CÁLCULO DIFERENCIAL GUÍA DIDÁCTICA QUINTO SEMESTRE DATOS DEL ALUMNO Nombre: __________________________________________________ Plantel: ___________________________________________________ 5to Semestre Grupo: ______ Turno: _________________ CÁLCULO DIFERENCIAL No olvides los días de las clases de Matemáticas Coloca en la tabla los días que tengas clases de Cálculo Diferencial y en qué clase del día CLASES EN EL DÍA 1ª Clase 2ª Clase 3ª Clase 4ª Clase 5ª Clase 6ª Clase 7ª Clase LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCO MTRO. ERASMO MARTÍNEZ RODRÍGUEZ Director General C.P. SONIA LÓPEZ IZQUIERDO Directora Académica MTRA. GISELLE OLIVARES MORALES Subdirectora de Planeación Académica MTRA. ALEJANDRINA LASTRA COLORADO Jefe de Departamento de Programas de Estudio LIC. GUADALUPE SOBERANES RAMÓN Jefe de Materia ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL Edición: JUNIO 2021 En la realización del presente material, participaron: Asesor Académico Mtro. Juan Manuel Montero Hernández Plantel 01 Asesor Situación y Guía Didáctica Mtra. Rosa Isela Cabello Barrosa Plantel 07 Mtro. Carlos Alberto García Vivas Plantel 25 Docentes Participantes Mtra. Sonia Iris Castillo Hernández Plantel 06 Mtro. David Mendoza Hernández Plantel 07 Mtra. Irma Graciella del Prado Piña Plantel 28 Mtro. Jesus Enrique Garcés Rodríguez Plantel 28 Mtro. Carlos Ernesto Hidalgo López Plantel 28 Mtro. Carlos Zapata Valencia Plantel 28 Mtro. Román Antonio Chablé Olán Plantel 30 Mtra. Adriana Reyes Ramos Plantel 42 Revisor: Jefe de Materia: Lic. Guadalupe Soberanes Ramón Este material fue elaborado bajo la coordinación y supervisión del Departamento de Programas de Estudio de la Dirección Académica del Colegio de Bachilleres de Tabasco, concluyendo en el mes de Junio del año 2021. © Derechos en proceso de registro. Queda prohibida la reproducción total o parcial de este material por cualquier medio electrónico o mecánico, para fines ajenos a los establecido por el COBATAB. Para uso de la Comunidad del Colegio de Colegio de Bachilleres de Tabasco (COBATAB) www.cobatab.edu.mx CONTENIDO PRESENTACIÓN .........................................................................................................................................................1 COMPETENCIAS GENÉRICAS .....................................................................................................................................3 COMPETENCIAS DISCIPLINARIAS EXTENDIDAS ........................................................................................................7 ENFOQUE DE LA ASIGNATURA .................................................................................................................................8 UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA ...............................................................................................................................9 RELACIÓN DE LOS CONTENIDOS CON LOS APRENDIZAJES CLAVES ....................................................................... 10 EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS ....................................................................................................................... 11 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN ......................................................................................................................... 13 BLOQUES DE APRENDIZAJES.................................................................................................................................. 15 BLOQUE I Límites ................................................................................................................................................... 17 BLOQUE II. La Derivada.......................................................................................................................................... 17 CALDIF-B1_B2-SD01 Situación Didáctica No. 1 ................................................................................................. 19 CALDIF-B1_B2-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 1 ................................................................ 20 CALDIF-B1_B2-ED01 Evaluación diagnóstica BI “Límites” BII “La derivada” ..................................................... 22 CALDIF-B1-FC01 ................................................................................................................................................. 23 LECCIÓN 10. EVALUAR Y ELEGIR ........................................................................................................................ 23 CALDIF-B1-LECTURA01 ...................................................................................................................................... 25 Antecedentes y Aplicaciones de la Derivada ..................................................................................................... 25 Aportaciones Significativas al Cálculo ............................................................................................................... 26 CALDIF-B1-TAREA01 .......................................................................................................................................... 28 Cuestionario “¿Qué es el cálculo?” ................................................................................................................... 28 CALDIF-B1-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 01 Cuestionario .................................................... 29 CALDIF-B1-LECTURA02 ...................................................................................................................................... 30 Concepto e Interpretación de Límite ................................................................................................................ 30 CALDIF-B1-AF01 ................................................................................................................................................. 41 CALDIF-B1-LECTURA02 ...................................................................................................................................... 42 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES .......................................................................................................................... 42 CALDIF-B1-LECTURA03 ...................................................................................................................................... 49 Límites de Funciones Trascendentes ................................................................................................................. 49 CALDIF-B1-AF02 ................................................................................................................................................. 52 CALDIF-B1-TAREA02 .......................................................................................................................................... 53 Problemario 01: Límites de funciones algebraicas y trascendentes ................................................................. 53 CALDIF-B1-GO02 Guía de observación para evaluar Tarea 02 Problemario 01 ................................................ 54 CALDIF-B2-LECTURA01 ...................................................................................................................................... 55 Derivada por Definición de Funciones Polinómicas .......................................................................................... 55 CALDIF-B2-LECTURA02 ...................................................................................................................................... 73 Derivada de Funciones Algebraicas ................................................................................................................... 73 CALDIF-B2-AF01 ................................................................................................................................................. 86 CALDIF-B2-TAREA03 .......................................................................................................................................... 87 Reporte: Carrera 100 m planos ......................................................................................................................... 87 CALDIF-B2-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 03 Reporte ............................................................ 88 CALDIF-B1_B2-PP01........................................................................................................................................... 89 MAT4-B1_B2-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados ...................................... 91 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................................ 93 BLOQUE II La Derivada........................................................................................................................................... 95 BLOQUE III. Aplicaciones de la Derivada ............................................................................................................... 95 CALDIF-B2_B3-SD02 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 2 ........................................................................................... 97 CALDIF-B2_B3-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 2 ................................................................ 98 CALDIF-B2_B3-ED02 Evaluación diagnóstica BII “La Derivada” - BII "Aplicaciones de la Derivada” ............... 100 CALDIF-B2-LECTURA02 .................................................................................................................................... 102 DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES................................................................................................. 102 CALDIF-B2-TAREA04 ........................................................................................................................................ 107 Problemario 02: Calculo de Derivadas Trascendente ..................................................................................... 107 CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04 Problemario 02 ........................................................ 108 CALDIF-B2-LECTURA03 .................................................................................................................................... 109 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR ................................................................................................................... 109 CALDIF-B2-TAREA05 ........................................................................................................................................ 112 Problemario 03: Calculo de Derivadas de Orden Superior.............................................................................. 112 CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05 Problemario 03 ........................................................ 113 CALDIF-B3-LECTURA01 .................................................................................................................................... 114 Máximos, Mínimos, Puntos de Inflexión de una función y Optimización ....................................................... 114 CALDIF-B3-TAREA06 ........................................................................................................................................ 122 Problemario 04: Optimización ......................................................................................................................... 122 CALDIF-B3-RUXX Rúbrica para evaluar la Tarea 06 Problemario 04 ............................................................... 124 CALDIF-B3-LECTURA02 .................................................................................................................................... 126 Velocidad, Aceleración y Rapidez de un Móvil ................................................................................................ 126 CALDIF-B3-LECTURA03 .................................................................................................................................... 131 Regla de L’Hôpital ............................................................................................................................................ 131 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................................... 145 PRESENTACIÓN En la búsqueda de estrategias para el fortalecimiento del desarrollo de competencias tanto en la enseñanza del docente como en aprendizaje de los estudiantes y con la finalidad de homogenizar el lenguaje académico en el desarrollo de las planeaciones didácticas de las diversas asignaturas que conforman el quinto semestre de la EMS regidas por la DGB. La Dirección General del Colegio de Bachilleres de Tabasco, a través de la participación de docentes del área de matemáticas adscritos a diferentes planteles, se ha dado a la tarea de aprovechar la potencialidad en la experiencia de la enseñanza de las matemáticas tanto en al aula, como en actividades extramuros y ha desarrollado esta guía para el estudiante que facilite a la vez el trabajo docente de CÁLCULO DIFERENCIAL. En ella se señalan los aspectos curriculares propios de la asignatura mostrando la distribución de los diferentes bloques que la conforman, relacionados con los aprendizajes claves, así como las competencias genéricas y disciplinares básicas a desarrollar. De acuerdo con el propósito de cada uno de ellos y a los aprendizajes esperados se muestra por cada bloque(s) una con la situación didáctica (SD) como problemática a resolver una vez abordados los contenidos específicos establecidos en los contenidos conceptuales. Para el desarrollo de esta asignatura se han establecido 2 Situaciones Didácticas (SD) seguidas de su instrumento de evaluación, con indicadores alineados a sus contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales que abonan al logro de los aprendizajes esperados al concluir el o los bloques que engloba dicha situación didáctica. En la enseñanza bajo el enfoque por competencias se busca que los estudiantes adquieran aprendizajes que sean profundos, situados, significativos y socioemocionales, mismos que deben reflejarse en la solución de la problemática establecida en el conflicto cognitivo de la SD, por ello esta guía se proponen también 06 tareas como parte de los insumos para la elaboración del producto que materialice los resultados del logro de los aprendizajes esperados en las 2 SD, que se plantean en la planeación didáctica estatal. Dichas tareas también están acompañadas con su respectivo instrumento de evaluación. Es importante mencionar que las tareas establecidas para cada bloque deben ser agotadas para dar paso a la presentación, socialización y evaluación del producto que a través de la estrategia nombrada da solución a cada situación didáctica. En la planeación didáctica estatal se proponen los tipos de evaluaciones en las diversas tareas y situaciones didácticas, pero el docente tiene la libertad de elegir entre autoevaluar, coevaluar y heteroevaluar de acuerdo Página 1 con los momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje y del contexto de su grupo(s), lo importante es ejercer la práctica de evaluar; pues fortalece el proceso socio formativo en el aprendizaje de los estudiantes. Al final de cada sección que abarca cada bloque y sus respectivas situaciones didácticas y tareas se incluye un mapa de aprendizaje, esto para realizar una autoevaluación que permite a cada estudiante y al docente mismo conocer el nivel de logro en los aprendizajes establecidos para así diseñar un plan de mejora de las actividades de enseñanza-aprendizaje. Para fortalecer el desarrollo del aprendizaje socioemocional se integra la lección CONSTRUYE-T a desarrollar, diferente a la que se aplica en las otras asignaturas del cuarto semestre. Por último, no puede omitirse señalar que para facilitar el desarrollo de estrategias de trabajo en algunos contenidos en el aula y fuera de ella, se insertan códigos QR e imágenes con sus respectivo enlace o dirección electrónica, dándole la versatilidad que se requiere para la aplicación de aula invertida y el aprendizaje autónomo. Este trabajo está alineado a la Planeación Didáctica de Cálculo Diferencial, en la que de acuerdo con las habilidades de cada docente puede aplicarse en modos de educación virtual y/o presencial. Esperamos fortalezca y facilite el desarrollo de su tarea educativa en esta asignatura ATENTAMENTE Docentes Participantes Página 2 COMPETENCIAS GENÉRICAS SE AUTODETERMINA Y CUIDA DE SÍ 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue CG. 1.1. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. CG. 1.2. Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase. CG. 1.3. Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida. CG. 1.4. Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. CG. 1.5. Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones. CG. 1.6. Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros CG 2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. CG 2.2 Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad. CG 2.3 Participa en prácticas relacionadas con el arte. 3. Elije y practica estilos de vida saludables CG 3.1 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social. CG 3.2 Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo. CG 3.3 Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean. Página 3 SE EXPRESA Y COMUNICA 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. CG 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. CG 4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. CG 4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas. CG 4.4 Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas. CG 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos CG 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. CG 5.2 Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones. CG 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. CG 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. CG 5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. CG 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva CG 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. CG 6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. CG 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. CG 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. Página 4 APRENDE DE FORMA AUTÓNOMA 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida CG 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. CG 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. CG 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. TRABAJA EN FORMA COLABORATIVA 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos CG 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. PARTICIPA CON RESPONSABILIDAD EN LA SOCIEDAD 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo CG 9.1 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. CG 9.2 Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad. CG 9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos. CG 9.4 Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad. CG 9.5 Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado. CG 9.6 Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente. Página 5 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales CG 10.1 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación. CG 10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio. CG 10.3 Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables CG 11.1 Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional. CG 11.2 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente. CG 11.3 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente. Página 6 COMPETENCIAS DISCIPLINARIAS EXTENDIDAS CLAVE MATEMÁTICAS Las competencias disciplinares extendidas para este campo del conocimiento corresponde a las competencias disciplinares básicas previstas en el artículo 7 del Acuerdo 444, y son las siguientes CDBM 1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDBM 2 Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. CDBM 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CDBM 4 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDBM 5 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDBM 6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. CDBM 7 Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. CDBM 8 Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con matemáticos y científicos. Símbolos Página 7 ENFOQUE DE LA ASIGNATURA El campo disciplinar de matemáticas tiene como eje desarrollar el pensamiento lógico matemático para interpretar situaciones reales o hipotéticas, que permitan al estudiantado proponer alternativas de solución desde diversos enfoques, priorizando las habilidades del pensamiento tales como la búsqueda de patrones o principios que subyacen a fenómenos, la generación de diversas alternativas para la solución de problemas para la solución de problemas, el manejo de información, la toma de decisiones basadas en el análisis crítico de información matemática, interpretación de tablas, graficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos, argumentación de propuestas de solución y predicción del comportamiento de un fenómeno a partir del análisis de sus variables. En consecuencia las estrategias de enseñanza-aprendizaje y evaluación que diseñe el personal docente para su intervención educativa en las asignaturas que conforman el campo de matemáticas deben girar en torno a problemas significativos para la vida del alumnado ,es decir no deben ser repetitivas o que se resuelvan aplicando un procedimiento o modelo matemático que no tiene significado, dichas situaciones deben promover la movilización de recursos diversos para el diseño de una metodología de solución. La asignatura de Cálculo Diferencial, tiene como propósito general el desarrollo de habilidades características del pensamiento lógico-matemático, por medio del uso de los procedimientos para derivar y su aplicación en problemas de optimización que le permitan predecir situaciones reales, formales y/o hipotéticas de su contexto, logrando entender e interpretar los resultados en diversos ámbitos colaborando a desarrollar su capacidad de razonamiento así como su toma de decisiones. Este programa parte de la solución de Límites en el bloque 1, así como Derivadas durante el bloque 2, lo que permitirá al estudiantado, en el bloque 3, una comprensión de las razones de cambio en diversos fenómenos de su entorno además de poder analizarlos de forma cualitativa y cuantitativa. Lo anterior, para propiciar un desarrollo en sus capacidades de abstracción y razonamiento mediante la aplicación de la Derivada, tema que le será de utilidad en estudios de nivel superior. Página 8 Al tratarse de una asignatura del Componente Propedéutico del Bachillerato General, tiene como intensión brindarle las herramientas y conocimientos básicos al estudiantado para que pueda continuar sus estudios a nivel superior además de permitirle su integración en forma eficiente a las circunstancias de vida y situación tanto académica como laboral de su entorno, favoreciendo al estudiantado respecto a un interés vocacional enfocado en el Campo de las Matemáticas. Cabe señalar, que los conocimientos no son el fin de la educación, en este caso los del campo de la Matemáticas, ni elementos aislados sino una herramienta para que el estudiantado desarrolle las competencias que definen el perfil de egreso de la Educación Media Superior, así como, elementos indispensables para la comprensión de todos los demás campos o asignaturas que componen este nivel educativo, aun cuando con algunos como Física, Biología o Química se encuentre una afinidad más clara que con los demás. UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA 1er Semestre 2do Semestre 3er Semestre 4to Semestre 5to Semestre 6to Semestre Matemáticas I Matemáticas II Matemáticas III Matemáticas IV Geografía Ecología y Medio Ambiente Química I Química II Bilogía I Biología II Estructura Socioeconómica de México Cálculo Integral Taller de Lectura y Redacción I Taller de Lectura y Redacción II Física I Física II Cálculo Diferencial Ética y Valores I Metodología de la Investigación Ética y Valores II Todas las asignaturas de 3er semestre Informática I Informática II Todas las asignaturas de 1er semestre Todas las asignaturas de 2° semestre Todas las asignaturas de 4° semestre Se retomarán las asignaturas que en cada plantel se imparten en 5to semestre, tanto del componente de formación propedéutico como el de formación para el trabajo. FORMACIÓN PARA EL TRABAJO TUTORÍAS Página 9 Se retomarán las asignaturas que en cada plantel se imparten en 5to semestre, tanto del componente de formación propedéutico como el de formación para el trabajo. RELACIÓN DE LOS CONTENIDOS CON LOS APRENDIZAJES CLAVES Campo Disciplinar: MATEMÁTICAS EJE Pensamiento y lenguaje variacional COMPONENTE Cambio y predicción: Elementos del Cálculo CONTENIDO CENTRAL BLOQUE Conceptos básicos de sistemas de coordenadas, orientación y posición I II Introducción a las funciones algebraicas y elementos de las funciones trascendentes elementales II Uso de la derivada en diversas situaciones contextuales II III Tratamiento intuitivo: numérico, visual y algebraico de los limites I Tratamiento del cambio y la variación: estratégicas variacionales I II III Graficación de funciones por diversos métodos I II Introducción a las funciones continuas y a la derivada como una función I II Criterios de optimización: criterios de localización para máximos y mínimos de funciones III Nociones básicas de derivación de orden uno y orden dos (primera y segunda derivada), optimización y Graficación de funciones elementales (algebraicas y trascendentes). II III Página 10 EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS La evaluación debe ser un proceso continuo que permita recabar evidencias pertinentes sobre el logro de aprendizaje del estudiantado tomando en cuenta la diversidad de estilos y ritmos, con el fin de retroalimentar el proceso de enseñanza-aprendizaje y mejorar sus resultados. Con base en el Acuerdo 8/CD/2009 del Comité Directivo del Sistema Nacional de Bachillerato, actualmente denominado Padrón de Buena Calidad del Sistema Nacional de Educación Media Superior (PBG-SiNEMS), la evaluación debe ser un proceso continuo que permita recabar evidencias pertinentes sobre el logro de aprendizajes del estudiantado tomando en cuenta la diversidad de estilo y ritmos, con el fin de retroalimentar el proceso de enseñanza-aprendizaje y mejorar sus resultados. El Modelo Educativo para la Educación Obligatoria (MEPEO, sept 2017) señala que la evaluación es un proceso que tiene como objetivo mejorar el desempeño del alumnado e identificar sus áreas de oportunidad. Además, es un factor que impulsa la transformación de la práctica pedagógica y el seguimiento de los aprendizajes. Para que la evaluación sea un proceso transparente y participativo donde se involucre al personal docente y al estudiantado debe favorecerse: ▪ La autoevaluación En ésta el bachiller valora sus capacidades con base a criterios y aspectos definidos con claridad por el personal docente, el cual debe motivarle a buscar que tome conciencia de sus logros, errores y aspectos a mejorar durante su aprendizaje. ▪ La coevaluación A través de la cual las personas pertenecientes al grupo valoran, evalúan y realimentan a un integrante en particular respecto a la presentación de evidencias de aprendizaje con base en criterios consensuados e indicadores previamente establecidos. ▪ La heteroevaluación La cual consiste en un juicio emitido por el personal docente sobre las características del aprendizaje del estudiantado señalando las fortalezas y aspectos a mejorar, teniendo como evidencia los aprendizajes logrados y evidencias específicas Página 11 Para evaluar por competencias se debe favorecer el proceso de formación a través de: ▪ La evaluación diagnóstica Se realiza antes de algún proceso educativo (curso, secuencia o segmento de enseñanza) para estimar los conocimientos previos del estudiantado, identificar sus capacidades cognitivas con relación al objeto de estudio y apoya al personal docente en la toma de decisiones del trabajo en el aula. ▪ La evaluación formativa Se lleva a cabo durante el proceso educativo y permite precisarlos avances logrados en el desarrollo de competencias por cada estudiante y advierte las dificultades que encuentra durante el aprendizaje Tiene por objeto mejorar, corregir o reajustar su avance y se fundamenta en parte en la autoevaluación. Implica una reflexión y un dialogo con el estudiantado a cerca de los resultados obtenidos y los procesos de aprendizaje y enseñanza que le llevaron a ello, permite estimar la eficacia de las experiencias de aprendizajes para mejorarlas y favorece su autonomía. ▪ La evaluación sumativa Se realiza al final de un proceso o ciclo educativo considerando el conjunto de diversas evidencias que surgen de los aprendizajes logrados. Página 12 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Con el fin de mostrar el saber que subyace en una competencia, los aprendizajes esperados permiten establecer una estrategia de evaluación, por tanto, contienen elementos observables que deben ser considerados en la evaluación tales como: ▪ La participación. (discurso y comunicación, compromiso, empeño e iniciativa, cooperación) ▪ Las actividades generativas. (trabajo de campo, proyectos, solución de casos y problemas, composición de textos, arte y dramatizaciones) ▪ Las actividades de análisis. (comprensión e integración de conceptos como interpretación, síntesis y clasificación, toma de decisiones, juicio y evaluación, creación e invención y pensamiento crítico e indagación) Para ello se consideran instrumentos que pueden agruparse principalmente en (Díaz-Barriga, 2014) Técnicas de observación • Guía de observación: Las técnicas de observación permiten evaluar los procesos de aprendizaje en el momento que se producen, La guía de observación es un instrumento que se basa en una lista de indicadores que pueden redactarse ya sea como afirmaciones o bien como preguntas, que orientan el trabajo de observación dentro del aula, señalando los aspectos que son relevantes al observar. Esta guía puede utilizarse para observar las respuestas de los alumnos en una actividad, durante una semana de trabajo, una secuencia didáctica completa. Técnicas para el análisis del desempeño • Rúbricas: Son guías que describen las características específicas de lo que se pretende evaluar (productos, tareas, proyectos, exposiciones, entre otras) precisando los niveles de rendimiento que permiten evidenciar los aprendizajes logrados de cada estudiante, valorar su ejecución y facilitar la retroalimentación. Página 13 • Portafolios: permiten mostrar el crecimiento gradual y los aprendizajes logrados con relación al programa de estudios, centrándose en la calidad o nivel de competencia alcanzado y no en una mera colección al azar de trabajos sin relación. Estos establecen criterios y estándares para elaborar diversos instrumentos para la evaluación del aprendizaje ponderando aspectos cualitativos de lo cuantitativo. • Listas de cotejo: Es una lista de palabras, frases u oraciones que señalan con precisión las tareas, las acciones, los procesos y las actitudes que se desean evaluar Los trabajos que pueden integrar en un portafolio y que pueden ser evaluados a través de rúbricas son: ensayos, videos, series de problemas resueltos, trabajos artísticos, trabajos colectivos, comentarios a lecturas realizadas, autorreflexiones, reportes de laboratorio, hojas de trabajo, guiones, entre otros, los cuales deben responder a una lógica de planeación o proyecto. Con base a lo anterior, los programas de estudio de Dirección General del Bachillerato deben incluir elementos que enriquecen la labor formativa tales como la transversalidad, las habilidades socioemocionales y la interdisciplinariedad trabajadas de manera colegiada y permanentemente en el aula, consideran a la evaluación formativa como eje central al promover una reflexión sobre el progreso del desarrollo de competencias Página 14 BLOQUES DE APRENDIZAJES BLOQUE I NOMBRE DEL BLOQUE CONTENIDOS ESPECÍFICOS ▪ Antecedentes y aplicaciones del cálculo ▪ Límites: Límites ▪ • Concepto e interpretación de límites • Propiedades de límites • Límites de funciones algebraicas • Límites de funciones trascendente HSM 12 Derivada por definición de funciones polinómicas (regla de los 4 pasos) II III La Derivada Aplicaciones de la Derivada ▪ Derivada de funciones algebraicas ▪ Derivadas de funciones trascendentes ▪ Derivadas de orden superior ▪ Máximos, mínimos y punto de inflexión de una función ▪ Optimización ▪ Velocidad, aceleración y rapidez de un móvil ▪ Regla de L’Hôpital 20 16 Página 15 Primera Revisión de Portafolios y Evaluación Sumativa Página 16 BLOQUE I Límites BLOQUE II. La Derivada BLOQUES II. Límites ✓ Antecedentes y aplicaciones del cálculo ✓ Límites: - Concepto e interpretación de límites - Propiedades de los límites - Límites de funciones algebraicas - Límites de funciones trascendentes III. La Derivada ✓ Derivada por definición de funciones polinómicas (regla de los 4 pasos) ✓ Derivadas de funciones algebraicas Página 17 BLOQUE I. LÍMITES BLOQUE II. LA DERIVADA PROPÓSITO DE CADA BLOQUE Emplea de manera crítica y reflexiva el concepto de Límite en la solución de diversas situaciones de su entorno, reconociendo su importancia en la construcción de nuevos conocimientos. Aplica los métodos de derivación, trabajando de forma metódica y organizada para contribuir en la solución de situaciones hipotéticas y/o reales de manera crítica y reflexiva. APRENDIZAJES ESPERADOS ▪ ▪ ▪ ▪ Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones, reflexionando sobre su relevancia en procesos actuales de su entorno. Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del análisis de situaciones de su contexto para la construcción de nuevos conocimientos. Emplea la regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función y la relaciona con situaciones presentes en su contexto, promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo. Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de situaciones reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana, trabajando de forma metódica y organizada. COMPETENCIAS GENÉRICAS DISCIPLINARES CG1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. CDEM5 Analiza las relaciones entre dos o más CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante variables de un proceso social o natural para representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. determinar o estimar su comportamiento CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de CDEM8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de y textos con símbolos matemáticos y científicos sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas CDEM2 Formula y resuelve problemas matemáticos CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de aplicando diferentes enfoques manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de CDBM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos sus pasos contribuye al alcance de un objetivo mediante procedimientos matemáticos y los CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o contrasta con modelos establecidos o situaciones desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un reales curso de acción con pasos específicos Página 18 CALDIF-B1_B2-SD01 Situación Didáctica No. 1 TITULO “No andes a la deriva” El 31 de diciembre de 2019, autoridades de Salud de Wuhan (provincia de Hubei, China) informaron sobre un conglomerado de 27 casos de neumonía de etiología desconocida con inicio de síntomas el 8 de diciembre, incluyendo siete casos graves, vinculados por la exposición común a un mercado mayorista de marisco, pescado y animales vivos en la ciudad de Wuhan. El mercado fue cerrado el día 1 de enero de 2020. El 7 de enero de 2020, las autoridades chinas identificaron un nuevo virus de la familia Coronaviridae, como agente causante del brote. Fue denominado "nuevo coronavirus", 2019nCoV. La secuencia genética fue compartida por las autoridades chinas el 12 de enero. Un par de meses después, el nuevo Coronavirus se dispersó por el globo afectando a todas las poblaciones de manera que se decretó el inicio de una pandemia sin precedentes. Los gobiernos declararon estado de cuarentena absoluta debido a la creciente oleada de casos positivos. Contexto En el estado de Tabasco, el primer caso de Covid-19 se presentó el 18 de marzo de 2020 y se incrementaron rápidamente en tan solo 5 meses, alcanzando su máximo histórico el mes de julio de 2020. El Gobierno del Estado evalúa la posibilidad de un regreso a clases en el siguiente ciclo, por lo que analiza los casos confirmados en lo que va del año. Del análisis de casos confirmados durante las primeras semanas del año 2021, se pudo obtener un modelo que determina el total de casos presentados en función del número de semanas transcurridas en pandemia. 𝑪 = −𝟒𝟕. 𝟓 𝒔𝟐 + 𝟏𝟖𝟓𝟓 𝒔 + 𝟔𝟑𝟐 Donde: 𝐶, es el total de casos presentados. 𝑠, es el número de semanas transcurridas Conflicto Cognitivo De acuerdo al análisis del modelo presentado: ▪ ¿Se contará con las condiciones idóneas para el regreso a clases en el mes de agosto de 2021? ▪ ¿Qué acciones consideras pertinentes realizar para el regreso a clases de acuerdo al número de contagios estimados? Propósito de la Situación Didáctica En equipos de trabajo de 5 integrantes elaboran un cartel en donde muestren el comportamiento de los casos de Covid-19 en el estado de Tabasco, así como la velocidad con la que se propaga entre la población, exponiendo sus conclusiones frente a la comunidad estudiantil. Página 19 CALDIF-B1_B2-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 1 Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque I: Límites Bloque II: La Derivada Fecha: Situación Didáctica 1: No andes a la derivada Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados ▪ Explica la importancia del Cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones, reflexionando sobre su relevancia en procesos actuales de su entorno. ▪ Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del análisis de situaciones de su contexto para la construcción de nuevos conocimientos. ▪ Emplea la regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función y la relaciona con situaciones presentes en su contexto, promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo. Instrucciones: Lee los criterios de evaluación y marque con una (𝑿) para resaltar el nivel del logro de aprendizaje, anotando la puntuación otorgada para cada criterio, súmalos para obtener el puntaje final. Indicadores Criterios Excelente Bueno Suficiente Insuficiente (3 pts) (2 pts) (1 pts) (0 pts) Conocimientos sobre los conceptos del cálculo Comprende y describe claramente los conceptos de límites y derivada reconociendo su aplicación en situaciones reales. Describe brevemente los conceptos de límite y derivada y lo vincula con situaciones reales. Tiene una idea de los conceptos del cálculo, pero no los relaciona con situaciones reales. No comprende los conceptos de límites y derivadas en el cálculo. Aplicación de las herramientas del cálculo Emplea los límites para calcular correctamente la derivada de una función usando la regla de los 4 pasos de forma reflexiva. Usa los límites y determina la derivada de una función siguiendo la regla de los 4 pasos de manera mecánica. Utiliza los límites e intenta calcular la derivada de una función siguiendo la regla de los 4 pasos sin comprenderla totalmente. No usa los límites para calcular la derivada, ni comprende la regla de los 4 pasos. Página 20 Indicadores Criterios Construcción del producto Comprensión y desenvolvimiento Excelente Bueno Suficiente Insuficiente (3 pts) (2 pts) (1 pts) (0 pts) Elabora el cartel e incluyen algún recurso como tablas, gráficas, diagramas o imágenes describiendo la solución de la SD1. Elaboran el cartel describiendo la solución de la SD1 sin acompañarlo con elementos como tablas, gráficas, diagramas o imágenes. No elabora el producto de la SD1. Reconoce el método de solución de la SD1 y lo expresa burdamente. Entrega el producto de las SD1 en días posteriores a la fecha establecida, de forma limpia y ordenada. Trabaja de manera colaborativa con la mayoría de sus semejantes mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. Reconoce el método de solución de la SD1 pero no lo expresa crítica ni reflexivamente. Entrega el producto de la SD1 en días posteriores a la fecha de entrega descuidando el orden y la limpieza. Elabora el cartel incluyendo tablas, gráficas, diagramas o imágenes que describen adecuadamente la solución de la SD1, exponiendo sus conclusiones de forma clara. Reconoce el método de solución de la SD1 y lo expresa de manera crítica y reflexiva. Entrega y presentación Entrega el producto de la SD1 en la fecha establecida cuidando el orden y la limpieza Trabajo en equipo Trabaja de manera colaborativa con sus semejantes mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. Puntuación Final (P.F) Trabaja de manera colaborativa con algunos de sus semejantes mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. No reconoce el método de solución de la SD1 No entrega el producto de la SD1. No se relaciona con sus semejantes para trabajar colaborativamente. Calificación Final (P.F)(5.56) Realimentación: Logros Aspectos a mejorar Firma del Evaluador: ________________________________________ Página 21 CALDIF-B1_B2-ED01 Evaluación diagnóstica BI “Límites” BII “La derivada” NOMBRE I. FECHA Resuelve la siguiente sopa de letras. T R H T Y V Y E T N E I D N E P II. GRUPO ISAAC NEWTON FUNCION TRIGONOMETRIA LEIBNIZ DOMINIO EXPONENCIAL FACTORIZAR TRASCENDENTES COSNTANTE PUNTO RACIONAL PENDIENTE R I S A A C N E W T O N T C V N A D C A L D I G T Z J K M B R F S F C O N S T N T E R T Y I A U C J F E M E W R A B Q W Z C C U E Y P U N T O T D B E X T F I U N F S E N C X U F H R O A F O V D U L H T C V W J M R S E Q N C E N E J G R I Q B I Z D B V A A N P I B H T A Ó Z F J F H B L L T U B N J Y D A N T K H D J H C E F N K I V R X T E Ñ J F J U T S G I J I L A I C N E N O P X E W G Z D D Q X V H G N E E R Y U Factoriza las siguientes expresiones algebraicas Expresión Factorización 𝑥 4 − 16 _________________________ 𝑥 2 − 10𝑥 + 24 _________________________ 4𝑥 3 − 2𝑥 _________________________ 2𝑦 2 − 4𝑦 − 30 _________________________ 𝑤 2 − 64 _________________________ Página 22 T R I G O N O M E T R I C A S S Z W D G B J N O T O I N I M O D CALDIF-B1-FC01 LECCIÓN 10. EVALUAR Y ELEGIR Página 23 Página 24 CALDIF-B1-LECTURA01 Antecedentes y Aplicaciones de la Derivada Comúnmente se atribuye la invención del cálculo infinitesimal al fisicomatemático inglés Issac Newton (𝟏𝟔𝟒𝟐 − 𝟏𝟕𝟐𝟕) por la publicación de su gran obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 𝟏𝟔𝟖𝟕 y al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (𝟏𝟔𝟒𝟔 − 𝟏𝟕𝟏𝟔) por su publicación en la revista Acta Eruditorum e𝟏𝟔𝟖𝟒n. Es aquí donde estos grandes personajes presentan algunas de sus mejores aportaciones en esta materia, Leibniz introduce la diferencial 𝒅𝒙 y las reglas básicas del cálculo diferencial, formalizando la notación que utilizamos en la actualidad; por su parte Newton presenta su teoría de fluxiones basado en el movimiento y dinámica de los cuerpos. Es gracias a estos estudios que se desarrolla la teoría de la gravitación y se reformulan las leyes descritas por Kepler para el movimiento de los cuerpos celestes. Si bien estos dos personajes fueron claves para dar inicio con la era moderna de las matemáticas, sus estudios están basados en el cálculo de área y volúmenes, así como el cálculo de tangentes a curvas, estudios que habían sido realizados con anterioridad por diversos filósofos y matemáticos en la antigüedad, por lo que es necesario dar un vistazo al desarrollo histórico y dar crédito a todos esos personajes que ayudaron en la evolución del conocimiento humano. Entonces, ¿Qué es el cálculo?, el cálculo es una rama de las Matemáticas que se encargan de estudiar los cambios que existen en las variables, los valores máximos y mínimos de las funciones, cálculo de áreas y volúmenes, así como las pendientes en las curvas. Conoce más sobre la historia del Cálculo con el siguiente video. Página 25 Aportaciones Significativas al Cálculo AÑO APORTACIÓN 𝟐𝟓𝟎 𝒂. 𝒄 Arquímedes de Siracusa (𝟐𝟖𝟕 𝒂. 𝑪. − 𝟐𝟏𝟐 𝒂 − 𝑪.), aplicaba el método exhaustivo o de agotamiento para la determinación de áreas y volúmenes, obteniendo importantes resultados sobre el cálculo de tangentes para ciertas curvas particulares. 𝟏𝟔𝟓𝟖 Pierre de Fermat (𝟏𝟔𝟎𝟏 − 𝟏𝟔𝟔𝟓), en su “Tratado sobre cuadratura” propone un método para determinar el área bajo la curva. 𝟏𝟔𝟔𝟗 Isaac Barrow (𝟏𝟔𝟑𝟎 − 𝟏𝟔𝟕𝟕), fue quien estuvo más cerca de descubrir el cálculo diferencial e integral en la Lección X de su obra “Lecturas geométricas” demostró su versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo. 𝟏𝟔𝟖𝟒 Gottfried Wilhelm Leibniz (𝟏𝟔𝟒𝟔 − 𝟏𝟕𝟏𝟔), Se publica “Acta Eruditorum” donde Leibniz introduce la diferencia 𝒅𝒙 y las reglas básicas del cálculo diferencial, formalizando la notación que utilizamos en la actualidad. 𝟏𝟔𝟖𝟕 Isaac Newton (𝟏𝟔𝟒𝟑 − 𝟏𝟕𝟐𝟕), describe sus conceptos de fluente (una variable con respecto al tiempo) y fluxión (derivada respecto al tiempo) como entidades propias y con unas reglas algorítmicas de fácil uso. Página 26 PERSONAJE AÑO APORTACIÓN 𝟏𝟕𝟒𝟖 Leonardo Euler (𝟏𝟕𝟎𝟕 − 𝟏𝟕𝟖𝟑), y su teoría de los ceros enmascaraba los pasos reales al límite, entonces, se sientan las bases para separar el cálculo de la geometría. 𝟏𝟖𝟐𝟗 Augustin Louis Cauchy (𝟏𝟕𝟖𝟗 − 𝟏𝟖𝟓𝟕), desarrollo la teoría de límite y continuidad. Precisa los conceptos de función, límite y continuidad casi como se manejan actualmente se deben a él. 𝟏𝟖𝟓𝟒 Georg Friedrich Bernhard Riemann (𝟏𝟖𝟐𝟔 − 𝟏𝟖𝟔𝟔), realizo contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial. En su obra “Sobre la representación de una función por una serie trigonométrica”, se define por primera vez el concepto de integral de Riemann y se inicia la teoría de funciones de una variable real. PERSONAJE Son muchas las aplicaciones del cálculo en la vida diaria, esto lo podemos observar en muchos campos de estudio como la ingeniería, economía, física, medicina, electrónica y hasta en las ciencias sociales, entre muchas otras Página 27 CALDIF-B1-TAREA01 CG 1.1 CG 4.1 CG 5.1 CDBM 5 CDBM 8 Cuestionario “¿Qué es el cálculo?” Instrucciones: Conformados en binas, contestan el siguiente cuestionario de acuerdo al video proyectado I. Vídeo: ¿Qué es el cálculo? https://youtu.be/U5aW5aR0qbU II. Preguntas: 1. ¿Qué es el cálculo? 2. ¿Por qué se considera Cálculo Infinitesimal? 3. ¿Cuáles son las dos ramas del cálculo y cuáles son sus principales objetos de estudio? 4. ¿Cuáles fueron los aportes de Newton y Leibniz? 5. ¿Cuáles son algunas de las áreas de aplicación del Cálculo? 6. ¿Fue injusta la forma en la que se trató a Leibniz acusándolo de plagio en muchas ocasiones? Página 28 CALDIF-B1-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 01 Cuestionario Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque: I Límites Fecha: Grupo: Nombres Turno Problemario 01 “Relaciones y Funciones” Aprendizajes Esperados ▪ Contenidos Específico Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones, reflexionando sobre su relevancia en ▪ procesos actuales de su entorno. Antecedentes y aplicaciones del cálculo CRITERIOS % 1. Responde el cuestionario proporcionado por el docente en el tiempo establecido 20% 2. Presenta pertinencia en la participación, opinando de manera ordenada 20% 3. Maneja el uso correcto del lenguaje y conceptos dando opiniones certeras 20% 4. Se siente interesado en el tema y participa de forma activa 20% 5. Emite sus conclusiones respecto al tema tratado en la realimentación 20% CUMPLE SI NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador Página 29 Puntaje CALDIF-B1-LECTURA02 Concepto e Interpretación de Límite Enfoques El concepto de limite puede ser estudiado mediante alguno de los siguientes enfoques: Númerico Utilizando tablas Gráfico Representación gráfica Analítico Usando tecnicas algebraicas 1. ENFOQUE NUMÉRICO El enfoque numérico, en la evaluación de un límite, consiste en calcular aproximaciones que tiene la función cuando su variable independiente se aproxima por ambos lados a un valor de interés. Analicemos un ejemplo donde se muestra tal procedimiento. Ejemplo 1. La producción que tiene una fábrica de calzado está determinada por la siguiente función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟑 −𝟏𝟔𝟎 𝒙−𝟐 , done 𝒙 representa el número de máquinas despuntadoras que están en uso. Determina el valor de la producción cuando hay 2 máquinas despuntadoras en uso. SOLUCIÓN: Es fácil ver que no es posible calcular 𝒇(𝟐) por sustitución directa, ya que el valor de la función en ese punto no está definido. Para esto, asignaremos a la variable 𝒙, cantidades que están cada vez más cercanas a 𝟐; por la izquierda (valores menores a 2) y por la derecha (valores mayores a 2), tal como su muestra: 𝒙 𝟏. 𝟗 𝟏. 𝟗𝟗 𝟏. 𝟗𝟗𝟗 𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟐 Página 30 𝟐 𝟐. 𝟎𝟎𝟏 𝟐. 𝟎𝟏 𝟐. 𝟏 Al realizar los cálculos llegamos a los siguientes resultados: 𝒙 𝟏. 𝟗 𝟏. 𝟗𝟗 𝟏. 𝟗𝟗𝟗 𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟐 𝟐𝟐𝟖. 𝟐 𝟐𝟑𝟖. 𝟖 𝟐𝟑𝟗. 𝟖𝟖 𝟐 𝟐. 𝟎𝟎𝟏 𝟐. 𝟎𝟏 𝟐𝟒𝟎. 𝟏𝟐 𝟐𝟒𝟏. 𝟐 𝟐. 𝟏 𝟐𝟓𝟐. 𝟐 Al observa los resultados de la tabla es fácil notar que, conforme la variable independiente 𝒙 se aproxima al valor de 𝟐 (por ambos lados), los valores que toma la función 𝒇(𝒙) se aproxima cada vez más a 𝟐𝟒𝟎 (por ambos lados), es decir, el límite de la función cuando la variable independiente se aproxima a 𝟐 es 𝟐𝟒𝟎. Escrito en lenguaje matemático es: 𝟐𝟎𝐱 𝟑 − 𝟏𝟔𝟎 = 𝟐𝟒𝟎 𝐱→𝟐 𝐱−𝟐 𝐥𝐢𝐦 Así es como se llega a la interpretación intuitiva de límite de una función. Noción Intuitiva de Límite de una Función Decir que 𝑳 es el límite de una función 𝒇 cuando su variable independiente 𝒙 se aproxima al número 𝒄: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒄 Significa que 𝑳 es el valor al que tiende (se aproxima) la función (por ambos lados) cuando la variable 𝒙 se aproxima de manera sucesiva al valor de 𝒄 (por ambos lados). Página 31 Ejemplo 2. Mediante un procedimiento tabular, calcula una aproximación del siguiente límite: 𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐 𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱 𝐥𝐢𝐦 SOLUCIÓN: Es fácil ver que no es posible calcular 𝒇(−𝟒) por sustitución directa, ya que el valor de la función en ese punto no está definido. Para esto, asignaremos a la variable 𝒙, cantidades que están cada vez más cercanas a −𝟒; por la izquierda (valores menores a −𝟒) y por la derecha (valores mayores a −𝟒), tal como su muestra: 𝒙 −𝟒. 𝟏 −𝟒. 𝟎𝟏 −𝟒. 𝟎𝟎𝟏 −𝟒 −𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗 −𝟒 −𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗 𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐 𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱 𝐥𝐢𝐦 Al realizar los cálculos obtenemos los siguientes resultados: 𝒙 −𝟒. 𝟏 −𝟒. 𝟎𝟏 −𝟒. 𝟎𝟎𝟏 𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐 𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱 𝟖. 𝟏 𝟖. 𝟎𝟏 𝟖. 𝟎𝟎𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝟕. 𝟗𝟗𝟗 𝟕. 𝟗𝟗 𝟕. 𝟗 Al observa los resultados de la tabla es fácil notar que, conforme la variable independiente 𝒙 se aproxima al valor de −𝟒 (por ambos lados), los valores que toma la función 𝒇(𝒙) se aproxima cada vez más a 𝟖 (por ambos lados), es decir, el límite de la función cuando la variable independiente se aproxima a −𝟒 es 𝟖. Escrito en lenguaje matemático es: 𝟏𝟔 − 𝐱 𝟐 𝐥𝐢𝐦 =𝟖 𝐱→−𝟒 𝟒 + 𝐱 Página 32 Ejemplo 3. Mediante un procedimiento tabular, calcula una aproximación del siguiente límite: 𝟏 𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒 𝐥𝐢𝐦 SOLUCIÓN: Podemos emplear la siguiente tabla: 𝒙 −𝟒. 𝟏 −𝟒. 𝟎𝟏 −𝟒. 𝟎𝟎𝟏 −𝟒 −𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗𝟗 −𝟑. 𝟗 𝟏 𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒 𝐥𝐢𝐦 Al completar los datos de la tabla, se obtienen los siguientes datos: 𝒙 −𝟒. 𝟏 −𝟒. 𝟎𝟏 −𝟒. 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒 −𝟏𝟎 −𝟏𝟎𝟎 −𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐥𝐢𝐦 −𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 En la tabla podemos observar que conforme la variable 𝒙 se aproxima por ambos lados al valor de −𝟒 por un lado tiende a −𝟏𝟎𝟎𝟎 y por el otro lado a 𝟏𝟎𝟎𝟎, es decir, la función no se aproxima a algún valor en particular cuando 𝒙 se aproxima a −𝟒. En este caso concluimos que: 𝟏 = 𝑵𝒐 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝐱→−𝟒 𝐱 + 𝟒 𝐥𝐢𝐦 Determina la aproximación del límite, mediante procedimiento tabular: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙−𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒 𝐥𝐢𝐦 √𝒙 − 𝟏 𝒙→𝟓 𝟏 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + ) 𝒙→𝟎 𝒙 Página 33 2. ENFOQUE NUMÉRICO Limite por la izquierda Supongamos que 𝒇(𝒙) esta definida en un cierto intervalo (𝒂, 𝒙𝟎 ). Si para números 𝒙 del dominio de 𝒇 suficientemente próximos a 𝒙𝟎 y menores que 𝒙𝟎 , los valores correspondientes de 𝒇(𝒙) están próximos a 𝒂𝟏 como queramos, decimos que 𝒂𝟏 es el limite por la izquierda de 𝒇(𝒙), cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 . Lo anterior se denota como: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟏 𝒙→𝒙𝟎− Esto se lee como “el límite cuando 𝒙 tiene a 𝒙𝟎 por la izquierda”. Pero ¿Por qué a la izquierda?, la respuesta está en el signo que predomina al valor que tiende la variable 𝑥, como es negativo los valores deben de ser ala izquierda. Limite por la derecha Supongamos que 𝒇(𝒙) esta definida en un cierto intervalo (𝒙𝟎 , 𝒃). Si para números 𝒙 del dominio de 𝒇 suficientemente próximos a 𝒙𝟎 y mayores que 𝑥0 , los valores correspondientes de 𝒇(𝒙) están tan próximos a 𝒂𝟐 como queramos, decimos que 𝒂𝟐 es el limite por la derecha de 𝒇(𝒙), cuando 𝑥 tiende a 𝒙𝟎 . Lo anterior se denota como: 𝐥𝐢𝐦 𝐟(𝐱) = 𝐚𝟐 𝐱→𝐱 𝟎+ Página 34 Esto se lee como “el límite cuando 𝒙 tiene 𝒙𝟎 la por la derecha”. Pero ¿Por qué a la derecha?, la respuesta está en el signo que predomina al valor que tiende la variable 𝒙, como es positivo los valores deben de ser ala derecha. EJEMPLO 1. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función: 𝐥𝐢𝐦− 𝒙→𝟏 Vamos a determinar si el límite es por la izquierda o por la derecha: 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙−𝟏 El límite por el signo negativo va ala izquierda. Los valores que podemos emplear son los siguientes: Procedemos a determinar que valores vamos a utilizar para poder determinar el límite: Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende el límite. Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra función. Limite por la izquierda 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙−𝟏 0.5 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 1.5 𝑥−1 0.999 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 1.999 𝑥−1 0.9 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 1.9 𝑥−1 0.9999 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 1.9999 𝑥−1 0.99 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 1.99 𝑥−1 Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 2. Página 35 Por tanto, podemos decir que: 𝐥𝐢𝐦− 𝒙→𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 =𝟐 𝒙−𝟏 EJEMPLO 2. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función: 𝐥𝐢𝐦+ 𝒙→𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙−𝟏 Vamos a determinar si el límite es por la izquierda o por la El límite por el signo positivo va ala derecha. derecha: Los valores que podemos emplear son los siguientes: Procedemos a determinar que valores vamos a utilizar para poder determinar el límite: Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende el límite. Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra función. Limite por la derecha 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙−𝟏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙−𝟏 1.5 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 2.5 𝑥−1 1.001 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 2.001 𝑥−1 1.1 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 2.1 𝑥−1 0.9999 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 2.0001 𝑥−1 1.01 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 2.01 𝑥−1 Página 36 Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 2. Por tanto, podemos decir que: 𝐥𝐢𝐦− 𝒙→𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 =𝟐 𝒙−𝟏 Las gráficas que podemos obtener de ambos limites son las siguientes: Página 37 EJEMPLO 3. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función: 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 𝒙→𝟐− Vamos a determinar si el límite es por la izquierda o por la El límite por el signo negativo va ala izquierda. derecha: Los valores que podemos emplear son los siguientes: Procedemos a determinar que valores vamos a utilizar para poder determinar el límite: Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende el límite. Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra función. Limite por la izquierda 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑥 1.5 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 2.25 1.999 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.996 1.9 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.61 1.9999 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.999 1.99 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 3.96 Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 4. 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 = 𝟒 Por tanto, podemos decir que: 𝒙→𝟐− Página 38 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 EJEMPLO 4. Encontrar el límite por la izquierda de la siguiente función: 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 𝒙→𝟐+ Vamos a determinar si el límite es por la izquierda o por la El límite por el signo negativo va ala izquierda. derecha: Los valores que podemos emplear son los siguientes: Procedemos a determinar que valores vamos a utilizar para poder determinar el límite: Utilizamos estos valores ya que son los más cercanos al valor que tiende el límite. Procedemos a realizar nuestra tabulación sustituyendo los valores de la variable independiente en nuestra función. Limite por la derecha 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 2.5 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 6.25 2.001 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.0040 2.1 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.41 2.0001 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.0004 2.01 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 = 4.0401 Podemos observar que nuestro límite es lo más cercano a 4. 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 = 𝟒 Por tanto, podemos decir que: 𝒙→𝟐+ Página 39 Las gráficas que podemos obtener de ambos limites son las siguientes: Página 40 CALDIF-B1-AF01 a) lim 𝑥 2 + 5 𝑥→5+ Instrucciones: Conformados en binas, resuelven los siguientes ejercicios, aplicando el concepto de límite y su interpretación gráfica, guiados por el docente. f) g) b) c) d) e) lim 6𝑥 − 1 lim 4𝑥 + 1 𝑥→4− lim 2𝑥 𝑥→2− 2𝑥−4 𝑥→2− lim− 𝑥→1 lim+ 𝑥→2 𝑥 2 −1 𝑥−1 h) lim 𝑥 2 𝑥→2− 2𝑥 2 −1 2𝑥+1 i) lim 2𝑥 2 − 2 𝑥→3+ Página 41 lim 𝑥 𝑥→1+ 𝑥−1 CALDIF-B1-LECTURA02 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 3. ENFOQUE NUMÉRICO El enfoque algebraico permite evaluar dichos limites mediante la aplicación de propiedades y procedimientos analíticos evitando, con esto, realizar algún proceso de aproximación o alguna exploración gráfica. Para utilizar el enfoque algebraico es necesario definir las propiedades de los límites. Propiedades de los límites Sean 𝒄, 𝒌, 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 elementos de los números reales, 𝒏 un entero positivo y sean 𝒇, 𝒈 funciones de variable real, de tal modo que: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 𝒙→𝒄 y 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝑳𝟐 𝒙→𝒄 Y entonces, se cumplen las siguientes propiedades: I. II. III. IV. V. VI. VII. lim 𝑘 = 𝑘; 𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥→𝑐 lim [𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)] = 𝑘 ∙ 𝐿1 𝑥→𝑐 lim [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥) = 𝐿1 ± 𝐿2 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 lim [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥) = 𝐿1 ∙ 𝐿2 𝑥→𝑐 lim 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑐 𝐿 = 𝑥→𝑐 = 𝐿1 ; 𝑐𝑜𝑛 𝐿2 ≠ 0 𝑔(𝑥) lim 𝑔(𝑥) 2 𝑥→𝑐 𝑛 lim[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim 𝑓(𝑥)] = (𝐿1 )𝑛 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 lim 𝑛√𝑓(𝑥) = 𝑛√lim 𝑓(𝑥) = 𝑛√𝐿1 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 Una forma de interpretar las propiedades de los limites es entenderlo como un operador ya que este rompe el orden que tienen las operaciones permitiendo, así, cambiar el enfoque al evaluar el límite, transformando en un procedimiento algebraico. El uso de estas propiedades se mostrará al resolver los siguientes ejemplos: Página 42 Ejemplo 1. Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades: 𝐥𝐢𝐦(𝟒𝒙 + 𝟕) 𝒙→𝟓 SOLUCIÓN: lim(3𝑥 + 10) = lim(3𝑥) + lim(10) 𝑥→5 𝑥→5 𝑥→5 = 3 lim 𝑥 + 10 𝑥→5 = 3(5) + 10 = 25 𝐥𝐢𝐦(𝟑𝒙 + 𝟏𝟎) = 𝟐𝟓 𝒙→𝟓 Ejemplo 2. Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades: 𝐥𝐢𝐦 √𝟕𝒙 + 𝟐𝟏 𝒙→𝟒 SOLUCIÓN: lim √7𝑥 + 21 = √ lim (7𝑥 + 21) 𝑥→4 𝑥→4 = √ lim (7𝑥) + lim (21) 𝑥→4 𝑥→4 = √7(4) + 21 = √49 = 7 𝐥𝐢𝐦 √𝟕𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟐𝟖 𝒙→𝟒 Ejemplo 3. Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades: 𝐥𝐢𝐦( 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓) 𝒙→𝟐 SOLUCIÓN: lim( 2𝑥 3 − 5) = lim(2𝑥 3 ) − lim 5 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 = 2 lim 𝑥 3 − 5 𝑥→2 3 = 2 [lim 𝑥] − 5 𝑥→2 = 2(2)3 − 5 = 16 − 5 = 11 3 lim( 2𝑥 − 5) = 11 𝑥→2 Página 43 Ejemplo 4. Evalúa los limites indicados utilizando sus propiedades: 𝟏𝟎 + 𝟓𝒙 𝒙→−𝟔 𝒙 − 𝟒 𝐥𝐢𝐦 SOLUCIÓN: lim (10 + 5𝑥) 10 + 5𝑥 𝑥→−6 = 𝑥→−6 𝑥 − 4 lim (𝑥 − 4) lim 𝑥→−6 lim (10) + 5 lim (𝑥) 𝑥→−6 = 𝑥→−6 lim (𝑥) − lim (4) 𝑥→−6 𝑥→−6 10 + 5(−6) = −6 − 4 10 − 30 = −10 −20 = =2 −10 𝟏𝟎 + 𝟓𝒙 =𝟐 𝒙→−𝟔 𝒙 − 𝟒 𝐥𝐢𝐦 Como podemos observar, al aplicar las propiedades de los limites efectuamos la evaluación en la función del valor al que se aproxima la variable independiente. De esta observación podemos tener el siguiente teorema, que respalda esta conclusión. Teorema de Sustitución Sea 𝒄 un elemento del dominio de la función 𝒇(𝒙) si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) existe. 𝒙→𝒄 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒄 El teorema de sustitución permite evaluar los límites de manera directa. Tal como se muestra en los siguientes ejemplos. Página 44 Ejemplo 1. Evalúa cada uno de los límites, utilizando el teorema de sustitución: 𝐥𝐢𝐦 √𝟏𝟔 − 𝟏𝟎𝒙 𝒙→−𝟐 SOLUCIÓN: lim √16 − 10𝑥 = √16 − 10(−2) 𝑥→−2 = √16 + 20 = √36 = 6 𝐥𝐢𝐦 √𝟏𝟔 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟔 𝒙→−𝟐 Ejemplo 2. Evalúa cada uno de los límites, utilizando el teorema de sustitución: 𝒙𝟐 + 𝟖 𝒙→𝟒 𝒙 + 𝟒 𝐥𝐢𝐦 SOLUCIÓN: 𝑥 2 + 8 (4)2 + 8 = 𝑥→4 𝑥 + 4 4+4 16 + 8 = 8 24 = =3 8 𝒙𝟐 + 𝟖 𝐥𝐢𝐦 =𝟑 𝒙→𝟒 𝒙 + 𝟒 lim ➢ Evaluación de Límites para Funciones Racionales Sean 𝑷(𝒙) y 𝑸(𝒙) polinomios, entonces la función 𝒇(𝒙) = 𝑷(𝒙) 𝒄𝒐𝒏 𝑸(𝒙) ≠ 𝟎 𝑸(𝒙) Se llama Función Racional, y su dominio está formado por el conjunto de todos los números reales tales que su denominador sea distinto de cero. Para evaluar límites de funciones racionales será necesario aplicar técnicas de factorización que permitan realizar la evaluación con el fin de evitar indeterminaciones; en los siguientes ejemplos está descrito tal proceso: Página 45 Ejemplo 1. Evalúa el siguiente límite: 𝒙𝟐 − 𝟗 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟑 𝐥𝐢𝐦 SOLUCIÓN: Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟑 en la función racional notamos que: 𝒙𝟐 − 𝟗 (𝟑)𝟐 − 𝟗 𝟎 = = = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐 𝒙−𝟑 𝟑−𝟑 𝟎 Para evitar esto, factorizamos el numerador de la siguiente manera: (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) 𝑥2 − 9 = lim [ ] 𝑥→3 𝑥 − 3 𝑥→3 𝑥−3 lim = lim[𝑥 + 3] 𝑥→3 =3+3=6 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒙 −𝟗 =𝟔 𝒙−𝟑 Ejemplo 2. Evalúa el siguiente límite: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝟓 𝒙→𝟓 𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔𝟎 𝐥𝐢𝐦 SOLUCIÓN: Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟓 en la función racional notamos que: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝟓 (𝟓)𝟐 + 𝟒(𝟓) − 𝟒𝟓 𝟐𝟓 + 𝟐𝟎 − 𝟒𝟓 𝟎 = = = = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔𝟎 (𝟓) − 𝟏𝟕(𝟓) + 𝟔𝟎 𝟐𝟓 − 𝟖𝟓 + 𝟔𝟎 𝟎 Para evitar esto, factorizamos el numerador y el denominador de la siguiente manera: 𝑥 2 + 4𝑥 − 45 (𝑥 + 9)(𝑥 − 5) = lim 2 𝑥→5 𝑥 − 17𝑥 + 60 𝑥→5 (𝑥 − 5)(𝑥 − 12) lim 𝑥+9 − 12 5+9 = 5 − 12 14 = = −2 −7 = lim 𝑥→5 𝑥 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝟓 = −𝟐 𝒙→𝟓 𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔𝟎 𝐥𝐢𝐦 Página 46 Ejemplo 3. Evalúa el siguiente límite: 𝟓 𝐥𝐢𝐦 √ 𝒙→𝟎 𝒙𝟑 − 𝟔𝟒𝒙 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 SOLUCIÓN: Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟎 en la función racional notamos que: 𝟓 √ 𝒙𝟑 − 𝟔𝟒𝒙 𝟓 𝟎𝟑 − 𝟔𝟒(𝟎) 𝟓 𝟎 =√ 𝟐 = √ = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝟎 + 𝟐(𝟎) 𝟎 Para evitar esto, factorizamos dentro de la raíz, el numerador y el denominador de la siguiente manera: 5 lim √ 𝑥→0 5 𝑥(𝑥 2 − 64) 𝑥 3 − 64𝑥 √ = lim 𝑥→0 𝑥 2 + 2𝑥 𝑥(𝑥 + 2) 5 𝑥 2 − 64 = lim √ 𝑥→0 𝑥+2 5 =√ 02 − 64 5 −64 =√ 0+2 2 5 = √−32 = −2 𝟓 𝐥𝐢𝐦 √ 𝒙→𝟎 𝒙𝟑 − 𝟔𝟒𝒙 = −𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 Página 47 Ejemplo 4. Evalúa el siguiente límite: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟓 √𝒙 + 𝟒 − 𝟑 𝒙−𝟓 SOLUCIÓN: Sustituyendo el valor de 𝒙 = 𝟓 en la función racional notamos que: lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 √5 + 4 − 3 √9 − 3 3 − 3 0 = = = = = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑥−5 5−5 5−5 5−5 0 Para evitar esto, racionalizaremos en el numerador de la siguiente manera: √𝑥 + 4 − 3 √𝑥 + 4 + 3 ∙ 𝑥→5 𝑥−5 √𝑥 + 4 + 3 lim = lim 𝑥 + 4 + 3√𝑥 + 4 − 3√𝑥 + 4 − 9 (𝑥 − 5)(√𝑥 + 4 + 3) 𝑥+4−9 𝑥→5 = lim 𝑥→5 (𝑥 = lim 𝑥→5 (𝑥 = lim 𝑥→5 √𝑥 = 1 − 5)(√𝑥 + 4 + 3) 𝑥−5 − 5)(√𝑥 + 4 + 3) 1 +4+3 √5 + 4 + 3 1 1 = = 3+3 6 √𝑥 + 4 − 3 1 lim = 𝑥→5 𝑥−5 6 = 1 √9 + 3 Determina los límites procedimiento algebraico: siguientes 𝑥−2 𝑥→2 𝑥 2 − 4 lim 𝑥−2 𝑥→2 𝑥 2 − 4 lim 𝑥 2 − 25 𝑥→5 𝑥 − 5 lim lim 𝑥→1 Página 48 √𝑥 − 1 𝑥−1 mediante CALDIF-B1-LECTURA03 Límites de Funciones Trascendentes Una función trascendente es una función que no puede ser representada por una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios, en comparación una función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. Es decir, una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable. Las funciones trascendentes se clasifican de la siguiente forma: Para ello es importante que sepamos cuales son algunas igualdades o propiedades que nos ayudaran para a resolver los problemas de límites de funciones trascendentes y aquí están algunas Propiedades Trigonométricas 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟏 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝟏 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 = 𝟏 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 = 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 A continuación, se muestran algunas formas de representar los límites de funciones trigonométricas: 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟏 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝟏 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 = 𝟏 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 = 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 Página 49 Ejemplo 1: Ejemplo 2: lim 𝑠𝑒𝑛 𝑥 lim 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 3𝜋 𝑥→ 2 𝑥→𝜋 Aplicamos a cada parte su limite Sustituimos el valor de “𝒙” = 𝑠𝑒𝑛 ( lim 𝑥 lim 𝑐𝑜𝑠2𝑥 3𝜋 ) 2 𝑥→𝜋 𝑥→𝜋 = 𝜋 cos(2𝜋) 3[3.1416] = 𝑠𝑒𝑛 ( ) 2 = 𝑠𝑒𝑛 ( = 3.1416 cos(2[3.1416]) 9.42 ) 2 = 3.1416 cos(6.28) El valor aproximado de 𝑐𝑜𝑠 (6.28) = 1 = 𝑠𝑒𝑛 (4.71) = 3.1416 (1) Tienes que colocar tu calculadora en Radianes = 3.1416 = 𝜋 = −0.999 ≈ −1 Ejemplo 3: 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 𝑥 Dividir en ambas partes de la ecuación: lim 1 (𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) lim 𝑥 𝑥→0 1 (𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 Aplicando propiedad en tan (x) lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Realizar la suma de fracciones que se encuentra en el numerador 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 + 𝑥 lim 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 Página 50 Aplicar ley de los extremos: Aplicar el límite en la ecuación resultante: 𝑠𝑒𝑛𝑥 lim 𝑐𝑜𝑠𝑥 + lim 𝑥→0 𝑥 = 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 lim 𝑐𝑜𝑠𝑥 lim 𝑥 𝑥→0 𝑥→0 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 lim 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥→0 1 lim 𝑥→0 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1+1 1(1) = 2 1 =2 A continuación, se muestran algunas formas de representar los límites de funciones exponenciales: 𝟏 𝒙 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + ) = 𝒆 𝒙→∞ 𝒙 Ejemplo 1: 𝟏 𝟏 𝐥𝐢𝐦(𝟏 + 𝒌𝒙)𝒙 = 𝒆𝒌 𝐥𝐢𝐦(𝟏 + 𝒙)𝒙 = 𝒆 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 Ejemplo 2: 3 𝟏 𝒙+𝟐 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + ) = 𝒙→∞ 𝒙 Aplicando las leyes de los exponentes lim (1 + 3𝑥)𝑥 𝑥→0 Aplicando la ley de los exponentes 1 3 1 𝑥 1 2 = (1 + ) (1 + ) 𝑥 𝑥 1 𝑥 1 2 = lim (1 + ) lim (1 + ) 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 [lim (1 + 3𝑥)𝑥 ] 𝑥→0 Aplicando las formulas = (𝑒)3 Aplicando las formulas = 𝑒3 = 𝑒(1 + 0)2 = 𝑒(1)2 = 𝑒 (1) =𝑒 Página 51 Ejemplo 3: 4 lim (1 + 𝑥)𝑥 𝑥→0 Aplicando las leyes de los exponentes 1 4 lim [(1 + 𝑥)𝑥 ] 𝑥→0 = (𝑒)4 = 𝑒4 CALDIF-B1-AF02 Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B1-LECTURA 03, analizan en binas los ejemplos mostrados y realiza un formulario sobre las propiedades de los límites Página 52 CALDIF-B1-TAREA02 CG 4.1 CG 5.1 CG 8.1 I. CDBM 2 CDBM 3 Problemario 01: Límites de funciones algebraicas y trascendentes Instrucciones: Aplicando las propiedades de los límites resuelven en binas el siguiente problemario sobre el cálculo de los límites en funciones algebraicas y trascendentes Límites: Aplicando transformaciones algebraicas y racionalización a) lim 𝑥 2 −9 f) 𝑥→3 𝑥−3 b) c) d) e) lim 𝑥 2 −1 g) 𝑥→−1 𝑥+1 lim 𝑥 2 −25 lim 𝑥 2 −9 𝑥→−3 𝑥+3 1−√𝑥−2 𝑥→3 𝑥 2 −9 𝑥 2 −16 i) 𝑥→−4 𝑥+4 lim 𝑥→−11 𝑥+11 h) lim 𝑥→−5 𝑥+5 lim 𝑥 2 −121 lim 𝑥 2 −36 j) 𝑥→−6 𝑥+6 lim 3−√𝑥2 −7 𝑥−4 𝑥→4 lim 𝑥 2 −𝑥−2 𝑥→2 𝑥 2 −2𝑥 II. Límites: Funciones trascendentes según las propiedades de los límites 𝑆𝑒𝑛 𝑥 a) lim 𝐶𝑜𝑠 𝑥 f) lim b) lim𝜋 𝑆𝑒𝑛 𝑥 g) lim (1 + 𝑥)𝑥 𝑥→𝜋 𝑥→ 𝑥→0 4𝑥 5 2 c) lim 𝑥→0 d) lim 𝑥→0 𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 1 h) lim (1 + 3𝑥)𝑥 𝑥 𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 9𝑥 2 i) lim (1 + 𝑥)𝑥 𝑥 𝑥→0 e) lim 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 1 𝑥+3 𝑥→0 j) lim (1 + 𝑥) 𝑥→0 Página 53 CALDIF-B1-GO02 Guía de observación para evaluar Tarea 02 Problemario 01 Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque: I Límites Fecha: Grupo: Nombres Turno Problemario 01 “Límites: Funciones algebraicas y Trascendentes” Aprendizajes Esperados ▪ ▪ Contenidos Específico Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones, reflexionando sobre su relevancia en procesos actuales de su entorno. Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del análisis de situaciones de su contexto para la construcción de nuevos conocimientos. CRITERIOS Límites - Concepto e interpretación de límites. - Propiedades de los limites - Límites de funciones algebraicas. - Límites de funciones trascendentes. % 1. Entrega su producto en el tiempo establecido por el facilitador 10% 2. Calcula los límites de funciones algebraicas y trascendentes 20% 3. Emplea correctamente las propiedades de los límites de funciones algebraicas 4. Emplea correctamente las propiedades de los límites de funciones trascendentes 5. Se relaciona colaborativamente, mostrando disposición al trabajo metódico y organizado CUMPLE SI NO 30% 30% 10% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador Página 54 Puntaje CALDIF-B2-LECTURA01 Derivada por Definición de Funciones Polinómicas 1. RAZON DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial al valor final. Este incremento se representa por la letra ∆ “delta”. Si 𝑦 es una función continua de 𝒙, 𝒚 = 𝒇(𝒙), y la variable 𝒙 cambia de un valor inicial 𝒙𝟏 hasta 𝑥2 , entonces el incremento de 𝒙 estará representado por ∆𝒙 (delta 𝒙) que es igual a: ∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 El incremento correspondiente de 𝑦, que cambia de 𝑦1 a 𝑦2 , será ∆𝑦 (delta 𝑦) que es igual a: ∆𝒚 = 𝒚𝟐 − 𝒙𝟏 O también: ∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ) ∆𝑥 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒙𝟏 𝑦1 = 𝑓(𝑥1 ) 𝒙𝟐 𝑦2 = 𝑓(𝑥2 ) ∆𝒚 Al cociente del incremento ∆𝒚 entre el incremento ∆𝒚 ∆𝒙, se denominará razón de cambio promedio ∆𝒙 y expresará la rapidez (velocidad) con la que cambia la variable dependiente 𝑦 respecto a la variable independiente 𝑥 en un intervalo [𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ]. ∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1 = ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1 ∆𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = ∆𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 Como ∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ), la razón de cambio puede escribirse: ∆𝒚 𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ) = ∆𝒙 ∆𝒙 Representación gráfica de la razón de cambio. La pendiente de la recta secante que une dos puntos cualesquiera P y Q sobre la curva de la función es la razón de cambio promedio en el intervalo [𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ]. Página 55 Si 𝒙𝟏 es el valor inicial, entonces 𝒙𝟐 sería igual a este valor 𝒙𝟏 más un incremento ∆𝒙, es decir, 𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 + ∆𝒙. Así: Razón de cambio ∆𝒚 𝒇(𝒙𝟏 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏 ) promedio de la función = ∆𝒙 ∆𝒙 en el intervalo [𝑥1 , 𝑥2 ]. Por ejemplo, de acuerdo de los datos tabulados de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 en el intervalo desde 𝒙𝟏 = 𝟏 hasta 𝒙𝟐 = 𝟓, los incrementos serán: 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 ∆𝒙 = 𝟓 − 𝟏 = 𝟒 1 1 ∆𝒚 = 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟐𝟒 5 25 La razón de cambio promedio de la función en el intervalo [𝟏, 𝟓] se obtendrá: ∆𝒚 𝟐𝟒 = =𝟔 ∆𝒙 𝟒 Ejemplo 1 El índice de la bolsa de valores aumentó de 𝟏𝟒𝟓𝟎 a 𝟏𝟔𝟎𝟎 puntos en un año. Encuentra la razón promedio de la variación mensual de la bolsa. ∆𝒚 𝟏𝟔𝟎𝟎 − 𝟏𝟒𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 = = = 𝟏𝟐. 𝟓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔/𝒎𝒆𝒔 ∆𝒙 𝟏𝟐 𝟏𝟐 EJEMPLO 2 Un ciclista en 𝟏𝟎 𝒎𝒊𝒏 de recorrido alcanza una velocidad de 𝟐𝟐𝟎 𝒎/𝒎𝒊𝒏, a los 30 min de recorrido lleva una velocidad de 𝟓𝟎𝟎 𝒎/𝒎𝒊𝒏. ¿Cuál es la razón de cambio de la velocidad del ciclista? ¿Cómo se denomina a este cambio de velocidad? ∆𝒚 𝟓𝟎𝟎 𝒎/𝒎𝒊𝒏 − 𝟐𝟐𝟎𝒎/𝒎𝒊𝒏 𝟐𝟖𝟎𝒎/𝒎𝒊𝒏 𝒎 = = = 𝟏𝟒𝟎 ∆𝒙 𝟑𝟎 𝒎𝒊𝒏 − 𝟏𝟎 𝒎𝒊𝒏 𝟐𝟎 𝒎𝒊𝒏 𝒎𝒊𝒏𝟐 NOTA: A la variación de la velocidad respecto al tiempo se denomina aceleración Página 56 EJEMPLO 3 Determina la razón de cambio promedio de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 en el intervalo [𝟓, 𝟏𝟎]. ∆𝑦 = 15 ∆𝑥 ∆𝒚 𝒇(𝟏𝟎) − 𝒇(𝟓) (𝟏𝟎)𝟐 − 𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟓 = = = = 𝟏𝟓 ∆𝒙 𝟏𝟎 − 𝟓 𝟏𝟎 − 𝟓 𝟓 ∆𝑦 = 75 ∆𝑥 = 5 EJEMPLO 4 Calcula la razón de cambio promedio de la función 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟒 en el intervalo [−𝟒, 𝟓]. ∆𝒚 𝒇(𝟓) − 𝒇(−𝟒) √𝟓 + 𝟒 − √−𝟒 + 𝟒 𝟑 − 𝟎 𝟏 = = = = ∆𝒙 𝟓 − (−𝟒) 𝟓+𝟒 𝟗 𝟑 ∆𝑦 1 = ∆𝑥 3 ∆𝑦 = 3 ∆𝑥 = 9 Calcula la razón promedio de cambio de cada función en el intervalo dado y represéntala gráficamente: 1. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒; en el intervalo [𝟐, 𝟒] 2. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒔𝟐 − 𝟔𝒙; en el intervalo [−𝟏, 𝟏] 3. 𝑽(𝒓) = 𝟐𝒓 ; en el intervalo [𝟎, 𝟓] 𝟖 4. 𝑫(𝒕) = 𝒕𝟑; en el intervalo [𝟏, 𝟐] 5. 𝒈(𝒙) = √𝒙𝟑 − 𝟏; en el intervalo [𝟏, 𝟏𝟎] Página 57 2. RAZON DE CAMBIO INSTANTÁNEA Sea 𝒙𝟎 un punto de un intervalo abierto en el que está definida la función 𝒚 = 𝒇(𝒙), la razón de cambio en el intervalo está dada por: ∆𝒚 𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 ) = ∆𝒙 ∆𝒙 Si el intervalo se hace infinitamente pequeño, tanto que ∆𝒙 se aproxima cada vez más a cero, la razón de cambio se determinará para el punto 𝒙𝟎 específicamente, por lo que se denominará velocidad, tasa de variación o razón de cambio instantáneas. En otras palabras, para un punto 𝒙𝟎 , la razón de cambio instantánea es el límite del cociente ∆𝒚 ∆𝒙 cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero (∆𝒙 → 𝟎). 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 Razón de cambio instantánea de la función en el punto 𝒙𝟎 . EJEMPLO 1 Consideremos la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 en la que se desea determinar la velocidad de cambio instantánea en 𝒙 = 𝟓. Tomando 𝑥 un valor inicial fijo, se define un incremento ∆𝒙 (por ejemplo ∆𝒙 = 𝟏). Entonces, a 𝒚 corresponderá un incremento ∆𝒚. La razón de cambio será: ∆𝒚 𝒇(𝟔) − 𝒇(𝟓) (𝟔)𝟑 − (𝟓)𝟑 𝟐𝟏𝟔 − 𝟏𝟐𝟓 𝟗𝟏 = = = = = 𝟗𝟏 ∆𝒙 𝟔−𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 La razón de cambio ∆𝒚 ∆𝒙 = 𝟗𝟏, describe la rapidez de cambio en el intervalo [𝟓, 𝟔]. Sin embargo, para determinar la razón de cambio instantánea el incremento ∆𝒙 debe tender a cero por lo que se hará más pequeño en cada ocasión. ∆𝒚 𝒇(𝟓. 𝟖) − 𝒇(𝟓) (𝟓. 𝟖)𝟑 − (𝟓)𝟑 𝟏𝟗𝟓. 𝟏𝟏𝟐 − 𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟎. 𝟏𝟏𝟐 = = = = = 𝟖𝟕. 𝟔𝟒 ∆𝒙 𝟓. 𝟖 − 𝟓 𝟎. 𝟖 𝟎. 𝟖 𝟎. 𝟖 ∆𝒚 𝒇(𝟓. 𝟔) − 𝒇(𝟓) (𝟓. 𝟔)𝟑 − (𝟓)𝟑 𝟏𝟕𝟓. 𝟔𝟏𝟔 − 𝟏𝟐𝟓 𝟓𝟎. 𝟔𝟏𝟔 = = = = = 𝟖𝟒. 𝟑𝟔 ∆𝒙 𝟓. 𝟔 − 𝟓 𝟎. 𝟔 𝟎. 𝟔 𝟎. 𝟔 Página 58 La siguiente tabla muestra cómo se comporta la razón de cambio cuando el incremento ∆𝒙 decrece. Valor inicial de 𝒙 Valor inicial de 𝒚 Valor final de 𝒙 Valor final de 𝒚 5 125 6 5 125 5 Incremento Incremento ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒚 ∆𝒙 216 1 91 91 5.8 195.112 0.8 70.112 87.64 125 5.6 175.616 0.6 50.616 84.36 5 125 5.4 157.464 0.4 32.464 81.16 5 125 5.2 140.608 0.2 15.608 78.04 5 125 5.1 132.651 0.1 7.651 76.51 5 125 5.01 125.7515 0.01 0.7515 75.15 5 125 5.001 125.07501 0.001 0.07501 75.01 Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer ∆𝒙 también lo hace ∆𝒚, mientras que la razón de cambio toma ∆𝑦 valores sucesivos desde 𝟗𝟏 hasta el 𝟕𝟓. 𝟎𝟏. Esta sucesión de valores indica que el valor de la razón ∆𝑥 será tan próximo a 75 como deseemos con solo tomar a ∆𝑥 cada vez más pequeño, por lo que: lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 = 75 ∆𝑥 Este valor es la razón de cambio instantánea en el punto 𝒙 = 𝟓 de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 . EJEMPLO 2 Determina la razón de cambio instantánea en 𝒙 = 𝟑 de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒. Tomando un incremento inicial de ∆𝒙 = 𝟏, tendremos: ∆𝒚 𝒇(𝟒)𝟐 − 𝒇(𝟑) [(𝟒)𝟐 − 𝟒] − [(𝟑)𝟐 − 𝟑] 𝟏𝟐 − 𝟓 𝟕 = = = = =𝟕 ∆𝒙 𝟒−𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 Página 59 Si continuamos disminuyendo ∆𝒙 tendremos los siguientes valores organizados en la tabla: Valor inicial de 𝒙 Valor inicial de 𝒚 Valor final de 𝒙 Valor final de 𝒚 3 5 4 3 5 3 Incremento Incremento ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒚 ∆𝒙 12 1 7 7 3.8 10.44 0.8 5.44 6.8 5 3.6 8.96 0.6 3.96 6.6 3 5 3.4 7.56 0.4 2.56 6.4 3 5 3.2 6.24 0.2 1.24 6.2 3 5 3.1 5.61 0.1 0.61 6.1 3 5 3.01 5.0601 0.01 0.0601 6.01 3 5 3.001 5.006001 0.001 0.006001 6.001 La sucesión de valores de ∆𝒚 ∆𝒙 tendrá como límite 𝟔, toda vez que ∆𝒙 se ha hecho cada vez más pequeño tanto como 𝟎. Por lo tanto: 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 =𝟔 ∆𝒙 Este valor es la razón de cambio instantánea en 𝒙 = 𝟑 de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒. Calcula la razón promedio de instantánea en las siguientes funciones en el punto especificado: 1. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ; en 𝒙 = 𝟎 2. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟗; en 𝒙 = 𝟎 𝟏 3. 𝒈(𝒙) = ; en 𝒙 = 𝟏 𝒙 𝟖 4. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 𝟑 ; en 𝒙 = 𝟎 𝒕 Página 60 3. LA DERIVADA Dada una función 𝒚 = 𝒇(𝒙), consideremos un valor fijo 𝒙. Dando a 𝑥 un incremento ∆𝒙, entonces obtenemos para la función 𝒚 un incremento ∆𝒚, siendo el valor final de la función: 𝒚 + ∆𝒚 = 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) Para hallar el incremento ∆𝒚 de la función, se resta al valor final el valor inicial: ∆𝒚 = 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) Dividiendo ambos miembros entre ∆𝒙, como razón de cambio, se obtiene: ∆𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) = ∆𝒙 ∆𝒙 Si aplicamos el límite cuando ∆𝒙 → 𝟎, como razón de cambio instantánea, resulta: 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 ∆𝒙 La función así encontrada se conoce como Función Derivada o simplemente Derivada, o también Función Prima. Definición fundamental del Cálculo Diferencial: La DERIVADA de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero. Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de la función según cambie el valor de su variable independiente. Se representa por el símbolo 𝒅𝒚 𝒅𝒙 , que se lee “la derivada de 𝒚 con respecto a 𝒙”. 𝒅𝒚 = 𝐥𝐢𝐦 𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 ∆𝒙 Derivada de una Función Página 61 Al proceso de hallar la derivada de una función se llama derivación o diferenciación. Algunas otras formas de representar la derivada son: 𝒅 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 “derivada de 𝒇(𝒙) con respecto a 𝑥” “𝒚 prima” 𝒚´ 𝒇´(𝒙) “función prima de 𝒙” 𝑫𝒙 [𝒚] “Derivada de 𝒚 con respecto a” El símbolo Conoce más sobre la derivada con el siguiente video. 𝒅 𝒅𝒙 es denominado operador de la derivada, e indica que toda función que se escriba después de él ha de derivarse respecto a la variable especificada, en este caso 𝒙. Por ejemplo: 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒙+𝟓 𝒅𝒙 𝒅 √𝒙 𝒅𝒙 “la derivada de 𝑥 2 con respecto a 𝑥” “la derivada de 𝑥 + 5 con respecto a 𝑥” “la derivada de √𝑥 con respecto a 𝑥” Página 62 Regla General de Derivación (Regla de los Cuatro Pasos) Como: 𝒅𝒚 = 𝐥𝐢𝐦 𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 ∆𝒙 Luego: 𝒅𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 De acuerdo con la definición de la derivada, el proceso de derivación de una función consta principalmente de 4 pasos: 1er Paso. Dar 𝒙 a un incremento ∆𝑥, y calcular el nuevo valor de la función 𝒚 + ∆𝒚. • 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 2do Paso. Restar algebraicamente la función original a la función incrementada y simplificar, para hallar así ∆𝒚. • 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙 3er Paso. Dividir la expresión ∆𝒚 entre ∆𝒙 y simplificar algebraicamente, teniendo así la razón de cambio. • 𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇 𝒙 ∆𝒙 4to Paso. Calcular el límite del cociente anterior cuando ∆𝒙 tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada. Página 63 • 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙) ∆𝒙 EJEMPLO 1. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 . Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos: Derivada a calcular: 1er paso 2do paso. 𝒅 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒚 + ∆𝒚 = 𝟑(𝒙 + ∆𝒙)𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐 ∆𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐 3er paso. ∆𝒚 𝟔𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟑(∆𝒙)𝟐 = ∆𝒙 ∆𝒙 ∆𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟑∆𝒙 ∆𝒙 4to paso. ∆𝒚 = 𝒍𝒊𝒎 (𝟔𝒙 + ∆𝒙) ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 𝒍𝒊𝒎 = 𝟔𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 𝒍𝒊𝒎 Derivada o función prima 𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙) = 𝟔𝒙 𝒅𝒙 Página 64 EJEMPLO 2. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟑. Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos: Derivada a calcular: 𝒅 (𝟓𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 𝒚 + ∆𝒚 = 𝟓(𝒙 + ∆𝒙) − 𝟑 1er paso = 𝟓𝒙 + 𝟓𝒙 ∙ ∆𝒙 − 𝟑 ∆𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟓∆𝒙 − 𝟑 − (𝟓𝒙 − 𝟑) 2do paso. = 𝟓𝒙 + 𝟓∆𝒙 − 𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟓∆𝒙 3er paso. ∆𝒚 𝟓∆𝒙 = ∆𝒙 ∆𝒙 ∆𝒚 =𝟓 ∆𝒙 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒚 = 𝒍𝒊𝒎 (𝟓) ∆𝒙 ∆𝒙→𝟎 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒚 =𝟓 ∆𝒙 ∆𝒙→𝟎 4to paso. ∆𝒙→𝟎 Derivada o función prima Derivada o función prima 𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙) = 𝟓 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙) = 𝟔𝒙 𝒅𝒙 Página 65 EJEMPLO 3. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟖. Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos: Derivada a calcular: 𝒅 (𝒙𝟑 + 𝟖) 𝒅𝒙 𝒚 + ∆𝒚 = (𝒙 + ∆𝒙)𝟑 + 𝟖 1er paso = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 + 𝟖 ∆𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 + 𝟖 − (𝒙𝟑 + 𝟖) 2do paso. = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 + 𝟖 − 𝒙𝟑 − 𝟖 = 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 3er paso. ∆𝒚 𝟑𝒙𝟐 ∙ ∆𝒙 + 𝟑𝒙 ∙ (∆𝒙)𝟐 + (∆𝒙)𝟑 = ∆𝒙 ∆𝒙 ∆𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 ∙ ∆𝒙 + (∆𝒙)𝟐 ∆𝒙 4to paso. 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒚 = lim (3𝑥 2 + 3𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2 ) ∆𝒙 ∆𝑥→0 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒚 = 3𝑥 2 ∆𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙→𝟎 Derivada o función prima 𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙) = 3𝑥 2 𝒅𝒙 Página 66 EJEMPLO 4. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝟓 𝒙𝟐 . Aplicando los pasos sucesivos de la regla general de derivación, tenemos: Derivada a calcular: 1er paso 𝒅 𝟓 ( ) 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝑦 + ∆𝑦 = ∆𝒚 = 2do paso. 3er paso. 5 (𝑥 + ∆𝑥)2 5 5 − (𝑥 + ∆𝑥)2 𝑥 2 5𝑥 2 − 5[𝑥 2 + 2𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2 ] = 𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2 5𝑥 2 − 5𝑥 2 − 10𝑥 ∙ ∆𝑥 − 5(∆𝑥)2 = 𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2 −10𝑥 ∙ ∆𝑥 − 5(∆𝑥)2 = 𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2 ∆𝑥(−10𝑥 − 5∆𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2 ∆𝑥(−10𝑥 − 5∆𝑥) ∆𝒚 𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2 = ∆𝒙 ∆𝑥 ∆𝒚 −10𝑥 − 5∆𝑥 = ∆𝒙 𝑥 2 (𝑥 + ∆𝑥)2 ∆𝒚 −10𝑥 − 5∆𝑥 = lim 2 ∆𝑥→0 𝑥 (𝑥 + ∆𝑥)2 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 ∆𝒚 −10𝑥 𝒍𝒊𝒎 = 2 2 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 𝑥 (𝑥) ∆𝑦 −10 lim = 3 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑥 𝒍𝒊𝒎 4to paso. Derivada o función prima 𝒅𝒚 −10 = 𝒇´(𝒙) = 3 𝒅𝒙 𝑥 Página 67 De acuerdo a la habilidad del estudiante, puede aplicar los 4 pasos de manera directa usando la definición de la derivada: 𝒅𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 EJEMPLO 5. Encontrar la derivada de 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝒅 𝟐(𝒙 + ∆𝒙)𝟐 − 𝟔(𝒙 + ∆𝒙) − (𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙) (𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 𝒅𝒙 ∆𝒙 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟐(∆𝒙)𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟔∆𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 𝟒𝒙 ∙ ∆𝒙 + 𝟐(∆𝒙)𝟐 − 𝟔∆𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝟒𝒙 + 𝟐∆𝒙 − 𝟔 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 = 𝟒𝒙 − 𝟔 Expresión resultante que será la derivada o función prima. 𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟔 𝒅𝒙 EJEMPLO 6. Calcular la derivada de 𝑦 = √𝑥 𝒅 √𝒙 + ∆𝒙 − √𝒙 √𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 𝒅𝒙 ∆𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 = = √𝒙 + ∆𝒙 − √𝒙 √𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙 ∙ ∆𝒙 √𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒙 ∆𝒙 ∙ [√𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙] 𝟏 √𝒙 + ∆𝒙 + √𝒙 𝟏 √𝒙 + √𝒙 𝟏 𝟐√𝒙 Expresión resultante que será la derivada o función prima. 𝒅𝒚 𝟏 = 𝒇´(𝒙) = 𝒅𝒙 𝟐√𝒙 Página 68 Para comprender mejor la regla de los cuatro pasos, analiza estos otros ejemplos. Para cada una de las funciones siguientes, obtener su derivada utilizando la regla general de derivación o de los 4 pasos: 1. 𝒚 = 𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 2. 𝒚 = 𝟓𝒙𝟑 3. 𝒚 = 𝟕𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 4. 𝒚= 5. 𝒚= 6. 𝒚= 7. 𝒚= 𝟏 𝒙𝟑 𝟏 𝒙+𝟐 𝒙 𝒙𝟐 +𝟏 𝒙−𝟏 𝒙+𝟏 8. 𝒚 = √𝒙 + 𝟏 Página 69 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sean 𝑷 y 𝑸 dos puntos sobre la gráfica de la función 𝒚 = 𝒇(𝒙), cuyas coordenadas son: 𝑷 (𝒙, 𝒇(𝒙) ) 𝑚= ∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1 = ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1 ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑸 (𝒙 + ∆𝒙, 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) ) ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 La recta Secante que une los puntos 𝑷 y 𝑸 tendrá por pendiente: 𝒎𝒔𝒆𝒄 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 De manera análoga: ∆𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) = = ∆𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ∆𝒙 Por lo que: 𝒎𝒔𝒆𝒄 = ∆𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) = ∆𝒙 ∆𝒙 Si 𝑷 es un punto fijo sobre la curva de la función y 𝑸 se mueve aproximándose indefinidamente a 𝑷, haciendo que ∆𝒙 tienda a cero. La secante 𝑷𝑸 girará alrededor de 𝑷, teniendo como posición límite la tangente a la curva en 𝑷. De igual manera, el valor de la pendiente de las rectas secantes tendrá como valor límite la pendiente de la recta tangente en 𝑷. lim 𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥→0 ∆𝑥 = 𝑚𝑡𝑔 Página 70 Si 𝝋 es el ángulo de inclinación de la recta secante 𝑷𝑸, el ángulo 𝝉 de la recta tangente en 𝑷 será su valor límite, luego: 𝐥𝐢𝐦 𝐭𝐠 𝛗 = 𝐭𝐠 𝛕 ∆𝐱→𝟎 Además, la tangente del ángulo 𝝉 es igual a su pendiente: 𝒕𝒈 𝝉 = 𝒎𝒕𝒈 Puedes consultar los siguientes recursos sobre la derivada como pendiente de la recta tangente. De modo que: ∆𝒚 = 𝒕𝒈 𝝉 = 𝒎𝒕𝒈 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 𝒍𝒊𝒎 Retomando el concepto de derivada analizado anteriormente, obtenemos: 𝒅𝒚 ∆𝒚 = 𝒇´(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 = 𝒕𝒈 𝝉 = 𝒎𝒕𝒈 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 𝒅𝒙 LA DERIVADA “El valor de la DERIVADA en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto”. EJEMPLO 1. Sea la parábola 𝒚 = 𝒙𝟐 . Determina: a) La pendiente de la función en cualquier punto. 𝟏 b) El valor de la pendiente en 𝒙 = . 𝟐 c) El ángulo de inclinación de la recta tangente en ese punto. SOLUCIÓN a) Derivando la función tenemos: 𝒅 𝟐 𝑥 2 + 2𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥 2 𝒙 = lim ∆𝑥→0 𝒅𝒙 ∆𝑥 2𝑥 ∙ ∆𝑥 + (∆𝑥)2 ∆𝑥→0 ∆𝑥 = lim 2𝑥 + ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 = 2𝑥 La función 𝒇´(𝒙) = 𝟐𝒙 es la pendiente de la curva en cualquier punto. Página 71 𝟒𝟓° 𝟏 b) Para el punto 𝒙 = la pendiente será: 𝟐 Analiza el valor de la derivada en funciones polinómicas con este recurso. 𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥 1 𝑚 = 2( ) 2 𝑚=1 c) Y su ángulo de inclinación: 𝑡𝑔 𝜏 = 𝑚 𝑡𝑔 𝜏 = 1 𝜏 = 𝑡𝑔−1 (1) 𝜏 = 45° Página 72 CALDIF-B2-LECTURA02 Derivada de Funciones Algebraicas La regla general de derivación es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada. Sin embargo, el procedimiento de aplicarla en la resolución de problemas es largo y, en ocasiones, difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia. En estas fórmulas las letras 𝒖, 𝒗 y 𝒘 representan funciones derivables de 𝒙. REGLA FÓRMULAS DE DERIVACIÓN I Derivada de una constante 𝒅 [𝒄] = 𝟎 𝒅𝒙 II Derivada de una variable con respecto a sí misma 𝒅 [𝒙] = 𝟏 𝒅𝒙 III Derivada del producto constante por una función de una 𝒅 𝒅𝒖 [𝒄𝒖] = 𝒄 𝒅𝒙 𝒅𝒙 IIIA Derivada del producto constante por una variable de una 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 𝒅𝒙 IV Derivada de la potencia de una variable V Derivada de una suma algebraica VI Derivada de la potencia de una función VII Derivada del funciones VIII Derivada de un cociente producto de 𝒅 [𝒙𝒏 ] = 𝒏 𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒘 [𝒖 + 𝒗 − 𝒘] = + − 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 dos 𝒅 𝒅𝒖 [𝒖𝒏 ] = 𝒏 𝒖𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒗 𝒅𝒖 [𝒖𝒗] = 𝒖 + 𝒗 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒗 − 𝒖 𝒅 𝒖 𝒅𝒙 𝒅𝒙 [ ]= 𝒅𝒙 𝒗 𝒗𝟐 Página 73 I. DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si 𝒚 es una función constante, 𝒚 = 𝒄, su derivada será: 𝒅 [𝒄] = 𝟎 𝒅𝒙 La derivada de una constante siempre será cero. EJEMPLO 1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒚 = −𝟓 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 [−𝟓] = 𝟎 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟑 2. 𝒚 = 𝟒 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝟑 = [ ]=𝟎 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟒 II. DERIVADA DE UNA VARIABLE CON RESPECTO A SÍ MISMA Si 𝒚 es una función identidad, 𝒚 = 𝒙, su derivada será: 𝒅 [𝒙] = 𝟏 𝒅𝒙 La derivada de una variable con respecto a sí misma es la unidad. EJEMPLO 2. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒓 = 𝜽 Solución: 𝒅𝒓 𝒅 [𝜽] = 𝟏 = 𝒅𝜽 𝒅𝜽 2. 𝑺 = 𝒕 Solución: 𝒅𝑺 𝒅 [𝒕] = 𝟏 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Página 74 III. DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN Si 𝒚 es el producto de una constante por una función, 𝒚 = 𝒄𝒖, su derivada será: 𝒅 𝒅 [𝒄𝒖] = 𝒄 𝒅𝒙 𝒅𝒙 La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. IIIa. DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA VARIABLE Cuando 𝒖 = 𝒙 la función anterior se convierte en 𝒚 = 𝒄𝒙 y su derivada será: 𝒅 [𝒄𝒙] = 𝒄 𝒅𝒙 La derivada del producto de una constante por una variable será la constante. EJEMPLO 3. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒓 = 𝟐𝒙 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 [𝟐𝒙] = 𝟐 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 2. 𝑺 = −𝟒𝒙 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 [−𝟒𝒙] = −𝟒 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 Escanea los Códigos QR para más ejemplos. 𝟐 3. 𝒚 = 𝟓 𝒙 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝟐 𝟐 = [ 𝒙] = 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟓 𝟓 Página 75 IV. DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA VARIABLE Si 𝒚 es una potencia, 𝒚 = 𝒙𝒏 , donde 𝒏 es un exponente constante, su derivada será: 𝒅 [𝒙𝒏 ] = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 La derivada de la potencia de una variable de exponente constante es igual al producto del exponente por la variable elevada a su exponente disminuido en una unidad. EJEMPLO 4. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒚 = 𝒙𝟐 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 [𝒙𝟐 ] = 𝒙𝟐−𝟏 = 𝟐𝒙 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 2. 𝒚 = 𝟒𝒙𝟑 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝒅 [𝟒𝒙𝟑 ] = 𝟒 [𝒙𝟑 ] = 𝟒(𝒙𝟑−𝟏 ) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 Aplicando las leyes de los exponentes con potencias negativas y fraccionarias, se pueden resolver las siguientes derivadas 𝟏 3. 𝒚 = 𝒙𝟐 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝟏 𝒅 −𝟐 𝟐 [𝒙 ] = −𝟐𝒙−𝟐−𝟏 = −𝟐𝒙−𝟑 = − 𝟑 = [ 𝟐] = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 4. 𝒚 = √𝒙 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝒅 𝟏⁄ 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = [√𝒙] = [𝒙 𝟐 ] = 𝒙 ⁄𝟐−𝟏 = 𝒙− ⁄𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 1 1 = 1 = ⁄2 2√𝑥 2𝑥 Página 76 V. DERIVADA DE UNA SUMA ALGEBRAICA Si 𝒚 es una suma algebraica de funciones, 𝒚 = 𝒖 + 𝒗 − 𝒘, su derivada será: 𝒅 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒘 [𝒖 + 𝒗 − 𝒘] = + − 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 La derivada de una suma algebraica de un número finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones. EJEMPLO 5. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒚 = 𝒙 + 𝟑 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝒅 𝒅 [𝒙 + 𝟑] = [𝒙] + [𝟑] = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 2. 𝒚 = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝒅 𝒅 𝒅 [𝟑𝒙𝟒 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎] = [𝟑𝒙𝟒 ] − [𝟕𝒙] + [𝟏𝟎] = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟕 + 𝟎 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟕 𝟑 3. 𝒚 = √𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝟑 𝟒 𝒅 𝟒⁄ 𝒅 [𝟐𝒙𝟐 ] = [ √𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 ] = [𝒙 𝟑 ] + 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟒 𝟒 𝟒 𝟏 𝟒𝟑 = 𝒙 ⁄𝟑−𝟏 + 𝟒𝒙 = 𝒙 ⁄𝟑 + 𝟒𝒙 = √𝒙 + 𝟒𝒙 𝟑 𝟑 𝟑 Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒚 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 10𝑥 − 1 2. 𝒚 = 6𝑥5 − 7𝑥3 + 8𝑥 2 3. 𝒚 = √𝑥3 4. 𝒚= Página 77 2 𝑥4 REGLA DE LA CADENA Para derivar una función 𝒚, que está compuesta por otras funciones 𝒖, 𝒗 o 𝒘, todas ellas dependientes de 𝒙, se emplea la regla de la cadena. Por ejemplo, si se quiere derivar la función 𝒚 = (𝟐𝒙 − 𝟏)𝟑 , se puede hacer una pequeña sustitución 𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟏, reescribiendo la función como 𝒚 = 𝒖𝟑 . Está claro que la derivada de este arreglo estaría con respecto a 𝒖, 𝒅𝒚 𝒅𝒖 . Pero como la derivada de la función debe estar con respecto a 𝒙, se tendría que derivar nuevamente pero solo a la función 𝒖. A este arreglo se le conoce como Regla de la Cadena. REGLA DE LA CADENA Sean las funciones: 𝒚 = 𝒇(𝒖) y 𝒖 = 𝒈(𝒙) de manera que 𝒚 = 𝒇(𝒈(𝒙)), ambas funciones derivables, entonces: 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖 = ∙ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 La derivada una función con respecto a 𝒙 es igual al producto de la derivada de a función con respecto a 𝒖, por la derivada de 𝒖 con respecto a 𝒙. Esta regla permite derivar funciones que se forman por la mezcla de funciones como potencias, productos, cocientes, términos trigonométricos, exponenciales, entre otros. VI. DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA POTENCIA Si 𝒚 es una potencia de una función 𝒖, 𝒚 = 𝒖𝒏 , donde 𝒏 es un exponente constante, su derivada será: 𝒅 𝒅𝒖 [𝒖𝒏 ] = 𝒏𝒖𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒙 La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a su exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función. Página 78 EJEMPLO 6. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒚 = (𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏𝟎 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝒅 [(𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏𝟎 ] = 𝟏𝟎 (𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟏𝟎−𝟏 [𝟓 − 𝒙𝟐 ] = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 [𝒙] = 𝟏𝟎 (𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟗 [−𝟐𝒙] 𝒅𝒙 = −𝟐𝟎𝒙(𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟗 2. 𝒚 = 𝟏 𝒙𝟐 +𝟏 Solución: 𝒅𝒚 𝒅 𝟏 𝒅 𝒅 [(𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟏 ] = −𝟏(𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟏−𝟏 [𝒙𝟐 + 𝟏] = [ 𝟐 ] = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒙 −𝟐𝒙 = −𝟏(𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟐 (𝟐𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 3. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑 + 𝒙 Solución: 𝒇´(𝒙) = 𝒅 𝒅 𝟏 𝒅 𝟏 𝟏 [𝒙𝟑 + 𝒙] [√𝒙𝟑 + 𝒙] = [(𝒙𝟑 + 𝒙) ⁄𝟐 ] = (𝒙𝟑 + 𝒙) ⁄𝟐−𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = = 𝟏 𝟑 −𝟏 (𝒙 + 𝒙) ⁄𝟐 (𝟑𝒙𝟐 + 𝟏) 𝟐 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐(𝒙𝟑 + 𝒙) 𝟏⁄ 𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐√𝒙𝟑 + 𝒙 Hallar la derivada de las siguientes potencias de funciones usando la Regla de la Cadena: 1. 𝒚 = (𝑥4 + 10𝑥) 4 5 7 2. 𝒚 = √(2𝑥 + 𝑥3 ) 3. 𝒚 = 1 2 (3𝑥 −5) 6 Página 79 VII. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES Si 𝒚 es el producto de dos funciones, 𝒚 = 𝒖𝒗, aplicando la Regla de la Cadena, su derivada será: 𝒅 𝒅𝒗 𝒅𝒖 [𝒖𝒗] = 𝒖 + 𝒗 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda por la derivada de la primera. Para aplicar esta regla de derivación, resulta conveniente designar una función del producto como 𝑢 y la otra como 𝑣, y obtener por separado sus derivadas, para posteriormente integrarla a la fórmula VII, tal como se muestra en los ejemplos. EJEMPLO 7. Encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑 𝒖 𝒗 Solución: Derivando por separado tenemos: FUNCIÓN 𝒖 FUNCIÓN 𝒗 𝑢 = 3𝑥 − 2𝑥2 𝑣 = (5 + 4𝑥) DERIVADA DE 𝒖 DERIVADA DE 𝒗 3 𝑑𝑣 = 3(5 + 4𝑥)2 (4) 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 3 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 12(5 + 4𝑥)2 Página 80 Integrando los elementos a la fórmula VII y resolviendo: 𝒅 𝒇´(𝒙) = 𝒅𝒙 [(𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑 ] = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟏𝟐(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟐 ) + (𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑 (3 − 𝒅𝒖 4𝑥) 𝒅𝒗 𝒅𝒙 𝒖 𝒗 𝒅𝒙 = (36𝑥 − 24𝑥 2 )(5 + 4𝑥)2 + (5 + 4𝑥)3 (3 − 4𝑥) = (5 + 4𝑥)2 [(36𝑥 − 24𝑥 2 ) + (5 + 4𝑥)(3 − 4𝑥)] = (5 + 4𝑥)2 [36𝑥 − 24𝑥 2 + 15 − 8𝑥 + 16𝑥 2 ] = (5 + 4𝑥)2 (−8𝑥 2 + 28𝑥 + 15) 2. 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟓 + 𝟒𝒙)𝟑 𝒗 𝒖 Solución: Derivando por separado tenemos: FUNCIÓN 𝒖 FUNCIÓN 𝒗 𝑢 = 5𝑥3 − 1 𝑣 = √𝑥2 + 1 DERIVADA DE 𝒖 DERIVADA DE 𝒗 𝑑𝑢 = 15𝑥2 𝑑𝑥 −1⁄ 𝑑𝑣 1 2 = (𝑥 + 1) 2 (2𝑥) 𝑑𝑥 2 = 𝑥 √𝑥 2 + 1 Integrando los elementos a la fórmula VII y resolviendo: 𝑑𝑦 𝑑 𝒇´(𝒙) = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 [(5𝑥 3 − 1)√𝑥 2 + 1] = (5𝑥 3 − 1) (√𝑥 2 ) + √𝑥 2 + 1 (15𝑥 2 ) +1 𝒅𝒗 𝒅𝒙 𝒖 = 5𝑥 4 − 𝑥 √𝑥 2 + 1 = + 15𝑥 2 √𝑥 2 + 1 = 5𝑥 4 − 𝑥 + 15𝑥 4 + 15𝑥 2 √𝑥 2 + 1 Página 81 = 5𝑥 4 − 𝑥 √𝑥 2 + 1 + 𝒗 15𝑥 2 (𝑥 2 + 1) √𝑥 2 + 1 20𝑥 4 + 15𝑥 2 − 𝑥 √𝑥 2 + 1 𝒅𝒖 𝒅𝒙 Hallar la derivada de los siguientes productos: 1. 𝒚 = −9𝑥3 (2 − 3𝑥2 ) 2 2. 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 4)(2𝑥 − 9)3 3. ℎ(𝑡) = 𝑡 2 √1 + 2𝑡 ¿Sabías qué? Gottfried Wilhelm Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la regla del producto, lo hizo motivado por la siguiente expresión: (𝒙 + 𝒅𝒙)(𝒚 + 𝒅𝒚) − 𝒙𝒚 de la cual restó 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 por considerarlos valores despreciables, para posteriormente calcular la forma diferencial 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥. Lo que dio como resultado la forma tradicional de la regla del producto. (Fuente: The History of Mathematics de David M. Burton) La regla para derivar un producto puede aplicarse a funciones que contengan multiplicaciones de dos o más factores, por ejemplo, si 𝒇, 𝒈 y 𝒉 son funciones derivables en 𝑥, entonces: 𝒅 [𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)𝒉(𝒙)] = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)𝒉´(𝒙) + 𝒇(𝒙)𝒈´(𝒙)𝒉(𝒙) + 𝒇´(𝒙)𝒈(𝒙)𝒉(𝒙) 𝒅𝒙 Página 82 VIII. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES 𝒖 Si 𝒚 es el cociente de dos funciones, 𝒚 = , su derivada será: 𝒗 𝒅(𝒖) 𝒅(𝒗) 𝒗 −𝒖 𝒅 𝒖 𝒅𝒙 𝒅𝒙 [ ]= 𝒅𝒙 𝒗 𝒗𝟐 La derivada de un cociente es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. Al igual que la regla para derivar un producto, en esta regla también es conveniente designar a 𝒖 como el numerador y a 𝒗 como el denominador, y obtener por separado sus derivadas. EJEMPLO 8. Encuentra la derivada de las siguientes funciones 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ←𝑢 𝑥 2 + 1← 𝑣 SOLUCIÓN Derivando por separado tenemos: FUNCIÓN 𝑢 FUNCIÓN 𝑣 𝑣 = 𝑥2 + 1 𝑢=𝑥 DERIVADA DE 𝑢 DERIVADA DE 𝑣 𝑑𝑢 =1 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 2𝑥 𝑑𝑥 Integrando los elementos a la fórmula VIII y resolviendo: 𝑣 𝑓´(𝑥) = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑢 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 1) (1) − 𝑥 (2𝑥) 𝑑 𝑥 [ 2 ]= (𝑥 2 + 1)2 𝑑𝑥 𝑥 + 1 𝑣2 Página 83 𝑥 2 + 1 − 2𝑥 2 −𝑥 2 + 1 = = 2 (𝑥 2 + 1)2 (𝑥 + 1)2 2. 𝑥5 − 𝑥 𝑦= 3 ←𝑢 𝑥 −1 ←𝑣 SOLUCIÓN Derivando por separado tenemos: FUNCIÓN 𝑢 FUNCIÓN 𝑣 𝑣 = 𝑥3 − 1 𝑢 = 𝑥5 − 𝑥 DERIVADA DE 𝑢 DERIVADA DE 𝑣 𝑑𝑢 = 5𝑥4 − 1 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 3𝑥2 𝑑𝑥 Integrando los elementos a la fórmula VIII y resolviendo: 𝑣 𝑓´(𝑥) = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 (𝑥 3 − 1) (5𝑥 4 − 1) − [(𝑥 5 − 𝑥)(3𝑥 2 )] 𝑑 𝑥5 − 𝑥 [ 3 ]= (𝑥 3 − 1)2 𝑑𝑥 𝑥 − 1 𝑣2 = 5𝑥 7 − 5𝑥 4 − 𝑥 3 + 1 − (3𝑥 7 − 3𝑥 3 ) (𝑥 3 − 1)2 = 2𝑥 7 − 5𝑥 4 + 2𝑥 3 + 1 (𝑥 3 − 1)2 Página 84 3. 𝑠(𝑡) = 𝑡3 √1 − 𝑡 2 SOLUCIÓN Derivando por separado tenemos: FUNCIÓN 𝑢 FUNCIÓN 𝑣 𝑢 = 𝑡3 𝑣 = √1 − 𝑡2 DERIVADA DE 𝑢 DERIVADA DE 𝑣 𝑑𝑢 = 3𝑡2 𝑑𝑥 −1⁄ 𝑑𝑣 1 = (1 − 𝑡2 ) 2 (−2𝑡) 𝑑𝑥 2 = −𝑡 √1 − 𝑡 2 Integrando los elementos a la fórmula VIII y resolviendo: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 −𝑡 ) √1 − 𝑡 2 (3𝑡 2 ) − 𝑡 3 ( 2 𝑑 𝑥 −𝑥 √1 − 𝑡 𝑓´(𝑥) = [ ]= 2 𝑑𝑥 𝑥 3 − 1 (√1 − 𝑡 2 ) 5 𝑣2 𝑡4 3𝑡 2 (1 − 𝑡 2 ) 𝑡4 + √1 − 𝑡 2 = √1 − 𝑡 2 √1 − 𝑡 2 2 2 (1 − 𝑡 ) (√1 − 𝑡 2 ) 3𝑡 2 √1 − 𝑡 2 + = 3𝑡 2 − 3𝑡 4 + 𝑡 4 2 3𝑡 2 − 2𝑡 4 √1 − 𝑡 = = (1 − 𝑡 2 ) √1 − 𝑡 2 (1 − 𝑡 2 ) = 3𝑡 2 − 2𝑡 4 (1 − 𝑡 2 ) 3⁄ 2 Página 85 Hallar la derivada de los siguientes cocientes: 𝟏−𝒙 1. 𝒚 = 𝟏+𝒙 2. 𝒇(𝒙) = 𝒙 √𝟏+𝟐𝒙 𝟐+𝟑𝒕 3. 𝒈(𝒕) = √ 𝟐−𝟑𝒕 Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B2-LECTURA 01, calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando el método de los 4 pasos o por definición. CALDIF-B2-AF01 I. Derivadas por definición o por los cuatro pasos a) 𝑦 = 4𝑥 − 5 g) 𝑦 = b) 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 6 4𝑥+6 𝑥−2 3 h) 𝑦 = 𝑥 2+1 c) 𝑦 = 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 + 6 𝑥2 d) 𝑦 = 2𝑥 4 i) 𝑦 = 𝑥−1 e) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 j) 𝑦 = √𝑥 + 2 f) 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 II. Derivadas inmediatas o por fórmulas a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 + 6 b) 𝑦 = f) 𝑦 = 𝑥 2 −1 2𝑥−3 𝑥 2 +4𝑥+3 g) 𝑦 = √1 + 2𝑥 √𝑥 h) 𝑦 = (2𝑥 + 5)√𝑥 c) 𝑔(𝑢) = √2𝑢 + √3𝑢 1 d) 𝑣 = (√𝑥 + 4 ) 2 i) 𝑦 = 2𝑥 4 − 5𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 9 √𝑥 𝑥+1 j) 𝑦 = 𝑥−1 e) 𝑦 = √𝑥(𝑥 − 1) Página 86 Reporte: Carrera 100 m planos CALDIF-B2-TAREA03 CG 4.1 CDBM 2 CG 5.1 CDBM 3 CG 8.1 Instrucciones: Aplicando las propiedades de los límites resuelven en binas el siguiente problemario sobre el cálculo de los límites en funciones algebraicas y trascendentes REQUERIMIENTOS a) Establecer lugar y fecha para el desarrollo de la carrera. b) Definir las reglas de operatividad. c) Solicitar el registro de los valores de la distancia vs tiempo ACTIVIDADES a) Realizar la carrera de los 100m planos. b) Preparar el lugar para la carrera y marcar las distancias en las cuales se tomarán los datos experimentales. c) Registra en una tabla de valores la distancia y el tiempo. d) Realizar la gráfica correspondiente a la tabla de valores para analizar el comportamiento de la distancia recorrida del competidor a través del tiempo. e) Determinar la velocidad promedio de todo el recorrido, así como al inicio, intermedio y final. f) Ajustar los datos a un modelo adecuado. g) Calcular la primera y segunda derivada como la velocidad puntual y aceleración de cada competidor, respectivamente. h) Integrar un reporte con la metodología empleada en la solución de este producto. Página 87 CALDIF-B2-GO01 Guía de observación para evaluar Tarea 03 Reporte Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque: I La Derivada Fecha: Grupo: Nombres Turno Reporte “Carrera de 100 m” Aprendizajes Esperados Contenidos Específico ▪ Derivada por definición de ▪ Emplea la regla de los cuatro pasos, para obtener la derivada de una funciones polinómicas función y la relaciona con situaciones presentes en su contexto, (regla de los 4 pasos) ▪ Derivadas de funciones promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo. algebraicas CUMPLE CRITERIOS % Puntaje SI NO 1. Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el 10% facilitador. 2. Registra en una tabla de valores la distancia y el tiempo de la carrera. 20% 3. Representa gráficamente el comportamiento de la distancia recorrida a través del tiempo. 20% 4. Determina la velocidad promedio de todo el recorrido. 20% 5. Calcula la primera y segunda derivada como la velocidad puntual y aceleración de cada competidor respectivamente. 6. Se relaciona colaborativamente mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. 20% 10% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador . Página 88 “LÍMITES Y DERIVADAS” CALDIF-B1_B2-PP01 CG 1.1 CG 4.1 CG 5.1 CG 8.1 CDBM 2 CDBM 3 CDBM 5 CDBM 8 CUESTIONARIO TIPO PLANEA Indicaciones: De acuerdo a los conocimientos y habilidades adquiridas durante la SD1 “No andes a la deriva”, lee cuidadosamente cada reactivo y selecciona la respuesta correcta. 1. El valor fijo 𝑳, al que tiende una función 𝒇(𝒙) 2. Es el límite de la razón de cambio de una función 𝒇(𝒙), cuando 𝑥 se aproxima a un valor dado 𝒂, es la cuando el incremento de la variable independiente 𝒙 definición de: tiende a cero: a) Derivada a) Derivada b) Límite b) Límite c) Indeterminación c) Indeterminación d) Asíntota d) Asíntota 3. Es el valor límite de la siguiente función: 4. Aplica las propiedades de los límites, y calcula: 𝟑 𝐥𝐢𝐦 (𝒙𝟐 − 𝟓) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙→−𝟏 a) 0 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙+𝟏 a) −1 b) 1 b) −2 c) −1 c) 2 d) ∞ d) ∞ 5. ¿Cuál es el valor límite de la siguiente función? 6. Dada la función 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙, su derivada será: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ a) 0 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 a) 7𝑥 + 5 b) 7𝑥 2 − 5 b) 1 c) 12𝑥 2 − 5 c) −1 d) −12𝑥 2 + 5 d) ∞ Página 89 7. Dada la función 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙𝟐 , su derivada será: a) Secante a) −2𝑥 3 b) c) d) 9. El 8. En la siguiente gráfica, la derivada es representada por la recta 𝑻, que es _________ a la curva 𝑨𝑩: b) Tangente 1 −2𝑥 3 c) Normal −2 𝑥3 d) Paralela −2 𝑥2 desplazamiento de un móvil está 10. De acuerdo al problema anterior, ¿Qué velocidad llevaba el móvil a los 25 segundos de recorrido? representado por 𝑫(𝒕) = 𝟏𝟎√𝒕 + , donde 𝑚 𝑫 es la distancia en 𝒎 y 𝒕 el tiempo en a) 3.0 𝑠𝑒𝑔 segundos. ¿Cuál es la expresión que representa la velocidad del móvil? 𝑚 b) 2.5 𝑠𝑒𝑔 𝒕𝟐 𝟐𝟎 a) b) c) d) 𝑑𝐷 𝑑𝑡 𝑑𝐷 𝑑𝑡 𝑑𝐷 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐷 = = = = 5 √𝑡 √𝑡 5 10 √𝑡 5 √𝑡 + 𝑡 10 c) 1.5 𝑚 𝑠𝑒𝑔 d) 3.5 𝑚 𝑠𝑒𝑔 𝑡 + 10 𝑡 + 20 𝑡 − 10 Página 90 MAT4-B1_B2-MA01 Mapa de aprendizaje para evaluar los Aprendizajes Esperados Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque I Límites Bloque II La Derivada Fecha: Grupo: Nombres Turno: Situación Didáctica 1: “No andes a la deriva” Conocimientos ▪ ▪ Habilidades Antecedentes y aplicaciones del ▪ cálculo Límites - Concepto e interpretación de límites - Propiedades de los límites - Límites de funciones algebraicas - Límites de trascendentes Actitudes ▪ Reconoce a los principales personajes y sus aportaciones en el desarrollo del cálculo, así como la importancia de su ▪ aplicación en la actualidad. ▪ Interpreta gráficamente los ▪ diferentes tipos de límites ▪ Identifica la forma analítica de los distintos tipos de límites (finitos, infinitos e ▪ indeterminados) funciones ▪ ▪ ▪ ▪ Interpreta la definición de la derivada como una razón de cambio ▪ Distingue distintas formas de obtener la derivada de una función Derivada por definición de funciones polinómicas (regla de los 4 pasos) Derivadas de funciones algebraicas Página 91 Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Muestra disposición al trabajo metódico y organizado Privilegia el dialogo para la construcción de nuevos conocimientos Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria ▪ Muestra disposición al trabajo metódico y organizado ▪ Privilegia el dialogo para la construcción de nuevos conocimientos ▪ Aporta ideas en la solución de problemas promoviendo su creatividad 1 = Necesito ayuda 2 = Puedo hacerlo solo 3 = Puedo ayudar a otros NIVEL CRITERIOS ¿Qué debo hacer para mejorar? 1 2 3 Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y aplicaciones, reflexionando sobre su relevancia en procesos actuales de su entorno Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del análisis de situaciones de su contexto para la construcción de nuevos conocimientos Emplea la regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función y la relaciona con situaciones presentes en su contexto, promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador Página 92 BIBLIOGRAFIA • COBACHBC (2020). Calculo diferencial. México. Colegio de Bachilleres de Baja California. • Collins, J. Cálculo. Academia de estudios avanzados. Ed. Alec, 1ra edición. 2012. • Courant, R.- John, F. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Ed. Limusa- Wiley, México, 1971. • David M. Burton, The History of Mathematics; An Introduction, McGrawHill, New York, 1991. • Granville, W. A. Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Limusa. 11va edición. 2011. • Katz, V. (2009). A history of mathematics: An introduction. New York: Addison-Wesley. • Kline, M. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Addison-Wesley, 1998. Página 93 Segunda Revisión de Portafolios y Evaluación Sumativa Página 94 BLOQUE II La Derivada BLOQUE III. Aplicaciones de la Derivada BLOQUES II. La Derivada ✓ Derivada de funciones trascendentes ✓ Derivadas de Orden Superior III. Aplicaciones de la Derivada ✓ Máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función ✓ Optimización ✓ Velocidad, aceleración y rapidez de un móvil ✓ Regla de L’Hôpital Página 95 BLOQUE II. LA DERIVADA BLOQUE III. APLICACIONES DE LA DERIVADA ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ PROPÓSITO DE CADA BLOQUE Aplica los métodos de derivación, trabajando de forma metódica y organizada para contribuir en la solución de situaciones hipotéticas y/o reales de manera crítica y reflexiva. Utiliza las reglas de derivación para resolver situaciones reales y/o hipotéticas del medio que lo rodea, favoreciendo con ello la construcción de nuevos conocimientos y afrontando los retos que se le presenten. APRENDIZAJES ESPERADOS Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de situaciones reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana, trabajando de forma metódica y organizada. Esboza de manera metódica y organizada la gráfica de una función a partir del cálculo de sus máximos, mínimos y puntos de inflexión para representar situaciones reales y/o hipotéticas de su entorno. Resuelve de forma creativa problemas de optimización, aplicando los criterios de máximos y mínimos que le permitan la construcción de modelos que representen situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto. Aplica las reglas de derivación para calcular la velocidad y aceleración de un móvil a partir de su posición en situaciones de su entorno afrontando la frustración como parte de un proceso de aprendizaje. COMPETENCIAS GENÉRICAS DISCIPLINARES CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo CG7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. CG8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. CDEM2 Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques CDBM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CDEM1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDBM2 Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. CDEM3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CDBM4 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Página 96 CALDIF-B2_B3-SD02 SITUACIÓN DIDÁCTICA No. 2 TITULO “De todo, lo mejor” Dentro de los temas con mayor significación técnica, económica, ambiental y política para el país se encuentra la construcción de la Refinería de Dos Bocas, en el Municipio de Paraíso, Tabasco. Tiene como objetivos principales, reducir la dependencia energética del país sobre la importación de gasolinas automotrices, generar valor agregado por la transformación de los recursos naturales del país, y construirla con recursos financieros propios del Gobierno Federal. El desarrollo de la ingeniería, la adquisición de equipos y la construcción comenzó el 26 de julio de 2019. Contexto Un grupo de jóvenes del COBATAB asisten a una charla de parte de uno de los ingenieros colaboradores en el diseño de la Terminal de Hidrocarburos en la Refinería Dos Bocas. El ingeniero les explica que una de las aplicaciones importantes de la Ingeniería en el área de diseño y producción, es la reducción en el consumo de materias primas vinculado directamente con el diseño óptimo de los recipientes, contenedores y equipos de proceso. Una pequeña variación en sus dimensiones representa un aumento o reducción en la cantidad de materiales a utilizar en su elaboración, aunado a la cantidad de hidrocarburos que contendrá. Al finalizar, les comenta que se emitió una convocatoria para que, estudiantes destacados, ingresen como becarios en el área de producción. Para participar deben elaborar una maqueta con el diseño óptimo de un tanque de almacenamiento de hidrocarburos, el cual se prevé contendrá 100 mil barriles, de manera que se utilice el mínimo de materias primas en su elaboración. ▪ ¿Cuáles son las dimensiones óptimas del tanque de almacenamiento que minimicen el uso de materias primas? Conflicto Cognitivo ▪ Si en el diseño se considera aumentar el radio del tanque de almacenamiento en 0.5 𝑚 ¿Cómo afectará este incremento en la cantidad de material que se usará en su construcción y en la cantidad de hidrocarburo que contendrá? Propósito de la Situación Didáctica En equipos de trabajo de 5 integrantes construyen una maqueta a escala de un tanque de almacenamiento en la Terminal de Hidrocarburos en la Refinería de Dos Bocas de acuerdo con su diseño óptimo, minimizando la cantidad total de material a utilizar, exponiendo el proceso de cálculo frente al grupo. Página 97 CALDIF-B2_B3-RU01 Rúbrica para evaluar la Situación Didácticas 2 Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque II: La Derivada Bloque III: Aplicaciones de la Derivada Fecha: Situación Didáctica 2: De todo, lo mejor Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados ▪ ▪ ▪ Aplica fórmulas y teoremas en la solución de situaciones reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana, trabajando de forma metódica y organizada. Esboza de manera metódica y organizada la gráfica de una función a partir del cálculo de sus máximos, mínimos y puntos de inflexión para representar situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto. Resuelve de forma creativa problemas de optimización, aplicando los criterios de máximos y mínimos que le permitan la construcción de modelos que representen situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto. Instrucciones: Lee los criterios de evaluación y marque con una (X) para resaltar el nivel del logro de aprendizaje, anotando la puntuación otorgada para cada criterio, súmalos para obtener el puntaje final. Indicadores Criterios Excelente (3 pts) Bueno (2 pts) Suficiente (1 pts) Insuficiente (0 pts) Conocimientos sobre los conceptos del cálculo Comprende y describe claramente los criterios de máximos y mínimos a partir de la derivada, reconociendo su aplicación en situaciones reales. Describe brevemente los criterios de máximos y mínimos usando la derivada y lo vincula con situaciones reales. Tiene una idea de los criterios de máximos y mínimos, pero no los relaciona con situaciones reales. No comprende los criterios de máximos y mínimos. Aplicación de las herramientas del cálculo Determina la derivada de una función y la vincula a los criterios de máximos y mínimos aplicados en problemas de optimización de forma reflexiva. Determina la derivada de una función y la relaciona con los criterios de máximos y mínimos en problemas de optimización de manera mecánica. Calcula la derivada, pero no la vincula con los criterios de máximos y mínimos adecuadamente. No determina la derivada de una función. Página 98 Indicadores Criterios Excelente (3 pts) Comprensión y desenvolvimiento Usa correctamente los criterios de máximos y mínimos, y obtiene sagazmente las medidas óptimas que dan solución a la SD2. Construcción del producto Construye la maqueta a escala con las medidas óptimas de acuerdo a la solución de la SD2, exponiendo sus conclusiones de forma clara. Entrega y presentación Entrega el producto en la fecha establecida cuidando el orden y la limpieza, además de incluir elementos característicos del contexto de la SD2. Trabajo en equipo Trabaja de manera colaborativa con sus semejantes mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. Puntuación Final (P.F) Bueno (2 pts) Usa de manera adecuada los criterios de máximos y mínimos y obtiene con dificultad las medidas optimas que dan solución a la SD2. Construye la maqueta con algunas variaciones en las medidas de acuerdo a la solución de la SD2 exponiendo sus conclusiones al grupo. Entrega el producto en la fecha establecida, de forma limpia y ordenada, incluyendo pocos elementos característicos del contexto de la SD2. Trabaja de manera colaborativa con la mayoría de sus semejantes mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. Suficiente (1 pts) Insuficiente (0 pts) Intenta aplicar los criterios de máximos y mínimos y obtiene de manera errónea la solución de la SD2. No reconoce el método de solución de la SD2. Construye la maqueta desproporcionada sin considerar las medidas óptimas que dan solución a la SD2. No elabora el producto de la SD2. Entrega el producto de la SD2 en días posteriores a la fecha de entrega descuidando el orden y la limpieza. No entrega el producto de la SD2. Trabaja de manera colaborativa con algunos de sus semejantes mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. No se relaciona con sus semejantes para trabajar colaborativamente. Calificación Final (P.F)(5.56) Realimentación: Logros Aspectos a mejorar Firma del Evaluador: ________________________________________ Página 99 CALDIF-B2_B3-ED02 Evaluación diagnóstica BII “La Derivada” - BII "Aplicaciones de la Derivada” Instrucciones: Lee cuidadosamente cada una de las siguientes preguntas y subraya la respuesta correcta. NOMBRE GRUPO FECHA 1. El problema de la tangente dio lugar al desarrollo 2. El valor del 𝐥𝐢𝐦 (𝒉−𝟑)𝟐−𝟗 𝒉 𝒉−𝟎 del cálculo: a) 0 a) Integral b) Mercantil c) Financiero d) Diferencial 𝒇(𝒙)−𝒇(𝒂) 𝒙−𝒂 𝒙−𝒂 3. El valor del 𝐥𝐢𝐦 𝒂 = 𝟏 es: a) 1 b) 2 c) −2 d) −1 b) 6 c) −6 d) Indefinido para 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 y 4. La pendiente de la recta tangente a la parábola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏 en el punto (−𝟏, −𝟏) es: a) 1 b) 2 c) −2 d) −1 5. La pendiente de la recta tangente a la parábola 6. La derivada de 𝒚 = 𝟐 + 𝒙: 𝒙 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐 en el punto (−𝟏, −𝟏) es: a) 𝑦 = −2𝑥 a) b) 𝑦 = 2𝑥 − 2 b) c) 𝑦 = −2𝑥 + 2 c) d) 𝑦 = −2𝑥 − 3 d) Página 100 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = = 2 𝑥2 +1 2 𝑥2 −1 2 = − 𝑥2 + 1 2 = − 𝑥2 − 1 7. La derivada de 𝑦 = 𝑒 𝑥 es: a) b) c) d) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 a) = 1 b) = 𝑥 c) = 𝑒 d) 𝑥 9. La derivada de 𝑦 = 𝑥(𝑥 2 + 1) es: a) b) c) d) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 8. La derivada de 𝑦 = 𝑥 5 + 2𝑥 3 − 3𝑥 − 8 es: = 3𝑥 2 − 3𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 5𝑥 4 + 6𝑥 3 − 3𝑥 = 5𝑥 4 + 6𝑥 2 − 3𝑥 = 5𝑥 4 + 6𝑥 2 − 3 = 5𝑥 4 + 6𝑥 2 − 3𝑥 − 10. La derivada de a) 2 = 3𝑥 + 2 b) = −3𝑥 2 + 1 c) = 3𝑥 − 1 𝑑𝑦 d) Página 101 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3 = 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3 𝑑𝑒 𝑦 = 6(𝑥 2 +1) 5 (2−𝑥2 )2 = 6𝑥(𝑥 2 +1) 5 (2−𝑥 2 )2 = = 18(𝑥 2 +3) 7 (2−𝑥 2 )2 18𝑥(𝑥 2 +3) 7 (2−𝑥 2 )2 3 √2− 𝑥 2 es: CALDIF-B2-LECTURA02 DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES Las Funciones trascendentes son aquellas que no se pueden expresar mediante las operaciones algebraicas de un polinomio. Por lo tanto, las derivadas de funciones trascendentes se refieren a las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Formulario de Derivada de las Funciones Trascendentes Exponenciales 𝒅 𝒆𝒖 = 𝒆𝒖 ∙ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒂𝒖 = 𝒂𝒖 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒅𝒖 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒖𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒖𝒗−𝟏 ∙ 𝒅𝒖 𝒅𝒙 ∙ 𝐥𝐧 𝒖 ∙ 𝒖𝒗 𝒅𝒗 𝒅𝒙 Logarítmicas 𝒅 𝒅𝒙 𝐥𝐧 𝒖 = 𝟏 𝒅𝒖 ∙ 𝒖 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒖 = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒆 𝒅𝒖 ∙ 𝒖 𝒅𝒙 Trigonométricas 𝒅 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝐒𝐞𝐧 𝒖 = 𝑪𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝐂𝐨𝐭 𝒖 = −𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒖 𝒅𝒖 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝐂𝐨𝐬 𝒖 = −𝑺𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝐒𝐞𝐜 𝒖 = 𝑺𝒆𝒄 𝒖 𝒕𝒂𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝐓𝐚𝐧 𝒖 = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒖 𝐂𝐬𝐜 𝒖 = −𝑪𝒔𝒄 𝒖 𝑪𝒐𝒕 𝒖 𝒅𝒙 𝒅𝒙 Para resolver las derivadas es necesario recordar también las siguientes fórmulas de derivación 𝑑 𝑑𝑥 𝑛 𝑎𝑥 = 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑛 𝑛−1 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 √𝑢 = 𝑑𝑥 2√𝑢 𝑑 𝑑 𝑢 𝑑𝑥 𝑣 Página 102 𝑣 = 𝑑𝑢 𝑑𝑣 −𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑣2 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 +𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Aplicaremos estas fórmulas para la solución de los ejercicios desarrollados en la Tabla 2.3 Solución de Derivadas de Funciones Trascendentes. Tabla 2.3. Solución de Derivadas de Funciones Trascendentes a) 𝒚 = 𝟏𝟎(𝒙 𝟐 +𝟓𝒙−𝟔) 𝑑𝑦 𝑑 2 [10(𝑥 +5𝑥−6) ] = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 2 2 [10(𝑥 +5𝑥−6) ] = = 10(𝑥 +5𝑥−6) ∙ 𝑙𝑛 10 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 = 10(𝑥 +5𝑥−6) ∙ 𝑙𝑛 10 ∙ (2𝑥 + 5) = 𝑑𝑥 𝒅𝒚 𝟐 = 𝟏𝟎(𝒙 +𝟓𝒙−𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟓) ∙ 𝒍𝒏 𝟏𝟎 𝒅𝒙 b) 𝒚 = 𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝑑𝑦 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑎 )= = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 (𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) = = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 ∙ −𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = −𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒙 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂 𝒅𝒙 c) 𝒚 = 𝟕𝒆𝒙 𝑑𝑦 𝑑 (7𝑒 𝑥 ) = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 𝑥 (𝑒 ) = =7∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 (𝑥 ) = = 7 ∙ 𝑒𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = 𝟕 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Página 103 d) 𝒚 = 𝒆𝟓𝒙 𝑑𝑦 𝑑 5𝑥 (𝑒 ) = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 (5𝑥) = = 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 = 𝑒 5𝑥 ∙ 5 (𝑥) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = 𝟓 𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙 e) 𝒚 = 𝒆𝟖𝒙 𝟑 −𝟑 𝑑𝑦 𝑑 8𝑥3 −3 (𝑒 )= = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 3 (8𝑥 3 − 3) = = 𝑒 8𝑥 −3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 𝑑 3 (3 ) = = 𝑒 8𝑥 −3 ∙ 8 ( ) − 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝒅𝒚 𝟑 = 𝟐𝟒𝒙𝟐 𝒆𝟖𝒙 −𝟑 𝒅𝒙 f) 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝟐𝒙𝟐 + 𝟕) 𝑑𝑦 𝑑 [𝑙𝑜𝑔𝑎 (2𝑥 2 + 7)] = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 𝑑 (2𝑥 2 + 7) = = 2 ∙ 𝑑𝑥 2𝑥 + 7 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 𝑑 𝑑 (7)] = = 2 ∙ [2 (𝑥 2 ) + 𝑑𝑥 2𝑥 + 7 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 = 2 ∙ [2(2𝑥)] = 𝑑𝑥 2𝑥 + 7 𝑑𝑦 4𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 = 𝑑𝑥 2𝑥 2 + 7 Página 104 ∴ 𝒅𝒚 𝟏 𝟒𝒙 = ∙ 𝟐 𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝒂 𝟐𝒙 + 𝟕 𝟑 g) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 (𝒙) 𝑑𝑦 𝑑 3 [log ( )] = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 log10 𝑒 𝑑 3 = ∙ ( )= 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑥𝑙𝑜𝑔10 𝑒 𝑑 1 = ∙3 ( )= 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑥𝑙𝑜𝑔10 𝑒 3 = ∙− 2 = 𝑑𝑥 3 𝑥 𝒅𝒚 𝟏 = − ∙ 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝒆 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 h) 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 ( ) 𝟕 𝑑𝑦 𝑑 𝑥 [𝑥𝑙𝑛 ( )] = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 7 𝑑𝑦 𝑑 𝑥 𝑥 𝑑 (𝑥 ) = [𝑙𝑛 ( )] + 𝑙𝑛 ( ) ∙ =𝑥∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 7 7 𝑑𝑥 𝑑𝑦 7 1 𝑑 𝑥 =𝑥∙ ∙ ∙ (𝑥) + 𝑙𝑛 ( ) 𝑑𝑥 𝑥 7 𝑑𝑥 7 𝒅𝒚 𝒙 = 𝟏 + 𝒍𝒏 ( ) 𝒅𝒙 𝟕 i) 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝑑𝑦 𝑑 (𝑠𝑒𝑛2𝑥) = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 = cos(2𝑥) ∙ (2𝑥) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 = cos(2𝑥) ∙ 2 (𝑥) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙) 𝒅𝒙 Página 105 j) 𝒚 = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑑𝑦 𝑑 (2𝑥 4 + 3𝐶𝑜𝑠 𝑥) = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 4 𝑑 (𝑥 ) + 3 ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) = =2∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 2(4𝑥 3 ) + 3(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 k) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧(𝟓𝒙) 𝑑𝑦 𝑑 [tan (5𝑥)] = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 (5𝑥) = = 𝑠𝑒𝑐 2 (5𝑥) ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 = 𝑠𝑒𝑐 2 (5𝑥) ∙ 5 (𝑥) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟓𝒙) 𝒅𝒙 l) 𝒚 = −𝒙𝟐 − 𝐭𝐚𝐧(𝒙) 𝑑𝑦 𝑑 [−𝑥 2 − tan(𝑥)] = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑 𝑑 (tan 𝑥 ) = = − (𝑥 2 ) − 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −(2𝑥) − (𝑠𝑒𝑐 2 𝑥) = 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Página 106 CALDIF-B2-TAREA04 CG 4.1 CG 5.1 CG 8.1 1. 𝑦 = 𝑒 CDBM 2 CDBM 3 − 7 𝑥 2. 𝑦 = 45𝑥 3. 𝑦 = 3 √𝑥 2 −1 4. 𝑦 = log10 𝑠𝑒𝑛 𝑥 5. 𝑦 = 20 log6 𝑥 Problemario 02: Calculo de Derivadas Trascendente Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B2-LECTURA02 y a los ejemplos desarrollados en la Tabla 2.3, obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones. 6. 𝑦 = ln ( 𝑥+3 ) 𝑥−3 7. 𝑦 = 𝑙𝑛5 (𝑥 − 5) 𝑥2 8. 𝑦 = log 2 𝑥−1 9. 𝑦 = 1 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 10. 𝑦 = (1 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 2 ) 𝑥 Página 107 CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 04 Problemario 02 Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque: I La Derivada Fecha: Grupo: Nombres Turno Problemario 02 “Derivada de Funciones Trascendentes” Aprendizajes Esperados ▪ Contenidos Específico Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de problemas ▪ reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana trabajando de forma metódica y organizada. CRITERIOS Derivada de trascendentes % 1. Entrega su producto terminado (90% - 100% de ejercicios resueltos) en el tiempo establecido por el facilitador. 2. Obtiene derivadas de funciones trascendentes (funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) a partir de la definición de derivada y el uso del formulario. 3. Desarrolla el proceso de forma detallada y organizada y obtiene el resultado correcto. 4. Muestra una actitud positiva durante el desarrollo de las actividades del problemario aplicando de manera correcta las propiedades de los exponentes y logaritmos. 5. Se relaciona de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo en binas de manera metódica y organizada. 6. Entrega su trabajo con hoja de presentación tipo APA, ejercicios con procedimientos y resultados, así como conclusiones de su trabajo. CUMPLE SI NO 20% 20% 20% 20% 10% 10% Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador . Página 108 funciones Puntaje CALDIF-B2-LECTURA03 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR En el cálculo diferencial al igual que en otras disciplinas, surge la necesidad de determinar derivadas de orden mayor, esto es, calcular una segunda derivada, una tercera derivada, etc. Dichas funciones reciben el nombre de derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. Si una función 𝒇(𝒙) se deriva, entonces se obtiene 𝒇’(𝒙) (Primera derivada) Si la primera derivada 𝒇’(𝒙) se deriva, se obtiene 𝑓’’(𝑥) (segunda derivada). Esta a su vez, se puede derivar para producir 𝒇’’’(𝒙) (tercera derivada) y así sucesivamente se pueden obtener las derivadas de orden superior. A continuación se presenta la solución de los ejercicios desarrollados en la Tabla 2.4 Solución de Derivadas de Funciones de Orden Superior o Sucesivas. Tabla 2.4. Solución de Derivadas de Funciones Trascendentes a) 𝑦 = 5𝑥 4 + 2𝑥 3 − 4𝑥 2 − 3𝑥 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 20𝑥 3 + 6𝑥 2 − 8𝑥 − 3 = 𝑓 ′′ (𝑥) = 60𝑥 2 + 12𝑥 − 8 = 𝑓 ′′′ (𝑥) = 120𝑥 + 12 = 𝑓 ′′′′ (𝑥) = 120 = 𝒇′′′′′ (𝒙) = 𝟎 De manera general, la enésima derivada de la función 𝒇(𝒙), se puede denotar por 𝒇(𝒏) donde 𝒏 es un numero entero positivo mayor que 1. En el ejemplo, la función se obtiene por un polinomio de grado cuatro por lo que la derivada enésima 𝑓 (𝑛) es cero para toda 𝑛 > 4. A continuación, se presentan las diferentes formas en que se puede representar e indicar el tipo de derivada calculada en dicha función, dependiendo de la habilidad que se tenga se puede utilizar alguna de las siguientes: Página 109 Primera derivad 𝒇′(𝒙) ≡ 𝑫𝒙𝒇(𝒙) ≡ 𝒅𝒇 𝒅𝒚 ≡ ≡ 𝑫𝒙𝒀 ≡ 𝒚′ 𝒅𝒙 𝒅𝒙 Segunda derivada 𝒅𝟐 𝒇 𝒅𝟐 𝒚 𝒇′′(𝒙) ≡ 𝑫 𝒙𝒇(𝒙) ≡ 𝟐 ≡ 𝟐 ≡ 𝑫𝟐 𝒙𝒀 ≡ 𝒚′ ′ 𝒅 𝒙 𝒅 𝒙 𝟐 Tercera derivada 𝒇′′′(𝒙) ≡ 𝑫𝟑 𝒙𝒇(𝒙) ≡ 𝒅𝟑 𝒇 𝒅𝟑 𝒚 ≡ ≡ 𝑫𝟑 𝒙𝒀 ≡ 𝒚′′ ′ 𝒅𝟑 𝒙 𝒅𝟑 𝒙 Enésima derivada 𝒇 (𝒏) 𝒅𝒏 𝒇 𝒅𝒏 𝒚 (𝒙) ≡ 𝑫 𝒙𝒇(𝒙) ≡ 𝒏 ≡ 𝒏 ≡ 𝑫𝒏 𝒙𝒀 ≡ 𝒚𝒏 𝒅 𝒙 𝒅 𝒙 𝒏 En física, la aceleración 𝒂 se define por: 𝒂= 𝒗 𝒕 Es decir, la aceleración mide la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo; por tanto, la aceleración en un instante dado es el valor de la derivada de la velocidad respecto al tiempo para este instante, es decir: 𝒂= 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒗= 𝒅𝒔 𝒅𝒕 Y como: Entonces: 𝒅𝟐 𝒔 𝒂= 𝟐 𝒅 𝒕 Es decir, la aceleración es la derivada de la derivada del espacio respecto al tiempo o, más brevemente, es la segunda derivada del espacio respecto al tiempo. Página 110 Ejemplo 1: Considere que una partícula se mueve sobre el eje 𝒙 de acuerdo con la ecuación: s = 𝟐𝒕𝟐 − 𝟏𝟐𝒕 + 𝟖 Donde 𝒔, se mide en centímetros y 𝒕 en segundos. Luego: 𝒗= 𝒅𝒔 = 𝟒𝒕 − 𝟏𝟐 𝒅𝒕 Por lo tanto: 𝒂= 𝒅𝟐 𝒔 =𝟒 𝒅𝟐 𝒕 Esto significa que la velocidad aumenta a razón de 4 centímetros por segundo cada segundo. Ejemplo 2: Calcula la derivada sucesiva de la función: 𝒇(𝒙) = 𝒆𝟓𝒙 Solución: 𝒇´(𝒙) = 𝒇′′(𝒙) = 𝟓 𝒇′′′(𝒙) = 𝟓𝟐 𝒅 𝟓𝒙 (𝒆 ) = (𝟓)𝒆𝟓𝒙 = 𝟓𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝟓𝒙 (𝒆 ) = (𝟓)(𝟓)𝒆𝟓𝒙 = 𝟓𝟐 𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝟓𝒙 (𝒆 ) = (𝟓𝟐 )(𝟓)𝒆𝟓𝒙 = 𝟓𝟑 𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙 De esta manera, podemos notar que hay un patrón, entonces vemos que: 𝒇𝒏 (𝒙) = 𝟓𝒏 𝒆𝟓𝒙 Nota: A este último término se le conoce como termino general de las derivadas sucesivas de f(x). Página 111 CALDIF-B2-TAREA05 CG 4.1 CG 5.1 CG 8.1 CDBM 2 CDBM 3 Problemario 03: Calculo de Derivadas de Orden Superior Instrucciones: En base a la lectura CALDIF-B2-LECTURA03 y a los ejemplos desarrollados en la Tabla 2.4, obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones. 1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟔 − 𝒙𝟐 6. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(1 + 2𝑥) 2. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 − 𝑥 2 7. 𝑓(𝑥) = 3. 𝑓(𝑥) = 5𝑒 2𝑥 4. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (10𝑥) 5. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 2 16 𝑥+4 8. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 9. 𝑓(𝑥) = (1 − 3𝑥)−1 10. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 Página 112 CALDIF-B2-LCXX Lista de Cotejo para evaluar Tarea 05 Problemario 03 Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque: II La Derivada Fecha: Grupo: Nombres Turno Problemario 03 “Derivadas Sucesivas - Tercera Derivada” Aprendizajes Esperados ▪ Contenidos Específico Aplica fórmulas o teoremas de derivación en la solución de problemas ▪ reales y/o hipotéticas de su vida cotidiana trabajando de forma metódica y organizada. Derivadas superior. de orden CUMPLE CRITERIOS % Puntaje SI 1. Entrega su producto terminado en el tiempo establecido por el facilitador. 20% 2. Todas las funciones fueron derivadas de manera correcta. 20% 3. Realiza un procedimiento claro y ordenado en cada uno de los problemas. 20% 4. Interpreta la solución a la que llega según lo que se solicita. 20% 5. Utiliza fórmulas de derivación de manera correcta. 20% NO Calificación Logros obtenidos Aspectos a mejorar Nombre y Firma del Coevaluador Firma del Facilitador Página 113 CALDIF-B3-LECTURA01 Máximos, Mínimos, Puntos de Inflexión de una función y Optimización La optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda de gráficos (Silva L. I., 2018). (Barbosa & Darío, 2018) Mencionan que la optimización tiene que ver con situaciones del contexto real, y a través de los criterios de la primera y segunda derivada, es posible optimizar recursos. Se puede decir que la optimización es una de las aplicaciones de la derivada utilizada para llegar a una solución. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA El criterio de la primera derivada permite encontrar en qué intervalo la función crece o decrece, y con respecto a estos cambios, identificar dónde hay un máximo o un mínimo. A veces este criterio no es muy eficiente, pero es la primera aproximación Procedimiento 1. Dada una función, se debe derivar la función para obtener los valores críticos y posteriormente los puntos críticos, donde muy probablemente habrá un máximo o un mínimo. ¿Qué relación tiene este concepto con la derivada de una función? 𝒇′ (𝒙𝒊 ) = 𝟎 para intentar construir la curva de una función 2. Encontrar los puntos para cada valor crítico, es decir: 𝒇(𝒙𝒊 ) = 𝒚 3. Criterio de la primera derivada: a. 𝒇′ (𝒙) cambia de positiva a negativa, o en otras palabras de creciente a decreciente, hay un máximo local en: (𝒙𝒊 , 𝒚) b. 𝒇′ (𝒙) cambia de negativa a positiva, o en otras palabras de decreciente a creciente, hay un mínimo local en: (𝒙𝒊 , 𝒚) c. 𝒇′(𝒙) no cambia de signo, no hay un mínimo local y tampoco un máximo: (𝒙𝒊 , 𝒚) Página 114 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Procedimiento El criterio de la segunda derivada permite 1. Punto de Inflexión: Un punto de inflexión corresponde al identificar tres aspectos importantes sobre el punto de la curva, donde hay un cambio de concavidad. trazo de la gráfica. Se obtienen: 𝒇′′ (𝒙𝒊 ) = 𝟎 1. Obtener el punto de inflexión, es decir, donde la curva cambia de concavidad. 2. El intervalo donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. 3. El punto donde la función tiene un máximo o un mínimo. Por tanto, un punto de inflexión: (𝒙𝒊 , 𝒚) La derivada de la derivada se conoce como la segunda derivada 𝒇′′ (𝒙) 2. Concavidad: Teorema: a. Si 𝒇′′ (𝒙𝒊 ) > 𝟎, entonces para toda 𝒙, que pertenece al intervalo (𝒂, 𝒃), 𝒇(𝒙) es cóncava hacia arriba. b. Si 𝒇′′ (𝒙𝒊 ) < 𝟎, entonces para toda 𝒙, que pertenece al intervalo (𝒂, 𝒃), 𝒇(𝒙) es cóncava hacia abajo. 3. Criterio de la segunda derivada. Si 𝒙 es un valor crítico, entonces: - 𝒇′′ (𝒙𝒊 ) > 𝟎, entonces (𝒙𝒊 , 𝒚) , hay un mínimo local. - 𝒇′′ (𝒙𝒊 ) < 𝟎, entonces (𝒙𝒊 , 𝒚) , hay un máximo local. A continuación, se presentan algunos ejemplos de aplicación de optimización, analiza el desarrollo de cada uno de los procedimientos, estos te ayudarán a resolver problemas de aplicación del mismo tipo. Página 115 APLICACIONES DE OPTIMIZACIÓN EJEMPLO 01. En las costas del Golfo de México el mayor productor de coco es Tabasco, donde la familia Almeida lleva ya varios años siendo de los principales productores, por esta misma razón recientemente han creado una empresa dedicada a la elaboración y venta de refresco de coco. A la familia le interesa maximizar sus utilidades y por lo tanto disminuir sus costos, entonces, para la presentación de su producto quieren diseñar una lata que pueda contener 500 ml utilizando la menor cantidad de metal para fabricarla. ¿Cuáles deben ser las medidas de la lata para minimizar el material de su elaboración? 1. Establecer el Modelo Matemático, para saber cuánto material hay que usar se debe calcular el área total de la lata. a. Área de una tapa 𝑨𝟏 𝒕𝒂𝒑𝒂 = 𝝅𝒓𝟐 b. Área de las dos tapas 𝑨𝟐 𝒕𝒂𝒑𝒂𝒔 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 c. Área del contorno 𝑨𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 = 𝟐𝝅𝒓𝒉 d. Área total 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝟐𝝅𝒓𝒉 2. En la ecuación anterior, hay dos variables independientes, por ello resulta necesario dejar expresado todo en términos de una sola variable, para ello deben analizar las condiciones del problema y ver si se puede establecer otra expresión que posteriormente nos ayudará a dejar todo únicamente en términos de 𝐫. a. Expresamos el volumen 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉 𝟓𝟎𝟎 = 𝝅𝒓𝟐 𝒉 b. De la expresión anterior despejamos la altura: 𝒉= 𝟓𝟎𝟎 𝝅𝒓𝟐 Página 116 3. Se sustituye la última ecuación del Paso 2 en la última ecuación del Paso 1. a. La sustitución quedaría como: 𝟓𝟎𝟎 ) 𝝅𝒓𝟐 𝟓𝟎𝟎(𝟐)𝝅𝒓 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝝅𝒓𝒓 𝟓𝟎𝟎(𝟐) 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝒓 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝒓 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝟐𝝅𝒓 ( b. La expresión anterior representada como una función que depende de 𝒓 sería: 𝑨(𝒓) = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒓 4. Para encontrar el punto crítico hay que derivar la función e igualar a cero. Fórmulas a utilizar: 𝒅 𝟏 𝟏 ( )=− 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝒅 𝒅 𝒄𝝊 = 𝒄 𝝊 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒏 𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 a. Derivar: 𝒅𝑨 𝒅 𝒅 𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒓 𝟒𝝅𝒓 = 𝒅𝑨 𝒅 𝟐 𝒅 𝟏 = 𝟐𝝅 𝒓 + 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝑨 (−𝟏) = 𝟐𝝅 (𝟐)𝒓𝟐−𝟏 + 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝒅𝑨 (−𝟏 𝟎𝟎𝟎) = 𝟒𝝅𝒓𝟏 + 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝟒𝝅𝒓𝒓𝟐 = 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟒𝝅𝒓𝟑 = 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒓𝟑 = 𝟑 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟒𝝅 𝒓= √ 𝒅𝑨 𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝝅𝒓 − 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒓𝟐 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟒𝝅 𝒓 ≈ 𝟒. 𝟑𝟎 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟒𝝅𝒓 − =𝟎 𝒓𝟐 Página 117 5. Para saber si el resultado anterior es un máximo o un mínimo se emplea el criterio de la segunda derivada. Primera Derivada Segunda Derivada 𝒅𝑨 𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝝅𝒓 − 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝒅𝑨 𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝝅𝒓 − 𝒅𝒓 𝒓𝟐 La expresión anterior se evalúa con los valores de 𝒅𝟐 𝑨 𝒅 𝒅 𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝝅𝒓 − 𝒅𝒓𝟐 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝒓 = 𝟒 y 𝒓 = 𝟒. 𝟓 𝒇′ (𝒓) = 𝟒𝝅𝒓 − 𝒅𝟐 𝑨 𝒅 𝒅 −𝟐 = 𝟒𝝅 𝒓 − 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒓 𝟐 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒓𝟐 𝒅𝟐 𝑨 = 𝟒𝝅(𝟏) − 𝟏 𝟎𝟎𝟎(−𝟐)𝒓−𝟏 𝟐 𝒅𝒓 Con el primer valor de 𝒓 = 𝟒 𝒇′ (𝟒) = 𝟒𝝅(𝟒) − 𝒅𝟐 𝑨 𝟐 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝝅 + 𝟐 𝒅𝒓 𝒓 𝟏𝟎𝟎𝟎 (𝟒)𝟐 La expresión anterior se evalúa con 𝒓 = 𝟒. 𝟑𝟎 𝒇′ (𝟒) ≈ −𝟏𝟐. 𝟐𝟑 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒓 𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒇′′ (𝟒. 𝟑𝟎) = 𝟒𝝅 + 𝟒. 𝟑𝟎 𝒇′′ (𝟒. 𝟑𝟎) = 𝟒𝟕𝟕. 𝟔𝟖 𝒇′′ (𝒓) = 𝟒𝝅 + Con el segundo valor de 𝒓 = 𝟒. 𝟓 𝒇′ (𝟒. 𝟓) = 𝟒𝝅(𝟒. 𝟓) − 𝟏𝟎𝟎𝟎 (𝟒. 𝟓)𝟐 𝒇′ (𝟑) ≈ +𝟕. 𝟏𝟔 Como pasamos de un – a + entonces comprobamos Como el resultado fue mayor que 𝟎 entonces comprobamos que se trata de un mínimo. que se trata de un mínimo. 6. Ahora solo falta calcular el valor de 𝒉, para ello utilizamos el despeje del Paso 2. 𝟓𝟎𝟎 𝝅𝒓𝟐 𝟓𝟎𝟎 𝒉= 𝝅(𝟒. 𝟑)𝟐 𝒉= 𝒉= 𝟓𝟎𝟎 𝝅(𝟒. 𝟑)𝟐 Página 118 Por lo tanto, las medidas que permitirán obtener una lata a la que le quepan 500 ml utilizando la menor cantidad de material para su elaboración son los siguientes: 𝒉= 𝟓𝟎𝟎 𝝅(𝟒. 𝟑)𝟐 𝒉 ≈ 𝟖. 𝟔 𝒄𝒎 EJEMPLO 2 Brenda quiere regalar galletas sin tapa, para la realización de esas cajas desea utilizar unas hojas de papel opalina que le sobraron a las cuales les recortará cuadrados en las esquinas (como se muestra en la figura). Las medidas de cada hoja son: 21.5 x 28 cm. Brenda debe encontrar la medida óptima de los cuadrados que va a recortar con la finalidad de obtener una caja cuyo volumen sea máximo. 1. Establecer el modelo matemático a. Para saber cuál es el volumen máximo, hay que establecer la fórmula 𝑽 = (𝒍)(𝒂)(𝒉) 𝑽 = (𝟐𝟖 − 𝟐𝒙)(𝟐𝟏. 𝟓 − 𝟐𝒙)(𝒙) Se hace la multiplicación: 𝑽 = (𝟔𝟎𝟐 − 𝟓𝟔𝒙 − 𝟒𝟑𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 )(𝒙) Se reduce la expresión anterior: 𝑽 = (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝟗𝒙 + 𝟔𝟎𝟐)(𝒙) 𝑽 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝟗𝒙 + 𝟔𝟎𝟐𝒙 b. La expresión anterior representada como una función que depende de 𝒙 sería: 𝑽(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝟐𝒙 Página 119 2. Para encontrar el punto crítico hay que derivar la función e igualar cero. Formulas a utilizar: 𝒅 𝒅 𝒄𝝊 = 𝒄 𝝊 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 𝒏 𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝒅 𝒙=𝟏 𝒅𝒙 𝒅 𝒄=𝟎 𝒅𝒙 a) Derivar 𝒅𝒗 𝒅 𝒅 𝒅 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝟒(𝟑)𝒙𝟑−𝟏 − 𝟗𝟗(𝟐)𝒙𝟐−𝟏 + 𝟔𝟎𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒗 𝒅 𝟑 𝒅 𝟐 𝒅 =𝟒 𝒙 − 𝟗𝟗 𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 𝒅𝒙 b) Igualar a cero 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 = 𝟎 Con la formula general encontramos el valor de 𝒙: 𝒂 = 𝟏𝟐 𝒃 = −𝟏𝟗𝟖 𝒙𝟏,𝟐 = 𝒙𝟏,𝟐 𝒄 = 𝟔𝟎𝟐 −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 −(−𝟏𝟗𝟖) ± √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐) = 𝟐(𝟏𝟐) 𝒙𝟏,𝟐 = 𝒙𝟏 = −(−𝟏𝟗𝟖) ± √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐) 𝟐(𝟏𝟐) −(−𝟏𝟗𝟖) + √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐) 𝟐(𝟏𝟐) 𝒙𝟏 = 𝟏𝟐. 𝟒𝟖 −(−𝟏𝟗𝟖) − √(−𝟏𝟗𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(𝟔𝟎𝟐) 𝒙𝟐 = 𝟐(𝟏𝟐) 𝒙𝟐 = 𝟒. 𝟎𝟏 Se descarta 𝟏𝟐. 𝟒𝟖 a porque no alcanza la hoja con el ancho. El Punto Crítico es: 𝟒. 𝟎𝟏 Página 120 3. Para saber si el resultado anterior es un máximo o un mínimo se emplea el criterio de la segunda derivada. Primera Derivada Segunda Derivada 𝒅𝒗 = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 𝒅𝒙 La expresión anterior se evalúa con los valores de 𝒅𝟐 𝒗 𝒅 𝒅 𝒅 𝟐 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒓 = 𝟒 y 𝒓 = 𝟒. 𝟓 𝒇′ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖(𝒙) + 𝟔𝟎𝟐 𝒅𝟐 𝒗 𝒅 𝟐 𝒅 𝒅 = 𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏𝟗𝟖 𝒙 + 𝟔𝟎𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝟐 𝒗 = 𝟏𝟐(𝟐)𝒙𝟐−𝟏 − 𝟏𝟗𝟖(𝟏) + 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 Con el primer valor de 𝒙 = 𝟒 𝒇′ (𝒙) = 𝟏𝟐(𝟒)𝟐 − 𝟏𝟗𝟖(𝟒) + 𝟔𝟎𝟐 𝒇′ (𝟒 ) ≈ 𝟐 𝒅𝟐 𝒗 = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟗𝟖 𝒅𝒙𝟐 La expresión anterior se evalúa con 𝒓 = 𝟒. 𝟎𝟏 𝒇′′ (𝒓) = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟗𝟖 Con el segundo valor de 𝒙 = 𝟒. 𝟓 𝒇′ (𝒙) = 𝟏𝟐(𝟒. 𝟓)𝟐 − 𝟏𝟗𝟖(𝟒. 𝟓) + 𝟔𝟎𝟐 𝒇′ (𝟑) ≈ −𝟒𝟔 Como pasamos de un + a − 𝒇′′ (𝟒. 𝟎𝟏) = 𝟐𝟒(𝟒. 𝟎𝟏) − 𝟏𝟗𝟖 𝒇′′ (𝟒. 𝟑𝟎) = −𝟏𝟎𝟏. 𝟕𝟔 Como el resultado fue menor que 𝟎 entonces entonces comprobamos que se trata de un máximo. comprobamos que se trata de un máximo. 4. Por lo tanto, ahora solo debemos evaluar con el punto crítico en la fórmula del volumen para saber cuál sería el volumen máximo de la caja. 𝑽(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟗𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝟐𝒙 𝑽(𝟒. 𝟎𝟏) = 𝟒(𝟒. 𝟎𝟏)𝟑 − 𝟗𝟗(𝟒. 𝟎𝟏)𝟐 + 𝟔𝟎𝟐(𝟒. 𝟎𝟏) 𝑽(𝒙) = 𝟏𝟎𝟖𝟎. 𝟎𝟏 𝒄𝒎𝟑 Página 121 CALDIF-B3-TAREA06 CG 4.1 CG 5.1 CG 7.3 CG 8.3 CDBM 1 CDBM 2 CDBM 3 CDBM 4 Problemario 04: Optimización Instrucciones: Conformados en binas y en base a la lectura CALDIF-B3-LECTURA01 y a los ejemplos desarrollados, resuelve los siguientes problemas contextualizados. 1. Lupita se dedica a hacer y vender tiras bordadas, en consecuencia, tiene muchos bollos de hilos y otros utensilios que necesita guardar, por tal motivo ella quiere hacer una caja grande sin tapa donde quepa su material, para ello cuenta con papel corrugado cuyas medidas son: 𝟔𝟎 𝒄𝒎 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎. Si la elaboración de las cajas piensa recortar cuadrados en las esquinas (Figura 1) ¿Cuáles deben para ser las medidas de los cuadrados que recortará con la finalidad de obtener la caja de Figura 1. Forma en la que se recortarán los cuadrados mayor volumen posible? 2. El abuelo de Iván tiene muchas hectáreas de terreno cerca del río Samaria que piensa repartir entre sus nietos. A Iván le tocan 8 hectáreas y ya que es el único de los nietos que se encuentra actualmente en Tabasco él será el primero en cercar su parte. El metro de alambre de púas cuesta $𝟐. 𝟗𝟎 e Iván quiere un cercado de 4 hilos (Figura 2) además, piensa no cercar la sección que colinda con el río ya que no cree que sea necesario (considera que esta sección del río es recta, observa la Figura 3) Iván desea gastar lo mínimo posible en el cercado. ¿Cuáles deberán ser las medidas para poder economizar en el alambre? ¿Cuánto sería lo mínimo que Iván podría gastar con el alambrado de su terreno? Figura 2. Cercado de cuatro hilos Figura 3. Zona que cercaría Iván Página 122 3. Dado que los clientes de la empresa “Qué salsa” compran grandes cantidades de su ya famosa salsa a base de chile Tabasco, la empresa decidió lanzar una nueva presentación de 𝟒 litros. Para ello la empresa desea utilizar cajas de base cuadrada (Figura 4) cuyo costo de producción es de 𝟔 centavos por 𝒅𝒎𝟐 . La empresa desea invertir lo menos posible en la fabricación de las cajas ¿Cuáles serían las medidas de la caja para minimizar los costos? ¿Cuál sería el costo mínimo? Figura 4. Forma del empaque 4. Alberto tiene una placa de metal con la que desea construir un bebedero en forma de prisma trapezoidal para sus animales. Para la elaboración del bebedero piensa doblarlos costados de la placa y colocar madera en las bases (Figura 5) Si las medidas de la placa son: 1.22 𝑚 de ancho por 6.10 𝑚 de largo, y piensa doblar 0.30 𝑚 de cada lado ¿Cuánto debe medir el ángulo del doblez para obtener el volumen máximo del bebedero? Figura 5. Diseño del bebedero Página 123 CALDIF-B3-RUXX Rúbrica para evaluar la Tarea 06 Problemario 04 Asignatura: Cálculo Diferencial Bloque III: Aplicaciones de la Derivada Fecha: Situación Didáctica 2: De todo, lo mejor Grupo Nombres: Turno Aprendizajes Esperados ▪ Resuelve de forma creativa problemas de optimización, aplicando los criterios de máximos y mínimos que le permitan la construcción de modelos que representen situaciones reales y/o hipotéticas de su contexto. Instrucciones: Lee los criterios de evaluación y marque con una (X) para resaltar el nivel del logro de aprendizaje, anotando la puntuación otorgada para cada criterio, súmalos para obtener el puntaje final. Indicadores Criterios Excelente (3 pts) Bueno (2 pts) Suficiente (1 pts) Insuficiente (0 pts) Entrega y presentación Entrega y presenta en la fecha establecida la solución de SD2 de manera ordenada y limpia. Entrega días después la solución de la SD2, de manera ordenada y limpia. Entrega días después la solución de la SD2, descuida la limpieza de la misma. No entrega ni presenta la solución de la SD2. Conocimientos Asocia distintas variables para generar modelos matemáticos y así resolver de forma reflexiva problemas reales y/o hipotéticos de su contexto. Asocia distintas variables para generar modelos matemáticos, sin mostrar reflexividad en su uso en problemas reales y/o hipotéticos de su contexto. Asocia distintas variables para generar modelos matemáticos, pero no resuelve de forma reflexiva problemas reales y/o hipotéticas de su contexto. No asocia distintas variables para generar modelos matemáticos y así resolver problemas reales y/o hipotéticas de su contexto. Conocimientos Expresa de manera correcta la derivada. Identifica que fórmulas de derivación utilizar y las aplica sin dificultad. Reconoce qué unidades utilizar para representar su resultado. Expresa de manera correcta la derivada. Identifica que fórmulas de derivación utilizar, pero tiene dificultades para aplicarlas. Reconoce qué unidades utilizar para representar su resultado. Expresa de manera correcta la derivada. Identifica que fórmulas de derivación utilizar, pero tiene dificultades para aplicarlas. No reconoce qué unidades utilizar para representar su resultado. No expresa de manera correcta la derivada. No identifica que fórmulas de derivación utilizar. No reconoce qué unidades utilizar para representar su resultado. Página 124 Indicadores Criterios Excelente (3 pts) Bueno (2 pts) Suficiente (1 pts) Insuficiente (0 pts) Conocimientos Reconoce los criterios de la primera y segunda derivada, sustituye y resuelve correctamente con los datos correspondientes en la resolución de problemas de optimización. Además, sabe identificar cuándo se trata de un máximo y cuándo de un mínimo. Reconoce los criterios de la primera y segunda derivada, sustituye y resuelve correctamente con los datos correspondientes en la resolución de problemas de optimización, pero no sabe identificar cuándo se trata de un máximo y cuándo de un mínimo. Reconoce los criterios de la primera y segunda derivada, sustituye y resuelve incorrectamente los datos correspondientes en la resolución de problemas de optimización, pero no sabe identificar cuándo se trata de un máximo y cuándo de un mínimo. No reconoce los criterios de la primera ni de la segunda derivada en ejercicios de optimización. Comprensión y desenvolvimiento. Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Externa un pensamiento crítico y reflexivo, pero no de manera solidaria Tiene ideas, pero no muestra un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria No externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria Trabajo en equipo Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa pero no muestra disposición al trabajo metódico y organizado Trabaja de manera individual, pero muestra disposición al trabajo metódico y organizado No se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa Puntuación Final (P.F) Calificación Final (P.F)(5.56) Realimentación: Logros Aspectos a mejorar Firma del Evaluador: ________________________________________ Página 125 CALDIF-B3-LECTURA02 Velocidad, Aceleración y Rapidez de un Móvil Interpreta la primera derivada de la posición como la velocidad y la segunda derivada de la posición como la aceleración. Existen fenómenos que se han estudiado a través de los siglos como es la velocidad (referida como el cambio de posición en un periodo de tiempo) y la aceleración de un móvil o una partícula (cambio de velocidad con respecto del tiempo), estos estudios aportaron al descubrimiento del cálculo diferencial. En estas líneas estudiaremos el movimiento en una dirección o rectilíneo y entenderemos como el cambio de posición en un intervalo de tiempo da lo que se conoce como la velocidad y considerar periodos cada vez más cortos de tiempo, hasta el límite del incremento en el tiempo cercano a 0 dieron origen a la velocidad instantánea, lo cual se aplicó también a la aceleración instantánea. Una partícula en movimiento rectilíneo para cada instante 𝒕 la partícula ocupará cierta posición. Para conocer esta posición debemos tener un sistema de referencia por lo que tomaremos un origen 𝑶 a lo largo de la recta por la que se mueve dicha partícula. La posición estará dada por la distancia 𝒙 a la que se encuentre del origen elegido previamente, se le asigna un signo dependiendo si la partícula se encuentra a la derecha o izquierda del origen. Con esto la distancia 𝒙 define por completo la posición de la partícula a lo largo de la recta en la que se mueve, cuando podemos determinar la posición de la partícula en cualquier instante 𝒕, podemos por lo tanto conocer su movimiento. Esto se puede representar como una función 𝒔(𝒕) que depende del tiempo, entonces podemos definir a la velocidad promedio como el cambio de la posición en un intervalo de tiempo. 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒔(𝒕𝟐 ) − 𝒔(𝒕𝟏 ) = 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 Si consideramos 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 = ∆𝒕 obtenemos 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = 𝒔(𝒕 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝒕) ∆𝒕 Al aplicar el límite con ∆𝒕 → 𝟎 conseguimos la velocidad instantánea 𝒔(𝒕 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝒕) ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕á𝒏𝒆𝒂 = 𝐥𝐢𝐦 Página 126 Observamos que el límite de la razón de cambio es la definición de derivada obtenemos 𝒗= 𝒅𝒔 𝒅𝒕 En el caso del movimiento unidimensional la velocidad se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo, un valor positivo indica que la partícula se mueve en la dirección positiva y un signo negativo en la dirección contraria. La magnitud de 𝑣 se le conoce como la rapidez (módulo de la velocidad) de la partícula. Si consideramos una velocidad 𝑣 en un tiempo 𝒕 y una velocidad 𝒗 + ∆𝒗 en un tiempo 𝒕 + ∆𝒕 la aceleración promedio de la partícula es el cociente de los incrementos 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = ∆𝒗 ∆𝒕 La aceleración instantánea de la partícula a en el instante 𝑡 se obtiene al escoger valores ∆𝑡 cada vez más pequeños. ∆𝒗 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕á𝒏𝒆𝒂 = 𝒂 = 𝐥𝐢𝐦 El límite de la razón de cambio es la definición de la derivada, obtenemos 𝒂= 𝒅𝒗 𝒅𝒕 Y notamos que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto del tiempo 𝒅𝟐 𝒔 𝒂= 𝟐 𝒅𝒕 La aceleración se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo indica que la velocidad aumenta, esto puede significar que la partícula se está moviendo más rápido en la dirección positiva o que se mueve más lentamente en la dirección negativa, en ambos casos ∆𝒗 es positiva. Un valor negativo de 𝒂 indica que disminuye la velocidad, ya sea que se esté moviendo más lentamente en la dirección positiva o que se esté moviendo más lentamente en la dirección negativa. El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones para referirse a 𝑎 cuando la rapidez de la partícula disminuye: la partícula se mueve entonces con mayor lentitud. Página 127 EJEMPLO: 1. La distancia en metros recorrida por un objeto desde un punto está dada por 𝒔(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟐. a) ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto entre 𝒕 = 𝟐 y 𝒕 = 𝟒 b) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 𝒕 = 𝟑 SOLUCIÓN: a) ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto entre 𝒕 = 𝟐 y 𝒕 = 𝟒? 𝒕=𝟎 𝒕=𝟐 𝒕=𝟐 𝒔 (𝟐 ) = 𝟔 =𝟎 𝒔 (𝟎 ) = 𝟎 =𝟎 𝒔(𝟒) = 𝟏𝟖 𝒔(𝟒) − 𝒔(𝟐) 𝟒𝟐 + 𝟐 − (𝟐𝟐 + 𝟐) 𝒎 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = = =𝟔 𝟒−𝟐 𝟐 𝒔 b) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 𝒕 = 𝟑? 𝒕=𝟑 𝒔(𝟑) = 𝟏𝟏 𝒔(𝒕 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝒕) ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕á𝒏𝒆𝒂 = 𝐥𝐢𝐦 𝒔(𝟑 + ∆𝒕 ) − 𝒔(𝟑) ((𝟑 + ∆𝒕 )𝟐 + 𝟐) − (𝟑𝟐 + 𝟐) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 ∆𝒕 𝒗(𝟑) = 𝐥𝐢𝐦 𝟗 + 𝟔∆𝒕 + ∆𝒕𝟐 + 𝟐 − 𝟗 − 𝟐 𝟔∆𝒕 + ∆𝒕𝟐 𝒗(𝟑) = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 ∆𝒕 ∆𝒕(𝟔 + ∆𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 (𝟔 + ∆𝒕) ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒎 𝒗(𝟑) = 𝟔 𝒔 𝒗(𝟑) = 𝐥𝐢𝐦 Página 128 2. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 𝟔𝟎 𝒑𝒊𝒆𝒔 𝒔 , la altura que alcanza de acuerdo con la función es 𝒔(𝒕) = 𝟔𝟎𝒕 − 𝟏𝟔𝒕𝟐 . Calcula la velocidad instantánea cuando 𝒕 = 𝟑 𝒔, ¿Cuál es la interpretación del resultado obtenido? La velocidad es la derivada del desplazamiento. 𝒔(𝒕) = 𝟔𝟎𝒕 − 𝟏𝟔𝒕𝟐 𝒗(𝒕) = 𝒔′(𝒕) = 𝟔𝟎 − 𝟑𝟐𝒕 Para 𝒕 = 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝟔𝟎 − 𝟑𝟐(𝟑) = 𝟔𝟎 − 𝟗𝟔 = −𝟑𝟐 𝒑𝒊𝒆𝒔 𝒔 Como sabemos la velocidad con signo negativo en un movimiento unidireccional indica que estamos ante un movimiento en el sentido negativo del marco de referencia, en este caso pasamos de un tiro vertical a una caída libre. Observemos las gráficas de la posición y la velocidad. Recordemos que por estas gráficas la pelota no hace ningún recorrido. Estas gráficas representan la posición y la velocidad respectivamente. El punto máximo en la gráfica de la posición indica la altura máxima alcanzada por la pelota y a partir de ese momento comienza su descenso, esto lo podemos confirmar con la gráfica de la derivada que en el tiempo donde ocurre la altura máxima tenemos una velocidad igual a cero indicando que ahora la velocidad irá en contra del movimiento original. Página 129 Debemos observar que la gráfica de la velocidad es una recta cuya pendiente es igual al coeficiente de 𝑡, −32 el cual si recordamos es la aceleración producida por la gravedad 𝑎 = −32 𝑝𝑖𝑒𝑠 , 𝑠2 con esto reafirmamos que la aceleración es constante durante el movimiento de la pelota. Material adicional para seguir aprendiendo: Página 130 CALDIF-B3-LECTURA03 Regla de L’Hôpital Revisa la información contenida en las siguientes direcciones electrónicas, referente a la “Controversia – Regla de L’Hôpital - Bernoulli” ➢ https://www.emis.de/journals/DM/v1/art7.pdf ➢ http://jamessimat.blogspot.com/2016/07/guillaume-francois-antoine-marquesde.html#:~:text=La%20Regla%20de%20L'Hopital%20%2D%20Bernoulli.,El%20marqu%C3%A9s%20de&text=En%20este%20libro%20cre%C3%B3%20la,ediciones%20durante %20el%20siglo%20XVIII. ➢ https://www.redalyc.org/pdf/104/10412315.pdf Iniciamos el estudio de esta regla tan apreciada en cálculo. Tomemos como base dos funciones continuas 𝒇 y 𝒈, tales que: 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝟎 𝒙→𝒂 𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = 𝟎 ∴ 𝒙→𝒂 𝒈′(𝒙) ≠ 𝟎 La Regla de L’Hôpiltal se define como: 𝒇(𝒙) 𝒇´(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈´(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 A continuación, se presentan los casos de indeterminaciones en que son aplicables la Regla de L’Hôpital: 𝒇(𝒂) 𝟎 = 𝒈(𝒂) 𝟎 𝒇(𝒂) ∞ = 𝒈(𝒂) ∞ Nota: Recordemos que la Regla de L´Hôpital se aplica en 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) Ejemplos 1: Hallar 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 (𝒙−𝟏) 𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙−𝟐) Veamos su grafica desde GeoGebra Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟐, quedando: 𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏) 𝐥𝐧 (𝟐 − 𝟏) 𝐥𝐧 (𝟏) 𝟎 = = = 𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝑻𝒂𝒏(𝟐 − 𝟐) 𝑻𝒂𝒏(𝟎) 𝟎 𝐥𝐢𝐦 Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏) y 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐)) 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏), entonces𝒇′ (𝒙) = 𝒙−𝟏, 𝒈(𝒙) = 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐), entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙 − 𝟐) Por tanto: 𝟏 𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏) 𝒙 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝒙→𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏) 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 =𝟏 𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝒙→𝟐 𝒙→𝟐 (𝒙 − 𝟏)(𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝐥𝐢𝐦 Solución: 𝐥𝐧 (𝒙 − 𝟏) =𝟏 𝒙→𝟐 𝑻𝒂𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝐥𝐢𝐦 EJEMPLO 2: Hallar 𝐥𝐢𝐦 𝒙−𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒙𝟐 𝒙→𝟎 Veamos su grafica desde GeoGebra Paso 1: Sustituimos el valor de 𝑥 = 0, quedando: 𝟎 − 𝒔𝒆𝒏(𝟎) 𝟎 − 𝟎 𝟎 = = 𝒙→𝟐 (𝟎)𝟐 𝟎 𝟎 𝒍𝒊𝒎 Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) y 𝒙𝟐 ) 𝒇(𝒙) = 𝐱 − 𝐬𝐞𝐧(𝐱), entonces, 𝒇′ (𝒙) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝟐𝒙 Por tanto: 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 𝟏 − 𝟏 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 = = 𝟐 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙 𝟐𝒙 𝟐(𝟎) 𝟎 𝐥𝐢𝐦 Paso 3: Como sigue la indeterminación se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital: 𝒇′ (𝒙) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙) entonces, 𝒇′′ (𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒈′ (𝒙) = 𝟐𝒙 entonces, 𝒈′′ (𝒙) = 𝟐 Por tanto: 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝟎) 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 = = =𝟎 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 𝐥𝐢𝐦 Solución: 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) =𝟎 𝒙→𝟎 𝒙𝟐 𝐥𝐢𝐦 EJEMPLO 3: Hallar 𝒍𝒊𝒎 𝟏−𝒄𝒐𝒔 (𝒙𝟐 −𝟒) 𝒙→𝟐 𝒍𝒏𝟐 (𝒙−𝟏) Veamos la gráfica en GeoGebra Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟐, quedando: 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬((𝟐𝟐 − 𝟒) 𝟏−𝟏 𝟎 𝐥𝐢𝐦 = = 𝒙→𝟐 (𝒍𝒏(𝟐 − 𝟏))𝟐 (𝐥𝐧(𝟏))𝟐 𝟎 Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 1−𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒) y 𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏)) 𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐 − 𝟒), entonces, 𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟒) 𝒈(𝒙) = (𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏))𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝟐𝐥𝐧 (𝒙−𝟏) 𝒙−𝟏 Por tanto: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) (𝟐)(𝟐 − 𝟏)(𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟐 − 𝟒) = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒙→𝟐 𝒙→𝟐 𝟐 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏) 𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏) 𝒍𝒏 (𝟐 − 𝟏) 𝒙−𝟏 𝒍𝒊𝒎 = (𝟐)(𝟐 − 𝟏)(𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟐 − 𝟒) 𝟎 = 𝒍𝒏 (𝟐 − 𝟏) 𝟎 Paso 3: Como sigue la indeterminación se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital: 𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒙𝐬𝐞𝐧(𝒙𝟐 − 𝟒) entonces, 𝒇′′ (𝒙) = 𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝟒𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝒙𝟐 − 𝟒) 𝒈′ (𝒙) = 𝟐𝐥𝐧 (𝒙−𝟏) 𝟐−𝟐𝐥𝐧 (𝒙−𝟏) 𝒙−𝟏 (𝒙−𝟏)𝟐 , entonces, 𝒈′′ (𝒙) = Por tanto: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝒙→𝟐 𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏) 𝒍𝒊𝒎 (𝒙)(𝒙 − 𝟏)𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒍𝒏 (𝒙 − 𝟏) 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝟒𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒙𝟐 − 𝟒) = 𝒍𝒊𝒎 𝟐 − 𝟐𝒍𝒏 (𝒙 − 𝟏) 𝒙→𝟐 (𝒙 − 𝟏)𝟐 (𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝟒𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟒))(𝒙 − 𝟏)𝟐 𝒙→𝟐 𝟐 − 𝟐𝒍𝒏 (𝒙 − 𝟏) = 𝒍𝒊𝒎 = (𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟐 − 𝟒) + 𝟒(𝟐𝟐 )(𝒄𝒐𝒔(𝟐𝟐 − 𝟒))(𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝟎 + 𝟏𝟔)(𝟏) = 𝟐 − 𝟐𝒍𝒏 (𝟐 − 𝟏) 𝟐−𝟎 = 𝟏𝟔 =𝟖 𝟐 Solución: 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝒙𝟐 − 𝟒) 𝐥𝐢𝐦 =𝟖 𝒙→𝟐 𝒍𝒏𝟐 (𝒙 − 𝟏) EJEMPLO: Hallar 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙)−𝟏 𝟑𝒙𝟐 Veamos la gráfica en GeoGebra Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟎, quedando: 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝟎) − 𝟏 𝟎 = 𝒙→𝟐 𝟑(𝟎)𝟐 𝟎 𝐥𝐢𝐦 Paso 2: Se aplica la regla de L’Hôpital (se deriva 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏 y 3𝑥 2 ) 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙), entonces, 𝒇′ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝐱)𝐜𝐨𝐬 (𝒙) Por Identidad: 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒇′ (𝒙) = −𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝐱)𝐜𝐨𝐬 (𝒙) entonces, 𝒇′ (𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝟔𝒙 Por tanto: 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏 −𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝐱) −𝒔𝒆𝒏(𝟐(𝟎))) 𝟎 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝟑𝒙𝟐 𝟔𝒙 𝟔(𝟎) 𝟎 Paso 3: Como sigue la indeterminación se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital 𝒇′ (𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) , entonces, 𝒇′′ (𝒙) = −𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 , entonces, 𝒈′ (𝒙) = 𝟔𝒙 Por tanto, 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏 −𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝐱) −𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒙) −𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟐(𝟎)) −𝟐 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 = = =− 𝟐 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝟑𝒙 𝟔𝒙 𝟔 𝟔 𝟔 𝟑 𝐥𝐢𝐦 Solución: 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏 𝟏 =− 𝟐 𝒙→𝟎 𝟑𝒙 𝟑 𝐥𝐢𝐦 Ahora veremos las siguientes indeterminaciones en potencia, que vienen de la forma [𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) , como son 𝟏∞ , 𝟎𝟎 , ∞𝟎 . Tomemos en cuenta que [𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝒆𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙) (el profesor demostrará esto aplicando propiedades de los logaritmos) Por lo que: 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙) 𝑳 𝐥𝐢𝐦[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒆𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 Donde: 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙)𝒍𝒏𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒆 𝟏 Ejemplos: Hallar 𝒍𝒊𝒎[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)]𝒙 𝒙→𝟎 Veamos su gráfica en GeoGebra Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟎, quedando: 𝟏 𝟏 𝐥𝐢𝐦[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]𝒙 = [𝐜𝐨𝐬(𝟑(𝟎))]𝟎 = 𝟏∞ 𝒙→𝟎 Paso 2: Aplicar propiedad: 𝟏 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)] 𝐥𝐢𝐦[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]𝒙 = 𝒆𝒙→𝟎𝒙 𝒙→𝟎 Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = 𝟎: 𝟏 𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)] 𝐥𝐧 [𝒄𝒐𝒔𝟑(𝟎)] 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 = = [𝒊𝒏𝒅𝒆𝒓𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐] 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙 𝟎 𝟎 Paso 4: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital: 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙), por lo que, 𝒇’(𝒙) = −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒙, por lo que, 𝒈′ (𝒙) = 𝟏 Entonces: 𝟏 𝒍𝒏[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)] 𝒍𝒊𝒎 𝒍𝒏[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙 −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) −𝟑𝒕𝒂𝒏 (𝟑𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 = −𝟑 𝒕𝒂𝒏(𝟑(𝟎)) = 𝟎 𝒙→𝟎 𝟏 𝟏 Por tanto: 𝟏 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)] 𝐥𝐢𝐦[𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)]𝒙 = 𝒆𝒙→𝟎𝒙 𝒙→𝟎 Solución: 𝟏 𝒍𝒊𝒎[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)]𝒙 = 𝟏 𝒙→𝟎 = 𝒆𝟎 = 𝟏 EJEMPLO: Halla𝒍𝒊𝒎 [𝒕𝒂𝒏(𝒙)]𝒄𝒐𝒔 (𝒙)r 𝝅 𝒙→ 𝟐 Veamos su gráfica en GeoGebra 𝝅 Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = , quedando: 𝟐 𝝅 𝒄𝒐𝒔 (𝝅) 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 𝟐 = ∞𝟎 𝒍𝒊𝒎 [𝒕𝒂𝒏(𝒙)] = [𝒕𝒂𝒏 ( )] 𝝅 𝟐 𝒙→ 𝟐 Paso 2: Aplicar propiedad: 𝒍𝒊𝒎 𝒄𝒐𝒔 (𝒙)𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏(𝒙)] 𝝅 𝒍𝒊𝒎 [𝒕𝒂𝒏(𝒙)]𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝒆𝒙→𝟐 𝝅 𝒙→ 𝟐 𝝅 Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = : 𝟐 𝝅 𝒍𝒏 [𝒕𝒂𝒏(𝒙)] 𝒍𝒏 [𝒕𝒂𝒏 (𝟐)] ∞ [𝒄𝒐𝒔(𝒙)]𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏 (𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎 (𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐) 𝒍𝒊𝒎 = = 𝝅 𝝅 𝝅 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) ∞ 𝒙→ 𝒙→ 𝒔𝒆𝒄 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 Paso 4: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 [𝒕𝒂𝒏 𝒙)], por lo que, 𝒇′ (𝒙) = (𝒕𝒂𝒏(𝒙)) (𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙)) = 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 (𝒙), por lo que, 𝒈′ (𝒙) = [𝒔𝒆𝒄(𝒙)][ 𝒕𝒂𝒏 (𝒙)] 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) 𝒕𝒂𝒏 (𝒙) Entonces: 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) 𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏 (𝒙)] 𝒕𝒂𝒏(𝒙) [𝒄𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒎 (𝒙)]𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏 (𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝝅 𝝅 𝝅 [𝒔𝒆𝒄 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) (𝒙)][𝒕𝒂𝒏 (𝒙)] 𝒙→ 𝒙→ 𝒙→ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝝅 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐 ) 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝟐 = 𝒍𝒊𝒎 𝟐 𝟐 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝒙→ 𝒕𝒂𝒏 (𝒙) 𝒙→ 𝒙→ 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 𝟐 (𝒔𝒆𝒏 (𝒙)) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝟎 =𝟎 𝟏 Por tanto: 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 𝒍𝒊𝒎 [𝒕𝒂𝒏(𝒙)] 𝝅 𝒙→ =𝒆 𝒍𝒊𝒎 𝒄𝒐𝒔 (𝒙)𝒍𝒏[𝒕𝒂𝒏(𝒙)] 𝝅 𝒙→ 𝟐 𝟐 Solución: 𝒍𝒊𝒎 [𝒕𝒂𝒏(𝒙)]𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝟏 𝝅 𝒙→ 𝟐 = 𝒆𝟎 = 𝟏 EJEMPLO: Hallar 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙) 𝒙→𝟎 Veamos su gráfica en GeoGebra Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟎, quedando: 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = (𝟎)𝒕𝒂𝒏 (𝟎) = 𝟎𝟎 𝒙→𝟎 Paso 2: Aplicar propiedad 𝒍𝒊𝒎 𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝒍𝒏 (𝒙) 𝒍𝒊𝒎[𝒙]𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝒆𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = 𝟎 𝒍𝒏 [𝒙] 𝒍𝒏 [𝟎] −∞ = = (𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐) 𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙)) 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏 (𝟎) ∞ 𝒍𝒊𝒎[𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒍𝒏(𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 Paso 3a: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 (𝒙), por lo que, 𝒇′ (𝒙) = (𝐱 ) 𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭𝐚𝐧 (𝒙), por lo que, 𝒈′ (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) Entonces: 𝟏 𝒍𝒏 [𝒙] 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) 𝒙 𝒍𝒊𝒎[𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒍𝒏(𝒙)] = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙)) 𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) 𝒙→𝟎 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟎) 𝟎 = 𝟎 𝟎 Paso 4: Como hay otra indeterminación, se vuelve aplicar la regla de L’Hôpital 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙), por lo que, 𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒙, por lo que, 𝒈′ (𝒙) = 𝟏 Entonces: 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟎) 𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟎 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙 𝟏 Por tanto: 𝒍𝒊𝒎 𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝒍𝒏 (𝒙) 𝒍𝒊𝒎[𝒙]𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝒆𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 = 𝒆𝟎 = 𝟏 Solución: 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝟏 𝒙→𝟎 𝒙 𝟏 EJEMPLO: Hallar 𝐥𝐢𝐦( )𝒙−𝟑 𝒙→𝟑 𝟑 Vamos a ver su grafica en GeoGebra Paso 1: Sustituimos el valor de 𝒙 = 𝟑, quedando: 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙−𝟑 𝟑 𝟑−𝟑 𝒍𝒊𝒎 ( ) =( ) = 𝟏∞ 𝒙→𝟑 𝟑 𝟑 Paso 2: Aplicar propiedad: 𝒙 𝟏 𝒍𝒏 (𝟑) 𝒙 𝒙−𝟑 𝒍𝒊𝒎 ( ) = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝟑 𝒆𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟑 Paso 3: Resolver el límite sustituyendo 𝒙 = 𝟑 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 𝒍𝒏 (𝟑) 𝒙−𝟑 = 𝐥 𝐧(𝟏) 𝟎 = (𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐) 𝟑−𝟑 𝟎 Paso 3a: Como hay una indeterminación aplicar la regla L’Hôpital 𝒙 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 (𝟑) por lo que 𝒇′ (𝒙) = (𝒙) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟑 por lo que 𝒈′ (𝒙) = 𝟏 Entonces, 𝒙 𝒍𝒏 (𝟑) 𝟏 𝟏 𝟏 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟑 𝒙→𝟑 𝟏 𝒙→𝟑 𝒙 𝟑 Por lo tanto: 𝒙 𝒍𝒏 ( ) 𝟏 𝟑 𝒙 𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒙.−𝟑 𝒙→𝟑 𝒍𝒊𝒎( ) = 𝒆 𝒙−𝟑 = 𝒆𝟑 𝒙→𝟑 𝟑 Solución: 𝟏 𝟑 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = 𝒆𝟑 = √𝒆 𝒙→𝟎 Hallar la derivada de los siguientes cocientes: 1. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 =𝟏 2. 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒙 = 𝟏 𝒙→𝟎 3. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 4. 𝒍𝒊𝒎 𝟏−𝒄𝒐𝒙 𝒙𝟐 𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙) 𝒙→𝟎 𝒍𝒏(𝒕𝒈𝒙) 5. 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 =𝟐 𝒆𝒙 −𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 =𝟏 =𝟐 BIBLIOGRAFIA • COBACHBC (2020). 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