UNH
U N I V E R S I D A D
N A C I O N A L D E
U A N C A V E L I C A
Escuela Profesional de
Ingeniería Civil
ANALISIS ESTRUCTURAL II
CONDENSACIÓN
ESTÁTICA
Presenta: Roy Quinto Capani
CONDENSACION ESTATICA.
La condensación estática tiene por objeto reducir la
matriz de rigidez general, en correlación con los
términos asociados exclusivamente a las fuerzas. De esta
manera se centra la labor en la obtención de ciertos
desplazamientos, ya no de todos; para a partir de estos
calcular los desplazamientos restantes y consecuentemente
las fuerzas internas completas.
La condensación es un método que nos permite reducir
la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis
estructural o el tamaño de la matriz de rigidez a invertir.
La condensación se da por igualación de grados
de libertad o eliminación de ellos como incógnitas
al despreciar deformaciones axiales o también por
tener ecuaciones en la matriz de rigidez que están
asociadas a fuerzas externas mas fuerzas de
empotramiento igual a cero.
En resumen, la condensación estática es la
eliminación de grados de libertad GDL usando
una o mas ecuaciones de equilibrio estático.
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EN UNA VIGA-Ejemplo N°01.
EN UN PÓRTICO-Ejemplo N°02
Hay tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, la primera involucra la inversión de una matriz, la
segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales y la tercera mediante la eliminación de Gauss.
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ANÁLISIS DE UNA VIGA CONTÍNUA CON CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS
ELEMENTO 1
ELEMENTO 2
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2) Matriz de rigidez de la estructura : k
3) Vector de fuerzas de nudos del sistema: fn
4) Vector de fuerzas de empotramiento del sistema: f0.
ELEMENTO 1
ELEMENTO 2
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5) Vector de fuerzas externas del sistema: f.
6) Vector de desplazamientos del sistema: u
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Equilibrio de momentos en A: .θA+ .θB = Equilibrio de momentos en B: .θA+ (+).θB= Despejando θA de la primera ecuación y reemplazando
θA= - .θB - k
.
k.u=f
k=(+), Matriz de rigidez
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Este es un caso particular de la condensación estática: Se ha utilizado la ecuación
de equilibrio de momentos en A para eliminar el correspondiente grado de libertad.
Rigidez al giro en el nudo “B”
Fuerzas de reaccion en el nudo “B”
Por equilibrio de fuerzas en “B”
k=→k.θ=M→k.u=f
M : Momento de acción.
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Gracias a esta condensación estática, solo se requiere
considerar un GDL para el análisis de la estructura.
La condensación estática en el ámbito de un elemento,
empleando: f = f0 + k . u, solo es factible si alguna de
las fuerzas fe es cero o conocida.
Por ejemplo para el elemento AB:
Sustituyendo esta en la segunda expresión, se obtiene:
fAB = f0AB+kAB.uAB
Esta expresión es también de la forma f = f0 + k.u,
pero involucra un solo grado de libertad, asociado al giro
en “B”.
Se conoce MAB=0, por lo tanto, de la primera ecuación:
Despejando θA:
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MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGA CON GDL CONDENSADOS
A) Elemento con extremo izquierdo articulado y
extremo derecho rígido.
DEMOSTRACION:
1ra Columna:
2da Columna:
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3ra Columna:
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Aplicando el principio de superposición, se encuentra
la matriz:
EN FORMA GENERAL: 1
k = TT . k’. T
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B) Elemento con extremo izquierdo con rotula y extremo derecho rígido.
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EN FORMA GENERAL: 2
k = TT . k’. T
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C) Elemento con extremo izquierdo rígido y extremo derecho articulado.
D) Elemento con extremo izquierdo rígido y extremo derecho con rotula.
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MATRIZ DE RIGIDEZ DE COLUMNA CON GDL CONDENSADOS.
A) Elemento con extremo inferior articulado y
extremo superior rígido.
B) Elemento con extremo inferior empotrado y
extremo superior con rotula.
EN FORMA GENERAL: 3
k = TT . k’. T
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RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS RIGIDEZ LATERAL:
Se define como la fuerza lateral cortante necesaria que
se debe aplicar a un elemento, pórtico o estructura
para producirle un desplazamiento lateral efectivo de
1cm.
Donde:
KL : Rigidez lateral (ton/cm).
V : Fuerza cortante (ton).
Δe : Desplazamiento lateral efectivo (1cm)
A) RIGIDEZ LATERAL DE UN PORTICO
PLANO DE BASES EMPOTRADAS
- Pórtico simétrico de un piso y un vano.
- Columnas empotradas en la base.
- Ignorando efecto de deformaciones axiales.
- Ignorando efecto de deformaciones de corte.
- Sin considerar brazos rígidos.
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MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS.
Rigidez relativa:
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Para la estructura con los tres GDL indicados:
Rigidez lateral del pórtico:
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B) RIGIDEZ LATERAL DE UN PORTICO
PLANO DE BASES ARTICULADAS:
- Pórtico simétrico de un piso y un vano.
- Columnas articuladas en la base.
- Ignorando efecto de deformaciones axiales.
- Ignorando efecto de deformaciones de corte.
- Sin considerar brazos rígidos.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS
(Usando la matriz de rigidez condensada).
Rigidez relativa:
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Para la estructura con los tres GDL indicados:
Rigidez lateral del pórtico:
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EJEMPLO APLICATIVO
ANALISIS DE UNA VIGA CONTINUA CON CARGAS
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS
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Bibliografía
▪ Análisis Estructural II-FIC – UNI. Dr Ing. Hugo Escaletti
Farani
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