Acortamiento
Instituto Tecnológico de Culiacán
5. Acortamiento
5.1.
Introducción
Existen muchas actividades donde, aportando recursos, generalmente económicos, se puede lograr que tengan
una duración menor. Por ejemplo: construir un muro de ladrillos de determinadas dimensiones, tiene una
duración específica y un costo relacionado con esa duración si la realiza un albañil, es decir una persona
capacitada para esa actividad. Sin embargo, podemos conseguir que esa actividad se realice en menos tiempo
si en ves de contratar a un albañil para que realice la tarea contratamos dos, la tarea se realizará en menos
tiempo, a un costo mayor (pagaremos a dos albañiles en ves de uno). Si contratamos tres, posiblemente la
actividad se realice en menos tiempo todavía, incrementando sin embargo, el costo. Pero no podemos hacer
esto hasta donde queramos, es decir; contratar veinte albañiles para que la actividad se realice en menos
tiempo no es recomendable. Es probable que con cuatro o cinco albañiles la duración sea la menor, al
contratar más gente solamente se estorbarán y no reducirán la duración de la actividad, pero si elevarán el
costo.
Otro ejemplo: dentro de nuestro proyecto necesitamos enviar un paquete a otra ciudad. Existe la posibilidad
de hacerlo por correo normal, que tiene una duración, supongamos una semana, y un costo asociado. Si
queremos que esa duración sea menor pondremos ese paquete con carácter de “urgente”, lo que ocasiona que
llegue antes a su destino, cinco días; es decir que la actividad tendría una duración menor, aunque tendríamos
que pagar más por ese servicio. Si todavía queremos reducir más esta duración podremos enviar el paquete
por medio de compañías que se dedican a realizar este tipo de actividades (DHL, FedEx, etc.), y reducimos la
duración de la actividad a tres días, claro que esas compañías cobran todavía mas por ese servicio. Y así
sucesivamente, podemos llegar al extremo de rentar un taxi aéreo y llevar nuestro paquete el mismo día con
solamente unas horas para la terminación de esa actividad, a un costo bastante elevado, sin embargo posible.
Resulta entonces que, si es posible reducir la duración de las actividades; y si ese tipo de actividades se
encuentran en la ruta crítica; es posible reducir la duración del proyecto total. Pero, ni las actividades se
pueden reducir indefinidamente, es decir duración cero, ni el proyecto tampoco (ver Máximo de los
mínimos.).
5.2.
Costos Vs. Duración
Resulta que los costos asociados con la ejecución y reducción de la duración de las actividades no es el único
costo asociado con un proyecto. Los costos totales de un proyecto son la suma de los costos directos y los
costos indirectos:
a) Costos directos: Son costos asociados con cada actividad, tales como mano de obra, materiales, etc., los
cuales aumentan cuando las actividades se aceleran. La gráfica siguiente muestra el comportamiento de
los mismos1.
Cada elemento de la gráfica se explica a continuación.
Duración normal (tn): Es el tiempo requerido para ejecutar la actividad con la mínima cantidad de recursos
disponibles.
Costo normal ($N): Es el mínimo costo necesario para poder llevar a cabo la actividad.
Duración límite (tl): Es la mínima duración posible de la actividad.
Costo límite ($L): Es el costo directo asociado con la duración límite considerando recursos ilimitados2.
1
2
Esta gráfica (5-1) a se refiere a cada actividad dentro del proyecto.
Consideraciones de recursos limados se tratan en el capítulo de Recursos.
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Administración de Proyectos
Cap-Pág.
5-1
Acortamiento
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$
$L
$N
tl
t
tn
Gráfica 5-1 Costos directos
Existen también dos datos que es necesario conocer:
Posible reducción (PR): Es la cantidad de tiempo que se puede reducir la actividad. Matemáticamente:
PR tn tl
Costo Marginal (CM): Es el costo de reducir la actividad una unidad de tiempo (costo de reducción por
unidad de tiempo). Matemáticamente: CM
$L $ N
tn tl
Es necesario aclarar que se esta considerando un comportamiento lineal, lo que no sucede en todos los casos.
Sin embargo es posible ajustar la curva de comportamiento no lineal (señalada con rojo en la gráfica) a
segmentos de comportamiento lineal.
b) Costos indirectos: Son costos asociados con el proyecto total tales como costos de administración, renta
de equipo, gastos fijos, etc. que disminuyen cuando se disminuye la duración del proyecto. Como se
muestra en la siguiente gráfica3.
$
t
Gráfica 5-2 Costos indirectos
por lo que el comportamiento de los costos totales, que son la suma de estos dos, es la siguiente:
3
La duración aquí mostrada (5-2) es la del proyecto total.
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5-2
Acortamiento
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$
Costos totales
Costos indirectos
Costos directos
t
Gráfica 5-3 Costos totales
se puede observar que los costos totales tienen un comportamiento que varía según la duración del proyecto.
No necesariamente será mayor el costo total al reducir las actividades.
Podemos reconocer diferentes puntos dentro de la curva de comportamiento de los costos totales:
Duración óptima: Es donde los costos del proyecto son menores.
Duración límite: Es donde la duración del proyecto total ya no es posible reducir.
Duración intermedia: Cualquier punto en el tiempo entre la duración de la ruta crítica, sin realizar
ninguna reducción, y la duración límite del proyecto (ver método máximo de los mínimos).
Existen muchos métodos de acortamiento de redes, en este documento se tratarán dos de ellos:
Método de reducción por ciclos
Heurísticos
Método SAM
Optimo
Programación lineal
Ilustración 5-1 Métodos heurísticos de acortamiento
Existen muchos métodos para realizar esta tarea, los métodos heurísticos no aseguran una solución óptima4,
pero son convenientes ya que se pueden realizar de manera manual y sin mucho esfuerzo. No se tratará aquí
del método de PL (Programación Lineal).
Antes de comenzar con cualquier método de acortamiento es conveniente conocer hasta dónde podemos
llegar con las reducciones. Es decir cuál será la duración mínima del proyecto. Esto lo podemos averiguar
encontrando un valor que denominaremos:
5.3.
Máximo de los mínimos.
Para acortar la duración de un proyecto es necesario acortar la duración de “todas” las rutas
críticas. Por consiguiente solamente se considerarán las actividades críticas para realizar
acortamientos. Ya que ninguna actividad puede tener una duración de 0, ninguna ruta (crítica o
no) podrá tener una duración de 0. Es decir que se podrán hacer acortamientos o reducciones de la
red dependiendo de los acortamientos o reducciones que se puedan hacer a las actividades críticas
(según PR de cada actividad). En otras palabras: existe un “limite” o capacidad de reducción tanto de
las actividades como de las rutas en una red.
4
Esto no indica que la solución no sea óptima. Solamente la PL si lo asegura.
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5-3
Acortamiento
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El presente método se utiliza para averiguar o conocer la duración menor, también conocida como duración
límite, de un proyecto sin necesidad de utilizar el método de reducción por ciclos hasta llegar a este valor 5.
Suponga la siguiente matriz de información (completa) para acortamiento:
Act.
A
B
C
D
E
F
G
H
Ant.
A
C
A
B, D, E
C
Normal
Días Pesos
4
100
7
280
3
50
5
200
2
160
10
230
7
200
3
100
Límite
Días Pesos
3
200
5
520
2
100
3
360
2
160
8
350
5
480
1
200
Sec.
D, F
G
E, H
G
G
-
PR
1
2
1
2
0
2
2
2
CM
100
120
50
80
0
60
140
50
Considerando los costos indirectos = $100/día
Obtenemos la siguiente RAF:
0
1
2
3
5
4
6
7
8
10
9
11
12
13
15
14
16
17
18
19
20
F
10
A
4
D
G
5
7
B
7
E
2
C
3
H
3
Existe para esta red la siguiente información con respecto a las rutas:
Ruta crítica
a duración
normal
Ruta
AF
ADG
BG
CEG
CH
Duración Normal
4 + 10 = 14
4 + 5 + 7 = 16
7 + 7 = 14
3 + 2 + 7 = 12
3+3=6
Duración Límite
3 + 8 = 11
3 + 3 + 5 = 11
5 + 5 = 10
2+2+5=9
2+1=3
Ruta crítica a
duración
límite
Tabla 5-1 Máximo de los mínimos
La primer columna “RUTA” indica la ruta en cuestión de la red, la segunda columna “Duración Normal”
indica la duración de la ruta sin realizar ningún acortamiento, es decir “a duración normal” de cada actividad.
La última columna “Duración Límite” indica la duración que tendría la ruta si se realizara la reducción de
“todas” las actividades contenidas en ella hasta su duración límite.
Nos damos cuenta, entonces que la ruta critica “sin acortamiento” tiene una duración de 16 unidades de
tiempo; al reducir todas las actividades hasta su duración límite, es decir acabándonos el PR, nos arrojaría una
duración de 11 unidades de tiempo como valor mayor (independientemente de la ruta en que se encuentre ese
valor6) para el proyecto, sin embargo no es necesario acortar todas las actividades..
5.3.1. Conclusión
La duración menor que puede tener el proyecto, duración límite, es igual a el valor mayor de la(s) ruta(s)
crítica(s) sumando las duraciones límite de las actividades en cada ruta. Entonces el parámetro de duraciones
5
6
Con este método si es posible averiguar ese valor.
Este valor puede o no estar en la misa ruta que la crítica original (sin acortamiento).
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5-4
Acortamiento
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posibles del proyecto se encuentra entre la duración de la ruta crítica sin acortamiento alguno y la duración
que arroje el máximo de los mínimos (ambas inclusive).
Es importante aclarar que no es necesario acortar “todas” las actividades al realizar acortamientos. El
máximo de los mínimos es solamente una manera de “encontrar” o “conocer” ese valor antes de comenzar a
realizar cualquier acortamiento.
También es importante señalar que la ruta crítica a duración normal y la ruta crítica a duración
límite no necesariamente tienen que ser la misma, es decir: a duración límite “cualquier” ruta
puede ser crítica.
Es muy importante hacer notar que no es necesario reducir al mínimo todas las actividades en el
proyecto como veremos a continuación.
Utilizaremos un pequeño proyecto ficticio para ejemplificar los dos métodos a continuación descritos,
incluyendo la información para acortamiento:
Act.
A
B
C
D
E
Ant.
A
A
C, B
Normal
Duración Costo
10
1000
12
1000
8
1500
24
2000
20
2500
Limite
Duración Costo
7
1210
6
1540
3
1750
13
3100
14
3220
PR
3
6
5
11
6
CM
70
90
50
100
120
Costos indirectos: $200/dia7
Obteniendo la siguiente red8:
0
5
A - 70
10 - 3
10
15
30
35
40
E - 120
8- 5
5.4.
25
4
C - 50
B - 90
12 - 6
20
D - 100
24 - 11
20 - 6
6
Método de SAM
El método de SAM (Siemens Approach Method) es otro método heurístico para realizar acortamientos o
reducir redes. Es necesaria una variable adicional para poder trabajar con él: La duración deseada (DD), esta
es una variable exógena que no se determina en base a información del proyecto Típicamente será la duración
que el tomador de decisiones determine.
Es importante recalcar que esta DD debe encontrarse dentro del parámetro de duración posible del proyecto 9.
Para explicar este método utilizaremos el mismo ejemplo del método anterior:
Definiremos la DD como la duración límite –o máximo de los mínimos- del ejemplo anterior DD = 24.
7
Al especificar días en los costos indirectos asumiremos que es la unidad de tiempo de todo el proyecto.
A pesar de que es posible llevar a cabo el método con cualquier tipo de red, se utilizará RAF para ahorrarnos algunos cálculos.
9
Es decir entre la duración de la ruta sin acortamientos y el máximo de los mínimos.
8
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5-5
Acortamiento
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Determinamos la cantidad necesaria que cada ruta debe acortarse para llegar a ese valor (PA) ó necesidad de
acortamiento:
Ruta
AD
ACE
BE
Duración
34
38
32
PA
10
14
8
PA = Duración de la ruta – DD
Es importante conocer el valor del PA, ya que se puede dar el caso de que existan rutas que no tengan
necesidad de acortamiento (ej. considerando DD = 33 la ruta BE tendría un valor de PA = -1) y por lo tanto no
deben incluirse en la matriz que vamos a elaborar.
La primer columna de la matriz contendrá las actividades que tengan PR y se encuentren en al menos una ruta
con PA10. Las demás columnas serán cada una de las rutas que tengan PA, en nuestro caso, todas:
Act.
AD
ACE
BE
A
B
C
D
E
Cada una de las celdas (intersección de renglón con columna) de nuestra matriz será analizada y se utilizará
solamente aquella en que la ruta contenga la actividad. A cada una de esas celdas se le dividirá en dos con la
siguiente información:
CME
PR
el CME es el costo marginal efectivo:
CME=
CM
# rutas donde se encuentre la actividad
Ecuación 5-1 Costo marginal efectivo
10
Es posible incluir todas las actividades de la red, pero solamente las que se mencionan se utilizarán para acortamiento. Las demás
(aunque es posible incluirlas) estarán estorbando.
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5-6
Acortamiento
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Inicio
1
Iniciar con durciones
normales y construir la red
Seleccionar de esa columna la
actividad con menor CME y
que tenga PR > 0
3
Determinar las rutas de la
red así como su duración
Seleccionar bajo el criterio de
la actividad que se encuentre
en más rutas no acortadas
adecuadamente
Determinar PA de cada
ruta, PAR=DurR-DD
Si
Empate?
No
Determinar PR y CM
de cada actividad
Empate?
Elaborar la matriz de acortamiento:
La primer columna son todas las actividades que tengan PR y que se encuentren en al
menos una ruta con PA
Las demás columnas son cada una de las rutas con PA
En cada columna tachar las celdas que no intervienen en en la actividad que participa en
la columna
No
Seleccionar el PA de cada ruta
donde participe la actividad
4
Reducir la actividad seleccionada en
el menor de los PA´s y el PR de la
actividad
Si
Seleccionar bajo el criterio de
la actividad que tenga PR
mayor
Fin
Actualizar PA´s y PR
No
Determinar el CME de
cada actividad
Empate?
Para cada celda que no este tachada
ingresar el CME y PR de cada actividad
Hay alguna ruta
con PA > 0?
Si
Seleccionar bajo el criterio de la
actividad que se encuentre en
más rutas de la red
1
Indicar el PA de cada columna
en el último renglón
4
No
Para cada ruta con PA > 0
Empate?
Seleccionar la columna
con mayor PA
Seleccionar la ruta que
contenga la actividad
con menor CME
Si
Es la misma
actividad?
Si
Si
Si
Ajustar CME
de cada
actividad en
caso necesario
Algún PA se
termino?
No
2
Seleccionar
cualquiera de ellas
No
2
3
Si
Empate?
No
1
Diagrama de flujo 5-1 Método de SAM
Act.
AD
35
3
A
ACE
35
3
BE
90
6
B
50
5
C
100
11
D
60
6
E
10
60
6
14
8
Tabla 5-2 Matriz de acortamiento (SAM)
En la última línea ya se incluyó la última información necesaria: el PA de cada ruta.
Este proceso también es iterativo, y se lleva a cabo de la siguiente manera:
Seleccionamos la columna (ruta) con mayor necesidad de acortamiento, en este caso la ruta ACE con PA =
14. De esa misma columna seleccionamos el PR de la actividad con menor CME, la actividad A con CME =
35 y PR = 3, después seleccionamos el PA de cada una de las rutas donde también se encuentre esa actividad,
en este caso la ruta AD con PA = 10. Entonces:
Act.
AD
Ing Antonio González de la Llave Gállego
ACE
BE
Administración de Proyectos
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5-7
Acortamiento
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A
35
3
35
3
90
6
B
50
5
C
D
100
11
60
6
E
10
60
6
14
8
A14, 3, 10
Reducimos esa actividad en la cantidad menor de todas las seleccionadas:
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
90
6
B
50
5
C
D
BE
100
11
60
6
E
10
7
60
6
14
11
8
8
A14, 3, 10
Ya que la actividad A ya no tiene PR, y por lo tanto no se puede reducir, se elimina de la matriz (renglón
sombreado con gris). Se prosigue de la misma manera. Seleccionamos el PA mayor: ACE con PA = 11;
seleccionamos de esa columna, el PR de la actividad con menor CME: actividad C con CME = 50 y PR = 5;
y cada uno de los PA´s de las rutas donde también se encuentre esa actividad, en este caso ninguna.
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
90
6
B
50
5
C
D
BE
100
11
60
6
E
10
7
60
6
14
11
8
8
A14, 3, 10
C11, 5
Nuevamente reducimos esa actividad en el valor menor de los seleccionados acabándonos el PR de la
actividad C. Se elimina la actividad C por no tener PR.
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
90
6
B
50
5550
C
D
BE
100
11
Ing Antonio González de la Llave Gállego
Administración de Proyectos
Cap-Pág.
5-8
Acortamiento
Instituto Tecnológico de Culiacán
60
6
E
10
7
7
60
6
14
11
6
8
8
8
A14, 3, 10
C11, 5
Ahora la ruta con mayor PA es la BE con PA = 8, la actividad más económica es la E con PR = 6. y se
encuentra también en la ruta ACE con PA = 6.
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
BE
90
6
B
50
5550
C
D
100
11
60
6
E
10
7
7
60
6
14
11
6
8
8
8
A14, 3, 10
C11, 5
E8, 6, 6
y reduciendo el menor de estos valores queda:
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
BE
90
6
B
50
5550
C
D
100
11
60
6660
E
10
7
7
7
60
6660
14
11
6
0
8
8
8
2
A14, 3, 10
C11, 5
E8, 6, 6
Al reducir el PA de la ruta ACE a cero, ésta se elimina11.
Resulta que ahora, al eliminar una ruta (hacer su PA=0) tenemos que recalcular los CME´s de las actividades.
Solamente cambia el CME de la actividad C que ya se había eliminado.
Seleccionamos ahora PA = 7 de la ruta AD, la actividad más económica de esta ruta es la D con CME = 100 y
PR = 11. La actividad no se encuentra en ninguna otra ruta.
11
Sin importar si aún quedan actividades con posibilidades de reducción.
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Administración de Proyectos
Cap-Pág.
5-9
Acortamiento
Instituto Tecnológico de Culiacán
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
90
6
B
50
5550
C
D
BE
100
11
E
10
7
7
7
666000120
6660
14
11
6
0
666000120
6660
8
8
8
2
A14, 3, 10
C11, 5
E8, 6, 6
D7, 11}
Nos acabamos el PA de la ruta AD por lo que la ruta se elimina y calculamos nuevamente los CME´s.
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
90
6
B
50
5550
C
D
BE
100
4
E
10
7
7
7
0
666000120
6660
14
11
6
0
0
666000120
6660
8
8
8
2
2
A14, 3, 10
C11, 5
E8, 6, 6
D{7, 11}
Solamente nos queda una ruta por reducir, La ruta BE con PA = 2, con solamente una actividad B con PR = 6.
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
90
6
B
50
5550
C
D
BE
100
4
E
10
7
7
7
0
666000120
6660
14
11
6
0
0
666000120
6660
8
8
8
2
2
A14, 3, 10
C11, 5
E8, 6, 6
D{7, 11}
B{2, 6}
Reduciendo el PA de de la ruta BE a cero eliminando, igualmente, esa ruta.
Act.
A
AD
35
3330
ACE
35
3330
90
6
B
50
5550
C
D
BE
100
Ing Antonio González de la Llave Gállego
Administración de Proyectos
Cap-Pág.
5-10
Acortamiento
Instituto Tecnológico de Culiacán
4
E
10
7
7
7
0
0
666000120
6660
14
11
6
0
0
0
666000120
6660
8
8
8
2
2
0
A14, 3, 10
C11, 5
E8, 6, 6
D{7, 11}
B{2, 6}
Ya que no tenemos mas rutas por reducir hemos terminado. Por lo que calculamos las reducciones y costos
necesarios para llegar a la duración deseada:
Act.
A
B
C
D
E
Monto
3
2
5
7
6
CM
70
90
50
100
120
Total
Costo
210
180
250
700
720
2,060
Tabla 5-3 Costos de reducción (SAM)
Como ya sabemos, el costo total es igual a los costos directos más los costos indirectos.
$T=$D+$I
$D=8,000 + 2,060=10,060
$I=24 * 200=4,800
$T=10,060+4,800=14,860
5.4.1. Conclusión
Es necesario conocer la duración deseada (DD) “antes” de comenzar con este método.
Dicha duración no puede ser determinada por la información arrojada por la matriz de
información. También es importante recalcar que dicha duración debe encontrarse dentro del
parámetro de posibles duraciones del proyecto (entre la duración del proyecto sin ningún
acortamiento y el valor del máximo de los mínimos) 12.
Es necesario utilizar algún mecanismo (como el método de la burbuja) para encontrar la duración
óptima.
Es posible utilizar cualquier tipo de red (RAN, RAF( s/e), RAF(c/e)), para este método, cualquiera de
ellas arroja la información de las rutas, que es necesaria.
Este método es más recomendable para proyectos grandes, o con muchas rutas.
Es un método que no es fácil de seguir una vez comenzado.
Este método, al igual que el anterior, no asegura soluciones óptimas. De ser posible es preferible la
utilización de algún paquete computacional.
Es muy importante recalcar que el resultado por este método no deberá coincidir necesariamente con
el resultado del método anterior. Esto debido a que las consideraciones para las reducciones, en cada
método, son diferentes.
12
El no asegurarse de esto puede ocasionar errores que no son fáciles de identificar.
Ing Antonio González de la Llave Gállego
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Cap-Pág.
5-11