Función Phi de Euler Definición Para n >= 1, Phi(n) denota los números enteros positivos menores a n y que son relativos a este. Teoremas Si p es un número primo y k > 0, entonces La función Phi es una función multiplicativa. Dados los números enteros a, b, c, el MCD (a, bc) = 1, si y solo si MCD (a, b) = 1 y MCD (a, c) =1. Si el entero n <1 tiene una factorización prima , Para n < 2, Phi(n) es un entero par. Lema entonces: Teorema de Euler Si n >= 1 y MCD (a, n) = 1, entonces Fermat: Si p es un primo y p no divide a a’, entonces Gauss: Para cada entero positivo n >= 1, Sea n > 1 y MCD (a, n) = 1. El orden del módulo n (o el exponente al que pertenece módulo n) es el entero positivo k más pequeño que satisface Si el entero a tiene orden k módulo n, entonces si y solo si Sea a un entero que tiene orden k módulo n. Entonces , si y solo si k | h; en particular, k | Phi(n). Si a tiene orden k modulo n, entonces los enteros a, a2, …, ak son incongruentes módulo n. Si el entero a tiene orden k módulo n y h >0, entonces ah tiene orden k / MCD (h, k) modulo n Tenemos a con orden k módulo n. Entonces ah también tendrá orden k si y solo si MCD (h, k) =1. Raíces primitivas Si MCD (a, n) = 1 y a es el orden de Phi(n) modulo n, entonces a es la raíz primitiva del entero n. Sabemos que MCD (a, n) = 1 y a1, a2, …, aPhi(n) son enteros positivos menores que n y primos relativos de él. Si a es una raíz primitiva de n, entonces a, a2, …, aPhi(n) son congruentes módulo n a a1, a2, …, aPhi(n) en algún orden -Si p es una número primo y d | p-1, entonces la congruencia tiene exactamente d soluciones. -Si p es un número primo y d | p-1, entonces hay exactamente Phi(d) enteros incongruentes que tienen orden p módulo n. -Si n tiene una raíz primitiva, entonces tiene exactamente Phi (Phi(n)) de ellas. -Si f es un primo y es polinomial con grado n>=1 con coeficientes enteros, entonces la congruencia tiene como máximo n soluciones incongruentes módulo p. -Si p es un número primo, hay exactamente Phi(p-1) raíces primitivas incongruentes de p. R.P en los compuestos -Para k>=3, el entero 2k no tiene raíces primitivas. -Si MCD (m, n) =1, donde m>2 y n>2, entonces el entero mn no tiene raíces primitivas -El entero n no tiene raíz primitiva si: a) n es divisible por dos números impares, o b) n es de la forma n =2mpk, donde p es un primo impar y m>=2. -Sea p un primo impar y r una raíz primitiva de p con la propiedad que . Entonces para cada entero positivo k>=2, . -Si p es un número primo impar y k>=1, entonces existe una raíz primitiva para pk. -Si p es un primo impar, entonces existe una raíz primitiva r de p que satisface -Si p es un número primo, entonces p2 tiene raíz primitiva; en efecto, para una raíz primitiva r de p, o r o p+p (o ambas) es una raíz primitiva de p2. -Hay raíces primitivas para 2pk, donde p es un primo impar y k>=1. -Un entero n>1 tiene una raíz primitiva si y solo si n =2, 4, pk, o 2pk donde p es un primo impar.