Cálculo Diferencial: Guía Didáctica 5to Semestre

CÁLCULO DIFERENCIAL
GUÍA DIDÁCTICA QUINTO SEMESTRE
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: __________________________________________________
Plantel: ___________________________________________________
5to Semestre Grupo: ______
Turno: _________________
CÁLCULO DIFERENCIAL
No olvides los días de las clases de Matemáticas
Coloca en la tabla los días que tengas clases de Cálculo Diferencial y en qué clase del día
CLASES EN
EL DÍA
1ª Clase
2ª Clase
3ª Clase
4ª Clase
5ª Clase
6ª Clase
7ª Clase
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO
MTRO. ERASMO MARTÍNEZ RODRÍGUEZ
Director General
C.P. SONIA LÓPEZ IZQUIERDO
Directora Académica
MTRA. GISELLE OLIVARES MORALES
Subdirectora de Planeación Académica
MTRA. ALEJANDRINA LASTRA COLORADO
Jefe de Departamento de Programas de Estudio
LIC. GUADALUPE SOBERANES RAMÓN
Jefe de Materia
ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL
Edición: JUNIO 2021
En la realización del presente material, participaron:
Asesor Académico
Mtro. Juan Manuel Montero Hernández
Plantel 01
Asesor Situación y Guía Didáctica
Mtra. Rosa Isela Cabello Barrosa
Plantel 07
Mtro. Carlos Alberto García Vivas
Plantel 25
Docentes Participantes
Mtra. Sonia Iris Castillo Hernández
Plantel 06
Mtro. David Mendoza Hernández
Plantel 07
Mtra. Irma Graciella del Prado Piña
Plantel 28
Mtro. Jesus Enrique Garcés Rodríguez
Plantel 28
Mtro. Carlos Ernesto Hidalgo López
Plantel 28
Mtro. Carlos Zapata Valencia
Plantel 28
Mtro. Román Antonio Chablé Olán
Plantel 30
Mtra. Adriana Reyes Ramos
Plantel 42
Revisor: Jefe de Materia:
Lic. Guadalupe Soberanes Ramón
Este material fue elaborado bajo la coordinación y
supervisión del Departamento de Programas de Estudio de
la Dirección Académica del Colegio de Bachilleres de
Tabasco, concluyendo en el mes de Junio del año 2021.
© Derechos en proceso de registro.
Queda prohibida la reproducción total o parcial de este
material por cualquier medio electrónico o mecánico, para
fines ajenos a los establecido por el COBATAB.
Para uso de la Comunidad del Colegio de Colegio de
Bachilleres de Tabasco (COBATAB)
www.cobatab.edu.mx
CONTENIDO
PRESENTACIÓN .........................................................................................................................................................1
COMPETENCIAS GENÉRICAS .....................................................................................................................................3
COMPETENCIAS DISCIPLINARIAS EXTENDIDAS ........................................................................................................7
ENFOQUE DE LA ASIGNATURA .................................................................................................................................8
UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA ...............................................................................................................................9
RELACIÓN DE LOS CONTENIDOS CON LOS APRENDIZAJES CLAVES ....................................................................... 10
EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS ....................................................................................................................... 11
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN ......................................................................................................................... 13
BLOQUES DE APRENDIZAJES.................................................................................................................................. 15
BLOQUE I Límites ................................................................................................................................................... 17
BLOQUE II. La Derivada.......................................................................................................................................... 17
CALDIF-B1_B2-SD01 Situación Didáctica No. 1 ................................................................................................. 19
CALDIF-B1_B2-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 1 ................................................................ 20
CALDIF-B1_B2-ED01 Evaluación diagnóstica BI “Límites” BII “La derivada” ..................................................... 22
CALDIF-B1-FC01 ................................................................................................................................................. 23
LECCIÓN 10. EVALUAR Y ELEGIR ........................................................................................................................ 23
CALDIF-B1-LECTURA01 ...................................................................................................................................... 25
Antecedentes y Aplicaciones de la Derivada ..................................................................................................... 25
Aportaciones Significativas al Cálculo ............................................................................................................... 26
CALDIF-B1-TAREA01 .......................................................................................................................................... 28
Cuestionario “¿Qué es el cálculo?” ................................................................................................................... 28
CALDIF-B1-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 01 Cuestionario .................................................... 29
CALDIF-B1-LECTURA02 ...................................................................................................................................... 30
Concepto e Interpretación de Límite ................................................................................................................ 30
CALDIF-B1-AF01 ................................................................................................................................................. 41
CALDIF-B1-LECTURA02 ...................................................................................................................................... 42
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES .......................................................................................................................... 42
CALDIF-B1-LECTURA03 ...................................................................................................................................... 49
Límites de Funciones Trascendentes ................................................................................................................. 49
CALDIF-B1-AF02 ................................................................................................................................................. 52
CALDIF-B1-TAREA02 .......................................................................................................................................... 53
Problemario 01: Límites de funciones algebraicas y trascendentes ................................................................. 53
CALDIF-B1-GO02 Guía de observación para evaluar Tarea 02 Problemario 01 ................................................ 54
CALDIF-B2-LECTURA01 ...................................................................................................................................... 55
Derivada por Definición de Funciones Polinómicas .......................................................................................... 55
CALDIF-B2-LECTURA02 ...................................................................................................................................... 73
Derivada de Funciones Algebraicas ................................................................................................................... 73
CALDIF-B2-AF01 ................................................................................................................................................. 86
CALDIF-B2-TAREA03 .......................................................................................................................................... 87
Reporte: Carrera 100 m planos ......................................................................................................................... 87
CALDIF-B2-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 03 Reporte ............................................................ 88
CALDIF-B1_B2-PP01........................................................................................................................................... 89
MAT4-B1_B2-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados ...................................... 91
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................................ 93
BLOQUE II La Derivada........................................................................................................................................... 95
BLOQUE III. Aplicaciones de la Derivada ............................................................................................................... 95
CALDIF-B2_B3-SD02 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 2 ........................................................................................... 97
CALDIF-B2_B3-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 2 ................................................................ 98
CALDIF-B2_B3-ED02 Evaluación diagnóstica BII “La Derivada” - BII "Aplicaciones de la Derivada” ............... 100
CALDIF-B2-LECTURA02 .................................................................................................................................... 102
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES................................................................................................. 102
CALDIF-B2-TAREA04 ........................................................................................................................................ 107
Problemario 02: Calculo de Derivadas Trascendente ..................................................................................... 107
CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04 Problemario 02 ........................................................ 108
CALDIF-B2-LECTURA03 .................................................................................................................................... 109
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR ................................................................................................................... 109
CALDIF-B2-TAREA05 ........................................................................................................................................ 112
Problemario 03: Calculo de Derivadas de Orden Superior.............................................................................. 112
CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05 Problemario 03 ........................................................ 113
CALDIF-B3-LECTURA01 .................................................................................................................................... 114
Máximos, Mínimos, Puntos de Inflexión de una función y Optimización ....................................................... 114
CALDIF-B3-TAREA06 ........................................................................................................................................ 122
Problemario 04: Optimización ......................................................................................................................... 122
CALDIF-B3-RUXX Rúbrica para evaluar la Tarea 06 Problemario 04 ............................................................... 124
CALDIF-B3-LECTURA02 .................................................................................................................................... 126
Velocidad, Aceleración y Rapidez de un Móvil ................................................................................................ 126
CALDIF-B3-LECTURA03 .................................................................................................................................... 131
Regla de L’Hôpital ............................................................................................................................................ 131
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................................... 145
PRESENTACIÓN
En la búsqueda de estrategias para el fortalecimiento del desarrollo de competencias tanto en la enseñanza del
docente como en aprendizaje de los estudiantes y con la finalidad de homogenizar el lenguaje académico en el
desarrollo de las planeaciones didácticas de las diversas asignaturas que conforman el quinto semestre de la EMS
regidas por la DGB. La Dirección General del Colegio de Bachilleres de Tabasco, a través de la participación de
docentes del área de matemáticas adscritos a diferentes planteles, se ha dado a la tarea de aprovechar la
potencialidad en la experiencia de la enseñanza de las matemáticas tanto en al aula, como en actividades
extramuros y ha desarrollado esta guía para el estudiante que facilite a la vez el trabajo docente de CÁLCULO
DIFERENCIAL. En ella se señalan los aspectos curriculares propios de la asignatura mostrando la distribución de
los diferentes bloques que la conforman, relacionados con los aprendizajes claves, así como las competencias
genéricas y disciplinares básicas a desarrollar. De acuerdo con el propósito de cada uno de ellos y a los
aprendizajes esperados se muestra por cada bloque(s) una con la situación didáctica (SD) como problemática a
resolver una vez abordados los contenidos específicos establecidos en los contenidos conceptuales.
Para el desarrollo de esta asignatura se han establecido 2 Situaciones Didácticas (SD) seguidas de su instrumento
de evaluación, con indicadores alineados a sus contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales que
abonan al logro de los aprendizajes esperados al concluir el o los bloques que engloba dicha situación didáctica.
En la enseñanza bajo el enfoque por competencias se busca que los estudiantes adquieran aprendizajes que sean
profundos, situados, significativos y socioemocionales, mismos que deben reflejarse en la solución de la
problemática establecida en el conflicto cognitivo de la SD, por ello esta guía se proponen también 06 tareas
como parte de los insumos para la elaboración del producto que materialice los resultados del logro de los
aprendizajes esperados en las 2 SD, que se plantean en la planeación didáctica estatal. Dichas tareas también
están acompañadas con su respectivo instrumento de evaluación.
Es importante mencionar que las tareas establecidas para cada bloque deben ser agotadas para dar paso a la
presentación, socialización y evaluación del producto que a través de la estrategia nombrada da solución a cada
situación didáctica.
En la planeación didáctica estatal se proponen los tipos de evaluaciones en las diversas tareas y situaciones
didácticas, pero el docente tiene la libertad de elegir entre autoevaluar, coevaluar y heteroevaluar de acuerdo
 Página 1
con los momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje y del contexto de su grupo(s), lo importante es ejercer
la práctica de evaluar; pues fortalece el proceso socio formativo en el aprendizaje de los estudiantes. Al final de
cada sección que abarca cada bloque y sus respectivas situaciones didácticas y tareas se incluye un mapa de
aprendizaje, esto para realizar una autoevaluación que permite a cada estudiante y al docente mismo conocer
el nivel de logro en los aprendizajes establecidos para así diseñar un plan de mejora de las actividades de
enseñanza-aprendizaje.
Para fortalecer el desarrollo del aprendizaje socioemocional se integra la lección CONSTRUYE-T a desarrollar,
diferente a la que se aplica en las otras asignaturas del cuarto semestre.
Por último, no puede omitirse señalar que para facilitar el desarrollo de estrategias de trabajo en algunos
contenidos en el aula y fuera de ella, se insertan códigos QR e imágenes con sus respectivo enlace o dirección
electrónica, dándole la versatilidad que se requiere para la aplicación de aula invertida y el aprendizaje
autónomo.
Este trabajo está alineado a la Planeación Didáctica de Cálculo Diferencial, en la que de acuerdo con las
habilidades de cada docente puede aplicarse en modos de educación virtual y/o presencial. Esperamos fortalezca
y facilite el desarrollo de su tarea educativa en esta asignatura
ATENTAMENTE
Docentes Participantes
 Página 2
COMPETENCIAS GENÉRICAS
SE AUTODETERMINA Y CUIDA DE SÍ
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue
CG. 1.1.
Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y
debilidades.
CG. 1.2.
Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de
solicitar apoyo ante una situación que lo rebase.
CG. 1.3.
Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un
proyecto de vida.
CG. 1.4.
Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
CG. 1.5.
Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.
CG. 1.6.
Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus
metas.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros
CG 2.1
Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.
CG 2.2
Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre
individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad.
CG 2.3
Participa en prácticas relacionadas con el arte.
3. Elije y practica estilos de vida saludables
CG 3.1
Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.
CG 3.2
Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo
y conductas de riesgo.
CG 3.3
Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo
rodean.
 Página 3
SE EXPRESA Y COMUNICA
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de
medios, códigos y herramientas apropiados.
CG 4.1
Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
CG 4.2
Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto
en el que se encuentra y los objetivos que persigue.
CG 4.3
Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
CG 4.4
Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.
CG 4.5
Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y
expresar ideas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos
CG 5.1
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de
sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
CG 5.2
Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones.
CG 5.3
Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.
CG 5.4
Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
CG 5.5
Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y
formular nuevas preguntas.
CG 5.6
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos
de vista de manera crítica y reflexiva
CG 6.1
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre
ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
CG 6.2
Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
CG 6.3
Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e
integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.
CG 6.4
Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
 Página 4
APRENDE DE FORMA AUTÓNOMA
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida
CG 7.1
Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.
CG 7.2
Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo
y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.
CG 7.3
Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
TRABAJA EN FORMA COLABORATIVA
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos
CG 8.1
Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo
un curso de acción con pasos específicos.
CG 8.2
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
CG 8.3
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que
cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
PARTICIPA CON RESPONSABILIDAD EN LA SOCIEDAD
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo
CG 9.1
Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
CG 9.2
Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la
sociedad.
CG 9.3
Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e
instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.
CG 9.4
Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general
de la sociedad.
CG 9.5
Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.
CG 9.6
Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional
ocurren dentro de un contexto global interdependiente.
 Página 5
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y
prácticas sociales
CG 10.1
Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y
derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.
CG 10.2
Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante
la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.
CG 10.3
Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los
contextos local, nacional e internacional.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables
CG 11.1
Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local,
nacional e internacional.
CG 11.2
Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño
ambiental en un contexto global interdependiente.
CG 11.3
Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al
ambiente.
 Página 6
COMPETENCIAS DISCIPLINARIAS EXTENDIDAS
CLAVE
MATEMÁTICAS
Las competencias disciplinares extendidas para este campo del conocimiento corresponde a las
competencias disciplinares básicas previstas en el artículo 7 del Acuerdo 444, y son las siguientes
CDBM 1
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos
aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones para la comprensión y análisis de
situaciones reales, hipotéticas o formales.
CDBM 2
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
CDBM 3
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
CDBM 4
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y la comunicación.
CDBM 5
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
CDBM 6
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del
espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
CDBM 7
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno
y argumenta su pertinencia.
CDBM 8
Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con matemáticos y científicos.
Símbolos
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ENFOQUE DE LA ASIGNATURA
El campo disciplinar de matemáticas tiene como eje desarrollar el pensamiento lógico matemático para
interpretar situaciones reales o hipotéticas, que permitan al estudiantado proponer alternativas de solución
desde diversos enfoques, priorizando las habilidades del pensamiento tales como la búsqueda de patrones o
principios que subyacen a fenómenos, la generación de diversas alternativas para la solución de problemas para
la solución de problemas, el manejo de información, la toma de decisiones basadas en el análisis crítico de
información matemática, interpretación de tablas, graficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos,
argumentación de propuestas de solución y predicción del comportamiento de un fenómeno a partir del análisis
de sus variables.
En consecuencia las estrategias de enseñanza-aprendizaje y evaluación que diseñe el personal docente para
su intervención educativa en las asignaturas que conforman el campo de matemáticas deben girar en torno a
problemas significativos para la vida del alumnado ,es decir no deben ser repetitivas o que se resuelvan
aplicando un procedimiento o modelo matemático que no tiene significado, dichas situaciones deben
promover la movilización de recursos diversos para el diseño de una metodología de solución.
La asignatura de Cálculo Diferencial, tiene como propósito general el desarrollo de habilidades características
del pensamiento lógico-matemático, por medio del uso de los procedimientos para derivar y su aplicación en
problemas de optimización que le permitan predecir situaciones reales, formales y/o hipotéticas de su contexto,
logrando entender e interpretar los resultados en diversos ámbitos colaborando a desarrollar su capacidad de
razonamiento así como su toma de decisiones.
Este programa parte de la solución de Límites en el bloque 1, así como Derivadas durante el bloque 2, lo que
permitirá al estudiantado, en el bloque 3, una comprensión de las razones de cambio en diversos fenómenos de
su entorno además de poder analizarlos de forma cualitativa y cuantitativa. Lo anterior, para propiciar un
desarrollo en sus capacidades de abstracción y razonamiento mediante la aplicación de la Derivada, tema que le
será de utilidad en estudios de nivel superior.
 Página 8
Al tratarse de una asignatura del Componente Propedéutico del Bachillerato General, tiene como intensión
brindarle las herramientas y conocimientos básicos al estudiantado para que pueda continuar sus estudios a
nivel superior además de permitirle su integración en forma eficiente a las circunstancias de vida y situación
tanto académica como laboral de su entorno, favoreciendo al estudiantado respecto a un interés vocacional
enfocado en el Campo de las Matemáticas.
Cabe señalar, que los conocimientos no son el fin de la educación, en este caso los del campo de la Matemáticas,
ni elementos aislados sino una herramienta para que el estudiantado desarrolle las competencias que definen el
perfil de egreso de la Educación Media Superior, así como, elementos indispensables para la comprensión de
todos los demás campos o asignaturas que componen este nivel educativo, aun cuando con algunos como Física,
Biología o Química se encuentre una afinidad más clara que con los demás.
UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA
1er Semestre
2do Semestre
3er Semestre
4to Semestre
5to Semestre
6to Semestre
Matemáticas I
Matemáticas II
Matemáticas III
Matemáticas IV
Geografía
Ecología y Medio
Ambiente
Química I
Química II
Bilogía I
Biología II
Estructura
Socioeconómica de
México
Cálculo Integral
Taller de Lectura y
Redacción I
Taller de Lectura y
Redacción II
Física I
Física II
Cálculo Diferencial
Ética y Valores I
Metodología de la
Investigación
Ética y Valores II
Todas las
asignaturas de 3er
semestre
Informática I
Informática II
Todas las
asignaturas de 1er
semestre
Todas las
asignaturas de 2°
semestre
Todas las
asignaturas de 4°
semestre
Se retomarán las
asignaturas que en
cada plantel se
imparten en 5to
semestre, tanto del
componente
de
formación
propedéutico como
el de formación
para el trabajo.
FORMACIÓN PARA EL TRABAJO
TUTORÍAS
 Página 9
Se retomarán las
asignaturas que en
cada plantel se
imparten en 5to
semestre, tanto del
componente
de
formación
propedéutico como
el de formación
para el trabajo.
RELACIÓN DE LOS CONTENIDOS CON LOS APRENDIZAJES CLAVES
Campo Disciplinar: MATEMÁTICAS
EJE
Pensamiento
y lenguaje
variacional
COMPONENTE
Cambio y
predicción:
Elementos del
Cálculo
CONTENIDO CENTRAL
BLOQUE
Conceptos básicos de sistemas de coordenadas, orientación y
posición
I
II
Introducción a las funciones algebraicas y elementos de las
funciones trascendentes elementales
II
Uso de la derivada en diversas situaciones contextuales
II
III
Tratamiento intuitivo: numérico, visual y algebraico de los limites
I
Tratamiento del cambio y la variación: estratégicas variacionales
I
II
III
Graficación de funciones por diversos métodos
I
II
Introducción a las funciones continuas y a la derivada como una
función
I
II
Criterios de optimización: criterios de localización para máximos
y mínimos de funciones
III
Nociones básicas de derivación de orden uno y orden dos
(primera y segunda derivada), optimización y Graficación de
funciones elementales (algebraicas y trascendentes).
II
III
 Página 10
EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS
La evaluación debe ser un proceso continuo que permita recabar evidencias pertinentes sobre el logro de
aprendizaje del estudiantado tomando en cuenta la diversidad de estilos y ritmos, con el fin de retroalimentar el
proceso de enseñanza-aprendizaje y mejorar sus resultados.
Con base en el Acuerdo 8/CD/2009 del Comité Directivo del Sistema Nacional de Bachillerato, actualmente
denominado Padrón de Buena Calidad del Sistema Nacional de Educación Media Superior (PBG-SiNEMS), la
evaluación debe ser un proceso continuo que permita recabar evidencias pertinentes sobre el logro de
aprendizajes del estudiantado tomando en cuenta la diversidad de estilo y ritmos, con el fin de retroalimentar el
proceso de enseñanza-aprendizaje y mejorar sus resultados.
El Modelo Educativo para la Educación Obligatoria (MEPEO, sept 2017) señala que la evaluación es un proceso
que tiene como objetivo mejorar el desempeño del alumnado e identificar sus áreas de oportunidad. Además,
es un factor que impulsa la transformación de la práctica pedagógica y el seguimiento de los aprendizajes.
Para que la evaluación sea un proceso transparente y participativo donde se involucre al personal docente y al
estudiantado debe favorecerse:
▪
La autoevaluación
En ésta el bachiller valora sus capacidades con base a criterios y aspectos definidos con claridad por el
personal docente, el cual debe motivarle a buscar que tome conciencia de sus logros, errores y aspectos
a mejorar durante su aprendizaje.
▪
La coevaluación
A través de la cual las personas pertenecientes al grupo valoran, evalúan y realimentan a un integrante
en particular respecto a la presentación de evidencias de aprendizaje con base en criterios consensuados
e indicadores previamente establecidos.
▪
La heteroevaluación
La cual consiste en un juicio emitido por el personal docente sobre las características del aprendizaje del
estudiantado señalando las fortalezas y aspectos a mejorar, teniendo como evidencia los aprendizajes
logrados y evidencias específicas
 Página 11
Para evaluar por competencias se debe favorecer el proceso de formación a través de:
▪
La evaluación diagnóstica
Se realiza antes de algún proceso educativo (curso, secuencia o segmento de enseñanza) para estimar
los conocimientos previos del estudiantado, identificar sus capacidades cognitivas con relación al objeto
de estudio y apoya al personal docente en la toma de decisiones del trabajo en el aula.
▪
La evaluación formativa
Se lleva a cabo durante el proceso educativo y permite precisarlos avances logrados en el desarrollo de
competencias por cada estudiante y advierte las dificultades que encuentra durante el aprendizaje Tiene
por objeto mejorar, corregir o reajustar su avance y se fundamenta en parte en la autoevaluación.
Implica una reflexión y un dialogo con el estudiantado a cerca de los resultados obtenidos y los procesos
de aprendizaje y enseñanza que le llevaron a ello, permite estimar la eficacia de las experiencias de
aprendizajes para mejorarlas y favorece su autonomía.
▪
La evaluación sumativa
Se realiza al final de un proceso o ciclo educativo considerando el conjunto de diversas evidencias que
surgen de los aprendizajes logrados.
 Página 12
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Con el fin de mostrar el saber que subyace en una competencia, los aprendizajes esperados permiten establecer
una estrategia de evaluación, por tanto, contienen elementos observables que deben ser considerados en la
evaluación tales como:
▪
La participación. (discurso y comunicación, compromiso, empeño e iniciativa, cooperación)
▪
Las actividades generativas. (trabajo de campo, proyectos, solución de casos y problemas, composición
de textos, arte y dramatizaciones)
▪
Las actividades de análisis. (comprensión e integración de conceptos como interpretación, síntesis y
clasificación, toma de decisiones, juicio y evaluación, creación e invención y pensamiento crítico e
indagación)
Para ello se consideran instrumentos que pueden agruparse principalmente en (Díaz-Barriga, 2014)
Técnicas de observación
•
Guía de observación: Las técnicas de observación permiten evaluar los procesos de aprendizaje en
el momento que se producen, La guía de observación es un instrumento que se basa en una lista de
indicadores que pueden redactarse ya sea como afirmaciones o bien como preguntas, que orientan
el trabajo de observación dentro del aula, señalando los aspectos que son relevantes al observar.
Esta guía puede utilizarse para observar las respuestas de los alumnos en una actividad, durante una
semana de trabajo, una secuencia didáctica completa.
Técnicas para el análisis del desempeño
•
Rúbricas: Son guías que describen las características específicas de lo que se pretende evaluar
(productos, tareas, proyectos, exposiciones, entre otras) precisando los niveles de rendimiento que
permiten evidenciar los aprendizajes logrados de cada estudiante, valorar su ejecución y facilitar la
retroalimentación.
 Página 13
•
Portafolios: permiten mostrar el crecimiento gradual y los aprendizajes logrados con relación al
programa de estudios, centrándose en la calidad o nivel de competencia alcanzado y no en una mera
colección al azar de trabajos sin relación. Estos establecen criterios y estándares para elaborar
diversos instrumentos para la evaluación del aprendizaje ponderando aspectos cualitativos de lo
cuantitativo.
•
Listas de cotejo: Es una lista de palabras, frases u oraciones que señalan con precisión las tareas, las
acciones, los procesos y las actitudes que se desean evaluar
Los trabajos que pueden integrar en un portafolio y que pueden ser evaluados a través de rúbricas son: ensayos,
videos, series de problemas resueltos, trabajos artísticos, trabajos colectivos, comentarios a lecturas realizadas,
autorreflexiones, reportes de laboratorio, hojas de trabajo, guiones, entre otros, los cuales deben responder a
una lógica de planeación o proyecto.
Con base a lo anterior, los programas de estudio de Dirección General del Bachillerato deben incluir elementos
que enriquecen la labor formativa tales como la transversalidad, las habilidades socioemocionales y la
interdisciplinariedad trabajadas de manera colegiada y permanentemente en el aula, consideran a la evaluación
formativa como eje central al promover una reflexión sobre el progreso del desarrollo de competencias
 Página 14
BLOQUES DE APRENDIZAJES
BLOQUE
I
NOMBRE DEL
BLOQUE
CONTENIDOS ESPECÍFICOS
▪
Antecedentes y aplicaciones del cálculo
▪
Límites:
Límites
▪
•
Concepto e interpretación de límites
•
Propiedades de límites
•
Límites de funciones algebraicas
•
Límites de funciones trascendente
HSM
12
Derivada por definición de funciones polinómicas (regla de los 4
pasos)
II
III
La Derivada
Aplicaciones
de la Derivada
▪
Derivada de funciones algebraicas
▪
Derivadas de funciones trascendentes
▪
Derivadas de orden superior
▪
Máximos, mínimos y punto de inflexión de una función
▪
Optimización
▪
Velocidad, aceleración y rapidez de un móvil
▪
Regla de L’Hôpital
20
16
 Página 15
Primera Revisión de Portafolios y Evaluación Sumativa
 Página 16
BLOQUE I Límites
BLOQUE II. La Derivada
BLOQUES
II. Límites
✓ Antecedentes y aplicaciones del cálculo
✓ Límites:
-
Concepto e interpretación de límites
-
Propiedades de los límites
-
Límites de funciones algebraicas
-
Límites de funciones trascendentes
III. La Derivada
✓ Derivada por definición de funciones polinómicas (regla de
los 4 pasos)
✓ Derivadas de funciones algebraicas
 Página 17
BLOQUE I. LÍMITES
BLOQUE II. LA DERIVADA
PROPÓSITO DE CADA BLOQUE
Emplea de manera crítica y reflexiva el concepto de Límite en la solución de diversas situaciones de su entorno,
reconociendo su importancia en la construcción de nuevos conocimientos.
Aplica los métodos de derivación, trabajando de forma metódica y organizada para contribuir en la solución
de situaciones hipotéticas y/o reales de manera crítica y reflexiva.
APRENDIZAJES ESPERADOS
▪
▪
▪
▪
Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones,
reflexionando sobre su relevancia en procesos actuales de su entorno.
Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del análisis de situaciones de su contexto
para la construcción de nuevos conocimientos.
Emplea la regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función y la relaciona con situaciones
presentes en su contexto, promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo.
Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de situaciones reales y/o hipotéticas de su vida
cotidiana, trabajando de forma metódica y organizada.
COMPETENCIAS
GENÉRICAS
DISCIPLINARES
CG1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y
es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. CDEM5 Analiza las relaciones entre dos o más
CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante variables de un proceso social o natural para
representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. determinar o estimar su comportamiento
CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de CDEM8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas
manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de y textos con símbolos matemáticos y científicos
sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante
representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas CDEM2 Formula y resuelve problemas matemáticos
CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de aplicando diferentes enfoques
manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de CDBM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos
sus pasos contribuye al alcance de un objetivo
mediante procedimientos matemáticos y los
CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o contrasta con modelos establecidos o situaciones
desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un reales
curso de acción con pasos específicos
 Página 18
CALDIF-B1_B2-SD01 Situación Didáctica No. 1
TITULO
“No andes a la deriva”
El 31 de diciembre de 2019, autoridades de Salud de Wuhan (provincia de Hubei,
China) informaron sobre un conglomerado de 27 casos de neumonía de etiología
desconocida con inicio de síntomas el 8 de diciembre, incluyendo siete casos graves,
vinculados por la exposición común a un mercado mayorista de marisco, pescado y
animales vivos en la ciudad de Wuhan. El mercado fue cerrado el día 1 de enero de
2020. El 7 de enero de 2020, las autoridades chinas identificaron un nuevo virus de
la familia Coronaviridae, como agente causante del brote. Fue denominado "nuevo
coronavirus", 2019nCoV. La secuencia genética fue compartida por las autoridades
chinas el 12 de enero. Un par de meses después, el nuevo Coronavirus se dispersó
por el globo afectando a todas las poblaciones de manera que se decretó el inicio de
una pandemia sin precedentes. Los gobiernos declararon estado de cuarentena
absoluta debido a la creciente oleada de casos positivos.
Contexto
En el estado de Tabasco, el primer caso de Covid-19 se presentó el 18 de marzo de
2020 y se incrementaron rápidamente en tan solo 5 meses, alcanzando su máximo
histórico el mes de julio de 2020. El Gobierno del Estado evalúa la posibilidad de un
regreso a clases en el siguiente ciclo, por lo que analiza los casos confirmados en lo
que va del año.
Del análisis de casos confirmados durante las primeras semanas del año 2021, se
pudo obtener un modelo que determina el total de casos presentados en función
del número de semanas transcurridas en pandemia.
𝑪 = −𝟒𝟕. 𝟓 𝒔𝟐 + 𝟏𝟖𝟓𝟓 𝒔 + 𝟔𝟑𝟐
Donde:
𝐶, es el total de casos presentados.
𝑠, es el número de semanas transcurridas
Conflicto Cognitivo
De acuerdo al análisis del modelo presentado:
▪ ¿Se contará con las condiciones idóneas para el regreso a clases en el mes de
agosto de 2021?
▪ ¿Qué acciones consideras pertinentes realizar para el regreso a clases de
acuerdo al número de contagios estimados?
Propósito de la
Situación Didáctica
En equipos de trabajo de 5 integrantes elaboran un cartel en donde muestren el
comportamiento de los casos de Covid-19 en el estado de Tabasco, así como la
velocidad con la que se propaga entre la población, exponiendo sus conclusiones
frente a la comunidad estudiantil.
 Página 19
CALDIF-B1_B2-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 1
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque I: Límites
Bloque II: La Derivada
Fecha:
Situación Didáctica 1: No andes a la derivada
Grupo
Nombres:
Turno
Aprendizajes Esperados
▪
Explica la importancia del Cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones,
reflexionando sobre su relevancia en procesos actuales de su entorno.
▪ Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del análisis de situaciones de su contexto
para la construcción de nuevos conocimientos.
▪ Emplea la regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función y la relaciona con situaciones
presentes en su contexto, promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo.
Instrucciones: Lee los criterios de evaluación y marque con una (𝑿) para resaltar el nivel del logro de aprendizaje,
anotando la puntuación otorgada para cada criterio, súmalos para obtener el puntaje final.
Indicadores
Criterios
Excelente
Bueno
Suficiente
Insuficiente
(3 pts)
(2 pts)
(1 pts)
(0 pts)
Conocimientos
sobre los
conceptos del
cálculo
Comprende y describe
claramente
los
conceptos de límites y
derivada
reconociendo
su
aplicación
en
situaciones reales.
Describe brevemente
los conceptos de
límite y derivada y lo
vincula
con
situaciones reales.
Tiene una idea de los
conceptos del cálculo,
pero no los relaciona
con situaciones reales.
No comprende los
conceptos de límites y
derivadas
en
el
cálculo.
Aplicación de las
herramientas del
cálculo
Emplea los límites para
calcular
correctamente
la
derivada
de
una
función usando la
regla de los 4 pasos de
forma reflexiva.
Usa los límites y
determina la derivada
de
una
función
siguiendo la regla de
los 4 pasos de manera
mecánica.
Utiliza los límites e
intenta calcular la
derivada de una función
siguiendo la regla de los
4
pasos
sin
comprenderla
totalmente.
No usa los límites
para
calcular
la
derivada,
ni
comprende la regla
de los 4 pasos.
 Página 20
Indicadores
Criterios
Construcción del
producto
Comprensión y
desenvolvimiento
Excelente
Bueno
Suficiente
Insuficiente
(3 pts)
(2 pts)
(1 pts)
(0 pts)
Elabora el cartel e
incluyen
algún
recurso como tablas,
gráficas, diagramas o
imágenes
describiendo
la
solución de la SD1.
Elaboran
el
cartel
describiendo la solución
de
la
SD1
sin
acompañarlo
con
elementos como tablas,
gráficas, diagramas o
imágenes.
No
elabora
el
producto de la SD1.
Reconoce el método
de solución de la SD1
y
lo
expresa
burdamente.
Entrega el producto
de las SD1 en días
posteriores a la fecha
establecida, de forma
limpia y ordenada.
Trabaja de manera
colaborativa con la
mayoría
de
sus
semejantes
mostrando
disposición al trabajo
metódico
y
organizado.
Reconoce el método de
solución de la SD1 pero
no lo expresa crítica ni
reflexivamente.
Entrega el producto de
la
SD1
en
días
posteriores a la fecha de
entrega descuidando el
orden y la limpieza.
Elabora
el
cartel
incluyendo
tablas,
gráficas, diagramas o
imágenes
que
describen
adecuadamente
la
solución de la SD1,
exponiendo
sus
conclusiones de forma
clara.
Reconoce el método
de solución de la SD1 y
lo expresa de manera
crítica y reflexiva.
Entrega y
presentación
Entrega el producto de
la SD1 en la fecha
establecida cuidando
el orden y la limpieza
Trabajo en equipo
Trabaja de manera
colaborativa con sus
semejantes
mostrando disposición
al trabajo metódico y
organizado.
Puntuación Final
(P.F)
Trabaja de manera
colaborativa
con
algunos
de
sus
semejantes mostrando
disposición al trabajo
metódico y organizado.
No
reconoce
el
método de solución
de la SD1
No
entrega
el
producto de la SD1.
No se relaciona con
sus semejantes para
trabajar
colaborativamente.
Calificación Final
(P.F)(5.56)
Realimentación:
Logros
Aspectos a mejorar
Firma del Evaluador: ________________________________________
 Página 21
CALDIF-B1_B2-ED01 Evaluación diagnóstica BI “Límites” BII “La derivada”
NOMBRE
I.
FECHA
Resuelve la siguiente sopa de letras.
T
R
H
T
Y
V
Y
E
T
N
E
I
D
N
E
P
II.
GRUPO
ISAAC NEWTON
FUNCION
TRIGONOMETRIA
LEIBNIZ
DOMINIO
EXPONENCIAL
FACTORIZAR
TRASCENDENTES
COSNTANTE
PUNTO
RACIONAL
PENDIENTE
R
I
S
A
A
C
N
E
W
T
O
N
T
C
V
N
A
D
C
A
L
D
I
G
T
Z
J
K
M
B
R
F
S
F
C
O
N
S
T
N
T
E
R
T
Y
I
A
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C
J
F
E
M
E
W
R
A
B
Q
W
Z
C
C
U
E
Y
P
U
N
T
O
T
D
B
E
X
T
F
I
U
N
F
S
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N
C
X
U
F
H
R
O
A
F
O
V
D
U
L
H
T
C
V
W
J
M
R
S
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Q
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C
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J
G
R
I
Q
B
I
Z
D
B
V
A
A
N
P
I
B
H
T
A
Ó
Z
F
J
F
H
B
L
L
T
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B
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Y
D
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K
H
D
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C
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F
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K
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V
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X
T
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Ñ
J
F
J
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T
S
G
I
J
I
L
A
I
C
N
E
N
O
P
X
E
W
G
Z
D
D
Q
X
V
H
G
N
E
E
R
Y
U
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
Expresión
Factorización
𝑥 4 − 16
_________________________
𝑥 2 − 10𝑥 + 24
_________________________
4𝑥 3 − 2𝑥
_________________________
2𝑦 2 − 4𝑦 − 30
_________________________
𝑤 2 − 64
_________________________
 Página 22
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
C
A
S
S
Z
W
D
G
B
J
N
O
T
O
I
N
I
M
O
D
CALDIF-B1-FC01
LECCIÓN 10. EVALUAR Y ELEGIR
 Página 23
 Página 24
CALDIF-B1-LECTURA01
Antecedentes y Aplicaciones de la Derivada
Comúnmente se atribuye la invención del cálculo infinitesimal al fisicomatemático inglés Issac Newton (𝟏𝟔𝟒𝟐 −
𝟏𝟕𝟐𝟕) por la publicación de su gran obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 𝟏𝟔𝟖𝟕 y al
matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (𝟏𝟔𝟒𝟔 − 𝟏𝟕𝟏𝟔) por su publicación en la revista Acta Eruditorum
e𝟏𝟔𝟖𝟒n. Es aquí donde estos grandes personajes presentan algunas de sus mejores aportaciones en esta
materia, Leibniz introduce la diferencial 𝒅𝒙 y las reglas básicas del cálculo diferencial, formalizando la notación
que utilizamos en la actualidad; por su parte Newton presenta su teoría de fluxiones basado en el movimiento y
dinámica de los cuerpos. Es gracias a estos estudios que se desarrolla la teoría de la gravitación y se reformulan
las leyes descritas por Kepler para el movimiento de los cuerpos celestes.
Si bien estos dos personajes fueron claves para dar inicio con la era moderna de las matemáticas, sus estudios
están basados en el cálculo de área y volúmenes, así como el cálculo de tangentes a curvas, estudios que habían
sido realizados con anterioridad por diversos filósofos y matemáticos en la antigüedad, por lo que es necesario
dar un vistazo al desarrollo histórico y dar crédito a todos esos personajes que ayudaron en la evolución del
conocimiento humano.
Entonces, ¿Qué es el cálculo?, el cálculo es una rama de las Matemáticas que se encargan de estudiar los cambios
que existen en las variables, los valores máximos y mínimos de las funciones, cálculo de áreas y volúmenes, así
como las pendientes en las curvas.
Conoce más sobre la historia del Cálculo con el
siguiente video.
 Página 25
Aportaciones Significativas al Cálculo
AÑO
APORTACIÓN
𝟐𝟓𝟎 𝒂. 𝒄
Arquímedes de Siracusa (𝟐𝟖𝟕 𝒂. 𝑪. − 𝟐𝟏𝟐 𝒂 − 𝑪.),
aplicaba el método exhaustivo o de agotamiento
para la determinación de áreas y volúmenes,
obteniendo importantes resultados sobre el cálculo
de tangentes para ciertas curvas particulares.
𝟏𝟔𝟓𝟖
Pierre de Fermat (𝟏𝟔𝟎𝟏 − 𝟏𝟔𝟔𝟓), en su “Tratado
sobre cuadratura” propone un método para
determinar el área bajo la curva.
𝟏𝟔𝟔𝟗
Isaac Barrow (𝟏𝟔𝟑𝟎 − 𝟏𝟔𝟕𝟕), fue quien estuvo
más cerca de descubrir el cálculo diferencial e
integral en la Lección X de su obra “Lecturas
geométricas” demostró su versión geométrica del
Teorema Fundamental del Cálculo.
𝟏𝟔𝟖𝟒
Gottfried Wilhelm Leibniz (𝟏𝟔𝟒𝟔 − 𝟏𝟕𝟏𝟔), Se
publica “Acta Eruditorum” donde Leibniz introduce
la diferencia 𝒅𝒙 y las reglas básicas del cálculo
diferencial, formalizando la notación que utilizamos
en la actualidad.
𝟏𝟔𝟖𝟕
Isaac Newton (𝟏𝟔𝟒𝟑 − 𝟏𝟕𝟐𝟕), describe sus
conceptos de fluente (una variable con respecto al
tiempo) y fluxión (derivada respecto al tiempo)
como entidades propias y con unas reglas
algorítmicas de fácil uso.
 Página 26
PERSONAJE
AÑO
APORTACIÓN
𝟏𝟕𝟒𝟖
Leonardo Euler (𝟏𝟕𝟎𝟕 − 𝟏𝟕𝟖𝟑), y su teoría de los
ceros enmascaraba los pasos reales al límite,
entonces, se sientan las bases para separar el
cálculo de la geometría.
𝟏𝟖𝟐𝟗
Augustin Louis Cauchy (𝟏𝟕𝟖𝟗 − 𝟏𝟖𝟓𝟕), desarrollo
la teoría de límite y continuidad. Precisa los
conceptos de función, límite y continuidad casi
como se manejan actualmente se deben a él.
𝟏𝟖𝟓𝟒
Georg Friedrich Bernhard Riemann (𝟏𝟖𝟐𝟔 −
𝟏𝟖𝟔𝟔), realizo contribuciones muy importantes al
análisis y la geometría diferencial. En su obra “Sobre
la representación de una función por una serie
trigonométrica”, se define por primera vez el
concepto de integral de Riemann y se inicia la teoría
de funciones de una variable real.
PERSONAJE
Son muchas las aplicaciones del cálculo en la vida diaria, esto lo podemos observar en muchos campos de estudio
como la ingeniería, economía, física, medicina, electrónica y hasta en las ciencias sociales, entre muchas otras
 Página 27
CALDIF-B1-TAREA01
CG 1.1
CG 4.1
CG 5.1
CDBM 5
CDBM 8
Cuestionario “¿Qué es el cálculo?”
Instrucciones: Conformados en binas, contestan el siguiente cuestionario de
acuerdo al video proyectado
I.
Vídeo: ¿Qué es el cálculo? https://youtu.be/U5aW5aR0qbU
II.
Preguntas:
1. ¿Qué es el cálculo?
2. ¿Por qué se considera Cálculo Infinitesimal?
3. ¿Cuáles son las dos ramas del cálculo y cuáles son sus principales objetos de estudio?
4. ¿Cuáles fueron los aportes de Newton y Leibniz?
5. ¿Cuáles son algunas de las áreas de aplicación del Cálculo?
6. ¿Fue injusta la forma en la que se trató a Leibniz acusándolo de plagio en muchas ocasiones?
 Página 28
CALDIF-B1-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 01 Cuestionario
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque: I
Límites
Fecha:
Grupo:
Nombres
Turno
Problemario 01 “Relaciones y Funciones”
Aprendizajes Esperados
▪
Contenidos Específico
Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus
antecedentes y aplicaciones, reflexionando sobre su relevancia en ▪
procesos actuales de su entorno.
Antecedentes y aplicaciones
del cálculo
CRITERIOS
%
1. Responde el cuestionario proporcionado por el docente en el tiempo
establecido
20%
2. Presenta pertinencia en la participación, opinando de manera
ordenada
20%
3. Maneja el uso correcto del lenguaje y conceptos dando opiniones
certeras
20%
4. Se siente interesado en el tema y participa de forma activa
20%
5. Emite sus conclusiones respecto al tema tratado en la realimentación
20%
CUMPLE
SI
NO
Calificación
Logros obtenidos
Aspectos a mejorar
Nombre y Firma del Coevaluador
Firma del Facilitador
 Página 29
Puntaje
CALDIF-B1-LECTURA02
Concepto e Interpretación de Límite
Enfoques
El concepto de limite puede ser estudiado mediante alguno de los siguientes enfoques:
Númerico
Utilizando tablas
Gráfico
Representación gráfica
Analítico
Usando tecnicas algebraicas
1. ENFOQUE NUMÉRICO
El enfoque numérico, en la evaluación de un límite, consiste en calcular aproximaciones que tiene la función
cuando su variable independiente se aproxima por ambos lados a un valor de interés. Analicemos un ejemplo
donde se muestra tal procedimiento.
Ejemplo 1.
La producción que tiene una fábrica de calzado está determinada por la siguiente función 𝒇(𝒙) =
𝟐𝟎𝒙𝟑 −𝟏𝟔𝟎
𝒙−𝟐
,
done 𝒙 representa el número de máquinas despuntadoras que están en uso. Determina el valor de la
producción cuando hay 2 máquinas despuntadoras en uso.
SOLUCIÓN:
Es fácil ver que no es posible calcular 𝒇(𝟐) por sustitución directa, ya que el valor de la función en ese
punto no está definido. Para esto, asignaremos a la variable 𝒙, cantidades que están cada vez más cercanas
a 𝟐; por la izquierda (valores menores a 2) y por la derecha (valores mayores a 2), tal como su muestra:
𝒙
𝟏. 𝟗
𝟏. 𝟗𝟗
𝟏. 𝟗𝟗𝟗
𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟎
𝒇(𝒙) =
𝒙−𝟐
 Página 30
𝟐
𝟐. 𝟎𝟎𝟏
𝟐. 𝟎𝟏
𝟐. 𝟏
Al realizar los cálculos llegamos a los siguientes resultados:
𝒙
𝟏. 𝟗
𝟏. 𝟗𝟗
𝟏. 𝟗𝟗𝟗
𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟎
𝒇(𝒙) =
𝒙−𝟐
𝟐𝟐𝟖. 𝟐
𝟐𝟑𝟖. 𝟖
𝟐𝟑𝟗. 𝟖𝟖
𝟐
𝟐. 𝟎𝟎𝟏
𝟐. 𝟎𝟏
𝟐𝟒𝟎. 𝟏𝟐 𝟐𝟒𝟏. 𝟐
𝟐. 𝟏
𝟐𝟓𝟐. 𝟐
Al observa los resultados de la tabla es fácil notar que, conforme la variable independiente 𝒙 se aproxima
al valor de 𝟐 (por ambos lados), los valores que toma la función 𝒇(𝒙) se aproxima cada vez más a 𝟐𝟒𝟎
(por ambos lados), es decir, el límite de la función cuando la variable independiente se aproxima a 𝟐 es
𝟐𝟒𝟎. Escrito en lenguaje matemático es:
𝟐𝟎𝐱 𝟑 − 𝟏𝟔𝟎
= 𝟐𝟒𝟎
𝐱→𝟐
𝐱−𝟐
𝐥𝐢𝐦
Así es como se llega a la interpretación intuitiva de límite de una función.
Noción Intuitiva de Límite de una Función
Decir que 𝑳 es el límite de una función 𝒇 cuando su variable
independiente
𝒙
se
aproxima
al
número
𝒄:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒄
Significa que 𝑳 es el valor al que tiende (se aproxima) la función (por
ambos lados) cuando la variable 𝒙 se aproxima de manera sucesiva al
valor de 𝒄 (por ambos lados).
 Página 31
Ejemplo 2.
Mediante un procedimiento tabular, calcula una aproximación del siguiente límite:
𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐
𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱
𝐥𝐢𝐦
SOLUCIÓN:
Es fácil ver que no es posible calcular 𝒇(−𝟒) por sustitución directa, ya que el valor de la función en ese
punto no está definido. Para esto, asignaremos a la variable 𝒙, cantidades que están cada vez más cercanas
a −𝟒; por la izquierda (valores menores a −𝟒) y por la derecha (valores mayores a −𝟒), tal como su
muestra:
𝒙
−𝟒. 𝟏
−𝟒. 𝟎𝟏
−𝟒. 𝟎𝟎𝟏
−𝟒
−𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗
−𝟑. 𝟗
−𝟒
−𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗
−𝟑. 𝟗
𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐
𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱
𝐥𝐢𝐦
Al realizar los cálculos obtenemos los siguientes resultados:
𝒙
−𝟒. 𝟏
−𝟒. 𝟎𝟏
−𝟒. 𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐
𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱
𝟖. 𝟏
𝟖. 𝟎𝟏
𝟖. 𝟎𝟎𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝟕. 𝟗𝟗𝟗
𝟕. 𝟗𝟗
𝟕. 𝟗
Al observa los resultados de la tabla es fácil notar que, conforme la variable independiente 𝒙 se aproxima
al valor de −𝟒 (por ambos lados), los valores que toma la función 𝒇(𝒙) se aproxima cada vez más a 𝟖 (por
ambos lados), es decir, el límite de la función cuando la variable independiente se aproxima a −𝟒 es 𝟖.
Escrito en lenguaje matemático es:
𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐
𝐥𝐢𝐦
=𝟖
𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱
 Página 32
Ejemplo 3.
Mediante un procedimiento tabular, calcula una aproximación del siguiente límite:
𝟏
𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒
𝐥𝐢𝐦
SOLUCIÓN:
Podemos emplear la siguiente tabla:
𝒙
−𝟒. 𝟏
−𝟒. 𝟎𝟏
−𝟒. 𝟎𝟎𝟏
−𝟒
−𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗
−𝟑. 𝟗
−𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗
−𝟑. 𝟗
𝟏
𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒
𝐥𝐢𝐦
Al completar los datos de la tabla, se obtienen los siguientes datos:
𝒙
−𝟒. 𝟏
−𝟒. 𝟎𝟏
−𝟒. 𝟎𝟎𝟏
𝟏
𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒
−𝟏𝟎
−𝟏𝟎𝟎
−𝟏𝟎𝟎𝟎
𝐥𝐢𝐦
−𝟒
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎
En la tabla podemos observar que conforme la variable 𝒙 se aproxima por ambos lados al valor de −𝟒 por
un lado tiende a −𝟏𝟎𝟎𝟎 y por el otro lado a 𝟏𝟎𝟎𝟎, es decir, la función no se aproxima a algún valor en
particular cuando 𝒙 se aproxima a −𝟒. En este caso concluimos que:
𝟏
= 𝑵𝒐 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒
𝐥𝐢𝐦
Determina la aproximación del límite, mediante
procedimiento tabular:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙−𝟐
𝒙𝟐 − 𝟒
𝐥𝐢𝐦 √𝒙 − 𝟏
𝒙→𝟓
𝟏
𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + )
𝒙→𝟎
𝒙
 Página 33
2. ENFOQUE NUMÉRICO
Limite por la izquierda
Supongamos que 𝒇(𝒙) esta definida en un cierto intervalo (𝒂, 𝒙𝟎 ). Si para números 𝒙 del dominio de 𝒇
suficientemente próximos a 𝒙𝟎 y menores que 𝒙𝟎 , los valores correspondientes de 𝒇(𝒙) están próximos a 𝒂𝟏
como queramos, decimos que 𝒂𝟏 es el limite por la izquierda de 𝒇(𝒙), cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 . Lo anterior
se denota como:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟏
𝒙→𝒙𝟎−
Esto se lee como “el límite cuando 𝒙 tiene a 𝒙𝟎 por la izquierda”.
Pero ¿Por qué a la izquierda?, la respuesta está en el signo que predomina al valor que tiende la variable 𝑥, como
es negativo los valores deben de ser ala izquierda.
Limite por la derecha
Supongamos que 𝒇(𝒙) esta definida en un cierto intervalo (𝒙𝟎 , 𝒃). Si para números 𝒙 del dominio de 𝒇
suficientemente próximos a 𝒙𝟎 y mayores que 𝑥0 , los valores correspondientes de 𝒇(𝒙) están tan próximos a 𝒂𝟐
como queramos, decimos que 𝒂𝟐 es el limite por la derecha de 𝒇(𝒙), cuando 𝑥 tiende a 𝒙𝟎 . Lo anterior se denota
como:
𝐥𝐢𝐦 𝐟(𝐱) = 𝐚𝟐
𝐱→𝐱 𝟎+
 Página 34
Esto se lee como “el límite cuando 𝒙 tiene 𝒙𝟎 la por la derecha”. Pero ¿Por qué a la derecha?, la respuesta
está en el signo que predomina al valor que tiende la variable 𝒙, como es positivo los valores deben de ser
ala derecha.
EJEMPLO 1. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función:
𝐥𝐢𝐦−
𝒙→𝟏
Vamos a determinar si el límite
es por la izquierda o por la
derecha:
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙−𝟏
El límite por el signo negativo va ala izquierda.
Los valores que podemos emplear son los siguientes:
Procedemos a determinar que
valores vamos a utilizar para
poder determinar el límite:
Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende
el límite.
Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra
función.
Limite por la izquierda
𝒙
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙−𝟏
𝒙
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙−𝟏
0.5
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 1.5
𝑥−1
0.999
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 1.999
𝑥−1
0.9
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 1.9
𝑥−1
0.9999
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 1.9999
𝑥−1
0.99
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 1.99
𝑥−1
Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 2.
 Página 35
Por tanto, podemos decir que:
𝐥𝐢𝐦−
𝒙→𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏
=𝟐
𝒙−𝟏
EJEMPLO 2. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función:
𝐥𝐢𝐦+
𝒙→𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙−𝟏
Vamos a determinar si el límite
es por la izquierda o por la El límite por el signo positivo va ala derecha.
derecha:
Los valores que podemos emplear son los siguientes:
Procedemos a determinar que
valores vamos a utilizar para
poder determinar el límite:
Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende
el límite.
Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra
función.
Limite por la derecha
𝒙
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙−𝟏
𝒙
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙−𝟏
1.5
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 2.5
𝑥−1
1.001
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 2.001
𝑥−1
1.1
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 2.1
𝑥−1
0.9999
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 2.0001
𝑥−1
1.01
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
= 2.01
𝑥−1
 Página 36
Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 2.
Por tanto, podemos decir que:
𝐥𝐢𝐦−
𝒙→𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏
=𝟐
𝒙−𝟏
Las gráficas que podemos obtener de ambos limites son las siguientes:
 Página 37
EJEMPLO 3. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función:
𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐
𝒙→𝟐−
Vamos a determinar si el límite
es por la izquierda o por la El límite por el signo negativo va ala izquierda.
derecha:
Los valores que podemos emplear son los siguientes:
Procedemos a determinar que
valores vamos a utilizar para
poder determinar el límite:
Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende
el límite.
Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra
función.
Limite por la izquierda
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑥
1.5
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 2.25
1.999
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.996
1.9
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.61
1.9999
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.999
1.99
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.96
Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 4.
𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 = 𝟒
Por tanto, podemos decir que:
𝒙→𝟐−
 Página 38
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
EJEMPLO 4. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función:
𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐
𝒙→𝟐+
Vamos a determinar si el límite
es por la izquierda o por la El límite por el signo negativo va ala izquierda.
derecha:
Los valores que podemos emplear son los siguientes:
Procedemos a determinar que
valores vamos a utilizar para
poder determinar el límite:
Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende
el límite.
Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra
función.
Limite por la derecha
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
2.5
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 6.25
2.001
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.0040
2.1
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.41
2.0001
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.0004
2.01
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.0401
Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 4.
𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 = 𝟒
Por tanto, podemos decir que:
𝒙→𝟐+
 Página 39
Las gráficas que podemos obtener de ambos limites son las siguientes:
 Página 40
CALDIF-B1-AF01
a)
lim 𝑥 2 + 5
𝑥→5+
Instrucciones: Conformados en binas, resuelven los siguientes ejercicios, aplicando
el concepto de límite y su interpretación gráfica, guiados por el docente.
f)
g)
b)
c)
d)
e)
lim 6𝑥 − 1
lim 4𝑥 + 1
𝑥→4−
lim
2𝑥
𝑥→2− 2𝑥−4
𝑥→2−
lim−
𝑥→1
lim+
𝑥→2
𝑥 2 −1
𝑥−1
h)
lim 𝑥 2
𝑥→2−
2𝑥 2 −1
2𝑥+1
i)
lim 2𝑥 2 − 2
𝑥→3+
 Página 41
lim
𝑥
𝑥→1+ 𝑥−1
CALDIF-B1-LECTURA02
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
3. ENFOQUE NUMÉRICO
El enfoque algebraico permite evaluar dichos limites mediante la aplicación de propiedades y procedimientos
analíticos evitando, con esto, realizar algún proceso de aproximación o alguna exploración gráfica. Para utilizar
el enfoque algebraico es necesario definir las propiedades de los límites.
Propiedades de los límites
Sean 𝒄, 𝒌, 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 elementos de los números reales, 𝒏 un entero positivo y sean 𝒇, 𝒈 funciones de variable real,
de tal modo que:
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏
𝒙→𝒄
y
𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝑳𝟐
𝒙→𝒄
Y entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
lim 𝑘 = 𝑘; 𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑥→𝑐
lim [𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)] = 𝑘 ∙ 𝐿1
𝑥→𝑐
lim [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥) = 𝐿1 ± 𝐿2
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
lim [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥) = 𝐿1 ∙ 𝐿2
𝑥→𝑐
lim
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑐
𝐿
= 𝑥→𝑐
= 𝐿1 ; 𝑐𝑜𝑛 𝐿2 ≠ 0
𝑔(𝑥)
lim 𝑔(𝑥)
2
𝑥→𝑐
𝑛
lim[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim 𝑓(𝑥)] = (𝐿1 )𝑛
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
lim 𝑛√𝑓(𝑥) = 𝑛√lim 𝑓(𝑥) = 𝑛√𝐿1
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Una forma de interpretar las propiedades de los limites es entenderlo como un operador ya que este rompe el
orden que tienen las operaciones permitiendo, así, cambiar el enfoque al evaluar el límite, transformando en un
procedimiento algebraico. El uso de estas propiedades se mostrará al resolver los siguientes ejemplos:
 Página 42
Ejemplo 1.
Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades:
𝐥𝐢𝐦(𝟒𝒙 + 𝟕)
𝒙→𝟓
SOLUCIÓN:
lim(3𝑥 + 10) = lim(3𝑥) + lim(10)
𝑥→5
𝑥→5
𝑥→5
= 3 lim 𝑥 + 10
𝑥→5
= 3(5) + 10 = 25
𝐥𝐢𝐦(𝟑𝒙 + 𝟏𝟎) = 𝟐𝟓
𝒙→𝟓
Ejemplo 2.
Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades:
𝐥𝐢𝐦 √𝟕𝒙 + 𝟐𝟏
𝒙→𝟒
SOLUCIÓN:
lim √7𝑥 + 21 = √ lim (7𝑥 + 21)
𝑥→4
𝑥→4
= √ lim (7𝑥) + lim (21)
𝑥→4
𝑥→4
= √7(4) + 21
= √49 = 7
𝐥𝐢𝐦 √𝟕𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟐𝟖
𝒙→𝟒
Ejemplo 3.
Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades:
𝐥𝐢𝐦( 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓)
𝒙→𝟐
SOLUCIÓN:
lim( 2𝑥 3 − 5) = lim(2𝑥 3 ) − lim 5
𝑥→2
𝑥→2
𝑥→2
= 2 lim 𝑥 3 − 5
𝑥→2
3
= 2 [lim 𝑥] − 5
𝑥→2
= 2(2)3 − 5
= 16 − 5 = 11
3
lim( 2𝑥 − 5) = 11
𝑥→2
 Página 43
Ejemplo 4.
Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades:
𝟏𝟎 + 𝟓𝒙
𝒙→−𝟔 𝒙 − 𝟒
𝐥𝐢𝐦
SOLUCIÓN:
lim (10 + 5𝑥)
10 + 5𝑥 𝑥→−6
=
𝑥→−6 𝑥 − 4
lim (𝑥 − 4)
lim
𝑥→−6
lim (10) + 5 lim (𝑥)
𝑥→−6
= 𝑥→−6
lim (𝑥) − lim (4)
𝑥→−6
𝑥→−6
10 + 5(−6)
=
−6 − 4
10 − 30
=
−10
−20
=
=2
−10
𝟏𝟎 + 𝟓𝒙
=𝟐
𝒙→−𝟔 𝒙 − 𝟒
𝐥𝐢𝐦
Como podemos observar, al aplicar las propiedades de los limites efectuamos la evaluación en la función del
valor al que se aproxima la variable independiente. De esta observación podemos tener el siguiente teorema,
que respalda esta conclusión.
Teorema de Sustitución
Sea 𝒄 un elemento del dominio de la función 𝒇(𝒙) si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) existe.
𝒙→𝒄
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒄
El teorema de sustitución permite evaluar los límites de manera directa. Tal como se muestra en los siguientes
ejemplos.
 Página 44
Ejemplo 1.
Evalúa cada uno de los límites, utilizando el teorema de sustitución:
𝐥𝐢𝐦 √𝟏𝟔 − 𝟏𝟎𝒙
𝒙→−𝟐
SOLUCIÓN:
lim √16 − 10𝑥 = √16 − 10(−2)
𝑥→−2
= √16 + 20
= √36 = 6
𝐥𝐢𝐦 √𝟏𝟔 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟔
𝒙→−𝟐
Ejemplo 2.
Evalúa cada uno de los límites, utilizando el teorema de sustitución:
𝒙𝟐 + 𝟖
𝒙→𝟒 𝒙 + 𝟒
𝐥𝐢𝐦
SOLUCIÓN:
𝑥 2 + 8 (4)2 + 8
=
𝑥→4 𝑥 + 4
4+4
16 + 8
=
8
24
=
=3
8
𝒙𝟐 + 𝟖
𝐥𝐢𝐦
=𝟑
𝒙→𝟒 𝒙 + 𝟒
lim
➢ Evaluación de Límites para Funciones Racionales
Sean 𝑷(𝒙) y 𝑸(𝒙) polinomios, entonces la función
𝒇(𝒙) =
𝑷(𝒙)
𝒄𝒐𝒏 𝑸(𝒙) ≠ 𝟎
𝑸(𝒙)
Se llama Función Racional, y su dominio está formado por el conjunto de todos los números reales tales que
su denominador sea distinto de cero.
Para evaluar límites de funciones racionales será necesario aplicar técnicas de factorización que permitan
realizar la evaluación con el fin de evitar indeterminaciones; en los siguientes ejemplos está descrito tal
proceso:
 Página 45
Ejemplo 1.
Evalúa el siguiente límite:
𝒙𝟐 − 𝟗
𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟑
𝐥𝐢𝐦
SOLUCIÓN:
Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟑 en la función racional notamos que:
𝒙𝟐 − 𝟗 (𝟑)𝟐 − 𝟗 𝟎
=
= = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐
𝒙−𝟑
𝟑−𝟑
𝟎
Para evitar esto, factorizamos el numerador de la siguiente manera:
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥2 − 9
= lim [
]
𝑥→3 𝑥 − 3
𝑥→3
𝑥−3
lim
= lim[𝑥 + 3]
𝑥→3
=3+3=6
𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝒙 −𝟗
=𝟔
𝒙−𝟑
Ejemplo 2.
Evalúa el siguiente límite:
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝟓
𝒙→𝟓 𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔𝟎
𝐥𝐢𝐦
SOLUCIÓN:
Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟓 en la función racional notamos que:
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝟓
(𝟓)𝟐 + 𝟒(𝟓) − 𝟒𝟓
𝟐𝟓 + 𝟐𝟎 − 𝟒𝟓 𝟎
=
=
= = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐
𝟐
𝟐
𝒙 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔𝟎 (𝟓) − 𝟏𝟕(𝟓) + 𝟔𝟎 𝟐𝟓 − 𝟖𝟓 + 𝟔𝟎 𝟎
Para evitar esto, factorizamos el numerador y el denominador de la siguiente manera:
𝑥 2 + 4𝑥 − 45
(𝑥 + 9)(𝑥 − 5)
= lim
2
𝑥→5 𝑥 − 17𝑥 + 60
𝑥→5 (𝑥 − 5)(𝑥 − 12)
lim
𝑥+9
− 12
5+9
=
5 − 12
14
=
= −2
−7
= lim
𝑥→5 𝑥
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝟓
= −𝟐
𝒙→𝟓 𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔𝟎
𝐥𝐢𝐦
 Página 46
Ejemplo 3.
Evalúa el siguiente límite:
𝟓
𝐥𝐢𝐦 √
𝒙→𝟎
𝒙𝟑 − 𝟔𝟒𝒙
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
SOLUCIÓN:
Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟎 en la función racional notamos que:
𝟓
√
𝒙𝟑 − 𝟔𝟒𝒙 𝟓 𝟎𝟑 − 𝟔𝟒(𝟎) 𝟓 𝟎
=√ 𝟐
= √ = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
𝟎 + 𝟐(𝟎)
𝟎
Para evitar esto, factorizamos dentro de la raíz, el numerador y el denominador de la siguiente manera:
5
lim √
𝑥→0
5 𝑥(𝑥 2 − 64)
𝑥 3 − 64𝑥
√
=
lim
𝑥→0
𝑥 2 + 2𝑥
𝑥(𝑥 + 2)
5 𝑥 2 − 64
= lim √
𝑥→0
𝑥+2
5
=√
02 − 64 5 −64
=√
0+2
2
5
= √−32 = −2
𝟓
𝐥𝐢𝐦 √
𝒙→𝟎
𝒙𝟑 − 𝟔𝟒𝒙
= −𝟐
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
 Página 47
Ejemplo 4.
Evalúa el siguiente límite:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟓
√𝒙 + 𝟒 − 𝟑
𝒙−𝟓
SOLUCIÓN:
Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟓 en la función racional notamos que:
lim
𝑥→5
√𝑥 + 4 − 3 √5 + 4 − 3 √9 − 3 3 − 3 0
=
=
=
= = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑥−5
5−5
5−5
5−5 0
Para evitar esto, racionalizaremos en el numerador de la siguiente manera:
√𝑥 + 4 − 3 √𝑥 + 4 + 3
∙
𝑥→5
𝑥−5
√𝑥 + 4 + 3
lim
= lim
𝑥 + 4 + 3√𝑥 + 4 − 3√𝑥 + 4 − 9
(𝑥 − 5)(√𝑥 + 4 + 3)
𝑥+4−9
𝑥→5
= lim
𝑥→5 (𝑥
= lim
𝑥→5 (𝑥
= lim
𝑥→5 √𝑥
=
1
− 5)(√𝑥 + 4 + 3)
𝑥−5
− 5)(√𝑥 + 4 + 3)
1
+4+3
√5 + 4 + 3
1
1
=
=
3+3 6
√𝑥 + 4 − 3 1
lim
=
𝑥→5
𝑥−5
6
=
1
√9 + 3
Determina los límites
procedimiento algebraico:
siguientes
𝑥−2
𝑥→2 𝑥 2 − 4
lim
𝑥−2
𝑥→2 𝑥 2 − 4
lim
𝑥 2 − 25
𝑥→5 𝑥 − 5
lim
lim
𝑥→1
 Página 48
√𝑥 − 1
𝑥−1
mediante
CALDIF-B1-LECTURA03
Límites de Funciones Trascendentes
Una función trascendente es una función que no puede ser representada por una ecuación polinómica cuyos
coeficientes son a su vez polinomios, en comparación una función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. Es
decir, una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.
Las funciones trascendentes se clasifican de la siguiente forma:
Para ello es importante que sepamos cuales son algunas igualdades o propiedades que nos ayudaran para a
resolver los problemas de límites de funciones trascendentes y aquí están algunas
Propiedades Trigonométricas
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟏
𝒄𝒔𝒄𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝟏
𝒔𝒆𝒄𝜽
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝟏
𝒄𝒐𝒕𝜽
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝟏
𝒕𝒂𝒏𝜽
𝒔𝒆𝒄𝜽 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒄𝒔𝒄𝜽 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽
A continuación, se muestran algunas formas de representar los límites de funciones trigonométricas:
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟏
𝒄𝒔𝒄𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝟏
𝒔𝒆𝒄𝜽
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝟏
𝒄𝒐𝒕𝜽
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝟏
𝒕𝒂𝒏𝜽
𝒔𝒆𝒄𝜽 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒄𝒔𝒄𝜽 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽
 Página 49
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
lim 𝑠𝑒𝑛 𝑥
lim 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
3𝜋
𝑥→
2
𝑥→𝜋
Aplicamos a cada parte su limite
Sustituimos el valor de “𝒙”
= 𝑠𝑒𝑛 (
lim 𝑥 lim 𝑐𝑜𝑠2𝑥
3𝜋
)
2
𝑥→𝜋
𝑥→𝜋
= 𝜋 cos(2𝜋)
3[3.1416]
= 𝑠𝑒𝑛 (
)
2
= 𝑠𝑒𝑛 (
= 3.1416 cos(2[3.1416])
9.42
)
2
= 3.1416 cos(6.28)
El valor aproximado de 𝑐𝑜𝑠 (6.28) = 1
= 𝑠𝑒𝑛 (4.71)
= 3.1416 (1)
Tienes que colocar tu calculadora en Radianes
= 3.1416 = 𝜋
= −0.999 ≈ −1
Ejemplo 3:
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥
1
𝑥
Dividir en ambas partes de la ecuación:
lim
1
(𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)
lim 𝑥
𝑥→0 1
(𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑥
Aplicando propiedad en tan (x)
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
Realizar la suma de fracciones que se encuentra
en el numerador
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥 + 𝑥
lim 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥→0
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥
lim
𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
 Página 50
Aplicar ley de los extremos:
Aplicar el límite en la ecuación resultante:
𝑠𝑒𝑛𝑥
lim 𝑐𝑜𝑠𝑥 + lim
𝑥→0 𝑥
= 𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
lim 𝑐𝑜𝑠𝑥 lim 𝑥
𝑥→0
𝑥→0
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
lim
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥→0
1
lim
𝑥→0
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
=
1+1
1(1)
=
2
1
=2
A continuación, se muestran algunas formas de representar los límites de funciones exponenciales:
𝟏 𝒙
𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + ) = 𝒆
𝒙→∞
𝒙
Ejemplo 1:
𝟏
𝟏
𝐥𝐢𝐦(𝟏 + 𝒌𝒙)𝒙 = 𝒆𝒌
𝐥𝐢𝐦(𝟏 + 𝒙)𝒙 = 𝒆
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
Ejemplo 2:
3
𝟏 𝒙+𝟐
𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + )
=
𝒙→∞
𝒙
Aplicando las leyes de los exponentes
lim (1 + 3𝑥)𝑥
𝑥→0
Aplicando la ley de los exponentes
1 3
1 𝑥
1 2
= (1 + ) (1 + )
𝑥
𝑥
1 𝑥
1 2
= lim (1 + ) lim (1 + )
𝑥→∞
𝑥 𝑥→∞
𝑥
[lim (1 + 3𝑥)𝑥 ]
𝑥→0
Aplicando las formulas
= (𝑒)3
Aplicando las formulas
= 𝑒3
= 𝑒(1 + 0)2
= 𝑒(1)2
= 𝑒 (1)
=𝑒
 Página 51
Ejemplo 3:
4
lim (1 + 𝑥)𝑥
𝑥→0
Aplicando las leyes de los exponentes
1 4
lim [(1 + 𝑥)𝑥 ]
𝑥→0
= (𝑒)4
= 𝑒4
CALDIF-B1-AF02
Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B1-LECTURA 03, analizan en binas los
ejemplos mostrados y realiza un formulario sobre las propiedades de los límites
 Página 52
CALDIF-B1-TAREA02
CG 4.1
CG 5.1
CG 8.1
I.
CDBM 2
CDBM 3
Problemario 01: Límites de funciones algebraicas y trascendentes
Instrucciones: Aplicando las propiedades de los límites resuelven en binas el
siguiente problemario sobre el cálculo de los límites en funciones algebraicas y
trascendentes
Límites: Aplicando transformaciones algebraicas y racionalización
a) lim
𝑥 2 −9
f)
𝑥→3 𝑥−3
b)
c)
d)
e)
lim
𝑥 2 −1
g)
𝑥→−1 𝑥+1
lim
𝑥 2 −25
lim
𝑥 2 −9
𝑥→−3 𝑥+3
1−√𝑥−2
𝑥→3 𝑥 2 −9
𝑥 2 −16
i)
𝑥→−4 𝑥+4
lim
𝑥→−11 𝑥+11
h) lim
𝑥→−5 𝑥+5
lim
𝑥 2 −121
lim
𝑥 2 −36
j)
𝑥→−6 𝑥+6
lim
3−√𝑥2 −7
𝑥−4
𝑥→4
lim
𝑥 2 −𝑥−2
𝑥→2 𝑥 2 −2𝑥
II. Límites: Funciones trascendentes según las propiedades de los límites
𝑆𝑒𝑛 𝑥
a) lim 𝐶𝑜𝑠 𝑥
f) lim
b) lim𝜋 𝑆𝑒𝑛 𝑥
g) lim (1 + 𝑥)𝑥
𝑥→𝜋
𝑥→
𝑥→0 4𝑥
5
2
c) lim
𝑥→0
d) lim
𝑥→0
𝑥→0
𝐶𝑜𝑠 3𝑥
1
h) lim (1 + 3𝑥)𝑥
𝑥
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 9𝑥
2
i) lim (1 + 𝑥)𝑥
𝑥
𝑥→0
e) lim 𝑆𝑒𝑛2 𝑥
1 𝑥+3
𝑥→0
j) lim (1 + 𝑥)
𝑥→0
 Página 53
CALDIF-B1-GO02 Guía de observación para evaluar Tarea 02 Problemario 01
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque: I
Límites
Fecha:
Grupo:
Nombres
Turno
Problemario 01 “Límites: Funciones algebraicas y Trascendentes”
Aprendizajes Esperados
▪
▪
Contenidos Específico
Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus
antecedentes y aplicaciones, reflexionando sobre su relevancia en
procesos actuales de su entorno.
Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del
análisis de situaciones de su contexto para la construcción de nuevos
conocimientos.
CRITERIOS
Límites
- Concepto e interpretación
de límites.
- Propiedades de los limites
- Límites de funciones
algebraicas.
- Límites de funciones
trascendentes.
%
1. Entrega su producto en el tiempo establecido por el facilitador
10%
2. Calcula los límites de funciones algebraicas y trascendentes
20%
3. Emplea correctamente las propiedades de los límites de funciones
algebraicas
4. Emplea correctamente las propiedades de los límites de funciones
trascendentes
5. Se relaciona colaborativamente, mostrando disposición al trabajo
metódico y organizado
CUMPLE
SI
NO
30%
30%
10%
Calificación
Logros obtenidos
Aspectos a mejorar
Nombre y Firma del Coevaluador
Firma del Facilitador
 Página 54
Puntaje
CALDIF-B2-LECTURA01
Derivada por Definición de Funciones Polinómicas
1. RAZON DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el
valor inicial al valor final. Este incremento se representa por la letra ∆ “delta”.
Si 𝑦 es una función continua de 𝒙, 𝒚 = 𝒇(𝒙), y la variable 𝒙 cambia de un valor inicial 𝒙𝟏 hasta 𝑥2 , entonces el
incremento de 𝒙 estará representado por ∆𝒙 (delta 𝒙) que es igual a:
∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
El incremento correspondiente de 𝑦, que cambia de 𝑦1 a 𝑦2 , será ∆𝑦 (delta 𝑦) que es igual a:
∆𝒚 = 𝒚𝟐 − 𝒙𝟏
O también:
∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 )
∆𝑥
𝒙
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝒙𝟏
𝑦1 = 𝑓(𝑥1 )
𝒙𝟐
𝑦2 = 𝑓(𝑥2 )
∆𝒚
Al cociente del incremento ∆𝒚 entre el incremento
∆𝒚
∆𝒙, se denominará razón de cambio promedio ∆𝒙 y
expresará la rapidez (velocidad) con la que cambia
la variable dependiente 𝑦 respecto a la variable
independiente 𝑥 en un intervalo [𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ].
∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1
=
∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1
∆𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
=
∆𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
Como ∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ), la razón de cambio puede
escribirse:
∆𝒚 𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 )
=
∆𝒙
∆𝒙
Representación gráfica de la razón de cambio. La
pendiente de la recta secante que une dos puntos
cualesquiera P y Q sobre la curva de la función es la
razón de cambio promedio en el intervalo [𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ].
 Página 55
Si 𝒙𝟏 es el valor inicial, entonces 𝒙𝟐 sería igual a este valor 𝒙𝟏 más un incremento ∆𝒙, es decir, 𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 + ∆𝒙.
Así:
Razón de cambio
∆𝒚 𝒇(𝒙𝟏 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏 ) promedio de la función
=
∆𝒙
∆𝒙
en el intervalo [𝑥1 , 𝑥2 ].
Por ejemplo, de acuerdo de los datos tabulados de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
en el intervalo desde 𝒙𝟏 = 𝟏 hasta 𝒙𝟐 = 𝟓, los incrementos serán:
𝒙
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
∆𝒙 = 𝟓 − 𝟏 = 𝟒
1
1
∆𝒚 = 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟐𝟒
5
25
La razón de cambio promedio de la función en el intervalo [𝟏, 𝟓] se
obtendrá:
∆𝒚 𝟐𝟒
=
=𝟔
∆𝒙
𝟒
Ejemplo 1
El índice de la bolsa de valores aumentó de 𝟏𝟒𝟓𝟎 a 𝟏𝟔𝟎𝟎 puntos en un año. Encuentra la razón promedio
de la variación mensual de la bolsa.
∆𝒚 𝟏𝟔𝟎𝟎 − 𝟏𝟒𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎
=
=
= 𝟏𝟐. 𝟓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔/𝒎𝒆𝒔
∆𝒙
𝟏𝟐
𝟏𝟐
EJEMPLO 2
Un ciclista en 𝟏𝟎 𝒎𝒊𝒏 de recorrido alcanza una velocidad de 𝟐𝟐𝟎 𝒎/𝒎𝒊𝒏, a los 30 min de recorrido lleva
una velocidad de 𝟓𝟎𝟎 𝒎/𝒎𝒊𝒏. ¿Cuál es la razón de cambio de la velocidad del ciclista? ¿Cómo se denomina
a este cambio de velocidad?
∆𝒚 𝟓𝟎𝟎 𝒎/𝒎𝒊𝒏 − 𝟐𝟐𝟎𝒎/𝒎𝒊𝒏 𝟐𝟖𝟎𝒎/𝒎𝒊𝒏
𝒎
=
=
= 𝟏𝟒𝟎
∆𝒙
𝟑𝟎 𝒎𝒊𝒏 − 𝟏𝟎 𝒎𝒊𝒏
𝟐𝟎 𝒎𝒊𝒏
𝒎𝒊𝒏𝟐
NOTA:
A la variación de la velocidad respecto al tiempo se denomina aceleración
 Página 56
EJEMPLO 3
Determina la razón de cambio promedio de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 en el intervalo [𝟓, 𝟏𝟎].
∆𝑦
= 15
∆𝑥
∆𝒚 𝒇(𝟏𝟎) − 𝒇(𝟓) (𝟏𝟎)𝟐 − 𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟓
=
=
=
= 𝟏𝟓
∆𝒙
𝟏𝟎 − 𝟓
𝟏𝟎 − 𝟓
𝟓
∆𝑦 = 75
∆𝑥 = 5
EJEMPLO 4
Calcula la razón de cambio promedio de la función 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟒 en el intervalo [−𝟒, 𝟓].
∆𝒚 𝒇(𝟓) − 𝒇(−𝟒) √𝟓 + 𝟒 − √−𝟒 + 𝟒 𝟑 − 𝟎 𝟏
=
=
=
=
∆𝒙
𝟓 − (−𝟒)
𝟓+𝟒
𝟗
𝟑
∆𝑦 1
=
∆𝑥 3
∆𝑦 = 3
∆𝑥 = 9
Calcula la razón promedio de cambio de cada función
en el intervalo dado y represéntala gráficamente:
1. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒; en el intervalo [𝟐, 𝟒]
2. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒔𝟐 − 𝟔𝒙; en el intervalo [−𝟏, 𝟏]
3. 𝑽(𝒓) = 𝟐𝒓 ; en el intervalo [𝟎, 𝟓]
𝟖
4. 𝑫(𝒕) = 𝒕𝟑; en el intervalo [𝟏, 𝟐]
5. 𝒈(𝒙) = √𝒙𝟑 − 𝟏; en el intervalo [𝟏, 𝟏𝟎]
 Página 57
2. RAZON DE CAMBIO INSTANTÁNEA
Sea 𝒙𝟎 un punto de un intervalo abierto en el que está definida la función 𝒚 = 𝒇(𝒙), la razón de cambio en el
intervalo está dada por:
∆𝒚 𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 )
=
∆𝒙
∆𝒙
Si el intervalo se hace infinitamente pequeño, tanto que ∆𝒙 se aproxima cada vez más a cero, la razón de cambio
se determinará para el punto 𝒙𝟎 específicamente, por lo que se denominará velocidad, tasa de variación o razón
de cambio instantáneas. En otras palabras, para un punto 𝒙𝟎 , la razón de cambio instantánea es el límite del
cociente
∆𝒚
∆𝒙
cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero (∆𝒙 → 𝟎).
𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
∆𝒚
𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 )
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙 ∆𝒙→𝟎
∆𝒙
Razón de cambio instantánea de
la función en el punto 𝒙𝟎 .
EJEMPLO 1
Consideremos la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 en la que se desea determinar la velocidad de cambio instantánea en
𝒙 = 𝟓. Tomando 𝑥 un valor inicial fijo, se define un incremento ∆𝒙 (por ejemplo ∆𝒙 = 𝟏). Entonces, a 𝒚
corresponderá un incremento ∆𝒚. La razón de cambio será:
∆𝒚 𝒇(𝟔) − 𝒇(𝟓) (𝟔)𝟑 − (𝟓)𝟑 𝟐𝟏𝟔 − 𝟏𝟐𝟓 𝟗𝟏
=
=
=
=
= 𝟗𝟏
∆𝒙
𝟔−𝟓
𝟏
𝟏
𝟏
La razón de cambio
∆𝒚
∆𝒙
= 𝟗𝟏, describe la rapidez de cambio en el intervalo [𝟓, 𝟔]. Sin embargo, para
determinar la razón de cambio instantánea el incremento ∆𝒙 debe tender a cero por lo que se hará más
pequeño en cada ocasión.
∆𝒚 𝒇(𝟓. 𝟖) − 𝒇(𝟓) (𝟓. 𝟖)𝟑 − (𝟓)𝟑 𝟏𝟗𝟓. 𝟏𝟏𝟐 − 𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟎. 𝟏𝟏𝟐
=
=
=
=
= 𝟖𝟕. 𝟔𝟒
∆𝒙
𝟓. 𝟖 − 𝟓
𝟎. 𝟖
𝟎. 𝟖
𝟎. 𝟖
∆𝒚 𝒇(𝟓. 𝟔) − 𝒇(𝟓) (𝟓. 𝟔)𝟑 − (𝟓)𝟑 𝟏𝟕𝟓. 𝟔𝟏𝟔 − 𝟏𝟐𝟓 𝟓𝟎. 𝟔𝟏𝟔
=
=
=
=
= 𝟖𝟒. 𝟑𝟔
∆𝒙
𝟓. 𝟔 − 𝟓
𝟎. 𝟔
𝟎. 𝟔
𝟎. 𝟔
 Página 58
La siguiente tabla muestra cómo se comporta la razón de cambio cuando el incremento ∆𝒙 decrece.
Valor
inicial de
𝒙
Valor
inicial de
𝒚
Valor
final de 𝒙
Valor final
de 𝒚
5
125
6
5
125
5
Incremento Incremento
∆𝒙
∆𝒚
∆𝒚
∆𝒙
216
1
91
91
5.8
195.112
0.8
70.112
87.64
125
5.6
175.616
0.6
50.616
84.36
5
125
5.4
157.464
0.4
32.464
81.16
5
125
5.2
140.608
0.2
15.608
78.04
5
125
5.1
132.651
0.1
7.651
76.51
5
125
5.01
125.7515
0.01
0.7515
75.15
5
125
5.001
125.07501
0.001
0.07501
75.01
Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer ∆𝒙 también lo hace ∆𝒚, mientras que la razón de cambio toma
∆𝑦
valores sucesivos desde 𝟗𝟏 hasta el 𝟕𝟓. 𝟎𝟏. Esta sucesión de valores indica que el valor de la razón ∆𝑥 será
tan próximo a 75 como deseemos con solo tomar a ∆𝑥 cada vez más pequeño, por lo que:
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
= 75
∆𝑥
Este valor es la razón de cambio instantánea en el punto 𝒙 = 𝟓 de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 .
EJEMPLO 2
Determina la razón de cambio instantánea en 𝒙 = 𝟑 de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒. Tomando un incremento
inicial de ∆𝒙 = 𝟏, tendremos:
∆𝒚 𝒇(𝟒)𝟐 − 𝒇(𝟑) [(𝟒)𝟐 − 𝟒] − [(𝟑)𝟐 − 𝟑] 𝟏𝟐 − 𝟓 𝟕
=
=
=
= =𝟕
∆𝒙
𝟒−𝟑
𝟏
𝟏
𝟏
 Página 59
Si continuamos disminuyendo ∆𝒙 tendremos los siguientes valores organizados en la tabla:
Valor
inicial de
𝒙
Valor
inicial de
𝒚
Valor
final de 𝒙
Valor final
de 𝒚
3
5
4
3
5
3
Incremento Incremento
∆𝒙
∆𝒚
∆𝒚
∆𝒙
12
1
7
7
3.8
10.44
0.8
5.44
6.8
5
3.6
8.96
0.6
3.96
6.6
3
5
3.4
7.56
0.4
2.56
6.4
3
5
3.2
6.24
0.2
1.24
6.2
3
5
3.1
5.61
0.1
0.61
6.1
3
5
3.01
5.0601
0.01
0.0601
6.01
3
5
3.001
5.006001
0.001
0.006001
6.001
La sucesión de valores de
∆𝒚
∆𝒙
tendrá como límite 𝟔, toda vez que ∆𝒙 se ha hecho cada vez más pequeño
tanto como 𝟎. Por lo tanto:
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
∆𝒚
=𝟔
∆𝒙
Este valor es la razón de cambio instantánea en 𝒙 = 𝟑 de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒.
Calcula la razón promedio de instantánea en las
siguientes funciones en el punto especificado:
1. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ; en 𝒙 = 𝟎
2. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟗; en 𝒙 = 𝟎
𝟏
3. 𝒈(𝒙) = ; en 𝒙 = 𝟏
𝒙
𝟖
4. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 𝟑 ; en 𝒙 = 𝟎
𝒕
 Página 60
3. LA DERIVADA
Dada una función 𝒚 = 𝒇(𝒙), consideremos un valor fijo 𝒙. Dando a 𝑥 un incremento ∆𝒙, entonces obtenemos
para la función 𝒚 un incremento ∆𝒚, siendo el valor final de la función:
𝒚 + ∆𝒚 = 𝒇(𝒙 + ∆𝒙)
Para hallar el incremento ∆𝒚 de la función, se resta al valor final el valor inicial:
∆𝒚 = 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
Dividiendo ambos miembros entre ∆𝒙, como razón de cambio, se obtiene:
∆𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
=
∆𝒙
∆𝒙
Si aplicamos el límite cuando ∆𝒙 → 𝟎, como razón de cambio instantánea, resulta:
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
∆𝒚
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
∆𝒙
∆𝒙
La función así encontrada se conoce como Función Derivada o simplemente Derivada, o también Función Prima.
Definición fundamental del Cálculo Diferencial:
La DERIVADA de una función es el límite de la razón del incremento de la función al
incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero. Es una medida de
la rapidez con la que cambia el valor de la función según cambie el valor de su variable
independiente. Se representa por el símbolo
𝒅𝒚
𝒅𝒙
, que se lee “la derivada de 𝒚 con
respecto a 𝒙”.
𝒅𝒚
= 𝐥𝐢𝐦
𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎
∆𝒚
∆𝒙
Derivada de una
Función
 Página 61
Al proceso de hallar la derivada de una función se llama
derivación o diferenciación. Algunas otras formas de
representar la derivada son:
𝒅
𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
“derivada de 𝒇(𝒙) con respecto a 𝑥”
“𝒚 prima”
𝒚´
𝒇´(𝒙)
“función prima de 𝒙”
𝑫𝒙 [𝒚]
“Derivada de 𝒚 con respecto a”
El símbolo
Conoce más sobre la
derivada con el
siguiente video.
𝒅
𝒅𝒙
es denominado operador de la derivada, e indica que toda función que se escriba después de él
ha de derivarse respecto a la variable especificada, en este caso 𝒙. Por ejemplo:
𝒅 𝟐
𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒙+𝟓
𝒅𝒙
𝒅
√𝒙
𝒅𝒙
“la derivada de 𝑥 2 con respecto a 𝑥”
“la derivada de 𝑥 + 5 con respecto a 𝑥”
“la derivada de √𝑥 con respecto a 𝑥”
 Página 62
Regla General de Derivación (Regla de los Cuatro Pasos)
Como:
𝒅𝒚
= 𝐥𝐢𝐦
𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎
∆𝒚
∆𝒙
Luego:
𝒅𝒚
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎
∆𝒙
De acuerdo con la definición de la derivada, el proceso de derivación de una función consta principalmente de
4 pasos:
1er Paso.
Dar 𝒙 a un incremento ∆𝑥, y calcular el nuevo valor de la
función 𝒚 + ∆𝒚.
• 𝒇 𝒙 + ∆𝒙
2do Paso.
Restar algebraicamente la función original a la función
incrementada y simplificar, para hallar así ∆𝒚.
• 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙
3er Paso.
Dividir la expresión ∆𝒚 entre ∆𝒙 y simplificar algebraicamente,
teniendo así la razón de cambio.
•
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇 𝒙
∆𝒙
4to Paso.
Calcular el límite del cociente anterior cuando ∆𝒙 tiende a cero.
El límite así hallado es la derivada buscada.
 Página 63
• 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝒙
EJEMPLO 1. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 .
Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos:
Derivada a calcular:
1er paso
2do paso.
𝒅
𝟑𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝒚 + ∆𝒚 = 𝟑(𝒙 + ∆𝒙)𝟐
= 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐
∆𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐 − 𝟑𝒙𝟐
= 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐
3er paso.
∆𝒚 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐
=
∆𝒙
∆𝒙
∆𝒚
= 𝟔𝒙 + 𝟑∆𝒙
∆𝒙
4to paso.
∆𝒚
= 𝒍𝒊𝒎 (𝟔𝒙 + ∆𝒙)
∆𝒙→𝟎 ∆𝒙
∆𝒙→𝟎
∆𝒚
𝒍𝒊𝒎
= 𝟔𝒙
∆𝒙→𝟎 ∆𝒙
𝒍𝒊𝒎
Derivada o
función prima
𝒅𝒚
= 𝒇´(𝒙) = 𝟔𝒙
𝒅𝒙
 Página 64
EJEMPLO 2. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟑.
Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos:
Derivada a calcular:
𝒅
(𝟓𝒙 − 𝟑)
𝒅𝒙
𝒚 + ∆𝒚 = 𝟓(𝒙 + ∆𝒙) − 𝟑
1er paso
= 𝟓𝒙 + 𝟓𝒙 ∙ ∆𝒙 − 𝟑
∆𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟓∆𝒙 − 𝟑 − (𝟓𝒙 − 𝟑)
2do paso.
= 𝟓𝒙 + 𝟓∆𝒙 − 𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟑
= 𝟓∆𝒙
3er paso.
∆𝒚 𝟓∆𝒙
=
∆𝒙
∆𝒙
∆𝒚
=𝟓
∆𝒙
𝒍𝒊𝒎
∆𝒚
= 𝒍𝒊𝒎 (𝟓)
∆𝒙 ∆𝒙→𝟎
𝒍𝒊𝒎
∆𝒚
=𝟓
∆𝒙
∆𝒙→𝟎
4to paso.
∆𝒙→𝟎
Derivada o
función prima
Derivada o
función prima
𝒅𝒚
= 𝒇´(𝒙) = 𝟓
𝒅𝒙
𝒅𝒚
= 𝒇´(𝒙) = 𝟔𝒙
𝒅𝒙
 Página 65
EJEMPLO 3. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟖.
Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos:
Derivada a calcular:
𝒅
(𝒙𝟑 + 𝟖)
𝒅𝒙
𝒚 + ∆𝒚 = (𝒙 + ∆𝒙)𝟑 + 𝟖
1er paso
= 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 + 𝟖
∆𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 + 𝟖 − (𝒙𝟑 + 𝟖)
2do paso.
= 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 + 𝟖 − 𝒙𝟑 − 𝟖
= 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑
3er paso.
∆𝒚 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑
=
∆𝒙
∆𝒙
∆𝒚
= 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 ∙ ∆𝒙 + (∆𝒙)𝟐
∆𝒙
4to paso.
𝒍𝒊𝒎
∆𝒚
= lim (3𝑥 2 + 3𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2 )
∆𝒙 ∆𝑥→0
𝒍𝒊𝒎
∆𝒚
= 3𝑥 2
∆𝒙
∆𝒙→𝟎
∆𝒙→𝟎
Derivada o
función prima
𝒅𝒚
= 𝒇´(𝒙) = 3𝑥 2
𝒅𝒙
 Página 66
EJEMPLO 4. Encontrar la derivada de 𝒚 =
𝟓
𝒙𝟐
.
Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos:
Derivada a calcular:
1er paso
𝒅 𝟓
( )
𝒅𝒙 𝒙𝟐
𝑦 + ∆𝑦 =
∆𝒚 =
2do paso.
3er paso.
5
(𝑥 + ∆𝑥)2
5
5
−
(𝑥 + ∆𝑥)2 𝑥 2
5𝑥 2 − 5[𝑥 2 + 2𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2 ]
=
𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2
5𝑥 2 − 5𝑥 2 − 10𝑥 ∙ ∆𝑥 − 5(∆𝑥)2
=
𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2
−10𝑥 ∙ ∆𝑥 − 5(∆𝑥)2
=
𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2
∆𝑥(−10𝑥 − 5∆𝑥)
=
𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2
∆𝑥(−10𝑥 − 5∆𝑥)
∆𝒚
𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2
=
∆𝒙
∆𝑥
∆𝒚 −10𝑥 − 5∆𝑥
=
∆𝒙 𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2
∆𝒚
−10𝑥 − 5∆𝑥
= lim 2
∆𝑥→0 𝑥 (𝑥 + ∆𝑥)2
∆𝒙→𝟎 ∆𝒙
∆𝒚
−10𝑥
𝒍𝒊𝒎
= 2 2
∆𝒙→𝟎 ∆𝒙
𝑥 (𝑥)
∆𝑦 −10
lim
= 3
∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑥
𝒍𝒊𝒎
4to paso.
Derivada o
función prima
𝒅𝒚
−10
= 𝒇´(𝒙) = 3
𝒅𝒙
𝑥
 Página 67
De acuerdo a la habilidad del estudiante, puede aplicar los 4 pasos de manera directa usando la definición de la
derivada:
𝒅𝒚
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎
∆𝒙
EJEMPLO 5. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙
𝒅
𝟐(𝒙 + ∆𝒙)𝟐 − 𝟔(𝒙 + ∆𝒙) − (𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙)
(𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒅𝒙
∆𝒙
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟐(∆𝒙)𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟔∆𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
∆𝒙
𝟒𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟐(∆𝒙)𝟐 − 𝟔∆𝒙
∆𝒙→𝟎
∆𝒙
= 𝒍𝒊𝒎 𝟒𝒙 + 𝟐∆𝒙 − 𝟔
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
= 𝟒𝒙 − 𝟔
Expresión resultante que será la derivada o función prima.
𝒅𝒚
= 𝒇´(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟔
𝒅𝒙
EJEMPLO 6. Calcular la derivada de 𝑦 = √𝑥
𝒅
√𝒙 + ∆𝒙 − √𝒙
√𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒅𝒙
∆𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
=
=
√𝒙 + ∆𝒙 − √𝒙 √𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙
∙
∆𝒙
√𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙
𝒙 + ∆𝒙 − 𝒙
∆𝒙 ∙ [√𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙]
𝟏
√𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙
𝟏
√𝒙 + √𝒙
𝟏
𝟐√𝒙
Expresión resultante que será la derivada o función prima.
𝒅𝒚
𝟏
= 𝒇´(𝒙) =
𝒅𝒙
𝟐√𝒙
 Página 68
Para comprender mejor la regla de los cuatro pasos, analiza estos otros ejemplos.
Para cada una de las funciones siguientes, obtener su
derivada utilizando la regla general de derivación o de
los 4 pasos:
1. 𝒚 = 𝟐 − 𝟒𝒙𝟐
2. 𝒚 = 𝟓𝒙𝟑
3. 𝒚 = 𝟕𝒙 − 𝟒𝒙𝟑
4.
𝒚=
5.
𝒚=
6.
𝒚=
7.
𝒚=
𝟏
𝒙𝟑
𝟏
𝒙+𝟐
𝒙
𝒙𝟐 +𝟏
𝒙−𝟏
𝒙+𝟏
8. 𝒚 = √𝒙 + 𝟏
 Página 69
4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Sean 𝑷 y 𝑸 dos puntos sobre la gráfica de la función 𝒚 = 𝒇(𝒙), cuyas coordenadas son:
𝑷 (𝒙, 𝒇(𝒙) )
𝑚=
∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1
=
∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑸 (𝒙 + ∆𝒙, 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) )
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
La recta Secante que une los puntos 𝑷 y 𝑸 tendrá por pendiente:
𝒎𝒔𝒆𝒄 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
De manera análoga:
∆𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
=
=
∆𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
∆𝒙
Por lo que:
𝒎𝒔𝒆𝒄 =
∆𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
=
∆𝒙
∆𝒙
Si 𝑷 es un punto fijo sobre la curva de la función y 𝑸 se mueve aproximándose indefinidamente a 𝑷, haciendo
que ∆𝒙 tienda a cero. La secante 𝑷𝑸 girará alrededor de
𝑷, teniendo como posición límite la tangente a la curva
en 𝑷. De igual manera, el valor de la pendiente de las
rectas secantes tendrá como valor límite la pendiente de
la recta tangente en 𝑷.
lim 𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥→0 ∆𝑥
= 𝑚𝑡𝑔
 Página 70
Si 𝝋 es el ángulo de inclinación de la recta secante 𝑷𝑸, el ángulo 𝝉 de la recta tangente en 𝑷 será su valor límite,
luego:
𝐥𝐢𝐦 𝐭𝐠 𝛗 = 𝐭𝐠 𝛕
∆𝐱→𝟎
Además, la tangente del ángulo 𝝉 es igual a su pendiente:
𝒕𝒈 𝝉 = 𝒎𝒕𝒈
Puedes consultar los
siguientes recursos
sobre la derivada
como pendiente de la
recta tangente.
De modo que:
∆𝒚
= 𝒕𝒈 𝝉 = 𝒎𝒕𝒈
∆𝒙→𝟎 ∆𝒙
𝒍𝒊𝒎
Retomando el concepto de derivada analizado anteriormente, obtenemos:
𝒅𝒚
∆𝒚
= 𝒇´(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
= 𝒕𝒈 𝝉 = 𝒎𝒕𝒈
∆𝒙→𝟎 ∆𝒙
𝒅𝒙
LA DERIVADA
“El valor de la DERIVADA en cualquier punto de una curva, es
igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto”.
EJEMPLO 1. Sea la parábola 𝒚 = 𝒙𝟐 . Determina:
a) La pendiente de la función en cualquier punto.
𝟏
b) El valor de la pendiente en 𝒙 = .
𝟐
c) El ángulo de inclinación de la recta tangente en ese punto.
SOLUCIÓN
a) Derivando la función tenemos:
𝒅 𝟐
𝑥 2 + 2𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥 2
𝒙 = lim
∆𝑥→0
𝒅𝒙
∆𝑥
2𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2
∆𝑥→0
∆𝑥
= lim 2𝑥 + ∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
= 2𝑥
La función 𝒇´(𝒙) = 𝟐𝒙 es la pendiente de la curva en cualquier punto.
 Página 71
𝟒𝟓°
𝟏
b) Para el punto 𝒙 = la pendiente será:
𝟐
Analiza el valor de la derivada en
funciones polinómicas con este recurso.
𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥
1
𝑚 = 2( )
2
𝑚=1
c) Y su ángulo de inclinación:
𝑡𝑔 𝜏 = 𝑚
𝑡𝑔 𝜏 = 1
𝜏 = 𝑡𝑔−1 (1)
𝜏 = 45°
 Página 72
CALDIF-B2-LECTURA02
Derivada de Funciones Algebraicas
La regla general de derivación es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada.
Sin embargo, el procedimiento de aplicarla en la resolución de problemas es largo y, en ocasiones, difícil; por
consiguiente, se han deducido de la regla general, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se
presentan con frecuencia.
En estas fórmulas las letras 𝒖, 𝒗 y 𝒘 representan funciones derivables de 𝒙.
REGLA
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
I
Derivada de una constante
𝒅
[𝒄] = 𝟎
𝒅𝒙
II
Derivada de una variable con respecto
a sí misma
𝒅
[𝒙] = 𝟏
𝒅𝒙
III
Derivada del producto
constante por una función
de
una
𝒅
𝒅𝒖
[𝒄𝒖] = 𝒄
𝒅𝒙
𝒅𝒙
IIIA
Derivada del producto
constante por una variable
de
una
𝒅
[𝒄𝒙] = 𝒄
𝒅𝒙
IV
Derivada de la potencia de una variable
V
Derivada de una suma algebraica
VI
Derivada de la potencia de una función
VII
Derivada del
funciones
VIII
Derivada de un cociente
producto
de
𝒅
[𝒙𝒏 ] = 𝒏 𝒙𝒏−𝟏
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒘
[𝒖 + 𝒗 − 𝒘] =
+
−
𝒅𝒙
𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙
dos
𝒅
𝒅𝒖
[𝒖𝒏 ] = 𝒏 𝒖𝒏−𝟏
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒗
𝒅𝒖
[𝒖𝒗] = 𝒖
+ 𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒖
𝒅𝒗
𝒗
− 𝒖
𝒅 𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒙
[ ]=
𝒅𝒙 𝒗
𝒗𝟐
 Página 73
I. DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si 𝒚 es una función constante, 𝒚 = 𝒄, su derivada será:
𝒅
[𝒄] = 𝟎
𝒅𝒙
La derivada de una constante siempre será cero.
EJEMPLO 1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒚 = −𝟓
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
[−𝟓] = 𝟎
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝟑
2. 𝒚 = 𝟒
Solución:
𝒅𝒚
𝒅 𝟑
=
[ ]=𝟎
𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟒
II. DERIVADA DE UNA VARIABLE CON RESPECTO A SÍ MISMA
Si 𝒚 es una función identidad, 𝒚 = 𝒙, su derivada será:
𝒅
[𝒙] = 𝟏
𝒅𝒙
La derivada de una variable con respecto a sí misma es la unidad.
EJEMPLO 2. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒓 = 𝜽
Solución:
𝒅𝒓
𝒅
[𝜽] = 𝟏
=
𝒅𝜽 𝒅𝜽
2. 𝑺 = 𝒕
Solución:
𝒅𝑺
𝒅
[𝒕] = 𝟏
=
𝒅𝒕 𝒅𝒕
 Página 74
III. DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN
Si 𝒚 es el producto de una constante por una función, 𝒚 = 𝒄𝒖, su derivada será:
𝒅
𝒅
[𝒄𝒖] = 𝒄
𝒅𝒙
𝒅𝒙
La derivada del producto de una constante por una función es igual al
producto de la constante por la derivada de la función.
IIIa. DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA VARIABLE
Cuando 𝒖 = 𝒙 la función anterior se convierte en 𝒚 = 𝒄𝒙 y su derivada será:
𝒅
[𝒄𝒙] = 𝒄
𝒅𝒙
La derivada del producto de una constante por una variable será la
constante.
EJEMPLO 3. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒓 = 𝟐𝒙
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
[𝟐𝒙] = 𝟐
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
2. 𝑺 = −𝟒𝒙
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
[−𝟒𝒙] = −𝟒
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
Escanea los Códigos
QR para más
ejemplos.
𝟐
3. 𝒚 = 𝟓 𝒙
Solución:
𝒅𝒚
𝒅 𝟐
𝟐
=
[ 𝒙] = 𝒙
𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟓
𝟓
 Página 75
IV. DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA VARIABLE
Si 𝒚 es una potencia, 𝒚 = 𝒙𝒏 , donde 𝒏 es un exponente constante, su derivada
será:
𝒅
[𝒙𝒏 ] = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝒅𝒙
La derivada de la potencia de una variable de exponente constante es
igual al producto del exponente por la variable elevada a su exponente
disminuido en una unidad.
EJEMPLO 4. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒚 = 𝒙𝟐
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
[𝒙𝟐 ] = 𝒙𝟐−𝟏 = 𝟐𝒙
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
2. 𝒚 = 𝟒𝒙𝟑
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
𝒅
[𝟒𝒙𝟑 ] = 𝟒
[𝒙𝟑 ] = 𝟒(𝒙𝟑−𝟏 ) = 𝟏𝟐𝒙𝟐
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
Aplicando las leyes de los exponentes con potencias negativas y fraccionarias, se
pueden resolver las siguientes derivadas
𝟏
3. 𝒚 = 𝒙𝟐
Solución:
𝒅𝒚
𝒅 𝟏
𝒅 −𝟐
𝟐
[𝒙 ] = −𝟐𝒙−𝟐−𝟏 = −𝟐𝒙−𝟑 = − 𝟑
=
[ 𝟐] =
𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙
𝒅𝒙
𝒙
4. 𝒚 = √𝒙
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
𝒅 𝟏⁄
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
=
[√𝒙] =
[𝒙 𝟐 ] = 𝒙 ⁄𝟐−𝟏 = 𝒙− ⁄𝟐
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝟐
𝟐
1
1
= 1 =
⁄2
2√𝑥
2𝑥
 Página 76
V. DERIVADA DE UNA SUMA ALGEBRAICA
Si 𝒚 es una suma algebraica de funciones, 𝒚 = 𝒖 + 𝒗 − 𝒘, su derivada será:
𝒅
𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒘
[𝒖 + 𝒗 − 𝒘] =
+
−
𝒅𝒙
𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙
La derivada de una suma algebraica de un número finito n de funciones
es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.
EJEMPLO 5. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒚 = 𝒙 + 𝟑
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
𝒅
𝒅
[𝒙 + 𝟑] =
[𝒙] +
[𝟑] = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
2. 𝒚 = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
[𝟑𝒙𝟒 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎] =
[𝟑𝒙𝟒 ] −
[𝟕𝒙] +
[𝟏𝟎]
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
= 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟕 + 𝟎 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟕
𝟑
3. 𝒚 = √𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐
Solución:
𝒅𝒚
𝒅 𝟑 𝟒
𝒅 𝟒⁄
𝒅
[𝟐𝒙𝟐 ]
=
[ √𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 ] =
[𝒙 𝟑 ] +
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝟒 𝟒
𝟒 𝟏
𝟒𝟑
= 𝒙 ⁄𝟑−𝟏 + 𝟒𝒙 = 𝒙 ⁄𝟑 + 𝟒𝒙 = √𝒙 + 𝟒𝒙
𝟑
𝟑
𝟑
Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒚 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 10𝑥 − 1
2. 𝒚 = 6𝑥5 − 7𝑥3 + 8𝑥
2
3. 𝒚 = √𝑥3
4.
𝒚=
 Página 77
2
𝑥4
REGLA DE LA CADENA
Para derivar una función 𝒚, que está compuesta por otras funciones 𝒖, 𝒗 o 𝒘, todas ellas dependientes de 𝒙, se
emplea la regla de la cadena.
Por ejemplo, si se quiere derivar la función 𝒚 = (𝟐𝒙 − 𝟏)𝟑 , se puede hacer una pequeña sustitución
𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟏, reescribiendo la función como 𝒚 = 𝒖𝟑 .
Está claro que la derivada de este arreglo estaría con respecto a 𝒖,
𝒅𝒚
𝒅𝒖
. Pero como la derivada de la función debe
estar con respecto a 𝒙, se tendría que derivar nuevamente pero solo a la función 𝒖. A este arreglo se le conoce
como Regla de la Cadena.
REGLA DE LA CADENA
Sean las funciones: 𝒚 = 𝒇(𝒖) y 𝒖 = 𝒈(𝒙) de manera que 𝒚 = 𝒇(𝒈(𝒙)),
ambas funciones derivables, entonces:
𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖
=
∙
𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙
La derivada una función con respecto a 𝒙 es igual al producto de la derivada de
a función con respecto a 𝒖, por la derivada de 𝒖 con respecto a 𝒙.
Esta regla permite derivar funciones que se forman por la mezcla de funciones como potencias, productos,
cocientes, términos trigonométricos, exponenciales, entre otros.
VI. DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA POTENCIA
Si 𝒚 es una potencia de una función 𝒖, 𝒚 = 𝒖𝒏 , donde 𝒏 es un exponente
constante, su derivada será:
𝒅
𝒅𝒖
[𝒖𝒏 ] = 𝒏𝒖𝒏−𝟏
𝒅𝒙
𝒅𝒙
La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al
producto del exponente por la función elevada a su exponente disminuido en una
unidad y por la derivada de la función.
 Página 78
EJEMPLO 6. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒚 = (𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏𝟎
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
𝒅
[(𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏𝟎 ] = 𝟏𝟎 (𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏𝟎−𝟏
[𝟓 − 𝒙𝟐 ]
=
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅
[𝒙] = 𝟏𝟎 (𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟗 [−𝟐𝒙]
𝒅𝒙
= −𝟐𝟎𝒙(𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟗
2. 𝒚 =
𝟏
𝒙𝟐 +𝟏
Solución:
𝒅𝒚
𝒅
𝟏
𝒅
𝒅
[(𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟏 ] = −𝟏(𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟏−𝟏
[𝒙𝟐 + 𝟏]
=
[ 𝟐
] =
𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟏
𝒅𝒙
𝒅𝒙
−𝟐𝒙
= −𝟏(𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟐 (𝟐𝒙) =
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
3. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑 + 𝒙
Solución:
𝒇´(𝒙) =
𝒅
𝒅
𝟏
𝒅
𝟏
𝟏
[𝒙𝟑 + 𝒙]
[√𝒙𝟑 + 𝒙] =
[(𝒙𝟑 + 𝒙) ⁄𝟐 ] = (𝒙𝟑 + 𝒙) ⁄𝟐−𝟏
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝟐
𝒅𝒙
=
=
𝟏 𝟑
−𝟏
(𝒙 + 𝒙) ⁄𝟐 (𝟑𝒙𝟐 + 𝟏)
𝟐
𝟑𝒙𝟐 + 𝟏
𝟐(𝒙𝟑 + 𝒙)
𝟏⁄
𝟐
=
𝟑𝒙𝟐 + 𝟏
𝟐√𝒙𝟑 + 𝒙
Hallar la derivada de las siguientes potencias de
funciones usando la Regla de la Cadena:
1. 𝒚 = (𝑥4 + 10𝑥)
4
5
7
2. 𝒚 = √(2𝑥 + 𝑥3 )
3. 𝒚 =
1
2
(3𝑥 −5)
6
 Página 79
VII. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES
Si 𝒚 es el producto de dos funciones, 𝒚 = 𝒖𝒗, aplicando la Regla de la Cadena,
su derivada será:
𝒅
𝒅𝒗
𝒅𝒖
[𝒖𝒗] = 𝒖
+ 𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la
primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la
segunda por la derivada de la primera.
Para aplicar esta regla de derivación, resulta conveniente designar una función del producto como 𝑢 y
la otra como 𝑣, y obtener por separado sus derivadas, para posteriormente integrarla a la fórmula VII,
tal como se muestra en los ejemplos.
EJEMPLO 7. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑
𝒖
𝒗
Solución:
Derivando por separado tenemos:
FUNCIÓN 𝒖
FUNCIÓN 𝒗
𝑢 = 3𝑥 − 2𝑥2
𝑣 = (5 + 4𝑥)
DERIVADA DE 𝒖
DERIVADA DE 𝒗
3
𝑑𝑣
= 3(5 + 4𝑥)2 (4)
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= 3 − 4𝑥
𝑑𝑥
= 12(5 + 4𝑥)2
 Página 80
Integrando los elementos a la fórmula VII y resolviendo:
𝒅
𝒇´(𝒙) = 𝒅𝒙 [(𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑 ] = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟏𝟐(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟐 ) + (𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑 (3 − 𝒅𝒖
4𝑥)
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒖
𝒗
𝒅𝒙
= (36𝑥 − 24𝑥 2 )(5 + 4𝑥)2 + (5 + 4𝑥)3 (3 − 4𝑥)
= (5 + 4𝑥)2 [(36𝑥 − 24𝑥 2 ) + (5 + 4𝑥)(3 − 4𝑥)]
= (5 + 4𝑥)2 [36𝑥 − 24𝑥 2 + 15 − 8𝑥 + 16𝑥 2 ]
= (5 + 4𝑥)2 (−8𝑥 2 + 28𝑥 + 15)
2. 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑
𝒗
𝒖
Solución:
Derivando por separado tenemos:
FUNCIÓN 𝒖
FUNCIÓN 𝒗
𝑢 = 5𝑥3 − 1
𝑣 = √𝑥2 + 1
DERIVADA DE 𝒖
DERIVADA DE 𝒗
𝑑𝑢
= 15𝑥2
𝑑𝑥
−1⁄
𝑑𝑣 1 2
= (𝑥 + 1) 2 (2𝑥)
𝑑𝑥 2
=
𝑥
√𝑥 2 + 1
Integrando los elementos a la fórmula VII y resolviendo:
𝑑𝑦
𝑑
𝒇´(𝒙) = 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑥
[(5𝑥 3 − 1)√𝑥 2 + 1] = (5𝑥 3 − 1) (√𝑥 2 ) + √𝑥 2 + 1 (15𝑥 2 )
+1
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒖
=
5𝑥 4 − 𝑥
√𝑥 2 + 1
=
+ 15𝑥 2 √𝑥 2 + 1 =
5𝑥 4 − 𝑥 + 15𝑥 4 + 15𝑥 2
√𝑥 2 + 1
 Página 81
=
5𝑥 4 − 𝑥
√𝑥 2 + 1
+
𝒗
15𝑥 2 (𝑥 2 + 1)
√𝑥 2 + 1
20𝑥 4 + 15𝑥 2 − 𝑥
√𝑥 2 + 1
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Hallar la derivada de los siguientes productos:
1. 𝒚 = −9𝑥3 (2 − 3𝑥2 )
2
2. 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 4)(2𝑥 − 9)3
3. ℎ(𝑡) = 𝑡 2 √1 + 2𝑡
¿Sabías qué?
Gottfried Wilhelm Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la
regla del producto, lo hizo motivado por la siguiente expresión:
(𝒙 + 𝒅𝒙)(𝒚 + 𝒅𝒚) − 𝒙𝒚
de la cual restó 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 por considerarlos valores despreciables, para
posteriormente calcular la forma diferencial 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥. Lo que dio
como resultado la forma tradicional de la regla del producto.
(Fuente: The History of Mathematics de David M. Burton)
La regla para derivar un producto puede aplicarse a funciones que contengan
multiplicaciones de dos o más factores, por ejemplo, si 𝒇, 𝒈 y 𝒉 son funciones
derivables en 𝑥, entonces:
𝒅
[𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)𝒉(𝒙)] = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)𝒉´(𝒙) + 𝒇(𝒙)𝒈´(𝒙)𝒉(𝒙) + 𝒇´(𝒙)𝒈(𝒙)𝒉(𝒙)
𝒅𝒙
 Página 82
VIII. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES
𝒖
Si 𝒚 es el cociente de dos funciones, 𝒚 = , su derivada será:
𝒗
𝒅(𝒖)
𝒅(𝒗)
𝒗
−𝒖
𝒅 𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒙
[ ]=
𝒅𝒙 𝒗
𝒗𝟐
La derivada de un cociente es igual al producto del denominador por la
derivada del numerador, menos el producto del numerador por la
derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del
denominador.
Al igual que la regla para derivar un producto, en esta regla también es conveniente designar
a 𝒖 como el numerador y a 𝒗 como el denominador, y obtener por separado sus derivadas.
EJEMPLO 8. Encuentra la derivada de las siguientes funciones
1.
𝑓(𝑥) =
𝑥 ←𝑢
𝑥 2 + 1← 𝑣
SOLUCIÓN
Derivando por separado tenemos:
FUNCIÓN 𝑢
FUNCIÓN 𝑣
𝑣 = 𝑥2 + 1
𝑢=𝑥
DERIVADA DE 𝑢
DERIVADA DE 𝑣
𝑑𝑢
=1
𝑑𝑥
𝑑𝑣
= 2𝑥
𝑑𝑥
Integrando los elementos a la fórmula VIII y resolviendo:
𝑣
𝑓´(𝑥) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑢 𝑑𝑥
(𝑥 2 + 1) (1) − 𝑥 (2𝑥)
𝑑
𝑥
[ 2
]=
(𝑥 2 + 1)2
𝑑𝑥 𝑥 + 1
𝑣2
 Página 83
𝑥 2 + 1 − 2𝑥 2
−𝑥 2 + 1
=
= 2
(𝑥 2 + 1)2
(𝑥 + 1)2
2.
𝑥5 − 𝑥
𝑦= 3
←𝑢
𝑥 −1
←𝑣
SOLUCIÓN
Derivando por separado tenemos:
FUNCIÓN 𝑢
FUNCIÓN 𝑣
𝑣 = 𝑥3 − 1
𝑢 = 𝑥5 − 𝑥
DERIVADA DE 𝑢
DERIVADA DE 𝑣
𝑑𝑢
= 5𝑥4 − 1
𝑑𝑥
𝑑𝑣
= 3𝑥2
𝑑𝑥
Integrando los elementos a la fórmula VIII y resolviendo:
𝑣
𝑓´(𝑥) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
(𝑥 3 − 1) (5𝑥 4 − 1) − [(𝑥 5 − 𝑥)(3𝑥 2 )]
𝑑 𝑥5 − 𝑥
[ 3
]=
(𝑥 3 − 1)2
𝑑𝑥 𝑥 − 1
𝑣2
=
5𝑥 7 − 5𝑥 4 − 𝑥 3 + 1 − (3𝑥 7 − 3𝑥 3 )
(𝑥 3 − 1)2
=
2𝑥 7 − 5𝑥 4 + 2𝑥 3 + 1
(𝑥 3 − 1)2
 Página 84
3.
𝑠(𝑡) =
𝑡3
√1 − 𝑡 2
SOLUCIÓN
Derivando por separado tenemos:
FUNCIÓN 𝑢
FUNCIÓN 𝑣
𝑢 = 𝑡3
𝑣 = √1 − 𝑡2
DERIVADA DE 𝑢
DERIVADA DE 𝑣
𝑑𝑢
= 3𝑡2
𝑑𝑥
−1⁄
𝑑𝑣 1
= (1 − 𝑡2 ) 2 (−2𝑡)
𝑑𝑥 2
=
−𝑡
√1 − 𝑡 2
Integrando los elementos a la fórmula VIII y resolviendo:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑣
𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
−𝑡
)
√1 − 𝑡 2 (3𝑡 2 ) − 𝑡 3 (
2
𝑑 𝑥 −𝑥
√1
−
𝑡
𝑓´(𝑥) =
[
]=
2
𝑑𝑥 𝑥 3 − 1
(√1 − 𝑡 2 )
5
𝑣2
𝑡4
3𝑡 2 (1 − 𝑡 2 )
𝑡4
+
√1 − 𝑡 2 = √1 − 𝑡 2
√1 − 𝑡 2
2
2
(1 − 𝑡 )
(√1 − 𝑡 2 )
3𝑡 2 √1 − 𝑡 2 +
=
3𝑡 2 − 3𝑡 4 + 𝑡 4
2
3𝑡 2 − 2𝑡 4
√1
−
𝑡
=
=
(1 − 𝑡 2 )
√1 − 𝑡 2 (1 − 𝑡 2 )
=
3𝑡 2 − 2𝑡 4
(1 − 𝑡 2 )
3⁄
2
 Página 85
Hallar la derivada de los siguientes cocientes:
𝟏−𝒙
1. 𝒚 = 𝟏+𝒙
2. 𝒇(𝒙) =
𝒙
√𝟏+𝟐𝒙
𝟐+𝟑𝒕
3. 𝒈(𝒕) = √
𝟐−𝟑𝒕
Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B2-LECTURA 01, calcula la derivada de las
siguientes funciones utilizando el método de los 4 pasos o por definición.
CALDIF-B2-AF01
I. Derivadas por definición o por los cuatro pasos
a) 𝑦 = 4𝑥 − 5
g) 𝑦 =
b) 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 6
4𝑥+6
𝑥−2
3
h) 𝑦 = 𝑥 2+1
c) 𝑦 = 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 6
𝑥2
d) 𝑦 = 2𝑥 4
i) 𝑦 = 𝑥−1
e) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
j) 𝑦 = √𝑥 + 2
f) 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
II. Derivadas inmediatas o por fórmulas
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 + 6
b) 𝑦 =
f) 𝑦 =
𝑥 2 −1
2𝑥−3
𝑥 2 +4𝑥+3
g) 𝑦 = √1 + 2𝑥
√𝑥
h) 𝑦 = (2𝑥 + 5)√𝑥
c) 𝑔(𝑢) = √2𝑢 + √3𝑢
1
d) 𝑣 = (√𝑥 + 4 )
2
i) 𝑦 = 2𝑥 4 − 5𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 9
√𝑥
𝑥+1
j) 𝑦 = 𝑥−1
e) 𝑦 = √𝑥(𝑥 − 1)
 Página 86
Reporte: Carrera 100 m planos
CALDIF-B2-TAREA03
CG 4.1
CDBM 2
CG 5.1
CDBM 3
CG 8.1
Instrucciones: Aplicando las propiedades de los límites resuelven en binas el
siguiente problemario sobre el cálculo de los límites en funciones algebraicas y
trascendentes
REQUERIMIENTOS
a) Establecer lugar y fecha para el desarrollo de la carrera.
b) Definir las reglas de operatividad.
c) Solicitar el registro de los valores de la distancia vs tiempo
ACTIVIDADES
a) Realizar la carrera de los 100m planos.
b) Preparar el lugar para la carrera y marcar las distancias en las cuales se tomarán los datos
experimentales.
c) Registra en una tabla de valores la distancia y el tiempo.
d) Realizar la gráfica correspondiente a la tabla de valores para analizar el comportamiento de la distancia
recorrida del competidor a través del tiempo.
e) Determinar la velocidad promedio de todo el recorrido, así como al inicio, intermedio y final.
f)
Ajustar los datos a un modelo adecuado.
g) Calcular la primera y segunda derivada como la velocidad puntual y aceleración de cada competidor,
respectivamente.
h) Integrar un reporte con la metodología empleada en la solución de este producto.
 Página 87
CALDIF-B2-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 03 Reporte
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque: I
La Derivada
Fecha:
Grupo:
Nombres
Turno
Reporte “Carrera de 100 m”
Aprendizajes Esperados
Contenidos Específico
▪ Derivada por definición de
▪ Emplea la regla de los cuatro pasos, para obtener la derivada de una
funciones
polinómicas
función y la relaciona con situaciones presentes en su contexto,
(regla de los 4 pasos)
▪ Derivadas de funciones
promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo.
algebraicas
CUMPLE
CRITERIOS
%
Puntaje
SI
NO
1. Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el
10%
facilitador.
2. Registra en una tabla de valores la distancia y el tiempo de la carrera.
20%
3. Representa gráficamente el comportamiento de la distancia recorrida
a través del tiempo.
20%
4. Determina la velocidad promedio de todo el recorrido.
20%
5. Calcula la primera y segunda derivada como la velocidad puntual y
aceleración de cada competidor respectivamente.
6. Se relaciona colaborativamente mostrando disposición al trabajo
metódico y organizado.
20%
10%
Calificación
Logros obtenidos
Aspectos a mejorar
Nombre y Firma del Coevaluador
Firma del Facilitador
.
 Página 88
“LÍMITES Y DERIVADAS”
CALDIF-B1_B2-PP01
CG 1.1
CG 4.1
CG 5.1
CG 8.1
CDBM 2
CDBM 3
CDBM 5
CDBM 8
CUESTIONARIO TIPO PLANEA
Indicaciones: De acuerdo a los conocimientos y habilidades adquiridas durante la
SD1 “No andes a la deriva”, lee cuidadosamente cada reactivo y selecciona la
respuesta correcta.
1. El valor fijo 𝑳, al que tiende una función 𝒇(𝒙) 2. Es el límite de la razón de cambio de una función 𝒇(𝒙),
cuando 𝑥 se aproxima a un valor dado 𝒂, es la
cuando el incremento de la variable independiente 𝒙
definición de:
tiende a cero:
a) Derivada
a) Derivada
b) Límite
b) Límite
c) Indeterminación
c) Indeterminación
d) Asíntota
d) Asíntota
3. Es el valor límite de la siguiente función:
4. Aplica las propiedades de los límites, y calcula:
𝟑
𝐥𝐢𝐦 (𝒙𝟐 − 𝟓)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙→−𝟏
a) 0
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙+𝟏
a) −1
b) 1
b) −2
c) −1
c) 2
d) ∞
d) ∞
5. ¿Cuál es el valor límite de la siguiente función? 6. Dada la función 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙, su derivada será:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
a) 0
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐
a) 7𝑥 + 5
b) 7𝑥 2 − 5
b) 1
c) 12𝑥 2 − 5
c) −1
d) −12𝑥 2 + 5
d) ∞
 Página 89
7. Dada la función 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙𝟐
, su derivada
será:
a) Secante
a) −2𝑥 3
b)
c)
d)
9. El
8. En la siguiente gráfica, la derivada es representada por
la recta 𝑻, que es _________ a la curva 𝑨𝑩:
b) Tangente
1
−2𝑥 3
c) Normal
−2
𝑥3
d) Paralela
−2
𝑥2
desplazamiento
de
un
móvil
está 10. De acuerdo al problema anterior, ¿Qué velocidad
llevaba el móvil a los 25 segundos de recorrido?
representado por 𝑫(𝒕) = 𝟏𝟎√𝒕 + , donde
𝑚
𝑫 es la distancia en 𝒎 y 𝒕 el tiempo en
a) 3.0 𝑠𝑒𝑔
segundos. ¿Cuál es la expresión que
representa la velocidad del móvil?
𝑚
b) 2.5 𝑠𝑒𝑔
𝒕𝟐
𝟐𝟎
a)
b)
c)
d)
𝑑𝐷
𝑑𝑡
𝑑𝐷
𝑑𝑡
𝑑𝐷
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝐷
=
=
=
=
5
√𝑡
√𝑡
5
10
√𝑡
5
√𝑡
+
𝑡
10
c) 1.5
𝑚
𝑠𝑒𝑔
d) 3.5
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑡
+ 10
𝑡
+ 20
𝑡
− 10
 Página 90
MAT4-B1_B2-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados
Asignatura:
Cálculo
Diferencial
Bloque I Límites
Bloque II La Derivada
Fecha:
Grupo:
Nombres
Turno:
Situación Didáctica 1: “No andes a la deriva”
Conocimientos
▪
▪
Habilidades
Antecedentes y aplicaciones del ▪
cálculo
Límites
- Concepto e interpretación de
límites
-
Propiedades de los límites
-
Límites de funciones algebraicas
-
Límites
de
trascendentes
Actitudes
▪
Reconoce a los principales
personajes y sus aportaciones
en el desarrollo del cálculo,
así como la importancia de su ▪
aplicación en la actualidad.
▪
Interpreta gráficamente los
▪
diferentes tipos de límites
▪
Identifica la forma analítica
de los distintos tipos de
límites (finitos, infinitos e ▪
indeterminados)
funciones
▪
▪
▪
▪
Interpreta la definición de la
derivada como una razón de
cambio
▪
Distingue distintas formas de
obtener la derivada de una
función
Derivada por definición de funciones
polinómicas (regla de los 4 pasos)
Derivadas de funciones algebraicas
 Página 91
Reconoce sus fortalezas y
áreas de oportunidad
Externa un pensamiento
crítico y reflexivo de
manera solidaria
Muestra disposición al
trabajo metódico
y
organizado
Privilegia el dialogo para
la
construcción
de
nuevos conocimientos
Externa un pensamiento
crítico y reflexivo de
manera solidaria
▪
Muestra disposición al
trabajo metódico
y
organizado
▪
Privilegia el dialogo para
la
construcción
de
nuevos conocimientos
▪
Aporta ideas en la
solución de problemas
promoviendo
su
creatividad
1 = Necesito ayuda
2 = Puedo hacerlo solo
3 = Puedo ayudar a otros
NIVEL
CRITERIOS
¿Qué debo hacer para mejorar?
1
2
3
Explica la importancia del cálculo, por medio del
conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones,
reflexionando sobre su relevancia en procesos
actuales de su entorno
Calcula límites de funciones algebraicas y
trascendentes, a través del análisis de situaciones de
su contexto para la construcción de nuevos
conocimientos
Emplea la regla de los cuatro pasos para obtener la
derivada de una función y la relaciona con situaciones
presentes en su contexto, promoviendo su
pensamiento crítico y reflexivo
Nombre y Firma del Coevaluador
Firma del Facilitador
 Página 92
BIBLIOGRAFIA
•
COBACHBC (2020). Calculo diferencial. México. Colegio de Bachilleres de Baja California.
•
Collins, J. Cálculo. Academia de estudios avanzados. Ed. Alec, 1ra edición. 2012.
•
Courant, R.- John, F. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Ed. Limusa- Wiley, México, 1971.
•
David M. Burton, The History of Mathematics; An Introduction, McGrawHill, New York, 1991.
•
Granville, W. A. Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Limusa. 11va edición. 2011.
•
Katz, V. (2009). A history of mathematics: An introduction. New York: Addison-Wesley.
•
Kline, M. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Addison-Wesley, 1998.
 Página 93
Segunda Revisión de Portafolios y Evaluación Sumativa
 Página 94
BLOQUE II La Derivada
BLOQUE III. Aplicaciones de la Derivada
BLOQUES
II. La Derivada
✓ Derivada de funciones trascendentes
✓ Derivadas de Orden Superior
III. Aplicaciones de la Derivada
✓ Máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función
✓ Optimización
✓ Velocidad, aceleración y rapidez de un móvil
✓ Regla de L’Hôpital
 Página 95
BLOQUE II. LA DERIVADA
BLOQUE III. APLICACIONES DE LA DERIVADA
▪
▪
▪
▪
▪
▪
PROPÓSITO DE CADA BLOQUE
Aplica los métodos de derivación, trabajando de forma metódica y organizada para contribuir en la
solución de situaciones hipotéticas y/o reales de manera crítica y reflexiva.
Utiliza las reglas de derivación para resolver situaciones reales y/o hipotéticas del medio que lo rodea,
favoreciendo con ello la construcción de nuevos conocimientos y afrontando los retos que se le presenten.
APRENDIZAJES ESPERADOS
Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de situaciones reales y/o hipotéticas de su vida
cotidiana, trabajando de forma metódica y organizada.
Esboza de manera metódica y organizada la gráfica de una función a partir del cálculo de sus máximos,
mínimos y puntos de inflexión para representar situaciones reales y/o hipotéticas de su entorno.
Resuelve de forma creativa problemas de optimización, aplicando los criterios de máximos y mínimos que
le permitan la construcción de modelos que representen situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto.
Aplica las reglas de derivación para calcular la velocidad y aceleración de un móvil a partir de su posición
en situaciones de su entorno afrontando la frustración como parte de un proceso de aprendizaje.
COMPETENCIAS
GENÉRICAS
DISCIPLINARES
CG4.1
Expresa
ideas
y
conceptos
mediante
representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera
reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo.
CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o
desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de
acción con pasos específicos.
CG4.1
Expresa
ideas
y
conceptos
mediante
representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas
CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera
reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo
CG7.3 Articula saberes de diversos campos y establece
relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
CG8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los
conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de
distintos equipos de trabajo.
CDEM2 Formula y resuelve problemas matemáticos
aplicando diferentes enfoques
CDBM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
CDEM1 Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,
algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o
formales.
CDBM2 Formula y resuelve problemas matemáticos
aplicando diferentes enfoques.
CDEM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
CDBM4 Argumenta la solución obtenida de un problema,
con métodos numéricos, gráficos, analíticos o
variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
 Página 96
CALDIF-B2_B3-SD02 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 2
TITULO
“De todo, lo mejor”
Dentro de los temas con mayor significación técnica, económica, ambiental y política
para el país se encuentra la construcción de la Refinería de Dos Bocas, en el
Municipio de Paraíso, Tabasco. Tiene como objetivos principales, reducir la
dependencia energética del país sobre la importación de gasolinas automotrices,
generar valor agregado por la transformación de los recursos naturales del país, y
construirla con recursos financieros propios del Gobierno Federal. El desarrollo de
la ingeniería, la adquisición de equipos y la construcción comenzó el 26 de julio de
2019.
Contexto
Un grupo de jóvenes del COBATAB asisten a una charla de parte de uno de los
ingenieros colaboradores en el diseño de la Terminal de Hidrocarburos en la
Refinería Dos Bocas. El ingeniero les explica que una de las aplicaciones importantes
de la Ingeniería en el área de diseño y producción, es la reducción en el consumo de
materias primas vinculado directamente con el diseño óptimo de los recipientes,
contenedores y equipos de proceso. Una pequeña variación en sus dimensiones
representa un aumento o reducción en la cantidad de materiales a utilizar en su
elaboración, aunado a la cantidad de hidrocarburos que contendrá.
Al finalizar, les comenta que se emitió una convocatoria para que, estudiantes
destacados, ingresen como becarios en el área de producción. Para participar deben
elaborar una maqueta con el diseño óptimo de un tanque de almacenamiento de
hidrocarburos, el cual se prevé contendrá 100 mil barriles, de manera que se utilice
el mínimo de materias primas en su elaboración.
▪
¿Cuáles son las dimensiones óptimas del tanque de almacenamiento que
minimicen el uso de materias primas?
Conflicto Cognitivo
▪
Si en el diseño se considera aumentar el radio del tanque de almacenamiento
en 0.5 𝑚 ¿Cómo afectará este incremento en la cantidad de material que se
usará en su construcción y en la cantidad de hidrocarburo que contendrá?
Propósito de la
Situación Didáctica
En equipos de trabajo de 5 integrantes construyen una maqueta a escala de un
tanque de almacenamiento en la Terminal de Hidrocarburos en la Refinería de Dos
Bocas de acuerdo con su diseño óptimo, minimizando la cantidad total de material
a utilizar, exponiendo el proceso de cálculo frente al grupo.
 Página 97
CALDIF-B2_B3-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 2
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque II: La Derivada
Bloque III: Aplicaciones de la Derivada
Fecha:
Situación Didáctica 2: De todo, lo mejor
Grupo
Nombres:
Turno
Aprendizajes Esperados
▪
▪
▪
Aplica fórmulas y teoremas en la solución de situaciones reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana,
trabajando de forma metódica y organizada.
Esboza de manera metódica y organizada la gráfica de una función a partir del cálculo de sus máximos,
mínimos y puntos de inflexión para representar situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto.
Resuelve de forma creativa problemas de optimización, aplicando los criterios de máximos y mínimos que
le permitan la construcción de modelos que representen situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto.
Instrucciones: Lee los criterios de evaluación y marque con una (X) para resaltar el nivel del logro de aprendizaje,
anotando la puntuación otorgada para cada criterio, súmalos para obtener el puntaje final.
Indicadores
Criterios
Excelente
(3 pts)
Bueno
(2 pts)
Suficiente
(1 pts)
Insuficiente
(0 pts)
Conocimientos
sobre los
conceptos del
cálculo
Comprende y describe
claramente
los
criterios de máximos y
mínimos a partir de la
derivada,
reconociendo
su
aplicación
en
situaciones reales.
Describe brevemente
los
criterios
de
máximos y mínimos
usando la derivada y
lo
vincula
con
situaciones reales.
Tiene una idea de los
criterios de máximos y
mínimos, pero no los
relaciona
con
situaciones reales.
No comprende los
criterios de máximos
y mínimos.
Aplicación de las
herramientas del
cálculo
Determina la derivada
de una función y la
vincula a los criterios
de máximos y mínimos
aplicados
en
problemas
de
optimización de forma
reflexiva.
Determina
la
derivada de una
función y la relaciona
con los criterios de
máximos y mínimos
en problemas de
optimización
de
manera mecánica.
Calcula la derivada,
pero no la vincula con
los criterios de máximos
y
mínimos
adecuadamente.
No determina la
derivada de una
función.
 Página 98
Indicadores
Criterios
Excelente
(3 pts)
Comprensión y
desenvolvimiento
Usa correctamente los
criterios de máximos y
mínimos, y obtiene
sagazmente
las
medidas óptimas que
dan solución a la SD2.
Construcción del
producto
Construye la maqueta
a escala con las
medidas óptimas de
acuerdo a la solución
de la SD2, exponiendo
sus conclusiones de
forma clara.
Entrega y
presentación
Entrega el producto en
la fecha establecida
cuidando el orden y la
limpieza, además de
incluir
elementos
característicos
del
contexto de la SD2.
Trabajo en equipo
Trabaja de manera
colaborativa con sus
semejantes
mostrando disposición
al trabajo metódico y
organizado.
Puntuación Final
(P.F)
Bueno
(2 pts)
Usa
de
manera
adecuada los criterios
de
máximos
y
mínimos y obtiene
con dificultad las
medidas optimas que
dan solución a la SD2.
Construye la maqueta
con
algunas
variaciones en las
medidas de acuerdo a
la solución de la SD2
exponiendo
sus
conclusiones
al
grupo.
Entrega el producto
en
la
fecha
establecida, de forma
limpia y ordenada,
incluyendo
pocos
elementos
característicos
del
contexto de la SD2.
Trabaja de manera
colaborativa con la
mayoría
de
sus
semejantes
mostrando
disposición al trabajo
metódico
y
organizado.
Suficiente
(1 pts)
Insuficiente
(0 pts)
Intenta aplicar los
criterios de máximos y
mínimos y obtiene de
manera errónea la
solución de la SD2.
No
reconoce
el
método de solución
de la SD2.
Construye la maqueta
desproporcionada sin
considerar las medidas
óptimas
que
dan
solución a la SD2.
No
elabora
el
producto de la SD2.
Entrega el producto de
la
SD2
en
días
posteriores a la fecha de
entrega descuidando el
orden y la limpieza.
No
entrega
el
producto de la SD2.
Trabaja de manera
colaborativa
con
algunos
de
sus
semejantes mostrando
disposición al trabajo
metódico y organizado.
No se relaciona con
sus semejantes para
trabajar
colaborativamente.
Calificación Final
(P.F)(5.56)
Realimentación:
Logros
Aspectos a mejorar
Firma del Evaluador: ________________________________________
 Página 99
CALDIF-B2_B3-ED02 Evaluación diagnóstica BII “La Derivada” - BII "Aplicaciones de la Derivada”
Instrucciones: Lee cuidadosamente cada una de las siguientes preguntas y subraya la respuesta correcta.
NOMBRE
GRUPO
FECHA
1. El problema de la tangente dio lugar al desarrollo 2. El valor del 𝐥𝐢𝐦 (𝒉−𝟑)𝟐−𝟗
𝒉
𝒉−𝟎
del cálculo:
a) 0
a) Integral
b) Mercantil
c) Financiero
d) Diferencial
𝒇(𝒙)−𝒇(𝒂)
𝒙−𝒂
𝒙−𝒂
3. El valor del 𝐥𝐢𝐦
𝒂 = 𝟏 es:
a) 1
b) 2
c) −2
d) −1
b) 6
c) −6
d) Indefinido
para 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 y 4. La pendiente de la recta tangente a la parábola
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏 en el punto (−𝟏, −𝟏) es:
a) 1
b) 2
c) −2
d) −1
5. La pendiente de la recta tangente a la parábola 6. La derivada de 𝒚 = 𝟐 + 𝒙:
𝒙
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐 en el punto (−𝟏, −𝟏) es:
a) 𝑦 = −2𝑥
a)
b) 𝑦 = 2𝑥 − 2
b)
c) 𝑦 = −2𝑥 + 2
c)
d) 𝑦 = −2𝑥 − 3
d)
 Página 100
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
=
2
𝑥2
+1
2
𝑥2
−1
2
= − 𝑥2 + 1
2
= − 𝑥2 − 1
7. La derivada de 𝑦 = 𝑒 𝑥 es:
a)
b)
c)
d)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
a)
= 1
b)
= 𝑥
c)
=
𝑒
d)
𝑥
9. La derivada de 𝑦 = 𝑥(𝑥 2 + 1) es:
a)
b)
c)
d)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
8. La derivada de 𝑦 = 𝑥 5 + 2𝑥 3 − 3𝑥 − 8 es:
= 3𝑥 2 − 3𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5𝑥 4 + 6𝑥 3 − 3𝑥
= 5𝑥 4 + 6𝑥 2 − 3𝑥
= 5𝑥 4 + 6𝑥 2 − 3
= 5𝑥 4 + 6𝑥 2 − 3𝑥 −
10. La derivada de
a)
2
= 3𝑥 +
2
b)
= −3𝑥 2 + 1
c)
= 3𝑥 − 1
𝑑𝑦
d)
 Página 101
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
=
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
𝑑𝑒 𝑦 =
6(𝑥 2 +1)
5
(2−𝑥2 )2
=
6𝑥(𝑥 2 +1)
5
(2−𝑥 2 )2
=
=
18(𝑥 2 +3)
7
(2−𝑥 2 )2
18𝑥(𝑥 2 +3)
7
(2−𝑥 2 )2
3
√2− 𝑥 2
es:
CALDIF-B2-LECTURA02
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Las Funciones trascendentes son aquellas que no se pueden expresar mediante las operaciones algebraicas de
un polinomio. Por lo tanto, las derivadas de funciones trascendentes se refieren a las funciones trigonométricas,
logarítmicas y exponenciales.
Formulario de Derivada de las Funciones Trascendentes
Exponenciales
𝒅
𝒆𝒖 = 𝒆𝒖 ∙
𝒅𝒙
𝒅𝒖
𝒅
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒂𝒖 = 𝒂𝒖 𝐥𝐧 𝒂 ∙
𝒅𝒖
𝒅
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒖𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒖𝒗−𝟏 ∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
∙ 𝐥𝐧 𝒖 ∙ 𝒖𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
Logarítmicas
𝒅
𝒅𝒙
𝐥𝐧 𝒖 =
𝟏 𝒅𝒖
∙
𝒖 𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒖 =
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒆 𝒅𝒖
∙
𝒖
𝒅𝒙
Trigonométricas
𝒅
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙
𝐒𝐞𝐧 𝒖 = 𝑪𝒐𝒔 𝒖
𝒅𝒖
𝒅
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝐂𝐨𝐭 𝒖 = −𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒖
𝒅𝒖
𝒅
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝐂𝐨𝐬 𝒖 = −𝑺𝒆𝒏 𝒖
𝒅𝒖
𝒅
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝐒𝐞𝐜 𝒖 = 𝑺𝒆𝒄 𝒖 𝒕𝒂𝒏 𝒖
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝐓𝐚𝐧 𝒖 = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒖
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒖
𝐂𝐬𝐜 𝒖 = −𝑪𝒔𝒄 𝒖 𝑪𝒐𝒕 𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒙
Para resolver las derivadas es necesario recordar también las siguientes fórmulas de derivación
𝑑
𝑑𝑥
𝑛
𝑎𝑥 = 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑛
𝑛−1
𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
√𝑢 =
𝑑𝑥
2√𝑢
𝑑
𝑑 𝑢
𝑑𝑥 𝑣
 Página 102
𝑣
=
𝑑𝑢
𝑑𝑣
−𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑣2
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Aplicaremos estas fórmulas para la solución de los ejercicios desarrollados en la Tabla 2.3 Solución de Derivadas
de Funciones Trascendentes.
Tabla 2.3. Solución de Derivadas de Funciones Trascendentes
a) 𝒚 = 𝟏𝟎(𝒙
𝟐 +𝟓𝒙−𝟔)
𝑑𝑦
𝑑
2
[10(𝑥 +5𝑥−6) ] =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
2
2
[10(𝑥 +5𝑥−6) ] =
= 10(𝑥 +5𝑥−6) ∙ 𝑙𝑛 10 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2
= 10(𝑥 +5𝑥−6) ∙ 𝑙𝑛 10 ∙ (2𝑥 + 5) =
𝑑𝑥
𝒅𝒚
𝟐
= 𝟏𝟎(𝒙 +𝟓𝒙−𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟓) ∙ 𝒍𝒏 𝟏𝟎
𝒅𝒙
b) 𝒚 = 𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝑑𝑦
𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑥
(𝑎
)=
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
(𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) =
= 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 ∙ −𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝑑𝑥
𝒅𝒚
= −𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒙 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂
𝒅𝒙
c) 𝒚 = 𝟕𝒆𝒙
𝑑𝑦
𝑑
(7𝑒 𝑥 ) =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑 𝑥
(𝑒 ) =
=7∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
(𝑥 ) =
= 7 ∙ 𝑒𝑥 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝒅𝒚
= 𝟕 𝒆𝒙
𝒅𝒙
 Página 103
d) 𝒚 = 𝒆𝟓𝒙
𝑑𝑦
𝑑 5𝑥
(𝑒 ) =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
(5𝑥) =
= 𝑒 5𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
= 𝑒 5𝑥 ∙ 5 (𝑥) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝒅𝒚
= 𝟓 𝒆𝟓𝒙
𝒅𝒙
e) 𝒚 = 𝒆𝟖𝒙
𝟑 −𝟑
𝑑𝑦
𝑑 8𝑥3 −3
(𝑒
)=
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
3
(8𝑥 3 − 3) =
= 𝑒 8𝑥 −3
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
𝑑
3
(3 ) =
= 𝑒 8𝑥 −3 ∙ 8 ( ) −
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝒅𝒚
𝟑
= 𝟐𝟒𝒙𝟐 𝒆𝟖𝒙 −𝟑
𝒅𝒙
f) 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝟐𝒙𝟐 + 𝟕)
𝑑𝑦
𝑑
[𝑙𝑜𝑔𝑎 (2𝑥 2 + 7)] =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 𝑑
(2𝑥 2 + 7) =
= 2
∙
𝑑𝑥 2𝑥 + 7 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒
𝑑
𝑑
(7)] =
= 2
∙ [2 (𝑥 2 ) +
𝑑𝑥 2𝑥 + 7
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒
= 2
∙ [2(2𝑥)] =
𝑑𝑥 2𝑥 + 7
𝑑𝑦 4𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒
=
𝑑𝑥
2𝑥 2 + 7
 Página 104
∴
𝒅𝒚
𝟏
𝟒𝒙
=
∙ 𝟐
𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝒂 𝟐𝒙 + 𝟕
𝟑
g) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 (𝒙)
𝑑𝑦
𝑑
3
[log ( )] =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑦 log10 𝑒 𝑑 3
=
∙
( )=
3
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑥
𝑥
𝑑𝑦 𝑥𝑙𝑜𝑔10 𝑒
𝑑 1
=
∙3 ( )=
𝑑𝑥
3
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑦 𝑥𝑙𝑜𝑔10 𝑒
3
=
∙− 2 =
𝑑𝑥
3
𝑥
𝒅𝒚
𝟏
= − ∙ 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝒆
𝒅𝒙
𝒙
𝒙
h) 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 ( )
𝟕
𝑑𝑦
𝑑
𝑥
[𝑥𝑙𝑛 ( )] =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
7
𝑑𝑦
𝑑
𝑥
𝑥 𝑑
(𝑥 ) =
[𝑙𝑛 ( )] + 𝑙𝑛 ( ) ∙
=𝑥∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
7
7 𝑑𝑥
𝑑𝑦
7 1 𝑑
𝑥
=𝑥∙ ∙ ∙
(𝑥) + 𝑙𝑛 ( )
𝑑𝑥
𝑥 7 𝑑𝑥
7
𝒅𝒚
𝒙
= 𝟏 + 𝒍𝒏 ( )
𝒅𝒙
𝟕
i) 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
𝑑𝑦
𝑑
(𝑠𝑒𝑛2𝑥) =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
= cos(2𝑥) ∙ (2𝑥) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
= cos(2𝑥) ∙ 2 (𝑥) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝒅𝒚
= 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙)
𝒅𝒙
 Página 105
j) 𝒚 = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝑑𝑦
𝑑
(2𝑥 4 + 3𝐶𝑜𝑠 𝑥) =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑 4
𝑑
(𝑥 ) + 3 ∙
(𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) =
=2∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 2(4𝑥 3 ) + 3(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) =
𝑑𝑥
𝒅𝒚
= 𝟖𝒙𝟑 − 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒅𝒙
k) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧(𝟓𝒙)
𝑑𝑦
𝑑
[tan (5𝑥)] =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
(5𝑥) =
= 𝑠𝑒𝑐 2 (5𝑥) ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
= 𝑠𝑒𝑐 2 (5𝑥) ∙ 5 (𝑥) =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝒅𝒚
= 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟓𝒙)
𝒅𝒙
l) 𝒚 = −𝒙𝟐 − 𝐭𝐚𝐧(𝒙)
𝑑𝑦
𝑑
[−𝑥 2 − tan(𝑥)] =
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑
𝑑
(tan 𝑥 ) =
= − (𝑥 2 ) −
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −(2𝑥) − (𝑠𝑒𝑐 2 𝑥) =
𝑑𝑥
𝒅𝒚
= −𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
𝒅𝒙
 Página 106
CALDIF-B2-TAREA04
CG 4.1
CG 5.1
CG 8.1
1. 𝑦 = 𝑒
CDBM 2
CDBM 3
−
7
𝑥
2. 𝑦 = 45𝑥
3. 𝑦 = 3
√𝑥 2 −1
4. 𝑦 = log10 𝑠𝑒𝑛 𝑥
5. 𝑦 =
20 log6 𝑥
Problemario 02: Calculo de Derivadas Trascendente
Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B2-LECTURA02 y a los ejemplos
desarrollados en la Tabla 2.3, obtenga la derivada de cada una de las siguientes
funciones.
6. 𝑦 = ln (
𝑥+3
)
𝑥−3
7. 𝑦 = 𝑙𝑛5 (𝑥 − 5)
𝑥2
8. 𝑦 = log 2
𝑥−1
9. 𝑦 =
1
4
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
10. 𝑦 = (1 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 2 )
𝑥
 Página 107
CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04 Problemario 02
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque: I
La Derivada
Fecha:
Grupo:
Nombres
Turno
Problemario 02 “Derivada de Funciones Trascendentes”
Aprendizajes Esperados
▪
Contenidos Específico
Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de problemas
▪
reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana trabajando de forma
metódica y organizada.
CRITERIOS
Derivada de
trascendentes
%
1. Entrega su producto terminado (90% - 100% de ejercicios resueltos) en
el tiempo establecido por el facilitador.
2. Obtiene derivadas de funciones trascendentes (funciones
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) a partir de la definición
de derivada y el uso del formulario.
3. Desarrolla el proceso de forma detallada y organizada y obtiene el
resultado correcto.
4. Muestra una actitud positiva durante el desarrollo de las actividades
del problemario aplicando de manera correcta las propiedades de los
exponentes y logaritmos.
5. Se relaciona de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo en
binas de manera metódica y organizada.
6. Entrega su trabajo con hoja de presentación tipo APA, ejercicios con
procedimientos y resultados, así como conclusiones de su trabajo.
CUMPLE
SI
NO
20%
20%
20%
20%
10%
10%
Calificación
Logros obtenidos
Aspectos a mejorar
Nombre y Firma del Coevaluador
Firma del Facilitador
.
 Página 108
funciones
Puntaje
CALDIF-B2-LECTURA03
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
En el cálculo diferencial al igual que en otras disciplinas, surge la necesidad de determinar derivadas de orden
mayor, esto es, calcular una segunda derivada, una tercera derivada, etc. Dichas funciones reciben el nombre de
derivadas sucesivas o derivadas de orden superior.
Si una función 𝒇(𝒙) se deriva, entonces se obtiene 𝒇’(𝒙) (Primera derivada)
Si la primera derivada 𝒇’(𝒙) se deriva, se obtiene 𝑓’’(𝑥) (segunda derivada). Esta a su vez, se puede derivar para
producir 𝒇’’’(𝒙) (tercera derivada) y así sucesivamente se pueden obtener las derivadas de orden superior.
A continuación se presenta la solución de los ejercicios desarrollados en la Tabla 2.4 Solución de Derivadas de
Funciones de Orden Superior o Sucesivas.
Tabla 2.4. Solución de Derivadas de Funciones Trascendentes
a) 𝑦 = 5𝑥 4 + 2𝑥 3 − 4𝑥 2 − 3𝑥 + 1
𝑓 ′ (𝑥) = 20𝑥 3 + 6𝑥 2 − 8𝑥 − 3 =
𝑓 ′′ (𝑥) = 60𝑥 2 + 12𝑥 − 8 =
𝑓 ′′′ (𝑥) = 120𝑥 + 12 =
𝑓 ′′′′ (𝑥) = 120 =
𝒇′′′′′ (𝒙) = 𝟎
De manera general, la enésima derivada de la función 𝒇(𝒙), se puede denotar por 𝒇(𝒏) donde 𝒏 es un numero
entero positivo mayor que 1.
En el ejemplo, la función se obtiene por un polinomio de grado cuatro por lo que la derivada enésima 𝑓 (𝑛) es
cero para toda 𝑛 > 4.
A continuación, se presentan las diferentes formas en que se puede representar e indicar el tipo de derivada
calculada en dicha función, dependiendo de la habilidad que se tenga se puede utilizar alguna de las siguientes:
 Página 109
Primera derivad
𝒇′(𝒙) ≡ 𝑫𝒙𝒇(𝒙) ≡
𝒅𝒇 𝒅𝒚
≡
≡ 𝑫𝒙𝒀 ≡ 𝒚′
𝒅𝒙 𝒅𝒙
Segunda derivada
𝒅𝟐 𝒇 𝒅𝟐 𝒚
𝒇′′(𝒙) ≡ 𝑫 𝒙𝒇(𝒙) ≡ 𝟐 ≡ 𝟐 ≡ 𝑫𝟐 𝒙𝒀 ≡ 𝒚′ ′
𝒅 𝒙 𝒅 𝒙
𝟐
Tercera derivada
𝒇′′′(𝒙) ≡ 𝑫𝟑 𝒙𝒇(𝒙) ≡
𝒅𝟑 𝒇 𝒅𝟑 𝒚
≡
≡ 𝑫𝟑 𝒙𝒀 ≡ 𝒚′′ ′
𝒅𝟑 𝒙 𝒅𝟑 𝒙
Enésima derivada
𝒇
(𝒏)
𝒅𝒏 𝒇 𝒅𝒏 𝒚
(𝒙) ≡ 𝑫 𝒙𝒇(𝒙) ≡ 𝒏 ≡ 𝒏 ≡ 𝑫𝒏 𝒙𝒀 ≡ 𝒚𝒏
𝒅 𝒙 𝒅 𝒙
𝒏
En física, la aceleración 𝒂 se define por:
𝒂=
𝒗
𝒕
Es decir, la aceleración mide la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo; por tanto, la aceleración en
un instante dado es el valor de la derivada de la velocidad respecto al tiempo para este instante, es decir:
𝒂=
𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝒗=
𝒅𝒔
𝒅𝒕
Y como:
Entonces:
𝒅𝟐 𝒔
𝒂= 𝟐
𝒅 𝒕
Es decir, la aceleración es la derivada de la derivada del espacio respecto al tiempo o, más brevemente, es la
segunda derivada del espacio respecto al tiempo.
 Página 110
Ejemplo 1: Considere que una partícula se mueve sobre el eje 𝒙 de acuerdo con la ecuación:
s = 𝟐𝒕𝟐 − 𝟏𝟐𝒕 + 𝟖
Donde 𝒔, se mide en centímetros y 𝒕 en segundos. Luego:
𝒗=
𝒅𝒔
= 𝟒𝒕 − 𝟏𝟐
𝒅𝒕
Por lo tanto:
𝒂=
𝒅𝟐 𝒔
=𝟒
𝒅𝟐 𝒕
Esto significa que la velocidad aumenta a razón de 4 centímetros por segundo cada segundo.
Ejemplo 2: Calcula la derivada sucesiva de la función:
𝒇(𝒙) = 𝒆𝟓𝒙
Solución:
𝒇´(𝒙) =
𝒇′′(𝒙) = 𝟓
𝒇′′′(𝒙) = 𝟓𝟐
𝒅 𝟓𝒙
(𝒆 ) = (𝟓)𝒆𝟓𝒙 = 𝟓𝒆𝟓𝒙
𝒅𝒙
𝒅 𝟓𝒙
(𝒆 ) = (𝟓)(𝟓)𝒆𝟓𝒙 = 𝟓𝟐 𝒆𝟓𝒙
𝒅𝒙
𝒅 𝟓𝒙
(𝒆 ) = (𝟓𝟐 )(𝟓)𝒆𝟓𝒙 = 𝟓𝟑 𝒆𝟓𝒙
𝒅𝒙
De esta manera, podemos notar que hay un patrón, entonces vemos que:
𝒇𝒏 (𝒙) = 𝟓𝒏 𝒆𝟓𝒙
Nota:
A este último término se le conoce como termino general de las derivadas sucesivas de f(x).
 Página 111
CALDIF-B2-TAREA05
CG 4.1
CG 5.1
CG 8.1
CDBM 2
CDBM 3
Problemario 03: Calculo de Derivadas de Orden Superior
Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B2-LECTURA03 y a los ejemplos
desarrollados en la Tabla 2.4, obtenga la derivada de cada una de las siguientes
funciones.
1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟔 − 𝒙𝟐
6. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(1 + 2𝑥)
2. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 − 𝑥 2
7. 𝑓(𝑥) =
3. 𝑓(𝑥) = 5𝑒 2𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (10𝑥)
5. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
2
16
𝑥+4
8. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥
9. 𝑓(𝑥) = (1 − 3𝑥)−1
10. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
 Página 112
CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05 Problemario 03
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque: II
La Derivada
Fecha:
Grupo:
Nombres
Turno
Problemario 03 “Derivadas Sucesivas - Tercera Derivada”
Aprendizajes Esperados
▪
Contenidos Específico
Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de problemas
▪
reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana trabajando de forma
metódica y organizada.
Derivadas
superior.
de
orden
CUMPLE
CRITERIOS
%
Puntaje
SI
1. Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el
facilitador.
20%
2. Todas las funciones fueron derivadas de manera correcta.
20%
3. Realiza un procedimiento claro y ordenado en cada uno de los
problemas.
20%
4. Interpreta la solución a la que llega según lo que se solicita.
20%
5. Utiliza fórmulas de derivación de manera correcta.
20%
NO
Calificación
Logros obtenidos
Aspectos a mejorar
Nombre y Firma del Coevaluador
Firma del Facilitador
 Página 113
CALDIF-B3-LECTURA01
Máximos, Mínimos, Puntos de Inflexión de una función y Optimización
La optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda
de gráficos (Silva L. I., 2018).
(Barbosa & Darío, 2018) Mencionan que la optimización tiene que ver con situaciones del contexto real, y a través
de los criterios de la primera y segunda derivada, es posible optimizar recursos. Se puede decir que la
optimización es una de las aplicaciones de la derivada utilizada para llegar a una solución.
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
El criterio de la primera derivada permite
encontrar en qué intervalo la función crece o
decrece, y con respecto a estos cambios,
identificar dónde hay un máximo o un
mínimo. A veces este criterio no es muy
eficiente, pero es la primera aproximación
Procedimiento
1. Dada una función, se debe derivar la función para obtener
los valores críticos y posteriormente los puntos críticos,
donde muy probablemente habrá un máximo o un
mínimo.
¿Qué relación tiene este concepto con la derivada de una
función?
𝒇′ (𝒙𝒊 ) = 𝟎
para intentar construir la curva de una
función
2. Encontrar los puntos para cada valor crítico, es decir:
𝒇(𝒙𝒊 ) = 𝒚
3. Criterio de la primera derivada:
a. 𝒇′ (𝒙) cambia de positiva a negativa, o en otras
palabras de creciente a decreciente, hay un máximo
local en: (𝒙𝒊 , 𝒚)
b. 𝒇′ (𝒙) cambia de negativa a positiva, o en otras
palabras de decreciente a creciente, hay un mínimo
local en: (𝒙𝒊 , 𝒚)
c. 𝒇′(𝒙) no cambia de signo, no hay un mínimo local y
tampoco un máximo: (𝒙𝒊 , 𝒚)
 Página 114
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Procedimiento
El criterio de la segunda derivada permite 1. Punto de Inflexión: Un punto de inflexión corresponde al
identificar tres aspectos importantes sobre el
punto de la curva, donde hay un cambio de concavidad.
trazo de la gráfica.
Se obtienen:
𝒇′′ (𝒙𝒊 ) = 𝟎
1. Obtener el punto de inflexión, es decir,
donde la curva cambia de concavidad.
2. El intervalo donde la función es cóncava
hacia arriba o cóncava hacia abajo.
3. El punto donde la función tiene un
máximo o un mínimo.
Por tanto, un punto de inflexión: (𝒙𝒊 , 𝒚)
La derivada de la derivada se conoce como la segunda
derivada 𝒇′′ (𝒙)
2. Concavidad: Teorema:
a. Si 𝒇′′ (𝒙𝒊 ) > 𝟎, entonces para toda 𝒙, que
pertenece al intervalo (𝒂, 𝒃), 𝒇(𝒙) es cóncava hacia
arriba.
b. Si 𝒇′′ (𝒙𝒊 ) < 𝟎, entonces para toda 𝒙, que
pertenece al intervalo (𝒂, 𝒃), 𝒇(𝒙) es cóncava hacia
abajo.
3. Criterio de la segunda derivada.
Si 𝒙 es un valor crítico, entonces:
-
𝒇′′ (𝒙𝒊 ) > 𝟎, entonces (𝒙𝒊 , 𝒚) , hay un mínimo
local.
-
𝒇′′ (𝒙𝒊 ) < 𝟎, entonces (𝒙𝒊 , 𝒚) , hay un máximo
local.
A continuación, se presentan algunos ejemplos de aplicación de optimización, analiza el desarrollo de cada uno
de los procedimientos, estos te ayudarán a resolver problemas de aplicación del mismo tipo.
 Página 115
APLICACIONES DE OPTIMIZACIÓN
EJEMPLO 01. En las costas del Golfo de México el mayor productor de coco es
Tabasco, donde la familia Almeida lleva ya varios años siendo de los principales
productores, por esta misma razón recientemente han creado una empresa
dedicada a la elaboración y venta de refresco de coco. A la familia le interesa
maximizar sus utilidades y por lo tanto disminuir sus costos, entonces, para la
presentación de su producto quieren diseñar una lata que pueda contener 500 ml
utilizando la menor cantidad de metal para fabricarla. ¿Cuáles deben ser las
medidas de la lata para minimizar el material de su elaboración?
1. Establecer el Modelo Matemático, para saber cuánto material hay que usar se debe calcular el área total de
la lata.
a. Área de una tapa
𝑨𝟏 𝒕𝒂𝒑𝒂 = 𝝅𝒓𝟐
b. Área de las dos tapas
𝑨𝟐 𝒕𝒂𝒑𝒂𝒔 = 𝟐𝝅𝒓𝟐
c. Área del contorno
𝑨𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 = 𝟐𝝅𝒓𝒉
d. Área total
𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝟐𝝅𝒓𝒉
2. En la ecuación anterior, hay dos variables independientes, por ello resulta necesario dejar expresado todo
en términos de una sola variable, para ello deben analizar las condiciones del problema y ver si se puede
establecer otra expresión que posteriormente nos ayudará a dejar todo únicamente en términos de 𝐫.
a. Expresamos el volumen
𝑽 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉
𝟓𝟎𝟎 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉
b. De la expresión anterior despejamos la altura:
𝒉=
𝟓𝟎𝟎
𝝅𝒓𝟐
 Página 116
3. Se sustituye la última ecuación del Paso 2 en la última ecuación del Paso 1.
a. La sustitución quedaría como:
𝟓𝟎𝟎
)
𝝅𝒓𝟐
𝟓𝟎𝟎(𝟐)𝝅𝒓
𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 +
𝝅𝒓𝒓
𝟓𝟎𝟎(𝟐)
𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 +
𝒓
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 +
𝒓
𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝟐𝝅𝒓 (
b. La expresión anterior representada como una función que depende de 𝒓 sería:
𝑨(𝒓) = 𝟐𝝅𝒓𝟐 +
𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝒓
4. Para encontrar el punto crítico hay que derivar la función e igualar a cero.
Fórmulas a utilizar:
𝒅 𝟏
𝟏
( )=− 𝟐
𝒅𝒙 𝒙
𝒙
𝒅
𝒅
𝒄𝝊 = 𝒄
𝝊
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅 𝒏
𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝒅𝒙
a. Derivar:
𝒅𝑨
𝒅
𝒅 𝟏 𝟎𝟎𝟎
=
𝟐𝝅𝒓𝟐 +
𝒅𝒓
𝒅𝒓
𝒅𝒓 𝒓
𝟒𝝅𝒓 =
𝒅𝑨
𝒅 𝟐
𝒅 𝟏
= 𝟐𝝅
𝒓 + 𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝒅𝒓
𝒅𝒓
𝒅𝒓 𝒓
𝒅𝑨
(−𝟏)
= 𝟐𝝅 (𝟐)𝒓𝟐−𝟏 + 𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝒅𝒓
𝒓𝟐
𝒅𝑨
(−𝟏 𝟎𝟎𝟎)
= 𝟒𝝅𝒓𝟏 +
𝒅𝒓
𝒓𝟐
𝟒𝝅𝒓𝒓𝟐 = 𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝟒𝝅𝒓𝟑 = 𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝒓𝟑 =
𝟑
𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝟒𝝅
𝒓= √
𝒅𝑨
𝟏 𝟎𝟎𝟎
= 𝟒𝝅𝒓 −
𝒅𝒓
𝒓𝟐
𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝒓𝟐
𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝟒𝝅
𝒓 ≈ 𝟒. 𝟑𝟎
𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝟒𝝅𝒓 −
=𝟎
𝒓𝟐
 Página 117
5. Para saber si el resultado anterior es un máximo o un mínimo se emplea el criterio de la segunda derivada.
Primera Derivada
Segunda Derivada
𝒅𝑨
𝟏 𝟎𝟎𝟎
= 𝟒𝝅𝒓 −
𝒅𝒓
𝒓𝟐
𝒅𝑨
𝟏 𝟎𝟎𝟎
= 𝟒𝝅𝒓 −
𝒅𝒓
𝒓𝟐
La expresión anterior se evalúa con los valores de
𝒅𝟐 𝑨
𝒅
𝒅 𝟏 𝟎𝟎𝟎
=
𝟒𝝅𝒓
−
𝒅𝒓𝟐 𝒅𝒓
𝒅𝒓 𝒓𝟐
𝒓 = 𝟒 y 𝒓 = 𝟒. 𝟓
𝒇′ (𝒓) = 𝟒𝝅𝒓 −
𝒅𝟐 𝑨
𝒅
𝒅 −𝟐
= 𝟒𝝅
𝒓 − 𝟏 𝟎𝟎𝟎
𝒓
𝟐
𝒅𝒓
𝒅𝒓
𝒅𝒓
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒓𝟐
𝒅𝟐 𝑨
= 𝟒𝝅(𝟏) − 𝟏 𝟎𝟎𝟎(−𝟐)𝒓−𝟏
𝟐
𝒅𝒓
Con el primer valor de 𝒓 = 𝟒
𝒇′ (𝟒) = 𝟒𝝅(𝟒) −
𝒅𝟐 𝑨
𝟐 𝟎𝟎𝟎
= 𝟒𝝅 +
𝟐
𝒅𝒓
𝒓
𝟏𝟎𝟎𝟎
(𝟒)𝟐
La expresión anterior se evalúa con 𝒓 = 𝟒. 𝟑𝟎
𝒇′ (𝟒) ≈ −𝟏𝟐. 𝟐𝟑
𝟐 𝟎𝟎𝟎
𝒓
𝟐 𝟎𝟎𝟎
𝒇′′ (𝟒. 𝟑𝟎) = 𝟒𝝅 +
𝟒. 𝟑𝟎
𝒇′′ (𝟒. 𝟑𝟎) = 𝟒𝟕𝟕. 𝟔𝟖
𝒇′′ (𝒓) = 𝟒𝝅 +
Con el segundo valor de 𝒓 = 𝟒. 𝟓
𝒇′ (𝟒. 𝟓) = 𝟒𝝅(𝟒. 𝟓) −
𝟏𝟎𝟎𝟎
(𝟒. 𝟓)𝟐
𝒇′ (𝟑) ≈ +𝟕. 𝟏𝟔
Como pasamos de un – a + entonces comprobamos Como el resultado fue mayor que 𝟎 entonces
comprobamos que se trata de un mínimo.
que se trata de un mínimo.
6. Ahora solo falta calcular el valor de 𝒉, para ello utilizamos el despeje del Paso 2.
𝟓𝟎𝟎
𝝅𝒓𝟐
𝟓𝟎𝟎
𝒉=
𝝅(𝟒. 𝟑)𝟐
𝒉=
𝒉=
𝟓𝟎𝟎
𝝅(𝟒. 𝟑)𝟐
 Página 118
Por lo tanto, las medidas que permitirán obtener una lata a la que le quepan 500 ml utilizando la menor cantidad
de material para su elaboración son los siguientes:
𝒉=
𝟓𝟎𝟎
𝝅(𝟒. 𝟑)𝟐
𝒉 ≈ 𝟖. 𝟔 𝒄𝒎
EJEMPLO 2 Brenda quiere regalar galletas sin tapa, para la
realización de esas cajas desea utilizar unas hojas de papel opalina
que le sobraron a las cuales les recortará cuadrados en las esquinas
(como se muestra en la figura). Las medidas de cada hoja son: 21.5
x 28 cm. Brenda debe encontrar la medida óptima de los cuadrados
que va a recortar con la finalidad de obtener una caja cuyo
volumen sea máximo.
1. Establecer el modelo matemático
a. Para saber cuál es el volumen máximo, hay que establecer la fórmula
𝑽 = (𝒍)(𝒂)(𝒉)
𝑽 = (𝟐𝟖 − 𝟐𝒙)(𝟐𝟏. 𝟓 − 𝟐𝒙)(𝒙)
Se hace la multiplicación:
𝑽 = (𝟔𝟎𝟐 − 𝟓𝟔𝒙 − 𝟒𝟑𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 )(𝒙)
Se reduce la expresión anterior:
𝑽 = (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝟗𝒙 + 𝟔𝟎𝟐)(𝒙)
𝑽 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝟗𝒙 + 𝟔𝟎𝟐𝒙
b. La expresión anterior representada como una función que depende de 𝒙 sería:
𝑽(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝟐𝒙
 Página 119
2. Para encontrar el punto crítico hay que derivar la función e igualar cero.
Formulas a utilizar:
𝒅
𝒅
𝒄𝝊 = 𝒄
𝝊
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅 𝒏
𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝒅𝒙
𝒅
𝒙=𝟏
𝒅𝒙
𝒅
𝒄=𝟎
𝒅𝒙
a) Derivar
𝒅𝒗
𝒅
𝒅
𝒅
=
𝟒𝒙𝟑 −
𝟗𝟗𝒙𝟐 +
𝟔𝟎𝟐𝒙
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒗
= 𝟒(𝟑)𝒙𝟑−𝟏 − 𝟗𝟗(𝟐)𝒙𝟐−𝟏 + 𝟔𝟎𝟐
𝒅𝒙
𝒅𝒗
𝒅 𝟑
𝒅 𝟐
𝒅
=𝟒
𝒙 − 𝟗𝟗
𝒙 + 𝟔𝟎𝟐
𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒗
= 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐
𝒅𝒙
b) Igualar a cero
𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 = 𝟎
Con la formula general encontramos el valor de 𝒙:
𝒂 = 𝟏𝟐
𝒃 = −𝟏𝟗𝟖
𝒙𝟏,𝟐 =
𝒙𝟏,𝟐
𝒄 = 𝟔𝟎𝟐
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
−(−𝟏𝟗𝟖) ± √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐)
=
𝟐(𝟏𝟐)
𝒙𝟏,𝟐 =
𝒙𝟏 =
−(−𝟏𝟗𝟖) ± √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐)
𝟐(𝟏𝟐)
−(−𝟏𝟗𝟖) + √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐)
𝟐(𝟏𝟐)
𝒙𝟏 = 𝟏𝟐. 𝟒𝟖
−(−𝟏𝟗𝟖) − √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐)
𝒙𝟐 =
𝟐(𝟏𝟐)
𝒙𝟐 = 𝟒. 𝟎𝟏
Se descarta 𝟏𝟐. 𝟒𝟖 a porque no alcanza la hoja con el ancho.
El Punto Crítico es: 𝟒. 𝟎𝟏
 Página 120
3. Para saber si el resultado anterior es un máximo o un mínimo se emplea el criterio de la segunda derivada.
Primera Derivada
Segunda Derivada
𝒅𝒗
= 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐
𝒅𝒙
𝒅𝒗
= 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐
𝒅𝒙
La expresión anterior se evalúa con los valores de
𝒅𝟐 𝒗
𝒅
𝒅
𝒅
𝟐
=
𝟏𝟐𝒙
−
𝟏𝟗𝟖𝒙
+
𝟔𝟎𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒓 = 𝟒 y 𝒓 = 𝟒. 𝟓
𝒇′ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖(𝒙) + 𝟔𝟎𝟐
𝒅𝟐 𝒗
𝒅 𝟐
𝒅
𝒅
= 𝟏𝟐
𝒙 − 𝟏𝟗𝟖
𝒙 + 𝟔𝟎𝟐
𝟐
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝟐 𝒗
= 𝟏𝟐(𝟐)𝒙𝟐−𝟏 − 𝟏𝟗𝟖(𝟏) + 𝟎
𝟐
𝒅𝒙
Con el primer valor de 𝒙 = 𝟒
𝒇′ (𝒙) = 𝟏𝟐(𝟒)𝟐 − 𝟏𝟗𝟖(𝟒) + 𝟔𝟎𝟐
𝒇′ (𝟒 ) ≈ 𝟐
𝒅𝟐 𝒗
= 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟗𝟖
𝒅𝒙𝟐
La expresión anterior se evalúa con 𝒓 = 𝟒. 𝟎𝟏
𝒇′′ (𝒓) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟗𝟖
Con el segundo valor de 𝒙 = 𝟒. 𝟓
𝒇′ (𝒙) = 𝟏𝟐(𝟒. 𝟓)𝟐 − 𝟏𝟗𝟖(𝟒. 𝟓) + 𝟔𝟎𝟐
𝒇′ (𝟑) ≈ −𝟒𝟔
Como
pasamos
de
un
+
a −
𝒇′′ (𝟒. 𝟎𝟏) = 𝟐𝟒(𝟒. 𝟎𝟏) − 𝟏𝟗𝟖
𝒇′′ (𝟒. 𝟑𝟎) = −𝟏𝟎𝟏. 𝟕𝟔
Como el resultado fue menor que 𝟎 entonces
entonces comprobamos que se trata de un máximo.
comprobamos que se trata de un máximo.
4. Por lo tanto, ahora solo debemos evaluar con el punto crítico en la fórmula del volumen para saber cuál sería
el volumen máximo de la caja.
𝑽(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝟐𝒙
𝑽(𝟒. 𝟎𝟏) = 𝟒(𝟒. 𝟎𝟏)𝟑 − 𝟗𝟗(𝟒. 𝟎𝟏)𝟐 + 𝟔𝟎𝟐(𝟒. 𝟎𝟏)
𝑽(𝒙) = 𝟏𝟎𝟖𝟎. 𝟎𝟏 𝒄𝒎𝟑
 Página 121
CALDIF-B3-TAREA06
CG 4.1
CG 5.1
CG 7.3
CG 8.3
CDBM 1
CDBM 2
CDBM 3
CDBM 4
Problemario 04: Optimización
Instrucciones: Conformados en binas y en base a la lectura CALDIF-B3-LECTURA01 y
a los ejemplos desarrollados, resuelve los siguientes problemas contextualizados.
1. Lupita se dedica a hacer y vender tiras bordadas, en
consecuencia, tiene muchos bollos de hilos y otros utensilios
que necesita guardar, por tal motivo ella quiere hacer una caja
grande sin tapa donde quepa su material, para ello cuenta con
papel corrugado cuyas medidas son: 𝟔𝟎 𝒄𝒎 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎. Si la
elaboración de las cajas piensa recortar cuadrados en las
esquinas (Figura 1) ¿Cuáles deben para ser las medidas de los
cuadrados que recortará con la finalidad de obtener la caja de
Figura 1. Forma en la que se
recortarán los cuadrados
mayor volumen posible?
2. El abuelo de Iván tiene muchas hectáreas de terreno cerca del río Samaria que piensa repartir entre sus
nietos. A Iván le tocan 8 hectáreas y ya que es el único de los nietos que se encuentra actualmente en Tabasco
él será el primero en cercar su parte. El metro de alambre de púas cuesta $𝟐. 𝟗𝟎 e Iván quiere un cercado de
4 hilos (Figura 2) además, piensa no cercar la sección que colinda con el río ya que no cree que sea necesario
(considera que esta sección del río es recta, observa la Figura 3) Iván desea gastar lo mínimo posible en el
cercado. ¿Cuáles deberán ser las medidas para poder economizar en el alambre? ¿Cuánto sería lo mínimo
que Iván podría gastar con el alambrado de su terreno?
Figura 2. Cercado de cuatro
hilos
Figura 3. Zona que cercaría Iván
 Página 122
3. Dado que los clientes de la empresa “Qué salsa” compran grandes cantidades de su ya famosa salsa a base
de chile Tabasco, la empresa decidió lanzar una nueva presentación de 𝟒 litros. Para ello la empresa desea
utilizar cajas de base cuadrada (Figura 4) cuyo costo de producción es de 𝟔 centavos por 𝒅𝒎𝟐 . La empresa
desea invertir lo menos posible en la fabricación de las cajas ¿Cuáles serían las medidas de la caja para
minimizar los costos? ¿Cuál sería el costo mínimo?
Figura 4. Forma del empaque
4. Alberto tiene una placa de metal con la que desea construir un bebedero en forma de prisma trapezoidal
para sus animales. Para la elaboración del bebedero piensa doblarlos costados de la placa y colocar madera
en las bases (Figura 5) Si las medidas de la placa son: 1.22 𝑚 de ancho por 6.10 𝑚 de largo, y piensa doblar
0.30 𝑚 de cada lado ¿Cuánto debe medir el ángulo del doblez para obtener el volumen máximo del
bebedero?
Figura 5. Diseño del bebedero
 Página 123
CALDIF-B3-RUXX Rúbrica para evaluar la Tarea 06 Problemario 04
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Bloque III:
Aplicaciones de la Derivada
Fecha:
Situación Didáctica 2: De todo, lo mejor
Grupo
Nombres:
Turno
Aprendizajes Esperados
▪ Resuelve de forma creativa problemas de optimización, aplicando los criterios de máximos y mínimos que
le permitan la construcción de modelos que representen situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto.
Instrucciones: Lee los criterios de evaluación y marque con una (X) para resaltar el nivel del logro de aprendizaje,
anotando la puntuación otorgada para cada criterio, súmalos para obtener el puntaje final.
Indicadores
Criterios
Excelente
(3 pts)
Bueno
(2 pts)
Suficiente
(1 pts)
Insuficiente
(0 pts)
Entrega y
presentación
Entrega y presenta en
la fecha establecida la
solución de SD2 de
manera ordenada y
limpia.
Entrega días después
la solución de la SD2,
de manera ordenada
y limpia.
Entrega días después la
solución de la SD2,
descuida la limpieza de
la misma.
No
entrega
ni
presenta la solución
de la SD2.
Conocimientos
Asocia
distintas
variables para generar
modelos matemáticos
y así resolver de forma
reflexiva problemas
reales y/o hipotéticos
de su contexto.
Asocia
distintas
variables
para
generar
modelos
matemáticos,
sin
mostrar reflexividad
en su uso en
problemas reales y/o
hipotéticos de su
contexto.
Asocia
distintas
variables para generar
modelos matemáticos,
pero no resuelve de
forma
reflexiva
problemas reales y/o
hipotéticas
de
su
contexto.
No asocia distintas
variables
para
generar
modelos
matemáticos y así
resolver problemas
reales y/o hipotéticas
de su contexto.
Conocimientos
Expresa de manera
correcta la derivada.
Identifica
que
fórmulas de derivación
utilizar y las aplica sin
dificultad. Reconoce
qué unidades utilizar
para representar su
resultado.
Expresa de manera
correcta la derivada.
Identifica
que
fórmulas
de
derivación
utilizar,
pero
tiene
dificultades
para
aplicarlas. Reconoce
qué unidades utilizar
para representar su
resultado.
Expresa de manera
correcta la derivada.
Identifica que fórmulas
de derivación utilizar,
pero tiene dificultades
para aplicarlas. No
reconoce qué unidades
utilizar para representar
su resultado.
No
expresa
de
manera correcta la
derivada.
No
identifica
que
fórmulas
de
derivación utilizar. No
reconoce
qué
unidades utilizar para
representar
su
resultado.
 Página 124
Indicadores
Criterios
Excelente
(3 pts)
Bueno
(2 pts)
Suficiente
(1 pts)
Insuficiente
(0 pts)
Conocimientos
Reconoce los criterios
de la primera y
segunda
derivada,
sustituye y resuelve
correctamente con los
datos
correspondientes en la
resolución
de
problemas
de
optimización. Además,
sabe
identificar
cuándo se trata de un
máximo y cuándo de
un mínimo.
Reconoce los criterios
de la primera y
segunda
derivada,
sustituye y resuelve
correctamente con
los
datos
correspondientes en
la resolución de
problemas
de
optimización, pero no
sabe
identificar
cuándo se trata de un
máximo y cuándo de
un mínimo.
Reconoce los criterios
de la primera y segunda
derivada, sustituye y
resuelve
incorrectamente
los
datos correspondientes
en la resolución de
problemas
de
optimización, pero no
sabe identificar cuándo
se trata de un máximo y
cuándo de un mínimo.
No reconoce los
criterios de la primera
ni de la segunda
derivada en ejercicios
de optimización.
Comprensión y
desenvolvimiento.
Externa
un
pensamiento crítico y
reflexivo de manera
solidaria
Externa
un
pensamiento crítico y
reflexivo, pero no de
manera solidaria
Tiene ideas, pero no
muestra
un
pensamiento crítico y
reflexivo de manera
solidaria
No
externa
un
pensamiento crítico y
reflexivo de manera
solidaria
Trabajo en equipo
Se relaciona con sus
semejantes de forma
colaborativa
mostrando disposición
al trabajo metódico y
organizado
Se relaciona con sus
semejantes de forma
colaborativa pero no
muestra disposición
al trabajo metódico y
organizado
Trabaja de manera
individual,
pero
muestra disposición al
trabajo metódico y
organizado
No se relaciona con
sus semejantes de
forma colaborativa
Puntuación Final
(P.F)
Calificación Final
(P.F)(5.56)
Realimentación:
Logros
Aspectos a mejorar
Firma del Evaluador: ________________________________________
 Página 125
CALDIF-B3-LECTURA02
Velocidad, Aceleración y Rapidez de un Móvil
Interpreta la primera derivada de la posición como la velocidad y la segunda derivada de la posición como la
aceleración.
Existen fenómenos que se han estudiado a través de los siglos como es la velocidad (referida como el cambio de
posición en un periodo de tiempo) y la aceleración de un móvil o una partícula (cambio de velocidad con respecto
del tiempo), estos estudios aportaron al descubrimiento del cálculo diferencial.
En estas líneas estudiaremos el movimiento en una dirección o rectilíneo y entenderemos como el cambio de
posición en un intervalo de tiempo da lo que se conoce como la velocidad y considerar periodos cada vez más
cortos de tiempo, hasta el límite del incremento en el tiempo cercano a 0 dieron origen a la velocidad
instantánea, lo cual se aplicó también a la aceleración instantánea.
Una partícula en movimiento rectilíneo para cada instante 𝒕 la partícula ocupará cierta posición. Para conocer
esta posición debemos tener un sistema de referencia por lo que tomaremos un origen 𝑶 a lo largo de la recta
por la que se mueve dicha partícula. La posición estará dada por la distancia 𝒙 a la que se encuentre del origen
elegido previamente, se le asigna un signo dependiendo si la partícula se encuentra a la derecha o izquierda del
origen. Con esto la distancia 𝒙 define por completo la posición de la partícula a lo largo de la recta en la que se
mueve, cuando podemos determinar la posición de la partícula en cualquier instante 𝒕, podemos por lo tanto
conocer su movimiento.
Esto se puede representar como una función 𝒔(𝒕) que depende del tiempo, entonces podemos definir a la
velocidad promedio como el cambio de la posición en un intervalo de tiempo.
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =
𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏
𝒔(𝒕𝟐 ) − 𝒔(𝒕𝟏 )
=
𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒕𝟐 − 𝒕𝟏
Si consideramos 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 = ∆𝒕 obtenemos
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =
𝒔(𝒕 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝒕)
∆𝒕
Al aplicar el límite con ∆𝒕 → 𝟎 conseguimos la velocidad instantánea
𝒔(𝒕 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝒕)
∆𝒕→𝟎
∆𝒕
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕á𝒏𝒆𝒂 = 𝐥𝐢𝐦
 Página 126
Observamos que el límite de la razón de cambio es la definición de derivada obtenemos
𝒗=
𝒅𝒔
𝒅𝒕
En el caso del movimiento unidimensional la velocidad se representa mediante un número algebraico que puede
ser positivo o negativo, un valor positivo indica que la partícula se mueve en la dirección positiva y un signo
negativo en la dirección contraria. La magnitud de 𝑣 se le conoce como la rapidez (módulo de la velocidad) de la
partícula.
Si consideramos una velocidad 𝑣 en un tiempo 𝒕 y una velocidad 𝒗 + ∆𝒗 en un tiempo 𝒕 + ∆𝒕 la aceleración
promedio de la partícula es el cociente de los incrementos
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =
∆𝒗
∆𝒕
La aceleración instantánea de la partícula a en el instante 𝑡 se obtiene al escoger valores ∆𝑡 cada vez más
pequeños.
∆𝒗
∆𝒕→𝟎 ∆𝒕
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕á𝒏𝒆𝒂 = 𝒂 = 𝐥𝐢𝐦
El límite de la razón de cambio es la definición de la derivada, obtenemos
𝒂=
𝒅𝒗
𝒅𝒕
Y notamos que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto del tiempo
𝒅𝟐 𝒔
𝒂= 𝟐
𝒅𝒕
La aceleración se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor
positivo indica que la velocidad aumenta, esto puede significar que la partícula se está moviendo más rápido en
la dirección positiva o que se mueve más lentamente en la dirección negativa, en ambos casos ∆𝒗 es positiva.
Un valor negativo de 𝒂 indica que disminuye la velocidad, ya sea que se esté moviendo más lentamente en la
dirección positiva o que se esté moviendo más lentamente en la dirección negativa.
El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones para referirse a 𝑎 cuando la rapidez de la partícula
disminuye: la partícula se mueve entonces con mayor lentitud.
 Página 127
EJEMPLO:
1. La distancia en metros recorrida por un objeto desde un punto está dada por 𝒔(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟐.
a) ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto entre 𝒕 = 𝟐 y 𝒕 = 𝟒
b) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 𝒕 = 𝟑
SOLUCIÓN:
a) ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto entre 𝒕 = 𝟐 y 𝒕 = 𝟒?
𝒕=𝟎
𝒕=𝟐
𝒕=𝟐
𝒔 (𝟐 ) = 𝟔
=𝟎
𝒔 (𝟎 ) = 𝟎
=𝟎
𝒔(𝟒) = 𝟏𝟖
𝒔(𝟒) − 𝒔(𝟐) 𝟒𝟐 + 𝟐 − (𝟐𝟐 + 𝟐)
𝒎
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =
=
=𝟔
𝟒−𝟐
𝟐
𝒔
b) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 𝒕 = 𝟑?
𝒕=𝟑
𝒔(𝟑) = 𝟏𝟏
𝒔(𝒕 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝒕)
∆𝒕→𝟎
∆𝒕
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕á𝒏𝒆𝒂 = 𝐥𝐢𝐦
𝒔(𝟑 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝟑)
((𝟑 + ∆𝒕 )𝟐 + 𝟐) − (𝟑𝟐 + 𝟐)
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒕→𝟎
∆𝒕
∆𝒕
𝒗(𝟑) = 𝐥𝐢𝐦
𝟗 + 𝟔∆𝒕 + ∆𝒕𝟐 + 𝟐 − 𝟗 − 𝟐
𝟔∆𝒕 + ∆𝒕𝟐
𝒗(𝟑) = 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒕→𝟎
∆𝒕
∆𝒕
∆𝒕(𝟔 + ∆𝒕)
= 𝐥𝐢𝐦 (𝟔 + ∆𝒕)
∆𝒕→𝟎
∆𝒕→𝟎
∆𝒕
𝒎
𝒗(𝟑) = 𝟔
𝒔
𝒗(𝟑) = 𝐥𝐢𝐦
 Página 128
2. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 𝟔𝟎
𝒑𝒊𝒆𝒔
𝒔
, la altura que alcanza de acuerdo con la
función es 𝒔(𝒕) = 𝟔𝟎𝒕 − 𝟏𝟔𝒕𝟐 . Calcula la velocidad instantánea cuando 𝒕 = 𝟑 𝒔, ¿Cuál es la
interpretación del resultado obtenido?
La velocidad es la derivada del desplazamiento.
𝒔(𝒕) = 𝟔𝟎𝒕 − 𝟏𝟔𝒕𝟐
𝒗(𝒕) = 𝒔′(𝒕) = 𝟔𝟎 − 𝟑𝟐𝒕
Para 𝒕 = 𝟑
𝒗(𝟑) = 𝟔𝟎 − 𝟑𝟐(𝟑) = 𝟔𝟎 − 𝟗𝟔 = −𝟑𝟐
𝒑𝒊𝒆𝒔
𝒔
Como sabemos la velocidad con signo negativo en un movimiento unidireccional indica que estamos ante
un movimiento en el sentido negativo del marco de referencia, en este caso pasamos de un tiro vertical a
una caída libre. Observemos las gráficas de la posición y la velocidad.
Recordemos que por estas gráficas la pelota no hace ningún recorrido. Estas gráficas representan la posición
y la velocidad respectivamente. El punto máximo en la gráfica de la posición indica la altura máxima
alcanzada por la pelota y a partir de ese momento comienza su descenso, esto lo podemos confirmar con la
gráfica de la derivada que en el tiempo donde ocurre la altura máxima tenemos una velocidad igual a cero
indicando que ahora la velocidad irá en contra del movimiento original.
 Página 129
Debemos observar que la gráfica de la velocidad es una recta cuya pendiente es
igual al coeficiente de 𝑡, −32 el cual si recordamos es la aceleración producida
por la gravedad 𝑎 = −32
𝑝𝑖𝑒𝑠
,
𝑠2
con esto reafirmamos que la aceleración es
constante durante el movimiento de la pelota.
Material adicional para seguir aprendiendo:
 Página 130
CALDIF-B3-LECTURA03
Regla de L’Hôpital
Revisa la información contenida en las siguientes direcciones electrónicas, referente a la “Controversia – Regla
de L’Hôpital - Bernoulli”
➢ https://www.emis.de/journals/DM/v1/art7.pdf
➢ http://jamessimat.blogspot.com/2016/07/guillaume-francois-antoine-marquesde.html#:~:text=La%20Regla%20de%20L'Hopital%20%2D%20Bernoulli.,El%20marqu%C3%A9s%20de&text=En%20este%20libro%20cre%C3%B3%20la,ediciones%20durante
%20el%20siglo%20XVIII.
➢ https://www.redalyc.org/pdf/104/10412315.pdf
Iniciamos el estudio de esta regla tan apreciada en cálculo. Tomemos como base dos funciones continuas 𝒇 y
𝒈, tales que:
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝟎
𝒙→𝒂
𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = 𝟎
∴
𝒙→𝒂
𝒈′(𝒙) ≠ 𝟎
La Regla de L’Hôpiltal se define como:
𝒇(𝒙)
𝒇´(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)
𝒙→𝒂 𝒈´(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
A continuación, se presentan los casos de indeterminaciones en que son aplicables la Regla de L’Hôpital:
𝒇(𝒂) 𝟎
=
𝒈(𝒂) 𝟎
𝒇(𝒂) ∞
=
𝒈(𝒂) ∞
Nota: Recordemos que la Regla de L´Hôpital se aplica en 𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)
Ejemplos 1: Hallar 𝐥𝐢𝐦
𝐥𝐧 (𝒙−𝟏)
𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙−𝟐)
Veamos su grafica desde GeoGebra
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟐, quedando:
𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏)
𝐥𝐧 (𝟐 − 𝟏)
𝐥𝐧 (𝟏)
𝟎
=
=
=
𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐)
𝑻𝒂𝒏(𝟐 − 𝟐) 𝑻𝒂𝒏(𝟎) 𝟎
𝐥𝐢𝐦
Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏) y 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐))
𝟏
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏), entonces𝒇′ (𝒙) = 𝒙−𝟏,
𝒈(𝒙) = 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐), entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙 − 𝟐)
Por tanto:
𝟏
𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏)
𝒙
−
𝟏
𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐)
𝒙→𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙 − 𝟐)
𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏)
𝟏
= 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦
=𝟏
𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐)
𝒙→𝟐
𝒙→𝟐 (𝒙 − 𝟏)(𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙 − 𝟐)
𝐥𝐢𝐦
Solución:
𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏)
=𝟏
𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐)
𝐥𝐢𝐦
EJEMPLO 2: Hallar 𝐥𝐢𝐦
𝒙−𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒙𝟐
𝒙→𝟎
Veamos su grafica desde GeoGebra
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝑥 = 0, quedando:
𝟎 − 𝒔𝒆𝒏(𝟎) 𝟎 − 𝟎 𝟎
=
=
𝒙→𝟐
(𝟎)𝟐
𝟎
𝟎
𝒍𝒊𝒎
Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) y 𝒙𝟐 )
𝒇(𝒙) = 𝐱 − 𝐬𝐞𝐧(𝐱), entonces, 𝒇′ (𝒙) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙)
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝟐𝒙
Por tanto:
𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 𝟏 − 𝟏 𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
=
=
𝟐
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙
𝟐𝒙
𝟐(𝟎) 𝟎
𝐥𝐢𝐦
Paso 3: Como sigue la indeterminación se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital:
𝒇′ (𝒙) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙) entonces, 𝒇′′ (𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒈′ (𝒙) = 𝟐𝒙 entonces, 𝒈′′ (𝒙) = 𝟐
Por tanto:
𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝟎) 𝟎
=
𝐥𝐢𝐦
=
𝐥𝐢𝐦
=
= =𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙𝟐
𝟐𝒙
𝟐
𝟐
𝟐
𝐥𝐢𝐦
Solución:
𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
=𝟎
𝒙→𝟎
𝒙𝟐
𝐥𝐢𝐦
EJEMPLO 3: Hallar 𝒍𝒊𝒎
𝟏−𝒄𝒐𝒔 (𝒙𝟐 −𝟒)
𝒙→𝟐
𝒍𝒏𝟐 (𝒙−𝟏)
Veamos la gráfica en GeoGebra
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟐, quedando:
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬((𝟐𝟐 − 𝟒)
𝟏−𝟏
𝟎
𝐥𝐢𝐦
=
=
𝒙→𝟐
(𝒍𝒏(𝟐 − 𝟏))𝟐
(𝐥𝐧(𝟏))𝟐 𝟎
Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 1−𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒) y 𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏))
𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐 − 𝟒), entonces, 𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟒)
𝒈(𝒙) = (𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏))𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) =
𝟐𝐥𝐧 (𝒙−𝟏)
𝒙−𝟏
Por tanto:
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒)
𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) (𝟐)(𝟐 − 𝟏)(𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟐 − 𝟒)
=
𝒍𝒊𝒎
=
𝒙→𝟐
𝒙→𝟐
𝟐 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏)
𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏)
𝒍𝒏 (𝟐 − 𝟏)
𝒙−𝟏
𝒍𝒊𝒎
=
(𝟐)(𝟐 − 𝟏)(𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟐 − 𝟒) 𝟎
=
𝒍𝒏 (𝟐 − 𝟏)
𝟎
Paso 3: Como sigue la indeterminación se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital:
𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒙𝐬𝐞𝐧(𝒙𝟐 − 𝟒) entonces, 𝒇′′ (𝒙) = 𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝟒𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝒙𝟐 − 𝟒)
𝒈′ (𝒙) =
𝟐𝐥𝐧 (𝒙−𝟏)
𝟐−𝟐𝐥𝐧 (𝒙−𝟏)
𝒙−𝟏
(𝒙−𝟏)𝟐
, entonces, 𝒈′′ (𝒙) =
Por tanto:
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒)
𝒙→𝟐
𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏)
𝒍𝒊𝒎
(𝒙)(𝒙 − 𝟏)𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒍𝒏 (𝒙 − 𝟏)
𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝟒𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒙𝟐 − 𝟒)
= 𝒍𝒊𝒎
𝟐 − 𝟐𝒍𝒏 (𝒙 − 𝟏)
𝒙→𝟐
(𝒙 − 𝟏)𝟐
(𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝟒𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒))(𝒙 − 𝟏)𝟐
𝒙→𝟐
𝟐 − 𝟐𝒍𝒏 (𝒙 − 𝟏)
= 𝒍𝒊𝒎
=
(𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟐 − 𝟒) + 𝟒(𝟐𝟐 )(𝒄𝒐𝒔(𝟐𝟐 − 𝟒))(𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝟎 + 𝟏𝟔)(𝟏)
=
𝟐 − 𝟐𝒍𝒏 (𝟐 − 𝟏)
𝟐−𝟎
=
𝟏𝟔
=𝟖
𝟐
Solución:
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙𝟐 − 𝟒)
𝐥𝐢𝐦
=𝟖
𝒙→𝟐
𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏)
EJEMPLO: Hallar 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙)−𝟏
𝟑𝒙𝟐
Veamos la gráfica en GeoGebra
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟎, quedando:
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝟎) − 𝟏 𝟎
=
𝒙→𝟐
𝟑(𝟎)𝟐
𝟎
𝐥𝐢𝐦
Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏 y 3𝑥 2 )
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙), entonces, 𝒇′ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝐱)𝐜𝐨𝐬 (𝒙)
Por Identidad: 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒇′ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝐱)𝐜𝐨𝐬 (𝒙) entonces, 𝒇′ (𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝟔𝒙
Por tanto:
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏
−𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝐱)
−𝒔𝒆𝒏(𝟐(𝟎))) 𝟎
𝐥𝐢𝐦
=
𝐥𝐢𝐦
=
𝐥𝐢𝐦
=
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝟑𝒙𝟐
𝟔𝒙
𝟔(𝟎)
𝟎
Paso 3: Como sigue la indeterminación se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital
𝒇′ (𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) , entonces, 𝒇′′ (𝒙) = −𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒙)
𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝟔𝒙
Por tanto,
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏
−𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝐱)
−𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒙) −𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟐(𝟎)) −𝟐
𝟏
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
=
=
=−
𝟐
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝟑𝒙
𝟔𝒙
𝟔
𝟔
𝟔
𝟑
𝐥𝐢𝐦
Solución:
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏
𝟏
=−
𝟐
𝒙→𝟎
𝟑𝒙
𝟑
𝐥𝐢𝐦
Ahora veremos las siguientes indeterminaciones en potencia, que vienen de la forma [𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) , como son
𝟏∞ , 𝟎𝟎 , ∞𝟎 .
Tomemos en cuenta que [𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝒆𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙) (el profesor demostrará esto aplicando propiedades de
los logaritmos)
Por lo que:
𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙) 𝑳
𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒆𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙→𝒂
𝒙→𝒂
𝒙→𝒂
Donde:
𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
𝒆
𝟏
Ejemplos: Hallar 𝒍𝒊𝒎[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)]𝒙
𝒙→𝟎
Veamos su gráfica en GeoGebra
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟎, quedando:
𝟏
𝟏
𝐥𝐢𝐦[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]𝒙 = [𝐜𝐨𝐬(𝟑(𝟎))]𝟎 = 𝟏∞
𝒙→𝟎
Paso 2: Aplicar propiedad:
𝟏
𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]
𝐥𝐢𝐦[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]𝒙 = 𝒆𝒙→𝟎𝒙
𝒙→𝟎
Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = 𝟎:
𝟏
𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)] 𝐥𝐧 [𝒄𝒐𝒔𝟑(𝟎)] 𝟎
𝐥𝐢𝐦 𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦
=
= [𝒊𝒏𝒅𝒆𝒓𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐]
𝒙→𝟎 𝒙
𝒙→𝟎
𝒙
𝟎
𝟎
Paso 4: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital:
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙), por lo que, 𝒇’(𝒙) = −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
𝒈(𝒙) = 𝒙, por lo que, 𝒈′ (𝒙) = 𝟏
Entonces:
𝟏
𝒍𝒏[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)]
𝒍𝒊𝒎 𝒍𝒏[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎 𝒙
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙
−𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
−𝟑𝒕𝒂𝒏 (𝟑𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
= 𝒍𝒊𝒎
= −𝟑 𝒕𝒂𝒏(𝟑(𝟎)) = 𝟎
𝒙→𝟎
𝟏
𝟏
Por tanto:
𝟏
𝟏
𝐥𝐢𝐦 𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]
𝐥𝐢𝐦[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]𝒙 = 𝒆𝒙→𝟎𝒙
𝒙→𝟎
Solución:
𝟏
𝒍𝒊𝒎[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)]𝒙 = 𝟏
𝒙→𝟎
= 𝒆𝟎 = 𝟏
EJEMPLO: Halla𝒍𝒊𝒎
[𝒕𝒂𝒏(𝒙)]𝒄𝒐𝒔 (𝒙)r
𝝅
𝒙→
𝟐
Veamos su gráfica en GeoGebra
𝝅
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = , quedando:
𝟐
𝝅 𝒄𝒐𝒔 (𝝅)
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
𝟐 = ∞𝟎
𝒍𝒊𝒎
[𝒕𝒂𝒏(𝒙)]
=
[𝒕𝒂𝒏
(
)]
𝝅
𝟐
𝒙→
𝟐
Paso 2: Aplicar propiedad:
𝒍𝒊𝒎
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏(𝒙)]
𝝅
𝒍𝒊𝒎
[𝒕𝒂𝒏(𝒙)]𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝒆𝒙→𝟐
𝝅
𝒙→
𝟐
𝝅
Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = :
𝟐
𝝅
𝒍𝒏 [𝒕𝒂𝒏(𝒙)] 𝒍𝒏 [𝒕𝒂𝒏 (𝟐)] ∞
[𝒄𝒐𝒔(𝒙)]𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏 (𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎
(𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐)
𝒍𝒊𝒎
=
=
𝝅
𝝅
𝝅
𝒔𝒆𝒄 (𝒙)
∞
𝒙→
𝒙→
𝒔𝒆𝒄
(
)
𝟐
𝟐
𝟐
Paso 4: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital
𝟏
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 [𝒕𝒂𝒏 𝒙)], por lo que, 𝒇′ (𝒙) = (𝒕𝒂𝒏(𝒙)) (𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙)) =
𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 (𝒙), por lo que, 𝒈′ (𝒙) = [𝒔𝒆𝒄(𝒙)][ 𝒕𝒂𝒏 (𝒙)]
𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙)
𝒕𝒂𝒏 (𝒙)
Entonces:
𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙)
𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏 (𝒙)]
𝒕𝒂𝒏(𝒙)
[𝒄𝒐𝒔
𝒍𝒊𝒎
(𝒙)]𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏
(𝒙)]
=
𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎
𝝅
𝝅
𝝅
[𝒔𝒆𝒄
𝒔𝒆𝒄 (𝒙)
(𝒙)][𝒕𝒂𝒏 (𝒙)]
𝒙→
𝒙→
𝒙→
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝝅
𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐 )
𝒔𝒆𝒄 (𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
= 𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎
=
𝟐 = 𝒍𝒊𝒎
𝟐
𝟐
𝝅
𝝅
𝝅
𝝅
𝒙→ 𝒕𝒂𝒏 (𝒙)
𝒙→
𝒙→ 𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
𝒔𝒆𝒏𝟐 ( 𝟐 )
𝟐
𝟐 (𝒔𝒆𝒏 (𝒙))
𝟐
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
=
𝟎
=𝟎
𝟏
Por tanto:
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
𝒍𝒊𝒎
[𝒕𝒂𝒏(𝒙)]
𝝅
𝒙→
=𝒆
𝒍𝒊𝒎
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏(𝒙)]
𝝅
𝒙→
𝟐
𝟐
Solución:
𝒍𝒊𝒎
[𝒕𝒂𝒏(𝒙)]𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝟏
𝝅
𝒙→
𝟐
= 𝒆𝟎 = 𝟏
EJEMPLO: Hallar 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙)
𝒙→𝟎
Veamos su gráfica en GeoGebra
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟎, quedando:
𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = (𝟎)𝒕𝒂𝒏 (𝟎) = 𝟎𝟎
𝒙→𝟎
Paso 2: Aplicar propiedad
𝒍𝒊𝒎 𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝒍𝒏 (𝒙)
𝒍𝒊𝒎[𝒙]𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝒆𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = 𝟎
𝒍𝒏 [𝒙]
𝒍𝒏 [𝟎]
−∞
=
=
(𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐)
𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙))
𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏 (𝟎)
∞
𝒍𝒊𝒎[𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒍𝒏(𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
Paso 3a: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital
𝟏
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 (𝒙), por lo que, 𝒇′ (𝒙) = (𝐱 )
𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭𝐚𝐧 (𝒙), por lo que, 𝒈′ (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙)
Entonces:
𝟏
𝒍𝒏 [𝒙]
𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙)
𝒙
𝒍𝒊𝒎[𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒍𝒏(𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎
=
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙))
𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙)
𝒙→𝟎
𝒙
=
𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟎) 𝟎
=
𝟎
𝟎
Paso 4: Como hay otra indeterminación, se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙), por lo que, 𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒈(𝒙) = 𝒙, por lo que, 𝒈′ (𝒙) = 𝟏
Entonces:
𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙)
𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎
= 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟎) 𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟎
𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
𝒙
𝟏
Por tanto:
𝒍𝒊𝒎 𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝒍𝒏 (𝒙)
𝒍𝒊𝒎[𝒙]𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝒆𝒙→𝟎
𝒙→𝟎
= 𝒆𝟎 = 𝟏
Solución:
𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝟏
𝒙→𝟎
𝒙
𝟏
EJEMPLO: Hallar 𝐥𝐢𝐦( )𝒙−𝟑
𝒙→𝟑 𝟑
Vamos a ver su grafica en GeoGebra
Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟑, quedando:
𝟏
𝟏
𝒙 𝒙−𝟑
𝟑 𝟑−𝟑
𝒍𝒊𝒎 ( )
=( )
= 𝟏∞
𝒙→𝟑 𝟑
𝟑
Paso 2: Aplicar propiedad:
𝒙
𝟏
𝒍𝒏 (𝟑)
𝒙 𝒙−𝟑
𝒍𝒊𝒎 ( )
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟑 𝟑
𝒆𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟑
Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = 𝟑
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟑
𝒙
𝒍𝒏 (𝟑)
𝒙−𝟑
=
𝐥 𝐧(𝟏) 𝟎
= (𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐)
𝟑−𝟑 𝟎
Paso 3a: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital
𝒙
𝟏
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 (𝟑) por lo que 𝒇′ (𝒙) = (𝒙)
𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟑 por lo que 𝒈′ (𝒙) = 𝟏
Entonces,
𝒙
𝒍𝒏 (𝟑)
𝟏
𝟏 𝟏
𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 =
𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟑
𝒙→𝟑 𝟏
𝒙→𝟑 𝒙
𝟑
Por lo tanto:
𝒙
𝒍𝒏 ( )
𝟏
𝟑
𝒙 𝟏
𝒍𝒊𝒎
𝒙.−𝟑
𝒙→𝟑
𝒍𝒊𝒎( )
= 𝒆 𝒙−𝟑 = 𝒆𝟑
𝒙→𝟑 𝟑
Solución:
𝟏
𝟑
𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝒆𝟑 = √𝒆
𝒙→𝟎
Hallar la derivada de los siguientes cocientes:
1. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
=𝟏
2. 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒙 = 𝟏
𝒙→𝟎
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
4. 𝒍𝒊𝒎
𝟏−𝒄𝒐𝒙
𝒙𝟐
𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙)
𝒙→𝟎 𝒍𝒏(𝒕𝒈𝒙)
5. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏
=𝟐
𝒆𝒙 −𝒆−𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
=𝟏
=𝟐
BIBLIOGRAFIA
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COBACHBC (2020). Calculo diferencial. México. Colegio de Bachilleres de Baja California.
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Collins, J. Cálculo. Academia de estudios avanzados. Ed. Alec, 1ra edición. 2012.
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Courant, R.- John, F. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Ed. Limusa- Wiley, México, 1971.
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David M. Burton, The History of Mathematics; An Introduction, McGrawHill, New York, 1991.
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Granville, W. A. Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Limusa. 11va edición. 2011.
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Katz, V. (2009). A history of mathematics: An introduction. New York: Addison-Wesley.
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Kline, M. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Addison-Wesley, 1998.