CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN BAJO DISTINTOS MARCOS TEÓRICOS: MTSK, ETM y APOE

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE EDUCACIÓN
Magíster en Didáctica de la Matemática
MATÍAS IGNACIO ZÁRATE CARRASCO
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CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN BAJO DISTINTOS MARCOS TEÓRICOS:
MTSK, ETM y APOE
RESUMEN
Basado en los marcos teóricos de la didáctica de la matemática, MTSK, ETM y APOE, se
presenta una reflexión con respecto a cómo se puede configurar una problemática de
investigación en estos marcos a través de un contenido matemático específico, en este
caso, el concepto de límite de una función, para luego profundizar con mayor detalle en la
teoría APOE como eje intregrador de un posible estudio de investigación bajo el mismo
contenido, considerando el porque esta es la mejor opción para este caso en particular.
INTRODUCCIÓN
La didáctica de la matemática, una ciencia “de las condiciones específicas de la difusión
(impuesta) de los saberes matemáticos útiles a las personas y a las instituciones humanas”
(Brousseau, 1994), pretende buscar explicaciones a los diferentes fenómenos didácticos
que se relacionan con el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, los cuales
se generan en sistemas didácticos que van desde una sala de clases, hasta un sistema
educacional de un país.
Para poder llegar a estas respuestas, existen marcos teóricos que nos entregan
lineamientos según distintas aristas de la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, que
constituyen perspectivas para el diseño de experiencias y el análisis de resultados en
investigaciones focalizadas en los sistemas educativos involucrados, que se basan en
evidencia empírica y no solamente en la opinión o buena voluntad (Mena et al., 2011). Estos
marcos presentan roles esenciales cuando se articulan a una problemática específica:
ajustan los instrumentos metodológicos, de acuerdo a las variables fijadas en la
problemática; orientan la observación en el sistema didáctico elegido; proporcionan criterios
de análisis y realizan ese análisis, y finalizan con explicaciones del fenómeno a estudiar.
Así en este ensayo, se abordan tres marcos teóricos ligados a la didáctica de la
matemática, los cuales se articulan con el contenido matemático de Límite de una Función,
y como estos marcos pueden configurar una problemática de investigación considerando el
contenido seleccionado. Estos marcos teóricos son: Conocimiento Especializado del
Profesor de Matemáticas (Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge o MTSK), Espacio
de Trabajo Matemático (ETM), y APOE (acción, proceso, objeto y esquema).
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CONOCIMIENTO ESPECIALIZADO DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS
El entender cómo el profesor, especialmente el de matemáticas, define, organiza y
caracteriza el conocimiento profesional, ha sido fundamental como problemática de
investigación desde la década de los 80’s, en donde Shulman (1986, 1987) es de los
primeros que considera esta naturaleza específica del saber del docente. En base a esto,
“planteó la existencia de un conocimiento exclusivo de los profesores, un conocimiento que
les permite tomar decisiones como, qué deben enseñar, cómo representarlo y cómo
resolver problemas generados al abordar un determinado contenido” (Cayo, Contreras,
2020). Así, considerando este planteamiento, se propone un modelo para analizar y
comprender el conocimiento de los profesores en relación con la enseñanza y el
aprendizaje de la Matemática, llamado Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT).
Sin embargo, algunos autores encontraron dificultades analíticas en esta propuesta, al
ubicar un determinado conocimiento solamente en un subdominio en relación al
conocimiento matemático especializado en la enseñanza , siendo insuficiente para analizar
en base a tal contenido, naciendo un nuevo modelo que toma como base MKT, el
Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK).
Este modelo se sustenta en que este conocimiento necesario para enseñar matemáticas,
que es específico del docente en cuestión, “ no se circunscribe únicamente al subdominio
del conocimiento pedagógico, sino que también se extiende al conocimiento disciplinar, que
pasa a renombrarse como conocimiento matemático” (Perez-Montilla, Cardeñoso, 2021).
Así MTSK se divide en dos grandes dominios: conocimiento matemático (MK) y
conocimiento didáctico del contenido (PCK). En el caso de MK, este hace referencia al
conocimiento disciplinar visto desde una perspectiva orientada a la enseñanza, por lo cual
se incluyen en este subdominio la matemática en particular, con sus leyes, fenomenologías,
estructuras, organización, y aplicaciones intra y extra matemáticas. En cuanto a PCK, este
engloba el conocimiento pedagógico que emana de la propia matemática y que interactúa
constantemente con el MK, el cual orienta y guía aquellas decisiones del profesor
relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje (Carrillo et al., 2018). Y por último, aparte
de estos dominios, este modelo considera “creencias del profesor acerca de la matemática
y sus procesos de enseñanza y aprendizaje como elemento que permea todo el
conocimiento” (Carrillo et al., 2018).
Si articulamos este marco teórico con el contenido seleccionado, Límite de una Función, se
puede generar una problemática de investigación en relación a “observar e interpretar una
realidad en su entorno, interactuando con el objeto del conocimiento, a través del cual el
sujeto interpreta y reconstruye los significados puestos en juego” (Liñán, Barrera e Infante,
2014), a través del análisis de cómo los subdominios de MK y PCK interactúan en el rol de
docentes y/o docentes en formación dentro de la sala de clases, cuando entregan este
conocimiento a sus estudiantes, recogiendo esta información a través de grabaciones,
entrevistas, cuestionarios, etc., y en base a esto poder generar propuestas de mejoras en el
proceso de enseñanza y aprendizaje del Límite de una Función. Incluso si se es más
específico y nos enfocamos solo en el conocimiento del docente y/o futuro docente, se
podría utilizar este modelo para analizar cómo movilizan su conocimiento de los temas (KoT,
subdominio de PCK) para resolver tareas relacionadas con el concepto matemático de
límite de una función. Una pregunta de investigación asociada a esta problemática podría
plantearse de la siguiente forma: ¿qué debilidades y fortalezas manifiestan docentes y/o
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docentes en Formación, en el conocimiento de los temas acerca del límite? (Perez-Montilla,
Cardeñoso, 2021).
ESPACIO DE TRABAJO MATEMÁTICO
En la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, comprender esta actividad en torno a
tareas matemáticas es fundamental para favorecer el funcionamiento del trabajo
matemático en un contexto educativo determinado. Así el Espacio de Trabajo Matemático
(ETM), estudia esta situación cuando un docente la desarrolla, la propone, u organiza para
la enseñanza, contemplando dos planos de este trabajo matemático: epistemológico y
cognitivo. El plano epistemológico está constituido por la componente del referencial
(formado por las propiedades, teoremas y definiciones), del representamen (signos
semióticos) y del artefacto (que pueden ser materiales o simbólicos). Por otro lado, el plano
cognitivo está constituido por la componente de visualización (representación del espacio y
del soporte material), de construcción (instrumentos y técnicas asociadas) y de prueba
(proceso discursivo de validación, basada en el referencial teórico). Estos planos se
conectan mediante génesis: Una Instrumental, que permite hacer operatorios y dar sentido
a los artefactos; una Semiótica, que permite pasar de una perspectiva sintáctica (símbolos y
signos) a una semántica (extracción del significado) de los objetos matemáticos; y una
Discursiva, que da sentido a las propiedades y permite ponerlas al servicio del
razonamiento matemático (Gómez-Chacón, Kuzniak y Vivier, 2016).
En base a esto, Kusniak (2011) reconoce la existencia de tres tipos de ETM: “de referencia,
relativo a criterios matemáticos definidos por una institución, que requiere un ETM idóneo,
del cual depende tanto el diseño de la clase como de las tareas encomendadas a los
estudiantes, quienes deberán comprometerse en actividades con el fin de realizarlas de
acuerdo a su ETM personal” (Verdugo, 2020). Este ETM idóneo no es fijo, sino que se debe
a restricciones locales que dependen del ETM de referencia Kuzniak y Richard (2014).
Además el ETM considera tres planos verticales que actúan sobre la base de sus génesis y
sus relaciones con el plano epistemológico y cognitivo: El primer plano [Sem-Ins] está
sustentado por las génesis semiótica e instrumental; El segundo plano [Sem-dis] está
sustentado bajo las génesis semiótica y discursiva; Y el tercer plano [Ins-dis] se apoya en
las génesis instrumental y discursiva.
Si articulamos este marco teórico con el contenido matemático Límite de una Función, una
posible problemática de investigación ligada a esta podría estar basada en encontrar el
ETM idóneo para este contenido, a través de una entrevista y/o una tarea matemática y su
ejecución con actores que tengan relación con la enseñanza y aprendizaje de la
Matemática, para analizar la producción de estos actores que determinen como sus
herramientas didácticas, sean guías de ejercicios, ejercicios resueltos que propone e
instrumentos de evaluación, interactúan con el medio cuando están en contexto de
enseñanza de este contenido. La idea es que este análisis se divida en dos etapas: analizar
el planteamiento de la tarea, para identificar, a priori, su riqueza respecto de los temas,
procedimientos y conocimientos involucrados, así como el trabajo matemático que se
propone, y estudiar el desarrollo de la tarea propuesta por el docente (Verdugo, Espinoza y
Carrillo, 2022).
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ACCIÓN, PROCESO, OBJETO Y ESQUEMA
La teoría APOE, la cual toma como base el mecanismo de abstracción reflexiva propuesto
por Piaget y desarrollada por Dubinsky, describe cómo un individuo logra ciertas
construcciones mentales sobre un concepto determinado al enfrentarse a situaciones
matemáticas que promuevan su reflexión, usándose como modelo cognitivo para describir
cómo se pueden aprender los conceptos matemáticos y para entender cómo se construye el
conocimiento matemático. Esta teoría establece que la comprensión de un concepto resulta
al construir las siguientes estructuras mentales (Arnon et al., 2014): acción, cuando se
realizan acciones sobre objetos (físicos o mentales), las cuales están dirigidas y orientadas
por un sujeto externo, que se realizan de manera mecánica o algorítmica, sin reflexionar
sobre estas; proceso, que es el resultado de cuando se interiorizan las acciones que se
realizan repetidamente y se reflexiona sobre estas, y el individuo es capaz de realizar las
mismas acciones pero ahora en forma autónoma y dirigida por una estructura mental
interna. Así, dos o más procesos pueden coordinarse para construir un nuevo proceso y
además dicho proceso puede revertirse o generalizarse.; objeto, que se genera cuando el
individuo realiza acciones sobre un proceso, y pasa de concebir el proceso de una entidad
dinámica a una estática; y esquema, que corresponde al conjunto de acciones, procesos y
objetos utilizados en la resolución de problemas. Si lo extrapolamos a un problema
matemático, “el estudiante evoca un esquema y lo desenvuelve (destematizar) para tener
acceso a sus componentes, utiliza relaciones sobre ellas y trabaja con el conjunto. Un
esquema está siempre en evolución y puede considerarse como un nuevo objeto al cual
pueden aplicársele acciones y procesos; en tal caso se dice que el esquema se ha
tematizado en un objeto” (Parraguez et al., 2016). Estas estructuras mentales se construyen
a través de la activación de los mecanismos mentales de interiorización, coordinación,
inversión, encapsulación, desencapsulación y tematización.
Si articulamos este marco teórico con el contenido seleccionado, Limite de una Función,
para una posible problemática de investigación, esta estaría relacionada con el diseño de un
modelo predictivo, llamado descomposición genética (DG), que entrega esta teoría y tiene
por objetivo explicar fenómenos relacionados con el aprendizaje de los conceptos
matemáticos, o dicho en otras palabras, “es un modelo hipotético que describe en detalle
las construcciones y mecanismos mentales necesarios para que un estudiante aprenda un
concepto matemático (Arnon et al., 2014). Esta DG puede crearse, o refinarse en base a la
construcción de otros autores, a través del ciclo de investigación que propone esta teoría y
tiene tres componentes: el análisis teórico, el diseño y la aplicación de instrumentos, y el
análisis y la verificación de datos (Parraguez et al., 2016). Para el análisis teórico, se hace
un estudio profundo de los conceptos matemáticos inmersos en el concepto de Límite de
una Función para determinar las construcciones mentales necesarias en su aprendizaje,
mediante una descripción hipotética de las construcciones mentales del aprendiz, o DG
hipotética. Después, ya construida y definida esta DG hipotética, necesita ser validada a
través del diseño y aplicación de instrumentos que permitan identificar las construcciones
mencionadas en la DG hipotética, de modo que se reflejen explícitamente las
construcciones mediante las cuales los individuos de estudio pueden construir
cognitivamente. Estos instrumentos pueden ser cuestionarios, guías, pruebas y/o
entrevistas semi-estructuradas, y los individuos de estudio deben tener un alto conocimiento
de Límite de Funciones, para poder recopilar información que sea lo más cercano a una
posible DG final. Y por último, el análisis y verificación de datos, en donde los datos
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obtenidos con la aplicación de los instrumentos, cuestionarios y/o entrevistas
semiestructuradas, son analizados desde la DG hipotética, detectando qué elementos no
han sido considerados o cuáles de las construcciones dadas hipotéticamente no se
perciben, para así poder hacer modificaciones y refinar esta DG si es necesario.
CONCLUSIÓN
Las razones por la cual escogí el Límite de un Función como el contenido matemático para
reflexionar cómo se podría configurar una problemática de investigación considerando estos
tres marcos teóricos, es que este es un contenido articulador entre la enseñanza media y la
enseñanza superior, ya que está presente tanto en las bases curriculares de formación
diferenciada Humanístico-Científica en 3° y 4° medio (2019), como en la mayoría de los
planes de estudios de carreras en educación superior afines a las matemáticas, tales como
ingenierías, pedagogías, carreras técnicas, licenciaturas, etc. Además, la enseñanza del
Límite de una función en el cálculo constituye uno de los mayores desafíos de la educación
actual, “ya que su aprendizaje trae aparejado numerosas dificultades relacionadas con un
pensamiento de orden superior en el que se encuentran implicados procesos tales como la
abstracción, el análisis y la demostración” (Vrancken et al., 2006), en donde aparecen
dificultades provocadas por los esfuerzos para superar los modos de pensamiento numérico
y algebraico arrastrados de conceptos personales construidos anteriormente, y Hitt (2003)
señala la presencia de diversos problemas de aprendizaje relacionados con el tratamiento
del infinito, tanto en estudiantes como en profesores, no solo en el concepto de límite, sino
también en la continuidad, la derivada y la integral, ya que estudiantes que ingresan por
primera vez a un curso de cálculo, “generalmente han tenido un acercamiento intuitivo del
infinito, muy probablemente con aspectos de la vida real, sin haber reflexionado sobre
aspectos propios del infinito en matemáticas; ello dificulta en cierta medida su comprensión
en un contexto matemático” (Hitt, 2003). Además, si la enseñanza del cálculo se restringe a
sus aspectos algebraicos sin poner atención al uso de representaciones diferentes a las
algebraicas, difícilmente los estudiantes llegarán a una comprensión profunda del concepto
de Límite de una Función.
Considerando esto, creo que la teoría APOE es más adecuada como eje integrador para un
posible estudio, ya que al haber dificultades para la comprensión de este concepto, la
creación o refinamiento de una DG que muestre las construcciones mentales necesarias
para su entendimiento, podría ayudar a mejorar la enseñanza y aprendizaje de este
contenido, al poder servir como guía para planificaciones, instrumentos de seguimiento y
evaluación, y actividades didácticas que tengan relación con el Límite de Funciones, y
concientizar a docentes sobre las deficiencias que puede generar en los estudiantes la
forma en que se introduce este concepto, para “activar los mecanismos en la mente del
estudiante para construir, asimilar y organizar las estructuras de manera progresiva, no
secuencial, en planos superiores de pensamiento, que servirán de soporte para la
construcción otros esquemas fundamentales” (Suárez Gil et al., 2021). Además, al estar
basadas estas DG en el análisis empírico de distintos contextos, esta se puede refinar y
adecuarse a diversas situaciones educativas, por la cual un DG que funciona en un
contexto, puede refinarse para adaptarse a otro contexto, y así generar nuevas formas
enseñar conceptos matemáticos difíciles de aprender.
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