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CAPÍTULO 1
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
1.1 SISTEMAS DISCRETOS. ESTRUCTURAS DE BARRAS
En numerosas ocasiones de la vida práctica el técnico se enfrenta con el
problema de analizar un sistema tipo malla compuesto de una serie de “elementos”
diferentes, fı́sicamente diferenciables, conectados por sus extremidades o “nudos”
y sometidos a un conjunto de “acciones”, en el sentido más amplio de la
palabra, normalmente externas al sistema.
Ejemplos de dichos sistemas,
que denominaremos “discretos”, abundan en ingenierı́a. Relacionados con
las estructuras, por ejemplo, podemos considerar sistemas discretos todas las
estructuras de barras, tales como pórticos, simples y compuestos, celosı́as,
entramados de edificación, forjados, etc. En otras áreas de la ingenierı́a tenemos
ejemplos de este tipo de sistemas en las redes hidráulicas y eléctricas, en los
métodos de optimización de la producción (PERT, etc.), y en los sistemas de
organización del transporte. En la Figura 1.1 se han representado algunos de
dichos sistemas discretos.
Figura 1.1
Diferentes sistemas discretos.
La mayorı́a de los sistemas discretos pueden analizarse utilizando técnicas de
cálculo matricial muy similares, y que a su vez guardan una estrecha relación
con el método de elementos finitos. Concentrándonos en los problemas de
1.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
cálculo de estructuras presentaremos seguidamente de forma sucinta las ideas
básicas del cálculo matricial de estructuras de barras, que serán de gran utilidad
como introducción a la metodologı́a del análisis de estructuras por el método de
elementos finitos.
1.1.1 Conceptos básicos del análisis matricial de estructuras de barras
Los métodos de cálculo de estructuras de barras más potentes actuales
utilizan técnicas de análisis matricial [L2], [P8]. No obstante, en algunos casos
particulares es posible obtener una representación analı́tica del comportamiento
de la estructura. Aquı́ consideraremos solamente el planteamiento matricial por
ser el que se utilizará a lo largo de todo el curso.
Figura 1.2
Deformación de una barra por fuerzas axiles.
Las ecuaciones matriciales de una estructura de barras se obtienen a partir del
estudio del “equilibrio” de las diferentes barras que la componen. Por ejemplo,
para una barra e de longitud l(e) sometida únicamente a fuerzas axiles como la de
la Figura 1.2, se deduce de la Resistencia de Materiales [T4,7] que la deformación
en cualquier punto de la barra es igual al alargamiento relativo de la misma, es
decir
(e)
(e)
u −u
∆l(e)
ε = (e) = 2 (e) 1
l
l
(e)
(1.1)
(e)
donde u1 y u2 son los desplazamientos de los extremos 1 y 2 de la barra,
respectivamente.
Por otra parte, la tensión axial σ está relacionada con la deformación ε por la
ley de Hooke [T3,4] y
(e)
(e)
u −u
σ = E (e) ε = E (e) 2 (e) 1
l
(1.2)
donde E (e) es el módulo de elasticidad del material de la barra. Por integración
de las tensiones sobre la sección transversal de área A(e) se obtiene el esfuerzo axil
N que se transmite a través de los nudos a las barras adyacentes. Suponiendo que
el material es homogéneo se tiene
N =
A(e) σ
=
(e)
u2
(e)
(EA)
l(e)
1.2
(e)
− u1
(1.3)
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
(e)
(e)
Finalmente, estableciendo el equilibrio de las fuerzas axiles R1 y R2 actuantes
en los extremos de la barra, se tiene (ver Figura 1.2)
(e)
R2
(e)
= −R1
(e)
(e)
u − u1
= N = (EA)(e) 2
l(e)
(e)
(e)
= k(e) (u2 − u1 )
(1.4)
(e)
. El ı́ndice e indica que los valores se refieren a una barra
donde k(e) = EA
l
particular. La ec.(1.4) puede escribirse en forma matricial como†


 R(e) 
1
 (e) 
R2
q(e) =


1 −1  u1 
= k(e)
= K(e) a(e)
−1 1  u(e) 
2
(e)
(1.5)
donde K(e) se denomina matriz de rigidez de la barra y es función únicamente de
la geometrı́a de la misma (l(e) , A(e) ) y de sus propiedades mecánicas (E (e) ), y a(e)
y q(e) son los vectores de desplazamientos y de fuerzas de los nudos de la barra,
respectivamente. La ec.(1.5) es la expresión matricial de equilibrio de la barra
aislada. Si además actuara sobre la barra una fuerza uniformemente distribuida
por unidad de longitud de intensidad b(e) , la ec.(1.5) se modifica repartiendo el
efecto total de dicha fuerza en partes iguales en cada nudo como
q(e) =
 (e) 

 R1 




(e) 
R2
= k(e)
1
−1
 (e) 


 u1 
(bl)(e)
−1
−
1 
2

 (e) 
u2
1
1
= K(e) a(e) −f (e) (1.6)
(bl)(e)
donde f (e) = 2
1
es el vector de fuerzas que actúan en los nudos de la
1
barra debidas a la carga distribuida La expresión de equilibrio de una estructura
compuesta de barras se obtiene a partir de la sencilla regla que expresa que la suma
de las fuerzas en un nudo, debidas a las diferentes barras que en él concurren, es
igual a la fuerza exterior que actúa en dicho nudo. En forma matemática
ne
e=1
(e)
Ri
= Rjexterior
(1.7)
donde la suma se extiende a todas las barras ne que concurren en el nudo de
numeración global j. Sustituyendo los valores de las fuerzas de extremo de cada
(e)
barra Ri en función de los desplazamientos de los nudos a través de la ec.(1.6),
se obtiene la ecuación matricial de equilibrio global de la estructura

K11
K
 21
 .
 ..

 ..
 .
K12
K22
Kn1
Kn2

······
······



K1n 
u1 
f1 

















K2n 
u
f
2
2









.
.

.
.
=
.
.






.. 
.. 







. 
.












fn
un
· · · · · · Knn
(1.8a)
† Las matrices y los vectores columna se representarán por letras mayúsculas y minúsculas en negrita,
respectivamente. El ı́ndice T aplicando una matriz o un vector (ej. BT o qT ) indica “transpuesta”.
1.3
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Ka = f
(1.8b)
donde K es la matriz de rigidez de la estructura y a y f son, respectivamente,
los vectores de desplazamientos y de fuerzas exteriores de todos los nudos de la
estructura. El proceso de obtención de las ecuaciones (1.8) recibe el nombre
de ensamblaje. La resolución de las mismas proporciona los valores de los
desplazamientos en todos los nudos de la estructura a partir de los cuales se pueden
conocer los esfuerzos internos en las barras.
1.1.2 Analogı́a con el análisis matricial de otros sistemas discretos
Los pasos explicados entre las ecs.(1.1) y (1.8) son muy similares para la mayorı́a
de los sistemas discretos. Ası́, por ejemplo, en el caso de una malla eléctrica, el
estudio de un elemento aislado (resistencia) proporciona, de acuerdo con la ley de
Ohm, la siguiente relación entre los voltajes y las intensidades que entran por cada
nudo (Figura 1.3.a)
(e)
I1
(e)
= −I2
=
1
(e)
(e)
(e) (V (e) − V (e) )
(V
−
V
)
=
k
1
2
1
2
R(e)
(1.9)
Se observa que dicha ecuación es análoga a la (1.4) para la barra, sin más que
intercambiar los conceptos de intensidad y voltaje por fuerza y desplazamiento y el
(e)
inverso de la resistencia R(e) por EA
. La “regla de ensamblaje” es la conocida
l
ley de Kirchhoff que establece que la suma de las intensidades de corriente que
concurren en un nudo es igual a cero:
ne
(e)
Ii
e=1
= Ijexterior
(1.10)
donde Ijexterior es la intensidad que entra en el nudo de numeración global j desde
el exterior de la red. Puede comprobarse la analogı́a de dicha ecuación con la (1.7)
para barras.
Figura 1.3
a) Resistencia eléctrica. b) Tramo de tuberı́a.
Ecuaciones de equilibrio local.
1.4
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
Las mismas analogı́as se encuentran en el estudio de redes de tuberı́as. La
ecuación de equilibrio entre caudales q y alturas piezométricas h en los nudos de
una tuberı́a se puede escribir como ( Figura 1.3b)
(e)
(e)
(e)
(e)
= k(e) (h1 − h2 )
(1.11)
donde k(e) es un coeficiente que depende de la rugosidad de la tuberı́a y de las
alturas piezométricas de los nudos, lo que implica que las matrices K(e) de la
ec.(1.5) no están formadas por constantes sino por funciones conocidas de a(e) .
Por otra parte, la ec.(1.6) se escribe de manera idéntica para este caso, siendo la
fuerza b(e) equivalente a una aportación de caudal uniforme por unidad de longitud
de tuberı́a.
La regla de ensamblaje se obtiene por la simple condición de equilibrio entre
los caudales que concurren en un nudo y el caudal aportado desde el exterior al
nudo, es decir
q1
= −q2
ne
(e)
qi
e=1
= qjexterior
(1.12)
Se puede deducir fácilmente la analogı́a de las expresiones anteriores con las
correspondientes para estructuras de barras y mallas eléctricas. Las ecuaciones de
equilibrio global de una red hidráulica son por tanto idénticas a las (1.8), teniendo
en cuenta que la matriz K es de naturaleza no lineal y para su solución es necesario
utilizar métodos iterativos [R2], [Z3].
1.1.3 Etapas básicas del análisis matricial de un sistema discreto
De todo lo anterior se deduce que en el análisis de un sistema discreto
(estructura de barras) intervienen las siguientes etapas:
a) Definición de una malla de elementos discretos (barras) conectados entre sı́
por nudos todos ellos convenientemente numerados. Cada elemento e tiene
asignadas unas propiedades geométricas y mecánicas conocidas. Todas estas
caracterı́sticas constituyen los datos del problema y conviene definirlos de la
manera más automática posible (Etapa de preproceso).
b) Cálculo de las matrices de rigidez K(e) y los vectores de fuerzas nodales f (e)
de cada elemento del sistema.
c) Ensamblaje y resolución de la ecuación matricial de equilibrio global (Ka = f )
para calcular los valores de las incógnitas (desplazamientos) en los nudos a.
d) A partir de los valores de las incógnitas en los nudos obtener información sobre
otros parámetros de interés del sistema (ej. tensiones y deformaciones en las
barras, voltajes, caudales, etc.).
Todos los resultados deben presentarse con la mayor claridad, y de forma gráfica
si es posible para facilitar la toma de decisiones sobre el diseño. Esta presentación
constituye la etapa de postproceso que, al igual que la de preproceso, debe estar
preparada para poder adaptarse a todas las posibles opciones de cada tipo de
problema.
1.5
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
♣ Ejemplo 1.1 Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de tres
barras de la Figura 1.4 sometida a una fuerza horizontal P en el extremo.
– Solución
De acuerdo con la ec.(1.5) la ecuación de equilibrio de cada barra es la siguiente:
Barra 1
Barra 2
Barra 3
con k (1) = k (2) =
EA
l
(1)
R1
(1)
R2
(2)
R1
(2)
R2
(3)
R1
(3)
R2
y k (3) =
(1)
1 −1
−1 1
= k (2)
1 −1
−1 1
(3)
1 −1
−1 1
= k
= k
(1) u1
(1)
u2
(2) u1
(2)
u2
(3) u1
(3)
u2
2EA
l .
Por otra parte, las ecuaciones de compatibilidad entre desplazamientos locales y
globales en cada nudo son
(1)
u1 = u1
(2)
u2 = u3
Figura 1.4
(1)
;
u2 = u3
;
u1 = u3
(3)
(2)
;
u1 = u2
;
u2 = u4
(3)
Análisis de una sencilla estructura de tres barras trabajando a
tracción.
Aplicando la ecuación de ensamblaje a cada uno de los cuatro nudos de la estructura
se tiene
nudo 1
nudo 2
nudo 3
nudo 4
3
e=1
3
e=1
3
e=1
3
e=1
(e)
= −R1
(e)
= −R2
Ri
Ri
(e)
Ri
(e)
Ri
1.6
= 0
= P
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
(e)
Sustituyendo los valores de Ri obtenidos de las ecuaciones de equilibrio de cada
barra se llega a las ecuaciones siguientes:
(1)
(1)
(2)
(2)
nudo 1 :
k (1)(u1 − u2 ) = −R1
nudo 2 :
k (2)(u1 − u2 ) = −R2
nudo 3 :
k (1)(−u1 + u2 ) + k (2)(−u1 + u2 ) + k (3)(u1 − u2 ) = 0
nudo 4 :
k (3)(−u1 + u2 ) = P
(1)
(1)
(3)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
que pueden escribirse en forma matricial utilizando las condiciones de
compatibilidad de desplazamientos como
1
1
2
3
4

2
k (1)
 0
 −k (1)
0
3
0
(2)
k
−k (2)
0
4

−k (1)
0
(2)
−k
0 
(k (1) + k (2) + k (3) ) −k (3) 
−k (3)
k (3)

 




 u1 

 −R1 
u2
−R2
=



 u3 

 0 
P
u4
Sustituyendo los valores de las rigideces de cada barra k (e) e imponiendo las
condiciones de contorno u1 = u2 = 0 se encuentra, resolviendo el sistema anterior
u3 =
Pl
Pl
P
; u4 =
; R1 = R2 =
2EA
EA
2
y los esfuerzos axiles en cada barra
Barra 1 :
N (1) =
EA
P
(u3 − u1 ) =
l
2
Barra 2 :
N (2) =
EA
P
(u3 − u2 ) =
l
2
Barra 3 :
N (3) =
2EA
(u4 − u3 ) = P
l
1.1.4 Método directo de obtención de la matriz de rigidez global
Observando detenidamente la matriz de rigidez global de la estructura se
puede deducir la siguiente regla general mediante la cual se puede ensamblar la
contribución de la rigidez de una barra individual. Para una barra e que conecta
los nudos de numeración global i y m, cada elemento (i, m) de la matriz de rigidez
de la barra ocupa la misma posición (i, m) en la matriz de rigidez global de la
estructura (ver Figura 1.5). Ası́, pues, para ensamblar la matriz de rigidez global
se pueden ir colocando y añadiendo directamente los coeficientes de rigidez de cada
barra. La mecánica de este método hace que su programación en ordenador sea
muy sencilla [H4].
1.7
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 1.5
Contribuciones de una barra aislada a la matriz de rigidez global de
una estructura de barras articuladas.
1.2 OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE
LA BARRA POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Una de las etapas fundamentales del cálculo matricial de estructuras de barras
es la obtención de la ecuación del equilibrio de la barra aislada que relaciona las
fuerzas actuantes en los nudos con los desplazamientos de dichos nudos (ecs.(1.5)).
Para el sencillo caso de la barra a tracción dicha ecuación se obtiene de manera
directa a partir de conceptos intuitivos de la Resistencia de Materiales. En el caso
de estructuras más complejas hay que utilizar procedimientos más generales. Uno
de los más populares se basa en la aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales
(PTV) que se enuncia como sigue: “Una estructura está en equilibrio bajo la acción
de un sistema de fuerzas exteriores si al imponer a la misma unos desplazamientos
arbitrarios (virtuales) compatibles con las condiciones en los apoyos, el trabajo
realizado por las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales es igual al
trabajo que realizan las tensiones en la barra sobre las deformaciones producidas
por los desplazamientos virtuales”.
Como es bien sabido el PTV es condición necesaria y suficiente para el equilibrio
de toda la estructura o de cualquiera de sus partes [T4], [Z3]. Aplicaremos ahora
dicha técnica a la sencilla barra a tracción de la Figura 1.2. El PTV se escribe en
dicho caso como
V (e)
(e) (e)
(e) (e)
δεσdV = δu1 R1 + δu2 R2
1.8
(1.13)
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
(e)
(e)
donde δu1 y δu2 son, respectivamente, los desplazamientos virtuales de los
extremos 1 y 2 de la barra de volumen V (e) , y δε la correspondiente deformación
(e)
(e)
virtual que puede calcularse en función de δu1 y δu2 por (1.1) como
(e)
(e)
δu2 − δu1
δε =
l(e)
(1.14)
Sustituyendo los valores de σ y δε de las ecs. (1.2) y (1.14) en (1.13) e integrando
las tensiones sobre la sección transversal de la barra se tiene
l(e)
1
(e)
(e)
δu2 − δu1
l(e)
1
(e)
(e)
(e) (e)
(e) (e)
(EA)(e) (e) u2 − u1 dx = δu1 R1 + δu2 R2
l
(1.15)
e integrando sobre la longitud de la barra, considerando E (e) y A(e) constantes
EA (e) (e)
EA (e) (e)
(e)
(e)
(e)
(e)
u1 − u2 δu1 +
u2 − u1 δu2 =
l
l
(e) (e)
(e) (e)
= δu1 R1 + δu2 R2
(1.16)
Como los desplazamientos virtuales son arbitrarios, el cumplimiento de (1.16)
(e)
(e)
para cualquier δu1 y δu2 exige que los términos que multiplican a cada
desplazamiento virtual en los dos miembros sean iguales, lo que proporciona el
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
(e)
Para δu1
(e)
Para δu2
:
:
EA (e) (e)
(e)
u1 − u2
l
= R1
EA (e) (e)
(e)
u2 − u1
l
= R2
(e)
(e)
(1.17a)
(1.17b)
que son las relaciones de equilibrio buscadas entre las fuerzas y desplazamientos
de los extremos de la barra. Como puede apreciarse, dichas ecuaciones, escritas
en forma matricial, coinciden con las (1.4) obtenidas de manera directa.
El PTV se utilizará constantemente a lo largo del libro para obtener las
ecuaciones matriciales de equilibrio de los diferentes elementos finitos para cada
tipologı́a estructural.
1.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
1.3 ESTRUCTURAS ARTICULADAS Y RETICULADAS PLANAS
1.3.1 Estructuras articuladas planas
Trataremos brevemente el caso de estructuras articuladas planas como
ampliación de los conceptos anteriores. Ahora cada nudo tiene dos grados de
libertad correspondientes a los desplazamientos en dos direcciones ortogonales.
La ec.(1.4) que relaciona en ejes locales de la barra los desplazamientos en sus
extremos con las fuerzas correspondientes sigue siendo válida. Sin embargo, para
poder sumar las fuerzas de extremo de las diferentes barras que concurren en un
nudo es necesario expresar la relación entre fuerzas y desplazamientos nodales con
respecto a unos ejes globales x, y.
Figura 1.6
Fuerzas y desplazamientos en los nudos de una barra de una estructura
articulada plana.
Si consideramos una barra 1-2 inclinada con respecto al eje global x, se deduce
para el nudo 1 que (Figura 1.6)
(e)
(e)
Rx1 = R1
(e)
u1
(e)
cos α ;
(e)
Ry1 = R1 sen α
(e)
(e)
= u1 cos α + v1 sen α
(1.18)
donde las primas indican componentes en la dirección del eje local de la barra x .
En forma matricial
(e)
q1
(e)
u1
(e)
=


 R(e) 
x1
 (e) 
Ry1
cos α
R1 = [L(e) ]T R1
senα
=
= [cos α, sen α]
u1 (e)
(e)
= L(e) u1
v1
(e)
(1.19)
donde u1 y q1 contienen los dos desplazamientos y fuerzas en el nudo 1 según
las direcciones cartesianas globales x e y, respectivamente, y L(e) = [cos α, sen α].
1.10
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
Para el nudo 2 se obtienen expresiones análogas
q2 = [L(e) ]T R2
(e)
con
(e)
q2
(e) T
(e)
=
(e)
(e)
= L(e) u2
y u2
(e)
Rx2 , Ry2
y u2
(1.20)
(e) T
(e)
=
u 2 , v2
Por otra parte, de la Figura 1.6 se deduce que, por equilibrio,
(e)
R1
=
(e)
−R2
=
(e)
u1
k(e)
(e)
− u2
k(e)
con
=
EA (e)
l
(1.21)
Combinando las ecs.(1.19), (1.20) y (1.21) se obtienen las dos relaciones
siguientes
(e)
q1
(e)
q2
=
L(e)
T
= − L(e)
(e)
k(e) L(e) u1 − L(e)
T
(e)
T
k(e) L(e) u1 + L(e)
(e)
k(e) L(e) u2
T
(e)
k(e) L(e) u2
(1.22)
o, en forma matricial
 (e) 

 q1 


 (e) 

q2

= 

(e)
K11
(e)
K21
(e)  
(e) 

u
 1 



 (e) 

(e) 
K22
u2
K12
(1.23)
en la que
(e)
(e)
(e)
(e)
K11 = K22 = −K12 = −K21 =
cos2 α
sen α cos α
= k(e)
sen α cos α
sen2 α
L(e)
T
k(e) L(e) =
(1.24)
El ensamblaje de las matrices de rigidez de las barras para formar la
matriz de rigidez global se efectúa por el mismo procedimiento de suma de
fuerzas nodales descrito en el Apartado 1.1.4, teniendo en cuenta que en cada
nudo el desplazamiento tiene ahora dos componentes, en las direcciones x e y,
respectivamente. Comparando (1.23) con (1.5) se deduce que el proceso del
ensamblaje es idéntico en ambos casos. La regla práctica para el ensamblaje
se muestra en la Figura 1.7, donde se puede apreciar la analogı́a con la regla de
la Figura 1.5. Como se puede observar cada contribución nodal a la matriz de
rigidez global es ahora la submatriz de tamaño 2 × 2, Kij , en lugar del simple
valor numérico de la rigidez k(e) . El proceso de ensamblaje se ilustra con un breve
ejemplo de una estructura articulada de dos barras en la Figura 1.8.
1.11
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos

K(e) = 
(e)
(e)
(e)
(e)
K11
(e)
K21
(e)
K11 = K22 = −K12 = −K21 =

i 

K11
m
K21


Figura 1.7.
i
K12 
(e)
K22

(e)
K12
(e)

EA (e)
cos2 α
senα cos α
l
m
(e)
(e)
(e)
K22


senα cos α
sen2 α

ui
Rxi
 v 
 R 
 i 
 yi 


=
  um 
 Rxm 
vm
Rym
Contribuciones de una barra aislada a la matriz de rigidez global de
una estructura de barras articulada plana.
1.3.2 Estructuras reticuladas planas
Finalizaremos este breve recordatorio sobre los conceptos básicos del cálculo
matricial de estructuras ampliando las ideas presentadas sobre estructuras
articuladas para el caso en que los nudos estén conectados rı́gidamente. En
la Figura 1.9 se muestra una barra de una estructura reticulada plana con
los movimientos y fuerzas actuantes en los extremos. Ahora se tienen tres
componentes de movimiento (dos desplazamientos y un giro) y de fuerzas (dos
fuerzas y un momento flector) en cada nudo que pueden escribirse en forma
vectorial como
(e)
qi
(e)
(e)
=

(e)

 Rxi 

R 
 yi 

mi
(e)
;
(e)
ui
(e)
=
 

 ui 

vi

 
θi 
;
i = 1, 2
(1.25)
donde Rx , Ryi y ui , vi son, respectivamente, las componentes de las fuerzas
i
y desplazamientos del nudo i de la barra e, en las direcciones locales x , y
1.12
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS


K(1) = 
1
(1)
K11
2
(1) 
K12 1
(1)
(1)
K21
1
Ka = 2

3
K22
1
(1)
K11


 (1)
K
 21


(1)
3

0


(2)
(2)
K21
(e)
2
(2)
K11
3
(2) 
K12 2
(2)
(2)
K21
2
K22 + K11
0

K(2) = 
;
2
(1)
K12
ai = [ui, vi ]T , fi
Figura 1.8






K22

3





a1 
f1

















−
−
−
−
−
−





(2) 
(e)
a2
K12 
=
=f
f2














− − −
− − −





(2) 

 (e) 

a3
K22
f
(e)
3
(e)
= [Rxi , Ryi ]T , Kij
como en ec.(1.24)
Estructura articulada plana. Ecuación de equilibrio global.
(e)
(e)
orientadas como se muestra en la Figura 1.9, y mi y θi el momento y el giro
del nudo (tomados positivos en sentido antihorario).
La deformación axial de la barra es idéntica al caso de la barra articulada
y viene definida por la ec.(1.1). Las restantes relaciones entre los esfuerzos en
los extremos y los correspondientes desplazamientos se obtienen de las ecuaciones
elásticas de la barra bajo la hipótesis de pequeños desplazamientos, que son [T7]

(e)
m1
(e)
(e)
= 2k(e) 2θ1 + θ2 +

(e)
m2
=
(e)
2k(e) 2θ2
(e)
+ θ1
1.13
(e)
3(v1
l(e)
(e)
+
(e)
3(v1

− v2 ) 
(e)

− v2 ) 
l(e)
(1.26)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 1.9
Barra de una estructura reticulada. Fuerzas y movimientos de los
nudos en ejes locales x , y .
Tomando momentos con respecto a uno cualquiera de los extremos se obtiene
la ecuación de equilibrio
(e)
Ry 1
=
=
(e)
(e)
(m1 + m2 )
(e)
−Ry =
2
l(e)
(e)
12EI
(e)
(e)
(v1 − v2 )
3
l
=
+
6EI (e) (e)
(e)
(θ1 + θ2 )
2
l
(1.27)
donde I (e) es el módulo de inercia de la sección transversal.
Las ecuaciones de equilibrio entre las fuerzas y los movimientos de los nudos
pueden escribirse en forma matricial como

q(e)
(e)
K11
q1 (e)

=
(e)
q2
K21
=
(e)

K12  u1
(e)
u2
K22
= K(e) u(e)
(1.28)
La matriz K(e) se denomina matriz de rigidez de la barra en ejes locales. Las
(e)
submatrices Kij se deducen de las ecs.(1.5), (1.26) y (1.27) como
 EA
(e)
K11

l
=  0
0
 −EA
(e)
K21

= 
l
0
0
(e)
0
0
12EI
l3
6EI
l2
6EI
l2
4EI
l
 −EA
l

(e)
; K12 =  0


0
0
0
−12EI
l3
6EI
l2
−6EI
l2
2EI
l
(e)


 EA
;
(e)
K22
l

=  0
0
1.14
(e)
0
0
−12EI
l3
−6EI
l2
6EI
l2
2EI
l


0
0
12EI
l3
− 6EI
l2
−6EI
l2
4EI
l
(e)


(1.29)
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
Adviértase que la matriz de rigidez local K(e) es de nuevo simétrica. El proceso
mediante el cual dicha matriz se transforma al sistema de coordenadas global x, y,
para ensamblar las contribuciones de las diferentes barras en la matriz de rigidez
global, es idéntico al descrito en el Apartado 1.3.1. Ası́, los vectores de fuerzas
y movimientos locales de cada nodo se expresan en función de sus componentes
globales por
(e)
(e) (e)
(e)
(e) (e)
qi
= Li qi y ui
= Li ui
(1.30)
donde
(e)
q(e) =
(e) T
(e)
Rxi , Ryi , mi
;
(e)
ui
(e)
=
(e)
(e) T
u i , vi , θi
(1.31)
(e)
y Li es la matriz de transformación de fuerzas y movimientos globales a locales
(e)
(e)
del nudo i. Debido a que la barra es recta, Li = Lj = L(e) , con (ver Figura
1.9)


cos α sen α 0


(1.32)
L(e) =  −sen α cos α 0 
0
0
1
De las ecs.(1.28) y (1.30) se deduce
q(e)
[L(e) ]T
0
=
=
T(e)
T
!
0
[L(e) ]T
q(e) =
T(e)
T
K(e) u(e) =
K(e) T(e) u(e) = K(e) u(e)
donde
T(e)
L(e)
0
=
y
K(e) =
T(e)
T
0
L(e)
(1.33)
!
(1.34)
K(e) T(e)
(1.35)
es la matriz de rigidez de la barra en ejes globales.
La ec.(1.33) puede escribirse en forma ampliada por

q1
q2
(e)
= 

(e) 


(e)
K22
(e)
K11
K12
(e)
K21
u1 (e)
u2
(1.36)
De las ecuaciones (1.28), (1.34) y (1.35) se deduce que una submatriz de rigidez
(e)
global tı́pica Kij viene dada por
(e)
Kij
=
L(e)
T
(e)
Kij L(e)
(1.37)
El procedimiento para ensamblar automáticamente las matrices de rigidez de
cada barra en la matriz de rigidez global es exactamente idéntico al descrito en los
Apartados 1.1.4 y 1.3.1.
1.15
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
1.4 TRATAMIENTO DE LOS DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS
Y CÁLCULO DE REACCIONES
No vamos a entrar aquı́ en detalles sobre el proceso de solución del sistema de
ecuaciones Ka = f , pues éste es exclusivamente un problema de cálculo numérico
que puede resolverse utilizando cualquiera de los múltiples procedimientos que
existen, y de los que incluso está disponible su programación en ordenador
(métodos de reducción de Gauss, Choleski y Choleski modificado, método Frontal,
etc.) [H3], [P7], [R2]. No obstante, sı́ haremos una breve introducción sobre el
tratamiento de los desplazamientos prescritos y el cálculo de reacciones, pues es
un tema de interés general.
Consideremos el sistema de ecuaciones:
k11 u1
k21 u1
k31 u1
..
.
+
+
+
k12 u2
k22 u2
k32 u2
..
.
+
+
+
k13 u3
k23 u3
k33 u3
..
.
+
+
+
... +
... +
... +
k1n un
k2n un
k3n un
..
.
=
=
=
kn1 u1
+
kn2 u2
+
kn3 u3
+
... +
knn un
= fn
f1
f2
f3
..
.
(1.38)
donde fi son fuerzas exteriores (nulas o no nulas) o reacciones en puntos con
desplazamiento prescrito.
Supongamos que un desplazamiento cualquiera, por ejemplo u2, está prescrito
al valor u2 , es decir
u2 = u2
(1.39)
Existen dos procedimientos clásicos para introducir dicha condición en el
sistema de ecuaciones (1.38):
a) Se eliminan la fila y la columna segunda y se sustituyen las fi del segundo
miembro de (1.38) por fi − ki2 u2 , es decir, el sistema de n ecuaciones con n
incógnitas se reduce en una ecuación y en una incógnita como sigue:
k11 u1
k31 u1
..
.
+
+
k13 u3
k33 u3
..
.
+
+
... +
... +
k1n un
k3n un
..
.
=
=
f1
f3
..
.
−
−
k12 u2
k32 u2
..
.
kn1 u1
+
kn3u3
+
... +
knn un
=
fn
−
kn2u2
(1.40)
Una vez calculados los u1, u3, . . . , un , el valor de la reacción f2 (en el caso de
que no exista una fuerza exterior aplicada en el nudo 2) se obtiene por
f2 = k21 u1 + k22 u2 + k23 u3 + . . . + k2n un
(1.41)
Si el valor prescrito de u2 es cero, el procedimiento es el mismo, pero entonces
los valores de las fi quedan inalterados y el valor de f2 se obtiene por (1.41)
prescindiendo del término que afecta a u2 .
1.16
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
b) Otro procedimiento bastante utilizado y que no precisa modificar apenas el
sistema de ecuaciones original, consiste en añadir un coeficiente de valor alto
al término de la diagonal principal de la fila correspondiente al desplazamiento
prescrito, y reemplazar el segundo miembro de la ecuación de dicha fila por el
valor del desplazamiento prescrito multiplicado por dicho coeficiente. Es decir,
si de nuevo u2 = u2 , sustituirı́amos k22 por k22 + 1015k22 (por ejemplo), y el
valor de f2 por 1015 k22 × u2 , quedando el sistema de ecuaciones de la siguiente
forma
k11 u1
k21 u2
k31 u1
..
.
+
k12 u2
+ (1 + 1015 )k22 u2
+
k32 u2
..
.
+
+
+
k13 u3
k23 u3
k33 u3
..
.
+
+
+
...
...
...
+
+
+
kn1 u1
+
+ kn3 u3
+
...
+ knn un
kn2 u2
k1n un
k2n un
k3n un
..
.
=
f1
= 1015 k22 u2
=
f3
..
.
=
fn
(1.42)
De esta manera, la segunda ecuación, al ser 1015 k22 mucho mayor que el resto
de los coeficientes, equivale a
1015 k22 u2 = 1015k22 u2
o u2 = u2
(1.43)
que es la condición prescrita.
Con este procedimiento la condición se impone de forma natural en la solución
del sistema de ecuaciones con modificaciones mı́nimas.
El valor de la reacción f2 se calcula “a posteriori” por la ec.(1.41).
1.5 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS
FINITOS PARA CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
Con excepción de las estructuras de barras, la mayor parte de las estructuras
en ingenierı́a son de naturaleza continua y, por tanto, su comportamiento no
puede expresarse en forma precisa en función de un número pequeño de variables
discretas. Un análisis riguroso de dichas estructuras precisa la integración de
las ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio de un elemento diferencial
genérico de las mismas. Ejemplos de estas estructuras “continuas” son comunes en
las ingenieras civil, mecánica, aeronáutica y naval, y entre las más usuales podemos
citar las placas, depósitos, cubiertas, puentes, presas, carrocerı́as de vehı́culos,
fuselajes de aviones, cascos de barcos, etc., (Figura 1.10).
Aunque las estructuras continuas son inherentemente tridimensionales en
algunos casos su comportamiento puede describirse adecuadamente por modelos
matemáticos uni o bidimensionales. Ası́ ocurre, por ejemplo, con los problemas de
flexión de placas, en los que el análisis se limita al estudio de la deformación del
plano medio de la placa, y con todas las estructuras en las que puede hacerse uso
de las hipótesis simplificativas de la elasticidad bidimensional o de revolución (ej.
presas, túneles, depósitos, etc.).
El método de los elementos finitos es hoy en dı́a el procedimiento más potente
para el análisis de estructuras de carácter uni, bi o tridimensional sometidas a las
1.17
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 1.10
Algunas estructuras continuas: a) Presas. b) Láminas. c) Puentes.
d) Placas.
acciones exteriores más diversas. La gran analogı́a existente entre los conceptos
del análisis matricial de estructuras de barras y los del método de los elementos
finitos facilitan en gran manera el estudio de éste a los técnicos con dominio de las
ideas sobre cálculo matricial de estructuras tratadas en apartados anteriores.
Es importante destacar desde un principio las analogı́as entre las etapas básicas
del análisis matricial de estructuras de barras y el de una estructura cualquiera
por el método de los elementos finitos. Dichas analogı́as se evidencian claramente
considerando un ejemplo, como el análisis del puente de la Figura 1.11 por
elementos finitos. Sin entrar en excesivos detalles, las etapas básicas de dicho
análisis serı́an las siguientes:
Etapa 1 : A partir de la realidad fı́sica del puente, sus apoyos y tipos de
cargas que sobre él actúen, es necesario primeramente seleccionar un modelo
matemático apropiado para describir el comportamiento de la estructura. Por
ejemplo, podrı́a utilizarse la teorı́a de láminas planas, láminas curvas, o la de
elasticidad tridimensional. También hay que definir con detalle las propiedades
mecánicas de los materiales del puente y el carácter de la deformación del mismo
(pequeños o grandes movimientos, análisis estático o dinámico, etc.). En este
curso estudiaremos únicamente problemas de equilibrio estático de estructuras
con pequeños desplazamientos y comportamiento elástico lineal de los materiales.
Asimismo, para el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio haremos uso
siempre del Principio de los Trabajos Virtuales (PTV).
1.18
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
Figura 1.11
Análisis de un puente por el método de los elementos finitos.
Etapa 2 : Una vez seleccionado el modelo matemático se procede a discretizar
la estructura en porciones no intersectantes entre sı́, denominadas “elementos
finitos”, dentro de los cuales se interpolan las variables principales en función
de sus valores en una serie de puntos discretos del elemento denominados “nodos”.
Los elementos se conectan entre sı́ por los nodos situados en sus contornos.
No obstante, los nodos no tienen, en general, un significado fı́sico tan evidente
como los “nudos” de unión de dos elementos en los sistemas discretos, de ahı́
su diferente denominación. La malla de elementos finitos puede, por ejemplo,
estar constituı́da por elementos de diferente geometrı́a, tales como elementos
bidimensionales acoplados con otros unidimensionales tipo viga. La etapa de
discretización constituye una parte esencial de la fase de preproceso que suele
incluir también la representación gráfica de la malla de elementos finitos.
Etapa 3 : A partir de la expresión del PTV se obtienen las matrices de rigidez
K(e) y el vector de cargas f (e) para cada elemento. El cálculo de K(e) y f (e) es
1.19
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
más complejo que en estructuras de barras al intervenir integrales sobre el dominio
uni, bi o tridimensional del elemento.
Etapa 4 : Se procede al ensamblaje de las matrices de rigidez y el vector de
carga elementales en la matriz de rigidez global de toda la malla de elementos
finitos K y el vector de cargas sobre los nodos f , respectivamente.
Etapa 5 : El sistema de ecuaciones resultante Ka = f se resuelve para calcular
las variables incógnitas (movimientos de todos los nodos de la malla) a, utilizando
uno cualquiera de los métodos conocidos para solución de ecuaciones algebraicas
simultáneas lineales.
Etapa 6 : Una vez calculados los movimientos nodales a se pueden calcular
las deformaciones y, seguidamente, las tensiones en cada elemento, ası́ como las
reacciones en los nodos con movimientos prescritos.
Para obtener la solución en las etapas 3-6 es necesario proceder a una
implementación en ordenador del método de los elementos finitos. Ello puede
hacerse a partir de un programa comercial o bien de uno desarrollado al respecto.
Etapa 7 : Obtenidos los resultados numéricos, la etapa siguiente es la
interpretación y presentación de los mismos. Para ello suele hacerse uso de
técnicas gráficas que facilitan dicha labor (Postproceso).
Etapa 8 : Una vez estudiados los resultados, el técnico analista puede plantearse
efectuar varias modificaciones en cualquiera de las etapas anteriores. Ası́, por
ejemplo, puede encontrar que la teorı́a de cálculo de estructuras inicialmente
adoptada es inapropiada y consiguientemente debe modificarse. Por otro lado, la
malla de elementos finitos utilizada en el análisis puede ser demasiado grosera para
reproducir la distribución de desplazamientos o tensiones correctas y, por tanto,
debe refinarse o alternativamente utilizar otro tipo de elemento finito más preciso.
Otras clases de dificultades pueden deberse a problemas de precisión asociados al
método de solución del sistema de ecuaciones utilizado, al mal condicionamiento
de las mismas , o a la máxima longitud de las palabras que permita el ordenador
empleado, lo que puede exigir el uso de doble precisión u otras medidas más
drásticas. Como es natural, frecuentemente ocurrirán también errores de entrada
de datos que deben corregirse.
Las etapas anteriores se muestran esquemáticamente en la Figura 1.12.
1.20
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS
Figura 1.12
Organigrama general del análisis de una estructura por el método de
los elementos finitos.
1.21
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Desde el punto de vista del ingeniero de estructuras el método de elementos
finitos puede, pues, considerarse como una extrapolación de los métodos de
cálculo matricial para estructuras de barras al análisis de estructuras de tipo
continuo. De hecho, a principios de los años 1940 surgen los primeros intentos de
resolver problemas de elasticidad bidimensional con técnicas matriciales mediante
la división del contı́nuo en elementos de barra [H7, M3]. En 1943 Courant [C6]
introdujo por primera vez el concepto de “elemento continuo” al resolver problemas
elasticidad plana mediante la división del dominio de análisis en “elementos”
triangulares sobre los que suponı́a una variación polinómica de la solución. La
irrupción masiva de los ordenadores digitales en la década de 1960 propició un
avance espectacular de todos los métodos basados en técnicas matriciales , libres
ya de las limitaciones que suponı́a hasta la fecha la solución de grandes sistemas
de ecuaciones. Es en esta época cuando el método de los elementos finitos se
consolida rápidamente como un procedimiento apropiado para solución de toda
una variedad de problemas de ingenierı́a y de la fı́sica. Es importante advertir que
en este contexto, sus primeras aplicaciones surgen en relación con problemas de
cálculo de estructuras y, en particular, con aplicaciones estructurales en ingenierı́a
aeronáutica [A6], [T9]. De hecho fue Clough quien en 1960 y en relación con la
solución de problemas de elasticidad plana sugirió por primera vez la denominación
“elementos finitos” [C1]. Desde esas fechas hasta la actualidad el método de los
elementos finitos ha tenido un desarrollo espectacular en su aplicación a otros
campos. Ası́, apoyado por el avance de los ordenadores digitales y la creciente
complejidad de muchas áreas de la ciencia y la tecnologı́a disfruta hoy en dı́a de
una posición única como una técnica de solución potente de los problemas más
diversos y complejos en innumerables campos de la ingenierı́a.
Listar aquı́ las referencias de los trabajos más significativos a lo largo de la
evolución del método de los elementos finitos serı́a una tarea improba si se tiene
en cuenta que solamente en 2001 el número de publicaciones cientı́ficas sobre el
tema se estima en más de 30.000. Los interesados en los aspectos históricos del
método de los elementos finitos deben consultar las referencias del clásico libro
de Zienkiewicz y Taylor [Z3,8]. Al final de estos apuntes se presenta una lista de
publicaciones que se referencian en cada uno de los capı́tulos.
Desde el punto de vista práctico del cálculo de estructuras, la caracterı́stica más
atractiva del método de los elementos finitos, y quizás también la más peligrosa,
estriba en el hecho de que es un método aproximado. En las manos de un técnico
cuidadoso y experto es un procedimiento muy útil para obtener información sobre
el comportamiento de estructuras complejas, para los que no existen soluciones
analı́ticas disponibles. No obstante, su mismo carácter aproximado le confiere un
cierto riesgo, y su utilización, si no se posee una experiencia previa, debe efectuarse
con precaución.
1.22
CAPÍTULO 2
ELEMENTOS FINITOS DE
BARRA. CONCEPTOS BÁSICOS
2.1 INTRODUCCIÓN
Desde un punto de vista estricto, la mayor parte de las estructuras deberı́an
clasificarse dentro de lo que en el capı́tulo precedente hemos denominado sistemas
estructurales continuos con infinitos grados de libertad y, por tanto, para conocer
su comportamiento frente a la acción de cargas exteriores deberı́a ser necesario
integrar las correspondientes ecuaciones diferenciales de equilibrio. Sin embargo,
este tipo de análisis es con frecuencia difı́cil, o imposible, debido a la geometrı́a
de la estructura, la naturaleza de las condiciones de contorno, la distribución
de las propiedades mecánicas de los materiales, el tipo de cargas, etc., y en la
práctica es necesario utilizar métodos más simplificados que permitan analizar la
estructura de manera aproximada. El método de los elementos finitos es uno de los
procedimientos que existen para aproximar el comportamiento de una estructura
con infinitos grados de libertad por el de otra, con aproximadamente las mismas
propiedades fı́sicas y geométricas, pero con un número finito de grados de libertad,
cuyas ecuaciones de equilibrio pueden expresarse por un sistema algebraico de
ecuaciones simultáneas con un número limitado de incógnitas.
El objetivo de este capı́tulo es introducir los conceptos básicos del método de
los elementos finitos mediante su aplicación al análisis de sencillos problemas de
barras sometidas únicamente a fuerzas axiles.
La organización del capı́tulo es la siguiente: En primer lugar se estudia
detalladamente la solución del problema de tracción (o compresión) de barras con
elementos finitos unidimensionales de dos nodos, incidiendo en las analogı́as con la
solución del cálculo matricial de estructuras estudiada en el capı́tulo precedente y
presentándose varios ejemplos de aplicación. Tras ello, se introducen los conceptos
básicos de la formulación matricial de elementos finitos que será utilizada a lo largo
del curso.
2.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
2.2 BARRA SOMETIDA A FUERZAS AXILES
Consideremos una barra de longitud l sometida a una fuerza por unidad de
longitud b(x), y a un sistema de fuerzas puntuales Xi aplicadas en p puntos
diferentes xi . Todas las fuerzas actúan en la dirección del eje de la barra (ver
Figura 2.1). La barra puede tener desplazamientos prescritos uj en m puntos
distintos xj . Al deformarse la barra por acción de las fuerzas exteriores y/o por los
desplazamientos impuestos, aparecen en su interior tensiones σ(x) y deformaciones
ε(x) = du
dx , que en materiales elásticos están relacionadas entre sı́ en cada punto
por la ley de Hooke
σ = Eε = E
du
dx
(2.1)
donde E es el módulo de elasticidad de la barra.
Figura 2.1
Barra sometida a fuerzas axiles.
En la configuración de equilibrio de la barra, las tensiones y las fuerzas
exteriores satisfacen el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) que se definió en
el Apartado 1.2.Dicho principio se expresa en forma matemática para el problema
de la barra que tratamos como
V
δε σ dV =
l
0
δu b dx +
p
δuiXi
(2.2)
i=1
donde δu y δε son el movimiento y deformación virtual genéricos de un punto de
la fibra media de la barra; δui es el movimiento virtual del punto de actuación de
la carga puntual Xi , y V es el volumen de la barra. El segundo miembro de (2.2)
representa el trabajo “virtual” de las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos
virtuales δu, mientras que la integral del primer miembro es el trabajo virtual
interno que realizan las tensiones “reales” en la barra σ sobre las deformaciones
virtuales δε.
Teniendo en cuenta que dV = dA · dx, donde A es el área de la sección
transversal, la ecuación (2.2) queda, tras efectuar la integración correspondiente y
utilizar (2.1), como
l
0
δε EA
du
dx =
dx
l
0
δu b dx +
p
δui Xi
(2.3)
i=1
Puede demostrarse [T7] que el problema de obtener la configuración de
equilibrio de la barra bajo la actuación de las fuerzas exteriores se reduce a
2.2
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
encontrar el campo de desplazamientos u(x) que satisfaga (2.3) y las condiciones
de contorno sobre los desplazamientos prescritos (condiciones cinemáticas). La
solución aproximada de este problema por el método de los elementos finitos
consiste simplemente en encontrar un campo de desplazamientos alternativo que
aproxime u(x) y que, asimismo, satisfaga la ec.(2.3) y las condiciones cinemáticas.
Para aproximar el campo de desplazamientos u(x) escogemos la opción más
sencilla, utilizando funciones polinómicas definidas localmente para cada elemento,
como
u(x) ū(x) = ao + a1 x + a2
x2
+ · · · + an−1
xn−1
=
n−1
ai x i
(2.4)
i=1
En (2.4) ū(x) es el campo de desplazamientos aproximado y n es el número de
puntos del elemento donde se supone conocido el desplazamiento. Dichos puntos
se denominan nodos. Por otra parte, ao , a1, . . ., an son constantes que dependen
únicamente de los valores del desplazamiento ū(x) en los nodos. Para mayor
sencillez de la notación, en lo sucesivo no haremos distinción entre el campo de
desplazamientos u(x) y el campo aproximado ū(x). En la práctica es usual escribir
(2.4) como
(e)
(e)
u(x) = N1 (x)u1
(e)
(e)
+ N2 (x)u2
(e)
(e)
+ · · · + Nn (x)un
=
n
i=1
(e)
(e)
(e)
Ni (x)ui
(2.5)
(e)
donde N1 (x), . . ., Nn (x) son las funciones de interpolación polinómicas
(e)
definidas en el dominio del elemento (denominadas funciones de forma) y ui es
(e)
el valor aproximado del desplazamiento en el nodo i. La función Ni (x) interpola
dentro del elemento únicamente los desplazamientos correspondientes al nodo i y
por ello se denomina función de forma del nodo i. Se deduce de (2.5) que para
(e)
(e)
que u(x) coincida con ui en el nodo i, la función de forma Ni (x) ha de valer
uno en el nodo i y cero en el resto de los nodos.
La sustitución de la expresión aproximada de u(x) para cada elemento en el
PTV permite obtener las ecuaciones algebraicas de equilibrio de la estructura,
en función de los desplazamientos de los nodos de la malla de elementos finitos.
Dichas ecuaciones pueden escribirse en la forma matricial:
Ka = f
(2.6)
donde, por analogı́a con el cálculo matricial de estructuras de barras, K se
denomina matriz de rigidez de la malla de elementos finitos, y a y f vectores
de desplazamientos y de fuerzas nodales, respectivamente. Tanto K como f
pueden obtenerse a partir de las contribuciones individuales de cada elemento,
como ocurrı́a en el análisis matricial de estructuras de barras. La solución de (2.6)
proporciona los valores de los desplazamientos nodales a partir de los que pueden
encontrarse las deformaciones y tensiones en el interior de cada elemento.
Para ilustrar todos estos conceptos estudiaremos en los apartados siguientes
el análisis de una barra de sección constante mediante dos mallas de uno y dos
elementos finitos unidimensionales de dos nodos, respectivamente.
2.3
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
2.3 BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE. DISCRETIZACIÓN EN
UN ELEMENTO LINEAL
Sea la barra de sección constante de la Figura 2.2.
Para empezar
discretizaremos la barra en un único elemento de barra de dos nodos que definen
una variación lineal del desplazamiento u(x) en su interior como
u(x) = ao + a1x
(2.7)
(1)
Lógicamente u(x) tiene que tomar en los nodos 1 y 2 los valores u1
respectivamente. Es decir
(1)
(1)
u(x1 ) = u1
(1)
(1)
y
(1)
u(x2 ) = u2
(1)
y u2 ,
(2.8)
(1)
siendo x1 y x2 las coordenadas de los nodos 1 y 2. El ı́ndice 1 indica que los
valores se refieren al elemento número 1.
Figura 2.2
Barra de sección constante. Discretización en un elemento de barra
de dos nodos.
Sustituyendo las condiciones (2.8) en (2.7) se obtiene el sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas siguiente
(1)
u1
(1)
u2
(1)
= ao + a1 x1
(1)
= ao + a1 x2
2.4
(2.9)
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
de donde pueden despejarse las constantes ao y a1
(1) (1)
ao =
(1) (1)
(1)
x2 u1 − x1 u2
(1)
(1)
x2 − x1
y
(1)
− u2
(1)
(1)
x1 − x2
u1
a1 =
(2.10)
Sustituyendo (2.10) en (2.7), puede reescribirse ésta como
(1)
(1)
(1)
u = N1 (x)u1
(1)
(1)
+ N2 (x)u2
(2.11)
(1)
donde N1 y N2 son las funciones de forma de los nodos 1 y 2 del elemento,
respectivamente, que tienen la expresión siguiente
(1)
N1 (x)
(1)
=
x2
− x
l(1)
(1)
N2 (x)
;
(1)
x − x1
=
l(1)
(2.12)
(1)
(1)
siendo l(1) = x2 − x1 la longitud del elemento. Se deduce de (2.12) que cada
(1)
función de forma Ni (i = 1, 2) varı́a linealmente en el interior del elemento y vale
uno en el nodo i y cero en el otro nodo (ver Figura 2.2). Esta última propiedad
es consecuencia directa de la definición local de la aproximación polinómica (2.11)
y permite siempre anticipar la geometrı́a de las funciones de forma del elemento,
como veremos en repetidas ocasiones.
Antes de seguir conviene tener bien clara la diferencia entre la numeración nodal
local y global. En la Tabla 2.1 se muestra dicha distinción para los números de
los nodos, las coordenadas y los desplazamientos nodales. Obsérvese que debido a
que sólo hemos tomado un elemento los números locales y globales coinciden.
nodos
Elemento
local
global
1
1
x1
2
2
x2
1
Tabla 2.1
coordenadas
local
desplazamiento
global
(1)
(1)
local
(1)
x1
u1
x2
u2
(1)
global
u1
u2
Parámetros locales y globales en el ejemplo de la Figura 2.2.
Las derivadas de las funciones de forma se pueden escribir como
(1)
dN1
dx
= −
1
l(1)
(1)
y
dN2
dx
=
1
l(1)
(2.13)
De esta manera se puede obtener la deformación axial en cualquier punto dentro
del elemento por
(1)
dN1
du
=
ε =
dx
dx
(1)
u1
(1)
dN2
+
dx
(1)
u2
2.5
1 (1)
1 (1)
= − (1) u1 + (1) u2
l
l
(2.14)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Obsérvese que por ser las funciones de forma lineales la deformación es constante
sobre el elemento.
Las fuerzas entre elementos se transmiten únicamente a través de los nodos.
Dichas fuerzas nodales, que denominaremos “de equilibrio”, pueden calcularse para
cada elemento haciendo uso del PTV, que se escribe para el elemento considerado
como
x(1)
2
(1)
x1
δε EAε dx =
(1)
(1)
x(1)
2
(1)
x1
(1)
(1)
(1)
(1)
δub dx + δu1 X1
(1)
+ δu2 X2
(2.15)
(1)
y X2
son los desplazamientos virtuales y las
donde δu1 , δu2 , X1
fuerzas nodales de equilibrio de los nodos 1 y 2 del elemento, respectivamente.
El desplazamiento virtual puede también interpolarse en función de los
desplazamientos virtuales de los dos nodos del elemento. Ası́, de acuerdo con
(2.11), puede escribirse
(1)
δu = N1
(1)
δu1
(1)
+ N2
(1)
δu2
(2.16)
Por otra parte, la deformación virtual puede expresarse en función de los
desplazamientos virtuales nodales como
(1)
dN1
d
(δu) =
δε =
dx
dx
(1)
δu1
(1)
dN2
+
dx
(1)
δu2
(2.17)
La ec.(2.15) se escribe, tras sustituir convenientemente (2.11), (2.13) y (2.14),
como
(1)
x(1) dN1
2
(1)
dx
x1
−
x(1) 2
(1)
x1
(1)
(1)
δu1
(1)
N1
+
(1)
δu1
dN2
dx
(1) δu2
(1)
+ N2
(EA)
(1) δu2
dN (1)
1
dx
(1)
(1)
u1
(1)
+
(1)
b dx = δu1 X1
(1) dN2
dx
u2
(1)
dx −
(1)
+ δu2 X2
(2.18)
y, agrupando términos
(1)
(1)
(1) x2 dN1
δu1
(1)
dx
x1
−
x(1)
2
(1)
(1) N1 b
x1
(1)
dN2
+
dx
(1)
dN1
(EA)
dx
dx −
(1) X1
(1)
dN2
(EA)
dx
+
(1)
u1
(1)
dN1
+
dx
(1)
dN2
(EA)
dx
(1)
(1)
(1) x2 dN2
δu2
(1)
dx
x1
(1) u2
dx −
x(1)
2
(1)
x1
(1)
(1) u2
(1)
dN1
(EA)
dx
(1)
u1
(1) N2 b dx − X2
dx −
+
= 0
(2.19)
2.6
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
Como los desplazamientos virtuales son arbitrarios, el cumplimiento de (2.19)
(1)
(1)
para cualquier valor de δu1 y δu2 obliga a que los valores de los corchetes sean
nulos, lo que proporciona las dos ecuaciones siguientes:
(1)
x(1) dN1
2
(1)
dx
x1
(1)
(EA)
dN1
dx
(1)
(1)
u1
dN1
dx
+
−
(1)
x(1) dN2
2
(1)
dx
x1
(1)
dN1
(EA)
dx
(1)
u1
x(1)
2
(1)
x1
(1)
dN2
+
dx
−
x(1)
2
(1)
x1
(1)
(EA)
(1) dN2
dx
u2
(1)
dx −
(1)
N1 b dx − X1
(1)
dN2
(EA)
dx
(1) u2
(1)
(1)
N2 b dx − X2
dx −
= 0
(1)
Del sistema de ecuaciones anterior se deducen los valores de X1
forma matricial


dN (1)
x(1)
1

2 
dx


 (1)  (1)
x1
dN2
dx
(EA)
(EA)
(1)
dN1 dx
(1)
dN1 dx

(1) dN
1
2

dx (EA) dx

(1) 
dN (1)
dN
2
2
dx (EA) dx


x(1)  (1) 
N1
2
−
(1) 
(1)
x1
N2 
dN (1)
= 0
(2.20)
(1)
y X2 . En



(1) 
 u
1
dx
  (1)  −
u2


 X (1) 
1
b dx =
 (1) 
X2
(2.21)
La ecuación anterior expresa el equilı́brio entre las fuerzas nodales de equilı́brio, la
carga repartida sobre el elemento y los desplazamientos nodales y puede escribirse
como
K(1) a(1) − f (1) = q(1)
con
(1)
Kij
(1)
fi
=
=
x(1)
2
(1)
x1
x(1)
2
(1)
x1
(1)
dNj (1)
dNi (1)
(EA)
dx
dx
dx
(1)
Ni
(1) T
a(1) = [u1 , u2 ]
b dx
;
(2.22)
i, j = 1, 2
(1)
(2) T
q(1) = [X1 , X2 ]
donde K(1) , a(1) , f (1) y q(1) son la matriz de rigidez, el vector de desplazamientos
nodales, el vector de fuerzas nodales equivalentes y el vector de fuerzas nodales de
equilibrio del elemento, respectivamente.
2.7
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Si el módulo de Young, la sección de la barra y la carga repartida son constantes
dentro del elemento, se obtiene
K(1) = (
EA (1)
)
l
1 −1
−1
1
;
f (1) =
(bl)(1)
2
1
1
(2.23)
expresiones que coinciden con las obtenidas para la barra bajo cargas axiles en
el Capı́tulo 1. Dicha coincidencia no es fortuita, y podı́a haberse anticipado,
ya que en ambos casos se parte de la misma hipótesis de distribución lineal de
desplazamientos, lo que evidentemente conduce a idénticas expresiones para la
matriz de rigidez y el vector de fuerzas en los extremos de la barra.
Las ecuaciones que expresan el equilibrio global de la estructura se pueden
obtener por un proceso idéntico al explicado para las estructuras de barras en
el Capı́tulo 1. Ası́, en cada nodo se tiene que satisfacer la ecuación básica de
equilibrio de fuerzas
e
(e)
Xi
= Xjext
(2.24)
donde el sumatorio se extiende sobre todos los elementos que concurren en el nodo
(e)
en cuestión, Xi es la fuerza de equilibrio que aporta cada elemento y Xjext la
fuerza puntual exterior sobre el nodo de número global j.
Para la malla de un solo elemento que se considera, la ec.(2.24) se escribe,
teniendo en cuenta la Figura 2.2, como
(1)
nodo 1 : X1
= R1
(1)
nodo 2 : X2
= P
Utilizando (2.21) y operando cuidadosamente es fácil llegar al sistema de
ecuaciones global que, haciendo uso de las relaciones de la Tabla 2.1, puede
escribirse en forma matricial como
EA
(
)
l
1 −1
−1
1
u1
u2
=
R1 + bl
2
P + bl
2
o
Ka = f
(2.25)
donde K, a y f son la matriz de rigidez, el vector de desplazamientos nodales y
el vector de fuerzas nodales equivalentes de toda la malla, respectivamente. La
ec.(2.25) se resuelve añadiendo la condición u1 = 0 para obtener
u2 =
bl
l
(P + )
EA
2
;
2.8
R1 = −(P + bl)
(2.26)
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
La deformación y el axil (constantes) en el único elemento vienen dados por
(1)
ε(1) =
dN1
dx
(1)
u1
(1)
+
dN2
dx
(1)
u2
(1)
=
P + bl
u1
2
=
(1)
EA
l
N (1) = (EA)(1) ε(1) = P +
bl
2
(2.27)
La solución exacta para este sencillo problema es [T7]
1
bx2
u =
+ (P + bl) x
−
EA
2
1
[P + b(l − x)]
ε =
EA
(2.28)
En la Figura 2.3 se comparan las soluciones exacta y aproximada para un valor
de P = 0 y b = 1 T/m. Se aprecia en dicha figura que el error obtenido en el
valor del desplazamiento en el extremo es nulo, lo que realmente debe considerarse
como una excepción [O3]. En el interior de la barra la aproximación con un
solo elemento proporciona una variación lineal del desplazamiento diferente de la
variación “exacta” parabólica de (2.28). En el Apartado 2.4 comprobaremos como
la solución en el interior de la barra mejora sensiblemente utilizando una malla de
dos elementos.
Figura 2.3
Barra de sección constante bajo fuerza uniformemente repartida.
Solución exacta y aproximada utilizando uno y dos elementos de barra
de dos nodos.
2.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
2.4
BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE. DISCRETIZACIÓN EN
DOS ELEMENTOS LINEALES
Discretizaremos ahora la misma barra del ejemplo anterior en dos elementos
lineales como se muestra en la Figura 2.4, donde se puede apreciar la diferencia
entre funciones de forma locales y globales.
Figura 2.4
Barra de sección constante. Discretización en dos elementos de dos
nodos.
Obtendremos en primer lugar las ecuaciones de la discretización a partir de las
funciones de forma locales para cada elemento.
Los desplazamientos en el interior de cada elemento se aproximan por:
Elemento 1
(1)
(1)
u(x) = N1 (x)u1
(1)
Elemento 2
(1)
+ N2 (x)u2
(2)
(2)
u(x) = N1 (x)u1
2.10
(2)
(2)
+ N2 (x)u2
(2.29)
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
Elemento 1
Elemento 2
Las funciones de forma y sus derivadas son ahora
(1)
N1
(1)
N2
(1)
(1)
x2 − x
dN1
1
;
= − (1)
dx
l(1)
l
(1)
(1)
x − x1
dN2
1
=
;
= (1)
dx
l(1)
l
(2)
=
N1
(2)
N2
(2)
(2)
x2 − x
dN1
1
;
= − (2)
dx
l(2)
l
(2)
(2)
x − x1
dN2
1
=
;
= (2)
dx
l(2)
l
=
(2.30)
La deformación axial en un punto cualquiera de cada elemento es
(1)
(1)
(2)
dN2 (1)
dN1 (1)
ε = du =
+
u
u
dx
dx 1
dx 2
(2)
dN2 (2)
dN1 (2)
ε = du =
+
u
u
dx
dx 1
dx 2
(2.31)
La expresión matricial de equilibrio se obtiene a partir del PTV de manera
idéntica a como se hizo en las ecs.(2.12)–(2.20) para el caso de un solo elemento.
Ası́, pues, puede encontrarse fácilmente
q(1) = K(1) a(1) − f (1)
donde
q(2) = K(2) a(2) − f (2)
(2.32a)
(1)
(1)
(1)
(1) 
dN1 dN1
dN1 dN2

dx
dx 
K(1) = (1) (EA)  dx(1) dx(1)
(1)
(1)  dx
x1
dN2 dN1
dN2 dN2
dx
dx
dx
dx
x(1) T (1)
2
b dx
f (1) = (1) N1(1) , N2(1)
x1
T
q(1) = X1(1) , X2(1)
(1) T
a(1) = u(1)
,
u
1
2

(2)
(2)
(2)
(2) 
(1)
dN1 dN1
dN1 dN2
x
2

dx
dx 
K(2) = (1) EA  dx(2) dx(2)
(2)
(2)  dx
x1
dN2 dN1
dN2 dN2
dx
dx
dx
dx
x(2) T (2)
2
f (2) = (2) N1(2) , N2(2)
b dx
x1
T
q(2) = X1(2) , X2(2)
(2) T
a(2) = u(2)
,
u
1
2
(2.32b)
x(1)
2
;

son, respectivamente, las matrices de rigidez , los vectores de fuerzas nodales
equivalentes, los vectores de fuerzas nodales de equilibrio y los vectores de
desplazamientos nodales de los elementos 1 y 2.
Para calcular las integrales que aparecen en las expresiones anteriores conviene
tener en cuenta las equivalencias entre la definición local y global de las variables
que se ha resumido en la Tabla 2.2.
2.11
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
nodos
Elementos
1
2
Tabla 2.2
coordenadas
local
global
local
1
1
x1
2
2
x2
1
2
x1
2
3
x2
desplazamiento
global
(1)
(1)
(2)
(2)
local
global
(1)
x1
u1
x2
u2
x2
u1
x3
u2
u1
(1)
u2
(2)
u2
(2)
u3
Parámetros locales y globales en el ejemplo de la Figura 2.4.
Sustituyendo las ecs.(2.30) en (2.32) y utilizando la Tabla 2.2, es fácil obtener,
si las propiedades del elemento y la carga repartida son constantes dentro de cada
elemento,
K(1)
f (1)
!
=
"
EA (1)
1
−1
l
−1
1
K(2)
(bl)(1)
[ 1, 1 ]T
=
2
f (2)
!
=
"
EA (2)
1 −1
−1
1
l
(bl)(2)
[ 1, 1 ]T
=
2
(2.33)
La expresión (2.24) del equilibrio de fuerzas nodales se escribe ahora en forma
desarrollada como (ver Figura 2.4)
(1)
Nodo 1 :
X1
Nodo 2 :
X2
Nodo 3 :
X2
= R1
(1)
(2)
+ X1
(2)
(2.34)
= 0
= P
Finalmente, sustituyendo (2.32) en (2.34), y una vez ordenada ésta
adecuadamente, se puede escribir en forma matricial
 # $(1)
EA
l
 # EA
$(1)
−
l

0
# EA $(1)
# $−(1) l # $(2) EA
+ EA
l
l
# EA $(2)
− l

0
# $(2) 

− EA
l

# EA $(2)
u1
u2
u3


=
l

bl
4
bl
4

+ R1 
bl
2
+P

Ka = f
(2.35)
(2.36)
De lo anterior se deduce que la matriz de rigidez global K puede obtenerse
calculando primeramente la de cada elemento por separado como

K(e) =
(e)
 K11
(e)
K21

(e)
K12 
(e)
K22
=

x(e)
2
(e)
(e)
dN1 dN1
 dx
(e)
dx

(e) (EA)
(e)
(e)
x1
dN2 dN1
dx
dx
2.12
(e)
(e) 
dN1 dN2
dx
dx 
(e)
(e) 
dN2 dN2
dx
dx
dx =
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
!
=
"
EA (e)
1
−1
l
−1
1
(2.37)
y ensamblando seguidamente las matrices individuales de todos los elementos
siguiendo precisamente las mismas reglas del Capı́tulo 1 para las estructuras de
barras.
El mismo proceso es aplicable al vector de fuerzas nodales equivalentes.
Por tanto, si sobre los elementos actuan fuerzas uniformemente repartidas, el
ensamblaje del vector f puede efectuarse a partir del vector de fuerzas nodales
equivalentes de los diferentes elementos dado por
f (e)
=


 f (e) 
1
 (e) 
f2
=


x(e)  (e) 
N1
2
(e) 
(e)
x1
N2 
%
b(e)
dx =
bl
2
&(e) 1
1
(2.38)
(1)
EA (2) = 2EA y resolviendo el sistema con u = 0
=
Sustituyendo EA
1
l
l
l
se encuentra
u1 = 0
;
%
l
u2 =
2EA
l
(2P + bl)
u3 =
2EA
;
3bl
P+
4
&
(2.39)
R1 = −(P + bl)
La deformación y el esfuerzo axil en cada elemento se obtienen por
Elemento 1
!
"(1)
P + 3bl
u2
4
= (1) =
ε =
EA
l
3bl
N (1) = (EA)(1) ε(1) = P +
4
(1)
du
dx
Elemento 2
!
"(2)
u3 − u2
1
ε =
=
=
EA
l(2)
bl
+P
N (2) = (EA)(2)ε(2) =
4
(2)
du
dx
!
bl
+P
4
"
(2.40)
En la Figura 2.3 se ha representado la variación del desplazamiento u y del
esfuerzo axil en cada elemento. Obsérvese que, de nuevo, los desplazamientos
nodales coinciden con los valores exactos. Asimismo se puede observar la mejor
aproximación del campo de desplazamientos a lo largo de la barra. Por otra
parte, vemos que mejora también la aproximación del esfuerzo axil, aunque el
error cometido es aún importante y su disminución exigirı́a una discretización
más tupida. De ello se deduce una conclusión general de gran interés práctico:
los errores en la aproximación de los campos de deformaciones y tensiones son
siempre mayores que el error en los desplazamientos. Esta afirmación tiene una
explicación intuitiva, ya que al obtenerse las deformaciones y tensiones a partir de
las derivadas del campo de desplazamientos (aproximado), es lógico que el error
en aquéllas sea mayor.
2.13
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
2.5
GENERALIZACIÓN DE LA SOLUCIÓN
ELEMENTOS DE DOS NODOS
CON
VARIOS
El proceso de solución explicado en los apartados anteriores puede generalizarse
fácilmente para el caso de que se utilice una discretización con n elementos de dos
nodos. La matriz de rigidez y el vector de fuerzas de cada elemento se obtienen
por
K(e) =

x(e)
2
(e)
(e)
(e) 
dN1 dN2
dx
dx 
(e)
(e) 
dN2 dN2
dx
dx
(e)
dN1 dN1
(e)  dx
dx
(EA)

(e)
(e)
(e)
x1
dN2 dN1
dx
dx


x(e)  (e) 
N1
2
(e)
x1  N (e) 
2
f (e) =
dx
b(e) dx
(2.41)
que, tras sustituir las expresiones de las funciones de forma,
(e)
N1
(e)
N2
(e)
x −x
= 2 (e)
l
(e)
;
dN1
dx
;
dN2
dx
(e)
x − x1
=
l(e)
1
= − (e)
l
(e)
=
(2.42)
1
l(e)
se convierte (para propiedades geométricas, mecánicas y de carga constantes) en
!
"
(bl)(e) 1
EA (e)
1 −1
(e)
(e)
=
; f
=
(2.43)
K
−1
1
1
l
2
El proceso de ensamblaje conduce, tras operar, a la ecuación matricial global


(bl)(1)

+ P1



2


u1 


(bl)(2)
(bl)(1)







+ 2 + P2




u
2
2




(2)
(3)




(bl)
(bl)
...
0 




u3 



+
+
P
3




2
2
..
.. 
.

=
.
..
...
. 




 .. 

. 
..


..  




. 
...




(
.









(n−1)
(n)
(n)
(n−1)
(n)
u
n−1
(bl)
(bl)



k
+k
−k


+
+ Pn−1 


2
2
u
n


(n)
(n)
(n)
−k
k
)
*+
,
(bl)
+
P
,
n
2
a
)
*+
,
 k(1)
−k(1) (
0
' (1)
−k(1)
k + k(2)
−k(2)

'
(
 0
−k(2)
k(2) + k(3)


 0
0
−k(3)

 ..
.
..
..
 .
.
'

)
0
0
...
0
0
...
*+
K
...
...
0
0
f
con
k=
EA
l
(2.44)
donde K es función únicamente de la longitud, del módulo de elasticidad y
del área de la sección transversal de los diferentes elementos individuales, y
f del valor de la fuerza repartida b(e) actuando sobre cada elemento, de su
longitud y de las fuerzas puntuales Pi que actúen en los diversos nodos de la
malla.
2.14
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
Dichas fuerzas pueden ser reacciones incógnitas que deberán calcularse
en el proceso de solución de (2.44), siguiendo procedimientos generales de
cálculo matricial de estructuras de barras [L2], [T6].
2.6
FORMULACIÓN MATRICIAL DE LAS ECUACIONES
DEL ELEMENTO
El método que hemos seguido para obtener las expresiones de la matriz de
rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes de la barra en los apartados
anteriores es muy útil para explicar los conceptos básicos de discretización
a nivel preliminar, pero poco práctico para el estudio de problemas más
complejos en donde interviene más de una variable de desplazamientos
o deformaciones. En todos estos casos es indispensable el uso de una
formulación matricial que permita agrupar variables y operaciones de forma
compacta. Adicionalmente, la formulación matricial permite desarrollar
una metodologı́a de cálculo muy sistemática que se repite invariablemente
para todos los problemas de análisis de estructuras por elementos finitos.
Presentaremos seguidamente las ideas fundamentales en las que se basa dicha
formulación.
En apartados anteriores hemos considerado más didáctico distinguir
siempre con el ı́ndice e todas las variables asociadas a un elemento aislado.
No obstante, puesto que generalmente todas las expresiones que
utilizaremos se referirán a un solo elemento, prescindiremos de aquı́ en
adelante, para mayor simplicidad, de distinguir con el ı́ndice “e” a las
variables asociadas con un elemento, manteniéndolo solamente en algunas
variables muy significativas, tales como las dimensiones del elemento
(l(e) , A(e) y V (e) ); los vectores de desplazamientos, coordenadas y fuerzas
nodales (a(e) , x(e) y f (e) ); la matriz de rigidez del elemento K(e) , y alguna
otra variable elemental relevante. Todas las demás variables y vectores
deberán también interpretarse, a menos que se indique lo contrario, como
pertenecientes a un solo elemento aislado.
2.6.1 Matriz de funciones de forma
Consideremos un elemento de dos nodos perteneciente a una barra que
trabaja a esfuerzo axil, similar a uno cualquiera de los considerados en los
apartados anteriores. Dentro del elemento el desplazamiento u se expresa,
tal y como ya hemos visto, por
u = N1 u1 + N2 u2
(2.45)
La expresión anterior puede escribirse en forma matricial como
u = {u} = [N1 , N2 ]
2.15
u1
u2
= N a(e)
(2.46)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
donde
N = [N1, N2 ]
;
a(e)
=
u1
u2
(2.47)
son la matriz de funciones de forma y el vector de desplazamientos nodales
del elemento, respectivamente. Este último vector ya habı́a aparecido con
anterioridad. [Obsérvese que, de acuerdo con el nuevo criterio adoptado,
hemos prescindido en (2.45)–(2.47) del ı́ndice e que hasta ahora caracterizaba
las funciones de forma y los desplazamientos nodales del elemento].
2.6.2 Matriz de deformación
El vector de deformaciones se puede escribir como
dN2
dN2
dN
dN
ε = {ε} = { 1 u1 +
u2 } = [ 1 ,
]
dx
dx
dx
dx
u1
u2
= B a(e) (2.48)
donde
B = [
dN1 dN2
,
]
dx
dx
(2.49)
es la matriz de deformación del elemento.
2.6.3 Matriz constitutiva
El vector de tensiones se expresa por
σ = [N ] = (EA) ε = [EA] ε = DBa(e)
(2.50)
D = [EA]
(2.51)
donde
es la matriz de propiedades mecánicas o matriz constitutiva.
σ y D tienen una sola componente.
En el problema que consideramos ε,σ
σ
En general, el vector tendrá t componentes y, por tanto, si n es el número
de variables nodales y d los grados de libertad de cada nodo, las dimensiones
de las matrices y vectores que intervienen en la ecuación constitutiva son
σ
= D ·
B
·
a(e)
t×1
t × t [t × (n × d)] [(n × d) × 1]
2.16
(2.52)
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
2.6.4 Expresión del Principio de los Trabajos Virtuales
El PTV para un elemento aislado se escribe en forma matricial como
l
δεεT σ dx =
(e)
T
l(e)
δuT b dx + [δa(e) ] q(e)
(2.53)
El carácter unidimensional del problema que consideramos puede quizás
oscurecer las razones de la utilización de la traspuesta de vectores en la
expresión anterior. Esto es necesario ya que los integrandos del PTV son
escalares (expresan el trabajo de las fuerzas externas e internas) que se
obtienen como producto de un vector fila por otro columna.
2.6.5 Matriz de rigidez y vector de fuerzas nodales equivalentes
De (2.45) y (2.52) se deduce
T
[δu]T = [δa(e) ] NT
T
[δεε]
T
[δa(e) ]
=
(2.54)
T
B
Por consiguiente, sustituyendo (2.48), (2.50) y (2.54) en la expresión de
los trabajos virtuales del elemento se obtiene
l(e)
T
[δa(e)]
T
B DB
a(e)
dx −
T
l(e)
[δa(e)] NT b dx = [δa(e) ]T q(e) (2.55)
donde b = {b} es el vector de fuerzas repartidas actuando en el elemento.
Sacando factor común el vector de desplazamientos virtuales se obtiene
T
[δa(e)]
T
l(e)
B D B dx
a(e)
−
T
l(e)
N b dx −
q(e)
= 0
(2.56)
Como el cumplimiento de la ecuación anterior para cualquier desplazamiento
T
virtual arbitrario obliga a que el corchete que multiplica a [δa(e) ] sea nulo,
se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas de equilibrio del
elemento
l(e)
T
B D B dx
a(e)
−
l(e)
NT b dx = q(e)
(2.57)
o
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
donde
K(e) =
f (e)
=
(e)
l
l(e)
BT D B dx
T
N b dx
2.17
(2.58)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
son, respectivamente, la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales
equivalentes debido a cargas repartidas del elemento, que se obtienen a partir
de las matrices de funciones de forma, de deformación y constitutiva de cada
elemento.
Hay que destacar que el proceso anterior de obtención de la matriz K(e)
y el vector f (e) es totalmente general .
La forma explı́cita de K(e) y f (e) para el elemento de barra de dos nodos
puede encontrarse de nuevo sin más que sustituir en (2.58) las matrices
adecuadas. Ası́, en este caso,
x
− x x − x1 ,
l(e)
l(e)
dN dN 1
1 1
2
B = [B1 , B2 ] =
= − (e) , (e)
,
dx dx
l
l
N = [N1, N2 ] = [N1 , N2 ]
=
D = [EA]
2
(2.59)
b = {b}
y
y sustituyendo en (2.58)
K
(e)
=
1
− l(e)
1
l(e)
l(e)
f (e) =
l(e)
1
EA (e) 1 1 −1
(EA) − (e) , (e) dx =
−1
1
l
l
l
(2.60)
(e)
b
(bl)(e)
1
x2 − x
dx =
1
x − x1
l
2
expresiones que, obviamente, coinciden con las (2.43) deducidas por
procedimientos no matriciales.
Finalmente apuntaremos que la obtención de la matriz de rigidez y el
vector de fuerzas nodales equivalentes suele hacerse en la práctica a partir
de las submatrices y subvectores correspondientes.
La forma de operar es muy sencilla si se desarrollan las ecs.(2.58) como
K(e) =
l(e)
f (e) =
l(e)
T
B1
BT2
D [B1, B2 ] dx =
NT1
NT2

b dx =
l(e)
T
l(e)
NT1 b
NT2 b
 B1 DB1
.........
BT2 DB1
..
.
...
..
.

T
B1 DB2 
. . . . . . . . .  dx
BT2 DB2
(2.61)
dx
(e)
De (2.61) puede definirse la matriz Kij que relaciona los nodos i y j del
elemento como
(e)
Kij
d.d
=
l(e)
BTi
D
Bj dx
(d × t) (t × t) (t × d)
2.18
;
i, j = 1, 2
(2.62)
ELEMENTOS FINITOS DE BARRA
y el vector de fuerzas nodales equivalentes del nodo i del elemento como
(e)
fi
=
l(e)
(d × 1)
NTi
b dx
(d × d) (d × 1)
i = 1, 2
(2.63)
Para el caso particular del elemento de dos nodos (d = t = 1) se tiene
(e)
Kij
=
l(e)
EA (e)
dNj
dNi
i+j
EA
dx = (−1)
dx
dx
l
(2.64)
(e)
fi
=
l(e)
Ni b dx =
(bl)(e)
2
a partir de las que pueden obtenerse las expresiones de K(e) y f (e) .
Todo este planteamiento puede resultar de poca relevancia para el caso del
elemento de barra de dos nodos, puesto que las operaciones a efectuar son,
de cualquier manera, muy sencillas. No obstante, esta técnica de obtener
las matrices y vectores del elemento es la más indicada en la práctica,
obteniéndose una mejor organización general del cálculo.
2.7 RESUMEN DE LAS ETAPAS DEL ANÁLISIS DE UNA ESTRUCTURA POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Resumiremos las etapas esenciales que deben seguirse en el análisis de una
estructura por el método de los elementos finitos haciendo referencia a las
expresiones matriciales obtenidas en el apartado anterior:
1.
2.
Dividir la estructura en una malla de elementos finitos.
Para cada elemento calcular la matriz de rigidez y el vector de fuerzas
nodales equivalentes. Para el problema de la barra a tracción:
K(e) =
l
BT DB dx
(e)
f (e) =
3.
l
NT b dx
(e)
(e)
:
Kij
;
fi
(e)
=
l(e)
=
l(e)
BTi DBj dx
NTi b dx
(2.65)
Ensamblar las matrices de rigidez y los vectores de fuerzas nodales
equivalentes de los distintos elementos en la matriz de rigidez y el vector
de fuerzas de toda la estructura, respectivamente:
Ka = f
K=
IE K(e)
e
;
2.19
f=
IE f (e)
e
(2.66)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
4.
donde el sı́mbolo IE indica ensamblaje de las diversas matrices y vectores
e
elementales.
Una vez impuestas las condiciones de contorno, calcular los desplazamientos nodales resolviendo el sistema de ecuaciones de la discretización. En los nodos con movimientos prescritos calcular las reacciones
correspondientes:
a = K−1f
5.
(2.67)
Calcular para cada elemento otras magnitudes de interés, tales como
deformaciones, tensiones o esfuerzos:
ε(e) = B(e) a(e)
;
σ (e) = D(e) B(e) a(e)
(2.68)
En temas posteriores se detallará la obtención de las matrices y vectores
que intervienen en cada una de las etapas anteriores para diferentes tipologı́as
estructurales.
2.20
CAPÍTULO 3
ELEMENTOS DE BARRA
MÁS AVANZADOS
3.1
INTRODUCCIÓN
El sencillo problema de modelar el comportamiento de una barra bajo fuerzas
axiles mediante elementos unidimensionales de dos nodos con aproximación lineal
del desplazamiento estudiado en el capı́tulo anterior es sumamente instructivo
porque, en esencia, resume las etapas básicas a seguir en el análisis de toda
estructura por el método de los elementos finitos.
La aproximación lineal es la más sencilla que puede utilizarse en el MEF y,
obviamente, se consigue una mayor precisión haciendo uso de aproximaciones de
mayor orden (cuadráticas, cúbicas, etc.). La metodologı́a de obtención de las
matrices y vectores del elemento en estos casos es muy similar (si no idéntica) al de
la aproximación lineal. No obstante, las integrales que resultan en dichas matrices
y vectores son más difı́ciles de calcular que en el caso lineal y, por ello, hay que
hacer uso de conceptos tales como la interpolación paramétrica de la geometrı́a del
elemento y la integración numérica. En este capı́tulo introduciremos el concepto
de aproximación de mayor orden del campo de desplazamientos y describiremos
todo el proceso de cálculo de las matrices y vectores del elemento, utilizando de
nuevo el sencillo elemento de barra a tracción. Pese a la sencillez del problema, la
metodologı́a a seguir y las conclusiones son totalmente generales y extrapolables
a los problemas bi y tridimensionales más complejos que se estudian en capı́tulos
posteriores.
La organización del capı́tulo esquemáticamente es la siguiente: en primer
lugar, se presenta la obtención general de funciones de forma de los elementos
unidimensionales válidos para el problema de la barra a tracción. Dichas
funciones de forma serán de gran utilidad para obtener las de elementos más
complejos en dos y tres dimensiones. A continuación se tratan los conceptos
de elemento isoparamétrico e integración numérica, ambos esenciales para el
desarrollo de elementos finitos de órdenes superiores. También se dan unas pautas
generales sobre la selección del tipo de elemento y se describe de forma sucinta
la organización de un programa de ordenador para cálculo de estructuras por el
MEF.
3.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
3.2
ELEMENTOS
UNIDIMENSIONALES
ELEMENTOS LAGRANGIANOS
DE
CLASE
C0 .
En el capı́tulo precedente hemos introducido los conceptos básicos del método
de los elementos finitos utilizando sencillos elementos unidimensionales de dos
nodos. Las funciones de forma de dichos elementos eran, como vimos, polinomios
de primer grado. Evidentemente, dicha interpolación polinómica garantiza que
el desplazamiento axial es continuo dentro del elemento y entre elementos. Los
elementos que satisfacen dichos requisitos de continuidad se denominan de clase
Co . Adicionalmente podrı́amos exigir que el elemento tuviera también continua la
primera derivada del desplazamiento axial, en cuyo caso se denomina de clase C1 .
En general, se dice que un elemento es de clase Cm si su campo de desplazamientos
tiene continuas las m primeras derivadas. La necesidad de un tipo de continuidad
u otro en la aproximación del MEF viene definida por el orden de las derivadas
de los desplazamientos en las integrales del PTV. Ası́, en general, se exige una
continuidad de una clase menor que el de mayor orden de dichas derivadas. Por
ejemplo, si en el PTV aparecen derivadas de primer orden (como ocurre en el
problema de la barra a tracción y en todos los de elasticidad), se exige a la
aproximación continuidad de clase C0 . En algunas teorı́as de vigas y placas
aparecen segundas derivadas de los desplazamientos en el PTV, y por tanto, la
aproximación debe ser de continuidad de clase C1 [O3].
En este apartado estudiaremos la técnica general de obtención de las
funciones de forma de elementos unidimensionales de clase C0 con aproximaciones
polinómicas de distinto grado. Las ideas aquı́ presentadas serán muy útiles más
tarde al estudiar elementos bidimensionales en el Capı́tulo 4.
En un elemento unidimensional, la aproximación polinómica de una variable
u(x) puede escribirse en forma general como
u(x) = αo + α1 x + α2 x2 + · · ·
(3.1)
donde αo , α1 , etc., son constantes.
Tomando un polinomio de primer grado, tal como hicimos en el Apartado 2.3,
se tiene
u(x) = αo + α1 x
(3.2)
Para calcular las dos constantes αo y α1 necesitamos dos condiciones, lo que
implica necesariamente que el elemento asociado al desarrollo (3.2) debe tener dos
nodos (una condición para cada nodo). Ası́, pues, para un elemento lineal de
longitud l(e) , con el nodo 1 en x = x1 y el nodo 2 en x = x2 (Figura 3.1), se tiene
u(x1) = u1 = αo + α1 x1
u(x2) = u2 = αo + α1 x2
(3.3)
donde u1 y u2 , son los valores del desplazamiento axial en los nodos. Despejando
αo y α1 y sustituyendo en (3.1), se obtiene
u(x) = N1 (x)u1 + N2 (x)u2
3.2
(3.4)
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
Figura 3.1
Definición del sistema de coordenadas natural ξ. Geometrı́as real y
normalizada del elemento.
donde
N1 (x) =
(x2 − x)
l(e)
;
N2 (x) =
(x − x1 )
l(e)
(3.5)
expresión que naturalmente coincide con la (2.12) del capı́tulo anterior.
Para obtener las funciones de forma de elementos unidimensionales de clase
Co se puede hacer uso de las propiedades de los polinomios de Lagrange. Dichos
polinomios toman un determinado valor en un punto y cero en un conjunto de
puntos prefijados [R2]. Por consiguiente, normalizando dicho valor a la unidad
y haciendo coincidir los puntos con la posición de los nodos, las funciones de
forma coinciden precisamente con los polinomios de Lagrange, por lo que a estos
elementos se les denomina Lagrangianos.
La función de forma del nodo i de un elemento Lagrangiano unidimensional de
n nodos se obtiene directamente por la expresión general
Ni (x) =
(x − x1)(x − x2) · · · (x − xi−1)(x − xi+1 ) · · · (x − xn )
(xi − x1)(xi − x2) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn )
o, más sencillamente, por
Ni (x) =
x − xj xi − xj
j=1(j=i)
n
(3.6a)
(3.6b)
Ası́, por ejemplo, para un elemento de dos nodos se encuentra de nuevo
N1 =
x − x2
x −x
= 2(e)
x1 − x2
l
,
N2 =
x − x1
x − x1
=
x2 − x1
l(e)
(3.7)
Por conveniencia introduciremos el sistema de coordenadas natural o normalizado
basado en la variable ξ que se define como (Figura 3.1)
ξ = 2
x − xc
l(e)
3.3
(3.8)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
siendo xc la coordenada del centro del elemento, de manera que
ξ = −1 en el extremo izquierdo del elemento
ξ = 0 en el punto central del elemento
ξ = 1 en el extremo derecho del elemento
La ec.(3.8) transforma la geometrı́a real del elemento en una geometrı́a
normalizada en la que la longitud del elemento es 2. Podemos ahora expresar
las funciones de forma en esta nueva geometrı́a e independizar ası́ la obtención de
las mismas de la geometrı́a real del elemento, lo cual es de gran interés práctico.
Por analogı́a con (3.6) la expresión general de Ni (ξ) puede escribirse ahora como
Ni (ξ) =
ξ − ξj
)
ξ
−
ξ
i
j
j=1(j=i)
n
(
(3.9)
Por tanto, para un elemento Lagrangiano de dos nodos con ξ1 = −1 y ξ2 = +1,
se deduce
ξ − ξ2
1
(1 − ξ)
=
ξ1 − ξ2
2
ξ − ξ1
1
N2 =
(1 + ξ)
=
ξ2 − ξ1
2
N1 =
(3.10)
Es inmediato ver que sustituyendo en (3.10) el valor de ξ de (3.8) se recupera la
expresión cartesiana de las funciones de forma (3.7). Para un elemento cuadrático
de tres nodos con ξ1 = −1, ξ2 = 0, ξ3 = +1 (Figura 3.2) las funciones de forma se
obtienen por
1
(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )
= ξ(ξ − 1)
(ξ1 − ξ2 )(ξ1 − ξ3 )
2
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ3 )
= (1 + ξ)(1 − ξ)
N2 =
(ξ2 − ξ1 )(ξ2 − ξ3 )
1
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )
= ξ(1 + ξ)
N3 =
(ξ3 − ξ1 )(ξ3 − ξ2 )
2
N1 =
(3.11)
Finalmente, para un elemento cúbico de cuatro nodos 1, 2, 3 y 4 con ξ1 = −1,
ξ2 = −1/3, ξ3 = 1/3 y ξ4 = 1 (Figura 3.2), las funciones de forma son
(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 )
(ξ1 − ξ2 )(ξ1 − ξ3 )(ξ1 − ξ4 )
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 )
N2 =
(ξ2 − ξ1 )(ξ2 − ξ3 )(ξ2 − ξ4 )
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ4 )
N3 =
(ξ3 − ξ1 )(ξ3 − ξ2 )(ξ3 − ξ4 )
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )
N4 =
(ξ4 − ξ1 )(ξ4 − ξ2 )(ξ4 − ξ3 )
N1 =
9
1
1
(ξ + )(ξ − )(ξ − 1)
16
3
3
27
1
=
(ξ + 1)(ξ − )(ξ − 1)
16
3
27
1
= − (ξ + 1)(ξ + )(ξ − 1)
16
3
9
1
1
=
(ξ + 1)(ξ + )(ξ − )
16
3
3
= −
3.4
(3.12)
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
Figura 3.2
Elementos unidimensionales cuadrático y cúbico de clase Co .
La expresión cartesiana de las funciones de forma anteriores se obtiene
inmediatamente haciendo uso de la transformación (3.8). No obstante, esta
operación no es necesaria y de hecho es de poco interés práctico.
Proponemos al lector que, haciendo uso de la ec.(3.9), obtenga por sı́ mismo
la expresión de las funciones de forma de otros elementos unidimensionales
Lagrangianos de órdenes superiores. Finalmente, señalamos que la obtención de
las funciones de forma de elementos unidimensionales de clase C1 se estudiará en
el Capı́tulo 7.
3.3
3.3.1
FORMULACIÓN ISOPARAMÉTRICA E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Introducción
Una vez estudiada la obtención general de las funciones de forma de los
elementos unidimensionales de clase Co más usuales, es el momento oportuno
de introducir dos importantes conceptos sin los cuales es prácticamente imposible
que el método de los elementos finitos se hubiese desarrollado hasta los niveles en
que hoy se encuentra.
El primer concepto es el de formulación paramétrica. La idea es interpolar
la geometrı́a del elemento a partir de las coordenadas de una serie de puntos
3.5
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
conocidos. Dicha interpolación es esencial para poder encontrar una relación
general entre las coordenadas naturales y las cartesianas.
El segundo concepto es el de integración numérica. En la mayor parte de los
casos prácticos el cálculo analı́tico de las integrales del elemento es inabordable
y la integración numérica es la única opción para evaluarlas de forma precisa y
sencilla.
Seguidamente desarrollaremos las técnicas anteriores en su aplicación a
elementos unidimensionales de clase Co . Advertimos que sus ventajas no se
apreciarán totalmente hasta que no estudiemos problemas más complicados en
los que intervengan elementos bi o tridimensionales.
3.3.2
Concepto de interpolación paramétrica
Recordemos que para un elemento de barra lineal de dos nodos el
desplazamiento axial en un punto del elemento se expresa por
u(ξ) = N1 (ξ)u1 + N2 (ξ)u2
(3.13)
Obsérvese que hemos adoptado la expresión normalizada de las funciones de
forma. Salvo en contadas excepciones ésta será la manera usual de proceder.
Por otra parte, la deformación ε se obtiene como
ε =
dN1 (ξ)
du
dN2 (ξ)
=
u1 +
u2
dx
dx
dx
(3.14)
Por tanto, para el cálculo de la deformación necesitamos conocer la derivada
de Ni con respecto a la coordenada cartesiana x. Este cálculo es inmediato si las
funciones de forma se expresan en función de x. No obstante, como hemos indicado,
en general esto no será ası́ debido a la utilización del sistema de coordenadas
naturales.
Ası́, pues, la evaluación de dichas derivadas implica las operaciones siguientes:
dN1 (ξ)
dN1 (ξ)
=
dx
dξ
dN2 (ξ)
dN2 (ξ)
=
dx
dξ
dξ
d 1 − ξ =
dx
dξ
2
d 1 + ξ
dξ
=
dx
dξ
2
dξ
1 dξ
= −
dx
2 dx
1 dξ
dξ
=
dx
2 dx
(3.15)
con lo que la expresión de la deformación (3.14) se escribe como
ε = −
1 dξ 1 dξ u1 +
u2
2 dx
2 dx
(3.16)
dξ
, lo que exige conocer una
Para completar el cálculo de ε hay que evaluar dx
relación explı́cita entre x y ξ.
Dicha relación puede obtenerse mediante una interpolación paramétrica de la
geometrı́a del elemento. Ası́, si se conocen las coordenadas x1, x2,. . ., xm de m
puntos cualesquiera del elemento, se puede calcular la coordenada de cualquier
3.6
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
punto del mismo interpolando los valores de las coordenadas conocidas. Dicha
interpolación puede escribirse en la forma
x = N̂1 (ξ)x1 + N̂2 (ξ)x2 + · · · + N̂m (ξ)xm
(3.17)
Se deduce de (3.17) que N̂i (ξ) son funciones de interpolación de geometrı́a
que satisfacen los mismos requisitos que las funciones de forma utilizadas para
interpolar el campo de desplazamientos, es decir, N̂i (ξ) debe tomar el valor unidad
en el punto i y cero en el resto de los m − 1 puntos. Por tanto, las funciones N̂i (ξ)
se obtienen por (3.9) en base al número de puntos escogido para la interpolación
de la geometrı́a.
Obsérvese que (3.17) proporciona directamente la relación entre las coordenadas
x y ξ buscada. Dicha ecuación puede también interpretarse como la transformación
de coordenadas ξ → x de manera que a cada punto del espacio normalizado
[-1,1] le corresponde otro del espacio cartesiano [x1, x2]. Es fundamental que
dicha transformación sea biunı́voca, lo que en general depende de la geometrı́a
del elemento. En el Capı́tulo 5 volveremos a tratar este tema.
Vemos, pues, que en un elemento hay que considerar dos clases de puntos. Los
que se utilizan para interpolar el campo de desplazamientos (nodos), que definen
las funciones de forma Ni , y los que se utilizan para interpolar la geometrı́a del
elemento, que definen las funciones de interpolación de la geometrı́a N̂i . Dichos
puntos pueden ser o no coincidentes según las caracterı́sticas del problema. Es
decir, geometrı́as complejas pueden requerir utilizar polinomios de alto grado para
aproximarlas razonablemente, mientras que en el caso de que la geometrı́a sea
sencilla, puede bastar con una sencilla interpolación geométrica lineal, todo ello
independientemente de la interpolación utilizada para los desplazamientos.
Según lo anterior, si m es mayor que el número de nodos del elemento, las
funciones de geometrı́a N̂i serán polinomios de mayor grado que las funciones de
forma Ni utilizadas para interpolar los desplazamientos, y la formulación recibe
entonces el nombre de superparamétrica. Si m coincide con el número de nodos
Ni ≡ N̂i la formulación se denomina isoparamétrica. En el caso de que el número
de puntos de geometrı́a m sea menor que el de nodos se dice que la formulación es
subparamétrica.
En la práctica es usual utilizar la formulación isoparamétrica. No obstante,
conviene tener claros los conceptos anteriores ya que en determinadas situaciones
de geometrı́a excesivamente compleja (o sencilla) puede interesar hacer uso de las
otras dos opciones.
La idea de interpolar los desplazamientos y las coordenadas del elemento con
las mismas funciones de forma es original de Taig [T1,2], quien la utilizó para
desarrollar elementos cuadriláteros de cuatro nodos. Posteriormente, Irons [I1,2]
extendió estas ideas para obtener elementos de órdenes superiores. En el Capı́tulo 4
se volverá a tratar ampliamente este tema.
3.7
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
3.3.3
Formulación isoparamétrica del elemento de barra lineal
Expresaremos la geometrı́a del elemento en función de las coordenadas de los
dos nodos como
x(ξ) = N1 (ξ)x1 + N2 (ξ)x2
(3.18)
donde N1 y N2 son precisamente las mismas funciones de forma lineales utilizadas
para describir el campo de desplazamientos.
La ec.(3.18) proporciona automáticamente dx
dξ como
dN1
dx
dN2
1
1
l(e)
=
x1 +
x2 = − x1 + x2 =
dξ
dξ
dξ
2
2
2
(3.19)
con lo que
dx =
l(e)
dξ
2
y
dξ
2
= (e)
dx
l
(3.20)
Sustituyendo (3.20) en (3.15) se deduce
2
dN1
= (e)
dx
l
2
dN2
= (e)
dx
l
dN1
1
= − (e)
dξ
l
1
dN2
=
(e)
dξ
l
(3.21)
y, por consiguiente
B =
1
1 − (e) , (e)
l
l
(3.22)
Resultado que, por otra parte, ya conocı́amos. Hay que resaltar que en este caso
particular pueden obtenerse las ecs.(3.20) de una manera más sencilla a partir de
(3.8). No obstante, hemos preferido seguir aquı́ un procedimiento más sistemático
que facilitará la comprensión del desarrollo de elementos isoparamétricos más
complejos.
La matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes de la ec.(2.58)
se pueden expresar ahora en el sistema normalizado haciendo uso de (3.20) como
K(e)
=
f (e) =
+1
−1
+1
BT (EA) B
l(e)
dξ
2
l(e)
dξ
NT b
2
−1
(3.23)
Si las propiedades del material y la carga repartida son constantes en todo
el elemento las integrales anteriores son inmediatas, obteniéndose las expresiones
(2.64) del capı́tulo anterior.
3.8
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
3.3.4
Formulación isoparamétrica del elemento de barra
cuadrático
Estudiaremos ahora el elemento de barra de tres nodos de la Figura 3.2 con
funciones de forma polinómicas de segundo grado. El desplazamiento axial se
expresa por
u = N1 (ξ)u1 + N2 (ξ)u2 + N3 (ξ)u3
(3.24)
La ecuación de las funciones de forma N1 (ξ), N2 (ξ) y N3 (ξ) puede verse en
(3.11).
En la formulación isoparamétrica la coordenada x de un punto cualquiera del
elemento se escribe como
x = N1 (ξ)x1 + N2 (ξ)x2 + N3 (ξ)x3
(3.25)
donde las funciones Ni coinciden con las utilizadas en (3.24).
La deformación en un punto del elemento se obtiene por
ε =
3
du
dNi
=
ui =
dx
i=1 dx
dN
1
dξ dN2 dξ dN3 dξ
,
,
]
dξ dx
dξ dx
dξ dx



 u1 

u
2



u3 
= B a(e)
(3.26)
Por otra parte, de (3.11) se deduce
1
dN2
dN3
1
dN1
= ξ−
;
= −2ξ ;
=ξ+
dξ
2
dξ
dξ
2
(3.27)
con lo que la matriz de deformación B viene dada por
B =
dξ dx
1 1
(ξ − ), −2ξ, (ξ + )
2
2
(3.28)
dξ
Para obtener dx
hacemos uso de (3.25). Derivando dicha expresión se obtiene
dN2
dN3
1
dx
dN1
=
x1 +
x2 +
x3 = (ξ − ) x1 −
dξ
dξ
dξ
dξ
2
1
l(e)
+ ξ (x1 + x3 − 2x2)
− 2ξx2 + (ξ + ) x3 =
2
2
(3.29)
y
dξ
2
=
(e)
dx
l + 2ξ(x1 + x3 − 2x2)
(3.30)
La ec.(3.30) proporciona la relación entre dx y dξ en función de las coordenadas
de los tres nodos del elemento. Es interesante advertir que en el caso (por otra
3.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
parte usual) de que el nodo intermedio esté situado en el centro del elemento, se
tiene
dξ
2
=
(e)
dx
l
(3.31)
y, por consiguiente
dx
l(e)
=
dξ
2
y
dx =
l(e)
dξ
2
(3.32)
En este caso, la matriz de deformación B de (3.28) es
B =
2 1 1
),
−2ξ,
(ξ
+
)
(ξ
−
2
2
l(e)
(3.33)
La expresión de B para una posición arbitraria del nodo intermedio se deduce
sustituyendo (3.30) en (3.28).
La matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales del elemento se obtienen
haciendo uso del PTV de forma idéntica a lo explicado en el Capı́tulo 2 para el
elemento de dos nodos. Ası́, puede encontrarse fácilmente que la matriz de rigidez
del elemento tiene de nuevo la forma general
K(e) =
l(e)
BT (EA) B dx
(3.34)
Sustituyendo las expresiones de dx y B en función de la coordenada ξ se obtiene
(para caso de que el nodo 2 esté centrado en el elemento)
K(e) =



 (ξ
− 12 ) 

1 l(e)
2
1
2
),
−2ξ,
(ξ
+
)]
dξ
−2ξ
(EA)
[(ξ
−
(e)

2
2
2
−1 l(e) 


1
l
(ξ + 2 )
+1
(3.35)
Si el área y el módulo de Young son constantes en todo el elemento el cálculo
de la integral es inmediato, obteniéndose
K(e) =
EA (e)
6l


14 −16
2

32 −16 

 −16
2 −16
14
(3.36)
El vector de fuerzas nodales equivalentes para una carga repartida sobre el
elemento de intensidad b se obtiene por
f (e) =
l(e)
NT b dx =
1
+1 
 2 ξ(ξ

− 1) 

l(e)
2
dξ
b
1
−
ξ

2
−1 

1
2 ξ(1 + ξ)
3.10
(3.37)
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
Si la carga b está uniformemente repartida
f (e) =
 
(e) 
1

(bl)
4
1

 

6
(3.38)
de donde se deduce que el nodo central absorbe cuatro veces más carga que los
nodos extremos, lo que no es un resultado evidente a priori y que, sin embargo, se
obtiene de forma “natural” por aplicación de los sencillos conceptos de equilibrio
del PTV.
Evidentemente, para una posición arbitraria del nodo intermedio las expresiones
de la matriz de rigidez y del vector de fuerzas nodales serı́an diferentes. De hecho,
en dicho caso los términos de la matriz B contienen funciones racionales de ξ, como
se deduce de la utilización de la ec.(3.30), y la integración directa de la matriz de
rigidez no es tan inmediata.
La formulación isoparamétrica de elementos de barra de órdenes superiores se
harı́a siguiendo exactamente los mismos pasos explicados aquı́ para los elementos
lineal y cuadrático. No obstante, resaltamos que a medida que el orden del
elemento aumenta se incrementa también la dificultad del cálculo de las integrales
del elemento. Dicha dificultad se puede sortear de una manera sencilla y elegante
haciendo uso de la integración numérica como veremos en el apartado siguiente.
3.4
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Hemos visto que pese a la gran simplicidad de los elementos de barra, el cálculo
analı́tico de las integrales del elemento puede resultar laborioso. En particular, si
se usa una formulación isoparamétrica que conduzca a expresiones racionales en
(e)
(e)
los coeficientes de Kij o fi . De hecho, en la mayor parte de los elementos
bi o tridimensionales isoparamétricos el cálculo directo de dichas integrales es
inabordable, salvo en raras excepciones, y es imprescindible hacer uso de la
integración numérica.
Entrar en detalle en todos los fundamentos matemáticos relacionados con la
integración numérica se sale de los objetivos de este curso. A efectos de simplificar
ideas presentaremos aquı́ únicamente la integración numérica de Gauss-Legendre
[R2], por ser éste el procedimiento más popular y utilizado en relación con el
método de los elementos finitos. En este apartado estudiaremos únicamente las
ideas básicas de dicha regla de integración en su aplicación unidimensional, dejando
para capı́tulos posteriores la extensión de la misma a dos y tres dimensiones.
Supongamos una función f (ξ) para la que se desea calcular la integral en el
intervalo [-1,+1], es decir
I =
+1
−1
f (ξ) dξ
(3.39)
La regla de integración o cuadratura de Gauss-Legendre expresa el valor de
dicha integral como suma de los productos de los valores del integrando en una
serie de puntos conocidos en el interior del intervalo por unos coeficientes (pesos)
3.11
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
determinados. Es decir, para una cuadratura de orden p se tiene que
Ip =
p
f (ξi )Wi
(3.40)
i=1
donde Wi es el peso correspondiente al punto de integración i, y p el número de
dichos puntos. Es interesante destacar que la cuadratura de Gauss-Legendre de
orden n integra exactamente un polinomio de grado 2n − 1 o menor [R2]. Por otra
parte, el error en el cálculo aproximado de una integral es de orden 0(2n ), donde
es la distancia entre los puntos de integración. En la Tabla 3.1 se muestran
las coordenadas ξi y los pesos Wi para las ocho primeras cuadraturas de GaussLegendre.
Obsérvese que los puntos de integración están todos expresados en el espacio
normalizado −1 ≤ ξ ≤ 1, lo que resulta de gran utilidad para el cálculo de las
matrices del elemento referidas a las coordenadas naturales. La popularidad de la
cuadratura de Gauss-Legendre se debe a que utiliza el mı́nimo número de puntos
de integración para conseguir un error determinado en el cálculo de la integral.
Por consiguiente, minimiza el número de veces que hay que calcular el valor de
la función a integrar. Evidentemente existen otras reglas de integración numérica
utilizables y el lector interesado en profundizar en este tema puede encontrar
información detallada en [R1,2] y [P7].
±ξi
n
Tabla 3.1
Wi
1
0.0
2.0
2
0.5773502692
1.0
3
0.774596697
0.0
0.5555555556
0.8888888889
4
0.8611363116
0.3399810436
0.3478548451
0.6521451549
5
0.9061798459
0.5384693101
0.0
0.2369268851
0.4786286705
0.5688888889
6
0.9324695142
0.6612093865
0.2386191861
0.1713244924
0.3607615730
0.4679139346
7
0.9491079123
0.7415311856
0.4058451514
0.0
0.1294849662
0.2797053915
0.3818300505
0.4179591837
8
0.9602898565
0.7966664774
0.5255324099
0.1834346425
0.1012285363
0.2223810345
0.3137066459
0.3626837834
Coordenadas y pesos de la cuadratura de Gauss-Legendre.
3.12
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
3.5
PUNTOS ÓPTIMOS PARA CÁLCULO DE DEFORMACIONES
Y TENSIONES
Los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre tienen la interesante propiedad
de aproximar con un orden mayor las tensiones (y deformaciones) que en cualquier
otro punto del elemento. Por consiguiente, las deformaciones y las tensiones deben
siempre evaluarse en los puntos de Gauss, y a partir de los valores allı́ obtenidos
proceder, si se desea, a la extrapolación a los nodos. Por ello dichos puntos son
óptimos para el cálculo de tensiones y deformaciones [O3].
Esta propiedad es rigurosamente cierta para elementos unidimensionales.
Asimismo, se ha comprobado que la utilización de las mismas ideas para la
integración de Gauss-Legendre en dos y tres dimensiones conduce también a
una sustancial mejora de los resultados de las tensiones y deformaciones. En
la Figura 3.3 se muestran los puntos óptimos para cálculo de tensiones y
deformaciones en algunos de los elementos uni y bidimensionales que se tratarán
en capı́tulos posteriores. La extrapolación al caso tridimensional puede efectuarse
a partir de los datos de dicha figura.
Figura 3.3
3.6
Puntos óptimos para cálculo de tensiones en algunos elementos uni y
bidimensionales.
SELECCIÓN DEL TIPO DE ELEMENTO
Una de las primeras decisiones en el cálculo de una estructura por elementos
finitos es seleccionar el elemento que se va a utilizar para el análisis. Esta es una
decisión importante y en ningún caso inmediata, puesto que, como hemos visto
para el sencillo problema de la barra bajo fuerzas axiles, existen varios tipos de
elementos utilizables todos ellos con diferentes grados de precisión.
Quizás habrı́a que comenzar diciendo que la selección de un determinado
elemento es una decisión totalmente personal del calculista que tiene que
pronunciarse en base a: 1) las caracterı́sticas propias de la estructura a analizar; 2)
3.13
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
los tipos de elementos, programas de cálculo y capacidad de ordenador disponibles;
y 3) la experiencia acumulada en la solución de estructuras similares por el método
de los elementos finitos.
No obstante estos planteamientos tan generales, existen unas mı́nimas normas
que pueden tenerse en cuenta a la hora de seleccionar un elemento finito. Dichas
normas son:
1.
En caso de que se tenga una cierta idea de la forma polinómica de la solución,
conviene utilizar elementos con funciones de forma del mismo grado que la
solución conocida. Esto no sólo favorece la obtención de la solución exacta en
los nodos, sino también garantiza que la variación de los desplazamientos en el
interior de cada elemento es la correcta. Desafortunadamente, esta situación
no ocurre en la mayor parte de los casos de interés práctico.
2.
En zonas donde se intuya que pueden existir gradientes de tensiones elevados
es más adecuado utilizar elementos de mayor orden. Por el contrario, en
zonas donde dicha variación sea más uniforme puede obtenerse una buena
aproximación con elementos menos precisos.
3.
Dadas las crecientes posibilidades de rapidez de cálculo y de capacidad de
almacenamiento de los ordenadores actuales, se recomienda utilizar elementos
finitos sencillos (pocos nodos) frente a elementos más complejos (muchos
nodos).
Es evidente que los elementos más sencillos tienen una capacidad menor
de aproximar soluciones en las que el campo de desplazamientos “exacto” sea
una función polinómica de alto grado. Por consiguiente, para obtener una
buena aproximación en dichos casos será necesario utilizar un mayor número
de elementos que si se emplearan directamente elementos de órdenes superiores.
Una representación simbólica de esta situación se describe en la Figura 3.4.
Obviamente, para representar con precisión la solución de tercer grado de dicha
figura con elementos lineales de dos nodos necesitamos un gran número de
elementos, mientras que utilizando un solo elemento cúbico de cuatro nodos la
aproximación es exacta. Sin embargo, la mayor sencillez de los elementos de
menor orden hace que el cálculo de las matrices del elemento sea más económico
que en el caso de elementos más complejos. Esto justifica la competitividad de los
primeros, aún utilizándose en mayor número, puesto que los problemas asociados
al mayor número de variables son cada vez menos importantes, dado el creciente
avance en velocidad de los computadores. La disyuntiva surge al tener que escoger
un elemento de entre dos de órdenes similares. En este caso es claramente la
experiencia del calculista la que decide, aunque, como regla práctica, en caso de
duda se recomienda utilizar siempre el elemento más sencillo.
3.14
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
Figura 3.4
3.7
Ejemplo de aproximación de una solución cúbica con diferentes tipos
de elementos finitos. Para mayor sencillez se ha supuesto que en todos
los casos la aproximación es exacta en los nodos.
ETAPAS PARA EL CÁLCULO DE LAS MATRICES Y VECTORES DE UN ELEMENTO ISOPARAMÉTRICO DE BARRA DE
n NODOS
Presentaremos las etapas necesarias para el cálculo de la matriz de rigidez
y del vector de fuerzas nodales equivalentes de un elemento unidimensional
isoparamétrico de barra de n nodos. Las etapas se han ordenado de manera que
se facilite al máximo la programación de todas las operaciones.
3.7.1
Interpolación del desplazamiento axial
El desplazamiento axial en el interior del elemento se expresa por
u = N1 u1 + N2 u2 + . . . + Nn un =




u
1





n


u2 
Ni ui = [N1 , N2 , . . . , Nn ]  ..  = N a(e)
=
 . 



i=1
3.15


un 
(3.41)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
3.7.2
Interpolación de la geometrı́a
En la formulación isoparamétrica la coordenada x de un punto del elemento se
calcula por
x = N1 x1 + N2 x2 + . . . + Nn xn =
=
3.7.3


x1 





x 
2
[N1 , N2 , . . . , Nn ]

...






xn
n
Ni xi =
i=1
(3.42)
= N x(e)
Interpolación de la deformación axial
La deformación axial se expresa en función de los desplazamientos nodales por
ε =
n dN
dN1
dN2
dNn
du
i
=
u1 +
u2 + . . . +
un =
u =
dx
dx
dx
dx
dx i
i=1
=
dN
1
dx
,
dN2
,...,
dx



u1 






dNn  u2 
.. 
dx 

. 





un 
= B a(e)
(3.43)
Por otra parte, las derivadas cartesianas de las funciones de forma se obtienen
por
dNi dξ
dNi
=
(3.44)
dx
dξ dx
De (3.42) se deduce
n dN
dx
i
=
xi = J (e)
dξ
dξ
i=1
(3.45)
Por consiguiente
dx = J (e) dξ
;
dξ
1
= (e)
dx
J
(3.46)
y
1 dNi
dNi
= (e)
dx
dξ
J
(3.47)
Sustituyendo (3.47) en la expresión de la matriz de deformación (3.43) se
obtiene
dNn 1 dN1 dN2
,
,...,
B = (e)
(3.48)
dξ dξ
dξ
J
Es interesante advertir que J (e) es la relación entre los diferenciales de
longitud de los dos sistemas de coordenadas x y ξ pudiendo interpretarse como
3.16
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
el determinante del Jacobiano de la transformación ξ → x, y que precisamente
por ser un problema unidimensional coincide con dx
dξ . En capı́tulos posteriores
veremos cómo en problemas bi y tridimensionales J(e) es una matriz 2 × 2 y 3 × 3,
respectivamente, cuyo determinante expresa la relación entre los diferenciales de
área (en 2D) y volumen (en 3D) en cada uno de los sistemas cartesiano y natural.
3.7.4
Cálculo del esfuerzo axil
El esfuerzo axil se obtiene en función de los desplazamientos por
N = (EA) ε = D B a(e)
con
3.7.5
(3.49)
D = [EA]
Matriz de rigidez del elemento
Haciendo uso del PTV en la forma explicada en el Apartado 2.6.5 se deduce la
expresión de la matriz de rigidez del elemento como
K(e)
=
l(e)
BT
D B dx =
+1
−1
BT D B J (e) dξ
(3.50)
y utilizando la expresión de B de (3.48) es fácil deducir que
(e)
Kij
=
+1
dNj
dNi
(EA)
dξ
dξ
−1 J (e) dξ
1
(3.51)
La mayor o menor sencillez de dicha integral depende de la expresión de las
(e)
funciones de forma y de J (e) (ver ec.(3.45)). En general, el cálculo de Kij se
efectúa por integración numérica con la cuadratura de Gauss-Legendre adecuada al
grado de los polinomios que intervienen en el integrando de (3.51). Ası́, utilizando
una cuadratura de orden p
(e)
Kij
3.7.6
=
p dNj dNi
(EA)
Wm
(e) dξ
dξ
J
ξ
m
m=1
1
(3.52)
Vector de fuerzas nodales equivalentes
Para una carga repartida de intensidad b(x) se obtiene
f (e)
=
l(e)
NT
b dx =
+1
−1
NT b J (e) dξ
(3.53)
De nuevo, para el cálculo de la integral anterior es útil emplear integración
numérica, pudiendo escribirse en general
(e)
fi
=
p
m=1
[Ni b J (e) ]ξm Wm
3.17
(3.54)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
3.8
ORGANIZACIÓN BÁSICA
ELEMENTOS FINITOS
DE
UN
PROGRAMA
DE
En el apartado anterior se han detallado las etapas fundamentales para el
cálculo de la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes
de un elemento finito isoparamétrico. Las etapas allı́ presentadas, aunque
particularizadas para un elemento de barra, son completamente generales y se
repetirán de manera idéntica en el estudio de otros elementos isoparamétricos en
dos y tres dimensiones, como veremos en capı́tulos sucesivos. Ası́, pues, dichas
etapas resumen las operaciones que deben programarse en ordenador para la
utilización práctica de elementos isoparamétricos. Por tanto, es interesante dar
aquı́ unas pinceladas de la estructura básica de un programa de elementos finitos,
ya que, en definitiva, disponemos de todos los ingredientes necesarios para ello.
En la Figura 3.5 se muestra el diagrama de flujo principal de un programa
de elementos finitos. La primera subrutina es la lectura de datos geométricos
y mecánicos del programa a analizar (subrutina DATOS). Tras ello se calcula
para cada elemento la matriz de rigidez (subrutina RIGIDEZ) y el vector de
fuerzas nodales equivalentes (subrutina FUERZAS), lo que para el elemento de
barra implica organizar el cálculo de las etapas descritas en el Apartado 3.7. El
paso siguiente es ensamblar y resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio global
para obtener los desplazamientos nodales (subrutina SOLUCION), para finalmente
calcular las deformaciones y tensiones en cada elemento (subrutina TENSION).
Obsérvese la analogı́a de las etapas anteriores con el de un programa de cálculo
matricial de estructuras de barras [L2] [H4].
3.18
ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS
SUBRUTINA DATOS
Entrada
de datos geométricos
y del material.
SUBRUTINA RIGIDEZ
Cálculo de la matriz
de rigidez de cada
elemento.

Definición de:



• Tipo de elemento



 • Topologı́a y coordenadas de la malla
• Propiedades del material


• Condiciones de contorno




 • Coordenadas y pesos de la
cuadratura de Gauss-Legendre

Cálculo en cada punto de Gauss de:




• Propiedades del material(EA)



i

• Derivadas ∂N

∂ξ


∂Ni
• J (e) =
x
∂ξ i
i



• Matriz B



Obtenciónde:



(e)

=
[J (e) BT (EA)B]p Wp
• K
p
SUBRUTINA CARGAS
Cálculo del vector de
fuerzas nodales
de cada elemento.

Cálculo en cada punto de Gauss de:


 • Funciones de forma Ni


 • J (e) = ∂Ni x
∂ξ i
i


Obtención

de:(e) T


[J N b]p Wp
 • f (e) =
p
SUBRUTINA SOLUCION
Ensamblaje y
solución del sistema.
Ka=f
SUBRUTINA TENSION
Cálculo de deformaciones
y tensiones en cada
elemento.
Eliminación Gaussiana [R2]
Método Frontal [H5]
Método del perfil [Z6], etc.
ε = Ba
σ = DBa
STOP
Figura 3.5
Diagrama de flujo principal de un programa de elementos finitos.
3.19
CAPÍTULO 4
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
4.1
INTRODUCCIÓN
En este tema se presenta la aplicación del método de los elementos finitos
al análisis de estructuras en las que se cumplen las hipótesis de la elasticidad
bidimensional (tensión o deformación plana). La mayor parte de los conceptos
que aparecerán a lo largo del capı́tulo serán utilizados al tratar otros problemas
de estructuras en dos, e incluso tres dimensiones. Por consiguiente, este capı́tulo
puede considerarse, en gran parte, como introductorio a la metodologı́a general de
aplicación del método de los elementos finitos a estructuras bi y tridimensionales.
Existe una gran variedad de estructuras de interés práctico dentro de la
ingenierı́a en las que se puede hacer uso de las hipótesis de la elasticidad
bidimensional. Dichas estructuras se caracterizan por tener todas una forma
aproximada de prisma recto. No obstante, según la proporción que guarden las
dimensiones de dicho prisma, y la disposición de las cargas, pueden clasificarse en
uno de los dos tipos siguientes:
Problemas de tensión plana. Se dice que una estructura prismática está en
estado de tensión plana si una de sus dimensiones (espesor) es mucho menor que
las otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas contenidas en su plano medio
(Figura 4.1). Entre los problemas de estructuras que se incluyen dentro de esta
categorı́a podemos citar los de análisis de vigas de gran canto, placas con cargas
en su plano, presas de contrafuertes, etc.
Problemas de deformación plana. Una estructura prismática está en estado de
deformación plana si una de sus dimensiones (longitud) es mucho mayor que las
otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas uniformemente distribuidas a lo
largo de toda su longitud y contenidas en planos ortogonales al eje que une los
centros de gravedad de sus distintas secciones transversales (Figura 4.2). Dentro
de esta clasificación se pueden incluir entre otros, los problemas de muros de
contención, presas de gravedad, tuberı́as bajo presión interior y diversos problemas
de ingenierı́a del terreno (túneles, análisis de tensiones bajo zapatas, etc.).
4.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 4.1
Figura 4.2
Ejemplos de problemas de tensión plana.
Ejemplos de problemas de deformación plana.
4.2
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Una de las principales ventajas de la teorı́a de la elasticidad bidimensional es
que permite el estudio de los problemas de tensión y deformación plana de forma
unificada, aunque, de hecho, cada uno de ellos represente una serie de tipologı́as
estructurales que funcionalmente no guardan ninguna relación entre sı́.
El capı́tulo se inicia con una breve descripción de los conceptos fundamentales
de la teorı́a de la elasticidad bidimensional, para seguidamente plantear la
solución con elementos finitos triangulares de tres nodos. Tras ello se presenta la
utilización de otros tipos de elementos bidimensionales y se detalla la obtención de
funciones de forma de diferentes familias de elementos rectangulares y triangulares.
El capı́tulo finaliza con la descripción de la formulación general de elementos
isoparamétricos y el uso de la integración numérica en problemas bidimensionales.
4.2 TEORÍA DE LA ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL
Presentaremos los conceptos que hay que conocer de la teorı́a de la elasticidad
bidimensional para la utilización del método de los elementos finitos.
4.2.1
Campo de desplazamientos
Las caracterı́sticas geométricas y de cargas de una estructura en estado de
tensión o deformación plana permiten establecer la hipótesis de que todas las
secciones perpendiculares al eje prismático z se deforman en su plano y de manera
idéntica. Por consiguiente, basta con conocer el comportamiento de cualquiera
de dichas secciones. Ası́, consideremos una sección genérica contenida en el
plano x − y de cualquiera de las estructuras de las Figuras 4.1 y 4.2. El campo
de desplazamientos de la sección está perfectamente definido si se conocen los
desplazamientos en las direcciones x e y de todos sus puntos. El vector de
desplazamientos de un punto se define, por tanto, como
u(x, y) =
u(x, y)
v(x, y)
(4.1)
donde u(x, y) y v(x, y) son los desplazamientos del punto en direcciones de los ejes
x e y, respectivamente.
4.2.2
Campo de deformaciones
Del campo de desplazamientos (4.1) se pueden deducir fácilmente las
deformaciones haciendo uso de la teorı́a general de la elasticidad [T3]. Ası́
∂u
∂x
∂v
=
∂y
∂u ∂v
+
=
∂y ∂x
= γyz = 0
εx =
εy
γxy
γxz
4.3
(4.2)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Con respecto a la deformación longitudinal εz hay que señalar que en el caso
de deformación plana se hace la hipótesis de que es nula. Por otra parte, en un
estado de tensión plana dicha deformación no es nula, pero se supone que lo es la
tensión σz . Por consiguiente, en ninguno de los dos casos hay que considerar la
deformación εz ya que no interviene en las ecuaciones del trabajo de deformación
al ser el producto σz εz nulo. Ası́ , pues, el vector de deformaciones significativas
de un punto se define para tensión y deformación plana como
ε = [εx , εy , γxy ]T
4.2.3
(4.3)
Campo de tensiones
Se deduce de la ec.(4.2) que las tensiones tangenciales τxz y τyz son nulas.
Por otra parte, por los mismos motivos explicados en el apartado anterior para la
deformación εz , la tensión σz no trabaja y el vector de tensiones significativas es
σ = [σx, σy , τxy ]T
4.2.4
(4.4)
Relación tensión–deformación
La relación entre tensiones y deformaciones se deduce de la ecuación
constitutiva de la elasticidad tridimensional [T3], con las hipótesis simplificativas
descritas anteriormente (σz = 0 para tensión plana, εz = 0 para deformación plana
y γxz = γyz = 0 en ambos casos). Tras realizar las correspondientes operaciones
puede encontrarse la siguiente relación matricial entre tensiones y deformaciones
σ=Dε
(4.5)
En (4.5) D es la matriz de constantes elásticas (o matriz constitutiva)

d11
D=
 d21
0
d12
d22
0

0
0 

d33
(4.6)
Del teorema de Maxwell–Betti se deduce que D es siempre simétrica [T3], y
d12 = d21 . Para elasticidad isótropa se tiene
Tensión plana
d11 = d22 =
E
1 − ν2
d12 = d21 = νd11
d33 =
E
=G
2(1 + ν)
Deformación plana
E(1 − ν)
(1 + ν)(1 − 2ν)
ν
d12 = d21 = d11
1−ν
E
d33 =
=G
2(1 + ν)
d11 = d22 =
siendo E el módulo de elasticidad y ν el coeficiente de Poisson.
4.4
(4.7)
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Si el sólido está sometido a un estado de deformación inicial, tal como puede
suceder en el caso de deformación térmica, la relación (4.5) debe modificarse. La
deformación total ε es ahora igual a la elástica εe más la inicial ε 0 , a diferencia
de lo considerado en la ec.(4.5) en que toda la deformación era elástica. Por otra
parte, las tensiones siguen siendo proporcionales a las deformaciones elásticas, con
lo que la ecuación constitutiva se escribe como
σ = D εe = D (εε − ε0 )
(4.8)
Para el caso usual de deformación inicial isótropa por efectos térmicos el vector
ε tiene la expresión siguiente:
0
Tensión plana



 α∆T 

ε0 = α∆T



0 
Deformación plana



 α∆T 

ε 0 = (1 + ν)  α∆T 

0 
(4.9)
donde α es el coeficiente de dilatación térmica y ∆T el incremento de temperatura
en cada punto.
La diferencia entre los valores de las deformaciones iniciales térmicas para
tensión y deformación plana se debe a las diferentes hipótesis para σz y εz en
cada caso.
En materiales anisótropos la deformación inicial debida a efectos térmicos debe
considerarse primeramente en las direcciones principales del material y efectuar
posteriormente la transformación a ejes globales para encontrar las componentes
◦ ya no es nula.
cartesianas del vector ε◦. Esto conduce a que la componente τxy
Para más detalles consultar [H2] y [Z3].
Sobre el sólido pueden actuar también unas tensiones iniciales definidas en
cada punto por un vector σ 0 . Dichas tensiones, denominadas también tensiones
residuales, pueden ser debidas a diferentes causas. Por ejemplo, si en una
estructura cargada y en equilibrio eliminamos algunos de sus elementos resistentes
se produce una situación de desequilibrio debido precisamente a las tensiones
iniciales existentes. La búsqueda de la nueva posición de equilibrio debe efectuarse
teniendo en cuenta dichas tensiones. Las tensiones totales se obtienen como
suma de las debidas a la nueva deformación de la estructura y las iniciales. Por
consiguiente, en el caso más general el vector de tensiones se obtiene por
σ = D (εε − ε0 ) + σ 0
(4.10)
0 T
]
σ 0 = [σx0 , σy0 , τxy
(4.11)
donde
es el vector de tensiones iniciales. Las tensiones residuales son frecuentes en piezas
soldadas y en piezas de fundición. Otro ejemplo es el análisis de túneles donde al
4.5
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
calcular el equilibrio de la zona excavada es preciso considerar las tensiones que
existen en el macizo circundante antes de la excavación.
4.2.5
Expresión del Principio de los Trabajos Virtuales
La expresión integral de equilibrio en problemas de elasticidad bidimensional
puede obtenerse haciendo uso del Principio de los Trabajos Virtuales (PTV)
ya utilizado en capı́tulos anteriores. Ası́, teniendo en cuenta las tensiones y
deformaciones que contribuyen al trabajo virtual de la estructura, la expresión
del PTV puede escribirse por
A
(δεx σx + δεy σy + δγxy τxy )t dA =
+ (δutx + δvty )t ds +
A
(δubx + δvby )t dA+
(4.12)
l
(δui Ui + δvi Vi )
i
El segundo miembro representa el trabajo de las fuerzas repartidas por unidad
de volumen bx , by ; de las fuerzas repartidas sobre el contorno tx , ty ; y de las fuerzas
puntuales Ui , Vi sobre los desplazamientos virtuales δu, δv. El primer miembro,
por otro lado, representa el trabajo que las tensiones σx , σy , τxy realizan sobre
las deformaciones virtuales δεx , δεy y δγxy . A y l son el área y el contorno de
la sección transversal del sólido y t su espesor. En problemas de tensión plana t
coincide con el espesor real, mientras que en problemas de deformación plana es
usual asignar a t un valor unidad.
La ec.(4.12) se puede reescribir en forma matricial como
A
δεεT σ
ε σ tdA =
A
δuT b
tdA +
l
δuT t tds +
δuTi qi
(4.13)
i
donde
δεε = δεx , δεy , δγxy
t = tx , ty
T
T
T
;
δu = δu, δv
;
δui = δui , δvi
T
T
T
;
b = bx , by
;
qi = Ui , Vi
(4.14)
De (4.2) y (4.5) se deduce que en las integrales de PTV sólo intervienen
primeras derivadas de los desplazamientos, lo que exige continuidad de clase Co
a la aproximación de elementos finitos. Este requisito se mantiene para todos los
problemas en los que se hace uso directo de la teorı́a de la elasticidad, como el
análisis de sólidos de revolución y de sólidos tridimensionales que se estudian en
capı́tulos posteriores.
El PTV es el punto de partida de la obtención de las ecuaciones de la
discretización como veremos en el apartado siguiente.
4.6
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
4.3
FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. ELEMENTO
TRIANGULAR DE TRES NODOS
Para mayor claridad consideraremos primeramente la utilización del sencillo
elemento triangular de tres nodos. Este elemento está considerado el primero
en el estudio de problemas estructurales por el método de los elementos finitos.
Ya hemos comentado que mucho antes de la aparición de este método, Courant
sugirió la utilización de una interpolación polinómica lineal sobre subdominios
triangulares para aproximar la solución numérica de ecuaciones diferenciales [C6].
Años después, Turner et al. [T9] en un clásico artı́culo propusieron la división
de los dominios bidimensionales en triángulos de tres nodos para facilitar su
análisis matricial. Por ello, dicho elemento es también conocido como elemento
de Turner. El triángulo de tres nodos pronto adquirió gran popularidad entre
ingenieros estructurales [C1]. De las muchas aplicaciones prácticas de dicho
elemento en su primera etapa hay que destacar las relacionadas con el cálculo de
presas de gravedad, que constituyeron una auténtica innovación en la metodologı́a
tradicional de análisis de dichas estructuras [O3,Z3,Z8]. La clave del éxito
del elemento triangular de tres nodos fue su gran versatilidad y sencillez que,
como veremos, permite asimilar fácilmente el proceso de análisis de un dominio
bidimensional complejo a las etapas del clásico cálculo matricial de estructuras
de barras, familiar a la mayor parte de los ingenieros de estructuras. Por
contrapartida, es un elemento de precisión limitada, como corresponde a su
aproximación lineal, lo que obliga usualmente a la utilización de mallas muy
tupidas. Pese a ello, en la actualidad, sigue siendo un elemento popular y
competitivo, además de servir de ejemplo excelente para introducir la formulación
de elementos finitos en problemas bidimensionales.
4.3.1
Discretización del campo de desplazamientos
En la Figura 4.3 se muestra la sección transversal de una estructura cualquiera
que se analiza bajo las hipótesis de la elasticidad bidimensional. La primera etapa
del análisis es como siempre la discretización en elementos finitos. En la misma
figura puede verse la discretización de la sección en elementos triangulares de
tres nodos. Es importante recordar de nuevo que la malla de elementos finitos
representa una idealización de la geometrı́a real. Por consiguiente, el análisis por
elementos finitos reproduce el comportamiento de la malla escogida, y no el de la
estructura real. Solamente comprobando la convergencia de la solución podemos
estimar el grado de aproximación de la solución de elementos finitos a la exacta.
Un elemento triangular de tres nodos tı́pico se caracteriza por los números de
sus nodos 1, 2 y 3 y sus coordenadas. Los tres nodos del elemento tienen en la malla
la numeración global i, j, k y coordenadas (x1 , y1 ), (x2, y2 ) y (x3, y3 ). Los números
globales de los nodos i, j, k se corresponden con los locales 1, 2 y 3, respectivamente.
En la práctica es usual utilizar la numeración local para el cálculo de las matrices
del elemento y hacer uso de la correspondencia entre números locales y globales
para el ensamblaje, similarmente a como ocurre en cálculo matricial de estructuras
[L2].
4.7
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 4.3
Discretización de una estructura en elementos triangulares de tres
nodos. Variables nodales.
Considerando un elemento aislado, como el de la Figura 4.3, podemos expresar
los dos desplazamientos cartesianos de un punto cualquiera del interior del
elemento en función de los desplazamientos de sus nodos como
u = N1 u1 + N2 u2 + N3 u3
v = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3
(4.15)
donde (ui , vi ) y Ni son los desplazamientos horizontal y vertical y la función
de forma del nodo i del elemento, respectivamente. No hay ninguna razón
fundamental para escoger las mismas funciones para definir la aproximación de los
desplazamientos en direcciones horizontal y vertical. No obstante, por simplicidad,
y a menos que haya claros indicios de que dicha aproximación debe diferenciarse,
es usual utilizar la misma interpolación para ambos desplazamientos u y v.
La ec.(4.15) puede escribirse matricialmente como
u=
u
v
=
N1
0
0
N1
N2
0
0
N2
N3
0



 u1 






v1 







0
u2 
N3 
v2 










u


3




v3
(4.16)
o
u = N a(e)
4.8
(4.17)
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
donde
u=
u
v
(4.18)
es el vector de desplazamientos de un punto del elemento.
N = [N1, N2 , N3]
;
Ni
Ni =
0
0
Ni
(4.19)
son la matriz de funciones de forma del elemento y del nodo i del elemento,
respectivamente, y
a(e)
=


(e) 



a


 1 
(e)
a

2 


 (e) 


a3
con
(e)
ai
=
ui
vi
(4.20)
son el vector de desplazamientos nodales del elemento y de un nodo i.
Adviértase que N y a(e) están compuestos de tantas submatrices Ni y
(e)
subvectores ai , respectivamente, como nodos tiene el elemento. Esto es una
propiedad general que se cumple en todos los casos, como veremos repetidamente
a lo largo del libro.
La expresión de las funciones de forma del elemento triangular de tres nodos
se puede obtener como sigue.
Los tres nodos del elemento definen una variación lineal del campo de
desplazamientos que puede escribirse como
u = α1 + α2 x + α3 y
v = α4 + α5 x + α6 y
(4.21)
Si suponemos que la interpolación de u y v se efectúa de idéntica manera,
basta con obtener la expresión de las funciones de forma para uno de los dos
desplazamientos. Ası́, por ejemplo, para el desplazamiento u se tiene que cumplir
que sus valores en los nodos coincidan con las correspondientes incógnitas nodales.
Es decir
u1 = α1 + α2 x1 + α3 y1
u2 = α1 + α2 x2 + α3 y2
u3 = α1 + α2 x3 + α3 y3
(4.22)
Resolviendo dicho sistema de ecuaciones y sustituyendo en (4.21) los valores
encontrados para α1 , α2 y α3 se obtiene la siguiente expresión para u
u=
1 (a
+
b
x
+
c
y)u
+
(a
+
b
x
+
c
y)u
+
(a
+
b
x
+
c
y)u
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3 (4.23)
2A(e)
4.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
donde A(e) es el área del elemento, y
ai = xj yk − xk yj
,
bi = yj − yk
,
ci = xk − xj
;
i, j, k = 1, 2, 3 (4.24)
Comparando (4.23) con (4.15) se deduce que las funciones de forma del elemento
son
1
Ni =
(ai + bi x + ci y) , i = 1, 2, 3
(4.25)
2A(e)
La representación gráfica de dichas funciones se muestra en la Figura 4.4. Puede
comprobarse, como ejercicio, que las funciones de forma toman el valor unidad en
un nodo y cero en los otros dos.
Figura 4.4
4.3.2
Funciones de forma del elemento triangular de tres nodos.
Discretización del campo de deformaciones
Sustituyendo (4.15) en (4.2) se obtienen las tres deformaciones significativas en
un punto del elemento como
∂N1
∂u
∂N2
∂N3
=
u1 +
u2 +
u
∂x
∂x
∂x
∂x 3
∂v
∂N2
∂N3
∂N1
εy =
(4.26)
=
v1 +
v2 +
v
∂y
∂y
∂y
∂y 3
∂N1
∂u ∂v
∂N1
∂N2
∂N2
∂N3
∂N3
+
=
u1 +
v1 +
u2 +
v2 +
u3 +
v3
γxy =
∂y ∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
εx =
4.10
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
y en forma matricial










∂u
∂x
∂v
ε=
∂y





 ∂u + ∂v 

∂y
∂x

∂N1
 ∂x


==  0


∂N1
∂y
0
∂N1
∂y
∂N1
∂x
..
.
..
.
..
.
∂N2
∂x
0
..
.
..
.
..
.
0
∂N2
∂y
∂N2
∂x
∂N2
∂y
∂N3
∂x
0
∂N3
∂y
  u1 

 

0  


v1 




  
u
∂N3 
2
(4.27)

∂y  
v2 



 



∂N3 


 u3 
∂x
v3
o
ε = Ba(e)
(4.28)
B = [B1 , B2 , B3 ]
(4.29)
donde
es la matriz de deformación del elemento, y

∂Ni
 ∂x

 0
Bi = 

 ∂N
i
∂y

0
∂Ni
∂y
∂Ni
∂x






(4.30)
es la matriz de deformación del nodo i. Adviértase que B está compuesta de tantas
submatrices Bi como nodos tiene el elemento, lo que también es una propiedad
de carácter general. Particularizando para el elemento triangular de tres nodos se
obtiene


..
..
b
0
.
b
0
.
b
0
1
2
3

1 


.
.
B=
(4.31)
 0 c1 .. 0 c2 .. 0 c3 

2A(e) 
..
..
c1 b1 . c2 b2 . c3 b3
y, por consiguiente

b
1  i
Bi =
0
2A(e) c
i
4.3.3

0

ci 
bi
(4.32)
Discretización del campo de tensiones
La expresión discretizada del vector de tensiones en el interior del elemento se
obtiene mediante sustitución directa de la ec.(4.28) en (4.5) por
σ = D ε = D B a(e)
4.11
(4.33)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Si existieran tensiones o deformaciones iniciales la expresión a utilizar se deduce
de (4.8) como
σ = D (εε − ε0 ) + σ 0 = D B a(e) − D ε 0 + σ 0
(4.34)
Puede apreciarse de (4.32) que la matriz de deformaciones del elemento
triangular de tres nodos es constante, lo que implica que las deformaciones y
tensiones son constantes en todo el elemento. Esto es consecuencia directa del
campo de desplazamientos lineal escogido, cuyos gradientes son, obviamente,
constantes. Por consiguiente, en zonas de alta concentración de tensiones será
necesario utilizar una malla tupida para aproximar la solución de tensiones con
suficiente precisión.
4.3.4
Ecuaciones de equilibrio de la discretización
Para la obtención de las ecuaciones de equilibrio de la discretización partiremos
de la expresión del PTV aplicada al equilibrio de un elemento aislado, como el de
la Figura 4.5. Hay que resaltar que, aunque nos referiremos al elemento triangular
de tres nodos, la mayorı́a de las expresiones que se obtendrán en este apartado son
completamente generales y aplicables a cualquier elemento bidimensional.
Vamos a suponer que sobre el elemento actúan fuerzas repartidas por unidad
de área (fuerzas másicas) b, y en sus lados fuerzas repartidas por unidad de
longitud (fuerzas de superficie) t. Las fuerzas de superficie pueden ser de dos
tipos: a) Debidas a fuerzas exteriores que actúan sobre los lados del elemento que
forman parte del contorno exterior de la estructura, y b) Debidas a las fuerzas de
interacción entre elementos que se transmiten a través de sus lados comunes. Estas
últimas pueden ignorarse desde un principio pues se anulan en el ensamblaje.
Figura 4.5
Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos.
Supondremos ahora que el equilibrio del elemento se establece únicamente en
los nodos. Podemos entonces definir unas fuerzas puntuales que actúen sobre los
nodos (denominadas fuerzas nodales de equilibrio) y que equilibren las fuerzas
4.12
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
debidas a la deformación del elemento y al resto de las fuerzas actuantes sobre
el mismo. Para el cálculo de las fuerzas nodales de equilibrio haremos uso de la
expresión del PTV aplicada al elemento, que se escribe como
δεεT σ tdA =
(e)
A
δuT b tdA +
(e)
A
l
δuT t tds +
(e)
3
δuiUi +
i=1
3
δviVi (4.35)
i=1
donde δui y δvi son los desplazamientos virtuales de los nodos del elemento y Ui
y Vi las fuerzas nodales de equilibrio que corresponden a dichos desplazamientos.
El trabajo virtual de dichas fuerzas puede despejarse de la ecuación anterior como
δεεT σ t dA −
(e)
A
δuT b t dA −
(e)
A
l
T
δuT t t ds = [δa(e) ] q(e)
(e)
(4.36)
donde para el elemento triangular de tres nodos
δa(e) = [δu1, δv1, δu2, δv2, δu3, δv3]T
(4.37)
q(e) = [U1, V1 , U2 , V2 , U3 , V3 ]T
De (4.17) y (4.28) podemos escribir
T
δuT = [δa(e)] NT
T
δεεT = [δa(e)] BT
;
(4.38)
Sustituyendo (4.38) en (4.36) se obtiene, tras sacar factor común δa(e) en el
primer miembro,
[δa(e)]
T
BT σ tdA−
(e)
A
NT b tdA−
(e)
A
l
T
NT t tdS = [δa(e)] q(e) (4.39)
(e)
Teniendo en cuenta que los desplazamientos virtuales son arbitrarios, se deduce
que
BT σ tdA −
(e)
A
NT b tdA −
(e)
A
l(e)
NT t tds = q(e)
(4.40)
La ec. (4.40) expresa el equilibrio entre las fuerzas nodales de equilibrio y
las fuerzas debidas a la deformación del elemento (primera integral), las fuerzas
másicas (segunda integral) y las de superficie (tercera integral). Sustituyendo
ahora el vector de tensiones σ por su valor en función de los desplazamientos
nodales se obtiene
A(e)
BT (DBa(e)
0
0
− Dεε + σ ) tdA −
A(e)
NT b
tdA −
l(e)
NT t tds = q(e)
(4.41)
4.13
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
y operando
A
+
BT D B t dA a(e) −
(e)
A(e)
BT σ 0
σ tdA −
A(e)
A(e)
NT b
BT Dεε0 tdA +
tdA −
l
NT t tdS = q(e)
(e)
(4.42)
o
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
donde
K(e) =
(4.43)
BT D B tdA
A(e)
(4.44)
es la matriz de rigidez del elemento, y
(e)
(e)
f (e) = fε
(e)
+ fσ + fb
(e)
+ ft
(4.45)
el vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento, siendo
(e)
fε
(e)
fσ
=
A(e)
=−
(e)
fb
(4.46)
BT σ 0 tdA
(4.47)
NT b tdA
(4.48)
NT t tds
(4.49)
A(e)
=
(e)
ft
BT D ε0 tdA
A(e)
=
l(e)
los vectores de fuerzas nodales equivalentes debidos a deformaciones iniciales,
tensiones iniciales, fuerzas repartidas por unidad de área y fuerzas repartidas en
el contorno, respectivamente.
Hay que destacar que las expresiones de la matriz de rigidez y de los
vectores de fuerzas nodales equivalentes obtenidas son totalmente generales y,
por consiguiente, aplicables a cualquier elemento bidimensional. En apartados
posteriores se presentará la particularización de dichas expresiones al elemento
triangular de tres nodos, ası́ como a otros elementos bidimensionales de interés
práctico.
La ecuación de equilibrio global de la malla se obtiene, como en el caso de
problemas unidimensionales, estableciendo simplemente que la suma de las fuerzas
nodales de equilibrio en cada nodo debe ser igual a la fuerza nodal exterior. Es
decir
e
(e)
qi
= pext
j
4.14
(4.50)
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
donde el sumatorio representa la suma de las contribuciones de los vectores de
fuerzas nodales de equilibrio de los distintos elementos que comparten el nodo
de número global j, y pext
representa el vector de fuerzas puntuales exteriores
j
actuando en dicho nodo. Dicha ecuación es idéntica a la que estudiamos en el
Capı́tulo 1 para el ensamblaje de las ecuaciones matriciales de estructuras de
barras. Por consiguiente, las ecuaciones de equilibrio de la malla se pueden obtener
a partir de las contribuciones de las matrices de rigidez y los vectores de fuerzas
nodales equivalentes de los diferentes elementos, siguiendo las mismas reglas que
en el caso de estructuras de barras. Ası́ pues, tras el ensamblaje, la ecuación
matricial global se puede escribir como
Ka=f
(4.51)
donde K, a y f son, respectivamente, la matriz de rigidez, el vector de
desplazamientos nodales y el vector de fuerzas nodales equivalentes de toda la
malla.
Hay que señalar de nuevo que las fuerzas nodales de equilibrio debidas a fuerzas
de interacción entre los contornos de dos elementos adyacentes se anulan en el
ensamblaje, debido a que dichas fuerzas tienen igual módulo y dirección pero
sentidos opuestos en cada elemento. Por tanto, a efectos prácticos, solamente hay
que considerar el efecto de las fuerzas de superficie cuando se trate de fuerzas
exteriores actuantes sobre lados de elementos que pertenezcan al contorno de la
estructura.
4.3.5
Particularización de la matriz de rigidez y los vectores de fuerzas
para el elemento triangular de tres nodos
Matriz de rigidez
Para el elemento triangular de tres nodos la ec.
teniendo en cuenta (4.29), como
K(e) =
 T

 B1
BT2
A(e) 
 T
B3
=





D [B1, B2 , B3 ]tdA =

A(e)
BT1 DB1

..

.

(4.44) se puede escribir,
BT1 DB2
BT2 DB2
...
Simétrica
BT1 DB3

(4.52)

BT2 DB3 
 tdA
BT3 DB3
(e)
Por consiguiente, una submatriz de rigidez tı́pica, Kij , que relacione los nodos
i y j del elemento se puede calcular como
(e)
Kij
=
A(e)
BTi DBj t dA
4.15
(4.53)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
sustituyendo (4.6) y (4.32)
(e)
Kij
=
d11
d21
0
A(e)
1
bi 0 ci
0 ci bi
(e)
2A
d12
d22
0
0
0
d33
bj 0
1
0 cj tdA
2A(e) cj bj
(4.54)
Puesto que el integrando es constante, se obtiene tras operar,
(e)
Kij
=
t (e) bi bj d11 + ci cj d33
ci bj d21 + bi cj d33
4A
bi cj d12 + bj ci d33
bi bj d33 + ci cj d22
(4.55)
deduciéndose la expresión correspondiente al caso de tensión o deformación plana
(e)
de acuerdo con los valores de los elementos dij de D. Obsérvese que Kij es
simétrica ya que siempre d12 = d21 .
Vectores de fuerzas nodales equivalentes
a) Fuerzas repartidas por unidad de área
(e)
fb
=
A(e)
NT b tdA =
 T 

 N1 b 

Tb
N
2
A(e) 
 T 

N3 b
tdA
(4.56)
Por tanto, el vector de fuerzas repartidas correspondiente a un nodo i es
(e)
fb
i
=
NTi b tdA
A(e)
(4.57)
Si la fuerza b está uniformemente repartida sobre todo el elemento, se obtiene,
haciendo uso de (4.25)
fbi =
(At)(e)
3
bx
by
(4.58)
es decir, la fuerza repartida total actuante sobre el elemento se reparte
equitativamente entre los tres nodos, lo cual era un resultado intuible.
Si la fuerza por unidad de área corresponde al peso propio y el eje de la gravedad
coincide con el eje y se tiene que bx = 0 y by = −ρg, donde ρ y g son la densidad
del material y el valor de la gravedad, respectivamente.
b) Fuerzas repartidas sobre el contorno
(e)
ft
=
l(e)
NT t tds
(4.59)
Por consiguiente, para un nodo i perteneciente a un lado cargado
(e)
fti
=
l
NTi t
(e)
tds =
4.16
l(e)
Ni tx
Ni ty
t ds
(4.60)
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
(e)
En el cálculo de ft hay que tener en cuenta que al referirse la integral a un
lado del elemento, la función de forma del nodo no perteneciente a dicho lado vale
cero sobre el mismo. Ası́, si el lado cargado es el 1-2 y las fuerzas tx y ty están
uniformemente repartidas sobre dicho lado, se obtiene de (4.60) que la fuerza total
sobre el lado se reparte equitativamente entre los dos nodos del mismo y el vector
(e)
ft es
(e)
ft
 

 tx 






ty 





(e) 

(l12 t)
tx 

ty 
2










0

 



=
(4.61)
0
(e)
donde l12 es la longitud del lado 1-2. Se deduce fácilmente que si los lados cargados
(e)
son el 1-3 y el 2-3, la expresión de ft
(e)
ft
=
(l13
es en cada caso
 

tx 







ty 





(e) 

t)
0
2
(e)
;

0










t
x



 

ty
ft
=
 

0







0





(e) 

(l23 t)
tx 

ty 
2










t
x

 



ty
(4.62)
c) Fuerzas debidas a deformaciones iniciales
Sustituyendo (4.29) en (4.46), se obtiene
(e)
fε
=
A(e)
BT D ε0 t dA =
 T

 B1
BT2
A(e) 
 T
B3

D ε0 

D ε 0 t dA


D ε0
(4.63)
y el vector de fuerzas debidas a deformaciones iniciales del nodo i es
(e)
fεi
=
A(e)
BTi D ε0 t dA
(4.64)
Utilizando (4.6) y (4.32) se puede obtener, para ε0 constante sobre el elemento,
(e)
fεi =
A(e)
1
bi
(e)
0
2A
t(e)
=
2
0
ci
ci
bi

d11

 d21
0
d12
d22
0

0
bi (d11 ε0x + d12 ε0y ) + ci d33 γxy
0
ci (d21 ε0x + d22 ε0y ) + bi d33 γxy
4.17

0
0 
 εx 


0  ε0y t dA =
 0 

d33  γxy
(4.65)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Para el caso de deformaciones térmicas se utilizarán las expresiones de ε0 de la
ec.(4.9).
d) Fuerzas debidas a tensiones iniciales
Sustituyendo (4.29) en (4.47), se obtiene
(e)
fσ = −
A(e)
BT σ 0 t dA = −
 T

 B1
BT2
(e)

A  T
B3

σ0 

σ 0 t dA


σ0
(4.66)
y el vector de fuerzas de tensiones iniciales del nodo i es
(e)
fσi = −
A(e)
BTi σ 0 t dA
(4.67)
Haciendo uso de (4.11) y (4.32), se obtiene para σ 0 constante sobre el elemento
(e)
fσi = −
4.4
A(e)
1
bi
(e)
0
2A
0
ci
ci
bi




σx0 

0
t(e) bi σx0 + ci τxy
0
σy
t dA = −
(4.68)
0

ci σy0 + bi τxy
2
 0 

τxy
OBTENCIÓN GENERAL DE LAS FUNCIONES DE FORMA
DE ELEMENTOS BIDIMENSIONALES DE CLASE Co
En este apartado estudiaremos la obtención de las funciones de forma de
diversos elementos bidimensionales rectangulares y triangulares de lados rectos
de clase Co . En un apartado posterior generalizaremos la utilización de dichos
elementos al caso de elementos con lados curvos haciendo uso del concepto de
interpolación isoparamétrica.
4.4.1
Polinomios completos en dos dimensiones. Triángulo de Pascal
Dado el carácter polinómico de la aproximación del MEF, las funciones de
forma sólo pueden reproducir exactamente variaciones polinómicas de grado igual
o inferior al del polinomio completo de mayor grado contenido en dichas funciones.
Se deduce de ello que la solución de elementos finitos será tanto mejor cuanto mayor
sea el grado de dicho polinomio completo.
En 2D un polinomio completo de grado n puede escribirse como
f (x, y) =
p
αi xj yk
;
j +k ≤n
(4.69)
i=1
donde el número de términos en el polinomio es
p = (n + 1)(n + 2)/2
(4.70)
Ası́, para un polinomio lineal (p = 3)
f (x, y) = α1 + α2 x + α3 y
4.18
(4.71a)
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
mientras que para un polinomio cuadrátrico (p = 6)
f (x, y) = α1 + α2 x + α3 y + α4 xy + α5 x2 + α6 y2
(4.71b)
Una forma inmediata de identificar los términos de un polinomio completo de
dos variables es utilizar el triángulo de Pascal (Figura 4.6).
Figura 4.6
Triángulo de Pascal en dos dimensiones.
Las funciones de forma de muchos elementos contienen términos de polinomios
incompletos. Por ejemplo, el elemento rectangular de cuatro nodos contiene el
término xy del polinomio de segundo grado (ec.(4.78)). Dichos términos generan
variables nodales que no contribuyen notablemente a aumentar la aproximación
del elemento. Ası́, puede afirmarse que entre dos elementos cuyas funciones de
forma contengan polinomios completos del mismo grado, es más recomendable
aquél con menos variables nodales.
4.4.2
Funciones de forma de elementos rectangulares de clase C o .
Coordenadas naturales en dos dimensiones
Describiremos la obtención de las funciones de forma de varios elementos
rectangulares de clase Co . Para facilitar el cálculo adoptaremos un sistema de
coordenadas ξ, η para definir la geometrı́a del elemento. Dichas coordenadas,
denominadas naturales o intrı́nsecas, están normalizadas de manera que los
elementos tienen los lados en ξ = ±1 y η = ±1 como se muestra en la Figura 4.7.
La coordenada natural ξ fue introducida en elementos unidimensionales de barra
en el Apartado 3.2. De la Figura 4.7 se deduce que
ξ=
x − xc
a
;
η=
y − yc
b
(4.72)
donde xc e yc son las coordenadas del centro del elemento. Ası́
1
dξ
=
dx
a
;
dη
1
=
dy
b
(4.73)
y un elemento diferencial de área se obtiene por
dx dy = ab dξ dη
4.19
(4.74)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 4.7
Geometrı́a de un elemento rectangular genérico.
cartesianas y naturales.
Coordenadas
Por tanto, para integrar una función f (x, y) sobre un elemento rectangular,
puede efectuarse la siguiente transformación al sistema de coordenadas naturales
A(e)
f (x, y)dx dy =
+1 +1
−1
−1
g(ξ, η)ab dξ dη
(4.75)
Dentro de los elementos rectangulares de clase Co podemos distinguir
dos familias claramente diferenciadas: la Lagrangiana y la Serendı́pita.
Consideraremos seguidamente la obtención de las funciones de forma de elementos
de ambas familias.
4.4.3
Elementos rectangulares Lagrangianos
Las funciones de forma de estos elementos se basan en interpolaciones
polinómicas de Lagrange en dos dimensiones. Esto permite obtener con facilidad
la función de forma de un nodo cualquiera como producto de dos polinomios
de Lagrange unidimensionales en cada una de las dos coordenadas ξ y η
correspondientes a dicho nodo. Ası́, si lIi (ξ) es el polinomio de Lagrange de grado
I en dirección ξ del nodo i y lJi (η) el de grado J en dirección η, la función de forma
de dicho nodo es
Ni (ξ, η) = lIi (ξ) lJi (η)
(4.76)
Los polinomios de Lagrange unidimensionales en cada nodo pueden obtenerse
directamente haciendo uso de (3.6a), con la coordenada ξ o η según el caso. En la
Figura 4.8 se muestran algunos de los elementos rectangulares Lagrangianos más
usuales. Obsérvese que una vez definido el número de nodos en cada una de las dos
direcciones ξ y η, dicho número no puede variar a lo largo de las diferentes lineas
nodales. Esta es una caracterı́stica propia de los elementos Lagrangianos y que
permite diferenciarlos a simple vista de los Serendı́pitos que luego estudiaremos.
Es importante indicar que el número de términos polinómicos contenidos en las
funciones de forma de un elemento Lagrangiano puede obtenerse automáticamente
del triángulo de Pascal a partir del grado de los polinomios en las direcciones ξ y
4.20
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Figura 4.8
Elementos rectangulares Lagrangianos más usuales.
polinómicos contenidos en sus funciones de forma.
Términos
η, como se indica en la Figura 4.8. Se observa que las funciones de forma no son
nunca polinomios completos y todas contienen un número de términos adicionales
que crece con el orden del elemento.
4.21
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Seguidamente presentamos la obtención de las funciones de forma de algunos
elementos rectangulares de la familia Lagrangiana.
4.4.3.1
Elemento rectangular Lagrangiano de cuatro nodos
Este elemento es el más sencillo de la familia Lagrangiana. Obtendremos aquı́
sus funciones de forma en coordenadas naturales (Figura 4.9).
Considerando un nodo i, los polinomios de Lagrange unidimensionales en cada
dirección ξ y η coinciden con las funciones de forma del elemento de barra de dos
nodos. Es fácil encontrar, por tanto, que
1
1
l1i (ξ) = (1 + ξξi ) ; l1i (η) = (1 + ηηi )
2
2
(4.77)
donde ξi y ηi toman los valores de la tabla de la Figura 4.9. Por consiguiente, la
función de forma del nodo i es
1
Ni (ξ, η) = l1i (ξ)l1i (η) = (1 + ξξi )(1 + ηηi )
4
(4.78)
En la Figura 4.9 se muestra de forma gráfica la obtención de la función de forma
del nodo 1.
Figura 4.9
Elemento rectangular Lagrangiano de 4 nodos.
4.22
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
El elemento rectangular de cuatro nodos tiene un comportamiento excelente en
problemas donde dominen los estados de tracción o compresión pura. Su precisión
en zonas donde existan flexiones importantes es baja, siendo superiores en estos
casos los elementos de mayor orden que se presentan en los apartados siguientes.
Para mejorar el comportamiento del elemento de cuatro nodos se han desarrollado
diversas técnicas, tales como la adición de modos de deformación de un orden más
alto. Para los detalles consultar [O3].
4.4.3.2
Elemento rectangular Lagrangiano cuadrático de nueve nodos
Las funciones de forma del elemento rectangular Lagrangiano de nueve nodos
(Figura 4.10), se obtienen como producto de dos polinomios de Lagrange de
segundo grado en ξ y η. Dichos polinomios se obtienen directamente para cada
nodo de las expresiones de las funciones de forma del elemento de barra cuadrático
(ec. (3.11)). Ası́, por ejemplo, para el nodo 1
1
l21 (ξ) = (ξ − 1)ξ
2
1
l21 (η) = (η − 1)η
2
(4.79)
1
Ni (ξ, η) = l21 (ξ)l21 (η) = (ξ − 1)(η − 1)ξ η
4
(4.80)
;
y la función de forma del nodo es
procediéndose de manera idéntica para el resto de los nodos. Tras operar, pueden
encontrarse las siguientes expresiones:
a) Nodos esquina
1
Ni = (ξ 2 + ξξi )(η2 + ηηi )
4
;
i = 1, 3, 5, 7
(4.81)
b) Nodos intermedios en los lados
1
1
Ni = ηi2 (η2 − ηηi )(1 − ξ 2 ) + ξi2 (ξ 2 − ξξi )(1 − η2 )
2
2
;
i = 2, 4, 6, 8
(4.82)
c) Nodo central
N9 (ξ, η) = (1 − ξ 2 )(1 − η2 )
(4.83)
En la Figura 4.10 se presentan las funciones de forma de tres nodos
caracterı́sticos. Dichas funciones contienen los términos polinómicos que se
muestran en la Figura 4.8. Se aprecia en dicha figura que el elemento Lagrangiano
de nueve nodos contiene todos los términos del polinomio completo de segundo
grado y 3 términos adicionales (x2 y, xy2 y x2y2 ) de los de tercer y cuarto grado.
Por consiguiente, la aproximación del elemento es simplemente cuadrática.
4.23
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 4.10
4.4.4
Elemento rectangular Lagrangiano cuadrático de 9 nodos.
Elementos rectangulares Serendı́pitos
Los elementos Serendı́pitos se obtienen de la manera siguiente: En primer
lugar se selecciona el número de nodos de cada lado para definir una variación
lineal, cuadrática, cúbica, etc., sobre dichos lados que garantice la continuidad
interelemental. Tras ello, se escoge el mı́nimo número de nodos en su interior de
manera que se obtenga una variación polinómica en ξ y η completa y simétrica,
4.24
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
del mismo grado que la variación sobre los lados. En la Figura 4.11 se muestran
algunos de los elementos rectangulares de la familia Serendı́pita más populares,
ası́ como los términos que intervienen en sus funciones de forma. Se observa que el
elemento más sencillo de esta familia es el rectángulo de cuatro nodos ya estudiado
y que, por consiguiente, pertenece a ambas familias, Lagrangiana y Serendı́pita.
Se aprecia, asimismo, que los elementos cuadrático y cúbico, de 8 y 12 nodos,
respectivamente, no tienen nodos internos, mientras que el de 17 nodos precisa un
nodo en su interior para poder conseguir todos los términos del polinomio completo
de cuarto grado [O3].
Las caracterı́sticas de los elementos Serendı́pitos impiden que sus funciones
de forma puedan obtenerse de un modo tan sistemático como las de los elementos
Lagrangianos. De hecho, dichas funciones de forma suelen obtenerse en la práctica
combinando la observación y el ingenio. De ahı́ la denominación Serendı́pita para
esta familia de elementos como referencia a los descubrimientos ingeniosos del
prı́ncipe de Serendip, citado en los romances de Horacio Walpole en el siglo XVIII.
No obstante, para los elementos más populares de la familia Serendı́pita, que
se presentan en la Figura 4.11, la obtención de las funciones de forma es sencilla,
como inmediatamente comprobaremos para el elemento de ocho nodos.
4.4.4.1
Elemento rectangular Serendı́pito cuadrático de 8 nodos
Las funciones de forma de los nodos intermedios en los lados se obtienen de
forma inmediata como producto de un polinomio de segundo grado en ξ (ó η) por
otro de primer grado en η (ó ξ ). Puede comprobarse que dicho producto contiene
los términos polinómicos deseados (ver Figura 4.11). Ası́ pues, con carácter general
puede escribirse para dichos nodos
1
Ni (ξ, η) = (1 + ξξi )(1 − η2 ) ; i = 4, 8
2
1
Ni (ξ, η) = (1 + ηηi )(1 − ξ 2 ) ; i = 2, 6
2
(4.84)
Para los nodos esquina no podemos adoptar la misma estrategia, pues el
producto de los dos polinomios unidimensionales cuadráticos que corresponden a
los lados que concurren en un vértice darı́a un valor nulo en el centro del elemento,
con lo que en dicho punto la suma de las funciones de forma no serı́a la unidad.
Por consiguiente, hay que adoptar un procedimiento distinto que se resume en las
etapas siguientes:
Etapa 1 . Se obtiene la función de forma que corresponderı́a al nodo esquina en
cuestión si perteneciera a un elemento de cuatro nodos. Ası́, por ejemplo, para el
nodo 1 (Figura 4.12)
1
N1L = (1 − ξ)(1 − η)
4
(4.85)
La función de forma anterior vale uno en el nodo esquina y cero en los restantes
nodos con excepción de los dos adyacentes al nodo considerado.
4.25
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 4.11
Elementos rectangulares Serendı́pitos más usuales. Términos contenidos en sus funciones de forma.
Etapa 2 . Se impone que la función de forma sea nula en uno de los nodos
adyacentes, restando a la ec.(4.85) la mitad del valor de la función de forma en
dicho nodo. Ası́ , para anular N1L en el nodo 2, se hace
1
N 1 (ξ, η) = N1L − N2
2
4.26
(4.86)
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Figura 4.12
Elemento rectangular Serendı́pito cuadrático de 8 nodos. Obtención
de las funciones de forma de un nodo lateral y otro esquina.
Etapa 3 . La función N 1 sigue valiendo 1/2 en el otro nodo adyacente al nodo
esquina considerado (nodo 8). Por consiguiente, el paso final es anular N 1 en
dicho nodo restándole la mitad del valor de su función de forma. Es decir
N1 (ξ, η) = N1L −
4.27
1
1
N2 − N8
2
2
(4.87)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Realizando las etapas anteriores para el resto de los nodos esquina puede
encontrarse la expresión general de las funciones de forma como
1
Ni (ξ, η) = (1 + ξξi )(1 + ηηi )(ξξi + ηηi − 1)
4
i = 1, 3, 5, 7
(4.88)
Del examen de los términos polinómicos contenidos en las funciones de forma
(ver Figura 4.11) se desprende que el elemento Serendı́pito de ocho nodos tiene una
aproximación cuadrática completa y contiene únicamente dos términos adicionales
x2y y xy2 del polinomio de tercer grado. Comparando dicho elemento con el
equivalente de nueve nodos de la familia de Lagrange (ver Apartado 4.4.3.2) se
deduce que el elemento de ocho nodos tiene, con un nodo menos, el mismo grado de
aproximación que el de nueve (conteniendo este último un término adicional x2y2
debido a la existencia del nodo central). Por consiguiente, el elemento Serendı́pito
de ocho nodos presenta una mejor relación grado de aproximación/número de
variables nodales que el Lagrangiano de nueve.
En la referencia [O3] pueden encontrarse las funciones de forma de elementos
Serendı́pitos de órdenes superiores.
4.4.5
Funciones de forma de elementos triangulares
Los elementos triangulares de clase C0 se caracterizan porque sus funciones de
forma contienen exactamente todos los términos de un polinomio completo de un
grado determinado. Recordemos, por ejemplo, que el elemento de tres nodos del
Apartado 4.3 contenı́a funciones de forma lineales. Por otra parte, los elementos
de seis y diez nodos definen las aproximaciones completas de segundo y tercer
grado siguientes:
Elemento de seis nodos
φ = αo + α1 x + α2 y + α3 xy + α4 x2 + α5 y2
(4.89)
Elemento de diez nodos
φ = αo + α1 x + α2 y + α3 xy + α4 x2 + α5 y2 + α6 x3 + α7 x2y + α8 xy2 + α9 y3
(4.90)
Por consiguiente, los desarrollos polinómicos correspondientes a las funciones de
forma de cada elemento pueden obtenerse directamente del triángulo de Pascal.
Asimismo, dicha propiedad permite conocer la distribución de nodos internos y
en los lados, pues dicha distribución guarda una perfecta analogı́a con la de los
términos de dicho triángulo.
Las αi de las ecuaciones anteriores pueden calcularse siguiendo el procedimiento
descrito en el Apartado 4.3.1 para el triángulo de tres nodos. No obstante, este
4.28
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
método es complejo para elementos de órdenes elevados y es mucho más sencilla
la obtención directa haciendo uso de las coordenadas de área que describiremos
seguidamente.
4.4.5.1
Coordenadas de área
Si se une un punto interior P de un triángulo de área A con los tres vértices
(Figura 4.13) se obtienen tres subáreas A1 , A2 y A3 tales que A1 + A2 + A3 = A.
Las coordenadas de área se definen entonces como
L1 =
A1
A
;
L2 =
A2
A
;
L3 =
A3
A
(4.91)
cumpliéndose obviamente que
L1 + L2 + L3 = 1
(4.92)
La posición del punto P puede definirse por dos cualquiera de dichas
coordenadas. Las coordenadas de área de un nodo puede definirse también como
cociente entre la distancia del punto P al lado opuesto dividida por la distancia
entre el nodo y dicho lado (Figura 4.13). Por consiguiente, el centro de gravedad del
triángulo tiene como coordenadas de área L1 = L2 = L3 = 1/3. Las coordenadas
de área, baricéntricas, triangulares o trilineares, como también se las conoce, son
clásicas de tratados de geometrı́a [F2], aunque por su particular utilidad para la
definición de funciones de forma de elementos triangulares han sido estudiadas y
utilizadas ampliamente en relación con el método de los elementos finitos.
Figura 4.13
Coordenadas de área del triángulo.
4.29
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Las coordenadas de área son doblemente interesantes porque pueden utilizarse
para definir una interpolación paramétrica del elemento. Más aún, si la geometrı́a
y el campo de desplazamientos se definen por las mismas funciones de forma
expresadas en coordenadas de área, el elemento es isoparamétrico. Ası́, para un
elemento triangular de lados rectos puede escribirse la siguiente relación lineal
entre las coordenadas de un punto y las de área
x = L1 x 1 + L2 x 2 + L3 x 3
(4.93)
y = L1 y1 + L2 y2 + L3 y3
Estas ecuaciones representan la interpolación isoparamétrica de la geometrı́a.
Despejando L1, L2 y L3 de (4.92) y (4.93) se obtiene
Li =
1
(ai + bi x + ci y)
2A(e)
(4.94)
donde A(e) es el área del triángulo y ai, bi y ci coinciden con los valores de
(4.25) para el elemento triangular de tres nodos. Se comprueba, por tanto, que
las coordenadas de área son precisamente las funciones de forma del elemento
triangular de tres nodos.
4.4.5.2
Expresión general de las funciones de forma de un elemento triangular
completo
Las funciones de forma de los elementos triangulares que contienen polinomios
completos de grado M pueden obtenerse en función de las coordenadas de área por
el procedimiento siguiente: Sea i un nodo cualquiera que ocupa la posición (I, J, K)
en los lados o en el interior del elemento. Los valores de I, J y K coinciden con los
exponentes con que van afectadas cada una de las coordenadas de área L1 , L2 y L3 ,
respectivamente, en la expresión de la función de forma del nodo. Por consiguiente,
se cumple que I + J + K = M. Y la función de forma del nodo i viene dada por
s3 (L )
Ni = lIs1 (L1 ) lJs1 (L2 ) lK
3
(4.95)
El superı́ndice s1 corresponde al número de orden que guarda el nodo i en
dirección del eje L1 , es decir, para la coordenada de área L1 = 1, s1 = 1 y para
L1 = 0, s1 = M + 1, (1 ≤ s1 ≤ M + 1).
lIs1 (L1 ) es el polinomio en L1 que pertenece a la familia de los polinomios de
Lagrange de grado I asociado al nodo i
lIs1 (L1 ) =
j=1,M +1
j=1,s1
L1 − Lj1
j
Ls1
1 − L1
(4.96)
s3
(L3 ). En (4.96) Li1 es el valor de la
con idénticas expresiones para lJs2 (L2 ) y lK
coordenada L1 en el nodo i.
4.30
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Con el objeto de que la ecuación (4.95) sea consistente para todos los nodos, es
necesario tener en cuenta que Ls1
0 (L1 ) = 1.
La dificultad mayor para aplicar la ec. (4.96) consiste en deducir los valores
I, J, K de cada nodo. Esto puede hacerse fácilmente teniendo en cuenta que:
a) La función de forma de cada nodo de vértice depende únicamente de una
coordenada de área, de lo que se deduce el exponente que afecta a dicha función y,
por tanto, el valor de I, J o K del nodo; b) Los nodos colocados sobre las rectas
L1 = cte tienen el mismo I, ocurriendo lo mismo con L2 y J y L3 y K, y c) Los
valores I, J, K asociados a L1 , L2 y L3 decrecen de unidad en unidad desde sus
valores máximos sobre las rectas Li = 1 que pasan sobre los nodos de vértice,
hasta el valor cero sobre la recta Li = 0 que coincide con el lado opuesto al vértice
en cuestión. (Figura 4.14).
Aclararemos todos estos conceptos con varios ejemplos.
Figura 4.14
Elementos triangulares lineal, cuadrático y cúbico y términos de sus
funciones de forma. Valores nodales de las coordenadas de área Li y
entre paréntesis los de las coordenadas (I, J, K) de cada nodo.
4.31
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
4.4.5.3
Funciones de forma del elemento triangular lineal de tres nodos
Las funciones de forma del elemento triangular de tres nodos son polinomios
de primer grado (M = 1). La posición de cada nodo y sus coordenadas de área
puede verse en la Figura 4.14.
Nodo 1
Posición (I, J, K) : (1, 0, 0)
Coordenadas de área: (1, 0, 0)
N1 = l11 (L1 )l02 (L2 )l02 (L3 ) = L11 (L1 ) =
=
j=1,2
j=1,1
L1 − Lj1
L11
−
Lj1
L1 − L21
L1 − 0
(4.97)
= = L1
=
L11 − L21
1−0
Es inmediato encontrar que N2 = L2 y N3 = L3 , resultado, por otra parte, ya
conocido.
4.4.5.4
Funciones de forma del elemento triangular cuadrático de seis nodos
Las funciones de forma de este elemento son polinomios completos de segundo
grado (M = 2). La posición de los nodos y el valor de las coordenadas de área de
cada nodo pueden verse en la Figura 4.14.
Nodo 1
Posición (I, J, K) : (2, 0, 0)
Coordenadas de área: (1, 0, 0)
N1 = l21 (L1 )l03 (L2 )l03 (L3 ) = L12 (L1 ) =
j=1,3
j=1,1
L1 − Lj1
L11 − Lj1
L1 − L21
L1 − L31
=
=
L11 − L21 L11 − L31
(L1 − 1/2) L1 − 0
= (2L1 − 1)L1
=
(1 − 1/2) 1 − 0
(4.98)
Nodo 4
Posición (I, J, K) : (1, 1, 0)
Coordenadas de área: (1/2, 1/2, 0)
N4 = l12 (L1 ) l12 (L2 )l03 (L3 ) = l12 (L1 )l12 (L2 ) =
L1 − L31
L2 − L32
j=1,3
j=1,2
L1 − Lj1
L21 − Lj1
j=1,3
j=1,2
(L1 − 0)L1 L2 − 0
=
= 4L1 L2
=
(1/2) − 0 1/2 − 0
L21 − L31 L22 − L32
4.32
L2 − Lj2
j
L22 − L2
=
(4.99)
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Siguiendo el mismo procedimiento, se obtiene fácilmente para todos los nodos
N1 = (2L1 − 1)L1
; N2 = (2 L2 − 1)L2
; N3 = (2L3 − 1)L3
(4.100)
N4 = 4L1 L2
; N5 = 4 L2 L3
; N6 = 4L1L3
En la Figura 4.15 se muestra la geometrı́a de dos funciones de forma
caracterı́sticas.
Figura 4.15
4.4.5.5
Funciones de forma de un nodo esquina y un nodo lateral en un
elemento triangular cuadrático.
Utilización de coordenadas naturales
Es frecuente definir sobre la geometrı́a normalizada del elemento triangular un
sistema de coordenadas naturales α y β de manera que el elemento tenga los lados
sobre los ejes α = 0, β = 0 y 1 − α − β = 0, como se indica en la Figura 4.16. En
dicho caso, las funciones de forma del elemento triangular de tres nodos vienen
dadas por
N1 = 1 − α − β ; N2 = α , N3 = β
(4.101)
de donde se deduce que las coordenadas de área L2 y L3 coinciden con las
coordenadas α y β, respectivamente, y L1 = 1 − α − β.
Figura 4.16
Coordenadas naturales en un elemento triangular.
4.33
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Haciendo uso de estas coincidencias pueden expresarse directamente las
funciones de forma de los elementos triangulares de los apartados anteriores en
función de las coordenadas naturales α y β, lo que es particularmente atractivo
para definir elementos isoparamétricos.
4.5 COMPORTAMIENTO GENERAL DE
TRIANGULARES Y RECTANGULARES
LOS
ELEMENTOS
En las Figuras 4.17 y 4.18 se muestran dos ejemplos caracterı́sticos que
permiten extraer conclusiones de interés sobre el comportamiento de los elementos
rectangulares y triangulares. El primer ejemplo muestra el análisis de una placa
sometida a tracción por una carga parabólica actuando simétricamente sobre dos
lados (Figura 4.17), con diferentes mallas de elementos triangulares de tres y seis
nodos y rectangulares de 4 y 8 nodos. Los resultados del desplazamiento horizontal
del punto central del lado cargado muestran que el elemento triangular de tres
nodos es el menos preciso de los cuatro estudiados, aunque utilizando una malla
razonablemente tupida se obtiene, con este elemento, un error inferior al 1%.
Figura 4.17
Placa traccionada por carga parabólica. Análisis con elementos
triangulares de 3 y 6 nodos y rectangulares de 4 y 8 nodos [G2], [Y1].
La precisión aumenta sensiblemente para el mismo número de grados de libertad
si se utilizan elementos triangulares de seis nodos y todavı́a más si se hace uso
4.34
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Figura 4.18
Viga en voladizo bajo carga parábolica en el borde. Análisis con
elementos triangulares de 3 y 6 nodos, rectangulares de 4 y 8 nodos
y el rectangular de 4 nodos y dos modos incompatibles [O3].
de cualquiera de los elementos rectangulares que proporcionan prácticamente la
solución exacta con un número pequeño de grados de libertad [G2], [Y1].
El segundo ejemplo es el de una viga de gran canto en voladizo, de ancho
t, con carga parabólica actuando sobre un extremo (Figura 4.18). Se utilizan
diferentes mallas con los mismos elementos que en el ejemplo anterior, incluyendo
además el de cuatro nodos con dos modos incompatibles [O3]. Se observa en la
Figura 4.18 que la aproximación del elemento triangular de 3 nodos es sumamente
pobre, mejorando algo, aunque no sustancialmente, para el triangular de 6 nodos.
Por otra parte, el elemento rectangular de 4 nodos tiene un comportamiento
excesivamente rı́gido que sólo mejora para mallas muy tupidas. La precisión
aumenta ostensiblemente con la adición de modos incompatibles [O3] y utilizando
elementos cuadráticos de 8 nodos.
4.35
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Los resultados anteriores son generalizables a otros tipos de problemas. Ası́,
puede afirmarse que, usualmente, los elementos rectangulares son más precisos
que los triangulares para el mismo número de grados de libertad. No obstante,
los elementos triangulares son mucho más versátiles que los rectangulares en la
discretización de geometrı́as complejas.
Por otro lado, los elementos de bajo orden son más sencillos de utilizar, aunque
en problemas con altos gradientes de tensiones la precisión sólo se consigue a
cambio de introducir un alto número de elementos sencillos, lo que puede hacer
obligatorio, e incluso más rentable en ocasiones, el utilizar elementos de orden más
elevado.
4.6 ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS BIDIMENSIONALES
Extenderemos ahora el concepto de “interpolación isoparamétrica”, presentado
en el Capı́tulo 3 para problemas unidimensionales, para formular elementos
isoparamétricos en dos dimensiones.
4.6.1 Elementos cuadriláteros
Recordemos que el término isoparamétrico surgı́a al utilizar las mismas
funciones de forma para interpolar la geometrı́a y los desplazamientos.
Por consiguiente, expresaremos la geometrı́a de un elemento isoparamétrico
bidimensional a partir de las coordenadas x e y de sus nodos como
x=
n
Ni (ξ, η) xi
,
i=1
y=
n
Ni (ξ, η) yi
(4.102)
i=1
donde Ni (ξ, η) son precisamente las funciones de forma del elemento. Las
ecs.(4.102) relacionan las coordenadas cartesianas de un punto y las naturales ξ y η.
Dicha relación debe ser biunı́voca, para lo cual debe cumplirse que el determinante
de la matriz Jacobiano de la transformación de coordenadas xy → ξη (dicha matriz
se define más adelante) sea de signo constante en todo el elemento [S4].
Puede demostrarse que si se utilizan funciones de forma lineales dicha condición
exige que ningún ángulo interior entre dos lados del elemento sea mayor o igual
que 180◦ [S4]. Si las funciones de forma son cuadráticas es necesario además que
los nodos sobre los lados se encuentren en el tercio central de la distancia entre
los nodos esquina adyacentes [J3]. Para funciones de forma de órdenes superiores
no existen reglas prácticas y es necesario comprobar el signo del determinante del
Jacobiano. No obstante, las funciones de grado superior a dos son poco utilizables
en la práctica. En la Figura 4.19 se muestran algunos ejemplos de elementos
isoparamétricos en dos dimensiones.
Gran parte de las ideas subyacentes en la aproximación isoparamétrica son
originales de Taig [T1], [T2], quien las aplicó para obtener siempre elementos
cuadriláteros de 4 nodos. Posteriormente, Irons [I1,4] generalizó dichas ideas para
obtener otros elementos más complejos en dos y tres dimensiones.
4.36
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Figura 4.19
Algunos elementos isoparamétricos bidimensionales.
En general, Ni vendrá expresada en las coordenadas naturales ξ y η , por lo
que la regla de la derivación en cadena permite escribir
∂Ni ∂x ∂Ni ∂y
∂Ni
=
+
∂ξ
∂x ∂ξ
∂y ∂ξ
(4.103)
∂Ni ∂x ∂Ni ∂y
∂Ni
=
+
∂η
∂x ∂η
∂y ∂η
o en forma matricial





∂Ni 
∂x

∂ξ
 ∂ξ
=

∂x
 ∂Ni 

∂η
∂η J(e)




∂y  


 ∂Ni 

 ∂Ni 
∂ξ  ∂x
(e)
∂x
=
J
 ∂N
∂y 

i



 ∂Ni 
∂y
∂y
∂η
(4.104)
!
donde J(e) es la matriz Jacobiano, o simplemente el Jacobiano, de la
transformación de coordenadas naturales a cartesianas. De (4.104) se deduce



∂Ni
∂x
∂N

i

∂y





= J(e)

−1 

∂Ni
∂ξ
∂N

i

∂η




∂y
1  ∂η
"
= ""
"


"J(e) " − ∂x
∂η
4.37


∂Ni


− ∂y
∂ξ
∂ξ 

∂N
∂x 
i

∂ξ
∂η





(4.105)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
"
"
"
"
donde "J(e) " es el determinante del Jacobiano.
El determinante del Jacobiano permite también expresar el diferencial de área
en coordenadas naturales como [C9]
"
"
"
"
dx dy = "J(e) " dξ dη
(4.106)
Para calcular los términos del Jacobiano se utiliza la transformación
isoparamétrica (4.102). Ası́
n ∂N
∂x i
=
xi
∂ξ
∂ξ
i=1
por lo que
J(e) =

n


i=1
n ∂N
∂x
i
=
x ; etc.
∂η 1=1 ∂η i
;
∂Ni
x
∂ξ i
∂Ni
x
∂η i

∂Ni
yi 
∂ξ

∂Ni
yi
∂η
(4.107)
Si el elemento es rectangular con lados rectos es fácil obtener
a 0
y |J(e) | = ab
(4.108)
J(e) =
0 b
Sustituyendo la ec.(4.105) en (4.30) se obtiene la matriz de deformación de un
elemento isoparamétrico en función de las coordenadas naturales por


bi
0
1 

"  0
Bi (ξ, η) = ""
ci 
(4.109a)
"
"J(e) "
ci
bi
donde
∂y ∂Ni ∂y ∂Ni
∂x ∂Ni ∂x ∂Ni
−
; ci =
−
(4.109b)
bi =
∂η ∂ξ
∂ξ ∂η
∂ξ ∂η
∂η ∂ξ
Haciendo uso de las expresiones anteriores, la matriz de rigidez del elemento
puede escribirse como una integral sobre el dominio normalizado de las
coordenadas naturales por
(e)
Kij
=
A(e)
BTi
+1 +1
D Bj tdxdy =
−1
+1 +1 d11 bi bj + d33 ci cj
=
−1
−1
+1 +1
=
−1
−1
d21 ci bj + d3 bi cj
Gij (ξ, η) ""
−1
"
"
"
"
BTi (ξ, η) D Bj (ξ, η) "J(e)" tdξ dη =
d12 bi cj + d33 cj bi " t "
dξdη =
d33 bi bj + d22 ci cj ""J(e)""
t
" dξdη
"
"J(e) "
(4.110)
Se deduce de la expresión anterior que los términos del integrando son funciones
racionales en ξ y η a menos que el determinante del Jacobiano sea constante. Esto
sólo ocurre en elementos rectangulares o en elementos triangulares de lados rectos,
en cuyo caso las integrales se simplifican notablemente. Sin embargo, en elementos
(e)
de lados curvos, la integración analı́tica de los términos de Kij es compleja y es
necesario hacer uso de integración numérica.
4.38
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
4.6.2
Elementos triangulares isoparamétricos
En elementos triangulares la interpolación isoparamétrica se define de forma
similar a la ec. (4.102) por
x=
n
Ni (L1 , L2, L3 ) xi
;
y=
i=1
n
Ni (L1 , L2 , L3) yi
(4.111)
i=1
Si el elemento triangular es de lados rectos, el cálculo de las derivadas
cartesianas de las funciones de forma es inmediato. En dicho caso es fácil obtener
J(e)
x − x1
= 2
x3 − x1
y2 − y1
y3 − y1
y
|J(e) | = 2A(e)
(4.112)
Si el elemento es de lados curvos, es más conveniente operar en función de
las coordenadas naturales α y β (Apartado 4.4.5.5) lo que implica sencillamente
sustituir L2 y L3 por α y β, respectivamente, y L1 por 1 − α − β. A partir de aquı́
el cálculo de las derivadas cartesianas de las funciones de forma sigue exactamente
los pasos descritos en el apartado anterior, intercambiando simplemente las
coordenadas ξ y η por α y β, respectivamente. Ası́ , por ejemplo
n ∂N (α, β)
∂x
i
=
xi
∂α i=1
∂α
;
n ∂N (α β)
∂x
i 1
=
xi
∂β i=1
∂β
;
etc.
(4.113)
La matriz de rigidez del elemento se obtiene por una expresión análoga a la
(4.110), tal como
(e)
Kij
=
1 1−β
0
0
BTi
D
"
"
"
"
Bj "J(e) "tdαdβ
=
1 1−β
0
0
Gij (α, β) ""
t
" dαdβ
"
"J(e) "
(4.114)
donde todos los términos de Bi , J(e) y Gij se deducen de las ecs. (4.107) - (4.110)
sustituyendo las coordenadas ξ y η por α y β, respectivamente.
En elementos de lados curvos los términos del integrando de (4.114) son
funciones racionales en α y β. Esta dificultad se complica con la interdependencia
de los lı́mites de integración debida a la geometrı́a del elemento. No obstante, el
cálculo de las integrales puede efectuarse de manera sencilla y sistemática mediante
integración numérica.
4.7 INTEGRACIÓN NUMÉRICA EN DOS DIMENSIONES
Hemos visto que mediante la formulación isoparamétrica se pueden transformar
todas las integrales sobre el dominio del elemento a otras sobre el espacio de
coordenadas naturales. Para el cálculo de dichas integrales, que suelen contener
términos racionales, puede hacerse uso de cualquiera de las cuadraturas de
integración numérica. Consideraremos aquı́ de nuevo la cuadratura de GaussLegendre sobre dominios bidimensionales [R2].
4.39
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
4.7.1 Integración numérica en dominios cuadriláteros
(e)
La integral de un término cualquiera g(ξ, η) de la matriz de rigidez Kij sobre
el dominio de coordenadas naturales de un elemento cuadrilátero puede evaluarse
por una cuadratura de Gauss-Legendre bidimensional como
+1 +1
−1
−1
g(ξ, η) dξdη =
nq
+1 −1
g(ξ, ηq )Wq dξ =
q=1
np nq
g(ξp , ηq )Wp Wq
p=1 q=1
(4.115)
donde np y nq son el número de puntos de integración seleccionados en cada una de
las direcciones ξ y η; ξp y ηq son las coordenadas naturales del punto de integración
p, q y Wp, Wq los pesos correspondientes a cada dirección en dicho punto.
Las coordenadas y los pesos para cada dirección se deducen directamente de
los dados en la Tabla 3.1 para el caso unidimensional. Recordemos que una
cuadratura de orden n en cada dirección natural integra exactamente un polinomio
de grado ≤ 2n − 1 en la correspondiente coordenada natural. En la Figura 4.20 se
muestran algunas de las cuadraturas bidimensionales más usuales sobre elementos
cuadriláteros.
Figura 4.20
Cuadraturas de Gauss-Legendre sobre elementos cuadriláteros: a)
1 × 1. b) 2 × 2. c) 3 × 3. d) 4 × 4 puntos de integración.
4.7.2 Integración numérica sobre dominios triangulares
La cuadratura de Gauss para elementos triangulares se escribe como
1 1−L
3
0
0
f (L1 , L2 , L3) dL2 dL3 =
np
p=1
f (L1p , L2p , L3p ) Wp
(4.116)
donde np es el número de puntos de integración; L1p , L2p , L3p y Wp son los valores
de las coordenadas de área y del peso en el punto de integración p, respectivamente.
En la Figura 4.21 se muestran las coordenadas y los pesos más utilizados en
la práctica; la “precisión”en dicha figura es el polinomio de mayor grado que la
fórmula integra exactamente. La Figura 4.21 es también de utilidad inmediata
4.40
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
para el cálculo de integrales definidas en función de las coordenadas naturales α y
β haciendo uso de la relación entre dichas coordenadas y las de área.
Es importante advertir que en dicha figura se han normalizado los pesos Wp de
manera que su suma sea 12 . Es también usual que los pesos se tabulen de modo
que sumen la unidad, lo que obliga a afectar el sumatorio de la ec. (4.116) del
coeficiente 1/2 para que el área del elemento se calcule exactamente.
Figura
(a)
n
1
Precisión
Lineal
(b)
3
Cuadrática
(c)
4
Cúbica
(d)
6
Cuártica
Puntos
a
a
b
c
a
b
c
d
a
b
c
d
e
f
L1
1/3
1/2
0
1/2
1/3
0.6
0.2
0.2
α1
β1
β1
α2
β2
β2
L2
1/3
1/2
1/2
0
1/3
0.2
0.6
0.2
β1
α1
β1
β2
α2
β2
L3
1/3
0
1/2
1/2
1/3
0.2
0.2
0.6
β1
β1
α1
β2
β2
α2
Wi
1/2
1/6
1/6
1/6
γ1
γ2
γ2
γ2
γ3
γ3
γ3
γ4
γ4
γ4
27
; 2γ3 = 0.1099517437
96
25
;
2γ4 = 0, 2233815897
α2 = 0.1081030182 ; β2 = 0.4459484909 ; γ2 =
96
α1 = 0.8168475730 ; β1 = 0.0915762135 ; γ1 = −
Figura 4.21
Coordenadas y pesos de la cuadratura de Gauss en elementos
triangulares.
4.41
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
♣ Ejemplo 4.1 Calcular el área de un elemento triangular de lados rectos por
integración numérica.
– Solución
(e)
A
=
A(e)
1 1−β
dxdy =
0
0
|J (e) |dαdβ = |J (e) |
p
Wp =
|J (e) |
2
Para mayor información sobre la integración numérica de elementos triangulares
consúltese las referencias [C5], [C8], [D3], [H9] y [Z3].
4.7.3
Selección del orden de integración
El número de puntos de integración se selecciona de acuerdo con el grado de
los polinomios que aparecen en las integrales del elemento. Si el elemento es
isoparamétrico dichas integrales contienen funciones racionales y la integración
exacta no es posible. En este caso suele escogerse una cuadratura que integre
exactamente la matriz (o vector) de un elemento análogo rectangular o triangular
de lados rectos en el que, por ser el Jacobiano constante, las integrales sólo
contienen funciones polinómicas.
Está comprobado que en este último caso basta con que la cuadratura
(e)
seleccionada integre exactamente los términos de Kij correspondientes al
polinomio completo contenido en las funciones de forma, pues, de hecho, dichos
términos son los únicos que contribuyen significativamente a la aproximación y
convergencia de la solución.
Este orden de integración recibe el nombre de cuadratura mı́nima para mantener
la convergencia. Vemos como de nuevo una integración “inexacta” de la matriz
de rigidez conduce a resultados correctos.
En la práctica la cuadratura mı́nima es la más recomendable ya que,
obviamente, es la más económica en número de operaciones. Es interesante
constatar cómo, en ocasiones, la integración mı́nima proporciona incluso mejores
resultados debido a la mayor flexibilidad que confiere al elemento, que cancela en
parte los errores por exceso de rigidez inherentes a la discretización y al campo de
desplazamiento supuesto.
En la Figura 4.22 se muestran las cuadraturas de integración exacta y mı́nima
para los elementos rectangulares y triangulares de lados rectos más usuales.
Algunos autores asocian el nombre de cuadratura mı́nima a aquella que
garantiza que el elemento puede reproducir en el lı́mite un estado de deformación
constante [Z3,8]. Esto implica que la cuadratura escogida debe poder evaluar
correctamente el área (o el volumen) del elemento, lo que en coordenadas naturales
representa calcular exactamente
A(e)
"
"
" (e) "
"J "
4.42
dξdη
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Figura 4.22
Cuadraturas de integración exacta y mı́nima para algunos de los
elementos rectangulares y triangulares de lados rectos más usuales.
En elementos rectangulares y triangulares de lados rectos esta condición es muy
débil pues exige únicamente una cuadratura de un solo punto, lo que generalmente
viola la exigencia mı́nima para mantener la convergencia descrita más arriba (salvo
en elementos triangulares de tres nodos), y puede dar origen a mecanismos internos
asociados a modos de energı́a nula. Dichos mecanismos se producen cuando el
campo de desplazamientos nodales genera otro de deformaciones que se anula en los
puntos de integración numérica. En ocasiones estos mecanismos son compatibles
entre sı́ y provocan la singularidad de la matriz de rigidez K, con la consiguiente
pérdida de la solución. Este es el caso de los mecanismos que se producen en el
elemento de cuatro nodos con un solo punto de integración (Figura 4.23a). En
otros casos los mecanismos del elemento no pueden propagarse en la malla, lo que
preserva la solución correcta (Figura 4.23b). De cualquier manera es deseable que
el elemento esté libre de mecanismos internos, por lo que es más práctico definir la
cuadratura mı́nima en base a los criterios de integración del polinomio completo
antes mencionados, ya que siempre garantizan la integración exacta del área del
elemento.
Es importante destacar que los puntos de la cuadratura mı́nima coinciden en
la mayor parte de los casos con los puntos óptimos para cálculo de tensiones
(ver Apartado 3.5), lo que puede comprobarse sencillamente comparando las
cuadraturas mı́nimas y óptimas de las Figuras 4.22 y 3.3, respectivamente. La
4.43
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 4.23
Modos de energı́a nula (mecanismos) en elementos planos: a) Mecanismos
propagables en el elemento de 4 nodos con un punto de integración. b)
Mecanismo no propagable en un elemento de 8 nodos integrado con una
cuadratura 2 × 2. Los elementos diferenciales de área en los puntos de
Gauss giran sin deformarse.
transcendencia de esta coincidencia queda reflejada en el ejemplo del análisis de una
viga en voladizo con elementos rectangulares Serendı́pitos de 8 nodos (Figura 4.24).
Puede apreciarse en dicha figura que la variación del esfuerzo cortante dentro de
cada elemento es parabólica y por lo tanto incorrecta. Por otra parte, los valores del
cortante obtenidos en las secciones correspondientes a los puntos de la cuadratura
mı́nima/ óptima 2 × 2 coinciden con los exactos y una simple interpolación lineal
de dichos valores a los nodos proporciona la distribución exacta.
4.7.4
Integración numérica de las matrices y vectores del elemento
De acuerdo con todo lo anterior, la expresión de la matriz de rigidez de un
elemento cuadrangular isoparamétrico evaluada por integración numérica serı́a
(e)
Kij =
=
A(e)
+1 +1
BTi D Bj tdxdy =
−1
np nq p=1 q=1
"
"
"
"
BTi D Bj "J(e) "t
p,q
−1
"
"
"
"
BTi D Bj "J(e) " tdξdη =
Wṗ Wq̇ =
np nq
p=1 q=1
t
"
"
" (e) " Gij
"J "
(4.117)
Wp Wq
p,q
donde Gij es la matriz dada en la ec.(4.110). Para un elemento triangular se
deduce de (4.116) y (4.117)
(e)
Kij
=
=
1 1−β
BTi DBj |J(e) |tdαdβ =
0 0
np
np
t
T
(e)
[Bi DBj |J |t]p Wp =
[ (e) Gij ]pWp
p=1
p=1 |J |
(4.118)
donde la posición de los puntos de integración y los pesos correspondientes se
obtienen de la Figura 4.21.
4.44
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Figura 4.24
Viga en voladizo analizada con cuatro elementos Serendı́pitos de 8 nodos.
Valores del esfuerzo cortante en las secciones correspondientes a la
cuadratura 2 × 2 de Gauss-Legendre y extrapolación lineal a los nodos.
Vemos, por consiguiente, que el cálculo numérico de la matriz de rigidez
exige evaluar el Jacobiano J(e) y su determinante, ası́ como las matrices de
deformación Bi y constitutiva D en cada punto de integración de la cuadratura
seleccionada. Similarmente, el cálculo de cualquiera de los vectores de fuerzas
nodales equivalentes que implican integrales sobre el elemento (por ejemplo, el
debido a fuerzas másicas se evaluarı́a en elementos cuadriláteros por
(e)
fb
i
=
=
NTi btdxdy =
A(e)
np nq p=1 q=1
NTi
b
+1 +1
−1
"
" " (e) "
"J "t
p,q
−1
"
"
"
"
NTi b "J(e) "tdξdη =
(4.119)
Wp Wq
Para elementos triangulares el doble sumatorio se reemplazarı́a por el sumatorio
simple de la ec.(4.116).
4.45
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 4.25
Fuerzas de superficie verticales actuando sobre el contorno η = +1.
El cálculo del vector de fuerzas de superficie merece un comentario especial.
Recordemos que dicho vector tiene la expresión siguiente
(e)
fti =
l(e)
NTi t t ds
(4.120)
donde l(e) es el contorno cargado del elemento. En general dicho contorno
representa en el espacio de coordenadas naturales una recta ξ = cte ó η = cte (ver
Figura 4.25). Por consiguiente, para un contorno de un elemento isoparamétrico
cuadrilátero que corresponda, por ejemplo, con la recta η = 1, el diferencial de
longitud ds se calcula por
(ds)η=1 =
=
(dx2
+ dy2 )η=1
#
$& n
$ $
%
i=1
=
#
$
$ dx 2
%
dξ η=1
'2
& n
+
dy 2
dNi
dNi
xi
yi
+
dξ
η=1
i=1 dξ
dξ η=1
'2
dξ =
(4.121)
dξ = c(ξ) dξ
η=1
Sustituyendo (4.121) en (4.120) se obtiene una integral de lı́nea que es función
únicamente de la coordenada natural ξ y que se puede calcular con una cuadratura
unidimensional como
(e)
fti
=
T
N
i η=1
l(e)
t tc(ξ)dξ =
+1
−1
g(ξ)dξ =
np
g(ξp ) Wp
(4.122)
p=1
Con frecuencia sucede que las fuerzas de superficie actúan en dirección
tangencial y/o normal al contorno (Figura 4.26), lo que simplifica los cálculos.
Ası́, transformando dichas fuerzas a ejes globales, se obtiene
t=
tx
ty
=
τ cos β − σ sen β
σ cos β + τ sen β
(4.123)
donde σ y τ son la componente normal y tangencial de la fuerza de superficie,
respectivamente, y β el ángulo que la tangente al contorno forma con el eje x.
4.46
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Figura 4.26
Fuerzas de superficie tangenciales y normales al contorno η = +1.
(e)
Sustituyendo (4.123) en la expresión del vector fti de (4.120), se tiene
τ
(e)
fti = (e) Ni
σ
S
cos β − σ sen β
cos β + τ sen β
t ds =
s(e)
Ni
τ dx − σdy
t
σdx + τ dy
(4.124)
Por otra parte, en el contorno en cuestión
dx =
∂x
dξ = J11 dξ
∂ξ
;
dy =
∂y
dξ = J12 dξ
∂ξ
(4.125)
donde J11 y J12 se obtienen de la expresión del Jacobiano para η = 1. Por
consiguiente, sustituyendo (4.125) en (4.124) se llega finalmente a
(e)
fti
+1
=
−1
Ni
τ J11 − σJ12
σJ11 + τ J12
t dξ =
np
p=1
Ni
τ J11 − σJ12
σJ11 + τ J12
t
Wp
(4.126)
p
4.8 VENTAJAS DE LA SIMETRÍA ESTRUCTURAL
4.8.1 Concepto de malla simétrica
Diremos que una estructura o una malla de elementos finitos es simétrica si lo
son su geometrı́a, sus propiedades mecánicas y sus condiciones de contorno. La
simetrı́a estructural puede clasificarse en reflejante o rotacional. En una estructura
simétrica, una o más reflexiones y/o rotaciones dejan a la estructura en una
configuración indistinguible de la original con respecto a la forma geométrica,
propiedades mecánicas y condiciones de contorno. En la placa de la Figura 4.27a
cada lı́nea a trazos es un eje de simetrı́a reflejante. Por otra parte, un eje
perpendicular al plano de la figura que pase por el punto C es un eje de simetrı́a
rotacional, ya que sucesivas rotaciones de 90◦ permiten superponer la estructura
4.47
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
con ella misma. Otros ejemplos de simetrı́a rotacional son las estructuras de
revolución y las estructuras con simetrı́a cı́clica que se estudian más adelante.
Una estructura simétrica puede tener cargas simétricas o antisimétricas. Un
sistema de cargas es antisimétrico si una reflexión de la estructura, con sus cargas,
seguida de un cambio de signo de todas ellas, produce la coincidencia con el
estado inicial (Figura 4.27c). En ambos casos, simétrico y antisimétrico, basta
con analizar la mitad simétrica de la estructura con las condiciones de contorno
siguientes:
Carga simétrica
– Desplazamiento nulo en dirección perpendicular al plano de simetrı́a.
– Todos los vectores giro contenidos en el plano de simetrı́a son nulos.
Carga antisimétrica
– Desplazamientos nulos en el plano de simetrı́a.
– Todos los vectores giro están contenidos en el plano de simetrı́a.
Figura 4.27
Ejemplos de simetrı́as. a) Simetrı́as reflejante y rotacional. b) Cargas simétricas. c) Cargas antisimétricas.
Un problema es esviado-simétrico si requiere una rotación o más de una
reflexión para obtener la forma geométrica original. La placa de la Figura 4.27a
serı́a esviada-simétrica si, por ejemplo, los octantes ACD y F CE estuvieran
idénticamente cargados y el resto sin carga. La flecha cumplirı́a entonces la
condición w(r) = w(−r) siendo r la coordenada radial medida desde el centro
C. En el caso esviado-antisimétrico las cargas sobre ACD y F CE tendrı́an igual
módulo y sentido opuesto, cumpliéndose ahora que w(r) = −w(−r).
En ocasiones, es conveniente expresar la carga como suma de dos cargas
simétricas y antisimétricas. En dicho caso basta con analizar la mitad de la
estructura bajo dos estados de cargas y obtener el resultado final por superposición.
4.48
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
♣ Ejemplo 4.2 Imponer las condiciones de contorno por simetrı́a en las mallas de
la Figura 4.28.
– Solución
Malla 1 : Viga en tensión plana (Figura 4.28a). Dadas las condiciones de
antisimetrı́a de la malla, basta con analizar la mitad de la misma con la
condición de desplazamiento vertical nulo en los nodos sobre el eje de
simetrı́a A − A .
Malla 2 : Placa bajo cargas puntuales (Figura 4.28b). La doble simetrı́a de malla
y cargas permite analizar un cuadrante de malla con las condiciones de
giros nulos sobre los lados 4-5 y 2-5 que se muestran.
Figura 4.28
Condiciones de contornos en malla con a) cargas antisimétricas
y b) cargas simétricas.
4.9 ESTRUCTURAS SOBRE UN MEDIO ELÁSTICO
La deformación del terreno puede tener una influencia importante en la
respuesta de una estructura. El efecto del terreno puede tenerse en cuenta
incluyendo una malla de elementos finitos “de terreno” en el análisis. Un ejemplo
de esta situación es el análisis del conjunto presa/terreno por elementos bi o
tridimensionales. No obstante, en muchos casos este procedimiento obliga a utilizar
elementos de diferente tipo para la estructura y el terreno. Ejemplos de esto
son caracterı́sticos de placas y láminas donde los elementos de terreno deben ser
4.49
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
siempre tridimensionales. En estos casos es más sencillo considerar el efecto de
la deformación del terreno a través de un coeficiente de balasto que establezca
la relación entre los movimientos de los puntos de la estructura en contacto con
el terreno y las correspondientes reacciones. En lo que sigue supondremos que
dicha relación es lineal y que, asimismo, el coeficiente de balasto es constante.
Estas simplificaciones equivalen a considerar al terreno como un medio elástico
homogéneo e isótropo, lo que permite obtener una primera aproximación del efecto
del mismo en la deformación de la estructura de forma relativamente sencilla.
Figura 4.29
Elemento triangular de tres nodos apoyado sobre un terreno elástico
con coeficiente de balasto k.
Consideremos, por ejemplo, la presa de la Figura 4.29 apoyada sobre un terreno
de coeficiente de balasto k. La relación entre el desplazamiento vertical de cada
punto v(x) y la correspondiente reacción del terreno t(x), puede escribirse como
t(x) = −kv(x)
(4.127)
Las reacciones del terreno t(x) efectúan un trabajo t(x)v(x) al deformarse la
estructura (por ejemplo, bajo peso propio). Por consiguiente, la expresión del
PTV debe modificarse añadiendo el correspondiente trabajo virtual realizado por
las reacciones t(x) como
A
δεεT σ
ε σ dA =
A
δuT b
dA +
Γter
δvt dx
(4.128)
donde la integral de lı́nea del segundo miembro se extiende sobre el contorno de
la estructura Γter en contacto con el terreno. Sustituyendo (4.127) se encuentra
A
δεεT σ
dA +
Γter
δv k v dx =
− − − − −−
A
δuT b dA
(4.129)
Vemos, por tanto, que la consideración de la deformación elástica del terreno
equivale a añadir la integral subrayada en (4.129) a la expresión del trabajo de
deformación virtual del sólido.
4.50
SÓLIDOS BIDIMENSIONALES
Para un elemento de la Figura 4.29 en contacto con el terreno se obtiene la
siguiente ecuación matricial de equilibrio
[K(e) + G(e) ]a(e) − f (e) = q(e)
(4.130)
donde todas las matrices y vectores tienen las expresiones usuales a excepción de
la matriz G(e) que se obtiene por
(e)
Gij
=
l(e)
k(e)
0
0
dx
0 Ni Nj
(4.131)
Como era de esperar, el efecto del terreno se traduce en un aumento de la
rigidez del elemento. Para el triángulo de tres nodos la matriz G(e) tiene la
sencilla expresión siguiente
i

G(e) =

0


0
(e) 
klij 

0
3 

0


0

0
j
..
.
..
.
..
0
.
..
1/2 .
..
0
.
..
0
.
0
1
k
0
0
0
1/2
0
0
0
1
0
0
0
0
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
0
0
0
0
0
0


0
i

0


0
j

0

(4.132)

0

0 k
donde lij es la longitud del lado ij en contacto con el medio elástico.
Adviértase que la matriz anterior tiene en cuenta el efecto de acoplamiento
entre los desplazamientos de los dos nodos del elemento en contacto con el
terreno. Una simplificación usual consiste en utilizar una matriz G(e) diagonal
obtenida por suma de los coeficientes de cada una de las filas de (4.132). Esto en
(kl)(e)
definitiva equivale a suponer un muelle de constante elástica 2 que coacciona
el desplazamiento vertical de cada nodo. Si se utilizan elementos de longitud
constante l esto implica simplemente añadir una rigidez (kl) a los términos de la
diagonal principal de K correspondientes a los desplazamientos verticales de los
nodos i y j.
La extrapolación de los conceptos anteriores a otros problemas de estructuras
sigue los mismos principios. Para los detalles consultar [O3].
4.51
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
4.10 COMENTARIOS FINALES
En este extenso capı́tulo hemos introducido una gran parte de los conceptos
necesarios para el análisis de sólidos por el método de los elementos finitos. En
capı́tulos posteriores veremos como temas tales como la obtención de funciones
de forma de elementos de clase Co , la formulación isoparamétrica, la integración
numérica, la obtención general de las matrices y vectores del elemento, entre
otros, se tratarán en muchos casos como una simple ampliación de los conceptos
estudiados en este capı́tulo.
Asimismo, hemos visto que existe una gran variedad de elementos utilizables
para análisis de estructuras que pueden modelarse como sólidos bidimensionales
utilizando las hipótesis de tensión o deformación plana. En grandes lı́neas hay
que destacar la gran simplicidad y versatilidad del triángulo de tres nodos de
deformación constante, y la mayor precisión de los elementos cuadráticos triangular
(6 nodos) y cuadriláteros Serendı́pito (8 nodos) y Lagrangiano (9 nodos), que en
su versión isoparamétrica exigen utilizar integración numérica.
En la parte final del capı́tulo se han presentado sucintamente conceptos de
interés práctico, tales como el tratamiento de simetrı́as y la inclusión del efecto
del terreno de una forma sencilla a través de un coeficiente de balasto.
4.52
CAPÍTULO 5
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
5.1 INTRODUCCIÓN
En este capı́tulo estudiaremos el análisis por el método de los elementos
finitos de sólidos con simetrı́a axial. Es decir, consideraremos sólidos en los
que su geometrı́a y propiedades mecánicas son independientes de la coordenada
circunferencial θ (Figura 5.1). Aunque el comportamiento de dichos sólidos
es tridimensional, su estudio matemático es generalmente bidimensional ya que
en la mayorı́a de los casos puede efectuarse utilizando variables que dependen
únicamente de dos coordenadas cartesianas.
Figura 5.1
Sólido de revolución.
Si las cargas exteriores son también de revolución, el desplazamiento de un
punto de una estructura considerada como un sólido de revolución tiene sólo
componentes en direcciones radial (u) y axial (w). El estudio de dichas estructuras
por elementos finitos no es complicado y sigue prácticamente los mismos pasos
que se explicaron en el Capı́tulo 4 para problemas de elasticidad bidimensional.
Si las cargas no son de revolución hay que realizar un análisis tridimensional.
5.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
No obstante, incluso en estos casos puede hacerse uso de la simetrı́a axial de la
estructura para simplificar el cálculo. Ası́, es posible desarrollar las cargas en series
de Fourier según la dirección circunferencial y efectuar un análisis bidimensional
para cada término de dicho desarrollo. El resultado final se obtiene utilizando
el principio de superposición y sumando los resultados bidimensionales para los
diferentes términos de carga seleccionados. De esta manera se evita un análisis
tridimensional que normalmente involucra operaciones costosas de generación de
malla y del propio cálculo. En la referencia [O3] se describe este procedimiento de
análisis.
Si la estructura es de paredes delgadas se denomina lámina de revolución. El
estudio de dichas estructuras se tratará en el Capı́tulo 10.
En este capı́tulo estudiaremos únicamente el análisis de sólidos con simetrı́a
axial sometidos a cargas de revolución.
Las estructuras de revolución (bien sólidos o láminas) representan un alto
porcentaje de las estructuras de uso común en ingenierı́a. Entre las más populares
citaremos los depósitos para agua, torres de enfriamiento, muros cilı́ndricos, silos,
cúpulas, vasijas de presión, etc. Asimismo pueden analizarse mediante la teorı́a
expuesta en este capı́tulo otros problemas de ingenierı́a que utilizan la teorı́a de la
elasticidad de revolución, como algunos problemas de mecánica del suelo. En la
Figura 5.2 se han representado varias estructuras de revolución usuales.
Figura 5.2
Diferentes estructuras en las que puede utilizarse la teorı́a de
elasticidad de revolución.
5.2
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
5.2 FORMULACIÓN BÁSICA
5.2.1
Campo de desplazamientos
Sea el sólido de revolución de la Figura 5.1. Si las cargas son también
de revolución el movimiento de un punto queda perfectamente definido por las
componentes de los desplazamientos radial u y axial w, siendo nula la componente
circunferencial v. Por consiguiente, se puede definir el vector de desplazamientos
de un punto por
u=
5.2.2
u(r, z)
w(r, z)
(5.1)
Campo de deformaciones
Debido a la simetrı́a axial del problema los dos desplazamientos no nulos u y w
son independientes de la coordenada circunferencial θ. Por consiguiente, se deduce
que las deformaciones tangenciales γrθ y γzθ son nulas. Asimismo, de la teorı́a de
la elasticidad tridimensional se obtiene [T3]
εr =
∂u
∂r
;
εz =
∂w
∂z
;
γrz =
∂u ∂w
+
∂z
∂r
(5.2)
siendo εr , εz y γrz las deformaciones radial, axial y tangencial, respectivamente.
Por otra parte, la deformación axial del cuerpo provoca que los puntos situados
sobre una circunferencia de radio r pasen después de la deformación a estar
situados sobre otra de radio r+u. Por ello, se define la deformación circunferencial
εθ como la variación relativa de longitud entre dichas circunferencias (ver
Figura 5.3). Es decir
εθ =
2π(r + u) − 2πr
u
=
2πr
r
(5.3)
El vector de deformaciones de un punto tiene, por tanto, las cuatro componentes
siguientes:





















εr 


εz 
ε=
= 

εθ 











γrz








5.3
∂u
∂r
∂w
∂z
u
r
∂u + ∂w
∂z
∂r





























(5.4)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 5.3
5.2.3
Obtención de la deformación circunferencial εθ .
Campo de tensiones
Las tensiones no nulas se corresponden con las deformaciones no nulas. Ası́,
pues, el vector de tensiones se escribe como
σ = [σr , σz , σθ , τrz ]T
(5.5)
donde σr , σz y σθ son, respectivamente, las tensiones radial, axial y circunferencial,
y τrz es la tensión tangencial. En la Figura 5.4 se puede apreciar el convenio de
signos para las tensiones actuando sobre un elemento diferencial de un sólido de
revolución.
Figura 5.4
Tensiones actuando sobre un elemento diferencial de un sólido de
revolución con cargas de revolución.
5.4
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
5.2.4
Ecuación constitutiva
La relación entre tensiones y deformaciones se deduce de la elasticidad
tridimensional de forma análoga al caso de elasticidad bidimensional. En presencia
de tensiones y deformaciones iniciales se obtiene
σ = D (εε − ε0 ) + σ 0
(5.6)
donde si el material es isótropo (obsérvese que en cualquier caso siempre es
necesaria simetrı́a axial de las propiedades del material)

1−ν
 ν
E


D=
(1 + ν) (1 − 2ν)  ν
0
ν
1−ν
ν
0
ν
ν
1−ν
0
0
0
0
1 − 2ν





(5.7)
2
En el caso de deformaciones térmicas, el vector de deformaciones iniciales ε0 se
escribe para elasticidad isótropa [T3]
ε0 = α (∆T ) [1, 1, 1, 0]T
(5.8)
donde todos los coeficientes han sido definidos en capı́tulos anteriores.
5.2.5
Expresión del Principio de los Trabajos Virtuales
La expresión del PTV es análoga a la de la elasticidad bidimensional, estando
ahora todas las integrales referidas al volumen del sólido de revolución. De la
Figura 5.4 se deduce que el diferencial de volumen se puede expresar como
dV = (rdθ) dr dz = r dθdA
(5.9)
donde dA es el diferencial de área de la sección meridional del sólido.
Ası́, pues, la expresión del PTV en un sólido de revolución se escribe como
2π
A 0
+
δεεT σ r dθdA =
2π
l 0
2π
A 0
δuT t r dθds +
2π
i
0
δuT br dθdA+
δaTi qi ri dθ
(5.10)
donde l es el contorno de la sección meridional, y
b=
br
bz
;
t=
tr
tz
y
qi =
qr
qz i
(5.11)
son los vectores de fuerzas exteriores másicas, de superficie y puntuales,
respectivamente. Recordemos de nuevo que ahora todas las cargas tienen simetrı́a
de revolución (Figura 5.5).
5.5
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 5.5
Fuerzas de revolución actuando en un sólido de revolución.
Haciendo uso de la simetrı́a axial puede efectuarse la integración sobre la
variable circunferencial θ en (5.10) para dar
2π
A
δεεT σ r dA = 2π
A
δuT b r dA+2π
l
δuT trds+2π
i
δaTi qi ri (5.12)
Se observa en (5.12) que el coeficiente 2π aparece multiplicando todos los
términos, pudiendo por tanto eliminarse. No obstante, conviene mantenerlo por
razones didácticas y, fundamentalmente, para recordar que los valores de las
cargas puntuales qi se refieren a intensidades de carga por unidad de longitud
circunferencial.
5.3
FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. PARTICULARIZACIÓN PARA EL ELEMENTO TRIANGULAR DE TRES NODOS
Presentaremos seguidamente la formulación de elementos finitos utilizando el
elemento de sólido de revolución más sencillo que, análogamente al caso plano, es
el elemento triangular de revolución de tres nodos. El elemento, como se puede
apreciar en la Figura 5.6, es un anillo de sección triangular. Hay que resaltar que
en sólidos de revolución los elementos son anulares, aunque todas las integrales
del elemento se evalúen únicamente sobre una sección meridional, operándose, de
hecho, sobre un elemento bidimensional.
5.3.1
Discretización del campo de desplazamientos
Dentro de la sección meridional de un elemento, el campo de desplazamientos
se interpola en forma análoga al caso plano. Ası́, para el elemento triangular de
tres nodos
u=
=
u
w
=
3 Ni
i=1
0
N1 u1 + N2 u2 + N3 u3
N1 w1 + N2 w2 + N3 w3
0
Ni
ui
wi
=
5.6
3
i=1
=
Ni ai = N a(e)
(5.13)
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Figura 5.6
Elemento sólido de revolución triangular de tres nodos.
donde
N = [N1 , N2, N3 ] =
N1
0
|
N2
0
|
N3
0
0
N1
|
0
N2
|
0
N3
(5.14)
y
a(e)
=


(e) 


a1 








(e)
a


 2 





 (e) 
a3 
T
= u1 , w1 , u2 , w2 , u3, w3
(5.15)
Las funciones de forma Ni se obtienen directamente de las del elemento
triangular de tres nodos de elasticidad plana, sustituyendo simplemente las
coordenadas x, y por r, z. La extrapolación de las expresiones anteriores al caso de
un elemento de n nodos cualquiera es inmediata, sin más que ampliar de 3 a n el
(e)
número de matrices Ni y vectores ai en las ecs. (5.14) y (5.15), respectivamente.
5.3.2
Discretización del campo de deformaciones y tensiones
Del vector de deformaciones (5.4) y de la ec.(5.13) se obtiene

∂Ni
 ∂r
ε=


3 



i=1 



0
Ni
r
∂Ni
∂z
0



∂Ni 

∂z 
 ui
 w

i
0 


∂Ni
=


(e) 


a

 1 






(e)
B1 , B2 , B3
a
2 









 (e) 
a3
∂r
5.7
= B a(e)
(5.16)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
siendo B la matriz de deformación del elemento, y


∂Ni
 ∂r


 0
Bi = 
 N

 ri

∂Ni
∂z
0
∂Ni
∂z
0
∂Ni
∂r









(5.17)
la matriz de deformación del nodo i.
Para un elemento de n nodos se tendrı́an n submatrices Bi en (5.16). Se remarca
que la expresión de Bi para cualquier elemento sólido de revolución coincide con
la ec.(5.17).
Obsérvese que la matriz de deformación no es constante como en el caso de
N
elasticidad plana debido al término ri que contiene una singularidad en el origen
de coordenadas. Más adelante comentaremos cómo puede evitarse este problema.
Para el elemento triangular de tres nodos se obtiene una forma más explı́cita
de Bi sustituyendo las funciones de forma de (4.25) en (5.17) para dar

bi
0

Bi =
1 


2A(e)  (ai+birr+ci z)
ci

0

ci 


0
bi
(5.18)
El vector de tensiones se obtiene sustituyendo (5.16) en (5.6) por
σ=
3
Bi D a(e) − D ε0 + σ 0
(5.19)
i=1
Durante el cálculo de las tensiones pueden surgir problemas para encontrar
el valor de εθ = ur en puntos del eje z al aparecer el cociente indeterminado 00 .
Este problema puede sortearse calculando εθ en puntos ligeramente alejados del
eje, o lo que es más usual extrapolando las tensiones de puntos del interior del
elemento (que generalmente son los puntos de Gauss) al eje. Otro procedimiento
muy sencillo es utilizar la propiedad de que εr = εθ en el eje, lo que simplemente
implica reemplazar la tercera fila de B correspondiente a εθ por la primera que
corresponde a εr .
5.3.3
Matriz de rigidez del elemento
Partiendo del primer miembro de la expresión del PTV particularizado para un
solo elemento y utilizando (5.16) y (5.19) de manera idéntica a como se hizo en el
caso de elasticidad plana se obtiene la expresión del equilibrio del elemento como
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
5.8
(5.20)
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
en la que la matriz de rigidez del elemento tiene la expresión siguiente
(e)
Kij
2×2
= 2π
A(e)
BTi
D
2×4
4×4
Bj
4×2
r drdz
(5.21)
La expresión anterior es válida para cualquier elemento de sólido de revolución
de n nodos.
(e)
En la Figura 5.7 se muestra la forma desarrollada de Kij para el triángulo de
tres nodos.
(e)
Kij =
π
2(A(e) )2
A(e)









(d22 cicj + d44 bi bj )r 
(d11 bi bj + d44 ci cj )r+
(d12 bi cj + d44 ci bj )r+
 +2A(e) (d13 bi Nj + d31 bj Ni )+

+2A(e) d32 Ni cj




N
N


+4(A(e) )2 d33 ir j
drdz
(d21 ci bj + d44 bi cj )r+
+2A(e) d23 ci Nj
dij : Elemento ij de la matriz constitutiva D
bi , ci : coeficientes de la funciones de forma Ni
Figura 5.7
Matriz de rigidez del elemento de sólido de revolución triangular de
tres nodos.
El cálculo de las integrales del elemento puede efectuarse utilizando integración
numérica. No obstante, está demostrado que para el elemento triangular de tres
nodos con propiedades del material homogéneas, se pueden obtener excelentes
resultados calculando la matriz de rigidez con un solo punto de integración. La
forma explı́cita de K(e) es en este caso
K(e) = 2πB̄T D̄B̄r̄A(e)
(5.22)
(e)
donde (·) indica valores en el baricentro del elemento. La expresión de Kij en este
caso se puede deducir directamente de la Figura 5.7 sustituyendo r por r, Ni por
1 , y el valor de la integral por el integrando multiplicado por el área del elemento.
3
(e)
Es fácil observar que esta integración es exacta para todos los términos de Kij a
NN
excepción del término ir j que se evalúa por defecto. No obstante, dicho error
no incide en el buen comportamiento del elemento, con el que pueden obtenerse
excelentes resultados utilizando una discretización suficientemente tupida en las
zonas donde se prevean mayores gradientes de tensiones [Z3],[Z8].
5.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
5.3.4 Vectores de fuerzas nodales equivalentes
De la expresión de los trabajos virtuales se obtiene el vector de fuerzas nodales
equivalentes f (e) , como
f (e)
= 2π
6×1
− 2π
NT b rdA + 2π
(e)
A
l
NT t rds + 2π
(e)
(e)
A(e)
BT σ 0 r dA = fb
(e)
+ ft
(e)
+ fε
A(e)
BT D ε0 rdA−
(e)
+ fσ
(5.23)
donde la primera integral corresponde al vector de fuerzas másicas de volumen
(e)
(e)
fb ; la segunda al de fuerzas de superficie ft ; la tercera al de fuerzas debidas a
(e)
deformaciones iniciales fε ; y la cuarta al de fuerzas debidas a tensiones iniciales
(e)
fσ . De nuevo la ec. (5.23) es válida para cualquier tipo de elemento.
5.3.5
Particularización de los vectores de fuerzas nodales equivalentes
para el elemento triangular de tres nodos
Fuerzas de masa y de superficie
Para el elemento triangular de tres nodos se puede obtener una forma explı́cita
sencilla de los vectores de fuerzas másicas y de superficie en el caso de que éstas
sean constantes dentro del elemento. Sustituyendo la expresión de N de (5.14) y
(4.25) en las de fb y ft (5.23) se tiene


(2ri + rj ) tr 











(2ri + rj + rk ) br 
(2ri + rj ) tz 
















(2r
+
r
+
r
)
b
(r
+
2r
)
t




z
r
i
j
i
j
k




(e)




(e)



πl
πA
(ri + 2rj + rk ) br
(ri + 2rj ) tz 
(e)
(e)
ij
; ft =
(5.24)
fb =

(ri + 2rj + rk ) bz 
0
6 
3 



















(r + rj + 2rk ) br 






 i









(ri + rj + 2rk ) bz
0




donde ri , rj y rk son las coordenadas radiales de los nodos i, j, k del elemento,
(e)
respectivamente, y lij es la longitud del lado comprendido entre los nodos i y
j sobre el que actúa la fuerza de superficie. Adviértase que las fuerzas no se
distribuyen en idéntica proporción entre los tres nodos, sino que el nodo más
alejado del eje recibe una mayor proporción de fuerza.
Las expresiones del vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie en el
caso de que la fuerza de superficie actuase sobre los lados jk o ik del elemento,
son las siguientes:
(e)
ft
=


0




0

(e) 
 (2r + t )
πljk 
j
k
(2r
+
r
3 

j
k)




 (rj + 2rk )


(rj + 2rk )










tr
tz 




tr 



tz
;
(e)
ft
5.10
=


(2ri + rk )




(2r

i + rk )
(e) 

πlik 
0

0
3 




 (ri + 2rk )


(ri + 2rk )

tr 



tz 









tr 



tz
(5.25)
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Fuerzas debidas a deformaciones iniciales
De la ec. (5.23) se tiene
(e)
fε
= 2π
A(e)
BT D ε0 r dA
(5.26)
Para elementos triangulares de tres nodos el cálculo de los diferentes términos de
(5.26) puede efectuarse analı́ticamente. Ası́, para una deformación inicial térmica
y propiedades del material homogéneas se obtiene
(e)


 (d11
fεi = π α∆T 


(e)
+ d12 + d13 )bi r + 2A3 (d31 + d32 + d33 ) 



(d21 + d22 + d23 )ci r
(5.27)
siendo r la coordenada nodal del baricentro del elemento y dij los elementos de la
matriz constitutiva.
Fuerzas debidas a tensiones iniciales
De nuevo la ec.(5.23) proporciona
(e)
fσ
= −2π
A(e)
BT σ 0 r dA
(5.28)
(e)
La expresión de fσi para el elemento triangular de tres nodos sometido a
tensiones iniciales constantes se obtiene de forma exacta por
(e)
fσi = −π


 (bi

0
σr0 + ci τrz
)r + 23 A(e) σθ0 



0
0
(ci σz + bi τrz )r


(5.29)
donde de nuevo r es la coordenada radial del baricentro del elemento.
Fuerzas puntuales circulares
Como se deduce del PTV el vector de fuerzas puntuales de un nodo i tiene la
expresión siguiente:
(e)
(e)
qi = 2π ri pi
(5.30a)
con
(e)
pi
=
Ri
Zi
(5.30b)
siendo Ri y Zi las intensidades de las fuerzas puntuales uniformemente repartidas
circunferencialmente que actúan en dirección radial y vertical, respectivamente,
5.11
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
sobre el nodo i. Por la misma razón, en el caso de existir desplazamientos restringidos los valores de las reacciones por unidad de longitud circunferencial correspondientes se obtienen dividiendo el valor de la reacción total en el nodo, deducida
del cálculo, por 2π ri , siendo ri la coordenada radial del nodo.
5.4 ELEMENTOS SÓLIDOS
TRICOS
DE
REVOLUCIÓN
ISOPARAMÉ-
La formulación de elementos rectangulares o triangulares isoparamétricos de
geometrı́a arbitraria en sólidos de revolución sigue exactamente lo explicado para
problemas de elasticidad plana. Ası́, las coordenadas axial y vertical de un
elemento isoparamétrico de n nodos se expresan en función de las coordenadas
nodales por
x=
con
Ni =
Ni
0
r
z
0
Ni
=
n
i=1
(e)
N i xi
(e)
;
xi
(5.31)
=
ri
zi
(5.32)
Las derivadas de las funciones de forma expresadas en coordenadas naturales
con respecto a las coordenadas cartesianas r y z se obtienen por las expresiones
del Apartado 4.6 reemplazando las coordenadas x, y por r, z, respectivamente.
Por consiguiente, todas las matrices y vectores pueden expresarse en función de
las coordenadas naturales definidas sobre el espacio normalizado del elemento.
Ası́, por ejemplo, la matriz de rigidez se puede obtener en la forma
(e)
Kij =
2π
BTi DBj r
A(e)
dr dz = 2π
+1 +1
−1
−1
BTi DBj
n
Nk rk J(e) dξ
k=1
dη
(5.33)
y el vector de fuerzas nodales equivalentes másicas
(e)
fb =
i
2π
NTi br
A(e)
dr dz = 2π
n
T
Ni b
Nk rk J(e) −1
k=1
+1 +1
−1
dξ dη
(5.34)
donde |J(e) | es el jacobiano de la transformación de coordenadas naturales
a cartesianas r, z.
Similarmente a lo explicado para elementos de sólido
bidimensional en el Apartado 4.6 los integrandos de (5.33) y (5.34) contienen
funciones racionales de las coordenadas naturales, lo que exige el uso de integración
numérica. Ası́, para elementos cuadrangulares puede utilizarse cualquiera de las
cuadraturas de Gauss-Legendre de orden np ×nq del Apartado 4.7.1 para el cálculo
5.12
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
de las integrales anteriores como
(e)
Ki
j
(e)
fb
i
= 2π
np nq p=1 q=1
= 2π
BTi D Bj
np nq p=1 q=1
n
n
NTi b
k=1
Nk rk |J(e) |
k=1
Wp Wq
p,q
(5.35)
Nk rk |J(e) |
Wp Wq
p,q
Obsérvese que la principal diferencia de las ecs.(5.35) con las análogas de
elasticidad plana es que en el integrando de las primeras interviene como
multiplicando la coordenada radial r, que debe evaluarse en cada punto de
integración mediante la interpolación isoparamétrica definida por la ec.(5.31).
Para elementos triangulares puede hacerse uso de la cuadratura de integración
para triángulos definida en el Apartado 4.7.2.
5.5 CONCLUSIONES
En este capı́tulo hemos estudiado la formulación de elementos de sólido de
revolución sometidos a cargas de revolución.
Es interesante remarcar que todos los aspectos relacionados con la discretización
y el tipo de elementos son completamente idénticos a lo ya estudiado para
problemas de elasticidad plana en el Capı́tulo 4. Incluso la metodologı́a de
obtención de las matrices y vectores de los diferentes elementos es muy similar
al caso plano, lo que simplifica enormemente la organización de un programa de
cálculo común.
Asimismo, en lı́neas generales el comportamiento de los elementos de sólido
de revolución sigue la mismas pautas que los elementos de elasticidad plana
estudiados en el capı́tulo precedente. Ası́, los elementos cuadriláteros son algo más
precisos que los triangulares y en ambos casos el comportamiento de los elementos
cuadráticos o de órdenes mayores es superior al de los elementos lineales de orden
más bajo. No obstante, como sucedı́a en elasticidad plana, el sencillo elemento
triangular de tres nodos es competitivo en todos los aspectos relacionados con
la discretización de geometrı́as complejas. Asimismo, el triángulo lineal es un
elemento de gran precisión en problemas donde la tensión o compresión pura sea
el estado dominante. Por todo ello, es un elemento que goza de gran popularidad
sobre todo en relación con el uso de las modernas técnicas de soluciones con
refinamiento de la malla adaptable.
5.13
CAPÍTULO 6
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
6.1
INTRODUCCIÓN
Existen muchas estructuras cuyas caracterı́sticas geométricas, mecánicas o de
cargas no permiten la utilización de modelos de cálculo simplificados, tales como
los de sólido bidimensional o de revolución, tratados en capı́tulos anteriores, o
los de viga, placa o lámina que se estudiarán más adelante. En dichos casos
es imperativo considerar la estructura como un sólido tridimensional y hacer uso
para su análisis de la teorı́a general de la elasticidad en tres dimensiones. Ejemplos
prácticos de dichas situaciones son tı́picos en estructuras constituı́das por sólidos de
geometrı́a irregular o propiedades de los materiales heterogéneas. En la Figura 6.1
se muestran algunas estructuras en las que es necesario un análisis tridimensional.
No obstante su mayor dificultad aparente, el análisis tridimensional de una
estructura por el método de los elementos finitos no presenta en principio grandes
problemas conceptuales. La teorı́a de la elasticidad en tres dimensiones es una
generalización de la teorı́a bidimensional y gran parte de las etapas de un análisis
por elementos finitos son repetición de las estudiadas en el Capı́tulo 4. En
ese sentido, este capı́tulo cierra el ciclo de los problemas de estructuras que
pueden tratarse haciendo uso de la “teorı́a de la elasticidad” en sus diversas
formas simplificadas (elasticidad bidimensional y de revolución estudiadas en los
Capı́tulos 4 y 5, respectivamente) o bien en el caso más general que es el que se
estudia en este capı́tulo.
Pese a la relativa sencillez del procedimiento de análisis, los problemas
tridimensionales sı́ que representan un mayor esfuerzo de cálculo por elementos
finitos, en comparación con los problemas de capı́tulos anteriores. Dicha dificultad
es inherente al tamaño del problema, que pasa de dos a tres dimensiones. Este
aumento en una dimensión se refleja no únicamente en un considerable incremento
del tiempo de cálculo, sino también en un esfuerzo mucho mayor en la preparación
de datos e interpretación de resultados. Por estos motivos se tiende, siempre
que es posible, a modelizar la estructura de forma que pueda evitarse el estudio
tridimensional en beneficio de análisis más simplificados. Desafortunadamente este
no es el caso de muchos problemas de interés práctico en ingenierı́a que exigen un
análisis tridimensional.
En la primera parte del capı́tulo se presenta un resumen de los conceptos de la
teorı́a de la elasticidad tridimensional necesarios para el análisis por el método de
elementos finitos. Tras ello, se detalla la obtención de las ecuaciones matriciales
6.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 6.1
Estructuras en las que es necesario un análisis tridimensional: (a)
Presa bóveda incluyendo el efecto del terreno. (b) Componente de
un reactor. (c) Sólido prismático bajo cargas arbitrarias.
de equilibrio de un elemento finito tridimensional, para el caso general y en
particular para el sencillo elemento tetraédrico de cuatro nodos. Los apartados
siguientes se dedican a la obtención de las funciones de forma de diferentes
elementos hexaédricos y tetraédricos, ası́ como a ampliar los conceptos de elemento
isoparamétrico al caso tridimensional.
6.2
6.2.1
TEORÍA BÁSICA
Campo de desplazamientos
Sea un sólido tridimensional como el que se muestra en la Figura 6.2. El
movimiento de un punto en el espacio queda perfectamente definido por las tres
componentes del vector de desplazamientos
u = [u, v, w]T
(6.1)
donde u, v, w son los desplazamientos del punto según los ejes cartesianos x, y, z,
respectivamente.
6.2.2
Campo de deformaciones
Siguiendo la teorı́a clásica de la elasticidad tridimensional [T3], el vector de
deformación en un punto está definido por seis componentes
ε = εx , εy , εz , γxy , γxz , γyz
6.2
T
(6.2)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.2
con
Sólido tridimensional. Vector de desplazamientos de un punto.
∂u
∂x
∂u ∂v
+
γxy =
∂y ∂x
εx =
∂v
∂y
∂u ∂w
; γxz =
+
∂z
∂x
; εy =
∂w
∂z
∂v ∂w
; γyz =
+
∂z
∂y
; εz =
(6.3)
donde εx , εy , εz son las deformaciones normales y γxy , γxz , γyz las deformaciones
tangenciales.
6.2.3
Campo de tensiones
El vector de tensiones en un punto contiene seis componentes de tensión,
conjugadas de las seis respectivas deformaciones. Ası́
σ = σx, σy , σz , τxy , τxz , τyz
T
(6.4)
donde σx , σy , σz son las tensiones normales y τxy , τxz ,τyz son las tensiones
tangenciales. En la Figura 6.3 se muestra el convenio de signos de dichas tensiones.
Figura 6.3
Convenio de signos para las tensiones en un elemento diferencial de
un sólido tridimensional.
6.3
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
6.2.4
Relación tensión-deformación
La relación entre las seis deformaciones y las seis tensiones viene expresada
en el caso más general de elasticidad anisótropa por una matriz constitutiva de
tamaño 6×6 simétrica y con 21 coeficientes independientes. En el caso de material
ortótropo el número de coeficientes se reduce a nueve [L1].
Un caso muy usual en la práctica es el de elasticidad isótropa en que los
coeficientes independientes de la ecuación constitutiva se reducen a dos: el módulo
de elasticidad E y el coeficiente de Poisson ν. En dicho caso, la ecuación
constitutiva puede escribirse (teniendo en cuenta los vectores de deformaciones
y tensiones iniciales) como
σ = D (εε − ε0 ) + σ 0
(6.5)
y la matriz constitutiva D viene dada por

1


ν
1−ν
1

E(1 − ν)

D=
(1 + ν)(1 − 2ν) 

ν
1−ν
ν
1−ν
1
 Simétrica
0
0
0
1−2ν
2(1−ν)
0
0
0
0
1−2ν
2(1−ν)
0
0
0
0
0








(6.6)
1−2ν
2(1−ν)
En el caso de deformaciones iniciales de origen térmico el vector ε 0 tiene el valor
ε0 = α(∆T ) [1, 1, 1, 0, 0, 0]T
6.2.5
(6.7)
Expresión del Principio de los Trabajos Virtuales
La ecuación del PTV se escribe de manera análoga al caso de elasticidad
bidimensional, teniendo simplemente en cuenta ahora el carácter tridimensional
del análisis. Ası́, se tiene
V
δεεT σ dV =
V
δuT b dV +
A
δuT t dA +
δaTi qi
(6.8)
i
donde V y A son el volumen y la superficie del cuerpo sobre los que actúan las
fuerzas de masa b, de superficie t y puntuales qi , respectivamente.
Como en los problemas de elasticidad estudiados en los dos capı́tulos
anteriores, en la expresión del PTV intervienen sólo primeras derivadas de
los desplazamientos, lo que exige simplemente continuidad de clase C0 a la
aproximación de elementos finitos.
6.4
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
6.3
FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. PARTICULARIZACIÓN PARA EL ELEMENTO TETRAÉDRICO DE CUATRO
NODOS
Tal como en capı́tulos anteriores, la formulación de elementos finitos se
introducirá particularizando las matrices y vectores para el caso de un elemento
sencillo. El elemento que se utilizará es el tetraédrico de cuatro nodos, que es el
análogo del triangular de tres nodos en el caso bidimensional. Más adelante se
estudiará el uso de elementos más complejos.
6.3.1
Discretización del campo de desplazamientos
Consideremos un sólido tridimensional discretizado en elementos tetraédricos
de cuatro nodos (Figura 6.4). El campo de desplazamientos en el interior de un
elemento se puede aproximar por







u

 N1 u1 + N2 u2 + N3
u= v =
N1 v1 + N2 v2 + N3


 


w
N1 w1 + N2 w2 + N3
u3 + N4 u4 
4

(e)
v3 + N4 v4
=
Ni ai = N a(e)

w3 + N4 w4  i=1
(6.9)
donde
N = [N1, N2 , N3, N4 ]

Ni

Ni =  0
0
0
Ni
0
(6.10)

0

0 
Ni
(6.11)
y
a(e) =
(e)
ai


(e) 


a


1 









 (e) 




 a2 




(e) 




a


3











 (e) 

a4
=



 ui 

vi



wi 
(6.12)
(6.13)
son, respectivamente, la matriz de funciones de forma y el vector de
desplazamientos del elemento y de un nodo.
6.5
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 6.4
Elemento tetraédrico de 4 nodos.
La ampliación de las expresiones anteriores al caso de un elemento de n nodos
es inmediata sin más que incrementar de 4 a n el número de matrices Ni y vectores
(e)
ai en las expresiones anteriores.
La expresión analı́tica de las funciones de forma Ni se puede obtener de manera
similar a como se hizo en el caso del elemento triangular de tres nodos. Cuatro
nodos definen una variación lineal de los desplazamientos en las coordenadas xyz
de manera que se puede escribir
u = α1 + α2 x + α3 y + α4 z
v = α5 + α6 x + α7 y + α8 z
w = α9 + α10 x + α11 y + α12 z
(6.14)
Las constantes αi se obtienen sustituyendo adecuadamente las coordenadas
de los nodos e igualando los desplazamientos a sus valores nodales. Como
hemos utilizado la misma aproximación para todos los desplazamientos, basta
con calcular las cuatro constantes para un solo desplazamiento. Ası́, considerando
el desplazamiento u
u1 = α1 + α2 x1 + α3 y1 + α4 z1
u2 = α1 + α2 x2 + α3 y2 + α4 z2
(6.15)
u3 = α1 + α2 x3 + α3 y3 + α4 z3
u4 = α1 + α2 x4 + α3 y4 + α4 z4
resolviendo el sistema anterior y sustituyendo los valores de αi encontrados en
6.6
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
(6.14) se encuentra, tras ordenar términos
4
u=
1
(a + bi x + ci y + di z)ui
(e) i
i=1 6V
(6.16)
de donde se deduce, por comparación con (6.9), que la función de forma del nodo
i es
Ni =
1
(ai + bi x + ci y + di z)
6V (e)
(6.17)
donde V (e) es el volumen del elemento, y
ai =
ci =
x
j
det xk
x
l
x
j
det xk
x
l
zj zk ;
zl yj
yk
yl
1
1
1
zj zk zl bi =
;
di =
1
− det 1
1
x
j
− det xk
x
l
yj
yk
yl
yj
yk
yl
zj zk zl 1 1
1
(6.18)
obteniéndose los distintos coeficientes para los valores de i = 1, 2, 3, 4 mediante la
adecuada permutación cı́clica de los subı́ndices i, j, k, l.
La representación gráfica de las funciones de forma de este elemento, y de los
elementos tridimensionales en general, es compleja por tratarse de funciones de tres
variables. No obstante, es interesante advertir que sobre cada una de las caras del
elemento las funciones de forma son las mismas que las del elemento bidimensional
correspondiente a los nodos de dicha cara. Ası́, en el caso del tetraedro de 4 nodos
las funciones de forma sobre cada cara son idénticas a las del elemento triangular
de tres nodos representadas en la Figura 4.4.
6.3.2
Matriz de deformación
Sustituyendo (6.9) en la expresión del vector de deformaciones (6.2), se obtiene
para un elemento de sólido tridimensional genérico de n nodos
ε=




















n 



i=1 


















∂Ni
∂x
ui
∂Ni
∂y
vi
∂Ni
∂z
wi
∂Ni
∂x
∂Ni
∂y
ui +
∂Ni
∂z
i
ui + ∂N
∂x
∂Ni
∂z
i
vi + ∂N
∂y
























vi 









wi 








wi
6.7
n
=
(e)
Bi ai
i=1
= B a(e)
(6.19)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
donde B es la matriz de deformación del elemento dada por
B = [B1, B2 , B3 , . . . , Bn ]
(6.20)
siendo Bi la matriz de deformación del nodo i, con
Bi =
 ∂N
i
 ∂x

 0




 0


 ∂Ni
 ∂y


 ∂Ni

 ∂z


 0
0
0
∂Ni
∂y
0
0
∂Ni
∂z
∂Ni
∂x
0
0
∂Ni
∂x
∂Ni
∂y
∂Ni
∂z





















(6.21)
Adviértase que, como de costumbre, la matriz de deformación del elemento
contiene tantas submatrices como nodos tiene el elemento. En particular para el
elemento tetraédrico de cuatro nodos
B = [B1 , B2 , B3 , B4 ]
(6.22)
y en este caso, haciendo uso de (6.17)

bi

 0

1 
 0
Bi =
c
6V (e) 
i

 di
0
6.3.3
0
ci
0
bi
0
di

0
0


di 

0


bi 
ci
(6.23)
Matriz de rigidez del elemento
Sustituyendo (6.5) en la ecuación del PTV, particularizada para un solo
elemento y haciendo uso de (6.9) y (6.19) se obtiene, siguiendo los mismos pasos
que en problemas bidimensionales, la ecuación de equilibrio del elemento por
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
(6.24)
donde K(e) es la matriz de rigidez del elemento, f (e) es el vector de fuerzas nodales
equivalentes y q(e) es el vector de fuerzas nodales de equilibrio (que desaparece en
el ensamblaje). La matriz de rigidez tiene la expresión usual
K(e) =
3n × 3n
V (e)
BT
D
B dV
3n × 6 6 × 6 6 × 3n
6.8
(6.25)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.5
Matriz de rigidez del tetraedro de cuatro nodos.
y una submatriz de rigidez tı́pica, relacionando los nodos i y j del elemento, se
escribe como
(e)
Kij =
3×3
BTi
D Bj dV
3×6 6×6 6×3
V (e)
(6.26)
En particular, para el elemento tetraédrico de 4 nodos se puede encontrar una
(e)
forma explı́cita sencilla de Kij , puesto que todas las cantidades subintegrales son
constantes, como
(e)
Kij = BTi D Bj V (e)
(6.27)
(e)
La expresión desarrollada de Kij
Figura 6.5.
6.3.4
para este elemento se presenta en la
Vector de fuerzas nodales equivalentes
El vector de fuerzas nodales equivalentes f (e) de la ec.(6.24) tiene la expresión
siguiente
f (e) =
V (e)
−
NT bdV +
A(e)
(e)
V (e)
BT σ 0 dV = fb
NT t dA +
(e)
+ ft
(e)
+ fε
V (e)
(e)
+ fσ
BT D ε0 dV −
(6.28)
donde la primera integral representa el vector de fuerzas de volumen; la segunda,
el de fuerzas de superficie; y la tercera y cuarta los vectores de fuerzas debidas a
deformaciones y tensiones iniciales, respectivamente.
6.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Es fácil encontrar una forma explı́cita del vector de fuerzas nodales equivalentes
del elemento tetraédrico de cuatro nodos como a continuación se muestra.
Fuerzas de volumen
(e)
fb
=


(e) 


f
 b1 











(e)



 fb 

2

(e) 



fb 



 3 








 f (e) 

b4
=
V (e)
NT b dV
con
(e)
fb
i
=
V (e)
NTi b dV =


 bx 
(e)


V
by

4 

bz 
(6.29)
(6.30)
Fuerzas de superficie
(e)
ft
con
=


ft1 











(e)



f
 t2 

(e) 


ft3 











 (e) 

ft4
=
(e)
fti =
A(e)
A(e)
NT tdA
NTi t dA
(6.31)
(6.32)
El vector de fuerzas de superficie depende de la cara del elemento sobre el cual
actúa la carga. Ası́, se tiene:
Fuerza actuando sobre la cara definida por los nodos 1-2-3
(e)
ft
(e) T
A123
=
tx , ty , tz , tx , ty , tz .tx , ty , tz , 0, 0, 0
3
(6.33)
(e)
Donde A123 es el área de la cara del elemento definida por los nodos 1, 2 y 3.
Los tres últimos términos son cero porque N4 vale cero sobre dicha cara. De igual
forma se obtiene:
Fuerza actuando sobre la cara definida por los nodos 1-2-4
(e)
ft
(e)
A
= 124 [tx , ty , tz , tx , ty , tz , 0, 0, 0, tx, ty , tz ]T
3
6.10
(6.34)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Fuerza actuando sobre la cara definida por los nodos 2-3-4
(e)
ft
(e)
A
= 234 [0, 0, 0, tx, ty , tz , tx , ty , tz , tx , ty , tz ]T
3
(6.35)
y
Fuerza actuando sobre la cara definida por los nodos 1-3-4
(e)
ft
(e)
A
= 134 [tx , ty , tz , 0, 0, 0, tx, ty , tz , tx , ty , tz ]T
3
(6.36)
Adviértase que tanto en las fuerzas de volumen como en las de superficie, la
proporción de fuerza que absorbe cada nodo corresponde exactamente con un
reparto equitativo de la fuerza total sobre los nodos que intervienen, por lo que
todas las expresiones anteriores podrı́an haberse obtenido directamente por simples
razonamientos fı́sicos.
Fuerzas debidas a deformaciones iniciales
(e)
fε


(e) 



f
ε

1 












(e)



 fε2 

=


(e) 



f


ε3 











 (e) 

fε4
=
V (e)
BT D ε0 dV
(6.37)
donde
(e)
fεi =
V
BTi D ε0 dV =
(e)
1
6

0
0

 (d11 εx + d12 εy
(d21 ε0x + d22 ε0y


(d31 ε0x + d32 ε0y

+ d13 ε0z )bi 

+ d23 ε0z )ci


+ d33 ε0z )di
(6.38)
donde dij es el término ij de la matriz constitutiva. En el caso de fuerzas debidas a
efectos térmicos y elasticidad isótropa (ver ecs.(6.6) y (6.7)) se obtiene, tras operar
(e)
fεi =
E (1 − ν)α(∆T )
[b , c , d ]T
6(1 + ν)(1 − 2ν) i i i
6.11
(6.39)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Fuerzas debidas a tensiones iniciales
(e)
fσ =


(e) 


fσ1 














(e)



 fσ2 




(e) 




f

σ
3 











 (e) 

fσ4
=−
V (e)
BT σ 0 dV
(6.40)
donde
0 dV = − 1
B
σ
i
6
V (e)
(e)
fσi = −

0
0
bi σx0 + ci τxy
+ di τxz






0
0
ci σy0 + bi τxy
+ di τyz






0
0
di σz0 + bi τxz
+ ci τyz













(6.41)
La aproximación lineal del elemento tetraédrico de cuatro nodos le confiere
una precisión limitada ya que, similarmente al triangular de tres nodos, sólo
puede modelar exactamente un campo de tensiones o deformaciones uniforme.
Esto implica que en zonas donde se prevean gradientes de tensiones elevados será
necesario utilizar mallas más tupidas.
Otra peculiaridad inherente al elemento tetraédrico es la dificultad de la
discretización de un sólido en una malla de tetraedros. Esto puede ser un grave
problema para el análisis de sólidos con geometrı́a irregular y en particular si se
desean efectuar varios análisis sucesivos de forma adaptable [O3]. Todo ello ha
motivado el desarrollo de preprocesadores para automatizar al máximo el proceso
de discretización, siendo éste un campo de gran interés en el que se desarrolla
constante investigación [B7], [G5], [P2], [P3], [P4].
6.4
ELEMENTOS HEXAÉDRICOS RECTOS
Para su descripción adoptaremos un sistema de coordenadas naturales ξ, η, ζ.
Las caras del elemento están en ξ = ±1, η = ±1 y ζ = ±1 como se muestra en la
Figura 6.6. Para un elemento de aristas 2a × 2b × 2c se tiene
ξ=
(x − xc )
(y − yc )
(z − zc )
; η=
; ζ=
a
b
c
(6.42)
donde (xc , yc , zc ) son las coordenadas del centro de gravedad del elemento. De
(6.42) se deduce
1
dξ
=
dx
a
;
dη
1
=
dy
b
6.12
;
dζ
1
=
dz
c
(6.43)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.6
Sistema de coordenadas naturales para un elemento hexaédrico
recto.
y un elemento diferencial de volumen viene dado por
dxdydz = abc dξdηdζ
(6.44)
Por consiguiente, para integrar cualquier función f (x, y, z) sobre el elemento se
puede efectuar la siguiente transformación sobre el sistema coordenado natural
V
f (x, y, z)dV =
(e)
+1
−1
+1
−1
+1
−1
f (ξ, η, ζ)abcdξdηdζ
(6.45)
Por ser el elemento recto, las derivadas cartesianas de las funciones de forma
se pueden calcular directamente por la expresión
1 ∂Ni
∂Ni
1 ∂Ni
∂Ni
1 ∂Ni
∂Ni
=
;
=
;
=
∂x
a ∂ξ
∂y
b ∂η
∂z
c ∂ζ
(6.46)
Finalmente, y como es usual, las funciones de forma deben satisfacer las
condiciones


1
Ni (ξj , ηj , ζj ) =


si i = j
(6.47a)
0 si i = j
y
n
Ni (ξ, η, ζ) = 1
i=1
6.13
(6.47b)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
6.4.1
Elementos hexaédricos rectos Lagrangianos
Los elementos hexaédricos rectos Lagrangianos en tres dimensiones son análogos
a los rectangulares Lagrangianos estudiados en el Capı́tulo 4. Por consiguiente,
sus funciones de forma se obtienen como producto de tres polinomios de Lagrange
en las tres coordenadas naturales ξ, η, ζ. Ası́,
Ni (ξ, η, ζ) = lIi (ξ) lIi (η) lIi (ζ)
(6.48)
donde lIi (ξ) es el polinomio de Lagrange de grado I en ξ que pasa por el nodo
i, etc. Como en el caso de elementos rectangulares, es usual escoger la misma
aproximación polinómica de Lagrange en cada una de las tres direcciones ξ, η y ζ.
Los términos polinómicos de las funciones de forma se obtienen sencillamente
del tetraedro de Pascal en tres dimensiones. En la Figura 6.7 se muestran los
elementos de 8 y 27 nodos de esta familia y los términos polinómicos del tetraedro
de Pascal que intervienen en sus funciones de forma cuya deducción se detalla en
los dos subapartados siguientes.
6.4.1.1
Elemento hexaédrico recto Lagrangiano lineal de ocho nodos
El elemento hexaédrico recto más sencillo, común a las familias Lagrangianas
y Serendı́pitas de clase C0 , es el de 8 nodos que se muestra en la Figura 6.7.
Las funciones de forma de un nodo se obtienen como producto de las tres
funciones de una sola variable correspondientes a cada una de las tres direcciones
ξ, η, ζ, en ese nodo. En la Figura 6.8 se muestra un ejemplo de obtención de la
función de forma del nodo 5. Es fácil deducir que la expresión general de la función
de forma de un nodo cualquiera i es
1
Ni (ξ, η, ζ) = (1 + ξi ξ) (1 + ηi η) (1 + ζi ζ)
8
(6.49)
Adviértase que:
1. Las funciones de forma son trilineales y contienen el polinomio completo de
primer grado más los términos ξη, ξζ, ηξ, ξηζ (ver Figura 6.7).
2. Las funciones de forma satisfacen las condiciones (6.47).
El elemento hexaédrico recto de 8 nodos presenta el mismo comportamiento que
el de su análogo rectangular de 4 nodos en problemas de elasticidad bidimensional.
Ası́, dicho elemento tiene un alto grado de precisión para problemas en los que la
tracción o compresión pura sea el estado dominante. Por el contrario, su precisión
es mucho menor para reproducir estados de flexión, debido fundamentalmente a su
incapacidad de adoptar formas curvas, siendo necesario en este caso la utilización
de mallas tupidas para obtener resultados aceptables.
No obstante, dadas las caracterı́sticas de mayor tamaño de los problemas
tridimensionales, la utilización de este elemento, y en particular en su forma
isoparamétrica, es muy ventajosa debido al pequeño número de variables nodales
6.14
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.7
Elementos hexaédricos rectos Lagrangianos de 8 y 27 nodos.
Términos polinómicos contenidos en sus funciones de forma
deducidas del tetraedro de Pascal.
por elemento. Debido a ello, suele ser usual su utilización incorporando algunas
modificaciones para mejorar su comportamiento a flexión. En la referencia [O3] se
describen algunas de estas técnicas.
6.15
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 6.8
Funciones de forma del elemento hexaédrico recto Lagrangiano lineal de 8 nodos.
6.4.1.2 Elemento hexaédrico recto Lagrangiano cuadrático de 27 nodos
En la Figura 6.9 se representa dicho elemento. Las funciones de forma se
obtienen mediante el producto de tres funciones unidimensionales Lagrangianas
de segundo grado. En la misma figura se detalla la obtención de la función de
forma de un nodo esquina (nodo 19) y de un nodo en el centro de un lado (nodo
26). Es fácil extender los resultados anteriores para la obtención de las funciones
de forma del resto de los nodos. En conclusión, se pueden escribir dichas funciones
como
Nodos esquina
1, 3, 5, 7
1
Ni = (ξ 2 + ξξi )(η2 + ηηi )(ζ 2 + ζζi ) ; i =
8
19, 21, 23, 25
(6.50)
Nodos laterales
1
1
2, 4, 6, 8
Ni = ηi2 (η 2 − ηηi )ζ 2 (ζ 2 − ζζi )(1 − ξ 2 ) + ζi2 (ζ 2 − ζζi )+
4
4
; i = 10, 12, 14, 16
1 2 2
2 2
2
2 2
2
+ ξi (ξ − ξξi )(1 − η ) + ξi (ξ − ξξi)ηi (η − ηηi )(1 − ζ )
20, 22, 24, 26
4
(6.51)
6.16
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.9
Elemento hexaédrico recto Lagrangiano cuadrático de 27 nodos.
Funciones de forma de un nodo esquina y un nodo lateral.
Nodos en el centro de las caras
1
1
Ni = (1 − ξ 2 )(1 − η 2 )(ζ + ζi ζ 2 ) + (1 − η 2 )(1 − ζ 2 )(ξ + ξi ξ 2 )+
9, 11, 13
2
2
; i=
1
15, 17, 27
+ (1 − ξ 2 )(1 − ζ 2 )(η + ηi η 2 )
2
(6.52)
Nodo central interior
N18 = (1 − ξ 2 )(1 − η2 )(1 − ζ 2 )
6.4.2
(6.53)
Elementos hexaédricos rectos Serendı́pitos
Los elementos hexaédricos rectos de la familia Serendı́pita se obtienen por
extrapolación directa de sus análogos de la familia bidimensional. En la Figura 6.10
se muestran los dos primeros miembros de esta familia, los prismas rectos de 8
y 20 nodos, ası́ como los términos que intervienen en sus funciones de forma.
6.17
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Adviértase, que tal y como ocurrı́a con el elemento rectangular de 4 nodos, el
prisma de 8 nodos es el elemento de menor orden de las familias Lagrangiana
y Serendı́pita y sus funciones de forma se obtuvieron en el Apartado 6.4.1.1.
Describiremos a continuación el elemento de 20 nodos que quizás es el más
representativo y popular de la familia Serendı́pita.
Figura 6.10
Elementos hexaédricos rectos Serendı́pitos de 8 y 20 nodos.
Términos polinómicos contenidos en sus funciones de forma
deducidas del tetraedro de Pascal.
6.4.2.1 Elemento hexaédrico recto Serendı́pito de 20 nodos
Dicho elemento se muestra en la Figura 6.11. Las funciones de forma se
obtienen siguiendo los mismos criterios que para el elemento rectangular de 8
nodos (Apartado 4.4.4.1). Ası́, el cálculo de las funciones de forma de los nodos
laterales se inicia multiplicando las tres funciones de una variable en ξ, η y ζ
correspondientes a dicho nodo. Para llegar a la función de forma final, y puesto que
en los nodos laterales adyacentes al nodo esquina considerado la función trilineal
inicial toma el valor 1/2, se sustrae de dicha función el valor mitad de la función
suma de las funciones de forma de dichos nodos de manera que la función de
forma final valga cero en los nodos laterales, preservando el valor unidad en el
nodo esquina.
6.18
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.11
Elemento hexaédrico recto Serendı́pito cuadrático de 20 nodos.
Funciones de forma de un nodo lateral y de un nodo esquina.
En la Figura 6.11 se ha representado el proceso de obtención de las funciones
de un nodo lateral (el 20) y un nodo esquina (el 13). En conclusión, se pueden
escribir las funciones de forma de todos los nodos como:
Nodos esquina
1
1, 3, 5, 7
(6.54)
Ni = (1 + ξi ξ)(1 + ηi η)(1 + ζi ζ)(ξi ξ + ηi η + ζi ζ − 2) ; i =
13, 15, 17, 19
8
6.19
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Nodos laterales
1
Ni = (1 − ξ 2 )(1 + ηi η)(1 + ζi ζ) ; i = 2, 6, 14, 18
4
1
= (1 − η2 )(1 + ζi ζ)(1 + ξi ξ) ; i = 4, 8, 16, 20
4
1
= (1 − ζ 2 )(1 + ηi η)(1 + ξi ξ) ; i = 9, 10, 11, 12
4
(6.55)
Adviértase que:
1
Todas las funciones de forma contienen un polinomio completo de segundo
grado más los términos ξη2 , ξ 2 η, ξ 2 ζ, ξ.ζ 2 , ζ 2 η, η2 ζ, ξηζ, ξ 2 ηζ, ξη2 ζ y ξηζ 2 .
2
Las funciones de forma satisfacen las condiciones (6.47).
Conviene destacar que el elemento hexaédrico Serendı́pito de 20 nodos tiene la
misma aproximación cuadrática que el Lagrangiano de 27 nodos con siete nodos
menos, lo que representa un ahorro total de 21 variables nodales. Esto explica la
mayor popularidad del primero para análisis tridimensionales. Estas diferencias
son incluso más acusadas para elementos de órdenes superiores [O3].
6.5
ELEMENTOS TETRAÉDRICOS DE LADOS RECTOS
Como ya se ha comentado, los elementos tetraédricos de lados rectos son
una generalización de los elementos triangulares a tres dimensiones. Por tanto,
similarmente a éstos, los elementos de la familia tetraédrica se caracterizan porque
sus funciones de forma son polinomios completos y se obtienen directamente del
tetraedro de Pascal. En la Figura 6.12 se muestran los términos que intervienen
en las funciones de forma de los elementos tetraédricos más usuales.
Las funciones de forma de elementos tetraédricos pueden expresarse en
coordenadas de volumen y/o en coordenadas naturales. Las coordenadas de
volumen se identifican por L1 , L2 , L3 y L4 y tienen un significado similar a las de
área de los análogos elementos triangulares (Apartado 4.5.5.1). Cada coordenada
Li se define como el cociente entre el volumen del tetraedro formado por un punto
interior al elemento P y la cara opuesta al nodo i y el volumen del tetraedro (ver
Figura 6.13)). Ası́
Li =
Volumen P jkl
V (e)
;
i = 1, 2, 3, 4
(6.56)
Evidentemente se cumple que
L1 + L2 + L3 + L4 = 1
(6.57)
Las coordenadas de volumen sirven para definir una interpolación paramétrica
lineal de la geometrı́a del elemento tetraédrico como
4
x=
4
Li x i ,
i=1
y=
4
Li yi , z =
i=1
6.20
Li zi
i=1
(6.58)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.12
Elementos tetraédricos de lados rectos: lineal (4 nodos), cuadrático
(10 nodos) y cúbico (20 nodos). Términos polinómicos contenidos
en sus funciones de forma deducidos del tetraedro de Pascal.
Estas tres ecuaciones junto con la (6.57) permiten eliminar las Li en función
de las coordenadas cartesianas. Es fácil comprobar que
Li =
l
(ai + bi x + ci y + di z) = Ni
6V (e)
6.21
(6.59)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 6.13
Definición de las coordenadas de volumen Li en elementos
tetraédricos.
donde los coeficientes ai, bi , ci , di coinciden con los de la ec.(6.17) para las funciones
de forma del elemento tetraédrico de cuatro nodos. Se deduce, por tanto, que las
coordenadas de volumen coinciden con las funciones de forma de dicho elemento.
Obsérvese que de (6.59) se pueden obtener las derivadas de las coordenadas de
volumen con respecto a las cartesianas como
∂Li
l
l
l
∂Li
∂Li
=
=
=
b
;
c
;
di
i
i
∂x
∂y
∂z
6V (e)
6V (e)
6V (e)
(6.60)
Por otra parte, las coordenadas naturales α, β, γ definen el espacio de un
elemento tetraédrico recto 1234 con caras en α = 0, β = 0, γ = 0 y 1−α−β −γ = 0
(Figura 6.14). Para un elemento tetraédrico con aristas a, b, c se cumple
α=
y − y1
z − z1
x − x1
; β=
; γ=
a
b
c
(6.61)
siendo 1 la esquina que se toma como origen de coordenadas naturales. De (6.61)
se deduce
dα
1
dβ
1
dγ
1
=
;
=
;
=
dx
a
dy
b
dz
c
(6.62)
y un elemento diferencial de volumen se puede expresar por
dx dy dz = abc dα dβ dγ
(6.63)
Por consiguiente, para integrar cualquier función f (x, y, z) sobre el elemento
puede efectuarse el cambio de variable siguiente:
V
f (x, y, z)dx dy dz =
(e)
1
0
1−α
0
1−β−γ
0
6.22
f (α, β, γ)abc dα dβ dγ
(6.64)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.14
Definición del sistema de coordenadas natural α, β, γ en elementos
tetraédricos.
Es fácil encontrar que las funciones de forma del elemento tetraédrico de cuatro
nodos se expresan en coordenadas naturales como
N1 = 1 − α − β − γ ; N2 = α;
N3 = β; N4 = γ
(6.65)
Se comprueba de (6.65) que las funciones de forma en coordenadas naturales
satisfacen las ecs.(6.47). Asimismo, de (6.62) se deduce que las derivadas
cartesianas de dichas funciones se obtienen por
1 ∂Ni
∂Ni
1 ∂Ni
∂Ni
1 ∂Ni
∂Ni
=
;
=
;
=
∂x
a ∂α
∂y
b ∂β
∂z
c ∂γ
(6.66)
De (6.65) se deduce la relación entre las coordenadas de volumen y las naturales,
siendo inmediato pasar de un sistema de coordenadas a otro sin más que hacer
L1 = 1 − α − β − γ; L2 = α; L3 = β y L4 = γ.
Si se utilizan coordenadas de volumen las funciones de forma pueden obtenerse
como productos de cuatro polinomios de Lagrange en cada una de dichas
coordenadas de forma análoga a lo estudiado en el Capı́tulo 5 para elementos
triangulares. Ası́, la función de forma del nodo i de coordenadas genéricas
(I, J, K, L) se obtiene por
i (L ) li (L )
Ni = lIi (L1 ) lJi (L2 ) lK
3 L 4
(6.67)
donde los subı́ndices I, J, K, y L coinciden con los exponentes que afectan a cada
coordenada de volumen en la expresión de la función de forma Ni , cumpliéndose,
obviamente, que I + J + K + L = M, siendo M el grado del mayor polinomio
completo contenido en Ni . Por otra parte, lIi (Lj ) es el polinomio de Lagrange
de grado I en la variable Lj que pasa por el nodo i (ver ec.(3.6)). Dadas las
caracterı́sticas tridimensionales del tetraedro la asignación de las coordenadas
I, J, K, L a cada nodo es algo más complicada que en el caso bidimensional, como
puede apreciarse en la Figura 6.15.
6.23
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Una vez obtenidas las funciones de forma en coordenadas de volumen, su
expresión en coordenadas naturales es inmediata haciendo los cambios de variables
antes mencionados.
Presentaremos seguidamente como ejemplo la obtención de las funciones de
forma del elemento tetraédrico cuadrático.
6.5.1
Funciones de forma del elemento tetraédrico cuadrático de 10
nodos
Las coordenadas generalizadas I, J, K, L y los valores de las coordenadas
naturales α, β, γ de cada nodo pueden verse en la Figura 6.15. A partir de estas
últimas pueden deducirse automáticamente las coordenadas de volumen de cada
nodo como se ha explicado en el apartado anterior. Utilizaremos (6.67) para
obtener las funciones de forma en coordenadas de volumen.
Nodo 1
Posición (I, J, K, L) : (2, 0, 0, 0). Coordenadas de volumen
N1 = l21 (L1 ) =
:
(1, 0, 0, 0)
L1 − 12 L1
1 − 12
= (2L1 − 1)L1
(6.68)
Nodo 2
Posición (I, J, K, L) : (1, 1, 0, 0).
Coordenadas de volumen : ( 12 , 12 , 0, 0)
L L
N2 = l12 (L1 ) l12 (L2 ) = 11 12 = 4L1 L2
2
(6.69)
2
Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene
N3 = (2L2 − 1)
;
N7 = 4 L2 L4
N4 = 4L2 L3
;
N8 = 4 L3 L4
N5 = (2 L3 − 1)L − 3
;
N9 = 4 L1 L4
N6 = 4 L1 L3
;
N10 = (2 L4 − 1) L4
(6.70)
Haciendo uso de (6.59) y (6.65) se obtienen las expresiones de Ni en función
de las coordenadas cartesianas y naturales, respectivamente. Puede comprobarse
que dichas funciones contienen todos los términos de un polinomio cuadrático y
satisfacen las ecs.(6.47).
6.24
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura 6.15
Elemento tetraédrico recto cuadrático de 10 nodos. Coordenadas
generalizadas I, J, K, L y naturales α, β, γ.
6.6 ELEMENTOS TRIDIMENSIONALES ISOPARAMÉTRICOS
La formulación isoparamétrica permite utilizar elementos tetraédricos y
hexaédricos irregulares y con lados curvos como los que se muestran en la Figura
6.16. La definición del elemento se efectúa a partir de las coordenadas de su
geometrı́a real para, con la ayuda de la transformación isoparamétrica, referir
el cálculo de todas las integrales a la geometrı́a normalizada del elemento sobre
prismas y tetraedros rectos.
Consideraremos en primer lugar la formulación isoparamétrica de elementos
hexaédricos. Las coordenadas x, y, z de un punto cualquiera de un elemento de n
nodos se expresan en forma isoparamétrica como
 

x

x=


y =

z
 

 xi 

Ni yi

 
i=1
zi 
n
6.25
= N x(e)
(6.71)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 6.16
Elementos tridimensionales isoparamétricos. Geometrı́a real y normalizada.
con

N = [N1 , N2, . . . , Nn ] ;
Ni = 


Ni


Ni
; Ni = f (ξ, η, ζ)
(6.72)
Ni
donde Ni es la misma función de forma utilizada para interpolar el campo de
desplazamientos.
La ec.(6.71) expresa una relación entre las coordenadas cartesianas y las
naturales. Dicha relación es biunı́voca si se cumple que el determinante del
6.26
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Jacobiano de la transformación x, y, z → ξ, η, ζ es de signo positivo en todos los
puntos del elemento, lo que se cumple para los casos más usuales salvo para formas
muy distorsionadas de los elementos. En general son aplicables las reglas dadas
para elementos bidimensionales.
Para el cálculo de las derivadas cartesianas de las funciones de forma se sigue
un procedimiento análogo al explicado para elementos bidimensionales. Ası́, la
regla de derivación en cadena permite escribir en forma matricial


∂Ni 




∂ξ 







 ∂Ni 

∂η





 ∂Ni 






 ∂ζ 


=

∂z 

∂ξ  




∂z 
∂η  



∂z 
∂ζ
∂y
∂ξ
∂y
∂η
∂y
∂ζ
∂x
 ∂ξ

 ∂x
 ∂η


∂x
∂ζ
∂Ni
∂x
∂Ni
∂y
∂Ni
∂z











= J(e)
∂Ni
∂x
(6.73)
donde J(e) es la matriz Jacobiano cuyos términos se calculan haciendo uso de las
relaciones isoparamétricas (6.72) en la forma

J(e)
=
n 




i=1 
∂Ni
∂ξ xi
∂Ni
∂η xi
∂Ni
∂ξ yi
∂Ni
∂η yi
∂Ni
∂ζ xi
∂Ni
∂ζ yi

∂Ni
z
∂ξ i 

∂Ni 
z
∂η i 


∂Ni
z
∂ζ i
(6.74)
Invirtiendo (6.73) se encuentra la expresión de las derivadas cartesianas de Ni
como




∂Ni 




∂x 




∂Ni
∂y 







 ∂Ni 
∂z
=
∂Ni 




∂ξ 



−1 


∂N
(e)
i
J
∂η 








 ∂Ni 

∂ζ
(6.75)
La expresión analı́tica de la inversa de la matriz Jacobiano tridimensional puede
calcularse fácilmente [O3]. Por otra parte, un diferencial de volumen es
dx dy dz =
(e) J dξ dη dζ
(6.76)
Por tanto, combinando (6.19) y (6.75) puede expresarse la matriz de
deformación del nodo i de un elemento isoparamétrico tridimensional en función
de las coordenadas naturales como

b̄i

 0

 0
Bi (ξ, η, ζ) = 
 c̄
 i
 ¯
 di
0
6.27
0
c̄i
0
b̄i
0
¯
di

0
0


¯
di 

0


b̄i 
c̄i
(6.77)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
donde
 

 b̄i 

c̄i
 


d¯i
=


(e) 


J


1k 






3


(e)
 J 2k 



k=1 





 (e) 

J 3k
∂Ni
∂ξk
(6.78)
donde J ij es el elemento ij de la de la matriz Jacobiano inversa, [J(e) ]−1 ,
ξ1 = ξ, ξ2 = η y ξ3 = ζ.
La expresión genérica de la matriz de rigidez de un elemento tridimensional en
coordenadas naturales es, por tanto,
(e)
(e)
Kij =
+1
=
−1
V (e)
+1
−1
BTi D Bj dV =
+1
−1
+1
+1
−1
−1
+1
−1
BTi (ξ, η, ζ)D Bj (ξ, η, ζ)J(e) dξ dη dζ =
(6.79a)
Gij (ξ, η, ζ) dξ dη dζ
con


(d11 b̄ij + d44 c̄ij + d55 d¯ij )
(d12 b̄i c̄j + d44 c̄i b̄j )
(d13 b̄i d¯j + d55 d¯i b̄j )




Gij = (d21 c̄i b̄j + d44 b̄i c̄j )
(d22 c̄ij + d44 b̄ij + d66 d¯ij )
(d23 c̄i d¯j + d66 d¯i c̄j ) J(e) 

(d32 d¯i c̄j + d66 c̄i d¯j )
(d33 d¯ij + d55 b̄ij + d66 c̄ij )
(d31 d¯i b̄j + d55 b̄i d¯j )
(6.79b)
y b̄ij = b̄i b̄j , c̄ij = c̄i c̄j y d¯ij = d¯i d¯j , donde b̄i , c̄i , d¯i se han definido en (6.78) y dij
son las componentes de la matriz D de (6.6). De las expresiones de la inversa del
Jacobiano se deduce que en la matriz G intervienen expresiones racionales [O3],
por lo que su integración analı́tica es sumamente complicada y hay que recurrir a
la integración numérica.
En elementos tetraédricos que utilicen coordenadas de volumen la interpolación
isoparamétrica se define similarmente a la ec.(6.71), siendo ahora Ni =
f (L1 , L2 , L3 , L4). Si los tetraedros son de lados rectos el cálculo de las derivadas
cartesianas de las funciones de forma es inmediato y las integrales sobre el elemento
pueden calcularse exactamente [O3]. Si el elemento es de lados curvos es más
conveniente, como ocurrı́a en el caso bidimensional, operar con las coordenadas
naturales, lo que simplemente implica sustituir L2, L3 y L4 por α, β y γ,
respectivamente, y L1 por 1-α-β-γ. A partir de aquı́ el cálculo de las componentes
de la matriz Bi sigue idénticos pasos a los explicados entre las ecs.(6.75)-(6.79)
para elementos hexaédricos, sin más que sustituir las coordenadas ξ, η, ζ por α, β, γ,
respectivamente.
Por consiguiente, la matriz de rigidez del elemento tetraédrico isoparamétrico
de lados curvos tiene una expresión similar a la (6.79a)
(e)
Kij =
1
0
1−α
0
1−α−β
0
6.28
Gij (α, β, γ)dα dβ dγ
(6.80)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
donde la matriz G(α, β, γ) se obtiene de (6.79b), teniendo en cuenta el cambio de
variables mencionado.
6.7
INTEGRACIÓN NUMÉRICA EN TRES DIMENSIONES
6.7.1
Elementos hexaédricos
Sea f (x, y, z) una función cualquiera definida sobre un elemento hexaédrico
isoparamétrico. Para calcular el valor de la integral de dicha función sobre
el elemento efectuamos en primer lugar la transformación del dominio real al
normalizado hexaédrico recto, es decir
V
f (x, y, z)dx dy dz =
(e)
=
+1
−1
+1
−1
1
1
1
−1 −1 −1
+1
−1
f (ξ, η, ζ) J(e) dξ dη dζ =
g(ξ, η, ζ)dξdηdζ
(6.81)
Si utilizamos la cuadratura de Gauss-Legendre, el valor de la integral se calcula
por la expresión
+1
−1
+1
−1
+1
−1
nr nq np
g(ξ, η, ζ)dξ dη dζ =
Wp Wq Wr g(ξp , ηq , ζr )
(6.82)
r=1 q=1 p=1
donde np , nq y nr son el número de puntos de integración en cada una de las
direcciones ξ, η y ζ ; ξp , ηq , ζr son las coordenadas del punto de integración (p, q, r)
y Wp, Wq , Wr son los pesos correspondientes a cada dirección natural asociados a
dicho punto.
Las coordenadas y los pesos para cada dirección se deducen directamente de los
datos de la Tabla 3.1 para el caso unidimensional. Recordemos que una cuadratura
de orden n en cada dirección natural integra exactamente un polinomio de grado
2n − 1 ó menor en la correspondiente coordenada natural. En la Figura 6.17 se
muestran las cuadraturas de 1 × 1 × 1 y 2 × 2 × 2 puntos.
Figura 6.17
Cuadraturas de Gauss-Legendre de 1 × 1 × 1 y 2 × 2 × 2 puntos en
elementos hexaédricos.
6.29
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
6.7.2
Elementos tetraédricos
La cuadratura de Gauss para elementos tetraédricos que utilicen coordenadas
naturales se escribe como
1
1−α
0
np
1−α−β
0
f (α, β, γ)dα dβ dγ =
0
f (αi , βi , γi )Wi
(6.83)
i=1
La posición de los puntos de integración y los valores de las coordenadas de
volumen y los pesos correspondientes para las cuadraturas lineal, cuadrática y
cúbica se muestran en la Figura 6.18.
Se remarca que los pesos en la Figura 6.18 se han normalizado de manera que
sumen 1/6 para que el cálculo del volumen del elemento tetraédrico de 4 nodos
con la ec.(6.83) sea exacto. Ası́
1
V (e) =
V (e)
dV =
0
1−α
0
= |J(e)|
np
1−α−β
0
|J(e) | dα dβ dγ = |J(e) |
np
Wi = 6V (e)
i=1
1
0
1−α
0
1−α−β
0
dα dβ dγ =
Wi = V(e)
(6.84)
i=1
Todas las consideraciones sobre selección del orden de integración hechas para
elementos bidimensionales siguen siendo válidas para el caso tridimensional y no
merecen mayor comentario.
6.8
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
VECTORES DEL ELEMENTO
DE
LAS
MATRICES
Y
De acuerdo con las ecs.(6.79a) y (6.82) el cálculo de la matriz de rigidez de un
elemento hexaédrico isoparamétrico es:
(e)
BTi D Bj dx dy dz =
Kij =
np
V (e)
nq nr
=
p=1 q=1 r=1
(e)
T
Bi D Bj J p,q,r
+1
−1
+1
−1
+1
−1
BTi D Bj J(e) dξ dη dζ =
np
nq
nr
Wp Wq Wr =
p=1 q=1 r=1
[Gij ]p,q,r Wp Wq Wr
(6.85)
donde Gij se dio en (6.79b).
El cálculo de los vectores de fuerzas nodales equivalentes que implican integrales
sobre el volumen del elemento se efectúa de manera idéntica.
Ası́, para las fuerzas de volumen
(e)
fi
=
V
+1
NTi b dx dy dz =
(e)
np nq nr =
p=1 q=1 r=1
−1
NTi bJ(e) p,q,r
+1
−1
Wp Wq Wr
6.30
+1
−1
NTi b J(e) dξ dη dζ =
(6.86)
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
Figura
(a)
np
1
Precisión
Lineal
(b)
4
Cuadrática
(c)
5
Cúbica
Puntos
a
a
b
c
d
a
b
c
d
e
L1
1/4
α
β
β
β
1/4
1/3
1/6
1/6
1/3
L2
1/4
β
α
β
β
1/4
1/6
1/3
1/6
1/6
L3
1/4
β
β
α
β
1/4
1/6
1/6
1/3
1/6
L4
1/4
β
β
β
α
1/4
1/6
1/6
1/6
1/3
Wi
1/6
1/24
1/24
1/24
1/24
γ
δ
δ
δ
δ
2 ; δ= 3
α = 0.58541020 ; β = 0.13819660 ; γ = − 15
40
Figura 6.18
Coordenadas y pesos de los puntos de integración en las cuadraturas
de Gauss-Legendre: (a) lineal (np = 1), (b) cuadrática (np = 4) y (c)
cúbica (np = 5) para elementos tetraédricos.
El caso de fuerzas sobre una de las caras del elemento es algo más complicado.
Para explicar el proceso consideremos que actúa una fuerza tn ortogonal a la cara
situada en ζ = +1 y definida por los nodos 5 a 8 (ver Figura 6.19). Para el
cálculo del vector de fuerzas de superficie precisamos conocer el término t dA,
donde dA es el diferencial de área en dicha cara, y t el vector de fuerzas en ejes
globales actuantes sobre la superficie en cuestión. Ası́, si nx , ny , nz son los cosenos
directores de la normal a la superficie, se cumple
t = tn n
con
n = [nx , ny , nz ]T
(6.87)
El vector normal n se obtiene como producto vectorial de dos vectores tangentes
a las lı́neas η = cte y ξ = cte contenidas en la superficie ζ = +1. Ası́
31 = ∂x3i + ∂y3j + ∂z 3k
V
dξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ ζ=+1
∂x
3i + ∂y3j + ∂z 3k
32 =
V
dη
∂η
∂η
∂η ζ=+1
6.31
(6.88)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 6.19
Fuerzas de superficie normales a una cara de un elemento
hexaédrico.
32 se obtienen de la primera
Se deduce de (6.88) que las componentes de V31 y V
y segunda fila de la matriz Jacobiano de (6.74). El vector normal (unitario) es
n=
32
31 × V
V
31 × V
32 |
|V
(6.89)
32 |, se tiene que
31 × V
y recordando que dA = |V
n=


 J12 J23
1 
J21 J13
dA 


J11 J32


(e)
− J22 J13 

− J11 J23
dξ dη =



− J21 J12 ζ=+1
1 (e)
j dξ dη
dA
(6.90)
(e)
donde las Jij se obtienen de (6.74).
Por consiguiente, la expresión final del vector de fuerzas de superficie es
(e)
fti =
Ni tn n dA =
(e)
A
np nq
=
+1
−1
[Ni j(e) tn ]p,q Wp Wq
+1
−1
Ni tn j(e) dξ dη =
(6.91)
p=1 q=1
donde j(e) se deduce de (6.90) y Ni = Ni (ξ, η, ζ = +1).
Las expresiones anteriores son la base para la elaboración de las subrutinas
correspondientes de un programa de ordenador para elementos tridimensionales.
6.32
SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES
6.9
COMPORTAMIENTO GENERAL DE LOS ELEMENTOS DE
SÓLIDO TRIDIMENSIONAL
En lı́neas generales, los elementos de sólido tridimensional se comportan de
manera muy similar a sus análogos bidimensionales. Ası́, puede afirmarse que
los elementos hexaédricos son más precisos que los tetraédricos del mismo orden.
Por otra parte, los elementos de orden bajo como el hexaédrico de 8 nodos y el
tetraédrico de 4 son poco adecuados para análisis de problemas donde domine el
estado de flexión, siendo mucho más precisos para estos casos los elementos de
aproximación cuadrática o superior. Un ejemplo de esta situación se muestra en
la Figura 6.20 donde se comparan los elementos hexaédricos rectos de 8 y 20 nodos
y los tetraédricos de 4 y 10 nodos en el análisis de una viga en voladizo sometida
a un estado de flexión pura [C4]. Se aprecia en dicha figura la superioridad de
los elementos hexaédricos y en particular el excelente comportamiento del prisma
cuadrático de 20 nodos que aproximan la solución exacta con un 50% menos de
variables que su análogo tetraédrico de 10 nodos.
Figura 6.20
Análisis de la flexión de una viga con diferentes elementos de sólido
tridimensionales.
6.33
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Por otra parte, hay que señalar que la discretización de un sólido tridimensional
en tetraedros es mucho más compleja que en el caso de los más sencillos triángulos
en dos dimensiones. El problema se simplifica si se parte de una discretización en
hexaedros y se divide cada uno de ellos en cinco elementos tetraédricos [P1]. No
obstante, dada la superioridad de los elementos hexaédricos antes mencionada,
este procedimiento no parece apropiado desde el punto de vista de obtener
una mayor precisión en el cálculo. Hoy en dı́a se ha avanzado mucho en las
técnicas de generación de mallas tetraédricas, lo que ha favorecido la utilización de
estos elementos en el análisis de geometrı́as tridimensionales complejas utilizando
técnicas de remallado adaptable [B7], [G5], [O3], [P2], [P3], [P4].
6.10
COMENTARIOS FINALES
En este capı́tulo hemos estudiado con detalle la formulación de elementos de
sólido tridimensional a partir de la teorı́a de la elasticidad en tres dimensiones. La
formulación de los elementos no es compleja y todos los conceptos son de hecho
una ampliación de los estudiados en el Capı́tulo 4 para elementos bidimensionales.
Asimismo, los diferentes elementos tridimensionales se comportan de manera muy
similar a sus análogos en dos dimensiones. Ası́, hemos visto que el elemento
tetraédrico de cuatro nodos y el hexaédrico de 8 son los más sencillos de sus
respectivas familias, aunque su precisión es mucho menor que la de los elementos
de más alto orden.
De entre éstos, los elementos cuadráticos de 20 nodos en el caso hexaédrico y
de 10 en el tetraédrico son los más populares en la práctica. En cualquier caso, el
análisis de sólidos tridimensionales por el MEF tiene más dificultades inherentes
a la discretización y visualización de resultados en tres dimensiones, lo que exige
utilizar técnicas de generación de malla y de representación gráfica sofisticada [G5],
[O3].
Señalamos, finalmente, que la reciente popularidad de los métodos de
refinamiento adaptable de la malla ha potenciado la utilización de los elementos
de orden más bajo de las familias tetraédricas y prismáticas, debido a la mayor
sencillez en la generación de mallas complejas y a la simplicidad del cálculo de las
matrices y vectores del elemento en situaciones donde es corriente utilizar decenas,
e incluso cientos, de miles de elementos [G5], [O3], [P3], [P4], [Z8].
6.34
CAPÍTULO 7
FLEXIÓN DE VIGAS
7.1 INTRODUCCIÓN
Presentamos en este capı́tulo la aplicación del método de los elementos finitos
al clásico problema de flexión de vigas. Muchos se preguntarán qué sentido tiene
estudiar la utilización de un método relativamente sofisticado como el de elementos
finitos para cálculo de vigas, siendo éste un problema generalmente sencillo y
que puede resolverse de forma inmediata haciendo uso de las clásicas teorı́as de
Resistencia de Materiales o de análisis matricial de estructuras. La respuesta es
que tal y como sucedı́a en el caso de la barra a tracción estudiado en el Capı́tulo 2,
la aplicación del MEF a problemas de vigas es de gran interés didáctico y permite
explicar fácilmente conceptos de gran importancia que se aplicarán en capı́tulos
posteriores en el estudio de placas y láminas.
La organización general del capı́tulo es la siguiente: En primer lugar
estudiaremos la formulación de elementos finitos correspondiente a la teorı́a clásica
de flexión de vigas esbeltas de Euler-Bernoulli. Dicha teorı́a, que prescinde del
efecto del esfuerzo cortante en la deformación de la viga, permite introducir ideas
de gran interés, como las funciones de forma Hermı́ticas con continuidad de clase
C1 y los puntos óptimos para cálculo de tensiones.
En la segunda parte del capı́tulo presentaremos la formulación de elementos
de viga de clase Co obtenidos con la teorı́a de Timoshenko que incluye el efecto
de la deformación por esfuerzo cortante. Se introducirá el concepto de bloqueo
por efecto del esfuerzo cortante y la forma de evitarlo. Reiteramos que el estudio
detallado de este capı́tulo es esencial para la mejor compresión de los conceptos que
se explican en los capı́tulos posteriores, dedicados al estudio de placas y lámina.
7.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
7.2 FLEXIÓN DE VIGAS ESBELTAS (TEORÍA DE EULERBERNOULLI)
7.2.1
Teorı́a básica
Consideremos una viga de longitud l, sección transversal de área A y módulo
de inercia I sobre la que actúan una serie de cargas verticales y momentos
contenidos en el plano xz, que es plano principal de inercia de la sección transversal
(Figura 7.1).
La teorı́a de vigas clásica, o de Euler-Bernoulli, se basa en las 3 hipótesis
siguientes [T4,7]:
1.
2.
3.
Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección
transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga x.
El desplazamiento lateral (según el eje y de la Figura 7.1) es nulo.
Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación,
permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación.
Figura 7.1
Viga convencional de Euler-Bernoulli.
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un
punto cualquiera se puede escribir como
u(x, y, z) = − zθ(x)
v(x, y, z) = 0
w(x, y, z) = w(x)
7.2
(7.1)
FLEXIÓN DE VIGAS
Por la hipótesis 3 el giro θ es igual a la pendiente de la deformada del eje
(Figura 7.1), es decir
θ =
dw
dx
u = −z
y
dw
dx
(7.2)
Las deformaciones en un punto se obtienen por
d2 w
du
= −z
dx
dx2
εy = εz = γxy = γxz = γyz = 0
εx =
(7.3)
La única tensión no nula σx se relaciona con su correspondiente deformación
εx por
σx = E εx = − z E
d2 w
dx2
(7.4)
Se define el momento flector positivo M de una sección (Figura 7.2) como
M = −
A
zσx dA =
A
z2 E
d2w
d2 w
dA
=
EI
= EIχ
dx2
dx2
(7.5)
donde I es el momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje y y
2
χ la curvatura del eje de la viga (χ = ddxw2 ).
Figura 7.2
Convenio de signos para la tensión σx y el momento flector M .
Supondremos que las fuerzas verticales repartidas q tienen sentidos opuestos
al establecido como positivo para la flecha y, por otra parte, que los momentos
exteriores son positivos si su sentido coincide con el positivo del giro (Figura 7.1).
En dichas circunstancias, el PTV para la viga se escribe como
V
δεx σx dV = −
l
0
δwqdx −
p
i=1
7.3
δwi Pi +
q
j=1
δθj Mj
(7.6)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
La integral de volumen del primer miembro representa el trabajo virtual interno
y se simplifica como sigue (suponiendo material homogéneo en cada sección)
=
l
0
V
δ
δεxσx dV =
d2 w dx2
EI
l 0
2
d w
dx2
A
dx =
z2
l
0
d2w d2 w dA E 2 δ
dx =
dx
dx2
(7.7)
δχM dx
Por consiguiente, el trabajo virtual interno se puede expresar por la integral
sobre la longitud de la viga del producto del momento flector por la correspondiente
curvatura virtual.
7.2.2
Discretización en elementos finitos de dos nodos
La incógnita fundamental del problema es la flecha w. No obstante, en el PTV
aparecen segundas derivadas de la flecha w y la aproximación en este caso debe
garantizar la continuidad de w y de su primera derivada dw
dx (continuidad de clase
C1 , Apartado 3.2) [O3]. Esta condición se puede interpretar fı́sicamente de manera
sencilla teniendo en cuenta que dw/dx coincide con la pendiente de la deformada
de la viga. Por tanto, dicha derivada debe ser continua para garantizar que la
deformada del eje describa una curva suave.
El elemento más sencillo de viga de clase C1 es el unidimensional de dos nodos
(Figura 7.3). La continuidad de las primeras derivadas obliga a tomar el giro dw
dx
como variable. Por consiguiente, el número total de variables nodales del elemento
es 4 (wi y ( dw
dx )i por nodo). Dichas variables definen perfectamente una variación
cúbica de la flecha
w = αo + α1 x + α2 x2 + α3 x3
(7.8)
Las constantes αi se calculan sustituyendo adecuadamente los valores de la
flecha y sus derivadas en los nodos en (7.8), lo que proporciona el sistema de
cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas siguiente:
w1
dw dx 1
w2
dw dx 2
= αo + α1 x1 + α2 x21 + α3 x31
= α1 + 2α2x1 + 3α3 x21
= αo + α1 x2 + α2 x22 + α3 x32
(7.9)
= α1 + 2α2x2 + 3α3 x22
Una vez resuelto el sistema anterior se puede reescribir (7.8), tras sustituir
convenientemente las expresiones de las αi , como
l(e) dw
l(e) dw
( )1 + N2 w2 + N 2
( )
w = N1 w1 + N 1
2 dx
2 dx 2
7.4
(7.10)
FLEXIÓN DE VIGAS
Figura 7.3
Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos. Variables nodales
y funciones de forma Hermı́ticas.
donde las funciones de forma del elemento vienen dadas por
1
(2 − 3ξ + ξ 3 )
4
1
N 1 = (1 − ξ − ξ 2 + ξ 3 )
4
N1 =
ξ = (2e) (x − xm)
l
con
;
;
1
(2 + 3ξ − ξ 3 )
4
1
N 2 = (−1 − ξ + ξ 2 + ξ 3 )
4
N2 =
2
xm = x1 +x
2
y
(7.11)
(7.12)
La ecuación (7.10) puede reescribirse como
w = N a(e)
(7.13)
donde
N = N1 , N 1 , N2 , N 2
y
a(e) =
w1 ,
dw dx 1
, w2 ,
dw T
dx 2
(7.14)
son la matriz de funciones de forma y el vector de movimientos (desplazamientos
y giros) nodales del elemento, respectivamente.
7.5
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
La aproximación definida por la ec.(7.10) se denomina Hermı́tica, por coincidir
las funciones de forma con polinomios de Hermite. La representación gráfica de
las cuatro funciones de forma del elemento Hermı́tico de dos nodos se muestra en
la Figura 7.3. Obsérvese que las funciones N1 y N2 valen la unidad en un nodo
y cero en el otro, mientras que sus primeras derivadas son cero en ambos nodos,
sucediendo lo contrario con las funciones N̄1 y N̄2 . En el Capı́tulo 8 veremos
como la utilización de estos elementos en problemas de flexión de placas conduce,
en general, a situaciones en las que la primera derivada no es continua entre
elementos. Sin embargo, esto no ocurre en vigas, ya que al estar conectados entre
sı́ los elementos únicamente por puntos nodales, dichas derivadas toman un valor
único entre elementos, lo que garantiza su continuidad.
l(e)
De (7.12) se deduce que dx
dξ = 2 , con lo que
dx =
l(e)
dξ
2
dw
2 dw
= (e)
dx
dξ
l
;
y
d2 w
4
d2 w
=
2
2
dx2
(l(e) ) dξ
(7.15)
Por consiguiente, la curvatura en un punto del elemento de coordenada ξ se
obtiene haciendo uso de (7.10) y (7.15) por
χ=
4
l(e) d2 N 1 dw d2 N2
l(e) d2 N 2 dw d2 w
d2 N1
=
w
+
+
w
+
=
1
2
2 dξ 2 dx 1
2 dξ 2 dx 2
dx2
dξ 2
(l(e) )2 dξ 2
=
6ξ
(l(e) )2
,


 w1 





−6ξ (1 + 3ξ)  dw
dx
1
,

w 

(l(e) )2
l(e)
 dw2 



dx 2
(−1 + 3ξ)
,
l(e)
= Bf a(e)
(7.16)
siendo Bf la matriz de deformación de flexión o de curvatura del elemento.
Finalmente, la expresión de los trabajos virtuales de un elemento queda,
utilizando (7.6), (7.7), (7.10) y (7.16), como
l( e)
=−
δχ EIχdx =
+1 −1
T
δa(e)
+1 NT
−1
δa(e)
T
BTf (EI) Bf
l(e)
dξ
2
a(e) =
2
2
dw ql(e)
dξ +
δwi Zi +
δ
M
2
dx j j
i=1
j=1
(7.17)
que tras operar en la forma usual conduce a la conocida expresión
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
7.6
(7.18)
FLEXIÓN DE VIGAS
donde la matriz de rigidez del elemento de viga puede calcularse de forma explicita
por

12
..
(e) 
+1
(e)

.
EI
EIl


dξ =
K(e) =
BT B

2
l3
−1

6l(e)
2
4(l(e) )
...
sim.
−12
−6l(e)
12
...

6l(e)
2
2(l(e) ) 


−6l(e) 

2
(e)
4(l )
(7.19)
El lector familiarizado con el cálculo matricial de estructuras advertirá la
coincidencia de la matriz de rigidez anterior con la que se obtiene directamente
haciendo uso de las clásicas ecuaciones de Resistencia de Materiales [L2]. El
motivo es que la expresión polinómica de la flecha en el elemento Hermı́tico de
dos nodos, ec.(7.10), coincide exactamente con la que se obtiene integrando la
ecuación diferencial de equilibrio de la viga sometida a esfuerzos en sus extremos,
por lo que la matriz de rigidez en ambos casos debe coincidir [O3].
Por otra parte, el vector de fuerzas nodales equivalentes debido a una carga
uniformemente distribuı́da de intensidad −q sobre el elemento es
f (e) = −
+1
−1
NT
1 l(e) 1
l(e) T
ql(e)
dξ = −q l(e) ,
, ,−
2
2 12 2
12
(7.20)
y el vector de fuerzas nodales de equilibrio q(e) , necesario para el ensamblaje
q(e) = Z1, M1 , Z2 , M2
T
(7.21)
El lector reconocerá en las componentes del vector f (e) de (7.20) los valores,
con los signos de la Figura 7.4, de las reacciones verticales y los momentos en los
extremos de una viga biempotrada bajo carga uniforme. Esta coincidencia es, no
obstante, un caso muy particular, debido a las caracterı́sticas especiales de la carga
uniforme, no siendo por tanto extrapolable a otro tipo de cargas ni de elementos
[O3].
Una vez obtenidos los desplazamientos y los giros nodales se puede obtener el
momento flector en cualquier punto del elemento por la expresión
M = EI χ = EI B a(e)
(7.22)
Es esencial calcular el momento flector en los puntos de Gauss de cada
elemento para aprovechar la mejor aproximación de los gradientes en dichos puntos
(Apartado 3.5) [O3].
7.7
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 7.4
Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos. a) Convenio
de signos para las fuerzas nodales equivalentes. b) Fuerzas nodales
equivalentes para una carga uniformemente repartida.
7.3 FLEXIÓN DE VIGAS DE TIMOSHENKO
7.3.1
Teorı́a básica
La teorı́a de vigas de Timoshenko comparte las hipótesis 1 y 2 de la teorı́a
de vigas clásica del Apartado 7.2.1. Por contrapartida, la nueva hipótesis
3 establece que “las secciones planas normales al eje de la viga antes de la
deformación, permanecen planas pero no necesariamente normales al eje después
de la deformación” (Figura 7.5).
Esta hipótesis representa una mayor aproximación a la deformación real de la
sección transversal en vigas de gran canto. A medida que la relación longitud/canto
disminuye, las secciones transversales dejan de conservarse planas después de la
deformación. Vemos en la Figura 7.5 que la hipótesis de Timoshenko supone
tomar un giro medio para la sección, de manera que a efectos prácticos pueda
seguir considerándose plana.
De la Figura 7.5 se deduce que el giro de la sección transversal se puede expresar
como
θ=
dw
+ φ
dx
(7.23)
donde dw
dx es la pendiente de la deformada del eje de la viga y φ un giro adicional
debido a la deformación por cortante como seguidamente veremos.
El campo de desplazamientos de la viga se expresa de nuevo por la ec.(7.1). Por
otra parte, de (7.1) y (7.23) se deduce que las deformaciones no nulas son ahora
las siguientes:
εx =
dθ
du
=−z
dx
dx
7.8
(7.24)
FLEXIÓN DE VIGAS
Figura 7.5
Teorı́a de flexión de vigas de Timoshenko. Giro de la sección normal
a la fibra media.
γxz =
dw
dw du
+
=
−θ = − φ
dx
dz
dx
(7.25)
Por consiguiente, la teorı́a de Timoshenko equivale a considerar el efecto
de la deformación por cortante transversal , coincidiendo la magnitud de dicha
deformación con el giro adicional de la normal φ.
Las dos tensiones no nulas σx y τxz se relacionan con las correspondientes
deformaciones por
dθ
= −zEχ
σx = Eεx = − zE
dx
(7.26)
dw
−θ
τxz = Gγxz = G
dx
dθ .
donde G es el módulo de rigidez y χ = dx
El momento flector y el esfuerzo cortante se definen, de acuerdo con los signos
de la Figura 7.6, como
dθ
= EIχ
dx
A
dw
− θ = GAγxz
τxz dA = GA
Q=
dx
A
M =−
zσx dA = EI
(7.27)
Obsérvese que la variación de σx con el canto es lineal, lo cual puede
considerarse como “exacto” dentro de la hipótesis de la teorı́a de vigas. Por el
7.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 7.6
Teorı́a de vigas de Timoshenko. Distribución de tensiones normales y
tangenciales. Convenio de signos para el momento flector y el esfuerzo
cortante.
contrario, la variación de la tensión tangencial τxz con el canto se supone constante,
lo cual está en clara contradicción con la distribución polinómica de la teorı́a de
vigas (Figura 7.6). Para sortear este problema, y puesto que se va a hacer uso de
un planteamiento energético a partir del PTV, se acepta la hipótesis de tensión
tangencial constante, pero modificada por un coeficiente de manera que el trabajo
de deformación de la tensión tangencial constante coincida con el “exacto” de la
teorı́a de vigas [T4]. Ası́, se toma
y
τxz = α G γxz
(7.28)
Q = α A G γxz = A∗ G γxz
(7.29)
donde α es el coeficiente de forma o de distorsión de la sección, y A∗ = αA se
denomina área reducida.
El nombre de coeficiente de distorsión se debe a que tiene en cuenta el efecto
de que en realidad las secciones no se mantienen exactamente planas y tienen una
distorsión longitudinal, tal y como se muestra en la Figura 7.5 [O3].
En la Figura 7.7 se muestra el valor de dicho coeficiente para algunas secciones.
La expresión del PTV se escribe ahora como (ver ec.(7.6))
V
(δεx σx + δγxz τxz )dV =−
l
0
δwqdx −
7.10
p
i=1
δwi Zi +
q
j=1
δθj Mj
(7.30)
FLEXIÓN DE VIGAS
Figura 7.7
Valores del coeficiente de distorsión α para diferentes tipos de
secciones de vigas.
Es fácil ver que haciendo uso de las ecs.(7.24) - (7.29) el primer miembro de
(7.30) puede modificarse como
=
=
V
l
−zσx δ
δχ
0
l
A
dθ dx
+ τxz δ
−zσx dA
dw
dx
−θ
+ δγxz
dV =
A
τxz dA dx =
(7.31)
δχM + δγxz Q dx =
0
l dθ dw
dw
dθ
+δ
− θ GA∗
− θ dx
δ
EI
=
dx
dx
dx
dx
0
Se aprecia en (7.31) que en el integrando aparecen únicamente derivadas
primeras de la flecha y el giro. Esto exige únicamente su continuidad para
garantizar la integrabilidad, lo que permite la utilización de elementos finitos de
clase Co .
7.3.2 Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos
Consideremos el elemento de viga de Timoshenko más sencillo de dos nodos. A
diferencia de la teorı́a de Euler-Bernoulli, la flecha w y el giro θ son ahora variables
independientes y con continuidad Co . Ası́, se puede interpolar por separado cada
una de ellas por
w(ξ) = N1 (ξ)w1 + N2 (ξ) w2
θ(ξ) = N1 (ξ)θ1 + N2 (ξ) θ2
(7.32)
donde w1 , θ1 y w2 , θ2 son las flechas y giros de los nodos 1 y 2 del elemento,
respectivamente, y N1 (ξ) y N2 (ξ) son las tı́picas funciones lineales (Figura 7.8).
Haciendo uso de (7.32) se obtiene
dθ
dN2
dξ dθ
dξ dN1
χ=
=
=
θ1 +
θ
dx
dx dξ
dx dξ
dξ 2
7.11
(7.33)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 7.8
Elemento de viga de Timoshenko de dos nodos. Interpolación de los
movimientos y funciones de forma.
y la deformación de cortante (o cizalladura)
dξ dN1
dw
dN2
−θ =
w1 +
w
γxz =
dx
dx dξ
dξ 2
−
N1 θ1 + N2 θ2
(7.34)
Utilizando una formulación isoparamétrica idéntica a la empleada para el
dξ
elemento de barra de dos nodos del Capı́tulo 3 se obtiene dx
= (2e) y las ecs.(7.33)
l
y (7.34) pueden escribirse en forma matricial como
χ = Bf a(e)
(7.35)
γxz = Bc a(e)
donde
2 dN2
2 dN1
1
1
, 0, (e)
= 0, − (e) , 0 (e)
Bf = 0, (e)
dξ
dξ
l
l
l
l
2 dN1
2 dN2
1 −(1 − ξ) 1 −(1 + ξ)
, −N1 ,
, −N2 = −
,
Bc =
,
,
2
2
l(e) dξ
l(e) dξ
l(e)
l(e)
(7.36)
son las matrices de deformación de flexión y cortante del elemento, y
a(e) = [w1 , θ1, w2 , θ2 ]T
(7.37)
es el vector de movimientos nodales del elemento.
La expresión de los trabajos virtuales (7.30) puede escribirse, haciendo uso de
las ecs.(7.31) - (7.37), como
δa(e)
=
T BTf (EI)Bf + BTc (GA∗ )Bc dx a(e) =
(
e
)
l
T T
(e) T
δa(e)
N
(−q)dx
+
δa
l(e)
7.12
q(e)
(7.38)
FLEXIÓN DE VIGAS
y tras simplificar los movimientos virtuales queda
(e) (e)
Kf + Kc
K(e)
a(e) − f (e) = q(e)
donde
(e)
(7.39)
(e)
K(e) = Kf + Kc
y
(e)
Kf
=
BTf (EI)Bf
l(e)
dx
(e)
Kc
;
(7.40)
=
BTc (GA∗ )Bc dx
l(e)
(7.41)
son las matrices de rigidez correspondientes a los efectos de flexión y cortante cuya
suma es la matriz de rigidez total del elemento;
f (e)
=−
T
l(e)
N q dx,
con
N = [N1 , 0, N2 , 0]
(7.42)
el vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a la carga repartida q; y
q(e) = [P1, M1 , P2 , M2 ]T
(7.43)
el vector de fuerzas nodales de equilibrio que permite ensamblar las contribuciones
de los distintos elementos en la matriz de rigidez y en el vector de fuerzas globales.
Todas las integrales anteriores pueden transformarse sobre el dominio
normalizado del elemento.
(e)
Ası́, teniendo en cuenta que dx = l 2 dξ, las ecs.(7.41) y (7.42) se escriben como
(e)
Kf =
+1
−1
BTf (EI) Bf
l(e)
dξ
2
y
f (e) = −
(e)
;
Kc =
+1
−1
T
N q
+1
−1
BTc (GA∗ ) Bc
l(e)
dξ
2
l(e)
dξ
2
(7.44)
(7.45)
Las integrales anteriores pueden evaluarse numéricamente por una cuadratura
unidimensional de Gauss-Legendre (Apartado 3.4).
Adviértase que la matriz de rigidez del elemento puede también obtenerse por
la expresión general
K(e)
donde
B=
Bf
Bc
=
l(e)
BT D B dx
y
D=
EI
0
(7.46)
0
GA∗
!
(7.47)
No obstante, las expresiones (7.44) permiten identificar las contribuciones de
flexión y cortante en la matriz de rigidez, lo que resulta de gran utilidad para
integrar Kf y Kc con cuadraturas diferentes como veremos en el apartado
siguiente.
7.13
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
7.3.3
Efecto de bloqueo de la solución
De las ecs.(7.36) y (7.44) se deduce que el cálculo del valor exacto de la matriz de
rigidez de flexión Kf exige un solo punto de integración, ya que todos los términos
del integrando de (7.45) son constantes. Ası́, pues, tras realizar la integración se
obtiene


0
0 0
0
EI (e)  0
1 0 −1 
(e)


Kf =
(7.48)


0
0 0
0
l
0 −1 0
1
Por otra parte, la integración exacta de la matriz de rigidez de cortante precisa
dos puntos de integración por aparecer en el integrando de Kf términos de segundo
grado en ξ (debidos a los productos Ni Nj ), obteniéndose

(e)
Kc
=
l(e)
2
2
(e)
(l )
3
1


GA∗ (e) 



l



...
..
−1
(e)
−l 2
.
1
..
Simetr.
.

l(e)
2 
2
(e)
(l ) 

6


(e)
−l 2 

2
(e)
(l )
3
(7.49)
Para apreciar el efecto de la integración numérica estudiaremos la flexión de la
viga en voladizo de la Figura 7.9 bajo carga puntual en el extremo, con un solo
elemento.
Figura 7.9
Viga en voladizo. Análisis con un elemento de viga de Timoshenko de
2 nodos.
La ecuación matricial de equilibrio global es la siguiente:








GA∗
l
GA∗
2
GA∗
3 l
+
..
Simetr.
.
EI
l
− GA
l
− GA
2
GA∗
l
..
.
(1) (1)
a
(1)
Kf + Kc
∗
∗
−
− GA
2
GA∗
l
3
(7.50)

GA∗
2
GA∗
6 l
=f
EI
l
∗
+
EI
l
7.14


w1 


 θ1 

  w2 


 θ2
=



 w1 = 0
 V1 
θ1 = 0
M1
P




0
(7.51)
FLEXIÓN DE VIGAS
Una vez eliminados los grados de libertad nulos correspondientes al
empotramiento se obtiene el sistema de ecuaciones simplificado siguiente:

GA∗
l ∗

− GA
2

∗
− GA
w2
P
2

=
GA∗ l + EI
0
θ
2
3
l
(7.52)
La solución se encuentra por
w2
θ2

=Ff =
γ
γ+1
l
 GA∗
l3
+ 3EI

2l2 EI  P
0
l
EI
2l2
EI
(7.53)
12 EI . De (7.53) se deduce que
donde F = K−1 es la matriz de flexibilidad y γ = GA
∗ l2
la flecha en el extremo libre vale
w2 =
γ l
l3 +
P
γ + 1 GA∗ 3EI
(7.54)
3
5
∗
En el caso de una sección rectangular I = bh
12 , A = 6 bh y con ν = 0.25
γ=3
h 2
l
3
= 2
λ
(7.55)
donde λ = hl se denomina coeficiente de esbeltez de la viga.
La expresión “exacta” de la matriz de flexibilidad de una viga sin y con la
inclusión del efecto del esfuerzo cortante de acuerdo con la teorı́a de vigas clásica
[T4] es:
a) Sin esfuerzo cortante
(Euler-Bernoulli)

F=

l2
2EI 
l
EI
l3
3EI

l2
2EI
b) Con esfuerzo cortante
(Timoshenko)

F=
l
 GA∗
l3
+ 3EI

l2
2EI 
l
EI
l2
2EI
(7.56)
Por lo tanto, la flecha “exacta” en el extremo de la viga es:
a) Sin esfuerzo cortante
f
(w2 )exacta
=
l3
3EI P
b) Con esfuerzo cortante
(w2 )cexacta
=
l
GA∗
+
l3
3EI
(7.57)
P
Es conocido que en una viga esbelta (valores de λ elevados) el efecto del esfuerzo
cortante es despreciable, y la solución numérica obtenida debe coincidir con la
expresión a) de (7.57).
7.15
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
De (7.54) y (7.57) se deduce que el cociente entre la solución de elementos
finitos y la teórica para vigas esbeltas es
ϕ=
w2
f
(w2 )exacta
=
γ
γ +1
l + l3 P
3(4λ2 + 3)
GA∗ 3EI
=
3 4λ2 (λ2 + 3)
l
P
3EI
(7.58)
Lógicamente el valor de ϕ deberı́a tender a la unidad a medida que la esbeltez
de la viga aumenta (mayor λ).
En la Figura 7.10 se ha dibujado la variación de ϕ con λ. Se comprueba de
(7.58) que para vigas muy esbeltas λ → ∞ y, por consiguiente, ϕ → 0. Esto
implica que el elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con integración
“exacta” es incapaz de reproducir en el lı́mite la solución de la teorı́a clásica
de vigas. Ası́, a medida que la longitud aumenta se produce un fenómeno de
sobrerigidez numérica que, curiosamente, va cada vez tomando mayor importancia
hasta llegar a “bloquear” la solución, haciéndola, en el lı́mite, infinitamente rı́gida.
El elemento sólo “funciona” para vigas de relación canto/longitud elevadas y aún
ası́ su precisión no es demasiado buena, como puede apreciarse en la Figura 7.10,
lo que lo hace inutilizable para la mayorı́a de los casos.
Uno de los procedimientos para sortear este problema consiste en disminuir la
(e)
influencia del cortante subintegrando los términos de Kc utilizando un número
de puntos de integración inferior al necesario para su cálculo exacto. Se puede
intuir que al subintegrar los términos de rigidez de cortante, la flexibilidad de la
estructura debe aumentar, contrarrestando ası́ la excesiva rigidez introducida por
el cortante.
(e)
Integrando ahora Kc con un solo punto se obtiene

(e)
Kc
=
l(e)
2 2
l(e)
4
..
.
1




GA∗ (e) 



l




...
−1
(e)
−l 2
1
..
Simetr.
.
l(e)
2 2
l(e)
4
(e)
l
− 2
2
l(e)
4













(7.59)
Por consiguiente, las matrices de rigidez y flexibilidad de la viga del ejemplo de la
Figura 7.9, después de eliminar los grados de libertad del empotramiento, son

K=
GA∗
l ∗

− GA
2
∗


− GA
2

GA∗ l + EI
4
l
y
7.16
F=
l
 GA∗
l3
+ 4EI
l2
2EI

l2
2EI 
l
EI
(7.60)
FLEXIÓN DE VIGAS
Figura 7.10
Viga en voladizo analizada con un elemento de Timoshenko de dos
nodos. Variación del cociente entre la solución obtenida para la flecha
en el extremo y la exacta de la teorı́a de Euler-Bernoulli, con el
(e)
coeficiente de esbeltez. Influencia del orden de integración para Kc
7.17
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Obsérvese que F coincide ahora con la expresión (7.56) a excepción del
coeficiente F11 . Resolviendo para el valor de la flecha en el extremo de la viga, se
obtiene
l
l3 w2 = F11 P =
+
P
(7.61)
GA∗ 4EI
La relación entre este valor y el exacto para vigas esbeltas da
ϕ=
w2
f
(w2 )exacta
=
3λ2 + 3
4λ2
(7.62)
La variación de la nueva función ϕ con λ se ha representado también en la
Figura 7.10. Vemos que ahora para λ → ∞, ϕ → 0, 75 con lo que se ha eliminado
el efecto de bloqueo. Evidentemente la solución no es exacta, debido a la sencillez
de la malla utilizada. Puede comprobarse (ver Tabla 7.1) que el valor de ϕ converge
rápidamente a la unidad al aumentar el número de elementos. De hecho, con solo
dos elementos se obtiene para ϕ el valor 0,938 y como se aprecia en la Figura 7.10
la solución en este caso coincide prácticamente con la exacta para todos los valores
del coeficiente de esbeltez λ.
Tabla 7.1
Convergencia con el número de elementos de la relación ϕ entre las
flechas en el extremo de una viga empotrada obtenidas con y sin
inclusión del efecto del esfuezo cortante
(e)
Por consiguiente, la integración reducida de los términos de Kc proporciona
un elemento válido para vigas de pequeño y gran canto. Una vez calculados los
movimientos nodales, los esfuerzos se obtienen en el punto de Gauss central, que
además es en este caso el punto óptimo (Figura 3.3).
Existen otras técnicas para evitar el efecto de bloqueo. Entre ellas destaca
el método de deformaciones de cortante impuestas. Este método consiste, en
esencia, en imponer a priori un campo de deformaciones de cortante determinado
en función de los movimientos nodales. Dicho campo se escoge de manera que
pueda satisfacerse en el lı́mite de esbeltez infinita la condición de la teorı́a clásica
de vigas de deformación de cortante nula. Es fácil intuir que escogiendo un campo
de deformaciones de cortante constante e igual al valor del campo original en el
centro del elemento, se obtiene el mismo efecto positivo que calculando la matriz de
rigidez de cortante utilizando un solo punto de integración (integración reducida).
En la referencia [O3] se dan detalles de este procedimiento del que se volverá a
hablar al estudiar los elementos de placa de Reissner-Mindlin.
7.18
FLEXIÓN DE VIGAS
7.3.4
Más sobre la integración reducida
Una forma de explicar las bases del éxito de la integración reducida de la matriz
Kc es estudiar el comportamiento del sistema de ecuaciones global K a = f a
medida que la esbeltez de la viga aumenta. Haciendo uso de las ecs.(7.39) y (7.45)
se puede escribir dicha ecuación matricial de rigidez (suponiendo las propiedades
geométricas y del material constantes para todos los elementos) como
EI
l
Kf +
GA∗ Kc a = f
l
(7.63)
3
l (ver
Puesto que la solución “exacta” para vigas esbeltas es proporcional a 3EI
ec.(7.57)) multiplicamos por ese coeficiente (7.63) para obtener
l2
3
Kf +
l2 GA∗ l3
f = f̄
Kc a =
3EI
3EI
(7.64)
Para una sección rectangular, A∗ = α h b y I = 1/12 b h3, con lo que (7.64)
queda
l2
l 2 4Gα
Kf +
(7.65)
K̄c a = f
3
h
E
donde f es un vector del orden de magnitud de la solución exacta para vigas
esbeltas.
De la ecuación anterior se deduce que cuando el canto de la viga disminuye
2
con respecto a la longitud, el término hl
aumenta rápidamente, de manera que
para vigas muy esbeltas el coeficiente de Kc se hace progresivamente mucho más
grande que el de Kf y (7.65) tiende a
β Kc a = f
(7.66)
2
l
donde β = 4Gα
E h . En el lı́mite, para vigas infinitamente esbeltas h → 0 y
β→∞y
1
Kc a = f → 0
(7.67)
β
Se desprende de (7.67) que a medida que la esbeltez de la viga aumenta la
solución de elementos finitos se rigidiza más y más con relación a la exacta (efecto
de bloqueo), hasta que en el lı́mite se tiende a una solución infinitamente rı́gida
(a = 0). Asimismo, se deduce de (7.67) que para evitar la solución trivial a = 0,
el determinante de la matriz Kc (o Kc) debe ser nulo. La singularidad de la
matriz de rigidez de cortante se convierte ası́ en un requisito necesario (aunque no
siempre suficiente) para la existencia de la solución correcta en el lı́mite de vigas
uniformemente esbeltas.
Existe una sencilla regla para saber si la matriz de rigidez obtenida por
integración numérica es o no singular. Dicha regla se basa en advertir que la
7.19
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
integración numérica equivale a introducir k relaciones independientes en cada
punto de integración, donde k es el número de componentes del vector deformación
que interviene en el cálculo de la matriz. Ası́, si p es el número total de puntos
de integración de la malla y j es el número de grados de libertad libres (una vez
descontados los movimientos prescritos), la matriz de rigidez será singular si el
número de relaciones introducidas no es suficiente para equilibrar el número total
de incógnitas, es decir, si
j −p· k >0
(7.68)
La demostración de este teorema se da en [O3].
La ec.(7.68) puede utilizarse para estudiar la singularidad de la matriz de
cortante Kc o de la matriz de rigidez global K para un elemento aislado o para
una malla. En todos los casos se encuentra que para obtener la singularidad de
Kc hay que reducir el número de puntos de integración. Esto debe hacerse, no
obstante, cuidando que la matriz de rigidez K mantenga el rango correcto para
evitar la singularidad del sistema total. Como ejemplo consideremos la viga de
la Figura 7.9. El número de grados de libertad disponibles es 2(w2 y θ2 ) y el de
componentes de deformación que intervienen en Kc es 1 (γxz ). Ası́, con integración
exacta para Kc , p = 2, se tiene
2−1×2 =0
con lo que no se satisface la condición de singularidad (7.68).
Es fácil comprobar que la matriz obtenida con dicha integración no es singular.
En efecto, de (7.50) se deduce que una vez eliminados los movimientos prescritos
"
"
"
"
"Kc "
=
"
"
"
GA∗
l ∗
− GA
2
∗
"
− GA
2 "" = l GA∗
GA∗ l
12
3
(7.69)
Sin embargo, al utilizar integración reducida p = 1, la ec.(7.68) da
2−1×1 =1> 0
con lo cual se consigue la singularidad de Kc . Esto puede comprobarse calculando
el determinante de Kc obtenida con un solo punto de integración. Ası́, de (7.59)
"
"
"
"
"Kc "
=
"
"
"
GA∗
l ∗
− GA
2
∗
"
− GA
2 "" = 0
∗
GA l
4
(7.70)
Finalmente, es importante comprobar la bondad de la matriz de rigidez total
K. El número de componentes de deformación es ahora 2 (χ y γxz ), y utilizando
un solo punto de integración se obtiene para la ec.(7.68)
2−1×2 =0
7.20
FLEXIÓN DE VIGAS
lo que garantiza que K no es singular, como puede evidenciarse calculando su
determinante a partir de las ecs.(7.48) y (7.59).
En resumen, el elemento de viga de Timoshenko de dos nodos con integración
reducida uniforme de un punto, tiene un excelente comportamiento para el análisis
de vigas de todo rango de esbelteces [O3]. Las ideas aquı́ introducidas se ampliarán
en el estudio de placas y láminas.
7.4 CONCLUSIONES
Hemos estudiado en este tema el análisis por elementos finitos de problemas
de vigas partiendo de dos formulaciones diferentes. La primera, (teorı́a de EulerBernoulli), basada en la ortogonalidad de las secciones transversales rectas con
la fibra media, prescinde del efecto de la deformación por cortante y precisa
utilizar elementos clase C1 . La segunda, (teorı́a de Timoshenko) permite la no
ortogonalidad de las secciones transversales con la fibra media tras la deformación.
La matriz de rigidez del elemento de viga de Euler-Bernouilli de dos nodos es
idéntica a la del elemento de viga de la clásica teorı́a de cálculo matricial de
estructuras. Esto introduce de forma natural el efecto de la deformación por
cortante y permite la utilización de elementos más sencillos de clase Co . Como
contrapartida los elementos de viga de Timoshenko son sensibles al efecto de
bloqueo de la solución al analizar vigas de gran esbeltez. Dicho efecto puede (y
debe) suprimirse utilizando técnicas especiales como la integración reducida de la
matriz de rigidez de cortante, o mediante la imposición “a priori”de un campo de
deformaciones de cortante adecuado. El sencillo elemento de viga de Timoshenko
de dos nodos con integración reducida de un punto tiene un comportamiento
excelente en la práctica.
Todos estos conceptos aparecerán de nuevo al tratar problemas de placas y
láminas.
7.21
CAPÍTULO 8
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
8.1 INTRODUCCIÓN
Con este tema iniciamos el estudio de estructuras constituidas por “elementos
laminares delgados”. En primer lugar estudiaremos el caso de placas en las que
dichos elementos son planos; posteriormente consideraremos el caso de estructuras
laminares constituidas por ensamblaje de placas en el espacio, para finalmente
estudiar las láminas con simetrı́a de revolución.
En esencia, las distintas teorı́as de placas se diferencian, similarmente al caso
de vigas, en las hipótesis sobre el giro de las normales al plano medio. Ası́, la
teorı́a más clásica de placas delgadas de Kirchhoff establece que dichas normales se
mantienen rectas y ortogonales a la deformada de dicho plano [T5]. Por otro lado,
la teorı́a más avanzada de Reissner-Mindlin mantiene la condición de deformación
recta de la normal, pero no exige su ortogonalidad con la deformada del plano
medio [M6], [R4]. El lector reconocerá la coincidencia de estas dos hipótesis con
las utilizadas en las teorı́as de vigas. En este capı́tulo estudiaremos primeramente
la teorı́a de placas delgadas de Kirchhoff, junto con la formulación de elementos
finitos correspondiente. Encontraremos que, similarmente a la teorı́a análoga
de vigas de Euler-Bernoulli, los elementos precisan de continuidad C1 debido a
la presencia de derivadas segundas de la flecha en la expresión de los trabajos
virtuales. Adicionalmente veremos que, a diferencia de lo que ocurrı́a en vigas, no
es fácil satisfacer todos los requisitos de continuidad entre elementos, lo que da
origen a elementos “no conformes” pero utilizables en la práctica en algunos casos.
En la segunda parte del capı́tulo se estudia la teorı́a de placas de ReissnerMindlin, que al igual que la de vigas de Timoshenko, incluye el efecto de la
deformación por cortante, lo que en principio la hace válida para el análisis de
placas gruesas y delgadas, aunque en este último caso, como en vigas, haya que
utilizar integración reducida u otros procedimientos para evitar el bloqueo de la
solución numérica por efecto del cortante.
¿Cuál de dichas teorı́as es más recomendable? La respuesta no es, hoy por
hoy, totalmente categórica. Si bien las últimas tendencias se inclinan hacia los
elementos de placa de Reissner-Mindlin, lo cierto es que su utilización debe hacerse
con suma precaución y a partir de un profundo conocimiento de la teorı́a.
8.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
En cualquier caso, el estudio de la teorı́a más clásica de Kirchhoff proporciona
una excelente introducción a los conceptos fundamentales de la teorı́a de placas y
sirve como punto de referencia para el estudio posterior de la teorı́a de ReissnerMindlin.
8.2 TEORÍA DE PLACAS DE KIRCHHOFF
8.2.1 Estado de placa
Se define como placa al sólido paralelepı́pedo en el que una de sus dimensiones
(espesor) es mucho más pequeña que las otras dos. La superficie plana equidistante
de las caras de mayores dimensiones se denomina plano medio de la placa. Por
otra parte, se define como “estado de placa” al estado de cargas en el que sólo
actúan como cargas exteriores fuerzas normales al plano medio y momentos cuyos
ejes están contenidos en dicho plano (Figura 8.1).
8.2.2 Hipótesis fundamentales
Las hipótesis de la teorı́a de placas de Kirchhoff son las siguientes:
1) En los puntos del plano medio
u=v=0
(8.1)
En otras palabras, los puntos del plano medio sólo se mueven verticalmente.
2) Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen
aproximadamente el mismo desplazamiento vertical.
3) La tensión normal σz es despreciable.
4) Los puntos sobre rectas normales al plano medio antes de la deformación,
permanecen sobre rectas también ortogonales a la deformada del plano medio
después de la deformación.
Las hipótesis 1, 2 y 4, permiten definir el campo de desplazamientos a través del
espesor de la placa. La tercera hipótesis afecta a la relación tensión-deformación,
como se verá en el Apartado 8.2.4.
Figura 8.1
Definición geométrica de una placa y convenio de signos para desplazamientos y giros.
8.2
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
8.2.3 Campo de desplazamientos
De las hipótesis 1, 2 y 4 anteriores y la Figura 8.2. se deduce que
u(x, y, z) = −zθx (x, y)
(1a. y 4a. hipótesis)
v(x, y, z) = −zθy (x, y)
w(x, y, z) w(x, y)
(2a. hipótesis)
(8.2)
donde w es el desplazamiento vertical (flecha) de los puntos del plano medio y θx
y θy son los ángulos que definen el giro de la normal (hipótesis 4) contenidos en
los planos xz e yz, respectivamente. El vector
u = [w, θx , θy ]T
(8.3)
se denomina vector de movimientos (contiene los desplazamientos y giros) de un
punto del plano medio de la placa.
Figura 8.2
Deformación del plano medio de una placa delgada y giro de la normal.
De la hipótesis 4 y la Figura 8.2 se deduce que
θx =
∂w
∂x
y
θy =
∂w
∂y
(8.4)
Es decir, los giros de la normal en un punto coinciden con la pendiente del
plano medio en ese punto.
Por consiguiente, el vector de movimientos se escribe como
∂w ∂w T
,
u = w,
∂x ∂y
(8.5)
La mayor parte de las teorı́as de placas se basan en la hipótesis de deformación
recta de la normal. En realidad esto no es más que una aproximación, pues
la sección transversal se distorsiona con la deformación como se muestra en la
8.3
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 8.2 y el ángulo θx (ó θy ) depende de la altura sobre el plano medio. La
hipótesis de deformación recta de la normal equivale a suponer un giro “medio”
uniforme para cada normal, lo que evidentemente simplifica el problema.
Hay que añadir que la hipótesis de ortogonalidad de la normal sólo se cumple
para placas de pequeño espesor (relación espesor/ancho medio t/L ≤ 0.05). Para
placas de moderado y gran espesor (t/L ≥ 0.10) la distorsión de la sección aumenta
con la deformación de manera que se pierde la ortogonalidad entre la “normal
media” y el plano medio. En estos casos la teorı́a de Reissner-Mindlin representa
una mejor aproximación de la deformación real de la placa. Si dicha distorsión es
grande, lo que sucede en losas de gran espesor o en determinadas condiciones de
apoyos o de cargas, hay que acudir a la teorı́a de la elasticidad tridimensional.
8.2.4 Campo de deformaciones, tensiones y esfuerzos
De las expresiones (6.3) de la elasticidad 3D y la ec.(8.4) se tiene
∂ 2w
∂u
= −z 2
∂x
∂x
∂ 2w
∂v
= −z 2
εy =
∂y
∂y
εx =
;
εz 0
∂ 2w
∂u ∂v
+
= −2z
∂y ∂x
∂x∂y
∂w ∂u
∂w ∂v
+
= 0 ; γyz =
+
=0
γxz =
∂x
∂z
∂y
∂z
γxy =
(8.6)
Se deduce de (8.6) que la cuarta hipótesis de Kirchhoff conduce a que las
deformaciones transversales γxz y γyz son nulas. Por consiguiente, las tensiones
tangenciales transversales no contribuyen a la deformación de la placa. Esto no
quiere decir que el valor de dichas tensiones sea insignificante. Dicho valor, de
hecho, puede calcularse “a posteriori” utilizando las ecuaciones de equilibrio entre
momentos flectores y esfuerzos cortantes, como veremos más tarde. Finalmente,
es interesante destacar que la hipótesis 3 conduce a que el trabajo de deformación
σz εz es nulo, por lo que puede prescindirse de la deformación εz en el análisis.
El vector


∂2w 





−z

∂x2 





 εx 

2
∂
w
−z ∂y 2
ε = εy
=
(8.7)










γxy


 −2z ∂ 2 w 
∂x∂y
es el vector de deformaciones independientes de la placa. Dicho vector tiene
asociado el correspondiente vector de tensiones
σ = [σx, σy , τxy ]T
8.4
(8.8)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Figura 8.3
Convenio de signos para tensiones y momentos en una placa.
El convenio de signos utilizado se muestra en la Figura 8.3.
Partiendo de la relación general entre tensiones y deformaciones de la elasticidad
tridimensional y haciendo uso de que σz , γxz y γyz son nulas, puede encontrarse
una nueva expresión entre las tensiones y deformaciones no nulas. Para material
isótropo la matriz D coincide con la expresión de tensión plana (debido a la
hipótesis de σz = 0)


1 ν
0
E 
0 
D=
(8.9)
ν 1

1 − ν2
1−ν
0 0
2
Se define ahora el vector de esfuerzos como






Mx 
+t 
+t
 σx 


2
2
σ dz
=
z
σ
dz
=
zσ
σ f = My
σ̂
y
t
t




−2
−2




Mxy
τxy
(8.10)
donde Mx y My son los momentos flectores de las tensiones σx y σy con respecto
al plano medio, respectivamente, y Mxy es el momento torsor producido por la
tensión tangencial τxy . Para convenio de signos ver la Figura 8.3. El subı́ndice
σ f indica esfuerzos de flexión. En temas posteriores veremos la utilidad de
f en σ̂
diferenciar los esfuerzos de flexión de los de cortante y membrana.
Sustituyendo en (8.10) las relaciones (8.9) y (8.7), se encuentra
σ
σ̂ f =
+t
2
− 2t
zDεε dz =
+t
2 2
z Dε̂εf
t
−2
donde
D̂f =
dz = D̂f ε̂εf
t3
D
12
(8.11)
(8.12)
es la matriz constitutiva de flexión y
∂ 2w
∂ 2w
∂ 2w
ε̂εf = − 2 , − 2 , −2
∂x∂y
∂x
∂y
8.5
T
(8.13)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
es el vector de deformaciones generalizadas de flexión (o vector de curvaturas).
Comparando (8.7) y (8.13) se deduce que
εf = zε̂εf
(8.14)
8.2.5 Expresión del Principio de los Trabajos Virtuales
El PTV para el caso de carga repartida de intensidad q y fuerzas puntuales Pi
(actuando ambas en dirección del eje z), se escribe
V
δεεT σ dV
ε σ
=
A
δwqdA +
δwi Pi
(8.15)
i
Las caracterı́sticas de las placas permiten simplificar la integral de volumen
del trabajo de deformación virtual, en otra sobre el plano medio de la placa en
función de los esfuerzos y las deformaciones generalizadas. Ası́, haciendo uso de
(8.7), (8.9) y (8.12), se obtiene
δU =
V
=
δε̂εTf
A
δεεT σ dV
ε σ
+ 2t
− 2t
=
V
zσ
σ dz dA =
zδε̂ε Tf σ dV =
A
σ̂ f dA
δε̂εTf σ
(8.16)
Por consiguiente, operando con los esfuerzos y las deformaciones generalizadas
el estudio de un problema de flexión de placas adquiere un caracter bidimensional,
ya que todas las integrales y variables del problema son función unicamente de las
coordenadas del plano medio de la placa.
Es interesante desarrollar (8.16) como
δU = −
∂ 2w
∂ 2w
∂ 2w
Mxy dA
δ 2 Mx + δ 2 My + 2δ
∂x
∂y
∂x∂y
A
(8.17)
En la expresión anterior se aprecia claramente que el trabajo de deformación
virtual de la placa puede obtenerse a partir de las contribuciones del trabajo
que realizan cada uno de los momentos sobre las curvaturas correspondientes.
Asimismo, vemos que en el integrando de (8.17) aparecen derivadas segundas de la
flecha, lo que exige que tanto la flecha como sus primeras derivadas sean continuas
(continuidad de clase C1 ).
Esta última circunstancia es determinante a la hora de seleccionar la
interpolación de elementos finitos como se verá en un apartado posterior.
8.6
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
8.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO
En la teorı́a de Kirchhoff es particularmente interesante encontrar las ecuaciones
de equilibrio en función de los esfuerzos. Dichas ecuaciones permiten calcular los
esfuerzos cortantes una vez calculados los movimientos. Asimismo, la ecuación
diferencial de equilibrio de la placa en función de la flecha, ha sido extensamente
utilizada para encontrar soluciones analı́ticas a problemas de placas delgadas de
geometrı́a sencilla.
Figura 8.4
Esfuerzos en un elemento diferencial de placa.
Estableciendo el equilibrio de esfuerzos en un elemento diferencial de placa
(Figura 8.4), se deducen fácilmente las ecuaciones siguientes:
Equilibrio de fuerzas verticales
Fz = o
⇒
∂Qx
∂Qy
dx dy +
dy dx + qdxdy = 0
∂x
∂y
(8.18)
y dividiendo por dxdy
∂Qx ∂Qy
+
+q =0
∂x
∂y
(8.19)
Equilibrio de momentos
My = 0
⇒
∂My
∂Mxy
dy dx +
dx dy−
∂y
∂x
∂Qy
∂Qx
dy
dy
− Qy +
dy dx −
dx dy + q dxdy
=0
∂y
∂x
2
2
Mx = 0
⇒
∂Mx
∂Mxy
dx dy +
dy dx−
∂x
∂y
∂Qx
dx
∂Qy
dy
− Qx +
dx dy −
dy dx
+ q dxdy
=0
∂x
∂y
2
2
8.7
(8.20)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
y despreciando términos de segundo orden
∂My ∂Mxy
+
− Qy = 0
∂y
∂x
(8.21)
∂Mx ∂Mxy
+
− Qx = 0
∂x
∂y
(8.22)
Diferenciando (8.21) y (8.22) con respecto a y y x, respectivamente, y
sustituyendo Qx y Qy en (8.19) se obtiene
∂ 2Mx
∂ 2Mxy ∂ 2 My
+
= −q
+
2
∂x2
∂x∂y
∂y
(8.23)
Finalmente, haciendo uso de (8.11) pueden sustituirse los momentos en función
de la flecha, obteniéndose para un material isótropo
∂ 4w
∂ 4w
∂ 4w
q
+
2
+
=
4
2
2
4
∂x
∂x ∂y
∂y
D
q
4 w = D
o
3
Et
D = 12(1−ν
2)
con
(8.24)
que es una ecuación diferencial de cuarto orden que relaciona la flecha con la carga
repartida y las propiedades del material. Dicha ecuación con sus correspondientes
condiciones de contorno, es el punto de partida para resolver analı́ticamente
problemas de placas isótropas.
Una vez calculada la flecha por integración de (8.24) los momentos flectores en
cada punto se obtienen por (8.11). Por otra parte, sustituyendo (8.11) en (8.21) y
(8.22) se deducen las expresiones de los esfuerzos cortantes
Qx = −D
3
∂ w
∂ 3w
+
∂x3
∂x∂y2
Qy = −D
;
3
∂ w
∂ 3w
+
∂y3
∂y∂x2
(8.25)
a partir de los cuales pueden encontrarse las correspondientes tensiones
tangenciales por la teorı́a de la elasticidad. Ası́, suponiendo que es válida la
hipótesis de variación parabólica de dichas tensiones, de la teorı́a de vigas [T4] se
puede encontrar su valor máximo como
(τxz )max =
3 Qx
2 t
;
τyz
max
=
3 Qy
2 t
(8.26)
No entraremos aquı́ en la discusión de los distintos procedimientos para resolver
la ecuación (8.24) para diferentes tipos de placas. Hasta los años sesenta los
métodos analı́ticos más populares se basaban en la utilización de dobles series
8.8
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
de Fourier para aproximación de la flecha [T5], y los numéricos en el método de
diferencias finitas [B2]. Ambos procedimientos han sido utilizados por numerosos
autores para el estudio de toda una variedad de placas delgadas, generalmente
rectangulares, con diversas condiciones de contorno (ver referencias de [T5]).
En realidad, la solución analı́tica para la mayorı́a de los problemas de placas
con geometrı́as irregulares, material no homogéneo y condiciones de contorno
complicadas es inabordable, e incluso existen grandes dificultades en la aplicación
de métodos numéricos tradicionales como el de diferencias finitas. En dichos
casos el método de los elementos finitos es la herramienta de cálculo más potente
aplicable al estudio de cualquier placa.
De hecho, fue precisamente en la solución de problemas de flexión de placas
donde el método de los elementos finitos ganó una rápida popularidad en sus etapas
iniciales de la década de 1960 [Z1,3,8]. La potencia del método para resolver este
tipo de problemas frente a las limitaciones de las soluciones analı́ticas y de métodos
como el de emparrillado o incluso el de diferencias finitas, muy utilizados en esa
época, propició el desarrollo de numerosos elementos finitos de placa delgada,
algunos de los cuales se describen en los apartados siguientes.
8.4 CONDICIONES DE CONTORNO
Las condiciones de contorno corresponden a los valores de los movimientos
nodales prescritos. Los más usuales en la práctica son:
Borde empotrado: w = θx = θy = 0
Borde simplemente apoyado:
condición fuerte: w = θs = 0
condición débil: w = 0
donde s es la dirección a lo largo del borde apoyado.
Apoyo puntual : wi = 0
Eje de simetrı́a (de geometrı́a y de cargas): θn = 0
siendo n la dirección normal al eje.
En la Figura 8.5 se muestran gráficamente las condiciones anteriores.
8.5 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS
La forma más sencilla de satisfacer los requisitos de continuidad C1 para la
flecha es tomar, similarmente a los elementos de vigas de Euler-Bernoulli del tema
7, la flecha y sus dos derivadas cartesianas (giros) como
variables
nodales.
∂w
Por tanto, tendremos tres variables por nodo wi , ∂x y ∂w
∂y i y el número
i
total de variables de un elemento de n nodos será 3n. Este número determina el
número de términos del polinomio que aproxima w dentro de cada elemento.
Ası́, pues, en general
w = α1 + α2 x + α3 y + α4 x2 + α5 xy+....
(hasta 3n términos)
8.9
(8.27)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 8.5
Diferentes condiciones de contorno en placas.
El cálculo de las αi se efectúa imponiendo las condiciones en los nodos

wi = (w)i


i = 1, 2, ..., n
∂w 

θxi = ∂w
;
θ
=
yi
∂x
∂y
i
(8.28)
i
lo que proporciona 3n ecuaciones.
El problema fundamental reside en la selección adecuada de los términos del
polinomio (8.27), ya que suele haber varias alternativas. Cada una define un
elemento distinto cuyas propiedades deben ser estudiadas con detalle, ya que
existen muchos elementos que simplemente no funcionan en la práctica. A
continuación presentaremos sucintamente algunos de los elementos de placa de
Kirchhoff rectangulares y triangulares más populares.
8.6 ELEMENTOS DE PLACA DE KIRCHHOFF
RECTANGULARES
8.6.1 Elemento rectangular de cuatro nodos no conforme MZC
El elemento se muestra en la Figura 8.6. Por tener 4 nodos, el número de
términos del polinomio (8.27) debe ser 12. Por consiguiente, hay que renunciar
a la utilización de un polinomio completo para el desarrollo de w, puesto que
los polinomios completos de tercer y cuarto grado tienen 10 y 15 términos,
respectivamente (Figura 8.6)). Ası́, pues, deben omitirse algunos términos del
polinomio de cuarto grado. Qué términos eliminar es, naturalmente, un problema
nada trivial. Melosh [M4,5] y Zienkiewicz y Cheung [Z1] desarrollaron un
popular elemento rectangular, que denominaremos MZC, basándose en la siguiente
aproximación
w = α1 + α2 x + α3 y + α4 x2 + α5 xy + α6 y2 + α7 x3 + α8 x2 y+
+α9 xy2 + α10 y3 + α11 x3 y + α12 xy3
8.10
(8.29)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Figura 8.6
Elementos de placa rectangular de cuatro nodos no conforme
MZC.
La expresión anterior garantiza la invarianza geométrica y asimismo que
a lo largo de los lados x=constante o y=constante, la flecha varı́a
según
un
∂w
polinomio completo de tercer grado. Las cuatro variables wi , wj y ∂w
,
∂x
∂x
o
∂w , ∂w
∂y i
∂y j
i
j
correspondientes a los dos nodos del lado i − j permiten calcular
de manera unı́voca las cuatro constantes de dicho polinomio, con lo que queda
garantizada la continuidad de w entre elementos.
Melosh [M4,5] ha obtenido una forma explı́cita de la matriz N. Ası́, la ec.(8.29)
puede escribirse como
4 ∂w
¯ ∂w
w=
Ni wi + N̄i
+ N̄
= Na(e)
i
∂x i
∂y i
i=1
donde
y
Ni =


(e) 


a


1 






 a(e) 
(e)
2
;
a =  (e) 
N = [N1, N2 , N3, N4 ]

a3 








 (e) 
a4
T
(e)
¯ ]
∂w , ∂w
[Ni , N̄i , N̄
;
a
=
w
,
i
i ∂x i
i
∂y i
(8.30)
(8.31)
son la matriz de funciones de forma y el vector de movimientos del elemento
y de un nodo i, respectivamente. La expresión analı́tica de las funciones de
8.11
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
¯ en coordenadas naturales se muestra en la Figura 8.6. Es
forma Ni , N̄i , N̄
i
interesante comprobar que, similarmente a lo que ocurrı́a con las funciones
de forma Hermı́ticas del elemento de vigas de Euler-Bernoulli, la función Ni
correspondiente a la flecha toma valor unidad y pendiente nula en el nodo i,
¯ toman valor nulo y pendiente unidad
mientras que las funciones de giros N̄i y N̄
i
en direcciones ξ y η, respectivamente, en dicho nodo.
La matriz de deformaciones generalizadas de flexión se obtiene haciendo uso de
(8.13) y (8.30) como
εε̂ =








2
− ∂∂xw2 




2w 
∂
− ∂y 2








2



∂
w
−2 ∂x∂y 
4
=
i=1
(e)
Bi ai
= Ba(e)
(8.32)
con

B = [B1 , B2 , B3 , B4 ] ,
Bi =
2
2
∂ Ni
 − ∂x2
− ∂∂xN̄2i
2
− ∂∂yN2i
2
− ∂∂yN̄2i






2
∂ Ni
−2 ∂x∂y
2
∂ N̄i
−2 ∂x∂y
2
¯

− ∂∂xN̄2 i 
2¯
− ∂∂yN̄2 i
¯
2 N̄
i
−2 ∂∂x∂y






El cálculo de las derivadas segundas de las funciones de forma en la matriz Bi
es inmediato a partir de las expresiones de la Figura 8.6, teniendo en cuenta que
1 ∂2
∂2
= 2 2
∂x2
a ∂ξ
;
∂2
1 ∂2
= 2
∂y2
b ∂η2
y
1 ∂2
∂2
=
∂x∂y
ab ∂ξ∂η
(8.33)
Dado que las funciones de forma tienen una variación cúbica se deduce que las
curvaturas, y por consiguiente los momentos flectores varı́an linealmente dentro
del elemento MZC.
Siguiendo el procedimiento usual se tiene
δw = Nδa(e)
y
δε̂ε = Bδa(e)
(8.34)
Haciendo uso de estas expresiones y de la relación (8.11) entre esfuerzos
y curvaturas se obtiene, tras sustituir adecuadamente en el PTV, la ecuación
matricial de equilibrio del elemento
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
(8.35)
donde la matriz de rigidez elemental viene dada por
(e)
Kij =
A(e)
BTi D̂f Bj dxdy
8.12
(8.36)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
y el vector de fuerzas nodales equivalentes debido a una carga repartida es






(e)

Pi 

 Ni 

(e)
T
=
N
qdxdy
=
q
dxdy
N̄
fi = Mxi
i
i


A(e)
A(e) 

 ¯ 
Myi 
N̄ i 
(8.37)
Por otra parte, q(e) en (8.35) es, como de costumbre, el vector de fuerzas nodales
de equilibrio utilizado para el ensamblaje, con
(e)
qi
= [P̄i , M̄xi , M̄yi ]T
(8.38)
donde P̄i y M̄xi , M̄yi son la carga puntual vertical y los dos momentos flectores
que equilibran el nodo i.
La integración de los términos de la matriz de rigidez no es complicada y en
la Figura 8.7 se presenta su forma explı́cita para un elemento MZC homogéneo e
isótropo. En la Figura 8.8 se muestra la expresión del producto DBi para cálculo
de los momentos flectores. Finalmente, la expresión del vector de fuerzas nodales
equivalentes para una carga uniformemente repartida es
f (e)
a b 1
a
b 1 a
b
1 a b 1
= 4qab , , , , − , , , − , − , , , −
4 12 12 4 12 12 4 12 12 4 12 12
(8.39)
De dicha expresión se deduce que debido a la dependencia de la flecha con los
giros, una carga vertical produce momentos nodales, similarmente a como ocurrı́a
en los elementos de viga de Euler-Bernoulli estudiados en el Tema 7.
8.6.2 Incompatibilidad del campo de derivadas primeras
Es importante resaltar que aunque el campo de desplazamientos definido por
(8.30) establece la continuidad de w entre elementos, no garantiza la continuidad de
las primeras derivadas, excepto en los nodos donde, naturalmente, dichas derivadas
toman un valor único.
∂2w y ∂2w
Esta falta de continuidad se traduce en que las derivadas cruzadas ∂x∂y
∂y∂x
toman un valor diferente en los nodos, violándose uno de los requisitos básicos de
continuidad de la función w. Esta circunstancia puede comprobarse observando
la Figura 8.9. La derivada ∂w
∂x a lo largo del lado 1–2 depende de los valores
∂w
∂w
∂w a lo largo de 2–3 depende de ∂w
y
,
mientras
que
la
derivada
∂x
∂x
∂y
∂y
1
∂w .
∂y 4
2
∂ 2 w a lo
y
Por consiguiente, ∂x∂y
a lo largo de 2–3 depende de ∂w
.
∂y 3
∂2w
independientes, los valores de ∂x∂y
2
pérdida de continuidad.
3
2w
∂w
∂
largo de 1–2 depende de ∂x
y
1 ∂y∂x
∂w
Como generalmente ∂w
∂x 1 y ∂y 3 son
∂2w
y ∂y∂x
diferirán, con la consiguiente
2
8.13
Figura 8.7
8.14
−a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8a2
0
−6a
4a2
0
−3a
2a2
0
3a
4a2
0
0
0
−3
−3a
0
3
−3a
0
6
−6a
0
3a
2a2
0
−3a
4a2
0
8a2
0
0
0
0
0
0
0
0
−6
−6a
0
6
−6a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 1
0
 ab 2ab
0



 −1 0 −b 1
 0
0
0 −a
0

Simétrica
 −b 0
0
b
−2ab 0
ν 
(e)
K3 =

2ab  1
0
0 −1
a
0 1

 0
0
0
a
0
0 −a
0
 0
0
0
0
0
0 −b 2ab 0


 −1 −a 0 1
0
0 −1
0
b

3a
0
 6
 6a
 0


 −6
 6a

 0
b

(e)
K1 =

3
6a  −3

 3a
 0


 3

1
a
−b
6a
4a2
0
8a2
0
0
−2ab
0
0
0
0
0



















(e)
;
;
0
6b
−2a2
0
3a
−3b
−6b
0
4b2
0
0
0
0
−8b2
−3b
0
2b2
3b
0
4b2
0
0
0
0
0
0
8b2
0
0
0
0
0
0
0
0
2a2
0
−3
0
3b
−6
0
6b
6
0
6b
0
2b2
−3b
0
2b2
−6b
0
4b2
8b2
Et3
12(1 − ν 2 )
0
0
D=
−3a
3b
3
0
−3b
6
0
−6b
 21
8a2
 3a
0
8b2
 3b


 −21 −3a −3b 21
 3a −2a2
0
−3a 8a2

 −3b
0
−8b2
3b
0
8b2


 21
3a
3b
−21
3a
−3b
21

 −3a 2a2
0
3a −8a2
0
−3a
 −3b
2
2
0
2b
3b
0
−2b
−3b


 −21 −3a −3b 21 −3a
3b
−21

−3a
3b
 6
0
 6b



 3
 0

 3b
a

(e)
K2 = 3 
6b  −3

 0
 3b


 −6

(e)








 ; K(e) = 1 − ν

4
30ab









8a2
0
(e)
0
6
6a
0
Simétri ca
(e)
K(e) = D [K1 + K2 + K3 + K4 ]
0
0
0
0
0
6
0
−6b
3a
−2a2
0
8a2
0
3b
0
−8b2
8b2
Simétrica
−3b
0
4b2
8b2
Simétrica
0
0
21
3a
−3b
8b2
8a2
0



















8b2



















Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Matriz de rigidez de elemento de placa rectangular de Kirchhoff de
cuatro nodos MZC (2a × 2b) con material homogéneo e isótropo.
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS




Mx 
4

(e)
σ f = My
σ̂
=
D̂f Bi ai



Mxy  i=1

(d̂12 Nixx + dˆ12 Niyy ) dˆ11 N̄ixx

D̂f Bi = −  (d̂21 Nixx + dˆ22 Niyy ) dˆ21 N̄ixx
2dˆ33 Nixy
2dˆ33 N̄ixy
1
(3ξi ξ + 3ξi ηi ξη)
N̄ixx =
4a2
1
N̄ixy =
Niy = − 2 (3ηi η + 3ξi ηi ξη)
4b
1
¯ yy =
(4ξi ηi − 3ξi ηi ξ 2 − 3ξi ηi η 2 ) N̄
Nixy =
i
8ab
¯ xy =
N̄
Nixx = −
i

¯ yy
dˆ11 N̄
i
¯ yy 

dˆ22 N̄
i
xy
¯
ˆ
2d33 N̄ i
1
(3ξ + ξi ηi η + 3ηi ξη + ξi )
4a
1
(3ηi ξ 2 + 2ξi ηi ξ − ηi )
8b
1
(3η + ξi ηi ξ + 3ξi ξη + ηi )
4b
1
(3ξi η 2 + 2ξi ηi η − ξ)
8a
dˆij es el elemento ij de la matriz D̂f
Figura 8.8
Elemento de placa rectangular de cuatro nodos MZC. Matriz D̂Bi
para cálculo de momentos flectores.
Figura 8.9
a) Concepto de giro normal y tangencial a un lado.
∂ 2 w en los nodos.
b) Desigualdad de las derivadas ∂x∂y
Los elementos de placa de Kirchhoff que no cumplen las condiciones de
continuidad C1 se denominan incompatibles o no conformes. La no conformidad
es generalmente un defecto que invalida el elemento para su uso práctico, a menos
que pueda garantizarse su convergencia a través del cumplimiento del denominado
criterio de la parcela. Dicho criterio se basa en imponer en los contornos de una
parcela de elementos arbitraria, un campo de movimientos prescrito que puedan
reproducir exactamente las funciones de forma del elemento. El criterio de la
parcela se satisface si los desplazamientos y las deformaciones en el interior de la
8.15
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
parcela obtenidos del cálculo, coinciden con los exactos correspondientes al campo
de movimientos prescrito [O3,Z3].
Por ejemplo, aunque es imposible garantizar la conformidad del elemento MZC
rectangular tomando como variables nodales la flecha y sus primeras derivadas,
el elemento satisface el criterio de la parcela, lo que asegura su convergencia al
disminuir el tamaño de la malla [Y1].
Desgraciadamente, para formas cuadriláteras arbitrarias deja de satisfacerse el
criterio de la parcela, perdiéndose todas las garantı́as de obtener convergencia.
Por consiguiente, el elemento cuadrangular de cuatro nodos MZC no es fiable para
usos prácticos. No obstante, en su forma rectangular es un elemento muy preciso
y puede utilizarse sin problemas [O3].
8.6.3 Elemento de placa BFS
Una de las técnicas más utilizadas para desarrollar elementos de placa
∂ 2 w como cuarta variable nodal.
conformes es considerar la derivada cruzada ∂x∂y
Un elemento rectangular de este tipo fue desarrollado por Bogner, Fox y Schmidt
[B6] (elemento BFS, Figura 8.10) basado en una aproximación polinómica para
la flecha de 16 términos como producto de dos polinomios cúbicos completos en x
e y.
Figura 8.10
Elemento rectangular de placa de cuatro nodos BFS.
Una caracterı́stica interesante de este elemento es que sus funciones de forma
se pueden obtener como producto de las funciones de forma Hermı́ticas cúbicas
del elemento de viga de Euler-Bernouilli de dos nodos del Capı́tulo 7 [O3,W1,Y1].
El elemento BFS satisface la continuidad de las derivadas normal y cruzada a lo
largo de todos sus lados, puesto que la derivada normal varı́a sobre cada lado según
un polinomio cúbico definido por cuatro parámetros: el giro y la derivada cruzada
en cada nodo extremo. Por consiguiente, el elemento es conforme y también
satisface el criterio de la parcela. Asimismo se ha encontrado que, por utilizar una
aproximación de mayor orden, el elemento BFS es más preciso que el rectangular
MZC [W2].
8.16
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
No obstante lo anterior, la utilización del elemento rectangular BFS es muy
limitada en la práctica, ya que tampoco es extrapolable a formas cuadriláteras
irregulares.
8.7 ELEMENTOS DE PLACA TRIANGULARES
Los elementos triangulares son de gran interés práctico para análisis de placas
de formas irregulares. No obstante, en la formulación de dichos elementos se
encuentran las mismas dificultades para garantizar su conformidad que en los
elementos rectangulares. Presentaremos seguidamente los conceptos básicos de
algunos de los elementos de placa de Kirchhoff triangulares no conformes y
conformes más populares.
8.7.1 Elementos de placa triangulares no conformes
El problema fundamental de encontrar funciones de forma para el sencillo
triángulo de tres nodos es que se dispone de nueve variables nodales mientras que
el polinomio completo de tercer grado contiene diez términos. Ası́, pues, hay que
prescindir de un término de dicho polinomio de manera más o menos arbitraria.
Esto ha dado lugar a una gran variedad de elementos triangulares no conformes,
la mayorı́a de ellos poco eficientes y no utilizables con fines prácticos.
Adini [A4] ha propuesto omitir el término xy del polinomio cúbico, es decir
w(x, y) = a1 + a2x + a3 y + a4x2 + a6 y2 + a7 x3 + a8x2 y + a9xy2 + a10 y3 (8.40)
Este criterio tan sencillo proporciona, desgraciadamente, un mal elemento,
∂2w
puesto que es incapaz de reproducir estados de curvatura de torsión ∂x∂y
constante.
Tocher [T8] propone agrupar los términos a8 y a9 del polinomio cúbico como
w(x, y) = a1 + a2 x + a3y + a4x2 + a5 xy + a6 y2 +
+a7 x3 + a8 (x2y + xy2 ) + a9y3
(8.41)
Este elemento no respeta la continuidad de la derivada normal a lo largo de
los lados comunes. Además, el proceso de obtención de los parámetros ai se hace
singular cuando los lados del triángulo son paralelos a los ejes x e y.
Harvey y Kelsey [H1] han desarrollado el elemento anterior añadiendo un cuarto
nodo central al que asignan la flecha como décima variable nodal, consiguiendo
por tanto un polinomio completo de tercer grado (Figura 8.11). Dicha variable
puede eliminarse por condensación. Pese a todo, el elemento no respeta la
continuidad de la derivada normal y no converge. El comportamiento de este
elemento mejora sustancialmente si se imponen los requisitos de continuidad del
giro normal utilizando el método de multiplicadores de Lagrange [Y1].
Un elemento bastante popular es el triangular de tres nodos y nueve grados de
libertad (la flecha y los dos giros nodales) desarrollado inicialmente por Bazeley
8.17
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 8.11
Elemento de placa triangular de cuatro nodos y 10 grados de libertad
[H1].
et al. [B3] y posteriormente mejorado por Cheung, King y Zienkiewicz [CH2]
(denominado CKZ). Dicho elemento se basa en una aproximación de la flecha por
el siguiente polinomio incompleto de tercer grado en coordenadas de área
w = a1L1 + a2L2 + a3 L3 + a4 L21 L2 +
+a6 L22 L3 +
L1 L2 L3
L L L
+ a5 L22L1 + 1 2 3 +
2
2
L1 L2 L3
L L L
+ a7 L23 L2 + 1 2 3 +
2
2
+a8 L23L1 +
L1 L2 L3
L L L
+ a9 L21 L3 + 1 2 3
2
2
(8.42)
Los términos entre paréntesis garantizan que pueda reproducirse un campo de
curvatura arbitrario en el que la flecha valga cero en los nodos.
Siguiendo un proceso similar al explicado para el elemento rectangular MZC la
aproximación (8.42) puede escribirse en la forma
3 ∂w
¯ ∂w
w=
Ni wi + N̄i
+ N̄
i
∂x i
∂y i
i=1
(8.43)
La expresión de las funciones de forma Ni , N̄i y N̄¯i y de la matriz de rigidez
del elemento CKZ se puede encontrar en [CH2].
El elemento CKZ no es conforme, pues no respeta el criterio de continuidad
de la derivada normal entre contornos interelementales. Pese a ello, converge de
manera monótona, por lo que ha sido bastante popular [CH1], [Z3], [Z8]. En las
referencias [B3], [B5], [F1], [S2] y [S3] se presentan diferentes métodos para mejorar
el comportamiento de este elemento.
Un elemento triangular de seis nodos no conforme de gran interés por su
simplicidad fue propuesto por Morley [M7,8]. El elemento se basa en una
aproximación de la flecha por un polinomio completo de segundo grado, lo que da
lugar a un estado de curvatura constante en todo el elemento. Las seis incógnitas
nodales son: la flecha en cada uno de los nodos de vértice y el giro normal en los
nodos laterales (Figura 8.12). Dicho elemento converge pese a violar los requisitos
de continuidad C1 que, como hemos visto, exigen una variación cúbica de la flecha.
8.18
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Figura 8.12
Elemento de placa triangular de curvatura constante de Morley
[M7,8].
8.7.2 Elementos de placa de Kirchhoff triangulares conformes
La mayor parte de los elementos de placa triangulares conformes se basan
en imponer la continuidad de la derivada normal utilizando variables de giro
adicionales definidas en los lados del elemento. Describiremos a continuación
algunos de dichos elementos.
Un primer elemento triangular conforme surge como una modificación del CKZ
descrito anteriormente. Puede observarse que las funciones de forma de (8.42)
tienen una variación parabólica de la derivada normal a lo largo de dos lados, que
no puede definirse unı́vocamente por los dos valores en los extremos. Zienkiewicz
[Z3] propone una solución para este problema añadiendo un nodo adicional en el
punto medio de cada lado en el que se define como variable el giro normal (Figura
8.13). Dicha variable junto con las otras dos en los nodos del extremo de cada
lado proporciona los tres valores necesarios para definir la variación parabólica de
la derivada normal, resultando un elemento conforme.
Figura 8.13
Elemento triangular de 12 variables [Z6].
Otro elemento triangular conforme de nueve grados de libertad bastante
popular es el desarrollado por Clough y Tocher [C2] a partir de una idea de Hsieh y
Clough (elemento HCT). Las funciones de forma se obtienen dividiendo el elemento
en tres triángulos interiores como se muestra en la Figura 8.14a. Dentro de cada
triángulo de nodos 4ij se utiliza una aproximación incompleta de nueve términos
en ejes locales x̄ȳ cuyo origen está en el nodo central y el eje ȳ es perpendicular
al lado ij. Ası́, para el triángulo 423 (Figura 8.14a) se escoge
wA = C1 + C2 x̄ + C3 ȳ + C4 x̄2 + C5 ȳ2 + C6 x̄ȳ + C7 x̄3 + C8 x̄ȳ2 + C9 ȳ3
8.19
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
siendo ȳ ortogonal al lado 23. Para los triángulos 412 y 431 se utilizan
aproximaciones similares. La omisión del término x̄2 ȳ garantiza que el giro normal
varı́a linealmente a lo largo de los contornos, mientras que la flecha varı́a de forma
cuadrática. Una vez obtenidas las matrices de rigidez de cada subelemento en ejes
locales, se efectúa el ensamblaje en ejes globales y se eliminan los grados de libertad
interiores, imponiendo al mismo tiempo continuidad de la derivada normal en los
puntos centrales de los lados interiores [C5,Y1].
Figura 8.14
Elementos de placa triangulares conformes HCT obtenidos a partir
de tres subelementos.
Los mismos autores utilizan un procedimiento similar para mejorar el elemento
HCT tomando como partida tres elementos interiores con nodos laterales donde se
especifica el giro normal como variable, lo que proporciona una variación parabólica
de dicho giro a lo largo de los lados comunes (Figura 8.14b). El proceso de
eliminación y condensación de variables interiores conduce a un elemento similar
al desarrollado por Zienkiewicz [Z3] de 12 variables (Figura 8.13) [G2].
Un inconveniente de los elementos con la derivada normal como variable en los
nodos laterales es que obligan a operar con un número diferente de variables en
cada nodo.
Para obviar este problema Irons [I3] sugiere añadir la flecha y la derivada
∂ 2 w como variable en los nodos laterales con lo cual todos los nodos
cruzada ∂n∂s
8.20
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Figura 8.15
Elemento de placa triangular conforme de 18 grados de libertad de
Irons [I3].
pasan a tener tres variables (Figura 8.15).
Diversos autores han desarrollado otros elementos triangulares de tres nodos
conformes en base a variaciones cúbicas y cuárticas del giro normal ∂w
∂n a lo largo de
los lados. Cowper et al. [C7] propusieron un elemento triangular de 18 grados de
∂w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w
libertad (w, ∂w
∂x , ∂y , ∂x2 , ∂y 2 , ∂x∂y ) en cada nodo (Figura 8.16a). Las funciones
de forma de este elemento contienen todos los términos de un polinomio completo
de quinto grado menos el término ξ 4 η que se omite para garantizar la variación
cúbica de ∂w
∂η a lo largo del lado η = 0. Las dos condiciones que faltan para calcular
las 20 constantes del desarrollo quı́ntico incompleto se obtienen imponiendo la
variación cúbica de ∂w
∂n a lo largo de los otros dos lados.
Figura 8.16
Elementos de placa triangulares conformes de 18 y 21 grados de
libertad.
El elemento anterior puede mejorarse añadiendo tres nodos laterales a los que
se asigna como variable la derivada normal ∂w
∂n [A7], [B4], [I3] (Figura 8.16b). En
dicho caso las funciones de forma son polinomios quı́nticos completos y ∂w
∂n varı́a
según un polinomio de cuarto grado a lo largo de los lados.
Más información sobre el desarrollo de estos elementos puede encontrarse en
[Y1] y [Z3,8] además de las referencias ya citadas. Pese a su excelente precisión los
elementos que incorporan las derivadas cruzadas como variables nodales no han
sido muy populares, debido fundamentalmente a las dificultades para su utilización
en análisis de láminas.
8.21
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
8.8 ELEMENTOS DE PLACA CUADRILÁTEROS CONFORMES
OBTENIDOS A PARTIR DE ELEMENTOS TRIANGULARES
En la Figura 8.17 se muestran dos elementos de placa de Kirchhoff cuadriláteros
obtenidos por la técnica de dividir el cuadrilátero en cuatro triángulos sobre los que
se define una aproximación cúbica de la flecha. Después de eliminar los grados de
libertad interiores se obtiene el campo de desplazamientos final sobre el elemento
cuadrilátero resultante. El elemento propuesto por Fraeujs de Veubeke [F4,5]
(Figura 8.17a), tiene 16 grados de libertad (los tres usuales en cada vértice más el
giro normal en el centro de cada lado). El cuadrilátero de Clough y Felippa [C3]
tiene únicamente 12 grados de libertad como se indica en la Figura 8.17b. Para
mayor detalles consultar las citadas referencias y [O3].
Figura 8.17
Elementos de placa cuadriláteros conformes. (a) Fraeijs de Veubeke
[F4,5]. (b) Clough y Felippa [C3].
8.9 ELEMENTOS DE PLACA DELGADA CONFORMES OBTENIDOS A PARTIR DE LA FORMULACIÓN DE REISSNERMINDLIN
Una metodologı́a alternativa de gran interés para desarrollar elementos de placa
delgada compatibles se basa en la degeneración de los elementos de placa de
Reissner-Mindlin de clase Co que se estudian en la segunda parte del capı́tulo.
El punto de partida es un elemento de placa de Reissner-Mindlin cualquiera al que
se impone el cumplimiento de la hipótesis de Kirchhoff de deformación transversal
nula en una serie de puntos, de manera que la energı́a de deformación por cortante
efectiva sobre el elemento sea nula. El elemento de placa resultante, denominado
8.22
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
elemento DK (elemento Discreto de Kirchhoff), tiene un comportamiento análogo
al de un elemento de placa delgada de Kirchhoff, manteniendo sin embargo
la continuidad de clase Co para los movimientos nodales, lo que garantiza su
compatibilidad. En el Apartado 8.17 se trata de nuevo este tema.
8.10 COMPARACION DE LOS ELEMENTOS DE PLACA DE
KIRCHHOFF
Los diferentes elementos de placa estudiados en apartados precedentes se
comparan en el análisis de una placa cuadrada simplemente apoyada bajo una
carga puntual actuando en el centro. Dada la doble simetrı́a del problema
se discretiza únicamente un cuarto de placa con elementos rectangulares y
triangulares, como se muestra en la Figura 8.18. En la Figura 8.18a se comparan
los resultados del error en el cálculo de la flecha central con diferentes mallas de
elementos rectangulares. Se aprecia que el elemento no conforme MZC converge
a la solución correcta desde arriba, dando por tanto una cota superior de la
solución. Por otro lado, todos los elementos conformes estudiados (BFS, elemento
de Veubeke [F4,5] y elemento de Clough y Felippa [C3]) convergen desde soluciones
más rı́gidas aunque de hecho los tres elementos convergen de forma monótona y
rápida a la solución correcta, como puede apreciarse en la Figura 8.18a.
La Figura 8.18b muestra el mismo tipo de análisis con diferentes elementos
triangulares. Se aprecia que el elemento no conforme CKZ converge a la solución
correcta aunque no de forma monótona. Por otra parte, el sencillo elemento de
6 grados de libertad no conforme de Morley [M7] sı́ converge monótonamente,
aunque para mallas groseras el error en la solución es importante. Ambos
elementos no conformes convergen desde soluciones más flexibles como en el caso de
elementos rectangulares. Por otra parte, los tres elementos conformes de Cowper
et al. [C7], CKZ modificado [Z3] y HCT [C2] convergen monótonamente desde
soluciones más rı́gidas, siendo el elemento de 18 grados de libertad de Cowper et
al. el que muestra un mejor comportamiento para mallas groseras (Figura 8.18b).
Es interesante observar asimismo que el elemento de diez grados de libertad de
Harvey y Kelsey, modificado con la imposición de la continuidad del giro normal a
lo largo de los lados [H1], converge también de forma monótona. Por el contrario,
los resultados son muy malos si se utiliza el elemento original sin esta modificación.
Una comparación exhaustiva de todos los elementos anteriores puede encontrarse
en [R3], [Y1] y [Z8].
La conclusión general es que si bien la conformidad no es un requisito esencial
para la convergencia del elemento, sı́ garantiza su buen comportamiento para
formas arbitrarias irregulares y muy particularmente en elementos cuadriláteros.
Por tanto, cualquiera de los elementos conformes cuadriláteros o triangulares
estudiados, pueden ser utilizados con total confianza para fines prácticos. Mención
aparte merecen el elemento rectangular MZC y el triangular de Morley, que por
su sencillez son candidatos a ser incluidos en un programa de cálculo de carácter
general, pese a no satisfacer los requisitos de conformidad.
Hay que añadir que no hemos considerado aquı́ elementos de placa delgada
8.23
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 8.18
Comparación de diversos elementos de placa de Kirchhoff
rectangulares y triangulares en el análisis de una placa cuadrada
simplemente apoyada bajo carga puntual en el centro.
basados en métodos mixtos e hı́bridos basados en interpolar simultáneamente los
desplazamientos y los esfuerzos (ver referencias [Z3,8]). Se destaca también que
recientemente Oñate y Zárate han desarrollado un nuevo concepto de elementos
de placa delgada que contienen la flecha como única variable nodal (es decir
sin variables de giros nodales), en base a la combinación de aproximaciones de
elementos finitos y técnicas de volúmenes finitos [O4].
8.24
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
8.11 PLACAS
GRUESAS.
TEORÍA
DE
REISSNER-
MINDLIN
Los elementos de placa basados en la teorı́a de Kirchhoff tienen una utilización
restringida a placas delgadas y, como vimos, presentan numerosas dificultades para
encontrar funciones de forma que satisfagan los requisitos de continuidad de flechas
y pendientes en todo el elemento. En lo que resta de capı́tulo estudiaremos una
formulación alternativa basada en la teorı́a de placas de Reissner-Mindlin [R4],
[M6]. Dicha teorı́a es válida para placas de pequeño y gran espesor y permite
obviar las dificultades de los elementos de Kirchhoff.
Como se comentó en la introducción del capı́tulo la teorı́a de placas de Kirchhoff
puede considerarse, en cuanto a sus hipótesis sobre ortogonalidad de la normal,
análoga a la de vigas de Euler-Bernoulli. En ese mismo sentido, la teorı́a de
placas de Reissner-Mindlin también se puede considerar análoga a la de vigas de
Timoshenko. Ası́, esta teorı́a de placas se basa sencillamente en hacer menos
restrictiva la hipótesis de ortogonalidad de la normal, lo que introduce el efecto de
la deformación por cortante transversal, permitiendo el análisis de placas gruesas.
Adicionalmente, los elementos de placa basados en la teorı́a de Reissner-Mindlin
son más sencillos que los de Kirchhoff al precisar únicamente continuidad de
clase Co , lo que elimina los problemas de no conformidad de estos últimos. En
contrapartida, el precio que se paga por la utilización de elementos de placa de
Reissner-Mindlin es que, análogamente al caso de vigas de Timoshenko, aparecen
dificultades numéricas en su aplicación a placas de pequeño espesor, obteniéndose
soluciones mucho más rı́gidas debidas a la influencia excesiva de los términos
de cortante transversal (efecto de bloqueo). Dichas dificultades se resuelven
con técnicas de integración reducida y/o utilizando campos de deformaciones de
cortante transversal impuestas u otros procedimientos similares.
La mayor sencillez de los elementos de placa de Reissner-Mindlin y el hecho
de que puedan aplicarse indistintamente a problemas de placas delgadas y
gruesas justifican su creciente popularidad, como lo demuestra el gran número
de publicaciones cientı́ficas que sobre los mismos han aparecido en los últimos
años (ver lista de referencias en los capı́tulos de placas de [C9], [H6], [Z3] y [Z8]).
Asimismo, muchos de estos elementos han sido incorporados con éxito a la mayorı́a
de los programas comerciales para análisis de estructuras por el método de los
elementos finitos [A1], [A3], [A5], [M9], [N1], [R6] y [S1], etc.
8.12 HIPÓTESIS DE LA TEORÍA DE PLACAS DE REISSNERMINDLIN
La teorı́a de placas de Reissner-Mindlin se obtiene de la de Kirchhoff
simplemente relajando la hipótesis de ortogonalidad de la normal durante la
deformación de la placa.
Ası́, se mantienen las tres primeras hipótesis de la teorı́a de Kirchhoff explicadas
en el Apartado 8.2.2. Por el contrario, la hipótesis cuarta sobre ortogonalidad de
la normal se modifica como sigue:
4- Los puntos que antes de la deformación estaban sobre la normal al plano medio
8.25
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
de la placa, permanecen al deformarse sobre una misma recta, sin que ésta tenga
que ser necesariamente ortogonal a la deformada del plano medio (Figura 8.19).
El lector reconocerá la analogı́a de esta hipótesis con la establecida para el giro
de la sección en la teorı́a de vigas de Timoshenko. Esta analogı́a será de gran
utilidad para interpretar muchos aspectos comunes a ambas teorı́as.
Figura 8.19
Teorı́a de placas de Reissner-Mindlin. Convenio de signos para los
movimientos y giro de la normal.
8.12.1 Campo de desplazamientos
De las hipótesis 1 y 2 del Apartado 8.2.2 y de la 4 del apartado anterior se
deduce:
u(x, y, z) = −zθx (x, y)
v(x, y, z) = −zθy (x, y)
w(x, y, z) w(x, y)
(8.44)
donde θx y θy son los ángulos que definen el giro de la normal. Puede comprobarse
que el campo de desplazamientos anterior coincide con el expresado por la ecuación
(8.2) para la teorı́a de Kirchhoff. El vector de movimientos se define de igual forma
como
u = [w, θx, θy ]T
(8.45)
De la hipótesis 4 sobre el giro de la normal se tiene (Figura 8.19)
θx =
∂w
+ φx
∂x
(8.46)
θy =
∂w
+ φy
∂y
(8.47)
e igualmente para el plano yz
8.26
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Es decir, los giros de la normal en un punto se componen de dos términos: Los
primeros, ∂w
y ∂w
∂x
∂y , son debidos al cambio de pendiente del plano medio. Los
segundos, φx y φy , se deben al giro adicional de la normal al no permanecer
necesariamente ortogonal a la deformada del plano medio.
Las ecs.(8.46) y (8.47) muestran claramente que los giros de la normal θx y θy
no pueden obtenerse únicamente en función de la pendiente del plano medio, como
ocurrı́a en la teorı́a de Kirchhoff (ec.(8.4)). Esto permite considerar dichos giros
como variables independientes, siendo ésta la diferencia sustancial entre ambas
teorı́as de placas.
La hipótesis 4 establece que las normales al plano medio se mantienen rectas
después del giro, lo que implica, como veremos, que la distribución de tensiones
τxz y τyz es constante sobre el espesor. En realidad, esto no es más que una
aproximación, pues, de hecho, las normales inicialmente rectas se distorsionan
durante la deformación, siendo dicha distorsión más importante cuanto mayor es
el espesor de la placa. Ası́, pues, los giros θx y θy deben interpretarse como “valores
medios” de la deformada “real” de la normal.
8.12.2 Campo de deformaciones y tensiones
Para obtener el campo de deformaciones partimos, como siempre, de la
definición general de las deformaciones en tres dimensiones, ec.(6.3). Sustituyendo
en dicha ecuación el campo de movimientos (8.44), se obtiene
∂θx
∂u
= −z
∂x
∂x
∂θy
∂v
εy =
= −z
∂y
∂y
εx =
εz ∂w
= 0
∂z
∂θx ∂θy
∂u ∂v
+
= −z
+
γxy =
∂y ∂x
∂y
∂x
∂u ∂w
∂w
+
= −θx +
= −φx
∂z
∂x
∂x
∂v ∂w
∂w
+
= −θy +
= −φy
γyz =
∂z
∂y
∂y
γxz =
(8.48)
Se aprecia en (8.48) que la hipótesis de no ortogonalidad de la normal se traduce
en que las deformaciones transversales γxz y γyz no son nulas, siendo precisamente
su valor (absoluto) el de los giros φx y φy , respectivamente, que adquieren ası́ un
interesante significado fı́sico. Asimismo, se aprecia que dichas deformaciones (y
por consiguiente las respectivas tensiones) son independientes de la coordenada z.
Adviértase que la condición de deformaciones transversales nulas implica θx =
∂w y θ = ∂w , recuperándose la hipótesis de ortogonalidad de la normal de la
y
∂x
∂y
teorı́a de Kirchhoff, como era de esperar.
8.27
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Puesto que por la hipótesis 3 la tensión normal σz es nula, se puede definir el
vector de tensiones no nulas por











σx 





σy 




σf 



τxy
σ =
=
······



······





σc 






τxz 





τyz
(8.49)
donde σ f y σ c representan los vectores de tensiones debidas a efectos de flexión
y cortante transversal, respectivamente. El criterio de signos para las tensiones
σx, σy y τxy coincide con el de la Figura 8.4. Por otra parte, los signos positivos
para las tensiones de cortante transversal τxz y τyz se muestran en la Figura 8.20.
Figura 8.20
Convenio de signos para las tensiones τxz y τyz .
Por analogı́a podemos definir el vector de deformaciones asociado al de tensiones
de la ec.(8.48) por











εx 



εy 



γxy 
ε =
=

······









γxz 






γyz


x


−z ∂θ


∂x






∂θ


y


−z




∂y











 −z ∂θx + ∂θy 

∂y
∂x





··············· 










∂w


−
θ


x


∂x








∂w − θ


y
∂y




εf 

= ······

εc 
(8.50)
donde εf y εc son, respectivamente, los vectores de deformaciones de flexión y de
cortante transversal.
8.28
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
8.12.3 Relación tensión-deformación
Partiendo de la ecuación constitutiva de la elasticidad tridimensional y haciendo
uso de que σz es nula, se puede encontrar la siguiente relación entre las tensiones
no nulas y sus deformaciones asociadas

 Df
σf

σ =
= ······

σc
0

..


.
0 

 εf 

..
·
·
·
·
·
·
= Dεε

. ······



..
εc
.
Dc
(8.51)
siendo Df y Dc las matrices constitutivas de flexión y cortante, respectivamente,
que para elasticidad isótropa se escriben como

1
E 
ν
Df =

1 − ν2
0
ν
1
0

0

0 
1−ν
2
,
Dc =
G 0
0 G
(8.52)
E .
con G = 2(1+ν)
Obsérvese que la matriz Df coincide con la utilizada en tensión plana y en la
teorı́a de placas de Kirchhoff.
Debido al campo de desplazamientos supuesto, la distribución de deformaciones
εx , εy y γxy es lineal en z (ver ec.(8.50)) y, por consiguiente, a través de (8.51)
también lo es la de las correspondientes tensiones σx , σy y τxy (Figura 8.4).
Por otra parte, la distribución de las deformaciones γxz y γyz es constante a lo
largo del espesor y lo mismo sucede con las correspondientes tensiones τxz y τyz
(Figura 8.20).
Es conocido que de acuerdo con la teorı́a de la elasticidad, la distribución
“exacta” de las tensiones tangenciales transversales no es constante a través del
espesor. Generalmente dicha distribución tiene forma polinómica con valores nulos
en los planos superior e inferior de la placa [T5]. Para sortear este problema
se afecta a las tensiones tangenciales transversales de un coeficiente de manera
que el trabajo de deformación de las mismas coincida con el realizado por las
tensiones tangenciales transversales “exactas”. De esta forma el trabajo de
deformación global de la placa coincide con el exacto, aunque localmente las
tensiones tangenciales no tienen la distribución correcta. Ası́, pues, en la práctica
la ecuación constitutiva para las tensiones tangenciales transversales se escribe
como
σc =
α1 Gxz
0
0
α2 Gyz
εc = Dcεc
(8.53)
donde α1 y α2 son los coeficientes de distorsión transversal. Para su obtención
puede utilizarse un procedimiento energético similar al empleado en teorı́a de vigas
[O3]. En placas de espesor constante y material homogéneo es normal tomar
α1 = α2 = 56 como en vigas de sección rectangular (ver Capı́tulo 7).
8.29
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
8.12.4 Esfuerzos y deformaciones generalizadas
Se define el vector de esfuerzos σ
σ̂ en un punto del plano medio por
σ̂
σ
=
σ
σ̂ f
······
σ
σ̂ c
=
 M 
x 




M
y 




Mxy
······


 Q 


x 


Qy
=
 zσ 
x

 zσ 

y 


+t 


2
zτxy
dz
······
− 2t 


 τ



 xz 
τyz
=
+ t zσ
σf
2
· · · · · · dz
− 2t
σc
(8.54)
σ c son los vectores de momentos flectores y esfuerzos cortantes,
donde σ
σ̂ f y σ̂
respectivamente. Se observa en (8.54) que los momentos Mx , My y Mxy se
obtienen integrando a través del espesor el momento con respecto al plano medio
de las tensiones σx , σy y τxy , respectivamente; y los esfuerzos cortantes Qx y Qy
son la resultante sobre el espesor de las tensiones tangenciales transversales τxz y
τyz , respectivamente. En la Figura 8.21 se muestra el convenio de signos para los
esfuerzos.
Figura 8.21
Convenio de signos para los esfuerzos en una placa.
La ec.(8.54) se puede modificar haciendo uso de (8.51) y (8.53), como






σ̂
σf 
zDf εf 
+t 



2
σ =
σ̂
······
=
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
dz



− 2t 



σc 
σ̂
Dcεc
y operando




σ
σ̂ f 

······
=
σ̂
σ =



σc 
σ̂











zDf



+t 

2
− 2t 


























∂θ



−z ∂yy














 −z ∂θx + ∂θy 
dz
∂y
∂x




························ 

 ∂w






−
θ

x

∂x


Dc ∂w




−
θ
y
∂y







x
−z ∂θ
∂x
8.30
=
(8.55)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS







t

+

2
2


z dz Df


− 2t



=




























∂θy



− ∂y














∂θ


y
∂θ
x

−
+
∂y
∂x



······························ 


 ∂w






t
−
θ

x
+2

∂x



t dz Dc  ∂w


−2
−
θ
y
∂y







x
− ∂θ
∂x
=
 3
t

ε̂f
 12 Df ε
 ······

tDcε̂εc





=



εf 
 D̂f ε̂



······

D̂cε̂εc
(8.56)
3
t D
D̂f = 12
f
donde
y
D̂c = tDc
(8.57)
son las matrices constitutivas generalizadas de flexión y cortante, y
εε̂f =






x
− ∂θ
∂x






∂θ
− ∂yy








 − ∂θx + ∂θy 
∂y
∂x
y ε̂εc =
∂w
∂x
∂w
∂y
− θx
− θy
(8.58)
son los vectores de deformaciones generalizadas de flexión y cortante,
respectivamente. Obsérvese que εε̂f y ε̂εc pueden interpretarse como los vectores
de curvaturas y de cizallamientos transversales de un punto de la superficie media
de la placa. La relación entre los vectores de deformación y los de deformación
generalizada es inmediata comparando (8.50) y (8.58). Ası́
εf = zε̂εf
y
εc = ε̂εc
(8.59)
La ec.(8.56) se puede reescribir como




..
 ε̂
σ
εf 
σ̂ f 
.
0
D̂


f


 ······
σ =
σ̂
······
= 
= D̂ε̂ε
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·










.
..
σc
εε̂c
σ̂
0
D̂c
"#
$
!
"#
$!
ε
ε̂
D̂



(8.60)
De (8.60) se desprende que la relación constitutiva entre el vector de esfuerzos
σ̂
σ y el de deformaciones generalizadas ε̂ε es análoga a la que existe entre el vector
de tensiones σ y el de deformaciones ε (ec.(8.51)).
8.31
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
8.12.5 Principio de los trabajos virtuales
Consideremos para mayor simplicidad la expresión de los trabajos virtuales en
una placa sobre la cual actúa únicamente una carga uniformemente distribuı́da q
y fuerzas puntuales Pi (actuando ambas en dirección del eje z). La igualdad entre
el trabajo de deformación interno virtual y el de las fuerzas exteriores se escribe
en la forma clásica
T
V
δεε σ dV =
A
δw q dA +
δwi Pi
(8.61)
Expresamos ahora el trabajo de deformación virtual en función de los
esfuerzos y las deformaciones generalizadas virtuales. Utilizando las ecuaciones
(8.49), (8.50) (8.55) y (8.58) se puede operar como sigue
V
σ σf
zσ
T
f
δ zε̂εf , ε̂εc
dV =
δε̂ε
dV
=
σc
σc
V
V
t + 2 zσ
σf
T
σ dA
=
δε̂ε
dz
dA
=
δε̂εT σ̂
σc
− 2t
A
A
T
δεε σ dV
T
T
(8.62)
Por consiguiente, operando con esfuerzos y deformaciones generalizadas el
problema de flexión de placas adquiere un carácter bidimensional, ya que todas
las integrales que aparecen en el PTV son en dos dimensiones.
Finalmente, es importante destacar que en el integrando de (8.62) no aparecen
derivadas de los movimientos de un orden mayor al primero. Esto implica que
basta con exigir a los elementos finitos continuidad de clase Co , a diferencia de
la formulación de Kirchhoff donde la presencia de derivadas segundas en el PTV
exigı́a continuidad de clase C1 .
8.13 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS DE PLACA DE
REISSNER-MINDLIN
8.13.1 Discretización del campo de movimientos
El plano medio de la placa se discretiza en una malla de elementos
isoparamétricos de clase Co (Figura 8.22). Supongamos que cada elemento tiene
n nodos. Puesto que la flecha y los giros son variables independientes puede
efectuarse la interpolación del vector de movimientos u de (8.45) en la forma






w
n 


 Ni wi 
θx
u =
=
Ni θxi
=





i=1  Ni θyi 
θy 
8.32
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS

=
 N1

 0

0
0
0
N1
0
0
N1
..
.
..
. ······
..
.
..
. Nn
..
. 0
..
. 0
0
Nn
0



 a1 



w1 









θ
x


1






θ

y


1 





0 


 · · ·.· · · 

.

.
0 







·
·
·
·
·
·




Nn 



 wn 






 θx 


n




θyn
= [N1 , N2, . . . , Nn ] ...
= Na(e)




an
=
(8.63)
donde
N = [N1 , N2 , . . . , Nn ]
,
a(e) =
 (e) 

a1 








 (e) 
a2

.. 



. 




 (e) 
an
y

Ni

Ni =  0
0
0
Ni
0




0

0 
Ni
,

wi 

(e)
ai =  θxi 

θyi 
(8.64)
son la matriz de funciones de forma y el vector de movimientos del elemento y de
un nodo i, respectivamente.
Figura 8.22
Discretización de una placa con elementos de placa de Reissner-Mindlin rectangulares de cuatro nodos.
8.33
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
8.13.2 Discretización del campo de deformaciones generalizadas
El vector de deformaciones generalizadas puede expresarse, haciendo uso de las
ecuaciones (8.58) y (8.63), en la forma
















iθ



− ∂N



x



i
∂x






∂θy



∂N
i



− ∂y
−
θ





y



i
∂y








ε
ε̂
n




f 
∂Ni
∂Ni
∂θy
∂θx
−
θ
+
θ
x
y
i
ε̂ε =  · · · · · ·  =  − ∂y + ∂x  =
∂y
∂x i
 ·················· 







············ 
i=1 
εε̂c 








∂N
i




∂w




w
−
N
θ
x
−
θ




i
i
i
x
∂x




∂x








∂N
iw − N θ




∂w − θ
y
i
i
y
i
∂y
∂y
 (e) 



n
 a1 

B
(e)
f
..
i
ai = [B1 , . . . , Bn ]
= Ba(e)
=
.


Bci

 (e) 

i=1
an
x
− ∂θ
∂x
=
(8.65)
donde B y Bi son la matriz de deformación generalizada del elemento y del nodo
i, respectivamente. De (8.65) se deduce que



 Bfi 

Bi =

con
i
0 − ∂N
∂x


0
Bfi =  0

i
0 − ∂N
∂y


...

Bci 

0

i 
− ∂N
∂y 

i
− ∂N
∂x

y Bci =
∂Ni
 ∂x
∂Ni
∂y

−Ni
0
0
−Ni

(8.66)
donde Bfi y Bci son las matrices de deformaciones generalizadas de flexión y de
cortante transversal asociadas al nodo i, respectivamente.
8.13.3 Matriz de rigidez y vector de fuerzas nodales del elemento
Aplicando el PTV al dominio discretizado de un elemento, se tiene
σ dA −
δε̂εT σ̂
(e)
A(e)
A
δw q dA = [δa(e) ]T q(e)
(8.67)
Sustituyendo (8.60) en la ecuación anterior y haciendo uso de (8.63) y (8.65)
se obtiene, tras operar, la expresión clásica:
BT D̂BdA a(e) −
(e)
A
8.34
A(e)
NqdA = q(e)
(8.68)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
o
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
donde
(e)
Kij
=
Bi T D̂Bj dA
(8.70)
Ni [q, 0, 0]T dA
(8.71)
A(e)
(e)
fi
=
A(e)
(8.69)
son la submatriz de rigidez que conecta los nodos ij y el vector de fuerzas nodales
equivalentes del nodo i debido a una carga repartida vertical. El vector de fuerzas
nodales de equilibrio del nodo i coincide con la ec.(8.38).
Haciendo uso de (8.60) y (8.66) se puede transformar la expresión de la matriz
de rigidez del elemento en la forma siguiente:
K(e)
=
=
Bf
[Bf , Bc ] D̂
(e)
Bc
A
A(e)
T
T T
dA =
(e)
BTf D̂f Bf + BTc D̂c Bc dA = Kf
donde
(e)
Kf
=
A(e)
y
(e)
Kc
(8.72)
BTf D̂f Bf dA
(8.73a)
BTc D̂c Bc dA
(8.73b)
=
(e)
+ Kc
A(e)
son las matrices de rigidez que contienen términos de flexión y de cortante,
respectivamente. Obtener la matriz de rigidez del elemento como suma de las
dos matrices anteriores es más económico que calcular directamente la matriz
total. Adicionalmente, por medio de la descomposición anterior se puede explicar
el comportamiento de los elementos en el análisis de placas delgadas.
8.13.4 Otros vectores de fuerzas nodales equivalentes
En el apartado anterior se obtuvo el vector de fuerzas nodales equivalentes para
el caso de una carga repartida vertical sobre el elemento. La expresión de dicho
vector para otros casos de carga es muy sencilla. Ası́, si también actúan momentos
(e)
distribuidos, la expresión de fi es
(e)
fi



=

q 

m
N
dA
x
i


A(e)

my 
(8.74)
donde mx y my son los momentos repartidos contenidos en los planos xz e yz,
respectivamente.
8.35
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
El caso de peso propio es similar al de fuerza repartida vertical. Ası́, pues, si ρ
es la densidad del material de la placa, se tiene (suponiendo que el peso actúa en
dirección contraria al eje z)
(e)
fi
= −
 

1

A(e)
Ni ρt
0
0

 

dA(e)
(8.75)
Finalmente, el vector de fuerzas puntuales de un nodo puede escribirse de forma
genérica como




Pi 

(e)
fi =
Mxi



Myi 
(8.76)
donde Pi , Mxi y Myi son, respectivamente, la fuerza puntual vertical y los
momentos según θx y θy actuando en el nodo i.
8.14 COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE PLACA
DE REISSNER-MINDLIN PARA ANÁLISIS DE PLACAS
DELGADAS
8.14.1 Bloqueo de la solución. Integración reducida. Indice de coacción
Desgraciadamente, la formulación de placas desarrollada en los apartados
anteriores sufre de los mismos inconvenientes que la análoga de vigas de
Timoshenko. Es decir, a menos que se tomen las precauciones necesarias, la
solución numérica se bloquea para espesores de la placa pequeños.
Este defecto puede observarse siguiendo el mismo procedimiento que en vigas.
Ası́, consideremos una placa isótropa, homogénea y de espesor constante bajo
cargas puntuales que actúen en los nodos. La ecuación matricial de equilibrio
ensamblada para toda la placa puede escribirse, como
(Kf + Kc )a = f
(8.77)
3
Et
y Gt en Kf y Kc , respectivamente (ver
Sacando factores comunes 12(1−ν2)
ecs.(8.73)y (8.57)), se tiene
Et3
K̄ + GtK̄c a = f
12(1 − ν 2 ) f
(8.78)
Por otra parte, la solución “exacta” de Kirchhoff para placas delgadas es
Et3
inversamente proporcional a 12(1−ν
2 ) [T5]. Dividiendo por este coeficiente la
ecuación anterior, se obtiene
K̄f + αK̄c a =
12(1 − ν 2 )
f = O(ak )
Et3
8.36
(8.79a)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
con
12(1 − ν 2 )G
α =
Et2
(8.79b)
El segundo miembro de (8.79a) es, pues, del orden de magnitud de la solución
exacta para placas delgadas ak . Observando dicha ecuación vemos que para
t −→ 0, α −→ ∞. Por consiguiente, al hacerse la placa más delgada los términos de
cortante van progresivamente dominando la solución, de forma que la contribución
de Kf puede despreciarse. Ası́, cuando t −→ 0 la ec.(8.79a) tiende a
αK̄c a = O(ak )
y
K̄c a =
1
O(ak ) = 0
α
(8.80)
Se aprecia, pues, que en el lı́mite para α −→ ∞ se obtiene una solución
infinitamente más rı́gida que la correspondiente a la teorı́a de placas delgadas
y la única forma de obtener una solución diferente de la trivial a = 0 es que la
matriz Kc sea singular.
Similarmente al caso de flexión de vigas de Timoshenko, la integración reducida
de Kc proporciona la singularidad necesaria, y de nuevo hay que hacer uso de la
condición (7.68) para estudiar en cada malla si existe o no singularidad.
El proceso de subintegrar la matriz de rigidez de cortante manteniendo la
integración exacta de la matriz de rigidez de flexión se denomina integración
selectiva.
En la Figura 8.23 se muestran los elementos cuadriláteros y triangulares más
populares que presentan un comportamiento razonable para análisis de placas
gruesas y delgadas gracias a la integración selectiva.
Hay que señalar que en los elementos cuadriláteros de 4 y 9 nodos la integración
selectiva introduce dos y un mecanismos adicionales en la matriz de rigidez,
respectivamente. Estos mecanismos pueden propagarse en algunos casos, dando
lugar a soluciones incorrectas. Pese a ellos, su comportamiento es bueno en todo
el rango de espesores delgados y gruesos para la mayor parte de los problemas de
interés práctico [O3].
El cuadrilátero serendı́pito de 8 nodos con integración selectiva está libre
de mecanismos, aunque lamentablemente no da buenos resultados para placas
delgadas con relación de espesor/lado menores que 10−2 [O3].
El elemento triangular de 6 nodos con integración reducida para Kc presenta
un excelente comportamiento para análisis de placas delgadas y gruesas.
Desgraciadamente, el sencillo elemento triangular de tres nodos sufre de un alto
nivel de bloqueo, incluso con la integración reducidad de la matriz Kc .
En el apartado siguiente se describe una técnica alternativa, basada en la
selección “a priori” de un campo de deformaciones de cortante que puede satisfacer
las condiciones de Kirchhoff en el lı́mite de placas delgadas. Esta técnica de
deformaciones de cortante “impuestas” es muy popular hoy en dı́a y en base a
ella se ha desarrollado un elemento de placa cuadrilátero de 4 nodos que goza de
gran aceptación. En el Apartado 8.16 se presentan los detalles de la formulación
de este elemento.
8.37
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 8.23
Elementos de placa de Reissner-Mindlin con integración selectiva.
Puntos de integración para Kf y Kc .
8.15 FORMULACIÓN CONSISTENTE DE ELEMENTOS DE PLACA DE REISSNER– MINDLIN UTILIZANDO DEFORMACIONES DE CORTANTE IMPUESTAS
8.15.1 Conceptos generales
Para una placa delgada deben satisfacerse las condiciones de Kirchhoff de
deformaciones de cortante nulas. Esto implica εε̂c = 0. Ası́, de (8.65) puede
escribirse
ε̂εc = Bc ā(e) = α1 (wi , θ i ) + α 2 (wi , θ i )ξ + α3 (wi , θ i )η + · · · · · ·
· · · · · · + αn (wi , θ i )ξ p ηq = 0
8.38
(8.81)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
El cumplimiento de (8.81) implica
α j (wi , θ i ) = 0
;
j = 1, n
(8.82)
La ec (8.82) impone una relación lineal entre los giros y flechas nodales que
generalmente puede también interpretarse desde un punto de vista fı́sico. Los
elementos que satisfacen (8.82) pueden reproducir de forma natural las condiciones
lı́mites de placa delgada sin que aparezca el efecto de bloqueo.
Sin embargo, en muchos elementos las αj son únicamente función de los giros
nodales y la condición αj (θθ i ) = 0 es demasiado restrictiva (e incluso no natural)
lo que provoca el bloqueo de la solución.
Ası́, por ejemplo, consideremos el sencillo elemento cuadrilátero de 4 nodos de
la Figura 8.23. De sus funciones de forma es fácil deducir que la deformación de
cortante γxz viene dada por (Capı́tulo 4)
4
∂w
ξ
1
ξη
η
− θx =
( i wi − θxi ) + ( i i wi − i θxi )η −
γxz =
∂x
4
4a
4
i=1 4a
ξ
ξη
− ( i θxi )ξ − ( i i θxi )ξη = α1 (wi , θxi ) +
4
4
(8.83)
+ α2 (wi , θxi )η + α3 (θxi )ξ + α4 (θxi )ξη
La condición lı́mite de Kirchhoff, γxz = 0, implica ahora que α1 = α2 = α3 =
α4 = 0. Las condiciones en α1 y α2 son fı́sicamente posibles e imponen solamente
una relación entre las flechas nodales y la rotación θx media en el elemento, similar
a la condición α1 = 0 para el elemento de viga de Timoshenko de dos nodos
estudiado en el Capı́tulo 7. Sin embargo, el elemento es incapaz de satisfacer
naturalmente las condiciones α3 = 0 y α4 = 0, lo que conduce a la solución trivial
θxi = 0 (y consecuentemente wi = 0). Para γyz se obtienen conclusiones similares
intercambiando simplemente ξ por η y θxi por θyi .
De lo anterior se desprende que una manera muy sencilla de evitar el bloqueo
es evaluar las deformaciones de cortante en puntos donde los coeficientes α j (θθ i ) se
anulen. Ası́, para el elemento de placa de 4 nodos puede deducirse que evaluando
γxz sobre la lı́nea ξ = 0 (y γyz sobre la lı́nea η = 0) se anulan automáticamente los
parámetros α3 y α4 , pudiendo alcanzarse, por consiguiente, las condiciones lı́mites
de placa delgada. Ası́, finalmente se obtendrı́a
ε̂εc =
γxz
γyz
=
α1 (wi , θxi ) + α2 (wi , θxi )η
ᾱ1 (wi , θyi ) + ᾱ2 (wi , θyi )ξ
= B̂c a(e)
(8.84)
donde B̂c recibe el nombre de matriz de deformación de cortante transversal
sustitutiva.
Los razonamientos anteriores permiten justificar de manera indirecta la
utilización de la integración reducida.
No obstante, dicha técnica no es
generalmente suficiente para el desarrollo de elementos de placas robustos, como
hemos visto en el apartado precedente.
8.39
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Un procedimiento alternativo es imponer “a priori” un campo de deformaciones
que cumpla la condición (8.82), permitiendo ası́ reproducir las condiciones de placa
delgada. Ası́, las deformaciones de cortante se interpolan ahora de la forma
m
ε̂εc =
k=1
Nγk γ k = Nγ γ (e)
(8.85)
(e)
donde γ k son los valores de las deformaciones de cortante transversal en m
puntos dentro del elemento y Nγ las correspondientes funciones de interpolación.
Combinando (8.85) y (8.65) puede escribirse
εε̂ =
m
k=1
Nγk Bck a(e) = B̂c a(e)
(8.86)
Es fácil comprobar que (8.86) puede escribirse en la forma (8.81) lo que
garantiza la ausencia del efecto de bloqueo.
La expresión del PTV puede escribirse ahora sustituyendo (8.85) en las
ecs.(8.61)-(8.62) como
A
[δε̂εTf Df ε̂εf + δ(Nγ γ (e) )T Dc Nγ γ (e) ] dA = T V E
(8.87)
donde T V E denota el trabajo virtual exterior representado por el segundo
miembro de (8.61). Se observa en (8.87) que únicamente los giros están afectados
de primeras derivadas (en ε̂εf ) y, por tanto, precisan continuidad C0 , mientras
que la flecha (que ha desaparecido como variable explı́cita) y las deformaciones
de cortante transversal pueden ser discontinuas. Esto induce a utilizar diferentes
interpolaciones para los giros, la flecha y las deformaciones de cortante como
θ = Nθ θ (e)
;
w = Nw w(e)
;
εε̂c = Nγ γ (e)
(8.88)
donde, por lo anterior, las funciones de interpolación Nw y Nγ pueden ser
discontinuas.
8.15.2 Selección del campo de deformaciones impuestas
El campo de deformaciones de cortante impuestas puede escogerse por
observación directa del campo original, teniendo en cuenta los objetivos de
satisfacer la ec.(8.82).
Para el elemento de placa cuadrilátero de cuatro nodos podemos escribir,
después de observar el campo de deformaciones transversales inicial,
γxz = α1 (wi , θxi ) + α2 (wi , θxi )η
γyz = α3 (wi , θyi ) + α4 (wi , θyi )ξ
(8.89)
Los valores de αi pueden obtenerse colocando las deformaciones de cortante en
los cuatro puntos que se muestran en la Figura 8.24b. Este elemento es idéntico
8.40
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Figura 8.24
Elemento de placa cuadrilátero de 4 nodos: a) Campo de
deformaciones de cortante impuestas. b) Puntos de integración para
(e)
los términos γxz y γyz en la matriz de rigidez de cortante Kc original.
al propuesto por Bathe y Dvorkin [B1] y Hinton y Huang [H5] que se presenta en
el Apartado 8.16.
Es interesante advertir que el campo de deformaciones de cortante impuestas
para este caso conduce a la misma matriz de rigidez de cortante que la que se
obtendrı́a a partir del elemento original utilizando la cuadratura de integración
(e)
para Kc que se muestra en la Figura 8.24b.
Para un cuadrilátero general con coordenadas isoparamétricas ξ y η la situación
es idéntica en cuanto al primer punto anterior se refiere, si se utilizan γξ y γη en
lugar de γxz y γyz (por sencillez denominaremos γξ y γη a las deformaciones γξζ
y γηζ en el sistema de coordenadas normalizado).
Zienkiewicz et al. [Z4,5] han demostrado que el campo de deformaciones
de cortante impuestas debe satisfacer ciertas condiciones. Ası́, a partir de una
formulación mixta en la que se interpolan de forma independiente la flecha, los
giros y las deformaciones de cortante, las condiciones que deben satisfacer dichas
interpolaciones son:
nθ + nw ≥ nγ
nγ ≥ nw
(8.90)
donde nw , nθ y nγ indican el número de variables que intervienen en
la interpolación de la flecha, los giros y las deformaciones de cortante,
respectivamente, despues de descontar las variables correspondientes a
movimientos prescritos. La demostración de las condiciones (8.90) se presenta
en [O3].
Las inecuaciones anteriores tienen que satisfacerse para cada elemento o grupo
de elementos como una condición que es necesaria (aunque no siempre suficiente)
8.41
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
para la convergencia [B8], [Z4], [Z5]. En [Z7] se ha examinado un número de
elementos de placa de Reissner-Mindlin encontrándose que todos aquéllos que
tienen un buen funcionamiento en la práctica satisfacen (8.90). Es importante
resaltar que la inecuación nw + nθ > nγ es totalmente análoga a la condición de
singularidad (7.68) [O3]. Esto explica que los elementos de placa que satisfacen
(e)
(8.90) cumplen las condiciones de singularidad de la matriz Kc exigidas para
análisis de placas delgadas, lo que evidencia de nuevo la interrelación entre las
técnicas de deformaciones de cortante impuestas y las de integración reducida
[M2].
8.15.3 Obtención de la matriz de deformación de cortante transversal
sustitutiva
Sea un elemento de placa isoparamétrico de n nodos en el que se interpolan
de manera independiente la flecha , los giros y las deformaciones de cortante
transversal por las ecs.(8.88). Supondremos, asimismo, que dicha interpolación
satisface las condiciones (8.90).
Etapa 1
Consideremos el elemento en el sistema de coordenadas natural ξ, η.
La etapa inicial es la interpolación de las deformaciones de cortante transversal
naturales en el sistema ξ, η. Ası́
γ
=
γξ
γη
=
1 ξ η
0 0 0
ξη
0
· · · ξ p ηq
···
0
|
|
0
1
0 0
ξ η
···
···


α1 



 α2 
0
.
r s
. 
ξ η 


 . 
αnγ
= Aα
(8.91)
[Nota: Para simplificar la notación denominaremos γ al vector de deformaciones
de cortante transversal en vez de εε̂c . Asimismo, como εc = ε̂εc no procede distinguir
las deformaciones de cortante generalizadas].
Las deformaciones de cortante en el sistema cartesiano x y z se obtienen
directamente de (8.91) como
γ=
γxz
γyz
= J−1γ
(8.92)
donde J es la matriz jacobiano de la transformación x, y → ξ , η.
Se define también la deformación de cortante tangencial γξi¯ a lo largo de una
dirección natural prefijada ξ¯i como
γξi¯ = γξ cos βi + γη sin βi
(8.93)
donde βi es el ángulo que la dirección ξ¯i forma con la dirección natural ξ. El sentido
de las direcciones ξ¯i sobre los lados del elemento puede escogerse de acuerdo con
la numeración creciente de los nodos de cada lado en cuestión.
8.42
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Etapa 2
Las deformaciones tangenciales γξi¯ se evalúan en nγ puntos seleccionados sobre
las direcciones ξ¯i (i = 1, 2, · · · nγ ). Sustituyendo (8.91) en (8.93) y colocando la
ecuación resultante en los nγ puntos, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente
α = γ ξ̄
P(ξi , ηi , βi )α
(8.94)
n
donde γ ξ̄ = [γξ1¯, γξ2¯, · · · , γξ¯ γ ]T contiene los valores de la deformación de cortante
impuesta en los nγ puntos. De (8.94) puede obtenerse
α = P−1γ ξ¯
(8.95)
Etapa 3
Las deformaciones de cortante tangenciales sobre las direcciones ξ¯i están
relacionadas con las deformaciones de cortante γξ , γη en los nγ puntos por
γ
γ ξ¯ = T(βi )γ̂
n
(8.96)
n
donde γ
γ̂ = [γξ1 , γη1 , γξ2 , γη2 · · · , γξ γ , γη γ ]T .
Combinando (8.96), (8.95) y (8.91) se tiene
γ = A P−1 T γ̂
γ
(8.97)
En muchos casos, y particularmente en elementos cuadriláteros, la ec.(8.97)
puede deducirse a partir de la observación del campo de deformaciones de cortante
impuestas. Ello permite obtener directamente el producto A P−1 T con la
consiguiente simplificación del cálculo.
Etapa 4
Las deformaciones de cortante en coordenadas naturales y cartesianas en cada
punto de colocación están relacionadas por
 i
 γξ 
=
γi =
 i
γη
Ji
i γxz
i
γyz
= Ji γ i
(8.98)
donde Ji es la matriz jacobiano en el punto de colocación i. Ası́, pues
γ̂
γ =
 1
J


0
..
 1

 γ

..

.

 nγ
Jnγ
γ
0
.
8.43





= C γ̂
γ
(8.99)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Etapa 5
Las deformaciones de cortante cartesianas en cada punto de colocación se
relacionan con los movimientos nodales por




γ=
γ̂








n
γ
γ



γ1 



..  
.
=

B1c 

..  (e)
.
a = B̄c a(e)
(8.100)


nγ 
Bc
donde Bic es la matriz de deformación transversal original (ec.(8.66)) en el punto
de colocación i.
Etapa 6
Combinando las etapas 1–5 se obtiene finalmente
γ = J−1 A P−1 T C B̄c a(e) = B̂c a(e)
(8.101)
siendo B̂c la matriz de deformación de cortante transversal sustitutiva dada por
B̂c = J−1 A P−1 T C B̄c
(8.102)
En el apartado siguiente aplicaremos los conceptos anteriores a la obtención de
un elemento de placa de Reissner-Mindlin cuadrilátero de cuatro nodos.
8.16 ELEMENTO DE PLACA CUADRILÁTERO DE 4 NODOS CON
DEFORMACIONES DE CORTANTE IMPUESTAS LINEALES
CLLL
Este elemento fue desarrollado por Bathe y Dvorkin [B1], [D4] y Hinton y Huang
[H6] como particularización de elementos similares basados en la introducción de
modos de cortante auxiliares propuestos por Mac Neal [M1] y Hughes et al. [H8].
Posteriormente, Donea y Lamain [D2] presentaron una interesante reformulación
del elemento basándose en conceptos similares a los estudiados en el Apartado
8.15.1. El punto de partida en todos los casos es el clásico elemento cuadrilátero
de 4 nodos de clase Co . Ası́, la geometrı́a y el campo de movimientos se interpolan
con las funciones bilineales (ver Capı́tulo 4).
Siguiendo los razonamientos del Apartado 8.15.1 se deduce la siguiente
aproximación de las deformaciones de cortante transversal en el sistema de
coordenadas natural ξ, η (Figura 8.24a)
γξ = α1 + α2 η
γη = α3 + α4 ξ
1
; i.e. A =
0
8.44
η
0
0 0
1 ξ
(8.103)
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
Las αi se obtienen colocando las deformaciones naturales γξ¯ en los cuatro puntos
que se muestran en la Figura 8.25, siendo
γξi¯ = (α1 + α2 η) cos βi + (α3 + α4 ξ) sin βi
;
i = 1, 4
(8.104)
y βi el ángulo que la dirección ξ¯i forma con ξ.
Figura 8.25
Elemento de placa de Reissner-Mindlin de 4 nodos con deformaciones
de cortante lineales impuestas (CLLL).
Combinando (8.103) y (8.104) se obtiene

1 −1 0
0
0 1


1
1 0
0 0 1
!
"#
P


0 
α1 






1 
 α2

0 
α3 






−1
α4
$
=
 1
γξ¯ 




 2


 γ¯ 

ξ
 γ 3¯ 



ξ



 γ4 

¯
ξ

1
 −1
1

y P−1 = 
2 0
0
8.45
0
0
1
1
1
1
0
0

0
0 


1 
−1
(8.105)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Las deformaciones γξi¯ se relacionan con las γξi , γηi por
 1
γ 



 ξ¯ 




 γ 2¯ 
ξ

γξ3¯ 








 γ4 
¯
ξ

=




1
0
0 1
1 0
0
0
 1
 γξ 




1
0 




γ


η



.
..






 γ4 




1 
ξ

 4

γη
γ
= Tγ̂
(8.106)
Por otra parte, las deformaciones cartesianas en cada punto de colocación i se
relacionan con las γ̂
γ por
γ̂
γ =
 1
J




0
0
J2
J3
J4

 1
γ 



..

.

 4

= C γ̂
γ
;
γi =
γ
i γxz
i
γyz
(8.107)
y las deformaciones cartesianas con los movimientos nodales por
γ̂
γ=
 1
Bc 




 B2 

c
3



 Bc 


4
Bc
a(e) = B̄c a(e)
(8.108)
Finalmente, la matriz de deformación de cortante transversal sustitutiva se
obtiene por (8.102), estando todas las matrices definidas en las ecuaciones
anteriores.
El elemento se denomina CLLL (por Cuadrilátero, flecha biLineal, giros
biLineales y deformaciones de cortante transversal Lineales) y satisface las
condiciones (8.90) para mallas de más de 2 × 2 elementos (ver Figura 8.25), y
por tanto puede considerarse robusto para su utilización práctica. De hecho, por
su sencillez y precisión su popularidad ha sido creciente.
El cálculo de la matriz de rigidez se efectúa utilizando una cuadratura 2×2 para
todos los términos de flexión y cortante, estando el elemento libre de mecanismos
internos.
En la referencia [O3] se describe la obtención de otros elementos de placa
de Reissner-Mindlin de forma cuadrilátera o triangular utilizando el método
de deformaciones impuestas. Asimismo, en dicha referencia se presenta una
comparación del comportamiento de estos elementos en el análisis de diversas
placas.
8.46
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
8.17
ELEMENTOS DE PLACA DELGADA DK
Como vimos en el Apartado 8.9, una de las técnicas para desarrollar elementos
de placa de Kirchhoff conformes es introducir ciertas modificaciones en los
elementos de placa de Reissner-Mindlin de manera que se satisfagan de forma
discreta sobre el elemento las condiciones de Kirchhoff. De ahı́ el nombre de
elementos DK (Discretos de Kirchhoff).
La idea de los elementos de placa DK es original de Wempner et al. [W3,4],
quienes la utilizaron como un método de evitar los requisitos de continuidad
C1 de los elementos de placa de Kirchhoff. Las condiciones de placa delgada
(γxz = γyz = 0) se imponen en puntos discretos de elementos de clase Co
formulados en base a la teorı́a de placas de Reissner-Mindlin. Pese a su cierta
antigüedad, este método sólo se popularizó como resultado del éxito del elemento
de lámina “semi-loof” de Irons [I6,7], considerado por algunos como un elemento
DK, y también gracias a una reinterpretación del método DK en base a su analogı́a
con el de deformaciones de cortante impuestas. Ası́, mientras en esta última técnica
se impone una determinada variación de las deformaciones de cortante sobre el
elemento, en los elementos DK dicha variación conduce a que dichas deformaciones
sean efectivamente nulas sobre el elemento.
En los últimos años se han propuesto varios elementos de placa DK.
Presentaremos aquı́ el elemento triangular de tres nodos por su gran versatilidad
para análisis de placas y láminas delgadas.
8.17.1 Elemento de placa triangular DKT de tres nodos
Dicho elemento fue desarrollado inicialmente por Striklin et al. [S16] y
subsecuentemente modificado por Dhatt [D5], [D6]. Más recientemente, Batoz
et al. [B9,10] han analizado con detalle el comportamiento de este elemento que
en la práctica se conoce con el nombre de “elemento DKT”.
Figura 8.26
Elemento de placa DKT de tres nodos.
El punto de partida es el elemento triangular de placa de Reissner-Mindlin de
seis nodos de la Figura 8.26 sometido a las siguientes condiciones:
8.47
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
1) Los giros θx y θy varı́an cuadráticamente sobre el elemento, es decir
θx =
6
i=1
Ni θxi
,
θy =
6
i=1
Ni θyi
(8.109)
donde Ni son las clásicas funciones de forma del elemento triangular de seis
nodos de clase Co (Capı́tulo 4).
2) La variación de la flecha a lo largo de los lados es lineal.
3) Se impone una variación lineal del giro normal θn (ver Figura 8.9a) a lo largo
de los lados (tres condiciones), es decir
1
θnk = (θni + θnj )
2
(8.110)
donde k denota el nodo intermedio del lado ij.
4) Se impone la condición de Kirchhoff de deformación de cortante nula sobre cada
uno de los lados del elemento de la forma siguiente (tres condiciones)
j
i
γsz ds =
j
∂w
i
∂s
− θs ds = 0
(8.111)
donde ij son los nodos del lado en cuestión.
Las seis condiciones 3 y 4, permiten eliminar las variables de giro en el centro
de los lados (seis variables) y obtener ası́ un campo de movimientos en función
únicamente de la flecha y los giros en los vértices del elemento.
El elemento DKT resultante es muy popular para análisis de placas y láminas
delgadas. En [O3] se pueden encontrar más detalles sobre la forma explı́cita de la
matriz de rigidez del elemento DKT, ası́ como numerosas referencias de desarrollos
relacionados con este elemento y con otros elementos DK de forma cuadrilátera.
8.18
CONCLUSIONES
En este capı́tulo se ha estudiado la formulación de elementos finitos de placa
utilizando las teorı́as de Kirchhoff y de Reissner-MIndlin.
Los elementos de placa de Kirchhoff son utilizables únicamente para análisis de
placas delgadas. Los requisitos de continuidad de clase C1 de la teorı́a de Kirchhoff
dificultan el desarrollo de elementos de placa de Kirchhoff conformes. Pese a ello,
se han desarrollado numerosos elementos de placa de Kirchhoff que satisfacen dicha
conformidad y otros que, pese a que la incumplen, funcionan bien en la práctica.
En este capı́tulo se han estudiado varios elementos de ambas categorı́as.
En la segunda parte del capı́tulo hemos visto que la teorı́a de Reissner-Mindlin
permite formular sin grandes complicaciones elementos de placa de clase Co que
incluyen el efecto de la deformación por cortante. El precio que se paga por
esta simplicidad es que, a menos que se tomen medidas especiales, los elementos
8.48
PLACAS DELGADAS Y GRUESAS
no funcionan para el análisis de placas delgadas, dando soluciones excesivamente
rı́gidas. La integración reducida de los términos de cortante en la matriz de rigidez
elimina en muchos casos este problema, e incluso simplifica los cálculos, aunque
puede generar en el elemento mecanismos que desvirtúen la solución. Uno de los
elementos basados en la técnica de la integración reducida más interesantes para
uso práctico, es el triangular de seis nodos con tres puntos de integración para
todos los términos de la matriz de la rigidez.
El método más potente para formular elementos de placa de Reissner-Mindlin
libres de defectos es utilizar campos de deformaciones de cortante impuestas,
compatibles con las condiciones lı́mite de placa delgada. En el capı́tulo hemos
presentado la formulación del elemento cuadrilátero de cuatro nodos CLLL, que
presenta un comportamiento excelente para el análisis de placas de cualquier
espesor.
En la parte final del capı́tulo se ha presentado de forma sucinta el desarrollo de
un sencillo elemento triangular de placa delgada (el elemento DKT), basado en la
modificación de un elemento de Reissner-Mindlin de manera que se satisfagan las
condiciones de deformaciones de cortante transversal nulas, tı́picas de la teorı́a de
Kirchhoff, sobre los lados del elemento.
Más detalles sobre este y otros elementos de placa de Reissner-Mindlin pueden
obtenerse en [O3].
8.49
CAPÍTULO 10
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
10.1 INTRODUCCIÓN
Gran parte de las estructuras laminares de interés práctico presentan simetrı́a
de revolución. Este es el caso de los depósitos para agua, digestores de fangos,
torres de enfriamiento para centrales térmicas, muros cilı́ndricos para centrales
nucleares y cúpulas, sin contar con un gran número de elementos resistentes
laminares, no tan claramente de ingenierı́a civil, como misiles, vasijas de presión,
fuselajes de avión, etc. En la Figura 5.2 se muestran algunas de las estructuras
anteriores.
Es evidente que una lámina de revolución puede considerarse un caso
particular de sólido de revolución, y puede por tanto analizarse con los elementos
desarrollados en el Capı́tulo 5. Por otro lado, nada impide realizar un análisis
tridimensional de la lámina con elementos de sólido 3D (Capı́tulo 6), de lámina
plana (Capı́tulo 9) o de lámina curva [O3]. Sin embargo, la doble circunstancia
de tipologı́a laminar (espesor pequeño) y de revolución permite utilizar elementos
de lámina de revolución. Estos elementos son unidimensionales con lo que el
problema de discretización de la geometrı́a se reduce a su expresión mı́nima.
En este capı́tulo estudiaremos la formulación de elementos finitos de lámina de
revolución para el caso de que las cargas también tengan simetrı́a de revolución.
Esta condición permite simplificar notablemente el cálculo, que se reduce al estudio
de la deformación de la lı́nea generatriz. Si las cargas no son de revolución puede
mantenerse el carácter unidimensional del análisis desarrollando en serie de Fourier
los movimientos de la lámina y las cargas, con lo que la solución del problema
tridimensional puede obtenerse por superposición de varios estados de revolución
[O2,3].
La forma intuitiva más sencilla de estudiar las láminas de revolución mediante
elementos finitos es utilizar troncos de cono para la discretización de la estructura,
siguiendo una filosofı́a similar a la del análisis de láminas curvas con elementos
planos. De hecho, los elementos troncocónicos fueron los primeros en desarrollarse
para analizar láminas de revolución, tanto bajo carga simétrica [G4], [P6]
o arbitraria [K1], [P5], habiendo sido su uso muy popular. Una relación
de publicaciones sobre análisis de láminas de revolución por elementos finitos
troncocónicos y curvos puede encontrarse en las referencias [A8], [G1], [G3], [J1],
[J2], [Z3] y [Z8].
10.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
En este tema consideraremos únicamente un sencillo caso de elementos,
troncocónicos basado en la formulación de láminas gruesas de Reissner-Mindlin.
En la referencia [O3] pueden encontrarse los detalles de la formulación de elementos
de lámina de revolución curvos, ası́ como del desarrollo de elementos basados en
la teorı́a de láminas delgadas de Kirchhoff.
En la última parte del tema se particularizarán las expresiones deducidas para
láminas de revolución al análisis de placas de revolución y arcos. Las placas de
revolución pueden considerarse como un caso particular de lámina de revolución
con generatriz horizontal, y la formulación de elementos finitos implica únicamente
prescindir de los efectos de membrana en la teorı́a general. Igualmente, la
formulación de elementos finitos para análisis de arcos presenta numerosos puntos
en común con la de láminas de revolución que se estudia en la primera parte del
tema. En la referencia [O3] se describe la formulación de láminas rebajadas como
otro caso particular de la formulación de revolución.
Figura 10.1
Secciones meridionales y generatriz en una lámina de revolución.
10.2 TEORÍA DE LÁMINAS DE REVOLUCIÓN DE
REISSNER-MINDLIN
La teorı́a de láminas de revolución que estudiaremos se basa en las hipótesis
siguientes:
1)
2)
3)
4)
Las cargas son de revolución.
El espesor de la lámina no cambia con la deformación.
La tensión en la dirección normal a la generatriz σz es nula.
Las normales a la generatriz antes de la deformación permanecen rectas,
pero no necesariamente normales a la generatriz después de la deformación.
La hipótesis 4 sobre no ortogonalidad de la normal es idéntica a la establecida en
las teorı́as de vigas de Timoshenko (Capı́tulo 7) y de flexión de placas y láminas
planas de Reissner-Mindlin (Capı́tulos 8 y 9). Por ello adoptaremos aquı́ este
último nombre. La teorı́a de láminas de revolución en la que se mantiene la
10.2
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
ortogonalidad de la normal, se denomina teorı́a de Kirchhoff por analogı́a con
la teorı́a de placas que utiliza la misma hipótesis. Los detalles de esta teorı́a se
describen en [O3].
10.2.1
Campo de desplazamientos
Dada la simetrı́a de revolución del problema, todas las secciones meridionales
se deforman de manera idéntica y en su plano. Por consiguiente, considerando una
sección meridional cualquiera definida en un espacio de ejes cartesianos globales
xz, el movimiento de uno de sus puntos queda perfectamente definido por sus dos
desplazamientos u y w en direcciones radial (según el eje horizontal x) y vertical
(según el eje z), respectivamente.
Por otra parte, sea O un punto de la generatriz y P un punto cualquiera de la
lámina y sobre la normal en O; la hipótesis 2 anterior permite expresar el vector
de desplazamientos u del punto P como
u(s, z ) = uo(s) + u1(s, z )
(10.1)
donde uo es el vector de desplazamientos del punto O y u1 el vector que expresa
el desplazamiento de P por giro de la normal en O. La ec.(10.1) puede deducirse
restando los vectores r y r correspondientes al punto P en las posiciones deformada
(P ) y original (Figura 10.2).
Figura 10.2
Definición del vector de desplazamientos de un punto.
En la Figura 10.2 se observa asimismo que uo puede considerarse como un vector
de desplazamientos que transforma rı́gidamente la recta OP en otra paralela y de
10.3
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
igual longitud O P . Por otra parte, u1 transforma la recta O P en O P al girar
la normal en O un ángulo θ. Por consiguiente, denominando un al vector que
expresa el desplazamiento del extremo de la normal unitaria en O debido al giro
θ, se cumple por las hipótesis 2 y 4,
u1 (s, z ) = O P un = OP un = z un (s)
(10.2)
siendo z la distancia entre los puntos O y P . Ası́ pues, de (10.1) y (10.2) se tiene
u(s, z ) = uo(s) + z un (s)
(10.3)
Expresando ahora las componentes de los vectores u, uo y un en ejes locales
x , z se puede escribir
u = u a + w n
(10.4)
uo = uo a + wo n
donde las primas indican componentes de desplazamiento locales. Admitiendo
ahora que el giro de la normal es pequeño y con el convenio de signos de la Figura
10.2
un = −θ a
(10.5)
De (10.3)–(10.5) se deduce
u = uo − z θ
(10.6)
w = wo
Las ecs.(10.6) son la versión unidimensional del campo de desplazamientos en
láminas planas (ec.(10.1)). Es decir, el desplazamiento en la dirección tangente u
es suma del desplazamiento de membrana uo y del correspondiente desplazamiento
por el giro de flexión z θ. Por otra parte, el desplazamiento en dirección normal
es constante a lo largo del espesor.
De (10.6) se define el vector de movimientos locales de un punto como
u =



 uo 

wo




(10.7)
θ
Igualmente puede definirse un vector de movimientos globales u, que se
relaciona con u por la transformación
u =



 uo 

w
o



θ

cosφ

=  −senφ
0
 

senφ 0 

 uo 

cosφ 0   wo  = L u
0
1  θ 
(10.8)
De (10.3) y (10.4) se desprende que los movimientos uo , wo y θ son función
únicamente de la longitud de arco s. Esto es de gran importancia para la obtención
de las deformaciones [O3].
10.4
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
10.2.2
Vector de deformaciones
Por conveniencia expresaremos las deformaciones referidas a los ejes locales
teniendo en cuenta que, por la simetrı́a de revolución, las deformaciones tangenciales γx y y γy z son nulas.
Adicionalmente, por la hipótesis 3, la tensión σz es nula. Por tanto, la
deformación εz no efectúa trabajo y no es necesario considerarla en el análisis.
Sı́ hay que tener en cuenta la deformación circunferencial εϕ que se obtiene como
se indica en la Figura 5.3. Ası́ pues, las deformaciones locales no nulas son las
siguientes:
























∂uo wo
− R − z ∂θ
∂s
∂s
εx 

εϕ
= uo cosφ − wo senφ − z θ cosφ
ε =




x




γx z  










∂w
u


o + o −θ
R
∂s
(10.9)
donde R es el radio de curvatura de la generatriz. En la referencia [O3] se presentan
los detalles de la obtención de la expresión anterior.
El vector de deformaciones locales se puede escribir como
ε







∂u
o
∂s
w
− Ro
















−z ∂θ
∂s
−z θcosφ









 

εm 
 ε̂

=
ε =  u cosφ − w senφ  + 
x







o
o




0




x






 

 ∂wo + uo − θ 

0
∂s
R
z ε̂εf
+

ε̂c

(10.10)
donde








∂uo wo
− R
∂s
ε̂εm =



 uo cosφ − wo senφ 

x
(10.11)
es el vector de deformaciones generalizadas de membrana, y
εε̂f



=




− ∂θ
∂s 


− θcosφ
x
y
ε̂c
=
∂wo
uo
+
R −θ
∂s
(10.12)
son los vectores de deformaciones generalizadas de flexión y cortante,
respectivamente.
Las componentes de ε̂εm pueden interpretarse como los
“alargamientos” según direcciones radial y circunferencial, respectivamente; las
de ε̂εf como las “curvaturas” en esas dos mismas direcciones y ε̂c representa la
“deformación de cortante transversal” o “cizalladura”.
10.5
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
10.2.3
Tensiones y esfuerzos
El vector de tensiones locales se define por






 
σx 




 σm 

σϕ
= ...
σ =


... 


 


σc 


τx z
(10.13)
donde σx , σϕ y τx z son las tensiones radial, circunferencial y tangencial,
respectivamente. Para convenio de signos ver la Figura 10.3.
Figura 10.3
Convenio de signos de tensiones y esfuerzos en una lámina de
revolución.
La relación entre tensiones y deformaciones se obtiene modificando la ecuación
constitutiva de la elasticidad tridimensional expresada en ejes locales, con la
hipótesis de que la tensión σz y las deformaciones γx y y γy z son nulas.
Operando, se obtiene para una lámina de material isótropo

1
E 
σ =
ν
1 − ν2
0


Dm

 ε =  ...
α(1−ν)
0
2
ν
1
0
0
0

0

. . .  ε
Dc
(10.14)
donde
Dm
E
1
=
2
1−ν ν
ν
1
y
Dc =
αE
2(1 + ν)
(10.15)
En (10.15) α es el coeficiente de distorsión transversal, que permite operar con
una distribución uniforme de tensiones tangenciales similarmente al caso de vigas
y placas. En la práctica suele utilizarse α = 56 . No obstante, puede deducirse un
valor más preciso siguiendo el procedimiento descrito en [O3].
10.6
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
El vector de esfuerzos locales se define como (ver signos en la Figura 10.3)
σ̂
σ =
 
σ
σ̂ m 









 ... 
σf
σ̂





... 




 
σc
σ̂

Nx





Nϕ





 ...






















t 


σx 


 

σϕ 
σm 











... 
t 


 ... 
2
2
z
z
=  Mx  =
σ
dz
=
σ
m  dz
x 
t
t


−2 
−2 







Mϕ 
z σϕ 
... 


























.
.
.
.
.
.
σ




c








Qz
τx z
(10.16)
σ f = [Mx , Mϕ ]T y σ̂c = Qz .
siendo σ̂
σ m = [Nx , Nϕ ]T , σ̂
Utilizando (10.14) y (10.16) y siguiendo un proceso similar al del Apartado
9.3.3, se encuentra la relación entre esfuerzos y deformaciones generalizadas locales
σ̂
σ = D̂ εε̂
siendo
ε̂ε =
(10.17)
 
ε̂m 


ε








εε̂f










 
ε̂c
(10.18)
el vector de deformaciones generalizadas locales, y
D̂ =
t/2
−t/2
Dm
z Dm
0
z Dm
(z )2 Dm
0
0
0
Dc




D̂m
dz =  D̂mf
0
D̂mf
0


0 

D̂f
0

(10.19)
D̂c
La ec.(10.19) es aplicable al caso de propiedades del material heterogéneas a
través del espesor, como sucede en el caso de materiales compuestos laminados,
o cuando se tiene en cuenta el efecto resistente de la armadura en láminas de
hormigón armado. Si el material es homogéneo o con propiedades simétricas con
respecto a la generatriz, la matriz de acoplamiento membrana-flexión D̂mf = 0 y
de (10.17) se deduce
σ̂
σ m = D̂m ε̂εm
,
σ̂
σ f = D̂f ε̂εf
y
σ̂c = D̂c ε̂c
(10.20)
Para material homogéneo
D̂m = tDm , D̂f =
t3 D , D̂c = tDc
12 m
10.7
(10.21)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
10.2.4
Expresión de los trabajos virtuales
El PTV se escribe como
V
δεεT σ dV
ε σ
=
A
δuT b t dA +
A
δuT t dA +
i
Γ
δuT
i pi dΓ
(10.22)
donde b , t y p son los vectores de fuerzas de revolución másicas (supuestas
constantes sobre el espesor), de superficie y puntuales, respectivamente. Por
conveniencia se ha adoptado en (10.22) la definición local de las fuerzas, aunque
más tarde, después de hacer las transformaciones de ejes, volveremos a la más útil
descripción en ejes globales.
Haciendo uso de la simetrı́a de revolución se puede simplificar la expresión
anterior integrando sobre cada circunferencia Γ (Apartado 5.2.5). Ası́, el PTV se
puede reescribir como
2π
A
δεεT σ x
ε σ
+2π
s
dA = 2π
δuT t x
s
ds +
δuT b tx ds+
i
(10.23)
2πxi δuT
i pi
En láminas de espesor moderado y curvatura pequeña puede aceptarse que [O3]
dA = dx dz ds dz (10.24)
Teniendo en cuenta la definición del vector de esfuerzos de (10.16) y la
ec.(10.13), se puede modificar la integral del primer miembro de (10.23) de la
forma siguiente
2π
A
δεεT σ x dA = 2π
t 2
εT
δε̂εT
m σ m + δε̂
f z σ m + δ ε̂c σc x ds dz =
s −t
2
σ̂ m + δε̂εT
δε̂εT
= 2π
m σ
f
s
σ x ds
= 2π δε̂εT σ̂
s
σ
σ̂ f + δ ε̂c σ̂c x ds =
(10.25)
Obsérvese que debido a la simetrı́a de revolución se ha reducido la integral
de volumen en la expresión del trabajo de deformación virtual, a una integral
de lı́nea sobre la generatriz de la lámina en la que no aparecen derivadas de los
movimientos de un orden mayor que el primero. Esto permite realizar el análisis
discretizando la generatriz mediante elementos finitos unidimensionales de clase
Co . En el apartado siguiente consideraremos la utilización de elementos rectos.
En la referencia [O3] se estudia el caso más general de elementos curvos.
10.8
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
10.3 DISCRETIZACIÓN EN ELEMENTOS TRONCOCÓNICOS
Estudiaremos el caso más sencillo en el que la “superficie media” de la lámina
se discretiza en troncos de cono como se muestra en la Figura 10.4; de ahı́ la
denominación de “elementos troncocónicos”. A efectos prácticos, todos los cálculos
se realizan sobre la generatriz, lo que exige simplemente discretizar dicha lı́nea en
elementos unidimensionales rectos de clase Co , similares a los estudiados en el
Capı́tulo 2.
Figura 10.4
10.3.1
Discretización
troncocónicos.
de
una
lámina
de
revolución
en
elementos
Interpolación de movimientos y deformaciones generalizadas
Consideremos una discretización de la generatriz en elementos unidimensionales de clase Co de n nodos (Figura 10.5). Dentro de cada elemento los
movimientos locales pueden expresarse por una interpolación de sus valores
nodales con funciones de forma unidimensionales en la manera usual como
u
=
 
uo 











wo












=
n
i=1
(e)
Ni ai
= N a(e)
(10.26)
θ
N = [N1 , N2, . . . , Nn ]

siendo
Ni =






;

Ni (ξ)
0
0
0
Ni (ξ)
0
0
0
Ni (ξ)






10.9
y
 (e) 

a1 








 (e) 
a
(e)
2
a
=

.. 



. 




 (e) 
an
 
uoi 











(e)
ai =  woi 










θi
(10.27)
(10.28)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 10.5
Elementos de lámina de revolución: a) lineal (2 nodos) y b) cuadrático
(3 nodos).
las matrices de funciones de forma unidimensionales y el vector de movimientos
locales del elemento y del nodo i, respectivamente.
En un elemento troncocónico el radio de curvatura R es igual a infinito, con lo
cual la expresión del vector de deformaciones generalizadas (10.18) se simplifica
de la siguiente forma (ver también (10.11) y (10.12)),
ε̂ε =
 
ε̂εm 








...

ε̂εf



...




 

ε̂o




















∂uo
∂s




















uocosφ − wo senφ
x
...
=


− ∂θ




∂s






θcosφ




−


x








.
.
.










∂wo


−
θ
∂s
(10.29)
Es interesante observar que los elementos de lámina de revolución troncocónicos
pueden considerarse una generalización de los de viga de Timoshenko estudiados
en el Capı́tulo 7. Ası́, la deformación de cada elemento en su plano puede
obtenerse combinando las deformaciones de flexión de viga de Timoshenko,
∂wo
definidas por la curvatura − ∂θ
y
la
deformación
transversal
∂s
∂s − θ, con una
∂u
o
deformación axil ∂s . La combinación de estas tres deformaciones es tı́pica
de estructuras reticulares planas y de arcos [L2], [T6]. El efecto de lámina de
revolución se completa añadiendo a las deformaciones anteriores la contribución
de la deformación circunferencial ux , lo que se traduce en un alargamiento uxo y
una curvatura − θcosφ
x circunferenciales.
10.10
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
Sustituyendo (10.26) en (10.29), se obtiene
εε̂ =
n
i=1
(e)
Bi ai
(e)
= B a
(10.30)
siendo
B = [B1 , B2 , . . . , Bn ]
(10.31)
y

Bi =


Bmi 








− − −

Bfi





− − −






Bci
∂Ni

∂s

 N cosφ
 i

x

=

—











—


0
N senφ
− ix
——————
0
0
0
0
——————
∂Ni
0
∂s
0





0



— — — — —



∂Ni

−

∂s

Ni cosφ 

− x



— — — — —


(10.32)
−Ni
las matrices de deformaciones generalizadas locales del elemento y del nodo i,
respectivamente, y Bmi , Bf y Bci las submatrices correspondientes de membrana,
i
flexión y cortante.
10.3.2
Matriz de rigidez local
Sustituyendo (10.17), (10.26) y (10.30) en la expresión del PTV, se obtiene
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
(10.33)
donde
(e)
Kij = 2π
l(e)
D̂ Bj x ds
BT
i
(10.34)
es una submatriz tı́pica de la matriz de rigidez del elemento en ejes locales; f (e)
es el vector de fuerzas nodales equivalentes locales del elemento, cuya expresión en
ejes globales se dará más tarde; q(e) es, como de costumbre, el vector de fuerzas
nodales de equilibrio y l(e) la longitud del elemento.
10.11
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Haciendo uso de las ecs.(10.19) y (10.32) la matriz de rigidez puede expresarse
como
(e)
Kij
= 2π
T T BT
mi D̂m Bmj + Bfi D̂f Bfj + Bci D̂cBcj +
l(e) (1)
(2)
T
+ BT
mi D̂mf Bfj + Bfi D̂mf Bmj
(4)
(e)
(e)
= Kmij + Kf
(1)
(e)
(e)
(e)
ij
(2)
(e)
(3)
x ds =
(10.35)
(e)
+ Kcij + Kmf
(3)
ij
(4)
(e)
donde Kf , Kf , Kcij y Kmf son las matrices de rigidez locales debidas a
ij
ij
ij
los efectos de membrana, flexión, cortante y acoplamiento membrana/flexión,
respectivamente. La ec.(10.35) es análoga a la (9.31) para elementos de lámina
planos. En el caso de que la matriz de acoplamiento membrana/flexión D̂mf
(e)
sea nula, lo es también Kmf , y los efectos de membrana, flexión y cortante
contribuyen de forma desacoplada a la matriz de rigidez del elemento en ejes
locales. El acoplamiento entre dichos efectos se produce en este caso, similarmente
a lo estudiado en láminas planas, al efectuar el ensamblaje de las ecuaciones de
rigidez en ejes globales.
10.3.3
Transformación a ejes globales
El proceso de transformación de la matriz de rigidez a ejes globales es análogo
al explicado para estructuras laminares planas y no se repetirá aquı́. La matriz de
rigidez global del elemento se obtiene por
K(e) = T(e)
T
K(e) T(e)
(10.36)
con
(e)
(e)
Kij = LT Kij
L
(10.37)
donde

T(e) =




L
0
L
0
...
L





1
2
..
.
n
(10.38)
es la matriz de transformación de movimientos del elemento y L la correspondiente
a un nodo dada en (10.8). Obsérvese que al ser el elemento recto las matrices de
transformación de todos los nodos son iguales.
10.12
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
Como ocurre en elementos de lámina plana, generalmente es más conveniente
proceder primero a la transformación de la matriz de deformación Bi como

∂Ni
∂s cos φ
Ni
x
∂Ni
∂s senφ
0


0
0







B
—
 mi 
— — — — — — — — — —
∂Ni
Bi =  Bfi  = Bi L = 
0
0
−

∂s


Ni cos φ
Bci 

0
0
−


— — — — — — — —
∂Ni
i
− ∂N
∂s senφ
∂s cos φ
x
———
−Ni














Bmi
Bfi
Bci
(10.39)
De esta forma la matriz de rigidez global se obtiene por
(e)
Kij = 2π
(e)
l(e)
(e)
(e)
(e)
BTi D̂ Bj x ds = Kmij + Kf + Kcij + Kmf
ij
ij
(10.40)
donde las matrices de rigidez anteriores se obtienen utilizando las nuevas Bmi , Bfi
y Bci de (10.39) en las expresiones (10.35).
La matriz de deformación Bi permite calcular directamente los esfuerzos locales
a partir de los movimientos globales por (9.45).
La ecuación de equilibrio en ejes globales se escribe ahora
K(e) a(e) − f (e) = q(e)
(10.41)
donde el vector de fuerzas nodales equivalentes en ejes globales es
(e)
fi
= 2π
siendo
b(e) =
l
NTi b(e)
(e)



 bx 

b
z



bθ 
,
t(e) =
(e)
l(e)
NTi t(e) x ds + 2πxi pi
 

 tz 

t
z

 
tθ 


 Pxi
Pzi


Mi
tx ds + 2π
y
(e)
pi
=
(10.42)





(10.43)
los vectores de fuerzas másicas, repartidas y puntuales en ejes globales
(Figura 10.6).
Obsérvese que todas las fuerzas presentan simetrı́a de revolución y, por
(e)
consiguiente, los valores de b(e) , t(e) y pi en (10.43) corresponden a fuerzas por
unidad de circunferencia. Un tipo de fuerza bastante corriente es el de presión
interior a la lámina. En este caso hay que efectuar la transformación de las
(e)
componentes locales de la presión a ejes globales (Figura 10.7). Ası́, si tn es la
presión interior al elemento, se obtienen las dos componentes de fuerzas repartidas
globales siguientes
(e)
(e)
tx = −tn senφ(e)
;
(e)
(e)
tz = tn cosφ(e)
(10.44)
donde el sentido de tn se ha tomado coincidente con el del vector normal n.
10.13
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 10.6
Figura 10.7
Tipos de fuerzas en láminas de revolución: a) másicas (gravedad).
b) puntuales. c) repartidas.
Presión interior en una lámina de revolución. Transformación a ejes
globales.
10.14
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
10.4 CÁLCULO NUMÉRICO DE LAS MATRICES Y VECTORES
DEL ELEMENTO
(e)
El cálculo numérico de Kij en (10.40) se efectúa utilizando una cuadratura de
Gauss–Legendre unidimensional de la forma
(e)
Kij
= 2π
+1
−1
BTi
D̂
Bj
xJ (e) dξ
nq BTi
q=1
=
D̂ Bj xJ (e) Wq =
q
"
nm !
(e)
Im
Wqm
q
m
qm =1
nf (e) =
+
If
Wqf +
qf
qf =1
n
!
"
nc
mf (e)
(e) Ic
Wqc +
Imf
W
+
qmf qmf
qc
qc =1
qmf =1
(10.45)
donde
Ia = 2πBTai D̂ai Baj xJ (e) , a = m, f, c, mf
(e)
(10.46)
En (10.45) nm , nf , nc , nmf y Wqm , Wqf , Wqc , Wqmf son el número de puntos
de integración y los pesos correspondientes para el cálculo de las integrales de
las matrices de rigidez de membrana, flexión, cortante y acoplamiento membranaflexión, respectivamente. La selección del orden de integración se discute en el
Apartado 10.5.
Con respecto al cálculo del vector de fuerzas equivalentes nodales, si las cargas
son constantes sobre el elemento, la expresión analı́tica exacta de las integrales de
(10.42) es sencilla. No obstante, a veces es más cómodo utilizar también integración
numérica unidimensional como
(e)
fi
= 2π
nq q=1
T
Ni
b(e) xtJ (e)
q
Wq + 2π
nq q=1
NTi t(e) xJ (e)
q
(e)
Wq + 2πxi pi
(10.47)
En la práctica, para el cálculo de f (e) en los elementos troncocónicos lineal y
cuadrático es usual utilizar
cuadraturas de 2 y 3 puntos, respectivamente.
El Jacobiano J (e) = ds
dξ se obtiene a partir de la descripción isoparamétrica del
elemento. No obstante, al ser los elementos unidimensionales y rectos su cálculo
es sencillo. En particular, para elementos de dos nodos y de tres con el nodo
(e)
intermedio centrado en el elemento, el valor de J (e) es l 2 (ver Capı́tulo 3).
10.15
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
10.5 CONSIDERACIONES SOBRE EL EFECTO DE BLOQUEO
POR CORTANTE Y MEMBRANA
Los sencillos elementos de lámina de revolución de Reissner-Mindlin sufren del
defecto del bloqueo de la solución por efecto del esfuerzo cortante. La explicación
de este fenómeno es similar a la explicada para elementos de viga de Timoshenko
en el Capı́tulo 7. Como en ese caso, el bloqueo por cortante se elimina fácilmente
(e)
utilizando una integración reducida de la matriz Kc .
Como explicamos en el caso de elementos de lámina plana (Apartado 9.9), puede
aparecer aquı́ también un efecto de bloqueo por membrana, ya que los términos de
las matrices de membrana pueden ser dominantes frente a las de flexión en el caso
de láminas delgadas. Ello conduce a una solución errónea en estados de flexión.
Como en el caso de elementos de lámina plana, el bloqueo por membrana es poco
relevante en elementos troncocónicos, ya que los efectos de membrana y flexión
están desacoplados a nivel local del elemento, salvo en el caso de que la matriz de
acoplamiento membrana-flexión no sea nula.
Para prevenir el posible efecto de bloqueo por membrana es usual utilizar
(e)
(e)
integración reducida también sobre las matrices Km y Kmf [O3].
En la práctica, esto implica utilizar las siguientes reglas de integración uniforme
para el cálculo de todos los términos de la matriz de rigidez:
elemento troncocónico de dos nodos: 1 punto de integración
elemento troncocónico de tres nodos: 2 puntos de integración
En el caso del elemento troncocónico de dos nodos, la integración con un solo
punto implica la evaluación del integrando de (10.40) en el centro del elemento, y
la matriz de rigidez se obtiene sencillamente por
(e)
¯
Kij = 2π B̄Ti D̂ B̄j x̄ l(e)
(10.48)
donde (¯·) indica valores en el centro del elemento (ξ = 0). La matriz B̄i se obtiene
(−1)i
i
directamente haciendo ∂N
∂s = l(e) , Ni = 1/2 y x = x̄ en la ec.(10.39). La forma
(e)
explı́cita de Kij para este elemento para el caso de acoplamiento membranaflexión nula (Dmf = 0) puede verse en la Figura 10.8.
Por ser de gran interés práctico, presentamos seguidamente la expresión exacta
del vector de fuerzas equivalentes nodales del elemento troncocónico de dos nodos
para el caso de cargas másicas y repartidas constantes sobre el elemento. Esta es
(e)
fi
=
πl(e) ci (e)
(e)
[tb + t(e) ] + 2πxi pi
3
10.16
,
i = 1, 2
(10.49)
Figura 10.8
10.17
i,j=1,2
(e)
Kij
=
(−1)i+j 2
(C d11 + S 2 d55 ) + d222 +
4x
(l(e) )2
|
(−1)i+j
SC(d11 − d55 )+
(l(e) )2
(−1)j
+
S d21
2x̄l(e)
|
|
|
—
|
|
|
—
|
|
|
+
(l(e) )2
d33 + 4




i

(−1)

S
d
55

(e)

2l


—————————————— 




i

(−1)

− (e) C d55

2l




—————————————— 




j
i

(−1)
(−1)
cosφ
cosφ

2x̄ d44 2x̄ + d43 l(e) + d34 l(e) + 



(−1)i+j
d55
x̄ : coordenada radial del centro del elemento , dij : elemento ij de la matriz D̂ evaluada en el centro del elemento
C (e) = 2πx̄l(e) , S = sen φ(e), C = cos φ(e)
|





|
+ C(e) ((−1)i d12 + (−1)j d21 )


2x̄l

|

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —


|


i+j
i
(−1)
(−1)i+j 2
(−1)
(e) 
C 
(S d11 + C 2 d55 )
 (l(e) )2 SC(d11 − d55 ) + 2x̄l(e) S d12 |
(l(e) )2



|

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —


|


j

(−1)j
(−1)

S
d
|
−
C d55
55
(e)

2l
2l(e)




LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
Matriz de rigidez del elemento troncocónico de dos nodos con
integración reducida uniforme de un solo punto.
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
(e)
(e)
(e)
(e)
(e)
(e)
siendo c1 = 2x1 + x2 , c2 = 2x2 + x1 y x1 , x2 las coordenadas radiales de
los nodos del elemento. Obsérvese que por el efecto de revolución, los nodos más
alejados del eje absorben más carga.
La gran sencillez del elemento troncocónico de dos nodos con integración
reducida uniforme de un solo punto lo ha convertido probablemente en el elemento
más utilizado para cálculo de láminas de revolución [Z2].
En las referencias [O1–3] se presentan diversos ejemplos que demuestran la
eficiencia del sencillo elemento troncocónico de dos nodos de Reissner-Mindlin.
10.6 PLACAS DE REVOLUCIÓN
Una placa de revolución puede considerarse un caso particular de lámina de
revolución con generatriz horizontal. Suponiendo que la placa trabaja a flexión
(es decir, no actúan fuerzas contenidas en el plano de la placa), la formulación de
elementos finitos se deduce directamente de la de láminas de revolución haciendo
φ = 0 y prescindiendo de los efectos de membrana. Ası́, considerando la
formulación basada en las hipótesis de Reissner-Mindlin, el campo de movimientos
viene expresado por el desplazamiento lateral w y el giro θ de los puntos de la
generatriz de la placa. Por consiguiente, utilizando elementos Lagrangianos de n
nodos se tiene que
u=
w
θ
=
n
i=1
(e)
Ni
I ai
;
(e)
ai
=
2×2
wi
θi
(10.50)
La matriz de deformaciones generalizadas se obtiene haciendo φ = 0 y
eliminando los términos de membrana en (10.29), como









− ∂θ 

∂s 

n

θ
(e)
−
εε̂ = . . . =
=
Bi ai
x





...... 


i=1
ε̂c  



 ∂wo − θ 

∂s



ε̂f 
ε

(10.51)
con







0

Bf

 0
Bi = − − − = 
 −−





Bci
∂Ni
∂x
∂N
− ∂xi
N
− xi
−−
−Ni







(10.52)
Adviértase que por ser el elemento recto no cabe hacer distinción entre
desplazamientos y deformaciones locales y globales. La matriz de rigidez del
elemento se obtiene de (10.40) como
(e)
Kij = 2π
l(e)
(e)
(e)
BTfi D̂f Bfj + BTci D̂c Bcj x d x = Kf + Kc
10.18
(10.53)
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
La utilización de la formulación anterior exige el uso de las mismas técnicas
para tratar el efecto del cortante explicadas anteriormente. En la Figura 10.9 se
muestra la expresión de la matriz de rigidez para un elemento de dos nodos con
integración reducida de un solo punto.
ai =

(e)
Kij =
(−1)i+j
 (l(e) )2 d33


(e)

2πl x̄ 
 (−1)j
−
d

2l(e) 33
dij : componentes de D̂ =
Figura 10.9
−




D̂f
0
d11
(−1)i
d
2l(e) 33
i+j
(−1)
(l(e))2
+ d22
+
4x¯2
+ d12(e) [(−1)i + (−1)j ] + d433
2x̄l
0
Dc
wi
θi









i, j = 1, 2
(ver (10.21)) evaluada en el centro del elemento
Matriz de rigidez del elemento de placa de revolución de dos nodos
de Reissner-Mindlin con integración reducida de un solo punto.
El vector de fuerzas nodales equivalentes debido a una fuerza vertical de
intensidad q uniformemente repartida sobre el elemento es
(e)
fi
= 2π
l(e)
Ni
q
xdx
0
i = 1, 2
(10.54)
Tras realizar la integral de forma exacta, se obtiene
f (e) =
T
qπl(e) (e)
(e)
(e)
(e)
(2x1 + x2 ), 0, (2x2 + x1 ), 0
3
Por otro lado, para cargas puntuales nodales se obtiene
Pzi
(e)
fi = 2πxi
Mi
siendo Pzi y Mi la fuerza vertical y el momento que actúan en el nodo i.
10.19
(10.55)
(10.56)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
En las referencias [O1–3] se presentan ejemplos del comportamiento del
elemento de placa de revolución de dos nodos de Reissner-Mindlin.
10.7 ARCOS PLANOS
La formulación de elementos finitos para arcos planos es también un caso
particular de la de láminas de revolución prescindiendo de los efectos de membrana
y flexión circunferenciales.
Consideremos un arco sometido a cargas en su plano como el que se muestra en
la Figura 10.10. La geometrı́a del arco viene definida por la de la fibra media curva
de las diferentes secciones, siendo todas las relaciones geométricas para dicha fibra
idénticas a las que se estudiaron para la generatriz de una lámina de revolución.
Figura 10.10
Descripción geométrica de un arco plano.
El vector de movimientos de un punto de la fibra media se define, análogamente
al caso de láminas de revolución, por sus dos desplazamientos en direcciones de los
ejes locales x y z y el giro de la tangente a la fibra media. Por otra parte, el vector
de deformaciones generalizadas locales en el caso más general de no ortogonalidad
de la normal (teorı́a de Reissner-Mindlin) contiene el alargamiento de las fibras de
la sección transversal λ, la curvatura de la misma χ y la cizalladura γ, definidas
como








∂uo wo 



∂s − R 

∂θ
ε̂ε = χ =
−



∂s

 


γ 



∂w
u


o + o −θ
∂s
R
 

λ

(10.57)
La expresión de dichas deformaciones se obtiene prescindiendo de los efectos
circunferenciales en (10.11) y (10.12). Si se utiliza una discretización con elementos
10.20
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
rectos, R = ∞, y


















∂uo
∂s
ε̂ε =
− ∂θ

∂s







∂wo
−θ
∂s
alargamiento

curvatura 









cizalladura


(10.58)
deformaciones de
flexión
Puede apreciarse que εε̂ se compone ahora de las deformaciones de flexión
del elemento de viga de Timoshenko del Capı́tulo 7 y la deformación axil
(alargamiento) del elemento de barra a tracción del Capı́tulo 2, que actúan de
forma desacoplada a nivel local . El acoplamiento entre los efectos axiles y de
flexión se produce en ejes globales al ensamblar las contribuciones de los diferentes
elementos.
Discretizando el arco en elementos rectos de n nodos se obtiene la matriz de
deformación generalizada local, como
n
ε̂ε
ε =
i=1
con
(e)
Bi ai = B a(e)


∂Ni
 ∂s

Bi = 
 0

0
(10.59)
0
0
−∂Ni
∂s
−Ni
0
∂Ni
∂s





;
(e)
ai
=
 

 uoi 

w
oi 



θi
(10.60)
El vector de esfuerzos locales y la ecuación constitutiva se definen por





N
EA


σ̂
σ = M = 0



Q
0
0
EI
0

0
ε̂ = D̂ ε̂ε
0 
ε
αGA
(10.61)
donde A es el área de la sección transversal del arco e I el momento de inercia
de dicha sección respecto al eje transversal y que pasa por el centro de gravedad
(Figura 10.10). El convenio de signos para los esfuerzos N, M y Q coincide con el
de Nx , Mx y Qz de la Figura 10.3, respectivamente.
Operando en la forma usual a partir del PTV se obtiene la matriz de rigidez
del elemento de arco en ejes locales por
(e)
Kij =
l(e)
BT
i D̂ Bj dx
(10.62)
Es fácil comprobar que la matriz de rigidez local puede escribirse como

(e)
Kij
(e)
K
 BTij
=
 1×1


 0
10.21

0



(e) 
KV T 
ij
2×2
(10.63)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
(e)
(e)
donde KBT y KV T son las matrices de rigidez de los elementos de barra
ij
ij
a tracción y de viga de Timoshenko estudiados en los Capı́tulos 2 y 7,
respectivamente.
La transformación de la matriz de rigidez local a ejes globales para el ensamblaje
sigue exactamente las mismas etapas descritas para láminas de revolución,
obteniéndose,
(e)
Kij = (e) BTi D̂ Bj dx
(10.64)
l
con Bi = Bi L y L dada por (10.8).
Los elementos de arco de Reissner-Mindlin precisan de las mismas técnicas para
evitar el bloqueo que los elementos de lámina de revolución o de flexión de vigas
de Timoshenko. Si se utilizan elementos de dos nodos con integración reducida
(e)
uniforme de un solo punto, la expresión de Kij puede obtenerse directamente por
(e)
¯
Kij = B̄Ti D̂ B̄j l(e)
(10.65)
donde (·) indica de nuevo valores en el centro del elemento. En la Figura 10.11 se
(e)
muestra la expresión de Kij de (10.65).
 (−1)i+j
(d11 C 2 + d33 S 2 )
(e)
 (l )2

i+j

(e)
Kij = l(e)  (−1)
SC(d11 − d33 )
 (l(e) )2

(−1)i+j
SC(d11
(l(e) )2
(−1)i+j
(d11 S 2
(l(e) )2
(−1)j
Sd33
2l(e)
j
− d33 )
+ d33 C 2 )
− (−1)
Cd33
2l(e)
(−1)i
Sd33
2l(e)
i
− (−1)
d
2l(e) 33
d33 +
4
(−1)i+j
d44
l(e)







S = senφ(e) , C = cos φ(e)
dij = componentes de la matriz D̂ de (10.67) evaluada en el centro del elemento.
Figura 10.11
Matriz de rigidez del elemento de arco plano de dos nodos con
integración reducida uniforme de un punto.
10.22
LÁMINAS DE REVOLUCIÓN Y ARCOS
El vector de fuerzas nodales equivalentes para este elemento es inmediato. Ası́,
una fuerza uniformemente repartida se distribuye de forma equitativa entre los dos
nodos del elemento, y
fi =
l (e) (e)
ti
2
con
(e)
ti
= [tx1 , tz1 , mθ ]T
(10.66)
Obviamente, este elemento tiene también aplicación directa para análisis de
estructuras reticuladas planas.
En la referencia [O3] se estudia el caso de elementos de arco curvos.
10.8 COMENTARIOS FINALES
En este capı́tulo hemos estudiado con detalle la formulación de elementos de
lámina de revolución basados en la teorı́a de Reissner-Mindlin. En particular,
hemos visto que el sencillo elemento troncocónico de Reissner-Mindlin de dos nodos
con integración reducida uniforme de un solo punto, es un elemento muy sencillo
para análisis de estructuras laminares de revolución delgadas y gruesas de los más
diversos tipos.
Por otra parte, se ha estudiado cómo pueden obtenerse elementos de placa de
revolución y de arco, por simplificación de los elementos de lámina de revolución.
En estos dos casos se cumple, de nuevo, que el sencillo elemento de dos nodos
con un solo punto de integración presenta un comportamiento excelente en su
utilización práctica.
10.23
CAPÍTULO 9
ANÁLISIS DE LÁMINAS
CON ELEMENTOS PLANOS
9.1 INTRODUCCIÓN
Las estructuras laminares son muy comunes en numerosos campos de la
ingenierı́a. Como ejemplos podrı́amos citar: puentes, cubiertas, depósitos, cascos
de barco, fuselaje de aviones, carrocerı́as de vehı́culos, etc.
Tipológicamente las láminas pueden considerarse una generalización de las
placas al caso de superficie media no plana. Es precisamente esta no coplanaridad
la que confiere el carácter resistente de las láminas al permitir la aparición de
esfuerzos axiles (esfuerzos de membrana) que, juntamente con los de flexión,
contribuyen a dotar a las láminas de una capacidad portante muy superior a la de
las placas.
En general, podemos decir que las láminas son a las placas, lo que los arcos (o
las estructuras reticulares) son a las vigas. Por tanto, un buen conocimiento de
la influencia del axil en arcos y pórticos favorecerá sin duda la comprensión del
funcionamiento resistente de las estructuras laminares. En la Figura 9.1 se muestra
un sencillo esquema de la contribución de los esfuerzos axiles a la resistencia de
un pórtico y de una lámina formada por ensamblaje de dos placas.
Desde el punto de vista geométrico las láminas se clasifican por la forma de su
superficie media [T5], [V1]. Estudiaremos aquı́ los casos de láminas de superficie
media arbitraria (Capı́tulo 9) y las láminas de revolución (Capı́tulo 10).
La obtención de las ecuaciones de una lámina (equilibrio, constitutivas y
cinemáticas) es complicada, debido precisamente a la curvatura de su superficie
media [F3], [K2], [N3], [T5], [V1]. Una de las maneras más sencilas de sortear
este problema es estudiar el comportamiento de una lámina como si estuviese
compuesta de elementos planos de tamaño pequeño.
Parece intuitivo que la aproximación de la geometrı́a real será tanto más exacta
cuanto más pequeño sea el tamaño de la discretización utilizada, análogamente
al proceso de aproximación de una lı́nea curva por rectas progresivamente más
pequeñas (Figura 9.2). La idea anterior es la base de la teorı́a de elementos finitos
de “lámina plana” que se trata en este capı́tulo. Esta teorı́a es de gran interés
no sólo para estudiar de forma aproximada láminas de superficie media curva,
sino también como método natural de análisis de numerosas estructuras laminares
compuestas por elementos de placa ensamblados en el espacio. Ejemplos de estas
9.1
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 9.1
Figura 9.2
Esfuerzos axiles en pórticos y estructuras laminares planas.
a) Discretización de un arco en segmentos rectos.
b) Discretización de una superficie en elementos planos.
estructuras son comunes en puentes, cubiertas, piezas mecánicas, etc.(Figura 9.3).
En todas ellas la teorı́a de lámina plana es muy adecuada, ya que el problema
de aproximación de la superficie media desaparece al adaptarse exactamente los
9.2
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
Figura 9.3
Ejemplos de estructuras laminares planas.
elementos a la geometrı́a de la estructura.
El tema se inicia con el estudio de la formulación de elementos de lámina plana
de Reissner-Mindlin como extrapolación de los elementos de placa estudiados en
capı́tulos anteriores. Veremos como el problema se reduce al ensamblaje de las
contribuciones de la rigidez de cada elemento plano, de manera similar a lo que
sucede en estructuras de barras. La segunda parte del capı́tulo se dedica a los
elementos de lámina plana derivados de la teorı́a de placas delgadas de Kirchhoff.
En ambos casos se describe con detalle la formulación de las matrices y vectores
elementales y se dan orientaciones sobre los tipos de elementos más adecuados
para la práctica.
9.2 TEORÍA DE LÁMINAS PLANAS
Como ya hemos apuntado, un elemento laminar se caracteriza por su capacidad
de poder combinar un estado resistente tı́pico “de flexión”, con otro en el que
aparecen esfuerzos axiles contenidos en su superficie media y que denominaremos
“estado de membrana”. Veremos en los apartados siguientes que la utilización de
elementos laminares planos conduce generalmente a un desacoplamiento a nivel
del elemento de los efectos de flexión y de membrana. Dicho desacoplamiento
desaparece al ensamblar las contribuciones de los diversos elementos que se
encuentran en distintos planos.
Para facilitar la comprensión de todas las etapas del cálculo, partiremos, tal y
como hicimos en el capı́tulo de placas, del estudio del campo de desplazamientos,
deformaciones y tensiones de un elemento aislado, para sistemáticamente obtener
todas las expresiones fundamentales del análisis por elementos finitos. Asimismo,
como ya hemos indicado, consideraremos en primer lugar la teorı́a de láminas con
las hipótesis de Reissner-Mindlin, lo que nos permitirá obtener una formulación
de elementos finitos válida para láminas de pequeño y gran espesor. Tras ello,
estudiaremos la teorı́a más restrictiva de Kirchhoff para láminas delgadas.
9.3
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
9.3 FORMULACIÓN DE LÁMINAS PLANAS DE REISSNERMINDLIN
9.3.1 Campo de desplazamientos
Consideremos por simplicidad el elemento de lámina plana rectangular de la
Figura 9.4 definido en el espacio de ejes globales xyz. El plano medio de dicho
elemento define un sistema de ejes locales x y z , donde z es la normal al plano
medio y x y son dos direcciones ortogonales cualesquiera contenidas en él. En
principio, y por simplicidad, supondremos que x y y coinciden con dos lados del
plano medio del elemento. En el Apartado 9.7 veremos que esto no tiene por qué
ser ası́. Estudiaremos seguidamente la deformación del elemento referida a dicho
sistema de ejes locales.
Figura 9.4
Elemento de lámina plana en el espacio. Ejes locales y globales.
Admitiendo que se cumplen las hipótesis de Reissner-Mindlin para el estado
de placa (Apartado 9.2), los desplazamientos de un punto genérico A, situado
sobre la normal OA, siendo O el punto de corte de la normal con el plano medio
(Figura 9.5), se pueden expresar como
u(x , y , z ) = uo(x , y ) − z θx (x , y )
v (x , y , z ) = vo (x , y ) − z θy (x , y )
w (x , y , z ) = wo (x , y )
(9.1)
donde uo , vo y wo son los desplazamientos según los ejes x , y , z , respectivamente,
del punto O; θx y θy los giros de la normal OA contenidos en los planos locales
x z e y z , respectivamente, y z la distancia OA. El vector de movimientos del
punto A se define como
u =
uo , vo , wo , θx , θy 9.4
T
(9.2)
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
Figura 9.5
Desplazamientos de un punto de un elemento de lámina plana en los
planos locales x z e y z . Teorı́a de Reissner-Mindlin .
Se advierte en (9.1) que la única diferencia con respecto a la flexión de placas
estriba en que los puntos del plano medio se desplazan según los ejes x e y . Esto
dará lugar a esfuerzos y deformaciones contenidas en el plano del elemento, como
veremos a continuación.
9.3.2 Campo de deformaciones
Similarmente al caso de placas puede prescindirse de la deformación εz al
no intervenir en la expresión del trabajo de la lámina, ya que de acuerdo con las
hipótesis de Reissner-Mindlin σz = 0. Por consiguiente, el vector de deformaciones
de la elasticidad tridimensional se escribe en ejes locales, haciendo uso de (6.3) y
(9.1), como











εx 



εy 




γ
x
y
ε =
=
······









γx z 






γy z 
∂u



∂x





∂v 


∂y 



 ∂u
∂v ∂y + ∂x



······





 ∂u + ∂w


∂z
∂x




 ∂v + ∂w ∂z ∂y 
















































=






























∂uo
∂vo
+
∂y ∂x 



········· 






0






















∂uo
∂x
∂vo
∂y +
0









∂θ

y


−z ∂y 





∂θ
∂θx
y
−z ( ∂y + ∂x )








·········








∂w


o − θ 



x


∂x








∂w


o − θ y
∂y
−z ∂xx
∂θ
(9.3)
o bien






ε̂ 

ε̂εm 

 zε
f 
······ + ······
ε =






0 
ε̂εc 
9.5
(9.4)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
donde
ε̂εm =
∂uo ∂vo ∂uo
∂vo
,
,
(
+
)
∂x ∂y ∂y
∂x
εε̂f =
−
ε̂εc =
(
T
(9.5a)
∂θx ∂θy ∂θx ∂θy ,
−
,
−(
+
)
∂x
∂y
∂y
∂x
∂wo
∂wo
−
θ
),
(
− θy )
x
∂x
∂y
T
(9.5b)
T
(9.5c)
son, respectivamente, los vectores de deformaciones generalizadas de membrana
(alargamientos), flexión (curvaturas) y cortante (cizalladuras). Adviértase que,
similarmente al caso de placas, las deformaciones γx z y γy z representan los giros
φx y φy , respectivamente, tal y como se puede deducir de (9.3) y la Figura 9.5.
Por otra parte, de las ecs. (9.3)-(9.5) se deduce que:
a) la deformacion total de un punto se obtiene sumando las deformaciones de
membrana a las del estado de placa, lo cual es consecuencia directa del campo
de desplazamientos escogido.
b) los vectores de deformaciones generalizadas de membrana y de cortante
contienen las deformaciones “en el plano” y transversales al mismo,
respectivamente, y
c) el vector de deformaciones generalizadas de flexión contiene las tres curvaturas
del plano medio.
9.3.3 Campo de tensiones. Ecuación constitutiva
Operando en ejes locales y teniendo en cuenta que la tensión normal σz es
nula se puede modificar la ecuación constitutiva de la elasticidad tridimensional,
similarmente al caso de placas (Apartado 9.2.3), encontrándose la siguiente relación
entre tensiones y deformaciones locales













εx 







εy 





0 
 γ

xy

··· ······







Dc 


γ


x
z




γy z 
σx 






σy 





σ
 f
 Df
τx y 

σ = 
= ··· =  ···
······


 


σc




0


τ


x
z




τy z
..
.
···
..
.
= Dε (9.6)
donde para material isótropo

1
E 
Df =
ν
1 − ν2
0
Dc
1 0
= αG
0 1

ν
1
0
0

0 
1−ν
2
con
9.6
G=
E
2(1 + ν)
(9.7)
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
En (9.7) α es el coeficiente utilizado en teorı́a de placas para corregir el trabajo
de las tensiones tangenciales transversales [O3].
De (9.4) y (9.6) se obtiene
σ f = Df (ε̂εm + z ε̂εf )
(9.8)
σ c = Dc εε̂c
(9.9)
De donde se deduce que σx , σy y τx y varı́an linealmente con el espesor,
aunque ahora no toman valores nulos para z = 0. Por otra parte, las tensiones
tangenciales τx z y τy z son constantes a lo largo del espesor. Esto implica que,
al igual que en placas, la distribución correcta de estas tensiones debe calcularse
posteriormente a partir de los esfuerzos cortantes.
Es interesante observar que la distribución sobre el espesor de las tensiones
normales σx y σy definida por (9.8) es totalmente análoga a la de secciones de
piezas sometidas a flexión compuesta. Esto es, la tensión total se obtiene como
suma de un valor constante debido a un estado de tracción o compresión pura
(estado de membrana) más una variación lineal simétrica debida a otro de flexión
pura.
9.3.4 Esfuerzos
El vector de esfuerzos locales en un punto del plano medio se define por























σx 
Nx 










σy 


Ny 











τ



 
Nx y 
 x
y






σ
σ̂
σf






m






··· 
··· 
















+t  +t  ···
 ··· 
z σx  Mx 
2
2
σ f =
σ =  σ̂
σ̂
z σ f
=
dz
=
t  z σ 
t 



M
−
−







y 
y 


2 
2 
··· 
···











τ 





 
 M
y 
z




x
x
y




σ
σc
σ̂ c











··· 
·
·
·


















τx z 


 Qx 






Qy τy z 













dz (9.10)
donde σ̂
σ m , σ
σ̂ f y σ̂
σ c son los vectores de esfuerzos locales de membrana, flexión
y cortante, respectivamente, y t el espesor. Los esfuerzos de flexión y cortante
coinciden con los estudiados para placas. El vector de esfuerzos de membrana lo
forman los tres axiles Nx , Ny y Nx y contenidos en el plano medio. El convenio
de signos se muestra en la Figura 9.6.
La relación entre esfuerzos y deformaciones generalizadas locales se obtiene
combinando (9.8)–(9.9) y (10.10) como
σ̂
σ =
 
σm 
σ̂









 ··· 
σf
σ̂





··· 




 
σ
σ̂ c
=





+t 

2
− 2t
σ f
···
σ z
f



···


 σc













9.7
dz =
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 9.6
Convenio de signos para los esfuerzos en un elemento diferencial de
lámina plana.
=






+t 

2


εε̂m 
Df (ε̂εm + z ε̂εf ) 











············ 


···
D (ε̂
ε
ε
ε
z
ε̂
ε̂
+
z
)
dz
=
D̂
= D̂ε̂ε
m
f
f
f










············ 
···












Dcε̂εc
ε̂εc
− 2t
(9.11)
σ y el de
siendo D̂ la matriz constitutiva que relaciona el vector de esfuerzos σ̂
deformaciones generalizadas ε̂ε en ejes locales. De (9.11) se deduce
D̂ =

Df
+t
2 
 z D

f
t
−2
z Df
z 2 Df
0
0
con
D̂m
=
D̂f =
+t
2
Df dz − 2t
+t
2 2 z Df dz t
−2
0




D̂m
D̂mf
 0 
 dz =  D̂mf
Dc
0
D̂mf
;
;
=
D̂c =
D̂f
0
0


0 

D̂c
+t
2 z Df dz t
−2
+t
2
− 2t
(9.12)
(9.13)
Dc dz donde D̂m , D̂f y Dc son las matrices constitutivas generalizadas correspondientes
a esfuerzos de membrana, flexión y cortante, respectivamente, y D̂mf es la matriz
constitutiva de acoplamiento membrana-flexión.
Las expresiones anteriores son válidas para el caso más general en el que
las propiedades del material estén hetereogéneamente distribuidas a través del
espesor (por ejemplo, en el caso de láminas formadas por materiales compuestos
de propiedades mecánicas diferentes, o bien en láminas de hormigón armado con
distribuciones no simétricas de armaduras). Es fácil advertir que si existe simetrı́a
de las propiedades del material con respecto al plano medio, o bien el material
es homogéneo, D̂mf = 0 y cada vector de esfuerzos se puede calcular de forma
desacoplada a partir de sus correspondientes deformaciones generalizadas por
σ
σ̂ m = D̂mε̂εm
;
σ̂
σ f = D̂f ε̂εf
9.8
;
σ
σ̂ c = D̂cε̂εc
(9.14)
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
La expresión de las matrices constitutivas se simplifica notablemente en el caso
de material homogéneo por integración explı́cita de las ecs.(9.13) como
t3 D
y
D̂c = tDc
(9.15)
12 f
Obsérvese la coincidencia de las matrices constitutivas generalizadas de flexión
y cortante anteriores con las obtenidas para el caso de flexión de placas en el
Capı́tulo 9.
D̂m = tDf
;
D̂f =
9.3.5 Expresión del principio de los trabajos virtuales
Consideramos de nuevo, por simplicidad, la expresión del PTV de un elemento
de lámina plana sometido a cargas repartidas sobre su superficie t y fuerzas
puntuales qi . Ası́
V
δεεT σ dV =
δu
A
T
t dA +
i
δuiT qi
(9.16)
donde V y A son el volumen y área del elemento, respectivamente.
Demostraremos a continuación que el trabajo virtual de deformación en un
elemento aislado es suma directa de los trabajos virtuales de membrana, flexión y
cortante.
Sustituyendo (9.4) y (9.6) en el primer miembro de (9.16), se tiene
δεεT σ dV
V
=
=
V
=
V
T
εε̂m + z ε̂εfT , ε̂εcT
δ
σf
dV
σ c
=
T (δε̂εm
σ f + z δε̂εfT σ f + δε̂εcT σ c )dV =
+t
+t
+t
2 2 2
T
T
T
[δε̂εm ( t σ f dz ) +δε̂ε f ( t z σ f dz ) +δε̂εc ( t σ c dz )]dA
−
−
−
A
2 2 2 σ
σ̂ m
=
ε σ
A
σ̂
σ f
σ m + δε̂εfT σ̂
σ f + δε̂εcT σ̂
σ c )dA =
(δε̂εmT σ̂
A
=
σ̂
σ c
σ dA
δε̂εT σ̂
(9.17)
de donde se deduce que el trabajo de deformación virtual puede obtenerse como
suma directa de las contribuciones de membrana, flexión y cortante.
Por consiguiente, el PTV puede escribirse como
A
σ̂ dA =
δε̂εT σ
A
δu
T
t dA +
i
δuiT qi
(9.18)
Ası́, pues, operando con esfuerzos y deformaciones generalizadas se reduce el
dominio de integración en una dimensión, es decir, de una integral de volumen a
otra sobre el plano medio, como ocurrı́a en placas.
Obsérvese, asimismo, que todas las derivadas que aparecen en los integrandos
de (9.18) son de primer grado, lo que permite utilizar elementos finitos de clase
Co .
9.9
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
9.4 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS
9.4.1 Discretización del campo de movimientos
Obtendremos seguidamente las expresiones básicas de la formulación de
elementos finitos para un elemento de lámina plana isoparamétrico de clase Co de n
nodos. En apartados posteriores se tratará el tema de las ventajas e inconvenientes
de utilización de elementos cuadriláteros o triangulares de diferentes órdenes.
Consideremos la superficie media de la lámina discretizada en una malla de
elementos finitos (Figura 9.7). Expresando el vector de movimientos nodales en la
forma usual, se tiene
 (e) 




 a1 
u
=
n
i=1
donde
Ni =







Ni
0
0
0
0
(e)
Ni ai
0
Ni
0
0
0
0
0
Ni
0
0
=
0
0
0
Ni
0




 (e) 
a
2
[N1 , N2, · · · , Nn ]

. 


 .. 




 (e) 
an

0
0 


0  ;

0 
Ni
(e)
ai
=
= Na(e)
uoi , vo i , wo i , θx , θy i
i
(9.19)
T
(9.20)
son la matriz de funciones de forma y el vector de movimientos locales de un nodo
i del elemento, respectivamente. Vemos que los movimientos nodales incluyen los
desplazamientos en el plano del elemento uoi y vo i , el desplazamiento transversal
wo i y los giros locales θx y θy . El convenio de signos para dichos giros es el mismo
i
i
que el adoptado para placas en el Capı́tulo 9 y puede verse en la Figura 9.7.
9.4.2 Discretización del campo de deformaciones generalizadas
Del vector de deformaciones generalizadas locales de la ec. (9.11) y la ec. (9.19)
se deduce
ε̂ε =


ε̂εm 









······
ε̂εf





······






εε̂c


























=
∂uo
∂y ∂uo
∂x
∂vo
∂y ∂v + ∂xo
············
∂θ
− ∂xx


























∂θ 



− ∂yy










∂θ


∂θ
y


x


−(
+
)




∂y
∂x






·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·




∂w


o




−
θ


x
∂x






∂w


o −θ y
∂y
9.10
=























n


∂Ni ∂x uoi
∂Ni ∂y voi
∂Ni i ( ∂N
∂y uoi + ∂x voi )
··················
i
− ∂N
∂x θx
i

























i


− ∂N

θy 

i=1 
∂y


i





∂N
∂N
i
i


−( ∂y θx + ∂x θy ) 





i
i 




·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·






∂N


i w − N θ 



i
o
x


i
∂x
i






 ∂Ni w − N θ 
i yi
∂y oi
=
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
Figura 9.7
Discretización de una lámina en elementos planos cuadriláteros de 8
nodos.
=
 (e) 


 a1 





 (e) 

a
2
B1 , B2 , · · · , Bn 
.. 



. 




 (e) 
an
= B a(e)
(9.21)
donde B y Bi son las matrices de deformaciones generalizadas locales del elemento
y de un nodo i, respectivamente. Esta última puede escribirse como
Bi =
 

 Bmi 

Bf

 i 

Bci
(9.22)
donde Bmi , Bf i y Bci son, respectivamente, las matrices de deformaciones
generalizadas locales de membrana, flexión y cortante del nodo i, dadas por
Bmi =
 ∂N
i
 ∂x
 0


∂Ni
∂y 
0
0 0
0
∂Ni
∂y ∂Ni
∂x
0 0
0

0 0
0
9.11


(9.23)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos

i
0 0 0 − ∂N
∂x


0
Bfi =  0 0 0

∂Ni
0 0 0 − ∂y 
Bci = 
∂Ni
∂x
∂Ni
∂y 0 0
0 0

0

i 
− ∂N
∂y 
i
− ∂N
∂x
(9.24)


−Ni
0
0
−Ni

(9.25)
9.4.3 Obtención de la matriz de rigidez local
Aplicando el PTV al dominio de un elemento se obtiene
A(e)
donde
σ̂ dA
δε̂εT σ
=
t =
δuT t dA + δa(e)
(e)
A
tx , ty , tz , mx , my T
T
q(e)
(9.26)
(9.27)
es el vector de fuerzas repartidas sobre la superficie del elemento, siendo tx ,
ty , tz las fuerzas repartidas actuando en las direcciones locales x , y , z ,
respectivamente, y mx , my los momentos repartidos contenidos en los planos
x z e y z , respectivamente, y
q(e) =
 (e) 



 q1 

.
(9.28a)
.. 


 (e) 

qn
es el vector de fuerzas nodales de equilibrio con
(e)
qi
=
T
Rx , Ry , Rz , Mx , My i
i
i
i
(9.28b)
i
siendo Rx , Ry y Rz las fuerzas puntuales que actúan en el nodo i del elemento
i
i
i
según direcciones x , y , z , respectivamente, y Mx , Mz los momentos nodales
i
i
contenidos en los planos x z e y z .
Operando en la forma usual puede obtenerse la ecuación matricial de equilibrio
de un elemento aislado por
q(e) = K(e) a(e) − f (e)
(9.29)
donde la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales del elemento en ejes
locales son
(e)
Kij
=
A(e)
BiT D̂ Bj dxdy
9.12
(9.30a)
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
(e)
fi
=
A(e)
NTi ti dx dy
(9.30b)
En (9.30b) solamente se ha considerado la actuación de fuerzas repartidas
sobre la superficie del elemento. No obstante, es muy fácil incluir otro tipo
de cargas. Ası́, el efecto del peso propio es idéntico al de una carga vertical
uniformemente repartida de intensidad ρt, donde ρ y t son el peso especı́fico y
el espesor, respectivamente. Sin embargo, en este caso la dirección vertical de
actuación del peso propio no coincidirá generalmente con la de alguno de los ejes
locales x, y , z . Este problema se resuelve, como veremos más tarde, operando
con fuerzas y desplazamientos en ejes globales.
(e)
Es interesante desarrollar la expresión de Kij . Haciendo uso de (9.12) y (9.22)
se obtiene
 

B 
Dm D̂mf
0 


 mj 


(e)
T

B
=
Bmi
, BfT , BcT 
dx dy =
K
0
D̂
D̂
f


ij
i
i
A(e)
(e)
(e)
mf
(e)
0
(e)
f
0
(e)



D̂c
j


Bcj 
= Kmij + Kf + Kcij + Kmf + Kf m
ij
ij
ij
(9.31)
donde
(e)
Kmij
=
(e)
Kf
ij
=
(e)
Kcij
(e)
Kmf
ij
A(e)
B mi D̂m Bmj dx dy
A(e)
BfTi D̂f Bfj dx dy
T
=
A(e)
=
BcTi D̂c Bcj dx dy
T
Bm
D̂mf Bfj dx dy
i
(e)
A
(e) T
Kf m
ij
=
(9.32)
son, respectivamente, las matrices de rigidez de membrana, flexión, cortante y
acoplamiento membrana-flexión en ejes locales. Obsérvese que si D̂mf es nula
(por ser el material homogéneo o estar distribuı́do simétricamente con respecto al
plano medio) se anula también la contribución de las matrices de acoplamiento
(e)
(e)
Kmf y Kf m . En dicho caso, la matriz de rigidez del elemento en ejes locales
se obtiene sumando directamente las matrices de rigidez de membrana, flexión y
cortante, que contribuyen de forma desacoplada a la matriz total.
Asimismo, observando detenidamente los términos no nulos en las matrices de
deformación se deduce que en el caso desacoplado mencionado, la matriz de rigidez
del elemento en ejes locales puede escribirse como

(e)
Kij
=
5×5
(e)
(KT P )ij

2×2


·········



0

9.13

..
.
0



..
. ·········

..


.

(e)
(KRM )ij
3×3
u
v
w
θx
θy (9.33)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
(e)
(e)
donde KT P y KRM son las matrices de rigidez de los elementos de tensión plana
(Capı́tulo 4) y de placa de Reissner-Mindlin (Capı́tulo 9) con la misma tipologı́a
y número de nodos que el elemento de lámina plana utilizado.
Por consiguiente, si no existe acoplamiento membrana-flexión, la matriz de
rigidez local de un elemento de lámina plana puede obtenerse directamente
ampliando la matriz de rigidez para el caso de flexión de placas con la del elemento
de tensión plana correspondiente. En terminologı́a de cálculo de estructuras
podrı́amos decir que a nivel local los esfuerzos de membrana equilibran las acciones
contenidas en el plano del elemento, mientras que las acciones normales a dicho
plano provocan un estado de flexión independiente, pudiendo obtenerse, siempre
a nivel local, los movimientos, deformaciones y tensiones de ambos estados de
manera totalmente desacoplada. El “acoplamiento” entre los estados de membrana
y flexión se produce al ensamblar en ejes globales las ecuaciones de rigidez, tema
que se trata en el apartado siguiente.
9.5 ENSAMBLAJE DE LAS ECUACIONES DE RIGIDEZ
Recordemos que para poder sumar las fuerzas nodales en el ensamblaje de
las ecuaciones matriciales de estructuras de barras (Capı́tulo 1), es esencial que
todas las fuerzas estén definidas con respecto al mismo sistema de referencia [L3].
En láminas ocurre exactamente lo mismo. Por tanto, en los nodos comunes a
elementos contenidos en planos diferentes es obligatorio una transformación de
fuerzas y movimientos a un mismo sistema de ejes globales antes del ensamblaje.
Por otra parte, es necesario introducir un tercer giro global θz para tener en cuenta
la posibilidad de que la transformación de los giros θx y θy dé componentes sobre
aquél (Figura 9.8). Lo mismo sucede con la transformación de momentos flectores
que obliga a la inclusión de un tercer momento nodal Mz .
Figura 9.8
Ejemplo de transformación de los giros locales (θx , θy )
a globales (θx , θy , θz ).
9.14
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
Ası́ pues, la relación entre componentes locales y globales de movimientos y
fuerzas debe escribirse como
(e)
ai
(e)
= L(e) ai
donde
(e)
ai
(e)
fi
=
=
(e)
,
fi
(e)
= L(e) fi
uoi , voi , woi , θxi , θyi , θzi
(9.34)
T
fxi , fyi , fzi , Mxi , Myi , Mzi
T
(9.35)
son los vectores de movimientos y fuerzas en ejes globales, respectivamente, en los
que se ha incluido la tercera componente de giro y momento antes mencionadas.
Obsérvese que ahora tanto los giros como los momentos globales se definen
vectorialmente, es decir, θx es el giro cuyo vector asociado es el eje global x,
etc. (Figura 9.9).
Figura 9.9
Convenio de signos para los giros locales y globales.
En (9.34) L(e) es la matriz de transformación de movimientos y fuerzas nodales
de ejes locales x y z a globales x y z. Adviértase que por ser el elemento plano
dicha matriz es constante para todos sus nodos. De las reglas de transformación
de vectores se deduce que


λ(e)
L(e) =  3×3
0

0 
(e) 
λ
λ̂
(9.36)
2×3
donde

λx x

(e)
λ
=  λy x
λz x
λx y
λy y
λz y
9.15

λx z (e)
λy z 

λz z
(9.37)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
es la matriz de transformación de desplazamientos nodales , en la que λx x es el
coseno del ángulo que forma el eje x con el x, etc. Por otra parte, teniendo en
cuenta el convenio de signos para los vectores de giros locales y globales de la
(e)
Figura 9.9, se obtiene la matriz de transformación de giros nodales λ̂
λ
(e)
λ̂
λ
=
−λy x
λx x
−λy y
λx y
−λy z (e)
λx z
como
(9.38)
De (9.34) se deduce
a(e) = T(e) a(e)
f (e) = T(e) f (e)
,
donde

T(e)
= 
2···n
1
L(e)
1
2
..
.
n


...

5n × 6n

(9.39)
L(e)
(9.40)
es la matriz de transformación de movimientos del elemento. [Recordemos que por
(e)
(e)
(e)
ser el elemento plano, L1 = L2 = . . . = Ln = L(e) .]
Haciendo uso ahora de (9.29) y (9.39) se obtiene finalmente
q(e) =
=
T
T
T(e)
T(e)
q(e) =
T(e)
T K(e) a(e) − f (e)
K(e) T(e) a(e) − T(e)
T
=
f̄ (e) = K(e) a(e) − f (e)
(9.41)
que es la nueva ecuación matricial de equilibrio donde fuerzas y movimientos están
referidos a los ejes globales x y z. En (9.41)
K(e) =
T(e)
T
K(e) T(e) ; f (e) = [T]T f (e)
(9.42)
son la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento
en ejes globales.
En la práctica no es necesario efectuar el triple producto de (9.42). Ası́, a partir
(e)
de (9.30a) y (9.40) se deduce que una submatriz Kij puede obtenerse como
(e)
Kij
=
=
T (e)
T
L
Bi D̂ Bj L(e) dx dy
(e)
A
BTi D̂ Bj dx dy
A(e)
=
(9.43)
donde
Bi = Bi L(e)
9.16
(9.44)
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
En el cálculo de una lámina el interés se centra en la obtención de movimientos
globales y de esfuerzos en ejes locales de cada elemento. Estos últimos permiten
evaluar mejor la capacidad resistente de la lámina y diseñar la disposición de
armaduras. Los esfuerzos locales pueden calcularse en función de los movimientos
globales utilizando directamente la nueva matriz Bi . Ası́, de (9.11), (9.22), (9.34)
y (9.44) se deduce
σ̂
σ = D̂εε̂ = D̂
n
i=1
= D̂
n
(e)
Bi ai
n
= D̂
i=1
Bi L(e) ai
(e)
=
Bi ai = D̂ Ba(e)
(9.45)
i=1
Por consiguiente, la nueva matriz de deformación Bi de (9.44) es de doble
utilidad; por un lado, reduce el número de operaciones en la obtención de la matriz
de rigidez en ejes globales, y, por otro, permite el cálculo directo de los esfuerzos
locales. Estos aspectos son importantes a la hora de escribir un programa de
ordenador eficiente.
La transformación de la matriz de deformaciones generalizadas Bi puede
efectuarse de forma independiente para cada una de las submatrices Bmi , Bf i y
Bci . Esto permite calcular la matriz de rigidez en ejes globales por una expresión
análoga a (9.31), sustituyendo simplemente en dicha ecuación las matrices Bmi ,
Bf i y Bci , por Bmi , Bf i y Bci obtenidas por
Bmi = Bmi L(e)
,
Bf i = Bf iL(e)
y
Bci = Bci Li
(e)
(9.46)
9.6 CONSIDERACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA MATRIZ
DE RIGIDEZ Y EL VECTOR DE FUERZAS NODALES
EQUIVALENTES
Tanto la matriz de rigidez global K(e) de (9.43) como el vector de fuerzas global
f (e) se calculan haciendo uso de integración numérica. Para ello, es esencial definir
primeramente las coordenadas de los nodos del elemento con respecto a los ejes
locales x y z . Esto puede hacerse mediante una transformación de coordenadas
idéntica a la (9.34) para los desplazamientos. Ası́, suponiendo que los orı́genes de
los sistemas local y global coinciden, se tiene
x = [x, y , z ]T = λ(e) x
(9.47)
siendo λ (e) la matriz de transformación de (9.37).
Como la matriz de rigidez es independiente del origen de coordenadas basta
con esta transformación para determinar las coordenadas locales en el plano (o en
uno paralelo) del elemento.
A partir de aquı́ se opera como en un elemento bidimensional y el cálculo de las
i
derivadas ∂N
∂x , etc., del Jacobiano, del diferencial de área, etc., sigue exactamente
9.17
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
las mismas etapas descritas en el Apartado 4.6.1, teniendo en cuenta simplemente
que las coordenadas x , y sustituyen a las x, y allı́ empleadas.
Ası́, pues, el cálculo de la matriz de rigidez en ejes globales utilizando una
cuadratura de Gauss-Legendre puede escribirse como
(e)
Kij
npm nqm
(e)
=
(Im )pm ,qm Wpm Wqm
pm =1 qm =1
+
+
npc nqc
+
(e)
(Ic )pc ,qc Wpc Wqc +
pc =1 qc =1
npf m nqf m
npf nqf
(e)
(If )pf ,qf Wpf Wqf +
pf =1 qf =1
npmf nqmf
(e)
(Imf )pmf ,qmf Wpmf Wqmf +
pmf =1 qmf =1
(e)
(Ifm )pf m ,qf m Wpf m Wqf m
(9.48)
pf m =1 qf m =1
siendo
(e)
Ia
= BTai D̂a Baj |J(e) |
a = m, f, c, mf , f m
(9.49)
En (9.48), npa , Wpa y nqa , Wqa (a = m, f, c, mf, f m), son el número de
puntos de integración y los pesos correspondientes en cada dirección natural ξ
y η, respectivamente, para el cálculo de las integrales de las matrices de rigidez
de membrana, flexión, cortante y acoplamiento membrana-flexión en ejes globales.
La ec. (9.48) permite utilizar diferentes cuadraturas para cada una de dichas
matrices, lo que es útil para emplear integración selectiva.
Ası́mismo, el vector de fuerzas nodales equivalentes globales debido a una carga
repartida t se calcula numéricamente como
(e)
fi
=
np nq
(NTi t|J(e) |)p,q Wp Wq
(9.50)
p=1 q=1
De (9.48) se deduce que si el número de puntos de integración es grande el
cálculo de los productos Bai Li de (9.46) para cada punto de integración es
costoso y puede ser más económico calcular primeramente la matriz de rigidez
en ejes locales y efectuar la transformación a ejes globales una sola vez a nivel de
todo el elemento. Esto tiene la desventaja de tener que repetir las transformaciones
(9.46) para el cálculo posterior de los esfuerzos locales en cada punto (óptimo) de
Gauss. La alternativa entre una u otra opción depende del tipo de elemento y de
la cuadratura utilizada. En elementos lineales y cuadráticos, con cuadraturas de
3×3 y 2×2 puntos, la opción de efectuar primeramente las transformaciones (9.46)
y calcular directamente la matriz de rigidez global según (9.48) es más ventajosa.
(e)
9.18
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
9.7 CÁLCULO DE LOS COSENOS DIRECTORES LOCALES
Como ya se ha mencionado, la definición de los ejes locales no es única debido
a que los ejes locales x e y pueden tomar cualquier dirección dentro del plano
del elemento. Esto plantea ciertas dificultades a la hora del cálculo de la matriz
T(e) , ya que para la obtención de los cosenos λx x , etc., es necesario conocer
la orientación de los ejes locales con respecto a los globales. La solución de
este problema depende, en gran manera, de la geometrı́a de la estructura, del
tipo de elemento y de la experiencia del usuario. Expondremos seguidamente un
procedimiento muy usual para la definición de los ejes locales. En la referencia
[O3] se describen otros métodos alternativos.
9.7.1 Obtención de los ejes locales a partir de la dirección de un lado
del elemento
El vector x se calcula a partir de la dirección de uno de los lados del
elemento utilizando las coordenadas de los nodos adecuados. Este procedimiento
es igualmente válido para elementos rectangulares y triangulares.
Ası́, en los dos elementos rayados de la Figura 9.10 el vector en dirección x se
obtiene haciendo uso de las coordenadas de dos nodos i y j en la forma siguiente:
(e)
Vx


 xj
yj


zj
=



(e)
(e)

− xi 
 xij 


− yi 
=  yij 


− zi
zij 
(9.51a)
y el vector unitario es
(e)
vx
=

(e)

 λx x 

λx y



λx z 
=

x
1  ij
y
(e)  ij
lij  zij



(9.51b)


siendo
(e)
lij
=
2 + z 2 )(e)
(x2ij + yij
ij
(9.52)
la longitud del lado ij.
Los cosenos directores de la dirección normal z se obtienen a partir del vector
producto vectorial de dos lados cualesquiera. Por ejemplo:
(e)
vz =

(e)
 λz x 
λ
 zy
λz z


y z − zij yim (e)
1  ij im
(e)
(e)
(Vij ∧ Vim ) = (e) xim zij − zim xij
=
(e)
(e)
|Vij ∧ Vim |
dz  xij yim − yij xim 
1
(9.53)
9.19
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
Figura 9.10
Obtención de los ejes locales a partir de un lado de un
elemento.
y
(e)
dz
=
(yij zim − zij yim )2 + (xim zij − zim xij )2 + (xij yim − yij xim )2
(e)
(e)
Es fácil deducir que en un elemento triangular, dz representa el doble de su
área, lo que puede simplificar los cálculos.
Finalmente, los cosenos directores del eje y se obtienen como producto vectorial
de los vectores unitarios en direcciones z y x . Ası́
(e)
vy 

λ (e)


 y x

=
λy y






λy z
(e)
(e)
= vz ∧ vx

λ λ 

 zy xz
=
9.20
λx x λz z



λz x λx y


(e)
− λx y λz z 

− λz x λx z
− λz y λx x



(9.54)
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
9.8 TRATAMIENTO DE NODOS COPLANARES
Si todos los elementos que contienen un nodo están en un mismo plano se dice
que el nodo es coplanar (Figura 9.11). En dicho caso, todos los vectores θx y θy i
i
del nodo están contenidos en ese plano común. Escogiendo ahora como sistema
global el local x , y , z , se tendrı́a que para ese nodo la proyección de los giros sobre
el eje (global) z serı́a nula, anulándose el correspondiente término diagonal de la
matriz de rigidez, lo que dificulta la solución sistemática del sistema de ecuaciones
globales. Evidentemente, si todos los nodos son coplanares, la lámina degenera en
una placa y la matriz de rigidez global serı́a singular en este caso.
Figura 9.11.
Ejemplo de nodos coplanares y no coplanares.
Por tanto, se deduce que si se ensambla la matriz de rigidez de un elemento
que contenga nodos coplanares en ejes globales cualesquiera, se obtiene un sistema
de ecuaciones que, aunque de apariencia correcta, producirı́a también un término
diagonal nulo durante el proceso de solución del sistema de ecuaciones, ya que
las tres ecuaciones correspondientes a los giros de cada nodo coplanar no son
independientes.
Entre los métodos que existen para sortear dicha dificultad estudiaremos aquı́
uno basado en el ensamblaje selectivo de los giros locales y los desplazamientos
en diferentes ejes en nodos coplanares. En la referencia [O3] se describen otros
procedimientos.
Este procedimiento puede aplicarse de varias maneras. La más interesante es:
en los nodos coplanares ensamblar en ejes globales las ecuaciones correspondientes
a los tres desplazamientos, manteniendo los giros en un mismo sistema local.
El nuevo vector de incógnitas del nodo coplanar i es, por consiguiente,
(e)
ai
=
uoi , voi , woi , θx , θy i
9.21
i
T
(9.55)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
y la matriz de transformación de movimientos nodales L(e) se modifica como
L(e) =
λ(e)
0
0
I2
(9.56)
siendo I2 la matriz unidad 2 × 2. En los nodos no coplanares el ensamblaje se
efectúa en ejes globales de la manera explicada en el Apartado 9.5.
Adviértase que este procedimiento obliga a expresar los momentos exteriores
en los ejes locales del nodo mientras que las fuerzas pueden seguir expresándose
en los ejes globales.
Una ventaja del ensamblaje selectivo en ejes locales es el interés práctico de
mantener la definición local de los giros para imponer ciertas condiciones de
contorno. Un ejemplo tı́pico es el de una lámina con contornos simplemente
apoyados cuyas direcciones no coinciden con las globales. En dicho caso, las
condiciones de contorno de los giros se expresan directamente en los ejes locales
del contorno, sin necesidad de efectuar transformaciones [O3].
Como contrapartida, este procedimiento obliga a trabajar con un número de
incógnitas diferente en cada nodo (5 en los coplanares y 6 en los no coplanares) lo
que puede resultar engorroso de cara a la programación del cálculo. No obstante,
con la ayuda de un preprocesador eficiente que identifique automáticamente el
tipo de nodo, y con la de técnicas avanzadas para el ensamblaje y la solución del
sistema de ecuaciones, las dificultades de programación son pequeñas, e incluso
la utilización de una variable menos por nodo coplanar puede resultar un cierto
ahorro de cálculo en análisis de estructuras en las que dichos nodos sean mayorı́a.
9.9 BLOQUEO DE LA SOLUCIÓN POR EFECTOS DE CORTANTE
Y DE MEMBRANA
Los elementos de lámina plan de Reissner-Mindlin sufren de los mismos
inconvenientes con respecto al bloqueo de la solución por efecto del cortante que las
de viga de Timoshenko y de placa de Reissner-Mindling estudiados en capı́tulos
precedentes. El defecto de bloqueo por cortante se elimina con la integración
(e)
reducida de la matriz Kc o utilizando un campo de deformaciones de cortante
impuesto, tal y como se explicó para el elemento de placa CLLL en el Capı́tulo 9.
En los elementos de lámina puede aparecer un efecto de bloqueo adicional
originado por los términos de membrana en la matriz de rigidez. De las expresiones
(e)
(9.31) y (9.32) se observa que la matriz Km es del orden del espesor y, por tanto,
en principio la relación entre las rigideces de membrana y de flexión es la misma
que la de las rigideces de flexión y cortante. Por tanto, puede producirse el bloqueo
por membrana por las misma razones que se produce el bloqueo por cortante; es
decir, debido a una excesiva influencia de los efectos de membrana para espesores
pequeños.
Sucede, sin embargo, que en general, las rigideces de membrana y de flexión
están desacopladas a nivel del elemento en el caso de elementos planos. El
acoplamiento solo se produce a nivel local en el caso de que la matriz Dmf no
9.22
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
sea nula. Aún, en este caso el acoplamiento membrana-flexión a nivel local no es
tan relevante como el que existe entre la matriz de flexión Kf y la de cortante
transversal Kc . Por esta razón, el bloqueo por membrana no es un problema
importante en elementos de lámina plana (no ocurre ası́ en elementos de lámina
curva).
En la práctica suele prevenirse la aparición del efecto de bloqueo por membrana
utilizando también integración reducida para el cálculo de las matrices Km , Kmf
y Kfm . Asimismo, pueden utilizarse técnicas de deformaciones de membrana
impuestas, similares a las utilizadas para prevenir el bloqueo por cortante.
En la referencia [O3] puede encontrarse más información sobre el efecto de
bloqueo en elementos de lámina.
9.10 ELEMENTOS DE LÁMINA PLANA DE REISSNER-MINDLIN
MÁS USUALES
Un elemento de lámina plana puede considerarse como una combinación de
un elemento de tensión plana y otro de flexión de placas. Ası́, cualquiera de
los elementos de tensión plana y de placa de Reissner-Mindlin estudiados en los
Capı́tulos 4 y 8, respectivamente, pueden combinarse para formar un elemento de
lámina plana. En la práctica conviene seleccionar el “mejor elemento” de tensión
plana y de placa, lo que no es nada facil dada la variedad de elementos existentes
para ambos problemas. Como regla general es conveniente seleccionar elementos
de una misma familia y con el mismo número de nodos. Asimismo, el elemento de
placa seleccionado debe cumplir todas las condiciones que se refieren al bloqueo de
la solución por efecto del cortante y a la no existencia de mecanismos propagables
[O3].
Una de las opciones más usuales en la práctica es combinar el elemento de
tensión plana cuadrilátero isoparamétrico de cuatro nodos del Capı́tulo 5 con
cualquiera de los elementos de placa de Reissner-Mindlin análogos de cuatro nodos
presentados en el Capı́tulo 9. Entre éstos el más popular en la actualidad es el
elemento CLLL basado en deformaciones de cortante lineales impuestas estudiado
con detalle en el Capı́tulo 9.
Una alternativa es utilizan para el estado de membrana una de las versiones
mejoradas del elemento cuadrilátero de tensión plana de 4 nodos. En la referencia
[O3] se dan más detalles al respecto.
Es posible también combinar elementos de tensión plana cuadriláteros
isoparamétricos de ocho y nueve nodos con los elementos de placa de ReissnerMindlin del mismo número de nodos basados en técnicas de integración selectiva
y/o reducida o en deformaciones de cortante impuestas.
Finalmente se pueden también combinar los elementos de tensión plana
triangulares con los de placa de Reissner-Mindlin del mismo número de nodos
basados en deformaciones de cortante impuestas.
En la referencia [O3] se presentan también ejemplos del comportamiento de
algunos de los elementos anteriores.
9.23
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
9.11 TEORÍA DE LÁMINAS PLANAS DE KIRCHHOFF
Si en el planteamiento de la cinemática de un elemento aislado de lámina plana
se hace uso de las hipótesis de Kirchhoff para el estado de flexión se obtiene la
“teorı́a de láminas planas de Kirchhoff” que, como en placas, puede considerarse
como una simplificación de la más general de Reissner-Mindlin estudiada en
apartados anteriores.
9.11.1 Campos de movimientos, deformaciones
esfuerzos. Expresión del PTV.
generalizadas
y
Recordemos que la teorı́a de placas de Kirchhoff (Capı́tulo 8) supone que al
ser la placa muy delgada los giros θx y θy coinciden con las pendientes a la
∂w
deformada del plano medio ∂w
∂x y ∂y , respectivamente. De esta forma el campo
de desplazamientos (9.1) puede escribirse como
∂w
∂w
u = uo − z , v = vo − z , w = wo
∂x
∂y
(9.57)
Es fácil comprobar que las deformaciones transversales γx z y γy z son ahora
nulas y el vector de deformaciones locales se obtiene por
ε = ε̂εm + z ε̂εf
(9.58)
donde el vector de deformaciones generalizadas de membrana ε̂εm coincide con
(9.5a) y el de flexión ε̂εf es ahora
ε̂εf
=
∂ 2 w
∂ 2w
∂ 2w
− 2o , − 2o , −2 o ∂x
∂y
∂x ∂y
T
(9.59)
La relación tensión-deformación se deduce de (9.6) como
σ = σ f = Df (ε̂εm + z ε̂εf )
(9.60)
donde la matriz constitutiva Df es la de (9.7).
El vector de esfuerzos, por otra parte, contiene únicamente esfuerzos axiles y
momentos flectores. Siguiendo un proceso idéntico al descrito entre (9.10) y (9.14),
se encuentra la siguiente relación entre esfuerzos y deformaciones generalizadas
análoga a la (9.11)
σ
σ̂
=
σ
σ̂ m
σ
σ̂ f

=

D̂m
D̂mf
D̂mf
D̂f


ε̂εm
ε̂εf
= D̂εε̂
(9.61)
donde las matrices D̂m , D̂mf y D̂f se obtienen por (9.13). De nuevo, para material
homogéneo, o con propiedades mecánicas simétricas con respecto al plano medio,
9.24
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
D̂mf = 0 y los esfuerzos de flexión y membrana se obtienen de forma desacoplada
a partir de las deformaciones generalizadas correspondientes.
Finalmente, la expresión del PTV puede simplificarse en la misma forma
descrita en el Apartado 9.3.5, como
A
T σ
σ̂ m
(δε̂εm
σ̂ f )dA
+ δε̂εfT σ
=
A
δu
T
t dA +
i
δuiT qi
(9.62)
9.11.2 Elementos finitos de lámina plana de Kirchhoff
Tal y como ocurrı́a en el caso de la flexión de placas de Kirchhoff, la presencia de
derivadas segundas de la flecha en las integrales del PTV obliga a utilizar elementos
de clase C1 para discretizar el campo de movimientos de flexión. Por otra parte,
para los desplazamientos en el plano u y v se puede utilizar cualquiera de los
elementos de clase Co para tensión plana (Capı́tulo 4). Esta “dificultad” de tener
que trabajar con dos tipos de elementos diferentes es una clara desventaja de la
formulación de Kirchhoff frente a la de Reissner- Mindlin y obliga a desarrollos más
laboriosos como veremos a continuación, además de introducir otros problemas de
compatibilidad, tales como la incompatibilidad entre las aproximaciones de los
desplazamientos en el plano y la del desplazamiento transversal [O3].
Para mayor simplicidad supongamos que para discretizar los campos de
movimientos de membrana y flexión se utiliza la misma tipologı́a de elemento
con un mismo número de nodos. Ası́, por ejemplo, para el estado de membrana
puede utilizarse el sencillo elemento de tensión plana triangular de tres nodos y
para el de flexión cualquiera de los elementos de placa de Kirchhoff triangulares
de tres nodos (Capı́tulo 8). Si, por el contrario, se seleccionara para la membrana
un elemento cuadrilátero de cuatro nodos, su análogo de flexión podrı́a ser el
elemento de placa descrito en el Apartado 8.6.1, etc. En ambos casos, el campo
de movimientos locales se expresarı́a como
u =
n
i=1
(e)
Ni ai
=
 (e) 

a1 








 (e) 
a
2
[N1 , N2, · · · , Nn ]

.. 



. 




 (e) 
an
= Na(e)
(9.63)
donde
u =
(e)
ai
=
uo , vo , wo ,
∂wo ∂wo
,
∂x ∂y
uoi , vo i , wo i , (
9.25
T
∂wo
∂wo
)
,
(
)
∂x i ∂y i
T
(9.64)
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
y

Ni =

 Ni

 0


···

..

. 0
0
0 
m

..
 Ni


. 0
0
0  = 

..
······
. ··· ··· ···

0
..
. Pi P̄i P̄¯i
0
Ni
···
0
0

..
.
0 

..
. ······

..
f
.
Ni
(9.65)
En (9.65) Ni es la matriz de funciones de forma de clase Co del nodo i del
f
elemento de tensión plana utilizado. Por otra parte, Ni es la matriz de funciones
de forma de clase C1 del nodo i correspondiente al elemento de placa de Kirchhoff
empleado. Del vector de deformaciones generalizadas locales se deduce la expresión
de la matriz B correspondiente, como
B
=
B1 , B2 , · · · , Bn
Bi
con
=
Bmi
Bf
0 0

0 0
Bfi = 


2
2
− ∂∂xP2i
− ∂∂xP̄2i
− ∂∂yP2i
− ∂∂yP̄2i
2
2
∂ Pi
0 0 −2 ∂x
∂y 2
2
∂ P̄i
−2 ∂x
∂y (9.66)
i
donde Bmi es idéntica a la ec. (9.23), y

2
¯

2
¯

− ∂∂xP̄2i 

− ∂∂yP̄2i 

(9.67)

∂ 2 P̄¯i
−2 ∂x
∂y Obsérvese que Bf i puede obtenerse a partir de la matriz de deformaciones del
elemento de placa de Kirchhoff correspondiente (Capı́tulo 8).
Siguiendo un proceso similar al del Apartado 9.4.3 se encuentra la matriz de
rigidez del elemento en ejes locales, como
(e)
Kij
(e)
(e)
(e)
(e)
= Kmij + Kf ij + Kmf ij + Kf mij
(9.68)
La expresión de todas las matrices anteriores se obtiene por (9.32). Asimismo,
(e)
es fácil comprobar que si las matrices de acoplamiento membrana-flexión Kmf y
(e)
Kf m son nulas, la matriz de rigidez local del elemento puede formarse por simple
yuxtaposición de las matrices de rigidez de los elementos de tensión plana y de
placa de manera idéntica a como se indica en la ec.(9.33), lo que facilita en gran
medida la organización del cálculo. Por otra parte, la transformación de la matriz
de rigidez local a ejes globales sigue exactamente todas las etapas y consideraciones
explicadas en el Apartado 9.5.
Es importante destacar que los elementos de lámina plana de Kirchhoff están
libres de efectos de bloqueo por cortante. No obstante, pueden sufrir el bloqueo
por membrana por las razones aducidas en el Apartado 9.9. Este efecto, como allı́
se indicó, es poco relevante si no hay acoplamiento membrana-flexión a nivel local.
9.26
ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS
En la práctica suele prevenirse el bloqueo por membrana utilizando integración
reducida para las matrices de membrana y de acoplamiento membrana-flexión.
9.11.3 Selección del tipo de elemento de lámina plana de Kirchhoff
La selección de elementos de lámina plana de Kirchhoff sigue las mismas pautas
explicadas para la familia de Reissner-Mindlin. Ası́, en general se busca combinar
un elemento de tensión plana con otro de flexión de placas de la misma topologı́a
y con el mismo número de nodos. Esto, no obstante, es más difı́cil de conseguir
en este caso debido a la dificultad de desarrollar buenos elementos de placa de
Kirchhoff, como se vió en el Capı́tulo 8. Entre las opciones más utilizadas en la
práctica destacaremos las siguientes:
a) Combinar el elemento rectangular de tensión plana de cuatro nodos, (ver
Apartado 4.4.3), con el elemento de placa de Kirchhoff rectangular de
cuatro nodos incompatible MZC del Apartado 8.6.1. Este elemento tiene
el inconveniente de que sólo puede utilizarse con confianza en su forma
rectangular.
b) Un elemento más general es el que combina el elemento de tensión plana
cuadrilátero de cuatro nodos con cualquiera de los elementos de flexión de
placas de Kirchhoff cuadriláteros de cuatro nodos compatibles del Capı́tulo
8. Aquı́ todas las posibilidades no se han explorado en la práctica, debido
fundamentalmente a la dificultad intrı́nseca de la formulación de algunos de los
elementos de placa cuadriláteros mencionados.
c) En relación con elementos triangulares, dos opciones bastante utilizadas son
combinar el sencillo triángulo de deformación constante de tres nodos (Apartado
4.3) con el elemento de placa triangular incompatible de nueve grados de
libertad CKZ del Apartado 8.7.1, o con el elemento triangular de curvatura
constante de Morley (Apartado 8.7.1) [D1].
d) Otra posibilidad de interés es combinar los elementos de tensión plana
cuadriláteros y triangulares con elementos de placa delgada desarrollados en
base a satisfacer las hipótesis de Kirchhoff de forma discreta [O3]. En particular,
se ha comprobado que combinando el sencillo elemento triangular de tres nodos
de tensión plana con el elemento de placa DKT [O3], se obtiene un elemento
de lámina plana de Kirchhoff compatible, preciso y muy versátil debido a la
extremada simplicidad de su geometrı́a [B9,10].
La utilización de elementos triangulares o cuadriláteros de órdenes superiores es
posible, aunque al aumentar el orden del elemento surgen las naturales dificultades
para encontrar el elemento idóneo para modelar la flexión y, generalmente, no es
posible mantener los tres desplazamientos y los dos giros locales como variables en
todos los nodos [A7], [Z3,8].
9.27
Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos
9.12
CONCLUSIONES
Hemos visto en este capı́tulo que la formulación de elementos de lámina
plana es prácticamente inmediata a partir de los elementos de tensión plana
y de placa. Ello permite obtener toda una variedad de elementos de lámina
plana que satisfagan las hipótesis de Reissner-Mindlin y de Kirchhoff combinando
adecuadamente los elementos de placa correspondientes con otros de tensión plana.
El comportamiento de los elementos de lámina plana se deduce, por tanto, del de
cada uno de los elementos de tensión plana y de placa seleccionados.
La utilización práctica de los elementos de lámina plana exige tener ideas
claras sobre conceptos tales como la formulación del elemento en ejes locales, la
transformación de la matriz de rigidez local a ejes globales, el tratamiento de nodos
coplanares, el bloqueo por cortante y membrana, y las posibles incompatibilidades
entre los campos de movimientos de los elementos de tensión plana y de placa en el
caso de la formulación de Kirchhoff. No obstante, en lineas generales, los elementos
de lámina plana son considerablemente más sencillos que los de lámina curva y
permiten resolver una gran variedad de problemas de estructuras laminares.
Para más detalle sobre este tema puede consultarse la referencia [O3].
9.28