REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR ||A|| ES LA MAGNITUD , MÓDULO O NORMA A EL ANGULO DA LA DIRECCIÓN LA CABEZA DE FLECHA DA EL SENTIDO Y LA COLA , EL PUNTO DE APLICACIÓN DISTANCIA: C ANTIDAD ESC ALAR Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. s = 20 m A B Una cantidad escalar: Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal) DESPLAZAMIENTO-CANTIDAD VECTORIAL • Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada. D = 12 m, 20o A q B Una cantidad vectorial: Contiene magnitud Y dirección, un número, unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N) DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO • Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. Desplazamiento neto: D 4 m, E D = 2 m, W ¿Cuál es la distancia recorrida? x = -2 x = +4 6 m, W ¡¡ 10 m !! COORDENADAS GEOGRÁFICAS Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.) N Longitud = 40 m 40 m, 50o N del E W 60o 50o 60o 60o E 40 m, 60o N del W 40 m, 60o W del S S 40 m, 60o S del E COORDENADAS GEOGRÁFICAS Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. N N W 45o E 50o E W S S 500 S del E Clic para ver las respuestas... 450 W del N COORDENADAS POLARES • En coordenadas polares el ángulo siempre debe ser medido desde la parte positiva del eje x. y V q x COORDENADAS POLARES Las coordenadas polares (R, q) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E. 90o 90o 40 m R 180o 50o 180o q 0o 0o 270o R es la magnitud y q la dirección. 270o COORDENADAS POLARES Se dan coordenadas polares (R, q) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 90o (R, q) = 40 m, 50 (R, q) = 40 m, 120 (R, q) = 40 m, 210 o (R, q) = 40 m, 300 o 120o 210o 180o 60o 60o 50o 60o 0o 3000 270o o o COORDENADAS RECTANGULARES DE UN VECTOR El vector de la figura está representado en su forma rectangular, o sea por un par de coordenadas que corresponden a sus componentes en x y y respectivamente. (R, q). y (Vx,Vy) x COORDENADAS RECTANGULARES DE UN VECTOR El vector de la figura está representado en su forma rectangular, o sea por un par de coordenadas que corresponden a sus componentes en x y y respectivamente. (R, q). x = R .cos q y = R .sen q R y q x COORDENADAS RECTANGULARES DE UN VECTOR Para convertir de coordenadas polares a rectangulares o viceversa pueden usarse las fórmulas que se presentan en el cuadro a continuación. COORDENADAS RECTANGULARES DE UN VECTOR ¿Cuáles son las coordenadas rectangulares de un vector de magnitud 10 y de dirección 125°? COORDENADAS RECTANGULARES DE UN VECTOR ¿Cuáles son las coordenadas polares de un vector cuya proyección en x es 15 y cuya proyección en y es -20? EJEMPLO: UNA PERSONA CAMINA 400 M EN UNA DIRECCIÓN 30 O N DEL E. ¿CUÁN LEJOS ESTÁ EL DESPLAZAMIENTO AL ESTE Y CUÁNTO AL NORTE? N N R y y=? q x 30o E E x=? El componente x (E) es ADY: x = R cos q El componente y (N) es OP: y = R sen q EJEMPLO 2 (CONT.): UNA C AMINATA DE 400 M EN UNA DIRECCIÓN A 30 O N DEL E. ¿CUÁN LEJOS ESTÁ EL DESPLAZAMIENTO DEL ESTE Y CUÁNTO DEL NORTE? N Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300 400 m y=? 30o E ADY = HIP x cos 300 x=? x = R cos q x = (400 m) cos 30o = +346 m, E El componente x es: Rx = +346 m EJEMPLO 2 (CONT.): UNA C AMINATA DE 400 M EN UNA DIRECCIÓN A 30 O N DEL E. ¿CUÁN LEJOS ESTÁ EL DESPLAZAMIENTO DEL ESTE Y CUÁNTO DEL NORTE? N Nota: y es el lado opuesto al ángulo de 300 400 m y=? 30o E OP = HIP x sen 300 x=? y = R sen q y = (400 m) sen 30o = + 200 m, N El componente y es: Ry = +200 m EJEMPLO 2 (CONT.): UNA C AMINATA DE 400 M EN UNA DIRECCIÓN A 30 O N DEL E. ¿CUÁN LEJOS ESTÁ EL DESPLAZAMIENTO DEL ESTE Y CUÁNTO DEL NORTE? N 400 m Ry = +200 m 30o Rx = +346 m E Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original. SIGNOS PARA COORDENADAS RECTANGULARES 90o Primer cuadrante: R q + R es positivo (+) 0o > q < 90o x = +; y = + + 0o x = R cos q y = R sen q SIGNOS PARA COORDENADAS RECTANGULARES 90o Segundo cuadrante: R es positivo (+) 90o > q < 180o R 180o + q x= -; y=+ x = R cos q y = R sen q SIGNOS PARA COORDENADAS RECTANGULARES Tercer cuadrante: R es positivo (+) 180o > q < 270o x= q - y=- 180o - R x = R cos q y = R sen q 270o Signos para coordenadas rectangulares Cuarto cuadrante: R es positivo (+) 270o > q < 360o x= + y=- q + R 270o 360o x = R cos q y = R sen q RESULTANTE DE VECTORES PERPENDICULARES Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R x y 2 R y q x R siempre es positivo; q es desde el eje +x y tan q x 2 EJEMPLO 3: UNA FUERZA DE 30 LB HACIA EL SUR Y UNA DE 40 LB HACIA EL ESTE ACTÚAN SOBRE UN BURRO AL MISMO TIEMPO. ¿CUÁL ES LA FUERZA NETA O RESULTANTE SOBRE EL BURRO? Dibuje un esquema Elija una escala Ej: 1 cm = 10 lb 40 lb 40 lb Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. 4Los cmvectores = 40 lb fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El 3 cm = 30 lb procedimiento es el mismo! 30 lb 30 lb CÓMO ENCONTRAR LA RESULTANTE (CONT.) Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) 40 lb Rx q 40 lb f Ry R 30 lb R= tan f = x2 + y2 -30 40 R= f = -36.9o 30 lb (40)2 + (30)2 = 50 lb q = 323.1o CUATRO CUADRANTES (CONT.) 30 lb R R = 50 lb Ry 30 lb R Ry q f 40 lb 40 lb q Rx Rx Rx q Rx q 40 lb f f Ry 30 lb 40 lb Ry R = 50 lb R f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o R 30 lb