Libro Precálculo 1

José Manuel Acosta Baltodano
Alejandra Alvarado Alvarado
Álgebra, Geometría Analítica
y Funciones
Precálculo
Parte I
Índice general
1 Álgebra
7
1.1
Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Factorización
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
7
1.3
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1.4
Fracciones racionales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.5
Racionalización
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.6
Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.7
Ejercicios de selección única
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
1.8
Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
1.9
Ejercicios de selección única
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1.10 Ejercicios Varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
1.11 Problemas con ecuaciones
98
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Geometría Analítica
109
2.1
Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
2.2
Parábolas
142
2.3
Circunferencias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Funciones
174
205
3.1
Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
3.2
Dominio máximo
221
3.3
Gráca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
3.4
Operaciones con funciones
288
3.5
Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
295
3.6
Función inversa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
3.7
Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
3.8
Función cuadrática
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
3.9
Ejercicios de exámenes de años anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Presentación
Desde hace más de 30 años, la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica ha
hecho un esfuerzo por mejorar la formación matemática en secundaria a través del proyecto
Matemática para la Enseñanza Media (MATEM), el cual ha brindado a miles de jóvenes la
oportunidad de aprobar cursos universitarios.
La adquisición de conocimiento matemático y el desarrollo de destrezas y habilidades han
sido pilares dentro de los objetivos de MATEM, puesto que sin duda alguna, estos elementos
preparan a los jóvenes para una eciente incorporación en el sistema universitario.
El proyecto también ha contribuido en la formación de los docentes mediante la elaboración de materiales didácticos, capacitaciones, talleres, charlas y reuniones, que permiten
a los profesores estar actualizados y contar con herramientas para brindar a sus estudiantes
una mejor educación.
A través de los años, los materiales didácticos elaborados para el curso de precálculo del
proyecto fueron evolucionando, de guías de ejercicios que se entregaban periódicamente a los
docentes, a un folleto de solamente ejercicios y posteriormente un libro de texto, elaborado
por los profesores Randall Blanco y Lizeth Sancho.
Considerando los cambios en el programa de estudio de precálculo y la necesidad de actualizar el enfoque del curso de acuerdo con la realidad de los alumnos, se decide confeccionar
un nuevo material para el estudio de los temas: álgebra, geometría analítica y funciones. Es
así como surge el presente libro en el año 2018.
Este texto incluye muchos ejemplos y variedad de ejercicios que pretenden apoyar a los
estudiantes en su proceso de aprendizaje, así como constituir una guía para el profesor sobre
el tipo de ejercicios y problemas que el alumno debe resolver.
Esperamos que este material sea un buen aporte en la formación de los estudiantes y
docentes, quienes año con año, con su entusiasmo y entrega, nos motivan a seguir trabajando
en la mejora del proyecto.
José Manuel Acosta Baltodano
Alejandra Alvarado Alvarado
5
Fecha de actualización: noviembre, 2022
Plataformas de apoyo virtual
Canal de YouTube:
https://www.youtube.com/channel/UC-9daHLFhB8LGiEQjV8XW5w
Página de Facebook:
https://facebook.com/matem.em.ucr/
Exámenes de años anteriores
Mediante el código QR que se presenta a continuación, se puede accesar a los exámenes de
años anteriores del proyecto MATEM.
https://goo.gl/hYRPqG
Capítulo 1
Álgebra
1.1. Polinomios
Los polinomios están formados por la suma o resta de expresiones del tipo:
a · xn1·1 · xn2 2 · xn3 3 · · · · xnmm ,
donde
a
es una constante real,
1
x1, x2 , · · · , xm
son las variables y
n1, n2 , · · · , nm
son números
naturales .
Ejemplo 1.1
P (x, y, z) = −3x3 y 2 + 5x7 y 2 z 3
Q (x) = x2 + 6x + 3
Los polinomios se pueden clasicar de acuerdo con el grado y el número de variables que
tengan. En particular, interesan los polinomios de una variable, que se denen a continuación.
Denición 1.1: Polinomio de una variable
Un
polinomio de grado n ∈ N y variable x es una expresión de la forma:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 ,
donde
an , an−1 , an−2 , . . . , a2 , a1 , a0
1 En este texto se considera que
0
son números reales que se llaman
pertenece al conjunto
7
N.
coecientes.
Precálculo
MATEM-UCR
Antes de estudiar el tema de factorización, conviene conocer y aplicar correctamente las
fórmulas notables, además de repasar las operaciones básicas con polinomios: suma, resta y
multiplicación. Las divisiones se presentan en la siguiente sección.
Fórmulas notables:
1.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3.
(a − b)(a + b) = a2 − b2
4.
(a − b) (a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
5.
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
6.
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
7.
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
El siguiente ejemplo muestra la aplicación de los conceptos descritos antes.
Ejemplo 1.2
Simplique la expresión:
(2x − 3)2 − (x − 2) (2x + 3) − (2x − 1)3
Solución:
(2x − 3)2 − (x − 2) (2x + 3) − (2x − 1)3
= 4x2 − 12x + 9 − (2x2 + 3x − 4x − 6) − (8x3 − 3 · 4x2 + 3 · 2x − 1)
= 4x2 − 12x + 9 − (2x2 − x − 6) − (8x3 − 12x2 + 6x − 1)
= 4x2 − 12x + 9 − 2x2 + x + 6 − 8x3 + 12x2 − 6x + 1
= −8x3 + 14x2 − 17x + 16
8
Precálculo
Ejercicio 1
MATEM-UCR
Efectúe cada una de las siguientes operaciones con polinomios y simplique al
máximo:
1.
x (x − 3)3 + (x − 1)2 (x + 1)2
2.
(3x − 2)2 − (−5x − 3)2 + 42x
3.
(2x + 1) (−5 + 2x) (3x − 6) + 49x2 − 30
4.
(4x − 1)3 − (7x + 1)2 − x (2x + 1) (2 − 7x)
5.
(x − 2)3 − (−x + 3) (2x + 1)2 + 14x2 − 5x3
6.
(x − 5)4 − (x − 5) (2x + 1)3 − 203x2 + 471x − 630
R/
25x2 − 27x − 9x3 + 2x4 + 1
R/
R/
R/
−16x2 − 5
33x + x2 + 12x3
78x3 − 94x2 − 4x − 2
R/
R/
x − 11
x2 + 8x3 − 7x4
1.1.1. División de polinomios
Con el objetivo de repasar la división de polinomios, se presenta el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.3
Determine el cociente y el residuo de
(5x4 − 2x3 + 3x − 7) ÷ (x2 + 2x − 1).
Solución:
5x4 − 2x3 + 0x2 + 3x − 7
− 5x4 − 10x3 + 5x2
5x2 − 12x + 29
− 12x3 + 5x2 + 3x − 7
12x3 + 24x2 − 12x
29x2 − 9x − 7
− 29x2 − 58x + 29
− 67x + 22
Entonces, se tiene que:
Cociente:
Residuo:
x2 + 2x − 1
5x2 − 12x + 29
−67x + 22
9
Precálculo
Ejercicio 2
MATEM-UCR
Determine el cociente y el residuo de las siguientes divisiones:
1.
(3x4 − 5x3 + 7x2 − 3x + 3) ÷ (x2 + 2x − 3)
2.
(x5 + 3x3 − 2x4 + 4x + 1) ÷ (x2 + 1)
3.
(4x3 − x2 + 2x + 5) ÷ (2x + 1)
Dado que el objetivo principal de este capítulo es factorizar polinomios, interesan las
divisiones donde el divisor sea de la forma
x−c
para
c ∈ R.
Ejemplo 1.4
Determine el cociente y el residuo de
(−2x4 + x3 − 2x2 + x − 1) ÷ (x + 2).
Solución:
−2x4 + x3 − 2x2 + x − 1
x+2
2x4 + 4x3
−2x3 + 5x2 − 12x + 25
5x3 − 2x2 + x− 1
− 5x3 − 10x2
− 12x2 + x− 1
12x2 + 24x
25x− 1
− 25x− 50
− 51
Entonces, se tiene que:
Cociente:
Residuo:
−2x3 + 5x2 − 12x + 25
−51
División sintética:
Para obtener el cociente y el residuo de una división del tipo
recurrir al método de división sintética o regla de Runi.
10
P (x) ÷ (x − c), se puede
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.5
Determine el cociente y el residuo de
(−2x4 + x3 − 2x2 + x − 1) ÷ (x + 2)
usando
división sintética.
Solución:
−2 1
−2
1
−1
4 −10 24 −50
−2
−2 5 −12 25 −51
De la última la se obtiene el cociente y el número encerrado en el cuadro es el residuo:
Cociente:
Residuo:
−2x3 + 5x2 − 12x + 25
−51
De manera general, el procedimiento del ejemplo anterior se puede explicar de la siguiente
forma:
1) El cociente de la división es un polinomio que tiene
un grado menos que el polinomio
original.
2) El coeciente del primer término del cociente es igual al coeciente del primer término
del polinomio dado.
3) Para determinar el coeciente de un término cualquiera del cociente (a partir del segundo)
se multiplica el coeciente del término anterior por
c
y se suma este producto con el
coeciente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.
4) El residuo se obtiene multiplicando
c
por el coeciente del último término del cociente y
sumándolo con el término independiente del polinomio dado.
Para el caso de divisiones de la forma
P (x) ÷ (x − c),
un teorema que permite determinar
el residuo de una manera muy rápida es el teorema del residuo.
Teorema 1.1: Del residuo
Sea
P (x)
un polinomio y
c ∈ R.
El residuo de la división
11
P (x) ÷ (x − c)
es
P (c).
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.6
Determine el residuo de
(−2x4 + x3 − 2x2 + x − 1) ÷ (x + 2).
Solución:
Considerando que
x + 2 = x − (−2),
se tiene que
c = −2.
a.
Por el teorema anterior, el residuo de esa división es:
P (−2) = −2 (−2)4 + (−2)3 − 2 (−2)2 + (−2) − 1
= −2 · 16 + −8 − 2 · 4 + −2 − 1
= −32 − 8 − 8 − 3
= −51
a c = −2
es el cero de
(x + 2).
Ejemplo 1.7
Determine el residuo de
(x3 − x2 − 3x + 3) ÷ x −
√ 3 .
Solución:
Por el teorema del residuo y considerando que
P
Ejercicio 3
c=
√
3,
el residuo de esa división es:
√ 2
√ √ 3
3 −
3 −3·
3 +3
√
√
= 3 3−3−3 3+3=0
√ 3 =
Determine el cociente y el residuo de las siguientes divisiones usando: la divi-
sión polinomio entre polinomio y luego, división sintética. Use el teorema del residuo para
comprobar el residuo obtenido.
1.
(4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1) ÷ (x − 1)
2.
(−5x3 + 7x3 + 2x2 − 5x + 2) ÷ (x + 3)
3.
(−2x7 + 2x5 − x4 + 2x2 + x − 9) ÷ (x + 2)
(2x3 + x2 − 3x + 4) ÷ x − 21
4.
12
Precálculo
MATEM-UCR
Finalmente se presenta el algoritmo de la división en el caso de polinomios:
Teorema 1.2: Algoritmo de la división
P (x)
Q(x).
Sean
de
y
Q(x)
dos polinomios donde el grado de
Si al efectuar la división
R(x)
P (x) ÷ Q(x)
P (x)
es mayor o igual al grado
se obtienen los polinomios
C(x)
(cociente) y
(residuo), entonces se cumple que:
R(x)
P (x)
= C(x) +
Q(x)
Q(x)
.
Ejemplo 1.8
Reescriba las expresiones indicadas utilizando el algoritmo de la división:
a)
5x4 − 2x3 + 3x − 7
.
x2 + 2x − 1
b)
−2x4 + x3 − 2x2 + x − 1
.
x+2
Solución:
En los ejemplos anteriores se determinaron los siguientes datos:
División
Cociente
Residuo
(5x4 − 2x3 + 3x − 7) ÷ (x2 + 2x − 1)
5x2 − 12x + 29
−67x + 22
(−2x4 + x3 − 2x2 + x − 1) ÷ (x + 2)
−2x3 + 5x2 − 12x + 25
−51
Por lo anterior:
a)
5x4 − 2x3 + 3x − 7
−67 + 22
2
=
5x
−
12x
+
29
+
.
x2 + 2x − 1
x2 + 2x − 1
b)
−2x4 + x3 − 2x2 + x − 1
−51
= −2x3 + 5x2 − 12x + 25 +
.
x+2
x+2
13
Precálculo
MATEM-UCR
1.2. Factorización
Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del
producto es un factor del polinomio original. En lo que sigue, a menos que se indique lo
contrario, los polinomios se factorizan en el conjunto de los números reales.
Ejemplo 1.9
(2x + 1) (x − 3) es una factorización de 2x2 −5x−3, pues (2x + 1) (x − 3) = 2x2 −5x−3.
proceso de expresar un polinomio como producto de otros polinomios se le da el
nombre de factorización. Es importante destacar que un polinomio puede tener varias facAl
torizaciones.
Ejemplo 1.10
Las siguientes son factorizaciones del polinomio
4x2 − 16yx7 :
2x (2x − 8yx6 )
4x (x − 4yx6 )
4x2 (1 − 4yx5 )
4 (x2 − 4yx7 )
2x2 (2 − 8yx5 )
−4 (−x2 + 4yx7 )
En general, se busca determinar la
factorización completa de un polinomio, es decir,
expresarlo como producto de polinomios irreducibles (no factorizables en
Nota:
Los siguientes polinomios son irreducibles, con
k , m, n ∈ R:
x+k
x2 + k 2
(mx + n)2 + k 2
A continuación se detallan diferentes métodos de factorización.
14
R).
Precálculo
MATEM-UCR
1.2.1. Factor común
Está basado en la propiedad distributiva:
ab + ac = a (b + c).
Ejemplo 1.11
Factorice completamente
24x4 y 5 − 18x3 y 2 k + 42x6 y 3 .
Solución:
Como el polinomio consta de coecientes numéricos y literales, se puede emplear el
siguiente procedimiento:
1. Para identicar el factor común: Se toman los coecientes numéricos y se calcula
el máximo común divisor (MCD). Además, se toman las variables que se repiten
en todos los términos de la expresión dada (cada una con el menor exponente
que aparece).
24, 18
y.
Al aplicar lo anterior al polinomio dado, el MCD de
variables repetidas en TODOS los términos son
x
y
y
42
es
6,
y las
Considerando los menores exponentes con que aparecen, el factor común es:
6x3 y 2 .
2. Para buscar los términos no comúnes se efectúa la división de cada término por
24x4 y 5
18x3 y 2 k
42x6 y 3
3
el factor común:
=
4xy
,
−
=
−3k,
= 7x3 y .
6x3 y 2
6x3 y 2
6x3 y 2
ab + ac = a(b + c), para escribir la
24x y − 18x y k + 42x y = 6x3 y 2 (4xy 3 − 3k + 7x3 y).
3. Finalmente se aplica la propiedad distributiva
factorización:
Ejercicio 4
4 5
3 2
6 3
Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios:
1.
8x4 yz 2 − 4x6 yz − 6x4 y 2 z
2.
15x5 y − 15x7 y + 9x7 y 4
3.
3x2018 + 6x2019 + 3x2020
4.
15m2 x5 − 5m6 x4 − 5m7 nx6
5.
84a2 x − 36a2 x2 − 24a2 x3
6.
xn+7 + 4xn
R/
R/
2x4 yz (4z − 2x2 − 3y)
3x5 y (−5x2 + 3x2 y 3 + 5)
R/
R/
3x2018 (x2 + 2x + 1)
5m2 x4 (−m5 nx2 + 3x − m4 )
R/
12xa2 (7 − 3x − 2x2 )
R/
15
xn (x7 + 4)
Precálculo
MATEM-UCR
En el próximo ejemplo se factoriza un polinomio con coecientes fraccionarios. En su
solución, se aplica la propiedad expuesta en la siguiente nota:
Nota:
Si
P (x)
es un polinomio,
a∈R
y
b ∈ R − {0},
a P (x)
a
P (x) =
.
b
b
se cumple que:
Ejemplo 1.12
Factorice completamente
Solución:
3 5 3 15 7 2
xy −
x y z.
10
4
Como el polinomio posee coecientes numéricos fraccionarios, se puede iniciar calculando el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, que en este caso es
20.
20, se obtiene:
15
15 5
75
1
• − = − · = − = − · 75
4
4 5
20
20
Reescribiendo los coecientes de modo que tengan denominador igual a
3
3 2
6
1
=
· =
=
·6
10
10 2
20
20
•
Entonces,
=
=
=
=
3 5 3 15 7 2
xy −
xy z
10
4
1
1
· 6 x5 y 3 −
· 75 x7 y 2 z
20
20
1
(6 x5 y 3 − 75 x7 y 2 z)
20
1
· 3 x5 y 2 (2y − 25x2 z)
20
3x5 y 2
(2y − 25x2 z)
20
Ejercicio 5
Polinomio dado.
Utilizando la información anterior.
Se extrae el factor
1
.
20
Se aplica factor común al polinomio entre paréntesis.
Propiedad expuesta en la nota.
Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios:
1.
5x3 35x2 y 25xy
−
+
12
18
6
2.
3x3 y 5 15x2 y 21x2 y 3
+
−
4
8
16
3.
7a3 b4 14ab 21a3 b
+
+
10
100
1000
R/
R/
R/
16
5x
(3x2 − 14xy + 30y)
36
3yx2
(4xy 4 − 7y 2 + 10)
16
7ab
(3a2 + 100a2 b3 + 20)
1000
Precálculo
MATEM-UCR
El factor común puede ser un binomio, trinomio o en general un polinomio.
Ejemplo 1.13
Factorice completamente
P (x) = (2x − 1) b2 − 5 (2x − 1) b5 + (−2x + 1) b3 .
Solución:
Observe que el tercer término de
(−2x + 1) b3 = − (2x − 1) b3
P (x)
se puede escribir del siguiente modo:
a puesto que si se aplicara la propiedad distributiva
a la segunda expresión, se obtendría la primera.
P (x) = (2x − 1) b2 − 5 (2x − 1) b5 − (2x − 1) b3 ,
2
común: b (2x − 1).
Debido a lo anterior,
identica el factor
donde se
Aplicando el método de factor común se tiene que
2
5
3
2
(2x − 1) b − 5 (2x − 1) b − (2x − 1) b = b (2x − 1) (1 − 5b3 − b).
Finalmente,
aA
P (x) = b2 (2x − 1) (1 − 5b3 − b).
la técnica de reescribir una expresión de un modo equivalente, en el cual aparezca
−1
como
factor, se le suele llamar sacar un menos.
Ejercicio 6
Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios:
1.
(x − y) − 3x (x − y) + 7a (x − y)
2.
(x + 1) (m − n) − (n − m) (x + 1)
3.
5x (2x + 1) − 20x2 (2x + 1) − 4x − 2
4.
2x − 5y − (5yx − 2x2 )
5.
−6x (1 − 7x) + 3x2 (7x − 1)
6.
−2 (x − a) + x (a − x) + x2 (a − x)
7.
(x − a) xa − (a − x) xa+2
8.
y n (x − y) − y n+6 (x − y)2
R/
(x − y) (1 − 3x + 7a)
2 (m − n) (x + 1)
R/
R/
(2x + 1) (−20x2 + 5x − 2)
R/
R/
R/
17
3x (x + 2) (7x − 1)
(x + x2 + 2) (a − x)
R/
R/
(x + 1) (2x − 5y)
xa (x2 + 1) (x − a)
y n (xy 6 − y 7 − 1) (y − x)
Precálculo
MATEM-UCR
1.2.2. Agrupación
Este método consiste en reescribir el polinomio haciendo grupos con los términos, de
forma que se pueda aplicar alguna técnica de factorización.
Ejemplo 1.14
Factorice completamente
35mx − 21my − 12xy + 20x2 .
Solución:
Note que el MCD de los coecientes numéricos es 1 y no hay letras que se repiten en
los cuatro términos, de modo que el método de
factor común no aplica en este ejemplo.
Se pueden tomar dos grupos (de dos términos cada uno) separados mediante una
suma, como se muestra a continuación:
35mx − 21my − 12xy + 20x2
Polinomio original.
2
=
(35mx − 21my) + −12xy + 20x
=
7m (5x − 3y) + 4x (−3y + 5x)
Se aplica factor común a cada grupo.
=
(7m + 4x) (5x − 3y)
Se aplica factor común al polinomio anterior.
Cada grupo de términos entre paréntesis.
NOTA:
Si luego de hacer factor común en cada grupo, no quedan factores repetidos, hay
que escoger los grupos de otra manera.
En algunos casos la factorización se puede realizar escogiendo grupos de distinto
modo.
Ejercicio 7
Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios:
1.
ay − 15ax + 3xy − 5a2
R/
(3x + a) (−5a + y)
2.
60rz − 30rv + 6vx − 12xz
R/
6 (x − 5r) (v − 2z)
3.
14dx − 42dy − 6px + 18py + 2xy − 6y 2
4.
x + 3xy − 5x2 − 4y 2 − 12y 3 + 20x y 2
5.
(a − b) − 7ax + 7bx + 3x (b − a)
6.
3 (2x − 3y) − 5a (3y − 2x) − 2x + 3y
7.
3ay − 3ak + 6kx − 6ky − 6xy + 6y 2
R/
R/
2 (7d − 3p + y) (x − 3y)
(x − 4y 2 ) (−5x + 3y + 1)
R/
R/
R/
18
(b − a) (10x − 1)
(2x − 3y) (5a + 2)
3 (y − k) (a − 2x + 2y)
Precálculo
MATEM-UCR
1.2.3. Inspección
Este método se realiza en algunos casos donde el polinomio dado tiene la forma
con
a, b , c ∈ R
y
a 6= 0.
2
ax2 +bx+c
Para iniciar, se debe revisar si los términos aparecen ordenados, según su grado, en forma
2
2
descendente (ax + bx + c) o ascendente (c + bx + ax ), y de no ser así, ordenarlos. En los
siguientes ejemplos se utiliza la primera de esas opciones.
Ejemplo 1.15
Factorice completamente:
21 − 8x2 − 2x.
Solución:
Primero, se ordenan los términos del polinomio según su grado:
−8x2 − 2x + 21.
Posteriormente, se factoriza el primer y último término, de modo que la suma de los
"productos cruzados"(de esos factores) sea igual al término del centro.
En este caso:
Se tiene que
A su vez,
−8x2 = −2x · 4x
y
21 = 3 · 7.
3 · 4x + −2x · 7 = 12x − 14x = −2x
(el término del centro).
A continuación se presenta un esquema en donde se visualiza lo descrito anteriormente
(en la parte de la izquierda). Una vez hecho esto, se cuenta con los elementos necesarios
para determinar la factorización del polinomio dado (del modo que se observa en la
parte derecha del esquema indicado).
−8x2 −2x
+21
−2x
+3
Finalmente
−8x2 − 2x + 21
= (−2x + 3)(4x + 7)
+7
4x
3 · 4x
+
−2x · 7 = −2x
2 El método de inspección, que se expone en el texto a través de ejemplos, se basa en el desarrollo del
producto
(px + q) (rx + s) = prx2 + psx + qrx + qs.
19
Precálculo
MATEM-UCR
Este método se puede aplicar a polinomios como el siguiente:
Ejemplo 1.16
Factorice completamente:
26 (x + 5)2 − 53 (x + 5) − 30.
Solución:
26(x + 5)2 −53(x + 5)
−30
13(x + 5)
+6
Finalmente
26(x + 5)2 − 53(x + 5) − 30
= [13(x + 5) + 6] [2(x + 5) − 5]
= (13x + 71)(2x + 5)
−5
2(x + 5)
6 · 2(x + 5)
13(x + 5) · − 5 = −53(x + 5)
+
Hay polinomios de dos términos que se pueden factorizar por inspección, en el siguiente
ejemplo, se considera el término central como
0x.
Ejemplo 1.17
Factorice completamente
4x2 − 25.
Solución:
Note que
4x2 −25 = 4x2 +0x−25, de modo que se puede aplicar el mismo procedimiento:
4x2 +
0x
Finalmente
−25
4x2 − 25
+5
2x
= (2x + 5)(2x − 5)
−5
2x
5 · 2x
+
2x · −5
=
0x
20
Precálculo
MATEM-UCR
Cuando hay coecientes fraccionarios en el polinomio, se pueden homogenizar, como se
observa en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.18
Factorice completamente
2x2 −
Solución:
3
13
x+ .
4
8
Reescribiendo los coecientes del polinomio, se obtiene:
• 2=2·
8
16
1
=
= · 16
8
8
8
• −
13
13 2
26
1
= − · = − = − · 26
4
4 2
8
8
•
3
1
= ·3
8
8
Luego,
2x2 −
3
1
1
1
13
x+
=
· 16x2 − · 26x + · 3
4
8
8
8
8
Utilizando la información anterior.
=
1
(16x2 − 26x + 3)
8
Aplicando factor común.
=
1
(2x − 3) (8x − 1)
8
Aplicando inspección.
En factorizaciones por inspección se puede recurrir a estrategias como los cambios de
variable.
Ejemplo 1.19
Factorice completamente
90 (2x − 1)2 − 159 (2x − 1) + 63.
Solución:
90 (2x − 1)2 − 159 (2x − 1) + 63
= 3 30 (2x − 1)2 − 53 (2x − 1) + 21
Aplicando factor común.
= 3 (30y 2 − 53y + 21)
Tomando
= 3 (5y − 3) (6y − 7)
Aplicando inspección.
= 3 [(5 (2x − 1) − 3) (6 (2x − 1) − 7)]
Volviendo a variable
= 3 (10x − 5 − 3) (12x − 6 − 7)
Simplicando.
= 6 (5x − 4) (12x − 13)
Aplicando factor común.
21
y = 2x − 1.
x.
Precálculo
MATEM-UCR
Existen expresiones algebraicas que no son polinomios y que también pueden factorizarse,
como es el caso de algunas que incluyen radicales. A continuación se repasan propiedades
importantes que se aplican en el ejemplo posterior.
Propiedades:
n∈N
x
≥0
<0
<0
con
p∈N
n>1
con
√
n
p≥1
x=
√
np
Sí
xp
√
n
√ p
xp = ( n x)
cualquiera
cualquiera
Sí
impar
impar
Sí
Sí
impar
par
No
Sí
Notas:
La propiedad
√
√
n
x = np xp
es útil para homogenizar radicales, es decir, reescribir
uno o más radicales de un conjunto dado, de modo que todos tengan el mismo
índice.
La propiedad
√
n
√ p
xp = ( n x)
se reere a la extracción o inclusión de un exponente
en el subradical.
Ejemplo 1.20
Factorice
√
√
x + 2 4 x − 15.
Solución:
Para que la expresión dada esté bien denida, es decir, exista en el conjunto
asume que
x ≥ 0.
Luego,
√
√
x + 2 4 x − 15
√
√
4
=
x2 + 2 4 x − 15
Homogenizando radicales:
√ 2
√
= ( 4 x) + 2 4 x − 15
Extracción del exponente:
= y 2 + 2y − 15
Tomando
= (y − 3) (y + 5)
√
√
= ( 4 x − 3) ( 4 x + 5)
Factorizando por inspección.
y=
√
4
x.
Volviendo a variable
22
√
√
2·2
4
x=
x2 = x2 .
√
√ 2
4
x2 = ( 4 x) .
√
x.
R,
se
Precálculo
Ejercicio 8
MATEM-UCR
Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios.
1.
21x − 10x2 − 9
R/
2.
−34x − 24x2 − 5
R/
3.
7a − 20a2 + 3
R/
(4a + 1) (−5a + 3)
4.
11e + 6e2 − 7
R/
(3e + 7) (2e − 1)
5.
84x2 − 83x + 20
R/
(−12x + 5) (4 − 7x)
6.
31x − 12x2 + 15
R/
(12x + 5) (−x + 3)
7.
57x2 − 86x − 15
R/
(19x + 3) (3x − 5)
8.
18x − 21x2 + 3x3
R/
3x (x − 1) (x − 6)
9.
2x2 − 3y 4 + xy 2
R/
(x − y 2 ) (2x + 3y 2 )
10.
2x2 − 28k 6 − k 3 x
11.
6x − 32x2 + 10x3
12.
280x2 y − 125xy − 20y
13.
x2 − (a + b) x + ab
14.
3bx − 2ax − ab + 6x2
15.
26 (x − 3s) − 4 (x − 3s)2 − 30
16.
2 (x − y)2 − 7 (x − y) + 3
17.
3 − 78 (2x + 1)2 − 5 (2x + 1)
18.
2 (a + b)2 − 8 (a + b) − 24
7
− 3x − 1
x
2
19.
20.
21.
22.
23.
R/
R/
(−2x + 3) (5x − 3)
(4x + 5) (−6x − 1)
(x − 4k 3 ) (2x + 7k 3 )
−2x (x − 3) (−5x + 1)
−5y (8x + 1) (−7x + 4)
R/
R/
R/
R/
(2y − 2x + 1) (y − x + 3)
R/
R/
−2 (13x + 8) (12x + 5)
2 (a + b − 6) (a + b + 2)
R/
5
15x3 − x2 − 5x
2
R/
1
− (2x − 1) (3x − 2)
2
5x
(2x + 1) (3x − 2)
2
1
(2x + 5) (3x − 2)
3
√
√
R/ ( 6 x − 3) ( 6 x + 5)
√
√
−2 ( 8 x + 10) ( 8 x − 1)
R/
R/
23
(2x + b) (3x − a)
−2 (x − 3s − 5) (2x − 6s − 3)
R/
11
10
x + 2x2 −
3
3
√
√
3
x + 2 6 x − 15
√
√
20 − 18 8 x − 2 4 x
(a − x) (b − x)
Precálculo
MATEM-UCR
1.2.4. Diferencia de cuadrados
Aunque una diferencia de cuadrados se puede factorizar mediante inspección, también se
2
2
puede utilizar la fórmula notable: a − b = (a + b) (a − b).
Ejemplo 1.21
Factorice completamente los polinomios
P (x) = x2 − 64
y
Q(x) = x2 − 7.
Solución:
2
2
Cada uno de los polinomios se reescribe de la forma a − b , para luego aplicar la
2
2
fórmula notable a − b = (a + b) (a − b), como se muestra a continuación:
x2 − 64
x2 − 7
=
(x)2 − (8)2
=
=
(x + 8) (x − 8)
=
Note que en el ejemplo anterior,
64
√ 2
7
(x)2 −
√ √ x+ 7 x− 7
es un cuadrado perfecto, es decir, un número que es
el cuadrado de otro número entero. No sucede lo mismo con
7,
sin embargo, en ambos casos
se logra la factorización mediante diferencia de cuadrados.
Ejemplo 1.22
Factorice completamente
− (7y + 5)2 + (2x − 3)2 .
Solución:
− (7y + 5)2 + (2x − 3)2
2
2
=
(2x − 3) − (7y + 5)
=
[(2x − 3) + (7y + 5)] [(2x − 3) − (7y + 5)]
=
(2x − 3 + 7y + 5) (2x − 3 − 7y − 5)
=
(2x + 7y + 2) (2x − 7y − 8)
La diferencia de cuadrados puede aplicarse varias veces en un mismo ejercicio.
Ejemplo 1.23
Factorice completamente
x4 − 256.
Solución:
x4 − 256
2
Polinomio dado.
=
(x2 ) − (16)2
Se le da la estructura
=
(x2 + 16) (x2 − 16)
Se aplica la fórmula
=
(x2 + 16) (x + 4) (x − 4)
Se aplica el mismo proceso a la expresión
24
a2 − b 2 .
a2 − b2 = (a + b) (a − b).
x2 − 16.
Precálculo
MATEM-UCR
1.2.5. Fórmula notable
Las fórmulas notables
(a + b)2 = a2 +2ab+b2
y
(a − b)2 = a2 −2ab+b2
se pueden apli-
car en la factorización de trinomios, basta con reconocer los polinomios que tienen esa forma.
Ejemplo 1.24
Factorice completamente
12x + 4x2 + 9.
Solución:
12x + 4x2 + 9
=
4x2 + 12x + 9
=
(2x)2 + 2 · (2x) · 3 + 32
=
(2x + 3)2
También se puede aplicar a polinomios más complejos.
Ejemplo 1.25
Factorice completamente
9 (a + 4b)2 − 30 (a + 4b) + 25.
Solución:
9 (a + 4b)2 − 30 (a + 4b) + 25 = [3 (a + 4b)]2 − 2 · 3 (a + 4b) · 5 + 52
= [3 (a + 4b) − 5]2
= (3a + 12b − 5)2
Es importante destacar que este tipo de factorizaciones se pueden tratar como un caso
particular de inspección.
Ejercicio 9
Factorice, usando fórmula notable, cada uno de los siguientes polinomios.
1.
4x2 − 12x + 9
4.
12ak + 9a2 + 4k 2
2.
49x2 − 70x + 25
5.
3.
4x2 − 20xy + 25y 2
6.
−64a2 − 16a − 1
√
2x2 + 2 6x + 3
25
Precálculo
MATEM-UCR
1.2.6. Completar Cuadrados
Esta técnica se aplica a polinomios de segundo grado y consiste en construir (cuando sea
posible) una diferencia de cuadrados, para realizar la factorización por ese método.
Suponiendo que el polinomio dado es de la forma
px2 + qx + r
(con
q > 0), se inicia agru-
pando los dos primeros términos. Con esto se puede visualizar lo que falta para construir un
2
2
trinomio cuadrado perfecto de la forma a + 2ab + b , el cual permita reescribir el polinomio
2
2
original como (a + b) − c para factorizarlo.
2
Análogamente, si el polinomio es de la forma px −qx+r (con q > 0), se pretende obtener
2
2
2
2
una expresión de la forma a − 2ab + b , para escribir el polinomio original como (a − b) − c
y factorizar.
Ejemplo 1.26
Factorizar completamente
x2 − 6x − 1.
Solución:
x2 − 6x − 1
Polinomio dado.
=
(x2 − 6x) − 1
2
(x) − 2 (x) (3) − 1
2
(x) − 2 (x) (3) + (3)2 − (3)2 − 1
2
(x) − 2 (x) (3) + (3)2 + − (3)2 − 1
=
(x − 3)2 − 10
Fórmula notable y operaciones.
=
√ 2
10
(x − 3) −
Se llega a la forma
=
=
=
=
=
2
√ ih
√ i
10 x − 3 − 10
h
x−3+
h
√ i h
√ i
x − 3 − 10
x − 3 + 10
Agrupación.
Se reescribe
x
para formar
Se suma y resta
Se logra
a2 − 2ab.
b2 .
[a2 − 2ab + b2 ] + [k].
(a − b)2 − c2 .
Factorización: Diferencia de cuadrados.
Se saca un menos en los dos
últimos términos de cada factor
a Este
paso se realiza para escribir la factorización en la forma
26
a(x − x1 )(x − x2 ).
a.
Precálculo
MATEM-UCR
En el siguiente ejemplo, lo primero que se debe hacer es reescribir el polinomio dado como
4 (para que el coeciente de x2 sea
la multiplicación de dos factores, donde uno de ellos es
1)
y luego aplicar el procedimiento del ejemplo anterior.
Ejemplo 1.27
Factorice completamente
4x2 + 28x + 31.
Solución:
2
4x + 28x + 31 =
=
=
=
31
4 x + 7x +
4
31
2
4 x + 7x +
4
7
31
2
4 (x) + 2 (x)
+
2
4
#
"
2 2 !
7
7
7
31
4
(x)2 + 2 (x)
+
−
+
2
2
2
4
2
"
2 !
7
7
(x)2 + 2 (x)
+
+
2
2
= 4
"
7
x+
2
= 4
2
9
−
2
!#
2
7
31
−
+
2
4
#
7
7
3
3
= 4 x+ + √
x+ − √
2
2
2
2
!
√
√ !
7 3 2
7 3 2
x+ −
= 4 x+ +
2
2
2
2
= 4 x−
√ !!
7 3 2
− −
x−
2
2
√ !!
7 3 2
− +
2
2
√ !
√ !
−7 − 3 2
−7 + 3 2
= 4 x−
x−
2
2
27
Precálculo
MATEM-UCR
Los polinomios de segundo grado no siempre son factorizables en
R.
Ejemplo 1.28
¾Es factorizable en
R
el polinomio
x2 − 6x + 13?
Solución:
x2 − 6x + 13
=
2
(x) − 2 (x) (3) + (3)2 + − (3)2 + 13
=
(x − 3)2 + 4
=
(x − 3)2 + 22
El polinomio dado NO es factorizable en
Ejercicio 10
R
porque tiene la forma
(mx + n)2 + k 2 .
Factorice completando cuadrados.
1.
12x − 2x2 − 4
4.
3x2 − 42x + 138
7.
6x − 4 − x2
2.
4x2 − 20x + 18
5.
x2 − 2x
8.
x4 + x2 + 1
3.
x2 − 6x + 4
6.
10x + x2 + 21
9.
x2 − x −
3
2
1.2.7. Suma o diferencia de cubos
Fundamentalmente, este método consiste en aplicar las fórmulas:
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2 )
Ejemplo 1.29
Factorice completamente
27x6 − 125y 6 .
Solución:
27x6 − 125y 6
3
= (3x2 ) − (5y 2 )
Polinomio original.
3
Se le da la estructura
a3 − b 3 .
h
i
2
2
= [(3x2 ) − (5y 2 )] (3x2 ) + (3x2 ) (5y 2 ) + (5y 2 )
Pues
= (3x2 − 5y 2 ) (9x4 + 15x2 y 2 + 25y 4 )
Se aplican leyes de potencia.
28
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 ).
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 11
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1.
8x3 − 125
2.
27a3 − 8y 3
3.
2 − 16c3
4.
d3 − y 3
5.
8x3 + y 3
6.
343w3 + 64x3
7.
(a + b)3 − (2a − 3b)3
8.
(2x − 1)3 − (3x + 7)3
9.
x3 y 3 + 1
10.
x6
− 9y 3
81
11.
8 (3x − 1)3 − x6
12.
a13 − a
R/
(2x − 5) (10x + 4x2 + 25)
(3a − 2y) (6ay + 9a2 + 4y 2 )
R/
R/
2 (1 − 2c) (2c + 4c2 + 1)
R/
R/
R/
(4x2 − 2xy + y 2 ) (2x + y)
(49w2 − 28wx + 16x2 ) (7w + 4x)
R/
R/
(4b − a) (7a2 − 11ab + 7b2 )
(−x − 8) (49x + 19x2 + 43)
R/
1
R/ 81
R/
R/
(d − y) (dy + d2 + y 2 )
(x2 y 2 − xy + 1) (xy + 1)
(x2 − 9y) (81y 2 + x4 + 9x2 y)
− (x2 − 6x + 2) (34x2 − 24x + 6x3 + x4 + 4)
a (a − 1) (a + 1) (a + a2 + 1) (a2 + 1) (a2 − a + 1) (a4 − a2 + 1)
1.2.8. Teorema del factor
Antes de presentar el teorema del factor, es necesario denir el siguiente concepto.
Denición 1.2: Cero de un polinomio
Un número real
c
es un
cero de un polinomio P (x) si P (c) = 0.
Ejemplo 1.30
El número real
c
c=3
es un cero del polinomio
en ese polinomio se obtiene
Es decir:
0
P (x) = 2x + x2 − 15
porque al evaluar
como resultado.
P (3) = 2 · 3 + (3)2 − 15 = 6 + 9 − 15 = 0
En general, los ceros pueden ser cualquier número real, el siguiente ejemplo muestra un
cero fraccionario.
29
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.31
El número real
al evaluar
c
c=
−3
2
es un cero del polinomio
en ese polinomio se obtiene
0
P (x) = 8x3 − 2x2 − 15x + 9
porque
como resultado.
Es decir:
P
−3
2
=
3
2
−3
−3
−3
8
−2
− 15
+9
2
2
2
−27
9
−3
8·
− 2 · − 15 ·
+9
8
4
2
9 45
−27 − +
+9
2
2
−27 + 18 + 9
=
0
=
=
=
Ejercicio 12
Verique que cada uno de los siguientes valores de
c
es un cero del polinomio
dado.
1.
Q (x) = 161x2 − 43x − 49x3 + 3,
2.
V (x) = x3 − 3x2 + 2,
c=1−
c=
1
7
√
3.
El teorema del factor indica que si se conoce un cero del polinomio, inmediatamente se tiene
un factor de éste.
Teorema 1.3: Del Factor
c∈R
P (x).
Sea
de
y
P (x)
un polinomio.
c
es un cero de
P (x)
si y solo si
(x − c)
es un factor
Ejemplo 1.32
3 es un
de P (x).
En uno de los ejemplos anteriores se vericó que
Por el teorema del factor,
(x − 3)
es un factor
Puede vericar que, por inspección se obtiene:
30
cero de
P (x) = 2x + x2 − 15.
2x + x2 − 15 = (x − 3) (x + 5).
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.33
c=
Como
−3
2
es un cero del polinomio
x+
del factor se tiene que
3
2
P (x) = 8x3 − 2x2 − 15x + 9,
por el teorema
es un factor del polinomio.
En efecto, se puede vericar que:
P (x)
=
8x3 − 2x2 − 15x + 9
(x − 1) (2x + 3) (4x − 3)
3
3
= (x − 1) · 2 x +
·4· x−
2
4
3
3
x−
= 8 (x − 1) x +
2
4
=
IMPORTANTE:
En el ejemplo anterior, se da un cero del polinomio para obtener uno de sus factores,
y posteriormente se presenta la factorización completa pero, ¾cómo se obtienen los
ceros de un polinomio?, se podría probar con números, con el inconveniente de que
existe una innita cantidad de posibilidades, sin embargo, el siguiente teorema limita
la cantidad de pruebas que hay que hacer, en el caso de los ceros racionales.
Teorema 1.4: Ceros racionales de un polinomio
Sea
P (x)
un polinomio de grado
n
y coecientes enteros, de la forma:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
Si la fracción canónica
a Se
a
p
es divisor de
a0
q
es divisor de
an .
p
q
es un cero de
P (x),
entonces:
dice que una fracción es canónica si está simplicada al máximo.
31
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.34
Factorice completamente el polinomio
P (x) = 2x3 + x2 − 13x + 6.
Solución:
A continuación se presenta el listado de todas las fracciones canónicas donde el nu3
1
merador es divisor de 6 y el denominador es divisor de 2: ±6, ±3, ±2, ±1, ± , ± .
2
2
P (x) hasta hallar uno donde el resultado sea
2. Como 2 es un cero de P (x), se sabe (por
el Teorema del factor) que (x − 2) es uno de sus factores, es decir, existe un
polinomio M (x) tal que P (x) = (x − 2) · M (x).
Dichos números se evalúan en
cero. Esto ocurre por ejemplo con
Para hallar el factor
M (x)
se realiza la división sintética de
P (x)
entre
(x − 2):
2 1 −13
6
4
10 −6 2
2 5 −3
0
Por lo anterior y el algoritmo de la división, se tiene que:
M (x) =
0
P (x)
= 2x2 + 5x − 3 +
= 2x2 + 5x − 3.
x−2
x−2
M (x) se puede factorizar con el método de
M (x) = 2x2 + 5x − 3 = (2x − 1) (x + 3)
Finalmente,
a En
a
inspección , de modo que
P (x) = (x − 2) · M (x) = (x − 2) (2x − 1) (x + 3).
general, para realizar la factorización completa de
M (x)
(de ser posible), se cuenta con todos
los métodos estudiados, incluso se puede intentar con el Teorema del factor.
Ejercicio 13
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1.
x3 − x2 − 4x + 4
2.
12x + 2x2 − 8x3 + 2x4
3.
9x + 22x2 − 8x3 − 9
4.
4x − 3x2 − 2x3 + x4 + 4
5.
9x2 − 13x + 13x3 − 12x4 + 3
6.
10x + 4x2 − 5x3 + x4 − 12
R/
R/
R/
(x + 2) (x − 2) (x − 1)
2x (x − 2) (x + 1) (x − 3)
(2x − 1) (4x + 3) (−x + 3)
R/
R/
R/
32
(x − 2)2 (x + 1)2
(−3x + 1) (4x − 3) (x − 1) (x + 1)
√ √ (x − 2) (x − 3) x − 2 x + 2
Precálculo
MATEM-UCR
7.
x3 − 8x + x4 − 8
8.
3x − 7x2 − x3 + 2x4 + 3
9.
2x2 − 3x + x3 − 10
10.
(x − 2) (x + 1) (2x + x2 + 4)
√ √ (x − 1) (2x + 1) x + 3 x − 3
R/
R/
R/
3x − 11x2 − 3x3 + x4 + 10
R/
(4x + x2 + 5) (x − 2)
(x + 1) (x + 2) (x − 5) (x − 1)
1.2.9. Factorización mediante fórmula general
Si se aplica el procedimiento de completación de cuadrados al polinomio cuadrático ge2
neral P (x) = ax + bx + c con a 6= 0 se obtiene:
P (x) = ax2 + bx + c
b
= a x2 + x +
a
= a x2 + 2 · x ·
"
=a
=a
=a
=a
=a
=a
=a
c
a
c
b
+
2a a
b
x2 + 2 · x ·
+
2a
b
2a
2 !
c
+ −
a
2
b2
c
+ − 2
a 4a
"
2
#
b2
c
− − + 2
a 4a
"
2
#
c 4a
b2
− − ·
+
a 4a 4a2
"
2
#
4ac
b2
− − 2+ 2
4a
4a
"
2
b2 − 4ac
−
4a2
"
2
∆
− 2
4a
b
x+
2a
b
x+
2a
b
x+
2a
b
x+
2a
b
x+
2a
b
2a
2 #
#
"
b
x+
2a
#
#
con
33
∆ = b2 − 4ac
Precálculo
MATEM-UCR
∆ > 0, se puede aplicar diferencia de cuadrados a la expresión anterior:
#
"
2
b
∆
a x+
− 2
2a
4a

√ !2 
2
∆ 
b
−
a x +
2a
2a
√ !
√ !
b
b
∆
∆
a x+
+
x+
−
2a
2a
2a
2a
√ !!
√ !!
b
∆
b
∆
a x− − −
x− − +
2a
2a
2a
2a
!
!
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x−
a x−
2a
2a
Suponiendo que
P (x)
=
=
=
=
=
Todo lo descrito antes se enuncia en el siguiente teorema:
Teorema 1.5: Factorización de un polinomio cuadrático
Sea el polinomio
de
P (x)
P (x) = ax2 + bx + c
con
a 6= 0
y
∆ = b2 − 4ac > 0. La factorización
es igual a
ax2 + bx + c = a ·
√ !
√ !
−b + ∆
−b − ∆
x−
x−
2a
2a
IMPORTANTE:
1.
∆
2. Si
se llama discriminante.
∆ < 0,
las expresiones de arriba NO están denidas (se tendría raíz cuadrada
2
de un número negativo), por lo que ax + bx + c, NO es factorizable en R.
3. Si
4.
∆ = 0,
se obtiene:
b
ax + bx + c = a · x +
2a
2
√
−b − ∆
Para ∆ > 0, x1 =
2a
P (x) = ax2 + bx + c.
y
2
√
−b + ∆
x2 =
2a
34
.
corresponden a los ceros de
Precálculo
MATEM-UCR
El teorema anterior también se puede enunciar de la siguiente forma:
Teorema 1.6: Factorización de un polinomio cuadrático
Sea el polinomio
P (x) = ax2 + bx + c
con
a 6= 0.
Si
x1
y
x2
son los ceros de
P (x),
entonces:
ax2 + bx + c = a · (x − x1 ) (x − x2 )
Ejemplo 1.35
Factorice el polinomio
2x2 − 3x − 3.
Solución:
a) Se calcula el discriminante:
Como
b)
a = 2, b = −3
c = −3,
y
se tiene que:
∆ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 2 · −3 = 9 + 24 = 33
√
√
3 − 33
−b − ∆
=
Se calculan los ceros: x1 =
2a
4
y
√
√
−b + ∆
3 + 33
x2 =
=
2a
4
c) Se escribe la factorización usando el teorema anterior:
2x2 − 3x − 3 = 2 x −
3−
√ !
√ !
33
3 + 33
x−
4
4
Ejemplo 1.36
Factorice el polinomio
−6x − 9x2 − 2.
Solución:
Como
a = −9, b = −6
y
c = −2,
entonces
4 = (−6)2 − 4 · −9 · −2 = 36 − 72 = −36
Como
4 < 0,
el polinomio NO es factorizable en
a Completando
cuadrados se puede vericar que
R
a
h
i
2
−6x − 9x2 − 2 = − (3x + 1) + 1 .
35
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.37
Factorice el polinomio
22x − 8x2 − 15.
Solución:
a) Se calcula el discriminante:
Como
a = −8, b = 22
y
c = −15,
entonces
4 = (22)2 − 4 · −8 · −15 = 484 − 480 = 4
b) Se calculan los ceros:
√
−22 + 4
−22 + 2
5
=
=
x1 =
−16
−16
4
√
−22 − 4
−22 − 2
3
x2 =
=
=
−16
−16
2
c) Se escribe la factorización, usando el teorema anterior:
5
3
22x − 8x − 15 = −8 x −
x−
4
2
5
3
= −4 · 2 · x −
x−
4
2
2
= (−4x + 5) (2x − 3)
a Note
a
que este polinomio se podría factorizar más fácilmente por inspección.
Ejercicio 14
Factorice cada uno de los siguientes polinomios.
1.
30x − 6x2 − 33
2.
14x2 − 14x − 91
3.
4x2 − 36x + 86
4.
16x + 16x2 − 59
5.
21x − 36x2 − 3
x + x2 −
7.
−6x − x2 − 11
8.
x2 − 2x − 11
9.
4x2 − 4x − 6
10.
36
11
4
6.
x2 − x − 1
Precálculo
MATEM-UCR
1.2.10. Combinaciones de métodos
Los métodos anteriores se pueden combinar para obtener la factorización completa de
polinomios más complejos.
Ejemplo 1.38
Factorice completamente el polinomio
4x2 − a2 + y 2 − 4xy + 2ab − b2
Solución
4x2 − a2 + y 2 − 4xy + 2ab − b2
Polinomio dado.
=
(4x2 − 4xy + y 2 ) + (−a2 + 2ab − b2 )
Agrupando.
=
(4x2 − 4xy + y 2 ) − (a2 − 2ab + b2 )
Sacando un menos.
=
(2x − y)2 − (a − b)2
Factorizando cada término.
=
(2x − y − a + b) (2x − y + a − b)
Diferencia de cuadrados.
Ejemplo 1.39
Factorice completamente el polinomio
3
6x7 (2x2 + 5) + 18x9 (2x2 + 5)
2
.
Solución:
3
6x7 (2x2 + 5) + 18x9 (2x2 + 5)
2
2
= 6x7 (2x2 + 5) [(2x2 + 5) + 3x2 ]
2
= 6x7 (2x2 + 5) (5x2 + 5)
2
= 6x7 (2x2 + 5) · 5 (x2 + 1)
2
= 30x7 (2x2 + 5) (x2 + 1)
Ejercicio 15
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1.
a2 + x2 + 2xa − 4
2.
x2 + 4y 2 − 4xy − 1
3.
4x2 + 25y 2 − 36 + 20xy
R/
R/
R/
37
(a + x − 2) (a + x + 2)
(2y − x − 1) (2y − x + 1)
(2x + 5y − 6) (2x + 5y + 6)
Precálculo
MATEM-UCR
4.
9x2 − 1 + 16a2 − 24ax
5.
1 + 64a2 b2 − x4 − 16ab
6.
a2 − b2 − 2bc − c2
7.
m2 − x2 − 2xy − y 2
8.
x4 + x2 + 1
9.
x4 − 5x3 − 5x2 + 23x + 10
(3x − 4a − 1) (3x − 4a + 1)
R/
R/
(8ab − x2 − 1) (8ab + x2 − 1)
R/
(a − b − c) (a + b + c)
(m − x − y) (m + x + y)
R/
(x2 + 1 − x) (x2 + 1 + x)
√ √ (x − 5) (x + 2) x − 1 − 2 x − 1 + 2
R/
R/
10.
(x − 3)4 − 14 (x − 3)2 − 32
11.
25x − 49x2 + 30x3 − 4
12.
4a2 − x2 + 4x − 4
13.
9x2 − a2 − 4m2 + 4am
14.
−a2 + 25m2 − 1 + 2a
15.
a2 − 2ab + b2 − c2 − 2cd − d2
16.
x2 + 2xy + y 2 − m2 + 2mn − n2
17.
a2 + 4b2 + 4ab − x2 − 2ax − a2
18.
m2 − x2 + 9n2 + 6mn − 4ax − 4a2
R/
(m − 2a + 3n − x) (2a + m + 3n + x)
19.
9x2 + 4y 2 − a2 − 12xy − 25b2 − 10ab
R/
(a + 5b − 3x + 2y) (2y − 5b − 3x − a)
20.
16a2 − 1 − 10m + 9x2 − 24ax − 25m2
21.
x2 − y 2 + 4 + 4x − 1 − 2y
22.
a2 − 16 − x2 + 36 + 12a − 8x
23.
−x2 − 6xy − 9y 2 + 16
24.
(b2 + 2b) − 2 (b2 + 2b) − 3
25.
(x − y)5 − (x − y)
26.
y m − 2xn + xn y m − 2
27.
8x2020 − 2x2019 − x2018
28.
5x − 10x2 + 10x3 − 5x4 + x5 − 1
(x − 7) (x + 1) (x2 − 6x + 11)
R/
(−2x + 1) (4 − 5x) (3x − 1)
R/
(2a − x + 2) (2a + x − 2)
R/
R/
(a − 2m + 3x) (2m − a + 3x)
(5m − a + 1) (a + 5m − 1)
R/
R/
R/
(−b + a − c − d) (a − b + c + d)
(m − n + x + y) (n − m + x + y)
R/
R/
(3x − 5m − 4a − 1) (5m − 4a + 3x + 1)
R/
R/
R/
2
(x − 2b) (−2a − 2b − x)
(−y + x + 1) (x + y + 3)
(−x + a + 2) (a + x + 10)
(−x − 3y + 4) (x + 3y + 4)
R/
R/
(b + 3) (b − 1) (b + 1)2
(−y + x − 1) (y − x) (y − x − 1) (x2 − 2xy + y 2 + 1)
R/
R/
(xn + 1) (y m − 2)
x2018 (2x − 1) (4x + 1)
R/
38
(x − 1)5
Precálculo
MATEM-UCR
1.3. Problemas
En esta sección se pretende aplicar los conceptos estudiados sobre polinomios.
Ejemplo 1.40
Determine el valor de
k
para que
A (x) = x3 − 3x + k
sea divisible por
x+
1
.
2
Solución:
Si
A (x)
es divisible por
x+
1
,
2
signica que
Por el teorema del factor, se cumple que
A
−1
2
=0 ⇔
⇔
−1
2
−3
−1
2
1
2
es un factor de
es un cero de
A (x).
A (x).
Entonces:
+k =0
−1 3
+ +k =0
8
2
⇔ k=
Ejercicio 16
3
−1
2
x+
−11
8
Resuelva cada uno de los siguientes problemas.
1. Determine un polinomio de grado
5
que tenga como únicos ceros a
2. Determine un polinomio de grado
6
que no tenga ceros reales.
3. Considere el polinomio
−3, 5
y
9.
P (x) = 2x4 − 3x3 + 5x2 − 8x + 1.
a) Sin hacer divisiones, determine el residuo de la división
P (x)÷(x + 8). ¾Qué teoría
se aplica para determinar ese residuo?
b) Determine el cociente y el residuo de la división
P (x) ÷ (x + 8),
sin usar división sintética.
con división sintética.
c) Determine el cociente y el residuo de la división
tética.
39
P (x) ÷ (x + 8).
Use división sin-
Precálculo
MATEM-UCR
4. De acuerdo con el teorema de los ceros racionales de un polinomio, determine los
4
3
2
posibles ceros racionales que tiene P (x) = 27x + 2x − 7x − 2x + 18.
5. Factorice completamente el siguiente polinomio:
2
2
(x2 − 2x + 3) − (2x + 3)2 − 4 (x − 1)2
6. Para el polinomio
7. Sea
P (x) = x4 − 2x3 + x2 − 2ax2 + 4ax − 2a
Determine todos los valores de
a
para que
1
sea un cero de
P (x).
Determine todos los valores de
a
para que
8
sea un cero de
P (x).
2
P (x) = (4x2 + x − 36) − 9
T (x) = 16x2 + 8x − 143.
y
Factorice completamente
P (x).
Factorice completamente
T (x).
Sin hacer más cálculos, explique cual es el residuo que se obtiene al efectuar
P (x) ÷ T (x)
8. Sea el polinomio
M (x) = 3x3 − (k + 3) x2 + (k − 36) x + 12k .
Verique que
k
3
es un cero de
Factorice completamente
9. Determine el valor de
m
M (x).
M (x).
para que
3x4 − 2x3 − 5x2 + mx + 4
40
sea divisible por
x + 2.
Precálculo
MATEM-UCR
1.4. Fracciones racionales
Con los polinomios se pueden efectuar diversas operaciones. Los cocientes de polinomios
se llaman fracciones racionales.
Denición 1.3: Fracción racional
Sean
P (x) y Q (x) polinomios, una fracción
donde
racional es un fracción de la forma
P (x)
,
Q (x)
Q (x) 6= 0.
3
En lo que sigue se presentan diferentes operaciones con fracciones racionales.
1.4.1. Simplicación
Fundamentalmente se usa la propiedad:
a
= 1
a
(para
a 6= 0),
es decir, se cancelan los
factores iguales. En muchos casos, lo primero que hay que hacer es factorizar los polinomios.
Ejemplo 1.41
Simplique la expresión
x4 − 7x2 − 2x + 8
.
x4 − 2x3 − 9x2 + 10x + 24
Solución:
x4 − 7x2 − 2x + 8
x4 − 2x3 − 9x2 + 10x + 24
=
(x + 2) (x3 − 2x2 − 3x + 4)
(x − 3) (x3 + x2 − 6x − 8)
=
(x + 2) (x − 1) (x2 − x − 4)
(x − 3) (x + 2) (x2 − x − 4)
=
x−1
x−3
3 Todas las fracciones que aparecen en las distintas operaciones se suponen bien denidas. En el capítulo
de ecuaciones se hace énfasis en las restricciones.
41
Precálculo
Ejercicio 17
MATEM-UCR
Simplique cada una de las siguientes expresiones.
1.
170m3 y 4 z 6
340m7 y 12
2.
15a2 bn − 45a2 bm
10a2 b2 n − 30a2 b2 m
3.
24ax2 − 6ax − 9a
54a − 144ax + 96ax2
4.
x3 (x − 4) + 4x2 (x − 4) + 4x (x − 4)
x4 − 2x3 − 8x2
5.
2x3 − 2xy 2 + x2 − y 2
2xy 2 + y 2 − 2x3 − x2
6.
(2x − 1)2 − (4x + 3)2
−16x − 4x2 − 16
7.
(4x2 − 6xy + 9y 2 ) (2x + 3y)
8x3 + 27y 3
8.
2ay − 3ab − 6bx + 4xy
a3 + 8x3 + 12ax2 + 6a2 x
9.
−5x − 10x3
4x2 + 4x4 + 1
z6
2m4 y 8
R/
R/
R/
2x + 1
8x − 6
R/
x+2
x
R/
R/
3
2b
−1
3x + 1
x+2
R/
R/
1
2y − 3b
4ax + a2 + 4x2
−5x
2x2 + 1
R/
10.
7 − 12x2 − 8x
10x + 24x2 − 21
11.
84x3 − 188x4 − 96x5
72x5 − 392x3
R/
3 − 8x
6x − 14
12.
n + 1 − n3 − n2
n3 − n − 2n2 + 2
R/
−n − 1
n−2
R/
42
1 − 2x
4x − 3
Precálculo
13.
(x − 2)2 (x2 + x − 12)
(2 − x) (3 − x)2
14.
(x − y)3
x3 − y 3
15.
343m3 + 8x3
12mx4 − 42m2 x3 + 147m3 x2
16.
16x3 − 12x2 − 4x + 3
2x3 − x2 − 5x − 2
17.
24x2 + 18 − 57x
(6 − 3x)3x + (6 − 3x)
18.
6x2 + 3
42x5 − 9x3 − 15x
19.
x3 + 3x2 − 4
x3 + x2 − 8x − 12
20.
(x + b)2 − (c − d)2
(x + c)2 − (b − d)2
21.
x3 + x2 y − 4b2 x − 4b2 y
4b2 − 4bx + x2
22.
8x4 − xy 3
4x4 − 4x3 y + x2 y 2
23.
276xy 2 − 30y 2 − 288x2 y 2
45y 2 + 21xy 2 − 90x2 y 2
24.
x3 − x2 − 8x + 12
x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12
MATEM-UCR
R/
R/
8 − x2 − 2x
x−3
x2 − 2xy + y 2
xy + x2 + y 2
7m + 2x
3mx2
R/
R/
8x2 − 10x + 3
x2 − x − 2
R/
R/
3 − 8x
3x + 1
7x3
R/
R/
R/
x−1
x−3
x+b−c+d
x−b+c+d
2bx + 2by + xy + x2
x − 2b
R/
−2xy − 4x2 − y 2
xy − 2x2
R/
16x − 2
5x + 3
R/
43
1
− 5x
1
x−1
Precálculo
MATEM-UCR
1.4.2. Multiplicación y división
IMPORTANTE:
Para multiplicaciones y divisiones se usan las propiedades:
a c
a·c
· =
b d
b·d
a c
a d
÷ = ·
b d
b c
para
b 6= 0
para
y
d 6= 0
b 6= 0, c 6= 0
y
d 6= 0
Ejemplo 1.42
Efectúe la siguiente operación y simplique al máximo:
8x2 + 26x + 15 6x2 + 13x − 5
÷
16x2 − 9
9x2 − 1
Solución:
8x2 + 26x + 15 6x2 + 13x − 5
÷
16x2 − 9
9x2 − 1
Ejercicio 18
=
8x2 + 26x + 15
9x2 − 1
·
16x2 − 9
6x2 + 13x − 5
=
(2x + 5)(4x + 3) (3x + 1)(3x − 1)
·
(4x + 3)(4x − 3) (2x + 5)(3x − 1)
=
(2x + 5)(4x + 3)(3x + 1)(3x − 1)
(4x + 3)(4x − 3)(2x + 5)(3x − 1)
=
3x + 1
4x − 3
Efectúe y simplique al máximo las siguientes operaciones:
1.
8x3 − y 3
4xy
·
5
2x − y 2xy + 4x2 y 4 + 8x3 y 3
2.
5x − x2 − 6 2x2 − 3x − 2
÷
−x2 + 3x
5x − 2x2 + 3
R/
R/
44
2
y2
3−x
x
Precálculo
MATEM-UCR
3.
2x3 − 8x4 + 3x2 5x2 − 20x4
÷
x2 − x + 2x3
x2 + x
4.
x2 − 3x
÷
2x
5.
R/
x3 − 9x 2x − x2 + 3
·
2x
6x + x2 + 9
11x + 6x2 + x3 + 6 x2 − 1
÷
5x + x2 + 6
x
4x − 3
− 20x + 5
20x2
R/
x2
−x − 3
− 2x − 3
2
x − 2x + 1
·
x
1
9 − k2
6.
(k + 3)−2 ÷
7.
y 2 + 2y + 4 y 3 − 8
÷ 2
y 5 − 4y 3
y −4
R/
8.
w4 − 1 w2 + w3 + w4
·
w3 − 1 2w2 + w4 + 1
R/
9.
(a2 − ax)
1
· 3
÷
2
2
a +x
a + a2 x
2
a3 − a2 x
a2 − x 2
·
a2 + 2ax + x2 a3 + ax2
R/
x−1
R/
3−k
k+3
y4
1
− 2y 3
w2 + w3
w2 + 1
R/
1
a
2
10.
(y 2 − 3y)
27 − y 3
y 4 − 9y 2
·
÷
9 − y2
(y + 3)2 − 3y (y 2 + 3y)2
R/
y 3 − 3y 2
1.4.3. Suma y resta
Para realizar la suma y la resta de fracciones algebraicas se procede de la siguiente manera:
1. Se factorizan completamente los denominadores que sean factorizables. (no hace falta
factorizar los numeradores).
2. Considerando los factores de esos denominadores, se determina el denominador de una
nueva fracción, del siguiente modo:
Se calcula el mínimo común múltiplo (MCM) de los factores numéricos.
Del resto de los factores, se anotan los que no están repetidos, y los que se repiten se anotan solamente una vez, pero elevados al mayor exponente con el que
aparecen.
Se multiplican los factores obtenidos en los dos puntos anteriores.
3. El numerador de la nueva fracción se determina del siguiente modo: El nuevo denominador se divide por cada denominador previo y el cociente se multiplica por su respectivo
numerador.
45
Precálculo
MATEM-UCR
4. En el numerador se efectúan las operaciones respectivas.
5. Se simplica, si es posible, la fracción algebraica obtenida.
Ejemplo 1.43
Efectúe la siguiente operación y simplique al máximo:
1
1
9a
−
−
4a2 − 4 2a − 4 8a3 − 24a2 + 32
Solución:
1
9a
1
−
− 3
− 4 2a − 4 8a − 24a2 + 32
4a2
=
1
1
9a
−
−
4 (a + 1) (a − 1) 2 (a − 2) 8 (a + 1) (a − 2)2
=
1 · 2(a − 2)2 − 1 · 4 (a + 1) (a − 1) (a − 2) − 9a · (a − 1)
8 (a + 1) (a − 1) (a − 2)2
=
2 (a2 − 4a + 4) − 4 (a2 − 1) (a − 2) − 9a2 + 9a
8 (a + 1) (a − 1) (a − 2)2
=
2a2 − 8a + 8 − 4 (a3 − 2a2 − a + 2) − 9a2 + 9a
8 (a + 1) (a − 1) (a − 2)2
=
2a2 − 8a + 8 − 4a3 + 8a2 + 4a − 8 − 9a2 + 9a
8 (a + 1) (a − 1) (a − 2)2
=
−4a3 + a2 + 5a
8 (a + 1) (a − 1) (a − 2)2
=
−a (4a2 − a − 5)
8 (a + 1) (a − 1) (a − 2)2
=
−a (a + 1) (4a − 5)
8 (a + 1) (a − 1) (a − 2)2
=
−a (4a − 5)
8 (a − 1) (a − 2)2
46
Precálculo
Ejercicio 19
MATEM-UCR
Efectúe cada una de las siguientes operaciones.
1.
x
−x + 4
2
+
− 2
x−3 x+2 x −x−6
2.
x + 12
x
−3x − 27
−
+
x−3
3−x
2x − 6
3.
x−3
2
x
+
−
x − 2 x + 3 (x − 2) (x + 3)
4.
2x + 1 x − 4 4x2 − 8x − 12x3 + 3
−
+
3x
9x2
18x3
5.
x − 5 −2x + 1 4x2 + 12x − 20
+
+
3x
2x − 4
6x2 − 12x
6.
3 − x x + 3 7x3 − 24x2 + 16x + 10
−5x
+
−
+
x−3 x−2 x−1
x3 − 6x2 + 11x − 6
R/
7.
x−3
x−2
−3x + 7
+ 2
−
x (2x + 1) 4x − 1 x (2x − 1)
R/
8.
9.
x2
R/
R/
R/
R/
2
2
3
− 2
+ 2
+ 5x + 3 4x − 2x − 12 x − x − 2
10.
x+1
2
x+3
+
−
2
x − 4 x − 2 2x + 4
11.
y + 10
y
2y − 5 16y − 25
+
−
+
10y + 10 −2y − 2 3y + 3 15y + 15
12.
p
p
− 2
2
2
a −p
a + ap
R/
x3
−
6x2
8x2 + 3
18x3
1
6 (x − 2)
1
+ 11x − 6
9x2 − 20x − 4
x (2x + 1) (2x − 1)
−x − 22
(x + 3) (x − 5) (x − 2)
R/
2x3
R/
7x + 4
+ x2 − 7x − 6
−x2 + 5x + 16
2 (x + 2) (x − 2)
R/
R/
47
1
2
x2 + x − 13
(x + 3) (x − 2)
R/
x+1
x−4
−3
− 2
+ 2
+ x − 6 x − 2x − 15 x − 7x + 10
2x2
x2
(x − 3) (x + 2)
1
y+1
p2
a3 − ap2
Precálculo
MATEM-UCR
1.4.4. Combinación de operaciones
Las operaciones con fracciones algebraicas se pueden combinar en ejercicios como el siguiente:
Ejemplo 1.44
Efectúe la siguiente operación y simplique al máximo:
x+3 x+1
−
x+4 x+2
x−1 x−3
−
x+2 x+4
Solución:
x+3 x+1
−
x+4 x+2
x−1 x−3
−
x+2 x+4
Ejercicio 20
1.
2.
=
(x + 3)(x + 2) − (x + 1)(x + 4)
(x + 4)(x + 2)
(x − 1)(x + 4) − (x − 3)(x + 2)
(x + 4)(x + 2)
=
[(x + 3)(x + 2) − (x + 1)(x + 4)][(x + 4)(x + 2)]
[(x − 1)(x + 4) − (x − 3)(x + 2)][(x + 4)(x + 2)]
=
x2 + 2x + 3x + 6 − x2 − 4x − x − 4
x2 + 4x − x − 4 − x2 − 2x + 3x + 6
=
1
2
=
4x + 2
2x + 1
Efectúe las siguientes operaciones.
4−x
x
+
x+2 x+1
x+1 x+7
−
x+2 x+1
R/
a
a−4
−
−4 a+2
a+1 a−2
−
a−2 a+2
a2
R/
48
−5x − 4
7x + 13
−a2 + 7a − 8
7a − 2
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.45
Efectúe la siguiente operación y simplique al máximo:
a
b
b2
1+
1−
1+ 2
b
a
a − b2
Solución:
2
b
b2
b+a
a−b
a − b2 + b2
a
1−
1+ 2
=
1+
b
a
a − b2
b
a
a2 − b 2
Ejercicio 21
1.
2
−
x−2
2.
=
(a − b)(a + b)
a2
· 2
ab
a − b2
=
a2 − b 2
a
a
· 2
=
2
b
a −b
b
Efectúe las siguientes operaciones.
2
x2 − 4
+1 ÷
x
x
1
−x
x−1
2x + 1 −
1
x−1
R/
+
2x4 − 3x3 − 3x2 + 4x + 1
(x − 1)2
3.
1
x + 3 − −5x − 5
x−5
x2 − x − 4
− (x − 3)
x+3
4.
2y − 1
y−1
2
y− 2
÷ y +1−
y +2
y
5.
2
7
x4 + 2x2 + 1
−2
−2 − x (x + 1) + (x + 1)
÷ 2
x2 + 1
x + 2x + 1
6.
x
4x + 2xy + 4x2 + 4x3 + 2x2 y + 2x3 y
2x3 − 2
+
÷
x−1
16 − y 4
(y − 2) (y 2 + 4)
R/
x+2−
R/
1
−1 + x
−x2
x2 − 4 − x
R/
49
1
x−2
R/
y2
y
+2
6
x2 + 1
R/
0
Precálculo
MATEM-UCR
1.5. Racionalización
Racionalizar el denominador de una fracción es un proceso en el cual se transforma una
expresión, la cual es una fracción con raíz en el denominador, a otra equivalente sin raíz en el
denominador. De manera análoga, se entiende lo que es la racionalización de numeradores.
Ejemplo 1.46
Racionalice el denominador de
3
√
.
5
x2
Solución:
3
3
√
= √
·1
5
5
x2
x2 √
5
x3
3
√
= √
·
5
5
x2
x3
√
5
3 x3
= √
5
x5
√
5
3 x3
=
x
a Observe
Se aplica la propiedad
a = a · 1.
Se multiplica por una expresión conveniente equivalente a 1.
a
Se multiplican los radicales del denominador.
Se aplica propiedad de radicales.
que la expresión elegida en el paso anterior es conveniente porque en el denominador se
produce un subradical con un exponente igual al índice.
En ocasiones de debe racionalizar un denominador o numerador con dos términos.
Ejemplo 1.47
Racionalice el denominador de
√
2
√
.
3+7
Solución:
En estos casos se debe multiplicar por el conjugado
(a + b) (a − b) = a2 − b2 .
a para aplicar la fórmula notable
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2
2
3−7
6−7 2
6−7 2
6−7 2
√
= √
·√
= √ 2
=
=
3 − 49
−46
3+7
3+7
3−7
3 − 72
√
√
√
2
7 2− 6
√
=
.
Por lo tanto,
46
3+7
a Se
le llama conjugado de
(a + b)
a la expresión
50
(a − b)
y viceversa.
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.48
Racionalice el denominador de
√
38 − 2x
√
.
x + 13 − 2x − 6
Solución:
√
√
38 − 2x
2 (19 − x)
x + 13 + 2x − 6
√
√
√
√
= √
· √
x + 13 − 2x − 6
x + 13 − 2x − 6
x + 13 + 2x − 6
√
√
2 (19 − x) x + 13 + 2x − 6
=
2
2
√
√
x + 13 −
2x − 6
√
√
2 (19 − x) x + 13 + 2x − 6
=
(x + 13) − (2x − 6)
=
=
2 (19 − x)
2(19 − x)
= 2
Por lo tanto,
√
√
√
√
2x − 6
√
√
x + 13 +
−x + 19
x + 13 +
19 − x
x + 13 +
√
2x − 6
2x − 6
√
√
38 − 2x
√
= 2 x + 13 + 2 2x − 6.
x + 13 − 2x − 6
El proceso para racionalizar un numerador es básicamente el mismo que el de racionalizar
un denominador.
Ejemplo 1.49
√
Racionalice el numerador
x−5
√ .
3
Solución:
√
√
√
√ 2
x−5
x−5
x+5
( x) − 52
x − 25
√
√
√
=
·√
= √ √
= √
x+5
3
3
3 ( x + 5)
3x + 5 3
51
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 22
Racionalice el denominador de las siguientes expresiones con radicales:
1.
−2x2
p
7
x2 y 3
5.
x4 − 1
√
x− x
2.
√
x
p
√
5
y2 ·
3−3
6.
5
√
3 − −8x + 1
3.
x2 − 81
√
x−3
4.
√
√
−2x + 3
√
x + 3 − 5x − 3
Ejercicio 23
7.
x+1
√
2x + 1 − x
8.
a
√
a + b − ab
Racionalice el numerador de las siguientes expresiones con radicales:
√
5
1.
2.
xh
2
xh
√
5
√
7 ( x − 1)
√
3.
x−
√
6.
x+h
7.
h
√
4.
5.
√
7− 5
√
13
125
8.
√
x+1
√
3 − 2x
√
2x − 3 +
√
x−2
√
√
2− x
√
x−5
√
−5 x + 3
√
3
Binomios cúbicos:
En el caso de radicales cúbicos se aplican las fórmulas notables:
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2 )
52
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.50
Racionalice el denominador de
√
3
x
.
x−5
Solución:
√ 2
√
x
x
( 3 x) + 5 3 x + 52
√
= √
· √
√
3
3
x−5
x − 5 ( 3 x)2 + 5 3 x + 52
√
√
3
x2 + 5 3 x + 25
x
=
√ 3
( 3 x) − 53
√
√
3
3
2
x + 5 x + 25
x
=
x − 125
Ejercicio 24
1.
2.
3.
√
3
2
x−2
2.
√
√
3
5.
13
√
13 ( 3 a − b)
x−
6.
yx − y
p √
y 7 ( 3 x − 1)
10
8 − 2b2 − 15b
√
3
b+2
√
5
√ √
√ 3
7 2− 3x
Racionalice el numerador de las siguientes expresiones con radicales:
√
3
x+1
4.
√
√
3
a+ 3b
a2 + 2ab + b2
√
3
3.
4.
√
2
√
3
7+ x+3
Ejercicio 25
1.
Racionalice el denominador de las siguientes expresiones con radicales:
5.
x+1
−1
6.
x2
53
√
3
a2
√
3
y−2
√
√
3
e+ 3x
√
m (e + x)
√
√
3
x − 1 − 3 −1 + 7x
√
2x x
Precálculo
MATEM-UCR
1.6. Ecuaciones
Antes de estudiar este tipo particular de ecuaciones es importante recordar que, en gene-
ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, de una o más variables
llamadas incógnitas.
ral, una
Resolver una ecuación signica determinar todos los posibles valores de las incógnitas
que la satisfacen, es decir, que hacen la igualdad verdadera. El conjunto de todas ellas recibe
el nombre de
conjunto solución.
Cuando resolver una ecuación no es sencillo, se debe recurrir a procedimentos que se
justican con propiedades de las igualdades, las cuales se detallan a continuación:
Propiedades de la igualdad:
1. La igualdad es una
relación de equivalencia,
es decir, cumple las siguientes
propiedades:
Reexiva: a = a.
Simétrica: si a = b entonces b = a.
Transitiva: si a = b y b = c, entonces a = c.
2. Para la suma: si
a=b
entonces
a+c=b+c
3. Para la resta: si
a=b
entonces
a − c = b − c.
4. Para la multiplicación: si
a=b
entonces
c 6= 0,
a · c = b · c.
5. Para la división: si
a=b
a Esa
no se aplica en ecuaciones.
propiedad con
c=0
y
.
entonces
a
b
a
= .
c
c
1.6.1. Ecuaciones cuadráticas
Denición 1.4: Ecuación cuadrática
Una
2
ecuación cuadrática es una ecuación que se puede reducir a la forma
ax + bx + c = 0,
con
a 6= 0.
54
Precálculo
MATEM-UCR
Importante:
Para determinar el conjunto solución de este tipo de ecuaciones se puede factorizar
(cuando sea posible) el polinomio y aplicar la propiedad:
ab = 0 ⇔ a = 0
o
b = 0.
Ejemplo 1.51
Determine el conjunto solución de
2x = 8x2 − 3.
Solución:
2x = 8x2 − 3 ⇔ 8x2 − 2x − 3 = 0
⇔ (2x + 1)(4x − 3) = 0
Por lo tanto,
Factorizando por inspección.
⇔ 2x + 1 = 0 o 4x − 3 = 0
−1
3
⇔ x=
o x =
2
4
−1 3
el conjunto solución es S =
,
.
2 4
La forma general de resolver este tipo de ecuaciones es completando cuadrados.
Ejemplo 1.52
Determine el conjunto solución de
4x + x2 = 3.
Solución:
4x + x2 = 3 ⇔ x2 + 4x − 3 = 0
Por lo tanto,
⇔ (x + 2)2 − 7 = 0
√ √ ⇔ x+2− 7 x+2+ 7 =0
√ √ ⇔ x+2− 7 =0 o x+2+ 7 =0
√
√
⇔ x = −2 + 7 o x = −2 − 7
√
√
el conjunto solución es S = −2 −
7, −2 + 7
55
Completando cuadrados.
.
Precálculo
MATEM-UCR
Dado que en el capítulo de factorización se usó completar cuadrados para trinomios cuadráticos, se puede usar esto para obtener la fórmula general de resolución de una ecuación
∆ > 0:
#
"
2
b
∆
− 2 =0
ax2 + bx + c = 0 ⇔ a x +
2a
4a
cuadrática. A continuación, se presenta el caso
√ !2 
∆ 
=0
2a
⇔

2
b

a
x+
−
2a
⇔
√ !
√ !
∆
b
∆
b
+
x+
−
=0
a x+
2a
2a
2a
2a
⇔
√ !
√ !
−b − ∆
−b + ∆
a x−
x−
=0
2a
2a
⇔
√
−b − ∆
x=
2a
√
−b + ∆
x=
2a
o
Solución de una ecuación cuadrática:
Para la ecuación
ax2 + bx + c = 0,
(
Si
∆ > 0,
entonces
S=
Si
∆ = 0,
entonces
S=
Si
∆ < 0,
entonces
S = ∅.
con
a 6= 0
y
∆ = b2 − 4ac,
se tiene que:
√
√ ) (
√ )
−b − ∆ −b + ∆
−b ± ∆
,
=
2a
2a
2a
−b
2a
.
Ejemplo 1.53
Determine el conjunto solución de la ecuación
4x2 − 12x + 10 = 0.
Solución:
Como
a = 4, b = −12, c = 10
se tiene que:
∆ = (−12)2 − 4 · 4 · 10 = −16. ∴ S = ∅.
56
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.54
Determine el conjunto solución de la ecuación
x2 − 3x − 2 = 0.
Solución:
Como
a = 1, b = −3, c = −2
se tiene que:
∆ = (−3)2 − 4 · 1 · −2 = 17.
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones:
(
Por lo tanto,
Ejercicio 26
1.
S=
3−
√
2
17 3 +
,
√
2
.
)
.
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
2x = 7x − 3
3.
2
2
(x − 2) − (2x + 1) = 0
5.
22x
+4=0
2x −
3
R/
R/
(
(2 + x)2 − 3 (x + 1)2 = 0
8.
−12x − 4x2 = 16
1
−4, −
2
R/
√
√
3x + x2 − 3 3 − x 3 = 0
R/
−1 −
2
2
,3
3
√
−3, 3
√ )
√
3 −1 + 3
,
2
R/
2
4x − 4x = 11
R/
(2 + x)2 + 3 (x + 1)2 = 0
1
−3,
3
2
7.
R/
3
0,
2
R/
2
(2x + 1) − (2x + 1) (x − 3) = 0
R/
1
,3
2
2
4.
10.
17
3x = 2x
9.
√
2
2
2.
6.
17
x=
3±
∅
1 √ √
1
− 3, 3 +
2
2
R/
57
∅
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.55
Determine los valores de
k
para que la ecuación
2x2 + 3kx + 2 = 0 tenga solución única.
Solución:
Para que una ecuación cuadrática tenga solución única su discriminante debe ser igual
2
2
a cero. Como a = 2, b = 3k, c = 2 se tiene que ∆ = (3k) − 4 · 2 · 2 = 9k − 16.
Para que
2x2 + 3kx + 2 = 0
tenga solución única se debe cumplir que:
9k 2 − 16 = 0 ⇔ (3k + 4) (3k − 4) = 0
4
−4
o k =
⇔ k=
3
3
∆=0 ⇔
∴
La ecuación tiene solución única si
Ejercicio 27
−4
3
k=
o
k=
4
.
3
Resuelva cada uno de los siguientes problemas.
1. Calcule el discriminante de la ecuación
2. Determine los valores de
k
2x −
√ 2
3 = 0.
para que la ecuación
kx2 − 5kx + 1 = 0
tenga solución
única.
3. Escriba una ecuación cuadrática que tenga como conjunto solución
4. Escriba una ecuación cuadrática que tenga como soluciones
5. Determine el valor de
2x2 − 3ax + 2 = 0.
a
para que
x = −2
−4
3
y
S=
−2
3
.
2.
sea una solución de la ecuación cuadrática
6. Escriba dos ecuaciones cuadráticas con conjunto solución
S = {−3, 1}.
¾Tienen el
mismo discriminante esas ecuaciones?
7. Para
a
y
b
constantes, determine el conjunto solución de
58
−6x2 + 2ax + 3bx − ab = 0.
Precálculo
MATEM-UCR
1.6.2. Ecuaciones polinomiales
Denición 1.5: Ecuación polinomial
Una
ecuación polinomial de una variable es una ecuación que se puede reducir a la
forma:
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
donde
ai ∈ R ,
para
i = 0, 1, 2, 3, . . . , n.
Importante:
Para resolver este tipo de ecuaciones, se factoriza el polinomio y se aplica la propiedad:
a·b=0 ⇔ a=0
o
b=0
A continuación, se presentan algunos ejemplos.
Ejemplo 1.56
Determine el conjunto solución de
8x − 7x3 = −2x4 − 3.
Solución
8x − 7x3 = −2x4 − 3
⇔ 2x4 − 7x3 + 8x + 3 = 0
⇔ (2x + 1)(x − 3)(x2 − x − 1) = 0
(x2 − x − 1) = 0
√
1± 5
o
x=3 o x=
2
(
√
√ )
−1
1− 5 1+ 5
conjunto solución es S =
, 3,
,
2
2
2
⇔ (2x + 1) = 0
⇔ x=
−1
2
Por lo tanto, el
Factorizando por división sintética.
o
(x − 3) = 0
o
59
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.57
Determine el conjunto solución de
x4 + 10x2 = −21.
Solución
x4 + 10x2 = −21
⇔ x4 + 10x2 + 21 = 0
⇔ (x2 + 3)(x2 + 7) = 0
⇔ (x2 + 3) = 0
o
(x2 + 7) = 0
Como ambas expresiones son sumas de cuadrados, se tiene que
S=∅
Ejemplo 1.58
Determine el conjunto solución de
x4 − 2x3 − 2x2 − 2x − 3 = 0.
Solución:
Utilizando división sintética se obtiene la factorización del polinomio de la siguiente
forma:
1 −2 −2 −2 −3 −1
−1
3 −1
3
1 −3
1 −3
0
Entonces, se puede decir que:
⇔
x4 − 2x3 − 2x2 − 2x − 3
= 0
(x + 1)(x3 − 3x2 + x − 3)
= 0
⇔ (x + 1)[x2 (x − 3) + (x − 3)] = 0
⇔
(x + 1)(x − 3)(x2 + 1)
x2 + 1 > 0, para todo x ∈ R,
donde x = −1 o x = 3.
Como
Por lo tanto,
= 0
Factor común:
x2 .
Factor común:
x − 3.
solo interesa el caso cuando
S = {−1, 3}
60
(x + 1)(x − 3) = 0,
de
Precálculo
Ejercicio 28
1.
MATEM-UCR
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
x3 − 2x2 = 5x − 6
{−2, 1, 3}
R/
√ √ )
√ √
2 2
− 7, 7, −
,
2 2
(
2.
2x4 − 15x2 + 7 = 0
R/
√
√ )
1− 3 1+ 3
−4,
,
2
2
(
3.
18x − 12x2 − 4x3 + 8 = 0
4.
12x2 + 22x3 + 12x4 + 2x5 = 0
5.
13x2 − 52x − x3 = −60
6.
27x − 9x2 + x3 = 27
7.
x3 − 3x2 + 4 = 0
R/
R/
R/
R/
9.
10.
(x2 − 1) (x + 1) + (x2 − 1) x + (x + 1) x + x2 = 0
3
2
8x − 2x − 29x + 14 = 0
2
12.
8x + 5x2 + x3 + 4 = 0
13.
3x − 4x2 + 4x3 = x4 − x5 + 3
1
5+1
,
− ,−
2
2
5−1
2
1 5 1
, ,
2 2 3
{−1, −2}
R/
3 − 8 (x + 1) − 10 (x + 1) = 0
R/
61
2 1
− ,−
3 2
R/
2
)
7 1
−2, ,
4 2
R/
R/
{3}
{−1, 2}
√
27x − 40x + 12x − 5 = 0
11x + 20x2 + 12x3 + 2 = 0
R/
√
R/
3
11.
14.
{2, 5, 6}
R/
(
8.
{−1, −2, 0, −3}
{1}
5 3
− ,−
2 4
Precálculo
MATEM-UCR
15.
10x2 + x4 = −21
R/
∅
16.
7x2 + 2x4 + 3 = 0
R/
∅
5 1
−2, − , −
2 2
17.
18.
19.
4 (x + 2)
2018
− 4 (x + 2)
3
2019
+ 3 (x + 2)
2017
=0
R/
3
x (x − 2) − 2x2 (x − 2) = 0
R/
2
(x2 + 2x + 1) + 6 (x2 + 2x + 1) − 1 = 0
R/
1
2, 0,
2
( √
)
√
3
3
−
− 1,
−1
3
3
( √
20.
x2 (x2 − 2)
2017
2018
+ 2 (x2 − 2)
2017
+ 3 (x2 − 2)
=0
R/
)
√
3 3 √ √
−
,
, − 2, 2
3 3
1.6.3. Ecuaciones fraccionarias
En la siguiente denición se presenta la forma simplicada de este tipo de ecuaciones.
Denición 1.6: Ecuación fraccionaria
Sean
A(x) y B(x) dos polinomios con B(x) 6= 0. La ecuación
A(x)
= 0 es una ecuación
B(x)
fraccionaria.
Para resolver ecuaciones fraccionarias, se aplican las siguientes propiedades:
Propiedades:
a
= 0 ⇔ a = 0 y b 6= 0
b
a
c
=
⇔ a = c y b 6= 0
b
b
a
c
=
⇔ a · d = b · c y b, d 6= 0
b
d
62
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.59
Determine el conjunto solución de
x−
4
x+3
x+
3
x+4
= 0.
Solución:
Los valores que hacen cero los denominadores son
x = −3
y
x = −4,
estos valores son
las restricciones de la ecuación. Luego:
x−
4
x+3
x+
3
x+4
=0 ⇔
x−
4
=0
x+3
o
x+
Ahora se resuelve cada una de esas ecuaciones:
Primera ecuación:
x−
4
x(x + 3) − 4
=0 ⇔
=0
x+3
x+3
⇔ x(x + 3) − 4 = 0
⇔ x2 + 3x − 4 = 0
⇔ (x + 4)(x − 1) = 0
⇔ x = −4
o
x=1
Segunda ecuación:
x+
3
x(x + 4) + 3
=0 ⇔
=0
x+4
x+4
⇔ x(x + 4) + 3 = 0
⇔ x2 + 4x + 3 = 0
⇔ (x + 3)(x + 1) = 0
⇔ x = −3
o
x = −1
Considerando las restricciones, el conjunto solución es
63
S = {−1, 1}
3
=0
x+4
Precálculo
MATEM-UCR
En el ejemplo anterior se observa que a pesar de que los valores
x = −4
y
x = −3
se
obtuvieron al resolver las ecuaciones, deben descartarse en el conjunto solución por ser restricciones.
Importante:
En las ecuaciones fraccionarias es fundamental el cálculo de las restricciones, y considerarlas para determinar el conjunto solución.
Ejemplo 1.60
Determine el conjunto solución de
4x + 5
2x + 3
2x − 5
−
=
.
2
2
+ 7x − 2 12x − 7x − 10
20x − 29x + 5
15x2
Solución:
2x + 3
2x − 5
4x + 5
−
=
2
2
+ 7x − 2 12x − 7x − 10
20x − 29x + 5
15x2
⇔
4x + 5
2x + 3
2x − 5
−
=
(3x + 2)(5x − 1) (3x + 2)(4x − 5)
(4x − 5)(5x − 1)
⇔
(4x + 5) (4x − 5) − (2x + 3) (5x − 1)
(2x − 5) (3x + 2)
a
=
(3x + 2)(5x − 1) (4x − 5)
(4x − 5)(5x − 1)(3x + 2)
x 6= 15 , x 6= 54 , x 6=
−2
3
⇔ 16x2 − 25 − (10x2 − 2x + 15x − 3) = 6x2 + 4x − 15x − 10
⇔ 16x2 − 25 − 10x2 − 13x + 3 = 6x2 + 4x − 15x − 10
⇔ 6x2 − 13x − 22 = 6x2 − 11x − 10
⇔
−2x = 12
⇔ x = −6
Por lo tanto, el conjunto solución es
a En
S = {−6}.
este paso se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por
de que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.
64
3x+2, con el objetivo
Precálculo
Ejercicio 29
MATEM-UCR
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
1.
2
x
5
+
= 2
x−3 x−2
x −x−6
2.
x2 − 1
2
+
=x
x−2
x−1
3.
x+1
x−2
x+3
−
=
(x + 1) (x − 2) (x − 2) (x + 3)
(x + 3) (x + 1)
4.
x+3
−x=x+3
x−1
5.
2x − 1 2x + 1
+
=4
2x + 1 2x − 1
6.
x+1
2
2
−
=3− 2
x−5 5−x
x − 25
7.
3
x
−
= −3
2x − 1 (2x − 1)2
8.
9.
R/
4 4
−√ , √
3 3
R/
R/
√
√
4 − 2 5, 4 + 2 5
R/
√ √
− 3, 3
( √
R/
R/
√ )
3 3
−
,
2 2
√
√
2 − 5 2, 2 + 5 2
R/
−8x−2 + 2x−1 + 3 = 0
10.
11.
3x
x − 19
x+5
= 2
+
2x + 1
2x + 3x + 1 x + 1
13
0,
14
R/
1
x+1
−1
2−
=0
x
x−3
x+2
6
1
−
=
x2 − 4x + 4 x2 + x − 6
x+3
3
−1,
2
R/
4
−2,
3
R/
R/
x
x − 1 = −7x + 1
x
1−
x−1
{1, 7}
14
−
3
{2, 7}
1+
12.
R/
65
{0}
Precálculo
MATEM-UCR
1.6.4. Ecuaciones con radicales
Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario tener en cuenta las siguientes propiedades y deniciones:
IMPORTANTE:
Si
n∈N
y
n > 1:
1. Si
n
es
impar,
2. Si
n
es
par,
5.
6. Si
a El
x∈R
para todo
x ∈ R.
x ∈ R ⇔ x ≥ 0.
√
n
xn = |x| para todo x ∈ R.
√
n
xn = x para todo x ∈ R.
Si n es impar,
√
√
( n x)n = x para todo x donde n x esté bien
3. Si
4.
√
n
√
n
n
es par,
a=b
entonces
an = b n .
denida.
a
recíproco no necesariamente es cierto, por ejemplo,
(−3)2 = (3)2
pero
−3 6= 3.
La idea básica en el proceso de resolución de este tipo de ecuaciones es elevar ambos
miembros de la igualdad a un exponente apropiado, de modo que se pueda quitar la raíz
usando alguna de las propiedades descritas antes. Sin embargo, se debe considerar si el índice
del radical es par o impar.
Si el índice es
impar, se procede como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.61
Determine el conjunto solución de
√
5
2x + 1 = −3.
Solución:
√
5
2x + 1 = −3
√
⇔ ( 5 2x + 1)5 = (−3)5
Se eleva ambos miembros de la igualdad a
la raíz.
⇔ 2x + 1 = −243
⇔ x = −122
∴ S = {−122}
66
5,
para quitar
Precálculo
Si el índice es
MATEM-UCR
par,
también se elevan ambos miembros de la igualdad a un exponente
apropiado, pero no necesariamente la ecuación obtenida es equivalente a la original. Debido
a esto se debe realizar una
prueba que consiste en evaluar en la ecuación original cada uno
de los valores obtenidos, de modo que si se cumple la igualdad, el valor es solución de la
ecuación.
4
Ejemplo 1.62
Determine el conjunto solución de
√
√
−x = 6 − x2 .
Solución:
√
−x = 6 − x2
√
√
⇒ ( −x)2 = ( 6 − x2 )2
√
⇔
Como no todas las ecuaciones son equivalentes (dado
que el índice es par), es necesario realizar la prueba
en la ecuación original.
:
p x = −2p
√
√
−(−2) = 6 − (−2)2 ⇔ 2 = 2
−x = 6 − x2
para
⇔ x2 − x − 6 = 0
Por lo que
x = −2
sí es solución.
⇔ (x + 2)(x − 3) = 0
para
⇔ x = −2
o
x=3
x = 3:
Al evaluar en
√
−x
gativo, por lo que
se obtiene subradical ne-
x=3
no es solución.
∴ S = {−2}
Ejemplo 1.63
Determine el conjunto solución de
√
4
2x + 1 = −5.
Solución:
√
4
2x + 1 = −5
√
⇒ ( 4 2x + 1)4 = (−5)4
Al sustituir
⇔ 2x + 1 = 625
∴ S = ∅.
√
4
x = 312 en la ecuación original se tiene:
2 · 312 + 1 6= −5.
⇔ x = 312
4 Como se observó en el ejemplo anterior, cuando el radical tiene índice impar, no es necesario hacer la
prueba.
67
Precálculo
MATEM-UCR
Algunas ecuaciones con radicales pueden requerir algún cambio de variable:
Ejemplo 1.64
Determine el conjunto solución de
√
√
x − 14 4 x − 32 = 0.
Solución:
√
x − 14 4 x − 32 = 0
√
√
4
⇔
x2 − 14 4 x − 32 = 0
√
⇔
y 2 − 14y − 32 = 0
⇔
(y + 2) (y − 16) = 0
⇔
⇔
√
4
y = −2
o
x = −2
o
y = 16
√
4
x = 16
Homogenizando radicales.
Tomando
y=
√
4
x.
Factorizando.
Determinando el cero de cada factor.
Volviendo a variable
x.
Ahora se resuelve cada una de las ecuaciones anteriores:
Para
√
4
x = −2 :
Como la raíz cuarta siempre es positiva, esta ecuación
no tiene soluciones
reales.
Para
√
4
√
4
x = 16 :
x = 16 ⇒
√
4
4
x = 164 ⇔ x = 164
Como el índice es par, se debe sustituir
x = 164
en la ecuación original para
determinar si se obtiene una proposición verdadera:
√
√
4
164 − 14 164 − 32 = 0
⇔ 162 − 14 · 16 − 32 = 0
⇔ 256 − 14 · 16 − 32 = 0
⇔ 0=0
entonces
x = 164 = 65536
Por lo tanto, el conjunto solución es
sí es solución de la ecuación.
S = {65536}.
68
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 30
1.
2.
3.
4.
5.
√
2x + 1 + 1 = x
x+
√
3
√
3
√
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
√
x+7=5
5x − 1 = 4
x2 + x − 4 = 2
R/
√
x − 1 = 4x − 6
7.
8.
p
y + 2 + 2y − 1 = 4y
9.
√
−2 + 3 3 − x − x + 1 = 0
12.
13.
14.
15.
{2}
{−4, 3}
R/
√
3
√
x2 − 19 3 x = 216
√
5
√
x − 2 10 x = 15
2 x=1−
√
4
√
6
R/
R/
{8}
1
4
{−512, 19683}
{510 }
x
1
(v − 1) 2 − (v − 1) 4 − 20 = 0
R/
1
64
R/
{2568 }
R/
69
{2}
√ )
7+3 5
2
R/
√
x − 253 8 x = 768
1
{5}
R/
(
{0}
R/
R/
√
x− 4x=1
√
3
{13}
R/
q p
p
2 p − 4 = 12 − p
11.
R/
5x + 9 = 2x + 3
3x + 1 −
10.
{4}
R/
6.
√
R/
{626}
Precálculo
MATEM-UCR
1.6.5. Ecuaciones con valor absoluto
Para resolver ecuaciones de este tipo, es necesario tener clara la denición de valor absoluto.
Denición 1.7: Valor absoluto
El
valor absoluto de un número real x se dene de la siguiente forma:


x
|x| = 0


−x
si
si
si
x>0
x=0
x<0
Las siguientes propiedades permiten resolver ecuaciones con valor absoluto.
Importante:
El valor absoluto siempre es
√
n
xn = |x|
Si
n
Si
k > 0, |x| = k ⇔ x = k
es par,
NO NEGATIVO (positivo o cero).
para todo
o
x ∈ R.
x = −k .
Ejemplo 1.65
Determine el conjunto solución de
| − 5x + 1| − 5 = −1.
Solución:
Es necesario despejar el valor absoluto.
| − 5x + 1| − 5 = −1
⇔
| − 5x + 1| = 4
⇔
−5x + 1 = 4
⇔ x=
−3
5
o
o
− 5x + 1 = −4
x=1
Por lo tanto, el conjunto solución es
S=
−3
,1 .
5
70
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.66
Determine el conjunto solución de
|2x − 3| = −3.
Solución:
Como no hay números reales con valor absoluto negativo, entonces
Ejercicio 31
S = ∅.
Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
1.
|2x + 1| = 13
2.
7 |−4y + 3| = −11
R/
∅
3.
|−5x + 6| + 7 = 2
R/
∅
1 5
,
8 8
4.
q
(−8x + 3)2 = 2
5.
q
(1 − x)2 + 7 = 2
R/
∅
6.
q
8
(2x − 3)8 = 5
R/
R/
R/
1.7. Ejercicios de selección única
1. Al factorizar completamente
a)
x−2
b)
x − 2m
c)
x−m+2
d)
x+m+2
m2 − 4 + x2 − 2mx,
2. En la factorización completa de
a)
a+b
b)
a−b
c)
2a − b
d)
a2 + b 2
{6, −7}
uno de los factores es
(a − b)3 − (a3 − b3 ),
71
uno de los factores es
{−1, 4}
Precálculo
MATEM-UCR
3. Al factorizar completamente
2bx2 − 6k − 4b + 3kx2
se obtiene la siguiente cantidad de
factores
a)
2
b)
3
c)
4
d)
5
4. ¾Cuántos
a)
0
b)
1
c)
2
d)
3
ceros enteros tiene el polinomio p (x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2?
5. Al factorizar completamente
a)
a − 3m
b)
2p − x
c)
2p + x
d)
x − 2p
2ap − ax + 6mp − 3mx
6. ¾Cuál de los siguientes números es un cero de
a)
−1
b)
1
c)
−2
d)
0
7. Al factorizar completamente la expresión
p (x) = (x + 2)3 (x + 1)−(x + 2) (x2 + 1)?
a (a − 1) − b (b + 1),
a ) más de tres factores polinomiales.
b ) únicamente tres factores polinomiales.
c ) únicamente dos factores polinomiales iguales.
d ) únicamente dos factores polinomiales diferentes.
72
, uno de los factores es
se obtiene
Precálculo
MATEM-UCR
P (x) un polinomio
P (x) + 4 − x2 es
8. Sea
a)
x+4
b)
x+2
c)
x−2
d)
x+3
cuyos ceros son 1,2 y 3. Con certeza, uno de los factores de
9. La factorización completa de
3
6x7 (2x2 + 5) + 18x9 (2x2 + 5)
2
es
2
a)
6x7 (2x2 + 5) (x2 + 1)
b)
6x7 (2x2 + 5) (x2 + 1)
c)
30x7 (2x2 + 5) (x2 + 1)
d)
30x7 (2x2 + 5) (x2 + 1)
3
2
3
10. Según el teorema de los ceros racionales de un polinomio,
2x4 − 5x3 + x2 − 6
tiene la
siguiente cantidad de posibles ceros
a)
12
b)
10
c)
8
d)
6
11. Si una de las soluciones de la ecuación
bx2 − 5bx − 3x + 15 = 0
solución es
a)
2
3
b)
3
2
c)
2
d)
5
73
es
3,
entonces, la otra
Precálculo
12. En
MATEM-UCR
R,
la cantidad de soluciones de la ecuación
√
x + 1 − 2 x2 − 9 = 0
es
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
13. ¾Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación
a)
2x + 1 = (x − 1)2
b)
x (x − 4) = 0
c)
2x + 1 = 0
d)
x−4=0
14. En
R,
a)
0
b)
1
c)
2
d)
3
¾cuántas soluciones tiene la ecuación
15. Considere la ecuación:
√
2x + 1 = x − 1
x2 + x + 1
2x + 1
=
?
x−1
x−1
(2x2 − 1) (x + 2) (2x − 1) = 0
y analice las siguientes proposi-
ciones:
I. En
II. En
R,
Z,
la ecuación tiene solución única.
el conjunto solución tiene 3 elementos.
¾Cuál de las proposiciones anteriores es verdadera?
a ) Solo la I.
b ) Solo la II.
c ) Ambas.
d ) Ninguna.
74
?
Precálculo
MATEM-UCR
16. En
R
, ¾cuántas soluciones tiene la ecuación
a)
0
b)
1
c)
2
d)
4
3
√
1
− 1 · x2 − x = 0?
x
17. ¾Cuál de las siguientes ecuaciones tiene conjunto solución
S = R?
√
a)
b)
c)
d)
x2 = x
√
3
x=x
|−x| = x
√
7
x7 = x
18. El conjunto solución de
a)
R
b)
{1}
c)
R − {0}
d)
R − {0, 1}
19. En
Z,
el conjunto solución de
a)
{1}
b)
{−1}
−1
,1
13
, −1
3
c)
d)
x2
=x
x
20. Si el conjunto solución de
a)
2
b)
7
c)
−2
d)
−7
es igual a
|3x − 1| = 2
|x − k| = 2
es
es igual a
S = {5, 9},
entonces el valor de
k
es igual a
Respuestas:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
c b b c b c d c c a d b d b a b d c a b
75
Precálculo
MATEM-UCR
1.8. Inecuaciones
Antes de estudiar las inecuaciones es necesario trabajar el concepto de desigualdad y sus
propiedades.
Denición 1.8: Desigualdades
Si
a, b ∈ R:
a>b ⇔ a−b
a ≥ b ⇔ a − b ∈ [0, +∞[.
es positivo.
a < b ⇔ b > a.
a ≤ b ⇔ b ≥ a.
A continuación se detallan las propiedades de las desigualdades, las cuales se utilizan
para resolver inecuaciones.
Propiedades de las desigualdades:
1.
Propiedad transitiva:
Sean
2.
y
b > c,
entonces
a, b, c ∈ R
Si
a > b,
entonces
a>c
a+c>b+c
a>b
y
c > 0,
entonces
ac > bc
Multiplicación por un número negativo:
Si
5.
a>b
Multiplicación por un número positivo:
Si
4.
Si
Propiedad de la suma:
Sean
3.
a, b, c ∈ R.
a>b
y
c < 0,
entonces
ac < bc
Propiedad de los opuestos:
Si
a > b,
entonces
−a < −b
76
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 1.9: Inecuación de una incógnita
La
inecuación de una incógnita es una desigualdad en la que hay una cantidad
incógnita y que solo es verdadera para determinados valores de
desconocida llamada
ésta.
Las inecuaciones pueden ser de diferentes tipos: lineales, cuadráticas, polinomiales de
grado mayor a dos, fraccionarias y con valor absoluto (las que se estudian en este curso).
Ejemplo 1.67
Las siguientes expresiones son inecuaciones de una incógnita:
−2x + 7
x
≥
5
3
−7x + 1 < 2018
(−5x + 3)2 > −3x
|−22x + 6| > −6
En general, el objetivo es determinar el conjunto de valores de la incógnita que hacen verdadera la expresión (conjunto solución). Se presentan varios tipos de inecuaciones. Resolver
una inecuación es determinar su conjunto solución. A menos de que se indique lo contrario,
las inecuaciones se resolverán en
R.
1.8.1. Inecuaciones lineales
El proceso de resolución de una inecuación lineal, es muy similar al de las ecuaciones
lineales. Básicamente se trata de despejar la variable.
Ejemplo 1.68
Determine el conjunto solución de
−5x + 3 ≤ 11 − 4x.
Solución:
−5x + 3 ≤ 11 − 4x ⇔ −5x + 4x + 3 ≤ 11 − 4x + 4x
⇔ −x ≤ 8
⇔ x ≥ −8
Por lo tanto, el conjunto solución es
S = [−8, +∞[ .
77
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.69
Determine el conjunto solución de
−7x − 1 > 2x + 3.
Solución:
−7x − 1 > 2x + 3 ⇔ −7x − 2x > 3 + 1
⇔ −9x > 4
−4
⇔ x<
Note
9
que se invierte la desigualdad.
Por lo tanto, el conjunto solución es
Ejercicio 32
1.
−4
S = −∞,
.
9
Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
−6x + 3 ≥ −5x + 3
R/
]−∞, 0]
7
− ,∞
12
2.
−5 (−x − 2) − (−7x + 3) ≥ 0
3.
2x − 7 x
− ≥ −2x + 1
3
4
4.
4 − 3x 7x − 13
−
< −2x + 3
2
4
5.
(−3x + 5) (−2x + 3) < 6x2 + 15
6.
−2x − 7 (x + 3) ≥ 4 − 9x
7.
−5x + 3
10 19x
− 2x + 1 ≥
−
7
7
7
R/
8.
x − 5 3 − 4x
5
−
≤ − (2x + 1)
3
2
2
14
−∞,
13
R/
R/
40
, +∞
29
9
, +∞
5
R/
]0, +∞[
R/
R/
R/
78
∅
R
Precálculo
MATEM-UCR
1.8.2. Inecuaciones cuadráticas
Una inecuación cuadrática, como su nombre lo sugiere, es una inecuación de segundo
grado. Para determinar su conjunto solución se recomienda reescribirla de alguna de las siguientes
formas,
según
corresponda:
P (x) < 0, P (x) > 0, P (x) ≤ 0
o
P (x) ≥ 0,
es
decir, se busca representar la inecuación de modo que se aprecie una expresión algebraica
comparada con cero. Posteriormente, se factoriza dicha expresión (de ser posible).
Ejemplo 1.70
Determine el conjunto solución de
x2 > 2x − 4.
Solución:
x2 > 2x − 4 ⇔ x2 − 2x + 4 > 0
En este caso no es posible factorizar por inspección, por lo cual se completa cuadrados,
2
obteniendo: (x − 1) + 3 > 0.
Dado que la expresión del lado izquierdo siempre es positiva (suma de cuadrados), el
conjunto solución es
S = R.
Ejemplo 1.71
Determine el conjunto solución de
(2x + 1)2 ≤ 0.
Solución:
Como
2x + 1
está elevado a un exponente par, la expresión
(2x + 1)2
solo puede
ser positiva o cero. Es decir, el caso menor que cero nunca se cumple, solo hay que
considerar el caso igual a cero.
(2x + 1)2 ≤ 0 ⇔ (2x + 1)2 = 0
⇔ 2x + 1 = 0
−1
⇔ x=
2
Por lo tanto, el conjunto solución es
S=
−1
2
79
.
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.72
Determine el conjunto solución de
(x + 3) (4 − x) < 0.
Solución:
Se buscan los valores de
x
que hacen el producto negativo. Esto sucede cuando los
factores tienen diferente signo, lo cual pasa en los dos casos siguientes:
I caso:
II caso:
x+3>0
⇔ x > −3
y
4−x<0
y
x+3<0
⇔ x < −3
4<x
y
y
4−x>0
4>x
⇔ x ∈ ]−3, +∞[ ∩ ]4, +∞[
⇔ x ∈ ]−∞, −3[ ∩ ]−∞, 4[
⇔ x ∈ ]4, +∞[
⇔ x ∈ ]−∞, −3[
Por lo tanto, el conjunto solución es
S = ]−∞, −3[ ∪ ]4, +∞[ .
El procedimiento anterior puede resultar complicado en algunos ejercicios, por ello se
recurre a un método que considera los diferentes casos simultáneamente. Consiste en elaborar
una tabla que permita analizar el signo de cada uno de los factores, dependiendo de los valores
de la incógnita. A continuación, se resuelve el ejemplo anterior por este método.
Ejemplo 1.73
Determine el conjunto solución de
Solución:
(x + 3) (4 − x) < 0.
Los símbolos + y − represen-
−∞
x+3
4−x
(x + 3) (4 − x)
+∞
−3
− ◦
+
−
4
+
+
+
◦
dependiendo del intervalo donde
+
−
−
se encuentra
(de los señalados
La circunferencia indica el valor
donde cada factor se hace cero.
P (x) = (x + 3)(4 − x).
Como
En la parte superior de la tabla se ubica
−∞, +∞ y los ceros de los
P (x), en orden ascendente.
x
anteriormente).
∴ S = ]−∞, −3[ ∪ ]4, +∞[ .
Notas: Sea
tan el signo que tiene el factor,
factores de
−3
inecuación
4 no satisfacen la
P (x) < 0, las cirfuny
ferencias se usan sin relleno.
En la última la se aprecia el
La primera la representa los conjuntos a
x:
]−∞, −3[, {−3}, ]−3, 4[, {4} y ]4, +∞[.
los cuales puede pertenecer
80
signo de
P (x).
Se consideran los
intervalos correspondientes a las
casillas con −, puesto que se debe resolver
P (x) < 0.
Precálculo
MATEM-UCR
Es importante resaltar que para este método la inecuación debe estar reescrita de
modo que se aprecie una expresión algebraica comparada con cero, como también
ocurre en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.74
Determine el conjunto solución de
−x2 + x + 1 ≥ 0
Solución:
−x2 + x + 1 por fórmula general:
∆ = (−1) −√4 · 1 · (−1) = 5
1± 5
⇒ x=
2
√ !
√ !
1
−
5
1
+
5
2
Entonces: −x + x + 1 = − x −
x−
2
2
Se factoriza el polinomio
2
Debido a lo anterior, la inecuación que se desea resolver es:
√ !
√ !
1− 5
1+ 5
− x−
x−
≥0
2
2
La tabla se puede confeccionar como sigue:
a
−∞
−1
− x−
√
1− 5
2
−
√
1+ 5
2
−
−
+
+
x−
√
1− 5
2
−
x−
√
1+ 5
2
−
−
−
+
√ 1− 5
x
2
−
√ 1+ 5
2
•
+∞
•
+
−
√
√ #
1− 5 1+ 5
S=
,
2
2
"
Por lo tanto, el conjunto solución es
a En este caso las circunferencias llevan relleno, puesto que los valores señalados satisfacen la inecuación.
81
Precálculo
Ejercicio 33
MATEM-UCR
Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
7
,
+∞
∪
−∞,
−
2
4
3
1.
21 − 8x2 − 2x ≤ 0
2.
x − x2 > −6
3.
4x2 − 12x + 4 < 0
R/
4.
x2 ≥ 18x − 80
R/
5.
10x − x2 > 30
R/
]−2, 3[
h
√
+ 32 , 25 + 23
R/
i
√
−
5
2
]−∞, 8] ∪ [10, +∞[
R/
∅
1.8.3. Inecuaciones polinomiales de grado mayor que 2
Para resolver inecuaciones polinomiales de grado mayor que dos, lo primero que se debe
hacer es reescribir la inecuación para que se aprecie un polinomio comparado con cero, luego,
se factoriza completamente dicho polinomio y se hace una tabla de signos, como en el caso
de las inecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 1.75
Determine el conjunto solución de
−x3 + 3x2 − 16x + 48 ≥ 0.
Solución:
Utilizando división sintética:
−1
3 −16
48 3
−3
0 −48
−1
0 −16
0
Luego,
−x3 + 3x2 − 16x + 48 ≥ 0
⇔
(x − 3)(−x2 − 16) ≥ 0
⇔
−(x − 3)(x2 + 16) ≥ 0
−∞
x−3
−x2 − 16
−(x − 3)(x2 + 16)
Por lo tanto,
S = ]−∞, 3].
82
−
−
+
+∞
3
• +
−
−
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.76
Determine el conjunto solución de
2
(x2 − 3x) − 2 (x2 − 3x) − 8 ≤ 0.
Solución:
Sea
u = x2 − 3x,
entonces se tiene
2
(x2 − 3x) − 2 (x2 − 3x) − 8 ≤ 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
u2 − 2u − 8 ≤ 0
(u − 4)(u + 2) ≤ 0
(x2 − 3x − 4) (x2 − 3x + 2) ≤ 0
(x − 4)(x + 1)(x − 2)(x − 1) ≤ 0
−∞
+∞
−1
x−4
x+1
x−2
x−1
(x − 4)(x + 1)(x − 2)(x − 1)
Por lo tanto,
Ejercicio 34
•
1
−
+
−
−
−
•
2
−
+
−
+
+
•
4
• +
+
+
+
+
−
+
+
+
−
S = [−1, 1] ∪ [2, 4].
Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
1.
(x + 2) (x − 1)2 ≤ 0
2.
(x − 2)3 (2x + 1)2 (1 − 3x) ≤ 0
R/
R/
]−∞, −2] ∪ {1}
−∞, 13 ∪ [2, +∞[
7
3.
(−x + 1) (4x − 1) ≥ 0
4.
5x6 − 12x5 ≤ 9x4
5.
−2x2 + 3x + 2 ≤ 0
6.
5x − x2 > 6
7.
3x2 ≤ x3 + 4
8.
−
−
−
−
+
2
R/
R/
R/
− 35 , 3
−∞, −1
∪ [2, +∞[
2
R/
R/
3
11x − 17x − 2x + 6 ≥ 0
R/
83
1
,1
4
]2, 3[
[−1, +∞[
1
−∞,
∪ [2, 3]
2
Precálculo
9.
MATEM-UCR
3
2
24x − 22x > x − 3
R/
10.
4x − 4x2 + 11 > 0
11.
4
(2x − 1) (3x − 7) − (2x − 3) (3x − 7) ≤ 0
12.
(x3 + 1) (2x − 3)2 − (3x − 2)2 (x3 + 1) > 0
13.
2
3
R/
3
3
1 1
, +∞ ∪ − ,
4
3 2
√
1 √
1
− 3+ , 3+
2
2
7 5
2
∪ ,
−∞,
3
3 2
R/
R/
]−∞, −1[ ∪ ]−1, 1[
4
22x + 8x − 11x ≤ −2x + 24
R/
√ √ 3
, 4 ∪ − 2, 2
2
1.8.4. Inecuaciones fraccionarias
Para resolver inecuaciones fraccionarias se puede proceder de modo análogo, reescribiendo
la inecuación para que se aprecie una expresión algebraica comparada con cero. Posteriormente se busca escribir dicha expresión como una sola fracción (en caso de que no sea así) y
se elabora una tabla de signos.
Las restricciones no son parte del conjunto solución.
Ejemplo 1.77
Determine el conjunto solución de
3x + 5
≤ 0.
−x2 − x − 1
Solución:
Note que
−x2 − x − 1
no es factorizable en
R
(tiene discriminante negativo), por ello,
siempre tiene el mismo signo (positivo o negativo). Para determinar su signo, basta
con evaluarlo en un número real cualquiera.
−∞
3x + 5
−x2 − x − 1
−
−
3x + 5
−x2 − x − 1
+
Por lo tanto,
+∞
5
S = − , +∞
3
84
− 35
•
+
−
−
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.78
Determine el conjunto solución de
x2
6x
2
>
.
− 4x + 3
12 − 4x
Solución:
x2
6x
2
6x
2
>
⇔
>
− 4x + 3
12 − 4x
(x − 3)(x − 1)
4(3 − x)
x 6= 1, x 6= 3
⇔
2
6x
>−
(x − 3)(x − 1)
4(x − 3)
⇔
6x
2
+
>0
(x − 3)(x − 1) 4(x − 3)
⇔
4(6x) + 2(x − 1)
>0
4(x − 3)(x − 1)
⇔
24x + 2x − 2
>0
4(x − 3)(x − 1)
⇔
26x − 2
>0
4(x − 3)(x − 1)
⇔
13x − 1
>0
2(x − 3)(x − 1)
−∞
a
+∞
13x − 1
2
x−3
x−1
−
+
−
−
13x − 1
2(x − 3)(x − 1)
−
1
13
◦
1
+
+
−
−
+
◦
3
+
+
−
+
−
◦
+
+
+
+
+
Por lo tanto, el conjunto solución es
a Como 1
y
3
1
S=
, 1 ∪ ]3, +∞[.
13
son restricciones, no están presentes en el conjunto solución. Esto se representa en la
tabla mediante doble línea.
85
Precálculo
Ejercicio 35
MATEM-UCR
Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
1.
(x + 3) (1 − 2x)
≤0
x−2
2.
(x + 3)2018 (1 − 2x) (3 − x)
≥0
1 − x2
3.
x (2 − x)3
>0
(x − 4)2
4.
x2 − x − 6
≤0
2 − 2x2 − 3x
5.
x2 − 6x + 6
≥0
x3 − 1
6.
2x − 1
≤1
x+3
7.
x+1
≥3
x
8.
x2
x+6
≤
x−2
x−2
9.
x+1
3 − 4x
>
x−2
x+1
10.
1 x+2
−
>0
x x−1
11.
x
x−2
2x − 3
−
≤ 2
x+2 x−4
x − 2x − 8
12.
x−2
x
− 2
>1
x + 3 x + 6x + 9
13.
3
x
2
+
+
>0
2 x−1 x−1
R/
R/
1
−3,
∪ ]2, +∞[
2
{−3} ∪ ]1, 3] ∪ −1, 21
R/
R/
R/
1
−∞,
∪ [3, +∞[ − {−2}
2
√
√
1, − 3 + 3 ∪ 3 + 3, +∞
R/
]−3, 4]
R/
R/
R/
R/
R/
]0, 1[
7
−2,
∪ ]4, +∞[
6
5
]−∞, −3[ ∪ −3, −
2
]−∞, −1[ ∪ ]2, +∞[
R/
1
0,
2
]2, 3] ∪ ]−∞, −2]
R/
86
]0, 2[
1
−∞, − ∪ ]1, +∞[
5
Precálculo
MATEM-UCR
1.8.5. Inecuaciones con valor absoluto
Las inecuaciones con valor absoluto que se presentan en esta sección son las que se pueden
reducir a la forma:
<),
donde
m, b, k
|mx + b| > k
(o bien, en lugar de
son constantes reales y
m 6= 0.
>,
alguna de las desigualdades:
≤, ≥
o
Se pueden establecer los siguientes casos:
Caso k=0
Si el valor absoluto está comparado con cero, basta con tener en cuenta la denición y
propiedades del valor absoluto, en particular, el valor absoluto sólamente puede ser
o
cero.
positivo
Ejemplo 1.79
Determine el conjunto solución de
|−2x + 1| ≤ 0.
Solución:
Como el valor absoluto siempre es positivo o cero, se tiene que:
|−2x + 1| ≤ 0 ⇔ −2x + 1 = 0
1
⇔ x=
2
Por lo tanto, el conjunto solución es
1
S=
.
2
Ejemplo 1.80
Determine el conjunto solución de
|4x − 3| > 0.
Solución:
Como el valor absoluto siempre es positivo o cero y considerando que solo se desean
los valores de
|4x − 3| = 0,
Como
x
que hagan positiva la expresión
que se da cuando
3
4x − 3 = 0 ⇔ x = ,
4
|4x − 3|,
se tiene que descartar el caso
4x − 3 = 0.
el conjunto solución es
87
3
S =R−
.
4
Precálculo
MATEM-UCR
Caso k<0
Basta con tomar en cuenta que el valor absoluto nunca es negativo, por ello, el conjunto
solución solo tiene dos opciones:
R
o
∅.
Ejemplo 1.81
El conjunto solución de
|π − 3x| < −2
El conjunto solución de
−5 ≤
Ejercicio 36
3x − 1
7
es
es
S = ∅.
S = R.
Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
1.
|−9x + 2| ≤ 0
5.
|−7x + 2| ≤ 0
2.
|4 − 2x| > 0
6.
|2x + 7| > −6
3.
|−x + 1| ≥ 0
7.
|−6x + 5| ≥ −1
8.
|11 − x| + 5 ≤ 0
4.
x
< −3
3
Caso k>0
Se deben considerar las siguientes situaciones:
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k
⇔ x ∈ [−k, k]
o
x≥k
⇔ x ∈ ]−∞, −k]
o
x ∈ [k, +∞[
⇔ x ∈ ]−∞, −k] ∪ [k, +∞[
88
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.82
Determine el conjunto solución de
|−x + 4| ≤ 7.
Solución:
|−x + 4| ≤ 7 ⇔ −7 ≤ −x + 4 ≤ 7
⇔ −7 − 4 ≤ −x + 4 − 4 ≤ 7 − 4
⇔ −11 ≤ −x ≤ 3
⇔ 11 ≥ x ≥ −3
Se invierte la desigualdad.
⇔ −3 ≤ x ≤ 11
⇔ x ∈ [−3, 11]
Por lo tanto, el conjunto solución es
S = [−3, 11].
Muchas veces se debe reescribir la inecuación de un modo más conveniente.
Ejemplo 1.83
Determine el conjunto solución de
−4 − 5 ·
q
(7x + 3)2 < −14.
Solución:
q
−4 − 5 · (7x + 3)2 < −14 ⇔ −4 − 5 · |7x + 3| < −14
⇔ −5 · |7x + 3| < −14 + 4
⇔ |7x + 3| > 2
⇔ 7x + 3 < −2
o
7x + 3 > 2
−5
−1
o
x>
7
7
−5
−1
⇔ x ∈ −∞,
∪
, +∞
7
7
−5
−1
solución es S = −∞,
∪
, +∞
7
7
⇔ x<
Por lo tanto, el conjunto
Se invierte la desigualdad.
89
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 1.84
Determine el conjunto solución de
|2x − 1| >
3
.
2
Solución:
|2x − 1| >
3
−3
⇔ 2x − 1 <
2
2
−1
⇔ x<
4
o
o
2x − 1 >
3
2
5
−1
5
x>
⇔ x ∈ −∞,
∪ , +∞
4
4
4
5
−1
∪ , +∞
S = −∞,
4
4
Por lo tanto, el conjunto solución es
Ejercicio 37
Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
1.
|−5x + 6| > 4
R/
2
−∞,
∪ ]2, +∞[
5
2.
|x − 2| ≥ 5
R/
]−∞, −3] ∪ [7, +∞[
3.
|−5x + 8| < 7
4.
|−6x + 5| ≤ 17
5.
|−x + 3| < 8
6.
−4 + |−x + 5| < 17
7.
|−4x + 12| − 17 < 36
8.
q
5 + 4 · 4 (2x − 1)4 ≤ 2
9.
q
−1 ≤ 2 + (x − 3)2
10.
R/
R/
11
−2,
3
R/
R/
R/
1
,3
5
]−5, 11[
]−16, 26[
41 65
− ,
4 4
R/
R/
q
−3 − 6 (−4x + 1)6 ≥ −5
R/
90
∅
R
−1
3
−∞,
∪ , +∞
4
4
Precálculo
MATEM-UCR
1.9. Ejercicios de selección única
1. El conjunto solución de
a)
|2x − 1| ≥ −4
es igual a
R
b) Ø
c)
d)
1
R−
2
−3
, +∞
2
2. El conjunto solución de
a)
[1, 5]
b)
[5, +∞[
c)
]−∞, 1]
d)
]−∞, 1] ∪ [5, +∞[
q
3. La ecuación
4
(−x + 2)4 ≤ 1
a)
x≤3
b)
x≥3
c)
1≤x≤3
d)
−3 ≤ x ≤ 1
4. Si
q
(2x − 1)2 > 2,
−1
2
|3 − x| ≥ 2
a)
x<
b)
−1
3
<x<
2
2
c)
x<
−1
2
d)
x>
3
2
o
es igual a
es equivalente a
con certeza se cumple que
x>
3
2
91
Precálculo
MATEM-UCR
5. ¾Cuántas soluciones
a)
1
b)
2
c)
3
d)
4
enteras tiene la inecuación 2x2 − 7x + 3 ≤ 0 ?
6. El conjunto solución de
a)
[2, 4]
b)
[2, +∞[
c)
]−∞, 4]
d)
]−∞, 2] ∪ [4, +∞[
q
3
(x − 3)3 ≤ 1
es igual a
7. ¾Cuál de las siguientes inecuaciones tiene como conjunto solución
a)
(x − 2)2 < 0
b)
(x + 2)2 > 0
c)
−x2 + 1 > 0
d)
x2 + 2 > 0
8. El conjunto solución de
a)
(4x − 1)2 ≤ 0
es igual a
R
b) Ø
c)
d)
1
4
1
R−
4
9. El conjunto solución de
a)
x (x − 3) − 3 (x − 3)2 + 2 > 0
5
,5
2
b)
c)
d)
−5
−5,
2
5
−∞,
∪ ]5, +∞[
2
−5
]−∞, −5[ ∪
, +∞
2
92
es igual a
S = Ø?
Precálculo
MATEM-UCR
10. Para que el conjunto solución de
(ax + b) (3x − 7) < 0
sea de la forma
]m, n[,
es
suciente tener
a)
a>0
b)
a<0
c)
b>0
d)
b<0
11. El conjunto solución de
x2 − 3x + 2 < 0
a)
]1, 2[
b)
{1, 2}
c)
]−∞, 1[ ∪ ]2, +∞[
d)
]−∞, −2[ ∪ ]1, +∞[
12. Para que la ecuación
x2 + kx + 1 = 0
es
no tenga soluciones en
cumpla que
a)
k ∈ ]−2, 2[
b)
k ∈ ]−∞, −2[
c)
k ∈ ]−∞, −2[ ∪ ]2, +∞[
d)
k ∈ ]−∞, −2] ∪ [2, +∞[
13. El conjunto solución de
a)
x2 (x − 3)2 (x − 1)4 ≤ 0
es igual a
R
b) Ø
c)
{0, 1, 3}
d)
R − {0, 1, 3}
14. El conjunto solución de
a)
[2, 3]
b)
]−∞, 1] ∪ [2, 3]
c)
[1, 2] ∪ [3, +∞[
d)
[−3, 2] ∪ [1, +∞[
6x2 − 11x ≥ x3 − 6
93
es igual a
R,
es suciente que se
Precálculo
15. Sea
MATEM-UCR
Q (x)
un polinomio. Si el conjunto solución de
cumple que
√ 3 >0
a)
Q
b)
Q (−4) < 0
c)
Q (5) > 0
d)
Q (0) > 0
16. El conjunto solución de
a)
5x2 + x4 + 4 < 0
es
R
b) Ø
c)
{−1, 1}
d)
R − {−1, 1}
17. El conjunto solución de
a)
x3 − 2x6 + 2x9 − 1 < 0
es
R
b) Ø
c)
]−∞, 1[
d)
]1, +∞[
18. El conjunto solución de
a)
2x6 + 3x10 + 2x16 > −3
R
b) Ø
c)
{0}
d)
R − {0}
19. Una solución de
a)
−2018
b)
2018
c)
−4
1
4
d)
(2x − 1) (x − 2)
≤0
1−x
es
94
es
Q (x) < 0
es
]−4, 3[
, con certeza se
Precálculo
MATEM-UCR
20. El conjunto solución de
a)
R
b)
R − {1}
c)
R − {−1}
d)
R − {−1, 1}
21. El conjunto solución de
4x2 − 4x + 3
≥0
x2 − 2x + 1
x+2
1
−
<0
1−x
3
a)
]1, +∞[
b)
]−∞, 1[
c)
]−1, 1[
d)
]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[
22. El conjunto solución de
a)
]−∞, −3[ ∪ ]1, 5[
b)
]−3, 1[ ∪ ]5, +∞[
c)
]−∞, −5[ ∪ ]1, 3[
d)
[−3, 1] ∪ [5, +∞[
23. El conjunto solución de
a)
]5, +∞[
b)
]−∞, 5[
c)
]−1, 2[ ∪ ]5, +∞[
d)
]−∞, −1[ ∪ ]2, 5[
24. El conjunto solución de
a)
]3, 4]
b)
[3, 4]
c)
]−∞, 3[ ∪ ]4, +∞[
d)
]−∞, 3] ∪ [4, +∞[
es igual a
2
x
−
<1
x−1 x+3
1
2
>
x−2
x+1
x
≥4
x−3
corresponde a
es igual a
es igual a
es
95
Precálculo
MATEM-UCR
25. El conjunto solución de
1
>x
x
a)
]−1, 1[
b)
]0, 1[ ∪ ]1, +∞[
c)
]−∞, −1[ ∪ ]0, 1[
d)
]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[
26. El conjunto solución de
a)
]−2, 2[
b)
]−3, 3[
c)
]−∞, −2[ ∪ ]2, 3[
d)
]−2, 2[ ∪ ]3, +∞[
es igual a
4
x2
<
x−3
x−3
es
Respuestas:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
a d c a c c a c a a a a c
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
b c b c a b b a b d a c c
1.10. Ejercicios Varios
1. Para cada una de las siguientes ecuaciones o inecuaciones, determine en
solución.
a)
√
−x = x
b)
|x + 3| > 0
c)
(2x − 1)4 > 0
d)
x2
16
=
x−4
x−4
e)
−2x − x2 − 3 > 0
f)
2x2 − 2x − 1 ≤ 0
96
R, su conjunto
Precálculo
MATEM-UCR
2. Para cada una de las siguientes ecuaciones o inecuaciones, determine en
Z, su conjunto
solución.
a)
|x| + 2 > 0.
b)
|2x − 1| < 3.
c)
(4x − 3)2 > 0.
d)
2x2 − 7x + 5 < 0.
e)
|5x − 1| = 2.
f)
|2x + 3| ≤ 0.
g)
q
(2x − 3)2 < 3.
3. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
a ) Determine una ecuación con valor absoluto, de modo que su conjunto solución sea
{−5, 3}.
a
{−1, 2}.
b ) Determine los valores de
conjunto solución
y
b
de modo que la ecuación
c ) Determine el conjunto solución de la ecuación
|x + a| = b
tenga como
(x − 1)2 (x − 2)3
= 0.
(x − 1) (x − 2)
P (x) es un polinomio de grado mayor a 5, ¾cuántas soluciones tiene la ecuación
|P (x)| + 5 = 0 ?
d ) Si
e ) Si el conjunto solución de la ecuación
a.
x−a
=0
x2 + 3x
f ) Determine el conjunto solución de la ecuación
g ) Si
0 < a < b < c,
∅,
determine el valor de
(x + 3)2 + (x + 3)3
= 0.
x2 − 16
determine el conjunto solución de
97
es
(x − a) (x − b)
< 0.
x−c
Precálculo
MATEM-UCR
1.11. Problemas con ecuaciones
En esta sección se presentan los ochenta problemas
5
del folleto de problemas elaborado
para el proyecto MATEM. Aunque en este libro no hay ejemplos resueltos, puede descargar
(en el siguiente link) el folleto, el cual incluye
solucionario completo.
https://goo.gl/oSF7U1
1.11.1. Problemas de despeje
F en la escala Fahrenheit y la temperatura C en la
5
C = (F − 32). Despeje F en términos de C .
9
9
R/ F =
· C + 32.
5
1. La relación entre la temperatura
escala Celsius está dada por
2. La fórmula
resistencia total
Despeje
R1
R1 · R2
se usa en la teoría de la
R1 + R2
R, cuando dos resistencias R1 y R2
R =
en términos de
y
están conectadas en paralelo.
R2 .
R/
R1 =
R2 R
.
R2 − R
watts) generada por un molino de viento que tiene una eciencia E
2
3
está dada por la fórmula P = 0, 31E · D · V , donde D es el diámetro (en pies) de las
aspas y V la velocidad del viento (en pies/seg ). Calcule la velocidad del viento que se
requiere para generar 10000 watts si E = 42 % y D = 10. R/ Aprox. 9, 16 pies/seg .
3. La potencia
P
R
electricidad para encontrar la
(en
en grados Celsius a la que hierve el agua a una altura h metros so2
bre el nivel del mar está dada por h = 1000 (100 − T )+580 (100 − T ) con 0 < T < 100.
4. La temperatura
T
Determine:
a. La altura a la cual el agua hierve a una temperatura de
98, 6 ◦ C .
b. La temperatura a la cual hierve el agua, cuando la altura es de
R/
2536, 8 m.
1 km.R/ 99, 29 ◦ C .
5 Algunos tomados de: James, S. et al. (2007) y de otros documentos que se indican en la bibliografía.
98
Precálculo
MATEM-UCR
5. Las zonas urbanas tienen promedios más altos de temperatura del aire que las zonas
rurales, debido a la presencia de edicios, asfaltos y concreto. Este fenómeno se conoce
Celsius) entre
zonas urbanas y rurales cerca de Montreal, con una población p donde
1
0, 25p 4
1000 < p < 1000000 se puede escribir mediante la fórmula T = √ , donde v
v
es la velocidad promedio del viento (en millas/h) y v ≥ 1. Calcule p (la cantidad de
habitantes) si T = 3 y v = 5.
R/ p = 518400 habitantes.
como isla de calor urbano. La diferencia de la temperatura
T
(en grados
6. Por lo general, la demanda de cierto artículo depende de su precio. Si otros factores
Q comprada a un precio P (en centavos de dólar)
c son constantes positivas. Encuentre el precio que
1
R/ $4.
5000 unidades de un producto si k = 105 y c = .
2
no afectan la demanda, la cantidad
−c
está dada por Q = kP
, donde k y
generará una compra de
7. El agua cubre el
70, 80 %
de la supercie terrestre, es decir, cerca de
361 · 106 km2 .
Calcule, aproximadamente, la supercie total de la Tierra.
R/ Aprox.
5098870, 056 km2 .
1.11.2. Problemas de números
8. El cuadrado de cierto número positivo es cinco más que el cuádruplo del mismo número.
Determine el número.
R/
5.
9. El cuadrado de cierto número negativo es el cuádruplo del resultado de aumentar el
número en cinco. Determine el número.
10. El dígito de las decenas de cierto número es
R/
3
más que el dígito de las unidades. La
suma de los cuadrados de los dos dígitos es igual a
11. Determine un número
N
de las mismas se le suma
las mismas cifras de
N,
117.
Determine el número. R/
de dos cifras si la suma de ellas es
16
√
2 − 2 6.
10
tal que si al producto
se obtiene otro número de dos cifras
M,
compuesto por
pero invertidas.
12. Dos números enteros tienen una diferencia de
Calcule los números.
R/
9
73.
5
.
12
12 y 3.
y la suma de sus recíprocos es
R/
99
96.
Precálculo
MATEM-UCR
13. Si al duplo de un número entero se le resta el recíproco del entero que le antecede, se
obtiene
3.
Determine dicho número.
R/
14. El dígito de las decenas de cierto número es
4
2.
más que el dígito de las unidades. La
suma de los cuadrados de los dos dígitos es igual a
26.
Determine el número.
51.
R/
29.
−4.
15. La suma de dos números enteros consecutivos es igual a su producto disminuido en
Determine los números.
R/
6
y
7
−5
o bien
y
16. La diferencia entre el cuadrado de un número positivo y siete veces ese número es igual
a
18.
Calcule el número.
R/
17. La diferencia de dos números naturales es
8
y la suma de sus cuadrados es
mine los números.
194.
R/
18. El producto de dos números naturales consecutivos supera en
número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.
14
19. La suma de dos números es
y la de sus recíprocos es
7
.
24
9.
Deter-
5
y
13.
2 al séxtuplo del siguiente
R/ 7 y 8.
Determine los números.
R/
6
y
8.
1.11.3. Problemas de geometría
20. Una habitación rectangular tiene
5 pies
más de largo que de ancho. El número corres-
pondiente al área del cuarto, en pies cuadrados, excede al número que corresponde a
su perímetro, en
pies,
por
100;
¾cuáles son las dimensiones de la habitación?
R/
10 pies
y
15 pies.
21. Los lados de un triángulo rectángulo son enteros pares consecutivos. Encuentre sus
longitudes.
22. El área de un rectángulo es
R/
360 m2
6, 8
y
10.
y el largo excede al ancho en dos unidades. Calcule
el perímetro del rectángulo.
R/
100
76 m.
Precálculo
MATEM-UCR
23. Determine las longitudes de las aristas de dos cubos si ellas dieren en 2 cm y sus
3
volúmenes en 98 cm .
R/ 3 cm y 5 cm.
24. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área del
2
rectángulo es de 448 pies . Calcule las dimensiones del rectángulo.
R/
25. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
catetos sabiendo que su suma es
26. En un hoja de papel de
6 cm.
24 pulg
por
5 cm.
R/
36 pulg
14 pies
y
32 pies.
Determine la medida de los
6+
√
2
14
cm
y
6−
√
14
2
cm.
se debe imprimir una fotografía. Los
márgenes laterales y el margen superior deben tener el mismo ancho, pero el ancho del
margen inferior debe ser el doble de los otros. Determine el ancho de los márgenes si
2
el área por imprimir es de 661, 5 pulg .
R/ superior: 1, 5 pulg , inferior: 3 pulg .
27. Un terreno rectangular de dimensiones
26 m
por
30 m,
se bordea exteriormente por
2
un camino de ancho uniforme, si se sabe que el área del camino es 240 m , determine
la medida del ancho del camino.
R/
2 m.
28. Un fabricante de envases de lata desea construir una lata cilíndrica de 20 cm de altura
3
y capacidad de 3000 cm . Determine el radio de la base de la lata. R/ Aprox. 6, 90 cm.
29. Una hoja de lata rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Con ella se
desea construir una caja sin tapa cortando de cada esquina un cuadrado de 3
3
lado. ¾Qué tamaño de hoja producirá una caja con un volumen de 60 pulg ?
R/
30. Un trozo de alambre de
100 pulg
8 pulg
x
pulg
de
16 pulg .
de largo, se corta en dos y cada pedazo se dobla para
que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las áreas de las regiones encerradas
2
es 397 pulg , determine la longitud de cada pedazo de alambre.
R/
31. Una pieza de alambre de
8 pies
24 pulg
y
76 pulg .
de longitud será cortada en dos partes y cada parte se
doblará para formar un cuadrado. ¾De qué longitud debe ser cada uno de los pedazos
2
si la suma de las áreas de los cuadrados debe ser de 2 pies ?
R/ 4 pies.
101
Precálculo
MATEM-UCR
32. Un hombre debe construir en su patio un piso rectangular de concreto de un grosor de
8 cm; además, la longitud del piso debe ser el doble de su ancho. Si el hombre dispone
3
de 6 m de concreto, encuentre las dimensiones (en centímetros ) del piso que él podrá
√
√
construir.
R/ 250 6 cm, 500 6 cm y 8 cm.
33. Se quiere construir un barril de petróleo cilíndrico y cerrado con una altura de 4 pies,
2
de manera que el área supercial total sea de 10π pies . Determine el diámetro del
barril.
R/
2 pies.
34. Un granjero intenta cercar un terreno rectangular. Si uno de sus lados limita con el
granero y desea colocar malla en los otros tres lados, sabiendo que el lado paralelo
al granero mide el doble que cada uno de los otros lados y que el área del terreno es
R/ 32 m.
128 m2 , ¾cuántos metros de malla de alambre debe comprar?
35. Dos derrames de petróleo son circulares y sus centros están separados a una distancia
de
6 km.
20π .
2 km.
Determine cada uno de los radios si la suma de las áreas es igual a
Suponga que los círculos se tocan tangencialmente.
R/
4 km
y
36. Una empresa pequeña desea construir un edicio rectangular cuya base tenga un pe2
rímetro de 300 m y un área de 5400 m . ¾Qué dimensiones debe tener la base del
edicio?
R/
37. El área de un triángulo es
a la primera por
7 pies.
60 m
x
90 m.
30 pies2 . Determine su base y su altura si esta última excede
R/ 5 pies y 12 pies respectivamente.
3
15.
38. Calcule la medida de los lados de un triángulo rectángulo si el lado más corto mide
unidades menos que el mediano y
6
unidades menos que la hipotenusa. R/
39. La sala de la casa de los Vargas tiene
13 pies
de ancho por
16 pies
9, 12
y
de largo y quieren
alfombrarla, excepto un borde de anchura uniforme. ¾Qué dimensiones deberá tener la
2
alfombra si su área es 108 pies ?
R/ 9 pies x 12 pies.
120, y uno de
R/ 10, 24 y 26.
40. Halle las medidas de los lados de un triángulo rectángulo si su área es
los catetos es
4
unidades mayor que el doble del otro cateto.
41. Se quiere hacer una caja de
50 cm3
de volumen con una cartulina cuadrada. Para
hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de
lado de la cartulina cuadrada?
2 cm
de lado. ¾Cuánto debe medir el
R/
102
9 cm.
Precálculo
MATEM-UCR
42. Un rectángulo mide
15 cm
de largo y
8 cm
de ancho. ¾En cuántos centímetros habría
que disminuir, simultáneamente el largo y el ancho, para que la diagonal sea
menor?
R/
43. La suma de los perímetros de dos cuadrados es 240
2522 cm2 . ¾Cuánto mide el lado de cada cuadrado?
44. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide
ciones sobre la hipotenusa es
21 cm.
cm
y la suma de sus áreas es
R/
60 cm
4 cm
3 cm.
11 cm
49 cm.
y
y la diferencia de las proyec-
Calcule las medidas de los otros dos lados del
triángulo.
R/
√
12 39 cm
45. En un triángulo rectángulo el cateto menor mide
y
96 cm,
42 cm
o bien
45 cm
y
y los segmentos de la hipo-
tenusa determinados por la altura tienen una diferencia de
98 cm,
¾Cuánto mide la
hipotenusa?.
R/
19 cm
46. En un triángulo isósceles la base mide
75 cm.
126 cm.
y cada uno de los otros lados mide
8 cm
más que la altura trazada a la base. ¾Cuál es la medida de la altura sobre la hipotenusa?
R/
105
64
cm.
1.11.4. Problemas de mezclas
47. Una sustancia química tiene
10 ml
de una solución que contiene
30 %
de concentra-
ción de ácido. ¾Cuántos mililitros de ácido puro deben agregarse para aumentar la
concentración de ácido a
48. Un radiador contiene
50 %?
8 litros
de una mezcla de agua y anticongelante. Si
R/
4 ml.
40 %
de la
mezcla es anticongelante, ¾qué cantidad de mezcla debe eliminarse y reemplazarse por
anticongelante puro para que la mezcla resultante contenga
60 %
de anticongelante?
R/
49. Se tienen dos tipos de café: el café tipo
A
cuesta
1250 colones
8
3
litros.
cada libra y el café tipo
B cuesta 1750 colones cada libra. Si se quiere obtener una mezcla de café que cueste
1600 colones la libra, ¾cuántas libras del tipo A se deben mezclar con 140 lb del tipo
B?
R/ 60 lb.
50. ¾Cuántos galones de un líquido que contiene
5 gal
de otro líquido que contiene
tenga
84 %
90 %
74 %
de alcohol se deben combinar con
de alcohol, para obtener una mezcla que con-
de alcohol?
R/
3 gal.
103
Precálculo
MATEM-UCR
1.11.5. Problemas de velocidades
51. La distancia que recorre un automóvil desde el momento en que el conductor decide
aplicar los frenos hasta el instante en que se detiene, se conoce como distancia de
frenado. Para determinado automóvil que avanza a
2
pies) está dada por d = v + v20 .
v mi/h,
la distancia de frenado
d
(en
a) Calcule la distancia de frenado cuando la velocidad es de
b) Si el conductor decide aplicar los frenos a
120 pies
55 mi/h.R/ 206, 25 pies.
de una señal de alto, ¾cuán
rápido puede ir en ese momento para tener oportunidad de detenerse al llegar a la
señal?
40 mi/h.
R/
52. Dos ciudades
A
y
B,
están conectadas por medio de una carretera de
automóvil sale de la ciudad A a la
40 km/h
hacia la ciudad
viaja hacia
B
B.
1:00
a una velocidad uniforme de
55 km/h
p.m.
12 min
30 km/h
y de
más que en el otro, ¾cuál es la
distancia entre ambos lugares?
54. Ana recorrió
10 km
y
2:50
R/
. Si en un recorrido tardan
A
. ¾A qué hora alcanza el segundo
53. Una familia hace un viaje desde la ciudad a un lago. De ida viajan a
48 km/h
. Un
p.m. y viaja a una velocidad uniforme de
Treinta minutos más tarde, otro automóvil sale de
automóvil al primero?
regreso a
150 km
R/
16 km.
en su vehículo a una velocidad constante. Luego condujo otros
25 km con una velocidad que excede a la del recorrido anterior en 10 km/h . Si tardó
45 min en recorrer los 35 km, calcule la velocidad del primer tramo. (Suponga que en
ambos períodos la velocidad fue constante).
R/ 40 km/h.
55. Los miembros de un club de montañismo hicieron un viaje de
en
7 h.
Viajaron
4 h
380 km a un campo base
sobre carretera pavimentada y el resto a través de un camino
en medio del bosque. Si la velocidad en esa segunda parte fue
25 km/h
menor que la
velocidad en carretera, calcule la velocidad promedio y la distancia recorrida, en cada
tramo del viaje.
R/
65 km/h, 260 km/h, 40 km/h, 120 km.
5 km/h . Un joven remando en su canoa
30 min más que cuando recorre la misma
56. La velocidad de la corriente de un río es de
1, 2 km
en contra de la corriente tarda
distancia río abajo. ¾A qué velocidad remaría en aguas tranquilas (en ausencia de
corriente)?
R/
104
7 km/h.
Precálculo
MATEM-UCR
57. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer
240 km.
Si la velocidad hubiera sido
20 km
por hora más que la que llevaba, hubiera tardado dos horas menos en recorrer dicha
distancia, ¾en qué tiempo recorrió los
58. Un deportista caminó
30 km
240 km?
R/
en cierto número de horas. Si hubiera caminado
6 h.
1 km
más por hora habría tardado una hora menos en recorrer la misma distancia. ¾Cuántos
kilómetros por hora recorrió?
R/
5 km/h.
59. Un río comunica dos ciudades. Para desplazarse de una de ellas a la otra por medio
80 km. Un barco recorre esta distancia dos veces
(hacia arriba y hacia abajo) en 8 h, 20 min. Determine la velocidad del barco en agua
quieta si la velocidad de la corriente es de 4 km/h.
R/ 20 km/h.
del cauce de ese río se deben recorrer
60. La distancia entre dos estaciones ferroviarias es de 96 km. Para hacer este recorrido
2
de la velocidad que tarda el tren ordinario. Determine la
el tren rápido requiere
3
velocidad de cada tren, si se sabe que la diferencia entre sus velocidades es de 12 km/h.
R/
36 km/h
y
24 km/h.
72 km en un cierto tiempo. Si hubiese corrido a 2 km más por
6 horas menos para recorrer esa distancia, ¾cuál es su velocidad
R/ 4 km/h.
61. Un corredor hizo
hora, hubiera tardado
habitual?
62. Un tren de carga recorre
viaja
105 millas.
90 millas
Si este último es
en el mismo tiempo en que un tren de pasajeros
5 millas/h
más rápido; ¾cuál es la velocidad del
tren de carga?
R/
P en direcciones que forman un ángulo
recto entre sí. A corre 4 km/h más rápido que B . Después de dos horas se encuentran
a 40 km de distancia uno del otro. Determine la velocidad a la que se desplaza B .
63. Dos corredores
A
y
B
30 millas/h.
parten del mismo punto
R/
64. Un aeroplano
A,
vuela hacia el norte a
200 mi/h
12 km/h.
y pasa sobre cierto lugar a
2:00 p.m. Otra aeronave B , que vuela hacia el este a la misma altitud y a 400 mi/h,
pasa sobre el mismo lugar a las 2:30 p.m. ¾A qué hora, después de las 2:30 p.m. estaban
los aviones a 500 mi uno de otro?
R/ 3:30 p.m.
las
105
Precálculo
MATEM-UCR
65. Juan y Clara están manejando sus bicicletas, cada uno en una carretera, las cuales se
9 km de la intersección
7 km de la intersección y
intersecan perpendicularmente. Suponga que Juan se halla a
20 km/h, mientras que Clara está a
25 km/h; ¾al cabo de qué tiempo estarán
y acercándose a ella a
alejándose de ella a
de
13 km?
separados una distancia
R/
Q, vuelan en trayectorias perpendiculares, a la misma altitud. SuponP está volando hacia el norte a 400 km/h
desde un punto que se ubica a 100 km al sur del punto de intersección de las trayectorias. En ese mismo momento, el avión Q está volando hacia el oeste a 300 km/h
desde un punto ubicado a 200 km al este del punto de intersección de las trayectorias.
¾Cuánto debe transcurrir para que la distancia entre los aviones sea de 100 km?
R/
24 min.
66. Dos aviones
P
12 min.
y
ga que en un determinado momento el avión
106
Precálculo
MATEM-UCR
12 millas río abajo y regresar en un total de
5 horas. Si la velocidad de la corriente es de 1 milla/h, encuentre la velocidad a la que
puede remar el equipo en aguas tranquilas (en ausencia de corriente).
R/ 5 km/h.
67. Un equipo de remeros puede recorrer
1.11.6. Problemas de acciones simultáneas
68. Germán puede hacer cierto trabajo en
mismo en
4 horas.
3 horas,
mientras que Juan puede hacer el
Si trabajan juntos, ¾cuánto tiempo les lleva hacer el trabajo?
R/ Aprox.
69. Al realizar un mismo trabajo,
emplea
B . Si A y B
A
demora
11 horas
1 h, 43 min.
menos del doble del tiempo que
trabajando juntos pueden terminar el mismo trabajo en
¾cuánto tarda cada uno en hacerlo solo?
R/
A
tarda
77 horas
y
B
tarda
28 horas,
44 horas.
70. Dos mangueras pueden llenar un tanque en cierto tiempo cuando se las dejas abiertas
a ambas. La primera puede llenar sola el tanque en
mangueras juntas y la segunda en
9 min
4 min
más de lo que duran las dos
más. ¾Cuánto tiempo tardarán en llenarlo
juntas?
R/
71. Un granjero puede labrar un campo en
labrar el mismo campo en
6 min.
4 días utilizando un tractor. Un jornalero puede
6
días utilizando un tractor más pequeño. ¾Cuántos días se
2
requieren para hacer el trabajo si trabajan juntos?
R/ 2 días.
5
72. Un tanque de reacciones químicas se puede llenar mediante dos mangueras. Con una
de ellas se requieren
42 min
para llenar el tanque, y con la otra se requieren
30 min.
¾Cuánto tiempo se requiere para llenar el tanque utilizando ambas mangueras?
R/
73. Dos obreros trabajando juntos pueden cumplir una tarea dada en
por separado, puede terminar el mismo trabajo
10 h
12 h.
17, 5 min.
Uno de ellos,
antes que el otro. ¾En cuántas
horas puede cada uno, por separado, realizar la misma tarea?
R/
20 h
y
30 h.
74. Los tiempos requeridos por dos estudiantes para pintar un metro cuadrado del piso de
2
su dormitorio dieren en 1 min. Si juntos pueden pintar 27 m en una hora, ¾cuánto
2
tarda cada uno en pintar 1 m ?
R/ 5 min y 4 min.
107
Precálculo
MATEM-UCR
1.11.7. Problemas de oferta y demanda
75. Una excursión organizada por el club de montañismo costó
$300.
Si hubieran asistido
tres miembros menos del club, el costo por persona habría sido de
$5
miembros del club participaron?
R/
76. Una persona realizó un trabajo por
y entonces ganó
$2, 4
más. ¾Cuántos
15
miembros.
$192. El trabajo le llevó 4 horas más de lo previsto
menos por hora de lo esperado. ¾Para cuánto tiempo se había
planicado la obra?
R/
77. María pagó por cierto número de objetos
prado
$300.
16 h.
Por el mismo precio, pudo haber com-
10 objetos más, si cada uno hubiese costado $5 menos. ¾Cuántos objetos compró?
R/
20
$300 por
$10 al
78. En una tienda, cuando el precio de un reproductor de discos compactos es
unidad, se venden
15
objetos.
unidades por semana. Sin embargo, por cada rebajo de
precio por unidad hay dos ventas más por semana; ¾qué precio de venta producirá
ingresos semanales de
$7000?
R/
79. Determine el costo de un objeto que, al venderlo a
$11,
se gana un tanto por ciento
igual a dicho costo.
80. Carlos compró algunas acciones en
$24
$200.
R/
$1560.
Después, cuando el precio había aumentado
por acción, se dejó diez y vendió las demás en
Carlos y cuántas había comprado?
$1520;
¾cuántas acciones vendió
R/ Compró
108
$10.
30
y vendió
20
acciones.
Capítulo 2
Geometría Analítica
En tercer ciclo se estudió la ubicación de puntos en el plano cartesiano, el trazo de segmentos, triángulos y cuadriláteros. En la siguiente imagen se presentan ejemplos de esas
guras geométricas.
En este capítulo se estudian las rectas, parábolas y circunferencias. Además, con respecto
a esas guras geométricas, se abordan dos aspectos fundamentales de la geometría analítica:
Dada una gráca, determinar su ecuación cartesiana.
Dada un ecuación, establecer su representación gráca en el plano cartesiano.
También es importante, para cada una de las guras, estudiar las características y propiedades tanto grácas como algebraicas.
109
Precálculo
MATEM-UCR
2.1. Rectas
Con el n de establecer el concepto de pendiente, se inicia esta sección con la denición
de recta y segmento (horizontal y vertical).
Denición 2.1: Recta y segmento (horizontal y vertical)
En un sistema de coordenadas cartesianas, una
al eje X y es
vertical si es paralela al eje Y.
recta es horizontal si es paralela
segmento es horizontal si está contenido en una recta horizontal y es vertical si está contenido en una recta vertical.
Un
Ejemplo 2.1
En la gura,
←→
HJ
es vertical y
←→
DC
es horizontal.
Observaciones:
←→
DC tienen 1 como coordenada del eje Y , es decir, son
x ∈ R, por eso la ecuación de la recta se escribe y = 1 .
a. Todos los puntos de la recta
de la forma
(x, 1)
donde
←→
HI tienen −2 como coordenada del eje X ,
(−2, y) donde y ∈ R donde, por eso la ecuación de la
b. Todos los puntos de la recta
son de la forma
escribe
x = −2
.
110
es decir,
recta se
Precálculo
MATEM-UCR
Rectas verticales y horizontales
Si
P (a, b)
es un punto cualquiera de un sistema de coordenadas cartesianas:
a. La recta paralela al eje X que contiene a
P,
tiene ecuación
y=b
.
b. La recta paralela al eje Y que contiene a
P,
tiene ecuación
x=a
.
En el contexto de un sistema de coordenadas de dos dimensiones, cuando se indica
x = −2
−2, sino al conjunto de todos los puntos del
x vale −2, el cual consiste en una recta paralela al eje de las ordenadas.
Análogamente, el conjunto de todos los puntos del plano para los cuales y vale 1 es una recta
por ejemplo, no se hace referencia al número real
plano para los cuales
paralela al eje de las abscisas.
2.1.1. Pendiente de un segmento no vertical
Antes de denir la pendiente de una recta no vertical, es necesario discutir y analizar el
concepto de pendiente de un segmento.
A(x1 , y1 ) y
x1 6= x2 (con esta condición el segmento no es vertical). Se llama cambio en X
al número ∆x = x2 −x1 y cambio en Y al número ∆y = y2 −y1 , también se conocen como recorrido y elevación respectivamente (considerando el desplazamiento del punto A hacia B ).
En un sistema de coordenadas cartesianas considere un segmento de extremos
B(x2 , y2 )
con
111
Precálculo
MATEM-UCR
m de AB
y2 − y1
∆y
=
.
m=
∆x
x2 − x 1
La pendiente
decir:
se dene como el cociente del cambio en
Y
y el cambio en
X,
es
La interpretación geométrica es la siguiente:
Algunas propiedades que se deducen de la denición anterior:
a.
Si los puntos
m=
A(x1 , y1 )
y
B(x2 , y2 )
se intercambian, la pendiente no varía:
−(y1 − y2 )
∆y
y2 − y1
y1 − y2
=
=
=
∆x
x 2 − x1
−(x1 − x2 )
x 1 − x2
.
b. Si un segmento es horizontal, su pendiente es cero. Note para que un segmento sea
horizontal, las coordenadas del eje
Y
deben ser iguales.
Si se considera un segmento con extremos
m=
S(x1 , y1 )
y2 − y1
y1 − y1
0
∆y
=
=
=
= 0.
∆x
x 2 − x1
x2 − x1
x2 − x1
Geométricamente:
112
y
N (x2 , y2 )
con
y1 = y2
se tiene:
Precálculo
c.
MATEM-UCR
Un segmento vertical
eje
X
NO
tiene pendiente, porque si es vertical, las coordenadas del
son iguales y en la fórmula de la pendiente el denominador
Si se considera un segmento
m=
d.
A(x1 , y1 )
y
B(x2 , y2 )
y2 − y1
y2 − y1
y2 − y1
∆y
=
=
=
∆x
x 2 − x1
x1 − x1
0
con
x1 = x2 ,
x2 − x1
es igual a 0.
se tiene:
½Indenido!
Si un segmento asciende de izquierda a derecha (creciente), su pendiente es positiva.
Si el segmento desciende de izquierda a derecha (decreciente), su pendiente es negativa.
Como
x2 > x1 ⇒ x2 − x1 > 0
Como
y2 > y1 ⇒ y2 − y1 > 0
Entonces por ley de signos:
m=
y2 − y1
>0
x2 − x1
113
Precálculo
MATEM-UCR
Análogamente:
Como
x2 > x1 ⇒ x2 − x1 > 0
Como
y1 > y2 ⇒ y2 − y1 < 0
Entonces, por ley de signos:
m=
y2 − y1
<0
x2 − x1
Ejemplo 2.2
Calcule la pendiente de
AB
con
A(−4, 2)
y
B(1, 4).
Solución:
m=
2
4−2
=
1 − −4
5
Note que da positivo porque el segmento es creciente, la interpretación de este valor
puede ser: por cada 5 unidades en que se incremente la
unidades.
114
x,
la
y
se incrementará 2
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.3
Calcule la pendiente de
KJ
con
K(−2, 2)
y
J
−1 −7
,
2 2
.
Solución:
−7
−2
m= 2
=
−1
− −2
2
−11
2
3
2
=
−11
3
Note que da negativo porque el segmento es decreciente. La interpretación de este valor
puede ser: por cada 3 unidades en que se incremente
x,
el valor de
y
disminuirá 11
unidades.
Ejercicio 38
A continuación, se presenta las coordenadas de los puntos extremos de varios
segmentos. Represente cada uno de ellos en el plano cartesiano y determine su pendiente.
1.
C (1, 7)
2.
D (−4, 3)
3.
E (−4, −1)
Ejercicio 39
X (−1, 10)
y
R/
W (7, 3)
y
y
R/
U (2, −11)
R/
0
−5
3
Determine las coordenadas de los extremos de un segmento, cuya pendiente
sea la indicada.
m = −5
−3
2
m=0
m=5
115
Precálculo
MATEM-UCR
2.1.2. Pendiente de una recta no vertical
A continuación se justicará que todos los segmentos de una recta (no vertical) tienen la
misma pendiente.
En un sistema de coordenadas cartesianas considere una recta cualquiera y dos segmentos
cualesquiera sobre ella y se justicará que la pendiente de ambos segmentos es la misma.
Considere
A(x1 , y1 ), J(x2 , y2 ), L(x3 , y3 )
Armación
y
B(x4 , y4 )
entonces:
Justicación
(1)
mAJ =
y2 − y1
x2 − x1
Denición de pendiente de un segmento.
(2)
mLB =
y4 − y3
x4 − x3
Denición de pendiente de un segmento.
(3)
M AJN ∼M LBM
Teorema de semejanza de triángulos AA.
(4)
JN
AN
=
BM
LM
Denición de semejanza de triángulos, (3).
(5)
y2 − y1
x2 − x1
=
y4 − y3
x4 − x3
Sustituyendo los valores en (4).
(6)
(7)
y2 − y1
y4 − y3
=
x2 − x1
x4 − x3
mAJ = mLB
(5), propiedad de las proporciones.
(1),(2),(6)
116
Precálculo
MATEM-UCR
Note que si la recta es horizontal, todos los segmentos que se consideren sobre ella también los son, de modo que tienen pendiente cero.
Con lo discutido anteriormente se establece la siguiente denición:
Denición 2.2: Pendiente de una recta no vertical
La
pendiente de una recta no vertical es el número que es igual a la pendiente de
todo segmento de la recta contenido en ella.
Ejemplo 2.4
Determine la pendiente de la recta que se muestra en la gura.
Solución:
Basta tomar dos puntos cualesquiera de esa recta, por ejemplo
m=
B(5, 2)
N (1, −1):
−1 − 2
3
=
1−5
4
Note que si se toman otros dos puntos como
L(−3, −4) y N (1, −1) se obtiene la misma
pendiente:
m=
y
3
−1 − −4
=
1 − −3
4
Cualquier otro segmento de la misma recta tiene la misma pendiente.
117
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 40
Determine la pendiente de la recta que contiene a cada pareja de puntos, cuyas
coordenadas se presentan a continuación. Haga una representación de cada recta en el plano
cartesiano.
(5, −7).
a)
(−2, 3)
y
b)
(4, 4)
y
(−2, −2).
c)
(9, 0)
y
(0, 9).
d)
(5, −5) y (−11, 11).
−2
1 4
,1 y
,
.
3
5 3
e)
R/
−10
7
R/
1
R/
−1
R/
−1
5
R/ 13
Ejemplo 2.5
(−2, 3) y (7, k). Determine
−13.
Considere una recta que contiene los puntos de coordenadas
el valor de
k
de modo que la pendiente de esa recta sea
Solución:
Aplicando la denición de pendiente, se tiene que:
Como la pendiente debe ser
−13,
se debe cumplir que:
Al resolver esa ecuación se obtiene que
Ejercicio 41
m=
3−k
3−k
=
.
−2 − 7
−9
3−k
= −13.
−9
k = −114.
Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
1. Considere una recta que contiene los puntos de coordenadas
mine el valor de
b
(−5, b)
y
(9, −3).
Deter-
de modo que la recta tenga como pendiente:
0
R/
−4
R/
−1
3
√
3
−3
53
5
R/ 3
R/
118
√
−3 − 14 3
Precálculo
MATEM-UCR
2. Una recta tiene pendiente
−5
(−3, 2).
y contiene al punto de coordenadas
Escriba las
coordenadas de cuatro puntos que pertenezcan a ella.
3. Considere una recta que contiene los puntos de coordenadas
Determine, los valores de
a de
(a + 3, 5)
modo que la recta tenga como pendiente
y
(−2, a + 5).
1.
−5
R/ 2
2.1.3. Ecuación de una recta
Caso 1. Rectas Verticales:
Si una recta es vertical e interseca al eje
ecuación es
x = a.
X
en un punto de coordenadas
Esto sucede porque la coordenada
x
(a, 0),
entonces su
de cualquier punto de ella es
a.
Caso 2. Rectas NO Verticales:
Para rectas no verticales se necesita el concepto de pendiente. Suponga que una recta
pendiente
Sea
m
y contiene al punto
P (x, y)
y
Q,
Q(x1 , y1 ).
cualquier punto de
entre la coordenada
P
x
L tiene
L,
distinto de
y la coordenada
y
Q(x1 , y1 ).
Se puede determinar la relación
aplicando la denición de pendiente con los puntos
de la siguiente manera:
m=
y − y1
x − x1
⇔ m(x − x1 ) = (y − y1 )
⇔ y = m · (x − x1 ) + y1
1
Esta última ecuación se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.
1 Observe que para deducir esa ecuación, se asumió que los puntos
cambiar
x
por
x1
y
y
por
y1
y = m · (x − x1 ) + y1 ,
la recta L, incluso Q.
en la ecuación nal
la ecuación es válida para todos los puntos de
119
P
y
Q
son distintos, sin embargo, al
se obtiene una igualdad, por lo tanto,
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 2.3: Ecuación punto-pendiente de una recta
Si una recta
L
tiene pendiente
m
y contiene al punto de coordenadas
ción punto-pendiente de L es y = m · (x − x1 ) + y1 .
(x1 , y1 ),
la
ecua-
Ejemplo 2.6
Determine la ecuación de una recta
L
con pendiente 2 y que contiene al punto
Q(−2, −3).
Solución:
Si
P (x, y)
es cualquier otro punto de
L,
por la denición de pendiente:
m=
y − −3
.
x − −2
Además, como la pendiente es
2,
se tiene
que:
y − −3
= 2 ⇔ y + 3 = 2(x + 2)
x − −2
Note que de la ecuación anterior se puede
obtener
y = 2x + 1.
En general, la ecuación de una recta se puede escribir en la forma
y = mx + b:
y = m(x − x1 ) + y1
⇒ y = mx − mx1 + y1
Tomando
b = −mx1 + y1
, dicha ecuación se puede escribir de la forma
y = mx + b,
esta
es la forma usual de escribir la ecuación de una recta.
Denición 2.4: Ecuación de la recta
Si una recta
L
tiene pendiente
m
y contiene al punto de coordenadas
ción de la recta L es y = mx + b, donde b = −mx1 + y1 .
120
(x1 , y1 ),
la
ecua-
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.7
Determine la ecuación de la recta con pendiente
−2 y que contiene al punto Q (−3, 5).
Solución:
Como la ecuación de la recta es
y la pendiente es
m = −2,
y = mx+b
se tiene que
y = −2x + b.
Para calcular el valor de
b
se pueden sus-
tituir las coordenadas del punto dado en
la ecuación anterior.
Cálculo de
b:
5 = −2 · −3 + b
⇔
5 = 6+b
⇔ −1 = b
Por lo tanto, la ecuación de la recta es
y = −2x − 1.
Ejercicio 42
En cada caso, determine la ecuación de la recta. Se proporciona la pendiente
m
P
y un punto
de ella.
a)
m = 5,
P (−1, 3).
R/
y = 5x + 8
b)
m = −1,
P (0, 5).
R/
y = −x + 5
c)
m=
P (2, −1).
R/
y=
R/
y = 7x −
R/
y=
−1
,
3
d)
m = 7,
e)
−1
m=
,
2
P
P
5
,4 .
3
1 1
,−
2 2
.
121
−x − 1
3
23
3
−2x − 1
4
Precálculo
MATEM-UCR
Con lo descrito antes se puede determinar la ecuación de una recta si se conocen las
coordenadas de dos puntos de ella.
Ejemplo 2.8
Determine la ecuación de la recta que contiene los puntos de coordenadas
(−2, 5)
y
(5, −3).
Solución:
Primero se determina la pendiente de la recta:
m=
5 − −3
8
−8
=
=
−2 − 5
−7
7
b: Se toma alguno de los pares ordenados, por ejemplo (5, −3) y se susx = 5 y y = −3 en la ecuación y = mx+b, con el valor de m obtenido antes.
Cálculo de
tituye
−3 =
−8
·5+b
7
⇔ −3 =
−40
+b
7
⇔
19
7
b =
La ecuación de la recta es
y=
−8x + 19
.
7
y=
19
−8
x+ ,
7
7
122
que también se puede escribir como
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 43
Determine la ecuación de la recta que contiene los puntos cuyas coordenadas
que se indican en cada caso:
a.
(−3, 9)
b.
c.
d.
(11, 14).
y
−1
,1
2
1
−2,
7
(0, 7)
y
y
y
2 4
,
3 3
R/
y=
5x + 141
14
.
R/
−11
,5 .
3
R/
(−3, 6).
y=
y=
2x + 8
7
−102x − 199
35
R/
y=
x + 21
3
2.1.4. Intersecciones o cortes de la recta con los ejes
Si una recta es
vertical
punto de coordenadas
el eje
Además, si
x = a,
a 6= 0,
tiene intersección con el eje
X
en un
dicha recta NO tiene intersección con
Y.
Si una recta es
horizontal y de ecuación y = b, tiene intersección con el eje Y
punto de coordenadas
el eje
y de ecuación
(a, 0).
(0, b).
Además, si
b 6= 0,
X.
123
en un
dicha recta NO tiene intersección con
Precálculo
MATEM-UCR
Una recta (no vertical ni horizontal) interseca al eje
(x, 0)
y al eje
Y
en un punto de coordenadas
X
en un punto de coordenadas
(0, y).
Ejemplo 2.9
Determine las coordenadas de los puntos de intersección de la recta
y = −3x + 5
con
los ejes.
Solución:
Corte con eje
X : P (x, 0)
Sustituyendo en la recta dada:
y = −3x + 5 ⇔ 0 = −3x + 5
5
⇔ x=
3
5
,0 .
El corte con el eje X es P
3
Corte con eje
Y : Q (0, y)
Sustituyendo en la recta dada:
y = −3x + 5 ⇔ y = −3 · 0 + 5
⇔ y=5
El corte con el eje
Y
es
Q (0, 5).
Note que si
las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los
se toman
ejes, es decir:
5
,0
3
y
(0, 5)
y se determina la pendiente, se obtiene:
que es la misma pendiente que se tiene en la ecuación
124
y = −3x + 7.
m=
5−0
5
0−
3
= −3,
Precálculo
MATEM-UCR
Forma general de las intersecciones de una recta con los ejes
Considere una recta
y = mx + b
con
m 6= 0:
En general, como el punto de intersección con el eje
X
es de la forma
P (x, 0)
sustitu-
yendo en la ecuación de recta se tiene:
y = mx + b ⇔ 0 = m · x + b ⇔ x =
Por
el punto de intersección de una recta
lo tanto,
P
−b
,0
m
−b
m
y = mx + b
con el eje
X
es
.
En general, como el punto de intersección con el eje
Y
es de la forma
Q (0, y)
sustitu-
yendo en la ecuación de recta se tiene:
y = mx + b ⇔ y = m · 0 + b ⇔ y = b
Por lo tanto, el punto de intersección de una recta
y = mx + b
con el eje
Y
es
Q (0, b).
Intersecciones de una recta con los ejes
Para una recta
y = mx + b
m 6= 0, se tiene que:
−b
X es P
,0 .
m
con
1. La intersección con el eje
2. La intersección con el eje
Y
es
Q (0, b).
Para nalizar esta sección, es importante destacar que, en muchas ocasiones, la ecuación
de una recta no se presenta de la forma
y = mx + b, podría aparecer de la forma ax + by = c,
Ecuación general de una recta
La ecuación general de una recta es
ax + by = c.
125
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.10
Determine la pendiente y las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes de
la recta dada por
−5x + 3y = 7.
Solución:
Lo primero que se debe hacer es darle la forma
−5x + 3y = 7 ⇔ y =
Por lo tanto la pendiente es
m=
5
.
3
y = mx + b.
5
7
7 + 5x
⇔ y = x+
3
3
3
Posteriormente se determinan las intersecciones
de la recta con los ejes, del siguiente modo:
Corte con eje
X : P (x, 0)
Corte con eje
Sustituyendo en la recta dada:
y=
Sustituyendo en la recta dada:
7 + 5x
7 + 5x
⇔ 0=
3
3
⇔ x=
El corte con el eje
X
es
P
7 + 5x
7+5·0
⇔ y=
3
3
7
⇔ y=
3
7
corte con el eje Y es Q 0,
.
3
y=
−7
5
Y : Q (0, y)
−7
,0 .
5
126
El
Precálculo
MATEM-UCR
2.1.5. Rectas paralelas
Recuerde que, en un mismo plano, dos rectas son paralelas si no se intersecan. Considere
dos rectas no verticales y paralelas
L1
y
L2
en el plano cartesiano, con pendientes
mL1
y
mL2
respectivamente. A continuación se justica por qué ambas rectas tienen la misma pendiente.
Armación
Justicación
(1)
∠EAD ∼
= ∠CF G
Ángulos correspondientes entre paralelas.
(2)
∠ADE ∼
= ∠F GC
Ángulos rectos
(3)
∆ADE ∼ ∆F GC
(1), (2) y Teorema de semejanza de triángulos AA.
(4)
ED
CG
=
AD
FG
Denición de semejanza de triángulos, (3)
(5)
mL1 = mL2
Sustituyendo los valores en (4) y denición de pendiente
Notas:
a. De manera similar se justica para el caso de rectas decrecientes.
b. Si las rectas son horizontales, tienen la misma pendiente: cero.
c. También es verdadero que si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas.
Con lo anterior se pueden enunciar el siguiente teorema:
127
Precálculo
MATEM-UCR
Teorema 2.1
Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
2.1.6. Rectas Perpendiculares
Recuerde que, en un mismo plano, dos rectas son perpendiculares si se intersecan formando ángulo recto. Considere dos rectas perpendiculares
P,
con pendientes
mL1
y
mL2
L1
y
L2
que se intersecan en un punto
respectivamente. A continuación se analiza lo que sucede con
las pendientes.
Situación 1.
m1
y
m2
Suponga que se tienen dos rectas perpendiculares
respectivamente) que se intersecan en
P.
L1
y
L2
(con pendientes
Considere además que ninguna es verti-
cal.
Considere los puntos
R
en
L1
y
Q
en
L2
(como en la siguiente gura) tales que
Note que se forman dos triángulos congruentes:
128
P R = P Q.
Precálculo
MATEM-UCR
Armación
Justicación
(1)
∠QP S ∼
= ∠LP H
Ángulos opuestos por el vértice.
(2)
m∠SQP + m∠QP S = 90
Ángulos complementarios.
(3)
m∠RP L + m∠LP H = 90
Ángulos complementarios, rectas perpendiculares.
(4)
m∠SQP + m∠QP S = m∠RP L + m∠LP H
(2), (3) y transitividad.
(5)
m∠SQP = m∠RP L
(1), cancelando medidas de ángulos congruentes
(6)
PQ = PR
Teorema de localización de puntos.
(7)
∠S ∼
= ∠L
Ángulos rectos
(8)
∆QSP ∼
= ∆P LR
Teorema de congruencia LAA, (5), (6) y (7)
(9)
PL
QS
=
SP
LR
Denición de congruencia
(10)
m1 =
LR
PL
Denición de pendiente de una recta creciente
(11)
m2 =
−QS
SP
Denición de pendiente de una recta decreciente
(12)
m1 =
−1
m2
(9), (10) y (11)
(13)
m1 · m2 = −1
Propiedades de
Conclusión: Si dos rectas perpendiculares tienen pendientes
tonces
m1
y
R
m2
respectivamente, en-
m1 · m2 = −1
Situación 2.
Haciendo la justicación de manera inversa se puede concluir que si se
tienen dos rectas tales que
m1 · m2 = −1
, entonces estas rectas son perpendiculares.
De las situaciones 1 y 2 se llega al siguiente teorema:
Teorema 2.2
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes
es igual a
−1.
129
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.11
Determine la ecuación de la recta perpendicular a
punto de coordenadas
−2x − 5y = 1
y que contiene al
(−3, 1).
Solución:
Se determina la pendiente de la recta dada, como
dicha pendiente es igual a
m1 =
−2x − 5y = 1 ⇔ y =
−2
.
5
−1 − 2x
,
5
Como la recta buscada es perpendicular a la recta dada, debe cumplir que:
m1 · m2 = −1.
Entonces:
m1 · m2 = −1 ⇔
Falta determinar el valor de
par ordenado
b
5
−2
· m2 = −1 ⇔ m2 = .
5
2
de la recta buscada, para lo cual se toma
(−3, 1):
y = mx + b ⇔ 1 =
⇔ b=
La ecuación de la recta buscada es
y=
130
5
· −3 + b
2
17
2
5x 17
+ .
2
2
m2
y el
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.12
k para que
y = −19x + 7.
Determine el valor de
paralela a la recta
y = (−2k + 1) x − 3
la recta de ecuación
sea
Solución:
m1 = −2k + 1
La pendiente de cada una de las rectas dadas es
y
m2 = −19
respectivamente. Como se busca que sean paralelas se tiene que:
m1 = m2 ⇔ −2k + 1 = −19
⇔ k = 10
Por lo tanto, el valor de
Ejercicio 44
k
es igual a 10.
Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
1. A continuación se da una recta
L
y un punto
P
fuera de ella. Determine la ecuación de
P.
la recta paralela y de la perpendicular a la recta dada, que contiene al punto
a)
L : −2x + 1 = 7y ,
b)
L:y=
−5x + 3
,
−4
c)
L:5−
−2x
= −5y ,
3
2. Considere la recta
L
P (−5, 1).
P (4, 3).
P (0, −4).
R/
Rk : y =
−2x−3
,
7
R/
Rk : y =
5x−8
,
4
R/
Rk : y =
que contiene a los puntos de coordenadas:
7x+37
2
R⊥ : y =
−4x+31
5
R⊥ : y =
−2x−60
,
15
R⊥ : y =
(−3, −2)
y
(7, 5).
15x−8
2
Deter-
mine:
a) La ecuación de
L.
R/
b) Los puntos de intersección de
L
con los ejes.
c) La recta que contiene al origen y es paralela a
d) La recta que contiene a
3. Determine el valor de
a la recta de ecuación
4. Determine el valor de
R (−1, 2)
k para que la
y = −7x + 1.
k
R/
recta de ecuación
131
L.
R/
y = 5x − 2ky + y − 1
7x+1
10
1
, Q 0, 10
R/
y es perpendicular a
R (−2, 3).
−1
,0
7
L.
para que la recta de ecuación
contenga al punto de coordenadas
P
y=
y=
y=
7x
10
−10x+4
7
sea paralela
−5
R/ k = 14
(5 − k) x + (2 + 3k) y + 3y − 1 = 0
−4
R/ k = 11
Precálculo
MATEM-UCR
2.1.7. Intersección de rectas
Si dos rectas no son paralelas, su intersección es un punto, en el siguiente ejemplo se
muestra como determinarlo.
Ejemplo 2.13
Determine las coordenadas del punto de intersección de las rectas
x+y = 1
y
−x + 4y = −6.
Solución:
Se puede resolver el problema dándole la forma
y = mx + b
a cada recta y aplicando
la propiedad transitiva de la igualdad.
x+y =1 ⇔ y =1−x
Entonces:
1−x=
−x + 4y = −6 ⇔ y =
−6 + x
4
−6 + x
⇔ 4 (1 − x) = −6 + x
4
⇔
4 − 4x = −6 + x
⇔
−5x = −10
x = 2
Sustituyendo
x=2
en la ecuación de alguna de las rectas, se obtiene
Por lo tanto, el punto de intersección tiene coordenadas
132
(2, −1).
y = −1.
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 45
Para cada par de rectas, determine el punto de intersección.
a)
−x − 4y = 0
b)
−x − 3y = −6
c)
3x + 2y = −4
y = −1.
y
y
y
R/
−x − y = −4.
R (4, −1)
R/
x + y + 1 = 0.
R/
R (3, 1)
R (−2, 1)
2.1.8. Rectas crecientes y decrecientes
Denición 2.5: Rectas crecientes y decrecientes
Sean
(x1 , y1 )
y
(x2 , y2 )
las coordenadas de dos puntos cualesquiera de una recta
Si
x1 < x2 ⇒ y1 ≤ y2 ,
se dice que
L
es
creciente.
Si
x1 < x2 ⇒ y1 ≥ y2 ,
se dice que
L
es
decreciente.
L.
Note que bajo estas deniciones, una recta horizontal es creciente y también es decreciente.
Considerando las deniciones anteriores y que la pendiente de una recta es
se pueden establecer las siguientes relaciones:
133
m=
y2 − y1
x2 − x1
Precálculo
MATEM-UCR
Monotonía de las rectas
Si
m > 0,
entonces
L
es creciente.
Si
m < 0,
entonces
L
es decreciente.
Si
m = 0,
entonces
L
es horizontal.
Ejemplo 2.14
La recta
y = 3x + 1
La recta
y=
es creciente.
−2x
−1
3
es decreciente.
Ejemplo 2.15
Determine los valores de
k para que la recta de ecuación y = 5kx−3−3x
sea creciente.
Solución:
Primero se debe reescribir la ecuación de la recta para identicar la pendiente. En
este caso se tiene que
y = (−3 + 5k) x − 3,
por lo cual
ara que la recta sea creciente se debe cumplir que:
3
−3 + 5k > 0 ⇔ k > .
5
Por lo tanto, la recta es creciente para
3
k ∈ , +∞ .
5
134
m = −3 + 5k .
−3 + 5k > 0
y se sabe que:
Precálculo
MATEM-UCR
2.1.9. Problemas varios
1. Considere la recta de ecuación
a. Determine los valores de
k
−2x − 3yk = 2x + y − 4.
para que la recta sea decreciente.
R/
−4x + 1 = 3y .
b. Determine el valor de
k
para que la recta sea paralela a
c. Determine el valor de
k
para que la recta sea perpendicular a
2y − 7x =
−1
3
, +∞
2
3
13
−3. R/ 3
R/
2. De acuerdo con los datos de la gura, determine la ecuación de la recta 1.
R/
−7x + 7y = −26
3. Determine la ecuación de dos rectas que tengan punto de intersección
R (−4, 3).
4. Escribala ecuación de una recta creciente que contenga al punto de coordenadas
−1
,1
2
.
5. Una recta contiene al punto de coordenadas
(−2k + 3) x − 5y = 2,
a. El valor de
(−2, −5),
si la ecuación de dicha recta es
determine:
k.
R/
b. Las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes.
c. La pendiente de una recta perpendicular a ella.
135
−17
4
Precálculo
MATEM-UCR
6. Determine el valor de
k
y=
para que la recta
2x − 3y = −1.
7. Determine los valores de
k
para que la recta
a y b para que
coordenadas (0, 3) y (−1, 0).
8. Determine el valor de
puntos de
9. Determine los valores de
k
k+3
x+2
7
9 − 9y = k 2 − k 2 y + 7x
la recta
para que la recta
sea perpendicular a la recta
y = 2ax + 3b
k 2 y − x = 2kx + y
sea vertical.
corte a los ejes en los
sea horizontal.
10. Escriba las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto
J (−2, 3).
11. Considere el rectángulo
nadas
a.
b.
c.
d.
(2, 3).
ABCD,
donde
A
ABCD
tiene área
9
y las coordenadas de
posible ecuación de las rectas:
b.
c.
d.
e.
(−1, 1)
y
C
tiene coorde-
←→
AD
←→
AC
←→
AB
←→
DB
12. Un cuadrado
a.
tiene coordenadas
Determine la ecuación de las rectas:
←→
AB
←→
BC
←→
CB
←→
DA
←→
AC
136
A
son
(−3, 1).
Determine una
Precálculo
MATEM-UCR
2.1.10. Ejercicios de selección única
1. La pendiente de una recta perpendicular a
a)
b)
c)
d)
x − 4y = 0
es igual a
4
1
4
−4
−1
4
2. La pendiente de una recta es
(−2, 3)
y
a)
1
b)
2
c)
−1
d)
−2
(1, a),
−2
.
3
Si dicha recta contiene a los puntos de coordenadas
entonces el valor de
a
es igual a
L contiene al punto de coordenadas (1, 3) y es paralela a la recta de ecuación
−x + 2y = 4. La ecuación de L es
3. Una recta
a)
−x + 2y = 5
b)
−x + 2y = 3
c)
x − 2y = 3
d)
x − 2y = 5
R (m, n) es el punto
entonces m + n es igual
4. Si
a)
0
b)
1
c)
3
d)
4
a
5. ¾Cuál de las siguientes rectas es perpendicular al eje
a)
y=x
b)
x = −5
c)
y = −5
d)
y+2=x
x + 3y = 5
de intersección de las rectas
137
X
?
y
x − 2y = 0,
Precálculo
MATEM-UCR
6. Una recta tiene pendiente
de la recta con el eje
X
−3
y corta al eje
Y
Q(0, −7).
en
El punto de intersección
tiene coordenadas
3
,0
7
7
,0
3
−7
,0
3
−3
,0
7
a)
b)
c)
d)
7. Si las rectas de ecuación
a
+k
2
x − y = −3
y
x + 2k = y
a)
1
b)
2
c)
−1
d)
−2
8. Una recta
L contiene los
puntos de coordenadas
una recta perpendicular a
a)
10
11
b)
11
10
c)
−11
10
d)
−10
11
9. Si las rectas de ecuación
L
b)
c)
d)
1
, −2
2
y
3
3,
.
4
La pendiente de
es igual a
y − 9x = 0
y
2ax − 3y = 2
es igual a
a)
(−2, a), entonces
es igual a
a
se intersecan en
6
1
6
−6
−1
6
138
son perpendiculares, el valor de
Precálculo
MATEM-UCR
10. Analice las siguientes proposiciones:
I. Dos rectas perpendiculares entre sí pueden ser decrecientes.
II. Dos rectas paralelas entre sí pueden ser decrecientes.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
11. Analice las siguientes proposiciones:
I. Toda recta interseca al eje
X.
II. Toda recta tiene pendiente.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
12. Para que los puntos de coordenadas
el valor de
a)
−2
b)
−1
c)
1
d)
2
p
13. Considere los puntos
I.
←→
DB
II.
←→
CB
(−1, 3),(1, p) y (3, 1) pertenezcan a la misma recta,
debe ser
B (5, 3) , C (5, 5) , D (4, 5)
y analice las siguientes proposiciones:
es creciente.
es vertical.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
139
Precálculo
MATEM-UCR
14. Considere la recta
L : 2x − 3y = 7
y analice las siguientes proposiciones:
I. Toda recta paralela a
L
II. Toda recta perpendicular a
es creciente.
L
es decreciente.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
15. Si
(−3, −1)
es un punto de la recta de ecuación
y = −kx + 2x + 7,
la pendiente de
dicha recta es igual a
a)
b)
c)
d)
8
3
2
3
−8
3
−2
3
16. Si la recta de ecuación
a)
4
b)
5
c)
13
d)
−1
17. Si
y = (5 − k) x
es decreciente, un valor de
k
puede ser
n 6= 0, la pendiente de una recta perpendicular a la recta de ecuación y =
a)
1
2
b)
n
2
c)
−n
2
d)
−1
2
140
2x − 3
n
es
Precálculo
MATEM-UCR
18. Considere la recta de ecuación
y + 3x = px + 5.
¾Para cuál valor de
p
esa recta es
horizontal?
a)
3
b)
−3
1
3
−1
3
c)
d)
19. La ecuación de la recta de la gura es igual a
a)
3y − 2x = 0
b)
3y + 2x = 10
c)
2y + 3x = 10
d)
2y − 3x = 10
20. Una recta
L
contiene el origen y para todo
(a, b)
se cumple que
a · b ≥ 0.
Analice las
siguientes proposiciones:
I.
L
II.
es creciente.
L
es la recta de ecuación
y = x.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
Respuestas:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
c a a c b c b d d b d d b c a c c a d a
141
Precálculo
MATEM-UCR
2.2. Parábolas
Denición 2.6: Parábola
La
parábola es un conjunto de puntos de coordenadas (x, y) que satisfacen la ecuación
y = ax2 + bx + c,
donde
a, b
y
c
son constantes reales y
a 6= 0.
Si se desea conocer las coordenadas de un punto que pertenezca a una parábola dada, se
2
puede asignar
a x y sustituirlo en la ecuación y = ax + bx + c, para
cualquier valor real
obtener su correspondiente valor de
y.
2.2.1. Parábola básica
Tomando los valores a = 1, b = 0 y c = 0 en la ecuación general de una parábola, se
2
obtiene y = x , que corresponde a la ecuación de la llamada
.
parábola básica
Para conocer un punto que pertenezca a ella, se puede seguir el procedimiento descrito
anteriormente: se toma un valor de x, por ejemplo x = −2, y se sustituye en la ecuación
y = x2 , con lo cual se obtiene y = (−2)2 = 4. Esto signica que el punto de coordenadas
(−2, 4)
pertenece a la parábola básica.
Repitiendo ese proceso con varios valores de
x,
se pueden generar las coordenadas de
algunos puntos de la parábola básica, como se observa en las siguientes tablas:
x
−2, 8
−2, 6
−2, 4
−2, 2
−2, 1
−2
−1, 8
−1, 6
−1, 4
−1, 2
−1
−0, 8
−0, 6
−0, 4
−0, 2
y = x2
7, 84
6, 76
5, 76
4, 84
4, 41
4
3, 24
2, 56
1, 96
1, 44
1
0, 64
0, 36
0, 16
0, 04
x
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
1, 2
1, 4
1, 6
1, 8
2
2, 2
2, 4
2, 6
2, 8
142
y = x2
0
0, 04
0, 16
0, 36
0, 64
1
1, 44
1, 96
2, 56
3, 24
4
4, 84
5, 76
6, 76
7, 84
Precálculo
MATEM-UCR
Si se gracan los puntos correspondientes a los pares ordenados
anteriores, se obtiene la gráca de la
gura 1.
gura 1
de las tablas
gura 2
x puede tomar cualquier valor real, hay una
(x, x2 ) (los cuales forman parte de la parábola
Como
denadas
(x, x2 )
innita cantidad de puntos de coorbásica), es decir,
lo que se aprecia
en la gura 1 es solo una parte de dicha parábola, sin embargo, esto permite intuir
gura 2.
la forma completa de la gráca, la cual se presenta en la
En el estudio de las parábolas se consideran las características: concavidad, vértice (punto
mínimo o máximo), rango (conjunto de valores que toma la coordenada
ejes y el eje de simetría.
Características de la parábola básica
Las caraterísticas de la parábola de ecuación
y = x2
a) Concavidad: Hacia arriba.
b) Vértice:
c) Rango:
V (0, 0)
[0, +∞[
d) Corte con eje
X : V (0, 0)
e) Corte con eje
Y : V (0, 0)
f ) Eje de simetría: Recta de ecuación
x=0
143
(Eje Y)
son:
y ),
cortes con los
Precálculo
MATEM-UCR
2.2.2. Opuesta de la parábola básica
La ecuación de la parábola opuesta a la parábola básica es
y = −x2 .
Creando una tabla
similar a la anteriormente expuesta, se obtiene la gráca. En el siguiente ejemplo se presenta
dicha parábola y sus características.
Ejemplo 2.16
Trace la parábola de ecuación
x
−2
−1
0
1
2
y = −x2
y escriba sus características.
−x2
−4
−1
0
−1
−4
Características:
a) Concavidad: Hacia abajo.
b) Vértice:
c) Rango:
V (0, 0)
]−∞, 0]
d) Corte con eje
X : V (0, 0)
e) Corte con eje
Y : V (0, 0)
f ) Eje de simetría: Recta de ecuación
x=0
(Eje Y)
Observe que las coordenadas de cada punto de esta parábola tienen la forma
(x, −x2 ).
Notas:
En los siguientes ejemplos no se indican las echas en las parábolas, sin embargo, se
debe tener claro que las parábolas se extienden innitamente.
Por abuso de lenguaje y para mayor comodidad, en adelante
NO se utiliza la frase la
parábola de ecuación, sino solamente la parábola. De manera análoga con las rectas.
Tampoco se utiliza la frase las coordenadas del punto, sino solamente el punto.
144
Precálculo
MATEM-UCR
2.2.3. Traslaciones de la forma y = (x + h)2
2
es un número positivo, la parábola y = (x + h) es una traslación h unidades
2
2
hacia la izquierda de la parábola y = x . Análogamente, la parábola y = (x − h) es una
2
traslación h unidades hacia la derecha de la parábola y = x .
Cuando
h
Ejemplo 2.17
Trace la parábola
y = (x − 2)2 .
Solución:
Se toman algunos valores muestra para trazar la parábola indicada.
x
(x − 2)2
−0, 5
0
1
1, 5
2
2, 5
3
3, 5
4
4, 5
6, 25
4
1
0, 25
0
0, 25
1
2, 25
4
6, 25
Ejercicio 46
Escriba las características de la parábola
a) Concavidad:
b) Vértice:
c) Rango:
d) Corte con el eje
X:
e) Corte con el eje
Y:
f ) Eje de simetría:
145
y = (x − 2)2 .
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.18
Trace la parábola
y = (x + 2)2 .
Solución:
Se toman algunos valores muestra para trazar la parábola indicada.
x
(x + 2)2
−4, 5
−4
−3, 5
−3
−2
−1
−0, 5
0
0, 5
6, 25
4
2, 25
1
0
1
2, 25
4
6, 25
Ejercicio 47
Escriba las características de la parábola
a) Concavidad:
b) Vértice:
c) Rango:
d) Corte con el eje
X:
e) Corte con el eje
Y:
f ) Eje de simetría:
146
y = (x + 2)2 .
Precálculo
MATEM-UCR
En la siguiente imagen se presentan las parábolas:
y = x2 ,
y = (x + 2)2
y
y = (x − 2)2
Con los ejemplos anteriores se pretente que el estudiante logre inferir como es una pará2
bola y = (x + h) sin necesidad de hacer tablas de valores muestra.
y = (x + h)2 siempre
vértice (−h, 0).
Note que una parábola
interseca a dicho eje en el
Ejercicio 48
y = (x − 7)2
X.
Es decir,
Trace la parábola correspondiente a la ecuación indicada, y escriba sus carac-
terísticas.
a)
tiene su vértice sobre el eje
1
x+
2
2
b)
y=
c)
y = x−
d)
y = (x + 12)2
√ 2
3
147
Precálculo
MATEM-UCR
2.2.4. Traslaciones de la forma y = x2 + k
2
es un número positivo, la parábola y = x + k es una traslación k unidades
2
2
hacia arriba de la parábola y = x . Análogamente, la parábola y = x − k es una traslación
k unidades hacia abajo de la parábola y = x2 .
Cuando
k
Ejemplo 2.19
Trace la parábola
y = x2 + 2 .
Solución:
Se toman algunos valores muestra para trazar la parábola indicada.
x
x2 + 2
−2, 5
−2
−1
−0, 5
0
0, 5
1
2
2, 5
8, 25
6
3
2, 25
2
2, 25
3
6
8, 25
Ejercicio 49
Escriba las características de la parábola
a) Concavidad:
b) Vértice:
c) Rango:
d) Corte con el eje
X:
e) Corte con el eje
Y:
f ) Eje de simetría:
148
y = x2 + 2 .
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.20
Trace la parábola
y = x2 − 2.
Solución:
Se toman algunos valores muestra para trazar la parábola indicada.
x
x2 − 2
−2, 5
−2
−1
−0, 5
0
0, 5
1
2
2, 5
4, 25
2
−1
−1, 75
−2
−1, 75
−1
2
4, 25
Note que esta gráca tiene dos cortes o intersecciones con el eje
basta con evaluar
(x, 0)
√ 2, 0 .
De forma similar se puede obtener el corte con el eje
gráca), basta con evaluar
(0, y)
⇔ y = −2
Y
es
Y
(aunque es fácil verlo en la
en la ecuación de la parábola:
y = x2 − 2 ⇔ y = 02 − 2
El corte con el eje
Para calcularlos,
en la ecuación de la parábola:
y = x2 − 2 ⇔ 0 = x2 − 2
√ √ ⇔ 0= x− 2 x+ 2
√
√
⇔ x=− 2 o x= 2
√ ∴ Los cortes con el eje X son − 2, 0 y
∴
X.
(0, −2).
149
Precálculo
Ejercicio 50
MATEM-UCR
Escriba las características de la parábola
y = x2 − 2.
a) Concavidad:
b) Vértice:
c) Rango:
d) Cortes con el eje
e) Corte con el eje
X:
Y:
f ) Eje de simetría:
En la siguiente imagen se presentan las parábolas:
y = x2 ,
y = x2 + 2
y
y = x2 − 2
Con los ejemplos anteriores se pretente que el estudiante logre inferir cómo es una pará2
bola y = x + k , sin necesidad de hacer tablas de valores muestra.
y = x2 + k
vértice (0, k).
Note que una parábola
interseca a dicho eje en el
siempre tiene su vértice sobre el eje
150
Y.
Es decir,
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 51
Trace la parábola correspondiente a la ecuación indicada, y escriba sus carac-
terísticas.
a)
y = x2 + 7
c)
y = x2 − 10
b)
y = x2 − 64
d)
y = x2 +
1
3
2.2.5. Transformaciones de la forma y = ax2
Para ilustrar este tipo de transformaciones se presenta el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.21
Trace, en el mismo plano cartesiano, las parábolas:
y = x2 ,
y = 2x2
y
y=
1 2
·x
2
Solución:
De manera similar a los ejemplos anteriores, se hace una tabla con valores muestra
para poder trazar las grácas.
x
−3
x2
9
2x2
18
1 2
x
2
4, 5
−2, 5 6, 25 12, 5 3, 13
−2
4
−1, 5 2, 25
8
2
4, 5
1, 13
−1
1
2
0, 5
0
0
0
0
1
1
2
0, 5
1, 5
2, 25
4, 5
1, 13
2
4
8
0, 5
2, 5
3
6, 25 12, 5 3, 13
9
18
4, 5
151
Precálculo
MATEM-UCR
2
Note que las características de las parábolas y = 2x
y
y = 12 x2 respectivamente,
2
son las mismas que las de la parábola y = x . En particular, note que todas son
cóncavas
hacia arriba. De las grácas también se puede notar que, mientras mayor es el valor de a,
más cerrada (verticalmente) es la parábola.
¾Qué pasa si
a < 0?
Para analizar esto, se presenta el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.22
Trace, en el mismo plano cartesiano, las parábolas:
y = −x2 ,
y = −2x2
y
1
y = − · x2
2
Solución:
De manera similar a los ejemplos anteriores, se hace una tabla con valores muestra
para trazar las grácas.
x
−3
−x2
−9
−2x2
−18
− 12 x2
−4, 5
−2, 5 −6, 25 −12, 5 −3, 13
−2
−4
−1, 5 −2, 25
−8
−2
−4, 5
−1, 13
−1
−1
−2
−0, 5
0
0
0
0
1
−1
−2
−0, 5
1, 5
−2, 25
−4, 5
−1, 13
2
−4
−8
−0, 5
2, 5
3
−6, 25 −12, 5 −3, 13
−9
−18
Note que, cuando
−4, 5
a < 0 las parábolas son cóncavas hacia abajo. Además,
a, más cerrada (verticalmente) es la parábola.
pequeño es el valor de
Lo discutido antes se generaliza en la siguiente nota:
152
mientras más
Precálculo
MATEM-UCR
Concavidad y apertura de una parábola
Para una parábola
y = ax2 ,
se cumplen las siguientes relaciones:
Si
a > 0,
la parábola es cóncava hacia arriba.
Si
a < 0,
la parábola es cóncava hacia abajo.
Si
a>1
Si
−1 < a < 1,
o
a < −1,
la parábola es más cerrada (verticalmente) que la básica.
la parábola es más abierta (verticalmente) que la básica.
En la siguiente gura se muestran varias parábolas en el mismo plano cartesiano, con el
n de que se analice el valor de
a
con su respectiva gráca.
153
Precálculo
MATEM-UCR
2.2.6. Combinación de transformaciones
Las transformaciones a la parábola básica y a su opuesta se pueden combinar para obtener
otras parábolas en distintas posiciones. Con esto se pretende gracar si tener que construir
tablas con valores muestra.
Ejemplo 2.23
Trace la parábola
y = 3x2 + 4
y escriba sus características.
Solución:
Para trazar esta parábola se deben considerar dos transformaciones de la parábola
y = x2 :
Hacerla más cerrada verticalmente.
Moverla
4
unidades para arriba.
a) Concavidad: Hacia arriba.
b) Vértice:
c) Rango:
(0, 4).
[4, +∞[.
d) Cortes con el eje
Ejercicio 52
X:
NO hay.
e) Corte con el eje
Y : (0, 4).
f ) Eje de simetría:
x = 0.
Trace la parábola correspondiente a la ecuación indicada, y escriba sus carac-
terísticas:
a)
y = −2x2 + 3
b)
y = 7 − 3x2
c)
y = 5x2 − 2
d)
y=
x2
+7
3
154
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.24
Trace la parábola
y = (x + 3)2 − 1
y escriba sus características.
Solución:
Para trazar esta parábola se deben considerar dos transformaciones de la parábola
y = x2 :
Moverla
1
unidad para abajo.
Moverla
3
unidades hacia la izquierda.
a) Concavidad: Hacia arriba.
b) Vértice:
c) Rango:
(−3, −1).
[−1, +∞[.
d) Cortes con el eje
Cortes con el eje
X:
Se evalúa
(x, 0)
X : (−2, 0)
e) Corte con el eje
Y : (0, 8).
f ) Eje de simetría:
x = −3.
en la ecuación de la parábola:
y = (x + 3)2 − 1 ⇔ 0 = (x + 3)2 − 1
⇔ 0 = (x + 2) (x + 4)
⇔ x = −2
Los cortes con el eje
Corte con el eje
Y:
X
son
o
x = −4
(−2, 0)
Se evalúa
(0, y)
y
(−4, 0).
en la ecuación de la parábola:
y = (x + 3)2 − 1 ⇔ (0 + 3)2 − 1
⇔ y=8
El corte con el eje
Y
es
(0, 8).
155
y
(−4, 0).
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.25
Trace la parábola
1
y = − · (x − 2)2 + 5
3
y escriba sus características.
Solución:
Para trazar esta parábola se deben considerar las siguientes transformaciones de la
2
parábola y = x :
Hacerla más abierta verticalmente.
Moverla
2
unidades a la derecha.
Moverla
5
unidades para arriba.
a) Concavidad: Hacia abajo.
b) Vértice:
c) Rango:
Cortes con el eje
X:
⇔
⇔
Corte con el eje
Y:
]−∞, 5].
d) Corte con el eje
11
Y : 0,
.
3
e) Eje de simetría:
x = 2.
(x, 0) en la ecuación de la parábola:
1
0 = − · (x − 2)2 + 5
3
0 = (x − 2)2 − 15
√ √ 0 = x − 2 − 15 x − 2 + 15
√
√
x = 2 + 15 o x = 2 − 15
√
√
2 − 15, 0 y 2 + 15, 0 .
Se evalúa
1
y = − · (x − 2)2 + 5 ⇔
3
⇔
Los cortes con el eje
(2, 5).
X
son
Se evalúa
(0, y)
en la ecuación de la parábola:
1
11
1
y = − · (x − 2)2 + 5 ⇔ y = − · (0 − 2)2 + 5 ⇔ y =
3
3
3
11
El corte con el eje Y es
0,
.
3
156
Precálculo
MATEM-UCR
Para resumir las transformaciones que se le pueden aplicar a la parábola básica
y = x2 ,
se presenta el siguiente cuadro.
Variación de
y = a (x − h)2 + k
con respecto a
y = x2
a < −1
Cóncava hacia abajo y más cerrada verticalmente.
−1 < a < 0
Cóncava hacia abajo y más abierta verticalmente.
0<a<1
Cóncava hacia arriba y más abierta verticalmente.
a>1
Cóncava hacia arriba y más cerrada verticalmente.
h>0
Se desplaza
h
unidades para la derecha.
h<0
Se desplaza
h
unidades para la izquierda.
k>0
Se desplaza
k
unidades para arriba.
k<0
Se desplaza
k
unidades para abajo.
Con el siguiente recurso virtual se puede explorar las propiedades que se indican en el cuadro
anterior.
https://www.geogebra.org/m/y79CM6dp
157
Precálculo
MATEM-UCR
2.2.7. Gráca general de una parábola
y = ax2 + bx + c
En esta sección se gracan parábolas de ecuación
. Antes de estudiar
el método general y establecer algunas fórmulas, se presentan algunos ejemplos.
El siguiente ejemplo muestra que existen parábolas que no intersecan al eje X.
Ejemplo 2.26
Trace la parábola
√
y = x2 − 2 3x + 8
y escriba sus características.
Solución:
Como la expresión cuadrática tiene el término de grado
√
1: −2 3x,
es necesario
completar cuadrados :
√
√
√
√
y = x2 − 2 3x + 8 ⇔ y = x2 − 2 3x + ( 3)2 + 8 − ( 3)2
√
⇔ y = (x − 3)2 + 5
√
2
Para gracar, se considera la parábola y = x y se traslada
3
y 5 hacia arriba.
unidades a la derecha
a) Concavidad: Hacia arriba.
√
b) Vértice:
c) Rango:
3, 5 .
√
3, +∞ .
d) Cortes con el eje
e) Corte con el eje
f ) Eje de simetría:
Corte con el eje
Y:
Se evalúa
(0, y)
X:
Y : (0, 8).
√
x = 3.
en la ecuación de la parábola:
√
√
y = x2 − 2 3x + 8 ⇔ y = 02 − 2 3 · 0 + 8 ⇔ y = 8
El corte con el eje
Y
es
NO HAY.
(0, 8).
158
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.27
Trace la parábola
y = x2 − 8x + 11
y escriba sus características.
Solución:
Como la expresión cuadrática tiene el término de grado
1: −8x, es necesario completar
cuadrados :
y = x2 − 8x + 11 ⇔ y = x2 − 2 · 4x + 42 + 11 − 42 ⇔ y = (x − 4)2 − 5
Para gracar, se considera la parábola
5
y = x2
y se traslada
4
unidades a la derecha y
hacia abajo.
a) Concavidad: Hacia arriba.
b) Vértice:
c) Rango:
(4, −5).
[−5, +∞[.
d) Cortes con el eje
Cortes con el eje
X:
X: 4 −
√
e) Corte con el eje
Y : (0, 11).
f ) Eje de simetría:
x = 4.
Se evalúa
(x, 0)
√ 5, 0 y 4 + 5, 0 .
en la ecuación de la parábola:
y = x2 − 8x + 11 ⇔ 0 = (x − 4)2 − 5
√ √ ⇔ 0= x−4− 5 x−4+ 5
√
√
⇔ x=4+ 5 o x=4− 5
√ √ Los cortes con el eje X son 4 −
5, 0 y 4 + 5, 0 .
Corte con el eje
Y:
Se evalúa
(0, y)
en la ecuación de la parábola:
y = x2 − 8x + 11 ⇔ y = 02 − 8 · 0 + 11 ⇔ y = 11
El corte con el eje
Y
es
(0, 11).
159
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.28
Trace la parábola
y = −2x2 − 4x + 1
y escriba sus características.
Solución:
Al igual que en el ejemplo anterior, es necesario completar cuadrados.
y = −2x2 − 4x + 1 ⇔ y = −2(x2 + 2x − 12 )
⇔ y = −2(x2 + 2x + 1 − 21 − 1)
⇔ y = −2[(x + 1)2 − 32 ]
⇔ y = −2(x + 1)2 + 3
a) Concavidad: hacia abajo.
b) Vértice:
c) Rango:
Cortes con el eje
X:
(−1, 3).
]−∞, 3].
d) Corte con el eje
Y : (0, 1).
e) Eje de simetría:
x = −1.
Se evalúa
(x, 0)
en la ecuación de la parábola:
y = −2(x + 1)2 + 3 ⇔ 0 = −2(x + 1)2 + 3
r
√
3
6
⇔ x=±
−1=±
−1
2
2
Los cortes con el eje
!
√
6
−
− 1, 0
2
Corte con el eje
X
son:
√
!
6
− 1, 0 .
2
y
Y:
Se evalúa
(0, y)
en la ecuación de la parábola:
y = −2x2 − 4x + 1 ⇔ y = −2 · 02 − 4 · 0 + 1 ⇔ y = 1
El corte con el eje
Y
es
(0, 1).
160
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 53
Trace la parábola correspondiente a la ecuación indicada y escriba sus carac-
terísticas:
1.
y = (x − 2)2 − 5
6.
y = 2x + x2 + 4
2.
y = 5 − 2x2
7.
√
y = x2 + 2x 2
3.
y = 6x − x2 − 14
8.
y = 2x − x2 − 5
4.
y = −3 (x + 1)2 + 2
9.
y = 3 − 8x2 − 10x
5.
y = 2 (x + 3)2 − 7
10.
y = 12x + 4x2 + 2
Para trazar una parábola general de ecuación
y = ax2 + bx + c, se debe completar cuadrados
para determinar sus características. En el capítulo de Álgebra se aplicó el método de completar cuadrados a la ecuación:
2
−∆
−b
+
y = ax + bx + c = a x −
2a
4a
2
para
a 6= 0
De la expresión de la derecha se pueden obtener las características de la parábola:
a) Concavidad:
Si
a > 0,
la parábola es cóncava hacia arriba.
a < 0, la parábola
−b −∆
Vértice:
,
.
2a 4a
Si
b)
es cóncava hacia abajo.
c) Rango:
Si
Si
a > 0,
a < 0,
−∆
, +∞ .
4a
−∆
−∞,
4a
el rango es
el rango es
d) Eje de simetría:
x=
.
−b
.
2a
161
Precálculo
MATEM-UCR
e) Cortes con el eje
X:
Como son puntos con coordenadas de la forma (x, 0), basta con resolver la ecuación
ax2 + bx + c = 0. De acuerdo con la fórmula general se obtienen los siguientes casos:
√
−b ± ∆
cortes con el eje X dados por x =
.
2a
!
!
√
√
−b + ∆
−b − ∆
,0
y
,0
2a
2a
Si
∆ > 0,
hay DOS
Si
∆ < 0,
NO hay cortes con el eje
X.
Si
∆ = 0,
hay UN corte con el eje
f ) Corte con el eje
X,
dicho corte es
−b
,0 .
2a
Y : (0, c).
Ejemplo 2.29
Trace la parábola
y = 12x − 3x2 − 17
y escriba sus características.
Solución:
a = −3
∆ = (12)2 − 4 · −3 · −17 = −60
b = 12
c = −17
a) Concavidad: Hacia abajo.
b) Vértice:
c) Rango:
−12 60
,
−6 −12
= (2, −5).
]−∞, −5].
d) Cortes con el eje
X:
NO HAY.
e) Corte con el eje
Y : (0, −17).
f ) Eje de simetría:
x = 2.
162
Los cortes son:
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.30
Trace la parábola
y = 2x2 − 12x + 13
y escriba sus características.
Solución:
Se calcula el discriminante:
a=2
b = −12
c = 13
∆ = (−12)2 − 4 · 2 · 13 = 40
a = 2 > 0, la parábola es cóncava
−b −∆
12 −40
,
=
,
= (3, −5).
2a 4a
4
8
Concavidad: Como
Vértice:
Eje de simetría:
x = 3.
Corte con el eje
Y : (0, 13).
Cortes con el eje
X:
!
√
6 + 10
,0
2
y
6−
√
2
10
hacia arriba.
!
,0
.
√
√
√
12
±
2
6
±
12
±
40
10
10
=
=
2x2 − 12x + 13 = 0 ⇔ x =
4
4
2
Rango:
[−5, +∞[.
163
Precálculo
Ejercicio 54
MATEM-UCR
Trace la parábola correspondiente a la ecuación indicada y escriba sus carac-
terísticas:
1.
y = 2x + x2 − 6
4.
y = 4x2 − 24x + 36
2.
y = 4x − x2 − 1
5.
y = −2x2 + 4x
3.
y = 21 − 20x2 − 13x
6.
y = 2x2 − 4x + 9
2.2.8. Problemas varios
Con los conceptos estudiados anteriormente se pueden resolver problemas como los siguientes:
Ejemplo 2.31
Si
(1, −1)
los valores
(−2, 5)
de a y b.
y
son puntos que pertenecen a la parábola
y = ax2 + b,
determine
Solución:
Para determinar los valores buscados, se evalúa las coordenadas de cada uno de los
puntos en la ecuación de la parábola dada:
Para
(1, −1):
Para
y = ax2 + b ⇔ −1 = a (1)2 + b
(−2, 5):
y = ax2 + b ⇔ 5 = a (−2)2 + b
⇔ −1 = a + b
⇔ 5 = 4a + b
⇔ −1 − a = b
⇔ 5 − 4a = b
De lo anterior se tiene que:
−1 − a
⇔ −a + 4a
⇔
3a
⇔
a
∴
=
=
=
=
5 − 4a
5+1
6
2
Los valores buscados son
Sustituyendo
b,
a = 2 en la ecuación 5−4a =
se obtiene:
b = 5 − 4 · 2 = −3
a=2
y
b = −3.
164
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.32
Determine los puntos de intersección de la parábola
y = −x2 + 4
con la recta
−x − y = −2.
Solución:
De la ecuación de la recta se tiene:
−x − y = −2 ⇔ y = −x + 2
Igualando las dos ecuaciones se obtiene:
−x2 + 4 = −x + 2 ⇔
−x2 + x + 2 = 0
(x + 1) (−x + 2) = 0
x = −1
o
x=2
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta (puede ser en la ecuación
de la parábola también) se obtiene:
ˆ x=2 ⇔ y=0
ˆ x = −1 ⇔ y = 3
Los puntos de intersección son
(2, 0)
y
(−1, 3).
165
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.33
La siguiente gráca corresponde a una parábola
de
a, b , c
y
y = ax2 + bx + c.
Determine el signo
∆.
Solución:
Como la parábola es cóncava hacia abajo, el signo de
Como el corte con el eje
Y
a
es negativo.
está en la parte positiva de este eje, el signo de
c
es
positivo.
Dado que la parábola interseca al eje
Como
a
X
es negativo y la coordenada
en dos puntos, el signo de
x
del vértice es
−b
2a
acuerdo a la gráca), por ley de signos se debe cumplir que
∆ es positivo.
(que es positivo de
b
es positivo.
Ejemplo 2.34
El vértice de la parábola
y = 2x2 + bx + c
es
(−1, 3).
Determine los valores de
b
y
c.
Solución:
Como
(−1, 3)
es el vértice y
a = 2,
se tiene que:
Los valores buscados son
b = 4
y el vértice
(−1, 3)
un punto de la parábola, se tiene:
−b
= −1
2a
−b
⇔
= −1
4
⇔ b = 4
∴
Como
3 = 2 · (−1)2 + 4 · −1 + c
⇔ 3 = 2−4+c
⇔ c = 5
b=4
y
c = 5.
166
es
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 55
Complete la tabla escribiendo positivo, negativo o cero según corresponda.
Parábola
a
b
167
c
∆
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 56
Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
y = (x − 1)2 − 3 con la recta
ambas curvas.
R/ (0, −2) y (3, 1)
1. Determine los puntos de intersección de la parábola
x − y = 2.
2. Si
Dibuje en el mismo plano cartesiano
(−3, −2)
determine el
(−2, −1) son
valor de b y c.
y
puntos que pertenecen a la parábola
y = x2 + bx + c,
R/ b = 6, c = 7
3. Escriba la ecuación de una parábola:
cóncava hacia abajo y sin cortes con el eje
con un corte con el eje
de vértice
(−2, 3)
y cóncava hacia arriba.
y cóncava hacia abajo.
con eje de simetría
de rango
X
X.
x=4
y corte con el eje
Y : (0, −1).
]−∞, 3].
cóncava hacia abajo y con cortes con el eje
X : (−2, 0)
con discriminante cero y con corte con el eje
con
∆, a
y
c
Y : (0, k),
y
(7, 0).
con
k
positivo.
negativo.
4. El vértice de una parábola es
(−1, 4)
y corta al eje
Y
en
(0, 3).
Determine la ecuación
de una parábola con esas características.
5. El vértice de una parábola es
corte con
(−10, 1)
y corta al eje
X
en
(5, 0).
Determine el otro
X.
R/
6. Determine la recta que contiene a los cortes de la parábola
(−25, 0)
y = −x2 + 4x − 4
con los
ejes. Dibuje en el mismo plano cartesiano la recta y la parábola.
R/
y = 2x − 4
7. Escriba falso (F) o verdadero (V) para cada una de las siguientes armaciones:
Una parábola cóncava hacia arriba puede no tener cortes con el eje
Una parábola con
∆=0
puede tener dos cortes con el eje
Si el rango de un parábola es
Si
c < 0,
]−∞, 3]
necesariamente
la parábola tiene algún corte con el eje
168
X.
X.
a < 0.
X.
Precálculo
MATEM-UCR
2.2.9. Ejercicios de selección única
1. ¾Cuál de las siguientes parábolas
a)
y = x2 − 3
b)
y = −x2 + 7
c)
y = −x2 − 7
d)
y = (x − 7)2
no interseca al eje X ?
2. ¾Cuál es el eje de simetría de la parábola
a)
x=3
b)
x=6
c)
x = −3
d)
x = −6
3. Para la parábola
y = −x2 − 8x − 13,
y = −2 (x − 3)2 + 7?
analice las siguientes proposiciones:
I. El vértice es
II. El rango es
(4, 3).
]−∞, −3].
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
4. Si la parábola
y = (x + m)2 + n
a)
m>0
y
b)
m>0
y
n<0
c)
m<0
y
n=0
d)
m=0
y
n<0
no interseca al eje X , se puede cumplir que
n>0
169
Precálculo
MATEM-UCR
5. ¾Cuál de las siguientes parábolas tiene el mismo rango que
a)
y = x2 + 7
b)
y = 7x2 − 1
c)
y = (x + 7)2
d)
y = 7 − x2
6. El vértice de una parábola cóncava hacia abajo es
(−2, 5).
y = 7x2 ?
Analice las siguientes pro-
posiciones:
I. El rango es
]−∞, 5]
II. El eje de simetría es
x=5
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
7. Para que la parábola
a)
a<0
y
b>0
b)
a>0
y
b<0
c)
a<0
y
b<0
d)
a<0
y
b=0
8. Si
(m, n)
y = ax2 + b
no interseque al eje X , se puede cumplir que
es el vértice de la parábola
y = −2018 (x + 1)2 + 2019,
igual a
a)
−1
b)
2018
c)
2020
d)
−2018
170
entonces
m+n
es
Precálculo
MATEM-UCR
9. Considere la parábola
y = ax2 + 5x − 3
de vértice
(3, 21)
y analice las siguientes
proposiciones:
I. La parábola es cóncava hacia arriba.
II.
∆ < 0.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
10. Una parábola es cóncava hacia abajo y tiene vértice
al eje
X,
un posible valor de
a)
p=0
b)
p=5
1
p=
2
p = −5
c)
d)
(m, 0) y (n, 0) son
entonces m + n es igual a
11. Si
a)
3
b)
7
c)
−3
d)
−7
12. Si
(−1, 2)
a)
7
b)
11
c)
−7
d)
−11
p
(k, p). Si esa parábola no interseca
es
los cortes de la parábola
es un punto de la parábola
y = x2 + 3x − 10
y = 2x2 + kx + 7,
171
con el eje
entonces el valor de
k
X,
es
Precálculo
MATEM-UCR
13. El corte con el eje
a)
(0, 7)
b)
(0, −7)
c)
(0, −14)
d)
(0, −16)
Y
de la parábola
14. El vértice de una parábola es
y = −2 (x + 1)2 + 7
(−3, 7)
es igual a
y un punto de ella es
(−7, 0).
¾Cuál de los
siguientes puntos pertenece a dicha parábola?
a)
(7, 0)
b)
(1, 0)
c)
(1, 7)
d)
(0, 7)
15. ¾Cuál de las siguientes parábolas cumple
a)
y = (x − 3)2 + 7
b)
y = (x − 3)2 − 7
c)
y = − (x − 3)2 + 7
d)
y = − (x − 3)2 − 7
16. Si el rango de la parábola
∆ > 0, a > 0, c > 0?
y = −2 (x − 3)2 + a
es
]−∞, 10],
entonces el valor de
a
es
a)
5
b)
10
c)
−5
d)
−10
17. Una parábola no corta al eje
X
y es cóncava hacia arriba. Un posible vértice de esa
parábola es
a)
(0, 0)
b)
(−3, 1)
c)
(3, −1)
d)
(−3, −1)
172
Precálculo
MATEM-UCR
18. Considere
y = −2x2 + 3x + 1
I.
y analice las siguientes proposiciones:
(−3, 10)
pertenece a la parábola.
II.
∆>0
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
19. ¾Cuál es el eje de simetría de la parábola
a)
x = −2016
b)
x = −2019
c)
x = 2016
d)
x = 2019
y = (x − 2018) (x − 2020)?
20. ¾Cuál de las siguientes parábolas tiene discriminante igual a cero?
a)
y = x2 + 2018
b)
y = (x − 2018)2
c)
y = −x2 − 2018
d)
y = (x + 2018)2 + 1
Respuestas:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
c a d a c a c b d d c a d b b c b b d b
173
Precálculo
MATEM-UCR
2.3. Circunferencias
A continuación se dene la circunferencia y se presentan sus características y propiedades
en el contexto de la Geometría Analítica.
Denición 2.7: Circunferencia
La
circunferencia es el conjunto de todos
los puntos coplanares que equidistan de un
punto jo llamado
centro
de la circunfe-
rencia.
En la gura,
O
es el centro. Note que, todo
punto de la circunferencia está a la misma
distancia
r
de
O.
C
C(O; r).
La circunferencia de centro
puede denotar como
y radio
r
se
A continuación, se presentan los elementos de una circunferencia.
Denición 2.8: Elementos de una circunferencia
a)
Radio: Segmento cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de la
misma. También se le llama radio a las medidas de esos segmentos.
b)
Cuerda: Segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
c)
Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia. Es la cuerda de mayor
longitud.
d)
Interior de la circunferencia: Conjunto de todos los puntos coplanares a la circunferencia, que están a una distancia del centro menor que el radio.
e)
Exterior de la circunferencia: Conjunto de todos los puntos coplanares a la circunferencia, que están a una distancia del centro mayor que el radio.
174
Precálculo
MATEM-UCR
En el siguiente ejemplo se ilustran los conceptos anteriores:
Ejemplo 2.35
En la gura, la circunferencia tiene centro
AB
es un radio.
CD
es una cuerda.
EF
es un diámetro.
J, K, G y H
son puntos en el
AJ, AK, AG
L, M, O
son puntos en el
y
N
caso, las distancias
y radio
r.
interior de la circunferencia. Note que en este caso,
las distancias
y
A
AH
son menores que el radio
exterior
AL, AM, AO
y
AN
r.
de la circunferencia. Note que en este
son mayores que el radio
B, P, W, F, D, C y E son puntos que están en la
AB = AP = AW = AF = AD = AC = AE = r.
r.
circunferencia. En este caso
En una circunferencia se puede trazar una innita cantidad de radios, diámetros
y cuerdas. Además, hay una innita cantidad de puntos en la circunferencia, en
su interior y en su exterior.
175
Precálculo
MATEM-UCR
Posición de un punto con respecto a una circunferencia
Sea una circunferencia de centro
O
y radio
r.
Si
A
es un punto de la circunferencia, entonces
Si
B
es un punto en el
interior de la circunferencia, entonces OB < r.
Si
C
es un punto en el
exterior de la circunferencia, entonces OC > r.
Ejercicio 57
OA = r.
De acuerdo con los datos de la gura, escriba las coordenadas de:
Tres puntos interiores:
Tres puntos exteriores:
Tres puntos de la circunferencia:
Los extremos de una cuerda:
Los extremos de un radio:
Los extremos de un diámetro:
176
Precálculo
MATEM-UCR
2.3.1. Circunferencias y rectas
Si una recta y una circunferencia son coplanares, con respecto a su intersección se pueden
establecer los casos que se indican en la siguiente denición.
Denición 2.9: Recta secante, tangente y exterior a una circunferencia
1.
Recta secante a una circunferencia:
Recta que contiene dos puntos de la
circunferencia.
2.
Recta tangente a una circunferencia: Recta que pertenece al mismo plano de
la circunferencia y contiene exactamente un punto de ella. Al punto de intersección
entre la recta tangente y la circunferencia se le llama punto de tangencia.
3.
Recta exterior a una circunferencia:
Recta que pertenece al mismo plano de
la circunferencia pero no la interseca.
Ejercicio 58
Para cada una de las siguientes armaciones, escriba falso (F) o verdadero
(V) según corresponda.
1. Si una recta contiene a un radio de una circunferencia, es secante a ella.
2. Si una recta contiene a un punto exterior de una circunferencia, es secante a ella.
3. Una recta tangente a una circunferencia contiene a un punto del interior de ella.
4. Una recta puede estar en el interior de una circunferencia.
177
Precálculo
MATEM-UCR
Se pueden establecer diferentes deniciones con respecto a la intersección de dos circunferencias coplanares, esto se indica en la siguiente sección.
2.3.2. Posiciones relativas entre dos circunferencias coplanares
Denición 2.10: Circunferencias concéntricas
Dos circunferencias coplanares son
céntricas si tienen el mismo centro.
En la gura,
A
con-
es el centro de las dos cir-
cunferencias que se presentan.
Cuando dos circunferencias son concéntricas, la distancia
d entre sus centros
es cero.
Denición 2.11: Circunferencias exteriores
Dos circunferencias coplanares tales que cada una está completamente contenida en el
exterior de la otra se denominan
Si
r
exteriores.
es el radio de la circunferencia más pequeña,
entre los centros, se cumple que:
R + r < d.
178
R
el de la más grande y
d la distancia
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 2.12: Circunferencias interiores
Dos circunferencias coplanares son
interiores si su intersección es vacía y el interior de
una de ellas está en el interior de la otra.
Ejercicio 59
En el siguiente plano cartesiano, dibuje:
1. Dos circunferencias interiores, de centro
A
y
C
respectivamente.
2. Dos circunferencias exteriores, de centro
E
y
B
respectivamente.
3. Dos circunferencias concéntricas de centro
179
F
y que pasen por
B
y
D
respectivamente.
Precálculo
MATEM-UCR
Note que cuando dos circunferencias son exteriores, estas no se intersecan. Podrían existir
circunferencias coplanares que no se intersequen pero que no sean exteriores, bastaría con
tener una circunferencia en el interior de otra.
Denición 2.13: Circunferencias secantes
Dos circunferencias coplanares son
Si
r
secantes si se intersecan en exactamente dos puntos.
R el de
R − r < d < R + r.
es el radio de la circunferencia más pequeña,
entre los centros, se cumple que:
la más grande y
d la distancia
Denición 2.14: Circunferencias tangentes interiores
Dos circunferencias coplanares son
tangentes interiores si:
Se intersecan en exactamente un punto.
Una está contenida en el interior de la otra (excepto por el punto de tangencia).
Si
r
es el radio de la circunferencia más
pequeña,
R
el de la más grande y
d
la
distancia entre los centros, se cumple que:
R − r = d.
180
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 2.15: Circunferencias tangentes exteriores
Dos circunferencias coplanares son
tangentes exteriores si:
Se intersecan en exactamente un punto.
Una está contenida en el exterior de la otra (excepto por el punto de tangencia).
Si
r
es el radio de la circunferencia más
pequeña,
R
el de la más grande y
d
la
distancia entre los centros, se cumple que:
R + r = d.
Ejercicio 60
Resuelva cada uno de los siguientes problemas.
1. En cada caso, dibuje usando compás, la circunferencia de centro y radio dado.
1
Centro: −1,
,
2
−5
Centro: 2,
,
2
Radio: 2
181
Radio:
3
2
Precálculo
MATEM-UCR
2. Dibuje en el mismo plano cartesiano las siguientes circunferencias, luego clasifíquelas de
acuerdo a su posición:
Centro:
Centro:
−5
,1 ,
2
(0, 1),
Radio: 1
radio: 1
Clasicación:
3. Dibuje en el mismo plano cartesiano las siguientes circunferencias, luego clasifíquelas de
acuerdo a su posición:
Centro:(−3, −4) , radio:
5
Centro:(−3, −4) , radio:
2
Clasicación:
182
Precálculo
MATEM-UCR
4. Dibuje en el mismo plano cartesiano las siguientes circunferencias, luego clasifíquelas de
acuerdo a su posición:
Centro:(0, 0), Radio: 2
Centro:(0, 1), Radio: 1
Clasicación:
5. Dibuje en el mismo plano cartesiano las siguientes circunferencias.
Centro:(−3, 0), Radio: 1
Centro:(1, 0), Radio: 3
Centro:(−1, 0), Radio: 1
Centro:(3, −1), Radio: 2
183
Precálculo
MATEM-UCR
2.3.3. Ecuación de una circunferencia
Considere una circunferencia de centro
(h, k)
y radio
r.
de la circunferencia, por el teorema de Pitágoras se tiene
2
2
2
donde: (x − h) + (y − k) = r .
(x, y) es un punto cualquiera
2
2
2
que |x − h| + |y − k| = r , de
Si
Ecuación de una circunferencia
Si una circunferencia tiene centro
(h, k) y radio r, su ecuación es (x−h)2 +(y−k)2 = r2 .
Ejemplo 2.36
Dada la circunferencia de ecuación
y su radio es
(x + 7)2 + (y − 3)2 = 25,
su centro es
(−7, 3)
5.
Si el centro de una circunferencia es
(0, 1)
√
y tiene radio
13,
su ecuación es
x2 + (y − 1)2 = 13.
La circunferencia de radio
1
y centrada en el origen tiene ecuación
184
x2 + y 2 = 1.
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.37
En la gráca, la circunferencia tiene centro
(x + 4)2 + (y − 1)2 = 4.
Ejercicio 61
(−4, 1) y radio 2, por lo que su ecuación es
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios.
1. Determine el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación se indica:
a)
(x − 8)2 + (y + 7)2 = 4
Centro:
Radio:
b)
(x + 3)2 + y 2 = 16
Centro:
Radio:
4
25
Centro:
Radio:
(x + 2)2 + (y − 3)2 = 0, 25
Centro:
Radio:
Centro:
Radio:
c)
d)
e)
f)
3
x−
2
7
x+
4
2
+ (y − 2)2 =
2
+ (y −
√
5
3)2 =
1
2
x2 + (y + π)2 = 0, 625
Centro:
185
Radio:
Precálculo
MATEM-UCR
2. Determine el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación se indica. Dibuje la
circunferencia (usando compás) en el plano cartesiano dado.
a)
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 4
Centro:
c)
b)
Radio:
Centro:
2
3
25
x+
+ (y + 1)2 =
2
4
Centro:
(x − 2)2 + y 2 = 9
d)
Radio:
2
3
x−
+ (y + 1)2 = 2, 25
2
Centro:
186
Radio:
Radio:
Precálculo
MATEM-UCR
3. Escriba la ecuación de la circunferencia que tiene el centro y el radio indicado:
a) Centro:
5
,1 ,
2
Radio: 7
b) Centro:
(0, 1),
c) Centro:
(−2, −3),
d) Centro:
(−7, 5),
Radio:
Ecuación:
3
4
Ecuación:
Radio:
Radio:
√
7
Ecuación:
50
Ecuación:
4. Para cada gráca, determine la ecuación de la circunferencia.
a) Ecuación:
b) Ecuación:
c) Ecuación:
d) Ecuación:
187
Precálculo
MATEM-UCR
En ocasiones, la ecuación de una circunferencia no está expresada como en la denición,
sino que aparecen desarrolladas las fórmulas notables. En la siguiente nota se indican ambas
representaciones para la ecuación de una circunferencia.
Ecuación de una circunferencia
Considere una circunferencia de centro
Forma canónica:
Forma general:
(h, k)
y radio
r.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2 .
x2 − 2xh + h2 + y 2 − 2yk + k 2 − r2 = 0
En el caso de que la ecuación se presente de la forma general, es necesario completar
cuadrados para determinar el centro y el radio.
Ejemplo 2.38
Determine el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
x2 + y 2 + 8x − 4y = −10.
Dibuje la circunferencia en el plano cartesiano.
Solución:
Completando cuadrados para la variable
x2 + y 2 + 8x − 4y = −10 ⇔
x
y luego para la variable
y,
se obtiene:
(x2 + 8x) + (y 2 − 4y) = −10
⇔ (x2 + 8x + 16) + (y 2 − 4y + 4) = −10 + 16 + 4
(x + 4)2 + (y − 2)2 = 10
⇔
√
Por lo tanto, el radio es
10
y el centro es
(−4, 2).
188
Precálculo
MATEM-UCR
Se pueden plantear problemas sobre otros conceptos relacionados con la ecuación de la
circunferencia, como por ejemplo: diámetro, longitud de la circunferencia, extremos de un
diámetro, entre otros. La distancia entre puntos del plano cartesiano y el concepto de punto
medio de un segmento serán elementos importantes para abordar esos problemas.
Conceptos básicos de geometría analítica:
Para dos puntos de coordenadas
Punto medio del
A (x1 , y1 )
x1 + x2 y1 + y2
,
2
2
y
B:
AB : M =
Distancia entre los puntos
A
B (x2 , y2 )
y
se tiene:
q
q
2
2
d (A, B) = (∆x) + (∆y) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Ejemplo 2.39
El centro de una circunferencia es
O (3, −1)
y
A (1, 2)
es un punto de ella. Determine
la ecuación de dicha circunferencia.
Solución:
Como ya se conoce el centro, basta con calcular el radio mediante la fórmula de
distancia entre puntos:
d=
q
(1 − 3)2 + (2 − −1)2 =
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es
2
2
(x − 3) + (y + 1) = 13
189
√
4+9=
√
13.
(x − 3)2 + (y + 1)2 =
√ 2
13
o bien
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.40
Determine la ecuación de una circunferencia, si un diámetro de la misma tiene como
extremos los puntos de coordenadas:
(−3, 1)
y
(2, −4).
Solución:
Como el centro de una cincunferencia es el punto medio de cualquier diámetro,
basta con aplicar la fórmula de punto medio de un segmento para determinarlo:
Centro =
x1 + x2 y 1 + y 2
,
2
2
=
−3 + 2 1 + −4
,
2
2
=
−1 −3
,
2 2
Para determinar la medida del radio, basta con calcular la distancia del centro a
cualquiera de los puntos de la circunferencia. Si se toma, por ejemplo, el punto
(−3, 1)
se tiene:
Radio =
q
2
s
2
(x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) =
√
2 2
−3
5 2
−1
− −3 +
−1 =
2
2
2
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es
1
2
2
1
x+
2
2
x+
⇔
3
2
2
3
+ y+
2
2
+ y+
=
=
√ !2
5 2
2
25
2
190
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.41
Determine si el punto de coordenadas
2
circunferencia de ecuación (x − 3) + (y
(−4, 2) está
+ 1)2 = 4.
en el interior, exterior o en la
Solución:
El centro de la circunferencia es
(3, −1)
2.
y el radio es
Para determinar la posición del punto con respecto a la circunferencia basta con
calcular la distancia del punto dado al centro.
Distancia =
q
q
√
(3 − −4) + (−1 − 2) = (7)2 + (−3)2 = 58 ≈ 7, 61.
2
2
Como esa distancia es mayor que el radio de la circunferencia, el punto está en
el
exterior. Si se traza el dibujo, se puede ver claramente que el punto está en
el exterior.
Ejercicio 62
Resuelva cada uno de los siguientes problemas.
1. Determine la longitud de la circunferencia de ecuación
(x + 3)2 + y 2 = 16.
2. Determine el área del círculo denido por la circunferencia
x2 + y 2 + 2x − 4y = −1.
3. Determine la ecuación de una circunferencia, si un diámetro de la misma tiene como
extremos los puntos de coordenadas:
(0, −4)
191
y
(3, −5).
Precálculo
MATEM-UCR
4. Determine el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
x2 + y 2 − 3x − 4 = 0.
Dibuje en el plano cartesiano la circunferencia.
5. Determine si el punto cuyas coordenadas se indican, está en el interior, exterior o en
2
2
la circunfencia de ecuación (x + 1) + (y − 2) = 4.
a)
(−1, 2)
b)
(−2, 4)
c)
(−3, 2)
6. El centro de una circunferencia es
(0, 2)
y
d)
(−1, 0)
e)
(−1, 4)
f)
(1, 1)
(−1, −3)
es un punto de ella. Determine la
ecuación de dicha circunferencia.
7. Determine un punto en el interior, uno en el exterior y uno en la circunferencia de
2
2
ecuación x + y − 4x − 4y = 5.
a para que los puntos
2
2
ecuación x + y − 2x = 0.
8. Determine los valores de
circunferencia de
de la forma
(1, a)
pertenezcan a la
9. Determine el centro de una circunferencia si un diámetro tiene extremos
(−1, 2)
y
(−4, 5).
10. Determine el radio de una circunferencia si un diámetro tiene extremos
192
(1, 3) y (−1, −3).
Precálculo
MATEM-UCR
2.3.4. Intersecciones o cortes con los ejes
De forma similar que con las rectas, los cortes con el eje
cortes con el eje
Y
tienen la forma
(0, y).
X
tienen la forma
(x, 0)
Lo anterior se observa en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.42
Determine los cortes de la circunferencia de ecuación
x2 + y 2 − 2x = 4
Solución:
Cortes con eje X: Forma
(x, 0)
x2 + y 2 − 2x = 4 ⇔ x2 + 02 − 2x = 4
⇔ x2 − 2x = 4
∴
Los cortes con
⇔ x2 − 2x − 4 = 0
√
√
2 ± 4 − 4 · 1 · −4
⇔ x=
=1± 5
2
√ √ el eje X son:
1 − 5, 0 y 1 + 5, 0
Cortes con eje Y: Forma
(0, y)
x2 + y 2 − 2x = 4 ⇔ 02 + y 2 − 2 · 0 = 4
⇔ y2 = 4
⇔ y = −2
∴
Los cortes con el eje
Y
son:
y los
o
y=2
(0, −2)
y
193
(0, 2).
con los ejes.
Precálculo
MATEM-UCR
2.3.5. Intersección de rectas y circunferencias
A continuación se presentan tres ejemplos, en el primero se determinan las intersecciones
de una recta con una circunferencia (cuando la recta es secante), el segundo muestra cómo
determinar el punto de tangencia de dos circunferencias tangentes exteriormente, y en el
tercero se halla la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un determinado
punto.
Ejemplo 2.43
Determine los puntos de intersección de la recta
2
2
ecuación (x − 3) + (y + 1) = 5.
y = 3x − 5
con la circunferencia de
Solución:
Una manera de determinar los puntos de intersección es sustituir
y = 3x − 5
en la
ecuación de la circunferencia, para obtener una ecuación de una incógnita:
(x − 3)2 + (y + 1)2 = 5 ⇔ (x − 3) 2 + (3x − 5 + 1) 2 = 5
⇔ (x − 3) 2 + (3x − 4) 2 = 5
⇔ x2 − 6x + 9 + 9x2 − 24x + 16 = 5
⇔ 10x2 − 30x + 20 = 0
⇔ x2 − 3x + 2 = 0
⇔ (x − 1) (x − 2) = 0
⇔ x=1
Sustituyendo esos valores de
coordenada
y
x
o
x=2
en la ecuación de la recta
y = 3x − 5
se obtiene la
de los pares ordenados de los cortes.
∴ Los puntos de intersección de la recta y = 3x − 5
(x − 3)2 + (y + 1)2 = 5 son (1, −2) y (2, 1).
194
con la circunferencia de ecuación
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.44
2
2
Justique algebraicamente que las circunferencias de ecuación (x − 4) + y = 1 y
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 4 respectivamente, son tangentes exteriores. Grafíquelas en el
mismo plano cartesiano.
Solución:
Como
(x − 4)2 + y 2 = 1 ⇔ (x − 4)2 = 1 − y 2 ,
sustituyendo en la otra ecuación se
tiene que:
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 4 ⇔ 1 − y 2 + (y − 3) 2 = 4
⇔ 1 − y 2 + y 2 − 6y + 9 = 4
⇔ −6y + 10 = 4
⇔ y=1
Basta sustituir
y =1
en alguna de las ecuaciones, para obtener la coordenada
2
2
punto de intersección: (x − 4) + 1 = 1 ⇔ x = 4.
∴
El punto de intersección tiene coordenadas
x
del
(4, 1).
Como solo hay un punto de intersección las circunferencias son tangentes. Falta
determinar si son exteriores (d
= R + r)
o interiores (d
= R − r),
para ello basta con
determinar la distancia entre los centros:
Como los centros tienen coordenadas
los centros es igual a
d=
Además, los radios miden
q
(4, 0)
y
2
(4, 3)
respectivamente, la distancia entre
2
(4 − 4) + (3 − 0) = 3.
r = 1
y
R = 2.
Como
tangentes exteriores.
195
d = R + r,
las circunferencias son
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 2.45
Determine
2
la
ecuación
2
(x − 1) + (y − 1) = 5
de
la
recta
en el punto
tangente
a
la
circunferencia
de
ecuación
B (−1, 2).
Solución:
Como el centro de la circunferencia es
A (1, 1),
la pendiente de la recta
←→
AB
es
←→
AB ,
de
igual a:
m1 =
−1
1−2
=
1 − −1
2
La recta tangente
L
a la circunferencia en
modo que la pendiente de
Como la recta
L
L
es
B
es perpendicular a la recta
m2 = 2.
tiene pendiente
2
y es tangente en
B (−1, 2)
se tiene que:
y = mx + b ⇔ 2 = 2 · −1 + b
⇔ 2 = 2 · −1 + b
⇔ 4 = b
∴ La ecuación de la recta tangente a la circunferencia
(y − 1)2 = 5 en el punto B (−1, 2) es y = 2x + 4.
196
de ecuación
(x − 1)2 +
Precálculo
MATEM-UCR
2.3.6. Problemas varios
1. Determine la ecuación de la circunferencia que cumple las condiciones dadas.
a)
Centro
(0, −3)
b)
Centro
−1
3,
2
y radio: 7.
y radio: 3.
−2 −1
,
3 5
c)
Centro
d)
Centro
(0, 5)
e)
Centro
(−1, −6)
f)
Centro
(1, −1),
y radio:
4
.
9
y tangente al eje
Y.
y tangente al eje
tangente al eje
X
X.
y tangente al eje
Y.
2. Determine el centro y el radio de la circunferencia correspondiente a la ecuación indicada:
a)
b)
c)
x2 + y 2 =
√
13
100
x2 + y 2 =
169
2
(x − 7) + (y − 2)2 = 4
2
2
Centro:
Radio:
Centro:
Radio:
Centro:
Radio:
d)
(x + 3) + (y + 18) = 12
Centro:
Radio:
e)
x2 + y 2 + 2x − 6y = −6
Centro:
Radio:
f)
x2 + y 2 + 4x = 22
Centro:
Radio:
g)
x2 + y 2 − 2y = 4
Centro:
Radio:
h)
x2 + y 2 − 6x + 2y − 24 = 0
Centro:
Radio:
x2 + y 2 − x − 3y = 16
Centro:
Radio:
i)
3. Dada la circunferencia de ecuación
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 4,
indique si cada una de las
siguientes rectas es secante, tangente o exterior a ella.
a)
y = −x
c)
y =x−2
e)
x=4
b)
y=x
d)
y = −3
f)
x = −4
4. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro el segmento de
extremos
(9, 2)
y
(−3, 7).
197
Precálculo
MATEM-UCR
5. Si una circunferencia tiene centro
(−2, 5)
6. Si una circunferencia tiene centro
(0, 5) y es tangente al eje X , determine su diámetro.
7. Dibuje la circunferencia de ecuación
y es tangente al eje
x2 + y 2 = 16
Y,
determine su radio.
y determine, viendo el dibujo, los
cortes con los ejes.
8. Escriba las ecuaciones de dos circunferencias tangentes interiores.
9. Escriba las ecuaciones de dos circunferencias exteriores.
10. Escriba la ecuación de una circunferencia de radio
7
y centrada en el origen.
11. Determine la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes en
(−7, 0)
y
(0, 5).
12. Determine la ecuación de una recta vertical que sea tangente a la circunferencia de
2
2
ecuación x + (y − 3) = 5.
13. Escriba la ecuación de una circunferencia que sea secante a la recta
y = x.
14. Escriba la ecuación de una circunferencia con centro en el eje
X
y tangente al eje
15. Escriba la ecuación de una circunferencia con centro en el eje
Y
y secante al eje
16. Determine los puntos de intersección de la circunferencia de ecuación
recta
Y.
X.
x2 + y 2 = 4
y la
x = −2.
17. Determine la ecuación de la circunferencia que cumple las condiciones que se indican,
en cada caso:
a) Radio
5
y concéntrica a la circunferencia de ecuación
b) Centro
(4, −1)
c) Centro
(3, 2)
y tangente al eje
y tangente al eje
d) Tangente a la recta
x = −1
e) Centro en el origen y radio
x2 + y 2 = 16.
Y.
X.
y al eje
Y.
4.
18. Dada la circunferencia de ecuación
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 25,
indique si cada uno de los
siguientes puntos está en el interior, en el exterior o en la circunferencia.
a)
(2, 2)
c)
(−10, 0)
e)
(6, −2)
b)
(2, 4)
d)
(8, 0)
f)
(−2, 4)
(x + 1)2 +(y − 1)2 = 5.
circunferencia en el punto B (1, 2).
19. Considere la circunferencia de ecuación
de la recta tangente a dicha
20. Determine los puntos de intersección de la recta
x2 + y 2 + 2x − 2y = 0.
198
y=x
Determine la ecuación
y la circunferencia de ecuación
Precálculo
MATEM-UCR
2.3.7. Ejercicios de selección única
Nota: En algunos de los siguientes ejercicios, por abuso de lenguaje y mayor comodidad,
no se utiliza la frase circunferencia de ecuación, sino solamente circunferencia.
1. ¾Cuál de los siguientes puntos está en el interior de la circunferencia de ecuación
(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4?
a)
(2, 1)
b)
(3, 1)
c)
(−2, 1)
d)
(−3, −1)
2. Considere la circunferencia
(x + 3)2 + (y − 2)2 = 4
y analice las siguientes proposi-
ciones:
I. La recta
II. La recta
y=x
x = −5
es secante a la circunferencia.
es tangente a la circunferencia.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
3. El centro de la circunferencia
a)
(2, 1)
b)
(2, −1)
c)
(−1, 2)
d)
(−1, −2)
x2 + y 2 − 4x − 2y = −3
C1 : (x + 3)2 + (y − 1)2 = 1. Si otra circunferencia C2
exteriormente a C1 , ¾cuál podría ser el centro de C2 ?
4. Considere la circunferencia
radio
3
y es tangente
a)
(1, 1)
b)
(−3, 3)
c)
(−1, −1)
d)
(−7, −1)
es igual a
199
tiene
Precálculo
MATEM-UCR
5. ¾Cuál de las siguientes rectas es secante a
a)
y =x−2
b)
y =x−1
c)
y = −x + 3
d)
y = −x − 2
6. En una circunferencia,
B (−2, −1)
y
x2 + y 2 = 1?
D (−4, −3)
son las coordenadas de los extremos
de un diámetro. ¾Cuál es la pendiente de la recta tangente a la circunferencia en
a)
1
b)
3
c)
−1
d)
−3
7. Los cortes con los ejes de la recta
x + y = −3
B?
son coordenadas de los extremos de un
diámetro de una circunferencia. ¾Cuál es el centro de dicha circunferencia?
−1 −1
,
2 2
−3 −3
,
2 2
−3 3
,
2 2
−1 1
,
2 2
a)
b)
c)
d)
8. El centro de una circunferencia es
Un posible valor para
a)
3
b)
2
c)
1
d)
−1
k
(−1, k)
puede ser
200
y es tangente a las rectas
y=1
y
x = −2.
Precálculo
MATEM-UCR
9. ¾Cuál de las siguientes rectas es exterior a la circunferencia
a)
y = −x
b)
x=1
c)
x=2
d)
y=1
x2 + y 2 − 4x + 2y = −4?
10. Los extremos de un diámetro de una circunferencia tienen coordenadas
B (−1, −1).
a)
3
b)
6
c)
9
d)
18
A (5, −1)
y
El radio de dicha circunferencia es igual a
11. ¾Cuál de las siguientes rectas contiene a un diámetro de la circunferencia de ecuación
(x + 4)2 + (y − 3)2 = 2 ?
a)
y = −4
b)
x = −3
c)
y=3
d)
x=3
12. ¾Cuál de las siguientes circunferencias es tangente exteriormente a la circunferencia de
2
2
ecuación (x + 3) + (y − 1) = 1?
a)
(x + 4)2 + (y − 1)2 = 4
b)
(x + 1)2 + (y − 1)2 = 1
c)
(x + 1)2 + (y − 1)2 = 4
d)
(x + 4)2 + (y + 1)2 = 1
13. Uno de los puntos de intersección de la circunferencia
recta
y = −x
a)
(−1, 1)
b)
(−3, 3)
c)
(−4, 4)
d)
(3, −3)
es
201
(x + 3)2 + (y − 2)2 = 1
y la
Precálculo
MATEM-UCR
14. ¾Cuál de las siguientes circunferencias es tangente al eje
a)
(x − 2)2 + (y − 5)2 = 4
b)
(x + 2)2 + (y + 5)2 = 4
c)
(x + 5)2 + (y + 2)2 = 4
d)
(x − 2)2 + (y + 5)2 = 4
15. Si una circunferencia es tangente a las rectas
a)
12
b)
6
c)
3
d)
4
16. La longitud de la circunferencia
a)
6π
b)
9π
c)
12π
d)
18π
x2 + y 2 − 4x + 2y = 4
17. La ecuación de la circunferencia de centro
a)
x2 + y 2 − 4x + 2y = −3
b)
x2 + y 2 − 4x − 2y = −3
c)
x2 + y 2 + 4x + 2y = −3
d)
x2 + y 2 + 4x − 2y = −3
x = −2
202
A,
y
X?
x = 4,
su radio mide
es igual a
de la siguiente gura, corresponde a
Precálculo
MATEM-UCR
A y ecuación (x + 2)2 + (y + 3)2 = 2. Si
B(−3, −2), ¾cuál es la pendiente de L?
18. En la gura, la circunferencia tiene centro
recta
L
es tangente a la circunferencia en
a)
1
b)
1
2
c)
−1
d)
−1
2
(a, b) y es
a + b es igual
19. Una circunferencia tiene centro
y = −1
a)
1
b)
2
c)
−1
d)
−2
y
y = 3.
El valor de
tangente a las rectas
la
x = −5, x = −1,
a
20. En la siguiente gura, ¾cuál de las siguientes circunferencias corresponde a la ecuación
x2 + y 2 + 4x + 2y = −1?
a)
C1
b)
C2
c)
C3
d)
C4
Respuestas:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
d b a a b c b b d a c b b c c a b a d d
203
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicios adicionales
1. Considere la circunferencia
C
con ecuación
x2 − 4x + 1 + y 2 = 0.
Analice las siguientes
proposiciones:
I.
C
El diámetro de
II.
El centro de
C
es
es
√
2 3.
(2, 0).
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza, ciertas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
2. Si
C
es una circunferencia con centro
interior de
C.
a)
C
b)
(2, −4)
c)
C
(10, −4).
Se sabe que el punto
¾Cuál de las siguientes proposiciones es
interseca al Eje
d ) El radio de
con certeza verdadera?
X.
C
Y.
es igual a 5.
C : (x + 4)2 + (y − a)2 = 9.
posible valor de a es
3. Considere la circunferencia de ecuación
Eje X es tangente a
−3
b)
−4
c)
4
d)
9
4. ¾Cuál
ecuación
de
2
las
x + (y −
a)
y=0
b)
y=5
c)
y=6
d)
y=2
está en el
está en el interior de la circunferencia.
interseca al Eje
a)
(7, −8)
C,
entonces un
siguientes
3)2 = 4 ?
rectas
es
Respuestas: 1c, 2a, 3a, 4b
204
tangente
a
la
Si se sabe que el
circunferencia
de
Capítulo 3
Funciones
En este capítulo se estudia el concepto de función, el cual es de gran importancia tanto en
Matemática como en otros campos del saber, como Astronomía, Biología, Economía, Estadística, Física, Ingeniería, Química, entre otros. En dichas áreas, las funciones han permitido
la comprensión de diversos fenómenos a través de modelos matemáticos.
A manera de introducción a este tema, se tiene el siguiente problema:
Cierta compañía ofrece un plan para teléfono celular que incluye:
madas,
1200
SMS (Short Message Service),
velocidad de internet de
3
100
750
minutos de lla-
MMS (Multimedia Messaging System) y
Mbps. Dicho plan tiene un costo de
34000
colones mensuales que
incluye todos los impuestos. Si una persona sobrepasa la cantidad de mensajes de texto, los
minutos de llamada o la cantidad de mensajes multimedia del plan, debe pagar los costos
adicionales respectivamente.
Suponiendo que una persona no excede los minutos de llamada ni la cantidad de mensajes
multimedia, y que el costo de cada mensaje de texto es de
3
colones, conteste las siguientes
preguntas:
478 SMS?
envió 1874 SMS?
a) ¾Cuánto debe cancelar en un mes si envió
b) ¾Cuánto debe cancelar en un mes si
c) Si el monto del recibo es de
36538
colones, ¾cuántos SMS envió ese mes?
d) Complete el siguiente cuadro:
SMS enviados
Monto a cancelar
1380
35356
4125
41035
e) Si el monto a cancelar del recibo es
x
(suponiendo que
x ≥ 1200),
escriba
m y la cantidad de SMS
m en términos de x.
205
es
Precálculo
MATEM-UCR
Respuestas:
a)
34000
b)
36022
c)
2046
e)
m = 34000 + 3(x − 1200)
SMS
SMS enviados Monto a cancelar
d)
1380
1652
4125
3545
34540
35356
42775
41035
La fórmula obtenida en el punto e) es el criterio de una función. Con él se puede calcular
el monto del recibo dependiendo de la cantidad de SMS enviados (suponiendo que sea mayor
o igual a los mil doscientos SMS).
3.1. Conceptos generales
Suponga que para cierto estudio se hace una selección al azar de diez cantones de Costa
Rica, y que se desea establecer una correspondencia entre éstos y la provincia a la cual pertenecen.
Para ello, se confecciona el siguiente diagrama, en el que aparece el conjunto de los
cantones seleccionados (denominado C) y el de las provincias de Costa Rica (llamado P).
206
Precálculo
MATEM-UCR
Observe que:
Todos los cantones están haciéndose corresponder con alguna provincia.
Cada cantón solamente se puede hacer corresponder con una provincia, no con dos o
más.
En este ejemplo, no hay cantones en el conjunto C que puedan ser relacionados con
San José.
Con esta situación se ha ilustrado lo que hace una correspondencia llamada función.
Denición 3.1: Función
Sean
A
y
B
dos conjuntos no vacíos. Una
que asigna a cada elemento
El conjunto
A
a
de
A,
función f
de
un único elemento
se denomina dominio y el conjunto
También se denotan del siguiente modo:
A = Df
b
A
B
B.
a
de
B codominio
y B = Cf .
es una correspondencia
de la función
f.
En el caso de la función del diagrama anterior, se tiene que:
El dominio es
A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }.
El codominio es
B = {b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 }.
Observe que, de acuerdo con la denición, todos los elementos del conjunto
lizados en la correspondencia, mientras que en el conjunto
algún valor del conjunto
A
B,
asociado a ellos (como por ejemplo,
207
A
son uti-
pueden existir elementos sin
b4
y
b6 ).
Precálculo
MATEM-UCR
También es posible que dos o más elementos del conjunto
elemento del conjunto
B
(como en el caso de
a3
y
a4
A, se asocien a un determinado
b3 ).
que se asocian al elemento
Notas:
Es común representar una función
En lugar de
f
g , h, f1 , f2 ,
etc.
Ejercicio 63
f
del siguiente modo:
f: A → B
o
f
A → B.
también se puede utilizar otra letra o simbología, como por ejemplo
Determine cuáles de las siguientes correspondencias son funciones.
Correspondencia #1.
Correspondencia #2.
Correspondencia #3.
Correspondencia #4.
Denición 3.2: Imagen y preimagen
Cuando se tiene una función
un elemento
función
f,
b
de
B,
o bien, que
f
a
es
a de A se le hace
b es la imagen
la función f .
en la cual a un elemento
se escribe
f (a) = b
y se dice que
una preimagen de b bajo
corresponder
de
a
bajo la
a es la única preimagen de b bajo la función f , se puede decir que a es la preimagen
de b bajo la función f .
Si
Observe cómo se aplica la denición anterior en el siguiente ejemplo:
208
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.1
Considere el siguiente diagrama de la función
Según los datos del diagrama, se tiene que
f:
f (a1 ) = b1
y
f (a3 ) = b3 .
Observe el signicado de las expresiones anteriores en la siguiente tabla:
Notación
Signicado
f (a1 ) = b1
b1 es la imagen de a1 bajo la función f .
a1 es la preimagen de b1 bajo la función f
b3 es la imagen de a3 bajo la función f .
Nótese que b3 tiene dos preimágenes: a3 y a4 ,
por lo cual se dice que a3 es una preimagen de b3
y no la preimagen de b3 , bajo la función f .
f (a3 ) = b3
A los elementos
b4
y
b6
no se les llama imágenes, puesto que ningún elemento de A se
asocia a ellos.
Otros dos conceptos importantes a estudiar son el ámbito (o rango) y el gráco, que se
denen a continuación:
Denición 3.3: Ámbito o rango
Se llama
ámbito o rango
de
f
imágenes de la función
f.
B que son asociados
f , es decir, es el conjunto de
Rf o f (A).
al conjunto de los elementos de
a uno o varios elementos del conjunto
A,
bajo la función
Se denota con los símbolos
Af ,
Ejemplo 3.2
En la función
f
representada en el diagrama anterior, se tiene que
209
Af = {b1 , b2 , b3 , b5 }.
Precálculo
MATEM-UCR
En una función, cabe la posibilidad de que todos los elementos del conjunto
B
estén
asociados a los del dominio, en cuyo caso, el ámbito coincide con el codominio.
Denición 3.4: Gráco
El conjunto de los pares ordenados
denota por
(a, b)
donde
f (a) = b
se llama el
gráco de f
y se
Gf .
Ejemplo 3.3
f corresponde
Gf = {(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ), (a4 , b3 ), (a5 , b5 )}.
En el diagrama anterior, el gráco de
Ejercicio 64
al conjunto
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:
1. De acuerdo con el siguiente diagrama de la función
indican:
a) ¾Cuál es la imagen de 6?
b) ¾Cuál es la preimagen de 11?
c) ¾Cuál es la imagen de 0?
d) ¾Cuál es la preimagen de 1?
e) ¾Coinciden el ámbito y el codominio?
f ) ¾Cuál es el gráco de la función?
210
f,
conteste las preguntas que se
Precálculo
MATEM-UCR
2. Represente cada una de las siguientes correspondencias mediante diagramas. Indique cuáles de ellas son funciones. En caso de serlo, determine el dominio y el ámbito.
a)
Gf = {(3, 9), (5, 15), (4, 12)}
b)
Gf = {(−2, 3), (0, 3), (2, 3), (4, 3)}
c)
Gf = {(2, 3), (1, −2), (0, 4), (1, 3), (−3, 0)}
d)
Gf = {(−2, 8), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 8)}
3. Si el gráco de la función
a) Dominio de
b) Ámbito de
f
es
Gf = {(−5, 3), (2, 1), (0, 2), (1, −1)},
determine:
f:
f:
c) Imagen de 1:
d) Preimagen de 2:
Respuestas:
1. a)
4,
b)
5,
c)
8,
d)
−3,
e) No, f )
{(−3, −1), (0, 8), (6, 4), (12, 8), (5, 11)}
2. Se tiene que:
a) Sí es función.
Df = {3, 4, 5} Af = {9, 12, 15}.
b) Sí es función.
Df = {−2, 0, 2, 4} Af = {3}.
c) No es función
d) Sí es función.
3. a)
{−5, 2, 0, 1}.
Df = {−2, −1, 0, 1, 2}. Af = {0, 1, 8}.
b)
{3, 1, 2, −1}.
c)
−1.
d)
0
A continuación se dene el tipo de funciones que se estudiará en adelante:
Denición 3.5: Función real de variable real
Una función donde su dominio y codominio son subconjuntos de
real de variable real.
R,
se llama
función
La manera en la que se relaciona cada elemento del dominio de una función
f
con un
elemento del codominio está determinada por su gráco, como se mencionó anteriormente;
sin embargo, en el caso de algunas funciones, dicha correspondencia puede ser expresada
mediante una o varias fórmulas, como se muestra en el siguiente ejemplo:
211
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.4
A continuación se presenta el diagrama de una función
Si se utiliza la variable
x
f:
para representar los elementos del dominio y la variable
y
para los del ámbito, se puede decir que las preimágenes e imágenes se relacionan de
2
acuerdo con la fórmula: y = 5x + 3x − 6, ya que cuando x = −1 se obtiene y = −4
y cuando
x=1
se tiene que
y = 2.
La fórmula mencionada también se puede escribir como
f (x) = 5x2 + 3x − 6.
Existen otras posibilidades para la fórmula en este caso, por ejemplo:
f (x) = x3 +2x−1.
Esto lleva a la siguiente denición:
Denición 3.6: Criterio
Cuando existe una fórmula que permite identicar cómo se relaciona cada elemento del
dominio de una función con su imagen, la fórmula recibe el nombre de
general, se escribe en términos de la variable
criterio. Por lo
x.
Ejemplo 3.5
m, que hace
x ≥ 1200) con el monto
m(x) = 34000 + 3(x − 1200).
En el ejercicio inicial de este capítulo se dedujo un criterio para la función
corresponder la cantidad
x
de SMS enviados (suponiendo que
a cancelar. El criterio obtenido puede escribirse como:
En muchos ejercicios, la única información que se brinda es el dominio, el codominio y un
criterio de una determinada función. Dichos datos son útiles, entre otras cosas, para calcular
imágenes y preimágenes, o determinar el gráco de la función (como sucede en el siguiente
ejemplo).
212
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.6
Considere la función
h: {2, 3, 4} → N
tal que
h(x) = 2x + 1.
Determine
Gh .
Solución:
En el criterio se pueden sustituir los
El cálculo de imágenes también se puede
valores del dominio de la función,
representar mediante la siguiente tabla:
para conocer la imagen de cada uno de
x
2
3
4
ellos, como se muestra a continuación:
h(x) = 2 · x + 1
h(2) = 2 · 2 + 1 = 5.
h(3) = 2 · 3 + 1 = 7.
h(4) = 2 · 4 + 1 = 9.
h(x) = 2x + 1
5
7
9
∴ Gh = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Se pueden presentar ejemplos donde aparezcan constantes.
Ejemplo 3.7
Considere la función
constantes
a
y
b
si se
g : Dg → R tal que g(x) = −x + 2. Determine
sabe que Gg = {(a − 6, 2b − 5) , (−3b, −a − 1)}.
el valor de las
Solución:
(a − 6, 2b − 5) ∈ Gg : g (a − 6) = 2b − 5
el criterio de g :
g (a − 6) = −(a − 6) + 2
Como
Por
(−3b, −a − 1) ∈ Gg : g (−3b) = −a − 1
el criterio de g :
g (−3b) = − (−3b) + 2
Como
Por
∴
(∗∗): −2b + 13 = −3b − 3 ⇔ b = −16
(∗)
Por
(∗∗): a = −3b − 3 = −3 · −16 − 3 ⇔ a = 45
El valor de las constantes es
a = 45
y
b = −16.
213
2b − 5
= −(a − 6) + 2
⇔
⇔
2b − 5
a
= −a + 8
= −2b + 13
⇒
−a − 1
= − (−3b) + 2
⇔
⇔
−a − 1 = 3b + 2
a
= −3b − 3
(∗)
Por
y
⇒
(∗∗)
Precálculo
MATEM-UCR
En el siguiente ejemplo, las imágenes y preimágenes están en términos de variables.
Ejemplo 3.8
f: R → R
Considere la función
h 6= 0
y
f (h) 6= 0.
1.
f (a)
2.
f (a) + f (h)
y
donde
f (x) = 3x2 + x − 1.
Determine:
f (h)
y
5.
f (a) · f (h)
6.
f (a)
f (h)
7.
(f (a))2
f (a + h)
3.
f (a + h) − f (a)
h
4.
−f (a)
y
Además
f (−a)
y
f
y
y
f (a · h)
a
h
f (a2 )
Solución:
a)
f (a) = 3a2 + a − 1, f (h) = 3h2 + h − 1
b)
f (a) + f (h) = 3a2 + a − 1 + 3h2 + h − 1 = 3a2 + 3h2 + a + h − 2,
f (a + h) = 3(a + h)2 + (a + h) − 1 = 3a2 + 6ah + 3h2 + a + h − 1
c)
d)
3a2 + 6ah + 3h2 + a + h − 1 − (3a2 + a − 1)
f (a + h) − f (a)
=
h
h
2
6ah + 3h + h
=
= 6a + 3h + 1
h
−f (a) = − (3a2 + a − 1) = −3a2 − a + 1,
f (−a) = 3(−a)2 + (−a) − 1 = 3a2 − a − 1
e)
f (a) · f (h) = (3a2 + a − 1) (3h2 + h − 1)
= 9a2 h2 + 3a2 h + 3ah2 + ah − 3a2 − 3h2 − a − h + 1,
f (a · h) = 3(ah)2 + (ah) − 1 = 3a2 h2 + ah − 1
f)
a
a 2 a 3a2 + a − 1
3a2 + ah − h2
f (a)
+
= 2
, f
=3
−1=
f (h)
3h + h − 1
h
h
h
h2
g)
(f (a))2 = (3a2 + a − 1) = 9a4 + 3a3 − 2a2 − a + 1,
2
2
f (a2 ) = 3(a2 ) + (a2 ) − 1 = 3a4 + a2 − 1
214
a, h ∈ R,
con
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.9
Suponga que
Calcule
f : ]−∞, 4] → R
con
 2
x − 3 si x < −3



5
si x = −3
f (x) =


 2x + 1 si −3 < x ≤ 4
f (−5) + f (−3) · f (π).
Solución:
Como
−5 < −3
entonces
f (−5) = (−5)2 − 3 = 22.
f (−3) = 5.
Como
−3 < π ≤ 4
Por lo tanto,
entonces
f (π) = 2 · π + 1.
f (−5) + f (−3) · f (π) = 22 + 5 · (2π + 1) = 27 + 10π
Una función como la del ejemplo anterior se denomina función de criterio dividido o
función denida a trozos.
Ejemplo 3.10
Si
f : [−4 , 2[ → [1, 17]
con
f (x) = x2 + 1.
Calcule, de ser posible:
a) La imagen de
−0,5.
c) La(s) preimagen(es) de
4.
b) La imagen de
2.
d) La(s) preimagen(es) de
10.
Solución:
Note que el dominio de
a)
−0,5 ∈ Df ,
f
es
Df = [−4 , 2[.
por lo cual se puede calcular su imagen:
b) La imagen de
2
no existe, puesto que
f (−0,5) = (−0,5)2 + 1 = 1,25.
2 6∈ Df .
c) Para hallar la(s) preimagen(es) solicitada(s), el criterio se iguala a 4 y se despeja la
√
2
2
variable x: x + 1 = 4 ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3. Como ambos valores de x pertenecen
a
Df ,
los dos son preimágenes de 4.
x2 + 1 = 10 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ±3,
preimagen de 10 es −3.
d) Se procede de forma análoga al punto anterior:
sin embargo
3 6∈ Df ,
por lo que la única
215
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 65
Para las siguientes funciones, responda lo que se solicita:
f (x) = −x2 + 3,
a) Si
f: R → R
b) Si
h: R− → R
c) Si
r: R − {0} → R
d) Si
g: R → R
e) Si
v : ]−∞, 4] → R
con
h(x) = x2 − 24,
con
con
calcule la imagen de
r(x) =
con
g(x) = −
calcule la imagen de
f : ]3, 8] → R
h) Si
i) Si
f: R → R
con
f : [−4, 6[ → R
con
con
−6
respectivamente.
−2
y
−2
3
respectivamente.
y la preimagen de
, calcule
−13,
f ) Solo
47
16
y
(7, 3)
−46
si x < 4
si x = 4
, calcule
si 4 < x < 7
f (4) + f (0,5)
.
5 · f (12)
si x > 7
1
si −4 ≤ x < −1
+1
f (x) =

| 3x − 6 | si −1 ≤ x < 6
b)
−5
g)
−24
y
x2
√
− 30
cuáles de los
f (−5) + f (0) − f (13).
, calcule
p
f (−1)
.
f (5) · f (−3)
Respuestas:
a)
1.
2.
√
f (x) = 2 x + 2 − 3. Determine
su gráco: (7, 3), (2, 1) y (4, 9).

x+2




3



8
f (x) =


 −x + 3



 x3 + 8


6
respectivamente.
calcule la preimagen de

−x2 + 3 si x < 2


−2x + 7 si 2 ≤ x < 7
f (x) =


5
si 7 < x
f : R − {7} → R
y
7
y
tal que
siguientes pares ordenados pertenecen a
g) Si
1
1
4
calcule la preimagen de
v(x) = x2 − 8x + 17,
con
f ) Considere la función
calcule la preimagen de
2x − 1
,
x
x
+ 9,
14
−4, −
c)
1
4
3
8
d)
66
7
h)
53
52080
i)
10
3
216
y
y
112
e)
3
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 66
Para las siguientes funciones, responda lo que se solicita. Simplique al má-
ximo las respuestas.
1. Considere la función
b 6= c.
a)
f : R → R
donde
f (x) = −x2 + 3x − 2.
Además
b, c ∈ R,
Determine:
−f (c)
b)
2. Considere la función
con
a 6= 5
a)
g(−a)
y
f (c · b)
(f (c))3
c)
g : R − {−5} → R
g(d) 6= 0.
donde
d)
g(x) =
f (b) − f (c)
b−c
x
.
x+5
Además
a, d ∈ R − {−5},
Determine:
b)
3. Considere la función
g(a)
g(d)
g(a2 )
c)
j : ]0, +∞[ → R
donde
j(x) =
d)
√
3g(a) + d
g(d)
2x + 1.
Además
a, h ∈ ]0, +∞[.
Determine:
a)
j(a) · j(h)
b)
j
a
j(a2 )
c)
h
d)
j(a + h) − j(a)
h
Respuestas:
a)
1.
2.
3.
c2 − 3c + 2
a
a−5
√
r
√
b)
−(cb) + 3cb − 2
a(d + 5)
d(a + 5)
c)
−c6 + 9c5 − 33c4
a2
a2 + 5
2
+63c3 − 66c2 + 36c − 8
d)
con
−b2 + 3b + c2 − 3c
b−c
(d + 5)(ad + 3a + 5d)
d(a + 5)
217
4ah + 2a + 2h + 1
2a + h
h
2a2 + 1
√
√
2a + 2h + 1 − 2a + 1
h
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 3.7: Variable independiente y variable dependiente
f : A → B es una función que toma valores
x de A y los asocia con valores y = f (x) de B ,
se dice que x es la variable independiente y y
Si
la
variable dependiente.
La denición anterior tiene sentido, puesto que los valores de
te en el conjunto
depende del
x
A,
sin embargo su imagen:
y = f (x),
x pueden elegirse libremen-
no es un valor arbitrario, sino que
seleccionado.
Ejemplo 3.11
El salario mensual de un empleado (en colones) se relaciona con el número (n) de horas
extra que trabaje, mediante una función de criterio
s(n) = 1000000 + 25000n.
a) Indique la variable independiente y la dependiente.
b) Determine el salario del trabajador en el mes de abril si laboró tres horas extra.
c) Si el empleado recibió un salario de
1137500
colones en octubre, ¾cuántas horas
extra trabajó ese mes?.
Solución:
a) La variable independiente es
b) Con
n=3
se tiene
n
y la variable dependiente es
s(n).
s(3) = 1000000 + 25000 · 3 = 1075000.
Por lo tanto, si laboró tres horas extra en abril, su salario fue de
c) Se debe averiguar el valor de
n
para que
1075000
colones.
s(n) = 1137500.
1000000 + 25000n = 1137500 ⇔ 25000n = 137500 ⇔ n = 5, 5.
Por lo tanto, el empleado trabajó cinco horas y media extra en el mes de octubre.
218
Precálculo
MATEM-UCR
3.1.1. Relaciones que no son funciones
Como se mencionó anteriormente, la función
correspondencia que asigna a cada elemento
a
f
A a un conjunto B es una
elemento b de B . En otras
de un conjunto
de
A,
un único
palabras, una relación que particularmente es una función, debe cumplir con los siguientes
aspectos:
1. El criterio es válido para todos los valores del conjunto
2. La imagen de cada uno de los elementos de
3. Cada elemento de
A
A,
A.
se encuentra en
tiene solamente una imagen en
B.
B.
Si esto no se cumple, se tiene una relación que no representa una función.
Ejemplo 3.12
En la siguiente tabla se presentan relaciones que
Relación que
no es función
f : R → R, f (x) =
no son funciones:
Justicación
x
x−5
5
es un elemento de
A = R,
pero el criterio
se indene en ese valor, puesto que cuando
x=5
5
expresión
.
0
se sustituye
la
g : Z → R+ , g(x) = x4
0
en el criterio, se obtiene
es un elemento de
A = Z.
Al calcular su
imagen con ayuda del criterio, se obtiene
pero éste resultado no pertenece a
h: Z → Q, h(x) =
√
x
existen números en el conjunto
0,
+
B=R
A=Z
que
tienen por imagen números irracionales, los
√
i: R → R, i(x) = x − 3
cuales no están presentes en
−2
es un elemento de
B = Q.
A = R,
pero el criterio
se indene en ese valor.
j : R → R, j(x) = ±x
existen valores en
A = R,
como el caso de
que se asocian a dos imágenes diferentes
en
B = R.
219
7,
Precálculo
Ejercicio 67
MATEM-UCR
Indique si las siguientes relaciones son o no funciones. Justique.
1.
v : Z → Z+ , v(x) = x2
R/ No.
2.
g : R → R+ , g(x) = | x |
R/ No.
3.
h: Z → R, h(x) =
4.
f : [−5, +∞[ → R, f (x) =
5.
y : R → R, y(x) =
6.
b: N → R, b(x) =
7.
k : Z → N, k(x) = 2x + 5
R/ No.
8.
f : R → R, f (x) =
1
+5
R/ Sí.
9.
y : Z → N, y(x) =
√
3
x
x2
R/ Sí.
√
x+5
R/ Sí.
1
−1
R/ No.
1
x+2
x2
√
R/ Sí.
x
R/ No.
10.
j : Z → N, j(x) = x2
11.
k : N → Z, k(x) =
12.
2
v : [0, +∞[ → R, v(x) = √
x
R/ No.
13.
2
g : ]0, +∞[ → R, g(x) = √
x
R/ Sí.
14.
h: N → Z, h(x) =
1
x+2
R/ No.
15.
r: Z → R, r(x) =
1
x+2
R/ No.
16.
y : R → R, y(x) =
√
x+5
17.
m: Z → N, m(x) = x3
R/ No.
18.
j : {1, 3} → R, j(x) = ±x
R/ No.
√
R/ Sí.
x
R/ No.
R/ No.
220
Precálculo
MATEM-UCR
3.2. Dominio máximo
Suponiendo que se proporciona una fórmula para que sea el criterio de una función, y
se pide determinar posibles opciones para su dominio, se tienen muchas formas de responder.
f (x) =
Por ejemplo, para el caso de la fórmula
3
,
x−5
se puede asignar como dominio
{1, 3, 6}, ]−∞, 4] o ]8, 12]; sin embargo, el mayor subconjunto de R que puede
como dominio de f (para que en efecto, sea una función) es R − {5} (observe que x
el conjunto
elegirse
no puede tomar el valor de 5, porque se indeniría la expresión). En este caso, se dice que
Df = R − {5}
es el dominio máximo de la función
f.
Denición 3.8: Dominio máximo
Se llama
dominio máximo de una función, al mayor subconjunto de R que se puede
asignar como dominio a una determinada relación, para que sea función.
Importante:
Cuando en una función no se haga explícito su dominio, se debe asumir que se trata
del dominio máximo.
En los siguientes ejemplos se muestra cómo determinar el dominio máximo de una función, dado su criterio. Primero, en el caso de una función cuyo criterio es un polinomio.
Ejemplo 3.13
Determine el dominio máximo de la función
f,
con criterio
f (x) = 3x4 − 6x + 1.
Solución:
Como
f (x)
es un polinomio, la variable
x
puede tomar cualquier valor real.
∴ Df = R
Cuando el criterio es una expresión fraccionaria, es importante considerar que el denominador debe ser diferente de cero.
221
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.14
Determine el dominio máximo de la función
p
con criterio
p(x) =
x(x + 6)
.
(x − 4)(x + 6)
Solución:
p(x) debe ser diferente
(x − 4)(x + 6) = 0 ⇔ x = 4
El denominador de
de cero.
Observe que
o
x = −6
∴ Dp = R − {−6, 4}
Ejemplo 3.15
Determine el dominio máximo de las funciones
q(x) =
x2 − 4
−2x3 − 7x2 + 14x − 5
y
h(x) =
g, q
5x + 3
1− | x |
y
h
con criterio
g(x) =
4
,
x2 − 3
respectivamente.
Solución:
g(x) debe ser
√ diferente
√ de cero.
√
x − 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x − 3) = 0 ⇔ x = ± 3.
El denominador de
2
Note que
√ √
∴ Dg = R − − 3, 3
El denominador de
q(x)
debe ser diferente de cero.
−2x3 − 7x2 + 14x − 5 = 0 ⇔ (x + 5)(−2x + 1)(x − 1) = 0
1
⇔ x = −5 o x =
o x = 1.
2
1
∴ Dq = R − −5, , 1
2
Note que
h(x) debe ser diferente de cero.
1− | x |= 0 ⇔ | x |= 1 ⇔ x = ±1
El denominador de
Observe que
∴ Dh = R − {−1, 1}
Si el criterio de la función contiene radicales de índice par, se deben tener consideraciones
con el subradical, como se observa en el siguiente ejemplo:
222
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.16
Determine el dominio máximo de las funciones
5x + 6
j(x) = √
4
2x − 3
i
y
j
con criterio
i(x) =
√
−5x + 1
y
respectivamente.
Solución:
El subradical de
Observe que
debe ser no negativo, ya que el índice de la raíz es par.
−5x + 1 ≥ 0 ⇔ −5 x ≥ −1 ⇔ x ≤
1
∴ Di = −∞,
5
La expresión
i(x)
1
5
.
2x − 3
debe ser estrictamente mayor que cero, puesto que el índice
de la raíz es par, y el denominador no puede ser cero.
Note que
2x − 3 > 0 ⇔ 2x > 3 ⇔ x >
3
2
3
∴ Dj = , +∞
2
A continuación se presentan otras funciones cuyo criterio tiene un radical de índice impar.
Ejemplo 3.17
Determine el dominio máximo de las funciones
r
l(x) =
5
x+3
x−2
k
y
l
con criterio
k(x) =
√
3
x3 + 5
y
respectivamente.
Solución:
A diferencia de la función
i,
el índice de la raíz es impar, lo cual no atribuye al
subradical una restricción en particular, dado que la variable
x3 + 5 puede tomar cualquier valor real.
x
en la expresión
∴ Dk = R
Al igual que la función
k,
la raíz tiene índice impar, pero el denominador del
subradical no puede ser cero. Observe que
∴ Dl = R − {2}
223
x − 2 = 0 ⇔ x = 2.
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 3.9: Funciones iguales
Dos funciones
f
y
g
son
iguales si se cumplen las siguientes condiciones a la vez:
Tienen el mismo dominio
D.
Tienen el mismo codominio.
f (x) = g(x)
para todos los valores de
x
que pertenecen a
D.
Observe el siguiente ejemplo que se relaciona con la denición anterior, y del cual se
desprende una conclusión muy importante.
Ejemplo 3.18
Sean
m: A → R
n(x) =
x+2
.
x (x − 1)
como dominio de
n: B → R
y
¾Cuál es el mayor subconjunto
m
n
y
m(x) =
dos relaciones donde
A
y
B
de
R
x−1
3
1−
x+2
y
que se puede asignar
respectivamente, de modo que cada una de las relaciones sea
una función?
Solución:
Se procede de modo análogo a los ejemplos anteriores.
En el caso de
m,
los diferentes denominadores que se presentan en la expresión,
deben ser distintos de cero. Se debe considerar que:
ˆ x=0
es el valor donde se indene
x−1 ,
ya que
x−1 =
1
x
ˆ x + 2 = 0 ⇔ x = −2
3
3
ˆ 1−
=0⇔
=1⇔3=x+2⇔x=1
x+2
x+2
x no puede
A = R − {−2, 0, 1}.
Dado que la variable
buscado es
En el caso de
n
sea diferente de
se requiere que
0.
tomar esos valores, se tiene que el conjunto
x 6= 0
y
x 6= 1,
para que el denominador de
Por lo tanto, el conjunto buscado es
224
B = R − {0, 1}.
n(x)
Precálculo
MATEM-UCR
Del ejemplo anterior se pueden denir dos funciones
y
n
del siguiente modo:
x−1
m(x) =
3
1−
x+2
m: R − {−2, 0, 1} → R
con
n: R − {0, 1} → R
n(x) =
con
m
x+2
x(x − 1)
Observe que:
1. Dichas funciones son diferentes, puesto que no tienen el mismo dominio.
2. Se cumple que:
1
x+2
x
= x =
3
x−1
x(x − 1)
1−
x+2
x+2
−1
Es decir
m(x) = n(x),
solamente
para valores de
x
que pertenecen a
R − {−2, 0, 1}
(que es el conjunto donde ambas relaciones son funciones a la vez).
m sería incorrecto simplicar su criterio,
n, y no el buscado.
3. Para determinar el dominio máximo de la función
puesto que se obtendría el dominio máximo de
En conclusión, es importante recordar lo siguiente:
Nota:
A la hora de determinar el dominio máximo de una función, no se debe simplicar ni
modicar el criterio dado.
Considere nalmente el siguiente ejercicio que involucra radicales y denominadores, donde
se aprecia la importancia de no modicar el criterio dado.
225
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.19
Determine el dominio máximo de las funciones
r
1.
q(x) =
2x − 1
4x − 3
2.
q
y
r,
cuyo criterio se proporciona:
√
2x − 1
r(x) = √
4x − 3
Solución:
1. El subradical debe ser no negativo, ya que el índice de la raíz es par, es decir:
2x − 1
≥0
4x − 3
1
2
−∞
2x − 1
4x − 3
2x − 1
4x − 3
3
4
+∞
−
−
+
−
+
+
+
−
+
1
3
∴ Dq = −∞,
∪ , +∞
2
4
2. En este caso, el subradical ubicado en el numerador debe ser no negativo, y el
subradical del denominador debe ser estrictamente positivo, es decir,
2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
1
2
4x − 3 > 0 ⇔ x >
3
4
1
3
3
∴ Dr = , +∞ ∩ , +∞ = , +∞
2
4
4
Ejercicio 68
1.
]−∞, 3]
2.
Escriba un criterio de una función con dominio máximo:
R−
1
, −5
2
5.
R − {0}
10.
[3, 15[
6.
R+
11.
7.
R−
12.
]−∞, 4[
√
2, +∞
3.
R − {1, 2, 3}
8.
R − {0, 1, 2, 3}
13.
]−∞, 3[ ∪ [10, +∞[
4.
[π, +∞[
9.
]−∞, −6] ∪ ]5, +∞[
14.
]−7, −2]
226
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 69
Dados los siguientes criterios de funciones, determine el dominio máximo.
1.
x+3
f (x) =
8x − 5
2.
d(x) =
3.
4.
5.
x+6
x2 − 5
d(x) =
R/
x+1
−x2 + 3
R/
√
−x + 4
R/
1
R/
,7
2
1
R/
,7
2
R/
2
, +∞
3
3x − 2
x+1
R/
√
x−2
g(x) = 2
x −x−6
h(x) =
]−∞, 4]
√
3x − 2
b(x) = √
x+1
f (x) =
R
√ √ − 3, 3
√
2x − 1
b(x) = √
−x + 7
r
2x − 1
f (x) =
−x + 7
r
14.
[−3, +∞[ − {5}
√
7x − 2
8.
13.
R/
3
R − − ,0
5
4
R/ −∞,
7
17
k(x) = √
12.
R/
√
x+3
f (x) =
(x − 5)(x + 5)
7.
11.
√ √
R − − 5, 5
x−5
l(x) = √
4 − 7x
d(x) =
10.
R/
1
x
d(x) = √
5
5x + 3
6.
9.
R/
5
R−
8
2
]−∞, −1[ ∪ , +∞
3
R/
x+1
x2 − x
+
x2 − x
x+1
R/
227
[2, +∞[ − {3}
R − {−1, 0, 1}
Precálculo
MATEM-UCR
3.3. Gráca
gráco de una función f (denotado por Gf ) como el conjunto
de los pares ordenados (a, b) donde f (a) = b. A continuación se dene el concepto de gráca
Anteriormente se denió el
de una función:
Denición 3.10: Gráca
La representación en el plano cartesiano de los puntos del conjunto
gráca de la función f .
Gf
se llama la
En el siguiente ejemplo se solicita el gráco y la gráca de una función que tiene como
dominio un conjunto con cuatro elementos.
Ejemplo 3.20
Considere la función
g:
gráco y la gráca de
g.
√
5
− , −2, 0, 2 → Q
2
tal que
g(x) = x2 − 2.
Determine el
Solución:
En la siguiente tabla aparece la imagen de
los valores del dominio:
g(x) = x2 − 2
x
5
2
17
4
−2
2
0
√
2
−2
−
El gráco de
Gg =
g
0
es:
−5 17
,
2 4
√
, (−2, 2), (0, −2), ( 2, 0)
228
La gráca de
g
es:
Precálculo
MATEM-UCR
A continuación se presentan algunos ejemplos de grácas de funciones cuyo dominio tiene
una innita cantidad de elementos.
Ejemplo 3.21
Trace la gráca de la función
g: R → R
tal que
g(x) = x.
Solución:
La gráca de
ción
y=x
g
corresponde a la recta de ecua-
(estudiada en el capítulo de Geometría
Analítica), ya que los elementos del gráco son de
la forma
(x, g(x)) = (x, x),
donde
x
puede tomar
cualquier valor real (de acuerdo con el dominio de
la función
g ).
Esta función recibe el nombre de
función identidad, porque a cada valor de x se
le hace corresponder él mismo.
Ejemplo 3.22
Trace la gráca de la función
h: R → R
tal que
h(x) = 5.
Solución:
x
Se observa que a todos los valores reales
se les
5, es decir, los elemenforma (x, 5), por lo que su
asigna por imagen el número
tos del gráco son de la
gráca corresponde a una recta horizontal.
En general, cualquier función
h(x) = b,
con
b ∈ R,
h: R → R
recibe el nombre de
tal que
función
constante y su gráca es una recta horizontal que
contiene al punto
(0, b),
como se muestra en la -
gura de la derecha.
229
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.23
Trace la gráca de la función
f: R → R
tal que
f (x) = x2 .
Solución:
La gráca de
f
corresponde a la parábola de ecuación
y = x2
(que también se estudió en el capítulo de Geometría Analítica), puesto que los elementos del gráco tienen la forma
(x, f (x)) = (x, x2 ), donde x puede tomar cualquier valor real
(de acuerdo con el dominio de la función
recibe el nombre de
f ).
Esta función
función cuadrática básica.
En el siguiente ejemplo se aprecia cómo la gráca de una función depende de su dominio.
Ejemplo 3.24
Trace la gráca de cada una de las siguientes funciones:
• f : R − {1} → R,
con
• h: ]−1, +∞[ → R,
f (x) = x2
con
• g : [−1, +∞[ → R,
h(x) = x2
• i: [1, 2] → R,
con
con
g(x) = x2
i(x) = x2
Solución:
Las grácas se basan en la curva
y = x2 ,
pero se debe tomar en consideración el
dominio de cada una de las funciones, es decir, los puntos
cada caso, son solamente los que tienen el valor de
a Se
x
(x, y)
que se representan en
a
en el dominio de la función.
utiliza la notación de circunferencia sin relleno cuando se quiere hacer notar que un punto
no es parte de la gráca, como por ejemplo el
(1, 1)
230
en la gráca de
f
y el
(−1, 1)
en la de
h.
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.1. Imágenes y preimágenes
En los ejermplos anteriores se observa que cada uno de los puntos de la gráca de una
función
f,
f
tiene la forma
(x, y),
donde
es decir, los puntos de la gráca de
x es un elemento del dominio
f tienen la forma (x, f (x)).
y
y
es su imagen bajo
Importante:
Para cualquier punto
(x, y)
de la gráca de una función
(x
.
de y
f,
se tiene lo siguiente:
, y)
• x es una preimagen
(x podría ser única o no,
para un determinado y ).
• x es un elemento del
&
• y es la imagen de x, es decir
y = f (x) (y es un valor único,
para un determinado x).
• y es un elemento del
dominio de la función.
ámbito de la función.
Ejemplo 3.25
Con base en la gráca de la función
s
que se presenta a la derecha, determine:
a) La imagen de
3.
b) Las preimágenes de
3.
c) La cantidad de preimágenes de
2.
Solución:
a) La imagen de
(3, y),
3
y
(3, 2).
corresponde al valor de
que en este caso es el punto
del punto de la gráca que tiene la forma
Por lo tanto,
s(3) = 2.
3 corresponden a los valores de x de los puntos de la gráca que
(x, 3). En este ejercicio se tienen dos puntos con esa característica:
(2, 3), por lo tanto, las preimágenes de 3 son −3 y 2.
b) Las preimágenes de
tienen la forma
(−3, 3)
y
c) Solamente hay tres puntos de la forma
y
(3, 2),
por lo tanto
2
(x, 2)
presentes en la gráca:
tiene tres preimágenes.
231
(−2, 2), (0, 2)
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.26
Considere la gráca de la función
r
y responda lo que se solicita.
√
a) La imagen de
b) La imagen de
2.
1.
3.
c) Las preimágenes de
1
.
2
d) La cantidad de preimágenes de
−3.
e) Las preimágenes de
f ) Puntos de intersección con los ejes.
g) La imagen de
−2
y de
0.
Solución:
√
a) La imagen de
forma
√
( 2, y),
2
y del punto de la√gráca que
√
A( 2, −3), por lo tanto r( 2) = −3.
corresponde al valor de
que en este caso es
b) De manera análoga se identica que el único punto de la forma
es
B(1, −3),
por lo tanto
c) Las preimágenes de
d)
3
(1, y)
tiene la
en la gráca
r(1) = −3.
corresponden a los valores de
x
de los puntos de la forma
(x, 3). En este caso, solamente el punto C(−3, 3) cumple esa condición, por lo tanto
3 tiene solo una preimagen: −3.
1
, a pesar de que no
Se observa que hay dos puntos en la gráca de la forma
x,
2
1
puedan ser identicados completamente por falta de información, por lo tanto,
2
tiene dos preimágenes.
e) En la gráca se presenta una cantidad innita de puntos de la forma
lo cual no pueden mencionarse una a una las preimágenes de
puede decir que las primágenes de
f ) El punto de intersección con el eje
g) Por la parte anterior se sabe que
−3
X
son los valores de
es
D(−2, 0)
s(−2) = 0
232
y
x
Y
es
(x, −3),
por
sin embargo se
tales que
y con el eje
s(0) = 2.
−3,
x ∈ [1 , 2[.
E(0, 2).
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 70
A continuación se muestra la gráca de la función
u.
Complete las siguientes tablas de acuerdo con la información que brinda la gráca anterior,
y sabiendo que
u(x) =
2x − 7
x−4
x > 4.
Tabla #3
Tabla #1
Preimagen
Imagen
−2
−2
1
2
π
1
Tabla #2
Eje
si
Puntos de
Imagen
Cantidad de
preimágenes
5
1
0, 5
−1
−1,3
−2
Tabla #4
Preimagen
Imagen
4, 001000
4, 000100
4, 000010
4, 000001
Tabla #5
Preimagen
14
−
5
Aproximación
de imagen
(5 decimales)
100
1000
10000
100000
intersección
X
Y
233
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.2. Asíntotas
Con el n de tener una idea general de lo que son las asíntotas verticales y horizontales,
considere las siguientes observaciones con respecto al ejercicio anterior:
En la tabla #4 se solicitó la imagen de valores mayores que
4,
pero cada vez más
cercanos a él (4, 001000,
que se obtienen
4, 000100, 4, 000010 y 4, 000001). Observe que
(1002, 10002, 100002 y 1000002) son cada vez mayores.
las imágenes
Si se pudiera confeccionar una tabla con innita cantidad de las, en la cual se vayan
tomando preimágenes mayores que
4,
pero que estén aún más cerca de él, se notaría
que las imágenes siguen el mismo comportamiento sin n: son cada vez mayores que
las previas.
En la gráca de la función
u
se pue-
de notar dicho comportamiento (con
preimágenes mayores que
4
y muy
cercanas a él), puesto que la gráca se
va acercando cada vez más a la recta
punteada de ecuación
x = 4,
sin lle-
gar a cortarla. Dicha recta recibe el
nombre de
asíntota vertical.
En la tabla #5 se solicitó la imagen de valores cada vez mayores (100,
100000). Observe que las imágenes que
2, 00001) son cada vez más cercanas a 2.
y
se obtienen
1000, 10000
(2, 01042, 2, 00100, 2, 00010 y
Nuevamente se podría pensar en una tabla con innita cantidad de las, en la cual se
vayan tomando preimágenes cada vez mayores a la anterior. En ese caso, se notaría
que las imágenes siguen el mismo comportamiento: se van acercando cada vez más a
2.
En la gráca de la función
u se puede
notar dicho comportamiento (considerando preimágenes cada vez mayores), puesto que la gráca se va acercando cada vez más a la recta punteada de ecuación
y = 2,
sin llegar a
cortarla. Dicha recta recibe el nombre de
asíntota horizontal.
234
Precálculo
MATEM-UCR
También puede darse el caso de una asíntota vertical donde las preimágenes tomadas
sean menores que un cierto número, pero cada vez más cercano a él, o una asíntota
horizontal donde las preimágenes que se consideran son cada vez menores, sin n.
Ejercicio 71
A continuación se presenta la gráca de la función
p.
Coloree las asíntotas
verticales y horizontales presentes en la gráca, y determine su ecuación.
3.3.3. Dominio y ámbito
Como se estudió anteriormente, la gráca de una función
de la forma
(x, y)
donde
x
es un elemento del dominio y
y
f
está compuesta por puntos
un elemento del ámbito.
Si solamente se cuenta con la gráca de la función para determinar su dominio y ámbito,
se puede proceder del siguiente modo:
Se toma en consideración solamente los puntos
(x, y)
que son parte de la gráca.
En el caso del dominio, se analiza la gráca de izquierda a derecha, identicando los
valores de
x
correspondientes a dichos puntos.
En el caso del ámbito, se analiza la gráca de abajo hacia arriba, identicando los
valores de
y
correspondientes a dichos puntos.
235
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.27
A continuación se presenta la gráca de una función
s:
Con base en la gura anterior, determine el dominio y el ámbito de
s.
Solución
s corresponde al conjunto de valores de x,
de valores de y , de los puntos (x, y) que forman parte
Ds = {−3, −2, 0, 1, 2, 3} y As = {1, 2, 3}.
El dominio de
y el ámbito de
s
al conjunto
de la gráca, por lo tanto,
Ejemplo 3.28
A continuación se presenta la gráca de las funciones
ryj
respectivamente. Determine
el dominio y el ámbito de ambas.
Solución:
Dr = ]−∞, 2[
Dj = [−1, +∞[
Ar = {−3} ∪ [−1, +∞[
Aj = [−1, 1[ ∪ [2, 3]
236
Precálculo
Ejercicio 72
MATEM-UCR
A continuación se muestra la gráca de algunas funciones. Para cada una de
ellas, determine el dominio y el ámbito.
237
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.4. Máximo y mínimo
A continuación se denen dos conceptos de gran utilidad en la resolución de problemas:
Denición 3.11: Máximo y mínimo
máximo de una función (si existe) es el mayor valor del ámbito,
mínimo de una función (si existe) es el menor valor del ámbito.
El
mientras que el
Si una determinada función tiene un máximo, un mínimo, o ambos, se dice que éstos se
alcanzan en su(s) preimagen(es).
Ejemplo 3.29
Considere las funciones
f: R → R
f , g, h
e
i
cuya gráca se muestra a continuación:
g : [2, 3[ → R
h: R → R
i: [−2, 2] → R
Determine el ámbito de cada una de ellas y los valores máximo y mínimo (si existen).
Solución:
En la siguiente tabla se presenta la información solicitada:
Función Ámbito Máximo Mínimo
Se dice que
f
−2
]−∞, 2]
2
No existe
g
[1, 4[
No existe
1
h
R
No existe
No existe
i
[−1, 3]
3
−1
alcanza el máximo en
alcanza el mínimo en
máximo en
f
y
2,
2, h
0,
que es la preimagen de
2.
Análogamente,
no alcanza ni máximo ni mínimo, y la función
mientras que alcanza el mínimo en
238
−1
y
1.
i
g
alcanza el
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.5. Inecuaciones
f también se puede determinar el conjunto solución de inecuaciones de la forma f (x) < m, f (x) > m o n < f (x) < m, con n, m ∈ R
(también inecuaciones con los símbolos ≤ o ≥).
Con ayuda de la gráca de una función
Para determinar el conjunto solución de una inecuación de la forma
se deben observar los puntos
conjunto de los valores
(x, y)
f (x) < m, con m ∈ R,
y < m, y escribir el
de la gráca donde se cumple que
x de dichos puntos. De manera análoga se procede con los otros tipos
de inecuaciones.
Ejemplo 3.30
A continuación se presenta la gráca de
una función
Con base en la gráca, determine el
s:
conjunto solución de las inecuaciones:
a)
s(x) < 3.
b)
s(x) > 2.
c)
1 < s(x) ≤ 3.
d)
s(x) > 0.
e)
s(x) < 0.
Solución
a) Para resolver la inecuación
y
F,
s(x) < 3
se consideran solamente los puntos
puesto que para ellos se cumple que
puntos es
−2, 0, 1
y
3
b) Análogamente, para resolver la inecuación
puntos
A
y
E,
y < 3.
porque para ellos se cumple
x de cada
S = {−2, 0, 1, 3}.
El valor
respectivamente, por lo tanto
D,
por lo tanto
uno de esos
s(x) > 2, se consideran solamente los
que y > 2, por lo tanto S = {−3, 2}.
c) En este caso se deben tomar en cuenta los puntos donde
excepto
B, C , D
1 < y ≤ 3,
es decir, todos
S = {−3, −2, 0, 2, 3}.
y > 0, o lo que es lo mismo, todos
X . Debido a esto, el conjunto solución
S = {−3, −2, 0, 1, 2, 3}.
d) Para todos los puntos de la gráca se tiene que
los puntos se presentan por encima del eje
de la inecuación
s(x) > 0
corresponde a
y < 0, o lo que es lo mismo, que se presenten
S = ∅.
e) Como la gráca no posee puntos donde
por debajo del eje
X,
se tiene que
239
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.31
Considere la
gráca de la función
r.
Determine el conjunto solución de:
a)
r(x) < 0
c)
r(x) ≤ −1
b)
r(x) ≥ 0
d)
−1 < r(x) ≤ 3
Solución:
En la segunda columna de la siguiente tabla se
muestra la parte de la gráca que debe ser considerada, dependiendo de cada inecuación, y en la
tercera se presenta el conjunto solución, es decir, el
conjunto de los valores
Inecuación
x
Parte de la gráca que corresponde
que corresponden.
Conjunto solución
r(x) < 0
S = ]−2, 0[ ∪ [1, 2[
r(x) ≥ 0
S = ]−∞, −2] ∪ [0, 1[
r(x) ≤ −1
S = {−1} ∪ [1, 2[
−1 < r(x) ≤ 3
S = [−3, 1[ − {−1}
240
Precálculo
Ejercicio 73
MATEM-UCR
Considere la gráca de la función
Con base en la gráca anterior y sabiendo que
u.
u(x) =
solución de las siguientes inecuaciones:
2x − 7
x−4
si
x > 4, determine el conjunto
1.
u(x) < 0
R/
]−∞, −2[ ∪ ]−1, 1[
2.
u(x) > 0
R/
]−2, −1[ ∪ [2, +∞[
3.
u(x) ≥ 0
4.
u(x) ≤ 2
5.
u(x) > 2
6.
u(x) ≤ 1
7.
u(x) ≥ 3
8.
0 < u(x) ≤ 1
9.
1 < u(x) < 2
10.
1 ≤ u(x) ≤ 2
R/
R/
[−2, −1[ ∪ {1} ∪ [2, +∞[
]−∞, −1[ ∪ ]−1, 1] ∪ [2, 4]
R/
R/
]4, +∞[
]−∞, −1[ ∪ ]−1, 1] ∪ {4}
R/
R/
]4, 5]
]−2, −1[ ∪ {4}
R/
R/
241
∅
[2, 4]
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.6. Monotonía
A continuación se denen cinco conceptos importantes: función estrictamente creciente,
estrictamente decreciente, creciente, decreciente y constante.
f : Df → R
Considere una función
y un intervalo
I
subconjunto de su dominio.
Denición 3.12: Función estrictamente creciente
Se dice que una función
f
es
estrictamente
creciente en I , si para cualesquiera valores
x1
I de modo que x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) < f (x2 ), es decir, si se observa
y
x2
en
que entre mayor es el valor de la preimagen,
mayor es el valor de la imagen correspondiente.
Denición 3.13: Función estrictamente decreciente
Se dice que una función
te decreciente
valores
x1
y
x2
se cumple que
f
es
estrictamen-
I , si para cualesquiera
I de modo que x1 < x2 ,
f (x1 ) > f (x2 ), es decir, si
en
en
se observa que entre mayor es el valor de la
preimagen, menor es el valor de la imagen
correspondiente.
242
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 3.14: Función creciente
Se dice que una función
modo que
f
es
creciente en I , si para cualesquiera valores x1 y x2 en I de
x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) ≤ f (x2 ), es decir, si se observa que entre mayor
es el valor de la preimagen, mayor es el valor de la imagen correspondiente, o bien, son
imágenes iguales.
Denición 3.15: Función decreciente
decreciente en I , si para cualesquiera valores x1 y x2 en
Se dice que una función
f
I
se cumple que
de modo que
x1 < x 2 ,
es
f (x1 ) ≥ f (x2 ),
es decir, si se observa que entre
mayor es el valor de la preimagen, menor es el valor de la imagen correspondiente, o
bien, son imágenes iguales.
243
Precálculo
MATEM-UCR
Denición 3.16: Función constante
Se dice que una función
I,
f
es
constante en
si para cualesquiera valores
se cumple que
x1
y
x2
en
I
f (x1 ) = f (x2 ).
De las deniciones anteriores se tiene que toda función estrictamente creciente en un in-
I , es también creciente en ese intervalo, pues como f (x1 ) < f (x2 ), se está cumpliendo
f (x1 ) ≤ f (x2 ); pero no es válido al revés, es decir, no toda función creciente en I es
tervalo
que
estrictamente creciente en ese intervalo.
Función creciente y
estrictamente creciente
Función creciente pero
no estrictamente creciente
De modo análogo, toda función estrictamente decreciente en
en ese intervalo, pero no toda función decreciente en
I
I
es también decreciente
es estrictamente decreciente en ese
intervalo.
Función decreciente y
estrictamente decreciente
Función decreciente pero
no estrictamente decreciente
244
Precálculo
MATEM-UCR
Nota:
intervalos de monotonía de una función,
todos los valores de x donde se
cumple que la función es estrictamente creciente, estrictamente decreciente o
constante.
Cuando en un ejercicio se soliciten los
se hace referencia a los intervalos compuestos por
En los siguientes ejemplos se brinda la gráca de una función para determinar intervalos
donde es estrictamente creciente, estrictamente decreciente, creciente, decreciente o constante.
Ejemplo 3.32
A continuación se presenta la gráca de la función
v.
Determine:
a) Los intervalos de monotonía.
b) Un intervalo donde
v es de-
creciente.
c) El mayor intervalo donde
v
es creciente.
Solución:
a) Considerando la nota anterior, se tiene que:
Es estrictamente creciente en
Es constante en
]−∞, −1].
[−1, 1[.
Es estrictamente decreciente en
]2, +∞[.
v es decreciente, se puede brindar
]2, +∞[, como por ejemplo: [4, 10[.
b) Como se requiere solamente un intervalo donde
como respuesta cualquier subconjunto de
c) El mayor intervalo donde
v
es creciente es
]−∞, 1[.
En este caso, sería incorrecto responder un subconjunto de éste.
245
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.33
A continuación se presenta la gráca de las funciones
f, g
y
h
respectivamente.
Determine los intervalos donde cada una de ellas es estrictamente creciente.
Solución:
f
es estrictamente creciente en
[−1, 1[ y [1, 2], sin embargo, es posible brindar
la respuesta con un solo intervalo: I = [−1, 2], porque se sigue cumpliendo la
denición: para cualesquiera x1 y x2 en I de modo que x1 < x2 , se cumple que
f (x1 ) < f (x2 ).
g
es estrictamente creciente en
[−1, 0]
y
]0, 1[,
pero a diferencia de la función
f,
no se pueden unir los intervalos porque no se cumpliría la denición. Observe que
x1 ∈ [−1, 0]
f (x1 ) > f (x2 ).
podría tomarse
tendría que
h
y
x2 ∈ ]0, 1[
es estrictamente creciente en
[−1, 1[
y
(es decir
[3, 4],
x1 < x2 ),
pero en ese caso se
pero tampoco pueden unirse los
intervalos por el mismo motivo observado en el caso de la función
g.
Finalmente, los intervalos donde cada una de las funciones es estrictamente creciente,
se presentan en la siguiente tabla:
Función
[−1, 2]
f
Función
[−1, 0]
y
g
]0, 1[
246
Función
[−1, 1[
y
h
[3, 4]
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 74
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:
a) Determine los intervalos donde las funciones
f, g
y
h
del ejemplo anterior, son estricta-
mente decrecientes y los intervalos donde son constantes.
b) Considere la gráca de la función
u
y
k
respectivamente. Determine los intervalos de
monotonía.
c) Construya la gráca de una función
]8, 11[,
]5, 8].
y
f
estrictamente decreciente en
que sea estrictamente creciente en
]−2, 0[, ]2, 5[
y
]11, 13[,
]−6, −2], ]0, 2]
]−∞, −6] y
y constante en
Respuestas
Función Estrictamente creciente
Estrictamente decreciente
Constante
f
Resuelto antes
No hay
[2, +∞[
g
Resuelto antes
]−∞, −1[
[1, 2[
h
Resuelto antes
No hay
]1, 3[
u
]−∞, −1[ y [0, 1]
3
− , 0 , [1, 2[ y [2, +∞[
2
]−1, 0]
k
]4, +∞[
3
]−5, −3[, −3, −
2
247
[2, 4[
y
y
[0, 1]
No hay
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.7. Ejercicios
En esta sección se pretende aplicar los conceptos estudiados anteriormente sobre imágenes
y preimágenes, puntos de intersección con los ejes, asíntotas, dominio y ámbito, máximo y
mínimo, inecuaciones y monotonía, a partir de la gráca de una función.
Ejercicio 75
A continuación se presentan las grácas de varias funciones. Con base en
ellas, conteste lo que se solicita:
Gráca #1: Función f
f
a) El dominio de
b) El ámbito de
f
es
es
−2
c) La imagen de
.
d) La preimagen de
.
es
3
.
.
es
e) La cantidad de intersecciones con el eje
X
es
.
f)
f (x) < 1
si
x
pertenece al conjunto
.
g)
f (x) ≥ 1
si
x
pertenece al conjunto
.
h)
f
es estrictamente decreciente en
.
i) ¾Existe un valor mínimo o máximo de
f?
.
Gráca #2: Función g
g
a) El dominio de
b) El ámbito de
c) La imagen de
g
es
.
es
π
.
es
d) La preimagen de
2
.
es
.
e) El punto de intersección con los ejes es
f ) El conjunto de todos los valores de
2 < g(x) ≤ 3
x
.
que cumplen
es
g) El conjunto solución de
.
−1 < g (x) ≤ 2
es
.
h) El valor mínimo es
.
i) El valor máximo es
.
248
Precálculo
MATEM-UCR
Gráca #3: Función h
h
a) El dominio de
b) El ámbito de
h
es
es
−2
c) La imagen de
.
es
.
−2
d) La preimagen de
e) El valor de
.
es
.
h(−1) − h(2)
es
.
f)
h(x) ≤ 0
si
x
pertenece al conjunto
.
g)
h(x) > 0
si
x
pertenece al conjunto
.
h)
h
es estrictamente creciente en
.
Gráca #4: Función i
a) El dominio de
b) El ámbito de
i
i
es
.
es
c) La preimagen de
.
4
.
es
d)
i(x) < 0
si
x
pertenece al conjunto
.
e)
i(x) > 0
si
x
pertenece al conjunto
.
f)
i(x) > 1
si
x
pertenece al conjunto
.
g)
i(x) ≥ 1
si
x
pertenece al conjunto
.
h)
i
es estrictamente decreciente en
.
Gráca #5: Función j
a) El dominio de
b) El ámbito de
j
j
es
.
es
c) Las preimágenes de
.
0
son
.
d) El punto de intersección con el eje
Y
es
e) El conjunto de todos los valores de
x
que cumplen
j(x) = 1
249
.
es
f ) El conjunto solución de
.
j(x) < 0
es
.
Precálculo
MATEM-UCR
Gráca #6: Función k
k
a) El dominio de
b) El ámbito de
c) La imagen de
k
2
es
.
es
.
es
.
d) La cantidad de preimágenes de
e) El valor de
−
3
k −
+ k(2) · k(1)
2
1
2
es
.
es
.
f ) La ecuación de la asíntota vertical es
.
g) La ecuación de la asíntota horizontal es
.
h) El valor mínimo de
k
es
i) ¾Existe un valor máximo de
.
k?
.
250
Precálculo
MATEM-UCR
Gráca #7: Función l
a) El dominio de
b) El ámbito de
c) El valor de
l
l
es
.
es
l(3)
.
es
d) Las preimágenes de
.
2
son
.
e) El punto de intersección con el eje
f ) El conjunto solución de
l(x) > 0
es
Y
es
.
.
Gráca #8: Función m
a) El dominio de
b) El ámbito de
c) La imagen de
m
m
es
.
es
−2
.
es
d) La cantidad de preimágenes de
.
1
es
.
e) La ecuación de la asíntota vertical es
.
f ) La ecuación de la asíntota horizontal es
.
g)
m
es estrictamente creciente en
.
251
Precálculo
MATEM-UCR
Gráca #9: Función n
a) El dominio de
b) El ámbito de
n
n
es
.
es
.
c) La cantidad de preimágenes de
−6
.
es
d) Los puntos de intersección con el eje
X
son
.
e) El conjunto solución de
n(x) > 2
es
.
f ) El conjunto solución de
n(x) ≤ 0
es
.
g) El conjunto solución de
0 ≤ n(x) < 2
es
.
h)
n
es estrictamente creciente en
.
i)
n
es estrictamente decreciente en
.
252
Precálculo
MATEM-UCR
Gráca #10: Función p
La función
p(x) =
p tiene el siguiente criterio:

2x + 7

si x < −3



x+3




−2
si x = −3

x2 + 2x − 1 si x ∈ ]−3, 1] − {−1}




2


 −x + 5x − 6 si x > 1
2
a) El dominio de
b) El ámbito de
c) El valor de
p
p
es
.
.
es
p(−6) + p(−3)
es
.
d) La cantidad de preimágenes de -1 es
e) El punto de intersección con el eje
f ) El punto
A
en el cual la gráca de
Y
p
.
es
.
interseca al eje
X
es
.
g) La ecuación de la asíntota vertical es
.
h) La ecuación de la asíntota horizontal es
.
i)
p
es estrictamente decreciente en
.
253
Precálculo
MATEM-UCR
Respuestas:
Gr
a)
b)
c)
d)
e)
#1
]−1, +∞[
[−1, 1[ ∪ [2, 3]
[−2, 4[
[−1, 4]
2
1
−3
]2, 4[
#5
]−4, −3] ∪ ]−2, 3]
(0, 2)
{−1} ∪ [1, 3]
#6
]−5, +∞[ − {−3}
1
cuatro
−
#7
0
−1
−2
#9
{−2, 0, 1, 3}
R − {3}
]−∞, 5] − {0, 3}
]−2, 2]
5
− , +∞
4
{0, 2, 3}
]−∞, 2]
]−∞, 5] − {2}
1
3
0
−2
7
−
2
dos
#4
[−2, +∞[
[−1, +∞[
[−3, 3[
[−2, 4]
una
(−2, 0)
#10
R − {−1}
]−∞, 2]
Gr
f)
g)
h)
i)
#1
]−2, 1[
]1, +∞[
[−3, −2] ∪ {2}
[−2, −1[
3
7
− , −3 ∪ −2, −
2
2
{−2} ∪ [1, +∞[
]−1, 1]
]−2, 3[ − {2}
[−2, −1] ∪ {1}
[−2, 0]
no
-1
3
#6
x = −5
y=2
−
#7
{−2, 0, 1}
y=1
[−2, −1[ ∪ {1} ∪ ]3, 5]
[0, 2]
]−∞, −2] ∪ [−1, 0[
∪ [1, 2[ ∪ ]2, 3[
x = −3
[−1, 0[, ]0, 1[
y [1, 2]
y=2
#2
#3
#8
#2
#3
#4
#5
#8
#9
#10
√
− 2 − 1, 0
−
y
−
3
2
9
4
(0, 2)
x = −2
]0, 1[ ∪ {2}
0
tres
1
3
254
y
(0, 0)
2
[−2, 2[ − {0}
y
(1, 0)
(0, −1)
cuatro
[−3, −1] y [2, 3[
[−2, 0] ∪ [1, 3]
5
4
no
]−∞, −1[, [2, 3[
y ]3, 5]
]−∞,
−3[,]−3, −1[
5
y
, +∞
2
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.8. Transformaciones de grácas
2
Anteriormente se mencionó que la parábola y = x puede ser estudiada como la función
f : R → R tal que f (x) = x2 , por ende, las transformaciones del capítulo de Geometría
Analítica pueden aplicarse a la gráca de la función antes mencionada.
De hecho, las transformaciones pueden ser utilizadas en el caso de muchas funciones, lo
cual permite simplicar el proceso de gracación.
Los tipos de transformaciones que se presentan en esta sección se denominan:
Traslación vertical (hacia arriba y hacia abajo).
Traslación horizontal (hacia la izquierda y hacia la derecha).
Reexión (con respecto al eje
X
y al eje
Y ).
Compresión y elongación vertical.
Para iniciar el proceso de trazar la gráca de una función dada, es importante conocer
las funciones que se presentan a continuación:
Funciones básicas:
Función identidad
Función cuadrática
f1 : R → R
f1 (x) = x
f2 : R → R
f2 (x) = x2
255
Precálculo
MATEM-UCR
Funciones básicas:
Función cúbica
Función racional
f3 : R → R
f4 : R − {0} → R
1
f4 (x) =
x
f3 (x) = x3
Función raíz cuadrada
Función valor absoluto
f5 : [0 , +∞[
√ →R
f5 (x) = x
f6 : R → R
f6 (x) = | x |
Seguidamente se detalla cada una de las transformaciones, y se presentan ejemplos en
los que se puede observar cómo una tranformación se aplica a una gráca, para generar la
una nueva función, cuyo dominio y ámbito queda determinado
por la función precedente y la transformación aplicada.
correspondiente a
256
Precálculo
MATEM-UCR
Traslación vertical hacia arriba
y = f (x) + k , con k > 0, se obtiene
y = f (x), k unidades hacia arriba.
La gráca de la función de criterio
gráca de la función de criterio
al trasladar la
Ejemplo 3.34
Función
f6
f6 (x) = | x |
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
fˆ6
fˆ6 (x) = | x | + 3
Criterio:
Dominio:
R
[0, +∞[
R
Ámbito:
[3, +∞[
Función
fˆ5
Ejemplo 3.35
Función
f5
f5 (x) =
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
√
x
√
fˆ5 (x) = x + 1
Criterio:
[0, +∞[
Dominio:
[0, +∞[
Ámbito:
257
[0, +∞[
[1, +∞[
Precálculo
MATEM-UCR
Tanto en los ejemplos anteriores como en el siguiente, se puede observar que el ámbito
de la nueva función y el de la original son distintos.
Ejemplo 3.36
Función
f4
1
x
R − {0}
Criterio:
R − {0}
Ámbito:
Dominio:
fˆ4
1
fˆ4 (x) = + 2
x
Dominio: R − {0}
f4 (x) =
Criterio:
Ámbito:
Función
R − {2}
Observe que en la primera gura del ejemplo anterior, se presenta la asíntota horizontal
y = 0.
Ésta, al igual que la gráca, sube dos unidades, de modo que en la nueva gráca se
tiene la asíntota horizontal
y = 2. En ejercicios como éste, es recomendable trasladar primero
la asíntota y luego la gráca.
Traslación vertical hacia abajo
y = f (x) − k , con k > 0, se obtiene
y = f (x), k unidades hacia abajo.
La gráca de la función de criterio
gráca de la función de criterio
258
al trasladar la
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.37
Función
f5
f5 (x) =
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
√
fˆ5
√
3
Criterio: fˆ5 (x) =
x−
2
Dominio: [0, +∞[
3
Ámbito: − , +∞
2
Función
x
[0, +∞[
[0, +∞[
Ejemplo 3.38
Función
f3
f3 (x) = x3
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
fˆ3
fˆ3 (x) = x3 −
Criterio:
Dominio:
R
Ámbito:
R
259
R
R
√
2
Precálculo
MATEM-UCR
En el ejemplo trasanterior se observa que el ámbito de la nueva función y el de la precedente son diferentes, sin embargo en el ejemplo anterior, el ámbito es
R
en ambos casos.
Traslación horizontal hacia la izquierda
y = f (x + k), con k > 0, se obtiene al
y = f (x), k unidades hacia la izquierda.
La gráca de la función de criterio
gráca de la función de criterio
trasladar la
Ejemplo 3.39
Función
f5
f5 (x) =
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
√
x
fˆ5
fˆ5 (x) =
Criterio:
[0, +∞[
Dominio:
[0, +∞[
Ámbito:
√
x+2
[−2, +∞[
[0, +∞[
En el ejemplo anterior se observa que el dominio de la función original y el de la nueva
función, son diferentes.
Traslación horizontal hacia la derecha
y = f (x − k), con k > 0, se obtiene
y = f (x), k unidades hacia la derecha.
La gráca de la función de criterio
gráca de la función de criterio
260
al trasladar la
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.40
Función
f4
1
x
R − {0}
f4 (x) =
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
fˆ4
Dominio:
R − {0}
Ámbito:
1
x−3
R − {3}
fˆ4 (x) =
Criterio:
R − {0}
Observe que en la primera gura del ejemplo anterior, se tiene la asíntota vertical
x = 0,
que debe ser trasladada hacia la derecha, la misma cantidad de unidades que la gráca.
También se nota que el dominio de la nueva función y el de la original son diferentes, sin
embargo, si el dominio de la función precedente es
R,
el de la nueva función también, como
se observa en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.41
Función
f6
f6 (x) =| x |
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
fˆ6
fˆ6 (x) =| x − 1 |
Criterio:
Dominio:
R
[0, +∞[
Ámbito:
261
R
[0, +∞[
Precálculo
MATEM-UCR
A continuación se presenta un ejemplo en el que se solicita la gráca de una función
p.
Para lograrlo se realiza un proceso en tres etapas: Primero se presenta la gráca de una
función básica, luego se traslada horizontalmente para obtener una segunda gráca, y ésta
se traslada verticalmente para lograr la gráca requerida.
Ejemplo 3.42
Sea
p: R − {−2} → R
a) Trace la gráca de
una función tal que
p(x) =
1
−5
x+2
p.
b) Determine el ámbito de
p.
Solución:
a) Primero se toma la gráca de la función básica
p1 : R − {0} → R
y se aplican
transformaciones convenientes:
p1 (x) =
1
x
p2 (x) =
Función racional
1
x+2
p(x) =
Traslacion horizontal
de la gráca de
p1
1
−5
x+2
Traslación vertical de
a la
izquierda dos unidades
la gráca de
p2
hacia
abajo cinco unidades
Note que la gráca obtenida nalmente tiene el dominio que se requiere, por lo tanto,
corresponde a la función
p.
b) Observando la gráca de
p
se obtiene que
262
Ap = R − {−5}.
Precálculo
Ejercicio 76
MATEM-UCR
Realice los siguientes ejercicios:
a) A continuación se presenta la gráca de las funciones
g, h
e i, y a la derecha de cada una
de ellas, el criterio de cuatro funciones.
Aplique una traslación a la gráca dada, para obtener la correspondiente a una nueva
función, cuyo criterio sea cada uno de los indicados.
Determine el dominio y el ámbito de dichas funciones.
Criterios:
Gráca de la
función
g:
1.
2.
3.
4.
Gráca de la
función
g1 (x) = g(x) + 2
g2 (x) = g(x) − 5
g3 (x) = g(x + 6)
g4 (x) = g(x − 1)
Criterios:
h:
5.
6.
7.
8.
h1 (x) = h(x) + 1
5
h2 (x) = h(x) −
2
h3 (x) = h(x + 2)
h4 (x) = h(x − 3)
Criterios:
Gráca de la
función i:
9.
10.
11.
12.
263
i1 (x) = i(x) + 3
i2 (x) = i(x) − 2
i3 (x) = i(x + 1)
1
i4 (x) = i x −
2
Precálculo
MATEM-UCR
b) A continuación se presenta la gráca de la función
p:
En el mismo plano cartesiano, aplique traslaciones a
la gráca dada para obtener
la correspondiente a dos nue-
q
vas funciones
r,
y
cu-
yo criterio se indica. Además, determine el dominio y
el ámbito de ambas.
c) Ahora se tiene la gráca de la función
1.
q(x) = p(x + 2) − 1
2.
r(x) = p(x − 4) + 1
s:
Aplique
también
traslacio-
nes a la gráca dada para
obtener
la
funciones
de
t
y
dos
u,
nuevas
cuyo cri-
terio se indica. Determine el
dominio y ámbito de ambas.
1.
t(x) = s(x − 2) − 1
2.
u(x) = s(x + 1) − 2
d) Graque (en su dominio máximo) las funciones cuyo criterio se indica; para ello, utilice
traslaciones a partir de la gráca de una función básica. Además, determine el ámbito de
cada una de ellas.
1.
f (x) = (x − 2)2 − 4
3.
h(x) = 2+ | x − 3 |
2.
g(x) = x − 5
4.
i(x) =
√
x+4−1
264
1
+3
x+2
5.
j(x) =
6.
k(x) = −1 + (x + 2)3
Precálculo
MATEM-UCR
Respuestas
a.1.
a.2.
Dg1 = [2, 4]
Ag1 = [1, 5]
Dg2 = [2, 4]
Ag2 = [−6, −2]
a.3.
a.4.
Dg3 = [−4, −2]
Ag3 = [−1, 3]
Dg4 = [3, 5]
Ag4 = [−1, 3]
a.5.
a.6.
Dh1 = [−1, 1[
Ah1 = [−1, 3[
Dh2 = [−1, 1[ Ah2 = − 92 , − 12
a.7.
a.8.
Dh3 = [−3, −1[
Ah3 = [−2, 2[
Dh4 = [2, 4[
Ah4 = [−2, 2[
a.9.
a.10.
Di1 = R − {0}
Ai1 = R − {3}
Di2 = R − {0}
Ai2 = R − {−2}
a.11.
a.12.
Di3 = R − {−1}
Ai3 = R − {0}
Di4 = R − 12
Ai4 = R − {0}
265
Precálculo
MATEM-UCR
b)
1.
2.
c)
Dq = ]−3, 0] y Aq = [0, 2]
Dr = ]3, 6] y Ar = [2, 4]
1.
2.
Dt = R y At = R
Du = R y Au = R
d.1.
Af = [−4, +∞[
d.2.
Ag = R
d.3.
Ah = [2, +∞[
d.4.
Ai = [−1, +∞[
d.5.
Aj = R − {3}
d.6.
Ak = R
266
Precálculo
MATEM-UCR
Al comparar el dominio y el ámbito de una función trasladada con los de la función
precedente, se observa el contenido de la siguiente nota.
Nota:
Si se realiza una
traslación vertical (hacia arriba o hacia abajo) de la gráca
de una función con ámbito diferente de
R,
y manteniendo el dominio original, el
ámbito de la nueva función es diferente al de la precedente.
Si se realiza una
traslación horizontal (hacia la derecha o hacia la izquierda)
de la gráca de una función con dominio diferente de
original, el
R, y manteniendo el ámbito
dominio de la nueva función es distinto al de la precedente.
Ejemplo 3.43
Considere las funciones:
f : [3, 6] → [8, 11]
g : [3, 6] → R
tal que su codominio es igual a su ámbito.
tal que
h: Dh → [8, 11]
g(x) = f (x) + 7.
tal que su codominio es igual a su ámbito y
Determine el ámbito de
g
y el dominio de
h(x) = f (x + 4).
h.
Solución:
Las funciones
gráca de
de
f.
g
g
y
f
tienen el mismo dominio y
g(x) = f (x) + 7,
es decir, la
se puede obtener trasladando siete unidades hacia arriba la gráfca
Además, el ámbito de
g es diferente
[8 + 7, 11 + 7] = [15, 18].
ámbito de
y
f
intervalo cerrado:
[8, 11],
por lo cual el
puede obtener del siguiente modo:
Ag =
h(x) = f (x + 4), por lo cual la
gráca de h se puede elaborar trasladando la de f cuatro unidades a la izquierda.
Además, como el dominio de f es un intervalo cerrado: [3, 6], es diferente al de
h, que se puede determinar del siguiente modo: Dh = [3 − 4, 6 − 4] = [−1, 2].
Las funciones
h
f es un
f , y se
al de
tienen el mismo ámbito y
267
Precálculo
MATEM-UCR
Ahora se presentan las transformaciones conocidas como reexiones con respecto a uno
de los ejes. Para empezar, considere una función
función de criterio
f
cuya gráca se transformará en la de otra
y = −f (x).
f tienen la forma (a, f (a)), mientras que los
y = −f (x) son de la forma (a, −f (a)), es decir, cada
Se sabe que los elementos del gráco de
del gráco de una función de criterio
elemento del gráco de
f
se convierte en otro con la misma preimagen, pero con la imagen
de signo opuesto.
Al gracar dichos pares ordenados, se observa que
respecto al eje
X.
(a, −f (a)) es el reejo de (a, f (a)) con
La siguiente imagen muestra esta situación.
Reexión con respecto al eje X
La gráca de la función de criterio
función de criterio
y = f (x)
y = −f (x),
se obtiene al reejar la gráca de la
con respecto al eje X.
Ejemplo 3.44
fˆ5
√
Criterio: fˆ5 (x) = − x
Dominio: [0, +∞[
Ámbito: ]−∞, 0]
f5
√
Criterio: f5 (x) =
x
Dominio: [0, +∞[
Ámbito: [0, +∞[
Función
Función
En el ejemplo anterior, el dominio de ambas funciones coincide, pero el ámbito es diferente.
268
Precálculo
MATEM-UCR
Considere ahora un punto
de
(a, f (a))
(−a, f (a)) que es el reejo
Y , como se observa en
con respecto al eje
la gura de la derecha.
(−a, f (a))
(b, f (−b))
y = f (−x).
se puede escribir de la forma
gráco de una función con criterio
1
, que corresponde a un elemento del
Lo anterior indica que al reejar la gráca de f con respecto al eje Y , cada par ordenado
(a, f (a)), se convierte en otro con la misma imagen, pero preimagen de signo opuesto, es
decir (−a, f (a)), y que mediante dicha transformación se obtiene la gráca de una nueva
función de criterio y = f (−x), como se menciona en el siguiente recuadro.
Reexión con respecto al eje Y
La gráca de la función de criterio
función de criterio
y = f (x)
y = f (−x),
se obtiene al reejar la gráca de la
con respecto al eje Y.
Ejemplo 3.45
Función
f5
f5 (x) =
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
√
x
fˆ5
√
fˆ5 (x) = −x
Criterio:
[0, +∞[
Dominio:
[0, +∞[
Ámbito:
]−∞, 0]
[0, +∞[
En el ejemplo anterior, el ámbito de ambas funciones coincide, pero el dominio es diferente.
1 Tomando
b = −a
se tiene que
a = −b
y como consecuencia
269
f (a) = f (−b).
Precálculo
MATEM-UCR
Algunas veces la reexión con respecto al eje
X
y con respecto al eje
Y
coinciden, como
se aprecia en el siguiente par de ejemplos:
Ejemplo 3.46
Función
f1
f1 (x) = x
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
fˆ1
fˆ1 (x) = −x
Criterio:
Dominio:
R
Ámbito:
R
R
R
Ejemplo 3.47
Función
f3
f3 (x) = x3
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
Función
fˆ3
fˆ3 (x) = −x3 = (−x)3
Criterio:
Dominio:
R
Ámbito:
R
R
R
Se observa en ambos ejemplos, que el dominio y el ámbito es
270
R.
Precálculo
MATEM-UCR
A continuación se presentan dos ejemplos en los cuales se aplican las reexiones:
Ejemplo 3.48
Graque la función
h: ]−∞, 2] → R
tal que
√
h(x) = − −x + 2 + 1.
Solución:
Se puede obtener la gráca de
h
aplicando las transformaciones que se presentan a
continuación:
h1 (x) =
√
x
h2 (x) =
Función radical
√
h1
a la izquierda dos unidades
√
h4 (x) = − −x + 2
−x + 2
Reexión de la gráca de
h2
x+2
Traslacion horizontal de la gráca
de
h3 (x) =
√
con respecto al eje
Reexión de la gráca de
Y
h3
con respecto al eje
√
h( x) = − −x + 2 + 1
Traslación vertical de la gráca
de
h4
hacia arriba una unidad
271
X
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.49
Graque la función
f
de criterio
f (x) =| x2 + 2x − 3 |
en su dominio máximo.
Solución:
g(x) = x2 + 2x − 3.
2
que g(x) = (x + 1) − 4,
Se comienza gracando la función
Completando cuadrados se tiene
y se puede trazar la
gráca mediante las etapas que se observan a continuación:
g2 (x) = (x + 1)2
g1 (x) = x2
f
Posteriormente se graca la función
tal que
g(x) = (x + 1)2 − 4
f (x) =| g(x) |
mediante el
siguiente razonamiento:
Observe que
f (x) =
g(x)
−g(x)
si
si
g(x) ≥ 0
g(x) < 0
Esto signica que cuando la gráca de
X
está por encima o en el eje
g(x) ≥ 0),
la gráca de
igual que la de
g;
(cuando
se mantiene
pero cuando la gráca
g está por debajo del
g(x) < 0), la gráca de f
de
f
eje
X
(cuando
se obtiene me-
diante la reexión con respecto al eje
de la gráca de
g
X
g.
272
Finalmente, la gráca de
f
es:
Precálculo
Ejercicio 77
MATEM-UCR
Realice los siguientes ejercicios:
a) A continuación se presenta la gráca de las funciones
g
y
h,
y a la derecha de cada una
de ellas, el criterio de cinco funciones.
Aplique reexiones a la gráca dada, para obtener la correspondiente a una nueva
función, cuyo criterio sea cada uno de los indicados.
Determine el dominio y el ámbito de dichas funciones.
Gráca de la
función
Criterios:
g:
1.
2.
3.
4.
5.
Criterios:
Gráca de la
función
g1 (x) = −g(x)
g2 (x) = g(−x)
g3 (x) = −g(−x)
g4 (x) =| g(x) |
g5 (x) = − | g(x) |
h:
6.
7.
8.
9.
10.
273
h1 (x) = −h(x)
h2 (x) = h(−x)
h3 (x) = −h(−x)
h4 (x) =| h(−x) |
h5 (x) = − | h(−x) |
Precálculo
MATEM-UCR
b) A continuación se presenta la gráca de la función
p:
En
el
mismo
cartesiano,
plano
aplique
tras-
laciones y reexiones a la
gráca dada para obtener
la correspondiente a dos
nuevas funciones
q
cuyo
indica.
criterio
Además,
se
y
determine
r,
el
dominio y el ámbito de
ambas.
c) Ahora se tiene la gráca de la función
1.
q(x) = p(−x) − 2
2.
r(x) = −p(x − 4)
s:
Aplique
también
trasla-
ciones y reexiones a la
gráca dada para obtener
la de dos nuevas funciones
t
u,
cuyo criterio
se
indica.
Determine
y
el dominio y ámbito de
ambas.
274
1.
t(x) = −s(x) − 3
2.
u(x) = s(−x + 2)
Precálculo
MATEM-UCR
d) Graque (en su dominio máximo) las funciones cuyo criterio se indica; para ello, utilice
traslaciones y reexiones a partir de la gráca de una función básica (en el caso de
2
criterios de la forma fk (x) = ax + bx + c, complete cuadrados). Además, determine el
ámbito de cada una de las funciones.
√
1.
f1 (x) = x − 4
13.
f13 (x) = −3 +
2.
f2 (x) = −x2 − 6x − 9
14.
f14 (x) =| −x + 5 | −2
3.
f3 (x) = (x + 2)3
15.
f15 (x) = x2 − 8x + 17
4.
1
f4 (x) = − + 3
x
16.
√
f16 (x) = − −x
5.
f5 (x) =
√
x+1−3
17.
f17 (x) = −(x − 1)3
6.
f6 (x) =| x + 3 | −2
18.
f18 (x) = 1 − (x − 4)3
7.
√
f7 (x) = − x − 4 + 2
19.
f19 (x) = −3 + 2x − x2
8.
f8 (x) = 4− | −x + 1 |
20.
f20 (x) =
9.
f9 (x) = −
21.
f21 (x) = x2 + 10x + 22
22.
f22 (x) = − | x − 3 | +1
23.
f23 (x) = −(x + 1)3 − 2
24.
f24 (x) =
1
x+3
10.
f10 (x) = (x − 3)3 + 2
11.
f11 (x) =
12.
f12 (x) = 2 − x
√
−x + 1 + 1
e) Mediante transformaciones aplicadas a la
gráca de la función cuadrática básica, se
puede obtener la gráca de la función
f
que se presenta a la derecha. Determine
un posible criterio para
f.
275
−x − 1
1
−x + 1
1
+1
−x − 2
Precálculo
MATEM-UCR
Respuestas:
a.1.
a.2.
Dg1 = [−1, 3]
Ag1 = − 94 , 4
Dg2 = [−3, 1]
Ag2 = −4, 49
a.3.
a.4.
Dg3 = [−3, 1]
Ag3 = − 94 , 4
Dg4 = [−1, 3]
Ag4 = [0, 4[
a.5.
Dg5 = [−1, 3]
Ag5 = ]−4, 0]
a.6.
a.7.
a.8.
Dh2 = ]−∞, −1]
∪ [1, +∞[
Ah2 = ]−∞, −1]
∪ ]2, 4]
Dh3 = ]−∞, −1]
∪ [1, +∞[
Ah3 = [−4, −2[
∪ [1, +∞[
a.9.
a.10.
Dh4 = ]−∞, −1]
∪ [1, +∞[
Ah4 = [1, +∞[
Dh5 = ]−∞, −1]
∪ [1, +∞[
Ah5 = ]−∞, −1]
Dh1 = ]−∞, −1]
∪ [1, +∞[
Ah1 = [−4, −2[
∪ [1, +∞[
276
Precálculo
MATEM-UCR
b)
1.
2.
c)
Dq = [−2, 1[ y Aq = [−1, 1]
Dr = ]3, 6] y Ar = [−3, −1]
1.
2.
Dt = R y At = R
Du = R y Au = R
d.1.
Af1 = R
d.2.
Af2 = ]−∞, 0]
d.3.
Af3 = R
d.4.
Af4 = R − {3}
d.5.
Af5 = [−3, +∞[
d.6.
Af6 = [−2, +∞[
277
Precálculo
d.7.
Af7 = ]−∞, 2]
MATEM-UCR
d.8.
Af8 = ]−∞, 4]
d.9.
Af9 = R − {0}
d.10.
Af10 = R
d.11.
Af11 = [1, +∞[
d.12.
Af12 = R
d.13.
Af13 = [−3, +∞[
d.14.
Af14 = [−2, +∞[
d.15.
Af15 = [1, +∞[
d.16.
Af16 = ]−∞, 0]
d.17.
Af17 = R
d.18.
Af18 = R
278
Precálculo
MATEM-UCR
d.19.
Af19 = ]−∞, −2]
d.20.
Af20 = R − {0}
d.21.
Af21 = [−3, +∞[
d.22.
Af22 = ]−∞, 1]
d.23.
Af23 = R
d.24.
Af24 = R − {1}
e.
f (x) = − | (x − 3)2 − 2 | −1.
De forma similar a lo que sucede con las traslaciones, el dominio y ámbito de una función cuya gráca fue reejada, puede ser diferente al de la precedente, como se detalla en la
siguiente nota.
Nota:
Si se realiza una
reexión con respecto al eje X
con ámbito diferente de
R,
de la gráca de una función
y manteniendo el dominio original, el
ámbito de la
nueva función es diferente al de la precedente.
Si se realiza una
reexión con respecto al eje Y
con dominio diferente de
R,
de la gráca de una función
y manteniendo el ámbito original, el
nueva función es distinto al de la precedente.
279
dominio de la
Precálculo
MATEM-UCR
A continuación se estudia la compresión y la elongación vertical. En los ejemplos se presenta la gráca de la función básica mediante líneas punteadas, y de la nueva
función con líneas continuas, en el mismo plano cartesiano, con el objetivo de que se
aprecie mejor la diferencia entre ambas.
Compresión vertical
y = kf (x), con 0 < k < 1, se observa con la misma
de criterio y = f (x), pero aparece comprimida hacia
La gráca de la función de criterio
forma de la gráca de la función
el eje
X,
con respecto a la original.
Ejemplo 3.50
Función
f6
f6 (x) =| x |
Criterio:
Dominio:
Ámbito:
fˆ6
1
|x|
Criterio: fˆ6 (x) =
4
Dominio: R
Ámbito: [0, +∞[
Función
R
[0, +∞[
f3
3
Criterio: f3 (x) = x
Dominio: R
Ámbito: R
Función
fˆ3
1 3
Criterio: fˆ3 (x) = x
2
Dominio: R
Ámbito: R
Función
Función
f5
f5 (x) =
Criterio:
[0, +∞[
[0, +∞[
Dominio:
Ámbito:
√
fˆ5
1√
Criterio: fˆ5 (x) =
x
3
Dominio: [0, +∞[
Ámbito: [0, +∞[
Función
x
280
Precálculo
MATEM-UCR
Elongación vertical
y = kf (x), con k > 1, se observa con la misma
de criterio y = f (x), pero aparece extendida con
La gráca de la función de criterio
forma de la gráca de la función
respecto a la original, de modo contrario a la compresión vertical.
Ejemplo 3.51
f6
Criterio: f6 (x) =| x |
Dominio: R
Ámbito: [0, +∞[
fˆ6
Criterio: fˆ6 (x) = 4 | x |
Dominio: R
Ámbito: [0, +∞[
f5
√
Criterio: f5 (x) =
x
Dominio: [0, +∞[
Ámbito: [0, +∞[
fˆ5
√
Criterio: fˆ5 (x) = 3
x
Dominio: [0, +∞[
Ámbito: [0, +∞[
Función
Función
Función
Función
281
f3
f3 (x) = x3
Dominio: R
Ámbito: R
Función fˆ3
3
Criterio: fˆ3 (x) = 2x
Dominio: R
Ámbito: R
Función
Criterio:
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.52
Graque
fˆ: R − {0} → R
las siguientes
ĝ : R → R
tal que
ĝ =
funciones
(4x)2 .
tal que
1
fˆ(x) =
3x
y
Solución:
Observe que
1
1 1
fˆ(x) =
= · ,
3x
3 x
por lo
Análogamente
ĝ(x) = (4x)2 = 42 x2 = 16x2 ,
cual se puede aplicar una compresión
entonces se puede aplicar una elongación
vertical a la gráca de la función ra -
vertical a la gráca de la función cuadrá-
cional básica (representada con
f
en
tica básica (representada con
a
siguiente gráca).
la siguiente gráca).
a En
ambos casos se podrían considerar algunos valores de
x
g
en la
para calcular su imagen, y así obtener
puntos que guíen el trazo de la gráca.
Ejercicio 78
Con base en las grácas proporcionadas, responda lo que se solicita:
La gráca de
f2
La gráca de
se obtiene a
se obtiene a
partir de la de
g2
f1
partir de la de
g1
mediante una
mediante una
transformación
transformación
llamada
llamada
282
Precálculo
MATEM-UCR
Hasta ahora se ha trazado la gráca de funciones cuyo dominio y ámbito quedan determinados por la función original y las transformaciones realizadas.
En el siguiente ejemplo se observa cómo se puede trazar la gráca de una función donde
el dominio o el ámbito dados son subconjunto de los correspondientes a la gráca
obtenida por medio de transformaciones.
Ejemplo 3.53
A la derecha se presenta la gráca de la función
p: R − {−2} → R
tal que
p(x) =
1
− 5.
x+2
a) Trace la gráca de las funciones:
f
con dominio
g
con ámbito
]−2, +∞[
]−∞, −5[
b) Determine el ámbito de
f
y criterio
y criterio
1
−5
x+2
1
g(x) =
− 5.
x+2
f (x) =
g.
y el dominio de
Solución:
a) El criterio de
f
y
g
es el mismo que el de
previo), pero en el caso de
f
p
(cuya gráca se realizó en un ejemplo
se tiene otro dominio, y en el de
lo cual se puede trazar la gráca de
f
y
g
g,
otro ámbito, por
a partir de la de
p,
considerando
solamente la parte que corresponde.
Gráca de
f
b) De la gráca se puede observar que
Gráca de
Af = ]−5, +∞[
283
y
g
Dg = ]−∞, −2[.
Precálculo
MATEM-UCR
3.3.9. Gráca de funciones denidas a trozos
Para gracar funciones denidas a trozos se necesita conocer la gráca de las diferentes
funciones que forman parte de ella, en su determinado dominio.
Ejemplo 3.54
Graque la función
f: R → R
donde

2
 (x + 1) − 1
f (x) =
x3

−3
si
si
si
x ∈ ]−∞, −1]
x ∈ ]−1, 1[
x ∈ [1, +∞[
Solución:
Se
deben gracar las
f3 (x) = −3,
funciones
de
solamente en la parte del
f1 (x) = (x + 1)2 − 1, f2 (x) = x3 y
dominio de f donde están denidas, como se
criterio
muestra a continuación:
1.
Gráca de
f1
con
x ∈ ]−∞, −1]
2.
3.
Gráca de
f3
con
x ∈ [1, +∞[
Finalmente, la gráca de
284
Gráca de
f2
con
x ∈ ]−1, 1[
f
es
Precálculo
Ejercicio 79
MATEM-UCR
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:
a) A continuación se presenta el criterio de ocho funciones denidas a trozos
Graque las funciones.
Determine su dominio y ámbito.
Determine los puntos de intersección con los ejes (si existen).
1.
2.
3.
4.

−x − 7




−(x + 1)2
l(x) =



 1 +2
x−3
 √
−x − 2





2


 x+
3
i(x) =
1



+1


x−3



2
si
x ∈ [−5, −3[
si
x ∈ [−3, 0[
si
x ∈ [0, 3[ − {2}
si
−6 < x ≤ −2
si
−2 < x < 0
si
x≥0
si
x=3
 3
x +1


| x − 2 | +1
j(x) =


0
y
5.
6.
x 6= 3
si
x≤1
y
x 6= −1
si
x>1
y
x 6= 3
si
x=3


2





1




1
m(x) =
− +1

x




− | x − 2 | +1




 (x − 4)3 + 2
7.
si
x ∈ [−4, −1[
si
x = −1
si
x ∈ ]0, 1]
si
x ∈ ]1, 3[
si
x ∈ [3, +∞[
8.
285
 √

− −x − 1 − 1


x2 + 1
k(x) =


 √x − 1 + 2

1


−


x−2



−(x − 2)2 + 2
f (x) =

 2





x−6


| x + 1 | −2


−x + 1
g(x) =


 √x − 3

−(x + 2)3






x2 − 2


h(x) =
2




−1




2
si
x < −1
si
x ∈ [−1, 1[
si
x≥1
si
x≤1
si
1<x<4
si
x=4
si
x>4
si
x ∈ ]−∞, 1[
si
x ∈ [1, 3]
si
x ∈ ]3, +∞[
si
x < −1
si
−1 < x ≤ 2
si
2<x<3
si
x=3
si
x>3
Precálculo
MATEM-UCR
b) A la derecha se presenta la gráca de
una función
f
tal que

f1 (x) si x < −3



f2 (x) si −3 ≤ x < −1
f (x) =


 f3 (x) si x > −1
Sabiendo que cada parte de la gráca de
f
se puede obtener mediante transformaciones o
reexiones de la gráca de alguna función básica, determine una posibilidad para cada una
de las expresiones
f1 (x), f2 (x)
y
f3 (x).
Respuestas:
a) Dominio
Ámbito
Intersección
con eje X
5
A(−1, 0) y B 2 , 0
2
A(−2, 0), B − 3 , 0
1.
[−5, 3[ − {2}
−∞, 35 − {1}
2.
]−6, +∞[
R
Intersección
con eje Y
C
0, 53
D
0, 32
y C(2, 0)
3.
R − {−1}
R
A(3, 0)
B(0, 1)
4.
[−4, −1]
R
A(1, 0)
No hay
]−∞, −1[
No hay
A(0, 1)
∪ ]0, +∞[
5.
R
∪ [1, +∞[
√
2 + 2, 0
6.
R
]−2, +∞[
A
7.
R
[−2, +∞[
A(−3, 0) y B(1, 0)
8.
R − {−1}
[−2, +∞[
A(−2, 0) y B
Grácas:
#1,#2 y #3:
286
y B(6, 0)
√
2, 0
C
0, 12
C(0, −1)
C(0, −2)
Precálculo
MATEM-UCR
#4,#5 y #6:
#7 y #8:
b)
√
f1 (x) = − −x − 3 + 1, f2 (x) = (x + 1)2 − 1
y
f3 (x) = −
1
+ 3.
x+1
3.3.10. Gráca de relaciones que no son funciones
De acuerdo con la denición de función, cada valor del dominio tiene solamente una imagen, por lo cual, si se tiene la gráca de una relación que corresponde a una función,
pueden presentarse dos o más puntos
(x, y)
con el mismo valor de
x
y distinto valor de
Ejemplo 3.55
Determine si cada una de las grácas que se presenta, corresponde o no a la de una
función:
f : [−2, 2] → [−2, 2]
g : [−2, 1] → R
h : {1} → R
Solución:
f
no,
g
sí,
h
no,
i
no.
287
i : [−1 , +∞[ → R
no
y.
Precálculo
MATEM-UCR
3.4. Operaciones con funciones
Dadas dos funciones
f
y
g
con dominio
Df
y
Dg
respectivamente, donde
Df ∩ Dg 6= ∅,
se denen las siguientes funciones:
Función
Suma
Resta
Multiplicación
División
Criterio
f +g
f −g
f ·g
f
g
Dominio
Df ∩ Dg
Df ∩ Dg
Df ∩ Dg
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f − g)(x) = f (x) − g(x)
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
f
f (x)
(x) =
g
g(x)
{x ∈ Df ∩ Dg /g(x) 6= 0}
Ejemplo 3.56
f , g y h de criterio
√
x
x−1
, g(x) =
f (x) =
x + 4 y h(x) =
x−1
5x2
Considere las funciones
a) Calcule el dominio máximo de las funciones
respectivamente.
f, g
y
b) Determine el dominio y el criterio de las funciones
h.
f − g, h · f
y
g
.
f
Solución:
a)
Df = R − {1}, Dg = [−4, +∞[
y
Dh = R − {0}.
b) El dominio y el criterio de las funciones
f − g, h · f
y
g
f
son:
Df −g = Df ∩ Dg = [−4, +∞[ − {1} y
√
√
x
x − (x − 1) x + 4
(f − g)(x) = f (x) − g(x) =
− x+4=
x−1
x−1
x−1
x
1
·
=
2
5x
x−1
5x
x
g
D f = {x ∈ Dg ∩ Df /f (x) 6= 0} = x ∈ [−4, +∞[ − {1} /
6= 0
x − 1√
√
g
g(x)
x+4
(x − 1) x + 4
(x) =
=
= [−4, +∞[ − {0, 1} y
=
x
f
f (x)
x
x−1
Dh·f = Dh ∩ Df = R − {0, 1}
y
(h · f )(x) = h(x) · f (x) =
288
Precálculo
Ejercicio 80
MATEM-UCR
Considere las funciones
f , g , h, i
y
j
cuyo criterio aparece en la siguiente
tabla. Complete los espacios con la información solicitada.
Función
Criterio
f
f (x) = x2 − 1
g
g(x) =
x
2x − 5
h
h(x) =
1
3x + 2
i
i(x) =
j
j(x) =| x − 4 |
√
Dominio
−x + 1
g+h
h−i
f ·g
h·j
f
g
g
f
289
Precálculo
MATEM-UCR
Aparte de las operaciones estudiadas anteriormente, existe otra llamada composición.
3.4.1. Composición de funciones
f : B → C dos funciones. Se sabe que si x ∈ A es posible calcular su
imagen bajo la función g , es decir: g(x), y si g(x) ∈ B se puede calcular su imagen bajo la
función f , es decir: f (g(x)).
Sean
g: A → B
y
Ante esto, se tienen la siguiente denición:
Denición 3.17: Composición de funciones
Sean
llama
g: A → B
f : B → C dos funciones. La función p de criterio p(x) = f (g(x))
composición de g con f y se denota de la siguiente forma: f ◦ g.
y
se
Importante:
El dominio de la función
dominio de
g,
f ◦g
g(x)
para los cuales
está dado por el conjunto de los elementos
f,
pertenece al dominio de
x
del
es decir,
Df ◦g = {x ∈ Dg / g(x) ∈ Df }.
Análogamente se puede denir la función
g◦f
de criterio
g(f (x))
cuyo dominio es:
Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg }.
En el siguiente ejemplo se presentan dos funciones
criterio de las dos composiciones:
(f ◦ g)
y
(g ◦ f ).
290
f
y
g,
y se solicita el dominio y el
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.57
1
f : R − {−3} → R tal que f (x) =
x+3
x
g : R − {1} → R tal que g(x) =
. Determine el dominio
x−1
funciones: f ◦ g y g ◦ f .
Considere las funciones
y
y el criterio de las
Solución:
f ◦ g:
x
Df ◦g = {x ∈ Dg / g(x) ∈ Df } = x ∈ R − {1} /
∈ R − {−3}
x
−
1
3
3
x
a
6= −3
= x / x 6= 1 y x 6=
= R − 1,
= x / x 6= 1 y
x−1
4
4
x
1
1
x−1
(f ◦ g)(x) = f (g(x))= f
= x
=
=
4x
−
3
x−1
4x − 3
+3
x−1
x−1
Dominio y criterio de la función
g ◦ f:
1
∈ R − {1}
Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg } = x ∈ R − {−3} /
x+3
1
= x / x 6= −3 y
6= 1 b = {x / x 6= −3 y x =
6 −2} = R − {−3, −2}
x+3
Dominio y criterio de la función
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g
1
x+3
1
1
1
= x+3 = x+3 =−
1
−x − 2
x+2
−1
x+3
x+3
x
3
= −3 ⇔ x = −3(x − 1) ⇔ 4x = 3 ⇔ x = .
x−1
4
1
b
= 1 ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2.
x+3
a
Observe que
(f ◦ g)
y
(g ◦ f )
son funciones diferentes en el caso del ejemplo anterior,
puesto que el dominio y el criterio de ambas no coincide.
Al ser
(f ◦ g) (x) 6= (g ◦ f ) (x)
conmutativa.
en general, se dice que la operación composición
291
no es
Precálculo
Ejercicio 81
MATEM-UCR
Considere las funciones
f , g , h, i
y
j
cuyo criterio aparece en la siguiente
tabla. Complete los espacios con la información solicitada.
Función
Criterio
f
f (x) = x2 − 1
g
g(x) =
x
2x − 5
h
h(x) =
1
3x + 2
i
i(x) =
j
j(x) =| x − 4 |
√
Dominio
−x + 1
f ◦g
g◦f
g◦h
h◦g
f ◦i
g◦i
i◦h
292
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.58
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:
1. Determine un criterio para las funciones
a)
(f ◦ g) (x) = (−x + 3)3
y
f (x) = x3 .
b)
(h ◦ p) (x) =
5(4x)
2(4x) + 1
y
p(x) = 4x.
2. Calcule
g
y
h
si se sabe que:
(g ◦ h) (4)
Solución:
1. Para determinar los criterios:
a) Se puede proceder así:
• (f ◦ g) (x) = (−x + 3)3
• (f ◦ g) (x) = f (g(x)) = [g(x)]3
Por dato.
La primera igualdad se da por la denición
3
de (f ◦ g), y la segunda porque f (x) = x .
Igualando ambas expresiones se obtiene que
(−x + 3)3 = [g(x)]3
∴ g(x) = −x + 3.
b) Se puede proceder así:
5(4x)
2(4x) + 1
• (h ◦ p) (x) = h (p(x)) = h (4x)
• (h ◦ p) (x) =
Por dato.
La primera igualdad se da por la denición
de
(h ◦ p),
Igualando ambas expresiones se obtiene que
∴ h(x) =
p(x) = 4x.
5(4x)
= h (4x)
2(4x) + 1
5x
.
2x + 1
2.
y la segunda porque
(g ◦ h) (x) = g (h(x)) = −h(x) + 3 = −
⇒ (g ◦ h) (4) =
5x
2x + 1
+3=
4+3
7
= .
2·4+1
9
Otra forma de hacerlo es:
(g ◦ h) (4) = g (h(4)) = g
293
20
9
x+3
2x + 1
=−
20
7
+3= .
9
9
Precálculo
Ejercicio 82
MATEM-UCR
Complete los espacios con la información que se solicita:
1. Si
(f ◦ g) (x) = (2x + 4)5
2. Si
(h ◦ i) (x) =
3. Si
(j ◦ k) (x) =
4. Si
(l ◦ m) (x) = (5x2 ) + (5x2 )
5. Si
(n ◦ p) (x) =
6. Si
(q ◦ r) (x) =
7. Si
(s ◦ t) (x) = 2− | 3x − 4 |
8. Si
(u ◦ v) (x) =
9. Si
(f ◦ h) (x) =
√
3−x
f (x) = x5
y
y
2
5x2 + 1
x−8
y
y
1
−4x + 5
√
6
.
entonces
i(x) =
.
k(x) = 8x − 21
entonces
j(x) =
.
m(x) = 5x2
entonces
l(x) =
.
p(x) = 5x2 + 1
entonces
n(x) =
.
entonces
r(x) =
.
t(x) = 3x − 4
entonces
s(x) =
.
v(x) = x − 8
entonces
u(x) =
.
x
+1
entonces
h(x) =
.
g(x) = −4x + 1
entonces
j(x) =
.
entonces
m(x) =
.
n(x) = −4 | x |
entonces
p(x) =
.
q(x) = 4x3
entonces
r(x) =
.
f (x) = x2 + 5x
entonces
g(x) =
.
q(x) =
y
y
y
5x − 2
3(5x − 2)2 + 1
(j ◦ g) (x) = (−4x + 1)4
11. Si
(k ◦ m) (x) =
12. Si
(n ◦ p) (x) = −4 | 5x + 3 |
13. Si
(r ◦ q) (x) =
14. Si
(f ◦ g) (x) = (−7x)2 + 5(−7x)
y
x2 + 8x − 3
4x3
−9(4x3 )2 + 6
f (x) =
y
10. Si
√
3
g(x) =
h(x) =
y
1
8x − 21
√
entonces
k(x) =
y
y
y
y
√
x
1
x
3x2
√
3
x
Respuestas:
7.
5.
x2 + x
√
x
6.
−4x + 5
1.
2x + 4
4.
2.
3−x
3.
1
x
10.
x4
8.
2− | x |
√
6
x
11.
x2 + 8x − 3
9.
5x − 2
12.
5x + 3
294
13.
x
−9x2 + 6
14.
−7x
Precálculo
MATEM-UCR
3.5. Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
En esta sección se estudia la clasicación de las funciones según su codominio.
3.5.1. Función inyectiva
Algunas funciones se pueden clasicar como inyectivas, de acuerdo con la siguiente
denición:
Denición 3.18: Función inyectiva
Una función
f
es
inyectiva,
si cada elemento del
preimagen, es decir, si cada elemento del
codominio
tiene cero o una única
ámbito tiene solamente una preimagen.
Ejemplo 3.59
Considere los siguientes diagramas de las funciones
f
y
g
respectivamente:
Con base en la información anterior, determine si las funciones
f
y
g
son inyectivas.
Solución:
B tiene solamente
tanto, f es inyectiva.
En el primer diagrama se nota que cada elemento del codominio
una preimagen, o ninguna (como en el caso de
En el segundo caso se observa que
b3
g
b4 ).
Por lo
se encuentra en el ámbito de la función y
tiene dos preimágenes. Por lo tanto,
295
no es inyectiva.
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.60
Determine si la función
p: R → R
Solución:
En el caso de esta función
tal que
p(x) = x2
es inyectiva.
no se cumple que cada elemento de su codominio Cp = R,
tenga cero o una única preimagen. Por ejemplo, el valor
−2
y
2,
por lo tanto,
p
y=4
tiene dos preimágenes:
no es inyectiva.
La conclusión del ejemplo anterior también se puede obtener analizando la gráca de la función, donde se observa
que
y =4
es un elemento del ámbito
tiene dos preimágenes, por lo que
p
Ap = [0, +∞[,
que
no es inyectiva.
En el siguiente ejemplo se analiza la inyectividad de dos funciones por medio de su gráca.
Ejemplo 3.61
Considere la gráca de las funciones
h
e
i:
Con base en la información anterior, determine si las funciones
h
e
i
son inyectivas.
Solución:
En el primer caso se observa que cada elemento del ámbito
solamente una preimagen. Por lo tanto,
h
Ah = [1, 2],
tiene
es inyectiva.
En la segunda gráca se aprecia al menos un valor del ámbito, por ejemplo
que tiene más de una preimagen. Por lo tanto,
296
i
no es inyectiva.
− 52 ,
Precálculo
MATEM-UCR
3.5.2. Función sobreyectiva
Algunas funciones se pueden clasicar como sobreyectivas, de acuerdo con la siguiente
denición:
Denición 3.19: Función sobreyectiva
Una función
un elemento
f : A → B es sobreyectiva si para todo elemento y ∈ B existe al menos
x ∈ A tal que y = f (x), es decir, si todo elemento del codominio tiene
asociado al menos un elemento del dominio.
Ejemplo 3.62
Considere los siguientes diagramas de las funciones
f
y
g:
Con base en la información anterior, determine si las funciones
f
y
g
son sobreyectivas.
Solución:
En el primer diagrama se nota que todos los elementos del codominio tienen al
menos una preimagen (b1 y
b3
tienen una preimagen cada uno, mientras que
tiene dos preimágenes). Por lo tanto,
En el segundo caso se observa que
f
b4
b2
es sobreyectiva.
está en el codominio pero no se asocia a
alguno de los elementos del dominio. Por lo tanto,
g
no es sobreyectiva.
En el siguiente ejemplo se analiza la sobreyectividad para el caso de funciones de las cuales
se conoce su gráca. Como se estudió anteriormente, ésta permite determinar el ámbito de
la función. También es importante la identicación del codominio, para lo cual resulta útil
la expresión
f: A → B
.
297
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.63
Considere la grácas de las funciones
h: [1, 4] → [1, 2]
y
j : [−2, 1] → R
Con base en la información anterior, determine si las funciones
hyj
son sobreyectivas.
Solución:
En el primer caso se observa que el codominio es
Ch = [1, 2],
y que todos los
valores de dicho conjunto tienen al menos una preimagen. Por lo tanto,
j
es
sobreyectiva.
En la segunda gráca se aprecia que existen elementos del codominio
Cj = R,
que no tienen una preimagen, como por ejemplo los números negativos. Por lo
tanto,
j
no es sobreyectiva.
En la solución del ejemplo anterior para el caso de la función
j,
se menciona que existen
elementos del codominio que no tienen una preimagen, que es equivalente a decir que el
codominio y el ámbito son diferentes (ya que
Cj = R
y
Aj = [0, 4]).
se puede clasicar como no sobreyectiva.
En conclusión, se tiene lo indicado en el siguiente recuadro:
Importante:
Una función es sobreyectiva si el ámbito es igual al codominio.
298
Por ende, la función
j
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.64
Considere la función
k : R − {−5} → R
tal que
k(x) =
1
.
x+5
Determine si es
sobreyectiva o no.
Solución:
Observe que
0
pertenece al codominio
Ck = R,
pero no tiene preimágenes, ya que no existe un
valor
x
tal que
1
= 0.
x+5
Otra manera de resolverlo es por medio de la
k , donde
Ak = R − {0} y
gráca de la función
se aprecia que
el ámbito es
es diferente al
codominio.
3.5.3. Función biyectiva
Algunas funciones se pueden clasicar como biyectivas, de acuerdo con la siguiente
denición:
Denición 3.20: Función biyectiva
Una función es
biyectiva,
si es sobreyectiva e inyectiva a la vez, es decir, si el co-
dominio es igual al ámbito, y si cada elemento del ámbito tiene solamente una preimagen.
f : A → B es biyectiva
x ∈ A tal que y = f (x).
Más formalmente se puede decir que una función
elemento
y∈B
existe un único elemento
299
si para todo
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.65
f : R → R, g : R → [0, +∞[, h: [0, +∞[ → R
2
que f (x) = g(x) = h(x) = i(x) = x .
Considere las funciones
i: [1, 2] → [1, 4]
tales
e
a) Trace la gráca de cada una de ellas.
b) Indique si son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas o ninguna de las anteriores.
Solución:
a) La gráca de cada una de las funciones se presenta a continuación:
b) Las respuestas se presentan en la siguiente tabla:
Función
Cod.
Ámb.
f
g
h
i
R
[0, +∞[
R
[1, 4]
[0, +∞[
[0, +∞[
[0, +∞[
[1, 4]
Iny.
Sobrey.
Biy.
No
No
No
No
Sí
No
Sí
No
No
Sí
Sí
Sí
f
y
g
de
0)
tienen dos preimágenes cada una; en cambio en el caso de
no soy inyectivas, puesto que los valores del ámbito (excepto en el caso
h
e
i,
se tiene
que cada elemento del ámbito posee una única imagen.
Al comparar el codominio dado para cada función con el ámbito a partir de la
gráca, se observa que ambos coinciden solo en el caso de
g
e
i,
por lo que
solamente esas funciones son sobreyectivas.
La única función biyectiva es
i
porque es tanto inyectiva como sobreyectiva.
300
Precálculo
MATEM-UCR
En el ejemplo anterior se aplicó la estrategia que se resalta a continuación:
Nota:
Para clasicar una función como inyectiva, sobreyectiva, ambas o ninguna, dados el dominio, el codominio y el criterio, se puede proceder a trazar la gráca para determinar
el ámbito.
Si al menos un elemento del ámbito tiene más de una preimagen, la función
es inyectiva.
Si el ámbito determinado no coincide con el codominio dado, la función
sobreyectiva.
Ejercicio 83
no
no es
Resuelva los siguientes ejercicios:
a) Considere las funciones
f , g , h, i, j , k , l, m
y
n
cuya gráca se presenta. Complete
las tablas adjuntas con la información solicitada.
9
g : [−2, 1[ → − , 4
4
f : ]−∞, −1] → [2, 4]
Función
Cod.
Iny.
Ámb.
f
g
h
301
h: [−1, 1[ → [−1, 3[
Sobrey.
Biy.
Precálculo
MATEM-UCR
i: R − {0} → R
Función
j: R → R
Cod.
Iny.
Ámb.
k : ]−1, 2] → ]0, 3]
Sobrey.
Biy.
i
j
k
l: ]−2, +∞[ → ]−5, +∞[
Función
Cod.
m: [−1, +∞[ → R − [1, 2[
Iny.
Ámb.
l
m
n
302
n: ]−∞, 1[ → [−1, +∞[
Sobrey.
Biy.
Precálculo
MATEM-UCR
b) Complete la tabla adjunta con Sí o No, según corresponda.
Función
Iny.
1.
a: R → R
2.
b: [1, 4] → R
3.
c: [0, 10] → [5, 15]
4.
d: {−2, 8} → [3, 13]
5.
e: R → [0, +∞[
6.
f : R − {0} → R
con
f (x) = x2
7.
g : ]−4, −2] → R
con
g(x) = (x − 1)2
8.
h: ]−4, −2] → [9, 25[
9.
i: [−5, 8] → R
a(x) = x + 8
con
b(x) = x − 3
con
d(x) = x + 5
con
e(x) = x2
con
con
h(x) = (x − 1)2
i(x) = x2 − 5
con
10.
j : [−9, 9] → [−81, 0]
11.
k : ]0, +∞[ → [7, +∞[
12.
l: R → R
13.
m: ]−4, 6] → R
14.
n: ]−1, 5] → ]−27, 27]
15.
p: R − {0} → R − {0}
16.
q : R − {0} → R
con
c(x) = x + 5
con
j(x) = −x2
con
con
k(x) = x2 + 7
l(x) = x3
con
con
m(x) = −1 + x3
con
con
n(x) = (x − 2)3
p(x) = −
q(x) = −
1
x
1
x
18.
1
1
con r(x) =
r: [−1, 2] − {0} → R − −1,
2
x
√
s: [0, +∞[ → R con s(x) = x
19.
t: [4, 100[ → [2, 10[
20.
v : ]−∞, 2[ → [0, +∞[
17.
con
t(x) =
con
√
x
v(x) =
√
−x + 2
303
Sobrey.
Biy.
Precálculo
MATEM-UCR
Función
Iny.
21.
f : ]−∞, 4] → R
22.
g: Z → R
con
g(x) =| x | +6
23.
h: N → N
con
h(x) =| x |
24.
i: {−2, −14} → {−6}
25.
j : R → N con j(x) = 5
√
√
k: R →
7 con k(x) = 7
26.
con
Sobrey.
Biy.
f (x) =| x − 4 |
con
i(x) = − | x + 8 |
Respuestas:
Función
Cod.
Ámb.
f
[2, 4]
]2, 4]
Sí
No
No
g
9 −4, 4
9 −4, 4
No
Sí
No
h
i
j
[−1, 3[
R
R
[−1, 3[
R − {−2}
R
Sí
Sí
Sí
Sí
No
No
Sí
Sí
Sí
k
l
m
n
]0, 3]
]−5, +∞[
R − [1, 2[
[−1, +∞[
[1, 3]
]−5, +∞[
[−1, 1[ ∪ [2, 3]
[−1, +∞[
No
No
No
Sí
Sí
Sí
No
No
No
No
Sí
No
Iny.
Sobrey.
Iny.
Biy.
Sobrey.
Iny.
Sobrey.
Biy.
Biy.
1.
Sí
Sí
Sí
14.
Sí
Sí
Sí
2.
Sí
No
No
15.
Sí
Sí
Sí
3.
Sí
Sí
Sí
16.
Sí
No
No
4.
Sí
No
No
17.
Sí
Sí
Sí
5.
No
Sí
No
18.
Sí
No
No
6.
No
No
No
19.
Sí
Sí
Sí
7.
Sí
No
No
20.
Sí
No
No
8.
Sí
Sí
Sí
21.
Sí
No
No
9.
No
No
No
22.
No
No
No
10.
No
Sí
No
23.
Sí
Sí
Sí
11.
Sí
No
No
24.
No
Sí
No
12.
Sí
Sí
Sí
25.
No
No
No
13.
Sí
No
No
26.
No
Sí
No
304
Precálculo
MATEM-UCR
3.6. Función inversa
En esta sección se estudia la función inversa, que se dene del siguiente modo:
Denición 3.21: Función inversa
Si
f: A → B
biyectiva, existe una
inversa de f y denotada por f −1
es una función
función llamada la
tal que, si la imagen de
entonces la imagen de
y
x
bajo la función f es y ,
−1
bajo la función f
es x y
viceversa. Esto puede escribirse del siguiente modo:
f (x) = y ⇔ f −1 (y) = x.
A la derecha se muestra el diagrama de una función biyectiva
f
y el correspondiente a su funf −1 :
ción inversa
¾Por qué una función debe ser biyectiva para que exista su función inversa?
•
Si
f: A → B
no fuera inyectiva, como en el caso de
la imagen de la derecha, existiría un valor en
B
con dos
preimágenes. Pero la función inversa no podría asociar a
dicho valor dos imágenes, pues existiría contradicción con la
denición de función.
•
Si
f: A → B
no fuera sobreyectiva, como en el caso de la
imagen de la derecha, existirían valores en el dominio de la
función inversa que no tendrían una imagen, lo cual también
contradice la denición de función.
305
Precálculo
MATEM-UCR
En el siguiente ejemplo se aplica la denición antes mencionada:
Ejemplo 3.66
Considere la función biyectiva
f : {1, 2} → {5, 6}
a) Determine el dominio y el codominio de
b) Determine el gráco de
Gf = {(1, 5), (2, 6)}.
f −1 .
f −1 .
Solución:
a)
cuyo gráco es
b) Por la denición de función inversa:
f (x) = y ⇔ f −1 (y) = x
f (1) = 5 ⇔ f −1 (5) = 1
f (2) = 6 ⇔ f −1 (6) = 2
Df −1 = Cf = {5, 6}
Cf −1 = Df = {1, 2}
∴ Gf −1 = {(5, 1), (6, 2)}
En el ejemplo anterior se observa el contenido de la siguiente nota:
Nota:
Si
(a, b)
es un elemento del gráco de
f,
entonces
(b, a)
pertenece al gráco de
f −1 .
criterio
Si se tiene el criterio de una función biyectiva f y se desea determinar el
de su
−1
función inversa, es decir, se conoce f (x) y se quiere determinar f
(x), se puede tomar en
−1
cuenta que y = f
(x) ⇔ f (y) = x. De este modo, se puede igualar x al criterio de la función
f
en variable
y,
y posteriormente despejar
y,
como se muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.67
Considere la función biyectiva
f : [3, 5[ → [7, 11[
con
f (x) = 2x + 1. Determine f −1 (x).
Solución:
Para determinar
f −1 (x),
se puede proceder del siguiente modo:
y = f −1 (x) ⇔
⇔
⇔
f (y) = x
2y + 1 = x
x−1
y=
2
306
∴ f −1 (x) =
x−1
2
Precálculo
Determinar
función inversa
MATEM-UCR
f −1 signica proporcionar el dominio, el codominio
de f , como se presenta en el siguiente ejemplo:
y el
criterio
de la
Ejemplo 3.68
Considere la función biyectiva
g −1 .
g : ]−∞, −4] → ]−∞, 2]
donde
g(x) = 2− | x + 4 |.
Determine
Solución:
• Dg−1 = Cg = ]−∞, 2]
• Cg−1 = Dg = ]−∞, −4]
•
Criterio:
x ∈ Dg = ]−∞, −4], se tiene que | x + 4 |= −x − 4, por ende,
g(x) = 2− | x + 4 |= 2 − (−x − 4) = x + 6 y se puede calcular g −1 (x) así:
Como
y = g −1 (x)
⇔ g(y) = x
⇔ y+6=x
∴ g −1 (x) = x − 6
⇔ y =x−6
Finalmente,
g −1 : ]−∞, 2] → ]−∞, −4]
con
g −1 (x) = x − 6.
Importante:
No se debe confundir las instrucciones: determinar
f −1 y determinar
f −1 (x).
La primera se reere a proporcionar el dominio, el codominio y el criterio de la función
f −1 , mientras que en la segunda se solicita solamente el criterio.
A continuación se presentan otros ejemplos en donde se determina la inversa de una
función dada. Particularmente en el siguiente, la función considerada tiene un criterio de la
2
forma f (x) = a(x − h) + k y está denida en un dominio donde es biyectiva, por lo cual
puede determinarse su inversa. Es importante prestar atención al despeje que se realiza para
−1
determinar f
(x).
307
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.69
h: ]−∞, −1] → [−3, +∞[
h(x) = x + 2x − 2 = (x + 1) − 3. Determine h−1 .
Considere la función biyectiva
2
2
denida por
Solución:
• Dh−1 = Ch = [−3, +∞[
•
• Ch−1 = Dh = ]−∞, −1]
Criterio:
y = h−1 (x)
√
x+3
√
⇔ −y − 1 = x + 3 a
√
⇔ y = −1 − x + 3
√
∴ h−1 (x) = −1 − x + 3
⇔ h(y) = x
⇔ | y + 1 |=
⇔ (y + 1)2 − 3 = x
⇔ (y + 1)2 = x + 3
q
√
⇔ (y + 1)2 = x + 3
Finalmente,
a Al
h−1 : [−3, +∞[ → ]−∞, −1]
con
h−1 (x) = −1 −
y = h−1 (x) se sabe que y ∈ Ch−1 = ]−∞, −1],
que | y + 1 |= −(y + 1) = −y − 1.
escribir
se concluye
es decir
√
x + 3.
y ≤ −1,
entonces
y+1 ≤ 0
y
En el siguiente ejemplo el criterio de la función dada involucra una raíz cuadrada:
Ejemplo 3.70
Considere la función biyectiva
Determine
f:
1
, +∞ → [0, +∞[
2
• Criterio:
y = f −1 (x)
• Df −1 = Cf = [0, +∞[
1
= Df = , +∞
2
⇔
⇔
f (y) = x
√
2y − 1 = x
⇔
2y − 1 = x2
⇔
y=
Finalmente,
a Al
f
−1
:
1
[0, +∞[ → , +∞
2
con
y = f −1 (x) se sabe que√y ∈ Cf −1 =
2
anterior, 2y − 1 = x
⇒ 2y − 1 = x.
escribir
Debido a lo
f (x) =
√
2x − 1.
f −1 .
Solución:
• Cf −1
denida por
308
f −1 (x) =
1
a
x2 + 1
2
∴ f −1 (x) =
x2 + 1
2
x2 + 1
.
2
2 , +∞ , es decir,
y≥
1
2 , entonces
2y − 1 ≥ 0.
Precálculo
MATEM-UCR
En el siguiente ejemplo se determina la inversa de una función biyectiva denida a trozos:
Ejemplo 3.71
Considere la función
f : R → ]−1, +∞[
a) Graque la función
f.
b) Determine el ámbito de
tal que

 1
x
f (x) =
 √
c) Justique por qué
f.
f
si x < −1
x + 1 si x ≥ −1
es biyectiva.
d) Determine la función
f −1 .
Solución:
a) A la derecha se presenta la gráca
de
f.
b) Mediante la gráca se determina
que
c)
f
Af = ]−1, +∞[.
es inyectiva porque cada elemento de su ámbito tiene una única preimagen, y es
sobreyectiva porque
Cf = A f ,
por lo tanto
f
es biyectiva.
d) Con base en la gráca también se pueden denir las siguientes funciones biyectivas:
f1 : ]−∞, −1[ → ]−1, 0[
tal que
f2 : [−1, +∞[ → [0, +∞[
1
.
x
√
f2 (x) = x + 1.
f1 (x) =
tal que
Observe que,
y = f1 −1 (x)
y = f2 −1 (x)
⇔ f1 (y) = x
1
=x
⇔
y
1
⇔ y=
x
1
∴ f1 −1 (x) =
x
Finalmente, como
Af1 = ]−1, 0[
f −1 : ]−1, +∞[ → R
tal que
⇔ f2 (y) = x
√
⇔
y+1=x
⇔ y = x2 − 1
∴
y
Af2 = [0, +∞[,
f2 −1 (x) = x2 − 1
se tiene que:

 1
si x ∈ ]−1, 0[
−1
x
f (x) =
 2
x − 1 si x ∈ [0, +∞[
309
Precálculo
MATEM-UCR
3.6.1. La función inversa y la composición de funciones
En el siguiente ejemplo se relacionan los conceptos de función inversa y composición de
funciones.
Ejemplo 3.72
Considere la función biyectiva
f : [3, 5[ → [7, 11[
f (x) = 2x + 1
(f ◦ f −1 ) y (f −1 ◦ f ).
tal que
Determine el dominio y el criterio de las funciones:
Solución:
En un ejemplo previo se vericó que
f −1 : [7, 11[ → [3, 5[
tal que
f −1 (x) =
por lo tanto se tiene que:
Df ◦f −1
x−1
,
2
= {x ∈ Df −1 / f −1 (x) ∈ Df }
(f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x))
x−1
x−1
∈ [3, 5[
= f
=
x ∈ [7, 11[ /
2
2
x−1
x−1
=
x / 7 ≤ x < 11 y 3 ≤
<5
= 2
+1
2
2
= {x / 7 ≤ x < 11
y
6 ≤ x − 1 < 10}
= x
= {x / 7 ≤ x < 11}
=
[7, 11[
= Df −1
Df −1 ◦f
= {x ∈ Df
/
= {x ∈ [3, 5[
(f −1 ◦ f )(x)
f (x) ∈ Df −1 }
/
2x + 1 ∈ [7, 11[}
= {x
/
3≤x<5
y
7 ≤ 2x + 1 < 11}
= {x
/
3≤x<5
y
6 ≤ 2x < 10}
= {x
/
3 ≤ x < 5}
=
= f −1 (f (x))
= f −1 (2x + 1)
(2x + 1) − 1
2
= x
=
[3, 5[
= Df
En el ejemplo anterior se observa lo indicado en el siguiente teorema:
310
Precálculo
MATEM-UCR
Teorema 3.1
Si
f
es un función biyectiva, se cumple que:
(f ◦ f −1 )(x) = x
Ejercicio 84
con
x ∈ Df ◦f −1 = Df −1 .
(f −1 ◦ f )(x) = x
con
x ∈ Df −1 ◦f = Df .
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, en los cuales se presentan fun-
ciones biyectivas.
a) Determine
1.
2.
f −1 (x)
si:
1
4
f: R −
→ R − {0} tal que f (x) =
3
3x − 1
√
1
f:
, +∞ → [0, +∞[ tal que f (x) = 5x − 1
5
3.
f : [0, +∞[ → [−4, +∞[
4.
f : [0, +∞[ → ]0, 1]
5.
f : ]−∞, 0[ → ]3, +∞[
b) Verique que
tal que
tal que
f (x) = x2 − 4
f (x) =
tal que
(f ◦ f −1 )(x) = x
1
1 + x2
f (x) = x2 + 3
y
(f −1 ◦ f )(x) = x
la parte a).
311
para cada una de las funciones de
Precálculo
c) Determine
MATEM-UCR
f −1
si:
1.
f : {−3, −2, −1, 0} → {0, 1, 2, 3}
2.
f : [−2, 6[ → [−6, 2[
3.
f : ]−∞, −2] → [5, +∞[
4.
f : ]2, +∞[ → ]−∞, 0[
tal que
5.
f : [3, +∞[ → [1, +∞[
tal que
6.
f: R → R
7.
f : [2, +∞[ → ]−∞, 0]
8.
f : ]0, +∞[ → ]−∞, −5[
9.
f : ]−∞, −2] → [−1, +∞[
tal que
tal que
tal que
f (x) = x − 4
tal que
f (x) = −x + 3
1
−x + 2
√
f (x) = x − 3 + 1
f (x) =
f (x) = x3 − 5
tal que
f (x) = − | x − 2 |
tal que
10.
f : R − {2} → R − {0}
11.
f : ]3, +∞[ → ]2, +∞[
12.
f : ]−∞, −3[ → ]−2, +∞[
13.
f : ]−∞, −1] → ]−∞, 3]
14.
f : [−1, 4[ → ]−2, 3]
f (x) = −x2 − 5
f (x) = (x + 2)2 − 1
tal que
tal que
tal que
f (x) = −
f (x) =
tal que
tal que
tal que
f : [−2, 3] → [0, 7]
tal que
1
x−2
f (x) = (x − 3)2 + 2
√
−x + 1 − 4
f (x) = −(x + 1)2 + 3
f (x) = 3− | x + 1 |
15.
f (x) = −x
f (x) =
x2
si −2 ≤ x ≤ 0
x + 4 si 0 < x ≤ 3
16.
17.
f : R → ]−∞, −2[ ∪ [−1, +∞[
f : R → ]−∞, 0[ ∪ [2, +∞[
tal que
tal que
f (x) =
−x3
si x ≤ 1
− | x + 1 | si x > 1
( √
−x + 2 si x ≤ 0
1
f (x) =
−
si x > 0
x
312
Precálculo
MATEM-UCR
3.6.2. Gráca de una función inversa
En el siguiente ejemplo se presenta la gráca de una función y su función inversa, en el
mismo plano cartesiano.
Ejemplo 3.73
h: ]−∞, −1] → [−3, +∞[ denida por
h(x) = x + 2x − 2 = (x + 1) − 3. Graque la recta y = x y las funciones h
Considere la función biyectiva
2
2
y
h−1
en
el mismo plano cartesiano.
Solución:
Anteriormente se determinó que
−1 −
√
h−1 : [−3, +∞[ → ]−∞, −1]
con
h−1 (x) =
x+3
Mediante transformaciones se pude
h y la de h−1 :
Al gracarlas en el mismo plano
cartesiano junto a
obtener la gráca de
En el ejemplo anterior se observa que una de las grácas es
y = x, esto se
(a, b) ∈ Gf , entonces
el reejo de la otra con respecto a la recta
debe a lo estudiado anteriormente: si
(b, a) ∈ Gf −1 . Al representar ambos puntos en el mismo plano
cartesiano (como en la gura de la derecha), se observa que
y = x. Lo
−1
de f y f
.
uno es el reejo del otro con respecto a la recta
mismo ocurre con todos los puntos de la gráca
313
y = x,
se obtiene:
Precálculo
MATEM-UCR
Nota:
En general, la gráca de
a la recta
f −1
se puede obtener reejando la gráca de
f
con respecto
y = x.
Ejercicio 85
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:
a) A continuación se presenta la gráca de funciones biyectivas. Graque la función inversa
de cada una de ellas en el mismo plano cartesiano.
314
Precálculo
MATEM-UCR
3.7. Función lineal
Una función que tiene varias aplicaciones en Matemática y en otras áreas es la función
lineal, que se dene del siguiente modo:
Denición 3.22: Función lineal
Si A y B son subconjuntos de R, no vacíos, la función f : A → B
f (x) = mx + b con m, b ∈ R, se llama función lineal.
denida por
Importante:
m = 0 (es decir, f (x) = b), f recibe el nombre de
cuando m = 1 y b = 0 (es decir, f (x) = x), se llama
En el caso particular donde
función constante,
función identidad.
y
La gráca de la función lineal
f: R → R
tal que
f (x) = mx + b
coincide con la de la
recta (estudiada en el capítulo de Geometría Analítica), debido a su dominio y su criterio.
Ejemplo 3.74
f: R → R
con
g: R → R
con
g(x) = 2
h: R → R
con
h(x) = x
f (x) = −2x + 1
315
Precálculo
MATEM-UCR
Del estudio de las rectas no verticales y de los conceptos generales de funciones, se deducen
las siguientes propiedades:
Propiedades de la función lineal:
Si
f: R → R
es una función denida por
f (x) = mx + b
con
m, b ∈ R
y
m 6= 0,
se
cumple que:
Dados
Si
(x1 , y1 )
m > 0, f
y
(x2 , y2 )
distintos, del gráco de
es estrictamente creciente y si
f,
m < 0, f
se tiene que
m=
y2 − y1
.
x2 − x1
es estrictamente decreciente.
f se puede trazar tomando del gráco al menos dos pares ordenados
(x2 , y2 ) distintos y construyendo la recta que los contiene, o bien,
La gráca de
(x1 , y1 )
y
aplicando transformaciones a la función identidad.
Si
x̂
es la preimagen de
punto
0
bajo la función
f,
la gráca interseca al eje
X
en el
(x̂, 0).
La gráca de
f
interseca al eje
Y
en
(0, f (0)) = (0, b).
g : R → R y h: R → R son dos funciones distintas, denidas por g(x) = m1 x+b1 y
h(x) = m2 x+b2 , con m1 , m2 , b1 , b2 ∈ R, que se gracan en el mismo plano cartesiano,
Si
se cumple que:
Si
m1 = m2 ,
Si
m1 · m2 = −1,
las grácas de
g
y
las grácas de
h
g
son rectas paralelas.
y
h
son rectas perpendiculares.
A continuación se presenta un ejemplo que tiene que ver con el criterio y la gráca de
una función lineal de dominio
R:
316
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.75
Determine el criterio y la gráca de la función lineal
ordenados
(−5, −1)
y
(2, 3)
f: R → R
sabiendo que los pares
son elementos de su gráco.
Solución:
Con los pares ordenados se puede calcular el valor de
ˆ m=
b:
13
4
·2=
7
7
Por lo tanto, el criterio de la función es
f (x) =
4x + 13
7
La gráca de
(2, 3),
y
3 − (−1)
4
=
2 − (−5)
7
ˆ b = y − mx = 3 −
f (x) =
m
f
4
13
x+ ,
7
7
o lo que es lo mismo,
se puede obtener fácilmente, ubicando los puntos
(−5, −1)
y
y trazando la recta que los contiene.
Importante:
Se debe prestar mucha atención cuando el dominio de una función es diferente de
R,
pues esto inuye en la determinación de la gráca, los puntos de intersección de ésta
con los ejes, el ámbito, entre otros.
Observe el siguiente ejemplo donde se presentan funciones con dominio diferente de
317
R:
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.76
Considere las funciones
que
j(x) = −x + 5.
h: [1, 3[ → R
h(x) = −x + 5
tal que
y
j : ]−∞, 3] → R
tal
Para cada una de ellas determine:
a) Los puntos de intersección con los ejes.
b) La gráca.
c) El ámbito.
Solución:
a) Puntos de intersección con los ejes:
b) Gráca:
Función
En ambos casos, no existe intersección con el eje
X,
al resolver la ecuación
se obtiene
5∈
/ Dh
y
x = 5,
5∈
/ Dj .
En el caso de
h,
pero
Función
j
puesto que
−x+5 = 0
sin embargo
no existe in-
Y
0 ∈ Dj ,
tersección con el eje
0 ∈
/ Dh ,
h
porque
por lo
tanto, el punto de intersección de
la gráca de
j
con el eje
Y
es
(0, b) = (0, 5).
En las grácas se puede evidenciar lo
anteriormente expuesto sobre los puntos
de intersección con los ejes.
c) Ámbito: A partir de la gráca, se puede deducir que
Nota:
En el caso de funciones como
escribe con el símbolo
1. Como
Dh = [1, 3[,
x=3
y
Aj = [2, +∞[.
donde el dominio es un intervalo que no se
∞, se puede obtener el ámbito sin la gráca, del siguiente modo:
niendo los valores
2. Como
h,
Ah = ]2, 4]
se toma
y=4
y
x = 1 y x = 3 para sustituirlos
y = 2 respectivamente.
no está en el dominio,
y=2
en el criterio, obte-
no pertenece al ámbito.
3. Finalmente, se forma el intervalo cuyos extremos sean los valores de
en el paso #1, y se excluye el
2
por lo mencionado en el paso #2.
318
y obtenidos
∴ Ah = ]2, 4]
Precálculo
MATEM-UCR
Conociendo el criterio de una función lineal y su ámbito se puede determinar el dominio,
para lo cual también resulta útil considerar la gráca, como se muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.77
Considere la función
f
con
f (x) = 1 − 2x
y
Af = ]−∞, −5[.
Determine
Df .
Solución:
Para determinar la respuesta se puede proceder del siguiente modo:
Af = ]−∞, −5[,
x: 1 − 2x = −5 ⇔ x = 3.
1. El ámbito dado es:
despejar
2. Como
−5
no está en el ámbito,
3
entonces se puede igualar el criterio a
−5
y
no pertenece al dominio, pero es una referencia
para el paso siguiente.
3. Se traza la gráca de la función que tiene el mismo criterio que
f
pero con dominio
R, y se selecciona la parte que corresponde para que la nueva gráca tenga el ámbito
deseado, tal y como se presenta a continuación. Observe que el punto (3, −5) aparece
excluído, por lo analizado anteriormente.
4. De la gráca obtenida se observa que
Df = ]3, +∞[.
319
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.78
Considere la función
g
con
g(x) = 3 − 2x
y
Ag = ]−1, 5].
Determine
Dg .
Solución:
Para hallar la respuesta se puede proceder de forma análoga al ejemplo anterior:
Ag = ]−1, 5], entonces se puede igualar el criterio a −1
despejar x: 3 − 2x = −1 ⇔ x = 2 y 3 − 2x = 5 ⇔ x = −1.
1. El ámbito dado es:
para luego
2. Como
−1
no está en el ámbito,
en el ámbito, por lo que
−1
2
no pertenece al dominio, sin embargo,
5
y
a
5
sí está
está en el dominio.
3. Se traza la gráca de la función que tiene el mismo criterio que
g
pero con dominio
R, y se selecciona la parte que corresponde para que la nueva gráca tenga el ámbito
deseado, tal y como se presenta a continuación. Observe que el punto (2, −1) aparece
excluído, por lo analizado anteriormente.
4. De la gráca obtenida se observa que
Dg = [−1, 2[.
Nota: En ejemplos como este, donde el ámbito es un intervalo que no se escribe con
el símbolo
∞,
se puede obtener el dominio sin la gráca, formando el intervalo cuyos
extremos sean los valores de
x
obtenidos en el paso #1, y prestando atención en los
valores que nalmente deben quedar excluidos del dominio, como es el caso de
este ejemplo.
∴ Dg = [−1, 2[
320
2
en
Precálculo
Ejercicio 86
MATEM-UCR
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:
a) A continuación se presenta el criterio y el dominio de varias funciones lineales. Trace la
gráca y determine el ámbito.
1.
f (x) = 4x − 1
2.
h(x) = −x + 2
3.
b(x) =
4.
a(x) = −7x + 2
con
5.
j(x) = −3x + 1
con
6.
k(x) = 2x + 4
con
Dk = [−9, +∞[
7.
p(x) = 5x + 2
con
Dp = ]−∞, 3[
8.
r(x) = −8x − 5
9.
t(x) = 7x − 6
5x
+6
2
Df = [−5, 8[
con
con
con
Dh = ]−∞, 4]
R/
Ah = [−2, +∞[
R/
Ab = −∞, 57
2
Da = [−4, 2]
R/
Aa = [−12, 30]
Dj = [−7, 6[
R/
Aj = ]−17, 22]
Db = ]−∞, 9[
con
Ak = [−14, +∞[
R/
Ap = ]−∞, 17[
R/
Dr = ]−∞, 5[
R/
Dt = ]0, +∞[
con
Af = [−21, 31[
R/
Ar = ]−45, +∞[
At = ]−6, +∞[
R/
b) A continuación se presenta el criterio y el ámbito de varias funciones lineales. Trace la
gráca y determine el dominio.
1.
f (x) = 3x − 5
2.
h(x) = −2x + 7
3.
b(x) =
4.
a(x) = −5x + 3
con
Aa = [−3, 7]
5.
j(x) = −8x + 3
con
Aj = [−4, 5[
6.
k(x) = x + 1
7.
r(x) = −2x − 1
con
Ar = ]−∞, 3[
8.
q(x) = −1 + 3x
con
Aq = ]−∞, 2]
9.
t(x) = 4x − 5
3x
+5
2
con
Af = [−2, 3[
con
con
con
con
Df = 1, 38
Dh = 12 , +∞
R/
Ah = ]−∞, 6]
R/
Ab = ]−∞, −7[
R/
Db = ]−∞, −8[
Da = − 54 , 65
1 7
R/ Dj = − 4 , 8
R/
Ak = [−4, +∞[
R/
Dk = [−5, +∞[
R/
Dr = ]−2, +∞[
Dq = ]−∞, 1]
3
R/ Dt = 2 , +∞
R/
At = ]1, +∞[
321
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 87
1. Si
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios sobre la función lineal:
(−7, −2)
pertenece al gráco de la función
p: R → R
tal que
p(x) = −kx + 3.
Determine:
a) El valor de
k.
b) La monotonía de
p.
c) Los puntos de intersección con los ejes.
h
h(r + 5).
2. Si la gráca de la función
su gráco, calcule
3. Si los pares ordenados
lineal
f : R → R,
a) El valor de
(0, k), (k, −4k)
b) Dena
c) ¾Es
pertenece a
son elementos del gráco de una función
f.
f: R → R
tal que
f (x) = mx + b
y
m 6= 0.
es biyectiva?.
una función lineal?.
5. Determine el conjunto
6. Considere la función
b) Calcule
(r, k)
f −1 .
f −1
a) Dena
y se sabe que
determine:
4. Considere la función lineal
f
(2, −9)
y
−3
k.
b) El criterio de
a) ¾Por qué
es un recta de pendiente
B
si se sabe que
g: R → R
j : [3, +∞[ → B
tal que
g(x) =
con
j(x) = −2x + 7
es biyectiva.
−2x + 3
.
5
g −1 .
g(−6) + 3 · g −1 (2).
7. Sabiendo que
h: R → R
es un función lineal y que los pares ordenados
pertenecen al gráco de su inversa, determine
8. Sabiendo que
i: R → R
(2, −3)
y
(5, −4)
(−1, 5)
y
(8, −3)
h(x).
es un función lineal y que los pares ordenados
i−1 (x).
pertenecen a su gráco, determine
9. Determine el criterio de una función lineal
f: R → R
322
tal que
f (f (x)) = 4x + 1.
Precálculo
MATEM-UCR
f: R → R
10. A continuación se presenta la gráca de las funciones lineales
g : [−3, +∞[ → R,
y
en un mismo plano cartesiano.
a) Determine el valor de
(f ◦ g)(9).
b) Determine el valor de
(g ◦ f )(−2).
c) ¾Son las grácas de ambas funciones perpendiculares?.
d) Determine los puntos de intersección de las
grácas de las funciones con los ejes.
e) Determine el punto de intersección de ambas grácas entre sí.
Respuestas:
1. a)
k = −
5
.
7
b) Estrictamente creciente.
21
c) Intersección con el eje X :
− ,0
5
intersección con el eje Y : (0, 3).
2.
b)
4. a)
k = 1.
f (x) = −5x + 1.
f
b)
e
h(r + 5) = k − 15.
3. a)
6. a)
es inyectiva porque cada elemento
g −1 : R → R
15
− .
2
7.
h(x) = −3x − 7.
8.
i−1 (x) =
9.
f (x) = 2x +
R,
al igual que su codominio. Por lo tanto,
f es biyectiva. b) f −1 : R → R tal que
f −1 (x) =
5.
x−b
.
m
10. a)
c) Sí.
−7.
g −1 (x) =
3 − 5x
.
2
37 − 9x
.
8
del ámbito tiene solamente una preimagen,
y es sobreyectiva porque su ámbito es
tal que
b)
1
3
13
.
3
la gráca de
f
o
f (x) = −2x − 1.
c) No. d) Intersección de
con el eje
X:
3
,0
2
y con
Y : (0, 3). Intersección de la gráca
de g con el
eje X: no hay y con el eje Y :
3 15
(0, 2) e)
,
.
7 7
el eje
B = ]−∞, 1].
323
Precálculo
MATEM-UCR
3.7.1. Aplicaciones de la función lineal
A continuación se presentan problemas resueltos, en los cuales se aplican las propiedades
de la función lineal:
Ejemplo 3.79
Un móvil se encuentra a
600 m
de su destino cuando inicia su recorrido en línea
recta a una velocidad constante. En la siguiente gráca se representa la distancia (en
metros) desde donde se encuentra el móvil hasta su destino en función del tiempo
transcurrido (en segundos). Con base en la gráca, determine:
a) El criterio de la función
f
que permite
determinar la cantidad de metros (m)
que le faltan por recorrer al móvil, para
llegar a su destino.
b) ¾Cuántos metros le faltan por recorrer a
los
10 s?
c) ¾ En cuánto tiempo llegará a su destino?
d) ¾ Cuántos metros ha recorrido a los
15 s?
Solución:
a) Se aprecia que los puntos
(0, 600)
y
(20, 400)
son parte del gráco de la función
f.
Con ellos se puede obtener el criterio buscado.
m=
b)
400 − 600
= −10
20 − 0
y
∴ f (x) = −10x + 600
b = 600.
f (10) = −10 · 10 + 600 = 500,
recorrido, le faltan 500 m.
lo que quiere decir que a los
10 s
c) Llegará a su destino cuando la distancia que le falte por recorrer sea
f (x) = 0 ⇔ −10x + 600 = 0 ⇔ x = 60,
d) A los
luego
por lo tanto, llegará en
de iniciado el
0 m.
60 s.
15 s le faltan por recorrer 450 m, puesto que f (15) = −10 · 15 + 600 = 450,
600 − 450 = 150, por lo tanto ha recorrido 150 m a los 15 s.
324
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.80
El
grado Celsius,
(símbolo
◦
C ),
es la unidad creada por Anders Celsius (Suecia)
grado Fahrenheit
en 1742 para su escala de temperatura. El
(representado como
◦
F ) es una escala de temperatura propuesta por Daniel Gabriel Fahrenheit (alemán,
Holandés) en 1724.
a.
Si se sabe que la relación funcional entre grados Celsius y grados Fahrenheit es lineal,
◦
◦
◦
◦
y que a 0 C le corresponden 32 F y a 100 C le corresponden 212 F .
a) Determine el criterio de la función
g
que relaciona ambas unidades, de modo que
(cantidad de grados Celsius) es la variable independiente y
f
c
(cantidad de grados
Fahrenheit) es la variable dependiente.
b) Determine la cantidad de grados Fahrenheit que es equivalente a
c) Aproxime la cantidad de grados Celsius que le corresponden a
d) Determine un número
x
tal que
x ◦C
sea igual a
30 ◦ C .
60 ◦ F .
x ◦F .
Solución:
a) Los pares ordenados
(0, 32)
y
(100, 212)
forman parte del gráco de la función
buscada, por lo cual sirven para determinar su criterio:
m =
b = 32.
9
∴ g(c) = · c + 32
5
b)
g(30) =
Por lo
c)
9
· 30 + 32 = 86
5
◦
tanto, 30 C es equivalente
9
212 − 32
=
100 − 0
5
a
86 ◦ F .
9
140
· c + 32 ⇔ c =
≈ 16.
5
9
◦
lo tanto, a 60 F le corresponden
60 =
Por
aproximadamente
16 ◦ C .
g(x) = x
9
g(x) = x ⇔ · x + 32 = x ⇔ x = −40, por lo tanto, −40 ◦ C = −40 ◦ F
5
d) Para ello, se debe resolver la ecuación
a https://es.wikipedia.org/wiki/Anders_Celsius
325
y
Precálculo
MATEM-UCR
3.7.2. Problemas
1. El húmero (en latín, humerus) es el hueso más largo de las extremidades superiores en el
ser humano. Forma parte del esqueleto apendicular superior y está ubicado en la región
2
del brazo . Se dispone de las siguientes relaciones entre el húmero y la longitud de una
persona.
En hombres:
En mujeres:
Donde
E
E = 2, 75 · H + 71, 48
E = 2, 89 · H + 70, 64
es la estatura (en cm) y
H
es la medida del húmero (en cm).
a) Determine la estatura de un hombre cuyo húmero mide
38, 25 cm.
b) Determine la medida del húmero de una mujer cuya estatura es
2. En Costa Rica, la tarifa ocial de taxi es
recorrido menor) y
675
615
175 cm.
colones el primer kilómetro (o cualquier
colones cada kilómetro adicional a este.
3
a) Considerando la ruta indicada en el mapa , desde el Parque Central hasta la Universidad de Costa Rica en San Pedro, donde el recorrido es de
3, 2 km,
determine el precio
que cobraría el taxista.
b) Si
x
representa la cantidad de kilómetros de cierto lugar hasta la UCR, determine el
criterio de una función que permita calcular la tarifa en términos de
2 https://es.wikipedia.org/wiki/Húmero
3 Tomado de Google Maps.
326
x.
Precálculo
MATEM-UCR
c) A continuación se presentan diferentes lugares y la distancia en kilómetros a la Universidad de Costa Rica, mediante alguna ruta escogida en Google Maps. Determine la
tarifa de taxi si el viaje se realiza de los lugares indicados a la UCR.
Ruta a UCR desde Total de km
Tibás
5, 3 km
Estadio Nacional
6, 8 km
Uruca
9, 2 km
Tarifa total
11, 6 km
Coronado
210 km
Nicoya
3. Elena es una joven demasiado popular en una de sus redes sociales y su cantidad de amigos
aumenta día a día. El primero de enero del año pasado tenía
895
amigos y la cantidad en
otros días se muestra en la siguiente tabla.
Día
Cantidad de amigos
1
2
3
4
5
6
895
945
995
1045
1095
1145
Si la relación mostrada en la tabla entre el número de días y la cantidad de amigos se
mantuvo durante todo el año.
a) Determine el criterio de una función que permita calcular la cantidad de amigos dependiendo del número de día
(x).
b) ¾Cuántos amigos tuvo el día
7?
c) ¾Cuántos amigos tuvo el día
18?
d) ¾Cuántos amigos tuvo el
28
e) ¾Cuál número de día llegó a
de febrero de ese año?
1945
amigos?
327
Precálculo
MATEM-UCR
4. En una empresa, el costo
C
x unidades de cierto producto, por
C(x) = 30x + 150. Si el mes antepasado el costo
producto fue de $5100 y el mes pasado fue de $5700,
en dólares por producir
mes, está dado por la función de criterio
por producir cierta cantidad de ese
¾cuántas unidades más se produjeron el mes pasado?
5. Una empresa de correos ofrece un servicio que consiste en el envío de paquetes y documentos a un bajo costo en el ámbito nacional e internacional.
Para el caso nacional, la tabla de costos es la siguiente:
Peso (gramos)
Tarifa (colones)
0 a 20
21 a 100
101 a 250
251 a 500
501 a 1000
360
520
780
1050
1580
1410
kilogramo adicional
a) Si se envía un paquete de
b) Si se paga por un envío
3485
10650
gramos, ¾cuánto se debe pagar?
colones, ¾cuánto podría pesar lo enviado?
c) Determine el criterio de una función que permita calcular la tarifa en colones, dependiendo del peso (p) en gramos.
6. A continuación se muestra la lista de precios de los combustibles por litro (en colones),
vigentes en julio del año
2014
4
:
Productos
Precio / litro
816
788
676
Gasolina Super
Gasolina Plus
Diesel
91
50
a) Diego tiene un carro que utiliza gasolina Super. El tanque es de
60
litros. Suponiendo
que el tanque está vacío, ¾cuánto debe pagar si desea llenar por completo el tanque?
¾Y si desea comprar gasolina para llenar tres quintos del tanque?
4 http://www.aresep.go.cr/index.php/usuarios/noticias/1312-gasolinas-suben-de-precio-diesel-y-gasbajan
328
Precálculo
MATEM-UCR
b) El carro de Luis utiliza gasolina Plus, y el tanque tiene una capacidad de
¾Qué parte del tanque puede llenar con
23640
40
litros.
colones?
c) María acaba de cambiar su antiguo carro que utiliza gasolina Super a uno que utiliza
Diesel. Ambos tienen un tanque de una capacidad de
50 litros. María gasta tres tanques
por mes. ¾Cuánto ahorra por año?
d) Además, María sabe que en promedio utiliza
2
litros de gasolina para recorrer
¾Qué capacidad del tanque necesita llenar para recorrer
15 km.
200 km?.
e) ¾Cuánto dinero ahorra al hacer ese recorrido en su nuevo carro?.
Respuestas:
1. a)
≈ 177 cm.
2. a)
2100
b)
colones.
≈ 36, 11 cm.
b)
t(x) = 615 + 675(x − 1).
c)
3517, 5; 4530; 6150; 7770
y
colones.
3. a)
4.
20
5. a)
c)
6. a)
e)
a(x) = 50x + 845.
b)
1195
amigos.
c)
1745
amigos.
d)
3795
amigos.
e)
22.
unidades.
5083, 85 colones. b) ≈ 7432, 62 gramos.

360
si 0 ≤ p ≤ 20




520
si 21 ≤ p ≤ 100



 780
si 101 ≤ p ≤ 250
t(p) =
1050
si 251 ≤ p ≤ 500



1580 si 501 ≤ p ≤ 1000



p

 1580 +
− 1 1410 si p ≥ 1001
1000
48960 y 29376
≈ 3733 colones.
colones.
b)
3
de tanque. c)
4
329
252000
colones.
d)
8
de tanque.
15
141690
Precálculo
MATEM-UCR
3.8. Función cuadrática
Otra función cuyas propiedades se aplican en la resolución de diversos problemas es la
cuadrática, que se dene a continuación:
Denición 3.23: Función cuadrática
A y B son subconjuntos de R, no vacíos, la función f : A → B donde f (x) = ax2 +bx+c
con a, b, c ∈ R y a 6= 0, se llama función cuadrática.
Si
Nota:
En la denición se considera
a 6= 0 puesto que de lo contrario, el criterio correspondería
al de una función lineal.
La gráca de la función cuadrática
f: R → R
tal que
f (x) = ax2 + bx + c
coincide con
la de la parábola (estudiada en el capítulo de Geometría Analítica), debido a su dominio y
su criterio.
Ejemplo 3.81
f: R → R
g: R → R
h: R → R
f (x) = x2 + 2x + 1
g(x) = −x2 − 1
h(x) = 2x2 + x − 1
Del estudio de la parábola y de los conceptos generales de funciones, se deducen las
siguientes propiedades:
330
Precálculo
MATEM-UCR
Propiedades de la función cuadrática:
Si
f : R → R es
una función denida por
f (x) = ax2 + bx + c
con
a, b, c ∈ R
y
a 6= 0,
se cumple que:
El vértice es el punto
b
b
M
b
= − ,−
− ,f −
2a
2a
2a 4a
El eje de simetría es la recta
x=−
donde
M= b2 − 4ac.
b
.
2a
La cantidad de intersecciones de la gráca de
f
con el eje
X
depende del valor
del discriminante:
√
√
−b − M
−b + M
,0 y
,0 .
2a
2a
b
b
b
− ,f −
= − ,0 .
2a
2a
2a
ˆ
Si
M> 0
hay dos:
ˆ
Si
M= 0
hay una:
ˆ
Si
M< 0
no hay.
El punto de intersección de la gráca con el eje
Si
Y
es
(0, f (0)) = (0, c)
.
a > 0:
ˆ
ˆ
La gráca de
f
es cóncava hacia arriba.
Es estrictamente decreciente en
b
−∞, −
2a
y es estrictamente creciente
b
en −
, +∞ .
2a
h M
h
ˆ Af = − , +∞ .
4a
Si
a < 0:
ˆ
ˆ
La gráca de
f
es cóncava hacia abajo.
Es estrictamente creciente en
b
−∞, −
2a
b
, +∞ .
en −
2a
i
M i
ˆ Af = −∞, − , .
4a
331
y es estrictamente decreciente
Precálculo
MATEM-UCR
Observe la aplicación de las propiedades antes mencionadas en el siguiente ejemplo, en
el cual la función cuadrática tiene dominio
R
Ejemplo 3.82
Considere la función
•
•
Determine el criterio de
f
tal que
al completar cuadrados.
f.
d) Los puntos de intersección con los ejes.
b) El vértice.
e) La concavidad.
c) El eje de simetría.
f ) Los intervalos de monotonía.
Solución:
g) El ámbito.
Completando cuadrados se obtiene:
f (x) = −x2 − 2x + 3
= −(x2 + 2x − 3)
= −(x2 + 2x + 1 − 4)
= −((x + 1)2 − 22 )
= −(x + 1)2 + 4
•
f (x) = −x2 − 2x + 3.
Determine:
a) La gráca de
•
f: R → R
Para
f
se tiene:
b) Vértice:
(−1, 4).
c) Eje de simetría:
x = −1.
d) Intersección con los ejes:
a) Gráca
Con el eje
X : (−3, 0)
Con el eje
Y : (0, c) = (0, 3).
y
(1, 0).
e) Concavidad: Hacia abajo.
f ) Intervalos de monotonía:
Estrictamente creciente en
]−∞, −1].
Estrictamente decreciente en
[−1, +∞[.
g) Ámbito:
]−∞, 4].
Es importante notar que el dominio de la función anterior es
R.
En los ejemplos que
siguen, la función tiene el mismo criterio que antes, pero diferente dominio.
332
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.83
Considere la función
g : [−2, +∞[ → R
a) Gráca
tal que
g(x) = −x2 − 2x + 3.
b) Vértice:
(−1, 4).
c) Intersección con los ejes:
Con el eje
X : (1, 0).
Con el eje
Y : (0, c) = (0, 3).
d) Concavidad: Hacia abajo.
e) Intervalos de monotonía:
Estrictamente creciente en
[−2, −1].
Estrictamente decreciente en
f ) Ámbito:
[−1, +∞[.
]−∞, 4].
Ejemplo 3.84
Considere la función
a) Gráca
h: [0, 1[ → ]0, 3]
tal que
h(x) = −x2 − 2x + 3.
b) Vértice: No existe, puesto que
−1 ∈
/ Dh .
c) Intersección con los ejes:
X : No existe,
−3 ∈
/ Dh y 1 ∈
/ Dh .
Con el eje
Con el eje
puesto que
Y : (0, c) = (0, 3).
d) Concavidad: Hacia abajo.
e) Intervalos de monotonía:
Estrictamente decreciente en
f ) Ámbito:
333
]0, 3].
[0, 1[.
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.85
Considere la función
i: R − {−1} → ]−∞, 4[
a) Gráca
tal que
i(x) = −x2 − 2x + 3.
−1 ∈
/ Di .
b) Vértice: No existe, puesto que
c) Intersección con los ejes:
Con el eje
X : (−3, 0)
Con el eje
Y : (0, c) = (0, 3).
y
(1, 0).
d) Concavidad: Hacia abajo.
e) Intervalos de monotonía:
Estrictamente creciente en
]−∞, −1[.
Estrictamente decreciente en
f ) Ámbito:
]−1, +∞[.
]−∞, 4[.
En los ejemplos anteriores, se puede observar que la gráca de cada una de las funciones
estudiadas, permite la identicación del ámbito, el cual puede compararse con el codominio
para determinar si las funciones son sobreyectivas. La gráca también es útil para decidir si
una función es o no inyectiva, pues permite observar la cantidad de preimágenes que tiene
cada uno de los elementos del ámbito.
Ejemplo 3.86
Considere de nuevo las funciones
g, h
e
i.
Indique cuáles son biyectivas.
Solución:
Función Inyectiva Sobreyectiva
g
No
No
h
Sí
Sí
i
No
Sí
Por lo tanto, la única función biyectiva es
h.
334
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.87
Considere las siguientes funciones:
f : [−2, 2] → R
tal que
g : [1, +∞[ → [1, +∞[
f (x) = x2 + x − 1.
tal que
g(x) = x2 + x − 1.
a) Para ambas funciones, determine:
1. El criterio al completar cuadrados.
2. La gráca.
3. El ámbito.
b) Identique si son biyectivas, y en caso de que alguna lo sea, determine su función
inversa.
Solución:
a.1) Al completar cuadrados se obtiene
2
que
f (x) = g(x) =
1
x+
2
5
−
4
a.2) Por medio de transformaciones
se obtienen las siguientes grácas:
b) La única función biyectiva es
• Dg−1 = [1, +∞[
•
El criterio de
se puede obtener
a.3) De la gráca se observa que
que
Ag = [1, +∞[
335
⇔ g(y) = x
2
⇔ y + 12 − 54 = x
2
⇔ y + 12 = x + 54
q
1
⇔ | y + 2 |= x + 54
q
⇔ y + 12 = x + 54
q
⇔ y = x + 54 − 12
q
∴ g −1 (x) = x + 54 −
g −1 : [1, +∞[ → [1, +∞[
r
5 1
g −1 (x) = x + −
4 2
Finalmente,
y
g −1
Cg−1 = [1, +∞[
del siguiente modo:
y = g −1 (x)
5
Af = − , 5
4
y
g.
1
2
tal
Precálculo
MATEM-UCR
En síntesis, se tiene lo indicado en la siguiente nota:
Nota:
A partir de la gráca de una función cuadrática se puede obtener el ámbito, y analizar
la inyectividad y la sobreyectividad de la función.
Finalmente se presenta un ejemplo en el cual se determina el conjunto solución de dos
inecuaciones cuadráticas, aplicando los conceptos generales de funciones. Esta es otra herramienta para la resolución de inecuaciones puesto que, como se estudió en el capítulo de
Álgebra, se pueden resolver también utilizando tabla de signos.
Ejemplo 3.88
Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a)
(x + 3) (4 − x) < 0.
b)
−x2 + x + 1 ≥ 0.
Solución:
a) Sea
f: R → R
o lo que es lo
determinar para
f (x) = (x + 3) (4 − x),
2
mismo, f (x) = −x + x + 12. Interesa
cuáles valores de x se cumple que f (x) < 0.
una función tal que
Sabiendo que la gráca de
f
es cóncava hacia abajo (pues
a = −1 < 0) y que interseca al eje X en los puntos (−3, 0)
(4, 0), se identica que f (x) < 0 cuando x < −3 o x > 4.
∴ S = ]−∞, −3[ ∪ ]4, +∞[.
b) Sea
g: R → R
y
g(x) = −x2 + x + 1.
valores de x se cumple que
una función tal que
Interesa determinar para cuáles
g(x) ≥ 0.
= −1√< 0)
√
1− 5
1+ 5
e interseca al eje X cuando x1 =
y x2 =
, se
2
2
obtiene que g(x) ≥ 0 cuando x1 ≤ x ≤ x2 .
"
√
√ #
1− 5 1+ 5
.
∴ S=
,
2
2
Como la gráca de
g
es cóncava hacia abajo (a
336
Precálculo
MATEM-UCR
Ejercicio 88
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:
1. Determine el criterio de tres funciones cuadráticas
f1 , f2 ,
y
f3 ,
de dominio
R,
que satis-
fagan las siguientes condiciones:
f1 (2) = 4
y el vértice de
f2 (−2) = 4, f2 (1) = 13,
f3 (0) = −2, f3 (1) = 1
2. Considere la función
f
f1
y
f2
x = −1.
es
f3 (3) = −11.
r
para que el vértice de la gráca
•
Sea
•
(3, 6).
y el eje de simetría de
de criterio
(3, −43).
es
f (x) = 5x2 + rx + 2.
de f :
Esté en el eje
Determine el valor de la constante
•
Y.
Esté en el eje
X.
3. Determine el ámbito de las funciones:
f (x) = x2 − 4x
a)
f : [0, 5] → R
b)
g : [−1, 2[ → R
tal que
g(x) = −x2 + 3x + 1
c)
h: ]−1, 2] → R
tal que
h(x) = (x − 1)2 + 3
d)
i: [−3, +∞[ → R
e)
j : [−1, 1] → R
f)
k : ]0, 2[ → R
g)
l: ]−∞, 4[ → R
tal que
tal que
tal que
tal que
i(x) = x2 + x + 1
j(x) = −5x2 + 2x
k(x) = −4x2 − x + 3
tal que
l(x) = x2 + 3x − 2
4. Determine el valor mínimo de la función
5. Determine el valor de la constante
f (x) = −3x2 + 6x + k .
f: R → R
f (x) < 0.
6. Sea
de
con
k
g
tal que
para que
f (x) = 4x − 3x2 − 2.
5
g(x) = px2 + 4px + 3 + 4p
con
sea el máximo valor de la función
p > 0.
f
con
Determine grácamente el conjunto solución
Respuestas:
1.
2.
3.
f1 (x) = −2x2 + 12x − 12, f2 (x) = 3x2 + 6x + 4
√
r = −30, r = 0 y r = ±2 10.
3
13
a) [−4, 5] b) −3, 4 . c) [3, 7[. d) 4 , +∞ .
4. 3.
5.
k = 2.
6.
R
337
y
e)
f3 (x) = −3x2 + 6x − 2.
−7, 51
.
f)
]−15, 3[.
g)
− 17
, +∞
4
.
Precálculo
MATEM-UCR
3.8.1. Aplicaciones de la función cuadrática
Los dos ejemplos que siguen están relacionados. En el primero se obtiene una función
lineal que permite calcular la cantidad de un producto vendido en función de su precio. En
el segundo, se retoma el criterio de dicha función para construir la de ingreso, que es una
función cuadrática útil para resolver la situación planteada.
Ejemplo 3.89
Un grupo de estudiantes de undécimo de cierto colegio están vendiendo galletas, con el
objetivo de recaudar fondos para su paseo de n de año. Ellos venden actualmente
galletas al día a
350
250 colones cada una, pero están valorando cambiar ese monto. Varios
han notado que por cada treinta colones que suben al precio de cada una, venden
quince galletas menos.
a) Determine cuál es el ingreso diario actual del grupo por la venta de las galletas.
b) Si
x
representa el precio en que se podría vender cada galleta, exprese la cantidad
de galletas que el grupo vendería diariamente en términos de
x.
Solución:
a) El ingreso se obtiene multiplicando la cantidad de galletas que se vende por el precio
de cada una:
350 · 250 = 87500,
por lo tanto, el ingreso diario actual es de
87500
colones.
b) El precio (x) y la cantidad de galletas vendidas (y ) varía de acuerdo a una relación
lineal. Parte de este comportamiento se evidencia en la siguiente tabla:
Precio (x) Cantidad de galletas vendidas (y)
250
280
310
340
370
350
335
320
305
290
Se pueden considerar, por ejemplo, los pares ordenados
(250, 350) y (280, 335) para
establecer el criterio de una función que permita calcular la cantidad de galletas
vendidas diariamente dependiendo del precio, con lo cual se obtiene:
1
g(x) = − · x + 475.
2
338
Precálculo
MATEM-UCR
Ejemplo 3.90
Considerando los datos del ejemplo anterior:
a) Exprese el ingreso diario que el grupo podría tener, en términos de
x.
b) ¾A qué precio se debería vender cada galleta para que su ingreso diario sea máximo?.
c) ¾Cuál sería ese ingreso máximo?.
Solución:
a) El ingreso estaría dado por el criterio de otra función:
1
1
i(x) = g(x) · x = − · x + 475 x = − · x2 + 475x.
2
2
b)
i(x)
es una función cuadrática cuya gráca es cóncava hacia abajo, por lo cual
el ingreso máximo se alcanza cuando
475
deberían vender las galletas a
x = −
475
b
= −
= 475.
2a
2 · − 12
Por lo tanto,
colones para obtener el ingreso diario máximo.
c) El ingreso máximo se obtiene calculando la imagen del valor obtenido bajo
i(475) = 112812, 5,
i:
112812, 5 colones.
M
225625
También se puede calcular ese valor del siguiente modo: −
=
= 112812, 5.
4a
2
por lo tanto, el ingreso diario máximo es
3.8.2. Problemas
1. El costo (en millones de colones) para producir cierto artículo (a partir de una unidad),
2
se modela mediante una función c de criterio c(x) = 12, 84 − 2, 24u + 0, 16u , donde u es
el número de unidades de dicho artículo.
a) Aproxime el costo de producir
b) ¾Cuál es el costo de producir
1
12
unidad de este artículo.
unidades de este artículo.
c) ¾Cuántas unidades habría que producir para que el costo sea mínimo?.
d) ¾Cuál es el costo mínimo?.
2. El dueño de una juguetería investigó a qué precio debía vender los osos de peluche para
obtener la mayor ganancia posible, y encontró que la ganancia (en millones de colones)
en función del precio (en miles de colones), está determinada por la siguiente fórmula:
f (p) = −2p2 + 12p − 15. ¾Cuál es el precio que permite obtener la ganancia máxima?
339
Precálculo
MATEM-UCR
3. La altura de un objeto (en metros) que es lanzado desde el suelo está determinada me2
diante una función de criterio f (x) = −0, 13x + 1, 5x, donde x representa el tiempo
transcurrido (en segundos). Determine la altura máxima (aproximada) que puede alcanzar el objeto y en cuánto tiempo toca el suelo.
4. En una relojería se realizó un estudio que determinó que si se venden los relojes a p dólares
2
por unidad, el ingreso r en función del precio p está dado por r(p) = −520p + 26000p.
a) ¾Cuál debe ser el precio unitario para poder maximizar el ingreso?
b) Si se cobra ese precio, ¾cuál será el ingreso máximo?
5. Si la función de demanda para un producto es
unidad (en colones) cuando
q
p(q) = 1000 − 5q ,
donde
p
es el precio por
unidades son demandadas por los consumidores.
a) ¾Cuál es la cantidad demandada que produce el ingreso máximo?.
b) ¾A qué precio por unidad se obtiene ese ingreso máximo?.
c) ¾Cuál es el ingreso máximo?.
6. Una soda ofrece sus tacos a
810 colones y vende 155 por día. Pero por cada aumento de 30
colones en el precio unitario, venden cinco tacos menos. ¾ A qué precio deberían venderse
los tacos para que el ingreso diario por sus ventas sea el máximo?.
7. En un partido de fútbol, un jugador está con la bola justo a
10 metros
del punto a donde
quiere que ésta llegue para anotar el gol, así que decide realizar desde allí el lanzamiento del
balón, el cual puede seguir una trayectoria A o B. En la trayectoria A, la altura de la bola
2
(en metros) se modela mediante una función f tal que f (x) = −0, 04x + 0,4x, mientras
que en la trayectoria B, la altura que alcanza el balón (en metros) está determinada por
2
una función g de criterio g(x) = −0,11x +1,1x. En ambos casos, x representa la distancia
horizontal recorrida por el balón (en metros) desde los pies del jugador hasta el punto
objetivo. Si se sabe que en ese momento el portero está ubicado a
5
metros, tanto del
jugador como del punto de interés, y que puede alcanzar una altura máxima de
2, 3 metros
al saltar, determine con cual de las trayectorias se tiene mayor probabilildad de que el
jugador anote el gol.
Respuestas:
≈ 11000000 de colones, b) 9000000 de colones, c) 7 unidades y d) 5000000 de colones.
2. 3000 colones.
3. ≈ 4, 33 m y ≈ 11, 54 s.
4. a) $25 y b) $325000.
5. a) 100 unidades,
b) 500 colones y c) 50000 colones.
6. 870 colones.
7. Trayectoria B.
1. a)
340
Precálculo
MATEM-UCR
3.9. Ejercicios de exámenes de años anteriores
1. ¾Cuál de las siguientes relaciones corresponde a una función?
b)
f : [0, +∞[ → [0, +∞[ , f (x) = −x2
√
f : R → [0, +∞[ , f (x) = x2 + 1
c)
f : ]−∞, 1[ → R, f (x) =
d)
f : R → R − {0} , f (x) =
a)
x2
1
−1
1
x
2. Analice las siguientes relaciones:
f : ]−10, 12] → R, f (x) =
√
4 − 3x
5
g : R − {0, 1} → R, g (x) = 3
x −x
¾Cuáles de las relaciones anteriores son funciones?
a ) Solo
f
b ) Solo
g
c ) Ambas
d ) Ninguna
3. Considere la función
f : R − {7} → R,
con
f (x) = 10 −
x+1
x−7
proposiciones:
I.
1
es la preimagen de
II. La imagen de
0
10
es negativa
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
341
y analice las siguientes
Precálculo
4. Si
MATEM-UCR
f: R → R
es una función decreciente en el intervalo
[−3, 5],
con certeza
NO puede
suceder que
a)
f (3) < f (−2)
b)
f (−5) < f (2)
c)
f (1) < f (6)
d)
f (−3) < f (4)
5. Considere la función
g : R → R,
con
 2

 x si x < −2
5 si −2 ≤ x < 7
g(x) =

 1 si x ≥ 7
x
¾Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
a)
g (0) = 0
b)
g (−2) = 4
c)
g (3) > g (−3)
d)
g (2011) < 2011
6. El dominio máximo de una función cuyo criterio es
a)
[2, +∞[
b)
]2, +∞[
−3
, +∞
2
−3
, +∞
2
c)
d)
7. El dominio máximo de una función de criterio
a)
R − {−2, 1, 2}
b)
R − {−2, 2}
c)
R − {−2, 1}
d)
R − {−2}
342
√
x−2
f (x)= √
2x + 3
f (x) =
corresponde a
(x − 1) (x − 2)
(x − 1) (x + 2)
es
Precálculo
8. Si
K
MATEM-UCR
es el dominio máximo de la función
f : K → R, f (x) = √
1
x2
−1
, con certeza se
cumple que
a)
1
∈K
2
b)
0∈K
c)
3∈
/K
d)
−1 ∈
/K
9. Considere las siguientes funciones:
f : R → R, f (x) = 2x2 − 3
g : R → R, g (x) = 5 + 2x
Entonces,
a)
15
b)
23
c)
47
d)
159
10. Si
f
(f ◦ g) (2)
g
y
es igual a
son funciones denidas en su dominio máximo, tales que
2
g (x) = x − 4,
entonces el dominio máximo de
a)
R
b)
R − {0}
c)
R − {−2, 2}
d)
R − {−2, 0, 2}
(f ◦ g) (x)
f y g son funciones denidas en su dominio
(2x − 1)2 y f (x) = x2 , entonces g (x) es igual a
11. Si
2
a)
(2x2 − 1)
b)
2x2 − 1
c)
2x − 1
d)
x
343
f (x) =
1
x
y
corresponde a
máximo tales que
(f ◦ g) (x) =
Precálculo
MATEM-UCR
12. Analice las siguientes relaciones:
g : {1, 2, 3} → N
con gráco
G = {(1, 7) , (2, 7) , (3, 7)}
p: {1, 2, 3} → {1, 2, 3}
con gráco
G = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 3) , (3, 3)}
I.
II.
¾Cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
13. El dominio máximo de
a)
R − {0}
b)
R − {−2}
c)
R − {0, −2}
1
R − −2,
2
d)
14. Considere la función
1
x
f (x) =
(x + 2)3
es
f : R − {7} → R, f (x) =
−x
−7 + x
y analice las siguientes proposi-
ciones:
I. La imagen de
II. La preimagen de
−5
0
es
−7
es un número negativo
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
344
Precálculo
MATEM-UCR
15. Analice las siguientes relaciones:
I.
g : R → N,
II.
con
f : Z → Z,
x
x2 + 1
f (x) = −x3
g (x) =
con
¾Cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
16. Analice las siguientes relaciones:
I.
g : ]−∞, −4[ → R,
II.
k : [−20, 2] → R,
x2 + 3
g (x) = 2
x − 25
√
k (x) = −x + 2
con
con
¾Cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
17. Considere las siguientes funciones:
I.
II.
p: [0, +∞[ → R,
con
w: ]−∞, 0] → ]−∞, 0],
p (x) = −x2
con
w (x) = −x2
¾Cuáles de las funciones anteriores son sobreyectivas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
345
Precálculo
MATEM-UCR
18. Observe la gura adjunta.
Un intervalo en el que se cumple
a)
]2, 5[
b)
[−2, 4]
c)
]−3, 7[
d)
]−∞, −2]
19. Si
f (x) = x2 + 2x
a)
h2 + 2x + 2a
h
b)
2ah + h + 2h
c)
2a + h + 2
d)
h+2
20. Si
y
f : ]−∞, −3[ → R
h 6= 0,
con
f (x) > g (x)
entonces
f (a + h) − f (a)
h
f (x) = x2 − 10,
es
a)
3
b)
2
c)
1
d)
0
corresponde a
346
es igual a
entonces la cantidad de preimágenes de
−6
Precálculo
MATEM-UCR
Considere la siguiente gráca de una función
del 21 al 25.
21. El dominio de la función
a)
]−∞, 5[
b)
]−∞, 5] − {−1, 1}
c)
]−∞, 5[ − {−1, 1}
d)
]−∞, −1[ ∪ ]−1, 5[
22. El ámbito de la función
a)
]−3, 4[
b)
]−3, +∞[
c)
]−3, +∞[ − {2, 4}
d)
]−3, 4[ ∪ ]4, +∞[
f
f
es
es
23. La cantidad de preimágenes de
a)
0
b)
1
c)
2
d)
3
2
es igual a
347
f
y con base en ella conteste los ítems
Precálculo
MATEM-UCR
24. El conjunto solución de la inecuación
a)
]−∞, −5[ ∪ ]2, 5[
b)
]−5, −2[ ∪ ]3, 5[
c)
[−5, −2] ∪ [3, 5[
d)
]−3, 0[
25. Un intervalo donde
a)
]−4, −2[
b)
]−5, −2[
c)
]−1, 1[
d)
]1, 4[
f
f (x) < 0
es igual a
es decreciente corresponde a
√
26. El dominio máximo de la función
a)
[1, +∞[
b)
]3, +∞[
c)
]1, 3[ ∪ ]3, +∞[
d)
[1, 3[ ∪ ]3, +∞[
27. Si
p
es una función de criterio
f
dada por
p (x) =
x−1
f (x) =
4
√
,
· −x2 + 9
−1 + x
x−3
es
entonces su dominio máximo
corresponde a
a)
]−3, 3[
b)
R − {−3, 0, 3}
c)
]−3, 0[ ∪ ]0, 3[
d)
]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[
28. Si
f : [−2, 2] → [3, 7]
con
f (x) = x2 +3
, entonces se cumple que
a ) es inyectiva y es sobreyectiva
b ) no es inyectiva y no es sobreyectiva
c ) es inyectiva pero no sobreyectiva
d ) es sobreyectiva pero no inyectiva
348
f
Precálculo
29. Si
MATEM-UCR

 4x + 7 si x ≤ −2
4 − x2 si −2 < x < 2
f (x) =

9 − 5x si 2 ≤ x
f (−3) + f (0) f (2)
f (3)
entonces la expresión
a)
−5
6
b)
−3
2
c)
−9
d)
1, 5
30. Considere la función
f
tal que
es igual a
f (x) = 4 − x2 .
Se puede asegurar que
f
se dene con dominio
a)
R
b)
[−2, 2]
c)
[0, +∞[
d)
]−∞, 4]
31. Si
h: ]−∞, 4[ → ]0, +∞[
a)
−5 + 4x
x
b)
5
x−4
c)
x−4
5
d)
−1
x
con
h (x) =
−5
,
x−4
349
entonces
h−1 (x)
es igual a
es inyectiva si
Precálculo
32. Si
MATEM-UCR
h: ]−∞, −1[ → ]−∞, 0[
con
h (x) = −x2 + 1,
entonces su función inversa corres-
ponde a
√
a)
h−1 : ]−∞, 0[ → ]−∞, −1[ , h−1 (x) =
b)
√
h−1 : ]−∞, 0[ → ]−∞, −1[ , h−1 (x) = − 1 − x
c)
h−1 : ]−∞, 0[ → ]−∞, 1[ , h−1 (x) =
d)
√
h−1 : ]−∞, 0[ → ]−∞, 1[ , h−1 (x) = − 1 − x
33. Sea
f : R − {1} → R
con
de la gráca de la función
a)
(0, 15)
b)
(15, 0)
f (x) =
f
con el
√
1−x
1−x
−2x2 + 13x − 15
. El(los)
x−1
eje X corresponde(n) a
punto(s) de intersección
3
,0
2
3
0,
2
c)
(5, 0) y
d)
(0, 5)
34. Si
f (x) =
a)
−1
b)
3
√
3
c)
d)
35. Si
y
−x2
+1
2
√
2 + x2 ,
a)
2+x
b)
2 + x2
√
4 + x2
p √
2x 2 + x2
d)
h (x) =
√
3
−x,
entonces
(f ◦ h) (8)
31
√
− 3 31
g (x) =
c)
y
entonces
(g ◦ g)(x)
está dada por
350
es igual a
Precálculo
MATEM-UCR
36. El criterio de la función lineal
a)
f (x) = 6 − 5x
b)
f (x) = 6x − 5
c)
f (x) =
6−x
5
d)
f (x) =
−1
18
x−
5
5
37. Si la función
f: R → R
con
f,
cuya gráca contiene los puntos
f (x) = −ax + 2x + 5
(2, −4)
y
(1, 1)
es creciente, con certeza
a
es
es un
número real
a ) positivo
b ) negativo
c ) menor que
3
d ) mayor que
−1
38. Sea
g: R → R
con
g (x) = mx + b
tal que
g (−3) = −2
y
g −1 (8) = 2,
entonces se
puede armar que
a)
m=2
b)
m = −2
c)
m=2
d)
m = −2
y
y
b=4
y
b=4
b = −8
y
b = 12
39. Si el dominio de la función
de
f
f
dada por
f (x) = 5 − 3x
es
a)
]−∞, −1]
b)
[−1, +∞[
c)
]−∞, 1]
d)
[1, +∞[
351
es
]−∞, 2],
entonces el ámbito
Precálculo
MATEM-UCR
f : R → R es una función tal que f (x) = 4p − 5x
f interseca al eje X en el punto
−2
,0
a)
5
2
b)
,0
5
40. Si
y
(−1, 3)
pertenece a su gráco,
entonces
c)
(−2, 0)
d)
(2, 0)
41. El ámbito de la función
a)
[−9, 11]
b)
[−9, +∞[
c)
[−25, 11]
d)
[−25, +∞[
f : [−10, 0] → R
con
f (x) = −9 + x2 + 8x
es igual a
f (x) = ax2 + bx + c cuyo vértice es el punto
m > 0 y n < 0. Entonces NO es posible que suceda
42. Considere una función cuadrática
coordenadas
(m, n)
a)
c>0
y
a>0
b)
c<0
y
a<0
c)
c=0
y
a>0
d)
c=0
y
a<0
43. Si
f: R → R
con
donde
f (x) = −5x2 + kx − 1
interseca una sola vez al eje
es cualquier número que pertenezca al conjunto
a)
R
b) Ø
c)
d)
√ √
−2 5, 2 5
√
−2 5, +∞
352
X,
de
entonces
k
Precálculo
MATEM-UCR
Considere la función
f: R → R
tal que
f (x) = −6x2 + 40x + 14
conteste los ítems del 44 al 47.
44. El eje de simetría corresponde a
a)
x=
−242
3
b)
x=
−10
3
c)
x=
242
3
d)
x=
10
3
45. El conjunto solución de la inecuación
1
−7,
3
−1
,7
3
a)
b)
f (x) > 0
es
c)
d)
1
]−∞, −7[ ∪ , +∞
3
−1
−∞,
∪ ]7, +∞[
3
46. Un intervalo donde
f
es estrictamente creciente corresponde a
10
, +∞
3
242
−∞,
3
−1
,0
3
10
,7
3
a)
b)
c)
d)
353
y con base en ella
Precálculo
MATEM-UCR
47. El vértice de
f
corresponde a
10 −242
,
3
3
−10 242
,
3
3
242 10
,
3 3
10 242
,
3 3
a)
b)
c)
d)
48. Si
f (x) =
x
x+1
a)
x−1
2x − 1
b)
2x − 1
x−1
c)
−1
x
d)
−x
49. Si
f (x) =
a
x
x−2
g (x) =
y
y
a)
R − {2}
b)
R − {0, 2}
c)
R-{0, −2}
d)
R − {0, 2, −2}
g (x) =
50. Considere la función
x−1
x
x+2
,
x
f: R → B
entonces
R
b)
R+
c)
]−∞, 0]
d)
]−∞, −8]
es igual a
entonces el dominio máximo de
tal que
f (x) = −x2 − 8.
el codominio debe ser
a)
(f ◦ g) (x)
354
Para que
g◦f
f
corresponde
sea sobreyectiva
Precálculo
MATEM-UCR
51. Considere las siguientes funciones:
f : ]0, +∞[ → R
con
f (x) = 2x − 3
g : ]−∞, 0] → ]−∞, 0]
h: [2, 5] → [4, 25]
con
con
g (x) = x3
h (x) = x2
De las anteriores funciones son biyectivas
a ) La
f
y la
g
b ) La
f
y la
h
c ) La
g
y la
h
d ) Todas
52. El dominio máximo de
f (x) =
a)
[−2, 4]
b)
]4, +∞[
c)
[4, +∞[
d)
]−∞, −2] ∪ [4, +∞[
√
x+2+
√
4−x
r
53. El máximo dominio de la función
a)
[−2, 1[
b)
]−2, 1[
c)
]−∞, −2] ∪ ]1, +∞[
d)
]−∞, −2] ∪ [1, +∞[
54. Si
f: R → R
con
H (x) =
f (x) = x3 − 8,
f −1 (x) =
√
3
x−8
b)
f −1 (x) =
√
3
x+8
c)
f −1 (x) =
d)
f −1 (x) =
√
3
√
3
x+2
1−x
es
entonces el criterio de la función inversa de
corresponde a
a)
es
x−8
x+8
355
f
Precálculo
MATEM-UCR
55. Considere la función
La expresión
a)
313
b)
403
c)
307
d)
−327
f: R → R
con
f (5) · f (−4) + f (−1)
 2
2x − 1 si
x < −3



| x − 2 | si −3 ≤ x ≤ 2
f (x) =


 2x
si
x>2
es igual a
56. Analice las siguientes grácas:
De acuerdo con las grácas anteriores, el valor de
a)
−1
b)
−4
c)
5
d)
0
57. Si
f: Z → Z
con
a)
f (−5) = 0
b)
f (3) > f (2)
c)
f (2) > f (3)
d)
f (3) = f (2)
f (x) = 5 + a,
donde
a ∈ N,
356
(g ◦ f )(4)
es igual a
entonces es correcto que
Precálculo
58. Si
59.
MATEM-UCR
f : R − {2} → R
a)
0
b)
1
2
c)
3
2
d)
−3
2
con
f (x) =
x+1
x−2
entonces la preimagen de
1
Considere una función lineal f : R → R tal que f
=1
2
−1
de f
corresponde a
y
−1
es
−1
. El criterio
2
f −1 (3) =
2−x
2
a)
f −1 (x) =
b)
f −1 (x) = −2x + 2
c)
f −1 (x) =
−5x 13
+
3
6
d)
f −1 (x) =
−x 13
+
2
6
60. En un rectángulo el largo mide
5cm
menos que el doble del ancho. Si
medida de ancho entonces la medida de la diagonal
d
en función de
x
x
representa la
es
q
x2 + (2x − 5)2
a)
d (x) =
b)
q
d (x) = (2x − 5)2 − x2
c)
d (x) =
d)
d (x) = x2 + (2x − 5)2
q
x2 + (2x + 5)2
61. La ecuación de la recta que contiene al punto
a)
y − 5x = −15
b)
y + 5x = 15
c)
y − 5x = 0
d)
y = 5x + 3
357
(3, 0)
y tiene pendiente
5
es
Precálculo
MATEM-UCR
(−2, 3) y (−5, −8)
m + b es igual a
62. Si
a)
54
7
b)
20
3
c)
14
d)
250
21
63. Si
(0, −5)
y
(2, −7)
pertenecen al gráco de
f: R → R
con
f (x) = mx + b,
pertenecen al gráco de una función lineal
f
, entonces
entonces
f (−3)
es
igual a
a)
−2
b)
−8
c)
2
d)
8
64. Considere la función
f: R → R
con
ciones:
I. La gráca de
II.
(1, 1)
f
interseca al eje
pertenece al gráco de
x
−4x + 7
3
−7
,0
4
f (x) =
en
y analice las siguientes proposi-
f
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
65. El ámbito de una función es
]−∞, −3]
y su criterio es
dominio de dicha función?
a)
b)
6
, +∞
7
6
−∞,
7
c)
]−∞, 24]
d)
[24, +∞[
358
f (x) = −7x + 3
. ¾Cuál es el
Precálculo
MATEM-UCR
66. Considere la función
f (2) < 0,
f: R → R
f (x) = mx + b
con
. Si se cumple que
f (−3) > 0
y
analice las siguientes proposiciones:
I.
f (−10) > f (2010).
II.
f (0) < 0.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son, con certeza verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
67. Considere la función
f: R → R
con
f (x) = −5 + 3x2 − 2x
y analice las siguientes
proposiciones:
I. Si
(m, n)
es el vértice, entonces
II. La gráca de
f
interseca al eje
m + n = −5.
y
en
(−5, 0).
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
68. Un intervalo donde la función
f: R → R
corresponde a
a)
b)
c)
d)
5
−∞,
4
[−71, +∞[
5
−2,
4
3
,7
2
359
con
f (x) = 2x2 + 12 − 5x
es creciente
Precálculo
MATEM-UCR
69. Considere la función
elemento del ámbito
a)
0
b)
1
c)
b+1
d)
b−1
f : R → R con f (x) = − (x + 2)2 + b
de f corresponde a
70. Considere la función
f: R → R
con
f (x) = −x2 − 3x + 10
y
b<0
. Entonces, un
y analice las siguientes
proposiciones:
I. La gráca de
II.
10
f
interseca al eje
X
una vez.
tiene 2 preimágenes.
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
71. Si
f: R → R
con
f (x) = −x2 − 4x − 3,
a)
]1, 3[
b)
]−3, −1[
c)
]−∞, 1[ ∪ ]3, +∞[
d)
]−∞, −3[ ∪ ]−1, +∞[
72. Si
f: R → R
con
f (x) = 2x2 − x − 3,
entonces
(0, 0)
b)
(3, 0)
3
, 0 y (−1, 0)
2
−3
, 0 y (1, 0)
2
c)
d)
en el conjunto
entonces su gráca interseca al eje
punto(s)
a)
f (x) < 0
360
X
en el(los)
Precálculo
MATEM-UCR
f: R → R
73. Considere la función
es
(−1, −3)
y
c > 0,
a ) La gráca de
b)
f
f
f (x) = ax2 + bx + c
y
a 6= 0.
Si el vértice de
f
¾cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
no interseca al eje
X
es cóncava hacia abajo.
c ) El ámbito de
d)
f
con
f
es
es creciente en
[−3, +∞[
]−∞, −1]
74. Considere las siguientes funciones:
f : [−1, 3] → [3, 12[
g : R → {3}
con
con
f (x) = 2x + 5
g (x) = 3
¾Cuáles de las funciones anteriores son sobreyectivas?
a ) Ambas
b ) Sólo
f
c ) Sólo
g
d ) Ninguna
75. Considere la función
D
f : D → [−4, +∞[
con
f (x) = x2 − 4.
puede ser
a)
[−2, 2]
b)
[0, +∞[
c)
]−∞, 1]
d)
[−4, +∞[
76. ¾Cuál de las siguientes funciones es biyectiva?
a)
f : R → R, f (x) = x2
b)
f : R →[0, +∞[, f (x) = |x|
c)
f : R → R, f (x) = −3x + 1
d)
f : [0, +∞[ → [0, +∞[, f (x) = x2 + 7
361
Para que
f
sea inyectiva
Precálculo
77. Si
MATEM-UCR
f: R → R
a)
b)
c)
d)
con
f (x) = 2x3 − 5,
entonces
f −1 (1)
es igual a
−1
−1
3
√
3
3
r
3 7
2
78. Si el criterio de una función biyectiva es
f (x) =
1
,
1 + x2
entonces el criterio de
f −1 (x)
puede ser
a)
b)
c)
d)
f
de f
79. Si
√
1−x
x
r
1−x
x
r
1 − x2
x
r
x−1
x
es una función lineal tal que
c)
d)
−2
b)
80. Si
y
f −1 (−5) = −2,
entonces la pendiente
es igual a
1
2
−1
2
2
a)
f (2) = −3
f: R → R
es una función lineal tal que
3x + 19
4
a)
f (x) =
b)
3
5
f (x) = x +
2
2
c)
f (x) =
−3x + 37
4
d)
f (x) =
3x
+ 19
4
362
f (−1) = 4
y
f (3) = 7,
entonces
Precálculo
81. Si
MATEM-UCR
(2, −1), (5, −22) y (k, 20)
k es igual a
pertenecen al gráco de una función lineal, entonces el
valor de
a)
1
b)
−1
c)
127
d)
−127
82. Considere la función
entonces
M
f: M → R
con
f (x) = −4x + 3.
Si el ámbito de
f
es
]−∞, −2],
es igual a
5
, +∞
4
5
−∞,
4
a)
b)
c)
[11, +∞[
d)
]−∞, 11[
83. Un elemento del ámbito de la función
h: ]−∞, −4[ → R
con
h (x) = −4x + 3
corres-
ponde a
a)
19
b)
0
7
4
23
c)
d)
84. Considere la función
f: R → R
con
f (x) = ax2 + bx + c
y
a < 0
vértice, analice las siguientes proposiciones:
I.
f (0) < 0
II.
f (12) = f (−8)
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son con certeza verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
363
. Si
(2, 5)
es el
Precálculo
85. Si
b
MATEM-UCR
f: R → R
con
f (x) = (−4 − 3b) x + 7
es una función lineal creciente, un valor de
puede ser
a)
0
b)
1
c)
−1
d)
−2
86. Considere la función
f : ]−2, 5[ → R
con
f (x) = −x2 + 10
y analice las siguientes
proposiciones:
I. Si
x ∈ ]−2, 2[ ,
entonces
II. El ámbito de
f
es
f (x) ∈ ]6, 10]
]−15, 6[
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son con certeza verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
87. Si
x
es la medida del lado de un cuadrado y
A
el área de dicho cuadrado, entonces el
perímetro de dicho cuadrado en función de su área es igual a
b)
√
4 A
√
2 A
c)
4A
d)
4A2
a)
88. En una tienda donde se venden calculadoras se ha encontrado que cuando las calcula-
x dólares por unidad, el ingreso r como una
r (x) = −750x2 + 15000x. ¾Cuál debe ser el precio
doras se venden a un precio
función del
precio está dado por
unitario en
dólares para que el ingreso sea máximo?
a)
5
b)
10
c)
20
d)
80
364
Precálculo
MATEM-UCR
Considere la función
f: R → R
con
f (x) = 8x − 4x2 + 3
y utilícela para responder los
ítems 89, 90 y 91.
89. Si
(m, n)
a)
8
b)
6
c)
−6
d)
−8
es el vértice, entonces
90. Un intervalo donde
a)
]−4, 4[
b)
]7, 12[
c)
]−∞, 1[
d)
]−12, −7[
f
m+n
es igual a
es decreciente es
91. Un elemento del ámbito es
b)
29
4
10
c)
5
d)
2011
a)
92. Analice las siguientes relaciones:
1
→R
0,
2
con
f (x) =
g : ]−5, −1] → R
con
g (x) =
f:
¾Cuáles de las relaciones anteriores son funciones?
a ) Solo
f
b ) Solo
g
c ) Ambas
d ) Ninguna
365
−8
−x
x2
√
4
7 − 2x
Precálculo
MATEM-UCR
93. Los elementos del conjunto
M
son pares ordenados que determinan una relación entre
D = {−2, −1, 0, 1} y K = {4, 5, 8}
D, entonces el conjunto M puede ser
los elementos de los conjuntos
una función con dominio
a)
M = {(8, −1) . (5, 1) , (4, −2)}
b)
M = {(−2, 4) , (1, 8) , (−1, 4)}
c)
M = {(4, 0) , (5, −1) , (8, −2) , (4, 1)}
d)
M = {(−2, 5) , (0, 8) , (−1, 4) , (1, 8)}
(2, a) pertenece
el valor de a es
94. Si el punto
entonces
a)
b)
a la gráca de la función
f
Si esta relación es
cuyo criterio es
f (x) =
x−3
5
,
−5
1
−
5
c)
7
4
d)
13
95. Considere la función
f: R → R
con
f (x) =
√
3
x−2
y analice las siguientes proposicio-
nes:
I.
−4
es la imagen de
II. La preimagen de
−7
−8
es positiva
¾Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?
a ) Solo la I
b ) Solo la II
c ) Ambas
d ) Ninguna
96. Sea la función
interseca el eje
g : ]−1, 5] → R,
X en
a)
(3, 0)
b)
(0, −6)
c)
(−2, 0)
y
(3, 0)
d)
(0, −2)
y
(3, 0)
cuyo criterio es
366
g (x) = x2 − x − 6.
La gráca de
g
Precálculo
97. Sea
f,
MATEM-UCR
f: R → R
con
f (x) = (k − 2) x − k .
a)
f
es la función identidad.
b)
f
es una función constante.
c)
f
es estrictamente creciente.
d)
f
es estrictamente decreciente.
98. Si
Si
(−1, 8)
pertenece al gráco de la función
entonces se cumple que
h: R → R es una función creciente en el intervalo [−5, 4], entonces con
certeza NO
puede suceder que
a)
h (2) < h (7)
b)
h (−4) < h (0)
c)
h (−6) < h (1)
d)
h (−2) < h (−3)
√
99. El dominio máximo de la función
a)
R − {7}
b)
]−∞, 5]
c)
[5, +∞[ ∪ {7}
d)
]−∞, 5] − {−7}
100. El dominio máximo de la función
a)
R
b)
R − [1, 2]
c)
R − {1, 2}
d)
]−∞, 1[ ∪ ]2, +∞[
de criterio
f (x) =
g
de criterio
3
g (x) = √
3
2
x − 3x + 2
101. Una función inyectiva corresponde a
a)
f : R → R, f (x) = −x4
b)
n: R → R, n (x) = |x| − 4
c)
h: R → R, h (x) = x3 − 1
d)
m: R → R, m (x) = (x + 2)2
5−x
x+7
f
367
corresponde a
corresponde a
Precálculo
MATEM-UCR
102. Considere la función
f : R →A
con
f (x) = x2 + 3. Para que f
sea sobreyectiva,
A debe
ser
a)
R
b)
R+
c)
]−∞, 3[
d)
[3, +∞[
103. ¾Cuál de las siguientes funciones es biyectiva?
1
x
√
a)
f : R − {0} → R,f (x) =
b)
f : [0, +∞[ → R, f (x) =
c)
f : [0, +∞[ → ]−∞, 0], f (x) = −x3
d)
f : R → [1, +∞[ , f (x) = (x − 3)2 + 1
104. Si
f
x
es una función biyectiva de dominio
R−
tal que
f (x) = 2 |x| − 3,
entonces
f −1 (2)
es igual a
5
2
a)
−
b)
−3
c)
5
2
d)
1
3
105. Si
f
es biyectiva con criterio
a)
f −1 (x) =
9
5x
b)
f −1 (x) =
5x − 2
7
c)
f −1 (x) =
35
x + 10
d)
f −1 (x) =
7 + 2x
5x
f (x) =
7
,
5x − 2
368
entonces el criterio de
f −1
corresponde a
Precálculo
MATEM-UCR
f y g denidas en su respectivo dominio máximo,
√
g
g (x) = x . La función tiene dominio máximo
f
106. Considere las funciones
2
f (x) = x − 3x − 4
y
a)
R+
b)
R − {−1, 4}
c)
[0, +∞[ − {4}
d)
[0, +∞[ − {1, 4}
107. Si
f (x) = x +
√
x−2
y
a)
x2 + x − 9
b)
x2 + x − 10
√
x2 − 7 + x2 − 9
2
√
x+ x−2 −7
c)
d)
g (x) = x2 − 7,
entonces
(f ◦ g) (x)
tales que
es igual a
f y g son funciones denidas en su dominio máximo tales que
(g ◦ f ) (x) = (x − 1)2 + 5x − 5 y f (x) = x − 1, entonces g (x) es igual
108. Si
a)
x2 + 5x
b)
5x − 1
c)
5x − 5
d)
x2 − 1
109. Si
f: R → R
es una función lineal tal que
criterio está dado por
a)
f (x) = −2x + 7
b)
f (x) =
c)
f (x) = −3x + 11
d)
f (x) =
−3x + 5
7
−2x + 5
3
369
f (4) = −1
y
a
f (−2) = 3,
entonces su
Precálculo
110. Si
g
MATEM-UCR
es una función con dominio
]−2, 3] y criterio g (x) = 2−5x , entonces un elemento
de su rango es
a)
−14
b)
−8
c)
12
d)
15
111. Si
h: ]−3, 1[ → R
a)
h (x) < 0
con
h (x) =
x
− 3,
4
entonces se puede armar que
en todo su dominio.
−15 −11
,
4
4
b ) el ámbito de
h
es
c ) la gráca de
h
interseca al eje
Y
en
(0, 3).
d ) la gráca de
h
interseca al eje
X
en
(12, 0).
.
f : R → R con f (x) = (−2a + 10) x + 13
un valor de a puede ser
112. Si
a)
−5
b)
−1
c)
4
d)
7
es una función lineal decreciente, entonces
Respuestas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b
d
d
d
d
a
c
d
d
c
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
a
c
d
c
b
c
b
d
d
c
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
c
a
c
a
b
a
c
d
c
d
52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
a
a
d
a
d
d
b
a
a
a
69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
d
b
d
c
c
c
b
c
c
b
86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
a
a
b
a
b
c
b
d
b
d
103 104 105 106 107 108 109 110 111 112
c
a
d
c
c
a
d
b
a
d
370
11
c
28
d
45
b
62
c
79
a
96
a
12
a
29
d
46
c
63
a
80
a
97
d
13
c
30
c
47
d
64
b
81
b
98
d
14 15 16 17
d
b
b
b
31 32 33 34
a
b
c
a
48 49 50 51
a
b
d
c
65 66 67 68
a
a
a
d
82 83 84 85
a
d
b
d
99 100 101 102
d
c
c
d
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