TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE COACALCO Materia: Fundamentos de la Mecánica Profesor: Francisco Javier González Vázquez Integrantes: GASCA VILLA OMAR DANIEL Principios básicos de la mecánica Semestre 4 Fecha de entrega: 3 de julio de 2023 Lista de cotejo Características valor Portada 5 Presentación 10 Teoría 25 Ejemplo 35 Ortografía 5 Diagrama 10 conclusiones 10 Puntaje Teórico Principios Generales de la mecánica El estudio del comportamiento de los fenómenos matemáticos de los materiales sólidos, líquidos y gases han planteado modelaciones matemáticas que representan principios y leyes fundamentales que presentan comportamientos de los medios continuos y estas son representadas como leyes de conservación de algunas cantidades físicas. Algunos principios son: Principio de conservación de masa. Principio de conservación de cantidad de movimiento. Principio de conservación de la conservación de la energía. En algunos fenómenos mecánicos es común plantear hipótesis sobre el comportamiento de los materiales que permiten considerar algunos efectos despreciables por lo que las expresiones de las leyes fundamentales se simplifican y permiten una formulación matemática más simple. Antecedentes. Consideramos un volumen de control (elemento diferencial) de medio continuo que tiene como frontera la superficie de control. La posición de las partículas de medio continuo está definida por el vector. → 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ; → 𝑟(𝑥 𝑖 , 𝑡) Sean la función escalar Ψ = Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) Esta definida para cada partícula del volumen de control. La derivada total (derivada material) de la función respecto a t, es: dΨ aΨ = + 𝑦 ∗ ∇Ψ 𝑑𝑡 𝑎𝑡 Si la función resulta ahora ser . 𝐼 = ∭ Ψdr ∀ La derivada tota respecto a t, resulta: 𝑑𝐼 𝑑𝑡 . dΨ = ∭∀ [ 𝑑𝑡 + Ψ ∗ ∇ ∗ v] 𝑑𝑡 Donde: v= ax 𝑎𝑡 𝑖+ ax 𝑎𝑡 𝑗+ ax 𝑎𝑡 𝑘 Principio de conservación de la masa Este principio establece que en el interior del volumen de control de masa no se crea ni se destruye: Si la masa permanece contante en el volumen de control la derivada total respecto al tiempo debe ser nula . 𝑑𝑚 𝑚 = ∭∀ Pd∀ . ∭[ ∀ 𝑑𝑡 =0 dP + P ∗ ∇ ∗ v] 𝑑∀= 0 𝑑𝑡 Para que se cumpla la integral basta con que el integrado sea nulo dP +P∗∇∗v=0 𝑑𝑡 Caso particular ∇∗v=0 Principio de conservación de la cantidad de movimiento De acuerdo con la ley de newton, la ecuación de equilibrio dinámico esla derivada total de la cantidad de movimiento respecto al tiempo es igual a las fuerzas actuales, por tanto Si la cantidad de movimiento total del volumen de control es . 𝑃 = ∭∀ 𝑃𝑉𝑑∀ entonces la ecuación de equilibrio dinámico resulta ser 𝑑𝑃 = 𝐹𝑎 𝑑𝑡 Donde las fuerzas actuales son las fuerzas de cuerpo y de superficie en el medio continuo . . 𝐹𝑎 = ∭ 𝑥𝑑∀ + ∯ 𝑇(ñ)𝑑𝑠 ∀ 𝑠 De la ecuación de equilibrio . . . 𝑑(𝑝ñ) ∭[ + 𝑝𝑣 + 𝑣 ∗ 𝑣] 𝑑∀= ∭ 𝑥𝑑∀ + ∯ 𝑇(ñ)𝑑𝑠 𝑑𝑡 ∀ ∀ 𝑠 Del teorema de Gauss en la fuerza de superficie . . ∯ 𝑇(ñ)𝑑𝑠 = ∭ 𝑣 ∗ 𝑇𝑑∀ 𝑠 ∀ Donde ∇∗𝑇 = 𝜕𝑇(𝑖 ) 𝜕𝑇(𝑗) 𝜕𝑇(𝑘) + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Rescribiendo la expresión . 𝑑(𝑝𝑣) ∭[ + 𝑝𝑣∇𝑣 − 𝑥 − ∇𝑇] 𝑑∀= 0 𝑑𝑡 ∀ Para satisfacer la integral es necesario que la integral sea nula 𝑑(𝑝𝑣) + 𝑝𝑣∇𝑣 − 𝑥 − ∇𝑇 = 0 𝑑𝑡 Desarrollando 𝑑𝑣 𝑑𝑝 𝑃 +𝑣 + 𝑝𝑣∇𝑣 − 𝑥 − ∇𝑇 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑝 𝑣 ( + 𝑣∇ ∗ 𝑣) 𝑑𝑡 Simplificando 𝑃 𝑑𝑣 − 𝑥 − ∇𝑇 = 0 𝑑𝑡 Finalmente, la ecuación de equilibrio dinámico de un medio continuo es 𝑥 + ∇𝑇 = 𝑃 𝑑𝑣 𝑑𝑡 En notación índice 𝑖𝑗 𝜎 𝑙𝑗 + 𝑥 𝑖 = 𝑝𝑎𝑖 En coordenadas cartesianas, las ecuaciones de equilibrio son 𝜕𝑇𝑥 𝜕𝑇𝑥𝑦 𝜕𝑇𝑥𝑧 + + + 𝑋𝑥 = 𝑝𝑎𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑇𝑥𝑦 𝜕𝑇𝑦 𝜕𝑇𝑦𝑧 + + + 𝑋𝑦 = 𝑝𝑎𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑇𝑥𝑧 𝜕𝑇𝑦𝑧 𝜕𝑇𝑧 + + + 𝑋𝑧 = 𝑝𝑎𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Principios de la conservación de energía Como consecuencia de la primera ley de la termodinámica, se tiene el principio de la conservación de energía que establece que la energía no se crea ni se destruye solo se transforma El principio establece que la derivada del trabajo respecto a tiempo de las fuerzas del cuerpo, de superficie en radio continuo y la cantidad de calor sobre el medio continuo termodinámico, se puede expresar como 𝑑𝑤 𝑑𝑄 𝑑𝐾 𝑑𝑈 + = + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Donde W: Trabajo de las fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie Q: Cantidad de calor K: Energía cinética U: Energía interna Conclusión: En mecánica, los principios generales son fundamentos que rigen el comportamiento de los sistemas físicos. A continuación, presento una conclusión general sobre los principios generales de la mecánica: Los principios generales de la mecánica, como el principio de conservación de la energía, el principio de conservación del momento angular y el principio de conservación de la cantidad de movimiento, son fundamentales para comprender el movimiento y las interacciones entre los objetos físicos. El principio de conservación de la energía establece que la energía total de un sistema aislado se mantiene constante a lo largo del tiempo. Puede transformarse de una forma a otra (por ejemplo, de energía cinética a energía potencial), pero la cantidad total de energía se conserva. El principio de conservación del momento angular establece que el momento angular total de un sistema aislado se mantiene constante, a menos que actúen fuerzas externas sobre él. El momento angular es una medida de la rotación de un objeto alrededor de un eje. El principio de conservación de la cantidad de movimiento, también conocido como principio de conservación del momento, establece que la cantidad total de movimiento de un sistema aislado se conserva. La cantidad de movimiento se calcula multiplicando la masa de un objeto por su velocidad. Estos principios generales de la mecánica son aplicables en una amplia gama de situaciones y proporcionan una base sólida para comprender el comportamiento de los sistemas físicos. Ayudan a predecir y explicar el movimiento de los objetos, así como las interacciones entre ellos. En resumen, los principios generales de la mecánica son fundamentales para comprender y analizar el movimiento y las interacciones en sistemas físicos. Su aplicación adecuada permite predecir y explicar el comportamiento de los objetos en diversos contextos, desde el estudio del movimiento planetario hasta el análisis de colisiones entre objetos en movimiento.