Introduccion a funciones

LABORATORIO DE CÁLCULO
MÓDULO III
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DESDE UN ENFOQUE FUNCIONAL
UNIDAD 7:
FUNCIONES
UNIDAD 8:
FUNCIONES RACIONALES
UNIDAD 9:
FUNCIONES TRASCENDENTES
Autor de contenidos:
Lic. Daniel Anselmo Veiga
PRESENTACIÓN
En nuestra vida cotidiana solemos enfrentarnos con situaciones que involucran el manejo de
funciones. Cada vez que conocemos una correspondencia entre dos magnitudes o variables, como por
ejemplo el color de una luz de semáforo y el mensaje correspondiente, estamos frente a una función
‐siempre que se cumpla que cada “valor de salida” tenga especificado con claridad uno y sólo un valor
de llegada”‐. En el caso del semáforo, al color rojo le corresponde sólo un mensaje: “deténgase”.
Cuando realizamos un envío por correo, el precio dependerá del peso de nuestra encomienda dentro
de ciertos valores ‐hasta tantos gramos el precio es tal, de tantos a tantos gramos el precio es tal otro,
etc.‐.
En ambos ejemplos se cumple la primera condición que debe reunir una función: para cada valor
“de salida” se identifica perfectamente un “valor de llegada”.
Por el contrario, si confeccionáramos una lista en la que al nombre de cada empleado de una firma le
hiciéramos corresponder el nombre de sus hijos, no se cumpliría la doble condición mencionada, porque
algunos empleados no tendrán hijos y otros tendrán más de uno. Por lo tanto, “no todo elemento de
salida tiene un correspondiente de llegada” y, además, “hay elementos de salida que tienen más de un
elemento de llegada”.
Comenzaremos la unidad abordando el concepto de función. Continuaremos con los conjuntos de
Positividad, de Negatividad y de Ceros de una función y, luego, con las funciones elementales,
lineal, especiales, crecientes y decrecientes e inyectivas y sobreyectivas.
Estos temas tienen que ver con la posibilidad de modelizar una situación, es decir que poder
describirla matemáticamente, al menos en los aspectos esenciales para nuestro trabajo.
A través del estudio de la presente unidad esperamos que usted, como alumno de esta asignatura,
sea capaz de:
– Identificar si una relación dada cumple los requisitos para ser considerada una función.
– Plantear una función que modelice una cierta situación problemática.
A continuación, le presentamos un detalle de los contenidos y actividades que integran esta
unidad. Usted deberá ir avanzando en el estudio y profundización de los diferentes temas,
realizando las lecturas requeridas y elaborando las actividades propuestas.
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 / Pág.2
CONTENIDOS Y ACTIVIDADES
1. El Concepto de Función
LECTURA REQUERIDA
 Funciones. Imagen de un elemento por una función. Preimagen de un elemento por una
función. Componentes de una función. Formas de dar una función: diagrama sagital, tabla,
gráfico cartesiano y por fórmula. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires,
2001.
1.1. El dominio de una función
LECTURA REQUERIDA
 El problema de “hallar dominio”. Requisitos o condiciones para cociente, raíz par, logaritmo,
arcoseno y arcocoseno. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
1.2. La imagen de una función
LECTURA REQUERIDA
 El problema de hallar imagen de F. Hallar dominio en una homográfica. Hallar dominio e
imagen en una cuadrática. Hallar imagen de una función lineal. Hallar imagen de una función
con módulo. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
TRABAJO PRÁCTICO REQUERIDO
 Trabajo Práctico Nº 21: El Concepto de Función
2. Conjuntos de Positividad, de Negatividad y de Ceros de una función
LECTURA REQUERIDA
 Conjunto de Negatividad, de Positividad y de Ceros de una función. En Veiga, D.; Laboratorio
de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
TRABAJO PRÁCTICO SUGERIDO
 Trabajo Práctico Nº 22: Conjunto de Negatividad, de Positividad y de Ceros de una función.
3. Funciones Elementales
3.1. Constante
LECTURA REQUERIDA
 Función constante. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
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3.2. Lineal
LECTURA REQUERIDA
 Función lineal. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
3.3. Especiales
4. Funciones Crecientes y Decrecientes
5. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
TRABAJO PRÁCTICO SUGERIDO
 Trabajo Práctico Nº 23: Funciones
CIERRE DE LA UNIDAD
Actividad para el cierre de la unidad.
ANEXO
 Trabajos Prácticos Sugeridos y Grillas de Autocorrección
Para el estudio de estos contenidos usted deberá consultar la bibliografía que aquí se especifica:
BIBLIOGRAFÍA OBLIGATORIA
 Veiga, D. Laboratorio de Cálculo. Buenos Aires, UAI, 2001.
Bibliografía Ampliatoria
 Haeüssler, F.; Matemáticas para administración y economía. Prentice Hall Hispanoamérica,
2003.
ORGANIZADOR GRÁFICO
El siguiente esquema le permitirá visualizar la interrelación entre los conceptos que a continuación
abordaremos.
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 / Pág.4
Lo/a invitamos ahora a comenzar con el estudio de los contenidos que conforman esta unidad.
1. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN
Cuando hablamos de función nos referimos a una relación entre dos conjuntos siempre y cuando
cumpla ciertas condiciones, que veremos.
Una función posee tres componentes:

un conjunto de “salida”,

un conjunto de “llegada”

un conjunto de correspondencias
Veamos cuáles son los nombres matemáticos que se utilizan con más frecuencia para designarlos…
El “conjunto de salida” se denomina “Dominio”, el “conjunto de llegada”, “Codominio” y el conjunto
de las correspondencias, “Gráfico o conjunto de pares ordenados”.
Dado un elemento del dominio, llamaremos imagen de éste al elemento del codominio que es su
correspondiente. Por ejemplo, si consideramos la función que a cada color del semáforo le asigna
el mensaje correspondiente, la imagen del color verde es el mensaje “avance”. Ahora bien, ciertos
elementos del codominio pueden ser la imagen de algún elemento del dominio, mientras que otros
pueden no serlo. Aquellos que sí lo sean forman lo que se denomina la imagen de la función.
Dado un elemento del codominio, pensemos en los elementos que lo tienen como imagen. El
conjunto de éstos se llama la preimagen de ese elemento del codominio. Como algunos elementos
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del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio, puede suceder que la
preimagen de un elemento sea simplemente el conjunto vacío.
Actividades para la facilitación de los aprendizajes
Teniendo en cuenta que las ejemplificaciones que elaboramos reflejan nuestro nivel
de comprensión de los conceptos estudiados, le pedimos que piense y escriba por lo
menos dos ejemplos concretos de funciones.
Especifique los componentes de cada función.
Profundice la explicación que brindamos más arriba con la lectura del siguiente material
bibliográfico.
Lectura requerida
Funciones. Imagen de un elemento por una función. Preimagen de un elemento por una
función. Componentes de una función. Formas de dar una función: diagrama sagital, tabla,
gráfico cartesiano y por fórmula. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires,
2001.
Guía para la lectura
Al abordar el material, le recomendamos que preste especial atención a las
representaciones gráficas que apoyan las explicaciones dadas, tales como diagramas de
Venn, esquemas, diagrama de flechas, tablas y gráficos cartesianos, ya que son
herramientas que sirven para representar los conceptos matemáticos.
1.1. EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
A veces una función viene dada por una fórmula y no se aclara el dominio de esa función. Para poder
operar con ella es necesario conocer cuál es el conjunto más amplio de números reales. Por ejemplo,
si una fórmula tiene un cociente es evidente que el denominador no podrá ser cero, y eso impone
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restricciones a los posibles valores del dominio de la función. Pero el cociente no es la única
operación “delicada”, también existen restricciones para:

la raíz cuando es de índice par, porque no existe raíz de índice par de un número negativo,

el logaritmo, ya que la base debe ser positiva y no puede ser igual a 1 y el argumento debe
ser positivo,

el arco seno y para el arco coseno, dado que sólo existen para valores comprendidos entre
–1 y 1…
Lo invitamos, ahora, a realizar la siguiente lectura:
Lectura requerida
El problema de “hallar dominio”. Requisitos o condiciones para cociente, raíz par,
logaritmo, arcoseno y arcocoseno. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos
Aires, 2001.
Guía para la lectura
Según el autor del texto, en muchos libros de matemática se presentan problemas
en los que se solicita “hallar el dominio” de una función que viene dada por una
fórmula. Al leerlo, rescate por qué para el autor no tiene sentido realizar este pedido.
A su vez, deténgase en los requisitos o condiciones para cociente, raíz par, logaritmo,
arcoseno y arcocoseno.
2.1. LA IMAGEN DE UNA FUNCIÓN
Al enfrentarnos a una función dada como un diagrama sagital, también conocido como diagrama
de flechas, es sencillísimo determinar cuál es el conjunto de valores del codominio que forman la
imagen de la función, sólo se trata de observar el esquema.
Pero cuando la función viene dada por una fórmula esa determinación no es tan sencilla.
Habitualmente, “se despeja la x” con lo cual se obtiene la correspondencia “inversa”, que equivale
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a invertir todas las flechas de la correspondencia “directa”. Entonces, el conjunto de valores de
“salida” de esta correspondencia “inversa” es lo mismo que el conjunto de "llegada" de la
correspondencia "directa".
En cambio, si la función está dada por un gráfico cartesiano, el dominio de la función es el conjunto
de valores del eje horizontal que están en una misma vertical que algún punto del gráfico, es decir
que es el conjunto de todas las proyecciones de los puntos del gráfico sobre el eje horizontal. La
imagen de la función es un conjunto de valores en el eje vertical (el eje donde están los valores del
codominio), justamente de aquellos que están a una misma altura que algún punto del gráfico de la
función, es decir, de aquellos puntos del eje vertical que son la proyección horizontal de algún punto
del gráfico de la función.
Complemente esta explicación con el material de lectura que especificamos a continuación.
Deténgase especialmente en los procedimientos descriptos por el autor.
Lectura requerida
El problema de hallar imagen de F. Hallar dominio en una homográfica. Hallar dominio e
imagen en una cuadrática. Hallar imagen de una función lineal. Hallar imagen de una
función con módulo. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
Usted ya está en condiciones de aplicar los contenidos vistos a través del siguiente trabajo:
Trabajo práctico requerido
Trabajo práctico Nº 21: Concepto de función (se encuentra al final de este documento)
Usted podrá encontrar las consignas de trabajo y la grilla de corrección en el Anexo de este
Orientador del Aprendizaje.
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2. CONJUNTOS DE POSITIVIDAD, DE NEGATIVIDAD Y DE CEROS DE UNA FUNCIÓN
Al estudiar una función puede interesarnos saber qué valores del dominio tienen una imagen
positiva. Al conjunto de esos valores se lo conoce con el nombre de Conjunto de Positividad de la
función.

Si la función viene dada por una fórmula, conocer el Conjunto de Positividad de la función
implicará conocer la fórmula y despejar qué valores de “x” tienen F(x) > 0.

En caso de que la función venga dada por un gráfico cartesiano, la determinación consistirá
en averiguar cuáles son los valores del eje horizontal que tienen imagen positiva, es decir,
cuáles son los puntos del eje horizontal que están por debajo del gráfico de la función (aunque
si se piensa descuidadamente se puede creer que esto está mal dicho).
De modo análogo denominamos Conjunto de Negatividad al conjunto de los valores de la función
cuyas imágenes son negativas.

Si la función viene dada por una fórmula, conocer su Conjunto de Negatividad implicará
plantear la inecuación F(x) < 0 y “despejar”.

Si, por el contrario, la función viene dada por un gráfico cartesiano conocer el Conjunto de
Negatividad requerirá determinar cuál es el conjunto de puntos del eje horizontal que
queda ubicado por encima del gráfico (los puntos del gráfico están por debajo).
Como usted se imaginará, se llama Conjunto de Ceros al conjunto de todos los valores del dominio
de una función cuya imagen es nula, es decir, que es igual a cero.

Si la función viene dada por una fórmula, para determinar el Conjunto de Ceros se deberá
plantear la ecuación F(x) = 0 y “despejar” el conjunto de valores “x” que la satisfacen.

Si la función viene dada por un gráfico cartesiano, para determinar el Conjunto de Ceros
será necesario saber cuáles son los puntos del eje horizontal que coinciden con el gráfico
cartesiano (o sea los puntos de intersección).
Amplíe este tema con la próxima lectura. Preste atención a los ejemplos que brinda el autor, ya que
clarifican los conceptos.
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Lectura requerida
Conjunto de Negatividad, de Positividad y de Ceros de una función. En Veiga, D.; Laboratorio
de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
Es momento de aplicar lo estudiado mediante el siguiente trabajo práctico:
Trabajo práctico sugerido
Trabajo práctico Nº 22: Conjunto de Negatividad, de Positividad y de Ceros de una
función
Encontrará las consignas en el Anexo de este Orientador.
3.1. FUNCIONES ELEMENTALES
3.1. CONSTANTE
El trabajo con funciones requiere el conocimiento de una variedad de funciones elementales que
serán la base para poder enfrentar, luego, funciones más complejas.
La más sencilla es la función constante que asigna la misma imagen a todos los valores del dominio
y tiene como gráfico cartesiano a una recta horizontal.
Formalmente, se escribe así:
F: R R /F(x)=k (donde k es un número real)
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/
Lectura requerida
Función constante. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
3.2. LINEAL
Podemos considerar la función lineal como una complejización de la anterior. Su gráfico es una recta
oblicua.
La fórmula de esta función podría presentarse así:
F: R R / F(x) = m x + b (donde “m” y “b” son números reales con “m” no nulo)
Cuando la “x” vale “0” su imagen es la siguiente: F(0)= m 0 + b = b
Es decir, la imagen de “0” en una función lineal es siempre “b”.
El gráfico cartesiano de esta función tiene un punto (0, b). Ese valor “b”, que es nuestro primer
parámetro, representa la ordenada del punto de intersección entre el gráfico cartesiano de la
función lineal y el eje de ordenadas. Dicho valor “b” se llama la “ordenada al origen” de la recta.
El otro parámetro importante para esta función, y para nuestra asignatura, es la “pendiente” que
corresponde a “m”.
Si consideramos dos valores distintos en el dominio de la función, llamémoslos X1 y X2, sus imágenes
serán “y1=F(x1)=mx1+b” y “y2=mx2+b” respectivamente.
Si calculamos el incremento de la “x” al pasar de “x1” a “x2” valdrá:
“ x=x1”
Al calcular el correspondiente incremento de la función, cuando la variable pasa de “x1” a “x2”,
obtenemos:
“ y = F(x2) – F(x1) = (m x2 +b) – (m x1 +b)”
que operando algebraicamente nos permite llegar a:
“ y = mx2 + b – mx1 – b = mx2 – mx1 = m (x2–x1)”
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/
Entonces, el cociente de los dos incrementos, conocido como cociente incremental, valdrá y/ x =
(m (x2–x1))/ (x2–x1) que, como x2–x1 no es cero porque consideramos dos valores distintos de x,
podemos simplificar y obtener: y/ x =m.
Es decir que el coeficiente de la “x” representa el cociente incremental de la función. Para una
función lineal ese cociente es constante.
Debemos dejar en claro que así como una recta horizontal es el gráfico cartesiano de una función
constante y una recta oblicua es el gráfico cartesiano de una función lineal, ocurre que una recta
vertical no es el gráfico cartesiano de ninguna función. Esto se debe a que un valor del dominio no
le correspondería exclusivamente uno del codominio, sino infinitos valores. Eso es incompatible con
el concepto de función.
Enriquezca esta explicación con la lectura del texto que mencionamos aquí:
Lectura requerida
Función lineal. En Veiga, D.; Laboratorio de Cálculo. UAI, Buenos Aires, 2001.
3.3. ESPECIALES
En las próximas páginas describiremos cada una de las siguientes funciones:
La función identidad x asigna a cada elemento de su dominio, como su imagen, ese mismo
elemento.
Su fórmula es: F: R  R/F(x)=x
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/
Por ejemplo, la imagen de 2 es 2, la de –7 es –7, y así sucesivamente.
Si el dominio es todo R, su gráfico será una recta oblicua que resulta bisectriz del 1º y 3º cuadrantes.
La función –x asigna a cada elemento de su dominio, como su imagen, el número opuesto. Es decir
que la imagen de 2 es –2 y la de –7 es 7.
Su fórmula es: F: R  R/ F(x) = – x
Basta graficar unos cuantos puntos para reconocer que su gráfico, si el dominio es todo R, es la recta
bisectriz del 2º y 4º cuadrantes.
La función |x|, conocida como “valor absoluto” o “módulo”, asigna a cada número su valor
absoluto. Es decir que a cualquier positivo le otorga ese mismo positivo, al cero le asigna el cero y a
cualquier negativo le asigna su opuesto.
Su fórmula es: F: R  R/ F(x) = |x|
Para los negativos su gráfico coincide con el de F(x) = – x, mientras que para los positivos y el cero
su gráfico coincide con el de F(x) = x.
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/
La función –|x| asigna a cada número su valor absoluto cambiado de signo.
Es decir que su fórmula es: F(x) = – |x|
Esta función tiene como gráfico cartesiano uno relacionado con el de la función anterior. Sólo que
éste es simétrico de aquel respecto del eje horizontal.
La función signo sg(x) asigna a cualquier positivo, como imagen, el 1; a cualquier negativo, el –1 y al
cero, el mismo cero.
Su fórmula es F: R  R/ F(x) = sg (x)
donde:
sg= signo
Basta pensar un poco para aceptar que su gráfico está “cortado”. Para los negativos es una
semirrecta horizontal de altura “–1”, para los positivos es otra de altura “1” y para el cero es “un
punto”, el punto (0; 0). Ahora bien, como no es posible graficar “un punto”, se debe utilizar un
recurso expresivo para ello. Una forma habitual es marcar un pequeño círculo sombreado de negro
con centro en el punto que se desea representar (en nuestro caso, con centro en (0; 0)).
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/
La función [x], conocida como “parte entera”, asigna a cada real, como imagen, el mayor entero que
no lo sobrepasa. Por ejemplo, para el 5 su parte entera es 5, pues éste es el mayor entero que no es
mayor que 5. Para 3.2 la parte entera es 3, ya que éste es el mayor entero posible que no es mayor
que 3.2 (por supuesto que el siguiente entero, el 4, ya sería mayor que 3.2). Y para un negativo no
entero pensemos como ejemplo cuál es la imagen del –5.4. Erróneamente, suele pensarse que su
parte entera es el –5, pero –5 es mayor que –5.4 (–5 está a la derecha de –5.4). Por eso, no puede
haber dudas: la parte entera de –5.4 es –6.
La fórmula sería F: R  R/ F(x) = [x]
donde:
La “x” aparece encerrada entre corchetes.
El gráfico de esta función está constituido por escalones, por tal razón se dice que es una función
escalonada.
En
efecto,
todos
los
valores
del
intervalo
[2; 3) tienen como parte entera el número 2. Por eso para ese intervalo el gráfico es un segmento
horizontal de altura 2, que incluye su extremo izquierdo pero no su extremo derecho.
La última de este grupo de funciones es la llamada “función mantisa”, que simbolizamos mant (x).
La mantisa de un número real es la diferencia entre el número y su parte entera. Por ejemplo, la
mantisa de 3.6 es 0.6 puesto que 3.6–3=0.6. Usando la notación “mant” para representar la palabra
“mantisa” escribiríamos:
Mant(3.6) = 3.6 – [3.6] = 3.6 – 3 = 0.6
Y, en general, podemos escribir:
Mant(x) = x – [x]
Esta función está formada por pequeños trozos de segmentos entre dos valores enteros
consecutivos. Por ejemplo, entre 0 y 1 la función vale 0 para el 0, vale 0.1 para el 0.1, vale 0.5 para
0.5 y así siguiendo con los valores cercanos a 1, como 0.8 cuya imagen es 0.8 y 0.9 cuya imagen es
0.9.
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/
Actividades para la facilitación de los aprendizajes
Teniendo en cuenta lo estudiado en relación con las funciones especiales, le proponemos
graficar cada una de estas funciones. Puede consultar la bibliografía para ampliar y
consolidar las nociones involucradas si lo cree necesario.
Recuerde que usted puede aprovechar el espacio virtual para volcar las dudas o
inquietudes que le surjan en el momento de llevar a cabo esta actividad.
4. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
En relación con una función como F: R R / F(x) = 2 x + 3, si consideramos dos valores distintos en
su dominio, por ejemplo el “1” y el “3” y comparamos sus imágenes, vemos que ellas son:
F(1)=2.1+3=5 y F(3)=2.3+3=9.
Usted habrá notado que el número mayor (el 3) tiene la mayor imagen (el 9) o, lo que es lo mismo,
el número menor (el 1) tiene la menor imagen (el 5).
¿Eso ocurre sólo para el “1” y el “3”? ¿o para cualquier par de números distintos de su dominio?
Sucede para cualquier par de números distintos de su dominio. En efecto, si “a” y “b” son dos
números distintos en el dominio de la función que estamos considerando, si se cumple que “a < b”,
entonces, ocurrirá (al multiplicar ambos miembros por 2, que es positivo) que “2a < 2b” y, por lo
tanto, (simplemente sumando “3” a ambos miembros) que “2a + 3< 2b + 3”. Es decir que si “a < b”,
entonces, “F(a) < F(b)”.
En esta función, a medida que tomamos en cuenta valores cada vez mayores del dominio sus
imágenes son también cada vez mayores.
En un caso como éste decimos que la función es creciente en su dominio.
Observémoslo en el siguiente gráfico:
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/
En el gráfico vemos que a mayores valores de “x” corresponden mayores valores de “y”.
Ahora bien, podemos considerar también el crecimiento en una porción del dominio, por ejemplo
en un intervalo. Una función puede ser creciente en un intervalo del dominio y ser decreciente en
otro.
Por ejemplo para la función:
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/
La función es decreciente en (–∞; a) y también en (b; c), con lo cual podemos decir que es
decreciente en (–∞; a) U (b; c). Por otro lado, es creciente en (a; b) y también lo es en (c; +∞) con
lo cual podemos afirmar que es creciente en (a; b) U (c; +∞).
Llamaremos Intervalos de crecimiento a la unión de todos los intervalos del dominio donde la
función es creciente y denominaremos Intervalos de decrecimiento a la unión de todos los intervalos
en donde la función es decreciente.
5. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
2
2
Consideremos la expresión a  5 , (“a” es un número real).
¿Podremos deducir a partir de ella que “a=5”?
2
2
Es evidente que no, pues podría ser que fuera “a=5” o bien “a= –5”. Entonces, sabemos que a  5
no implica que “a =5”.
2
2
2
2
De a  b no podemos concluir que “a=b”. Lo que sí sabemos es que a  b implica
a  b  a  b . Podríamos decir que la función cuadrado no se puede simplificar, es decir, no se
puede “tachar” sin más y obtener una expresión equivalente a la original.
3
3
En cambio, si tuviéramos a  b concluiríamos, sin duda, que a  b .
3
3
Simbólicamente colocaríamos: a  b  a  b
Si usted tiene alguna duda al respecto puede intentar hallar dos números distintos que tengan el
mismo cubo.
Es decir que la función cubo se puede simplificar obteniendo una expresión igual a la original.
Cuando pasa esto decimos que la función es inyectiva.
Una función será llamada inyectiva cuando, para cualesquiera reales a; b del dominio, vale:
“si se cumple F(a)=F(b) entonces a=b”
Por lo tanto, una función no será inyectiva si encontramos al menos un par de números distintos
que tienen la misma imagen. Es decir, F no es inyectiva si existen a; b distintos, en el dominio, tales
que F(a)=F(b).
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/
2
Por ejemplo, la función cuadrado: F : R  R / F ( x)  x no es inyectiva, porque encontramos al
menos dos números reales distintos, por ejemplo,
–3 y 3 que tienen igual imagen. Es decir, F no es inyectiva, porque 3  3 y F (3)  F (3) .
En cambio, esto no pasaría para la función cubo, sería imposible encontrar dos reales distintos con
igual cubo.
Ahora bien, en un gráfico ¿cómo se “ve” la inyectividad de una función?
Consideremos esta función:
Será suficiente con trazar una horizontal que corte al gráfico para encontrar lo siguiente:
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.19
/
Vemos que esta horizontal corta al gráfico en más de un punto. Hemos señalado dos de ellos.
Podríamos indicar tres, pero excede nuestros fines.
Señalemos las abscisas de esos puntos donde la horizontal corta al gráfico.
Las abscisas de los puntos de intersección se han llamado “a” y “b”. Vemos que las imágenes de “a”
y “b” son iguales (simbólicamente F(a)=F(b)) a pesar de que a  b . Y, entonces, F no es inyectiva.
Cada vez que el gráfico sea tal que pueda ser cortado por una horizontal en más de un punto,
tendremos la situación anterior, y diremos que la función no es inyectiva.
De modo que, gráficamente hablando, una función será inyectiva cuando, y sólo cuando, ninguna
horizontal corte a su gráfico en más de un punto.
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Actividades para la facilitación de los aprendizajes
Observe los siguientes gráficos y reconozca cuáles de las siguientes funciones son inyectivas.
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/
Seguramente, usted habrá advertido que las funciones F y G son no inyectivas mientras que la H sí
lo es. Será útil trazar rectas horizontales para comprobar cuál de ellas es la que tiene imágenes
iguales para números distintos en el dominio.
Hasta aquí nos hemos referido a la función inyectiva. Avancemos, ahora, con el concepto de función
sobreyectiva.
En un diagrama sagital como el siguiente observamos una característica importante de ciertas
funciones: todos los elementos del Codominio tienen alguna flecha que llega a ellos, es decir, todos
los elementos del Codominio son la imagen de algún elemento del Dominio.
Comparemos esta función con la que viene dada en el siguiente diagrama:
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.22
/
Este diagrama de la función G tiene, en el Codominio, un elemento “r” que no es imagen de ningún
elemento del Dominio. Esto significa que la función G no es sobreyectiva.
Considerando que la imagen de una función es el conjunto de todos los elementos del Codominio
que son imagen de algún elemento del Dominio, podemos ver que en una función que no es
Sobreyectiva ocurre que el codominio y la imagen son distintos. Tengamos en cuenta que para esta
función,
COD= {m; n; p; r} mientras que IM={m; n; p}, claramente se advierte que no son iguales. De modo
que también podemos decir que una función es sobreyectiva cuando su imagen es igual a su
codominio.
¿De qué modo se caracteriza gráficamente que una función sea sobreyectiva?
Supongamos que tenemos la función F : R  [1; 1] con el siguiente gráfico:
Hemos resaltado con un trazo muy grueso el Codominio de F. Vemos que los números que están
entre 1 y 2 en el Codominio no tienen ninguna preimagen, no son imagen de ningún número del
Dominio. Es decir que la función no es sobreyectiva. Cualquier recta horizontal que tenga altura
entre 1 y 2 cortará al Codominio, pero no al gráfico.
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.23
/
En otras palabras, cuando existe una horizontal que corta al Codominio pero no al gráfico, la función
no es sobreyectiva.
De aquí podemos formular, en lenguaje gráfico, que una función es sobreyectiva cuando
toda horizontal que corta al Codominio corta también al gráfico.
Por otro lado, una función que sea simultáneamente Inyectiva y Sobreyectiva se llamará Biyectiva.
Si se invierte la posición de cada elemento y su imagen en una función que sea Biyectiva, se obtendrá
nuevamente otra función. Eso sólo sucede para funciones que sean Biyectivas, por eso a éstas se las
llama también funciones inversibles (tienen función inversa, es decir, su relación inversa es también
función).
1
El gráfico de la función inversa de una función F (la función inversa se designará F ) tiene una
característica: es simétrico respecto de la recta bisectriz del 1er y 3er cuadrantes. Veámoslo en un
gráfico.
Tenemos una función F biyectiva (no indicamos en el gráfico el Dominio y el Codominio para no
recargarlo):
Su función inversa será F 1 . Las indicamos a ambas en el mismo gráfico:
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.24
/
Basta trazar la recta y=x, que es la bisectriz de 1er y 3er cuadrantes, para advertir que F y F 1 son
simétricas respecto de ella.
Le proponemos, ahora, que efectúe el siguiente trabajo práctico cuyo propósito es posibilitarle la
aplicación de los contenidos vistos.
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.25
/
Trabajo práctico sugerido
Trabajo práctico Nº 23: Funciones
Usted encontrará las consignas de trabajo y la grilla de corrección en el Anexo de este
Orientador del Aprendizaje.
CIERRE DE LA UNIDAD
Para cerrar esta unidad le proponemos la realización de la siguiente actividad.
Si usted sintoniza el canal CNN periódicamente, recibirá la información de la temperatura de
ciudades importantes de Latinoamérica y del resto del mundo. Esa información viene dada en
grados Celsius (º C) y en grados Fahrenheit (º F). Imaginemos las ciudades A y B, que poseen las
siguientes temperaturas:
Ciudad A: 16º C ó 61º F y ciudad B: 28º C ó 82º F.
Le pedimos que exprese la temperatura (dada en º F) en función de la temperatura en º C.
Finalmente: (a) halle la temperatura en º F de una ciudad D con 50º C y (b) encuentre la temperatura
en º C de otra, llamémosla E, con temperatura de 120º F.
Tenga en cuenta que la función que le solicitamos es una función lineal.
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.26
/
ANEXO
Trabajos Prácticos Sugeridos y Grillas para la autocorrección
Le sugerimos que realice los siguientes trabajos prácticos, dado que resultan una
instancia de puesta en práctica y verificación de sus aprendizajes.
Al finalizar, compare lo realizado por usted con lo propuesto por nosotros en las Grillas
de Autocorrección que aparecerán al final de cada trabajo.
Identifique las diferencias y si las hubiera, encuéntreles sentido (es decir, una
explicación lógica y personal). Tenga en cuenta que en el acto mismo de otorgamiento
de sentido se juega en gran parte la comprensión de lo estudiado.
Si tiene dificultades, consulte a su tutor/a o intercambie opiniones con sus
compañeros/as!
Trabajo Práctico Sugerido Nº 22: Conjuntos de Positividad, de Negatividad y de
Ceros de una función
Introducción a la geometría analítica
A través de este trabajo práctico pretendemos que usted pueda poner en práctica lo
estudiado acerca del tema Conjuntos de Positividad, de Negatividad y de Ceros de
una función.
Consignas
Halle Conjuntos de Positividad (CP), Conjuntos de Negatividad (CN) y Conjuntos de
Ceros (CC) para cada una de las siguientes funciones. En cada caso aclare, además, el
Dominio.
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.27
/
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
2x  3
4
2  5x
F ( x)  7 
4
x8
F ( x) 
x 3
F ( x)  6  x  1
F ( x) 
F ( x)  x 2  3 x
F ( x)  x 3  7 x 2  6 x
F ( x)   x 3  4 x 2  3x
2  3x
F ( x) 
5  2x
2
F ( x) 
x3
Grilla de Autocorrección Nº 22: Conjuntos de Positividad, de Negatividad y de Ceros
de una función
Orientaciones para la corrección
 3
 2
3
 3


;    ; CN     ;  
2
 2


1) D   ; CC    ; CP   
26 
 26 
 26


;    ; CN     ;  
 ; CP   
5 
 5
 5


2) D   ; CC  
3) D    3 ; CC   8 ; CP    ;  8  3 ;    ; CN   8 ; 3
4) D   ; CC  5 ;  7 ; CP    ;  7   5 ;    ; CN   7 ; 5
5) D   ; CC   0 ; 3 ; CP    ; 0   3 ;    ; CN  0 ; 3
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.28
/
6) D   ; CC   0 ; 1 ; 6 ; CP  0 ; 1  6 ;    ; CN    ; 0     ; 0 
7) D   ; CC   0 ; 3 ; 1 ; CP    ; 0   1 ; 3 ; CN  0 ;1  3 ;   
2 5
5 

 2

 2 5
 ; CP    ;  ; CN     ;     ;   
3.   2.

2

 3. 
 3. 2. 
9) D    3 ; CC   ; CP  3 ;     3 ;    ; CN    ; 3
8) D      ; CC   
Trabajo Práctico Sugerido Nº 23: Funciones
Introducción a la geometría analítica
Por medio de este trabajo práctico lo invitamos a transferir sus conocimientos sobre
las funciones especiales a situaciones concretas.
Consignas
1) Halle una función lineal que cumpla las siguientes condiciones:
a. F(0) = 2 ; F(2) = 0
b. F(–1) = 1 ; F(2) = 1
c. F(–2) = 3 y la gráfica es paralela a la de la función F(x) = –3x + 1
d. F(1) = –2 y la gráfica es perpendicular a la de la función F(x) = –3x + 1
2) Realice lo siguiente:
a. Halle el Dominio de F(x) (Observe el gráfico adjunto).
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.29
/
b. Para cada función indique si es inyectiva, sobreyectiva (en todos los casos el Codominio es
R), biyectiva, creciente o decreciente.
c. Obtenga los gráficos utilizando, sencillamente, el graficador Graphmatica. Al usar
Graphmatica, tenga en cuenta lo siguiente: para el cubo escriba “y=x^3”, para el módulo escriba
“y=abs(x)”, para la parte entera “y=int(x)”, etc.
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.30
/
i.
ii.
iii.
iv.
v.
F(x) = x3
F(x) = x4
F(x) =x4 + x3
F(x) = |x|
F(x) = 1
d.
Grilla de Autocorrección Nº 23: Funciones
Orientaciones para la corrección
1)
a) F ( x )   x  2
b) F ( x )  1
c) F ( x )   3 x  3
d) F ( x ) 
1
7
x
3
3
2)
a) DOM ( F )  ( 3 ; 2)  ( 4 ;   )  ( 3 ; 1)  (1 ; 2)  ( 4 ; 7) ; (7 ;   )
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.31
/
b)
F
G
H
INY
SÍ
NO
SÍ
SOBREY
SÍ
NO
SÍ
BIY
SÍ
NO
SÍ
CREC
NO
NO
SÍ
DECREC
SÍ
NO
NO
x 3
 4
x

c)  x 4  x 3
| x |

0

7
 3
; 
2
 2
d) S  
1 | 2 x  5 | 
3
1
Laboratorio de cálculo / Módulo III / Unidad 7 Pág.32
/
Trabajo práctico Nº 21: Concepto de función
Determine el dominio de las siguientes funciones
1) 𝑓 𝑥 =
2) 𝑓 𝑥 =
3) 𝑓 𝑥 =
1−𝑥
𝑥 2 −1
𝑥2
−2𝑥+1 +2
𝑥2
−2𝑥+1 −5
4) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥 2
𝑥
5) 𝑓 𝑥 = log 2 (𝑥−2)
6) 𝑓 𝑥 =
1
1− 𝑥
7) 𝑓 𝑥 = 3 + 4𝑥 − 4𝑥 2
Determine la imagen de las siguientes funciones
8) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 5𝑥 +3
2𝑥−1
9) 𝑓 𝑥 = 3−6𝑥
10) 𝑓 𝑥 = 1 − |2𝑥 + 2|
Grilla de Autocorrección Nº 21: Concepto de función
1) Dom(f) = R-{1,-1}
2) Dom(f) = R
3) Dom(f) = R-{3, -2}
4) Dom(f) = [0,2]
5) Dom(f) = (-∞,0)U(2, ∞)
6) Dom(f) = (-1,1)
7) Dom(f) = [-1/2, 3/2]
8) Imag(f) = [-13/4, ∞)
9) Imag(f) = R – {-1/3}
10) Imag(f) = (-∞,1]