SOLUCIONARI CURS

lOMoARcPSD|7143541
393025005 Solucionari Fisica 1º Bartxillerat
Física (Universitat de Barcelona)
Studocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
S O L U C I O N A R I
FÍSICA
1
Autors del material complementari
M. Àngels Jurado
Francesc Gomila
Autors del llibre de l’alumne
Salvador Serra
Montserrat Armengol
Juan M. Mercadé
BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACAS
GUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORK
PANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULO
AUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REAL
NOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR
SAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
Física 1 · Batxillerat · Solucionari
No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans, sense el permís previ i per escrit dels
titulars del Copyright.
Drets reservats
© 2008, respecte a la primera edició en català per:
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U.
Edificio Valrealty, 1a planta
Basauri, 17
28023 Aravaca (Madrid)
ISBN: 978-84-481-6764-6
Dipòsit legal: ????
Autors del llibre de l’alumne: Salvador Serra, Montserrat Armengol, Juan M. Mercadé
Editora del projecte: Mercè Pérez
Tècnic editorial: Beatriz Arroyo
Disseny de coberta: Quim Team!
Disseny interior: McGraw-Hill
Il.lustracions: Albert Badia i Campos i Luís Bogajo
Composició: Baber
Imprès a: ???
IMPRÈS A ESPANYA - PRINTED IN SPAIN
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
ÍNDEX
3
ÍNDEX
j Solucionari del Llibre de l’alumne
Unitat 0. Les magnituds físiques
i la seva mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Unitat 6. Conservació de l’energia . . . . .
93
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
j Bloc 3. Introducció
a l’electromagnetisme
j Bloc 1. Cinemàtica
Unitat 1. Cinemàtica en una dimensió . .
14
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Unitat 2. Cinemàtica
en dues dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Unitat 7. Corrent continu . . . . . . . . . . . . .
112
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
Unitat 8. Imatges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
j Bloc 2. Dinàmica
j Solucionari de la Guia didàctica
Unitat 3. Forces i lleis de Newton . . . . . .
49
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Unitat 4. Conservació de la quantitat
de moviment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Unitat 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Unitat 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Unitat 5. Treball i energia . . . . . . . . . . . . .
78
Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Unitat 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Unitat 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Unitat 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Unitat 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Unitat 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Unitat 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
00
FÍSICA 1
j Unitat 0. Les magnituds
físiques i la seva mesura
Activitats finals
5
6. Si bé es considera que la longitud és una magnitud fonamental, per què no podem dir el mateix de la superfície?
I la velocitat, és una magnitud fonamental? Raoneu-ne les
respostes.
Veure Magnituds físiques fonamentals i magnituds suplementàries.
Qüestions
1. L’alegria és una magnitud? I la força muscular del braç
d’un atleta? I la intel.ligència? I la velocitat d’una línia
ADSL? Raoneu-ne les respostes.
Les magnituds físiques són totes aquelles propietats d’un cos a
les quals podem assignar un nombre, tot comparant-les amb les
seves respectives unitats. Per tant, evidentment, l’alegria no
pot ser una magnitud física, ja que no podem quantificar-la.
La força muscular sí que és una magnitud física, ja que es pot
quantificar, per exemple mesurant-la amb un dinamòmetre.
La intel.ligència tampoc no és una magnitud física, ja que tot i
que existeixen unes proves que permeten quantificar-la, aquesta quantificació només és una mera puntuació que sempre està
subjecta a les condicions en què s’ha obtingut, i que poden
variar.
La velocitat d’una línia ADSL és mesurable mitjançant sistemes
electrònics i informàtics i perfectament quantificable. És una
magnitud.
2. Tot allò que és mesurable té un patró?
Si tenim en compte que mesurar una magnitud física és assignar-li un valor tot comparant-la amb la unitat o patró al qual
s’ha donat arbitràriament el valor 1, és evident que la resposta
a aquesta pregunta és afirmativa. Per tant, tot allò que és mesurable ha de tenir un patró, o unitat, amb el qual es compara
allò que es vol mesurar.
3. Busqueu en una enciclopèdia com es defineixen de manera
estricta les unitats de longitud, de massa i de temps del
sistema internacional.
Activitat oberta. Consulteu qualsevol enciclopèdia.
4. Per què és important la utilització del sistema internacional d’unitats quan es mesuren les magnituds? Expliqueuho detalladament.
Veure Sistemes d’unitats.
5. Citeu cinc magnituds escalars i cinc magnituds vectorials i
digueu si són fonamentals o derivades.
En el text es donen exemples de magnituds escalars i vectorials.
Magnituds escalars.
— Fonamentals: la massa, el temps i la temperatura.
— Derivades: la pressió, el volum, la densitat, l’energia, etc.
Magnituds vectorials: la velocitat, l’acceleració, la força, la
quantitat de moviment, l’impuls mecànic, el camp elèctric, etc.
Totes són derivades.
7. La pressió es defineix com el quocient entre la projecció
de la força en la direcció perpendicular a una determinada
superfície i l’àrea d’aquesta superfície. Justifica perquè
essent la força una magnitud vectorial, la pressió, en canvi, és una magnitud escalar.
La projecció d’una magnitud vectorial (com ara la força) és una
magnitud escalar. La pressió és el quocient entre dues magnituds
escalars i, en conseqüència, també és una magnitud escalar.
8. Si multipliquem la força que actua sobre un cos per la velocitat que porta en un instant determinat, quina magnitud física obtenim? Deduïu-ho a partir de l’anàlisi dimensional.
L’equació dimensional de la força és:
M ? L ? T22
i la de la velocitat:
L ? T21
Si les multipliquem:
M ? L ? T 22 ? L ? T21 5 M ? L2 ? T23
Aquesta equació dimensional correspon a la unitat de watt, i
per tan a la magnitud de potència.
9. Busqueu en una enciclopèdia el significat de les paraules
sensibilitat, precisió i exactitud.
Activitat oberta. Consulteu qualsevol enciclopèdia.
10. Quantes xifres significatives podem escriure amb una proveta de capacitat 50 mL i amb dues divisions entre cada
mL? Per què?
Si entre cada mil.lilitre tenim dues divisions, la sensibilitat o
error instrumental de la proveta és 0,5 mL. Per tant, qualsevol
mesura que es faci amb aquest aparell i que es doni en mL tindrà, en principi, tres xifres significatives: la xifra de les desenes, la xifra de les unitats i la xifra de les dècimes.
11. Quina és la sensibilitat d’una pipeta graduada en mil.lilitres amb cinc divisions entre cada mil.lilitre? Raoneu-ne la
resposta.
Si per cada mil.lilitre hi ha 5 divisions, està clar que la sensibilitat de la pipeta és de 1/5 5 0,2 mL.
12. Hem determinat la massa d’un cos amb dues balances diferents i els resultats han estat 2,32 i 2,318. Quina és la més
precisa? Raoneu-ne la resposta.
La primera mesura té xifres significatives fins a la centèsima.
Per tant, l’error instrumental és de 0,01.
La segona mesura té xifres significatives fins a la mil.lèsima. Per
tant, l’error instrumental és de 0,001.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
6
00
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Per tant, la segona mesura és més precisa, ja que l’error instrumental és més petit.
13. Té sentit escriure 3,000 g o és preferible posar, per simplificar, 3 g? Per què?
Si escrivim 3,000 g estem suposant que el nostre aparell de
mesura aprecia fins a la xifra de les mil.lèsimes de gram, mentre
que si escrivim 3 g estem suposant que l’aparell aprecia fins a
la xifra de les unitats de gram.
Per tant, té sentit escriure 3,000 g sempre que l’aparell apreciï
fins a la mil.lèsima de gram. Si l’aparell només aprecia fins a les
unitats de gram, escriure el valor anterior no tindria sentit, i
hauríem d’escriure 3 g.
14. Donada l’operació 2,21 1 3,428, quin resultat us sembla
que és més correcte: 5,638 o bé 5,64? Raoneu-ne la resposta.
El primer valor ve donat fins a la xifra de les centèsimes, mentre
que el segon valor ve donat fins a la xifra de les mil.lèsimes. Per
tant, hem de donar el resultat de l’operació fins a la xifra de les
centèsimes, una vegada arrodonit: 5,64.
15. Si un aparell mesura amb una precisió de mil.lèsimes de
centímetre, quants decimals ha de portar si s’expressa en
el SI?
La unitat de longitud en el SI és el m. Si la precisió de l’aparell
és d’una mil.lèsima de cm, fent servir factors de conversió:
0,01 m
0,001 cm ? ———— 5 1025 m 5 0,00001 m
1 cm
Per tant, qualsevol mesura afectada amb aquest aparell i que
s’expressi en unitats del SI ha de tenir 5 decimals.
16. Si mesurem el diàmetre d’un filferro amb un peu de rei i
obtenim diferents mesures semblants, quins tipus d’errors
tindrà associada la mesura? Raoneu-ne la resposta.
En primer lloc, tenim l’error instrumental de l’aparell, que en
aquest cas, com que es tracta d’un peu de rei és de 0,01 cm. En
segon lloc, tenim l’error de mesura que s’obté fent la mitjana
aritmètica de totes les mesures obtingudes i comparant-la amb
la mesura més petita i la mesura més gran.
L’error de mesura és l’error associat a aquesta mesura, ja que en
principi ha de donar un valor més gran que l’error instrumental,
i sempre ens hem de quedar amb l’error que sigui més gran.
17. Per què és decisiva la fase d’experimentació en el mètode
científic?
Problemes
1. Escriviu amb notació científica els nombres següents:
a) 2 000 000 000 5 2 ? 109
b) 765 000 5 7,65 ? 105
c) 0,000034 5 3,4 ? 1025
d) 36 000 000 000 5 3,6 ? 1010
e) 0,0000023 5 2,3 ? 1026
f) 0,000000000152 5 1,52 ? 10210
g) 1 000 000 000 5 109
h) 0,00000001 5 1028
2. Calculeu les potències de 10:
a) (104)4 5 1016
1023
b) ——————
5 1023 2 8 1 2 5 1029
108 ? 1022
c) (103 ? 1022)4 5 (103 1 22)4 5 (1025)4 5 10100
(102 1 106)
102
106
2 2 1 1 106 2 1 5
d) —————— 5 —— 1 —— 5 10
10
10
10
5 10 1 105
3. Efectueu les operacions següents amb ajut de la calculadora
científica, mantenint el mateix nombre de xifres significatives i arrodonint el resultat:
a) (5,2 ? 1015) (8,7 ? 105) 5 4,5 ? 1021
(2,4 ? 105)
b) ——————— 5 2,9 ? 109
(8,2 ? 1025)
c) (7,3 ? 108) (2,5 ? 1026) 5 1,8 ?103
d) 4,38 1 5,3 5 9,7
e) 6,23 2 3,4 5 2,8
(3,6 ? 107) (1,2 ? 1024)
f ) —————————————
5 6,9 ? 105
6,3 ? 1023
(2,1 ? 108)
g) ——————— 5 1,5 ? 1014
(1,4 ? 1026)
h) (5,2 ? 1015) (1,5 ? 1010) 5 7,8 ? 1025
i) 65,55 1 0,3 5 65,9
4. Resoleu els exercicis d’operacions i unitats següents:
Veure El mètode científic.
a) (10 m)2 5 102 m2
18. Consultant la bibliografia adient, apliqueu les fases del
mètode científic a la teoria de la relativitat general.
Activitat oberta. Cal consultar bibliografia sobre la Teoria de la
Relativitat General. Pauteu la resposta d’aquesta activitat
d’acord amb allò que estableix el mètode científic: observació,
hipòtesi, experimentació, i establiment de la llei física.
1 23
m 5 4,63 ? 1023 m23
b) (6 m)23 5 —
63
c) 1 m/s/s 5 1 m/s2
d) 0,00043 L 1 5,9 1024 m3 5 0,00043 L 1 0,59 L 5
5 0,59043 L
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
(103 m) (102)
105 m
e) ————4——— 5 ——4— 5 10 m
10
10
f ) 65 400 000 s 1 345 104 ms 5 65 400 000 s 1 354,104 s 5
5 65 400 354 s
7
i) 2,7 g/cm3 a kg/m3
g
1 kg
106 cm3
? ————
? —————
5 2,7 ? 103 kg/m3
2,7 ———
3
3
cm
1 m3
10 g
j) 7 kg?m/s a g?cm/s
5. Quin és el significat de les paraules següents?
m 103 g 102 cm
7 kg —? ————? ———— 5 7 ? 105 g ? cm/s
s
1 kg
1m
a) Nanosegon (ns) 5 1029 s
7. Expresseu en unitats del SI:
b) Microgram (mg) 5 1026 g
a) 1 L
c) Mil.lilitre (mL) 5 1023 L
1 m3
1 L ? ————
5 1023 m3
103 L
d) Gigavolt (GV) 5 109 V
b) 365 dies
e) Quilòmetre (km) 5 103 m
24 h
3 600 s
365 dies ? ———— ? ———— 5 3,1536 ? 107 s
1 dia
1h
f ) Picofaraday (pF) 5 10212 F
g) Megavolt (MV) 5 106 V
c) 4,2 ? 1010 mm2
10212 m2
4,2 ? 1010 mm2 ? —————
5 4,2 ? 1022 m2
1 mm2
h) Àngstrom (Å ) 5 10210 m
6. Efectueu els canvis d’unitats següents:
a) 200 g a kg
00
d) 300 pg
10212 g
1 kg
300 pg ? ————— ? ————
5 3 ? 10213 kg
1 pg
103 g
1 kg
200 g ? ——3—— 5 0,2 kg
10 g
e) 3 ? 106 dam3
b) 0,25 m3 a cm3
103 m3
3 ? 106 dam3 ? —————
5 3 ? 109 m3
1 dam3
1 cm3
2,5 ? 1021
——— 5 —————— cm3 5 2,5 ? 105 cm3
0,25 m3 ? ——26
3
10 m
1026
f ) 1 km/h
km 103 m
1h
1 ? 103 m
1 —— ? ———— ? ———— 5 ————— 5 0,27 m/s
h
1 km
3 600 s
3 600 s
)
c) 70 000 m2 a hm2
1 hm2
7 ? 10 4
— hm2 5 7 hm2
70 000 m2 ? ——4——
5 ———
2
10 m
10 4
d) 100 000 mm a km
105 ? 1023
1 km
m
100 000 mm? —————? ————
5 ——————
km 5 0,1 km
1 mm 103 m
103
1023
e) 8 ? 105 mg a Mg
g) 36 m/min2
36
m
m
1 min2
36 ———
? ————
5 ———— —
5 0,01 m/s2 5
2
min
602 s2
3 600 s2
5 1022 m/s2
h) 103 hm ? h22
1 Mg
8 ? 105
—— 5 ———— Mg 5 8 ? 1024 Mg
8 ? 105 mg ? ——
109 mg
109
f ) 6 ? 1024 mL a L
1023 L
6 ? 1024 mL ? ———— 5 6 ? 1024 ? 1023 L 5 6 ? 1027 L
1 mL
g) 28 mm3 a m3
1029 m3
28 mm3 ? ————3— 5 28 ? 1029 m3 5 2,8 ? 1028 m3
1 mm
h) 36 km/h a m/s
km 103 m
1h
— 5 10 m/s
36 —— ? ———— ? —————
h
1 km
3,6 ? 103 s
hm
102 m
1 h2
103 hm ? h22 5 103 ——
? ———— ? —————
5
2
h
hm
3 6002 s2
105
5 ——————
m/s2 5 7,7 ? 1023 m/s2
1,296 ? 107
i) 100 mg/dm3
1026 kg
1 dm3
100 ? 1026
mg
—— 5 —————— kg/m3 5
100 ———
? ————— ? ——
3
23
3
dm
1 mg
10 m
1023
5 0,1 kg/m3
j) 105 dg?cm/h
cm
1 kg
1022 m
1h
105 dg —— ? ————
? ————— ? ———— 5
4
10 dg
1 cm
3 600 s
h
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
5 2,78 ? 1025 kg?m/s
lOMoARcPSD|7143541
8
00
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
f ) 1,6 kg/m3
8. Realitzeu els canvis d’unitats següents:
a) 36 km/h a m/s
km
103 m
1h
— 5 10 m/s
36 —— ? ———— ? —————
1 km
3,6 ? 103 s
h
b) 60 km/h a cm/min
km 105 cm
1h
60 —— ? ———— ? ———— 5 105 cm/min
h
1 km
60 min
1 kg
106 cm3
g
———— ? ————— 5 2,7 ? 103 kg/m3
?
2,7 ——
cm3 103 g
1 m3
1021 g
1023 kg
1 cm3
dg
————— ? ————— ? ————— 5
0,02 ——
?
cm3
1 dg
1g
1026 m3
0,02 ? 1024
5 ——————
kg/m3 5 2 kg/m3
1026
cm
1 kg
1022 m
1h
105 dg —— ? ——4—— ? ————— ? ———— 5
h
10 dg
1 cm
3 600 s
5 2,78 ? 1025 kg?m/s
d) 20 m/s a km/h
m
1 km
3,6 ? 103 s
20 — ? ——3—— ? —————— 5 72 km/h
s
10 m
1h
e) 7 000 kg/m3 a g/cm3
103 g
1 m3
kg
———— ? ————— 5 7 g/cm3
?
7 000 ——
m3
106 cm3
1 kg
f ) 7 kg?m/s a g?cm/s
m
103 g
102 cm
7 kg — ? ———— ? ———— 5 7 ? 105 g ? cm/s
s
1 kg
1m
9. Passeu al sistema internacional:
10. Calculeu la densitat de l’aigua líquida en unitats del sistema internacional, sabent que 1 cm3 d’aigua té una massa
d’1 gram.
g
1023 kg
1 cm3
1 ———
? ————— ? —————
5 103 kg/m3
3
1026 m3
cm
1g
11. Trobeu la massa de 62 hL de vi de densitat 0,97 g/cm3.
Expresseu-la en dag.
102 L
1 m3
— 5 6,2 m3
V 5 62 hL ? ——— ? ——
1 hL
103 L
1 kg
106 cm3
g
d 5 0,97 ? ———
? ————
? —————
5 970 kg/m3
3
3
1 m3
cm
10 g
a) 1 km/h
)
km 103 m
1h
1 ? 103 m
1 —— ? ———— ? ———— 5 ————— 5 0,27 m/s
h
1 km
3 600 s
3 600 s
b) 6 ?106 cm/min
cm
1m
1 min
6 ? 106 m
—— ? ———— 5 ———— — 5 103 m/s
6 ? 106 ——— ? ——
min 102 cm
60 s
102 ? 60 s
c) 8 ? 1022 dam/s
dam
10 m
m
——— ? ———— 5 8 ? 1022 ? 10 — 5
s
1 dam
s
5 8 ? 1021 m/s 5 0,8 m/s
d) 106 dm/dia
106
g) 0,02 dg?cm23
h) 105 dg?cm/h
c) 2,7 g/cm3 a kg/m3
8 ? 1022
1,6 kg/m3
dm 1021 m 1 dia
1h
—— ? ———— ? ———— ? ———— 5
dia
1 dm
24 h
3 600 s
106 ? 1021
5 ————— m/s 5 1,16 m/s
24 ? 3 600
e) 103 hm?h22
1 h2
hm 102 m
103 hm ? h22 5 103 ——
? ———— ? —————
5
2
h
1 hm
3 6002 s2
105
5 ——————
m/s2 5 7,7 ? 1023 m/s2
1,296 ? 107
m
102 dag
d 5 — m 5 d V 5 970 ? 6,2 5 6,014 ? 103 kg ———— 5
V
1 kg
5 6,014 ? 105 dag
12. Un dipòsit de gas butà (densitat 0,02 g/cm3) té forma esfèrica de 20 m de radi. Determineu la massa de gas contingut
en el dipòsit i expresseu-la en tones mètriques.
4
4
V 5 — p r 3 5 — ? p ? 203 5 3,351 ? 104 m3
3
3
g
1 kg
106 cm3
d 5 0,02 ———
? ————
? —————
5 20 kg/m3
3
3
cm
10 g
1 m3
m
d 5 — m 5 d V 5 20 ? 3,351 ? 104 5
V
1 Tm
5 6,7021 ? 105 kg ————
5 6,7? 102 Tm
103 kg
13. La capacitat d’una cisterna de transport de forma cilíndrica
és de 1 200 daL. Calculeu el seu volum en dam3.
10 L
1 m3 1 dam3
— ? ———— 5 1,2 ? 1022 dam3 5
V 5 1 200 daL ? ——— ? ——
1 daL 103 L 103 m3
5 0,012 dam3
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
00
FÍSICA 1
14. La Terra és a 150 000 000 km del Sol i l’estrella més propera és a una distància superior a 250 000 vegades la distància Terra-Sol.
kg 103 g
1 m3
——— ? ————— 5 2,31 ? 1014 g/cm3
d 5 2,31 ? 1017 ——
?
m3 1 kg 106 cm3
m 5 d V 5 2,31 ? 104 ? 1 5 2,31 ? 1014 g
a) Escriviu aquestes quantitats en notació científica.
m H2O 5 1 g
d T-S 5 1,5 ? 108 km; 2,5 ? 105
b) Determineu la distància mínima en quilòmetres de la
Terra a l’estrella més propera.
dT-E 5 2,5 ? 105 ? d T-S 5 2,5 ? 105 ? 1,5 ? 108 5
5 3,75 ? 1013 km
15. a) La velocitat de la llum és de 300 000 km/s. Expresseu
aquesta quantitat en notació científica.
m Pb 5 11,34 g
17. Un vaixell que es troba a 500 m d’un far veu la seva llum i
toca la sirena. Calculeu el temps que tardarà la llum a anar
del far al vaixell i el temps invertit pel so a anar del vaixell
al far. Utilitzeu les unitats més adients per expressar els
resultats.
Velocitat del so: 340 m/s.
Velocitat de la llum: 3 ? 108 m/s.
v 5 300 000 km/s 5 3 ? 105 km/s
b) Es defineix l’any llum com la distància que recorre la
llum en un any. Calculeu quants metres són un any llum.
3 600 s
24 h
1 any 5 365 dies ? ———— ? ———— 5 3,1536 ? 107 s
1 dia
1h
d 5 v t 5 3 ? 105 ? 3,1536 ? 107 5
103 m
5 9,4608 ? 1012 km? ———— 5 9,4608 ? 1015 m
1 km
c) Recordant el resultat obtingut en l’apartat b) del problema anterior sobre la distància a l’estrella més propera, expresseu-la ara en anys llum.
Dx
v 5 —— Dt
r
Dx
500
u Dt llum 5 ——— 5 ———— 5 1,67 ? 1026 s 5 1,67 ms
u
v llum
3 ? 108
w
u
Dx
500
u Dt so 5 —— 5 ——— 5 1,47 s
vso
340
q
18. Escriviu l’equació dimensional de les magnituds següents:
a) Quantitat de moviment (p 5 m v)
L
p 5 m v M ? — 5 M ? L ? T21
T
b) Potència (P 5 W/t)
W
M ? L2 ? T22
P 5 — —————— 5 M ? L2 ? T23
t
T
1 any llum
5
d T-E 5 3,75 ? 1013 km ? —————————
9,4608 ? 1012 km
5 3,96 anys llum
9
c) Treball (W 5 F D x)
16. La massa d’un protó és 1,67 ? 10224 g, mentre que el seu
radi és 1,2 ? 10213 cm.
1 kg
m 5 1,67 ? 10224 g ? ——3—— 5 1,67 ? 10227 kg
10 g
1m
—— 5 1,2 ? 10215 m
r 5 1,2 ? 10213 cm ? ——
102 cm
a) Suposant que el protó és esfèric i recordant que el vo4
lum d’una esfera és — p r 3, calculeu el volum i la den3
sitat del protó.
4
4
V 5 — p r 3 5 — ? p (1,2 ? 10215)3 5 7,24 ? 10245 m3
3
3
m
1,67 ? 10227 kg
——— 5 2,31 ? 1017 kg/m3
d 5 — 5 ——————
v
7,24 ? 10245 m3
cm3
b) Trobeu, aproximadament, la massa d’1
d’un material
que estigui format per protons, i compareu-lo, fent la
relació, amb la massa d’1 cm3 d’aigua i d’1 cm3 de plom
(el qual té una massa d’11,34 g).
W 5 F Dx M ? L ? T22 ? L 5 M ? L 2 ? T22
19. Quina magnitud física correspon a l’expressió F ? Dt? Trieu
la resposta correcta tot raonant l’elecció d’acord amb la
seva equació de dimensions:
a) Pressió
b) Quantitat de moviment
c) Energia
d) Acceleració
Multipliquem l’equació dimensional de la força per la dimensió
de temps:
M ? L ? T22 ? T 5 M ? L ? T21
L’equació dimensional resultant és la corresponent a la quantitat de moviment. Per tan la resposta correcta és la b) Quantitat
de moviment.
20. Donada l’expressió rgh, on r és la densitat, g l’acceleració
de la gravetat, i h l’altura, trobeu-ne l’equació dimensional
i trieu en conseqüència la magnitud a la qual correspon
d’entre les següents:
a) Massa
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
10
00
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) Treball
c) Velocitat
d) Pressió
Les equacions dimensionals de la densitat i l’acceleració són:
Densitat: M ? L23
Acceleració: L ? T 22
Multipliquem les dues equacions dimensionals entre elles i per
la de longitud (altura) per veure quina equació dimensional resulta:
M ? L23 ? L ? T22 ? L 5 M ? L21 ? T 22
L’equació resultant correspon a pascals. Per tan la resposta correcta és la d) Pressió.
p2
21. Quina magnitud representa l’expressió ——, on p és la quan2m
titat de moviment i m la massa? Deduïu-la efectuant la
seva equació de dimensions.
p2
(M L T21)2
M2 L2 T22
—— —————— 5 ————— 5 M L2 T22
2m
M
M
p2
L’expressió —— representa l’energia.
2m
22. Digueu quina és la sensibilitat dels aparells amb què s’han
fet les mesures següents: 120 cm3, 1,2 ? 102 cm3, 1,120 cm3.
120 cm3 1 cm3, o bé 10 cm3
1,2 ? 102 cm3 0,1 ? 102 cm3, o bé 0,2 ? 102 cm3
1,120 cm3 0,001 cm3
23. Suposeu que mesurem 12 cm3 d’un líquid amb instruments
de sensibilitat 1 cm3 i 0,1 cm3, respectivament. Expresseu
el resultat de la mesura amb el nombre correcte de xifres
significatives. Quin dels dos aparells és més precís? Raoneu
la resposta.
a) Magnitud: longitud.
Instrument sensibilitat 1 cm3: V 5 12 cm3
Aparell: regle.
Instrument sensibilitat 0,1 cm3: V 5 12,0 cm3
Mesura: l 5 (18,7 6 0,1) cm 5 18,7 cm 6 5,3 %
És més precís el segon instrument perquè té una sensibilitat
més petita i permet apreciar volums més petits.
24. Expresseu la quantitat 140 cm3 en dm3, en m3 i en mm3,
mantenint el mateix nombre de xifres significatives.
140
140
1 dm3
cm3 ? ——3———
10 cm3
1 m3
cm3 ? ——6——3—
10 cm
5 0,140
5
dm3
1,40 ? 1024
m3
103 mm3
140 cm3 ? ————3—— 5 1,40 ? 105 m3
1 cm
25. De les figures següents, indiqueu quina magnitud física
s’ha mesurat, quin aparell s’ha emprat i escriviu els resultats de les mesures amb el seu error absolut i relatiu:
1e
r
0,1
5 ——— ? 100 5 5,3 %
18,7
2
b) Magnitud: massa.
Aparell: balança.
Mesura: m 5 (3,72 6 0,02) g 5 3,72 g 6 0,5 %
1e
r
0,02
5 ——— ? 100 5 0,5 %
3,72
2
c) Magnitud: temperatura.
Aparell: termòmetre.
Mesura: T 5 (22,0 6 0,5) °C 5 22,0 °C 6 2,3 %
1e
r
0,5
5 ——— ? 100 5 2,3 %
22,0
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
2
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
Aparell: voltímetre.
Mesura: V 5 (18,5 6 0,25) V 5 18,5 V 6 1,4 %
r
0,25
5 ——— ? 100 5 1,4 %
18,5
11
ea 5 0,001 g, en tots els casos.
d) Magnitud: diferència de potencial.
1e
00
2
26. El nombre p utilitzat en matemàtiques val, aproximadament
en mil.lèsimes, 3,141. Si en un problema agafem un valor de
3,14, quin és l’error absolut i quin és l’error relatiu?
ea 5 |3,14 2 3,141| 5 0,001
0,001
er 5 ———— ? 100 5 0,032 %
3,14
27. Amb una cinta mètrica que té deu divisions entre cada centímetre, s’han fet algunes mesures de diferents objectes, expressades de la manera següent: 17,453 cm, 13,8 mm, 4 cm,
15 m, 15,35 cm.
Raoneu quines d’aquestes expressions són correctes, i escriviu correctament les que no ho són.
Com que té 10 divisions entre cada cm, la sensibilitat (error
instrumental) val 1 mm 5 0,1 cm. Per tant:
j 17,453 cm Incorrecta.
Expressió correcta: 17,4 cm
0,001
20
j ———— ? 100 5 5 ? 1023 %
0,001
10
j ———— ? 100 5 0,01 %
0,001
0,5
j ———— ? 100 5 0,2 %
0,001
0,04
j ———— ? 100 5 2,5 %
0,001
0,003
j ———— ? 100 5 33,3 %
31. [Curs 03-04] Suposeu que s’han mesurat les distàncies
de la Terra al Sol (RTS) i de Mart al Sol (RMS), i que els
resultats obtinguts són R TS 5 (1,5 6 0,4) ? 10 8 km,
RMS 5 (22,8 6 0,4) ? 108 km. Quina mesura és més precisa?
Raoneu-ne la resposta.
r
0,4
u RTS: Er 5 ——— ? 100 5 26,7 %
u
1,5
w
u
0,4
u RMS : Er 5 ——— ? 100 5 1,8 %
q
22,8
És més precisa la mesura de RMS, perquè té un error relatiu més
petit, 1,8.
j 13,8 mm Incorrecta.
Expressió correcta: 13 mm
32. Per a les mesures de longitud següents i els seus errors,
justifiqueu quina és la més precisa:
j 4 cm Incorrecta.
(4,3 6 0,4) cm, (51 6 1) km,
Expressió correcta: 4,0 cm
(15,5 6 0,5) m, (2,4 6 0,1) mm
j 15 m Incorrecta.
Expressió correcta: 15,000 m
Per comprovar quines de les mesures és la més precisa hem de
comparar els seus errors relatius.
j 15,35 cm Incorrecta.
0,4
er 5 ——— ? 100 5 9,30 %
4,3
Expressió correcta: 15,3 cm
28. Una alumna mesura un volum de 10 cm3 d’aigua amb una
pipeta graduada en cm3 i amb deu divisions entre cada cm3.
Raoneu com s’expressarà el resultat de la mesura.
1
er 5 —— ? 100 5 1,96 %
51
Com que la pipeta té 10 divisions entre cada cm3, la sensibilitat
és de 0,1 cm3. Per tant, el resultat de la mesura és:
0,5
er 5 ——— ? 100 5 3,23 %
15,5
V 5 (10,0 6 0,1) cm3
0,1
er 5 ——— ? 100 5 4,17 %
2,4
29. El valor de la gravetat en un punt de la Terra és de 9,81 m/s2.
Si fem servir el valor aproximat 10, quin error absolut i quin
error relatiu tenim associat?
ea 5 |10 2 9,81| 5 0,19 m/s2
0,19
er 5 ——— ? 100 5 1,94 %
9,81
30. Una balança té una càrrega màxima de 100 g i aprecia el
mil.ligram. Calculeu l’error absolut i el relatiu de les pesades següents: 20 g, 10 g, 5 dg, 4 cg, 3 mg.
La mesura més precisa serà la (51 6 1) ja que té un error relatiu més petit que les altres tot i tenir un error absolut més
gran.
33. Amb un peu de rei hem efectuat diverses mesures del diàmetre d’un conductor elèctric de coure, tot obtenint els resultats següents expressats en cm: 2,23; 2,25; 2,21; 2,23;
2,24; 2,26; 2,24; 2,22.
Calculeu els errors absolut i relatiu, i doneu el resultat de la
mesura tenint en compte aquests errors.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
12
00
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2 2,21 1 2,22 1 2,23 1 2,23 1 2,24 1 2,24 1 2,25 1 2,26
d 5 ————————————————————————— 5
8
5 2,24 cm
ea 5 |2,24 2 2,21| 5 0,03 cm
0,03
er 5 ——— ? 100 5 1,3 %
2,24
d 5 (2,24 6 0,03) cm 5 2,24 cm 6 1,3 %
34. La massa d’un cos petit s’ha mesurat per sis persones diferents amb una balança de precisió. Els valors que han obtingut, expressats en g, són els següents: 1,34; 1,36; 1,33;
1,33; 1,35; 1,37. Com hem de donar el valor de la mesura,
tant amb un error absolut com amb error relatiu?
37. Per tal de mesurar la velocitat angular d’una roda, deu
alumnes han mesurat alhora, amb sengles cronòmetres, el
temps que aquesta roda triga a fer 5 voltes i han obtingut
els valors següents, expressats en s: 14,34; 14,25; 14,31;
14,29; 14,32; 14,31; 14,33; 14,29; 14,32; 14,30. Quin valor han d’assignar a la mesura?
El valor que hem d’assignar a la mesura és la mitjana dels valors
obtinguts pels diferents alumnes:
2 14,34114,25114,31114,29114,32114,31114,33114,29114,32114,30
t 5 —————————————————————————— 5
10
5 14,31 s
Ara calcularem l’error relatiu i l’error absolut:
ea 5 |14,31 2 14,25| 5 0,06 s
0,06
er 5 ———— 5 0,004 5 0,4 %
14,31
1,33 1 1,33 1 1,34 1 1,35 1 1,36 1 1,37
2
m 5 ————————————————————— 5 1,35 g
6
ea 5 |1,35 2 1,37| 5 0,02 g
0,02
er 5 ——— ? 100 5 1,5 %
1,35
m 5 (1,35 6 0,02) g 5 1,35 g 6 1,5 %
35. [Curs 00-01] S’ha mesurat el temps de caiguda de tres pedres per un precipici amb un cronòmetre manual i s’hi han
llegit els valors: t1 5 3,42 s, t2 5 3,50 s, t3 5 3,57 s. Quin
és el resultat d’aquesta mesura de t? Expresseu-lo com:
(valor de t) 6 (incertesa de t).
El valor de la mesura serà doncs:
t 5 (14,31 6 0,06) s 5 14,31 s 6 0,4 %
38. La massa d’un cos petit l’han mesurada sis persones diferents amb una balança de precisió. Els valors obtinguts,
expressats en grams, són: 1,34, 1,36, 1,33, 1,33, 1,35,
1,37. Quin és el valor de la mesura, tant amb error absolut
com amb error relatiu?
2 1,33 1 1,33 1 1,34 1 1,35 1 1,36 1 1,37
m 5 ———————————————————— 5 1,35 g
6
ea 5 |1,35 2 1,37| 5 0,02 g
Busquem el valor mitjà de temps:
0,02
er 5 ——— ? 100 5 1,5 %
1,35
3,42 1 3,50 1 3,57
2
t 5 —————————— 5 3,50
3
e1 5 |3,42 2 3,50| 5 0,08
e3 5 |3,57 2 3,50| 5 0,07
L’error absolut és el valor més gran dels dos valors anteriors:
ea 5 màx {0,08;0,07} 5 0,08
Aquest serà el valor de la incertesa i donarem el resultat amb
la mateixa precisió que la incertesa. Per tant:
t 5 (3,50 6 0,08) s
36. Un grup de vuit alumnes han mesurat, amb una balança de
braços iguals i cada un per separat, la massa d’una mostra
de mineral i han obtingut els valors següents expressats
en grams: 12,43, 12,45, 12,44, 14,32, 12,43, 12,44, 12,42,
12,45.
Algú ha efectuat una mesura errònia?
14,32.
m 5 (1,35 6 0,02) g 5 1,35 g 6 1,5 %
39. Per tal de determinar la densitat d’un mineral hem mesurat la massa i el volum de 6 mostres del mineral, i hem
obtingut els valors següents:
m (g)
2,70
5,15
8,93
10,62
12,7
14,24
V (cm3)
1,2
2,3
3,9
4,7
5,6
6,3
a) Representeu gràficament les masses en abscisses i els
volums en ordenades. Què se n’obté?
Representem les parelles de valors i observem que formen
aproximadament una recta.
16
14
12
10
volum
Calculem l’error particular associat als valors de mesura més
petit i més gran:
8
6
4
Si s’han de posar d’acord per donar un valor per a la massa
de la mostra mesurada, quin serà?
2
0
0
2
(12,44 6 0,02) g
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
4
massa
6
8
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
b) Podem establir una relació matemàtica entre la massa i
el volum? En cas afirmatiu, quina?
Com que formen una recta podem dir que la massa i el volum són proporcionals. Per tant hem de trobar la raó de
proporció dividint la massa entre el volum, que és la fórmula de la densitat.
c) Doneu el valor de la densitat del mineral amb 3 xifres
significatives i amb el seu error.
Primer calcularem la densitat de cada parella de valors amb
l’ajuda d’una taula:
00
2 0,444 1 0,447 1 0,437 1 0,443 1 0,441 1 0,442
d 5 —————————————————————— 5
6
5 0,442 g/cm3
ea 5 |0,442 2 0,447| 5 0,005 g/cm3
0,005
er 5 ———— ? 100 5 1,04 %
0,442
La densitat del material serà:
m (g)
2,70
5,15
8,93
10,62
12,7
14,24
V (cm3)
1,2
2,3
3,9
4,7
5,6
6,3
d 5 (0,442 6 0,005) g/cm3 5
0,443
0,441
0,442
5 0,442 g/cm3 1 1,04 %
d (g?cm23)
0,444 0,447 0,437
13
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
14
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Unitat 1. Cinemàtica
en una dimensió
Activitats
1. Analitza aquest fet:
Un avió està agafant velocitat en la pista d’enlairament.
Com veu el moviment de l’avió:
b) Un cos es mou cap a la dreta, amb una velocitat inicial
de 100 m/s; quan han passat 25 s, la seva velocitat val
20 m/s.
Dv
20 2 100
a 5 —— 5 ————— 5 23,2 m/s2
Dt
25
c) Un cos es mou cap a l’esquerra, amb una velocitat inicial
de 12 m/s; quan han passat 18 s, la seva velocitat val
72 m/s.
Dv
272 2 (212)
a 5 —— 5 ——————— 5 23,33 m/s2
Dt
18
a) Una persona a la torre de control de l’aeroport.
Veu l’avió movent-se amb movimient rectilini.
b) El xofer del cotxe que ha posat combustible i va cap a
dins de l’aeroport en sentit contrari a l’avió.
d) Un cos es mou cap a l’esquerra, amb una velocitat inicial
de 80 m/s; quan han passat 30 s, la seva velocitat val
15 m/s.
Dv
215 2 (280)
a 5 —— 5 ——————— 5 2,17 m/s2
Dt
30
Pel retrovisor del seu cotxe veu l’avió movent-se en sentit
contrari amb moviment rectilini.
c) L’hostessa que es dirigeix al seu seient per estar a punt
en el moment de l’enlairament.
L’hostessa veu l’avió movent-se respecte d’ella.
5. Un automòbil es troba inicialment (t0 5 0) a la posició x0 5
5 3 m, i quan han passat 15 s es troba a la posició x 5 53 m.
Si suposem que el moviment és rectilini i uniforme:
a) Feu un esquema i calculeu la velocitat que porta.
Dx
53 2 3
50
v 5 —— 5 ———— 5 —— 5 3,33 m/s
Dt
15
15
d) Un viatger assegut al seu seient.
No observa cap moviment.
b) En quina posició es trobarà quan hagin passat 34 s?
2. Citeu cinc cossos que estiguin en repòs respecte del sistema laboratori i cinc cossos que es moguin respecte del sistema laboratori.
x 5 x0 1 v D t x 5 3 1 3,33 ? 34 5 116,33 m
c) Dibuixeu els gràfics posició-temps i velocitat-temps.
Qualsevol cos en repòs damunt de qualsevol superfície en repòs
respecte del terra.
Qualsevol cos que estigui en moviment damunt d’una superfície
o bé que no estigui recolzat.
3. Un cos es mou cap a l’esquerra amb una velocitat de
2,45 m/s. Quant val el vector velocitat? I la celeritat?
Per escriure el vector velocitat hem de tenir present el mòdul
i el sentit del moviment. El criteri que s’utilitza normalment
és considerar que cap a la dreta és el sentit positiu i cap a l’esquerra el negatiu. En el nostre cas escriurem:
Velocitat: 22,45 m/s
La celeritat és el mòdul de la velocitat, per tant el sentit de
moviment no té cap rellevància. Escriurem doncs:
Celeritat: 2,45 m/s
4. Determineu els signes de la velocitat, si augmenta o disminueix i quina acceleració mitjana s’obté amb el signe corresponent en els casos següents:
a) Un cos es mou cap a la dreta, amb una velocitat inicial
de 15 m/s; quan han passat 30 s, la seva velocitat val
75 m/s.
Dv
75 2 15
a 5 —— 5 ————— 5 2 m/s2
Dt
30
x(m)
t
x
0
15
34
3
53
116,33
100
50
15
30
t(s)
6. Un automòbil es troba inicialment a l’origen de coordenades i es mou cap a la dreta i en línia recta amb una velocitat
constant de 72 km/h; en el mateix moment, un motorista
es troba a 500 m de l’automòbil i es mou cap a l’esquerra
amb una velocitat constant de 54 km/h.
a) Representeu gràficament els dos moviments en un mateix gràfic posició-temps i determineu gràficament en
quin moment es troben i en quina posició ho fan.
Automòbil
Motorista
t0 5 0
t0 5 0
v 5 72 km/h 5 20 m/s
v 5 254 km/h 5 215 m/s
x 0 5 500 m
xA 5 20 t
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
xM 5 500 2 15 t
lOMoARcPSD|7143541
01
FÍSICA 1
15
b) Comproveu que es tracta d’un moviment rectilini uniforme.
Analitzem tres intervals aplicant:
Dx
y2 2 y1
v 5 —— 5 —————
Dx
t2 2 t1
7,582 2 0
Entre t 5 0 i t 5 2,23 v 5 —————— 5 3,4 m/s
2,23 2 0
t
xA
t
xA
0
10
20
0
200
400
0
10
20
500
350
200
b) Determineu a partir de les equacions del moviment en
quin moment es troben i en quina posició ho fan; compareu els resultats amb l’apartat a).
10,676 2 9,894
Entre t 5 2,91 i t 5 3,14 v 5 ———————— 5
3,14 2 2,91
5 3,4 m/s
12,07 2 0
Entre t 5 0 i t 5 3,55 v 5 —————— 5 3,4 m/s
3,55 2 0
Podeu provar amb qualsevol altre interval i trobareu que
dóna sempre v 5 3,4 m/s; per tant, es tracta d’un MRU.
Calculem també l’acceleració aplicant:
i
y
xM 5 500 2 15 t t
Dv
n 2 2 n1
a 5 —— 5 ————
Dt
t2 2 t1
20 t 5 500 2 15 t
Com que Dv 5 v2 2 v1 5 3,4 2 3,4 5 0, comprovem també
amb el càlcul de l’acceleració que es tracta d’un MRU.
xA 5 20 t
500
35 t 5 500 t 5 —— 5 14,28 s
35
x 5 20 ? 14,28 5 285,71 m
c) Representeu els gràfics v-t i y-t.
La representació gràfica és la següent:
a) v (m/s)
7. En l’enlairament vertical d’un transbordador espacial els
motors han de donar la força necessària per vèncer la força gravitatòria de la Terra. Durant un bon tram, la velocitat
que porta es manté constant; això vol dir que en intervals
iguals de temps, fa recorreguts iguals. Els tècnics aeronàutics ens han proporcionat les dades que apareixen a la
taula.
t (s)
y(m)
0
0
2,23
7,582
2,57
8,738
2,91
9,894
3,14
10,676
3,38
11,492
3,55
12,070
t (s)
b)) Y (m)
t (s)
a) Quina és la precisió en les mesures de temps i de posició?
A la taula observem que les dades de temps es donen fins a
les centèsimes de segon, per tant, la precisió en el temps és
de 0,01 s 5 10 ms.
Les dades de la posició de la nau estan donades fins
a la mil.lèsima del metre, per tant la precisió és de
0,001 m 5 1 mm.
d) Escriviu l’equació del moviment.
En general: y 5 y0 1 v (t 2 t0) o y 5 y0 1 v Dt
Hem de determinar quant valen t0, y0 i v.
De les dades inicials tenim que t0 5 0 i y0 5 0.
La velocitat, l’hem determinat en l’apartat a), v 5 3,4 m/s.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
16
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Si posem aquests valors en l’equació del moviment, trobem
que per a aquest moviment la nau es mou seguint aquesta
equació:
y 5 3,4 t
Podeu obtenir la taula de valors inicials donant valors del
temps.
8. Un automòbil pot arribar, partint del repòs, a la velocitat de
100 km/h en 10,5 s. Si suposem que és un moviment rectilini uniformement accelerat, calculeu l’acceleració i l’espai
recorregut en aquest temps.
km
100 —— 5 27,78 m/s
h
Dv
27,78
a 5 —— 5 ———— 5 2,64 m/s2
Dt
10,5
1
1
x 5 x0 1 v0 t 1 — at 2 x 5 — ? 2,64 ? 10,52 5
2
2
5 145,53 m
9. Un motorista va a una velocitat de 54 km/h i en 50 m la
redueix fins a 36 km/h. Calculeu l’acceleració i el temps que
ha tardat a reduir-la.
v (m/s)
v0 5 54 km/h 5 15 m/s i
y
v 5 36 km/h 5 10 m/s t
25
v 5 v0 1 a Dt 10 5 15 1 at a 5 ——
t
1
x 5 x0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2 2
1
1
5
50 5 15 t 1 — a t2 50 5 15 t 2 — ? — ? t2 2
2 t
50
50 5 15 t 2 2,5 t 50 5 12,5 t t 5 ——— 5 4 s
12,5
25
a 5 —— 5 21,25 m/s2
4
11. Observeu la figura 1.33 i determineu:
10. Representeu els gràfics v-t i x-t d’un mòbil que parteix del
repòs i es desplaça amb una acceleració constant de 3 m/s2
des de l’instant t 5 0 fins a t 5 100 s.
v 5 3t
i
u
y
1
2
2
x 5 — 3 t x 5 1,5 t u
t
2
t
x
v
0
0
0
10
150
30
30
1 350
90
60
5 400
180
100
15 000
300
a) La classe de moviment en cada tram.
1r tram: MRU
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
01
FÍSICA 1
2n tram: MRUA
17
d) Què passarà si, en lloc de deixar caure el cos, el llancem
amb una certa velocitat inicial des del terra? Feu un dibuix que expliqui aquest fet.
3r tram: no hi ha moviment
4t tram: MRUA
Si es negligeixen els efectes del fregament amb l’aire, torna
a arribar a terra amb la mateixa velocitat amb què l’hem
llançat i fa el mateix recorregut. A la unitat hi ha un exemple numèric que fa referència a aquest fet.
b) L’acceleració en cada tram.
1r tram: a 5 0
0 2 20
220
2n tram: a 5 ————— 5 —— 5 24 m/s2
10 2 5
5
3r tram: a 5 0
13. Llancem un cos des del terra amb una velocitat inicial de
70 m/s.
10 2 0
10
4t tram: a 5 ————— 5 —— 5 1 m/s2
25 2 15
10
c) La distància recorreguda en cada tram.
Per determinar la distància recorreguda en cada tram recordem que és igual a l’àrea sota la gràfica v-t. Per tant, recordant les fórmules de les àrees d’un rectangle i d’un
triangle:
v0 5 70 m/s
i
1
y 5 y0 1 v0 D t 1 — a Dt 2 y
2
t
v 5 v0 1 a Dt
y 5 70t 2 4,9 t 2 i
y
v 5 70 2 9,8t t
1r tram: D x 5 20 ? (5 2 0) 5 100 m
20 ? (10 2 5)
2n tram: D x 5 ——————— 5 50 m
2
3r tram: Dx 5 0 m
a) Fins a quina altura màxima arriba?
v 5 0;
70
t 5 —— 5 7,14 s
9,8
10 ? (25 2 15)
4t tram: Dx 5 ——————— 5 50 m
2
d) La distància total que ha recorregut.
100 1 50 1 50 5 200 m
y 5 70 ? 7,14 2 4,9 ? 7,142 5 249,8 m
b) Quant de temps triga a fer aquest recorregut?
t 5 7,14 s
e) La velocitat que porta el cos als 7 s, als 12 s i als 18 s.
Trobeu-la numèricament i gràficament.
j 7 s; 2n tram; v 5 v0 1 a Dt
v 5 20 2 4 (t 2 5) 5 20 2 4 (7 2 5) 5 12 m/s
0 5 70 2 9,8 t
c) Quant de temps passarà fins que torni una altra vegada
al terra?
0 5 70 t 2 4,9 t 2
0 5 70 2 4,9 t
j 12 s; 3r tram; v 5 0
70
t 5 —— 5 14,29 s
4,9
j 18 s; 4t tram; v 5 v0 1 a Dt
v 5 t 2 15 v 5 18 2 15 5 3 m/s
12. Suposeu que deixem caure un cos des d’una certa altura.
Raoneu cada apartat.
a) Quant val la seva velocitat inicial?
v 5 0, perquè el deixem caure.
d) Amb quina velocitat arribarà al terra?
v 5 70 2 9,8 ? 14,29 5 270 m/s
e) Dibuixeu els gràfics velocitat-temps i posició-temps i
interpreteu-ne el resultat.
b) La velocitat del cos augmenta o disminueix? Quin signe té?
t
x
v
Augmenta el mòdul, i el seu signe és negatiu, segons el
sistema de referència que utilitzem.
0
0
70
5
227,5
21
c) Quant val l’acceleració amb què baixa el cos? Quin signe té?
10
L’acceleració és negativa i correspon a l’acceleració de la
gravetat.
210
7,14
249,8
14,29
0
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
228
0
270
lOMoARcPSD|7143541
18
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
r v0 5 20 m/s
u
A w t0 5 0
u
q y0 5 0
rv 50
u 0
B w t0 5 0
u
q y0 5 30 m
1
r
u y 5 y0 1 v0 Dt 1 — a D t 2
2
w
u
q v 5 v0 1 a Dt
a 5 29,8 m/s2
yA 5 20 t 2 4,9 t 2 i
y
y B 5 30 2 4,9 t 2 t
vA 5 20 2 9,8 t i
y
t
v B 5 29,8 t
a) En quin instant es trobaran?
yA 5 yB
20 t 2 4,9 t 2 5 30 2 4,9 t 2;
30
t 5 —— 5 1,5 s
20
b) Quina velocitat portarà cadascuna?
vA 5 20 2 9,8 ? 1,5 5 5,3 m/s
vB 5 29,8 ? 1,5 5 214,7 m/s
c) Calculeu la distància recorreguda per cada una.
yA 5 20 ? 1,5 2 4,9 ? 1,52 5 18,975 m
yB 5 30 2 4,9 ? 1,52 5 18,975 m D y 5 18,975 2 30 5 211,025 m
14. Llancem verticalment cap amunt una bala, que tarda 20 s a
aturar-se. Amb quina velocitat l’hem llançada i a quina altura ha arribat?
t 5 20 s
Qüestions
1. Considereu el sistema de laboratori i el sistema Terra:
1
y 5 y0 1 v0 D t 1 — a Dt2
2
v 5 v0 1 a Dt
1
y 5 v0 ? 20 2 — ? 9,8 ? 202
2
0 5 v0 2 9,8 ? 20 v0 5 9,8 ? 20 5 196 m/s
y 5 196 ? 20 2 4,9 ? 202 5 1 960 m
15. Es deixa caure una pedra des d’una altura de 30 m, i en el
mateix instant i des de terra es llança verticalment i cap
amunt una altra pedra amb una velocitat de 20 m/s.
——— 30 m
B
A
———
Activitats finals
a) On és l’origen de coordenades de cadascun? Dibuixeulos esquemàticament amb els eixos de coordenades.
L’origen de coordenades del sistema laboratori és qualsevol
punt que estigui en repòs respecte del terra; per exemple:
un punt immòbil respecte d’una aula, d’una habitació, del
carrer, etc. L’origen de coordenades del sistema Terra és al
centre de la Terra.
b) Es mouen un respecte de l’altre?
El sistema laboratori es mou respecte el sistema Terra perquè la Terra té un moviment de rotació entorn un eix que
passa pel seu centre. Els únics punts que no es mouen respecte el sistema Terra són els situats sobre l’eix de rotació
de la Terra. La resta de punts de la Terra descriuen cercles
entorn aquest eix.
c) El satèl . lit Meteosat es mou respecte de cadascun
d’aquests?
El satèl.lit Meteosat és un satèl.lit geoestacionari; és a dir,
té un moviment de rotació de manera que sempre es troba a
una distància constant i sobre el mateix punt de la superfície de la Terra. Per tant, respecte al sistema Terra es mou,
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
però respecte al sistema laboratori, el satèl.lit Meteosat està
quiet, ja que té el mateix període de rotació que el terra
pres com a origen del sistema laboratori.
01
19
En aquest cas l’acceleració és negativa.
Si el mòdul de la velocitat disminueix,
D v . 0 a 5 Dv/Dt . 0
2. El vector desplaçament D r entre dos punts A i B de la trajectòria d’un mòbil, canviarà si canviem l’origen del sistema
de coordenades? Feu-ne una explicació gràfica.
En aquest cas l’acceleració és positiva.
b) Un cos puja segons l’eix vertical.
El vector desplaçament és independent de l’origen de coordenades escollit, sempre que aquest origen estigui en repòs o es
mogui a velocitat constant. Aquí només considerarem com a
origen de coordenades punts en repòs:
Velocitat positiva; sempre tenint en compte el sistema de
referència utilitzat en tota la unitat.
Siguin A i B dos punts de l’espai pels quals passa un mòbil en
determinats instants de temps. Si l’origen de coordenades es si
tua al punt O, el vector desplaçament D r està indicat a la figura:
D v , 0 a 5 Dv/Dt , 0
Si el mòdul de la velocitat disminueix,
En aquest cas l’acceleració és negativa.
Si el mòdul de la velocitat augmenta,
Dv . 0 a 5 D v/Dt . 0
En aquest cas l’acceleració és positiva.
6. Dels gràfics v-t que representen moviments rectilinis (tria
l’opció correcta):
Si ara l’origen de coordenades és el punt O’, canviaran els vectors de posició dels punts A i B, però el vector desplaçament és
el mateix. I això es compleix per a qualsevol punt que es prengui com a origen de coordenades:
A) El càlcul de l’àrea entre un interval de temps ens dóna:
a) l’acceleració del moviment
b) l’espai recorregut
c) la velocitat
3. a) Què vol dir que el moviment rectilini és un moviment en
una dimensió? Feu-ne l’explicació amb un dibuix.
La trajectòria és una recta; per tant, la seva posició queda
determinada en una sola coordenada.
b) Poseu cinc exemples de moviments rectilinis.
Caiguda d’un cos en la qual l’efecte de l’aire és negligible
per no alterar la seva trajectòria; moviment d’un cotxe per
una carretera recta; moviment d’un tren per una via recta;
moviment d’oscil.lació d’una molla; un cos que es deixa
caure per un pla inclinat.
4. Un cos es mou cap a la dreta amb una velocitat de 7,5 m/s.
Quant val el vector velocitat? Quant val la celeritat?
Dreta 7,5 m/s la velocitat i la celeritat.
5. Determineu el signe de la velocitat i de l’acceleració en els
casos següents:
a) Un cos baixa segons l’eix vertical.
En calcular l’àrea de la gràfica v-t en un interval de temps,
estem sumant per a petits increments de temps aquesta
Dx
quantitat: —— ? D t. Per tant, al final obtenim el desplaçaDt
ment total del mòbil des de l’instant de temps inicial fins al
final. La resposta és: b) l’espai recorregut.
B) Si hi ha un tram paral.lel a l’eix del temps, aquest correspon a:
a) un MRU
b) un MRUA
c) absència de moviment
Un tram de la gràfica paral.lel a l’eix del temps significa que
en aquest interval de temps la velocitat és constant i no
nul.la. El cos es mou sense acceleració. Per tant, la resposta
és: a) un MRU.
7. Un cos baixa verticalment sotmès només a l’acceleració de
la gravetat. Segons el sistema de referència emprat en
aquesta unitat (tria l’opció correcta):
A) El signe de la velocitat és:
a) negatiu
b) positiu
c) el signe que agafem és indiferent
Velocitat negativa.
Si el mòdul de la velocitat augmenta,
Dv , 0 a 5 D v/Dt , 0
La velocitat està dirigida cap baix, per tant té signe negatiu
segons el conveni de signes d’aquesta unitat. La resposta
és: a) negatiu.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
20
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
B) La velocitat en mòdul:
c) Dibuixeu els gràfics posició-temps i velocitat-temps.
a) augmenta
t (s)
b) disminueix
c) és constant
La velocitat cada vegada és menor, perquè té signe negatiu
i el seu mòdul va augmentant. La resposta és: a) augmenta.
x (m)
0
25
12
2
18
29,5
8. [Curs 98-99] D’una aixeta gotegen, separades una de l’altra,
dues gotes d’aigua. En un instant determinat, estan separades una distància d. Raoneu si, amb el pas del temps, mentre cauen, aquesta distància anirà augmentant, minvant o
romandrà constant.
La distància entre les gotes cada vegada augmentarà perquè
l’espai recorregut en un moviment accelerat té una dependència
quadràtica amb el temps. La gràfica posició-temps d’aquest moviment és una paràbola. Per tant, a dos valors de temps t1 i t2
que difereixen en un valor Dt constant en l’eix d’abscises, els
correspondran valors de posició y1 i y2 que difereixen entre si
un valor no constant. La diferència en les ordenades anirà augmentant en augmentar els valors de t1 i t2 considerats. En
aquest cas, tenim dues gotes, és a dir, tenim dues paràboles
idèntiques però separades en l’eix del temps en un valor constant Dt (la diferència de temps entre els instants de caiguda de
les dues gotes de l’aixeta). Per tant, trobar la diferència de posicions entre les dues gotes a cada instant equival a trobar
la diferència de posicions en una mateixa gràfica per a dos valors de temps que difereixen en el valor D t . Així, si per a uns
valors de temps determinats les seves posicions difereixen en
una distància d en l’eix Y, aquest valor no es manté al llarg del
temps, sinó que anirà augmentant.
Problemes
NOTA: Si l’enunciat dels problemes no diu el contrari, considerarem nul l’efecte del fregament de l’aire.
1. Un corredor de Fórmula 1 ha fet la volta més ràpida en els
entrenaments d’un gran premi d’aquesta categoria i ha tardat 53,2 s en un circuit que té 3,53 km. A quina velocitat
mitjana ha rodat? Expresseu-la en km/h i m/s.
3. Representeu els gràfics v-t i x-t d’un mòbil que parteix
del punt x 5 10 m i es desplaça a 18 km/h entre l’instant
t 5 0 s i t 5 50 s.
x0 5 10 m
v 5 18 km/h 5 5 m/s
x 5 x0 1 v t x 5 10 1 5 t
3,53 km 3 600 s
————— ? ———— 5 238,87 km/h
53,2 s
1h
1 000 m
3,53 km
————— ? ————— 5 66,35 m/s
53,2 s
1 km
2. Un motorista es troba inicialment (t0 5 0) a la posició
x0 5 25 m, i quan han passat 12 s es troba a la posició x 5
5 2 m. Si suposem que el moviment és rectilini i uniforme:
a) Feu un esquema i calculeu la velocitat que porta.
Dx
2 2 25
23
v 5 —— 5 ———— 5 2—— 5 21,92 m/s
Dt
12
12
b) En quina posició es trobarà quan hagin passat 18 s?
x 5 x0 1 v Dt x 5 25 2 1,92 ? 18 5 29,5 m
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
t (s)
x (m)
0
10
50
260
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
01
21
d) Quina distància hauran recorregut als 3 s?
Dx 5 x 2 x0
1r: Dx 5 15 2 10 5 5 m
2n: Dx 5 0
3r: Dx 5 5 2 20 5 215 m
5. Amb el gràfic següent, determineu:
4. a) Determineu a partir dels gràfics (fig. 1.42) la velocitat
de cada mòbil.
Dx
40 2 10
1r: v 5 —— 5 ———— 5 1,67 m/s
Dt
18
2n: v 5 0
Dx
0 2 20
3r: v 5 —— 5 ———— 5 25 m/s
Dt
420
a) Classe de moviment en cada tram.
1r tram: MRU
2n tram: No hi ha moviment.
3r tram: MRU
b) Velocitat en cada tram.
20 2 10
1r tram: v 5 ————— 5 5 m/s
220
Dx
v 5 ——
Dt
2n tram: v 5 0
15 2 20
3r tram: v 5 ————— 5 22,5 m/s
826
c) Distància recorreguda en cada tram.
1r tram: Dx 5 20 2 10 5 10 m
D x 5 x 2 x0
2n tram: Dx 5 0
3r tram: D x 5 15 2 20 5 25 m, aquí el
desplaçament és negatiu, prenem el seu
valor absolut per trobar la distància recorreguda: d 5 |Dx| 5 5 m
d) Distància total que ha recorregut.
10 1 5 5 15 m
e) Valor final del desplaçament.
D x 5 x 2 x0 5 15 2 20 5 25 m
b) Digueu quin tipus de moviment representa cadascun.
1r: MRU
2n: No hi ha moviment.
6. En el gràfic següent representem el moviment de dues partícules damunt una superfície rectilínia. Trobeu:
3r: MRU
c) Determineu la posició en què es troba cada mòbil als 3 s.
1r: x 5 10 1 1,67 ? 3 5 15 m
2n: x 5 15 m
a) L’equació del moviment de cada partícula.
0 2 (210)
vA 5 —————— 5 1 m/s
10 2 0
3r: x 5 20 2 5 ? 3 5 5 m
xA 5 210 1 t
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
22
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
0 2 20
vB 5 ————— 5 22 m/s
20 2 10
xB 5 20 2 2 (t 2 10) xB 5 20 2 2t 1 20 xB 5 40 2 2t
b) On es troben i quin és el temps de trobada, gràficament
i numèricament.
x 5 22 t 2 1 22 t 2 40
x (5) 5 22 (5)2 1 22 ? 5 2 40;
x (5) 5 20 m
v 5 v0 1 a Dt v 5 6 2 4 (t 2 4)
v 5 6 2 4 t 1 16 v 5 22 2 4 t
v(5) 5 22 2 4 ? 5 v (5) 5 2 m/s
xA 5 x B
t
x
y
xA 5 210 1 t i
y 210 1 t 5 40 2 2 t
xB 5 40 2 2 t t
0
240
22
4
16
6
5
20
2
50
3 t 5 50 t 5 —— 5 16,66 s
3
x 5 210 1 16,66 5 6,66 m
7. Una motocicleta, partint del repòs, fa un recorregut d’1 km
en 31,8 s. Si el moviment és rectilini uniformement accelerat, calculeu l’acceleració i la velocitat final.
1
x 5 x0 1 v0 t 1 — at2
2
v 5 v0 1 a t
1
2 ? 1 000
1 000 5 — a ? 31,82 a 5 —————
5 1,97 m/s2
2
31,82
v 5 1,97 ? 31,8 5 62,89 m/s
8. Escriviu l’expressió de la posició en funció del temps per a
un mòbil que es desplaça sobre l’eix OX amb una acceleració
constant de 24 m/s2, si sabem que en l’instant t 5 4 s es
troba en la posició x 5 16 m i la seva velocitat és de 6 m/s.
Quina serà la posició i la velocitat en l’instant t 5 5 s? Feu
els gràfics posició-temps i velocitat-temps.
a 5 24 m/s2 i
t0 5 4 s
x0 5 16 m
v0 5 6 m/s
u
u
y
u
u
t
9. Un avió Boeing 727 necessita una velocitat de pista de
360 km/h per enlairar-se; si partint del repòs tarda 25 s a
enlairar-se:
a) Quina acceleració constant li proporcionen els motors?
1
1
x 5 — a t 2 x 5 — a ? 252
2
2
v 5 a t 100 5 a ? 25 a 5 4 m/s2
b) Quina longitud de pista ha de recórrer?
1
x 5 x0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2
2
1
x 5 16 1 6 (t 2 4) 2 — 4 (t 2 4)2
2
x 5 16 1 6 t 2 24 2
2 t2
1
x 5 — ? 4 ? 252 5 1 250 m
2
c) Representeu els gràfics v-t i x-t.
1 16 t 2 32
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
x 5 2 t2 i
y
v 5 4t t
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
t
x
01
23
y
0
0
0
10
200
40
20
800
80
25
1 250
100
10. a) Determineu a partir dels gràfics de la figura l’acceleració
de cada mòbil.
Dv
30 2 0
1r: a 5 —— 5 ———— 5 1,5 m/s2
Dt
20 2 0
11. Comenteu aquests gràfics, cadascun dels quals corresponent
a un mòbil diferent. Especifiqueu per a cadascun d’aquests:
a) Condicions del punt de partida.
1r: x0 5 0
2n: a 5 0
Dv
5 2 25
20
3r: a 5 —— 5 ———— 5 2—— 5 21 m/s2
Dt
20 2 0
20
b) Digueu quin tipus de moviment representa cada un.
2n: v0 5 0
b) Els valors de l’espai recorregut, de la velocitat i de l’acceleració i els tipus de moviment que tenen lloc entre
0 s i 50 s, 50 s i 100 s, i entre 100 s i 200 s.
1r: t 5 0 s i
1 000
y x 5 1 000 m; v 5 ———— 5 20 m/s
t 5 50 s t
50
1r: MRUA
2n: MRU
t 5 50 s i
y x 5 0 m; v 5 0
t 5 100 s t
3r: MRUA
c) Determineu la velocitat que porta cada mòbil als 18 s.
v 5 v0 1 a D t
1r: v 5 1,5 t v 5 1,5 ? 18 5 27 m/s
2n: v 5 20 m/s
3r: v 5 25 2 t v 5 25 2 18 5 7 m/s
t 5 100 s i
21 000
y x 5 21 000 m; v 5 ———— 5 210 m/s
t 5 200 s t
100
a 5 0 en tots tres casos.
2n: t 5 0 s i
50 ? 1 000
y x 5 —————— 5 25 000 m
t
t 5 50 s
2
v0 5 0; v 5 1 000 m/s
d) Quina distància hauran recorregut als 18 s?
1
x 5 x0 1 v0 D t 1 — a Dt 2
2
1
1r: x 5 — ? 1,5 ? 182 5 243 m
2
Dv
1 000
a 5 —— 5 ——— 5 20 m/s2
Dt
50
t 5 50 s i
y x 5 1 000 ? 50 5 50 000 m
t 5 100 s t
v 5 1 000 m/s
a50
2n: x 5 20 ? 18 5 360 m
1
3r: x 5 25 ? 18 2 — ? 182 5 288 m
2
t 5 100 s i
1 000 ? 100
y x 5 —————— 5 50 000 m
t 5 200 s t
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
24
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
v0 5 1 000 m/s; v 5 0 m/s
Dv
0 2 1 000
a 5 —— a 5 ————— 5 210 m/s2
Dt
100
1
Italià: 100 5 — a t 2
2
20 5 a t
i
u
200
y 200 5 20 t t 5 ——— 5 10 s
u
20
t
Guanya el català.
c) Condicions del punt final.
1r: x 5 0 m
13. Determineu per a cada un dels mòbils representats en la
figura:
v 5 210 m/s
a 5 0 m/s2
2n: x 5 50 000 1 25 000 1 50 000 5 125 000 m
v 5 0 m/s
a 5 210 m/s2
Compareu els primers, els segons i els tercers moviments de
cada gràfic.
a) L’acceleració i l’equació del moviment i de la velocitat.
Dv
30 2 10
20
Mòbil A a 5 —— 5 ————— 5 —— 5 1,33 m/s2
Dt
15
15
v 5 v0 1 a Dt
i
u
1
y
x 5 x0 1 v0 Dt 1 — a D t 2 u
t
2
vA 5 10 1 1,33 t
1
xA 5 10 t 1 — ? 1,33 t 2 xA 5 10 t 1 0,66 t 2
2
Si comparem els moviments a cada tram per als diferents gràfics
tenim:
j Tram entre t 5 0 i t 5 50 s. En el primer gràfic tenim un
MRU amb v . 0 mentre que en el segon es té un MRUA amb
a . 0.
j Tram entre t 5 50 s i t 5 100 s. En el primer gràfic no hi ha
Dv
0 2 20
Mòbil B a 5 —— 5 ———— 5 21 m/s2
Dt
20
moviment (v 5 0) mentre que en el segon es té MRU.
i
vB 5 20 2 t
y
2
xB 5 20 t 2 0,5 t t
j Tram entre t 5 100 s i t 5 200 s. En el primer gràfic tenim
un MRU amb v , 0 mentre que en el segon es té un MRUA
amb a , 0.
i
u
y
u
t
Mòbil C a 5 0 m/s2
vC 5 25 m/s
12. Dos ciclistes fan una cursa de 100 m llisos. Els dos corren
amb un MRUA. Si el ciclista català arriba amb una velocitat
de 74 km/h i el ciclista italià arriba amb una velocitat de
20 m/s, qui guanya la carrera i quant de temps triguen a
fer-la?
1
x 5 x0 1 v0 D t 1 — a Dt 2
2
v 5 v0 1 a Dt
i
u
y
u
t
b) Si tots tres surten de la mateixa posició, trobeu:
j On es troben, dos a dos.
j Temps en què porten la mateixa velocitat, gràfica-
ment i matemàticament.
xA 5 xB
Català: 74 km/h 5 20,56 m/s
1
100 5 — a t 2
2
20,56 5 a t
xC 5 25 t
i
u 200 5 a t 2 i
y
y
u 20,56 5 a t t
t
200
200 5 20,56 t t 5 ——— 5 9,73 s
20,56
10 t 1 0,66 t 2 5 20 t 2 0,5 t 2
10 1 0,66 t 5 20 2 0,5 t 1,16 t 5 10
10
t 5 —— 5 8,62 s
1,16
x 5 10 ? 8,62 1 0,66 ? 8,622 xAB 5 135,24 m
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
01
FÍSICA 1
x 5 2t xB 5 xC
20 t 2 0,5 t 2 5 25 t 25 5 0,5 t t 5 210 s
t
x
0
0
El temps no pot ser negatiu. Per tant, no es troben.
2
4
xA 5 xC
3
6
10t 1 0,66t2 5 25t 0,66t 5 25 2 10
4
8
15
t 5 ——— 5 22,5 s
0,66
5
10
25
x 5 25 ? 22,5 5 562,5 m
vA 5 vB
10 1 1,33 t 5 20 2 t 2,33 t 5 10
10
t 5 ——— 5 4,29 s
2,33
v 5 20 2 4,29 5 15,7 m/s
vB 5 vC
20 2 t 5 25 t 5 20 2 25 5 25 s
No porten mai la mateixa velocitat.
v A 5 vC
15
10 1 1,33 t 5 25 1,33 t 5 15 t 5 ———— 5 11,28 s
1,33
v 5 25 m/s
14. El temps dels primers classificats de la final olímpica d’una
cursa de natació és: medalla d’or, 47,14 s, i medalla de plata, 47,5 s. Sabem que tota la cursa va amb MRUA i l’acceleració del medalla d’or és 0,09 m/s2. De quina prova es
tracta i amb quina acceleració va el medalla de plata?
t1r 5 47,14 s;
t2n 5 47,5 s
a1r 5 0,09 m/s2
1
2x
x 5 — a t 2 a 5 ——
2
t2
1
1
x 5 x0 1 v0 D t 1 — a Dt 2 x 5 — ? 0,09 ? 47,142 5 100 m
2
2
b) El segon es mou amb moviment uniformement accelerat
sense velocitat inicial (v0 5 0) i quan ha passat 1 s
també es troba a la posició x 5 2 m. Calculeu la posició
i la velocitat quan han passat 2 s, 3 s, 4 s, 5 s. Dibuixeu
els gràfics posició-temps, velocitat-temps i acceleraciótemps.
v0 5 0
x0 5 0
t0 5 0
u
t
x 5 2 t2 i
y
v 5 4t t
a) El primer es mou amb moviment uniforme i quan ha
passat 1 s es troba a la posició x 5 2 m. Calcula la posició i la velocitat quan han passat 2 s, 3 s, 4 s, 5 s. Dibuixa els gràfics posició-temps i velocitat-temps.
t quan han passat 2 s, 3 s, 4 s, 5 s. Dibuixa els gràfics
posició-temps i velocitat-temps.
x0 5 0
t0 5 0
x52m i
y
t51s t
1
x 5 x0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2
2
v 5 v0 1 a Dt
1
2 5 — a ? 12 a 5 4 m/s2
2
2x
2 ? 100
a2n 5 ——
5 ————
5 0,088 m/s2
t2
47,52
15. Dos mòbils es mouen damunt d’una recta. En l’instant inicial (t 5 0) es troben a l’origen (x 5 0).
x52m i
u
t51s y
x 5 x0 1 v Dt 2 5 v ? 1 v 5 2 m/s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
t
x
v
0
0
0
2
8
8
3
18
12
4
32
16
5
50
20
lOMoARcPSD|7143541
26
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
t1r 5 19,15 s
v2n 5 72 km/h 5 20 m/s
1
2n classificat: 200 5 — a t 2
2
20 5 at
i
u 400 5 a t 2 i
y 400 5 20 t
y
t
u 20 5 at
t
400
t2n 5 ——— 5 20 s
20
1r classificat: v 5 19,15 a
1
200 5 — a ? 19,152 2
400
a 5 ————
5 1,09 m/s2
19,152
v 5 19,15 ? 1,09 5 20,89 m/s
17. Un motorista es troba inicialment aturat en un semàfor i
arrenca amb acceleració d’1,5 m/s2, movent-se en línia recta i cap a la dreta. En el mateix moment, un automòbil que
es mou amb una velocitat constant de 108 km/h, es troba a
2 km del motorista, i es mou cap a l’esquerra. Calculeu en
quin moment es troben i en quina posició ho fan.
r 0
Motorista w
q a 5 1,5
m/s2
2 000 m i
y Automòbil
v 5 108 km/h t
108 km/h 5 30 m/s
1
xM 5 — ? 1,5 ? t 2
2
xA 5 2 000 2 30 t
i
u
y
u
t
1
— ? 1,5 ? t 2 5 2 000 2 30 t 0,75 t 2 1 30 t 2 2 000 5 0
2
c) Determineu gràficament i també matemàticament en
quin moment els dos mòbils van a la mateixa velocitat i
estan en la mateixa posició.
v 5 4 t i 4 t 5 2 t 5 0,5 s
y
v 5 2 t v 5 2 m/s
x 5 2t i
y 2 t 5 2t2 t 5 1 s
x 5 2 t2 t
x52m
16. En la final olímpica de 200 m llisos, els dos primers corredors fan la cursa amb MRUA. Si el primer classificat tarda
19,15 s i el segon classificat arriba a 72 km/h, quin temps
fa el segon classifi cat i a quina velocitat arriba el primer?
x 5 2 000 2 30 ? 35,38 5 938,67 m
18. Dos mòbils es mouen seguint una trajectòria rectilínia entre els punts A i B situats a 500 m l’un de l’altre. El primer
surt d’A a 10 m/s, va cap a B amb una acceleració constant
i arriba a B amb una velocitat de 50 m/s. El segon surt de B
3 s més tard amb velocitat constant de 20 m/s cap a A. Calculeu:
500 m
A
B
v 0A 5 10 m/s
v fA 5 50 m/s
a) Quina acceleració té el mòbil A?
x 5 200 m
1
x 5 x0 1 v0 D t 1 — a Dt 2
2
v 5 v0 1 a Dt
2 1lllll
lll
230 6 dll
30lll
4 ? 0,75
?l
2 l0ll
00
230 6 83,07
t 5 —————————————— 5 —————— 5 35,38 s
2 ? 0,75
1,5
i
u
y
u
t
1
x 5 x0 1 v0 D t 1 — a Dt 2
2
v 5 v0 1 a D t
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
i
u
y
u
t
t 0B 5 3 s
v B 5 20 m/s
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
1
500 5 10 t 1 — aA t 2
2
50 5 10 1 aA t
i
u
40
y t 5 ——
u
aA
t
3: 0 5 6 1 a t
1
15,6 5 12 1 6 t 1 — a t 2
2
40
1
402
500 5 10 ? —— 1 — aA ? ———
aA
2
aA2
400
800
500 5 ——— 1 ——— aA
aA
3,6
6
3,6 5 3 t —— 5 1,2 s a 5 2—— 5 25 m/s2
3
1,2
b) En quin punt es trobaran?
xA 5 10 t 1 1,2 t 2
xB 5 500 2 20 (t 2 3)
xB 5 500 2 20 t 1 60 xB 5 560 2 20 t
xA 5 10 t 1 1,2 t 2 i
y
xB 5 560 2 20 t t
10 t 1 1,2 t 2 5 560 2 20 t 1,2 t 2 1 30 t 2 560 5 0
2 1lllll
llll
l
30lll
4 ? 1,2
? 560
230 6 dll
t 5 ————————————— 5 12,46 s
2 ? 1,2
x 5 560 2 20 ? 12,46 5 310,83 m
c) En quin punt està el mòbil que surt d’A en el moment
que té la mateixa velocitat que el mòbil B?
x 5 10 t 1 1,2 t 2 i v 5 20 m/s
y
v 5 10 1 2,4 t t 20 5 10 1 2,4 t 10
t 5 —— 5 4,17 s
2,4
x 5 10 ? 4,17 1 1,2 ? 4,172 5 62,57 m
19. Un bloc es deixa lliscar amb moviment rectilini uniformement accelerat per un pla inclinat de 6 m de longitud, i
tarda 2 s a fer aquest recorregut. Després, continua desplaçant-se en línia recta i amb velocitat constant per un pla
horitzontal que també té 6 m de longitud, puja per un altre
pla inclinat amb moviment uniformement accelerat i, finalment, es para després d’haver fet un recorregut per aquest
últim pla de 3,6 m.
a) Dibuixeu els gràfics v-t, x-t i a-t del moviment total.
i
u
y
u
t
1
6 5 — a 22 a 5 3 m/s2;
2
i
6
u
y a 5 2—
u
t
t
1 6
3,6 5 6 t 2 — — t2 2 t
1 200
1 200
500 5 ——— aA 5 ——— 5 2,4 m/s2
aA
500
1
1: x 5 x0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2
2
v 5 v0 1 a D t
01
v 5 3 ? 2 5 6 m/s
2: x 5 x0 1 v Dt
12 5 6 1 6 t t 5 1 s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
27
lOMoARcPSD|7143541
01
28
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
y 5 y0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2
2
v 5 v0 1 a Dt
i
u
y
u
t
a) Quina és l’alçària màxima que assoleix i quant de temps
triga a fer-ho?
y 5 30 t 2 4,9 t 2 i
y
0 5 30 2 9,8 t t
30
t 5 —— 5 3,06 s
9,8
y 5 30 ? 3,06 2 4,9 ? 3,062 5 45,92 m
b) Quan ha passat la meitat del temps, a quina altura està
i a quina velocitat va?
t
3,06
— 5 —— 5 1,53 s
2
2
b) Comproveu en el gràfic v-t que l’espai total recorregut
pel bloc és de 15,6 m.
y 5 30 ? 1,53 2 4,9 ? 1,532 5 34,43 m
v 5 30 2 9,8 ? 1,53 5 15 m/s
Calculem l’àrea del gràfic v-t.
6
2?— 5 6 m
2
6?1 5 6 m
22. Un objecte que s’ha llançat verticalment cap avall assoleix
una velocitat de 30 m/s als 20 m de recorregut. Quant de
temps ha tardat? A quina velocitat ha estat llançat?
20 m
6
1,2 ? — 5 3,6 m
2
Àrea total:
6 1 6 1 3,6 5 15,6 m
NOTA: Aneu canviant de sistema de referència segons el pla
en què es mogui el bloc.
20. Amb quina velocitat inicial hem de llançar verticalment cap
amunt un cos perquè arribi fins a una altura de 100 m?
Quant de temps tardarà a arribar-hi?
100 m
0
30 m/s
1
y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2
2
v 5 v 0 1 a Dt
1
0 5 20 2 v 0 t 2 — 9,8 t 2
2
230 5 2v 0 2 9,8 t
i
u
y
u
t
i
u
0 5 20 2 v 0 t 2 4,9 t 2 i
y y
u
t
30 5 v 0 1 9,8 t
t
v0 5 30 2 9,8 t
0 5 20 2(30 2 9,8 t) t 2 4,9 t 2 0
0 5 20 2 30 t 1 9,8 t 2 2 4,9 t 2 i
v 5 v0 1 a Dt
u
y
1
y 5 y 0 1 v 0 D t 1 — a Dt 2 u
t
2
0 5 v 0 2 9,8 t
1
100 5 v0 t 2 — 9,8 t 2
2
4,9 t 2 2 30 t 1 20 5 0
i
i
u v 0 5 9,8 t
y
y
u 100 5 9,8 t 2 2 4,9 t 2 t
t
100 5 4,9 t 2 t 5
100
lll
lll
d —4,9— 5 4,51 s
v0 5 9,8 ? 4,51 5 44,27 m/s
21. Llancem verticalment cap amunt una bala amb una velocitat
de 108 km/h.
v0 5 108 km/h 5 30 m/s
2 2lllll
llll
l
30lll
4 ? 4,9
? 20
30 6 22,54
30 6 dll
t 5 ———————————— 5 —————— 5
2 ? 4,9
9,8
5
t 5 5,36 s
t 5 0,76 s
v0 5 30 2 9,8 ? 0,76 5 22,54 m/s
23. [Curs 98-99] Javier Sotomayor és l’actual campió de salt
d’alçada amb una marca de 2,45 m. Determineu la velocitat
amb què va saltar verticalment de terra, la velocitat de sortida. Suposeu negligibles els efectes del fregament amb
l’aire.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
01
FÍSICA 1
Segons l’enunciat, el salt és vertical, l’altura màxima assolida és
de 2,45 m i el fregament és negligible. Per tant:
b) Quant temps tarda a recórrer els darrers 50 m?
50 5 200 1 30 t 1 4,9 t 2
0 5 150 1 30 t 2 4,9 t 2 4,9 t 2 2 30 t 2 150 5 0
1
ymàx 5 v0 t 1 — g t 2
2
2 1lllll
llll
30 6 dll
30lll
4 ? 150
? 4,9l
30 6 61,97
t 5 ————————————— 5 —————— 5
2 ? 4,9
9,8
5 9,38 s fins a 50 m
on g 5 29,8 m/s2
D’altra banda, en el punt més alt la velocitat és nul.la:
2v0
0 5 v0 1 g t t 5 ——
g
túltims 50 m 5 tf 2 t fins 50 m 5 10,14 2 9,38 5 0,76 s
Introduint aquesta expressió en la primera equació:
1
v 20
v 20
ymàx 5 2——
1 — ——
g
2
g
1 2
llgll
lylmàx
ll 5 dll
lll
lll
llll
22
22
? (2
9,8)
? 2l,ll
45 5 6,93 m/s
v0 5 dll
24. Des d’una altura de 200 m sobre el terra, llancem verticalment i cap amunt un cos amb una velocitat inicial de
30 m/s.
200 m
v0 5 30 m/s
c) Quina serà la seva posició respecte del terra en l’instant
en què el cos baixa amb una velocitat de mòdul igual a
40 m/s?
70
240 5 30 2 9,8 t 270 5 29,8 t t 5 —— 5 7,14 s
9,8
y 5 200 1 30 ? 7,14 2 4,9 ? 7,142 5 164,4 m
25. Des del terra llancem cap amunt dos cossos amb velocitat
de 20 m/s i 30 m/s, respectivament, el segon cos 1 s més
tard que el primer. Calculeu el temps, l’altura i la velocitat
quan es troben.
r v 5 20 m/s
u 0
A w t0 5 0
u
q y0 5 0
a) Feu un dibuix aproximat del gràfic v-t corresponent al
moviment d’aquest cos des de l’instant de llançament
fins que arriba a terra. Indiqueu en el gràfic els valors de
v i t corresponents als instants inicial i final.
i
1
y 5 y0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2 u
y
2
u
t
v 5 v0 1 a Dt
1
y 5 200 1 30 t 2 — 9,8 t 2
2
v 5 30 2 9,8 t
r v 5 30 m/s
u 0
B w t0 5 1 s
u
q y0 5 0
a 5 29,8 m/s2
r yA 5 20 t 2 4,9 t2
w
q yB 5 30 (t 2 1) 2 4,9 (t 21)2 yB 5 30 t 2 30 2 4,9 t2 1 9,8 t 2 4,9 yB 5 234,9 1 39,8 t 2 4,9 t 2
i
vA 5 20 2 9,8 t
y
vB 5 30 2 9,8 (t 2 1) vB 5 39,8 2 9,8 t t
i
u
y
u
t
r yA 5 20 t 2 4,9 t2
w
q yB 5 234,9 1 39,8 t 2 4,9 t2
y 5 0 0 5 200 1 30 t 2 4,9 t 2
r vA 5 20 2 9,8 t
w
q vB 5 39,8 2 9,8t
20 t 2 4,9 t 2 5 234,9 1 39,8 t 2 4,9 t 2 34,9
34,9 5 39,8 t 2 20 t t 5 ——— 5 1,76 s
19,8
4,9 t 2 2 30 t 2 200 5 0
2 1lllll
llll
30 6 dll
30lll
4 ? 200
? 4,9l
30 6 69,43
t 5 ———————————— 5 —————— 5 10,14 s
2 ? 4,9
9,8
y 5 20 ? 1,76 2 4,9 ? 1,762 5 20,02 m
vA 5 20 2 9,8 ? 1,76 5 2,75 m/s
v 5 30 2 9,8 ? 10,14 5 269,43 m/s
vB 5 39,8 2 9,8 ? 1,76 5 22,55 m/s
v (m/s)
30
10,14
t (s)
26. Dos nois llancen una pedra cap amunt. El primer és a terra
i la llança a 60 m/s; el segon està enfilat a una escala 10 m
per sobre del terra i la llança 2 s més tard a 70 m/s. Calculeu el temps, la velocitat i l’altura quan es troben les dues
pedres.
230
269,43
29
0
B
10 m
A
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
30
01
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
r v 5 60 m/s
u 0
A w t0 5 0
u
q y0 5 0
r v 5 70 m/s
u 0
B w t0 5 2 s
u
q y0 5 10 m
a) Feu el dibuix aproximat del gràfic v-t corresponent al
moviment d’aquest cos des de l’instant de llançament
fins que arriba a terra. Indiqueu en el gràfic els valors de
v i t corresponents als instants inicial i final.
a 5 29,8 m/s2
1
y 5 y0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2
2
v 5 v0 1 a Dt
i
u
y
u
t
i
yA 5 60 t 2 4,9 t 2
y
2
yB 5 10 1 70 (t 2 2) 2 4,9 (t 2 2) t
yB 5 10 1 70 t 2 140 2
4,9 t 2
28. Des d’una altura de 200 m sobre el terra llancem verticalment cap amunt un cos amb una velocitat inicial de
30 m/s.
1
y 5 y0 1 v0 Dt 1 — g Dt 2 y 5 200 1 30 t 2 4,9 t 2
2
v 5 v0 1 g Dt v 5 30 2 9,8 t
1 19,6 t 2 19,6
30
v 5 0 t 5 —— 5 3,06 s
9,8
yB 5 2149,6 1 89,6 t 2 4,9 t 2 i
y yA 5 yB t
yA 5 60 t 2 4,9 t 2
2149,6 1 89,6 t 2 4,9 t 2 5 60 t 2 4,9 t 2
149,6
2149,6 5 289,6 t 1 60 t t 5 ——— t 5 5,05 s
29,6
y 5 60 ? 5,05 2 4,9 ? 5,052; y 5 178,04 m
0 5 200 1 30 t 2 4,9 t 2
2 1lllll
llll
l
30lll
4 ? 4,9
? 200
230 6 69,43
230 6 dll
t 5 ——————————— 5 —————— 5
24,9 ? 2
29,8
5 10,15 s
v (m/s)
vA 5 60 2 9,8 t
vB 5 70 2 9,8 (t 2 2) vB 5 70 2 9,8t 1 19,6 vB 5 89,6 2 9,8t
30
t (s)
0
t (s)
vA 5 60 2 9,8 ? 5,05; vA 5 10,51 m/s
vB 5 89,6 2 9,8 ? 5,05; vB 5 40,11 m/s
30
3,06
0
6,12
230
10,15
27. Una pilota es llança des del terra amb una velocitat inicial
v0 5 15 m/s.
v (m/s)
269,43
260
a) A quina alçada arriba?
L’alçada a què arriba la trobem imposant que la velocitat en
aquest punt sigui zero:
2v02
2152
v2 2 v02
5 ———
5 ————— 5 11,48 m
y 5 y0 1 ————
2g
2g
2 ? (29,8)
b) Amb quina velocitat arriba a terra?
Negligint el fregament amb l’aire, per simetria, la velocitat
d’arribada al terra és la mateixa en mòdul que la del llançament, però de sentit contrari. Per tant:
v 5 215 m/s
c) Si la velocitat de llançament fos el doble, quina seria la
relació dels nous valors de l’alçada màxima i de la velocitat d’arribada a terra amb els inicials?
Si la velocitat de llançament ara és el doble (v90 5 22 v0),
la velocitat d’arribada a terra també serà doble:
b) Quant temps tarda a recórrer els darrers 50 m?
Dy 5 50 m Dy 5 y 2 y0 y 5 Dy 1 y0 5
5 50 1 200 5 250 m
1
y 5 y0 1 v0 D t 1 — g Dt 2
2
50 5 200 1 30 t 2 4,9 t 2 4,9 t 2 2 30 t 2 150 5 0
2 1lllll
llll
l
30lll
4 ? 4,9
? 150
30 6 61,97
30 6 dll
t 5 ———————————— 5 —————— 5 9,38 s
2 ? 4,9
9,8
y 5 50 m Dt 5 10,15 2 9,38 5 0,77 s
c) Quina serà la seva posició respecte del terra en què el
cos baixa amb una velocitat de mòdul igual a 40 m/s?
v 5 240 m/s
v9 5 2v90 5 22 v0
L’altura màxima ara serà:
302
v2 2 v 02
5 ———— 5 45,92
y 5 y0 1 ————
2g
2 ? (29,8)
v 5 v0 1 g Dt
270
240 5 30 2 9,8 t t 5 ——— 5 7,14 s
29,8
y 5 200 1 30 ? 7,14 2 4,9 ? 7,142 5 164,4 m
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
j Unitat 2. Cinemàtica
en dues dimensions
02
31
b) A quin punt de l’altra riba arribarà?
Dy 5 Dy 9 5 500 m; D y 5 Dy 9 5 v9Dt Dy
500
Dt 5 —— Dt 5 ——— 5 45 s temps que tarda a
v9
11,11
arribar a l’altra riba.
Activitats
1. Comenteu com veuen el moviment d’una pinya que cau d’un
pi d’un penya-segat:
D x 5 v0 Dt 5 1,5 ? 4,5 5 6,75 m coordenada X del punt
de la riba contrària a on arriba el vaixell.
a) Un passatger d’una barca que navega paral.lelament a la
costa, suposant que aquesta és recta.
D y 5 500 m coordenada Y del punt de la riba contrària
a on arriba el vaixell.
Si el sistema de referència fix és la barca que es mou parallelament a la costa i que és on es troba el passatger, aquest
observa un moviment en el pla, és a dir, un moviment parabòlic.
c) Quina és l’equació de la trajectòria del vaixell respecte
d’un observador situat al marge del riu?
b) Un home des del far de la costa.
En aquest cas, el sistema de referència fix és la costa on es
troba l’arbre i el mariner; ara observem que el moviment de
la pinya és rectilini, ja que el seu moviment és un moviment
vertical de caiguda lliure.
2. Un observador quiet en una estació d’autobusos deixa caure una pedra a terra. Quin moviment seguirà aquesta pedra
segons un observador dins un autobús que es mou a una
velocitat constant v0 respecte de l’estació?
Es tracta del cas simètric al de la figura 2.2 del llibre de text.
L’observador dins l’autobús veurà que la pinya segueix una
trajectòria parabòlica. Això és degut a que, per a l’observador
de l’autobús, la pinya té dos moviments superposats: un moviment de caiguda lliure en la direcció Y i un MRU en la direc
ció X amb un valor de velocitat 2v0, oposat a la velocitat de
l’autobús.
3. Trobeu l’equació de la trajectòria d’un mòbil la posició del
qual, en unitats del SI, és:
x 5 3t 2 1 i
y
y 5 4t 1 2 t
5. Des d’un edifici de 10 m d’altura llancem obliquament una
pedra cap amunt amb una velocitat inicial de 10 m/s i amb
un angle de 30° respecte de l’horitzontal. A quina distància del punt de partida cau si el terreny és horitzontal?
Amb quina velocitat arriba a terra i quina altura màxima
assoleix?
v0 5 10 m/s
a 5 30°
y0 5 10 m
i x5v t
0x
u
y
1
u y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2
t
2
i
u
y
u
t
i
vx 5 v0x
y
vy 5 v0y 1 g t t
v0x 5 10 ? cos 30° 5 8,66 m/s
v0y 5 10 ? sin 30° 5 5 m/s
a 5 29,8 m/s2
x 5 8,66 t
y 5 10 1 5 t 2
4,9 t 2
i
y
t
Distància a què arriba a terra:
x11
x 5 3 t 2 1 t 5 ————
3
x11
4x 1 4
y 5 4 ———— 1 2 y 5 ———— 1 2 3
3
1
v9
11,11
y 5 — x y 5 ——— x y 5 7,4 x
v0
1,5
2
4x 1 4 1 6
4
10
y 5 —————— y 5 — x 1 ——
3
3
3
4. Un vaixell que desenvolupa una velocitat de 40 km/h s’utilitza per travessar un riu de 500 m d’amplada. La velocitat
del riu és d’1,5 m/s i el vaixell (línia proa-popa) sempre es
manté perpendicular als marges del riu.
a) Quina és la velocitat del vaixell respecte d’un observador situat als marges del riu?
v 9 5 40 km/h 5 11,11 m/s, v0 5 1,5 m/s, v 9 || v0
2 1lll
2 5 11,21 m/s
v92ll
1ll
v 02l 5 dll
11,ll
11lll
1,5ll
v 5 dll
y 5 0 4,9 t 2 2 5 t 2 10 5 0
llll
52llll
1 4 ?l4,9
? 10l
5 6 dll
t 5 ——————————— t 5 2,02 s
2 ? 4,9
x 5 8,66 ? 2,02 5 17,56 m
Velocitat amb què arriba a terra:
i
vx 5 8,66
y
vy 5 5 2 9,8 t t
vx 5 8,66
vy 5 5 2 9,8 ? 2,02 5 214,8 m/s
Altura màxima:
5
vy 5 0 5 2 9,8 t 5 0 t 5 —— 5 0,51 s
9,8
y 5 10 1 5 ? 0,51 2 4,9 ? 0,512 5 11,2 m
6. Llancem un cos des del terra obliquament cap amunt amb
una velocitat de 20 m/s que forma un angle de 30° respecte
de l’horitzontal. A quina distància del punt de partida cau
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
32
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
si el terreny és horitzontal? Quina és la posició 0,5 s després d’haver-lo llançat? Quina altura màxima assoleix?
i
u
x 5 x 0 1 v0x Dt
y
1
y 5 y 0 1 v 0y D t 1 — g Dt 2 u
t
2
vx 5 v0x
i
y
vy 5 v0y 1 g Dt t
v0x 5 20 cos 30° 5 17,32 m/s
v0y 5 20 sin 30° 5 10 m/s
Si t 5 30 s i y 5 0 0 5 y0 2 4,9 ? 302
y0 5 4,9 ? 302 5 4 410 m
x 5 50 ? 30 5 1 500 m
8. Llancem un objecte cap amunt des de terra amb una velocitat inicial v0x 5 20 m/s i v0y 5 40 m/s. Quan baixa, cau
al terrat d’una casa de 35 m d’alçària. Calculeu el temps de
volada de l’objecte, la distància a la qual es troba la casa i
l’altura màxima a la qual ha arribat l’objecte.
i
x 5 17,32 t
y
2
y 5 10 t 2 4,9 t t
Si y 5 0 10 t 2 4,9 t 2 5 0 t (10 2 4,9 t) 5 0 10
t 5 —— 5 2,04 s
4,9
x 5 17,32 ? 2,04 5 35,35 m
Posició al cap de 0,5 s: x 5 17,32 ? 0,5 5 8,66 m
y 5 10 ? 0,5 2 4,9 ? 0,52 5 3,78 m
Alçada màxima:
i
vx 5 17,32
y
vy 5 10 2 9,8 t t
10
vy 5 0 10 2 9,8 t 5 0 t 5 —— 5 1,02 s
9,8
y 5 10 ? 1,02 2 4,9 ?1,022 5 5,10 m
7. Una avioneta passa volant a 50 m/s i deixa anar un paquet
que triga 30 s a arribar a terra. Calculeu l’altura a la qual
vola l’avioneta i la distància entre el punt sobre el qual ha
deixat anar el paquet i el punt on cau.
i
u
x 5 v0x t
1
y
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 u
t
2
i
vx 5 v0x
y
vy 5 v 0 y 1 g t t
a y 5 g 5 29,8 m/s2
v0 x 5 20 m/s i
y
v0 y 5 40 m/s t
i
x 5 20 t
y
2
y 5 40 t 2 4,9 t t
Temps:
Quan y 5 35 m 35 5 40 t 2 4,9 t 2 4,9 t 2 2 40 t 1 35 5 0
2 2 lll
lll? 35
ll
14l0llll
4 ? 4,9
40 6 30,23
40 6 dll
t 5 ————————————— 5 —————— 5
2 ? 4,9
9,8
1s
7,17 s
La resposta válida és t 5 7,17 s.
Distància a què es troba la casa:
x 5 20 ? 7,17 5 143,33 m
Alçada màxima:
40
vy 5 0 0 5 40 2 9,8 t t 5 —— 5 4,08 s
9,8
y 5 40 ? 4,08 2 4,9 ? 4,082 5 163,2 2 81,57 5 81,63 m
9. Un helicòpter vola a 180 km/h a una altura de 500 m i veu
venir un camió en sentit contrari. Calculeu a quina distància del camió ha de deixar anar un paquet per fer-lo caure
dins la caixa del camió si aquest es mou amb una velocitat
constant de 72 km/h.
Llançament horitzontal:
i
u
x 5 v0 t
y
1
y 5 y0 2 — g t 2 u
t
2
m/s2
g 5 29,8
v0 5 50 m/s
Helicòpter
x 5 v0x t
i
x 5 50 t
y
2
y 5 y0 2 4,9 t t
i
i
u x 5 50 t
y
1
2 y
y
5
500
2
4,9
t
2
t
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t u
t
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
02
FÍSICA 1
Si y 5 0 0 5 500 2 4,9 t 2 t 5
500
l ll
l
5 10,1 s
dll——
4,9
1
28,35 5 30 1 — a ? 2,092 2
x 5 50 ? 10,1 5 505 m
(28,35 2 30) ? 2
a 5 ————————
5 20,75 m/s2
2,092
Camió
v 5 20,75 ? 2,09 5 21,58 m/s
x 5 x 0 1 v Dt
x 5 505 m
v 5 220 m/s
t 5 10,1 s
33
i
u x0 5 x 2 v D t
y
u x 0 5 505 2 (220) ? 10,1 5 707 m
t
11. Una saltadora de longitud arriba a una velocitat de 10 m/s
en l’instant en què inicia el salt. Si la inclinació amb què
el fa és de 25° respecte de l’horitzontal, i si negligim els
efectes del vent i el fregament, determineu:
i
u
x 5 v0x t
1
y
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 u
t
2
10. Un futbolista xuta una pilota amb un angle de 37° amb
l’horitzontal i una velocitat inicial de 17 m/s. Un segon
futbolista situat a 30 m del primer comença a córrer cap a
la pilota amb acceleració constant en el mateix moment en
què el primer xuta. Quina velocitat porta el segon jugador
quan arriba a la pilota, si ho fa just abans que aquesta
toqui el terra?
v0x 5 10 cos 25° 5 9,06 m/s
v0y 5 10 sin 25° 5 4,23 m/s
g 5 29,8 m/s2
i
u
i
x 5 9,06 t
y y
u
y 5 4,23 t 2 4,9 t 2 t
t
a) El temps total que és a l’aire.
Si y 5 0 0 5 4,23 t 2 4,9 t 2 4,23
0 5 t (4,23 2 4,9 t) t 5 ——— 5 0,86 s
4,9
b) L’altura màxima a la qual arriba mentre és a l’aire.
i
i vx 5 9,06
vx 5 v0x
y
y
vy 5 v 0y 1 g t t vy 5 4,23 2 9,8 t t
4,23
Si v y 5 0 4,23 2 9,8 t 5 0 t 5 ——— 5 0,43 s
9,8
i
u
1
y
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 u
t
2
x 5 v0x t
y 5 4,23 ? 0,43 2 4,9 ? 0,432 5 0,91 m
v0x 5 17 cos 37° 5 13,58 m/s i
y
v0y 5 17 sin 37° 5 10,23 m/s t
c) La longitud mínima que ha de tenir el clot de sorra si
comença el salt a 27 cm d’aquest clot.
a 5 g 5 29,8 m/s2
x 5 9,06 ? 0,86 5 7,82 m
La longitud mínima que ha de tenir el clot de sorra és:
i
x 5 13,58 t
y
2
y 5 10,23 t 2 4,9 t t
7,82 2 0,27 5 7,55 m
Si y 5 0 0 5 10,23 t 2 4,9 t 2 t (10,23 2 4,9 t) 5 0
10,23
t 5 ——— 5 2,09 s
4,9
x 5 13,58 ? 2,09 5 28,35 m
12. Tenim dos rellotges amb un diàmetre d’1 cm i 2 cm, respectivament. Trobeu la relació de les velocitats lineals de
les tres agulles del rellotge. Raoneu si és la mateixa per a
cadascuna de les tres agulles.
El jugador situat a 30 m es mou amb MRUA.
1
x 5 x0 1 v0 t 1 — a t 2
2
v 5 v0 1 a t
v 50
i 0
u x0 5 30 m
y
u x 5 28,35 m
t
t 5 2,09 s
i
u
u
y
u
u
t
Diàmetre
Radi
Rellotge 1
Rellotge 2
d1 5 1 cm
d2 5 2 cm
d1
5 0,005 m
r1 5 ——
2
d2
5 0,01 m
r2 5 ——
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
34
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Les mateixes agulles dels dos rellotges giren a la mateixa velocitat angular. És a dir, les agulles horàries giren amb igual v en
els dos rellotges, les agulles minuteres dels dos rellotges giren
amb la mateixa velocitat angular tot i que diferent de la de les
agulles horàries (vegeu l’activitat 14). El mateix succeix per a
les agulles dels segons. De la relació entre la velocitat lineal i
l’angular tenim: v 5 v ?r, que per cada rellotge val:
v1 5 v r1 5 v ? 0,005
v2 5 v r2 5 v ? 0,01
0,005
v1
Si relacionem les dues velocitats: —— 5 ———— 5 0,5;
v2
0,01
2 v1 5 v 2
2p
Minutera: v 5 ———— 5 1,74 ? 1023 rad/s
3 600
2p
Horària: v 5 ————— 5 1,45 ?1024 rad/s
12 ? 3 600
15. [Curs 04-05] Una roda de 3 m de radi realitza un moviment
circular uniformement accelerat amb una acceleració angular de 2 rad/s2, partint del repòs.
A. En un mateix instant, tots els punts de la roda tenen la
mateixa:
a) Velocitat lineal.
b) Velocitat angular.
La velocitat lineal del rellotge amb l’esfera més gran és el doble
de la del rellotge amb l’esfera més petita.
13. [Curs 03-04] Són les dotze en punt. Tant l’agulla horària
com l’agulla minutera del rellotge apunten cap amunt.
En quin instant tornaran a coincidir, per primer cop, les
dues agulles del rellotge?
Primer de tot determinarem les velocitats angulars de les agulles horària i minutera:
1 volta
2 p rad
1 hora
vh 5 ————— ? ———— ? ———— 5 4,63 ? p ? 1025 rad/s
12 hores
1 volta
3 600 s
1 volta 2 p rad
1 hora
vm 5 ———— ? ———— ? ———— 5 5,56 ? p ? 1024 rad/s
1 hora
1 volta
3 600 s
Les equacions de moviment seran:
c) Acceleració normal.
La resposta correcta és la b). Tots els punts de la roda giren
amb la mateixa velocitat angular.
B. L’acceleració tangencial:
a) Augmenta amb el temps.
b) Augmenta amb la distància al centre.
c) És la mateixa per a tots els punts de la roda.
L’acceleració tangencial és igual al producte de l’acceleració
angular pel radi. Per tant, la resposta correcta és la b).
C. L’acceleració normal:
a) No depèn del temps.
b) És la mateixa per a tots els punts de la roda.
wh 5 vh ? t 5 4,63 p ? 1025 ? t
wm 5 vm ? t 5 5,56 p ? 1024 ? t
Les agulles es tornaran a trobar quan l’angle girat per la minutera sigui el mateix que l’angle girat per l’agulla horària més
una volta, o sigui, més 2 p radiants.
wm 5 wh 1 2 p vm ? t 5 vh ? t 1 2 p c) Va dirigida cap al centre.
L’única resposta correcta és la c), ja que l’acceleració normal
és igual al producte de la velocitat tangencial al quadrat
dividida pel radi.
D. Passats 2 s, els punts de la perifèria tenen una velocitat
lineal de:
vm ? t 2 vh ? t 5 2 p (vm 2 vh) ? t 5 2 p a) 12 rad/s.
2p
t 5 ————— 5 3 927 s 5 1 h 5 min 27 s
vm 2 vh
b) 12 m/s.
c) 4 m/s.
v 5 v0 1 at t 5 0 1 r a t 5 3 ? 2 ? 2 5 12 m/s. Per tant, la
resposta correcta és la b).
E. En aquests 2 s, la roda ha girat:
a) Menys d’una volta.
14. Trobeu la velocitat angular de les tres agulles que donen
voltes en un rellotge.
2p
v 5 ——
T
b) Més d’una volta.
c) Exactament una volta.
1
1
w 5 w0 1 v0 t 1 — a t 2 5 0 1 0 1 — ? 2 ?22 5 4 rad
2
2
2p
Secundària: v 5 —— 5 0,105 rad/s
60
Aquest valor és menor que 2 p, per tant, l’opció correcta és
la a).
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
16. [Curs 00-01] Un mòbil que surt del repòs segueix una trajectòria circular de 3 m de radi amb una acceleració angular constant a 5 p rad/s2.
a) Quant temps triga a fer una volta completa? Quina és la
longitud de l’arc recorregut durant la meitat d’aquest
temps?
1
p t2
D u 5 v0 D t 1 — a D t 2 2 p 5 —— 2 s
2
2
1
p
p
D u 5 — p ? 12 5 — s 5 u ? r 5 — ? 3 5 4,7 m
2
2
2
b) Quina és la velocitat angular del mòbil a l’instant
t 5 50,5 s? I l’acceleració normal al mateix instant?
v 5 a t v 5 0,5 ? p 5 1,57 rad/s
an 5 v2 ? r 5 1,572 ? 3 5 7,4 m/s2
c) Quant val l’acceleració tangencial del mòbil a l’instant
t 5 0,5 s? Quin angle formen l’acceleració tangencial i
l’acceleració total en aquest instant?
at 5 a ? r 5 p ? 3 5 9,4 m/s2
an
tg b 5 —— 5 0,787 b 5 38,2°
at
Activitats finals
02
35
2. El corrent d’un riu té una certa velocitat en la direcció paral.lela a la riba. Si aquesta velocitat augmenta, un nedador
que vulgui creuar el riu nedant perpendicularment al corrent, trigarà més o menys temps a fer-ho? Trieu la resposta
correcta:
a) Tardarà més perquè la velocitat del riu és més gran i el
desplaça a més distància abans d’arribar a l’altra riba. Com
que augmenta la distància, també augmenta el temps.
b) Tardarà menys perquè la velocitat del riu és més gran i
ell no ha de fer tant esforç per creuar-lo. Com que augmenta la velocitat, disminueix el temps.
c) Tardarà el mateix perquè la velocitat del corrent i la del
nedador estan en direccions perpendiculars entre si. Es
desplaça més distància en la direcció de la riba, però la
mateixa (amplada del riu) en la direcció perpendicular.
La resposta correcta és la c). Si el nedador manté la mateixa
velocitat en la direcció perpendicular a la riba (direcció Y), el
temps que triga en creuar el riu ve donat únicament pel quocient entre l’amplada del riu i la velocitat del nedador en la direcció Y. El fet que la velocitat del corrent del riu variï en mòdul
no afecta al moviment en la direcció Y, perquè el moviment de
l’aigua té lloc en la direcció X. El que passa és que la velocitat
del nedador en la direcció X sí que varia i això provoca que
quan arriba a l’altra riba, el corrent l’hagi desplaçat una distància més gran en la direcció X, però el temps de la travessia no
es modifica.
3. Compareu el moviment sota l’acció de la gravetat en caiguda lliure amb el llançament parabòlic.
Qüestions
1. Un nen dins un tren llança una pilota cap al sostre quan
aquest passa davant d’una estació. Descriviu quina és la
trajectòria de la pilota observada per:
a) Un passatger que està assegut dins del tren.
Estudiem el moviment des d’un sistema de referència interior i fix al tren; la trajectòria de la pilota és rectilínia, ja
que el seu moviment és un moviment de llançament vertical.
El moviment sota l’acció de la gravetat en caiguda lliure té
lloc en la direcció de l’eix Y, i la seva equació del moviment és
1
y 5 y0 1 v0 D t 2 — g D t 2. El llançament parabòlic és un mo2
moviment amb acceleració constant, en el qual l’acceleració
és la de la gravetat i la velocitat inicial forma un cert angle
amb l’acceleració. L’equació del moviment és x 5 x0 1 v0 x D t i
1
y 5 y0 1 v0 x D t 2 — g Dt 2.
2
b) Una persona que està asseguda a l’andana de l’estació.
En aquest cas, el sistema de referència fix és l’andana de
l’estació, i ara el moviment de la pilota és un moviment en
el pla, és a dir, un moviment parabòlic, ja que durant el
temps que ha durat el vol de la pilota, el tren i la pilota
s’han desplaçat horitzontalment respecte de l’andana.
c) Un passatger assegut dins d’un tren que es mou en sentit contrari al primer tren.
Des del punt de vista d’un observador situat dins un segon
tren que es mou, respecte l’andana, amb una velocitat en
sentit contrari a la del primer tren, la pilota té un moviment
en el pla. El sistema de referència ara és fixe en aquest observador, per tant, la pilota es desplaça verticalment i també
horitzontalment. La trajectòria serà una paràbola més «aplanada» que l’observada en l’apartat b), ja que ara la velocitat
de la pilota en la direcció X és més gran (és la suma dels
valors absoluts de les velocitats dels dos trens respecte de
l’andana).
Per tant, observem que el component y del llançament parabòlic té un comportament anàleg al moviment sota l’acció de la
gravetat en caiguda lliure. Podem comparar els dos moviments
a partir de la figura.
Suposem que llancem un cos verticalment cap amunt i, simultàniament, un altre cos amb certa velocitat que forma un cert
angle amb l’eix X; si la velocitat inicial amb què llancem el
primer cos és igual al component y de la velocitat inicial del
segon cos, podem observar que els dos cossos arriben a la ma-
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
36
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
teixa altura en el mateix instant de temps, i tornen a arribar a
terra amb la mateixa velocitat inicial en el mateix moment.
4. Si llancem horitzontalment des d’una certa alçada un objecte amb una certa velocitat inicial:
A) El moviment en la direcció X és:
—
dll—22l—glylll
0
Substituint aquest valor en l’equació de la velocitat, trobem
2 ylll
dlll2ll——
g
0
D’aqui s’observa que el temps i el component y de la velocitat coincideixen en els dos casos.
b) Rectilini uniformement accelerat
c) Parabòlic
En un llançament horitzontal, es parteix d’una velocitat
inicial en la direcció X. Com que no hi ha acceleració en
aquesta direcció, el moviment serà rectilini uniforme. L’opció correcta és la a).
B) El moviment en la direcció Y és:
6. a) Què vol dir que el moviment circular és un moviment
en 2 dimensions? Expliqueu-ho amb un dibuix.
En un moviment circular la trajectòria és una circumferència
i cal donar dues coordenades per especificar la posició.
b) Poseu cinc exemples de moviments circulars.
a) Rectilini
Roda que gira, pèndol cònic, cavallets de fira, moviment de
la Lluna al voltant del Sol, agulles del rellotge.
b) Rectilini uniformement accelerat
c) Parabòlic
En un llançament horitzontal, el mòbil està sotmès a l’acceleració de la gravetat en la direcció Y. Per tant, en aquesta
direcció es produeix una caiguda lliure i el mòbil seguirà un
MRUA. L’opció correcta és la b).
5. Trobeu la velocitat d’un cos i el temps que triga a arribar a
terra, si el llancem des del mateix lloc, en els dos casos següents i comenteu els resultats obtinguts en tots dos casos.
a) El llancem a una velocitat inicial horitzontal.
Es tracta d’un llançament horitzontal. Si mirem la taula 2.2
del llibre, on hi ha les condicions inicials per aquest moviment, l’equació del moviment i i l’equació de la trajectòria,
trobem:
Equació de la velocitat:
1
y 5 0 y0 5 2— g t 2 t 5
2
que: v 5 g
a) Rectilini
Equació del moviment:
Quan arriba a terra,
i
u
y
1
2
—
y 5 y0 1
gt u
t
2
x 5 v0 t
7. Un punt material fa un moviment circular de radi 20 cm,
descrit per l’equació del moviment
w 5 15 1 270 t
on w és l’angle descrit en graus.
A) L’angle descrit inicial és:
a) 15º
b) 15 rad
c) 200 rad
L’equació del moviment circular uniforme és:
w 5 w0 1 v (t 2 t0)
Si comparem amb l’expressió donada a l’enunciat:
w 5 15 1 270 t
on es diu que l’angle està expressat en graus, l’angle inicial val:
w 5 15°
0
vx 5 v0 i
y
vy 5 g t t
Per tant, l’opció correcta és la a).
B) La velocitat angular és:
Quan arriba a terra,
1
y 5 0 y0 5 2— g t 2 t 5
2
2 ylll
dlll2ll——
g
0
Substituint aquest valor en l’equació de la velocitat, trobem
que:
vx 5 v0
i
vy 5 g
u
2 yll0l y
lllll
2—— u
g t
d
a) 270 m/s
b) 4,71 rad/s
c) 270 rad/s
Comparant les dues expressions anteriors, s’obté:
p rad
v 5 270 graus/s 5 270 ? ——— s21 5 4,71 rad/s
180
Per tant, l’opció correcta és la b).
b) El deixem caure lliurement.
Es tracta d’un moviment rectilini uniformement accelerat en
l’eix vertical. L’equació del moviment i l’equació de la veloi
1
citat són: y 5 y0 1 — g t 2 u
y
2
u
t
v 5 gt
C) El període del moviment val:
a) 1,33 s
b) 0,75 s
c) 10 s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
02
FÍSICA 1
De la relació entre la velocitat angular i el període obtenim
el valor d’aquest últim:
2p
2 p ? 180
T 5 —— 5 ———— 5 1,33 s
v
270 p
37
d2
d2
v 1 ? 3 —— 5 v 2 ——
2
2
Igualant les velocitats:
Simplificant: v 2 5 3 v 1
Quan les rodes de darrere han donat una volta, les de davant
n’han donat tres.
Per tant, l’opció correcta és la a).
D) La freqüència del moviment val:
10. [Curs 99-00] Un cotxe es mou per una carretera seguint
una corba i l’agulla del seu velocímetre marca constantment 60 km/h. Té acceleració el cotxe? Raoneu la resposta.
a) 1,33 Hz
b) 0,75 Hz
Sí, ja que varia la direcció de la velocitat, per tant, té acceleració normal o centrípeta.
c) 10 Hz
La freqüència és la inversa del període. Així:
11. Com són l’acceleració angular, l’acceleració normal i l’acceleració tangencial:
1
1
f 5 — 5 ——— 5 0,75 Hz
T
1,33 s
a) En el moviment rectilini uniformement accelerat?
Per tant, l’opció correcta és la b).
8. Una politja de 20 cm de diàmetre gira amb moviment circular uniforme fent 10 voltes en 15 s.
b) I en el moviment circular uniforme?
A) El període del moviment d’aquesta politja és:
a) 15 s
b) 10 s
c) 1,5 s
Si la politja fa 10 voltes en 15 segons, per a fer una volta
tardarà un temps (període) igual a 15/10 5 1,5 segons. Per
tant, l’opció correcta és la c).
B) La velocitat lineal en què gira és:
a) 4,19 rad/s
b) 0,42 m/s
En el MRU, com que la trajectòria és una recta, l’acceleració
correspon a l’acceleració tangencial.
c) 4,19 m/s
La velocitat lineal ve donada pel quocient entre el desplaçament i el temps. En un període, la roda recorre un espai
igual a la longitud del seu perímetre. Així:
2pr
pd
p 0,2 m
v 5 ——— 5 ——— 5 ———— 5 0,42 m/s
T
1,5 s
1,5 s
En el MCU, la velocitat angular és constant. Per tant, l’acceleració angular és nul.la. La velocitat lineal també és constant i, així, el component tangencial de l’acceleració també
és constant. Ara bé, en el MCU hi ha variació en la direcció
de la velocitat i, per tant, el component normal de l’accelev2
ració val a n 5 ——.
R
12. [Curs 03-04] Considereu una partícula que descriu un moviment circular uniformement retardat, amb acceleració
angular no nul.la. Quin dels diagrames de la figura 2.40 li
correspon?
a)
on d és el diàmetre de la roda. Per tant, l’opció correcta és
la b).
9. El diàmetre de les rodes del darrere d’un tractor és tres
vegades més gran que el diàmetre de les rodes del davant.
Quina relació hi ha entre les velocitats angulars de les
dues rodes.
Les quatre rodes del tractor s’han de moure amb la mateixa velocitat lineal. Per tant, s’ha de plantejar la seva relació amb la
velocitat angular.
Diàmetre
Radi
Rodes darrere
Rodes davant
d1 5 3 d2
d2
d1
d2
5 3 ——
r1 5 ——
2
2
d2
r2 5 ——
2
v 5 v r. Per cada roda val:
d2
v 5 v 1 r 1 5 v 1 ? 3 ——
2
d2
v 5 v 2 r 2 5 v 2 ——
2
b)
at 5 0
an
c)
at
an
v
v
d)
v
at
an
at
an 5 0
v
a) Trieu la resposta que considereu correcta.
La resposta correcta és la b).
b) Justifiqueu la resposta.
Circular implica que l’acceleració normal és diferent de zero.
Retardat implica que l’acceleració tangencial és diferent de
zero i en sentit oposat a la velocitat.
13. Com estan relacionats els temps que tarden a girar dues
partícules si una té una velocitat angular doble de la de
l’altra i descriu la meitat de l’angle?
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
38
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Si suposem que t1 és el temps que la partícula triga a girar un
angle w1 quan va a velocitat v1 i t 2 és el temps que triga la
partícula a girar un angle w2 quan va a velocitat angular v2.
1
Segons l’enunciat, tenim que v2 5 2 v1, w2 5 — w1. Conside2
rem que la partícula gira amb acceleració angular constant partint del repòs. Si tenim en compte l’equació del moviment i
l’equació de la velocitat del MCUA, trobem que:
1
1
w 5 w0 1 v0 Dt 1 — a Dt 2 w 5 — a t 2
2
2
v 5 v0 1 a Dt v 5 a t
i
u
y
u
t
Aïllem a i la substituïm en l’equació del moviment:
v
1 v
1
2w
a 5 — w 5 — — t 2 w 5 — v t t 5 ——
t
2 t
2
v
Apliquem aquesta última expressió a les dues situacions de
l’enunciat, i relacionem els temps:
2 w1 i
2 w1
——
t1 5 —— u
v1 u t1
v1
y —— 5 ———— 2 w2 u t 2
2w2
——
t2 5 —— u
v2 t
v2
d) La persona baixa per les escales que van en sentit descendent.
v0 5 22,5 m/s i
y v 5 v9 1 v0 5 21,11 2 2,5 5 23,61 m/s
v9 5 21,11 m/s t
2. Considereu una cinta transportadora en moviment d’una
cadena de muntatge, i una joguina mecànica que es mou
damunt la cinta. Amb quina velocitat es mou la cinta, si una
persona veu moure’s la joguina a una velocitat de 5 m/s,
quan la joguina es mou en la mateixa direcció i el mateix
sentit que la cinta, i a una velocitat de 2 m/s quan la veu
moure’s en la mateixa direcció, però en sentit contrari?
Quina velocitat desenvolupa la joguina? I la cinta?
i
v1 5 5 m/s 5 5 v9 1 v0
y
v2 5 22 m/s 22 5 2v9 1 v0 t
Resolem el sistema per reducció:
i
(5 5 v9 1 v0) ? 1
3
y 3 5 2 v0 v0 5 — 5 1,5 m/s
(22 5 2v 9 1 v0) ? 1 t
2
i
(5 5 v9 1 v0) ? 1
7
y 7 5 2 v 9 v9 5 — 5 3,5 m/s
(22 5 2v9 1 v0) ? (21) t
2
t1
w1 v2
t1
w1 2 v 1
——
5 ——— —— 5 ————— 5 4 t1 5 4 t2
t2
w2 v1
t2
1
— w1 v1
2
Arribem al mateix resultat si considerem que el moviment és un
MCU.
Problemes
1. Les escales mecàniques d’uns grans magatzems pugen i baixen els clients a una velocitat de 2,5 m/s. Per a una persona
que camina a un ritme constant de 4 km/h sobre les escales, determineu la velocitat amb què la veiem caminar des
de fora de les escales, en els casos següents:
|v0 | 5 2,5 m/s
km 1 000 m
1 h
|v9| 5 4 —— ? ———— ? ———— 5 1,11 m/s
h
1 km
3 600 s
a) La persona puja per les escales que van en sentit ascendent.
v0 5 2,5 m/s i
y v 5 v9 1 v0 5 1,11 1 2,5 5 3,61 m/s
v9 5 1,11 m/s t
b) La persona baixa per les escales que van en sentit ascendent.
i
v0 5 2,5 m/s
y v 5 v9 1 v0 5 21,11 1 2,5 5 1,39 m/s
v 9 5 21,11 m/s t
c) La persona puja per les escales que van en sentit descendent.
v0 5 22,5 m/s i
y v 5 v9 1 v0 5 1,11 2 2,5 5 21,39 m/s
v9 5 1,11 m/s t
3. Un nedador pot desenvolupar una velocitat d’1,2 m/s nedant a ritme constant. Si neda en un riu en què el corrent
d’aigua porta una velocitat d’1,6 m/s, calculeu la velocitat
amb què el veu nedar una persona en repòs, en els casos
següents:
|v 9| 5 1,2 m/s, v0 5 1,6 m/s
a) Quan neda a favor del corrent del riu, paral.lelament a la
seva riba.
v 9 5 1,2 m/s v 5 v9 1 v0 5 1,2 1 1,6 5 2,8 m/s
b) Quan neda en contra del corrent del riu, paral.lelament
a la seva riba.
v9 5 21,2 m/s v 5 v9 1 v0 5 21,2 1 1,6 5 0,4 m/s
c) Quan neda perpendicularment al corrent en un riu cap a
la riba contrària.
2
2 ll ll
2
dlllll
2l
vllll
92 1lvll
|v9| |v0| v 5 dll
0 5 1,2 1 1,6 5 2 m/s
d) Determineu el punt de la riba contrària al qual arriba el
nedador en el cas c).
Anomenen L l’amplada del riu, i tenim:
x 5 v0 Dt x 5 1,6 Dt i
y
t
y5L
L
y 5 L 5 1,2 D t Dt 5 ——
1,2
Per tant, la coordenada x del punt on arriba el nedador ve
donada per:
L
x 5 1,6 D t 5 1,6 —— 5 1,33 L
1,2
És a dir, el nedador arriba a la riba contrària al punt
P (1,33 L, L).
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
4. Un vaixell turístic que circula a 36 km/h fa un recorregut
per un riu entre la població A, que es troba gairebé a la
desembocadura del riu, i la població B, que es troba a
24 km aigües amunt de la població A. Si a l’estiu les aigües
del riu van a una velocitat mitjana de 18 km/h, calculeu:
02
39
güent representem aquestes dues velocitats. Si les descomponem en les direccions X i Y, podrem trobar, aplicant el teorema
de Pitàgores, la velocitat total:
| v 9| 5 36 km/h, v0 5 18 km/h
DxAB 5 AB 5 224 km
a) El temps que tarda a anar de la població A a la població B.
v 9 5 236 km/h v 5 v 9 1 v0 5 236 1 18 5 218 km/h
Dx
224
60 min
DxAB
v 5 ——— Dt 5 —— 5 ——— 5 1,33 h ? ———— 5
Dt
v
218
1h
5 80 min
b) El temps que tarda a anar de la població B a la població A.
v 9 5 36 km/h v 5 v9 1 v0 5 36 1 18 5 54 km/h
DxBA 5 BA 5 2AB 5 24 km
DxBA
DxBA
24
60 min
v 5 ——— Dt 5 ——— 5 —— 5 0,44 h ? ———— 5
Dt
v
54
1h
5 26,67 min
5. Trobeu l’equació de la trajectòria d’un mòbil la posició del
qual, en unitats del SI, és:
i
x 5 3t 1 2
y
2
y 5 3t 1 9t t
x22
x 5 3 t 1 2 t 5 ————
3
x22
x22
y 5 3 ———— 1 9 ————
3
3
1
2 1
2
2
Com que la velocitat del vent forma un angle de 45° amb els
eixos de coordenades, els seus components v ‘x i v ‘y venen donats per:
v9x 5 vvent cos (45°) 5 106 km/h
v9y 5 vvent sin (245°) 5 2106 km/h
En la direcció X, l’avió té una velocitat total igual a:
vx 1 v9x 5 106 km/h
En la direcció Y, l’avió té una velocitat total igual a:
vy 5 vmotors 1 v9y 5 800 2 106 5 694 km/h
La velocitat total és:
2 1ll
v 2xll
1ll
v 2yl 5 dll
10l6lll
69l
42l 5 702 km/h
v 5 dll
I la direcció d’aquesta velocitat ve donada per l’angle que forma amb el semieix positiu d’X:
vy
694
w 5 arc tg — 5 arc tg ——— 5 81,31°
vx
106
Tenint en compte les xifres significatives, és w 5 81,3°.
7. Una barca de pesca, que considerem puntual, vol travessar
perpendicularment un riu de 20 m d’ample, i desenvolupa
una velocitat de 8 m/s. Si la velocitat del corrent del riu és
de 2 m/s, calculeu:
y 5 x 2 2 1 (x 2 2)2 y 5 x 2 2 1 x2 1 4 2 4 x y 5 x 2 2 3 x 1 2
6. Un avió és impulsat pels seus motors a 800 km/h en direcció nord, a l’alçada a què vola bufa un vent en direcció sudest que l’empeny amb una velocitat de tracció de 150 km/h.
Calculeu, la velocitat i la direcció en què es mou l’avió respecte del terra.
Prenem com a sistema de referència el terra. Aleshores, la velocitat total de l’avió es deu a la velocitat proporcionada pels
seus motors i la velocitat de tracció del vent. A la figura se-
a) El temps que la barca triga a arribar a l’altre marge del
riu.
Dy
20
Dy 5 Dy9 5 v9Dt Dt 5 —— 5 —— 5 2,5 s
v9
8
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
40
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) El desplaçament en la direcció del riu de l’altre marge al
qual arriba.
Representem la situació quan travessa el riu perpendicularment, i calculem l’angle:
D x 5 v0 D t 5 2 ? 2,5 5 5 m
c) L’espai recorregut i la velocitat de la barca.
2ll ll
v9l
1 v 20l 5 dll
82lll
1 22l 5 dll
68 5 8,25 m/s
v 5 dll
Dr 5 v Dt 5 8,25 ? 2,5 5 20,6 m
v0
v0
1
cos b 5 —— 5 —— 5 — v9
3 v0
3
d) L’espai recorregut per la barca en el temps calculat en
l’apartat a), si navegués en el sentit del corrent del riu.
1
b 5 cos21 — 5 70,53° 3
1 2
v9 || v0 v 5 v9 1 v0 5 8 1 2 5 10 m/s
Dx 5 v Dt 5 10 ? 2,5 5 25 m
e) L’espai recorregut per la barca en el temps calculat en
l’apartat a), si navegués en sentit contrari al corrent
del riu.
v9 || v0, v 9 5 28 m/s v 5 v 9 1 v0 5 28 1 2 5 26 m/s
D x 5 v Dt 5 26 ? 2,5 5 215 m, en mòdul, 15 m.
x 5 180 2 b 5 180 2 70,53° 5 109,47°
9. L’aigua d’un riu de 160 m d’amplada es mou a 10 m/s. Una
barca surt d’un dels seus marges en direcció perpendicular
al riu amb una velocitat de 4 m/s. Simultàniament, surt una
altra barca navegant contra corrent seguint el centre del riu
i des d’un punt situat a 1 km del primer aigües avall. Les
dues barques es creuen en el punt mitjà del riu. Calculeu:
8. Un noi sap que si neda a favor del corrent del riu és capaç
de recórrer, paral.lelament a la riba i en el mateix temps, el
doble de la distància que nedant contra corrent. Si vol travessar un riu i arribar a l’altra riba en el punt directament
oposat al de sortida, en quina direcció ha de nedar?
j Quan neda a favor del corrent:
a) El temps que tarden a creuar-se.
Les barques es creuen quan la coordenada y de la primera
Dy
160
barca és: ——— 5 ——— 5 80 m.
2
2
Per tant:
D x1
D x1
v1 5 v 9 1 v0 D t 5 —— 5 ———— [1]
v1
v 9 1 v0
80
y1
y1 5 v19Dt Dt 5 —— 5 —— 5 20 s
v19
4
b) La distància recorreguda per la segona barca fins que es
creua amb la primera.
j Quan neda contracorrent:
Quan les barques es creuen, la coordenada x de la primera
barca és: x1 5 v0 Dt 5 10 ? 20 5 200 m. Per tant, la distància D x 2 que recorre la segona barca és:
D x 2 5 1 000 2 200 5 800 m
D x2
D x2
v2 5 v9 2 v0 Dt 5 —— 5 ———— [2]
v2
v 9 2 v0
Quan neda a favor del corrent recorre, en el mateix temps D t, el
doble de distància que quan neda contracorrent, D x1 5 2 D x2
i per tant:
D x1
D x2
[1] 5 [2] ———— 5 ———— v 9 1 v0
v 9 2 v0
D x2
2 D x2
———— 5 ———— 2 (v 9 2 v0) 5 v 9 1 v0 v9 1 v0
v 9 2 v0
2 v9 2 2 v0 5 v 9 1 v0 2 v9 2 v9 5 v0 1 2 v0 v 9 5 3 v0
c) La velocitat de la segona barca respecte de l’aigua.
La segona barca recorre un espai negatiu, ja que es mou cap
a l’esquerra. Per tant, la velocitat v 2 amb que es mou respecte de la riba del riu és:
2D x 2
2800
v 2 5 ———— 5 ———— 5 240 m/s
Dt
20
Per tant, la velocitat v 29 de la segona barca respecte de l’aigua és:
v 2 5 v 29 1 v0 v 29 5 v 2 2 v0 5 240 2 10 5 250 m/s
En mòdul, aquesta velocitat és de 50 m/s.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
02
FÍSICA 1
10. Un home navega per un riu i porta una ampolla d’aigua a la
popa del vaixell. Quan el vaixell passa per sota un pont, una
ona reflectida en els pilars del pont xoca contra l’embarcació i l’ampolla cau a l’aigua. L’home navega durant 20 min
sense adonar-se que l’ampolla no hi és. Quan se n’adona,
gira el vaixell i, amb la mateixa velocitat que portava, va a
buscar l’ampolla i la recull 1 000 m més avall del pont. Calculeu la velocitat del riu. Negligiu el temps que el vaixell
tarda a fer la maniobra de gir.
41
2
lllv 20y
ll v0y 5 dll
v0 5 dll
v 20xl1
v 02ll
2ll
v0 xll
2 2ll
2 5 dll
l 5 24,98 m/s
dll
32lll
20ll
624
i
x 5 v0x t
u vx 5 v0x
i
y
y
1
2
y 5 y 0 1 v 0y g t 1 — g t u vy 5 v 0y 1 g t t
t
2
a) Escriviu l’equació del moviment de l’objecte.
x 5 20 t
y 5 3 1 24,98 t 2 4,9 t 2
b) Calculeu el moment en què l’objecte arriba a terra i on
ho fa.
D x 1 5 v0 Dt T on v0 és la velocitat de l’aigua del riu.
Aquest problema es resol d’una manera molt senzilla si ho mirem des del punt de vista del sistema de referència S9, és a dir,
del sistema de referència definit per l’aigua del riu. Imaginem el
que percep un observador solidari amb el sistema S9; per aquest
observador, l’aigua del riu està quieta, i són els marges del riu,
el pont, els arbres, etc., els que es mouen amb velocitat 2v0.
Per tant, quan aquest hipotètic observador veu caure l’ampolla,
observa com aquesta resta en repòs en el sistema S9 (aigua del
riu); també observa com el vaixell se n’allunya amb velocitat v9
durant 20 minuts, passats els quals el vaixell gira i s’apropa ara
amb velocitat 2v9 cap al punt on havia caigut l’ampolla. Com
que aquesta velocitat és la mateixa, en mòdul, que la velocitat
v9, i l’ampolla ha restat immòbil en el sistema S9, el vaixell ha
de trigar el mateix temps (20 minuts) a arribar al punt on cau
l’ampolla.
Si y 5 0 0 5 3 1 24,98 t 2 4,9 t 2 4,9 t 2 2 24,98 t 2 3 5 0
2 1l4
llll
24,ll
98lll
? 4,9l?ll
3
24,98 6 26,13
24,98 6 dll
t 5 ———————————————— 5 ————————
2 ? 4,9
9,8
t 5 5,2 s
Amb aquest valor de temps podem trobar la coordenada x
del punt on l’objecte arriba a terra:
x 5 v 0x t 5 20 ? 5,2153 5 104,31 m . 104 m
c) L’objecte entrarà en un forat que és a 100 m mesurats
horitzontalment?
x 5 20 ? 5,21 5 104,3 m
No entrarà al forat.
Així doncs:
Dt T 5 t 1 1 t 2 5 20 1 20 5 40 minuts 5 2 400 s
Dx 1 5 v0 Dt T
Dx 1
1 000
v0 5 —— 5 ——— 5 0,42 m/s 5 1,5 km/h
Dt T
2 400
12. Un canó llança un projectil des de terra, obliquament cap
amunt amb un angle a tal que sin a 5 0,6 i cos a 5 0,8 i
una velocitat de 30 m/s. A 50 m de distància hi ha una tanca de 5 m d’altura.
Evidentment, aquest exercici també es pot resoldre mirant-ho
des del punt de vista del sistema S9 (marges del riu), però cal
plantejar un sistema d’equacions la resolució del qual és bastant farragosa.
11. Una noia tira un objecte amb una certa inclinació cap amunt
des d’una altura de 3 m. Si el component de la velocitat v0x
és de 20 m/s i el mòdul de la velocitat és v0 5 32 m/s:
i
u vx 5 v0x
i
y
y
1
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 u vy 5 v0y 1 g t t
t
2
x 5 v0 x t
g 5 29,8 m/s2
sin a 5 0,6
cos a 5 0,8
v 0x 5 20 m/s
a 5 g 5 29,8
m/s2
i
v0x 5 30 ? 0,8 5 24 m/s i x 5 24 t
y
y
2
v0 y 5 30 ? 0,6 5 18 m/s t y 5 18 t 2 4,9 t t
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
02
42
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) El projectil passa la tanca?
50
Si x 5 50 m 50 5 24 ? t t 5 —— 5 2,08 s
24
L’angle de llançament que dóna l’abast horitzontal màxim és
de 45º; per tant, la marca que pot aconseguir és:
v0x 5 v0 cos a 5 6,94 cos 45° 5 4,91 m/s
v0y 5 v0 sin a 5 6,94 sin 45° 5 4,91 m/s
y 5 18 ? 2,08 2 4,9 ? 2,082 5 16,24 m
Sí que passa la tanca, ja que 16,24 m . 5 m.
Substituïm les dades en l’equació del moviment.
x 5 4,91 t
b) Calculeu la velocitat quan passa per damunt de la tanca.
i vx 5 24 m/s
i
vx 5 24 m/s
y
y
vy 5 18 2 9,8 t t vy 5 18 2 9,8 ? 2,08 5 22,42 m/s t
13. En una classe d’educació física es fa una prova de salts de
longitud, un alumne comença el salt amb una velocitat
de 25 km/h i un angle de 36º amb l’horitzontal. Suposem
que el fregament amb l’aire és negligible.
Prèviament, representem el moviment i veiem que es tracta
d’un moviment parabòlic.
y 5 4,91 t 2 4,9 t2
y 5 0 0 5 4,91 t 2 4,9 t2 t (4,91 2 4,9 t) 5 0
4,91
t 5 ——— 5 1 s
4,9
Observem que
x 5 4,91 ? 1 5 4,91 m
hem millorat la marca en 0,23 m.
14. Una boia està situada a 15 km d’un vaixell. Si disparen un
objecte des del vaixell a 400 m/s amb un angle de 30°, arribarà a la boia? A quina alçada màxima arriba l’objecte?
Les condicions inicials són:
x 5 v0x t
v0 5 25 km/h 5 6,94 m/s
x0 5 0
1
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2
2
v0x 5 v0 cos a 5 6,94 cos 36° 5 5,62 m/s
v0x 5 400 ? cos 30 5 346,4 m/s
ax 5 0
v0y 5 400 ? sin 30 5 200 m/s
y0 5 0
a 5 g 5 29,8 m/s2
v0y 5 v0 sin a 5 6,94 sin 36° 5 4,08 m/s
ax 5 g 5 29,8
m/s2
a) Determineu el valor de la marca que ha aconseguit.
Per determinar la marca que ha aconseguit l’alumne, substituïm les dades en l’equació del moviment.
x 5 v0x t x 5 5,62 t
1
y 5 y0 1 v0y t 1 — g t 2 y 5 4,08 t 2 4,9 t 2
2
y 5 0 0 5 4,08 t 2 4,9 t 2 t (4,08 2 4,9 t) 5 0 4,08
t 5 ——— 5 0,83 s
4,9
i
x 5 346,4 t
y
y 5 200 t 2 4,9 t 2 t
Si y 5 0 0 5 200 t 2 4,9 t 2 t (200 2 4,9 t) 5 0
200
t 5 ——— 5 40,82 s
4,9
x 5 346,4 ? 40,82 5 14 140 m
No arribarà a la boia, ja que aquesta es troba a 15 km.
i vx 5 346,4 m/s i
vx 5 v0x
y
y
vy 5 v0 y 1 g t t vy 5 200 2 9,8 t t
200
Si vy 5 0 0 5 200 2 9,8 t t 5 ——— 5 20,41 s
9,8
x 5 200 ? 20,41 2 4,9 ? 20,412 5 2 040,82 m
x 5 5,62 ? 0,83 5 4,68 m
b) Sense canviar la velocitat amb què ha iniciat el salt, de
quina manera podríem millorar la marca? Quina marca
seria?
15. Un cangur, quan salta, avança 10 m en cada salt. Si ho fa
amb una velocitat inicial v0 i un angle de 45° respecte de
l’horitzontal, calculeu la velocitat inicial i el temps que
tarda entre salt i salt.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
02
43
Busquem ara la distància que el paquet haurà recorregut en la
direcció X en aquest temps i sabrem des de quina distància s’ha
de llançar:
270 km/h 5 75 m/s
x 5 x0 1 v0 D t x 5 75 ? 24,661 5 1 849,6 m
El paquet arriba a terra amb un component de velocitat en la
direcció X igual a vx 5 75 m/s. El component de la velocitat en
la direcció Y val:
x 5 v0x t
i
u
1
2
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t y
u
2
t
i
vx 5 v0x
y a 5 g 5 29,8 m/s2
vy 5 v0 y 1 g t t
v 0x 5 v 0 cos 45° 5 0,707 v 0 i
y
v 0y 5 v 0 sin 45° 5 0,707 v 0 t
i
x 5 0,707 v 0 t
y
2
y 5 0,707 v 0 t 2 4,9 t t
vy 5 v0 1 g t vy 5 29,8 ? 24,661 5 2241,7 m/s
18. Una noia vol menjar-se una poma situada a la part més alta
d’un arbre. Per poder-ho fer, llança una pedra amb el tirador
amb una velocitat inicial de 30 m/s, la qual forma un angle
a amb l’horitzontal tal que sin a 5 0,8 i cos a 5 0,6. Si
l’arbre és a 80 m de la noia i la noia llança la pedra a 1 m
del terra:
Quan x 5 10 m y 5 0
i
10 5 0,707 v 0 t
y
0 5 0,707 v 0 t 2 4,9 t 2 t
10 5 0,707 v 0 t
1 0 5 20,707 v 0 t 1 4,9 t 2
_________________________
10 5 4,9 t 2
t5
10
lll
— 5 1,43 s
dll—4,9
10
10
v 0 5 ———— 5 —————— 5 9,90 m/s
0,707 t
0,707? 1,43
16. Disparem un projectil amb una velocitat de 150 m/s amb un
angle de 60°. Determineu-ne l’altura i l’abast màxim.
v 02 sin2 a
Altura màxima: ymàx 5 —————
2g
v 02 sin 2 a
Abast màxim: xmàx 5 ——————
g
1502 ? sin2 60°
ymàx 5 ——————— 5 860,97 m
2 ? 9,8
1502 ? sin 2 ? 60°
xmàx 5 ———————— 5 1 988,32 m
9,8
17. Un avió que vola a 270 km/h a una altura de 3 km, ha de
tirar una paquet a un edifici de 20 m d’altura. Calculeu la
distància amb què ha de tirar el paquet perquè caigui al
terrat de l’edifici i la velocitat amb què arribarà.
Busquem primer el temps que el paquet tarda a arribar al terrat.
És a dir, el temps que tarda a recórrer en la direcció Y un desplaçament: D y 5 y 2 y0 5 20 2 3 000 5 22 980 m. Prenem
l’origen de temps a l’instant que el paquet es deixa caure. En
aquest cas, la velocitat inicial en la direcció Y és zero:
1
1
y 5 y0 1 v0 Dt 1 — g (Dt)2 22 980 5 2— 9,8 t 2 2
2
t 5 24,661 s
v 0 5 30 m/s
sin a 5 0,8
cos a 5 0,6
i
u
y
1
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 u
t
2
x 5 v0x t
v0x 5 30 cos a 5 30 ? 0,6 5 18 m/s
v0y 5 30 sin a 5 30 ? 0,8 5 24 m/s
g 5 29,8 m/s2
i
Per tant, x 5 18 t
y
2
y 5 1 1 24 t 2 4,9 t t
a) Calculeu l’alçària de l’arbre.
80
Si x 5 80 m 80 5 18 t t 5 —— 5 4,44 s
18
y 5 1 1 24 ? 4,44 2 4,9 ? 4,442 5 10,88 m
b) Calculeu la velocitat de la pedra quan toca la poma.
i
i
vx 5 v0x
vx 5 18
y y vy 5 v 0y 2 g t t
vy 5 24 2 9,8 t t
i
vx 5 18 m/s
y
vy 5 24 2 9,8 ? 4,44 5 219,56 m/s t
En mòdul:
2 1 ll
lll
lll
v 5 dll
vx2lll
1 ll
vy2 5 dll
18lll
(21
9,56
)2 5 26,58 m/s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
44
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Direcció:
Amb l’expressió de l’acceleració normal trobem que:
vy
219,56
tg a 5 —— 5 ———— 5 21,09 a 5 312,62°
vx
18
c) Indiqueu si la pedra pujava o baixava en el moment de
la col.lisió.
v2
an 5 — 5 v2 R 5 15,712 ? 7 5 1 725,43 m/s2
R
A partir de l’equació del moviment circular uniforme, trobem
l’angle descrit.
w 5 w0 1 vt w 5 15,71 ? 10 5 157,1 rad
La pedra baixava.
19. El porter d’handbol d’un equip inicia un contraatac llançant
una pilota amb una velocitat de 20 m/s i una inclinació de
60° sobre un company que es troba 25 m més endavant. Si
aquest jugador corre amb una velocitat constant i agafa la
pilota a la mateixa altura a la qual ha estat llançada, amb
quina velocitat corre aquest jugador?
21. Calculeu la velocitat angular dels punts de la roda d’un cotxe que circula a una velocitat constant de 100 km/h si
el diàmetre de la roda fa 80 cm. Quantes voltes fa quan el
cotxe ha recorregut 1 km?
100 km/h 5 27,78 m/s
r 5 40 cm
s 5 1 000 m
v
27,78
v 5 — 5 ———— 5 69,44 rad/s
r
0,4
s
1 000
1 volta
w 5 — 5 ———— 5 2 500 rad ? ———— 5 397,89 voltes
r
0,4
2 p rad
x 5 v0x t
1
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2
2
i
u
y
u
t
22. Un disc dels tocadiscs d’abans gira a 33 rpm i té un radi de
15 cm.
v0x 5 20 cos 60° 5 10 m/s
i x 5 10 t
i
y
y
v0y 5 20 sin 60° 5 17,32 m/s t y 5 17,32 t 2 4,9 t 2 t
g 5 29,8 m/s2
a) Calculeu-ne la velocitat angular i lineal.
2 p rad 1 min
voltes
33 rpm 5 33 ———— ? ———— ? ——— 5 3,46 rad/s
min
1 volta
60 s
v 5 v ? r 5 3,46 ? 0,15 5 0,52 m/s
Si y 5 0 0 5 17,32 t 2 4,9 t 2 t (17,32 2 4,9 t) 5 0
17,32
t 5 ——— 5 3,53 s
4,9
x 5 10 ? 3,53 5 35,3 m. Deduïm que es mou en sentit positiu,
ja que 35,3 m . 25 m.
L’altre jugador:
x 2 x0
35,3 2 25
x 5 x0 1 v D t v 5 ———— 5 ————— 5 2,93 m/s
t
3,53
20. Un objecte puntual està sotmès a un moviment circular uniforme de radi 7 m i gira a 150 rpm. Calculeu-ne el període,
la freqüència, l’acceleració normal i l’angle descrit en 10 s.
Coneixem la velocitat angular i el radi.
b) Calculeu-ne el període i la freqüència.
2p
2p
T 5 —— 5 ——— 5 1,82 s
v
3,46
1
1
f 5 — 5 ——— 5 0,55 Hz
T
1,82
c) Si una cançó dura 5 min, quantes voltes fa en el tocadiscos? Expresseu-ne el resultat en radiants.
w 5 v t 5 3,46 ? 5 ? 60 5 1 036,72 rad
23. Un cotxe tarda 15 s a fer una volta a una rotonda. Calculeu
la velocitat angular amb què es mou. Si s’ha desplaçat amb
una velocitat mitjana de 60 km/h, quin és el perímetre de
la rotonda i l’acceleració normal?
voltes 2 p rad 1 min
v 5 150 rpm 5 150 ———— ? ———— ? ——— 5 15,71 rad/s
min
1 volta 60 s
Calculem la velocitat angular amb l’expressió:
Si coneixem la velocitat angular, trobem el període amb l’expressió:
2p
2p
2p
v 5 —— T 5 —— 5 ———— 5 0,4 s
T
15,71
v
Passem la velocitat lineal a unitat del SI: 60 km/h 5 16,67 m/s
I la freqüencia
1
1
f 5 — 5 —— 5 2,5 Hz
T
0,4
Dw
2p
2p
v 5 ——— 5 —— 5 —— 5 0,42 rad/s
Dt
T
15
Per trobar el perímetre de la rotonda hem de trobar el radi de la
rotonda, amb l’expressió, v 5 v ? r
v
16,67
r 5 — 5 ——— 5 39,79 m
v
0,42
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
02
FÍSICA 1
El perímetre el trobem amb l’expressió:
s 5 w ? r 5 2 p ? r 5 2 p ? 39,79 5 250 m
L’acceleració normal la trobem amb l’expressió:
16,672
v2
an 5 —— 5 ———— 5 7 m/s2
R
39,79
24. Si una bicicleta circula amb una velocitat de 12 km/h i les
rodes tenen un radi de 30 cm, calculeu:
a) La velocitat angular de la roda.
45
27. Un aprenent d’astronauta gira amb una velocitat angular v
i experimenta una acceleració centrípeta de 2 g. Calculeu la
velocitat angular i la freqüència de gir si el radi del dispositiu giratori és de 2 m i g val 9,8 m/s2.
an 5 2 g
r52m
a n 5 v2 r v 5
2l? l
9,8
all
lll
llll
5 d ———— 5 dll
9,8l 5 3,13 rad/s
dlll——
r
2
n
v
3,13
v 5 2 p f f 5 —— 5 ——— 5 0,5 s21
2p
2p
Primer expressem la velocitat lineal en unitats del SI:
v 5 12 km/h 5 3,33 m/s
La velocitat angular ve donada per:
v
3,33
v 5 — 5 ——— 5 11,1 rad/s
r
0,3
28. Quina velocitat angular s’ha de comunicar a una estació espacial de forma anular de 60 m de diàmetre per tal de crear
una gravetat artificial a la perifèria igual a la gravetat a la
superfície terrestre?
r 5 30 m
v2
a n 5 g a n 5 —— 5 v 2 r 5 g
r
b) La distància recorreguda en 10 min.
60 s
3,33 m
10 min ? ———— ? ———— 5 1 998 m
1 min
1s
c) El nombre de voltes que ha efectuat la roda en aquest
temps.
En aquest temps el nombre de voltes que han efectuat les
rodes és:
60 s
1 volta 11,11 rad
10 min ? ———— ? ———— ? ————— 5 1 061 voltes
1 min
2p rad
s
25. Quina és l’acceleració centrípeta d’un pilot del Gran Premi
de Catalunya que traça una corba de 50 m de radi a una velocitat de 180 km/h?
km
180 —— 5 50 m/s
h
2
v
50 2
a n 5 —— a n 5 —— 5 50 m/s2
R
50
26. Un ciclista s’entrena donant voltes amb la bicicleta en una
pista circular de 50 m de radi a un ritme de 5 voltes cada
2 min i 37 s. Calculeu:
a) La velocitat angular.
2p
v 5 ——
T
60 s
2 min ? ———— 5 120 s 1 37 s 5 157 s
1 min
5 voltes
2 p rad
v 5 ————— ? ————— 5 0,20 rad/s
157 s
1 volta
b) La velocitat lineal.
v 5 v ? r 5 0,20 ? 50 5 10 m/s
c) L’acceleració centrípeta.
v2
10 2
a n 5 —— 5 ——— 5 2 m/s2
R
50
v5
9,8
ll
5 0,57 rad/s
dll—grl 5 dlll——
30
29. Un mòbil descriu una circumferència de 20 cm de radi. Partint del repòs, es mou amb una acceleració angular constant i, quan han passat 5 s, la seva velocitat angular és de
300 rpm. Calculeu, per a aquest temps, la velocitat lineal,
l’acceleració angular, l’acceleració tangencial, l’acceleració
normal, l’acceleració total, l’espai recorregut i l’angle girat.
1
w 5 w0 1 v0 D t 1 — a D t
2
v 5 v0 1 a D t
1
w 5 — a t2
2
v 5 at
v2
a n 5 ——
r
i
u
y
u
t
i s 5 wr i
u
u
y v 5 vr y
u
u
t at 5 a r t
i
1
s 5 — at t 2 u
2
y
aT 5 dll
a 2nll
1ll
a 2t v 5 a t t
u
t
voltes 2 p rad
1 min
300 rpm 5 300 ? ———— ? ———— ? ———— 5 31,42 rad/s
min
1 volta
60 s
v 5 v r 5 31,42 ? 0,2 5 6,28 m/s
v
31,42
a 5 — 5 ———— 5 6,28 rad/s2
t
5
a t 5 a r a t 5 6,28 ? 0,2 5 1,26 m/s2
v2
6,282
5 197,19 m/s2
a n 5 —— 5 ———
r
0,22
2 1ll
lll
ll
lll2 5 197,20 m/s2
a 2nll
1ll
a 2t 5 dll
197,
19lll
1,26
aT 5 dll
1
1
s 5 — a t t 2 s 5 — ? 1,26? 52 5 15,75 m
2
2
1
1
w 5 — a t 2 w 5 — ? 6,28 ? 52 5 78,5 rad
2
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
46
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
30. La velocitat angular d’una roda disminueix uniformement
de 1 000 a 750 voltes per minut en 10 s. Calculeu per
aquest temps.
a) L’acceleració angular.
vf 2 v0
750 2 1 000
1 min
2 p rad
a 5 ————— 5 ——————— ? ———— ? ———— 5
Dt
10
60 s
1 volta
5 22,62 rad/s2
b) El nombre de voltes que fa.
b) L’acceleració angular de les rodes.
at
22,22
a t 5 a r a 5 —— 5 ———— 5 28,88 rad/s2
r
0,25
33. Un mòbil descriu una corba amb acceleració tangencial constant de 2 m/s2. Si el radi de la corba és de 40 m i la velocitat del mòbil és de 80 km/h, a quina acceleració total està
sotmès?
80 km/h 5 22,22 m/s
a t 5 2 m/s2
Calculem el nombre de voltes a partir de l’angle girat:
1
w0 1 v0 t 1 — a t2
w
2
nre. voltes 5 ——— 5 ————————————— 5
2p
2p
1
2
2p
10
1
102
5 0 1 1 000 ? ——— ? ——— 1 — ? (22,62) ? ——— 5
60
2p
2
2p
5 145,8 voltes
31. Una partícula descriu una circumferència de 10 cm de radi.
Si parteix del repòs i es mou amb una acceleració angular
de 0,2 rad/s2, calculeu, al cap de 20 s:
a) L’acceleració normal.
v 5 a t 5 0,2 ? 20 5 4 rad/s
v2
a n 5 —— 5 v 2 r a n 5 42 ? 0,1 5 16 m/s2
r
b) L’acceleració tangencial.
a t 5 a r 5 0,2 ? 0,1 5 0,02 m/s2
c) L’acceleració total.
2 5 1,60 m/s2
a2tll
1ll
a 2n 5 dll
1,l
62lll
1ll
0,l0l
2ll
aT 5 dll
d) La longitud d’arc recorreguda.
1
1
s 5 — a t t 2 5 — ? 0,02 ? 20 2 5 4 m
2
2
32. Un automòbil circula a 80 km/h, frena i s’atura en 10 s. Calculeu:
km
80 —— 5 22,22 m/s
h
v 5 0; t 5 10 s; r 5 25 cm 5 0,25 m
a) Les voltes que han donat les rodes si tenen un diàmetre
de 50 cm.
0 2 22,22
v 2 v0
a t 5 ————— 5 —————— 5 22,22 m/s2
t
10
1
1
s 5 v0 t 1 — a t t 2 s 5 22,22 1 — ? (22,22) ? 10 2 5
2
2
5 111,2 m
s
111,2
1 volta
s 5 w r w 5 — 5 ———— 5 444,8 rad ? ————— 5
r
0,25
2 p rad
5 70,79 voltes
v2
22,22 2
a n 5 —— 5 ————— 5 12,34 m/s2
R
40
2 5 12,51 m/s2
llll
aT 5 dll
a 2nll
1ll
a 2t 5 dll
12,3
42 lll
1 2l
34. Una roda gira a 60 rpm i en 5 s té una velocitat angular de
40 rad/s. Calculeu quantes voltes ha donat si suposem que
l’acceleració angular és constant.
voltes
2 p rad
1 min
60 rpm 5 60 ———— ? ————— ? ———— 5 6,28 rad
min
1 volta
60 s
v 2 v0
40 2 6,28
a 5 ————— 5 —————— 5 6,74 rad/s2
t
5
1
1
w 5 v 0 t 1 — a t 2 5 6,28 ? 5 1 — ? 6,74 ? 5 2 5
2
2
1 volta
5 115,65 rad ? ———— 5 18,41 voltes
2 p rad
35. [Curs 98-99] Una centrifugadora de 12 cm de radi que està
inicialment en repòs accelera uniformement durant 20 s. En
aquest interval de temps, a 5 100 p rad/s2. Després manté
constant la velocitat adquirida.
a) Amb quina velocitat gira la centrifugadora quan fa 20 s
que funciona? Expresseu el resultat en rpm.
v 5 a t v 5 100 p ? 20 5
rad 1 volta
60 s
5 2000 —— ? ———— ? ———— 5 60 000 rpm
s
2 p rad
1 min
b) Quantes voltes ha de fer la centrifugadora després de
funcionar durant 20 s? I després de funcionar 50 s?
1
1
1 volta
u 5 — a D t 2 5 — 100 p ? 202 5 20 000 p rad ? ———— 5
2
2
2p rad
5 10 000 voltes
u 5 uo 1 v Dt u 5 20 000 p 1 2 000 p (50 2 20) 5
1 volta
5 80 000 p rad ———— 5 40 000 voltes
2 p rad
c) Calculeu les acceleracions tangencial i normal que com a
màxim tenen els objectes a l’interior de la centrifugadora quan aquesta fa 1 min que gira.
at 5 a ? r at 5 0, ja que 1 min MCU
an 5 v2 ? r 5 (2 000 p)2 ? 0,12 5 4 737 410,11 m/s2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
02
47
36. Una partícula que parteix del repòs descriu un moviment
circular uniformement accelerat. Calculeu l’angle que ha
girat en el moment en què el mòdul de l’acceleració tangencial és el doble que el mòdul de l’acceleració normal.
i
u at 5 a r i
y
y
u an 5 v2 r t
t
1
w 5 — a t2
2
v 5 at
at 5 2 an
at 5 2 v2 r 5 a r a 5 2 v2
1
v 5 a t v 5 2 v2 t 1 5 2 v t v t 5 —
2
1
1
w 5 — a t 2 w 5 — ? 2 v2 t 2 w 5 v2 t 2
2
2
1
w5 —
2
2
1 2
1
5 — w 5 0,25 rad
4
Avaluació del bloc 1
Q1. [Curs 01-02] La figura representa el gràfic velocitat-temps
per a un cos que es mou sobre una recta i que surt del repòs. Raoneu si l’espai recorregut pel mòbil en l’interval de
temps en què augmenta la velocitat és més gran, més petit
o igual que l’espai recorregut durant la frenada.
Q3. Un automòbil que circula a 80 km/h avança una motocicleta
que circula a 60 km/h. En un instant donat, es llança un
objecte des de l’automòbil en la direcció perpendicular a la
del moviment de l’automòbil i a una velocitat de 20 km/h
respecte d’ell. Calculeu el valor de la velocitat de l’objecte
en l’instant del llançament i descriviu la trajectòria que
seguirà prenent els sistemes de referència següents:
a) L’observador és dins de l’automòbil.
Un observador des de dins de l’automòbil observarà que
l’objecte segueix la trajectòria corresponent a la d’un llançament horitzontal amb velocitat inicial de 20 km/h. La
trajectòria és una paràbola en un pla perpendicular en tot
moment al cotxe.
v (m/s)
b) L’observador és a la motocicleta.
30
L’observador de la motocicleta veurà que l’objecte segueix
la trajectòria d’un llançament horitzontal amb velocitat
inicial igual a:
2 1ll
(80lll
2ll
60)lll
20ll2 5 28,3 km/h
v 5 dll
6
12
t (s)
Els espais són iguals, ja que el desplaçament és igual a l’àrea
sota la gràfica v-t. També es pot fer calculant:
a t2
a t2
Dx1 5 —— 5 90 m; D x2 5 v0t 2 —— 5 90 m
2
2
Q2. [Curs 00-01] Una partícula surt del repòs i es mou sobre
una recta. Al gràfic es representa l’acceleració de la partícula durant els 6 primers segons. Representeu el gràfic v (t)
del moviment.
a (m/s2)
La trajectòria és una paràbola en un pla que forma un angle
de 45° amb la direcció del cotxe i de la moto, ja que els
components de la velocitat perpendiculars entre si i a la
direcció Y tenen el mateix valor (20).
c) L’observador és en repòs a terra.
L’observador en repòs al terra veurà que l’objecte segueix la
trajectòria d’un llançament horitzontal amb velocitat inicial
igual a:
2 1ll
2 5 82,5 km/h
80lll
20ll
v 5 dll
La trajectòria és una paràbola en un pla que forma un angle
w amb la direcció del cotxe donat per:
20
w 5 arc tg —— 5 14°
80
12
2
210
4
6
t (s)
Q4. Un ventilador de 30 cm de diàmetre està en funcionament i
durant un cert interval de temps podem considerar que es
mou descrivint un moviment circular uniforme seguint l’equació del moviment següent w 5 p t. Calculeu:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
48
02
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) La velocitat lineal i l’angular del ventilador.
L’equació del moviment circular uniforme és:
w 5 w0 1 v (t 2 t0)
Si comparem amb l’expressió donada a l’enunciat, resulta
que la velocitat angular val:
v 5 p 5 3,14 rad/s
Així, la velocitat lineal ve donada per:
d
0,3
v 5 v r 5 3,14 ? — 5 3,14 ? —— 5 0,47 m/s
2
2
b) Les voltes i l’arc recorregut que ha fet el ventilador si ha
funcionat descrivint un moviment circular uniforme durant 1 h.
Busquem el nombre de voltes i la longitud de l’arc recorregut durant un interval de temps d’una hora:
3 600 s 1 volta 3,14 rad
1 h ———— ? ———— ? ———— 5 1 800 voltes
1h
2 p rad
s
2prm
2 p (0,3/2) m
1 800 voltes ———— 5 1 800 voltes ——————— 5
1 volta
1 volta
5 1 696,46 m 5 1 696 m
P1. Es llança un cos de 5 kg des d’un penya-segat que està a una
altura de 120 m sobre l’aigua. La velocitat inicial del cos té
un mòdul de 100 m/s i forma un angle de 30° amb l’horitzontal. Si la fricció amb l’aire és negligible, calculeu:
b) El temps que el cos triga a arribar a una altura de 80 m
sobre l’aigua.
Quan y 5 80 m 80 5 120 1 50 t 2 4,9 t 2 4,9 t 2 2 50 t 2 120 2 80 5 0 4,9 t 2 2 50 t 2 40 5 0 2 ll
50ll
1 llll
4 ? 4,9lll
? 40l
50 6 dll
3l
2ll
84
50 6 dll
t 5 ———————————— 5 ——————— 5 10,95 s
2 ? 4,9
9,8
P2. [Curs 02-03] Un coet és llançat verticalment cap amunt, des
del repòs, i puja amb una acceleració constant de 14,7 m/s2
durant 8 s. En aquest moment se li acaba el combustible,
i el coet continua el seu moviment de manera que l’única
força a què està sotmès és la gravetat.
a) Calculeu l’altura màxima a què arriba el coet.
Primer tram:
1
y 5 — a t 2 5 470,4 m, v 5 a t 5 117,6 m/s
2
Segon tram:
1
y9 5 y 1 v t9 2 — g t92
2
0 5 v9 5 v 2 g t9
i
u
y y9 5 1 175,3 m, t9 5 12 s
u
t
b) Calculeu el temps transcorregut des de la sortida fins a
la tornada del coet a la superfície de la terra.
Pujada: t 1 t9 5 20 s
1
Baixada: 0 5 1 175,3 1 0 ? t0 2 — 9,81 t02
2
t0 5 15,48 s
tT 5 20 1 15,48 5 35,48 s
c) Feu un gràfic velocitat-temps d’aquest moviment. Considereu g 5 9,81 m/s2.
117,6
i v0x 5 100 cos 30° 5 86,60 m/s
u
1
y v 5 100 sin 30° 5 50 m/s
2
y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t u 0y
t g 5 29,8 m/s2
2
x 5 v0x t
35,48
i
vx 5 v0x
y
vy 5 v 0y 2 g t t
8
10
i vx 5 86,60
i
x 5 86,60 t
y
y
y 5 120 1 50 t 2 4,9 t 2 t vy 5 50 2 9,8 t t
a) El component horitzontal de la velocitat en el moment
de l’impacte amb l’aigua.
vx 5 86,60 m/s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
Bloc 2. Dinàmica
j Unitat 3. Forces i
lleis de Newton
03
49
passatgers tendeixen a mantenir la seva velocitat inicial, pel
principi d’inèrcia. No hi ha cap força real responsable d’aquesta
tendència a mantenir el MRU. Ara bé, si es vol explicar el fet
des d’un sistema de referència no inercial, on no són vàlides les
lleis de Newton, aleshores perquè aquestes es mantinguin cal
introduir unes forces fictícies anomenades forces d’inèrcia.
4. És possible que un cos sobre el qual s’aplica una única força estigui en equilibri? Justifiqueu la resposta.
Activitats
1. Indiqueu quatre situacions de la vida quotidiana on es posi
en evidència el principi d’inèrcia i expliqueu com es verifica.
j Quan anem en un automòbil en moviment hem de portar el
cinturó de seguretat posat, ja que, en cas d’impacte i d’acord
amb el principi d’inèrcia, tindrem tendència a continuar amb
la velocitat que portàvem: el cinturó ho impedeix i ens frena
juntament amb l’automòbil.
j Suposem que un camió està carregat amb caixes apilades; si
deixem la porta de darrere oberta, i el camió arrenca sobtadament, pot caure la seva càrrega cap enfora si no es lliga
convenientment, d’acord amb el principi d’inèrcia: el camió
es posa en marxa, però les caixes tenen tendència a continuar en repòs i a romandre al lloc on es trobaven inicialment.
j Quan estem a l’interior d’un vehicle i fem un revolt, sentim
com una força que ens impulsa cap enfora de l’automòbil; de
nou, és una conseqüència del principi d’inèrcia: tenim tendència a continuar amb MRU, mentre que l’automòbil segueix un moviment circular.
j Quan estem a l’interior d’un ascensor sentim augments o
disminucions aparents del nostre pes quan l’ascensor es posa
en marxa o quan frena. El primer cas ja l’hem comentat a la
qüestió anterior. Quan l’ascensor frena, com que nosaltres
tenim tendència a continuar amb la velocitat que portàvem
juntament amb l’ascensor, sentirem com un augment de pes
quan l’ascensor freni tot baixant, mentre que sentirem com
una disminució de pes quan l’ascensor freni tot pujant,
d’acord amb el principi d’inèrcia.
2. Una persona que està movent un moble a velocitat constant ha d’efectuar contínuament una força sobre el moble.
Aquest fet, es contradiu amb el principi d’inèrcia? Raoneune la resposta.
Si sobre un cos actua una única força, adquireix una acceleració
d’acord amb la segona llei de Newton; per tant, és impossible
que sobre un cos actuï una única força i estigui en equilibri.
5. En quina de les situacions següents està actuant una força
neta sobre el cos considerat? Trieu la resposta correcta i
raoneu el per què de la tria.
a) Un automòbil que està pujant un pendent a velocitat
constant.
b) Un satèl.lit artificial que està girant al voltant de la
Terra.
c) Una caixa en repòs al terra.
d) Un pèndol que penja del sostre d’un ascensor que baixa
a velocitat constant.
Només actua una força neta en les situacions on hi hagi una
acceleració no nul.la, o bé una deformació. L’única opció que
compleix aquesta condició és:
b) Un satèl.lit artificial que està girant al voltant de la Terra.
Perquè el satèl.lit giri cal modificar la direcció de la seva
velocitat, és a dir, proporcionar-li una acceleració. En la
resta de situacions no hi ha acceleració ja que, o bé el cos
està en repòs permanent (opció c) o bé es mou a velocitat
constant (opcions a i d) tant en mòdul com en direcció.
6. Dos cossos diferents experimenten la mateixa acceleració.
Quina és la relació entre les forces netes aplicades sobre
ells si un té una massa 5 vegades més petita que l’altre?
m2
Si m1 i m2 són les masses dels cossos: m1 5 ——
5
Segons l’enunciat, les acceleracions dels dos cossos tenen el
mateix valor:
a1 5 a2 5 a
Aquest fet no contradiu el principi d’inèrcia perquè la força que
fa l’home un cop el moble s’està movent és una força oposada
a la força de fregament que fa el terra sobre l’home i que actua
en sentit contrari al del desplaçament. Les dues forces es compensen i el moble manté la seva velocitat.
Si F1 i F2 són les forces netes aplicades sobre els cossos de masses respectives m1 i m2, l’expressió de la segona llei de Newton per a un cos de massa constant és, per a cada un dels dos
cossos:
F1 5 m1 a1 5 m1 a
3. Si anem en un vehicle a velocitat constant, i aquest gira
cap a l’esquerra, notem una tendència a anar-nos-en cap a
la dreta. Hi ha alguna força responsable d’aquesta tendència? Expliqueu-ho detalladament.
Introduint en aquestes expressions la relació entre les masses
dels dos cossos, trobem la relació entre les forces netes aplicades sobre ells:
m2
——
m1 a
5
1
F1
——
5 ——— 5 ——— 5 —
F2
m2 a
m2
5
El vehicle modifica la direcció de la seva velocitat perquè aplica
una acceleració. Aquesta acceleració no es transmet instantàniament als passatgers mitjançant els lligams (fregament amb
els seients i superfícies de contacte amb el vehicle). Així, els
F2 5 m2 a2 5 m2 a
És a dir, la força neta sobre el cos de més massa és 5 vegades
més gran que la força neta sobre el cos de massa menor.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
50
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
7. Calculeu la força resultant que s’efectua sobre un cos de
34 kg de massa, que és sobre una superfície horitzontal
que no presenta fregament, en les situacions següents, i
efectueu-ne un diagrama representatiu:
m 5 34 kg
a) El cos es mou cap a la dreta, amb velocitat constant de
2,5 m/s.
Quan estem a dintre d’una piscina, ens podem impulsar tot
efectuant una força sobre una paret vertical de la piscina: la
paret ens impulsa en sentit contrari.
10. Aplicant la segona i la tercera llei de Newton, calculeu l’acceleració que adquireix la Terra en la seva interacció gravitatòria amb els objectes següents que estan a prop de la
seva superfície:
a) Un bacteri de 2 pg de massa.
m 5 2 pg 5 2 ? 10212 g 5 2 ?10215 kg
a 5 0 |S F | 5 m a 5 0
b) El cos es mou cap a la dreta amb acceleració constant
de 0,85 m/s2.
mg
SF 5 m a p 5 MT aT aT 5 —— MT
2 ? 10215 ? 9,8
5 3,28 ? 10239 m/s2
aT 5 ———————
5,98 ?1024
b) Una persona de 75 kg que cau amb paracaigudes.
|S F | 5 m a 5 34 ? 0,85 5 28,9 N
c) El cos es mou cap a l’esquerra amb acceleració constant
de 4,8 m/s2.
75 ? 9,8
m 5 75 kg aT 5 ——————
5 1,23 ?10222 m/s2
5,98 ?1024
c) Un avió de 2 000 t que vola a una certa altura.
m 5 2 000 t 5 2 ? 106 kg |S F | 5 m a 5 34 ? 4,8 5 163,2 N
8. Volem moure una caixa de 25 kg que està inicialment en
repòs damunt d’una superfície horitzontal. Si li apliquem
una força de 100 N paral.lela a la superfície, quin temps
tarda a adquirir una velocitat de 72 km/h, suposant que no
hi ha fregament entre la caixa i el pla?
i
u
u
v0 5 0
y
u
F 5 100 N
u
v 5 72 km/h 5 20 m/s t
m 5 25 kg
2 ?106 ? 9,8
5 3,28 ?10218 m/s2
aT 5 ——————
5,98 ?1024
Quina conclusió en podem treure?
La massa de la Terra és de 5,98 ? 1024 kg.
La conclusió que n’extreiem és que, en tots els casos, l’acceleració que adquireix la Terra és pràcticament nul.la, i, per tant,
el moviment de la Terra no es veu afectat.
11. Suposeu que premem un cos contra una paret, o contra
qualsevol altra superfície vertical, amb una força F. Justifiqueu les respostes.
F
100
F 5 m a a 5 — 5 —— 5 4 m/s2
m
25
v
20
v 5 v0 1 a Dt Dt 5 — 5 —— 5 5 s
a
4
9. Indiqueu tres exemples de la vida quotidiana que posin en
evidència el principi d’acció-reacció i expliqueu com es verifica.
Quan disparem amb un fusell sentim una força que empeny el
fusell cap enrere; en aquest cas, aquest fenòmen és una conseqüència del principi d’acció-reacció: el fusell efectua una força
sobre la bala que impulsa aquesta cap endavant; en contrapartida, la bala efectua la mateixa força sobre el fusell, però en
sentit contrari.
Quan volem saltar fem una força sobre el terra verticalment cap
a baix; d’acord amb el principi d’acció-reacció, el terra fa la
mateixa força sobre nosaltres, però en sentit contrari, i així ens
impulsa verticalment cap a dalt.
a) Quina és la força normal que actua sobre el cos?
Tenint en compte la tercera llei de Newton, la força normal
N coincideix amb la força F que efectuem nosaltres sobre
el cos: N 5 F; per demostrar-ho, es pot fer servir el mateix raonament que vam fer servir quan vam definir la força
normal sobre un cos que descansa sobre una superfície horitzontal, amb la diferència que ara la força normal és horitzontal.
b) Quina és la força normal si deixem anar el cos?
Si deixem anar el cos, com que aquest cau lliurement per
acció del pes, la força normal ha de ser nul.la: N 5 0.
12. Indiqueu les forces de contacte amb el terra i la paret que
actuen sobre una escala que es manté en equilibri recolzada a la paret i formant un cert angle amb l’horitzontal.
Dibuixeu també la força pes i apliqueu en la direcció verti
cal i en l’horitzontal la condició d’equilibri: o Fi 5 0
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
i
lOMoARcPSD|7143541
03
FÍSICA 1
La paret i el terra exerceixen forces de contacte sobre la superfície de l’escala que es recolza en ells. Aquestes forces de contacte les podem descompondre en components perpendiculars a
les superfícies en contacte (forces normals) i components tangents a les superfícies en contacte (forces de fregament). A la
figura següent representem l’escala vista de perfil i indiquem
les forces de contacte i la força pes (p) que actua sobre l’escala.
Les forces que fa el terra sobre l’escala les designem per Nterra i
Ff terra.
Anàlogament, les forces que fa la paret sobre l’escala les designem per Nparet i Ff paret.
51
Apliquem la segona llei de Newton:
S F 5 m a px 1 py 1 N 5 m a
py 5 2 N px 5 m a m g sin a 5 m a a 5 g sin a 5 9,8 ? sin a 5 9,8 ? sin 12° 5 2,0 m/s2
1
Dx 5 v0 Dt 1 — a Dt 2 2
Dt 5
ll
—— 5 11,55 s
dll—2ll—aDx—ll 5 dll—2l—?2,0ll136
v 5 v0 1 a Dt 5 2,0 ?11,55 5 23,56 m/s
14. [Curs 1998-99] Aixequem de terra un cos de 10 kg de massa mitjançant un fil. Si la tensió de ruptura del fil és de
200 N, quina és la màxima acceleració amb què es pot aixecar el cos sense que es trenqui el fil?
L’acceleració màxima es tindrà quan la tensió tingui el màxim
valor possible. Per tant:
T 2 mg
200 2 10 ? 9,8
T 2 mg 5 ma a 5 ———— 5 ——————— 5 10,2 m/s2
m
10
Una escala recolzada de la forma indicada tendeix a lliscar de
manera que el seu extrem superior es mou en el sentit negatiu
de l’eix Y i el seu extrem inferior en el sentit positiu de l’eix X.
Les forces de fregament s’oposen al moviment relatiu de les
superfícies en contacte. Per aquesta raó, la Ff paret té el sentit
positiu de l’eix Y i la Ff terra té el sentit negatiu de l’eix X.
15. Un llum, de massa 1,35 kg, penja del sostre d’una habitació mitjançant dues cadenetes que formen uns angles a i
b amb l’horitzontal (fig. 3.29). Calculeu les tensions de les
cadenetes en les situacions següents:
La condició d’equilibri de forces és:
a
b
En la direcció X:
|Ff terra| 5 |Nparet|
Ff terra 1 Nparet 5 0
En la direcció Y:
|Ff paret| 1 |Nterra| 5 |p|
Ff paret 1 Nterra 1 p 5 0
A la figura hem descompost les tensions de les cadenetes segons les direccions X i Y. Negligim les masses de les cadenes i,
per tant, no considerem els pesos respectius. El pes de la làmpada de massa m el designem per p.
13. Un esquiador té una massa de 72 kg. Amb quina acceleració baixa per una pista que té una inclinació de 12°, suposant que no hi ha fregament entre els esquís i la neu?
Quant tarda a baixar per la pista, si aquesta té una longitud total de 136 m, i si ell està inicialment en repòs? Amb
quina velocitat arriba a la base de la pista?
i
u
u
a 5 12°
y
D x 5 136 m u
u
v0 5 0
t
a
x
b
x
m 5 72 kg
Diagrama de forces:
Designem per T1 i T2 les tensions de les cadenes que formen
els angles respectius a i b amb el sostre. Els valors dels components de les tensions en funció dels angles són:
T1x 5 2T1 cos a
T2x 5 T2 cos b
T1y 5 T1 sin a
T2y 5 T2 sin b
Apliquem la condició d’equilibri (acceleració nul.la) de forces
per a cada direcció:
T1x 1 T2x 5 0 T1 cos a 5 T2 cos b
T1y 1 T2y 2 | p| 5 0 T1 sin a 1 T2 sin b 5 mg
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
52
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) Els angles a i b són iguals i de valor 60º.
T1 cos 60° 5 T2 cos 60° T1 5 T2
T1 sin 60° 1 T2 sin 60° 5 mg 2 T1 sin 60° 5 1,35 ? 10 T1 5 T2 5 7,79 N
b) Els angles a i b valen, respectivament, 55º i 35º.
cos 35°
T1 cos 55° 5 T2 cos 35° T1 5 T2 ————
cos 55°
T1 sin 55° 1 T2 sin 35° 5 mg cos 35°
T2 ———— sin 55° 1 T2 sin 35° 5 1,35 ? 10 cos 55°
T2 5 7,74 N T15 11,05 N
Considereu g 5 10 m/s2 i descomponeu les tensions en
components horitzontals i verticals.
16. Un camió té una massa de 8 t i arrossega un remolc de
5,5 t. Si el conjunt està inicialment en repòs, quina força
mitjana ha de fer el camió per tal que adquireixi una velocitat de 31 km/h en un recorregut de 104 m? Quina és la
tensió a què està sotmès l’enganxall entre el camió i el
remolc?
i
u
m 2 5 5,5 t 5 5,5 ?103 kg u
u
y
v0 5 0
u
v 5 31 km/h 5 8,61 m/s u
u
t
Dx 5 104 m
40 5 k (0,2 2 x 0)
60 5 k (0,25 2 x 0)
F95 k Dx F9 5 k (x 2 x 0)
Dividim les dues equacions:
40
k (0,2 2 x 0)
—— 5 ——————
40 ? (0,25 2 x 0) 5 60 ? (0,2 2 x 0) 60
k (0,25 2 x 0)
10 2 40 x 0 5 12 2 60 x 0 60 x 0 2 40 x 0 5 12 2 10 2
20 x 0 5 2 x 0 5 —— 5 0,1 m 5 10 cm
20
40
Calculem k: 40 5 k (0,2 2 0,1) k 5 —— 5 400 N/m
0,1
18. [Curs 2001-02] Una molla de constant recuperadora
k 5 50 N/m i longitud natural l 5 2 m està lligada al sostre d’un ascensor. Si pengem de l’extrem lliure de la molla
un cos de massa m 5 3 kg, quina serà la longitud de la
molla quan:
Es calculen els resultats imposant que la suma de forces és
igual al producte de la massa per l’acceleració i tenint en compte que la força elàstica és igual a: k (l 2 l0):
a) L’ascensor pugi amb una acceleració igual a 2 m/s2 en el
sentit del moviment?
m1 5 8 t 5 8 ?103 kg
m (g 1 a)
l 5 l0 1 ————— 5 2,71 m
k
b) L’ascensor pugi a una velocitat constant?
mg
l 5 l0 1 —— 5 2,59 m
k
Diagrama de forces:
19. Per determinar la constant elàstica d’una molla, de longitud natural 14,3 cm, s’han penjat diferents masses, i se
n’han mesurat les longituds, amb els següents valors (taula 3.1):
p1 5 2N1
p2 5 2N2
Apliquem la segona llei de Newton a cada massa:
F 2 T 5 m1 a i
y F 5 (m1 1 m2) a
t
T 5 m2 a
v2
8,612
v 2 2 v02 5 2 a D x a 5 ——— 5 ———— 5 0,356 m/s2 2 Dx
2 ?104
F 5 (8 ? 103 1 5,5 ?103) ? 0,356 5 4 812,7 N
m (g)
10
15
20
25
30
35
y (cm)
16,6
17,8
19,0
20,1
21,3
22,5
a) Representeu gràficament la deformació experimentada
per la molla en abcisses i la força elàstica en ordenades.
Aquesta molla verifica la llei de Hooke? Raoneu la resposta.
y0 5 0,143 m
m (kg)
y (m)
D y 5 y 2 y0
p (N)
0,010
0,166
0,023
0,098
0,015
0,178
0,035
0,147
0,020
0,190
0,047
0,196
0,025
0,201
0,058
0,245
x1 5 20 cm 5 0,2 m F91 5 40 N
0,030
0,213
0,070
0,294
x 2 5 25 cm 5 0,25 m F 92 5 60 N
0,035
0,225
0,082
0,343
T 5 m2 a 5 5,5 ?103 ? 0,356 5 1 960,7 N
17. La longitud d’una molla és de 20 cm quan l’estirem amb
una força de 40 N, i de 25 cm quan la força és de 60 N.
Calculeu la longitud de la molla, quan no hi actua cap força, i la seva constant elàstica.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
03
53
20. Indiqueu i expliqueu:
0,4
0,35
a) Tres situacions en què és necessari que hi hagi un fregament relativament elevat.
0,3
0,25
És necessari que hi hagi fregament quan caminem, ja que
s’ha d’impedir que el peu es mogui respecte al terra quan
s’hi recolza.
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
La representació gràfica és una recta. La molla, per tant,
verifica la llei de Hooke.
b) Determineu la constant elàstica de la molla. Doneu el
resultat amb tres xifres significatives i l’error corresponent.
Per tal de determinar la constant elàstica farem ús de la
fórmula de Hooke:
F
F 5 k (y 2 y0) k 5 ——
Dy
y 2 y0 (m)
p (N)
k (N/m)
0,023
0,098
4,261
0,035
0,147
4,200
0,047
0,196
4,170
0,058
0,245
4,224
0,070
0,294
4,200
0,082
0,343
4,183
El valor amb què ens quedarem serà la mitjana entre els
valors de la constant calculats.
4,261 1 4,200 1 4,170 1 4,224 1 4,200 1 4,183
k 5 ——————————————————————— 5
6
5 4,206 N/m
ea 5 |4,261 2 4,206| 5 0,055 N/m
0,055
er 5 ———— ? 100 5 1,3 %
4,206
k 5 (4,206 6 0,055) N/m 5 4,206 N/m 6 1,3 %
c) Quina longitud assoleix la molla quan hi pengem una
massa de 18 g? Quina massa hi hem de penjar per assolir un allargament de 5 cm?
p
0,018 ? 9,8
Dy 5 — 5 —————— 5 0,042 m
k
4,206
y 5 y0 1 Dy 5 0,143 1 0,042 5 0,185 m
p 5 m ? g 5 k ? Dy k ? Dy
4,206 ? 0,05
m 5 ——— 5 —————— 5 0,021 kg
g
9,8
Per la mateixa raó, cal un fregament alt entre les rodes d’un
automòbil i el terra, de manera que no es mogui el punt de
contacte entre una roda determinada i el terra.
També cal un fregament alt quan interessa que dues peces en contacte no es moguin una respecte de l’altra; per
exemple, la corretja de transmissió d’un cotxe es fabrica
amb un material que presenta un alt coeficient de fregament, ja que s’ha de moure solidàriament amb una certa
roda que gira.
b) Tres situacions en què és desitjable que hi hagi un fregament petit o nul.
Per contra, cal un fregament molt petit quan interessa no
dificultar el moviment relatiu de dues peces en contacte,
com per exemple l’èmbol i el cilindre d’un motor d’explosió;
així, en algunes ocasions, i per facilitar el moviment relatiu
entre dos cossos que estan en contacte, podem disminuir el
fregament apreciablement tot lubrificant les superfícies
dels cossos que han d’estar en contacte, com en els cossos
d’aquest exemple.
Altra situació en què cal un fregament baix es dóna quan
volem moure amb facilitat un cos situat sobre una superfície; així, alguns vaixells es mouen sobre la superfície de
l’aigua amb un coixí d’aire que fa disminuir bastant el fregament.
També, quan estem esquiant i volem agafar velocitat, és de
desitjar un fregament petit, i per això utilitzem els esquís:
el fregament entre aquests i la neu és relativament petit (a
no ser que fem «cunya»: en aquest cas, augmenta bastant
el fregament i aconseguim frenar).
21. Un cos de 50 kg està damunt d’un pla horitzontal. Experimentalment es pot veure que el cos es comença a moure
quan la força horitzontal aplicada sobre ell val 300 N, i
que, després, si continuem aplicant la mateixa força, recorre 4,8 m en 3,5 s. De les proposicions següents, trieu la
resposta correcta:
A) El coeficient de fregament dinàmic és de:
a) 0,49; b) 0,53; c) 0,61
L’opció correcta és: b) md 5 0,53
B) El coeficient de fregament estàtic val:
a) 0,61; b) 0,49; c) 0,53
L’opció correcta és: a) me 5 0,61
Recordem que el coeficient de fregament dinàmic sempre és
menor o igual que el coeficient de fregament estàtic. Calculemlos en aquest problema particular:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
54
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
23. Un automòbil circula per una carretera horitzontal amb una
velocitat constant de 80 km/h. Calculeu la força que exerceix el seient de l’automòbil sobre el conductor de 75 kg de
massa en els casos següents:
Diagrama de forces
m
a) L’automòbil circula per un tram recte.
Apliquem la llei de Newton:
F 1 N 1 p0 1 Ff 5 m a F 2 Ff 5 m a F 2 m N 5 m a F 2 mm g 5 m a
Inicialment, la força de fregament que actua és l’estàtica, i el
cos tot just comença a moure’s (a 5 0). Per tant:
300 2 me ? 50 ? 9,8 5 50 ? 0 300 2 me ? 490 5 0 300
me 5 ——— 5 0,61
490
Una vegada ja es mou, actua la força de fregament dinàmic.
Calculem l’acceleració:
80 km/h 5 22,22 m/s
N 5 p 5 75 ? 9,8 5 735 N
b) L’automòbil es troba en el punt més alt d’un canvi de
rasant que té un radi de curvatura de 80 m.
1
1
Dx 5 4,8 m i
y D x 5 — a Dt 2 4,8 5 — a ? 3,52 Dt 5 3,5 s t
2
2
2 ? 4,8
a 5 ————
5 0,78 m/s2
3,52
Per tant:
300 2 md ? 50 ? 9,8 5 50 ? 0,78 300 2 50 ? 0,78
md 5 ————————— 5 0,53
50 ? 9,8
22. En una exhibició aèria, una avioneta vola a 700 km/h i fa
un ris, de manera que descriu una circumferència en un pla
vertical. Quin radi ha de tenir el ris, si la força que fa el
pilot contra el seient és 7 vegades el seu pes en passar pel
punt més baix?
v2
v2
p 2 N 5 m —— N 5 m g 2 ——
R
R
1
2
22,222
N 5 75 ? 9,8 2 ———— 5 272,04 N
80
1
2
c) L’automòbil es troba en el punt més baix d’un gual que
té un radi de curvatura de 80 m.
v2
v2
N 2 p 5 m —— N 5 m g 1 ——
R
R
1
2
22,222
N 5 75 ? 9,8 1 ———— 5 1 197,96 N
80
1
Tenim: 700 km/h 5 194,44 m/s
En el punt més baix de la trajectòria la força centrípeta és:
v2
N 2 p 5 m ac 7 p 2 p 5 m —— R
v2
194,442
R 5 m ——— 5 ————— 5 643
6mg
6 ? 9,8
2
24. Una atracció de fira consisteix en una rotllana horitzontal de
2,5 m de radi d’on pengen uns gronxadors de 3 m de longitud (fig. 3.58). Si en un dels gronxadors de 2 kg de massa
s’hi asseu un noi de 70 kg, calculeu la velocitat angular amb
què ha de girar la rotllana per aconseguir que els gronxadors
formin un angle de 30° amb la vertical.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
03
55
romandre en repòs, mentre que l’ascensor accelera en sentit
contrari al nostre pes.
d) Ens trobem dins d’un ascensor en repòs que es posa en
marxa sobtadament i comença a baixar.
Sentim con una disminució del nostre pes; com en el cas
anterior, també és una conseqüència del principi d’inèrcia,
però ara l’ascensor s’accelera en el mateix sentit que el
nostre pes.
e) Ens trobem dins d’un ascensor que es mou amb velocitat
constant.
No sentim cap força fictícia, ja que ens movem amb la mateixa velocitat constant que l’ascensor.
m 5 70 kg
me 5 2 kg
r1
sin 30° 5 —— r1 5 l sin 30° 5 3 ? sin 30° 5 1,5 m
l
R 5 1,5 1 2,5 5 4 m
Tx 5 m v2 R i T sin 30° 5 m v2 R i
y
t T cos 30° 5 m g
Ty 5 p
y
t
v2 R
tg 30° 5 ———
g
v5
tgll
30°
ll
ll9,8
lll?ll
ll
— 5 d —————— 5 1,19 rad/s
dll—g tgl—lRl—30°
4
Activitats finals
Qüestions
1. Expliqueu les sensacions que sentim en les situacions següents i relacioneu-les amb el principi d’inèrcia.
a) Ens trobem dins d’un vehicle en repòs que arrenca sobtadament.
Sentim com una força que ens empeny cap enrere, és a dir,
en sentit contrari al moviment del vehicle; en realitat no
existeix aquesta força, sinó que és una conseqüència de la
nostra tendència a estar en repòs, d’acord amb el principi
d’inèrcia.
2. Per què un ciclista ha de pedalejar encara que vagi per una
carretera plana? Contradiu això el principi d’inèrcia? I per
què costa més frenar un automòbil que una bicicleta? Justifiqueu la resposta atenent al principi d’inèrcia.
Com que hi ha fregament entre les rodes i el terra, la bicicleta
es va frenant; per contrarestar aquesta disminució de velocitat
el ciclista ha de pedalejar constantment, tot fent una força en
sentit contrari al fregament. Per tant, no es contradiu el principi d’inèrcia, i el ciclista es mou amb moviment rectilini uniforme si la força que efectua és igual en mòdul a la força de
fregament.
Per frenar un vehicle que es mou a una determinada velocitat
cal comunicar-li una acceleració que només depèn d’aquesta
velocitat i de l’interval de temps en el qual es vulgui assolir la
nova velocitat. Ara bé, per proporcionar aquesta acceleració al
vehicle, cal comunicar-li una força que és directament proporcional a la seva massa. Tant el camió com la bicicleta tendeixen a seguir un MRU; per tant, per modificar aquesta situació,
cal aplicar una força que, en el cas del camió, serà més gran
perquè la massa del camió és més gran que la de la bicicleta.
Aquest fet no contradiu el principi d’inèrcia, sinó tot el contrari: cal aplicar una força per modificar la inèrcia del vehicle.
3. [Curs 00-01] El pèndol de la figura està penjat del sostre
d’un vehicle que es mou d’esquerra a dreta. Raoneu si el
vehicle està frenant, accelerant o es mou a velocitat constant. Quina seria la resposta a la pregunta anterior si la
posició observada del pèndol fos vertical en relació amb el
vehicle?
b) Ens trobem dins d’un vehicle que va a velocitat constant
i que frena sobtadament.
Sentim com una força que ens empeny cap endavant, és a
dir, en sentit contrari al de l’acceleració del vehicle. En realitat no existeix aquesta força, sinó que el que notem és la
nostra tendència a moure’ns segons un MRU, d’acord amb el
principi d’inèrcia.
c) Ens trobem dins d’un ascensor en repòs que es posa en
marxa sobtadament i comença a pujar.
Sentim com un augment del nostre pes, ja que augmenta la
força que efectuem amb els nostres peus sobre el terra de
l’ascensor; aquest augment de pes no és real, sinó que és
una conseqüència del principi d’inèrcia: tenim tendència a
v
El vehicle està accelerant ja que la tensió del pèndol té un component horitzontal dirigit cap a la part davantera del vehicle i
comunica l’acceleració del vehicle al pèndol. Pel que fa al component vertical de la tensió, aquest és contrarestat pel pes del
pèndol.
Si el fil del pèndol no formés cap angle en respecte la vertical,
es tindria una situació d’acceleració nul.la en la direcció X. Per
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
56
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
tant, el vehicle estaria movent-se a velocitat constant o bé estaria en repòs.
4. Quan un cavall estira un carro, la força que efectua és exactament igual, en mòdul, però en sentit contrari, a la que
efectua el carro sobre el cavall. Com és que hi pot haver
moviment, si són forces oposades? Raoneu-ne la resposta.
Penseu que aquestes forces, encara que siguin iguals, estan
aplicades sobre cossos diferents, i, considerant totes les forces
que actuen sobre cada cos, és possible el moviment tal i com
estableix la segona llei de Newton.
5. Si apliquem, una mateixa força F a dos cossos, quina és la
relació entre les seves masses si un experimenta una acceleració que és el triple que la de l’altre.
Aplicant la segona llei de Newton als dos cossos, i tenint en
compte que la força aplicada és la mateixa:
F 5 m1 a (primer cos)
F 5 m 2 (3 a) (segon cos)
F
m1 a
Dividint ambdues equacions: — 5 ————— F
m 2 (3 a)
e) L’ascensor puja a velocitat constant.
La balança indicarà el pes real de la persona, ja que a 5 0.
f) L’ascensor baixa a velocitat constant.
La balança indicarà el pes real de la persona, ja que a 5 0.
8. Poseu tres exemples de cossos en els quals es verifiqui la
llei de Hooke i expliqueu com es verifica.
La llei de Hooke es verifica en el cas d’una molla, tal com es va
comentar en l’apartat corresponent d’aquesta unitat.
Un altre cas en què es verifica la llei de Hooke el tenim quan
estirem una goma: en aquest cas, si apliquem una força sobre la
goma, aquesta s’estira proporcionalment a la força aplicada,
d’acord amb la llei de Hooke. La goma també té una determinada constant elàstica.
Finalment, també es verifica la llei de Hooke en el cas d’un
pèndol de torsió, construït amb un fil metàl.lic i un cos que en
penja; en aquest cas, si girem el cos que penja un cert angle
petit per acció d’un parell de forces de valor F, es pot comprovar que l’angle girat és directament proporcional a la força
aplicada: F 5 k a.
m1
1 5 ——— m1 5 3 m 2
3 m2
6. Poseu exemples de forces que:
a) Actuen a distància.
La força gravitatòria entre dues masses; la força elèctrica entre dues càrregues; la força magnètica entre dos imants; etc.
b) Actuen per contacte.
La força de fregament entre dos cossos en contacte; la força
de tracció que efectua un cavall quan tira d’un carro; etc.
7. Com variarà la força que indica una balança situada dins
d’un ascensor amb una persona al damunt, quan:
En qualsevol cas, si F és la força que indica la balança (pes
aparent), tenim que:
F 2 p 5 m a F 5 m a 1 m g F 5 m (g 1 a). Per tant:
a) L’ascensor puja frenant.
La balança indicarà un pes aparent més petit, ja que a , 0.
b) L’ascensor puja accelerant.
La balança indicarà un pes aparent més gran, ja que a . 0.
c) L’ascensor baixa frenant.
Com en el segon cas, la balança indicarà un pes aparent més
gran, ja que a . 0.
d) L’ascensor baixa accelerant.
Com en el primer cas, la balança indicarà un pes aparent
més petit, ja que a , 0.
9. Determinem la massa d’un cos petit de dues maneres diferents: amb un dinamòmetre calibrat en grams, i amb una
balança de braços iguals. Si poguéssim fer la determinació
a la Lluna, n’obtindríem els mateixos valors?
Quan mesurem la massa amb un dinamòmetre calibrat en grams,
obtenim l’equivalent en grams de la força pes que provoca
l’allargament del dinamòmetre (l’altre extrem ha d’estar subjecte a un suport). A la Lluna, el pes d’un cos varia, mentre que la
seva massa és la mateixa que a la Terra. Per tant, obtindrem
una lectura de la massa diferent, perquè el dinamòmetre ha
estat calibrat a la Terra.
Si, en canvi, utilitzem una balança de braços iguals, tot i que el
pes dels cossos a la Terra i a la Lluna és diferent, el valor obtingut per a la massa serà el mateix. La causa d’aquest fet és que
a la Lluna haurem d’utilitzar les mateixes masses per equilibrar
l’altre platet de la balança que si féssim la mesura a la Terra. El
pes del cos i de les masses que l’equilibren varien de la mateixa
manera a la Lluna.
10. Per què un cargol agafat a la paret pot suportar forces relativament grans, com, per exemple, el pes de cossos que
s’hi poden penjar? Raoneu la resposta.
Quan el cargol està agafat a la paret, la força de fregament entre aquests dos cossos és molt gran, i, per això, pot contrarestar l’efecte d’altres forces que es poden efectuar sobre el cargol,
com, per exemple, el pes d’un objecte que penja del cargol.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
03
FÍSICA 1
11. En la situació de la figura següent (fig. 3.61), quina relació
han de tenir les masses m1 i m2 perquè aquestes no es moguin, si el coeficient de fregament estàtic entre la primera
massa i el pla horitzontal és me?
57
La velocitat mínima de gir d’un rotor de fira és:
v5
R
—
dlll—gmlll
En augmentar el doble el coeficient de fregament, la velocitat
mínima v9 és:
R
lllglll
v9 5 ——
2m
v
——
d’on tenim que v9 5
dll
2
d
m1
m2
Les forces que actuen sobre els cossos estan representades a la
figura de sota.
Aplicant la segona llei de Newton a cada cos, i tenint en compte que els cossos no es mouen (a 5 0), tenim:
T 2 F F1 5 0 i
y F F1 5 p 2 m m1 g 5 m 2 g m 2 5 m m1
T 2 p2 5 0 t
15. Per què un motorista s’inclina quan descriu un revolt sense
peralt?
Per contrarestar els efectes del principi d’inèrcia, que tendeix a
fer anar la moto en sentit contrari a aquesta inclinació.
16. Determineu la velocitat màxima a la qual un ciclista pot
donar una corba de radi R en un velòdrom si aquesta, a més
de tenir un peralt a, presenta un coeficient de fregament
estàtic me.
Les forces que actuen són el pes (vertical), la normal (perpendicular al pla) i la força de fregament (paral.lela al pla):
N
F1
an
Fr
mg
u
12. Suposeu que deixem caure una bola per un pla inclinat,
que no presenta fregament. Si a continuació hi ha un altre
pla inclinat que tampoc no presenta fregament, quina distància puja sobre aquest segon pla? Si disminuïm la inclinació del segon pla, quina distància puja la bola? Si el
segon pla és horitzontal, quina distància recorre la bola?
Raoneu-ne la resposta.
Sigui quina sigui la inclinació del segon pla, la bola sempre recorrerà la distància necessària per assolir la mateixa altura des
que l’hem deixat anar; per tant, si el segon pla és horitzontal,
la bola no pararà mai i es mourà amb MRU, ja que mai arribarà
a assolir la mateixa altura. Aquest raonament va ser utilitzat
per Galileu per demostrar el principi d’inèrcia.
13. [Curs 99-00] És possible que un cos sobre el qual actua una
única força de mòdul constant que forma un angle a Þ 0
amb la seva velocitat segueixi una trajectòria rectilínia?
Raoneu la resposta.
No és possible, ja que la projecció de la força segons la perpendicular a la trajectòria és diferent de zero, això implica que hi
haurà una força normal que farà variar la direcció del moviment,
per tant, l’acceleració normal no és nul.la, i la trajectòria no pot
ser rectilínia.
14. Si augmentem el coeficient de fregament al doble, com
varia la velocitat mínima de gir d’un rotor de fira?
N cos u
N sen u
an
Fr cos u
Fr sen u
mg
u
Apliquem la segona llei de Newton:
m v2
X: N sin u 2 Fr cos u 5 ——
R
Y: N cos u 5 Fr sen u 1 m g
Com que Fr 5 m N, tenim:
m v2
N (sin u 1 m cos u) 5 ——
R
N (cos u 2 m sin u) 5 m g
Aïllant v entre les dues equacions, obtenim:
v5
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
mlll
coslllul
lllulll1lll
———————
dlllR gll—sen
cos u 2 m sen u
lOMoARcPSD|7143541
58
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
m 5 7,5 kg
Problemes
1. Quina força hem de fer sobre un cos de 105 kg de massa
que és damunt d’una superfície horitzontal, si volem que
faci un recorregut de 25 m en 12 s? Suposeu que no hi ha
fregament entre la caixa i el pla horitzontal i que el cos
està inicialment en repòs. Trieu la resposta correcta:
S F 5 m a F 2 p 5 m a F 5 m a 1 m g 5 m (a 1 g)
a) Quina força hem de fer perquè pugi a velocitat constant?
v 5 constant a 5 0 F 5 m (0 1 g) 5 m g 5 7,5 ? 9,8 5 73,5 N
a) 29,76 N
b) Quina força hem de fer perquè pugi amb acceleració
constant de 2,9 m/s2?
b) 36,46 N
c) 12,55 N
a 5 2,9 m/s2 d) 43,42 N
F 5 m (a 1 g) 5 7,5 ? (2,9 1 9,8) 5 95,3 N
L’opció correcta és: b) 36,46 N
c) Quina força hem de fer perquè baixi amb una acceleració
constant de 5,6 m/s2?
Comprovem-ho:
m 5 105 kg i
u
D x 5 25 m u
y
Dt 5 12 s u
u
t
v0 5 0
a 5 25,6 m/s2 F 5 7,5 ? (25,6 1 9,8) 5 31,5 N
1
1
Dx 5 v0 Dt 1 — a Dt 2 25 5 — a ?122 2
2
2 ? 25
a 5 ———
5 0,35 m/s2
122
F 5 m a 5 105 ? 0,35 5 36,46 N
4. Una màquina de tren té una massa de 35 t i arrossega dos
vagons, un de 23 t de massa i l’altre de 18 t. Si la força que
fa la màquina per tal de moure el conjunt és de 5,5 ? 104 N,
amb quina acceleració es mouen la màquina i els vagons?
Quines són les tensions dels enganxalls? Suposeu que no hi
ha fregament.
m1 5 35 t 5 3,5 ?104 kg i
u
m 2 5 23 t 5 2,3 ?104 kg u
y
2. Una grua que té una massa de 665 kg remolca un automòbil
que està espatllat amb una força de 245 N. Calculeu la massa de l’automòbil, tenint en compte que la grua mou el
conjunt amb una acceleració constant de 0,3 m/s2. Calculeu
també la tensió de l’enganxall entre la grua i l’automòbil.
m 3 5 18 t 5 1,8 ?104 kg u
u
t
F 5 5,5 ? 104 N
Diagrama de forces:
m1 5 665 kg i
u
y
u
2
a 5 0,3 m/s t
F 5 245 N
El diagrama de forces i l’aplicació de la segona llei de Newton
són iguals que en el problema anterior. Per tant,
F 5 (m1 1 m 2) a 245 5 (665 1 m 2) ? 0,3 245
m 2 5 ——— 2 665 m 2 5 152 kg
0,3
p 2 5 2N2
p 3 5 2N3
T 5 m2 a 5 152 ? 0,3 5 45,5 N
3. Amb l’ajut d’una corda apliquem una força sobre un cos de
massa 7,5 kg, tal com indica la figura 3.62.
p 1 5 2N1
Segona llei de Newton:
F 2 T1 5 m1 a i
u
T1 2 T2 5 m2 a y F 5 (m1 1 m2 1 m3) a T2 5 m3 a
F
u
t
F
5,5 ? 104
a 5 ——————— 5 ———————————————
5
4
m1 1 m2 1 m3
3,5 ?10 1 2,3 ?104 1 1,8 ?104
5 0,72 m/s2
p
T2 5 m3 a 5 1,8 ?104 ? 0,72 5 1,3 ? 104 N
T1 5 m2 a 1 T25 2,3 ?104 ? 0,72 1 1,3 ? 104 5 3,0 ? 104 N
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
03
FÍSICA 1
59
5. Del sostre d’un ascensor pengem una bola d’1,55 kg de massa amb l’ajut d’una corda. Calculeu la tensió de la corda en
les situacions següents:
m 5 1,55 kg
SF 5 ma T 2 p 5 ma
T 5 m a 1 p T 5 m (a 1 g)
m
M
M
a) Considereu una de les dues masses M. Feu un esquema de
les forces que actuen sobre M i indiqueu sobre quin cos
estarien aplicades les forces de reacció corresponents.
a) L’ascensor baixa amb una acceleració constant de
2 m/s2.
a 5 22 m/s2 T 5 1,55 ? (22 1 9,8) 5 12,09 N
b) L’ascensor puja a velocitat constant de 5 m/s.
v 5 5 m/s a 5 0 T 5 m (0 1 g) 5 m g 5 1,55 ? 9,8 5 15,19 N
c) L’ascensor puja amb acceleració constant de 0,9 m/s2.
a 5 0,9 m/s2 T 5 1,55 ? (0,9 1 9,8) 5 16,58 N
d) Es trenquen els cables de l’ascensor.
g 5 29,8 m/s2 T 5 1,55 ? (29,8 1 9,8) 5 0 N
6. El cable d’un muntacàrregues pot suportar una tensió màxima de 2,0 ? 104 N, de manera que, si se sobrepassa aquest
valor, es pot trencar el cable. Amb quina acceleració màxima pot pujar el muntacàrregues, si la seva massa és de
1 250 kg i porta a dintre seu una càrrega de 340 kg?
La força de reacció a la tensió T està aplicada sobre la corda
i és una força igual en mòdul i direcció però de sentit contrari. La força de reacció al pes p està aplicada sobre la
Terra i també és de sentit contrari a la força d’acció.
b) Sobre la massa penjada a la dreta cau un tros de plastilina de massa m 5 500 g que s’hi queda enganxat. Quina
serà l’acceleració de les masses en el moviment posterior al xoc?
Representem les forces que actuen sobre els dos blocs. Com
que en la direcció horitzontal no actuen forces, el problema
esdevé unidimensional.
m
M
M
p1
p2
Com que la massa de la corda és menyspreable, les tensions
aplicades a cada bloc coincideixen: T1 5 T2 5 T. Apliquem
ara la segona llei de Newton a cada bloc:
SF 5 m a T 2 p 5 ma
T 5 2,0 ?104 N
m 1 5 1 250 kg i
y m 5 m 1 1 m 2 5 1 250 1 340 5 1 590 kg
m 2 5 340 kg t
T 2 mg
2 ?104 2 1 590 ? 9,8
a 5 ————— 5 —————————— 5 2,8 m/s2
m
1 590
7. [Curs 98-99] Tenim dues masses iguals (M 5 5 kg) penjades dels extrems d’una corda que passa per una politja. Les
masses de la corda i de la politja es poden considerar negligibles. Inicialment les dues masses estan en repòs.
Bloc 1: T 2 M g 5 M a1
Bloc 2: T 2 (M 1 m) g 5 (M 1 m) a2
Tenint en compte que la corda és inextensible, la relació
entre les acceleracions és: a1 5 2a2 5 a.
Per tant, el sistema d’equacions queda:
i
T 2 Mg 5 Ma
y
T 2 (M 1 m) g 5 2(M 1 m) a t
T 5 M (a 1 g) M (a 1 g) 2 (M 1 m) g 5 2(M 1 m) a
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
60
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Per tant:
mg
0,5 ? 9,8
a 5 ————— 5 —————— 5 0,467 m/s2
2M 1 m
2 ? 5 1 0,5
c) Quins són els valors de la tensió de la corda abans i després del xoc?
Abans del xoc, hi ha equilibri entre forces i, per tant, no hi
ha acceleració. En conseqüència:
Com que l’acceleració només actua en l’eix horitzontal (no
hi ha acceleració vertical), la força neta en l’eix vertical és
nul.la, mentre que la força neta en l’eix horitzontal és el
producte de la massa per l’acceleració.
X : S Fx 5 m a Tx 5 m a T sin a 5 m a i
y
Y: S Fy 5 0 Ty 2 p 5 0 T cos a 5 m g t
Dividim aquestes dues últimes equacions:
T 2 Mg
———— 5 0 T 5 M g 5 5 ? 9,8 5 49 N
M
T sin a
ma
———— 5 ——— T cos a
mg
A aquesta condició també s’hi pot arribar imposant m 5 0
en les equacions de l’apartat a). S’obté:
a
3,2
tg a 5 — 5 —— 5 0,326
g
9,8
a 5 18°
Bloc 1: T 2 Mg 5 Ma1
c) Calculeu la tensió de la corda.
Bloc 2: T 2 Mg 5 Ma2
És a dir: a1 5 a2. I com que perquè les masses es puguin
moure lligades per la corda inextensible s’ha de complir que
a1 5 2a2, l’única possibilitat és que a1 5 a2 5 0.
Després del xoc, podem obtenir el valor de la tensió a partir
del valor de l’acceleració calculat a l’apartat a):
T 5 M (a 1 g) 5 5 (0,47 1 9,8) 5 51,33 N
8. Un pèndol es construeix amb una corda de massa negligible
i amb una bola de massa 525 g. El pèndol penja del sostre
d’un vagó de tren, que porta un moviment rectilini uniformement accelerat, tal com indica la figura 3.64.
ma
0,525 ? 3,2
T sin a 5 m a T 5 ——— 5 —————— 5 5,4 N
sin a
sin 18
9. Un pèndol de 73 g de massa penja del sostre d’un automòbil que es mou amb un moviment rectilini uniformement
accelerat; si el pèndol forma un angle de 35º amb l’horitzontal, trieu la resposta correcta de les proposicions següents.
A) L’acceleració de l’automòbil val:
a) 8,94 m/s2
b) 7,12 m/s2
c) 13,49 m/s2
a
L’opció correcta és: c) 13,99 m/s2.
a
En efecte, de la figura obtenim les relacions següents:
a) Per què el pèndol està inclinat respecte de la vertical?
El pèndol està inclinat perquè la força neta que actua sobre
ell no és nul.la, i, per tant, hi actua una acceleració que fa
que el pèndol s’inclini.
b) Suposem que l’acceleració del vagó és constant i val
3,2 m/s2, calculeu l’angle que forma la corda amb la
vertical.
a 5 3,2 m/s2
Les relacions entre les forces en les direccions X i Y són:
T cos a 5 m g
T sin a 5 m a
d’on es dedueix que tg a 5 a/g.
L’angle a és el complementari de l’angle b:
a 5 90° 2 b a 5 90° 2 35° 5 55°
Per tant: a 5 g tg a 5 9,8 tg 55° 5 13,99 m/s2
B) La tensió de la corda és de:
a) 0,88 N
b) 1,21 N
c) 0,73 N
L’opció correcta és b) 1,25 N.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
03
FÍSICA 1
En efecte, amb el valor de l’acceleració i els valors de la
massa i el sinus d’a, trobem el valor de la tensió:
61
Diagrama de forces:
ma
0,073 ? 13,99
T 5 ——— 5 ——————— 5 1,25 N
sin a
sin 55°
T1
m1
10. En la situació de la figura 3.65, se suposa que la corda i la
politja tenen masses negligibles i que no hi ha fregaments.
m1 5 2,3 kg
m2 5 1,6 kg
T2
p1
T2
m2
m1
p1
m2
a
Segona llei de Newton:
T 5 (m 1 m ) ? (a 1 g) i
T1 2 T2 2 p1 5 m1 ? a i
Diagrama de forces:
1
2
y 1
t
T2 5 m2 ? (a 1 g)
T2 2 p2 5 m2 ? a
y
t
a) L’ascensor arrenca pujant amb una acceleració constant
de 1,1 m/s2.
a 5 1,1 m/s2
T1 5 3,9 ? (1,1 1 9,8) 5 42,51 N
T2 5 1,6 ? (1,1 1 9,8) 5 17,44 N
p y1 5 2N1
b) L’ascensor puja a una velocitat constant de 3 m/s.
a50
Segona llei de Newton:
T1 5 3,9 ? (9,8) 5 38,22 N
T 2 p x1 5 m1 a i
y p 2 2 px1 5 (m1 1 m2) a p 2 2 T 5 m2 a t
m2 g 2 m1 g sin a 5 (m1 1 m2) a
a) Quin ha de ser l’angle d’inclinació del pla, si m1 5 29 kg,
m2 5 17 kg, i el conjunt es mou amb una velocitat constant?
m2 5 17 kg
c) L’ascensor, que estava pujant, frena amb una acceleració
d’1,2 m/s2 i s’atura.
a 5 21,2 m/s2
T1 5 3,9 ? (21,2 1 9,8) 5 33,54 N
v 5 constant a 5 0 i
m1 5 29 kg
T2 5 1,6 ? (9,8) 5 15,68 N
u
y
u
t
T2 5 1,6 ? (21,2 1 9,8) 5 13,76 N
17? 9,8 2 29 ? 9,8 ? sin a 5 0 a 5 36°
12. Una persona és a dins d’un ascensor al damunt d’una bàscula calibrada en newtons.
b) Si l’angle val 30°, quina ha de ser la relació entre les
masses perquè el conjunt es mogui amb una velocitat
constant?
i
a 5 30°
y m 2 g 2 m1 g sin 30° 5 0
v 5 constant a 5 0 t
1
m1 g — 5 m 2 g m1 5 2 m 2
2
11. A l’interior d’un ascensor hi pengen dos objectes esfèrics de
masses 2,3 kg i 1,6 kg, el primer està unit al sostre mitjançant una corda, i el segon està unit al primer també amb
una corda. Determineu la tensió de les cordes en les situacions següents:
La força que indica la balança és la força normal, N. Si apliquem
la segona llei de Newton, tenim:
SF 5 m a N 1 p 5 ma N 2 p 5 m a N 5 m g 1 m a N 5 m (g 1 a)
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
62
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) Si l’ascensor puja amb acceleració de 3,1 m/s2 i la
bàscula assenyala 774 N, quina és la massa de la persona?
b) Quina és la longitud de la molla quan hi pengem una
massa de 17 g?
m 5 17 g 5 0,017 kg m g 5 k (y 2 y0) a 5 3,1 m/s2 i
y N 5 m (g 1 a) t
N 5 774 N
0,017 ? 9,8 5 4,3 ? (y 2 0,055) 774
774 5 m (9,8 1 3,1) m 5 ——— 5 60 kg
12,9
b) En quina situació la bàscula indica 522 N?
0,017 ? 9,8
y 5 —————— 1 0,055 5 0,094 m 5 9,4 cm
4,3
c) Quina massa hi pengem quan l’allargament experimentat per la molla és de 5,1 cm?
L’allargament és Dy 5 y 2 y 0 5 5,1 cm 5 0,051 m.
N 5 522 N 552 5 60 (9,8 1 a) Per tant, m g 5 k D y m ? 9,8 5 4,3 ? 0,051 552
a 5 ——— 2 9,8 5 20,6 m/s2
60
4,3 ? 0,051
m 5 —————— 5 0,0224 kg 5 22,4 g
9,8
És a dir, l’ascensor baixa amb una acceleració de 20,6 m/s2.
c) En quina situació la bàscula indica exactament el pes de
la persona?
N 5 p 5 m g 5 60 ? 9,8 5 588 N
588 5 60 (9,8 1 a) a 5 0
L’ascensor puja o baixa a velocitat constant.
14. En la situació indicada a la figura 3.66, tenim un cos de
massa de 250 g enganxat a una molla, que va solidària amb
un vagó de tren. Si la molla té una constant elàstica de
15 N/m, i no hi ha fregament entre el cos i la superfície
del vagó, determineu l’allargament que experimenta en les
situacions següents:
d) En quina situació indica 0?
N 5 0 g 1 a 5 0 a 5 2g 5 29,8 m/s2
L’ascensor cau lliurement.
13. Hem penjat diferents masses d’una molla i n’hem mesurat
les longituds, amb els resultats següents (taula 3.2):
m (g)
0
10
20
30
40
y (cm)
5,5
7,8
10,1
12,4
14,7
Dibuixem el diagrama de forces:
a) Quina és la constant de la molla?
La longitud y 0 de la molla és 5,5 cm 5 0,055 m, ja que
és la longitud quan no hi penja cap massa (m 5 0).
Calculem k amb els quatre parells de valors restants, expressant els valors en unitats del SI:
mg
F9 5 k D y m g 5 k (y 2 y0) k 5 ————
y 2 y0
0,01 ? 9,8
j k 5 ———————— 5 4,3 N/m
0,078 2 0,055
0,02 ? 9,8
0,101 2 0,055
j k 5 ———————— 5 4,3 N/m
0,03 ? 9,8
j k 5 ———————— 5 4,3 N/m
0,124 2 0,055
0,04 ? 9,8
j k 5 ———————— 5 4,3 N/m
0,147 2 0,055
En tots els casos, k 5 4,3 N/m.
m 5 250 g 5 0,25 kg
k 5 15 N/m
N 5 2p
Apliquem la segona llei de Newton:
S F 5 m a F 1 N 1 p 5 m a F 5 m a 2k Dx 5 m ? a
a) El vagó es mou cap a l’esquerra amb acceleració constant
d’1,6 m/s2.
a 5 21,6 m/s2 l’acceleració és negativa perquè el vagó
es mou cap a l’esquerra. Per tant:
215 ? D x 5 0,25 ? (21,6)
0,25 ? (20,16)
D x 5 ———————— 5 0,027 m 5 2,7 cm
215
La molla s’estira 2,7 cm.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
03
FÍSICA 1
b) El vagó es mou cap a la dreta amb acceleració constant
de 2,8 m/s2.
63
Diagrama de forces
a 5 2,8 m/s2 ara l’acceleració és positiva (el vagó es
mou cap a la dreta). Per tant:
y
215 ? Dx 5 0,25 ? 2,8
x
f
0,25 ? 2,8
Dx 5 ————— 5 20,047 m 5 24,7 cm
215
m 5 15 kg
La molla es comprimeix 4,7 cm.
a 5 20°
c) El vagó està en repòs.
me 5 0,45
a 5 0 El vagó està en repòs. Per tant:
md 5 0,42
215 ? Dx 5 0,25 ? 0 D x 5 0
La molla roman amb la seva longitud en repòs.
15. Una molla té una constant elàstica de valor 250 N/m i està
situada paral.lelament a un pla inclinat un angle de 50°. La
molla està fixada a la part superior del pla i pengem del seu
extrem inferior un cos de massa desconeguda. Si la molla
s’allarga una longitud de 7,5 cm, quant val la massa del cos,
si suposem que no hi ha fregament? Trieu la resposta correcta:
a) 2,5 kg b) 4,6 kg c) 1,7 kg d) 3,4 kg
L’opció correcta és a) 2,5 kg.
Si suposem que la caixa es mou en la direcció horitzontal, tenim que:
N 1 Fy 2 p 5 0 i
y N 5 p 2 Fy 5 m g 2 F sin a
F x 2 Ff 5 m a t
a) Quina força mínima hem de fer per què la caixa es comenci a moure?
Inicialment, la força de fregament que hi actua és la força
de fregament estàtic, i el cos tot just comença a moure’s
(a 5 0).
Fx 2 Ffe 5 m ? a Fx 5 Ffe 5 me N 5 me (m g 2 F sin a) Anem a veure-ho:
F cos a 5 me m g 2 me F sin a Diagrama de forces:
F cos a 1 F me sin a 5 me m g me m g
F 5 ———————— 5
cos a 1 me sin a
0,45 ? 15 ? 9,8
5 ———————————— 5 60,5 N
cos 20° 1 0,45 sin 20°
b) Quina força hem de fer per moure la caixa amb velocitat
constant?
k 5 250 N/m
Quan la caixa es mou amb velocitat constant, l’acceleració
continua essent nul.la, però la força de fregament que actua
és la dinàmica; per tant:
a 5 50°
D x 5 7,5 cm 5 0,075 m
N 5 2py
md m g
F 5 ————————— 5
cos a 1 m d sin a
Segona llei de Newton:
S F 5 m a F 1 N 1 py 1 px 5 m a
F 1 p x 5 0 F 2 p x 5 0 F 5 px k D x 5 m g sin a k Dx
250 ? 0,075
m 5 ———— 5 ——————— 5 2,5 kg
g sin a
9,8 ? sin 50°
16. Una caixa de 15 kg de massa descansa sobre una superfície
horitzontal que presenta un coeficient de fregament estàtic
de valor 0,45 i un coeficient de fregament dinàmic de valor de 0,42. Per moure la caixa, l’estirem amb l’ajut d’una
corda que forma un angle de 20° amb l’horitzontal.
0,42 ? 15 ? 9,8
5 ———————————— 5 57 N
cos 20° 1 0,42 sin 20°
c) Si la força amb què estirem la corda val 65 N, amb quina
acceleració es mou la caixa?
Ara hi ha acceleració, i F 5 65 N:
F cos a 2 m d (m g 2 F sin a)
Fx 2 Ffe 5 m a a 5 ——————————————— m
65 ? cos 20° 2 0,42 (15 ? 9,8 2 65 ? sin 20°)
a 5 —————————————————————— 5
15
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
5 0,57 m/s2
lOMoARcPSD|7143541
64
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
17. [Curs 99-00] Un cos de massa M 5 40 kg és a sobre un terra horitzontal amb el qual té una fricció no nul.la. Apliquem
una força de mòdul F 5 100 N al cos que forma un angle
a 5 37º amb l’horitzontal, i aquest adquireix una acceleració horitzontal d’1 m/s2.
tal. Si el coeficient de fregament dinàmic entre les rodes i
la carretera val 0,74, quina força ha de fer el motor de l’automòbil en les situacions següents?
Diagrama de forces:
F
a
M
x
y
f
a) Feu un esquema amb totes les forces que actuen sobre
el cos. Hi ha entre aquestes forces algun parell d’accióreacció? Per què?
L’esquema de les forces que actuen sobre la massa M és:
y
m 5 375 kg
Segona llei de Newton:
a 5 15°
F 2 p x 2 Ff 5 m a F 5 m a 1 p x 1 Ff
m 5 0,74
N
F
M
F1
a) L’automòbil puja amb velocitat constant.
v 5 constant a 5 0 F 5 p x 1 Ff F 5 m g sin a 1 m m g cos a 5 m g (sin a 1 m cos a) p
F 5 375 ? 9,8 (sin 15° 1 0,74 cos 15°) 5 3 578 N
Les forces que actuen sobre M són el pes (p), la normal (N),
la força de fregament (Ff) i la força aplicada (F). Entre
aquestes, no hi ha cap parell d’acció-reacció perquè totes
elles actuen sobre el mateix cos, mentre que un parell de
forces d’acció-reacció són forces oposades que actuen sempre sobre cossos diferents.
b) Quant val el mòdul de la força total que actua sobre
el cos? I el de la força normal que el terra fa sobre el
cos?
Sabem que en la direcció X té una acceleració d’1 m/s2,
mentre que en la direcció Y no hi ha acceleració. El mòdul de
la força neta que actua sobre el cos és, per la segona llei
de Newton, igual al producte de la massa per l’acceleració
neta. Per tant:
Fneta 5 M a 5 40 ? 1 5 40 N
Per trobar el valor de la força normal, apliquem la segona
llei de Newton en la direcció Y:
N 1 F sin a 2 M g 5 0 b) L’automòbil puja amb acceleració constant, de manera
que recorre 50 m en 23 s.
Dx 5 50 m i
1
y D x 5 — a Dt 2 t
Dt 5 23 s
2
2 Dx
2 ? 50
a 5 ———
5 ———
5 0,189 m/s2
Dt 2
232
F 5 m a 1 px 1 Ff 5 m a 1 m g sin a 1 m m g cos a 5
5 m (a 1 g sin a 1 m g cos a) 5
5 375 (0,189 1 9,8 sin 15° 1 0,74 ? 9,8 ? cos 15°) 5
5 3 649 N
19. [Curs 98-99] La massa m1 del sistema de la figura val 40 kg,
i la massa m2 és variable. Els coeficients de fricció estàtic i
cinètic entre m1 i la taula són iguals i valen m 5 0,2.
m1
N 5 40 ? 9,8 2 100 sin 37° 5 331,82 N ù 332 N
m2
c) Determineu el valor del coeficient de fricció dinàmic
entre el cos i el terra.
Trobem el coeficient de fricció dinàmic aplicant la segona
llei de Newton en la direcció X i utilitzant el valor de la
força normal:
a) Amb quina acceleració es mourà el sistema si m2 5 10 kg?
Apliquem la segona llei de Newton al sistema:
F cos a 2 Ff 5 M·a F cos a 2md N 5 M·a
m2 g 2 m m1 g 5 (m1 2 m2) a F cos a 2 M a
100 cos 37° 2 40 ? 1
md 5 ———————— 5 ——————————— 5 0,12
N
331,82
10 ? 9,8 2 0,2 ? 40 ? 9,8
a 5 ——————————— 5 0,39 m/s2
40 1 10
18. Un automòbil té una massa de 375 kg i puja per una carretera rectilínia que forma un angle de 15° amb l’horitzon-
b) Quin és el valor màxim de m2 per al qual el sistema romandrà en repòs?
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
03
FÍSICA 1
Si el sistema està en repòs s’ha de complir òbviament que
a 5 0.
Per tant:
m2 g 5 m m1 g m2 5 m m1 5 0,2 ? 40 5 8 kg
c) Si m2 5 6 kg, quina serà la força de fregament entre el
cos i la taula? I la tensió de la corda?
Com que la massa és inferior a 8 kg, el sistema està en repòs, aleshores: T 5 m2 g 5 6 ? 9,8 5 58,8 N
I la força de fregament valdrà:
a) Suposant que no hi ha fregament.
No hi ha fregament, Ff 5 0. Per tant:
9,3 ? 9,8 ? sin 54° 2 2,4 ? 9,8 2 0
a 5 ————————————————— 5 4,3 m/s2
9,3 1 2,4
T 2 p 2 5 m2 a T 5 m2 a 1 m 2 g 5 m 2 (a 1 g) T 5 2,4 ? (4,3 1 9,8) 5 33,8 N
b) Suposant que el coeficient de fregament entre el pla
inclinat i la massa m1 val 0,37. Representeu en un esquema les forces que hi actuen.
m 5 0,37
Ff 5 T 5 m2 g 5 6 ? 9,8 5 58,8 N
Noteu que la força de fregament no assoleix el seu valor
màxim sinó just el necessari per oposar-se al moviment
d’m1 sobre la superfície horitzontal.
20. En el sistema de la figura 3.69 tenim els valors següents:
m1 5 9,3 kg, m2 5 2,4 kg, a 5 54°. Calculeu l’acceleració
del sistema i la tensió de la corda:
65
9,3 ? 9,8 sin 54° 2 2,4?9,8 2 0,37? 9,3 ?9,8 ? cos 54°
a 5 ———————————————————————— 5
9,3 1 2,4
5 2,6 m/s2
T 5 m2 (a 1 g) 5 2,4 ? (2,6 1 9,8) 5 29,8 N
21. En el sistema de la figura 3.70 tenim els valors següents:
m1 5 450 g, m2 5 790 g, a 5 38°, b 5 29°. Calculeu l’acceleració del sistema i la tensió de la corda:
m1
m2
a
m1
a 5 38¡
b 5 29¡
Diagrama de forces:
Diagrama de forces:
x
f
y
x
y
x
a 5 54°
y
f
m1 5 9,3 kg
m 2 5 2,4 kg
Determinem el sentit del moviment:
Determinem en primer lloc en quin sentit es mouen les masses:
px1 5 m1 g sin a 5 0,45 ? 9,8 ? sin 38° 5 2,72 N
px1 5 m1 g sin a 5 9,3 ? 9,8 ? sin 54° 5 73,73 N
px2 5 m 2 g sin b 5 0,79 ? 9,8 ? sin 29° 5 3,75 N
p 2 5 m2 g 5 2,4 ? 9,8 5 23,52 N
Com que px2 . px1, el sentit de moviment és l’indicat a la figura.
Com que px1 . p 2, el sistema es mou en el sentit indicat a la
figura.
m1 5 450 g 5 0,45 g
m 2 5 790 g 5 0,79 kg
Apliquem la segona llei de Newton a cada massa seguint el
mateix criteri que al problema anterior.
m1: px1 2 T 2 Ff 1 5 m1 a i
y px1 2 p 2 2 Ff1 5 (m1 1 m 2) a
t
m2: T 2 p 2 5 m 2 a
m1 g sin a 2 m2 g 2 m m1 g cos a
a 5 —————————————————
m1 1 m 2
a 5 38°
b 5 29°
Apliquem la segona llei de Newton seguint el mateix criteri que
als exercicis anteriors:
m1: T 2 px1 2 Ff 1 5 m1 a
m2: px2 2 T 2 Ff2 5 m 2 a
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
px2 2 p x1 2 Ff1 2 Ff 2 5 (m1 1 m 2) a px2 2 p x1 2 Ff 1 2 Ff 2
a 5 ———————————
m1 1 m 2
a) Suposant que no hi ha fregament.
No hi ha fregament: Ff 1 5 Ff 2 5 0. Per tant:
px2 2 p x1 2 Ff 01 2 Ff 02
m 2 g sin a 2 m1 g sin b
a 5 ——————————— 5 ——————————— 5
m1 1 m 2
m1 1 m 2
0,79 ? 9,8 ? sin 29° 2 0,45 ? 9,8 ? sin 38°
5 ————————————————————— 5 0,84 m/s2
0,45 1 0,79
T 2 p x1 2 Ff 01 5 m1 a T 5 m 1 a 1 m1 g sin a 5
5 m1 (a 1 g sin a) T 5 0,45 (0,84 1 9,8 ? sin 38°) 5
5 3,09 N
Com que la caixa es mou en la direcció paral.lela al pla, tenim que:
i
y
t
66
N 2 p y 2 Fy 5 0 N 5 Fy 1 p y 5 F sin a 1 m g cos a
Fx 2 px 2 Ff 5 m a
m 5 4 kg
a 5 20°
a) El valor de la força F que s’ha d’aplicar externament per
tal que el cos es mogui cap a la part superior del pla
inclinat amb velocitat constant, si el fregament es considera negligible.
Com que v 5 constant, a 5 0; a més, Ff 5 0. Per tant:
0
Fx 2 px 2 Ff 0 5 m a Fx 5 p x F cos a 5
m g sin a
5 m g sin a F 5 ————— 5 m g tg a 5
cos a
b) Suposant que el coeficient de fregament entre els plans
inclinats i les masses val 0,08.
5 4 ? 9,8 ? tg 20° 5 14,3 N
m 5 0,08
px2 2 p x1 2 Ff 1 2 Ff2
a 5 ——————————— 5
m1 1 m 2
m 2 g sin b 2 m1 g sin a 2 m (m1 g cos a 1 m 2 g cos b)
5 ————————————————————————— 5
m1 1 m 2
b) Si el coeficient de fregament entre el cos i el pla val
0,27, com canvia l’apartat anterior?
a 5 0; m 5 0,27
Fx 2 px 2 Ff 5 0 F cos a 5 m g sin a 1 m N 0,79 ? 9,8 ? sin 29° 2 0,45 ? 9,8 ? sin 38° 2
2 0,08 (0,45 ? 9,8 ? cos 38° 1 0,79 ? 9,8 ? cos 29°)
5 ———————————————————————— 5
0,45 1 0,79
F cos a 5 m g sin a 1 m (F sin a 1 m g cos a) 5 a 5 0,18 m/s2
m g (sin a 1 m cos a)
F 5 ——————————— 5
cos a 2 m sina
T 2 px1 2 Ff 1 5 m1 a T 5 m1 a 1 p x1 1 Ff1 T 5 m1 a 1 m1 g sin a 1 m m1 g cos a 5
F (cos a 2 m sin a) 5 m g (sin a 1 m cos a) 4 ? 9,8 (sin 20° 1 0,27 ? cos 20°)
5 ————————————————— 5 27,6 N
cos 20° 2 0,27 sin 20°
5 m1 (a 1 g sin a 1 m g cos a) 5
5 0,45 (0,18 1 9,8 sin 38° 1 0,08 ? 9,8 cos 38°) 5
5 3,07 N
22. El cos de la figura 3.71 té una massa de 4 kg i l’angle a del
pla inclinat és de 20°. Dibuixeu un diagrama de les forces
que hi actuen i calculeu:
23. Un home tira de dos trineus amb una força de 117,6 N que
forma un angle de 45° amb l’horitzontal (fig. 3.72). Si els
dos trineus tenen una massa de 15 kg i el coeficient de
fregament dels trineus amb la neu és de 0,02, calculeu:
m
F
a
p1 5 p 2 5 p 3
Diagrama de forces:
x
a) L’acceleració dels trineus i la tensió de la corda que els
uneix.
Cos 1
x
F cos 45° 2 T 2 Ff 1 5 m 1 a
y
p1 2 N1 2 F sin 45° 5 0
f
y
F cos 45° 2 T 2 m N1 5 m 1 a
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
03
67
a) L’acceleració del sistema.
N1 5 p1 2 F sin 45° 5
5 15 ? 9,8 2 117,6 sin 45° 5 63,84 N
Cos A
117,6 cos 45° 2 T 2 0,02 ? 63,84 5 15 a
T1 2 Tf A 5 mA a i
y T1 2 m p A 5 mA a
t
pA 5 N A
81,88 2 T 5 15 a
T1 2 0,2 ? 9,8 5 a T1 2 1,96 5 a
Cos 2
Cos B
p 2 5 N2
i
i p 2 5 N2
y
y
T 2 Ff 2 5 m 2 a t T 2 m N2 5 m2 a t
T2 1 pB sin 30° 2 Ff B 2 T1 5 m B a
T2 1 2 ? 9,8 ? 0,5 2 m NB 2 T1 5 2 a
p 2 5 9,8 ?15 5 147 N
NB 5 pB cos 30° 5 2 ? 9,8 ? cos 30° 5 16,97 N
T 2 0,02 ? 147 5 15 a T 2 2,94 5 15 a
81,88 2 T 5 15 a i
y
T 2 2,94 5 15 a t
T2 1 9,8 2 3,39 2 T1 5 2 a T2 1 6,41 2 T1 5 2 a
Cos C
81,88 2 T 5 T 2 2,94 2T 5 81,88 1 2,94
pD 1 pC 2 T2 5 (mC 1 mD) a
5,5 ? 9,8 2 T2 5 5,5 a 53,9 2 T2 5 5,5 a
i
u T1 5 a 1 1,96
T2 1 6,41 2 T1 5 2 ay
u T 5 53,9 2 5,5 a
53,9 2 T2 5 5,5 a t 2
T1 2 1,96 5 a
84,82
T 5 ———— 5 42,41 N
2
42,41 2 2,94
a 5 ——————— 5 2,63 m/s2
15
53,9 2 5,5 a 1 6,41 2 a 2 1,96 5 2 a
b) El valor de la força F perquè els trineus es moguin amb
velocitat constant.
Cos 1
58,35
58,35 5 8,5 a a 5 ———— 5 6,86 m/s2
8,5
b) Les tensions de les cordes.
F cos 45° 2 T 2 Ff1 5 0 F cos 45° 2 T 2 m N1 5 0 i
y
t
N1 5 p1 2 F sin 45°
F cos 45° 2 T 2 m (p1 2 F sin 45°) 5 0
Cos 2
T1 5 6,86 1 1,96 5 8,82 N
T2 5 53,9 2 5,5 ? 6,86 5 16,15 N
c) La força que fa la massa D sobre la massa C.
pD 2 N 5 mD A N 5 pD 2 mD a 5
p2 5 N2
5 0,5 ? 9,8 2 0,5 ? 6,86 5 1,47 N
i
y
T 5 Ff2 5 m N 2 5 0,02 ? 15 ? 9,8 5 2,94 N t
F cos 45° 2 2,94 2 0,02 ?15 ? 9,8 2 0,02 ? F ? sin 45° 5 0
25. Quina velocitat mínima ha de dur un ciclista per poder efectuar un ris de la mort de 10 m de radi?
2,94 1 0,02 ?15 ? 9,8
F 5 ———————————— 5 8,15 N
cos 45° 1 0,02 ? sin 45°
24. En el sistema representat en la figura 3.73, les masses valen mA 5 1 kg, m B 5 2 kg, m C 5 5 kg, m D 5 0,5 kg. El coeficient de fregament entre els cossos i la superfície és de
0,2. Calculeu:
A
v2
v2
ll 5
p 5 m —— m g 5 m —— v 5 dll
g hl 5 dll
9,8ll? 10
R
R
5 9,9 m/s
B
30¡
D
C
26. Una massa d’1 kg situada sobre una taula que no presenta
fregament s’uneix a una altra massa de 4 kg mitjançant una
corda que passa per un forat fet al mig de la taula. El cos de
4 kg està en repòs, mentre que el cos d’1 kg descriu un moviment circular uniforme amb un radi de 0,1 m.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
68
03
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) Feu un esquema de les forces que actuen sobre cada cos
i especifiqueu-hi les relacions que hi ha entre elles.
29. Es fa giravoltar una pedra de 25 g en un pla vertical, mitjançant una corda de 20 cm de longitud:
m 5 25 kg
r 5 20 cm
a) Quina és la tensió de la corda quan la pedra es troba en
el punt més alt de la seva trajectòria si, en aquest moment, la velocitat lineal que duu és de 4 m/s?
b) Calculeu la velocitat amb què es mou el primer cos.
p2 5 T
i
u
v2 y
v2
v2
T 5 m1 —— u p2 5 m1 —— 4 ? 9,8 5 —— R t
R
0,1
v2
T1p5m—
r
lll
ll 5 1,98 m/s
4 ?ll
9,8
? 0,1
v 5 dll
c) Indiqueu quines són les acceleracions tangencial i normal del primer cos.
at 5 0
v2
1,982
an 5 —— 5 ——— 5 39,2 m/s2
R
0,1
27. Un bloc de 2 kg de massa està lligat a l’extrem d’un fil de
20 cm i es troba damunt d’una taula horitzontal sense fregament; l’altre extrem del fil està fixat a la taula. Calculeu
la tensió del fil si el fem girar a 5 rpm.
Com que no hi ha fregament, la tensió és igual a la força centrípeta:
2 p 1 min 2
T 5 m ac 5 m v2 R 5 2 kg 5 ——— ——— ? 0,2 m 5 0,11 N
1 rev 60 s
1
2
28. Es fa girar en un pla vertical una pedra de 3 kg que està
enganxada a un fil de 2 m de longitud. Calculeu:
a) La tensió de la corda quan el cos passa per la part més
baixa de la trajectòria amb una velocitat de 20 m/s.
v2
42
T 5 m —— 2 g 5 0,025 ? —— 2 9,8 T 5 1,76 N
r
0,2
2
1
2
1
b) Quin és el valor mínim de la velocitat perquè la corda es
mantingui tibada en passar la pedra pel punt més alt de
la circumferència que descriu?
T50
v2
gl
r 5 dll
9,8ll
? l0ll
,2 5 1,4 m/s
p 5 m —— v 5 dll
r
30. En un parc d’atraccions hi ha un rotor de radi 5 m, dins del
qual se situen 5 persones que es recolzen a la paret interior. Quan el cilindre gira al voltant del seu eix, les persones
que són a dintre queden encastades a la paret, que presenta
un coeficient de fregament d’1:
a) Quina és la velocitat angular mínima del cilindre perquè
pugui girar en un pla vertical sense que ningú se separi
de la paret?
A la part més baixa tant la tensió com el pes tenen la direcció de l’eix Y:
v2
T 2 p 5 m ac T 5 m g 1 m —— R
202
T 5 3 9,8 1 —— 5 629,4 N
2
1
2
b) La mínima velocitat que pot tenir en el punt més alt, de
manera que el cos pugui seguir girant.
La velocitat mínima correspon a l’acceleració centrípeta
mínima, és a dir, a una tensió nul.la:
p 5 m ac mín m g 5 m
v 2mín
———
R
N 5 m v2 R i
p 5 Ff
y
p
t p 5 mN N 5 —
m
p
mg
— 5 m v2 R —— 5 m v2 R m
m
ll 5 4,43 m/s
v 5 dll
R gl 5 dll
2 ?l9,8
v5
9,8
lll
lll
— 5 d —— 5 1,4 rad/s
dlll—Rglll
m
5
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
03
FÍSICA 1
b) En el supòsit anterior, quina força exerceix el cilindre
sobre les 5 persones que hi van a dins, si cada una d’elles
té una massa de 55 kg?
N 5 m v2 R 5 5 ? 55 ?1,42 ? 5 5 2 695 N
31. [Curs 03-04] El muntatge d’una atracció de fira consisteix
en una anella horitzontal de 3 m de radi, de la qual pengen
cordes de 4 m de longitud i massa negligible. A l’extrem de
cada corda hi ha una cadireta de 2 kg de massa. L’anella
gira a velocitat angular constant, al voltant d’un eix vertical
que passa pel seu centre.
69
quina massa (en kg) correspon aquest pes màxim? Considereu g 5 9,81 m/s2
T9 cos u 2 (m 1 M) g 5 0 M g 5 T9 cos u 2 mg M g 5 616,4 N
M 5 62,8 kg
32. Un automòbil entra en un revolt de 120 m de radi a 90 km/h.
Calculeu el mínim peralt que ha de tenir la corba en els dos
casos següents:
a) No hi considerem el fregament.
252
v2
tg a 5 —— tg a 5 ———— 5 0,53 a 5 27,99°
Rg
120 ? 9,8
b) El coeficient de fregament estàtic que presenta la corba
és de 0,45.
Les forces que actuen són el pes (vertical), la normal (perpendicular al pla) i la força de fregament (paral.lela al pla):
N
an
a) Calculeu la velocitat angular de l’anella quan la corda
d’una cadireta buida forma un angle de 37º amb la vertical.
Fr
mg
u
N cos u
N sen u
an
Fr cos u
Fr sen u
mg
u
Apliquem la segona llei de Newton:
r 5 s 1 l sin u 5 5,4 m
g tg u
T sin u 5 mv2 r i 2
y v 5 ———— v 5 1,17 rad/s
T cos u 2 mg 5 0 t
r
b) En les condicions anteriors, calculeu la tensió de la
corda.
mg
T 5 ——— T 5 24,6 N
cos u
c) Si la tensió màxima que poden suportar les cordes sense
trencar-se és de 796 N i l’atracció gira a la velocitat
adequada perquè la corda continuï formant un angle de
37º amb la vertical, quin és el pes màxim que pot tenir
un usuari de l’atracció sense que es trenqui la corda? A
m v2
X: N sin u 1 Fr cos u 5 ———
R
Y: N cos u 5 Fr sen u 1 m g
Com que Fr 5 m N, tenim:
m v2
N (sin u 1 m cos u) 5 ———
R
N (cos u 2 m sin u) 5 m g
Aïllant a entre les dues equacions, obtenim:
252 2 120 ? 9,8
v2 2 R g
a 5 arctg —————
5 arctg ———————————
5
2
mv 1 Rg
0,45 ? 252 1 120 ? 9,8
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
5 5,45º
lOMoARcPSD|7143541
70
04
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Unitat 4. Conservació
de la quantitat de moviment
Activitats
1. Dos cossos tenen la mateixa quantitat de moviment, però
la velocitat de l’un és el triple de la de l’altre. Quina relació tenen les seves masses?
Calculem l’impuls lineal, i apliquem el teorema de l’impuls lineal:
m 5 3 kg
i
u
v0 5 3 m/s u
y
F 5 12 N u
u
Dt 5 5 s t
I 5 F Dt 5 12 ? 5 5 60 N?s
D p 5 I p 2 p0 5 I p 5 I 1 p0 5 I 1 m v0 Com que les quantitats de moviment són iguals, i les seves velocitats una triple de l’altra, podem establir que: p 5 m 1 v
(primer cos); p 5 m 2 (3 v) (segon cos); dividint ambues expressions:
p
m1 v
m1
— 5 ————
1 5 ——— m 1 5 3 m 2
p
m2 3 v
3 m2
2. Calculeu el mòdul de la quantitat de moviment dels cossos
següents:
a) Un automòbil de 275 kg que es mou amb una velocitat
de 65 km/h.
m 5 275 kg
v 5 65 km/h 5 18,06 m/s
p 5 m v 5 275 ?18,06 5 4 965,28 kg?m/s
p 5 60 1 3 ? 3 5 69 m/s
p
69
p 5 m v v 5 — 5 —— 5 23 m/s
m
3
4. Estimeu la força mitjana efectuada quan una escopeta d’aire comprimit, que ha actuat durant un interval de temps de
0,1 s, expulsa un petit projectil de 12 g de massa amb una
velocitat de 15 m/s.
Calculem primer la variació del mòdul de la quantitat de moviment sabent que la quantitat de moviment inicial és zero perquè la bala parteix del repòs:
D p 5 pf 2 p0 5 0,012 ?15 2 0 5 0,18 kg?m/s
Amb aquest valor i el de l’interval de temps durant el qual
s’aplica la força de valor constant trobem el valor d’aquesta
força. En mòdul:
b) Una persona de 72 kg que camina amb una velocitat de
5,5 km/h.
m 5 72 kg
v 5 5,5 km/h 5 1,53 m/s
p 5 m v 5 72 ? 1,53 5 110 kg?m/s
c) Un avió de reacció de 45 t, que es mou amb una velocitat de 950 km/h.
m 5 45 t 5 4,5 ? 10 4 kg
v 5 950 km/h 5 263,89 m/s
p 5 m v 5 4,5 ?10 4 ? 263,89 5 1,19 ?107 kg?m/s
3. Un cos de 3 kg de massa es mou en línia recta amb una
velocitat constant de 3 m/s. En un moment determinat, se
li aplica una força constant de 12 N durant un temps de
5 s. Determineu la quantitat de moviment i la velocitat
finals.
Calculem la variació de la quantitat de moviment a partir de la
força aplicada i de l’interval de temps durant el qual s’aplica
aquesta força constant. En mòdul:
D p 5 F ? D t 5 12 ? 5 5 60 N?s
El mòdul de la quantitat de moviment inicial del cos és:
p0 5 3 ? 3 5 9 kg?m/s
Per tant, la quantitat de moviment i la velocitat finals valen:
pf 5 p0 1 Dp 5 9 1 60 5 69 kg?m/s
pf
69
vf 5 —— 5 —— 5 23 m/s
m
3
Dp
0,18
F 5 —— 5 —— 5 1,8 N
Dt
0,1
Apliquem el teorema de l’impuls lineal, i aïllem F:
Dt 5 0,1 s
i
u
m 5 12 g 5 0,012 kg u
y
u
v 5 15 m/s
u
t
v0 5 0
Dp
m v 2 m v0
I 5 F Dt 5 D p F 5 —— 5 —————— Dt
Dt
0,012 ? 15 2 0
F 5 ———————— 5 1,8 N
0,1
5. El batedor d’un equip de beisbol veu venir la pilota, de
massa 145 g, a una velocitat de 28 m/s, i l’impulsa en sentit contrari a una velocitat de 42 m/s. La força mitjana que
n’ha actuat ha estat de 140 N. Trieu les respostes correctes.
Dp 5 m (vf 2 v0) 5 0,145 ? (42 2 (228)) 5 10,15 kg?m/s 5 I
Per tant, les respostes correctes són:
A) L’impuls que ha actuat sobre la pilota és de:
a) 6,09 N?s b) 10,15 N?s c) 2,03 N?s
La b) I 5 10,15 N?s
B) La variació de la quantitat de moviment experimentat
per la pilota és de:
a) 10,15 kg ?m/s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
04
b) 2,03 kg?m/s
Primer calcularem la variació de la quantitat de moviment:
c) 6,09 kg ?m/s
Dp 5 m v 2 m v0 5 m (v 2 v0) 5 70 ? (20 2 (25)) 5
5 1 750 kg?m/s
La a) Dp 5 10,15 kg?m/s
C) El temps que ha durat el cop ha estat de:
a) 43,5 ms b) 14,5 ms c) 72,5 ms
Dp
10,15
La c) Dt 5 —— 5 ——— 5 72,5 ms
F
140
En primer lloc, representem la funció F (t):
j t 0 5 0 F (0) 5 96 2 800 ? 0 5 96 N
96
j F 5 0 0 5 96 2 800 t 1 t 1 5 ——— 5 0,12 s
800
A continuació, calculem l’impuls a partir del gràfic F-t; si tenim
en compte que l’àrea tancada per aquest gràfic és l’àrea d’un
triangle de base 0,12 i altura 96, trobem que:
0,12 ? 96
I 5 àrea 5 ————— 5 5,76 N?s
2
Finalment, apliquem el teorema de l’impuls i aïllem v tenint en
compte que v0 5 0, m 5 90 g 5 0,09 kg:
I 5 Dp m v 2 m v 00 5 I
I
5,76
v 5 — 5 ——— 5 64 m/s
m
0,09
7. Volem estimar la força mitjana que han d’efectuar els cinturons de seguretat sobre els ocupants d’un automòbil
en un accident de circulació. Un automòbil, que portava
una velocitat de 72 km/h, ha xocat contra un mur molt resistent, i, de resultes de l’accident, en 0,25 s ha rebotat
amb una velocitat de 18 km/h. Calculeu la força mitjana que efectua el cinturó de seguretat sobre un ocupant
de 70 kg de massa i l’acceleració que ha sofert aquesta
persona.
v0 5 218 km/h 5 25 m/s
m 5 70 kg
Dt 5 0,25 s
Dp
1 750
F 5 —— 5 ——— 5 7 000 N
Dt
0,25
El cinturó ha efectuat una força mitjana de 7 000 N.
Utilitzem la segona llei de Newton per calcular l’acceleració
efectuada sobre l’ocupant:
6. El mecanisme d’un joc de tir al plat fa una força sobre els
plats donada per la funció F (t) 5 96 2 800 t, expressada
en N, que actua entre l’instant t0 5 0 i l’instant en què F
.
s’anul la. Si la massa dels plats val 90 g, amb quina velocitat surten disparats, si inicialment estan en repòs?
v 5 72 km/h 5 20 m/s
71
F
7 000
F 5 m ? a a 5 —— 5 ——— 5 100 m/s2
m
70
L’ocupant del vehicle pateix una acceleració de 100 m/s2.
8. Tenint en compte el principi de conservació de la quantitat de moviment, com s’explica el moviment d’un avió de
reacció?
El combustible d’un avió de reacció es crema en una cambra,
que només té un petit orifici perquè els gasos de combustió
puguin sortir cap a l’exterior; per tant, aquests gasos són expulsats de l’avió a una gran velocitat, i, en contrapartida, l’avió
és impulsat en sentit contrari per tal de que es verifiqui el principi de conservació de la quantitat de moviment.
9. [Curs 2001-02] Dos patinadors, A i B, amb la mateixa massa, m 5 40 kg, estan en repòs sobre una pista horitzontal
sense fregament apreciable. El patinador A llança a una
velocitat horitzontal v 5 2 m/s una bola de massa m 5 6 kg
que recull el patinador B. Calculeu la velocitat final de cada
patinador.
Donat que el fregament és negligible, podem aplicar el principi
de conservació de la quantitat de moviment a les diferents situacions:
1) Al sistema format pel patinador A i la bola abans i després
del llançament de la bola:
mA vA 1 mbola vbola 5 mA v9A 1 mbola v9bola 0 5 mA v9A 1 mbola v9bola 2mbola v9bola
6?2
v9A 5 —————— 5 ———— 5 0,26 m/s
mA 1 mbola
40 1 6
Aquesta és la velocitat del patinador A després del llançament.
2) Al sistema format pel patinador B i la pilota abans i després
de recollir la bola, tenint present que el patinador B i la
bola adquireixen la mateixa velocitat final v9B:
mB vB 1 mbola vbola 5 (mB 1 mbola) v9B 0 1 mbola vbola 5 (mB 1 mbola) v9B mbola vbola
6?2
v9B 5 —————— 5 ———— 5 0,26 m/s
mB 1 mbola
40 1 6
Aquesta és la velocitat del patinador B i la bola després del
llançament.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
72
04
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
10. Una granada en repòs explota i es divideix en dos fragments, que surten disparats en la mateixa direcció. Si la
velocitat amb què surt el primer fragment és de 115 m/s,
calculeu la velocitat, en mòdul, del segon fragment, suposant que la massa d’aquest és la tercera part de la massa
del primer. Després feu un diagrama que representi les situacions inicial i final.
Representa la situació abans i després de l’explosió:
m1
m 2 5 ——
3
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de movim1
ment, tenint en compte que v 5 0, m 2 5 ——, i aïllem v29.
3
m1
m v0 5 m 1 v19 1 m 2 v29 m 1 ? (2115) 1 —— v29 5 0 3
m 1 v29 5 23 m 1 (2115) v29 5 345 m/s
11. [Curs 1998-99] Suposeu el cas ideal d’una pilota de tennis
de 80 g de massa que xoca contra una paret vertical i tant
abans com després de xocar-hi va a 30 m/s i es mou en la
mateixa direcció horitzontal. S’ha conservat la quantitat
de moviment de la pilota durant el xoc? Quant val el mòdul
de l’impuls realitzat per la paret sobre la pilota?
La quantitat de moviment de la pilota no s’ha conservat perquè
la paret ha efectuat una força sobre la pilota. Tot i que el mòdul
de la quantitat de moviment de la pilota és el mateix abans i
després del xoc, com que hi ha un canvi en la direcció del moviment, també hi ha un canvi en la quantitat de moviment.
El mòdul de l’impuls realitzat per la paret sobre la pilota és
igual al mòdul de la variació de la quantitat de moviment:
13. [Curs 2002-03] Un projectil de 20 g va a una velocitat horitzontal de 300 m/s i s’encasta en un bloc d’1,5 kg que està
inicialment en repòs. Calculeu la velocitat del conjunt just
després de l‘impacte.
m 5 20 g 5 0,02 kg
M 5 1,5 kg
v0 5 300 m/s
Si considerem el sistema format per el projectil i el bloc al qual
s’encasta veiem que no actuen forces exteriors, per tant podem
aplicar la conservació de la quantitat de moviment:
D p 5 ctnt m v0 1 M ? 0 5 (m 1 M) ? v m ? v0
0,02 ? 300
v 5 ———— 5 —————— 5 3,95 m/s
m1M
0,02 1 1,5
Activitats finals
Qüestions
1. Raoneu si és certa l’afirmació següent: «El vector quantitat de moviment és sempre tangent a la trajectòria d’un
cos en moviment».
El vector quantitat de moviment sempre té la direcció del vector velocitat ja que és igual al producte escalar d’aquest vector
per la massa, que sempre és una quantitat positiva. Com que el
vector velocitat instantània és tangent en tot punt a la trajectòria del mòbil, el vector quantitat de moviment també ho és.
Per tant, l’afirmació anterior és certa.
2. Comenteu com són l’impuls mecànic i la variació de la quantitat de moviment en els casos següents:
I 5 Dp I, com que estem en un moviment unidimensional podem prescindir del caràcter vectorial. Per tant:
I 5 D p 5 m vf 2 v0 5 0,08 ? 230 2 30 5 4,8 N?s
12. Calculeu en mòdul la velocitat de retrocés d’un canó que té
una massa de 275 kg, sabent que dispara un projectil de
massa 1,4 kg que surt amb una velocitat de 78 m/s.
a) Una força que actua durant un interval de temps molt
curt.
L’impuls tindrà un valor petit, ja que l’interval de temps és
molt curt.
b) Una força molt petita que actua durant un interval de
temps molt llarg.
L’impuls pot tenir un valor apreciable sempre i quan el valor
de l’interval de temps sigui prou gran per a compensar el
valor de la força. Amb els valors típics d’intervals de temps,
però, l’impuls associat a una força molt petita sol ser també
petit.
c) Una força molt gran que actua durant un interval de
temps molt curt.
m 1 5 275 kg, v19 5 ?
i
y
m 2 5 1,4 kg, v29 5 78 m/s t
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment i aïllem v19:
m v 5 m 1 v19 1 m 2 v29 275 v19 1 1,4 ? 78 5 0 v19 5 20,4 m/s
En mòdul: v19 5 0,4 m/s
En aquest cas l’impuls pot tenir un valor apreciable, ja que
si bé una magnitud és molt petita, l’altra té un valor molt
gran, donant un valor de I apreciable; lògicament, aquest
valor de I dependrà dels valors de F i de D t.
3. Comproveu que les unitats en el SI de l’impuls i de la
quantitat de moviment són equivalents.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
04
FÍSICA 1
73
Les unitats en el SI de l’impuls són les del producte d’una força
per un temps, és a dir, el Newton per segon. Tenint en compte
que el Newton és igual al quilogram pel metre dividit pel segon
al quadrat, obtenim:
m
m
N?s 5 kg —
s 5 kg —
s2
s
sobre el sistema és nul.la (aquesta suposició és prou bona considerant negligible el fregament entre l’aigua i la barca). Per
tant, s’ha de conservar la quantitat de moviment del sistema i,
en conseqüència, la barca adquireix un valor de quantitat de
moviment oposat al de l’home. És a dir, la seva velocitat és
oposada a la de l’home i per això es mou en sentit contrari.
És a dir, obtenim les mateixes unitats en el SI que la quantitat
de moviment, ja que aquest és el producte d’una massa per una
velocitat.
7. Demostreu el principi de conservació de la quantitat de
moviment en el cas d’un sistema format per 3 partícules.
4. Quan disparem amb una escopeta, sentim una força que
ens impulsa cap enrere. Interpreteu aquest fenomen tenint en compte el principi de conservació de la quantitat
de moviment.
Suposem que les partícules interaccionen entre sí segons forces
que tendeixen a separar-les; les partícules s’efectuen forces dos
a dos, d’acord amb el principi d’acció-reacció. Per tant, totes
les forces que tenim són:
F13
Suposem que el projectil surt disparat en sentit positiu de l’eix
de les X; com que la quantitat de moviment inicial és nul.la
(tant el projectil com l’escopeta estan en repòs), i la quantitat
de moviment del projectil després del tret és positiva, la quantitat de moviment de l’escopeta ha de ser igual a la del projectil, però negativa: l’escopeta surt disparada cap enrere, i l’hem
d’agafar ben fort per aguantar-la.
5. Amb argila tova construïm una bola de la mateixa massa
que una altra bola de goma. Quan les deixem caure des de
la mateixa altura, i després d’impactar amb el terra, la bola
d’argila es queda enganxada al terra, mentre que la bola de
goma rebota i assoleix gairebé la mateixa altura. Per a cada
una de les boles, i si considerem els instants de temps just
abans i just després del xoc de les boles amb el terra, s’ha
experimentat la mateixa variació de la quantitat de moviment?
F23
F12
F21
F31
F32
j Forces sobre la partícula 1 (degudes a les partícules 2 i 3):
F 12, F 13.
j Forces sobre la partícula 2 (degudes a les partícules 1 i 3):
F 21, F 23.
S’ha conservat la quantitat de moviment? Quin ha estat
l’impuls mecànic que el terra ha efectuat sobre cada una
de les boles?
j Forces sobre la partícula 3 (degudes a les partícules 1 i 2):
Cada bola experimenta una variació de la quantitat de moviment diferent ja que tenen la mateixa massa i la seva velocitat varia de forma diferent. Si p0 és la quantitat de moviment
inicial de cada una de les boles (treballem en una dimensió i
amb el sentit positiu d’Y habitual), la bola d’argila experimenta
Dp 5 p0 i la de goma, Dp 5 2 p0. És a dir, la quantitat de moviment no s’ha conservat i l’impuls del terra sobre la bola d’argila val: I 5 p0 i sobre la de goma, I 5 2 p0.
Si tenim en compte la tercera llei de Newton:
6. Un home està dret sobre una barca a prop del moll. En un
moment donat, salta a terra. Per què creus que quan l’home salta, la barca es mou en sentit contrari?
F 31, F 32.
2n. Considerem el sistema format per l’home i la barca. Inicialment la seva quantitat de moviment total és nul. En un moment
donat, l’home salta i, per tant, té una certa quantitat de moviment en una direcció. En aquest instant, la força neta externa
Per tant, la força total del sistema és nul.la:
S F 5 F 12 1 F 21 1 F 13 1 F 31 1 F 23 1 F 32 5
5 F 12 2 F 12 1 F 13 2 F 13 1 F 23 2 F 23 5 0
Reagrupant els termes de l’anterior expressió per a cada partícula, i suposant que aquestes forces són constants i que actuen
durant un interval de temps Dt:
S F 5 ( F 12 1 F 13) 1 ( F 21 1 F 23 ) 1 ( F 31 1 F 32 ) 5
Aquesta qüestió es pot resoldre per dos procediments diferents:
1r. Quan l’home vol saltar a terra, cal que la barca l’empenti a
ell endavant; per tant, ell ha d’empentar la barca cap enrere,
d’acord amb el principi d’acció-reacció. Com que la barca es pot
moure dins l’aigua, en ser empentada per l’home es mou en
sentit contrari a ell.
F 12 5 2F 21; F 13 5 2F 31; F 23 5 2F 32
D p1
D p2
D p3
5 ——— 1 ——— 1 ——— 5 0 Dt
Dt
Dt
D p1 1 D p2 1 D p3 5 0 D ( p1 1 p2 1 p3 ) 5
5 0 p 1 1 p 2 1 p 3 5 constant
8. Dues boles, una d’elles amb una massa 5 vegades més gran
que l’altra, van a la mateixa velocitat en mòdul i experimenten un xoc frontal, a conseqüència del qual queden
unides. El mòdul de la velocitat final és, respecte del de la
velocitat inicial:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
74
04
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
2. Una pilota de tennis de massa 21 g que es mou horitzontalment amb una velocitat de 75 km/h xoca contra una paret
vertical i surt disparada en sentit contrari. Calculeu la força
mitjana efectuada per la paret sobre la pilota, suposant que
ha actuat durant un temps de 0,08 s, i que la pilota surt
disparada amb la mateixa velocitat, en mòdul.
a) La meitat.
b) Dues terceres parts.
c) La quarta part.
d) Continua sent el mateix.
Per conservació de la quantitat de moviment i tenint en compte
que m1 5 5 m2 resulta:
m1 ? v 1 m2 ? (2v) 5 (m1 1 m2) ? v9 2
4 m2 v 5 6 m2 v2 v9 5 — v
3
Per tant, l’opció correcta és la b).
abans xoc
9. Un cos es mou amb una velocitat determinada i interacciona amb un segon cos que està inicialment en repòs. Quina
és la relació entre les masses d’ambdós cossos si, de resultes de la interacció, la velocitat final del primer es redueix
a la meitat, i la velocitat final del segon és el doble de la
que portava inicialment el primer?
Considerant que en tot moment els cossos es mouen en el sentit positiu de l’eix X, i tenint en compte com són les velocitats
entre si, tenim que:
m 1 v1 1 m 2 v2 5 m 1 v19 1 m 2 v29 1 2
v
m 1 v 1 m 2 ? 0 5 m 1 — 1 m 2 (2 v ) 2
m1
m 1 5 —— 1 2 m 2 2
2 m1 5 m1 1 4 m2 2 m1 2 m1 5 4 m2 m1 5 4 m2
Problemes
1. Un automòbil es mou amb una velocitat de 110 km/h. El
conductor acciona els frens durant 1,2 s i la seva velocitat
disminueix fins a 80 km/h. Si la massa total és de 435 kg,
calculeu:
després xoc
Representa la situació:
m 5 21 g 5 0,021 kg
v0 5 75 km/h 5 20,83 m/s
|v| 5 |v0| 5 20,83 m/s
Dt 5 0,08 s
Apliquem el teorema de l’impuls lineal i aïllem F:
Dp
m v 2 m v0
I 5 F Dt 5 D p F 5 —— 5 —————— 5
Dt
Dt
0,021 ? 20,83 2 0,021 ? (220,83)
5 ————————————————— 5 10,94 N
0,08
3. En el moment en què un tennista està a punt d’impulsar
la pilota, de massa 25 g, aquesta porta una velocitat de
84 km/h. Sabent que la força mitjana que aplica el jugador
sobre la pilota és de 26 N, i que aquesta actua durant un
interval de temps de 0,05 s, calculeu la velocitat final de la
pilota, suposant que aquesta surt en la mateixa direcció,
però en sentit contrari, a la velocitat inicial.
v0 5 110 km/h 5 30,56 m/s i
v 5 80 km/h 5 22,22 m/s
D t 5 1,2 s
m 5 435 kg
u
u
y
u
u
t
a) La variació de la quantitat de moviment.
p0 5 m v0 5 435 ? 30,56 5 1,33 ? 10 4 N?s
abans xoc
després xoc
p 5 m v 5 435 ? 22,22 5 9,67 ? 103 N?s
D p 5 p 2 p0 5 9,67 ?103 2 1,33 ? 10 4
D p 5 23 630 N?s
b) La força mitjana amb què es frena l’automòbil, aplicant
el teorema de l’impuls mecànic.
Dp
23 630
I 5 F D t 5 D p F 5 —— 5 ———— 5 23 025 N
Dt
1,2
Representa la situació, suposant que la velocitat inicial és negativa:
m 5 25 g 5 0,025 kg
i
u
v0 5 84 km/h 5 23,33 m/s u
y
u
F 5 26 N
u
t
Dt 5 0,05 s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
Apliquem el teorema de l’impuls lineal i aïllem v:
I 5 F D t 5 D p m v 2 m v0 5 F Dt F Dt 1 m v0
v 5 ——————— m
26 ? 0,05 1 0,025 ? (223,33)
v 5 ——————————————— 5
0,025
5 28,67 m/s 5 103,2 km/h
4. Una pilota de golf de massa 30 g que està inicialment en
repòs és impulsada pel jugador i agafa una velocitat de
104 km/h. Aplicant el teorema de l’impuls mecànic, estimeu quina ha estat la força mitjana efectuada sobre la pilota, suposant que aquesta ha actuat durant un interval de
temps de 0,07 s.
m 5 30 g 5 0,03 kg
i
u
v 5 104 km/h 5 28,89 m/s u
y
u
Dt 5 0,07 s
u
t
04
75
Calculeu l’impuls mecànic, la quantitat de moviment final i
la velocitat final del cos, suposant que inicialment la seva
velocitat és de 2,3 m/s.
Calculem l’impuls, calculant l’àrea del triangle definit pel gràfic
F-t, tenint en compte que correspon a l’àrea d’un triangle de
base 0,4 i altura 2,4:
0,4 ? 2,4
I 5 àrea 5 ————— 5 0,48 N?s
2
Per calcular la quantitat de moviment final, apliquem el teorema de l’impuls, amb v0 5 2,3 m/s i m 5 850 g 5 0,85 kg.
I 5 D p p 2 p0 5 I p 5 I 1 p 0 5 0,48 1 0,85 ? 2,3 5 2,4 N?s
Per últim, calculem la velocitat final:
p
2,4
p 5 m v v 5 — 5 ——— 5 2,9 m/s
m
0,85
v0 5 0
Dp
m v 2 m v 00
I 5 F Dt 5 D p F 5 —— 5 ———————
5
Dt
Dt
7. Sobre una pilota de tennis, de 35 g de massa, actua la força
donada per l’expressió F (t) 5 22 2 2 ? 102 t, on F només
adopta valors positius i t0 5 0. Calculeu:
m 5 35 g 5 0,035 kg; F (t) 5 22 2 2 ? 10 2 t
0,03 ? 28,89
5 ——————— 5 12,4 N
0,07
5. Un automòbil que està sortint d’una població per una carretera recta va a una velocitat constant de 50 km/h. Quan ja
n’ha sortit, el conductor, de 64 kg de massa, veu un senyal
que li permet augmentar la velocitat fins a 80 km/h, i accelera durant mig minut fins a assolir aquesta velocitat.
Determineu, aplicant el teorema de l’impuls:
a) La variació de la quantitat de moviment que ha experimentat el conductor.
vi 5 50 km/h 5 13,89 m/s
a) El temps durant el qual ha actuat la força, i dibuixeu el
gràfic de F en funció de t.
Com que F només adopta valors positius, tenim que:
22 2 2 ? 10 2 t . 0 2 ? 10 2 t , 22 22
t , ————
5 0,11 s
2 ? 10 2
Per tant, F ha actuat entre t 0 5 0 i t 1 5 0,11 s.
El gràfic F-t és (F (0) 5 22 2 2 ? 10 2 ? 0 5 22 N):
vf 5 80 km/h 5 22,22 m/s
vf
D p 5 m ( 2 vi ) 5 64 ? (22,22 2 13,89) 5 533 kg?m/s
b) La força mitjana sobre el conductor en la direcció del
seu moviment durant aquest interval de temps.
D t 5 0,5 min 5 30 s
Dp
533
F 5 —— 5 ——— 5 17,8 N
Dt
30
b) La velocitat final de la pilota, suposant que està inicialment en repòs.
6. Un cos de 850 g és impulsat amb una força donada pel gràfic següent (fig. 4.11):
Calculem en primer lloc l’impuls a partir de l’àrea del triangle definit pel gràfic F -t (base: 0,11 s i altura: 22 N):
0,11 ? 22
I 5 ————— 5 1,21 N?s
2
F (N)
3
Finalment, apliquem el teorema de l’impuls i aïllem v (v0 5 0):
2,4
2
I
I 5 D p m v 2 m v0 5 I v 5 — m
1
0,1
0,2
0,25
0,3
0,4
t (s)
1,21
v 5 ———— 5 34,57 m/s 5 124,5 km/h
0,035
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
04
76
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
8. En un experiment de laboratori, s’ha determinat el gràfic de
la força efectuada per un bloc de fusta fix sobre un corró
de 37 g de massa que xoca amb ell i que porta una velocitat
inicial de 8,3 m/s, utilitzant un sensor de força i analitzant
les mesures obtingudes amb un programa informàtic. Per
fer-ne el tractament, el gràfic obtingut (fig. 4.12) s’ha superposat sobre una quadrícula, en la qual, en cada quadret,
el costat horitzontal representa 0,005 s i el costat vertical, 1 N.
I 5 Dp 5 m ? (vf 2 vi) I
0,543
vf 5 — 1 vi 5 ———— 1 (28,3) 5 6,36 m/s
m
0,037
9. La força que actua sobre un cos de massa 1,8 kg ve donada
per la funció F (t) 5 5 2 4 t, expressada en N. Calcula la
velocitat final del cos, suposant que la força actua entre els
instants t0 5 0 i t 5 1 s i que el cos es mou inicialment a
una velocitat de 3,5 m/s.
F (N)
14
12
10
8
6
4
2
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12 t (s)
Determineu la velocitat final del corró. (Indicació: determineu l’impuls calculant, en el gràfic F-t, les àrees per defecte
i per excés).
Representem la funció F (t) tenint en compte que la força actua
entre t 0 5 0 i t 5 1 s.
m 5 37 g 5 0,037 kg
j t 5 1 s F (1) 5 5 2 4 ? 1 5 5 2 4 5 1 N
vi 5 28,3 m/s
vf 5 ?
Primer calcularem l’impuls efectuat pel bloc de fusta sobre el
corró calculant l’àrea del gràfic F-t. Com que no és una àrea regular mesurarem l’àrea per excés i per defecte amb l’ajuda de la
quadrícula i tenint en compte que cada quadrícula equival a
0,005 N?s:
F (N)
j t 0 5 0 F (0) 5 5 2 4 t 5 5 2 4 ? 0 5 5 N
Calculem l’impuls a partir del gràfic F-t. En aquest cas, l’àrea
tancada per aquest gràfic es compon d’un triangle de base 1 i
altura 5 2 1 5 4, i un rectangle de base 1 i altura 1:
1?4
I 5 àrea 5 ——— 1 1 ? 1 5 2 1 1 5 3 N?s
2
Apliquem el teorema de l’impuls i aïllem v tenint en compte que
m 5 1,8 kg i v0 5 3,5 m/s:
I 5 D p m v 2 m v0 5 I 14
I 1 m v0
I
v 5 ————— 5 — 1 v0 5
m
m
12
10
8
3
5 —— 1 3,5 5 5,2 m/s
1,8
6
4
2
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12 t (s)
F (N)
14
12
10. [Curs 1999-2000] Un cos es mou amb una velocitat de 5 m/s.
Si de cop es trenca en dues parts iguals de manera que una
d’elles es mou amb una velocitat de 2 m/s en la mateixa
direcció i sentit que el cos original, quina serà la velocitat
(en mòdul, direcció i sentit) de l’altra part?
Apliquem la conservació del moment lineal:
10
m
m
m ? 5 5 — ? 2 1 — v9 v9 5 8 m/s
2
2
8
6
4
2
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12 t (s)
Ad 5 92 quadrets i
Ad 1 Ae
92 1 125
y A 5 ————
5 ————— 5
Ae 5 125 quadrets t
2
2
5 108,5 quadrets I 5 108,5 ? 0,005 5 0,543 N?s
L’altra part es mou a 8 m/s en la mateixa direcció i sentit que el
cos original i que la part que es mou a 2 m/s.
11. Una vagoneta es mou sobre un carril horitzontal amb una
velocitat de 24 km/h i porta una persona de 71 kg de massa. En un moment determinat, la persona salta de la vagoneta amb una velocitat de 2,3 m/s respecte del terra,
en sentit contrari al del moviment de la vagoneta. Feu un
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
esquema que representi les situacions inicial i final, i calculeu la velocitat final de la vagoneta, sabent que aquesta
té una massa de 198 kg i sense tenir en compte el fregament.
04
77
a) S’ha conservat la quantitat de moviment de la primera
bola?
Dp1 5 m1 (v91 2 v1) 5 0,120 ? (1,8 2 3,8) 5 20,24 kg?m/s.
No es conserva.
b) Quin impuls ha efectuat la primera bola sobre la segona?
m 1 5 198 kg, v1 5 24 km/h 5 6,67 m/s, v19 5 ?
m 2 5 71 kg, v2 5 24 km/h 5 6,67 m/s, v29 5 22,3 m/s
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment i aïllem v1’:
m 1 v1 1 m 2 v2 5 m 1 v19 1 m 2 v29 198 ? 6,67 1 71 ? 6,67 5 198 v19 1 71 (22,3) v19 5 9,89 m/s 5 35,6 km/h
12. Un estudiant de física vol comprovar experimentalment el
principi de conservació del moment lineal en un billar, i
utilitza un sensor de moviment per tal de determinar les
velocitats d’una bola abans i després de xocar amb una de
les bandes, i els temps d’impacte. Llança una bola de 120 g
de massa en direcció perpendicular a una de les bandes,
que rebota en la mateixa direcció. Les velocitats de la bola
mesurades just abans del xoc amb la banda i just després
són, en mòdul, de 3,2 m/s i de 2,8 m/s, respectivament,
amb un temps d’impacte amb la banda de 0,15 s.
a) S’ha conservat la quantitat de moviment de la bola?
Dp 5 m (vf 2 v0) 5 0,120 ? (23,2 2 2,8) 5
5 20,72 kg?m/s
b) Quin impuls ha efectuat la banda sobre la bola?
I 5 Dp 5 20,72 N?s
c) Quina força mitjana ha efectuat la banda sobre la bola?
I la bola sobre la banda?
0,72
Dp F 5 ——— 5 ——— 5 4,8 N, són forces d’acció-reacció.
Dt
0,15
13. L’estudiant del problema anterior realitza un segon experiment. Llança la bola anterior contra un altra bola de 100 g
inicialment en repòs, i mesura una velocitat per a la primera
bola tot just abans del xoc de 3,8 m/s. Les velocitats de
les boles just després del xoc són, respectivament, d’1,8 m/s
i de 2,4 m/s, totes dues en el mateix sentit que la velocitat
inicial de la primera bola, i el temps d’impacte ha estat de
0,07 s.
Dades:
v91 5 1,8 m/s; v92 5 2,4 m/s
c) Quina força mitjana ha efectuat la primera bola sobre la
segona? I la segona sobre la primera?
Són forces d’acció-reacció. Per tant, són oposades i de mò0,24
I dul igual i de valor: F 5 —— 5 ——— 5 3,43 N
Dt
0,07
14. Un dia en què ha nevat força s’ha dipositat una gran quantitat de neu sobre el sostre d’una estació; en el moment en
què una màquina de tren de 9,1 t passa per l’estació, li cauen
a sobre 396 kg de neu. Calculeu la velocitat que portava la
màquina, sabent que la seva velocitat final és de 23 km/h i
que la neu ha caigut suaument.
m 1 5 9,1 t 5 9,1 ? 103 kg; v1 5 ?
m 2 5 396 kg; v2 . 0 (ja que ha caigut suaument)
m T 5 m 1 1 m 2 5 9,1 ? 10 3 1 396 5 9,496 ? 10 3 kg;
v9 5 23 km/h 5 6,39 m/s
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment i aïllem v1:
m 1 v1 1 m 2 v2 5 m T v9 9,1 ? 10 3 ? v1 5 9,496 ? 10 3 ? 6,39 v1 5 6,67 m/s 5 24 km/h
15. Els astronautes d’un transbordador espacial de 47,5 t es
volen allunyar d’una estació espacial i tornar a la Terra. En
un moment donat, engeguen els motors i els gasos de combustió són expulsats a una velocitat de 720 m/s respecte de
l’estació. Calculeu l’augment de velocitat que experimenta
el transbordador, sabent que inicialment està en repòs respecte de l’estació i que la massa dels gasos expulsats és de
950 kg.
m 5 47,5 t 5 4,75 ? 10 4 kg; v 5 0
m1 5 950 kg; v19 5 720 m/s
m 2 5 4,75 ? 10 4 2 950 5 4,655 ? 10 4 kg; v29 5 ?
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment i aïllem v29:
m v 5 m1 v19 1 m2 v29 950 ? 720 1 4,655 ? 10 4 v29 5 0 m1 5 0,120 kg; m2 5 0,100 kg
v1 5 3,8 m/s; v2 5 0
La variació de la quantitat de moviment de la primera bola
és deguda a l’impuls que ha exercit la segona bola. Pel principi d’acció-reacció, l’impuls de la primera bola sobre la segona és igual a I12 5 2I21 5 0,24 N?s.
950 ? 720
v29 5 2 ——————
5 214,7 m/s 4,655 ?10 4
Dv 5 14,7 2 0 5 14,7 m/s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
78
05
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Unitat 5. Treball i energia
Activitats
1. Justifiqueu en quines de les situacions següents es realitza treball i en quines no:
4. Volem moure un trineu per una pista de gel horitzontal
amb velocitat constant, i apliquem una força de 40 N que
forma un angle de 35º amb l’horitzontal.
Primer dibuixem un esquema de les forces que actuen sobre el
trineu:
a
a) Empenyem un moble molt pesat sense aconseguir moure’l.
b) Aguantem una bossa plena de menjar a la cua del supermercat sense que la cua avanci.
c) Un jugador de bàsquet llança la pilota a la cistella.
d) Donem corda a una joguina mecànica.
e) Aguantem una maleta mentre ens desplacem horitzontalment.
f ) Aguantem una maleta mentre pugem per unes escales.
En a) i b) no es realitza treball perquè no hi ha desplaçament.
En c), d) i f) es fa treball perquè s’aplica una força sobre un cos
que es desplaça en una direcció no perpendicular a la força, tot
i que en c) s’aplica durant un instant de temps molt petit (mentre la pilota es desplaça sobre les mans). En e) no es fa treball
perquè la força aplicada és perpendicular al desplaçament.
2. Un objecte es desplaça 10 m quan hi actua una força de
20 N. Calculeu el treball realitzat sobre l’objecte, quan la
força:
a) Té el mateix sentit que el desplaçament de l’objecte.
W 5 F D r W 5 20 ? 10 5 200 J
b) Té sentit contrari al desplaçament de l’objecte.
W 5 20 ? 10 ? cos 180° 5 2200 J
c) És perpendicular al desplaçament de l’objecte.
W 5 20 ? 10 ? cos 90° 5 0
3. Volem moure un armari de massa 100 kg. Si la força de
fregament amb el terra és de 250 N:
a) Quina és la força mínima que cal fer per moure’l?
F 2 Ff 5 m a F 5 Ff 5 250 N
a) Quin és el treball efectuat per la força aplicada quan el
trineu es desplaça 10 m?
Calculem el treball:
W 5 F (cos a) d 5 40 ? cos 35° ? 10 5 328 J
b) Quina és la força de fregament efectuada per la pista
sobre el trineu?
Com que el trineu no té acceleració en la direcció X ja que
es mou a velocitat constant, la força de fregament és oposada al component horitzontal de la força F i els treballs
respectius també seran oposats. Per tant, la força de fregament la podem trobar a partir del resultat de l’apartat
anterior:
Wfregament
2WF
328
Ff 5 —————— 5 ——— 5 2——— 5 232,8 N
d
d
10
El signe negatiu indica que la força de fregament té el sentit negatiu de l’eix X.
c) Quan val el coeficient de fregament si la massa del trineu val 30 kg?
Com que el trineu està en moviment, actua el fregament
dinàmic que val:
Ff
Ff 5 md N md 5 ——
N
Així, podem determinar el coeficient de fregament dinàmic
a partir de la força de fregament i de la força normal. Per
trobar el valor d’aquesta última imposem la condició d’equilibri de forces en la direcció Y, donat que en aquesta direcció el cos no té acceleració. En mòdul:
b) Amb quina acceleració es mourà si apliquem una força
horitzontal constant de 300 N?
F 2 Ff 5 m a 300 2 250 5 100 a 50
a 5 —— 5 0,5 m/s2
100
c) Quin és el treball resultant durant els 10 s inicials?
W 5 (F 2 Ff ) D x
1
1
D x 5 — a Dt 2 D x 5 — ? 0,5 ? 102 5 25 m
2
2
W 5 (300 2 250) ? 25 5 1 250 J
F sin a 1 N 5 m g N 5 m g 2 F sin a
Per tant:
Ff
32,8
md 5 ———————— 5 ——————————— 5 0,12
m g 2 F sin a
30 ? 9,8 2 40 sin 35°
d) Quin treball net s’ha efectuat sobre el trineu?
Sobre el trineu s’ha efectuat un treball total nul ja que la
força neta és nul.la.
5. Un bloc de fusta de 7,5 kg de massa baixa per un pla inclinat (a 5 37º) des d’una altura de 4 m. Si el pla inclinat té
un coeficient de fregament de 0,18, determineu el treball
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
05
FÍSICA 1
realitzat pel pes del cos, pels components tangencial i
normal del pes, i per la força de fregament.
El treball realitzat pel pes és: m ? g ? h 5 7,5 ? 9,8 ? 4 5 294 J
I el treball associat val:
h
1,75
W 5 fmín grua d 5 fmín grua ——— 5 8,22 ? 103 ———— 5
sin a
sin 30°
El treball realitzat pel component normal del pes no fa treball
perquè és perpendicular al desplaçament.
Per tant, el treball realitzat pel component tangencial del pes
és igual al treball realitzat pel pes que ja hem calculat abans. Si
es vol, es pot comprovar:
h
Wtan genc 5 m ? g ? sin a ? d 5 m ? g ? sin a ? ——— 5 m ? g ? h
sin a
79
5 3,44 ? 104 J
7. Un cos de massa m està unit a una molla que compleix la
llei de Hooke, segons la funció F 5 8 x, en unitats del SI.
Calculeu el treball necessari per deformar-la 10 cm.
F (x) 5 8 x
x (m)
F (N)
0
0,1
0
0,8
El treball realitzat per la força de fregament val:
W 5 2m N d 5 2m ? m ? g ? cos a ? d 5
h
5 2m ? m ? g ? cos a ? ——— 5 270,2 J
sin a
6. Una grua ha de pujar un automòbil avariat de 1 250 kg de
massa fins a la seva plataforma, a 1,75 m d’altura respecte
del terra, mitjançant uns rails que formen un cert angle
amb l’horitzontal i que presenten un coeficient de fregament de 0,35. Quina força mínima ha de fer el motor elevador de la grua i quin treball efectua si l’angle és de 20º?
I si l’angle és de 30º? A quina conclusió arribem? Per què
creus que són útils els plans inclinats?
Primer dibuixem un esquema de les forces que actuen sobre el
cotxe:
La força mínima que ha de fer la grua és igual a la suma del
component tangencial del pes i del màxim valor de la força de
fregament estàtic, per tal de poder iniciar el moviment:
Fmín grua 5 Fmàx f 1 px 5 m N 1 m g sin a
Per altra banda, la força normal és igual al component perpendicular del pes:
N 5 py 5 m g cos a
Per tant, la força mínima que ha de fer la grua és:
1
W 5 — ? 0,8 ? 0,1 5 0,04 J
2
8. Estirem una molla fins a una longitud determinada x9 des
de la seva posició d’equilibri. El treball W9 que haurem de
realitzar, com serà respecte del que hauríem de realitzar
(W) per estirar la molla una longitud x quatre vegades més
gran que x9?
1
W 5 — k (Dx)2
2
1
Si Dx9 5 4 D x, aleshores W9 5 — k (4 D x)2 5 16 W. El tre2
ball que hem de realitzar és 16 vegades més gran.
9. Una partícula de 9 g de massa inicialment en repòs a l’origen de coordenades es posa en moviment en l’eix X quan hi
actua una força neta Fx que ve donada pel gràfic següent
(fig. 5.17).
F (N)
20
Fmín grua 5 m g (m cos a 1 sin a)
Si a 5 20° s’obté:
fmín grua 5 1 250 ? 9,8 (0,35 cos 20° 1 sin 20°) 5 8,22 ? 103 N
10 20 30 40 50 60 X (cm)
I el treball associat val:
h
1,75
W 5 fmín grua d 5 fmín grua ——— 5 8,22 ? 103 ———— 5
sin a
sin 20°
20
5 4,21 ? 104 J
Si a 5 30° s’obté:
fmín grua 5 1 250 ? 9,8 (0,35 cos 30° 1 sin 30°) 5 9,84 ? 103 N
Determineu el treball realitzat sobre la partícula quan es
desplaça entre les posicions x 5 0, x 5 20 cm, i entre
x 5 20 cm, x 5 50 cm.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
80
05
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
La gràfica defineix dues àrees diferents:
j l’àrea triangular de 10 cm de base i 20 N d’altura:
20 ? 0,1
A1 5 ———— 5 1
2
j l’àrea rectangular de 10 cm de base i 20 N d’altura:
A2 5 20 ? 0,1 5 2
Calculem, per tant, el treball W1 realitzat sobre la partícula
quan es desplaça entre les posicions x 5 0 i x 5 20 cm com la
suma de les àrees:
W 1 5 A1 1 A2 5 3 J
amb moviment uniformement accelerat i assoleix l’altura
d’1,15 m. Continua amb velocitat constant i, en arribar a
l’altura de 7,85 m, frena durant 1,1 s fins a aturar-se al
tercer pis. Determineu els treballs i les potències desenvolupats pel motor de l’ascensor en els tres trams del seu
recorregut.
Primer tram:
v0 5 0
Dx 5 1,15 m
Dt 5 1,1 s
1
D x 5 v0 ? Dt 1 — a ? Dt 2 2
i el treball entre x 5 20 cm i x 5 50 cm com:
2 Dx
2 ? 1,15
a 5 ———
5 ————
5 1,9 m/s2
Dt 2
(1,1)2
W1 5 A1 2 A2 2 A1 5 22 J
10. Calculeu el treball en quilowatts hora i la potència en quilowatts desenvolupats per un carretó elevador en aixecar
500 kg de totxos i col.locar-los a una altura de 20 m en un
temps de 30 s. Com varia el resultat si els col.loca de cop o
si els va col.locant, en el mateix temps total, en grups de
250 kg?
v 5 v0 1 a ? D t 5 1,9 ? 1,1 5 2,09 m/s
Segona llei de Newton
F1 2 p 5 m ? a F 5 m ? (a 1 g) 5 1 600 ? (1,9 1 9,8) 5
5 1,87 ? 104 N
W 5 F D x W 5 m g h 5 500 ? 9,8 ? 20 5 98 000 J
W1 5 F1 ? D x 5 1,87 ? 104 ? 1,15 5 2,15 ? 104 J
1 kWh
98 000 J ? ——————
5 0,027 kWh
3,6 ? 106 J
W1
2,15 ? 104
P1 5 —— 5 ————— 5 1,96 ? 104 W
Dt
1,1
La potència desenvolupada ve donada per:
W
9,8 ? 104 J
P 5 —— 5 —————— 5 3,3 kW
Dt
30 s
Si en comptes d’aixecar-los de cop, ho fem en grups de 250 kg,
es realitza dues vegades un treball de valor la meitat que l’anterior, perquè la massa cada vegada és la meitat. El treball total
no varia i, per tant, tampoc varia la potència desenvolupada si
el treball total es realitza en el mateix interval de temps.
Segon tram:
Dx 5 7,85 2 1,15 5 6,70 m
v 5 2,09 m/s
Dx
6,70
D t 5 —— 5 ——— 5 3,2 s
v
2,09
v 5 ctnt
a50
F2 5 m ? g 5 1 600 ? 9,8 5 1,57 ? 104 N
11. Un motor elèctric desenvolupa una potència mitjana de
2,5 CV. Si desenvolupa una potència d’1,2 kW, quin és el
rendiment d’aquest motor?
P 5 1,2 kW i
u
y
u
Pd 5 2,5 CV t
1 200 W
h 5 —————————— 5 0,65
735 W
2,5 CV ? ————
1 CV
12. Una màquina de 8 CV funciona durant una hora i mitja. Quin
treball ha desenvolupat? Doneu el resultat en joules i en
quilowatts hora.
W 5 Pt
735 W
60 s
W 5 80 CV ? ———— ? 90 min ? ———— 5 3,17 ? 107 J
1 CV
1 min
3,17 ? 107
1 kWh
J ? ——————
5 8,82 kWh
3,6 ? 106 J
13. Un ascensor de 1 600 kg puja des de la planta baixa d’un
edifici fins al tercer pis, a 9 m d’altura. Arrenca des del
repòs de manera que, durant els primers 1,1 s, es mou
W2 5 F2 ? D x 5 1,57 ? 104 ? 6,70 5 1,05 ? 105 J
W2
1,05 ? 105
P2 5 —— 5 ————— 5 3,28 ? 104 W
Dt
3,2
Tercer tram:
Dx 5 9 2 7,85 5 1,15 m
Dt 5 1,1 s
v0 5 2,09 m/s
v50
22,09
0 2 v0
v 5 v0 1 a ? Dt a 5 ———— 5 ——— 5 21,9 m/s
Dt
1,1
Segona llei de Newton
F3 2 p 5 m ? a F3 5 1 600 ? (21,9 1 9,8) 5 1,26 ? 104 N
W3 5 F3 ? Dx 5 1,26 ? 104 ? 1,15 5 1,45 ? 104 J
W3
1,45 ? 104
P3 5 —— 5 ————— 5 1,32 ? 104 W
Dt
1,1
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
05
FÍSICA 1
14. Una bomba eleva 10 m3 d’aigua a una altura de 30 m en un
temps de 7 minuts i mig. Calculeu la potència de la bomba
i el seu rendiment si ha consumit una potència total de
10 kW.
81
Exemples de fonts energètiques no renovables:
j El carbó utilitzat en màquines de vapor antigues. La seva
energia química es transformava en treball mecànic.
j El petroli emprat per fabricar la benzina que es transforma
103 kg
m 5 10 m3 ? ———
5 104 kg
1 m3
en treball mecànic dels vehicles.
j La fusta, la combustió de la qual també serveix per obtenir
D t 5 7,5 min 5 450 s
vapor amb el qual aconseguir treball mecànic. Si els boscos
es sobreexploten, aquesta font energètica és no renovable.
Dx 5 30 m
Pc 5 10 kW
j El gas natural, també utilitzat per escalfar líquids.
W
F?Dx
m ? g ? Dx
104 ? 9,8 ? 30
Pu 5 —— 5 ——— 5 ———— 5 —————— 5
Dt
Dt
Dt
450
5 653 W ù 0,65 kW
Pu
0,65 kW
h 5 —— 5 ———— 5 0,065
Pc
10 kW
15. En uns grans magatzems, una cinta transportadora de 35 m
de llarg puja 20 persones de massa total 1 450 kg des de
la planta baixa fins a la 1a planta, a 6 m d’altura, a una
velocitat de 0,25 m/s. Determineu el rendiment del motor
de la cinta si aquest ha consumit una potència d’1,56 CV
per pujar les 20 persones.
W 5 F Dy cos a 5 m g D y cos a 5
6
5 1 450 ? 9,8 ? 35 —— 5 85 260 J
35
DW
DW
85 260
P 5 —— 5 —— v 5 ———— 0,25 5 609 W
Dt
Dy
35
1 CV
P 5 609 W ———— 5 0,828 CV
735 W
Pu
0,828
h 5 —— 5 ———— 5 0,53 53 %
Pc
1,56
16. Citeu set exemples de fonts energètiques tant renovables
com no renovables. Quines aplicacions tenen? En quina forma fan treball?
Exemples de fonts energètiques renovables:
j L’energia eòlica utilitzada per moure les pales d’un aerogene-
j Els producte agrícoles poden ser considerats com no renova-
bles si el sòl se sotmet a una sobreexplotació. L’energia química que contenen permeten el creixement i el moviment a
altres éssers vius; és a dir, el treball mecànic.
j Els productes ramaders i de la pesca també són no renova-
bles si les fonts són sobreexplotades.
j Els radioisòtops naturals, l’energia nuclear dels quals s’utilit-
za en les centrals nuclears per obtenir vapor per moure les
turbines del generador. Tot i que alguns radioisòtops tenen
una vida mitjana molt gran, a la llarga s’exhauriran.
17. Quin factor influeix més en el valor de l’energia cinètica, la
massa de la partícula o la velocitat?
1
Ec 5 — m v 2
2
La velocitat afecta més a l’energia cinètica de la partícula, ja
que en l’expressió està elevada al quadrat.
18. Tenim dos cossos de masses una el doble que l’altra. La velocitat del cos més lleuger és el doble que la del cos més
pesat. Quina afirmació és la correcta? Raoneu-ho.
a) Els dos tenen la mateixa energia cinètica.
b) S’han desplaçat el mateix en el mateix interval de temps.
c) El cos més lleuger té el doble d’energia cinètica que el
cos més pesat.
d) El cos més pesat té el doble d’energia cinètica que el cos
més lleuger.
rador o les aspes d’un molí.
j L’energia cinètica d’un riu que fa un treball en moure una
sínia.
j L’energia solar que es pot utilitzar en un forn solar per escal-
far aigua i el vapor obtingut pot moure una turbina.
j L’energia geotèrmica del subsòl que també es pot utilitzar
per escalfar aigua.
j L’energia maremotriu que es pot utilitzar per moure turbines.
j L’energia de la biomassa a partir de la qual es poden obtenir
biocombustibles, la combustió dels quals es transforma en
treball mecànic en un vehicle.
j L’energia química de la recombinació de l’hidrogen amb l’oxi-
gen es transforma en treball mecànic en alguns vehicles,
com ara autobusos urbans.
Cos 1
Cos 2
m1 5 2 m2
m2
v1
v2 5 2 v1
1
1
Ec1 5 — m 1 v 21 5 — 2 m 2 v 21 5 m 2 v 21
2
2
1
1
Ec2 5 — m 2 v 22 5 — m 2 (2 v 21) 5 2 m 2 v 21
2
2
Si relacionem les dues expressions:
Ec1
m 2 v 21
1
——
— 2 Ec1 5 Ec2
5 —————
2 5
Ec2
2 m2v1
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
82
05
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
La resposta correcta és la c). El cos més petit té el doble d’energia cinètica que el cos més pesat.
19. Amb l’ajut d’una corda aixequem un cos de 4,5 kg, inicialment en repòs, a una altura de 5 m fent una força de 125 N.
De les següents proposicions, trieu la resposta correcta:
A) El treball efectuat per la força transmesa a través de la
corda val:
a) 500 J
b) 750 J
Com que W 5 DEc, llavors:
1
— m (v 2f 2 v 20) 5 W vf 5
2
? 1,46
10 llllll
30
lll?lll
llll
——— 1 1 ——2 5
dll—2ll——
1 410
3,6
5
2
5 16,6 m/s 5 60 km/h
21. Es dispara un projectil de 12 g de massa contra un bloc
de fusta que es manté fix, i, quan porta una velocitat de
350 m/s, s’hi incrusta tot penetrant una distància de
9,5 cm. Determineu el treball realitzat sobre el projectil i
determineu la força que, en mitjana, ha efectuat el bloc.
Per determinar la força efectuada pel bloc apliquem el teorema
del treball i l’energia cinètica, tenint en compte que, sent una
força resistent, forma un angle de 180º amb el desplaçament, i
que la velocitat final del projectil és nul.la:
c) 625 J
W 5 F ? D x 5 125 ? 5 5 625 J
La resposta correcta és la c).
B) El treball efectuat per la força de la gravetat val:
a) 2120,5 J
b) 2220,5 J
c) 2420,5 J
W 5 F ? Dx 5 2m ? g ? Dx 5 24,5 ? 9,8 ? 5 5 2220,5 J
1
1
W 5 DEc F Dx cos 180° 5 — m v2 2 — m v 20 2
2
1
2F Dx 5 2— m v 20 2
m v 20
0,012 ? 3502
F 5 ———
5 —————— 5 7 737 N
2 Dx
2 ? 0,095
I el treball val:
La resposta correcta és la b).
1
1
W 5 — m v 20 5 — 0,012 ? 3502 5 735 J
2
2
C) L’energia cinètica final del cos és:
a) 404,5 J
b) 279,5 J
c) 205,5 J
D Ec 5 WT 5 WF 1 Wp 5 625,0 2 220,5 5 404,5 J
La resposta correcta és la a).
22. Un projectil igual al de l’activitat anterior, anant a la mateixa velocitat inicial, travessa un altre bloc de fusta que
també es manté fix, i surt a una velocitat de 75 m/s. Sabent que aquest nou bloc efectua la mateixa força resistent que el de l’activitat anterior, podem concloure que:
A) El treball efectuat per la força resistent és:
20. Un automòbil de 1 410 kg es mou a velocitat constant de
30 km/h per una carretera recta. De sobte, el conductor
accelera durant un cert temps, de manera que la força neta
F que actua sobre l’automòbil durant aquest interval de
temps es representa pel gràfic següent (fig. 5.25).
F (N)
a) 735 J
b) 701,25 J
c) 2701,25 J
1
1
W 5 — 5 (v 2f 2 v 20) 5 — ? 0,012 ? (752 2 3502) 5
2
2
5 2701,25 J
7 300
Per tant, l’opció correcta és la c).
B) La longitud que ha recorregut el projectil a l’interior del
bloc ha estat de:
a) 9,5 cm
x (m)
40 m
Calculeu el treball efectuat per aquesta força, i determineu
la velocitat final de l’automòbil aplicant el teorema del treball i l’energia cinètica.
Calculem el treball a partir de l’àrea:
1
W 5 — ? 7 300 ? 40 5 1,46 ? 105 J
2
b) 9,1 cm
c) 9,9 cm
D’acord amb l’activitat anterior, la força resistent és de
7 737 N. Per tant, la longitud recorreguda ha estat de:
701,25
W l 5 —— 5 ———— 5 0,091 m 5 9,1 cm
7 737
F L’opció correcta és la b).
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
23. Quines de les forces següents són conservatives? Raoneu
la resposta.
a) La força elàstica exercida per un resort helicoïdal.
b) La força de resistència efectuada per l’aire sobre un avió
que vola.
c) La força gravitatòria exercida pel Sol sobre la Terra.
d) La força de fregament exercida pel terra sobre les rodes
d’un automòbil que frena.
Les forces de les opcions a) i c) (elàstica i gravitatòria) són
conservatives.
Les opcions b) i d) corresponen a forces no conservatives (fregament).
24. Un cos es mou des d’un punt A fins a un punt B i després
torna al punt A. Si al punt B té la mateixa velocitat que
a l’inici però quan torna de nou al punt A la seva velocitat
és menor, trieu quines de les següents afirmacions són
certes. Justifiqueu les respostes:
a) En l’anada de A a B, la força neta sobre el cos és zero.
b) En l’anada de A a B, totes les forces que actuen són conservatives.
c) En el tram de tornada de B a A, actua alguna força no
conservativa.
d) En el cicle total, totes les forces que actuen són conservatives.
L’afirmació a) només és certa si la direcció de la velocitat no ha
canviat. En el cas que no hagi canviat en mòdul però sí en direcció, hi ha hagut una acceleració i, per tant, ha actuat una
força. Perquè l’afirmació a) sigui certa cal que en tot moment la
velocitat sigui constant en mòdul i direcció ja que pot ser que
hagi actuat una força durant un cert temps i després una altra
força per retornar el cos a la velocitat inicial. Aquestes forces
fan treballs oposats però no són necessàriament oposades.
L’afirmació b) és falsa. Tot i que l’energia cinètica s’ha mantingut constant en el tram d’A a B, pot ser que hagin actuat forces
no conservatives el treball de les quals s’hagi compensat entre
si. Pensem, per exemple, en una força motriu oposada a una
força de fregament de manera que la velocitat del mòbil es
manté constant.
L’afirmació c) és falsa perquè una força conservativa en un tram
de recorregut no tancat pot provocar un canvi en la velocitat del cos.
L’afirmació d) és falsa. Si en un cicle hi ha variació de l’energia
cinètica, necessàriament ha actuat alguna força no conservativa sobre el cos.
25. Dos grups de muntanyencs assoleixen el mateix cim partint del mateix punt; el primer grup ha seguit un camí més
curt però més abrupte, mentre que el segon ha anat per un
camí amb un desnivell menys acusat però més llarg. Per a
quin dels dos grups la força de la gravetat ha desenvolupat
un treball més gran? Raoneu la resposta.
05
83
La força gravitatòria és conservativa, això vol dir que el treball
que desenvolupa sobre un cos que es mou entre dues posicions
és independent del camí seguit. Per tant, per als dos grups de
muntanyencs la força de la gravetat ha desenvolupat el mateix
treball.
26. Un alpinista de 80 kg escala 300 m per hora en ascensió
vertical. Quina energia potencial gravitatòria guanya cada
hora?
Ep 5 m g h 5 80 ? 9,8 ? 300 5 235 200 J 5 2,35 ? 105 J
27. Un espeleòleg de 75 kg de massa baixa a una cova en descens vertical. Si la cova té una profunditat de 500 m, quina
és la variació d’energia potencial gravitatòria quan arriba al
fons de la cova?
D Ep 5 m g h 2 0 5 75 ? 9,8 ? (2500) 5 2367 500 J 5
5 23,68 ? 105 J
28. Un grup d’alumnes raona que, quan estirem una molla una
distància determinada, l’energia potencial elàstica que
emmagatzema la molla és la meitat de la que emmagatzema quan s’estira una distància doble que l’anterior. Esteu
d’acord amb aquest raonament? Justifiqueu la resposta.
L’afirmació és errònia perquè l’energia elàstica depèn del quadrat de la deformació. Per tant, si s’estira una longitud meitat,
l’energia elàstica queda reduïda en un factor 4:
E0
1
(Dl)02
(D l)02
1/2 k (Dl)02
——
———
—————
5 ——————
5
5
5—
2
2
2
Ef
1/2 k (Dl)f
(Dl)f
(2 (Dl)0)
4
29. Un cos de 200 g de massa està subjectat a una molla de
constant recuperadora k 5 1 000 N/m. El conjunt està recolzat en un pla horitzontal on negligim els fregaments. Si separem el conjunt 20 cm de la posició d’equilibri, calculeu:
a) L’energia potencial elàstica que té la molla en aquesta
posició.
1
1
Ep 5 — k x2 5 — ? 1 000 ? 0,22 5 20 J
2
2
b) El treball que hem fet per portar el cos a aquesta posició.
W 5 D Ep 5 20 J
30. Una molla que està penjada del sostre té una constant elàstica de 2 500 N/m. Si al seu extrem s’hi penja una massa de
25 kg, quina longitud s’allarga la molla? Quina energia potencial elàstica emmagatzema?
F 5 k Dx m g 5 k Dx mg
25 ? 9,8
D x 5 —— 5 ———— 5 0,098 m
k
2 500
1
1
Ep 5 — k x 2 5 — ? 2 500 ? 0,0982 5 12 J
2
2
31. Un automòbil de massa 1 000 kg està parat just en el moment de pujar una rampa. Arrenca i agafa una velocitat de
54 km/h quan ha arribat a una altura de 5 m per damunt del
punt de partida. Calculeu l’energia mecànica adquirida.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
84
05
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
1
E 5 Ec 1 Ep 5 — m v 2 1 mgh
2
b)
v 5 54 km/h 5 15 m/s
1
E 5 — ? 1 000 ? 152 1 1 000 ? 9,8 ? 5 5 161 500 J 5
2
5 1,62 ? 105 J
32. Suposant que tota l’energia cinètica d’un automòbil es
transformés en energia potencial gravitatòria, fins a quina
altura podria pujar l’automòbil si portés una velocitat de
120 km/h?
1
D Ep 5 2DEc m ? g ? h 5 — m v2 2
120 2
——
v2
3,6
h 5 —— 5 ————— 5 57 m
2g
2 ? 9,8
1
2
33. Un cos de 5 kg cau des de 10 m d’altura, arriba a terra i rebota fins a una altura de 8 m. Calculeu l’energia mecànica
inicial i la final.
Ei 5 m g h0 5 5 ? 9,8 ? 10 5 490 J
Ef 5 m g hf 5 5 ? 9,8 ? 8 5 392 J
h
b
Demostreu, suposant que aconsegueix que la joguina pugi
fins a dalt en els dos casos a velocitat constant i tenint en
compte que no actua la força de fregament:
a) Que la força que ha de fer és diferent en un cas que en
l’altre.
F 5 m a. Com que la velocitat és constant, a 5 0.
Fa 5 px 5 p sin a
Fb 5 px 5 p sin b
Com que a . b sin a . sin b Fa . Fb
b) Que el treball és el mateix en els dos casos.
Wa 5 Fa xa 5 p sin a xa
h
Tenim en compte que sin a 5 ——
xa
h
Si substituïm: Wa 5 p —— xa 5 p h
xa
Fem el mateix per calcular Wb :
Activitats finals
Wb 5 Fb xb 5 p sin b xb
Qüestions
a) És perpendicular al desplaçament.
h
Tenim en compte que sin b 5 ——
xb
h
Si substituïm: Wb 5 p —— xb 5 p h
xb
b) Té un component en sentit contrari al desplaçament.
D’on veiem que Wa 5 Wb .
1. Si una força realitza un treball negatiu hem de concloure
que la força:
c) La força varia amb el temps.
d) Es tracta d’una situació impossible, ja que el treball mai
no pot ser negatiu.
Trieu la resposta correcta.
La resposta correcta és la b). Recordem que el treball ve donat
per l’expressió: W 5 F (cos a) d, on F és el mòdul de la força i
a és l’angle entre la força i el desplaçament de mòdul d. Per
tal d’obtenir un valor negatiu, cal que l’angle tingui un valor
comprès entre 90 i 270º. Això equival a dir que la força té
un component de sentit contrari al desplaçament.
2. Un nen vol fer pujar la seva joguina per plans inclinats diferents que tenen la mateixa alçària (fig. 5.44).
a)
h
a
3. Justifiqueu el fet que el treball, la potència i l’energia són
magnituds escalars.
El treball és el producte escalar del vector força pel vector desplaçament. Per tant, és un escalar. Si no es domina el càlcul
vectorial, es pot justificar tenint en compte que el treball és la
projecció de la força en la direcció del desplaçament.
La potència ve donada pel quocient entre el treball i l’interval
de temps. Com que totes dues magnituds són escalars, el seu
quocient també ho és.
L’energia també és una magnitud escalar donat que l’energia i
el treball són magnituds equivalents.
4. Si el treball realitzat per una força determinada disminueix fins a la quarta part quan la distància recorreguda
disminueix fins a la meitat, de quina força es tracta? Expliqueu-ho detalladament.
Dx
W
Si D x9 5 ——, tenim W9 5 —. Aquest cas correspon a la força
2
4
elàstica ja que el treball depèn del quadrat del desplaçament.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
05
FÍSICA 1
5. Per a un motorista que parteix del repòs i accelera uniformement augmentant de velocitat:
A) La potència que desenvolupa el motor:
a) augmenta. b) disminueix. c) és constant.
Com que la potència es pot expressar com P 5 F ? v, en augmentar la velocitat, la potència també augmenta. Per tant,
l’opció correcta és la a).
B) El treball efectuat pel motor és:
a) positiu.
b) negatiu.
c) nul.
El treball efectuat és positiu perquè l’energia cinètica augmenta. L’opció correcta és la a).
Trieu les respostes correctes.
Com que es compleix que W 5 DEc, aleshores:
Per al primer cos:
1
1 m2
m2 ? v 22
2F ? d1 5 2— m1 ? v 21 5 2— —— ? (2 v2)2 d1 5 ————
2
2 2
F
Per al segon cos:
1
m2 ? v 22
2F ? d2 5 2— m2 ? v 22 d2 5 ————
2
2F
El cos de massa recorre el doble de distància. L’opció correcta
és la b).
9. Volem que el treball realitzat per anar des del punt A fins al
punt B (fig. 5.45) sigui el mateix fent-lo pel recorregut 1
que fent-lo pel recorregut 2. Com ha de ser la força que hi
actua?
6. La normativa vigent sobre vehicles pesants els obliga a portar un aparell que en limita la velocitat.
Raoneu si això té relació amb l’energia cinètica que poden
acumular respecte dels vehicles més lleugers, si circulen a
la mateixa velocitat.
1
Ec 5 — m v 2
2
L’augment de massa comporta un augment de l’energia cinètica del vehicle, si aquest està en moviment; i per una mateixa
velocitat, un vehicle amb més massa acumula més energia cinètica.
7. Una mateixa força resultant actua sobre una moto i sobre
una pilota de tennis al llarg d’un mateix desplaçament en
la mateixa direcció i sentit. La variació de l’energia cinètica
és més gran en:
a) La moto.
c) Totes dues tindran la mateixa energia cinètica.
Si la força realitzada i el desplaçament són iguals, del teorema
del treball i l’energia cinètica, W 5 D Ec , tenim que la variació de l’energia cinètica també és la mateixa. Per tant, la resposta correcta és la c).
8. Un cos té una massa que és la meitat que la d’un altre cos,
però porta una velocitat doble. Si en un moment determinat apliquem sobre tots dos la mateixa força de frenada,
l’espai que recorrerà el primer cos serà, respecte del que
recorrerà el segon:
b) El doble.
c) La quarta part.
d) El quàdruple.
m2
Dades: m1 5 ——
2
v1 5 2 v 2
2
A
B
1
La força que hi actua ha de ser conservativa per tal que el treball realitzat sigui independent del recorregut seguit.
10. Quin tipus d’energia és emmagatzemada en les situacions
següents?
a) Un arc que ha estat tensat a punt de llançar una fletxa.
Energia potencial elàstica.
b) Una bola de billar que es mou damunt la taula quan és
impulsada pel tac.
Energia cinètica.
b) La pilota.
a) La meitat.
85
c) L’aigua d’un dipòsit situat a l’última planta d’un edifici
que abasteix els veïns dels pisos inferiors.
Energia potencial gravitatòria.
11. És possible que la velocitat d’un cos estigui dirigida cap a
l’est i la força que actua sobre ell cap a l’oest? Raoneu la
resposta.
És possible sempre i quan el cos estigui en moviment, per
exemple quan sobre el cos actua la força de fregament.
12. Tenim dos cossos en repòs. La massa d’un és el doble de
la de l’altre. L’altura en què es troba el més lleuger és el
doble que la del més pesat. Demostreu que els dos cossos
tenen:
Cos 1
Cos 2
m1
m2 5 2 m1
h1 5 2 h2
h2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
86
05
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) La mateixa energia potencial gravitatòria.
Ep1 5 m 1 g h 1 5 m 1 g 2 h 2
Ep2 5 m 2 g h 2 5 2 m 1 g h 2
D’on deduïm que Ep1 5 Ep2.
2. Sobre un cos de 2,5 kg en repòs s’aplica durant 10 s una
força de 3 N i una altra de 4 N en direccions perpendiculars
entre si. Com a conseqüència, el cos es mou en la direcció
de la força de 4 N. Si en aquesta direcció no actua cap altra
força més, calculeu:
b) La mateixa energia mecànica.
Com que l’energia cinètica és nul.la en els dos casos, l’energia mecànica també coincideix.
13. De les frases següents, quines són correctes? Quines incorrectes? Justifiqueu la vostra resposta.
a) L’energia cinètica d’un cos és negativa quan ho és la
seva velocitat.
Incorrecta. L’energia cinètica depèn del quadrat de la velocitat i sempre és positiva.
b) El rendiment d’una màquina mai no pot ser més gran
que la unitat.
Correcta. Mai es pot gastar més treball del que es disposa.
c) L’energia potencial elàstica pot assolir valors negatius.
Incorrecta. L’energia potencial elàstica sempre és positiva,
tant si la molla està comprimida com si està allargada.
d) El treball efectuat per una força conservativa al llarg
d’una trajectòria tancada és nul.
Correcta, per definició de força conservativa.
e) L’energia potencial gravitatòria sempre és positiva.
Incorrecta. Si el cos està sota el nivell del terra o de l’origen d’energia potencial gravitatòria, aquesta és negativa.
f ) L’energia mecànica és la suma de les energies cinètiques i potencials.
Correcta, per definició d’energia mecànica.
g) El treball efectuat per una força correspon a l’àrea del
gràfic F-t.
a) El treball de la força resultant.
F
4
F 5 m a a 5 — 5 —— 5 1,6 m/s2
m
2,5
42 llll
1 32 5 dll
25l 5 5 N
FR 5 dll
3
tg a 5 — 5 0,75 a 5 36,87°
4
1
1
D x 5 — ? a D t 2 5 — ? 1,6 ? 102 5 80 m
2
2
W 5 F D x cos a 5 5 ? 80 ? cos 36,87° 5 320 J
b) El treball realitzat per la força de 3 N.
W3N 5 0 a 5 90°
c) El treball realitzat per la força de 4 N.
W4N 5 F D x cos a 5 4 ? 80 ? cos 0° 5 320 J
d) La suma dels treballs fets per les dues forces considerades.
WT 5 W3N 1 W4N 5 320 J
3. Un nen vol arrossegar 5 m el carretó de 2 kg de massa per
una superfície horitzontal i ho fa mitjançant una corda que
forma un angle de 45° amb la superfície (fig. 5.46), i amb
una força de 25 N. Si el coeficient de fregament entre les
rodes del carretó i la superfície és de 0,1, calculeu:
Incorrecta. Aquesta àrea correspon a l’impuls fet per la força.
Problemes
45¡
1. Calculeu el treball que realitza una noia amb una motxilla
de 15 kg.
a) L’aguanta 5 min mentre espera entrar a l’institut per
començar les classes.
W 5 F Dr Dr 5 0 W 5 0
b) Es dirigeix a l’aula caminant a velocitat constant.
a) El treball que realitza cada una de les forces que actuen
sobre el carretó.
Wp 5 0
WN 5 0
v 5 constant F 5 0 W 5 0
c) Se la treu de l’esquena a 1 m del terra i la hi deixa.
WF 5 Fx ? cos a 5 25 ? 5 ? cos 45° 5 88,39 J
W 5 FDr
N 5 p 2 Fy 5 2 ? 9,8 2 25 ? sin 45° 5 1,92 J
W 5 m g y cos a 5 15 ? 9,8 ? 1 ? cos 180° W 5 2147 J
WFf 5 m N ? cos a 5 0,1 ? 1,92 ? 5 ? cos 180° 5 20,965 J
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
b) El treball total. Comproveu que és igual al treball que
realitza la força resultant.
WT 5 Wp 1 WN 1 WFf 1 WF 5 20,965 1 88,39 5 87,42 J
FT
5N 1p1
Ff
05
87
c) Calculeu a partir de la representació gràfica el treball
total realitzat per la força.
1r tram: W1 5 F1 D x 5 500 ? 40 5 20 000 J
2n tram: W2 5 F2 D x 5 2500 ? (70 2 40) 5 215 000 J
1F
Fx 5 Fx cos a
3r tram: W3 5 F3 D x 5 0
Ff 5 m N
FTx 5 Fx 2 Ff 5 25 ? cos 45° 2 0,1 ? 1,92 5 17,48 J
FTy 5 0
WT 5 FT x cos a 5 17,48 ? 5 ? cos 0° 5 87,42 J
WT 5 W1 1 W2 1 W3 5 20 000 2 15 000 5 5 000 J
5. Volem fer pujar un bloc de 50 kg a velocitat cons-tant per
un pla inclinat de 4 m d’alçària i 5 m de longitud, mitjançant una força aplicada en la mateixa direcció i sentit del
desplaçament del cos. Calculeu:
4. Un cos de massa 100 kg es mou segons un moviment rectilini, d’acord amb la figura 5.47.
v (m/s)
20
10
2
6
4
8
t (s)
a) La força que s’ha de realitzar, suposant que no existeix
fregament entre el cos i el pla inclinat.
a) Calculeu quina força actua en cada tram del moviment.
Dv
20
1r tram: a 5 —— 5 —— 5 5 m/s2
Dt
4
F 5 m a F 5 100 ? 5 5 500 N
10 2 20
2n tram: a 5 ————— 5 25 m/s2
624
F 5 2100 ? 5 5 2500 N
3r tram: a 5 0 F 5 0
b) Representeu gràficament la força respecte del desplaçament del cos.
1
1
1r tram: x 5 — a D t 2 5 — ? 5 ? 42 5 40 m
2
2
1
2n tram: x 5 x0 1 v0 D t 1 — a D t 2 5
2
1
5 40 1 20 ? (6 2 4) 2 — ? 5 ? (6 2 4)2 5 70 m
2
3r tram: x 5 x0 1 v D t 5 70 1 10 ? (8 2 6) 5 90 m
S F 5 ma 5 0
F 5 px 5 m g sin a
h
4
F 5 m g — 5 50 ? 9,8 ? — 5 392 N
x
5
b) El treball que s’ha realitzat quan el bloc arriba a dalt del
pla inclinat.
W 5 F D x 5 392 ? 5 5 1 960 J
c) La força que s’ha de realitzar, si el coeficient de fregament entre el cos i el pla és de 0,1.
F 5 px 1 F f 5 m g sin a 1 m N 5 m g sin a 1 m m g cos a 5
5 m g (sin a 1 m cos a)
4
sin a 5 — a 5 53,13°
5
F 5 50 ? 9,8 ? (sin 53,13° 1 0,1 ? cos 53,13°) 5 421,4 N
d) Quin és l’avantatge d’utilitzar un pla inclinat per pujar
el bloc en lloc d’elevar-lo verticalment?
Tot i que realitzen el mateix treball, per pujar-lo pel pla
indicant la força que fan és de 392 N; i quan l’elevem la
força que hem de fer ha de ser igual al pes del cos, és a dir,
490 N.
6. Una molla està estirada una longitud de 4,0 cm a partir
de la seva posició natural quan apliquem una força de
6 N. Si apliquem una força addicional de 12 N, la longitud
de la molla augmenta fins a 24,7 cm. Trieu la resposta correcta.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
88
05
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
A) La longitud natural de la molla és:
b) Calculant el treball realitzat amb la gràfica i aplicant el teorema del treball i l’energia cinètica.
a) 8,0 cm
b) 12,7 cm
Ho farem de les dues maneres per els dos primers trams:
c) 20,7 cm
1r tram:
Calculem primer la constant elàstica de la molla:
v0 5 2 m/s
Dx 5 3 m
Faplicada 5 2Felàstica 5 k Dx 6
Faplicada
k 5 ————— 5 —————
5 150 N/m
Dx
4 ? 1022
F
12
a) F 5 m ? a a 5 — 5 —— 5 4,44 m/s2
m
2,7
v2 2 v 20
v 20ll
1ll
2 alll
Dxl 5
D x 5 —————
v 5 dll
2a
Si s’apliquen 12 N addicionals, aleshores la força aplicada val:
Faplicada 5 6 1 12 5 18 N
llll
22l1lll
2 ?ll
4,44
? 3l 5 5,5 m/s
5 dll
Faplicada
18
L’allargament val: Dx 5 ———— 5 ——— 5 12 cm
k
150
A partir d’aquest valor trobem la longitud natural de la molla:
b) W 5 àrea 5 12 ? 3 5 36 J
1
DEc 5 W 5 — m (v 2 2 v 20) 2
x0 5 x 2 D x 5 24,7 2 12 5 12,7 cm
Per tant, l’opció correcta és la b).
B) El treball que hem de fer per estirar-la des de la primera
posició fins a la segona val:
v5
2W
? 36
lll
ll llll2ll
ll
5 d 2 1 ——— 5 5,5 m/s
dllv ll1ll——
m
2,7
2
0
2
a) 0,96 J
2n tram:
b) 1,08 J
v0 5 5,5 m/s
c) 0,48 J
Dx 5 3 m
La diferència entre l’energia potencial elàstica a cada posició és el treball per a passar d’una a altra:
F
12
a) F 5 m ? a a 5 — 5 —— 5 4,44 m/s2
m
2,7
1
1
W 5 — k (D xf)2 2 (Dx0)2 5 — 150 (0,122 2 0,042) 5
2
2
v2 2 v 20
v 20ll
1ll
2 alll
Dxl 5
D x 5 —————
v 5 dll
2a
5 0,96 J
2 1
lll
llll
5,l
5lll
2 ?ll
4,44
? 3l 5 7,6 m/s
5 dll
3
4
Per tant, l’opció correcta és la a).
b) W 5 àrea 5 12 ? 3 5 36 J
7. Sobre un cos de 2,7 kg actua la força donada pel gràfic següent:
1
DEc 5 W 5 — m (v 2 2 v 20) 2
F (N)
v5
12
2W
? 36
lll
lllllllll2ll
ll
5 d 5,5 1 ——— 5 7,6 m/s
dllv ll1ll——
m
2,7
2
0
2
Per el tercer tram no podem utilitzar el primer mètode ja que la
força no és constant i, per tant, l’acceleració tampoc. Veiem
doncs que el segon mètode té més aplicacions que no pas el
primer.
X (m)
3
6
9
Si a la posició x 5 0, la velocitat del cos és de 2 m/s, determineu les velocitats del cos quan ha assolit les posicions
x 5 3 m, x 5 6 m i x 5 9 m.
3r tram:
v0 5 7,6 m/s
12 ? 3
b) W 5 àrea 5 ——— 5 18 J
2
1
DEc 5 W 5 — m (v 2 2 v 20) 2
Per determinar les velocitats demanades podem fer-ho de dues
maneres diferents:
a) Mitjançant la segona llei de Newton per determinar l’acceleració i utilitzant després les equacions del MRUA,
v5
2 ll
Wl
? 18
lllllllll2ll
ll
5 d 7,6 1 ——— 5 8,4 m/s
dllv ll1ll——
m
2,7
2
0
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
2
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
8. Una grua aixeca una biga de 100 kg a una altura de 15 m i
després desplaça la càrrega horitzontalment 10 m a velocitat constant.
a) Quant val el treball realitzat?
W 5 F D y 5 m g D y 5 100 ? 9,8 ? 15 5 14 700 J
b) Quina potència útil té la grua si tarda 1 min a alçar la
biga?
W
14 700
P 5 — 5 ———— 5 245 W
t
60
c) Quin és el rendiment de la grua si ha consumit una potència de 450 W?
245
h 5 —— 5 54 %
450
Ff 5 6 N
89
a) Si empenyeu la vagoneta amb una força de 100 N durant
50 s sense aconseguir que la vagoneta es mogui.
W 5 100 ? 0 5 0 J
b) Si l’empenyeu amb una força constant de 200 N en la
direcció de la via, fent un recorregut 50 m en 10 s.
W 5 200 ? 50 5 10 000 J
c) Si empenyeu la vagoneta amb una força de 500 N que fa
un angle de 60° amb la via, i la vagoneta recorre 100 m
en 12,65 s.
W 5 500 ? 100 ? cos 60° 5 25 000 J
d) Calculeu la potència desenvolupada en els tres apartats
anteriors.
Pa 5 0
W
10 000
Pb 5 — 5 ———— 5 1 000 W
t
10
9. Un objecte de 10 kg és arrossegat per una pista horitzontal
una distància de 10 m, amb una força constant de 100 N
que forma un angle de 60° amb la direcció del desplaçament. La força de fregament d’aquest objecte amb el terra
és de 60 N. Calculeu:
F 5 100 N
05
25 000
Pc 5 ———— 5 1 976,28 W
12,65
11. Un ascensor de massa 850 kg, que porta dues persones a
l’interior de 70 kg i 75 kg de massa, puja des de la planta
baixa fins al 7è pis en 45 s. Si cada pis té una altura de 3 m,
quina potència ha de desenvolupar el motor de l’ascensor si
el rendiment de la instal.lació és del 55 %.
mtotal 5 850 1 70 1 75 5 995 kg
D y 5 7 ? 3 5 21 m
a) El treball realitzat per la força aplicada, per la força de
fregament i per la força pes.
Wp 5 m g Dx cos a 5 m g Dx cos 90° 5 0
WF 5 F Dx cos a WF 5 100 ? 10 ? cos 60° 5 500 J
WFf 5 Ff D x cos a 5 26 ? 10 5 260 J
Dt 5 45 s
h 5 55 %
W 5 F ? D y 5 m ? g ? D y 5 995 ? 9,8 ? 21 5 204 771 J
W
204 771
Pu 5 —— 5 ———— 5 4 550,47 W 5 6,19 CV
Dt
45
Pu
h 5 —— ? 100 Pc
b) La potència total desenvolupada per totes les forces que
hi actuen.
S F 5 Fx 2 Ff 5 100 ? cos 60° 2 6 5 44 N
F
44
S F 5 m a a 5 — 5 —— 5 4,4 m/s2
m
10
1
x 5 — a t2 t 5
2
?ll
10l
—— 5 2,13 s
dll—2all—x 5 dll—2l4,4
WF
500
PF 5 —— 5 ——— 5 234,52 W
t
2,13
WFf
60
PFf 5 —— 5 ——— 5 28,17 W
t
2,13
Pp 5 0
10. Una vagoneta que té una massa de 200 kg es troba sobre
una via horitzontal. Calculeu el treball que es fa en els casos següents:
Pu
6,19
Pc 5 —— ? 100 5 ——— ? 100 5 11,26 CV
h
55
El motor ha de desenvolupar una potència de 11,26 CV.
12. Un camió de 60 tones porta una velocitat de 72 km/h i de
sobte frena. Si s’atura 10 s després, quina ha estat la potència mitjana de la frenada?
m 5 60 t 5 60 000 kg
v 5 72 km/h 5 20 m/s
1
W 5 D Ec W 5 0 2 — m v 2 5
2
1
5 2— ? 60 000 ? 20 2 5 21,2 ? 107 J
2
W
1,2 ? 107
P 5 — 5 ———— 5 1,2 ? 106 W
t
10
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
05
90
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
13. Es vol dissenyar el teleesquí d’una pista d’esquí per a principiants que té 150 m de llarg i un pendent d’angle 20º.
El teleesquí ha de poder arrossegar simultàniament 40 esquiadors, de 75 kg de massa mitjana, a una velocitat de
12 km/h, i els cables que els estiren han de formar un angle
de 40º amb la pista. Si el motor que mou tot el sistema té
un rendiment del 75 %, i sabem que el coeficient de fregament que presenta la pista val, de mitjana, 0,09, quina
ha de ser la potència que ha de tenir el motor d’aquest sistema?
a) Quina és la força de fregament?
F 2 Ff 5 m a Ff 5 F 2 m a 5 100 2 10 ? 5 5 50 N
b) A quina velocitat es mou als 20 s?
v 5 v0 1 a t 5 10 1 5 ? 20 5 110 m/s
c) Quin espai recorre durant aquest temps?
1
1
x 5 v0 t 1 — a t 2 x 5 10 ? 20 1 — ? 5 ? 202 5 1 200 m
2
2
d) Quin treball s’ha realitzat?
40¡
W 5 FT D x W 5 (100 2 50) ? 1 200 5 60 000 J
e) Quin ha estat l’augment de l’energia cinètica?
W 5 D Ec 5 60 000 J
20¡
Primer calcularem el treball necessari per pujar un sol esquiador, tenint en compte que pugen a velocitat constant i que tenen una massa mitjana de 75 kg.
S F 5 m?a 5 0
Fx 5 Ff 1 px F ? cos 40° 5 m ? N 1 m ? g ? sin 20°
Fy 1 N 5 py F ? sin 40° 1 N 5 m ? g ? cos 20°
Si aïllem N de la segona equació i substituïm en la primera
tenim:
F ? (cos 40° 1 m sin 40°) 5 m ? g ? (sin 20° 1 m cos 20°) sin 20° 1 m cos 20°
F 5 m ? g ? ——————————— 5 380,56 N
cos 40° 1 m sin 40°
W1 5 F ? D x ? cos 40° 5 380,56 ? 150 ? cos 40° 5 43 728,89 J
El treball total per pujar simultàniament 40 esquiadors serà
quaranta vegades més gran.
W40 5 40 ? W1 5 40 ? 43 728,89 5 1,75 ? 106 J
Dx 5 150 m
15. Un objecte de 100 kg es mou a una velocitat de 15 m/s.
S’hi aplica una força de 500 N en el sentit del desplaçament, i la velocitat arriba fins a 20 m/s. Calculeu:
a) Quin treball s’ha realitzat?
1
1
1
W 5 D Ec 5 — m v 2 2 — m v 02 5 — m (v 2 2 v 02) 2
2
2
1
W 5 — ? 100 ? (202 2 152) 5 8 750 J
2
b) Quin ha estat el desplaçament de l’objecte?
W
8 750
W 5 F D x D x 5 — 5 ——— 5 17,5 m
F
500
c) Quant val la força de fregament, si quan hi actua, el cos
es desplaça 3 m més, per arribar a la mateixa velocitat
final?
D x 5 17,5 1 3 5 20,5 m
F9 5 F 2 Ff
W
8 750
F9 5 —— 5 ———— 5 426,83 N
Dx
20,5
Ff 5 F 2 F9 5 500 2 426,83 5 73,17 N
v 5 12 km/h 5 3,33 m/s
Dx
150
Dx 5 v ? t t 5 —— 5 ——— 5 45 s
v
3,33
W
1,75 ? 106
Pu 5 — 5 ————— 5 3,89 ? 104 W 5 53 CV
t
45
Pu
Pu
53
h 5 —— Pc 5 —— 5 ——— 5 71 CV
Pc
h
0,75
14. Una força constant de 100 N actua durant 20 s sobre un cos
de 10 kg que inicialment es mou a 36 km/h. Si es mou amb
una acceleració de 5 m/s2:
16. Un automòbil de 1 375 kg pot desenvolupar una potència
màxima de 60 CV. Si suposem que el coeficient de fregament entre les rodes i el terra val sempre 0,11, determineu
la velocitat màxima que podria desenvolupar l’automòbil en
els casos següents:
a) L’automòbil circula per una via horitzontal.
En la situació en què la velocitat és màxima i el cotxe circula per una via horitzontal la potència subministrada pel
motor és igual a la potència dissipada per la força de fregament, ja que no hi ha acceleració:
m?m?g?Dx
Pmotor 5 —————— 5 m ? m ? g ? vmàx Dt
60 ? 735
vmàx 5 ———————— 5 29,7 m/s 5 107 km/h
0,11 ? 1 375 ? 9,8
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
b) L’automòbil puja per un pendent del 7 %.
Quan la velocitat és màxima i el cotxe puja per un pendent,
la potència subministrada pel motor és igual a la suma de la
potència dissipada per la força de fregament i la potència
associada al component tangencial del pes:
a 5 arc tg 0,07 5 4°
m ? m ? g ? Dx 1 m ? g ? sin a Dx
Pmotor 5 ——————————————— 5
Dt
5 m ? g ? (m 1 sin a) ? vmàx 60 ? 735
vmàx 5 ———————————— 5 18,2 m/s 5 66 km/h
1 375 ? 9,8 (0,11 1 sin 4)
05
91
c) Raoneu si el cotxe s’aturarà just abans o després del
semàfor.
Perquè el cotxe s’aturi abans del semàfor, ha d’anul.lar tota
la Ec que porta amb el treball realitzat pels frens. Dels resultats dels apartats a) i b) veiem que la Ec inicial del cotxe és
més gran que el treball que realitzen els frens en els 50 m.
Per tant, el cotxe s’aturarà després del semàfor.
19. Ajudat per dos companys, empenyeu un automòbil que està
inicialment parat amb una força constant de 1 000 N i el
cotxe es mou 10 m. Una vegada s’ha desplaçat els 10 m,
el cotxe porta una velocitat de 3 m/s. La massa de l’automòbil és de 600 kg.
Calculeu:
c) L’automòbil baixa per un pendent del 6 %.
Quan la velocitat és màxima i el cotxe baixa per un pendent,
la potència subministrada pel motor més la potència del
component tangencial del pes és igual a la potència dissipada per la força de fregament:
a 5 arc tg 0,06 5 3,4°
a) Quin és el treball que heu fet?
W 5 F D x 5 1 000 ? 10 5 10 000 J
b) Quina és l’energia cinètica de l’automòbil en acabar el
recorregut assenyalat?
1
1
Ec 5 — m v 2 5 — ? 600 ? 32 5 2 700 J
2
2
m ? g ? sin a D x
m ? m ? g ? Dx
Pmotor 1 ———————— 5 ——————— Dt
Dt
Pmotor 5 m ? g (m 2 sin a) ? vmàx
c) Quin és el treball que s’ha perdut? En què s’ha transformat?
60 ? 735
vmàx 5 ————————————— 5
1 375 ? 9,8 (0,11 2 sin 3,4)
WT 2 Ec 5 10 000 2 2 700 5 7 300 J
S’ha transformat en calor.
5 64,6 m/s 5 232 km/h
17. Un projectil de 250 g travessa una paret de 0,30 m de gruix.
La velocitat quan penetra a la paret és de 300 m/s i quan
en surt és de 90 m/s. Calculeu el treball sobre el projectil i
la resistència de la paret.
1
1
1
W 5 D Ec 5 — m v 2 2 — m v 20 5 — m (v 2 2 v 20 ) 5
2
2
2
1
5 — ? 0,250 ? (902 2 3002) 5 210 237,5 J
2
20. Per treure l’aigua d’un pou que està a 45 m de profunditat
disposem d’una bomba d’una potència de 2 CV que pot treure’n 80 L cada mig minut.
a) Quin treball efectua la bomba en aquest temps? En què
es converteix aquest treball?
Tenint en compte que la densitat de l’aigua és d’1 g/cm3,
els 80 L corresponen a 80 kg. Per tant, el treball desenvolupat per la bomba en el temps de mig minut és:
W 5 mgh 5 80·9,8·45 5 35 280 J
W
10 237,5
W 5 F D x F 5 —— 5 ————— 5 34 125 N
Dx
0,3
18. Un conductor circula a 80 km/h per una avinguda; a 50 m hi
ha un semàfor que es posa vermell i el conductor frena. L’automòbil i el conductor tenen una massa total de 1 000 kg, i
la força de frenada que hi actua és de 2 000 N.
Calculeu:
a) L’energia cinètica inicial del cotxe.
Aquest treball s’ha invertit en augmentar l’energia potencial
de l’aigua, ja que aquesta està ara a 45 m d’altura respecte
de la posició que ocupava en el pou, i podem concloure que
també correspon a l’energia útil Eu desenvolupada per la
bomba.
b) Quina energia es perd en aquest temps? En què es converteix aquesta energia?
1
1
Ec 0 5 — m v 20 5 — ? 1 000 ? 22,222 5 246 914 J 5
2
2
Per determinar l’energia perduda Ep en aquest temps hem de
calcular l’energia consumida Ec en mig minut, i restar-li
l’energia utilitzada en pujar l’aigua, que és l’energia Eu calculada a l’apartat anterior. Prèviament expressem la potència consumida en unitats del SI:
5 2,47 ? 105 J
Pc 5 2 CV ? (735 W/1 CV) 5 1 470 W
v0 5 80 km/h 5 22,22 m/s
b) El treball realitzat per la força de frenada en els 50 m.
W 5 2Ff D x 5 22 000 ? 50 5 2100 000 J 5
2105
J
Ec 5 P Dt 5 1 470 W ? 30 s 5 44 100 J
Ep 5 Ec 2 Eu 5 44 100 2 35 280 5 8 820 J
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
92
05
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Si tenim en compte que part de l’energia consumida es perd
en forma de calor a causa del fregament entre les parts
mòbils del motor de la bomba i pel seu circuit elèctric, deduïm que aquesta energia perduda es converteix en calor.
c) Quin és el rendiment de la bomba?
Per calcular el rendiment de la bomba dividim la potència
útil entre la potència consumida, tenint en compte que la
primera es calcula dividint l’energia útil entre el temps
transcorregut (30 s):
Eu
35 280
Pu 5 —— 5 ———— 5 1 176 W
30
30
c) La variació de l’energia potencial gravitatòria si puja
des del 2n pis fins al terrat de l’edifici?
D Ep 5 m g Dh 5 60 ? 9,8 ? (12 ? 3,5 2 2 ? 3,5) 5 20 580 J
d) Quina és la variació de l’energia potencial gravitatòria si
baixa des del 6è pis fins al carrer?
D Ep 5 m g Dh 5 60 ? 9,8 ? (0 2 6 ? 3,5) 5 212 348 J
24. Un test de flors està situat en un balcó en la mateixa vertical d’un pou (fig. 5.50). El test es troba damunt del terra
a 15 m d’altura i té una energia potencial gravitatòria de
40 J. Si cau dins del pou, calculeu:
Pu
1 170
h 5 —— 5 ———— 5 0,8 80 %
Pc
1 470
Notem que arribem al mateix resultat si dividim directament l’energia útil desenvolupada en mig minut per l’energia consumida en el mateix temps.
21. En una minicentral hidroelèctrica l’aigua cau des d’una altura
de 2 m sobre una turbina amb un cabal mitjà de 1 500 kg/s.
Quina seria la potència teòrica que podríem obtenir a la central si l’energia potencial es transformés íntegrament en
energia elèctrica?
W
F ? Dy
m ? g ? Dy
m
P 5 — 5 ——— 5 ————— 5 — ? g ? D y 5
t
t
t
t
5 1 500 ? 9,8 ? 2 5 29 400 W 5 29,4 kW
22. Si d’una molla de longitud natural 12,0 cm pengem una
massa de 18 g, la molla assoleix una longitud de 12,9 cm.
Quina energia emmagatzema la molla quan es comprimeix
fins a una longitud de 10,4 cm?
m 5 0,018 kg Dl 5 12,9 2 12,0 5 0,9 cm 5 9 ? 1023 m
F 5 p 5 m?g 5 k?Dl m?g
1,8 ? 1022 ? 9,8
5 19,6 N/m
k 5 ——— 5 ———————
Dl
9 ? 1023
D l 5 10,4 2 12 5 21,6 cm 5 21,6 ? 1022 m
1
19,6 ? (21,6 ? 1022)2
Ep 5 — k ? Dl 2 5 —————————— 5 2,51 ? 1023 J
2
2
23. Un edifici té 12 pisos i cada pis fa 3,5 m d’alçària. Calculeu
per a una persona de 60 kg, i prenent la planta baixa com a
zero d’energia potencial gravitatòria:
a) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al 5è pis.
h50
a) La massa del test.
Ep
40
Ep 5 m g h m 5 —— 5 ————— 5 0,27 kg
gh
9,8 ? 1,5
b) L’energia potencial gravitatòria que té dins del pou, si el
pou fa 20 m de profunditat.
Ep 5 0,27 ? 9,8 ? (220) 5 253,3 J
c) La variació d’energia potencial gravitatòria.
D Ep 5 Epf 2 Ep0 5 253,3 2 40 5 293,3 J
25. Un avió de 10 000 kg de massa té una energia mecànica de
109 J i vola horitzontalment a 9 km d’altura. Calculeu:
a) L’energia potencial gravitatòria i l’energia cinètica de
l’avió.
Ep 5 m g h 5 10 000 ? 9,8 ? 9 000 5 8,82 ? 108 J
Ec 5 E 2 Ep 5 109 2 8,82 ? 108 5 1,18 ? 108 J
b) La velocitat a la qual vola l’avió.
1
Ec 5 — m v 2 2
Ep 5 m g h 5 60 ? 9,8 ? 5 ? 3,5 5 10 290 J
b) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al 8è pis.
Ep 5 60 ? 9,8 ? 8 ? 3,5 5 16 464 J
v5
? 1,18
10ll
ll2lll
lll?ll
— 5 d ——————— 5 153,62 m/s
dlll—2mlEll
10 000
c
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
8
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
j Unitat 6. Conservació
de l’energia
Activitats
1. Un ascensor es troba aturat en el 5è pis d’un edifici. Si
cada pis té una alçària de 4 m i es trenca el cable de l’ascensor, calculeu:
a) La velocitat amb què l’ascensor arribarà a terra.
1
Ep0 5 Ec m g h0 5 — m v 2 2
06
93
v 20 2 v f2
Ep0 1 Ec0 5 Ecf 1 Epf h 5 h0 1 —————
5
2g
8,332 2 52
5 20 1 —————— 5 22,3 m
2 ? 9,8
Quan té una velocitat de 5 m/s, l’ascensor es troba en un
punt situat entre el 5è pis i el 6è pis.
2. Llancem des del terra, verticalment cap amunt, amb energia
mecànica de 1 250 J, un cos de 5 kg. Calculeu l’altura que
assolirà el cos i la velocitat inicial.
2 gllhll
2 ?lll
9,8 ?ll
5 ll
? 4 5 19,8 m/s
v 5 dll
0 5 dll
b) La posició de l’ascensor respecte del terra quan tingui
una velocitat de 18 km/h.
18 km/h 5 5 m/s
1
Ep0 5 Ep1 1 Ec1 m g h 0 5 m g h 1 1 — m v 21 2
1
9,8 ? 20 5 9,8 h 1 1 — ? 52 h1 5 18,7 m
2
c) Com es modificarien les respostes anteriors si l’ascensor
dugués una velocitat de 30 km/h en el moment en què
es trenca el cable?
Primer expressem la velocitat en unitats del SI:
30 km/h 5 8,33 m/s
En aquesta nova situació, cal afegir una energia cinètica
inicial quan l’ascensor es troba al 5è pis, és a dir, a 20 m del
terra.
Per tant, la velocitat amb què arriba a terra és:
ll0 5
Ep0 1 Ec0 5 Ecf v 5 dll
v 02ll
1lll
2 gh
2 1ll
ll 5 21,5 m/s
5 dll
8,3l3lll
2 ?lll
9,8ll
? 20
Aquest resultat és vàlid tant si l’ascensor està pujant com si
està baixant en el moment en què es trenca el cable, ja que
si puja, quan torna a passar pel mateix punt porta la mateixa velocitat.
E 5 1 250 J
E
E 5 Ep 5 m g h h 5 ——
mg
1 250
h 5 ———— 5 25,51 m
5 ? 9,8
1
E 5 Ec 5 — m v 2 v 5
2
v5
E
—
dlll—2mlll
1 250
ll
——— 5 22,36 m/s
dlll—2 ?lllll
5
3. Des de la mateixa altura, deixem caure dues boles, una en
caiguda lliure i l’altra per un pla inclinat. Si no hi ha fregament, arribaran les dues a terra amb la mateixa velocitat?
Justifiqueu la resposta.
Si les dues boles amb la mateixa massa parteixen del repòs des
de la mateixa altura inicial i no hi ha fregament, per conservació de l’energia mecànica, arriben al punt d’altura zero amb la
mateixa velocitat. Tota l’energia gravitatòria inicial s’ha transformat en energia cinètica. Com que tenen la mateixa energia
cinètica final i la mateixa massa, tenen la mateixa velocitat
final.
4. La saltadora de la figura 6.5 té una massa de 65 kg i salta
a una velocitat inicial de 6,5 m/s formant un angle de 45°
amb l’horitzontal. Calculeu:
Ara busquem l’altura a la qual es troba quan la seva velocitat és de 18 km/h 5 5 m/s. Aquest valor de velocitat és
menor que la velocitat inicial i només es pot assolir en el
cas que l’ascensor estigui pujant en el moment en què es
trenca el cable. Si l’ascensor estigués baixant quan es trenca el cable, com que l’energia potencial gravitatòria va disminuint i l’energia cinètica va augmentant, no hi hauria
cap punt del recorregut en el qual l’ascensor es mogués a
5 m/s.
Així, l’ascensor està pujant en el moment que es trenca el
cable. Ja sabem, per cinemàtica, que l’ascensor segueix ascendint cada vegada a menor velocitat fins a assolir la velocitat zero i, tot seguit, segueix una caiguda lliure. Busquem
en quin punt del seu recorregut la velocitat val 5 m/s aplicant la conservació de l’energia:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
94
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) L’altura màxima a què arribarà la saltadora.
Per trobar l’altura màxima a la qual arriba la saltadora, hem
de buscar primer el component de la velocitat en la direcció
Y, perquè ja sabem que la velocitat en la direcció X es manté
sempre constant ja que no actua cap força en aquesta direcció. En canvi, en la direcció Y actua la força pes que transforma part de l’energia cinètica en energia potencial gravitatòria.
Els components de la velocitat inicial valen:
v0x 5 v0 cos a 5 6,5 cos 45º 5 4,6 m/s
v0y 5 v0 sin a 5 6,5 sin 45º 5 4,6 m/s
L’altura màxima ve donada per:
Ec0y 5 Epf
e) La velocitat amb què arriba a terra, tot negligint el fregament amb l’aire.
A l’apartat c) ja hem vist que, just en tocar a terra, l’energia
cinètica coincideix amb l’energia cinètica inicial. Per tant,
la velocitat just en tocar a terra és igual a la velocitat inicial del salt:
v 5 6,5 m/s
5. Sobre una superfície horitzontal hi ha un objecte de 200 g
de massa unit a una molla de constant elàstica 2 000 N/m.
Si separem l’objecte 10 cm de la posició d’equilibri i el
deixem anar, calculeu, sense tenir en compte el fregament,
la velocitat quan:
m 5 200 g 5 0,2 kg
v20
4,62
h 5 ——
5 ———— 5 1,08 m ø 1,1 m
2g
2 ? 9,8
b) L’energia cinètica en el punt d’altura màxima.
En el punt d’altura màxima, l’energia cinètica és deguda al
component de la velocitat en la direcció X:
1
1
Ec 5 — m v 20x 5 — 65 ? 4,62 5 687,7 J ø 688 J
2
2
c) La potència desenvolupada per la força de contacte del
terra sobre la saltadora si ha actuat durant 0,1 s.
Per trobar la potència cal calcular primer el treball fet per
la força de contacte amb el terra. Aquesta força fa que la
saltadora s’aturi. Per tant, el treball que realitza és la disminució de l’energia cinètica de la saltadora, que és igual a
l’energia cinètica inicial. Això és així perquè sabem que el
component de la velocitat en la direcció X no s’altera i que
el component de la velocitat Y en arribar a terra té el mateix valor absolut que el valor inicial. Per tant:
D l0 5 10 cm 5 0,1 m
k 5 2 000 N/m
Com que totes les forces que actuen són conservatives podem
aplicar la conservació de l’energia mecànica.
a) El cos passa per la posició d’equilibri.
1
1
1
1
E0 5 Ef — m ? 02 1 — k ? Dl 20 5 — m ? v2 1 — k ? 02 2
2
2
2
v5
lllll
—— ? 0,1 5 10 m/s
dlll—mkl ? Dl 5 dlll—20,2000
b) El cos es troba a 5 cm de la posició d’equilibri.
1
1
1
1
E0 5 Ef — m ? 02 1 — k ? Dl 20 5 — m ? v2 1 — k ? Dl 2 2
2
2
2
v5
2 000
l llllllllll
lll
llllllll llllllllllll
( Dl 2 Dl ) 5 d ——— (0,1 2 0,05 ) 5
dlll—mklllll
0,2
2
0
I la potència desenvolupada val (prenem el treball en valor
absolut):
1 373
W
P 5 —— 5 ———— 5 13,7 kW
Dt
0,1
d) El treball fet pel pes des que la saltadora s’eleva des de
terra fins que torna a tocar terra.
La força pes no fa treball perquè la saltadora, en tocar terra,
arriba a la mateixa altura inicial. No hi ha variació de la
seva energia potencial gravitatòria i, per tant, la força pes
no fa treball.
Aquest resultat també s’obté si considerem el recorregut de la
saltadora: parteix del punt A on inicia el salt i arriba al punt
B on toca el terra. Si portéssim la saltadora del punt B al punt
A, tindríem un recorregut tancat. En el tram que va de B a A,
la força pes és perpendicular al desplaçament i no fa treball.
A més, en ser el pes una força conservativa, el treball total
en el cicle és nul. I com que de B a A no es fa treball, es
conclou que de A a B la força pes tampoc fa treball.
2
2
5 8,66 m/s
W 5 DEc 5 Ecf 2 Ec0 5
1
1
5 0 2 — mv 20 5 2— ? 65 ? 6,52 5 21 373 J
2
2
2
6. El mecanisme d’una pistola de joguina té una molla de
constant elàstica de valor 150 N/m, si la comprimim 5 cm
per carregar-la. Calculeu la velocitat que comunicarà a un
projectil de 10 g.
Es compleix el principi de conservació de l’energia mecànica ja
que la força elàstica és una força conservativa, per tant:
E0 5 Ef Epe 5 Ec 1
1
1
1
— k x2 5 — m v2 — ? 150 ? 0,052 5 — ? 0,01 ? v2 2
2
2
2
v 5 0,05 ?
150
lll
— 5 6,12 m/s
dlll—0,01
7. Un bloc de 3 kg de massa avança a 2 m/s sobre una superfície horitzontal sense fregament. Si en el camí es troba una
molla de constant elàstica 40 N/m, quina és la compressió
màxima de la molla?
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
FÍSICA 1
1
1
Ec 5 Ep — m v 2 5 — k x 2
2
2
x5v
3ll
5 0,55 m
dlll—mkl 5 2 dlll——
40
8. Disposem d’una molla de constant elàstica 500 N/m. Si la
comprimim 20 cm amb un cos de 2 kg i tot seguit la deixem lliure, calculeu:
m 5 2 kg
k 5 500 N/m
Apliquem el principi de conservació quan actuen forces de fregament:
1
Wf 5 D Em — m ? v 2 f 2 (m ? g ? h)i 5
2
1
2
5 — ? 30 ? 4 2 30 ? 9,8 ? 2 5 240 2 588 5 2348 J
2
1
2
11. Calculeu l’alçada que aconseguirà pujar un cos que és impulsat a 5 m/s per un pla inclinat de 30º que té un coeficient de fregament de 0,2. Comenteu si influeix el valor de
la massa del cos en tot el recorregut.
Apliquem el principi de conservació de l’energia quan actuen
forces no conservatives:
Dl0 5 20 cm 5 0,2 m
a) La velocitat de sortida del cos.
Apliquem la conservació de l’energia:
1
1
Ec 5 Ep — k D l 2 5 — m v2 2
2
v5
95
500
ll
? 0,2 5 3,16 m/s
dlll—mkl Dl 5 dlll——
2
b) La distància que recorre el cos si puja per un pla inclinat
de 45º, sense fregament.
Per determinar la distància recorreguda primer determinarem, fent ús de la conservació de l’energia, l’altura en què
arribarà el cos.
1
Ec 5 Ep — m v2 5 m g D y 2
v2
3,162
Dy 5 —— 5 ———— 5 0,51
2g
2 ? 9,8
Com que el cos puja per un pla inclinat de 45º la distància
recorreguda serà:
Dy
d 5 ———— 5 0,72 m
sin 45°
9. Llancem un cos d’1 kg de massa a una velocitat de 5 m/s
sobre un pla horitzontal, que s’atura després d’haver recorregut 10 m. Calculeu:
a) El treball exercit per la força de fregament.
1
WFf 5 D E WFf 5 0 2 Ec 5 2— m v 20 5
2
1
5 2— ? 1? 52 5 212,5 J
2
b) La quantitat de calor produïda.
2WFf 5 Q 5 12,5 J
c) El coeficient de fregament entre el cos i el pla.
WFf
12,5
WFf 5 2m m g Dx m 5 2———— 5 ————— 5 0,13
m g Dx
1 ? 9,8 ?10
10. Un nen de 30 kg es deixa caure per un tobogan de 2 m
d’altura i arriba a terra amb una velocitat de 4 m/s. Quin
treball han fet les forces de fregament?
D Emecànica 5 Wfregament D Ec 1 D Ep 5 Wfregament
El treball fet per la força de fregament és negatiu perquè la
força de fregament actua en sentit contrari al del desplaçament. Tenint en compte que en un pla inclinat a un angle a la
relació entre l’altura h a què arriba el cos i el desplaçament d
h
sobre el pla és d 5 ————, i que la força normal val m g cos a,
sin a
resulta:
1
10 2 —2 m v 2 1 (m g h 2 0) 5 2m m g (cos a) d 5
2
0
h
v 20
5
5 2 m m g (cos a) ——— h 5 —————————
sin a
m
2 g 1 1 ——
tg a
52
5 ———————————— 5 0,95 m
0,2
2 ? 9,8 1 1 ————
tg 30°
1
1
2
2
On el valor de la massa del cos no influeix en l’altura que pot
assolir.
12. Una grua portuària ha elevat una embarcació de 5 tones que
estava en repòs a terra fins a una altura de 7 m. Calculeu:
a) La variació d’energia mecànica de l’embarcació, si un
cop elevada es manté en repòs.
Com que la velocitat final de l’embarcació és zero, la seva
energia mecànica coincideix amb la seva energia potencial
gravitatòria:
E 5 Ep 5 m g h 5 5 ? 103 ? 9,8 ? 7 5 343 kJ
b) El treball desenvolupat per la grua.
Si negligim el fregament i tenim en compte que l’embarcació no ha variat la seva energia cinètica, el treball resultant de totes les forces que han actuat en el desplaçament
és nul. Per tant, el treball fet per la grua és oposat al treball
fet per la força pes. I aquest últim és igual a la variació de
l’energia potencial gravitatòria canviada de signe. Per tant:
Wgrua 5 2Wpes 5 2(2DEp) 5 Epf 2 Ep0 5 343 kJ
c) La velocitat màxima d’elevació que pot desenvolupar la
grua si té una potència de 6 CV.
La grua ha de fer una força exactament igual al pes de l’embarcació per pujar-la a velocitat constant. La potència és
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
96
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
igual al producte d’aquesta força per la velocitat a què es
desplaça el mòbil. Si la potència desenvolupada és la màxima possible (6 CV 5 6 ? 735 W), la velocitat també serà
màxima:
Pmàx
6 ? 735
vmàx 5 ——— 5 ——————
5 0,09 m/s
F
5 ? 103 ? 9,8
d) El rendiment de la grua si la velocitat real d’elevació
mitjana ha estat de 4 m/min.
Tenint en compte la velocitat mitjana, és a dir, suposant
que la força aplicada sempre és la mateixa, el rendiment és:
4
——
F vreal
60
h 5 ———— 5 ——— 5 74 %
F vmàx
0,09
13. Una bola de 20 g de massa es mou sense fregament damunt
d’una superfície a 10 m/s, i xoca contra una altra bola que
està en repòs. A conseqüència del xoc, que és perfectament
elàstic, la primera bola surt llançada cap enrere amb una
velocitat de 5 m/s. Calculeu la massa de la segona bola.
m1 5 20 g
15. Observem com dos ocells que volen seguint trajec tòries
rectilínies xoquen i després cauen a terra. Aquest fet contradiu el principi de conservació de la quantitat de moviment i la conservació de l’energia cinètica?
Aquest fet no contradiu el principi de conservació de la quantitat de moviment perquè actuen forces externes al sistema format pels dos ocells. Aquestes forces són els seus pesos que
provoquen que apareguin components de la quantitat de moviment en la direcció Y que no existien abans del xoc.
Tampoc es contradiu el principi de conservació de l’energia
perquè l’augment de l’energia cinètica que té lloc després del
xoc es deu al treball fet per la força pes. L’energia total sempre
es conserva.
En aquest cas, augmenta l’energia cinètica però disminueix
l’energia potencial gravitatòria.
16. Un cos de 2 kg es mou a una velocitat de 5 m/s i un altre
cos de 3 kg es mou a 2 m/s en la mateixa direcció però en
sentit contrari. Quina energia es desprèn en el xoc entre
tots dos cossos, si aquest és perfectament inelàstic?
m2
i
u
v2 5 0 y
u
t
v 29
v1 5 10 m/s
v19 5 25 m/s
m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v19 1 m2 v29 i
v1 1 v 19 5 v 2 1 v 29
y
t
0,02 ?10 5 0,02 (25) 1 m 2 v29
10 2 5 5 v29 v29 5 5 m/s
0,3
0,2 5 20,1 1 5 ? m 2 m 2 5 —— 5 0,06 kg 5 60 g
5
14. Dues boles es mouen en la mateixa direcció però en sentits
contraris amb velocitats de 2 m/s i 1 m/s, respectivament.
Es produeix un xoc perfectament elàstic. Després del xoc es
mouen en la mateixa direcció, la mateixa velocitat en mòdul, però en sentits contraris. Com seran les seves masses
respectives?
m1 v1 1 m 2 v 2 5 (m1 1 m 2) v9
4
2 ? 5 1 3 ? (22) 5 5 v9 v9 5 — 5 0,8 m/s
5
1
1
1
DEc 5 — (m1 1 m 2) v92 2 — m1 v 21 2 — m 2 v 22
2
2
2
1
1
1
DEc 5 — ? 5 ? 0,82 2 — ? 2 ? 52 2 — ? 3 ? (22)2 5
2
2
2
5 229,4 J
17. Un vagó de 10 tones circula amb una velocitat de 1,5 m/s.
De sobte xoca amb un altre vagó de 15 tones que es troba
aturat a la via. Tot seguit es mouen junts amb una velocitat constant. Calculeu:
m1 5 10 tones 5 104 kg
m2 5 15 tones 5 1,5 ? 104 kg
m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v19 1 m2 v29 i
v1 5 1,5 m/s
v1 1 v 19 5 v 2 1 v 29
v2 5 0
y
t
2 m1 2 m 2 5 22 m1 1 m 2
4 m1 5 2 m 2 m1 5 0,5 m 2
a) La quantitat de moviment del primer vagó.
p1 5 m1 ? v1 5 1,5 ? 104 5 15 000 kg?m/s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
FÍSICA 1
b) La velocitat dels vagons després del xoc.
97
p3 5 dlllllllllllllllllllllllllll
(29,22 ? 10221)2 1 (25,33 ? 10221)2 5
m1 ? v1 1 m2 ? v2 5 (m1 1 m2) ? v 5 1,06 ? 10220 kg m/s
m1 ? v1 1 m2 ? v2
104 ? 1,5
v 5 ———————— 5 —————
5 0,6 m/s
m1 1 m2
2,5 ? 104
5,33 ? 10221
tg a 5 ———————
5 0,57 a 5 30,03°
9,22 ? 10221
Està en el tercer quadrant 180° 1 30° 5 210°
c) L’energia perduda en el xoc.
1
1
D Ec 5 — (m1 1 m2) v 2 2 — m1v 21 5
2
2
1
1
5 — (104 1 1,5 ? 104) ? 0,62 2 — 104 ? 1,52 5 26 750 J
2
2
20. Una bomba de 2 kg explota i es divideix en quatre fragments. Un, de 0,5 kg, surt a 2 m/s en sentit nord; un altre
de 0,2 kg surt a 5 m/s en sentit est; el tercer, de 0,8 kg, va
a 0,5 m/s en sentit sud-oest. Del quart fragment, trobeu-ne
el mòdul, la direcció i el sentit de la velocitat.
18. Dues boles de massa 1 kg i 0,5 kg, que avancen per un pla
horitzontal en la mateixa direcció i sentit, i a velocitats
respectives de 4 m/s i 2 m/s, xoquen. Com a conseqüència
del xoc varien de velocitat a 3 m/s i 4 m/s, respectivament.
Calculeu el coeficient de restitució i l’energia dissipada en
el xoc.
mT 5 2 kg
2(v19 2 v 29)
2(3 2 4)
k 5 ——————— 5 —————— 5 0,5
v1 2 v 2
422
mT 5 m1 1 m2 1 m3 1 m4 m4 5 0,5 kg
1
1
Eci 5 Eci1 1 Eci2 5 — m1 v 21 1 — m 2 v 22 5
2
2
m1 v1 1 m2 v 2 1 m3 v 3 1 m4 v 4 5 0
1
1
5 — ?1? 42 1 — ? 0,5 ? 22 5 9 J
2
2
1
1
5 — ?1? 32 1 — ? 0,5 ? 42 5 8,5 J
2
2
19. Un nucli inicialment en repòs es descompon per radioactivitat i emet un electró amb una quantitat de moviment de 9,22 ?10221 kg m/s i, perpendicularment a la direcció de l’electró, un neutrí amb una quantitat de moviment
de 5,33 ?10221 kg m/s. Determineu la direcció en què retrocedeix el nucli residual i la seva quantitat de moviment.
p 2 5 5,33 ? 10221 kg m/s
1,44
a 5 arc tg ——— 5 45°
1,44
Està al tercer quadrant a 5 180° 1 45° 5 225°
21. Una granada es desplaça horitzontalment a 2 m/s, explota i
es divideix en tres fragments de la mateixa massa. El primer
segueix movent-se horitzontalment a 4 m/s. El segon forma
un angle de 60° cap amunt amb la línia horitzontal inicial.
El tercer va cap avall amb un angle de 60° amb la mateixa
línia horitzontal. Amb quina velocitat es mouen els dos últims fragments?
9,22 ? 10221 i 1 5,33 ? 10221 j 1 p 3 5 0
j 1 i 2 0,28 i 2 0,28 j
5 2————————————— 5 21,44 i 2 1,44 j
0,5
p1 1 p2 1 p3 5 0
0,5?2 j 1 0,2?5 i 1 0,8?(20,5?cos 45° i 2 0,5?sin 45° j )
v 4 5 2—————————————————————————— 5
0,5
m1 v1 1 m2 v 2 1 m3 v 3
v 4 5 2———————————
m4
p 1 5 9,22 ? 10221 kg m/s
1,442 1 1,442 5 2,04 m/s
v4 5 dlllllllllll
DEc 5 Ecf 2 Eci 5 8,5 2 9 5 20,5 J
1
1
Ecf 5 Ecf 1 1 E cf 2 5 — m 1 v192 1 — m 2 v292 5
2
2
p1 1 p2 1 p3 1 p4 5 0
p 3 5 29,22 ? 10221 i 2 5,33 ? 10221 j
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
98
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
C) Només un cos no arriba justament al peu de la torre,
quan toca a terra. Quin?
v52i
v 19
v 29
v 39
54i
a) El que llancem horitzontalment.
b) El que llancem verticalment cap amunt.
5 v 2 cos 60° i 1 v 2 sin 60° j 5 0,5 v 2 i 1 0,87 v 2 j
5 v 3 cos 60° i 2 v 3 sin 60° j 5 0,5 v 3 i 2 0,87 v 3 j
c) El que llancem verticalment cap avall.
p 5 p1 1 p2 1 p3
3 m v 5 m v1 1 m v 2 1 m v 3 3 v 5 v1 1 v2 1 v 3
3 ? 2 i 5 4 i 1 (0,5 v 2 i 1 0,87 v 2 j ) 1 (0,5 v 3 i 2 0,87 v 3 j )
6 5 4 1 0,5 v 2 1 0,5 v 3 i
0 5 0,87 v 2 2 0,87v 3
La resposta correcta és: a). El cos llançat horitzontalment
arriba a terra desplaçat en la direcció X a causa del component de la velocitat en aquesta direcció. Els altres dos cossos no tenen aquest component de la velocitat.
D) El mòdul de la velocitat en tocar a terra és:
y
t
a) Més gran pel cos que llancem cap amunt.
v2 5 v3
b) Més gran pel cos que llancem cap avall.
2 5 0,5 v 2 1 0,5 v 2 v 2 5 2 m/s
v 29 5 0,5 ? 2 i 1 0,87 ? 2 j 5 ( i 1 1,74 j ) m/s
v 39 5 0,5 ? 2 i 2 0,87 ? 2 j 5 ( i 2 1,74 j ) m/s
Activitats finals
c) El mateix en tots tres cossos.
La resposta correcta és: c). El mòdul de la velocitat és el
mateix en els tres cossos per la mateixa raó que la donada
en l’apartat A). De tota manera es pot comprovar a partir de
les equacions de la cinemàtica.
3. Per què augmenten de temperatura els frens d’un automòbil
després d’aturar-lo?
Qüestions
1. En què es transforma el combustible que posem als vehicles?
En fer accionar el motor i produir energia mecànica.
2. Des de dalt d’una torre deixem anar tres cossos idèntics
amb la mateixa velocitat inicial, però en direccions diferents: un verticalment cap amunt, un altre horitzontalment
i el tercer verticalment cap avall. Si no tenim en compte
el fregament amb l’aire...
Part de l’energia mecànica que porta el cotxe es va transmetent
al terra i als frens en forma de calor, i això és la causa que el
cotxe disminueixi la seva velocitat.
4. Dos blocs de massa diferent pengen dels extrem d’un fil,
que és inextensible i de massa negligible. Aquest passa
per la gorja d’un politja sense fregament. Si deixem el
sistema en llibertat, justifiqueu:
A) Es conservarà l’energia mecànica del sistema?
A) L’energia cinètica amb què arriben a la base és:
a) Sí.
a) Més gran per al que llancem cap amunt.
b) No.
b) Més gran per al que llancem cap avall.
c) Depèn de com siguin els valors de les masses dels
blocs.
c) La mateixa per a tots tres cossos.
La resposta correcta és: c). Els tres cossos arriben amb la
mateixa energia cinètica perquè tenen els mateixos valors
de massa i d’energia cinètica inicial i la força gravitatòria
fa el mateix treball en els tres cossos. Per tant, els tres tenen el mateix augment en la seva energia cinètica.
B) L’energia cinètica amb què arriben a la base de la torre és:
a) La mateixa que la que tenien a l’inici.
b) Més gran que la de l’inici, pel treball fet per la força pes.
c) Més petita que la de l’inici pel treball fet per la força
pes.
La resposta correcta és: b). L’energia cinètica augmenta a
causa del treball fet per la força pes. Treball que és positiu
perquè té la mateixa direcció que el desplaçament en la direcció Y.
La resposta correcta és: a). L’energia del sistema es conserva perquè no hi ha fregament.
B) Es conservarà l’energia mecànica de cada bloc?
a) Sí, pel principi de conservació de l’energia.
b) No, perquè hi ha forces internes.
c) Depèn de com siguin els valors de les masses dels
blocs.
La resposta correcta és: b). L’energia mecànica de cada bloc
no es conserva, només la del sistema. Inicialment els dos
blocs tenen una energia cinètica nul.la i un cert valor d’energia potencial gravitatòria. Posteriorment, tot i que els dos
blocs tinguin la mateixa energia cinètica, tenen diferents
valors d’energia potencial gravitatòria. Les forces internes
que provoquen que l’energia mecànica de cada bloc no es
conservi són les tensions del fil.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
FÍSICA 1
C) La variació de l’energia cinètica del sistema:
a) És igual al treball fet per totes les forces sobre el
sistema.
b) És igual al treball fet només per les forces conservatives.
c) És nul.la perquè les forces internes fan un treball nul.
La resposta correcta és: a). Pel teorema del treball i de
l’energia cinètica, la variació d’aquesta és deguda a totes les
forces que actuen sobre el sistema. Si no hi ha fregament,
les úniques forces que actuen són els pesos dels cossos ja
que les forces internes (tensions) s’anul.len entre si.
5. Quan un cos queda en repòs a terra després d’haver caigut
d’una certa altura:
a) En què s’ha transformat l’energia potencial gravitatòria que tenia inicialment?
En energia calorífica i energia de deformació del cos.
b) On ha anat a parar aquesta energia?
A l’entorn, en aquest cas a terra.
6. Considereu un xoc elàstic unidimensional entre dos cossos
de massa igual. Trieu les respostes correctes per a cada
situació:
A) Si un d’ells està en repòs, després del xoc:
a) El que estava en repòs ha de continuar en repòs i
l’altre canvia el sentit del seu moviment.
b) El que estava en repòs adquireix la velocitat de l’altre, mentre que el que es movia abans del xoc queda
en repòs.
c) Tots dos queden units i es mouen a la meitat de la
velocitat d’abans del xoc.
La resposta correcta és: b). Quan dos cossos amb la mateixa
massa xoquen elàsticament, intercanvien les seves velocitats. Això vol dir que el cos que estava en repòs abans del
xoc, després de xocar adquireix la velocitat que tenia el cos
en moviment abans del xoc i aquest es queda en repòs.
B) Si es mouen a una certa velocitat en sentits contraris,
després del xoc:
a) Cadascun canvia el sentit del seu moviment però
manté el mateix mòdul de la velocitat que duia abans
del xoc.
b) Cadascun canvia el sentit del seu moviment i s’intercanvien els valors del mòdul de les velocitats d’abans
del xoc.
99
7. A) Imagineu-vos que escalfem masses iguals de ferro,
plom i mercuri, que inicialment estan a 15 ºC, i utilitzem el mateix focus de calor. Sense fer cap càlcul, justifiqueu quina arribarà abans als 30 ºC.
Nota: S’han de consultar les taules de la calor específica
de cada material.
El plom perquè la calor específica és menor i necessitarà
menys calor per augmentar la seva temperatura.
B) Tenim dos objectes aparentment iguals a la mateixa
temperatura; els apliquem la mateixa quantitat de calor
i observem que un objecte ha augmentat la seva temperatura 10 ºC mentre que l’altre l’ha augmentada 15 ºC.
Raoneu a què pot ser degut i marqueu l’opció correcta:
a) Són de diferents materials.
b) Són de diferents materials i la seva massa és diferent.
c) La seva massa és diferent.
d) Poden ser totes les altres respostes però necessitem
dades per comprovar-ho.
La resposta correcta és la d).
8. Tenim dos cossos la massa d’un dels quals és molt més
gran que la de l’altre. Si xoquen elàsticament, deduïu quina és la velocitat de cada cos després del xoc a cadascuna
d’aquestes situacions i poseu-ne exemples quotidians:
a) Si inicialment el cos amb més massa està en repòs i
l’altre es mou amb una velocitat determinada.
m1 . m2
Cos 1
Cos 2
m1
m2
v1 5 0
v2
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment.
m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v19 1 m2 v29
Posant els valors tenim:
m 1 ? 0 1 m 2 v2 5 m 1 v19 1 m 2 v29
Quan m 1 . m 2 simplifiquem:
0 5 m 1 v19 v19 5 0
Utilitzem també l’expressió deduïda en la unitat en combinar el principi de conservació de la quantitat de moviment i
de l’energia cinètica, que és:
v1 1 v 19 5 v 2 1 v 29
c) Queden units i es mouen a la mateixa velocitat, que
és el valor mitjà de les velocitats d’abans del xoc.
Posant els valors que coneixem tenim:
La resposta correcta és: b). Pel mateix argument que en
l’apartat anterior, els dos cossos d’igual massa intercanvien
les velocitats en xocar elàsticament.
El cos que estava en moviment canvia el sentit del moviment, no modificant el mòdul de la seva velocitat, i el cos
que està quiet continua en repòs.
0 5 v 2 1 v 29 v 29 5 2v 2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
100
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Un exemple d’aquest cas és el d’una pilota que rebota contra una paret.
b) Si inicialment el cos amb menys massa està en repòs i
l’altre es mou amb una velocitat determinada.
Cos 1
Cos 2
m1
m2
v1
v2 5 0
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment.
m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v19 1 m2 v29
Posant els valors tenim:
m 1 v1 1 m 2 0 5 m 1 v19 1 m 2 v29
Quan m 1 . m 2 simplifiquem:
m 1 v1 5 m 1 v19 v19 5 v1
Utilitzem també l’expressió deduïda en la unitat en combinar el principi de conservació de la quantitat de moviment i
de l’energia cinètica, que és:
Sí que és possible. Un exemple és un xoc inelàstic en què es
conserva la quantitat de moviment i no es conserva l’energia
cinètica.
11. [Curs 99-00] Es produeix una explosió en un sistema aïllat. Justifiqueu quina o quines de les següents afirmacions són correctes:
a) No varia ni la seva quantitat de moviment ni la seva
energia cinètica.
b) Varia la seva quantitat de moviment però no la seva
energia cinètica.
c) Varien la seva quantitat de moviment i la seva energia
cinètica.
d) No varia la seva quantitat de moviment, però sí la seva
energia cinètica.
Les afirmacions a), b) i c) són falses perquè en el sistema aïllat
es conserva la quantitat de moviment en absència de forces
externes. També es conserva l’energia total però no necessàriament l’energia cinètica. En el cas d’una explosió, part de l’energia interna (química) es transforma en energia cinètica. Per
tant, l’opció d) és correcta.
v1 1 v 19 5 v 2 1 v 29
Posant els valors que coneixem tenim:
v1 1 v 1 5 v 29 v29 5 2 v1
El cos que estava en moviment canvia continuament movent-se en el mateix sentit i a la mateixa velocitat i el cos
que estava en repòs es mou amb una velocitat el doble de
la que porta l’altre i en el mateix sentit.
Un exemple d’aquest cas és el d’un petit mòbil que és envestit per un mòbil amb més massa, per exemple: una furgoneta que xoca contra un ciclista.
9. Un cos en repòs esclata i es divideix en dos fragments. Justifiqueu que les velocitats dels dos fragments han de tenir
la mateixa direcció. Tindran el mateix sentit, o sentits contraris? Raoneu-ho.
Problemes
1. Des d’una torre de 20 m d’alçària disparem verticalment
cap amunt una bala de 5 g de massa amb una velocitat de
50 m/s:
a) Quina altura assoleix?
Ep0 1 Ec 0 5 Ep1
1
m g h 0 1 — m v 02 5 m g h 1
2
1
9,8 ? 20 1 — ? 502 5 9,8 h 1 h 1 5 147,55 m
2
En tota explosió es conserva la quantitat de moviment; com
que inicialment aquesta és nul.la, també ha de ser-ho després
de l’explosió. Per tant, les quantitats de moviment dels dos
fragments han de ser iguals en mòdul però de sentit contrari.
Inici: p i 5 0
Final: p f 5 p 1 1 p 2 5 m1 v 1 1 m 2 v 2
Com que p i 5 p f
Igualant, tenim que:
m2 0 5 m1 v 1 1 m 2 v 2 v 1 5 2 —— v 2
m1
10. [Curs 98-99] És possible que en un cert procés es conservi
la quantitat de moviment d’un sistema de partícules però
que no se’n conservi l’energia cinètica? Si la resposta és
negativa, raoneu-ho. Si la resposta és afirmativa, poseune un exemple.
b) Quina és la velocitat amb què arriba al terra?
Ep 0 1 E c0 5 E c2
1
1
m g h 0 1 — m v 20 5 — m v 22
2
2
1
1
9,8 ? 20 1 — ? 502 5 — v 22 v 2 5 53,78 m/s
2
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
c) A quina altura es troba quan va a 20 m/s? Quina energia
cinètica i potencial té a aquesta altura?
Ep0 1 E c0 5 Ep3 1 Ec3
1
1
m g h 0 1 — m v 20 5 m g h 3 1 — m v 23
2
2
1
1
9,8 ? 20 1 — ? 502 5 9,8 ? h 3 1 — ? 202 h 3 5 127,14 m
2
2
1
1
Ec3 5 — m v 23 5 — ? 5 ? 1023 ? 202 5 1 J
2
2
Ep 5 m g h 3 5 5 ?1023 ? 9,8 ? 127,14 5 6,23 J
2. Llancem verticalment cap amunt un cos de 2 kg a una velocitat de 20 m/s. Calculeu quina energia potencial gravitatòria tindrà quan la velocitat que duu sigui de 10 m/s.
06
101
e) L’energia cinètica quan arriba a terra.
1
1
Ec2 5 — m v 22 5 — ? 0,02 ? 62,612 5 39,2 J
2
2
4. Una nedadora de massa m salta d’un trampolí de 5 m d’altura. Calculeu la velocitat amb què arriba a l’aigua si es deixa
caure i si es llança amb una velocitat inicial de 18 km/h.
18 km/h 5 5 m/s
1
Ep0 5 Ecf m g h0 5 — m v 2f vf 5 dllll
2 g h0l 2
l2 ? 9,8 ? 5 5 9,90 m/s
vf 5 dllllll
Ep0 1 Ec0 5 Ecf
Ec0 5 Ec1 1 Ep1 Ep1 5 Ec0 2 Ec1
1
1
1
1
m g h 0 1 — m v 20 5 — m v 2f g h0 1 — v 20 5 — v 2f
2
2
2
2
1
1
Ep1 5 — m (v 20 2 v 21 ) 5 — ? 2 ? (202 2 102) 5 300 J
2
2
1
1
9,8 ? 5 1 — ? 52 5 — v 2f vf 5 11,09 m/s
2
2
3. Des d’una torre disparem cap amunt una bala de 20 g de
massa a una velocitat de 36 km/h. Si arriba fins a 200 m
d’altura, calculeu:
5. Un paracaigudista de 100 kg de massa, inclòs l’equipament,
es deixa caure des d’un avió que vola a 2 km d’altura. Si no
se li obrís el paracaigudes, calculeu, tot negligint les forces
de fregament:
a) Amb quina velocitat arribaria al terra.
1
Ep0 5 Ecf m g h0 5 — m v 2f vf 5 dllll
2 g h0l
2
2 ?lllllll
9,8 ? 2 000 5 198 m/s
vf 5 dll
b) A quina altura es trobaria en el moment d’assolir una
velocitat de 126 km/h.
a) L’alçària de la torre.
Ep 0 1 Ec0 5 Ep1
v 5 126 km/h 5 35 m/s
1
m g h 0 1 — m v 20 5 m g h 1
2
1
Ep0 5 Ec2 1 Ep2 m g h0 5 — m v 22 1 m g h2
2
1
9,8 ? 2 000 5 — ? 352 1 9,8 h2 h2 5 1 937,5 m
2
1
9,8 h0 1 — ?102 5 9,8 ? 200 h 1 5 194,9 m
2
b) La velocitat amb què arriba a terra.
1
Ep1 5 Ec2 m g h1 5 — m v 22
2
2 g hl1 5 dlllllllll
2 ? 9,8 ? 200 5 62,61 m/s
v2 5 dllll
c) La velocitat a 10 m de terra.
1
Ep1 5 Ec3 1 Ep3 m g h1 5 — m v 23 1 m g h3
2
6. Un muntacàrregues aixeca un cos de 280 kg de massa al 20è
pis d’un edifici; si cada pis té 3 m d’alçària, calculeu:
a) L’energia potencial del muntacàrregues.
Ep 5 m g h 5 280 ? 9,8 ? (3 ? 20) 5 164 640 J
b) En el supòsit que es trenqués el muntacàrregues i que el
cos caigués al carrer, quina energia cinètica tindria en
arribar al terra? Amb quina velocitat hi arribaria?
Ep 5 Ec 5 164 640 J
1
9,8 ? 200 5 — v 23 1 9,8 ?10 v3 5 61,02 m/s
2
1
Ec 5 — m v 2 2
d) L’energia potencial a dalt de la torre.
Ep1 5 m g h 1 5 0,02 ? 9,8 ? 194,9 5 38,2 J
v5
2E
2 ? 164 640
llllllllll
—— 5 d ————— 5 34,29 m/s
dlllll
m
280
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
c
lOMoARcPSD|7143541
102
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
7. A cadascun dels caps d’una corda que passa per una politja
fixa hi ha un cos penjat: un de 200 g i l’altre de 100 g. Si
inicialment estan en repòs i a la mateixa altura, quin recorregut han fet quan van a 10 m/s?
1
k x2
Epe 5 Epg — k x2 5 m g h h 5 ——— 5
2
2mg
80 ? 0,32
5 —————— 5 1,47 m
2 ? 0,25 ? 9,8
10. Llancem un cos de 25 kg de massa en direcció cap amunt per
un pla inclinat d’inclinació 30°, amb velocitat de 20 m/s.
Calculeu la distància que recorre fins que s’atura, si:
a) Es negligeix el fregament.
v 5 10 m/s
1
Ec 5 Ep — m v 2 5 m g h 2
Ei 5 0 i
y Ei 5 E f
Ef 5 0 t
1
0 5 Ecf 1 Epf 5 — (m1 1 m2) v 2f 5 m1 g (2h) 1 m2 g h 2
1
0 5 — (0,2 1 0,1) ?102 1 9,8 h (0,1 2 0,2) 2
0 5 15 2 0,98 h 15
h 5 ——— 5 15,31 m
0,98
8. Calculeu la velocitat d’un pèndol d’1 m de longitud quan
passa per la vertical, si es deixa anar des d’una posició que
forma un angle de 40° respecte de la vertical.
v2
202
h 5 —— 5 ———— 5 20,41 m
2g
2 ? 9,8
h
h
20,41
sin 30° 5 — x 5 ———— 5 ———— 5 40,81 m
x
sin 30°
sin 30°
b) El fregament entre el cos i el terra és de 0,15.
WFf 5 DE WFf 5 Ep 2 Ec
Ff 5 m N 5 m m g cos a
h
sin 30° 5 —— h 5 Dx sin 30°
Dx
i
u
y
u
t
1
2Ff Dx 5 m g h 2 — m v 2
2
1
m
1
2m m g cos a Dx 5 m g h 2 — m v 2 2
1
2m g cos 30° Dx 5 g Dx sin 30° 2 — v 2 2
1
20,15 ? 9,8 ? cos 30°? Dx 5 9,8 ? Dx ? sin 30° 2 — ? 202 2
l2h
cos 40° 5 ——— h 5 l (1 2 cos 40°) 5
l
5 1 2 0,766 5 0,234 m
1
E p 5 Ec m g h 5 — m v 2 2
2 g h 5 dllllllllll
2 ? 9,8 ? 0,234 5 2,14 m/s
v 5 dllll
9. Si comprimim 30 cm una molla de constant elàstica 80 N/m
situada en un pla horitzontal i, d’aquesta manera, es dispara un cos de 250 g, calculeu l’altura que assoleix el cos
en el pla inclinat (fig. 6.29) sense tenir en compte el fregament.
21,27 Dx 5 4,9 Dx 2 200 Dx 5 32,40 m
11. Calculeu la quantitat de calor que es necessari subministrar
a 10 mL de mercuri per què la seva temperatura augmenti
de 20 ºC a 38 ºC.
Dades: la densitat del mercuri és de 13,6 g/cm3.
Calculem prèviament la massa de mercuri:
13,6 g
1 kg
10 mL ? ————
? ———— 5 0,136 kg
3
1 cm
1 000 g
Amb l’expressió de la calor trobem:
Q 5 c ? m ? DT 5 140 ? 0,136 ? (38 2 20) 5 342,72 J
12. Tenim una mostra de 120 g plom i una altra de 120 g de
ferro. Inicialment les dues estan a 25 ºC i els transferim
200 J d’energia. Calculeu a quina temperatura arribaran les
dues mostres.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
FÍSICA 1
Amb l’expressió de la calor i aïllant la variació de la temperatura, trobem:
1 fins a s
2 :
Des de s
Plom:
WFf 5 DE 2m m g Dx 5 Ecf 2 Eci Q
200
Q 5 c ? m ? DT DT 5 ——— 5 ————— 5 12,82 °C c?m
130 ? 0,12
Tf 5 DT 1 T0 5 12,82 1 25 5 37,82 °C
1
1
2m m g D x 5 — m v 22 2 — m v 21 2
2
1
1
20,2 ? 9,8 ? 0,5 5 — v 22 2 — ? 3,582 2
2
Ferro:
Q
200
Q 5 c ? m ? DT DT 5 ——— 5 ————— 5 3,76 °C c?m
443 ? 0,12
Tf 5 DT 1 T0 5 3,76 1 25 5 28,76 °C
v 5 dllllll
2 ? 5,43 5 3,29 m/s
B:
Des de s
2 fins a s
13. Calculeu la quantitat de calor que és necessària per elevar la
temperatura d’1 g d’una peça de coure, de 20 ºC fins a 35 ºC.
Dades: la calor específica del coure és 385 J?kg21?K21.
Amb l’expressió de la calor trobem:
Q 5 c ? m ? DT 5 385 ? 0,001 ? (35 2 20) 5 25,77 J
14. Deixem anar un cos des del punt A (fig. 6.30). Calculeu
l’altura a què està quan arriba al punt B, si:
B
A
WFf 5 DEc 2m m g cos a Dx 5 Epf 2 Eci
h
h
sin 60° 5 —— D x 5 ————
Dx
sin 60°
1
2m m g cos 60° Dx 5 m g h 2 — m v 22 2
h
1
2m g cos 60° ———— 5 g h 2 — v 22 sin 60°
2
cos 60°
1
20,2 ? 9,8 ? ———— h 5 9,8 h 2 — ? 3,29 2 sin 60°
2
21,13 h 5 9,8 h 2 5,43 h 5 0,50 m
50 cm
1m
103
60¡
30¡
a) No hi ha fregament.
Ep0 5 Epf m g h0 5 m g h f h0 5 h f 5 1 m
15. En el punt més alt d’un pla inclinat de 10 m de longitud i
2 m d’alçària hi ha un cos de 2 kg de massa. Si el deixem
baixar lliscant per aquest pla inclinat, calculeu la velocitat
amb què arriba a baix, tenint en compte que la força de
fregament que s’oposa al moviment és de 5 N.
b) En tot el recorregut hi ha un fregament de coeficient
0,2.
WFf 5 DE
WFf 5 DE
WFf 5 Ff Dx 5 25 ? 10 5 250 N
Ep 5 m g h 5 2 ? 9,8 ? 2 5 39,2 N
WFf 5 E c 2 Ep E c 5 Ep 1 WFf 5 39,2 2 50 5 210,8 J
És impossible. Per tant, no es mou.
A fins a s
1 :
Des de s
h
h
sin 30° 5 —— Dx 5 ————
Dx
sin 30°
WF f 5 DE 2m N Dx 5 Ec 2 Ep 1
2m m g cos 30° D x 5 — m v 2 2 m g h 2
16. Des de la part superior d’un pla inclinat de 4 m d’altura i
10 m de longitud es deixa caure un cos de 8 kg de massa
que arriba a la base del pla amb una velocitat de 8 m/s.
Calculeu:
a) L’energia cinètica i potencial del cos en iniciar-se el
moviment i en finalitzar-lo.
Ec 0 5 0
h
1
2m g cos 30° ———— 5 — v 2 2 g h sin 30°
2
Ep0 5 m g h 5 8 ? 9,8 ? 4 5 313,6 J
cos 30°
1
20,2 ? 9,8 ? ———— ?1 5 — v 2 2 9,8 ? 1 sin 30°
2
1
1
Ecf 5 — m v 2 5 — ? 8 ? 82 5 256 J
2
2
v 5 dlllll
2 ? 6,4 5 3,58 m/s
Epf 5 0
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
104
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) L’energia mecànica perduda pel fregament i el valor de
la força de fregament.
WFf 5 DE 5 Ecf 2 Eci 5 256 2 313,6 5 257,6 J
WFf
257,6
Ff 5 ——— 5 ———— 5 25,76 N
Dx
10
17. Damunt d’una taula horitzontal hi ha, en un extrem, un cos
de 500 g de massa i, enganxat a aquest cos, n’hi ha un altre
penjant de 400 g de massa. Tots dos cossos estan connectats per una politja. Tenint en compte que el coeficient de
fregament dinàmic entre el cos i la superfície horitzontal
és de 0,2, calculeu, quan els cossos tinguin una velocitat de
5 m/s:
a) L’energia perduda en forma de calor per fregament.
D E 5 WFnc
1
Wfnc 5 Ec 2 Ep Wfnc 5 — m v 2 2 m g h 5
2
1
5 — ? 2 ? 32 2 2 ? 9,8 ? 0,8 5 26,68 J
2
b) El coeficient de fregament.
b
0,6
0,82 1 0,62 5 1 cos a 5 ——
cos a 5 — x 5 dllllllllll
x
1
WFnc
WFnc 5 2m m g cos a Dx m 5 2——————— 5
m g cos a Dx
26,68
5 2——————— 5 0,57
2 ? 9,8 ? 0,6 ? 1
19. Deixem caure un cos de 2 kg de massa que es troba sobre un
pla inclinat de 30° de manera que tarda 5 s a arribar a baix,
tot recorrent 25 m. Calculeu el coeficient de fregament i el
treball de la força de fregament.
WFf 5 DE
Ff D x 5 DE
a) L’espai recorregut.
h 5 Dx
1
2m m1 g Dx 5 — (m1 1 m2) v 2 2 m2 g D x
2
1
20,2 ? 0,5 ? 9,8 ? Dx 5 — (0,5 1 0,4) ? 52 2 0,4 ? 9,8 ? Dx
2
20,98 Dx 5 11,25 2 3,92 Dx
2,94 D x 5 11,25 D x 5 3,82 m
b) El treball de fricció.
WFf 5 2m m1 g Dx 5 20,2 ? 0,5 ? 9,8 ? 3,82 5 23,74 J
c) La pèrdua d’energia potencial de la massa de 400 g.
D Ep 5 0 2 m g Dx 5 20,4 ? 9,8 ? 3,82 5 214,97 J
d) L’energia cinètica total.
1
1
Ec 5 — (m1 1 m 2) v 2 5 — (0,5 1 0,4) ? 52 5 11,25 J
2
2
18. Un cos de 2 kg de massa baixa per un pla inclinat de 80 cm
d’altura i 60 cm de base. Quan arriba a baix la velocitat és
de 3 m/s. Calculeu:
DE 5 WFf
Ec 2 Ep 5 WFf
1
x 5 x 0 1 v0 Dt 1 — D t 2
a
v 5 v0 1 a Dt
i
u x5
y
u
t v5
1
— a t2
2
at
i
u
y
u
t
1
2x
2 ? 25
x 5 — v t v 5 —— 5 ——— 5 10 m/s
2
t
5
h 5 Dx sin a 5 25 ? sin 30° 5 12,5 m
Ec 2 Ep 5 2m m g cos a Dx 1
— m v 2 2 m g h 5 2m m g cos a Dx 2
1
— v 2 2 g h 5 2m g cos a Dx 2
1
— 102 2 9,8 ?12,5 5 2m ? 9,8 ? cos 30° ? 25 m 5 0,34
2
WFf 5 2m m g cos a Dx 5 20,34 ? 2 ? 9,8 ? cos 30° ? 25 5
5 2145 J
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
FÍSICA 1
20. Damunt d’una taula horitzontal hi ha, en un extrem, un cos
de 2 kg de massa i, enganxat a aquest cos, n’hi ha un altre
penjant de 3 kg de massa. Tots dos cossos estan connectats
per una politja. Tenint en compte que el coeficient de fregament dinàmic entre el cos i la superfície horitzontal és de
0,2, calculeu, quan els cossos han recorregut una distància
de 2 m:
105
22. Un cos de 0,5 kg inicialment en repòs llisca per un pla inclinat de 3 m de longitud i un angle de 30° sobre l’eix horitzontal fins que xoca amb la molla de constant elàstica
300 N/m situada al final del pla inclinat (fig. 6.31). Calculeu la velocitat d’impacte del cos amb la molla i la màxima
compressió de la molla:
30¡
WFf 5 D E
a) Si no tenim en compte el fregament en tot el recorregut.
1
DE 5 0 Ec 5 Ep — m v 2 5 m g h
2
Ff Dx 5 DE
a) La velocitat quan ha recorregut aquesta distància.
h 5 Dx sin 30° 5 3 sin 30° 5 1,5 m
1
2m m1 g D x 5 — (m1 1 m2) v 2 2 m2 g Dx
2
v 5 dll
2lll
g h 5 dllllllll
2 ? 9,8 ? 1,5 5 5,42 m/s
1
D E 5 0 Epe 5 Epg — k x 2 5 m g h 2
1
20,2 ? 2 ? 9,8 ? 2 5 — (2 1 3) ? v 2 2 3 ? 9,8 ? 2
2
27,84 5 2,5 v 2 2 58,8 v 5 4,51 m/s
x5
b) El treball de fricció.
WFf 5 20,2 ? 2 ? 9,8 ? 2 5 27,84 J
2mgh
2 ? 0,5 ? 9,8 ? 1,5
llllllllllllll
———— 5 d ———————— 5 0,22 m
dlllllll
k
300
b) Si entre el cos i el pla actua el fregament amb un coeficient de 0,2.
c) La pèrdua d’energia potencial de la massa de 3 kg.
Ep 5 2m 2 g D x 5 258,8 J
f
d) L’energia cinètica total final.
x
1
1
Ec 5 — (m1 1 m 2) v 2 5 — ? (3 1 2) ? 4,512 5 50,96 J
2
2
y
21. Des de la part superior d’un pla inclinat de 10 m d’alçada i
50 m de longitud deixem caure un cos de 20 kg de massa,
que arriba a la base del pla amb una velocitat de 10 m/s.
Calculeu:
1
s
D E 5 Wfnc Ec 2 Ep 5 2m m g cos a Dx 1
— m v 2 2 m g h 5 2m m g cos a Dx 2
2 g (h 2 m cos a Dx) 5
v 5 dllllllllllllllll
a) Les energies cinètica i potencial del cos a l’inici i al final del recorregut.
Eci 5 0
Epi 5 m g h 5 20 ? 9,8 ? 10 5 1 960 J
1
1
Ecf 5 — m v 2 5 — ? 20 ? 102 5 1 000 J
2
2
Epf 5 0
b) L’energia mecànica perduda per fregament.
D E 5 Wfnc Wfnc 5 1 000 2 1 960 5 2960 J
2 ? 9,8 (1,5 2 0,2 cos 30° ? 3) 5 4,38 m/s
5 dllllllllllllllllllllll
2
s
1
1
Epe 2 Ec 5 Wfnc — k x2 2 — m v 2 5 2m m g x 2
2
k x2 2 m v2 1 2 m m g x 5 0 300 x 2 2 0,5 ? 4,382 1 2 ? 0,2 ? 0,5 ? 9,8 x 5 0 300 x 2 1 1,96 x 2 9,59 5 0 1,962 1 4 ? 300 ? 9,59
21,96 6 dllllllllllllllll
x 5 ————————————————— 5 0,17 m
2 ? 300
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
106
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
23. Llancem per un pendent i cap amunt un cos de 300 kg de
massa amb una velocitat inicial de 50 m/s. Calculeu fins a
quina altura pujarà, si mentre puja es dissipen 7,5 ? 104 J
d’energia mecànica a causa de les forces de fregament.
1,2 ? 2 2 1,3 ? 3,3 5 1,2 v 19 1 1,3 v 29 i
y
t
2 1 v 19 5 23,3 1 v 29
21,89 5 1,2 v 19 1 1,3 v 29 i
y
t
v 19 5 v 29 2 5,3
21,89 5 1,2 (v 29 2 5,3) 1 1,3 v 29
21,89 5 1,2 v 29 2 6,36 1 1,3 v 29
x
4,47
4,47 5 2,5 v 29 v 29 5 ——— 5 1,8 m/s
2,5
f
v 19 5 1,8 2 5,3 5 23,5 m/s
y
c) m1 5 m2 5 0,8 kg
D E 5 Wfnc Ep 2 Ec 5 Wfnc
1
m g h 2 — m v 2 5 Wfnc 2
1
300 ? 9,8 h 2 — 300 ? 502 5 27,5 ?104 2
2 940 h 2 375 000 5 27,5 ?104 h 5 102,04 m
24. Dues boles de billar de masses m1 i m2, que duen velocitats
inicials de 2 m/s i 3,3 m/s respectivament, experimenten
un xoc frontal. Si la primera es mou cap a la dreta i la segona cap a l’esquerra, calculeu les velocitats finals en els casos següents, suposant que el xoc és perfectament elàstic.
a) m1 5 150 g, m2 5 250 g
2 m 2 3,3 m 5 m v 19 1 m v 29 i
y
t
2 1 v 19 5 23,3 1 v 29
21,3 5 v 19 1 v 29
i
y
2 1 v 19 5 23,3 1 v 29 t
21,3 5
v 19 1 v 29
5,3 5 2v 19 1 v 29
—————————
4 5
/ 2 v 29 v 29 5 2 m/s
v 19 5 25,3 1 v 29 v 19 5 23,3 m/s
m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v19 1 m2 v29 i
v1 1 v 19 5 v 2 1 v 29
y
t
0,15 ? 2 1 0,25 ? (23,3) 5 0,150 v 19 1 0,250 v 29 i
y
t
2 1 v 19 5 23,3 1 v 29
20,525 5 0,15 v 19 1 0,25 v 29 i
20,525 5 0,15 (v 29 2 5,3) 1 0,25 v 29
20,525 5 0,15 v 29 2 0,795 1 0,25 v 29
20,525 5 0,4 v 29 2 0,795
0,795 2 0,525
v 29 5 ———————— 5 0,68 m/s
0,4
v 19 5 0,68 2 5,3 5 24,62 m/s
b) m1 5 1,2 kg, m2 5 1,3 kg
Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment, i tenim que:
m1 v 1 1 m2 v 2 5 m1 v 19 m2 v 29 0,2 ? 4 1 0,3 ? (22) 5
y
t
v 19 5 v 29 2 5,3
25. Dues boles de 200 g i de 300 g es desplacen horitzontalment amb unes velocitats de 4 m/s i 22 m/s, respectivament. Després d’un xoc frontal, la velocitat de la primera
és de 23,2 m/s. Calculeu la velocitat de la segona bola, el
coeficient de restitució i deduïu de quin tipus de xoc es
tracta.
0,2 1 0,64
5 0,2 ? (23,2) 1 0,3 ? v 29 v 29 5 —————— 5 2,8 m/s
0,3
Calculem el coeficient de restitució:
2(v19 2 v29)
2(23,2 2 2,8)
6
k 5 —————— 5 ———————— 5 — 5 1
v1 2 v2
4 2 (22)
6
Es tracta d’un xoc perfectament elàstic, ja que el coeficient de
restitució del seu valor és d’1. També es pot comprovar que es
tracta d’un xoc perfectament elàstic calculant la variació de
l’energia cinètica.
DE 5 Ef 2 E0 5
1
1
1
1
5 2— m1v192 1 — m2v292 2 — m1v21 2— m2v22 5
2
2
2
2
1
1
1
1
5 — ? 0,2 ? 3,22 1 — ? 0,3 ? 2,82 2 — ? 0,2 ? 42 2 — ? 0,3 ? 22 5 0
2
2
2
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
FÍSICA 1
26. [Curs 04-05] Un vagó de massa 1 000 kg es desplaça a una
velocitat constant de 5 m/s per una via horitzontal sense
fricció. En un moment determinat xoca amb un altre vagó
de massa 2 000 kg que estava aturat, de manera que després de la col.lisió queden units. Calculeu:
a) La velocitat que tindrà el conjunt després del xoc.
Dades:
107
28. Una pilota de 500 g de massa es deixa caure verticalment
des d’una certa alçada. La pilota impacta amb el terra a una
velocitat de 5,4 m/s i rebota verticalment fins a arribar a
un punt d’altura màxima de 120 cm. Des de quina altura
inicial s’ha deixat caure la pilota? Quant val el coeficient de
restitució del xoc pilota-terra? Quanta energia s’ha perdut
en el xoc?
En tocar al terra, tota l’energia potencial s’ha transformat en
energia cinètica, així trobem l’altura inicial:
m1 5 1 000 kg
2
vf
5,42
Ecf 5 Ep0 h 5 —— 5 ———— 5 1,49 m ø 1,5 m
2g
2 ? 9,8
m2 5 2 000 kg
v1 5 5 m/s
v2 5 0
Si la pilota arriba a una altura d’1,2 m, vol dir que després de
xocar amb el terra té una velocitat que val:
v19 5 v29 5 v9
Per conservació de la quantitat de moviment:
2 g h 5 dllllllll
2 ? 9,8 ? 1,2 5 4,8 m/s
Epf 5 Ec0 v9 5 dllll
m1 ? v1 1 m2 ? 0 5 (m1 1 m2) ? v9 El coeficient de restitució del xoc de la pilota amb el terra val:
m1
1 000
v9 5 ————— v1 5 ——— 5 5 1,667 m/s ø
m1 1 m2
3 000
2(v9 2 v9terra)
4,8 2 0
k 5 ———————— 5 2—————— 5 0,89
v 2 vterra
25,4 2 0
ø 1,67 m/s
En aquest xoc s’ha perdut una energia igual a la pèrdua d’energia cinètica:
D E 5 DEc 5 Ecf 2 Ec0 5
b) L’energia mecànica perduda en el xoc.
L’energia mecànica perduda en el xoc correspon a la variació
d’energia cinètica perquè l’energia potencial no varia:
1
1
DEc 5 — (m1 1 m2) ? (v9)2 2 — m1 v21 5
2
2
1
1
5 — 3 000 ? 1,66672 2 — 1 000 ? 52 5 28 333 J
2
2
1
1
5 — m (vf2 2 v 20) 5 — 0,5 (4,82 2 5,42) 5 21,5 J
2
2
29. Dues boles de 2 kg i 1 kg de massa respectivament, xoquen
frontalment a una velocitat de 2 m/s cada una. Si el coeficient de restitució del xoc és de 0,8, quines són les velocitats després del xoc?
27. Una bala de fusell que té una massa de 250 g és disparada
a una velocitat de 500 m/s contra un bloc de fusta de 4 kg
de massa. Si la bala queda incrustada dins del bloc de fusta,
calculeu:
k 5 0,8
2(v 19 2 v 29)
2(v 19 2 v 29)
k 5 —————— 0,8 5 —————— 3,2 5 2v 19 1 v 29
v1 2 v 2
2 2 (22)
m1 v1 1 m2 v2 5 m1 v19 1 m2 v29
2 ? 2 1 1 ? (22) 5 2 v19 1 1 v29 2 5 2 v19 1 v29
3,2 5 2v19 1 v29 i
a) La velocitat amb què es mou el conjunt després del xoc.
y
2 5 2 v19 1 v29 t
m1 v1 1 m 2 v 2 5 (m1 1 m 2) v9
3,2 5 2v19 1 v29 i
0,25 ? 500 1 4 ? 0 5 4,25 v9 v9 5 29,41 m/s
22 5 22 v19 2 v29 t
—————————
b) L’energia dissipada en el xoc.
1
1
1
D Ec 5 — (m1 1 m 2) v92 2 — m1 v 21 2 — m2v 22 5
2
2
2
1
1
5 — ? 4,25 ? 29,412 2 — ? 0,25 ? 5002 5
2
2
5 229 411,76 J
y
1,2 5 23 v19
/
1,2
v19 5 2—— 5 20,4 m/s
3
3,2 5 0,4 1 v29 v29 5 2,8 m/s
30. Una bola de plastilina amb una massa de 150 g es mou horitzontalment a una velocitat indeterminada i impacta sobre un bloc de 0,5 kg (fig. 6.32). Com a conseqüència de
l’impacte el bloc puja fins a una altura de 6 cm. Calculeu a
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
108
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
quina velocitat ha impactat la bola de plastilina sobre el
bloc.
33. Un vagó amb una massa de 50 Tm es mou amb una velocitat
de 12 km/h i xoca contra una plataforma de 30 Tm de massa
que es troba en una via i s’enganxen. Calculeu:
v 5 12 km/h 5 3,33 m/s
h 5 6 cm
p inicial 5 p final
a) La velocitat del moviment del conjunt just després del
xoc.
m1 v1 5 (m1 1 m2) v
m1 v1
50 000 ? 12
v 5 ————— 5 ————————— 5 7,5 km/h 5
m1 1 m2
50 000 1 30 000
5 2,08 m/s
1
DE 5 0 Ec 5 Ep — (m1 1 m 2) v92 5 (m1 1 m 2) g h
2
v9 5 dllll
2 g h 5 dllllllllll
2 ? 9,8 ? 0,06 5 1,08 m/s
m1 v 5 (m1 1 m 2) v9
m1 1 m 2
0,15 1 0,5
v 5 ————— v9 5 —————— 1,08 5 4,7 m/s
m1
0,15
31. Un camió d’una tona de massa viatja a 72 km/h; de sobte
xoca amb un cotxe de 500 kg de massa que es troba aturat.
Determineu el vector velocitat després de l’impacte si queden escastats i quina és l’energia perduda a causa de l’impacte.
v 5 72 km/h 5 20 m/s
b) La distància recorreguda pel conjunt, si la força de fregament és igual al 5 % del pes.
1
D E 5 2Wfnc 0 2 E ci 5 2Wfnc — mT v 2 5 Ff x
2
Ff 5 0,05 ? (m1 1 m2) g 5 0,05 ? 80 000 ? 9,8 5 39 200 N
mT v 2
80 000 ? 2,082
x 5 ——— 5 ——————— 5 2,66 m
2 Ff
2 ? 39 200
34. [Curs 05-06] Una bola d’acer xoca elàsticament contra un
bloc d’1 kg inicialment en repòs sobre una superfície plana
horitzontal. En el moment del xoc la bola té una velocitat horitzontal de 5 m/s. El coeficient de fricció dinàmic
entre la superfície i el bloc és de m 5 0,2. Com a conseqüència del xoc, el bloc recorre 2 m abans d’aturar-se. Calculeu:
pi 5 1 000 ? 20 5 20 000 kgm/s i
y
t
pf 5 (1 000 2 500) v
20 000
v 5 ———— 5 13,33 m/s 5 48 km/h
1 500
1
1
DE 5 — mT v 2 2 — m1v 21 5
2
2
1
1
5 — 1 500 ? 13,332 2 — 1 000 ? 202 5 266 666,67 J
2
2
32. Un nucli d’urani es desintegra en dos fragments de
2,5 ?10225 kg i 1,5 ?10225 kg. Determineu la relació entre
les velocitats dels dos fragments en què es desintegra el
nucli, si no tenim en compte altres partícules de masses
negligibles.
a) La velocitat del bloc just després del xoc.
DE 5 Wfnc Ecf 2 Eci 5 2Ff Dx 1
0 2 — m2 v292 5 2m m2 g Dx 2
1
— v292 5 m g Dx v29 5 dlllllll
2 m g Dx 5
2
2 ? 0,2 ? 9,8 ? 2 5 2,8 m/s
5 dlllllllllll
b) La massa de la bola d’acer.
p inicial 5 pfinal 0 5 m1 v1 1 m2 v 2
m1v1 5 m1v19 1 m2v29 i
0 5 2,5 ? 10 225 v1 1 1,5 ? 10 225 v2
v1 1 v19 5 v2 1 v29
v1
1,5 ? 10 225
3
——
5 2——————
5 2— 5 20,6
v2
2,5 ? 10 225
5
y
t
m1 ? 5 5 m1v1 1 1 ? 2,8
i
y
5 1 v19 5 0 1 2,8 v19 5 2,8 2 5 5 22,2 m/s t
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
06
FÍSICA 1
5 m1 5 22,2 m1 1 2,8 (5 1 22) m1 5 2,8 2,8
m1 5 —— 5 0,4 kg
7,2
masses queden unides i el conjunt puja per la guia fins a
una altura h de 60 cm (punt C). Sabent que en la meitat AB
de la guia no hi ha fricció, però en l’altra meitat sí, calculeu:
a) La velocitat amb què m1 xoca contra m2.
c) L’energia cinètica perduda per la bola en el xoc elàstic.
pi 1 pj m2v2 5 (m1 1 m2) v9 1
1
DE 5 Ecf 2 Eci 5 — m1v192 2 — m1v 21 5
2
2
m2v2
0,6 ? 4
v9 5 ————— 5 ————— 5 3 m/s
0,6 1 0,2
m1 1 m2
1
1
5 — 0,4 ? (22,2)2 2 — 0,4 ? 52 5 24,03 J
2
2
1
1
1
(m1 1 m2) v92 2 — m2v 22 5 — 0,8 ? 32 2 — 0,6 ? 42 5
2
2
2
5 1,2 J
35. [Curs 99-00] Es llança una pedra de 20 kg de massa amb
una velocitat inicial de 200 m/s que forma un angle de 30º
amb l’horitzontal.
b) El treball de la força de fricció en el tram BC.
1
1
Epe 5 Ec — k A2 5 — (m1 1 m2) v92 2
2
a) Quant valdrà la seva energia mecànica en el punt més alt
de la seva trajectòria?
1
1
E 5 constant E 5 — m v2 5 — 20 ? 2002 5 4 ? 105 J
2
2
b) Quina ha estat la variació de la quantitat de moviment
de la pedra en anar des del punt de llançament fins al de
màxima altura en la seva trajectòria parabòlica?
A 5 v9
v0y 5 v0 sin a 5 200 sin 30° 5 100 m/s
v2 5 173,2 i
i
y
v1 5 173,2 i 1 100 j t
D p 5 m v2 2 m v1 5 m (v2 2 v1)
1
1r mètode:
2
Eci 5 Eci2 1 Epe2 1
1
— (m1 1 m2) v22 1 — k x92 2
2
y
t
0,8 ? 32 5 0,8 ? 32 ? v22 1 500 ? 0,062 7,2 5 0,8 v22 1 1,8 5
v2 5
5 20 (173,2 i 2 173,2 i 2 100 j) 5 22 000 j kgm/s
c) Suposeu que quan arriba al punt de màxima altura la
pedra es trenca en dos trossos de 5 kg i 15 kg, de manera que la massa de 15 kg queda parada immediatament
després de l’explosió. Quina seria la velocitat de la massa de 5 kg en aquest instant?
m1 5 5 kg i y pi 5 pf m v2 5 m1v19 1 m2v29
m2 5 15 kg t
20 ? 173,2 20 ? 173,2 i 5 5 v1 v1 5 ————— i 5 692,8 i m/s
5
36. [Curs 03-04] Deixem caure un cos m1 de massa 1 kg des del
punt A d’una guia semicircular de radi R 5 2 m.
R
m1
m 1m
lll0,8
lll
———— 5 3 d —— 5 0,12 m
dlllllllll
k
500
c) La força que fa la guia sobre el conjunt en el punt C.
v0x 5 v0 cos a 5 200 cos 30° 5 173,2 m/s i
A
109
7,2 2 1,8
———— 5 2,6 m/s
dlllllllll
0,8
2n mètode:
t50
x50
w50
x 5 A sin (v t 1 w)
A
p
x 5 sin v t x 5 — 5 A sin v t v t 5 — rad
2
6
v 5 A v cos v t 5
5A
kl
500
p
lll
lll
cos v t 5 0,12 d —— cos — 5 2,6 m/s
dlll—
m
0,8
6
Avaluació del bloc 2
C
h
Q1. [Curs 02-03] Una massa de 5 kg està penjada d’un fil vertical, inextensible i de massa negligible. Si la tensió del fil té
un valor de 60 N, raoneu quina de les propostes següents és
correcta:
m2
a) La massa puja a velocitat constant.
B
b) La massa té una acceleració cap amunt de 2 m/s2.
En arribar al punt B, xoca contra una altra massa en repòs
m2 de 500 g, de manera que després de l’impacte ambdues
c) La massa es troba en repòs.
Considereu g 5 10 m/s2.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
110
06
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
T 2 m g 5 m a a 5 2 m/s
a) Tres segones parts.
b) El doble.
Per tant, l’opció correcta és la b).
Q2. [Curs 04-05] Des de la part superior d’un pla inclinat, d’angle 37° amb el pla horitzontal i longitud 5 m, deixem caure
una partícula de massa 10 kg. La partícula arriba a la part
inferior del pla inclinat amb una velocitat de 6 m/s.
c) Es queda igual.
d) Quatre terceres parts.
Dades:
m2
m1 5 ——
4
v1 5 2 v2
l
v1
2 v2
v19 5 — 5 ——
3
3
h
Per conservació de la quantitat de moviment:
m1 ? v1 1 m2 ? v2 5 m1 ? v19 1 m2 ? v29 h 5 l sin a 5 5 ? sin 37º 5 3 m
m2
m2
v2
—— 2 v2 1 m2 ? v2 5 —— 2 —— 1 m2 ? v29 4
4
3
a) Quant val el treball que la força pes ha fet sobre la partícula en aquest trajecte?
4
v29 5 — v2
3
W 5 2 DU 5 mgh W 5 294 J
b) Quant val el treball fet per la força de fregament?
Wnc 5 D E 5 D U 1 DEc
1
Wnc5 2W 1 — mv 2 5 2114 J
2
Q3. Un cos de 25 kg de massa puja amb velocitat constant per
un pla inclinat que forma un angle de 15° amb l’horitzonal.
Sobre el cos actua una força de mòdul F paral.lela al pla inclinat. Si el fregament entre el cos i el pla és negligible,
quant val F?
Per tant, l’opció correcta és la d).
P1. [Curs 01-02] Un cotxe de 2 000 kg de massa que arrossega
un remolc de 150 kg mitjançant un cable de massa negligible es troba inicialment en repòs. El cotxe arrenca amb una
acceleració que es manté constant durant els primers 10 s
i la tensió del cable durant aquest temps val 500 N. Suposant que la fricció dels pneumàtics del cotxe i del remolc
amb el terra equival a una força de fregament amb coeficient 0,2 i que la fricció amb l’aire és negligible, calculeu:
A la figura mostrem les forces que actuen sobre el cos:
En tot el problema, designarem amb el subíndex 1 la massa
i les forces que actuen sobre el cotxe, i amb el subíndex 2 la
massa i les forces sobre el remolc.
a) L’acceleració i la velocitat del sistema cotxe-remolc 8 s
després d’haver-se iniciat el moviment.
Com que el cos es mou a velocitat constant, l’acceleració és
nul.la i, per tant, les forces s’anul.len entre si.
En la direcció X (paral.lela al pla):
F 2 mg sin a 5 0 F 5 mg sin a 5 25 ? 9,8 ? sin 15º 5 63,4 N
Q4. En un xoc entre dos cossos un d’ells de massa 4 vegades
més petita, va a l’encontre d’un altre amb velocitat doble. Si
després del xoc el cos més ràpid redueix la seva velocitat
fins a una tercera part, en quina proporció augmenta la velocitat del cos més lent respecte de la seva velocitat inicial? Trieu la resposta correcta.
Aplicant la segona llei de Newton per a les forces que actuen en la direcció Y tenim per al cotxe i per al remolc:
N1 5 m1 g
N2 5 m2 g
D’altra banda, com que la massa del cable és negligible:
T1 5 T2 5 500 N
Obtenim l’acceleració aplicant la segona llei de Newton en la
direcció X, tenint present que el cotxe i el remolc es mouen
amb la mateixa acceleració i que la força de tracció F actua
directament només sobre el cotxe:
per al cotxe: F 2 T 2 Ff1 5 m1 a i
y
t
per al remolc: T 2 Ff2 5 m2 a
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
T 2 Ff2
T 2 m m2 g
a 5 ———— 5 ————— 5
m2
m2
111
a) No hi ha fregament.
D E 5 0 Epe 2 Epg 5 0
T
500
5 —— 2 m g 5 —— 2 0,2 ? 9,8 5 1,37 m/s2
m2
150
1
— k x2 5 m g h x 5
2
La velocitat al cap de 8 segons val:
x5
v 5 v0 1 a Dt 5 0 1 1,37 ? 8 5 10,96 m/s
b) La força de tracció i la potència del motor del cotxe 8 s
després d’haver-se iniciat el moviment.
06
2mgh
——— dlllllll
k
2 ?1? 9,8 ? 0,5
——————— 5 0,22 m
dllllllllllll
200
b) Si en tot el recorregut hi ha un fregament de coeficient
0,1.
De l’equació de l’apartat anterior i coneguda l’acceleració,
trobem la força de tracció:
F 5 T 1 Ff1 1 m1 a 5 T 1 m1 (m g 1 a) 5
50 cm
5 500 1 2 000 (0,2 ? 9,8 1 1,37) 5 7 160 N
La potència la trobem a partir del treball realitzat per
aquesta força en la unitat de temps. Primer busquem el
desplaçament:
1
1
Dx 5 v0 Dt 1 — a (Dt)2 5 0 1 — 1,37 ? 82 5 43,84 m
2
2
1
s
DE 5 Wfnc
1
Ec 2 Ep 5 Wfnc — mv 2 2 mg h 5 2m mg cos a Dx
2
h
h
sin 25° 5 —— Dx 5 ————
Dx
sin 25°
La potència val:
W
F ? Dx ? cos a
7 160 ? 43,84 ? 1
P 5 —— 5 —————— 5 ———————— 5
Dt
Dt
8
1
h
— v 2 2 g h 5 2m g cos a ——— 2
sin a
5 39 236,8 W
v5
c) El treball que han fet les forces de fregament durant els
primers 10 s del moviment.
L’acceleració és constant durant els 10 s. Per tant, els resultats anteriors són vàlids. Calculem el desplaçament del
conjunt cotxe-remolc en aquest període de temps:
v5
1
1
Dx 5 v0 Dt 1 — a (Dt)2 5 0 1 — 1,37 ? 102 5 68,5 m
2
2
El treball fet per les forces de fregament és:
WFf 5 WFf1 1 WFf2 5 (Ff1 1 Ff2) Dx ? cos 180º 5
5 2(Ff1 1 Ff2) Dx 5 2m (m1 1 m2) g Dx 5
5 20,2 ? (2 000 1 500) ? 9,8 ? 68,5 5 23,357 ? 105 J
P2. Deixem caure un cos d’1 kg de massa situat a la part de dalt
d’un pla inclinat. Calculeu fins a quin punt es comprimirà la
molla de constant elàstica 200 N/m, si:
1m
50 cm
25¡
h
2 1g h 2 m g cos a ———2 dllllllllllllllllllllll
sin a
5
2
s
m
2 g h 11 2 ——2 5
dllllllllllllll
tg a
0,1
2 ? 9,8 ? 0,5 11 2 ———2 5 2,77 m/s
dllllllllllllllllllll
tg 25°
Epe 2 Ec 5 Wfnc
1
1
— k x 2 2 — m v 2 5 2m m g (x 1 x1) 2
2
k x 2 2 m v 2 5 22 m m g (x 1 x1) 200 x 2 2 1? 2,772 5 22 ? 0,1?1 ? 9,8 (x 1 1) 200 x 2 2 7,7 5 21,96 x 2 1,96 200 x 2 1 1,96 x 2 5,74 5 0
1,962 1 4 ? 5,74 ? 200
21,96 6 dllllllllllllllll
x 5 ————————————————— 5
2 ? 200
21,96 6 67,79
5 ———————— 5 0,16 m
400
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
07
112
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
j Unitat 7. Corrent continu
signe. Però, a més, aquest treball és igual a la variació de la
seva energia cinètica, que és positiva.
Per tant:
Activitats
1. Poseu exemples de medis conductors i medis aïllants i expliqueu quina aplicació tenen en el transport o l’aïllament
dels corrents elèctrics.
Exemples de medis conductors són els metalls i les substàncies
polars com ara l’aigua. L’aplicació més coneguda és la fabricació
de cables metàl.lics per a circuits elèctrics. En el cas de l’aigua,
per exemple, una atmosfera prou humida ajuda a eliminar els
efectes de l’electricitat electrostàtica.
Exemples de medis aïllants són els plàstics, la fusta i el formigó. Amb els primers es recobreixen els cables metàl.lics dels
circuits elèctrics per a evitar curtcircuits i fugues. Amb la fusta
i el formigó es construeixen els pals que subjecten els cables
elèctrics utilitzats per al transport de l’energia elèctrica.
2. Tenint present que la càrrega de l’electró val 21,6 ? 10219 C,
calculeu la càrrega amb el seu signe dels ions següents:
a) H1
i
W 5 2DEp
y 2(EpA 2 EpB) 5 DEc . 0 EpB . EpA
W 5 DEc . 0 t
És a dir, tota càrrega elèctrica positiva tendeix a moure’s cap a
les zones de menor valor d’energia potencial elèctrica.
Quant als valors del potencial elèctric, com que l’energia potencial elèctrica d’una càrrega en un punt de l’espai és igual al
producte del valor de la càrrega pel valor del potencial en
aquest punt, resulta que les càrregues elèctriques positives tendeixen a moure’s cap a les zones de menor valor del potencial
elèctric.
5. Suposeu que el conductor de la figura 7.6 se substitueix
per un tub de vidre que conté ions de gas amb càrrega positiva i a molt baixa pressió. Si en els seus extrems s’aplica
una ddp V1 2 V2 amb V1 . V2, dibuixeu la força elèctrica
que rep un ió, la seva acceleració, la seva velocitat i el
sentit convencional del corrent dins el tub.
El H1, també anomenat protó, té una unitat de càrrega
elèctrica positiva, per tant: q 5 11,6 ? 10219 C.
b) OH2
V1 . V2
L’ió OH2 té una unitat de càrrega elèctrica negativa, per
tant: q 5 21,6 ? 10219 C.
c) SO 422
L’ió SO22
4 té dues unitats de càrrega elèctrica negativa, per
tant: q 5 22 ? 1,6 ? 10219 5 23,2 ? 10219 C.
3. Considerem un tros de conductor exposat a una ddp entre
els seus extrems V1 2 V2, amb V1 . V2. Dibuixeu la força
que rep un electró lliure, la seva acceleració, la seva velocitat i el sentit convencional del corrent.
La força va en sentit de V2 a V1.
L’acceleració va en sentit de V2 a V1.
La velocitat va en sentit de V2 a V1.
La intensitat va en sentit contrari, de V1 a V2.
4. Deduïu, seguint un raonament similar a l’il.lustrat en la figura 7.5, que les càrregues positives sotmeses només a la
força elèctrica es mouen de regions d’energies potencials
elèctriques altes a regions d’energies potencials baixes. En
quin sentit es mouran respecte dels potencials elèctrics?
Considerem un conductor carregat positivament i una càrrega
positiva, per exemple un protó, situada en un punt B a una
certa distància del cos. A causa de la repulsió elèctrica, el protó
s’allunya del cos passant del punt B al punt A, més allunyat del
cos, tot augmentant la seva energia cinètica. Com que el cos
carregat i el protó formen un sistema conservatiu, el treball fet
per la força elèctrica quan el protó es mou de la posició B a la
A és igual a la variació d’energia potencial elèctrica canviada de
6. Quants electrons passen per segon en un filament d’una
bombeta si hi circula un corrent constant de 0,45 A?
Quan una bombeta està funcionant hi passen electrons que per
efecte de la fricció produeixen llum.
Si la intensitat és de 0,45 A, la quantitat de càrrega que circula
en 1 segon és de 0,45 C.
Tenint en compte que la càrrega d’un electró és 1,6 ? 19219 C,
podem calcular la quantitat d’electrons que passen per segon
pel filament:
1e
0,45 C ? ——————
5 2,8 ? 1918 e
1,6 ? 10219 C
7. Per un conductor metàl.lic hi passa un corrent continu de
4,3 A. Quina quantitat de càrrega hi passa en 2 minuts?
Quants electrons hi passen per segon?
Podem saber la càrrega que passa per un conductor en un
temps determinat, sabent la intensitat. En el nostre cas:
DQ 5 I Dt 5 4,3 A ? 120 s 5 516 C
En un segon:
DQ (1 s) 5 I 5 4,3 C
Per altra banda, com que la càrrega d’un electró és:
1 e 5 1,6 ? 10219 C
Podem calcular el nombre d’electrons que equivaldrien a una
càrrega de 4,3 C.
1e
4,3 C ———————
5 2,69 ? 1019 electrons
1,6 ? 10219 C
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
07
FÍSICA 1
8. Per un plasma hi circulen electrons i ions positius en sentits contraris simultàniament. Si han passat 1,23 ? 1018
electrons per segon en un sentit, quina és la intensitat
que circula pel fluorescent?
DQ
1,23 ? 1018 ? 2 e
1,6 ? 10219 C
I 5 —— 5 ———————— ? ——————— 5 0,3936 A
Dt
1s
1e
113
Per altra banda:
r50 5 r20·[1 1 a(323 2 293)]
r50
——
5 1 1 a ? 30
r20
En el cas de l’alumini: (consultem la taula del llibre).
a 5 3,8 ? 1023 T21
9. a) Quina és la ddp entre dos punts d’un conductor de Cu
de resistència 20 V quan hi passa un corrent d’1,5 A?
R50 5 1,23 V ? 1,114 5 1,37 V
DV 5 R I 5 20 ? 1,5 5 30 V
b) Quina longitud té si la secció és de 2 mm2 i la resistivitat del coure és rCu 5 1,7 ? 1028 V? m?
l
RS
20 ? 2 ? 1026
R 5 r — l 5 —— 5 ———————
5 2 353 m
S
r
1,7 ? 1028
10. Quin diàmetre té un conductor de coure de longitud 200 m
si presenta una resistència al pas de corrent de 4 V quan
la temperatura és de 40 ºC?
Consultant les taules del llibre, obtenim:
r20 °C 5 1,7 ? 1028 V?m
i
a20 °C 5 3,9 ? 1023 K21
Calculem la resistivitat a la temperatura de 40 ºC
r(40 °C) 5
5 1,7 ? 1028 V?m [1 1 3,9 ? 1023 K21 (40 2 20) K] 5
5 1,8 ? 1028 V?m
12. S’aplica una diferència de potencial de 1,2 V en un fil de
tungstè de longitud 2,4 m i secció transversal 0,45 mm2.
Quin és el corrent que hi circula a 20 ºC? Consulteu les
taules.
l
R 5 r?—
s
En el nostre cas:
l 5 2,4 m
s 5 0,45 mm2 5 0,45 ? 1026 m2
Consultant la taula del llibre la resistivitat del tungstè a 20ºC:
r20 5 5,5 ? 1028 V?m
Per tant,
2,4 m
R 5 5,5 ? 1028 V ? m ? ————————
5 0,2933 V
0,45 ? 1026 m2
I la intensitat:
Calculem la secció del conductor:
200 m
4 5 1,8 ? 1028 V?m ———— S 5 9,16 ? 1027 m2
S
Per últim, calculem el diàmetre passant prèviament la secció a
mm2:
106 mm2
S 5 9,16 ? 1027 m2 —————
5 0,9163 mm2
1 m2
S 5 p R2 R 5
S
0,9163
lllllll
— 5 d ———— 5 0,54 mm dlll
p
p
f 5 1,08 mm
11. Un fil d’alumini té una resistència de 1,23 V a 20 ºC. Calculeu la resistència del fil a 50 ºC consultant les taules i
negligint els efectes de dilatació del material.
La resistivitat d’un conductor varia amb la temperatura d’acord
amb la fórmula següent:
r (T) 5 r293 ? [1 1 a (T 2 293)]
Podem relacionar la resistència d’un conductor a temperatures
diferents:
l
R20 5 r20 ? —
s
l
R50 5 r50 ? —
s
i
u
u
R50
r50
y ——
5 ——
u
r20
R20
u
t
r50
R50 5 R20 ? ——
r20
DV
1,2
I 5 —— 5 ———— 5 4,1 A
R
0,2933
13. Calculeu la resistència equivalent del sistema de resistències següent (fig. 7.24):
20 V
20 V
B
20 V
A
20 V
20 V
20 V
Primer calcularem la resistència equivalent de les dues resistències en paral.lel més pròximes al punt B. Després la sumarem amb la resistència en sèrie. Aquest procediment l’anirem
repetint amb les resistències que queden.
1
1
1
2
— 5 —— 1 —— 5 —— R 5 10 V
R
20
20
20
R 5 20 1 10 5 30 V
1
1
1
5
— 5 —— 1 —— 5 —— R 5 12 V
R
20
30
60
R 5 20 1 12 5 32 V
1
1
1
815
160
— 5 —— 1 —— 5 ——— Re 5 ——— 5 12,3 V
Re
20
32
160
13
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
07
114
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
14. Una resistència de 5 V pot ser travessada per un corrent
màxim de 20 mA si no volem que es faci malbé. Si li està
arribant un corrent d’1 A, com haurem de connectar-li (en
sèrie o en paral.lel) una segona resistència per tal que
passin 20 mA a través seu? Raoneu-ne la resposta. Quin
valor ha de tenir aquesta segona resistència?
Cal connectar una resistència de valor R en paral.lel per la
qual passi part de la intensitat i així tota la intensitat no
circularà per la resistència de 5 V.
Les dues resistències estaran sotmeses a la mateixa DV però
per la resistència de 5 V circularà una intensitat de 20 mA
i per R circularà una intensitat igual a: I 5 1 2 0,02 5 0,98 A.
Per tant el valor de R és:
DV 5 0,02 ? 5 5 0,98 R R 5 0,102 V 5 102 mV
15. Sabent que les tres resistències de la figura 7.25 són iguals
i que la resistència del conjunt és de 8 V, quin serà el valor de cada una de les resistències?
18. Tenim dos forns elèctrics de 1 000 W i 1 500 W i tots dos
funcionen connectats a una tensió de 230 V. Dieu quin dels
dos gasta més energia elèctrica, per quin dels dos passa
més corrent i quin té més resistència elèctrica.
W
DV 2
Tenint en compte que P 5 — 5 I DV 5 ———
t
R
Gasta més energia el que té més potència.
Passa més corrent pel que té més potència.
Té més resistència elèctrica el que té menys potència.
19. Quina és la despesa econòmica deguda al funcionament
d’una bombeta de 100 W durant 24 hores, si el cost de l’electricitat és de 15 cèntims d’euro per quilowatt hora? I el
d’una bombeta de 40 W?
Per a una bombeta de 100 W la despesa és:
0,15 €
100 W ? 24 h ——————
5 0,36 €
103 W ? 1 h
R
Per a una bombeta de 40 W la despesa és:
R
R
1
1
1
1
112
3
— 5 —— 1 — — 5 ——— 5 —— R 5 12 V
8
2R
R
8
2R
2R
16. De vegades expressem la càrrega d’una bateria en amperes
hora, és a dir, els amperes que pot proporcionar la bateria
durant una hora. En tenim una de 50 V amb una càrrega de
280 amperes hora. De quanta energia disposa?
3 600 s
E 5 DV I t 5 50 V ? 280 A ? 1 h ? ———— 5 5,04 ? 107 J
1h
17. Per una resistència de 580 V hi passa un corrent de
350 mA. Quina potència dissipa la resistència? Si es manté el corrent durant 20 hores, quina energia dissipa en
forma de calor? Expresseu el resultat en joules i en quilowatts hora.
Calculem la potència que dissipa la resistència:
P 5 I 2 ? R 5 (0,350 A)2 ? (580 V) 5 71,1 W
1J
Sabem que 1 W 5 ——
1s
0,15 €
5 0,14 €
40 W ? 24 h ——————
103 W ? 1 h
20. Les bombetes de baix consum són unes bombetes que fan
més llum, gasten menys i duren més. Consulteu-ne bibliografia i doneu algunes raons dels seus avantatges.
Resposta oberta.
21. Determineu la resistència interna d’un generador elèctric
de fem 120 V amb una tensió entre els seus borns de 110 V
quan subministra un corrent de 20 A.
% 5 DV 1 r I 120 5 110 1 20 r r 5 0,5 V
22. Un generador de fem % i resistència r pot alimentar mitjançant un interruptor una resistència externa R de 15 V o
una d’altra de 35 V. Quan ho fa amb la primera, hi passa
un cor rent d’1 A i amb la segona, de 0,5 A. Determineu la
fem i la r. Té el mateix rendiment el generador en els dos
casos?
i
u
y r55V
% 5 I (R 1 r) % 5 0,5 ? (35 1 r) u
t
% 5 1 ? (15 1 r)
% 5 20 V
Per tant podem calcular l’energia consumida en 20 hores
(72 000 s).
J
71,1 — ? 72 000 s 5 5,12 ? 106 J
s
Coneixem l’equivalència entre J i kW/h
1 kWh 5 3,6 ? 106 J
Així:
1 kWh
5,12 ? 106 J ? —————
5 1,42 kWh
3,6 ? 106 J
No, el rendiment del generador amb la resistencia externa de
15 V és més baix.
23. Un generador de fem 20 V i resistència interna r 5 10 V
alimenta una resistència externa d’1 kV. Calculeu la intensitat que circula i la ddp del generador.
%
20
I 5 ——— 5 —————— 5 0,0198 A 5 19,8 mA
R1r
1 000 1 10
DV 5 R I 5 1 000 ? 0,0198 5 19,8 V
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
07
FÍSICA 1
24. Trieu el valor correcte de la ddp del voltímetre de la figura 7.41, el qual té una resistència interna de 2 MV.
R2 5 100 V
S % 2 S %9
12 2 4
I 5 ———————— 5 ———— 5 0,381 A
SR 1 Sr 1 S r 9
20 1 1
DV 5 R I 5 20 ? 0,381 5 7,6 V
1
10 V 2
R1 5 200 V
29. Quina és la ddp en els extrems de la resistència de 40 V
del circuit adjunt (fig. 7.55)? Trieu la resposta correcta.
10 V
2 1
40 V
V
a) 6,66 V b) 6,45 V c) 8,78 V
20 V
2 1
d) 4,32 V
10
I 5 ——————— 5 0,0333 A
100 1 199,98
la diferencia de potencial és
a) 10 V
b) 20 V
c) 23,4 V
Apliquem la llei d’Ohm generalitzada al circuit. Prenem la intensitat en sentit antihorari:
210 1 20 5 140 I1 I1 5 0,25 A
D V 5 I ? R 5 0,0333 ? 200 5 6,6 V
D V 5 I ? R 5 (0,25 A) ? (40 V) 5 10 V
La resposta correcta és la a).
25. Per al circuit següent (fig. 7.42), calculeu la ddp entre els
borns del generador i la intensitat que marca l’amperímetre.
% 5 20 V
1
2
200 V
10 V
2 1
60 V
Calculem la intensitat en el circuit considerant la resistencia
interna del voltímetre
1
1
1
——— 5 ——— 1 ——— Req 5 199,98 V
Req
200
2·106
(voltímetre)
115
4V
La resposta correcta és la a).
30. Una bateria de fem 2,5 V i resistència interna 0,8 V s’utilitza per encendre una bombeta i quan el circuit es tanca
hi passa un corrent d’1,5 A. Trobeu a) la potència subministrada per la bateria, b) la potència dissipada per la bateria i c) la potència dissipada per la bombeta.
A
« 5 2,5 V
1V
r 5 0,8 V
S%
20
I 5 ————— 5 ——————— 5 0,0976 A 5 97,6 m A
S R 1 Sr
200 1 4 1 1
I 5 1,5 A
Calculem la potència subministrada per la bateria:
DV 5 % 2 r I 5 20 2 4 ? 0,0976 5 19,6 V
26. Per comprar-vos un amperímetre de bona qualitat, quines
qualitats valorareu? I d’un voltímetre?
En un amperímetre, cal que la resistència interna sigui molt
petita, i en un voltímetre, molt gran.
27. Quan fem funcionar un motor elèctric, és correcte dir que
«tota l’energia elèctrica que gastem es transforma en energia mecànica»?
No. Una part de l’energia elèctrica es perd per efectes del fregament, corrents de Foucault, en forma de calor. Una bona part es
transforma en energia cinètica.
28. Una bateria de fem % 5 12 V i resistència interna r 5 1 V
es connecta en sèrie amb una resistència R 5 20 V i amb
un motor de resistència interna negligible i fcem %9 5 4 V.
Quant valdrà la diferència potencial entre els extrems de
la resistència R?
P1 5 « ? I 5 (2,5 V) ? (1,5 A) 5 3,75 W
La potència disipada per la batería és (a causa de la resistència
interna):
P2 5 2I 2 ? r 5 2(1,5 A)2 ? 0,8 V 5 21,8 W
La potència utilitzada per la bombeta serà la resultant:
P3 5 2P1 1 P2 5 21,95 W
31. Pel circuit de la figura 7.56 calculeu el valor de la força
electromotriu % hi circula un corrent de 0,4 A en sentit
contrari a les agulles del rellotge.
18 V
%
1
1
2
2
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
12 V
30 V
lOMoARcPSD|7143541
116
07
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Apliquem la llei d’Ohm generalitzada suposant el sentit de corrent que ens indica el problema:
30 2 « 5 I ? 18 1 I ?12
I 5 0,4 A
« 5 18 V
És petita comparada amb la velocitat de la llum i amb la velocitat de propagació del so en els medis materials.
5. Un conductor de coure de longitud l i secció S té una resistència R. Quina és la resistència si tenim un altre conductor de coure de longitud 20 vegades més llarg i de secció,
la meitat?
Si la resistivitat del coure és r, la resistència d’un conductor de
longitud l i secció S és:
l
R5r—
S
Activitats finals
Qüestions
1. Podries citar un exemple de corrent elèctric on participin
càrregues positives i negatives a la vegada?
L’electròlisi, per exemple.
2. Justifiqueu quines de les respostes següents són correctes:
A) El sentit convencional del corrent elèctric en un circuit:
a) Es pot considerar que és el que tindrien càrregues
mòbils positives.
b) És el mateix que el del moviment dels electrons dins
els conductors que constitueixen el circuit.
La resposta correcta és la a). El sentit convencional de circulació del corrent elèctric és el que tindrien càrregues elèctriques positives si aquestes fossin les càrregues mòbils.
Independentment del signe de les càrregues mòbils reals, es
pren com a sentit positiu del corrent aquest sentit convencional.
B) En un flux de càrregues elèctriques en moviment:
a) Les càrregues positives es mouen segons la direcció
d’augment del potencial elèctric; i les negatives, a la
inversa.
b) Les càrregues positives es mouen segons la direcció
de disminució del potencial elèctric; i les negatives,
a la inversa.
c) Totes les càrregues, independentment del seu signe,
es mouen en la direcció de disminució del potencial
elèctric.
La resposta correcta és la b). Les càrregues positives es
mouen cap a potencials elèctrics més petits i les negatives cap a potencials elèctrics més alts. Això equival al fet
que ambdós tipus de càrregues tendeixen a moure’s cap a
zones amb energies potencials elèctriques més petits. Podeu consultar també l’activitat 3.
3. Si un grup de partícules amb una càrrega elèctrica de 5 C
superen una diferència de potencial de 140 V, quin és el
seu canvi d’energia potencial elèctrica?
DEp 5 q ? DV 5 5 ? 40 5 200 J
4. Quan passa corrent per un conductor, la velocitat mitjana
dels electrons és molt gran o molt petita?
Per tant, la resistència d’un conductor de longitud 20 vegades
més llarg i secció la meitat, és:
20 l
R9 5 r ——— 5 40 R
S
—
2
6. Dues bombetes iguals es connecten en paral.lel a un generador de corrent continu. Si una de les bombetes es fon,
raoneu si l’altra lluirà més o menys o iguals que abans.
Què hauria passat si les bombetes haguessin estat connectades en sèrie i una s’hagués fos?
Quan es fon una de les bombetes, només lluirà la bombeta bona
i amb la mateixa intensitat de llum. Veiem-ho:
Considerem que la resistència de cada bombeta és R i que estan
sotmeses a una ddp de DV. Quan les dues bombetes funcionen
correctament, la intensitat I del circuit es reparteix en les dues
bombetes, de manera que per a cada una circula una intensitat
de valor: Ibombeta 5 I/2. Per tant, l’energia W que dissipa cada
bombeta en un interval de temps t és:
R
2 DV
Re 5 — I 5 ———
2
R
1 2
DV
DV
Ibombeta 5 —— W 5 R ——
R
R
2
DV 2
t 5 ——— t
R
Si es fon una de les bombetes, tenim que per a l’altra bombeta:
1 2
DV
DV
Ibombeta 5 —— W 5 R ——
R
R
2
DV 2
t 5 ——— t
R
Comprovem, doncs, que la bombeta encesa dissipa la mateixa
energia que abans, és a dir, llueix igual.
En el cas que estiguessin en sèrie, en fondre’s una d’elles, el
circuit queda obert i no passa corrent, per tant, les bombetes
s’apaguen.
7. Donat un conjunt de resistències, en quina forma s’han de
connectar per a obtenir el màxim valor de resistència possible?, i per a obtenir-ne el mínim?
En sèrie per obtenir-ne el màxim valor. En paral.lel per obtenirne el mínim valor.
8. Les bombetes A i B estan connectades a la mateixa diferència de potencial com es mostra a la figura 7.63. Sabem que
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
les bombetes són de 60 W i 30 W. Quina de les dues bombetes té més resistència? En quina d’elles hi passa més
corrent? Justifiqueu les respostes.
A
30 W
B
60 W
07
117
Com que negligim la resistència interna de la bateria, la ddp de
la resistència serà la que ens dóna la bateria, o sigui, 12 V.
V
V2
122
P 5 V ? I 5 V ? — 5 —— 5 —— 5 1,44 W
R
R
100
La resposta correcta és la b).
11. Una pila alimenta una resistència externa R. Com varien els
valors de la fem i de la diferència de potencial de la pila
si el valor de R augmenta?, i si el valor de R disminueix?
DV
Sabem que la potència P dissipada en una resistència R sotmesa
a una ddp de valor DV i per la qual circula una intensitat I es
pot expressar com:
(DV)2
P 5 ———— 5 DV ? I
R
Per tant, la resistència i la intensitat es poden expressar com:
(DV)2
R 5 ———
P
P
I 5 ———
DV
i
12. Quan dues resistències idèntiques es connecten en sèrie
entre els borns d’una bateria, la potència subministrada
per aquesta és de 20 W. Si les connectem en paral.lel entre
els borns de la mateixa bateria, quina potència subministra ara? Trieu la resposta correcta.
a) 80 W b) 10 W c) 20 W
Com que el valor de DV és el mateix per les dues resistències
deduïm que la que té una potència més gran és la de menor
resistència òhmica. També, la de potència més gran és aquella
per on circula una intensitat més gran. Per tant:
R30 W . R60 W
La fem de la pila és independent de la resistència externa que
es connecta. Ara bé, la diferència de potencial (ddp) de la pila
sí que depèn de la resistència externa. Si el valor de la resistència externa augmenta, augmenta la ddp de la pila, i si disminueix, la ddp també disminueix.
I30 W , I60 W
9. La figura 7.64 representa el gràfic «diferència de potencialintensitat» en una resistència R connectada a un generador
de corrent continu. Quanta energia emetrà la resistència R
en forma de calor si se li aplica una ddp de 200 V durant
15 minuts?
Si considerem la bateria ideal, sense resistència interna, la potència subministrada per la bateria és la mateixa que la dissipada per les resistències.
Considerem primer quina és la resistència equivalent en els dos
casos:
En sèrie: Re 5 S R 5 R 1 R 5 2 R
1
1
1
1
2
R
En paral.lel: —— 5 ^— 5 — 1 — 5 — Re 5 —
Re
R
R
R
R
2
La potència dissipada en els dos casos serà:
V2
En sèrie: Ps 5 —— 5 20 W
2R
D V (V)
120
V2
2 ? V2
En paral.lel: Pp 5 —— 5 ——— 5 4 ? Ps 5 4 ? 20 5 80 W
R
R
—
2
2
I (A)
Del pendent de la gràfica de la figura trobem el valor de R,
d’acord amb la llei d’Ohm:
DV
120
R 5 —— 5 ——— 5 60 V
I
2
La resposta correcta és la a).
13. Disposeu de moltes resistències de 2 V. Com ho faríeu per
obtenir-ne una de 2,5 V?
Trobem l’energia dissipada a partir de l’expressió de la calor
emesa per una resistència de valor òhmic R sotmesa a una ddp
de valor DV durant un període de temps t:
(DV)2
2002 V 2
60 s
——— t 5 ———— 15 min ——— 5 6 ? 105 J
R
60 V
1 min
10. Es connecta una bateria de 12,0 V a una resistència de
100 V. Negligint la resistència interna de la bateria, quina és la potència que dissipa la resistència:
a) 2,45 W b) 1,44 W c) 3,86 W
14. La ddp entre els borns d’una pila, pot ser més gran que la
fem d’aquesta pila?
No, i no pot ser més gran que la fem de la pila.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
118
07
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
r (T ) 5 r293 (1 1 a (T 2 293))
15. La ddp entre els borns d’un motor, pot ser més gran que la
fcem d’aquest motor?
R (T) 5 R293 (1 1 a (T 2 293)) 5
Sí, i no pot ser més petita que la fem del motor.
5 2 ? (1 1 3,9 ?1023 ? 60) 5 2,468 V
b) En quin percentatge ha augmentat la resistència?
Problemes
DR
0,468
—— ? 100 5 ——— ? 100 5 23,4 %
R
2
1. Per un conductor circula un corrent de 20 mA. Quants electrons passen en una centèsima de segon?
1023 A
q 5 I t 5 20 mA ? ———— ?1022 s 5
1 mA
1
e
5 2 ?1024 C ? ———————
5 1,25 ?1015 electrons
1,6 ?10219 C
2. Amb quina velocitat mitjana es mouen els electrons d’un
corrent de 2 A que passa per un conductor de Cu?
6. El fet que la resistència dels bons conductors tingui un
comportament gairebé lineal amb la temperatura permet utilitzar-los com a termòmetres, i normalment es
construeixen de platí. Considerem un filferro de platí a
20 °C que té una resistència de 100 V. Si se submergeix
en un líquid, s’observa que la resistència passa a ser
de 105 V. Calculeu quina és la temperatura del líquid
(aPt 5 3,93 ? 1023 K21).
R (T ) 5 R 293 (1 1 a (T 2 293)) 5
Dades:
rCu 5 8,9 g/cm3; S 5 1 mm2; MCu: 63,5 g/mol, i suposem
que cada àtom de Cu proporciona com a mitjana un electró
lliure.
2C
1e
1 àtom Cu
v 5 —— ? ———————
? —————— ?
219
s
1,6 ?10
C
1e
1 mol
63,5 g
1 cm3
? ———————————
? ———— ? ———— ?
23
6,023 ? 10 àtom Cu
1 mol
8,9 g
5 100 ? (1 1 3,93 ?1023 ?DT ) 5 105 DT 5 12,72 °C T 2 20 5 12,72 T 5 32,72 °C
7. Un tros de conductor de cert material té una longitud l, una
secció S i presenta una resistència òhmica R. Calculeu el
nou valor de resistència que presentarà si aquest conductor
és deformat fins que la seva longitud té un valor 9 l.
S
S l 5 S9 l9 S l 5 S9? 9 l S9 5 —
9
1 m3
1
? —————
? —————
5 1,48 ?1024 m/s
6
3
26
10 cm
10 m2
3. a) Un feix d’ions positius de tipus X21 travessa una secció
a raó de 1012 ions/ms. Quina intensitat de corrent passa per la superfície?
1012 ions 12 e 1,6 ?10219 C
————— ? ——— ? —————— 5
1023 s
1 ió
1e
5
3,2 ?1024
l
9l
81 l
R 5 r — R9 5 r ? —— 5 r —— 5 81 R
S
S
S
—
9
8. Calculeu la resistència equivalent dels sistemes de resistències següents:
R2 5 60 V
a)
A 5 0,32 mA
A
R4 5 40 V
R1 5 20 V
B
b) Quin és el sentit del corrent elèctric?
R3 5 120 V
El mateix que el sentit del moviment dels ions, ja que són
positius.
1
1
1
1
—— 5 —— 1 —— 5 —— R 23 5 40 V
R 23
60
120
40
4. En un conductor d’alumini de longitud 20 m i secció 1 mm2
passa un corrent de 2 A. Quina diferència de potencial hi
ha entre els extrems?
Dades: rAl: 2,8 ? 1028 Vm
Re 5 20 1 40 1 40 5 100 V
b)
l
20
DV 5 R I 5 r — I 5 2,8 ?1028 ? 2 ? ———
5 1,12 V
S
1026
5. Un fil de coure de resistència 2 V està a una temperatura
de 20 °C. Suposem que els efectes de dilatació tèrmica són
negligibles.
a) Quina resistència tindrà quan la temperatura és de
80 °C? (aCu 5 3,9 ? 1023 K21)
R1 5 20 V
R2 5 60 V
R4 5 40 V
A
B
R3 5 160 V
1
1
1
3
—— 5 —— 1 —— 5 —— R 123 5 53,33 V
R 123
80
160
160
Re 5 40 1 53,33 5 93,33 V
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
07
FÍSICA 1
9. Calculeu les intensitats i les ddp de cada resistència dels
casos a) i b) del problema anterior quan entre A i B s’aplica
una ddp de 100 V.
100
a) IR1 5 IR4 5 —— 5 1 A
100
a) La resistència de la bombeta.
b) El consum en euros si el quilowatt hora val 0,15 €.
DVR2 5 DVR3 5 100 2 60 5 40 V
8h
E 5 P t 5 0,1 kW ? 30 dies ? ——— 5 24 kWh
1 dia
40
2
IR2 5 —— 5 — 5 0,666 A
60
3
Consum 5 24 ? 0,15 5 3,6 €
40
1
IR3 5 —— 5 — 5 0,333 A
120
3
13. Un forn elèctric funciona a 220 V i proporciona una energia de 15 000 J/min. Quina és la resistència del forn?
100
15
b) IR4 5 ——— 5 1,071 A 5 ——
93,53
14
15 000 J
1 minut
P 5 ————— ? ————— 5 250 W
1 minut
60 s
15
300
DVR4 5 40 ? —— 5 —— 5 42,86 V
14
7
300
400
DVR12 5 DVR 3 5 100 2 —— 5 —— 5 57,14 V
7
7
10
IR3 5 —— 5 0,357 A
28
5
IR1 5 IR 2 5 — 5 0,714 A
7
DV 2
2202
R 5 ——— 5 ——— 5 193,6 V
P
250
14. Calculeu la resistència R que cal posar en sèrie amb la de
10 V en el circuit (fig. 7.68) perquè l’aparell de 500 W
funcioni a 100 V.
500 W, 100 V
R
10 V
aparell
10. Disposem de 8 resistències de 5 V connectades en paral.lel. Si s’aplica una ddp de 20 V entre els extrems del
conjunt, quina intensitat passa per cada resistència?
300 V
Calculem la intensitat que passa per l’aparell:
20
I 5 —— 5 4 A
5
P
500
I 5 —— 5 ——— 5 5 A
DV
100
11. Tenim un circuit (fig. 7.67) que consta d’un aparell que
funciona correctament quan està sotmès a una ddp entre
els seus extrems de 20 V. Si s’alimenta per mitjà d’un generador de 50 V, quina resistència R cal posar per garantir
el bon funcionament de l’aparell?
La caiguda de tensió de la resistència de 10 V és:
DV 5 10 ? 5 5 50 V
La caiguda de tensió de la resistència R és, per tant:
DV 5 300 2 100 2 50 5 150 V
20 V
I la resistència és:
aparell
2
12. Una bombeta de 100 W i 220 V està funcionant durant
30 dies a raó de 8 h/dia. Calculeu:
DV 2
DV 2
2202
P 5 ——— R 5 ——— 5 ——— 5 484 V
R
P
100
DVR1 5 20 V ; DVR4 5 40 V
200 V
119
R
1
50 V
20
La intensitat que passa per l’aparell és I 5 —— 5 0,1 A
200
DV
150
R 5 —— 5 ——— 5 30 V
I
5
15. Calculeu la resistència R que cal posar en paral.lel (figura 7.69) amb la de 10 V perquè l’aparell de 80 W funcioni
a 20 V.
80 W, 20 V
aparell
La ddp de la resistència R és 50 2 20 5 30 V.
Per tant, el valor de la resistència protectora és:
DV
30
R 5 —— 5 —— 5 300 V
I
0,1
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
10 V
R
30 V
lOMoARcPSD|7143541
120
07
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Calculem la intensitat que passa per l’aparell:
P
80
I 5 —— 5 —— 5 4 A
DV
20
18. Trobeu el potencial en el punt a del circuit de la figura 7.71. Quina és la diferència de potencial entre els borns
de la bateria de 4 V?
El sistema de resistències en paral.lel està alimentat amb una
ddp de 10 V, i en conseqüència, la intensitat que passa per la
resistència de 10 V és:
%5 4 V
1 2
b
c
0,5 V
a
%5 8 V
S « 1 S «9
I 5 ———————— 5
S R 1 S r 1 S r9
10
R 5 —— 5 3,3 V
3
16. Determineu la intensitat que passa pel generador, la
ddp entre els seus borns i el rendiment del circuit següent
(fig. 7.70).
% 5 40 V
2
10 V
418
5 ———————————— 5 0,5 A
9 1 6 1 8 1 0,5 1 0,5
Aquest corrent va en el sentit contrari de les agulles del rellotge. Ho veiem per la disposició de les bateries.
Com que el punt d està connectat a terra, el potencial al punt
a serà el mateix que la ddp entre aquest dos punts.
60 V
B
0,5 V
2 1
8V
Per tant, la intensitat que passa per la resistència R és de 3 A i
el valor d’aquesta resistència és:
A
d
6V
10
I 5 —— 5 1 A
10
1
9V
50 V
DVda 5 Va 5 28 1 0,5 ? 0,5 1 8 ? 0,5 5 23,75 V
C
DVbc 5 4 2 0,5 ? 0,5 5 3,75 V
120 V
19. A partir del circuit següent (fig. 7.72), determineu:
La resistència equivalent del circuit extern és:
1
1
1
1
— 5 —— 1 —— 5 —— R 5 40 V
R
60
120
40
A
60 V
2 1
60 V
2 1
B
165 V
C
5V
5V
Re 5 50 1 40 5 90 V
%
40
I 5 ——— 5 ————— 5 0,4 A
R1r
90 1 10
DV 5 R I 5 90 ? 0,4 5 36 V
DV
36
h 5 —— 5 —— 5 0,9 90 %
%
40
17. Un tren elèctric porta un generador de % 5 18 V i r 5 2 V
que fa anar el motor de fcem de 15 V i resistència interna
de 10 V, i sis bombetes iguals de resistències 8 V cadascuna connectades en paral.lel. Calculeu la intensitat que
passa pel generador i el rendiment del motor.
Calculem la resistència equivalent del sistema en paral.lel:
1
6
4
—— 5 — Re 5 — V 5 1,33 V
Re
8
3
2
1
D
M
%19 5 20 V
200 V
2
1
r19 5 10 V
%29 5 50 V
r29 5 15 V
a) La intensitat.
S% 2 S %9
I 5 ————————— 5
SR 1 S r 1 S r 9
60 ? 2 2 20 2 50
5 ——————————————— 5 0,125 A
165 1 200 1 2 ? 5 1 10 1 15
b) Les ddp entre els punts AB, BC, CD i DA.
VAB 5 260 1 5 ? 0,125 5 259,375 V
Intensitat que passa pel circuit:
% 2 %9
18 2 15
I 5 —————— 5 ———————— 5 0,225 A 5 225 mA
R 1 r 1 r9
1,33 1 2 1 10
El rendiment és:
VBC 5 260 1 5 ? 0,125 1 165 ? 0,125 5 238,8 V
VCD 5 50 1 15 ? 0,125 1 200 ? 0,125 5 76,9 V
VDA 5 20 1 10 ? 0,125 5 21,3 V
%
15
h 5 —— 5 ———————— 5 0,869 86,9 %
DV 9
15 1 10 ? 0,225
Podeu comprovar que la suma de les diferències de potencial és zero.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
07
FÍSICA 1
20. Determineu VAB i la intensitat que passa per la resistència
de 600 V del circuit següent (fig. 7.73).
R
20 V
1
R1 5 3 V
121
C
B
A
2
5V
600 V
200 V
R2 5 6 V
5V
1
2
B
1
40 V
2
A
r
Resistència equivalent.
%
1
1
1
—— 5 —— 1 —— Re 5 150 V
Re
200
600
Intensitat que passa pels generadors:
VAB 5 0,125 ?150 5 18,75 V
18,75
I 5 ———— 5 0,03125 A 5 31,25 m A
600
21. La intensitat que circula per la resistència de 5 V val
1,25 A (fig. 7.74).
% 5 20 V
2
D
1V
b) Quina potència dissipa en forma de calor dins del generador?
P 5 r I 2 5 1? 0,3752 5 0,141 W
c) Què marcarà l’amperímetre si mantenim tancats simultàniament els dos interruptors B i C?
Si es tanca C, la resistència equivalent del circuit extern és:
1
1
1
— 5 — 1 — R 5 2 V Re 5 2 1 5 5 7 V
R
3
6
L’amperímetre marcarà:
A
8V
V
Quan B és tancat i C és obert, tenim que:
%
4,5
I 5 ————— 0,375 5 —————— R 5 5 V
SR 1 r
R1611
40 2 20
I 5 —————— 5 0,125 A
150 1 2 ? 5
1
a) Quin és el valor de la resistència R?
R
S%
4,5
I 5 —————— 5 ———— 5 0,562 A
SR 1 Sr
711
23. L’amperímetre del circuit representat en la figura 7.76
marca 0,2 A. Calculeu:
B
C
5V
1
a) Què marcarà el voltímetre?
%
2
1V
Suposant un voltímetre ideal:
10 V
A
DV 5 R I 5 8 ?1,25 5 10 V
4V
6V
b) Quin és el valor de la resistència R entre C i D?
S%
20
I 5 ————— 5 ———————— 5
SR 1 Sr
815111R
M
N
5 1,25 R 5 2 V
3V
c) Calculeu l’energia dissipada per la resistència de 5 V en
1 hora i l’energia subministrada pel generador en aquest
mateix temps.
ER 5 R I 2 t 5 5 ?1,252 ? 3 600 5 28 125 J
E % 5 % I t 5 20 ?1,25 ? 3 600 5 90 000 J
22. En el circuit de la figura 7.75, quan l’interruptor B està tancat i el C obert, l’amperímetre A marca 0,375 A. Si % 5 4,5 V
i r 5 1 V:
7V
V
a) La resistència equivalent entre M i N i la fem % del generador.
1
1
1
— 5 —— 1 —— R 5 5 V
R
10
10
S%
%
I 5 —————— 0,2 5 ——————— % 5 3,2 V
SR 1 Sr
5 1 10 1 1
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
07
122
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
b) La intensitat per a cadascuna de les dues branques entre
M i N i la indicació del voltímetre.
25. Determineu el que marca el voltímetre i la ddp del generador del circuit següent (fig. 7.78).
Com que les resistències són iguals en cada branca, la intensitat de cada branca és la meitat de la intensitat total:
190 V
I
i 5 — 5 0,1 A
2
500 V
% 5 40 V
2 1
10 V
El voltímetre ens marcarà: DV 5 3 ? 0,1 5 0,3 V
c) L’energia subministrada pel generador en 10 min i la
potència dissipada en la resistència de 6 V.
E % 5 % I t 5 3,2 ? 0,2 ? 600 5 384 J
E R 5 R i 2 5 6 ? 0,12 5 0,06 W
24. Per mesurar la resistència d’un element R s’ha fet el muntatge de la figura 7.77 i els resultats obtinguts són els de
la taula 7.4.
1
2
A1
R
A2
V
1 MV
S%
40
I 5 ————— 5 ————————— 5 0,0571 A
S R 1 Sr
190 1 500 1 10
DV 5 R I 5 500 ? 0,0571 5 28,57 V
DV 5 % 2 r I 5 40 2 10 ? 0,0571 5 39,4 V
26. En un circuit com el de la figura 7.79, realitzem una experiència que consisteix a anar modificant el valor de la resistència R i mesurar la diferència de potencial entre els seus
extrems (DV) i la intensitat del corrent (I) que la travessa.
Per dur-la a terme, disposem d’un generador de corrent continu de fem « 5 1,5 V, d’un conjunt de resistències iguals
de valor R0 d’un voltímetre i d’un amperímetre. Els resultats
que obtenim en l’experiència són els que s’exposen en la
taula següent:
I (mA)
V (V)
7,5
0,49
15
0,99
22,5
1,48
30
2,01
36
2,41
R
DV (V)
I (A)
47,5
3,12
R0
1,45
4,85 ? 1021
52
3,39
2 R0
1,48
2,46 ? 1021
3 R0
1,45
1,64 ? 1021
4 R0
1,49
1,24 ? 1021
5 R0
1,49
9,9 ? 1022
a) Dels aparells A1 i A2, quin serà el voltímetre i quin serà
l’amperímetre?
A1 és l’amperímetre, i A 2 el voltímetre.
b) Quant val la resistència de R?
Calculem la resistència per a cada mesura i després en fem
la mitjana:
DV
R 5 ——
I
a) Feu un esquema indicant com col.locaríeu en el circuit el
voltímetre i l’amperímetre. Com ha de ser la resistència
interna de cadascun d’aquests aparells?
L’esquema del circuit és el següent:
0,49
0,99
———— 5 65,33 V; ———— 5 66 V
0,0075
0,015
1,48
———— 5 65,77 V
0,0225
2,01
———— 5 67 V;
0,03
3,12
———— 5 65,68 V;
0,0475
2,41
———— 5 66,94 V
0,036
3,39
———— 5 65,19 V
0,052
La mitjana és:
65,33 1 66 1 65,77 1 67 1 66,94 1 65,68 1 65,19
—————————————————————————— 5
7
5 66 V
El voltímetre s’ha de connectar en paral.lel amb la resistència R per tal que en els seus extrems respectius hi hagi la
mateixa ddp. Cal que la resistència interna del voltímetre
sigui molt gran (RV ∞) per tal que tota la intensitat
circuli per R i, per tant, la intensitat mesurada per l’amperímetre sigui realment la intensitat que circula per R.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
L’amperímetre s’ha de connectar en sèrie amb la resistència
R per tal que per ell circuli la mateixa intensitat que per R.
Cal que la resistència interna de l’amperímetre sigui molt
petita(RA 0) per tal de no introduir una caiguda de tensió addicional. Si així fos, s’hauria de tenir en compte el
valor real de la resistència interna en els càlculs dels propers apartats.
07
123
Per tant, el resultat de la mesura és:
R0 5 (2,99 6 0,04) V
c) Quina de les mesures de la intensitat té una incertesa
relativa més gran? Per què els valors de (DV) són lleugerament inferiors a la fem del generador? Fixeu-vos en
la figura 7.79.
b) Segons aquesta experiència, quin seria el valor de R0 i
quin marge d’error assignaríeu a aquest valor?
Aplicant la llei d’Ohm (DV 5 IR) als diferents conjunts de
dades tenim:
%
R0
1,45 5 4,85 ? 1021 R0 R0 5 2,99 V
1,48 5 2,46 ? 1021 2 R0 R0 5 3,01 V
1,45 5 1,64 ? 1021 3 R0 R0 5 2,95 V
1,49 5
1,24 ? 1021
1,49 5
9,9 ? 1022
4 R0 R0 5 3,00 V
5 R0 R0 5 3,01 V
El valor mitjà de la resistència és:
La mesura d’intensitat que té una incertesa més gran és la
mesura número 5: I 5 9,9 ? 1022 A ja que té menys nombre
de xifres significatives. En té dues, mentre que les altres
mesures totes es donen amb tres xifres significatives. La
seva incertesa relativa és:
0,1
er 5 —— ? 100 5 1 %
9,9
2,99 1 3,01 1 2,95 1 3,00 1 3,01
2
R0 5 —————————————————— 5 2,99 V
5
Els errors particulars de les mesures més petites i més grans
són:
e1 5 2,95 2 2,99 5 0,04 V
e2 5 3,01 2 2,99 5 0,02 V
Prenem com a valor absolut el més gran dels dos valors anteriors:
ea 5 0,04 V
Els valors de DV són inferiors al de la fem del generador
perquè aquest té una determinada resistència interna r que
produeix una caiguda de tensió dins el generador. Així, tot i
que l’amperímetre sigui ideal i no introdueixi una caiguda
de tensió, la ddp en els extrems de R no pot coincidir amb
la fem del generador per la caiguda de tensió dins el generador, la qual depèn també de la intensitat que circula pel
circuit: DV 5 « 2 Ir.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
124
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
8. Per què diem que la difracció és un fenomen típicament
ondulatori? Raoneu la resposta.
j Unitat 8. Imatges
Activitats
1. Doneu exemples d’ones mecàniques i d’ones electromagnètiques.
Són ones mecàniques les ones produïdes a la superfície d’un
líquid, les produïdes en cordes sotmeses a una certa tensió, i
el so. En tots aquests casos es genera una oscil.lació de les
partícules del medi per on es propaga l’ona.
Són ones electromagnètiques la llum, els raigs ultraviolats,
els raigs X, els raigs gamma, els raigs infrarojos, les microones, i les ones de ràdio, de televisió, de telefonia mòbil, i les
dels radars. En tots aquest casos es genera una oscil.lació de
camps elèctrics i camps magnètics, i l’ona es pot propagar a
través del buit.
2. Quines magnituds físiques són pertorbades pel pas d’una
ona electromagnètica?
Els camps elèctric i magnètic a cada punt de l’espai on arriba
l’ona electromagnètica.
3. Què és la velocitat de fase d’una ona?
És la velocitat a la que es propaga la pertorbació en un medi
determinat.
4. Com es pot generar una ona cilíndrica? Expliqueu-ho detalladament.
Per generar una ona cilíndrica cal fer oscil.lar alhora tots els
punts que estiguin situats sobre una mateixa recta i de tal manera que l’ona es transmeti en l’espai al llarg d’un medi homogeni, per tal que es conservi la forma de l’ona.
La refracció és un fenomen típicament ondulatori, ja que consisteix en la desviació que experimenta una ona quan passa
d’un medi a un altre medi en què la velocitat de fase és diferent; aquesta desviació és una conseqüència del principi de
Huygens, que, recordeu, només verifiquen els moviments ondulatoris.
9. Comenteu breument en què consisteix la difracció de les
ones i poseu-ne un exemple.
La difracció és la distorsió d’una ona o un tren d’ones que troba
en el seu recorregut un obstacle de dimensions comparables a
les de la longitud d’ona del moviment ondulatori. Exemples de
fenòmens de difracció s’observen en la cubeta d’ones amb obstacles amb petites obertures; en el cas del so, en interposar
obstacles entre el focus i el receptor, el so és capaç de vorejar
l’obstacle.
10. En què consisteix el fenomen d’interferències? Poseu-ne un
exemple.
El fenomen de les interferències consisteix en la superposició
additiva dels moviments ondulatoris de la mateixa natura en
tot punt del medi de propagació de les ones. És a dir, tot punt
de l’espai és pertorbat segons la suma de pertorbacions associades a cada una de les ones. Un cas típic d’interferències el
constitueixen les ones estacionàries en una corda.
11. La llum blanca del Sol és monocromàtica? Què vol dir aquest
concepte? Si en un experiment com el de Young il.luminem
les escletxes amb llum blanca, què observarem?
La llum del Sol no és llum monocromàtica. Per a comprovar-ho
n’hi ha prou en fer passar un feix de llum solar a través d’un
prisma de vidre i observar que es descompon en diferents colors.
5. Justifiqueu el fet que a distàncies prou grans d’un focus
emissor d’ones esfèriques, els fronts d’ona es poden considerar plans.
El concepte de llum monocromàtica significa llum d’una única
freqüència; és a dir que no està formada per l’agrupació d’ones
de diferents freqüències i longituds d’ona.
A distàncies prou grans del centre, les superfícies esfèriques es
poden assimilar localment a plans ja que els diferents fronts
d’ona esfèrics tenen poca curvatura. És una bona aproximació
considerar-los fronts d’ona plans.
L’experiment de Young de la doble escletxa mostra que la separació entre franges D x que es veu a la pantalla depèn de la
dl
longitud d’ona: D x 5 ——, on d és la longitud que hi ha entre
a
les escletxes i la pantalla, i a la distància entre les escletxes.
Per tant, i si recordem que la llum blanca conté totes les longituds d’ona corresponents a tots els colors, cada un d’aquests
pateix una separació Dx diferent. Així, observarem cada franja
com una suma de tots els colors, tal com passa amb un prisma,
que separa els colors de la llum blanca, o amb l’arc de sant
Martí.
6. El focus emissor d’una ona mecànica vibra amb una freqüència de 20 Hz i una amplitud de 2 cm. Si la distància
mínima entre dos punts que estan en fase és de 15 cm,
quina serà la velocitat de propagació de l’ona?
v 5 l f 5 0,15 ? 20 5 3 m/s
7. Una ona mecànica fa oscil.lar les partícules del medi amb
una freqüència de 550 Hz i es propaga a una velocitat de
300 m/s. Quina és la distància mínima entre dos punts que
en tot moment es troben en el mateix estat de vibració?
v
300
l 5 — 5 —— 5 0,55 m
f
550
12. Quins van ser els científics que van demostrar el caràcter
electromagnètic de la llum, tant teòricament com experimentalment.
El físic anglès J. C. Maxwell va predir l’existència de les ones
electromagnètiques, entre elles, la llum, l’any 1861, tot estudiant la relació entre els camps elèctrics i els camps magnètics.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
08
FÍSICA 1
Vint-i-sis anys més tard, el 1887, el físic alemany H. Hertz va
idear un dispositiu que va permetre demostrar la predicció de
Maxwell de les ones electromagnètiques. En aquest dispositiu
un emissor emetia ones electromagnètiques de baixa freqüència
que eren recollides en un receptor: en aquest hi havien dos pols
entre els quals saltava un arc voltaic. Demostrava així la recepció de les ones emeses per l’emissor i confirmava experimentalment la teoria de Maxwell.
13. Suposeu que introduïm algun objecte allargat en un got
d’aigua, de manera que quedi una part dins de l’aigua i l’altra fora. Com veurem l’objecte? A què és degut aquest fenomen?
125
Fixem-nos de la figura en què a9i 5 90° 2 aiL. A més, els angles
incident i refractat compleixen: naire sin ai 5 nfibra sin air. Així:
sin a9i 5 cos air 5
5 dllllllllll
1 2 sin2 air 5
n
n
1 2 1——— sin a 2 . ———
dllllllllllllllll
n
n
2
aire
aire
i
fibra
fibra
D’on es dedueix que:
n2aire
n2aire
n2fibra
2 a . ———
2 a , ———
1 2 ———
sin
sin
21 i
i
n2fibra
n2fibra
n2aire
ai , arcsin
Quan introduïm un objecte allargat dins d’un got d’aigua observem que l’objecte sembla deformar-se en la porció que queda
submergida en l’aigua. Això es deu a la refracció de la llum, ja
que els raigs de llum que provenen de l’interior del got pateixen
aquest fenomen.
llllll
n2fibra
d
———
21
n2aire
14. Entre altres aplicacions, la fibra òptica serveix per transmetre informació a grans distàncies i d’una manera molt
ràpida. Indiqueu quin fenomen ho permet i expliqueu-lo
detalladament.
Amb quin angle màxim respecte de l’eix de la fibra poden
entrar els raigs emesos per un focus lluminós situat a l’eix
de la fibra, per tal que es puguin propagar per aquesta?
En la fibra òptica s’aprofita el fenomen de la reflexió total. La
fibra òptica, tot i que és transparent, té un índex de refracció
més gran que l’aire. Quan un raig de llum penetra en la fibra i
arriba a la superfície de separació de la fibra amb l’aire, ho sol
fer amb un angle d’incidència molt proper a 90°, que sobrepassa l’angle límit. Per tant, el raig no s’hi refracta i s’hi reflecteix
totalment, és a dir, no pot sortir de la fibra. Això passa en les
reflexions successives que s’hi produeixen a mesura que el raig
es propaga a l’interior de la fibra, encara que aquesta estigui
corbada; i en l’extrem oposat al d’entrada del raig, aquest surt
pràcticament inalterat.
15. Per a un mirall còncau, efectueu un diagrama de raigs i deduïu com és la imatge que proporciona d’un objecte quan
aquest està més enllà del centre de curvatura, quan està
entre el centre i el focus, i quan està entre el focus i el mirall. Indiqueu, en conseqüència, quines de les següents
combinacions de característiques són possibles.
a) Imatge virtual, dreta, i més gran que l’objecte.
b) Imatge real, invertida, i més petita que l’objecte.
c) Imatge real, dreta, i més gran que l’objecte.
d) Imatge virtual, invertida, i més petita que l’objecte.
Recordem que les característiques que tenen les imatges formades per un mirall concau són les que es donen en els casos següents:
— Quan l’objecte està situat a una distància més gran que el
centre de curvatura del mirall, la imatge és real, invertida i
més gran que l’objecte.
— Quan l’objecte està situat en el centre de curvatura i el focus del mirall, la imatge és real, invertida i més petita que
l’objecte.
Tot raig provinent de l’exterior pot entrar dins la fibra òptica
independentment del valor de l’angle d’incidència (ai) ja que
l’aire és menys dens que la fibra òptica. Ara bé, un cop dins la
fibra, cal que en la primera reflexió del raig en les parets de
la fibra se superi l’angle límit (aiL), així no s’escaparà cap part
del raig a fora. És a dir, cal que l’angle d’incidència en la superfície fibra-aire, que anomenem a9i , compleixi: a9i . aiL. Per
tant, donat que nfibra sin aiL 5 naire, tenim:
naire
ai . aiL sin a9i . sin aiL sin a9i . ———
nfibra
— Quan l’objecte està situat a una distància més petita que el
focus del mirall, la imatge és virtual, dreta i més gran que
l’objecte.
Per tant, de les tres situacions indicades a l’enunciat d’aquesta
qüestió, només són possibles la situació a), que correspon al
tercer cas anterior, i la situació b), que correspon al segon cas
anterior. La situació c) és impossible.
16. Per a una lent convergent, efectueu un diagrama de raigs i
deduïu com és la imatge que proporciona d’un objecte quan
aquest està més enllà del focus de la lent, quan està situat
al focus, i quan està entre el focus i la lent. Expliqueu, en
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
126
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
conseqüència, com varia la posició i la mida de la imatge
quan un objecte es va apropant cap a la lent des d’una posició llunyana, i indiqueu quines de les següents combinacions de característiques són impossibles.
a) Imatge real, dreta i més gran que l’objecte.
Objecte més enllà del focus.
— En el cas de la figura c), l’objecte es troba entre el focus
i la lent i es forma una imatge virtual (imatge a l’esquerra de la lent), dreta i més gran que l’objecte, tant
més gran quan l’objecte es troba més a prop del focus.
d) Imatge virtual, invertida i més petita que l’objecte.
Conclusions:
— El supòsit a) és impossible: una imatge dreta i més gran
que l’objecte no pot ser real, ha de ser virtual.
— El supòsit b) és cert i el trobem en el dibuix a), quan
l’objecte s’allunya prou del focus.
— El supòsit c) també és cert (dibuix c).
— El supòsit d) és fals: una imatge invertida i més petita
que l’objecte només potser real.
b) Imatge real, invertida i més petita que l’objecte.
Objecte en el focus.
17. Busqueu en algun llibre d’òptica informació sobre el telescopi de reflexió i dibuixeu un diagrama de raigs de les imatges que forma d’un objecte. Sobre el dibuix, expliqueu com
és la imatge que forma aquest sistema òptic i el perquè de
la seva utilització.
Resposta oberta.
Cal que l’alumnat consulti llibres d’òptica on s’expliqui el funcionament del telescopi de reflexió. Es pot plantejar aquesta
activitat, juntament amb la que hi ha continuació, com un petit treball sobre els instruments òptics. Així es complementaria
l’estudi de l’òptica geomètrica que s’ha desenvolupat en aquesta unitat.
c) Imatge virtual, dreta i més gran que l’objecte.
18. Busqueu en algun llibre d’òptica informació sobre el principi de funcionament del telescopi de refracció i dibuixeu un
diagrama de raigs de les imatges que forma d’un objecte
determinat. Sobre el dibuix, expliqueu com és la imatge
que forma aquest sistema òptic i el perquè de la seva utilització.
Resposta oberta.
Objecte entre el focus i la lent.
Cal que l’alumnat consulti llibres d’òptica que expliquin el funcionament del telescopi de refracció. Aquesta activitat es pot
fer alhora que la qüestió anterior.
Activitats finals
Qüestions
— La imatge és real quan es forma a la dreta de la lent. Es
el cas de la figura a): la imatge es invertida i tant més
gran quant més a prop es troba l’objecte al focus (per
l’esquerra).
— En el cas de la figura b) (objecte situat en el focus) la
imatge es forma en l’infinit (els raigs són paral.lels).
1. Si disminuïm la freqüència d’una ona, com variarà la longitud d’ona si es transmet a través del mateix medi? Raoneu
la resposta.
Si l’ona no canvia el seu medi de transmissió, la seva velocitat
de fase no varia encara que variï la seva freqüència. Per tant, si
recordem l’expressió que relaciona la freqüència, la velocitat de
fase i la longitud d’ona, v 5 l f, podem comprovar que, en disminuir la freqüència f, la longitud d’ona l augmenta per tal que
la velocitat de fase v es mantingui constant.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
2. Dibuixeu dues ones en una corda en els casos següents:
a) Amb la mateixa amplitud, però amb longituds d’ona una
el doble de l’altra.
08
127
l
la longitud d’ona l i el període T ve donada per v 5 —. D’altra
T
banda, es defineix la velocitat de fase com la relació entre la
distància que recorre l’ona des del focus fins a un punt determinat situat a una distància x del focus i el temps que triga a
x
fer-ho, v 5 —.
t
Per tant, si comparem ambdues expressions, comprovem que, en
el temps d’un període, l’ona avança una longitud igual a la longitud d’ona, mentre que, perquè l’ona recorri una longitud igual
a la longitud d’ona, ha de transcórrer el temps d’un període.
b) Amb la mateixa longitud d’ona, però amb amplituds que
A2
estiguin en la relació A1 5 ——.
3
4. Comenteu detalladament el que passa en la situació següent
tot relacionant-la amb el fenomen ondulatori que correspongui: «una ona plana produïda a la superfície d’un líquid
troba un petit obstacle en la seva direcció de propagació».
Es produeix el fenomen de la difracció: cada punt on arriba el
front d’ones constitueix un emissor d’ones en una determinada
direcció i l’ona resultant és constituïda per la suma de totes les
noves ones emeses.
5. Una ona es transmet per un medi determinat amb una velocitat v1, i quan penetra en un altre medi ho fa amb velocitat
v2. Es pot donar el cas que no hi hagi refracció de l’ona? En
quines condicions? Justifiqueu la resposta.
c) Amb les mateixes amplituds i longituds d’ona, però desfasades 270°.
3. Expliqueu detalladament què vol dir que una ona és doblement periòdica.
En tota ona s’ha de considerar una doble periodicitat: en el
temps i en l’espai. En el temps perquè qualsevol partícula del
medi oscil.la al pas de l’ona, i sabem que un moviment oscil.latori és un tipus particular de moviment periòdic. En l’espai perquè l’ona es va repetint periòdicament a intervals regulars de
longitud d’ona d’acord amb el seu valor de longitud d’ona.
Aquesta doble periodicitat queda reflectida, per exemple, en
l’equació d’ona harmònica, en la qual la periodicitat temporal ve
donada pel valor del període T, mentre que la periodicitat espacial ve donada pel valor de la longitud d’ona:
y (x , t) 5 A sin (v t 2 k x) 5 A sin 2 p
Aquesta doble periodicitat d’una ona també queda reflectida si
tenim en compte que l’expressió que lliga la velocitat de fase v,
Suposem que l’ona penetra en el segon medi formant un angle
ai amb la recta normal a la superfície de separació dels dos
medis, que considerem plana. Recordem que, en aquest cas,
podem aplicar la llei de Snell:
sin ai
v1
————
5 ——
v2
sin a9r
On a9r és l’angle de refracció, i v1 i v2 les velocitats respectives
en els dos medis. En el cas en què la velocitat en el segon medi
v1
sigui més gran que en el primer medi, el quocient —— serà
v2
més petit que la unitat i, per tant, també ho serà el quocient
sin ai
————
:
sin a9r
v1
sin ai
v1 , v2 —— , 1 ———— , 1 sin ai , sin a9r
v2
sin a9r
ai , a9r
Si tenim en compte aquest últim resultat, podem veure que
existeix un angle ai més petit que 90º pel qual l’angle de refracció és de 90º. Per tant, podem concloure que, en aquestes
condicions, l’ona refractada surt en una direcció que està compresa en la superfície de separació dels dos medis, i que, així,
no hi ha ona refractada. L’angle d’incidència que verifica aquesta condició s’anomena angle límit i, segons el que acabem de
veure, per a angles d’incidència més grans o iguals que l’angle
límit, no hi ha ona refractada i l’ona incident es reflecteix totalment.
6. Dues ones transversals produïdes en sengles focus puntuals
tenen les mateixes amplitud i freqüència. D’acord amb el
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
128
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
que es mostra a la figura 8.71, on les valls s’han representat
amb línies contínues, i les crestes amb línies discontínues,
raoneu com seran les interferències en els punts A, B, C i D.
es tracta d’un focus emissor amb llum blanca les interferències
destructives per a una longitud d’ona determinada es compensen fàcilment amb les constructives per a una altra.
9. La reflexió és un fenomen típicament ondulatori? I la refracció? Raoneu la resposta.
B
A
F1
C
F2
D
Punt A: coincideixen una vall i una cresta, de manera que la
diferència de camins és un nombre imparell de semilongituds
d’ona. Per tant, es dóna una interferència destructiva.
Punt B: coincideixen dues crestes, de manera que la diferència
de camins és un múltiple de la longitud d’ona. Per tant, hi ha
interferència constructiva.
La reflexió no és un fenomen típicament ondulatori, sinó que
també es dóna en el cas dels moviments corpusculars. Penseu,
per exemple, quan una pilota xoca elàsticament amb un obstacle: es produeix una reflexió de la pilota. Per contra, la refracció sí que és un fenomen típicament ondulatori, ja que consisteix en la desviació que experimenta una ona quan passa d’un
medi a un altre medi en què la velocitat de fase és diferent;
aquesta desviació és una conseqüència del principi de Huygens,
que, recordeu-ho, només verifiquen els moviments ondulatoris.
10. Expliqueu els fenòmens que tenen lloc quan un raig de
llum arriba a la superfície de separació de dos medis transparents.
En general, quan un raig de llum troba en el seu recorregut una
superfície de separació de dos medis amb diferent índex de refracció es divideix en dues parts:
Una es propaga en el medi inicial, és el que anomenem reflexió
i compleix les lleis següents:
Punt C: coincideixen dues valls, i com en el cas del punt B, la
diferència de camins és un múltiple de la longitud d’ona. Per
tant, hi ha una interferència constructiva.
j Els raig incident i reflectit i la normal a la superfície reflec-
Punt D: tenim la mateixa situació que en el punt C; coincideixen dues valls i, per tant, hi ha interferència constructiva.
d’incidència és el mateix que el que forma el raig reflectit.
tant es troben en un mateix pla.
j L’angle que forma el raig incident amb la normal en el punt
7. [Curs 01-02] En què consisteix la difracció? Raoneu si
aquest fenomen avala el caràcter ondulatori o el caràcter
corpuscular de la llum.
La difracció és la distorsió que experimenta una ona en arribar
a un obstacle de dimensions comparables a la seva longitud
d’ona i que impedeix la transmissió. Com a resultat s’obtenen
patrons o figures de difracció característics resultants dels diferents valors de l’amplitud de l’ona que arriba als diferents punts
de l’espai. La forma d’aquests patrons depèn de la longitud
d’ona de la llum i del tipus d’obstacle.
El fenomen de la difracció avala el caràcter ondulatori de la
llum ja que no és explicable a partir del model corpuscular.
8. Normalment és difícil d’observar la difracció de la llum.
Per què?
Per poder observar la difracció de la llum és necessari que l’obstacle sigui del mateix ordre de magnitud que la longitud d’ona
de la radiació incident. Com que la llum té una longitud
d’ona molt curta i els obstacles són d’una magnitud molt superior, els fenòmens de difracció no tenen lloc perquè en superposar-se a la pantalla raigs difractats per molts punts de l’objecte
difrantant, es compensen els efectes constructius i destructius,
i així s’obté una imatge intermèdia i uniforme.
Per observar les figures de difracció és precís també que el focus lluminós sigui puntual i sobretot monocromàtic, perquè si
Una altra s’introdueix en el nou medi, és el que anomenem refracció (també si entra en diverses direccions es produeix el
fenomen de difusió interna), que compleix la llei de Snell:
n1 ? sen ai 5 n2 ? sen ar
on n1 i n2 són els índexs de refracció dels medis i ai i ar són els
angles del raig respecte a la normal.
11. Sabem que l’oli, d’índex de refracció n, té una densitat més
petita que l’aigua i, per tant, sura sobre aquesta. Una fina
capa d’oli d’un cert gruix d s’ha dipositat sobre la superfície de l’aigua continguda en un recipient. Dibuixeu la trajectòria que segueix un raig de llum oblic que passa de
l’aire a l’oli, i de l’oli a l’aigua, i trieu la resposta correcta:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
08
FÍSICA 1
A. Com és la velocitat de la llum en l’oli, respecte a la velocitat de la llum a l’aigua?
129
que regeix aquest fenomen físic i raoneu en quin dels dos
medis (A o B) la llum es propaga amb més velocitat.
a) Més gran
b) Més petita
c) Igual
B
B. Quin dels dos líquids té un índex de refracció més gran?
a) L’oli
A
b) L’aigua
c) Els dos el tenen igual
Mostrem una taula amb els diferents índex de refracció:
Substància
Índex de refracció
Aigua
1,333
Aire
1,00029
Oli
1,46
vA
sin ai
Llei de refracció: —— 5 ———
vB
sin ar
ai , ar sin ai , sin ar vA , vB
13. [Curs 99-00] Un raig de llum passa de l’aire a un vidre.
Raoneu si cadascuna de les següents afirmacions referides
al raig de llum són vertaderes o falses:
a) Augmenta la freqüència.
b) Augmenta el període.
La trajectòria del raig seria la següent:
c) Disminueix la velocitat de propagació.
d) Augmenta la longitud d’ona.
Dada: l’índex de refracció del vidre és més gran que el de
l’aire.
Les afirmacions a) i b) són falses perquè una ona no altera la
seva freqüència ni, per tant, el seu període en canviar de medi
de propagació.
c
Com que n 5 — i tenim naire , nvidre, aleshores: vaire . vvidre,
v
en passar de l’aire al vidre disminueix la velocitat de propagació. L’opció c) és correcta.
Si la velocitat disminueix, aleshores la longitud d’ona també
disminueix ja que la freqüència és constant. L’opció d) és falsa.
La relació entre la velocitat i l’índex de refracció és:
c
v5—
n
És a dir, un índex de refracció més gran suposa una velocitat de
la llum més petita en el medi:
Per tant:
14. En què consisteix la polarització de la llum? Si situem dos
plaques polaritzadores de manera que les seves direccions
de polarització són perpendiculars, què observem? Estudieu diferents posicions relatives de les direccions de polarització i deduïu què passa en els diferents casos.
La llum, com a ona transversal, té la propietat que allò que
vibra ho fa en direcció perpendicular a la direcció de propagació. Vibren els camps elèctric i magnètic, que tenen caràcter
vectorial.
B. L’oli té un índex de refracció més gran. La resposta correcta
és la a).
Polaritzar vol dir restringir (controlar) aquestes vibracions, per
exemple el camp elèctric, d’una manera periple.
Dos plaques polaritzades col.locades de manera que les seves
direccions de polarització siguin perpendiculars no deixen passar cap raig de llum.
12. [Curs 03-04] La figura representa la propagació d’un raig
de llum quan passa d’un medi a un altre. Enuncieu la llei
En la figura s’observa com es pot polaritzar (filtrar la direcció
del camp elèctric) en direccions diferents. Els retardadors introdueixen un canvi en la fase del vector camp elèctric.
A. Com que l’índex de refracció de l’oli és més gran que el de
l’aigua, la velocitat de la llum en l’oli és més petita. La
resposta correcta és la b).
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
130
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
L’índex de refracció d’un prisma es pot calcular mesurant l’angle
de desviació mínima i l’angle que formen les cares del prisma.
15. Durant el dia, el cel es veu de color blau, mentre que quan
el Sol es pon, es veu de color vermellós en la direcció de la
posta de sol. En quin fenomen es basen aquests dos fets?
Expliqueu-lo detalladament i digueu per què el cel es veu
d’aquesta manera.
El cel es veu de color blau durant el dia i amb tonalitats vermelloses al capvespre en la zona on es pon el Sol a causa del fenomen de la difusió de la llum. La llum que prové del Sol,
composta per tots els colors, és difosa per les molècules de
l’aire. Com que els colors de longitud d’ona curta, com el blau,
són els que pateixen la difusió en un grau més elevat, el cel
apareix d’aquest color quan mirem en una direcció que no sigui
la definida per la nostra vista i el Sol (el component violeta
de la llum solar és menys abundant que el blau, per la qual cosa
predomina la difusió del color blau).
Al capvespre, la llum del Sol ha de travessar una capa d’aire més
gruixuda, i la difusió de la llum encara es fa més patent. El color vermell té una longitud d’ona més gran i és, per tant, el
component de la llum blanca que menys pateix el fenomen de
la difusió. És el color que predomina quan mirem cap al Sol, ja
que pels altres colors s’haurà alterat significativament la seva
propagació rectilínia a causa de la difusió.
w 5 r 1 r9
d 5 1 i9 2 w
sin (dmín 1 w)
si d 5 dmin llavors n 5 ———————
sin (w/2)
17. [Curs 04-05] Un mirall esfèric còncau té un radi de curvatura R. Dibuixeu els diagrames de raigs necessaris per localitzar la imatge d’un objecte petit en forma de fletxa
situat sobre l’eix del mirall, a una distància d de l’extrem
del mirall, en els casos següents:
a) d 5 2 R
Indiqueu en cada cas si la imatge és virtual o real, dreta
o invertida, reduïda o ampliada.
16. La dispersió de la llum blanca es pot estudiar amb un prisma. Busqueu informació i descriviu aquest fenomen.
Quan la llum travessa un prisma (un objecte transparent amb
superfícies planes i polides no paral.leles), el raig de sortida ja
no és paral.lel al raig incident. Com que l’índex de refracció
d’una substància varia amb la longitud d’ona, un prisma pot
separar les diferents longituds d’ona contingudes en un feix i
formar un espectre. En la figura, l’angle CBD entre la trajectòria
de raig incident i la trajectòria del raig emergent és l’angle de
desviació. Pot demostrar-se que quan l’angle del raig incident
coincideix amb el del raig emergent, la desviació es mínima.
C: centre de curvatura
F: focus
O: objecte, O’: imatge
La imatge és real, invertida i reduïda.
R
b) d 5 —
3
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
C: centre de curvatura
08
131
que la imatge I també està situada sobre el punt C, té la mateixa mida que l’objecte, però és invertida.
F: focus
O: objecte; O’: imatge
La imatge és virtual, dreta i ampliada.
18. Considereu un mirall còncau i un objecte situat a diferents
posicions del mirall.
A. Quan l’objecte es troba entre el mirall i el focus, la
imatge és:
a) Virtual, dreta i més gran que l’objecte.
b) Real, invertida i més petita que l’objecte.
c) Cap de les anteriors respostes és correcta.
La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte. La resposta correcta és la a).
B. Quan l’objecte es troba entre el focus i el centre, la
imatge és:
a) Real, dreta i més petita que l’objecte.
b) Virtual, invertida i més gran que l’objecte.
c) Cap de les anteriors respostes és correcta.
Aquest cas correspon amb l’apartat b) de la qüestió anterior, per tant la imatge és real, invertida i més gran que
l’objecte. La resposta correcta és la c).
En el segon cas, l’objecte està situat sobre el focus F. Tornem a
dibuixar un arc de circumferència de radi arbitrari r, senyalem
el centre C i el focus F, i dibuixem l’objecte sobre F representant-lo amb una fletxa. Una vegada traçats els raigs paral.lel
(p) i radial (r), observem que quan aquests raigs es reflecteixen
en el mirall, surten paral.lels l’un respecte de l’altre, per la qual
cosa deduïm que s’ajunten a l’infinit. Per tant, arribem a la
conclusió que, en aquesta situació, la imatge es forma a l’infinit, és a dir, no s’obté cap imatge.
20. [Curs 04-05] Considereu un mirall esfèric convex. Dibuixeu
el diagrama de raigs necessari per localitzar la imatge d’un
objecte petit en forma de fletxa situat davant del mirall,
sobre el seu eix. Indiqueu si la imatge és virtual o real,
dreta o invertida, reduïda o ampliada.
C. Quan l’objecte se situa més enllà del centre, la imatge és:
a) Real, invertida i més petita que l’objecte.
b) Virtual, dreta i més gran que l’objecte.
c) Cap de les respostes anteriors és correcta.
Correspon a l’apartat a) de la qüestió anterior: imatge real,
invertida i més petita que l’objecte. La resposta correcta és
la a).
19. Com és la imatge que forma un mirall concau quan l’objecte
està sobre el centre de curvatura C del mirall? I quan està
situat sobre el focus F? Dibuixeu el diagrama de raigs per
raonar la resposta. Si tenim en compte com és la imatge
quan l’objecte està més enllà del centre del mirall, quan
està entre el centre i el focus, i quan està entre el focus i
el mirall, deduïu en conseqüència com varia la posició i el
tamany de la imatge quan un objecte es va apropant cap al
mirall des d’una posició llunyana.
En el primer cas, hem de situar l’objecte sobre el centre de curvatura C. Per representar la situació, dibuixem primer amb un
compàs un arc de circumferència que representarà el mirall concau i que, com que no es donen valors, tingui un radi r arbitrari. A continuació, senyalem el centre de curvatura C i el focus F
(que, recordem-ho, està situat a una distància del mirall igual a
la meitat del radi, f 5 r /2). Per fer el diagrama de raigs, representem l’objecte O amb una fletxa, el situem sobre C i tracem
els raigs paral.lel (p) i radial (r). Podem veure que el raig radial
creua l’objecte, ja que ha de passar per C i l’objecte està situat
a C. Una vegada s’ha traçat també el raig paral.lel, observem
C: centre de curvatura
F: focus
O: objecte; O’: imatge
La imatge és virtual, dreta i reduïda.
21. La imatge que dóna un mirall convex, sota quines condicions és real? Deduïu, en conseqüència, com varia la posició
i la mida de la imatge que es forma d’un objecte que es va
apropant cap al mirall des d’una posició llunyana.
La imatge sempre és virtual, només quan l’objecte s’apropa
molt al mirall la imatge s’apropa cap al límit entre virtual i real,
com veiem en la figura següent:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
132
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
22. Per què en alguns encreuaments de carrers i en alguns comerços hi ha miralls convexos situats de manera estratègica?
Té alguna cosa a veure amb el tipus d’imatge que formen
aquests miralls? Raoneu la resposta.
Pensem en la manera en què una persona capta les imatges
donades pels diversos tipus de miralls. Els miralls concaus, tot i
que en determinades condicions donen imatges virtuals i, per
tant, susceptibles de ser observades per la persona, també poden donar, depenent de la situació de l’objecte respecte del
focus del mirall, imatges reals que no seran captades per l’observador. Només els miralls plans i els miralls convexos formen
una imatge que sempre és, en qualsevol situació, virtual i dreta, i que, per tant, pot ser captada per la persona.
Per tant, en principi, per visualitzar objectes sigui quina sigui
la seva posició, cal utilitzar o bé miralls plans o bé miralls convexos. Ara bé, tot i que les imatges donades pel mirall pla són
de la mateixa mida que l’objecte, a diferència del mirall convex,
que dóna imatges més petites que l’objecte, aquests darrers són
més adequats per ser col.locats estratègicament en l’encreuament d’alguns carrers i en comerços, ja que el camp de la visió
que donen és més ample que en el cas del mirall pla, i permeten
visualitzar més objectes.
a) En un mirall pla, la imatge és de la mateixa mida que l’objecte, però el camp visual és més petit.
23. Per què diem que les lents biconvexes són lents convergents? Per què diem que les lents bicòncaves són lents divergents? Raoneu les respostes.
En una lent biconvexa, els raigs que provenen de l’infinit convergeixen en un punt situat darrere de la lent (anomenat punt
focal imatge) una vegada han travesat la lent. Per aquest motiu
diem que aquestes lents són convergents.
Per contra, en una lent bicòncava, els raigs que provenen d’un
punt infinit divergeixen quan travessen la lent i sembla que provinguin d’un punt situat davant de la lent; per això les anomenem lents divergents.
24. Una lent biconvexa dóna sempre imatges reals? Una lent bicòncava dóna sempre imatges virtuals? Raoneu les respostes.
Una lent biconvexa pot donar tant imatges reals com imatges
virtuals. Que la imatge sigui d’un tipus o d’un altre depèn de la
situació de l’objecte respecte del focus objecte de la lent. Quan
l’objecte està a una distància més gran que el focus objecte, els
raigs que provenen de l’objecte convergeixen quan han travessat la lent i formen una imatge al costat contrari on està situat
l’objecte. Per tant, en aquesta situació s’obté una imatge real,
ja que està situada, respecte de la lent, en el costat contrari
d’on està l’objecte (encara que invertida). Per contra, quan
l’objecte està situat a una distància més petita que el focus
objecte, els raigs que provenen de l’objecte divergeixen quan
s’han refractat a la lent i sembla que provinguin de punts situats al mateix costat que l’objecte. Per tant, en aquesta situació la imatge és virtual, ja que està situada al mateix costat,
respecte de la lent, que l’objecte.
D’altra banda, les lents bicòncaves només donen imatges virtuals, ja que, sigui quina sigui la posició de l’objecte, els raigs
sempre divergeixen quan han travessat la lent i sembla que
provinguin de punts situats al mateix cantó que l’objecte; per
tant, la imatge és virtual.
b) En un mirall convex, la imatge és més petita que l’objecte,
però, en tenir un major camp visual, són idonis per ser collocats en alguns encreuaments de carrers i en comerços.
25. La imatge que dóna una lent divergent, sota quines condicions és real? Deduïu, en conseqüència, com varia la posició
i la mida de la imatge que es forma d’un objecte que es va
apropant cap a la lent des d’una posició llunyana.
A mesura que l’objecte s’apropa a la lent divergent, la imatge
es fa mes gran:
La imatge sempre és virtual (a l’esquerra de la lent) dreta i més
petita que l’objecte:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
26. Els defectes de la visió més usuals que pateixen les persones són la miopia i la hipermetropia. En què consisteixen
aquests defectes? Com es corregeixen? Expliqueu-los detalladament.
La miopia és la dificultat per enfocar els objectes llunyans. La
imatge es forma davant la retina.
La miopia es corregeix amb lents divergents:
08
133
b) Un àtom excitat que emet radiació ultraviolada de longitud d’ona 550 Å.
210 m
° 10
l 5 550 A ? ————— 5 5,5 ? 1028 m °
1 A
c
3 ? 108
5 5,45 ? 1015 Hz
f 5 — 5 —————
l
5,5 ?1028
c) Un nucli radioactiu que emet radiació gamma de longitud d’ona 4 ?10212 m.
c
3 ? 108
5 7,5 ?1019 Hz
l 5 4 ?10212 m f 5 — 5 —————
l
4 ?10212
2. [Curs 02-03] Una estació de radar utilitza ones electromagnètiques de freqüència 3 ?1010 Hz.
a) Quantes longituds d’ona hi ha entre l’estació i un avió
situat a 50 km de distància?
c
xf
l 5 — ; x 5 nl n 5 —— 5 5 ? 106
f
c
b) Quant de temps transcorre des que s’emet un pols fins
que retorna a l’estació, després de rebotar a l’avió?
La hipermetropia és la dificultat per veure a distancies curtes.
La imatge es forma darrere de la retina. Es corregeix amb lents
convergents:
2x
t 5 —— 5 3,33 ? 1024 s
c
Dada: c 5 3 ? 108 m/s
3. La banda comercial de ràdio d’AM abasta unes freqüències
que van des dels 550 kHz fins als 1 600 kHz. Quines longituds d’ona corresponen a aquesta franja?
De 187,5 m fins a 545,45 m.
4. La banda comercial de ràdio d’FM abasta unes freqüències
que van des dels 87,5 MHz fins als 108 MHz. Quines longituds d’ona corresponen a aquesta franja?
De 2,78 m fins a 3,43 m.
5. [Curs 98-99] Un raig de llum vermella que es propaga per
l’aire incideix sobre un vidre amb un angle de 30º respecte
a la direcció normal en la superfície del vidre. L’índex de
refracció del vidre per a la llum vermella val nv 5 1,5, i
l’índex de refracció de l’aire val na 5 1.
a) Feu un esquema indicant les direccions dels raigs reflectit i refractat, i calculeu el valor dels angles que formen
aquests raigs amb la normal.
Problemes
L’esquema amb els raigs incident, reflectit i refractat és:
1. Calculeu la freqüència dels següents emissors de radiació
electromagnètica sabent que c 5 3 ? 108 m/s:
a) Una emissora de ràdio que emet un senyal electromagnètic de longitud d’ona 5 m.
i
l55m
y
c 5 3 ? 108 m/s t
c
3 ? 108
c 5 l f f 5 — 5 ———— 5 6 ? 107 Hz
l
5
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
134
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
ai 5 ar, per tant, l’angle de reflexió també forma un angle
de 30° amb la normal. A més:
ni sin ai 5 ni sin a9r ni sin ai
1 ? sin 30°
a9r 5 arcsin ————— 5 arcsin ————— 5 19,47°
nr
1,5
1
2
El raig refractat forma un angle de 19,47° amb la normal.
b) Calculeu l’angle que formen entre si el raig reflectit i el
raig refractat.
Els raigs reflectit i refractat formen entre si un angle igual a:
(90° 2 ar) 1 (90° 2 a9r) 5 180° 2 30° 2 19,47° 5
5 130,53°
6. Sobre un cos de material transparent incideix un raig de
llum formant un angle de 35° amb la normal a la superfície
del cos. Si l’angle de refracció és de 25°, quin índex de refracció té el material? A quina velocitat es propaga la llum
en aquest material?
A. El desplaçament paral.lel que experimenta el raig incident és:
d cos (ai 2 ar9)
a) —————————
sin ar9
d sin (ai 2 ar9)
b) —————————
cos ar9
d cos (ai 2 ar9)
c) —————————
cos ar9
La resposta correcta és la b).
B. Quan el raig hi incideix formant un angle de 50º respecte de la superfície de la làmina, el desplaçament val:
a) 0,15 mm
b) 1,15 mm
c) 2,15 mm
La resposta correcta és la c).
10. Suposem que sobre la làmina de l’exercici anterior hi incideix perpendicularment un raig de llum monocromàtica de
freqüència 6 ?1014 Hz. Trieu la resposta correcta i justifiqueu-la.
ai 5 35°
a9r 5 25°
Apliquem la llei de Snell:
sin 35°
sin ai
————
5 n n 5 ———— 5 1,36
sin a9r
sin 25°
Apliquem la definició de n i aïllem v tenint en compte que
c 5 3 ? 108 m/s:
3 ? 108
c
c
n 5 — v 5 — 5 ———— 5 2,21?108 m/s
v
n
1,36
7. Un raig de llum arriba a la superfície de separació de dos
medis transparents. Si el primer medi té un índex de refracció d’1,33, i el segon, d’1,55, quin ha de ser el valor de
l’angle que forma el raig incident respecte a la direcció normal a la superfície de separació quan l’angle que formen el
raig reflectit i el raig refractat val 90º?
A. Quan el raig hi incideix formant un angle de 90º respecte de la superfície de la làmina, el temps que tarda el
raig a travessar la làmina val:
a) 27,5 ps
b) 35,6 ns
c) 12,9 ms
La resposta correcta és la a).
B. La velocitat de la llum en aquest material val:
a) 0,8 c
b) c
c) 0,6 c
La resposta correcta és la c).
ai 5 49,37°
8. [Curs 04-05] Una ona electromagnètica que es propaga en
el buit té una longitud d’ona l 5 5 ? 1027 m. Calculeu la
seva longitud d’ona quan penetra en un medi d’índex de refracció n 5 1,5.
v
c/n
l
l9 5 — 5 ——— 5 —
f
c/l
n
l9 5 3,3 ? 1027 m
9. Quan un raig de llum travessa una làmina plana feta d’un
cert material transparent, no es desvia quant a la direcció
de propagació, però sí que experimenta un cert desplaçament paral.lel al raig incident. Demostreu matemàticament
aquest fet, i trieu la resposta correcta entre les següents si
el gruix de la làmina és de 5 mm i l’índex de refracció n del
material val 1,65:
C. La freqüència del raig quan es propaga a l’interior de la
làmina val:
a) 1015 Hz
b) 3,6 ?1014 Hz
c) És la mateixa, la freqüència no varia
La resposta correcta és la c).
D. La longitud d’ona del raig quan es propaga a l’interior de
la làmina val:
a) 5 ?1027 m
b) 3 ?1027 m
c) 2 ?1027 m
La resposta correcta és la b).
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
08
FÍSICA 1
11. Observem des de fora una piscina de fondària h completa4
ment plena d’aigua, d’índex de refracció —. Dibuixeu la
3
marxa dels raigs, i justifiqueu la veracitat o no de les següents afirmacions tot triant les respostes correctes.
A. Ens fa l’efecte que la seva profunditat és:
que el raig refractat a l’aigua no tornés a sortir i es reflectís
totalment, amb quin angle mínim hauria d’entrar el raig des
de l’aire? És possible aquesta situació en la pràctica?
Dada: índex de refracció de l’aigua: 1,33.
Apliquem la llei de Snell tenint en compte que n 5 1,33.
sin ai
sin 15°
————
5 n ———— 5 1,33 sin a9r
sin a9r
a) Més gran que h
b) Més petita que h
c) Igual a h
sin 15°
sin a9r 5 ———— 5 0,1946 1,33
La resposta correcta és la b).
a9r 5 arc sin (0,1946) 5 11,22°
B. Si la profunditat de la piscina és de 2,4 m, a quina distància de la superfície de l’aigua veiem el fons?
a) 1,7 m
b) 1,8 m
c) 1,9 m
12. El quars i el diamant presenten uns índexs de refracció
d’1,51 i 2,42 respectivament.
a) A quina velocitat es transmet la llum d’aquests materials?
n quars 5 1,51
c
3 ? 108
vquars 5 ——— 5 ———— 5 1,99 ?108 m/s
n quars
1,51
135
Ara apliquem la llei de Snell dues vegades, ja que el raig pateix
dues refraccions: quan passa de l’aire a l’aigua, amb un angle
d’incidència ai 2, i quan passa de l’aigua a l’aire, amb un angle d’incidència a9i L.
sin a9i L
1
1
————
5 — a9i L 5 arc sin ——— 5 48,75°
sin 90°
n
1,33
1
2
sin ai 2
a9r 2 5 a9i L ———— 5 n ai 2 5 sin21 (n sin a9r 2) sin a9r 2
ai2 5 arc sin (1,33? sin 48,75°) 5 90°
Deduïm que aquesta situació és impossible, ja que l’angle d’incidència hauria de ser de 90° i, per tant, el raig mai no passaria
a l’aigua.
n diamant 5 2,42
c
3 ? 108
vdiamant 5 ———— 5 ———— 5 1,24 ? 108 m/s
n diamant
2,42
b) Quan valen els respectius angles límit?
1
sin aiL
1
sin ai
Quars: ——— 5 — ———— 5 ——— sin a9r
n
sin 90°
1,51
sin aiL 5 0,6622 aiL 5 arc sin (0,6622) 5 41,47°
sin aiL
1
Diamant: ———— 5 ——— sin 90°
2,42
sin aiL 5 0,4132 aiL 5 arc sin (0,4132) 5 24,41°
13. [Curs 98-99] Quin és l’angle d’incidència mínim per al qual
un raig de llum que es propaga per un vidre d’índex de refracció nv 5 1,6 es reflecteixi totalment en arribar a la superfície
de separació entre aquest vidre i l’aire? L’índex de refracció de l’aire és na 5 1.
15. Un mirall còncau té un radi de 10 m. Davant seu se situa un
objecte de 80 cm d’altura. Dibuixeu un diagrama de raigs i
determineu la posició i l’altura de la imatge, per a les distàncies de l’objecte al mirall que es donen a continuació:
La distància focal és, en tots els casos, la meitat del radi:
r
10
f 5 — f 5 —— 5 5 m
2
2
Per dibuixar el diagrama de raigs, fem servir paper mil.limetrat,
de manera que 1 m correspon a 1 cm en el dibuix, per exemple.
a) 2,25 m
Representem l’objecte amb una fletxa. Amb l’escala triada,
l’objecte mesura 0,8 cm, i el situem a 2,25 cm (2,25 m
reals). Dibuixem els raigs paral.lel i radial:
Cal buscar l’angle d’incidència al qual correspongui un angle
refractat de 90°:
ni sin ai 5 nr sin a9r 1
nr sin 90°
ai 5 arcsin —————— 5 arcsin —— 5 38,68°
ni
1,6
1 2
14. Un raig lluminós que es propaga per l’aire passa a l’aigua
continguda en un recipient. Quin és l’angle de refracció del
raig refractat si l’angle d’incidència és de 15°? Si volguéssim
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
136
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Observem que la imatge està situada 4 m darrere del mirall
(imatge virtual) i la seva alçada és d’1,5 m, aproximadament. La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte.
b) 7,5 m
Per tal que la representació de la situació sigui adequada, farem
servir, per exemple, les escales següents:
— En l’eix X, 1 cm del dibuix correspon a 5 cm reals.
— En l’eix Y, 1 cm del dibuix correspon a 10 cm reals.
Seguim els mateixos criteris que en l’apartat anterior, però
ara situem l’objecte a 7,5 m (7,5 cm en el dibuix):
Per determinar la distància a la qual hem de situar l’objecte i el
punt on està situada la imatge, fem les consideracions següents:
j Com que l’objecte ha de tenir una alçada de 15 cm, tracem
una recta a paral.lela a l’eix òptic que passi pels punts d’altura y 5 15 cm (que correspondrà a 1,5 cm en el dibuix,
d’acord amb l’escala triada per a l’eix X).
j Com que la imatge és virtual, ha d’estar situada darrere del
mirall i ha de ser dreta. Si tenim en compte que la seva
alçada, y9, ha de ser el doble de l’alçada y de l’objecte,
y9 5 2 y 5 2 ? 15 5 30 cm, aleshores podem traçar una recta
b paral.lela a l’eix òptic, per sobre d’aquest, que passi pels
punts y 5 30 cm (3 cm en el dibuix).
j Si ara tracem el segment que va de F (punt focal) al punt on
Veiem que la imatge està situada aproximadament a 14,5 cm
davant del mirall (imatge real), i la seva alçada és d’1,5 m,
aproximadament. La imatge és real, invertida i més gran que
l’objecte.
c) 12 m
Seguim els mateixos criteris que a l’apartat anterior i ara
situem l’objecte a 12 m (12 cm en el dibuix):
la recta a talla el mirall, i perllonguem aquest segment fins
a la recta b, està clar que aquest segment serà la trajectòria
que segueix el raig focal, i, per tant, ens dóna la posició de
la imatge I.
j També podem traçar ara la recta que va del punt de tall de la
recta b i el raig focal anterior, al punt C (centre del mirall).
Aquesta recta ens dóna la posició de l’objecte O.
Tenint en compte aquestes consideracions, fem el dibuix en
paper mil.limetrat:
Observem que la imatge està situada a 22,5 cm del mirall (4,5 cm
en el dibuix), mentre que l’objecte està situat a 11 cm del mirall
(2,2 cm en el dibuix).
La imatge està situada a 8,6 m davant del mirall i la seva
alçada és de 0,6 m 5 60 cm. La imatge és real, invertida i
més petita que l’objecte.
16. Deduïu a quina distància aproximada d’un mirall còncau hem
de situar un objecte per tal que la imatge formada sigui
virtual i d’altura doble a la de l’objecte. Feu-ho considerant
que el mirall té un radi de 44 cm i que l’objecte té una alçària de 15 cm. Determineu també la posició de la imatge.
En primer lloc, calculem la distància focal:
r
45
f 5 — f 5 —— 5 22,5 m
2
2
17. Dibuixeu el diagrama de raigs per obtenir la imatge d’un
objecte d’1,2 m d’alçària quan es col.loca a 4 m d’un mirall
còncau de 5 m de radi. Si el mirall és convex, com serà la
imatge formada pel mateix objecte?
En tots dos casos, la distància focal és:
r
5
f 5 — 5 — 5 2,5 m
2
2
Per representar els raigs fem servir una escala en què 1 m correspon a 1 cm en el dibuix. Efectuem un dibuix per al mirall
concau, i un altre per al mirall convex, tenint en compte les
dades que ens donen i l’escala triada:
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
FÍSICA 1
08
137
b) 4,7 cm de la lent
a) Mirall concau
b) Mirall convex
Veiem que la imatge està situada a 9 cm darrere de la lent
(imatge real), i que té una alçada de 4,5 cm. La imatge és
real, invertida i més gran que l’objecte.
19. Una lent biconvexa de focal 15 cm forma una imatge invertida, real i 3 vegades més gran que l’objecte.
A. La posició de l’objecte és:
Observem que en el cas del mirall concau, la imatge està situada a 6,7 m davant del mirall (imatge real) i té una alçada de
2 m, aproximadament. La imatge és real, invertida i més gran
que l’objecte.
a) 20 cm
En el cas del mirall convex, la imatge està situada 1,5 m darrere
del mirall (imatge virtual) i té una alçada de 0,5 m. La imatge
és virtual, dreta i més petita que l’objecte.
La resposta correcta és la a).
18. Una lent convergent té una distància focal de 3,1 cm. Determineu la posició, l’alçària i les característiques que dóna
d’un objecte de 2,3 cm quan l’objecte està situat a:
Dibuixem la representació en tots dos casos tenint en compte
que 1 cm correspon a 1 cm en el dibuix.
b) 40 cm
c) 60 cm
B. La posició de la imatge és:
a) 20 cm
b) 40 cm
c) 60 cm
La resposta correcta és la c).
Per resoldre aquest exercici farem servir les expressions:
a) 1,5 cm de la lent
y9
s9
—— 5 2——
y
s
1
1
1
—— 1 —— 5 ——
s
s9
f
Veiem que la imatge està situada a 2,7 cm de la lent, davant seu (imatge virtual) i que té una alçada de 4,4 cm. La
imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte.
Si la imatge és invertida, la seva altura y9 és negativa. A més,
és 3 vegades més gran que l’objecte, per tant: y9 5 23 y.
Si substituïm aquesta relació a la primera expressió trobem
que:
y9
s9
y
s9
—— 5 2—— 23 —— 5 2—— y
s
y
s
s9
3 5 —— s9 5 3 s
s
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
138
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
Si substituïm aquesta relació entre s i s9 a la segona expressió, i tenint en compte que f 5 15 cm:
1
1
1
1
1
1
—— 1 —— 5 —— —— 1 —— 5 —— s
s9
f
s
3s
15
4
1
4 ? 15
—— 5 —— s 5 ———— 5 20 cm
3s
15
3
Si s9 5 3 s s9 5 3 ? 20 5 60 cm
20. Una lupa és un instrument òptic que permet ampliar la
mida dels objectes i consisteix en una lent convergent que
té una distància focal petita. Si una lupa té una distància
focal de 3 cm, a quina distància hem de situar un objecte de
0,5 cm si volem obtenir-ne una imatge virtual i 4 vegades
més gran? En aquest cas, on està situada la imatge? Què
passaria si col.loquéssim l’objecte a una distància de 5 cm
de la lupa?
Per resoldre aquest problema, fem servir uns criteris similars als
del problema 19. Les escales que triem ara són:
— En l’eix X, 1 cm correspon a 1 cm en el dibuix.
— En l’eix Y, 1 cm correspon a 2 cm en el dibuix.
j Tracem la recta a paral.lela a l’eix òptic corresponent a l’al-
çada de l’objecte.
j Tracem la recta b paral.lela a l’eix òptic, per sobre d’aquest,
ja que la imatge ha de ser virtual, i, per tant, dreta, corresponent a l’alçada de la imatge.
j Tracem la recta que passa per F i pel punt v9 intersecció en-
tre l’eix de la lent i la recta a: serà la trajectòria que segueix
el raig focal, de manera que el punt de tall I9 amb la recta b
(alçada de la imatge) ens dóna la posició de la imatge.
j Tracem la recta que passa pel vèrtex V de la lent i pel punt I9
anterior, que ens dóna la trajectòria del raig central: el punt
de tall amb la recta a (altura de l’objecte) ens dóna la posició de l’objecte.
Efectuem el dibuix tenint en compte les consideracions anteriors:
Observem que la imatge està situada aproximadament a 7,4 cm
a la dreta de la lent (imatge real), i que té una alçada aproximada de 0,75 cm. La imatge és real, invertida i més gran que
l’objecte.
21. Un projector de diapositives, quin tipus de lent ha de portar? A quina distància de la lent han d’estar les diapositives,
de 2,5 cm d’altura, si volem projectar-les sobre una pantalla
d’1,5 m situada a 2 m de la lent?
Si volem que la imatge es formi sobre la pantalla, és a dir, darrere de la lent, cal que aquesta sigui convergent (o biconvexa).
Per tant, un projector de diapositives porta una lent biconvexa.
La imatge obtinguda per aquests tipus de lents és invertida
respecte l’objecte; així, si volem obtenir una imatge dreta sobre
la pantalla, cal situar l’objecte (la diapositiva en aquest cas)
invertida i, per tant, l’altura y de l’objecte ha de ser negativa:
y 5 22,5 cm 5 20,025 m
i amb una distància focal de la lent que compleixi determinades
condicions que demostrarem a continuació.
No resoldrem aquest problema representant la marxa dels raigs,
ja que hi ha una discrepància molt gran entre l’altura de l’objecte (2,5 cm) i l’altura de la imatge (1,5 m), i hauríem de fer
un dibuix molt desproporcionat. Ho farem aplicant les expressions:
1
1
1
—1—5—
s
s9
f
y9
s9
— 5 2—
y
s
Si volem que la imatge ocupi aproximadament tota la pantalla,
la seva altura y9 ha de ser la de la pantalla:
y9 5 1,5 m
D’altra banda, la pantalla està situada a 2 m de la lent; aquesta
ha de ser la distància s’ entre la lent i la imatge:
s9 5 2 m
Veiem que l’objecte està situat a 2,4 cm de la lent, aproximadament, mentre que la imatge està situada aproximadament a
9,1 cm a la dreta de la lent.
Si col.loquem l’objecte a 5 cm de la lupa, cal fer el diagrama de
raigs amb les mateixes escales que abans, per exemple, i traçar
els raigs focal i central:
Apliquem la segona expressió per obtenir el valor de la distància s que hi ha d’haver entre l’objecte (diapositiva) i la lent:
y9
s9
1,5
2
— 5 2— ———— 5 2— y
s
20,025
s
2 ? 0,025
s 5 ————— 5 0,0333 m 5 3,33 cm
1,5
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
08
FÍSICA 1
Finalment, si apliquem la segona expressió, obtenim la condició que ha de complir la distància focal f de la lent:
1
1
1
1
1
1
— 1 — 5 — ———— 1 — 5 — s
s9
f
0,0333
2
f
139
23. De quantes diòptries ha de ser una lent biconvexa per tal
que la grandària de la imatge sigui el doble que la grandària
de l’objecte, si aquest es troba a 25 cm de la lent?
La lent biconvexa ha de tenir 2 D.
f 5 0,0328 m 5 3,28 cm
Es comprova que la focal de la lent ha de tenir un valor semblant, lleugerament inferior, a la distància objecte-lent, si volem que es donin les condicions adequades de projecció sobre
la pantalla.
22. Una lent divergent té una distància focal de 4,25 cm. Determineu la potència de la lent, i la posició, l’altura i les característiques que dóna de la imatge d’un objecte d’1,4 cm
quan aquest objecte està situat a:
Avaluació del bloc 3
Q1. [Curs 02-03] Dues bombetes B iguals, de tensió nominal
3 V i resistència 20 V, es connecten en paral.lel a una font
de tensió de 6 V i resistència interna negligible. A fi que les
bombetes funcionin a la seva tensió nominal, es connecta
al circuit una resistència R en sèrie, tal com es veu a la figura. Quin ha de ser el valor de R?
Ç56V
Podem usar, en la representació, una escala en què 1 cm correspon a 1 cm en el dibuix.
a) 1,8 cm de la lent
B
Fem el diagrama de raigs tenint en compte les dades que es
donen:
R
B
i
Circuit complet: 6 5 i R 1 — ? 20
2
i
Branca 1 bombeta: 3 5 — ? 20
2
i
u i 5 0,3 A
u
y
u
u R 5 10 V
t
Q2. [Curs 02-03] Determineu la lectura del voltímetre V, al circuit de la figura, sabent que a la resistència de 4 V es dissipen 240 J cada minut.
Observem que la imatge està situada a 1,3 cm davant de la
lent (imatge virtual), i que té una alçada d’1 cm. La imatge
és virtual, dreta i més petita que l’objecte.
b) 6,3 cm de la lent
240 J
——— 5 i 2 ? 4 i 5 1 A
60 s
V4V 5 i ? 4 5 4 V (branca 4 V)
4 V 5 i9 (10 1 10) i9 5 0,2 A (branca 10 V 1 10 V)
Fem el diagrama de raigs:
Lectura de V: V 5 i9 ? 10 5 2 V
4V
10 V
10 V
V
Veiem que la imatge està situada a 2,6 cm davant de la lent
(imatge virtual), i que té una alçada de 0,6 cm. La imatge
és virtual, dreta i més petita que l’objecte.
Q3. Una ona harmònica es propaga per una corda tensa. Si la
freqüència es redueix a la meitat,
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
140
08
SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE
a) el període es redueix a la meitat.
b) La caiguda de tensió mesurada pel voltímetre V.
b) la velocitat de propagació es duplica.
V 5 12 2 0,4 ? 1 5 11,6 V
c) la longitud d’ona es duplica.
c) El valor de la resistència r.
La resposta correcta és la c).
AV 5 0 a la malla principal
1,5 1 A1 ? r 2 11,6 5 0 r 5 25,25 V
Si es tracta d’ona ona transversal,
a) en un instant donat, tots els punts de la corda vibren
amb la mateixa velocitat.
V
b) l’ona es propaga a la velocitat de 340 m/s.
c) l’ona vibra en una direcció que és perpendicular a la de
propagació.
12 V, 1 V
La resposta correcta és la c).
6V
Q4. En una experiència de laboratori fem incidir un raig de llum
vermella amb diferents angles d’incidència, i, sobre una làmina de vidre; mesurem els corresponents angles de refracció, r, i n’obtenim la gràfica adjunta. Quant val l’índex de
refracció del vidre per a la llum vermella? A quina velocitat
es propaga la llum vermella en aquest vidre?
Dades: c 5 3 ? 108 m/s.
A2
A1
r
10 V
A3
P2. a) [Curs 03-04] En l’esquema inferior, dibuixeu la imatge
de la fletxa produïda per la lent fent la marxa de raigs
corresponent. F i F9 són els focus de la lent.
1,00
0,75
sin i
F
F9
0,50
0,25
0,00
0,00
0,16
0,36
0,54
0,72
0,90
sin r
n1 sin i 5 n2 ? sin r i
y n2 és el pendent de la recta
t
n1 5 1 (aire)
Repetiu el dibuix per al cas que la fletxa se situï entre el
focus i la lent, com en l’esquema inferior.
0,75 2 0
0,54 2 0
j n2 5 ————— 5 1,39
F
F9
c
c
j n2 5 —— v2 5 —— 5 2,16 ? 108 m/s
v2
n2
P1. [Curs 02-03] Al circuit de la figura, l’amperímetre A2 marca
una intensitat de 0,25 A. Calculeu:
a) La intensitat mesurada pels amperímetres A1 i A3.
A2 5 0,25 A V6V 5 6 ? 0,25 5 1,5 V
1,5 V
A3 5 ——— 5 0,15 A
10 V
A1 1 A2 1 A3 5 0,4 A
b) Enumereu les propietats (real o virtual, dreta o invertida, major o menor) de la imatge que ens retorna una
cullera per la part còncava.
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
lOMoARcPSD|7143541
08
FÍSICA 1
Per a demostrar-les, dibuixeu la marxa dels raigs i la
imatge que s’obtè de la fletxa en el mirall esfèric còncau
de la figura. El punt C és el centre de curvatura del mirall.
141
c) Enumereu les propietats (real o virtual, dreta o invertida, major o menor) de la imatge que ens retorna una
cullera per la part convexa. Per demostrar-les, dibuixeu
la marxa dels raigs i la imatge que s’obtè de la fletxa en
el mirall esfèric convex de la figura. El punt C és el centre de curvatura del mirall.
c
c
La imatge és:
j Real.
j Invertida.
j Virtual.
j Més gran que l’objecte.
j Dreta.
j Més petita que l’objecte.
objecte
imatge
C
F
objecte
Descarregat per Ramon Espinosa ([email protected])
imatge F
C