ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
1.1 Fuerzas internas y externas
Cargas
La figura muestra una viga sometida a una carga Q, apoyada en un extremo y
suspendida por un cable en el otro.
Este elemento está en equilibrio bajo la acción de la carga Q, gracias a las
reacciones que recibe en sus extremos representadas como R y N en el diagrama
de cuerpo libre siguiente.
Todas las fuerzas mostradas en la diagrama anterior son fuerzas externas al
elemento viga.
Separemos ahora imaginariamente el sistema en tres partes, mediante dos cortes
transversales, el primero en la viga y el segundo en el cable como se muestra en la
figura.
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.1 - 1
Cada una de estas partes está en equilibrio gracias a las fuerzas y momentos que se
producen en las secciones de corte imaginario. Estas acciones que aparecen en la
sección de corte, actuando en sentido contrario a cada lado de ésta, se denominan
fuerzas internas.
Para la viga del ejemplo, las acciones internas son la fuerza Cortante V y el
Momento Flector M. Para el cable, la fuerza interna es la fuerza Normal N. Estas
acciones internas se suelen referir en general como fuerzas internas o fuerzas de
sección.
Convención de signos para fuerzas internas
Para precisar el signo de las fuerzas internas, emplearemos un sistema de
referencia xyz, con el eje x coincidiendo con el eje longitudinal del elemento y con
los ejes y y z ubicados en la sección transversal.
Generalmente y y z son ejes
centrales (el origen del sistema coincide con el centroide de la sección transversal) y
también son ejes principales (el producto de inercia de la sección transversal es
nulo).
En el caso mas general, pueden existir hasta 6 fuerzas internas en la sección
transversal de un elemento. La figura que sigue muestra la convención de signos
asumida como positiva para estas fuerzas internas.
1.1 - 2
REMM
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Nótese que salvo en el caso de Vy, las fuerzas de sección son positivas cuando
siguen el sentido positivo de los ejes.
El sentido positivo de Vy, asumido hacia
abajo está en concordancia con la conocida siguiente relación:
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.1 - 3
1.2 Esfuerzos
Tijeral metálico
Tanto las fuerzas externas como las fuerzas de sección no actúan realmente sobre
un punto sino que en verdad lo hacen distribuyéndose sobre un área determinada.
Por ejemplo la fuerza Q actúa sobre una región rectangular de la cara superior de la
viga, la reacción R se distribuye sobre la superficie rectangular de apoyo, la fuerza
normal N en el cable se distribuye en la sección transversal de éste y la fuerza
cortante V lo hace sobre la sección transversal de la viga.
El cociente de la fuerza y el área en que se distribuye se denomina esfuerzo.
Dependiendo de si la fuerza es perpendicular o paralela al área en la que actúa, se
denomina esfuerzo normal ( σ ), o esfuerzo cortante ( τ ).
La unidad de esfuerzo en el Sistema Internacional es el Pascal (Pa) que se expresa
como:
1 Pa = 1 N / m²
los múltiplos más empleados y sus equivalencias son:
1 GPa = 103 MPa = 106 Kpa = 109 Pa
En el Sistema Inglés, el esfuerzo se expresa en libras (lb) o kilo libras (kips), por
pulgada cuadrada como:
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.2 - 1
1 psi = 1 libra / pulg²
3
1 ksi = 1 kips/pulg² = 10 psi
En ocasiones expresamos el esfuerzo en Kg/cm² o Ton/m²
1.2.1 Esfuerzo normal (σ)
Esfuerzos normales
La figura muestra el detalle del cable del sistema anterior.
En la sección transversal mostrada de área A, actúa la fuerza normal N, produciendo
el esfuerzo normal:
Veamos los esfuerzos que se producen en los elementos de la armadura mostrada
en la figura.
1.2 - 2
REMM
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La barra superior esta sometida a una fuerza normal de tracción mientras que la
barra inferior está en compresión.
Por tanto según la convención de signos
empleada para las fuerzas internas, la Normal de la barra en tracción será positiva
mientras que la correspondiente a la barra inferior será negativa.
Luego, el esfuerzo será positivo cuando la barra esté en tracción y negativo cuando
esté en compresión.
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.2 - 3
σ( + )
σ( - )
Esfuerzo de Aplastamiento (σap )
En la figura, se observa que la viga y su apoyo izquierdo, siendo cuerpos diferentes
entran en contacto en el área sombreada que se muestra.
La reacción R se distribuye en esta área de contacto, ocasionado un esfuerzo
normal que se conoce como esfuerzo de aplastamiento y se calcula como:
Dado que el esfuerzo de aplastamiento sólo puede ser de compresión, se suele
omitir el signo a cambio del subíndice “ap”.
1.2 - 4
REMM
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1.2.2 Esfuerzo de Corte ( τ )
Esfuerzos cortantes
La figura muestra la parte izquierda de una viga imaginariamente dividida en dos por
una sección transversal de área A. Una de las fuerzas que actúan en esta sección
transversal es la fuerza cortante V.
La fuerza cortante V es paralela a la sección transversal, por tanto se distribuye en
ésta produciendo esfuerzos cortantes. Estos esfuerzos varían según su ubicación
en la sección transversal, sin embargo en muchos casos sólo se calcula el esfuerzo
cortante medio:
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.2 - 5
Esfuerzo cortante en superficies curvas
La fuerza F mostrada en la figura se aplica
sobre el bloque mediante una plancha rígida
circular.
Analicemos ahora el equilibrio de la porción
cilíndrica del bloque justo bajo la plancha. La
fuerza F es equilibrada por los esfuerzos
cortantes en la superficie de contacto entre el
cilindro y el resto del bloque.
Si esta superficie de contacto, en naranja en la
figura, tiene un área A, entonces el esfuerzo
cortante promedio será:
Esfuerzo de adherencia
Cuando el esfuerzo cortante se produce en la superficie de contacto de dos
elementos diferentes, se suele referir como esfuerzo de adherencia.
La figura muestra una varilla de acero que está parcialmente contenida en un bloque
de concreto. Cuando la varilla recibe en su extremo libre una fuerza P, el concreto
sostiene a la varilla con esfuerzos de adherencia en la superficie de contacto. Si la
porción de varilla dentro del concreto tiene una longitud L y diámetro d, la superficie
de contacto será π L.d y por tanto el esfuerzo cortante promedio se calculará como:
1.2 - 6
REMM
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Equilibrio de esfuerzos cortantes en un elemento diferencial
De un elemento sometido a cargas, tomemos un volumen diferencial que se
encuentra sometido a los esfuerzos
muestran en la figura.
τ1 y τ2 en dos caras paralelas al eje z como se
Las fuerzas que actúan en las caras de este elemento diferencial serán:
Como el volumen diferencial está en equilibrio,
respecto del eje z debe ser nulo, es decir:
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
el momento de estas fuerzas
1.2 - 7
sustituyendo dF1 y dF2:
de donde:
De manera similar las otras dos caras paralelas a z deben estar sometidas también
al mismo esfuerzo cortante.
Por tanto, en cualquier elemento diferencial el esfuerzo cortante se presenta
actuando en las cuatro caras paralelas a un eje (z para la figura) con el mismo
valor y acercándose o alejándose de cada arista. La figura muestra las dos
únicas formas en que puede presentarse el esfuerzo cortante en los cuatro planos
paralelos a un eje, indicándose la convención de signos.
Ejemplo: Esfuerzos normales y cortantes
1.2 - 8
REMM
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1.2.3 Recipientes de pared delgada
Recipientes
En este acápite estudiaremos los esfuerzos que se producen en recipientes
cilíndricos y esféricos sometidos a una presión interna (p). Trabajaremos con
recipientes cuyo espesor (t) es muy pequeño en comparación a las otras
dimensiones.
Cilindro
El cilindro mostrado en la
figura tiene un radio interior r
y un espesor t (t << r)
Separemos el cilindro en dos
partes y analicemos el equilibrio en x para una de ellas. La fuerza resultante de las
presiones es equilibrada por la resultante de los esfuerzos normales en la pared del
recipiente. Como estos esfuerzos son paralelos al eje longitudinal del cilindro, se
denominan esfuerzos longitudinales (σL).
La presión y el esfuerzo longitudinal actúan sobre áreas iguales a
respectivamente. Por tanto la ecuación de equilibrio en x será:
πr
2
y 2πrt
Luego el esfuerzo longitudinal será:
Consideremos ahora el equilibrio en z de la porción de cilindro que se muestra en la
figura. La fuerza resultante de las presiones es equilibrada por la resultante de los
esfuerzos normales en la pared del recipiente. Como estos esfuerzos son paralelos
a la circunferencia media de la sección transversal, se denominan esfuerzos
circunferenciales (σc).
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.2 - 9
Planteando el equilibrio en z:
De donde el esfuerzo circunferencial será:
En general, en cualquier punto del
cilindro se presentan esfuerzos
longitudinales y circunferenciales
como se muestra en la figura.
Esfera
Puede demostrarse que para un recipiente esférico de
radio interior r y espesor t, en cualquier punto de la pared,
los esfuerzos en cualquier dirección son iguales a:
1.2 - 10
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1.2.3 Esfuerzos en conexiones empernadas
Conexiones
Los elementos que conforman las estructuras y los sistemas mecánicos se pueden
conectar entre sí mediante pernos o pasadores. La figura muestra dos conexiones
en las cuales se ha empleado un perno de diámetro “d” pasando por un hueco de
diámetro “D”.
Esfuerzo de aplastamiento
Al actuar la fuerza P, los pernos y los elementos entran en contacto en una zona de
la superficie cilíndrica del agujero, apareciendo esfuerzos de aplastamiento.
Las
figuras muestran a los elementos ya en contacto con los pernos luego de la
aplicación de la carga.
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.2 - 11
Estudiemos el diagrama de cuerpo libre de los pernos utilizados en ambas
conexiones.
Los
pernos entran en contacto con los elementos en las superficies curvas mostradas en
las figuras. Sin embargo por razones de simplicidad, para el cálculo de los
esfuerzos de aplastamiento se consideran las proyecciones de estas superficies.
Para las conexiones del ejemplo los esfuerzos de aplastamiento serán:
1.2 - 12
REMM
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Esfuerzo de corte en los pernos
Analicemos ahora la fuerza cortante en los pernos, en secciones transversales fuera
de las zonas de aplastamiento.
El perno de la unión izquierda tiene como fuerza cortante la fuerza total P, mientras
que el perno de la unión derecha tiene sólo P/2. Es usual referirse a estos casos
como pernos en corte simple y pernos en corte doble respectivamente.
Para el
ejemplo los esfuerzos serán:
Perno en corte simple:
Perno en corte doble:
Esfuerzos normales máximos
Los agujeros en las conexiones reducen el área neta de la sección transversal de los
elementos ocasionando mayores esfuerzos.
Por ejemplo, el elemento que se muestra en la figura tiene un agujero de diámetro
“D” (generalmente algo mayor que el diámetro “d” del perno). La fuerza P es
equilibrada por la fuerza de aplastamiento que recibe del perno y dependiendo de si
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.2 - 13
P es de tracción o compresión, el perno aplica la fuerza equilibrante hacia uno u otro
lado del agujero.
Separemos imaginariamente el elemento en dos partes por la sección transversal de
menor área y consideremos el equilibrio de cada una de ellas. Veamos primero el
caso de tracción.
1.2 - 14
REMM
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La fuerza de aplastamiento actúa sobre la parte derecha aislada cuyo equilibrio es
logrado por esfuerzos normales actuando sobre el área reducida t(b-D). Por tanto el
esfuerzo normal máximo en el elemento en tracción será:
En cambio, al analizar el elemento a compresión, vemos que en la sección de menor
área, no actúa ninguna fuerza normal y por tanto el esfuerzo en esta sección
transversal es nulo.
Por tanto para el cálculo del esfuerzo normal máximo en compresión se emplea el
área neta del elemento t b, es decir:
Generalmente las conexiones se hacen empleando más de un perno, en cuyo caso
los esfuerzos se calculará considerando todas las área de contacto para
aplastamiento y todas las secciones transversales para corte.
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
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1.2 - 15
Ejemplo: Esfuerzos en estructura simple 1
Ejemplo: Esfuerzos en estructura simple 2
1.2 - 16
REMM
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1.3 Deformaciones
Neopreno
Las estructuras, las máquinas y en general todos los cuerpos sufren cambios en sus
dimensiones y forma por efecto de las acciones externas que reciben. En la figura,
los elementos de la armadura han sufrido cambios en sus dimensiones
longitudinales y el bloque derecho que sirve de soporte cambió de forma.
Los cambios de longitud y de medida angular se denominan deformación normal y
deformación angular respectivamente. Por ejemplo, la barra BC de la armadura ha
sufrido una deformación normal y el bloque de soporte en D tiene una deformación
angular ya que de ser un prisma recto se ha transformado en uno oblicuo.
1.3.1 Deformación normal
Deformaciones normales
El cambio de longitud de los elementos, denominado deformación normal o
longitudinal, se representa por δ y se determina como la diferencia de las
longitudes final ( Lf ) e inicial ( Li ):
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.3 - 1
Si la longitud final es mayor a la inicial, el elemento se alarga y la deformación
resulta positiva; en caso de acortamiento la deformación resulta negativa.
Por ejemplo en la figura, la barra BC se alarga (δ > 0) mientras que la barra EF se
acorta (δ < 0).
Para determinar la importancia de una deformación normal, δ , es necesario
relacionarla con la longitud del elemento en que se produce.
El cociente entre la
deformación normal, δ , y la longitud inicial, Li , del elemento se denomina
deformación normal unitaria media, es adimensional y se representa con
simplemente con ε.
1.3 - 2
REMM
ε mo
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Ejemplo: Deformación normal
1.3.2 Deformación angular
Deformaciones angulares
El cambio en la medida de un ángulo inicialmente recto se denomina deformación
angular, se representa por γ y se determina como la diferencia de las medidas
inicial (π /2) y final ( α f ).
f
_
Antes
después
Si la medida final del ángulo (α f) es menor al ángulo inicial (π /2), la deformación
angular, γ , es positiva; en caso contrario γ será negativa.
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.3 - 3
Ejemplo: Deformación normal y angular
1.3 - 4
REMM
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1.4 Compatibilidad
Desplazamientos pequeños
Compatibilidad
Compatibilidad
Cuando un sistema se somete a
acciones externas, sus nudos se
desplazan y sus barras sufren
deformaciones.
Si todos los elementos del sistema se
mantienen unidos, entonces es posible
establecer relaciones geométricas entre
desplazamientos y deformaciones, las
mismas que se conocen como
ecuaciones de compatibilidad.
Por ejemplo es posible relacionar los desplazamientos de los nudos i
deformaciones de la barra que los une.
y j con las
Estudiemos primero el efecto del desplazamiento del nudo j (dj) en la deformación
(δ) de la barra. Esta deformación se determina como la diferencia entre las
longitudes final e inicial de la barra. Como el desplazamiento dj es pequeño, esta
diferencia de longitudes se puede aproximar por la proyección del vector dj sobre el
eje original de la barra. Si representamos por uij al vector unitario que va de i a j ,
entonces tendremos que:
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.4 - 1
Cuando el nudo i es el que se desplaza, la proyección del vector di sobre el eje
original de la barra es aproximadamente igual al valor absoluto de la deformación
pero con signo contrario. Como se ve en la figura, esta proyección ( uij . di ) es
positiva mientras que la deformación de la barra es de acortamiento, por tanto:
Por tanto en un caso general en
el que los dos nudos se
desplazan, la deformación de la
barra será:
En algunos sistemas como el mostrado
en la figura, es posible establecer
relaciones
directas
entre
las
deformaciones de sus elementos.
Estas relaciones constituyen también
ecuaciones de compatibilidad.
Para encontrar esta relación asumimos
un desplazamiento genérico del nudo B
como
1.4 - 2
REMM
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y calculamos las deformaciones de las
barras:
Sustituyendo las dos primeras expresiones en la tercera tendremos:
La figura muestra el detalle de esta última relación.
El sistema que se muestra consiste de tres barras deformables que sostienen un
sólido rígido. Como veremos a continuación, las deformaciones en las barras 1 , 2
y 3 satisfacen una ecuación de compatibilidad que resulta ser independiente del
movimiento que pueda tener el sólido rígido.
Para encontrar esta relación asumimos para el sólido rígido un desplazamiento
genérico representado por el movimiento vertical (∆y) y el giro (Φ)de su extremo
izquierdo.
CAP 1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
REMM
1.4 - 3
Luego las deformaciones de las barras serán:
Combinando estas tres ecuaciones obtenemos:
Como se vio, las ecuaciones de compatibilidad son relaciones puramente
geométricas y no dependen de las cargas aplicadas al sistema, ni de los materiales
empleados.
1.4 - 4
REMM
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PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
Cuando un sistema se somete a solicitaciones externas, sus componentes sufren
esfuerzos y se deforman. La relación entre estos esfuerzos y las deformaciones
producidas depende del material empleado y será materia de estudio en este
capítulo.
2.1 Comportamiento de materiales bajo esfuerzo normal
Ensayo de compresión
Estudiemos en primer lugar la relación entre los esfuerzos y las deformaciones
normales empleando un ensayo de laboratorio.
2.1.1 El ensayo de tracción
Ensayo de tracción
Este ensayo consiste en aplicar una carga de tracción a una probeta cilíndrica, al
mismo tiempo que se va midiendo y registrando la deformación.
Las figuras
muestran la máquina de ensayo y un acercamiento de la probeta.
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.1 - 1
Si se ensayan dos probetas de dimensiones diferentes pero del mismo material, al
graficar los resultados de deformación total (δ) versus carga aplicada (P), obtenemos
dos curvas diferentes.
Estas curvas P-δ obtenidas son diferentes a
pesar que ambas probetas fueron hechas del
mismo material. Por tanto estas curvas no
describen sólo el comportamiento del material,
sino que también reflejan las características
geométricas de las probetas.
Calculemos ahora los esfuerzos normales (σ) y
las deformaciones unitarias (ε) a partir de las
fuerzas (P) y las deformaciones totales (δ) registradas en el ensayo. Al graficar las
curvas σ-ε para ambas probetas, vemos que coinciden, y por tanto, ya no reflejan
las características geométricas de las probetas sino que ahora sólo muestran el
comportamiento del material.
Estudiemos ahora la relación esfuerzo-deformación para un metal como el acero
dulce.
2.1 - 2
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En una primera etapa de carga, la deformación crece linealmente con el aumento del
esfuerzo. La pendiente de este tramo inicial recto se conoce como Módulo de
Elasticidad. El punto A hasta donde se mantiene esta relación lineal se conoce
como límite de proporcionalidad.
Si se incrementa ligeramente la carga más allá del punto A, la relación lineal se
pierde. Sin embargo, si no se ha pasado del punto B, y se retira la carga, la
probeta recupera completamente sus dimensiones iniciales. Esta característica de
recuperación completa de forma se denomina comportamiento elástico y el intervalo
en que se produce (segmento OB en la curva) se denomina rango de
comportamiento elástico del material.
Si a partir del punto B, seguimos deformando la probeta, ésta ingresa a una zona
denominada Zona de fluencia, en que la deformación crece apreciablemente sin
que se produzca un incremento del esfuerzo. Los puntos C y D corresponden al
Inicio y al fin de la denominada Plataforma de fluencia. El esfuerzo para el cual se
inicia este fenómeno se conoce como esfuerzo de fluencia (σf).
Si seguimos incrementando las deformaciones el material
entra en una zona denominada de endurecimiento. En esta
zona el incremento de deformaciones viene acompañado de
un aumento de esfuerzos, hasta llegar a un valor máximo,
denominado esfuerzo ultimo (σu).
Si incrementamos aún más la deformación de la probeta, el
esfuerzo ahora disminuye y se produce una disminución
apreciable del diámetro en una zona de la probeta,
adquiriendo la apariencia de un cuello de botella. Este
fenómeno se conoce como estricción y da inicio a la rotura
de la probeta. La deformación máxima (εu) que alcanza el
espécimen corresponde al instante de la rotura.
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.1 - 3
2.1.2 Tipos de comportamiento
La capacidad de deformación de un elemento, junto a su capacidad de recuperación
de forma, son características propias de cada material. En este acápite se estudian
estas características empleando un ensayo de tracción.
Comportamiento elástico e inelástico
Como se explicó, si una probeta se somete a un proceso de carga manteniendo el
esfuerzo por debajo del límite elástico, al retirar la carga el elemento recupera sus
dimensiones originales. Esto se puede interpretar como que el trabajo efectuado por
la carga que deformó el espécimen se almacena como energía potencial interna en
la probeta. Esta energía sirve para que durante el proceso de descarga la probeta
recupere sus dimensiones originales.
En cambio si una probeta se carga más
allá del límite elástico, y luego se
descarga, la probeta ya no recupera sus
dimensiones originales y queda con una
deformación permanente.
Este tipo de
comportamiento
se
denomina
comportamiento inelástico y se debe a
que sólo una parte del trabajo que realiza
la carga se logra almacenar como energía
interna y el resto se pierde al producir un
cambio permanente en la estructura
interna del material.
2.1 - 4
REMM
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Comportamiento dúctil y frágil
Algunos
materiales
pueden
desarrollar
grandes
deformaciones más allá de su
límite elástico.
Este tipo de
comportamiento se denomina
dúctil,
se refleja en la
presencia de un escalón de
fluencia en el diagrama σ-ε, y
viene
acompañado
del
fenómeno de estricción. El acero
dulce, el cobre y el aluminio son
ejemplos de materiales que tienen este tipo de comportamiento.
Otros materiales como el vidrio, la piedra o el
concreto, tienen una capacidad reducida de
deformación más allá del rango elástico. Este tipo de
comportamiento se denomina frágil y se caracteriza
porque se alcanza la rotura de manera repentina sin
presentar deformaciones importantes.
2.1.3 Tenacidad y Resilencia
La cantidad de energía involucrada en el proceso de deformación de un elemento es
una característica propia del material, se suele expresar por unidad de volumen y
corresponde al área bajo la curva σ-ε.
La resilencia se define como la máxima cantidad de energía por unidad de volumen
que puede almacenar un material en el rango elástico y por tanto corresponde al
área mostrada en la figura.
Por otro lado, la máxima cantidad de energía por unidad de volumen que se necesita
emplear para llevar a un material hasta la rotura se denomina tenacidad y
corresponde a toda el área bajo la curva σ-ε .
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.1 - 5
2.1.4 Fatiga
Muchos elementos de ingeniería se ven sometidos durante su vida útil a cargas
cíclicas. Cuando el número de ciclos de carga y descarga es muy grande, el
esfuerzo al que falla el material es menor al que se encontraría en un ensayo de
tracción. Esta reducción de la resistencia con el número de ciclos de carga y
descarga se aprecia en la figura y se denomina fatiga.
2.1 - 6
REMM
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2.2 Módulo de Poisson
Geotextiles
Si un elemento se somete a una fuerza de
tracción a lo largo de su eje longitudinal, en sus
secciones transversales aparecen esfuerzos
normales de tracción (σx) y se observa que el
elemento se alarga longitudinalmente y se
acorta transversalmente. Este fenómeno se
denomina efecto Poisson y para materiales
isotrópicos y homogéneos en el rango elástico,
la deformación transversal unitaria, que es igual
en cualquier dirección transversal, guarda
proporcionalidad con la deformación unitaria
longitudinal. Esta proporcionalidad se expresa
por medio del denominado Módulo de Poisson
(ν) que es característico de cada material.
Representando la deformación unitaria
transversal por ε tran , (ε tran = εy = εz ) y la deformación longitudinal por ε long,
el Módulo de Poisson se define como:
Como se aprecia en la figura, si el elemento se
somete a una fuerza de compresión, entonces se
acortará longitudinalmente (εlong< 0) y se expandirá
transversalmente (εtran > 0)
El Módulo de Poisson es adimensional y su valor
está generalmente entre 0.25 y 0.35; por ejemplo
para el acero ν = 0.30. Algunos materiales como el
concreto tienen valores bajos (0.10 – 0.15), mientras
que el caucho tiene un coeficiente alto cercano a 0.5.
El máximo valor que puede alcanzar el módulo es
½.
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.2 - 1
2.3 Coeficiente de dilatación térmica
Frigorífico
Los cambios de temperatura ocasionan cambios en las dimensiones de los cuerpos
sobre los que actúan. El incremento de temperatura ∆T y la deformación unitaria que
produce en un cuerpo libre (ε) se relacionan por medio del llamado coeficiente de
dilatación térmica (α) como:
El valor de α es característico de cada material. En la tabla que sigue se muestran
algunos valores.
Material
α ( 1/°C)
Aluminio
Acero
Concreto
23.3 x 10 -6
11.7 x 10 -6
10.8 x 10 -6
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.3 - 1
2.4 Comportamiento de materiales bajo esfuerzo cortante
Ensayo de compresión en murete
Los cuerpos sometidos a esfuerzos cortantes
(τ) presentan deformaciones angulares (γ), las
mismas que dependen tanto de la intensidad
del esfuerzo como del material empleado.
Aunque la relación entre τ y γ no es sencilla,
para un rango pequeño de deformaciones,
existe una relación de proporcionalidad entre
esfuerzos y deformaciones que se expresa
como
τ=Gγ
La constante de proporcionalidad G se denomina Módulo de Rigidez o Módulo de
Corte y su valor es característico de cada material.
Como se verá en el capítulo 7, el Módulo de Corte (G), el Módulo de Elasticidad (E)
y el coeficiente de Poisson (ν), guardan la siguiente relación:
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.4 - 1
2.5 Esfuerzo admisible y factor de seguridad
Tijeral de madera
Si un elemento fabricado de un material frágil, recibe cargas que le ocasionan
esfuerzos iguales a los de rotura del material (σu ), entonces de manera súbita se
rompe y queda fuera de servicio. De manera similar, si un elemento hecho de un
material dúctil se somete a esfuerzos iguales a los de fluencia del material (σf ),
presentará deformaciones tan importantes que quedará también fuera de servicio.
Para efectos prácticos y bajo solicitaciones simples, consideraremos que la falla se
produce cuando el material alcanza el denominado esfuerzo de falla (σfalla) el que
se toma como el esfuerzo último para un material frágil, o como el esfuerzo de
fluencia para un material dúctil.
Con el fin de lograr que los elementos y los sistemas tengan un comportamiento
adecuado, es necesario limitar los esfuerzos que reciben a valores que son una
fracción del esfuerzo de falla del material. El esfuerzo máximo que se admite,
denominado esfuerzo admisible del material (σadm) se determina como el cociente
entre el esfuerzo de falla y un valor denominado FACTOR DE SEGURIDAD MINIMO
(FS), mayor que la unidad.
Por ejemplo si los cables mostrados en
la figura, están fabricados de un
material dúctil con esfuerzo de fluencia
σf = 2400 kg/cm² empleando un factor
de seguridad de FS = 3, tendremos que
el esfuerzo admisible para ambos será
El factor de seguridad mínimo requerido depende del tipo de material, de la
importancia del sistema y de la seguridad que se debe proporcionar.
Los esfuerzos a los que trabajan los elementos y piezas de un sistema, se
denominan esfuerzos de trabajo (σtrab), y suelen ser valores cercanos al esfuerzo
admisible, pero no necesariamente iguales. Por esta razón, cada elemento podrá
estar trabajando con un factor de seguridad que no necesariamente es igual al factor
de seguridad mínimo requerido, y que tendrá que calcularse como:
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.5 - 1
Si los cables del ejemplo, tienen un
área de sección transversal A=2 cm² y
soportan las cargas de 1200 kg y 1500
kg mostradas en la figura, los esfuerzos
de trabajo serán:
cable izquierdo
cable derecho
Por tanto los factores de seguridad de trabajo serán:
cable izquierdo
cable derecho
Cuando se trata de un sistema compuesto de varios elementos, la carga admisible
(Padm) se puede definir en función de la carga que produce la falla en el sistema
(Pfalla) y un factor de seguridad como:
También, como la carga que realmente actúa sobre un sistema (Ptrab), puede ser
menor que la carga admisible, el factor de seguridad del sistema será:
Como se ve en los ejemplos que siguen, para determinar la carga de falla o el factor
de seguridad de un sistema, es necesario investigar los factores de seguridad en los
diferentes elementos.
2.5 - 2
REMM
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Ejemplo: Factor de seguridad en un sistema
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.5 - 3
2.6 Leyes constitutivas
Ensayo de loseta de cerámica
Las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones de un material determinado
se suelen referir como las leyes constitutivas del material. Aunque en el intervalo
completo de deformaciones esta relación es compleja, para muchos materiales en el
rango elástico, se acepta la sencilla expresión lineal de la Ley de Hooke:
y
Como bajo condiciones normales de operación casi todas las obras de ingeniería
trabajan en el rango elástico, para muchos propósitos se emplea la Ley de Hooke
como relación constitutiva de la mayoría de materiales. En lo que sigue del curso
emplearemos sólo esta ley.
Para cualquier elemento de un sistema, es posible establecer una relación directa
entre la carga que recibe y la deformación que presenta conociendo sus
propiedades geométricas y las leyes constitutivas del material. La expresión que se
obtiene también suele referirse como una relación constitutiva del elemento.
Obtengamos como ejemplo la relación entre
la fuerza P y la deformación δ que se
produce en una barra de longitud L y área
transversal A, hecha de un material con
módulo de elasticidad E.
El esfuerzo normal que produce la fuerza es:
y la deformación unitaria puede expresarse como:
Sustituyendo ambas expresiones en la Ley de Hooke
σ = Eε , tendremos:
Por tanto la relación buscada será:
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.6 - 1
ó
Tanto para sistemas compuestos por varios elementos como para pequeñas zonas
de un elemento, se pueden establecer relaciones directas entre las fuerzas y los
desplazamientos. También estas expresiones se denominan relaciones o leyes
constitutivas en capítulos siguientes.
2.6 - 2
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Ejemplo: Leyes constitutivas en barras
Ejemplo: Sólidos deformables sometidos a fuerza cortante
CAP 2. PROPIEDADES MECÁNICAS
REMM
2.6 - 3
CARGA AXIAL
Puente de los suspiros
Las barras que conforman las armaduras
mostradas en la fotografía, reciben
fundamentalmente fuerzas normales en
sus secciones transversales. Así como
estos elementos, existen también piezas
de máquinas en las cuales las
solicitaciones importantes son sólo fuerzas
normales.
En este capítulo estudiaremos las deformaciones y esfuerzos que se producen en
elementos linealmente elásticos sometidos a fuerzas normales.
3.1 Deformaciones y esfuerzos bajo carga axial
Introducción a carga axial
Estudiemos las deformaciones que se
producen en un elemento sometido a una
carga externa, P, aplicada en el centro de
gravedad de la sección transversal superior.
La figura muestra el elemento cargado y tres
rodajas
imaginariamente
extraídas
a
distancias diferentes de la carga.
Si
observamos la rodaja superior, vemos que las
deformaciones en la zona central son
mayores que en los bordes.
En la rodaja intermedia también se notan deformaciones mayores en el centro de la
rodaja, pero la diferencia con los bordes es menos acentuada. En cambio, en la
rodaja inferior, alejada ya de la carga, observamos que las deformaciones tienen
una distribución prácticamente uniforme.
Dado que para los materiales con los que trabajamos, los esfuerzos son
proporcionales a las deformaciones (Ley de Hooke: σ = E ε ), existirá también una
concentración de esfuerzos hacia el centro en las secciones transversales cercanas
a la carga y una distribución de esfuerzos prácticamente uniforme en las secciones
alejadas, como se muestra en la figura que sigue.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.1 - 1
Podemos concluir que la distribución de esfuerzos va haciéndose uniforme conforme
la sección transversal considerada se aleja de la carga. Esto se conoce como el
Principio de Saint Venant en honor al ingeniero y matemático francés Adhémar
Barré de Saint Venant (1797-1886).
En realidad las cargas no actúan puntualmente
sino que lo hacen distribuidas en determinadas
áreas. Como se muestra en la figura, cuando la
superficie en la que actúa una carga es
considerable,
los esfuerzos se tornan
prácticamente uniformes aún en las cercanías
de la carga. Por el contrario cuando el área es
reducida se producen concentraciones de
esfuerzos que muchas veces suelen ser
considerables.
En este capítulo trataremos con elementos que reciben las cargas en áreas
considerables de contacto o mediante dispositivos de aplicación como el mostrado
en la figura que sigue.
3.1 - 2
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Por tanto supondremos que en cualquier sección transversal, los esfuerzos y las
deformaciones unitarias tienen una distribución uniforme y se calculan como:
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.1 - 3
3.2 Deformaciones unitarias y esfuerzos producidos por carga axial
y cambios de temperatura
Tijeral de madera
La figura muestra un elemento, sometido a
fuerzas en su eje longitudinal, x, y a un cambio
de temperatura ∆T.
Como las cargas están sobre el eje x, que es
centroidal, en cualquier sección transversal
encontraremos exclusivamente una fuerza
normal, N(x).
Por tanto, los esfuerzos normales se calcularán como el cociente de N(x) y el área
de la sección transversal A(x). A su vez las deformaciones deberán obtenerse
sumando los efectos del esfuerzo normal y del cambio de temperatura.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.2 - 1
3.3 Deformaciones normales de elementos
Torre de alta tensión
Veamos ahora como calcular la deformación
δ que se produce en un elemento sometido
a fuerzas longitudinales y un cambio de
temperatura ∆T.
Aislemos imaginariamente una rodaja de
espesor "dx" ubicada a una distancia "x" del
extremo izquierdo.
En ambas cara de la rodaja actúa una fuerza normal. La figura muestra sólo la
fuerza normal y los esfuerzos correspondientes en la cara derecha (σ(x), N(x)).
Si representamos el área de la sección transversal con A(x), el esfuerzo normal y la
deformación unitaria quedarán expresados como:
Dado que la fuerza normal y el área de la sección transversal pueden variar a lo
largo del eje x, el esfuerzo y la deformación pueden en general, ser funciones de x.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.3 - 1
La rodaja, que inicialmente tenía un espesor "dx",
sufrirá una deformación "dδ", que se calculará como:
Por tanto, el alargamiento que experimenta
todo el elemento ("δ") deberá calcularse
como la suma de los alargamientos de las
sucesivas rodajas diferenciales, es decir:
La primera integral corresponde a la deformación ocasionada por las fuerzas
normales y la segunda integral evalúa la deformación producida por el cambio de
temperatura.
Si el material es homogéneo en todo el elemento (E y α constantes) tendremos:
Si el incremento de temperatura (∆T) es constante a lo largo de todo el elemento,
entonces tendremos que:
Si además el elemento es de sección constante, área A, δ se calculará como
3.3 - 2
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
donde, la integral corresponde al área encerrada por el diagrama de fuerza normal
y el eje x según se muestra en la figura.
Representando el área del diagrama de fuerza normal con Adiag, tendremos:
Por ejemplo si sólo actúa una fuerza única P, aplicada en el extremo libre, el
diagrama de fuerza normal es rectangular y tiene por área Adiag = P L .
Entonces para una barra de sección constante, la deformación causada por el
efecto conjunto de la fuerza normal P y el cambio de temperatura será:
Veamos ahora el caso de un elemento de sección constante, área A, suspendido y
deformado por su peso propio, W. A una distancia x de la base, la fuerza normal
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.3 - 3
(N(x)) será igual al peso de la barra que está bajo la sección considerada.
Representando el peso específico del material con "q", tendremos entonces que
N(x) = q · (Volumen del sólido) = q · (A x) . Por tanto el diagrama de fuerza
normal será linealmente creciente con x, como se muestra en la figura.
Luego:
3.3 - 4
REMM
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3.4 Esfuerzos y deformaciones en sistemas isostáticos
Grúa
Sistema isostático con carga axial
Las cargas aplicadas sobre una estructura ocasionan esfuerzos internos y éstos,
junto al cambio de temperatura, causan deformaciones en las barras. A su vez,
estas deformaciones producen el desplazamiento de los nudos y el sistema
adquiere una nueva forma, denominada la configuración deformada.
y
x
z
Cuando el sistema es isostático, como el mostrado en la figura, podemos determinar
las fuerzas internas en los elementos empleando exclusivamente las ecuaciones de
equilibrio. Luego, con las fuerzas internas y las relaciones constitutivas se pueden
calcular las deformaciones en las barras. Finalmente estableciendo relaciones de
compatibilidad (ecuaciones puramente geométricas) se pueden establecer los
desplazamientos de los nudos.
A continuación se detalla el procedimiento, separando en tres las condiciones que
debe satisfacer el sistema: equilibrio, leyes constitutivas y compatibilidad.
Equilibrio.
Para el ejemplo, asumimos que las barras
ejercen sobre el nudo superior derecho las
fuerzas F1 y F2 con el sentido mostrado en la
figura. Planteamos equilibrio de fuerzas en
ambos ejes y obtenemos un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo el
sistema encontramos los valores de F1 y F2.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.4 - 1
Con los valores de F1 y F2 determinamos las fuerzas normales en ambas barras
como:
N1 = + F1
N2 = - F2
Leyes Constitutivas
Empleando ahora las relaciones constitutivas para cada barra, calculamos las
deformaciones como:
Para el ejemplo, veremos que la barra 1 crece (δ1 > 0) mientras que la barra 2 se
acorta (δ2 < 0)
Compatibilidad
Finalmente conociendo las deformaciones en las barras podemos ahora calcular los
desplazamientos de los nudos empleando relaciones exclusivamente geométricas.
3.4 - 2
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
El punto B debe haberse
desplazado
a
una
nueva
posición, B’, tal que su distancia
a los puntos A y C corresponde
ahora a las nuevas longitudes de
las barras. Por tanto, trazando
arcos desde A y C con radios
iguales
a
las
nuevas
dimensiones,
podríamos
encontrar B’ en el punto de
intersección de estos arcos.
Dado que las deformaciones y
los desplazamientos son muy
pequeños, sustituimos los arcos
por rectas perpendiculares a las
barras y encontramos B’ en la
intersección
de
éstas.
Por
razones de simplicidad las
perpendiculares se trazan desde
los extremos de las barras ya
deformadas, pero que aún no han
cambiado de inclinación.
Podemos expresar entonces la
deformación de cada barra
como la proyección del vector
desplazamientos sobre el eje
original de la barra. Así, si
representamos
el
vector
desplazamiento del nudo B por
dB = (∆x , ∆y) tendremos para
la barra 1 :
es decir:
De manera similar para la barra 2:
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.4 - 3
de donde finalmente podemos calcular la componente vertical del desplazamiento
como:
El ejemplo que sigue muestra el detalle del procedimiento.
Ejemplo: Sistema isostático con carga axial
Ejemplo: Poste con cables
3.4 - 4
REMM
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Programa interactivo: Sistema isostático con carga axial
Efecto del cambio de temperatura en sistemas isostáticos
Puede demostrarse que si un sistema isostático sin cargas se somete a un cambio
de temperatura, entonces las barras no tendrán esfuerzos (σ=0) y sólo se
deformarán por el cambio de temperatura (δ = α ∆T L). Como resultado de esta
deformación los nudos se desplazarán.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.4 - 5
3.5 Esfuerzos y deformaciones en sistemas hiperestáticos
Ruedas de bicicleta
Sistema hiperestático en carga axial
La figura muestra un sistema hiperestático sometido a cargas y a un cambio de
temperatura. Dada la naturaleza hiperestática del sistema, las fuerzas internas no
pueden calcularse empleando solamente las ecuaciones de equilibrio. Es necesario
además, considerar las características de deformabilidad de los elementos y las
relaciones geométricas que deben satisfacer las deformaciones de las barras.
Y
X
Z
A continuación se plantean las condiciones de equilibrio, compatibilidad y leyes
constitutivas que el sistema debe satisfacer y se sugiere un procedimiento general
de solución.
Equilibrio.
Podemos suponer que las barras ejercen sobre
el nudo cargado las fuerzas F1 , F2 y F3 con el
sentido mostrado en la figura. Al plantear el
equilibrio de fuerzas, obtenemos el siguiente
sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas
(1)
(2)
Existen infinitas ternas de valores (F1, F2, F3) que satisfacen estas ecuaciones. Sin
embargo de entre todas estas ternas, sólo existe un juego de valores que actuando
junto al cambio de temperatura, ocasiona en las barras deformaciones que
satisfacen las condiciones de compatibilidad.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.5 - 1
Debemos por tanto, incluir en el problema las características de deformabilidad de
las barras y plantear las relaciones geométricas para las deformaciones.
De acuerdo a los sentidos asumidos, las
fuerzas normales en las barras quedan
expresadas como:
N1 = + F1
N2 = - F2
N3 = - F3
Leyes Constitutivas
Empleando ahora las relaciones constitutivas, podemos expresar las deformaciones
de las barras en función de las incógnitas de fuerzas, y el cambio de temperatura,
obtendremos:
(3)
Compatibilidad
Las deformaciones de las tres barras deben ser
tales que el punto B se haya trasladado a una
nueva posición B’ cuya distancia a los puntos A,
C
y D corresponde ahora a las nuevas
longitudes de las barras. Por tanto, si trazamos
arcos desde A, C y D con radios iguales a las
nuevas dimensiones de las barras, estos
deberían interceptarse en el punto B’.
3.5 - 2
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Como las deformaciones y los
desplazamientos son muy pequeños,
sustituimos los arcos por rectas
perpendiculares a las barras y las tres
líneas deberán interceptarse en B’.
También por razones de simplicidad las
perpendiculares se trazan desde los
extremos de las barras ya deformadas,
pero que aún no han cambiado de
inclinación.
Aunque aún no conocemos el valor de las deformaciones, si podemos deducir la
ecuación de compatibilidad que deben satisfacer. Para esto imaginamos un
desplazamiento genérico del nudo B: dB = (∆x, ∆y), y luego expresamos la
deformación de cada barra (δi) en función de las componentes del vector
desplazamiento.
Para la barra 1 tendremos:
entonces
para la barra 2:
de donde:
de manera similar para la barra 3:
es decir:
Sustituyendo las expresiones obtenidas para ∆x y ∆y en la expresión para δ2,
obtenemos la ecuación de compatibilidad buscada:
(4)
Solución del sistema y cálculo de deformaciones y desplazamientos
Para encontrar las fuerzas F1, F2 y F3 podemos ahora sustituir las relaciones
constitutivas (ecuaciones (3)) en la ecuación de compatibilidad anterior (ecuación 4).
Obtendremos así una nueva relación entre las fuerzas, la que junto a las condiciones
de equilibrio (ec. (1) y (2) ), permite determinar los valores buscados.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.5 - 3
Empleando los valores encontrados para las fuerzas, en las relaciones constitutivas,
determinamos las deformaciones de las barras
y luego calculamos los
desplazamientos de los nudos.
El ejemplo que sigue muestra el detalle del procedimiento.
Ejemplo: Sistema Hiperestático con carga axial
Programa interactivo: Sistema Hiperestático con carga axial
3.5 - 4
REMM
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Efectos del cambio de temperatura en sistemas hiperestáticos
Cuando un sistema hiperestático sin cargas se somete a un cambio de temperatura,
aparecen esfuerzos en las barras (σ ≠ 0) y estas podrían o no deformarse
dependiendo de las posibilidades de movimiento que tengan sus extremos.
Generalmente las deformaciones de las barras ocasionan el movimiento de los
nudos que no están fijos.
CAP 3. CARGA AXIAL
REMM
3.5 - 5
TORSION
Ensayo de torsión de Coulomb
Podemos encontrar en la práctica de la ingeniería una serie de elementos sometidos
a torsión, como por ejemplo los ejes circulares macizos de transmisión, las vigas
rectangulares que forman balcones en las edificaciones, etc.
En el presente capitulo estudiaremos los esfuerzos y las deformaciones que se
presentan en elementos sometidos a torsión. Trataremos con elementos de sección
circular o rectangular y también con barras de pared delgada. Supondremos que el
material es linealmente elástico.
4.1 Torsión en barras rectas de sección circular
Torsión en barras de sección circular
Analicemos los esfuerzos y las deformaciones producidos por un momento torsor
aplicado sobre un elemento de sección circular maciza o hueca. Para ello tracemos
en la superficie exterior del elemento las circunferencias y los segmentos rectos que
se muestran en la figura.
4.1.1 Análisis de Deformaciones
Luego de aplicar el momento torsor la barra se deforma. La figura que sigue
muestra el elemento con las deformaciones ampliadas para facilitar el análisis.
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.1 - 1
Al observar en detalle vemos que todas las circunferencias trazadas siguen
contenidas en el mismo plano transversal al que pertenecieron antes de la aplicación
del Momento Torsor. Por tanto, podemos decir que las secciones transversales
planas siguen siendo planas luego de la deformación, es decir que en barras de
sección circular no existe el fenómeno de alabeo.
Podemos observar también que la distancia entre dos secciones transversales (“s“
en la figura) permanece constante y que los radios de las secciones transversales
permanecen rectos y no cambian de longitud.
Esto nos lleva a afirmar que no existen deformaciones lineales longitudinales ni
radiales en el elemento. En cambio, si observamos la superficie lateral de la barra,
vemos que los ángulos formados por los segmentos rectos y las circunferencias han
cambiado, indicando que la aplicación del momento torsor ha ocasionado
deformaciones angulares
Poste en torsión
Consideremos ahora un elemento diferencial de longitud dx y radio r, menor que el
radio exterior (R).
Al aplicar el momento torsor, la sección de la
derecha gira respecto de la sección izquierda
un ángulo dφ y se produce la deformación
angular, γ
Podemos relacionar dφ y γ por medio del arco HJ como:
por lo tanto :
ó
4.1.2 Análisis de esfuerzos
Las deformaciones angulares producidas por el momento torsor vienen
acompañadas de esfuerzos cortantes que, en cada punto de la sección transversal
siguen la dirección perpendicular al radio respectivo “r”.
4.1 - 2
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Para satisfacer el equilibrio diferencial en cada punto, deberá existir un esfuerzo
cortante en dirección longitudinal, numéricamente igual al esfuerzo en la sección
transversal. La figura que sigue muestra ambos esfuerzos.
Como se ha supuesto que el material sigue la Ley de Hooke, el esfuerzo cortante en
la sección transversal, a una distancia “r” del eje del elemento será:
r
Tomando ahora un elemento diferencial de área dA a una distancia r del eje del
elemento, el diferencial de fuerza será:
y el diferencial de momento torsor correspondiente:
Luego, integrando:
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.1 - 3
tendremos
Luego, para un punto cualquiera de la sección ubicado a una distancia r del centro
tendremos:
Esta expresión nos muestra que, el esfuerzo
cortante en un punto de la sección es
directamente proporcional a la distancia del
punto al centro de la sección. Por tanto el
esfuerzo cortante será cero en el centro y
tendrá un valor máximo en los puntos más
alejados de éste.
.
Podemos plantear también:
ó que:
Luego, la distribución de esfuerzos cortantes a lo largo de un diámetro para una
sección transversal circular maciza será:
4.1 - 4
REMM
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Y la distribución de esfuerzos para una sección transversal circular hueca será:
Potencia
Eje de transmisión
Es común encontrar ejes circulares de transmisión de potencia a los cuales se les
aplica un momento torsor a través de motores o máquinas.
Si se define la Potencia como el trabajo realizado por unidad de tiempo, y el trabajo
generado por un momento torsor como T.d θ , entonces:
Donde ω es la velocidad angular
y f es la frecuencia
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.1 - 5
Las unidades de potencia más comúnmente usadas son los Watts, y los caballos de
fuerza (horse power).
1 Watt= 1N·m/s
1 hp = 550 pies·libra/s
4.1.3 Ángulo de giro debido a torsión
Hemos deducido que:
Por tanto:
Luego
Finalmente, el ángulo de torsión entre dos secciones transversales A y B se
calculará como:
En el caso en el que una de las dos secciones no pueda girar, como por ejemplo si
la sección A es un empotramiento, entonces:
4.1 - 6
REMM
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Si el momento torsor es constante entre A y B, y la sección transversal también,
entonces:
Ejemplo: Torsión en elementos de sección circular
Ejemplo: Torsión en sistema isostático con engranajes
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.1 - 7
Comparación entre carga axial y torsión en barras de sección circular
Es posible hacer algunas analogías entre las fórmulas encontradas para los casos
de un elemento sometido a una carga axial P y un elemento de sección circular
sometido a un momento torsor T.
Carga axial
Torsión en barras de sección circular
Rango linealmente elástico
Rango linealmente elástico
Como se puede apreciar, las pendientes de las rectas de subida de las gráficas
σ vs. ε y τ vs. γ son E y G respectivamente, cumpliéndose en el rango
linealmente elástico:
y
Asimismo, para el cálculo de la deformación axial y el ángulo de giro en el extremo
B, hemos encontrado:
4.1 - 8
REMM
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Si la sección transversal es constante:
Sección constante
CAP 4. TORSIÓN
Sección constante
REMM
4.1 - 9
4.2 Torsión en barras rectas de sección no circular
Viga en torsión
Torsión en barras de sección no circular
Estudiaremos ahora el fenómeno de torsión en elementos de sección rectangular y
en elementos de pared delgada.
Al someter a torsión a una barra de sección no circular, vemos que sus secciones
transversales, inicialmente planas, no se mantienen planas luego de la deformación.
Este fenómeno se conoce como el alabeo de la sección transversal.
Sección
alabeada
El análisis de los esfuerzos y las deformaciones en el caso de secciones no
circulares es bastante complejo y escapa al alcance de este texto. Sin embargo, es
posible conocer la distribución de esfuerzos en ciertas regiones y obtener los valores
máximos como se ve en este acápite.
En la superficie exterior de la barra mostrada no existen esfuerzos cortantes, por
tanto en la sección transversal, los esfuerzos normales al borde deben ser nulos
(τ n= 0) y sólo pueden existir esfuerzos cortantes paralelos al borde (τ t).
Superficie exterior
y sin esfuerzo
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.2 - 1
Para el caso de una sección rectangular, el esfuerzo cortante en cualquier esquina
de la sección debe ser nulo, ya que no pueden existir esfuerzos en ninguna de las
dos direcciones normales al borde.
T(x)
4.2.1 Analogía de la membrana
Existe un paralelo físico entre el problema de torsión y el de una membrana
sometida a presión uniforme, colocada sobre una plancha que tiene una perforación
igual a la sección transversal en estudio.
El paralelo es el siguiente:
•
•
•
4.2 - 2
El esfuerzo cortante en un punto P (y, z) de la sección transversal (τ) es
proporcional a la pendiente máxima de la membrana en el punto
correspondiente. En la figura τ es proporcional a tang φ.
El esfuerzo cortante en un punto P (y, z) tiene la dirección de la tangente
horizontal de la membrana en P. Es decir τ es paralelo a µ en la figura.
El momento torsor es proporcional al volumen encerrado entre la membrana y
la superficie horizontal que ocupaba inicialmente.
REMM
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4.2.2 Esfuerzos y deformaciones en una sección rectangular
Usemos la analogía de la membrana para estudiar la distribución de esfuerzos
cortantes en un elemento de sección rectangular, de lados a y b. La figura muestra
el elemento en torsión y la forma que toma la membrana respectiva.
En la membrana se han resaltado 3 curvas que corresponden a su intercepción con
los planos verticales que pasan por el eje y, por el eje z y por la diagonal. El detalle
de estas curvas se muestra a continuación.
z
y
diagonal
Se observa que al centro de la membrana y en las esquinas no hay inclinación, por
tanto en estos puntos el esfuerzo cortante será nulo. También como α1 > α2 el
esfuerzo a la mitad del lado más largo será mayor que el correspondiente al lado
más corto. La figura que sigue muestra la distribución de esfuerzos sobre los ejes,
la diagonal y los lados de la sección.
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.2 - 3
Empleando la teoría de la elasticidad puede demostrarse que:
Donde c1, c2 y c3 son funciones de a/b como se muestra en la tabla siguiente:
Para T, a, b y G constantes, tendremos:
4.2 - 4
REMM
Pontificia Universidad
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Para un elemento de sección rectangular muy alargada (a/b → ∞) podemos asumir
que c1 = c2 = 1/3 y c3 =0.74
Denominando ahora “t” al espesor y suponiendo que el momento torsor se mantiene
constante a lo largo de la longitud “L” del elemento, tendremos:
4.2.3 Elementos de pared delgada
Denominados también perfiles de pared delgada. Son elementos en los cuales el
espesor “ t ” de la pared es comparativamente mucho menor que las otras
dimensiones de la sección transversal.
Los perfiles se pueden clasificar en perfiles abiertos y cerrados.
continuación ambos tipos.
Estudiaremos a
Perfiles abiertos desarrollables
Son aquellos que pueden transformarse en elementos de sección rectangular muy
alargada con sólo modificar la forma de la línea media de la sección.
La figura muestra la sección transversal de tres perfiles desarrollables de espesor “t”
y longitud de línea media “l“.
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.2 - 5
Estos tres perfiles pueden abrirse (desarrollarse) hasta obtener un elemento de
sección rectangular alargada como se muestra en la figura.
Si construimos las membranas para los tres perfiles mostrados y para el perfil
rectangular alargado correspondiente, veremos que todas las membranas adoptan
una forma del tipo parabólico en cualquier espesor “ t ” alejado de los extremos.
Por tanto, el esfuerzo cortante tendrá una distribución casi lineal en el espesor “t “,
con un valor cero en la línea media y valores máximos en los extremos.
Dada la similitud referida para la forma que adoptan las membranas, el esfuerzo
cortante máximo de un perfil desarrollable se puede obtener con la expresión
empleada para un perfil rectangular alargado. Es decir:
Y si además, el momento torsor se mantiene constante a lo largo de la longitud “L”
del elemento, el giro relativo entre sus extremos se calculará como:
4.2 - 6
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Perfiles abiertos compuestos
Son elementos formados por varios perfiles de sección alargada, unidos de tal
manera que el perfil resultante ya no puede desarrollarse en un rectángulo único.
Empleando la analogía de la membrana veremos que, para los perfiles componentes
es posible asumir un comportamiento similar al de elementos independientes de
sección rectangular alargada.
≈
Por tanto, la relación entre el giro y el torsor de cada perfil componente se puede
expresar como:
ó
Ya que el momento torsor “T” es resistido por la acción conjunta de todas las partes
tendremos:
y como el giro es único para todos los perfiles componentes:
Luego, el esfuerzo máximo en cada parte componente se calculará como:
ó reemplazando la expresión encontrada para φ tendremos:
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.2 - 7
Perfiles cerrados
Son elementos tubulares de pared delgada con sección transversal cerrada. La
figura muestra la sección transversal de 3 perfiles cerrados.
Al construir la membrana para cualquiera de estos perfiles, vemos que en cada
espesor “t“, la membrana luce prácticamente como una línea recta. Por tanto en
cada espesor el esfuerzo cortante será prácticamente constante y paralelo a la línea
media.
Flujo de corte (q)
Tomemos un elemento diferencial con espesor variando de “t1“ a “t2“ en un
segmento de la línea media. La figura que sigue muestra este elemento junto a las
fuerzas que recibe.
4.2 - 8
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Planteando equilibrio de fuerzas en el eje X tendremos:
constante
En general, el producto del esfuerzo cortante por el espesor es un valor constante al
que llamaremos flujo de corte y representaremos por q.
Dado que en cada espesor “ t “ los esfuerzo son paralelos a la línea media, el flujo
de corte puede interpretarse como una fuerza por unidad de longitud, que va
recorriendo la línea media con valor constante.
Es evidente que como el flujo es constante, τ será máximo donde t sea mínimo.
Planteando la equivalencia entre el torsor aplicado “ T ” y el torsor resultante del
flujo distribuido, se obtienen las siguientes relaciones:
ó
y
En estas expresiones, Â es el área encerrada por la línea media, como se ve en la
figura que sigue.
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.2 - 9
En cuanto al giro de torsión puede demostrarse que:
donde
se evalúa a lo largo de toda la línea media
Ejemplo: Torsión en elementos de sección no circular
4.2 - 10
REMM
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Ejemplo: Comparación de torsión: sección abierta y cerrada
Programa interactivo: Efectos de torsión para diferentes secciones
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.2 - 11
4.3 Sistemas hiperestáticos en torsión
Como se recordará, para resolver cualquier sistema hiperestático es necesario
recurrir además de las ecuaciones de equilibrio, a las relaciones geométricas propias
del sistema (ecuaciones de compatiblidad) e incorporar las relaciones esfuerzo
deformación de los elementos (leyes constitutivas).
Luego de plantear y resolver el juego de ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y
leyes constitutivas, el análisis de esfuerzos en las secciones transversales puede
hacerse con las expresiones presentadas a lo largo de este capítulo.
Ejemplo: Torsión en sistema hiperestático
g
Programa interactivo: Sistema hiperestático sometido a torsión
CAP 4. TORSIÓN
REMM
4.3 - 1
FLEXIÓN Y CORTANTE
5.1 Introducción
Puente
La figura muestra un elemento recto en equilibrio bajo la acción de cargas
perpendiculares a su eje.
En cada sección transversal de este elemento, las
cargas actuantes junto a las reacciones producen un momento flector y una fuerza
cortante. Si las cargas actúan en un plano de simetría este problema se conoce
como flexión plana o flexión transversal.
Experimento de Galileo
Probablemente el primer experimento para estudiar la flexión en vigas fue
desarrollado por Galileo en el siglo XVII (Ver foto adjunta). Aunque las conclusiones
de Galileo respecto al problema de flexión fueron erradas, este experimento
constituye una muestra temprana del valor que tiene la experimentación en la
construcción de teorías de comportamiento.
Galileo Galilei
En este capítulo se estudian las deformaciones y esfuerzos que se producen en las
secciones transversales de un elemento por efecto del momento flector y la fuerza
cortante. También se desarrollan procedimientos para determinar la forma que
adquiere el eje longitudinal de un elemento sometido a cargas transversales.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.1 - 1
5.2 Características de los elementos y las cargas
Stonehenge
Trataremos con elementos construidos de materiales linealmente elásticos tanto
para esfuerzos normales como para esfuerzos cortantes.
Estudiaremos elementos rectos que tienen un plano de simetría y cuya longitud es
considerablemente mayor que las dimensiones de la sección transversal.
Emplearemos el eje x para el eje longitudinal del elemento y el plano xy para el
plano de simetría como se muestra en la figura.
Las cargas actúan en el plano de simetría del elemento o simétricamente respecto a
éste.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.2 - 1
5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión
Puente grúa
5.3.1 Flexión pura
Para cierta disposición de cargas, algunos tramos de los elementos que las
soportan están sometidos exclusivamente a momento flector. Este caso se suele
llamar flexión pura y nos servirá para iniciar el estudio de las deformaciones y
esfuerzos que se producen por flexión.
Por ejemplo la viga mostrada en la figura, soporta dos cargas equidistantes de los
extremos y tiene su tramo central (tramo BC) sometido exclusivamente a un
momento flector constante M= P.d (V= 0).
5.3.2 Análisis de deformaciones
Flexión
En la superficie de la viga del ejemplo anterior se ha trazado una cuadrícula para
observar la deformación que producen las cargas aplicadas. En esta cuadrícula se
resaltan dos segmentos longitudinales “a” y “b” para estudiar sus deformaciones
luego de aplicadas las cargas. En la figura se muestra la viga antes y después de
la aplicación de las cargas.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.3 - 1
Analicemos una pequeña porción del tramo central de la viga sometido a flexión
pura.
Se aprecia que el segmento longitudinal “a” de la superficie superior se ha acortado,
al igual que todos los segmentos longitudinales de esta superficie. Es decir en la
superficie superior observamos que la deformación unitaria en x es negativa, εx > 0.
En cambio el segmento “b” de la superficie inferior se ha alargado como también lo
han hecho todos los segmentos longitudinales de esta superficie, es decir en esta
superficie la deformación unitaria en el eje x es positiva, εx < 0.
A diferencia de los dos segmentos anteriores, existe un segmento “c” que no se
deforma, es decir εx = 0. De igual manera tampoco existe esta deformación en toda
la superficie que contiene al segmento “c” y que es paralela a las superficies
superior e inferior. Esta superficie se denomina superficie neutra y la intersección
de esta superficie con una sección transversal se llama el eje neutro de la sección.
5.3 - 2
REMM
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Vemos que las deformaciones longitudinales, εx, varían con la posición del
segmento considerado respecto de la superficie neutra. Estudiemos ahora la
geometría del problema para establecer la ecuación de variación correspondiente.
Observemos las secciones transversales extremas de la porción de viga en estudio.
Vemos que las secciones transversales permanecen planas luego de la deformación
(hipótesis de Navier) y que los planos que las contienen sólo se han inclinado
formando un ángulo dθ e intersectándose en un eje.
La distancia desde el eje de intersección de los planos que contienen las secciones
transversales extremas hasta la superficie neutra se conoce como radio de curvatura
y se denota por ρ. En este capítulo trataremos sólo con elementos cuyas
dimensiones de la sección transversal son significativamente menores que el radio
de curvatura.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.3 - 3
El inverso del radio de curvatura se denomina curvatura de la viga
Fijemos ahora un sistema cartesiano en la sección transversal.
Ubiquemos el
origen en la intersección del eje neutro y el plano de simetría y estudiemos la
deformación longitudinal que se produce en una superficie paralela a la superficie
neutra cuya posición se mide por la coordenada “y”.
En la figura que sigue se muestra la superficie neutra y la superficie en estudio junto
a dos segmentos longitudinales. El segmento AB está contenido en la superficie
neutra y el segmento CD está en la superficie en estudio. La figura muestra los
segmentos antes y después de la deformación.
Antes de la deformación los dos segmentos tienen la misma longitud, es decir
Luego de la deformación, el segmento
, inicialmente recto, se ha transformado
en un arco de circunferencia pero conserva su longitud inicial ya que está contenido
en el plano neutro. Por tanto, su longitud inicial también puede expresarse en
función del radio de curvatura y el ángulo dθ como
Como antes de la deformación los segmentos
podemos expresar la longitud inicial de
como:
5.3 - 4
REMM
y
son de igual longitud,
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En cambio el segmento
luego de la deformación, además de haber adquirido la
forma de un arco de circunferencia, se ha acortado y su nueva longitud,
, se
final
puede expresar en función del radio de este arco, ρ − y, y el ángulo dθ como:
Con las longitudes final e inicial del segmento, determinamos ahora su deformación
unitaria, como:
Es decir εx varía linealmente con la distancia medida a la superficie neutra.
Un segmento paralelo al eje neutro se suele denominar fibra de la sección
transversal. Todos los puntos de una fibra equidistan del eje neutro y por tanto
tienen la misma deformación longitudinal, que se determina también por la expresión
anterior.
La figura muestra la variación de la deformación εx para momento positivo y
negativo.
Hemos visto que el momento flector causa deformaciones longitudinales εx y por
tanto acompañando a estas deformaciones existirán esfuerzos normales a la sección
transversal σx.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.3 - 5
5.3.3 Análisis de Esfuerzos
Conociendo la deformación unitaria a una altura “y” del eje neutro, y empleando la
Ley de Hooke, podemos ahora expresar el esfuerzo normal correspondiente como:
Esta expresión nos indica que el esfuerzo normal σx varían linealmente con la
coordenada “y” y es inversamente proporcional al radio de curvatura. La figura
muestra esta distribución de esfuerzos.
Del análisis hasta aquí desarrollado podemos reconocer intuitivamente la directa
relación entre el momento flector actuante y los esfuerzos normales en la sección
transversal. Podemos ver que cuando no existe un momento flector aplicado,
tampoco existirán esfuerzos normales y también podemos percibir que los esfuerzos
serán elevados en la medida que el momento flector también lo sea. A continuación
se estudia esta relación entre el momento flector actuante y los esfuerzos normales
que produce.
5.3 - 6
REMM
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La sección en estudio se encuentra sometida exclusivamente a un momento flector
que, representado vectorialmente, resulta perpendicular al plano de simetría del
elemento, plano xy, y por tanto paralelo al eje z.
Este momento flector se
representa por Mz.
Como estamos tratando el caso de flexión pura, las demás fuerzas internas en la
sección serán nulas, es decir:
Para una sección transversal los esfuerzos normales pueden interpretarse como un
sistema de fuerzas distribuidas, que debe ser estáticamente equivalente al juego de
fuerzas internas en esta sección.
Para el caso de flexión pura, la fuerza resultante del sistema distribuido debe ser
nula en la dirección x, ya que no existe fuerza normal en la sección transversal.
También la resultante de momentos del sistema distribuido, debe ser un momento
único en z, igual al momento flector actuante Mz.
Hemos convenido en instalar el sistema cartesiano ubicando el eje z sobre el eje
neutro de la sección, pero no conocemos aún la ubicación de este eje neutro.
Empleemos la equivalencia de fuerzas en x para determinar esta ubicación
La figura muestra un diferencial de área de la sección transversal, dA, junto al
diferencial de fuerza actuante sobre ella, dF=σx dA, donde:
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.3 - 7
La fuerza resultante del sistema distribuido de esfuerzos sobre toda el área de la
sección transversal, en la dirección del eje x se calculará como:
Como en la sección E y ρ son constantes, tendremos:
La integral constituye el momento estático del área de la sección transversal
respecto al eje z. Sustituyendo esta integral por el producto del Area de la sección
(A) por la distancia de su centro de gravedad al eje z ( y ) tendremos:
Como esta resultante debe ser igual a la fuerza normal actuante que es nula (Rx=0)
tendremos:
y además como E, ρ y A son diferentes de cero
tendremos:
Es decir la distancia del centro de gravedad de la sección transversal al eje z es nula
y por tanto el eje z debe ser un eje centroidal.
Como además el eje y es un eje de simetría, los ejes y y z además de centroidales
son también principales.
5.3 - 8
REMM
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Calculemos ahora el momento resultante respecto al eje z del sistema de esfuerzos
distribuidos. Un diferencial de fuerza, dF=σx dA, a una distancia “y” producirá un
diferencial de momento resultante igual a
Por tanto el momento resultante de todo el sistema de esfuerzos será:
y como E y ρ son constantes tendremos:
Como la integral constituye el momento de inercia de la sección transversal respecto
al eje z, Iz, tendremos:
Como este momento resultante debe ser igual al momento flector en z que actúa en
la sección transversal, Mz, tendremos:
de donde podemos expresar el radio de curvatura como:
Como se ve el radio de curvatura es inversamente proporcional al momento flector
en la sección. Por ejemplo en la viga que se muestra en el figura, el momento
flector varía desde cero en el extremo libre, hasta un valor máximo en el
empotramiento, por tanto, el radio de curvatura será máximo en el extremo libre
( ρ = ∞ ) , y variará hasta su menor valor en el empotramiento.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.3 - 9
Hemos logrado expresar el esfuerzo normal en función del radio de curvatura como:
Al sustituir en esta igualdad, la expresión encontrada para el radio de curvatura,
tendremos finalmente:
5.3.4 Esfuerzos máximos y módulos de sección
Como se deduce de la expresión anterior, los esfuerzos normales producidos por
flexión son proporcionales a la distancia al eje neutro (coordenada y). Por tanto, los
esfuerzos máximos de tracción y compresión se encontrarán en las fibras más
alejadas del eje neutro dentro de la respectiva zona de tracción o compresión.
La figura que sigue muestra dos secciones en flexión, la primera sometida a un
momento flector positivo y la segunda bajo la acción de un momento negativo. En
ambos casos se indican las distancias de las fibras más alejadas en tracción y
compresión.
5.3 - 10
REMM
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También en ambos casos, los valores máximos del esfuerzo normal en las fibras
más alejadas en tracción y compresión se determinan por las siguientes
expresiones:
Estos valores máximos del esfuerzo normal, se pueden expresar también en función
del llamado Módulo de sección, S, que se define como el cociente entre el
momento de inercia de la sección Iz y la distancia a la fibra más alejada.
Dependiendo de si se trata de la fibra más alejada en tracción o compresión,
tendremos las siguientes expresiones para calcular el módulo respectivo:
Como se deduce de estas expresiones, los módulos de sección dependen
exclusivamente de la forma de la sección transversal.
Empleando las expresiones anteriores, los esfuerzos máximos de flexión se
expresan como:
En la deducción de las expresiones hasta aquí obtenidas en el presente capítulo, se
supuso la presencia exclusiva de un momento flector (caso de flexión pura). Sin
embargo, tal como se explica en acápites posteriores, todas las expresiones
encontradas son igualmente válidas cuando además del momento flector existe una
fuerza cortante, con la condición de que las dimensiones de la sección transversal
sean significativamente menores que la longitud del elemento.
Viga en flexión
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.3 - 11
Programa interactivo: Viga
5.3.5 Deformaciones en la sección transversal
Tal como se estudió en los acápites anteriores, cuando en una sección transversal
actúa exclusivamente un momento flector en el eje z, (Mz), se producen esfuerzos
normales exclusivamente en la dirección del eje x. Estos esfuerzos se relacionan
con el módulo de elasticidad del material y el radio de curvatura como:
Acompañando estos esfuerzos, están las deformaciones unitarias en la dirección del
eje x, las mismas que se expresan por:
Debido al efecto Poisson existen también deformaciones unitarias en las direcciones
y y z , que se expresan como:
Como se puede notar ambas deformaciones varían con la coordenada y, es decir
con la distancia al eje neutro.
5.3 - 12
REMM
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Debido a la deformación unitaria en la dirección del eje z, cada segmento de la
sección transversal paralelo a este eje, cambia de longitud y este cambio depende
también de su distancia al eje neutro.
Así tal como se muestra en la figura, cuando actúa un momento flector positivo, los
segmentos por encima del eje neutro crecen y los segmentos por debajo de este eje
se acortan, siendo el eje neutro el único segmento que conserva su longitud original.
Como los segmentos de la sección transversal paralelos al eje z cambian su longitud
de acuerdo a su distancia al eje neutro, la sección completa se curva en su propio
plano. Esta curvatura se denomina curvatura anticlástica y el radio
correspondiente se denota por ρ'.
Expresemos ahora la deformación
segmento EF mostrado en la figura.
εz
en función del cambio de longitud del
La longitud inicial del segmento EF es igual a la longitud final del segmento GH ya
que éste no cambia de longitud por estar sobre el eje neutro, por tanto:
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.3 - 13
Por otro lado, la longitud final de EF se puede expresar como:
por tanto
Se dedujo también que:
Por tanto, al igualar ambas expresiones para εz, podemos relacionar la curvatura
anticlástica y la curvatura en el plano de simetría por la siguiente expresión:
Egor Popov y Marcial Blondet
5.3 - 14
REMM
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5.4 Deflexiones
Flechas
La figura muestra un elemento con un plano de simetría en el que actúan cargas
perpendiculares a su eje.
Por efecto de estas cargas, el elemento se deforma de manera tal que cualquier
punto en una sección transversal entre los apoyos, se desplaza prácticamente
paralelo a las cargas. Estos desplazamientos se denominan las deflexiones o las
flechas del elemento. En la viga mostrada, las cargas verticales actuando en el
plano de simetría de la viga, hacen que las secciones transversales se desplacen
verticalmente. Generalmente las flechas son muy pequeñas pero en las figuras las
representaremos amplificadas para una mejor comprensión.
Antes de aplicar las cargas, la superficie neutra se encuentra contenida en un plano
horizontal; luego de la aplicación de cargas, la superficie neutra se transforma en
una superficie curva.
Puente Tahuamanú
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.4 - 1
5.4.1 La curva elástica
Jacob Bernoulli
Como las deformaciones verticales εy en la sección transversal son sensiblemente
menores que las deformaciones longitudinales, εx, todos los puntos de una sección
transversal tienen prácticamente el mismo desplazamiento vertical. Por tanto, el
desplazamiento de la superficie neutra permite representar el desplazamiento de
todo el elemento.
Por otro lado, como las deformaciones εz son considerablemente menores que las
deformaciones longitudinales, prácticamente no existe movimiento horizontal dentro
de una sección transversal. Por tanto, bastará con elegir una curva en la superficie
neutra como representativa de la deformación de toda la viga. Esta curva se
denomina la curva elástica y por simplicidad se elige como la intersección del plano
de simetría con la superficie neutra. De este modo, la curva elástica queda
conformada por los centros de gravedad de todas las secciones transversales que
forman la viga.
Matemáticamente, la curva elástica o simplemente la elástica, se representa por su
ecuación en el plano de simetría. Si representamos el eje de las deflexiones por v, la
curva elástica quedará definida por una función v(x), que dependerá también de las
cargas aplicadas y las propiedades mecánicas de la viga.
5.4 - 2
REMM
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5.4.2 Ecuación diferencial de la curva elástica
Leonard Euler
La elástica es una curva plana, contenida en el plano x-v, y por tanto su curvatura
se expresa como:
En un elemento en flexión, las flechas son valores muy pequeños en comparación a
la longitud del elemento y por tanto las rectas tangentes a la curva forman ángulos
muy pequeños con el eje x.
Ya que el ángulo que forman las rectas tangentes con el eje horizontal es reducido,
la tangente correspondiente (dv/dx) elevada al cuadrado se puede considerar
aproximadamente igual a cero, es decir
Por tanto, la curva elástica puede aproximarse razonablemente bien para fines
prácticos por la siguiente expresión:
Por otro lado, se encontró que la curvatura y el momento flector en una sección
transversal, se relacionan como:
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.4 - 3
Así, igualando las dos últimas expresiones tendremos:
Esta ecuación se conoce como la ecuación diferencial de la curva elástica.
5.4.3 Determinación de la curva elástica
La ecuación diferencial de la curva elástica, se puede resolver empleando
integraciones sucesivas.
Recordemos en primer lugar que, si dos funciones tienen sus derivadas iguales,
digamos por ejemplo que si f’(x) = g’(x), entonces las funciones sólo difieren en una
constante. Así, al integrar la igualdad indicada como ejemplo, obtendríamos f(x) =
g(x) + constante.
De este modo, integrando ambos miembros de la ecuación diferencial de la curva
elástica tendremos:
es decir:
donde c1 es la constante de integración.
Como ya se indicó, las rectas tangentes a la elástica forman ángulos muy pequeños
con el eje x, y por tanto podemos aproximar la tangente de estos ángulos por el
ángulo mismo. Si representamos con θ(x) al ángulo de giro de la curva elástica,
podemos aceptar con suficiente precisión que:
De este modo
5.4 - 4
REMM
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Finalmente integrando una vez más esta expresión podemos obtener la ecuación
misma de la curva elástica. Así:
es decir
Las constantes c1 y c2, introducidas en el proceso de doble integración se
determinan considerando las condiciones de apoyo de la viga. Por ejemplo en un
extremo empotrado tanto la flecha como el ángulo de giro son nulos. En un apoyo
simple, la flecha es nula pero el giro puede no serlo. La figura que sigue resume
algunas condiciones de apoyo que servirán para determinar las constantes de
integración.
Ensayo de viga
Generalmente interesa conocer los valores máximos de las deflexiones con el fin de
no exceder ciertos límites pre-establecidos. Como ejemplo, a continuación se
determina la elástica de una viga en voladizo sometida a una carga en su extremo
libre y luego se establecen los valores máximos de la flecha y del ángulo de giro.
La figura muestra una viga en voladizo, de sección constante (EI = constante) y
longitud L, sometida a una carga P en su extremo libre. Encontraremos la ecuación
de la curva elástica empleando el sistema de coordenadas que se muestra también
en la figura.
x
x
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.4 - 5
Para obtener el momento flector como función de x, M(x), consideramos el equilibrio
de momentos del tramo AC que se muestra aislado en la figura.
Luego, la ecuación diferencial de la curva elástica será:
Integrando una vez tendremos:
− Px 2
=
+ C1
2 EI
Luego de esta primera integración, si no se conoce el valor del giro en una
determinada posición, la determinación de la constante de integración se posterga
hasta después de efectuada la segunda integración.
En este caso, si es posible determinar la constante c1 luego de esta primera
integración, gracias a que conocemos que el giro es nulo en el empotramiento, es
decir θ=0 para x = L. Por tanto, reemplazando estos valores en la expresión
anterior, tendremos:
de donde
Luego
5.4 - 6
REMM
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Integrando por segunda vez tendremos:
La constante c2 se determina empleando la condición de que la flecha es nula en el
extremo derecho, es decir v=0 para x = L, por tanto:
de donde
Finalmente la ecuación de la curva elástica será:
Los valores máximos del giro y la fecha, corresponden al extremo libre de la viga,
por tanto sustituyendo x=0 en las expresiones encontradas para el giro y la elástica
tendremos:
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.4 - 7
Ejemplo: Sistema isostático en flexión
Ejemplo: Ejemplo: Sistema hiperestático en flexión (1)
5.4 - 8
REMM
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Ejemplo: Sistema hiperestático en flexión (2)
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.4 - 9
Programa interactivo: Deflexiones
5.4 - 10
REMM
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5.5 Carga transversal en barras de sección simétrica
Es frecuente encontrar elementos unidimensionales que tienen un plano de simetría
y que están sometidos a cargas simétricamente aplicadas respecto a este plano. En
cualquier sección de estos elementos se pueden presentar exclusivamente un
momento flector y una fuerza cortante, acciones que en conjunto se denominan
flexión simple.
Como se recordará, la relación para estas fuerzas internas es:
con V y M positivos como aparecen en la figura anterior
En la sección transversal se presentan esfuerzos normales σ producidos por el
momento flector M y esfuerzos cortantes τ causados por la fuerza cortante V.
Como se verá en este acápite, en la sección transversal los esfuerzos cortantes
varían en dirección e intensidad, dando lugar a distorsiones angulares que hacen
que la sección transversal ya no esté contenida en un plano luego de la
deformación.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 1
Sin embargo para elementos de dimensiones convencionales, las distorsiones
angulares producidas por los esfuerzos cortantes suelen ser pequeñas y la sección
transversal prácticamente sigue siendo plana luego de la deformación. Por esta
razón se acepta que la presencia de esfuerzos cortantes no modifica
sustancialmente la distribución de esfuerzos normales producidos en flexión pura.
En este acápite se estudia la distribución de los esfuerzos cortantes producidos en
la sección transversal por la acción de fuerzas cortantes. Descubriremos en primer
lugar la presencia de esfuerzos de corte en el interior del elemento que siguen la
dirección longitudinal de éste (eje x).
5.5.1 Flujo y esfuerzo cortante longitudinal
Flujo de corte
Para iniciar el estudio usaremos como ejemplo una viga de 6 m. de longitud con
sección rectangular de base 25 cm. y altura 60 cm. Sobre la viga actúa una carga
P= 18 ton a 4 m. del apoyo izquierdo.
6
Aislemos ahora una porción de viga de 50 cm. de longitud en la dirección X-X,
ubicada entre dos secciones transversales distantes del apoyo izquierdo 2 m y 2.5 m
respectivamente. Veamos a continuación el diagrama de cuerpo libre de esta
porción.
5.5 - 2
REMM
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Debido a los momentos flectores en los extremos de esta porción de viga, se
producen esfuerzos normales cuya distribución aparece en la figura que sigue y
cuyos valores máximos son para la sección izquierda:
σ = (12x105 kg cm) * (30 cm) / 450000cm4 = 80 kg/cm².
y para la sección derecha
σ = (15x105 kg cm) * (30 cm) / 450000cm4 = 100 kg/cm².
Separemos ahora la porción en estudio en dos partes mediante un plano horizontal a
15 cm por debajo de la cara superior de la viga. Encontraremos que los esfuerzos
normales en el extremo inferior de la parte aislada serán 40 kg/cm² y 50 kg/cm².
Calculemos ahora las fuerzas resultantes correspondientes a los esfuerzos en
ambas caras de la parte superior aislada, consideremos como positivo el sentido
positivo del eje x. En la cara izquierda
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 3
y en la cara derecha
F2 = -
- 28,125 kg
Como la parte superior está en equilibrio, las fuerzas F1 y F2 deberán estar
acompañadas de una tercera fuerza, F, que se desarrolla en la superficie de
contacto entre las partes horizontalmente aisladas. Planteando equilibrio de fuerzas
en x para la parte superior aislada:
, entonces
Esta fuerza F constituye la fuerza cortante longitudinal que actúa en la superficie de
contacto sobre la parte superior. Por el principio de acción y reacción aparecerá
una fuerza de la misma magnitud pero de sentido contrario actuando sobre la parte
inferior.
El cociente entre esta fuerza F y la longitud en la dirección x en la que se desarrolla,
se conoce como flujo de corte longitudinal y se representa por "q".
Para el ejemplo:
El producto “qx1” será la fuerza que se desarrolla en una unidad de longitud, por
tanto podemos calcular el esfuerzo cortante promedio longitudinal dividiendo esta
fuerza (qx1) entre el área en la que se desarrolla (1x25):
5.5 - 4
REMM
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Como se vio, la diferencia de fuerzas normales en los extremos de la porción en
estudio origina esfuerzos cortantes longitudinales. Esta diferencia de fuerzas se
debe exclusivamente a que los momentos flectores en los extremos no son iguales
debido la presencia de una fuerza cortante (recuerde que V = dM / dx). Por tanto,
siempre que exista fuerza cortante, existirán esfuerzos cortantes longitudinales.
Deseamos obtener ahora expresiones para el flujo de corte y el esfuerzo cortante
en una superficie longitudinal arbitraria. La figura muestra la porción de un elemento
entre dos secciones transversales separadas una distancia “dx”. En estas secciones
extremas, los momentos flectores son M y M+dM y por tanto sus volúmenes de
esfuerzos son diferentes
.
Para calcular los esfuerzos en la superficie genérica ABA’B’ consideremos el
equilibrio del volumen sombreado asumiendo como positivo el sentido positivo del
eje x. En las caras izquierda y derecha de esta porción aislada, actúan esfuerzos
normales cuyas resultantes representaremos por F1 y F2 respectivamente. Como
en general estas fuerzas tienen magnitud diferente, el volumen aislado estará en
equilibrio debido a una tercera fuerza F:
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 5
F1+ F2 + F = 0
F1 y F2 deben calcularse por integración de los volúmenes de esfuerzos en la cara
respectiva. Al calcular F1 debemos considerar que los esfuerzos de tracción en la
cara izquierda producen fuerzas diferenciales en dirección negativa del eje x, y que
los esfuerzos de compresión producen fuerzas positivas en x, por tanto
luego
La integral ∫ y dA constituye el
momento estático (Q) respecto del
eje neutro de la zona achurada
mostrada en la figura, luego
Para calcular la fuerza F2, debemos considerar que las fuerzas diferenciales son del
mismo signo que los esfuerzos normales que los producen, es decir
dF2= σ da
entonces:
5.5 - 6
REMM
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Como
F1+ F2 + F = 0
tendremos que:
Si dividimos esta fuerza longitudinal entre la dimensión “dx” en la que se desarrolla,
obtenemos el flujo de corte longitudinal (q):
recordando que dM/dx = V, obtenemos finalmente:
En esta expresión q es la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre la parte
aislada y es positiva si sigue la dirección positiva del eje x.
Si representamos por "s" a la longitud de la línea de contacto entre la zona
sombreada y el resto de la sección transversal, podemos calcular el esfuerzo
cortante longitudinal dividiendo la fuerza "qx1" entre el área en que se distribuye
(1xs):
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 7
Tanto el flujo de corte como el esfuerzo cortante longitudinales que se obtuvieron
para la parte aislada, se presentarán también con la misma magnitud pero con
sentido contrario actuando sobre el resto de la viga en la superficie de contacto.
Para la figura, si hubiésemos aislado la porción de la derecha, habríamos obtenido
un momento estático (QD) del mismo valor absoluto que el de la izquierda (QI) pero
de signo contrario (ya que QD+ QI = 0). Por tanto habríamos obtenido así un flujo
sobre la derecha en sentido contrario.
5.5.2 Esfuerzos cortantes en la sección transversal
Como se vio en la sección anterior, la fuerza cortante V produce esfuerzos de corte
longitudinales. La figura muestra estos esfuerzos cortantes en una superficie
longitudinal horizontal.
5.5 - 8
REMM
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Observemos lo que ocurre en un elemento diferencial en la intersección de las
superficies longitudinales con la sección transversal. Vemos que los esfuerzos
cortantes longitudinales están acompañados de esfuerzos cortantes en la sección
transversal, los mismos que por equilibrio, son de igual magnitud y con el sentido
mostrado en la figura.
Por tanto, el esfuerzo cortante en la sección transversal en el segmento horizontal
AB se calcula también como:
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 9
De manera similar si analizamos los esfuerzos cortantes en una superficie
longitudinal vertical de la viga mostrada en la figura que sigue, vemos que también
se presentan esfuerzos cortantes en la sección transversal, los mismos que se
calculará con la expresión anterior.
El esfuerzo cortante en los segmentos AB de las secciones anteriores varía tanto en
dirección como en magnitud. Sin embargo, en la mayoría de casos la variación no
es significativa y por tanto el valor calculado con la expresión anterior es un valor
promedio representativo del segmento.
5.5 - 10
REMM
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5.5.2.1 Esfuerzos cortantes en la sección transversal de elementos
sólidos
Analicemos primero el caso de una sección rectangular sometida a la acción de una
fuerza cortante V como se muestra en la figura.
Para calcular el esfuerzo cortante promedio a una altura “y” (línea AB)
determinamos el momento estático Q de la región sombreada:
Luego con I = bh3 /12 y s= b tendremos:
Esta expresión muestra que el esfuerzo cortante promedio del segmento AB, varía
en la sección transversal, en forma parabólica con la coordenada “y”.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 11
τ tiene valor cero para y = +- h/2 (extremos superior e inferior de la sección) y
alcanza su valor máximo τ = 1.5 V/A para y = 0 (a la mitad de la altura). Para
secciones aproximadamente cuadradas (b/h = 1) o esbeltas (b/h<1) el esfuerzo
cortante en el segmento AB no tiene una variación significativa y por tanto el
esfuerzo cortante promedio τ resulta representativo del segmento horizontal.
Para el caso de una sección circular el esfuerzo cortante promedio varía también en
forma parabólica con “y” y alcanza su valor máximo
τ = 4/3 V/A para y = 0.
Como se observa, en las secciones rectangular y circular, el esfuerzo cortante
máximo se presenta sobre el eje z y tiene valores que son 50 y 33 % mayores al que
se obtiene del cociente V/A.
5.5.2.2 Esfuerzos cortantes en elementos de pared delgada
Analicemos ahora la distribución de esfuerzos en la sección transversal de
elementos de pared delgada (perfiles) sometidos a la acción de una fuerza cortante
V como se muestra en la figura.
Recordemos que V es positiva si sigue la
dirección negativa del eje y.
5.5 - 12
REMM
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Como se recordará, la sección transversal de estos elementos está formada por
paredes de espesor “t” muy pequeño en comparación al resto de las dimensiones de
la sección. Por esta razón la geometría del perfil queda definida por el espesor “t” y
la línea media de cada una de las paredes.
Analicemos los esfuerzos cortantes en un punto genérico de la sección transversal
de la viga mostrada en la figura. A manera de ejemplo, tomemos un punto “A”
ubicado en el ala superior de longitud “b” y espesor “t”.
Para determinar los esfuerzos cortantes medios paralelo (τ//) y perpendicular ( τ ┴ )
a la línea media, empleamos dos cortes longitudinales: uno perpendicular y el otro
paralelo a la línea media respectivamente.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 13
Estos esfuerzos cortantes pueden expresarse como:
En ambas expresiones los valores V e I son los mismos; los momentos estáticos Q1
y Q2 tienen valores comparables (ninguno es mucho mayor que el otro) y el valor de
“b” si es varias veces mayor que “t”. Por tanto
de donde vemos que
En general el esfuerzo cortante perpendicular a la línea media (τ┴ ) puede
despreciarse en comparación del esfuerzo cortante paralelo a esta línea (τ//). Por
tanto para efectos prácticos consideraremos que los esfuerzos cortantes siguen la
dirección de la línea media en toda la sección transversal.
El esfuerzo cortante τ// varía ligeramente a lo largo del espesor “t”. Sin embargo,
para elementos de pared delgada esta variación no es significativa y en lo sucesivo
representaremos este esfuerzo simplemente por τ.
5.5 - 14
REMM
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Flujo de corte en la sección transversal
Acabamos de ver que en la sección transversal de un perfil delgado los esfuerzos
cortantes prácticamente siguen la dirección de la línea media; por tanto la resultante
de estos esfuerzos en un área de espesor “t” y longitud “∆l” sobre esta línea, es una
fuerza paralela a la línea media y que tiene por valor:
F=
τ ( t ∆ l)
El cociente F/∆l se denomina flujo cortante en la sección transversal, se representa
por q y como se ve a continuación, se calcula con la misma expresión que el flujo
longitudinal.
En cada punto de la línea media del perfil, el sentido del flujo en la sección
transversal, se determina definiendo primero el sentido del flujo longitudinal y luego,
pasando a la sección transversal con la condición de equilibrio de esfuerzos
cortantes.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 15
Como se verá a continuación, el flujo y el esfuerzo cortante varían a lo largo de la
línea media, ya que ambos dependen del momento estático Q.
Flujo cortante en un perfil delgado con sección I
Analicemos la variación del flujo en un perfil I con dimensiones de línea media “b” y
“h” y espesores t1 y t2 como se muestra en la figura.
Para determinar la variación del flujo en el ala superior usemos una sección
longitudinal perpendicular a la línea media, ubicada a una distancia “u” genérica
respecto del eje y. El rango de valores para “u” será de t2 / 2 a b/2 ; sin embargo,
ya que t2 es pequeño, podemos emplear el rango de 0 a b/2.
5.5 - 16
REMM
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Calculamos primero el flujo longitudinal sobre la porción derecha aislada
El momento estático de la región sombreada respecto al eje z será:
+
t1
y por tanto el flujo se calculará como:
Para 0 ≤ u ≤ b/2
Como se aprecia, q varía linealmente con “u”, tomando en u = b / 2 su valor mínimo
q = 0 y en u=0 el siguiente valor máximo
Como el momento estático Q(u) de la porción aislada es positivo, el flujo tendrá el
mismo signo que la fuerza cortante V. Por tanto en el ejemplo, como V es positivo,
el flujo q también lo será.
Conocido el signo de “q”, definimos primero el sentido del flujo longitudinal, luego
pasamos a la sección transversal y obtenemos el sentido mostrado en la figura.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 17
De manera similar si se analiza el tramo izquierdo del ala superior, encontramos que
“q” también será positivo y por tanto en la sección transversal el sentido ahora será
hacia la derecha.
Para determinar la variación de “q” en el ala inferior empleamos una sección
longitudinal normal a la línea media, a una distancia “u” del eje y. Calculemos
ahora el flujo longitudinal sobre la porción derecha aislada.
El momento estático de la región sombreada será:
Q(u) =
⎛b
⎜
⎜
⎜2
⎝
⎞
⎛b
⎞ ⎛
h⎞
h
− u ⎟⎟ t ⎜⎜ − ⎟⎟ = − ⎜⎜ − u ⎟⎟ t1
⎟
⎜2
⎟ 1⎜
2 ⎟⎠
2
⎠
⎝
⎠ ⎝
y por tanto el flujo se calculará como:
⎞ h
VQ
V ⎛⎜ b
q=
= − ⎜ − u ⎟⎟ t1
⎟ 2
I
I ⎜⎝ 2
⎠
Como se aprecia, ahora el flujo es negativo. Para definir el sentido del flujo en la
sección transversal, definimos primero el sentido longitudinal de q y luego pasamos
a la sección transversal, obtendremos el sentido mostrado en la figura.
5.5 - 18
REMM
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Reuniendo
alas:
los resultados encontramos la siguiente distribución del flujo en las
-q1
Para estudiar el flujo en el alma del perfil empleamos una sección longitudinal
genérica ubicada a una distancia “u” del eje z. Esta variable puede tomar valores
entre + (h/2 - t1/2) y - (h/2 - t1/2), sin embargo ya que t1 es pequeño, podemos
considerar valores entre +h/2 y –h/2.
Calculamos primero el flujo longitudinal que actúa sobre la porción superior aislada.
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 19
El momento estático de la región sombreada respecto al eje z será:
por tanto, el flujo en el alma se calculará como:
El flujo q varía cuadráticamente con “u” siendo siempre positivo dado que V y Q son
positivos.
Para u= h/2 el flujo q alcanza su valor mínimo, al que llamaremos q2:
y para u=0 tiene su valor máximo, q3 :
Como ya se explicó, para determinar el sentido del flujo en la sección transversal,
primero se establece el sentido del flujo longitudinal y luego se pasa a la sección
transversal. Se obtendrá el sentido mostrado en la siguiente figura.
5.5 - 20
REMM
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La figura que sigue muestra la distribución del flujo en el alma.
Reuniendo los resultados de todos los segmentos estudiados, tendremos:
-q1
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 21
Observamos que el flujo es paralelo a la fuerza cortante V sólo en el alma. Esto
puede interpretarse diciendo que V es resistida prácticamente sólo por el alma. Por
tanto los valores promedio del flujo y del esfuerzo cortante en el alma se podrán
calcular como:
Estas expresiones proporcionan resultados cercanos a los valores máximos y
pueden emplearse como herramientas sencillas para estimar resultados de
procedimientos detallados.
Características del flujo en la sección transversal
Analicemos la relación que existe entre los flujos q1 y q2 en la intersección de las
líneas medias del alma y del ala superior (punto A).
Los momentos estáticos empleados para calcular los flujos en el punto A,
corresponden a las áreas sombreadas que se muestran en la figura.
Los tramos derecho e izquierdo del ala superior, tienen momentos estáticos iguales
que representamos por Q1. Si denotamos por Q2 al momento estático de toda el ala
superior, vemos que se verifica la siguiente relación:
ó
5.5 - 22
REMM
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Si multiplicamos ambos miembros por V / I tendremos:
y como q = V Q / I
obtenemos la siguiente relación:
Esto se puede interpretar diciendo que el flujo total que entra al punto A (2q1) es
De manera similar para la intersección
igual al flujo que sale del mismo (q2).
inferior, el flujo que entra a B (q2) es el mismo que sale de él (2q1).
En general para cualquier intersección de ramales, se verifica que el flujo total que
entra siempre es igual al flujo total que sale.
En una zona de intersección de ramales como la zona sombreada en la figura que
sigue, los esfuerzos cortantes tienen una distribución compleja, tanto en valor como
en dirección.
Por tanto los valores calculados a ejes de línea media, deben tomarse como valores
representativos de los esfuerzos justo fuera de esta zona de intersección sombreada
(τa, τb y τc).
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 23
Equivalencia de esfuerzos, flujos y fuerzas cortantes
Recordemos que el flujo de corte en la sección transversal “q” representa una fuerza
por unidad de longitud medida sobre la línea media. Integrando el flujo a lo largo
de un segmento de esta línea, obtenemos la fuerza cortante correspondiente al
segmento:
Esta integral también puede evaluarse como el área del diagrama de flujo en el
segmento de línea media correspondiente.
Para el perfil del ejemplo, si representamos la fuerza en cada tramo de las alas con
F1 y empleamos F2 para la fuerza en el alma, tendremos:
-q1
Como el flujo en la sección transversal fue originado por la fuerza cortante V, el
conjunto de fuerzas de todos los tramos debe ser equivalente a la fuerza cortante de
la sección.
La figura que sigue resume la equivalencia estática entre las fuerzas distribuidas
(flujo q), las fuerzas resultantes en los tramos (F1, F2) y la fuerza cortante aplicada
(V).
5.5 - 24
REMM
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En cada tramo el sistema de fuerzas distribuidas, q, es equivalente a la fuerza del
tramo, F 1 ó F 2. A su vez, el conjunto de fuerzas F i es equivalente a la fuerza
cortante actuante sobre la sección, V. Por tanto, la resultante horizontal de las
fuerzas F i debe ser nula y además F2 = V.
Ejemplo: Flujo de corte
CAP 5. FLEXIÓN Y CORTANTE
REMM
5.5 - 25
ESFUERZOS BAJO CARGAS COMBINADAS
6.1 Introducción
Torre de Pisa
En los capítulos anteriores hemos estudiado la distribución de esfuerzos y
deformaciones producidos por carga axial, torsión, flexión y fuerza cortante actuando
independientemente. En este capitulo estudiaremos el efecto que produce la
presencia simultánea de estas solicitaciones.
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.1 - 1
6.2 Características de los elementos
Hélice
El estudio se efectuará considerando que los elementos son homogéneos, que
trabajan en el rango linealmente elástico y que las secciones transversales siguen
siendo planas luego de las deformaciones.
Como en capítulos anteriores, el eje x se hace coincidir con el eje del elemento y los
ejes y y z con los ejes principales y centroidales de la sección transversal.
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.2 - 1
6.3 Carga axial centrada y flexión biaxial
Columna de esquina
Estudiaremos ahora los esfuerzos y las deformaciones producidos en un elemento,
por la acción simultánea de una carga axial P actuando en el centroide de la sección
y de dos momentos flectores My y Mz actuando en los ejes y y z como se muestra
en la figura.
Este caso de acciones combinadas se conoce también como flexo
tracción (ó compresión) biaxial.
Cada una de estas tres acciones genera esfuerzos normales en la sección. Usando
el principio de superposición podemos obtener el esfuerzo normal resultante como la
suma de los tres efectos.
Tal como se vio en capítulos anteriores, los esfuerzos normales producidos por la
carga axial P y por el momento flector M z se calculan respectivamente como:
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.3 - 1
En cuanto a los esfuerzos producidos por el momento flector My, resulta sencillo
demostrar que, tal como se aprecia en la última figura, varían con la coordenada z y
se calculan como:
Por tanto los esfuerzos para el caso de flexo tracción se determinan como:
Podemos escribir esta última expresión como:
siendo a, b y c constantes.
Se puede observar que el lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo
esfuerzo normal es una línea recta.
En particular, la recta correspondiente a los puntos sin esfuerzo (σx = 0) será el Eje
Neutro y tendrá por ecuación:
6.3 - 2
REMM
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6.4 Flexión biaxial o asimétrica
Casa de madera
Denominaremos flexión biaxial o asimétrica a la acción simultánea de dos momentos
flectores actuando en los ejes principales de la sección transversal de un elemento.
Podemos tratar este problema como un caso particular del estudiado en el acápite
precedente considerando que la carga axial es cero. Por tanto, el esfuerzo normal
quedará expresado como:
Para hallar la ecuación del Eje Neutro, hacemos σx = 0 y obtenemos
es decir :
De esta expresión se deduce que el Eje Neutro es una recta que pasa por el
centroide de la sección (origen de coordenadas ).
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.4 - 1
Los momentos flectores aplicados My y Mz pueden considerarse como las
proyecciones de un momento único M inclinado un ángulo θ respecto al eje y .
y
ó
Empleando la equivalencia anterior para el cociente Mz / My , en la ecuación del eje
neutro obtendremos:
Esta expresión muestra que el eje neutro no es paralelo al momento flector M, sino
que se encuentra entre M y el eje principal de menor momento de inercia. El eje
neutro coincidirá con la dirección de M sólo cuando Iz = Iy , como por ejemplo en
secciones cuadradas o circulares.
6.4 - 2
REMM
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6.5 Caso general de carga axial excéntrica
Prensador
Estudiaremos ahora los esfuerzos y las deformaciones producidos por la acción de
una carga axial actuando fuera del centroide de la sección transversal.
Emplearemos una carga axial P de tracción, ubicada en un punto H, cuyas
coordenadas ey y ez denominaremos las excentricidades de la carga.
Podemos trasladar la carga P hasta el centroide de la sección, acompañándola de
dos momentos de transporte como se muestra en la figura.
Para lograr la equivalencia, los momentos de transporte deben calcularse como:
Como resultado del traslado obtenemos como nuevas solicitaciones de la sección,
una carga axial centrada y dos momentos flectores; caso que ya estudiamos como
flexo tracción biaxial, y en el cual los esfuerzos se calculan con la siguiente
expresión:
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.5 - 1
En esta expresión sustituimos los momentos My y Mz por las expresiones
encontradas para los momentos de transporte en función de la carga y sus
excentricidades y además reemplazamos los momentos de inercia Iy e Iz en función
del área y los radios de giro de la sección y obtendremos:
ó
Para hallar la ecuación del Eje Neutro, hacemos σx = 0 y obtenemos:
ecuación que también puede escribirse como:
Empleando esta ecuación encontramos las intersecciones del eje neutro con los ejes
y y z , las que se muestran en la figura siguiente:
6.5 - 2
REMM
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Podemos ahora encontrar la distancia del centroide de la sección al Eje Neutro ( d ),
empleando la conocida expresión para la distancia de un punto a una recta:
Esta expresión nos permite hacer las siguientes observaciones respecto a la
posición del Eje Neutro en relación al punto de aplicación de la carga.
•
Si el punto de aplicación de la carga (punto H ) está cercano al centroide de la
sección, es decir si tanto ey como ez son valores cercanos a cero, el valor de d
será muy grande y el Eje Neutro estará muy alejado del centroide.
•
Si por el contrario, el punto de aplicación de la carga (punto H ) está lejos del
centroide de la sección, es decir si ey ó ez son valores muy grandes, el valor de
d será muy pequeño y el Eje Neutro pasará muy cerca del centroide.
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.5 - 3
Ejemplo: Flexión y carga axial excéntrica
6.5 - 4
REMM
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6.6 Carga axial excéntrica en un plano principal
Grúa
Estudiemos ahora la distribución de esfuerzos producidos por una carga axial que
actúa en un plano principal, pero excéntricamente respecto al centroide de la
sección.
Supongamos una carga axial P, aplicada sobre el eje y con una
excentricidad ey , como se muestra en la figura.
Al trasladar la carga P al centroide, tendremos como fuerzas de sección a la propia
carga P y a los momentos flectores My = 0 y M z = - P ey .
Usando la expresión obtenida para el caso general de flexo tracción biaxial,
tendremos:
0
La figura que sigue muestra la distribución de esfuerzos en este caso particular,
como la suma de los efectos de carga axial centrada y flexión.
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.6 - 1
Empleando la expresión anterior encontramos como ecuación del Eje Neutro:
Esta ecuación nos indica que el Eje Neutro es una recta paralela al eje z.
Si en las ecuaciones anteriores obtenidas para el esfuerzo normal y para el eje
neutro reemplazamos las siguientes expresiones Mz = -P.ey y Iz = A k2z ,
tendremos:
El signo menos en la última ecuación nos indica que el Eje Neutro se ubica respecto
del eje z, al otro lado del punto de aplicación de la carga.
La figura que sigue presenta la distribución de esfuerzos y la posición del eje neutro
en una vista desde el eje z.
-
Como se explicó, esta distribución puede obtenerse también superponiendo los
efectos de la carga axial centrada y del momento flector como se muestra en la
siguiente figura.
-
6.6 - 2
REMM
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Programa interactivo: Carga axial excéntrica
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.6 - 3
6.7 Núcleo Central
Núcleo Central
Presa de gravedad
El núcleo central de una sección transversal es la región geométrica formada por
todos los puntos sobre los cuales, si se aplica una carga axial, los esfuerzos
normales resultantes en toda la sección son del mismo signo que la carga aplicada.
El centroide de la sección transversal siempre pertenece al núcleo central, ya que al
aplicar la carga P en este punto, los esfuerzos en toda la sección son iguales y del
mismo signo que P.
Para determinar si un punto A pertenece al núcleo central, aplicamos una carga axial
P en A, y estudiamos la posición del eje neutro. Si el eje neutro intersecta a la
sección transversal, existirá una zona con esfuerzos de tracción y otra con esfuerzos
de compresión y por lo tanto el punto A no pertenecerá al núcleo central.
Por el contrario, si al aplicar la carga en otro punto, B, encontramos que el Eje
Neutro no corta a la sección, los esfuerzos en toda la sección serán del mismo signo
que la carga y por tanto el punto B pertenecerá al núcleo central.
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.7 - 1
Existen puntos en los cuales al aplicar la carga P, el Eje Neutro resulta tangente a la
sección, el conjunto de estos puntos se denomina el contorno del núcleo central.
Como el núcleo central queda perfectamente determinado por su contorno, el
procedimiento general para determinar el núcleo central consiste en asumir ejes
neutros tangentes a la sección transversal y en determinar luego los
correspondientes puntos de aplicación de carga, que son ya puntos del contorno.
La figura que sigue muestra cuatro ejes neutros tangentes a una sección transversal
genérica (EN1, EN2, EN3, EN4) y los puntos de aplicación de carga
correspondientes (A1, A2, A3 y A4) que son puntos del contorno buscado.
Para reducir el número de puntos del contorno que son necesarios para definir el
núcleo central, se usa la siguiente propiedad:
“El lugar geométrico de los puntos de
aplicación de una carga axial P que
hacen que los ejes neutros pasen
todos por un mismo punto, es una
línea recta”. En la figura si la carga
se aplica en cualquier punto dentro del
segmento A1A3 , todos los ejes neutros
se intersectarán en el punto Q.
Q
6.7 - 2
REMM
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Como ejemplo, encontremos el núcleo central de una sección rectangular de base b
y altura h.
Comencemos con los ejes neutros tangentes a la sección en el punto B. Como se
aprecia en la figura, los casos extremos serán los ejes neutros coincidentes con las
rectas AB y BC, a los cuales corresponden los puntos A1 y A2 de aplicación de
carga. Por tanto y como ya se explicó, para cualquier eje neutro tangente a la
sección en B, el punto de aplicación de carga P, estará dentro del segmento A1A2.
Por tanto, el segmento A1A2 constituye un segmento del borde buscado.
y
z
Si este proceso se repite para las 4 esquinas de la sección transversal, se obtienen
cuatro segmentos que constituyen el contorno del núcleo central, que en este caso
será un rombo de vértices A1, A2, A3 y A4.
Para definir el punto A1, usemos como eje neutro la recta AB cuya ecuación es:
Recordemos que un eje neutro genérico tiene las siguientes intersecciones con los
ejes de la sección transversal:
− k 2z
y=
ey
− k2y
z=
ez
− k 2z
ey=
y
− k2y
ez =
z
De donde:
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.7 - 3
Por tanto como el eje neutro AB tiene la intersección y = - h/2 tendremos:
de este modo el punto A1 tendrá por coordenadas A1 = ( h / 6 , 0 )
Para hallar A2 usamos como eje neutro a BC cuya intersección con el eje z es:
por tanto la excentricidad buscada será:
Así, el punto A2 tendrá las coordenadas A2 = (0 , b / 6)
De manera similar determinamos las coordenadas de los otros puntos:
A3 = (-h / 6 , 0)
y
A4 = (0 , -b / 6)
y finalmente graficamos el núcleo central.
y
z
6.7 - 4
REMM
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Ejemplo de núcleo central
CAP 6. ESFUERZOS BAJO CARGAS
REMM
6.7 - 5