TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO CAMPUS CD. GUZMÁN. Ingeniería Informática Calculo Diferencial Omar Cristian Vargas González Derivadas José Antonio Herrera Alcalá Cd. Guzmán, Jal. a 14 de noviembre 2023 Antecedentes de las derivadas Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo iii a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat) En su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como cálculo diferencial. Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los infinitesimales: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros a la integral. Newton y Leibniz A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operaciones inversas. Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes, de manera independiente. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada y el símbolo de la integral ∫. Concepto de derivada La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x. En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma: Figura 1. Expresión de una derivada. En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero. Cabe recordar que, en general, la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido. Debemos precisar que el límite de una función se define como la tendencia de esta (a qué valor se aproxima) cuando uno de sus parámetros (en este caso h) se acerca a un valor determinado. ¿Para qué son útiles las derivadas? La derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con respecto a otra. Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades, aceleraciones, distribuciones que dependen del tiempo o de la cantidad de materia, son ejemplos sencillos), en ingeniería y en economía. También las derivadas expresan la variación de una magnitud en “infinitas cantidades infinitesimales”. Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra. Por ejemplo: la derivada de la posición de un coche con respecto al tiempo es su velocidad. Si hay un coche en una autopista, su posición cambiará con el tiempo porque se desplaza con una determinada velocidad. Digamos que la posición tiene esta ecuación: x=3tx=3t Dónde xx es la posición que varía con un tiempo tt. En el origen (t=0t=0) , su posición será x=0x=0. Un segundo después habrá recorrido tres metros. Dos segundos, 6 metros. Tres segundos, 9 metros…. La derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, entonces el coche va a: v=dxdtv=dxdt v=ddt(3t)=3m/sv=ddt(3t)=3m/s Ejemplos importantes en física son: Cinemática La derivada de la posición con el tiempo es la velocidad. La derivada de la velocidad con el tiempo es la aceleración. Dinámica La derivada del momento lineal con el tiempo es la fuerza. La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía (potencial, cinética, trabajo, etc). Geometría La derivada del volumen es la superficie o área La derivada de la superficie es la distancia Electrostática La derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de corriente. Física de Materiales La derivada de la masa con respecto a la longitud/superficie/volumen es la densidad. Representación gráfica de derivadas Figura 2. Representación de una derivada. Geométricamente, la derivada de una función f en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la función con el eje de las abscisas, en ese punto. La derivada de una función mide la tasa de variación de f. Es decir, representa de la noción de la razón de cambio que indica lo rápido que crece o decrece una función en un punto respecto del eje x del plano cartesiano. Para cada valor de la pendiente de la tangente de la función f, se tiene un valor f '. La gráfica que se forma representa la función derivada. Aplicaciones de derivadas en el área de ingeniería En ingeniería las derivadas representan razones de cambio en su aspecto más simple; así pues, cada vez que prendes tu teléfono celular, cuando vez que un edificio resiste el embate del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del automóvil todo eso son las derivadas funcionando. En ingeniería industrial sirven para calcular, por ejemplo: Como varía la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión (control de procesos industriales), cuánta fuerza necesitas para revolver una mezcla a velocidad constante en función de cómo varía su densidad al aumentar los ingredientes (Control de calidad en la producción de alimentos) Cuánto tiempo le durará la pila a tu celular en función del cambio de consumo de corriente durante una llamada. La ingeniería y la matemática están estrechamente vinculadas debido a que los conocimientos matemáticos son algunas de las herramientas fundamentales con que los ingenieros analizan, evalúan y resuelven muchos de sus problemas o proyectos. Para los estudiantes de ingeniería industrial la derivada constituye uno de los conceptos fundamentales aprender y a aplicar, por sus aplicaciones para la evaluación del comportamiento de modelos matemáticos representativos de situaciones reales, como es el caso de análisis de rapidez de variación, tasa de cambio, sensibilidad, optimización, análisis de curvas, etc. Es determinar el grado de conocimiento sobre el manejo de las derivadas y sus aplicaciones que tienen los estudiantes de Ingeniería, específicamente los estudiantes de Ingeniería Industrial y en todas las especialidades de Ingenierías. Bibliografía: colaboradores de Wikipedia. (2023, 12 noviembre). Derivada. Wikipedia, la enciclopedia libre. https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada Westreicher, G. (2022, 24 noviembre). Derivada de una función. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/derivada-de-una-funcion.html ¿Para qué sirven las derivadas? / Tabla de Derivadas e Integrales. (2020, 27 febrero). tusclases. Recuperado 14 de noviembre de 2023, de https://www.tusclases.pe/blog/tabla-derivadas-integrales Gráfica de la derivada de una función. (s. f.). http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_VI_12 /Applets_Geogebra/graficaderivada.html Aplicaciones de las derivadas en la ingeniería. (2017, 12 marzo). Course Hero. Recuperado 14 de noviembre de 2023, de https://www.coursehero.com/file/pkjp6h/APLICACIONES-DE-LAS- DERIVADAS-EN-LA-INGENIER%C3%8DA-INDUSTRIAL-En-ingenier%C3%ADa-las/