Prof. Pablo Guerrero Introducci ón Las siguientes, son preguntas que surgen en el mismo momento en que vamos a iniciar el estudio de la mecánica de fluidos: ¿Qué es un fluido? ¿Cuál es la diferencia entre un sólido y un fluido? ¿En cuáles áreas de la ingeniería es muy importante tener conocimientos de la mecánica de fluidos? ¿Cuáles son las leyes y principios que rigen esta ciencia? Contenido Sistemas de Unidades Definiciones y clasificaciones Propiedades de los fluidos Viscosidad Presión Ley Gases ideales Estatica de Fluidos Dinámica de los Fluidos Aplicacion de la mecánica y transporte Sistemas de Unidades Como en el estudio de la mecánica de los fluidos se tratan varias características de los fluidos, es necesario un sistema, de forma que podamos describirlas cualitativa y cuantitativamente. Actualmente se usan varios sistemas de unidades: – Sistema Inglés Gravitacional (SIG ) ( CSC ) . – Sistema Internacional – Sistema Técnico Inglés Sistemas Inglés Gravitacional (SIG) (USC) Masa: slug ó Geolibra Longitud: pie Tiempo: segundo (s) Fuerza: libra (lb) ó libra fuerza Temperatura: °R (ranking) °R= °F + 459.67 F = Masa x Aceleración 1 lb = (1 slug) x (1 pie/s²) W = mg 1 lb = m(slug) x g(1 pie/s²) g= 32.174 pie/s² Sistema Internacional Masa: kilogramo (kg) Longitud: metro (m) Tiempo: segundo (s) Fuerza: newton (N) Temperatura: K (kelvin) K= °C+273.15 F= Masa x Aceleración IN= (1 kg)(1 m/s²), W= mg IN= (1 kg)(9.81 m/s²) g=9.81 m/s² La unidad de trabajo en el SI es el Joule (J) 1 J = 1 N m La unidad de potencia es el Watt (w) Definido como un joule por segundo, así Watt = 1 J/s =1 (N m)/s Sistema Técnico Inglés También llamado sistema inconsistente, sus unidades son: Masa: slug Longitud: Pie Tiempo: segundo (s) Fuerza: Libra (Lb) Temperatura: ° R (Rankine) Para hacer dimensionalmente homogénea la ecuación que expresa la segunda ley de Newton, se escribe así: F= (m.a) /g 0 Donde g es una constante de proporcionalidad que permite definir unidades para la fuerza y para la masa. 0 1 Lb= (1 Lbm) (32.174 pies/s²) go go=(32.174 Lbm)(Lb/(pie/s²)) W= mg go= 9.806 m/s² g= Valor Gravedad Local Si 1Lbf =1Lbm x 32.174pies/s² Y 1Lbf=1slug x 1pies/s² 1 slug x 1 pies/s² = 1Lbm x 32.174 pies/s² 1 slug = 32.174 Lb.m Definiciones y clasificaciones La MECANICA DE FLUIDOS es la disciplina del campo de la Mecánica aplicada que estudia el comportamiento de líquidos y gases en reposo o en movimiento FLUIDO, se define como una sustancia que se deforma de mFanera continua cuando sobre ella actúa cortante de cualquier magnitud ΔF ΔF ΔFn ΔA = ΔA ΔFt τ = lim ΔFt ΔA 0 Δ A El vector fuerza divido entre el área sobre la cual actúa se llama esfuerzo. La fuerza tiene dos componentes, la normal ∆ Fn y la componente tangencial ∆ Ft. La componente normal de la fuerza entre el área es un vector de esfuerzo normal y la componente tangencial de la fuerza dividida entre el área es un vector de esfuerzo cortante. En el estudio de la Mecánica de los fluidos se emplean las mismas leyes fundamentales que usamos en física y Mecánica como son: Las leyes de movimiento de Newton La ley de conservación de la masa La primera y segunda ley de la termodinámica. La mecánica de fluidos se puede subdividir en estática de fluidos, donde el fluido está en reposo, y en dinámica de fluidos, donde el fluido está en movimiento. Propiedades de los fluidos Antes de iniciar el estudio de la Mecánica de los fluidos es necesario analizar ciertas propiedades que están estrechamente relacionadas con el comportamiento del fluido. Densidad, designada por la letra griega ρ . Se define como la masa por unidad de volúmen. Se usa para caracterizar la masa de un sistema de fluido Unidades: SI (Kg/m³) SIG (slugs/pie³) Para líquidos las variaciones de presión y temperatura en general afectan muy poco el valor de la densidad. Sin embargo, la densidad de un gas es notablemente afectada por la presión y la temperatura. Para el agua a presión y temperatura normal: P= 760mm Hg Densidad (ρ)= 1000 kg/m³ T= 4ºc (39.2ºF) 1.94 slug/ pie³ Volúmen específico (�) es el volúmen por unidad de masa, es el reciproco de la densidad. �= 1/ρ Peso específico, se define como el peso de la sustancia por unidad de volumen. El peso especifico está relacionado con la densidad por medio de la ecuación: γ = ρg Donde g= aceleración de la gravedad local, g=32.174 pie/s² ó 9.807 m/s². Sus unidades son: SIG (Lb/pie ³) y SI (n/m³) Densidad relativa (D. R.) se define como la densidad del fluido dividida entre la densidad del agua a temperatura normal. DR= Densidad/ Densidad del agua La densidad, el peso específico y la densidad relativa están interrelacionados. La densidad relativa también se expresa en función de la gravedad específica (S). Esto es conveniente cuando se indica el peso específico o la densidad de un fluido en término de su relación con un fluido común. Ese fluido es el agua a 4ºc, porque es a esa temperatura que el agua tiene su mayor densidad. S= densidad de la sustancia = peso especifico sustancia = gravedad especifica densidad del agua peso especifico del agua Recordar que densidad de la sustancia = m/∀ = W/g∀ donde m= masa de la sustancia; ∀= volumen de una sustancia; g= gravedad local Para el agua a 4ºc y presión normal; Peso Especifico del agua = 9810 N/m³ o 9.81 KN/m³ ó 62.4 lb/pies³. Variación de la densidad y el peso específico con la temperatura Densidad del agua= 1000 - (T-4)² 180 Peso específico= 9810 - (T-4)² 180 SHG = 13.6-0.0024T Ejemplo Nº 1 Si un recipiente tiene un volumen de 0.917m³ y está lleno de aceite, si posee una masa de 825 kg. Calcule la densidad, el peso especifico y la gravedad especifica del aceite. Datos del caso Solución ∀= 0.917m³ Densidad = m = 825kg = 900 kg/m³ m= 825 Kg. ∀ 0.917m³ Peso específico= w = mg ∀ ∀ Peso específico = 825 Kg. x 9.81m/s² = 8.83 KN./m³ 0.917m³ S= densidad = 900 Kg./m³ =0.90 densidad del agua 1000 Kg./m³ Ejemplo Nº 2 La glicerina a 20º c tiene una gravedad específica de 1.263. Calcule la densidad y peso específico. Datos del caso Glicerina ~ T= 20º c Solución S = densidad de la glicerina = peso específico de la glicerina densidad del agua peso específico del agua Ejemplo Nº 3 Un líquido con gravedad específica de 1.2 llena un volúmen. Si la masa en el volúmen es de 10 slug ¿cuál es la magnitud del volúmen? Datos del caso Solución Viscosidad El esfuerzo que define un fluido es el esfuerzo cortante . El esfuerzo cortante en un punto es el valor limite de la fuerza por unidad de área a medida que el área se reduce a un punto. y F b b’ c t Placa fija F U c’ u y a A= área de la placa superior u= velocidad del fluido F= fuerza aplicada a la placa superior U= velocidad de la placa d x Si F hace que la placa superior se mueva con una velocidad permanente sin importar que tan pequeña sea la magnitud de F, entonces la sustancia entre las dos placas es un fluido. El fluido en contacto inmediato con la placa sólida tiene la misma velocidad que la placa, es decir, no hay deslizamiento en la frontera. (1 ). F= μ (A x U)/t donde: F= fuerza aplicada a la placa A= área de la placa superior U= velocidad de la placa t= espesor o distancia entre las placas μ = factor de proporcionalidad De (1) F = μ U A t si τ = F A ( 2 ) τ = μ U/t t Además la relación U/t es la velocidad angular de la línea ab. También llamada tasa de deformación angular del fluido o tasa de decrecimiento del ángulo bad. U = du t dy Sustituyendo En (2) du dy Es más amplia т = μ du dy Y esta es la relación entre el esfuerzo cortante y la tasa de deformación angular para el flujo en una dimensión de un fluido. El factor de proporcionalidad μ se conoce como la Viscosidad. La ecuación τ = μ (du /dy) es la ley de viscosidad de Newton. Y como consecuencia de esta ley los fluidos se clasifican en newtonianos y no newtonianos. Fluidos newtonianos, existe una relación lineal entre el esfuerzo cortante y la tasa de deformación resultante, μ es constante Fluidos no newtonianos, relación no lineal Los líquidos y gases mas comunes son fluidos newtonianos, mientras que los hidrocarburos espesos son no newtonianos μ se conoce como Viscosidad dinámica del fluido o viscosidad absoluta De (2) =͐ du τ µ dy En el Sist. Internacional En el Sist. Gravitacional μ = N.s = Pa . s m² μ = N.s = kgm = kg . m² s² ms μ = Lb.s = slug pie² pies Ejemplo No. 4 Determine la viscosidad del fluido entre el eje y la camisa mostrados en la fig. Datos F=20lb D=3pulg=0.25pies τ =µdu/dy Solución pero du/dy = ωR/t τ y ω=u/R Lc=8pulg=0.67pies Entonces = µωr/t de donde decimos que : R=1.5pulg=0.125pies t=0.003pulg=0.00025pies µ= t/(ωR) V=0.4pies/seg =F/A=F/2πRL=20Lb/(2pi(0.125)(0.67)=38.0071Lb/pies 2 ω=u/R=(0.4pies/seg)/(0.125pies)=3.2Rad/seg Sust. y ω en µ µ=(38.0071Lb/pies²)(0.00025pies)/(3.2Rad/seg)(0.125pies)=0.02375Lb.seg Viscosidad cinemática En muchos problemas de fluidos la viscosidad aparece relacionada con la densidad, al cociente de la viscosidad dinámica entre la densidad del fluido le llamamos viscosidad cinemática. υ=µ/ρ Unidades - SI (m²/s) - SIG (pies²/s) Ejemplo No. 5 Un líquido tiene una viscosidad de 0.005Kg/m.s Y una densidad de 850Kg/m3.calcular la viscosidad cinemática en a) SI b) SIG y la viscosidad en SIG. Datos: µ= 0.005Kg/m .s ρ=850Kg/m3 Solución: a) υ= µ/ρ= (0.005Kg/m s)/850Kg/m3)=5.882 x10 -6 m 2 /s b) υ=5.88x10-6m2 /s .(1 pies/0.3048m)2=63.31 x 10 -6 pies 2 /s µ=(0.005Kg/m s)(1slug/pie. s/(47.9Kg/m s))=1.044x10 -4 slugs/pies. s Ejemplo No. 6 Un fluido newtoniano se encuentra en el espacio entre un eje y una camisa concéntrica. Cuando se aplica una fuerza de 600N a la camisa en forma paralela al eje, la camisa adquiere una velocidad de 1m/s. Si se le aplica una fuerza de 1500N, ¿cuál será la velocidad que adquiere la camisa? La temperatura de la camisa permanece constante Datos F1=600N F2=1500N Solución Como es un fluido newtoniano entre F y U hay una relación lineal por lo que : Si 600N 1m/s 1500N u= (1500N )(1 m/s)/600N u=2.5m/s x (u) Ejemplo No. 7 Un cuerpo con un peso de 120Lb con un área superficial plana de 2 pies 2 se desliza hacia abajo a lo largo de un plano inclinado lubricado que hace un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. Para una viscosidad de 0.002Lb.s/pies 2 y una velocidad del cuerpo de 3 pies /s . determine el espesor de la película de lubricante. Datos W=120Lb µ=0.002Lb. s/pies² A=2pies² V=3pies/s Ѳ=30° t=? Solución F=µ AV/t t=µ AV/F=(0.002Lb. s/pie²(2pies²)3pies/s)/(120LBsen30°) t=0.0002pies=0.0024pulg Definición de presión En general la presión se define cono la cantidad de fuerza ejercida sobre un área unitaria de cualquier cuerpo. P=Fn/A Esta presión es el resultado de una fuerza de compresión normal que actua sobre el área. Las unidades usadas para la presión son: SI N/m² = pascal SIG Lb/pie² o Lb/pulg² (PSI) Ejemplo No.8 En la figura se muestra un contenedor de líquido con un pistón móvil soportando una carga. Calcule la magnitud de la presión en el líquido bajo el pistón. Si el peso total del pistón y la carga es de 500N, y el área del pistón 2500mm². Datos: Wt= 500N Ap=2500mm ² =2.5 x 103m ² Solución: P=F/A=500N/2.5 x 103m ² P=0.2MPa Ejemplo No. 9 Si un líquido que confina el pistón de ejemplo anterior es de aceite y el diámetro interior es de 2.50 pulg. Calcule la presión en el aceite en el aceite si la carga es de 200Lb. Datos D= 2.50pulg W=200Lb Solución P=F/A A=πD2/4=π(2.50pulg)2/4=4.91pulg2 P=200Lb/4.91pulg2=40.7Lb/pulg2 Escala de la presión Tanto la presión como la temperatura son cantidades físicas y por eso pueden ser medidas con escalas diferentes. Existen escalas absolutas tanto para la presión como para la temperatura, también existen escalas que miden estas cantidades con respecto a puntos de referencias seleccionados. Los punto de referencias mas usados son: en la temperatura el cero absoluto; en la presión es la presión atmosférica local. Cuando la presión se expresa como la diferencia entre el valor medido y un vacío completo, se conoce como presión absoluta . Cuando la presión se expresa como la diferencia entre el valor medido y la presión atmosférica local, se conoce como presión manométrica. La conversión de presión manométrica en presión absoluta se realiza mediante la ecuación: Pabs = Pman + Patm Las presiones absolutas siempre son positivas, pero las presiones manométricas pueden ser positivas y negativas, dependiendo de si la presión esta por arriba o por debajo de la presión atmosférica. Además de las unidades antes mencionadas para las presiones, también la presión puede expresarse como la altura de la columna de líquido. Por ejemplo 760mmHg es la presión atmosférica normal. Expresada como una columna de 760mm de mercurio. En la gráfica se ilustran los conceptos y las relaciones entre las unidades comunes de medidas de presión entre los puntos 1 y 2. Un vacío completo es la presión mas baja posible, por lo que una presión absoluta siempre será positiva. Una presión manométrica que este por encima de la presión atmosférica es positiva y si esta presión está por debajo es negativa o vacío. La magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con las condiciones climatológicas. Ejemplo No. 10 Exprese una presión de -6.2Lb/pulg2 relativa como una presión absoluta. Datos Pman=-6.2Lb/pulg² Solución Pabs = Pman + Patm Pabs = -6.2Lb/pulg² + 14.7Lb/pulg² Pabs = 8.5Lb/pulg² Ejemplo No. 11 Se mide un vacío de 31 KPa en un flujo de aire al nivel del mar. Determine la presión absoluta en: a) KPa b) mmHg c)PSI, d) pie de H 20 y e) pulg Hg. Datos Pman=-31KPa Solución Pabs= Pman + Patm a)Pabs= -31KPa + 101.325KPa = 70.325KPa b)Pabs= -31KPa/101.325KPa x 760mmHg + 760mmHg = 527mmHg c)Pabs= -31KPa/101.325KPa x 14.7PSI + 14.7PSI = 10.2Psi d)Pabs= -31KPa/101.325KPa x 34pieh²o + 34pieh²o =23.6pieh2o e)Pabs= -31KPa/101.325KPa x 29.92pulgHg +29.92pulgHg=20.8pulgHg Escalas de temperaturas Normalmente se usan dos escalas de temperatura, la escala Celsius y Fahrenheit. Las dos tienen como referencia el punto de congelación y el punto de ebullición del agua a una presión atmosférica de 14.7PSI. Punto de ebullición Punto de congelación °C °K °F °R 100° 373 212° 672 0° 273 32° 492 Existen dos escalas de temperatura absoluta. La escala que corresponde a la escala Celsius que es : K= °C + 273.5 Y la escala Fahrenheit °R= °F + 459.67 Ley de los gases ideales Normalmente los líquidos no pueden soportar esfuerzos de tensión porque se vaporizarían, los líquidos pueden soportar una presión considerable o una fuerza de compresión con un pequeño o ningún cambio observable en la densidad. Sin embargo no existe relación entre la presión y la densidad para un liquido. Sin embargo, los gases si responden a cambios en la presión y por lo tanto una relación entre la presión y la densidad. El gas perfecto o ideal que usaremos se define como una sustancia que satisface la ley del gas perfecto PVs=RT Donde: P= presión absoluta Vs= volumen especifico R=constante del gas T= temperatura absoluta. Diferencia entre un gas perfecto y un fluido ideal. El gas perfecto tiene viscosidad y eso significa que puede desarrollar esfuerzo cortante y es compresible de acuerdo a la ecuación: PVs=RT Esta ecuación puede escribirse como P=ρRT Las unidades de R son: R=mN/Kg.K R=pie Lb/slug . °R R=pie Lb/Lbm. °R La constante del gas R depende del gas en cuestión y esta relacionada con el peso molecular del gas. Los valores de R para varios gases de uso común se dan en tablas. Los gases reales por debajo de la presión critica y por arriba de la temperatura critica obedecen la Ley del Gas Perfecto, y esta ley obedece a la Ley de Charles y a la ley de Boyle. Ley de Charles, para una presión constante, el volumen de una masa dada de gas varia en proporción a su temperatura absoluta. Ley de Boyle, para una temperatura constante, la densidad varia directamente con la presión absoluta. Como: V = mVs y PVs= RT Vs= V /m entonces… PV/m = RT PV = mRT, esta es la Ley del gas perfecto en una base molar. Si Vs es el volumen por mol, La ley del Gas perfecto se puede expresar como: PVs=MRT Donde M es el peso molecular. Si n es el numero de moléculas de gas en el volumen , entonces: P =nMRT donde, nM=m Según la ley de Avogrado que dice: Volúmenes iguales de gases, a la misma temperatura y presión absoluta tienen el mismo numero de moléculas, por lo que sus masas son proporcionales a los pesos moleculares. Un kilogramo mol de gas es el números de kilogramos de masa de gas igual al peso molecular, por ejemplo: 1kg mol de Oxigeno(O2)= 32Kg 1kg mol de Hidrogeno(H2)= 2.02Kg 1kg mol de Nitrógeno(N2)= 28Kg De la ecuación P V =nMRT PV/nT=MR= constante Debido a que PV/nT es el mismo para cualquier gas perfecto. MR= constante universal de los gases. MR= 8312 m.n/kg.mol.K R= 8312/M m.n/kg.K (SI) R= 49.709/M pie.lb/slug oR (SIG) R= 1545/M pie.lb/lbm. oR Los valores de R y el peso molecular(M) se consiguen en tablas. Modulo de Elasticidad Volumétrica Para la mayoría de los propósitos, un liquido se considera incompresible, pero cuando hay situaciones que involucra cambios repentinos y grandes en la presión, la compresibilidad se vuelve importante.. En el caso de líquidos y gases también es importante cuando se producen cambios de temperatura. La compresibilidad de un liquido se expresa mediante su módulo de elasticidad volumétrico (k). K=-dP/d para cualquier volumen V de liquido K=- dP/d / , como d / es adimensional K se expresa en unidades de presión. Como al disminuir el volumen aumenta la densidad: K= -dP/ d ρ/ρ PRESION DE VAPOR Los liquidos se evaporan porque algunas moleculas en la superficie del liquido se mueven lo suficiente para superar las fuerzas intermoleculares de cohesion y escapar a la atmosfera, esto sucede si es un recipiente te abierto a la atmosfera. Ahora bien, si el recipiente es cerrado de forma tal que arriba de la superficie del liquido hay un pequeño espacio de aire y en ese espacio se hace el vacio, entonces ahi se cre una presion como el resultado del vapor que se forma debido a las moleculas que se escapan. Cuando el Nº de moleculas que abandonan la superficie es igual al Nº de moleculas que entran el vapor esta saturado y la presion ejercida por el vapor sobre la superficie del liquido se denomina presion de vapor. Como la presion de vapor esta estrechamente relacionada con la actividad molecular, el valor de la misma esta relacionado con la temperatura. Las presiones para el agua y otros liquidos se dan en tablas para temperatura ambiente y otras temperaturas . Cuando la presion por encima del liquido es igual a la presion de vapor del liquido, se produce la ebullicion . Cavitacion Es un fenómeno que ocurre cuando un líquido se convierte rápidamente en vapor. Se forma bolsitas de vapor que explotan en las regiones del flujo donde las presiones son mayores que la presión de vapor. Normalmente este crecimiento y decamiento de las burbujas de vapor afecta el comportamiento de bombas y turbinas y además puede causar erosión a las partes metálicas, hormigón y cualquier material dentro de la región de cavitación. TENSION SUPERFICIAL En la interface entre un líquido y un gas, o entre líquidos inmiscibles, se crean fuerzas en la superficie del líquido que hacen que la superficie se comporte como si fuera una piel estirada sobre la masa del fluido. Esta analogia permite explicar varios fenómenos, por ejemplo. -una aguja de acero flota sobre el agua si se coloca suavemente sobre la superficie debido a que la tensión desarrollada en la piel hipotética sostiene a la aguja. -pequeñas gotas de mercurio se transforman en esferas al ser colocadas sobre una superficie lisa. -se forman pequeñas gotas de agua cuando se colocan sobre una superficie recien encerada. Estos tipos de fenómenos superficiales se deben a las fuerzas de cohesión no equilibradas que actúan sobre las moléculas del líquido en la superficie del fluido. Esas fuerzas de tensión requeridas para formar una película en la interfase entre un líquido y un gas o entre dos líquidos no homogeneos es lo que llamamos tensión superficial. Sus unidades son de fuerza por unidad de longitud, (N/m); (Lb/pie) y la longitud utilizada es la longitud del fluido en contacto con un sólido o la circunferencia en caso de una burbuja. La intensidad de la atracción molecular por unidad de longitud a lo largo de cualquier linea de la superficie (tensión superficial) designada por la letra σ, depende tanto de la temperatura como del otro fluido en contacto en la interfase. Existen tablas que dan valores de la tensión superficial para algunos líquidos comunes en contacto con el aire y del agua a diferentes temperaturas. El valor de la tensión superficial disminuye cuando aumenta la temperatura. Presiòn dentro de una gota de fluido Esto indica que la presiòn dentro de la gota es mayor que la presión alrededor de ella. Estática de los fluidos Este tema trata problemas en los que el fluido esta en reposo o en los que no hay movimiento relativo entre partículas adyacentes, esto significa que no existen esfuerzos cortantes, porque para que existan esfuerzos cortantes se requiere que du/dy sea diferente de 0. El único esfuerzo que existe es un esfuerzo normal que llamamos presión. Esta será analizada en la estática de fluidos. Presión en un Punto Como habíamos dicho la presión se usa para indicar la fuerza normal por unidad de área en un punto dado, que actúa sobre un plano especifico dentro de la masa de fluido de interés. Para demostrar que la presión en un punto no varia en caso de que la normal al área cambie de dirección, consideraremos el diagrama de cuerpo libre de una masa de fluido en forma de cuña, de profundidad unitaria (en la dirección de z). Como se considera que no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso. Aplicando la 2da ley de Newton (ec. de movimiento) en las direcciones x e y. ∑Fx = Max Pxδy - Psδs sen θ = ρ( δxδy/2) ax ∑Fy = May Pyδx – ρg (δxδy/2) - Psδs cos θ = ρ (δxδy/2) ay Donde Px, Fy y Ps son las presiones media sobre las caras, γ y ρ son los pesos específicos y densidad respectivamente del fluido. ax y ay son las aceleraciones. En el limite, cuando la cara inclinada se acerca a (x,y) manteniendo el mismo ángulo: δ x = δ scos θ δ y = δ s sen θ Sustituyendo en las ecuaciones de movimiento, Eje x: Px δy – Ps δy = ρ (δx δy /2) ax Eje y: Py δx – Ps δx = ρg (δx δy /2) + ρ (δx δy ) ay Py δx – Ps δx = ρ (g +ay ) δx δy /2 Si se observa que en el límite, a medida que en el elemento de fluido se reduce a un punto δx → 0 y δy → 0, por lo que los lados derechos de las ecuaciones anteriores se vuelven cero, y si las ecuaciones se dividen por δy y δx respectivamente: Px δy – Ps δy = 0 Px δ y – P s δ y = 0 Px = Ps δy δy Py δ x – Ps δ x = 0 Py δ x – Ps δ x = 0 δx δx Py = Ps Px = Py = Ps Esto significa que la presion en un fluido es constante en un punto. Ahora bien, si el fluido se encuentra en movimiento, de tal manera que una capa se mueve respecto a una adyacente, ocurren esfuerzos cortantes y los esfuerzos, en general, no tienen la misma magnitud en todas las direcciones en un punto. En este caso la presión se define como el promedio de los tres esfuerzos de compresión normales, mutuamente perpendiculares en un punto, o sea: P =- σ =- (σxx + σyy + σzz)/3 Variación de la Presión en un Fluido en Reposo ¿Cómo varia la presión de un punto a otro en un fluido que no está sometido a esfuerzos cortantes? Sobre el elemento escogido actúan dos tipos de fuerzas: Fuerzas de Superficie, debidas a la presión Fuerzas de Cuerpo, igual al peso del elemento Si la presión en el centro del elemento es P, entonces la presión media sobre las caras se pueden expresar en términos de P y sus derivadas δP = (∂P/∂x)δx + (∂P/ ∂ y)δy + (∂P/∂ δz)δz (1) Aquí se aplica un desarrollo en series de Taylor de la presión en el centro del elemento para aproximar las presiones a corta distancia y no se toman en cuenta los términos de orden superior, que desaparecen cuando se hace que δx, δy y δz tiendan a cero. Si se recorre una distancia (dx/2) del centro de una cara se ve que la presión es: P (x + ∂x/2, y, z) = P (x,y, z) + ∂P/ ∂ x . ∂x/2 En dy/2 P (y + ∂y/2, x,z) = P (x,y, z) + ∂P/∂y. ∂y/2 En dz/2 P (z + ∂z/2, x, y) = P (x,y, z) + ∂P/∂z . ∂z/2 ∑ F = M.â Forma Vectorial 2da Ley de Newton _ ∂P δxδyδz = ρ δxδyδz ax ∂x _ ∂P δxδyδz = ρ δxδyδz ay ∂y Donde: Ax, Ay y Az son las componentes de la aceleración del elemento. Dividiendo entre el volumen del elemento las ecuaciones Con la ecuación no.1 se puede determinar la diferencia de presión en cualquier dirección como Donde z siempre es vertical. La diferencia de presión se encuentra integrando la ecuación Fluido en reposo Para un fluido en reposo: y la ecuación se reduce a: Como Esta ecuación nos dice que la presión solo varía en la dirección z. Es la ecuación fundamental para un fluido en reposo y se usa para determinar el cambio de presión con la elevación. Indica que la presión disminuye cuando se asciende en un fluido en reposo. no tiene que ser constante Si la densidad se supone constante al integrar P= ; A menudo se hace referencia a la cantidad como carga hidrostática. Variación de la presión en un fluido incompresible Para fluidos homogéneos e incompresibles con después de integrada se escribe: P + γ h = constante constante. La ecuación P= h es la distancia vertical hacia abajo (-z). A partir de la superficie libre. P2 z H= Z2-Z1 P1 Z2 z1 Resolviendo la integral x son presiones a las elevaciones verticales Donde y Esta ecuación muestra que un fluido en reposo (incompresible) la presión varía linealmente con la profundidad. La diferencia de presión entre dos puntos puede especificarse mediante la distancia h y ya que de 4 = cabeza o carga de presión Esto se interpreta como la altura que debe medir una columna de fluido de peso especifico para obtener una diferencia de presión P1 – P2. Superficie libre (P=P0) h B A Peso especifico Esta ecuación nos indica que la presión en un fluido incomprensible homogéneo en reposo depende de la profundidad del fluido con respecto a algún plano de referencia, y no es afectada por el tamaño o la forma del recipiente. Ejemplo no. 12 Debido a una fuga en un depósito subterráneo de almacenamiento de gasolina, se ha filtrado agua a la profundidad como se muestra. Si la densidad relativa de la gasolina es DR =0.068. Determinar la presión en la interface gasolina- agua y en el fondo del deposito en lb/pie², lb/pulg² y como una carga de presión en pies de agua. Abierto 1 2 Gasolina Agua 17 pies 3 pies Como el líquido está en reposo, la distribución de la presión es hidrostática y la variación de presión se calcula con la ecuación: P0 = Presión atmosférica ó en la superficie de la gasolina En la interface Si la presión se mide con respecto a la atmosférica (manométrica), Entonces P0 y P1 Como P1 = *** **** Esto significa que una columna rectangular de agua de 11.56 pies de alto y sección transversal de 1 pie² pesa 721.344 lb. Si la sección es de 1 pulg², entonces pesa 5.01 lb En el fondo: Manometría Los manómetros son instrumentos que usan columnas de líquido para medir presiones. Cuando la presión se expresa como la diferencia entre su valor y la presión atmosférica local, se conoce como presión manométrica . Existen muchas configuraciones posibles, dependiendo de la aplicación particular. Los tres tipos más comunes de manómetros son: el piezómetro, el manómetro en U y el manómetro de tubo inclinado. La presión atmosférica local se mide con un tipo de manómetro llamado barómetro de mercurio . Vapor de HG A h MERCURIO Tubo de vidrio Patm Piezómetro, es el tipo mas simple de manómetro, consta de un tubo vertical, abierto en la parte superior, conectado al recipiente en que se desea medir la presión. La ecuación que describe su uso es P Abierto h1 A La aplicación de esta ecuación al piezómetro indica que la presión en A se puede determinar con una medición de h1 mediante la relación El piezómetro no trabaja para presiones negativas ni sirve para medir grandes presiones. Manómetro de tubo en U Manómetro SIMPLE de tubo en U Una ventaja del manómetro de tubo en U es el hecho que el fluido en el manómetro puede ser diferente del fluido del recipiente en el que se desea determinar la presión. Si A contiene un gas,lacontribución de la columna de gas es insignificante de modo que y la ecuación se convierte en: Ejemplo No. 13 Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite (DR=0.90), como se muestra en la figura. Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con mercurio (DR =13.6). Para alturas de columna , y . Determinar la lectura de presión en del manómetro. Manómetro Datos del caso •Aire comprimido •Aceite (DR= 0.90) •Mercurio (DR = 13.6) La presión en: 1 es igual a la presión en 2 por estar a la misma altura. Aire h1 Aceite DR = 0.90 h3 h2 1 2 Solución Ecuación Básica a+[DRac][γh₂O][h₁+h₂]—[DRhg][γh₂O][hз]=O El manómetro se usa también para medir la diferencia de presión que hay entre dos recipientes o dos puntos de un sistema. PA=P1 P2=P3 P5=PB En este tipo de problemas lo importante es usar unidades consistentes. Fuerzas sobres superficies planas Como la presión es constante y esta distribuida uniformemente sobre el fondo, la fuerza resultante actúa a través del centroide del área Superficie Plana sumergida inclinada Suponer que el fluido está en contacto con la atmósfera. El plano en que está la superficie inclinada corta la superficie libre en O. y forma un ángulo Ø con esta superficie. Se define un sistema de coordenada de forma que O sea el origen, el eje y esta a lo largo de la superficie inclinada y perpendicular a X. ¿Qué es lo que buscamos? La dirección, ubicación y magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre los lados de esta área debido al líquido en contacto con el área. Si escojemos un área diferencial dA, a cualquier profundidad h, dF = PdA= y es perpendicular a la superficie. pero h = Y por lo que : Fr = Fr = Fr = Recordando que = primer momento del área con respecto al eje x. Se puede expresar que: =YcA donde: Yc es la ordenada Y del centroide medida desde el eje x que pasa por O. FR = = Pero si observamos la figura , donde: hc = distancia vertical desde la superficie del fluido hasta el centroide del área. De la formula vemos que; La magnitud de la fuerza solo depende de: El peso específico del fluido. La profundidad del centroide del área por debajo de la superficie libre. El área total. FR es perpendicular a la superficie plana. La formula nos dice que, la fuerza que un fluido ejerce sobre una superficie plana, es igual a la presión en el centroide multiplicada por el área. En general la fuerza no actúa sobre el centroide. ¿por dónde pasa la fuerza resultante? El momento de la fuerza resultante con respecto al eje x es igual a la suma de los momentos de todas las fuerzas con respecto al mismo eje. También por lo que: ; Donde es el segundo momento del área (momento de inercia) Ix con respecto al eje x. ; Expresando Ix aplicando el teorema del eje paralelo. Ix = Ixc + AYc2 Donde Ixc es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centroide, y es paralelo al eje X. Sustituyendo Ix en Yp. Esta ecuación demuestra que la resultante no pasa por el centroide, sino que siempre se encuentra debajo de este, del mismo modo: donde Iyx es el producto de inercia con respecto a los ejes X y Y. Usando el teorema del eje paralelo: Si el area sumergida es simetrica con un eje que pasa por el centroiede, y es paralela a cualquiera de los ejes X o Y, la fuerza resultante debe estar a lo largo del eje y el producto de inercia Ixy=0. El punto a través del que actua la fuerza resultante se llama centro de presión. El centro de presión esta localizado en la coordenada (X p ,Y p ). Ejemplo 15 La compuerta de 4m de diámetro que se muestra en la figura está situada en la pared inclinada de un gran depósito que contiene agua. La compuerta está montada sobre un eje a lo largo de su diámetro horizontal. Para una profundidad de agua de 10m arriba del eje, determinar: a) La magnitud de la fuerza resultante que ejerce al agua sobre la compuerta, así como la ubicación. b) El momento que se debe aplicar al eje para abrir la compuerta. Datos: γ = 9.10KN hc =10m D = 4m r = 2m Ѳ= 60° Solución FR = γhcA = (9.80x10³N/m³)(10m)(2²π)m² F R = 1.23MN = 1.23 x 10 6 N Localización del punto a través del cual actúa la FR Xp = 0 por que el área es simétrica y el centro de presión debe pasar por A-A. La distancia debajo del eje al centro de presión es: = 0.0866m respuesta B) Diagrama de cuerpo libre M W = peso de la compuerta Rx,Ry reacciones horizontal vertical del eje sobre la compuerta. = 1.23MN(11.64m–11.55m) Mc = 1.23MN (0.09m) =1.1107 x 10 5 NM Dinámicas de los fluidos Análisis Cuando nos referimos a un movimiento desordenado de los paquetes de fluidos, significa que los paquetes cambian su orientación y posición y rápidamente se mezclan entre otros paquetes de sus alrededores, por lo que es muy difícil utilizar un sistema de masa fija para deducir las ecuaciones de dinámica de fluidos. Existen dos enfoques para el análisis del movimiento de los fluidos. Enfoque Euleriano : se adopta para la mayoría de los análisis. Este enfoque considera un volúmen de control fijo o un punto fijo en el espacio y las ecuaciones se deducen para expresar cambios en masa, momentum, y energía cuando el fluido pasa a través del volúmen de control, a la frontera del volúmen de control se le llama superficie de control. El volúmen de control o se hace coincidir con las fronteras sólidas o se dibuja perpendicular a las direcciones del flujo para simplificar el problema. Con los enfoques lagrangiano y Euleriano existen dos niveles de abstracción matemática: El nivel macroscópico El nivel de campo En el nivel macroscópico no se analizan los parámetros punto por punto dentro del volumen de control, solo la entrada y la salida. En el nivel de campo los cálculos se hacen punto por punto de las diferentes variables. Descripción del movimiento de un fluido Los conceptos de línea de corriente, línea de trayectoria y línea de filamento se usan para representar visual y analíticamente los parámetros de flujo. V(x, y, z, t) = U i +V j +W k Donde U, V, y W son las velocidades de una partícula de fluido en las direcciones X, Y y Z , y cada una de ellas puede variar en el espacio y en el tiempo. Línea de corriente Es una línea en el flujo que tiene la siguiente característica: el vector velocidad de cada partícula que ocupa un punto en la línea de corriente es tangente a esta. Vx dr = 0 Una partícula siempre se mueve tangente a la línea de corriente. Tubo de corriente Es un tubo cuyas paredes son líneas de corrientes, no puede haber flujo a través de sus paredes, debido a que el vector velocidad no tiene componente perpendicular a la superficie del tubo. Línea de filamento (fugaz) Se define como una línea instantánea cuyos puntos son ocupados por todas las partículas que se originen en algún campo específico en el campo de flujo. Clasificación de los flujos de fluidos Flujo Laminar Las particulas se mueven a lo largo de trayectorias suaves en láminas o capas. Unas capas se mueven suavemente sobre otras adyacentes. Este flujo esta gobernado por la ley de viscosidad de newton. El flujo laminar no es estable en baja viscosidad, alta velocidad o grandes caudales. Flujos turbulentos Las Partículas se mueven irregularmente, de forma tal, que la velocidad y la presión muestran variación con el tiempo y las coordenadas espaciales. Flujos unidimensionales Es un flujo en el que el vector de velocidad depende de una sola variable espacial. Ocurre en tubos largos rectos o entre placas paralelas. Flujo bidimensional . Es un flujo en el que el vector de velocidad depende solo de dos variables espaciales. V = V(x, y) Flujo tridimensional El vector velocidad depende de tres variables espaciales y del tiempo, V = V(x, y, z, t) Las soluciones de problemas de flujo tridimensional son muy complejas. Flujo Ideal No tiene fricción y es incompresible; un fluido sin fricción es no viscoso y sus procesos de flujo son irreversibles y libres de perdidas. No debe confundirse con un gas perfecto. La capa de un fluido en la vecindad inmediata de las fronteras real del flujo se conoce como la capa límite, estas capas pueden ser laminares o turbulentas. Flujo rotacional Las partículas de fluido dentro de una región tienen rotación alrededor de cualquier eje dado. Si no tiene rotación el fluido se conoce como irrotacional. El flujo rotacional también es llamado flujo vórtice. Flujo adiabático Es el flujo en que no hay transferencia de calor hacia el fluido o desde este. El flujo adiabático reversible (sin fricción) se conoce como flujo Isentrópico. Las mayorías de los problemas de fluidos son tridimensionales y variables en el tiempo y sus soluciones son muy difíciles por lo que han surgido clasificaciones temporales, las cuales simplifican los análisis. Existen dos clasificaciones: Flujo permanente Es cuando las condiciones en cualquier punto del fluido no cambian con el tiempo. Flujo no permanente Cuando las condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo, Flujo uniforme Ocurre cuando en cualquier punto, el vector velocidad o cualquier otra variable del fluido es la misma (en magnitud y dirección) para cualquier instante. Flujo no uniforme Flujo en que el vector velocidad varía de un lugar a otro en cualquier instante Flujos internos , fluyen a través de tuberías y canales. Flujos externos, fluyen sobre un objeto, una esfera o una partícula de sedimento. Todas las situaciones a que están sometidos los flujos de fluidos obedecen a las siguientes leyes: Las leyes del movimiento de newton La ley de conservación de la masa o ecuación de continuidad. La primera ley de termodinámica. Las condiciones de frontera. La ley de viscosidad de newton. Ecuación de Bernoulli En el capítulo o tema anterior vimos que existen casos en los que el fluido puede considerarse estacionario, sin embargo casi siempre cuando se usa un fluido hay movimiento de algún tipo. La aplicación de la segunda ley de newton a una partícula de fluido que se desplaza a lo largo de una línea de corriente nos lleva a la derivación de la ecuación de Bernoulli. Sin embargo, es bueno destacar las restricciones o limitaciones de esta ley, por ejemplo: Los efectos viscosos son omitidos. Se supondrá que el movimiento del fluido estará regido solo por las fuerzas de presión y de gravedad. Para grandes distancias o en regiones de alta velocidad se considera la viscosidad. Aplicando la segunda ley de newton a una partícula cilíndrica infinitesimal de área de seccion transversal dA y longitud dS a través de una línea de corriente. Donde s, es la aceleración de la partícula en dirección s. La aceleración de una partícula se expresa como: Como estamos haciendo el análisis en una línea de corriente, v = w = 0 y si consideramos x es tangente a la línea de corriente u = v 2) donde suponiendo flujo continuo. Tambíen vemos que : 3) = Dividiendo 1) entre dSdA y sustituyendo 2) y 3) 4 ) Si suponemos ρ constante y reorganizamos e integramos se puede expresar como: Esta expresión se satisface cuando a lo largo de una línea de corriente, Entre dos puntos de una misma línea de corriente, 5) Esta es la ecuación de bernoulli, que esta apoyada en las siguientes suposiciones: Flujo inviscido (no hay presencia de esfuerzos cortantes) Flujo continuo Densidad constante Marco de referencia inercial Si la ecuación se divide entre g tenemos : P = presión estática, se mide con un piezómetro presión total o presión de estancamiento. Se mide con una sonda pitot. Para medir la diferencia entre la presión total y la estática se usa la sonda estática pitot. Ley de conservación de la masa Antes de analizar la ley de conservación de la masa, definiremos lo que es un volúmen de control y un sistema. Existen varias formas en que las leyes anteriormente enumeradas se pueden aplicar a un fluido, incluyendo el método del sistema y el método del volúmen de control. Un sistema, es una colección de materia de identidad fija que se pueden mover, fluir e interactuar con su entorno. Puede contar de una cantidad relativamente grande de masa (la atmósfera terrestre), o puede ser de tamaño infinitesimal (una simple partícula de fluido). El sistema puede interactuar con su entorno en varias formas, puede cambiar de tamaño y forma continuamente, aunque siempre contiene la misma masa. Volúmen de control, es un volúmen en el espacio (independiente de la masa) a través del cual puede circular un fluido, normalmente lo usamos en una región del flujo que nos interesa evaluar. Esta expresión representa el Teorema de Transporte de Reynolds. Establece que la tasa temporal de incremento de N dentro de un sistema es exactamente igual a la tasa temporal de incremento de la propiedad N dentro del volumen de control más la tasa neta de flujo de N a través de la frontera del volumen de control. Además esta ecuación convierte de la forma de sistema a la forma de volumen de control. La forma de sistema se conoce como método Lagrangiano y la de volumen de control como método Euleriano. De la expresión anterior N = cantidad total de las propiedades del fluido (masa, energía o momentum) n = cantidad de cualquiera de las propiedades del fluido por unidad de masa. ρ = densidad del fluido. ∀ = volumen del fluido en estudio. La ecuación del transporte de Reynolds es válida si el volúmen de control, fijo en tamaño y forma, tiene una velocidad de traslación uniforme. La ley de conservación de la masa la analizamos a partir de un sistema como: dm/dt = 0, esto nos expresa que la masa m dentro del sistema es constante a través del tiempo. En la ecuación de transporte de Reynolds si decimos que: N = m, entonces n = 1 y Ecuación de conservación de la masa Esta ecuación establece que la tasa temporal de cambio de la masa en el volúmen de control, más la tasa neta a la cual la masa sale del volúmen de control a través de su superficie es igual a cero. Si tenemos un tubo cilíndrico como el que observamos en la figura, el flujo entra al tubo en la sección 1 y sale en la sección 2, no hay flujo a través de las superficies sólidas. Aplicando la conservación de la masa, hacemos las siguientes observaciones: El volúmen de control se define incluyendo todo el fluido dentro del tubo, desde la sección 1 a la 2. La entrada y la salida se definen o localizan en regiones donde las líneas de corrientes sean paralelas a las fronteras, y las velocidades de entrada y salida sean perpendiculares a las respectivas áreas. Si suponemos flujo permanente, la ecuación de conservación de la masa se reduce a: Si aplicamos esta ecuación en la entrada y en la salida, o sea, a través de la superficie de Control. Si los vectores de velocidad a la entrada y a la salida son perpendiculares a sus respectivas áreas, entonces en las salidas las integrales de los productos puntos se evalúan como : • y en la entrada por lo tanto: si ρ = constante La ρ y v son funciones de A1 y A2 considerando velocidad promedio, y reduciendo el problema a una dimensión = tasa de flujo de masa (kg/seg) o (slug/seg). Esta es la ecuación de continuidad Para flujo permanente la ecuación de continuidad es constante, o sea, la tasa de flujo de masa no varia de un punto a otro. Q = AV = Caudal, conocido como tasa de flujo volumétrico o flujo o descarga. La ecuación de continuidad también toma la forma. Para flujo incompresible permanente. Ecuación de Energía Muchos problemas que implican el movimiento de un fluido requieren el uso de la primera ley de la Termodinámica, conocida como Ecuación de Energía. La 1ra ley de la Termodinámica para un sistema establece que el calor añadido a un sistema, menos el trabajo hecho por el sistema, depende únicamente de los estados inicial y final del sistema, o sea, es independiente de la trayectoria. QH – W = E2 – E1 Q H = Calor añadido al sistema W = Trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores E = Energía interna Aplicando el teorema de Transporte de Reynolds (2) Sistema Donde N = E y η = e = Energía Interna por unidad de Masa Usando la ecuación QH – W = E2 – E1 y diciendo que dE _ y sustituyendo en (2 ) dt ∆QH _ ∆W ∆t ∆t = ∫ vc ρed ∀ + ∫ sc ρeV•dA (3) Esta ecuación ( 3 ) nos indica que el trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores puede dividirse en dos partes: Wp = Trabajo hecho por las fuerzas de presión sobre las fronteras móviles Ws = Trabajo hecho por las fuerzas cortantes tales como el torque sobre un eje que rota Si observamos que la ecuación ( 3 ) ∫ ∆Wp = ∆t pV•dA = Trabajo hecho por la fuerza de presión en el tiempo ∆t En termino de trabajo la ecuación ( 3 )se convierte en: ∆QH _ ∆Ws = ∂ ∫ ρed∀ + ∫ ( P/ ρ + e ) ρV•dA (4) ∆t ∆t ∂t vc sc La energía interna por unidad de masa (e) de una sustancia pura es la suma de las energía potencial , cinética e “ intrínsica “ e= gz + v²/2 + u** [L²/T²] ó [FL/M] ( 5 ) Las unidades son trabajo por unidad de masa. En el término gz (energía potencial), z hay que definirlo en base a una referencia o Datum para cada problema. En el término V²/2 (energía cinética) la velocidad es la magnitud de la velocidad total en el punto que se está analizando en el campo de flujo. v² = v.v = u² + v² + W² u** = energía intrínseca por unidad de masa, causada por los espacios moleculares y las fuerzas moleculares (dependientes de P, ρ ó T) Aplicando la ecuación ( 4 )a la siguiente figura ∆QH _ ∆Ws = ∂ ∆t ∆t ∂t ∫ ρed∀ +∫ ( P/ ρ +e) ρV•dA vc sc ¿Cómo se aplica la ecuación de energia a un volumen de control? 1. Se establecen las fronteras del volumen de control. 2. Definir la línea de nivel de z o Datum, para la medida de elevación. 3. Si se asume flujo permanente, la ecuación (4) se convierte en ∆Q _ ∆Ws = H ∆t ∫ (P/ ρ+e) ρV•dA ( 6 ) sc ∆t 4. Aplicando ( 6 )a cada área de la superficie de control ∆QH _ ∆Ws = ∆t ∫ (P /ρ +e ) ρ V dA + ∫ 1 1 1 1 1• 1 (P2/ρ2+e2) ρ2v 2•dA2 ( 7 ) ∆t 5. Resolviendo los productos puntos: ∆Q _ Ws H ∆t ∆t _∫ = (P1/ρ1+e1) ρ1v1dA1 + ∫ (P2/ρ2+e2) ρ2v2dA2 (8) Sustituyendo (5) en (8) ∫ ∫ ∆QH _ ∆Ws = _ (P1/ρ1+ gz1+ v1²/2 +u1**)ρ1v1dA1 + (P2/ρ2 + gz2+ v2²/2+u2**)ρ2v2dA2 (9) ∆t ∆t Donde: gz + v²/2 + P/ ρ = energía disponible y : gz = energia potencial por unidad de masa. ______W________ ↑ z ____ W ___ ↓ _____ Datum gz = Wz W/g Wz es el trabajo necesario para levantar W newton una distancia de z metros. W/g = masa de W newton en kg. v²/2 = energía cinética por unidad de masa P/ρ = trabajo de flujo, energía de flujo por unidad de masa. Este es el trabajo neto hecho por el elemento de fluido sobre sus alrededores a medida que fluye. Ecuación de Energía de Estado Permanente Para una entrada y una salida la ecuación (9) toma la forma ∆QH + (P1/ρ1+ gz1+ α 1 v1²/2 +u1**)ρ1v1dA1 = ∆Ws + (P2/ρ2 + gz2+ α 2v2²/2+u2**)ρ2v2dA2 (10 ) ∆t Donde α = (1/A) ∆t ∫ (v³/v) dA = factor de corrección Dividiendo (10) entre la tasa de flujo de masa: qH + P1/ρ1+ gz1+ α1 v1²/2 +u1** = Ws + P2/ρ2 + gz2+ α2 v2²/2+u2** q H = Calor añadido por unidad de masa de flujo Ws = Trabajo de eje por unidad de masa. (11) Nota: Si el trabajo es hecho sobre el fluido en el volúmen de control, como una bomba, Ws es negativo. Si el trabajo es hecho por el volúmen de control ó extraído del volúmen de control como en el caso de una turbina, Ws es positivo, la ecuación (11) es la ecuación de energía para flujo permanente a través de un volumen de control. Para múltiples entradas y salidas ∆E ∆t ∆QH Razón del aumento con respecto al tiempo de la energía total almacenada del sistema. Razón neta del cambio con respecto al tiempo de la adición de energía ∆ t por transferencia de calor hacia el sistema. ∆Ws por ∆ t Razón neta de cambio con respecto al tiempo de adicción de energía transferencia de trabajo hacia el sistema. En la ecuación de la energía, ecuación (11) la energía total almacenada por unidad de masa, e, es para partículas de fluidos que entran, salen y están dentro del volúmen de control. La razón de transferencia de calor, representa todas las formas en que se intercambian energía entre el contenido del volúmen de control y el entorno debido a una diferencia de temperatura. Así, puede haber radiación, conducción o convención, o ambas. Si la transferencia de calor es hacia el volúmen de control es positiva, si es hacia fuera es negativa, Si el proceso es adiabático. dQ = 0 dt y ∑ dQent - ∑ dQsal = 0 dt dt La razón de transferencia de trabajo, también denominada potencia, es positiva cuando se realiza trabajo sobre el volúmen de control y negativa en caso contrario. El trabajo se puede transferir a través de la superficie de control de las siguientes maneras: Mediante un eje móvil (turbinas, bombas, ventiladores, etc.). como el trabajo es el producto punto de la fuerza y el desplazamiento, la razón de trabajo (potencia) es el producto punto de la fuerza y el desplazamiento por unidad de tiempo. Para un eje giratorio, la transferencia de potencia, Ẃeje esta relacionada con la torca del eje que produce la rotación, Teje, y la velocidad angular del ω , mediante la expresión. Ẃ eje = Tejeω eje, Ẃ ent. neta en el eje = ∑ Ẃent. en el eje - ∑ Ẃ sal. en el eje Habíamos dicho que en la ecuación de la energía ∆Q ∆W ∆t ∆t Proceso reversible, es cuando un proceso puede volver a su forma o estado original sin que ocurran cambios final en el sistema o en sus alrededores, la reversibilidad es necesario suponerla. . . gz + V² + P 2 ρ Son términos de la energía total mecánica. La ecuación de energía se simplifica como: Recordando = ρ1V1A1 = ρ2V2A2 Y dividiendo entre .g Ws = V2² - V1² + P2 - P1 + Z2 - Z1 +HL .g 2∙g ρ2 ρ1 HL = Pérdida de altura, porque tiene dimensiones de longitud. La ecuación de energía finalmente podemos expresarla como: P1+ V1² + Z1 = Hs + P2+ V2² + Z2 + HL γ1 2g γ2 2g Hs = Ws/ g = Trabajo del eje V²/(2g) = Altura dinámica o cabeza de energía cinética P/γ = Altura de presión P/γ + Z = Altura piezométrica P/γ + [V²/(2g)]+ Z = Altura total; es la suma de la altura piezométrica y dinámica Hs = Trabajo del eje Si es bomba Hs = (-) Si es turbina Hs = (+) En ausencia de trabajo y pérdidas insignificantes la ecuación de energía toma la forma: P2+ V2² + Z2 = P1+ V1² + Z1+Ecuación de Bernoulli γ2 2g γ1 2g Ahora bien, cuando es una bomba Hs = Hp (energía transferida al fluido) ó cuando es una turbina Hs = HT (energía transferida desde el fluido) La energía suministrada o requerida por la turbina y la bomba respectivamente son función de la eficiencia de cada dispositiv Se multiplica por la eficiencia Se divide por la eficiencia HP = 746 W = 550 (pie · Lb)/seg KW = N · m/s = γ ·Q· HP = γ ·Q· HT La pérdida de potencia es la diferencia entre la potencia de entrada y de salida del sistema P elect P elect Motor Gener Pent Psal Bomba Turbina Pp PT BOMBA γ Q· HP γ ·Q· Ht TURBINA La eficiencia es la relación de potencia en las diferentes partes del sistema. Aplicación de la ecuación de energía para flujo contínuo o permanente Embalses y grandes tanques de almacenamiento H=4m Agua 2 100mm En este tipo de problema se aplica la ecuación de energía P1+ V1² + Z1 = Hs + P2+ V2² + Z2 + HL γ1 2g γ2 2g Si se establece un Datum en la línea central de salida, entonces la cabeza piezométrica en la entrada (P/γ + Z) es constante y el punto (1) puede colocarse en cualquier punto de la superficie del embalse. HS = 0 -Porque no hay ningún elemento que suministre ni extraiga energía al sistema HL = 0 No hay pérdidas en el sistema V1 = 0 -La velocidad se asume cero por ser un deposito grande comparado con la salida Como el Datum pasa a través del punto (2) Z2 =0 y Z1= H La ecuación queda 0 + 0 + H = V2²/2g + 0 + 0 +0 V2 = 2·g·H = 2· (9.80 m/s²) · (4m) = 8.86 m/s Teorema de Torricelli dice: La velocidad del flujo de salida es igual a la velocidad de caída libre desde la superficie del embalse ó depósito. Q = A2 · V2 = π· r² ·V2 = π (0.05m)²(8.86 m/s) Q= (0.07 m³/s) · 1000 L = 70 L/s Flujo en tubería A pesar de que no todos los conductos que se usan para transportar fluidos de un sitio a otro son de sección transversal redonda, la mayoría lo son. Ejemplos: Tubos de agua, mangueras hidráulicas, etc. No redondos: Ductos de calefacción y aire acondicionado. Nosotros en este curso consideraremos que el tubo es redondo y que está completamente lleno de fluido. Cuando el tubo no esta completamente lleno o es un canal abierto, la única fuerza de excitación es la gravedad. Para un flujo en tubos,la gravedad es importante, pero la fuerza de excitación principal es un gradiente de presión a lo largo de la tubería. El flujo de un fluido en una tubería puede ser laminar o turbulento. Os borne Reynolds (1842-1912; Inglés) fue el primero en establecer la diferencia entre estos 2 flujos usando el siguiente aparato: Para flujo laminar en una tubería solo hay una componente de la velocidad V= Ui Para flujo turbulento V= Ui+ Vj+ Wk Para flujos en tubos el parámetro adimensional más importante es el nº de Reynolds RE Es la razón de los efectos inerciales a los efectos viscosos en el flujo RE = ρ V D µ donde V es la velocidad en la tubería El régimen de flujo depende de tres parámetros físicos que describen las condiciones de flujo 1.Una escala de longitud del campo de flujo 2.Una escala de velocidad 3. La viscosidad cinemática Estos tres parámetros se combinan en uno solo que sirve para predecir el régimen de flujo. RE = V · L \) V= velocidad L = longitud \) = viscosidad cinemática Para RE < 2100 Flujo laminar RE > 4000 Flujo turbulento 2100 < RE < 4000 Flujo de transición Número de Reynolds crítico ( RE crít ) El flujo es laminar si RE < REcrít El nº de Reynolds crítico se define como el nº arriba del cual el flujo laminar primario deja de existir. Region de entrada y Flujo totalmente desarrolado: Los fluidos a traves de tuberias entran por algun lugar. Esa región cerca del sitio en que el fluido entra al tubo se denomina Región de Entrada. Puede tratarse de los primeros pies de una tubería conectada a un depósito, o de la porción inicial de una gran longitud de un ducto caliente proveniente de un horno. La forma del perfil de velocidad en la tubería y la región de entrada (Le) dependen de si el flujo es laminar o turbulento. Le/D = 0.06 Re Para flujo Laminar para Re= Le/D = 4.4 Re Para flujo Turbulento } en tubos LE = 0.04 Re Flujos en Canales Re = vh h � Como vemos, la longitud de entrada dependerá del numero de Reynolds. Los flujos también se clasifican en comprensibles e incompresibles. En el flujo de los gases el número de Mach (Ernest Mach, 18381916) lo clasifica en comprensible e incompresibles. M=V Donde V es la velocidad del gas y C = kRT C K = Relación de calor específico T = Temperatura Absoluta R = Constante del gas Cuando M < 0.3 M > 0.3 Flujo Incompresible Flujo Comprensible Las tuberias se componen de elementos y componentes. Elementos, son tramos de tubos de diámetro constantes. Componentes, son válvulas, Tees, Codos, Reducciones o cualquier dispositivo que provoque pérdidas en el sistema. Además están las bombas y las turbinas que agregan y extraen energía al sistema. Los elementos y los componentes se unen mediante juntas. Pérdidas por Fricción en tuberias Las pérdidas se dividen en dos: Las que se producen en la pared de elemento de tubería por cortante y las provocadas por componentes de tuberías. - Las primeras se distribuyen a lo largo de los elementos de tuberías. - Las segundas (por componentes) se tratan como discontinuidades discretas en la línea piezométrica y en la línea de energía y se conocen como Pérdidas Menores . Pérdida de Carga en Elementos de tuberia Para los cálculos de pérdidas de cargas en tuberías existen muchas fórmulas: -Fórmula de Darcy-Weisbash Hf = f LV² 2gD Hf =Pérdida de carga por fricción L=Longitud del tubo V=Velocidad media del fluido g=Aceleración debido a la gravedad D=Diámetro interno del tubo f=Coeficiente de fricción adimencional La ecuacion anterior es valida para cualquier flujo estable incomprensible totalmente desarrollado en tubos, sin importar que la tuberia sea horizontal o inclinada. El factor de friccion depende de varias cantidades que afectan el flujo: f= f ( , M, V, D ,e) f= f ( vD , e/D ) M f= f (Re, e/D) para flujo turbulento e/D es la aspereza relativa o rugosidad relativa Los valores de (e) en el diagrama de Moody son para tubos nuevos. f Para flujo Laminar =64/Re para Re < 2100 ∆p = HL = f LV² Ecuacion de Darcy-Weisbash 2gD Donde HL = Perdida hidrostatica o perdida de carga hidrostatica. Para Flujo Laminar f=64/Re = Factor de friccion en un flujo laminar en un tubo hL = 32MLV = Ecuacion de Hagen-Poiseville solo para flujos laminares D² Para Flujo Turbulento Re e/D f Diagrama de Moody Para Flujo Turboliso 1/ f 1/ f 1/ f = 0.86 ln Re f -0.8 flujo turbulento =-0.86 ln e/3.7D flujo completamente turbulento =-0.86 ln ( e . + 2.51 ) ecuacion de Colebrook 3.7D Re f Para flujo turbulento desarrollado en un tubo de longitud L se pueden identificar tres categorias de problemas. CATEGORIAS CONOCIDOS INCOGNITAS 1 Q, D, e, V hL 2 D, e,V, hL Q 3 Q, e, V, hL D Ecuaciones o formulas de Swamee y Jain: Perdidas Menores o Locales El metodo mas comun usado para determinar las perdidas de cargas o caidas de presion es especificar el coeficiente de perdida K ∆P=hL= K v² 2g Los valores de K experimentales se consiguen en tablas. Una excepcion es la perdida de cabeza debida a un cambio subito en una tuberia. hL= K v² = [1-(D1/D2)²]² * v² 2g K = [1-(D1/D2)²]² 2g Las perdidas menores pueden expresarse en terminos de una longitud equivalente (Leq.). Esto significa que la perdida de carga a través de un componente esta dada en terminos de la longitud equivalente de tubería que produce la misma perdida de carga que el componente. Es decir: HL = K v² = f 2g Leq. = KD/f Leq. V² 2gD