Guia Teorica DISCRETA - K1GT1 2019

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GUíA TEÓRICA (PARTE 1) 2019
Ing. María Alicia Piñeiro
MATEMÁTICA DISCRETA
K1GT1
INGENIERíA EN SISTEMAS DE LA INFORMACiÓN
@UTn.BI=t
®
UTn.BJ:I
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
,
UNIDAD 1: LOGICA
PROPOSICIONES LÓGICAS
OPERACIONES LÓGICAS
TABLAS DE VERDAD Y LEYES LÓGICAS
FUNCIONES PROPOSICIONALES
Autor: Ing. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
Unidad 1
........ .. ................................................. .... ...... ..•...• .•.•........................................
LÓGICA
Proposición lógica: es todo enunciado susceptible de ser verdadero o falso .
Las proposiciones lóg icas se denotan con letras minúsculas.
Ejemplos:
p : "Cuatro es un nú mero impar"
v ( p ) = F (valor de verdad de p es Falso)
q : "París es la capital de Francia"
v ( q ) = V
1:
(valor de verdad de q es Verdadero)
Indica si los siguientes enunciados son o no proposiciones lógicas. De las que son
proposiciones lógicas, indica el valor de verdad, es decir si son verdaderas o falsas:
1) El cielo es verde .
Si O NO O
2) ¿Qué ho ra es?
Si O NOO
3) 2+3=5
SiO NOO
iHola!
Si O NO O
4)
S) x es un número entero
6)
Esta materia es muy útil.
Si O NOO
Si O NO O
Si quieres saber si lo has hecho bien, puedes ver las respuestas al final de la unidad .
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Proposiciones
simples
y, ..s--l
SE C OMBINAN Y FORMAN
. . . ..
( proPosiciones
compuestas
y.(
OPERACIONES
LÓGICAS
GU íA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PA G .2
Unidad 1
....•.•...••.....................................••..........................•.•..•••..................•••.•••••.••.....
Hasta ahora hemos estado trabajando con proposiciones lógicas que enunciaban una única idea cada una.
Se las llama proposiciones simples. Pero muchas veces combinamos una o más proposiciones simples
para formar proposiciones compuestas.
Las proposiciones simples se combinan a través de las operaciones lógicas (conjunción, disyunción,
negación, condicional y bicondicional). Para denotarlas se utilizan los conectivos lógicos.
o
Ejemplo: Una forma de combinar las proposiciones p y q del ejemp lo anterior:
p : "Cuatro es un número impar"
q : "París es la capital de Francia"
p A q : "Cuatro es un número impar y París es la capital de Francia".
( ! )¿cuál es el valor de verdad de
proposición compuesta? ...... ....... .
Pero ... ¿y si las dos proposiciones simples hubiesen sido verdaderas? ¿O las dos falsas?
Pa ra mostrar todas las posibilidades de valores de verdad de las proposiciones simples, utilizamos las
TABLAS DE VERDAD.
OPERACIONES LÓGICAS:
Veremos cada una de las operaciones lógicas. Debes completar la tabla de verdad.
Comenzamos:
r
CONJ UNCIÓN
A
el
q
v
P 1\
q
l
V
La conjunción únicamente es VERDADERA cuando ambas proposiciones simples lo son. Con una
conjunción se da a entender la simultaneidad de las dos proposiciones. Si bien el nexo conjuntivo mas
común es la "y", hay otras formas de indicar conjunciones.
GU iA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.3
Unidad 1
................••••••••...........................................................••..............•••••.••.............
0Ejemp,os:
1) Estamos en invierno pero hace calor.
2) Esta tarde debo estudiar, además no l1')e gusta jugar al football.
3) Tu prima es muy bonita, también es inteligente.
Veamos otra operación:
= = ==::::>
DISYUNCiÓN el
p
q
v
v
V
F
F
F
V
p v q
I
J
I
La disyunción expresa la posibilidad de una de las dos proposiciones o ambas, ya que es inclusiva.
Solamente una disyunción es FALSA cuando las dos proposiciones que la forma n lo son. El nexo mas
común que expresa disyunción es la "o".
0Ejemp,os:
1) Debemos presentar documento o credencial para rendir el examen.
2) Le puedo cobrar en efectivo o bien con tarjeta de débito.
Hay otro tipo de disyunción:
l
.
-
-,
DISYUNCiÓN
EXCLUYENTE
p
rr:===:;;
q
V
V
V
F
F
F
V
- . -.. _f--
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
I
V
p -V q
,
_.... _----
F
PAGA
Unidad
1
........................................... .................. ........ ••.. .......••.......................••...•.
•••. ....
En este caso, como la disyunción es excluyente, significa que solo una de las proposiciones debe ser
verdadera. Es decir, solamente una disyunción excluyente es verdadera cuando los valores de verdad de
las proposiciones simples que la forman son distintos. En el lenguaje coloquial debe expresarse
explícitamente el sentido excluyente.
0
EjemPlos:
1) Pueden recuperar el primer parcial o el segundo pero no ambos.
2) Nos iremos a la playa o bien a las sierras, a uno de los dos.
Sigamos con la próxima operación:
CONDICIONAL
r p
I
F
====>
Ce
_ _ _ • __ ...1
p=>
q
F
I
q
_ .__
---!
I
La estructura condicional, indica que si se cumple una determ inada condición (p), entonces se debe
cumplir la otra (q). Por eso, la única forma en que un condicional sea falso, es partiendo de una
proposición verdadera y que la otra sea falsa. En los tres casos restantes, el condicional es verdadero.
Si bien, la forma mas común de indicar un condicional es "si. ...entonces ... . ", hay otras maneras, como
mostramos en los ejemplos.
Cuando un condicional
p => q es verdadero,
se dice que p implica q.
0EjemPlos:
1) Si una matriz es ortogonal entonces es inversible.
2) El cuadrado de todo número par es par.
3) Es necesario ser mayor de edad para ingresar al casino .
• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • •
GurA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.5
Unidad
................................. .. ............ ... ........... .......••• ......•.• ••• ..•..••.... ....•••..
..... ...........1.
Si aun no te co nvences de la tabla de verdad del condicional, considera el siguiente ejemplo:
0
EjemPIO:
Alicia le dice a J"an:
Si apruebas
el examen,
te regalo
una tablet
/"'.....
Hay cuatro situaciones que pueden darse:
1) Juan aprueba el.el':amen y Alicia le regala la tablet.
2) Juan aprueba el examen y Alicia NO le regala la tablet.
3) Juan NO aprueba el examen y Alicia le regala la tablet.
4 ) Juan NO aprueba el examen y Alicia NO le regala la tablet.
Si te fijas, cada una de esas situaciones representa un
p
q
p =>
renglón de la tabla de verdad:
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
Siendo :
p: Juan aprueba el examen
q: Alicia le regala la tablet
q
F
Analicemos cada una para ver si podemos confiar en lo que promete Alicia:
En la 1), Juan hizo lo que debía y Alicia cumplió su promesa, o sea el condicional se ha cumplido.
En la 2), Juan hizo lo que debía pero Alicia NO cumplió su parte, por lo cual tenemos toda la razón en
reprocharle que no ha cumplido su promesa.
Pero tanto en la 3) como en la 4 ), Juan no aprueba el examen. Y Alicia solo prometió lo que iba a hacer si
Juan aprobaba . No dijo nada en caso de que no aprobara. Por lo tanto, si le regala igual la tablet o no, no
está faltando a su promesa . Nosotros si ocurre alguno de estos casos, no tenemos elementos suficientes
para condenar a Alicia por incumplidora. Por eso, al igual que en un juicio cuando no hay pruebas se
declara inocente al acusado, el condicional es verdadero.
GUiA D IDÁC T ICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.6
Unidad 1
......••........................................•..•..................•......••...••••.............•......•.•....•.•....
Ahora pasemos a la siguiente:
B ICONotCIONAL _
¡ - . _- -- .
p
q
I
p
q
En este caso, al ser bico ndicional, los valores de verdad de ambas proposiciones deben tener el mismo
valor de verdad.
0 E jemplos:
1) Una matriz cuadrada es inversible si y solo si su determinante no es nulo.
2) Solamente si aprueban los parciales y el TP firman la materia.
3) Es necesario y suficiente ser socio para obtener el descuento.
y la última operación lógica es una operación unaria (no binaria como las anteriores):
NEGACION
i=
-:-->- ,....,
P -PI
V
F
La negación cambia el valor de verdad de la proposición a la que se le aplica. Si bien se lee como "no",
hay varias maneras de indicar una negación.
0 E jemPlos:
1) El tres no es un número par.
2) No es cierto que hoyes domingo.
3) Es falso que la división es cerrada en Reales .
• • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.7
.....................••..............•.............••• •............................................
.•
..
TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
Si en una proposición compuesta hay n proposiciones simples, la tabla de verdad tiene 2" renglones.
Pero antes de pasar a hacer tablas de verdad, hay algo importante que aclarar:
A TENER EN CUENTA ...
Precedencia de operadores:
Cuando no hay paréntesis, corchetes o llaves se deben interpretar las operaciones lógicas en el siguiente
orden:
1
2
/\
3
v
4
S
e>
-
W
Ejercicio 2:
Cómo se interpreta:
Señala la respuesta correcta:
l)-[p/\
2) - [ (p /\ q)
3) [ (- p) /\ q
r
1
4) (- p) /\ (q
1
r
r)
Si quieres saber si lo has hecho bien, puedes ver las respuestas al final de la unidad.
W
Ejercicio 3:
Teniendo en cuenta los conectivos lógicos, construye la tabla de verdad de las siguientes proposiciones
compuestas, ya te damos como ayuda las tablitas preparadas para ir calculando de a poco:
1) q e> ( - p v
q )
q
V
V
F
F
p
V
F
V
F
-p
-q
-p v-q
q e> ( -p v-q )
•• o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.S
Unidad 1
......................................••...........••.......................................................•.•.........
2) p => p v q
p
q
V
V
V
F
F
F
V
pvq
p=>pvq
F
Si quieres saber si lo has hecho bien, puedes ver las respuestas al final de la unidad.
TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS:
.:. Una proposición compuesta que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad
de las proposiciones simples que la forman, se llama : TAUTOLO GIA
.:.
Una proposición compuesta que es siempre falsa independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la forman, se llama: CONTRADICCION
.:.
Una proposición compuesta que en algunos casos es verdadera y en otros falsa dependiendo de los
valores de verdad de las proposiciones simples que la forman, se llama: CONTI NGE NCIA
W
Ejercicio:
Indica de las proposiciones anteriores cual es cada una.
CONDICIONALES
Ya conocemos los condicionales pero vamos a estudiar un poco mas de ellos porque a lo largo de esta
materia y de muchas otras nos encontraremos muchas veces en presencia de Teoremas o propiedades
que son condicionales. Y debemos saber interpretarlos bien, ya que pueden venir expresados de formas
diferentes.
Primero veremos los nombres de cada una de las partes de la proposición condicional:
........................................................................................................................
GU iA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DI SC R ETA
PAG .9
...................................................................................................
-"'" p => q r
0EjemPIO:
"--
!CONSECUENTE I
[ANTECEDEN TE J
[
HIPOTESIS
í
CONDICION
SUFICIENTE
CONDlCION
1 NECESARIA
Sean las siguientes proposiciones simples:
a: "llueven
,
..
J
\
,
b: "hay nubes en el cielo"
El condicional: a
b es cierto: "Si llueve, hay nubes en el cielo"
Por lo tanto, otra forma de indicarlo es diciendo: "Es necesario' que haya nubes para que llueva", O lo
mismo puede decirse "Es suficiente que llueva para saber que hay nubes en cielo"
W
Ejercicio:
En base al ejemplo completa:
"a es CONDICIÓN ................ .. para by b es CONDICIÓN .................. , para a",
CONDICIONALES ASOCIADOS A UNO DADO:
A partir de un condicional podemos forma r otros:
p=>q
r
I
q=>p
reciproco
-q=>-p
-p=>-q
contrarreci proco
contrario
0
EjemPIO:
Hagamos la tabla de verdad de - q
p
V
V
F
F
Compárala con la tabla de p
q
V
F
V
F
- p
-q
F
-p
F
-q
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
q ¿Cómo son?. ......................... ,
........................................................................................................................
GUíA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.l0
Unidad
......... ••.••..• ••..... ........... ..........
. .... ........................... ••••.................. .....•. •.. ..• ..••...
. 1..
..
PROPOSICIONES EQUIVALENTES:
Las proposiciones que tienen idénticas tablas de verdad se llaman EQUIVALENTES .
Ello lo indicamos con el símbol o
o
Ejemplo:
=
que signifi ca EQUIVALENTES.
En el ca so de la página anterior podemos escribir
q
p)
== ( p
q )
4:
Construye la tabla de verdad de
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
v q y comprueba qu e tamb ién es equivalente a p
-p
q.
-pvq
Propiedad:
Si dos proposi ciones p y q son equi va lentes, entonces p
0
Mostraremos que la proposición
EjemPlo:
haciendo la tabla de
a
V
V
F
F
( av b)
b
V
F
V
F
avb
V
V
V
F
a
A
F
F
F
V
q es una TAUTOLOGIA
( a v b ) es equivalente a
a
A
b
b
-a
F
F
V
-b
F
V
F
V
V
"' aA"'b
F
F
F
V
V
V
V
V
Esta equivalen cia es una de las principales y se denomina Ley de ·D.e Morgan,
De la misma manera que hemos demostrado esta equ ivalen cia, se pueden demostrar muchas más , En la
próx ima página te m ostrarem os una lista de las equivalencias lógicas principales,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••
GUíA DIDÁCT ICA DE M ATEMÁTI CA D ISCRETA
P AG. 1 1
Unidad 1
•.•..•••••••••••••••••••• ••• .. . .• • • •• ••••.• ! •• • ••• • •••••••••••••••..•••••••• • •••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••..•
A continuaci ón veremos varias equival encias lógi cas, ta mb ién llamadas leyes lóg icas.
LEYES LÓGICAS O PROPIEDADES :
Nombre de la ley
Expresión
1
Involución
-(-p ) =p
2
Conmutatividad
3
Asociatividad
pl\q = ql\p
pvq " qvp
pl\( ql\r) ,,( pl\q )I\r
pv ( qvr) = ( pvq )vr
4
Distributividad
p
1\ (
q v r ) ,, ( P 1\ q )
V (
P 1\ r )
pvq )
1\ (
P v 'r )
pv ( q
5
Idempotencia
6
De Morgan
M
) ,, (
pl\p = p
pvp = p
. -( pl\q) " (-p ) v (-q)
-( pvq) " (-p )
1\
(-q)
7
Absorción
8
Identidad
pl\V " p
p v F" P
9
Dom inación
pvV" V
pI\F " F
10
Bicondicional
11
Condicional
12
Tercero excluido
13
Simplificación
14
Adición
pl\(pvq) " p
pv(pl\q) = p
pv(-p) e V
p
pv q "V
Todas estas leyes se demuestran haciendo la TABLA DE VE RD AD de cada una .
GUíA DIDÁCT ICA DE MATEMÁT ICA D ISCRETA
PAG. 1 2
Unidad 1
...•......................................•••.••...••••...........................•...............•••............••.....
(!) ¿Para qué utilizaremos las leyes lógicas?
Las podemos utilizar para simplificar proposiciones compuestas . Veamos un ejemplo:
o
Ejemplo:
Simplificar la siguiente proposición:
Apliquemos equivalencia del condicional en
otra parte:
" r ). Obtenemos:
Ahora apliquemos la ley involutiva en
Distributiva de v respecto de " :
p
p) :
[
p
p
q )"
r)]
q) y al mismo tiempo apliquemos De Morgan en la
p
[ ( pv q ) " [ pv
p
[ pv ( q"
Equivalencia del condicional:
pv
[ pv (q"
Apliquemos nuevamente De Morgan:
pv
p"
q"
r)]]
r) ]
r) ]
r) ]
Finalmente, por absorción:
WEjerCiciO 5:
cada paso:
N
[
Ahora intenta simplificar la siguiente, no te olvides de justificar la ley utilizada en
P" ( P
q ) ]
q
............. ........................................ ........................... ... ....... ... ...... ..... ....... ........................ ............
Lo lograste !!!!
• o ••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MAT EMÁTICA D ISCRETA
PAG . 13
......•••••••••••••••................•................ •.......................•••...•..............
..
FUNCIÓN PROPOSICIONAL O PROPOSICIÓN ABIERTA O PREDICADO:
Considera el siguiente enunciado
(!) ¿Es una proposición lógica?
p (x) : " x es un número par"
Si O
NO O
Por qué? .. .... .. .. .... .......................... .
En cambio si decimos: \\8 es un número par"
Ahora sí es una proposición lógica, y es verdadera. Se denota: p (8)
También podemos decir: "Todos los números enteros son pares"
En este caso es proposición lógica y es falsa. Se denota : V x e Z: p (x)
DEFINICION: Sea A un conjunto no vacío, llamamos predicado o función proposicional con
dominio en A a toda expresión p(x) tal que para cualquier elemento "a" del conjunto A se verifica que
pea) es proposición.
Básicamente, las funciones proposicionales son enunciados con variables que se pueden convertir en
proposiciones lógicas de las siguientes formas:
'-1
I
FUNCiÓN
PROPOSICIONAL
>(
PROPOSICiÓN )
LÓGICA
,
2) Cuantificándolas.
1) Asignando valores a las
Ejemplo:
variables.
"todos los números son
Ejemplo:
pares"
"3 es un número par"
- cuantificadores]
Universal :
¡..____
_ 1
Existencial :
:3
...........................................................................................................................
GUiA D IDÁ CTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.14
Unidad 1
.......•.....•••.•••..•...............................................•••••••.•..•..••.......................•...••.....
0
EjemPlos:
Sean los conjuntos:
A = { 10, 15, 20}
P(x) : "x es múltiplo de 5"
B = { 3, 6, 9, 12}
Y las funciones proposicionales:
Q(x): "x es par"
Para decir que todos los elementos del conjunto A son múltiplos de 5 escri bimos: V x
Para decir que algunos elementos del conjunto B son pares escribimos: 3 x
E
E
A : P(x)
B : Q(x)
Para decir que algunos elementos del conjunto A son pares y múltiplos de 5 escribimos:
3 x
E
A : [ P(X)
A
Q(x)
1
¿Existen elementos de B que sean impares y múltiplos de 5?
. .. ....
¿Es cierto que todos los múltiplos de 5 del conjunto A son impares?
¿Cómo se escribe?
....... ¿Có mo se escribe?
VARIABLES LIBRES Y VARIABLES ACOTADAS:
Si las variables de una función proposicional están afectadas por un cuantificador, ya sea universal o
existencial; diremos entonces que son variables acotadas . En cambio, las variables que no están
afectadas por un cuantificador; son variables libres.
0 EjemPlo:
V
x: x + y <
la "x" es acotada I la "yll es libre
5
( ! )¿ES lo mismo V x: 3 y : p(x,y)
que
3 y : V x : p(x,y)
?
La pregunta se puede formular diciendo si los cuantificadores conmutan o no, es decir si se los puede
cambiar de lugar, sin que afecten a la proposición. ¿Qué te parece?
Considera el siguiente ejemplo: supongamos que x son las mujeres solteras, y son los varones solteros y
la propiedad p(x,y) significa x e y son novios . La primera proposición dice que para todas las mujeres
solteras x existe un varón y que es el novio. La segunda proposición, en cambio, dice que existe un varón
y, tal que todas las mUjeres x del mundo son sus novias!!!
i
tr
Diferente, no???
........................................................................................................................
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.15
Unidad 1
...........•..•••••••..•................................................................................••..............
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES.
Supongamos que María dice: "Todos los alumnos de este curso aprobaron el parcial"
y Hernán le responde: "Eso no es verdad. Aquí hay un alumno que no aprobó"
( ! )¿ES suficiente la justificación que da Hernán? .......
En otra ocasión, María dice: "Algún alumno de este curso aprobó el parcial" Y nuevamente Hernán está en
desacuerdo.'
1&\.
\1,1<Que.
d e b ena
• hacer a hora para JUS
. t 'fi
. .• 7.................... ..... " ................. " ..... " .. " ........ ".
I Icar su poslclon
Por lo tanto:
- [ 'V x : p(x)
1 ;a 3
- [ 3 x : p(x)
1 '"
x: - p(x)
'V x : - p(x)
6:
Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones:
'V x
E
q: 3 x
E
p:
r: 3 x
s: 'V x
E
E
R:
X2
R : (
R: 'V y
x+3
E
- p: .................................................................. .
> O
8
R: x • y
A
X
> 4 )
y
R: ( x > O .... x + 2 > 3 )
- q: ................................................................. ..
- r: ....................................................................
- s: ................................................................. ..
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.16
Unidad 1
..............•.......................................................•............................••••••••••.•••.......
RESPUESTAS DE lOS EJERCICIOS PROPUESTOS:
Ejercicio 1:
1) Es proposición lógica y es FALSA
2) No es proposición lógica.
3) Es proposición lógica y es VERDADERA
4) No es proposición lógi ca.
5) No es proposición lógica.
6) Es proposición lógica y es VERDADERA
Tablas de verdad de las operaciones lógicas:
P
p
q
V
F
F
F
V
F
p
q
p =:>
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
Ejercicio 2:
f\
I
q
:- -1
I
F
_f _--.J
r
q
p
q
p v q
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
p
q
V
F
F
F
V
F
F
V
pe) q
_.
i
F
F
V
F
F
-'----
- p
¡-F
F
V
la correcta es la 3)
Ejercicio 3:
1) q <=> ( - p v-q)
TP
-p
-q
V
V
F
F
,V
F
V
F
V
V
F J V
F
V
V
F
. F-.i F
V
V
V
lt
-- '-
--
- p v-q , q <=>(/V-q
F
,..-
L
)!
F
:7
"""'---:::;::- CONTINGENCIA
-<
7
••••••••••••••• •••• • •••• • ••• • •••••••••••• o •••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••• o ••••••••••••••••••
GuíA DIDÁCTICA DE MAT EMÁTICA D IS C RETA
PAG.17
Unidad 1
.....................................•••..•.....••..................•• ••••. •.••......•............••••••••.•............
2) p => p v q
p
I
q
pv q
V
V
V
vi
F
v
v
v
F
F
F
F
p
=
pv q
.
v
v
-¡-;:>:
I
I
V
¿:.-
I
V
I
3) P I\-p
Ejercicio 4:
p
V
q
V
V
F
F
F
V
F
-p
-p vq
F
F
V
V
V
V
V
F
Ejercicio 5:
La expresión simplificada queda:
q
Ejercicio 6:
- p: 3
- q: V x
- /-: V
x
E
R:
x' ,:;
R : ( x + 3, 8 v x ,;; 4 )
x ;:- R :
- s: 3 x
O
E
'1 y
R : x > O
R:
A
X
x. y
+ 2 _
0<.
Y
3
GUíA DI D ÁCTI C A DE MATEMÁTICA DISC RETA
PAG.18
®
UTn. Bf:t
UNIVERSIDAD TECNOLóGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD 1: LÓGICA
RAZONAMIENTOS
Autor: Ing. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
................................................................................................Unl ..a. ... 1
¿Qué es un RAZONAMIENTO?
Es un conjunto de proposiciones en el cual una de ellas, llamada CONCLUSIÓN, se afirma sobre la
base de las demás llamadas PRE MISAS.
Esquemáticamente :
PREMISA 1
PREMISA 2
•••
PREMISA N
•
••
o
CONCLUSI ON
Ejemplo:
" El ladrón tenía llave de la puerta o entró por la ventana. Si entró por la ventana, pisoteó las ma cetas .
Las macetas no están pisoteadas. Por lo tanto, el ladrón tenía llave de la puerta."
En este razonamiento, podemos identificar tres premisas:
PI: "El ladrón tenía llave de la puerta o entró por la ventana".
P2: "Si entró por la ventana, pisoteó las macetas".
p,: "Las macetas no están pisoteadas".
y la conclusión: "el ladrón tenía llave de la puerta".
Si definimos el siguiente diccionario:
p: "El ladrón tenía llave de la puerta"
v: "El ladrón entró por la ventana"
m: "El ladrón pisoteó las macetas"
Podem os escribir el razonamiento en forma simbólica:
pvv
v => m
-m
.. p
O bien en un solo renglón:
pvv; v=>m; -m
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
.. p
PAG.20
................................................................................................Unidad.. 1
W
Ejercicio
¡:
Escribe en forma simbólica el siguiente razonamiento previa identificación de las proposiciones lógicas
y definición de un diccionario :
Para bajar de peso debo hacer dieta o ir al gimnasio. Si voy al gimnasio gasto dinero. Quiero
bajar de peso sin gastar dinero. Entonces vaya hacer dieta.
¿Cuándo es válido un razonamiento?
Cuando de premisas VERDADERAS, NO se puede extraer una conclusión FALSA.
(!) ¿Cómo te parece que son los dos razonamientos anteriores?
o
Ejemplo: Mostremos que el siguiente razonamiento no es válido.
p
q ;
pAr :.
Si consideramos
q
v(p) = F, v(q) = V , v(r) = V , resultan ser las premisas verdaderas pero la
conclusión falsa, por lo cual este razonamiento es inválido.
MÉTODOS PARA PROBAR LA VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Ex isten varias formas de probar la validez de un razonamiento :
1 . Directo
2 . Condicional asociado
3 . Demostrativo
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG .2 1
................................................................................................Unid.a .. 1
1. MÉTODO DIRECTO
Partiendo de la verdad de las premisas, se va trabajando con ellas hasta llegar a la conclusión.
o
Ejemplo: Volvamos al ejemplo 1:
PVV
V => m
-m
p
Solamente analizaremos los casos en que todas las premisas son verdaderas . ¿Por qué?
Como v (-m) =v por ser premisa entonces v (m) = F
Luego, como v (v
m) = V por ser premisa, pero v (m) =F entonces debe ser v (v) = F
Por último, como v (p v v) = V por ser premisa, pero v (v) =F entonces debe ser v (p) = V
Y esta es la conclusión que resulta ser necesariamente verdadera.
2:
Prueba la validez del siguiente razonamiento usando el Método Directo:
Para bajar de peso debo hacer dieta o ir al gimnasio. Si voy al gimnasio
gasto dinero. Quiero bajar de peso sin gastar dinero. Entonces vaya
hacer dieta .
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
GUiA D IDÁCTICA D E MATEMÁTICA DI S CRET A
PAG.22
................................................................................................Unid.• d.. 1
2. MÉTODO DEL CONDICIONAL ASOCIADO
Consiste en armar un condicional cuyo antecedente es la conjunción de todas las premisas, y su
consecuente es la conclusión. Luego debe demostrarse que dicho condicional es verdadero . Si lo es, el
razonamiento será válido.
Para el mismo ejemplo anterior, el condicional asociado es:
[(p v v)
1\
(v => m)
1\
(-m)
1
=> p
(!) Cómo demostramos que dicho condicional es verdadero siempre?
Para probar que es verdadero, podemos hacer la tabla de verdad y verificar que sea una tautología, o
sea que todos los renglones sean verdaderos.
Si queremos hacerlo por un camino más rápido, podemos tratar de encontrar algún renglón que sea
falso (si ello ocurriera el razonamiento sería inválido). Si resultara imposible hallar un renglón falso,
quedará garantizada la validez del razonamiento.
Intentemos ver si es posible que el condicional sea falso . La única posibilidad es que simultáneamente
las prem isas sean verdaderas y la conclusión falsa.
[ (p V V) /\ (V => m) /\ (-m)] => p
Suponiendo que p es falsa (pues es la conclusión), pero v (p v v) = V por ser premisa, debe ser
necesariamente
'v
(v) = V . Teniendo en cuenta esto último y el hecho que
v
(v => m) = V por ser
premisa, resulta que v (m) = V (1) . Pero por otro lado, la premisa v (-m) = V con lo cual se deduce que
v (m) =F (Il)
De (1) Y (Il), vemos que existe una contrad icción, es imposible que m sea verdadera y falsa a la vez.
Esto nos indica que nunca el condicional puede ser falso . Por lo tanto el razonamiento es válido .
W
Ejercicio 3: demuestra por el método del condicional asociado el razonamiento:
Para bajar de peso debo hacer dieta o ir al gimnasio. Si voy al gimnasio gasto dinero. Quiero
bajar de peso sin gastar dinero. Entonces vaya hacer dieta.
G UíA D IDÁ CTICA DE M ATEMÁTICA DISCRETA
PA G. 23
·...............................................................................................u.nldad.. 1
3. MÉTODO DEMOSTRATIVO
Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el
objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento .
Las proposiciones que se pueden incorporar a la lista pueden ser únicamente por tres motivos:
a) ser premisas
b) ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista
c) obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
En cada renglón, debe justificarse a la derecha de dónde provino señalando el o los renglones que se
han utilizado. El objetivo es llegar en algún renglón a obtener la conclusión. Si se llega, significa que el
razonamiento es válido.
Las reglas de inferencia son pequeños razonamientos que ya se sabe que son válidos, y sirven para
probar la validez de razonamientos mas complejos. Cada una de ellas, tiene un nombre que la
identifica y dos siglas.
Las principales reglas de inferencia son:
Modus Ponens (M.P.)
Ao=,B ;A :. B
Modus Tollens (M.T.)
Ao=,B ; -8 :. -A
Silogismo hipotético (S.H.)
Ao=,B ; B o=, C :. A o=, C
Silogismo disyuntivo (5.0.)
AvB ; -A :. B
Ley de Combinación (L.c.)
A;B :. A
o
1\
B
Ejemplo: Retomando el razonamiento del primer ejemplo, podemos armar la siguiente lista:
1
pvv
premisa
2
v
=:> m
premisa
3
-m
premisa
4
-v
M.T. (2,3)
5
P
S.D. (1,4)
Al haber llegado a la conclusión en el renglón 5, queda demostrado que el razonamiento es válido .
••••• • ••••••••••••• ••••• ••••• • • •••••••••••••••••• • • o •••••••••••••••••••••••••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.24
...................................................................................... .........Unldad.1
0
0tro ej emplo RESUELTO:
Sea el razonamiento:
p => q v r ; q => t ;
rv
t :.
rv
pv r
Demostraremos que es válido utilizando el método demostrativo con reglas de inferencia .
1. P => q vr
premisa
2. q => t
premisa
3.
t
premisa
4.
q
M. T. (2,3)
5.
P v ( q v r) equival. con dic. (1)
6.
7.
v r ) v q asociativa y conmutativa (5)
p vr
5.0. (6,4)
4:
Prueba la validez del siguiente razonamiento usando el Método DEMOSTRATIVO:
Para bajar de peso debo hacer dieta o ir al gimnasio. Si voy al gimnasio gasto dinero. Quiero
bajar de peso sin gastar dinero. Entonces vaya hacer dieta.
PARA PENSAR ...
Consideremos el siguiente razonamiento:
Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por lo tanto Sócrates es mortal.
\U G
' t o va'I'd?
e parece que es un razonamlen
I o, .................. ..
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.25
................................................................................................Unldad..1
Lo escribimos en forma simbólica:
v
X : (
h(x) => m(x) ) ; h(Sócrates)
m(Sócrates)
Siendo las funciones proposicionales usadas:
h(x) : "x es hombre"
m(x): "x es mortal"
Aunque creamos que es válido, se nos complica la demostración, ya que no se puede usar por
ejemplo un Modus Ponen s directamente pues la pr imera premisa tiene un cuantificador. En estos casos
primero debe particularizarse.
(!) ¿Cómo
lo demostramos? Para eso vemos a ver unas nuevas reglas de inferencia .
REGLAS DE INFERENCIA PARA RAZONAMIENTOS CATEGÓRICOS (CON CUANTIFICADORES)
Estas reglas son las que nos permiten "poner" o " sacar" los cuantificadores :
Particularización un iversal (P.U.)
'1 x: p(x) :. p(a)
Generalización universal (G.U.)
p(a) :. 'Ix: p(x)
Particularización existencial (P.E .)
3 x: p( x) :. p(a)
Generalización existencial (G.E .)
p(a) : . 3 x: p(x)
o
Ejemplo:
1. V
Nota: si a es genérico
Ahora demostremos el ejemplo de Sócrates.
X: [
h(x) => m(x) ]
premisa
2. h(Sócrates) => m(Sócrates)
P.U.(l)
3. h(Sócrates)
premisa
4. m(Sócrates)
M.P. (2,3)
IMPORTANTE:
.:. Las particularizaciones hay que usarlas siempre antes de utilizar otras reglas de inferencia
(Modus Ponens, Tollens, silogismos, etc.) ya que no se pueden usar estas otras si hay
cuantificadores .
•:. Si tenemos proposiciones existenciales, al particularizar en un elemento "a", éste no es
genérico. En cambio si particularizamos una proposición universal (con '1 ), el elemento es
genérico.
G UíA D IDÁ C TIC A DE MATE MÁT ICA DI SCRETA
PAG.26
................................................................................................. .ni
o
.1
Otro ejemplo RESUELTO:
Sea el razonamiento :
3 x : ( p(x) v q(x) ); 'ti x: ( q(x)
r( x) ) ; 3 x:
r(x) :. 3 x : ( p(x) v r( x) )
Demostraremos que es válido utilizando el método demostrativo con reglas de inferencia.
1) 3 x : ( p(x) v q(x) )
premisa
2) t>'x: ( q(x) => r(x) )
premisa
3) pea) v q(a)
P.E. (1)
q(a) => r(a)
P.U. (2)
4)
5)
pea) => q(a)
equiv. con die (3)
6)
pea) => r(a)
S.H. (5,4)
7) pea) v r(a)
equiv. cond. (6)
8) 3 x: ( p(x) v r(x)) G.E. (7)
(!) ¿Hubiese sido lo mismo cambiar de lugar los pasos 3 y 4? .......... . . Por qué?
W
Ejercicio 5:
Dado el siguiente razonamiento:
Todos los invitados a la cena son ingenieros o abogados. Los que son
ingenieros estudiaron en la UTN. Ariel, uno de los invitados, no
estudió en la UTN. Por lo tanto, al menos un invitado es abogado.
Define el diccionario:
Prueba por método demostrativo:
....................................................................................................................
G urA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.27
................................................................................................U.nlda .. 1
RAZONAMIENTOS CATEGORICOS INVÁLIDOS:
Para justificar que un razonamiento categórico es INVÁLIDO, la forma correcta es dando una
interpretación concreta que lo invalide, es decir definiendo un conjunto y dando funciones
proposicionales que hagan las premisas verdaderas y la conclusión falsa.
o
Ejemplo:
Sea el siguiente razonamiento: 3 x: (a(x) -+ - b(x)) ; c(m) v b(m) ; - c(m) :.3 x: - a(x)
Mostraremos que es inválido:
Consideremos el conjunto:
y los predicados:
U = { 3, 4, 6},
a(x) : " x es entero"
el valor de m=6
b(x) : "x es par"
c(x) : "x es múltiplo de 4"
Veamos las premisas:
3 x: (a(x) -+ - b(x)) es verdadera pues se cumple con x=3
c(6) v b(6) es verdadera pues se cumple b(6)
- c(6) también es verdadera
Pero la conclusión: 3 x: - a(x)
es FALSA ya que todos los números son enteros.
Con esto, queda justificado que el razonamiento es INVALIDO.
W
Ejercicio 6:
Analiza si el siguiente razonamiento es o no válido:
Algunos sillones están tapizados. Algunos sillones son blancos.
Todos los sillones blancos tienen almohadones. Por lo tanto,
algunos sillones están tapizados y tienen almohadones.
(f) y si cambiamos la primera palabra, ¿este nuevo razonamiento es válido?
TODOS los sillones están tapizados. Algunos sillones son blancos. Todos los sillones blancos tienen
almohadones. Por lo tanto, algunos sillones están tapizados y tienen almohadones.
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.28
................................................................................................Unld.a. .1
INTERPRETACIÓN CONJUNTISTA DE ALGUNOS RAZONAMIENTOS
Una forma de interpretar algunos razonamientos categóricos es relacionando con Teoría de Conjuntos.
Te recomendamos qu e luego de ver ese tema en la Unidad 2, regreses aquí para poder comprender
esta parte:
(!)¿Recuerdas en razonamiento de Sócrates?
'V x: ( h(x) => m(x) ) ; h(Sócrates)
m(Sócrates)
Podemos definir dos conjuntos (uno por cada función proposicional, serian los conjuntos de verdad de
cada una de las funciones proposicionales):
=
M=
H
= { X E U / x es hombre}
m(x) es verdadera} = { X E U / x es mortal}
{x
E
U / h(x) es verdadera}
{x
E
U/
Ahora se observamos la primera premisa, vemos que coincid e con la definición de inclusión.
Podemos reescribirla en términos de conjuntos :
Con esto podemos hacer un diagrama de Venn :
U
La segunda premisa es equivalente a decir:
Sócrates
E
U
H
Entonces ubicamos a Sócrates (s) en el diagrama :
y ahora si observamos el diagrama que hicimos, analizamos si se cumple la conclusión:
Sócrates
E
M
La cual es verdadera, por lo tanto comprobamos la validez del razonamiento.
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG .29
................................................................................................UnJ.dad.1
RES PUESTAS DE LOS EJE RCICI OS PROPUESTOS :
Ejercicio 1:
Si definimos el siguiente diccionario:
b: bajo de peso, d: hago dieta,
g: voy al gimnasio, n: gasto dinero
El razonamiento en forma simbólica es :
b
dv 9 ; 9
n; b
n :. d
A
Ejercicio 2:
Probamos por método directo: la tercer premisa es V entonces n es F. Luego en la segunda
premisa, 9 debe ser F. En la primera el antecedente es V por lo tanto el consecuente debe serlo.
Pero como 9 es F, d debe ser V.
Ejercicio 3:
Armamos el condicional: ( b
Partimos de ved)
dv 9)
A (
9
n )
bA
A (
n)
= F, Y las premisas verdaderas. Con lo cual
d
b es V (por la tercera) y ello hace
que d v 9 sea V. Pero como d es F, debe ser 9 la verdadera. Luego como 9
n es V, debe ser n
verdadera. Pero en la tercera premisa n es F. Este absurdo proviene de suponer que podía ser falso
el condicional, lo cual no ocurre por lo tanto el razonamiento es VALIDO .
Ejercicio 4:
Probamos por método demostrativo:
1. b
dv 9
2.
3. b
premisa
premisa
A
n
premisa
4.
L.S. (3)
5.
M.T.(2,4)
6. b
L.S. (3)
7.
Equivalencia (1)
8.
9.
d)vg asociativa (7)
d
10. d
5 .0 . (8,5)
5.0. (9,6)
Ejercicio S:
Diccionario: U = { x / x es invitado a la cena} , Ariel
i(x): "x es ingeniero"
El razonamiento queda:
a(x): "x es abogado"
V x: [ i( x) v a(x)
1 ; V x:
E
U
u(x): "x estudio en la UTN"
[ i(x)
u(x)
1;
u(Ariel)
:.3 x: a(x)
Demostración:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••
GUlA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.30
................................................................................................Uold..d.. 1
1 premisa
i(x) => u(x) 1 premisa
lo 'ti x: [ i(x) v a(x)
2. 'ti x : [
u(Ariel)
premisa
4. i(Ariel) => u(Ariel)
P.U. ( 2)
3.
5.
i(Ariel)
M.T.(4,3)
6. i(Ariel) v a(Ariel)
P.U. (1)
7. a(Ariel)
S.D .(6,5)
8. 3 x: a(x)
G.E.(7)
Ejercicio 6:
Diccionario:
t( x ): "x está tapizado" , b(x): "x es blanco" , m(x) : "x tiene almohadones"
Consideramos el conjunto U = { sillón1, sillón2, sillón3 }
Tales que: sillón! es tapizado amarillo sin almohadones, sillón2 es blanco sin tapizar y con
almohadones, sillón3 es rojo sin tapizar y sin almohadones.
Se cumplen . las tres premisas :
Algunos sillones están tapizados es V por el sillón lo
Algunos sillones son blancos es V por el sillón2.
Todos los sillones blancos tienen almohadones es V, ya que el único blanco es el sillón2.
Pero la conclusión: algunos sillones están tapizados y tienen almohadones es FALSA.
RAZONAMIENTO INVÁLIDO
Si se cambia la primera premisa por: "TODOS los sillones están tapizados", entonces nos queda un
RAZONAMIENTO VÁLIDO:
lo 'ti x: t(x)
premisa
2. 3 x : b(x)
premisa
3. 'tIx: [ b(x) => m(x) 1 premisa
4. b(a)
P.E. (2)
5. b(a) => mea)
P.U . (3)
6. mea)
M.P. (5,4)
7. tea)
P.U. (1)
8. tea)
A
L.e. (7,6)
mea)
9 . 3 x : [ t(x)
A
m(x)
1
G.E. (8)
GUiA D IDÁCT ICA DE M AT EMÁTICA D ISCRETA
PAG.3 1
®
UTn.BR
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD 2: CONJUNTOS
OPERACIONES CON CONJUNTOS
PROPIEDADES - DEMOSTRACIONES
CONJUNTOS DE PARTES - PARTICIÓN
PRODUCTO CARTESIANO
Autor: Ing. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
............................................................................................... U.nidad..2
CONJUNTOS
Es una colección de objetos de una misma especie.
¿Qué es un conjunto?
Los objetos que forman un conjunto reciben el nombre de ELEMENTOS
Notación: a los conjuntos los denotamos con letras MAYÚSCULAS y a los elementos los
denotamos con letras MINÚSCULAS.
¿Cómo expresamos un conjunto?
•
Por e xtensión : enumerando cada uno de los elementos, separados por comas y encerrados entre
llaves.
A = { a, e, i, o, u }
•
B
= { 2, 4,
6, 8 }
Por com pre nsión: especificando una característica que sólo cumplen los elementos del conjunto.
A = { x/x es una letra vocal}
B = { x/x es un número par positivo menor que 9 }
•
Por d iagra m as de V enn : se dibuja una curva cerrada y dentro se colocan los elementos.
Ejemplos:
---A
a
e
o
B
2
u
4
6
8
RELACI ÓN DE PERTEN EN CI A : vincula a un elemento con un conjunto.
Cuando un elemento está en un conjunto, se dice que pertenece a dicho conjunto. Cuando no está en
el conjunto se dice que no pertenece .
Ejemplos:
a
E
A
mEA
1
E
B
4
E
B
·... ................................................................................................................................................. ............ ........................................................ .
GuíA DIDÁCTICA DE MAT EMÁTICA DISCRETA
PAG.33
...............................................................................................Unidad..2
RELACIÓN DE INCLUSIÓN: vincula a un conjunto con otro conjunto.
Formalmente:
[ X e Y <;:::> '\la : a
E
X => a
E
Y
I
Es decir, un conjunto está incluido en otro cuando todos los elementos del primero, también
pertenecen al segundo.
Si un conjunto X está incluido en un conjunto Y, se dice que X es subconjunto de Y.
0
EjemPlos:
A = { a, e, i, o, u}
e
¡;;
A
D
6 = { 2, 4, 6, 8}
A
E ¡;; 6
e=
F
IA I = 5
D = { a, b, c}
E = { 2} F = { 1, 2 }
6
¿Qué es el cardinal de un conjunto?
entre barras:
{ a, e, o}
Es la cantidad de elementos que posee. Lo denotaremos
16 1= 4
lel= 3
IDI= 3
I El =
1
IFI= 2
Cuando un conjunto no es infinito, se llama FINITO
IGUALDAD DE CONJUNTOS: dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Esto
mismo se puede expresar diciendo que deben incluirse mutuamente.
X = Y
X ¡;; Y 1\ Y ¡;; X
(Todos los elementos de X deben estar en Y , Y todos los de Y deben estar
también en X)
CONJUNTO VAcío : es el que no tiene elementos. Puede definirse mediante una contradicción. Por
0 = { x / x,," x } = { }
ejemplo
(!) ¿Se puede escribir al conjunto vacío de esta forma?
{0}
NO!!! ¿Por qué? Porque eso denota a un conjunto que tiene un elemento y es el conjunto vacío. Es
como tener una bolsa que dentro tiene otra bolsa. Por más que la bolsa de adentro esté vacía, la de
afuera no lo está ya que contiene a la otra bolsa.
CONJUNTO RE FEREN CIAL O UNIVERSAL: es el que tiene todos los elementos de la especie
considerada.
U = { x/ x = x }
o bien
V x
E
A
X E
U
Por ejemplo, si estamos trabajando con números, el Universal puede ser IR
(conjunto de números
reales). Si estamos considerando las letras, nuestro Universal puede ser todo el abecedario . Si
estamos trabajando con perros, gatos, pajaritos, etc. ,el Universal puede ser el conjunto de todos los
an imales.
Se grafica en forma rectangular .
............................ ........... .. ................ .. .... ... .. ............. .......... ........................... .
GUiA D IDÁCTICA D E M ATEMÁTI CA DISCRETA
PAG.3 4
............................................................................................... Unld.d ..2
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INCLUSIÓN :
1) V A: A ¡; A (Todo conjunto está incluido en sí mismo)
2) V A: 0 ¡; A (El conjunto vacío está incluido en todo conjunto)
3) V A: A ¡; U (Todo conjunto está incluido en el Un iversa l)
4) V A, B, C: A ¡; B " B ¡; C =:> A ¡; C
(Propiedad Transitiva de la Inclusión)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTO S:
Unión:
AuB= {xjxe Avx eB}
Intersección:
AnB= {x/xeAAxE B}
Diferencia:
A-B={x/x e AAx <! B}
Complemento:
Diferencia Simétrica: A tJ. B = { x / x E A y X E B} = (A u B) - (A n B) = (A - B) u (B - A)
o
Ejemplos:
Sean
A = { 1, 2, 3, 4, 5}
A U B = { 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 }
B = { 2, 4, 6 }
C
B U C = { 2, 4, 6, 7 }
A n B = {2, 4}
AnC = 0
A - B = { 1, 3, 5 }
A- C
=
}
D
= { 6, 7
}
C U D = { 6, 7 } = D
BnD={6}
{1, 2, 3, 4, 5 }
={7
C n D={7}=C
=A
C- D
=0
Tomando como Universal a U = { 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, lO} :
A = { 6, 7, 8, 9, lO}
El = {1, 3, 5, 7, 8, 9, lO }
c= {
1, 2, 3,4, 5,6,8,9, lO}
Si dos conjuntos tienen intersección nula, se dice que son DISJUNTOS
W
Ejercicio 1: Sombrea la región especificada en cada caso:
AUB
A-B
An B
AtJ.B
A(IDB
A@
A(IDB
A(IDB
AOBO
AOBO
AOBO
AOBO
A@
A@
A@
A@
B©
B©
B©
B©
••••••••••••• ••• •••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUÍA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DI SCRETA
PAG.35
..................................................................................................n'dad ..2
Propieda des de las operaciones:
Algunas propiedades que se cumplen con las operaciones de conjuntos son :
1) INVOLUCION
A
=A
2) CONMUTATIVIDAD
A,",B=B,",A
AuB=BuA
3) ASOCIATIVIDAD
Au(BuC)=(AuB)uC
A,", ( B,", C ) = ( A n B ) '"' C
4) DISTRIBUTIVIDAD
Au(BnC)=(AuB),",(AuC)
A,",(BuC)=(AnB)u(A,",C)
5) IDEMPOTENCIA
AuA=A
6) LEYES DE DE MORGAN
7) NEUTRO Y ABSORBENTE
AuU=U
Au0=A
8) ABSORCION
An(AuB)=A
9) EQUIVALENCIA DE LA DIFERENCIA
10) COMPLEMENTACION:
Au A = U
N ota: todas estas propiedades se pueden demostrar de la forma en que veremos a continuación:
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.36
............................................................................................... Unidad...
(!) ¿Cómo se hacen las DEMOSTRACI ONES CO N CO NJU NTOS?
Hay diferentes formas de demostrar propiedades de los conjuntos. Básicamente se las puede clasificar
en:
1) Demostraciones a nivel de elementos.
1.1) Sin antecedente:
+ Con una inclusión en el consecuente (Ejemplo :
As;;AVB)
+ Con una igualdad en el consecuente (Ejemplo: A n ( B n C ) = ( A n B ) n C )
1.2) Con antecedente y consecuente
+ Demostrar a partir del 1er miembro de la tesis [ C s;; A V B
( C - B ) s;; A
+ Desarrollar la hipótesis completa hasta llegar a la tesis. ( A - B = 0
conjuntistas
2) Demostraciones
(Utilizando
propiedades
de
1
A s;; B )
conjuntos
básicas
demostradas
previamente)
Com encemos a de most rar!! !
1.1.a)
Debemos probar que A s;; A V B
Sabemos que por definición de inclusión, es lo mismo probar que V x: x
E
A => X
E
AV B
Debemos partir del primer miembro y luego de una cadena de implicaciones llegar al segundo
miembro.
V x: x E A
f
x EAv XE B
V B
propiedad p => P v q
1.1.b)
definición de unión
Ahora tenemos que probar una igualdad
An(BnC)=(AnB)nC
Recordemos que dos conjuntos son iguales cuando se incluyen mutuamente. O sea, que en principio
este ejercicio comprende dos partes:
Primera inclusión :
"ti x : x E A
n ( B n C ) => X E ( A n B ) n C
Segunda inclusión: "ti x: x E ( A n B ) n C => x E A n ( B n C )
Demostremos la primera:
"ti x: X E A
n ( B n C ) =>
aplicamos definición de intersección
=>xEAAXE(BnC)=>
aplicamos definición de intersección
=> xEAA(XEBAXEC)=>
por la asociatividad de la A
=> (x E AA xEB)AX E C =>
por definición de intersección
=>
xE(AnB)AxEC=>
por definición de intersección
=>
x E (AnB)nC
con lo cual llegamos al segundo miembro
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••••••••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.37
............................................................................................... Unid.d ..2
¿Ya terminamos el ejercicio? No! Pues nos falta la otra inclusión. Si nos fijamos bien, es hacer el
camino inverso. (En la mayoría de los casos pero no en todos ocurre esto) Nos queda:
'ti x: X e A n ( B n C ) <o>
<o>
XEA
1\
por definición de intersección
X e ( B n C ) <o>
por definición de intersección
<o> x E AI\(x e BI\x e C)<o>
por la asociatividad de la
<o> (x e AI\ X e B)I\xeC<o>
por definición de intersección
<o>
x e (AnB)I\x e C<o>
por definición de intersección
<o>
xe(AnB)nC
1\
(!) ¿Estás listo para la próxima?
1.2.a)
Debemos probar que
C <;; AVB => (C-B) <;; A
A diferencia de los ejercicios anteriores, aquí tenemos un antecedente o hipótesis CC <;; A v B)
y un
consecuente o tesis (( C - B ) <;; A) que es lo que hay que demostrar. Para ello, si nos fijamos en la
tesis, se trata de una inclusión y la vamos a demostrar como toda inclusión, es decir:
'ti x: x e (C - B) => X e A
En el camino de implicaciones para llegar al segundo miembro, además de definiciones y propiedades,
podemos utilizar la hipótesis.
W
'<1 x: x
=>
X
Ejercicio:
E
Completa en cada paso la propiedad utilizada:
(C - B) =>
X E
C 1\ X
B
X e CA V B)
1\ X
B
CX e A v X e B )
1\
X
B
e A
1.2.b) En este caso es una equivalencia o doble implicación:
A- B = 0
<o> A <;; B
Si lo hacemos como el anterior, son dos ejercicios que hay que hacer. En cambio, lo vamos a
demostrar de otra forma desarrollando el antecedente completo hasta llegar al consecuente.
W
Ejercicio:
A- B= 0
'<1 x: x
Completa en cada paso la propiedad utilizada:
- 3 x: x
Av
X
e B
E
(A - B)
'ti x: - [ x e CA - B)]
['<1 x: x e A
x
E
B]
'ti x: - [x e A 1\ X
B]
A <;; B
...................................................................................................................
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.38
...............................................................................................UDldad..2
2. Por ejemplo, demostremos ( A u B ) n ( A u
B) =
( B - A ) u ( A - B )
en forma conjuntista,
utilizando las propiedades de conju ntos básicas, sin bajar al nivel de la lógica:
( Au B)n ( Au
B ) = ( A nA) u ( A n B ) u ( B nA) u ( B n B ) =
=(B-A)u(A-B)
W
Ejercicio 2: Demuestra las siguientes propiedades:
1.
2. A n B = A <o> A n
B
= 0
3. A-(B-C)=(A-B)u(AnC)
4.
(A u
B)n
( Au B) = (An B) u ( An
B)
A continuación definiremos un concepto con el que vamos a trabajar mucho en unidades posteriores, al
tratar temas como relaciones de orden y Álgebras de Boole:
CONJUNTO DE PARTE S
Dado un conjunto A, se define como conjunto de Partes de A (o también Potencia de A) al siguiente
conjunto formado por todos los subconjuntos de A:
P(A) = { X / X
W
EjerCiCio 3:
A}
Calcula el conjunto de Partes de cada uno de los siguientes conjuntos:
A={a,b}
P(A) =
B = { 1, 2, 3 }
P(B) =
C={m}
P(C) =
P(D) =
(!) ¿Cuál es la relación entre el cardinal de P(A) yA?
W
Ejercicio 4:
Demuestra:
P(A) u P(B)
I peA) I =
21 AI
P(A u B)
66 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
GurA DIDÁC T ICA DE MATE MÁTI CA DI SCRETA
PAG .39
................................................................................................ .oidad... .
y a co ntinuación vemos otro concepto, que nos va a ser de suma importancia cuando estudiemos las
relaciones de equivalencia:
PARTICIÓN DE UN CO NJUNTO
Sea un conjunto A '" 0.
P es una partición de A
)
Sea P = { A" A2, . . ... , An}
i]
Al ",0
Vi
2) Al n AJ = 0 Vi "'j
3) U Al = A
Observaciones:
•
Las particiones están incluidas en el conjunto de partes.
•
Los subconjuntos A, reciben el nombre de celdas de la partición.
•
La condición 3 también se puede expresar: V x E A : 3 Al E P : x E A,
W
Ejercicio 5:
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son particiones de A = { a, b, c, d, e } ?
En ca so negativo, indica cual de las tres condiciones no se cumple.
P, = { {a,b,c} , {d,e} }
P2 = { {a,b} , {c,d} , {b,e} }
P3 = { {a,b}, {c} , {e} }
P4 = { {a} , {b} , {c}, {d,e} }
Ps = { {a} , {b,c,d} , { } , {e} }
W
EjerCiCiO 6:
¿Cuáles de los siguientes conjuntos P = { Al, A2, A3 } son particiones de IR?
a) A, = ( - 00 ; -2]
A2 = ( -2 ; O]
A3= (1;+00)
c) A, = ( - 00 ; -3]
A2 = ( -3 ; 0)
A3 = R+
b) A, = ( - 00 ; -1)
A2 = { -1 , 2 }
A3 = ( -1; + 00 ) - { 2 }
d) A, = ( - 00 ; 4)
A2= {0,S}
A3 = [ 4; + 00 ) - { 5 }
...................................................................................................................
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAGAO
................................................................................................ -.nidad ..
Veremos a continuación una operación mas entre conjuntos:
PRODUCTO CARTESIANO:
Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A por B al conjunto:
A X B = { (x;y) / x
E
A" Y
E
B }
Es decir, el producto cartesiano entre dos conjuntos está formado por todos los PARES ORDENADOS
que se pueden formar con primera componente del primer conjunto y segunda componente del
segundo conjunto.
o
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = { m, p, h}
Y
B = { 1, 2 }
Entonces el producto cartesiano de A por Bes:
A X B = {(m;l), (m;2), (p;l), (p;2), (h;l), (h;2) }
W
Ejercicio 7:
Calcula A X B
Y
BXA
siendo A = { 1, 2, 3, 4} Y B = { 0, 1 }
A X B = .............................................................................................................................................
B X A = ............................................................................................................................................ .
Observa los ejemplos anteriores y piensa:
(!) Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, ¿cuál es el cardinal de AXB? ........
Lo indicamos:
(!)
lA X B I = n
• m
¿Da lo mismo AXB que BXA? .........
Es por ello que decimos que el producto cartesiano NO es CONMUTATIVO.
W
Ejercicio 8:
Analiza la validez de las siguientes afirmaciones, demostrando o justificando:
a)
A X (B ("\ C) = (A X B) ("\ (A X C)
b)
(A X B)
v (B X A)
= (A
v B) X (B v A)
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.41
•
................................................................................................ .nld.d ...
RESPUESTAS DE LOS EJERCI CI OS PROPUESTOS :
Ejercicio 1:
Sombreado de A r. S:
Sombreado de A u S:
u
,--
u
u
It
•
u
•
A
I
I
l______
.
I ___ _ -
--J
_ _ _ _ __
•
u
-'
1______ -
A:
u,_ _ _ _
u
-,
A-
I ¡
I
u_____________- ,
u
Sombreado de
r
!
1
u
Sombreado de A - S:
J
-,
Sombreado de A 11 S:
-"- - -
u
u
Ejercicio 2:
Demostraciones:
L
Dem) V x e A r.
e
y como 0
e
¡;; A r.
2, A r. S = A
x e AAXe
e
x e SAXe
e
entonces queda demostrado que A r.
x e S r.
e=
e
x e 0
:, A r.
e ¡;; 0
0
A r. El = 0
Dem) Primer condicional:
VxeAr.El
=>
xeA A xeSr.El =>xeA
y como 0 ¡;; A r. El entonces queda demostrado que A r. El = 0
Otra forma de demostrar dicho condicional es en forma conjuntista partiendo del antecedente:
A r. S = A => (A r. S) r. El = A r. El
A r. (S r. El) = A r. El => A r. 0 = A r. El
GUiA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
0 = A r. El
PAGA2
...............................................................................................Unidad..
Segundo cond icional:
Dem) A n B = 0 => (A n B) u (A n B) = 0 u (A n B) => A n ( Bu B ) = A n B =>
=>AnU=AnB =>A=AnB
3. A - ( B -
Dem) 'V x
e )=
E
(A- B) u (An C)
A- ( B-
e)
x
E
AA
( X E B A X ¡,;
( X E A A X ¡,; B ) v ( X E A A X E C )
4.
e)
x E A A ( X ¡,; B v X E
XE A - B v XE An C
e)
x E (A - B) u (A n e)
(A u B ) n ( A u B ) = ( A n B ) u ( A n B )
Dem) 'V x E ( A u B ) n ( A u B )
XE ( Au B ) AX E ( A u B )
A[X¡;AvXEBl
( X E A A X ¡; A ) v ( X E A A X E B ) v (x ¡,; B A X ¡; A ) v (x ¡,; B A X E B)
FALSO v ( x E A n B ) v ( X E A A X E B ) v FALSO
( x E An B ) v ( XE A n B )
Ej ercicio 3:
A={a,b}
peA) = { 0 , {a}, {b}, A }
B = { 1, 2, 3 }
P(B) = { 0 , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, B}
e={m}
p(e) = { 0 , {m} }
D=0
P(D) = { 0 }
Ejercicio 4:
Debemos probar que:
peA) u P(B) s; peA u B)
Como los elementos de los conjuntos de Partes son a su vez conjuntos, usaremos letras mayúsculas
para ellos:
'V X E peA) u P(B) => X E peA) v X E P(B) => X s; A v X s; B => X s; A u B => X E peA u B)
Ejercicio 5:
P, es partición de A, tiene dos celdas
P2 NO es partición de A ya que {a,b} n {b,e} '" 0 , o sea no son celdas disjuntas
p, NO es partición de A ya que {a,b} u {c} u {e} '" A, ya que falta el elemento d.
P4 es partición de A, tiene cuatro celdas
Ps NO es partición de A ya que una de las celdas es vacía
..............................................................................................................................................................
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.43
...............................................................................................Unldad..2
Ejercicio 6:
a) No es partición de Reales ya que A, u A2
U
A3
*
IR
(por ejemplo no está el 0.5 )
b) Es partición de IR. Cumple las tres condiciones.
c) No es partición de Reales ya que A, u A2 U A3
*0
d) No es partición de Reales ya que Al n A2
* IR
(no está el O)
(el O está en ambas)
Ejercicio 7:
A X B = {(1;0), (1;1), (2;0), (2;1), (3;0), (3;1), (4;0), (4;1)}
B X A = {(0;1), (1;1), (0;2), (1;2), (0;3), (1;3), (0;4), (1;4) }
Ejercicio 8:
a) Es VERDADERA.
Dem) V (x;y): (x;y)
(:)
A X (B n C) e> x
A
A X E
YE B ) A
( X E
( X E
e> (x
E
E
A
A
e> (x;y)
E
(A X B) n (A X C)
A )
A
A
A (
Y
E
E
B
A
A
Y
A
Y E (B n C) e> x
E
C) e:> ASOCIATIVA y
Y E C) e> (x;y)
E
A XB
A
E
A
A
(y
E
B A Y E C) e>
CONMUTATIVA
(x;y)
E
A X Ce>
b) Es FALSA. Damos un contraejemplo:
Si consideramos los conjuntos: A = {1}
Y B={2}
Entonces: A X B = { (1;2)}, B X A = { (2 ; 1) }, A u B = {1,2} = B u A
El primer miembro de la igualdad es:
(A X B) u (B X A) = {(1;2), (2;1)}
Pero el segundo miembro es : (A u B) X (B u A) = {(1;1), (1;2), (2;1), (2;2)}
GUíA DIDÁCTIC A DE MATEMÁTICA DI SCRETA
PAG.44
®
UTn.BR
UNNERSJDAD TECNOLóGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD 2:
(Segunda parte)
,
INDUCCION
Autor: Ing. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
...............................................................................................Unidad..2.
CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES
(f) ¿Qué es un Conjunto inductivo?
Sea IR el conjunto de los números reales.
1) 1
E
A
2) V x
E
Dado 0", A ¡;; IR, decimos que A es inductivo si:
{
A => x+1
E
A
0EjemPlos:
Los siguientes conjuntos son inductivos:
A= {
o,
1,2,3 } u [4; + (0)
B=[l;+OO)
e = { xE
Z/
x"
-3 }
D=Z
Defin ición del Conj unto de n úmeros Naturales:
tal que A es inductivo
o sea,
el conjunto de los números naturales es la intersección de todos los conjuntos inductivos. Es el
más pequeño de los conjuntos inductivos en el sentido de la inclusión.
IN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12,
oo. }
...................................................................................................................
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.46
.nidad...
o
Ejemplo INTRODUCTORIO:
Observemos la suma de los primeros números naturales impares:
1
=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
¿Notas algo en particular? Observa bien los resultados",
Podemos observar que todos son cuadrados perfectos:
1
=1 = 12
1 +3
=4 =2
1 +3 +5
=9
1 +3 + 5 +7
2
=3
2
= 16
=4
2
Si agregamos el siguiente número impar seguramente obtendremos de resultado: 52 = 25
O sea que podríamos arriesgarnos a decir que:
V n
O bien:
I
E
IN:
t.
1 + 3 + 5 + .. , + 2n-1 = n 2
'2'-1)
= o'
(!) Pero, ¿podemos estar seguros de ello? ¿Se cumplirá realmente con cualquier cantidad de números
impares sumados?
Para poder responder con certeza a este interrogante y muchos similares vamos a utilizar la Inducción
Matemática,
Veamos por ahora una forma gráfica de interpretar la propiedad:
• •••
•
••••••
• •
O
O
O C' O
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.47
...............................................................................................U.nid.d..2
INDUCCiÓN MATEMÁTICA
Principio de Inducción Completa (PIC)
Sea p(n) un predicado o función proposicional con dominio en el conjunto
IN
de los números
naturales.
Si :1)
fI[
2)
fI [
1=
p(h) 1 =
V
p(l)
V=>
fI [
p(h+ 1)
1=
V
Entonces: todas las p(n) son verdaderas.
Es decir:
1)
Nos()tros
,"crificQhlOl'
que es V
o
(2)
Por ser 1'(1)
\',
(umlJicll V
p(3)
Por liN" Jt(2 )
e,,13
(4)
Por ser p(3 )
\ : esta
I!S \"
t'S V
(5)
Porser
V,est;!;
(¡¡n¡bié n es \"
DD
Yusi
suct'sin'll}enle
con tod:h hls
p(n)
A tener en cuenta:
1)
11 [
p(l) ] = V
PASO BASE de la inducción y consiste
en evaluar la proposición con n = 1
2) v [ p(h) ] = V => v [ p(h+l) ] = V
PASO
INDUCTIVO
HIPOTESIS
TESIS
INDUCTIVA
INDUCTIVA
Este método se puede usar también aunque no se comience con n = 1:
Dado m * 1:
Si :
1) TI [ p(m) 1 = V
2) fJ [ p(h) 1 = V = v[ p(h+1) 1 = V
Entonces: p(n) es verdadera para todo n m.
GUÍA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.4S
................................................................................................ ."¡dad..2.
EJEMPLOS DE PROPIEDADES QUE SE DEMUESTRAN POR INDUCCIÓN
o
Ejemplo 1:
n
Demostrar por Inducción qu e:
V n
E
¿
IN:
(k. k!) = (n+1)! - 1
k=l
(!) ¿Qué significa el símbolo L y el signo de admiración?
Vayamos de a poco
©
Veamos primero el significado de
¿ , que indica sumatoria , o sea
una suma
de varios términos. Debajo del signo hay una letra que es el contador igualado a su valor in icia l. Arriba
del signo está escrito el valor final del contador.
s
¿
Por ejemplo:
n' = l ' + 2' + 3' + 4' + S' = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
n=1
Ahora veamos el signo de admiración, que es el símbolo de factorial.
(!) ¿Qué es el factorial de un número?
Es una función que se aplica a números naturales y al cero y se define:
O! = 1
{
n! = (n -1 )! n
En general el factorial de un número natural n es el producto de los n primeros números naturales:
n! = 1 .2.3 •...• (n-1) • n
Ahora que ya conocemos la sumatoria y el factorial, comencemos a demostrar la propiedad:
n
p(n) :
¿
k· k! = (n+1)! - 1
k=l
I
Paso base:
Consideramos n = 1, y escribimos:
p(l) :
¿
k. k! = (n+1)! - 1
k=l
Debemos analizar si es verdadera o falsa.
Calculamos el primer miembro de p(l):
1.1! = 1
Ahora calculamos el segundo miembro de p(l):
(1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1
Como los dos miembros son iguales, entonces:
v [p(l)] = V
..................................................................................................................
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.49
............................................................................................... U.nidad..2
Paso inductivo:
L:"
Hip.lnd.:
n=h
Tesis Ind :
n = h+l
k· k! = (h+1)! - 1
" +1
L:
k· k! = (h+1+1)! - 1
Dem ./ Para demostrar la igualdad de la tes is, partimos del primer miembro de la mi sma y
trataremos de llegar al segundo.
h+l
L:
h
k· k ! =
L:
k· k! + (h+1) • (h+1)! = (h+1)! - 1 + (h+1) • (h+1)! =
= (h+1)! • (1+h+1) -1 = (h+1+1)! -1
W
Lleg a m o s al segu ndo mie mbro !!! !
Ejercicio:
Vn
Demostrar por inducción :
E
IN:
f
i. 2'-1 = 1 + (n-1) • 2 n
Paso base:
n=l
Paso inductivo:
Hip.lnd.:
n=h
Tesis Ind :
n = h+l
Dem ./
o
Ejemplo 2:
Vn
E
IN
1\
n ,, 3 :
(2n)! >
an- 1 n2
Esta propiedad es bastante diferente a las anteriores pues en este caso no se trata de una sumatoria y
tampoco de una igualdad. Además, el valor inicial es 3.
Sin embargo, el método que conviene utilizar para demostrarla, es también el de inducción completa .
Comencem os!! !
G UiA D IDÁCTICA D E MAT EMÁTICA D ISC RETA
PAG.50
............................................................................................... Unid.
n
Paso base:
= 3:
(2. 3)! > 8 3 - 1 • Y
p(l):
Veamos si p(l) es verdadera, calcularemos los dos miembros :
(2. 3)! = 6! = 720
8 3-1 .3' = 64 • 9 = 576
Primer miembro de p(l) :
Segundo miembro de p(l):
Como 720 > 576, entonces" [p(l)] = V
Paso inductivo:
(2h)! > 8 h - 1 h'
Hip .Ind .:
n = h
Tesis Ind:
n = h+1
(2(h+1))! > 8 h (h+1)'
Dem.) Para demostrar la tesis, partimos del primer miembro de la misma y trataremos de probar que
es mayor que el segundo.
(2(h+1))! = (2h + 2)! = (1) (2h+2) (2h+1) (2h)! >(') (4h' + 6 h + 2) • 8 h- 1 h' >(3)
>(3) (h' + 2 h + 1) 8 h • 8- 1 • h' >(4) 8h (h+1)' • 8-1 • h' > (5) 8 h (h+1) '
Con lo cual quedó demostrado que: 2(h+1))! > 8 h (h+1)'
Justificaciones de cada paso:
(1) Usamos la definición recursiva de facto rial
(2) Distribuimos el producto de (2h+ 2)(2h+ 1) Y utilizamos la hipótesis inductiva
(3) Acotamos la expresión (4h' + 6 h + 2) por una expresión menor (h'+ 2 h + 1) ya que resulta conveniente
para lo que debemos probar
(4) Escribimos el cuadrado de una suma que teníamos desarrollado
(5) Dado que como h e 3 entonces h' e 9 y como 9 > 8 por lo tanto h' > 8
o
Ejemplo 3:
V n
IN:
E
23 n
-
18 n = 5 k
con k
E
Z
Paso base:
n =1:
23 ' - 18 ' = 5 = 5. 1
/\ 1
Z
E
Entonces p(l) es verdadera
Paso inductivo:
Hip. Ind:
23 h
Tesis Ind :
23 h+ 1
Dem.) 23 h +1
-
18h = 5 k
-
23 h + 18 k
E
23 - 18 h
•
18 h
-
, k
18 h +1 = 5 t
18 h+1 = 23 h
= 5 • 23 h + 18 • ( 23 h
Pues:
-
)
E
,t
•
Z
E
Z (observar que no debe ser el mismo entero)
18 = 23 h
• (
5 + 18 ) - 18 h
•
18 =
= 5. 23 h + 18 • 5 k = 5 • (23 h + 18 k )
=5 t
Z por ser productos y suma de enteros.
Por lo tanto, por principio de inducción, V n
E
N se cumple p(n) es verdadera
•• o • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
GurA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.5 1
...............................................................................................Unidad...
n,
Ejemplo 4: Esta es una propiedad con conjuntos: p(n): (
,
A, ) n B =
r= 1
U ( A,n B )
1=1
Los símbolos grandes u e n son de unión e intersección entre varios, similar al de las sumatorias.
o sea
que lo que dice la propiedad escrito en forma desarrollada es:
p(n): (A , nA2 nA3 n ... nAn )nB=(A, nB)u(A2 nB)u(A3 nB)u ... u(A,nB)
Paso base:
n
1
p(l): (
1
A, ) n B =
1:. 1
U ( A, n B )
=> p(l): A, n B = A, n B
i = 1
miembros, podemos deCir que:
11
[p(l))
como queda lo mismo en los dos
=V
Paso inductivo:
h
Hip. Ind. :
tomamos un valor de n = h
h
p(h): <n A,) nB=
U<AlnB)
t= 1
I '" 1
n
h+ l
U
A,) n B =
(Aln B)
=1
1= 1
Dem./ Partimos del primer miembro de la tesis e intentaremos llegar al segundo:
Tesis I nd.:
consideramos n
= h+l
h+ l
p(h+l): (
f
(n
h+1
A, ) n B =
,. 1
nA2 nA3 n ... nAh n A"., n B = (1) (A, nA2 nA3 n ... nA,.) n Ah +, n B =
h
= [( n
r= 1
A, ) n B ) u (Ah
= (A, n B ) u
+,
h
n B) = (4)
= U
i = 1
( A, n B) u (Ah
+,
n B) =
h+1
+,
n B ) u (A3 n B ) u ... u (Ah n B) u (A h
n B) =
U ( A, n B )
r= 1
Como llegamos al segundo miembro, queda demostrada la tesis.
Justificaciones de cada paso:
(J) Usamos la propiedad asociativa de la intersección
(2) Ley de De Morgan
(3) Propiedad distributiva de n respecto de
(4) Por hipótesis inductiva
GUiA DIDÁCTICA D E MATEMÁTICA D ISCRETA
U
PAG.52
®
UTn.Br:l
UNIVERSIDAD TECNOLóGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD 3:
DIVISIBILIDAD EN Z
Autor: In9. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
............................................................................................... Unidad..3
DE LOS NUMERaS ENTEROS
Recordemos que el conjunto de los números enteros es: Z = N U { O} U { -x / x
E
N}
o bien : [; =(.",-3,-2,-1,0,1,2, 3,"'}
Representación:
r
I
1
-
posilivos
-7 -6 -.5 -4 -3 -2 -1
o
1 2 3 4 .5 6 7
RECT A NUMERICA
OPERACIONES EN Z :
Z
En el conjunto Z, la adición, la sustracción y la
multiplicación son operaciones cerradas, es decir, siempre
se pueden efectuar y devuelven un resultado entero. Pero
con la división no pasa lo mismo, pues por ejemplo, si
queremos dividir 8 por 3 ningún número entero coincide .
Por ello es que definimos la "división entera", tal cual la habías aprendido en la escuela primaria.
r-' D I d
DIVISIÓN ENTERA:
[ DIVIDENDO
[ RESTO
e
r
[ DIVISOR
-4
Dados dos números enteros Dyd, cond
1
COCIE NTE
1
O,
existen V son únicos otros dos enteros e y r tales que:
D = cd+r
y
Esto se llama Algoritmo de la División y se puede demostrar .
• • • • ••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••• •••• o ••••••••••••••••••••••••••• •• ••• •••••••• o •••••••••••••••••••••••••
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA. DI SCRETA
PAG.54
............................................................................................... U.nidad..3
W
EjerciciO 1:
Indica cociente y resto de las siguientes divisiones:
Dividendo
Divisor
._
..
17
3
5
-8
-13
15
I
Cociente
-4
Resto
¡
-6
Si tien es dudas de cómo lo completaste, puedes revisar la respuesta al final de la unidad .
Observaciones:
e = en t( Djd)
r =
1\
". dl
Por ejemplo, en los dos primeros casos anteriores :
17
1) En reales: -
= 5.66666666666666 ...
3
17
entonces:
c = ente - ) = 5
3
-8
2) En reales: = -1.6
5
-8
entonces:
c = ente - ) = -2
d'
I
= -d
Lu ego:
3
) • 3 = 0.66666666 .... 3 = 2
-8
r = mant( -
A
5
S i d < O:
17
r = mant( -
A
=
5
) • 5 = DA. 5 = 2
e' = ent eD/d ' )
e = - e'
1\
1\
r' = m ant( D/d') " d '
r = r'
1
Por ejemplo, en dos últimos casos anteriores:
-13
3) Resolvemos : -
en reales:
4
-13
= -3 .25
4
-13
-13
r'=mant( -).4=0.75.4 =3
4
4
Por lo tanto el cociente y resto de la división de -13 por -4 son : c = - c' = 4
entonces:
c' = ente - ) = -4
15
4) Resolvemos: -
en reales:
6
entonces:
A
15
c' = ente - ) = 2
6
A
r = r' = 3
"
r = r' = 3
15
= 2.5
6
r' = mant(
6
• 6 = 0.5. 6 = 3
Por lo tanto el cociente y resto de la división de 15 por -6 son: c = - c' = -2
GUíA DIDÁCTICA DE MATEM ÁTICA DI SCRETA
A
PAG.55
...............................................................................................Unidad..3
DIVISIBILIDAD :
l
Sean
a, b
Z:
E
b <=> 3 k
a
l
0=0' A """
L
ES DIVISOR DE "bu
0
EjemPlo:
8
I 72
ya que
3 9
Z
E
1\
E
Z /
J
b = k. a
"" lJ
MULTIPLO DE "a
u
72 = 9 • 8
Pro piedades bás icas d e la r elació n de divisibili dad :
1) 'Va
E
Z, a
0#
O: a
Ia
2) 'Va, b, c
E
Z ,a
0#
O: a
3) 'Va, b, c
E
Z, a
0#
O:
4) 'Va, b
E
Z, a
0#
O:
a
a
Ib
Ib
Ib
1\
1\
Ic
b
1\
Ic
a
k
E
Z
entonces
a
Ic
Ib+c
entonces
a
entonces a
Ik•
b
.... .. ........... .... .........•••.. ..........................................................................................•... ..... ................. ........ ........ .
(!) ¿Te animas a demostrar estas cuatro propiedades?
Puedes hacerlo en las líneas de puntos.
NÚMEROS PRIMOS :
Los números enteros positivos mayores que
que sólo son divisibles por 1, -1, n, -n
1:-l
I
Los primeros números primos son:
2 ,3, 5, 7, 11, 13, 17, 1 9, 2 3, 29, 31, 37,41 , 4 3, 47, 5 3, ...
' t os crees que eXls
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111.
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• • •• o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁT ICA DISCRETA
PAG.56
................................................................................................ .nidad..3
Los matemáticos han demostrado que existen infinitos números primos, pero aún no encontraron una
fórmula general para obtenerlos.
(!) ¿Por qué son importantes los números primos?
Las aplicaciones de los números primos son muchas y se los suele relacionar con técnicas de cifrado.
Por ejemplo, en el caso del algoritmo denominado RSA, se obtiene una clave a través de
la multiplicación de dos números primos mayores a 10100; dado que no existen formas de factorizar
rápidamente una cifra tan alta con ordenadores convencionales, éste resulta muy confiable.
Los números primos también cumplen muchas propiedades que no cumplen los números compuestos
(los que no son primos y son mayores que 1).
Por ejemplo, pensemos si el siguiente condicional es verdadero o falso:
Sean, n, a, b
E
Z:
Si n l a. b entonces n i a v ni b
Este condicional es FALSO, pues por ejemplo: 6 14 • 9 pero no es cierto que (6 14 v 6 I 9)
En cambio si nos dijeran que el número n es primo, entonces sí la propiedad es cierta y se puede
demostrar fácilmente . Es la que enunciamos a continuación:
Propiedad:
Si P la. b
A
p : primo => p I a v p
I b
Pero para poder demostrarla debemos repasar un poco mas de conceptos teóricos.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA:
Todo núme ro entero es o bien primo o se puede escribir como
producto de factores primos de manera única salvo e l orden .
2 50 2
125 5
2'
k2
n= P1 kl. P2
·
W
,
5 S
Ejercicio 2:
Descompone a los siguientes números como productos de números primos :
84 = .......................................... ........ .
105 = .............. .. ...... ........................ ..
••• o ••• o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MAT EMÁTICA DISCRETA
PAG.57
.ni. ad..3
M.C.M. (mínimo común múltiplo)
Sean a, b
Z, no simultáneamente nulos, y sea m
E
E
Z + , entonces m
= m.c.m.
(a,b) si y
sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
l) a lm
m = m. c. m. (a,b)
2) b
Im
3 ) Si m' > O:
[ Nota: Si a
Notación :
= Ov
m .c.m.(a,b) = [ a , b
b
a
I m'
1\
b
I m' => m I m'
O entonces m.c.m.(a,b) =
JO
1
M.C.D. (máximo común divisor)
Sean a, b
E
Z, no simultáneamente nulos, y sea m
E
z + , entonces d
= m.c.d.
(a,b) si y sólo
si se cumplen las siguientes condiciones:
d = m.c.d. (a,b)
Notación :
f
l ) d la
2) d
Ib
3) Si d' > O:
d' I a /\ d' lb => d' I d
m.c.d.(a,b) = ( a , b)
Propiedad d el MeO entre d os enteros:
SI d = m.c. d.(a,b) entonces 3 kv k,
E
I
Z tal que d = k1 a
Lo que dice esta propiedad, es que siempre el mC.d. entre dos enteros se puede escribir como
combi nacion lineal entera de ellos.
W
EjerciciO 3:
Calcula el m.c.m. y m .c. d. de a = 54 Y b = 48
m .c.m .(54,48)
= .............. .
m .c.d.(54,48) = ............... = .......... 54
+ ........... 48
Recuerda que si tienes dudas, puedes revi sar la respuesta al final de la unidad .
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA D ISCRETA
PAG.58
...................................................................................................n'da. ..3
(!) ¿Cómo encuentro los dos enteros k,
y k2 para escribir al m.c.d.(a,b) como combinación lineal
entera de ambos cuando "no se ven a simple vista"?
Una forma es utilizando el Algoritmo de Euclides para calcular el máx imo común divisor por sucesivas
divisiones.
Pero antes de eso, veamos dos propiedades:
Pro pie dad de l MCM y MCD:
( a, b ) [ a, b) = I a b I
Con esta ultima propiedad, conociendo uno de ellos (ya sea el m .c.m . o el m .c.d.) enseguida podemos
encontrar el valor del otro.
Propie dad previa al Algori tmo de Eucl ides :
Dados dos enteros a y b, el m.c.d.(a,b) = m .c.d.(b,r)
siendo r el resto de la división de a por b.
.W
Ejercicio 4:
Intenta demostrar la propiedad considerando:
Si puedes demostrar que los conjuntos Da,b y Db"
Da.h
= {
X E
Z/
x
Ia
A
x lb}
son iguales, entonces quedará garantizado que el
elemento mayor del primero conjunto es el mismo que del segundo.
Recuerda que si no te sale, puedes consultar al final de la unidad .
ALGO RIT MO D E EU CLIDES PARA CALCULAR EL MÁXI MO COMÚN DIVISOR:
Dados dos enteros a y b, sabemos por la propiedad anterior, que m .c.d.(a,b) = m.c.d.(b,r) siendo r el
resto de la división de a por b.
Volvemos a aplicar esta propiedad, es decir m .c.d.(b,r) = m.c.d.(r, n) siendo n el resto de la división
de b por r. Luego m.c.d .(r, r,) = m.c.d.(n,r2) siendo r2 el resto de la división de r por r,. Y así
sucesivamente hasta llegar a un resto igual a cero. De esta manera se puede encontrar el m.c.d. entre
dos enteros dados, ya que es el último resto no nulo.
GU iA D IDÁ C T ICA DE MATEMÁT ICA DISC RETA
PAG. 59
...............................................................................................Unldad..3
Es decir, el algoritmo de Euclid es consiste en calcular:
m.c. d.(a,b) = m.c.d.(b,r)
siendo a = b q + r
m.c.d.(b,r) = m.c.d.(r, r,)
siendo b = r q, + r,
m.c.d .(r, r,) = m.c,d. (I""r,)
•••
siendo r n- 1
m. c. d.( rn' 11 r n) = m.c.d.(rn,O)
e
-:'
: - rn
:;::;.
r n q n+l + O
)
Ejemplo:
Va mos a calcular el m.c.d.(720, 224). Para ello rea lizamos las siguientes division es enteras sucesivas:
1 ) 720 / 224 oc> c = 3
2) 224 / 48 =>
3) 48 / 32
C,
= 4
oc> c, = 1
4 ) 32 / 16 oc> c3
=
2
A
A
r = 48
1", =
A
1", =
A
1"3
32
16 .....
=o
m.c.d.(720,224) =
16 1
( ! )pero si ahora queremos escribir a dicho m .c.d. como combinación lin ea l entera de 720 y 224,
¿Cómo hacemos?
16
= ......... .
+ ..........
720
224
Para ello, es más práctica la forma matricial del Algoritmo de Euclides:
Algori tmo de Euclides e n FORMA MATRICIAL:
O
720
O I 1
224
1
F,
F,
1
-3
48
F3 = F1 - 3 F2
-4
13
32
F4 = F2
16
Fs = F3 - F4
5
I -16
\
0\
\
16 = .. ... .. . 720 +
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
Ffi
= F4
-
-
4 F3
2 Fs
m.c .d . (720,224) = 16
.. 224
PAG.60
............................................................................................... Unldad..3
Explicación del algoritmo en forma matricial :
Primero se coloca la matriz identidad de orden 2, y en una tercer columna los dos números enteros,
siendo el mayor el de la primera fila.
I I I I
;:
I
La idea es ir obteniendo nuevas filas, siempre operando con las últimas dos anteriores, de modo de
restar de la anteúltima la mayor cantidad de veces que entra el término independiente de la última. En
realidad es hacer la división entera y restar el cociente por el elemento de la última fila.
Por ejemp lo, en este caso, al dividir 720 por 224, se obtiene cociente 3, entonces vamos a restar 3
veces la fila 2 de la fila 1, la resta se hace en toda la fila:
1
O
720
F,
O
1
-3
224
F2
F3 = F, -3 F2
1
48
y luego seguimos este procedimiento hasta llegar a un valor nulo. El anterior al nulo es el máximo
común divisor.
1
O
720
F,
O
224
1
-4
1
-3
13
32
5
-16
16
F2
F3 = F, -3 F2
F. = F2 - 4 F3
F, = F3 - F.
F. = F. - 2 F,
48
O
Obtenemos que m.c.d.(720,224) = 16
y además:
16 = 5 • 720
+ (-16) • 16
WEjerCiCio 5:
Calcule m.c.d .(435,340) y escríbalo como combinación lineal entera de ellos
1
O
O
1
435
340
F,
F2
Obtenemos que m.c.d.(435,340) = ..... .
y además:
........ = ...... ...• 435 + .... .. ...• 340
•• •• o •• •••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••• • ••••••• • • ••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCR ETA
PAG.61
.nida...3
TEOREMA DE S EZAUT
m .c.d.(a ,b)
Dados dos enteros a y b:
= 1 <:> 1 = s. a + t. b con S,t
E
Z
es verdadero por la propiedad del máximo común divisor
Nos queda por demostrar la recíproca <=
Sea d = m.c.d.(a, b) ( lo llamamos d pues aún no sabemos cuánto vale, pero intentaremos probar que
es 1 )
Por definición del máximo común divi sor, se cumple que: d I a
A
d Ib
Por propiedad 4 vista antes:
y por propiedad 3 vista antes: d I s • a + t • b
Por hipótesis, d I 1, pero como d
E
z+
resulta d = 1
Con lo cual queda demostrado el teorema.
(!) ¿Qué utilidad tiene este teorema?
Este teorema nos sirve para demostrar que dos enteros son coprimos, o sea que su m.c.d. es 1
solamente demostrando que 1 es combinación lineal entera de ambos .
o
Ejemplo 1:
Como 1 = 3.8541 + (-2) • 12811 entonces podemos asegurilr que m.c.d.(8541, 12811) = 1
o
Ejemplo 2:
Dos enteros consecutivos siempre son coprimos. ( m.c.d.(x, x+1) = 1 )
Ya que 1 • (x+1) + (-1) • x = 1
o
Ejemplo 3:
Sabiendo que a y b son coprimos, podemos demostrar que a y a+b también lo son.
Dem .)
1 = s • a + t • b con s, t E Z => 1 = s • a + t • (b+a-a) => 1 = s • a + t. (b+a) - t • a =>
1
= (s-t) • a +
t • (b+a) => 1
= k. a +
t • (b+a) con k E Z pues es resta de dos enteros.
=> m .e. d.(a, a+b) = 1
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.62
................................................................................................ .nidad..3
o
A tener en cuenta:
Ya sabemos por el Teorema de Bezaut, que es cierto:
1
=s•
a
+ t. b con s, t E Z => m.c.d.(a, b)
= 1
Pero no es cierto para otro número mayor que 1
Por ejemplo, si 3 = s • a + t. b con s, t E Z => m.c.d.(a, b) = 3
es FALSO.
Para demostrar que es FALSO, daremos un contraejemplo:
3
= 9 • 2 + (-3) • 5
W
pero
m.c.d.(2, 5)
3
Ejercicio 6:
Como último ejercicio, intenta probar la propiedad que habíamos mencionado casi al principio de la
unidad, ahora que tenemos todas las herramientas matemáticas para ello:
Propiedad:
Si P l a. b
A
p: primo => p I a v p
I b
Un poco de humor ...
GU iA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG. 63
...............................................................................................U.nid.d..3
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS :
Ejercicio 1:
1) El cociente y el resto de la división entera de 17 por 3 son respectivamente: c = S Y r = 2 ya que
17=3.5+2 y
2) El cociente y el resto de la división entera de -8 por S son respectivamente: c = -2 Y r = 2 ya que 2 < S
8 = S • (-2) + 2 Y O
3) El cociente y el resto de la división entera de -13 por -4 son respectivamente: c = 4 Y r = 3 ya que
-13=(-4).4+3 y O " 3<4
4) El cociente y el resto de la división entera de 15 por -6 son respectivamente : c = -2 Y r = 3 ya que
15 = (-6) • (-2) + 3 y O " 2 < 3
Ejercicio 2:
84 = 2 2
•
3 • 7
105 = 3 • S • 7
Ejercicio 3:
64 = 26
Primero factoreamos ambos números:
Entonces: m.c.d.(64,48) =
24
Y
= 16
48 = 24
•
3
m.c.m.(64,48) = 26.3 = 192
El producto: 16. 192 es 3072 que es igual al producto 64 • 48 = 3072
Podemos escribir al 16 como comb inación lineal entera de 64 y 48:
16 = 1.64 + (-1) • 48
Ejercicio 4:
Vamos a probar que D .,b
= D b,r
siendo a
=b • q
+ r
Primero demostraremos que D.,b >;; Db,r
x Ia
x lb. q + r
v X E D.,b
=>(2)
=>(4)
=>(0)
x IrA x I b
A xl b
A
x
Ib•
=>(1)
(-q)
xlb.q+r
A
x
Ib
=>(3)
Axlb
Axlb
x lb. q + r + b • (-q)
A
X
Ib
X E Db,r
Justificaciones:
(O) Definición de D.,b
(1) Hipótesis
a = b • q + r e idempotencía de
A
(2) Propiedad de divisibilidad (la nO 4 de la pago 4)
(3) Propiedad de divisibilidad (la nO 3 de la pago 4)
(4) Cancelamos números opuestos
(5) Definición de Db,r
Falta probar la otra inclusión: Db,r>;; D.,b de manera análoga. Te la dejamos para que la practiques .
....... .... ..... .. .............. ...................... ... .. ........................ .......... ........... .. .. ...... ......... .... ....... ................. ........... .
G UiA D IDÁCT ICA DE MATE MÁTICA DISCRETA
PAG .64
................................................................................................ .nid.d..3
s:
Ejercicio
1
O
O
1
-1
1
-3
4
-7
18
-25
435
340
95
55
4
-5
40
15
10
5
9
-23
32
O
F,
F2
F3 = F, - F2
F4 = F2 - 3 F3
Fs = F3 - F4
F. = F4 - Fs
F7 = Fs - 2 F.
Fa = F. - F7
F9 = F7 - 2 Fa
Obtenemos que m.c.d.(435,340) = 5
y además:
5 = (-25) .435 + 32 • 340
Ejercicio 6:
HIPOTESIS) P
TESIS) p
Ia
a· b "
v p
p: primo
(o)
a • b = P • k con k
E
Z "p:primo
Ib
DEM) Sabemos por propiedad de tercero excluido que una de estas dos proposiciones es verdadera :
pla
v
Si fuera verdadera la primera: p l a , entonces la Tesis es verdadera por ser una disyunción, y no hay
nada que probar.
Por eso vamos a analizar el caso que
[ p
I a J se verdadera
Como p es primo" no divide a "a", entonces m.c.d.(p,a) = 1
Lo escribimos como combinación lineal entera de ambos:
Multiplicamos ambos miembros por b:
b .=
Ahora por hipótesis reemplazamos:
b= s'p'b +t·p.k
Sacamos factor común p:
b= p.(s'b +t.k)
S'
P• b + t • a• b
Todo lo del paréntesis es entero por ser producto y suma de enteros, que son ambas operaciones
cerradas:
b = P • q con q
Con lo cual obtuvimos que:
E
Z
p
Ib
y esto hace verdad era la tesis .
• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • •
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.65
®
UTn.BR
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
.Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD 4:
RELACIONES
Relaciones y funciones
Matrices Booleanas
Relaciones Binarias - Propiedades - Dígrafos
Relaciones de Equivalencia
A
B
Autor: Ing. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
...............................................................................................Unlda .4
RELACIONES
( ! )¿Recuerdas el producto cartesiano?
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A por B es el conjunto formado por todos los
PARES ORDENADOS que se pueden formar con primera componente en A y segunda componente en B.
A X B = { (x;y) / x
En símbolos:
o
Ejemplo:
Sean los conju ntos:
A
E
A
A
Y
= { m,
Entonces el producto cartesiano de A por B es:
E
B}
p, h}
Y
B
= { 1,
2 }
A X B = {(m ;l), (m;2), (p;l), (p;2), (h;l), (h;2)}
¿QuÉ ES UNA RELACIÓN?
Dados dos conjuntos A y B, llamamos relación de A en B a cualquier subconjunt o de A X B.
Nota ción:
Para indicar que R es una relación de A en B (o sea si R
o
Ejemplo:
Una relación de A en B del ejemplo anterior puede ser:
W
A X B ) se escribe: R : A -+ B
R = { (p;l) (m;l) (m;2) }
EjerCiCio 1:
Escribe otras relaciones de A en B del ejemplo anterior:
R,: A ..... B / R, = .............................. ........................................................... ........ ......................... ...... .
R2: A -+ B / R2 =
................................................................................................................................ .
R3: A -+ B / RJ = ........................................................................................................................ ....... ..
( ! )¿cuál es la relación más pequeña que puedes escribir?
R.: A -+ B / R.
= ............................................................................................................................... ..
<!>¿cuál es la relación más gra nde que puedes escribir?
Rs: A ..... B / Rs
= .............................................................................................................................. ..
••••••••••• ••••••••• ••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••• • • o ••••••• o •••••••••••••••• o •• o •••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.67
.Qidad.4
¿Cómo se repre se n t an las relacio n es?
Las relaciones pueden estar expresadas:
Conjuntos de pares ordenados:
•
Diagramas de Venn mediante aristas orientadas :
A
R
= {(p;l)
•
(m;l) (m;2)}
B
-----....
m
p
h
• Tablas:
A
B
m
1
m
2
p
1
•
Gráficos cartesianos:
B
2
1 ..... _.. _. ___.. __
,
m
Observación: si (X;y)
E
P
"j
h
A
R, se dice que "x se relaciona con y" , y se escribe:
xRy
D OMINIO DE UNA RELACI Ó N :
Sea R: A --+ B
Dom (R) = { x
E
A/ 3Y
E
B
A
(x;y)
E
R}
Es decir, el dominio es el conjunto de los elementos del primer conjunto que se relacionan con
por lo menos uno del segundo.
o
Ejemplo:
El dominio de la relación R
= {(p;l)
es Dom(R) = { p, m }
(m;l) (m;2)}
IMAGEN DE UNA RELAC IÓN :
Sea R: A --+ B
1m (R) = { Y
E
B/ 3 x
E
A
A
(x; y)
E
R}
Es decir, la imagen es el conjunto de elementos del segundo conjunto con los que se relacionan
los elementos del primero .
o
Ejemplo:
La imagen de la relación R dada anteriormente es:
Im(R) = { 1, 2 }
••• o •• o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.6 8
............................................................................................Unldad..4 .
R ELACIÓ N INVERS A o RECÍPROCA:
Sea R: A ---> B
R-l = { (y;x) E B X A / (x;y)
E
@
R}
Es decir, la relación inversa está formada por los inversos de los pares de la relación R, o sea
cambiando la primera y segunda componente de lugar.
o
Ejemplo:
La relación inversa de la relación R = {(p;l) (m;l) (m;2)} es: R-l = {(l;p) (l;m) (2;m)}
Imag e n d e un e lem e nto :
o
Ejemplo:
En R
= { (p;l)
( m ; l) (m;2)}
Sea a
E
A:
R(a) = { y
las imágenes son :
R(m)
E
B / (a;y)
= {1,2}
E
, R(p)
R}
={l}
, R(h)
=0
Como vemos, cada elemento puede tener un solo elemento imagen, más de uno o ninguno.
RELACIÓ N CO MPLE MENTARI A:
Sea R: A ---> B
R=
{ (x;y)
E
A X B / (x;y)
R} = A X B - R
Es decir, la relación complementaria está formada por los pares del producto cartesiano que NO
están en R.
o
Ejemplo:
El complemento de la relación R = { (p;l) (m;l) (m;2)}
es
R=
{ (p;2) (h;l) (h;2) }
( ! )¿EI cardinal de la relación complementaria es siempre igual al de la relación dada?
Piensa un ejemplo en que no sea así.
R = ....................................................................................................................................
R=
................................................................................................................................... .
A continuación veremos un tipo especial de relaciones, que t ienen gran utilidad .
• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
G UiA D IDÁCTICA DE M ATEMÁTICA DISCRETA
PAG .69
............................................................................................ Unld.d ..4 .
FUNCIÓN :
Sea F: A -> B.
Diremos qu e F es función
1) Cumple con Ex istencia: V x e A : 3 y e B : (x;y) e F
Significa que todo elemento del primer conjunto debe relacionarse por lo menos con alguno del
segundo.
2) Cumple con Unicidad : V x e A : V Yl, Y2 e B : (X;Yl)
E
F " (X;Y2)
E
F =:> yl = y2
Significa que un mismo elemento del primer conjunto no puede relaciona rse con dos distintos del
segundo, o sea debe tener imagen única .
o
Ejemplo:
Una función de A
= { 1 ,2,3 }
en B
= { 3,4}
puede ser: F = { (1;3) , (2;4) , (3;4) }
En cambio: R = { (1;3) , (1;4) , (2;3) , (3;4)} NO es función pues no cumple con el requisito de
UNICIDAD, ya que el 1 tiene dos imágenes distintas.
y la relación S = { (1;3) , (2;4)} tampoco es función ya que no cumple con el requisito de
EXISTENCIA, pues el 3 no tiene imagen.
Si F es una función, (x;y)
Nota ción:
E
F se puede denotar como y = F(x)
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Sea F: A -> B una función.
¿Oué es una función invectiva?
Fes invectiva
V Xl, X2
E
A, V Y e B: F(Xl)
=y
"
F(X2)
= y =:> Xl = X2
Es decir, una función es invectiva cuando elementos distintos del domin io tienen imágenes distintas.
No pueden compartir la misma imagen .
.0
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = { a, e, o} y B = { p, q, r}
F
= { (a;p)
, (e;q) , (o;r)} es invectiva pero G
La función f:
IR --+ IR /
y
= f(x) = x 2
= { (a;p)
, (e;r) , (o;p)} NO es invectiva
NO es invectiva pues f(3)
G UíA DIDÁ CTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
= f( -3)
PAG.70
............................................................................................Unidad..4 .
¿Qué es una función sobreyectiva ?
Fes sobreyectiva
VY
E
B: 3 x
E
A
A
F(x) = y
Im(F) = B
Es decir, una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del segundo conjunto son imagen
de por lo menos alguno del primero.
o
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A
= { a, e,
i, o} y B
= { p,
q, r}
= { p,
q, r}
F
= { (a;p)
, (e;q) , (i;r), (o;p)} es sobreyectiva pues Im(F)
G
= { (a;p)
, (e;r) , (i;r) , (o;p)} NO es sobreyectiva pues Im(F)
La función f : IR
f: IR
IRo+ / y
IR / y
= f(x) =
= f(x) =
Ixl
Ixl
= { p, r}
NO es sobreyectiva pues Im(f)
esta SI es sobreyectiva pues Im(f)
=B
=
= IRo+
'" B
pero si se define:
IRo+
¿Qué es una función biyectiva?
Fes biyectiva
o
Ejemplo:
Fes invectiva
A
F es sobreyectiva
Dados los conjuntos: A
= { a,
b, c} y B
= { 1,
2, 3 }
F = { (a;l) , (b;3) , (c;2)} es biyectiva
La función f: I R
I R+ / y
= f(x) = eX
es biyectiva
2:
Dados los siguientes conjuntos: A
= { 1,
2, 3 }, B
= { x,
y, z},
e = { m,
n } y D
= {a,
b, c, d }
Indica si las siguientes relaciones son funciones. En caso afirmativo, clasifícalas:
R, :
B / R, = { (l;x) , (2;x) , (3;y) }
R, :
B / R,
R3 :
B / R3
= { (l;z) , (2;x) , (3;y) }
= { (l;x) , (l;y) , (2;x) , (3;z)
}
e / R4 = { (l,m) , (2;n) }
Rs : A --> e/ Rs = { (l;n) , (2;n) , (3;n) }
R4: A
R6 : A -->
e/
R7:
D / R7 = { (l;a) , (2;b) , (3;c) }
Rs :
D / Rs = { (l;a) , (2;b) , (3;c), (3;d) }
W
R6 = {(l;m), (2;m) , (3;n)}
Completa:
Para que exista una función biyectiva entre dos conjuntos finitos, sus cardinales deben ser ........... .
GUíA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.71
............................................................................................Un'dad..4..
MATRICES BOOLEANAS
En esta sección veremos un tipo de elementos matemáticos que utilizaremos como otra forma de
representar relaciones, especia lmente son de gran utilidad en la representación computacional. Nos
referimos a las matrices booleanas. Pero primero repasemos un poco el concepto general de matriz
y luego veremos las booleanas.
¿Qué es una Matriz?
Una matriz es un cuadro de elementos ubicados en filas y columnas. A las matrices se las
denota con letras mayúsculas y a cada elemento se lo denota con una letra minúscula y
dos subíndices: el primero indica la fila del elemento y el segundo, indica la columna.
,
,.MATRI Z
,
l
A=
\.
A = (( a j¡ ))
Se indica:
A =
« al)))
J
,
COLUMNAS
A E Knxm
FILAS
1
significa que la matriz A está formada por elementos alJ .
Si los elementos pertenecen al conjunto K y la matriz A tiene ,n filas y m columnas, se indica :
o
Ejemplo:
o
La matriz: A =
Lo indicamos A
-7
E
-3)
1
tiene 2 filas y 3 columnas cuyos elementos son reales.
I R2x3
Si n=m se dice que la matriz es CUADRADA .
••• e •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ••••••••• o ••
G UíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.72
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
U"'dado04 o
MATRIZ BOO LEANA : es aquella cuyos elementos pertenecen al conjunto { 0, 1 }
o
Ejemplos:
B=
A E {0,1}3X3
C= ( O ° 1)
G
°
B E {0,1}'X2
son matrices booleanas
1 1
C E {0,1}2X3
OPERACIONES ENTRE MATRICES BOOLEANAS:
11) SUMA lOGICA
O
DISYUNCION : v
1
AvB=C
V I: 1 .. n V j: 1 .. m
o
o
o
Ejemplo:
WEjerCiciO 3:
Calcula :
[3) PRODUCTO
lO GICO
"-----'-'---"_ 1
( )
G
1
O
CO NJUN CION :
1
1\ 1
'i! i: 1
"O
n
\! j: 1
"o
m
1 E {O,l}nxm I 1 E {o,l}nx::J
.....................................................................................................•........•...
GUíA D IDÁC TICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.73
................. .......................................................................... Unld.d ..4 .
o
Ejemplo:
W
Ejercicio 4:
Calcula :
(
1 O)/\ (O O1)= (
010011
13) PRODUCTO MATRICIAL BOOLEANO :
)
·l
m
A. B = e
/1
LE
I
V i: 1 ...
E
n
'ti j: 1 ...
m
Es decir que para calcular un solo elemento Ci) se utilizan todos los ai, que so n los elementos de la
fila "i" de la primer matriz, y todos los
b kj
que son los elementos de la columna "j " de la segunda
matriz.
o
Ejemplo:
Sean las matrices:
A =
Vamos a hallar la matriz producto C = A • B .
Como A es de 2x3 y B es de 3x2, entonces C es de 2x2: C =
"' /
(e e
l1
12
e 2•
e 22
)
son iguales
Ahora calculemos sus elementos :
CH= ( aH /\ bH ) V ( a n " b 2. ) v ( a.3 " b 31 ) = (1 " 1 ) v ( 1 " 1 ) v ( O " O ) = 1
C12= ( a" " b 12 ) V ( an " b 22 ) V ( a 13 " b32 ) = (1 " O ) v ( 1 " O ) v ( O " 1 ) = O
C2. = ( a 2. " b" ) v ( a 22 " b2. ) V ( a 23 " b 3. ) = (O " 1 ) v ( 1 /\ 1 ) v ( O /\ O ) = 1
C21= ( a 2. " b12 ) v ( a 22 " b 22 ) v ( a 23 /\ b 32 ) = (O /\ O ) V ( 1 /\ O ) V ( O /\ 1 ) = O
Por lo tanto, la matriz C es: C --
(11 00)
••••••• •• o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.74
.. "..................... ... .......... ........................ ..... ......... ... ............... . . l. ad..4. .
14 ) TRASPUESTA DE UNA MATRIZ: -1
(A)! = B
lE{O,l} mxn
'¡f
1: 1 ... n V j: 1 .. . m
Es decir, al trasponer una matriz, estamos cambiando sus filas por sus columnas y viceversa.
o
Ejemplo:
D,d, " m,,"" = (:
w
:l, '" lro",,," " A'
:]
[¡ : ¡l "
C,',,"" Ie"p'.'" d. ,
[SfCOMPLEMENTO DE UNA MATRIZ:
= [:
= [
1
1
A=B
V i: 1 ... n TI j: 1 ... m
Entendiéndose por complementos:
O=
1
A
1=
O
Es decir, para hallar la matriz complementaria se debe cambiar los ceros por unos y viceversa.
o
Ejemplo:
La matriz complementaria de
A= (1 1
O 1
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.75
............................................................................................Unidad..4 .
Propiedades de las operaciones con matrice s:
Las matrices booleanas cumplen las siguientes propiedades:
a) IDEMPOTENCIA:
AvA = A
b) CONMUTATIVIDAD:
AvB=BvA
e) ASOCIATIVIDAD:
Av(BvC)=(AvB)vC
AI\A=A
AI\(BI\C)=(AI\B)I\C
Ae(BeC)=(AeB)eC
A v ( B 1\ C ) = ( A v B )
d) DISTRIBUTIVIDAD:
1\ (
A v C)
A I\(BvC)=(AI\B)v(AI\C)
COMPARACIÓN DE MATRICES BOOLEANAS:
Si tenemos dos matrices del mismo orden (tamaño) podemos comparar si una es "menor" o si es
"mayor" que la otra. Ello se hace elemento a elemento . Veamos las definiciones:
Sean A, B
E
{O,l}nxm.
A < B
A
o
B
aij < blj V i, V j
alj
blj V i, V j
Ejemplo:
"' m,CM, A •
[¡
O
1
O
:l
" m,"o"
'O"' A" " -
[i
1
1
1
;l
Hasta ahora hemos visto qué son las matrices booleanas y cómo operar con ellas, pero aún no
sabemos como utilizarlas para representar relaciones. Veamos ...
• • • • • •• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
GUiA DIDÁCTICA DE MATEM ÁTICA DI SCRETA
PAG.76
............................................................................................Un'dad..4 .
MATRI Z DE UNA RElACIÓN .
Sea R: A
B tal que A
= { a,
, a2 , ... , a,} y B
Se define como matriz de R a la matriz
mlj = 1
{
o
m'j
=O
si (al, bj)
E
MR E
= { b,
, b2 , ... , bm }
{O,l} ' x m
MR
=
« mlj )) tal que:
R (es decir si al R bj)
si (al, bj) !! R
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {1, 3, 4}
Y
B = {x, y, z, t}
Y la siguiente relación R
R = {(l,x) , (1, t) , (3,x) , (3,y) , (3,z) , (4,z)}
[i : : ¡]
La matriz de la relación Res:
M, -
(!)
¿Qué ocurre con las matrices al efectuar operaciones?
Sean R: A
B Y S: A
B dos relaciones definidas entre los mismos conjuntos.
Sea MR la matriz de R y Ms la matriz de S.
Entonces:
[ MRu
r
S -
MR V Ms )
M Rol =
r--;
R
= (M R)
J
Todas esas relaciones entre las matrices y las operaciones se pueden demostrar.
A modo de ejemplo, demostraremos la primera:
Para probar que dos matrices son iguales, hay que probar que cada elemento de la primera es igual
a su correspondiente en la segunda:
MRUS
=
« mlj))
MR =
« nj ))
Ms =
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
« Slj ))
PAG.77
............................................................................................Un'dad..4 .
Consideremos los mlj
ml; =l
{
si (al ,b;)eRUS
mij = O si (al, bj) i!! R U S
Aplicando definición de unión y ley de De Morgan:
mlj = 1
{
si (a l , bj)
E
R v (al, bj)
E
S
mlj = O SI (al , bj )
i!!
R A (a l , bj )
i!!
S
(expresión 1)
Calculemos aparte el segundo miembro:
{
nJ v SIJ = 1
si nj = 1 v
njVSij =O
si n; = O A Slj = O
S ij
M. v Ms =
« nj v
Slj ))
= 1
Siendo :
nj = 1
{
si (al , bj ) e R
Slj = 1
{
nJ = O si (al ,bj )i!!R
Sij :;;;
si (a l , bj ) e S
O si (al , bj) i!! S
Reemplazando, resulta:
nj v Slj = 1
{
si (al, bj) e R v (al, bj )
nj V Slj = O SI (a l , bj )
i!!
RA(al , bj )
E
S
i!!
S
(expresión 2)
Vemos que las expresiones 1 y 2 son idénticas, lo cual significa que ambas matrices son iguales. Y
por lo tanto queda demostrado que MRUS
= MR V Ms
Análogamente se pueden demostrar las restantes propiedades.
8:
Sean los conjuntos A = { al, a2, a3}
y B = { b" b2, b3 , b4} Y las relaciones R y S definidas de A
en B a través de sus matrices:
Se pide hallar:
M(R u S) =
M(R f"\ S) =
M(S) =
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
G UiA DIDÁ C T ICA DE M ATEM ÁTICA DI SCR ETA
PA G .7 8
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • oo •• oooo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Unld.d ..4 .
COMPOSICION DE RELACIONES
Dadas
R: A --> B
SoR; { (x,z)
E
Y S: B --> C dos relaciones, se define la relación compuesta:
AXC / 3 Y E B A (x,y)
A
E
R A (y,z)
E
S }
R
( ----"""
,
í
x
\
\
I
SoR
Para decirlo de una manera sencilla, la composición de relaciones consiste en hacer en un paso lo
que se pOdía hacer en dos pasos (primero utilizando la relación R y luego la relación S)
o
Ejemplo:
Sean A ; { 1,2,3,4,5 }
y las relaciones:
R; { (x;y)
E
B; {4,5,6,7,8}
A X B / y; 2 x }
Primero vamos a hallar R y S por extensión:
C; { 6,7,8,9,10}
S; { (y;z)
E
BXC/
Z
> y+2 }
R ; .{ (2;4), (3;6), (4;8) }
S; {(4;7), (4;8), (4;9), (4;10), (5;8), (5;9), (5;10), (6;9), (6;10), (7;10) }
Ahora ca lculamos SoR, tratando de "enganchar" los pares de R que continúan en S, por ejemplo
(2;4)
E
RA (4;7)
E
S entonces (2;7)
E
SoR
Haciendo lo mismo con todos, obtenemos:
SoR; { (2;7), (2;8) , (2;9), (2;10), (3;9), (3;10)}
(!) ¿Cómo se halla la Matriz de la composición?
o
[
MSoR
-
M R • MsJ
Ejemplo:
Con las relaciones del ejemplo anterior, primero hallamos la matriz de cada una:
O
1
M(R); O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
1
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
1
O
O
O
M(S); O
O
O
1
O
O
O
O
1
1
O
O
O
1
1
1
O
O
1
1
1
1
O
.6 ................................................•....•.......................................•..................
GuíA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.79
.n'dad..4 .
o o o o o
o 1 1 1 1
Las multiplicamos y obtenemos: M(SoR) = M(R) • M(S) =
O O O 1 1
O O O O O
O O O O O
y vemos que coincide con lo obtenido anteriormente.
9:
Sean los conjuntos:
Y las relaciones:
A = { a, b } , B = { x, y, z, t} Y
R: A
B Y S: B
e
R = { (a,x) , (a,z) , (b,y) , (b,z) , (b,t) }
e=
{ 1, 2, 3 }
que vienen dadas:
S = { (x,2) , (x,3) , (y,l) , (z,2), (t,2) }
Se pide:
1) Hacer un diagrama de Venn:
2) Observando el diagrama, hallar SoR por extensión
SoR =
3) Hallar las matrices de cada relación, luego la de la compuesta y verificar la relación entre las
matrices.
MR =
Ms =
MR. Ms =
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.8 0
............................................................................................
..4..
RELACIONES EN UN CONJUNTO
A partir de acá estudiaremos un tipo de relaciones, que están definidas en un mismo conjunto:
(
Relación en A:
o
R: A
--+ A
)
Ejemplo:
Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lO}. Son algunas relaciones en A las siguientes:
R: A --> A
tal que R = { (x;y)
E
AXA / y =
S: A --> A
tal que S = { (x;y)
E
AXA / 3 I x - y }
T: A --> A
tal que T = { (x;y)
E
AXA / x
X2 }
+y
= 11 }
Repre sentació n de relaciones co n DIGRAFOS:
Cuando se tiene una relacion en un mismo conjunto, el diagrama de Venn cambia un poco, ya que
no se dibuja dos veces el mismo conjunto sino una sola vez, y las aristas son internas dentro del
conjunto. Este tipo de diagrama se denomina digrafo.
(!) ¿Cómo se construye el dígrafo de una relación en un conjunto?
1) Los elementos del conjunto se representan como vértices o nodos.
2) Si (x,y)
E
R entonces se dibuja una arista (flecha) desde el vértice x hasta el vértice y.
OIGRAFO
c::::::::> r elementos del conjunto:
SI (x,y)
X
W
E
vértices o nodos
R : arista (flecha) desde x hasta y.
.r- - -••• y
Ejercicio 10:
Realiza los dígrafos de las relaciones R, S Y T del ejemplo anterior:
Dígrafo de R:
Dígrafo de S:
GUiA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
Dígrafo de T:
PAG.Sl
............................................................................................. .nidad..4 .
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES:
Sea una relación R: A
[
R es
A. Veamos las propiedades que puede cumplir:
\f-; E A:
(a;a)
E
R
1
Esta propiedad consiste en que todo elemento se relaciona con sí mismo.
¡zr Ejemplos:
En A = {1,2,3} la relación R = { (1; 1), (1;2), (1;3), (2;2), (2;3), (3;3)} es reflexiva ya que
vemos que contiene los tres pares reflexivos.
En IR, la relación R definida por: x R y
X2 = y2 es reflexiva , ya que \f x
E
IR : X2 = X2
x Rx
(!) ¿Cómo analizamos la refl exividad en el dígrafo de una relación?
Para que una relación sea reflexiva, en su dígrafo todos los elementos deben tener bucle.
¡zr Ejemplo:
La relación representada en este dígrafo es reflexiva:
O
(!) ¿Cómo analizamos la 'reflexividad en la matriz de una relación?
Para que una relación sea reflexiva, en su matriz debe haber 1 en toda su diagonal principal
Esto se puede indicar formalmente:
R es
_ _ _ _ _I_:5_ M_(_R_) _ _ _ __
Nota: 1 es la matriz identidad, la que tiene 1 en toda su diagonal principal, y cero en el resto.
¡zr Ejemplo:
La relación representada en este dígrafo es reflexiva:
M(R) =
1
O
1
O
O
O
1
O
O
O
O
1
1
O
O
O
1
1
1
1
O
1
1
O
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ••••• o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GUíA DIDÁCTICA DE M ATEMÁTICA DISCR ETA
PAG.82
............... :........................................;...................................Uni..• d..4 .
Seguimos con otra propiedad:
Esta propiedad consiste en que ningún elemento debe relacionarse con sí mismo.
o
Ejemplos:
En A = {1,2,3} la relación R = {(1;2), (1;3), (2;1), (2;3), (3;1)} es a-reflexiva ya que vemos
que NO contiene a ninguno de los tres pares reflexivos.
En Z, la relación R definida por: x R y e> "x
v
X E
Z: x
+x
= 2 x es par
+ y es impar" es a- reflexiva, ya que:
(x;x) f/! R
(!) ¿Cómo analizamos la a-reflexividad en el dígrafo de una relación?
Para que una relación sea a-reflexiva, en su dígrafo ningún elemento debe tener bucle.
o
A
Ejemplo:
La relación representada en este dígrafo es a-refiexiva:
(!) ¿Cómo analizamos la a-reflexividad en la matriz de una relación?
Para que una relación sea a-reflexiva, en su matriz debe haber O en toda su diagonal principal
Esto se puede indicar formalmente:
( R es A-Reflexiva
1<
__I _I\_ M_(_R_)_=_ N_ _ _ _ _.
Nota: N es la matriz NULA, la que todos sus elementos valen O.
o
Ejemplo: '
La relación representada en este dígrafo es a-reflexiva:
O O O O O
O O 1 1 1
M(R) =
1 1 O 1 1
100 O O
O O O 1 O
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.83
............................................................................................UQld.d..4 .
Seguimos con otra propiedad:
r-;
es Simétrica
l< ;,
V a,b
E
A: (a;b)
E
R => _(!l;a)
Esta propiedad consiste en que los elementos deben relacionarse recípro camente, es decir que no
haya vínculo en un solo sentido, si lo hay debe ser en ambos sentidos.
o
Ejemplos:
En A = {1,2,3} la relación R = { (1;2), (1;1), (2;1), (2;3), (3;2)} es simétrica ya que vemos que
el inverso de cada uno de los pares de R también está en R.
En Z, la relación R definida por: x R y e> x
Vx, y
E
Z: x Ry=> x + y = 5
+ y = S es simétrica, ya que:
::)(+esconmutativa)
y
+
X = S=>y
Rx
(!) ¿Cómo analizamos la simetría en el dígrafo de una relación?
Para que una relación sea simétrica, en su dígrafo toda arista debe tener su antiparalela.
o
Ejemplo:
A __
La relación representada en este dígrafo es simétrica:
(!) ¿Cómo analizamos la simetría en la matriz de una relación?
Para que una relación sea simétrica, su matriz debe ser simétrica respecto de la diagonal principal.
Esto se puede indica r formalmente:
Res
[__________
o
_
M(R) = M(R)t
____________________
_
Ejemplo:
La rela ción representada en este dígrafo es simétrica :
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
o
M(R) =
1 O O O
1 O 1 1 1
O 1 O 1 1
O 1 1 O O
O 1 1 O 1
PAG .84
............................................................................................UD'dad..4 .
Seguimos con otra propiedad:
Esta propiedad consiste en que los elementos NO deben relacionarse recíprocamente, es decir que
no haya vínculo en los dos sentidos, si lo hay debe ser en un solo sentido .
o
Ejemplos:
En A = {1,2,3} la relación R = { (1;2), (1;3), (2;3)} es a-simétrica ya que vemos que el inverso
de cada uno de los pares de R, No está en R.
En IR, la relación R definida por: x R y
v
x, Y
E
IR: x R y
x> y
y < x
x > y es a-simétrica, ya que:
(y;x) i" R
(!) ¿Cómo analizamos la a-simetría en el dígrafo de una relación?
Para que una relación sea a-simétrica, en su dígrafo a lo sumo puede haber una arista entre todo
par de elementos y no debe haber bucles.
o
Ejemplo:
5
La relación representada en este dígrafo es a-simétrica:
/\;
2
(!) ¿Cómo analizamos la a-simetría en la matriz de una relación?
Para que una relación sea a-simétrica, su matriz no debe tener dos unos simétricos respecto de la
diagonal principal. Esto se puede indicar formalmente:
o
r.
M(R) /\ M(R)'
=N
_1
Ejemplo:
O O O O O
1 O 1 O 1
La relación representada en este dígrafo es a-simétrica:
M(R) =
O O O 1 O
O 1 O O O
O O 1 O O
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.85
............................................................................................Unidad..4 .
Esta es una propiedad similar a la anterior pero menos estricta:
Res Antisimétrica
a,b E A: (a;b) E R
1\
(b;a) E R
a=bJ
Esta propiedad consiste en que los elementos NO deben relacionarse recíprocamente, que solo debe
haber vínculo en un solo sentido, pero permite que cada elemento se relacione con sí mismo.
o
Ejemplos:
En A = {1,2,3} la relación R = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;3), (3;3)} es antisimétrica ya que vemos
que el inverso de cada uno de los pares de R, No está en R excepto los pares reflexivos.
I
En N, la relación R definida por: x R y <o> x y es antisimétrica, ya que:
v x, y
E
N: x R y
1\
Y R x => x I y
1\
Y Ix=> x = y
(!) ¿Cómo analizamos la antisimetría en el dígrafo de una relación?
Para que una relación sea antisimétrica, en su dígrafo a lo sumo puede haber una arista entre todo
par de elementos pero puede haber bucles.
o
Ejemplo:
A
o
La relación representada en este dígrafo es antisimétrica:
O/
(!) ¿Cómo analizamos la antisimetría en la matriz de una relación?
Para que una relación sea antisimétrica, su matriz no debe tener dos unos simétricos respecto de la
diagonal principal, pero si puede tener unos en la diagonal. Esto se puede indicar formalmente:
o
rRes Antisimétrica J<::==:>'L .
M(R)
1\
M(R)' ,;; 1
J
Ejemplo:
La relación representada en este dígrafo es antisimétrica:
M(R) =
1
1
O
O
O O O O
O 1 O 1
O 1 1 O
1 O O O
O O 1 O O
.............................................................................................................................
GUiA DIDÁCT ICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.86
................................. "." ........ " ............................................... .
.nldad..4 .
Seguimos con esta propiedad :
r
R es
a,b::.. E A: (a;b) ER 1\ (b;c) ER
(a;c) ER
Esta propiedad consiste en que si un elemento se relaciona indirectamente con otro a través de uno
intermedio, debe también relacionarse en forma directa.
o
Ejemplos:
En A = {1,2,3} la relación R = { (1; 1), (1;2), (1;3), (2;3), (1;3)} es transitiva.
En peA), la relación R definida por: X R Y
'V X, Y, Z
E
P(A) : X R Y
1\
YRZ
X ¡;; Y
X ¡;; Y es transitiva, ya que:
1\
Y ¡;; Z => X ¡;; Z
(!) ¿Cómo analizamos la transitividad en el dígrafo de una relación?
Para que una relación sea transitiva , en su dígrafo debemos revisar que si existe algún camino de
cualquier longitud desde un vértice a otro, entonces también debe estar la arista directa entre ellos.
o
Ejemplo:
La relación representada en este dígrafo es transitiva:
(!) ¿Cómo analizamos la transitividad en la matriz de una relación?
Para que una relación sea transitiva, su matriz debe ser mayor o igual que la de la relación
compuesta con sí misma . Esto se puede indicar formalmente :
o
(
R es Transitiva
:J<===) (
M(R). M(R)
s
M(R)
Ejemplo:
La relación representada en este dígrafo es transitiva:
M(R) =
1 O O O O
1 O 1 1 1
O O 1 1 O
O O O O O
O O O 1 O
.......•................................................................................. ..•......................
G UiA D IDÁCTI CA DE MATEMÁTICA DI SCRETA
PA G .S7
.nldad..4..
W
Ejercicio 11:
Analiza las propiedades de las relaciones definidas en A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
W
R: A --> A
tal que R = { (x;y)
E
AXA / y =
S: A --> A
tal que S = { (x;y)
E
AXA /3 I x - y }
T: A --> A
tal que T = { (x;y)
E
AXA / x + y = 11 }
X2 }
Ejercicio 12:
Dadas las siguientes relaciones definidas en el conjunto A={1,2,3,4}:
R, = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;3), (1;4)}
R2 = { (1;1), (1;2), (2;1), (2;3), (4;4) }
R,= { (2;1), (1;2), (1;3), (3;1), (2;4), (4;2) }
R4 = {(1;1), (2;2), (3;3), (4;4)}
Rs = { (1;2), (2;3), (1;4) }
Ro: { (1;1), ( 1;2), (2;1), (2;2), (3;3), (2;4), (4;2), (4;4) }
a) Construye la matriz de cada una de las relaciones.
b) Analiza las propiedades observando las matrices.
W
Ejercicio 13:
Analiza las propiedades de relaciones definidas en conjuntos infinitos:
1) En IR la relación: xRY <o:> lx-Y I = 1
¿Es reflexiva?
¿Es a-reflexiva?
¿Es simétrica?
¿Es a-simétrica?
¿Es antisimétrica?
¿Es transitiva?
2) En Z la relación: x R y <o:> x
y +2
¿Es reflexiva?
¿Es a-reflexiva?
¿Es simétrica?
¿Es a-simétrica?
¿Es antisimétrica?
¿Es transitiva?
GUiA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA D ISCRETA
PAG.88
·nldad..4 .
RELACION DE CONECTIVIDAD
Sea R: A
A, es decir una relación definida en un mismo conjunto A.
Al dibujar el grafo de la relación, las aristas entre dos elementos (o vértices) indican que dichos
elementos están relacionados a través de R. Si no hay arista entre dos elementos, es porque no
existe dicho par ordenado en la relación.
Si ca lculamos R2 , o sea RoR (R compuesta con sí misma), por definición tiene a todos los pares
ordenados (x,z) tales que 3 y E A A (x,y) , (y,z) E R. O sea que en la relación original R, hacía falta
recorrer dos aristas para ir de x hasta z.
x ..... y ..... z
En R:
x .....
En R':
z
Lo cual significa que R' representa todos los caminos de longitud 2 existentes en la relación R.
Análogamente, si calculamos R3, estarán todos los pares ordenados correspondientes a caminos de
longitud 3 en el grafo de R. Y asi sucesivamente .
todos los ·cam inos de longitud 2
existentes en la relación original R.
todos los caminos de longitud 3
existentes en la relación original R.
•••
los ca minos de
'1 existentes en la rela c ión
Por lo tanto, se puede definir a la relación:
..-.------ -- - - -- - ---"
)
i x R" y c> existe un camino de longitud n entre x e y
L-. ____ ______ _ _ _ __
También, definimos:
,--._-- - - _._ - -- -x
Y c> existe un camino de cualquier longitud entre x e y
'---'-<--- - - - - --- - -_._-
--_ .. _... _ .-
RELACION DE CO NECTI VIDAD
Como en
es decir:
=
están los caminos de cualquier longitud, ella se forma con la unión de todas las demás,
R
U
t
incluimos los
caminos de
longitud 1
R'
U
t
los de
longitud 2
R3
t
los de
longitud 3
G U iA DIDÁCTICA D E MATEMÁTICA DISCRETA
U
R4
U
U
R"
U
t
los de
longitud n
PAG.89
'.
............................................................................................Unldad..4 .
= M(R) v
Matricialmente:
M(R2) v M(R3) v ... v MeRn) v ...
y teniendo en cuenta que M(R2) = M(R) • M(R) = [M(R)]2
= M(R) v
[M(R)F v [M (R)]3 v ... v [M(R)] n v ...
En realidad, si hay n elementos en el conjunto A, los caminos de longitudes mayores a n , no nos
aportan pares nuevos, por lo tanto alcanza sólo con calcular hasta el nivel n.
o
Ejemplo:
SeaA={a,b,c,d}
Escribamos primero
Ahora calculamos
Ahora calculamos
Ahora calcu lamos
MR
CO
=
O
1
O
O
1
O
O
O
1
O
O
1
O
1
O
O
MR ;
1
O
O
O
1
O
O
1
MR 2 ;
1
O
O
O
1
O
O
1
O
O 1
O
1 O
•
1
O O
1
O O
1
O
O
1
O
O
1
1
MR 3 ;
O
1
O
O
1
O
O
O
1
O
O
1
O
1 O
O
O 1
•
1
O O
1
O O
O
1
1
1
1
O
1
1
1
O
O
O
1 O
MR4 ;
O
1
O
O
1
O
O
O
1
O
1
1
1
1
1
1
O
O
1
1
V
MR
oo
1
O
O
O
,.b
-
c"
O
O
1
1
O
1
O
O
Finalmente calculamos
(;
y la relación R dada por el digrafo:
O
O O
1
•
O 1
O
1 1
O
;
;
1
O
O
O
O
1
O
O
O 1
1 O
1 1
1 1
;
O
1
O
O
1
O
O
O
1
O
1
1
1
O
O
O
O 1
1 1
O 1
O 1
9
d.;)
1
1
1
1
1
1
1
1
:
O
1
O
O
O
1
1
1
1
O
1
1
V
O
1
O
O
1
O
O
O
1
O
1
1
1
1
1
1
V
1
O
O
O
O
1
O
O
1 1
1 1
1 1
1 1
;
1
1
O
O
1
1
O
O
1 1
1 1
1 1
1 1
••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG .90
............................................................................................ Unid.d..4 .
RELACIONES de EQUIVALENCIA
Hasta ahora estuvimos viendo las propiedades que pueden
cumplir las relaciones definidas en un conjunto. A continuación
estudiaremos un tipo especial de relaciones que son las de
equivalencia, y tienen mucha importancia en ciencias de la
computación ya que clasifican a los elementos del conjunto
donde están definidas según un atributo (o sea según un criterio
que deben cumplir).
Por ejemplo los alumnos de esta Facultad Regional tienen todos un
número de legajo y el último dígito es el código verificador, cuando
llega el momento de la inscripción según ese dígito les corresponde
un día para inscribirse, es decir los alumnos fueron clasificados según
el último dígito de su legajo, podemos pensar que la Relación que se
definió en el conjunto de los alumnos es: "dos alumnos se relacionan
si el último dígito del legajo es el mismo."
Lo mismo ocurre en cualquier conjunto con elementos que se desean
Resultados l l!r ParCial
clasificar según un atributo. Cuando clasificamos a los animales según su
tipo de alimentación o según la cantidad de patas; cuando clasificamos a los
clientes de un banco según el tipo de cuenta que tienen; cuando clasificamos
a los alumnos de un curso según la nota que sacaron en un parcial, etc.
Las relaciones de equivalencia están presentes en todo momento de nuestra vida aunque no nos
demos cuenta. Veamos las definiciones para poder comprenderlas mejor:
Defin ición:
,
1
REFLEXIVA
R:A
j
A es de equi val e nci a si es
TRANSITIA
Notación: a las relaciones de equivalencia se las suele representar por el símbolo: -
...................................•..............................................................................
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.91
.........................................................................................;.. UDidad..4.
Sea un conjunto A donde hay definida una relación de equivalencia:
(A; - )
Vamos a definir dos nuevos conceptos:
1
Definición: CLA S E DE EQUIVAL ENCIA
¡¡ = [a 1= CI(a) = {x e A / x-a}
Sea (A; -)
o sea,
en la clase de equiva lencia del elemento "a", están todos los elementos que se relacionan
con "a".
Defi nición: CON JU NT O COCIE NTE
Sea(A;-)
._--- ---,
N-={CI(a)/ a e A}
J
El conjunto cociente provocado por la relación de equivalencia es el conjunto formado por todas las
clases de equivalencia
A continuación veremos varios ejemp los para entender los conceptos de clases y conjunto cociente:
o
Ejemplo 1:
Dado el conjunto
CONJUNTO FINITO
A = { a, b, c, d, e, f}
Y la relación
R = { (a,b) , (a,c) , (b,c) , (c,b) , (b,a) , (c,a) , (e,f) , (f,e) } U t.A
Nota :
t.A = { (x,x) / x
E
A}
Es decir AA es el conjunto formado por todos los pares reflexivos.
(!) ¿Es R una relación de equivalencia? Primero hagamos el dígrafo de la relación R:
A
a )!:====::!( c
GUíA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.92
............................................................................................Unldad..4 .
R es reflexiva pues en el dígrafo están todos los bucles. (Además la relación tiene incluido a !J.A)
R es simétrica pues en el dígrafo vemos que todas' las aristas tienen su antiparalela.
R es transitiva pues en el dígrafo vemos que entre a,b y c están todas las aristas posibles entre
ellos, con lo cual comenzando por una entre dos elementos y a continuación otra arista entre el
segundo elemento de la primera y un tercer elemento, seguro está la arista entre el primero y el
tercero. Lo mismo ocurre entre e y f. Y el bucle de "d" solo se puede continuar con sí mismo y
entonces primero con tercero sigue siendo el mismo bucle. Si tienes dudas, recuerda que haciendo
la matriz podemos garantizar la transitividad si M(R) • M(R) S M(R)
Por lo tanto, R es de equivalencia y podemos hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
Comencemos con las clases, recordando que en la clase de un elemento, están todos los que se
relacionan con él:
cI(a) = { a, b, c }
cI(c) = { a, b, c }
cI(b) = { a, b, c}
Como las tres anteriores son la misma, debemos un solo representante, por ejemplo la "a".
cI(d)={d}
cl(f) = { e, f }
cI(e) = {e, f}
De las dos últimas tamb ién eleg imos un representante, por ejemplo la "e".
El conjunto formado por UN representante de cada clase se denomina CONJUNTO DE IN DICES.
y el conjunto cociente es : A/R = { cI(x) / x El}
siendo 1 el conjunto de Índices.
En este caso, el que elegimos es: 1 = { a, d, e} . Pero se pOdría haber elegido otro como por
ejemplo { b, d, f} o varios mas, pero siempre deben tener UN representante de cada clase.
El conjunto cociente es:
A/R = { cI(a), cI(d), cI(e) }
Matrices d e relaciones d e equiva le n ci a :
Si construimos la matriz de la relación de equiva lencia anterior, poniendo a los elementos de la
misma clase consecutivos:
ab
b 1 1
ar
M(R) =
c 1 1
d O O
e O O
f lO O
c d
O
1 O
1 O
O 1
O O
O O
e f
O O)
O
O
O O
1 1
1 1)
Observamos que aparecen "cuadrados de unos", y se corresponden con las clases.
Eso mismo ocurre con todas las matrices de relaciones de equivalencia definidas en conjuntos
finitos .
G U iA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.93
..4..
............................................................................................
W
Ejercicio 14:
En el conjunto de los enteros Z, se define la siguiente relación: a R b
3 Ia - b
a) Demuestra que R es de equivalencia:
Reflexiva:
Simétrica:
Transitiva:
b) Calcu la las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
cl(O) = { .................. .. .. }
O sea que en la clase del cero están .............. .. ................................................................ .
cI(l) = { ...................... }
O sea que en la clase del uno están ............................ .. ...................... .. .................... .. ..... .
cI(2) = { ........ .............. }
O sea que en la clase del dos están ....... ........................................ ........ .......................... .
(i) ¿Nos quedó algún entero sin saber en qué clase está? .... .. ....
Por lo tanto, podemos escribir el conjunto cociente:
Z
R
= { .................... .. .......... }
Es decir, que solamente hay 3 clases pero con infinitos elementos dentro de cada una.
Esta relación se denomina congruencia módulo 3 y a R b
El conjunto cociente
Z
Z
R = '" (3)
se denota
a " b (3)
se pone Z3 y a las clases de equivalencia de esta relación se
les suele decir clases residuales, ya que son los restos de dividir por 3.
y es un caso particular de la congruencia módulo n (con n
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
E
N) que estudiaremos en otra un idad .
PAG.94
............................................................................................UQid.d..4 .
W
Ejercicio 15:
En el conjunto de los reales IRse define:
x S
y
c>
X2 -
4 x =
y2 -
4 Y
Se pide:
a) Demostrar que S es de equivalencia
Reflexiva:
Simétrica:
Transitiva:
b) Graficar la relación.
c) Hallar las clases y el conjunto cociente.
CI(x) = ........................................................... .
IR/ S = ........................................................... .
.. ............................................................................ ........................................................ ........ .............. .. . .
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.95
............................................................................................
W
..4..
Ejercicio 16:
En el conjunto de los reales IRse define:
x S y ..,
x - y
E
Z
Se pide:
a) Demostrar que es de equivalencia
Reflexiva :
Simétrica:
Transitiva:
d) Graficar la relación.
e) Hallar las clases y el conjunto cociente.
CI(x) = ........................................................... .
IR/S= ......................................................... .
G U iA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.96
............................................................................................Un'da. ..4 .
W
Ejercicio 17:
Cons idera en ZXZ la relación: (x;y) R (z;t) <o> x - Z E SZ
A y2 = t 2
a) Demuestra que R es de equivalencia.
Reflexiva:
Simétrica :
Transitiva:
b) Halla las clases y el conjunto cociente.
CI( x ) = ................................. ..... ... .. ... ... .. ...... ...
IR/ S =
.. .. .. ........ .. ...................................... .
.............•........................................................................ .............•.•........... .
GUíA DIDÁCTICA DE M ATEMÁTICA DISCRETA
PAG .97
............................................................................................
..4 .
PROPIEDADES DE LAS CLASES DE EQUIVALENCIA
Consideremos que R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A. Entonces se cumple:
Propiedad 1:
Va
E
A: [a]
*0
J
'Sign ifica que las clases de equivalencia NO son vacías.
Dem.) Como se cumple la propiedad reflexiva de R en A, Va
r¡ Propiedad 2:
Dem) Si a
E
Sí
aE
[ b] => b
E
A: a R a => a
E
[a] => [a]
*0
eral
[b] => a R b ( por definición de clase de equivalencia)
=> b R a ( por la propiedad simétrica)
=> b
E
[a] (por la definición de clase de equivalencia)
clases de equivalencia son disjUntas dos a dos.
Dem) Lo que debemos probar es que dadas dos clases de equivalencia cualesquiera puede ocurrir
que sean iguales o que no tengan ningún elemento en común, es decir: [a]=[b]
v
[a ] n [b] = 0.
Para ello, analicemos el caso de dos clases distintas, ya que si [a]=[b] no hay nada que probar.
Supongamos que [a] n [b] '" 0, es decir existe x
E
A tal que x
E
[a]
A
x
E
[b] (por la definición de
intersección) => x R a A x R b (por la definición de clase de equivalencia).
Consideremos ahora un elemento m
E
[a] => a R m, de donde se tiene x R a
A
a R m => x R m (por
ser x un elemento de la clase de a y propiedad transitiva).
Usando la propiedad simétrica queda m R x, como x es un elemento de la clase de b, queda:
m Rx
A X
R b => m R b (por propiedad transitiva) => m
E
[b] => [a] ¡;; [b]
De la misma forma se puede probar que [b] ¡;; [a]. Y por lo tanto llegamos a [a] = [b]
usando la
definición de igualdad de conjuntos .
Ahí está el ABSURDO que provino de suponer que clases de equivalencia distintas ten ían elementos
en común, por lo tanto queda probada la tesis.
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.98
.n'da...4 .
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQU IVALEN CIA
Toda relación de equivalencia definida en un conjunto, provoca en el mismo una partición (conjunto
cociente). Recíprocamente, toda partición de un conjunto induce en el mismo una relación de
equivalencia .
Es decir hay tantas relaciones de equivalencia como particiones posibles en un conjunto A.
Demostración:
Primer condicional:
=>
Partiendo de (A; R) con R de equivalencia, debemos probar que el conjunto cociente es una
partición. O sea que cumple las siguientes tres condiciones de la definición de partición
1) CI(x)
*0
2) cI(x),..., cI(y) = 0
* cI(y) )
(si cI(x)
3) U cI(x) = A
Vemos que las dos primeras ya las demostramos con las propiedades vistas anteriormente.
La 3) se puede demostrar de forma equivalente: 'V x
Segu ndo condicional:
E
A: x
E
cI(x) por reflexividad
x
E
U cI(x)
<=
Ahora debemos considerar por hipótesis que tenemos una partición de un conjunto:
P = { Al, A" A3, ..., An } y queremos encontrar una relación de equivalencia asociada.
Para ello, definimos en A:
x R y <o> 3 A,
P: x
E
E
Al
Y
1\
E
A,
(Significa que los elementos de una misma celda van a estar relacionados)
Ahora nos queda probar que la relación definida es de equivalencia:
1) Reflexiva: 'V x
E
A: x
A, (ya que por ser P partición cumple la 3 eca condición)
E
X E
2) Simétrica: V X, Y
E
3) Transitiva: 'V x, y,
Si Y
E
3 A,
P: y
Z E
[3 Al
A X E
A: x R y=>3 Al
E
3 A,
Ai
E
A,
E
E
1\
A: x R y
P: x
1\
A,
E
A,
Y E Ak
P: x
E
A,
X
E
1\
1\
E
Al =>
P: X
A,
E
X
Rx
Ai
A
Y e Ai =>
conmutatividad de .....
YRx
YRZ
Y
E
A,]
1\
[3 Ak
E
P: x
E
Ak
1\
Y
E
Ak ]
A, = Ak (por 2" condición de partición)
1\ Z E
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
A,
x RZ
PAG.99
............................................................................................Unldad..4 .
Ahora veremos unos ejemplos para utilizar esta segunda parte del Teorema:
o
Ejemplo 1: Sea el conjunto A= { 1,2,3,4,S,6}, en base al Teorema Fundamental, indica la
relación de equivalencia asociada a la siguiente partición: P = { { 1, 4, 5 } , { 2, 6 } , { 3 } }
Para ello, tengamos en cuenta la relación R:
x Ry<o>3A,
E
P:
X E
Al
A
Y
E
A,
Con lo cual, el dígrafo queda:
o
Ejemplo 2: En el mismo conjunto A= {1,2,3,4,S,6}, si la partición fuese otra distinta, por
ejemplo:
P = { { 1, 2} , { 3, 4 } , { 5 , 6 } }
En este caso la relación de equivalencia es diferente:
W
Ejercicio 18:
Analice si en el conjunto B = {a,b,c,d,e,f,g} es posible definir una relación de equivalencia que esté
formada exactamente por 19 pares ordenados y tales que cl(a) '" cI(b) '" cI(c)
(las clases de a, b y c sean todas distintas dos a dos) En caso afirmativo indicarla .
......... ......... ...................... ..... ........ ............... ........... ............................ ...... .
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.l00
.............................................................................................. .nida. ..4.
CLAUSURAS
o
CERRADURAS DE UNA RELACION :
Sea R una relación definida en un conjunto A. Supongamos que R no es de equivalencia pues no
cumple alguna propiedad. Queremos agregarle aquellos pares necesarios para que la cumpla, pero
no más de los necesarios. Es decir queremos encontrar la menor de las relaciones que incluyen
a R y que cumplen la propiedad especificada . A esta nueva relación se la llama Clausura o
Cerradura.
La clausura o cerradura reflexiva es la menor de las relaciones que incluyen a R y que es
reflexiva.
La clausura o cerradura simétrica es la menor de las relaciones que incluyen a R y que es
simétrica.
La clausura o cerradura transitiva es la menor de las relaciones que incluyen a R y que es
transitiva.
Es obvio que si R cumple con una propiedad, ella misma es la clausura de dicha propiedad.
Hallar la clausura reflexiva es muy simple, ya que solamente debemos agregar los bucles que no
estén ( en el grafo) o completar con unos la diagonal de la matriz de R.
Hallar la clausura simétrica también es simple, ya que debemos agregar las "flechas de vuelta", a
todas las "flechas de ida", que no las tengan, o completar los unos que le falten a la matriz para ser
simétrica.
¡zj Ejemplo:
Sea A = { a , b , e, d}
Y R = { (a,a) , (a,b) , (b,b) , (a,c) , (c,a) , (d,d) , (b,d) }
Se ve que R no es reflexiva pues (c,c) no pertenece a R. Si se lo agregamos, la nueva relación será
reflexiva:
Rf = R U { (c,c)}
es la clausura reflexiva de R.
R tampoco es simétrica, pero podemos hallar:
Rs = R U { (b,a) , (d,b)} que es la clausura simétrica de R.
Uniendo las dos obtenemos:
Rfs
= Rf U Rs = R U {
(c,c) , (b,a) , (d,b)} la clausura reflexiva y simétrica .
...... ........... ... .. .... ......... ...... ......................... ....... ......... ............... ...... ....... ....
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.l0l
............................................................................................UD.dad..4 .
En este ejemplo, R tampoco es transitiva, pues por ejemplo, (a,b) y (b,d) pertenecen a R y sin
embargo, (a,d) no pertenece.
(!) ¿Podríamos entonces agregarlo y con eso obtener la clausura transitiva de R ?
Antes, deberíamos verificar que no ocurra lo mismo con otros pares, pues en dicho caso, habría más
pares necesarios que agregar.
No es tan simple darse cuenta de todos los pares necesarios para la transitividad . Pero, si
recordamos a la relación de conectividad
, se puede demostrar que ella es la clausura
transitiva de R. Por lo tanto, lo que debemos hacer es aplicar algún método para calcularla.
La clausura reflexiva y transitiva es la relación de accesibilidad R * =
U AA ( o sea, además
de la clausura transitiva, debemos agregar los bucles.)
Propiedad:
Dadas dos relaciones de equivalencia R y S, definidas en un mismo conjunto A, la
relación de equivalencia más pequeña, que contiene a R y a S es ( R U S
Observación: Para saber si una relación es transitiva, podemos calcular su clausura transitiva. Si
resultan iguales, significa que la relación dada era transitiva.
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.l02
............................................................................................U.nldad..4 .
RESPUESTAS D E LOS EJERCICIOS PROPUESTO S :
Ejercicio 1:
Las tres primeras relaciones pueden ser cualquiera siempre que sean subconjuntos de AXB.
La relación más pequeña es R.: A
La relación más grande es
B / R. = 0
Rs: A
B / Rs
ya que 0 ¡;; AXB
= AXB
ya que AXB
= AXB
Ejercicio 2:
R, es función no invectiva y no sobreyectiva
R2 es función biyectiva
R, no es función (no cumple unicidad)
R. no es función (no cumple existencia)
Rs es función no invectiva y no sobreyectiva
R6 es función no invectiva pero si sobreyectiva
R7 es función invectiva y no sobreyectiva
RB no es función (no cumple unicidad)
Ejercicio 3:
Ejercicio 5:
Ejercicio 6:
O
1
Ejercicio 4:
1
A
1
:J
=
O
1
:} (: :). [: :l
". [i :l
.. :l
[:
O
1
O
1
Ejercicio 7:
[:
O
O
Ejercicio 8:
1 O
M(evs) • [:
O
1 1
:J
O O
M(RnS). [: O O
O
n
M(").
1 1 O
1 O 1
O O O • M( S)
1 O 1
• [:
O 1
O O
il
••••••••••••••••••• •••• ••• ••••••••••••••• •••••• ••••• •••••• ••••••• •••••••••••• o ••••••••••••••••••••••••••• •••••• •••
GUiA DIDÁCTICA DE M ATEMÁTICA DISCRETA
PAG. l 03
.nidad..4 .
Ejercicio 9:
1) Diagrama de Venn:
2) Relación compuesta:
SoR = { (a; 2), (a;3), (b; 1), (b;2) }
3) Matricialmente :
1 O
MR= ( O 1
11 O
)
1
O1 1]
[O 1 O
100
Ms=
O 1 O
MR· Ms =
Ejercicio 10:
Dígrafo de la relación R:
Dígrafo de la relación
s:
Ejercicio 11:
Propiedades de R: A --> A
tal que R = { (x; y)
E
AXA / y = x, }
¿Es reflexiva? No, pues por ejemplo (2;2) fE R
¿Es a-reflexiva? No, ya que (1 ; 1)
E
R
¿Es simétrica ? No, pues por ejemplo (2 ; 4)
E
R pero (4;2) fE R
¿Es a-simétrica? No, ya que posee bucle en 1.
¿Es antisimétrica? Si, lo es (no hay aristas que tengan su antiparalela excepto bucle).
¿Es transitiva? Si, lo es .
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁT ICA D ISCRETA
PAG.l04
................................................................................................ o'dad..4 .
Propiedades de
s:
A --> A
tal que S = { (x;y)
AXA /3 I x - y }
E
¿Es reflexiva? Si, ya que están todos los bucles.
¿Es a-reflexiva? No, pues es reflexiva.
¿Es simétrica? Si, lo es. Todas las aristas tienen su antiparalela.
¿Es a-simétrica? No, por ejemplo (1;4)
E
¿Es antisimétrica? No, por ejemplo (1;4)
S 1\ (4; 1)
E
E
S
S 1\ (4;1)
E
S
1\
1'" 4
¿Es transitiva? Si, lo es (aunque es complicado de verlo en el dígrafo)
Propiedades de T: A --> A
tal que T = { (x;y)
AXA / x + y = 11 }
E
¿Es reflexiva? No, pues por ejemplo (1; 1) i! T
¿Es a-reflexiva? Si, lo es ya que no hay ningún bucle.
¿Es simétrica? Si, lo es ya que cada arista tiene su antiparalela.
¿Es a-simétrica? No, por ejemplo (2;9)
T
1\
E
T
1\
(9;2)
¿Es transitiva? No, pues por ejemplo (2;9)
E
T
1\
E
¿Es antisimétrica? No, por ejemplo (2;9)
(9;2)
E
T
E
T
(9;2)
E
1\
T
2 '" 9
1\
(2;2) I! T
Ejercicio 12:
Damos las respuestas pero en cada propiedad falta el cálculo de las matrices involucradas.
M(R.)
1111]
=
[
O O 1 O
O O O O
O O O O
¿Es reflexiva? No, pues no se cumple que 1 :5 M(R.)
¿Es a-reflexiva? No, pues no se cumple que
11\
M(R.) = N
¿Es simétrica? No, pues no se cumple que M(R.) = M(R.)t
¿Es a-simétrica? No, pues no se cump le M(R.)
¿Es antisimétrica? Si, ya que M(R,)
1\
1\
M(R.)t = N
M(R,)t :5 1
¿Es transitiva? Si, ya que M(R,) • M(R. ) :5 M(R. )
O]
11 O1 O
1 O
M(Rz) = O O O O
[O O O 1
¿Es reflexiva? No, pues no se cumple que 1 :5 M(Rz)
¿Es a-reflexiva? No, pues no se cumple que
GUÍA DIDÁCT ICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
11\
M(Rz) = N
PAG. l05
·........................................................................................... . .. nidad..4 .
¿Es sim étrica ? No, pues no se cumple que M( R2) = M(R2)'
¿Es a-simétrica? No, pues no se cumple M(R2) " M(R2)' = N
¿Es antisimétrica? No, pues no se cumple que M(R2) " M(R2)'
¿Es transitiva? No, pues no se cumple que M(R2) • M(R2)
1
M(R2)
O1 1 O]
M(R3) = 1 O O O
[O 100
100 1
¿Es reflexiva 7 No, pues no se cumple que 1 $ M(R3)
¿Es a-refl exiva? Si, ya que 1 A M(R3) = N
¿Es simétrica? Si , ya que M(R3) = M(R3) '
¿Es a-simétrica? No, pues no se cumple M(R3) " M(R3)' = N
¿Es antisimétrica? No, pues no se cumple que M(R3)
A
M(R,)'
1
¿Es transitiva? No, pues no se cumple que M(R3) • M(R3) $ M(R3)
1 O O O]
M(R.)
=
O 100
[
O O 1 O
O O O 1
¿Es reflexi va? Si, ya que 1
M(R. )
(de hecho es igual)
¿Es a-refl exiv a? No, pues no se cumple que 1 " M(R. ) = N
¿Es simétrica? Si, ya que M(R. ) = M(R.)'
¿Es a-s im étrica? No, pues no se cumple M(R.) " M(R. )' = N
¿Es antisimétrica? Si, ya que M(R. )
A
M(R. )' $ 1
¿Es tran sitiva? Si, ya que M(R. ) • M(R.)
M(R. )
1 O1]
O
O O 1 O
M(Rs) = O O O O
[O O O O
¿Es reflexi va? No, pues no se cumple que 1 $ M( Rs)
¿Es a-reflexiva? Si, ya que 1 A M(Rs)
=N
¿Es simétrica ? No, pues no se cumple que M(Rs) = M(Rs)'
¿Es a-simétrica? Si, ya que M(Rs)
A
¿Es antisimétrica? Si, ya que M(Rs)
M(Rs)' = N
A
M( Rs)' $ 1
..................................................................................................................
G uíA DIDÁCTIC A D E MATEMÁTICA DI SCRETA
PAG. l 06
............................................................................................Unidad..4 .
¿Es transitiva? No, pues no se cumple que M(Rs) • M(Rs)
M(Rs)
1 1 OO]
M(R6) ;
110 1
O O 1 O
[O
1 O 1
¿Es reflexiva? Si, ya que 1
M(R6)
¿Es a-reflexiva? No, pues no se cumple que 1 A M(R6) ; N
¿Es simétrica? Si, ya que M(R6) ; M(R6)'
¿Es a-simétrica? No, pues no se ·cumple M(R6)
A
M(R6)' ; N
¿Es antisimétrica? No, pues no se cumple que M(R6)
A
M(R6)'
¿Es transitiva? No, pues no se cumple que M(R6) • M(R6)
1
M(R6)
Ejercicio 13:
1) En IR la relación: xRy <=>lx -Y I ; 1
I 3 - 3 I ; O* 1
IR: I x - x l ; O '" 1
¿Es reflexiva? No, pues por ejemplo
¿Es a-reflexiva? Si, ya que V x e
¿Es simétrica' Si, ya que V x,y e IR: x R y
¿Es a-simétrica? No, por ejemplo 3 R 2
¿Es transitiva? No, por ejemplo 3 R 2
A
- y
I;
(x;x) fI' R
1
Iy
- xl; 1
YRX
2 R3
A
¿Es antisimétrica? No, por ejemplo 3 R 2
Ix
(3;3) fI' R
A
2R3
A
2 '" 3
2 R 1 pero (3;1) fI' R
2) En Z la relación: x R y <=> x ,; Y +2
¿Es refle xiva? Si, ya que V x e Z: x
x+2
x Rx
¿Es a-reflexiva? No, pu es por ejemplo 3 R 3
¿Es simétrica? No, por ejemplo 3 R 8 pero (8;3) fI' R
¿Es a-simétrica? No, por ejemplo 3 R 4
A
¿Es antisimétrica? No, por ejemplo 3 R 4
¿Es transitiva? No, por ejem plo 8 R 6
A
4 R3
A
4 R3
A
4
*3
6 R 4 pero (8;4) ¡; R
Ejercicio 14:
a R b <=> 3 I a - b <=> a - b ; 3 • k con k e Z
a) Demostración que R es de equivalencia:
Reflexiva:
VxeZ:x-X;O
3 1 x-x
GUíA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.l07
............................................................................................u .Iditd..4.
Simétrica:
\¡fx,yeZ:xRy => 31 x-y => x-y=3 o k A keZ
=> - ( x - y) = - 3 k => Y - x = 3 o ( - k)
A -k e Z => 3 1 y - x => Y R x
Transitiva:
\¡fx,
y ,z e Z: xRy AyRz =>3 1 x-y A 31 y-z
=>x-y=3ok A keZ
A y-z=3ot
A teZ
=> sumando miembro a miembro: x - y + y => x - z = 3 o (k + t) A
Z
= 3 ok
+ 3• t
k+t e Z => 3 1 x - z => x R z
b) Las clases de equivalencia son:
cl(O) = { x = 3
o
k / k e Z }
O sea que en la clase del cero están todos los múltiplos de 3, o bien los enteros que al dividir por 3
dan resto cero.
cI(l) = { x = 3
o
k
+ l/k
e Z }
O sea que en la clase del uno están todos los enteros que al dividir por 3 dan resto 1.
cI(2) = { x = 3
o
k
+
2 / k e Z }
O sea que en la clase del dos están todos los enteros que al dividir por 3 dan resto 2.
(!) ¿Nos quedó algún entero sin saber en qué clase está? No, pues al dividir un entero por 3, solo
hay tres restos posibles (0,1 y 2).
Por lo tanto, podemos escribir el conjunto cociente:
=
{cI(O), el(l), cI(2) }
Ejercicio 15:
a) Reflexiva:
\¡f
x e IR : x' - 4 x = x' - 4 x (por reflexividad de la igualdad) => x S x
Simétrica:
\¡f
x , Y E IR: x S y => x' - 4 x = y' - 4 Y => y' - 4 Y = x' - 4 x (por simetría de la igualdad) => y S x
Transitiva:
\¡f
x , y ,z e IR: x S y A Y S z => x' - 4 x = y' - 4 Y => y' - 4 Y
= z, - 4 z
=>
=> x' - 4 x = z, - 4 z (por transitividad de la igualdad) => x S z
b) Para graficar la relación vamos a tratar de simplificar un poco:
x' - 4 x = y' - 4 Y => x' - 4 x
+ 4 = y' - 4 Y + 4 => (x - 2 )' = (y - 2 )' =>
=>lx-2 1 = ly-21=>x-2=y-2 v
x-2=-y+2 => y=x v y=4-x
............................................. ..... ...........................•....................................
G U íA D IDÁCT IC A DE M ATEMÁTICA DI SC RETA
PAG.l 0 8
............................................................................................Unldad..4 .
La relación entonces nos queda: x S y <o> y = x v y = 4 - x
Son dos rectas:
y
x
c) Del gráfico se puede ver que todos los elementos se relacionan con dos (tienen dos imágenes)
excepto el 2 que tiene 1 sola, pues es justo la intersección de las dos rectas:
cI(2) = { 2 }
Por ejemp lo:
para los demás:
cl(l) = { 1, 3}
cI(x) = { x , 4 - x }
, cl(S) = { S , -1 }, etc.
En total hay infinitas clases, por eso el conjunto cociente debe darse por comprensión en vez de por
extensión.
(!) ¿Está bien escribir el conjunto cociente así:
IR / S = { cl(x) / x
NO!!!!! Pues se estaría nombrando dos veces a cada clase (a l decir x
IR }
E
E
IR, estamos nombrando por
ejemplo la clase del uno dos veces al decir cI(l) y cI(3) que es la misma)
(!) Entonces ... ¿qué hacemos? Debemos encontrar un conjunto de índices (subconjunto de A que
está formado por un representante de cada clase).
Se puede escribir así:
IR / S = { cI(x) / x
E (-
ro ; 2
1}
O bien, si de cada clase tomamos como representante al mayor:
IR / S = { cl(x) / x
E
[2,
+ ro) }
Ejercicio 18:
Para que haya 19 pares puede haber 2 celdas de 3
elementos y una celda unitaria.
Por ejemplo: cI(a) = {a, d, e }
cI(b) = { b , f, g }
cl(c)={c}
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG. l09
®
UTn.BR
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAl
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD S:
(Primera parte)
CONJUNTOS ORDENADOS
Autor: Ing. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
....................................................................................................................
CONJUNTOS ORDENADOS
En esta unidad estudiaremos otro tipo de relaciones que son importantes para nuestra carrera: las
relaciones de orden, que jerarquizan, según un atributo, a los elementos del conjunto donde están
definidas, son fundamentales para las bases de datos relacionales que estudiarás en otras asignaturas,
como por ejemplo Gestión de Datos.
Comencemos con las definiciones:
R : A -> A es de O RDEN si es
ANTlSIMETRICA )
TRANSITIVA
o
Ejemplo:
En el conjunto Z de números enteros, la relación x R y <o> x
y
es de orden, pues cumple las tres
propiedades mencionadas .
Las relaciones de ord e n también se denominan de orde n amplio.
Una relación R es de or den e st ricto si y sólo si es a-simétrica y transitiva.
o
Ejemplo:
En el conjunto Z de números enteros, la relación x R y <o> x
<
y es de orden estricto, pues cumple las
dos propiedades mencionadas.
Nosot ros est udia remos las de orde n amplio, o dir ecta m e nte ORDEN .
A las relaciones de orden se las suele representar por el símbolo
(se lee "precede", y justamente
significa "estar antes que").
Cuando en un conjunto hay definida una relación de orden, diremos que dicho conjunto está ordenado
y se denota: ( A;
).
GUíA DIDÁCTI CA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.l 1 1
....................................................................................................................
W
Ejercicio 1:
Sea A = { 1, 2, 3 } .Escribe el conjunto de Partes de A:
peA) = ............ .. ........................................ ............................... .................... .......................... .. ... .. ... ..... .
Considera la relación de inclusión en peA) y haz el dígrafo de la relación :
(!) ¿Es una relación de orden? .........
Como vemos el dígrafo de esta relación ha quedado un poco engorroso ya que tiene muchas aristas.
Por eso veremos a continuación otro forma de graficar las relaciones de orden :
DIAGRAMA DE HASSE :
Cuando se sabe que una relación es de orden, se puede usar un diagrama simplifica do que se
llama Diagrama de Hasse . En el mismo se suprimen los bucles (ya que se sabe que es
reflexiva) y las aristas transitivas . Es decir sólo se dibujan las aristas directas entre elementos
diferentes. También puede omitirse el sentido de las aristas si se los dibuja de abajo hacia arriba .
W
Ejercicio 2:
Haz el diagrama de Hasse del ejemplo anterior ( peA) ; s;; )
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTI CA DISC RETA
PAG . 11 2
................................................................................................................................................................................... .......
3:
Considera el conjunto N de los números naturales. Demuestra que la relación R es de orden, siendo: a
Rb
a
Ib
(ya conocemos esta relación: a I b
b = a • k con k
E
Z )
Reflexiva:
Antisimétrica:
Transitiva:
Si lo has demostrado, podemos decir que ( N ;
I ) está
ordenado
y también lo está cualquier subconjunto de N, es decir:
[ .
Si A
N, entonces ( A ;
I ) está ordenado.
l
4:
Considera el conjunto A = { x e N / x:5 10 } Y haz el diagrama de Hasse:
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.1 13
....................................................................................................................
W
Ejercicio 5:
Consideremos el conjunto 0 ,8 = { X E N Ix
l 18
}
Es el conjunto de los ............................................................. .................... ..
Por extensión:
0 ,8
= { ............... ................................................. }
y el diagrama de Hasse de ( 0 ,8 ;
I ) es:
En general :
si n E N, se define :
( On ;
On = {
X
EN
Ixl
n }
I ) es un conjunto ordenado .
Ahora veremos una nueva defin ición :
CO NJUNTO TOTALM ENTE ORD ENADO
Sea ( A,
) un conjunto ordenado. Diremos qu e A está totalmente ordenado si y sólo si:
v
Observaciones :
a) Tota lmente ordenado lo abreviamos tto.
b) El Hasse de un conjunto tto. es una cadena.
c) También se dice Orden Total u Orden Lineal.
d) Si hay elementos que no cumpl en con la definición de tto. se dicen incomparables y se los indica
con el símbolo
11.
Ejemplo:
( 0 ,8 ;
I ) NO es orden total.
Hay elementos que son incomparables:
2//3
11 6
9 112
9
GUiA DI DÁCTICA DE M ATEMÁTI CA D ISC RETA
18
Este conjunto es
9
6
3
2
1
orden total :
e
I
I
b
a
PAG. 114
.............................................................................................................................
ORDEN RECíPROCO
Sea ( A;
<. ) un
conjunto ordenado. Sea R : A --> A / x R y
y
<.
La relación R no es más que la relación inversa o recíproca de
orden que se la llama Orden Recíproco y se la denota con
o
x
<..
Es también una relación de
<. -'.
Ejemplos:
.:. El orden recíproco de ( IR; ::;) es ( IR;
.:. El orden recíproco de ( N;
I )
es ( N ; "es múltiplo de" )
.:. Dado el siguiente diagrama
La relación de orden inverso es:
de Hasse:
a
b
c/\/
d
e
f
V
9
h
W
Ejercicio 6:
Demuestra que
<. -,
es de orden:
1. Reflexiva:
2. Antisimétrica:
3. Transitiva:
.............................................................................................................................................
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.1 15
.......................................................................................................... .........................................
ORDEN USUAL DEL PRODUCTO
Sean ( A ;
1) Y ( B ;
2) dos conjuntos ordenados. Sea AXB el producto cartesiano.
Se define en AXB la siguiente rela ción:
(x;y) R (z;t) e>
x
z
1\
y
t
7:
Demuestra que la relación R es de orden (se llama Orden Usual del Producto)
1. Reflexiva:
2. Antisimétrica:
3. Transitiva:
8:
Considera A = { O , 1}
Y
B = { a, b, c}
con
con la relación :
<,
= { (0;0), (0;1), (1;1) }
= { (a;a), (a;b), (a;c), (b;b) , (b;c), (c;c) }
Halla AXB y dibuja el Hasse del Orden del producto
.............................................................................................................................................. '"
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.116
....................................................................................................................
ELEMENTOS NOTABLES de un conjunto ord enado :
Sea (A; ..:.) un conjunto ordenado:
(
m
E
A es maximal de A <o> '<Ix
E
A : m ..:. x
x = m
J
Un elemento es maximal si .......................... .. ... ........................ . ........ ............ .............. ..
Si el maximal es único, se lo llama MÁXIMO O ÚLTIMO ELEMENTO .
(
m
E
A es minimal de A <o> '<Ix
E
A : x ,,; m
x = m
)
Un elemento es mini mal si .......................................................................................... ..
Si el minimal es único, se lo llama MÍNIMO O PRIMER ELEMENTO.
o
Ejemplos:
En ( D18;
I ),
el único minimal es el 1,
En este conjunto ordenado, los minimales
o sea es primer elemento. Y el único maximal
son: ayb
es el 18, o sea es el último elemento.
y los maximales:
c, e y h
18
9
6
3
2
1
W
Ejercicio 9: Halla los maximales y minimales del siguiente conjunto ordenado:
Maxima/es: ................... .................. .
Minima/es: ......... .................. .......... .
GurA DIDÁCTIC A DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG. 117
• o • • • • o • • • o. o • • • • • • • • • • • • o • • o. o • • o • • • • • • • • • • • •
O ••
o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • o. o • • • •
(!) ¿Qué es un átomo?
Sea (A, .¡( ) un conjunto ordenado con primer elemento p.
m e A es átomo de A
'Ix e A : (
X .¡(
m =:> x=m v x=p )
1\
m
*p
Los átomos son los elementos que "siguen inmediatamente" al primer elemento.
o
8
Ejemplo:
Consideremos el conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ]
10
I
4
con la relación \\ divide",
Sabemos que el primer elemento es el 1. Entonces los
ATOMOS
átomos son: 2,3,5 Y 7.
PRIMER ELEt.lENT o
6
9
P
1
Justamente dichos números son PRIMOS, no se pueden divid ir en forma exacta por otros naturales
excepto si mismos y 1. De ahí el nombre de ATOMOS ( a : sin, tomo: división ), o sea indivisibles.
CONJUNTO BIEN ORDENADO
Sea (A, .¡() un conjunto ordenado. Se dice que A está Bien Ordenado ( o que .¡( es Buen Orden)
si y sólo si todo subconjunto de A tiene primer elemento.
o
Ejemplo:
Consideremos nuevamente el conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lO} con la relación" divide".
8
6
9
3
7
1/
j/
Este conjunto ordenado NO es un buen orden porque por ejemplo
el subconjunyo { 5, 2, 10, 4 } no tiene primer elemento.
1
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTI CA D ISCRETA
PAG.1 1 8
....................................................................................................................
o
Otro ejemplo:
El mismo conjunto anterior A; { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lO} pero ahora ordenado según la relación!>
, es BUEN ORDEN .
En este caso vemos que es buen orden y es una cadena. ¿Pero será suficiente?
W
Ejercicio 10:
\
I
9)...)".J
Piensa y responde:
w
1) ¿Puede haber elementos incomparables en un Buen Orden? ¿Por qué?
2) ¿Es lo mi smo Buen Orden que Orden Total?
Re lación entre Bu e n O rde n y Or den Total :
Si ( A;
) es Buen Orden => ( A;
) es orden total
Demostración:
V x, y
E
A : {x, y } tiene un primer elemento ya que por hipótesis el conjunto es buen orden.
Dicho primer elemento puede ser x o y, uno de ellos. Consideremos las dos opciones :
Si el primer elemento es x :
disyunción (x
y
v y
Si el primer elemento es y :
x
y
con lo cual se cumple la definición de orden total porque es una
x )
y
x
con lo cual también se cumple la defin ición de orden total.
Por lo tanto queda demostrado que todo conjunto que sea Buen Orden, es también Ord en Total.
GUíA D IDÁCTICA D E MATE MÁT ICA DISCR ETA
PAG. 119
........................................•...........................................•..............•............. ...
COTAS SUPERIORES E IN FERIORES
Sea (A; ""') un conjunto ordenado y 0
s
E
i
* S s;; A
A es cota superior de S
'Ix
A es cota inferior de S
'Ix
E
S : x "'" s
E
E
S : i "'" x
A tener en cuenta:
•
Las cotas superiores de un subconjunto son todos los elementos que están después (según el
orden) de TODOS los del subconjunto.
•
Las cotas inferiores de un subconjunto son todos los elementos que están antes (según el
orden) de TODOS los del subconjunto .
Otras definiciones:
.:.
El conjunto de cotas superiores se llama Conjunto mayorante .
•:. El conjunto de cotas inferiores se llama Conjunto minorante .
•:. La "menor" (según el orden) de las cotas superiores, recibe el nombre de supremo. El
supremo es el primer elemento del conjunto mayorante .
•:. La "mayor" (según el orden) de las cotas inferiores, recibe el nombre de ínfimo. El ínfimo
es el último elemento del conjunto minorante .
•:. Si el supremo pertenece a S, se llama Máximo de S.
•:. Si el ínfimo pertenece a S, se llama Mínimo de B.
o
Ejemplo:
Si consideramos el conjunto ordenado ( N ;
Las cotas inferiores de B son: M
=
1)
y el subconjunto B = { 8, 12, 16, 24, 48 }
{1, 2, 4 } ya que son todos los elementos que dividen a todos los
de B, M es el conjunto minorante.
Como su último elemento es 4, entonces 4 es el ínfimo. Pero como 4 " B, entonces B no tiene mínimo.
Las cotas superiores de B son: S
={ X
E
N/ x
= 48
• k con k
E
Z } ya que son todos los naturales a
los que dividen todos los elementos de B, S es el conjunto mayorante.
Como su primer elemento es 48, entonces 48 es el supremo. Y además, como 48
E
S, también 48 es
máximo de B .
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
GUíA D IDÁCTICA D E M ATE MÁTICA D ISCRETA
PAG . 120
·...................................................................................................................
A continuación te proponemos 4 ejercicios diferentes para practicar las últimas definiciones :
W
Ejercicio 11:
Sea el conjunto A = { a, b, c, d, e, f, g, h , i } ordenado de la siguiente forma:
a
c
• h
---»"--'i
a) Indica el conjunto mayorante y el conjunto minorante de B = { d, e, h }
b) Indica supremo e ínfimo de B. ¿Son máximo y mínimo?
c) ¿Está A bien ordenado? Si no lo está, encuentra un subconjunto de A que esté bien ordenado.
W
Ejercicio 12:
Sea ( A = { a, b, c, d, e, f, g, h } , .¡: ) un conjunto ordenado. Halla B ¡;; A tal que B sea un buen orden
con la mayor cantidad de elementos sabiendo que:
los mini males de A son c, d Y h
);o
los maxi males de A son e y g
el supremo entre c y d es a
las cotas superiores de { h , a } son f y e
W
Ejercicio 13:
Halla elementos particulares (cotas superiores e inferiores, supremo, ínfimo, máximo y mínimo) del
subconjunto A de los números reales, ordenado por la relación "menor o igual":
A
W
3n
= {xl x = --conn
e N}
n+l
Ejercicio 14:
Dada la relación definida en NXN: (a;b) R (c;d)
a ,; c y b'ld
Halle el conjunto mayorante y el minorante de X = {(3,3),(4,6),(5,6),(5,9),(12,6),(15,9)}
Indique supremo e ínfimo, y si existen máximo y m ínimo.
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG. 121
....................................................................................................................
RESPUESTAS DE LOS EJERCICI OS PROPUESTOS :
Ejercicio 1:
peA)
={0
, {l}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A }
El dígrafo de ( peA) ; s;; ) es:
¿
Ejercicio 2:
o bien sin flechas:
El diagrama de Hasse de ( peA) ; s;; ) es :
o
{l}
{1,2}
(2}
{1,3}
{3}
{2,3}
{1,2,3}
{16(lXJ,3}
{1,2,3}
{l}
{ 2}
{3}
o
Ejercicio 3:
En N; a R b e> a
Ib
e> b = a • k con k
E
Z
Demostraremos las tres propiedades:
1) Reflexiva:
\f
a
Il) Antisimétrica:
E
N: a
\f
a, b
b = (b • q) • k
a = b
I1I) Transitiva:
C
=a •
E
I
a a
1
N: a R b
1\
:. R es reflexiva
a Ra
b Ra
b = b • (q • k)
I
a b
1\
I
b a
b = a • k
1\
a = b • q con k,q
q • k = 1 ( esto en N solo pasa si k=l
A
E
Z
q=l)
: . Res antisimétrica
\f
a,b,c
= (a • k) • q
E
N: a R b
A
b Rc
al b
c = a • (k • q) con k • q
b Ic
A
E
Z
b = a • k
I
a c
A C
= b • q con k,q
E
Z
aRc
:. R es transitiva
y por cumplir las tres propiedades, R es de orden
..................................................................................................................
GUiA DIDÁCTICA DE MAT EM ÁTICA DISC RETA
PAG. 122
....................................................................................................................
Ejercicio 4:
8
I ) es:
El diagrama de Hasse de ( A = { X E N / x;5; lO};
1
10
6
9
1
Ejercicio 5:
El conjunto D,. = {
X E
I 18 } es el conjunto de los divisores positivos de 18.
N/ x
D,. = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
Por extensión:
18
y el diagrama de Hasse de ( D,. ; I ) es :
9
6
3
2
1
Ejercicio 6:
Para demostrar que =< ., es de orden, debemos probar las tres propiedades:
Reflexiva: V x
E
A: (x;x)
(X,X)
=:)DEF INVERSA
Antisimétrica: V
X,
Transitiva: 'r:I x, y,
=:)
YE A :
A :
Z E
y
Z
=< (esto es por hipótesis ya que =< es de orden)
E
A
E
-1
x
-1
-1
X
Y
X
Y
Y
Y
A
A
Y
- 1 X =:) OEF INVERSA
- 1 Z => OEF INVERSA
=>HIPOTESIS z
Y
Y
x=> OEF INVERSA
X A
X
X
A
Y
X
Z
=:)HIPOTESIS
y
=x
y
-1 Z
Ejercicio 7:
En AXB:
(x;y) R (z;t)
x =<, Z
y=<, t
1\
Para demostrar que R es de orden, debemos probar las tres propiedades:
Reflexiva: V (x ;y)
AXB: x
E
A
Antisimétrica : V (x ;y), (z;t)
E
AXB: (x;y) R (z;t)
E
1\
Y
E
B
X
=<, x
1\
1\
Y =<, y
(z;t) R (x;y)
(x ""z
1\
y =<>t )I\(z =<,x
1\
t
(x "" z
1\
Z =<,x )I\(Y =< >t
1\
t
x = Z
1\
Y =t
Transitiva: V (x;y), (z;t), (a;b)
(x;y) = (z;t)
E
AXB: (x;y) R (z;t)
1\
(z;t) R (a;b)
(x ", 'Z
1\
y =< >t )I\(z "" a
1\
t
( x "'l Z
1\
Z "' la )I\(Y =<>t
1\
t
x =< a
y '" b
1\
(x;y) R (x;y)
(x;y) R (a;b)
GuíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.123
• • o •••• o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Ejercicio 8:
Hallemos AXB y dibujemos el Diagrama de Hasse del Orden del producto
AXB
= { (O;a),
(O;b), (O;c), (l;a), (l;b), (l;c) }
Para construir el orden de AXB, debemos tener en cuenta la relación R.
Por ejemplo, si queremos saber si el par (O;a) se relaciona con el (l;a), debemos ver si se cumple: O
1
A
a
a .Como ambas son verdaderas, entonces (O;a) R (l;a).
En cambio (O;b) no se relaciona con (l;a) y tampoco (l;a) con (O;b), por lo tanto son incomparables.
Siguiendo este mismo procedimiento
se llega al diagrama:
(l;c)
(O;c)
(l;b)
(O;b)
Ejercicio 9:
;a)
(O;a)
Los minimales son m, g, x. Los maximales son k, o, w, v.
B ------..
MAXIMALES
MINIMALES
\.V
Ejercicio 10:
1) No, pues si a y b son incomparables, {a, b} no tiene primer elemento
2) No es lo mismo Buen Orden que Orden Total. Por ejemplo el conjunto ordenado (Z
Orden Total y sin embargo no es Buen Orden.
Ejercicio 11:
Las cotas inferiores son {a, b, d} , el ínfimo es d y también es mínimo de B.
Las cotas superiores son {g, i} , el supremo es g pero no es máximo de B.
b
B
CONJUNTO
MINORANTE
CONJU NTO
MAYORANTE
INFIMO
UPREMO
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
GuíA DIDÁCTIC A DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.124
es
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••••••••••••••• o •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Ejercicio 12:
Una posibilidad es:
El subconjunto bien ordenado puede ser: { c, a, f, e }
Ejercicio 13:
3
A= { 2",2,
Un¡
9
12
5
4 '"5'
3n
2 ,'"
} = {1.5 , 2 , 2.25 , 2.4 , 2.5 "
•• }
=3
••
1
1.5
2
El conjunto minorante es: ( -
..
2.5
00 ;
El conjunto mayorante es: [ 3;
+
3.5
3
1.5] , ínfimo: 1.5, mínimo de A: 1.5
00 )
,
supremo: 3, no hay máximo de A
Ejercicio 14:
\/
(15;18)
El conjunto minorante de X es:
{(1;1), (1;3), (2;3), (2;1), (3;1), (3;3)}
(1 2 ;6)
I
Ínfimo de X es: (3;3)
(5;6)
Mínimo de X: (3;3)
I
(4;6)
El conjunto mayorante de X es:
{ (x;y)
E
NXN / x;;" 15 /\ Y = 18 • k con k
E
Z }
( 15;9)
I
(5;9)
1/
3;3)
Supremo de X: (15; 18)
X no tiene máximo.
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.125
®
UTn. BJ:l
UNIVERSIDAD TECNOLóGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL BUENOS AIRES
Ingeniería en Sistemas de Información
,
MATEMATICA DISCRETA
UNIDAD 5 (segunda parte):
REDES ORDENADAS Y ALGEBRAICAS
ALGEBRAS DE BOOLE
FUNCIONES BOOLEANAS
F
-. ,
Autor: lng. María Alicia Piñeiro
Año: 2019
....................................................................................................................................................................................................
REDES
Definiremos unas nuevas estructuras a partir de un conjunto ordenado:
Sea (A ; "' ) un conjunto ordenado.
Se dice que (A ; "' ) es Super ior Semirretículo si y sólo si: V a,b
E
A: 3 supremo(a,b)
O sea, entre todo par de elementos debe existir el supremo (mínima cota superior)
Se dice que (A ; "' ) es I nferio r Se mirretículo si y sólo si: V a,b
E
A : 3 ínfimo(a,b)
O sea, entre todo par de elementos debe existir el ínfimo (máxima cota inferior)
(f) ¿Qué es un Retículo, Red, Reticulado, Lattice o Latis?
Veamos la defin ición :
Sea (A ; "') un conjunto ordenado. Se dice que es Retículo (Red, Reticulado, Lattice o
Latis) si y sólo si es a la vez Superior Semirretículo e Inferior Sernirretículo.
O sea, entre todo par de elementos debe existir el SUPREMO y el INFIMO.
Notación:
Al supremo entre a y b lo vamos a denotar: sup{a,b} = a v b
Al ínfimo entre a y b lo vamos a denotar: inf{a,b}
=
a 1\ b
Antes de ver algunos ejemplos, para ahorrarnos de analizar algunos casos, veamos la siguiente
propiedad:
[
Si a '" b
=>
av b = b
Y
O sea que SIEMPRE existen el supremo y el ínfimo entre elementos que están
relacionados. Para saber si un conjunto ordenado es red , solamente hay que
fijarse en los que son INCOMPARABLES .
................•••..••...•..........................••. •..•.••••••••••.•••••••••••.•..••••...............•••••.••
GUíA DI DÁCTICA DE MATEMÁTICA D ISCRETA
PAG. 127
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o •••••• "
WEjerciciO 1:
1 ) (D I2,
•••••••••••• o ••• o ••••••••••••••••••••••
Analiza si los siguientes conjuntos ordenados son Redes:
I)
¿Es red? ....... ¿Por qué? ..... .. ... ..... .... ...... ... ................................................................. .
2 ) ( A , R) siendo A; { serpiente, pollito, canario, gato, león, hormiga, araña}
y la relación R: "tiene menos patas que o es el mismo animal que"
¿Es red? ....... ¿Por qué? .......................... .. ............................ .. ................................... .
3 ) (P({a,b}),
¿Es red? ....... ¿Por qué? ............................................................................................ ..
4) ( B , R) siendo B ; { Laura, Karina, Juan, Sebastián, Ariel }
y la relación R: "sacó mayor nota que" U óB
Alumno
Nota
Laura
7
Karina
9
siendo las notas las siguientes:
Juan
.. 8
Sebastián
7
Ariel
10
¿Es red? ....... ¿Por qué? ............................................................................................. .
..•••••••..••••.......••.•••....•..••.••.................................••••••••••••...........••..•.•.•..•......
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.128
....................................................................................................................
\
I
Para pensar:
Si un conjunto ordenado tiene más de un maximal o más de un mini mal, ¿puede ser una Red?
SI/NO pues ... .. ....................... .. ............ .. .... ...... ... ... ... .. .......... .... ..... ..... .... ... .. .. ......... . .
Si un conjunto ordenado tiene un sól o ma ximal y un sólo mini mal , ¿seguro es una Red?
SI / NO pues ..... ... .. .......... ...... .. ... .... .. ....... .. ... ...... .. .... ........ .... .. .. .. ........ .. .... ....... ......... .. .
Se puede decir entonces, que el hecho de tener ún ico maximal y único mini mal es una condición
N ECES ARIA pero no SUFI CIENTE para ser Red .
Es por ello que para justificar que un conjunto ordenado es red, no alcanza con decir que lo es por
tener primer y último elemento aunque sea cierto que es red. Debe justificarse bien.
Acá vemos dos conjuntos ordenados que tienen primer y último elemento y solo uno de ellos es red :
Este conjunto ordenado NO es red.
Este si es red:
Veremos a continuación un ejercicio que nos va a servir para poder introducir mejor el concepto de
Red Algebra ica :
W
Ejercicio 2:
Sea el conjunto A= { a, b, c, d, e, f } ordenado según
f
muestra el siguiente diagrama e Hasse :
a
Se pide:
2.1) Verifica que sea una RED. Justifica correctamente .
............••...•.•.................................. .••.•.•..••••••.••••••••••••.•.••••.........••••••..........
GU íA D IDÁCTICA DE MAT EMÁTI CA D ISCRETA
PA G. 129
e ••••••••••• e ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• e •••••• ••••••••••• •••••••••••••••• •••••••••••••••• ••••
2.2) Construye las dos tablas correspondientes a las operaciones: v (supremo) e
v
a
b
e
d
e
f
a
A
a
a
b
b
e
e
d
d
e
e
f
f
e
b
e
d
A
(ínfimo)
f
2.3) Observa las tablas y responde:
* es cerrada en A
¿Son cerradas? (Una operación
•
¿Son conmutativas? (Una operación
* es conmutativa
V x, Y
E
•
¿Son idempotentes? (Una operación
* es idempotente
Vx
A: x
Sabiendo que: e
E
A es neutro de
*
V
•
¿Cuál es el elemento neutro de v ?
•
¿Cuál es el elemento neutro de
Sabiendo que:
Z E
A
X E
A: x
V x, Y E A: x
*y
•
*e = x
A
e
E
A: x
E
A )
*y = y *x )
*x = x)
*x = x
?
A es absorbente de
*
V
•
¿Cuá l es el elemento absorbente de v
J
•
¿Cuál es el elemento absorbente de
?
A
X E
A: x
*
Z = Z A
Z
*
X = Z
Podemos generalizar lo que observamos en el ejemplo anterior, mediante la siguiente propiedad:
..................................................................................................................
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DI SCRETA
PAG. 130
............................................................................................................................................................ . .............................
Propieda d :
Sea ( A ; < ) una red. Las operaciones VeA cumplen:
1) VeA son operaciones cerradas
'IX,yeA: (xvyeA) , (XAy e A)
2)
Vx,y,zeA: xv(yvz) = (xvy)vz
VeA
son asociativas
V x, y, Z E A: XA(YAZ) = (XAy)AZ
3) VeA son conmutativas
'1 x, y e A: xvy= yv x
'Ix,yeA: XAy= yAX
4) VeA son idempotentes
'1 x e A: XvX= x
'1 x e A: XAX=X
5) VeA cumplen con absorción.
'1 x, y e A: XV(XAY)=X
'1 x, y e A: XA(XVY)=x
Recordemos que:
o
[
a < b <o> a v b = b <o> a A b = a )
Ejercicio RESUELTO:
Demostrar que:
a < b Y c < d => a A c < b A d
yavc<bvd
Dem)
Primero probaremos la primera:
Por hipótesis, a < b Y c < d => a A b = a
y
CAd = c => a A c = ( a A b ) A ( CAd)
Conmutando y asociando => a A c = ( a A c ) A ( b A d) => a A c < b A d
Ahora probaremos la otra:
Por hipótesis, a ",; b Y c < d => a v b = b
Y c v d = d => b v d = ( a v b ) v ( C vd)
Conmutando y asociando => b v d = ( a v c ) v ( b vd) => a v C ",; b v d
...................................................................••.•••................ •••••••..................
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.131
....................................................................................................................
Ahora veremos otra definición de Red, desde el punto de vista algebraico:
RED ALGEBRAICA
Sea un cqnjunto A
#
0 , y dos operaciones binarias definidas en A:
* y *' .
* ; *' )es una RED ALGEBRAICA si y solo si las dos operaciones son:
Cerradas: "1 x, y E A: x * y E A, x *' E A
Asociativas: "1 x,y,Z E A : ( x * y) * Z = x * ( y * Z ) , ( x *' y) *' Z = x *' ( y *' Z )
Conmutativas : "1 X,y E A : x * y = y * x , x *' y = y *' x
Idempotentes: "1 x E A: x * x = x , x *' x = x
y cumplen con absorción : "1 X,y E A: ( x * y) *' x = x , ( x *' y) * x = x
Se dice que ( A;
•
•
•
•
•
o
Ejemplos de Redes Algebraicas:
1) Sea A = { 1, 2} entonces ( peA) ; v
; r. ) es red algebraica.
2) (D12, m.c.d., m.c.m.) es red algebraica
3) (A,
*" *2)
*1
a
b
c
d
e
es red algebraica siendo A = {a, b, c, d, e} y las siguientes operaciones:
a
a
b
c
d
e
b
b
b
d
d
e
c
c
d
c
d
e
d
d
d
d
d
e
e
e
e
e
e
e
*2a
b
c
d
e
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
b
c
a
a
c
c
c
d
a
b
c
d
d
e
a
b
c
d
e
En una tabla se comprueba que la operación es cerrada si todos los elementos pertenecen al
conjunto, la propiedad conmutativa se verifica si la tabla es simétrica respecto de su diagonal
principal, la idempotencia se comprueba viendo que en la diagonal figura cada elemento .
Si tenemos en cuenta la propiedad enunciada en la página anterior (puntos del 1 al 5), vemos que
son las propiedades que requiere la definición de Red Algebraica, y las cumple cualquier conjunto
ordenado que es Red.
O sea:
Todo conjunto ordenado que sea RED, con las operaciones supremo e ínfimo también es una
RED ALGEBRAICA .
••.••••....•......................... ........ ...........•••...............••••• ••••••••••• •.....• ••••••...........
GU íA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DI SCRET A
PAG. 132
·...................................................................................................................
3:
Dada la Red Ordenada (D6;
1)
indica dos operaciones que la estructuren en Red Algebraica.
Propiedad:
Sea una red algebraica ( A ; v ; A). La relación R definida en A tal que a R b
av b = b
es una relación de orden.
Dem)
1. Reflexiva:
V x
E
A: sabemos que x v x = x por la idempotencia
x Rx
2. Antisimétrica:
V x, y
E
A: si x R y
e y Rx
x v y = y (1) e
y v x = x (2)
por ser la operación v conmutativa: x v y = x (2) pero
x v y = y (1)
x = y
3. Transitiva:
V x, y,
Z E
Operando
A: si x R y e y R Z
Z
x v y = y (1) e
en ambos miembros de (1):
Por asociativa: x v ( y v
Z )
= yv
Z
(x v y) v
y v
Z
=
Z
= yv
Z
Z
por (2): x v z =
Z
(2)
x Rz
Por haber cumplido las tres propiedades, queda demostrado que R es relación de orden.
También es de orden la relación R definida: a R b
aAb = a
(intenta demostrarlo)
En realidad es la misma propiedad anterior ya que sabemos que son equivalentes:
........•...............................................•••••.••...••...••••••••••••••••••••••.••••••••••.........
GUiA DIDÁCT ICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.133
·...................................................................................................................
Propiedad:
En la relación R definida anteriormente se cumple: supremo(a,b) = a v b
ínfimo(a,b) = a
A
b
Dem)
Probaremos que el supremo entre a y b es s = a v b. Para ello recordemos que el supremo es la
primera de las cotas superiores. Por lo tanto primero probaremos que s es cota superior de {a, b}.
Calculemos:
av s
=a v
( a v b) => Por asociativa: a v s
=> Por idempotencia: a v s
Calculemos:
=a v
b
=> a v s
=s
=> a
= ( a va) v
b
s
b v s = b v ( a v b) => Por conmutativa: b v s = ( a v b ) v b
Por asociativa: b v s = a v (b v b )
=> Por idempotencia: b v s = a v b => b v s = s => b
s
Hasta aquí hemos demostrado que s es cota superior de {a,b}. ·Nos resta probar que es la primera
de todas las cotas superiores. Para ello supongamos que m sea cualquier otra cota superior de {a,b}
Por definición debe cumplir: a
m y b
Luego operando miembro a miembro:
m => a v m = m
y
bv m = m
( av m )v ( bv m ) = mv m
Conmutando y asociando en el primero: (a v b ) v ( m v m ) = m v m
Por idempotencia:
(a v b ) v m = m
=> a v b
m =>
s
m
Queda demostrado que s es la primera de las cotas superiores, o sea el supremo.
Te proponemos que en forma similar, demuestres que i
W
=a A
b es el ínfimo de {a, b}
Ejercicio 4:
Dada (P({a,b,c}); u; n) halla una relación de orden de forma tal que sea Red Ordenada .
......••••....................................•.....•.••••.•..••..•••••••••••..•..••......••••••• •••..............
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.134
....................................................................................................................
RESUMIENDO :
Por lo demostrado anteriormente, hemos visto que una misma RED puede venir dada de dos formas
distintas pero equivalentes:
Red Algebraica
Red Ordenada
(A
(A ; v ; /\ )
Para pasar de
Conozco
a
Debo obtener
Las operaciones binarias VeA :
Red Ordenada
La relación de
Red Algebraica
a v b = supremo(a,b)
orden
a A b = ínfimo(a,b)
La relación de orden
Red Algebraica
Red Ordenada
Las operaciones
binarias VeA
Nota: como hemos visto toda red ordenada es algebraica y viceversa, por eso, directamente
las llamaremos REDES .
A continuación, veremos unos conceptos para clasificar las redes :
CO MP LE M ENTO DE UN ELEMENTO
Sea (A ;
Sea a
E
una Red con primer elemento DA y último elemento lA.
a ) a todo
a v a = lA
A. Se define complemento de a ( y se indica
siguientes condiciones:
1)
aA
a = DA
y
2)
elemento que cumpla las
./
W
Ejercicio 5:
Calcula los complementos de cada elemento de las siguientes redes:
a) (P({1,2}) ;
b)
( A ={ 1,2,3,S,30};
G UíA DIDÁCTICA D E MATEMÁTICA DISCRETA
1)
c)
( {1,2,3,4} ;
)
PAG.135
w ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• w •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Por lo visto anteriormente podemos decir:
En una red, cada elemento puede tener un único complemento, más de uno o ninguno.
(!) ¿Qué es una Red Complementada?
Una Red es Complementada si y sólo si cada elemento tiene al menos un complemento.
La red (A;
W
) es COMPLEMENTADA
Ejercicio 6:
'ti x
E
A :3
a
E
A/ av
a=
l A
Y a
A
a=
DA
¿Cuáles de las tres redes anteriores son complementadas?
b)
a) (P({1,2}) ;
( A ={ 1,2,3,S,30} ;
1)
e)
( {1,2,3,4} ; ;, )
Veremos otra propiedad que pueden o no tener las redes :
DISTRI BUTIVIDAD
Sea ( A ; v ;
A )
una Red, diremos que la Red es distributiva si y sólo si:
'ti a, b, e
E
A :av ( b
'ti a, b, e
E
A :a
o
A (
A
e) = ( av b )
b ve) = ( a
A
A (
a ve)
b)v ( a
A
e)
Ejemplos:
1) La Red (P({a,b,c}); u;,...) es distributiva ya que u e,... distribuyen mutuamente (¿Recuerdas
que lo demostramos en la unidad de Conjuntos?
2) La red ( A ;
2v ( 3
A
) dada por el diagrama NO es distributiva ya que:
S) = 2 v 1 = 2
pero
(2 v 3 )
A (
2v S) = 7
A
S= S
Propiedad: En toda red distributiva, el complemento, si existe, es único.
Esto significa que si existe un elemento con más de un complemento, la Red no será distributiva .
••....•.•••••.......................•••.•.••................••••......•••.••.••••.•...••••.......••.•...•.........
GUíA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.136
·.................................................................................................................. .
Dem) Supongamos que un elemento a posee dos complementos by c. Lo que escribimos:
avb=l
a Ab=O
avc=l
aAc = O
Sabemos que: b = b A 1 = b A (a v c) = (b A a) v (b A c) = O v (b A c) = (a A c) v (b AC)
= (avb)Ac= lAc=c
o
Ejemplo:
¿Recuerdas la red ( { 1,2,3,S,30} ; I )? Tiene elementos con dos complementos.
De acuerdo a esta propiedad, podemos afirmar que no es distributiva
Propiedad:
Toda red finita es distributiva (:>
no contiene ninguna subred isomorfa a alguna de
las siguientes:
Nota: un subconjunto de una Red, se puede considerar SUBRED, si es red en sí m isma y además
mantiene los mismos supremos e ínfimos.
o
Ejemplo:
Consideremos las. redes dadas por los diagramas de Hasse:
Red 2:
De acuerdo a la propiedad, podemos afirmar que ninguna es distributiva, ya que la Red 1
contiene subred no distributiva de la primera forma ( tomando por ejemplo {a,b,c,d,e} )
La Red 2 contiene subred no distributiva de la segunda forma (tomando por ejemplo el
subconjunto { a,b,d,f,g } )
....•••........••.•.........................................•••••.•••...•..••••••••••••••••.................•.....
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.137
....................................................................................................................
\
I
,--
r:.;t
Para pensar:
Si consideramos la red ( D,.;
I ) y observamos su diagrama de Hasse :
Podemos pensar que si suprimimos el 3, nos queda una subred isomorfa a la
segunda de las redes no distributivas, con lo cual nos quedaría que esta red no
es distributiva. Pero sabemos que esta red algebraicamente se estructura con
las operaciones m.c.m. y m .c.d. y ellas son distributivas mutuamente.
(!) ¿Dónde está el error?
I ) es subred, pues NO lo es!!!
Ya que el ínfimo entre 6 y 9 cambia ( en ( DI.; I ) es 3, y en ( D,. En creer que ( D,. - {3};
{3};
I ) es 1 ).
DUALIDAD
Como hemos visto, en la definición de Red Algebraica, como así también en las definiciones de
complemento y distributividad, las mismas propiedades que se cumplen para la v se deben cumplir
para la ".
(!) ¿Qué es el Principio de Dualidad?
Este principio establece que si una propiedad es válida en una Red, entonces su expresión DUAL
también lo es. La expresión DUAL es la que se obtiene intercambiando las operaciones entre si y el
primer elemento DA con el último elemento lA.
Mira lo útil de este principio: Nos ahorramos la mitad de las demostraciones!
o
Ejemplos:
Dada la siguiente propiedad:
Su DUAL es:
a " DA = DA
Dada la siguien te propiedad:
Su DUAL es:
a" b =
av
av b = a
ti
"ti
(es una de De Morgan)
( es la otra ley de De Morgan)
........••..............•.••.•.•.••••.•••••..•••••••••••..••••••••.......•.••••••••••••••••.......................
GUíA DIDÁCT ICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.138
....................................................................................................................
ALGEBRAS DE BOOLE
Vamos a definir una estructura siguiendo el concepto de Red que venimos estudiando:
Definición 1: Un Algebra de Boole es una Red distributiva y complementada .
Sin embargo, existe .otra forma de definir la misma estructura:
Definición 2: Sea ( S ; v ; A ) , diremos que es Algebra de Boole si y sólo si:
1) VeA son Operaciones binarias cerradas en S
2) VeA son conmutativas
3) VeA son distributivas entre sí
4) VeA tienen elementos neutros O. y l . respectivamente
5) todos los elementos de S tienen complementos.
Ambas definiciones son equivalentes, es decir si se cumple una se cumple la otra y si no se cumple
una, tampoco la otra.
W
Ejercicio 7:
Analizar si las siguientes redes son Algebras de Soole.
1) ( {0,1} ;
2) (DI5;
3) (D50;
+ ; • ) siendo las operaciones + y. la suma y producto lógico.
I)
I)
4) (P(A); u ; () )
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.139
....................................................................................................................
Las siguientes son dos propiedades que nos van a ayudar a saber directamente si algunas redes son
Algebras de Boole:
Propiedades:
1) (Do,
I)
es Algebra de Boole "" n es producto de primos distintos.
2) El cardinal de toda Algebra de Boole es potencia de 2.
8:
En base a las propiedades anteriores, establece si las siguientes son Algebras de Boole:
1)
1)
•
(D18;
•
(D42;
•
({ 0, {a}, {b}, {c}, {a,b,c} } ;
PRO P I EDADES QUE SE CUMPLEN EN TODA ALGEBRA DE BO OLE:
En toda Algebra de Boole (B ; v ; /\ ) se cumple:
1) Los elementos 08 y 18 son únicos.
2) Todo elemento tiene único complemento
3) Todo elemento es idempotente: Va E B : a v a = a y a /\ a = a
4) Los elementos neutros se complementan mutuamente: 18 = 08 Y
5) Todo elemento es involutivo: Va E B:
08 = 18
a = a
6) El elemento neutro para /\ es el 18 y es absorbente para v:
Va E B: a /\ 18 = a (neutro)
Va E B:
a v 18 = 18
(absorbente)
7) El elemento neutro para v es el 08 y es absorbente para /\:
Va E B: a v 08 = a (neutro)
8) Se cumple la absorción: Va,bEB:
Va E B:
av(a/\b)=a
9) Se cumple la propiedad asociativa de v e /\:
10)Leyes de De Morgan:
a /\ 08 = 08
Va, b E B:
av b =
Va, b E B:
a /\ b =
(absorbente)
ya/\(avb)=a
Va, b E B:
av ( bv c ) = ( av b )v c
Va, b E B:
av ( bv c) = ( av b )v c
a /\ jj
av jj
Por supuesto todas estas propiedades se pueden demostrar tomando como hipótesis la definición de
Algebra de Boole .
Nota: para no confundir v e /\ con la disyunción y conjunción lógicas, para las operaciones de las
Algebras de Boole podemos usar otros símbolos, por ejemplo
+y
•.
.................. ...........................................................•.•••••••••••••.••........ .. ...••••••
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG .1 40
....................................................................................................................
o
Ejemplo 1:
Indique el valor de verdad, justificando:
En toda ( A ;
Solución:
+ ; .)
Algebra de Soole:
\f
a. E = e
a,b,e e A:
e
A
e = DA
a
Es VERDADERO.
a. E = e e a => - a. E = e
sumo a en ambos miembros de (1): =>
Dem)
A
e. a = e (2) =>
(1)
A
- a.
E+
-a = e
+
-a
=>
a = e + a => reemplazo por (2) => a = e. a + a
distribuyo: a = ( e + a ). ( a + a) => a = ( e + a ). lA
a = e + a => multiplico por a => a • a = a. ( e + a) =>
Por absorción:
=>
=>
a=
=> distribuyo: a.
(a. e) + (a •
=> O.. = e
=> axioma eomplementaeión:
o
a)
=>
=>
+ DA =>
neutro: DA = e
Ejemplo 2:
Indique el valor de verdad, justificando:
En toda ( A ;
Solución:
Dem)
+ ; .)
Algebra de Soole:
\f
a. E
a,b,e e A:
e
a+ e =
A
lA
e
b
Es VERDADERO.
a. E
e
a+ e =
A
a. E + e =
lA =>
e (1)
A
a+ e =
lA (2) =>
+ Z
x = y
+e) = e
e => E + e = e
=> distribuyo en (1): => (a + e) • (E
(E + e )
=>
por (2):
=>
complemento y De Margan:
o
lA.
=
Ejemplo 3:
Indique el valor de verdad, justificando:
En toda ( A ;
Solución:
+ ; .) Algebra de Soole:
y• (y + Z
)
= x
Es FALSO.
Justificación:
Si bien podemos trabajar un poco partiendo de la hipótesis:
y• y ) + ( y• z )
=> (
=
x. z
DA
+(
y • z ) = x. z
y. ( y. + Z
y. z =
)
= x
+ Z
x. z
Esto no implica que podamos "cancelar" la z y quedarnos con la tesis.
En (
-
030 ;
m.e.m . ; m.c.d. ) , considerando x = 6, y= 15, z = 3
y • z =
-
x. z
ya que 2 • 3 = 1
A
5. 3 = 1
Y=
2 ,
x=
5: se cumple que:
pero x e y son distintos'! I
......••••••••••.•••..•.•....••••••••.••..............•••••.•.•....••••••••••••••••........•.••...................
GUÍA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.141
·.................................................................................................................. .
W
EjerCiciO 9:
Sea ( A ;
+ ; • ) un Algebra de Boole con neutros OA y l A respectivamente.
Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones, demostrando o justificando según
corresponda:
a) Va, b E A: b
b) Va, b, c
e) Va, b, e
d) V a, b
E
E
E
+
A: a
a = lA
+b
= a
a• [ b
+c
A: a '" b + e
A: a •
ti =
+(
a • ti ) 1 = a
b = e
a '" b v a '" e
OA <o> a '" b
......•.•....•••••....................................................•••••.•••................••............•..•.
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DI SCRETA
PAG.142
....................................................................................................................
Veamos a continuación una nueva definición de subestructura, así como vimos antes las subredes,
ahora lo vemos para Algebras de Boole:
SUBÁLGEBRAS DE BOOLE :
Sean ( B ;
) un Álgebra de Boole, y 0 .. A ¡;; B , A es subálgebra de B
( A;
es
álgebra de Boole, y se mantienen los mismos supremos e ínfimos y elementos neutros.
W
Ejercicio 10:
Sea ( 042 ;
I ) un Algebra de Boole.
a) A = { 1 , 2, 21, 42 } es subálgebra de 042. ¿Puedes probarlo?
............ .... .... .......... ... ... ........ ...... ........ ........... ..... .. .... ..... ..... ..... ........... ..
b) En cambio B
= { 1 , 2,
3, 42 } no es subálgebra de 042 a pesar de ser un Algebra de Boole en
sí misma. ¿Por qué?
... ....... .... .... ........... .... ......... ........ .......... ............ .... .... ........... .. ....... ..... .
Observamos que muchas veces tenemos la misma estructura pero con diferentes elementos, ello se
llama ISOMORFISMO, lo vemos a continuación:
............••••.......................... ................•••••••.......•••••••••••••••••••........... ............
G U íA DIDÁCTIC A D E M AT EMÁTI C A DI S CR ETA
PAG .143
...... o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HOMOMORFISMOS DE AlGEBRAS DE BOOlE :
Sean ( A ; v ;
A )
Y ( B ; v' ;
A' )
dos Algebras de Boole, con primeros elementos O. y OB
respectivamente, y últimos elementos 1. y lB.
Un HOMOMORFISMO de Algebras de Boole es una función f: A --> B /
a)
•
•
f(
•
•
•
fea
;
fea)
fea v b) ; fea) v' f(b)
A
b) ; fea)
f(OA) ;
1".: f(b)
o.
f(l A) ; lB
Nota: Si la función es biyectiva, se denomina ISOMORFISMO. Para ello es necesario que los
conjuntos tengan cardinales igu ales.
"Dos estructuras son isomorfas cuando tienen la misma forma aunque distintos elementos".
W EjerciciO 11:
Define, si es posible, un isomorfismo entre (D6;
1) y
(P({a,b}) ;
Propiedad:
Toda Álgebra de Boole FINITA es isomorfa al conjunto de Partes de sus Átomos.
o
Ejemplo: Consideremos el Álgebra de Boole (D30 ;
Sea el conjunto X ; {
X E
1).
D30/ x es átomo} ; { 2, 3, 5 }
Con lo que P(X) ; { 0 ,{2},{3},{S},{2,3},{2,S},{3,S},{2,3,S} }
••..••..•.•.•...........................•....................•...•••••.•••...............••••••••••••.............
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
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Diagrama de Hasse de (D30 ;
1)
Diagrama de Hasse de (P(X),
{2,3,S}
30
/ 1
IXXI
1/
6
10
15
2
3
5
{2,3} {2,S} {3,5}
•
IXX I
1/
{2}
1
{3}
{S}
'"
(!) ¿Cómo son ambos diagramas? Son idénticos!!!
Podemos ver que tienen la misma estructura. Hay que definir la función.
1) y (P(X)
Entonces definamos el ISOMORFISMO entre (030 ;
f: ( 030;
I)
-t ( P(X);
) tal que:
;
f(l) = 0
f(2) = {2}
f(3) = {3}
feS) = {S}
f(6) = {2,3}
f(lO) = {2,S}
f(lS) = {3,S}
f(30) = {2,3,S}
(!) ¿Podemos estar seguros que esta función está bien definida y es isomorfismo?
Si tienes dudas o debes demostrarlo, recuerda la definición de homomorfismo.
Por ejemplo, una de las condiciones era que f( a
y
b ) = fea)
Hay muchos casos para revisar, por ejemplo: ¿ f(
{2,3}
y'
f(b)
fy' f(y
=
{2,3}
De la misma manera habría que revisar todos los demás casos, y el resto de las propiedades .
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GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
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FUNCIONES BOOLEANAS:
(!) ¿Qué es una función booleana?
f: 6 n --> 6
Una función booleana es:
siendo (6 ; v ;
A )
Algebra de 600le
Si ( { 0,1 } ; + ; .) Algebra de 600le usual, entonces para f se usan tablas de verdad .
o
Ejemplo: Este es un ejemplo de una función booleana dada por una tabla:
f : 6' --> 6 /
x
y
z
f(x, y,z)
O
O
O
O
O
O
1
1
O
1
O
1
O
1
1
O
1
O
O
O
1
O
1
O
1
1
O
1
1
1
1
O
Las funciones booleanas se pueden representar como circuitos, donde se entran ciertas variables y
la salida es función de las variables de entrada .
Xl
X2
Xn
q
, f(Xl,X2,oo.,X n)
(!) ¿Qué son las Expresiones booleanas?
Son expresiones que contienen variables, DA (primer elemento), l A (último elemento), suma,
producto y complemento.
Nota: el punto del producto puede omitirse, es decir x • y se escribe directamente x y
••...•••.•••.........................................................•............•••••..••••.••••................
G UiA DI DÁCTICA DE M ATEM ÁTI C A D ISCR ETA
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Propiedad: Toda expresión booleana define una función booleana
o
Ejemplo: función booleana definida mediante una expresión booleana:
f(x,y,z) = x +
y ( z + X)
EXPRESIONES BOOLEANAS EQUIVALENTES
Se dice que dos expresiones booleanas son EQUIVALENTES cuando definen a la misma
función booleana
o
Ejemplo:
Las expresiones siguientes son equivalentes:
e,:
x( z +
x) + y
e2:
x z+yx+y x
¿Puedes demostrarlo?
Seguiremos con unas definiciones que nos permitirán escribir a las funciones booleanas en unas
formas canónicas.
(!) ¿A qué se llama Minitérmino?
Es un término en el que intervienen todas las variables o sus complementos multiplicadas
entre sí.
o
Con cuatro variables (a, b, c, d) un minitérmino es:
Ejemplo:
W
a.
E.
c. d
Ejercicio 12:
Considerando 3 variables (x, y, z) indica cuáles de las siguientes expresiones son minitérminos:
-x. x • y • -z
a)
x. y + z
d)
b)
x.
e) x. y • z
c)
x. y
y •
z
<!>¿cuántos miniterminos diferentes existen con 3 variables?
.••••••.•....•••.••••••••••..••••••••••..••....................•......•.••••••.••.........••••••..................
GU iA DIDÁCTICA DE MAT EMÁTICA DISCRETA
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FORMA NORMAL DISYUNTIVA: se dice que una función booleana está expresada en forma
normal disyuntiva cuando está expresada como suma de minitérminos.
o
Ej emplo:
f(x,y,z) = x
Ejemplo de función expresada en F.N.D. (forma normal disyuntiva):
yz + x y Z +
x y
esta fun ción es suma de tres minitérminos.
Z
Lo importante es que sepamos pasar desde y hacia la F.N .D. a las funciones booleanas. Por ello,
veamos ejemplos de cómo se hace:
ESCRIBIR FU N CIONE S BOOLEANAS EN FO RMA NORMAL DI SYUNTIVA :
Caso 1: partiendo de una expresión que no está en F.N.D.
o
Ejemplo:
y. (
Pasa a F.N.D. la siguiente función: f(x,y,z) =
x + z )
SOLUCION:
Para pasar a F.N. D. la siguiente función: f(x,y,z) =
y. (
x
+
Z
)
Debemos tener en cuenta las propiedades vistas de las Algebras de Boole .
Comencemos:
f( x,y,z) =
=
=
=
y. x •
y. x •
y. x.
y. ( x + z ) =
lA + y. Z • lA
y. x
+
y.
z
(hemos aplicado distributiva)
(por ser l A elemento neutro de • )
+ Z ) + y. Z • ( x + x) (complementación: a + a = lA)
z + y. x • Z + y. z • x + y. z • X (distributiva)
( z
Ordenamos por conmutatividad:
f(x, y,z) = x •
y• z + x • y • Z + x • y • Z+ x • y
• z
Como los dos del medio son iguales, por idempotencia dejamos uno solo:
f(x, y,z) = x •
y • z + x • y • Z+
x •y • Z
Y esta expresión es la FORMA NORMAL DISYUNTIVA
W
Ejercicio 13:
Escribir en F.N.D . la siguiente función booleana:
f(x,y,z)
= x + y. ( z +
x)
.......•...........•...•••.........................•••••••.••••••••..••.•••••..................••••••••.•.........
GUiA DIDÁCTICA D E MATEMÁTICA DISCRETA
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Caso 2: partiendo de la tabla de la función booleana
o
Ejemplo:
Pasar a F.N .D. la siguiente función dada mediante una tabla:
y
O
O
1
1
O
O
1
1
x
O
O
O
O
1
1
1
1
z
O
1
O
1
O
1
O
1
f(x,y,z)
O
1
1
O
O
O
1
O
SOLUCIÓN:
Primero buscamos los renglones de la tabla en los que la función vale 1
x
y
z
f(x,y,z)
O
O
O
O
O
1
O
1
O
O
1
1
1
1
1
O
1
O
O
1
O
1
O
1
1
1
1
O
O
O
1
O
,
Por cada uno de esos renglones escribimos un min itérmino de acuerdo a los valores de las variables
(si valen cero van complementadas, si valen 1 van sin complementar):
x
y
z
f(x,y,z)
O
O
O
O
O
O
1
o
1
O
1
1
x . y. -z
1
1
1
O
1
O
O
1
O
1
O
1
1
O
O
O
1
1
1
O
y luego sumamos todos esos minitérminos obteniendo la F.N.D.
I
f(x,y,z);
x. y • z + x. y • z + x • y • z
.............••....................................••••••••..............•••.•••..•••..•.........•...•............
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
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·.................................................................................................................. .
Ahora veremos otra forma canónica en que se puede escribir una función booleana:
(!) ¿A qué se llama Maxitérmino?
Es un factor en el que intervienen todas las variables sumadas entre sí, pudiendo estar o no
complementadas.
FORMA NORMAL CONJUNTIVA: se dice que una función booleana está expresada en forma
normal conjuntiva cuando está expresada como producto de maxitérminos.
o
Est a es una función expresada en F.N.C. (forma normal conjuntiva):
Ejemplo:
f(x,y,z) = ( x + y +
Z ) o ( X+
y +
tiene dos maxitérminos
Z )
Al igual que lo hicimos con la F.N.D. , vamos a ver como se pasa desde y hacia F.N.C. a las
funciones booleanas.
ESCRIBIR FUN CIONES BOOLEANAS EN FORMA NO RMAL CONJUNTIVA:
Caso 1: partiendo de una expresión que no está en FNC
o
Pasar a F.N.C. la siguiente función: f(x,y,z) = x o y + z
Ejemplo:
SOLUCION:
f(x,y,z) = x o y + z = ( x +
= ( x
+ z + O. )
Z )
o ( y + z)
(por ser O. neutro de + )
o ( y + z + O. )
= ( x + z+ y oy ) o( y + z+ x o
= ( x + z+ y ) o(
X
(por distributiva de + resp. o)
X)
(por complementación a o
+ z + y) o ( y + z + x ) o ( y + z + x)
a = O. )
(distributiva)
Ordenamos por conmutatividad:
=(x+y+z)o(x+y+z)o(x+y+z)o(x+y+z)
Como los dos primeros son iguales, por idempotencia dejamos uno solo:
f( x,y,z) = ( x + y +
Z )
o(
X
+
Y+
z ) o(
X+
y +
Z )
y esta expresión es la FORMA NORMAL CONJUNTIVA
••••••........••.••••..........••.....•...............................•.....•......•..•...••..••..................
GUíA DIDÁCTICA DE M ATEMÁTICA D ISCRETA
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....................................................................................................................
W
Ejercicio 14:
Escribir en F.N .C. la siguiente función bool eana :
f(x,y,z) = x
+
y. ( z +
x)
Caso 2: partiendo de la tabla de la función booleana
o
Ejemplo:
Pasar a F.N.C. la sigu iente función dada por tabla
x
O
O
O
O
1
1
1
1
y
O
O
1
1
z
O
1
O
1
f(x,y,z)
1
O
1
1
O
O
O
1
1
1
O
1
O
O
1
O
SOLUCIÓN:
Prim ero buscamos los renglones de la tabla en los que la función vale O:
x
y
z
f (x,y,z)
O
O
O
1
O
O
1
O
O
1
O
1
O
1
1
1
1
O
O
O
1
O
1
O
1
1
O
1
1
1
1
O
I
Por cada uno de esos renglones escribimos un ma xitérm ino de acuerdo a los valores de las variables
(si valen cero van sin complementar, si valen 1 van complementadas) :
......................................•......•.•••• ••••• •..••...........••••••••• •• ...••...••••.•••• •••• ..••......
GUiA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DI SCRETA
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....................................................................................................................
( x +y+z)
x
y
z
f( x,y,z)
o
o
o
O
O
1
1
O
O
1
1
O
O
1
1
1
O
1
O
1
1
O
1
1
1
1
O
O
( x+ y +z)
(x+y+z)
1
1
O
O
y luego multiplicamos todos esos maxitérminos obteniendo la F.N.C.
f(x,y,z) = ( x + y + z) • ( x + y + z ) • ( x + y + z) • ( x +
y+
z)
A TENER EN CUENTA:
Las formas normales obtenidas de una tabla, tanto la disyuntiva como la conjuntiva, se pueden por
supuesto simplificar y de esa manera es que obtenemos la expresión de la función cuando viene
dada por tabla.
DIAGRAMAS LÓGICOS:
En esta última parte de la unidad, veremos la implementación de las funciones booleanas en
circuitos combin atorios, es decir circuitos son memoria, en los cuales la salida depende
únicamente de los valores de las entradas. Por ello para cada combinación de valores de las
entradas, la salida queda determinada .
Dichos circuitos se representan por Diagramas Lógicos formados por Compuertas lógicas que
representan las operaciones del Algebra de Soole.
Las compuertas lógicas principales son:
Compuerta
Gráfico
AND
:=D-
OR
xey
:=1)-x+
NOT
y
x-1>o-x
Observar que cada una representa una de las operaciones del Algebra de Soole .
.••...•••.....................................................•....•••••••.•................•••••••.••.••••.•.••••
G U iA DIDÁCT ICA D E MATEMÁTICA DISCRETA
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• •••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o •••• o o
o
O. '
o
O '
•
o o
O •••••••••• O •••••
Ej emplo:
La función booleana : f(x,y,z) ;
x · y
+ x· z
se representa con el siguiente diagrama lógico :
x --.-11>--1_
y--1'----1
z _ _--1
W
Ejercicio 15:
Escribe la expresión booleana correspondiente al siguiente diagrama lógico:
x
y
z
f(x,y,z) ; ............... .............. .. .................................... ..
W
Ejercicio 16:
Realiza el diag rama lógico de la función booleana: f(x,y,z); x + y. z + x+z
,
,
x ----,
y--'
,
,
,
f( x,y,z)
'----
z--;
,
1________ _______ _______ ________________ 1
............•.•.. ••.• •.•.•....................... ....••••••• ••••. .•••••.•••..........•••••.•.•••••••••..........•.
GUíA DIDÁCTICA DE M ATEMÁTI CA DISCRETA
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....................................................................................................................
OTRAS COMPUERTAS:
Compuerta X OR
Denotamos por x
Es decir:
x
El)
El)
y a la expresión análoga a la "o excluyente"
y = X. y
+ x· y
Si queremos repre sentar una función que devuelva esto : f(x,y) = x
El)
y
mediante un diagrama
lógico usando las compuertas pri ncipales AND, OR Y NOT tendría mos que hacer:
x
y -'----1
Pero esta compuerta XOR es equivalente:
Compuertas NANO Y N OR
Son como la AND o la OR pero con la salida negada (complementada):
NANO
NOR
CONJUNTOS DE COMPUERTAS FUNCIONALMENTE COMPLETOS :
Un conjunto de tipos de compuertas se dice FUNCIONALMENTE COMPLETO si con dicho
conjunto se puede representar cualquier función booleana.
Nota: para poder representar cualquier función booleana es necesario y suficiente que se pu edan
representar las dos operaciones binarias (
o
+ y • ) y la unaria ( complemento)
Ejemplo:
1) El conjunto { AND, OR, NOT } es obviamente funcionalmente completo .
........•.•..........................................................•••............ ....•.•.•...•••• ..............
GUíA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
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2) El conjunto { AND, NOT} es funcionalmente completo también ya que para realizar la
operación +, lo hacemos de esta forma, gracias a la ley de De Morgan: X
+ Y = x.y
3) Lo mismo ocurre con el conjunto { OR, NOT }. Por De Morgan el producto se puede escribir:
X • y =
X + Y y se representa:
4) El conjunto { NAND } es funcionalmente completo también. Para demostrarlo, debemos
hacer las tres operaciones, teniendo en cuenta las propiedades de las Algebras de Soole:
Como x • x
=x
por idempotencia entonces
X
=
X. X Y ya podemos realizar una negación
usando NAND:
y entonces podemos armar el producto de esta forma:
X
X· Y
= X. y. X· Y
x-y
Y
Por último, para hacer una suma usando 5010 compuertas NAND, tenemos en cuenta por Ley
de De Margan e idempotencia:
X
+
Y = X· X· y. Y
x
x+y
y
5) El conjunto { NOR } es funcionalmente completo también. Para demostrarlo, debemos hacer
las tres operaciones de manera similar a lo que hicimos con las NAND.
(Te dejamos dicha demostración como ejercicio .)
Los dos últimos ejemplos son muy interesantes ya que un único tipo de compuertas es suficiente
para representar cualquier función.
Veamos un ejemplo:
.......••...............................................••••••••••••....••••••••••••••••••••.•....................
GUiA D IDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
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....................................................................................................................
o
Ejemplo:
Implementar la función booleana:
f((x,y,z)) = (
x• y + Z ) • z + x
con un circuito formado
solamente por compuertas NAND .
Solución:
Primero vamos a simplificar la expresión de la función booleana :
f((x,y,z)) = (
x • y + z) • z + x
-X' y • z + -z • z + x
Distributiva del. respecto del +:
f((x,y,z)) =
Complementación en el segundo:
+ DA + x
f((x,y,z)) = X' y • z + x
f((x,y,z)) = ( x + x) • ( y • z + x)
f((x,y,z)) = lA. ( y • z + x )
f((x,y,z)) = y. z + x
Identidad (neutro):
Distributiva del
+ respecto del.:
Complementación en el primero:
Identidad (neutro):
f((x,y,z)) =
Que se puede escribir (por De Morgan) como:
x' y
• z
f((x,y,z» = yozoxox
y entonces se puede implementar con un circuito formado solamente por tres NAND:
x
x+y·z
W
EjerCiciO 17:
Implementar la función booleana anterior:
f((x,y,z)) = (
x• y + z ) • z + x
con un circuito
formado solamente por com puertas NOR.
Recuerda que ya tienes la expresión simplificada, con lo cual solo resta transformar las operaciones
para escribirlas en la forma de las NOR .
•..•••......•..•.•..••..••.••••••.•••................•••.....•..........•.•••••••••••••••••••..•...........•••••••
GUíA DIDÁCTICA DE MAT EMÁTICA DISCRETA
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RESPUESTAS A lOS EJERCICIOS PROPUESTOS:
Ejercicio 1:
1) Es red , pues todo par de elementos tiene supremo e ínfimo.
2) No es red, pues por ejemplo no existe ínfimo entre gato y león.
3) Es red, pues todo par de elementos tiene supremo e ínfimo.
4) No es red, pues no existe supremo entre Laura y Sebastián.
Ejercicio 2:
2.1) Es red, pues todo par de elementos tiene supremo e ínfimo.
2.2) Las dos tablas son ·
a
a
a
b
b
e
d
e
f
v
2.3)
e
e
e
b
b
b
e
d
e
f
d
e
f
f
e
f
e
e
d
d
d
f
d
f
f
e
e
e
e
f
e
f
f
f
f
f
f
f
f
"a
b
e
d
e
f
a
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
b
b
e
a
a
e
a
e
e
d
e
f
a
a
a
b
b
b
a
e
e
d
b
e
e
d
e
f
b
d
Ambas son cerradas (lo vemos pues todos los elementos que aparecen en los resultados
de ambas tablas son del conjunto) .
Ambas son conmutativas (lo podemos observar pues ambas tablas son simétricas respecto de la
diagonal principal)
Ambas son idempotentes (pues en las diagonales aparecen los mismos elementos de la fila y
columna correspondiente)
El neutro de v es a (pues su fila y columna devuelven a los mismos elementos de la columna y
fila correspondiente).
El neutro de " es f (pues su fila y columna devuelven a los mismos elementos de la columna y
fila correspondiente).
El absorbente de v es f (pues su fila y columna devuelven siempre f) .
El absorbente de ",es a (pues su fila y columna devuelven siempre a) .
Ejercicio 3:
Dada la Red Ordenada (D6; 1), las dos operaciones que la estructuren en Red Algebraica son :
a v b = m.c.m.(a,b)
a" b = m.c.d.(a,b)
GurA D IDÁCTICA D E M ATEMÁT ICA DI SCRETA
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....................................................................................................................
Ejercicio 4:
La relación de orden que define a (P({a,b,c}); u; ("\) en Red Ordenada es:
XRY
X!;; Y.
Ejercicio 5:
Los complementos de cada elemento de las siguientes redes son:
a) (P( {1,2}) ; ¡:; )
0= {1,2}
, {i} =
{2} =
{1,2}=0
{1}
,
( A ={ 1,2,3,5,30} ;
b)
{2}
1)
-
c)
( {1,2,3,4} ; ;, )
1=4
,
'2 = {3,5} ; 3 = {2,S}
No existe
'2
"5
No existe
3
1 = 30
; 30 = 1
= {2,3}
4=
1
Ejercicio 6:
De las tres redes anteriores son complementadas únicamente las dos primeras.
Ejercicio 7:
+
1) ({0,1}
.) es Algebra de Boole, de hecho se llama canonica y es la de menor cardinal
que existe.
2) (D15; 1) es Algebra de Boole de 4 elementos, ya que es red distributiva y complementada.
3) (D50;
I ) no es Algebra de Boole pues no es complementada ( no existe complemento de
5 )
4) (P(A) ; u ; ("\ ) es Algebra de Boole cualquiera sea el conjunto A.
Ejercicio 8:
•
(D 18;
1) no es Algebra de Boole pues 18 = 2 • 3 2
1) es Algebra de Boole ya que 42 = 2 • 3 • 5
•
(D42 ;
•
({ 0, {a}, {b}, {c}, {a,b,c} } ; !;; ) no es Algebra de Boole ya su cardinal es 5 y no es
potencia de 2.
Ejercicio 9:
a) Va, b
E
b) Va, b, c
c) Va, b, c
d) Va, b
E
A: b
E
E
a=
+
A: a
+
lA
b = a
A: a ,. b
A: a •
ti
Los verdaderos se
=
=> a • [ b + (
+ c =>
b = c
a • ti ) 1 = a
es FALSO
+ c => a ,. b va " c
DA
a ,. b
es VERDADERO
es FALSO
es VERADERO
deben demostrar genéricamente. Para justificar 105 falsos es suficiente
mostrar un contraejemplo .
..............••.•....•.••...........................•................••.............••.•..•• ••...................
GUíA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA DISCRETA
PAG.158
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• ••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Ejercicio 10:
a) A = { 1 , 2, 21, 42 } es subálgebra de D42 pues además de ser Algebra de Boole en sí misma
( por ejemplo es de la misma forma que (DI5; 1)), conserva los mismos elementos neutros
( 1 Y 42) Y los mismos supremos e ínfimos.
b) B = { 1 , 2, 3,42 } no es subálgebra de D42 a pesar de ser un Algebra de Boole en sí misma,
ya que no conserva los mismos supremos e ínfimos ( en D42: 2 v 3 = 6 pero en este conjunto
B: 2 v 3
= 42 )
•
Ejercicio 11:
Un isomorfismo posible entre (D6;
f: D6
;
es:
P({a,b}) / f(l) = 0, f(2) = {a}, f(3) = {b}, f(6) = {2,3}
Hay otro isomorfismo entre (D6 ;
f: D6
1) y (P({a,b})
1) y
( P({a,b}) ;
que es:
P({a,b}) / f(l) = 0, f(2) = {b}, f(3) = {a}, f(6) = {2,3}
Ejercicio 12:
Considerando 3 variables (x, y, z) son minitérminos únicamente: b) y e)
Ejercicio 13:
La F.N.D. es:
f(x,y,z) = x • y • z + x •
y• z +
x • y •
z+ x • y • z + x. y • z +
X•
y.
z
Ejercicio 14:
La F.N.C. es:
f(x,y,z) = ( x +
y+
z) • ( x +
y + z)
Ejercicio 15:
La expresión booleana correspondiente al diagrama lógico es:
-
-
f(x,y,z) = x. y • z
Ejercicio 16:
___
El diagrama lógico de la función booleana:
f(x,y,z) =
x + y • z + X + Z es:
Pero simplificando la expresión:
f(x,y,z) =
x+ y • z
podemos
__
x ---i>O-l..r---...
y
hacer un diagrama más simple:
z
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PAG.159
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Ejercicio 17:
Para hacer un circuito solo con NOR que implemente la función:
Escribimos:
f«x,y,z)) = y. z
+x
f((x,y,z)) = yez + X = y + y+z+z + X =(y+y+z+z+x)+(y + y+z + z+x)
y el circuito es:
x------------------,
z
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PAG.160