Automorfismos de Octaedro Sea GC la gráfica plana de un cubo y GO la gráfica dual de GC , es decir, si C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 son las caras de GC , entonces C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 son los vértices de GO , y (Ci , Cj ) es una arista de GO si y solo si las caras Ci y Cj tienen una arista en común en GC . Podemos considerar a GO plana. Theorem 1. GO es la gráfica plana del octaedro. Consideremos los grupos de automorfismos de GC y GO , Aut(GC ) y Aut(GO ) respectivamente. Se probará en el Teorema 4 que estos grupos son ismomorfos. Lema 2. Sea f : X −→ Y una función inyectiva, entonces: (i) Si U, V son subconjuntos de X tales que f (U ) = f (V ), se tiene que U = V . (ii) Si U es finito y |U | = |V |, entonces f es sobreyectiva. Lema 3. Sea G una gráfica f : V (G) −→ V (G), si f es biyectiva y para cualquier arista (u, v) de G se tiene que (f (u), f (v)) también es una arista de G, entonces f es un automorfismo de G. Theorem 4. Aut(GC ) y Aut(GO ) son isomorfos. Dem. Sea φ : Aut(GC ) −→ Aut(GO ) definida como sigue: para cada α ∈ Aut(GC ), φ(α) = α e de tal forma que α e(Ci ) = Cj si y solo si α(V (Ci )) = V (Cj ). Entonces tenemos las siguientes afirmaciones: 1. Para cada α elemento de Aut(GC ) tenemos: (a) α e es una función de V (GO ) en V (GO ). Si Ci es un vértice de GO , entonces Ci es una cara de GC , entonces α(V (Ci )) es el conjunto de vértices de alguna cara de GC , digamos Cj , ası́ α(V (Ci )) = V (Cj ), lo que implica que α e(Ci ) = Cj y Cj es un vértice de GO . (b) α e es biyectiva. Supongamos que α e(Ci ) = α e(Cj ), entonces para alguna cara Ck de GC , α(V (Ci )) = V (Ck ) = α(V (Cj )). Como α es inyectiva, el (i) del Lema 2 implica que V (Ci ) = V (Cj ). Como Ci y Cj son caras de GC , entonces son la misma cara, es decir Ci = Cj , por lo que α e es inyectiva. Por otro lado, como V (GO ) es finito, entonces por el (ii) del Lema 2, se tiene que α e también es sobreyectiva. 1 (c) α e ∈ Aut(GO ). Primero veamos que si (Ci , Cj ) es una arista de GO , entonces (e α(Ci ), α e(Cj )) también es una arista de GO . Si (Ci , Cj ) es una arista de GO , entonces en GC existe una arista (x, y) que es común a las caras Ci y Cj . Como α ∈ Aut(GC ), entonces α preserva adyacencias, ası́ (α(x), α(y)) es una arista en GC que además es común a las caras de GC con conjuntos de vértices α(V (Ci )) y α(V (Cj )), esto implica que α e(Ci ) y α e(Cj ) son adyacentes en GO . Ahora, por el Lema 3 se tiene que α e es un automorfismo de GO . 2. φ es inyectiva. Primero veremos que φ es inyectiva. Sea α ∈ Kernel(φ), entonces φ(α) = α e = idAut(GO ) . Veremos que α = idAut(GC ) . Sea u un vértice de GC . Como GC es la gráfica plana del cubo, entonces u pertenece a exactamente 3 caras de GC , digamos C1 , C2 , C3 . Como α ∈ Aut(GC ), entonces α(u) pertenece a exactamente 3 caras de GC , a saber, las que tienen como conjuntos de vértices a α(V (C1 )), α(V (C2 )) y α(V (C3 )); es decir α(u) pertenece a las caras α e(C1 ), α e(C2 ) y α e(C3 ). Como α e = idAut(GO ) , entonces α e(C1 ) = C1 , α e(C2 ) = C2 y α e(C3 ) = C3 . Ası́, u y α(u) son vértices que pertenecen a las mismas tres caras de GC , pero recordemos que en el cubo, ası́ como en su gráfica plana, cualesquiera tres caras a lo más tienen un solo vértice en común, por lo que α(u) = u. Concluı́mos que α = idAut(GC ) . Por lo tanto φ es inyectiva. 3. φ es sobreyectiva. 4. Si α y β son elementos de Aut(GC ), entonces φ(α ◦ β) = φ(α) ◦ φ(β). Por lo anterior concluimos que φ es un isomorfismo de grupos, es decir Aut(GC ) y Aut(GO ) son isomorfos. 2