Cálculo diferencial
Definición de función:
Es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto, el cual
será un conjunto inicial X, un elemento de un segundo conjunto o conjunto
final el cual será Y. A cada elemento de X se le da un elemento de Y.
Representación de una función como expresión algebraica:
Son funciones las cuales tienen una regla de correspondencia y esa regla es
una expresión algebraica.
Ejemplos:
1. f(x) = 2x + 1
2. f(x) = 4x + 1
3. f(x) = x2 – 2x + 1
Representación de una función como tabla de valores.
Louis quiere saber cuántas flexiones hace al día, sus flexiones se
representan con la siguiente función f(x) = 4x + 1 = y la siguiente gráfica.
Días
1
2
3
4
5
6
Flexiones
5
9
13
17
21
25
Representación de una función como gráfica:
Función de una variable: Es una relación entre una
variable dependiente y una independiente
Función de varias variables: Una variable dependiente
estará compuesta por más de una variable independiente
Funciones algebraícas: Función que satisface una
ecuación polinómica
Funciones racionales: Cociente de polinomios en donde
el dominador tiene un grado de por lo menos 1
Funciones irracionales: tienen como expresión
matemática f(x) y presenta una radical
Funciones enteras: Estas funciones toman un número
real y devuelvenun número entero próximo
Funciones polinomiales: Su expresión es un polinomio y
su dominio es un conjunto de números reales
Funciones trascendentes: Esta función no satisface una
ecuacion polinominal
Funciones explícitas: es dada como y = f(x), su variable es
dependiente y está despejada
Funciones implícitas: su forma es f(x, y) = 0, la función se
expone como una expresión algebraíca igual a 0
Límites y continuidad
Límite de una función:
Esta expresión se utiliza para referirse a la cercanía de un valor y un punto.
Si una función f tiene límite X en punto t, se da a entender que el valor de f
puede ser cercano a X tanto como se quiera, con puntos suficientemente
cerca de t, pero distintos.
Teoremas de límites:
Teorema
Ejemplo
Si k es una variante y a un número cualquiera,
Teorema 1
entonces:
Para cualquier número dado a:
Teorema 2
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces:
Teorema 3
Teorema 4
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces:
Si q es una función racional y a pertenecer al dominio
de q, entonces:
Teorema 8
Continuidad de funciones en un punto:
Una función es continua en un punto si el límite existe en él y coincide con el
valor que toma la función en ese punto. La continuidad de f en x = a solo
aplica si:
1. Existe el límite de la función f(x) en x = a
2. La función está definida en x = a, es decir si existe f(a)
3. Los valores anteriores coinciden
Si una función es continua en derecha o izquierda en un punto, es continua
solo en ese punto.
Continuidad de funciones sobre un intervalo:
Una función es continua en intervalo abierto si es continua en cada uno de
los puntos de ese conjunto. Decimos que f(x) es continua en (a, b) solo si f(x)
es continua en x (a, b)
Límites a cero
Límites a infinito
Referencias bibliográficas
Recuperado el 12 de mayo de 2021 de
https://www.superprof.es/
Recuperado el 12 de mayo de 2021 de
https://definicion.de/
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https://www.calculo.jcbmat.com/
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https://thales.cica.es/
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https://www.youtube.com/watch?v=ru4kfxiyW3E
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https://www.youtube.com/watch?v=YwOBnHe1sz8
FUNCIÓN DERIVADA
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite
de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por
eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
Hasta aquí nos hemos referido a la derivada de una función y=f(x) en un punto x =
a de su dominio; el resultado es un número real, por tratarse de un valor límite
También sabemos que es posible que la derivada de una función en un punto, no
exista, en cuyo caso decimos que la función no es derivable en ese punto.
Decimos que una función es derivable en un intervalo abierto de su dominio si lo es
en cada uno de sus puntos. En general el conjunto de puntos donde la función es
derivable constituye su dominio de derivabilidad.
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
INCREMENTO:
Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha
tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia
entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x,
que se lee "delta x".
El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta
o disminuye al pasar de un valor a otro.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f x. La función cuyo
valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f,
denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina
diferenciación
PENDIENTE DE UNA CURVA
El valor de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta
tangente a la curva en ese punto. Uno de los aspectos importantes que analizamos
sobre una gráfica es su pendiente. Así, nos interesa saber si la pendiente en un
punto es positiva, cero o negativa, si siempre es la misma o va cambiando, etc.
Observa en el simulador los pasos a seguir:
Se seleccionan dos puntos de la recta tangente y se determinan sus
coordenadas.
Se calcula la diferencia entre las coordenadas Y de los dos puntos
seleccionados (elevación).
Se calcula la diferencia entre las coordenadas X de dichos puntos (avance).
La pendiente se calcula dividiendo la diferencia de coordenadas Y entre la diferencia
de coordenadas X:
Pendiente=y2−y1x2−x1=elevación avance
La pendiente de una curva usando la
definición de derivada
Derivada de una función
La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella , denotada
f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese
punto, es decir, su tasa de variación instantánea.
En rojo, la gráfica de la función f(x)=x2. Los puntos azules representan el valor de la
derivada de f(x) en cada abscisa considerada. Parece razonable pensar que la
ubicación de esos puntos vendrá dada por la recta azul y= 2·x, con lo que podemos
decir que la función derivada de f(x) es f'(x)=2·x.
Como vemos, se trata de la tasa de variación media, cuando el intervalo
considerado tiende a una longitud 0 y su extremo inferior se encuentra en un valor
genérico
LAS REGLAS DE DERIVACIÓN PARA
FUNCIONES ALGEBRAICAS
La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es
cero.
EJEMPLO 1:
f(x) = 7
f '(x) = 0
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1.
EJEMPLO 2:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función
porque no sabemos cuál es la regla para derivar ese tipo de expresiones.
La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la
constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:>
EJEMPLO 3:
f(x)=
3x5
f '(x)= 3(5x4) = 15x4
La derivada de una suma
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la
derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones
es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. EJEMPLO
4:
f(x)= 2x3 + x
f '(x)= 6x2 + 1
La derivada de un producto
Aún no hemos dicho cuál es la regla para derivar un producto de funciones, la regla
para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como
la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la
segunda, más la segunda por la derivada de la primera.
EJEMPLO 4:
f(x)= (4x
+ 1)(10x2 - 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)
La derivada de un cociente
La derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la
primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al
cuadrado.
EJEMPLO 5:
4x + 1
f(x)
=
10x2 - 5
4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x)
=
(10x2 - 5)2
DERIVACIÓN IMPLÍCITA Y SUS
APLICACIONES.
La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función,
después de despejar la variable y, que es la que se considera variable dependiente
a esta derivada la llamaremos y, considerando que es función de x.
Una función implícita es aquella que la variable dependiente no está despejada. Es
decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.
No siempre es sencillo, o incluso no es posible, despejar la y para poner la función
en forma explícita. Puede ser por la misma forma de la función o porque las dos
variables estén dentro del argumento, tal como:
En otras palabras, al derivar implícitamente se considera x como la variable
independiente, mientras que a y se le considera una función.
Antes de derivar, si hubiere fracciones, conviene eliminar los denominadores con el
mínimo común múltiplo. Mediante la aplicación del método de la cadena, se
procederá a derivar, despejando finalmente y.
REFERENCIAS BIBLIOGRAGICAS
Autor: Arturo Ylé Martínez Y José Alfredo Juárez Duarte
Título del libro: Cálculo Diferencial para Bachillerato
Año de edición: Secretaría de Educación Pública, 2012
Resumen: El cálculo diferencial es una rama de la matemática que
permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables
se puede modelar en un continuo numérico para determinar, a partir
de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo
específico.
Página web:
file:///C:/Users/hp/AppData/Local/Temp/Calculo_Diferencial.pdf
Las principales aplicaciones de la derivada para problemas
geométricos y físicos
Derivada problemas geométricos
Derivada problemas físicos
Las principales aplicaciones de la
Las principales aplicaciones de la
derivada para problemas geométricos
derivada para problemas físicos son:
son:
Velocidad media
La recta tangente y normal
Velocidad Instantánea
Dirección de la curva
Aceleración instantánea
Longitud de la subtangente y
Estas aplicaciones son importantes ya
subnormal
que cada una de ellas aporta ciertos
Ángulo entre las curvas.
puntos diferentes y es relacionado a la
física matemática de las a la física.
Ejemplifica el concepto de primera derivada de una función
La primera derivada nos permite conocer, sin
necesidad de ver su gráfica, donde la función
primitiva está creciendo o decreciendo. Pero,
además, nos permite averiguar dónde la función
primitiva tiene un extremo relativo suave, si fuera
anguloso no tendría derivada ya que en el
extremo se pasaría a crecer y decrecer o
viceversa. La pendiente en cada punto de función
genera una nueva función que representa el
crecimiento.
Ejemplifica el concepto de segunda derivada de una función
La segunda derivada es la que representa
el crecimiento o constancia de la función
primitiva ya que esta función derivada se
puede volver a derivar, es decir, podemos
crear una nueva función que represente
cómo crece decrece esta función. La
segunda derivada no mide su crecimiento
sino su ritmo de crecimiento ya que la
gráfica de la función se curvará en su
sentido en otro.
Ejemplifica la aplicación de la primera y segunda derivada de una
función para resolver problemas de optimización
Las aplicaciones de la primera derivada para los problemas de optimización son:
Enunciado del criterio
Aplicaciones del criterio
Ejemplo de aplicación
Demostración del criterio
Las aplicaciones de la segunda derivada para los problemas de optimización son:
Enunciado del criterio
Aplicaciones del criterio
Ejemplo de aplicación
Demostración del criterio
En realidad, es lo mismo, pero son diferentes sus variables de cada derivación para los
problemas de optimización de la función.
Procedimiento:
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20 x 10cm.
Para ello, se corta una cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja
levantada los 4 laterales de la caja.
20 cm
10 cm
Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado
L debe medir entre 2 y 3cm (2≤L≤3).
Si a es el ancho de la caja h, es su altura y p es su profundidad, entonces su
volumen es
V=a.h.p
20cm
P= 10 – 2L
10cm
a = 20 – 2L
Al cortar los 4 cuadrados de lado L, el ancho de la caja es
a = 20 – 2 L
La profundidad es
P = 10 – 2 L
Por último, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado:
h=L
Luego el volumen de la caja en función de L es (Paso 1)
V (L) = (20 – 2L) . (10 – 2L) . L =
(200 – 40L) – 20L + 4L2) . L =
(200 – 60L) + 4L2) . L =
200L – 60L2 + 4L3
Derivamos la función (paso 2):
V (L) = 200 – 120L + 12L2
Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos
críticos (paso 3):
V (L) = 0
200 – 120L + 12L2 = 0
L = 15 + 5√3 = 7.89
3
2.11
Situamos los puntos en la recta real y estudiamos los signos en los intervalos
(paso 4):
2.11
7.89
Luego la función es creciente en el primer intervalo, decreciente en el segundo y
creciente en el tercero:
} - ∞, 2.11{ Creciente
} 2.11, 7.89{ Decreciente
} 7.89, + ∞{ Creciente
Pero el lado L debe medir entre 2 y 3, es decir debe ser
L E {2,3}
Como en el intervalo {2.11,3} la función es decreciente, el volumen será máximo
para L = 2.11cm
Por tanto, las dimensiones de la caja deben ser
A = 20 – 2 . 2.11 =
15.78cm
P = 10 – 2 . 2.11 =
5.78cm
H = 2.11CM
Es decir, las dimensiones son 15.78 x 5.78 x 2.11 cm y su volumen es 192. 45cm2
La aplicación práctica de los criterios de primera y segunda
derivada de funciones
Primera Derivada: Se llama criterio de la
Segunda Derivada: Se utiliza la segunda
primera derivada al método o teorema utilizado
derivada para efectuar una prueba simple
para determinar los mínimos relativos y
correspondiente a los máximos y mínimos
máximas aplicaciones que pueden existir, donde
relativos. Ya que se basa en el hecho de que si
se observa el cambio de signo, en un intervalo
la gráfica de una función f es cóncava hacia
abierto señalado que contiene al punto critico C.
arriba en intervalo abierto que contiene ac y f(c)
La cual se puede representar en la recta
debe ser mínimo relativo de f. Ya que la
numérica de ciertos puntos e intervalos de cierto
segunda derivada es un teorema o método de
número.
cálculo matemático para efectuar una prueba
correspondiente a los máximos y mínimos
relativos de una función.
El concepto de funciones crecientes
Las funciones crecientes es una función tal que al aumentar la variable
independiente x, aumenta la variable dependiente y. Es, decir, la función f
creciente si para cualquier par de puntos x1 x2 del dominio tales que x1 x2 se
cumpla su función como f(x1) ≤ f(x2).
El concepto de funciones decrecientes
Las funciones decrecientes siempre aumentan su
valor o se mantienen análogamente, las funciones
decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su
valor o se mantienen cuando x se hace grande.
Todas las funciones del tipo f(x) = ax + b son
funciones crecientes, y en particular, son funciones
estrictamente crecientes las que no son obstantes es
cuando tenemos a{o obtendremos funciones decrecientes.
Referencias Bibliográficas:
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