qué ángulos for- ¿Consideras importante conocer nuestra propia cultura y antepasado? ¿Cuánto suman los ángulos f y d? ¿Los ángulos b y a cómo son? Geometría Matematica.indb 308 man dichos listones? 308 ¿Qué aprenderemos esta semana? Identifica y clasifica ángulos según su posición. 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:08:08 a.m. Ángulos según su posición Conocer los ángulos posición te será útil para resolver situaciones de la vida cotidiana como hallar el ángulo de rebote de una pelota sobre el suelo, el ángulo que forman las varillas del armazón de una sombrilla, etc. recuerda… La suma de las medidas de los ángulos consecutivos trazados alrededor de un punto es 360°. B b C a γ Dependiendo del tamaño de la abertura, los ángulos pueden ser: ÁnGuLos seGÚn su PosICIÓn Los ángulos según su posición se clasifican de la siguiente manera: A Ángulos consecutivos Ángulos adyacentes Ángulos opuestos por el vértice D Son ángulos que tienen en común el vértice y un lado. Son ángulos consecutivos que forman un ángulo llano. Son ángulos que tienen el vértice en común y sus lados están sobre las mismas rectas. d a + b + γ + d = 360° F B A b a C AOB y BOC son ángulos consecutivos. ejemplo 1 Nombra las posiciones de los ángulos de la figura. b E a b a G EOF y FOG son ángulos adyacentes: a + b = 180° AOD y BOC son ángulos opuestos por el vértice: a = b. ejemplo 2 Sean los ángulos AOD y BOC. Calcula el valor de x. solución Observamos la gráfica y resolvemos. B D 2x + 8° A Ángulos consecutivos: AOB y BOC, BOC y COD, COD y DOE, DOE y EOA. Ángulos adyacentes: AOB y AOD, BOE y EOD, BOC y COD, COD y DOE. Ángulos opuestos por el vértice: BOC y DOE, BOE y COD. geometrÍa Matematica.indb 309 54° C Igualamos las medidas de los ángulos AOD y BOC por ser opuestos por el vértice: mAOD = mBOC → 2x + 8° = 54° 2x = 46° x = 23° El valor de x es 23°. 309 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:08:09 a.m. Ángulos según su posición ejemplo 3 Calcula la medida del ángulo menor. B 10x C 30x + 60° O A solución Los ángulos conforman un ángulo llano. 30x + 60° + 10 x = 180° 40 x = 180° – 60° x = 120° ⇒ x = 3° 40 → Ángulo menor: mBOC = 10 x mBOC = 10(3) = 30° ejemplo 4 Calcula la medida del ángulo mayor. solución D C x 2 recuerda… Ángulos Para nombrar las medidas de los ángulos, generalmente se utilizan las letras griegas. a: alfa b: beta q: theta d: delta Ω: omega B x 3x O Los ángulos conforman un ángulo recto. x + x + 3 x = 90° 2 x + 2x + 6 x = 180° 9 x = 180° x = 20° A → Ángulo menor: mAOB = 3x mAOB = 3(20) = 60° Verificando el aprendizaje Nivel Básico 2. Calcula el valor de «x». 1. Calcula el valor de «x». x 55° x a) 15° a) 108° b) 110° c) 115° d) 125° geometrÍa Matematica.indb 310 65° b) 25° c) 35° d) 30° 310 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:08:10 a.m. Ángulos según su posición 7. Calcula el valor de «x» en el gráfico mostrado. 3. En la figura, calcula m∠BOC. B 3x + 10° x 70° A 2x + 40° C a) 140° b) 130° c) 110° d) 100° Rpta.: __________________________________ 8. Argumenta la veracidad o falsedad de las afirmaciones a partir de la siguiente gráfica: 4. En la figura, calcula m∠XOY. b a C X a a 60° q Y q A d f w q a) d = q b) j = b c) b + a = j + w d) El ángulo que mide δ es consecutivo a los ángulos que miden b y j. D a) 160° b) 150° c) 120° d) 140° ( ) ( ) ( ) ( ) Nivel Avanzado Nivel Intermedio 9. Determina la medida del ángulo BOD. 100° O D B a a E 2x – 10° x B 3x – A 20° C 5. En la figura, calcula m ∠BOD. O 4x – 30° A C D Rpta.: __________________________________ 6. En la figura, calcula m∠BOC. A x 5x O 10. La suma de las medidas de cuatro ángulos AOB, BOC, COD y DOE consecutivos es 180°. Si AOC mide 120°, AOB es la cuarta parte de AOC y DOC mide 40°, ¿cuánto resulta mDOE + mBOC? B 2x 4x C D Rpta.: __________________________________ Geometría Matematica.indb 311 311 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:08:10 a.m. 7 Ángulos complementarios y suplementarios Delimitar los espacios En un estacionamiento, se trazan líneas para delimitar los espacios. Si cada línea forma un ángulo de 50° con la vereda, ¿cuánto mide el ángulo adyacente? 50° VALORES Y ACTITUDES RAZONANDO... Valoración del espacio ¿Cómo son los ángulos mostrados en la ¿Delimitar un espacio mejora el orden? ¿Cuál es el suplemento de 50°? ¿Cuál es el complemento de 50°? Geometría Matematica.indb 324 imagen? 324 ¿Qué aprenderemos esta semana? Determina entre parejas de ángulos si son complementarios o suplementarios. 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:08:28 a.m. Ángulos complementarios y suplementarios La aplicación de ángulos complementarios y suplementarios te servirá para identificar ángulos relacionados con 90° y 180°, como por ejemplo al calcular la medida del ángulo que le falta a un parabrisas para completar su giro. i. ÁNGUlos complemeNtarios Dos ángulos se llaman complementarios si al hacerlos consecutivos sus medidas suman 90°. b b a recuerda… Es importante utilizar el transportador para comprobar los resultados. a a + b = 90° ii. ÁNGUlos sUplemeNtarios Son dos ángulos que al hacerlos consecutivos la suma de sus medidas es igual a 180°. a b b a a + b = 180° ejemplo 1 ¿Cuál es el complemento de 30°? solución Hallamos lo que le falta a 30° para ser igual a 90°. C30° = 90° – 30° = 60° ejemplo 3 Observa el gráfico y calcula la medida de POR. R Q El complemento de 30° es 60°. 2x – 10° 3x + 20° O P solución Igualamos los ángulos a 180° por ser suple- mentarios: mPOR + mROQ = 180º (3x + 20°) + (2x – 10°) = 180° 3x + 2x + 20° – 10° = 180°° 5x + 10° = 180° 5x = 170° x = 34° ejemplo 2 ¿Cuál es el suplemento de 160°? solución Hallamos lo que le falta a 160° para ser igual a 180°. S160° = 180° – 160° = 20° El suplemento de 160° es 20°. geometrÍa Matematica.indb 325 Calculamos la medida del ángulo POR: mPOR = 3x + 20° mPOR = 3(34°) + 20° = 122° 325 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:08:29 a.m. Ángulos complementarios y suplementarios Ejemplo 4 Observa el gráfico y calcula la medida de POR. Q Recuerda… R x+ 10° Para representar el complemento y el suplemento de un número x: Cx =90° – x Sx =180° – x 2x + 20° O P Solución Igualamos los ángulos a 90° por ser complementarios: mPOR + mROQ = 90° (2x + 20°) + (x + 10°) = 90° 3x + 30° = 90° 3x = 60° x = 20° Calculamos la medida del ángulo POR: mPOR = 2x + 20° → mPOR = 2(20°) + 20° → mPOR = 60° Verificando el Aprendizaje Nivel Básico 1. Encuentra la medida de un ángulo, sabiendo que su suplemento es igual al triple de dicho ángulo. a) 25° b) 30° c) 35° d) 45° 2. Encuentra la suma del complemento de 52° y el suplemento de 120°. a) 92° b) 102° c) 108° d) 88° 4. Calcula el suplemento de 127° más el complemento de 79°. a) 62° b) 72° c) 61° d) 64° Nivel Intermedio 5. Dos ángulos adyacentes suplementarios difieren en 40°. Calcula la medida del mayor ángulo. 3. El complemento de un ángulo es igual a 38°. Calcula la medida de dicho ángulo. a) 52° b) 30° c) 46° d) 48° Geometría Matematica.indb 326 326 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:08:30 a.m. Ángulos complementarios y suplementarios 6. ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y complemento es seis veces la medida del ángulo? Nivel Avanzado 9. Si se sabe que «S» indica el suplemento y «C» el complemento, calcula el valor de la siguiente expresión: Sa + S2a + S3a C0° + Ca + C2a 7. Calcula la medida de un ángulo, si se sabe que su suplemento es igual al triple de su complemento. 10. Calcula el suplemento del complemento del doble del complemento de 84°. 8. Al restar el suplemento de 80° con el complemento de 60°, se obtiene: Geometría Matematica.indb 327 327 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:08:31 a.m. 8 simetrÍa axial GALLETAS DE NAVIDAD ¡Una tradición navideña en países anglosajones y germánicos son las galletas de Navidad! Como ahora todos estamos conectados, las tradiciones se van extendiendo. España en Navidad combina turrones, polvorones, alfajores y mazapanes con las galletas del ‘hombre de jengibre’, o de estrellas o árboles de Navidad. VALORES Y ACTITUDES RAZONANDO... Valoración de la comida casera ¿Qué galletas se pueden dividir exacta- ¿Cuales son los beneficios de consumir comida casera? geometrÍa Matematica.indb 340 mente por la mitad formando dos partes iguales? Traza la recta que los divide exactamente en dos partes iguales (guíate de la recta de color morado). ¿Qué galletas no se pueden dividir exactamente por la mitad formando dos partes iguales? 340 ¿Qué aprenderemos hoy? Aprenderemos a construir la figura simétrica de otra aplicando simetría respecto a una recta. 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:08:44 a.m. simetrÍa axial Las transformaciones geométricas las encontramos en diversas situaciones de nuestra vida diaria, por ejemplo, al mirarnos al espejo, al trasladarnos o trasladar un objeto de un lugar a otro. La simetría axial es un movimiento geométrico en el plano, según el cual a cada punto de la figura original se le asocia otro punto que está a igual distancia de la recta llamada eje de simetría. Además, el segmento que une ambos puntos es perpendicular al eje. Ejemplo 1 Completa la figura para que sea simétrica. A Solución Trazamos rectas perpendiculares al eje desde los vértices A y B. Medimos con una regla la distancia entre cada vértice A y B y el eje de simetría y ubicamos los puntos simétricos A’ y B’ al otro lado del eje. Así obtenemos los puntos A’ y B’ que forman el ΔA’B’C simétrico del ΔABC. Ejemplo 2 Construye la figura simétrica de la figura con respecto a la recta dada. Solución B geometrÍa Matematica.indb 341 341 B’ C A’ L’ K’ B’ C’ F’ D’ E’ D E B C F K L Trazamos rectas perpendiculares al eje desde todos los vértices de la figura. Medimos con una regla la distancia entre cada vértice y el eje de simetría y ubicamos los puntos simétricos al otro lado del eje. Así obtenemos los puntos que forman el simétrico de la figura inicial. A’ A G’ H’ H G J’ I’ I J 1.° año – i bimestre 28/01/2021 02:08:45 a.m. Simetría Axial Verificando el Aprendizaje 6. Completa las siguientes figuras, a partir de la flecha que corresponde al eje de simetría. Nivel Básico 1. ¿En qué letra no se puede trazar un eje de simetría? a) I b) L LIMA c) M d) A 2. ¿Qué número no se puede trazar un eje de simetría? a) 8 b) 3 2380 7. Observa y grafica la otra mitad de la figura para que sean simétricas. c) 2 d) 0 3. ¿En cuántos números se puede trazar un eje de simetría? a) 1 b) 2 69807 c) 3 d) 4 4. ¿En qué figura no se puede trazar un eje de simetría? a) c) b) d) 8. Construye y colorea la segunda mitad de cada dibujo. Nivel Intermedio 5. Dibuja figuras simétricas, teniendo en cuenta el eje de simetría. Nivel Avanzado 9. El simétrico del punto B (–1; 5) respecto al eje «y» es el punto: 10. Dibuja cada caso e indica la figura resultante, después de realizar la reflexión respecto al eje «a». a Geometría Matematica.indb 342 342 1.° Año – I Bimestre 28/01/2021 02:08:45 a.m.