UNIDAD 4 ACTIVIDAD 5 TALLER SOBRE APLICACIONES EN LA ADMINISTRACIÓN Estimado estudiante: Para la elaboración del siguiente taller, debe tener en cuenta los conceptos y los ejercicios que ha practicado en su proceso de lectura, tal como se indica en la actividad. Recuerde demostrar el paso a paso para en cada uno de los problemas planteados. Muchos éxitos. 1. En una empresa de zapatos se producen cada mes 750 pares para dama. La persona encargada de costos determina que el precio de cada par de zapatos es p = 450 - 8x. Aquí, p indica la función del precio de cada par de zapatos, y x, la cantidad. Por otra parte, el personal de costos de producción decide que cada par de zapatos se establece por la siguiente función $(1500+30x-2x2). Con base en lo anterior especifique lo siguiente: A. ¿Cuántos pares de zapatos se deben fabricar mensualmente para que se obtenga la máxima utilidad? 𝑈 (𝑥) = 𝐼 (𝑥) − 𝐶(𝑥) 𝑈 (𝑥) = (450 − 8𝑥)𝑥 − (1500 + 30𝑥 − 2𝑥2 ) 𝑈 (𝑥) = 450𝑥 − 𝑥2 − 1500 − 30𝑥 + 2𝑥2 𝑈 (𝑥) = 420𝑥 − 6 𝑥2 − 1500 𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑈 (𝑥) = 420𝑥 − 12 𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜, 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 420 − 120𝑥 = 0 −120𝑥 = −420 120𝑥 = 420 420 𝑥= 120 𝑥 = 3.5 Se debe fabricar cuatro pares de zapatos para maximizar la utilidad. B. Encuentre el ingreso máximo. 𝐼 (𝑥) = 𝑝 ∗ 𝑥 = (450 − 8𝑥)𝑥 = (450 − 8𝑥)𝑥2 Luego el ingreso máximo es del valor de x cuando 𝐼 (𝑥) = 0 calculando𝐼 (𝑥) tenemos 𝐼 (𝑥) = (450 𝑥 − 8𝑥2 ) = 450 − 16𝑥 Igualándolo a 0 450 𝑥 − 16𝑥 = 0 = 450 − 16𝑥 = 0 450 = 16𝑥 𝑥= 450 = 28.125 16 𝑥 = 28.125 punto critico 𝐼(28.125) = 450(28.125 ) − 8 (28.125)2 = 12.256,25 − 6.328,125 = 5.928,125 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = $5.928,125 C. Encuentre la elasticidad de la demanda para x = 80 y x = 130. Explique los resultados y compruébelos. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 80 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑃 = 450 − 8 (80) 𝑃 = 450 − 640 = −190 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 130 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 ∶ 𝑃 = 450 − 8(130) 𝑃 = 450 − 1050 = −590 Variación de 𝑥 = 130−80 Variación de 𝑝 = 590−(−190 80 −190 = 0,625 −400 = −190 = 2,105 0.625 Luego de 𝑁 = 2.105 = 0,296875 = 0,3 Es la elasticidad expresada como el cambio porcentual en la cantidad demandada en relación con el cambio porcentual en el precio. D. Descubra la utilidad marginal lo mismo el ingreso marginal para x = 14 y explique el resultado. Se conoce que 𝑈 (𝑥) = 420𝑥 − 6 𝑥2 − 1500 Y su derivada 𝑈 (𝑥) = 420𝑥 − 12𝑥 𝑈 (14) = 420 − 12 (14) = 420 − 168 = 252 𝑈 (14) = 252 Para el ingreso de marginal I (𝑥) = 450 − 16𝑥 𝐼 (14) = 450 − 16(14) = 450 − 224 = 226 2. Una compañía de seguros vende x pólizas cada mes a un precio de p = 45.000 –3x pesos. En este caso, si determina el costo por la siguiente función y = 56.000x + 4800.000 pesos, ¿cuántas pólizas deben venderse para lograr la máxima utilidad? 𝑈 (𝑥) = 𝐼 (𝑥) − 𝐶( 𝑥) = (45.000 − 3𝑥)𝑥 − (56.000𝑥 + 4.800.000) 𝑈(𝑥) = 45.000𝑥 − 3𝑥2 = −3𝑥2 − 56.000𝑥 − 4.800.000 − 11.000𝑥 − 4.800.000 Calculando la derivada de U (x) tenemos: 𝑈 (𝑥) = −6𝑥 − 11.000 Hallando el punto crítico – 6x – 11.000= 0 −6𝑥 = 11.000 𝑥 = −1.833,33 Nos enfrentamos a una disminución de la utilidad marginal de las unidades consumidas y los costes de los seguros son superiores a los ingresos. . Encuentre la utilidad marginal para x = 380. 𝑈 (𝑥) = −6𝑥 − 11.000 𝑈 (380) = −6(380) − 11.000 = −2280 − 11.000 = −13.280 𝑈 (𝑥) = 𝑈(380) = −13.280 Descubra η, para x = 230. Explique el resultado y compruébelo. Para 𝑥 = 230 P = 45.000 − 3(230) = 44.310 𝑁= 230 = 0,00519 44.310 Como N<1 Demanda inelásticas Esto significa que el cambio porcentual en las cantidades requeridas es inversamente proporcional al cambio de precio, lo que significa una oportunidad para bajar el producto junto con los precios de los productos mencionados en el mercado respectivo. 3. Una empresa manufacturera produce diariamente sillas mecedoras artesanales y talladas. Allí, la función de costos está dada por C(x)=85.000 + 56.000x y la demanda de las sillas mecedoras se establece por la siguiente función p = 92.000 – 280x. A. ¿Cuántas sillas mecedoras deben producirse diariamente para… i. aumentar la ganancia? ii. incrementar el ingreso? Ganancias=Ingreso - Costo Ingresos=precio* x Ganancias 𝑇 (𝑥) = 𝑃 ∗ 𝑥 − 𝐶(𝑥) = (92.000 − 280𝑥)𝑥 − (85.000 + 56.000 𝑥) = 92.000 𝑥 − 280𝑥2 − 85.000 − 56.000 𝑥 = 36.000𝑥 − 280𝑥2 = −280𝑥2 − 85.000 + 36.000𝑥 − 85.000 𝑇 (𝑥) = −560𝑥 + 36.000 −560𝑥 + 36.000 = 0 −560𝑥 = −36.000 Se deben producir 64 tumbonas para aumentar los beneficios Ingreso= 𝑃 ∗ 𝑥 = (92.000 − 280𝑥)𝑥 = 92.000𝑥 − 280𝑥2 Derivando esta expresión = 92.000𝑥 − 280𝑥2 𝐼(𝑥) = 92.000 − 560𝑥 560𝑥 = −92.000 Se deben producir 160 mecedoras para aumentar los ingresos b. Descubra el ingreso y la utilidad marginales para x = 250. Ingreso 𝐼(𝑥) = 92.000 − 560𝑥 𝐼(250) = 92.000 − 560(250) 𝐼(250) = 92.000 − 140.000 𝐼(250) = −48.000 Utilidad 𝑈(𝑥) = 𝐼 (𝑥) − 𝐶 (𝑥) = 6 (𝑥) 𝑦 𝐺(𝑥) = −560𝑥 + 36000 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 250 𝐺 (250) = −560(250) + 36000 = −140.000 + 36.000 = −104.000 𝐺 (250) = −104.000 c. Encuentre un valor de x tal que… i. η<0. ii. η>0. Explique cada resultado. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 250 𝑥 = 100 250−100 Variación de x= 100 150 = 100 = 1,5 Para 𝑥 = 100 𝑃 = 92.000 − 280 (100) = 92.000 − 28.000 = 64.000 Para 𝑥 = 250 𝑃 = 92.000 − 280 (250) = 92.000 − 70.000 𝑃 = 22.000 22.000−64.000 64.000 Variación de P= 42.000 = 64.000 = 0,65625 N= 1.5 −0,656254 = −2,29 Luego 𝑛 < 0 𝐶𝑜𝑛 𝑥 = 264 𝑦 𝑥 = 164 Tenemos 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 164 𝑃 = 92.000 − 280 (164) = 92.000 − 45.920 = 46.080 Para 𝑥 = 264 𝑃 = 92.000 − 280 (264) = 92.000 − 73.920 = 18.080 𝑁= 46.080 − 18.080 = 1,55 18.080 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑛 > 0 4. Una operadora de cable presta el servició de televisión, música e internet. En un estudio que ha hecho, ha encontrado que la rentabilidad depende de la tarifa mensual que cobra a los suscriptores. La relación de la utilidad anual P (en pesos), que se da en función de la tarifa mensual de renta r (pesos), es la siguiente 𝑃 = −45.000𝑟2 + 1.890.000𝑟 – 2.000.000 𝑃 = 45.000 𝑟2 + 1.890000𝑟 − 2.000.000 𝑑𝑝 90.000 + 1.890000 𝑑𝑟 −90.000 𝑟 + 1.890.000 = 0 = −90.000 𝑟 = −1.890.000 90.000 𝑟 = 1.890.000 R= 1.890.000 90.000 𝑅 = 21 r = 21 se refiere a que para r = 21 pesos, como resultado, la cantidad demandada para la cual la elasticidad es igual a la unidad a. Acuerde la tarifa de renta mensual r para que la empresa obtenga la máxima utilidad. b. ¿Cuál es la máxima utilidad que espera esta empresa? c. Si la entidad encargada de vigilar a este tipo de empresas le ha ordenado a dicha operadora que no cobre una tarifa que supere los $70, ¿cuál sería la tarifa que le produciría la máxima utilidad? ¿cuál es el efecto que tendría en la empresa la decisión de entidad de vigilancia? 5. El proceso para fabricar artículos que describe la utilidad marginal lograda con la elaboración y venta de un artículo se da por la siguiente fórmula: P= -5x+800 Al producirse y venderse 300 unidades se obtiene una utilidad total de $19.000. Con base en los datos anteriores, establezca la función de utilidad total. Recuerde que x es el número de unidades y MP corresponde a la utilidad marginal determinada en pesos. 6. La función de ingreso marginal para un artículo que produce una empresa es R= 870.000 - 260x En este caso x tiene que ver con el número de unidades que se han vendido. Por lo anterior, en caso de que los ingresos sean iguales a 0, es decir, que la empresa no vendió ni una sola unidad, establezca la función del ingreso total.