LIBRO CALCULO MENTAL 2019 EDICIÓN FINAL

CÁLCULO MENTAL
PRIMARIA Y SECUNDARIA
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Fotografía: Niña jugando con la correspondencia.
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Autores
Patricia Gómez Aviles
Eusebio Montaño Pastrana
Jorge Hernández Márquez
Diseño Editorial
Jonathan Alvarado Reyes
FB:@Jorygood
Colaboradores en diseño
Patricia Gómez Aviles
Eusebio Montaño Pastrana
Ángel Muñoz Velázquez
Porfirio Rafael Cruz Islas
ISBN
978-607-7729-46-4
Esta obra de Cáculo Mental Primaria y Secundaria fue elaborada por la Dirección
General de Desarrollo Curricular, a través de la Dirección de Investigación Educativa
de la Secretaría de Educación Pública de Hidalgo.
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
4
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Presentación
El presente libro de Cálculo Mental, fue diseñado con la finalidad de apoyar las
necesidades de los docentes con acciones que den respuesta de solución a una de
las problemáticas que enfrentan en el aula; considerado después de un análisis de
los resultados del Sistema de Alerta Temprana (SisAT) y del Plan Nacional para la
Evaluación de los Aprendizajes (Planea); recuperando así, el área de oportunidad
referente al cálculo mental como un componente fundamental para la enseñanza y
el aprendizaje de las Matemáticas.
Quien calcula de manera mental, aprende las Matemáticas mediante el análisis de la
situación, para establecer “la estrategia de solución”, es decir, cuáles técnicas aplicar
en función de los cálculos que se piden y de los patrones numéricos que reconoce.
Asimismo, identifica los distintos caminos que se pueden seguir, a seleccionar y a
combinar las técnicas de resolución, para llegar al resultado de la mejor manera
posible.
Con la finalidad de que el docente diversifique su práctica en el aula para el
fortalecimiento del cálculo mental, se presentan una serie de estrategias, juegos y
actividades lúdicas, producto de la investigación de estos temas, consideradas para
ser aplicadas en el aula, señalando que algunas han sido adaptadas en función a
las características y contexto de los alumnos, de esta manera pueden ser aplicadas
en los diferentes momentos de la sesión, además de retomarlas como actividades
permanentes, en la recuperación de saberes previos, afianzar o sistematizar algunos
procedimientos; y como apoyo para que el alumno se motive e interese por el estudio
de las Matemáticas.
En el presente libro se implementa el cálculo mental como una estrategia, que
va más allá de resolver problemas, la ejecución de algoritmos y procedimientos;
está diseñado con el propósito de que el docente de Matemáticas a través de
conocer y analizar las estrategias, los juegos y las actividades lúdicas, contraste sus
conocimientos, se involucre en la búsqueda de soluciones, así como también,
colabore en el fortalecimiento del cálculo mental que contribuirá en el desarrollo del
pensamiento matemático.
Por tanto, las estrategias propuestas están orientadas al diseño de actividades que
coadyuven al desarrollo de cálculo mental de los alumnos de educación básica,
mismas que requieren de la intervención activa y decidida del docente, igualmente
de su desempeño responsable en el aula.
La Secretaría de Educación Pública de Hidalgo (SEPH), sugiere a los docentes
retomen, organicen y apliquen las estrategias, los juegos, así como las diferentes
actividades lúdicas que se presentan para el fortalecimiento del cálculo mental y de
esta manera contribuyan en la mejora educativa en el estado.
ATILANO R. RODRÍGUEZ PÉREZ
SECRETARIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE HIDALGO
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Índice
Página
Introducción
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Cálculo mental
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El cálculo mental y su enseñanza
Sugerencias para desarrollar el cálculo mental
El cálculo mental, estimación y aproximación
Aritmética digital y cálculo
El cálculo mental: sus características y métodos
Problemas con cálculo mental
Tipos de problemas y el cálculo mental
Fortalecimiento del cálculo mental
El juego en el cálculo mental
El juego
La importancia del juego en las matemáticas
Y ¿realmente se aprende jugando?
Vamos a jugar
Cálculo mental con material manipulable
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35
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48
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84
86
87
127
La importancia del material manipulable
Tipos de material manipulable
Materiales y recursos en el aula
Material Manipulable
Cálculo mental con la calculadora
129
129
130
132
173
Consideraciones para el cálculo mental
177
Orientaciones didácticas
179
Concepciones del cálculo mental
El docente en el aprendizaje del cálculo
184
187
El docente frente al cálculo mental en el aula
Dificultades didácticas
Evaluación del cálculo mental
189
192
194
Bibliografía
195
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Introducción
El cálculo aritmético es, cálculo mental, considerado como la primera aproximación
independiente y universal en la vida del hombre a la matemática, es uno de los
ejercicios para mejorar la concentración y la agilidad mental. Es importante darle
sentido a los números fuera de la escuela pues propicia la construcción del
pensamiento numérico; en este sentido, no basta con enseñar ejercicios de
reconocimiento, ni tampoco es suficiente enseñar procedimientos para ejecutar
operaciones y reglas que establecen relaciones o sólo enseñar a resolver algunos
cuantos problemas en los que se utilicen números; se trata de construir herramientas
que contribuyan al desarrollo intelectual que permita comprender y actuar en
situaciones que involucren diferentes contextos, es a partir de entonces que el cálculo
mental tiene relevancia al responder a la autonomía que la sociedad demanda.
En este libro se implementa el cálculo mental como una estrategia, que va más allá
de resolver problemas, de la ejecución de algoritmos y de procedimientos; en donde
sólo se utiliza el cerebro, sin ayuda de otros instrumentos. Para ser ágil en el cálculo
mental hay que ser capaz de interconectar, entender y dominar una gran cantidad
de ideas, conceptos, relaciones y patrones de los números.
De esta manera, considerando que para Galeano y Ortiz (2008) el cálculo mental,
refiere a la realización de cálculos sin tener en cuenta algoritmos preestablecidos,
en la ejecución de un procedimiento razonado o mecánico para el cual se ha
desarrollado rapidez, que no descarta la utilización de lápiz ni papel1 , debido a que la
anticipación y reflexión en las situaciones de aprendizaje es necesario como parte de
estos procesos mentales que llevan a los alumnos a establecer caminos más seguros
para llegar a algún tipo de respuesta.
El libro presenta una estructura de cinco apartados; el primero contiene las ideas que
sustentan al cálculo mental, a la estimación, así como estrategias para su desarrollo.
El segundo apartado corresponde a problemas con cálculo mental, su clasificación,
ejercicios y una gran diversidad de actividades. En los apartados tres y cuatro, se
consideran respectivamente juegos y materiales manipulables que propician el
desarrollo de estrategias que facilitan su enseñanza y aprendizaje. Por último, el
quinto apartado contiene consideraciones didácticas para el fortalecimiento del
cálculo mental.
Es un libro, que puede convertirse en un motor que posibilite el desarrollo del cálculo
mental a través de la lectura, el análisis y la reflexión de cada una de las situaciones
que se proponen, al buscar estrategias, soluciones pertinentes, y justificaciones de
una manera amena y divertida, es decir aprender resolviendo.
Con esto se asume que el cálculo mental también puede realizarse y de hecho se realiza con lápiz y papel, porque, los
estudiantes validan en su mente los procedimientos que consideran necesarios para resolver determinada situación.
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Cálculo Mental
El cálculo mental y su enseñanza
Se considera que el cálculo mental se entiende como la capacidad de decidir
rápidamente de forma flexible y adecuada a diferentes situaciones de la vida
cotidiana; ejemplo las cantidades aproximadas de materia prima para elaborar una
receta.
Dentro de los tipos de cálculo identificados en la enseñanza de la matemática, el
mental lo han definido algunos autores de diferentes décadas, como:
“Un tipo de cálculo en donde no se utiliza ni papel ni lápiz o cualquier otro
implemento adicional. Sólo procesos mentales” (Hazekamp, 1986).
“Conjunto de procedimientos que se articulan sin recurrir a un algoritmo
preestablecido para obtener resultados exactos o aproximados; este ayuda a
generalizar y aumentar la velocidad del pensamiento matemático, pues las
operaciones aritméticas en él se realizan a partir de los esquemas interiorizados de
las relaciones simbólicas que poseen los niños” (Ríos, et al, 2002, pp 20-21).
“El cálculo mental, es aquel que efectúan las personas sin ningún tipo de apoyo,
únicamente de cabeza” (Martínez, 2001, p 33).
Conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan, sin
recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o
aproximados, se tiene de Parra (2007).
Por tanto, la enseñanza del cálculo mental, pone énfasis en la práctica repetida de
operaciones para resolverlas lo más rápido posible “en la cabeza” sin necesidad de
utilizar lápiz y papel; lo que significa que ser bueno en cálculo mental es algo más que
acumular en la memoria una serie de hechos numéricos aislados.
Por lo que la buena capacidad de cálculo no depende tanto de un gran almacén
de hechos, operaciones o resultados aislados, como de un sentido numérico. De
esta manera Baroody (2006) refiere que los niños que dominan el concepto de
número y las relaciones aritméticas son mejores calculando. Lo que, al componer y
descomponer un número en diferentes partes, además de poderse hacer de
diferentes formas, ayuda a los niños a desarrollar estrategias de cálculo mental.
Desde esta perspectiva, el cálculo mental se mira como piensa con tu cabeza en
lugar de opera en tu cabeza, por lo que favorece el sentido numérico.
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Sugerencias para desarrollar el cálculo mental
Numeración
Se considera que, para poder dar inicio al cálculo
mental, se requiere del dominio de los números,
comenzando primeramente hasta el 100 y
seguido hasta el 1000, de manera gradual. Las
actividades que conllevan a este objetivo, es
repitiéndose a lo largo de los dos cursos, siendo las
más
habituales:
conteos
ascendente
y
descendente, series, el número anterior o
siguiente a, el número menor o el mayor entre dos
o varios números, descomponer un número en
dos o tres sumandos, buscar un número que esté
entre otros dos, ordenar varios números, leer y
escribir números, observar qué ocurre cuando se cambian decenas por centenas, etc.
Muchas de las actividades se empiezan dando pautas con varios ejemplos y se
ponen puntos suspensivos para que puedan añadir más ejercicios similares.
También se trabajan los primeros pasos de la aproximación con actividades como:
buscar un número cercano (anterior o posterior) a un número determinado,
nombrar entre una serie de números el que está más cerca de la decena, redondea a
la decena más próxima, etc.; conviene establecer discusiones respecto a las distintas
contestaciones que den los niños; se puede decir en voz alta la actividad, o escribirla
si es conveniente, esta segunda forma, puede facilitar las contestaciones. Los niños
pueden contestar en alto o escribirlo en un papel.
Las operaciones y estrategias
1+1
=
2
+
=
Conlleva, el trabajo de las tablas y de aquellas
operaciones de sumas y restas que no presenten
demasiada dificultad. Se entiende que el empleo de
las estrategias implica la asimilación de algunas
propiedades que no se dominan; por tanto, las
estrategias de que se hace uso en un primer
momento son mínimas. Se empieza con el
aprendizaje de las tablas de sumar y restar, para lo
cual es necesario que antes entiendan el significado
de dichas operaciones, por tanto, es conveniente
antes de memorizarlas, seguir si es necesario, las
fases de Bruner: manipulativa, gráfica y simbólica.
Las tablas de multiplicar se trabajan, siguiendo siempre la siguiente secuencia
(Ejemplo, tabla del 7: sumar el 7 ordenadamente: 7 + 1, 7 + 2, 7 + 3, ... etc.,
sumar el 7 cambiando el orden anterior: 1 + 7, 2 + 7, 3 + 7, ... etc., sumar el 7 sin ordenar los
números: 7 + 2, 1 + 7, 7 + 3, ... etc., memorizar la tabla del 7).
14
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Otras actividades, son restar un número, ejercicios en el que no se les pide el
resultado de la operación sino uno de sus términos, como: 20 = 8 + ?, 15 = 8 - ?
Ejercicios, para que relacionen varios aspectos como: resolver varias operaciones que
tienen características similares (idéntico resultado, resultados consecutivos, etc.),
inventar sumas y restas que den el mismo resultado, resolver operaciones de la forma:
5 + 3 + 8 - 3.
Cuando las operaciones sean consecuentes con las tablas, el número que trabajan
e ir graduando el grado de dificultad, siguiendo secuencias como: sumas y restas
que contengan un sumando de una cifra y el otro de dos (que no sean de llevadas),
sumas y restas con números acabados en cero (30 + 40, 80 - 30), restas que acaban
en las mismas unidades (35 - 5, 29 - 9), operaciones como: 29 + 10, 73 - 10, 25 - 20, etc.
La aproximación también se trabaja con actividades como: construir sumas o
restas que no lleguen o pasen a un número determinado, etc. Como en la numeración,
el proceso se puede hacer similar, recordando que no prima la velocidad, pero sí la
discusión en la clase sobre las distintas maneras con que se llega a la solución. Se
puede añadir o quitar lo que considere oportuno, así como regular su dificultad
según se encuentre preparado el niño.
Los problemas
Para cerca
de mi papá r el terreno
se requie
aproximad
amente 12 ren
rollos de
alambre
así alcanza de púas de 200m,
rá para da
rle 3 vueltas
+
X
Si cada rollo cuesta $620
necesita unos $7500
600x12=7200 más otros
$20 por cada rollo
?
El objetivo es que ejerciten los mecanismos y
estrategias aprendidos, por tanto, los enunciados
son sencillos y la dificultad de las operaciones a
resolver y las cantidades a manejar deben
sintonizar con los saberes previos. Los problemas
primeramente son de carácter aditivo, se
presentan con distintos tipos de enunciados
teniendo en cuenta también el nivel.Combinación,
cambio y comparación. Los tipos de enunciados
para un primer acercamiento son de combinación
y cambio, posteriormente se
introduce la
comparación. Se puede leer en voz alta dos
veces, dejar un tiempo para que lo entiendan
y lo resuelvan mentalmente, pudiendo serla
contestación oral o por escrito; siendo siempre
interesante que se comente en la clase cómo se ha
llegado a la solución.
Los juegos y material manipulable
Considerando el aspecto lúdico, los juegos deben amoldarse, como los problemas,
a los contenidos que esten trabajando. Dependiendo del tipo de juego, pueden
desarrollarse con pequeños o grandes grupos. Para cada juego se toma en cuenta:
el nivel, los objetivos, las reglas del juego y variantes que pueden hacerse. Se puede
aumentar o disminuir la dificultad de los mismos, simplemente cambiando la
magnitud de los números o la operación a trabajar.
15
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Asimismo, en cuanto al material didáctico para el cálculo mental, existe material
individual que tiene la ventaja de que el niño puede autocorregir sus fallos, así como
material pensado para trabajar en grupos, que también puede tener la misma
característica. La ventaja de los primeros es que ayudan a facilitar la labor de quien
le enseña, al mismo tiempo de que el niño puede seguir avanzando con autonomía.
El Cálculo mental, estimación y aproximación
Se entiende por cálculo mental una serie de procedimientos mentales que
realiza una persona sin la ayuda de lápiz y papel, y que le permite obtener la respuesta
exacta de problemas aritméticos sencillos.
Los datos originales del problema se descomponen o se sustituyen por otros con
los cuales se trabaja más cómodamente para obtener la respuesta. Los procesos
cognitivos involucrados en el cálculo mental son sustancialmente diferentes, en
cuanto a la forma de visualizar el problema y construir la respuesta, con respecto al
algoritmo de lápiz.
Ejemplo:
La siguiente figura muestra cuatro formas de realizar la operación
57 + 36
57 + 36:
57 + 36:
57 + 36:
50 + 7
30 + 6
57
30 + 6
80 + 13
87 + 6
93
93
60 + 33
57 + 36:
93
57,67,77,87
más 6, son 93
En la figura anterior, el cálculo aproximado se entiende como el proceso de obtener
un resultado con cierta precisión.
Ejemplo:
4
17 = 0.235
Corresponde a una respuesta con tres cifras significativas
Por su parte, el cálculo estimativo no busca dar respuesta exacta a un problema, sino
que su propósito es dar una respuesta cercana al resultado correcto de un problema.
Es un tipo de cálculo aproximado en situaciones de la vida cotidiana.
16
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Suponga que usted compra seis artículos que tienen los precios que están en la
imagen
¿Aproximadamente cuánto tiene que pagar?
$
$4.59
$1.69
$2.83
Serían 2, más 4, más 1, más
2, y más 3, son 12 pesos;
pero el .53 y el .59 hacen
como 1 y el .67 y el .83 hacen
otro 1, y el .56 y el .59 hacen
$0.53
$3,59
otro 1. Entonces, 12 más 3,
son 15 pesos
2 pesos, más 4,son
go
Si los precios los pon
s 2,
como 3, más 5, má
s 4,
más 3, más 1, y má
o 18 pesos
sería algo así com
6, más 1, son 7, más
2, son 9, y más 3, es
algo así como 12
Cálculo estimativo
La vida diaria permite ir dando soluciones a situaciones de la cotidianeidad sin
tener que abordar propiamente un tema matemático, sin embargo, el hecho de las
personas puedan: calcular la cantidad de material para cercar un terreno, el
tiempo que se llevará para llegar a su trabajo considerando la distancia y el medio de
transporte, o la cantidad de ingredientes para preparar un platillo sin tener la recta
a la mano, o hasta la forma de acomodar los muebles de la casa para aprovechar los
espacios, es una muestra de que la estimación ha sido siempre una habilidad mental
que orienta las actividades diarias.
17
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Actualmente, es frecuente y orientado para el campo educativo, encontrarse con la
necesidad de efectuar, o de dar por bueno, un cálculo sin tiempo ni medios para
realizarlo con exactitud. Es necesario, por lo tanto saber estimar y evaluar el resultado.
Las situaciones en las que es necesario estimar son prácticamente inagotables, por
ello mismo conviene tener en cuenta unas pocas destrezas prácticas que sirven
para orientar la estimación de forma correcta. Existen destrezas básicas orientadas
para obtener rápidamente el resultado de una operación y que desarrollan el cálculo
mental.
Sin duda alguna que el cálculo pensado (la estimación) tiene su origen en el dominio
o desarrollo del cálculo mental en las cuatro operaciones básicas con los números
del 1 al 100; en este nivel los alumnos tienen ya, las nociones de aproximación
desarrolladas, esto implica que hagan el reconocimiento del dominio de los números
por descomposición, dominio de descomposición de adiciones y sustracciones,
dominio de dobles, triples, etc.
Al efectuar cálculos, se debe tomar en cuenta que para ello se emplean valores
aproximados y se pueden mantener los dígitos finales.
Existen dos tipos de causas que inciden en la inexactitud del resultado. Por un
lado, es debido a que los valores que se emplean en el cálculo son aproximados; el
error que se comete por esta causa se llama error inicial. Sin embargo, también hay
errores que aparecen en la realización del cálculo, debidos a redondeos en resultados
parciales o en el resultado final principalmente; el error que se comete por este motivo
se llama error de evaluación. Dicho error debe de ser inferior al error inicial, porque de lo
contrario, la precisión de los datos iniciales se pierde.
De acuerdo con Hainaut (1978) existen en los cálculos numéricos once puntos sobre
estimación y redondeo, siendo estos:
■■Redondear un número, por defecto: cantidad aproximada por debajo del
número a calcular; por exceso: cantidad aproximada por encima del número a
calcular u óptimamente (con los cálculos exactos).
■■Determinar la magnitud y el sentido de una aproximación.
■■Determinar el número exacto a partir del número aproximado y la
aproximación.
■■Calcular un porcentaje de aproximación.
■■Comparar dos aproximaciones y decidir: cuál es la más precisa, y si alguna de
ellas es una estimación inadecuada.
■■Reconocer las cifras significativas de un número.
■■Redondear un número óptimamente a sus tres primeras cifras significativas.
■■Limitar los cálculos corrientes a tres cifras significativas.
■■Estimar el orden de magnitud del resultado de una operación.
■■Evaluar la importancia de la introducción de un número aproximado en la
precisión del resultado de una suma, resta, multiplicación, y de una división.
■■Compensar las aproximaciones para aumentar la precisión del resultado.
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Los objetivos de la enseñanza del cálculo aproximado se reparten entre los distintos
medios de cálculo, tanto el mental, como el escrito y como el mecanizado.
Objetivos en el aprendizaje de la estimación son:
Legitimar la estimación: demostrar al alumno por medio de ejemplos claros y
cotidianos que la estimación es en muchas circunstancias la mejor solución.
Sugerencias para trabajar este objetivo en el aula son:
■■Enfatizar aquellas situaciones en las que sólo se requiera una estimación.
■■Utilizar el lenguaje de la estimación (sobre, cerca de, alrededor de, más o
menos, por debajo de, entre).
■■ Aceptar una variedad de respuestas, ya que en estimación no hay una única
solución válida, sino que cualquiera que este razonablemente cerca al
valor exacto lo es, lo importante es que el alumno entienda que hay muchos
caminos para estimar. El aceptar una variedad de respuestas de un mismo
problema, dada por los alumnos, exponiendo cada uno de ellos la forma
de llegar a la misma, añade riqueza al trabajo y ayuda a los estudiantes a que
aprendan más sobre el tema, esto de acuerdo con Castro (1989).
1. Flexibilidad de pensamiento: debido a que hay varios caminos para llegar
a un mismo resultado, “cada persona, frente a un problema de estimación,
elige la estrategia que considera más conveniente, atendiendo a su
familiaridad con la misma y a la situación en la que se plantea el problema.
Esto requiere hacer práctica en el análisis de situaciones, lo que proporciona al alumno
flexibilidad de pensamiento y sensibilidad sobre los factores que afectan a la
estimación, como son, el contexto y el propósito al hacerla, recuperando a Segura
(1989).
Algunas sugerencias al respecto son:
■■Presentar situaciones a los alumnos para que las estudien y vean qué tipo de
estimación requiere cada una de ellas, y su grado de precisión.
■■Presentar situaciones en donde los estudiantes elijan la estrategia más
apropiada para cada ejercicio.
2. Ajuste y razonabilidad del resultado: tener un buen sentido de la relación
entre la estimación y la respuesta exacta es una de las dimensiones más
importantes en el proceso de estimación, lo cual requiere una buena
intuición y sentido de las relaciones numéricas.
Las sugerencias para este objetivo pueden ser:
■■Hacer ejercicios donde los alumnos tengan que hacer sobreestimación y
subestimación.
■■Ajustar estimaciones: se da el resultado errado de algunas estimaciones y el
alumno debe ajustarla a la realidad.
19
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Presentar situaciones reales, con datos correctos e incorrectos, y trabajar en el
reconocimiento de cuáles son razonables.
■■Realizar ejercicios donde haya que asociar un número o rango numérico
apropiado a una situación. Para alcanzar estos objetivos, es necesario
desarrollar algunas estrategias de estimación en cálculo.
Siguiendo a Reys (1982), pueden distinguirse cuatro tipos de procesos en las
estrategias de estimación en cálculo. Se denominan: reformulación, sustitución,
traslación, compensación, suelen aparecer en distintas fases de aplicación de una
estrategia y se completan con el empleo de algoritmos que permiten la realización
del cálculo en forma mental.
a. Procesos de reformulación: al usar procesos de reformulación, se realiza
una modificación de los datos, para llegar a una situación aritmética más
manejable, sin alterar en nada la estructura del problema que pretende
resolver. Hay dos tipos de reformulación: primeros dígitos, sustitución.
Primeros dígitos: la reformulación mediante primeros dígitos se caracteriza por el
uso de los dígitos más significativos y puede realizarse empleando las dos técnicas
usuales de aproximación: redondeo y truncamiento.
Redondeo: una estimación del resultado de una operación aritmética empleando el
redondeo consta de las siguientes fases:
■■Elegir el tipo de redondeo de los datos: éste va a depender de la situación
en que nos encontremos, es decir, de la precisión que necesite el resultado
y de la rapidez con que se requiere obtener. Ambas variables son de efectos
contrapuestos: a mayor precisión, más cifras significativas en el redondeo y, a
mayor rapidez, menor número de cif ras significativas.
■■Redondeo de datos: una vez redondeados los datos y para operar con ellos se
puede olvidar los ceros del redondeo o tenerlos en cuenta.
■■Realizar la operación con los datos redondeados: el empleo de un algoritmo
apropiado es fundamental para realizar la estimación.
■■Valoración del resultado y retroacción (sí fuese necesaria). Una vez hecha la
valoración del resultado puede conseguirse una aproximación mayor
reiterando el proceso o bien actuando sobre el resultado.
■■Truncamiento: recordemos que truncar un número consiste en tomar sólo los
dígitos de la izquierda más significativos según las situaciones (y reemplazar
por ceros las cifras suprimidas cuando son valores enteros).
b. Procesos de sustitución: cuando un dato resulta demasiado complicado
para operar con él, bien porque tenga un número excesivo de cifras
significativas o bien porque no sea cómodo trabajar con ese número en una
determinada operación, entonces se sustituye por un dato próximo, con lo
que desaparece la complicación para operar. Tenemos así la posibilidad de
sustituir los datos por números próximos a los exactos pero compatibles, en
el sentido de que la operación entre ellos resulta más fácil.
20
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
c. Procesos de traslación: cuando la resolución de un cálculo viene asociada
al enunciado de un problema, las acciones o relaciones que aparecen en
el problema imponen un orden en los cálculos a realizar. De este modo la
estructura del problema se refleja en los cálculos. En los procesos de
traslación se produce un cambio sobre las operaciones que supone una
modificación en la estructura del problema.
d. Procesos de compensación: consiste en reducir el error producido en un
sentido, al aproximar uno o varios datos, equilibrándolo con un error en
sentido contrario, actuando bien sobre datos diferentes o bien sobre el
resultado. La compensación no es nunca independiente, sino que se
produce en el transcurso de una reformulación o de una traslación.
Se distinguen dos tipos de compensación:
■■Compensación de los datos: durante el proceso de estimación.
■■Compensación en el resultado: se llama así cuando el ajuste se realiza al
finalzar el cálculo. Las compensaciones más usuales son las realizadas sobre los
datos.
■■Cada operación suele tener sus propias técnicas de compensación, de acuerdo
también con el proceso de reformulación seguido.
■■Compensaciones en sumas y restas: en el caso de la suma conviene
redondear unos sumandos por exceso y otros por defecto, equilibrando unos
con otros.
■■Compensaciones en productos y divisiones: conviene aproximar sólo uno de
los factores, en primer lugar. Cuando hay que aproximar también el segundo
factor, debe hacerse en sentido contrario al primero.
Cálculo escrito
? 8
+
X
5
3
-
Las actividades de cálculo estimativo tienen como finalidad
principal hacer consciente al alumno que realizar un cálculo
estimado conlleva varios procesos, aunque no necesariamente
en un orden determinado.
Se podría pensar que el medio escrito es la parte más importante
para la realización de cálculo, pero la verdad es que no es así; si
se satura se analiza una práctica tradicionalista con un grupo
+ - numeroso en el que el docente atiborra el pizarrón de
operaciones en vez de propiciar acciones de reflexión y análisis
para la solución de problemas matemáticos, queda evidencia
de que esta práctica se convierte en una desventaja, ya que es
evidente que el principal inconveniente que presenta el cálculo escrito es el de su
lentitud.
5
8
?
3
X
En ocasiones se suele recurrir de manera inconsciente al cálculo escrito con
aplicación de los algoritmos estándar para las cuatro operaciones, y aquí se genera
otra desventaja más, ya que dichos algoritmos son pensados para su utilización
irreflexiva, por lo que el alumno más incapaz puede, posiblemente, aplicarlos.
21
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Las horas dedicadas al cálculo algorítmico por escrito no consiguen que los alumnos
hayan entendido las características eseciales de los procesos operativos.
Cálculo mecanizado
Este tipo de cálculo corresponde al que se realiza por medios
que proporcionan los resultados de manera directa e
inmediata, como ocurre con la utilización de las computadoras,
las calculadoras o algún ordenador. Sin necesidad de seguir
?
ningún tipo de algoritmo, ni los seguimientos de pasos
?
X
ordenados o de memorización alguna o anotaciones a lápiz y
3
+ papel, estos aparatos te dan resultados. La realización de todo
?
calculo está inmersa en un proceso más complejo: antes de
8
+ - X
calcular, hay que plantear el cálculo y después hay que interpretar el resultado; incluso si nos ubicamos en el mismo momento
del cálculo, debemos descomponerlo en tres fases: codificación de los operados y
operadores (fase de planteo), ejecución del cálculo (realización) y lectura de los
resultados (interpretación).
-
8
5
5
3
La fase denominada de planteo incluye dos tipos de
decisiones: qué operaciones se realizan y cómo se
organiza el cálculo en función de las posibilidades para
operar.
Cálculo mental aditivo
Si tengo 45 tarjetas y
Si tengo 85 tarjetas y
Pepe 85, entonces son
Sofia 45, entonces son
50 + 8
80 + 40 + 10
+4
8+ 7
12
5 +2 3
6
9 - 0 -- 9
El alumno debe aprender una gran variedad
de métodos y estrategias que le permitan
dar respuesta a situaciones problemáticas
planteados por el maestro en el salón de clase
o por los padres en el entorno familiar, para
operar debe ir a la reducción y manipulación
de símbolos complejos a los más simples, ya
conocidos por él.
En este proceso le debe quedar claro el valor
de posición y la expresión multiplicativa del
número. Las estrategias y métodos de cálculo
mental aditivo, no son tan ricos y variados como
resultan los multiplicativos. La gran mayoría
consiste en la descomposición de los sumandos o la búsqueda de redondeos, utilizando
números terminados en ceros (decenas,
centenas, ...).
22
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Recolocación: Se trata de recolocar o reacomodar mentalmente los números
agrupándolos según las familias de sumandos de la unidad seguida de ceros:
38 + 76 + 62 + 34 = 38 + 62 + (76 + 24)
93 + 217 = 90 + 3 + 210 + 7 = (90 + 210) + (3 + 7)
285 – 69 = 100 + (100 – 69) + 85 = 100 + 31 + 85
Descomposición: consiste en descomponer uno de los términos para transformar la
operación en otra equivalente más cómoda.
a) 152 + 68 = 150 + 70
b) 213 + 57 = 210 + 60 o 200 + 60 + 10
Redondeo: Se trata de alterar los dos términos de la operación buscando el redondeo
a ceros, al menos de uno de ellos. En la suma, es frecuente la compensación, añadir
a un sumando lo que se le quita a otro. En la resta, la conservación: añadir o quitar a
iguales.
Conteo: Cuando se tiene cierta destreza, resulta cómodo trabajar de izquierda a
derecha manejando cientos, dieces y unidades.
Ceros
Conmutatividad
Conteo
ascendente
Dobles
Combinaciones
básicas
Cálculo mental
(Suma)
Dieces
Buscando
al diez
Número
misterioso
Los nueves
Dobles más 1
Patrones
Familia del
diez
23
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Cálculo mental multiplicativo
Observa detenidamente como se puede
expresar el número 120 como producto
de otros dos números más sencillos
llamados factores.
3x4
Una etapa en la instrucción del cálculo multiplicativo,
se da cuando aún sin conocer la tabla es posible hallar
el producto, esto quiere decir que se ha alcanzado un
buen dominio de la adición.
Algunas estrategias desarrolladas en esta etapa
resultan ser tan sólidas que aun cuando se ha
memorizado la tabla se sigue recurriendo a ella.
120 = 12 x 10 = 3 x 4 x 2 x 5 =
3x4
La multiplicación es la operación del cálculo mental.
2x2
=3x2x2x2x5
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
Conmutar
Doblar
Añadir un cero
Estrategias de
cálculo mental
Multipicación
Un cero y mitad
Descomposiciones
Patrones
Aritmética digital y cálculo
8
3
2
Uno de los primeros instrumentos de cálculo
lo constituyeron los dedos. A esta forma de
calcular se le conoce como Aritmética Digital.
9
7
4
5
6
10
1
El procedimiento se realizaba mentalmente
y se extendió en el tiempo, incluso, hasta
la Edad Media y el Renacimiento, donde
fueron muy pocas las personas que llegaron a
conocer las tablas de multiplicar más allá de
5x5, o que hayan tenido acceso a un ábaco,
(Gardner, 1984).
Se conoce una diversidad de procedimientos de Aritmética Digital, todos aplicables
a tipos específicos de operaciones.
Ejemplo:
Para multiplicaciones como 17 x 19; en las que las decenas son iguales y las unidades
pertenecen a una misma semidecena.
24
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Considerando que la semidecena son decenas incompletas
(25, 35, 45, …).
3 x 1=3
Utilizando las manos, se asigna a los dedos la semidecena correspondiente y se une a
los que representan los factores.
3 x 1 = 3
6 x 20 = 120
La cantidad de dedos que quedan abajo incluyendo los que quedan unidos, se
multiplican por 20, que es el valor que les corresponde de acuerdo con la tabla.
Semidecena
Valor de los
dedos
interiores
Constante
aditiva
1-5
0
0
6-10
10
0
11-15
10
100
16-20
20
200
21-25
20
400
26-30
30
600
31-35
30
900
36-40
40
1200
41-45
40
1600
46-50
50
2000
De esta manera se obtiene el primer resultado parcial del ejemplo: 6 x 20 = 120.
25
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
En las semidecenas que van de 6 - 10, 16 - 20, 26 - 30, …, los dedos que quedan hacia
arriba de los que se unen, se multiplican entre sí: 3 x 1 = 3, obteniéndose el segundo
resultado parcial del ejemplo.
Para las semidecenas que van de 1 - 5, 11 - 15, 21 - 25, ..., se multiplican entre sí los dedos
que quedan hacia abajo de los dedos que se unen.
De esta manera, la constante aditiva para la multiplicación que, según la tabla, es 200.
Así:
17 x 19 = 120 + 3 + 200 = 323
Existe la técnica básica en la descomposición de los números y la operación de sus
partes.
79 532 853 x 93758479
En tan sólo 54 segundos.
También encontró que el producto correcto de dos números de 20 dígitos en
solamente 6 minutos; y también obtuvo el producto dos números de 40 dígitos cada
uno, en 40 minutos. Asimismo, calculó la raíz cuadrada de un número de 100 dígitos
en 52 minutos. (Bal, 1956).
Ejemplo del tipo de cálculos numéricos mentales hechos por calculadoras expertas,
es el caso de Dase, prodigioso calculista mental alemán que vivió en el siglo XIX, que
calculó el producto correcto de la multiplicación:
De los métodos o trucos conocidos en aritméticas antiguas y las generalizaciones
usadas por calculistas, se han derivado una gran cantidad de procedimientos
(conjuntos de reglas), presentándolos en su momento como métodos modernos para
resolver problemas matemáticos.
La regla sugerida para resolver la operación 32 x 43 es:
a. Las unidades se multiplican entre sí, y las que se lleven se añaden al
producto.
b. Unidades por decenas y decenas por unidades. Las que se lleven se suman al
producto.
c. Decenas por decenas. Luego, se anota todo el número: 32 x 43 = 1376
d. Al respecto, existe un método singular para efectuar una multiplicación con
factores de dos dígitos, cuyas decenas deben ser iguales y las unidades de
ambos factores deben sumar 10.
Ejemplo: 86 x 84
26
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Primero, se multiplica la decena de los factores por el número que sigue en forma
ascendente, en este caso el 9. Así 8 x 9 da 72, que constituye las dos primeras cifras
de la izquierda del resultado.
Después se multiplican entre si las unidades, 6 x 4 = 24, lo que constituye las dos cifras
de la derecha de la respuesta, que es 7224:
86 x 84 = 7224
8 x 9 = 72 y 6 x 4 = 24
La respuesta es 7224
Un procedimiento más permite efectuar multiplicaciones aceleradas usando
complementos. Este método se aplica en aquellos casos en que los factores son
próximos a 100 (o a 1000).
Ejemplo: 96 x 92 = 8832
El procedimiento será considerando: El complemento de 96 a 100, es 4; y el de 92 a
100, es 8.
A cualquier factor le puedo quitar el complemento del otro, y en ambos casos da
88 (las dos primeras cif ras de la izquierda de la respuesta); luego se multiplican los
complementos: 8 por 4, son 32, que son las dos cifras de la derecha de la respuesta.
De estos ejercicios nace la idea de que el cálculo mental era una serie de reglas que
debían memorizarse y ser aplicadas en la resolución de un problema aritmético.
Existe una larga lista de caminos abreviados para resolver operaciones.
Esta imagen del cálculo mental fácilmente puede hacer creer que siempre hay
soluciones mágicas para obtener la solución de problemas de aritmética.
Actualmente, la idea sobre el cálculo mental ha cambiado, dejando de ser concebido
como la simple memorización y aplicación de un conjunto de reglas para resolver un
problema matemático.
Se le ha asociado con cálculos numéricos mentales sencillos, más naturales, que
se realiza según su experiencia, conocimiento de los números, y la naturaleza del
problema matemático a resolver.
El cálculo mental: sus características y métodos
Para entender mejor la naturaleza del cálculo mental se contrastan en seguida
algunas de las características de este tipo de cálculo con las del algoritmo de lápiz y
papel. (Plunkett, 1979).
27
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
El algoritmo de lápiz y papel trabaja separadamente con los dígitos de los números;
en cambio el cálculo mental es holístico, ya que la persona mantiene la identidad de
los números completos. El algoritmo para una operación es fijo y todas las personas
lo aplican igual. El cálculo mental es variable; es decir, un mismo problema puede ser
resuelto de muchas formas.
Ejemplo: 539 – 189
Algunas formas de solución son:
■■De 189 para 200, son 11; de 200 para 500, son 300:
■■Luego, 300 + 39 + 11 =350.
■■539 menos 100, son 439; menos 80, son 359; menos 9, son 350.
■■Si le quito 39 a 539, da 500; y si le quito 39 a 189, resulta 150.
■■Así, 500 menos 150, son 350.
■■Si a 539 le quito 200, son 339; pero, a 339 se le suman los 11 que
se quitaron y da como resultado 350.
Los algoritmos son generales y se aplican igual a una operación sin importar los
números. En cambio, el cálculo mental es flexible, ya que un mismo individuo puede
usar diferentes estrategias para resolver diferentes problemas matemáticos.
Ejemplo: Para 83 – 290
Si al 29 se le agrega 1, son 30; luego, 83 - 30, son 53; pero a
53 le suma 1, para compensar el 1 de más que se quitó antes.
La respuesta es 54.
Para 83 – 54
De 54 a 60, son 6; de 60 a 80, son 20; y de 80 a 83, son 3. Así,
20· más 6 más 3
Da 29.
Para 83 -7
83 menos 3, son 80; 80 menos 4.
Son 76.
El cálculo mental también es constructivo, el resultado final se construye mediante
resultados parciales, de acuerdo con la estrategia seleccionada.
Con f recuencia, desde el principio de la construcción de la respuesta, el cálculo mental
da una clara aproximación del resultado, por lo que las cifras más significativas de la
izquierda son calculadas primero:
28
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
132 + 47
132 más 40, son 172, más 7, se obtiene 179
234 x 4
200 x 4, da 800; 30 por 4, son 120, más 800 de antes, son 920;
y 4 x 4, son 16.
Resultado 936
Además, el cálculo mental para resolver problemas matemáticos contextuales, no ha
sido utilizado propiamente como un recurso en la enseñanza de la matemática, donde
principalmente se recurre a los algoritmos de lápiz y papel.
Se tiene que Plunkett (1979) describió que las operaciones aritméticas graduadas en
dificultad y separadas en cinco bandas, pueden ser tomadas en cuenta para diseñar
situaciones de aprendizaje en la enseñanza del cálculo mental.
Rojo
Naranja
Amarilla
Verde
Azul
5+9
135 + 100
139 + 28
592 + 276
3964 + 7123
13 - 8
85 - 20
593 - 276
5960 - 4981
5960 - 4981
4X7
5 X 30
17 X 3
931 X 8
931 X 768
35 ÷ 5
90 ÷ 3
72 ÷ 4
693 ÷ 7
8391 ÷ 57
■■En la columna roja, las operaciones se resuelven de memoria, reconocidas
como hechos básicos.
■■En la banda naranja, las operaciones de la primera banda están complicadas
con ceros.
■■En la columna amarilla hay operaciones como las que aparecen en situaciones
sencillas dentro de un contexto real. Es aquí donde las estrategias de cálculo
mental son las más idóneas.
■■Con lo que corresponde a la columna verde, las operaciones se pueden resolver
con cálculo mental, pero se requiere de entrenamiento (se sugiere no llegar a
este nivel de cálculo mental en el salón de clase).
■■Así como en la columna azul, tiene más sentido obtener las respuestas con el
algoritmo de lápiz y papel o con la ayuda de una calculadora.
Así mismo, Mialaret (1986) ha diseñado ejercicios que ayudan al cálculo mental, ya que
en ellos se analizan los números de varias formas, descomponiéndolos y formando
patrones:
Descomposición Formación de patrones
Descomposición
10 = 9 + 1 = 8 + 2 = 7 + 3
26 = 20 + 6 = 25 + 1
88090 – 2 = 100 - 12
Formación de patrones
3 + 413 + 423 + 4
6x5
6 x 50
60 ÷ 5
600 ÷ 50
6 x 500
6000 ÷ 500
29
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Estos ejercicios ayudan a desarrollar el sentido numérico en los estudiantes, a
conocer el sistema decimal y a adquirir seguridad en los cálculos; con lo que se
disminuyen los errores en las operaciones matemáticas. Algunos de los métodos que
se han clasificado para el cálculo mental multiplicativo son de Gómez (1988).
1. Distribución
a) Distributivita aditiva: Los factores se descomponen y se opera con sus partes:
25 x 48 = 20 x 40 + 20 x 8 + 40 x 5 + 5 x 8 = 800 + 160 + 200 + 40 = 1200
b) Distributiva substractiva: Uno de los factores se redondea hacia arriba y se
compensa:
25 x 4 8 = (25 x 50) - (25 x 2) = 1250 - 50 = 1200
c) Cuadrática: Se aplica una diferencia de cuadrados: 49 x 51 = 502 - 12 = 2499
Este método sirve para calcular cuadrados de números basados en la igualdad:
a2 = (a + b) (a - b) + b2 (43)2 = 46 x 40 + 320 = J 840 + 9 = 1849
2. Factorización
a) Factorización: Estrategia general que consiste en descomponer los números
en factores:
25 x 48 = (5 x 5) (6 x 8) = (5 x 8) (5 x 6) = 40 x 30 = 1200
b)Doble y mitad: A una de las partes se le va sacando mitad, y la otra se va
duplicando, hasta encontrar el resultado definitivo (sin necesidad de usar
las tablas):
16 x 17 = 8 x 34 = 4 x 68 = 2 x 136 = 272
Basados en la factorización, se puede proponer métodos sintéticos para realizar
multiplicaciones por los factores de 10, 100, 1000, etc., tales como 5, 25, 50 y 125.
Ejemplo:
629 x 5: Se multiplica 629 por 10, son 6290; ahora la mitad de 6290 es 3145
■■45 x 25: Se multiplica el 45 por 100, 4500; luego, divido 4500 entre 4, ya que 100
es veces mayor que 25, y obtiene 1125.
■■912 x 125: Como 125 es un octavo de 1000; Se multiplica 912 por 1000, o que 912
000; luego, se divide 912000 entre 8, y la respuesta es 114000.
30
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
El cálculo mental puede ser aplicado también al cálculo de fracciones decimales y
comunes, además al cálculo de porcentajes.
Cálculo estimativo
El cálculo estimativo se usa frecuentemente para resolver problemas aritméticos
cotidianos que requieren de una respuesta aproximada.
Para los alumnos, las situaciones presentadas en el aula para ser resueltas con cálculo
estimativo deben tener sentido, es decir, la respuesta no debe ser la exacta sino sólo
un valor aproximado.
Ejemplo:
Calcular el 15% de propina, o estimar el costo de reparación de un coche, así
como, estimar el costo de un tapete de pared a pared.
Es importante considerar que las operaciones propuestas en el cálculo estimativo
deben tener cierta dificultad, pues pedir que se estime la suma 37 + 29 no tendría
sentido, ya que la respuesta exacta es fácil de obtener.
Se han logrado identificar tres procesos cognitivos generales que se aplican en el
cálculo estimativo. Dichos procesos son conocidos en la literatura especializada como
reformulación, traducción y compensación, con Flores (1990).
La reformulación consiste en el cambio de los datos numéricos de las cantidades
implicadas en el problema.
Ejemplo: 0.24 x 4.39 se puede aproximar por 0.25 x 4
Por tanto, se debe cambiar la estructura matemática del problema, ya sea procesando
los valores numéricos en un orden diferente de como aparecen en el problema, o
cambiando las operaciones para formar un problema equivalente.
Ejemplo:
2.47 + 2.64 + 2.39 + 2.72
2.5 x 4 = 10
0.24 x 4.39 es aproximadamente 44 ÷ 4, o sea, 11
En el contexto de estos tres procesos cognitivos, se han identificado algunas
estrategias específicas que se utilizan en los cálculos estimativos, como son:
Idea de punto de referencia: En su forma más simple, se fundamenta en el sentido
común acerca de comparar 10 que se está estimando con una medida conocida,
ejemplo: se conoce el peso y 10 se usa como punto de referencia para estimar el peso
de otras personas.
31
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Orden de magnitud: Esta es la estimación más primitiva.
Ejemplo: 3240 x 1270
Los dos números son del orden de miles, entonces se espera una respuesta del orden
de millones.
Es decir, 103 x 103 = 106
■■Operación frontal: Se refiere a tomar el primer dígito inicial de la izquierda
(que es el más significativo) de cada una de las cantidades involucradas en el
problema matemático.
Ejemplo:
5346 x 6432
5000 x 6000 = 30000000
27344 + 2547 + 25
20000 + 2000 + 20 = 22020
Esta estrategia, puede llevar a consideraciones algo absurdas.
Ejemplo:
En la suma anterior, en el sumando de la izquierda no se considera el 7000 del primer
sumando, y se toma en cuenta el 20 del tercero. Por ello, está técnica debe estar basada
en un buen sentido numérico para tomar en cuenta las cifras más significativas, y
complementarIa con un ajuste que considere las cantidades más importantes que
no se consideraron:
27000 + 2000
29000, más casi mil, = 30000
■■Redondeo: Es una estrategia que consiste en cambiar los números involucrados
en la operación por otros que tengan ceros, es decir: las potencias de diez más
próximas a dichos números, para operar más fácilmente con ellos:
57 x 52
60 x 50 = 3000
El redondeo puede estar acompañado también de un ajuste.
Ejemplo: 42 x 42
32
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Al redondear los números a 40 x 40, se llega a la misma estimación que con la operación
frontal es 1600.
Esta compensación puede ser de tipo cualitativo: Un poco más de 1600, algo así como
1700, También puede ser de tipo cuantitativo:
Serían 1600, más dos veces el producto de 2 x 40, o sea 160. Algo así como 1760.
■■Números compatibles: Esta estrategia tiende a usarse cuando los números
involucrados en el problema se puedan cambiar por parejas, de manera que sus
valores, sean compatibles entre sí, ya que resultan más fáciles en la operación
mental.
Esta técnica se usa principalmente en la estimación de cocientes:
46224 ÷ 83 se aproxima por 48000 ÷ 80 (Por ser compatibles: 48 ÷ 8 = 6)
■■Punto de referencia: Esta estrategia en su aspecto numérico consiste en apoyarse
en valores conocidos.
Ejemplo:
22% de 1590 ≈ 25% de 1590 ≈ 1600 ÷ 4 = 400
(25% es el punto de referencia).
Las estrategias de estimación pueden ser enseñadas a los alumnos mediante el
diseño de situaciones que reflejen la necesidad de un cálculo estimativo, y
fundamentadas en la experiencia de ellos.
33
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
35
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
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Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problemas con cálculo mental
Las situaciones que se presentan en este apartado recreativo, aporta, para el
fortalecimiento del desarrollo del cálculo mental. Para dar con las respuestas se debe
previamente plantear preguntas como: ¿he comprendido bien el enunciado del
problema?, ¿he identificado claramente lo que me están pidiendo calcular,
encontrar, discernir o resolver?, ¿Qué estrategia debo aplicar?, ¿Qué pasos me
conducirán hasta la respuesta?; pues primero se debe precisar lo que realmente
está pasando en la situación dada, para poderse situar frente a ella y proponer una
variedad de posibilidades que conduzcan a la respuesta.
Razonamiento lógico
La habilidad lógica evalúa la capacidad para obtener conclusiones a partir de
distintos tipos de información. Se debe tener presente que la manera en que
son presentados los datos, varía según el tipo de pregunta; es por eso que en
algunos casos la información es simple y directa, sin embargo en otros se
necesitan sacar conclusiones en diferentes niveles para así llegar a una conclusión
general. Sacar conclusión significa sustentar una idea nueva, la que debe estar
suficientemente justificada con los datos de partida. Así la habilidad lógica pretende
poner a prueba la capacidad para obtener conclusiones necesariamente correctas.
Por lo tanto para resolver los ejercicios se tiene que tener en cuenta, la capacidad
para ordenar, analizar y deducir estas capacidades, las que están ligadas y dependen
unas de otras.
Lógica
Es la ciencia que estudia los procesos de valoración del razonamiento del ser
humano. Utiliza el concepto, el juicio, el razonamiento y la demostración.
También llamado lógica formal o simbólica, es un estudio que hace abstracción
del contenido concreto de los pensamientos y toma solo el proceso
general de conexión entre las partes del contenido dado. El objetivo
principal de la lógica formal consiste en formular leyes y principios de una inferencia
valida. Es decir la lógica llega a la verdad utilizando como instrumento el pensamiento.
Tipos de problemas y el cálculo mental
La clasificacion de los problemas matemáticos, sirve de ayuda para recordar
la variedad que existe y el como deben ser tratados en los distintos niveles
educativos; permitiendo el fortalecimiento del cálculo mental, por lo que se tiene:
Problemas aritméticos
Son los que presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones
de tipo cuantitativo. Para su resolución requieren de realizar operaciones básicas.
37
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Se clasifican por niveles considerando el número de operaciones que es necesario
realizar para su resolución.
1. De primer nivel: Es necesaria una sola operación para su resolución; se pueden
distinguir según la operación.
a. Adición y sustracción
De cambio: Parten de una cantidad inicial que se ve modificada en un cambio en el
tiempo.
Ejemplos:
■■José tiene en su alcancía $25. Después de su cumpleaños cuenta
sus monedas y tiene $63.
¿Cuánto dinero le regalaron en su cumpleaños?
■■Para la feria del pueblo a Mary le dieron $72 para gastar, si sólo se
subió a los caballitos y le cobraron $25.
¿Cuánto dinero le sobra?
De combinación: Se relacionan dos conjuntos que forman un todo. Se pregunta por
una parte o un todo.
Ejemplo:
■■En un autobús viajan 34 personas; si el autobús tiene 42 asientos
¿Cuántos asientos hay vacíos?
De comparación: Se establece una relación de comparación (más o menos que)
entre dos cantidades.
Ejemplos:
■■La abuelita de Ana tiene 86 años, es más grande por 64 años más
que Ana.
¿Cuál es la edad de Ana?
■■Mi primo tiene 31 años y le lleva 17 a mi hermana.
¿Cuántos años tiene mi hermana?
De igualación: Se da una situación de comparación y cambio a la vez.
Ejemplos:
■■En la escuela Sor Juana Inés de la Cruz se han organizado para
recolectar botellas de plástico; por lo que el grupo de tercero B
reunió 136 botellas y el grupo de quinto grado 92.
¿Cuántas botellas necesita reunir el grupo de quinto grado para tener
las mismas que tercero?
38
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
De reparto equitativo: Son aquellas situaciones en las que una cantidad se reparte
entre un número X de partes iguales. Por lo que en el enunciado se hará referencia a
tres informaciones: la cantidad a repartir, el número de grupos a formar o el número
de elementos por cada grupo.
Ejemplos:
■■En un grupo hay 19 alumnos. Después de repartir los dulces
contenidos en un dulcero entre ellos, a cada uno le tocaron 9
dulces.
¿Cuántos dulces había en el dulcero?
■■En la florería Margarita tienen 4 tipos de flores. Si lograron vender
ramos con 12 flores cada uno.
¿Cuántas flores tenía la florería?
De factor N: Son parecidos a los aditivos de comparación, pero empleando
cuantificadores (a veces más, menos que …).
Ejemplos:
■■Rosa tienen 60 años y su hijo 6 veces menos que ella.
¿Cuál es la edad de su hijo?
■■Francisco tiene 80 años y su bisnieto 10 veces menos que él.
¿Cuántos años tiene el bisnieto?
De razón o tasa: Estos problemas hacen referencia a tres medidas de magnitud, una
de ellas resulta de la combinación de dos anteriores.
Ejemplos:
■■Pague por un costal de azúcar $850. Si el precio de la azúcar es de
$17 por kilogramo.
¿Cuántos kilogramos de azúcar contiene el costal?
■■Carlos pago por una canasta de fresas $125. Si el precio de las fresas
es de $25 por kilogramo.
¿Cuántos kilogramos de fresas hay en la canasta?
■■En una carrera atlética Raúl recorrió 20 kilómetros. Si el tiempo que
hizo fue de 1 hora con 20 minutos.
¿Cuántos kilómetros recorrió por minuto?
39
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
De productos cartesianos: Se trata de combinar de todas las formas posibles los
objetos del problema.
Ejemplos:
■■Con la ropa que tengo entre faldas y blusas me puedo vestir de 24
formas diferentes. Si tengo 4 faldas.
¿Cuántas blusas tengo?
■■Se tienen cuatro sabores diferentes de helado. Si se quieren
combinar con 3 sabores diferentes.
¿Cuántas combinaciones se pueden realizar?
2. De segundo nivel: Son llamados también problemas de combinados; para darles
solución, se necesitan realizar varias operaciones (dos o más) en un cierto orden. Su
grado de complejidad es más que los de primer nivel puesto que supone establecer
unas relaciones más complejas entre los datos aportados por el enunciado. Dentro de
esta tipología podría hablarse de diferentes clasificaciones según el criterio:
a. Atendiendo a su estructura de su enunciado
Problemas combinados fraccionados: aparecen preguntas encadenadas las
cuales son necesarias para la resolución final.
Ejemplo:
■■En un maratón un corredor hizo el primer día un entrenamiento
de 12 km, el segundo día recorrió 29 km más que el día anterior, el
tercer día recorrió la mitad de kilómetros que el segundo día y el
cuarto día 9 km menos que entre los dos días anteriores juntos.
¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo día?
¿Cuántos kilómetros recorrió el tercer día?
¿Cuántos kilómetros hizo el cuarto día?
¿Cuántos kilómetros hizo en total entre los cuatro días?
Problemas combinados compactos: solo aparece una pregunta final, pero es
necesario diferentes pasos para llegar a ella.
Ejemplo:
■■Un vidriero tiene una placa de vidrio con una superficie de 4m2.
Quiere obtener 12 cuadrados de 20 cm de lado. Con lo que sobra
quiere hacer rectángulos de 20 cm x 40 cm.
¿Cuántos rectángulos obtendrá?
40
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
b.
Atendiendo al tipo de operaciones necesarias
Problemas combinados puros: aparecen solo operaciones de un mismo campo
operativo.
Ejemplos:
■■En una fiesta tienen cuatro cajas de chocolates para repartir
equitativamente entre los niños. Cada caja tiene seis filas y cada
fila tiene 9 chocolates.
¿Cuántos chocolates recibirá cada niño si son 9?
■■En un restaurante cada semana se compra una caja de huevo con
12 casilleros para vender durante la semana de manera equitativa.
Si cada casillero tiene 6 filas y 5 columnas.
¿Cuántos huevos se venden por día?
Problemas combinados mixtos: intervienen operaciones de campos operacionales
distintos
Ejemplo:
■■En la central de abastos un comerciante vendió 350
botellas de aceite que había comprado a $13 cada una. Ganó por su
venta $6650.
¿A cómo vendió cada botella?
c. Atendiendo a la secuencia temporal descrita
Problemas combinados directos: los datos están expresados en el mismo orden
que se han de utilizar.
Ejemplo:
■■ Andrés tiene en su alcancía $470. Ayer metió 5 de $10 y por la
tarde saco 8 monedas de $2.
¿Cuánto dinero le queda en la alcancía?
41
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problemas combinados indirectos: Los datos no están expresados en el orden que
se deben de utilizar.
Ejemplo:
■■En la época de navidad la señora Lidia vende esferas, para este
año ha comprado 27 docenas a $120 cada docena, pero en el
camino se le rompieron tres docenas.
¿A cómo tiene que vender las que le quedan
si quiere ganar $1000 en total?
3. De tercer nivel: Presentan en los datos del enunciado números decimales,
fraccionarios o porcentuales.
Las situaciones son similares a las de primer y segundo nivel.
Ejemplo:
■■En la tienda Miguelito, el dueño vendió 450 botellas de agua que
había comprado a $8 cada una. Ganó por su venta $5400.
¿A cómo vendió cada botella?
Problemas geométricos
Estos problemas permiten trabajar varios contenidos y conceptos del ámbito
geométrico (formas, figuras orientaciones, visión espacial, etc.).
Ejemplos:
Si se juntan las piezas 1 y 2 se hacen varias construcciones. Encuentre las dos piezas
en cada construcción y luego coloree.
1
2
¿Cuántas unidades ve en cada imagen?
42
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problemas de razonamiento lógico
Este tipo de problemas permite desarrollar destrezas para afrontar situaciones de
componente lógico. Se pueden clasificar en:
a. Numéricos (criptogramas, sudokus, sopas de letras …).
■■Un criptograma es el resultado del cifrado de un mensaje; puede decirse
que es un nuevo mensaje, sin significado aparente o cuyo contenido es difícil
de descifrar. También se le denomina criptograma a un rompecabezas cuyo
objetivo es recuperar el mensaje original a partir de un texto al que, por
ejemplo, le faltan letras o las letras que lo componen han sido desordenadas.
10
7
6
45
15
23
13
10
17
■■El sudoku se presenta normalmente como una tabla de 9 × 9, compuesta
por subtablas de 3 × 3 denominadas “regiones”, también se le llaman cajas o
bloques.
En algunas celdas ya se encuentran números, conocidos como “números dados” o a
veces “pistas”. El propósito es llenar las celdas vacías, con un número en cada una de
ellas, de tal forma que cada columna, fila y región contenga los números del 1 al 9 sólo
una vez.
■■Coloque los números del 1 al 9 en los cuadros de manera que las
filas, columnas y diagonales sumen 15.
■■Sopa de letras, consiste en cuadrículas u otras formas geométricas rellenas con
diferentes letras para formar palabras.
43
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Encuentre las siguientes palabras:
DIVIDENDO, MULTIPLICAR, RESTAR, SUMAR, FRACCIÓN, MATEMÁTICAS, NÚMERO,
DENOMINADOR, DIVIDIR, CENTENAS, MILLAR, NUMERADOR, CÁLCULO, MENTAL,
ESTIMAR, DECENAS.
D
X
A
T
Q
V
R
A
T
S
E
R
D
I
O
T
P
C
R
O
R
E
M
U
N
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J
L
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Z
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Y
B
M
O
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V
S
A
N
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C
E
D
A
E
F
R
A
C
C
I
O
N
J
E
S
■■Los crucigramas matemáticos, son una variante de los crucigramas
tradicionales, que en lugar de palabras se emplean números deducibles
aplicando los conocimientos matemáticos. Sirven para practicar las
matemáticas, agilizar la capacidad de cálculo mental y ejercitar la memoria.
Para ello se indican definiciones que consisten en una o varias operaciones
aritméticas de cuyo resultado se obtiene el número buscado; también pueden
señalarse conceptos matemáticos. Ejemplo: ‘x’ número primo, número de lados o
ángulos de una determinada figura geométrica, ‘x’ número par o impar, ‘x’ número
según su representación en numeración romana, etc...
Consisten en una cuadrícula donde se colocan una serie de números en orden
horizontal y vertical, cruzados entre sí. De tal forma que cada cuadro de la
cuadrícula alberga un dígito, y cada dígito forma parte de dos números con diferente
orientación (horizontal y vertical).
44
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Inicialmente el crucigrama se encuentra vacío. El propósito del juego es encontrar los
números que completan la cuadrícula del crucigrama. Para ello se facilitan dos listas
de definiciones numeradas por filas y columnas y agrupadas según la orientación.
Horizontales
Verticales
A: 5 x 5, 13 x 2
B: 2 x 2, 90 + 30
C: 11 + 19, 100 – 91
D: 4 x 4, 77- 74, 9 – 9
E: 25 - 17, 495 + 6
F: 36 – 16, 7 x 4
1: Dos docenas, 3 x 6
2: Mitad de 10, 40 – 4, 100 – 98
3: Mitad de 20, doble de 25
4: Doble de 11, 2 docenas y media
5: Mitad de 120, 3 x 4
6:100 – 10, Mitad de 16
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
5
6
b.
Balanzas de dos brazos (para averiguar equivalencias)
Se sabe que la balanza de la figura cada bola verde pesa 3 kg y cada bola
anaranjada pesa 2 kg. ¿Cuánto pesa la bola más grande de color azul?
Complete la tercera balanza.
45
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
c. Enigmas: forman parte de la herencia genética: porque se buscan
respuestas. Implican un razonamiento real, con cifras, cálculos y números.
Para resolverlos, no es necesario ser el mejor en matemáticas, pero sí tener la
habilidad para desarrollar la lógica.
Estimulan la inteligencia, no tienen que ser puramente matemáticos.
Pilar es 3 años mayor que Dulce.
Luis tiene la mitad de años que Pilar
Dulce tiene 11 años
¿Cuál es la edad de
Pilar y de Luis?
Respuestas:
Edad de Luis 7 años
Edad de Pilar 14 años
Cambia los signos en los siguientes
planteamientos para
que las operaciones
estén correctas
8-5=16-3
7+9=10-6
Respuestas:
8 + 5 = 16 - 3
7 + 9 = 10 + 6
d. Análisis de proposiciones: para realizar argumentaciones
Se considera un sistema convencional de signos, es decir un conjunto de sonidos
y grafías con sentido, sujeto a una determinada articulación interna. Sirve para
afirmar o negar oraciones aseverativas o declarativas; expresar oraciones
desiderativas u optativas (son las que expresan algún deseo), formular
preguntas oraciones interrogativas, expresar sorpresa o admiración e indicar
exhortación, las de mandato o prohibición oraciones exhortativas o imperativas.
De todas las clases de oraciones la lógica sólo toma en cuenta las declarativas o
asertivas, las únicas que pueden constituir proposiciones, según cumplan o no
determinados requisitos.
Problemas de recuento sistemático
Dichos problemas que tienen varias soluciones y es preciso encontrarlas todas.
Ayudan a ser sistemático en la búsqueda. Pueden ser numéricos o geométricos.
46
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problemas de razonamiento inductivo
Consiste en enunciar propiedades numéricas o geométricas a partir del
descubrimiento de regularidades (seriaciones).
Ejemplo:
■■Para entrar al circo, por cada 2 entradas que se compren, regalan otra.
Complete la tabla teniendo en cuenta la oferta:
Pago
2
3
5
6
...
10
...
...
Llevo
3
4
...
...
....
...
....
21
Ejemplo:
■■En series, calcule el valor del término que ocupa el lugar 20:
1, 3, 5, 7, 9, ...
6,9,12,15, …
1, 4, 9, 16, 25, ...
Problemas de azar y probabilidad
Son situaciones planteadas en muchos casos a través de juegos o de situaciones en
las que, siguiendo una metodología de tipo manipulativa y participativa se puede
descubirir la viabilidad o no de algunas opciones presentadas, así como la mayor o
menor posibilidad de ganar en el juego. Permite hacer predicciones con cierta base
científica.
Ejemplo:
■■Un bote tiene 16 canicas rojas, 10 amarillas y 14 verdes.
Se extraen dos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que:?
•Sea roja
•Sea amarilla
•Sea verde
* No sea roja
* No sea amarilla
47
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Fortalecimiento del cálculo mental
Diversidad de problemas. Sistema de ecuaciones
Ejemplo:
■■Lidia tiene trece años y tiene tres perros cachorros
diferentes. Si pesa junto al primero y al segundo, la
báscula indica 7 kg.
Si pesa juntos al segundo y al tercer cachorro la báscula indica
8 kg.
¿Cuánto pesa el primer cachorro junto con el tercero
la báscula indica 11 kg?.
¿Cuánto pesa cada cachorro?
Ejemplo:
120 pesos por los regalos 1 y 2.
200 pesos por los regalos 2 y 3.
140 pesos por los regalos 3 y 4.
180 pesos por los regalos 4 y 5.
1
4
■■Carlos compró regalos para el cumpleaños de su
amigo Juan, por cada compra pago:
3
2
5
¿Cuánto pago por cada regalo?
Ejemplo:
■■En la tienda escolar se quieren acomodar 37 monedas de $10 en tres
columnas.
En la segunda se requiere poner 3 monedas menos que en la
primera.
2
En la tercera se requiere poner las 3 partes que en la primera.
¿Cuántas monedas debe acomodar en cada columna?
48
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ejemplo:
■■En un corral hay tres aves una gallina, un
guajolote y un gallo que van a vender.
El comprador llegó a un acuerdo con los vendedores
y les pagará el kilo parejo.
Si pesa a la gallina y al gallo juntos, pesan 9 kg.
Al pesar a la gallina y al guajolte, pesan 19 kg.
Al último pesa al gallo y al guajolote,
20 kg.
pesando
¿Cuánto pesan las aves juntas?
¿Cuánto pesa cada una de las aves?
Problemas sobre edades
Para resolver problemas sobre edades se deben considerar tres elementos principales
que participan en los problemas: que son las personas, los tiempos y las condiciones.
a. Cuando se dice personas, se hace referencia a quienes le
pertenecen las edades que se mencionan en el enunciado; que
corresponde a la primera, segunda y tercera persona del singular
(yo, tú y él).
b. Con relación al tiempo se refiere al momento en que las
personas tienen las edades mencionadas en el planteamiento
del problema. Y los tiempos correspondientes al tiempo pasado,
tiempo presente y el tiempo futuro.
c. Con respecto a las condiciones, se hace referencia a las
informaciones de las edades de las personas en un tiempo
determinado, de acuerdo con los cuestionamientos del
problema, por lo que se deben identificar palabras claves que
permitan identificar el tiempo y a la persona que pertenece el
dato.
El siguiente cuadro ayuda a organizar la información requerida para la solución de los
problemas, se debe identificar de la lista de los verbos a la derecha y escribirlos en el
tiempo en correspondencia con la primera, segunda y tercera persona del singular
correspondiente.
49
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Pasado
Presente
Futuro
Tengo
Tienes
Tiene
Tenía
Tenías
Tenía
Tendré
Tendrás
Tendrá
Yo
Tú
Él
La ubicación de los verbos, según tu tiempo y las personas deben quedar como lo
muestra la siguiente tabla:
Pasado
Presente
Futuro
Yo
Tenía
Tengo
Tendré
Tú
Tenías
Tienes
Tendrás
Él
Tenía
Tiene
Tendrá
Se tiene diferentes tipos de problemas:
Dependiendo de cuántas personas participen, se determinan dos tipos.
1. Cuando participa una sola persona: se ve el siguiente
planteamiento: Dentro de 15 Años tendré 5 veces la edad que
tenía hace 13 años.
¿Qué edad tengo?
Aquí se ubica a la persona en el tiempo presente y de acuerdo al planteamiento,
refiere que a futuro tendrá cierta edad en razón a la que tenía, lo que indica que tiene
otro dato que atender y lo remite hacia el tiempo pasado. Ver imagen.
Dentro de 15 años tendré 5 veces la edad que tenía hace 13 años. ¿Qué edad tengo?
50
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Condición:
X + 15 = 5(X - 13)
X + 15 = 5 X - 65
80 = 4X
X = 20
Esta es una manera de darle solución a la interrogante, dándole el valor
correspondiente a las variables y haciendo los despejes necesarios, de manera tal
que la respuesta es 20 años: sin embargo haciendo un poco de razonamiento lógico
matemático más profundo, se puede dar respuesta:
Si se observa, del pasado al presente transcurrieron 13 años y del presente al futuro
transcurrirán 15 años, entonces 13 + 15 = 28.
Si la edad de la persona en el tiempo futuro será 5 veces la edad pasada, entonces
se utiliza otra variable: sería el 5 en el tiempo futuro y el 1 para el tiempo pasado, ya
que la edad futura es 5 veces la edad pasada, dejando la incógnita en el presente, y
se aplicaría un método de proporcionalidad, identificando una diferencia entre el 5 y
el 1, siendo el número 4, ahora los 28 años entre la diferencia no da el 7 que ayudará a
conservar la proporcionalidad de la edad pasada y la edad futura.
51
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
2. Cuando en el planteamiento del problema participan 2 o más
personas:
Se
recomienda
utilizar
un
cuadro
de
doble entrada para organizar y ordenar los datos,
donde en la columna izquierda están las personas y en la fila
superior van los tiempos que se mencionan.
Es decir:
Importante:
1.-La diferencia de edades es la misma en cualquier tiempo.
2.-La suma en aspa de valores extremos simétricos da un mismo
resultado.
Aspas chicas:
30 + 27 = 57
27 + 17 = 47
40 + 17 = 57
14 + 30 = 47
52
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Aspa mayor:
40 + 14 = 54
27 + 27 = 54
Observaciones prácticas
■■Cuando se mencionan proporción de edades, se utilizan las
esquinas para indicarlas.
■■Cuando se mencionen edades iguales, se utilizan algunas figuras
para indicarlas.
■■Evitar en lo posible el uso de demasiadas variables.
Problema 1:
■■Mi edad es 5 veces la edad que tenías cuando yo tenía tu edad actual,
y para que tú tengas mi edad actual deberán transcurrir 8 años.
¿Qué edad tengo?
Solución a través de proporcionalidad.
8 años
3( )
1
3( )
5
5( )
7( )
3( )
5( )
Usando la teoría de las aspas se tiene: que la suma de estas debe ser igual; se aplica
eligiendo las esquinas; en el presente la edad es “5 veces la que tenías”, por lo que se
53
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
coloca 5 y 1 en los recuadros rojos, si se suman se tiene 6, por lo que se coloca 3 en el
pasado y 3 en el presente para hacerlo proporcional y que la suma sea igual. Ahora
bien, si ya se tiene 5 en la tabla de datos, entonces también corresponde 5 en la edad
futura atendiendo la frase “cuando tú tengas”, y observa que ya se tiene el 3 en el
presente, entonces para establecer la igualdad se coloca el 7 en futuro. Hasta aquí
sólo se tienen los datos, estableciendo la proporcionalidad.
8 años
5
3(4 )
1
1(4)
5(4)
7(4 )
3( 4 )
5(4)
Yo tengo: 5(4) = 20 años
Para atender el dato “para que tu tengas mi edad” se percibe que tienen que pasar
8 años, se quiere establecer la proporcionalidad y atendiendo el principio de las
aspas planteado al inicio, se deduce que hay que descomponer el 8 y es el 4 el
dato que hace falta para tener la información completa y se pueda responder al
cuestionamiento del problema, pero también con la tabla se podrá atender a
cualquier otra pregunta.
Problema 2:
■■Dentro de 10 años tendré el triple de la edad que tenía hace 8 años.
¿Qué edad tendré dentro de 14 años?
a. 18 años
b. 31 años
c. 23 años
d. 41 años e. 16 años
18 años
Hace
8 años
Dentro de
10 años
PASADO
PRESENTE
FUTURO
9
17
27
1
2 DIFERENCIA
3
9X2=18
54
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Atendiendo la pregunta:
¿Qué edad tendré en 14 años? Si la edad presente es 17, entonces se suma 17 + 14 que
son los años más que tendré en el futuro.
Respuesta: 31 años
Problema 3:
■■María nació en el año 19ab y en el año 2002 cumplió (a + b) años.
¿En qué año cumplirá (2a + 3b) años?
a. 2024
b. 2109
c. 2001
d. 2022
e. 2010
Resolución: utilizando una sola ecuación diofántica (dos variables). Para ello se utiliza
el siguiente esquema.
(a+b)
19ab
2002
0 años
(a + b)años
Entonces: 19ab + (a + b) = 2002
■■Si María está naciendo entonces le corresponde cero años y para el
2002 ella cumplió a + b años, que son los años que han transcurrido
del aña 19ab al año 2002.
Se inicia con la descomposición del número 19ab escribiendo su valor posicional UM,
C, D, U; entonces (a) vale 10 por ubicarse en el lugar de las decenas y (b) vale 1 por
estar en la posición de la unidades. Lo que significa que (a y b) son cifras y entonces
su valor no puede ser mayor de 9.
(a + b)
19ab
2002
2002 - 1900 = 102
0 años
(a + b) años
19ab + (a + b) = 2002
1000 + 900 + 10a + b +(a + b) = 2002
11a + 2b = 2002
8 7
55
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Observe que 102 es par, entonces el producto de 11a debe ser par y 2b también debe
ser par; entonces el valor máximo que puede tener a es 8, esto es 11(8) = 88
102 – 88 = 14
Entonces el valor de b deberá ser 7 para que concluir que:
2b = 2 x 7 = 14
Por tanto, su producto es par.
a=8
b=7
Pide: ¿En qué año cumplirá (2a + 3b) años? Considerando: a = 8, b = 7
2 x 8 = 16
3 x 7 = 21
Entonces de:
1987 a (2a + 3b)
han transcurrido 37 años
quiere decir que
1987 + 37 = 2014
Problema 4: Dos personas
■■Cuando yo tenga el doble de la edad que tú tenías, cuando tenía la
mitad de la edad que tuve, cuando tú tuviste la edad que yo tengo,
tendrás el doble de la edad que tengo. Si nuestras edades suman
60 años.
¿Cuántos años tendrás tú cuando yo tenga los años que ya te dije?
a. 42 años
b. 44 años
c. 46 años
d. 48 años
e. 50 años
Resolución: cuando yo tenga el doble de la edad que tú tenías, cuando
tenía la mitad de la edad que tuve, cuando tú tuviste la edad que yo tengo,
tú tendrás el doble de la edad que tengo.
56
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Pasado
Presente
Futuro
2
Yo
1
4x -90
2
8x - 180
X
4x - 60
Tú
1
2x - 30
X
60 - x
2x
(2x-30)+ (8x-180) = 4x - 90 + x
x=24
Tú tendrás 2x = 2 (24)= 48
Problema 5: 2 personas
■■Pepe le dice a Tomás: Dentro de 2 años yo tendré el triple de la edad
que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tendrás en ese entonces.
Si actualmente la suma de las edades es 21 años.
¿Qué edad tenia Tomás hace 2 años?
a. 4 años
b. 6 años
c. 5 años
d. 7 años
e. 9 años
La suma de las edades en el presente son 21 años.
Si dos de las esquinas del aspa mayor suman 3 + 1 = 4, entonces los otros
dos extremos deberán sumar 2 + 2 = 4 para establecer la igualdad.
Del presente al futuro aumentan 2 años para Pepe y 2 años para Tomás:
2 + 2 = 4, luego entonces 21 años + 4 años = 25, se establece la igualdad
diciendo que 5 x 5 = 25 por lo tanto el 5 es el último dato faltante y se coloca
en los extremos del aspa mayor, diciendo 3 ( 5 ) = 15, 2 (5) = 10, 15 + 10 = 25.
Si 3(5) = 15 – 2 años entonces la edad que tiene Pepe en el presentes 13 y
si 2(5) = 10 – 2 = 8 es la edad que tiene Tomás.
Respuesta:
Si Tomás tiene 8 años entonces se concluye que él tenía hace dos años 6
años.
57
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problemas de parentescos
Las relaciones familiares o de parentesco se recuperan para elaborar problemas
que miden la capacidad de relacionar y ordenar información. En la cotidianidad se
tropieza con la situación de identificar la relación existente entre los personajes
familiares, ya sea ésta por relaciones consanguíneas o por relación legal o por
ambas. El propósito es identificar en algunos casos la relación familiar existente entre
los personajes en los pasajes de los problemas y en otros casos se buscará el mínimo
número de sus integrantes para eso son utilizados los diagramas lógicos de flechas y
los razonamientos regresivo, progresivo y/o deductivo.
Ejemplos:
Problema 1
■■Determinar el menor número de personas que están en una
reunión: si se sabe que hay 2 padres y dos hijos.
a. 4 personas b. 3 personas c. 2 personas d. 5 personas e. 6 personas
Respuesta:
Padre
Padre e hijo
a la vez
Hijo
La mínima cantidad de personas, será
cuando un hijo a la vez de ello, sea padre,
es decir, hacer que un sujeto cumpla
múltiple papel; pero recuerda que para
que a uno le llame padre, debe estar
presente su hijo y para los demás.
3 personas
Problema 2
■■En un almuerzo familiar están presentes tres padres. Tres hijos y dos
nietos.
¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo el almuerzo?
a. 5 personas b. 4 personas c. 7 personas d. 8 personas
e. 6 personas
Respuesta:
Un bisabuelo es a la vez padre; un abuelo es también padre y a la vez hijo; un padre
es también hijo y a la vez nieto. El mínimo número de personas que comparten el
almuerzo se presentan en el siguiente diagrama:
58
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problema 3
■■En la fiesta de Daneyra (5 septiembre), se encontraron los
matrimonios de Soraya e Ileana en la que cada uno de ellos tiene
3 hijos (varones), cada hijo tiene una hermana y cada hijo tiene
3 sobrinos.
¿Cuál es el número mínimo de personas que se encontraron?
Respuesta:
Problema 4
■■Rodrigo es cuñado de Daniel. Daniel es cuñado de Mayra y Mayra es
hermana de la esposa de Daniel.
¿Qué parentesco hay entre Rodrigo y Mayra?
a. Son esposos
b. Son hermanos
c. Son concuños
d. Son primos
e. Son cuñados
59
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Respuesta:
Problema 5
■■Una señora muestra el retrato de un hombre y dice: el hermano de
ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo.
¿Qué parentesco hay entre la señora y el hombre del retrato?
a. Nieta y abuelo b. Sobrina nieta y tío abuelo
c. Sobrina bisnieta y bisabuelo
d. Hija y padre e. Sobrina y tío
Respuesta:
Problema 6
■■La esposa de Moreno tiene 4 hijos varones, cada hijo tiene una
hermana y cada hermana tiene 2 sobrinos.
¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia?
a. 9 personas
b. 12 personas
c. 15 personas
d. 10 personas
e. 11 personas
60
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Respuesta:
2 sobrinos
Esposos
1 hermana
4 hijos
Problema 7
■■El único hermano del padre del esposo de la única hermana de mi
padre es Roberto.
¿Qué es la hermana de mi padre, el hermano de Roberto?
a.Su suegro
b. Su abuelo
c. Su tío abuelo
d. Su padre
e. Su tío
Respuesta: Su suegro.
Problemas sobre certezas
Problema 1
■■En una caja hay 2 canicas rojas y 3 verdes.
¿Cuántos canicas debo extraer como mínimo para poder decir con
certeza que he sacado una canica de color azul?
a. 1 canica
b. 2 canicas
c. 3 canicas
d. 4 canicas
e. 5 canicas
61
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Respuesta:
Para extraer una canica y decir con seguridad que es de color roja, tendría que haber
sólo canicas rojas en la urna por eso primero habrá que extraer todas las canicas
verdes, luego en la próxima extracción con seguridad una roja.
Roja
Verde
3
+
1
=4
Problema 2
■■En un frasco hay fichas amarillas y 3 fichas moradas.
¿Cuántas fichas debo sacar del f rasco como mínimo para asegurar que
he extraído 2 fichas de diferente color?
a. 6 fichas
b. 5 fichas
c. 2 fichas
d. 4 fichas
e. 3 fichas
Respuesta:
Primero se tendrá que agotar un color y en la próxima extracción necesariamente
tendrá que salir el otro color.
Problema 3
■■En una bolsa se tienen 10 bolas color naranja, 8 bolas color amarillo
y 12 color morado. Se extraen al azar una por una.
¿Cuántas se deben extraer como mínimo para estar seguro de tener 5
bolas de un mismo color?
a.12 bolas
b. 7 bolas
c. 13 bolas
d. 9 bolas
62
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
e. 11 bolas
Respuesta:
Para tener la seguridad de extraer 5 bolas de un mismo color debemos tener primero
4 bolas de cada color; o sea 4 color naranja, 4 amarillas y 4 moradas. Luego al sacar
una sola más, cualquiera que sea su color, se tendrán las cinco del mismo color.
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Por lo tanto, lo mínimo que se debe extraer es: 4 + 4 + 4 + 1 = 13 bolas
Problema 4
■■De una baraja de 52 cartas.
¿Cuántas cartas debo extraer como mínimo para que
salga con seguridad una carta de corazones?
a.13 cartas
b. 26 cartas
c. 51 cartas
d. 49 cartas
e. 40 cartas
Respuesta:
Primero se tienen que agotar todas las cartas que no son corazones, o sea que se
debe, extraer:
Problema 5
■■En un cajón se colocan guantes de box, 3 pares de color rojo, 4 pares
de color negro y 2 pares de color blanco.
¿Cuál es el menor número de guantes que debe extraerse al azar para
obtener con certeza un par del mismo color?
a. 18 guantes
b. 10 guantes
c. 4 guantes d. 11 guantes
e. 8 guantes
63
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Paso 1: Considerar que en el cajón hay: 3 pares rojos, 4 pares negros y 2 pares blancos.
Paso 2: Suponer el peor de los casos sacar: 1 rojo + 1 negro + 1 blanco + 1
El último guante será el que complete el par del mismo color, cualquiera que sea el
color. Total, de guantes extraídos: 4
Problema 6
■■En una reunión hay 480 personas. ¿Cuántas personas tienen
que retirarse como máximo para que en dicha reunión
se tenga la seguridad de que estén presentes dos personas
con la misma fecha de cumpleaños?
a. 113 personas
b. 115 personas
c. 112 personas
d. 110 personas
e. 118 personas
Respuesta:
El peor de los casos es que estén presentes el máximo número de personas con
la misma fecha de cumpleaños diferentes, por lo que se debe considerar un año
bisiesto (366 formas diferentes) más un día y con seguridad quedarán 2 personas con
la misma fecha, luego deben retirarse: 480 – (366 + 1) = 113.
Criptogramas: razonamiento lógico
■■Suma en la serpiente
Coloquen sobre los círculos de la serpiente los
dígitos del 1 al 9 de manera que cada línea de
tres números sume 13.
64
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■La suma de pares e impares
Con los dígitos del 1 al 9 realicen la suma que aparece en el
tablero, colocando los números pares en los decágonos y los
impares en los círculos.
■■Línea con ocho números
Coloquen los dígitos del 1 al 8 en los hexágonos, de
forma que la diferencia en un orden u otro entre dos
números vecinos, no sea menor que 4.
■■Nueve números en la multiplicación
Coloquen los dígitos del 1 al 9 sobre las estrellas, de forma
que el producto resultante sea correcto.
■■ Siete números en la Y
Coloque las cif ras del 1 al 7 en los hexágonos de la Y,
de manera que dos números consecutivos no estén
juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente.
■■Triángulo matemático
Un ejercicio de sumar y pensar. Escriba los números del 1 al 6
de tal manera que la suma de cada lado sea 9.
65
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■La rueda numérica
Sitúa los números del 1 al 9 en los pentágonos, de
forma que todas las líneas de tres números sumen
15.
Sabiendo que:
8
7
2
¿Cuál es el resultado?
■■La estrella mágica
La actividad consiste en construir una estrella mágica colocando
en los círculos los números del 1 al 12 con las siguientes
condiciones:
1. No se debe repetir ningún número de la serie.
2. Los cuatro círculos en cada línea, suman siempre lo
mismo.
3. Los seis círculos de las puntas de la estrella deben sumar lo
mismo que los cuatro de cada línea.
4. Los tres círculos del triángulo que forman el pico de la
estrella deben sumar lo mismo que su pico opuesto.
66
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
45
35
5
Acertijos
Un acertijo es una adivinanza o un enigma que es
propuesto a modo de pasatiempo. El término también
se utiliza para hacer mención a algo que es muy
complicado o problemático. En general, es posible
distinguir entre los acertijos lógicos y las adivinanzas.
Los primeros son juegos donde la solución al enigma es
accesible por medio del razonamiento y la intuición;
es una forma de entretenimiento que no depende del
conocimiento previo, sino de un ejercicio mental
para leer entre líneas los datos ofrecidos en la descripción.
Las
adivinanzas,
suelen
estar
dirigidas
a
los
niños y presentan enunciados en forma de rima, que
permiten aprender palabras de manera amena.
Los acertijos, se basan en principios lógicos o matemáticos, aunque esto no impide
que la solución revele un giro gracioso o absurdo, que agregue humor a la
satisfacción de haber dado con la respuesta. Lo más común es que se enuncie una
situación que a simple vista parezca imposible; los elementos más usuales en este
tipo de acertijos son la velocidad, el peso o las dimensiones de seres u objetos.
Los participantes deben impedir que los detalles irrelevantes desvíen su atención,
ya que generalmente la respuesta reside en trucos de tipo semántico o bien en todo
aquello que no se dice. Cabe mencionar que las reglas impiden que los jugadores
pidan más datos, y esto suele generar mucha tensión en quienes no consiguen
relajarse y ver más allá de la superficies, incentiva el análisis y la creatividad.
Por otro lado, existen acertijos lógicos que presentan pocos datos, insuficientes para
dar con la solución, y los participantes tienen derecho a hacer tantas preguntas como
deseen, mientras que sean lógicas.
■■Entre los acertijos más populares están los que se realizan con cerillos o
palillos.
Cambie la posición de los cerillos
y obtenga cinco cuadrados iguales.
Retira dos cerillos de manera
que te queden 2 triángulos equiláteros.
Agregue dos palillos
para que la ecuación sea.
67
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Haga que la igualdad sea correcta
moviendo y reacomodando tan sólo
un cerillo.
Retira dos cerillos de manera
que te queden 2 triángulos equiláteros.
Cambie la posición de sólo 3
piezas de manera que queden
en el mismo orden, pero invertidas.
Cambie la posición de sólo 2 cerillos,
de manera que la basura quede fuera
del recogedor.
El pez
Tan sólo mueve dos cerrillas
para que el pez esté mirando
hacia otro lado.
Los enigmas del búho sabio
Los enigmas surgen al mismo tiempo que la evolución del hombre, le exige una
explicación a los fenómenos desconocidos y manifiestos en su entorno natural; a la
fecha existen diversos enigmas sin resolver:
■■¿Cómo se construyeron las pirámides de Egipto y por qué están dispuestas de
tal manera?
■■Si la ciudad de la Atlántida existió realmente, ¿dónde pudo estar situada?
■■¿Cómo explicar el ingenio matemático de grandes hombres como Leonardo da
Vinci, Arquímedes, Newton, Henri Poincaré o Stephen Hawking?
Soy un número de 3 cifras.
La suma de las tres cifras es 18.
La primera cifra es la mitad
que la segunda y un tercio de la tercera.
¿Qué número soy?
Respuesta: 8 + 5 = 16 - 3
7 + 9 = 10 + 5
68
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Respuesta: 639
Cambia los signos en los siguientes
planteamientos para que las
operaciones estén correctas
8 - 5 = 16 - 3
7 + 9 = 10 - 6
¿Cuál es la vista desde arriba
esta pirámide?
b
c
d
Respuesta: 3
a
Piensa un número.
Calcula el doble del número
Suma seis.
Calcula la mitad.
Resta el número que habías pensado.
Respuesta: C
Soy un número de 3 cifras
La suma de las tres cifras es 18.
La primera cifra es la mitad
que la segunda y un tercio
de la lectura.
¿Qué número soy?
Respuesta:Es el 639
Pilar es 3 años mayor que Dulce.
Luis tiene la mitad de años que Pilar
Dulce tiene 11 años
¿Cuál es la edad de Pilar y de
Luis?
Respuesta: Edad de Luis 7 años
Edad de Pilar 14 años
Coloca los números
en los círculos: 1,4,5,2,6
para que las todas
las líneas sumen 11
Respuesta:
a=3 b= 5 d=6 e=2
69
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Los cien presos
En una cárcel se condena a muerte a sus cien presos. De repente, el director
del establecimiento penitenciario les propone un reto. Les va a atribuir a
cada uno un número del 1 al 100, seguidamente, instala en su despacho
un gran armario con 100 cajones, en cada u no de los cuales va a situar un
número entre el 1 y el 100. Cada número aparece una única vez, entonces,
propone que cada prisionero abra 50 cajones y verifique si está su número.
Los prisioneros, por su parte, tratan de poner en marcha una estrategia y
deciden que les envíen al despacho del director en orden aleatorio.
Una vez que cada prisionero haya pasado al despacho, se le prohíbe
hablar con sus compañeros; tampoco puede cambiar los números de
cajón entreabierto para dar pista. Ninguno de los prisioneros estará al
corriente de lo que han hecho los otros antes de que se les comunique la
decisión final.
¿Qué posibilidad existe de que cada uno encuentre el cajón
correspondiente a su número y puedan salvarse todos?
¿Y de que ninguno lo encuentre y sean todos ejecutados?
Según la ley de la probabilidad matematica existiria una probabilidad
entre dos de 100 que todos encuentren su número.
¿Esto es cierto?
Los tres dioses
De tres personas llamadas A, B y C se esconden en realidad tres dioses:
el de la verdad, el de la mentira y el del azar. Sabemos que dios verdad
siempre responde diciendo la verdad, que dios mentira siempre miente
y de que el dios azar responde aleatoriamente, por lo que a veces dice la
verdad y otra miente. La tarea es simple: identifica qué dios se esconde
detrás de cada persona: A, B y C. Sólo puedes plantear preguntas cuya
respuesta sea únicamente verdadero o falso.
Cada pregunta sólo se la puedes hacer a dios, pero si decides preguntar a
uno varias veces (un máximo de tres veces), no podrás preguntar al resto.
La segunda pregunta puede estar relacionada con la primera, así como
la tercera con las dos anteriores. Otra pista el dios Azar puede no decir la
verdad.
70
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
El pastel triangular
Antes de un concurso de matemáticas, el profesor decide dar a sus estudiantes
un pastel en forma de triángulo escaleno (tres de sus lados son
desiguales). Por lo tanto, va a la pastelería a encargar el pastel y le da al
encargado las medidas de los tres lados.
Por su parte, el pastelero pide una caja para meter el pastel y da las
medidas de los lados; sin embargo, cundo decide meter el pastel en la caja,
se da cuenta de que, aunque ciertamente se han respetado las medidas,
la forma del pastel es simétrica a la de la caja. Decide llamar al profesor y le
pregunta cómo debe cortar el pastel de forma que, una vez redistribuidos
los pedazos, éstos entren perfectamente a la caja.
El profesor le da una respuesta corta y precisa: con realizar dos cortes es
suficiente.
¿Sabes cómo habría que hacer estos cortes?
El gato y el ratón
Un gato y un ratón deciden jugar a “cara o cruz”, para hacer más
interesante el juego, acuerdan modificar un poco las reglas: cada uno
debe elegir una combinación de tres resultados (por ejemplo: cara, cruz y
cruz o cara, cruz y cara), que tiene que ser distinta de la que ha elegido el
otro.
Tendrán que lazar la moneda varias veces: el primero que logre sacar su
combinación con los tres últimos lanzamientos ganará la partida.
El gato es el primero en tirar la moneda, porque se siente más fuerte: el
ratón, más inteligente, decide dejarle jugar.
¿Cómo puede cada uno aumentar sus posibilidades de ganar?
El pato y el gato
Un pato se encuentra en el medio de un estanque circular; en el borde del
estanque hay un gato, mientras que al pato le encantaría probar la hierba
fresca que hay en el borde del estanque. Al gato le gustaría darle un buen
mordisco al pato pero el gato no sabe nadar, tiene miedo del agua y no
puede meterse al estanque.
El pato, por su parte, tiene unas alas demasiado pequeñas como para
poder escapar volando. Sabiendo que el gato corre cuatro veces más rápido
de lo que nada el pato.
¿Es posible que el pato llegue al borde del estanque sin que lo atrape el
gato?
¿Qué es lo que debería hacer para lograr escapar?
71
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Los acertijos en la suma, resta, multiplicación y la división
¿Cuál es la respuesta a 3 + 3 x 3 + 3 = ?
a. 21 b. 36 c. 15 d. 21
Una pista: respetar la jerarquía de operaciones.
¿Cómo se hace para que cuatro nueves den como resultado 100?
Las pirámides secretas
¿Qué números se deben escribir en los círculos vacíos?
10 10
6
6
■■El número en cada círculo es la suma de los dos números de abajo,
¿Es capaz de resolver el secreto?
4
3
2
1
2
2
2
2
3
4
1
2
2
72
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
3
1
2
3
2
Series y encadenados
■■Calcule el valor del término que ocupa el lugar 50.
1
3
7
9
7
14
21
28
1
4
9
35
16
25
■■Encadenados, se resuelven las operaciones que se van presentando
y se tiene que buscar la operación correspondiente para obtener el
resultado.
73
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Crucigramas
Horizontales
Verticales
1: Horas del día, Docena y media
2: Dedos de la mano, 3 docenas,
Una pareja.
3: Una decena, Media centena
4: Dos docenas menos 2, Días de
abril.
5: Minutos de una hora, Horas de
medio día.
6: Minutos de hora y ½, Patas de la
araña.
Horizontales
1: 20 + 11, 4 veces 7
2: 70 – 67, 100 - 46, 100 - 99
3: Doble de 40, 50 - 29
4: 3 veces 20, 36 – 24
5: 25 + 15, 5 + 5 + 5 + 5 + 5
6: 11 + 11 + 11 + 11 + 4, 100 - 100
A: Dedos de 5 manos, 2 decenas y 6
unidades
B: Patas del caballo, Minutos de 2 horas.
C: Minutos de media hora, 3 veces 3.
D: Faltan 4 para 20, Lados del triángulo,
Nada.
E: Patas de 2 caballos, Mitad de 1000 + 1
F: Dedos de una persona, Días de 4
semanas.
Verticales
A: 7 x 3 + 12, 8 x 8
B: 125 - 124, 4 veces 200
C: 5 x 5 x 2, El doble de 4 menos 4
D: 3 veces el 8, 0 + 0 + 1, 20 - 12
E: 70 – 62, 111 + 111
F: 3 x 3 + 2, 250 – 200
74
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Resuelva los cuestionamientos verticales y horizontales
de este crucigrama y llena con tus resultados las casillas.
Recuerde que cuando se trata de varias palabras, no se debe dejar
espacio entre ellas.
Horizontales
1: 24 + 3, 20 + 35
2: 50 – 46, 20 + 40, 30 – 26
3: Doble de 8, 50 - 25
4: 60 + 20, 45 + 45
5: 25 + 30, 10 + 14
6: 3 veces 7, 2 veces 4
Horizontales
1: Días de mayo, días de febrero
2: Mitad de 12, mitad de 150, mitad
y mitad
3: 8 decenas, días de 4 semanas
4: 3 docenas, 3 medias docenas
5: Mitad de 60, 2 decenas y media
6: Horas de 3 días, 500 – 500
Verticales
A: 6 x 4, 185 – 100
B: 50 – 43, 50 + 55
C: 100 – 34, 50 – 48
D: 5 veces 10, 9 x 1, 60 – 59
E: 5 – 0, 100 + 102
F: 30 + 15, 100 – 52
Verticales
A: 4 veces 9,15 + 15 + 3
B: Nariz que tienes, 500 + 360
C: 2 veces 35, 21 - 14,
D: 5 veces el 5, 0 + 0 + 1, 50 - 48
E: 80 – 71, 140 + 142
F: 2 veces el 9, Doble de 25
75
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Resuelva los cuestionamientos verticales y horizontales
de este crucigrama y llena con tus resultados las casillas.
Recuerde que cuando se trata de varias palabras, no se debe dejar
espacio entre ellas.
Horizontales
2. La temperatura que hace si h subido 18° desde una temperatura de -5°.
3. El piso del que salió el ascensor que llegó a la planta (-2) bajando 7 pisos.
8. El número que restado a 11 da -8.
10. El resultado de 6 + [4 - [(17- (4.4)] + 3] - 5
11. El opuesto al resultado de -12.3 + 18: (-12.6 + 8)
12. El resultado de 5 – [(- 10) + 5 – 2]
14. El opuesto al resultado de [(- 4) – (- 8) +( -2)]
15. El puesto a [3 + 5) – (8 – 1)] + (3 + 1) – 8
16. Lo que hay que poner en ¿( - 2)( - 3 . 4) = 6 ?
18. El resultado de 2. [(- 12 + 36) : 6 + (8 – 5) : (- 3)] – 6
19. El resultado de 3 – (- 2) + 5 + (-3) + 2 + (-7) + 1 – 2
Verticales
1. El Resultado de 3 + (- 2) – (- 5) – ( 3 - 14 )
4. El número que sumado a (-18) da 5
5. Lo que hay que restar a 23 para obtener – 4
6. Una persona nació en el año 2 antes de Cristo y se casó a los 25 años ¿En
qué año se casó?
7. El opuesto al menor de – (- 3), - 4, (- 2) (- 3), 3(- 7)
9. El valor absoluto de (- 7)4
13. El resultado de (7 – 2 + 4) – (2 – 5 + (- 1)
17. El resultado de (- 68) : 4 – (- 3)6
8
18
76
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Balanzas
■■Si las tres primeras balanzas están equilibradas.
¿Qué se debe colocar en la cuarta balanza para que esté también
equilibrada?
■■Si la primer balanza se encuentra en total equilibrio.
¿Qué pesa más, las manzanas o las peras? ¿Cuántas frutas faltan en la
segunda balanza para que esté en equilibrio?
■■ Analice la siguiente ecuación y compare las dos balanzas, anote el
valor de la x faltante y complete las figuras de la segunda balanza.
2x + 2 = 8
2x + 2 = 8 - 2
2x = 6
2x = 6
2
2
x= 3
3x + 3 = 9
3x + 3 = 9 - 3
3x = 9
3x = 9
3 3
X=¿?
77
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Cuadrados mágicos
■■ Cuadros mágicos de 3 x 3
Escribe la siguiente numeración: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 en el cuadro
mágico de manera que sus filas, columnas y diagonales sumen 21.
3
7
11
6
11 7 3
11 4
7
■■ Cuadros mágicos de 4 x 4
Coloque la serie de los números: 16, 3, 2, 13, 5, 10, 11, 8, 9, 6, 7, 12, 4, 15, 14; de
manera tal que sumen 34.
■■ Cuadrado mágico especial
También su constante es 34; por tanto, 34 es lo que suma cada fila,
columna y diagonal, aunque en este caso también es lo que suman las
diagonales desplazadas, que son aquellas que aparecen si se continua la
última fila de la derecha con la primera de la izquierda, luego la segunda
y la tercera, como se muestra en la imagen.
78
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Pero aún hay más, también suman 34 otros grupos de cuatro elementos, casi los
mismos que un cuadrado supermágico.
Un método para generar cuadrados mágicos de grado múltiplo de 4 es
mediante giros de 180º. En primer lugar se considera el cuadrado 4 × 4 en el que se han
colocado los números del 1 al 16 en orden creciente como se muestra en la
imagen y entonces se gira el cuadrado 180º, pero moviendo únicamente los
números que están en el centro de los lados (los que están en casillas oscuras en el
dibujo) y se obtiene así un cuadrado mágico 4 × 4.
Si se invierte el orden de las filas (por ejemplo, la fila 1, 12, 8 y 13, pasa a ser 13, 8, 12, 1) y
se cambia la primera fila por la cuarta, tal y como se muestra aquí.
■■Complete los cuadros mágicos con números naturales.
7
2
2
6
15
6
13
4
8
11
11
19
1
14 9
8
12 6
17
10
7
7
11
13
3
16
■■Complete los cuadros mágicos multiplicativos de números enteros.
-1
10
2
-3
0
-1
-7
-1
6
-10
0
8
2
5
8
-1
-1
-5
-2
4
3
4
0
-1
-7
2
79
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
80
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
81
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
82
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
El juego en el cálculo mental
El juego
A través del tiempo ha cambiado el juego que realizan los niños, sus reglas
cambian dependiendo de la edad de los niños y además se hace más
complejo, con temas más imaginarios y detalles más estructurados.
Cuando un juego tiene reglas es considerado un juego social, dichas reglas suponen
un orden impuesto por el grupo y cuya infracción tiene una sanción, llegando en
ocasiones a discutir cuando la manera de entender las reglas no coincide con la de
sus compañeros.
Se tienen dos tipos de reglas: las trasmitidas y las espontáneas. Las primeras son
aquellas que los niños adquieren a través de juegos establecidos y que han sido
jugados durante generaciones, lo que corresponde a las segundas se establecen
durante el juego y se respetan tanto como las primeras.
Existe otro tipo de juego, el de construcción cambiando la complejidad e
intencionalidad en función de su desarrollo y habilidad. Los juegos de construcción
parten desde usar plastilina, formar una torre con bloques, colocar un cubo sobre
otro o la realización de puzzles. Puede jugarse de forma individual o grupal, así como
se puede considerar una unión entre la actividad lúdica y el trabajo, porque hay que
tener en cuenta que jugando se aprende.
Además, se puede encontrar otro tipo de juego, el de estrategia, son juegos en los
que interviene la inteligencia y las habilidades de los participantes; así como, en los
que el problema consiste en encontrar la mejor estrategia. Es posible encontrar la
manera de ganar y otras veces se buscará la mejor manera de jugar.
Se ve la relación del juego con la matemática a través de los juegos de estrategia,
por lo que es necesario aplicar el conocimiento matemático, en todos se piensa y
razona su resolución.
El juego y la matemática tienen cosas en común, por ello debe de considerarse a
la hora de buscar estrategias para propiciar motivación, el interés y el entusiasmo
por las matemáticas. De esta manera Alsina (2008) analiza los procedimientos
implicados en el juego y en las matemáticas a través de los siguientes aspectos:
■■El juego se inicia con la introducción de normas, que definen la función
de los objetos y de las piezas que se usan. Con respecto a las
matemáticas comienzan con definiciones.
■■Jugar requiere familiarizarse con las reglas, relacionando unas piezas
con otras. En las matemáticas se requiere comparar y hacer interactuar
elementos de una teoría.
■■Avanzar en el dominio de un juego supone adoptar técnicas que den buenos
resultados. En la práctica matemática supone trabajar conceptos básicos.
83
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Explorar un juego muestra instrucciones usados por otros jugadores.
■■En matemáticas se dan a conocer técnicas y teoremas.
■■Examinar un juego lleva a descubrir problemas interesantes y a resolver
situaciones inéditas. En la práctica matemática se investigan problemas
abiertos vinculados a complicaciones inesperadas.
■■Crear juegos nuevos, da lugar a estrategias originales y a procedimientos
innovadores. Crear prácticas matemáticas nuevas da lugar a nuevas
situaciones potencialmente motivadoras de nuevos modelos y
teorías.
Se ha involucrado a los alumnos en su aprendizaje con el establecimiento de tareas
que desarrollen la creatividad y capacidad de asumir retos a través del juego.
El juego con las matemáticas brinda la posibilidad de mejorar la capacidad del
cálculo mental siempre y cuando los juegos estén bien seleccionados y secuenciados,
pueden ayudar en la comprensión de operaciones, propiedades y nuevas estrategias.
La importancia del juego en las matemáticas
La importancia del juego en el área de matemáticas se presenta en el Decálogo del
juego Alsina (2008):
1. Es la parte de la vida más real de los niños. Utilizándolo como recurso
metodológico, se traslada la realidad de los niños a la escuela y permite
hacerles ver la necesidad y la utilidad de aprender matemáticas.
2. Las actividades lúdicas son enormemente motivadoras. Los alumnos se
implican mucho y se las toman en serio.
3. Trata distintos tipos de conocimientos, habilidades y actitudes hacia las
matemáticas.
4. Los alumnos pueden af rontar contenidos matemáticos nuevos sin miedo al
fracaso inicial.
5. Permite aprender a partir del propio error y del error de los demás.
6. Respeta la diversidad del alumnado. Todos quieren jugar, pero lo que
resulta más significativo es que todos pueden jugar en función de sus
propias capacidades.
7. Permite desarrollar procesos psicológicos básicos necesarios para el
aprendizaje matemático, como son la atención y la concentración, la
percepción, la memoria, la resolución de problemas y búsqueda de
estrategias, etc.
8. Facilita el proceso de socialización y, a la vez, la propia autonomía
personal.
9. El currículum actual recomienda de forma especial tener en cuenta el
aspecto lúdico de las matemáticas y el necesario acercamiento a la
realidad de los niños.
10. Persigue y consigue en muchas ocasiones el aprendizaje significativo.
84
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Las matemáticas, es una de las asignaturas que están presentes siempre en el
aula, son universales por ser iguales en cualquier lugar del mundo. También, son
consideradas una asignatura aburrida, dif ícil y poco atrayente para los alumnos. Esto,
puede darse debido a que los contenidos son de poco interés para los alumnos, e
incluso de su realidad, de esta manera se complica su enseñanza de los conceptos.
Por eso, se hace necesario buscar que los alumnos disfruten la materia, hacer que la
comprendan mejor, que sea más fácil y atractiva.
Los juegos son encauzados a ser un pasatiempo y una diversión, pero no se ve como
una manera de enseñar. En ocasiones los docentes no se sienten cómodos en usar
estas estrategias dentro del aula, porque los consideran una pérdida de tiempo.
Pero poco a poco, se van mejorando las formas de enseñar e incluyendo diferentes
estrategias en el aula. Es importante que se recupere que jugar es una manera de
divertirse, pero también va a ser un camino para aprender conceptos que de otra
manera pueda resultarles mucho más complicados de entender.
Para Guzmán (1984), el juego y la enseñanza de las matemáticas lo refiere con el
pensamiento:
■■El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las
matemáticas. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien
jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y
comunicarla a través del juego y de la belleza?
■■La matemática es considerada arte y juego, viéndola desde los componentes
artística y lúdica, es tan indispensable a la actividad matemática misma que
cualquier campo del desarrollo matemático que no alcanza un cierto nivel de
satisfacción estética y lúdica permanece inestable.
El juego que se elija debe estar enfocado para conseguir, de una manera lúdica,
los objetivos que previamente se marquen, pero de una manera más motivadora y
entretenida. Motivar no es solo conseguir que el alumno tenga una buena
predisposición a aprender nuevas cosas, sino enseñarle el gusto por las matemáticas.
Todo juego tiene directrices, similares a la resolución de problemas, que se deben
seguir para tener éxito:
■■Antes de hacer, se tratará de entender. Tener claras las normas, saber
si conocer bien cómo va el juego, los diferentes partes del mismo …
■■Se tramará una estrategia. Pensar si el juego se parece a alguno que ya
conozca, para construir un plan.
■■Se mirará si la estrategia llega al final. Desarrollar el plan que se ha
elaborado y comprobar si este funciona o no, o si se debe de ir cambiando
según la marcha del juego.
■■Se sacará jugo al juego. Asimilar bien la experiencia y usarla en juegos
semejantes.
Se deben proporcionar juegos apropiados para el desarrollo de hábitos de
pensamiento e ideas para la producción de herramientas adecuados para la
resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos.
85
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Y ¿realmente se aprende jugando?
El juego es indispensable para fomentar el crecimiento mental y uno de los
principales recursos para conseguirlo según Hervás (2008). En el juego se
favorecen las relaciones interpersonales y se aprende a utilizar el lenguaje y el cuerpo. En
definitiva, se puede decir que el juego muestra de forma integral el mundo interior
del alumno al poner de manifiesto sus intereses y posibilidades.
La importancia del juego se manifiesta en:
■■El desarrollo físico del individuo.
■■El desarrollo mental.
■■La formación del carácter.
■■El cultivo de los sentimientos sociales.
Cuando juegan los niños tienen grandes beneficios, dentro de los cuales se centran
acorde a la imagen.
Favorece la
atención, el
aprendizaje y la
memoria
¿Qué pasa en el
cerebro de un niño
cuando juega?
Regula el estado
de animo y la
ansiedad
Reduce tensión
neuronal, calma,
bienestar y
felicidad
Alta motivación
física, los músculos
reaccionan al
impulso lúdico del
juego
Lo mejor para la
creatividad e
imaginación
Se tiene gran variedad de juegos que se pueden utilizar durante el
desarrollo del proceso enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, con diferentes
finalidades: com prensión de conceptos, recuperar nuevas estrategias o métodos,
ganar autonomía para la resolución de problemas. Para Guzmán (1993): El juego
tiene sus propias características que deben vincularse a las matemáticas:
■■Provoca placer mediante su admiración y práctica.
■■Dan elementos de tensión que tras su liberación producen placer.
■■A través reglas se crea un nuevo orden.
■■Desarrolla una función en el desarrollo del hombre.
■■Se lleva a cabo separado de la vida corriente, en tiempo y en espacio.
■■Se establece una relación muy cercana entre quienes lo practican.
86
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Por último, cuando se escoge un juego se debe atender a sus propias características,
así como a los alumnos, al tiempo, al lugar e indudablemente, al contenido que se va
a trabajar.
Vamos a jugar
Basta operativo de palabras
Número
letras
Palabras
Operación
Valor
4
Geometría
7 + 5 + 16 + 13 + 5 +21 + 19 + 9 + 1=
96
6
Descripción
Es un juego que permite fortalecer el cálculo mental, en un primer momento se
presenta con la suma y resta de números naturales, enteros, decimales, f raccionarios,
positivos y negativos. Se puede ir graduando el grado de complejidad del contenido.
Material
■■Un tablero de papel, cartón, cartulina, etc., en el que se presenten el valor de las
letras de acuerdo al alfabeto.
F=6
G=7
H=8
I=9
J = 10
A=1
B=2
C=3
D=4
E=5
K = 11
L = 12
M = 13
N = 14
Ñ = 15
O = 16
P = 17
Q = 18
R = 19
S = 20
T = 21
U = 22
V = 23
W = 24
X = 25
Y = 26
Z = 27
■■Un formato para realizar los registros (con anticipación se determinará el
número de letras que tendrá cada palabra) y un lápiz.
Número
letras
Palabras
Operación
Valor
4
6
7
5
8
Reglas del juego
■■Se juega de manera individual.
87
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Cada jugador tendrá dos tableros el del valor de las letras y el de registro (el
profesor puede tener un tablero grande pegado en el aula).
■■Los jugadores tienen que conocer y asociar cada letra del abecedario con
un número como se presenta en la tabla.
■■Para dar inicio al juego se requiere que a través de cierta estrategia se
decidaque jugador comenzará.
■■El juego inicia cuando el profesor o alumno menciona las letras mentalmente,
en un tiempo determinado el coordinador del juego tendrá que mencionar
“BASTA” para que pare y mencione en voz alta la letra hasta donde se haya
quedado.
■■Con la letra mencionada, los participantes anotarán una palabra referente a
matemáticas, considerando el mayor valor posible.
■■Realizar las operaciones correspondientes de acuerdo con las letras utilizadas.
■■Las palabras deben de tener un significado y la suma se debe de hacer de
forma mental.
■■Ejemplo: la palabra CUADRADO vale 3 + 22 + 1 + 4 + 19 + 1 + 4 + 16 = 70.
■■Completar la tabla con las palabras más valiosas que encuentre.
■■El jugador que termine primero de realizar sus registros dice “BASTA” para que
los demás jugadores concluyan en ese momento.
■■Gana el jugador que más punto obtenga.
Letras
Palabras
Operación
Valor
HEXÁGONO
8 + 5 + 25 + 1 + 7 + 16 + 14 + 16 =
92
4
6
7
8
TOTAL
■■La actividad la corrige un compañero utilizando la calculadora.
■■Se pone en común cuál ha sido el récord de la clase.
Variante
■■Se establece una puntuación para cada letra.
■■Es interesante dar valores negativos a letras para trabajar también la resta.
■■Se escriben en el pizarrón 5 palabras relacionadas con matemáticas por el
profesor o por los alumnos de distintos tamaños (desde 4 hasta 7 letras).
■■Por ejemplo: SUMA, CINCO, TRIPLE, VOLUMEN.
■■El alumno copia las palabras en su formato, sustituye el valor de cada letra y
hace mentalmente la suma para obtener el valor de cada palabra.
■■Tendrá un tiempo limitado, el que estime el profesor.
88
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ejemplo:
Una vez finalizado el tiempo los alumnos se intercambian las hojas, corrigen la
actividad y van poniendo la puntuación obtenida siguiendo este criterio:
a. Si el valor de la palabra es correcto: cero puntos.
b. Si el valor de la palabra es incorrecto: tantos puntos como la diferencia entre
el valor de la palabra y el valor calculado por el alumno
■■Gana el juego el alumno que menos puntos tenga.
Observaciones
■■Este juego permite repasar estrategias de cálculo relacionadas con la suma y
resta.
■■Si se da a las vocales un valor negativo quedaría esta nueva tabla que permite
incluir la resta a la hora de calcular el valor de las palabras.
■■Asimismo, si se trabaja la suma se tendrá como resultado números negativos.
Ejemplo: Álgebra
-1 + 12 + 7 + (-5)+ 2 + (-19) + (-1) = -5
A = -1
B=2
C=3
D=4
E = -5
F=6
G=7
H=8
I = -9
J = 10
K = 11
L = 12
M = 13
N = 14
Ñ = 15
O = -16
P = 17
Q = 18
R = -19
S = 20
T = 21
U = -22
V = 23
W= 24
X = 25
Y = 26
Z = 27
■■Disponer de un registro del juego que permita evaluar la actividad en el
momento que requiera.
89
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Números presentes
Descripción
Desarrollar la capacidad de atención la memoria visual y la búsqueda de estrategias
para retener datos.
Se puede realizar de forma individual o por grupos.
Desarrollo
■■El profesor escribe en el pizarrón una serie de 5 a 8 números menores que 100.
Al cabo de 10 a 20 segundos se borra la serie.
4, 7, 10, 13 ...
■■Cada alumno debe escribir en su cuaderno todos los números que recuerde.
■■A continuación, el profesor vuelve a escribir la serie en el encerado.
■■Cada número recordado vale 1 punto.
■■Por cada número que no pertenezca a la serie se le quita 1 punto.
■■Gana quien haya obtenido más puntos, al cabo de cuatro o cinco rondas.
■■El tamaño de los números variará según el nivel de los alumnos. Conviene que
los números de la serie presenten alguna regularidad.
■■Después de cada jugada, se buscarán entre todas las características de la
serie.
Ejemplos: 4, 7, 10, 13, 16, 19 /// 12, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51
Variantes
1. Los alumnos de un grupo inventan series, parecidas a las anteriores, que
presenten alguna regularidad y las proponen a otro grupo que debe
retenerlas y descubrir la ley de formación.
2. El profesor escribe en la pizarra una lista de números. Después de unos
segundos la borra y hace preguntas del tipo: ¿qué número ocupaba el
segundo lugar?; ¿cuál era el último?; ¿cuánto números había en total?; ¿cuál
era el más pequeño?; etc.
90
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ronda de sumas y restas o multiplicaciones
Descripción
Mejorar el cálculo mental de los alumnos. Actividad grupal.
Desarrollo
■■De manera grupal se forma un semicírculo, por orden de lista.
■■Se pregunta al primer alumno una operación (suma o resta y/o multiplicación
dependiendo del grado).
■■Si se acierta el resultado se queda donde está, si falla se tiene que colocarse al
último de la fila.
■■El juego se debe llevar a cabo varios días para que todos tengan la misma
oportunidad para fortalecer el cálculo mental.
■■Ganarán el juego quiene tengan el mayor número de respuestas correctas.
Adivinar o no números ocultos
Descripción
Practicar la ordenación de los números naturales.
Se jugará por parejas.
37...?
Desarrollo
■■El juego inicia cuando un jugador piensa un número que deberá apuntar en un
papel y el compañero de juego sera el encargado de adivinarlo, para lo cual irá
diciendo números y, el jugador, que conocen el número deberá ir guiando al
compañero diciendo si es menor o mayor.
■■Hasta que el número sea descubirte, se trata de anivinarlo lo más rápido
posible; ejemplo: se empieza teniendo 10 puntos y cada vez que diga un número
aumenta un punto y si falla se descuenta.
■■Con esto se desarrollarán estrategias personales para encontrarla lo mas rápido
posible.
■■Una vez que el juego se ha entendido, se pasa a otro un poco más complicado en
el que deberán jugar entre tres o cuatro jugadores de tal manera que igual que
antes uno apunta el número, pero esta vez el que adivine el número pierde.
■■Sabiendo que puede perder el que ha puesto el número. Un ejemplo
de esto sería la siguiente situación: el número apuntado es el 15 y los dos
jugadores anterioes, al que ha pensado dicho número, uno dice el 14, y entonces
se dice que es mayor; el siguiente dice 16 y este dice menor y le toca a él y no
tendrá otra opción que decir el 15 y por lo tanto habrá perdido.
■■Aquí también se deberá pensar una estrategia, sobre todo para el que apunta
el número.
91
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Memórama
Descripción
Establecer correspondencias haciendo parejas con la misma medida de la barra que
aparece en cada tarjeta. Se desarrollará por parejas.
Material
Las 24 fichas para emparejar de dos en dos como las de la figura anterior.
Desarrollo
■■Los jugadores ponen boca abajo el conjunto de todas las cartas del juego, en
todos los sentidos y repartidas sobre la superficie de la mesa, de modo que no
monten una sobre otra.
■■Se sortea quien empezará a dar la vuelta a las cartas.
■■El primer jugador da la vuelta a dos cartas. Si forman una pareja las coge; si no,
las devuelve boca abajo y las deja sobre la mesa.
■■El segundo jugador vuelve una carta boca arriba y luego otra que cree que
formará pareja con la que acaba de levantar.
■■Al cabo de varias vueltas, los jugadores memorizan el sitio de las cartas que ya
han sido vueltas, con lo que emparejan con facilidad sus cartas.
■■Cuando todas las cartas han sido emparejadas, se termina el juego.
■■Los jugadores cuentan el número de parejas que han logrado formar.
■■Gana el que más parejas tenga.
92
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Hacemos un collar
Descripción
Iniciar conceptos del eje, espacio forma y medida; permite fortalecer situaciones
sobre medida
Materiales
Un listón o hilo largo para cada alumno, cuentas o elementos para enhebrar.
Reglas del juego
■■Este juego consiste en armar un collar en un determinado tiempo, que será
entre dos y tres minutos. Durante ese tiempo enhebrarán, lo más rápido
posible, las diferentes cuentas o elementos que tengan (como por ejemplo
macarrones).
■■Cuando se da la señal cada jugador comienza a enhebrar en una cuerda hasta
que se dice “¡Basta!” y ganará quien haya elaborado el collar más largo.
■■Para saber quién ha ganado se les hará alguna pregunta como las siguientes:
■■¿Cómo pueden saber quién ha hecho el collar más largo?
■■¿Hay alguna manerade saberlo?
■■¿Pueden ordenar los collares del más largo al más corto?...
■■Se dejará al alumno que se exprese con lo que ellos harían para averiguarlo y
a continuación se les explica como comprobarlo sin la necesidad de emplear
el metro, aunque se les puede enseñar igualmente para que comiencen a
entender cómo se usa.
Dama-li
Descripción
El juego es de descendencia marrueca,
se basa en las reglas del juego alquerque,
con origen en la Península Ibérica y que al
utilizar el tablero de ajedrez dio origen al juego
de damas.
93
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Reglas de juego
■■Se colocan las 6 piezas frente a frente dejando libre la posición central.
■■De manera alternativa se mueve una ficha a una posición libre o se captura una
ficha contraria saltando sobre ella.
■■Las capturas se pueden encadenar utilizando una misma pieza.
■■Es obligatorio capturar, y si un jugador no se da cuenta el oponente tiene el
derecho a capturar la pieza.
■■Gana el que captura todas las piezas del contrario o le impide moverlas.
■■Si una pieza llega a la primera línea contraria hace “dama” y puede mover en
línea recta tantas posiciones como quiera y capturar piezas contrarias siempre
que salte sobre ella.
Cinco caminos
Descripción
Es un juego del norte de China y se suele jugar con dulces y cuando se captura una
pieza del contrario se la comen realmente. El ganador también se come los dulces
que quedan al finalizar la partida.
Reglas de juego
■■Cada jugador tiene 5 fichas y se colocan alineadas en los bordes del tablero y
frente a frente.
■■Los jugadores mueven sus fichas alternativamente sorteando el jugador que
inicia el juego.
■■Se mueve la ficha a una posición vacía en línea recta.
■■Se captura una ficha contraria si al mover nuestra ficha:
■■La ficha contraria está en la misma fila que dos fichas nuestras.
■■Las nuestras están juntas y además pegadas a la contraria.
■■Las otras dos posiciones de la línea están vacías.
■■Ejemplos válidos de captura de ficha negra: vacía, vacía, blanca, blanca, negra,
vacía, negra, blanca, blanca, vacía.
■■Ejemplos no válidos de captura de ficha negra: negra, vacía, blanca,
blanca, negra, vacía, blanca, negra, blanca, vacía.
94
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Carrera de autos
Descripción
La versión más conocida de este juego utiliza la suma de dados, existe otra versión
donde se trabaja con la diferencia. Esas dos modalidades suelen utilizar tableros
distintos, uno con dorsales del 1 al 12 para la suma y del 0 al 6 para la diferencia, o bien
un sólo tablero ampliado.
Carrera con la suma
Material
Dos dados, una ficha (de colores distintos) para cada jugador y un tablero.
Reglas de juego
■■Cada jugador elige un carro y coloca su ficha en el ruedo con el número
correspondiente. No puede haber dos jugadores con el mismo auto. Si no se
ponen de acuerdo se lanzan primero los dos dados y eligen según la puntuación
que hayan sacado.
■■Por turno, cada jugador lanza los dos dados y suma los números que salen. El
auto cuya defensa trasera coincida con esa suma avanza una casilla (aunque no
sea el del jugador que ha lanzado los dados).
■■Gana la partida el jugador cuyo auto llega primero a la meta.
Carrera con resta
Es igual en todo a la anterior con la salvedad de que ahora se realiza la diferencia entre
los valores que han salido en los dados y avanza el auto con la defensa trasera que
corresponde a esa resta.
Aspectos educativos
■■Se utiliza un sólo tablero para los dos juegos para dejar abierta la posibilidad
95
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
de que algún alumno, sin pararse a pensar, elija una defensa no válida, lo que
descubre cuando comienza a jugar.
■■El número de jugadores puede variar, se recomienda un máximo de seis
jugadores, para la segunda opción pues si no algún jugador debe elegir un
auto que no se moverá.
■■Si juegan de tres a cuatro jugadores para la suma, se encontrarán que muchas
veces sale un valor de la suma correspondiente a un auto que no ha elegido
nadie, por lo que varias tiradas no servirán para que avance ninguno de los
autos seleccionados. Para dar solución a lo anterior en ese caso cada jugador
elija dos autos distintos, con lo cual al participar seis u ocho autos la partida es
más dinámica.
■■Se hace necesario que se vayan anotando los valores que van saliendo en las
tiradas (aunque no haya ningún auto que avance); de esta forma al final se
tiene un registro de datos de todo lo que ha salido, y de esa manera puedan ver
claramente qué sumas tienen más posibilidad de salir.
■■A los alumnos les gusta seguir jugando, aunque ya haya ganado uno de ellos,
con la finalidad de ver en qué orden van llegando los autos. De esta manera,
como todos van lanzando los dados, ninguno se aburre (aunque haya llegado
su auto), por lo que se les puede dejar que terminen la partida cuando todos
hayan llegado.
■■Si se repite el juego, es conveniente que lancen los dados para seleccionar el
orden en que van a hacer la elección.
La finalidad en que se presenta el juego, es primero utilizar la suma; cuando ya
han jugado varias veces entonces se plantea el de la resta. Al finalizar, lo más
importante es hacer el estudio matemático de porqué un auto u otro avanza más
rápido. Es fácil de hacerlo, pues sólo tienen que construir dos tablas de valores con los
posibles resultados, tanto para la suma como para la resta.
Al observar lo anterior se tiene que el 7 tiene ventaja (esta situación se puede
aprovechar para recuperar la razón por la que, en las películas de casinos, quienes
lanzan los dados siempre quieren un 7) en el caso de la suma.
Sin embargo, los resultados previstos teóricamente se pueden ver alterados por el
azar. Por ello cuando se lanzan los dados, en algunos grupos puede ser que gane el
auto con defensa 6 u 8 o incluso más alejados del 7. Lo mismo ocurre con el 1 en la
diferencia, aunque en este caso al haber dos puntos de diferencia entre ese valor y el
siguiente (que es el 2), es más raro que no gane el auto con defensa 1.
96
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
97
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Asalto al castillo
Descripción
Este juego está pensado para grupos de entre tres y seis jugadores.
Material
Una moneda, dos fichas por cada jugador (de colores distintos para los jugadores) y
un tablero como el siguiente:
Reglas de juego
■■Se selecciona el orden de casilla y cada jugador coloca una de sus fichas en
una de las casillas superiores (no puede haber dos fichas en una casilla) que se
mantiene fija y su otra ficha en la casilla inferior que es la de salida (donde se
acumularán una ficha por jugador) siendo la que se va a mover a lo largo de la
partida.
■■Por turno cada participante, lanza la moneda y avanza su ficha al nivel superior.
Si le sale sol coloca la ficha en la casilla superior izquierda, si sale águila en la
derecha.
■■El proceso se repite hasta que las fichas llegan a la última fila de casillas. Si la
ficha de un jugador acaba en la casilla que había elegido previamente (y que
había señalado con su otra ficha) se registra un punto. Si cae en otra casilla
distinta no se anota nada.
■■Se repite el juego diez veces y gana la partida el jugador que al final tenga
mayor puntuación.
98
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Consideraciones
■■El juego es muy rápido de realizar (sobre todo con tres o cuatro jugadores) por
eso se recomienda que se repita el juego diez veces. Por tanto, se recomienda
que los jugadores nuevamente elijan la casilla a la que esperan llegar. Si se
observa el tablero y la dinámica del juego, se puede imaginar que se está
jugando en una máquina de Galton, aunque visualmente esté invertida.
■■Para elegir una casilla, se puede hacer un estudio del número de caminos que
llega a cada casilla.
■■Si se hace sistemáticamente comenzando por el principio aparece sin dificul tad
el Triángulo de Tartaglia o mejor conocido como Triángulo de Pascal, por lo que
el número de caminos que llegan al final son 1, 5, 10, 10, 5 y 1 en este orden.
■■Cada camino tiene una probabilidad de (1/2)5, es fácil encontrar la probabilidad
de conseguir el gane.
Lotería matemática
2 5 0
9 8 4
2 2 3
2 5 0
9 8 4
2 2 3
Descripción
La lotería de números enteros se presenta como un material matemático que
puede ser utilizado por el alumno para reafirmar los tres ejes temáticos del programa,
permite entre otras cosas, la comprensión conceptual de las nociones y propiedades
matemáticas y el pensamiento estratégico al resolver problemas.
Materiales
Cartulina, hojas de colores, mica adherible, marcadores, fichas de colores y dados.
Construcción
Se corten 20 rectángulos de cualquiera de los materiales (cartulina, hojas de
colores) de 20 X 12 cm.; cada rectángulo se subdivide en 9 casillas, en donde se
pintarán números de color negro. Se deben utilizar números que requiera de acuerdo
con el contenido a trabajar, mismos que serán distribuidos en las casillas en forma
indistinta cuidando de no repetir ningún número.
99
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Si se trabajan números con signo, se tienen que diseñar dos dados, uno de ellos
tendrá los números pares de color negro y los impares de color rojo y el otro dado en
forma inversa.
Reglas del juego
■■El juego se realiza igual que el de la lotería convencional, se le entrega una
planilla y 9 fichas a cada participante.
■■El docente o un alumno lanzará los dados y dirá en voz alta los números que
resultaron, los participantes tendrán que realizar las operaciones (+, -, x, y ÷), por
último, localizar el resultado en su planilla.
■■Gana el participante que llene primero su planilla.
Variante
■■Siguiendo las mismas reglas del juego, se pueden utilizar tarjetas y el
coordinador leerá la situación que presenta una tarjeta y un alumno pasa al
pizarrón y la resolverá. El resto del grupo verifica si es correcto el resultado y
colocarán una ficha en el casillero correspondiente.
¿Cuál es el número
que sumado con 3
es igual a -3?
¿Cuál es el número
que sumado con -5 es
igual a -4?
¿Cuál es el número
que sumado con 5
es igual a 2?
¿Cuál es el número
que sumado con -3 es
igual a -7?
¿Cuál es el número
que sumado con -5
es igual a -8?
¿Cuál es el número
que sumado con
3 es igual a -3?
¿Cuál es el número
que sumado con 5
es igual a 0?
¿Cuál es el número
que sumado con
7 es igual a 7?
¿Cuál es el número
que sumado con -2
es igual a -9?
100
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Laberintos matemáticos
Octalaberinto
Descripción
Este juego está formado por un octágono, tiene un punto de entrada y uno de
salida. Permite desarrollar habilidades para el fortalecimiento del cálculo mental, de
comunicación y argumentación. Permite abordar contenidos relacionados con
problemas aditivos y multiplicativos, proporcionalidad, entre otros.
Material
Se puede realizar en cartón, cartulina, papel cascarón, papel ilustración, hojas
blancas.
Construcción
Se corta un cuadrado de 40 x 40 cm. de cualquier material de los anteriores. Al centro
se traza un octágono de 15 cm. por lado (con pintura negra), en uno de sus vértices
se coloca un rectángulo que será la “entrada” y otro de “salida” en cualquiera de los
vértices restantes. Un rectángulo de 3 x 2 cm. en cada uno de sus lados y diagonales
y en cada uno de ellos un recuadro de 1 cm2 en la parte superior derecha.
Reglas del juego
■■Se plantea un problema determinado y posibles soluciones, siguiendo un
camino que haga coincidir el resultado desde la “entrada” hasta la “salida”.
■■Se pondrán cantidades en los recuadros grandes y signos en los recuadros
pequeños restantes en forma arbitraria.
101
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Para iniciar el juego se recomienda que sea en parejas. Se les entrega el
material, y se colocarán en la “entrada” del Octalaberinto para elegir un
recorrido para encontrar la “salida” realizando las operaciones que en su
trayecto vayan encontrando, respetando la regla de no pasar más de una vez
por el mismo camino.
■■Gana la pareja que logre primero encontrar la salida.
1
+
+
+
1
+
1
5
1
+
4
3
+
+
+
3
6
1
+
+
+
4
+
2
1
+
+
+
+
10
2
5
6
+
20
3
.25
50
0.
+
1
8
1
+
+
6
1
7
+
0.10
+
+
+
2
3
6
8
1
2
+
+
+
2
2
0.2
+
5
5
6
8
5
6
8
+
+
+
0.75
+
102
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
2 58
0.4
0.
3
-
2.3
1
+
4
0.
+
+
2
0.5
4
0.2
x
-
0.42
5
0.1
+
1
3
0.
33
5
0.8
+
x
2
x
5.48
3
-
Además, puede plantear problemas y dar la solución a través del camino encontrado,
ejemplo:
Problema 1
■■El día jueves Sócrates y Aristóteles se fueron al ágora (plaza
pública) a platicar.
■■Mientras platicaban sobre política, comenzaron a contar a las personas que
llegaban y al mismo tiempo también a las que se iban. Si cuando llegaron
había 35 personas y a la hora que se fueron se quedaron 174.
Encuentre en el octalaberinto como fueron llegando y como se fueron yendo
de la plaza.
+ 45
- 18
23
-4
+
+
12
35
5
- 20
+ 65
+2
05
0.8
+1
06
2
+1
05
5
18
+ 85
- 4
-1
174
- 56
103
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problema 2
■■En la huerta “EL NARANJO” el dueño ofrece trabajo a los niños de los
alrededores, el cual consiste en recoger naranjas, ofreciendo el siguiente
trato:
Por cada 20 naranjas que recojan ustedes se quedan con 5 naranjas; al iniciar
su trabajo se les regalan 50.
Los niños aceptaron el trabajo y empezaron a recoger naranjas.
En la primera hora recogieron 100 naranjas.
¿Cuántas naranjas ganaron?
En la siguiente media hora soló recogieron 4.
¿Cuántas naranjas ganaron?
En la siguiente hora se partieron 12 naranjas, por lo que el dueño les invirtió el
trato
¿cuántas naranjas tuvieron que regresar de las que habían ganado?
En la siguiente hora recogieron 36 naranjas
¿cuántas naranjas ganaron?
Al ver que habían ganado muchas naranjas decidió quitarles 4 y les dijo que
se las darían a los trabajadores que habían recogido menos.
Al final, los niños decidieron donar una tercera parte de
las naranjas que habían
ganado a su escuela, por lo que sólo les
quedaron 52 naranjas.
¿Cuántas naranjas donaron?
Encuentre en el octalaberinto el camino para
proceso que llevo a los niños para lograr ganar 52 naranjas.
104
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
reconocer
el
3
-
25
9
+
-
+
1
3
50
+
4
25
26
-
3
26
-
+
+ 1
1
-
4
26
-
+
25
52
9
Hexalaberinto
Descripción
Este juego está formado por un hexágono, tiene un punto de entrada y uno de META.
Permite desarrollar habilidades para el fortalecimiento del cálculo mental y la
estimación. Asimismo, abordar la suma, la resta, la multiplicación y división, de
números naturales, decimales y f raccionarios, números positivos y negativos.
Material
Se puede realizar en cartón, cartulina, papel cascarón, papel ilustración, hojas
blancas; lápiz, calculadora.
Reglas del juego
■■Trabajo individual o en pareja.
■■Buscar el camino completo que considere llegue a la META con el mayor
puntaje posible; con la única condición de NO pasar dos veces por el mismo
segmento ni por el mismo punto.
■■Comienza el juego con 100 puntos.
■■El juego da comienzo al recibir la indicación por el profesor o un alumno.
105
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Se marca un camino completo el que considere que es el máximo puntaje
para llegar a la META, sin realizar las operaciones, sólo utilice la estimación o la
intuición.
■■Cuando ya se tenga marcado el camino, resuelva las operaciones a través
del cálculo mental, registre su puntaje.
■■Comparen puntajes y verifiquen haciendo uso de la calculadora, para definir
quien logro tener el más alto puntaje.
■■Gana quien llego a la META con el más alto puntaje.
Variante
■■Seleccione tres posibles caminos que lleven a la META con el mayor puntaje
posible y regístrelos considerando un número de orden.
■■Haga uso de la calculadora y registre el puntaje de cada camino.
■■Compare sus puntajes y analice la estimación que desarrolla.
1000
+0
.09
.7
X 1.2
.9
x1
x 1.89
.99
x0
.01
+2
.4
+0
.1
+ 1.9
+2
-0
0.09
.6
+0
.09
x0
.8
-0
X0
.97
1.2
.01
0.87
- 1.7
X1
x0
.99
x1
1.4
8
0.
.5
0.5
- 12
x 1.09
0.7
106
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Tablero rectangular
Descripción
Es un juego que permite resolver operaciones correspondientes a la suma, resta,
multiplicación y división de números naturales, decimales, f raccionarios y número
positivos y negativos.
Material
Hojas de papel bond, papel cascarón, cartoncillo enmicado o forrado con hule cristal.
Construcción
Se corta un cartoncillo de 25 x 50 cm. (opcional), se dividen y se marcan con plumón
72 cuadrículas (6 cm de altura y 12 cm de largo) de 4 cm2; a partir de la tercera
columna y en la parte superior izquierda de las cuadrículas se dibujan recuadros
pequeños de 2 cm2 que sirven para colocar el signo de la operación a realizarse.
Reglas del juego
Se divide al grupo en equipos de tres elementos y se les reparte el material.
■■El coordinador sugiere en forma arbitraria las cantidades que se colocan en las dos
primeras columnas y los signos de las operaciones que se van a realizar, para ello
indica a los participantes qué signos (suma, resta, multiplicación o división)
deberán de colocar en los recuadros pequeños de la cuadrícula; puede
también entregar a los alumnos una serie de actividades de clase previamente
elaboradas.
■■Para realizar las operaciones se consideran las dos cantidades que se
anotaron en las dos primeras columnas y se realiza la operación
indicada en el recuadro de la tercera columna anotando en ésta el resultado.
Se da continuidad siguiendo esta lógica (en el orden en que se presentan de
izquierda a derecha) hasta terminar todas las columnas de la primera fila. Se
proporciona nuevamente cantidades para la segunda fila y así sucesivamente
hasta terminar toda la cuadrícula.
107
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■El coordinador podrá colocar de manera indistinta algunos números claves de
respuestas que permitirán verificar si el procedimiento seguido por los
participantes es correcto. Todos los resultados deberán ser escritos
en forma canónica (simplificados).
-3 -1
x
/
x
/
x
/
x
/
+
/
4 -2
x
x
x
/
+
x
/
+
/
+
-6 3
x
/
+
x
+
-
+
+
-
-
-3 -4
5 -5
x
/
x
/
+
x
/
+
-
+
/
x
/
+
x
/
x
/
-
/
-2 8
/
x
+
x
+
-
+
/
+
+
2 4 + 6 +10 +16 +26 +42 +58 +90 +
148
-3 6 - 9 + - + - + - +
Considerando las operaciones realizadas se puede cuestionar lo siguiente:
■■Siempre que se multiplican o dividen dos números del mismo signo al
resultado le corresponde el signo.
■■Cuando se multiplican o dividen dos números de distinto signo al resultado le
corresponde el signo.
■■Siempre que se multiplica o divide un número por menos uno el resultado es.
108
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Consideraciones
Se debe tener en cuenta que algunos alumnos tendrán dificultades con las operaciones
de números con signo, por lo que se recomienda que en un determinado tiempo
después de haber intentado complementar los recuadros, se les permita el uso de
la calculadora y se les da la sugerencia de sólo utilizar hasta centésimos. Una vez que
se han terminado de llenar los recuadros, es necesario compartir lo que cada uno
realizó y dando a conocer sus resultados, si fueran diferentes validarán el procedimiento
utilizado para unificar criterios.
Es importante que antes de iniciar la actividad el coordinador de a conocer las reglas
del juego.
Variante
Se pueden presentar como lo muestra la imagen.
Resuelve lo más
rápido que puedas
considerando el signo +
para agregar y el para quitar
A 5 le agrego 2
+
4
5
6
1
2
3
A 8 le quito 3
¿?
¿?
109
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
-
1
2
3
Modelo triangular
Descripción
Este juego permite al participante la operatividad de suma, resta, multiplicación
y división con números enteros, decimales y fraccionarios, así como con números
positivos y negativos.
Material
Acrílico, cartoncillo enmicado o forrado con hule cristal. Construcción
Se traza un triángulo en una hoja tamaño carta y se trazan 28 rombos iguales y 8
triángulos equiláteros en su base (como se ve en la figura).
Reglas del juego
■■Se forman equipos hasta de tres elementos y se les reparte el material.
■■El coordinador indicará la colocación de números en forma indistinta en los
rombos laterales del material, así como signos en el vértice superior de los
rombos y triángulos restantes los cuales indicarán las operaciones que se van
a realizar; puede también entregar a los participantes una serie de actividades
con anticipación.
■■Se pide a los participantes, realicen las operaciones indicadas en su
material considerando para ello el signo que se encuentra en el vértice
superior de los rombos y los triángulos. Para efectuar las operaciones se
tomarán en cuenta los números de cada rombo cuyo vértice es común con el
rombo de la derecha, anotando el resultado en el rombo inmediato inferior.
110
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■El coordinador puede colocar números claves de respuesta en los rombos
y triángulos para que el alumno al llegar a él, pueda comprobar si sus
operaciones son correctas o ha tenido algún error al resolverlas.
Se presentan ejemplos correspondientes a operaciones básicas y números con signo.
8
2
4
2
+
1
2
x
-18
10
+
8
+
29
-9
20
+
4
+
19
4
2
+
11
+
5
+
7
8
+
15
-
26 - 7
8
2
+
45 - 19 - 9
10
74
26
+
1
10
-25
8
-3
-1
5
-2
x
6
-
+
x
+
-
-
2
+
-
+
-
x
-
x
-4
+
+
4
-2
+
-1
x
-
8
2
4
2
1
2
x
+
+
+
5
+
+
+
+
+
4
+
11
+
8
-
+
-
+
+
8
-
2
+
-
+
1
111
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Dominó matemático
Descripción
El dominó es un juego es utilizado en el fortalecimiento de diferentes contenidos
no únicamente matemáticos, sino también de otras asignaturas. Se utiliza para la
recuperación de saberes previos o para el cierre de una secuencia didáctica.
Material
Para su elaboración se puede utilizar cartón, papel cascarón, triplay, fomi, hojas
blancas o de color.
Construcción
Se cortan 28 rectángulos del material preferente de 8 x 4 cm. (medida opcional), cada
ficha se subdivide en 2 cuadrados mediante un segmento central, de manera que en
el segmento de la izquierda aparezca la respuesta a un ejercicio y en el de la derecha se
haga el planteamiento de un ejercicio determinado. Es importante se considere que
exista una continuidad en los ejercicios y las respuestas que se planteen, permitiendo
que al término de cada juego se forme una cadena cerrada.
Para diseñar el contenido del dominó sólo se seleccionan siete elementos y se realizan
las combinaciones correspondientes.
112
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Reglas del juego
■■Se forman equipos de cuatro integrantes y se les entrega un dominó que
repartirán entre ellos (7 fichas c/u previamente revueltas).
■■Para dar inicio al juego cada integrante lanzará un dado y quien obtenga el tiro
mayor coloca la primera ficha sobre la mesa de juego, continuando en sentido
contrario a las manecillas del reloj (derecha) siempre y cuando el tirador tenga
la respuesta al ejercicio planteado en la tirada anterior.
■■En caso de no tener la respuesta correcta, pasará y cederá el turno al siguiente
participante.
■■Sólo se puede colocar una ficha por turno.
■■Gana quien termine primero sus fichas o se cierre la jugada.
La canasta
Descripción
El juego permite trabajar conceptos y habilidades matemáticas como la suma, la
resta, la serie numérica, las graf ías y las cantidades, los números con signo positivo y
negativo.
Materiales
Taparroscas, una canasta de huevo vacía, pintada de cuatro colores diferentes
(imagen), a cada uno se le asigna un valor diferente
Reglas del juego
■■Número de jugadores dos o más.
■■Los participantes deciden el orden del lanzamiento.
■■El juego se desarrollará en tres turnos para cada participante, los cuales no son
sucesivos sino alternados entre ellos.
113
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Cada jugador en su turno lanzará de forma sucesiva 10 tapas hacía la canasta.
■■Una vez efectuados el lanzamiento, el jugador debe observar la ubicación de
las tapas para determinar el puntaje obtenido tomando en cuenta el valor de
cada zona de la canasta de acuerdo a su color.
1
2
3
4
■■Luego se registra en la libreta de trabajo el puntaje correspondiente.
■■El ganador es el participante que obtiene el mayor puntaje.
Fila de cuatro
Descripción
Este juego permite fortalecer el cálculo mental, al trabajar con sumas, restas,
multiplicación y/o división de números naturales, decimales, fraccionarios y números
positivos y negativos.
Material
Plantilla; dos dados; fichas (distintivos) de plástico de dos colores.
Construcción
Tablero de 40 x 40 cm. (indistinto), se traza en la parte superior un cuadrado
dividido en 18 cuadrículas. En la parte inferior se traza un rectángulo subdividido en 42
cuadrículas.
Se colocan números (pueden ser positivos o negativos) en forma indistinta en la
cuadrícula superior y en la inferior posibles resultados.
114
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Reglas del juego
■■Para comenzar el juego se forman parejas, cada integrante lanza un dado y
quien obtenga el tiro mayor será quien abra el juego.
■■El jugador escoge dos números del primer recuadro y los suma, resta,
multiplica o divide, (la operación es sugerida por el maestro), localiza el resultado
en el recuadro de abajo colocándole una ficha, si no lo encuentra o está
ocupado perderá su turno. Para continuar con el juego, el segundo participante
realiza el mismo procedimiento.
■■Para ganar el juego, ambos participantes intentarán formar filas de cuatro
fichas en línea vertical, horizontal o diagonal, buscando estrategias que les
permita ir formando sus líneas y al mismo tiempo ir “tapando” el juego de su
oponente.
■■Considerar que existen alumnos que tienen problemas con las operaciones de
números positivos o negativos, por lo que es recomendable se les recuerde la
Ley de los signos; así como se presenten claras las reglas del juego; al término
del juego se intercambiarán las estrategias para ganar.
■■ Gana el primer jugador que forme tres líneas de cuatro fichas.
115
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Para trabajar suma, resta, multiplicación o división de número positivos y negativos.
Valor posicional con tarjetas de colores
Descripción
El juego permite la familiarización con el valor posicional y otros conceptos matemáticos,
como el doble, triple, números pares, múltiplos, entre otros.
Material
Paquetes de tarjetas de colores con los dígitos del 0 al 9.
Reglas del juego
■■Trabajo en equipo.
■■Se entrega a cada equipo un paquete de tarjetas de seis colores diferentes con
los dígitos del 0 al 9.
116
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Se determina a cada color un valor posicional (ningún color tiene determinado
valor posicional).
■■Inicia el juego cuando se presentan los problemas para buscar la respuesta.
■■Los equipos tienen que ir acomodando las tarjetas de acuerdo al valor posicional
que correspondan siguiendo las condiciones que plantea el problema.
■■Gana el equipo que encuentre primero la respuesta y será el que de a conocer
las estrategias utilizadas
Problema 1
■■Es un número de 3 dígitos; el dígito de las centenas es 3; pero el dígito
de las decenas es igual al dígito de las unidades menos dos. Si se suman
los dígitos de las unidades y de las centenas es 10.
¿Qué número es?
Problema 2
■■Es un número de 4 dígitos; el dígito de las centenas es la mitad de 12. Por
tanto, la suma del dígito de las unidades de millar y de las unidades es
igual a 1, el producto de los dígitos de las decenas y centenas es 30.
¿Qué número es?
Problema 3
■■Es un número de 6 dígitos; el dígito de las centenas de millar es el doble
del de las centenas y el de las unidades de millar es el triple del de las
decenas.
La suma de los tres últimos dígitos es 7. Cinco de los dígitos son pares.
Los tres primeros dígitos son múltiplos de 2 y suman 14.
¿Qué número es?
La multiplicación en filas y columnas
15
36
12
6 x 4 = 24
117
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Descripción
Es un juego que permite trabajar la multiplicación como una relación de filas y
columnas y además orientación. Asimismo, lleva al trabajo con perímetros y áreas.
Material
Dos dados de diferente color, hoja cuadriculada, lápiz y dos colores.
Reglas del juego
■■Se juega en parejas o en equipo.
■■Se reparte una hoja cuadriculada por pareja o por equipo.
■■En la mitad de la hoja realizará su registro un participante o equipo y en la
otra mitad el participante o equipo contrincante.
■■Para dar inicio al juego; cada jugador o un representante de equipo lanza
los dos dados y la suma mayor de puntos es quien comienza.
■■Se lanza el primer dado que representa el número de filas de acuerdo a la
puntuación que caiga.
■■Se lanza el segundo dado que representa el número de las columnas de
acuedo a la puntuación que caiga.
■■Después de los lanzamientos se procede a identificar en la hoja cuadricula.
■■Se concluye el juego cuando se rellena la cuadrícula.
■■Gana quien tiene el mayor número de superficie.
Jugando con números
Descripción
Este juego fortalece el cálculo mental al resolver ejercicios o problemas que implican
suma, resta, multiplicación división, fracciones, decimales y porcentajes, a través del
trabajo colaborativo.
Material
Paquetes de tarjetas tamaño carta de colores con los números del 0 al 9.
Lista de diferentes operaciones básicas o problemas.
118
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Reglas del juego
■■Trabajo en equipo, si es un grupo numeroso se sugiere que los equipos sean de
diez integrantes, para que cada uno tenga una tarjeta.
■■El juego se realizará preferentemente en el patio.
■■Cada equipo tendrá un paquete de tarjetas (10) con los dígitos del 0 al 9 de
diferente color, con la finalidad de evitar que por el color identifiquen el
resultado entre equipos.
■■El coordinador del grupo tendrá una relación con operaciones acorde al
contenido a trabajar.
Ejemplo:
98 – 39 = 59
765 + 78 = 843
593 x 2 = 1186
■■El juego inicia cuando cada participante tiene una tarjeta, va a depender del
número de participantes ya que puede tener más.
■■El coordinador menciona en voz alta un ejercicio o problema, los integrantes
del equipo resolverán en voz baja para que no sean escuchados por el resto de
los equipos.
■■Equipo que tenga la respuesta la representará con las tarjetas.
■■Cada integrante del equipo representará un dígito del resultado.
Colocándose de espalda a sus compañeros hasta recibir la indicación de
voltear.
■■Una vez que estén de espalda no podrán cambiarse de lugar, ni intercambiar
tarjetas.
■■Después de un tiempo considerado por el coordinador mencionará VOLTEEN
y mostraran su resultado.
■■El resto de los integrantes de los equipos revisarán si son correctos los
resultados y comentarán sus estrategias de solución.
Ejemplo: 75 x 2 =
■■Gana el juego quien tenga el mayor número de resultados correctos.
119
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Carrera 5
Adaptación de “Carrera a 20”
Descripción
Es un juego que permite fortalecer el cálculo mental relacionado con la suma y resta
de fracciones equivalentes.
Material
Hoja con la imagen del tablero.
Lápiz para cada jugador.
Reglas del juego
■■Participan dos jugadores.
■■Los participantes tienen que encontrar la estrategia que permita llegar primero
a 5.
■■Sólo se podrán utilizar las fracciones 12 y 14 .
■■Para iniciar el juego se determina a través de un volado y quien gane elegirá
que lado del tablero ocupará.
■■El juego inicia cuando el jugador que ganó el volado escribe en su lado del
tablero el número fraccionario 14 o 12 .
■■El segundo jugador puede sumar 14 o 12 al número que escribió su compañero y
anota el resultado en su lado que le corresponde.
■■El jugador que inició repite la misma acción sumando 14 o 12 a la cantidad
del resultado de su contrincante y así sucesivamente hasta llegar a 5.
■■Gana el primero que llegue a 5.
Carrera 5
120
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Suma rápido
Descripción
Es un juego que permite realizar, mentalmente y con rapidez sumas de dos
sumandos.
Material
Dados grandes.
Reglas del juego
Cada alumno del grupo lanza dos dados y efectúa mentalmente la suma de puntos
obtenidos. Los demás miembros del grupo controlan la exactitud del resultado. Se
puede establecer un sistema de puntuaciones para que gane el que más puntos consiga.
Variantes
■■Pueden modificarse los dados poniendo adhesivos con otros números en las
caras.
■■Se trata de descomponer el número que está en el centro como suma o
diferencia de dos números
■■Se pueden hacer descomposiciones sólo con sumas, sólo con restas o con
ambas operaciones en la misma ficha. Se puede dar el primer sumando en todos
los casos, o el segundo o mezclar.
■■Se puede trabajar en grupos o individualmente. Siempre gana el alumno o el
grupo que antes complete la ficha de forma correcta.
121
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Descomposición de sumas de puntos
Descripción
Realizar, mentalmente y con rapidez descomposiciones de números como suma
de dos sumandos.
Reglas del juego
■■Por grupos de tres o cuatro alumnos.
■■Un jugador lanza dos dados y obtiene una suma de 8 puntos.
■■¿Qué números le han podido salir en los dados?
■■Se trata de encontrar todas las soluciones.
■■Cada respuesta correcta vale 1 punto.
■■Lo mismo si la suma ha sido: 2, 3, 4, ..., 12.
Variantes
■■Se puede trabajar también con 3 dados.
■■Pueden modificarse con pegatinas los números de las caras de los dados.
Número secreto
Descripción
El juego permite fortalecer la suma y la resta.
Reglas del juego
■■Trabajo Individual.
■■Se hacen preguntas como:
Se está pensando en un número. Si le sumo 3, obtengo 7 ¿cuál es?
Se está pensando un número. Si le resto 2, obtengo 5 ¿cuál es?
■■Cada jugador va registrando sus respuestas acertadas en su cuaderno de
trabajo.
■■Gana quien obtenga el mayor puntaje.
122
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Variante:
Cada participante piensa un número (el número secreto).
Posteriormente el coordinador dice una operación, por ejemplo: súmale 4, réstale 5,
entre otros.
Se pide a cada participante que diga el resultado que ha obtenido y los demás deben
adivinar su número secreto.
Las adivinanzas con una mirada didáctica
Una adivinanza es un tipo de acertijo con enunciado, generalmente en forma de rima;
se tratan de enigmas sencillos en los que se describen una cosa de forma indirecta
para que alguien lo adivine. En dicho enunciado se incluyen pistas para su solución;
muchas adivinanzas están dirigidas al público infantil, con un componente educativo
para representar tradiciones regionales y conceptos básicos de plantas y animales,
frutas o todo tipo de objetos.
Las adivinanzas se plantean en diferentes formatos de métrica y composición, si bien
son comunes los versos octosílabos, las estrofas de dos o cuatro versos y las rimas
asonantes y consonantes, También son frecuentes los juegos de palabras.
Utilizar las adivinanzas con una intención didáctica es una decisión acertada, ya que a
través del planteamiento de enunciados como enigmas, promueve la imaginación, y
despierta el interés de los alumnos, al tratar de dar respuesta a la adivinanza; además
de fortalecer el razonamiento lógico. El que día a día, los docentes acerquen
planteamientos de esta naturaleza a sus alumnos, ayudará a que sean más analíticos
en la interacción de cualquier cuestionamiento que requiera de una respuesta o
solución mediata o inmediata. En otras palabras se estaría favoreciendo la
comprensión de la lectura, un aspecto que de manera formal se ven en la asignatura
de español, con impacto a todas las materias del plan de estudio.
Cuando el alumno intenta dar respuesta una adivinanza, entra en un proceso de análisis
en base a sus capacidades y /o habilidades mentales, estableciendo una negociación
de significados con la información que ya posee y con la nueva que se le está acercando,
de manera que él construya hipótesis inmediatas ante un planteamiento que requiere
una respuesta al momento. En este proceso llega al ensayo y el error; o sea da
respuestas que si bien no son las correctas, sí son aproximaciones a ella; cuando
esto ocurre se le acercan datos adicionales (pistas), con el propósito de reorientar su
análisis para concluir en una respuesta acertada.
123
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Adivinanzas matemáticas
1. Bonita niña, mitad de junio,
menos que Carmiña y más que
San Valentín.
2. Soy uno sin llegar a tres, y llego a
cuatro cuando dos me des.
Respuesta: El 15
Respuesta: El 2
3. Son tres patos que en el agua
están, nadando, jugando, cantando: ¡cua, cua!
¿Cuál número es?
4. De dos nadas me formaron,
aunque bien valioso soy, sin nacer
en Inglaterra entre los pares estoy.
Respuesta: El 222
Respuesta: El 2
5. Empieza con uno, prosigue
con dos, y el final de la cuenta la
conoce Dios.
Respuesta: Los números
6. En tu examen escolar o tienes
cero o tienes diez, eso dependerá,
según como lo veas.
¿Qué número es?
7. Soy la mitad de 8 te lo aseguro, Si te digo que en esta ocasión
el 4 no soy, te sorprenderás, Dime
¿quién soy?
8. Este era un número impar, pero
un día la vuelta se dio y boca abajo
quedó y en un número par se convirtió.
Respuesta: El cero
Respuesta: En 6
9. Hay un número que muy valiente se creía pero al quitarle su cinturón todo valor perdía.
¿Qué número es?
10.¿Cuál es el número que si lo
paras de cabeza vale menos?
11. Quizás ya lo sabrás de madera
no son, no lo podrás creer, del
uno al nueve las encontraras; si lo
piensas bien, la respuesta ya debes
saber.
12. Atento; si se tiene el número
cuarenta y lo divides por un
medio, luego le sumas cinco
medios.
¿Qué resultado se tendrá?
Respuesta: Es el número 10
Respuesta: El 9
Respuesta: El 8
Respuesta: Las tablas de multiplicar
124
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Respuesta: 85
13. Su majestad habló y dijo: cada
vez que lo veas aumentar, su valor
tendrás. Su manera de ser así es.
¿Di quién es?
14. Redondo redondito es él, puesto
a la izquierda nada vale pero a
la derecha de sus compañeros,
aumenta su valor.
¿qué número es ?
Respuesta: La suma
Respuesta: El cero
15. Es una regla ya conocida,
son: el dos, también el veinte y el
cuarenta, ya de paso también cien
y el millar, sí, como lo oyes, pero no
son el tres, el cinco ni el nueve.
16. ¿Cuánto es dos se millones más
dos se millones?
Respuesta: Son cuatro semillones
Respuesta: Los números pares
Adivinanzas para jugar a pensar
1. Qué es.
¿qué es que te quita el sombrero y
no lo ves?
2. Muchos remiendos y ni una
puntada
Respuesta: El viento
Respuesta: La gallina
3. Cien soldaditos vestidos de
blanco y boina coloradita.
4. As no soy, as no fui, as no seré
hasta el fin.
Respuesta: Los cerillos
Respuesta: El asno
5. Si un tren eléctrico va de norte a
sur, ¿hacia dónde hecha el humo?
6. ¿Cuál es la mujer que siempre
sabe dónde está su marido?
Respuesta: Los trenes eléctricos
no echan humo
Respuesta: La viuda
125
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
7. Una vieja tonta, loca y bien
reseca que le escurre la manteca.
8. Desde el lunes hasta el viernes,
soy la última en llegar, el sábado
soy la primera y el domingo a descansar.
Respuesta: La vela
9. Soy un palito muy derechito
y encima de la frente llevo un
mosquito que ni pica ni vuela ni
toca la vihuela.
Respuesta: La letra S
10. Cartas van, cartas vienen y en el
aire se entretienen
Respuesta: La nubes
Respuesta: La letra i
11. Una viejita con un solo diente
que cuando grita hace correr a
toda la gente
12. De celda en celda voy, pero
presa no soy.
Respuesta: La campana
Respuesta: La abeja
126
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Cálculo
mental
con
material
manipulable
127
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
128
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Cálculo mental con material manipulable
La importancia del material manipulable
La importancia que los materiales y los recursos tengan, radica en la finalidad
didáctica, formando parte de tareas bien definidas, basadas en problemas
comprensibles para los alumnos y haciéndolos funcionales. Se deben adaptar los
tiempos y los espacios para la correcta utilización de éstos.
Los materiales manipulables, son fundamentales para adquirir esquemas
adecuados para pasar al pensamiento abstracto. El paso de lo concreto a lo abstracto
ocurre cuando existe una relación entre las tres clases de conocimiento que establece
Piaget: físico, social y lógico matemático; cobrando especial relevancia.
Además, el uso de materiales manipulables y actividades lúdicas para el desarrollo de
la competencia matemática radica en la creación de un amplio equipo de experiencia
para su movilización.
Aprender a relacionarse
coopera, cuida, disfruta,
tolera, respeta, rechazo,
comparte y trabaja en equipo y
de manera colaborativa
Saber ser
Desarrollar habilidades
(anticipa, combinar,
representa, clasifica,
relaciona: resuelve
problemas, debate,
aplica, desarrollar,
organiza)
Material
manipulable
Saber hacer
Actitudinal
Ejercitar procesos
cientificos (observa,
analiza, deduca,
demuestra, razona,
reconoce, elige,
comprueba,
interpreta modelos,
experimenta)
Procedimiental
Saber
Conceptual
Tipos de material manipulable
En ocasiones, el material utilizado son objetos cotidianos que, dándoles un uso
diferente, facilita la consecución de un objetivo matemático. A este tipo de material
se le denomina de acuerdo con Cascallana (1988) como no estructurado.
Este material es el primero que llega a la escuela como juguetes aunque no es la
única forma en la que aparecen. De esta manera, con éstos se pueden trabajar todos
los contenidos matemáticos.
129
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ejemplos:
■■Procesos, métodos y actitudes en matemáticas: El ábaco utilizándolo
adecuadamente.
■■Números: sumar y restar a través de semillas, piedras y palos pequeños,
juguetes, dulces, taparroscas, entre otros.
■■Medida: con regletas construir el tren más largo, estimar los balones que
entrarán en una caja.
■■Geometría: con las piezas de bloques lógicos construir formas.
■■Estadística y probabilidad: observar que si se pide a una persona
traigan un coche, no se sabe de qué color es.
Cabe mencionar, que los juguetes no son los únicos materiales no estructurados sino
que hay más en la cotidianidad que realizan la misma función. Dentro de los cuales se
encuentran piedras, espejos, botellas, palos, pinturas, papeles, palillos, corchos, chapas,
y otros más.
En un primer momento, no es considerado como un juego y que ha sido diseñado
para alcanzar objetivos didácticos como: las regletas, el ábaco, los geoplanos, los
policubos, los cubos, los dados, etc. Por su parte, el material informal es aquel que
incluye todos los juegos que trabajan los conceptos lógicos matemáticos. Dichos
materiales pueden ser comprados o elaborados por el mismo docente o por sus
alumnos.
Asimismo, se encuentra el material estructurado o material diseñado con un fin
educativo. Como menciona Cascallana (1988) aunque cada tipo de material
estructurado ha sido diseñado para favorecer la adquisición de determinados
conceptos, la mayor parte de ellos podríamos decir que son multiusos, en la medida
que pueden utilizarse para varios conceptos y objetos. Ejemplos: bloques lógicos,
ábacos, multibase 10, balanza matemática, entre otros.
Materiales y recursos en el aula
Para facilitar la enseñanza y el aprendizaje en este caso en específico del cálculo mental,
se pueden utilizar materiales y recursos. Para Castro (2001), los materiales y recursos
son objetos físicos. La diferencia entre ellos se da en que los materiales han sido
diseñados con intención educativa, mientras que los recursos no, existen con otras
finalidades y son los docentes quienes deciden emplearlos para la enseñanza.
La disponibilidad y el uso de una variedad de materiales educativos en las escuelas,
es uno de los factores clave para la mejora de la educación que no siempre se tiene
en cuenta.
Como dicen Hernán y Carrillo (1998), algo tan simple como unos palillos puede
convertirse en enriquecimiento de la práctica educativa de los docentes cuando
implica una transformación de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Los
materiales manipulables permiten representaciones y modelizaciones de
conceptos, el inicio de su comprensión y manejo para los alumnos.
130
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
De la manipulación, de la búsqueda de regularidades, de las reglas de los juegos
donde intervienen, del tipo de problemas sobre las acciones del material, depende la
riqueza y la calidad de las reflexiones sobre esas acciones.
Un material manipulable debe de servir para organizar situaciones de aprendizaje
atractivas para los alumnos, además de facilitar la apreciación de los significados
de sus propias acciones, así como contribuye a mejorar su actitud con respecto a
las matemáticas, a desarrollar la creatividad a la hora de buscar estrategias para
resolver diferentes problemas de distintas maneras, asimismo el material debe
de adaptarse a las necesidades y las posibilidades de los alumnos. Cuanto más
versátil sea un material más idóneo será para aplicarlo en las aulas, ya que va a ofrecer
mayor cantidad de posibilidades.
Además, existen materiales que están al alcance de cualquiera, sin hacer grandes
gastos, que los docentes pueden y deben emplear, o promover que los alumnos los
consigan o construyan.
Las ventajas de los materiales y de los recursos didácticos son:
■■Promoción de la enseñanza activa.
■■Fortalecimiento de la eficacia del aprendizaje.
■■Favorecen la comunicación entre el docente y los alumnos.
■■Ampliación del campo de experiencias de los alumnos.
■■Posibilita que el alumno alcance por sí mismo el aprendizaje.
■■Propicia el interés y la atención de los alumnos y alumnas.
■■Orientan el aprendizaje.
■■Fomenta las actividades cooperativas y el trabajo en grupos.
■■Son útiles para racionar la carga de trabajo, tanto para los docentes
como para los alumnos.
■■Disminuye el tiempo que debe dedicarse a que los alumnos aprendan los
temas, ya que se trabajan los contenidos de manera más directa favoreciendo su comprensión.
■■Contribuyen a maximizar la motivación de los alumnos.
Sin embargo, a pesar de esto, todavía son escasos o insuficientes los materiales y
recursos didácticos para matemáticas que existen en las escuelas y su utilización en
las aulas.
Por otro lado, aun sabiendo que los materiales y los recursos didácticos tienen la
gran fortaleza de favorecer exploraciones y ampliaciones en campos muy variados
también es posible que los docentes sean más imprecisos en los objetivos de
aprendizaje si no se programa bien el uso de los materiales, los recursos y el
tiempo para su utilización. Por lo tanto, es importante concretar los objetivos de
aprendizaje antes de usar los materiales. El material y los recursos didácticos es una
ayuda para lograr los objetivos de aprendizaje, que es lo que se quiere conseguir.
131
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Algunas de las desventajas que supone la utilización de materiales y recursos
didácticos refieren a que:
■■Pueden provocar la distracción en los alumnos.
■■Puede suponer el desarrollo de estrategias de trabajo de mínimo
esfuerzo.
■■Pueden llevar a la falta de una correcta planificación didáctica.
■■La preparación de materiales y recursos didácticos implica esfuerzo y
un largo periodo de concentración por parte del docente.
■■Al tratarse de una manera distinta de organizar la enseñanza, puede
manifestar rechazo a la hora de utilizarlos en el aula.
Existen muchos docentes que no utilizan materiales y recursos didácticos ponen
excusas como en Mi colegio no tiene suficientes medios económicos, o Soy
muy poco manitas, o Frenan el tiempo de avance para Castro (2001). Pero
después de leer este apartado se ven solo excusas, ya que para utilizarlos
no hace falta disponer de un gran presupuesto, y mucho menos frenan el
tiempo de avance, por tratarse la mayoría de materiales manipulables, los
conocimientos se adquieren de manera más directa y por lo tanto, más rápida.
Material Manipulable
Encontrar las estrategias cognitivas que utilizan los alumnos de manera efectiva
para calcular mentalmente informa sobre la idea que se hacen de los números
Butlen y Pezard (1992). Una visión análoga se expresa en la escuela alemana de
Didáctica de las Matemáticas, que desde hace cerca de dos siglos se ha interesado
en las “maneras de imaginarse” los objetos y procesos matemáticos, Hofe (1995). Por
tanto, Euler ya decía que los niños podrían imaginarse los números negativos como
deudas. Cabe señalar que el rol operacional de las representaciones corresponde al
de las metáforas conceptuales Soto y Andrade (2007), en el sentido de Lakoff y Núñez
(2002), y al de la representación mediante “materiales concretos” en numerosos
educadores matemáticos, como Montessori (1967), Gattegno (1998) y Dienes (2003).
El docente debe saber de que existe gran variedad de materiales manipulables, que
sin embargo tienen que saber identificar cuáles les permite y son funcionales en
cada momento de su secuencia didáctica. Para el momento del inicio, hay materiales
que permiten recuperar saberes previos, existen otros materiales que sirve durante el
momento del desarrollo, es decir para la construcción del conocimiento y otros
más para el cierre, siendo materiales que permiten fortalecer y retroalimentar los
conocimientos en los alumnos. Sin descartar que también se cuenta con materiales
manipulables que permiten facilitar los conceptos matemáticos durante los tres
momentos.
Enseguida, se presentan algunos materiales que permiten propiciar y fortalecer el
cálculo mental, sin la necesidad de limitarse por recursos económicos, ya que son de
fácil elaboración con materiales de reciclaje y contextualizados.
132
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Regletas de Cuisenaire
Descripción
Las regletas de Cuisenaire, son de manipulación matemática muy útil para enseñar
y aprender la suma, resta, multiplicación, división, fracciones, equivalencias,
identidades notables, el teorema de Pitágoras, potencias, raíz cuadrada; por lo que
contribuye a propiciar el cálculo mental.
Construcción
Están compuestas por diez tamaños de regletas que van de 1 centímetro a diez
centímetros. A las regletas de igual longitud se les asigna el mismo color. Ver tabla.
Color
Medida (cm)
Blanca
Roja
Verde
Carmín
Amarilla
Verde obscuro
Negra
Verde marrón
Azul
Naranja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Reglas del juego
■■El trabajo con las regletas se puede realizar de manera individual o por
equipos.
■■Se debe prever con anterioridad su planificación sobre el contenido a
desarrollar.
133
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Sugerencias didácticas
Para familiarizarse con el material, en un primer momento se sugiere trabajar
actividades que se pueden realizar con el mismo.
■■Se eligen dos regletas iguales y las coloquen una a continuación de
la otra en el centro de su mesa. Se les pregunta qué, si las dos son
iguales, se puede utilizar un símbolo para decirlo, que corresponde al
signo igual.
■■Posteriormente, se invita a que busquen entre sus regletas, otras dos que
puedan formar un tren igual que el primero, y que las cambien por el
segundo. Con esto se trabaja la suma hasta el número diez.
■■También se pueden representar sumas escritas en vertical, es decir
llevando, insistiendo siempre en la idea de que diez unidades pueden
cambiarse por una decena.
■■Es un recurso que ayuda a aprender a sumar, adquirir el concepto de la
suma y conocer la propiedad conmutativa.
a. Adivina cuál es:
■■Tomar cuatro regletas, las de tamaño más pequeño que corresponden
a los colores blanco, rojo, verde y rosa.
■■Esconder las manos atrás de la espalda.
■■Solicitar que muestren la regleta nombrándola por el color. “Muestra la
verde”.
■■Sólo por el tacto se tiene que identificar la regleta que se está pidiendo,
asociando el color con el tamaño (longitud).
b. Escaleras:
■■Construir una escalera utilizando todos los tamaños de las regletas.
■■Construir una escalera ya sea en sentido ascendente o descendente.
134
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
c. Construyamos un tren:
Con este juego los alumnos trabajarán la ordenación de la serie
numérica del 1 al 10 tanto en sentido ascendente como en sentido
descendente.
■■Es un juego para cuatro jugadores.
■■40 regletas (cuatro de cada color).
■■Se reparten de manera arbitraria todas las regletas entre los
jugadores.
■■El primer jugador coloca una regleta amarilla en el centro de la mesa, si
no tuviera pasa el turno al siguiente jugador.
■■Una vez que se ha colocado la regleta amarilla,el siguiente jugador
tendrá que colocar una regleta rosa o una regleta verde claro para ir
construyendo una escalera a partir de la regleta amarilla.
■■Si no tuviera puede colocar otra regleta amarilla en otra zona de la mesa
para iniciar otra escalera.
■■Si tampoco tiene regleta amarilla pasa el turno sin poner ninguna
regleta.
■■El juego continúa de la misma manera: el siguiente jugador tiene
que colocar una regleta inmediatamente superior o inferior a las que
aparecen en los extremos del tren o iniciar una nueva escalera con la
regleta amarilla.
■■Gana el que primero se queda sin regletas.
d. Expresión oral
Los alumnos podrán expresar los conceptos utilizando el lenguaje matemático
correspondiente al contenido.
■■Cuando ya ha manipulado el material, se invita al alumno a que expresen lo que
han visto.
■■Es necesario generar confianza, se tienen que sentir seguros y debe confiar en
que aceptará lo que dice.
135
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ejemplos: Los alumnos utilizan expresiones como:
■■“Creía que el dieciocho era más largo porque llevaba un 8 pero es más
corto”, “el treinta y dos es muy largo”.
■■Siga hablando con los alumnos y conseguirá pasar de decir largo y
corto a grande y pequeño.
“El dieciocho y el treinta y dos son diferentes, no son iguales”
“El treinta y dos es más grande que el dieciocho”
■■Expresión escrita.
Aquí es cuando se les dice a los alumnos que existen unos signos
matemáticos para expresar por escrito lo que han visto.
■■Está enseñando lenguaje matemático, unos signos para poner entre
los números escritos (signos que ya conocían).
■■En este momento se introducir el signo = y decirles que servirá para
decir “igual”.
■■Introduce también el signo < y el signo > para decir “menor que” y
“mayor que” respectivamente.
e. Aprendiendo las tablas
En cuanto a los materiales, tienes dos opciones:
Preparación del juego
En cuanto a los materiales, tienes dos opciones:
■■Utilizando tarjetas pequeñas, deberá escribir unos 15 o 20 resultados
de las tablas de multiplicar.
Ejemplo:
64, 81, 50, 18, …
■■También podrá escribir productos.
Ejemplo;
3×4, 5×6, 2×7, …
■■Los números deben ser pequeños para poder ser tapados por una
regleta.
■■Encima de cada tarjeta deberá poner las regletas correspondientes a una
multiplicación que dé como resultado ese número.
■■Hágalo siempre formando un rectángulo.
136
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ejemplo:
Si ha escrito el número 18, tendrá varias opciones para poner encima de la mesa
(deberá escoger una de ellas):
a.
b.
c.
d.
3 regletas de
6 regletas de
9 regletas de
2 regletas de
6
3
2
9
f. Potencias
Cuando se comienza con las potencias, parece que se complica la comprensión de
los algoritmos y esto es debido a que cuesta representar más algunas de las acciones
que implica.
■■Sólo hasta orden 3.
■■Se comienza con las tres primeras potencias de tres, dándoles sentido y
lo que significan: una vez tres, dos veces tres, tres veces tres.
■■Es conveniente que se alternen entre las piezas blancas de uno, y las
verdes claras de tres en la representación que se realice.
■■Se puede trabajar el lenguaje: qué significa elevar a dos, ¿qué es el
cuadrado y qué forma tiene la construcción del cuadrado?
1
2
3 X3
3
3
1
3
■■Desde la representación se ve claramente que si se suman 31+ 32 el
resultado no da el cubo, ni ninguna forma que se pueda decir
conocida.
1
2
3 X3
3
3
137
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Pentominós
Descripción
Es un material que permite trabajar de manera divertida el armado y desarmado
de figuras en otras diferentes; el análisis y comparación del área y el perímetro
de una figura original. Asimismo, la construcción y uso de una fórmula para calcular
el perímetro de polígonos, ya sea como resultado de la suma de lados o como
producto con apoyo de una retícula. Además, la identificación de los ejes de
simetría de una figura poligonal o no y figuras simétricas entre sí, mediante
diversos recursos.
Construcción
Son figuras formadas por 5 cuadrados, unidos lado a lado de todas las formas
posibles, son 12 pentominós diferentes que para formarlos se necesitan 60 cuadrados.
Golomb, para identificar cada pieza les asigno nombres de letras.
F
I
L
N
P
T
U
V
W
X
Y
Z
Reglas del juego
■■El trabajo puede ser individual o por equipo.
■■Para familiarizarse con el material se hace necesario construir diferentes
figuras con las piezas que se considere adecuado.
138
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Sugerencias didácticas
■■En un primer momento es necesario familiarizarse con el material, dando
oportunidad a los alumnos a construir figuras con las que se
identifiquen.
■■Invitar a los alumnos a construir alguna figura de animal de su
preferencia (camello).
■■Construir otros animales.
139
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Los pentominós, son un material de apoyo para trabajar el perímetro y el área,
considerando cada cuadro que los compone como una unidad de medida de
superficie. De esta manera se solicita a los alumnos a construir rectángulos de
diferentes dimensiones.
■■Con el número correspondiente de piezas construya rectángulos:
* 3 piezas
* 4 piezas
*5 piezas
*6 piezas
* hasta 12 piezas
Asimismo, se podrá responder al cuestionamiento y registrar los resultados en la
tabla:
¿Cuál es el área de cada pieza y cuál su perímetro?
■■Regístrelo en la tabla.
15 u 2
3
4
5
6
7
7x5
8
9
10
11
32 u
12
12
12
12
■■Se pueden sugerir preguntas. En el caso del rectángulo construido con 4
piezas, cuya área es de 20 unidades cuadradas.
¿Puede decir cuáles son sus posibles dimensiones?
Respuesta: es 2 x 10 y 4 x 5.
Entonces:
¿Será posible construir ambos rectángulos?
140
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Se pueden construir rectángulos con diferente número de piezas (unidades).
■■Construir un rectángulo de 3 x 20 unidades
■■Construir un rectángulo de 5 x 12 unidades
■■Encerrar la mayor área posible utilizando todos los pentominós.
141
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Formar una figura con el mayor número de huecos posibles.
De igual manera, también se puede dar respuesta a las situaciones
relacionadas con cada pentominó:
■■¿Cuáles piezas tienen ejes de simetría, y cuántos ejes tiene cada una?
Respuesta: I, T, U, V, W, X.
g. Simetría
■■¿Cuáles piezas tienen ejes de simetría, y cuántos ejes tienen cada una?
Respuesta: I, T, U, V, W, X
■■Resolver este problema es de utilidad, las piezas con ejes de simetría no
necesitan ser volteadas, pues son figuras simétricas.
¿Cuáles de las piezas tienen simetría de rotación; ¿es decir, cuáles de los pentominós permanecen como estaban al ser rotados medio giro (180º)?
Respuesta: I, X, Z
■■¿Cuáles son todas las posibles posiciones de los pentominós que no
tienen ejes de simetría ni simetría de rotación?
Los pentominós asimétricos, tienen un mayor número de maneras
diferentes de ponerlos.
Respuesta: F, L, N, P, Y.
142
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Bloques lógicos
Descripción
Son mejor conocidos como Bloques Lógicos de Dienes, permite trabajar procesos
lógicos en el aprendizaje de la matemática, así como construyen el conocimiento,
desarrollan habilidades y actitudes, relacionadas con las temáticas de número y
forma, espacio y medida. Da la oportunidad de interactuar entre pares y socializar sus
argumentaciones.
Construcción
Están compuestos por sesenta piezas de plástico, fomi o de madera. Cada pieza está
definida por cuatro variables que son el color, la forma, el tamaño y el grosor. Hay
piezas de color rojo, azul o amarillas. Tienen forma de cuadrado, círculo, triángulo y
rectángulo. Las piezas son de dos tamaños y de dos grosores diferentes, uno mayor
que el otro.
Reglas del juego
Se juega individual o en equipo.
Sugerencias didácticas
a. Es un recurso para los alumnos que están comenzando a trabajar la suma, ya
que les permite manipular, experimentar y visualizar ésta a través de los bloques
lógicos.
De esta manera, para trabajar la suma permitiendo a los alumnos dar
respuesta a las preguntas como: ¿Y si juntamos un cuadrado y un círculo?
¿Cuántos lados hay en total si juntamos un cuadrado y un triángulo? ¿Y si
juntamos un cuadrado, un triángulo y un círculo? ¿Y si juntamos dos
rectángulos? ¿Y si juntamos un rectángulo y un triángulo? ¿Y si juntamos un
cuadrado, un triángulo, un círculo y un rectángulo?
143
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
b. Asimismo, se puede leer el cuento “Las figuras geométricas”, con lo que
se adaptar de acuerdo a las características del grupo, ejemplo: levantar
con una mano la pieza del material correspondiente a la figura que se va
mencionando y con un dedo de la otra mano recorrer los lados de la figura.
c. Construir una figura utilizando las diferentes figuras que se mencionan en
el cuento, mientras se termina de leerlo.
d. Te cuento un cuento
El concurso de las Figuras Geométricas
En una tarde calurosa de mayo, cuando los niños estaban jugando, se
reunieron con ellos las Figuras Geométricas para elegir a la más importante.
Allí estaban el Señor Cuadrado con sus cuatro lados iguales, el simpático
y sonriente Triángulo de tres lados, el Rectángulo, de dos lados cortos
y dos más largos y el Círculo redondo que llegó rebotando en la mesa.
El Rectángulo habló primero con voz fuerte: ¡Yo soy el más importante!,
pues los niños me usan para construir muchas cosas: mesas,
puertas, ventanas, robots, camiones y siempre me ven muy grande.
Entonces de momento el Círculo, gritó con su voz adormilada: ¡Que va, el más
importante soy yo!, los niños me usan para dibujar el Sol, la Luna, las pelotas
y muchas cosas.
144
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
El señor Cuadrado dijo (con una voz cansada ¡No, no, no! -Yo soy el más
importante. Cuando los niños dibujan sus casitas me usan, además soy
perfecto, pues mis cuatro lados son iguales.
El Triángulo, no se quedó atrás y sorprendiendo con su sonrisa dijo que sin él las
casitas no tenían techo ni los aviones alas y que él era el único que tenía tres
lados y una puntita como mago.
Estuvieron discutiendo que el Lápiz los escuchó y apareció,
preguntándoles:
¿Qué les sucede amigos?
Las cuatro figuras geométricas como si se hubieran puesto
de acuerdo le contestaron: Amigo Lápiz, tú nos vas a ayudar y nos vas a decir:
¿Quién de nosotros es el más importante?
El amigo Lápiz no respondió, sólo se puso a dibujar en la
hoja que tenía cerca de él.
Cuando el Lápiz terminó de dibujar, los niños se dieron cuenta
que había hecho un dibujo utilizando todas las figuras e incluso
repitiendo algunas, por lo que les comento para dibujar bien se
necesitan de todas las Figuras Geométricas.
Cuando los niños se dieron cuenta ya todos tenían también un bonito dibujo.
Realizar cuestionamientos como:
¿Qué figuras geométricas utilizaron para construir su figura?
¿Qué figura geométrica utilizaron más?
¿Por qué utilizaron más _________ en su figura?
¿Qué figura les gusta más? ¿Por qué?
■■Observar las figuras que construyeron e identificar quien o quienes lograron
construir una figura con las cuatro figuras geométricas.
■■Mencionar el número de piezas correspondientes a cada figura geométrica
que utilizaron en la construcción de su figura, mencionando su nombre.
145
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
e. Atributos de la clasificación
Considerando los atributos de la clasificación:
Forma
Tamaño
Color
Grosor
Se sugieren actividades como:
■■Clasificar las piezas de los Bloques lógicos considerando únicamente
los atributos color y tamaño.
■■Clasificar las piezas de los Bloques lógicos considerando los atributos
color, tamaño y forma.
■■Clasificar las piezas de los Bloques lógicos considerando los atributos
color, tamaño, forma y grosor.
¿Qué es un Patrón?
Es una sucesión de signos que se construyen siguiendo una regla
¿Qué es una secuencia?
Es una serie de elementos que se suceden unos a otros y guardan relación entre sí.
Ejemplos:
■■Secuencia lógica:
Me despierto Desayuno
Me lavo los dientes
■■Secuencia temporal:
Amanecer
Mediodía
Anochecer
■■Secuencias matemáticas:
10
15
146
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
20
f. Tipos de secuencias rítmicas
■■Secuencia rítmica repetitiva
■■Secuencia rítmica aditiva
■■Secuencia rítmica multiplicativa
■■Secuencia rítmica compleja
g. Secuencia con movimientos y sonidos
■■Construir en equipo una secuencia con movimientos y sonidos
h. Estrategia secuencias de números
Analice la siguiente secuencia de números y establezca una relación entre ellos y
comente cómo lograron encontrar la relación.
1
99
3
1
98
7
13
2
?
97
?
?
147
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
1
2
4
8
16
32
64
128
■■Considerando la última secuencia se puede decir que: cada número
resulta de sumar dos veces el término anterior.
1+1=2
2+2=4
4+4=8
8 + 8 = 16
16 + 16 = 32
32 + 32 = 64
i. Resolución de problemas
Problema
Representación de sucesiones a partir de la regularidad.
Luis es un diseñador, quiere decorar una pared con un patrón triangular
hecho de tiras de papel tapiz. Antes de empezar a decorar la pared, Luis
quiere saber cuántas tiras va a necesitar para cada longitud de la pared.
Comenzará por contar el número de tiras de papel tapiz necesarias para las
primeras etapas del patrón.
¿Cuántas tiras de papel tapiz necesitará para la figura 35?
Solución:
Posición (n)
1
2
3
4
5
...
Número
3
5
7
9
11
...
an² + bn + c
Regla General
148
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
35
■■Método de diferencias
Encontrar la regla general
1°
2°
3,
2
0
5,
2
0
7,
2
0
9,
2
11,
Regla general
a+b+c=
0+2+ 1 =3
3a + b =
3(0) + 2 = 2
3, 2, 0
a=0
b=2
2a =
2(0) =
c=1
0
Números = 2n + 1
2(35) + 1 = 71
Tablero de números enteros
3
-1
2
-2
A
F
F
B
1
-3
Descripción del material
Este material propicia el desarrollo de conocimientos y habilidades para fortalecer el
cálculo mental de la suma, resta y multiplicación de números positivos y negativos.
Material
Cartón, papel cascarón, etc.
149
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Construcción
Se corta un rectángulo de 65 x 40 cm (las medidas son opcionales) en el lado izquierdo
del rectángulo, se dibuja un hexágono de 12 cm por lado; se trazan sus diagonales
para formar 6 triángulos equiláteros en donde se pondrán números positivos y
negativos del uno al tres; al centro del hexágono se coloca un indicador en forma de
manecilla de reloj que girará libremente.
En el lado derecho se centra y se traza una cuadrícula de 31.5 cm por lado, subdividida
en 81 casillas (9 por lado), la casilla del centro deberá de estar completamente
sombreada. Se trazan las letras “A” y “B”, en los lados opuestos de esta cuadrícula y la
letra “F” en los dos extremos sobrantes, (ver imagen).
Procedimiento metodológico
■■Se integran binas; se les entrega el material y dos distintivos de diferente
color que se colocarán en los puntos de salida A y B.
■■Por turnos cada jugador gira la aguja y mueve su distintivo vertical u
horizontal, tantos lugares como lo indique la aguja, considerando las
condiciones:
■■Si el número indicado por la aguja es positivo, sólo puede mover el
distintivo hacia arriba o hacia la derecha del lugar que ocupe el jugador
en ese momento.
■■Si el número indicado es negativo, los movimientos del distintivo
serán hacia la izquierda o hacia abajo.
■■Sólo se pueden realizar movimientos verticales u horizontales, nunca
diagonales.
■■Si un jugador tiene su ficha en la esquina inferior F y obtiene
un número negativo, no podrá desplazar su ficha por su
posición hasta que en una nueva tirada obtenga un número
positivo; pero, si uno de los
jugadores tiene su ficha en la
esquina superior F y obtiene un
número positivo, no podrá
moverlo hasta que obtenga un número negativo.
■■Gana el juego quien ubique primero su distintivo en el recuadro
sombreado del centro.
Variante
■■Se sugiere considerar la construcción de una tabla para ir
realizando sus registros, el equipo contrario puede ir verificando dichas
respuestas.
150
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Reforzamiento en grupos
Sa
lid
a
1
2
3
50
49 Avance 3
47 espacios
48
46
45
44
43
42
41
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
16
17
18
19
Retrocede 2 20
espacios
21
22
23
24
25
39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26
Descripción del material
El material, puede ser utilizado para el fortalecimiento de cualquier contenido, el
alumno logrará ampliar y consolidar sus conocimientos y habilidades matemáticas
aplicados en los ejes temáticos Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma,
espacio y medida; Manejo de la información.
Material
Aglomerado, cartón, papel cascarón, acrílico, madera; fichas de colores, tarjetas con
problemas y ejercicios.
Construcción
Se corta un rectángulo de aglomerado de 46 x 30 cm. (medida opcional). Se
graban 26 casillas en su contorno; en la casilla superior izquierda se escribe la
palabra “salida”, en la casilla superior derecha e inferior izquierda se dibujan 3 y 2
tréboles respectivamente, éstos tendrán valores específicos y serán dibujados
también al centro del tablero; por último, se enumerarán las casillas del 1 al 26 en
forma ascendente a partir del segundo casillero superior izquierdo.
Previamente se elaboran 6 juegos de tarjetas enumeradas del 1 al 26 que contendrán
planteamientos y problemas que serán resueltos por los alumnos.
Procedimiento metodológico
■■Se forman equipos de cuatro elementos para que compitan en
parejas.
■■Para dar inicio al juego, un integrante de cada equipo lanzará un dado,
comenzando el equipo que obtenga el tiro mayor.
151
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Se lanzan dos dados y el número de puntos que obtenga en la suma
será la casilla que ocupe el distintivo en el tablero.
■■Se procede a buscar la tarjeta correspondiente al mismo número
de la casilla y se resolverá el planteamiento que tenga dicha tarjeta;
si la respuesta dada por el equipo es correcta, avanzará una casilla, de lo
contrario retrocederá dos.
■■Mientras espera su turno el equipo contrario, procede a resolver el mismo
planteamiento y tiene derecho de corroborar su respuesta, deberá
indicarle a su oponente si la respuesta que obtuvo es correcta o
errada.
■■Continuando con este orden, el equipo contrario toma su turno y
seguirá la misma secuencia que el otro.
■■El ganador será el equipo que llegue primero a la casilla “salida”.
Nota:
Para la resolución de los problemas o ejercicios los equipos podrán hacer uso
de lápiz y papel.
81
120 - 40
39 x 3
1800 - 25
420 - 87
59 + 59
1+1
2 4
3+1
9 3
152
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Geoplano
Descripción del material
El Geoplano es un material que permite al alumno familiarizarse con el vocabulario
y lenguaje básico del eje temático Forma, espacio y medida, favoreciendo de forma
especial el desarrollo de la competencia de argumentación, al sustentar actividades
que pongan en juego la intuición, pero a la vez favorezcan el uso de herramientas
para ampliar, reformular o rechazar conocimientos previos.
Material
Triplay o madera gruesos, clavos de cabeza de gota de una pulgada, ligas de colores
de diferentes tamaños.
Construcción
Se corta un cuadrado de madera de 30 x 30 cm.; se pinta de cualquier color con
pintura de aceite para proteger el material. Se deja un margen de 1.5 cm. en su
contorno y se colocan 10 filas de clavos a una distancia de 3 cm. entre uno y otro.
Tarjetas que contengan las tablas de multiplicar.
Procedimiento metodológico
■■El grupo se organiza en equipos de tres elementos y se les entrega un
geoplano y ligas de colores.
■■El docente planteará diferentes operaciones de suma, resta,
multiplicación, división de números naturales, fraccionarios y
decimales.
■■Los integrantes del equipo tienen que colocar las ligas marcando el área
correspondiente a la representación de la multiplicación.
■■El equipo que termine primero compartirá el resultado y registrará un
punto.
■■El equipo que acumule más puntos gana.
153
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Mosaico matemático
Descripción del material
El mosaico matemático, es un material que se utiliza para la reafirmación del eje
temático Forma, espacio y medida; principalmente ayuda a fortalecer la ubicación
espacial, así mismo propicia el planteamiento y resolución de actividades
matemáticas de una forma más fácil y práctica.
Materiales
Aglomerado, madera, papel cascarón o algún otro material duro.
Construcción
Se cortan 48 triángulos rectángulos isósceles de 5.5 cm. de base y 2.8 cm. de altura y
32 rombos de 7.5 cm. de diagonal mayor y 3 cm. de diagonal menor de aglomerado.
Con la finalidad de identificar mejor las figuras que se formarán y de proteger el
material, los rombos se pintan de color azul y los triángulos de rojo.
Reglas del juego
Trabajo en equipo.
Sugerencias didácticas
Se plantean diferentes actividades relacionadas con la reproducción de figuras
usando una cuadrícula en diferentes posiciones como sistemas de referencia los
cuales deberán ser resueltos con el apoyo de este material.
154
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
¿Adivina qué?
3 x 7
12 + 9
22 x 3
18 / 6
8 x 6
19 + 32
28 + 26
5 x 7
36 / 6
25 x 0
Descripción del material
El material apoya al alumno en el reforzamiento de diferentes temas y subtemas
matemáticos, puede ser utilizado para introducir o cerrar temas en donde se utilizan
cuestionamientos directos entre los participantes. Permite adquirir una actitud
positiva hacia las situaciones matemáticas y a sus propias capacidades.
Material
Madera, pintura de dos o tres colores, acrílico o papel opalina (para las tarjetas).
Construcción
Tabla de aglomerado de 35.5 x 25.5 cm. y 0.3 cm. de espesor, pintada de color rojo,
enmarcada por un cuadro de 0.5 cm. de espesor de las mismas medidas, con 1.5 cm
de ancho y una barra central que divide al rectángulo en dos partes iguales.
Tiene 10 casilleros divididos por ocho barras de 10.4 x 0.5 cm., en cada uno de los
espacios que se formaron lleva un porta tarjetas color azul cielo, que mide 9.9 x 5.8
cm., son móviles, los 10 casilleros se abren hacia un mismo lado y están sujetos por un
perno (34.5 cm) sujeto al marco.
Reglas del juego
■■Se organiza al grupo en equipos de máximo cuatro elementos.
■■Cada equipo tendrá un tablero de ¿adivina qué? y 10 tarjetas que
contengan RESULTADO que se desean abordar, se colocan en las
casillas del tablero, de tal manera que el equipo contrario no pueda ver
el contenido de las tarjetas de los otros participantes.
■■A través de la tirada de un dado (quien obtenga el mayor número de
puntos) se definirá al equipo que inicie el juego.
155
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■El equipo ganador cuestiona a su oponente sobre ciertas características
que pudieran tener el contenido de sus tarjetas tratando de
“adivinarlas”, si así fuese el caso y se van cumpliendo todas las
especificaciones, el equipo contrario irá bajando sus tarjetas.
■■Para avanzar en el juego, cada equipo intentará bajar el mayor número
posible de tarjetas del equipo contrario.
■■Gana el que logre bajar todas las tarjetas de su oponente.
72
66
89
21
Tablero Multidinámico Integral
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Descripción del material
Permite al alumno que, mediante la diversidad de acciones didácticas encontradas
en este material, desarrollen y reafirmen conocimientos relacionados con los ejes
temáticos Sentido numérico y pensamiento algebraico, y Forma, espacio y medida;
así como logran desarrollar destrezas procedimentales, habilidades de comunicación
y argumentación.
El tablero está compuesto por dos coordenadas, en la primera fila y en la primera
columna se representan los números del 1 al 10. El resto de columnas o filas contienen
resultados.
156
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Material
Triplay o Madera, pintura de tres colores diferentes.
Construcción
Un aglomerado de 45 x 45 cm y 0.3 mm de espesor en color verde, se divide en 100
cuadrículas de 4 x 4 cm. Se coloca un marco de madera de 2.5 cm de ancho y 0.9 mm
de espesor. En un costado del marco se enumera del 1 al 10 a fin de que coincida con
la cuadrícula. 70 cuadrados de aglomerado de 4 x 4 cm y 0.5 cm de espesor en color
amarillo y 80 triángulos de 5.6 cm de base 2.8 cm de altura en color rojo.
Procedimiento Metodológico
El grupo se organiza en equipos de máximo cuatro elementos y se les entrega un
tablero. El docente realiza actividades previas para que el alumno se familiarice con
el material al manipular las fichas, las compare y establezca semejanzas y diferencias.
Facilita en los estudiantes la construcción de ideas y argumentaciones que
contribuyen al fortalecimiento del pensamiento matemático a partir de sus
experiencias.
a. Construir con las piezas en el tablero figuras.
¿Qué figuras construyeron?
■■¿Qué forma tienen sus piezas?
■■¿Cuántas piezas utilizaron?
■■¿Cuántos cuadrados utilizaron?
■■¿Cuántos triángulos utilizaron?
■■¿Cuántos lados tiene el cuadrado?
■■¿Cuántos lados tiene un triángulo?
b. Con 10 piezas cuadradas formar un cuadrado
■■¿Se puede construir?
■■¿Por qué?
■■¿Qué figura geométrica pueden construir?
■■¿Con cuántas piezas cuadradas pueden construir el cuadrado?
c. Descubrir números
■■Tapar o quitar varios números y que los alumnos tengan que colocarlos
en el tablero.
■■Con esta actividad están trabajando las unidades y decenas de los
primeros números, así como la relación que tienen los números entre
sí.
157
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
d. Trabajo abierto
Se trata de proponer a los alumnos que busquen patrones o regularidades
en el tablero. La propuesta es hacer una especie de lluvia de ideas, de
entrada, se irán apuntando y luego señalando entre todos las más
importantes.
Los alumnos pueden descubrir:
■■Que los números aumentan de 1 en 1.
■■Fijarse en que en cada columna el aumento es de 10 en 10.
■■Que en las diagonales los números van aumentando de 11 en 11.
■■Pueden reconocer las tablas de multiplicar, etc.
Mate - fut
EQUIPO 1
GOLES
GOLES
EQUIPO 2
Descripción del material
Este material está formado por un tablero en forma de cancha de fut-bol. Permite la
reafirmación de diversos temas y subtemas matemáticos, logrando en los alumnos
desarrollar su creatividad, que reflexionen sobre su propio proceso de pensamiento a
fin de mejorarlo, adquiera confianza en si mismo, se divierta con su propia actividad
mental, haga transferencias a otros problemas de la ciencia y de su vida cotidiana.
Material
Triplay o acrílico, pelota pequeña de esponja, tarjetas con problemas y ejercicios.
158
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Construcción
Tablero de acrílico en color verde de 40 X 60 cm. en forma de cancha de Fut-bol; se
pintan en color negro las posiciones de: portero, defensas (2), medios (2), delanteros
(2), en cada lado de la cancha; en la parte superior un espacio para anotar el nombre
de los equipos y los goles que se van anotando (ver dibujo).,un dado de 1.5 cm., una
pelota de esponja de 2.5 cm. de diámetro (partida por la mitad).
Procedimiento Metodológico
■■Se forman equipos de siete integrantes, se nombra a un capitán
por equipo quien decidirá la posición de cada jugador, así como los
posibles cambios; los capitanes entregan sus alineaciones al
profesor, para que sean registrados dentro de los rectángulos
correspondientes.
■■El profesor designará a un alumno como árbitro (que no participe
en el juego) quien será el encargado de hacer las OPERACIONES
y sancionará al equipo en caso que un jugador conteste una pregunta
que no le corresponda o si el equipo es ayudado por alguien externo.
■■La sanción será un penalti que ejecutará un delantero, si la respuesta
a la pregunta que se le haga es correcta, se contará como “gol”.
■■El juego comienza con el lanzamiento de un dado y el equipo que
tenga la mayor puntuación, pondrá en movimiento el balón, iniciando
en el centro de la cancha.
■■El medio debe de contestar bien la pregunta que le toque para podérselo
pasar al delantero, si no la contesta o su respuesta está mal, cede el
balón al medio contrario más próximo a él.
■■Cuando un delantero recibe el balón, también se le hace una
pregunta, si la contesta bien tiene derecho a un tiro a “gol”, si no, la
pasa al defensa contrario; al tirar a gol el portero tiene derecho a pararlo
contestando bien la pregunta, pero si no lo hace es “gol”.
■■Las operaciones también pueden ser contestadas por algún jugador
con la misma posición; el árbitro decidirá si la pregunta esta correcta o
incorrecta.
■■El equipo que anote más goles es el que gana.
-25 + 18
3)
44 (-
-56 - 4
-25 - 4
2
92
22(-3)
159
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Cubos recreativos
Descripción del material
Permite desarrollar habilidades matemáticas como la observación, la imaginación
y la creatividad al formar diferentes figuras. Es útil en la reafirmación de
conocimientos relacionados con el eje temático Forma, espacio y medida (cálculo
de perímetros, áreas y volúmenes); este modelo consta de 16 cubos de madera
delineados y pintados en diferentes colores.
Material
16 cubos de madera o plástico, una caja de madera con tapa para los cubos y plantillas de acrílico con figuras diferentes.
Construcción
Se cortan 16 cubos de madera de 3 cm. por lado pintados de diferentes colores y
figuras como se indica a continuación para cada cubo: una cara roja, una azul, una
naranja, una amarilla, una cara dividida en 2 triángulos pintados de color rojo y
naranja, y la otra dividida en 2 triángulos pintados en azul y amarillo; 17 plantillas en
acrílico de 12 cm. por lado que contienen diferentes figuras.
Se arma una caja de triplay con tapa deslizable que servirá de estuche a los cubos y
plantillas, cuyas medidas serán de 14 x 14 x 5.5 cm.
Reglas del juego
Se divide al grupo en equipos de máximo cuatro integrantes y se les entrega un
material a cada uno: se nombra a un representante por equipo al cual se le
entregarán las tarjetas con las diferentes figuras, mismas que se representarán con
la totalidad de los cubos en un tiempo determinado; gana el equipo que forme su
figura en el menor tiempo posible.
160
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Figuras que pueden formarse:
Problema 1
■■Si tienes 16 cubos ¿Cuántos prismas de base cuadrada diferentes entre
sí, puede hacer, aunque no utilice los 16 cubos a cada vez?
Respuesta: 22 Prismas de base cuadrada
Problema 2
■■Construya la figura de la tarjeta con el material cubos recreativos y de
respuesta al problema.
161
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
La familia Grande tiene un terreno cuadrangular, su casa está construida en
la mitad del terreno, su jardín tiene forma de triángulo con una superficie de
donde termina la casa hacia el centro de donde termina el terreno.
El terreno que sobra será parte de la herencia que le corresponde a cada uno
de sus dos hijos.
Problema 3
■■¿Cuántos cubos
cuadrangular?
faltan
para
completar
el
prisma
de
base
Problema 4
■■Reúnanse dos equipos y con apoyo de los Cubos Recreativos
construyan la figura 5 de la sucesión.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
■■¿Cuántos cubos tendrá la figura 100 de la sucesión?
■■¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de
cubos de cualquier figura que esté en la sucesión?
■■Si se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704
cubos, ¿Qué número corresponde a esa figura en la sucesión?
162
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Problema 5
■■En grupo de cuatro equipos, construir un prisma de 4 x 4 x 4 y calcular el
volumen del prisma cuadrangular considerando como unidad de
medida un cubo.
Guerra de coordenadas
Descripción del material
Este material permite abordar temas y subtemas de los ejes temáticos Sentido
numérico y pensamiento algebraico, y Forma espacio y medida, de tal manera
que los alumnos logran desarrollar sus conocimientos, habilidades y actitudes;
mismo que permite que desarrollen destrezas procedimentales, su pensamiento
estratégico al formular, representar y resolver problemas; así como la habilidad de la
comunicación y la argumentación.
163
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Material
3
Madera, triplay o papel cascarón; 20 clavos de 8 de pulgada; 20 bustos de soldaditos
plásticos.
Construcción
Se corta un tablero de madera de 30 x 60 cm., se divide por la mitad con un tablero
de madera de 21 x 30 cm. forrado con lámina, cuyas caras serán previamente trazadas
con 5 columnas y 11 filas, que servirán de pizarra para anotar los puntos obtenidos
durante el juego (ver dibujo). Las dos partes del tablero grande se subdividen, marcan
y perforan formando planos cartesianos. Se cortan tarjetas de opalina de 4 x 8 cm.
en donde se anotan por un lado diferentes coordenadas y por el otro transportes de
guerra (1 tanque, 1 avión, 1 submarino y 1 barco), en 20 clavos de 34 pulgada se pegan
bustos de soldaditos plásticos que servirán de distintivos durante el juego.
Reglas del juego
■■Se forman equipos de máximo cuatro integrantes, se le entrega un tablero y 10
soldaditos a cada equipo.
■■Se nombra un mediador quien será el encargado de leer el contenido de las
tarjetas a los participantes, verificando y dando constancia de la localización
correcta y pronta de las coordenadas.
■■El equipo que localice primero y correctamente la coordenada leída por el
mediador, colocará un imán en la columna correspondiente a la figura de la
tarjeta, ganando el equipo que al sumar sus puntos obtenga la cantidad
mayor.
Ubica el
distintivo del
avión en la
coordenada
(5 , 6)
Ubica el
distintivo del
barco en la
coordenada
(-4 , 2)
Ubica el
distintivo del
tanque en la
coordenada
(-7 , -1)
Ubica el
distintivo del
submarino en la
coordenada
(6 , 4)
Ubica el
distintivo del
barco en la
coordenada
(-1 , 5)
Ubica el
distintivo del
avión en la
coordenada
(1 , 2)
Ubica el
distintivo del
barco en la
coordenada
(-2 , 2)
Ubica el
distintivo del
avión en la
coordenada
(4 , 4)
164
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ubica el
distintivo del
tanque en la
coordenada
(4 , 8)
Ubica el
distintivo del
avión en la
coordenada
(3 , 7)
Ubica el
distintivo del
tanque en la
coordenada
(-3 , -3)
Ubica el
distintivo del
submarino en la
coordenada
(0 , 6)
Ubica el
distintivo del
barco en la
coordenada
(-5 , 1)
Ubica el
distintivo del
tanque en la
coordenada
(-1 , -4)
Ubica el
distintivo del
tanque en la
coordenada
(1 , 4)
Ubica el
distintivo del
avión en la
coordenada
(6 , 1)
Ubica el
distintivo del
avión en la
coordenada
(2 , 9)
Ubica el
distintivo del
barco en la
coordenada
(-3 , 6)
Ubica el
distintivo del
submarino en la
coordenada
(8 , 4)
Ubica el
distintivo del
barco en la
coordenada
(-6 , 6)
Es un material que también permite trabajar:
Problema
■■Un pirata escondió un tesoro en una isla desierta y escribió en un mapa
las siguientes indicaciones para localizarlo:
Partir del cocotero más alto del centro de la Isla que se encuentra en el
origen de las abscisas, caminar dos pasos al Norte, se llegará a donde esta
una piedra redonda. Después avanzar 3 pasos al Este, hasta la cascada, con
dirección al Norte, caminar 5 pasos para llegar al árbol caído. Por último,
avanzar 10 pasos hacia el Oeste hasta la cueva.
¿En cuál coordenada se encuentra el tesoro?
165
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Regletas de colores
Descripción del material
Este material permite desarrollar el pensamiento matemático desde los conceptos
básicos clasificación, seriación, hasta la comprensión conceptual de las fracciones,
su visualización a través de patrones numéricos y su equivalencia; así mismo
promueve habilidades de comunicación y argumentación matemática que permiten el
desarrollo de destrezas procedimentales, el pensamiento estratégico al formular,
representar y resolver problemas.
Material
Cartulina, papel cascarón, cartón, cartoncillo, hojas de colores.
Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales
positivos y negativos.
Construcción
Se corta un cuadrado de 40 x 40 cm. y se divide en doce tiras del mismo tamaño.
La primera tira se considerará como la unidad y las restantes se cortarán en medios,
tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos, décimos, undécimos
y duodécimos respectivamente (las piezas de cada tira deben de ser del mismo
tamaño).
Reglas del juego
■■El trabajo se realiza de manera individual o en equipo y se les entrega el
material.
■■El coordinador planteará diferentes actividades y/o problemas relacionados
con fracciones y equivalencias, los cuales deberán ser resueltos con el apoyo
del material.
166
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Sugerencias didácticas
Se debe considerar que para trabajar fracciones se tienen los significados básicos del
concepto de fracción con relación Parte-Todo.
■■La relación parte – todo es el camino para la conceptualización de
algunas propiedades (como la que conduce a la denominación
"fracción propia" e "impropia"), algunas relaciones (como la
equivalencia),y algunas operaciones (como la suma y la resta).
■■De acuerdo con Gudino (2004) son siete criterios para comprender la
relación parte todo.
Considerar que un “todo” se puede dividir en partes iguales.
Darse cuenta que el mismo “todo” se puede dividir en diferente
número de partes iguales, y podemos elegir el número de partes.
Las partes de la partición agotan el “todo”.
El número de partes puede no ser igual al número de cortes.
Todas las partes son iguales.
Cada parte en si misma se puede considerar como un “todo”.
El “todo” se conserva, aun cuando se halla dividido en partes.
•
•
•
•
•
•
•
El significado de una fracción como parte de un “todo”, puede ser la unidad y otras el
“todo” como un conjunto.
■■La cuarta parte del huerto se dedicó a la siembra de plantas medicinales.
■■La cuarta parte de los 20 alumnos de un grupo de tercer grado no les gustan
las matemáticas.
167
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
a. Multiplicación de fracciones
Para la multiplicación conocerán nuevos significados y propiedades de la
multiplicación:
■■La multiplicación no siempre es una operación que agranda.
■■No se calcula en todos los casos por medio de una suma repetida.
■■Elaborarán significados para expresiones como:
“0.75 veces una cantidad”
o
5
“ 4
de una cantidad”
Consiste en introducir la multiplicación por
proporcionalidad.
b
a
como una constante de
■■Así como aplicar la constante “por 2” consiste en establecer una relación en la
que a cada unidad le corresponden dos unidades.
■■Aplicar la constante, por ejemplo, por 4 , significa establecer una relación en la
3
que a cada unidad le corresponden 4 de la unidad.
3
Se observa que:
2 x 1
2
3
Lo que significa la multiplicación:
2 de 1
2
3
Por tanto, se tiene con las regletas:
1 x 1 =2 = 1
2 3 6
3
168
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
b. Multiplicación de un número entero por una fracción
2 x 14
Esta operación puede leerse:
■■Se van a multiplicar dos unidades la mitad de una unidad, o bien,
■■Se fracciona cada unidad en medios, ya que cada uno se repetirá o tomará la
mitad de la mitad.
■■Se reúnen los cuartos que se tomaron:
1 + 1 =2
4
4 4
■■Se sustituye el resultado por una fracción equivalente (por sólo una pieza del
material):
■■Quedando la multiplicación:
2 x 1 = 2 = 1
4
4
2
c. Multiplicación de una fracción por otra fracción
1 x 1
3 2
1 1
1
■■Al multiplicar 3 x 2 refiere a 3 de la mitad.
1
■■Se coloca con el material la unidad y en la parte inferior se coloca 2
■■Se busca la fracción que divida a 1 en tercios; por lo que se puede hacer uso
2
de las tablas de multiplicar para ver que piezas se pueden utilizar, por tanto se
tiene: 2 x 3 = 6; lo que significa que las piezas que refieren a sextos de la unidad,
para 1 corresponden a tercios en la multiplicación.
2
169
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■De esta manera, con el algoritmo se tiene:
1x1 =1
3 2 6
La máquina operativa
7+2
9
2
4+3
2+5
7
8+0
8
4
9+0
7+1
7
8
1
Para realizar este material simplemente se necesitan
las bases de los tapones de cajas de leche o jugo, sus
respectivos tapones, y una tablilla, puede ser de
papel, cartulina, madera. Cuanto más resistente sea
el material que se utilice para realizar la tablilla, más
resistente será la máquina. También, se puede
realizar de cartulina de tamaño carta.
0
4
5
9
3
Para ello se necesita la cartulina, diez bases de
tapones de cajas de leche, cien tapones de cajas de
leche y cola de contacto en gel. También se requieren
números en papel (enmicados para que sean más
resistentes) y el signo de la suma.
1+8
Se comienza dividiendo la cartulina en diez partes
iguales en sentido horizontal. A continuación, se
3+0
pegan dos bases de tapones en el extremo de la
derecha con la cola de contacto en gel. Mientras se
seca el pegamento y las bases de los tapones se fijan
bien, se pone en los tapones de cajas de leche, los números del 0 al 99. Se puede
poner hasta el número que requiera, añadiendo más tapones.
Una vez realizado esto, se tiene la máquina de los tapones terminada. Ahora solo nos
queda proponer distintas sumas utilizando los números plastificados y el signo de la
suma y que ellos enrosquen el tapón correspondiente, con el resultado, en la base del
tapón de la derecha.
Además de trabajar la suma, este material permite trabajar todas las operaciones
y resulta muy sencillo de realizar, pudiendo realizarse en el aula por los propios
alumnos y alumnas.
170
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Ábaco japonés
Zumor
Descripción
■■La colocación del Ábaco “ es sobre una mesa de cubierta perfectamente
horizontal.
■■Su marco inferior deberá quedar a unos 20 cm del borde de la mesa.
■■En cuanto al jugador se sentará frente al Ábaco.
■■La colocación del Ábaco “ es sobre una mesa de cubierta perfectamente
horizontal.
■■Su marco inferior deberá quedar a unos 20 cm del borde de dicha cubierta.
■■En cuanto al jugador se sentará frente al Ábaco.
■■Las fichas tienen también el nombre de “cuentas”.
■■Una de las partes más importantes del ábaco es la Barra “Z” y que es la que
divide a cada corrida del “Zumor”, dejando 1 “cuenta” en la parte superior y 4
“cuentas” en la parte inferior.
■■A su vez las “cuentas” las llamaremos superiores e inferiores, teniendo por lo
tanto cada corrida: Una “cuenta” superior y Cuatro “cuentas” inferiores.
■■Toda “cuenta” o grupo de “cuentas” que se apoye a “Z” formará un número.
■■Para mover las cuentas deberá hacerlo con la punta de la yema de su dedo
pulgar de la mano derecha.
Cero
No hay “cuentas” apoyadas a “Z”. Tanto la “cuenta” superior como las
inferiores, están totalmente alejadas de la barra “Z”.
Formación de cifras.
■■ Antes de escribir en el Ábaco se debe tener todas las “corridas” en cero.
■■ Debe advertir que dada la gran capacidad de anotación de un Ábaco del
Sistema Japonés como es el “Zumor” al principio se usará sólo el lado
derecho.
■■ El lado izquierdo actuará en primer momento como anotador.
■■ Por el momento deje el lado izquierdo del “Zumor” también en “CERO”.
■■ Apoyar suavemente la punta de la yema de los dedos: pulgar, índice y
medio, donde nace la barra “Z” en el lado derecho del Ábaco.
■■ Una vez que están los dedos mencionados en esta posición se deben
deslizar por la barra “Z” hasta llegar al extremo opuesto de partida.
171
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Con esto se logra que las uñas de los dedos: índice y medio alejen de “Z” las
“cuentas” superiores, mientras la uña del dedo pulgar aleja de “Z” las “cuentas”
inferiores.
■■En toda cifra compuesta de varios números se distinguen las siguientes
clasificaciones: unidad, decena y centena.
■■Esto se aprecia claramente en una hoja de papel que tenga un rayado vertical
para ubicar cifras, como ocurre con los rayados de los libros de Contabilidad.
■■El Ábaco es también una verdadera hoja de papel con un rayado vertical que
le permite clasificar perfectamente las distintas partes que forman una cifra.
■■Cada espacio entre líneas corresponde a cada corrida del Ábaco.
a. Conformación de números
3512
9
78
Ejemplo: 15
b. Formar lo siguiente.
■■El número de su casa.
■■El día de su cumpleaños.
■■Su edad.
172
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Cálculo mental con la calculadora
La calculadora es un instrumento que permite el desarrollo del cálculo mental y
otras habilidades, como la estimación, generalización, flexibilidad del pensamiento,
pueden ser sustituidas por el teléfono celular, puede trabajarse en parejas o en equipo.
Para explorar las funciones de la calculadora proponga algunas actividades:
Problemas para conocer cómo funciona la calculadora y los límites de la misma:
■■Si se oprime en la calculadora las siguientes teclas:
25 + = ¿Qué número aparece?
¿Sucede lo mismo con todas las calculadoras?
■■Si se oprime 25 + =
¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = después
del 25 para que aparezca en el visor el número 200?
■■¿Qué aparecerá en la pantalla si oprimimos 36 – 6 = = ?
¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = para que aparezca el número 0?
■■Realice el siguiente cálculo con calculadora
común y con calculadora científica:
3x4+4x5=
■■Si oprimen en la calculadora 10 x =
¿Qué número aparece?
¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = para que
aparezca 1000000?
173
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Si oprimen en la calculadora 25 ÷ 5 = =
¿Qué número aparece?
Y si se oprimen 3125 ÷ 5 = =...
¿Cuántas veces hay que oprimir el = para que aparezca
el 1?
■■¿Cómo explican que se obtengan diferentes resultados?
■■¿Cuál es correcto y por qué?
■■¿Cómo hacer estos cálculos con la calculadora común?
■■Resuelva la lista de precios:
Juegos para computadora $ 150
Libros de ejercicios matemáticos para el primer ciclo $ 29
Libros de cuentos para el segundo ciclo $ 35
Calculadoras $ 70
Compases $ 20
■■La presidente de la cooperadora de la escuela
averiguó utilizando la calculadora que le alcanza con
$800 para comprar 5 libros de ejercicios para el
primer ciclo, 7 libros de cuentos para el segundo ciclo,
20 calculadoras y 20 compases.
¿Qué cuentas se pueden haber hecho? Anótelas y
resuelva con la calculadora?
■■Buscar usando la calculadora qué número hay
que sumarle a 17 para obtener 30.
■■Escriba en el visor de la calculadora el número
55. Con una única resta lograr que aparezca 45,
luego 35, luego 25, etc.
174
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
■■Coloque en el visor de la calculadora el número 37. Haciendo
únicamente una suma, logren que aparezca en el visor el número 100.
■■Complete el número que falta y verificar con calculadora:
25 x ___ = 100
25 x ___ = 10000
25 x ___ = 100
25 x____ = 100000
■■En una calculadora se tecleó 35 x 100, pero se cometió un error ya que
se quería multiplicar por 50.
¿Cómo corregirlo sin borrar lo que ya está?
■■Escribe un número de dos cifras en la calculadora.
Réstele 3 todas las veces posibles.
Se gana si en algún momento aparece en el visor el número 0.
175
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
176
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Consideraciones
didácticas
para el
cálculo
mental
177
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
178
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Consideraciones didácticas para el cálculo mental
Orientaciones didácticas
El docente, debe promover que los alumnos avancen gradualmente hacia un
pensamiento simbólico que requiere de un mayor nivel de abstracción.
Para una comprensión profunda de las matemáticas por parte de los docentes, se ha
hecho necesaria la búsqueda de nuevos conocimientos y habilidades, para desarrollar
variadas estrategias didácticas, así como diferentes metodologías de enseñanza. Se
dice que, con lo anterior el docente es capaz de desarrollar situaciones de aprendizaje
que generen una discusión matemática en relación con un contenido, estimulando
la curiosidad y la capacidad de los alumnos.
Desde esta perspectiva el docente, debe propiciar que los alumnos se interesen por
los contenidos matemáticos que aprenden y por construir su propio conocimiento
para llegar a una comprensión profunda. Por tanto, se espera que el docente
desarrolle estrategias que favorezcan la comprensión de conceptos matemáticos y no
genere únicamente la repetición y la mecanización de algoritmos, definiciones y
fórmulas.
Para esto, es necesario establecer vinculación de los conceptos y las habilidades
matemáticas, debe planificar situaciones de aprendizaje donde los alumnos
demuestren su astucia por sobre la mecanización, utilizando materiales para avanzar,
de manera progresiva, que requiere mayor nivel de abstracción.
Hacer matemáticas implica desarrollar capacidad, originando estrategias o
maneras para resolver problemas, brindando a los alumnos habilidades, destrezas y
conocimientos para que tengan la oportunidad de afrontar situaciones desafiantes.
Los alumnos pueden dar solución a problemas de distintos grados de abstracción,
recorriendo en ambos sentidos desde el material concreto a las representaciones
simbólicas.
La manipulación de material concreto o manipulable y su representación pictórica
mediante esquemas como: cruces, figuras, marcas, círculos, cuadritos, flechas,
marco de 10, tabla de 100, recta numérica, etc., permite a los alumnos desarrollar
imágenes mentales. Por lo que posteriormente, se apartan gradualmente de los
materiales y representaciones pictóricas, para únicamente operar con símbolos.
Recuperando que esta es la particularidad del modelo concreto, pictórico, simbólico.
Transitar entre los niveles de representación, entre lo concreto y lo abstracto, no
tiene un orden preestablecido, ya que se puede representar primero un símbolo
matemático con un modelo gráfico, por ejemplo, un casillero en la tabla de 100,
para luego transformarlo a una situación real. Hacer estas movilizaciones de manera
frecuente entre un modo u otro, fija los conceptos hasta transformarlos en
imágenes mentales. En un determinado tiempo, los alumnos podrán ser capaces de
179
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
operar con los números, trabajar con patrones, figuras a través de la tecnología,
sin material concreto o pictórico. Esto puede considerarse como parte del proceso
de construcción del concepto de número, mismo que favorecerá el cálculo mental.
El docente debe guiar este cambio, atendiendo a la diversidad de sus alumnos,
recuperando algunas oportunidades de mejora. Para que el aprendizaje sea
efectivo, es importante que promueva una discusión con preguntas,
observaciones, explicaciones y ejemplos. De este modo, los alumnos podrán
reconstruir los conocimientos recién adquiridos. Por lo tanto, el modelo
requiere que los alumnos demuestren que comprenden los contenidos, en la
forma que el docente y los mismos estudiantes estimen conveniente.
Los aspectos que deben considerar los docentes para el proceso de enseñanza
aprendizaje de las matemáticas:
a. Creatividad, Imaginación e inteligencia
eatividad e im
Cr
ag
c
ina
ión
Todas las personas, y específicamente los docentes están
dotados de imaginación, creatividad e inteligencia, facultades
que se van desarrollando dependiendo de las estrategias, las
intencionalidades y las experiencias adquiridas en el ámbito
familiar, en la escuela y en la comunidad. En el ámbito laboral,
toda persona va desarrollando diversas estrategias que les
facilitan su desempeño, con el objeto de tener mejores
resultados, según el tipo de actividad que desarrolle; en el
caso del docente, día a día y de manera constante, diseña
estrategias y técnicas dirigidas a la enseñanza, logrando
buenas experiencias o experiencias exitosas, todas en busca
de alcanzar aprendizajes significativos en sus alumnos.
¿?
Todo se logra cuando el docente es creativo y usa de su poder de la imaginación,
produce: materiales escritos, digitales, manipulables y los interrelaciona
con los contenidos a abordar haciendo así, una tarea agradable, amena e interesante,
que sin duda despierta el interés de los alumnos, difícilmente un docente
creativo, con gran capacidad de imaginación hará de su aula un espacio
tedioso, monótono y aburrido; al contrario, será un buen gestor de ambientes
favorables para el aprendizaje escolar.
Todas las personas tienen inteligencia, por tanto permite la creatividad y la
imaginación, o sea que todo ser humano tienen la posibilidad de ser creativo dentro
de los diferentes ámbitos en los que se desenvuelve. La imaginación permite que
el docente y los alumnos manipulen información nueva y la incorporen a la que ya
poseen para enriquecer su conocimiento. La capacidad de creatividad permite
inventar, resolver problemas con distintas estrategias de solución y crear nuevas ideas.
180
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
b. Material manipulable
J ue
g
o
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ateriales m
an
Al proveer una experiencia práctica con el material didáctico,
el docente facilita el aprendizaje al alumno. El uso del
material manipulable o concreto es indispensable, pero no
garantiza una buena comprensión si no hay una buena
conducción por parte del docente. Para esto, es necesario
que, en las actividades, los docentes ayuden a los alumnos a
establecer conexiones entre el material y las matemáticas
explícitas y a proponer preguntas que los llevarán a una
comprensión profunda. Cabe destacar que, en los primeros
niveles, el docente debe ver que el material esté siempre
presente, en el aula de clases, en su casa e incluso en las
evaluaciones.
ula
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c. La retroalimentación
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li m
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Es muy importante que los estudiantes desarrollen una
visión positiva de las matemáticas y que se sientan capaces
de desempeñarse con una alta autoestima y con seguridad.
Para esto, es recomendable que el docente reconozca el
esfuerzo de los alumnos, sus obseraciones y la iniciativa
para explorar nuevos conocimientos por sí mismos, en un
ambiente que acoge todos los puntos de vista. Se deben
aprovechar las oportunidades para generar discusiones
sobre las vías de solución como respecto de la efectividad
de las estrategias escogidas. En esta diversidad, el alumno
descubre cómo mejorar y superarse en su proceso
de aprendizaje. En entrevistas personales, el docente apoya
al alumno a revisar su proceso e identificar las áreas que
necesitan modificarse y aquellas ya logradas.
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d. Repasar ideas básicas
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+
pasar idea
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El reforzar y repasar los conceptos, además de los principios
básicos de las matemáticas es de suma importancia. El
docente debe considerar la ejercitación para asegurar la
comprensión, pero, a su vez, desde la repetición, debe
incentivar a los alumnos a abordar problemas con mayor
desafío y guiarlos a realizar una actividad matemática
verdadera, es decir, hacer matemáticas.
181
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
f. Comunicación y aprendizaje colaborativo
un
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ba
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olaborativo
c
jo
En la elaboración de las múltiples tareas de la asignatura,
es importante que el docente favorezca la comunicación
y la colaboración entre los estudiantes. Analizar, evaluar y
representar resultados en común son actividades esenciales,
porque profundizan, estimulan el pensamiento crítico y
ponen a prueba el prendizaje. Para esto, se recomiendan las
conferencias matecáticas.
Co
f. Investigación e innovación
La investigación, es un elemento fundamental en el campo educativo; todo
conocimiento y toda información, requiere, sino de una comprobación, sí de una
fundamentación, del análisis y de un procesamiento para poder incorporarla como
parte de los nuevos conocimientos. El docente debe ser investigador e innovador
para ofrecer a los alumnos los referentes bibliográficos (libros, revistas, antologías,
folletos, periódicos, videos, audios, etc.) necesarios para sugerir y propiciar la
investigación desde el aula.
Cuando un docente investiga su materia de trabajo, tiene la posibilidad de
transformar su práctica docente, pues la lectura le acerca conocer: técnicas,
estrategias y metodologías, propias para la enseñanza; si el docente es investigador,
los alumnos también lo serán.
Cuando se habla de transformar la práctica docente, se habla de una innovación
dentro del aula; sería una contradicción que siendo investigador, el ambiente
escolar sea áspero, hostil y con prácticas tradicionalistas; al contrario, el entorno
escolar debe proveerse de elementos innovadores; el docente debe atreverse a
incorporar todos los medios y recursos tecnológicos a su planificación didáctica, sea
ésta de: secuencia, proyecto o de situaciones didácticas. Hay otro aspecto no menos
importante, el uso de estrategias lúdicas, juegos y los materiales manipulables,
que resultan un insumo fundamental en la didáctica de las matemáticas; son el
resultado de la creatividad, la imaginación, la investigación y la innovacion.
g. El uso de Tecnologías de Información y Comunicación (TIC)
En el primer ciclo de la enseñanza básica, el uso de la tecnología es un complemento
al desarrollo de los conceptos matemáticos que el docente debe aprovechar si la
infraestructura, el equipamiento y la conectividad de la institución educativa le
ofrecen esa oportunidad. El uso de las TIC como un medio para la enseñanza de
las matemáticas, sino debe verse como una herramienta que da la posibilidad de
aprender en interacción con la tecnología y la información digital. Por lo que
representa un reto para el docente si éste no está alfabetizado en este aspecto.
182
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
periencias p
Ex
re
v
h. Experiencias previas
ias
Ap
r
i. Aprendizaje
r haciendo
de
n
e
En la construcción de contenidos nuevos, se recomienda
que el docente recurra a las experiencias y saberes previos
de los alumnos, de sus destrezas y habilidades
existentes, a lo que se le conoce como recuperación de la
experiencia.
En este proceso, es clave identificar las diferencias
entre los alumnos y planificar a partir de la recuperación
experiencias de tal manera de generar situaciones de
aprendizaje significativas que permian la comprensión
profunda. Esto se puede lograr diferenciando a los grupos
o estudiantes y asignándoles tareas, problemas y ejercicios
de acuerdo a sus fortalezas y necesidades.
Es recomendable para el docente establecer la
transversalidad entre los conceptos y las habilidades
matemáticas de manera de impedir que el aprendizaje de
los alumnos sea fragmentado. Se debe, además, favorecer
las conexiones con las otras asignaturas.
Se espera que esto permita a los alumnos tomar conciencia
del contexto en el que se inserta el conocimiento, la
aplicación y el desarrollo del mismo con otros conceptos.
j. Aprender haciendo y centrar el aprendizaje de los alumnos
Para que los alumnos comprendan los contenidos matemáticos, necesitan tener
experiencias de resolución de problemas en las que manipulan material
didáctico que les permite descubrir conceptos, estrategias y soluciones variadas.
Posteriormente, es importante que reflexionen sobre su proceso de aprendizaje y lo
comuniquen. De este modo, se favorece en mayor medida la comprensión.
Los errores son parte de este proceso y se acogen positivamente como
oportunidades de conversación y búsqueda de soluciones más adecuadas.
k. Recurrir a metáforas
Éstas les permitirán comprender el significado de los conceptos como los números
son cantidades, los números son posiciones en la recta numérica, sumar es juntar,
restar es quitar, sumar es avanzar, restar es retroceder. En los primeros niveles, las
metáforas son la base para la comprensión de conceptos abstractos.
183
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Las estrategias mentales y el cálculo de la operatoria necesitan, sin embargo,
periodos de exploración, comprensión y ejercitación prolongados antes del uso de
una calculadora. La utilización de este medio para verificación de resultados, para
buscar patrones, comprobar conjeturas y modelos es adecuado para los cursos
superiores de la básica.
Concepciones del cálculo mental
El cálculo mental había, perdió su papel primordial a la llegada de las calculadoras,
las computadoras y los teléfonos celulares; sin embargo, en las últimas décadas ha
recobrado su importancia como una actividad cognitiva reveladora en el proceso
de enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Es así como constituye un dominio
privilegiado para examinar las concepciones numéricas de los alumnos y su
disponibilidad.
Con el desarrollo tecnológico en la década de los setenta, el cálculo mental es
considerado como medio de cálculo rápido y eficaz, y relegado a un segundo plano
por la reforma de la matemática moderna en varios países, resurgió en un par de
décadas como un medio adecuado para favorecer en los alumnos de acuerdo con
Lethielleux (2005):
■■El desarrollo de la atención, la concentración y la memoria.
■■La familiarización progresiva con los números, al punto de
poder jugar con ellos, expresar un número de variadas maneras,
según el contexto del cálculo, y aprovechar las propiedades
fundamentales de las operaciones numéricas básicas (asociativa,
conmutativa, distributiva).
■■La expresión, puesta en común, discusión y comparación, en una
dinámica colectiva de una variedad de procedimientos y estrategias
para calcular, en función de las relaciones entre los números con los
que se está operando.
De esta manera, Alsina (2007) explora las correlaciones entre el ejecutivo central y
las pruebas aritméticas de cálculo, que equivale a la capacidad de memoria de
trabajo, es decir lo que uno mantiene presente en la memoria al realizar una tarea.
Mantener en la memoria por repetición, imagen u otro medio, un número de teléfono,
desde su recepción hasta su uso es un ejemplo clásico. Alsina sugiere que sería
interesante hacer una estimación de las capacidades individuales que tienen los
alumnos en su memoria de trabajo y correlacionarlas con su desempeño en
cálculo mental; posiblemente se tiene una baja memoria de trabajo en
los niños con más débil desempeño.
184
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Asimismo, una forma de corregir la baja capacidad de memoria de trabajo podría
ser que no sólo se entrene a los niños a recordar números, sino también utilizar
estrategias alternativas como estimular la representación sensorio motriz con
metáforas de las operaciones aritméticas, considerando los trabajos de Gogtay
(2004) sobre los periodos de desarrollo cerebral. Recuperando, que las regiones
atingentes a la memoria de trabajo referente a la corteza prefrontal y dorsolateral,
fundamentalmente, maduran más tardíamente que las sensorio motrices.
Según Parra (2007) para hablar de estrategias para el desarrollo del cálculo mental,
es necesario tomar en cuenta la reconstrucción del pensamiento matemático; es
decir de una matemática lógica o como es llamada en la didáctica de matemáticas
La toma de conciencia. Para ello es necesario reconocer ciertos pasos como:
Que sean expuestos
claridad a sus alumnos.
con
Que los alumnos busquen
recursos para resolverlos, ojalá
interactuando en grupos.
Se analizan los distintos recursos
y se discute la aplicabilidad y la
eficiencia para cada ejercicio de
cálculo
El docente debe con anticipación seleccionar los ejercicios que favorecen el cálculo
en los procedimientos reconstructivos. Esto permite a los alumnos reconocer
gradualmente la utilidad de usar recursos conocidos o la interacción para resolver
otros cálculos. Así se va construyendo un repertorio colectivo, visible en la clase y
utilizable como recurso personal.
El realizar ciertos ejercicios de cálculo permite al niño hacer conciencia de los
procedimientos que utiliza para resolver problemas de suma o resta, es decir inicia un
proceso de reconocimiento sobre lo que sabe y como debe aplicarlo. Exige entonces
que el docente proporcione una serie de ejercicios de suma y resta para que los
alumnos determinen si la solución de los problemas planteados es fácil o difícil y que
den cuenta de sus estrategias de solución:
Cuatro aspectos que los niños consideran para determinar si los ejercicios planteados
por el docente son fáciles o difíciles.
185
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
cuántos
Los docentes deben tener algunas consideraciones antes de delimitar las estrategias
que utilizará en el trabajo de cálculo mental en la escuela.
Proponer situaciones, cálculos y juegos que serán oportunidades de usar y
poner a prueba los procedimientos formulados.
Favorecer una buena explicación y dar oportunidad de ponerlos en juego.
Apuntar a que todos los alumnos amplíen su dominio del repertorio aditivo y que
reconozcan la utilidad de apoyarse en lo que saben para resolver otros cálculos.
Favorecer la discusión entre los alumnos respecto de los procedimientos, el
docente puede solicitar a un recurso que es central en el trabajo de cálculo mental:
la organización de la clase, es decir trabajo colectivo e individual.
Para la construcción del cálculo pensado y del cálculo automático requiere que se
lleven dos tipos de actividades:
1.Trabajo de memorización de repertorios y reglas, a medida que se han
ido construyendo.
2.Trabajo colectivo, lento y detallado, de aprendizaje de cálculo mental
pensado, que se apoye en la comparación de diversos procedimientos
utilizados para tratar el mismo problema.
La suma y la multiplicación tiene estrategias sugeridas para el docente, con el afán de
ser consideradas en su organización y planeación didáctica para fortalecer el proceso
de la construcción de cálculo mental.
186
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Conmutar
Doblar
Añadir un cero
Estrategias de
cálculo mental
Multiplicación
Un cero y mitad
Descomposiciones
Patrones
El docente en el aprendizaje del cálculo
Todas las estrategias orientadas al diseño de actividades que coadyuven al desarrollo
de cálculo mental de los alumnos, requieren de la intervención activa y decidida del
docente, así como de su desempeño responsable en el aula; para realizar esta tarea
se propone considerar los siguientes principios con la finalidad de hacer del cálculo
mental una actividad menos rígida y se convierta en un verdadero aprendizaje
significativo.
a. Todo docente debe tener un sentido psicológico
Debe de conocer cómo funcionan los mecanismos psicológicos de adaptación,
mismo que influye en la actividad escolar; asi mismo, sobre las conductas,
emociones, intereses, así como los estilos de aprendizaje y en general
tener conocimiento de las disciplinas de la enseñanza, en particular de la
matemática.
b. Revisión del material
Tiene la gran tarea de realizar una planificación diversificada para atender
la diversidad del grupo; las necesidades de aprendizaje de los alumnos, los
conocimientos previos y el interés por nuevos aprendizajes, por lo que debe
considerar una buena selección de los materiales y manipulativos para abordar
las actividades que impliquen cálculo mental. Esto puede ser una obra sólida si se
conocen las posibilidades psicológicas del alumno, y las reacciones del niño ante la
presentación de actividades lúdicas en el proceso educativo.
187
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
c. El docente debe establecer situaciones y conocimientos que posee el
alumno
Deben considerar como punto de partida los conocimientos previos de los
alumnos, o sea que tanto conocen del tema por abordar, de las nociones ya
asimiladas parcialmente y de los aprendizajes adquiridos en el intercambio de
experiencias en el contexto familiar, escolar y social; con ello podrá comprender y
analizar la nueva información para fortalecer el desarrollo lógico y matemático.
d. El docente deberá fijar las grandes líneas del programa adoptado
La flexibilidad de los programas de estudio deben de ser aprovechados por el
docente para su planeación de su tarea educativa diaria, considerando los ritmos
de aprendizajes y de desenvolvimiento de los alumnos; a pesar de los factores
externos que quedan fuera de su alcance, así como de la necesidad de realizar
adaptaciones y variaciones pedagógicas en su planeación.
e. La adquisición abstracta el niño con una experiencia concreta de la noción
Debe partir de las experiencias concretas vividas en su entorno, no puede
llegar a la abstracción si no pasa por la construcción de los conceptos a
partir de la manipulación e interacción con los objetos del conocimiento, además
de manejar un lenguaje matemático preciso y ordenado. Si el alumno construyo su
propio conocimiento podrá entender la abstracción y estará consolidando el cálculo
mental.
f. Delimitar el texto escolar como guía en de la libertad del docente
Debe tener claro que los libros de texto son un medio para fortalecer los aprendizajes
adquiridos y se utilizarán para movilizar, concretizar y practicar aquellos ejercicios,
temas o conceptos que clarifican la enseñanza; por lo que no deben de ser textos
utilizados durante el desarrollo de la sesión de clase, sino al contrario, deberán servir
para la retroalimentación.
g. El docente no debe descuidar el contenido de su enseñanza
Deben tener claro el propósito de su labor y como actores responsables
de la enseñanza de sus alumnos, al tener clara su función podrán evitar dificultades
que conduzcan a fracasos escolares; por tal razón no deben olvidar la intervención
técnico pedagógica para asegurar bases sólidas y aseguradas para que la
construcción de su enseñanza sea lógica.
h. El docente tendrá claro el lenguaje matemático con el que dará inicio
Deberán hablar el mismo lenguaje que los alumnos, desde la iniciación de la
construcción de los primeros conceptos matemáticos, por simples que sean, hasta
construir los más complejos, aspecto que evitará confusiones en los aprendizajes.
188
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
El docente frente al cálculo mental en el aula
Para hacer partícipes a los alumnos en la construcción de conocimientos
matemáticos, es plantearles dentro del aula problemas que les permitan la
movilización de sus saberes y que les exija construir nuevas relaciones; por lo
que, el docente debe conflictuarlos de manera que pongan en juego distinta
alternativas de solución. Los problemas deben ser contextualizados y representar un
reto o desafío; mismos que serán planteados según el grado escolar y nivel de
cognición de los alumnos, sin embargo, pueden tener cierto grado de complejidad, y
el docente se dará cuenta que hay alumnos que logran resolverlo.
La tarea del docente ante el planteamiento y solución de problemas cálculo mental
en el aula es ofrecer oportunidades como:
■■Propiciar un trabajo de ensayo y error que le permita al alumno probar
una y otra vez posibles soluciones y practicar distintas representaciones
numéricas que lo lleven a la reflexión para comprender, y tomar
decisiones.
■■Resolución de problemas relacionados a los contenidos que se pretenden
introducir de manera que le permitan dar cuenta de cómo y de qué manera
impactan los conocimientos adquiridos en el abordaje de los nuevos
contenidos.
■■La explicitación de los alumnos al exponer sus ideas, sus
argumentaciones y conclusiones; las estrategias de solución y su
argumentación.
■■Si el reto consiste en resolver un cálculo planteado, los alumnos
deberán contar con la libertad para elegir una estrategia entre varias
posibles y dar argumento de por qué se realizó el cálculo de esa
manera.
■■Sistematizar y reorganizar por parte del docente, los resultados
relevantes y establecer las relaciones entre los conceptos aprendidos.
■■El docente conocerá en qué momento del proceso de enseñanza
tiene que hacer sus intervenciones para aportar información
adicional, encuadrar, aclarar y sugerir lo necesario con la intención de
generar los avances esperados.
La toma de decisiones por parte del alumno que da respuesta a una situación, los
análisis que realiza mientras trabaja y las discusiones en la búsqueda de la validez
de sus razonamientos con sus compañeros y la enseñanza del docente generan
conocimientos que fundamentan el uso y la aplicación del número, así como
comprender sus relaciones con las operaciones para hacer cálculos.
Un factor importante en la clase, es buscar estrategias, su explicitación y
confrontación, para los momentos de intercambio, que permita identificar y retener
los conocimientos relativos a los números y a los cálculos.
189
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
Al mismo tiempo, los
alumnos participan en la construcción de criterios
de validación que permiten reconocer el cómo es posible estar seguro de que una
estrategia es correcta, cómo mostrar el error de un procedimiento y de criterios de
elección de procedimientos adecuados en función de la tarea.
De este modo y a través de este tipo de práctica se está comunicando a la clase que
las producciones sean validadas y que puede haber varios caminos de hacerlo, que
hay criterios para la selección de formas de resolver más o menos adaptadas en
función de las situaciones particulares y que no se trata solo de hechos expuestos.
Es decir, para todo el trabajo matemático, se posiciona a los alumnos desde cierta
actitud intelectual frente a los problemas de manera que esté en condiciones de
abordar la tarea con los conocimientos disponibles: explorar, buscar por diferentes
vías, equivocarse, comunicar a otros y analizar la validez de procedimientos.
La enseñanza del cálculo se enmarca, en el trabajo matemático en el aula: búsquedas,
reflexiones, discusiones, argumentaciones, producción y análisis de escrituras
matemáticas e identificación de nuevos conocimientos. En este sentido, la
intervención del docente es fundamental: hacer explicitar y comparar los
procedimientos para llevar a los alumnos a analizarlos y explicarlos colaborando él
mismo en estas tareas, constituyen condiciones esenciales para promover avances
en los conocimientos producidos en este espacio.
El trabajo que se propone no puede quedar relegado a clases aisladas, sino que es
necesario organizar una progresión de los aprendizajes y planificar una secuencia
didáctica, en donde los nuevos conocimientos se apoyen en los saberes y
experiencias de los alumnos, al mismo tiempo que introduce novedades, para los
andamiajes en la construcción de nuevos saberes.
Un proceso de esta naturaleza requiere de tiempo de adquisición a largo, corto y
mediano plazo, con secuencias didácticas que involucren una gran variedad de
situaciones para recuperar los conceptos de diferentes aspectos.
Los avances en los recursos de cálculo mental, resultan satisfactorios para todos,
en particular, para los alumnos que presentan mayor grado de dificultad porque
les permiten acceder a estrategias que, a veces, otros alumnos elaboran por su
cuenta, estrategias que los colocan mejor ante las situaciones, ya sea porque les
abren
diferentes posibilidades de solución o porque les permiten realizar
anticipaciones y un control sobre las soluciones más convencionales. Puede
resultar que el cálculo mental beneficie más a quienes tienen mayor dificultad
para acceder a él. Estos alumnos les llevan mucho tiempo la apropiación de
estrategias que a otros que las adquieren rápidamente. Sin embargo, como son estos
mismos alumnos los que con frecuencia no recuerdan las técnicas ¿Cómo se hacía?
o tienen bajo control sobre ellas; si olvidan un paso o comenten un error, no saben
cómo continuar o corregir.
Son relevantes las intervenciones del docente dirigidas a la difusión, identificación
y práctica de ciertos procedimientos de cálculo mental que les permite, a los
alumnos que se consideran con mas areas de oportunidad, crecer en
190
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
dominio y ganar en confianza. La organización de las secuencias didácticas, deberá
planificarse de acuerdo con las intenciones del docente frente a cada situación.
Debe considerar el trabajo en parejas para promover intercambios en el momento
de la resolución; en otras ocasiones, la tarea individual, para que cada niño tenga la
oportunidad de interactuar solo frente al problema, y otras, de manera grupal; esta
organización de las actividades resulta provechosa, siempre y cuando cada una
tenga una intencionalidad.
Cuando el trabajo es colectivamente, en ocasiones los alumnos que más recursos
tienen dan una respuesta rápida sin dejar tiempo suficiente para que sus demás
compañeros puedan pensar; por eso es importante considerar el trabajo individual y
en binas. Por otro lado, los alumnos en proceso, tienen la oportunidad y el tiempo de
razonar sobre cuestionamientos de cálculo, y en el trabajo grupal, sin duda podrán,
ahí, compartir estrategias de solución.
El cálculo pensado, no es identificado con la velocidad, se busca que los alumnos
tomen conciencia de qué resultados tienen disponibles en la memoria. Instalar un
trabajo sobre cálculo mental demanda de una organización de la clase.
Forma parte de la consigna para los alumnos plantear, cómo, quiénes, y cuándo
pueden intervenir. En ocasiones, trabajarán con la misma situación de manera
individual, en pareja, en grupos, etc. y darán aconocer su trabajo designado por el
docente, o por elección dentro del grupo. Además, los alumnos pueden trabajar en
pequeños grupos ante distintas situaciones mientras el docente se dedica a aquellos
que más lo necesitan; o sea que requieren una atención más personalizada. Algunas
ocasiones, podrán generarse espacios diferenciados que posibiliten la revisión de
conocimientos es decir de repertorios, procedimientos y reglas de manera sistemática para algunos grupos.
Cuando se requiere que los alumnos exploren procedimientos de resolución, las
anotaciones del proceso son esenciales; por un lado, constituyen un soporte para
pensar la solución, tanto para recordar pasos y resultados intermedios como para
reflexionar sobre el procedimiento que se está siguiendo: la escritura descubre
algunos aspectos de ese conocimiento y lo convierte, en objeto de análisis. Por otro
lado, las anotaciones resultan indispensables cuando los alumnos deben explicar lo
que hicieron durante la clase.
Si se asume que la fase grupal es parte del trabajo de producción matemática, hay
dos aspectos del rol docente que cobran relevancia:
■■Cómo identificar qué cuestiones merecen discutirse y en qué
situaciones puede resultar interesante que los alumnos confronten
sus propios puntos de vista.
Es interesante tener en cuenta que, si las respuestas que los alumnos ofrecen
provienen de ideas similares entre sí, posiblemente no aporte demasiado a la
clase, el alentar que se comenten todas en el aula. Si las estrategias no comparten la
misma idea, es importante sostener el debate precisando qué cuestiones se están
discutiendo.
191
Cálculo Mental Primaria y Secundaria
La necesidad de identificar los nuevos conocimientos que se van elaborando durante
el desarrollo de las actividades de cálculo mental, y de las discusiones generadas a
partir de ellas; esto es, no basta con que se expliciten y validen los procedimientos y
las reglas establecidas, sino que, además, resulta necesario que aquellos que tienen
un alcance más general, sean reconocidos y nombrados por el docente y se desarrolle
una práctica en torno a ellos que permita cierta automatización.
Dificultades didácticas
El cálculo mental, como en cualquier actividad conlleva a dificultades e
inconvenientes, sobre todo, de orden didáctico.
Primero las características del alumno:
■■Exige unos niveles mínimos de desarrollo de ciertas aptitudes específicas, en
particular: atención, concentración mental, desde una óptica de análisis de
factores que ayudan a la construcción del cálculo mental; considerando a
cuatro de ellos: concentración, hábito, atención e interés. Se entiende que el
hábito guarda una relación con la explotación y aplicación de los recursos de
memoria.
■■El interés, no precisa, en principio, ni de memorización de hechos
numéricos básicos, ni estrategias predefinidas. Su desconocimiento u
olvido puede
identificar un cálculo concreto, condicionarlo incluso,
pero no impedirlo absolutamente.
Sin embargo, la automatización de hechos numéricos elementales y de ciertas
estrategias repetidas favorece la agilidad y seguridad en los cálculos. Por lo que obliga
al alumno a recurrir a procedimientos rudimentarios como recuentos ascendentes
o descendentes, propios de estadios iniciales, o al empleo sistemático de imágenes
de situaciones físicas o manipulativas (dedos, trazos, materiales estructurados,
algoritmos escritos, entre otros). Que, si bien son acreedores al título de cálculo
pensado, pueden tornarlo lento y trabajoso. Sin olvidar que el uso de estrategias
puede acabar en memorización de resultados, pero la memorización de resultados
no sólo no conduce al diseño de estrategias sino que las obstruye Heege (1985).
■■Exige un cierto nivel de comprensión de la situación y destrezas aritméticas
relacionadas con ella.
Asimilación de la operación presentada. Se extiende más allá de la interpretación
simbólica del signo lingüístico que la representa, ya que condiciona las estrategias
aplicables.
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Dominio de la estructura numérica y sus representaciones en los diferentes
lenguajes; tal vez sea esta destreza la que condiciona el dominio numérico, el paso
de números naturales a enteros, fraccionarios o decimales, y el rango o tamaño de
operandos de una, dos o más cifras y el resultado.
Ejemplo, en el soporte imaginativo de la escalera o la recta numérica para la suma de
enteros, o en la aplicación reiterada de la propiedad distributiva para la multiplicación
de números de varias cifras en expresión decimal.
Naturaleza de las cantidades intervinientes; tanto de los operandos como del
resultado, favoreciendo la selección de estrategias particulares y estimación.
■■Fuerte influjo de los intereses personales del alumno y del contexto socio
familiar.
Se incluyen en este grupo el conflicto por el empleo irregular de instrumentos de
cálculo tales como calculadora, ábaco, etc., o del mismo cálculo escrito.
La actuación pedagógica puede inducir a un enfrentamiento que desorientará
al alumno o que provocará su pasividad reactiva de los niveles elementales de
enseñanza.
La intervención didáctica adecuada a través del diseño de actividades y reglas de
juego debe acabar por anular esas actitudes. Conviene no exagerar la importancia
de tales carencias cognitivas, curriculares o actitudinales como decisivas; más bien,
son circunstancias personales o contextuales que inciden en un desarrollo del cálculo
mental: su aprecio, aprendizaje de técnicas, eficacia y progreso. Pero son claramente
modificables por prácticas y actuaciones didácticas pertinentes.
■■Heterogeneidad en los niveles de destreza entre alumnos de un mismo grupo.
En sus primeros años o al inicio de su escolaridad, es poco menos que impredecible
el nivel de un alumno medio. Los conocimientos y destrezas adquiridos
extraescolarmente son de origen de un ambiente familiar, contextual o cultural,
medios de comunicación, curiosidad y oportunidades personales, etc.
Asimismo, las capacidades específicas de cada alumno para captar, retener y
aplicar hechos y técnicas. Mientras a algunos alumnos les basta una observación o
comprobación de un determinado hecho numérico, otros precisarán de las
oportunidades. Para unos la conmutatividad es evidente; para otros, exigirá una
comprobación reiterada.
La consecuencia didáctica: se dificulta el diseño y aplicación de actividades
grupales. Se corre el riesgo de hacer imposible una participación equilibrada de
todos: lo que serían simplezas para unos, quedarían inaccesibles o sin posibilidad
de éxito para otros. Como de costumbre, los grupos homogéneos facilitan la
intervención didáctica intensiva, permitiendo una mayor especificidad en las
situaciones y objetivos a proponer, adecuados para todos sus miembros.
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Evaluación del cálculo mental
En el cálculo mental pueden distinguirse variedad de aspectos a evaluar:
■■Tiempo invertido. Para ser exactos tiempo transcurrido entre la
percepción e interpretación del cálculo a realizar y momento de
obtención del resultado, es importante no confundirse con el momento
de exteriorización verbal, escrita o aparición de indicios exteriorizados.
Condicionado el primero por capacidades perceptivas; expresivas, el
segundo.
■■Estrategia utilizada. Que sólo puede observarse si es por medio de la
verbalización, manipulación o relato inmediato, supuesto que el
proceso sea consciente en todos sus detalles.
■■Exactitud o aproximación; según se trate de cálculo o estimación de
resultados. Es importante tener presente si solo importa el resultado
o también deben considerarse aspectos procesuales y que se debe
adoptar para evaluar errores.
■■Seguridad. Es absoluta o relativa la confianza general del alumno en sí
mismo; estará ligada a la tensión situacional de repercusión del éxito o
fracaso o debe penalizarse acaso la precaución de verificar el proceso o
el resultado difiriendo la respuesta.
■■Dominio reflexivo de operadores que incluye tanto el campo numérico
de naturales, enteros, fracciones, como el rango en el que se contienen
operandos y resultados.
■■Operación presentada que no debe confundirse la estrategia
operatoria seguida en la resolución. Así, una multiplicación puede
reaparecer la suma el ejecutante, una división, resta, una suma o
sustracción, conteo, entre otros.
■■Forma de presentación de la situación a resolver y forma expresiva
exigida para la respuesta.
■■Desarrollo del sentido numérico según su nivel escolar.
■■Utilizar las propiedades de las operaciones y en la solución de
problemas.
■■Habilidad para realizar cálculos a través de diferentes procedimientos
convencionales y no convencionales.
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DIRECTORIO
Omar Fayad Meneses
Gobernador Constitucional del Estado de Hidalgo
Atilano R. Rodríguez Pérez
Secretario de Educación Pública de Hidalgo
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Subsecretaria de Educación Básica
Abundio Pérez Martínez
Director General de Educación Básica
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Director de Educación Primaria General
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Director de Educación Indígena
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Director de Telesecundarias
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Director de Secundarias Técnicas
Jesús Márquez Sánchez
Director de Secundaria General
Alberto C. Amador Arista
Director de Investigación Educativa
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