Modelacion matematica

Modelación Matemática.
Facultad de Ciencias e Ingeniería
UNAN-MANAGUA
Integrantes:
Leopoldo Josué López Laguna. 23041019.
Juan Antonio López. 23047894
Cristopher Ángel Ramos Rivas. 13043439
Christopher José jerez Gómez. 23047883
Haczel Javier López Martínez.
22040910
Ejercicios
Construya la tabla de verdad para las siguientes preposiciones
Utilice 1
verdadero; 0
a) P
P
0
1
0
1
falso
¬¬p
¬p
1
0
1
0
¬¬p
0
1
0
1
Negación doble
b) [( p v q ) v r ]
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
r
[p v ( p v r)]
[(p v q) v r]
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
Tautología
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
c) ( p ∧ ¬p )
p
q
¬p
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
d) (p
0
0
1
1
0
0
1
1
¬p) (p
0
0
0
0
q)
(p
q)
q
(p
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(p
0
0
1
1
q ))
0 0
0 1
0 0
1 1
q
(p
p
[ p v ( q v r )]
(p
¬p)
1
0
1
0
p
q))
1
1
1
1
(p
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
e) [(p
q ) ѵ ¬r ]
p
p
q
r
(p
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
f) ¬ ( p
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
q)
(¬p
¬(p
1
1
1
0
q)
0
0
0
0
0
0
1
1
¬r
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
p
0
0
0
0
1
1
1
1
¬q)
q)
(p
q)
0
0
0
1
1) Ejercicios.
1+4+7+…+(3n-2) =n(3n-1) /2
I) Probar para n=1
…+ [3(1)-2]=1[3(1)-1]/2
1=2/2
1=1
II) Probar para n=K
…+(3k-2) =k(3k-1) /2
III) Probar para n=k+1
…+1[3(k+1)-2] =(k+1) [3(k+1)-1]/2
K(3k-1)/2+[3(k+1)-2] =(k+1) [3(k+1)-1]/2
K(3k-1)/2+3k+3-2=(k-1) (3k+3-1)/2
3𝑘 2 -k+6k+2/2=(k+1) (3k+2)/2
3𝑘 2 +5k+2/2=3𝑘 2 +2k+3k+2/2
3𝑘 2 +5k+2/2=3𝑘 2 +5k+2/2
0
0
1
1
0
0
1
1
v
1
1
1
1
(¬p
1
1
0
0
¬q)
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
2) Ejercicio.
13 +23 +33 …𝑛3 =𝑛2 (𝑛 + 1)2 /4
I) Probar n=1
…+13 =12 (1 + 1)2 /4
1=1(1)
1=1
II) Probar n=k
…+𝑘 3 =𝑘 2 (𝑘 + 1)2 /4
III) Probar n=k+1
…+(𝑘 + 1)3 = (𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4
𝑘 2 (𝑘 + 1)2 /4+𝑘 + 1)3 =(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4
𝑘 2 (𝑘 + 1)2 +4(𝑘 + 1)3/4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4
(𝑘 + 1)2 [𝑘 2 +4(k+1)]/4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4
(𝑘 + 1)2 (𝑘 2 +4k+4) /4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4
(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4
3) Ejercicios.
2+22 +23 +…+2˄n=2(2˄n-1)
I) Probar n=1
…+21 =2(21 -1)
2=2
II) Probar n=k
…+2˄k=2(2˄k-1)
III) Probar n=k+1
…+2˄(k+1=2(2˄k+1-1)
2˄k+1=2(1˄k+1)
2˄k+1=2˄k+1
4) Ejercicio.
13 +33 +53 +…+(2𝑛 − 1)3=𝑛2 (2𝑛2 -1)
I) Probar: n=1
…+ [2(1) − 1]3 =12 [2(1)2 -1]
1=11(1)
1=1
II) Probar: n=k
…+(2𝑘 − 1)3 =𝑘 2 (2𝑘 2 -1)
III) Probar: n=k+1
…+ [2(𝑘 + 1)]3 =(𝑘 + 1)2[2(𝑘 + 1)2 -1]
𝑘 2 (2𝑘 2 -1) + [2(𝑘 + 1)]3=(𝑘 + 1)2 (2𝑘 2 +12 )
3𝑘 4 -𝑘 2 +2𝑘 3 +23 =3𝑘 4 +𝑘 4 +2𝑘 4 +14
2𝑘 2 +2𝑘 3 +8=4𝑘 8 +2𝑘 4 +1
5) Ejercicio.
1/1.2+1/2.3+1/3.4+…+1/n(n+1) =n/n+1
I) Probar: n=k
…+1/1(1+1) =1/1+1
½=½
II) Probar: n=k
…+1/k(k+1) =k/k+1
III) Probar: n=k+1
…+1/(k+1) (k+2) =(k+1) (k+2)
k/k+1+1/(k+1) (k+2) =k+1/k+2
k+1/k+2=(1/k+1) (k)+(1/k+1) (1/k+2)
=(1/k+1) (k(k+1/k+2)
=(1/k+1) (k(k+2) +1/k+2)
=(1/k+1) (𝑘 2 +2k+1/k+2)
=(k+1)(k+1)/(k+1)(k+2)=(k+1)/(k+2)
(k+1)/(k+2)=(k+1)/(k+2)
6) Ejercicio.
1+3++7+…+(2n-1) =𝑛2
I) Probar: n=1
…+ [2(1)-1] =12
1=1
II)Probar: n=k
…+(2k-1) =𝑘 2
III)Probar: n=k+1
…+[2(k+1)-1= (𝑘 + 1)2
𝑘 2 +2k+2-1= (k+1)2
𝑘 2 +2k+1=𝑘 2 +12
𝑘 2 +1=𝑘 2 +1