Taller No8 Análisis de Esfuerzo en 3D_II Parte
Estudiante
Cédula
Profesor: Dimas E. Portillo L.Ph.D.
Justin Pineda
8-987-1990
Fecha de entrega: 27/octubre/2023
Fabián Flores
8-1014-766
1) El tensor esfuerzo en un punto de un elemento de máquina con respecto al
sistema de coordenadas cartesiano está dado por el siguiente arreglo:
Determine el estado de esfuerzo y 𝐼1, 𝐼2 𝑒 𝐼3 para un sistema de coordenadas 𝑥′, 𝑦′𝑦 𝑧′
definido por la rotación de x, y a través de un ángulo 𝜃 = 45° en sentido contrario al
de las manecillas del reloj con respecto al eje z.
Cosenos directores para 𝜃 = 45°
50 10 0
[10 20 40] 𝑀𝑃𝑎
0 40 30
Para sacar las invariantes, es necesario llevar el tensor de esfuerzos para un
sistema de coordenadas a 45° para poder sacar las invariantes, procedemos a
sacar mediante el producto:
[𝜏] = [𝜏𝜃 ][𝜏𝑖𝑗 ][𝜏𝜃 ]𝑇
𝑇
1
1
1
1
0
0
50 10 0
√2
√2
√2
√2
[𝜏] =
[10 20 40]
1 1
1 1
−
0 0 40 30 −
0
√2 √2
√2 √2
[ 0
[ 0
0 1]
0 1]
45
−15 28.284
[𝜏] = [ −15
25
28.284] 𝑀𝑃𝑎
28.284 28.284
30
Ahora procedemos a calcular las invariantes:
𝐼1 = 45 + 25 + 30 = 100 𝑀𝑃𝑎
𝐼2 = 45 ∗ 25 + 25 ∗ 30 + 45 ∗ 30 − 15 ∗ 15 − 28.284 ∗ 28.284 − 28.284 ∗ 28.284
𝐼2 = 1400.0306 𝑀𝑃𝑎
Para la invariante 𝐼3 sólo sacaremos la determinante de la matriz resultante
directamente en la Texas usando el comando anteriormente mencionado que es la
siguiente: det([3x3])
45
−15 28.284
𝐼3 = det ([ −15
25
28.284]) = −53 000 𝑀𝑃𝑎
28.284 28.284
30
2) El estado de esfuerzo en un elemento de una estructura se ilustra en la siguiente figura.
Determine los esfuerzos y las direcciones principales. Dibuje el círculo de Mohr y el
elemento orientado en las direcciones principales mostrando los esfuerzos principales.
Circulo de Mohr en
escala a 5 para tener
mejor precisión sobre
las medidas.
Todo está en la hoja
cuadriculada.
Como el ángulo se
obtuvo 45°, solo se
observará un elemento
orientado con las
direcciones principales
mostrando los
esfuerzos principales.
3) Para el estado de esfuerzo en un punto de una estructura, ciertas componentes
de esfuerzo están dados para cada una de las dos orientaciones. Aplicando las
ecuaciones de transformación, calcule las componentes de esfuerzo 𝜎𝑦′ 𝑦 𝑟𝑥′𝑦′ y el
ángulo 𝜃1 entre cero y 90°.
4) El estado de esfuerzo en un punto en un Sistema de coordenadas x, y y z es
Determine los esfuerzos y las invariantes (𝐼1, 𝐼2 𝑒 𝐼3) relativas al sistema de
coordenadas x’, y’ y z’ rotando los ejes x, y a través de un ángulo de 30° en
sentido contrario al reloj con respecto al eje z.
20 12 −15
𝜎𝑖𝑗 = ( 12
0
10 )
−15 10
6
𝐼1 = 20 + 0 + 6 = 𝟐𝟔 𝑴𝑷𝒂
𝐼2 = 20(0) + 20(6) + 0(6) − (12)2 − (10)2 − (−15)2 = −𝟑𝟒𝟗 𝑴𝑷𝒂
20 12 −15
𝐼3 = 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 ( 12
0
10 ) = −𝟔𝟒𝟔𝟒 𝑴𝑷𝒂
−15 10
6
√3 1
2
2
[𝜎𝑖𝑗 ] =
1 √3
−
2 2
[ 0
0
0
20 12
∙ [ 12
0
0 −15 10
1]
√3
−15
2
10 ] ∙ 1
−
6
2
[ 0
𝑇
1
0
2
√3
0
2
0 1]
25.3923 −2.6602 −7.9903
[𝜎𝑖𝑗 `] = [−2.6602 −5.3923 16.1602 ]
−7.9903 16.1602
6
𝐼1 ` = 25.3923 + (−5.3923) + 6 = 𝟐𝟔 𝑴𝑷𝒂
𝐼2 ` = 25.3923(−5.3923) + 25.3923(6) + 6(−5.3923) − (−2.6602)2 − (16.1602)2 − (−7.9904)2
𝐼2 ` = −𝟑𝟒𝟗 𝑴𝑷𝒂
25.3923 −2.6602 −7.9903
𝐼3 ` = 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 (−2.6602 −5.3923 16.1602 ) = −𝟔𝟒𝟔𝟒 𝑴𝑷𝒂
−7.9903 16.1602
6
5) En un punto especificado de un elemento, el estado de esfuerzo con respecto a un
sistema cartesiano está dado por
Calcule la magnitud y dirección de los esfuerzos principales.
12
[6
9
6
10
3
9
3 ] 𝑀𝑃𝑎
14
1. Los esfuerzos principales.
12 − 𝜎
{ 6
9
(12 − 𝜎) [10 − 𝜎
3
6
10 − 𝜎
3
3
6
] − 6[
14 − 𝜎
9
9
3 } 𝑀𝑃𝑎
14 − 𝜎
3
6 10 − 𝜎
] + 9[
]=0
14 − 𝜎
9
3
−𝜎 3 + 36𝜎 2 − 312𝜎 + 582 = 0
𝜎1 = 𝟐𝟒. 𝟕𝟒𝟔𝟕 𝑴𝑷𝒂
𝜎2 = 𝟖. 𝟒𝟕𝟗𝟖𝟓 𝑴𝑷𝒂
𝜎3 = 𝟐. 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟒𝟑 𝑴𝑷𝒂
2. Las direcciones principales.
Cabe recalcar, que cada matriz 2x2, se realizó en la programable TEXAS usando el comando
det[(2X2)], que es obtener la determinante de esa matriz.
𝑎1 = [
10 − 24.7467
3
𝑏1 = − [
6
3
] = 𝟗𝟏. 𝟒𝟖𝟎𝟐 𝑴𝑷𝒂
9 14 − 24.7467
6
𝑐1 = [
9
𝑎2 = [
3
] = 𝟏𝟒𝟗. 𝟒𝟕𝟖 𝑴𝑷𝒂
14 − 24.7467
10 − 24.7467
] = 𝟏𝟓𝟎. 𝟕𝟐 𝑴𝑷𝒂
3
10 − 8.47985
3
6
𝑏2 = − [
9
6
𝑐2 = [
9
3
] = −𝟎. 𝟔𝟎𝟖𝟓𝟒𝟒 𝑴𝑷𝒂
14 − 8.47985
3
] = −𝟔, 𝟏𝟐𝟎𝟖 𝑴𝑷𝒂
14 − 8.47985
10 − 8.47985
] = 𝟒. 𝟑𝟏𝟖𝟔𝟓 𝑴𝑷𝒂
3
10 − 2.773343
𝑎3 = [
3
𝑏3 = − [
6
3
] = −𝟒𝟎. 𝟑𝟓𝟗𝟗 𝑴𝑷𝒂
9 14 − 2.773343
6
𝑐3 = [
9
𝑘1 =
𝑘2 =
𝑘3 =
3
] = 𝟕𝟐. 𝟏𝟑𝟏𝟐𝑴𝑷𝒂
14 − 2.773343
10 − 2.773343
] = −𝟒𝟕. 𝟎𝟑𝟗𝟗 𝑴𝑷𝒂
3
1
√149.4782 + 91.48022 + 150.722
1
√0.6085442 + 6.12092 + 4.318652
1
√72.13122 + 40.35992 + 47.03992
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟑𝟐𝟔 𝑴𝑷𝒂
= 𝟎. 𝟏𝟑𝟑𝟎𝟓𝟒 𝑴𝑷𝒂
= 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟓𝟏𝟓 𝑴𝑷𝒂
𝑙1 = 149.478 ∗ 0.004326 = 0.646642
𝑙2 = −0.608544 ∗ 0.133054 = −0.080969
𝑙3 = 72.1312 ∗ 0.010515 = 0.75846
𝑚1 = 91.4802 ∗ 0.004326 = 0.395743
𝑚2 = −6.1209 ∗ 0.133054 = −0.81441
𝑚3 = −40.3599 ∗ 0.010515 = −0.424384
𝑛1 = 150.72 ∗ 0.004326 = 0.652015
𝑛2 = 4.31865 ∗ 0.133054 = 0.574614
𝑛3 = −47.0399 ∗ 0.010515 = −0.494626
Comprobando que las sumas al cuadrado sean aproximadamente a 1:
Para l1, m1, n1
0.646642
2
+ 0.3957432 + 0.6520152 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟖𝟖𝟐
Para l2, m2, n2
0.080969 2 + 0.814412 + 0.5746142 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏
Para l3, m3, n3
0.75846 2 + 0.4243842 + 0.4946262 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐
Direcciones:
0.646642
𝑛̂1 = [ 0.395743 ]
0.652015
−0.080969
𝑛̂2 = [ −0.81441 ]
0.574614
0.75846
𝑛̂3 = [−0.424384]
−0.494626
6. En un punto de un cuerpo cargado, los esfuerzos relativos a un sistema de
coordenadas x, y y z son
Determine los esfuerzos normales 𝜎 y los esfuerzos cortantes 𝑟 sobre un plano
cuya normal está orientada con ángulos de 40°, 75° y 54° con respecto a los
ejes x, y y z
40 40 30
𝜎𝑖𝑗 = (40 20 0 )
30 0 20
cos(40°)
𝑛
𝑇𝑥𝑦𝑧 = [cos(75°)]
cos(54°)
𝑇
cos(40°)
40 40 30
𝑛
𝑇 = [cos(75°)] ∙ [40 20 0 ]
30 0 20
cos(54°)
𝑛
𝑇 = [58.628 35.818 34.737]
Magnitud
𝑇 𝑛 = √(58.628)2 + (35.818)2 + (34.737)2 = 𝟕𝟔. 𝟗𝟖𝟔 𝑴𝑷𝒂
Esfuerzo Normal
cos(40°)
𝜎𝑛 = [58.628 35.818 34.737] ∙ [cos(75°)] = 𝟕𝟒. 𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂
cos(54°)
Esfuerzos cortantes:
𝜏𝑛 = √(𝑇𝑛 )2 − (𝜎𝑛 )2
𝜏𝑛 = √(76.986)2 − (74.60)2
𝜏𝑛 = 𝟏𝟗. 𝟎𝟏𝟖 𝑴𝑷𝒂