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UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
MÓDULO I: LÓGICA PROPOSICIONAL
AUTOR:
M.G.E. Segundo F. Velásquez Alcántara
Cajamarca setiembre de 2023
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
PRESENTACIÓN
El presente trabajo es una contribución del autor hacia los estudiantes del
primer año, primer semestre de las diferentes Escuelas Académicos
Profesionales, quienes en la asignatura de Matemática en la primera unidad
tratan la lógica proposicional.
Se ha instado en la importancia de traducir a símbolos lógicos o matemáticos
proposiciones expresadas en lenguaje común, y se han agregado problemas
y diversos ejercicios, indicando la procedencia de la Ley lógica respectiva o su
equivalente con la esperanza de que les sirva de refuerzo en el proceso
aprendizaje al demostrar un razonamiento deductivo y verificar su validez.
En este trabajo el autor inicialmente aborda definiciones básicas, analizando
e interpretando las proposiciones hasta aplicar los métodos de demostración
matemática. Se muestra las aplicaciones de las implicaciones notables en la
demostración de la validez de inferencias lógicas, con el propósito de inducir
el método deductivo de la matemática moderna, presentándolo de manera
que lo puedan utilizar todos los estudiantes del primer año de estudios
superiores.
Es probable que este trabajo presente errores, los cuales espero superarlos
con las observaciones y sugerencias que tengan a bien proporcionarme
docentes y alumnos; así mismo espero tener la oportunidad de ir agregando
al presente trabajo más problemas y ejercicios de interés de cada escuela
académico profesional.
M.G.E. Segundo F. Velásquez Alcántara
AUTOR
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
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APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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Tabla de contenido
LOGICA PROPOSICIONAL. .............................................................................................................................. 4
INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................................................... 4
ENUNCIADO. ............................................................................................................................................... 4
PROPOSICIÓN.............................................................................................................................................. 4
CLASE DE PROPOSICIONES: SIMPLES Y COMPUESTAS. ........................................................................... 5
OPERADORES LÓGICOS. .............................................................................................................................. 6
1.
CONJUNCION. ................................................................................................................................ 6
2.
DISYUNCION. ................................................................................................................................. 7
3.
NEGACIÓN ..................................................................................................................................... 9
4.
CONDICIONAL. ............................................................................................................................. 10
5.
BICONDICIONAL. ......................................................................................................................... 11
6.
NEGACIÓN ALTERNA. .................................................................................................................. 12
7.
NEGACIÓN CONJUNTA. ............................................................................................................... 13
SIMBOLIZACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES. USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN. ....................... 14
LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL. .................................................................................................... 15
PRINCIPALES LEYES LÓGICAS TAUTOLÓGICAS. ......................................................................................... 15
1.
LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS. .................................................................................. 15
2.
EQUIVALENCIAS NOTABLES. ........................................................................................................ 16
3.
IMPLICACIONES NOTABLES. ........................................................................................................ 19
SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES ....................................................................................................... 21
CIRCUITOS LÓGICOS .................................................................................................................................. 22
Clases de circuitos lógicos: en serie y en paralelo. ................................................................................ 22
LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO .................................................................................... 26
IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICA ................................................................................................. 28
IMPLICACIÓN LÓGICA. .............................................................................................................................. 28
EQUIVALENCIA LÓGICA. ............................................................................................................................ 30
MÉTODOS DECISORIOS. METODOS DE DEMOSTRACIÓN. ........................................................................ 31
MÉTODO DIRECTO O DEMOSTRACIÓN DIRECTA: ............................................................................... 32
MÉTODO CONDICIONAL: ..................................................................................................................... 35
MÉTODO INDIRECTO O DEMOSTRACIÓN INDIRECTA: ......................................................................... 38
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
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LOGICA PROPOSICIONAL.
INTRODUCCIÓN.
La Lógica Proposicional mediante métodos y principios adecuados lleva al estudiante a
utilizar un razonamiento válido, eliminando ambigüedades y más de una interpretación. La
presentación integral de las leyes de la lógica proposicional permite presentar las proposiciones
como fórmulas.
Se expone algunas definiciones básicas, símbolos y reglas, presentándose problemas de
aplicación resueltos y otros propuestos que permitan al estudiante simplificar su raciocinio y
verificar la validez o no de una inferencia.
ENUNCIADO.
Enunciado es toda expresión u oración de nuestro lenguaje. Algunos enunciados son
preguntas, mandatos o exclamaciones. Determinados enunciados usan las palabras “ella”, “ese”,
“aquel” o los símbolos x, y, z, etc. de los que no es posible afirmar si son enunciados válidos. Otros
son afirmaciones o negaciones de los cuales es posible afirmar o no su validez.
PROPOSICIÓN.
Una proposición es todo enunciado del cual se afirma que es verdadera (V) o falsa (F), pero
no ambas simultáneamente.
Una preposición se denota por letras minúsculas tales como: p, q, r, s, etc., llamadas
variables proposicionales, puesto que pueden reemplazar a cualquier proposición. Cuando las
proposiciones son muchas y similares se usan subíndices tales como:
p1, p2, p3…, pn
Ejemplos:
Proposición
Valor de verdad
a) p: George Boole es el creador de la Lógica Simbólica
V(p)=V
b) q: 32+3 > 3(2)+3
V(q)=V
c) r: √-1 pertenece a los números reales
V(r) =F
d) s: La UNC es una universidad licenciada
V(s)=V
Enunciados no proposicionales:
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Los enunciados que indican preguntas, mandatos o exclamaciones no son proposiciones.
Ejemplos:
a. ¿Cuál es tu nombre?
b. Prohibido fumar
c. ¡Gooool!
Enunciados abiertos:
Los enunciados que usan las palabras “ella”, “ese”, “aquel” o los símbolos x, y, z, etc., no
son proposiciones, estos enunciados reciben el nombre de enunciados abiertos y se
determina su veracidad al asignarle determinado sujeto, objeto o valor.
Ejemplos:
a. Ella estudia matemáticas.
b. Ese en mi libro
c. Aquel alumno estudia derecho
d. x + y < z
CLASE DE PROPOSICIONES: SIMPLES Y COMPUESTAS.
PROPOSICIÓN SIMPLE: La proposición simples o elementales o atómica es aquel
enunciado que consta de uno o varios sujetos y un solo predicado que afirma algo del o de los
sujetos.
Ejemplos:
a. p: La Facultad de Educación de la UNC cumplió 59 años.
V (p)=V, por los antecedentes históricos.
b. q: Aristóteles inventó el teléfono.
V (q)=F, pues según la historia fue Graham Bell quien lo inventó.
c.
r: “9 es exactamente divisible por 2”.
V(r)=F, pues por los principios de aritmética esto no es cierto.
d. s: “El Congreso destituyo a Vizcarra ”.
V(r)=V, por los resultados oficiales es cierto.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
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PROPOSICIÓN COMPUESTA: Las proposiciones compuestas, llamadas también
“moleculares” están formadas por dos o más proposiciones simples o es una negación. El valor de
verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de cada proposición simple y
el modo como están enlazados en su formación, independiente de la naturaleza, estructura y
significación de cada uno de los componentes.
Las proposiciones compuestas, están sujetas a ciertas palabras tales como “y”, “o, “si,
entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. llamadas término de enlace, conectivos, operadores o
conectores lógicos.
Ejemplos:
a.
La proposición: “Juan estudia y trabaja”
Se puede descomponer en las proposiciones:
p: “Juan estudia” y
q: “Juan trabaja”.
b.
La proposición: “Viajo a Lima si salgo de vacaciones”. Se puede observar que el
conectivo “si” actúa sobre la proposición simple “Salgo de vacaciones” luego “viajo
a Lima”.
OPERADORES LÓGICOS.
1. CONJUNCION.
La unión de las proposiciones p y q, con la palabra “y” se denomina conjunción de
estas proposiciones. Se denota por el símbolo “” y se lee “p y q”.
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p : “El agua no es transparente”.
q : “212 es un número capicúa”.
A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas
mediante la conjunción “y”.
r: “El agua no es transparente y 212 es un número capicúa”
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REGLA PRÁCTICA.
La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones
son verdaderas, en cualquier otro caso son falsas.
TABLA DE VERDAD
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Observaciones:
 Las expresiones del lenguaje común tales como: también, además, a la vez, igualmente,
pero, aun cuando, no obstante, etc. pueden interpretarse como conjunciones.
 Así mismo una coma (,), punto y coma (;) o punto seguido (.) en algunas veces hacen de
conjunción.
Ejemplo:
“Héctor, Fernando son buenos profesionales” se interpreta como “Héctor es buen
profesional” y “Fernando es buen profesional”.
 En algunos casos la “y” indica un resultado.
Ejemplo:
Si afirmamos que: “María sustento su tesis y obtuvo el título”, en este caso la “y”
es el resultado de la acción de María, por lo tanto, no es una conjunción.
 Para diferenciar si estamos ante una conjunción, podemos aislar las proposiciones y
variarlas de posición, si no se altera su sentido será una conjunción.
2. DISYUNCION.
En la disyunción se puede reconocer dos definiciones:
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a. Disyunción Inclusiva.
La unión de dos proposiciones p y q, por medio de la palabra “o” se denomina
disyunción inclusiva o débil, es una proposición molecular que resulta de unir las
proposiciones p y q con el conectivo “", se escribe “p  q” y se lee “p o q”. A la disyunción
inclusiva también se le llama suma lógica de las proposiciones p y q.
REGLA PRÁCTICA.
La disyunción inclusiva de dos proposiciones es verdadera si por lo menos una de
las proposiciones es verdadera, es falsa si ambas proposiciones son falsas.
TABLA DE VERDAD
p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejemplos:
La proposición r: “El Departamento de Matemáticas está adscrito a la
Facultad de Educación o el Departamento de Física está adscrito a la
Facultad de Medicina” es la disyunción de:
p: El Departamento de Matemáticas está adscrito a la Facultad de Educación
V (p)=V
q: El Departamento de Física está adscrito a la Facultad de Medicina
V (q)=F
Aquí podemos decir que la disyunción p o q es verdadera, pues el uso habitual
del conectivo “o” establece una alternativa: alguna de las componentes se
cumple. En este caso podemos escribir:
V(r)=V (pq)=V
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b. Disyunción Exclusiva.
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción exclusiva o fuerte es una proposición
molecular que resulta de unir las proposiciones p y q mediante la palabra “o” en sentido
excluyente.
Así mismo se considera excluyente si se usa las palabras “O p o q” En este caso, la
palabra “O p o q” suele usarse en su sentido excluyente, en cuyo caso la conectiva
proposicional se simboliza por "∆”, se escribe p ∆ q y se lee “O p o q, pero no ambos”.
REGLA PRÁCTICA.
La disyunción exclusiva de dos proposiciones es verdadera si y solo si por lo menos
una de las dos proposiciones componentes es verdadera y no las dos, resultando falso
en otros casos.
TABLA DE VERDAD
p
q
p∆ q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejemplos:
“Hoy es lunes o es martes”
“O estudias o trabajas”
En ambos casos indica sólo una posibilidad, si elegimos una la otra queda
descartada.
3. NEGACIÓN
Si una proposición es “p”, su negación se denota por “p” y que se lee “no p” o “no es
cierto que p” y cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:
TABLA DE VERDAD
p
~q
V
F
F
V
La negación actúa sobre una proposición, su función es negar que se cumpla “p”.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
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Ejemplo:
“Luis estudia matemáticas”
Su negación será “Luis no estudia matemáticas”
4. CONDICIONAL.
La unión de dos proposiciones p y q, mediante las palabras “si, entonces”, se
denomina condicional de las proposiciones p y q. se simboliza por “→”, se escribe “p → q” y
se lee “si p, entonces q”, donde p es el antecedente y q es el consecuente. Es decir:
Si ........................
entonces ........................
ANTECEDENTE
CONSECUENTE
REGLA PRÁCTICA
La condicional de dos proposiciones es falso cuando el antecedente “p” es
verdadero y el consecuente “q” es falso; en todos los demás casos la condicional es
verdadera.
TABLA DE VERDAD
p
q
p→ q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Ejemplo Nro. 1:
“Si María consigue visa de turista, entonces viajará a Miami. Simbolizar
la proposición”
Solución:
Si
p: María consigue visa de turista
q: María viajará a Miami.
Entonces la proposición se simboliza: p → q
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Ejemplo Nro.2:
“Juan salió bien en sus exámenes puesto que estudio”
Solución:
Si
p = Juan salió bien en sus exámenes (consecuente)
q =Juan estudio (antecedente)
Se simboliza
q →p que lo expresamos como: “Si Juan estudio entonces salió bien
en sus exámenes”
Forma ANTECEDENTE-CONSECUENTE: por lo tanto, luego, en consecuencia, en
conclusión, de ahí que, de modo que, así pues, por consiguiente, etc.
En algunos casos el “Si p entonces q “puede ser sobreentendido o ser sustituido por
expresiones equivalentes, como se indica a continuación.
Forma CONSECUENTE-ANTECEDENTE: siempre que, puesto que, ya que, si,
porque, dado que, cada vez que, etc.
Condicionales asociadas: directa p→q, reciproca q→p, contraria ~p→~q, contra
reciproca ~q→~p
5. BICONDICIONAL.
La unión de las preposiciones p y q por medio de las palabras: “si y sólo si” se
denomina bicondicional o doble condicional.
El símbolo “” es llamado el conectivo bicondicional o doble condicional.
Se simboliza por: “p  q” que equivale a la conjunción de (p → q) y (q → p):
p  q = (p → q)  (q → p) y se lee “p si y sólo si q”.
Ejemplo:
“Tengo la licencia de conducir si y sólo aprobé los exámenes de manejo”
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Solución:
Si p: tengo la licencia de conducir.
q: aprobé los exámenes de manejo.
Lo cual se puede asociar como: “Si tengo la licencia de conducir entonces aprobé los
exámenes de manejo, y si aprobé los exámenes de manejo, entonces tengo la
licencia de conducir”. Lo cual es posible simbolizar como:
(p → q)  (q → p) ≡ p  q
REGLA PRÁCTICA:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces el bicondicional p → q es
verdadera, y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p →q es falsa.
TABLA DE VERDAD
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
6. NEGACIÓN ALTERNA.
Dadas dos proposiciones p y q, la negación alterna es una proposición molecular que
resulta de unir las proposiciones p y q mediante las palabras “no p o no q”.
A la negación alterna también se le llama incompatibilidad o Función de Sheffer. Se
simboliza por: p | q.
Ejemplo:
“Juan no estudia o María no trabaja “
“5 no es múltiplo de 2 o 4 no es par”
La negación alterna es verdadera si por lo menos una de las proposiciones es falsa.
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TABLA DE VERDAD
p
q
p| q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
7. NEGACIÓN CONJUNTA.
Dadas las proposiciones p y q, se denomina negación conjunta de las proposiciones
p y q a la que resulta de unir p y q por las palabras “ni p ni q” que se denota por el símbolo
“↓”, se escribe “p↓q” y se lee “ni p, ni q”. A la negación conjunta también se le llama Función
de Nicod.
La negación conjunta de dos proposiciones es verdadera si las dos proposiciones son
falsas. En todos los demás casos es falsa.
p
TABLA DE VERDAD
q
p↓ q
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Cuando se evalúan los esquemas moleculares por medio de tablas de verdad, según
el resultado que se logre, en la columna correspondiente al conectivo de mayor jerarquía, se
le asigna la siguiente clasificación:
•
TAUTOLOGÍA: si la proposición resultante es verdadera, todos los valores son
verdaderos.
•
CONTRADICCIÓN: si la proposición resultante es falsa, todos los valores son falsos.
•
CONTINGENCIA: si en la proposición resultante aparece por lo menos un valor de
verdad y una falsedad.
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SIMBOLIZACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES. USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
La simbolización de esquemas moleculares consiste en sustituir cada una de las
proposiciones simples por una variable proposicional, cada conectivo lógico con su símbolo.
Los signos de agrupación se usan para evitar ambigüedades y/o para dar mayor o menor
jerarquía a los conectivos que aparecen en la estructura lógica. Los signos de agrupación que
utilizamos, en este orden son:
paréntesis
( )
corchetes
 ]
llaves
{ }
Ejemplos:
A. Simbolizar las siguientes proposiciones:
a. “Un político engaña a la gente dado que comprende que sus anteriores opiniones
eran equivocadas y no altera su línea. Se expone a contradecirse si altera su
línea. Ocurre que comprende que sus anteriores opiniones eran equivocadas.
Luego, engaña a la gente o se contradice.”
Solución.
Sean: p = “Un político engaña a la gente”, q = “Un político
comprende que sus opiniones eran equivocadas”, r = “Un político no altera su
línea” y s = “Un político se expone a contradecirse”.
{(q~r)→p] (r→s)  q}→(ps)
b. Si te esfuerzas por alcanzar tus metas y tomas la decisión correcta en el
momento oportuno, entonces serás un buen profesional y actuaras con
inteligencia. Serás un buen profesional, si actúas con inteligencia. Te esfuerzas
por alcanzar tus metas y actúas con inteligencia. Luego tomarás la decisión
correcta en el momento oportuno.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
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Solución. Sean p= “Te esfuerzas por alcanzar tus metas”, q= “tomas la decisión
correcta en el momento oportuno”, r= “serás un buen profesional” y s= “actúas
con inteligencia”
{[(pq)→(r s)](s→r)ps}→q
B. Simbolizar las siguientes proposiciones:
c.
“Pepe estaba en su casa antes del mediodía si el testigo dice la verdad; pero paso
el día en el club, entonces no estaba en su casa antes del mediodía. Pepe pasó
el día en el club. Por lo tanto, el testigo no dice la verdad”.
d. “Si estudias y te esfuerzas por alcanzar el éxito, entonces serás feliz o te sentirás
realizado. Si eres feliz, entonces te sentirás realizado. Estudias, pero no te sientes
realizado. Por lo tanto, no te esfuerzas por alcanzar el éxito”.
e.
“Si los árboles son un recurso renovable, de la tala debe procederse a una
reforestación y ayudarse a que el terreno se regenere de forma natural. Sin
embargo, no se ayuda a que el terreno se regenere de forma natural. Por lo tanto,
los árboles no son un recurso renovable o muchos ecologistas han expresado su
preocupación por la tala indiscriminada.”
LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL.
PRINCIPALES LEYES LÓGICAS TAUTOLÓGICAS.
Un esquema de proposiciones es una ley lógica si y sólo si cualquiera que sea la
interpretación formal correcta que se haga de la misma, dé como resultado una verdad lógica, es
decir una tautología.
En la lógica clásica son conocidas las tautologías con el nombre de Principios Lógicos y
son los siguientes:
1. LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS.
1. Ley de la Identidad (Reflexividad).
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p→p
“Una proposición sólo es idéntica.
pp
a sí misma”.
2. Ley de no Contradicción.
~ (p~p)
“Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez”.
3. Ley del Tercio Excluido.
p~p
“Una proposición es verdadera o es falsa, no hay una tercera posibilidad”.
2. EQUIVALENCIAS NOTABLES.
1. Ley de Involución (Doble negación).
~ (~p)  p
“La negación de la negación es una afirmación”.
2. Ley de la Idempotencia.
a) pp  p.
b) pp  p.
3. Leyes Conmutativas.
a) (pq)  (qp).
b) (pq)  (qp).
c) pq  qp.
4. Leyes Asociativas.
a) p(qr)  (pq)r.
b) p(qr)  (pq)r.
c) p(qr)  (pq)r.
5. Leyes Distributivas.
a) p(qr)  (pq)(pr).
b) p(qr)  (pq)(pr).
c) p→(qr)  (p→q)(p→r).
d) p→(qr)  (p→q)(p→r).
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6. Leyes de Morgan.
a) ~(pq)  ~p~q.
b) ~(pq)  ~p~q.
7. Leyes del Condicional (Implicación Material).
a) p→q  ~pq.
b) ~(p→q)  p~q.
8. Las leyes del Bicondicional (Equivalencia Material).
a) (pq)  (p→q)(q→p)  (~pq)  (~q p).
b) (pq)  (pq)(~p ~q).
9. Leyes de la Absorción.
a) p(pq)  p.
b) p(~pq)  pq.
c) p(pq)  p.
d) p(~pq)  pq.
10. Leyes de Transposición.
a) (p→q)  ~q→~p.
b) (pq) ~q~p.
11. Leyes de Exportación.
a) (pq)→r  p→(q→r).
b) (p1 p2  … pn) →r  (p1 p2  … pn-1)→(pn→r).
12. Elementos Neutros para la conjunción y la disyunción (Identidad).
a) p  V  p.
b) p  F  F.
c) p  V  V.
d) p  F  p.
13. Complementación.
a) p v ~p  V.
b) p  ~p  F.
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14. Disyunción Exclusiva.
pq  ~ (pq)
Observación:
Estas leyes permiten substituir una proposición por su equivalente sin afectar el
resultado.
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IMPLICACIONES NOTABLES.
1. Ley del Modus Pones.
[(p→q)p]→q
(Esquema Clásico).
p→q
p
q
2. Ley del Modus Tollens.
[(p→q)~ q]→ ~p.
p→q
~q
~p
3. Ley del Silogismo Hipotético.
[(p→q)(q→r)]→(p→r).
p→q
q→r
p→r
4. Ley del Silogismo Disyuntivo.
a) [(pq)(~p)]→q.
b) [(pq)(~q)]→p.
a)
pq
b)
pq
~p
~q
q
p
5. Simplificación.
a) (pq)→p.
b) (pq)→q.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
19
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
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a)
P
b)
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p
q
q
p
q
6. Conjunción.
(pq)→(pq).
p
q
pq
7. Adición.
a) p→(pq).
b) b) q→(pq).
a)
p
b)
pq
q
(pq)
8. Dilema Constructivo.
[(p→q)(r→s)(pr)]→(qs).
p→q
r →s
p r
q s
9. Dilema Destructivo.
[(p→q)(r→s)(~q~s)]→(~p~r).
p→q
r→ s
~q~s
~p~r
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
20
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
10. Ley de Inferencia Equivalente.
[(pq)p]→q.
pq
p
q
11. Ley de Transitividad Simétrica.
[(pq)(qr)]→(pr).
pq
qr
pr
12. Absorción.
(p→q)→[p→(pq)].
p→q
 p→(pq)
SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES
La simplificación de proposiciones consiste reducir los esquemas propuestos haciendo uso
de las leyes lógicas.
Ejemplos:
A. Simplificar las siguientes proposiciones:
1.
{(~p~q)vpvq]  (pq)v(~p~q)vp]}  ~q
Solución:
{(~p~q)vpvq]  (pq)v(~p~q)vp]} ~q
~(pvq)v(pvq)]  (pq)vpv~q] ~q
V 
(pv~q) ] ~q
Morgan, asoc. y abs.
Comp.,abs. y asoc.
(pv~q) ~q
E.N.
~q
Abs.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
21
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
2.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
{pq(pvq]vr(~rvq)p]}{~pvqv~qv~(pvq)]→rp(~rvq)]}
Solución:
{pq(pvq]vr(~rvq)p]}{~pvqv~qv~(pvq)]→rp(~rvq)]}
{pq)] v (rq) p]} {~pv(qv~q)v~(pvq)]→pr(~rvq)]}
Abs., asoc. y Conm.
{pq)] v (pq) r]} {~pvVv~(pvq)]→(prq)}
Conm.,comp. y asoc.
pq)]  { (Vv ~pv ~(pvq)])→(prq)]}
pq)]   V→(prq)]
pq)]  Fv(pq)r]
(pq) (pq)r
(pq)r
Abs., conm., asoc.
E.N.
Del C.
E.N.
Idemp.
B. Simplificar las siguientes proposiciones:
3. (p→q)r)] →(pq)  r].
4. p {p→q(q→r)]}.
5. (p→q)(r→~s) (~qvs)] →(pvr).
CIRCUITOS LÓGICOS
La tecnología es una de las aplicaciones modernas de la lógica, en ella se emplea la lógica
de proposiciones a circuitos eléctricos, basados en la igualdad de formas básicas existente entre
ambas teorías.
Los elementos que intervienen en un circuito eléctrico (conmutador o interruptor) son de
naturaleza eléctrica, magnética o electromagnética, por lo cual sólo pueden tener dos estados
llamados estados binarios los que se designan con los símbolos “1” o “0”. Cuando un conmutador
o interruptor deja pasar la corriente, es decir está cerrado se le asigna el símbolo “1” y representa
a verdadero; cuando no deja pasar la corriente, es decir está abierto se le designa el símbolo “0”
y representa a falso.
Clases de circuitos lógicos: en serie y en paralelo.
Circuitos en serie: consta de dos conmutadores o interruptores conectados uno a continuación
del otro. Para que pase la corriente ambos conmutadores deben estar cerrados. La similitud del
circuito en serie con la conjunción se confirma en los siguientes esquemas:
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
22
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
p
q
s(p.q)
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Circuitos en paralelo: consta de dos conmutadores o interruptores conectados uno al lado del
otro, para que pase la corriente es suficiente que por lo menos uno de ellos este cerrado. La
analogía del circuito en paralelo con la disyunción se aprecia en los siguientes esquemas:
p
q
p(p.q)
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
p
q
p v q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Esta equivalencia permite simbolizar redes de circuitos conectados en serie y en paralelo, o
también simplificar circuitos haciendo uso de las leyes lógicas.
Simbología:
En serie:
p  q:
•
p
•
q
En paralelo:
p
p  q:
•
•
q
Ejemplos:
A. Determine la menor expresión que representa a los circuitos dados:
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
23
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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CAJAMARCA
a.
~p
q
p
•
r
•
q
~r
r
~q
q
Solución.
Primero determinando un circuito equivalente:
(~pq)v(pq)vq] v (~r v~q)  ( r v q)]
Luego usando las leyes lógicas se tiene:
(~pq)vqv(~r v~q)  r]v( ~r v~q)  q)]
Abs., Dist.
q v (r~q) v (q ~r)
Abs.
q v r v (q ~r)
Abs.
qvrvq
Abs.
qvr
Idem.
b.
p
q
r
~q
r
•
•
q
r
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
24
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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CAJAMARCA
Solución.
Determinando el circuito equivalente:
{(r v~q)  ( p  q) v r]} v q v r
Luego usando las leyes lógicas se tiene:
{(r v~q)  ( p v r) ] (q v r)} v (q v r)
Dist.
(q v r)
Abs.
B. Determine la menor expresión que representa a los circuitos dados:
c.
p
r
~q
q
q
•
•
~r
~r
q
r
~q
d.
q
~p
~r
r
•
•
p
p
q
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
~r
p
r
25
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO
Una inferencia es una estructura de proposiciones en la que a partir de una o más
proposiciones consideradas como premisas se obtiene otra que es la conclusión, es decir si:
(p1p2p3…pn ) →
q.
Observaciones:
1. Una inferencia es una tautología o válida si la premisa o conjunción de premisas implica
la conclusión.
2. Si la inferencia no es una tautología, entonces será un argumento no válido (falacia).
3. Es posible reemplazar una o varias componentes: p1,p2,p3,…pn , o q, por otras equivalentes
sin que al inferencia se modifique.
Ejemplos:
A. Determine la validez de las siguientes inferencias:
a. (~p → ~q)  (~q → r)  ~r] → (p q).
Solución:
(~p → ~q)  (~q → r)  ~r] → (p q)
{~(~p) v ~q]  ~(~q) v r)]  ~r} → (p q)
{(p v ~q)  (q v r)  ~r]} → (p q)
Del Cond.
D.N. y Asoc.
(p v ~q)  (~r  q)] → (p q)
Abs.
~(p v ~q)  (~r  q)] v (p q)
Del Cond.
(~p  ~ ~q) v (~ ~r v ~q) v (p q)
De Morg.
(~p  q) v r v (~q v q) p
(~p  q) v r v p] v (V)
V
D.N. Dist. y Asoc.
Compl. y Asoc.
E.N.
VÁLIDO
b.
(~p  ~q)  (q  r)  ~r] → ~p.
Solución:
(~p  ~q)  (q  r)  ~r] → ~p
{(~p → ~q)  (~q → ~p)]  (q  r)  ~r]} → ~p
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
Del Bic. y Asoc.
26
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
(~ ~p v ~q)  (~ ~q v ~p)  (q  ~r) ] → ~p
{(p v ~q)  (q v ~p)  q]  ~r ]} → ~p
{(p v ~q)  q]  ~r } → ~p
Del Cond. y Abs.
Asoc.
Abs.
(p  q  ~r ) → ~p
Asoc. y Abs.
~ (p  q  ~r ) v ~p
Del Cond.
~ p v~ q v ~ ~r v ~p
De Morg.
(~ p v~ p) v r v ~q
~ p v r v ~q
Conm, Asoc.
Idem. Pot.
NO VÁLIDO
B.
Determine la validez de las siguientes inferencias:
c.
(p q)  (q→ ~r)  p] →~r
d. {(q ~ s)  p→ (rs)]} → ~p
C. Comprobar si es válido los siguientes enunciados:
a. Si estudio, no perderé matemáticas; si no juego fútbol, estudiaré; pero perdí
matemáticas. Por tanto, jugué fútbol.
Solución:
Sean: p = “Estudio”, q = “Perderé matemáticas” y r = “Juego fútbol”.
Simbolización (p→~q)  (~r →p)  q]→r
(~p v~q)  (~ ~r v p)  q]→r
{(~p v~q)  q]  (~ ~r v p)}→r
q  ~p  ( p v r)] →r
Del Cond.
Comn. y Asoc.
Abs. D.N. y Conm.
{q  ~p  ( p v r)]} →r
Asoc.
(q  ~p  r) →r
Abs.
~ (q  ~p  r) v r
~ q v ~~p v (~r v r)
(~ q v p) v V
V
Del Cond.
De Morg. y Asoc.
D.N. y Compl.
E.N.
VÁLIDO
b. “Pepe estaba en su casa antes del mediodía si el testigo dice la verdad; pero paso
el día en el club, entonces no estaba en su casa antes del mediodía. Pepe pasó
el día en el club. Por lo tanto, el testigo no dice la verdad”.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
27
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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Solución:
Sean: p = “Pepe estaba en su casa antes del mediodía”, q = “El testigo
dice la verdad” y r = “Pepe paso el día en el club”.
Simbolización (q→p)  (r →~p)  r] → ~q
{(~q v p)  (~r v~p)  r]} → ~q
Del Cond. y Asoc.
(~q v p)  ~p  r] → ~q
Abs.
{(~q v p)  ~p]  r} → ~q
Asoc.
(~q  ~p  r) → ~q
Abs.
~ (~q  ~p  r] v ~q
Del Cond.
~ ~q v ~p v r v ~q
De Morg.
(q v ~q) v r v ~p
Conm. y Asoc.
V (v r v ~p)
Compl. y Asoc.
V
E.N.
VÁLIDO
D. Comprobar si es válido los siguientes enunciados:
c.
“Si estudias y te esfuerzas por alcanzar el éxito, entonces serás feliz o te sentirás
realizado. Si eres feliz, entonces te sentirás realizado. Estudias, pero no te sientes
realizado. Por lo tanto, no te esfuerzas por alcanzar el éxito”.
d. “Si los árboles son un recurso renovable, de la tala debe procederse a una
reforestación y ayudarse a que el terreno se regenere de forma natural. Sin
embargo, no se ayuda a que el terreno se regenere de forma natural. Por lo tanto,
los árboles no son un recurso renovable o muchos ecologistas han expresado su
preocupación por la tala indiscriminada.”
e.
IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICA
IMPLICACIÓN LÓGICA.
Una proposición A implica a otra proposición B, cuando unidas por el condicional “→”, el
resultado es una tautología. Se simboliza: A → B, y se lee: “A implica B”, o también “A es condición
suficiente para que B” o “B es condición necesaria para A”
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
28
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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Ejemplos.
A. En cada grupo de esquemas de proposiciones que aparecen, determine lo
solicitado:
1. Dados los siguientes esquemas moleculares:
A = (~p v r), B = ~ (pq) v r
Determinar si B es una condición necesaria para A.
Solución:
De ser B condición necesaria para A, se debe probar que A → B
A→B
 (~p v r) → ~ (pq) v r]
Del Cond. y De Morg.
 ~ (~p v r) v ~p v ~q v r
De Morg. y Asoc.
 (p  ~r) v~p] v ~q v r
Abs. y Conm.
 ~p v (~r v r) v ~q
Conm., Asoc.y Idemp.
 (~p v ~q ) v V
E.N.

V

A implica B.
A = (~p  r), B = (r→q) y
C = (q v p). Determinar si la conjunción de A y C implican
a B.
Solución:
(A  C) → B
 (~p  r)  (q v p)] → (r→q)
 ~ (~p  r)  (q v p)] v (~r v q)
Del Cond.
 p v ~r v (~q  ~p) v ~r v q
Del Cond. De M. y D.N.
 p v (~r v ~r) v (~q  ~p) v q]
Conm. y Asoc.
 p v ~r v q v ~p
Idemp. y Abs.
 (p v ~p) v (q v ~r)
Conm. y Asoc.

V v (q v ~r)
Compl.

V
E.N.
 La conjunción de A y C implican a B
En cada grupo de esquemas de proposiciones que aparecen, determine la validez de
lo solicitado:
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
29
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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CAJAMARCA
2. Dados los siguiente esquemas moleculares: A = p  ~q, B = p→~q y
C = ~q v
r. Determinar si la disyunción de A y B implican a C.
3. Dados los siguiente esquemas moleculares: A = p  ~q, B = (r→q) y C = ~p v (r
 q). Determinar si C es una condición necesaria para la conjunción de A y B.
EQUIVALENCIA LÓGICA.
Dos esquemas de proposiciones A y B, se dicen que son equivalente cuando unidas por
el bicondicional “” el resultado es una tautología, es decir que A y B tienen los mismos valores
de verdad en su operador principal. Se simboliza:
A  B o bien A B,
Si A no es equivalente a B, se simboliza por:
A  B o bien A B.
Ejemplos.
A. En cada grupo de esquemas de proposiciones que aparecen, determine los
esquemas de proposiciones que son equivalentes:
1. A = Pepe ingreso a la universidad, pero no obtuvo un buen puntaje u obtuvo un
buen puntaje, aunque no ingreso a la universidad.
B= Pepe ingreso a la universidad u obtuvo un buen puntaje. No obstante, es
imposible que Pepe ingreso a la universidad y obtenga un buen puntaje.
Solución:
Sean: p = Pepe ingreso a la universidad.
q = obtuvo un buen puntaje.
A= (p  ~q) v (q  ~p)
B = (p v q)  ~ (p  q)
A= (p  ~q) v (q  ~p)
 (p  ~q) v q] (p  ~q) v ~p]
Dist.
 (q v p)  (~p  ~q)
Abs.
 (p v q)  (~p  ~q)
Conm.
B
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
30
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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CAJAMARCA
2. C= Si estudio tengo éxito, pero no estudio. Por lo tanto, no tengo éxito.
D = Tengo éxito así pues estudio y tengo éxito.
C= (p → q)  ~p] → ~q.
D= q → (p  q).
Solución:
C= (p → q) ~p] → ~q
D= q → (p  q)
 (~p v q)  ~p] → ~ q
Del Cond.
 (~p → ~q)
Abs.

De Morg.
p v ~q
 ~q v (p  q)
Del Cond.
 ~q v p
Abs.
 p v ~q
Conm.
C
En cada grupo de esquemas de proposiciones que aparecen, determine los esquemas
de proposiciones que son equivalentes:
3. E= Si la agricultura es una de las actividades sostenibles, es necesario se apoye
al sector agrario tanto como se preserve el recurso hídrico.
F= Se apoya al sector agrario dado que la agricultura es una de las actividades
sostenibles, de ahí que se preserve el recurso hídrico.
4. G= Es imposible que un político cumpla su palabra, por consiguiente, atienda lo
que el pueblo reclama. Sin embargo, atender lo que el pueblo reclama implica
tener mayor aceptación de su gestión.
H= Un político cumple su palabra, aunque cumple su palabra o no tiene mayor
aceptación de su gestión. No obstante, no atienda lo que el pueblo reclama.
MÉTODOS DECISORIOS. METODOS DE DEMOSTRACIÓN.
En matemáticas el uso de las proposiciones implicativas es fundamental para diversas
demostraciones de teoremas. Se ha observado que el análisis formal permite simbolizar las
inferencias en esquemas moleculares. Para demostrar la validez de una inferencia o
razonamiento, usaremos las implicaciones notables y las equivalencias notables cuando se
requiera a través de los siguientes métodos:
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
31
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
MÉTODO DIRECTO O DEMOSTRACIÓN DIRECTA:
Se dice que se ha usado el método directo de demostración cuando a partir de p o de un
conjunto de premisas de la forma:
(p1p2p3…pn ) →
…(1)
q
se deduce la verdad de la conclusión q.
Ejemplos:
A.
Determine la validez de las siguientes inferencias:
1
Si Juan estudia, aprueba el examen y obtiene la beca. Juan no aprueba el
examen. Por lo tanto, Juan no estudia.
Solución:
p = Juan Estudia.
q = Juan aprueba el examen.
r = Juan Obtiene la beca.
1)
p→ (qr)
2)
~q
~p
2
3)
~ q v~ r
Adic. (2).
4)
~ (qr)
De Morg. (3).
5)
~p
Modus Tollens (1) y (4).
Si te levantas temprano además tomas el ómnibus de las siete, llegarás
temprano a clase. No es cierto que si tomaste el ómnibus de los siete entonces
llegaste temprano a clase. Por lo tanto no te levantas temprano.
Solución:
Sean:
p = Te levantas temprano.
q = Tomas el ómnibus de las siete.
r = llegarás temprano a clase.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
32
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
1)
(p  q) → r
2)
~(q → r)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
~p
3)
p →(q → r)
Exportación de (1)
4)
~p
Modus Tollens de (3) y (2)
.
3 La física no es exacta, si y sólo si Tolomeo dice la verdad. El movimiento de
los planetas no es elíptico si Tolomeo dice la verdad. El movimiento de los
planetas es elíptico. Por lo tanto, la física es exacta.
Solución:
Sean:
p = La física es exacta.
q = Tolomeo dice la verdad.
r = El movimiento de los planetas es elíptico.
1)
~p q.
2)
q→ ~r.
3)
r
p
B.
4)
~q
Modus Tollens de (2) y (3)
5)
(~p → q)  (q →~p)
Bicondicional de (1)
6)
~p → q
Simplificación de (5).
7)
p
Modus Tollens de (6) y (4).
.
.
Determine la validez de las siguientes inferencias:
a.
1) (p  q) → r.
2) (q→ r) → s.
3) p
s
4) p → (q → r)
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
Exportación de (1).
33
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
5) p → s
S.H. de (2) y (4).
6) s
Modus Ponens de (3) y (5).
b.
1) p→ ~r.
2) p  ~q.
3) q v ~ s
~ (r v s)
4) p
Simplificación de (2).
5) ~r
Modus Ponens de (1) y (4).
6) ~q
Simplificación de (2).
7) ~ s
S.D. de (3) y (6).
8) ~r  ~s
Conj. de (5) y (7).
9) ~(r v s)
De morg. de (8).
c.
1) q  ~s.
2)
p→(r  s)
~ p
3)
~s
Simplificación de (1).
4) ~r v ~s
Adición de (3).
5) ~(r v s)
De Morg. en (4)
6) ~ p
Modus Tollens de (2) y (5).
d.
1) p v (q  r).
2) p→s.
3) s →r
r
4) (p v q) (p v r)
Distributiva de (1).
5) (p v r)
Simplificación de (4).
6) p→r
S.H. de (2) y (3).
7) ~ p v r
Del Cond. (6).
8) (p v r)  (~ p v r)
Conj. de (5) y (7).
9) r v (p  ~ p)
Dist. de (8)
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
34
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
10) r v F
Compl. de (9)
11) r
E.N. de (10)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
e.
1) (p v q) → (r  s).
2) ~ p → (t→ ~ t).
3) . ~ r
~t
4) ~ r v ~ s
Adición de (3) .
5) ~ (r  s)
De Morg. de (4).
6) ~ (p v q)
Modus Tollens de (1) y (5).
7) ~ p  ~q
De Morg. (6).
8) ~ p
Simpl. de (7).
9) (t→ ~ t)
Modus Ponens de (2) y (8).
10) ~ t v ~ t
Del Cond. de (9).
11) ~ t
Idemp. de (10).
MÉTODO CONDICIONAL:
Se usa en los casos en que un razonamiento tenga conclusión implicativa.
Al ser la conclusión una proposición implicativa, posee antecedente y consecuente. Para
establecer si la conclusión se procede de las premisas dadas, se agrega el antecedente de la
conclusión a las premisas dadas y aplicando las leyes lógicas se realizan las deducciones hasta
obtener el consecuente de la conclusión.
Procedimiento:
i.
Se introduce el antecedente de la conclusión implicativa como una nueva premisa (P.A.=
premisa adicional).
ii.
Se efectúan las derivaciones, hasta obtener el consecuente de la conclusión.
iii.
Se une implicativamente la premisa adicional con la última premisa alcanzada.
Ejemplos:
A. Demuestre la validez de los siguientes argumentos mediante el método de
demostración condicional:
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
35
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
1. Soy destacado en mis estudios o actúo como un estudiante sobresaliente, de ahí
que aprobaré todas mis asignaturas. Si no estudio, no aprobaré todas mis
asignaturas. No estudio o actúo como un estudiante sobresaliente. Por lo tanto,
soy destacado en mis estudios, luego actúo como un estudiante sobresaliente.
Solución:
Sean:
v = Soy destacado en mis estudios.
s = Actúo como un estudiante sobresaliente.
t = aprobaré todas mis asignaturas.
p = No estudio.
1) (vs) → t.
2) p→ ~ t.
3) p s
 v→ s
4) v
P.A.
5) v s
Adición (4).
6) t
Modus Ponens (1) y (5).
7) ~ p
Modus Tollens (2) y (6).
8) s
Silogismo Disyuntivo (3) y (7).
9) v→ s
Unimos implicativamente (4) y (8) D.C.
2. Estudio por lo tanto no voy de paseo. No domino las matemáticas o no me gustan
las matemáticas. Tengo éxito, de modo que me gustan las matemáticas y
estudio. Por lo tanto, tengo éxito por consiguiente es imposible que vaya de
paseo o no me gusten las matemáticas.
Solución:
Sean:
s = Estudio.
p = Voy de paseo.
q = Domino las matemáticas.
r = Me gustan las matemáticas.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
36
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
t = Tengo éxito.
1) s → ~ p.
2) ~ q ~ r.
3) t→ (r  s)
 t→ ~ (p ~ r)
4) t
P.A.
5) r s
Modus Ponens (3) y (4).
6) s
Simplificación (5).
7) ~ p
Modus Ponens (1) y (6).
8) r
Simplificación (5).
9) ~ p  r
Conjunción (7) y (8).
10) ~ (p ~ r)
De Morgan (9).
11) t→ ~ (p ~ r)
Unimos implicativamente (4) y (10) D.C.
3. Un consumidor debería preguntarse por qué compra las cosas que no usa y a la
vez preguntarse si realmente necesita ese producto, de modo que lo que compra
hace su vida mejor. Estamos rodeados de productos que no necesitamos, de ahí
que deberíamos preguntarnos por qué compramos cosas que no usamos. Por lo
tanto, el consumidor debería preguntarse si lo que compra hace su vida mejor
porque compra cosas que no usa.
Solución:
Sean:
p = Un consumidor debería preguntarse por qué compra las cosas que no
usa.
q = realmente necesita ese producto.
r = lo que compra hace su vida mejor.
s = Estamos rodeados de productos que no necesitamos.
1) (p  q) → r.
2)
s→p
3) t  q
 p→ r
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
37
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
4) p
P.A.
5) p → (q→ r)
Exportación (1).
6) q→ r
Modus Ponens (5) y (4).
7) q
simplificación (3).
8) r
Modus Ponens (6) y (7).
9) p→ r
Unimos implicativamente (4) y (9) D.C.
B. Demuestre la validez de los siguientes argumentos mediante el método de
demostración condicional:
4.
Si es imposible que logre reunirme con mis compañeros de clase y estudie,
entonces no rindo una buena práctica y no apruebo la asignatura. De ahí que,
no apruebo la asignatura si no logre reunirme con mis compañeros de clase.
5.
Me acostumbré a tu presencia o te amo, de ahí que te extraño. Aunque te
extraño porque no te olvido. Sin embargo, te olvido o te amo.
6.
Si salgo adelante en mis estudios, entonces trabajo o seré un destacado
profesional. Además, salgo adelante en mis estudios si no trabajo. Si no me
esfuerzo por lograr mis aspiraciones entonces no seré un destacado
profesional. Salgo adelante en mis estudios por lo tanto me esfuerce por lograr
mis aspiraciones.
7.
Si tengo de vacaciones entonces viajo a Lima. No tengo de vacaciones si el
contrato se firma. Si el contrato no se firma entonces no tendré dinero. Tendré
dinero entonces viajo a Lima.
MÉTODO INDIRECTO O DEMOSTRACIÓN INDIRECTA:
El método indirecto o demostración por reducción al absurdo consiste en introducir como
premisa adicional la negación de la conclusión, para obtener una contradicción en las premisas.
Por lo que podemos afirmar: “Si es posible deducir una contradicción de un conjunto de premisas
y de la negación de la conclusión, entonces la conclusión se puede deducir del conjunto de
premisas”. Esta regla corresponde a la Ley del Absurdo:
 p→ (q~q)] → ~ p
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
38
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
En inferencias lógicas que tienen la forma:
(p1p2p3…pn) → q,
si consideramos la negación de la conclusión q y de una de las premisas p1, p2, p3,…,pn,
digamos de p1 y se construye el siguiente argumento:
(~q)p2p3…pn] → ~ p1
se dice que se está aplicando el método indirecto o método por reducción al absurdo.
Ejemplos:
A. Demuestre la validez de los siguientes argumentos utilizando la demostración
indirecta:
1.
La batalla de la vida no siempre lo gana el hombre más fuerte de ahí que el
hombre que gana es aquel que cree hacerlo. La batalla de la vida no siempre
lo gana el hombre más fuerte puesto que el éxito comienza con la voluntad
del hombre. Es imposible que el hombre que gana es aquel que cree hacerlo
o el que piensa que no es posible. Por consiguiente, no siempre el éxito
comienza con la voluntad del hombre.
Solución:
Sean:
p = La batalla de la vida siempre lo gana el hombre más fuerte.
q = El hombre que gana es aquel que cree hacerlo.
s = El éxito comienza con la voluntad del hombre.
r = El hombre que piensa que es posible.
1) ~ p → q.
2) s→ ~ p.
3) ~ (q v r)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
~s
s
~p
q
~q~r
~q
q~q
s→ (q  ~ q)
~s
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
P.A.
Modus Ponens (2) y (4).
Modus Ponens (1) y (5).
De Morgan (6).
Simplificación (3).
Conjunción (6) y (7).
Unimos implicativamente (4) y (8) D.C.
Dem. Abs. (9).
39
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
2.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
No es la esterilización lo que disminuirá la tasa de natalidad, así pues, la
medida más eficaz es elevar el nivel de vida. La esterilización implica no haber
resuelto los problemas sociales de pobreza, desnutrición y desempleo. La
medida más eficaz es elevar el nivel de vida de modo que la gente gane más
de modo que goce de servicios sociales. Por lo tanto, no se han resuelto los
problemas sociales de pobreza, desnutrición y desempleo o gozan de
servicios sociales.
Solución:
Sean:
s = Es la esterilización lo que disminuirá la tasa de natalidad.
q = La medida más eficaz es elevar el nivel de vida.
r = haber resuelto los problemas sociales de pobreza, desnutrición y
desempleo.
t = La gente goce de servicios sociales.
1. ~s → q.
2. s→ ~ r.
3. q→ t.
 ~ r t
4. ~ (~ r t)
P.A.
5. r~ t
De Morgan (4).
6. r
Simplificación (5).
7. ~s
Modus Tollens (2) y (6).
8. ~t
Simplificación (5).
9. ~ q
Modus Tollens (3) y (8).
10. s
Modus Tollens (1) y (9).
11. s  ~ s
Conjunción (10) y (7).
12. ~ (~ r t)→ (s  ~ s)
Unimos implicativam. (4) y (12) D.C.
13. ~ r t
Dem. Abs. (12)
Nota: hallada la contradicción se infiere la conclusión de las premisas.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
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APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
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Determine la validez de los siguientes enunciados:
a.
Buscas soluciones a los problemas de transformación de los productos agropecuarios a la
vez te desenvuelves en el campo empresarial, luego promueves el crecimiento económico
del país. Contribuyes al desarrollo agroindustrial si te desenvuelves en el campo
empresarial, de ahí que busques la conservación de los productos agropecuarios. Si
promueves el crecimiento económico del país, contribuirás al desarrollo agroindustrial.
Buscas soluciones a los problemas de transformación de los productos agropecuarios. Por
lo tanto, buscas la conservación de los productos agropecuarios.
b.
Los negocios que creamos deberán ser de desarrollo sostenible cuando y sólo cuando
ayuden a combatir la pobreza. No se tendrá una crisis, de ahí que los negocios que creamos
deberán ser de desarrollo sostenible y ayuden a combatir la pobreza. Si no se toman en
cuenta las tareas sociales, se concluye que no es posible que los negocios que creamos
deban ser de desarrollo insostenible o ayuden a combatir la pobreza. Por lo tanto, se tendrá
una crisis.
c.
“Si un animal es gregario, entonces necesitará compañía. La aparición de comportamientos
agresivos o de ansiedad, implica criarse separado de sus congéneres (no necesita
compañía). Ocurre que el animal es gregario. Por tanto, los animales no presentan
comportamientos agresivos o debe permitírseles la mejor adaptación a su marco de vida.”
d.
“Si los árboles son un recurso renovable, de la tala debe procederse a una reforestación
además ayudarse a que el terreno se regenere de forma natural. Sin embargo, no se ayuda
a que el terreno se regenere de forma natural. Por lo tanto, los árboles no son un recurso
renovable o muchos ecologistas han expresado su preocupación por la tala indiscriminada.”
e.
“Si Juan ingreso a la Universidad y se dedica a estudiar con esmero, entonces es un alumno
responsable o espera alcanzar el éxito. Si es un alumno responsable, entonces alcanzará
el éxito. Juan ingreso a la Universidad, pero no espera alcanzar el éxito. Por lo tanto, no se
dedica a estudiar con esmero.
CONCLUSIONES:
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
41
APLICACIONES DE LAS IMPLICACIONES NOTABLES EN LA
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE INFERENCIAS LÓGICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CAJAMARCA
Encuentro que este método de demostración permite al estudiante visualizar directamente las
aplicaciones de las leyes lógicas, evitando el tedioso trabajo de la demostración por medio de
tablas de verdad.
En la demostración de una inferencia este método resulta más simple e inmediato que el que se
usa aplicando sólo las Leyes de las Equivalencias Notables.
En algunas demostraciones se usan las equivalencias notables sólo como un equivalente para los
siguientes pasos, a fin de visualizar mejor las premisas y alcanzar a demostrar lo que se pretende.
Percibo que el uso de las Implicaciones Notable en las demostraciones de las inferencias permite
al estudiante interpretar mejor las Leyes Lógicas, obteniendo una mejor comprensión y análisis
cuando se pretende demostrar la validez de una inferencia o razonamiento lógico.
BIBLIOGRAFÍA
•
Ríos, Hugo (2001). Nociones de Lógica Matemática. Asociación Obispo Martínez Compañon.
Cajamarca.
•
Figueroa, Ricardo. (2010). Matemática Básica 1. Ediciones RFG. Lima.
•
Hortalá, María; Leach, Javier y Rodríguez, Mario (2001). Matemática Discreta y Lógica Matemática.
2da Edición. Editorial Computense. Madrid.
•
Rojo, Armando. (1978). Algebra I. Editorial El Ateneo. Buenos Aires.
•
San Román, J. Sancho (1989). Lógica Matemática. Ediciones Díaz de Santos, S.A. Zaragoza.
•
Venero, Armando (1991). Matemática Básica. Editorial GEMAR. Lima.
M.G. E. Segundo Velásquez Alcántara
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