Subido por Jose Ramir

HT-02-DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

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ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
MATEMÁTICA II
SESIÓN 2
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Y DERIVACIÓN IMPLICITA
SESIÓN Nº 02
I. En los ejercicios siguientes, calcular 𝑓 𝑛 (𝑥) para el valor 𝑛 que se indica
1. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1,
2. 𝑓(𝑥) =
2−√𝑥
2+√𝑥
𝑛=2
, 𝑛=2
𝑥3
3.
𝑓(𝑥) = 1−𝑥, 𝑛=4
4. 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −2𝑥 2
1−𝑥
, 𝑛=3
1
5.
𝑓(𝑥) = 2𝑥+3, 𝑛=4
6.
𝑓(𝑥) = √4𝑥 + 1; 𝑛 = 3
II. En los ejercicios siguientes determine
𝑑𝑦
𝑑𝑥
por derivación implícita
𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
1.
𝑥2 + 𝑦 = 𝑥3 + 𝑦2
7.
2.
𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑥𝑦
8.
𝑥𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
3.
5𝑥 − 𝑥 2 𝑦 3 = 2𝑦
9.
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) = 3 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦]
4.
𝑥 3 − 3𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 𝑎3
10.
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑦)
5.
6.
𝑥3
𝑦2
𝑦2
5
+ 𝑥3 = 2
11.
𝑦
ln(√𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
12.
1
𝑥3
𝑦2
𝑦2
5
+ 𝑥3 = 2
𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 = 𝑥 2
III. En los siguientes ejercicios hallar el valor de 𝑦′′ en el punto indicado
1. 𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 = 8, 𝑃(2,2)
2. 𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 = 6, 𝑃(1,1)
3. 𝑥 4 − 𝑥𝑦 + 𝑦 4 = 1, 𝑃(0,1)
4. 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3 = 0, 𝑃(2, −1)
𝑑𝑦
IV. Determine 𝑑𝑥 , expresando su respuesta en la forma más simple:
1. 𝑥1/2 + 𝑦 1/2 = 2
2. 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2
3. 𝑥 3 − 3𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 𝑏 3
4. 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑎2
2
2
2
5. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3
V. Resolver los siguientes problemas
1. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 = 𝟒 en el punto (√𝟐 ,
𝟐
−𝟏
√𝟐
).
𝟐 𝟐
2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝟑(𝒙 + 𝒚 ) = 𝟏𝟎𝟎𝒙𝒚 en el punto (3, 1).
3. Si 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25. Determine
4.
5.
6.
7.
𝐝𝟐 𝐲
𝐝𝐱 𝟐
. Evalué la primera derivada y la segunda derivada en el punto
(−3, 4).
Si la pendiente de la recta tangente a la curva 𝒙𝟐 𝒚 + 𝒂𝟐 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 en el punto de abscisa 𝒙 = 𝟏
es 1. Determine el valor de 𝒂.
La recta 𝑳 pasa por 𝑷(𝟑𝟑, 𝟎) y es normal a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 en 𝑄(𝑎, 𝑓(𝑎)). Determine
𝑄 y la ecuación de la recta 𝑳.
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 cuya inclinación es 450.
En cierta fábrica, el costo total de fabricar 𝒒 unidades es 𝑪(𝒒) = 𝟎. 𝟐𝒒𝟐 + 𝒒 + 𝟗𝟎𝟎 dólares. Se ha
determinado que se fabrican aproximadamente 𝒒(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒕 unidades durante las primeras 𝑡
horas de una corrida de producción. Calcule la razón a la que cambia el costo total de fabricación con
respecto al tiempo 1 hora después de iniciar la producción.
1
8. Suponga que 𝑅(𝑥) dólares es el ingreso total por la venta de 𝑥 mesas, y que 𝑅(𝑥) = 300𝑥 − 2 𝑥 2 .
a) Determine la función de ingreso marginal.
b) Determine la función ingreso marginal cuando 𝑥 = 40.
c) Determine el ingreso real por la venta de la mesa 41.
9. Supóngase qué 𝐶(𝑥) dólares es el costo total por la fabricación de 𝑥 juguetes, y que 𝐶(𝑥) = 110 +
4𝑥 + 0.02𝑥 2 .
a) Determine la función costo marginal.
b) Determine el costo marginal cuando 𝑥 = 50
c) Determine el costo real de fabricación del juguete 51.
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