MATEMATIKA (DBH-2) INDARTZEKO ARIKETAK 2.EBALUAZIOA 2. EBALUAZIOA BIRPASATZEKO ARIKETA batzuk DBH 2 5. GAIA. HIZKERA ALJEBRAIKOA I. Koefizientea, maila, antzeko monomioak, identitatea... Aljebran lan egitean erabiltzen diren hitzak dira. Badakizu hitz horiek adierazpen aljebraikoetan erabiltzen? 1.- Bete ezazu ondoko taula: Monomioa Koefizientea Letrazko atala Maila 3x 4a 2 b3 1 − mn3 7 8 xyz 2.- Egin ondorengo monomioen arteko eragiketak: A(x) B(x) 3x -7x −12 x 3 1 4 x 3 5 − x2 2 Batuketa A(x)+B(x) Kenketa A(x)-B(x) Biderketa A(x)·B(x) Zatiketa A(x):B(x) 4x 3 3 4 x 2 2x 3.- Kalkulatu hurrengo polinomioen zenbakizko balioa eta bakoitzaren maila eman: a) P(x)= x 4 − x 3−13 x 2 +x+12 x = 0 denean b) Q(x)= x 3 −12 x 2 + 41 x−30 x = -1 denean 3 2 c) R(x)= 3x −6x − 3 3 x+ 4 2 R(2) = II. Polinomioen eragiketak oinarrizkoak dira hizkera aljebraikoaren erabileran. Badakizu eragiketa horiek trebe eta ondo egiten? 4.- A ( x )=x 2 − x+3 a) 5.- 6.- A ( x )+B ( x ) b) A ( x )=4x3 − x 2 +1 , a) B ( x )=3x 3 −2x 2 +x−5 eta B ( x )=x 3 +x+ 2 A ( x )+B ( x ) A ( x )=3x 4 +2x 2 −x+ 1 , polinomioak emanik, kalkulatu: A ( x )−B ( x ) eta C ( x )=2x 2 +3x b) [ A ( x )−B ( x )]+C ( x ) B ( x )=2x 4 −x 3 +x 2 −x eta badira, kalkulatu: C ( x )=−x 4 +x3 − x 2 +x−1 polinomioak izanik, kalkulatu: a) 2 · B ( x ) +C ( x ) b) A ( x )−[ B ( x ) +C ( x )] c) A ( x )− B ( x ) +C ( x ) 7.- Egin hurrengo biderketak: 8.- a) ( x 2 −3x +1 )⋅( x+ 4 ) c) ( x 4−7x2 −3 )⋅( x 2−3) P ( x )=3x 2 + 2 , b) Q ( x )=2x−3 (5x 4 + 3x3 −2x 2 −3x )⋅( 2x 3 +2x +1 ) R ( x )=3x 4 +2x 2 −3 eta polinomioak izanik, kalkulatu: a) P ( x )⋅Q ( x ) b) Q ( x )⋅[ P ( x ) +R ( x ) ] c) P ( x )⋅[ Q ( x ) +R ( x ) ] III. Aljebran, identitate nabarmenak sarri ageri izaten dira. Badakizu zer diren eta trebe erabiltzen? 9.- Egin hurrengo eragiketak biderkadura nabarmenak erabiliz: a) ( x−3 )2 b) ( x+3 )⋅( x−3 ) d) ( 3x+ 2 )2 e) ( 2x 3 −6 ) g) ( 2x 2 +6x ) 2 c) ( x+3 )2 f) ( 2x 2 +3 )⋅( 2x 2 −3 ) 2 10.- Hutsuneak bete hurrengo berdintzetan: a) (3x + )2= 9 x 2 + 24 x +16 c) 16 − = (4 − )· ( + 5x) b) ( − 5 )2 = 4 x 2 − + 25 11.- Faktorizatu ondorengo adierazpenak: a) d) 15 x 4 −6x 2 x 4 −1 b) 25+10 x+x 2 c) e) 3x 2 −7x+8 xy f) 12 ax 2 −12 ax+ 3a 6x 4 y 2 −2x 3 y 3 −2x 2 y 4 g) 3x4 – 2x2 h) x2 –1 i) x2 +6x +9 j) x2 + 4 + 4x k) 4x2– y2 l) 9 – 6x +x2 m) 2x –4x2 Erantzunak 1.Monomioa 3x Koefizientea 3 4 2 3 4a b 1 − mn 3 7 − 8 xyz Letrazko atala x Maila 1 a b 2 3 5 3 4 xyz 0 3 1 7 mn 8 1 2.A(x) B(x) 3x -7x −12 x 3 4x Batuketa A(x)+B(x) -4x 3 3 -3 3 4 x 2 11 4 x 6 7 − x4 6 1 8 x 2 5 − x2 2 2x 5 − x 2 +2 x 2 5 − x 2−2x 2 −5 x −84 b) Q(-1)= 2 b) A( x)− B( x) 3 2 b) [ A ( x )− B ( x ) ]+C ( x ) 5.- a) A( x)+ B( x ) = 5 x − x +x+3 6.- a) 2· B ( x ) +C ( x ) = 4 3 4 = 2 = 3 2 −3 x +3 x − 2 x+8 3 2 3 x +x +2 x−1 = 3 A ( x ) − B ( x ) +C ( x ) c) 3 2 x +x = 2 x + x −11 x+4 b) (5 x 4 +3 x 3−2 x2 −3 x )⋅( 2 x3 +2 x+1) c) ( x 4 −7 x 2 −3)⋅( x 2 −3 ) 6 6 5 4 3 2 4 2 x −10 x +18 x +9 = 3 7 10 x +6 x +6 x +5 x − x −8 x −3 x = 2 6 x −9 x +4 x−6 5 4 3 2 3 2 b) Q ( x )⋅[ P ( x ) +R ( x ) ] = 6 x −9 x +10 x −15 x −2 x+3 c) P ( x )⋅[Q ( x ) +R ( x ) ] = 9 x +12 x +6 x −14 x +4 x−12 2 x −6 x +9 6 5 − x 4 2 2 x +2 x − x+2 = ( x 2 −3 x+1 )⋅( x +4 ) = 3 3 x −x +x − x−1 A ( x ) −[ B ( x ) +C ( x ) ] P ( x )⋅Q ( x ) 2 9 c) R(2)=0 3 3 x −x −2 e) 6 −48 x = 9.- a) −37 3 A( x)+ B( x ) 8.- a) 2 −16 x 12 Zatiketa A(x):B(x) −21 x −8x 4.- a) 7.- a) Biderketa A(x)·B(x) 1 4 x 3 3.- a) P(0)= b) Kenketa A(x)-B(x) 10x 6 b) 3 4 x −24 x +36 2 4 2 x −9 2 x +6 x +9 c) 4 f) 4 x −9 g) 2 d) 4 3 4 x +24 x +36 x 2 9 x +12 x+4 2 10.- a) ( 3 x+4) =9 x2 +24 x+16 b) ( 2 x−5) =4 x2 −20 x+25 11.- a) 3 x ( 5 x −2 ) b) ( 5+x ) c) d) ( x 2 +1) ( x+1 )( x−1 ) e) x( 3 x−7+ 8 y ) f) 2 x y (3 x − xy− y ) g) x ( 3 x −2 ) h) ( x+1 )( x−1 ) i) ( x+3 ) j) 2 2 2 2 2 ( x+2) k) ( 2 x+ y )( 2 x− y ) 2 l) 2 ( 3−x ) c) 16 - 25x2 = (4 - 5x)·(4 +5x) 2 3a ( 2 x−1) 2 2 2 2 2 m) 2 x ( 1−2 x ) EKUAZIOAK I. Badakizu zer diren ezezagun bakarreko ekuazio linealak? Badakizu halakoak bereizten eta horien soluzioak zehazten? II. Badakizu bigarren mailako ekuazioak ebazten? 12.- Ebatzi: a) −2x−6=7 ( 4x+12 ) b) 3 3x+1 5x+ = 2 2 c) 3x 5x 3x + = −1 2 3 4 d) 2x−3 4x−1 3x+1 6x−2 − = + 2 2 4 6 e) x+ 5= f) 4x−12 =x−15 −4 g) x+ 4 x+3 x+ 1 − =1− 5 4 2 h) x+1 x+1 x+3 − + =0 8 3 5 i) ( x+1 )( x −1) =x 2 +x j) 2 2x x 2 −x= − 9 3 k) 3x 2 −12=0 l) x 2 −3x =x−3 m) x 2 =3x n) ( x−5 )( 3x+ 9 )+ 45=0 x+3 3 Erantzunak 12.- a) x = -3 b) x=−2/ 7 c) x=−12 / 29 d) x=−1 / 3 x=9 g) x=1 h) x=47 k) x1 =2 , x 2=− 2 l) x1 =3 , x2 =1 e) x=−6 f) i) x=−1 j) x1 =6 , x 2=−2 m) ( x1 =0 , n) x1 =2 , x 2=0 x2 =3) III. Ikasi duzu problemak ekuazioen bitartez planteatzen eta ebazten? BURUKETAK 13.- Zenbaki arrunt baten eta bere hurrengoaren arteko biderkadura 272 da. Kalkulatu zenbakia. (E:16) 14.- Aita batek 50 urte ditu eta bere bi semeek 24 eta 20 urte hurrenez hurren. Zenbat urte barru izango da aitaren adinen baturen berdina? (E: 6 urte barru) 15.- Gaur egun Anaren adina Bernardoren adinaren hirukoitza da eta bost urte barru bikoitza izango da. Zenbat urte dituzte Ana eta Bernardok? (E: Anak 15 eta Bernardok 5) 16.- Zenbaki bat gehi bere bikoitza gehi bere hirukoitza 36 da. Zein da zenbaki hori? (E:6 da) 17.- Ukuilu batean oiloak eta ardiak ditugu, denera 36 buru eta 116 zango osatzen dituztelarik. Zenbat oilo eta ardi izango ditugu ukuiluan? (E: 14 oilo eta 22 ardi) 18.- Bi anaien adinek 38 urte batzen dituzte. Kalkulatu hauek, baten adina bestearen adina baino 8 urte zaharragoa dela jakinik. (E: 15 eta 23 urte) 19.- Koldo 5 urte zaharragoa da Mikel anaia baino, eta euren aitak 41 urte ditu. 16 urte barru, bi anaien urteak batuta, aitak dituen urteak izango dituzte. Zenbat urte ditu bakoitzak? (Koldok 15 urte ditu eta anaiak 10) 20.- Zenbaki biren batura 192 da eta euren arteko diferentzia 68. Zeintzuk dira zenbakiak? (130eta 62) 21.- Zenbaki arrunt baten eta bere hurrengoaren arteko biderkadura 272 da. Kalkulatu zenbakia. (16) 22.- Gaur egun Anaren adina Bernardoren adinaren hirukoitza da eta bost urte barru bikoitza izango da. Zenbat urte dituzte Ana eta Bernardok? (Anak 15 eta Bernardok 5) 23.- Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura honako hau da: zenbaki horien arteko batura gehi bost unitate. Aurkitu zenbakiok. (3, 4 edo –2 eta –1) 24.- Eguzkitzako baserritarrak udare edo madari zakukada bat zuen. Zakukadaren erdia saldu egin du, zakukadaren laurdena anaiari eman dio eta oraindik ere 120 madari dauzka zakuan. Zenbat madari zuen hasieran? (480 madari) 25.- Anderrek Koldok baino bost euro gehiago ditu. Baina Anderrek Koldori lau euro emango balizkio, Koldoren dirutza Anderrenaren bikoitza litzateke. Zenbat diru dauka bakoitzak? (7 eta 2 euro) 26.- Bi zenbakiren artean, 5 unitateko aldea dago, eta haien arteko biderkadura 66 da. Zein zenbaki dira? (6 eta 11 edo –11 eta –6)