perfilometria

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
COORDINACIÓN GENERAL ACADÉMICA
Coordinación de Bibliotecas
Biblioteca Digital
La presente tesis es publicada a texto completo en virtud de que el autor
ha dado su autorización por escrito para la incorporación del documento a la
Biblioteca Digital y al Repositorio Institucional de la Universidad de Guadalajara,
esto sin sufrir menoscabo sobre sus derechos como autor de la obra y los usos
que posteriormente quiera darle a la misma.
Av. Hidalgo 935, Colonia Centro, C.P. 44100, Guadalajara, Jalisco, México
[email protected] - Tel. 31 34 22 77 ext. 11959
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS
DIVISIÓN DE ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA
Reconstrucción 3D de objetos, empleando proyección de patrones binarios y
algoritmos de corrimiento de fase
TESIS DE MAESTRÍA
que para obtener el título de
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN
Presenta
Adriana Silva Mejía
DIRECTOR DE TESIS
Dr. Jorge Luis Flores Núñez
Ca-DIRECTOR DE TESIS
Dr. Ricardo Legarda Sáenz
Guadalajara, Jalisco, febrero de 2015
UN LVERS lD A D DE G UA DALAJARA
CENTRO UNIVE l SITAR IO DE
I E CIAS EXACTAS 1: I NCE NIEIÚAS
Sl C..: R[ íA RI,\ AC11i1[Mlt",\
CUCEI/CPDOC/428/2014
I.S .C. Adriana Silva Mejía
Presente
Por medio de la presente me permito comunicarle que fue aceptado por la
tema de tesis solicitado a esta
Junta Académica
correspondiente , el
Coordinación el día 26 de marzo de 2014 , bajo el título:
"RECONSTRUCCIÓN 30 DE OBJETOS EMPLEANDO PROYECCIÓN DE
PATRONES BINARIOS Y ALGORITMOS DE CORRIMIENTO DE FASE"
mismo que usted desarrollará, con objeto de dar lugar a los trámites conducentes
a la obtención de grado de:
Maestra en Ciencias en Ingeniería Electrónica y Computación
As í mismo le comunico que para el desarrollo de la citada tesis le ha sido
designado como Director al Dr. Jorge Luis Flores Núñez.
Sin otro particular de momento, aprovecho la ocasión para enviarle un cordial
saludo.
Atentamente
"Piensa y Trabaja"
Dr. Enrique Miche
Coordinador de Program
Reg istro 042/2014
EMV/sijo
Blvd. Man:d1m., Gan:rn 8arrag1l11 ;J\ 421 ~...,q Cnltm.l:i O lím¡.m :n, C P 44430
(;uodnla,1ni;, . Jalisco M,',1rn. rct-.
1~s2¡ (.l.\)
WWV• . CUl.'.Cl
uclg ,mx
l.'78 5QOO. Ex, 17,156
UNIVERSIDAD DE Ü UADALAJARA
CENTRO UN IVERSITARIO DE CiENC LAS E.XACTAS E INGENJERÍAS
'\ECRETARIA ACADÉM ICA
CUORDINACl01' DE PROGRAMAS DOCENTES
CUCEI/CPDOC/342-1/2015
C. Adriana Silva Mejía
Presente
Por medio del presente hago de su conocimiento que es de aceptarse la inclusión
como Co-director de tesis, al Dr. Ricardo Legarda Sáenz, que solicitó el Director de
tes is Dr. Jorge Luis Flores Núñez para la conclusión de la misma, cuyo título es:
"Reconstrucción 3D de objetos, empleando proyección de patrones binarios y
algoritmos de corrimiento de fase", que usted desarrollará para la obtención del grado
de Maestra en Ciencias en Ingeniería Electrónica y Computación".
Sin otro particular de momento aprovecho la ocasión para enviarle un cordial
saludo.
Atentamente
"Piensa y Trabaja"
Guadalajara , Jal. , a 16 de febrero de 2015
: l<fRO UN IVER SITA RIO DE
CIENCIASEXACTAS EINGENIERIAS ~~~
COORDINA CIÓN ,.-,....,,.-;,--.,.....-,
DE PROGRAMAS
DOCENTE S
Coordinador de Programas Docentes
Registro 042/2014
c.c.p. archivo
EMV/sijo
Bil·d Marce!irw García Barrug,ín Hl 42l. ~,;q Calzaua Olimpicn. C.P. 444.10.
(luadalainrn, Jalisco . México. Tek [-'-52] (.1.1) IJn 5900. l' xt. 27456
v-\'VW.cuc~i.udg. mx
----- ----
DR. ENRIQUE MICHEL VALDIVIA
COORDINADOR DE PROGRAMAS DOCENTES, CUCEI
PRESENTE
Por medio de la presente me permito hacer de su conocimiento que una vez realizada la
revisión final y habiendo efectuado las observaciones pertinentes al trabajo de tesis
denominado:
"RECONSTRUCCIÓN 3D DE OBJETOS, EMPLEANDO PROYECCIÓN DE
PATRONES BINARIOS Y ALGORITMOS DE CORRIMIENTO DE FASE" .
Que dicho trabajo ha sido elaborado por el candidato C. Adriana Silva Mejía,
CÓDIGO 212768117, para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA
ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN y que se considera apto para su impresión y
presentación .
Sin otro particular, agradecemos su atención y enviamos un cordial saludo.
AT E NT AMENTE
"PIENSAYTRABAJA"
Guadalajara, Jalisco,a 17 de Febrero del _2014
c:=:----?: /411"?
~ /
Dr. Jorge Luis Flores Núñez
Director
- &1hne3.
ntonio Muñot9'ómez
Legarda Saénz
UNfVERSIDAD DEGUADALAJARA
Centro Univer-sitano de Ciencias Exactas e Ingenierías
División de Electrónica y Computación / Departamento de Electrónica
Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica y Computación
CUCEI/MCIEC/048/2015
DR. ENRIQUE MICHEL VALDIVIA
COORDINADOR DE PROGRAMAS DOCENTES, CUCEI
PRESENTE
Por este medio me permito hacer de su conocimiento que una vez realizada la
revisión final y habiendo efectuado las observaciones pertin entes al trabajo de tesis
denominado:
"Reconstrucción 3D de objetos, empleando construcción de patrones binarios y algoritmos de corrimiento de fase"
Elaborado por el candidato C. Adriana Silva Mejía, CÓDIGO 212768117, para la obtención
del grado de MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA ELECTRÓNICA Y
COMPUTACIÓN, la Junta Académica la considera apta para su impresión y presentación.
Se anexa una copia al presente oficio.
Sin otro particular, agradecemos su atención y enviamos un cordial saludo.
ATENTAMENTE
"PIENSA Y TRABAJA"
Guadalajara, Jalisco, a 18 de febrero del 2015
JUNTA ACADÉMICA DE LA MAESTRÍA EN es EN INGE IER A ECTRÓNICA y COMPUTACIÓN
DR. GUILLERMO GARCIA TORALES
DRA. ALMA YOLANDA ALANIS GARCIA
DR. ERIK VALDEMAR CUEVAS JIMÉNEZ
DR. JORGE RIVERA DOMINGUEZ
DRA. SUSANA ORTEGA CISNEROS
c.c.p Archivo
·
COORDlNACIÓN DE LA
MAESTRÍA F.N CTENCIAS F.N INGENmlÚA
Blvd Marcelino García Barraga~-A!f:~~~I€~J.i~m9J~430 Guadalajara, Jal, México
Tel (33) 1378 5900 ext 27650
httpJ/www.cucei,udg .mxh1aestrias/electron1cai
[email protected]
1
AGRADECIMIENTOS
A mis padres:
Gracias por apoyarme y brindarme su cariño incondicional en todo momento. En esta ocasión,
quiero agradecerles especialmente por haber inculcado en mí la mentalidad de superación
constante y enseñarme que sólo a través del trabajo y esfuerzo se puede alcanzar dicha
superación.
A mis hermanos y familiares:
Gracias por siempre alentarme a seguir adelante sin importar las circunstancias.
A mi Director de tesis:
Gracias Dr. Jorge Luis Flores Núñez por su confianza, enseñanza y apoyo, los cuales han sido
de suma importancia en la realización de este trabajo de tesis. Así mismo, le agradezco todos y
cada uno de los consejos que me ha brindado, los cuales me han sido útiles tanto en lo académico
como en lo personal.
A mi Codirector de tesis:
Gracias al Dr. Ricardo Legarda Sáenz por apoyarme con sus conocimientos, experiencia y
paciencia, los cuales han sido de gran importancia para poder terminar con éxito este trabajo de
investigación.
Al Dr. Guillermo García Torales:
Gracias por sus valiosos consejos tanto en lo académico como en lo personal, así mismo, gracias
por alentarme constantemente a adquirir nuevos conocimientos.
A mis compañeros de UMOE:
Gracias por su apoyo y amistad durante estos años.
A la Universidad de Guadalajara:
Gracias por el apoyo y soporte académico que me brindó durante el transcurso de la maestría.
AlCONACYT:
Gracias por el apoyo económico que recibí a lo largo de mis estudios de maestría
TABLA DE CONTENIDO
LISTA DE FIGURAS ......................................................................................................................... XV
LISTA DE TABLAS ......................................................................................................................... XIX
RESUMEN .......................................................................................................................................... XXI
CAPÍTULO l. INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 1
1.1 Descripción del problema ................................................... ....... .. ...... .. ...... .. ...... .. ..... 1
1.1.1 Gamma de los dispositivos de visualización de entrada y salida ................................................ 14
1.2 Objetivos ................................................................................................................. 19
1.2.1 Objetivo general ............ ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... 19
1.2.2 Objetivos particulares ................................................................................................................. 19
1.3 Estructura de la tesis ........... .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... .. ...... ..... 20
CAPÍTULO 2. CORRIMIENTO DE FASE ............................................................................. 21
2.1 Introducción ............................................................................................................ 21
2.2 Algoritmos de corrimiento de fase .......................................................................... 22
2.2.1 Algoritmo de tres pasos .............................................................................................................. 23
2.2.2 Algoritmo de cuatro pasos .......................................................................................................... 25
2.3 Algoritmos de desenvolvimiento de fase ................................................................ 26
2.3.1 Algoritmo de desenvolvimiento de fase de ltoh ......................................................................... 28
2.4 Triangulación .......................................................................................................... 30
2.5 Calibración .............................................................................................................. 32
CAPÍTULO 3. GENERACIÓN DE LOS PATRONES PWM Y CONVERSIÓN
PWM-SINUSOIDAL ......................................................................................................................... 35
3.1 Introducción ............................................................................................................ 35
3.2 Generación de patrones binarios mediante PWM ................................................... 36
3.2.1 Patrones PWM generados empleando series dobles de Fourier .................................................. 38
3.3 Filtrado digital ......................................................................................................... 44
3.3.1 Características de la transformada de Fourier ............................................................................. 45
3.3.2 Filtros pasa bajas ......... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... 46
XIII
3 .3 .3 Filtros pasa altas ......................................................................................................................... 48
3.4 Resolución de los sistemas de proyección de franjas .............................................. 50
3 .4 .1 Selección y posicionamiento de los elementos del arreglo experimental ................................... 50
3.4.2 Resolución del sistema de proyección de franjas ....................................................................... 52
CAPÍTULO 4. RESULTADOS ..................................................................................................... 55
4.1 Introducción ............................................................................................................ 55
4.2 Arreglo experimental .............................................................................................. 56
4.3 Resultados ............................................................................................................... 59
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO ......................................... 87
REFERENCIAS ......... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ............ 89
APÉNDICE A ........................................................................................................................................ 95
XIV
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Clasificación de los métodos no invasivos para recuperación de dimensiones de
objetos.
Figura 1.2 Tipos de patrones estructurados de franjas clasificados con base en el número de
proyecciones necesarias para lograr la reconstrucción.
Figura 1.3 Curva de gamma típica de los sistemas de visualización de imágenes, , =
2.5.
Figura 1.4 Procedimiento para la captura de los patrones de franjas.
Figura 2.1 Variación de la intensidad con la fase de referencia.
Figura 2.2 Fase envuelta y fase desenvuelta. (a) Visualización 3D de un mapa de fase envuelto.
(b) Visualización 3D del mapa de fase mostrado en (a) tras la operación de desenvolvimiento
de fase. (c) Corte de línea de la columna 410 del mapa de fase mostrado en (a). (d) Corte de
línea de la columna 41 O del mapa de fase mostrado en (b ).
Figura 2.3 Relación entre la fase de los patrones de franja y la altura del objeto.
Figura 2.4 Representación esquemática del arreglo de calibración.
Figura 3.1 Generación de señal PWM. (a)-(b) línea en rojo: señal de referencia,
señal portadora,
c(t),
r(t),
línea azul:
diente de sierra y triangular, respectivamente. (c)-(d) Señal PWM
resultante de (a) y (b), respectivamente. (e)-(f) Espectro de amplitud de (c) y (d),
respectivamente.
Figura 3.2 Espectro de amplitud de patrones PWM. (a)-(b) Espectro de amplitud de PWM
Unipolar Triling Edge Modulation y PWM Unipolar Double Edge Modulation, considerando
Ji= 16
y fe= 8fi, respectivamente. (c)-(d) Espectro de amplitud de PWM Unipolar Triling
Edge Modulation y PWM Unipolar Double Edge Modulation, con
Ji= 16
y fe= lüfi,
respectivamente.
Figura 3.3 Comparación entre diferentes frecuencias portadoras en patrones PWM. Primera fila:
línea azul señal sinusoidal como señal de referencia, r(x), línea roja señal triangular como señal
portadora,
e( x),
(a) fe= 6fi, (b) fe= lüfi y (c) fc = 12fi. Segunda fila: (d)-(f) patrón PWM
XV
resultante de (a), (b) y (c), respectivamente. Tercera fila: (g)-(i) espectro de amplitud de (d), (e)
y (f), respectivamente.
Figura 3 .4 Procedimiento para filtrar una señal en el dominio de la frecuencia.
Figura 3.5 Aplicación de filtro Gaussiano pasa bajas a un patrón PWM. (a) PWM Unipolar
Double Edge Modulation, con periodo fundamental p = 64 píxeles en la señal de referencia,
periodo fundamental p = 8 píxeles en la señal portadora. (b )-(c) Línea en rojo: espectro de
amplitud de (a), línea en azul: función de transferencia del filtro Gaussiano pasa bajas con
D0
= 20 píxeles y D 0 = 30 píxeles, respectivamente. (d)-(e) Patrones en niveles de grises
resultado de la aplicación de los filtros Gaussianos pasa bajas mostrados en (b) y (c),
respectivamente. (f)-(g) Corte de línea horizontal en la dirección
x
de los patrones mostrados
en (d) y (e), respectivamente.
Figura 3.6 (a) Discretización espacial variable. (b) Función de transferencia de frecuencia
espacial variable.
Figura 4.1 Arreglo experimental. (a) Vista lateral de la configuración del arreglo experimental.
(b) Vista frontal (sin la pantalla de referencia) de la configuración del arreglo experimental.
Figura 4.2 Patrones sinusoidales. (a) Patrón de franjas sinusoidal generado empleando la
Ec. (2.1 ). (b) Captura de la proyección de (a) sobre el plano de referencia. (c)-( d) Corte de línea
vertical de la columna 640 del patrón mostrado en (a) y (b), respectivamente. (e)-(f) Espectro
de frecuencia de (a) y (b ), respectivamente.
Figura 4.3 Tipos de patrones PWM. (a) PWM diente de sierra. (b) PWM triangular.
(c) PWM UTEM. (d) PWM UDEM. (e), (f), (g) y (h) Corte de intensidad a lo largo de una línea
vertical en la columna 640 de (a), (b), (c) y (d), respectivamente.
Figura 4.4 Patrones PWM capturados. Primera columna; (a) PWM diente de sierra.
(d) PWM triangular. (g) PWM UTEM. G) PWM UDEM. Segunda columna; (b), (e), (h) y (k)
corte de intensidad a lo largo de una línea vertical en la columna 640 de (a), (d), (g) y G),
respectivamente. Tercer columna; (c), (f), (i) y (1) espectro de amplitud de la transformada de
Fourier de (a), (d), (g) y G), respectivamente.
Figura 4.5 Patrones filtrados. (a), (d), (g) y
G) patrón de intensidad obtenido tras la aplicación
de filtro Gaussiano pasa bajas con D 0 = 16 píxeles a los patrones PWM diente de sierra,
XVI
PWM triangular, PWM UTEM y PWM UDEM, respectivamente. (b), (e), (h) y (k) corte de
intensidad a lo largo de una línea vertical en (a), (d), (g) y G), respectivamente. (c), (f), (i) y (1)
Espectro de amplitud de la transformada de Fourier de (a), (d), (g) y G), respectivamente.
Figura 4.6 Codificación de los patrones de franjas PWM UDEM en una imagen RGB.
(a) 11 en el canal rojo. (b) 12 en el canal verde. (c) 13 en el canal azul. (d) Patrón RGB resultante.
Figura 4.7 Reconstrucción del plano de referencia empleando patrones PWM UDEM y
algoritmo de PS de 3 pasos. (a) Imagen capturada. (b) Visualización en niveles de grises del
plano de fase envuelto recuperado. (c) Corte de línea vertical en la columna 640 de (b ). (d)
Visualización en niveles de grises del plano de fase desenvuelta recuperado. (e) Corte de línea
vertical en la columna 640 de (d).
Figura 4.8 Fase desenvuelta obtenida y ajuste por regresión lineal de la misma. Línea azul
corresponde a la fase desenvuelta, línea roja corresponde al ajuste de por regresión lineal.
(a), (b), (c) y (d) visualización del corte de línea vertical en la columna 640 y renglones
384 a 634 de los valores de fase de línea desenvuelta y valores por ajuste de regresión lineal
calculados tras procesar los patrones PWM dientes de sierra, PWM triangulares, PWM UTEM
y PWM UDEM, respectivamente.
Figura 4.9 Codificación de los patrones de franjas PWM UDEM en dos imágenes RB. (a) 11 en
el canal rojo. (b) 12 en el canal azul. (c) Patrón RB resultado de insertar (a) y (b) en una imagen
RGB. (d) 13 en el canal rojo. (e) 14 en el canal azul. (d) Patrón RB resultado de insertar (d) y
(e) en una imagen RGB.
Figura 4.10 Reconstrucción del plano de referencia empleando patrones PWM UDEM y
algoritmo PS de 4 pasos. (a)-(b) Imágenes capturadas. (c) Visualización en niveles de grises del
plano de fase envuelto recuperado. (d) Corte de línea vertical en la columna 640 de (c).
(e) Visualización en niveles de grises del plano de fase desenvuelta recuperado. (f) Corte de
línea vertical en la columna 640 de (e).
Figura 4.11 Reconstrucción del plano de fase del objeto empleando patrones PWM UDEM y
algoritmo de PS de 3 pasos. (a) Imagen capturada. (b) Visualización en niveles de grises del
plano de fase envuelto recuperado. (c) Corte de linea vertical en la columna 640 de (b ).
XVII
(d) Visualización en niveles de grises del plano de fase desenvuelta recuperado. (e) Corte de
linea vertical en la columna 640 de (d).
Figura 4.12 Comparación entre los modelos 3D obtenidos tras implementar el algoritmo de PS
de 3 pasos y proyección de imágenes RGB. (a) Patrones binarios tipo PWM UDEM en foco y
filtros pasa bajas. (b) Patrones binarios PWM UDEM proyectados fuera de foco. (c) Patrones
de franjas sinusoidales.
Figura 4.13 Reconstrucción del plano de fase del objeto empleando patrones binarios PWM
UDEM codificados en dos imágenes RB y el algoritmo de PS de 4 pasos. (a)-(b) Imágenes
capturadas. (c) Visualización en niveles de grises del plano de fase envuelto recuperado.
(d) Corte de linea vertical en la columna 640 de (c). (e) Visualización en niveles de grises del
plano de fase desenvuelta recuperado. (f) Corte de linea vertical en la columna 640 de (e).
Figura 4.14 Reconstrucción 3D empleando PS de 4 pasos y patrones de franjas codificados en
dos imágenes RB: (a) PWM UDEM y filtrado digital. (b) PWM UDEM proyectados
desenfocados. (c) Patrones sinusoidales.
Figura 4.15 Patrones de intensidad PWM UDEM correspondientes al algoritmo de PS de 3
pasos. (a) 11 con fase inicial 01 =-21r/3. (b) 12 con fase inicial 01 =0. (c) 13 con fase inicial
0¡ = 21r /3.
Figura 4.16 Modelos 3D generados. Primera columna, algoritmo de PS de 3 pasos con;
(a) PWM UDEM aplicando filtrado digital. (c) PWM UDEM proyección fuera de foco.
(e) Sinusoidales. Segunda columna, algoritmo de PS de 4 pasos con; (b) PWM UDEM aplicando
filtrado digital. (d) PWM UDEM proyección fuera de foco. (f) Sinusoidales.
Figura 4.17 Reconstrucciones 3D obtenidas tras aplicar el método propuesto sin binarizar las
imágenes. (a) Algoritmo de PS de 3 pasos e imagen RGB. (b) Algoritmo de PS de 4 pasos e
imágenes RB. (c) Algoritmo de PS de 3 pasos y proyecciones secuenciales. (d) Algoritmo de
PS de 4 pasos y proyecciones secuenciales.
XVIII
LISTA DE TABLAS
Tabla 3.1 Dimensiones fisicas de los sensores CCD comerciales.
Tabla 4.1 Características principales de la cámara Thorlabs DC-224C.
Tabla 4.2 Características principales de la lente MVL-25.
Tabla 4.3 Características principales del proyector ViewSonic PJD7820HD.
Tabla 4.4 Resolución del sistema de experimentación.
Tabla 4.5 Varianza máxima obtenida en los cuatro tipos de patrones PWM, tras la
implementación del algoritmo de PS de 3 pasos y proyección de patrones PWM en una imagen
RGB.
Tabla 4.6 Varianza máxima obtenida en los cuatro tipos de patrones PWM, tras la
implementación del algoritmo de PS de 4 pasos y proyección de patrones PWM en dos imágenes
RB.
Tabla 4.7 Altura y varianza máximas obtenidas tras aplicar el algoritmo de PS de 3 pasos,
empleando imágenes RGB.
Tabla 4.8. Altura y varianza máxima calculada tras la implementación del algoritmo de PS de 4
pasos y proyección de imágenes RB.
Tabla 4.9 Altura máxima y varianza máxima obtenidas tras la implementación de los algoritmos
de PS de 3 y 4 pasos, en conjunto con la proyección secuencial de patrones de franjas PWM
UDEM y sinusoidales.
Tabla 4.10 Altura y varianza máximas calculadas empleando algoritmos de PS de 3 y 4 pasos,
en conjunto con patrones de franjas binarios PWM UDEM, proyectados tanto en imágenes RGB
como en imágenes secuenciales y sin aplicar binarización a los patrones capturados.
XIX
RESUMEN
El objetivo principal de este trabajo ha sido obtener las medidas de la superficie y generar el
modelo tridimensional de un objeto estático mediante la proyección de patrones binarios de
franjas generados por Modulación de Ancho de Pulso (PWM) y la utilización de algoritmos de
corrimiento de fase.
Debido a que las mediciones y modelos 3D generados por sistemas de proyección de
patrones de intensidad, e.g patrones sinusoidales de franjas, son afectadas por la no linealidad
de los sistemas de visualización de imágenes empleados durante el proceso de adquisición de
éstas. Para aminorar el efecto de la no linealidad de dichos dispositivos, se diseñaron patrones
binarios de franjas tipo PWM generados bajo la implementación de series de Fourier, los cuales
fueron proyectados y capturados en foco. Después, por medio de la aplicación de filtros digitales
pasa bajas y pasa altas las capturas fueron convertidas a patrones de franjas "cuasi-sinusoidales",
lo que permitió la aplicación de algoritmos de corrimiento de fase para generar el modelo 3D y
obtener las mediciones del objeto. Durante este proceso se usó un proyector comercial para la
proyección de los patrones de franjas, una cámara CCD para la captura de los mismos y una
computadora para la generación y procesamiento de éstos.
Como resultado se obtuvo un método de generación de modelos 3D que emplea algoritmos
de corrimiento de fase y patrones binarios tipo PWM y que no requiere desenfoque manual
durante la proyección o captura de los patrones, el cual es consistente y repetible, además
presenta de forma teórica una resolución de 1 mm.
Palabras clave: Modelos tridimensionales, patrones de franjas tipo PWM, algoritmos de
corrimiento de fase, filtros pasa bajas y pasa altas.
XXI
CAPÍTULO l.
1.1
INTRODUCCIÓN
Descripción del problema
A lo largo de la historia, el ser humano siempre ha tenido la necesidad de analizar y medir los
elementos que están a su alrededor, esto con la finalidad de comprender, reproducir y
perfeccionar el funcionamiento de éstos, todo con el propósito de optimizar el ambiente que lo
rodea y así hacer más confortable su vida cotidiana.
En la actualidad, la metrología es la rama de la fisica que estudia las mediciones de las
magnitudes garantizando su normalización mediante la trazabilidad. En particular, la metrología
dimensional es la encargada del estudio científico de las mediciones de objetos y espacios, es
decir, la medición de todas aquellas propiedades que se determinen mediante la unidad de
longitud, como ejemplos distancia, posición, diámetro, redondez, rugosidad, etc.
En los últimos 30 años; el interés en la metrología dimensional ha aumentado enormemente
lo que ha traído como consecuencia un gran desarrollo en los métodos para obtener de forma
exacta y precisa las mediciones de diversos objetos, así como generar modelos tridimensionales
(3D) de los mismos. Todo este desarrollo e interés se debe a que estos modelos 3D son
empleados cada vez con mayor frecuencia en diversas áreas de la industria (Chung et al. 2014;
Devarakota et al. 2005; Poncet et al. 2007).
Algunas áreas donde los modelos 3D se emplean de forma regular son: medicina,
ingeniería inversa, deporte de alto rendimiento, etc. En medicina, las técnicas de reconstrucción
3D se emplean en el proceso de diagnóstico, diseño de terapias, prótesis y cirugías, así como
en la ejecución de estas últimas. En la ingeniería inversa, las técnicas de reconstrucción 3D
son empleados para obtener las dimensiones y características topográficas de los objetos
bajo estudio y así comprender y mejorar el funcionamiento de los mismos. En el deporte
de alto rendimiento, las técnicas de reconstrucción 3D son usados en los estudios
antropométricos, los cuales sirven para analizar y mejorar la técnica empleada por los atletas.
1
Existen diversas técnicas o métodos de obtener la información necesaria para la generación
de los modelos tridimensionales de un objeto. Estas técnicas se clasifican en dos grandes grupos
considerando la interacción que se tiene entre los dispositivos empleados para la medición y el
objeto bajo estudio durante el proceso de medición. Así podemos clasificar: métodos invasivos
y métodos no invasivos.
Los métodos invasivos son aquellos en los que la obtención de datos se lleva a cabo por
medio de contacto fisico del instrumento empleado para la medición y el objeto bajo prueba,
por lo general se recurre a una punta o estilete que se encarga de recorrer la superficie del objeto
y enviar las coordenadas a un archivo. Un ejemplo de tecnología que funciona bajo este principio
son las máquinas de medición por coordenadas (CMM por sus siglas en inglés, coordinate
measuring machine). Esta tecnología es mayormente usada en la industria manufacturera, su
resolución varía dependiendo del modelo empleado. La mayoría de CMMs tienen una
resolución en el rango de los micrómetros. Una de las ventajas que presenta es que no se
requieren modelos matemáticos para obtener las mediciones, aunque sus precios pueden llegar
a ser elevados y se requiere que el objeto bajo estudio tenga cierto grado de rigidez para que no
se deforme al momento de ser tocado por el estilete. El tiempo requerido para la adquisición de
datos puede considerarse alto en comparación con otros métodos de escaneo, por ejemplo los
métodos ópticos.
Por su parte, los métodos no invasivos son aquellos que no requieren interacción fisica entre
el objeto y/o los dispositivos empleados para obtener las mediciones. Estos métodos se
clasifican en magnéticos, acústicos y ópticos. Debido al desarrollo de sistemas de proyección,
láseres, así como la mejora constante de hardware y software en los equipos de cómputo, los
métodos ópticos se han convertido en la primera opción para obtener las mediciones deseadas y
generar los modelos 3D de los objetos bajo prueba (F. Chen et al. 2000; Yoshizawa 2008).
2
Métodos no invasivo
+
,,
Métodos magnéticos
Métodos ópticos
+
Métodos acústicos
1
1
+
+
Pasivos
Activos
Visión estereoscópica
Triangulación láser
Fotogrametría
Tiempo de vuelo
Forma a partir de "X"
In terferometría
•
•
Moiré
Proyección de franjas
Figura 1.1 Clasificación de los métodos no invasivos para recuperación de dimensiones de objetos.
En la Fig. 1.1 se observa un diagrama de bloques que muestra las tres principales categorías
de los métodos no invasivos para la medición y generación de modelos 3D de objetos. En
particular las técnicas ópticas se sub-clasifican en métodos activos y métodos pasivos. En los
métodos pasivos la reflectividad del objeto y la iluminación de la escena se usan para obtener la
información del objeto bajo prueba (Sansoni et al. 2009), mientras que en los métodos activos
se hace intervenir una fuente de luz específica para determinar las coordenadas 3D deseadas
(Cristina et al. 2008).
A continuación se proporciona una breve explicación del funcionamiento de algunas de las
técnicas ópticas existentes empleadas para obtener los modelos 3D de objetos.
3
Visión estereoscópica
El objetivo de este método es generar el modelo 3D completo de un objeto a partir de varias
imágenes tomadas desde posiciones conocidas (Seitz et al. 2006). Para lograr esto, generalmente
se emplean dos o más cámaras a fin de capturar la misma escena desde posiciones diferentes.
En general, la secuencia de pasos a seguir para lograr la reconstrucción bajo este método es: (i)
adquisición de las imágenes, (ii) modelado de las cámaras, (iii) extracción de características,
(iv) análisis de correspondencia y (v) triangulación. Existen algunas variaciones del método
(Salvi et al. 2008); una de las más comunes es capturar múltiples imágenes empleando sólo una
cámara, esta variación funciona únicamente para generar los modelos 3D de objetos o escenas
estáticas (Desouza and Kak 2002). Algunas de las ventajas de este método son: no requiere de
una fuente específica de luz, su arreglo experimental puede ser simple y el costo del mismo
puede ser bajo. Sin embargo, su mayor problema radica en la identificación de los puntos
comunes entre las imágenes, además la calidad de los datos que se extraen para reproducir la
forma del objeto dependen de la nitidez de la textura de la superficie (Sansoni et al. 2009).
Fotogrametría
Este método obtiene los modelos 3D a partir de fotografias. Los pasos a seguir son: (a)
calibración y orientación de la cámara, (b) captura de las fotografias, (c) orientación de las
fotografias, es decir, colocar las imágenes en la misma posición que ocupaban en el momento
de la captura, (d) extracción de los datos buscados para generar una nube de puntos 3D, (e)
generar la superficie deseada y llevar a cabo mapeo de texturas. Este método puede ser dividido
en diversas formas. Sin embargo, una forma estándar de dividirlo es basándose en la ubicación
de la cámara durante el proceso de captura, por lo que el método se divide principalmente en
fotogrametría aérea y fotogrametría de rango cerrado. En la primera, la cámara está montada en
algún dispositivo aéreo y usualmente la cámara es enfocada hacía la tierra, por lo general se
emplean cámaras especiales. En la segunda división, la cámara se posiciona cerca del objeto o
escena a reconstruir, aquí cámaras de uso común pueden ser empleadas. En general, la precisión
y exactitud de este método recae principalmente en el proceso de calibración de la cámara. Una
4
de las ventajas de la fotogrametría es que se puede reconstruir escenas de diversos tamaños, las
cuales pueden o no tener objetos dinámicos dentro de ellas. Sin embargo, puede presentarse el
caso donde las imágenes se traslapen lo cual generará errores en la medición, además la
generación de los modelos matemáticos empleados en el método puede ser complicada.
Forma a partir de "X"
Forma a partir de "X" hace referencia a diversos métodos en los que sólo se requiere una cámara
(Yoshizawa 2008). La X puede representar enfoque, sombras, siluetas, textura, etc.
Forma a partir de enfoque:
La profundidad y el alcance pueden ser determinados mediante la explotación de las propiedades
focales de una lente, debido a que la imagen del objeto bajo análisis se vuelve borrosa en una
cantidad proporcional a la distancia entre el objeto y plano objeto en foco. El método explota
las propiedades de la profundidad de campo de vista, lo que permite que se detecten objetos o
escenas de diversos tamaños. Una de sus desventajas es que si los objetos no están alineados
perpendicularmente al eje óptico de la lente y éstos además tienen dimensiones de profundidad
mayores a la profundidad de campo del sistema óptico, se tendrá enfoque a diferentes distancias
lo cual complica el análisis e interpretación de la escena (M. B. Ahmad and Tae-Sun 2005).
Forma a partir de sombras:
El modelo 3D del objeto bajo estudio es obtenido a partir del análisis de cambios o variaciones
de la iluminación sobre el objeto, las cuales se generan por la topografia del mismo y por la
variación de la ubicación de la fuente de luz empleada. Tiene un costo bajo de implementación,
pero un costo computacional elevado (Yamashita et al. 2010).
5
Forma a partir de la textura:
El método se basa en encontrar posibles transformaciones de los elementos a partir de sus
patrones de textura. Estos métodos requieren de hardware de bajo costo, sin embargo, la
orientación de la textura en la percepción de la forma puede complicar la implementación de
estos métodos así como afectar la exactitud de los resultados obtenidos (Gorla et al. 2003).
Triangulación láser
Tanto la técnica de un punto y "franjas" o líneas láser pertenecen a esta categoría. Ambas están
basadas en el principio de triangulación activa (Blais et al. 1988). El láser genera un haz de luz,
el cual incide sobre el objeto a prueba, la luz reflejada es capturada por la cámara CCD (Charged
Couple Device); por medio del principio de triangulación y el escaneo completo del objeto, las
mediciones deseadas son obtenidas. Algunas de las mayores ventajas de estos métodos son la
precisión (1/10000), su relativa insensibilidad a las condiciones de iluminación y a la textura de
la superficie del objeto. Por otra parte, la resolución de la medición y la incertidumbre de la
misma son dependientes del campo de visión del arreglo óptico y sensor, así como del ángulo
de triangulación y sombras que aparezcan en las imágenes a procesar. Normalmente se requiere
calibración de los dispositivos, la cual debe llevarse a cabo sobre superficies similares a las del
objeto bajo estudio (F. Chen et al. 2000).
Tiempo de vuelo (ToF)
En este método el emisor genera un pulso, usualmente se emplea un láser, que incide sobre el
objeto a medir y el receptor captura el pulso reflejado; por medio de la implementación de la
electrónica adecuada se mide el tiempo de viaje ida-vuelta de la señal así como su intensidad.
Este método se puede implementar por medio de la detección punto a punto o realizando un
escaneo completo del objetivo. Además la medición se puede llevar a cabo en diferentes rangos
de distancias; rango largo (100-15 metros), rango medio (15-3 metros) y rango corto (<3
6
metros). La resolución de la medición varía dependiendo del rango empleado (Sansoni et al.
2009). De forma muy general podemos decir que la resolución típica para estos métodos está en
el orden de los milímetros, aunque reportes recientes relacionados con conteo de fotones
reportan resolución de 30 micrómetros a una distancia de 1 metro (F. Chen et al. 2000). Es
importante señalar que la exactitud de estos métodos depende en gran parte de los circuitos de
sincronización de tiempo empleados, además puede llegar a tener problemas con la medición
de objetos cuyas superficies sean demasiado brillantes u opacas.
Interferometría
Los métodos interferométricos basan su funcionamiento en el principio de superposición de
ondas, por lo cual dos ondas de luz, provenientes de la misma fuente (generalmente se emplean
láseres como fuente de luz), se hacen interferir entre ellas; la primer onda es empleada como
referencia y la segunda es la encargada de incidir en la superficie del objeto bajo estudio.
Después ambas ondas son recombinadas para crear el patrón de interferencia que es capturado
por una cámara. Estos patrones o interferogramas capturados son analizados para obtener las
variaciones geométricas de la superficie del objeto. La resolución de la medición es alta dado
que está determinada en fracciones de la longitud de onda empleada. Sin embargo, se debe tener
atención especial en las condiciones bajo las cuales se lleva a cabo la medición, dado que las
vibraciones y variaciones térmicas son algunas de las fuentes de error más importantes en la
interferometría.
Moiré
Para la implementación del método de moiré se hace pasar luz a través de una rejilla moduladora
y el patrón resultante incide sobre la superficie bajo análisis. El cual sirve para caracterizar la
deformación de la superficie del objeto y es conocido como patrón modelador o modelo y actúa
como elemento de referencia de los cambios introducidos por el objeto. Para poder determinar
el cambio en la geometría del modelo un segundo patrón es empleado, al cual generalmente se
7
le conoce como patrón principal. La superposición de ambos da como resultado un patrón de
interferencia de baja frecuencia conocido como patrón de moiré, el cual es capturado por una
cámara. El fenómeno de moiré permite obtener información de todos los puntos de la escena a
partir de una única imagen. Dependiendo de la forma en la que se genera el patrón de moiré, se
distinguen dos técnicas (Paakkari 1998): sombreado de moiré y proyección de moiré. La
resolución depende de la técnica que se emplee.
Proyección de franjas
El método de proyección de franjas (FP por sus siglas en inglés, fringe projection) consiste en
proyectar sobre un objeto patrones de intensidad en forma de franjas o líneas, capturar y analizar
los patrones que inciden en el objeto y finalmente tras el análisis correspondiente determinar las
mediciones y perfiles tridimensionales del objeto.
Rowe y Welford propusieron por primera vez el método de FP (Rowe and Welford 1967),
desde entonces ha sido modificado y empleado con mayor frecuencia en diversas aplicaciones.
Una de estas variaciones es la proyección digital de franjas (DFP por sus siglas en inglés. digital
fringe projection), en el cual se generan de forma computacional los patrones de franjas a
proyectar. Una de sus ventajas es la estructura y elementos del sistema de experimentación, el
cual sólo requiere un proyector comercial que es empleado para proyectar los patrones de franjas
sobre el objeto, una cámara CCD con la que se capturan las imágenes a procesar y una
computadora para la generación, análisis y procesamiento de los patrones de franjas.
Dentro del método DFP existen varias clasificaciones (J. Geng 2011; Gorthi and Rastogi
2010), las cuales dependen de diversos factores; la clasificación más general que se puede hacer
es aquella que divide el método con base en el número de imágenes necesarias para obtener la
información requerida para generar el modelo 3D: técnicas de múltiples capturas y técnicas de
sólo una captura.
8
Las técnicas que reqmeren sólo una captura, como su nombre lo indica, obtienen la
información deseada a partir de sólo una imagen. Una de las principales ventajas que presentan
es que pueden ser empleadas para reconstruir objetos en movimiento. Por otra parte, las técnicas
de múltiples capturas o secuenciales, requieran de más de una imagen para obtener la
información necesaria, por lo que se obtiene una mayor resolución en los resultados,
comparados con los resultados que arrojan las técnicas de sólo una captura. Ambas técnicas
pueden combinarse con diversos tipos de patrones de franjas. En la Fig. 1.2 podemos observar
algunos de los patrones de franjas empleados en cada una de las técnicas.
Patrones binarios:
Los patrones binarios usan sólo dos niveles de intensidad, blanco y negro (1 y O), para formar
la secuencia de patrones a proyectar, de forma tal que cada punto sobre la superficie del objeto
tenga un único código binario que lo diferencie de cualquier otro punto, por lo tanto, el código
está completo cuando la secuencia de proyecciones es terminada. Además sólo uno de los ejes
es codificado.
Proyección de franjas
Múltiples capturas
o secuenciales
Sólo una captura
Patrones binarios
Patrones de franjas analizados
en el dominio de la frecuencia
Corrimiento de fase
Patrones tipo arcoiris
Híbridos
Corrimiento de fase
codificados en imágenes RGB
Figura 1.2 Tipos de patrones estructurados de franjas clasificados con base en el número de
proyecciones necesarias para lograr la reconstrucción.
9
El primer método de codificación binaria fue propuesto por Posdamer y Altschuler,
consistió en general n patrones donde se pueden codificar 2n franjas (Posdamer and Altschuler
1982). El número máximo de franjas que se pueden emplear está determinado por la resolución
en píxeles del proyector. Sin embargo, no se recomienda alcanzar este valor debido a que en la
mayoría de las ocasiones la cámara no es capaz de resolver el patrón de franjas (Salvi et al.
2004).
Para mejorar el esquema de codificación propuesto por Posdamer y Altschuler y reducir el
número de patrones necesarios para la reconstrucción 3D, se introdujo la implementación de
código Gray (Inokuchi et al. 1984). La principal característica del código Gray es que cada dígito
subsecuente se diferencia del dígito anterior por un solo bit (A Ahmad and Bait-Shiginah 2012).
En general, las técnicas binarias son confiables y menos sensitivas a las características de
la superficie del objeto, dado que sólo valores binarios existen en todos los píxeles. Para lograr
alta resolución, se necesita proyectar más de dos patrones secuenciales, por lo tanto, el proceso
de adquisición de imágenes puede ser más tardado que el posible tiempo de exposición de la
aplicación. Además, todos los objetos en la escena deben permanecer estáticos (J. Geng 2011).
Patrones con corrimiento de fase:
El corrimiento de fase (PS por sus siglas en inglés, phase shifting) tiene su origen en la
interferometría. En 1974 Buming et al. implementaron por primera vez el PS en los
interferómetros de Fizeau y Twyman-Green (Bruning et al. 1974). En los 80's se desarrollaron
diversos algoritmos para la aplicación del PS, sin embargo, fue a partir de los 90' s cuando debido
a la implementación del PS en conjunto con las nuevas tecnologías, tales como; fibra óptica,
pantallas de cristal líquido (LCD por sus siglas en inglés, liquid crystal display), proyectores de
procesado digital de luz (DLP por sus siglas en inglés, digital light processing), etc., que se tuvo
un gran desarrollo en los algoritmos de corrimiento de fase, algoritmos de desenvolvimiento de
fase, técnicas de calibración, etc.
10
Las técnicas de proyección de patrones de franja basados en algoritmos de PS emplean la
proyección de patrones de intensidad ya sea sinusoidales, triangulares o trapezoidales. La
intensidad es codificada en niveles de grises, que van de O a 255 niveles de grises, es decir, una
resolución de 8 bits. Además, se introduce un corrimiento de fase conocido entre los patrones,
que generalmente es constante. Los patrones de franjas son proyectados en forma secuencial
sobre el objeto a digitalizar y capturados por la cámara CCD. Los patrones capturados por la
cámara CCD resultan deformados por la topografia del objeto; dichas deformaciones contienen
la información necesaria y suficiente para recuperar la topografia del objeto. Los algoritmos de
PS se utilizan para demodular la forma del objeto por medio de la obtención del mapa de fase
del mismo. Este mapa de fase o simplemente fase recuperada está envuelta en intervalos de 21r,
por lo cual, es necesario implementar algoritmos de desenvolvimiento de fase para recuperar el
mapa de fase desenvuelta. Una vez que se tiene el mapa de fase desenvuelta o fase continua, se
debe llevar a cabo la conversión de términos de fase a dimensiones de profundidad lo cual
generalmente se hace por medio de la implementación de algún método de triangulación.
Debido a que las imágenes son procesada píxel a píxel, donde exactamente un valor
específico de fase es procesado, se ha demostrado que esta técnica puede llegar a presentar
mayor exactitud que otras técnicas, ejemplo: patrones binarios. Sin embargo, aun cuando esta
técnica es una de las más empleadas (Paul Kumar et al. 2013; S. Zhang 2010) presenta algunas
desventajas tales como: tener que implementar algoritmos de desenvolvimiento de fase, los
cuales pueden generar errores si el objeto de prueba tiene discontinuidades mayores a 21r,
además, se debe sincronizar la cámara y el proyector. Además, debido a que los patrones de
franjas que se proyectan y capturan son patrones de intensidad, estos se ven distorsionados por
la no linealidad del proyector y la cámara.
Patrones híbridos:
En 1995 Bergmann propuso un método, donde se proyectan patrones en escala de grises
generados bajo la técnica de PS y codificados en código Gray (Bergmann 1995), la
implementación en conjunto de estos dos métodos aprovecha las ventajas de ambos métodos; la
no ambigüedad y robustez en la codificación (binarios) y alta resolución (PS). Sin embargo,
11
para poder generar el modelo 3D se requieren un amplio número de patrones. Con la idea de
disminuir el número de proyecciones necesarias, en 1998 Caspi, Kiryati y Shamir propusieron
la proyección de patrones en color, los cuales también son diseñados por medio de la
combinación de PS y código Gray (Caspi et al. 1998). Actualmente, existen diversos métodos
que combinan las ventajas de los patrones binarios y las técnicas de corrimiento de fase (Ayubi
et al. 2012; Fang 1997; Flores et al. 2013; Huang et al. 2004), donde no sólo se emplean señales
sinusoidales en el corrimiento de fase, sino que también se emplean señales diente de sierra,
trapezoidales, triangulares, etc., desplazadas cierto ángulo entre ellas.
Patrones de franjas analizados en el dominio de la frecuencia:
En 1983 Takeda y Mutoh propusieron la utilización de la transformada de Fourier como método
de perfilometría (Takeda and Mutoh 1983). Un patrón de franjas es proyectado sobre la
superficie del objeto bajo prueba, la distorsión introducida por la topografia del objeto es
capturada. El patrón capturado se analiza en el dominio de Fourier. Generalmente se aíslan las
componentes de frecuencia alrededor de la frecuencia portadora, asumiendo que la intensidad
de fondo y las variaciones de fase introducidas por el objeto son funciones suaves.
Posteriormente, se traslada la frecuencia de la portadora al origen del plano de frecuencias.
Finalmente para recuperar la información de la topografia del objeto, z ( x, y), se calcula la
transformada inversa de Fourier, como se describe en (W. Chen et al. 2004; W. Chen et al.
2008). De este procedimiento lo que se obtiene es la fase introducida por el objeto, la cual está
envuelta en el intervalo de
(-1r, 1r ),
por lo cual es necesario aplicar algoritmos de
desenvolvimiento de fase. Finalmente, se emplea algún método de triangulación para convertir
los términos de fase en dimensiones de profundidad.
La implementación original de Takeda consideró solamente una dimensión. Sin embargo,
años más tarde fue extendida a dos dimensiones (Bone et al. 1986; Gorecki 1992), a partir de
entonces se han propuesto diversas implementaciones de la misma (W. Chen et al. 2004; W.
Chen et al. 2008; Legarda-Saenz and Espinosa-Romero 2011; Su and Chen 2001) lo que ha
traído como consecuencia que el algoritmo de la transformada de Fourier se haya convertido en
el método más usado en la extracción de fase a partir de un solo patrón de franjas (Z. H. Zhang
12
2012). El mayor problema de este método es la complejidad de la extracción y separación del
primer harmónico respecto al resto del espectro. Además, se debe tener en cuenta que la
información que se desea extraer normalmente está perturbada por ruido y puntos discontinuos
en la superficie del objeto, lo cual se traduce en errores de fase.
Patrones tipo arcoíris:
En 1990 Tajima e Iwakawa presentaron los patrones tipo "arcoíris" los cuales eran generados
tras hacer pasar luz blanca por cristal líquido en su fase nemática, el cual difracta la luz, creando
así los patrones de colores correspondientes a las diversas longitudes de onda (Tajima and
Iwakawa 1990). Este patrón era capturado por una cámara de televisión y sólo era necesaria una
imagen, la cual tardaba 1 / 30 segundos en ser captura. La geometría del patrón proyectado
establece una correspondencia uno a uno entre el ángulo de proyección y la longitud de onda en
ese punto, lo cual sirve como marca para identificar cada punto del objeto durante el
procesamiento de las imágenes. Z.J. Geng mejoró esta técnica por medio de la implementación
de una cámara CCD con filtros lineales para determinadas longitudes de onda (Z. J. Geng 1996).
Dado que el arreglo óptico necesario para la implementación de esta técnica era complicado,
Sato presento una nueva técnica, la cual emplea un proyector con pantalla de cristal líquido y
una cámara CCD (Sato 1999). La principal ventaja de esta técnica es que los resultados no se
ven afectados por el espectro de reflectividad del objeto a reconstruir. Sin embargo, las
intensidades de los patrones proyectados y capturados son afectadas por la no linealidad del
proyector y la cámara, así como la presencia de diafonía cromática o "color cross-talk".
Patrones con corrimiento de fase en RGB:
Wust y Capson presentaron una técnica basada en la proyección de patrones sinusoidales con
corrimiento de fase (Wust and Capson 1991), empleando el algoritmo de tres pasos, donde en
lugar de proyectar los tres patrones en niveles de grises y de manera secuencial, estos son
codificados en una imagen a color RGB, asignando un patrón al canal rojo, otro patrón al canal
verde y el último patrón al canal azul. La mayor restricción para emplear esta técnica es que la
superficie del objeto bajo prueba debe de ser de color neutro y no contener grandes
discontinuidades en su topografia. Con base en lo propuesto por Wust y Capson se han
13
desarrollado varias técnicas, donde no es estrictamente necesario codificar señales sinusoidales
en cada canal RGB, pueden emplearse señales triangulares (L.-C. Chen and Nguyen 2009),
varios tipos de señales tales como cosenoidales, sinusoidales y función rampa en los canales
RGB (Karpinsky and Zhang 2010), además han surgido técnicas robustas a la distribución del
color de los objetos que permiten además de obtener el modelo 3D de los mismos, obtener la
distribución del color de estos (Z. H. Zhang et al. 2007; Z. Zhang et al. 2012), etc. La mayoría
de estas técnicas utilizan proyectores comerciales para proyectar las imágenes, de ahí que las
mayores desventajas de esta técnica sea la respuesta no lineal del sistema proyector-cámara, así
como la diafonía cromática que pueden presentar los mismos.
1.1.1
Gamma de los dispositivos de visualización de entrada y salida
La gamma es definida como una función de intensidad (Poynton 1993), y representa la relación
entre los valores de intensidad de entrada y la salida de los sistemas de representación visual; la
cual es una relación no lineal (observe la Fig. 1.3).
1
-=·- 0.8
~
~
(l'l
Qi
"O
"O
0.6
~
.....
"O
0.4
=
=0.2
(l'l
Qi
¡,,,,¡
oo
0.4
0.6
0.8
Intensidad de entrada
0.2
1
Figura 1.3 Curva de gamma típica de los sistemas de visualización de imágenes, 1 = 2.5.
14
1
•1Proyector ( (x,~I__o_b_~e_tº___( (x,~I Cámara CCD (
(x,y )
(x,~
Figura 1.4 Procedimiento para la captura de los patrones de franjas.
En los sistemas de medición por proyección de franjas, el patrón de franjas capturado por
la cámara CCD es deformado por el proceso de proyección y captura ( observe la Fig. 1.4). El
patrón de franjas sinusoidal I ( x, y) generado de forma computacional es enviado al proyector.
Tras ser proyectado, la intensidad del patrón de franjas se convierte en ¡P (x,y). El cual tras
incidir sobre el objeto bajo medición se convierte en 1° (x,y). Finalmente, la intensidad del
patrón de franjas capturado por la cámara es ¡e ( x, y). Debido a la respuesta no lineal del
proyector y la cámara, la relación entre la intensidad capturada ¡e ( x, y) y la intensidad del
patrón de franjas generado computacionalmente I ( x, y) no es lineal.
La no linealidad de la cámara CCD puede ser despreciable en comparación con la del
proyector (Huang et al. 1999). La respuesta no lineal del sistema de proyección de franjas puede
ser representada como
Je
(x,y) = [I(x,y)]',
(1.1)
donde I ( x, y) es la intensidad del patrón de franjas ideal generado computacionalmente,
¡e ( x, y) es la intensidad del patrón de franjas capturado y I es el valor de gamma del proyector
digital (usualmente, 1
~
1 ).
El valor del factor gamma de los dispositivos digitales de proyección y adquisición de
imágenes es diferente de uno, por tanto, introduce de forma inmediata un error en el sistema de
medición por proyección de franjas (Xiao et al. 2013). Por tal motivo, a finales de los 90's,
Kakunai et al. propusieron reducir este error seleccionando los niveles de intensidad de los
patrones a proyectar con base en la reflectividad de la superficie del objeto bajo prueba (Kakunai
15
et al. 1999). Así mismo, Huang et al. propusieron determinar los valores de la curva de gamma
calibrando la distribución de intensidad de cada canal RGB de forma independiente (Huang et
al. 1999), para lograr esto, se realizan proyecciones sobre una superficie plana y blanca.
Después, Farid propuso determinar el factor de gamma empleando herramientas basadas en
análisis poli-espectral (Farid 2001). Posteriormente, Guo et al. propusieron generar y emplear
tablas de consultas (LUTs por sus siglas en inglés, lookup tables) para determinar el valor de la
gamma en los patrones capturados (Guo et al. 2004), los valores de estas tablas son encontrados
empleando métodos estadísticos recursivos.
Con base en las cuatro propuestas anteriores, múltiples técnicas para la corrección del error
introducido por la no linealidad del proyector-cámara en los sistemas de medición y generación
de modelos 3D por proyección de franjas, han sido planteadas en los últimos años, por ejemplo
Gai y Da, 2011; Liu et al., 2010; Pan et al., 2009; Waddington y Kofman, 2014; Xiao et al.,
2013; Zhang y Huang, 2007. Las cuales pueden ser divididas en dos grandes grupos; las
primeras determinan el valor de la curva de gamma empleando métodos estadísticos (Liu et al.
2010; Pan et al. 2009; S. Zhang and Huang 2007), estos valores encontrados se usan en el
proceso de análisis de franjas para compensar la distorsión por la no linealidad. Las segundas
(Gai and Da 2011; Waddington and Kofman 2014; Xiao et al. 2013) consisten en determinan la
curva de gamma previo a la captura de las imágenes a procesar, los valores de la curva son
empleados para modificar los patrones a proyectar y así capturar patrones lineales los cuales son
procesados directamente.
Los métodos citados en el párrafo anterior basan su funcionamiento en la determinación de
la curva de gamma para poder corregir el problema de no linealidad. Sin embargo, aun cuando
las técnicas mencionadas anteriormente han demostrado con éxito su funcionamiento, se debe
mencionar que la curva de gamma de los dispositivos de proyección y captura de imágenes
cambia en el tiempo conforme el uso de los mismos, lo cual trae como consecuencia que el
cálculo de ésta deba realizarse continuamente. Es por esto que han surgido otras formas de evitar
o aminorar la distorsión por el factor gamma, una de estas propuestas es la implementación de
patrones binarios con corrimiento de fase.
16
En el 2009 Lei y Zhang propusieron la implementación de proyección desenfocada de
patrones de franjas binarios con corrimiento de fase (Lei and Zhang 2009), el efecto de
desenfoque puede ser aproximado a un filtro de suavizado gaussiano, por lo cual, las patrones
de franjas capturados tienen la forma cuasi-sinusoidal, lo que hace viable implementar
algoritmos de corrimiento de fase para poder demodular los patrones de franjas y obtener la
información suficiente que permita generar el modelo tridimensional del objeto bajo prueba.
Uno de los aspectos relevantes de su propuesta es que no se requiere conocer y corregir la
gamma del proyector y de la cámara. Sin embargo, existe una disminución en la exactitud de
las mediciones debido a la gran cantidad de armónicos que se presenta debido a la naturaleza de
los pulsos cuadrados.
Considerando lo anterior, Ayubi et al. propusieron emplear la técnica de Modulación por
Ancho de Pulsos (PWM) para generar los patrones binarios con corrimiento de fase y de igual
forma ser proyectados con cierto grado de desenfoque en el proyector (Ayubi et al. 2010), esta
técnica demostró un decremento importante en el número de armónicos además de no requerir
un alto grado de desenfoque. Posteriormente, Wang y Zhang propusieron generar los patrones
PWM por medio de series de Fourier (Wang and Zhang 2010), con el fin de optimizar el diseño
de patrones PWM con restricción en el número de armónicos presentes en la serie de Fourier.
En 2011 Wang y Zhang introdujeron la técnica de corrimiento de fase y patrones PWM con
base en señales sinusoidales multifrecuencia (Wang and Zhang 2011), cabe señalar que su
técnica la implementaron más tarde para obtener el modelado 3D de objetos no estáticos (Wang
et al. 2013). En 2012 Zuo et al. propusieron un nuevo método para generar los patrones PWM
(Zuo et al. 2012), su propuesta introduce un nivel más de intensidad en los patrones.
Lei y Zhang, 2010; Li et al., 2014 presentaron una comparación entre el funcionamiento de
técnicas que emplean proyección de patrones sinusoidales con corrimientos de fase y patrones
binarios corridos en fase desenfocados (Lei and Zhang 2010; Li et al. 2014), entre los cuales se
incluyen los patrones binarios generados con la técnica de PWM, donde se demuestra que las
técnicas que emplean proyección de patrones binarios corridos en fase y proyección
desenfocada, tienen un desempeño similar a las técnicas de patrones sinusoidales con
17
corrimiento de fase, presentando la ventaja de no ser afectados por la no linealidad del proyector
y cámara. Además, la sincronización entre el proyector y la cámara CCD no es crítica. Sin
embargo, presentan la desventaja de necesitar la interacción humana en el proceso de
desenfoque, el cual, si se aplica en demasía, disminuye el contraste de los patrones de franjas lo
cual afecta la calidad de la reconstrucción 3D final.
En este proyecto de tesis se propone la obtención de las mediciones de la topografia y
modelo tridimensional de objetos estáticos utilizando la técnica de proyección de patrones
binarios y empleo de algoritmos de corrimiento de fase. Los patrones son generados con la
técnica PWM modelados por series de Fourier. Los patrones son capturados y proyectados en
foco y posteriormente el desenfoque manual es sustituido por la implementación de filtros pasa
bajas durante el periodo de análisis de franjas.
18
1.2
Objetivos
1.2.1
Objetivo general
Obtener las medidas de la superficie y generar el modelo tridimensional de un objeto estático
mediante la proyección de patrones binarios de franjas tipo PWM y la utilización de algoritmos
de corrimiento de fase.
1.2.2
•
Objetivos particulares
Implementar un método que permita obtener las medidas y modelo 3D de un objeto
estático por medio de la proyección de patrones de franjas, el cual sea robusto a la
respuesta no lineal de los dispositivos de proyección.
•
Proponer un método de reconstrucción 3D y medición de superficies de objetos estáticos
por medio de la proyección de patrones binarios generados bajo la técnica de
Modulación por Ancho de Pulso y no requiera desenfoque manual del proyector.
•
Proponer un método de generación de modelos 3D de objetos estáticos por medio de
patrones binarios generados el cual sea consistente y repetible.
•
Comparar el desempeño del método propuesto con los métodos de reconstrucción 3D
empleando corrimiento de fase y patrones sinusoidales y patrones PWM desenfocados.
19
1.3
Estructura de la tesis
Este trabajo está dividido en 5 secciones principales. En el primer capítulo se brinda una breve
recapitulación de algunos métodos ópticos para la medición y generación de modelos
tridimensionales de objetos existentes, se hace énfasis en la técnica de proyección de franjas así
como en el error introducido por la no linealidad de los dispositivos de entrada y salida de video.
En el segundo capítulo se explica el principio de operación de la técnica propuesta para el
método de reconstrucción tridimensional por medio de la implementación de patrones
sinusoidales con corrimiento de fase, entre los cuales se describen los algoritmos de 3 y 4 pasos,
la ambigüedad de fase en un periodo de 21r introducidos por los mismo, desenvolvimiento de
fase y conversión de fase-altura.
El tercer capítulo explica dos métodos para generar patrones PWM. Así mismo, se
fundamenta la aplicación de filtros pasa-bandas para recuperar la forma sinusoidal de los
patrones capturados y poder aplicar los algoritmos de corrimiento de fase. En la parte final de
este capítulo, se mencionan algunas consideraciones generales que se deben tener al momento
de montar el arreglo experimental y la forma de determinar la sensibilidad del sistema de
proyección de franjas.
En el capítulo cuarto se explica el arreglo experimental empleado en este trabajo de tesis,
conjuntamente se presentan los resultados obtenidos tras la implementación de los métodos
descritos en los capítulos II y 111.
Finalmente en el quinto capítulo se presentan las conclusiones y trabajo a futuro.
20
CAPÍTULO 2.
2.1
CORRIMIENTO DE FASE
Introducción
En el capítulo anterior se mencionó que los algoritmos de corrimiento de fase tienen su origen
en la interferometría. Durante años, esta técnica ha sido conocida con diversos nombres:
interferometría por corrimiento de fase (PSI por sus siglas en inglés; phase shifting
interferometry), interferometría de medición de fase, interferometría de escaneo de franjas,
interferometría de tiempo real, etc., pero todas describen la misma técnica básica (Malacara
2007). En sistemas de proyección de franjas, la técnica de corrimiento de fase consiste en
generar diversos patrones de franjas sinusoidales con corrimientos de fase entre ellos, los cuáles
son capturados por una cámara (comúnmente CCD) tras ser proyectados sobre el objeto bajo
prueba. Las imágenes capturadas son procesadas píxel a píxel, donde exactamente un valor de
fase es calculado. Los valores de fase son usados como base para el cálculo de la altura del
objeto (Lilienblum and Michaelis 2007).
En éste capítulo, se explica el proceso de análisis de franjas mediante corrimiento de fase y
conversión fase-altura para obtener el modelo 3D: en la subsección 2.2 se exponen los
algoritmos de corrimiento de fase de 3 pasos y 4 pasos, en la subsección 2.3 se exhibe el
problema de modulación de fase en periodos de 21r y la idea básica para la demodulación de la
misma, en la sub sección 2.4 se presenta el método de triangulación empleado para la conversión
fase-altura. Finalmente en la subsección 2.5 se describe la metodología para la calibración lineal
del sistema.
21
2.2
Algoritmos de corrimiento de fase
Un patrón de franjas es una fluctuación de una señal sinusoidal donde la cantidad fisica de la
fase que se está midiendo modula el patrón de franjas (Manuel Servin et al. 2014). Usualmente
se modela un patrón de franjas estacionario ideal descrito por
I (x,y) = A(x,y )+ B(x,y)cos[</>(x,y )],
(2.1)
donde { x, y} E IR. 2 , A (x, y), y B (x, y) son la iluminación de fondo y la modulación de la señal;
y cp ( x, y) es la fase de la función que se desea encontrar (observe la Fig. 2.1 ).
El principal objetivo del análisis de los patrones de franjas es demodular la función de fase
cp ( x, y) a partir del patrón de franjas adquirido I (x, y). Dado que la Ec. (2.1) tiene tres
parámetros desconocidos A (x, y), B (x, y) y cp ( x, y) se requiere al menos tres patrones de
intensidad para poder resolver el valor de fase. Es por tal motivo que los diversos algoritmos de
PS introducen cambios conocidos en el argumento de la señal sinusoidal entre muestras o
capturas de patrones sucesivas, a los cuales se les denomina "pasos de fase" o simplemente
"pasos".
En el transcurso de los años se han publicado una gran cantidad de algoritmos de PS, los
cuales se diferencian entre sí por el número de pasos que emplean, la susceptibilidad a errores,
su robustez al ruido y a la no linealidad de los detectores (Kreis 2005). Usualmente, en cada uno
de los algoritmos de PS se elige el valor del paso de fase entre los patrones proyectados o
adquiridos, de forma tal que éstos produzcan la expresión matemática más simple para encontrar
el término de fase buscado (Yoshizawa 2008).
En este trabajo de tesis se emplean los algoritmos de tres pasos y cuatro pasos. Esto debido
al número de patrones capturados que requieren para la recuperación de la fase y por la robustez
en la relación señal a ruido que presentan (M. Servin and Estrada 2012; Manuel Servin et al.
2014).
22
I (x,y)
B(x,y)
A ( x, y)
------
1-------------------- t
Figura 2.1 Variación de la intensidad con la fase de referencia.
2.2.1
Algoritmo de tres pasos
Este es uno de los algoritmos que requiere el mínimo de patrones para encontrar el valor de fase.
Se emplean corrimientos en ángulos conocidos
o;
es igual a
21r /3,
-o;,
O y a, en este trabajo el valor del ángulo
de forma que los tres patrones de franjas son representados por
11 (x,y) = A(x,y) + B(x,y )cos
12 (x,y) = A( x,y) + B(x,y )cos
13 (x,y) = A(x,y) + B(x,y )cos
cp(x,y )-21r / 3]
c/>(x,y )]
c/>(x,y) + 21r / 3]
(2.2)
Por medio de la implementación de identidades trigonométricas, el sistema de ecuaciones
anteriores se resuelve para el valor de fase como
(2.3)
23
En la ecuación anterior y a partir de aquí se simplifica la notación de los patrones de
intensidad capturados
(I¡,
12 y 13 ) por cuestión práctica; sin embargo, se debe calcular cada
término de la fase para cada valor de ( x, y).
La intensidad de fondo A ( x, y) y la modulación de la señal B ( x, y) están determinadas
por
(2.4)
y
{{[I-cos(21r / 3)](11 -13
)r + [
sin (21r / 3)(212 -11 -1j
2
r
2
B ( X, y ) = - - ' - - - - - - - - - - - - - = - - - - - , - - - - - - - - - ' - - 2 sin (21r /3)[1-cos(21r /3)]
(2.5)
La razón de estos dos últimos términos define lo que se llama modulación de dato o
visibilidad de las franjas, la cual es útil para determinar la calidad de los patrones.
(2.6)
Los valores de visibilidad de franja cercanos a uno indican buena calidad en la información
recolectada. Para determinar cuáles puntos ( x, y) son útiles para la reconstrucción 3D se
establece un umbral mínimo para el valor de visibilidad de las franjas, el cual generalmente está
entre el 5% y 10% del valor máximo, los datos que presentan visibilidad por debajo de dicho
umbral tienen una relación señal a ruido baja, por lo cual deben ser excluidos del análisis.
24
2.2.2
Algoritmo de cuatro pasos
Este algoritmo requiere de cuatro patrones de franjas, en este trabajo de tesis se ha elegido el
valor de corrimiento de fase de
7T /
2 radianes. La representación matemática de los patrones de
franjas está dada por
11 (x,y) = A(x,y) + B(x,y )cos
12 (x,y) = A(x,y) + B(x,y )cos
13 ( X, y) = A(X, y)+ B(X, y) cos
14 (x,y) = A(x,y) + B(x,y )cos
</>(x,y )]
</>(x,y) +1r / 2]
</> (X, y)+ 7rl
</>(x,y) +31r / 2]
(2.7)
Al resolver este sistema de ecuaciones obtenemos los valores de fase, intensidad promedio,
intensidad de modulación y visibilidad de las franjas:
</> (x, y)= tan- 1 [ / 4 -12
1¡ -13
l
,
(2.8)
(2.9)
(2.10)
y
(2.11)
Es importante recordar que la visibilidad que se está calculando tanto en las Ecs. (2.6) y
(2.11) es referente a la señal capturada en cada punto ( x, y) lo cual permite identificar y excluir
del análisis a los puntos que presenten visibilidad insuficiente.
25
2.3
Algoritmos de desenvolvimiento de fase
Sabemos que las funciones coseno, tal como la involucrada en la Ec. (2.1) o en los sistemas de
ecuaciones (2.2) y (2. 7), no son funciones uno a uno, sino funciones par y periódicas, las cuales
introduce una ambigüedad de signo. Además, dado que la función arco-tangente con la que se
determina la fase en los algoritmos de corrimiento de fase implementados en esta tesis
(ecuaciones (2.3) y (2.8)), se obtiene de un cociente donde el numerador corresponde a la
función seno y el denominador corresponde a la función coseno, los valores resultantes de la
función arco-tangente están determinados en el rango
(-1r, 1r ).
Lo que significa que la fase
recuperada se encuentra modulada en periodos de 21r, a lo cual se conoce comúnmente como
fase envuelta (observe la Fig. 2.2).
Para obtener correctamente la reconstrucción tridimensional de la superficie del objeto de
prueba, es necesario obtener un mapa de fase continua o desenvuelta, a este proceso se le
denomina desenvolvimiento de fase.
El problema de desenvolvimiento de fase se puede declarar formalmente como: dada la fase
discontinua <Pw ( x, y) E (-1r, 1r), encuentre la fase continua <P ( x, y) E IR. tal que
W [<J) ( X, Y)]
(2.12)
= <Pw ( X, Y),
donde W es el operador de envoltura de la fase, el cual está definido como
sin (x)
.
( ) , W. IR.
[ l - _ COS
X
W x - tan
26
1
1
------,
(
)
-1r, 1r .
(2.13)
(a)
(b)
,-...._
V,
50
cu
e 40
,-.._
(1)
e
V,
:-a""
:.a"'
~
'-
30
-=-"'cu ·20
(1)
V,
ro
L.I..
V,
"'
L.I..
11
I
11
11
•
'
10
11
1
11
•
.
11
11
o
100
11
Pixeles
~
~500
200_
ºº
400
Ptxeles
(d)
(e)
6
5
,.......
,-...._
V,
V,
cu
e 4
(1)
e
:.a"'
:-a""
""....
E:!
cu
'-'
---(1)
V,
V,
""
¡_¡_.
"'
¡_¡.,
O
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Pixe les
3
2
50 100 1SO 200 2S0 300 350 400 450 500
Pixeles
Figura 2.2 Fase envuelta y fase desenvuelta. (a) Visualización 3D de un mapa de fase envuelto.
(b) Visualización 3D del mapa de fase mostrado en (a) tras la operación de desenvolvimiento de fase.
(c) Corte de línea de la columna 410 del mapa de fase mostrado en (a). (d) Corte de línea de la colunma
410 del mapa de fase mostrado en (b).
27
De forma ideal, el proceso de desenvolvimiento de fase es sólo cuestión de sumar o restar
múltiplos apropiados de 21r para lograr obtener la fase continua.
Actualmente, existe una gran variedad de algoritmos de desenvolvimiento de fase, los
cuales se diferencian por su grado de fiabilidad y requisitos computacionales (Ghiglia and Pritt
1998). La mayoría de los algoritmos de desenvolvimiento de fase se pueden dividir en
algoritmos dependientes de rutas o algoritmos independientes de rutas (algoritmos de
minimización). Los primeros se basan en la estimación de la fase continua <P ( x) tal que
V<j)(x) = w[v<Pw (x)],
(2.14)
algunos ejemplos de este tipo de algoritmos son los propuestos por (Estrada et al. 2011; Itoh
1982). Por otra parte, los algoritmos de minimización emplean métodos de regularización para
encontrar la fase continua <P ( x) tal que
{w[<J>(x)-<f>w (x)]V ~ O,
(2.15)
algunos ejemplos de este tipo de algoritmos los encontramos en (Ghiglia and Pritt 1998).
2.3.1
Algoritmo de desenvolvimiento de fase de ltoh
Este es uno de los algoritmos de desenvolvimiento más significativos históricamente. Este
algoritmo se aplica en sólo una dirección, para aplicarlo al análisis de las imágenes que se
capturan, las cuales son matrices de XxY elementos (píxeles), el algoritmo es aplicado primero
en la dirección del eje X y después en la dirección del eje Y.
Considerando
<P(x) = <Pw (x)±21rk(x);k(x) E Z
28
(2.16)
Donde k ( x) es el arreglo con los enteros que permiten desenvolver la fase. Aplicando el
operador diferencial en ambos lados de la ecuación, tenemos
V[</>(x )] = V[</>w (x)] ± 21rV[k(x )],
cp (X )-cp (X -1) = cpw (X )-cpw (x-1) ± 21r [k ( X )-k ( x-1)].
k ( x) E Z,
Dado que
y
Z
(2.17)
es cerrado en la suma; podemos asegurar que
[k(x)-k(x-l)]EZ, por lo tanto, 21rV[k(x)] es múltiplo entero de 21r, por lo tanto, si se
aplica el operador de envolvimiento de fase W [·] a la Ec.
(2.17), tenemos
W { V [<p (X)]}= W {V [<pw (X)]± 21rV [k (X)]}= W {V [<pw (X)]}.
Sabemos que
(2.18)
V[</>(x)] E (-1r, 1r ), por lo tanto W {V[</>(x)l} = V[</>(x)]. Si IV[</>(x)]I < 1r,
entonces
l},
V [<p (X)]= W {V [c/Jw (X)
cp (X)- cp (X- l) = W [cpw (X)- cpw (X-
l)].
(2.19)
Reacomodando términos en la ecuación anterior, tenemos
cp (X)= cp (x-1) + W [cpw (X)-cpw (x-1)].
(2.20)
La expresión anterior se puede escribir como
x-1
</> (X)= <Pw ( Ü) +
¿
W { V { <Pw (n)} }.
(2.21)
n=O
La Ec.
(2.21) se conoce como la condición o método de Itoh. Se debe considerar que para
que el método funcione se debe cumplir el criterio de Nyquist, de no ser así la fase desenvuelta
tendrá inconsistencias.
29
2.4
Triangulación
El mapa de fase continua contiene la información correspondiente a las dimensiones del objeto
bajo análisis. Para determinar las tres dimensiones, ( x, y, z), necesarias para la generación del
modelo 3D se debe realizar la conversión de fase a altura o profundidad.
En la Fig. 2.3 se muestra el posicionamiento de los elementos del arreglo experimental, en
donde los puntos P y E representan las pupilas de salida/entrada del proyector y la cámara CCD,
respectivamente. Estos puntos se encuentran a una distancia H del plano de referencia, y a una
distanciad entre ellos. Además se asume que P y E se encuentran en un mismo plano, el cual es
paralelo al plano de referencia. C y A son dos puntos (píxeles) distintos en el plano de referencia
y se considera p como el periodo del patrón de franjas proyectado. Teniendo esto en
consideración, podemos deducir que
H
h=--I + 21rd
pAC
(2.22)
La distancia AC puede sustituirse por el término de fase; dado que el punto D en la
superficie del objeto tiene las mismas coordenadas que el puno C en el plano de referencia.
Además, el punto Den la superficie del objeto tiene el mismo valor de fase que el punto A en el
plano de referencia, cpD - </>A. Por medio de la resta del plano de referencia al plano de fase del
objeto(~</>= cpD -</>A), la diferencia de fase,
~<P = </>A -</Je,
en cada punto puede ser obtenida
de forma fácil. Así la Ec. (2.22) se puede reescribir como
H
h=
21rd '
l+--
(2.23)
P~<P
cuando H es mucho mayor que h o cuando d es mucho mayor que AC, la Ec. (2.23) se puede
simplificar
30
(2.24)
Estableciendo así una relación de aproximación lineal entre la diferencia de los mapas de
fase del objeto y la referencia con la altura de la superficie del objeto.
z
_____ E
H
X
Plano de
referencia
C
B
A
Figura 2.3 Relación entre la fase de los patrones de franja y la altura del objeto.
31
2.5
Calibración
La mayoría de los términos involucrados en la Ec. (2.24) pueden ser medidos o calculados
directamente, pero el término referente al periodo p es dificil de determinar de forma precisa
ya que no es constante a través de la imagen debido a la divergencia de la luz proyectada por el
proyector. Por lo tanto, se realiza la calibración del sistema para determinar los coeficientes
desconocidos que permiten relacionar la altura del objeto con la diferencia de fase de forma
directa.
En la obtención de las ecuaciones (2.23) y (2.24) se consideró que los puntos P, E, C, A
y D están localizados en el mismo plano X -Z, lo que se traduce a una distancia H igual para
el plano de referencia y para el objeto. Sin embargo, esto no es cierto; ya que el objeto se
extiende en el eje Y, H está en función de las coordinadas X y Y, por lo tanto, la Ec. (2.24)
puede ser reescrita como
h(x,y) = K (x,y)~cp(x,y),
(2.25)
donde K(x,y)=pH(x,y)l21r. K(x,y) es el coeficiente del arreglo óptico en función de
( x, y). La diferencia de fase
~cp (x, y)
se calcula por
~cp (X, y) = cp0 ( X, y)- cpR (X, y),
donde
cp
0
(
x, y) es la fase recuperada de la superficie del objeto y
(2.26)
cpR (x, y) es la fase del plano
de referencia.
En la Fig. 2.4 se muestra el sistema de coordenadas que se puede emplear para determinar
el coeficiente K ( x, y), para lo cual el plano de referencia se debe desplazar en cierta distancia
conocida a través del eje Z. La relación fase altura para cada píxel (x,y) puede ser calculada
en cada posición como
h; (x,y) = K (x,y )~</J; (x,y),i =
32
l,2, ... ,N,
(2.27)
donde el plano de referencia 13..</>; (x, y) es obtenido por
~</>; (x,y) = </>; (x,y)-</>R (x,y),i = l,2, ... ,N,
(2.28)
donde </>; (x, y) es la distribución de fase del plano del plano de calibración correspondiente al
desplazamiento h; relativo al plano de referencia y N es el número de posiciones de calibración.
Aplicando mínimos cuadrados a la Ec. (2.27), el coeficiente K ( x, y) puede ser adquirido:
N
¿13..</>; (x,y )h; (x,y)
K(~y)=-i-_l_N_ _ _ __
13..</>;2 (X, y)
L
(2.29)
i-1
Una vez calculado K ( x, y), la altura o profundidad del objeto puede ser determinado por
medio de la Ec. (2.25), calculando la distribución de la diferencia de fase empleando la
Ec. (2.26).
Finalmente, cabe mencionar que el coeficiente de calibración K ( x, y) puede ser calculado
empleando solamente una posición de calibración, N = l. Sin embargo, con el objetivo de
incrementar la precisión y exactitud de las mediciones se recomienda utilizar un gran número
de posiciones de calibración.
33
······•.......Q···
·····•, .........
····-..........
Proyector
'•··.,.
··-...
X
··- ...
···-....... .
··-.....
'•·- .....
C=1
Z
····- ...
• ···············e s················································· ............................. .>:·::, Ú...
Cámara
Figura 2.4 Representación esquemática del arreglo de calibración.
34
· · •. ..
Plano de
referencia
CAPÍTULO 3.
GENERACIÓN DE LOS PATRONES PWM Y
CONVERSIÓN PWM-SINUSOIDAL
3.1
Introducción
El uso de los proyectores digitales comerciales en los sistemas de proyección de franjas, ha
introducido la ventaja de proyectar patrones de franjas estructurados de diversas formas y
frecuencias. En la sección 3.2 de este capítulo se muestran algunas formas existentes para
generar los patrones de franjas binarios tipo PWM, así como algunas de sus características.
Anteriormente se mencionó que una de las técnicas para evitar los efectos de la no linealidad
del proyector y la cámara es capturar patrones binarios generados por PWM, los cuales son
proyectados de forma desenfocada. Esto permite la captura de patrones sinusoidales y el empleo
de algoritmos de corrimiento de fase para la demodulación de los patrones de franjas. Una de
las desventajas de hacer esto es la pérdida de la modulación de los patrones de franjas
adquiridos, además el proceso de borroneado o desenfoque depende del usuario. A fin de
mejorar la modulación de los patrones de franjas y reemplazar el borroneado por desenfoque
con un filtro pasa bajas digital, en este trabajo de tesis se propone la captura y proyección de los
patrones PWM en foco, es decir, la adquisición de imágenes lo más nítidas posibles. En la
sección 3.3 se explica la generación e implementación de los filtros pasa altas y pasa bajas que
son usados para recuperar la forma sinusoidal de los patrones de franjas y así poder aplicar los
algoritmos de reconstrucción 3D mencionados en el capítulo 2.
Finalmente, en la sección 3 .4 de este capítulo se mencionan algunas de las consideraciones
que se deben tener a la hora de seleccionar y posicionar los elementos del sistema experimental,
así mismo, se explica cómo determinar la resolución del sistema de proyección de franjas.
35
3.2
Generación de patrones binarios mediante PWM
Los patrones a proyectar son generados como matrices de M x N píxeles, los cuales son
generados por medio de software, donde primero se genera un vector de longitud M píxeles
con la forma PWM deseada, el cual es repetido N veces, es decir, se generan sólo en una
dirección.
La forma más simple para generar una frecuencia constante PWM es comparando una señal
de referencia
r (x)
y una señal portadora
bpwm
e(x) :
(x) = sgn[r(x)-c(x)],
(3.1)
donde sgn es la función signo. En la ecuación anterior, habitualmente se emplea como señal
portadora
e(x)
una señal diente de sierra o una señal triangular, mientras que como señal de
referencia
r (x)
se emplea una señal sinusoidal,
r(x) =A+ B cos(21rJ;x +01 ),
(3.2)
donde A es la intensidad promedio, B representa la modulación o contraste de la onda, J; es
la frecuencia fundamental de la señal y 01 representa el ángulo de fase inicial. En la Fig. 3 .1 se
puede observar que la forma de la señal PWM varía dependiendo del tipo de señal portadora
que se emplee, en este caso una señal diente de sierra y triangular. En ambos casos, cuando el
valor
r(x)
b pwm (
x) = 1,
en caso contrario, la señal PWM de salida se encontrará en estado bajo,
bpwm (
x) = O.
Se puede observar que los harmónicos mayores son alejados de la frecuencia
es mayor que el valor de
c(x),
la señal PWM se encuentra en estado alto, es decir
fundamental, donde los harmónicos predominantes se encuentran en la frecuencia portadora fe
y sus dos componentes laterales están espaciados por 2f0 desde fe•
36
(a)
(b)
1
V-----
/¡
O. 8
.e O.
""O
\\
1/
\
·--o.
\
So. 4
\
~
O. 2
o
t
(e)
:
\____
.
-
.e O.
·--a.e
""O
""O
·--a
~ 0.4
t
-
O.6
~º· 4
O. 2
0.2
-
-
(e)
,r t
(f)
1
1
0.8
O.
""O
·-l
,r
O.8
0.8
.e
/
(d)
1 ,_
1
1/
""O
·-.aso.
0. 6
,.......;
~º·
~ 0.4
0.2
0.2
o
8
16
Frecuencia
24
o
o
8
Frecuencia
Figura 3.1 Generación de señal PWM. (a)-(b) línea en rojo: señal de referencia,
portadora,
c(t),
24
16
r(t),
línea azul: señal
diente de sierra y triangular, respectivamente. (c)-(d) Señal PWM resultante de (a) y
(b), respectivamente. (e)-(f) Espectro de amplitud de (c) y (d), respectivamente.
37
3.2.1
Patrones PWM generados empleando series dobles de Fourier
Otra forma de generar patrones PWM es empleando el método de series dobles de Fourier. Para
eso en lugar de considerar a las dos funciones involucradas en la generación de PWM como
funciones con diferentes frecuencias, se introduce una función bidimensional en la cual la
portadora y la referencia son consideradas como variables independientes.
Matemáticamente una función bidimensional f ( x, y) que es periódica tanto en x como en
y, con periodo igual a 21r en los dos ejes, puede ser representada por medio de series dobles
de Fourier (Tolstov 1962) en la forma:
f ( X, y) = Áao +
2
+oo
fn=l [Áon
cos (ny) + Bon sin (ny)]
+ ¿]Amo cos(mx)+Bmo sin(mx)]
(3.3)
m=l
+oo ±oo
+ ¿¿[Amn cos(mx+ny)+Bmn sin(mx+ny)],
m=l n=l
donde los coeficientes se definen como
Amn
1
=2
Bmn =
21r
l
2
7r 2
l2Irl27r f(x,y)cos(mx+ny)dxdy,
(3.4)
f 2Ir f 2Ir
Jo Jo f(x,y)sin(mx+ny)dxdy.
(3.5)
o
o
Se llama modulación unipolar (Sun 2012) cuando la señal portadora cambia de O al pico
positivo máximo
(Cm),
la señal de referencia es siempre positiva y la salida PWM cambia de O
a 1. Para generar los modelos espectrales de una función unipolar empleando como señal
portadora una señal diente de sierra o una señal triangular, se debe definir algunos términos tales
como: la frecuencia angular de la señal portadora wc
= 21rfc y la frecuencia angular de la señal
de referencia w 1 = 21rfi. Además, se define el ciclo de trabajo (duty ratio) como:
38
D=~
e'
(3.6)
m
y el índice de modulación:
(3.7)
Los modelos espectrales involucran las funciones de Bessel de primer tipo, Jn (z ),
definidas como:
(3.8)
Este término surge de la doble integral involucrada en la definición de los coeficientes (Ecs.
(3.4) y (3.5)) de las series dobles de Fourier. El argumento z puede ser real o complejo, mientras
que el coeficiente n es real y debe ser entero.
Si se utiliza una señal diente de sierra como portadora y series dobles de Fourier, la salida
del patrón PWM es llamada; "Unipolar Trailing-Edge Modulation" (UTEM) y está definida por
Cuando se utiliza una señal triangular como portadora y la sinusoidal como referencia se
genera una señal PWM denominada "Uni polar Double-Edge Modulation" (UDEM), la cual está
descrita por
39
M
bpwm
(t) = D+-cos(w1t+01 )
t!
+
.10 [-m1r_M-J sin (Dm1r) cos [m (Wi + 0c)]
+¿¿-J
+= ±oo 2
2
(n1rMJ
(2Dm+n)1r
-- sm. ---
(3 .1 O)
2
2
X cos [m (w i + 0c) + n (w1t + 01 )].
m~1 n±l
m7r
n
Analizando las dos ecuaciones anteriores ((3.9) y (3.10)), podemos observar que ambas
salidas tienen en común las siguientes características:
•
Presencia del componente del término DC.
•
Existencia de frecuencia portadora y sus armónicos, en las frecuencias f
= mfc,
m = 1,2, ... ,+oo.
•
Armónicos
laterales
de
la
portadora,
en
las
frecuencias
f = mfc + nfi,
n = ±1,±2, ... ,±oo.
•
Dado que
IJn (x )1 = IJ-n (x )1,
los armónicos laterales aparecen en pares y son simétricos
cada uno respecto a cada armónico de la portadora.
Por último se debe resaltar que la salida de la Ec. (3 .1 O) genera menos armónicos (observe
la Fig. 3.2) que la salida de la Ec. (3.9), en particular los armónicos de las frecuencias
f
= mfc + nfi son igual a cero si m + n es un número par, esto debido a que la amplitud de los
armónicos involucra el término
(m+n)1r
sm---2
40
(3 .11)
(a)
l
(b)
1
_J
0.8
O.
""O
.€
""O
- o.
·--E 0.6
O.
0.2
O.
ª
o.,
s
~ 0.4
~
o
o
Jhl~
5
10
15
Frecuencia
20
o
.
~~
o
25
5
10
15
Frecuencia
(e)
.€
-
25
(d)
1
1
O.
0.8
""O
20
""O
·ª- 0.6
O.
o.,
ª
s
~ 0.4
~ O.
0.2
ºo
5
hL~~~
10
15
20
25
Frecuencia
0.2
~Li.J , ·~
l
ir.ko<:1-,.jc.,'li.¡l.,;,¡¾~
. ¡·.
ºo
5
15
Frecuencia
10
20
25
Figura 3.2 Espectro de amplitud de patrones PWM. (a)-(b) Espectro de amplitud de PWM Unipolar
Triling Edge Modulation y PWM U nipolar Double Edge Modulation, considerando ¡; = 16 y fc = 8¡;,
respectivamente. (c)-(d) Espectro de amplitud de PWM Unipolar Triling Edge Modulation y PWM
UnipolarDouble Edge Modulation, con¡;= 16 y fc = IOJ;, respectivamente.
41
Independiente a la ecuación empleada para generar el patrón PWM ((3.1), (3.9) o (3.10))
existen tres principios que se deben considerar a la hora de diseñar los patrones (Zuo et al. 2012):
Principio 1:
El periodo de las franjas debe ser elegido adecuadamente para evitar errores a la hora de
implementar los algoritmos de corrimiento de fase.
Principio 2:
Independientemente del modelo matemático ((3.1), (3.9) o (3.10)) empleado para generar
el patrón PWM, existen dos maneras de generar los patrones PWM: primero, suponiendo que
deseamos crear un patrón PWM empleando una señal sinusoidal con un periodo de 1000 píxeles
y fe
= l OJi, podemos primero discretizar un periodo del frente de onda sinusoidal y el frente
de onda de la portadora correspondiente a 128 píxeles, después comparar los valores de
intensidad de ambos frentes de onda para obtener el patrón PWM final. La otra forma, es generar
un periodo del frente de onda sinusoidal y del triangular con una tasa de muestreo grande,
comparar estos dos frentes de onda para obtener el PWM, finalmente llevar a cabo un proceso
de sub-muestreo para generar el patrón PWM con la frecuencia deseada.
Principio 3:
Dado que el patrón PWM es binario, el ancho de su espectro es infinito, por lo tanto, existen
problemas de "aliasing" que son inevitables en los patrones PWM discretizados. Para reducir el
efecto de aliasing, la frecuencia portadora fc debe ser elegida adecuadamente, tal como se
muestra en la Fig. 3.3. También observamos que conforme aumentamos la frecuencia de la
portadora, en el dominio de Fourier, se separan los harmónicos de la frecuencia fundamental de
la señal de referencia. Lo anterior ayudaría a implementar un filtro pasa bajos a fin de eliminar
los armónicos.
42
(a)
.
1
'
"O
;:::!
.-;::
,,.,
s
<C
,,,,
,,;
'.''
.'
, '
'1
''
'
'1 ''
' ''
,,
''
':
o..
(b)
' ''
'' ''
,,
''
'•
1
1
..--;
p.
."
<C
o
'
(d)
1-
>-
~
..
' ,,
' ,,1
Eje x
"O
1
•, '
,,1 ,,,,
" ,,,, ,,
,,,, ,,
" ,,
•' "
' '' ''. ; ''
' '. ,, 1 ' '
' ',, ' ,,,,
'
'U
·ª8
(e)
-
'
o
",,
1
Ejex
Eje x
(e)
-
(f)
e<:!
:'9
p
"'
.....p(!)
......
o
-
~
o
~
Eje x (píxeles)
Eje x (píxeles)
(g)
Eje x (píxeles)
(h)
(i)
1
"O
>- >-
'U
·ª],;¿
1
·ª],;¿
o~-~~~-~-~--o
5
10
15
\'
10
5
20
Frecuencia
Frecuencia
15
20
o
O
9
5
10
15
Frecuencia
Figura 3.3 Comparación entre diferentes frecuencias portadoras en patrones PWM. Primera fila: línea
azul señal sinusoidal como señal de referencia, r (x), línea roja señal triangular como señal portadora,
c(x),
(a)
fc = 6fi,
(b)
fc = 10¡;
y (c)
fc = 12¡;.
Segunda fila: (d)-(f) patrónPWM resultante de (a),
(b) y (c), respectivamente. Tercera fila: (g)-(i) espectro de amplitud de (d), (e) y (f), respectivamente.
43
3.3
Filtrado digital
En la introducción de este trabajo se mencionó que actualmente los patrones de franja binarios
generados bajo la técnica PWM, son proyectados fuera de foco. Con ello se consigue capturar
patrones cuasi-sinusoidales que permiten emplear estos patrones en conjunto con los algoritmos
de corrimiento de fase y generar el modelo tridimensional del objeto bajo prueba.
El efecto de desenfoque en patrones binarios de franjas cuadradas puede ser aproximado
como una función gaussiana (Lei and Zhang 2009), definida como
1
G(x,y)=--2 exp
(x-;=r +(y-yr
(3.12)
,
2o- 2
21w
donde o- es la desviación estándar, x y y son los valores medios de los eJes x y y,
respectivamente. Así el grado de desenfoque se representa como la amplitud del filtro Gaussiano
que es determinado por la desviación estándar.
La señal de referencia,
r (x),
se puede recuperar a partir de las imágenes capturadas
aplicando filtros pasa bajos. Esto con el fin de aplicar los algoritmos de corrimiento de fase y
determinar el modelo 3D deseado.
f(x,y)
_ d
t d
ena1 e en ra a
I
F(u,v)
Transformada de
Fourier
1
F(u,v)H(u,v)
de
transferencia
I
Transformada
inversa de F ourier
Figura 3.4 Procedimiento para filtrar una señal en el dominio de la frecuencia.
44
g(x,y)
1
Señal filtrada
En la Fig. 3 .4 se muestran los pasos a seguir para implementar filtros en el dominio de la
frecuencia: 1. Determinar la transformada de F ourier del patrón PWM F (u, v), las componentes
de frecuencia, particularmente la frecuencia fundamental de la señal de referencia,
Ji.
2. Crear
la función de transferencia o filtro pasa bajas, H (u, v ), que atenúe las componentes de
frecuencia correspondientes a los armónicos. 3. Obtener el producto de la transformada de
Fourier del patrón y la función de transferencia del filtro. 4. Finalmente, al producto obtenido
en el paso anterior, se le aplica la transformada inversa de Fourier, a fin de regresar al dominio
espacial del patrón de franjas.
3.3.1
Características de la transformada de Fourier
La transformada discreta de Fourier (DFT por sus siglas en inglés, discrete Fourier transform)
de una función f ( x, y) de tamaño M x N está determinada por:
1 M-IN-1
1-j21r ( ux + ry )] ,
F(u,v)=-¿¿J(x,y)exp
MN
M
x~o y~o
(3.13)
N
donde u= l, 2, ... ,M -1 y v = 1, 2, ... , N - l. De forma similar, su transformada inversa es:
M~N~
¡~ + ryl
J(x,y) = ~~F(u, v)exp j21r M
donde
x=l,2, ... ,M-l y
(3 .14)
N ,
y=l,2, ... ,N-1. Las variables u y v son las variables
correspondientes a la frecuencia, mientras que las variables x y y corresponden a las variables
del espacio imagen.
En procesamiento digital de imágenes, es común centrar el espectro antes de realizar la
r+y para trasladar el
transformada de Fourier, es decir, es común multiplicar f ( x, y) por (- 1
origen de F (u, v) a las coordenadas (M / 2, NI 2 ). Además, el valor de F ( O, O) es el promedio
45
de f ( x, y) dado que ambas frecuencias son cero en el origen, F (O, O) es llamado componente
continua (de) del espectro o la intensidad de fondo en el plano imagen. Si f ( x, y) es real, su
DFT es hermítica y de magnitud simétrica. Las transformadas de Fourier descritas en las
Ecs. (3.13) y (3.14) corresponden a la DFT, la implementación computacional es costosa, por
lo que generalmente se recurre a la transformada rápida de Fourier (FFT por sus siglas en inglés,
fast Fourier transform).
Por lo regular, es imposible asociar directamente componentes específicos de alguna
imagen con su espectro de frecuencia. Sin embargo, dado que la frecuencia está directamente
relacionada con la tasa de cambio podemos asociar intuitivamente las frecuencias en la
transformada de Fourier con las variaciones de intensidad de la imagen. En general, las
componentes de baja frecuencia en la transformada de Fourier son responsables de cambios
suaves en la imagen, las componentes de frecuencias altas corresponden a los detalles finos de
la imagen como bordes y ruido (Gonzalez and Woods 2002).
3.3.2
Filtros pasa bajas
Los filtros pasa bajas son aquellos que sólo permiten el paso de las bajas frecuencias, desde el
término de de hasta la frecuencia de corte fo y elimina todas las frecuencias mayores a ésta.
En procesamiento digital de imágenes, la frecuencia de corte es especificada como una distancia
por lo cual comúnmente se emplea D 0 para representarla. El filtro más sencillo y básico de este
tipo es el filtro ideal pasa bajas, cuya función de transferencia está definido por
H(u,v)=
¡
l,
D(u, v)--5: D0
O,
D(u,v)>D0
(3.15)
donde D (u, v) es la distancia desde cualquier punto (u, v) al origen de coordenadas en el
dominio de Fourier que está determinada por
46
(3 .16)
Estos filtros permiten que todas las frecuencias que se encuentran en el interior del círculo
de radio D0 , "pasen" sin atenuación alguna y las frecuencias fuera de este diámetro sean
atenuadas completamente.
El filtro Gaussiano pasa bajas tiene definida su función de transferencia por
H(u, v) = exp
-D
2
(u v)
2Do2
'
(3 .17)
Estos filtros tienen su máximo en ( O, O), después su valor empieza a disminuir siguiendo
la función gaussiana cuya abertura está dada por D 0 . Además, cuando D (u, v) > D 0 la amplitud
del filtro está por debajo del 60.7% de su máximo.
Los filtros Butterworth pasa bajas tienen su función de transferencia definida por
H(u,v)=
1
+ _D_(u_,v_)
1
2 n,
(3.18)
Da
donde n determina el orden o grado del filtro. Este tipo de filtros tienen una función de
trasferencia suavizada, al igual que los filtros Gaussianos. En los filtros Butterworth cuando
D (u, v) > D 0 se tiene que H (u, v) = 0.5. Por último, se debe mencionar que estos filtros
presentan oscilaciones a partir de n > l aunque cuando n = 2 estas oscilaciones son casi
imperceptibles.
47
3.3.3
Filtros pasa altas
Este tipo de filtros impiden el paso de las componentes de frecuencias, desde el término de hasta
una frecuencia de corte D 0 y permiten el paso de todas las frecuencias mayores a ésta.
La función de transferencia del filtro ideal pasa altas está dada por
H(u,v)=
O,
{
D(u, v) ~ D0
•
(3 .19)
1, D(u,v)>D0
El filtro Gaussiano pasa altas, tiene la función de transferencia definida como
H (u, v) = 1- exp
-D
2
(u, v)
2
2D0
.
(3 .20)
Mientras que la función de transferencia del filtro Butterworth pasa altas se define como
1
H(u,v)=----2-n.
l+ Da
D(u, v)
(3.21)
Por medio de la implementación de los filtros descritos anteriormente y la selección
adecuada de la frecuencia de corte ( D 0 ), es posible transformar los patrones PWM a patrones
sinusoidales, tal como se muestra en la Fig. 3.5. Observamos que en el caso del filtro con una
frecuencia de corte a una distancia de 20 píxeles del origen se recuperó una señal sinusoidal casi
ideal, mientras que en el caso de una frecuencia de corte a una distancia de 30 píxeles del origen
el patrón sinusoidal muestra un rizado.
48
(a)
(b)
(e)
• Filtro Gaussiano
• DFT
• Filtro gaussiano
1
DFT
-o 0.8
-o 0.8
·i
E 0.6
·~
;:::l
0.6
ro 0.4
~
@¡
ro 0.4
~
0.2
o f>---'-""-'~"-"-""~J"~~""-"---'-""'-'----'I
-160
"d
0.8
~
0.6
ro
o
-80
80
160
0.2
0
!>-----"""'-l--.lSJCI
-160
o
-80
Frecuencia
Frecuencia
(d)
(e)
(t)
(g)
80
160
256
320
-o 0.8
ro
~ 0.6
...~5"' 0.40.2
"'
i:::
E 0.4
i:::
,..... 0.2
o
o
1
64
128
192
256
320
64
Píxeles
128
192
Píxeles
Figura 3.5 Aplicación de filtro Gaussiano pasa bajas a un patrón PWM. (a) PWM U nipolar Double Edge
Modulation, con periodo fundamental p = 64 píxeles en la señal de referencia, periodo fundamental
p
= 8 píxeles en la señal portadora. (b)-(c) Línea en rojo: espectro de amplitud de (a), línea en azul:
función de transferencia del filtro Gaussiano pasa bajas con D 0
= 20
píxeles y D 0
= 30
píxeles,
respectivamente. (d)-( e) Patrones en niveles de grises resultado de la aplicación de los filtros Gaussianos
pasa bajas mostrados en (b) y (c), respectivamente. (f)-(g) Corte de línea horizontal en la direcciónx de
los patrones mostrados en (d) y (e), respectivamente.
49
3.4
Resolución de los sistemas de proyección de franjas
En el caso de los algoritmos de corrimiento de fase, la información para obtener el modelo
tridimensional y las mediciones del objeto bajo prueba se obtienen a partir de patrones de franjas
sinusoidales, la calidad de éstos es de suma importancia. El posicionamiento de los elementos
del arreglo experimental así como la selección de éstos determinan la calidad de las imágenes
capturadas.
3.4.1
Selección y posicionamiento de los elementos del arreglo experimental
La selección del tipo de cámara a emplear en el arreglo experimental, depende de los costos,
tamaños y características especiales que se requieran para la medición del objeto. La gran
mayoría de las cámaras actuales utilizan sensores de estado sólido fabricados comúnmente en
silicio; con áreas fotosensitivas definidas geométricamente en la superficie (píxeles ). El formato
del sensor está relacionado con las dimensiones fisicas de este (observe la Tabla 3 .1 ). Por otra
parte, siempre existe compensación entre la resolución y velocidad de operación de la cámara,
cuando la resolución de la cámara es elevada ésta ópera a velocidades más bajas, por lo
contrario, cuando la resolución es baja su velocidad de operación es alta.
La elección de la cámara está directamente relacionada con la(s) lentes que se usarán. Las
lentes están definidas principalmente por tres atributos: distancia focal, abertura y su resolución.
La distancia focal es la medida que determina el poder de magnificación de la lente, cuanto más
grande sea la distancia focal mayor magnificación pero menor campo de visión, y viceversa. La
abertura es el iris que permite controlar la cantidad de luz que puede incidir en el detector. La
resolución de la lente normalmente es especificada como pares de línea por milímetro e indica
el poder de resolución de la lente con base en cuantos espacios de líneas pueden ser resueltas a
través de la lente (Reu 2013).
50
Tabla 3.1 Dimensiones físicas de los sensores CCD comerciales.
Tipo
1 pulgada
2
h de pulgada
1
h de pulgada
1
h de pulgada
1
/ 4 de pulgada
Base (mm)
12.7
8.8
6.4
4.8
3.2
Altura (mm)
9.5
6.6
4.8
3.6
2.4
El otro dispositivo involucrado en el arreglo experimental es el proyector, la selección de
éste depende del costo y características de operación del mismo, por ejemplo: tipo de
proyección, distancia focal, brillo, nivel de ruido, etc. Actualmente en el mercado existen
principalmente dos tipos de tecnología empleadas para desarrollar los sistemas de proyección:
sistemas que emplean pantallas de cristal líquido (LCD) y los proyectores que utilizan arreglos
de espejos desarrollados bajo la tecnología MEMS conocidos como "multimirror display" o
"digital light processor" (DLP). En general, la mayor diferencia entre ellos es la forma de
generar las imágenes a proyectar. Los proyectores LCD emplean tres paneles LCD y son
dispositivos de transmisión de luz, mientras que en los proyectores DLP el chip DLP es una
superficie reflectante compuesta por miles de espejos pequeños, donde cada espejo representa
un píxel (Powell 2008).
Después de seleccionar los dispositivos involucrados en el arreglo experimental, se debe
considerar algunos factores para ubicar estos elementos, tales como: el tipo de proyección, es
decir, si se tiene proyección telecéntrica o divergente, así como la sombra que se generan al
proyectar los patrones sobre el objeto.
En la Fig. 3.6(a) podemos observar que las distancias tanto del objeto-cámara y objetoproyector pueden variar considerablemente afectando en forma geométrica las resoluciones
laterales y longitudinales de las imágenes capturadas. A través del espacio de medición hay una
variedad de formas y tamaños de los píxeles, es decir, los píxeles cercanos a N son píxeles de
forma cuadrada, forma tipo rombo cerca de F y forma rectangular cerca de L y R. En la
Fig. 3. 6(b) se muestra la variación en la función de transferencia de la frecuencia entre el
proyector y la cámara sobre un objeto cilíndrico. Se observa que la región a y b cumplen con el
51
criterio de muestreo de Nyquist. El incremento o decremento en la frecuencia espacial en los
píxeles correspondientes a la región e genera problemas de sobre muestreo y diafonía en los
píxeles vecinos. Además, debido a la posición de los elementos involucrados en la triangulación,
algunas partes del objeto a prueba pueden quedar sin ser iluminadas o no visibles para la cámara
tal como sucede en la región e y f. Otro problema inherente a la triangulación es la aparición de
sombras en la imagen capturada tal como es el caso de la región d.
3.4.2
Resolución del sistema de proyección de franjas
Otro factor que debe ser considerado al momento de seleccionar los elementos del arreglo
experimental, en específico la cámara y las lentes, así como el posicionamiento de los mismos,
es el campo de visión (FOV por sus siglas en inglés, field of view). La selección de un FOV
apropiado es de suma importancia ya que aunado a la resolución de la cámara determina la
exactitud de los desplazamientos de las franjas, así como la resolución espacial de los resultados
(Reu 2012).
(a)
(b)
Objeto cilíndrico
Proyector
Objeto cilíndrico
Cámara
Figura 3.6 (a) Discretización espacial variable. (b) Función de transferencia de frecuencia espacial
variable.
52
El campo de visión de un sistema óptico se expresa habitualmente como el tamaño angular
máximo de un objeto visto desde la pupila de entrada del mismo (Greivenkamp 2004). También
es expresado como el área del objeto capturado por los sensores de la cámara. Esta área debe de
cubrir todo el objeto a medir o reconstruir y además debe tener un área extra, la cual sirve como
tolerancia a los errores de alineación. Cabe mencionar, que el sensor de la cámara y las lentes
modifican el FOV.
La amplificación del sistema óptico indica la efectividad de ampliar o reducir la imagen de
un objeto, y está directamente relacionada con el FOVy las dimensiones del sensor de la cámara:
w
mag = ___EE!!!;_ ,
(3 .22)
WFOV
donde
Wcam
es la dimensión lateral del sensor de la cámara y
WFov
es la dimensión lateral del
FOV.
Por otra parte, sabemos que el área de los sensores de las cámaras se divide en píxeles y
que las imágenes son almacenadas como matrices de píxeles. Por lo tanto, el tamaño real de los
píxeles está definido por la razón entre el FOV y el número de píxeles;
p
=
tam
WFOV
# pixeles
(3.23)
Es importante señalar que en los sistemas de medición, el tamaño del píxel no determina la
resolución de la cámara digital, esto debido a que la intensidad de la luz que incide en un píxel
puede producir carga en píxeles adyacentes. La resolución de la cámara está determinada por la
separación de al menos un píxel que ésta tenga para resolver dos puntos, por lo tanto
Rcam
= 2x~am'
(3.24)
La resolución de la cámara y la amplificación del sistema óptico determinan la separación
mínima entre dos puntos en el objeto bajo estudio que pueden ser discriminados por la cámara,
es decir, determinan la resolución del sistema de adquisición de imágenes:
53
R
sistema
= Rcam
(3.25)
mag
Otro aspecto importante que se debe considerar en los sistemas de medición por proyección
de franjas es el límite de resolución de la profundidad. Éste está determinado por
~Z=
p
(3.26)
sin( a)'
donde pes el periodo del patrón de franjas y a es el ángulo entre los ejes ópticos de la cámara
y el proyector. La Ec. (3 .26) se emplea cuando se tiene proyección telecéntrica de los patrones
de franjas, en caso de que la proyección de franjas sea de forma divergente, el límite de
resolución de profundidad está determinado por
~Z=
pM
(3 .27)
tan( a)'
dondeM representa la amplificación del sistema óptico del proyector. Finalmente la razón entre
resolución de profundidad y las dimensiones del objeto bajo prueba, es:
Razón de resolución de profundidad-dimensión lateral= .6.z
(3 .28)
WFOV
La razón entre la resolución de profundidad y las dimensiones del objeto, así como la
resolución del sistema de adquisición de imágenes, permiten determinar si la selección y
posicionamiento de los elementos del arreglo experimental son los adecuados para obtener la
medición y modelo 3D del objeto bajo análisis, además, permiten establecer si la frecuencia
empleada en los patrones de franjas es la ideal para el mismo fin.
54
CAPÍTULO 4.
4.1
RESULTADOS
Introducción
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos tras la implementación del método
propuesto para generar modelos 3D de objetos estáticos. En la primera parte de este capítulo se
presentan las características del arreglo experimental empleado, así como su resolución teórica.
Posteriormente, se presentan los resultados obtenidos en una segunda serie de
experimentos, la cual consistió en la proyección y captura de patrones sinusoidales que fueron
analizados en el dominio de la frecuencia, esto con la intención de mostrar el efecto de la
respuesta no lineal del sistema proyector-cámara, lo cual se traduce como la introducción de
armónicos en los patrones capturados.
En una segunda serie de experimentos se realizó una comparación entre cuatro formas de
generar patrones binarios empleando la técnica de PWM, esto con el propósito de determinar y
seleccionar, cuál de esas técnicas es la óptima para generar dichos patrones. Posteriormente, se
proyectaron los patrones codificados en imágenes a color (RGB). Los patrones proyectados y
adquiridos fueron procesados digitalmente con el fin de sintetizar patrones sinusoidales a partir
de los patrones binarios, esto se realizó mediante la aplicación de filtros pasa bajas. Los patrones
sinusoidales posteriormente, fueron procesados mediante los algoritmos de corrimiento de fase
explicados en el capítulo 2 de este trabajo, para obtener la información necesaria para reconstruir
y visualizar el modelo 3D del objeto bajo prueba.
En la parte final del capítulo, se comparan los resultados obtenidos empleando el método
propuesto, proyección desenfocada de patrones PWM y el método clásico de corrimiento de
fase.
55
4.2
Arreglo experimental
El arreglo experimental consistió de un proyector comercial, ViewSonic PJD7820HD y una
cámara CCD Torlabs DCU-224C bajo un ángulo de vista 0 ;=::j 36°, el procesamiento de las
imágenes se realizó en el software Matlab R2013b, el cual está instalado en una computadora
que cuenta con un procesador Intel Core i7-3630 a 2.40GHz. En las Tablas 4.1-4.3 se muestran
algunas de las características de la cámara, la lente y el proyector empleados en el arreglo
experimental. En la Fig. 4.1 se muestra la configuración del sistema de proyección de franjas
empleado para el proceso de medición y determinación del modelo 3D del objeto bajo estudio.
Tabla 4.1 Características principales de la cámara Thorlabs DC-224C.
Resolución del píxel
Clase del sensor óptico
Modelo del sensor
Tamaño del píxel
Dimensiones del sensor
1280x 1024
1/2 pulgada, color
ICX205AK (Sony)
4.65 µm x 4.65 µm
5.95mm x 4.76 mm
Tabla 4.2 Características principales de la lente MVL-25.
Distancia focal
JI#
Enfoque
Distancia mínima del objeto
25mm
F/1.6 a 16
Manual
0.21 m
Tabla 4.3 Características principales del proyector ViewSonic PJD7820HD.
Tipo
Resolución
Lente
Distancia focal
Nivel de ruido
56
DLP
1920 x 1080 (nativa)
Zoom óptico manual l.3x
0.8 m a 7.6 m
35 dB/ 29 dB
(a)
Pantalla de
referencia
CCD
~ 94.5 cm
~31 cm
Pro ector
(b)
CCD
w
~ 31 cm
Figura 4.1 Arreglo experimental. (a) Vista lateral de la configuración del arreglo experimental. (b) Vista
frontal (sin la pantalla de referencia) de la configuración del arreglo experimental.
57
La resolución del sistema de adquisición de imágenes fue determinado de la siguiente
forma:
l. La resolución de la cámara se determinó empleando la Ec. (3.24), donde el tamaño de
píxel fue tomado directamente de las especificaciones del fabricante de la cámara.
2. La amplificación del sistema óptico se calculó por medio de la Ec. (3 .22), tomando las
dimensiones del sensor de la cámara directamente del manual del fabricante de la
cámara y
WFov
= 212 mm.
3. Una vez calculados la resolución de la cámara y la amplificación del sistema óptico, por
medio de la Ec. (3 .25) se obtuvo el valor de la resolución del sistema óptico.
Tras determinar la resolución del sistema óptico, se calculó el límite de resolución de la
profundidad empleando la Ec. (3.27), donde el periodo de los patrones de franjas y la
amplificación del sistema de proyección
(pM)
se sustituyeron por el valor de resolución del
sistema óptico obtenido previamente. Finalmente, se obtuvo la razón entre la resolución de
profundidad y la dimensión del objeto bajo estudio aplicando la Ec. (3.28). Los resultados
obtenidos se muestran en la Tabla 4.4.
Tabla 4.4 Resolución del sistema de experimentación.
Tamaño del píxel
Dimensiones del sensor
FOV
Resolución de la cámara
Amplificación del sistema óptico
Resolución del sistema óptico
Angulo entre ejes ópticos
Límite de resolución de profundidad
Razón de resolución de profundidad y dimensiones del objeto
58
4.65 µm x 4.65 µm
5.95mm x 4.76 mm
212 mm x 172 mm
0.0093 mm
0.0280
0.3313 mm
-18º
0.9634 mm
94
20683
4.3
Experimentación
En la primera serie de experimentos, se muestra la distorsión de los patrones sinusoidales
producida por la no linealidad del proyector-cámara CCD empleados en el arreglo experimental.
Para ellos, se generó un patrón de franjas sinusoidales horizontales utilizando la Ec. (2.1 ), con
A= 255 / 2, B = A, con periodo fundamental p
=
32 píxeles y tamaño del patrón de
1280xl024 píxeles.
En la Fig. 4.2, en el inciso (a) se muestra el patrón de intensidad generado, en el inciso (b)
se muestra la imagen capturada tras proyectar (a) sobre una superficie plana (la cual en los
experimentos siguientes será referida como plano de referencia). Se puede observar que existe
una diferencia de intensidad entre ambos patrones, la cual es apreciada claramente al hacer un
corte de intensidad a lo largo de una línea vertical sobre estas dos imágenes, como se muestra
en (c) y (d). En la gráfica (ver Fig. 4.2(c)) se observa una señal sinusoidal uniforme, donde cada
ciclo de la sinusoidal tiene el mismo período y distancia pico-valle. Sin embargo, en (d) esto no
es así, donde se observar una alteración en el término de de generada por la iluminación de
fondo y por las características del sistema de proyección y adquisición de imágenes. Para
analizar la forma sinusoidal de los patrones, éstos fueron analizados en el dominio de frecuencia,
tal como se muestra en (e) y (f). En la Fig. 4.2(e) se puede observar el espectro de amplitud de
(c), el cual consiste de un término de y la frecuencia fundamental. En (f) se observa la aparición
de más harmónicos, provocados por la no linealidad del sistema proyector-cámara y por la
inclusión de ruido.
59
(a)
(b)
(e)
(d)
250
250
200
200
"O
"O
ro
~
ro
150
"O
·;¡;
Vi
e:
V
e
--
150
e:
<l.)
=
100
100
50
50
0
o
100 200 300 400
soo
600 700 8009001 000
ºo
100 200 300 400 500 600 700 800 900 IOOC
Píxeles
Píxe les
(e)
(f)
0.8-
J
o_o____....so-~·~o·~-~-....so___1....oo_.
0 --1
Frecuenci a
O -100
-SO
o
50
Frecuencia
100
Figura 4.2 Patrones sinusoidales. (a) Patrón de franjas sinusoidal generado empleando la Ec. (2.1).
(b) Captura de la proyección de (a) sobre el plano de referencia. (c)-(d) Corte de línea vertical de la
columna 640 del patrón mostrado en (a) y (b), respectivamente. (e)-(f) Espectro de frecuencia de (a) y
(b ), respectivamente.
60
(d)
(e)
(h)
(a)
(1)
O. .
lo.6
-o
O.
0.8
.g 0.6
-~
Qo4
ª0.4·
-=
1
(h)
-= 0.2
20
40
60
~o
Pixc lc,
0.1
~
100
120
1
20
40
60
80
Pí, clc,
100
120
1
20
40
60
81)
Pixck,
101)
120
1
20
40
60
~o
l llO
1211
Pí,clc,
Figura 4.3 Tipos de patrones PWM. (a) PWM diente de sierra. (b) PWM triangular. (c) PWM UTEM.
(d) PWM UDEM. (e), (f), (g) y (h) Corte de intensidad a lo largo de una línea vertical en la columna 640
de (a), (b), (c) y (d), respectivamente.
La siguiente serie de experimentos se diseñó para analizar las diversas formas de generación
de patrones PWM mencionados en el capítulo 3, con el propósito de seleccionar el tipo de
patrones PWM que presente menor número de armónicos y facilite la síntesis de patrones
sinusoidales para ser empleado en el proceso de obtención del modelo 3D del objeto de prueba.
Para lograr lo anterior, se generaron cuatro patrones PWM (observe la Fig. 4.3), cada uno
bajo una técnica diferente. El primer patrón se creó empleando la Ec. (3 .1) donde se utilizó una
señal sinusoidal como señal de referencia dada por la Ec. (3 .2), con A= 255 / 2, B = A, 01 = O
y periodo fundamental p = 32 píxeles. Además, como señal portadora se empleó un señal
diente de sierra con fase inicial y periodo fundamental p = 4 píxeles. El segundo patrón PWM
generado tuvo los mismos parámetros de diseño que el patrón anterior, solamente difirió en la
forma de onda empleada como señal portadora, en este caso se empleó una señal triangular. El
tercer patrón PWM fue generado mediante la Ec. (3.9), empleando los valores anteriores de
amplitud, modulación, frecuencia, periodo fundamental y fase inicial, tanto en la señal
moduladora como en la señal portadora. Finalmente, el cuarto patrón PWM fue generado
siguiendo la forma de la Ec. (3 .1 O) con los mismos parámetros que los patrones anteriores.
61
Para facilitar la diferenciación entre los cuatro tipos de patrones PWM, a partir de aquí los
patrones generados por la Ec. (3.1) donde se emplee una señal diente de sierra como portadora,
serán referidos como PWM diente de sierra, mientras que los que los patrones generados con la
misma ecuación pero utilizando una señal triangular como portadora, serán referidos como
PWM triangular. Los patrones generados con la Ec. (3 .1 O) serán nombrados PWM UTEM y los
que sean generados usando la Ec. (3 .11) serán llamados PWM UDEM.
En la primera columna de la Fig. 4.4 se muestra las capturas de los patrones anteriores tras
ser proyectados sobre el plano de referencia, se puede observar que las imágenes capturadas
están en escalas de grises y no binarias como idealmente se esperaría. En la segunda columna
de la Fig. 4.4 se muestran los cortes de intensidad a lo largo de una línea vertical de cada una de
las imágenes adquiridas, una vez más se puede apreciar que la distribución de la intensidad no
es uniforme durante todo el patrón y se tiene un término de de adicional. Finalmente, en la
tercera columna de la Fig. 4.4 se muestra el espectro de amplitud de cada una de las imágenes
capturadas; es importante observar que aunque cada espectro de frecuencia es diferente, el
primer componente de frecuencia lateral corresponde a la señal moduladora y al ser espectro de
amplitud bilateral, ésta se encuentra a ambos lados del término de de y a la misma distancia del
mismo.
En orden de procesar patrones estrictamente binarios, a los patrones capturados se les aplicó
el método de binarización, denominado Otsu (Otsu 1979). El siguiente paso fue aplicar un filtro
Gaussiano pasa bajas definido por la Ec. (3.17), con D0 = 16 píxeles. La Fig. 4.5 muestra los
resultados obtenidos, en la primera columna se muestran los patrones de intensidad tras el
filtrado; se observa que los patrones ahora están en escala de grises. Sin embrago, tal como se
muestra en la segunda columna estos patrones no tienen la misma amplitud entre cada periodo
de la sinusoidal, lo cual implica que no tienen una distribución uniforme de la intensida,
finalmente, la tercer columna muestra los espectros de frecuencia de cada uno de los patrones,
donde los harmónicos que no corresponden a la sinusoidal han sido eliminados tras la
implementación del filtro pasa bajas.
62
(b)
(e)
250
200
0.8
"O
(,$
-~
150
]
100
"O
]e:
0.6
~
::E
50
0.4
0.2
O 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(d)
-400 -300 -200 -100 O
100 200 300 400
Píxeles
Frecuencia
(e)
(t)
250
200
0.8
"O
_g
"O
·i
150
-~
0.6
(,$
~
]
::E
100
~
-----
.____
50
0.4
0.2
- -- - - - ~
O 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(g)
-400 -300 -200 - 100 O
100 200 300 400
Píxeles
Frecuencia
(h)
(i)
250
200
0.8
-g
"O
B
150
o
] 100
"O
·;;;
-~ 0.6
(,$
::E
50
0.4
0.2
O
O 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
L-_._._...,,........_,........
,....,....._.._..u•...a.•.._.•......._~....J
-400 -300 -200 -100 O
100 200 300 400
Píxeles
Frecuencia
(k)
(l)
250
200
0. 8
"O
"O
~
"'
150
]
100
a1
.2
-~ 0.6
::E
0.4
0.2
50
O 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Píxeles
-400-300-200 - 100 O
100 200 300 400
Frecuencia
Figura 4.4 Patrones PWM capturados. Primera columna; (a) PWM diente de sierra. (d) PWM triangular.
(g) PWM UTEM. (j) PWM UDEM. Segunda columna; (b), (e), (h) y (k) corte de intensidad a lo largo
de una línea vertical en la columna 640 de (a), (d), (g) y (j), respectivamente. Tercer columna; (c), (f),
(i) y (1) espectro de amplitud de la transformada de Fourier de (a), (d), (g) y (j), respectivamente.
63
(a)
(e)
(b)
-o
~00
0.8
-o
·ª
0.6
¡::
ro
~
,.s
0.2
0.4
0. 2
o
200
400
600
800
o
1000
(e)
(t)
08
-o
·ª
:3 0.6
"'
i::
¡::
0.8
0.6
blJ
ro
O4
.s ·
~ 0.4
0.2
0.2
o
200
400
600
800
o
1000
(h)
(i)
0.8
0. 8
'Ó
..§
¡::
06
O. 6
blJ
ro
2 0.4
~
,.s
0.2
0.4
0. 2
o
200
400
600
800
o
1000
-400-3 00 -200- IDO
O IDO 200 300 400
Píxeles
Frecuencia
(k)
(1)
(j)
0.8
t
-o
'Ó
-fl
O 100 200 300 400
Frecuencia
i::
·::;;
-400 -300 -200 - 100
Píxeles
(g)
~00
O IDO 200 300 400
Frecuencia
ro
-o
-400 -300-2 00 -100
Píxeles
(d)
o;
0.6
blJ
i::
2 0.4
-o
0. 8
0.6
i::
ro
~
2 0.4
,.s
0.2
0.8
0.6
0.4
0.2
o
200
400
600
Píxeles
800
1000
o
-400 -300 -200-IDO
O IDO 200 300 400
Frecuencia
Figura 4.5 Patrones filtrados. (a), (d), (g) y (j) patrón de intensidad obtenido tras la aplicación de filtro
Gaussiano pasa bajas con D0 = 16 píxeles a los patrones PWM diente de sierra, PWM triangular, PWM
UTEM y PWM UDEM, respectivamente. (b), (e), (h) y (k) corte de intensidad a lo largo de una línea
vertical en (a), (d), (g) y (j), respectivamente. (c), (f), (i) y (1) Espectro de amplitud de la transformada
de Fourier de (a), (d), (g) y (j), respectivamente.
64
Después de comprobar que los cuatro tipos de patrones PWM se pueden transformar en
patrones "cuasi-sinusoidales" por medio de la aplicación de filtros digitales pasa bajas, se
procedió a generar los patrones necesarios para aplicar el método de PS de 3 pasos. Todos los
patrones PWM independientemente de la técnica empleada para generarlos, fueron diseñados
con los siguientes parámetros:
•
Señal moduladora o de referencia, r ( x ), con amplitud A= 25512, modulación
B = A, periodo fundamental p = 32 píxeles, fase inicial 01 = -21r /3, O y 21r /3 para
1¡, 12 e 13 , respectivamente.
•
Señal portadora,
p
e (x), con frecuencia fc = 8Ji ciclos por patrón, periodo fundamental
= 4 píxeles y fase inicial 0c = O para 1¡, 12 e 13 .
Los patrones antes de ser proyectados fueron codificados en una imagen RGB: el patrón 11
en el canal R, 12 en el canal G y el patrón 13 en el canal B de la imagen, tal como se muestra en
la Fig. 4.6.
(a)
(b)
(e)
(d)
Figura 4.6 Codificación de los patrones de franjas PWM UDEM en una imagen RGB. (a) 11 en el canal
rojo. (b) 12 en el canal verde. (c) 13 en el canal azul. (d) Patrón RGB resultante.
65
Cada una de las imágenes RGB fueron proyectadas sobre el plano de referencia.
Posteriormente, las imágenes a color capturadas se separan en sus tres canales, obteniendo así
tres imágenes en escala de grises, es decir, el canal rojo fue asignado a 1¡, el canal verde a 12 y
el canal azul a 13 . Después, cada patrón de intensidad fue binarizado empleando el método de
Otsu, para pasar de patrones binarios a sinusoidales se empleó un filtro digital Gaussiano pasa
bajas con D 0 = 16 píxeles. Además para eliminar el término de de en cada patrón, se aplicó un
filtro Butterwoth pasa altas de orden n = I O y D 0 = 4 píxeles. Tras el proceso anterior se aplicó
la Ec. (2.3) con la cual se obtuvo el mapa de fase envuelta en un intervalo de
(-1r, 1r ). Para
obtener el plano de fase desenvuelta se aplicó el método de desenvolvimiento de fase de Itoh.
Los resultados obtenidos para el proceso anterior empleando patrones PWM UDEM se muestran
en la Fig. 4.7.
Una vez obtenidos los planos de fase desenvuelta correspondiente a cada tipo de patrón
PWM, se hizo una comparación entre estos planos; a cada uno de ellos se le generó un plano
por medio de ajuste de regresión lineal, al cual se le restó el plano de fase desenvuelto original,
esta resta se usó para calcular la varianza entre ellos y así tener una medida de dispersión de
cada plano obtenido tras la implementación del algoritmo de PS de 3 pasos.
En la Fig. 4.8 se muestra la sección correspondiente a los píxeles 256 a 768 de la columna
640 de cada plano de fase obtenido, así como la línea de ajuste por regresión lineal calculada.
Se puede observar que ninguno de los planos de fase se ajusta por completo a una línea recta
ideal. Además, los mapas de fase desenvuelta obtenidos por medio de la implementación de
patrones PWM diente de sierra y triangulares tienen valores similares, mientras que los planos
obtenidos implementando PWM UTEM y UDEM son parecidos entre sí.
En la Tabla 4.5 se muestra los valores de varianza máxima obtenidos en cada tipo de patrón
PWM, se puede observar que el patrón PWM UDEM es el que presenta menor dispersión en
sus datos.
66
(a)
(b)
(e)
3
2
Q)
~
!.I.,
o
-1
-2
-3
'-----'--''---"'----'-'---"----'--'---"--'---L.L.----'--'-------'----'----LI
1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 l 000
Píxeles
(e)
(d)
100, ~~~~~~~~~~~
90
80
70
60
~ 50
1.I.; 40
Q)
30
20
10
º ~----'---~-~~~-~~~~----'---~
1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Píxeles
Figura 4. 7 Reconstrucción del plano de referencia empleando patrones PWM UDEM y algoritmo de PS
de 3 pasos. (a) Imagen capturada. (b) Visualización en niveles de grises del plano de fase envuelto
recuperado. (c) Corte de línea vertical en la columna 640 de (b). (d) Visualización en niveles de grises
del plano de fase desenvuelta recuperado. (e) Corte de línea vertical en la columna 640 de (d).
67
Tabla 4.5 Varianza máxima obtenida en los cuatro tipos de patrones PWM, tras la implementación del
algoritmo de PS de 3 pasos y proyección de patrones PWM en una imagen RGB.
Tipo dePWM
Diente de sierra
Triangular
UTEM
UDEM
Varianza
0.0354
0.1250
0.0367
0.0229
(a)
(b)
60
60
55
55
50
50
(1)
Cl'.l
ro
µ,
45
40
40
35 ~ - ~ - - ~ - ~ - - ~ - - ~
384
434
484
534
584
634
35 ~ - ~ - - ~ - ~ ~ - ~ - -~
384
434
484
534
584
634
Píxeles
Píxeles
(e)
(d)
60
60
55
55
50
50
(1)
Ul
(1)
Ul
ro
µ,
ro
45
µ, 45
40
40
35 '---~----'-----'---~--LI
384
434
484
534
584
634
35 '----'------'-----'---~--LI
384
434
484
534
584
634
Píxeles
Píxeles
Figura 4.8 Fase desenvuelta obtenida y ajuste por regresión lineal de la misma. Línea azul corresponde
a la fase desenvuelta, línea roja corresponde al ajuste de por regresión lineal. (a), (b), (c) y (d)
visualización del corte de línea vertical en la columna 640 y renglones 384 a 634 de los valores de fase
de línea desenvuelta y valores por ajuste de regresión lineal calculados tras procesar los patrones PWM
dientes de sierra, PWM triangulares, PWM UTEM y PWM UDEM, respectivamente.
68
Para confirmar que los patrones PWM UDEM son los que presentan menor dispersión tras
la implementación de los algoritmos de PS, en la siguiente serie de experimentación se
generaron cuatro patrones PWM de cada tipo, para ser empleados en el algoritmo de PS de
4 pasos. Estos patrones fueron colocados en dos imágenes RB, las cuales son una imagen RGB
donde sólo se emplearon los canales rojo y azul (observe la Fig. 4.9), el patrón correspondiente
a 11 se colocó en el canal R de la primera imagen, el patrón 12 se codificó dentro del canal B de
la primear imagen, el patrón 13 en el canal R de la segunda imagen y finalmente el patrón 14 en
el canal B de la segunda imagen.
Los parámetros de cada patrón fueron los mismos que en el método de 3 pasos, exceptuando
los valores de fase inicial de la señal portadora o señal de referencia, los cuales fueron 01 = O,
1r / 2, 1r y 31r / 2 para 1¡, 12 , 13 e 14 , respectivamente.
(a)
(b)
(e)
(d)
(e)
(t)
Figura 4.9 Codificación de los patrones de franjas PWM UDEM en dos imágenes RB. (a) 11 en el canal
rojo. (b) 12 enel canal azul. (c) PatrónRB resultado de insertar (a) y (b) en una imagenRGB. (d) 13 en
el canal rojo. (e) 14 en el canal azul. (d) Patrón RB resultado de insertar (d) y (e) en una imagen RGB.
69
Las dos imágenes resultantes fueron proyectadas sobre la pantalla der referencia y las
capturas fueron procesadas de la siguiente forma; primero, se separaron los canales de las
imágenes capturadas: la información del canal R de la imagen 1 en 11 , la información del canal
B de la imagen 1 en 12 , la información del canal R de la imagen 2 en 13 y la información del
canal B de la imagen 2 en 14 . Después cada patrón de intensidad fue binarizado empleando el
método de Otsu. Posteriormente, cada patrón de intensidad fue filtrado mediante un filtro digital
Gaussiano pasa bajas con D0 = 16 píxeles y un filtro digital Butterwoth pasa altas de orden
n = l O y D0 = 4 píxeles. Finalmente, el plano de fase envuelto fue obtenido empleando la
Ec. (2.8) y una vez más el método de desenvolvimiento de fase de Itoh fue usado para obtener
la fase desenvuelta. En la Fig. 4.1 O se muestran los resultados obtenidos empleando los patrones
PWMUDEM.
Para determinar la varianza de los planos de fase desenvuelta para cada uno de los tipos de
PWM, se siguió el mismo proceso que en la serie de experimentos anteriores. Los valores de
varianza calculados se muestran en la Tabla 4.6.
Tras observar los valores de varianza reportados tanto en la Tabla 4.5 como en la Tabla 4.6,
se seleccionó a los patrones PWM UDEM para ser empleados en los siguientes experimentos,
esto debido a que en ambas tablas estos patrones presentan menor varianza.
Tabla 4.6 Varianza máxima obtenida en los cuatro tipos de patrones PWM, tras la implementación del
algoritmo de PS de 4 pasos y proyección de patrones PWM en dos imágenes RB.
Tipo dePWM
Diente de sierra
Triangular
UTEM
UDEM
70
Varianza
0.0178
0.0142
0.0189
0.0142
(a)
(b)
(e)
(d)
3
2
(1.)
~
µ..
o
-1
-2
-3 ~~~~~~~-~~~-~~
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Píxeles
(e)
(t)
100
90
80
70
(1.)
~
60
so
µ.. 40
30
20
10
O ~~~-~~~-~~~-~~
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Píxe les
Figura 4.10 Reconstrucción del plano de referencia empleando patrones PWM UDEM y algoritmo PS
de 4 pasos. (a)-(b) Imágenes capturadas. (c) Visualización en niveles de grises del plano de fase envuelto
recuperado. (d) Corte de línea vertical en la columna 640 de (c). (e) Visualización en niveles de grises
del plano de fase desenvuelta recuperado. (f) Corte de línea vertical en la columna 640 de (e).
71
Las siguientes series de experimentos fueron orientadas a la comprobación de la viabilidad
del método propuesto para obtener el modelo 3D y las dimensiones de un objeto determinado.
Para esto, se empleó una máscara de poliestireno expandido como objeto bajo estudio.
En orden de probar la implementación de los patrones PWM UDEM y el algoritmo de
corrimiento de fase de 3 pasos, se proyectaron los patrones anteriormente codificados en una
imagen RGB (4.6(d)) sobre el objeto bajo prueba. La imagen capturada fue procesada
exactamente de la misma forma que las imágenes capturadas del plano de referencia. Los
resultados obtenidos se muestran en la Fig. 4.11.
Una vez obtenido el plano de fase desenvuelto del objeto bajo análisis y recordando que ya
se obtuvo el plano de fase desenvuelta del plano de referencia, se deben convertir los valores de
fase a medidas de altura o profundidad (milímetros en este caso), para lo cual se implementa la
triangulación y calibración;
1. Se capturaron 3 imágenes adicionales del plano de referencia, cada una con un
desplazamiento de 5 mm entre cada imagen sucesiva. Estas imágenes fueron procesadas
de forma idéntica al plano de referencia: separar los canales RGB, binarizar, filtrar para
recuperar la forma sinusoidal, recuperación del plano de fase envuelta y obtención del
plano de fase desenvuelta.
2. Se obtuvieron las diferencias de fase entre los planos de calibración y el plano de
referencia,
t,...cpi (x, y),
tal como se indica en la Ec. (2.28), los resultados obtenidos en
conjunto con los valores de desplazamientos, h¡ ( x, y), fueron empleados en la
Ec. (2.29) para obtener los valores de calibración, K ( x, y).
3. Aplicando la Ec. (2.26) se obtuvo la diferencia de los planos de fase desenvuelta del
objeto y del plano de referencia,
t,...cp (x, y).
4. Finalmente, aplicando la Ec. (2.25) se obtuvieron las dimensiones de la altura del objeto
bajo estudio, h ( x, y).
La reconstrucción tridimensional obtenida se muestra en la Fig. 4.12(a).
72
(a)
(b)
(e)
3
2
(l.)
~
J:.I..;
o
-1
)
I
-2
-3 ~~~~~~~~~~~~~
l l 00 200 300 400 500 600 700 800 900 l 000
Píxeles
(e)
(d)
90 ~~~~-~~~~-~~~
80
70
60
~ 50
ro
J:.I..;
40
30
20
10
o-~-~-~--~-~~~
l 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000
Píxeles
Figura 4.11 Reconstrucción del plano de fase del objeto empleando patrones PWM UDEM y algoritmo
de PS de 3 pasos. (a) Imagen capturada. (b) Visualización en niveles de grises del plano de fase envuelto
recuperado. (c) Corte de linea vertical en la columna 640 de (b). (d) Visualización en niveles de grises
del plano de fase desenvuelta recuperado. (e) Corte de linea vertical en la columna 640 de (d).
73
(a)
(b)
60
60
mm30
mm30
o
o
"'° 600 ······ .
i ~ 800 .
v'
1000
1200
o
o
(e)
60
mm30
(J
Figura 4.12 Comparación entre los modelos 3D obtenidos tras implementar el algoritmo de PS de 3
pasos y proyección de imágenes RGB. (a) Patrones binarios tipo PWM UDEM en foco y filtros pasa
bajas. (b) Patrones binarios PWM UDEM proyectados fuera de foco. (c) Patrones de franjas sinusoidales.
74
En forma de comparación, se aplicó el algoritmo de PS de 3 pasos proyectando los mismos
patrones PWM UDEM codificados anteriormente en una imagen RGB (ver Fig. 4.6(d)), sólo
que en esta ocasión se proyectaron aplicando desenfoque manual al proyector. La proyección y
captura se realizó tanto en el plano de referencia como en el objeto de prueba. Para el proceso
de generación del modelo 3D, se separaron los canales de la imagen capturada asignando el
patrón correspondiente al canal R a 1¡, el canal G a 12 , y el canal B a 13 . Por medio de la
aplicación de la Ec. (2.3) se obtuvo el mapa de fase envuelto, el cual fue desenvuelto aplicando
el método de desenvolvimiento de Itoh. Una vez obtenidos los mapas de fase desenvuelta, se
aplicó el proceso de triangulación y calibración para obtener la altura del objeto bajo estudio,
de forma idéntica que en la calibración realizada a los patrones PWM UDEM, se emplearon tres
patrones adicionales desplazados 5 mm entre ellos, a los cuales tras haber obtenido sus planos
de fase desenvuelta se les aplico las ecuaciones (2.28) y (2.29) para obtener la matriz de
calibración. Finalmente, a la resta del plano de fase desenvuelta del objeto menos el plano de
fase desenvuelta de la referencia se le aplicó la Ec. (2.25), así se obtuvieron las dimensiones de
altura del objeto. La reconstrucción 3D se muestra en la Fig. 4.12(b ). Como comparación, se
crearon patrones sinusoidales siguiendo la forma de la Ec. (2.2) con amplitud A= 255 / 2,
modulación B = A y fase inicial 01 = -21r /3, O y 21r /3 para 1¡, 12 e 13 , respectivamente.
Cada patrón de intensidad fue colocado en cada canal RGB de una imagen de este tipo. Esta
imagen fue procesada de forma idéntica que los PWM UDEM desenfocados para obtener el
modelo 3D del objeto así como sus dimensiones de altura. El modelo tridimensional obtenido
se muestra en la Fig. 4.12(c).
La Tabla 4.7 muestra los valores de altura máximos obtenidos con cada uno de los tres
métodos anteriores, así como la varianza máxima calculada en cada uno de ellos.
75
Tabla 4. 7 Altura y varianza máximas obtenidas tras aplicar el algoritmo de PS de 3 pasos, empleando
imágenes RGB.
Tipo de patrón de franjas empleado
UDEMPWM
UDEM PWM desenfocados
Sinusoidal
Altura (mm)
h(750,570)= 56.5
h(756,557)=57. l
h(746,556)=57. l
Varianza
0.0229
0.0285
0.0298
El siguiente paso fue obtener la reconstrucción del mismo objeto empleando algoritmo de
corrimiento de fase de 4 pasos, para lo cual se emplearon los patrones previamente codificados
en dos imágenes RB (observe la Fig. 4.9(c) y (f)), las cuales fueron proyectadas sobre el objeto
bajo análisis. Las imágenes capturadas fueron procesadas de la misma forma en la que se
procesaron las imágenes proyectadas sobre el plano de referencia; empleando los patrones RB
y el algoritmo de PS de 4 pasos. En la Fig. 4.13 se muestran los resultados obtenidos.
Para convertir los términos de fase a milímetros y así obtener las medidas de profundidad
del objeto, se hicieron tres capturas adicionales de cada uno de los dos patrones RB del plano
de referencia; en cada captura el plano de referencia se desplazó 5 mm. Estas imágenes se
procesaron para obtener la fase desenvuelta y así poder calcular la matriz de calibración
K ( x, y). Después, se obtuvo la diferencia de fase entre el plano de fase desenvuelta del objeto
y el plano de fase desenvuelta del plano de referencia,
~<P (x, y), dicha diferencia fue
multiplicada por la matriz de calibración y así se obtuvieron las dimensiones de altura del objeto
bajo prueba, h(x,y ). La reconstrucción 3D obtenida se muestra en la imagen 4.14(a).
Una vez más, como comparación se hicieron las reconstrucciones empleando proyección
de los patrones PWM UDEM desenfocados y patrones sinusoidales aplicando el algoritmo de
PS de 4 pasos, donde los patrones sinusoidales creados siguen la forma indicada en la
Ec. (2.7), con A= 255 / 2, B = A, p = 32 píxeles y 01 = O, 1r / 2, 1r y 31r / 2 para 1¡, 12 , 13
e 14 , respectivamente. En ambos casos, el proceso que se siguió fue; asignar el canal R de la
primera imagen capturada a 1¡, asignar el canal B de la misma imagen a 12 , el canal R de la
76
segunda imagen capturada a 13 y el canal B de la misma imagen a 14 . Por medio de la aplicación
de la Ec. (2.8) se obtuvo el plano de fase envuelta, el cual fue desenvuelto por medio del método
de desenvolvimiento de Itoh. Se convirtieron los valores de fase a milímetros por medio de
triangulación y calibración, para lo cual se emplearon tres capturas adicionales del plano de
referencia desplazadas 5 mm entre sí. Las capturas fueron procesadas para obtener sus planos
de fase desenvuelta los cuales fueron empleados para determinar la matriz de calibración,
K ( x, y), empleada para obtener las dimensiones de altura del objeto, h ( x, y).
En la Fig. 14.14(b) y (c) se muestran los modelos 3D obtenidos, mientras que en la
Tabla 4.8 se muestran los valores de altura máxima obtenidos con cada técnica así como la
varianza máxima que éstas presentan.
Tabla 4.8. Altura y varianza máxima calculada tras la implementación del algoritmo de PS de 4 pasos
y proyección de imágenes RB.
Tipo de patrón de franjas empleado
UDEMPWM
UDEM PWM desenfocados
Sinusoidal
Altura (mm)
h(760,550)= 57.0
h(739,571)= 57.3
h(768,574)= 57.4
Varianza
0.0142
0.0178
0.0160
77
(a)
(b)
(e)
(d)
3
2
l
I
(\)
rr,
c,j
c....
o
-1
I
-2
- 3 ~~~~~~~~~~~~~
1 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000
Píxeles
(f)
(e)
100
90
80
70
(\) 60
~ 50
C.... 40
30
20
10
o ~~~~-~~~~-~~~
1 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000
Píxeles
Figura 4.13 Reconstrucción del plano de fase del objeto empleando patrones binarios PWM UDEM
codificados en dos imágenes RB y el algoritmo de PS de 4 pasos. (a)-(b) Imágenes capturadas.
(c) Visualización en niveles de grises del plano de fase envuelto recuperado. (d) Corte de linea vertical
en la columna 640 de (c). (e) Visualización en niveles de grises del plano de fase desenvuelta recuperado.
(f) Corte de linea vertical en la columna 640 de (e).
78
(a)
(b)
60
mm30
o
"'° 600 ...•······
1-60
~~ 80
v' 1000
.,r
~~
v'
80
1000
120
1200
o
o
(e)
60
mm30 .....•· ·
o
o
Figura 4.14 Reconstrucción 3D empleando PS de 4 pasos y patrones de franjas codificados en dos
imágenes RB: (a) PWM UDEM y filtrado digital. (b) PWM UDEM proyectados desenfocados.
(c) Patrones sinusoidales.
79
(a)
(b)
(e)
Figura 4.15 Patrones de intensidad PWM UDEM correspondientes al algoritmo de PS de 3 pasos.
(a) 11 confaseinicial 01 =-21r/3. (b) 12 confaseinicial 01 =0. (e) 13 confaseinicial 01 =21r/3.
En todas las series de pruebas anteriores, independientemente del tipo de algoritmo de PS,
se usó el formato de imágenes RGB para encapsular los patrones PWM o sinusoidales. Lo
anterior con la finalidad de reducir el número de proyecciones/capturas necesarias para obtener
el modelo tridimensional del objeto bajo análisis. Sin embargo, emplear imágenes en el formato
RGB introduce errores en las mediciones debido al cross-talk.
Dado que la cámara empleada en el proceso de experimentación presenta cross-talk, en
particular, el espectro correspondiente al canal verde interfiere con el canal rojo y el canal azul
(Thorlabs ), se llevaron a cabo más experimentos, proyectando en forma secuencial 3 y 4
patrones PWM UDEM en foco (vea la Fig. 4.15), PWM UDEM desenfocados y sinusoidales.
Esto con el fin de aplicar los algoritmos de PS de 3 y 4 pasos y obtener el modelo tridimensional
del objeto de prueba.
El procesamiento de los patrones UDEM PWM enfocados fue de la siguiente forma:
1. Se aplicó a cada imagen capturada el proceso de binarización de Otsu.
2. Se recuperó la forma sinusoidal empleando filtro digital Gaussiano pasa bajas con
Da
=
16 píxeles y filtro digital Butterwoth pasa altas de orden n = 10 con Da
=
4
píxeles.
3. Se recuperó el plano de fase envuelta aplicando la Ec. (2.3) o (2.8) dependiendo del
algoritmo empleado (3 pasos o 4 pasos).
80
4. Por medio de la implementación del algoritmo de desenvolvimiento de fase de Itoh, se
obtuvieron los planos de fase desenvuelta.
5. El proceso de conversión fase-altura se llevó a cabo usando tres patrones adicionales
para calibración, cada uno desplazado 5 mm uno respecto al otro, estos planos sirvieron
para determinar la matriz de calibración, K ( x, y), la cual en conjunto con la resta de la
fase desenvuelta del plano objeto menos la fase desenvuelta del plano de referencia,
"'1.cp (x, y),
fueron usadas en la Ec. (2.25) para obtener las dimensiones de la altura del
objeto h ( x, y), en milímetros.
Para generar los modelos 3D empleando proyección desenfocada de los patrones PWM
UDEM y patrones sinusoidales, el proceso llevado a cabo fue el indicado en los pasos 3, 4 y 5,
anteriores.
Las visualizaciones 3D obtenidas se muestran en la Fig. 4.16, además la Tabla 4.9 presenta
la varianza máxima así como la altura máxima del objeto bajo prueba, calculadas con cada una
de los tipos de patrones de franjas y algoritmos de PS.
Tabla 4.9 Altura máxima y varianza máxima obtenidas tras la implementación de los algoritmos de PS
de 3 y 4 pasos, en conjunto con la proyección secuencial de patrones de franjas PWM UDEM y
sinusoidales.
Tipo de patrón de franjas
UDEMPWM
UDEM PWM desenfocados
Sinusoidal
UDEMPWM
UDEM PWM desenfocados
Sinusoidal
Altura (mm)
h(764,573)=56.9
h(757,609)=57. l
h(747,554)=57.0
h(756,567)=57.2
h(796,229)=57.5
h(757,569)=57.5
Varianza Tipo algoritmo PS
0.0250
3 pasos
0.0274
3 pasos
0.0306
3 pasos
0.0570
4 pasos
0.0171
4 pasos
0.0178
4 pasos
81
(a)
(b)
60
60
lllll130
lllll1 30
o
o
o
o
(d)
(e)
60
60
lllll130
lllill30
o
o
o
o
(e)
(f)
60
60
mm30
lllill30
o
o
o
Figura 4.16 Modelos 3D generados. Primera columna, algoritmo de PS de 3 pasos con; (a) PWM UDEM
aplicando filtrado digital. (c) PWM UDEM proyección fuera de foco. (e) Sinusoidales. Segunda
columna, algoritmo de PS de 4 pasos con; (b) PWM UDEM aplicando filtrado digital. (d) PWM UDEM
proyección fuera de foco. (f) Sinusoidales.
82
En la última serie de experimentos se procesaron los patrones PWM UDEM en foco que ya
se tenían capturados (3 pasos empleando imagen RGB, 4 pasos empleando imágenes RB, 3 y 4
pasos empleando patrones secuenciales), de forma tal que los patrones no fueran binarizados.
Lo anterior con la intención de evitar pérdida de información en los patrones de franjas debido
al proceso de binarización de los mismos. El procedimiento que se siguió para procesar las
capturas fue:
1. En caso de así corresponder separar cada canal de las imágenes RB o RGB y asignarlos
a un patrón de intensidad.
2. Recuperar la forma sinusoidal de los patrones de franjas, mediante filtro digital
Gaussiano pasa bajas con Da
= 16 píxeles y filtro digital Butterwoth pasa altas de orden
n = 10 y Da = 4 píxeles.
3. Generar el plano de fase envuelta aplicando la Ec. (2.3) o (2.8).
4. Recuperar el plano de fase desenvuelto por medio de la implementación del método de
desenvolvimiento de Itoh.
5. En la conversión fase-altura se emplearon tres patrones adicionales para el proceso de
calibración, los cuales fueron desplazado 5 mm entre sí, estos planos sirvieron para
determinar la matriz de calibración, K ( x, y), la cual en conjunto con la resta de la fase
desenvuelta del plano objeto menos la fase desenvuelta del plano de referencia,
"'1.cp (x, y),
fueron usadas en la Ec. (2.25) para obtener las dimensiones de la altura del
objeto, h ( x, y), en milímetros.
Los cuatro modelos 3D generados se muestran en la Fig. 4.17 y en la Tabla 4 .1 Ose muestran
los valores máximos de altura y varianza obtenidos en cada uno de los procesos.
83
Tabla 4.10 Altura y varianza máximas calculadas empleando algoritmos de PS de 3 y 4 pasos, en
conjunto con patrones de franjas binarios PWM UDEM, proyectados tanto en imágenes RGB como en
imágenes secuenciales y sin aplicar binarización a los patrones capturados.
Tipo de patrón de franjas empleado
UDEM PWM en imagen RGB
UDEM PWM en imágenes RB
UDEM PWM en imagen secuenciales
UDEM PWM en imagen secuenciales
Altura (mm)
h(763,546)=57. l
h(761,562)=57.3
h(759,574)=57.0
h(753,567)=57.4
Varianza
0.0235
0.0164
0.0240
0.0165
(a)
60
Tipo algoritmo PS
3 pasos
4 pasos
3 pasos
4 pasos
(b)
60
mm30
mm30
o
o
o
(e)
60
mm30
o
(d)
60
mm30
o
Figura 4.17 Reconstrucciones 3D obtenidas tras aplicar el método propuesto sin binarizar las imágenes.
(a) Algoritmo de PS de 3 pasos e imagen RGB. (b) Algoritmo de PS de 4 pasos e imágenes RB.
(c) Algoritmo de PS de 3 pasos y proyecciones secuenciales. (d) Algoritmo de PS de 4 pasos y
proyecciones secuenciales.
84
Con base en los resultados obtenidos en cada una de las senes de experimentación,
realizadas para generar los modelos tridimensionales del objeto bajo prueba, podemos afirmar
que:
1. En general, al implementar la proyección y captura a color (RGB) de los patrones
correspondientes a cada uno de los tres métodos comparados. Las reconstrucciones 3D
obtenidas presentan modulaciones notorias y profundas en la superficie reconstruida.
Las cuales pueden ser causada por diversos factores, como los errores de alineación y
calibración o diafonía cromática de los dispositivos involucrados en arreglo
experimental.
Sin embargo, también se observa que los resultados obtenidos al implementar el
algoritmo de PS de 4 pasos en conjunto con proyección de imágenes a color, mejoran
respecto a los obtenidos con el algoritmo de PS de 3 pasos e imágenes a color.
2. Cuando se implementó el algoritmo de PS de 3 pasos, independientemente del tipo de
patrón de franjas empleado y sin importar si se empleó proyección a color o proyección
secuencial, presentan modulaciones notorias y profundas en la reconstrucción final y
mayor dispersión de datos en el mapa de fase desenvuelta del plano de referencia.
3. La reconstrucción 3D mostrada en la Fig. 4.17(±) presenta modulaciones menos
profundas y visible en su superficie, comparadas con las modulaciones que presentan
todas las demás reconstrucciones obtenidas. Esto indica que aun cuando la cámara y
proyector empleados en el arreglo experimental, presenten no linealidad entre su entrada
y salida debido al factor gamma de los dispositivos, incrementar el número de patrones
para obtener la reconstrucción aminora el efecto de la no linealidad.
4. De las reconstrucciones generadas bajo el método propuesto en este trabajo, e
independientemente del número de pasos empleados en el algoritmo de corrimiento de
fase, la reconstrucción 3D mostrada en la Fig. 4.18( d) es la que presenta modulaciones
menos profundas en su superficie. Esto confirma que el proceso de binarización de los
patrones capturados, es una fuente de error para la generación del modelo 3D y la
obtención de las mediciones del objeto, ya que al binarizar los patrones se elimina
información necesaria para generar de forma más precisa el modelo 3D.
85
5. Las dimensiones máximas de altura obtenidas empleando proyección secuencial de
franjas sinusoidales, así como proyección secuencial de franjas PWM UDEM enfocadas
y sin binarizar; son las mediciones donde se presenta mayor similitud en el valor de
altura máxima del objeto, como en la ubicación de ese punto. Sin embargo, se debe
mencionar que al no tener una caracterización por algún otro método, del objeto de
prueba, no se puede afirmar que estas medidas sean correctas.
86
CAPÍTULO 5.
CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO
En este trabajo de tesis se demostró que es posible implementar patrones binarios de franjas
generados bajo la técnica de Modulación por Ancho de Pulso proyectados y capturados en foco.
Los cuales por medio de la implementación de filtros pasa bajas y pasa altas son transformados
a patrones de franjas "cuasi-sinusoidales". Los cuales al ser usados en conjunto con algoritmos
de corrimiento de fase y tras el proceso de triangulación y calibración, determinan las
dimensiones de profundidad de la superficie o los modelos 3D de un objeto estático.
Se determinó de forma teórica que la resolución de la presente técnica está en el rango de
los milímetros. Además se observó que por medio de la selección y posicionamiento adecuado
de los elementos involucrados en el arreglo experimental, el método propuesto es consistente y
repetible.
Para poder demostrar lo anterior, fue necesario realizar una comparación experimental entre
distintas formas de generar los patrones PWM, donde se determinó que los patrones generados
por medio de la implementación de series dobles de Fourier, por ejemplo PWM U ni polar Double
Edge Modulation permiten la implementación de filtros pasa bajas con un diámetro mayor en
su frecuencia de corte; lo cual es equivalente a un menor grado de desenfoque cuando se emplea
proyección desenfocada de patrones PWM como método de reconstrucción. Además,
implementar filtros pasa bajas con mayor diámetro evita la eliminación de información útil para
la reconstrucción.
De forma experimental, se observó que el algoritmo de corrimiento de fase de 4 pasos
empleando proyección secuencial de los patrones PWM, es el que produce mejores resultados,
comparados con los resultados obtenidos al implementar el método propuesto en conjunto con
el algoritmo de 3 pasos, ya sea empleando proyección de una imagen RGB o proyecciones
secuenciales. Incluso, comparado el mismo algoritmo de 4 pasos pero utilizando proyección de
imágenes a color.
Sin embargo y aun cuando se probó la viabilidad de la implementación del método
propuesto, existen algunas desventajas: debido a la implementación de filtros pasa baja y pasa
87
altas para la eliminación de los harmónicos que no corresponden a la señal sinusoidal, requerida
para implementar los algoritmos de corrimiento de fase, se elimina información correspondiente
a los detalles finos del objeto bajo análisis. Además, el método es susceptible a la reflectancia
del objeto bajo análisis o de la pantalla empleada como referencia. Y con base en los resultados
obtenidos, se requiere de al menos cuatro patrones para poder generar, con una calidad
aceptable, el modelo 3D del objeto de prueba.
Finalmente, como trabajo a futuro se planea:
l. Obtener las mediciones y modelo 3D de un objeto por medio de un instrumento
comercial, que sirva como referencia y así comparar y determinar cuan exacto es el
método propuesto.
2. Implementar algoritmos de desenvolvimiento de fase distintos al Itoh, esto con la
finalidad de analizar si alguno de estos métodos reduce la dispersión de datos tras el
proceso de desenvolvimiento de fase.
3. Sustituir el método de calibración lineal empleado por un método de calibración no
lineal, con la idea de mejorar los valores de la matriz de calibración y así determinar las
dimensiones de profundidad de forma más exacta.
4. Implementar métodos de minimización para convertir los patrones PWM capturados a
patrones sinusoidales.
5. Analizar el funcionamiento del método propuesto usando algoritmos de corrimiento de
fase de al menos 5 pasos, para determinar el número de pasos ideales para
implementarse en conjunto con el método propuesto.
88
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93
APÉNDICE A
3D shape measurement with binary phase-shifted technique
and digital filters
Adriana Silvaª, Ricardo Legarda-Saeni, G. Garcia-Toralesª, Sandra Balderas-Mataª,
Jorge L. Flores*ª
ºf
ªElectronic Engineering Departm..ent, Dniy~rsitv Guadalaiara, Av. Revolución No. 1500, CP.
444JU, GuactalaJata, arisco, Mex1co.
bFacultad de Matemáticas, Univer,sidaad Autón,om.a_qe.Yucatán, Apdo. Postal 172, 97110
Men a, Yucatan, Mex1co.
*Corresponding autor: [email protected]
ABSTRACT
Shape measurements by sinusoidal phase-shifting methods require high-quality sinusoidal fringes. Furthermore, most of
the video projectors are nonlinear, making it difficult to generate high quality phase without nonlinearity calibration and
correction. To overcome the limitations of the conventional digital fringe projection techniques, we proposed a method
that involves the projection of digital binary pattems generated by the pulse-width modulation (PWM). We will
demonstrate that applying digital filtering, in particular, low pass filters, one can obtain a high-quality sinusoidal pattem.
Which in combination with phase-shifting methods, allows a reliable 3-D profiling surface reconstruction at large timerates. Validation experiments using a commercial video projector are presented.
Keywords: Phase shifting methods, Gaussian lowpass filters, digital fringe projection.
l. INTRODUCTION
projection1- 3
shifting4-6
Fringe
and phase
(PS) are widely used techniques for phase and 3D-profile retrieval and objectshape measurement. With recent technological advances in digital imaging, digital projection display, and personal
computers (PCs), 3D-profile reconstmction has been developed to be done in real time. In general, software-generated
fringe pattems are projected onto objects using a high-resolution digital light projector (DLP). With the use of a
computer to design the pattem and control PS, the digital fringe projection (DFP) has the advantage of being precisely
manipulated and allows easy generation of any grating pattem: sinusoidal, triangular, trapezoidal, PWM and binary Gray
pattems.
In the literature we can find many techniques to obtain 3D shape measurement by DFP 1-6 . Most of them are based in
sinusoidal phase-shifting methods 5• 6 . lt is always preferred to use a phase-shifting technique due to its well-known
advantages such as high measurement accuracy, good performance at low contrast and intensity variations of the fringe
pattern, and their simplicity to implement the algorithms 7 . However, DFP techniques have sorne particular
disadvantages, one ofthem is the projector gamma nonlinearity 8 . Gamma distortion leads to the deviation ofthe captured
fringe pattem from ideal sinusoidal waveforms and introduces harmonics terms. This kind of phase error can be
eliminated by using a large number of phase-shifting fringe pattems 3 . But it is not a solution for fast or real time
applications.
To overcome the gamma distortion problem, many approaches of phase-error compensation or gamma correction have
been proposed8 -11 . Sorne of these techniques first determine the gamma factor, then generate patterns altered with this
factor8 • 9 . Other suggests the implementation of statistical methods and lookup tables (LUTs) to compensate the gamma
distortion during the image processing10• 11 .
Another way to solve the gamma's problem is generating and projecting binary pattems. The basic idea consists in
projecting and acquiring strictly binary pattems; binary pattems consist of "ones" and "zeros" (i.e., no half-tones are
involved) so that the eventual nonlinear response of the projector and the camera will not play a role. The advantage of
lnfrared Remole Sensing and lnstrumentation XXII, edited by Marija Strojnik Scholl,
Gonzalo Páez, Proc. of SPIE Vol. 9219, 92190L · © 2014 SPIE
CCC code: 0277-786X/14/$18 · doi: 10.1117/12.2062479
95
the method is that it is applicable to any commercial camera and video projector without previous calibration, although
its drawback is the large number of frames to be acquired to retrieve the surface profile. Sorne works deal with the issue
of generating sequences of binary images to synthesize high-quality sinusoidal, triangular or trapezoidal fringe pattems
in a given direction12• 13 .
Ayubi et al. 14 have proposed the sinusoidal pulse width modulation technique to shift non-fundamental frequency to
higher frequency components such that they can be easier to be suppressed with a minimally defocused binary pattem,
instead of using a Ronchi-like pattem as proposed by Lei and Zhang 15 . For that, they proposed to use a spatial version of
the so-called pulse-width modulation (PWM) method16-18 , which is a well-known technique of electrical engineering.
Then, Y. Wand and S. Zhang19 optimized this technique with the optimal pulse width modulation (OPWM). Therefore,
the measurement accuracy has been increased in comparison to the binary defocus technique. However, the defocusing
degree depends on the person who is performing the reconstruction.
In this paper, we present a DFP method for measuring the 3D profile; the key point of the proposed procedure is the
projection/capture of phase-shifted PWM pattems. In both case, the images are at the best focus. By the use of digital
blurring techniques 20 , we can retrieve the sinusoidal patterns needed to implement the sinusoidal phase-shifting
algorithms, and get the 3D profile.
In Section 2, we will describe the principle ofthe proposed technique. Section 3, will present sorne experimental results,
and finally conclusions are given in Section 4.
2. METHOD
Figure 1 shows the configuration of our 3D shape measurement system: a DLP video projector is used to project
software-generated binary pattems; a high-resolution color CCD camera is used to capture the binary pattems modulated
by the object surface anda flat plate for calibration.
y'
Computer
CCD
Object
....
,
- - - - - - - - · - · · · · · · · · · · 11
,
•• - -
'111ii
~'
',
'
.,,,
'
,'
,,, ,,.
-í:O•• •------•••
1
1
1
1
', ,"
1
,~,,
1
,,,
'
.,,,, "
11 ,,.
1
' '
',
''
,,, "
,..........................
1
1
1
Projector
.....
Plane
z
Figure 1. (Color online) Experimental setup
96
Binary color pattem
2.1 Phase shifting
In general case, the fringe frame captured by the camera is described by
I (x, y) = I '(x, y)+ I "(x, y) cos[(b(x, y)+ 0] ,
(1)
where I '(x,y) is the background illumination, I "(x,y) is the amplitude modulation, 0 is the phase displacement of the
fringe pattems, and (b(x,y) is the phase to be determined. Many PS methods have been developed including: three
phase-steps, four phase-steps, and five phase-steps algorithms, to mention sorne. The difference between them is related
to the number of frames projected/acquired, number of phase steps, etc. In this work the three phase-steps and the four
phase-steps have been chosen. This due to the small number of frames needed in each algorithm for retrieval the
wrapped phase, and the robustness to signal to that present these algorithms 21 • 22 .
In the case of the three-frames algorithm, we use a phase step of 0 = 2n/3. Therefore, three fringe images can be
described as
I (x,y) = I '(x,y) + I "(x,y)cos[(b(x, y)- 2n/3]
1
I (x,y) = I '(x,y) + I "(x, y)cos[(b(x, y)]
2
I (x,y) = I '(x,y) + I "(x,y)cos[(b(x,y) + 2n/3]
3
From these three intensity pattems, the phase function is computed as
(b(x,y)=tan-1
✓3(1i - I 3 )
[ 212 -J¡ -13
l
(2)
(3)
While, in the case of the four-frames algorithm, we selected a phase step of 0 = n/2. The four fringe images can be
described as
11 (x,y) = I '(x,y) + I "(x,y)cos[(b(x, y)]
I/x,y) = I '(x,y) + I "(x, y)cos[(b(x, y)+ ,,/2]
I/x,y) = I '(x,y) + I "(x, y)cos[(b(x,y) + 7l]
(4)
14 (x,y) = I '(x,y) + I "(x, y)cos[(b(x, y)+ 3,,/2]
And the phase function is computed as
(5)
The equations (3) and (5) provides the wrapped phase, whose value ranges are from -n to +n with 2n discontinuities. A
continuous phase map can be reached by applying the well-known unwrapping techniques23 • 24 .
2.2 Pulse Width Modulation techniques
As mentioned in Section 1, one way to overcome the problem of the nonlinear response of the projector/camera system,
is the implementation of PWM binary pattems with defocused projections.
One way to generate a PWM pattem is to compare the desired sinusoidal pattem with a triangular or sawtooth waveform
of frequency ( fc 2 J; ), as shown in Figure 2,
97
1
pwm
(x) = sgn[r(x)-c(x)],
(6)
where 'sgn' is the sign function, c(x) is carrier signal and r(x) a reference signal; in this case, the last one represents a
sinusoidal waveform defined as:
(7)
where R 0 is a constant value oran average intensity, R1 is the wave amplitude, J; represents the fundamental frequency
of the reference signal, and 01 is the signal initial phase or the phase step requires by PS algorithms. As we can observe
in Figure 2, when the value of the desired waveform is greater than the triangular waveform, the PWM output waveform
is in the high state; otherwise, it is in the low state 25 .
Other way to generate PWM waveforms is using the double Fourier series method. This analysis can be applied to
develop spectral model for regular sampled PWM pattems. Thus, using a triangular waveform as carrier signalc(x) and
sinusoidal waveform as reference signal, we can generate a Unipolar Double-Edge Modulation PWM, UDEM-PWM
(see Figure 2(c)):
:::E E
~ ~ 0.6
A-, ¡g_ 0.4
0.2
o
o
0.1
0.6
0.7
0.8
0.9
Figure 2. (Color online) Generation of PWM pattem. (a) Sinusoidal and sawtooth waveform withfc = 8/i. (b) PWM pattem
resultant of (a). (e) Sinusoidal and triangular waveform withfc = 8/i. (d) PWM pattem resultant of (e).
98
1 pwm (x)
=D +
M
2
cos(a.1¡x +t'i)
.
[ m(a.1cx+Bc) ]
+ -too
L -2J0 (mnM)
- - sm(Dmn)cos
m=lmn
2
+
(8)
7 ±;
_2_J (-mn_M_) sin[-(2_D_m_+_n_)_n]
m=ln=±l mn n
2
2
xcos[ m(a.1cx+Bc) + n( a.1¡x+B1 ) ]
where D =R0 / Cm represents the average duty ratio, and Cm is the peak to valley distance, M = 2R1 / Cm is the
modulation index, co 1 = (2n ¡;) and co e = (2n fe) are the angular frequency of the reference and the carrier signals,
respectively, and J n ( ••• ) denotes Bessel functions of the first kind.
Double edge modulation eliminates all even-order sideband harmonics of even-order carrier harmonics, as well as oddorder sideband harmonics of odd-order carrier harmonics. The reduced harmonic content is a significant advantage of
double-edge modulation and makes the method more attractive for optimizing the design of PWM pattems. Figure 3
shows the spectrum of the UDEM-PWM pattem, it has a peak at the frequency J;, secondary peaks (sideband
harmonics) around the frequency fc, and carrier harmonics with amplitudes involving Bessel functions, which decay
with increasing frequencies [see 14, and references therein]. Also, in Figure 3, one can observe, in the Fourier domain,
that by choosing the frequency fc , the undesired order of harmonics can be shifted away from the fundamental
frequency in a controllable manner. Therefore, even with a broad Gaussian filter, i.e., with a small fringe defocusing, it
will be possible to suppress the high-order harmonics and accordingly reduce the phase error14 .
(b
(a)
0.8
0.8
E-< 0.6
¡.... 0.6
µ..,
0.4
0.4
0.2
0.2
o
o
o
J,
µ_
¡_¡;_,
J,
µ_
20
40
60
100
80
f
o
120
20
40
Frequency
60
80
100
(e)
(d)
0.8
e-,
0.8
0.6
e-,
J,
µ_
µ_
120
Frequency
0.6
J,
µ_
0.4
µ_
0.4
i
0.2
0.2
o
o
o
20
40
60
Frequency
80
100
120
o
20
40
60
80
100
120
Frequency
Figure 3. (Color online) (a) FFT of a UDEM-PWM pattem with.fc = 8.fi. (b) FFT of a UDEM-PWM pattem with.fc
FFT of a UDEM-PWM pattem with.fc = 12.fi (d) FFT of a UDEM-PWM pattem with.fc = 14/i
= 10.fi (e)
99
• Gaussian fil ter
1
(b)
FFT
.8
(e) .8
E-< .6
l:.I..
l:.I..
.6 E-<
l:.I..
.4
.4
.2
.2
o
o
o
100
200
Frequency
300
o
100
200
Frequency
l:.I..
300
.f' .6
"'i::::
2
.E
.4
.2
.2
o
o
o
100
200
x (pixels)
300
O
100
200
300
x (pixels)
Figure 4. (Color online) (a) UDEM-PWM pattem given by Eq. (8). (b )-(e) (red line) Amplitude spectrum of (a) and (blue
line) Gaussian low-pass filter with a= 20 pixels anda= 30 pixels respectively. (d)-(e) Gray-level "sinusoidal" pattems as
result of filtering with Gaussian low-pass fil ter shown in (b) and (e), respectively. (f)-(g) Intensity cut along the horizontal
x-direction of the pattems showed in Fig.( d) and Fig( e), respectively.
100
2.3 Digital filtering technique
As we know, the defocusing effect of the projector can be approximated by a Gaussian smoothing filter 2º'
frequency domain the blurring effect is given by,
I(x,y)
26
,
In the
= real(P- 1 [H(u,v)IPwM(u,v)]) ,
(9)
where real(. .. ) means the real part, IPwM(u,v) is the Fourier transform of the PWM pattem to be smoothed and
H ( u, v) is the filter transfer function. We consider two types of low-pass filters: Butterworth, and Gaussian filters. The
latter is given by 20
H(u,v)=exp(-D(u,v) 2 /2a- 2 ) ,
(10)
where D(u, v) is the distance from any point (u, v) to the center (origin) ofthe Fourier transform, and o- is a measure of
the spread of the Gaussian curve. By increasing or decreasing o- , we can approach to the ideal sinusoidal waveform.
Figure 4(a) illustrates an example of UEMD-PWM pattem with the fringe period of 64 pixels and generated from Eq.
(8). Figures 4(b) and 4(c) show the magnitude spectrum for the UDEM-PWM shown in Figure 4(a) and the frequency
response of a low-pass filter (Gaussian filters) with standard deviation of 20 pixels, and 30 pixels, respectively. Figures
4(d)-4(e) show the gray-level "sinusoidal" pattems from Figure 4(a) after applying a Gaussian filter shown in Figures
4(b) and 4(c) respectively, Figures 4(f)-4(g) are a representative intensity cut along the horizontal x-direction of the
pattems shown in Figures 4(d) and 4(e) respectively.
3. EXPERIMENTAL RESULTS
In our experiments we used a commercial LCD projector (model PJD7820, ViewSonic) with 1280 x 1024 pixels. The
images were acquired with an 8 bit single-CCD color camera (model DCU224C, Thorlabs) with 1280 x 1024 pixels,
under a viewing angle 0::::: 21 deg.
Figure 5. (Color online) (a) RGB binary pattem. (b )-(d) RGB encoding binary images representing a UDEM-PWM pattem.
101
Figure 6 (Color online) Deformed pattem acquired by the camera as result ofprojecting the pattem shown in Figures 5(a) on
a test plaster.
In order to prove the viability of the implementation of the digital filtering technique, instead of defocusing technique, as
a way to retrieve the sinusoidal waveform needed to implement sinusoidal PS algorithms. We generated three UDEMPWM pattems (using Eq. (8)) with initial phase of -2n/3, O, and +2n/3 rad respectively, in each pattem the reference
signal has a waveform as Eq. (7) with a pitch of 64 pixels, and a triangular waveform as a carrier signal with a frequency
equal to fc = 10 J; These pattems were encoded in one RGB image (see Figure 5), and projected over a plane surface
orthogonal to the projection direction and on the object under test (a plaster figurine). Figure 6 shows the acquired color
image. Then, the acquired pattems were binarized using the Otsu's thresholding method27 . Thus, the deformed binary
UDEM-PWM pattems,Ipwml (x, y), I pwm 2 (x,y) and J pwm 3 (x,y) were obtained. From these binary pattems, the gray-level
pattemsl_ 2 13 (x,y), I 0 (x,y) and 12 13 (x,y) were easily synthesized using Eq. (9) with a Gaussian lowpass filter
described in Eq. (10) with CJ" = 16 pixels. Finally, from Eq. (3), after unwrapping, one obtains the three-dimensional
shape profile shown in Figure 7(d).
JT
JT
Figure 7. (a) From Eq. (9) the gray-level "sinusoidal" pattem deformed by the object. (b) Wrapped phase obtained after
applied Eq. (3 ). (e) Unm-apped phase retrieved. (d) 3-D shape pro file reconstructed.
102
Figure 8 (Color online) (a)---(b) BR Binary pattems. (e )-(f) encoding binary images representing a UDEM-PWM pattem
shifted by 1r ! 2 .
Figure 7(a) shows that the reconstructed intensity pattem is a quasi-ideal sinusoidal pattem. Figure 7(b) illustrates the
wrapped phase retrieved, and Figure 7(c) shows the unwrapped phase after applying the ltoh 2D unwrapping
algorithm. 24
Note: During the performance of the first series of experiment, we observed that the three basic colors generated by our
projector cannot be quite separated by the color filters of our camera, so that there is a residual spectral superposition
between the "green" and "red" channels, i.e., color crosstalk.
We performed a second series of experiments, in where we tested the implementation of the digital filtering technique in
the four-step PS algorithm. Similar to the first series of experiment, we generated four UDEM-PWM pattems (using Eq.
(8)) with initial phase of O, n/2, 1r, and 3n/2 rad respectively, the pitch and frequency of the reference signal and the
carrier signal are the same indicated in the first series of experiments. In order to avoid the color crosstalk, we encoded
these pattems in two color images using for that only red (R) and blue (B) channels, which are spectrally well defined
and separated by the camera filters (see Figure (8)). Figures 9(a) and 9(b) show the acquired frames when the patterns
showed in the Figures 8(a) and 8(b) are projected on object under test. Ones again, the acquired frames were binarized
103
using the Otsu's thresholding method. Thus, the deformed binary UDEM-PWM pattems,lpwmi(x,y), Ipwm 2 (x,y),
Ipwm 3 (x,y) and Ipwm 4 (x,y) were obtained. From these binary patterns, the gray-level intensities frames (as the ones
indicated in Eq. (4)) were easily synthesized from Eq. (9) with a Gaussian lowpass filter (as in Eq. (10)) with
CJ = 16 pixels. Finally, from Eq. (10), after unwrapping, we obtained the three-dimensional shape profile shown in
Figure 9(f).
Figure 9(c) shows that the reconstmcted intensity pattem is a quasi-ideal sinusoidal pattem. Figure 9(d) illustrates the
wrapped phase retrieved, and Figure 9(e) shows the unwrapped phase after applying the ltoh 2D unwrapping algorithm.
Figure 9. (Color online) (a)-(b) Pattem acquired by the camera. (e) The gray-level "sinusoidal" pattem as result of
processing (a) with a Gaussian lowpass filter. (d) Wrapped phase as result of applying PS algorithm given by Eq. (4). (e)
Unwrapped phase retrieved. (f) 3-D shape profile reconstructed.
104
Figure 1O.Comparison of 3D shape pro files obtained with different methods. (a) 3D pro file retrieved by applying the
proposed method and three step PS. (b) 3D pro file retrieved by defocusing the projector and three steps PS. (e) 3D pro file
retrieved by applying the proposed method and four step PS. ( d) 3D profile retrieved by defocusing the projector and four
steps PS.
Finally, as comparison we repeated the first and second series of experiments, but instead of retrieving the sinusoidal
pattems by digital filtering, we retrieved the sinusoidal pattem by the use of defocusing technique describe in [14, 15, 17
and 19]. Figure 10 shows the 3D shape profiles obtained with the different methods. In Figure lO(b) and lO(d) one can
observe an obvious ripple on the 3D profile reconstmction, but edges ofthe object are well defined. While, Figures lO(a)
andlO(c) presenta less notorious ripple, but the edges ofthe object appear smoothing dueto low-pass filter applied. The
problem with defocusing technique is loss of modulation contrast of fringe pattems; therefore one cannot introduces a
large quantity of defocus.
4. CONCLUSIONS
We have introduced the UDEM-PWM technique for generating stmctured binary pattems that emulate quasi-sinusoidal
pattems by the use of smoothing frequency domain filters, which allow us to overcome the gamma problem, i.e., the
nonlinear response of projector-camera system in DFP techniques. Both simulation and experiment results have verified
that the proposed methos could significantly improve the quality of 3D profile measurements.
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