Modelación Matemática. Facultad de Ciencias e Ingeniería UNAN-MANAGUA Integrantes: Leopoldo Josué López Laguna. 23041019. Juan Antonio López. 23047894 Cristopher Ángel Ramos Rivas. 13043439 Christopher José jerez Gómez. 23047883 Haczel Javier López Martínez. 22040910 Ejercicios Construya la tabla de verdad para las siguientes preposiciones Utilice 1 verdadero; 0 a) P P 0 1 0 1 falso ¬¬p ¬p 1 0 1 0 ¬¬p 0 1 0 1 Negación doble b) [( p v q ) v r ] p 0 0 0 0 1 1 1 1 q r [p v ( p v r)] [(p v q) v r] 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 Tautología 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 c) ( p ∧ ¬p ) p q ¬p 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 d) (p 0 0 1 1 0 0 1 1 ¬p) (p 0 0 0 0 q) (p q) q (p 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (p 0 0 1 1 q )) 0 0 0 1 0 0 1 1 q (p p [ p v ( q v r )] (p ¬p) 1 0 1 0 p q)) 1 1 1 1 (p 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 e) [(p q ) ѵ ¬r ] p p q r (p 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 f) ¬ ( p p q 0 0 1 1 0 1 0 1 q) (¬p ¬(p 1 1 1 0 q) 0 0 0 0 0 0 1 1 ¬r 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 p 0 0 0 0 1 1 1 1 ¬q) q) (p q) 0 0 0 1 1) Ejercicios. 1+4+7+…+(3n-2) =n(3n-1) /2 I) Probar para n=1 …+ [3(1)-2]=1[3(1)-1]/2 1=2/2 1=1 II) Probar para n=K …+(3k-2) =k(3k-1) /2 III) Probar para n=k+1 …+1[3(k+1)-2] =(k+1) [3(k+1)-1]/2 K(3k-1)/2+[3(k+1)-2] =(k+1) [3(k+1)-1]/2 K(3k-1)/2+3k+3-2=(k-1) (3k+3-1)/2 3𝑘 2 -k+6k+2/2=(k+1) (3k+2)/2 3𝑘 2 +5k+2/2=3𝑘 2 +2k+3k+2/2 3𝑘 2 +5k+2/2=3𝑘 2 +5k+2/2 0 0 1 1 0 0 1 1 v 1 1 1 1 (¬p 1 1 0 0 ¬q) 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 2) Ejercicio. 13 +23 +33 …𝑛3 =𝑛2 (𝑛 + 1)2 /4 I) Probar n=1 …+13 =12 (1 + 1)2 /4 1=1(1) 1=1 II) Probar n=k …+𝑘 3 =𝑘 2 (𝑘 + 1)2 /4 III) Probar n=k+1 …+(𝑘 + 1)3 = (𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4 𝑘 2 (𝑘 + 1)2 /4+𝑘 + 1)3 =(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4 𝑘 2 (𝑘 + 1)2 +4(𝑘 + 1)3/4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4 (𝑘 + 1)2 [𝑘 2 +4(k+1)]/4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4 (𝑘 + 1)2 (𝑘 2 +4k+4) /4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4 (𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4=(𝑘 + 1)2 (𝑘 + 2)2 /4 3) Ejercicios. 2+22 +23 +…+2˄n=2(2˄n-1) I) Probar n=1 …+21 =2(21 -1) 2=2 II) Probar n=k …+2˄k=2(2˄k-1) III) Probar n=k+1 …+2˄(k+1=2(2˄k+1-1) 2˄k+1=2(1˄k+1) 2˄k+1=2˄k+1 4) Ejercicio. 13 +33 +53 +…+(2𝑛 − 1)3=𝑛2 (2𝑛2 -1) I) Probar: n=1 …+ [2(1) − 1]3 =12 [2(1)2 -1] 1=11(1) 1=1 II) Probar: n=k …+(2𝑘 − 1)3 =𝑘 2 (2𝑘 2 -1) III) Probar: n=k+1 …+ [2(𝑘 + 1)]3 =(𝑘 + 1)2[2(𝑘 + 1)2 -1] 𝑘 2 (2𝑘 2 -1) + [2(𝑘 + 1)]3=(𝑘 + 1)2 (2𝑘 2 +12 ) 3𝑘 4 -𝑘 2 +2𝑘 3 +23 =3𝑘 4 +𝑘 4 +2𝑘 4 +14 2𝑘 2 +2𝑘 3 +8=4𝑘 8 +2𝑘 4 +1 5) Ejercicio. 1/1.2+1/2.3+1/3.4+…+1/n(n+1) =n/n+1 I) Probar: n=k …+1/1(1+1) =1/1+1 ½=½ II) Probar: n=k …+1/k(k+1) =k/k+1 III) Probar: n=k+1 …+1/(k+1) (k+2) =(k+1) (k+2) k/k+1+1/(k+1) (k+2) =k+1/k+2 k+1/k+2=(1/k+1) (k)+(1/k+1) (1/k+2) =(1/k+1) (k(k+1/k+2) =(1/k+1) (k(k+2) +1/k+2) =(1/k+1) (𝑘 2 +2k+1/k+2) =(k+1)(k+1)/(k+1)(k+2)=(k+1)/(k+2) (k+1)/(k+2)=(k+1)/(k+2) 6) Ejercicio. 1+3++7+…+(2n-1) =𝑛2 I) Probar: n=1 …+ [2(1)-1] =12 1=1 II)Probar: n=k …+(2k-1) =𝑘 2 III)Probar: n=k+1 …+[2(k+1)-1= (𝑘 + 1)2 𝑘 2 +2k+2-1= (k+1)2 𝑘 2 +2k+1=𝑘 2 +12 𝑘 2 +1=𝑘 2 +1