UNH U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E U A N C A V E L I C A Escuela Profesional de Ingeniería Civil ANALISIS ESTRUCTURAL II CONDENSACIÓN ESTÁTICA Presenta: Roy Quinto Capani CONDENSACION ESTATICA. La condensación estática tiene por objeto reducir la matriz de rigidez general, en correlación con los términos asociados exclusivamente a las fuerzas. De esta manera se centra la labor en la obtención de ciertos desplazamientos, ya no de todos; para a partir de estos calcular los desplazamientos restantes y consecuentemente las fuerzas internas completas. La condensación es un método que nos permite reducir la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis estructural o el tamaño de la matriz de rigidez a invertir. La condensación se da por igualación de grados de libertad o eliminación de ellos como incógnitas al despreciar deformaciones axiales o también por tener ecuaciones en la matriz de rigidez que están asociadas a fuerzas externas mas fuerzas de empotramiento igual a cero. En resumen, la condensación estática es la eliminación de grados de libertad GDL usando una o mas ecuaciones de equilibrio estático. CIVIL-UNH 28/12/2023 EN UNA VIGA-Ejemplo N°01. EN UN PÓRTICO-Ejemplo N°02 Hay tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, la primera involucra la inversión de una matriz, la segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales y la tercera mediante la eliminación de Gauss. CIVIL-UNH 28/12/2023 ANÁLISIS DE UNA VIGA CONTÍNUA CON CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS ELEMENTO 1 ELEMENTO 2 CIVIL-UNH 28/12/2023 2) Matriz de rigidez de la estructura : k 3) Vector de fuerzas de nudos del sistema: fn 4) Vector de fuerzas de empotramiento del sistema: f0. ELEMENTO 1 ELEMENTO 2 CIVIL-UNH 28/12/2023 5) Vector de fuerzas externas del sistema: f. 6) Vector de desplazamientos del sistema: u CIVIL-UNH 28/12/2023 Equilibrio de momentos en A: .θA+ .θB = Equilibrio de momentos en B: .θA+ (+).θB= Despejando θA de la primera ecuación y reemplazando θA= - .θB - k . k.u=f k=(+), Matriz de rigidez CIVIL-UNH 28/12/2023 Este es un caso particular de la condensación estática: Se ha utilizado la ecuación de equilibrio de momentos en A para eliminar el correspondiente grado de libertad. Rigidez al giro en el nudo “B” Fuerzas de reaccion en el nudo “B” Por equilibrio de fuerzas en “B” k=→k.θ=M→k.u=f M : Momento de acción. CIVIL-UNH 28/12/2023 Gracias a esta condensación estática, solo se requiere considerar un GDL para el análisis de la estructura. La condensación estática en el ámbito de un elemento, empleando: f = f0 + k . u, solo es factible si alguna de las fuerzas fe es cero o conocida. Por ejemplo para el elemento AB: Sustituyendo esta en la segunda expresión, se obtiene: fAB = f0AB+kAB.uAB Esta expresión es también de la forma f = f0 + k.u, pero involucra un solo grado de libertad, asociado al giro en “B”. Se conoce MAB=0, por lo tanto, de la primera ecuación: Despejando θA: CIVIL-UNH 28/12/2023 MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGA CON GDL CONDENSADOS A) Elemento con extremo izquierdo articulado y extremo derecho rígido. DEMOSTRACION: 1ra Columna: 2da Columna: CIVIL-UNH 28/12/2023 3ra Columna: CIVIL-UNH 28/12/2023 Aplicando el principio de superposición, se encuentra la matriz: EN FORMA GENERAL: 1 k = TT . k’. T CIVIL-UNH 28/12/2023 B) Elemento con extremo izquierdo con rotula y extremo derecho rígido. CIVIL-UNH 28/12/2023 EN FORMA GENERAL: 2 k = TT . k’. T CIVIL-UNH 28/12/2023 C) Elemento con extremo izquierdo rígido y extremo derecho articulado. D) Elemento con extremo izquierdo rígido y extremo derecho con rotula. CIVIL-UNH 28/12/2023 MATRIZ DE RIGIDEZ DE COLUMNA CON GDL CONDENSADOS. A) Elemento con extremo inferior articulado y extremo superior rígido. B) Elemento con extremo inferior empotrado y extremo superior con rotula. EN FORMA GENERAL: 3 k = TT . k’. T CIVIL-UNH 28/12/2023 CIVIL-UNH 28/12/2023 RIGIDEZ LATERAL EN PORTICOS RIGIDEZ LATERAL: Se define como la fuerza lateral cortante necesaria que se debe aplicar a un elemento, pórtico o estructura para producirle un desplazamiento lateral efectivo de 1cm. Donde: KL : Rigidez lateral (ton/cm). V : Fuerza cortante (ton). Δe : Desplazamiento lateral efectivo (1cm) A) RIGIDEZ LATERAL DE UN PORTICO PLANO DE BASES EMPOTRADAS - Pórtico simétrico de un piso y un vano. - Columnas empotradas en la base. - Ignorando efecto de deformaciones axiales. - Ignorando efecto de deformaciones de corte. - Sin considerar brazos rígidos. CIVIL-UNH 28/12/2023 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS. Rigidez relativa: CIVIL-UNH 28/12/2023 Para la estructura con los tres GDL indicados: Rigidez lateral del pórtico: CIVIL-UNH 28/12/2023 B) RIGIDEZ LATERAL DE UN PORTICO PLANO DE BASES ARTICULADAS: - Pórtico simétrico de un piso y un vano. - Columnas articuladas en la base. - Ignorando efecto de deformaciones axiales. - Ignorando efecto de deformaciones de corte. - Sin considerar brazos rígidos. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS (Usando la matriz de rigidez condensada). Rigidez relativa: CIVIL-UNH 28/12/2023 CIVIL-UNH 28/12/2023 Para la estructura con los tres GDL indicados: Rigidez lateral del pórtico: CIVIL-UNH 28/12/2023 EJEMPLO APLICATIVO ANALISIS DE UNA VIGA CONTINUA CON CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS CIVIL-UNH 28/12/2023 CIVIL-UNH 28/12/2023 CIVIL-UNH 28/12/2023 CIVIL-UNH 28/12/2023 Bibliografía ▪ Análisis Estructural II-FIC – UNI. Dr Ing. Hugo Escaletti Farani CIVIL-UNH 28/12/2023