Ecuaciones Diferenciales Parciales II
Tarea 3
Última modificación: junio 12, 2023
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Instrucciones: Responda clara y apropiadamente. Soluciones incompletas
o confusas recibirán crédito parcial o nulo, aún si parecieran correctas.
1. (15 pts) Use la matriz de diferenciación espectral DN para aproximar
numéricamente en el [0, 2π] las derivadas de a) f (x) = exp sin2 (x) y
b) f (x) = exp (sin x |sin x|) usando N = 24, 64 y 128. ¿Qué diferencias
encuentra y por qué? Muestre sus gráficas y la escala logarítmica de los
errores.
2. (10 pts) Nosotros obtuvimos en clase las
de diferenciación
. . . .
:
1
. . . .
3
. . . . −1
2
. . . . 1
1
. . . . 0
D=
h
. . . . −1
1
. . . .
2
. . . . −1
3
. . . .
:
entradas de la matriz infinita
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
usando la funcion sinc (x). Derive el mismo resultado calculando la transformada de Fourier discreta inversa de ik δ̂ (k) .
(2)
2
3. (10 pts) Para N = 4 confirme que DN
6= DN .
4. (10 pts) Derive fórmulas para las entradas de la matriz de diferenciación
(3)
periódica espectral de Fourier de tercer orden DN haciendo uso de la
función SN (x).
(2)
(1)
5. (20 pts) Use las matrices de diferenciación DN y DN para resolver
numéricamente el problema de valores en la frontera
uxx + 4ux + ex u =
u (±1)
=
sin (8x) , x ∈ [−1, 1]
0.
¿Cuál es el valor aproximado de u (0)?
1
6. (20 pts) Use la Transformada Rápida de Fourier y Runge-Kutta de 4to
orden en tiempo para resolver espectralmente el problema:
ut +
1
ux = 0, 0 ≤ x ≤ 2π, t > 0
1 + cos x
1
2
sujeto a la condición inicial u(x, 0) = esin(x) .
7. (15 pts) Si x0 , x1 , ..., xN son reales y distintos, entonces la función cardinal pj (x) definida por
pj (x) =
N
1 Y
(x − xk ) ,
aj
aj =
k=0
k6=j
N
Y
(xj − xk )
k=0
k6=j
es el único polinomio interpolante de grado N de los valores 1 en xj y 0
en xk , k 6= j. Tome logaritmos y derive para obtener:
p0j
(x) = pj (x)
N
X
k=0
k6=j
1
x − xk
y de aqui derive las fórmulas
Dij =
N
1 Y
ai
(xi − xk ) =
, i 6= j
aj
aj (xi − xj )
k=0
k6=i,j
y
Djj =
N
X
k=0
k6=j
1
xj − xk
para las entradas de la matriz de diferenciación N × N asociada con los
puntos {xj }.
2