05 Sistema Diedrico. Perpendicularidad por cambio de plano + distancias
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA I SISTEMA DIÉDRICO Posiciones relativas entre Rectas y Planos Perpendicularidad Perpendicularidad Perpendicularidad. Teoremas. 1) Si una recta R es perpendicular a un plano α, será perpendicular a todas las rectas a,b,c,… contenidas en él. Recíprocamente, para que una recta R sea perpendicular a α, basta con que lo sean dos rectas no paralelas a y b de α. 2) Teorema de las tres perpendiculares: Si dos rectas R y T son perpendiculares y una de ellas R, es paralela a un plano α o pertenece a él, sus proyecciones ortogonales r1 y t1, sobre α son perpendiculares. Si una recta R es perpendicular a un plano P, su proyección horizontal r, será perpendicular a las proyecciones horizontales de las rectas horizontales de P y su proyección vertical r’, será perpendicular a las proyecciones verticales de f’, de las rectas frontales de P. Geometría Descriptiva I · Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM v’ Perpendicularidad Perpendicularidad entre rectas Ejercicio: Dada la pirámide en planta y alzado, trazar una recta perpendicular R, desde el vértice A, a la arista BV. v’’ 1’ r’ b’ H a Se trata de un problema de geometría plana, por lo que hay que situar el plano oblicuo ABV, en una posición horizontal 1. Se abate la cara ABV 2. Se traza la perpendicular (r), desde el vértice A. H1 v 1 b (1) r (r) 3. Se desabate r, por afinidad. a 4. Se dibuja la proyección vertical r’ (v) Geometría Descriptiva I · Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM Perpendicularidad Perpendicularidad entre recta frontal y plano Ejercicio: Trazar un plano P, perpendicular a la recta R, que pase por el punto A P’ r’ a’ H P r a Geometría Descriptiva I · Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM Perpendicularidad P’ a’ r’ Distancia de un punto a un plano Ejercicio: Calcular la distancia desde un punto A, a un plano P. i’ H 1. Se sitúa el plano de canto 2. Se sitúa la nueva proyección del punto A en el cambio de plano 3. Se traza r’’ perpendicular a P’’ hasta cortar en i’’ (esta será la verdadera magnitud de la mínima distancia de A al plano P) 4. Se dibujan las proyecciones en diédrico de la distancia r y r’ (r, perpendicular a las horizontales del plano y r’ manteniendo la cota de i’’ del cambio de plano) P i r a i’’ P’’ r’’ H1 Geometría Descriptiva I Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM a’’ P’ Perpendicularidad a’ r’ Perpendicularidad recta y plano Ejercicio: Trazar un plano P, perpendicular a la recta R, que pase por un punto A i’’ H P i a r i’’ a’’ H1 Geometría Descriptiva I Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM r’’ P’’ Ud.2.3. Paralelismo y Perpendicularidad Perpendicularidad entre planos (I) Dos planos P y Q, son perpendiculares si podemos definir en uno de ellos una recta T, perpendicular al otro. • Por un punto A, exterior a un plano P, se pueden trazar infinitos planos perpendiculares a P. Todos estos planos formarán un haz de planos cuya recta de intersección T, es perpendicular a P. W T Q S R A • Para definir un plano concreto de este haz, se debe dar otra condición, como por ejemplo: que sea paralelo a una recta determinada R. ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · ETSEM P Perpendicularidad r’ s’ Perpendicularidad entre planos (II) Ejercicio: Por un punto M, trazar un plano perpendicular al plano P, definido por los puntos ABC, que sea paralelo a una recta dada R. m’ r 1’ b’ 2’ P’’ c’ h’ 1’ 2’’ h”= c’’= 1” m’’ b a’ r h s” 1 c a” 2 r1 H1 m a Geometría Descriptiva I Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM s Perpendicularidad Plano perpendicular a otros dos por un punto Opción 1: Trazar una perpendicular a cada plano desde el punto I. Q T W Opción 2: Trazar un plano perpendicular a la recta intersección de ambos planos que pase por el punto I. P i Geometría Descriptiva I Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM Perpendicularidad Perpendicularidad común entre rectas que se cruzan · Mínima distancia Ejercicio: Calcular la mínima distancia entre las rectas R y S, y situar gráficamente la perpendicular común a ellas. r’ b’ s’ 2’ d’ b” 1’ r” a’ H 1’’ d” b a” s’’ 1 a r d 2 H1 s Geometría Descriptiva I Departamento de Tecnología de la Edificación · ETSEM Ud.2.5. SISTEMA DIÉDRICO Distancias DISTANCIA • Cuando se habla de la distancia entre dos elementos geométricos siempre se hace referencia a la “menor distancia entre ellos”. Por tal motivo, su determinación debe realizarse sobre un segmento de línea recta en verdadera magnitud. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS • La distancia dA-B entre dos puntos A y B, se determina por medio de un triángulo de abatimiento vertical ú horizontal también denominado diferencia de cotas. b’ a’ b a d(A-B) ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · ETSEM Distancias Ud.2.5. SISTEMA DIÉDRICO Lugar Geométrico • Se denominan lugar geométrico, a aquel conjunto de puntos que satisfacen unas determinadas propiedades geométricas. • El estudio de los lugares geométricos es de gran utilidad y nos permite al igual que el conocimiento de los problemas métricos, resolver problemas relacionados con la forma y dimensiones de los objetos que se estén proyectando. A. Lugar Geométrico de los puntos que distan una longitud D de un punto A. B d A La superficie de una esfera de centro A y radio D d C ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · ETSEM Ud.2.5. SISTEMA DIÉDRICO Distancias B. Lugar Geométrico de los puntos que distan una longitud D de una recta R B d La superficie de un cilindro de revolución de eje la recta R, y radio D R d C C. Lugar Geométrico de los puntos que distan una longitud D de un plano P B d Dos planos paralelos a P a una distancia D C d P d d E ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · ETSEM F Ud.2.5. SISTEMA DIÉDRICO Distancias D. Lugar Geométrico de los puntos que distan una longitud D de dos planos Cuatro rectas paralelas a la intersección de los dos planos P y Q, contenidas en planos paralelos a ellos a una distancia D. d d d d Q P E. Lugar Geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos A y B P D Plano P, perpendicular al segmento AB y que contiene a su punto medio M (plano mediador). d A B d M d d C ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · ETSEM Ud.2.5. SISTEMA DIÉDRICO F. Distancias Lugar Geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas R y S R Plano perpendicular al plano definido por las dos rectas dadas y que contiene al punto medio M de la distancia entre ellas. d c S d d M e d G. Lugar Geométrico de puntos que equidistan de dos rectas que se cortan Plano P, definido por la bisectriz entre las dos rectas y la perpendicular trazada por su punto de intersección. Hay dos planos de solución. c d α d R ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · ETSEM S Ud.2.5. SISTEMA DIÉDRICO Distancias H. Lugar Geométrico de los puntos que equidistan de tres puntos 1, 2 y 3 Una recta R perpendicular al plano definido por los tres puntos y que contiene al circuncentro del triángulo 123 o bien, la intersección S, de los planos perpendiculares a las aristas y que pasan por su punto medio R S 1 c 3 P 1 2 2 3 ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · ETSEM