1
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN
LOGARÍTMICA
1.1.
Función exponencial
1.1.1.
Previos
Antes de iniciar este tema es importante recordar las leyes de potencias:
1. Todo número elevado a 1 es igual al mismo número.
x1 = x
2. Todo número elevado a 0 es 1.
x0 = 1
3. Todo número elevado a un número negativo es igual a 1 entre la base elevada al mismo exponente,
pero positivo.
1
x−n = n
x
4. En la multiplicación de números de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.
xn xm = xn+m
5. En la división de números de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes (el
resultado de la resta se coloca donde estaba el número de mayor grado)
xm
= xm−n
xn
6. Potencia de una potencia: Se multiplican los exponentes.
(xn )m = xn.m
7. Un número elevado a una fracción puede transformarse a una raíz; el denominador se convierte
en el índice de la raíz y el númerador en el exponente de la base.
√
m
x n = n xm
1
1.1.2.
Función exponencial
La función exponencial está definida por la ecuación f (x) = ax , a > 0 y a 6= 0 donde la constante a,
se llama base y el exponente x, es una variable.
f (x) = ax , a > 1 No interseca al eje x
Interseca a y en (0, 1)
Es creciente
Asíntota en x por la izquierda
Dominio: R Ámbito: R+
Biyectiva
f (x) = ax , 0 < a < 1
No interseca al eje x
Interseca a y en (0, 1)
Es decreciente
Asíntota en x por la derecha
Dominio: R Ámbito: R+
Biyectiva
1.1.3.
Características de la función exponencial
1. f recorre todo el eje x, su dominio máximo es R
2. El ámbito de f es R+ . Es decir, ax > 0; ∀x ∈ R
3. f interseca el eje y en 1. Es decir, la gráfica de f pasa por el punto (0, 1), dado que a0 = 1;
∀a 6= 0
4. f no interseca el eje x dado que f (x) > 0; ∀x ∈ R
5. f posee asíntota horizontal y = 0. Es decir, cuando x → ±∞, f (x) → 0. Esto significa que cuando
x es suficientemente grande o pequeña, su imagen tiende a cero.
6. Para a > 1, f es estrictamente creciente y para 0 < a < 1, f es estrictamente decreciente. Esto
significa que f es inyectiva.
1.1.4.
Exponencial natural
La función exponencial con base e es:
f : R → R, tal que f (x) = ex
Donde e ≈ 2, 7182828
Dado que 2 < e < 3 la gráfica satisface todas las características de las funciones exponenciales con
base mayor que 1, la gráfica de la exponencial natural es la siguiente:
1.2.
Función logarítmica
Una función logarítmica con base a, a ∈ R+ , a 6= 1, es una función que se denota
f (x) = loga x y está definida como:
loga x = y ⇔ ax = x
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Ejemplo. Calcule el valor de log2 32, log3 81
, log 0, 01
Solución
1. log2 32 = y ⇔ 2y = 32 ⇒ y = 5. O sea, log2 32 = 5
1
1
2. log3 81
= n ⇔ 3n = 3−4 ⇒ n = −4. O sea log3 81
= −4
3. log 0, 01 = z ⇔ 10z = 0, 01 ⇔ 10z = 10−2 ⇒ z = −2 = log0, 01.
1.2.1.
Propiedades
Dado que a > 0, a 6= 1
1. loga 1 = 0
2. loga a = 1
Es posible considerar dos casos:
f (x) = loga x, a > 1
f (x) = loga x, 0 < a < 1
Algunas características de la función logarítmica son:
1. f recorre todo el eje x positivo, su dominio máximo es R
2. El ámbito de f es R. Es decir, loga x ∈ R; ∀x > 0
3. f interseca el eje x en 1. Es decir, la gráfica de f pasa por el punto (1, 0), dado que loga 1 = 0
porque a0 = 1; ∀x 6= 0
4. f no interseca el eje y dado que ax > 0; ∀x ∈ R
5. f posee asíntota vertical x = 0. Es decir, cuando x → 0+ , f (x) → ±∞. Esto significa que cuando
x es suficientemente grande o pequeña, su imagen tiende a cero.
6. Para a > 1, f es estrictamente creciente y para 0 < a < 1, f es estrictamente decreciente.
1.2.2.
Logaritmos naturales
La función logaritmo con base e, se denota f (x) = lnx y está definida como:
lnx = y ⇔ ey = y
y = lnx
y = ex
Composición de la exponencial y logarítmica
Una función y su inversa cumplen las propiedades: f −1 ( f (x)) = x; ∀x ∈ D f y f ( f −1 ) = x∀x ∈ D f −1 ,
al aplicar estas propiedades al caso de las funciones exponenciales f (x) = ax y logarítmica f − 1(x) =
loga x obtenemos:
1. loga ax = x; x ∈ R
2. aloga x = x; x > 0
1.2.3.
Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo del producto es igual a la suma de los factores de los logaritmos de cada factor
loga (x.y) = loga x + loga y
2. El logaritmo del cociente es igual a la resta del logaritmo del numerador y el logaritmo del
denominador
x
loga = loga x − loga y
y
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente y el logaritmo de la base de la
potencia
loga (xn ) = n. loga x
4. Cambio de base: Es posible reescribir un logaritmo de base a a una expresión de logaritmos en
base n
logn b
loga b =
logn a
1.3.
Ecuaciones
Existen varias formas de resolver las ecuaciones,a continuación se mostrarán con ejemplos.
1. Determine el conjunto solución de:
x+2
1
9 ·
= 27.(3x )−2
3
2x
Solución
Primero se descomponen las bases: (32 )2x · ( 13 )x+2 = 33 .(3x )−2
Se aplican leyes de potencias: 34x · 3−(x+2) = 33 · 3−2x ⇔ 34x−(x+2) = 33−2x
Como f (x) es inyectiva: 3x − 2 = 3 − 2x ⇔ x = 1 (Se quita la base, en este caso es 3 y los
exponentes se convierten en la ecuación)
S = {1}
En las ecuaciones que no es posible igualar las bases y aplicar la inyectividad de la función
para igualar preimágenes (los exponentes), se necesita de la composición de la exponencial y
logarítmica y la aplicación de las leyes de logaritmos.
2. Determine el conjunto solución de
32−3x = 42x+1
Se descomponen las bases y se aplican las leyes de potencias: 32−2x = (22 )2x+1
utilizando la inyectividad de la función logarítmica, se evalúan las expresiones 32−2x = 42x+1 en
un logaritmo en cualquier base.
32−2x = (22 )2x+1 ⇔ log2 32−3x = log2 24x+2
Reconociendo la composición de f (x) y aplicando la propiedad del logaritmo de la potencia, se
obtiene:
(2 − 3x) log2 3 = 4x + 2 ⇔ 2 log2 3 + 3x log2 3 = 4x + 2
⇔ 2 log2 3 − 2 = 4x + 3xlog2 3 ⇔ 2 log2 3 − 2 = x(4 + 3 log2 3)
⇔x=
S={
−2 + log2 9
4 + log2 27
−2 + log2 9
}
4 + log2 27
3. Determine el conjunto solución de
ex
2 −7x−8
=1
Para resolver esta ecuación, primero se expresará 1 como e0 (Esto se puede hacer con cualquier
otra base diferente de cero)
2
ex −7x−8 = e0
⇔ x2 − 7x − 8 = 0
⇔ (x − 8)(x + 1) = 0
⇔ x = 8 o x = −1
S = {−1, 8}
4. Determine el conjunto solución de ln(3x − 5) + ln(2x + 1) = ln(6x2 − 24) − ln(3x)
Primero es preciso determinar el dominio en el cual se trabaja. En este caso se debe cumplir que
los cuatro argumentos sean números positivos.
3x − 5 > 0 ⇔ x > 53
2x + 1 > 0 ⇔ x > − 12
3x > 0 ⇔ x > 0
6x2 − 24 > 0 ⇔ 6x(x − 4) > 0 ⇔ x < 0 o x > 4
Por lo tanto el dominio, en este caso, es ]4, +∞[
Para resolver la ecuación se aplicarán propiedades de los logaritmos de modo que se obtenga una igualdad de dos logaritmos de igual base:
ln(3x − 5) + ln(2x + 1) = ln(6x2 − 24) − ln(3x)
2
ln[(3x − 5)(2x + 1)] = ln 6xln−24
3x
6x2 −24
(3x − 5)(2x + 1) = ln 3x
6x2 − 7x − 5 = 2x − 8
6x2 − 9x + 3 = 0
2x2 − 3x + 1 = 0
(2x − 1)(x − 1)
x = 0, 5 o x = 1
Note que ninguna de estas raíces de la ecuación polinomial pertenecen al dominio en el que se
está trabajando. Por lo tanto el conjunto solución es S = 0/