Superficies Cuádricas: Elipsoides, Hiperboloides y Más

Superficies cuádricas
Por:
YOCEMAN ADONY SIFONTES RIVAS
SAN SALVADOR, EL SALVADOR, OCTUBRE DE 2023.
Índice
1. Preludio a funciones en varias variables
3
2. Elipsoides
5
3. El hiperboloide de una hoja
6
4. El hiperboloide de dos hojas
7
5. El cono elíptico
7
6. El paraboloide elíptico
8
7. Cilindros
9
7.1. El cilindro parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.2. El cilindro elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.3. El cilindro hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.
Preludio a funciones en varias variables
Recordemos:
El sistema coordenado bidimensional
y
(a, b)
b
a
0
x
Figura 1: Configuración del plano
El sistema coordenado tridimiensional:
z
(a, b, c)
0
a
x
b
(a, b, 0)
Figura 2: Configuración del espacio
3
y
Ejemplo 1. La ecuación x2 + y 2 = r2 representa una curva llamada circunferencia, una curva que
en adelante diremos que es cerrada y simple: todo camino sobre la curva que inicia en algún punto
P (x, y), también termina en P y no tiene autointersecciones.
y
x2 + y 2 = r 2
r
0
x
Figura 3: Curva asociada a x2 + y 2 = r2
Problema: ¿Quién es el análogo de la circunferencia en el sistema coordenado tridimensional?
Ejemplo 2. La ecuación y = x2 o bien x = y 2 representan parábolas, vertical y horizontal
respectivamente.
Problema: ¿Quién es el análogo de las parábolas en el en el sistema coordenado tridimensional?
Ejemplo 3. La ecuación x2 − y 2 = r2 o bien y 2 − x2 = r2 representan hipérbolas, vertical y
horizontal respectivamente.
Problema: ¿Quién es el análogo de las hipérbolas en el en el sistema coordenado tridimensional?
Definición 1.1. Una ecuación de la forma
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Hx + Iy + Jz + K = 0
en el sistema tridimensional es llamada una superficie cuádrica. Donde A, B, C, D, E, F, H, I, J, K
son números reales y A, B o C pueden no ser nulos simultáneamente. Si A = B = C = 0 = D =
E = F tenemos la ecuación de un plano.
En particular, para nuestros intereses, consideraremos superficies asociadas a la ecuación
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Hx + Iy + Jz + K = 0,
4
las superficies cuádricas pueden verse en completa analogía como las secciones cónicas y existen
9 tipos distintos:
1. Elipsoide
6. El hiperboloide parabólico.
2. El hiperboloide de una hoja.
7. El cilíndro parabólico.
3. El hiperboloide de dos hojas.
8. El cilindro elíptico.
4. El cono elíptico.
5. El paraboloide elíptico.
9. El cilindro hiperbólico.
Algunos elementos para visualizar los gráficos:
Los interceptos.
Las trazas (Intersección con los planos coordenados).
Las secciones.
El centro (Algunas cuádricas tienen centro, otra no.)
Simetría.
Acotadas o no acotadas.
2.
Elipsoides
En su forma más elemental, su ecuación puede escribirse como
x2 y 2 z 2
+ + = 1.
a2 b 2 c 2
El hacer alguna variable igual a cero, la curva resultante es una elipse en el plano respectivo.
Figura 4: Superficie asociada a
5
x2 y 2 z 2
+
+
=1
a2 b2 c2
3.
El hiperboloide de una hoja
En su forma más elemental, su ecuación puede escribirse como
x2 y 2 z 2
+ − = 1.
a2 b 2 c 2
Para determinar sus trazas hacemos:
z = 0 (Intersección con el plano xy), la ecuación se convierte en
x2 y 2
+
= 1.
a2 b 2
Si x = 0 (Intersección con el plano yz), la ecuación se convierte en
y2 z2
− = 1.
b2 c 2
Si y = 0 (Intersección con el plano xz), la ecuación se convierte en
x2 z 2
− = 1.
a2 c 2
Figura 5: Superficie asociada a
6
x2 y 2 z 2
+
−
=1
a2 b2 c2
4.
El hiperboloide de dos hojas
Su ecuación más elemental puede escribirse como
x2 y 2 z 2
+ − = −1.
a2 b 2 c 2
Figura 6: Superficie asociada a
5.
x2 y 2 z 2
+
−
= −1
a2 b2 c2
El cono elíptico
Su ecuación más elemental puede escribirse como
x2 y 2
+
= z2.
a2 b 2
Para determinar sus trazas, hacemos
Si z = 0,
x2 y 2
+
= 0 si y solo si x = y = 0.
a2 b 2
Si x = 0, se debe resolver
y2
= z2
b2
y
lo cual implica que z = ± , b 6= 0.
b
Si y = 0, se debe resolver
x2
= z2
2
z
7
x
lo cual implica que z = ± , a 6= 0.
a
Figura 7: Superficie asociada a
6.
El paraboloide elíptico
Su ecuación más elemental puede escribirse como
x2 y 2
+
= z.
a2 b 2
Para determinar sus trazas, hacemos
Si z = 0. El úncio punto que cumple es (0, 0, 0).
Si x = 0, se obtiene la parábola
z=
y2
.
b2
Si y = 0, se obtiene la parábola
x2
z= 2
a
8
x2 y 2
+
= z2
a2 b2
Figura 8: Superficie asociada a
7.
x2 y 2
+
=z
a2 b2
Cilindros
El resto de superficies cuádricas son cilindros. El término se deriva de la definición.
Definición 7.1. Se C cualquier curva del plano y todas las rectas que pasan por C que son
perpendiculares al plano que contiene a C forman una superficie. La superficie obtenida es llamada
superficie cilíndrica. Las rectas son llamadas generatrices del cilindro.
Si la base de la curva está en el plano xy o en un plano paralelo al plano xy, entonces los generadores del cilindro son paralelos al eje z, en tal caso la ecuación del cilindro contiene únicamente
las variables x e y.
Existen tres tipos básicos de cilindros:
7.1.
El cilindro parabólico
Su ecuación está dada por
x2 = 4cy.
Esta superficie está formada por todas las rectas que pasan por la parábola x2 = 4cy y son
perpendiculares al plano xy.
9
7.2 El cilindro elíptico
7.2 El cilindro elíptico
Figura 9: Superficie asociada a x2 = 4cy
7.2.
El cilindro elíptico
Su ecuación está dada por
x2 y 2
+
= 1.
a2 b 2
Esta superficie está formada por todas las rectas que pasan por la elipse y son perpendiculares al
plano xy. Si a = b se obtiene un cilindro circular recto.
Figura 10: Superficie asociada a
10
x2 y 2
+
= 1.
a2 b2
7.3 El cilindro hiperbólico
7.3.
7.3 El cilindro hiperbólico
El cilindro hiperbólico
Su ecuación está dada por
x2 y 2
−
= 1.
a2 b2
Esta superficie está formada por todas las rectas que pasan por la hipérbola y son perpendiculares
al plano xy.
Figura 11: Superficie asociada a
11
x2 y 2
−
= 1.
a2 b2