Análisis Dinámico de Estructuras

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
INSTITUTO DE MECÁNICA APLICADA Y ESTRUCTURAS (IMAE)
ANÁLISIS DINÁMICO
DE ESTRUCTURAS
Dr. Ing. OSCAR MÖLLER
Año 2007
II
III
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 ACCIONES DINÁMICAS …………..............................................
1.1 Introducción …………………………………………….................................
1.2 Tipos de cargas dinámicas ……………………………………......................
1.3 Características del problema dinámico ……………………………………...
1
1
2
3
CAPÍTULO 2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD ……………………
2.1 Ecuación de movimiento ……………………………………………………..
2.2 Respuesta a vibraciones libres ………………………………………………
2.2.1 Solución de la ecuación de movimiento …………………………………
2.2.2 Vibraciones libres no amortiguadas ………………………………………
2.2.3 Vibraciones libres amortiguadas …………………………………………
2.3 Respuesta a vibraciones forzadas …………..................................................
2.3.1 Carga armónica …………………………………………………………....
2.3.1.1 Solución de la ecuación de movimiento …….......................................
2.3.1.2 Resonancia ……...................................................................................
2.3.1.3 Dispositivos para medir aceleraciones y desplazamientos ……............
2.3.1.4 Aislamiento frente a vibraciones ……...................................................
2.3.2 Carga periódica ……………………………………………………............
2.3.2.1 Expresión de la carga en serie de Fourier …….....................................
2.3.2.2 Respuesta a la carga desarrollada en serie de Fourier ……...................
2.3.2.3 Forma exponencial de la solución en serie de Fourier ……...................
2.3.3 Carga dinámica genérica ………………….................................................
2.3.3.1 Primer procedimiento: respuesta en el dominio del tiempo ……...........
2.3.3.2 Segundo procedimiento: respuesta en el dominio de las frecuencias …
5
5
7
7
8
10
15
15
15
18
20
21
25
25
26
26
28
28
33
CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD ……...
3.1 Ecuación de movimiento ……………………………………………………..
3.2 Vibraciones libres no amortiguadas ………………………………………...
3.2.1 Análisis de frecuencias de vibración
……………………………………
3.2.2 Análisis de las formas de modos de vibración ……………………………
3.2.3 Condiciones de ortogonalidad de los modos naturales de vibración ……..
3.2.4 Normalización de los modos naturales de vibración ……...........................
3.2.5 Independencia lineal de los modos naturales de vibración ……...................
3.2.6 Métodos para calcular autovalores y autovectores …….............................
3.2.7 Método de Rayleigh ……............................................................................
37
37
37
37
39
42
43
44
45
48
IV
3.3 Vibraciones forzadas ………………………………………...........................
3.3.1 Método de superposición modal ……………………………………..........
3.3.1.1 Coordenadas normales …….................................................................
3.3.1.2 Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas no amortiguados
3.3.1.3 Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas amortiguados ....
3.3.1.4 Condiciones de ortogonalidad en sistemas amortiguados ....................
3.3.1.5 Resumen del método de superposición modal ......................................
3.3.2 Integración directa de las ecuaciones de movimiento paso a paso ………....
3.3.2.1 Generalidades ……................................................................................
3.3.2.2 Método de la aceleración lineal .............................................................
3.3.2.3 Método de Newmark ............................................................................
53
53
53
55
56
57
61
66
66
67
69
REFERENCIAS ..............................................................................................................
75
ACCIONES DINÁMICAS
1
CAPÍTULO 1
ACCIONES DINÁMICAS
1.1. INTRODUCCIÓN
El objetivo fundamental de este curso es presentar métodos de análisis dirigidos al cálculo de
los desplazamientos y esfuerzos que tienen lugar en las estructuras cuando están sometidas a
cargas dinámicas.
Se entiende por carga dinámica a cualquier carga cuya magnitud, dirección o posición varíen
con el tiempo. Entonces la respuesta de la estructura, es decir sus desplazamientos y
esfuerzos, también serán variables con el tiempo.
Vale decir que en el análisis dinámico, a diferencia del estático, no se busca la respuesta de la
estructura a la carga dada, sino la historia de la respuesta a la carga dinámica, a lo largo de un
intervalo de tiempo dado. Se pone así de manifiesto la mayor complejidad que adquiere el
problema, por la simple aparición de la variable tiempo.
Por otra parte en las ecuaciones de equilibrio, ahora “ecuaciones de equilibrio dinámico”,
además de las cargas y las reacciones elásticas, asociadas con las características de rigidez de
la estructura, que son las fuerzas con las que trata el cálculo estático, intervienen otras dos
categorías de fuerzas: las fuerzas de inercia, proporcionales a las masas presentes en la
estructura y las fuerzas que amortiguan el movimiento, ligadas a la capacidad de disipación de
energía de la estructura.
Aparece entonces el caso estático como un caso particular, en el cual las cargas son aplicadas
lenta y progresivamente sobre la estructura, de modo que las aceleraciones de las partículas, y
en consecuencia las correspondientes fuerzas de inercia, resultan despreciables y dichas
cargas pueden considerarse, en todo instante, resistidas por las fuerzas elásticas originadas por
el cambio de forma.
2
CAPÍTULO 1
Oscar Möller
1.2. TIPOS DE CARGAS DINÁMICAS
Casi cualquier tipo de sistema estructural estará solicitado a alguna forma de carga dinámica
durante su vida útil. Desde un punto de vista analítico, es conveniente clasificarlas en dos
categorías básicas: periódicas y no periódicas.
Algunas situaciones típicas se muestran en la fig.1.1. Como se indica en la fig.1.1.a y b,
cargas periódicas son cargas repetitivas las cuales tienen la misma variación en el tiempo
sucesivamente para un gran número de ciclos.
La carga periódica más simple es la variación sinusoidal, fig.1.1.a, la cual se denomina
armónica simple. Tales cargas son originadas por la existencia de masas excéntricas no
balanceadas en mecanismos rotacionales. Otras formas de cargas periódicas son causadas, por
ejemplo, por presiones hidrodinámicas generadas por el propulsor en la popa de un barco, ver
fig.1.1.b, o por efectos inerciales en máquinas de movimiento alternativo, frecuentemente más
complejas. Sin embargo, mediante análisis de Fourier cualquier carga periódica puede ser
representada como la suma de una serie de componentes armónicas simples. Así, en principio,
el análisis de la respuesta a cualquier carga periódica seguirá el mismo procedimiento general.
Periódicas
Máquina rotativa
sobre estructura
(a)
Fuerzas de
propulsión en la
popa de un barco
(b)
No periódicas
(c)
Explosión de una
bomba sobre
edificio
(d)
Terremoto sobre
tanque de agua
Figura 1.1: Características y fuentes de cargas dinámicas típicas
(a) armónica simple; (b) complejas; (c) impulsiva; (d) larga duración
ACCIONES DINÁMICAS
3
Entre las cargas no periódicas se distinguen las cargas impulsivas o de corta duración y las de
larga duración de forma genérica. Un ejemplo típico de las primeras lo constituyen las cargas
originadas por un impacto o por una explosión. Por otra parte un movimiento sísmico puede
dar lugar a una carga dinámica genérica de larga duración.
Desde otro punto de vista también se clasifica a las cargas dinámicas en: cargas prescriptas y
cargas aleatorias.
Para las primeras la ley de variación con el tiempo es perfectamente conocida y el análisis de
la respuesta de un sistema estructural frente a una carga de este tipo se conoce como análisis
determinístico.
Para las segundas la ley de variación con el tiempo no está completamente determinada y sólo
pueden ser definidas estadísticamente. El análisis estructural correspondiente a este tipo de
carga es conocido como análisis no determinístico.
En este curso se tratarán sólo las cargas dinámicas prescriptas.
1.3. CARACTERÍSTICAS DEL PROBLEMA DINÁMICO
Un problema de dinámica estructural difiere de su equivalente estático en dos aspectos
importantes
a) Está presente la variable tiempo. Como la carga y la respuesta estructural varían con el
tiempo, no existe una única solución como en el problema estático, sino que existirá una
sucesión de soluciones correspondientes a cada tiempo dentro del intervalo en que se quiere
analizar el problema.
b) Si un elemento estructural está sometido a una carga estática P, los desplazamientos y
esfuerzos internos se pueden establecer en base a principios de equilibrio de la fuerza P.
Ahora, si el elemento está sujeto a la acción de una carga dinámica P(t), la variación de los
desplazamientos con el tiempo está asociados con aceleraciones que a su vez originan fuerzas
de inercia. Luego, los esfuerzos internos deben equilibrar no sólo la carga aplicada P(t) sino
también a las fuerzas de inercia resultantes de las aceleraciones que experimenta el elemento,
ver fig.1.2. Las fuerzas de inercia que se oponen a las aceleraciones configuran la
característica más importante del problema dinámico.
P
P(t)
FI(t)
Figura 1.2: Acciones estáticas y dinámicas
4
CAPÍTULO 1
Oscar Möller
En general, si representan una fracción importante de las cargas totales a ser equilibradas por
los esfuerzos internos, las características dinámicas del problema deben ser tenidas en cuenta.
Si los movimientos de la estructura son lentos, de forma tal que las fuerzas de inercia son
despreciables por ser una fracción pequeña de las cargas totales, el problema se puede analizar
con los procedimientos del análisis estático de estructuras, aún en el caso en que las cargas, y
por consiguiente la respuesta, sean variables con el tiempo.
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
5
CAPÍTULO 2
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
2.1. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Se comienza por el caso más simple que son los sistemas de un grado de libertad, es decir
aquellos cuya posición queda determinada por un único parámetro o coordenada, dependiente
del tiempo.
Para estos sistemas la ecuación del movimiento, o de equilibrio dinámico, resulta:
m * Z&&(t ) + c * Z& (t ) + k * Z (t ) = p * (t )
(2.1)
donde Z(t) es el parámetro o coordenada generalizada que se ha elegido para definir la
posición del sistema. El punto indica derivada con respecto al tiempo t.
m * , c * , k * , p * (t ) son respectivamente, la masa, el amortiguamiento, la rigidez y la carga
generalizada, del sistema en correspondencia con la coordenada generalizada Z(t).
Ejemplo 2.1
En la siguiente figura se observa un sistema de un grado de libertad compuesto por dos barras
articuladas entre si. Las barras se consideran rígidas y con masa despreciable.
P2( t )
P1( t )
K1
θ(t)
∆(t)
M1
a
M2
a
K2
a
C2
a
C1
a
Figura 2.1: Sistema de un grado de libertad generalizado
a
6
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
Se elige a θ (t) como coordenada generalizada. La correspondiente ecuación del equilibrio
dinámico se puede plantear aplicando el principio de los Trabajos Virtuales y resulta:
Te = 0
− K 1θ ⋅ δθ − K 2 3aθ ⋅ 3aδθ − C1 aθ&.aδθ − C 2 2 aθ& ⋅ 2 aδθ − M 1 aθ&& ⋅ aδθ
− M 2 aθ&& ⋅ 2 aδθ + P .2 aδθ + P .3aδθ = 0
2
1
(2.2)
2
Reordenando y eliminando la variación virtual δθ por ser arbitraria, se obtiene
(K
1
) (
) (
)
+ 9a 2 K 2 θ + a 2 C1 + 4a 2 C 2 θ& + a 2 M 1 + 4a 2 M 2 θ&& = 2aP1 + 3aP2
(2.3)
Luego, en este caso resulta:
m * = a 2 M 1 + 4a 2 M 2
, c * = a 2 C1 + 4a 2 C 2
k * = K 1 + 9a 2 K 2
,
(2.4)
p * (t ) = 2aP1 (t ) + 3aP2 (t )
Se puede entonces decir que la masa, el amortiguamiento, la rigidez y la carga generalizada
son las magnitudes mediante las cuales respectivamente, las masas, las características de
amortiguamiento, las características elásticas y las cargas del sistema, intervienen en la
ecuación de equilibrio dinámico.
Estas magnitudes dependen o están en correspondencia con la coordenada generalizada
elegida.
Así usando en el ejemplo ∆(t) como coordenada generalizada, se comprueba que:
1
4
M1 + M 2
9
9
1
k * = 2 K1 + K 2
9a
1
4
, c * = C1 + C 2
9
9
2
, p * (t ) = P1 (t ) + P2 (t )
3
m* =
(2.5)
Se considera ahora el sistema simple masa-resorte con amortiguamiento que se indica en la
fig.2.2. También se representa el diagrama de cuerpo libre de la masa
Diagrama de
cuerpo libre
v(t )
f I = m v&&(t )
c
P(t )
m
k
f D = c v&(t )
f S = k v(t )
Figura 2.2: Sistema de un grado de libertad
P(t )
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
7
La ecuación de equilibrio dinámico resulta
f I (t ) + f D (t ) + f S (t ) = P(t )
(2.6)
donde f I (t ) = − m v&&(t ) es la fuerza de inercia (principio de D´Alembert), con m masa del
sistema; f D (t ) = c v&(t ) es la fuerza de amortiguamiento supuesta como viscosa, es decir
proporcional a la velocidad, con parámetro c ; f S (t ) = k v(t ) es la fuerza en el “resorte” que
representa la resistencia interna y asumiendo comportamiento elástico lineal con constante de
rigidez k ; P (t ) es la fuerza externa; v(t ), v&(t ), v&&(t ) son el desplazamiento, la velocidad y la
aceleración. Resulta:
m v&&(t ) + c v&(t ) + k v(t ) = P (t )
(2.7)
De ahora en adelante resultará más conveniente utilizar la ecuación (2.7) y visualizar la
respuesta del sistema simple de la fig.2.2, pero teniendo siempre presente que los resultados
serán aplicables a la respuesta, en coordenadas generalizadas, de cualquier sistema complejo
de un grado de libertad.
2.2. RESPUESTA A VIBRACIONES LIBRES
2.2.1.
Solución de la ecuación de movimiento
Se entiende por vibración libre al movimiento del sistema que tiene lugar sin fuerza exterior
aplicada. En el sistema de la fig.2.2 la vibración libre puede tener su origen en la supresión
brusca de una fuerza que lo había apartado de su posición de equilibrio estático. Como se
verá, estas vibraciones son sólo transitorias, vale decir que desaparecen en poco tiempo, a
causa del amortiguamiento.
Para el caso de las vibraciones libres, la ec.(2.7) toma la forma homogénea:
m v&&(t ) + c v&(t ) + k v(t ) = 0
(2.8)
La solución de la ecuación (2.8) es de la forma:
v(t ) = G e s t
(2.9)
Reemplazando en la ecuación (2.8), resulta:
( m s2 + c s + k ) G est = 0
(2.10)
Dividiendo por m G e s t e introduciendo la notación
ω2 =
k
m
(2.11)
se obtiene
s2 +
c
s +ω2 = 0
m
(2.12)
8
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
El valor de s que puede despejarse de esta ecuación depende del valor de c, en consecuencia
el movimiento del sistema representado por la ecuación (2.9) dependerá del amortiguamiento
presente.
2.2.2.
Vibraciones libres no amortiguadas
En este caso ideal, al ser c = 0, de la ecuación (2.12) se obtiene:
s = ± iω
(2.13)
Luego, teniendo en cuenta (2.9), la solución resulta:
v(t ) = G1 e i ω t + G2 e −i ω t
(2.14)
Introduciendo las ecuaciones de Euler:
e ± i ω t = cos(ω t ) ± i sen(ω t )
(2.15)
La solución puede escribirse :
v(t ) = A sen(ω t ) + B cos(ω t )
(2.16)
Las constantes A y B pueden expresarse en función de las denominadas condiciones iniciales,
el desplazamiento v(0) y la velocidad v&(0) para el instante t = 0 .
Se obtiene: A =
v&(0)
ω
y
B = v ( 0) .
Entonces la ecuación (2.16), resulta:
v(t ) =
v&(0)
ω
sen(ω t ) + v(0) cos(ω t )
(2.17)
En la fig.2.3 se representa la solución encontrada, donde ω es la denominada frecuencia
circular o velocidad angular del movimiento, ya que la respuesta también queda representada
por la suma de las proyecciones horizontales de dos vectores que rotan con velocidad angular
ω, como se observa en la fig2.4.
T=
arctg v&(0)
v(0)
2π
ω
ρ
θ
ω
Figura 2.3: Respuesta de vibración libre no amortiguada
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
9
La frecuencia cíclica, o simplemente frecuencia es
f =
ω
2π
(2.18)
y su recíproco de denomina periodo
T=
1 2π
=
f
ω
(2.19)
ωt
v (0 )
ω
θ
ωt
ρ
v&(0)
ω
Figura 2.4: Representación de la vibración libre por rotación de vectores
En consecuencia la respuesta también puede escribirse bajo la forma:
v(t ) = ρ cos(ω t − θ )
(2.20)
Donde la amplitud del movimiento está dada por la resultante:
ρ=
[v(0)] + ⎡⎢ v&(0) ⎤⎥
⎣ ω ⎦
2
2
(2.21)
y el ángulo de fase, que es el ángulo en el cual la amplitud del movimiento aparece en la
respuesta atrasada con respecto al término cosenoidal, resulta:
θ = arctg
v&(0)
ω v ( 0)
(2.22)
Ejemplo 2.2
Una viga simplemente apoyada de 4m de luz, constituida por un perfil normal I14, soporta en
su punto medio un peso P = 10 KN. Calcular el período, despreciando la masa de la viga.
Solución:
Siendo δ la flecha de una viga simplemente apoyada que soporta una carga concentrada en su
punto medio, luego la rigidez k resulta
10
CAPÍTULO 2
PL3
δ=
48 EI
Oscar Möller
→ k=
Además, la masa es: m =
48 EI
L3
P
g
Reemplazando en (2.11) se obtiene: ω =
2
Resulta: ω = 29.75
48 EI g
L3 P
=
48 ⋅ 2.1 10 8 ⋅ 573 10 −8 ⋅ 9.81
4.00 3 ⋅ 10
= 885.33
1
y reemplazando en (2.19): T = 0.21 seg.
seg
Si la viga es empotrada en sus extremos la rigidez se cuadriplica y el período se reduce a la
mitad.
2.2.3.
Vibraciones libres amortiguadas
Cuando el amortiguamiento está presente en el sistema, la solución de la ecuación (2.12) que
define la respuesta, es:
c
s=−
±
2m
2
⎛ c ⎞
⎜⎜
⎟⎟ − ω 2
⎝ 2m ⎠
(2.23)
Se pueden distinguir tres tipos de movimientos de acuerdo con el signo de la cantidad
subradical. Se analiza primero el caso límite, en el cual dicha cantidad se anula, el cuál se
conoce como “amortiguamiento crítico”.
a) Amortiguamiento crítico
Igualando a cero la cantidad subradical de (2.23), el valor del amortiguamiento crítico resulta:
cc = 2 m ω
(2.24)
y por otra parte:
s=−
cc
= −ω
2m
(2.25)
Por tratarse de una raíz doble, la solución (2.9) toma la forma:
v(t ) = (G1 + G2 t ) e −ω t
(2.26)
Finalmente aplicando las condiciones iniciales se obtiene la respuesta correspondiente al caso
de amortiguamiento crítico:
v(t ) = [v(0) (1 + ω t ) + v&(0) t ] e −ω t
La representación gráfica se muestra en la fig.2.5.
(2.27)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
11
arctg v&(0)
v (0)
Figura 2.5: Respuesta a vibración libre con amortiguamiento crítico
Se observa que la respuesta a vibración libre de un sistema con amortiguamiento crítico no
incluye oscilaciones alrededor de la posición de desplazamiento nulo, sino que el
desplazamiento retorna a cero de acuerdo con el factor exponencial negativo de (2.27).
Una definición útil de la condición de amortiguamiento crítico es que es el menor
amortiguamiento para el cual no se presentan oscilaciones en la respuesta libre. Es decir que
el sistema retorna a la posición de equilibrio sin vibrar y en el menor tiempo posible.
Con este tipo de amortiguamiento se construyen máquinas, cañones, etc., donde se quiere que
el elemento no vibre y rápidamente vuelva a su posición de equilibrio.
b) Amortiguamiento subcrítico
Si el amortiguamiento es menor que el crítico, de acuerdo con (2.24) deberá ser c < 2 m ω y
en consecuencia el subradical de la ecuación (2.23) debe ser negativo.
En este caso resulta conveniente definir la relación de amortiguamiento:
ξ=
c
c
=
cc 2 m ω
(2.28)
Introduciendo esta relación en (2.23), resulta:
s = −ξ ω ±
( ξ ω ) 2 − ω 2 = −ξ ω ± i ω D
(2.29)
donde ωD es la frecuencia circular del sistema amortiguado
ωD = ω
1−ξ 2
(2.30)
La fig.2.6 representa ωD / ω vs. ξ y como se deduce de (2.30) se trata de una circunferencia
de radio unidad.
En general en los sistemas estructurales típicos es ξ < 20%, como se observa en la tabla 2.1.
Es decir que la amortiguación subcrítica corresponde al caso más frecuente en el campo de las
estructuras y además, según surge de (2.30), siendo ξ < 20%, resulta que ωD difiere poco de
la frecuencia circular no amortiguada ω.
12
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
ωD
ω
1
ξ
0
1
Figura 2.6: Relación entre frecuencia amortiguada y relación de amortiguamiento
Tabla 2.1: Relaciones de amortiguamiento típicas
ξ
Tipo de estructura
Tuberías sin conexiones
0.5 – 1 %
Puentes de hormigón armado
2–3%
Edificios de hormigón armado
5 – 20 %
Reemplazando (2.29) en (2.9) se obtiene la respuesta de vibraciones libres de un sistema
subamortiguado.
(
v(t ) = G1 e −ξ ω t +i ω D t + G2 e −ξ ω t −i ω D t = e −ξ ω t G1 e i ω D t + G2 e −i ω D t
)
(2.31)
Aplicando las ecuaciones de Euler: e ± i ω t = cos(ω t ) ± i sin(ω t ) , la solución anterior puede
escribirse:
v(t ) = e − ξ ω t ( A sin(ω D t ) + B cos(ω D t ) )
(2.32)
Finalmente evaluando las constantes, a partir de las condiciones iniciales v(0) , v&(0) , resulta:
⎡ v&(0) + v(0) ξ ω
⎤
v(t ) = e − ξ ω t ⎢
sin(ω D t ) + v(0) cos(ω D t )⎥
ωD
⎣
⎦
(2.33)
De manera análoga a la vista para vibraciones libres no amortiguadas, esta respuesta puede ser
escrita a partir de la proyección horizontal de un vector que rota con velocidad angular ωD ,
resulta:
v(t ) = ρ e − ξ ω t cos(ω D t − θ )
donde:
(2.34)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
13
1
⎫2
⎧⎪⎡ v&(0) + v(0) ξ ω ⎤
2⎪
⎥ + [v(0)] ⎬
ωD
⎦
⎪⎩⎣
⎪⎭
v&(0) + v(0) ξ ω
θ = arctg
ω D v ( 0)
2
ρ = ⎨⎢
(2.35)
Ha quedado verificado que ωD es la frecuencia circular o velocidad angular del sistema
amortiguado.
El vector giratorio correspondiente a la ecuación (2.34) es equivalente al de la fig.2.4 excepto
que la longitud del vector disminuye exponencialmente con el tiempo.
En la fig.2.7 se representa la respuesta de un sistema subamortiguado con desplazamiento
inicial v(0) y velocidad inicial nula, es decir liberando la masa a partir de una cierta posición
desplazada, con respecto a la posición de reposo.
TD =
2π
ωD
ρ e −ξ ω t
v (0)
θ
ωD
− ρ e −ξ ω t
Figura 2.7: Respuesta a vibración libre de sistema subamortiguado
De acuerdo con (2.34) se observa que cada vez que cos(ω D t − θ ) se hace igual a ±1, la curva
representativa de la respuesta es tangente a una de las envolventes ± ρ e − ξ ω t . Esta cantidad
se denomina amplitud de oscilación.
Puede verse que los puntos de tangencia no coinciden exactamente con los puntos de la curva
que representan posiciones extremas de la masa vibratoria. Además el cociente entre el ángulo
de fase y la frecuencia circular θ / ωD, determina el intervalo de tiempo entre el instante inicial
t = 0 y el del primer punto de tangencia con las envolventes ± ρ e − ξ ω t .
Las verdaderas características de amortiguamiento de los sistemas estructurales típicos son
muy complejas y difíciles de definir. Resulta común en la práctica expresar el
amortiguamiento de tales sistemas reales en términos de relaciones de amortiguamiento
viscoso ξ equivalentes, es decir para las cuales se produzca una respuesta amortiguada similar
en vibraciones libres.
Se puede calcular ξ a partir de los resultados de un ensayo de vibración libre. De la fig.2.7
considerando dos puntos de tangencia consecutivos, se obtiene:
14
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
vn = v(t n ) = ρ e − ξ ω tn
vn +1 = v(t n+1 ) = ρ e
⎛
2π
− ξ ω ⎜⎜ tn +
ωD
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
(2.36)
ω
2π ξ
vn
= e ωD
v n+1
Se define como “decremento logarítmico” a:
δ = ln
vn
ω
= 2π ξ
v n +1
ωD
(2.37)
y de acuerdo a (2.30) resulta
2π ξ
δ=
(2.38)
1−ξ 2
Para amortiguamiento reducido (2.38) puede expresarse aproximadamente por
δ ≅ 2πξ → ξ ≅
δ
2π
(2.39)
para estos casos, como alternativa, puede considerarse el desarrollo en serie de la última
ecuación de (2.36)
vn
(2π ξ ) 2
= e δ ≅ e 2π ξ = 1 + 2π ξ +
+L
2!
v n+1
(2.40)
y tratándose de valores bajos de ξ, se retienen sólo los dos primeros términos, de donde
resulta:
ξ≅
vn − v n+1
2π v n+1
(2.41)
Para sistemas muy poco amortiguados se consigue una mejor precisión en la evaluación de ξ
considerando puntos de tangencia separados varios ciclos entre sí. Llamando m al número de
dichos ciclos, se tendrá:
ln
vn
v n+ m
= 2 mπ ξ
ω
ωD
(2.42)
Expresión que puede reemplazarse por la siguiente expresión simplificada:
ξ=
vn − vn+m
2 m π v n+m
c) Amortiguamiento hipercrítico
En este caso es ξ >1 y la ecuación (2.12) puede ser escrita:
(2.43)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
s = −ξ ω ± ω
ξ 2 − 1 = −ξ ω ± ωˆ
15
(2.44)
donde:
ωˆ = ω
ξ 2 −1
(2.45)
Reemplazando en (2.9), se puede expresar la respuesta bajo la forma:
v(t ) = e −ξ ω t ( A Sh(ωˆ ) t + B Ch(ωˆ ) t )
(2.46)
Las constantes A y B deben calcularse a partir de las condiciones iniciales.
De acuerdo con (2.46) se concluye que la respuesta de un sistema con amortiguamiento
hipercrítico no es oscilatoria. Es similar a la de los sistemas con amortiguación crítica,
representada en la fig.2.5, pero el retorno a la posición de equilibrio estático se hace más lento
a medida que la relación de amortiguación crece.
En general no se encuentran sistemas estructurales con amortiguamiento hipercrítico. Se
aplica en retardadores, donde se quiere que el impacto de parada sea mínimo (puertas, etc.).
2.3. RESPUESTA A VIBRACIONES FORZADAS
2.3.1.
2.3.1.1.
Carga armónica
Solución de la ecuación de movimiento
El sistema está sujeto ahora a la acción de una carga armónica de amplitud p0 y frecuencia
circular ω . En este caso la ecuación del movimiento resulta:
m v&&(t ) + c v&(t ) + k v(t ) = p 0 sin(ω t )
(2.47)
Dividiendo por m y observando que c / m = 2 ξ ω, resulta:
v&&(t ) + 2 ξ ω v&(t ) + ω 2 v(t ) =
p0
sin(ω t )
m
(2.48)
La solución de la ecuación homogénea correspondiente es la respuesta de vibraciones libres
amortiguadas dada por la ecuación (2.32), suponiendo que la estructura es subamortiguada,
como ocurre en general en la práctica
vc (t ) = e − ξ ω t ( A sin(ω D t ) + B cos(ω D t ) )
(2.49)
La solución particular, para carga armónica, es de la forma
v P (t ) = G1 sin(ω t ) + G2 cos(ω t )
(2.50)
Sustituyendo a ésta en (2.48) y separando los términos en sin(ω t ) de los términos en cos(ω t ) ,
resulta:
16
CAPÍTULO 2
[− G
[− G
Oscar Möller
p
]
m
ω ] cos(ω t ) = 0
1
ω 2 − G2 ω (2 ξ ω ) + G1 ω 2 sin(ω t ) =
2
ω 2 − G1 ω (2 ξ ω ) + G2
0
sen(ω t )
(2.51)
2
A partir de éstas, dividiendo por ω2, reagrupando términos y eliminando las expresiones
trigonométricas, se obtiene:
p0
k
2
G2 (1 − β ) + G1 (2 ξ β ) = 0
G1 (1 − β 2 ) − G2 (2 ξ β ) =
(2.52)
Donde β representa el cociente entre la frecuencia de la carga aplicada y la frecuencia natural
de la vibración libre no amortiguada
β=
ω
ω
(2.53)
Resolviendo las ecuaciones (2.52), se obtiene
p0
1− β 2
G1 =
k (1 − β 2 ) 2 + (2 ξ β ) 2
p
− 2ξ β
G2 = 0
2 2
k (1 − β ) + (2 ξ β ) 2
(2.54)
Introduciendo estas expresiones en la solución particular (2.50) y combinando con la solución
complementaria (2.49), resulta finalmente la solución general
v (t ) = e − ξ ω t ( A sin(ω D t ) + B cos(ω D t ) ) +
[
p0
1
(1 − β 2 ) sin(ω t ) − 2 ξ β cos(ω t )
2 2
2
k (1 − β ) + (2 ξ β )
]
(2.55)
El primer término de (2.55) representa la respuesta transitoria a la carga aplicada. Las
constantes A y B pueden calcularse a partir de las condiciones iniciales, pero éste término
pierde valor rápidamente y es de poco interés, en consecuencia no se considerará su cálculo.
El segundo término en la ecuación (2.55) es la respuesta en estado de régimen, con la
frecuencia de la carga aplicada pero desfasada con respecto a ésta. Se puede interpretar como
la suma de las proyecciones horizontales de los vectores representados en la fig.2.8.
La resultante ρ de los dos vectores representa la amplitud de la respuesta en estado de
régimen
[
p
ρ = 0 (1 − β 2 ) 2 + (2 ξ β ) 2
k
]
−
1
2
(2.56)
y el ángulo de fase θ según el cual la respuesta aparece atrasada con respecto a la carga
aplicada, resulta
θ = arctg
2ξ β
1− β 2
(2.57)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
p0
2ξ β
2 2
k (1 − β ) + (2 ξ β ) 2
ωt
ρ
17
ωt
p0
1− β 2
k (1 − β 2 ) 2 + ( 2 ξ β ) 2
θ
Figura 2.8: Respuesta de desplazamientos en estado de régimen
En consecuencia la respuesta en estado de régimen puede expresarse:
v(t ) = ρ sin(ω t − θ )
(2.58)
El cociente entre la amplitud de esta respuesta y el desplazamiento estático que provocaría la
carga aplicada p0, es el denominado “factor de amplificación dinámica”:
D≡
ρ
p0
k
[
= (1 − β ) + (2 ξ
2 2
]
1
2 −2
β)
(2.59)
Se observa que el factor de amplificación dinámica varía con la relación de frecuencias β y la
relación de amortiguamiento ξ, y cuya representación gráfica se muestra en la fig.2.9.
ξ =0
ξ = 0.2
ξ = 0.5
ξ = 0.7
ξ =1
Figura 2.9: Variación del factor de amplificación dinámica con
la frecuencia y el amortiguamiento
18
CAPÍTULO 2
2.3.1.2.
Resonancia
Oscar Möller
En la fig.2.9 se observa que, para sistemas débilmente amortiguados, el pico de la respuesta
en estado de régimen tiene lugar para una relación de frecuencias cercana a la unidad.
La condición en la cual la relación de frecuencias vale uno, es decir cuando la frecuencia de la
carga aplicada es igual a la frecuencia natural de la vibración libre no amortiguada, se
denomina “resonancia”.
A partir de la ecuación (2.59) se deduce que para la resonancia, β = 1, el factor de
amplificación es inversamente proporcional a la relación de amortiguamiento:
Dβ =1 =
1
2ξ
(2.60)
en la cual se observa que la respuesta en estado de régimen de un sistema no amortiguado
tiende a infinito.
El valor del factor de amplificación dado en (2.60) no corresponde exactamente al máximo.
Este puede calcularse derivando (2.59) con respecto a β e igualando a cero. Entonces para las
estructuras que se presentan en la práctica, con relación de amortiguamiento ξ < 1 / 2 , la
relación de frecuencias correspondiente al factor de amplificación máximo resulta:
β pico = 1 − 2 ξ 2
(2.61)
y el valor máximo:
Dmáx =
1
(2.62)
2ξ 1 − ξ 2
Para valores corrientes de la relación de amortiguamiento ξ, la diferencia entre los resultados
de (2.62) y (2.60) es despreciable.
Para analizar en forma más completa la respuesta en condiciones de resonancia es necesario
considerar la solución general (2.55) que incluye tanto los términos del estado de régimen
como los transitorios. Bajo condiciones de resonancia, β = 1, dicha ecuación resulta
v(t ) = e − ξ ω t ( A sin(ω D t ) + B cos(ω D t ) ) −
p 0 cos(ω t )
2ξ
k
(2.63)
Suponiendo que el sistema parte del reposo, v(0) = 0 , v&(0) = 0 , las constantes son
A=
p0 ω
p
= 0
k 2ω D
k 2
p0 1
k 2ξ
(2.64)
⎤
⎛
⎞
ξ
⎜
sin(ω D t ) + cos(ω D t ) ⎟ − cos(ω t )⎥
⎜ 1−ξ 2
⎟
⎥
⎝
⎠
⎦
(2.65)
1
1−ξ
2
B=
Entonces (2.63) resulta
v(t ) =
1 p 0 ⎡⎢ − ξ ω t
e
2ξ k ⎢
⎣
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
19
Los valores de ξ corrientes en los sistemas estructurales hacen que en (2.65) pueda
despreciarse el término sin(ω D t ) y considerar ω D ≅ ω . Luego
v(t ) =
(
)
1 p0 − ξ ω t
e
− 1 cos(ω t )
2ξ k
(2.66)
Definiendo como “relación de respuesta” al cociente entre la respuesta dinámica y la estática
R (t ) =
v(t )
p0
k
(2.67)
Resulta finalmente
R (t ) ≅
(
)
1
e − ξ ω t − 1 cos(ω t )
2ξ
(2.68)
Para amortiguamiento nulo la ec.(2.65) queda indeterminada, pero aplicando la regla de
L’Hospital es posible calcular v(t) y entonces
R (t ) ≅
1
(sin(ω t ) − ω t cos(ω t ) )
2
(2.69)
Los resultados de (2.68) y (2.69) se representan en la fig.2.10
Sistema no
amortiguado
1
2ξ
Sistema
amortiguado
Figura libro 4-6, apunte pág3.18
−
1
2ξ
Figura 2.10: Respuesta en resonancia, β = 1, para condiciones iniciales de reposo
20
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
Se observa como, en ambos casos de resonancia, la respuesta crece gradualmente. En el
sistema no amortiguado crece indefinidamente alcanzando valores inadmisibles para el
sistema. Por otra parte se observa como el amortiguamiento limita la amplitud de la respuesta
en resonancia. En un número de ciclos pequeño, que depende de ξ pero es generalmente del
orden de la decena, prácticamente se alcanza el estado de régimen con la amplitud de
respuesta máxima 1 / 2ξ.
2.3.1.3.
Dispositivos para medir aceleraciones y desplazamientos
Estos instrumentos consisten esencialmente en un oscilador amortiguado como se muestra en
la fig.2.11.
k
Salida:
movimiento relativo
m
c
v&&g (t ) = v&&g 0 sin(ω t )
Entrada:
movimiento de la base
Figura 2.11: Esquema de un dispositivo de medición
El sistema está montado en un marco rígido que se fija a la superficie donde el movimiento
será medido, y la respuesta se obtiene a través del movimiento relativo de la masa con
respecto al marco: v(t).
La ecuación del movimiento de este sistema es
m v&&absoluta (t ) + c v&(t ) + k v(t ) = 0
v&&absoluta (t ) = v&&(t ) + v&&g (t )
luego
m v&&(t ) + c v&(t ) + k v(t ) = − m v&&g (t ) = p eff (t )
(2.70)
donde − m v&&g (t ) puede interpretarse como una fuerza excitatriz denominada “carga efectiva
de la masa”: peff(t).
Si la base sobre la cual está montado el instrumento se mueve armónicamente con aceleración
v&&g (t ) = v&&g 0 sin(ω t ) , la carga efectiva de la masa es p eff (t ) = −m v&&g 0 sin(ω t ) .
Entonces, de acuerdo con (2.56) y (2.59), la amplitud de la respuesta en estado de régimen
resulta
ρ=
m v&&g 0
k
D
(2.71)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
21
en donde D, dado por la ec.(2.59), está representado en la fig.2.9. Allí se observa que para una
relación de amortiguamiento ξ = 0.7, resulta D prácticamente constante para el rango de
frecuencias 0 < β < 0.6.
Entonces, a partir de la ec.(2.71), la respuesta indicada por este instrumento será directamente
proporcional a la aceleración de la base para frecuencias aplicadas de hasta 0.6 veces la
frecuencia natural del instrumento. Es decir que este instrumento, convenientemente
amortiguado, constituye un acelerómetro para frecuencias relativamente bajas. Su rango de
aplicabilidad se puede incrementar aumentando su frecuencia natural, es decir aumentando la
rigidez del resorte.
Se considera ahora la respuesta del mismo instrumento a un desplazamiento armónico de la
base v g (t ) = v g 0 sin(ω t ) . La aceleración resulta v&&g (t ) = −ω 2 v g 0 sin(ω t ) , y la carga efectiva
es peff (t ) = m ω 2 v g 0 sin(ω t ) .
Entonces, de acuerdo con (2.56) y (2.59), la amplitud de la respuesta en estado de régimen
resulta
ρ=
m ω 2 vg0
k
D = vg0 β 2 D
(2.72)
En la fig.2.12 se representa la función β2D. Se observa que β2D es prácticamente constante
para relaciones de frecuencias β > 1 y relación de amortiguamiento ξ = 0.5. Entonces, de
acuerdo con (2.72), la respuesta de este instrumento, convenientemente amortiguado, resulta
proporcional a los desplazamientos de la base para movimientos de alta frecuencia. Su rango
de aplicabilidad se incrementa reduciendo la frecuencia natural, es decir reduciendo la rigidez
del resorte o aumentando la masa.
ξ =0
ξ = 1/ 6
ξ = 1/ 4
ξ = 1/ 2
ξ =1
Figura 2.12: Respuesta del instrumento a desplazamiento armónico de la base
2.3.1.4.
Aislamiento frente a las vibraciones
El aislamiento frente a las vibraciones constituye un amplio tema del que sólo se tratarán aquí
algunos aspectos básicos. Es posible distinguir dos tipos de problemas en los que el
aislamiento frente a las vibraciones se hace necesario:
22
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
a) Una máquina genera fuerzas oscilatorias que pueden introducir vibraciones perjudiciales en
la estructura que la soporta.
b) Instrumentos sensibles de precisión pueden estar soportados por una estructura que vibra
apreciablemente.
Caso a) se ilustra en la fig.2.13. Un volante provoca una fuerza vertical oscilatoria
p0 sin(ω t ) debido a un desequilibrio de sus partes rotantes. Si esta máquina está montada
sobre un sistema resorte – amortiguador de un grado de libertad, como el que se observa en la
fig.2.13, su respuesta en estado de régimen será, de acuerdo a (2.56), (2.58):
p (t ) = p 0 sin(ω t )
m
k/2 c
k /2
f (t )
Figura 2.13: Sistema de aislación a las vibraciones para carga aplicada
p0
D sin(ω t − θ )
k
v(t ) =
(2.73)
En consecuencia la fuerza ejercida por el sistema de resortes contra la base es
f s = k v(t ) = p0 D sin(ω t − θ )
(2.74)
Por otra parte la velocidad del movimiento relativo a la base es
p0
D ω cos(ω t − θ )
k
v&(t ) =
(2.75)
Entonces la fuerza transmitida por el amortiguador a la base es
f D = c v&(t ) =
c p0
D ω cos(ω t − θ ) = 2 ξ β p 0 D cos(ω t − θ )
k
(2.76)
Esta fuerza aparece desfasada 90° con respecto a la de los resortes, luego el módulo de la
fuerza resultante ejercida sobre la base es
f max =
f s2max
+
f D2max
[
= p 0 D 1 + (2 ξ
]
1
2 2
β)
(2.77)
El cociente entre esta fuerza y el módulo de la fuerza aplicada se conoce como la
“transmisibilidad” (TR) del sistema de suspensión
TR =
f max
=
p0
f s2max + f D2max = D
1 + (2 ξ β ) 2
(2.78)
23
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
En la fig.2.14 se representa TR en función de las relaciones de amortiguamiento y frecuencias.
Puede observarse como el amortiguamiento resulta contraproducente para el aislamiento
frente a las vibraciones a partir de la relación de frecuencias crítica β = 2
ξ =0
ξ = 1/ 5
ξ = 1/ 4
ξ = 1/ 3
ξ =1
2
Figura 2.14: Relación de transmisibilidad de vibraciones
Caso b) se ilustra en la fig.2.15. La masa que debe ser aislada, está soportada por un sistema
de resorte – amortiguador de un grado de libertad conectado a la infraestructura que
experimenta un movimiento vertical armónico.
v t (t )
m
k/2 c
k / 2 v g (t ) = v g 0 sin(ω t )
Figura 2.15: Sistema de aislación a las vibraciones para excitación del apoyo
El desplazamiento relativo de la masa con respecto a la base, de acuerdo con (2.72) resulta
v(t ) = v g 0 β 2 D sin(ω t − θ )
(2.79)
Adicionando vectorialmente a esta movimiento el de la base, se comprueba que el
movimiento total de la masa es
v t (t ) = v g 0
1 + (2 ξ β ) 2 D sin(ω t − θ )
(2.80)
Definiendo para este caso a la transmisibilidad como el cociente entre la amplitud del
movimiento de la masa y la amplitud del movimiento de la base, resulta
24
CAPÍTULO 2
t
v max
=D
TR =
vg0
Oscar Möller
1 + (2 ξ β ) 2
(2.81)
Se observa que esta expresión coincide con (2.78) para el caso a). Entonces la fig.2.14 tiene
validez para las dos situaciones básicas de aislamiento frente a las vibraciones.
En el diseño de sistemas de aislamiento resulta conveniente expresar el comportamiento en
términos de su efectividad, más que de la transmisibilidad, la cual queda definida por 1 – TR.
Ejemplo 2.3
Los puentes de hormigón que consisten en una larga serie de tramos simplemente apoyados
de luces iguales, debido a la fluencia lenta, pueden tener deformaciones que causarán una
excitación armónica en un vehículo que atraviesa el puente a velocidad constante.
El sistema de suspensión del vehículo está proyectado para proveer un aislamiento frente a las
vibraciones, de modo que limitará los movimientos verticales transmitidos desde la calzada a
los ocupantes.
En la fig.2.16 se muestra el caso descripto en una forma muy simplificada
W = 18 KN
v t (t )
Velocidad: 70 Km/h
k/2
k /2
c
3 cm
L = 12 m
Figura 2.16: Esquema simplificado de un vehículo circulando por un puente
Datos del vehículo: k = 2.20 KN/cm, ξ = 0.40. Calcular el movimiento vertical en el vehículo
en estado de régimen.
De acuerdo con (2.81) será
1
t
vmax
= vg 0
⎡
⎤2
1 + (2 ξ β ) 2
⎢
2 2
2⎥
⎣ (1 − β ) + (2 ξ β ) ⎦
Para la velocidad del vehículo de 70 Km/h, el periodo de la excitación es
Tp =
12 m
= 0.617 s
70000 m
3600 s
El periodo natural del vehículo es
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
T=
Luego
β=
2π
ω
W
= 2π
kg
= 2π
25
18.00
= 0.574 s
2.20 981
T
0.574
=
= 0.930 , y con ξ = 0.40, la amplitud de la respuesta es
T p 0.617
⎡
⎤
1 + (2 0.4 0.93)
t
vmax
= 3 cm ⎢
2 2
2⎥
⎣ (1 − 0.93 ) + (2 0.4 0.93) ⎦
2
1
2
= 3 cm 1.648 = 4.94 cm
Resulta también de interés notar que si no existiera el amortiguamiento en el vehículo, ξ = 0,
la amplitud resultaría
t
vmax
= vg0
1
1− β
2
=
3 cm
1 − 0.93 2
= 22.2 cm
Este valor está por encima del rango de los elásticos y en consecuencia tiene escaso
significado, pero está demostrando la importante función de los amortiguadores para limitar
los movimientos resultantes del ondulamiento de la superficie de rodamiento.
2.3.2.
2.3.2.1.
Carga periódica
Expresión de la carga en serie de Fourier
Para tratar cargas periódicas, solamente es necesario expresarlas bajo la forma de series de
Fourier. La respuesta a cada término de la serie es simplemente la respuesta a una carga
armónica, y por el principio de superposición de efectos la respuesta total es la suma de las
respuestas correspondientes a dichos términos.
Se considera ahora una carga genérica como la representada en la fig.2.17. Esta función
periódica puede expresarse mediante la siguiente serie de Fourier
p (t )
t
Tp
Tp
Tp
Figura 2.17: Carga periódica genérica
26
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
∞
p(t ) = a0 + ∑ a n cos(
n =1
∞
2π n
2π n
t ) + ∑ bn sin(
t)
Tp
T
p
n =1
(2.82)
en donde Tp es el periodo de la carga, y los coeficientes se calculan de acuerdo a las siguientes
expresiones
1
a0 =
Tp
an =
bn =
2.3.2.2.
2
Tp
2
Tp
Tp
∫ p(t ) dt
0
Tp
∫ p(t ) cos(
0
Tp
∫ p(t ) sin(
0
2π n
t ) dt
Tp
(2.83)
2π n
t ) dt
Tp
Respuesta a la carga desarrollada en serie de Fourier
A partir de (2.55), la respuesta en estado de régimen a una carga armónica p0 sin(ω t ) es
v(t ) =
[
p0
1
(1 − β 2 ) sin(ω t ) − 2 ξ β cos(ω t )
2 2
k (1 − β ) + (2 ξ β ) 2
]
(2.84)
Esta expresión será aplicable para cada término de la serie, reemplazando
p0 por a n o bn , ω por ω n =
ω
2π n
n T n ω1
= n ω1 , β por β n = n =
=
ω Tp
ω
Tp
(2.85)
Por otra parte se debe tener en cuenta que el primer término de la serie consiste en una carga
constante, que es el promedio de la carga representado por el coeficiente a0. La respuesta en
estado de régimen a una carga constante es simplemente el desplazamiento estático
v0 =
a0
k
(2.86)
Entonces la respuesta total en estado de régimen resulta
v(t ) =
1
k
[
∞
{a + ∑
(1 − β
0
n =1
1
) + (2 ξ β )
2 2
]
2
{ [a n 2 ξ β n + bn (1 − β 2 )]sin( n ω1 t ) +
(2.87)
}
+ a n (1 − β 2 ) − bn 2 ξ β n cos(n ω1 t ) }
2.3.2.3.
Forma exponencial de la solución en serie de Fourier
Las expresiones del desarrollo de la carga en serie de Fourier (2.82), (2.83), pueden también
escribirse en forma exponencial mediante la sustitución de las funciones trigonométricas por
los términos exponenciales dados por las ecuaciones de Euler
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
1
1 −i x
− e i x ) , cos x = ( e i x + e − i x )
(e
2
2i
sin x = −
27
(2.88)
Resulta
p (t ) =
∞
∑ C n e i n ω1 t
(2.89)
n = −∞
donde
1
Cn =
Tp
Tp
∫ p(t ) e
− i n ω1 t
(2.90)
dt
0
Se debe observar que en el desarrollo en serie (2.89) por cada valor positivo de n, sea n = +m,
existe el negativo n = -m. Los factores exponenciales correspondientes del desarrollo en serie
e i n ω1 t y e − i n ω1 t resultan complejos conjugados y lo mismo ocurre con los factores C+m y C-m.
Luego, por cada término de la serie existe su conjugado, de modo que la parte imaginaria del
desarrollo en serie queda cancelada, como debe ocurrir al ser la carga p(t) una función real.
El paso siguiente es calcular la respuesta del sistema frente a una carga genérica e i ωn t , para
luego aplicar superposición de efectos. Es decir, se debe resolver la ecuación
m v&&(t ) + c v&(t ) + k v(t ) = e i ωn t
(2.91)
Nuevamente se considera sólo la respuesta en estado de régimen, asumiendo que la carga
periódica dura lo suficiente para que la respuesta transitoria desaparezca. La solución en
estado de régimen es de la forma
v(t ) = H (ω n ) e i ωn t
(2.92)
Reemplazando (2.92) en (2.91) se obtiene
H (ω n ) =
− ω n2
1
1
=
2
m + i ω n c + k k (− β n + 2 i β n ξ + 1)
1
H (n ω1 ) =
2
k ( − n β1 + 2 i n β1 ξ + 1 )
ω
con β1 = 1
ω
o bien
(2.93)
Finalmente, teniendo en cuenta (2.89) y aplicando el principio de superposición de efectos,
resulta que la respuesta total en estado de régimen del sistema a una carga periódica genérica
se puede escribir
v(t ) =
∞
∑ H (n ω1 ) C n e i n ω1 t
(2.94)
n = −∞
La ventaja en cuanto a simplicidad de la solución bajo forma exponencial surge al comparar
(2.94) con la solución en serie trigonométrica (2.87).
28
2.3.3.
2.3.3.1.
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
Carga dinámica genérica
Primer procedimiento: Respuesta en el dominio del tiempo, Integral de Duhamel
Se considera en primer lugar el caso particular de las cargas impulsivas. Consiste en un
único impulso, en general de relativamente corta duración, tal como el ilustrado en la fig.2.18.
La respuesta del sistema frente a una carga impulsiva se divide en dos fases: la fase I
correspondiente al intervalo durante el cual actúa la carga, seguida de la fase II o fase de
vibración libre.
p (t )
t1
Fase I
Fase II
t
Figura 2.18: Carga impulsiva arbitraria
Durante la fase I la estructura está sujeta a una vibración forzada bajo la carga p(t) partiendo
del reposo. Durante la fase II el movimiento corresponde a una vibración libre que tiene como
condiciones iniciales al desplazamiento y velocidad v(t1 ) , v&(t1 ) existentes al final de la fase I.
Con respecto al amortiguamiento se debe señalar que si el objetivo del análisis es calcular la
máxima respuesta de la estructura a la carga impulsiva, como ésta se alcanza en un tiempo
muy corto, antes que las fuerzas de amortiguamiento tengan efecto de manera apreciable, es
válido considerar al sistema como no amortiguado. En cambio, si por cualquier motivo
interesa una respuesta prolongada en el tiempo, en la fase II dicha respuesta deberá
considerarse con el amortiguamiento.
Para cargas impulsivas que puedan ser expresadas analíticamente por funciones simples, por
ejemplo de forma rectangular, triangular o semionda sinusoidal, pueden calcularse soluciones
cerradas para la ecuación de movimiento.
Se considera ahora una carga impulsiva de muy corta duración, tal como la representada
en la fig.2.19.
Se propone calcular ahora, en forma aproximada, las condiciones iniciales de la fase II.
Debido a la corta duración de la carga se considera a p(t) constante en el intervalo, e igual a
p(τ). A partir de la ley de Newton se calculan las variaciones en la velocidad y el
desplazamiento provocadas por el sólo efecto de la carga
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
29
p (t )
p (τ )
∆τ
τ
Fase I
t
Fase II
Figura 2.19: Carga impulsiva de muy corta duración
Será
m v&&(t ) = p (t )
t
1
∫ dv& = m
τ
o m
dv&(t )
= p(t ) , luego
dt
p(τ )
∫ p(t ) dt ≅ m ∫ dt
τ
τ
t
t
Resulta así, en el intervalo de acción de la carga:
p (τ )
v&(t ) ≅
(t − τ ) , de donde se deduce
m
p(τ )
p(τ ) ∆τ 2
∆τ y v(τ + ∆τ ) ≅
v&(τ + ∆τ ) ≅
m
m
2
(2.95)
(2.96)
Es decir que para ∆τ pequeño, v(τ +∆τ) resulta de segundo orden, o despreciable, con respecto
a v&(τ + ∆τ ) .
Por otra parte como las fuerzas elásticas resistentes son proporcionales al desplazamiento,
también resultan despreciables, de modo que será válido en la fase I considerar sólo el efecto
de la carga impulsiva, recordando que por la corta duración del intervalo no se considera el
efecto del amortiguamiento.
Entonces después de una fase I de corta duración, la fase II se inicia prácticamente con la
velocidad inicial v&(τ + ∆τ ) de (2.96). Luego, aplicando la solución (2.17) correspondiente a
vibraciones libres no amortiguadas, la respuesta en fase II será de la forma
v(t ) ≅
p (τ )
∆τ sin (ω [ t − (τ + ∆τ )])
mω
siendo t > τ + ∆τ
(2.97)
30
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
Se considera ahora el caso de una carga dinámica genérica tal como la representada en la
fig.2.20
p (t )
p (τ )
τ
dτ
t
dv(t ) respuesta
(t − τ )
Figura 2.20: Carga impulsiva genérica
A esta carga se la puede representar como la sucesión de cargas impulsivas p(τ) de duración
infinitesimal dτ. De acuerdo con lo visto, para una de estas cargas, originada en el instante τ,
se tiene una fase I que tiende a cero y no interviene en la solución, y una fase II que de
acuerdo con (2.97) da lugar a la siguiente respuesta
dv(t ) =
p (τ )
dτ sin (ω (t − τ ) )
mω
siendo t > τ
(2.98)
Se debe notar aquí que en esta expresión dv(t) representa la respuesta infinitésima a un
impulso infinitésimo, a lo largo del tiempo t > τ, y no es la variación de v(t) durante un cierto
intervalo de tiempo dt. Por otra parte esta expresión, en lugar de ser aproximada como la
(2.97) que le da origen, resulta exacta debido al carácter infinitésimo del intervalo
considerado dτ.
Como la carga ha sido considerada como una sucesión de cargas impulsivas infinitésimas, la
respuesta total será, aplicando el principio de superposición de efectos, la suma de las
respuestas (2.98) con respecto a la variable τ, desde cero al instante t considerado
v(t ) =
1
mω
t
∫ p(τ ) sin (ω (t − τ ) ) dτ
(2.99)
0
Esta expresión es generalmente conocida como la integral de Duhamel para un sistema no
amortiguado. También puede expresarse bajo la forma:
t
v(t ) = ∫ p(τ ) h(t − τ ) dτ
donde
0
1
h(t − τ ) =
sin (ω (t − τ ) )
mω
(2.100)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
31
La ecuación (2.100) se denomina: integral de convolución, y cuando se calcula la respuesta de
una estructura a una carga dada utilizando esta integral se dice que se ha obtenido la respuesta
en el dominio del tiempo.
La función h(t-τ) es generalmente denominada como la respuesta al impulso unitario, definida
en este caso para un sistema no amortiguado, porque expresa la respuesta del sistema a un
impulso de magnitud unitaria aplicado en el instante t = τ.
En la ecuación (2.99) está implícito que la carga se origina en el instante t = 0 y que la
estructura estaba en reposo en dicho instante. Para otras condiciones iniciales,
v(0) ≠ 0 , v&(0) ≠ 0 , debe adicionarse a la respuesta una vibración libre adicional, resultando
así, en general
v(t ) =
v&(0)
ω
sin(ω t ) + v(0) cos(ω t ) +
1
mω
t
∫ p(τ ) sin (ω (t − τ ) ) dτ
(2.101)
0
La respuesta de sistemas amortiguados se puede expresar mediante la integral de
Duhamel en forma completamente análoga al caso de sistemas no amortiguados, excepto que
la vibración libre originada por la carga impulsiva diferencial p(τ) dτ, está sujeta a una
declinación exponencial.
Entonces haciendo v(0) = 0 , v&(0) =
p (τ ) dτ
en la ecuación (2.33), se llega a
m
⎡ p(τ )
⎤
dv(t ) = e − ξ ω (t −τ ) ⎢
dτ sin (ω D (t − τ ) )⎥
⎣ mωD
⎦
siendo t > τ
(2.102)
En donde la declinación exponencial comienza tan pronto es aplicada la carga, en el instante
t = τ . Sumando estas respuestas infinitésimas, finalmente se obtiene la solución bajo la forma
v(t ) =
t
1
mωD
∫ p(τ ) e
− ξ ω ( t −τ )
sin (ω D (t − τ ) ) dτ
(2.103)
0
La cual para ξ = 0 se reduce a la (2.99).
Comparando (2.103) con la integral de convolución (2.100) se observa que la respuesta al
impulso unitario para un sistema amortiguado, está dada por:
h(t − τ ) =
1
mωD
e − ξ ω (t −τ ) sin (ω D (t − τ ) )
(2.104)
Evaluación numérica de la integral de Duhamel
Si la función de la carga aplicada es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede se
evaluada por la integración formal de (2.99), (2.101) o (2.103) según corresponda. Sin
embargo en muchos casos la carga es conocida solo por datos experimentales, y la respuesta
debe ser evaluada por un proceso numérico. Para ello es útil recordar la identidad
trigonométrica
32
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
sin (ω D (t − τ ) ) = sin(ω D t − ω Dτ )
= sin(ω D t ) cos(ω Dτ ) − cos(ω D t ) sin(ω Dτ )
(2.105)
Luego, para condiciones iniciales nulas, (2.103) se puede escribir
v(t ) = A(t ) sin(ω D t ) − B(t ) cos(ω D t )
A(t ) =
B(t ) =
1
mωD
1
mωD
t
∫ p(τ )
0
t
∫ p(τ )
0
donde
eξ ω τ
cos(ω Dτ ) dτ
eξ ω t
(2.106)
eξ ω τ
sin(ω Dτ ) dτ
eξ ω t
La integración numérica de la integral de Duhamel requiere la evaluación de las integrales
A(t) y B(t) numéricamente. Por ejemplo para A(t), y suponiendo por simplicidad que la
función y(t) a ser integrada ha sido evaluada en incrementos iguales ∆τ : y0, y1, y2, .... , yN-1, el
valor de la integral se puede obtener aproximadamente sumando dichas ordenadas
multiplicadas por adecuados factores de peso. Expresado matemáticamente es
A(t ) =
en la cual
1
ζ
1
mωD
t
∫ y (τ ) dτ ≅
0
∆τ 1
mωD ζ
A
∑ (t )
(2.107)
ζ
A
∑ (t )
representa el proceso de sumatoria numérico, cuya forma específica
ζ
depende del orden de integración aproximada utilizada. Por ejemplo:
-
Simple sumatoria: ζ = 1
A
∑ (t ) = y 0 + y1 + y 2 + L + y N −1
(2.108 a)
1
-
Regla de trapecios: ζ = 2
A
∑ (t ) = y 0 + 2 y1 + 2 y 2 + L + 2 y N −1 + y N
(2.108 b)
2
-
Regla de Simpson: ζ = 3
A
∑ (t ) = y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + L + 4 y N −1 + y N
(2.108 c)
3
donde N = t / ∆τ debe ser un número par para la regla de Simpson.
Para obtener la historia de la respuesta, ésta debe ser evaluada sucesivamente en una
secuencia de tiempos t1, t2, ..., donde el intervalo entre esos tiempos es ∆τ ( o 2∆τ si se
utiliza la regla de Simpson). Entonces, es más conveniente expresar las sumatorias (2.108) en
forma incremental
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
-
Simple sumatoria: ζ = 1
A
⎡
A
⎤
1
⎣
1
⎦
∑ (t ) = ⎢∑ (t − ∆τ ) + p(t − ∆τ ) cos(ω D (t − ∆τ ))⎥ exp(−ξ ω ∆τ )
-
33
(2.109 a)
Regla de trapecios: ζ = 2
⎡A
⎤
=
(
t
)
∑ ⎢∑ (t − ∆τ ) + p(t − ∆τ ) cos(ω D (t − ∆τ ))⎥ exp(−ξ ω ∆τ )
2
⎣2
⎦
+ p (t ) cos(ω D t )
A
-
(2.109 b)
Regla de Simpson: ζ = 3
⎡A
⎤
=
(
t
)
∑ ⎢∑ (t − 2∆τ ) + p(t − 2∆τ ) cos(ω D (t − 2∆τ ))⎥ exp(−ξ ω 2∆τ )
3
⎣3
⎦
+ 4 p(t − ∆τ ) cos(ω D (t − ∆τ ) ) exp(−ξ ω ∆τ ) + p(t ) cos(ω D t )
A
(2.109 c)
La evaluación del término B(t) puede ser realizado exactamente de la misma manera
B(t ) ≅
en la cual
1
ζ
∆τ 1 B
∑ (t )
mωD ζ ζ
(2.110)
B
∑ (t ) se evalúa con expresiones idénticas a
(2.109) reemplazando las funciones
ζ
coseno por funciones seno.
La precisión de la solución, con cualquiera de estos procesos numéricos, depende de la
longitud del intervalo de tiempo ∆τ. En general debe ser seleccionado suficientemente corto
para que la función de carga y las funciones trigonométricas estén bien definidas. Una regla
práctica que en general da buenos resultados es ∆τ < T/10 , donde T es el periodo del sistema
o de la carga, el que sea menor.
2.3.3.2.
Segundo procedimiento: Respuesta en el dominio de las frecuencias
Se presenta como una alternativa frente al procedimiento de la integral de Duhamel y con la
misma generalidad. Es una extensión del análisis de la respuesta para cargas periódicas
utilizando el desarrollo en serie de Fourier, al caso de cargas dinámicas genéricas.
Se considera una carga cualquiera no periódica, como la representada en la fig.2.21 en
línea continua.
Cuando esta carga se desarrolla en serie de Fourier, aplicando la forma exponencial (2.89),
(2.90), el resultado consiste en una función periódica tal como se observa en la fig.2.21 en
líneas de trazos además de la línea continua. Las cargas repetitivas espúreas pueden ser
eliminadas extendiendo a infinito el periodo adoptado para representar la carga en serie de
Fourier.
34
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
p (t )
t
− Tp
−
0
Tp
2
Tp
2
Tp
3T p
2Tp
2
Figura 2.21: Carga arbitraria representada por serie de Fourier
Se vuelven a escribir las expresiones (2.89), (2.90) en forma ligeramente modificada,
utilizando la siguiente notación
1 ω1 ∆ω
=
=
T p 2π 2π
Tp
Cn Tp =
∫ p(t ) e
(2.111)
− i ωn t
dt = C (ω n )
0
Luego, (2,89) y (2.90) resultan
p (t ) =
∞
1
2π
∑ C (ω n ) e i ωn t ∆ω
(2.112)
n = −∞
Tp
2
C (ω n ) =
−
∫T p(t ) e
− i ωn t
dt
(2.113)
p
2
donde ω n = n ω1 = n ∆ω .
Además en (2.113) se han modificado los límites de la integral con respecto a (2.90), ya que
son arbitrarios con tal que abarquen el periodo completo de la carga.
Ahora, si el periodo de la carga se extiende a infinito, T p → ∞ , el incremento de las
frecuencias se hace infinitésimo ∆ω → dω , y las frecuencias discretas ω n se transforman en
una variable continua ω .
Entonces en el límite, la serie de Fourier (2.112) se convierte en la siguiente integral de
Fourier
p (t ) =
en donde
1
2π
∞
∫ C (ω ) e
−∞
iω t
dω
(2.114)
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
∞
∫ p(t ) e
C (ω ) =
−iω t
35
(2.115)
dt
−∞
Estas dos integrales son conocidas como un par de transformadas de Fourier, porque la
función del tiempo puede calcularse a partir de la función de la frecuencia y viceversa,
aplicando procesos equivalentes.
Una condición necesaria para la existencia de la transformada de Fourier es que la integral
∞
∫−∞ p(t ) dt
sea finita.
Luego, análogamente que para cargas periódicas, se calcula la respuesta del sistema frente a
una carga genérica e i ω t , y resulta
v(t ) = H (ω ) e i ω t
(2.116)
donde H (ω ) de manera similar a (2.93) es
H (ω ) =
1
k (− β + 2 i β ξ + 1)
con β =
2
ω
ω
(2.117)
Finalmente, teniendo en cuenta (2.114), la respuesta para una carga dp(t) será
dv(t ) =
1
H (ω ) C (ω ) e i ω t dω
2π
(2.118)
y aplicando superposición de efectos, la respuesta total resulta
1
v(t ) =
2π
∞
∫ H (ω ) C (ω ) e
iω t
dω
(2.119)
−∞
donde
H (ω ) C (ω ) = V (ω ) =
∞
∫ v(t ) e
− iω t
dt
(2.120)
−∞
Esta expresión se conoce como expresión fundamental para el análisis de la respuesta en el
dominio de las frecuencias. Para su aplicación es necesario evaluar previamente C (ω ) a
partir de p (t ) según (2.115), transformada de Fourier de la carga, y reemplazar H (ω ) según
(2.117).
Notar que v(t ) , V (ω ) constituyen un par de Fourier, y V (ω ) es la respuesta del sistema en el
dominio de las frecuencias.
Análisis numérico en el dominio de las frecuencias
La aplicación del procedimiento de análisis en el dominio de las frecuencias está limitado a
casos para los cuales la transformada de la carga aplicada esté disponible, y aún en esos casos
la evaluación de las integrales puede ser un proceso tedioso. Para hacer práctico el uso del
método es necesario formularlo en términos de un procedimiento de análisis numérico, el cuál
tiene dos fases:
36
CAPÍTULO 2
Oscar Möller
(i) Transformada discreta de Fourier
El primer paso es obtener expresiones de la transformada discreta de Fourier (DFT) que
corresponda a las expresiones integrales (2.114), (2.115). Para ello se asume que la carga es
periódica de periodo Tp. Esto constituye una aproximación en el tratamiento de una carga
general, pero es necesario para reemplazar la integral infinita en el tiempo (2.115) por una
suma finita. La elección del periodo de la carga también sirve para definir la frecuencia más
baja a considerar en el análisis
ω1 = ∆ω =
2π
Tp
(2.121)
El periodo de la carga es dividido en N incrementos iguales ∆t, y la carga es definida para los
tiempos discretos tm = m ∆t. Luego, los términos exponenciales de (2.112) se pueden escribir
exp(i ω n t m ) = exp(i n ∆ω m ∆t ) = exp( 2π i
nm
)
N
(2.122)
Entonces la ec.(2.112) toma la forma discreta
p (t m ) =
∆ω
2π
N −1
∑ C (ω n ) exp( 2π i
n=0
nm
)
N
(2.123)
en la cual la frecuencia más alta a ser considerada ha sido arbitrariamente establecida en
(N − 1) ∆ω .
La correspondiente expresión discreta para la función amplitud C (ω ) puede ser obtenida
sustituyendo la integral de (2.113) por la suma de términos finitos de la serie, y resulta
C (ω n ) = ∆t
N −1
∑ p(t m ) exp( − 2π i
n =0
nm
)
N
(2.124)
Las ecuaciones (2.123) y (2.124) son un par de Transformadas Discretas de Fourier que
corresponden a las transformadas continuas (2.114) y (2.115).
Cuando se utilizan las transformadas discretas hay que recordar que están basadas en la
suposición que la carga es periódica. Para minimizar el error en el análisis de cargas no
periódicas, el periodo de la carga se debe extender con la inclusión de un intervalo
significante de ceros en el periodo Tp.
(ii) Transformada rápida de Fourier
El segundo paso es desarrollar un procedimiento numérico eficiente para evaluar las sumas en
las dos ecuaciones de la DFT. Para ello se tiene en cuenta que las funciones exponenciales
involucradas son armónicas y se extienden sobre el rango N2. Solamente valores discretos de
m y n son utilizados en las exponenciales, y se aprovecha la ventaja de la duplicación de
valores cuando se forman las sumas en la DFT.
Se ha desarrollado un algoritmo, denominado Transformada Rápida de Fourier (FFT), cuyo
desarrollo no se incluye aquí, que es eficiente y potente, haciendo al análisis en el dominio de
las frecuencias computacionalmente competitivo con el tradicional análisis en el dominio del
tiempo.
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
37
CAPÍTULO 3
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
3.1. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Los sistemas continuos, de infinitos grados de libertad, generalmente son reducidos al caso de
sistemas de varios grados de libertad mediante una adecuada discretización. La ecuación de
movimiento, o de equilibrio dinámico resulta:
[ m ] {v&&(t )} + [ c ] {v&(t )} + [ k ] {v(t )} = {p(t )}
(3.1)
donde [ m ] , [ c ] , [ k ] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de dimensiones
NxN, siendo N el número de grados de libertad; {v(t )} es el vector de desplazamientos, Nx1,
(corrimientos o rotaciones) de los nodos de la estructura definidos en la discretización; {p(t )}
es el vector de cargas, Nx1, en los nodos, equivalentes a las cargas exteriores.
La ecuación matricial (3.1) expresa las N condiciones de equilibrio dinámico en
correspondencia con los grados de libertad del sistema.
Para resolver esta ecuación se comienza por considerar el caso de vibraciones libres no
amortiguadas.
3.2. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
3.2.1.
Análisis de frecuencias de vibración
A partir de la ecuación (3.1) resulta para este caso
[ m ] {v&&(t )} + [ k ] {v(t )} = { 0 }
(3.2)
Esta ecuación exige un vector desplazamiento proporcional al vector aceleración pero con
signo opuesto, es decir: {v&&(t )} = −ω 2 {v(t )}, por ejemplo
38
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
{v(t )} = { vˆ } sin(ω t + θ )
(3.3)
También resulta equivalente proponer
{v(t )} = { vˆ } cos(ω t + θ1 )
donde θ1 = θ +
π
{v(t )} = { vˆ } cos(ω (t − θ 2 ) ) donde θ 2 = − θ
ω
2
(3.4)
En (3.3), el vector { v̂ } representa la forma del sistema, la cual no cambia con el tiempo, sólo
la amplitud varía, ω es la frecuencia circular del movimiento y θ es un ángulo de fase.
Sustituyendo la ecuación (3.3) en (3.2), resulta
− ω 2 [ m ] { vˆ } sin(ω t + θ ) + [ k ] { vˆ } sin(ω t + θ ) = { 0 }
(3.5)
Dividiendo por sin(ω t + θ ) , se llega a
([ k ]− ω
2
[ m ] ) { vˆ } = { 0 }
(3.6)
Se presenta así un sistema de N ecuaciones lineales homogéneas, siendo N la cantidad de
grados de libertad de la estructura, donde { v̂ } es el vector de las incógnitas y [ k ] − ω 2 [ m ]
la matriz del sistema.
(
)
Para que exista solución no trivial { vˆ } ≠ { 0 }, se debe anular el determinante de la matriz del
sistema, es decir que se debe cumplir
[ k ]− ω 2 [ m ]
=0
(3.7)
La expresión (3.7) es una ecuación algebraica en ω2 de grado N, para un sistema de N grados
de libertad. Se denomina la ecuación de las frecuencias del sistema o la ecuación
característica del sistema.
Las N raíces de esta ecuación ( ω12 , ω 22 , L, ω N2 ) representan las frecuencias de los N modos
de vibración posibles en el sistema. El modo que tiene la frecuencia más baja se lo llama
“primer modo”, y así sucesivamente.
Las frecuencias se las agrupa en el vector de frecuencias
⎡ ω1
⎢ω
⎢ 2
{ω } = ⎢ ω 3
⎢
⎢ M
⎢⎣ ω N
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(3.8)
Se demuestra que para matrices de masa y rigidez definidas positivas, simétricas y reales, lo
que corresponde a sistemas estructurales estables, todas las raíces de la ecuación de
frecuencias son reales y positivas.
39
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
3.2.2.
Análisis de las formas de modos de vibración
Una vez que las frecuencias de vibración han sido determinadas a partir de la ecuación (3.7),
se reemplaza una raíz genérica ω n2 en (3.6), y se obtiene una solución no trivial { vˆ } ≠ { 0 }
eligiendo arbitrariamente el valor de una de las componentes de dicho vector y calculando las
restantes en función de ésta.
Por ejemplo habiendo elegido la primera componente del vector igual a la unidad se tendrá:
⎡ vˆ1n
⎢ vˆ
⎢ 2n
{ vˆn } = ⎢ vˆ3n
⎢
⎢ M
⎢⎣ vˆ Nn
⎤ ⎡ 1
⎥ ⎢ vˆ
⎥ ⎢ 2n
⎥ = ⎢ vˆ3n
⎥ ⎢
⎥ ⎢ M
⎥⎦ ⎢⎣ vˆ Nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(3.9)
Entonces una solución genérica de (3.2) resulta, de acuerdo con (3.3)
{vn (t )} = { vˆn }sin(ω n t + θ n )
(3.10)
donde {v n (t )} representa uno de los N modos naturales de vibración del sistema de N grados
de libertad. ω n es la correspondiente frecuencia circular, y { v̂ } representa la forma de dicho
modo natural de vibración.
De manera que la solución general del problema de las vibraciones libres no amortiguadas,
resulta una combinación lineal de los N modos naturales de vibración del sistema:
N
N
{v(t )} = ∑ C n {vn (t )} = ∑ C n {vˆn } sin(ω n t + θ n )
n =1
(3.11)
n =1
Donde las constantes Cn y θn se determinan a partir de las condiciones iniciales de cada grado
de libertad v n (0) , v&n (0) , (n = 1, 2,L , N ) .
Con condiciones iniciales adecuadamente impuestas resulta posible provocar la vibración en
uno cualquiera de los modos naturales, que constituyen características intrínsecas de la
estructura.
Como se observa en (3.10), en un modo natural cada punto de la estructura ejecuta un
movimiento armónico alrededor de una posición de equilibrio estático, todos los puntos pasan
por su posición de equilibrio en el mismo instante y alcanzan su posición extrema
simultáneamente.
Vale decir que la frecuencia de la oscilación es la misma para todos los puntos y constituye la
frecuencia natural de la estructura para ese modo particular.
La configuración deformada { v̂ n } de un cierto modo, permanece constante mientras la
estructura vibra en ese modo, entre la posición de equilibrio y la posición extrema,
caracterizada por una amplitud variable para cada caso, según las condiciones iniciales
impuestas.
40
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Es conveniente remarcar que, como surge de (3.7), el número de modos naturales de una
estructura es igual al número de sus grados de libertad, ya que puede demostrarse que para
matrices de masa y rigidez, reales, simétricas y positivas definidas pertenecientes a sistemas
estructurales estables, todas las raíces de (3.7) serán reales y positivas.
En general cada modo es diferente de todos los otros y su frecuencia es también distinta.
Puede ocurrir que varios modos tengan la misma frecuencia aunque esta situación es poco
frecuente en las estructuras. Sin embargo no es inusual el caso en que varios modos tengan
frecuencias aproximadamente iguales, para cuya determinación se requiere gran precisión
numérica o experimental.
Por otra parte resulta conveniente expresar la forma de cada modo en forma adimensional,
para lo cual, para el modo genérico n-ésimo, se dividen todas las componentes del vector
{ v̂n } por una componente de referencia, usualmente la mayor. El vector resultante {φn } se
denomina la forma o configuración del modo n-ésimo.
⎡ φ1n
⎢φ
⎢ 2n
{φ n } = ⎢ φ3n
⎢
⎢ M
⎢⎣ φ Nn
⎤
⎡ 1 ⎤
⎥
⎢ vˆ ⎥
2n ⎥
⎥
1 ⎢
⎥=
⎢ vˆ3n ⎥
⎥ vˆkn ⎢
⎥
⎥
⎢ M ⎥
⎥⎦
⎢⎣ vˆ Nn ⎥⎦
(3.12)
En donde v kn es la componente de referencia.
Se designa con [ Φ ] a una matriz cuadrada de dimensión NxN, cuyas columnas están
formadas por los vectores modales, es decir
[ Φ ] = [ {φ1 } {φ2 }
⎡ φ11 φ12 L φ1N ⎤
⎢φ
φ 22 L φ 2 N ⎥⎥
21
⎢
L {φ N } ] =
⎢ M
M
M ⎥
⎢
⎥
⎣ φ N 1 φ N 2 L φ NN ⎦
(3.13)
Ejemplo 3.1
Determinar los modos naturales de vibración del pórtico de la fig.3.1.
Se supone a las masas concentradas en los pisos con los valores indicados en la figura. Por
otra parte se supone a las vigas rígidas y a las columnas axialmente rígidas, de modo que
éstas, en cada piso, actúan como resortes laterales cuyos coeficientes de rigidez,
correspondiente al conjunto de las columnas del piso, se muestra en la fig.3.1(a).
La matriz de rigidez de este pórtico puede determinarse aplicando un desplazamiento unitario
a cada piso sucesivamente y evaluando las fuerzas resultantes en correspondencia con cada
piso.
Debido a que las vigas se han supuesto rígidas, las fuerzas de piso pueden determinarse
fácilmente por simple adición de las rigideces transversales de las columnas conectadas a él,
que han experimentado desplazamiento. Este procedimiento se muestra en la fig.3.1(b).
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
1.80
v1 = 1
KN s 2
cm
2.70
3.60
v1
KN
1070
cm
v2
v2 = 1
k11 = 1070
k12 = −1070
41
v3 = 1
k13 = 0
1
1
k 21 = −1070
k 22 = 3210
k 23 = −2140
2140
v3
3210
(a)
1
k 31 = 0
k 32 = −2140
k 33 = 5350
(b)
Figura 3.1: Pórtico para análisis de vibración
Entonces las matrices de masa y de rigidez para este tipo de pórtico, de tres grados de libertad,
resultan
0 ⎤
⎡ 1.0 0
KN s 2 ⎢
0 1.5 0 ⎥⎥ ,
[ m ] = 1.80
⎢
cm
⎢⎣ 0
0 2.0 ⎥⎦
luego
⎡ 1 −1 0 ⎤
KN ⎢
[ k ] = 1070 ⎢ − 1 3 − 2 ⎥⎥
cm
⎢⎣ 0 − 2 5 ⎥⎦
−1
0 ⎤
⎡1− B
KN ⎢
[ k ] − ω [ m ] = 1070 ⎢ − 1 3 − 1.5B − 2 ⎥⎥
cm
−2
5 − 2 B ⎦⎥
⎣⎢ 0
2
donde
B=
ω2
600
Las frecuencias naturales del pórtico se obtendrán igualando a cero el determinante de la
matriz de la ecuación anterior. Esto conduce a la ecuación
B 3 − 5 .5 B 2 + 7 .5 B − 2 = 0
Las tres raíces resultan
B1 = 0.351 , B2 = 1.61 , B3 = 3.54
Luego las frecuencias son
⎡ ω12
⎢ 2
⎢ ω2
⎢ ω 32
⎣
⎤
⎡ 0.351 ⎤
⎡ ω1 ⎤ ⎡ 14.5 ⎤
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ rad
⎥ = 600 ⎢ 1.61 ⎥ , → ⎢ ω 2 ⎥ = ⎢ 31.1 ⎥ s
⎥
⎢⎣ 3.54 ⎥⎦
⎢⎣ ω 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 46.1 ⎥⎦
⎦
42
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Se calculan ahora las formas de los modos naturales de vibración, eligiendo según (3.9) la
primera componente del vector genérico { v̂ n } igual a la unidad, resultando
⎡ 1 − Bn
⎢ −1
⎢
⎢⎣ 0
−1
⎤
− 2 ⎥⎥
5 − 2 Bn ⎥⎦
0
3 − 1.5 Bn
−2
⎡ 1
⎢ vˆ
⎢ 2n
⎢⎣ vˆ3n
⎤ ⎡0⎤
⎥ = ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
de donde surge la ecuación:
⎡ − 1 ⎤ ⎡ 3 − 1.5 Bn
⎢ 0 ⎥ + ⎢ −2
⎣ ⎦ ⎣
− 2 ⎤ ⎡ vˆ2 n ⎤ ⎡ 0 ⎤
=
5 − 2 Bn ⎥⎦ ⎢⎣ vˆ3n ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Luego
⎡ vˆ2 n ⎤
⎡ 3 − 1.5Bn
⎢ vˆ ⎥ = − ⎢ − 2
⎣
⎣ 3n ⎦
−2 ⎤
5 − 2 Bn ⎥⎦
−1
⎡1⎤
⎢0⎥
⎣ ⎦
Introduciendo uno por vez los valores de B calculados, se obtiene finalmente
⎡ 1.000 ⎤
{ vˆ1 } = ⎢⎢ 0.644 ⎥⎥ ,
⎢⎣ 0.300 ⎥⎦
⎡ 1.000 ⎤
{ vˆ2 } = ⎢⎢ − 0.601 ⎥⎥ ,
⎢⎣ − 0.676 ⎥⎦
⎡ 0.389 ⎤
{ vˆ3 } = ⎢⎢ − 1.000 ⎥⎥
⎢⎣ 0.961 ⎥⎦
En la fig.3.2 se muestran las formas de los tres modos naturales de vibración del pórtico.
1.000
1.000
− 0.601
0.644
0.389
− 1.000
− 0.676
0.300
Modo 1
0.961
Modo 2
Modo 3
rad
rad
rad
ω 2 = 31.1
ω 3 = 46.1
s
s
s
Figura 3.2: Modos naturales de vibración del pórtico
ω1 = 14.5
3.2.3.
Condiciones de ortogonalidad de los modos naturales de vibración
Considerando dos vectores modales { v̂ m } y { v̂ n } , a partir de (3.6) se tiene que
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
[ k ] { vˆn } − ω n2 [ m ] { vˆn } = { 0 }
[ k ] { vˆm } − ω m2 [ m ] { vˆm } = { 0 }
43
(3.14)
Multiplicando por { v̂ m } a la primera y por { v̂ n } a la segunda, resulta
T
T
{ vˆm }T [ k ] { vˆn } − ω n2 { vˆm }T [ m ] { vˆn } = 0
{ vˆn }T [ k ] { vˆm } − ω m2 { vˆn }T [ m ] { vˆm } = 0
(3.15)
Siendo [k] y [m] matrices simétricas, de esta última ecuación se deduce:
{ vˆm }T [ k ] { vˆn } − ω m2 { vˆm }T [ m ] {vˆn } = 0
(3.16)
Restando (3.16) de la primera de (3.15) se obtiene
(ω
2
m
− ω n2
) {vˆ
m
}T [ m ]{ vˆn } = 0
(3.17)
bajo la condición de N frecuencias diferentes, como ocurre en general en las estructuras
ω m ≠ ω n , luego
{ vˆm }T [ m ] { vˆn } = 0
ωm ≠ ωn
(3.18)
Esta ecuación muestra que los vectores de las formas modales son ortogonales con respecto a
la matiz de masa.
Análogamente se demuestra que:
{ vˆm }T [ k ] { vˆn } = 0
ωm ≠ ωn
(3.19)
Vale decir que los vectores de las formas modales son también ortogonales con respecto a la
matriz de rigidez.
En general es conveniente expresar las condiciones de ortogonalidad en términos de las
formas o configuraciones adimensionales de los modos, vectores {φ n }. La ecuaciones (3.18)
y (3.19) siguen valiendo cuando se las dividen por cualquier par de componentes de
referencia de los vectores { v̂ m } y { v̂ n } , entonces las condiciones de ortogonalidad resultan:
{φ m }T [ m ] {φ n } = 0
{φ m }T [ k ] {φ n } = 0
3.2.4.
ωm ≠ ωn
ωm ≠ ωn
(3.20)
Normalización de los modos naturales de vibración
Como ya fue descrito, los vectores que representan las formas o condiciones modales pueden
presentarse de diversas formas.
Por ejemplo, haciendo igual a la unidad la amplitud de uno de los grados de libertad,
generalmente el primero, y determinando los restantes en correspondencia con esa elección.
En este caso se dice que la forma del modo ha sido normalizada con respecto a la coordenada
de referencia especificada.
44
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Otro procedimiento de normalización, como variante del anterior, consiste en adoptar como
coordenada de referencia, para cada modo, la de mayor amplitud. Entonces, el máximo valor
en cada vector modal será la unidad, lo que asigna números convenientes para ser utilizados
en cálculos siguientes.
Sin embargo el procedimiento de normalización más comúnmente usado en programas de
computación, consiste en calcular vectores de forma o configuraciones modales que satisfacen
la condición:
{φˆ } [ m ] {φˆ }= 1
T
n
(3.21)
n
Esto se consigue calculando previamente el siguiente escalar
{ vˆn }T [ m ] { vˆn } = Mˆ n
(3.22)
Donde { v̂ n } representa la forma del modo n-ésimo con amplitudes arbitrarias.
Luego será:
{φˆ }= { vˆ
n
1
ˆ −
n }Mn 2
(3.23)
ya que así se verifica la ecuación (3.21).
Una consecuencia de este tipo de normalización, junto con la condición de ortogonalidad con
respecto a la matriz de masa, es la siguiente:
[ Φˆ ] [ m ] [ Φˆ ] = [ I ]
(3.24)
Donde [ Φ̂ ] es la matriz cuadrada de dimensión N x N, formada por el conjunto de los N
T
vectores modales normalizados
[ Φˆ ] = [{φˆ } {φˆ }
1
2
L
{φˆ }]
N
(3.25)
Cuando los vectores que representan las configuraciones modales han sido normalizados de
esta forma, se dicen que son ortonormales con respecto a la matriz de la masa.
3.2.5.
Independencia lineal de los modos naturales de vibración
Los vectores { v̂ n } son linealmente independientes.
En efecto: serían linealmente dependientes si existiera un conjunto de constantes no todas
nulas, para las que se cumple
C1 { vˆ1 } + C 2 { vˆ2 } + L + C N { vˆ N } = 0
(3.26)
A continuación se prueba que esta ecuación implica que C i = 0 , i = 1,L, N , en consecuencia
tal conjunto no existe y por consiguiente los vectores { v̂ n } son linealmente independientes.
T
Multiplicando a la ecuación anterior por { vˆn } [ m ] resulta
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
T
T
T
C1 { vˆn } [ m ] { vˆ1 } + L + C n { vˆn } [ m ] { vˆn } + L + C N { vˆn } [ m ] { vˆ N } = 0
1442443
1442443
1442443
=0
≠0
45
(3.27)
=0
Luego: C n = 0 , i = 1, 2,L , N
3.2.6.
Métodos para calcular autovalores y autovectores
El problema de los valores propios de una matriz cuadrada genérica dada [A], queda
expresado por la siguiente ecuación
[ A ] {v } = λ {v }
(3.28)
Los vectores { v } no nulos que satisfacen esta ecuación son los denominados autovectores o
vectores propios de la matriz dada, y los correspondientes valores de la constante de
proporcionalidad λ son los denominados autovalores o valores propios de la matriz.
La ecuación anterior puede escribirse
( [ A ] − λ [ I ] ){ v } = { 0 }
(3.29)
de donde surge que los autovalores son las raíces de la ecuación
[ A]−λ [I ]
=0
(3.30)
Luego para cada valor de λ, volviendo al sistema lineal de ecuaciones homogéneas planteado
en (3.29), es posible determinar el autovector correspondiente eligiendo arbitrariamente una
de sus componentes y calculando las restantes.
Entonces, siendo la matriz [A] dada de orden NxN, existen N autovalores y autovectores.
Cada autovector está determinado salvo una constante de proporcionalidad.
El problema de la determinación de las frecuencias y modos naturales de vibración de una
estructura es un problema de valores propios. En efecto, a partir de la ecuación (3.6),
multiplicando por [k]-1 y dividiendo por ω2, resulta
[ k ]−1 [ m ] { vˆ } =
1
ω2
{ vˆ }
(3.31)
Al producto matricial [ k ]−1 [ m ] que representa todas las propiedades dinámicas de la
estructura no amortiguada, se lo denomina matriz dinámica
[ D ] = [ k ]−1 [ m ]
(3.32)
y entonces (3.31) resulta
[ D ] { vˆ } =
1
ω2
{ vˆ }
(3.33)
Comparando con (3.28) resulta que los vectores { v̂ } , representativos de las formas modales,
son los autovectores, y 1/ω2 los autovalores de la matriz dinámica.
46
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
En consecuencia en la determinación de los modos y frecuencias naturales de vibración se
aplicarán los métodos genéricos desarrollados para calcular autovalores y autovectores. El
procedimiento básico o elemental consiste en resolver la ecuación
[D ]−
1
ω2
[I ]
=0
(3.34)
desarrollando :
1
⎡
⎢ D11 − ω 2
⎢
⎢ D21
⎢
⎢
M
⎢
⎢ DN1
⎣
D22 −
M
1
ω2
DN 2
⎤
⎥
⎥
⎥
L
D2 N
⎥=0
⎥
1 ⎥
L D NN − 2 ⎥
ω ⎦
L
D12
D1N
Es una ecuación algebraica de grado N en 1/ω2 . La dificultad que implica resolver esta
ecuación hace que el campo de aplicación de este procedimiento esté limitado a sistemas de
hasta 4 o 5 grados de libertad, insignificante para las estructuras de la práctica.
Existen otros métodos, en general iterativos, que permiten resolver problemas de gran
cantidad de grados de libertad, como por ejemplo el Método de Iteración Matricial, conocido
como método de Jacobi, y su variante el Método de Iteración por Subespacios. Los algoritmos
computacionales están implementados en subrutinas standard, que pueden consultarse en la
bibliografía.
Ejemplo 3.2
Determinar los modos y frecuencias naturales de vibración de un pórtico de 5 pisos y dos
vanos cuya geometría se muestra en la fig.3.3.
Datos:
1. Materiales:
Hormigón: f c′ = 25 MPa
Acero: f y′ = 420 MPa
2. Momento de inercia de las secciones
considerando la fisuración.
3. Masa distribuida en vigas:
m = 4.21 10 −4 KN s 2 / cm 2
4. Medidas en cm.
5. Medidas indicadas: ancho/altura
Figura 3.3: Datos del pórtico
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
47
Empleando una subrutina que utiliza el Método de Iteración por Subespacios implementada
en el programa DINLIES, se calcularon los primeros cinco modos naturales de vibración,
cuyas formas se muestran en la fig.3.4.
1
1
rad
seg
T1 = 0.956 seg
ω 2 = 19.93
ω1 = 6.57
rad
seg
T2 = 0.315 seg
1
1
1
rad
seg
T3 = 0.159 seg
ω 3 = 39.49
rad
seg
T4 = 0.101 seg
ω 4 = 62.43
rad
seg
T5 = 0.100 seg
ω 5 = 62.76
Figura 3.4: Modos y frecuencias naturales de vibración del pórtico
48
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Resolviendo la ecuación (3.7) el vector de frecuencias para N = 5 resulta:
⎡ 6.57 ⎤
⎢ 19.93 ⎥
⎥
⎢
{ω } = ⎢ 39.49 ⎥
⎥
⎢
⎢ 62.43 ⎥
⎢⎣ 62.76 ⎥⎦
Se observa que los tres modos de más baja frecuencia son de traslación y serán los modos de
mayor colaboración frente a cargas de viento y cargas sísmicas. Los dos siguientes
corresponden a modos verticales.
3.2.7.
Método de Rayleigh
Con este método se puede calcular en forma aproximada la frecuencia del primer modo
natural de vibración, que tiene su interés en problemas con acción de viento o de sismos sobre
las estructuras.
Para ilustrar el método se considera la viga simplemente apoyada de características no
uniformes que se muestra en la fig.3.5.
v( x, t ) = ψ ( x) Z (t )
x
EI ( x) , m( x)
L
Figura 3.5: Vibración de una viga no uniforme
Esta viga tiene en realidad un número infinito de grados de libertad y en el problema de
vibraciones libres se manifiestan infinitos modos naturales de vibración.
El método consiste en asumir la configuración del primer modo de vibración ψ(x), y entonces
los desplazamientos de la viga vibrando en ese modo fundamental será
v( x, t ) = ψ ( x) Z 0 sin(ω t )
(3.35)
donde Z0 ψ(x) representa la amplitud adquirida en cada punto, y ω la frecuencia natural.
El concepto fundamental en el método de Rayleigh es el principio de conservación de la
energía: la energía mecánica en un sistema que vibra libremente sin fuerzas disipativas de
amortiguamiento, debe conservarse constante.
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
49
Entonces la energía de deformación máxima que el sistema adquiere al alcanzar los
desplazamientos máximos, y que va acompañada por energía cinética nula, debe ser igual a la
energía cinética máxima que el sistema alcanza con energía de deformación nula cuando pasa
por la posición que ocupaba en reposo.
La energía de deformación de la viga, teniendo en cuenta únicamente las deformaciones por
flexión, resulta
2
L
L
L
L
⎛ ∂ 2 v ( x, t ) ⎞
1
1
1
1
⎟ dx
V = ∫ M dθ = ∫ M ϕ dx = ∫ EI ( x) ϕ ϕ dx = ∫ EI ( x) ⎜⎜
2
⎟
20
20
20
20
∂
x
⎝
⎠
(3.36)
De acuerdo a (3.35) resulta
L
1
2
V = Z 02 sin 2 (ω t ) ∫ EI ( x) (ψ ′′( x) ) dx
2
0
(3.37)
Luego, el máximo es
1 2
Z0
2
Vmax =
L
∫ EI ( x) (ψ ′′( x) )
2
dx
(3.38)
0
Como se observa el máximo se alcanza para sin(ω t ) = ± 1 , y de acuerdo con (3.35) quiere
decir que se alcanza cuando los desplazamientos son máximos y las velocidades nulas.
Por otra parte la energía cinética de la viga se expresa con
L
T=
1
2
m( x) (v&( x, t ) ) dx
2 ∫0
(3.39)
De acuerdo a (3.35) resulta
L
T=
1 2 2
2
Z 0 ω cos 2 (ω t ) ∫ m( x) (ψ ( x) ) dx
2
0
(3.40)
Luego, el máximo es
L
1 2 2
2
Z 0 ω ∫ m( x) (ψ ( x) ) dx
2
0
Tmax =
(3.41)
Como se observa el máximo se alcanza para cos(ω t ) = ± 1 , y de acuerdo con (3.35) quiere
decir que se alcanza cuando las velocidades son máximas y los desplazamientos nulos.
Finalmente, después de igualar la máxima energía de deformación con la máxima energía
cinética, resulta
L
ω =
2
∫ EI ( x) (ψ ′′( x) )
2
dx
0
(3.42)
L
∫ m( x) (ψ ( x))
0
2
dx
50
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Selección de la configuración del modo
La precisión de la frecuencia calculada por el método de Rayleigh depende completamente de
la elección de la configuración del modo ψ(x). En principio deberá elegirse una forma posible,
es decir compatible con los vínculos.
Cuando la forma elegida difiera de la real, debe tenerse en cuenta que para satisfacer en cada
instante las condiciones de equilibrio dinámico, requerirá la presencia de vínculos externos
adicionales (ficticios). Estos vínculos rigidizarán al sistema incrementando el valor de la
frecuencia natural.
En consecuencia, a la verdadera configuración de vibración le corresponde el menor valor de
la frecuencia obtenida por el método de Rayleigh, de manera que entre varios resultados
aproximados obtenidos con este método, el menor de ellos es siempre la mejor aproximación.
Ejemplo 3.3
Determinar la frecuencia fundamental de una viga simplemente apoyada con masa y rigidez a
flexión constantes.
Como una primera aproximación se asume que la configuración modal es parabólica
ψ ( x) =
x x
( − 1 ) , luego
L L
ψ ′′( x) =
2
2
L
L
∫ EI ( x) (ψ ′′( x) )
2
,
0
L
L
∫ m( x) (ψ ( x)) dx = m ∫
2
0
0
dx =
4 EI
L3
,
mL
x2 x
( − 1 ) 2 dx =
2
30
L L
Reemplazando en (3.42), resulta
ω2 =
4 EI 30
EI
= 120
3
L mL
m L4
Si en cambio la forma asumida es senoidal ψ ( x) = sin(
ω2 = π 4
π x
L
) , se llega al siguiente resultado
EI
EI
= 97.409
4
mL
m L4
que es significativamente menor que el primero, 20% aproximadamente, y entonces debe
considerarse que se trata de una aproximación mucho mejor.
En realidad este segundo valor es exacto, porque la forma senoidal es la verdadera
configuración del modo fundamental de vibración de una viga uniforme simplemente
apoyada.
51
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
La pregunta ahora es como fijar un criterio para seleccionar una aceptable configuración
modal que asegure buenos resultados con el método de Rayleigh
Para eso, el concepto que se debe tener en cuenta es que, en vibraciones libres, los
desplazamientos resultan de la aplicación de fuerzas de inercia y éstas, que son el producto de
la masa por la aceleración, son proporcionales a la masa m(x) y a la amplitud de los
desplazamientos. Entonces la configuración correcta ψc(x) es la elástica correspondiente a una
carga pc(x) proporcional a m(x) ψc(x).
Si bien la configuración correcta ψc(x) es desconocida, la elástica obtenida a partir de una
carga p ( x) = m( x) ψ ( x) , donde ψ (x) es una aproximación razonable de la configuración
modal, constituye una forma ψ (x) que asegura una muy buena precisión para la frecuencia.
Este procedimiento se ilustra en la fig.3.6
Fuerza de inercia
aproximada
p ( x ) = m( x ) ψ ( x )
Elástica v d ( x) ≈ ψ ( x)
configuración adoptada para
aplicar el método de Rayleigh
Figura 3.6: Elástica que resulta de fuerzas de inercia de una forma asumida
En general el método de Rayleigh da resultados suficientemente precisos a partir de un
procedimiento menos refinado y trabajoso que el descrito arriba.
Consiste en suponer que la fuerza de inercia aproximada es simplemente el peso de la viga, es
decir p ( x) = m( x) g . Luego se calcula la frecuencia sobre la base de la elástica resultante de
esta carga.
Asumiendo que esta elástica representa la amplitud de los desplazamientos nodales, es decir
v( x ) = ψ ( x ) Z 0
(3.43)
de acuerdo con (3.41) se puede escribir
L
Tmax
1
2
= ω 2 ∫ m( x) (v( x) ) dx
2
0
(3.44)
Por otra parte la energía de deformación máxima puede calcularse en forma simple teniendo
en cuenta que en este caso debe ser igual al trabajo entregado por el sistema de cargas
aplicadas, luego
Vmax
1
=
2
L
L
1
∫ p( x) v( x) dx = 2 g ∫ m( x) v( x) dx
0
0
(3.45)
52
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Finalmente, a partir de Tmax = Vmax , resulta
L
ω =g
∫ m( x) v( x) dx
2
0
(3.46)
L
∫ m( x) (v( x))
2
dx
0
A partir de (3.46) se obtienen las expresiones aproximadas que están incorporadas a los
Reglamentos CIRSOC.
CIRSOC 102 “Acción del Viento sobre las Construcciones”
La expresión válida para estimar por defecto el periodo del modo fundamental de vibración de
estructuras que presentan masas discretas, fig.3.7, es
y1
y2
yn
P1
P2
Pn
Figura 3.7: Estructura con masas discretas
n
T0 =
2π
ω
= 2π
∑ Pi
i =1
n
g
yi2
∑ Pi
i =1
(3.47)
yi
siendo Pi los pesos correspondientes a cada masa i, yi las flechas correspondientes a cada
masa i bajo la suposición de comportamiento perfectamente elástico, y g es la aceleración de
la gravedad.
CIRSOC 103 “Acción de los Sismos sobre las Construcciones”
Para estructuras de “pisos”, con masas concentradas a nivel de cada piso, la expresión
aproximada para estimar el periodo del modo fundamental de vibración es
n
T0 =
2π
ω
= 2π
∑Wi ui2
i =1
n
g
∑ Fi ui
i =1
, con
Fi =
Wi hi
n
∑W j h j
j =1
(3.48)
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
53
siendo Wi los pesos correspondientes a cada masa i, ui las flechas correspondientes a cada
masa i bajo la acción de las fuerzas laterales normalizadas Fi , hi las alturas de los pisos i
medidos desde la fundación.
Se observa que las fuerzas normalizadas Fi son proporcionales a la distancia a la base, es
decir proporcional a un desplazamiento ψ ( x) asumido lineal, y con ellas se calcula la elástica
u(x) que interviene en la evaluación de Tmax y Vmax .
3.3. VIBRACIONES FORZADAS
3.3.1.
3.3.1.1.
Método de superposición modal
Coordenadas normales
Debido a la independencia lineal de las configuraciones modales, éstas constituyen una base
para los vectores de dimensión Nx1, siendo N el número de grados de libertad del sistema.
Luego, en cualquier caso, el vector de los desplazamientos del sistema podrá expresarse como
una combinación lineal de las configuraciones modales, siendo
N
{v(t )} = {φ1 }Y1 (t ) + {φ2 }Y2 (t ) + L + {φ N }YN (t ) = ∑ {φn }Yn (t )
(3.49)
n =1
o en notación matricial:
{v(t )} = [Φ] {Y (t )}
(3.50)
donde [ Φ ] = [ {φ1 } {φ 2 } L {φ N } ] es la matriz de las configuraciones modales, cuadrada
de dimensión NxN, cuyas columnas están formadas por los vectores modales, ver ec.(3.13), e
{Y (t )} es el vector de las amplitudes modales {Y (t )}T = {Y1 (t ), Y2 (t ),L, YN (t )} .
Es decir que las configuraciones modales constituyen N formas independientes para los
desplazamientos, las amplitudes de las cuales sirven como coordenadas generalizadas para
expresar cualquier estado de desplazamientos.
La ecuación (3.50) puede interpretarse como la ecuación de transformación de las
coordenadas generalizadas {Y(t)} en las coordenadas geométricas {v(t)}, siendo la matriz de
las configuraciones modales [Φ], la matriz de transformación. Estas coordenadas
generalizadas {Y(t)}, que consisten en las amplitudes modales, se denominan las coordenadas
normales de la estructura.
Debido a que la matriz [Φ] de un sistema de N grados de libertad consta de N vectores
modales independientes, resulta no singular y puede ser invertida. Entonces, resulta siempre
posible, despejar de la ecuación (3.50) las coordenadas normales asociadas con cualquier
vector {v(t)} de desplazamientos dado.
Sin embargo la propiedad de ortogonalidad hace innecesario resolver el sistema de ecuaciones
en {Y(t)}, representado por la ecuación matricial (3.50). Para evaluar una componente
genérica Yn(t) se multiplican ambos miembros de (3.50) por {φ n }T [ m ] , luego
54
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
{φn }T [ m ] {v(t )} = {φ n }T [ m ][Φ ] {Y (t )}
(3.51)
Desarrollando el miembro de la derecha se obtiene:
{φ n }T [ m ][Φ ] {Y (t )} = {φn }T [ m ] {φ1 } Y1 (t ) + {φ n }T [ m ] {φ 2 } Y2 (t ) + L +
+ {φ n }T [ m ] {φ n } Yn (t ) + L + {φ n }T [ m ] {φ N } YN (t )
(3.52)
Por la propiedad de ortogonalidad se anulan todos los términos excepto el correspondiente a
{φn }, luego la ecuación (3.52) resulta:
{φn }T [ m ] {v(t )} = {φn }T [ m ] {φn } Yn (t ) ,
{φ }T [ m ] {v(t )}
Yn (t ) = n T
{φn } [ m ] {φn }
de donde
(3.53)
Comentario acerca de las coordenadas generalizadas: siendo
{v(t )} = [ A ] { a(t ) }
{v(t )} = [ B ] {b(t ) }
y
(3.54)
donde {a(t)}son coordenadas generalizadas identificadas por las formas contenidas en [A], y
{b(t)}son coordenadas generalizadas identificadas por las formas contenidas en [B].
Luego será
[ A ] { a(t ) } = [ B ] {b(t ) }
{ a(t ) } = [ A ]−1 [ B ] {b(t ) }
de donde
(3.55)
ecuación que transforma a las coordenadas generalizadas {b(t)} en las {a(t)}. En particular es
{ v(t ) } = [ I ] { v(t ) }
(3.56)
Se puede interpretar así al vector {v(t)} como un vector de coordenadas generalizadas,
denominadas coordenadas geométricas, identificadas por las formas:
⎡1
⎢0
⎢
⎢M
⎢
⎣0
0 L 0⎤
1 L 0 ⎥⎥
=[I
M
M⎥
⎥
0 L 1⎦
]
(3.57)
Luego haciendo
{ a(t ) } = { v(t ) }
{b(t ) } = {Y (t ) }
y
(3.58)
la ecuación (3.55) de transformación de coordenadas toma la forma de la ecuación (3.50).
Se comprende así porque se afirmó que la ecuación (3.50) podía interpretarse como la
ecuación de transformación de las coordenadas generalizadas {Y(t)} en las coordenadas
geométricas {v(t)}.
55
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
3.3.1.2.
Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas no amortiguados
Se utilizan ahora las propiedades de ortogonalidad de las coordenadas normales para
desacoplar las ecuaciones del movimiento de un sistema no amortiguado de varios grados de
libertad.
Para un sistema de este tipo la ecuación del movimiento, a partir de (3.1) resulta
[ m ] {v&&(t )} + [ k ] {v(t )} = {p(t )}
(3.59)
Luego se realiza la transformación de coordenadas indicada por la ecuación (3.50)
introduciendo las coordenadas normales, teniendo en cuenta que {v&&(t )} = [ Φ ] Y&&(t ) porque
la matriz de las formas modales es independiente del tiempo, de la ecuación (3.59) resulta:
{
[ m ][ Φ ] {Y&&(t )}+ [ k ][ Φ ] {Y (t )} = {p(t )}
}
(3.60)
Multiplicando a (3.60) por el vector transpuesto de una configuración modal genérica {φ n }T ,
resulta
{φn }T [ m ][ Φ ] {Y&&(t )}+ {φ n }T [ k ][ Φ ] {Y (t )} = {φ n }T {p(t )}
(3.61)
Pero si los dos términos del miembro de la izquierda se desarrollan como se muestra en la
ecuación (3.52), debido a la propiedad de ortogonalidad de las formas modales, todos los
términos, excepto el n-ésimo, se anularán y el resultado es:
{φn }T [ m ] {φ n } Y&&n (t ) + {φn }T [ k ] {φn } Yn (t ) = {φ n }T {p(t )}
(3.62)
Se define
M n = {φ n }T [ m ] {φ n }
K n = {φ n }T [ k ] {φ n }
(3.63)
Pn (t ) = {φ n }T {p(t )}
siendo Mn la masa generalizada en coordenadas normales, para el modo n, Kn la rigidez
generalizada en coordenadas normales, para el modo n, Pn(t) la carga generalizada en
coordenadas normales, para el modo n.
Luego la ecuación (3.62) puede escribirse:
M n Y&&n (t ) + K n Yn (t ) = Pn (t )
(3.64)
que equivale a una ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad para el
modo n-ésimo.
(
)
Por otra parte la ecuación (3.6) [ k ] − ω 2 [ m ] { vˆ } = { 0 } correspondiente a vibraciones libres
no amortiguadas, puede escribirse para el modo n-ésimo:
[ k ] { vˆn } = ω n2 [ m ] { vˆn }
y dividiendo ambos miembros por una amplitud de referencia, resulta
(3.65)
56
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
[ k ] {φn } = ω n2 [ m ] {φn }
(3.66)
Premultiplicando ambos miembros por {φ n }T , la rigidez generalizada queda relacionada con
la masa generalizada, por la frecuencia de vibración
{φ n }T [ k ] {φ n } = ω n2 {φ n }T [ m ] {φ n }
K n = ω n2 M n
(3.67)
Entonces, el uso de las coordenadas normales sirve par transformar a las ecuaciones del
movimiento, de un sistema de N ecuaciones diferenciales en las coordenadas geométricas,
acopladas por la existencia de las componentes fuera de la diagonal en las matrices de masa y
rigidez, en un conjunto de N ecuaciones diferenciales independientes en las coordenadas
normales.
En consecuencia la respuesta dinámica del sistema puede obtenerse resolviendo
separadamente la ecuación (3.64) para cada coordenada normal, utilizando las técnicas
empleadas para sistemas de un grado de libertad (por ejemplo: integral de Duhamel), y luego
superponiendo estos resultados aplicando la ecuación (3.50) para obtener el vector de los
desplazamientos.
Este procedimiento es conocido como el Método de superposición modal
3.3.1.3.
Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas amortiguados
Interesa ahora examinar bajo qué condiciones la introducción de las coordenadas normales
sirve también para desacoplar las ecuaciones del movimiento de un sistema amortiguado.
Dichas ecuaciones, según (3.1), son:
[ m ] {v&&(t )} + [ c ] {v&(t )} + [ k ] {v(t )} = {p(t )}
(3.1)
Introduciendo las coordenadas normales, de acuerdo con (3.50), y multiplicando por el vector
transpuesto de una configuración modal genérica {φ n }T ,resulta
{φn }T [ m ][ Φ ] {Y&&(t )}+ {φn }T [ c ][ Φ ] {Y& (t )}+
{φn }T [ k ][ Φ ] {Y (t )} = {φn }T {p(t )}
(3.68)
de acuerdo con las condiciones de ortogonalidad, se sabe que:
{φn }T [ m ] {φ m } = 0
{φn }T [ k ] {φm } = 0
para m ≠ n
para m ≠ n
(3.69)
Suponiendo que la correspondiente condición de ortogonalidad es aplicable a la matriz de
amortiguamiento, es decir suponiendo que:
{φn }T [ c ] {φ m } = 0
para m ≠ n
entonces la ecuación (3.68) puede escribirse
(3.70)
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
M n Y&&n (t ) + C n Y&n (t ) + K n Yn (t ) = Pn (t )
57
o también
(3.71)
P (t )
Y&&n (t ) + 2 ξ n ω n Y&n (t ) + ω n2 Yn (t ) = n
Mn
en donde
M n = {φ n }T [ m ] {φ n } , C n = {φ n }T [ c ] {φ n } = 2 ξ n ω n M n
K n = {φ n }T [ k ] {φ n } = ω n2 M n
, Pn (t ) = {φ n }T {p (t )}
(3.72)
Se observa que la masa, la rigidez y la carga generalizada para el sistema amortiguado, son
idénticas a las del sistema no amortiguado , definidas por las ecuaciones (3.63).
El amortiguamiento generalizado definido por la ecuación (3.72) es de forma equivalente. El
miembro de la derecha de esta ecuación, constituye una definición de la relación de
amortiguación del modo n-ésimo ya que los otros factores son conocidos.
Comparando con la ecuación (2.28), se observa que la definición establece una analogía con
la relación de amortiguamiento de los sistemas de un grado de libertad.
De manera análoga a lo dicho para estos sistemas, resulta generalmente más conveniente y
físicamente razonable definir el amortiguamiento por la relación de amortiguamiento para
cada modo , en lugar de tratar de evaluar los coeficientes de la matriz de amortiguamiento [c].
3.3.1.4.
Condiciones de ortogonalidad en sistemas amortiguados
En la deducción de las ecuaciones del movimiento desacopladas para sistemas amortiguados,
se asumió que las formas modales eran ortogonales con respecto a la matriz de
amortiguamiento. Ahora se pretende ver bajo que condiciones, es decir para que tipo de
matrices de amortiguamiento, esta propiedad resulta válida.
Se consideran dos métodos que permiten a partir de la adopción de las relaciones de
amortiguamiento para una cierta cantidad de modos, calcular la matriz de amortiguamiento
que verifica las condiciones de ortogonalidad.
a) Primer método
Rayleigh mostró que una matriz de la forma
[ c ] = a0 [ m ] + a1 [ k ]
(3.73)
donde a0 y a1 son factores de proporcionalidad arbitrarios, satisface la condición de
ortogonalidad (3.70), ya que es suficiente plantear las operaciones correspondientes y tener en
cuenta las propiedades de ortogonalidad con respecto a las matrices de rigidez y masa.
Pero en forma más general se demuestra que cualquier matriz [c] de la forma
[ c ] = [ m ] ∑ ab ( [ m ]−1 [ k ] )
b
b
≡ ∑ [ cb
]
(3.74)
b
donde b toma valores enteros arbitrarios, -∞ < b < ∞, satisface la condición de ortogonalidad
(3.70). Se observa que el amortiguamiento de Rayleigh (3.73) es un caso particular de (3.74)
cuando b toma los valores 0 y 1.
58
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Se supone entonces que la matriz de amortiguamiento es de la forma (3.74) y en consecuencia
satisface las condiciones de ortogonalidad, luego, a partir de (3.72), se calcula la relación de
amortiguamiento correspondiente a cada modo. De (3.72) es
C n = {φ n }T [ c ] {φ n } = 2 ξ n ω n M n
(3.75)
pero si [c] es de la forma (3.74), la contribución del término b de la sumatoria en el
amortiguamiento generalizado es
C nb = {φ n
}T [ cb ] {φ n } = ab {φn }T [ m ] ( [ m ]−1 [ k ] ) {φn }
b
(3.76)
para b = 2 resulta
[ m ] ( [ m ]−1 [ k ] )
2
= [ m ][ m ]−1 [ k ][ m ]−1 [ k ] = [ k ][ m ]−1 [ k ]
(3.77)
y teniendo en cuenta la ecuación (3.66) [ k ] {φ n } = ω n2 [ m ] {φ n } , se puede plantear
{φn }T [ m ] ( [ m ]−1 [ k ] ) {φn } = {φn }T [ k ][ m ]−1 [ k ] {φn }
= ω n2 {φ n }T [ k ] {φ n } = ω n2 K n = ω n4 M n
2
(3.78)
Por medio de operaciones similares se puede generalizar este resultado, y se obtiene
{φ n }T [ m ] ( [ m ]−1 [ k ] ) {φn } = ω n2b M n
b
(3.79)
Reemplazando en (3.76) resulta
C nb = ab ω n2b M n
(3.80)
Luego será
C n = ∑ C nb = ∑ ab ω n2b M n = 2 ξ n ω n M n
b
(3.81)
b
de donde finalmente resulta
ξn =
1
2ωn
∑ ab ω n2b
(3.82)
b
Esta ecuación permite calcular las relaciones de amortiguamiento de cada modo de vibración,
a partir de una matriz de amortiguamiento de la forma (3.74) que satisface las condiciones de
ortogonalidad.
Pero también a la inversa, una vez establecidas las relaciones de amortiguamiento de una
cierta cantidad de modos, la ecuación (3.82) permite calcular los coeficientes ab, que definen
la matriz de amortiguamiento, mediante la resolución del sistema de ecuaciones lineales que
queda planteado.
Para que la ecuación (3.82) de lugar al sistema de ecuaciones mencionado, en la sumatoria
deben incluirse tantos términos como relaciones de amortiguamiento modales se hayan
especificado.
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
59
En principio los valores de b pueden adoptarse arbitrariamente en el rango -∞ < b < ∞, pero
en la práctica conviene seleccionar estos valores lo más cercano a cero como sea posible.
Por ejemplo, para calcular los coeficientes para tres relaciones de amortiguamiento
preestablecidas, las ecuaciones que resultan son
⎡
⎢
⎢
⎡ ξ1 ⎤
⎢ξ ⎥ = 1 ⎢
⎢ 2⎥ 2 ⎢
⎢
⎢⎣ ξ 3 ⎥⎦
⎢
⎢
⎣
1
1
ω13
ω1
1
1
ω 23
ω2
1
1
ω 23
ω3
⎤
ω1 ⎥
⎥ ⎡ a −1 ⎤
⎥
ω 2 ⎥ ⎢⎢ a0 ⎥⎥
⎥ ⎢⎣ a1 ⎥⎦
ω3 ⎥
⎥
⎦
(3.83)
Generalizando se puede escribir
{ξ } = 1 [ Q ] { a }
(3.84)
2
de donde se obtiene
{ a } = 2 [ Q ]−1 {ξ }
(3.85)
Finalmente la matriz de amortiguamiento se obtiene aplicando la ecuación (3.74).
Observación: una vez calculada la matriz de amortiguamiento a partir de las relaciones de
amortiguamiento especificadas para ciertos modos, a los modos restantes le corresponderán
relaciones de amortiguamiento determinadas por (3.82).
b) Segundo método
Se considera la matriz diagonal completa de los coeficientes de amortiguamiento
generalizados, que debe obtenerse pre y post multiplicando la matriz de amortiguamiento por
la matriz de las formas modales como se indica
[ C ] = [ Φ ]T
0
L
0
⎡ ξ1ω1 M 1
⎢
ξ 2ω 2 M 2 L
0
0
[ c ][ Φ ] = 2 ⎢
⎢
M
M
M
⎢
L ξ NωN M N
0
0
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(3.86)
A partir de esta ecuación se puede obtener la matriz de amortiguamiento, haciendo
([ Φ ] )
T −1
[ C ][ Φ ]−1 = ([ Φ ]T ) [ Φ ]T [ c ][ Φ ][ Φ ]−1 = [ c ]
−1
(3.87)
Luego para cualquier conjunto de relaciones de amortiguamiento ξn, con n = 1, N, aplicando
la ecuación (3.87) se puede calcular la matriz de amortiguamiento, para la cual se cumplen las
condiciones de ortogonalidad.
Pero la ecuación (3.87) no resulta práctica porque exige la inversión de la matriz de las formas
modales. Se encuentra una alternativa a partir de
60
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
[ M ] = [ Φ ]T [ m ][ Φ ]
(3.88)
donde [M] es la matriz diagonal de las masas generalizadas, luego
[ I ] = [ M ]−1 [ M ] = ( [ M ]−1 [ Φ ]T [ m ] ) [ Φ ] = [ Φ ]−1 [ Φ ]
(3.89)
de donde se obtiene
[ Φ ]−1 = [ M ]−1 [ Φ ]T [ m ]
(3.90)
Sustituyendo (3.90) en (3.87) resulta
[ c ] = ( [ m ][ Φ ][ M ]−1 ) [ C ] ( [ M ]−1 [ Φ ]T [ m ] )
(3.91)
Además
[ C ] = [ M ] [ C ][ M ]
−1
−1
siendo C n = 2 ξ n ω n M n , resulta
ςn =
⎡
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
Cn
M n2
C1
M 12
0
0
C2
M
M 22
M
0
0
=
⎤
0 ⎥
⎥
L
0 ⎥
⎥
⎥
O
M ⎥
CN ⎥
L
M N2 ⎥⎦
L
(3.92)
2ξ n ωn
, entonces llamando
Mn
2 ξ n ωn
Mn
(3.93)
la ecuación (3.91) puede escribirse
[ c ] = [ m ][ Φ ][ ς ][ Φ ]T [ m ]
(3.94)
donde [ζ] es la matriz diagonal de de los elementos ζn.
A partir de la ecuación (3.94) se presenta la siguiente variante más conveniente para la
práctica
N
[ c ] = ∑ [ cn ]
donde
(3.95)
n =1
[ cn ] = [ m ] {φ n } ς n {φn }T [ m ]
Luego
⎛
N
⎞
[ c ] = [ m ] ⎜⎜ ∑ {φ n } ς n {φn }T ⎟⎟ [ m ]
⎝ n=1
⎠
y reemplazando a ζn de acuerdo con (3.93), finalmente resulta
(3.96)
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
[ c ] = [ m ] ⎜⎜ ∑ 2 ξ n ω n {φn }{φn }T ⎟⎟ [ m ]
⎛
⎞
N
⎝ n=1
Mn
⎠
61
(3.97)
En esta ecuación se observa la contribución de cada modo con su correspondiente relación de
amortiguamiento, de manera que cualquier modo no amortiguado no contribuye en dicha
formación. Es decir, sólo los modos específicamente incluidos en la formación de la matriz de
amortiguamiento resultan amortiguados, y todos los restantes sin amortiguamiento.
Finalmente hay que hacer notar que la evaluación de la matriz de amortiguamiento, aplicando
la ecuación (3.74) o la (3.97), no es necesaria cuando se utiliza el método de superposición
modal, ya que se aplican directamente las relaciones de amortiguamiento de cada modo, como
se puede observar en las expresiones (3.71) y (3.72).
En cambio dicha evaluación es necesaria cuando se aplica otro procedimiento de análisis,
como por ejemplo integración directa paso a paso.
3.3.1.5.
Resumen del método de superposición modal
La base del método de superposición modal consiste en la transformación de las coordenadas
geométricas a las coordenadas normales, logrando cambiar al sistema de N ecuaciones del
movimiento, de un sistema de ecuaciones acopladas a un sistema de ecuaciones
independientes.
Permite evaluar la respuesta de estructuras con comportamiento elástico lineal, ya que de otra
forma no quedan definidos modos naturales de vibración, cuyos desplazamientos se han
expresado en función de un conjunto finito de N grados de libertad, y donde el
amortiguamiento puede ser expresado por medio de relaciones de amortiguamiento modales.
Se resume en los siguientes pasos:
a) Ecuación del movimiento: de acuerdo a (3.1) es
[ m ] {v&&(t )} + [ c ] {v&(t )} + [ k ] {v(t )} = {p(t )}
(3.1)
Esta ecuación no se plantea, pero en necesario formular las matrices [m], [k ] y el vector {p(t )}
b) Determinación de los modos y frecuencias naturales de vibración: a partir de la ecuación
de vibraciones libres no amortiguadas
([ k ]− ω
2
[ m ] ) {vˆ } = { 0 }
(3.6)
para que exista solución no trivial se debe anular el determinante de la matriz del sistema, es
decir se debe resolver la siguiente ecuación característica del sistema
[ k ]− ω 2 [ m ]
=0
(3.7)
de donde se obtienen las N frecuencias ω n2 . Reemplazando de a una por vez en (3.6) se
calculan los N modos naturales de vibración {v̂ n }, que luego se normalizan por ejemplo con
la mayor componente igual a 1.0: {φ n }.
62
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
c) Cálculo de la masa y carga generalizada: usando a cada vector modal {φ n } por vez se
calcula:
M n = {φ n }Τ [ m ] {φ n }, Pn (t ) = {φ n
}Τ {p(t ) }
(3.63)
d) Ecuaciones del movimiento desacopladas: se escribe la ecuación del movimiento para
cada modo, utilizando la masa y la carga generalizada, junto con la frecuencia modal ωn, y el
valor especificado para la relación de amortiguamiento ξn. Resulta
P (t )
Y&&n (t ) + 2 ξ n ω n Y&n (t ) + ω n2 Yn (t ) = n
Mn
(3.71)
e) Respuesta modal a la carga: cada una de las ec.(3.71) puede resolverse aprovechando las
soluciones obtenidas para sistemas de un grado de libertad, dependiendo del tipo de carga.
Una expresión general de la respuesta se obtiene aplicando la integral de Duhamel (2.103)
para cada modo
1
Yn (t ) =
ω Dn M n
t
∫ Pn (τ ) e
−ξ n ωn ( t −τ )
[
]
sen ω Dn (t − τ ) dτ
(3.98)
0
f) Vibraciones libres modales: la ec.(3.98) es aplicable a un sistema que se encuentra en
reposo para t = 0. Si las condiciones iniciales no son nulas, debe añadirse la respuesta en
vibraciones libres dada por (2.33), que para cada modo resulta
Yn (t ) = e −ξ n ω n t
[
Y&n (0) + Yn (0) ξ n ω n
ω Dn
sen(ω Dn t ) + Yn (0) cos(ω Dn t )
]
(3.99)
donde Yn (0) , Y&n (0) representan el desplazamiento y la velocidad inicial modal. Se obtienen a
partir de los desplazamientos y velocidades iniciales {v(0)}, {v&(0)} expresadas en las
coordenadas geométricas originales, aplicando (3.53) se obtiene
Yn (0) =
{φ n }Τ [ m ] {v(0)}
Mn
{φ
, Y&n (0) = n
}Τ [ m ] {v&(0)}
Mn
(3.100)
g) Respuesta de desplazamientos en coordenadas geométricas: calculadas las respuestas
Yn (t ) para cada modo, se aplica la ecuación (3.49) de superposición modal para obtener los
desplazamientos en coordenadas geométricas
{v(t )} = {φ1 }Y1 (t ) + {φ 2 }Y2 (t ) + K + {φ N }YN (t )
(3.49)
que también puede escribirse en forma matricial con
{v(t )} = [ Φ ] {Y (t )}
(3.50)
Para la mayoría de los tipos de cargas, especialmente la acción sísmica, prepondera
notoriamente la contribución de los primeros modos, de frecuencia más baja, y entonces la
63
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
serie puede ser truncada en los primeros términos. Significa que sólo es necesario evaluar los
modos y frecuencias más bajas.
h) Respuesta en fuerzas elásticas: las fuerzas elásticas que resisten la deformación de la
estructura resultan
{ f S (t )} = [ k ] {v(t )} = [ k ] [ Φ ] {Y (t )}
= [ k ] {φ1 }Y1 (t ) + [ k ] {φ 2 }Y2 (t ) + K
= ω12 [ m ] {φ1 }Y1 (t ) + ω 22 [ m ] {φ 2 }Y2 (t ) + K
(3.101)
la última expresión de (3.101) indica que los modos de frecuencia altas tienen mayor
participación en la determinación de las solicitaciones (al estar multiplicadas por ω n2 ) que la
de los desplazamientos de la estructura. En consecuencia sería necesario incluir una mayor
cantidad de componentes modales, que los utilizados en el cálculo de los desplazamientos,
para lograr la misma precisión en el cálculo de las fuerzas elásticas.
Ejemplo 3.4
Análisis por superposición modal de un pórtico de 5 pisos.
Se trata del mismo pórtico utilizado en el ejemplo 3.2 en el cálculo de modos y frecuencias.
La discretización en elementos de barra se muestra en la fig.3.8.
Pi (t ) = Pi 0 f (t )
P10 = 0.0857
P20 = 0.1429
P30 = 0.2000
P40 = 0.2571
P50 = 0.3143
∑ Pi 0 = 1
f (t ) = 400 KN sin(19.932 t )
Amortiguamiento: para
todos los modos ξi = 0.05.
Se considera la carga
vertical permanente
Figura 3.8: Discretización del pórtico con elementos de barra
Las cargas aplicadas poseen una distribución lineal en la altura, tipo triángulo invertido, y
f (t ) es una función senoidal que tiene una duración de 10.24 seg.
64
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Utilizando los vectores modales {φ n }obtenidos en el ejemplo 3.2 se calcularon los valores de
masa, rigidez y carga generalizada además del amortiguamiento generalizado, dados en la
ecuación (3.72). Los resultados se indican en la tabla 3.1.
Tabla 3.1: Masa, rigidez, amortiguamiento y carga generalizadas
1
Mn
( KN s2 /cm2)
1.1144
Kn
( KN /cm)
0.4809 x 102
Cn
( KN s /cm2)
0.7321
Pn
( KN )
0.7414
2
0.8108
0.3253 x 103
1.6320
0.0265
3
0.6166
3
0.9621 x 10
3.9350
0.0443
4
1.8827
0.7338 x 104
28.619
0.0000
3.4444
5
52.893
0.0011
Modo
5
0.1357 x 10
Puede observarse que el valor de carga generalizada para el modo 4 es igual a cero, por lo que
este modo no es excitado bajo el estado de carga analizado y por lo tanto no contribuirá en la
respuesta. Del mismo análisis se desprende que los tres primeros modos serán los de mayor
colaboración en la respuesta.
Con la ecuación (3.71) se calcula la respuesta modal Yn (t ) a la carga, para cada uno de los
modos analizados. En la fig.3.9 se muestra la respuesta del desplazamiento horizontal del
último piso φ n 103 Yn (t ) para los tres primeros modos.
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
65
Figura 3.9: Contribución de los modos de más bajas frecuencias
Por último aplicando la ecuación (3.49) de superposición modal, se obtiene la historia del
desplazamiento horizontal del último piso, que se muestra en la fig.3.10.
Figura 3.10: Respuesta obtenida por superposición modal
Se observa cómo después de finalizada la aplicación de la carga, 10.24 seg, comienza una fase
de vibración libre amortiguada que hace tender a cero el desplazamiento.
66
3.3.2.
3.3.2.1.
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Integración directa de las ecuaciones de movimiento paso a paso
Generalidades
Las características generales de los métodos de integración directa de las ecuaciones del
movimiento paso a paso son
Los cálculos se efectúan sobre las coordenadas geométricas originales
correspondiente ecuación del movimiento
[ m ] {v&&(t )} + [ c ] {v&(t )} + [ k ] {v(t )} = {p(t )}
{v(t )} ,
y la
(3.1)
La variable tiempo se discretiza mediante la introducción de un intervalo de tiempo que
separa a cada par de valores consecutivos.
Se plantean las ecuaciones de equilibrio dinámico, o del movimiento, sólo en los instantes
correspondientes a dicha discretización.
De este modo las ecuaciones del movimiento que deben ser satisfechas pueden escribirse en
función de los incrementos habidos al cabo de cada intervalo de tiempo
[ m ] {∆v&& } + [ c ] {∆v& } + [ k ] {∆v } = {∆p }
(3.102)
Así queda planteado, para cada instante correspondiente a la discretización efectuada, un
sistema de N ecuaciones lineales algebraicas con 3N incógnitas: {∆v&& }, {∆v& }, {∆v } .
Es decir que mediante la discretización de la variable tiempo se ha transformado al sistema de
las N ecuaciones diferenciales del movimiento en un conjunto de sistemas de N ecuaciones
lineales algebraicas, cada uno de los cuales debe satisfacerse transcurrido un intervalo de
tiempo.
Asumiendo en el corto intervalo de tiempo de la discretización una adecuada ley de
variación para la aceleración, o para el desplazamiento, es posible vincular entre si a los
desplazamientos, velocidades y aceleraciones, de modo que los incrementos de aceleraciones
y velocidades pueden expresarse en función de los incrementos de desplazamientos.
Entonces, efectuado el reemplazo en la ecuación del movimiento (3.102), el problema se
reduce a resolver un sistema de N ecuaciones algebraicas lineales con el vector incógnita
{∆v }, en cada instante de la discretización.
En las relaciones establecidas entre los incrementos de los desplazamientos, de las
velocidades y de las aceleraciones, intervienen valores de dichas magnitudes correspondientes
al origen del intervalo, de modo que los cálculos se deben desarrollar ordenadamente
avanzando paso a paso a través del tiempo.
Existen diversos métodos de integración directa de las ecuaciones de movimiento paso a
paso, los cuales difieren entre si en las leyes asumidas para la variación de las aceleraciones o
de los desplazamientos y las respectivas ecuaciones resultantes que vinculan a los
incrementos de velocidades y las aceleraciones con el incremento de desplazamientos.
Se distinguen métodos de paso único, por ejemplo Wilson-θ, Newmark, y métodos de paso
múltiple, por ejemplo Park, según la ley de variación asumida se desarrolle en un único
incremento de tiempo ∆t o en varios.
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
67
Por otra parte se clasifican en explícitos o implícitos según que los desplazamientos o sus
derivadas sean expresados totalmente en términos de valores obtenidos en pasos anteriores, o
queden en función de valores correspondientes al paso considerado. Entre los primeros se
encuentra el método de las diferencias finitas centrales, de fácil implementación
computacional pero con el inconveniente de ser condicionalmente estable. Entre los últimos
se encuentran los métodos de Wilson-θ, Newmark y Park.
En problemas lineales estos tres métodos son incondicionalmente estables. En problemas no
lineales trabajos de Park con ecuaciones de un grado de libertad muestran que los límites de
estabilidad, es decir el mayor tamaño del paso ∆t para el cual se mantiene la estabilidad de la
solución, son mayores en el método de Park que en los otros dos.
El principal campo de aplicación de los métodos de integración directa está en el campo
de las estructuras de comportamiento no lineal.
Por un lado porque en tales estructuras los cambios en sus características dinámicas invalidan
el concepto de los modos naturales de vibración, y en consecuencia ya no es posible el
desacople de las ecuaciones de movimiento por introducción de las coordenadas normales.
Por otro lado porque el desarrollo del proceso de cálculo paso a paso a través de cortos
intervalos de tiempo, permite ir cambiando las características de rigidez, amortiguamiento y/o
masa del sistema en los extremos de cada intervalo, de modo que el análisis no lineal se
aproxima a una secuencia de análisis de distintos sistemas lineales.
Además, a diferencia del método de superposición modal, en los métodos de integración
directa la matriz de amortiguamiento se debe expresar explícitamente. Puede considerarse una
desventaja cuando exige el cálculo de la matriz a partir de las relaciones de amortiguamiento
de los modos por los métodos descriptos, y puede constituir una ventaja porque permite
introducir, con toda generalidad, matrices de amortiguamiento que no satisfacen condiciones
de ortogonalidad con respecto a las configuraciones modales.
Resulta interesante observar que en los métodos de integración directa se completa la idea
del método de los elementos finitos, porque la discretización realizada en el dominio
geométrico se extiende también al dominio del tiempo, y la ecuación de equilibrio dinámico
se plantea en determinados puntos, los nodos del sistema, pero también para determinados
instantes.
De este modo el sistema original de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales que se
reduce a un sistema de ecuaciones diferenciales en la derivada tiempo al discretizar la
geometría del problema, termina por convertirse en un conjunto de sistemas de ecuaciones
algebraicas al discretizar también la variable tiempo.
A continuación se presenta el método de la aceleración lineal y luego el método de Newmark.
3.3.2.2.
Método de la aceleración lineal
Se supone que en el intervalo de tiempo adoptado para la discretización, la aceleración varía
linealmente, como se muestra en la fig.3.11
68
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
v&&k
A2
v&&k (t )
A1
t
v&&k (t + ∆t )
t + ∆t
t
Figura 3.11: Variación de la aceleración en el intervalo de tiempo
Donde v&&k (t ) indica una componente genérica del vector {v&&(t )} , y t indica el origen del
intervalo. A partir de la fig.3.11, resulta
v&k (t + ∆t ) = v&k (t ) + A1 + A2
A1 = v&&k (t ) ∆t ,
A2 =
1
(v&&k (t + ∆t ) − v&&k (t ) ) ∆t = 1 ∆v&&k ∆t
2
2
Luego
(3.103)
∆t
2
∆t 2
∆t 2
vk (t + ∆t ) = v k (t ) + v&k (t ) ∆t + v&&k (t )
+ ∆v&&k
2
6
v&k (t + ∆t ) = v&k (t ) + v&&k (t ) ∆t + ∆v&&k
Las dos últimas ecuaciones de (3.103) pueden escribirse
∆t
2
∆t 2
∆t 2
∆v k = v&k (t ) ∆t + v&&k (t )
+ ∆v&&k
2
6
∆v&k = v&&k (t ) ∆t + ∆v&&k
(3.104)
Despejando de la primera ∆v&&k y reemplazando en la segunda de (3.104) se obtiene finalmente
6
6
v&k (t ) − 3 v&&k (t )
∆v k −
2
∆t
∆t
3
∆t
∆v&k =
∆v k − 3 v&k (t ) − v&&k (t )
2
∆t
∆v&&k =
(3.105)
De donde
{ ∆v&& } =
6
{ ∆v } − 6 {v&(t )} − 3{v&&(t )}
2
∆t
∆t
{ ∆v& } = 3 { ∆v } − 3{v&(t )}− ∆t {v&&(t )}
2
∆t
(3.106)
69
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
Reemplazando en la ecuación de movimiento escrita en forma incremental (3.102), resulta
[ m ] ⎛⎜
6
{ ∆v } − 6 {v&(t )} − 3{v&&(t )}⎞⎟ +
2
∆t
⎝ ∆t
⎠
∆t
⎛ 3
⎞
+ [ c ] ⎜ { ∆v } − 3 {v&(t )}− {v&&(t )}⎟ + [ k ] {∆v } = {∆p }
2
⎝ ∆t
⎠
(3.107)
Finalmente se puede plantear
[ k~ ]{∆v } = {∆~p }
donde
~
6
[ m ]+ 3 [ c ]
k = [ k ]+
∆t
∆t
{∆~p } = {∆p } + [ m ] ⎛⎜ 6 {v&(t )} + 3{v&&(t )}⎞⎟ + [ c ] ⎛⎜ 3 {v&(t )}+ ∆t {v&&(t )}⎞⎟
2
⎝ ∆t
⎠
⎝
⎠
[ ]
(3.108)
Se observa en (3.108) que para calcular {∆~
p } son necesarios {v&(t )} , {v&&(t )} , los que deben ser
calculados en el paso anterior, e inicialmente definidos por las condiciones iniciales.
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, primera ecuación de (3.108), y obtenido el vector
{∆v }, utilizando las expresiones (3.106) se calculan los incrementos {∆v&& } , {∆v& }. Luego
{ v(t + ∆t ) } = { v(t ) } + { ∆v }
{ v&(t + ∆t ) } = { v&(t ) } + { ∆v& }
{ v&&(t + ∆t ) } = { v&&(t ) } + { ∆v&& }
(3.109)
Con las dos últimas expresiones de (3.109) se calculan los valores de la velocidad y
p } para el paso siguiente.
aceleración necesarios para definir el término independiente {∆~
Además, la primera de dichas ecuaciones va configurando a través del tiempo la respuesta en
desplazamientos de la estructura.
Este método de la aceleración lineal es condicionalmente estable. La solución se vuelve
divergente cuando la estructura posee modos de vibración con periodos inferiores a
aproximadamente 1.8 veces el intervalo de integración adoptado.
Entonces, para asegurar la estabilidad de la solución, el intervalo de la discretización debe ser
menor que la mitad del menor periodo de vibración modal de la estructura,
independientemente que este modo contribuya o no significativamente en la respuesta.
3.3.2.3.
Método de Newmark
La ecuación de movimiento (3.1), para el instante t + ∆t, se expresa de la siguiente manera
[ m ] {v&&(t + ∆t )} + [ c ] {v&(t + ∆t )} + [ k ] {∆v } = {p(t + ∆t )} − { f (t )}
(3.110)
donde el vector { f (t )} representa las fuerzas internas en el tiempo t, ya conocidas al final del
paso anterior. Si el comportamiento es lineal será { f (t )} = [ k ] {v(t ) }, mientras si la estructura
70
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
tiene un comportamiento no lineal físico, el incremento de fuerzas internas en cada paso se
ajusta iterativamente hasta lograr el equilibrio entre las fuerzas externas e internas.
Se adopta una variación para la aceleración dentro del paso de tiempo en función de
parámetros β y γ, luego integrando resulta:
v&k (t + ∆t ) = v&k (t ) + γ ∆t v&&k (t + ∆t ) + (1 − γ ) ∆t v&&(t )
(3.111)
1
vk (t + ∆t ) = v k (t ) + ∆t v&k (t ) + β ∆t 2 v&&k (t + ∆t ) + ( − β ) ∆t 2 v&&k (t )
2
Para γ = 12 , β =
1
4
resulta el método de la aceleración promedio o regla trapezoidal, que es el
más usado por ser incondicionalmente estable. Si se utiliza γ = 12 , β =
método de la aceleración lineal.
1
6
se reproduce el
A partir (3.111) se expresa {v&(t + ∆t )} , {v&&(t + ∆t )} en función de {∆v }, reemplazando en
(3.110) y reordenando
[ k~ ]{∆v } = {p(t + ∆t ) } − { f (t ) } + [ m ] {Q(t ) } + [ c ] {P(t ) }
donde
con
[ k~ ] = [ k ] + a
[ m ] + a1 [ c ]
{Q(t ) } = a 2 {v&(t )} + a3 {v&&(t )}
{P(t ) } = a4 {v&(t )} + a5 {v&&(t )}
1
β ∆t 2
1
a3 =
−1
2β
a0 =
(3.112)
0
γ
β ∆t
γ
a4 = − 1
β
a1 =
(3.113)
a2 =
1
β ∆t
a5 = ∆t (
γ
− 1)
2β
(3.114)
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones (3.112) y obtenido el vector {∆v }, se actualizan los
vectores de desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas internas en t + ∆t, los
cuales son utilizados como valores iniciales para el paso siguiente.
Se resume el algoritmo de solución para el caso más general de comportamiento no lineal.
Dentro del esquema iterativo de Newton-Raphson, la matriz de rigidez tangente se va
actualizando en cada iteración de equilibrio de cada paso de tiempo. Para el caso lineal, dicha
matriz es constante.
Por simplicidad las matrices y vectores se indican en letras negrita, el subíndice n indica el
paso de tiempo y el supraíndice m la iteración de equilibrio.
Así, la ec.(3.112) se escribe
m
K *n ∆v mn = R n − Fnm−1 + M Q n −1 + C Pn−1
donde
(3.115)
m
K *n = K mn + a0 M + a1 C
Q n −1 = a 2 v& n−1 + a3 &v& n−1
Pn −1 = a 4 v& n−1 + a5 &v& n−1
(3.116)
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
71
El esquema de solución para cada paso de tiempo n, comenzando con m = 0, es:
1. Calcular la matriz de rigidez efectiva
K *n = K n + a0 M + a1 C
(3.117)
2. Calcular el vector de cargas incremental efectivo
∆R *n = R n − Fn −1 + M Q n −1 + C Pn−1
(3.118)
3. Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas
K *n ∆v n = ∆R *n
→ ∆v n
(3.119)
4. Computar desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas internas
v n = v n−1 + ∆v n
v& n = a1 ∆v n − Pn−1
&v& n = a0 ∆v n − Q n−1
∆v n → ∆Fn → Fn = Fn −1 + ∆Fn
(3.120)
5. Iteraciones de equilibrio: m = 0
6. Para la iteración de equilibrio m-ésima: m ← m + 1
- Actualizar la matriz de rigidez
m
K *n = K mn + a 0 M + a1 C
(3.121)
- Computar el vector de cargas residual
∆ (∆R * ) mn = R n − F nm−1 − M &v& mn−1 − C v& mn−1
(3.122)
para m = 1 es: Fn0 = Fn−1
- Resolver
m
K *n ∆(∆v) mn = ∆(∆R * ) mn
→ ∆(∆v) mn
(3.123)
- Calcular nuevos desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas internas
∆v mn = ∆v mn−1 + ∆(∆v) mn
v mn = v n −1 + ∆v mn = v mn−1 + ∆(∆v) mn
v& mn = a1 ∆v mn − Pn−1
&v& mn
=
∆v mn
a0 ∆v mn
(3.124)
− Q n −1
→ ∆Fnm
→ Fnm = Fn−1 + ∆Fnm
- Verificar convergencia
∆(∆v Τ ) mn ∆(∆R * ) mn
∆v Τn
∆R *n
≤ ETOL = 10
−3
,
∆(∆R * ) mn
∆R *n
2
2
≤ RTOL = 10 − 2
(3.125)
72
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
- Si converge pasar al paso 7.
- Si no converge: repetir el paso 6.
7. Actualizar vectores
v n = v mn
v& n = v& mn
&v& n = &v& mn
Q n = a 2 v& n + a3 &v& n
Pn = a 4 v& n + a5 &v& n
∆v mn
→ ∆Fn
(3.126)
→ Fn = Fn −1 + ∆Fn
8. Nuevo paso de tiempo: n = n + 1
Observaciones:
En el proceso iterativo, el sistema de ecuaciones a resolver para la iteración m (3.123) se
obtiene a partir de:
&v& mn = a 0 ∆v mn − Q n −1 = a0 (∆v mn−1 + ∆(∆v) mn ) − Q n −1 = a0 ∆(∆v) mn + &v& mn−1
(3.127)
análogamente:
v& mn = a1 ∆(∆v) mn + v& mn−1
(3.128)
reemplazando en la ecuación de movimiento para la iteración m :
M &v& mn + C v& mn + K mn ∆ (∆v ) mn = R n − F nm−1
resulta:
[K
m
n
m
]
+ a 0 M + a1C ∆(∆v ) mn = R n − F nm−1 − M &v& mn−1 − C v& mn−1
K *n ∆ (∆v ) mn = ∆(∆R ) mn
(3.129)
(3.130)
Se puede utilizar el método de Newton-Raphson actualizando la matriz de rigidez en todas
las iteraciones, o se puede utilizar el método de Newton-Raphson modificado en el cual
sólo se actualiza la matriz de rigidez en el comienzo de un nuevo paso de tiempo (o
escalón de carga).
SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
73
Ejemplo 3.5
Análisis por integración directa de un pórtico de 5 pisos.
Se resuelve el pórtico presentado en el ejemplo 3.2 aplicando ahora el método de Newmark de
integración directa paso a paso de las ecuaciones de movimiento, utilizando un algoritmo
computacional implementado en el programa DINLI.
Para la matriz de amortiguamiento se utilizó la forma de Rayleigh (3.73)
[ c ] = a0 [ m ] + a1 [ k ]
(3.73)
donde a0 y a1 se calculan a partir de considerar una relación de amortiguamiento ξ = 0.05 para
los dos primeros modos de vibración. Las expresiones resultan
a0 = 2 ω1 ξ1 − a1 ω12
a1 =
2 (ω 2 ξ 2 − ω1 ξ1 )
ω 22 − ω12
(3.131)
Los resultados de la historia del desplazamiento horizontal del último piso se muestran en la
fig.3.12.
Figura 3.12: Desplazamiento horizontal del último piso
Comparación de resultados
Se comparan los resultados del desplazamiento horizontal del último piso del pórtico de cinco
pisos obtenidos con integración directa de las ecuaciones de movimiento y con superposición
modal, ver fig.3.13.
Se observa un buen acuerdo general, con pequeñas diferencias en los valores de los picos de
los primeros ciclos. Estas diferencias se deben a las diferentes técnicas de aproximación
numérica empleadas, la cantidad de modos considerados en la respuesta, la discretización de
la variable tiempo, etc.
De todas maneras, cualquiera de las dos técnicas puede ser utilizada, dependiendo del
problema particular a resolver cuál es la más conveniente.
74
CAPÍTULO 3
Oscar Möller
Desplazamiento (cm)
4
Integración directa
2
Superposición modal
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
t (seg)
Figura 3.13: Comparación de resultados
16
18
20
REFERENCIAS
75
REFERENCIAS
La bibliografía sobre el tema análisis de estructuras con acciones dinámicas es amplísima,
tanto en libros como en artículos publicados en revistas científicas y memorias de congresos
de la especialidad.
En este apartado solamente se indican unas pocas, básicas, que se han tomado como
referencia para escribir gran parte de los capítulos.
Clough, R.W. and Penzien, J. (1975). Dynamics of Structures. Mc Graw - Hill.
Chopra, A.K. (1995). Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake
Engineering. Prentice - Hall.
Bathe, K.J. (1982). Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice - Hall.
Gerardin, M. and Rixen, D. (1994). Mechanical Vibrations. Theory and Applications to
Structural Dynamics. John Wiley and Sons.
Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L. (1994). El Método de los Elementos Finitos. Vol I:
Formulación Básica y Problemas Lineales, Vol II: Mecánica de Sólidos y Fluidos.
Dinámica y No Linealidad. Mc Graw Hill – CIMNE – 4º Ed. – Madrid.