Un método de valoración de
opciones bermudas
¿Qué son?
Las opciones bermudas son similares a las americanas, pero el ejercicio temprano solo puede realizarse
en determinadas fechas.
¿Cómo valorizarlas? Con un Enfoque de
parametrización de límites de ejercicio
Consideraciones:
-
El precio del activo sigue un Movimiento Geométrico Browniano
La opción tiene una madurez T
Se han generado m trayectorias de la opción de la forma S(0) = S0, S(1), S(2), ..., S(n),
Regla de ejercicio de la opción: VALORES DE CORTE
Para cada t ∈ {T/n , 2T/n ..., T}, hay un valor de corte S ∗ (t) tal que:
-
Si S(t) > S∗ (t) no se ejerce la opción
En caso contrario se ejerce la opción.
IMPORTANTE: Trabajaremos con una opción put
Para t = T → S∗(t) = K
El valor de S∗(t) es K.
Por lo que la opción se ejerce sólo si S(t) ≤ K, y el valor promedio de la opción en S(t) es el promedio de los
valores V(t) = max(K - S(t), 0).
Para el resto de los t
Para determinar S∗(t), se consideran como “candidatos”, el valor de corte el 0 y cada uno de los m valores
generados para S(t), por separado.
Para cada valor s, se define el valor de la opción en t de cada trayectoria como:
-
K - S(t) si corresponde ejercer (S(t) ≤ s).
o si no el valor de V (t + T / n ) descontado un periodo
El valor de corte S∗(t) óptimo será aquel valor s que maximiza el promedio de los valores de la opción en t
Y que hacemos con los S∗(t) óptimos?
Se descartan las trayectorias utilizadas.
Se genera un nuevo conjunto de N trayectorias.
Con estas nuevas trayectorias y con los valores de corte obtenidos previamente se valora la opción.
En t = 0 el valor de la opción V(0) será el máximo entre el ejercicio temprano y el valor promedio de la
opción en t = 1 descontado un período.
Datos del modelo
-
Precio inicial del activo subyacente S0 = 36.
Tasa de inter´es libre de riesgo r = 0.06.
Volatilidad σ = 0.2.
Madurez de la opción T = 1 año.
Precio de ejercicio de la opción K = 35.
Pasos (cantidad de períodos) n = 3.
Es decir, que la opción se puede ejercer en t = { T/3 , 2T/3 , T}.
Ejemplo con m = N = 8. S(t)
Trayectorias
t = 1/3
t = 2/3
t=1
1
29.1844
27.8272
25.7764
2
33.647
30.0841
31.1242
3
36.0955
39.0346
31.5830
4
35.5985
34.2089
38.5441
5
41.6552
47.6588
48.98796
6
35.9900
33.8531
39.7002
7
38.6347
34.7474
27.9209
8
37.0065
37.3167
43.7943
Spoiler: Candidato óptimo para S∗(2/3) = 34.2089
Trayectorias
S(⅔)
V(⅔)
V(1)
Ejercer?
1
27.8272
7.1728
9.2236
SI
2
30.0841
4.9159
3.8758
SI
3
39.0346
3.3493
3.417
NO
4
34.2089
0.7911
0
SI
5
47.6588
0
0
NO
6
33.8531
1.1467
0
SI
7
34.7474
6.9389
7.0791
NO
8
37.3167
0
0
NO
Promedio de V(2/3) es
3.03935234
Recordar que el óptimo
valor de corte en t es
aquel candidato que
maximiza el promedio
V(t)
Resultado de una simulación con m = 1000 y N =
20000
S∗( T/3 )
S∗( 2T/3 )
V(0)
32.8265
33.2643
1.5494
Conclusiones
De los datos obtenidos y de otras simulaciones donde se varía el m y N podemos decir que:
-
En general, los precios de corte se acercan más al precio de strike K a medida que nos acercamos a
la madurez de la opción
Los valores calculados se vuelven más precisos si se incrementan el m y N. No obstante, esto
incrementa el tiempo de simulación, ya que el cálculo de los cortes óptimos tiene una complejidad
O(m^2 ) y la valorización O(N).