Teste 6 1

UNIVERSIDADE DE AVEIRO
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA, TELECOMUNICACÕES E
INFORMÁTICA
Métodos Probabilísticos em Eletrotecnia
Segundo Teste 6-1-23
.
1h30
1.a
1.5
1.b
1.5
1.c
1.5
1.d
1.5
2.a
1.5
2.b
1.5
2.c
1.5
2.d
1.5
3.a
2
3,b
2
4.a
1.5
4.b
1.5
4.c
1
Total
20
Notas importantes: Justifique todas as suas respostas. O exame é individual e sem consulta. Não é permitida
a utilização de calculadora.
1.
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta
C ( xy + y 2 )
f X ,Y ( x, y = 
0

a)
( 0  x  1)  ( 0  y  2 )
outros
Determine o valor de C de modo a que f X ,Y ( x, y ) seja uma função densidade de probabilidade
válida.
b) Determine a função de distribuição acumulada conjunta.
c)
Determine as funções densidade de probabilidade marginais
f X ( x ) e fY ( y ) .
d) Verifique se as variáveis X e Y são independentes
2.
Considere o sistema com duas entradas e duas saídas tal como representado na figura seguinte.
Y
X1
Sistema
X2
Z
As entrada X 1 , X 2 são variáveis ternárias independentes que podem tomar os valor 0, 1 e 3 com igual
probabilidade (1/3). As variáveis de saída são definidas da seguinte forma:
Y = min( X 1 , X 2 )

 Z = max( X 1 , X 2 )
Determine:
a) Apresente a tabela de probabilidades conjuntas de
b) As probabilidades marginais de de
c) Médias e variância de
Y e Z.
Y e Z.
Y e Z.
A
d) O coeficiente de correlação entre
3.
Y e Z.
Considere o processo estocástico discreto definido da seguinte forma
  ( I n − I n −1 ) 
X n = sin 
,
4


n = −,...0...,  , onde I n é o resultado de uma experiência de Bernoulli no instante n. Considerando que as
experiências são independentes e que a probabilidade de sucesso é igual á probabilidade de falha i.e
p( I n = 1) = p( I n = 0) = 1 / 2 ,
a)
Indique qual dos seguintes valores é a média do processo:
i.
E(X n ) =
ii.
E ( Xn ) =
1  
sin  
2 4
iii)
1
2
E(X n ) = 0
iv) Nenhuma das anteriores
b) Verifique se o processo é estacionário em sentido lato.
4.
Um processo aleatório discreto e estacionário em sentido lato X(n) tem a seguinte função de autocorrelação
a k = −1
1 k = 0

RX ( k ) = 
a k = 1
 0 outros
a)
Determine a gama admissível da incógnita a para que
RX (k ) seja uma função de autocorrelação
válida.
b) Qual a potência do processo X(n)?
c)
Para a=0.25, indique qual o valor da densidade espectral de potência na frequência f=1/4.
i)
1/4
ii) 1
iii) f=1/
iv) nenhuma das anteriores
A