CÁLCULO VECTORIAL. EJERCICIOS: Conicas. TORE66 RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS I) ECUACIONES PARAMÉTRICAS. A) Curvas planas y ecuaciones paramétricas: Resuelve. 1) Consideremos las ecuaciones paramétricas el apartado a) valores de θ en el intervalo √ x = t e y = 1 − t. [π/2, 3π/2], ¿hubiera sido distinta la gráfica del a) Completar la tabla. apartado b)? Razonar la respuesta. 0 1 2 3 En los siguientes 14 incisos (del 3) al 30)), 4 esbozar la curva representada por las ecuaciones paramétricas (indicar la orientación de la curva) y hallar la ecuación rectangular correspondiente por eliminación dek parámetro: 3) x = 3t − 1 10) x = t − 1 t y = 2t + 1. . y= t−1 4) x = 3 − 2t 11) x = t2 + t y = 2 + 3t. y = t2 − t. √ 5) x = 3 t 12) x = 2t y = 1 − 7. y = |t − 2|. 6) x = t + 1 13) x = |t − 1| y = t2 . y = t + 2. 7) x = t + 1 14) x = sec θ y = t3 . y = cos θ. 8) x = t3 15) x = tan2 θ t2 y= . y = sec2 θ. 2 TO RE 66 t x y b) Marcar los puntos (x, y) generados en la tabla y esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas. Indicar la orientación de la gráfica. c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el parámetro. Comparar la gráfica del apartado b) con la gráfica de la ecuación rectangular. 2) Consideremos las ecuaciones x = 4 cos2 θ e y = 2 sen θ. a) Completar la tabla. θ x y − π2 − π4 0 paramétricas π 4 π 2 b) Marcar los puntos (x, y) generados en la tabla y esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas. Indicar la orientación de la gráfica. c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el parámetro. Comparar la gráfica del apartado b) con la gráfica de la ecuación rectangular. d) Si se hubieran seleccionado para la tabla DEPTO. C. BÁSICAS.– 18 de Marzo de 2020 página 1 de 6 1 9) x = 1 + t y = t − 1. 16) x = 3 cos θ y = 3 sen θ. Instituto Tecnológico de Morelia CÁLCULO VECTORIAL 17) x = cos θ y = 3 sen θ. 24) x = sec θ y = tan θ. 18) x = 4 sen 2θ y = 2 sen 2θ. 25) x = 4 sec θ y = 3 tan θ. 19) x = cos θ y = 3 sen θ. 33) Cicloide: x = 2(θ − sen θ) y = 2(1 − cos θ). 34) Cicloide: x = θ + sen θ y = 1 − cos θ. 26) x = cos3 θ y = sen3 θ. 35) Cicloide prolata: x = θ − 32 sen θ y = 1 − 32 cos θ. 27) x = t3 y = 3 ln t. x = 3 cos2 θ y = 3 sen3 θ. 38) Cicloide curtata: x = 2θ − sen θ y = 2 − cos θ. 39) Hechicera de Agnesi: x = 2 cot θ y = 2 sen2 θ. TO RE 66 20) x = cos θ y = 2 sen2 θ. TORE66 EJERCICIOS: Curvas planas y ecuaciones paramétricas. 21) x = 4 + 2 cos θ y = −1 + sen θ. 22) x = 4 + 2 cos θ y = −1 + 2 sen θ. 23) x = 4 + 2 cos θ 17) y = −1 + 4 sen θ. 28) x = e2t y = et . 36) Cicloide prolata: x = 2θ − 4 sen θ y = 2 − 4 cos θ. 29) x = e−t y = e3t . En los siguientes 6 incisos, eliminar el paráme- –. tro y obtener la forma canónica de la ecuación rectangular de la curva: fieren las curvas planas una de la otra: 31) a) x = 2 cos θ x=t y = 2 sen θ. y = 2t + 1. b) √ 4t2 − 1 b) x= |t| x = cos θ 1 y = 2 cos θ + 1. y=2 . t c) c) √ x = e−t x= t √ y = 2e−t + 1. y = 4 − 7. d) d) √ x = et x = − 4 − e2t y = 2et + 1. y = et . 41) Recta que pasa por 44) Elipse: (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ): x = h + a cos θ x = x1 + t(x2 − x1 ) y = k + b sen θ. y = y1 + t(y2 − y1 ). 45) Hipérbola: x = h + a sec θ 42) Circulo: y = k + b tan θ. x = r cos θ y = r sen θ. 43) Circulo: x = h + r cos θ y = k + r sen θ. –. 18 de Marzo de 2020 46) Hipérbola: √ x=h+a t+1 √ y = k + b t. –. En los siguientes 9 incisos, hallar ecuaciones 47) 48) 49) 50) En los siguientes 8 incisos, utilizar un paquete 51) para graficar y representar la curva definida por 52) las ecuaciones paramétricas: DEPTO. C. BÁSICAS.– 37) Hipocicloide: 30) x = ln 2t y = t2 . En los siguientes 2 incisos, determinar en qué di- 32) a) 40) Folio de Descartes: 3t x= 1 + t3 3t2 y= . 1 + t3 –. página 2 de 6 paramétricas para cada gráfica dada: Recta que pasa por (0, 0) y por (5, −2). Recta que pasa por (1, 4) y por (5, −2). Circulo: centro en (2, 1) y radio 4. Circulo: centro en (−3, 1) y radio 3. Elipse: vértices en (±5, 0) y focos (±4, 0). Elipse: vértices en (4, 7) y (4, −3) y focos en (4, 5) y en (4, −1). Instituto Tecnológico de Morelia CÁLCULO VECTORIAL TORE66 EJERCICIOS: Curvas planas y ecuaciones paramétricas. 53) Hipérbola: vértices en (±4, 0) y focos en (±5, 0). 54) Hipérbola: vértices en (0, ±1) y focos en (0, ±2). 55) Un circulo de radio 1 rueda alrededor de la parte externa de un disco de radio 2 sin deslizar. La curva trazada por un punto de la circunferencia del circulo pequeño se llama una epicicliode, como se ve en la figura 1. Usar el ángulo θ de la figura para hallar ecuaciones paramétricas de A) . esa curva. Figura 1: Epicicloide. TO RE 66 –. B) Derivadas, tangentes, área y longitud de arco de curvas en formas paramétricas: Resuelve. En los siguientes 10 ejercicios, hallar dy/dx y . Ecuaciones paramétricas Punto d2 y/dx2 , y evaluarlas en el valor del parámetro 60) x = 2 cos θ, y = 2 sen θ θ = π4 que se especifica: 61) x = cos θ, y = 3 sen θ θ=0 . Ecuaciones paramétricas Punto 56) 57) x = 2t, y = 3t − 1 √ x = t, y = 3t − 1 t2 t=1 58) x = t + 1, y = + 3t t = −1 59) x = t2 + 3t, y = t + 1 t=0 63) x = 2 + sec θ, y = 1 + 2 tg θ, θ = π6 √ √ x = t, y = t − 1 t=2 64) x = cos3 θ, y = sen3 θ 62) t=3 x = t2 − t + 2, y = t3 − 3t t = −1 En los siguientes 2 ejercicios, localizar todos los x = θ − sen θ, y = 1 − cos θ, θ = π . Ecuaciones paramétricas la recta tangente a la curva para el valor indicado: 69) . Ecuaciones paramétricas Punto 70) 66) x = 2t, y = t2 − 1 t=2 71) 67) x = t − 1, y = 1t + 1 t=1 68) π 4 –. 65) En los siguientes 6 ejercicios, hallar una ecuación de θ= Punto x = 4 cos θ, y = 3 sen θ θ= x = cot θ, y = 2 sen2 θ θ= x = 2 − 3 cos θ, y = 3 + 2 sen θ –. 3π 4 π 4 θ= 5π 3 73) x = 2θ puntos (si los hay) en los que la tangente sea horiy = 2(1 − cos θ). zontal o vértical: 72) Involuta de un cı́rculo: x = cos θ + θ sen θ y = sen θ − θ cos θ. Figura 3: Paramétrica. –. Figura 2: Paramétrica. DEPTO. C. BÁSICAS.– 18 de Marzo de 2020 página 3 de 6 Instituto Tecnológico de Morelia CÁLCULO VECTORIAL TORE66 EJERCICIOS: Curvas planas y ecuaciones paramétricas. 74) . En los siguientes 10 ejercicios, localizar todos los puntos (si los hay) de tangencia horizontal y vertical: 74) x = 1 − t 76) x = 1 − t 2 y=t . y = t3 − 3t. 75) x = t + 1 y = t2 + 3t. 78) x = 3 cos θ y = 3 sen θ. 81) x = 4 cos2 θ y = 2 sen θ. 79) x = cos θ y = 2 sen 2θ. 82) x = sec θ y = tan θ. 80) x = 4 + 2 cos θ y = −1 + sen θ. 83) x = cos2 θ y = cos θ. 77) x = t2 − t + 2 y = t3 − 3t. TO RE 66 En los siguientes 6 ejercicios, calcular la longitud –. de arco de la curva dada: . Ecuaciones paramétricas 84) x = e−t cos t, y = e−t sen t 85) x = t2 , y = 4t3 − 1 86) x = t2 , y = 2t Ecuaciones paramétricas 87) Intervalo 0≤t≤ π 2 −1 ≤ t ≤ 1 0≤t≤2 En los siguientes 4 ejercicios, calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo [0, 2π]: 90) Perı́metro de una hipocicloide: x = a cos3 θ y = a sen3 θ. x = arc sen t, √ y = ln 1 − t √ 88) x = t, y = 3t − 1 t5 1 89) x = t, y = + 3 10 6t –. Intervalo 0≤t≤ 1 2 0≤t≤1 1≤t≤2 92) Un arco de una cicloide: x = a(θ − sen θ) y = a(1 − cos θ). 93) Involuta de un cı́rculo: x = cos θ − θ sen θ y = sen θ − cos θ. 91) Circunferencia de un cı́rculo: x = a cos θ y = a sen θ. –. 94) Folium de Descartes. Dadas las ecuaciones pab) Hallar sus puntos de tangencia horizontal. ramétricas: 4t 4t2 x= e y = 1+t 3. 95) a) Representar en una computadora las gráficas 3 1+t use un paquete de computadora o una calculade los dos conjuntos de ecuaciones paramétridora gráfica para hacer lo que sigue: cas: a) Dibujar la curva que representa esas ecuaciox = t − sen t y = 1 − cos t 0 ≤ t ≤ 2π, y nes. x = 2t − sen(2t) y = 1 − cos(t) 0 ≤ t ≤ π En los siguientes 6 ejercicios, calcular el área se 99) x = t3 , y = t + 2, 1 ≤ t ≤ 2: a) eje y. la superficie generada haciendo girar la curva en torno al eje dado: 96) x = t, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 4: 100) x = a cos3 θ, y = a sen3 θ, 0 ≤ t ≤ π: a) eje x b) eje y. a) eje x. 97) x = t, y = 4 − 2t, 0 ≤ t ≤ 2: 101) x = a cos θ, y = b sen θ, 0 ≤ t ≤ 2π: a) eje x b) eje y. π a) eje x b) eje y. 98) x = 4 cos θ, y = 4 sen θ, 0 ≤ t ≤ : –. 2 a) eje y. DEPTO. C. BÁSICAS.– 18 de Marzo de 2020 página 4 de 6 Instituto Tecnológico de Morelia CÁLCULO VECTORIAL TORE66 EJERCICIOS: Coordenadas polares II) COORDENADAS POLARES. A) Curvas planas y graficación en coordenadas 1) . En los siguientes 8 ejercicios, se dan las coordenadas polares de un punto. Marcar el punto en un sistema coordenado y hallar sus coordenadas rectangulares: 3π −π 1) 4, . . 5) 4, 6 3 −3π 3π 6) −1, . 2) 4, . 4 2 √ 7) 2, 2.36 . 5π 3) −1, . 4 8) (−3, −1.57). 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) r = 4 sen θ. r = 4 cos θ. θ = π6 . θ = 4. r = 2 cosec θ. r2 = sen 2θ. r = 1 − 2 sen θ. 1 . 39) r = 1 − cos θ 40) r = 6 . 2 − 3 sen θ 41) r = 2 sen 3θ. TO RE 66 polares: Resuelve. En los siguientes 12 ejercicios, convertir las coordenadas polares dadas en coordenadas polares: –. 4) (0, −π). 42) r2 = 4 sen θ. 6 43) r = . 2 cos θ − 3 sen θ –. En los siguientes 8 ejercicios, se dan las coor- En los siguientes 10 ejercicios, dibujar la gráfica denadas rectangulares de un punto. Hallar dos de la ecuación polar e indicar las simetrı́as que tenga la gráfica: pares de coordenadas polares para ese punto, con 0 ≤ θ ≤ 2π: 14) (4, 6). 9) (1, 1). 10) (0, −5). 11) (−3, 4). 15) (5, 12). 12) (3, √ −1). √ –. 13) − 3, − 3 . 44) 45) 46) 47) 48) 49) En los siguientes 16 ejercicios, convertir las coordenadas rectangulares en polares: 16) x2 + y 2 = 9. 26) xy = 4. 17) x2 + y 2 = a2 . 27) y = x. 18) x2 +y 2 −2ax = 0. 28) y 2 = 9x. 19) x2 +y 2 −2ay = 0. 29) y 2 − 8x − 16 = 0. 20) y = 4. 30) x2 − 4ay − 4a2 = 21) y = b. 0. 22) x = 10. 31) (x2 + y 2 )2 − 23) x = a. 9(x2 − y 2 ) = 0. 24) 3x − y + 2 = 0. –. 25) 4x + 7y − 2 = 0. r r r r r r = 5. = −2. = θ. = πθ . = sen θ. = 3 cos θ. 50) 51) 52) 53) r r r r = 2 sec θ. = 3 cosec θ. = 4(2 + sen θ). = 2 + cos θ. –. 54) Expresar la ecuación . r = (h cos θ + k sen θ) en forma rectangular y verifiacar que es la ecuación de un cı́rculo. Hallar su radio y las coordenadas rectangulares de su centro. B) Cálculo en coordenadas polares: Resuelve. 55) . En el siguiente ejercicio, hallar d y/dx y la pendiente de las rectas tangentes que se muestran en la gráfica de la ecuación polar: 55) r = 2 + 3 sen θ DEPTO. C. BÁSICAS.– 18 de Marzo de 2020 –. página 5 de 6 Instituto Tecnológico de Morelia CÁLCULO VECTORIAL TORE66 EJERCICIOS: Coordenadas polares 56) . En los siguientes 4 ejercicios, hallar d y/dx y la pendiente de la gráfica de la curva polar en el valor de θ que se especifı́ca: . Ecuación polar Intervalo 56) r = 3(1 − cos θ) θ = π2 57) r = 3 − 2 cos θ θ=0 58) r = 3 sen θ θ= de la grafica de la ecuación polar: 78) r = 3 − 2 cos θ. 81) r = 79) r = 5 − 4 sen θ 6 2 sen θ − 3 cos θ 82) r = 2θ 80) r = 3 cosec θ 83) r = 1 θ –. En los siguientes 8 ejercicios, representar en una TO RE 66 π 3 π 4 –. En los siguientes 6 ejercicios, hacer un esbozo –. En los siguientes 2 ejercicios, localizar los pun- 59) r=4 θ= computadora la ecuación polar. Hallar un intervalo de θ sobre el que la gráfica se recorra una sola vez: 5θ 84) r = 3 − 4 cos θ. 89) r = 3 sen 2 85) r = 2(1 − 2 sen θ) tos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) de la curva polar: 61) r = a sen θ 60) r = 1 + sen θ. –. En los siguientes 4 ejercicios, utilizar un pa- quete computacional para graficar la ecuación polar y hallar todos los puntos de tangencia horizontal: 62) r = 4 sen θ cos2 θ. 64) r = 2 cosec θ + 5 63) r = 3 cos 2θ sec θ de la ecuación polar y hallar todos las tangentes en el polo: 70) r = 3 sen 2θ 66) r = 3 sen θ. 67) r = 3(1 − cos θ) 71) r = 3 cos 2θ 68) r = 2 cos 3θ 72) r2 = 4 cos 2θ 69) r = − sen 5θ 73) r2 = 4 sen θ –. En los siguientes 4 ejercicios, utilizar un pa- quete computacional para graficar la ecuación polar y hallar todos los puntos de tangencia horizontal: 74) r = 4 sen θ cos2 θ. 76) r = 2 cosec θ + 5 75) r = 3 cos 2θ sec θ DEPTO. C. BÁSICAS.– 87) r = 4 + 3 cos θ 3θ 88) r = 2 cos 2 gráfica de la ecuación, con ayuda de una computadora, y verificar que la recta indicada es ası́ntota de esa gráfica: Nombre 92) Concoide Ecuación polar r = 2 − sec θ 93) Concoide r = 2 + cosec θ 2 94) Espiral hiperbólica r = θ 95) Estrofoide r = 2 cos 2θ sec θ –. Ası́ntota x = −1 y = −1 y=2 x = −2 96) Esbozar la gráfica de r = 4 sen θ en cada uno de los intervalos siguientes. a) 0 ≤ θ ≤ π2 c) − π2 ≤ θ ≤ π2 b) d) π 2 π 4 ≤θ≤π ≤ θ ≤ 3π 4 97) Usar un ordenador para representar la gráfica de la ecuación polar r = 6[1 + cos(θ − φ)] para: 77) r = 2 cos(3θ − 2) 18 de Marzo de 2020 91) r2 = 3 cos 4θ En los siguientes 4 ejercicios, representar la 65) r = 2 cos(3θ − 2) –. En los siguientes 8 ejercicios, esbozar la grafica 90) r2 = 4 sen 2θ 86) r = 2 + sen θ página 6 de 6 a) φ = 0, b) φ = π4 , c) φ = π2 . Usar esas gáficas para describir el efecto del ángulo φ. Instituto Tecnológico de Morelia