Iniciacion al algebra

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AL ATGEBRA
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M¡,nrfN M¡,Nunr, Socm RosA,yNA.
MnrÍ¡s C¡u¡.cno MncnÍN
Manf,q MBnceoES Plr¡,n¡n M¡orN¡,
Jos¡rn HEnNÁNo¡z DolrÍÑcuez
'üiiirÉ:,¡*Hill''iir
Colección:
MATEMATICAS:CULTURAY APRENDIZAJE
t4. Proporcionalidad geométrica y sonrc.i¿rtrzil
Crupo Beta
15. Poliedros
l. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas
Angel Gutiérrez,BemardoGómez Alfonso, JuanDíaz Godino,Luis Rico Romero
2. Números y operaciones
Luis Rico Romero,EncamaciónCastroMartínez,Enrique CastroMartínez
3. Numeración y cálculo
BernardoGómez Alfonso
4. Fracciones
SalvadorLlinares Ciscar,M." Victoria SánchezGarcía
5. Números decimales;por qué y para qué
Julia CentenoPérez
6. Números enteros
JoséL. GonzálezMarí, M." Dolores Iriarte Bustos,Alfonso Ortiz Comas,InmaculadaVargasMachuca,ManuelaJimeno pérez,Antonio Ortiz Villarejo, EstebanSanzJiménez
7. Divisibilidad
ModestoSierraVázquez,Andrés García,M! T. Conzllez Astudillo.
Mario ConzálezAcosta
ll. Itr<tblemasaritméticos escolares
l.tris l,uig Espinosa,Femando Cerdinpérez
r). ltlsll¡nnciónen cálculo y medida
lslrkr'' ScgoviaAlex, Encarnacióncastro Martínez,Enrique castro Martínez.
| ,r¡lr ltico llornero
llf. Arlt¡nética y calculadora
l r l c r l c r i cU d i n ai A be lló
| |, M¡rtcrialespara construir la geometría
( 'rrrnrcrrllurgués Flamerich,Claudi Alsina Catalá,
JosepM., Fortuny Aymemi
12. lnvitación a la didácticade la geometría
('l,r¡rli Alsirracatalá, JosepM." Fortuny Aymemi,
carmen BurguésFlamerich
l.l. Simetría dinámica
llalacl PérezCómez, Claudí Alsina Catalá,CeferinoRuiz Garido
Cregoria Guillén Soler
16. Una metodología activa y lúdica para Ia enseñanzade la geometrÍa
Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya
17. El problema de la medida
Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez
18. Circulando por el círculo
FranciscoPadillaDíaz, Arnulfo SantosHernández,Fidela Velázquez,
Manuel FernándezReyes
19. Superficie y volumen
M." Angelesdel Olmo Romero,FranciscaMoreno Caretero, FranciscoGil Cuadra
20. Proporcionalidaddirecta
M.'Fortuny
Aymémi
M."LuisaFiolMora,José
21. Nudos y nexos.Redesen la escuela
Moisés Coriat Benarroch,JuanaSanchoGil, Antonio Marín del Moral,
Pila¡ Gonzalo Martín
22, Por los caminos de la lógica
Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz
23. Iniciación al álgebra :
ManuelMartínSocasRobayna,MatíasCamachoMachín,M." MercedesPalareaMedina,
':
Domínguez
JosefaHernández
24. Enseñanza dela suma v de la resta
CarlosMazaGómez
25. Enseñanza dela multiplicación
y de la división
CarlosMazaCómez
26. Funciones y gráficas
Giménez
J<irdiDeulofeuPiquet,CarmenAzcárate
27. Azar y probabilidad
Juan Díaz Godino, CarmenBatanerollcrnabéu,M." JesúsCañizaresCastellano
28. Encuestas y precios
Andrés Nortes Checa
29. Prensa y matemáticas
Antonio FernándezCano, Luis Rico Romero
30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso
JoséA. CajaravillePegito
INICIACION
AL ALGEBRA
31. Ordenar y clasificar
Carlos Maza Gómez, Ca¡los Arce Jiménez
32. Juegos y pasatiempos en la enseñanza de la matemática elemental
JosefaFemández Sucasas,M.' Inés Rodríguez Vela
33. Ideas y actividades para enseñar álgebra
GrupoAzarquiel
M¡.nrÍN M¡,NunL'Socns Ro¡nyN¡.
Mrrf¡rs C¡,unc¡¡o MtcnÍN
MrnÍe M¡ncnons Pnr,¡,nnnMnorNn
JosnpnHnnNÁNo¡z DolrÍNcusz
34. Recursos en el aula de matemáticas
Francisco Hemán Siguero, Elisa Carillo Quintela
Consejo editor:
Luis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa
EDITORIAL
SINTESIS
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Indice
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Presentación
l.
Lenguaje algebraico y comprensión matemática
1.1. Introducción
1.2. El lenguaje y la formación de los conceptos matemáticos
1.3. La notaciónformal
1.4. El lenguajehabitual'yel
1.6. El lenguaje algebraico .
. El signb de"igualdad
. La sustituciónformq.l,,
..
. El uso y significadgde las letras
I'r inrcra rcimpresión:febrero 1996
I)iscño dc cubierta: JV Diseño sráfico
llcservarkrstt>doslos derechos Está prohibido, bajo las
s¡rlrr:io¡ros
¡ronalosy el resarcimiento civil previstos en
l: rs lc y c s , r c p r o d u c i r ,r e g istr a ro tr a n sm itir e sta p u b lit'trci<'rn,
f nk:¡¡rzro parcialmente,por cualquier sistemade
rc c u¡ r c r i r c i r yi np o r c u a l qu ie rm e d io ,se am e cá n icoe, le cIrirrrit:o,rnir¡¡nótico,electroóptico, por folocopia o por
t 't t rrl t ¡ r r i tor (r r o , s i n l a a u to r iza ció np r e via p o r e scr itod e
lit lilo r i ¡ r lS f n t r : s i sS,. A .
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lrlrc s i r ' n r : n L a v e lS A
I rn¡rr c s to>n E s p a ñ a- P r i n te din Sp a in
37
2, Marco históricodel álgebra
2.1. Introducción
:.....
2.2. Inicios del álgebray clasificación. . . .
2.3. El álgebrageoméf.rica
2.4. Resoluciónde ecuaciones
....
. Ecuacioneslineales . . '. . 4, .
. Ecuaciones cuadráticas . ..
-.
. Ecuaciones de grado qayor que dos
. Sistemasde ecuacioneslineales
. Ecuaciones diofánticas
2.5. E l álgebr aabst r aót a. . . . . .
3. El álgebray los-estadiosdel desarrollo
3.1. Introducción
3,2, Los estadiosdel desarrollode Piaget
3.3. Los estadiosdel desarrolloy las matemáticas
y el álgebra....
3.4. Los estadiosdel desarrollo
4. Enseñdnza-aprendizajedel álgebra
4.1. Introducción
1l
1l
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13
15
19
22
24
25
28
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. : ". . . . . . .
45
50
56
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64
66
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73
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77
8l
9l
91
7
4.2. Diferentesinterpretacionesdel curriculo dc álgebra en la
escuela
4.3. Erroresen álgebra
4.3.1. Generalidades
...
4,3,2. Erroresen resoluciónde ecuacloncs. .
4,3.3. Correcciónde errores
r endizajedel álgebra.
4.4. Principiosgeneralespara la enseñanza-ap
4,5. Estrategiasde enseñanzaen aritmética generalizada. . . . . . .
92
96
96
105
109
110
lt9
5. Lenguajevisual y lenguajealgebraico
5.1. La teoriade los hemisferios
cerebrales.
Representación
espacial y lenguaje....
5.2. Simbologíavisual y verbal
5.3. Sugerencias
didácticasa travésdel lenguajevisual .
5.3.1. Organizaciónde la instrucción
5.3.2. Fórmulasnotables
5.3.3. Razonamientoinductivo.Generalizaciones
5.3.4. La demostracióny justificaciónde propiedadesalgebraicas
tt9
6. Iniciacióna las ecuaciones. .
6.1. Los modelos... . .
6.2. Distintos tipos de modelos
6.2.1. Balanza
6.2.2. Diagramas
6.2.3. Máquinas
6.2.4. Gráficos
6.2.5. Tablerosde fichasde colores
6,2.6. Juegos
6.3, Ecuaciones
6.3.1. Escriturade ecuaciones. . . .
6.3.2. Resoluciónde ecuaciones. . . .
169
Bibliografla
205
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Él
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172
172
175
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181
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r84
189
190
196
Presentación
Para manifestarnuestrasideas o introducir aspectosde la realidad en
nuestramente,abstraerloso transformarlosen ideas,tenemosque usar un
prodigiosoartificio que las sustituya;por ello la humanidadha creadouna
inmensayariedadde elementosde comunicaciónque llamamos<símbolos>.
Empleandolos simbolosse han creadoestructurasde comunicaciónmás
complejarque han generadolas diferentesgamasde lenguajeque utilizamos
hoy día.
Entre estagamade lenguajesseencuentrala matemática,que constituye
y comprensiónmás podeuno de loo elementosdo comunicació4-exprosión
,
que
ha
el
hombre.
roso
inventado
.
Es obvio que muchosalumnos,incluyendoalgunosde los más capacifados,no sientenatracciónpollas mátemáticas.Esta actitud negativatiene,sin
lugar a dudao,diversasfuentes.Entre ellasdestacanpor su enormeimportancia:lanaturalezadel pensamientomatemáticoy las formasde comunicar
y expr€sarlas matemáticasque dificultanla comprensiónde la misma,
del álgebraesun núcleoesencialen la comuniLa enseñanza-aprendizaje
cación y expresiónde las firatemáticasy debe ser introducidaoomo una
parte$til, apetecibley bella que facjlita los procedimiontosen¡píricosinducformal y deductivo.
tivos frenteal tradicionalplanteamierfto
El libro presuponedel lector un conocimientode los contenidoselementalesde aritmética y centra la f-rnalidaden orientar la enseñanza-aprendízaje
del áúgebraen la escuelasecundariaobligatoria. El carácterintuitivo con el
que setratan los contenidos;haceposiblesu conocimientoinclüsoa aquellos
alejadosde los temasmatemáficos
lectoresque seconsiderandefinitivamente
y en especialdel álgebra.
r
Proponemosen el libro un acercamientoal álgebraen la pscuelaobligael <habitual>r,
el <algebraico>,
toria en términosde traducciónde lenguajes:
el <arfiñrético>,el <geométrico>y el de los <modelosD,que fapilita La actividad m¡itemáticacomo un procesoreversiblede generalizaciíny particularización,que estimulay favoreceel desarrollodel conocimientoalgebraico.
La distribuciónen seiscapítuloscomienzatratando en el primero los
distintoslenguajes:habitual, aritmético y algebraicoy su relacióncon la
formaciény comprensiónde conceptosmatemáticos.
En el capítulo segundo se hace un somero recorrido por la historia de la
matemática para situar en ella los conceptos básicos del álgebra.
En el capítulo tercero se relacionan los niveles de pensamiento con la
enseñanza-aprendizajede las matemáticas en el marco de la psicología evolutiva de Piaget.
En el capítulo cuarto -previo hacer diferentes interpretaciones del currículo de álgebra en la escuel?- y, a partir de un análisis de errores en
álgebra, se hace una propuesta de la enseñanza-aprendizaje del álgebr4,
basada en ocho principios generales,que intenta minimizar la mayor parte
de las dificultades del tema que nos ocupa.
El capítulo seis ofrece diferentes <modelos> con el fin de facilitar la
asimilación de conceptos y de procesossobre una baseempírica y convincente para el alumno.
En la mayoría de los capítulos se sugieren actividades,unas resueltas,y
otras planteadas como propuestas para su resolución.
Nada mejor para recoger los frnesque nos ha guiado en la elaboración de
este libro que las palabras de Polya:
Lenguajealgebraico
y comprensiónmatemática
I.I.
INTRODUCCION
El lenguajehabitual,por medio dgl cual logramoscomunicarnos,
exige
de nuestraparteunh retléiiOnio6rela ielacióncon su usoal transmitirideas
relativasa las matemáticas. -*F t
matemáticohacemosuso continuo del
Para expresarel conocimi".e¡to,
lenguajeordinario.Así, cuandodecimosque <la distanciaentre dos puntos
estamos
estádada por la longitud del segmentode línearectaque los une>>,
haciendouso de eselenguaje,'estructurado
de acuerdocon su gramática.
Como resultaevidenteque,'lamatemáticano puedeprescindirdernuestro
idioma, parece acertado asaljzar aspectosde éste que suelen afectar al
lenguajede las matemáticas.
Algunos problemas y dificultadel que encontramos en la enseñanzade las matemáticas
no sorlen realidadinherentesa ella,sino que
aprendizaje
problemas
de
nuestro
constituyen
lenguaje.Obviamente,el conocimientode
para
lenguaje
no
bastará
resolver
estosproblemasque planteanlas
nuestro
matemáticas.Esto se debe a que las matemáticastienen un lQnguajepropio
generalmentereconocido,aun admitiendoque su sistemad'e símholosy
terminologíasno son propiedaó.dela matemáticamisma y que ella pueda
y descritaen una variedadde lenguajes,
en parte,porquelas
ser.presentada
palabrastienenpará las matemáticast¡n significadomuy prbpié y a menudo
distinte del que comúnmentese les atribuye. Por ejemplo, en la frase que
las palabias:distancia,recta,punto y longitud,
anteriormenJc,
mencienamos
cual, difiere del que podemosatritienenun significadomuy especíhco,'él
nacela necesidad
buirlesen nuestrolenguajeordinario.De estainsufrciencia
de generarsuspropiaspalabrasy reglaspara lograr decir
de las matemáticas
aquelloque le compet€,y que en el lenguajehabitualno es posibledecir,o,
<No sólo los malosalumnosmuestranauersiónpor el algebra;estopuede
ocuruirlea estudiantesinteligentes.Siemprehay algo de arbitrario y artíficial
en una notación;espesadatareapara la memoriaaprenderun nueuosistema.
Un alumnointeligentepuedenegarsea ello si no capta la razón. La auersión
que muestrahacia el álgebraestajustificada si no se le han dado ocasiones
de constatarpor Ia experienciala ayudaeuidenteque el lenguajede
.frecuentes
slmbolosmatemáticospuedeofrecera la mente.Ayudarleen tal experienciaes
un deberimportantedel profesor,diremosinclusoesencial,nadafácil por lo
demás.>
(Porv,t, 1965,p^9. 133.)
Los Auronrs
ll
10
rEL,
cuando lo es, resultasumamentecomplicadoy complcjo.Esto es precisamentelo que haceque las matemáticas
tenganun lcnguajediferentede aquel
que le suministranlas palabrascon que se exprcsa.
La importanciacapital de considerarcomo propio el lenguajede las
matemáticas,
no radica únicamenteen su capacidadpara describirmuchos
de los fenómenosde caráctercuantitativoque sucedena nuestroalrededor,
sino también,fundamentalmente,
en que constituyeel único lenguajecapaz
de describiry hacercomprensiblela matemáticamisma.
en cuantoa si el lenguajeprecedeo sucedeal desarrollodel concepto,esque
muchosde los tests relativosa éste,en especiallos de Piaget,dependen
considerablemente
de la comprensióny uso del lenguajepor el niño.
No parecequedarclarihcadoel lugar del lenguajeen el desarrollode los
pero la idea de que el lenguaje,y particularmente
conceptosmatemáticos,
el
lenguajeoral, es una parte esencialde esteproceso,sí pareceestar perfectamenteestablecida.
Ahora bien,lo que si estásuficientemente
admitidoesque
un objetiuoprincipal de la educaciónmatemáticaes capacitar a los niños
para expresarsusideasmatemáticasverbalmente.
Esto incluyela capacidad
paraescuchary para hablarsobrematemáticas,
asícomo para leery escribir
sobreellas.
La adquisicióndel lenguajey de los conceptoses un procesodinámico,
no es un modelopasivode aprendizaje.
La comprensióny uso del lenguaje
por el niño varía segúnla implicaciónen la situaciónen que se usa,y la
interpretaciónque dicha situacióntengapara é1.
Es esencialque el alumno y el profesordiscutanlos variossignificados
e
interpretaciones
de las palabrasy frases,con lo que el profesorestá en
por sí mismo coherentemente.
condicionesde ayudar al niño a expresarse
AusrrN y HowsoN (1979)sugierenque en los últimos veinte años el
desarrollocurriculár en'matemáIicasha hecho necesariauna mayor comprensiónlectora por parte de los ,alumnos,y opinan que no se presta
suficienteatenciónen asegurarse
de que el nuevo vocabulario-aun no
habiendouna concienciageneralde la necesidadde introducirlo- es en
realidad entendido.Además señalanque existe un verdaderopeligro en
simplificarlas formas verbalesen orden a facilitar su lectura.Mencionan
estudiosque sugieren,por ejemplo,que ciertosesquemas
de aprendizajeque
empleanhchasde trabajo, pp.edenusar un vocabulario básicoen una forma
muy limitada,creandoasí barrerasal desarrollodel lenguajede los concepy restringi4ovocabulario,usadofiecuentemente
tos. También,un específico
en textos y exámenes,tiende a reforzar(animar) a los alumnos <a aprender
connotaciones
derivadasde los problemasy no a travésde experiencias
con
el lenguajenatural.Tal artilicialidades improbableque contribuyani q la
motivacióndel estudianteni a su habilidadpara aplicar las qnatemáticas>.
Los trabajosde investigaciónsobreel papelque desempeña
el lenguajeen el
aprendizajede las matemáticasson bastantelimitados como indican Ausrr¡¡
y HowsoN (1979)ya que éstees un tema de interésrelativamentereciente.
1.2. EL LENGUAJE Y LA FORMACION DE CONCEPTOS
MATEMATICOS
¿Puedeun niño adquirir el conceptode <cinco>antesde aprenderlos
nombresde los números?,o por el contrario,¿debeser animadoa emplear
expresiones
como <mil>,antesde que tengauna nociónreal de su significado?
En la enseñanza
de algunostópicosde matemáticas
hay que decidirsobre
cuál es el momentoadecuadopara introducir el vocabularioy los simbolos
apropiados.Sin embargo,el papeldel lenguajeen la adquisiciónde conceptos constituyehoy una verdaderaincertidumbre,a pesardel prolongadoy
extensodebateentre lingüistas,psicólogosy filósofosacercade la relación
entre lenguajey pensamiento.
Pt¡'cer (1926)consideró,al menosen sus primerosescritos,que el lenguajesólo puedereflejar,no determinar,el desarrollodel conocimiento.
<El progresolingüísticono esel responsable
del progresológicou operacional,es más bien al revés.El nivel lógico u operacionales posiblemente
el
rcsponsable
de un más sofisticadonivel de lenguaje.>
(lsonr (1974)hacehincapiéen la estrechainterdependencia
entrelenguay dcsarrolloconceptual:<Inclusosi el aprendizinteraccionacon el aspecto
.i_c
flrico dc la situaciónde aprendizaje,
es decir,los objetos,el elementoverbal
cs llcccsuriocomo un significadode comunicacióny como un instrumentode
representación
individual...,
en la adquisicióndel conocimiento
matemático,
1¡nnuev()c()nccptotieneuna nuevapalabra.Desligadadel concepto,el niño
Itr¡onlendcr¡ila palabra;sin éstano puedefácilmenteasimilary conformarel
('t|ncopl().))
llrlo rcflcju cl punto de vista de algunospsicólogos,por ejemplo,Vr-
:!
1.3. LA NOTACION FORMAL
Para algunosautores,la matemáticaes ella misma un lenguaje;para
otros, esta añrmaciónes un <eslógansin sentido>o <algo peligrosoque,
generalmente,
confunde>.Lo que sí quedainternacionalmente
admitido es
l,rr cvidcnciaexperimentaltambiénes equivoca.un problemaparticulai
t2
t3
I
que la matemáticaha desarrolladouna sintaxisy un vocabulariopropios,
aunquesus'símbolos
y terminologíasno sean,en exclusiva,
de la matemática
misma.
La matemáticatieneuna notaciónque le es propia y que haceposiblela
aplicaciónformal de las reglasde la aritméticao del álgebra.Esta notación
formal en matemáticas
esesencialen el desarrollode la mismay escausade
gran confusiónen la opinión de los alumnos.Esta confusiónproviene,en
general,de la separaciónentre la aparienciavisible de la notación y el
significadosubyacente
de la misma.De maneramás precisa,una gran parte
de los alumnosintentanver el significadode una notación,exclusivamente,
sobrela basede su aparienciavisible.El error común 5x - x : 5. es un
claro ejemplode esto,quitandox en 5x queda5. Además,el uso anómaloen
álgebrade la yuxtaposiciónpara denotar la multiplicación(por ejemplo,
escribiendoab por a x b) ayuda a generarla notaciónconfusa.
Mayor confusiónse producecon la notaciónfuncional.Escribir sen2x
como 2 sen.xse origina de conversiones
análogasa x2y en 2xy.
La notación indicial es otra área donde la aparienciavisual produce
confusión.Por ejemplo,en las potencias,el uso de a2 denotanooa x a,
frecuentemente
confundidocon 2a, no es con frecuenciauna escrituraade- *
cuadapara expresiones
comoa2 x bs : as, la posicióndel x entreel 2 y
genera
el 3,
el error a2 x a3 : e6.
El uso del signo igual en matemáticasplantea varias dificultadesde Li
aprendizaje.
Los alumnoslo utilizan primeramente,
conociendoel signoen
su forma operacional:<6 más 3 hacen 9, ponemos6 + 3 : 9, y solamente más tarde en su aspectomás general.En álgebra,el signo igual
denotaecuaciones
o identidadesindistintamentey puedecausarconfusión.
De él nos ocuparemoscon mayor profusiónen el párrafo 1.6,relativo al
unálisisde los diferentescontextosen que el uso de las letrasapareceen el
úlgebra,y en el párrafo 5.2 del capítulo5, dedicadoa erroresen el álgebra,
El mejorcaminoparaprocedercon taleserroresnotacionales
es,naturalrncnte.estimulara los estudiantes
a reflexionar
acercadel signifrcado
de tales
cxpresiones.
Sin embargo,estogeneraun enormeconflictocon la intención
principaldel empleode la notaciónformal,que esen primerlugar conducir
kx procesosmatemáticosmediantela manipulaciónapropiadade las reglas
que ñon dcterminadas
por la forma matemáticade la expresiónimplicada,
rirr lrrstrabasoriginadas
por la necesidad
de referenciar
cadapasoindividual
cn pr() dc algún signifrcado
subyacente.
Las reglasmismasdebentenerun
c¡l¡rdoinicialen lasque sonjustificadas
en términossignifrcativos,
peroesla
ttoiuci(rnformal quien determinala elecciónde la regla.un alumno que
ncccsituen cada paso una referenciasignificativa,tendrá difrcultadesde
comprcnsiónen procesosque impliquenmanipulaciones
múltiples,pero
comprenderámucho menosusandosolamentela notaciónformal. es decir'.
t4
\
citadas.Este es uno de los problemascentralesen la
sin las referencias'
de las matemáticas.
enseñanza-aprendizaje
El uso de la notaciónformal puedeconducirnosa reglasirracionales,a
sin sentidoy, no obstante,tal manipulaciónformal es un
manipulaciones
rasgoesencialde las matemáticas.
1.4, EL LENGUAJE HABITUAL Y EL LENGUAJE
DE LAS MATEMATICAS
El lenguajeordinario es un vehículonecesariopara la comunicaciónde
ideas.En matemáticases el símbolismoformal otra manerade realizarla
comunicación,principalmentede forma escrita.Este lenguajeescritode las
operaen dos niveles,en el primeroes el niuelsemántico,donde
matemáticas
los simbolosy las notacionesson dadascon un significadoclaro y preciso.
En estenivel existeun paralelismocon el lenguajeordinario.Los símbolos
tambiéntienenun segundonivel,el niuelsintóctico,en el que las
matemáticos
reglaspuedenser operadassin referenciadirectaa ningún signihcado.Este
nivel sintácticoes un elpmentoepencialen el desarrollode las matemáticas.
el lenguajeordinario tiene que ayudar a interpretarel
En matemáticas,
lenguajesimbólico,lo que prod.uceun conflicto de precisión.El lenguaje
ordinario iluedeexpresarsu signiñcadoa pesarde que se cometanabusos
o faltasde ortotalescomo roturasde reglasgramaticales
morfosintácticos,
grafta.El significadopuede ser comunicadopor alusión o asociación.El
lenguajeordinario puedetambién ser usadopara expresaremociones,dar
opiniones,discutircualidadeso valores.Por el contrario,el lenguajede las
sometidoa reglasexactas,no comunicasu
matemáticas
esmás precisol-está
signifrcado,
salvopor la interpretaciónexactade estossimbolos,y no puede
juicios o valores.rEste
es el conflictoinvolucradoen el
expresaremociones,
uso del lenguajeordinario dentro delcontexto matemático.
esoriginadopor el vocabulaOtro problemadel lenguajeen matemáticas
rio común. Palabrascomo, por ejemplo,raí2, potencia,producto, matriz,
primo, factor, diferencial,integral, semejante,índice, funciÓs,etc., tienen
y en el lenguajehabitual,de modo que
diferentes
en matemáticas
significados
palabras
produce
a causade la confusiónsemántidificultades
el usode tales
ya que estas
para
fácil
esteproblqma,.
No
una
solución
implicada.
existe.
ca
palabrasson parte de un vocabularioestándarde las matemáticas;sin
embargo,el hechode reconocerque existendificultades,es un primer paso
para interveniren ello.
Hay, también,algunaspalabrasusadasen ciertoscontextosque pueden
podrian ser evitamotivar confusiones
de conceptosy que,probablemente,
del lenguajediario
cuando se empleanconnotaciones
das.Particularmente,
asi su significapara atraerla atenciónsobreun símbolo,sepuedeoscurecer
t5
do más que destacar el concepto subyacente;por cjomplo, <pedir prestado>
en la sustracción,<añadir un cero) en la multiplicación por 10,<reduciruna
fracción> en la simplificación que connota hacerla más pequeña."
Igualmente, tenemos palabras específicamentematemáticas,por ejemplo,
hipotenusa, paralelogramo, coeficiente,isósceles,múltiplo, etc., que por ser
poco familiares y frecuentementemal entendidas,suelenpresentar al alumno
considerablesdilicultades, al encontrarse con ellas únicamente en sus lecciones de matemáticas,donde son definidas sólo una vez y nunca más. Generalmente, no tiene acceso a buscarlas en un diccionario matemático, ya que
pocos libros de texto lo incluye.
Las palabras de igual signihcado en el lenguaje ordinario y en matemáticas tienen su principal problema en saber que, en efecto,el significado es el
mismo. A veces, los niños pueden pensar que una palabra del lenguaje
ordinario toma un signil-rcadomisterioso cuando se emplea en matemáticas,
o, quizás ellos no entienden realmente su verdadero signiñcado, en ambas
situaciones.
En un estudio con 300 alumnos de secundaria,OttennuRN y Ntcnor-soN
(1976) investigaron la comprensión de 36 palabras comúnmente usadas en
matemáticas. Se les pidió que dieran una información esquematizada,tal y
como se indica en el ejemplo:
CUADRO
Palabras
(l)
(mas)
(3)
(4)
Diagrama
Describeen palabras
sumar,es decir,
4 más 7 es ll
+::
4+7=
ll
Peralelnoramo
)t
C
"aA.qA
R
F'reeciÁn
R ec fáns nl n
Par al el o
A
l.'raccióndecimal .
Cuadradoperfecto
R adi o.
Perimetro
N í'
(-
Deflav¡Áñ
D¡nm¡rl
i
('orrt,t'tu;si lo descritoen las tres últimascolumnasindicabauna inter¡rclrrciirno()rrcctadel término.
Vudu: si nadade lo escritoen las tresúltimascolumnasindicabahaberlo
en la primera.
conrprcndido,aunquese hubieseescrito<si>>
('onfusa:si algunade las respuestas
de las tres últimascolumnasestabq
cn contradiccióno no estabaclara.
tó
¡drzÁ
Per nendi c r r l a
Factor .
Rombo
f.Jni ón.
EI qtÁn
(i¡qAie¡te
Cimpr
En la columna (1) ponían sí, si entendianla palabra,y no' en caso
contrario.En la columna(2)poníanel símboloparala palabrasi lo tenía(no
ttxlaslaspalabrastienensimbolo).En la columna(3)dibujabanun diagrama
de la palabra.Y en
o r¡sabannúmeroso símbolospara mostrarel signifrcado
el signifrcadode la palabrausandoun ejemplosi lo
lir columna(4)describían
rlcsctban.
1):
en tres categorias'(cuadro
fueron clasi-ficadas
t.us rcspucstas
Correctas
R nfac i Án
Iul"lti¡li¡a
I ntersecciÁn
(2)
Palabras. porcentaje de respuestas
99,7
99,7
94
92
9l
88
77
72
68
65
@
64
58
52
49
45
43
4l
40
37
I\/I
R ei
Parabrat":i?oJo" Símbolo
l.
ri
l)rnd
f,I í,ltinl
S¡ m ei a
I'
I ndi c e
A nl i c ac i Án
F
Trapecio
, . . . . . . . . . . : ',
35
32
31
26
25
23
22
2r
20
l9
l8
t6
t6
15
11
Vacias
0,3
0,3
2
7
8
q
t9
lr
29
24
25
29
35
5+
20
51
5l
50
44
60
4l
61
62
47
65
7l
t5
75
59
45
66
77
78
8l
76
79
Confusas
0
0
I
0,3
8
J
17
2
10
ll
8
7
13
32
A
t9
9
t6
-)
22
6
22
9
+
4
J
20
34
15
5
)
3
9
10
que las respuestas
clasifrcadas
Los autoresadyiertenque podría pen$arse
como (vacías))suponensiempreuna no comprensiónde las palabrascorrespondientes,tratándose,a vecesde una inhabilidad de los alumnos para
cxpresarsu significado,La gravedadde los resultadosradica en que las
t7
palabrasconsideradasson parte del lenguajecomún usado en clasesde
dandopor sentadola compreny, principalmente,
en exámenes,
matemáticas
sión de su significado.
Otros aspectosdel lenguajede las matemáticasque difrerendel lenguaje
natural,son los que hacenreferenciaal lenguajesimbólico,y que son fuente
de confusiónde muchosalumos;por ejemplo,su sintaxis-reglas formales
y desarrollarse
másallá
de las operaciones-puedealgunasvecesextenderse
Así, en el procesode aprenderel
del dominio original de sus aplicaciones.
por ejemplo,podemosdiferenciardos etapasdistintas.
uso de exponentes,
despuésde definirla notaciónmedianteejemplos,talescomo:
Primeramente,
a3 - - e' a' a
Q3' as :
:
a' a' a' a' a
a' a' a
Q8
llegar al esquema general
a2. a1 :
a2+1
_
Q9
tido y esventajosoquitarlas restriccioncs
anteriores
de m y n, esdecir,cómo
hacerpara que las reglasprecedentes
seanválidaspara todoslos valoresz y
n racionales?,
surgenasí las extensiones
de notaciónde exponentes:
ao se le representapor I
a-2 se le representapor 1la2
aLt2 se le representa por \/á
y asl suceslvamente.
Este procesode generalización
de las matemáticases una característica
esencialde la mismay esparteinherentede su lenguajesimbólico,que difiere
sustancialmente
del lenguajeordinario.Contrasta,en todo ello, la flexibilidad semánticadel lenguajeordinario con la precisióndel simbolismomatemático. una tendenciapara eliminar el uso del lenguajeordinario de las
matemáticas,
a causade las dificultadesimplicadas,seríaescribirlas matemáticasinvolucrandosolamentesímbolos,pero esto serviría,únicamente,
para incrementarlas distanciasentrelas matemáticasy la realidad.
que puede ser expresado simbólicamente
:
a^'a'
I.5. EL LENGUAJE ARITMTTTCO
e ^ tn
Empleando los métodos de manipular fracciones algebraicas se pueden
ftrrmar también un esquema para la división:
51
a' : a-
a'Q
:
a2
sigrricrrdocl csquemageneral
qlr
ta5
_
Q11- 5
_
Q6
simbólicamente
r¡rre¡rucdcscr expresado
e ^ ie n
:
e^-n
rlorrrlc t,t y n representan dos números naturales cualesquiera distintos de
ccro y cn cl segundo caso /?res mayor que t4.
l,¿rsrcstriccionesde m y n son necesariaspara la definición inicial de a2,
¿r. ... Los simbolos como 40, e-2, etl2 no tienen signifrcadoen términos de
csta dcfinición.
En un segundo paso nos preguntamos, ¿bajo qué condiciones está p.ttii18
La aritméticase estructuracon un sistemade notaciónmuy particular,
diferentedel lenguajeordinario, aunquecomporta con él algunosrasgos
especificos.
Los problemasde la aritmética tienen que obedecera ciertas reglas:
7 + 4 : !, a la vezque no admitenotras,7* :4. Las reglasno son todas
simples,en particular,los numerales,|¿s divisioneslargas,las fraccio_nes,
la
jerarquíade las operaciones,
los paréntesis,
etc.,requierenmucho adiestramiento para acometerlas operaciones
y los símboloscon significado.
Nos ocuparemosen esteparágrafo,aunquesomeramente,
de la relación
entre el lenguajeordinario y la aritméticaescrita,así como de la lectura y
comprensiónde los símbolosaritméticos.
Existensemejanzas,
algunasno del todo triviales,entre el lenguajeordinario y la aritmética (o matemáticas).En el lenguajeordinario podemos encontrar elementoscomo los nombres,que a menudo,simbolizan
personasu objetos,y elementoscomo los verbos,que con frecuencia,simbolizanaccioneso relaciones.
En aritméticalos números7, 35,...,son como
nombresy los signos*, -, :,..., son como verbos.Existenreglaspara
combinar elementosen una oración del mismo modo que existenpara
ecuaciones:
<5x - : 8> no es una ecuacióny tampocoes oración <Víctor
el balón lento>.Algunasecuacionesestánbien formadas,pero son falsas.
t9
<<7+ 5:
15>,al igual que algunasoracioncscstán bicn formadaspero son
falsas, <Arrecife es la capital de Canarias>.
No obstante, la diferencia entre la aritmética y las expresionesverbaleses
también bastante notable.
Las características algorítmicas no son sistcmáticamenteusuales en el
vocabulario y en la sintaxis del lenguaje ordinario, pero sí pueden ser incidentales:plurales, pasados,comparativos, palabras compuestas,modelos de
frasespara ser completadas,etc., aunque ninguno de ellos se acerca remotamente a la estructura sistemáticade los numerales.Inclusive los sistemasnoposicionalestenían una regularidad bastante aceptable.En un sistema posicional uno puede, comenzando con una pequeña colección de símbolos
digitales, representar todos los números naturales de acuerdo con estrictas
reglas algorítmicas.
El lenguaje ordinario ha desarrollado un amplio número de recursos
estructurados tales como preposiciones,conjunciones, afijos, subordinación
de frases,etc. Análogamente, la aritmética (las matemáticas)poseeelementos
estructurados; los más signihcativos son los paréntesis. Además, hay una
gran cantidad de estructuras implícitas al realizar una tarea aritmética o al
leer alguna afirmación, por ejemplo, en la jerarquia de las operaciones,la
multiplicación se realiza antes que la suma.
Las frases:
<En el cine habia niños y señoras mayores))
v-
<En el cine habia hombres y señoras mayores))
son casi equivalentes,sin embargo, (mayores) en el primer caso no incluye a
niñtls, y en el segundo es apropiado incluir a hombres'
En aritmética se tiene más cuidado
7veces.... 3 + 5
¡'rrrcdcscr distinguido de
7 v e c e s3 .... + 5
y eslir clistinciónes formalizada así:
7x(3+5)
7 x3+5
l:n aritmética debe quedar perfectamenteclaro lo que significan las exprcsiones; éstas están sujetas a estrictas reglas que indican cuándo uña
20
expresión debe estar entre paréntesis y cómo debe ser leida. Si las reglas
matemáticas fueran adaptadas al lenguajc ordinario, uno podría escribir
niños y (Señorasmayores)
(Señoras y hombres) mayores
pero esto no es así e indica una gran diferencia entre el lenguaje ordinario y
el lenguaje aritmético.
Consideremosahora el problema del papel diferente desempeñadopor el
orden en el lenguaje ordinario y en la aritmética.
El orden de las letras y las palabras en un texto escrito no introduce
ningún otro significado que ése.Sin embargo, en la aritmética muchos de sus
simbolos tienen significados que varían según su presentación espacial.Por
ejemplo, 52, 52,25, (5,2), etc.
Para la escritura de los números en nuestro sistema decimal (sistema
posicional) el problema del orden es esencial. Igualmente se mantiene el
orden en las operaciones,aunque rÍo es lo mismo en la adición que en la
sustracción,ni en la multiplicació-n que€n la división.
Señalemos,por último, que la mayoría de las investigacionesrelativas a
la lectura y comprensiónde los símbblos aritméticos:(+)), ((->, ((x)), ((:))
e ((:D, destacan que éstos son interpretados generalmente en términos de
accionesñsicas. BnowN (1981) pidió a alumnos de doce a quince años que
escribieran historias ajustadas a una expresión simbólica dada; por ejemplo,
(84 - 28>>,<<9:3>,
<84 x 28>,(9 + 3)).La mayoria de las historiasincluían
accionesfisicas como:
<unio cosas para +
<trasladan o <llevar fuera> para <repartir cosas para :
El signo x causó las mayores dificultades. Los niños lo leían frecuentemente como (veces)),lo cual manifresta que no siempre es una acción ñsica.
Algunos relataban u4a historia donde ( x ) era considerado como una adición reiterada o en términos de <razón> (por ejemplo, 3 x 9 se considera
como 3 paquetes con 9 caramelos cada uno).
Indioa igualmente BnowN que, probablemente, la mayoría de los niños
encuentran por primera vez estas operaciones aritméticas en situaciones
relativas a acciones fisicas, lo que acarÍea luego serias consecuencias.Por
ejemplo, encontró que habia niños incapaces de interpretar una expresión
como 16:20, porque para ellos l6 cosasno pueden ser repartidasentre 20
2l
personas.El porcentajede alumnosque contestóque no había respuesta
para 16: 20 fue:
12 años
5l oA
13 años
47 0A
14 años
43 Yo
15 años
23 0h
con el signo<: )) surgetambiénde la asociaLa confusióny difrcultades
ción del (:D con accionesfisicas.
BEHny otros (1980)indicanal respectoque
(existe unafuerte tendenciaentre los niños a considerarque el signo ":" es
sólo aceptable en una expresión cuando le precede uno o mós signos operatiuos
(+, -, etc). En efecto, algunos niños nos dicen que las respuestas deben ir
detrás del " : ". Obseruandoen los niños una extremada rigidez en la escritura
de expresionesnuméricas, una insistencia en escribirlas en determinadaforma y
una tendencia a representar acciones (por ejemplo, añadir) más que a reflexionar, hacer juicios e inferir significados. Más aún tenemos alguna ersidenciade
que iugerir esto a los niños no hace cambiar su idea de la igualdad hasta que
son mqyores))
1.6. EL LENGUAJE ALGEBRAICO
El uso de las letras como variablesprocedede la geometria griega.La
comunicaciónescritadel conocimientogeométricorequeríael uso de figuras
donde los puntos eran señaladoscon las letras del alfabeto;inclusiveen
De manerasimilar,
textosnuméricoslas letraseran usadascomo numerales.
por letraso combinacioerandesignados
laslíneas,triángulos,cuadriláteros,
nesde letrasque en el fondo indicabanpuntos.La utilizaciónde las letras
como variablesen geometríano propició el nacimientode un lenguaje
algorítmico.No hay un vocabularioalgorítmico,ni segeneraningunaformalizaciín de las operaciones.
En álgebra,el empleode las letrascomo variablesesde fechamás fardia.
de resoluciónson tan
linealesy cuadráticasy métodosgenerales
Ecuaciones
antiguoscomo los textoscuneiformes.
En Grecia, las letras también significabannúmeros que podían haber
inducido a los matemáticosgriegosa su utilizacióncomo incógnita;sin
embargo,seproduceun impedimentofuertepara trasladarel uso geométricó
de las letras directamenteal álgebra:mientras todos los puntos son <el
mismo>en geometría,los númerostienenuna bien distinguidaindividualidad. Al final, en el periodo heleno,en el trabajo de Diofanto, hay por lo
menosun símboloparala incógnita,una abreviaciónde número.En la Edad
un
Media, <la cosa>llega a ser el nombre de la incógnitadesarrollándose
simbolismoúnico para las potenciasde la incógnita.
22
El paso decisivohacia una notación algcbraicamás útil fue dado por
Viéte(sobre1600),quientambiénindicópor letraslas magnitudesindeterminadasy las variablesen expresiones
algebraicas.
Estanotaciónesel comienzo del desarrollode un lenguajealgebraicopropio, que consiguesepararse
más y más del lenguajeordinario. Las letras son primeramenteusadas
para indicar númerosarbitrarios y más tarde también para funcionesarbitrarias.
En el álgebra,aparecencomo variablesexpresionesde cualquierclasede
objetos,lo que permite considerardiferentestipos de álgebra:álgebrade
conjuntos,aritmética,álgebrade funciones,etc. Sin embargo,en esteparágrafonos referiremos
fundamentalmente
al álgebrade números;así,todaslas
variablesserán variablesnuméricas.Veremoscómo el modelo numérico.
combinadocon la idea de variable-letra como número generalizado- nos
conducedirectamenteal álgebra,o al menosa un aspectoesencialde ella,
que ha sido el que históricamente
se ha desarrolladoen primer lugar y que
hoy, en los nivelesque nos ocupa,es el de uso más amplio.
El cálculoalgebraiconacecomo-generalización
del modelonumérico.Si
para trabajar con un modelo aritmético tenemosque aprender a realtzar
cálculoscon números,por ejern$o,l5:'l 37,7 x 66,5,paratrabajarcon
un modelo algebraico,debemosser igualmentehábilesen cálculoscon variables.
Todo cálculo algebraicosercoñStruyea partir de las cinco propiedades
características
del sistemanumérico:la conmutativay asociativade la suma
y el producto,y la distributivadel productorespectode la suma.
.,!.*b:b+a
(a+b)*c:a+(b+c)
-
a'b: ! b'a
( a'b) 'c
a'f t
+ c\ :
:
a'( b'c)
a'b + a. c
\
El <principio de permanenciu, introducido por George Peacock (17911858),afirma que todas las reglas anteriores que se verifican en los naturales,
siguen verificándose.paratodos los demás números u objetos representados
por las letras.
Paréóe obvio que los problemas propios de Ia aritmética se trasladen al
álgebra,'y que al ser ésta una generalizaciónde aquélla, le surjan problemas
inherentes.Analicemos dos aspectosen este sentido: el signo de igualdad y la
sustitución formal.
23
que tiene análogascaracterísticas
quc cl problemade factorizar
. El signode igualdad
az+ub-2h2:
En aritméticael signo(: )) seentiendecomo una acciónfisica.Unasveces
sirve para conectarun problemacon su resultadonumérico3 + 5 : l-l ,
dondeuna parte es conociday Ia otra debesercompletadacon el resultado
de la ejecuciónordenadapor la primera;otras vecespermiterelacionardos
procesosque dan el mismo resultado3 x 4 : 4 + 4 + 4, y en algunos
casosrelacionala secuencia
de pasosintermediosde un procesoque conduce
a un mismo resultado,por ejemplo,
:a 2 *
z
2b2
- (i)'
)"t . (:)' -
=("*
: ( " *) u *
3x(5-2)+4:3x3*4-13
dondecadaeslabónde la cadenade igualdadesexpresauna simplificacióno
cambioen la forma de su predecesor,
es decir,una <reducción>.
La presenciaen el álgebradel signo(:)) como señalde acciónno tiende
a desaparecer.El álgebraen la escuelatradicional está llena de problemas
semejantes:
(a+b)'(a-b):az-62
donde es interpretadacomo un sistemade reglasde transformaciones
lingüisticas(sintaxis)guiadasautomáticamente
por una interpretacióndel signo
igual como una acción.En estecálculoexpresadopor una eadenade igualdadesapareceun término bien caracterizadoy avtomatizadoen el álgebrade
la escuela,<la reducción>.De estamanera,y de acuerdocon ciertasreglas,
son <reducidas>
las expresiones
en un sentidoo en otro, pero la aplicacibn
de la <reducción>no se limita exclusiyamente
a expresionesalgebraicas
para resolverlas.
tautológicas,sino tambiéna ecuaciones
Por ejemplo:
),)'- (i,)':
'r,)(". L, -'rr)
: (a .r 2b)(a - b)
dondelos diferentespasossonjustificadospor el signo igual.
Apareceasíun cambioimportanteen el sentidodel signo(: ))en su paso
de la aritméticaal álgebra.El sentidode igualdadaritméticaseconservaen
pero no en expreel álgebracuandotrabajamoscon tautologíasalgebraicas,
sionescomo
4, -.,? :12x * 7
que es verdaderacuandox :'5'. A diferenciade las tautologiaslas ecuaciones no son aflrrmaciones
puesel signo igual en
universalmente
verdaderas,
una ecuaciónno conexionaexpresiones
equivalentes,
aunquesí condicionaa
la incógnita.Dada una ecuación,la tareapara resolverlaconsisteen determi(restricciones)
nar los valoresdesconocidos
que hacena la ecuaciónverdadefa.
i-
x2-Sx*6=0
r La sustituciónformal
x 2 - 2.t1, * 25la+ 6 - 2 5 1 =
4 0
Los procesosde sustituciónque conducende
3x5:5x3
('-")'-;:o
x-
24
5l
22
+x:412+x:2
a.b:b-a
o la verilicaciónde que si
t)' :'^
(' '-tr:ll2-x:612+x:30
a
x2-5x*6:0
Y
por x : 3 sustituyendox por 3, son procesosformales.
es satisfecha
La sustituciónformal,sin embargo,seextiendemás allá. De la identidad
,t'stnrrot
:
üALDAS
"1f'
l St'l 0 Ii - i '^ ¡
2.5
se obtiene,al reemplazara por a + c y ó por b + d,
(a + c + b + d)(a + c - b - d) : (a + c)2 - (b + d)2
dondevariablesde una expresiónson sustituidaspor expresiones
más complejasque son nuevamentevariables.
Estastransformaciones
algebraicas
constituyenun poderosoinstrumento
de cálculoalgebraicoque estáa mitad de caminoentrelo puramenteformal
y un conocimientoexplícitode su significado.
Las expresiones
algebraicasa sustituir debenser interpretadasestáticamentey aceptadas
las sustituciones
solamentedentro de los paréntesis;
en el
casoanteriordelreemplazodea
+ cporay deó -| dpor ben
(a + b )' (a -
b ) -- a 2 -
Generalización,cuando términos numéricos son reemplazadospor variables, por ejemplo, de
3x(5-2):3x5-3x2
x'(y - z):
x.y - x.z
o cuandomodeloso esquemasobtenidosen situacionesconcretas,generalmentenuméricas,son extendidos,por ejemplo,de
a
1+3]-5:32,1+3+5+i:42.
- r): n2
,D - t' '
b2
produceinicialmente
l(a + c) + (b + d))l(a + c) - (b + d)l : (a + c)2 - (b + d)2
El caminohaciala sustituciónformal debecomenzarcon pasosseguros
en medio de un progresodeliberadamente
lento. La organizaciónde las
instrucciones
en esquemas
semejantes
a un pequeñoordenadorpuedefacilitar la comprensión.Si queremosleer (a + b)(a - ó), como producto de la
sumade ay by de la diferenciadeay b,el uso de diagramaspuedeserun
estadointermedioque ayudeen estesentido
simplificaciólz,cuando en una expresióndada, expresionesparcialesson
reemplazadas
por variables,por ejemplo,en
x4
3x.2- 2
_sustituirx2 por y.
Eliminación,cuandovariablesiinplicadasen una sustituciónson suprimidas,por ejemplo,en la resolucióndél sistema
2x+y:16
5x+y:25
al sustituir! : 16 - 2x en'la'segunda
ecuaciónque da
.
(a+b)(a-b)
5x + (16 :-2¡) : )J
Complicaciónestructural,cuandoen una expresiónlas variablesson reemplazadaspor expresiones
dadas,por ejemplo,én la resoluciónde la ecuación
x' + px :
q, sustituyendo
x por u -
u y considerando
u., : {, no,
J
queda
u3- u3: Q
La sustituciónformal es un instrumentode cálculoalgebraicoimportantea
que se maniliestaen diferentes
causade su amplio campo de aplicaciones,
procesosmatemáticostalescomo:
26
Particularización, cuando las variables son reemplazadas por números
para verificar ciertas expresiones;por ejemplo, verificir que
Sr-n(n+l)
L',t=l
.
¿
27
Ev
En general,los métodosde resoluciónde ccuucioncslinealesy cuadráticasy de sistemasde ecuaciones
utilizan estosproccsos.Talesmétodospueden serintroducidosnuméricamente
y generalizados
por mediode la sustitución formal.
donde el número que falta debe scr colocado dentro del marco. El
mismo
marco no tiene valor y simplemente indica que existe un número
desconocido. Si la cuestión se plantea asi:
( ¿ S in f 5 : S , e n t o n c e sn : ? )
. El uso y significadode las letras
El uso del conceptode variableen matemáticases una prácticacomún;
sin embargo,los alumnosmásaptosson capacesde cometerel mayor de los
errores.Partede las difrcultades
procedende que el álgebraen la escuelano
desarrollasufrcientemente
el sentidode variabilidadligado a las letras.Esta
práctica común ha servido más para oscurecerel significadodel término
mismo,que para mostrar la diferenciareal con el sentidoque puedentener
las letras.
Consideramos
aqui los diferentes
contextosen los que aparecenlas letras
en el álgebradentro de la clasificaciónutilizada por Kücr¡nunuN (1981).
Interesa,más que la notaciónformal en sí misma,las ideasrepresentadas
(o
conceptosrepresentados
por los alumnos)por esasexpresiones.
KücnBunNN describeseiscategoríasdiferentesde interpretacióny uso
de las letras:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
Letrasevaluadas.
Letrasignoradas.
Letrascomo objeto.
Letrascomo incógnitasespecíficas.
Letrasgeneralizando
números.
Letrascomo variables
Letras eualuadas
Estacategoríaes aplicadaa las respuestas
dondea laXlet¡as_s9
lgsel_qrye
un valor numéricodesdeel principio.
Contcxto(l). Si a * 5 : 8, ¿cuáles el valor de ¿?
La letra a tiene un valor específico.Es inicialmentedesconocidapero
cv¿rlr¡¡rblc.
Aqui los alumnosevitan el operar con uÍa incógnitaespecífica.
l,os problcmasde estaclase,comunesal finalizarel ciclo mediode la E.G.B.,
scr asimiladospor los niñosreflexionandosobreel significadode una
¡rrrcclcn
lclru como un valor numéricoespecífico.
Esteuso de las letrases probablerrrcntccl primeroque el alumno posee,desarrolladopor la aritmética,desde
krs primerosaños bajo la forma
n+5:8
28
Contexto (2). ¿Cuál es el valor de 5. a *
A :3?
3, cuando a :
I,a:2,
b) Letras ignoradas
Aquí los alumnosignoranlas letras,o a lo más reconocensu existencia,
pero no le asignanningún sigirlficado.
Contexto(3).Sia * b : 43,a * b + 2 :
Esta cuestiónpuedeber resueltasin el uso de las letras,aunqueparecen
.
implicadasdos incógnitas.Sin embargo,ningún resultadop"#lt. obtener
esasincógnitas.Puedenser osencialmente
igñoradaspor un procedimiento
de igualaciónque enfocala atenciónen ( +1).
cues,tiones
análogas,aunquecon mayor grado de dificultad,puedenser
planteadas.
o,
Si.z - 245 :752.
sie*f
:8,
e+f
n _ 246:
*g:
c) La letras como objeto
Lasletrasson vistas,como
un objetoconcreto(frutas,ladosde un polígono, etc.),eliminandoasí el significaáoabstractode las letraspor atgo mas
concretoy real.
(4). Simplihcar
Contexto
2.x * 3.y + 4., _ y.
Aquí las letras no son necesariamente
una representación
de números
pertenecientes
a algún conjunto numérico,son como variablessobre un
29
conjuntoformadopor objetosde algunaclase-diferentes clasesde frutas-,
por ejemplo.
Contexto(51. calcular el perímetrode un rectángulode lados m y n,
p:
p:
- Calcularel áreadel rectáneulo
A:
e¿
Contexto(7). Los lápices azulescuestan10 pesetascada uno y los
lápicesrojos 12 pesetascada uno. Compro algunoslápicesazulesy rojos y
en total me cuestan180pesetas.
Si ó es el número de lápicesazulesy r es el número de lápicesrojos
comprados,¿quépuedoescribiracercade b y r?
La respuestacorrectaa estacuestiónrequiere-eluso de las letrascomo
incógnitasgenuinas.
e) Letras generalizandonúmeros
(no
Las letrasson aún idea de un simplenombre o marca de los lados
pueden
ser
y
lados)
los
de
desconocidas
longitudes
son vistastodavíacomo
juntadas.
las
El uso de las letras como objeto reduceel signifrcadoabstractode
es
no
donde
letras a objetos,pero esta reducciónocurre con frecuencia
involucran
se
i
en problemasdonde
aclecuado.Esto sucedeespecialmente
objetosi
los
entre
distinguir
y
esencial
es
etc.)
peras,
salaiios,
(lápices,
objetos
mismosy su cantidad.
d) l.atras como incógnitasespecfficas
Losalumnosconsideranlasletrascomounnúmerodesconocido,pero
cspccificoy puedenoperar sobreél directamente'
('tttttt'.uto(6). ¿Cuáles el resultadode añadir 4 a 3n2
de puzzlepara muchosalumnos'La respuesf istucucstiónesuna especie
todos los alumnos'
pero
no es contestadap-or
simple,
muy
parece
4
tu .1ll t
a concluiren 3r
tienden
alumnos
los
incógnita,
.rna
como
colliiderada
si il cs
7n o 7'
en casocontraiio,los alumnosdan las-respuestas
y 4 como rcspuesta;
y
4) son
3
(los
números
cn l,r quc lós elementosque tienen significado
ignoradas'
son
¡xopiurncntecombinadosmientrasque las letras
Otros ejemplosdentro de estecontextoson:
Dado un polígonode n lados,si cadalado tienede longitud 2, calcular
el perímetro.
30
Los'alumnos ven las letras como una representación,
o al menos son
capacesde deducirlo;de varios valoreshuméricosantesque de uno exactamente.
Contexto(8). ¿Para qué naloresde x en el conjunto {0, 1, ..., 9} se
verifica3x*l<19?
Todoslos alumnosson inducidosa evaluar3x * Tparax:0, 1,...,9,y
compararla respuestacon 19.
'Otros ejemplosde estecontextoserían:
-¿Qué valorestoma c si"c + d : l}y c es'rinferiora d?
- L + M + N : L + P + M,se verifica:'siempre
nunca
algunasveces.
.^,1
f) Letras como uariables
Las letrasson consideradas
como una representación
de un conjuntode
y se observauna relación sistemáticaentre dos
valoresno especificados,
conjuntosde valores.
El conceptode variableimplica claramenteel conocimientode la incógnita y de sus posiblesvalores.Pero estoestámás allá de la comprensiónde
las letras como incógnitas eppecíficasy como generalizaciínde números.
SeñalaKücHnunNN que este conceptoes difícil de encontrar con toda
exactituddebido a que la mayoría de los ítems que puedendar idea de
variable,a menudo son resueltosen un nivel de interpretaciónmás bajo.
lnclusodentrode la resoluciónde un mismoproblema,el alumnocambiade
3l
interpretación,lo que generagran dificultad no scllamcnteal observador,
sino tambiénal mismo niño.
El ejemplodado en el contexto(7) planteaclaramenteestasdilicultades.
En la relaciónde los lápicesrojos y azulesadquiridos,
l0á+l2r:180
o como genecomo incógnitasespecíficas
las letraspuedenser consideradas
interpretaciones
ralizaciín de números.Sin embargo,ninguna de las dos
una relaciónque existeentreá y r, por lo que esnecesario
inducea establecer
tomar la interpretaciónde las letrascomo variablesen un paso posterior.
al
En 10ó -f l2r : 180,á y r seinterpretancomo incógnitasespecíftcas,
observarque la expresiónes una ahrmaciónverdaderapara un particular
par de númerosconsideradoscomo incógnitas(6, 10).Análogamente,las
de números:l0b + l2r :
como generalización
letraspuedenserobservadas
para un conjuntofrnito de paresde números(6, l0), (12,5),
180es satisfecha
(0, 15),(18,0). Estainterpretacióncontienela ideade que los valoresde b y r
puedencambiar,pero no reflejala verdaderaidea de cambio,para ello es
necesariocompararlos valoresunos con otros mediantealgunavia.
Un primer paso en tal comparaciónpuedeser el orden de los paresde
valores,para quieneses posiblereconoceruna correspondencia
0
t2
|
18
Contexto (10). Un rectángulo tiene de área 24 cm2. Determinar una
cxpresión para el perímetro del rectángulo en términos de la longitud del
lado del rectángulo.
I
Aquí a los alumnos se les pide que describan el método de cálculo del
perímetro del rectángulo, dada la longitud de un lado. Resultando la expresión
-/
t¿\
p:21,.7)
r decreciente
15
á creciente
++
6
I
Contexto (9). ¿Quién es más largo 2rr í¡ 2 + n? Explicarlo.
Probar que si x > 5, entonccs4.v * | > 3x * 4.
Este es un contexto no funcional cn cl que las letras r o x, respectivamente. tienen claramente las característicasde una variable.
El interés de esta cuestión es comprender si los niños reconocen que el
tamaño relativo de ambas expresiones(2n y n + 2) y (4x + | y 3x + 4)
dependen de los valores de n y x, respectivamente.
t
10
--------+
............-
1
5
1
0
Sc pucde ir más lejos y describir el grado con que b y r cambian
relacionesentre ellos. Tal relación puede ser expresadade
c¡rtuhlccicndo
por ejemplo,
lirnl¡¡sdifcrentes,
<si el crecimientode ó es 6, el decrecimiento
de r es 5>
listc scntidoañadidoa las relacionesde estaclasedan a
donde / cm denota la longitud y p cm el perímetro que simboliza esta
descripción. El simbolo / representauna variable, puesto que su valor cambia de rectángulo en rectángulo. La representaciónposterior de esta relación
(funcional) entre perímetro y loñgitud sobre un gráhco cartesiano,refuerzael
soncepto de variable, puesto que el movimiento a lo largo del grafo es una
consecuenciade la variación de los valolés de la longitud.
Contexto (ll). ¿Cómo se simboliza el n-ésimo número impar?
El verdadero concepto de variable puede ser dificilmente eludido en
cuestionescomo ésta. La letra n puede ser cualquier número natural. Una
rcspuestacomo 2n - I señalael descubrimiento del requerimiento necesario
para su posición en la secuenciade los números impares. Naturalmente esto
constituye una relación funcional.
En un nivel de comprensión superior estaria la siguiente cuestión:
-
1 0 á + l 2 r:1 8 0
un vcrdadero avance desde la interpretación de las letras como incógnitas
cspecificas o como generalización de números a las letras usadas como
variables.
32
Si el n-ésimo número impar es 2n - l; ¿cuál es el (3n f l)-ésimo
número impar?, lo que es equivalente a preguntar por f(3n * 1), dado
f (n ): 2 n - r .
La habilidad para resolver correctamente problemas de este tipo indica
que el concepto de variable está claramente entendido.
1.1
6. Elegir un problemaalgebraicoy pensaren diferentesversiones
en lenguajehabitual y lenguajearitmético.
EJERCICIOS
a los numerales,
semejantes
1 . Los símbolosliteralestienenciertascaracteristicas
matemáticas5n - 4 = n + 8; y
por ejemplo,apare@njuntos en expresiones
queson únicamente
suyas,por ejemplo,la posibilidadde una
otrascaracterísticas
variosnúmerosa la vez(númerogeneralizado):0< ¿ < 10.
letra de representar
y diferencias.
Señalarotras semejanzas
7
1
Analizaren los diferentescontextosel significadodel signo (=)), señalandolas
y las diferencias.
semejanzas
a)
3 x (5 - 7) : 3
b\
3(x-2):4x+9
x 5 - 3 x 7 :
3x- 6+6: 4x+9+6
3x: 4x*15
<El es un profesorde matemáticas>
3. Completael siguientecuadrode traducciónde lenguajes:
Lenguajehabitual
Lenguajearitmético
-6
3x- 6: 4x*9
a las palabras;por
semejantes
Los símbolosliteralestienenciertascaracterísticas
así,en el enunen ciertasexpresiones'
ejemplo,ambospuedenser reemplazados
ciado:
por diferentesnombresde personas
el pronombre<Eb>puedeser reemplazado
paia obtenerenunciádosverdaderoso falsos,igualmentecomo .r en x2 + 2x =
numéricasverpor númerosparaobtenerexpresiones
: 3, puedeserreemplazada
por
el signifiejemplo,
que
son
diferentes,
y
caracteristicas
daderaso falsas; otras
cado del' símbolo en una expresióndebe ser el mismo en cualquiersituación
dondeaparezcaen el contexto'dado,asíel valor de x en la expresión5(x - 2) +
+ 7 : 18 - 3x, es el mismo en cualquiersituacióndonde se encuentre,En
verbalesestono es así,idénticaspalabraso frasespuedenreferirsea
expresiones
y diferencias.
Señalaotras semejanzas
diferentescosasen una mismasentencia.
15 - 2l :
3x- 4x: 4x- 4x+15
- x: 15
x:
- 15
c) 6x8:48
d) (a - 2b) '( a + 2b) : a( a * 2b) - Zb( a+ 2b) :
= a2 * 2ab - 2ba - 4b2 : a2 -
4b2
e) x2-4x+3: 0
x2 - 2. ?. x + 4 + 3 - 4: 0
( x- 2) '- l: 0
Lenguajealgebraico
.
2x ( 6+ 7) : 2x 6+ 2x 7
( m - n l 2 =m 2 +n 2 - 2 m n
La diferenciaentredos números consecutivoselevados al cuadradoes el doble
del menor más uno.
- 2: l
x=3
@_2) z: t
!;
]
x- 2: - l
x: l
Señalados ejemplosde uso de la <sustituciónformab>en álgebraen diferentes
procesos,tales como: generalización,
particularización,
simplificac[ón,
eliminación o complicaciónestructural.
a2+b2:c2
4. Analizarlos diferentescontextosen los que aparecenlas letrasy el uso que se
de 7.oy 8.onivelde E.G.B.(docea catorce
hacede las mismasen las matemáticas
años).(Comienzodel álgebra.)
5.
34
Analizarlos diferentescontextosen los que aparecenlas letras y el uso que se
de 1.oy 2.ode B.U.P.(catorcea dieciséis
hacede las mismasen las matemáticas
del álgebra.)
años).(Asentamiento
35
Marco histórico
del álgebra
2.1. INTRODUCCION
La historia de la matemáticaha sido utilizada por la didácticade la
matemáticabajo distintospuntos de vista: desdeinformacioneshistóricas
que sirvenparanlotivar un temanuevo,hastala construcciónde secuencias
didácticasinspiradasen la progresiónhistóricaseguidaen el desarrollode
algunasteorías.En cualquiercaso,la historianos ofrecediferentes
ideaspara
la actividad didáctica e incluso puede ser utilizada por el profesor como
rcferenciapara anticipar dificultadeso erroresposiblesen el aprendizajede
los alumnos.
Expondremosen estecapítulo los conceptosbásicosdel álgebradentro
,ie su marco histórico,partiendodel <contexto)que sirvió de baseen la
antigüedadpara elaborarlos.con el fin de que puedanserutilizados también
bo¡-como <contexto>para construirlosen clase.
Esto nos permitesatisfacerdiversasnecesidades,
talescomo:
- Representarlas matemáticascomo parte de la cultura humana que
evolucionacon ella, preparandoasí el terreno para llegar a la organizaciónque los conceptosmatemáticostienen actualmente.
- Reconocerla importanciadel lenguajesimbólicoy de las técnicas,y
y ambigüedades
las insuñciencias
de cadaformalismo.
- Construiro profundizarlos conceptosmatemáticosque sehan elegido
por medio de la diversidadcon la cual cada épocalos presenta.
Se puedencrear secuencias
didácticas,por ejemplo,reflexionandosobre
d simbolismode cada época,viendo las posibilidadesy los límitesde cada
lrmr-r
en particular,insistiendoen los niños en la ideade que las matemáticas
molucionany que no es una cienciahechay frja.
5l
No obstante,esteplanteamientopresentattlgutrtlsproblcmaspara llevarlo a cabo. Entre ellos destacamosla imposibilidacldc presentara los niños
los temas con una exactitud histórica, ya que dctcrminadosformalismoso
demostracionesexceden su nivel de conocimiento. En cstos casos es preciso
hacer una adaptación a las diferentes edades, sin, por ello, deformar la
transferenciade términos al otro rlricrnbro dc la ecuación (al-jabr) y la
cancelaciónde términos igualcs cn ulrrbos nticmbros de la ecuación (almuqabalah).
Asi. dada la ecuación
x2+3x+7:7-2x+4x3
realidad histórica.
al-jabrda
2.2. INICIOS DEL ALGEBRA Y CLASIFICACION
El álgebra se caracteriza por sus métodos, que conllevan el uso de letras y
expresionesliterales sobre las que se realizan operaciones.Está presenteen
toda la matemática, pues cualquier problema termina convirtiéndose en un
cálculo más o menos algebraico.
En las últimas décadas, el álgebra ha cobrado gran importancia. Sus
aplicacionesse han multiplicado debido a problemas tecnológicos,al análisis
y también a l¿ fisica, que ha podido expresar cuestionesfundamentales de
mecánica cuántica por medio de expresionesalgebraicas.
Para dar una idea de los inicios del álgebra es imprescindible remontarse
al concepto de número. Los números eran percibidos por los antiguos como
una propiedad inseparable de una colección de objetos, propiedad que ellos
no podían distinguir claramente.Más adelante,aparecenlas operacionescon
números como reflejo de las relaciones entre los objetos concretos, y los
hombres fueron descubriendo y asimilando las relacionesentre los números.
Finalmente, a medida que la vida social se hizo más intensa y complicada,
fueron apareciendoproblemas más complejos que impulsaron a perfeccionar
los nombres y <símbolos>de los números.
La primera etapa hacia los signos matemáticos y las fórmulas en general,
la constituye la aparición de los símbolos numéricos, que aparentementese
produjo al mismo tiempo que la escritura y que jugó un papel fundamental
én el desarrollo de la aritmética. Todavía en este tiempo, cualquier ley o la
resolución de un problema matemático se expresaba con palabras, pues la
utilización de signos para las operacionesaritméticas y la designaciónliteral
para la incógnita tuvo lugar mucho más tarde.
La palabra (ALGEBRA> proviene del titulo de un libro Al-iabr (algunos
usan Al-gebr) w'al-muqabalah,escrito en Bagdad, alrededor del año 825 por
el matemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi (Mohammed hijo de Musa nativo de Khwarizm), que muestra en sus trabajos la
primera fórmula general para la resolución de ecuaciones de primero y
segundo grados.
El título Al-jabr w'al-muquhaldft signihca <ciencia de la restauración..y
oposición>o (transposición y climinación>)o, como expresaCarl Boyer, la
38
x2+5x+7:7+4xt
y al-muqabalah da
x2+5x: 4x3
Esta obra fue traducida al latín en los primeros años del siglo xrr por
Juan de Sevilla y Gerardo de Cremona, y con el tiempo se le llamó simplemente Algebra.
El origen del vocablo responde s-atisfactoriamente
al contenido real de la
cicncia misma. El álgebra comienza en realidad cuando los matemáticos
cmpiezan a interesarse por las <operaciones))que se pueden hacer con
cualquier número, más que por los mismos áúmeros; es, en esencia, la
tJoctrina de las operacionesmatemáticas considerada formalmente desde un
punto de vista general con abstracción de los números concretos.
Para estudiar la historia del álgebra dividiremos su desarrollo en tres
frtscs:
La primera fase,que comprende el período de 1700 a. de C. a 1700 d. de
('.. se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de
ccuaciones.Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los
Sricgos(300 a. de C.),llamada álgebrageométrica,rica en métodos geométricos para resolver ecuacionesalgebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociadaa Viéte (1540-1603),
lnurca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes(1596-1650)contrihuyc de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento,
cl úlgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las
ccurtciones.Posteriormente,Euler (1707-1783)la define como la teoría de los
<c¡ilculoscon cantidadesde distintas clases>(cálculos con números racionalot cnteros, fraccionesordinarias, raices cuadradas y cúbicas, progresionesy
Irxlo tipo de ecuaciones).
Cabe señalar en este período los trabajos del ya mencionado en el
cnpitulo l, George Peacock(1791-1858),
tendentesa fundamentary justificar
39
las operaciones con expresiones literalcs. A cl sc dcbc el <principio de
permanencia> que decía:
<Todoslos resultadosdel álgebrauritntltitu t¡ucse detlucenpor aplicación
de susreglas,y quesongeneralesen su /ornu4 uunqueparticularesen su ualor,
son igualmenteresultadosdel algebrasimbl¡lica,dt¡ndesongeneralestanto en
su ualor comoen suforma>
distinguiendo entre álgebra aritmética, donde las letras representannúmeros
naturales y los signos + y - tienen el significado aritmético ordinario, y el
álgebra simbólica, donde siguen actuando las leyes del álgebra aritmética,
pero se elimina la restricción a los naturales.
El principio de permanencia alirmaba que todas las reglas que se verifican con los naturales, por ejemplo, conmutativa y asociativa de la suma y de
la multiplicación, y distributiva de la multiplicación respecto de la suma,
seguíanverificándosepara todos los demás números u objetos representados
por las letras. Así, la importancia del signilicado de los símbolos quedó
relegada a un segundo término ante la primacía de los símbolos por sí
mismos y sus leyes de combinación; por ejemplo, la adición signif,rcará
cualquier proceso que se ajuste a determinadas leyes.
Hasta este momento, finales del siglo xvrrr y primera mitad del xrx, el
álgebra era la ciencia de las ecuacionesy su problema fundamental radicaba
cn la teoria de resolución de ecuacionesalgebraicas.
En la segundamitad del siglo xrx, el álgebra presentó un notable impulso
dcbido a grandes matemáticos, entre los cuales destacamos las ideas de
Galois (1801-1832)sobre la teoría de ecuacionesalgebraicas.Teorías tales
como la de grupos, determinantes y matrices, por citar algunas, alcanzaron
$
un profundo desarrollo.
Todo esto favoreció el nacimiento del álgebra abstracta contemporánea
(3." fase),llamada algunas vecesálgebra moderna. En esteperiodo se prescinde de los números, de ahí el nombre de abstracta, y los objetos utilizados
pueden ser cualesquiera(matrices,vectores,tensores,etc.) sobre los cuales se
definen ciertas operaciones que verihcan unas determinadas propiedades,
construyéndoseel álgebra a partir de axiomas previamente definidos.
En la actualidad, la revolución de los ordenadores está creando nuevos
problemas sobre la mecanizaciín de los cálculos algebraicos,lo que lógicamente conducirá a un desarrollo aún mayor del álgebra.
La notación algebraica presenta también tres períodos claramente diferenciados:
. El período retórico o verbal, en el cual las operaciones se describían
con palabras. Este período se extiende desdelos babilonios (1700 a. de
C.) hasta Diophante (250 d. de C.).
. El período sincopado o abreviado, cuando empiezan a utilizarse algü-
40
nas abreviacionespara simplil'icarll rcsoluciónde los problemas.Este
período comienzacon Diophtntc y clura hastacomienzosdel siglo xvt.
La ecuación 2x3 + 8.v - (5.r2 + 4) : 44 se escribíaen notación de
Diophante así:
K-p
sry /r A=c
x32 x8 - x25
M¿
éo{(
1. 4
p6
44
. El período simbólico aparece en el siglo xvl y utiliza ya diferentes
simbolos y signos matemáticos. Esta notación que fue más o menos
estable en tiempos de Isaac Newton (1642-1727),se mantiene actualmente sin uniformidad total. Este período coincide con la 2." fase
anteriormente indicada que, como hemos señalado, está asociada al
nombre de Viéte, el cual comenzó a denotar por letras no sólo las
incógnitas, sino números dados previamente.
Así, la ecuación
.
xs - 15xa * 85x3 - 225x2-f 274x :
r2o
la escribiacomo
IQC - l5QQ + 85C - 225Q + 274N aequatur120
con
Nuestra notación moderna es debida a Descartes(1596-1650),
ligeras modificaciones posteriores
x3-6xx+13x-
l0oc0
El desarrollo histórico que hacemos a continuación no será lineal, sino
que nos vamos a hjar en tres aspectos que nos parecen fundamentales:el
Írlgebra geométrica de los griegos, que nos permite descubrir estrechasrelaciones con la geometría, la resolución de ecuacionesa través de los tiempos,
por su incidencia directa en la enseñanza y el álgebra moderna, por los
cambios introducidos en ella.
2.3. EL ALGEBRA GEOMETRICA
Los griegos, aunque se cree que conocían los métodos de los babilonios
(métodos puramente algebraicos) parala resolución de ecuaciones,desarroll¿¡ronmétodos geométricospara resolverlasy comprobar diversaspropiedadcs.
4l
En el libro II de Zos Elementos,de Euclidcs (3(X)a. dc C.) (el más corto de
todos ellos),hay 14 proposiciones que permitcn rcsolvcr problemas algebraicos. Actualmente, nuestra álgebra simbólica los rcsolvcría rápidamente, pero
el valor didáctico del álgebra geométricaes importante.
Citaremos a continuación la forma de probar la propiedad distributiva y
resolver ecuaciones.
La proposición I dice:
')
<Si tenemosdos líneas rectas y cortamos una tle ellas en un número
entoncesel rectangulocontenidopor las dos líneas
cualquierade segmentos,
rectas es igual a los rectanguloscontenidospor la línea recta que no fue
cortaday cada uno de los segmentosantertores.,
con la misma habilidad eran c¿rp¿rccs
dc rcsolverecuacionescuadráticas
de los tipos ax - x2 : b2 y a.u + t'2 : h2.
La representacióngeométrica dc cstas situacionesviene dada por la
construcción sobre un segm€nto¿r,de un rectángulo cuya altura desconocida
x debe ser tal que el área del rectángulo considerado excedadel área dada en
el cuadrado de lado x, en el primer caso
ax- x2: b2
con los segmentosa y b verlficando la relación a > 2b.
Esto es:
A
AD'AC:
AD'AB + AD'BC
-l
b(a c): b'a * b'c
y en el segundo ax * x2 :
b2, que se quede corto respecto del área A.
a
como podemosver, es la propiedaddistributivadel productorespectode la
asociativay conmusuma.De forma análogasedemuestranlas propiedades
tativa del producto.
La proposición4 nos permiteverifica¡la expresión
(x+y)':x2*y2*2xy
<Si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entoncesel cuadrado
construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los dos segmentosy dos
uecesel rectángulo contenido por ambos segmentos, (Fig. 2.1).
x2
x'y
x'y
y2
T
De esta forma, los griegosconsiguieronresolverlas ecuacionescuadrátic¡rs por medio de los procedimientosconocidos como de <aplicación de
¡ircas>.He aquí cómo lo hacian en el primer caso.Se basabanen la proposicirin 5, que dice:
<si cortamos una línearecta en segmentosigualesy desigualesenroncesel
rectángulo contenido por los segmentos desigualesdel total, junto con el cuadrado construido sobre la línea recta eilre los puntos cle corte es igual al
cuadrado sobre la mitad.,
En nuestra notación, para resolver la ecuación de segundo grado
o.\ -- x2 - b2, la aplicación de la proposición anterior equivale a lo
( x+ ylt:x2 *y2+2x¡
Figura 2.1
42
A
rigrriente: sobre la línea recta AB, detetminamos un segmento AB : a y
construimosun roctánguloABMK de áreaa.x. Fijando en ésteun cuadrado
rfc fado x, DBMH, obtenemos un nuevo rectángulo ADHK de área c-v -r2,
que es igual al área de un cuadrado de lado á.
y dividiendoambosresultados,
Esto es:
ax:
p- q
b
pn- qm
o también
es decir,
s
a
b2
_b_: pn- qm
q
p- q
a
b,
Lo resolvíanutilizandoel métodode la falsaposición,como los egipcios'
Posteriormente,Brahmagupta(siglo vu) expresa,ya de forma sincopada,
cómo resolverecuacioneslineales.La incógnita la representabapor la abrepor la primera sílabade las palabras'
viatura (ya), y las operaciones
:
cx | 4 la soluciónvendrádada dividiendo
b
ax
Dada la ecuación *
entre la diferenciade los coeftcientes
conocidos
los
términos
de
la diferencia
esto es,
de los desconocidos;
llcndo esto último el valor de x.
Veamosun ejemplo.Seala ecuación5x valor de x: x : 3 y x : 4, y sustituyendo,
5.4 - 10:p]
5.3 - l0:Q)
l! tiene que
d -b
x :
Estos métodospasaron a los árabesque lo extendieronpor Europa. Al
algebristaAbu-Kamil (siglosrx y x) se le atribuyeuna obra donde trata la
solución de ecuacioneslinealespor simple y doble falsa posición.
El método de la <doble falsa posición>es el siguiente:
Seala ecuaciónax t b : 0 y supongamosdos valorespara la x:
am+b:P\
an * b:4)
X: m )
x:n)
J0-20
- lo- t
Este principio fue posteriormCntepresentadoen una forma ligeramente
por el <método de las escalasD.El nombre proviene de un
que permitía escribir la solución rápidamente:
Lgs dos lineasde la izquierdarepresentanp y q y las de la derecham y n
cruz del centro indica que hay que multiplicar.
El métodopuedeser sintetizadocomo sigue:
a(m-n):P-q
L Considerandos valorescualesquierade la incógnitam, n.
2,
Por otra parte,eliminandoa en [1]
a m n l b m:q m)
10.3 - 5.4
1gq5
tll
restando,
a m n -fb n :p n \
l0 : 0, si tomamoscomo
l,
121
Calculanlos errorescorrespondientes
a ellosp, 4.
Hallan el valor de la incógnita en función de los valoresdados y sus
crrores.
nuestio ejemplo,
que restando,
b (n -m )-p n -q m
48
49
Hacemosnotar queen los textosoliginalcstrabajanen basesexagesimal.
Posteriormente,
los griegosdcl pcríodoalejandrinoabandonaronlos
métodosdel álgebrageométrica
y seaccrcarona los métodosde los babilonios.
Herón(100d. de C.) resuelve
la ecuación,rt+ 4x : 896,buscandoun
cuadradoperfecto:
con lo cual,
-'
10.3 - 5'4
r0-5
. Ecuaciones
cuadráticas:
x2+4x*4:900
Una ecuaciónde segundogradocon una incógnitaesuna expresiónde la
forma ax2 -l bx * c : 0, dondex es la incógnitay a, b y c son números
conocidoscona * 0.
Resolveresta ecuaciónconsisteen hallar los valoresde x que la satisfagan.
En los documentosegipcioscasi no aparecenestasecuacionesy en los
no pareceque conocieranun tratamienpoquísimoscasosque seencuentran,
to sistemáticopara su resolución.Sin embargo,los babiloniossí que las
resolvíancon soltura.
Las tablas de raíces cuadradasque poseíanles permitieron resolver
de la formax2 -t px : g x2 : bx 'f c y x2 + c
ecuaciones
inmediatamente
: bx. A menudo llamaban a la incógnita <longitud, y a su cuadrado,
<área>.
Entre los problemasresueltos,tenemosel siguiente:
<Hallar el lado de un cuadrado si su área menos el lado es igual a 870.>
Ilxpresamossu soluciónen notaciónretórica(columnade la izquierda)y
cn la notaciónactual (columnade la derecha):
xz - x:870
p : l;
Toma la mitad de I que es 0,50y multiplica
0,50por 0,50,que es0,25.Sumaestenúmero
a 870,lo que da 870,25.En las tablascomprobamosque éstees el cuadradode 29,50.
Suma0,5 a 29,5y el resultadoes 30,el lado
del cuadrado.
P l2 : 0 , 5 0
Ql2)2 : 0'25
Q:870
q + @1 2 )2 : 8 7 0 , 2 5
(x+212:900
x-1 2:30;
x:28
Diophante,el mayor de los algebristasgriegos,distinguetres clasesde
ccuaciones
cuadráticas:
ax2+bx:c
ax2=bxlc
axz+c:bx
pura cada una de las cualestiene un métodoespecífico
de solución.
Los hindúes(Iv d. de C.) en los tratadossobrela construcciónde altares
rcsuelvenya ecuaciones
cuadráticasdel tipo ax2 + bx : c. Trabajosposterioresofrecencon detallemétodosde resoluciónAryabhata(500d. de C.) da
fu rcglapara resolverla ecuación6x2 + 100x - 1600 : 0, medianteel
Algcbraretórica,que expresada
en nuestranotación:
@- to o l 2
6
po(lcmosexpresarlacon la fórmula actualmenteutilizada
-100 +
1002+ (4'6. 1.600)
12
E -;=t ---.-
\/\pt¿r+q+ptz:x
29,5+0,5:30
que esla raíz de la ecuación:
('omo vemos,lasdossonexactamente
lo mismo,con la excepción
de que
Aryhhataeliminala raiz negativa.
llrahmagupta
da dos reglasque podemosexpresarsimbólicamente:
x2-Px:q
Sin embargo,la segundasolución no la obtienen.
50
[,NIl/EÉ]J:
i nr,r ^l rr,rr¡0.,..
FRANCf¡i:{r
_jú:,.
SIsTr*.
¿t
(.¡rL i.)¡:,,
.sl
Como ax2 + bx : c, sust it uim os¿r 2\ l * ubx por a'ci
a(-
h
/ h\2
u(+l ')
2
trl
(l
Trabajos posteriores, tales como los de Sridhara (siglo xl) y Bháskara
(siglo xu) describen que la ecuación cuadrática tiene dos raíces, que un
número negativo no tiene raiz, y que un número negativo puede ser raiz de
un número positivo.
El método utilizado en el álgebra hindú es esencialmenteel <método de
completar cuadrados>, usando nuestra notación desarrollaríamos así:
Sea la ecuación ax2 + bx :
Por otra parte, el área del cuadrado total es (ax 't bl2)2, siendo la
longitud del lado
(ax + bl2)
trI]
De [I] deducimosque la longitud del lado será:
f f i;
c
c igualandocon [II] resulta
Multiplicamos el término independiente por
el coeficiente"de la x2, añadimos el cuadrado
de la mitad del coeficiente del término en x
y a su raiz cuadrada le restamosla mitad del
término independiente, que dividido por el
coeficientedel término en x2 nos da el valor
de la incógnita.
b
ax.r 1:
a' c
b
2
y despejando la incógnita:
b
2
l)csde el punto de vista didáctico se tiene una interpretación geométrica
sll¡lcr0ntc:
lrl mótodo consiste en sumar el área rayada de la frgura al resto:
b12
ll2abx
[7F + ac
J\t
xLos conocimientos algebraicósde los indios pasaron a China y al Oeste a
través de los árabes. Sin embargo, éstos también recogieron los trabajos de
los griegos y por ello su álgebra incluye pruebas geométricas para resolver
ccuaclones.
Al-Khwarizmi distinguía tres tipos de ecuacionescuadráticas:
x2+bx: c
(a2x2 + abx) +
ll2abx
u2 12
(t
/ h\2
x2: bxt c
x2+c: bx
Como vemos, no incluían términos negativos y las soluciones negativas
Iumpoco eran aceptadas.
Las demostraciones de sus métodos fueron geométricas. Por ejemplo,
ptra resolver
bl2
52
x2+bx: c
utilizaban el equivalente a la aplicación de la firrnlula
x-
l)
+ t' -
fuc cl prinrcroquc usó términosnegativosen
MichaelStifel(1487-1567)
cuadráticas:
Considerótres clasesdc ccuaciones
susecuaciones.
x': t '
L
x2 :
Tal método era justifrcado de la siguiente forma:
El área del cuadrado de la frgura siguiente puede ser expresada como
l. * r(il]' o x2+^(T).,(#)
- ár
b-r -('
+c
x2: bx
y da como soluciones
b
=t
Un avanceimportantesurgiócon FrangoisViéte.No solamenteintrodujo una notaciónalgebraica,sino que también reemplazílos métodosbasaalgebraicos.
por otros estrictamente
dos en pruebasgeométricas
Por ejemplo,resolvamos
x2+bx:c
bl4
como la sumade dos númerosu y z.
Se suponeque x puedeexpresarse
Sustituyendoen la ecuación,
bl4
Simplifrcandoe igualando estasexpresiones,
/
h \2
(" + l l
\¿/
: r'+ b x +
(b Y
b2
\"*z/:c*
4
y hrrflando la raiz cuadrada,
. + t:ffi;
cst()es. la solución buscadaserá
" :J l .z / * ' - i
54
b
z)' +b(ulz):s
u2 + (22 + b)u1-z2lbz:c
b2
4
tomamosz :
y volviendoa la ecuaciónoriginal tenemos
FtY
(u -r
-;
b
¿
lr2 -
b2
4
luego
y a partir de u, obtendremospor sustituciónel valor de .r.
Viéte estudió también las relacioncscnlrc los cocficicntcsy las raicesde
la ecuacióncuadráticae introdu.io un mólodo tlc aproximitci(rn,
La resolución de una ccu¿rci(rndc scgtrttrlogrtttltt tittnlriótt sc pucdc
tt
realizar gráficamente.Damos valores arbitrarios a ra.r y
con los valores que
toma la expresión ax2 + bx * c trazamos cr gráficoj que
resulta ser una
parábola' Los valores en que la gráfica corta ar i1" ox,son
las solucionesde
la ecuación.
Por ejemplo, sea x2 i x - 6 :
h cuya representaciónes la siguiente
parábola:
Los babilonios nos han dejado va'ios c.jcnrplosde resoluciónde ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, las de la form¿r \.r : rr, las resolvian directamente
con las tablas de raícescúbicas quc mancjaban con soltura, y, cuando la
solución no era exacta, realizaban una intcrpolación lineal para buscar una
aproximación.De forma similar hallaban las solucionesde
x3+x':o
buscandoen las tablasel producto
xz(x+l\:a
En casosmás generales
como
x2(l2x+l):714
realizabanlas siguientesoperaciones:se multiplicaban por 122,,
(l2x)2(l2x+l):252
luegolas soluciones
son:
X :2
X :-3
Si tenemosuna parábola que no corta al ejeox,como en er caso
x2 + c,
con (' > 0, las raíces de la ecuación vendrian dadas por
los números
complejosx : +ir/i.
Los griegos conocieron bien la parábola y sus propiedades y
las otras
seccionescónicas.sin embargo, sus proposiciones ibin encaminadas
a analizar las relacionesentre las seccionescónicas y las expresiones
relativas a dos
variables x e !, y no a la solución gráfica de ecuaciones.
A Descartes debemos en gran parte la aproximación moderna
de la
clasificación de las ecuacionespor grado y la ielación de la geometria
y el
álgebra,.que hacen posible la combinación de los métodos"ulgeur"i"*
y
geométricos.
realizandoel cambio| :
Y2(Y+l):252
y una vez hallado el valor de y, se reducíael problemaa la soluciónde la
ecuaciónfineal citada(y : l2x).
Lo que no sabemoses si resolvianla ecuacióncúbicade tipo general
ax3+bx2+cx*d:O
Hipócratesde Quios (430 a. de C.) fue el primero que observóque el
famoso problema griego de la <duplicacióndel cubo> era equivalentea
buscardos mediasproporcionalesen proporcióncontinuaentre dos rectas
dadas:
9 :!:v
. Ecuacionesde grado mayor que dos
comencemos por estudiar las ecuacionesde grado 3, que como
es sabido
responden a la ecuación general
a x 3 + b x 2 + c x Id :0
donde a, b, c, d, son números reales y a + O.
56
l2x, se tiene
xy2a
de donde,
x2
u
/2 :
2ax
JI
cardano (1501-1576)describeen su ,4r,sMtrgtru,métodos de solución de
ecuacionescúbicas,aunque,tal como él mismo dicc, no fue el descubridorde
la solución.
Dejando a un lado detallessobre esta historia,pueslos datos son contradictorios, veamosalgunos ejemplosde solución:
sea la ecuación x3 + 6x : 20. La resolución de esta ecuación en la
forma retórica que utilizaba cardano ocupa varias páginas. con la notación
actual, al sustituir x por u - u y u. u : 2,tendríamos
(u -u )' + 6 (u -u ):2 0
de donde
u3 -
3u2uI
3uu2-
u3 + 6u -
6u :20
u 3 -6 u + 6 u + 6 u -6 u -u 3 :2 0
obteniendo entonces,
Viéte, en el siglo xvII, muestra quc utlit ccuación cuadrática puede reducirse a una ecuación cúbica. Un siglo clcspuósya se conoce que las ecuaciones cuadráticas,cúbicaso cuárticasticncn, rcspcctivamente,2,3o 4 raicesy
se comienza a preguntar si este resultado sc pucde extender a ecuacionesde
grado superior. La respuestaa esta cuestión nos la da el TeoremaFundamental del Algebra, que afirma:
1 + "' + aú +
<Toda ecuación algebraica de grado n, anx' I an-tx'
* ao : 0 con coeficientesreales o complejos tiene al menos una raíz real o
compleja.>
La primera demostración se debe a Gauss (1777'1855)que la expone en
su tesis doctoral. Sin embargo, en ésta quedan algunos aspectosno del todo
claros, por lo que Gauss da hasta cuatro nuevas demostraciones.
Este problema fue también estudiado ampliamente, entre otros, por
D'Alembert (1717-1783),Euler (1707-1783)y Lagrange (1736-1813).En la
actualidad se han obtenido varias demostraciones rigurosas de este teorema.
u 3 -u 3 :2 0
Si eliminamos u :
/a
. Sistemas de ecuacioneslineales
?, se tiene
u, - (,Y
\u/
El sistema formado por las siguientesecuaciones,
:
^,
es decir, u6 - 23 : 2ou3
Si, por último, hacemosu3 : t, tenemost2 - 20t - g : 0, de donde
:
asi:u3 :
l0 + .r/tOS;u3 : /OS
x: /fTF+
l0 * ./i08
- 10,obteniendolinalmente,
1o- V-vlim- lo
lintonces, para el caso general, Cardano expone que la solución de la
ccuaci(rnx3 ! px : q, vendrá dada por la fórmula:
.Y-
@ 1 3 )" + (q l2 )' -q l2
llstudió también otros casosy cuando se le plantearon problemas con las
rrríccsnegativas,las llamó <sofisticas>,argumentando que estos resultados
cr¿rn(tan sutilescomo inútiles>.
ó0
ax* bY :cf
¿, +
"y
: fI
'
con
a' b' c' d' e' 'f' números reales
recibe el nombre de sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas.
Resolver el sistema consistirá en hallar'las soluciones de ¡ e y, que lo
satisfagan.También aquí puede ocurrir que haya una única solución, que no
haya ninguna o que sean infinitas.
Como hemos ya señalado,fueron resueltospor los babilonios, los cuales
llamaban a las incógnitas con palabras tales como <longitud>, <<anchura>,
sin que tuvieran relación con problemas de medida.
<área>>,
o <volumen>>,
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de
un sistema de ecuacionesen los siguientestérminos:
ll4 anchura * longitud :
longitud * anchura :
7 manos
10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía scr: anchura : 20, longitud : 30. Para compro-
6t
barlo utilizabanun métodoparecidoal de eliminación.En nuestranotación.
sería:
y * 4x:
28.)
y + x:
101
restandola segundade la primera,seobtiene3x : 18,esdecir,x : 6 e y :
-4.
También resolvíansistemasde ecuaciones,
donde alguna de ellas era
cuadrática.Por ejemplo,
xl:10
1
9(x - y)' : *'!
sustituyendoy por lOlx en la segundaecuación,se tiene:
9x2 -
l8x.l\lx -t 9(l0lx)2: ¡2
quedandodefinitivamente
8xa -"180x2 * 900 : 0
llegandoa la anterior ecuaciónbicuadráticaque sí sabíanresolver.otras
veces,lassustitucioneserandeltipox
: u I u;y: u - u.
Los griegostambiénresolvíanalgunossistemasde ecuaciones,
pero utilizando métodosgeométricos.Thymaridas(400 a. de c.) había encontrado
una fórmula para resolverun determinadosistem
a de n ecuacionescon r
incógnitas.
La expresión
x:
(k, + k, + '.'+
kn_) - s
n-2
permiteobtenerlassoluciones
del sistema
\
62
Diophante
Mediante sistemas
. r¡1 0 + x
y x l0 -x
(1 0+ x )2 + (1 0- x ) 2 : 2 0 8
1 0 0 + 2 0 x t x 2 -1 0 0 - 2 0 x -x 2 : 2 0 8
200+2x2:208
2xz : 8; x2 :4; dedondex : 2
x+Y:20
x2+y2:208
sustituyendox : 20 - ¡ en la segundaecuación,
(20 - y)' -f y2 : 208
nos apareceuna ecuaciónde segundo grado.
Los númerosbuscadosson 8 y 12.Diophantesólo aceptabalas solucionespositivas,pueslo que buscabaera resolverproblemasy no ecuaciones.
Utilizí ya un álgebrasincopada,como hemosseñaladoanteriormente.Sin
embargo,una de las dificultadesque encontramosen la resoluciónde ecuacionespor Diophantees que carecede un métodogeneraly utiliza en cada
problemamétodosa vecesexcesivamente
ingeniosos.
Los sistemasde ecuaciones
aparecentambiénen los documentosindios.
No obstante,no llegana obtenermétodosgenerales
de resolución,sino que
resuelventipos especiales
de ecuaciones.
(siglom a. de C.),
El libro El arte matemático,
de autor chino desconocido
En ellosenconcontienealgunosproblemasdondese resuelvenecuaciones.
tramos un esbozodel método de las matricespara resolversistemasde
lineales.Uno de dichosproblemasequivalea resolverun sistema
ecuaciones
linealespor dicho métodomatricial.
de tres ecuaciones
Seael sistema
3x-l 2y-f z:39
2x+3y+
z- 34
x-l 2yl3z:
26
escribíanla matriz de la siguienteforma:
,r + ,r1 + x 2 + ' .. * rn _ r
J+Jrt
Diophanteresuelvetambiénproblemasen los que aparecíansistemasde
pero transformándolos
en una ecuaciónlineal.Por ejemplo,para
ecuaciones,
y,
x
e
cuya
suma
sea20 y la sumade suscuadrados208,
hallardos números
realizabalos siguientescálculos:
-kl
t"
-k2
*
xr-r
:
kn-t
63
y haciendo operacionesentre las columnas cJcla matriz obtenían un sistema
más sencillo cuya solución era inmediata:
(2."col. x 3)
(2.^col. x 3." col.)
(2."col. _ 3.. col.)
Al expresaralgebraicamentela condición o condicionesimpuestaspor un
problema que trata de determinar cicrtos números, pueden resultar ecuaciones o sistemas indeterminados. La cuestión puede presentar dos aspectos
diferentes:
las soluciones de la ecuación o sistema planteados convienen al
problema, y
2. el enunciado del problema impone ciertas condiciones en virtud de
las cuales se determinan o, al menos, se seleccionanlas soluciones.
l.
y así sucesivamentehasta
de donde esta última matriz nos proporciona las ecuaciones
362 : 99
,,5y+ z:24
3x+2y+
z:39
Tengamos en cuenta que la resolución de sistemaslinealesde ecuaciones
Un tipo de ecuacionesrelacionadascon el segundo aspecto señalado son
las <ecuacionesdiofánticas>, llamadas así en honor del matemático griego
Diophante, y que son ecuacioneslinealescon distintas variables de coeficientes racionales y con la condición suplementaria de que sólo admiten como
solución números naturales y pueden hacerseextensivasa solucionesenteras.
(Si se trata, por ejemplo, de número de ciudadanos, no podemos admitir
solucionesfraccionarias).
Para que una ecuación lineal con dos o más incógnitas y de coeficientes
enteros admita solucionesenteras,es condición necesariaque el m.c.d. de los
coeficientesde las incógnitas divida al término independiente.
En efecto, sea la ecuación lineal
A x + By+
. . . + Eu :
F,
A, B, . . . , E, FeZ
si D es el m.c.d. (A, B, ..., E) y designamos por a, b, ..., e los coeñcientes
obtenidos al dividir aquéllos por el m.c.d., es decir:
A: Da,
B: Db, . . . ,
E: De
la ecuación anterior puede escribirse
D(ax -l by + '.. -l eu) :
. Ecuacionesdiofánticas
Si se tiene una ecuación con más de una incógnita, las soluciones de la
misma son indeterminadas. Así, si consideramos la ecuación
5 x + y :3 9
a cada valor que se atribuya a x se le asocia el correspondientevalor de y en
la fórmula
!:30-5x
64
¡;
tll
Si esta ecuación se satisfacepara valores enteros de x, y,..., z resultará que
para estos valores, el primer miembro de [] es múltiplo de D, luego,
necesariamente,si existen soluciones enteras, son tales que F es múltiplo
de D.
Por tanto, la ecuación diofántica ax * by : c, donde a, b y c son
números enteros positivos, es resoluble precisamentesi el m.c.d. de a y á es
un divisor de c. Además, si (xo, yo) es una solución, el conjunto de soluciones
está formado por todos los pares
(xo + tb, lo -
ta),
con t e Z
Una parte considerablede la <aritméticu de Diophante está dedicada a
problemas indeterminados en los que las soluciones que se requieren son
65
I
i:
Aunque la idea de matriz está implícita en los cuaternionesde Hamilton
se atribuye a Cayley
y en la extensióna n-uplas de Grassmann(1809-1877),
(1821-1895)su creación.
La teoría de matrices de Cayley tuvo su origen en el estudio de las
transformacioneslineales. Simultáneamente,Sylvester(1814-1897)amplía la
teoría de los determinantesy publica, entre otros, un método para eliminar x
de dos ecuacionespolinómicas de grados n y m.
más conocido por Lewis Carroll'
Posteriormente,Dodgson (1823-1898),
enriquecerála teoría sobre determinantes,y otros, como Frobenius y Jordan,
tr abajarán sobre matrices.
Las nociones de determinante y matriz, consideradascomo innovaciones
en el lenguaje matemático, se revelaron altamente útiles, no sólo en el
desarrollo mismo de las matemáticas,sino como instrumento de cálculo que
forma parte de las técnicas del matemático moderno.
A George Boole (1815-1864)debemosotro tipo de álgebra,el álgebrade
Boole, que se aplica al álgebra de conjuntos o a la lógica, y, más recientemente, en el diseño de computadoras.
Despuésde 1870,con la obra de Benjamín Peirce(1809-1880),se da un
paso hacia una concepción más abstracta con el concepto de álgebras lineales asociativas,las cuales incluyen como casosparticulares el álgebra ordinaria, los vectoresy los cuaterniones.
Proponemos a continuación unas actividades tipo para alumnos de la
escucla obligatoria, utilizando el recurso didáctico que supone el conocimicnto dcl desarrollo histórico del álgebra:
()hfutitto Resolverecuaciones
de segundogrado.
Ni rr , / 13-l5 años .
de ciertasecuaclones
métodospara encontrarsoluciones
lctiuidud. Existendiferentes
{c scgundogrado,uno de ellosesel métodogeométricoutilizado,entreotros,por AlKhwarizmi,matemáticoárabedel siglo tx, asociadoa un problemade medidade
árcas.
Así,por ejemplo,para encontraruna soluciónde la ecuaciónx2 + l2x : 64,se
procedede la manerasiguiente:
se construyen
- Alrededorde un cuadradode lado x (cuyo valor se desconoce)
parte de 12,
que
la
cuarta
(obsérvese
3
es
y
x
3
lados
rectángulos
de
cuatro
de x) (Fig. 1).
coeficiente
- Cada rectángulorayadode la hgura tieneun áreade 3'x.
es iguala
- Elirea del cuadradopequeñoque estáen el centro(concuadriculas)
-El
-x
68
x2.
área total de la zona rayada vale x2 * l2x.
es la solución de la ecuación si, y solamente si, esta área es igual a 64. Por
otra parte, para obtener el área del cuadrado grande hay que añadir a las
zonas rayadas,4'3'3 : 36 (los cuatro cuadradosesquinasde lado 3)'
+ l + )t + J +
Fig. t.
-
El área total del cuadrado srande será:
64+36:100
y, por tanto,su ladoserá10.
-
Con ayuda de x también podemos expresar el lado del cuadrado grande
como 6 * x, de donde una solución de la ecuación dada será 4.
Utilizar el procedimiento de Al-Khwarizmi para encontrar una solución de las
ecuaclonqs:
a ) x 2 + l Dx :3 9 .
b ) x 2 + 8 x :6 5 .
Objetiuo: Resolver ecuacionesdiofánticas.
Niuel: 14-16 años.
Actiuidad: Uno de los métodos para resolver ecuaciones diofánticas se basa en el
procedimiento ideado por Euler que vamos a aplicar a la resolución del siguiente
problema:
<Si se compran fascículosde 680 y 760 ptas. cada uno, y se ha pagado un total de
11.760ptas., ¿cuántosfascículoshemos adquirido de cada precio?>
Si llamamos x al número de fascículosde una clasee y al número de fascículosde
la segunda clase,se tiene la ecuación:
6 8 0 x+7 6 0 y:1 1 .1 6 9
Para resolverla se busca primeramente una solución particular despejando la
incógnita de coefrcientemás pequeño:
r:
li
-
l'+
'17
5_2v -
69
Ii
il
i¡/)
I
Además,como x, y son númerosenteros,llamaremosI al valor que tomará
\-)t
"
t7
-t , es decir.
,:-
a)
b)
c)
d)
5 -2 v
17
x2+ l 2x-64: 0
x2-l 2x
+64: 0
x2-8x+ 64 : 0
x2-6x-10: 0
3. Demostrarla propiedadasociativadel productopor los métodosde los griegos.
la y, se tiene
que despejando
l :-Bt+ 2 +
t-t
2
y e Z, t e Z, entoncest : - 1, luego,sustituyendoestevalor en la expresióndada
de x, se tendráque x : 5
x :
I :
de los griegosresolveren las
Utilizando los métodosdel álgebra-geométrica
que seaposible,las ecuaciones
situaciones
5 fascículosde una clase
ll fasciculosde la otra clase
Si se tienein cuentaque la solucióngenerales
4. Resolverla ecuaciónx + ll2x :
5. Hállesela edadde Diophante,tomandolos datosdel epigrama.
utilizadaspor los egipciospor el métodode la
siguientes
6. Resolverlasecuaciones
<falsaposición>>
o regulafalsi.
t: )
6x
b) x+2x:8
a) ¡ +
c)
x :5 + 1 9 ft
Y :l l -l 7 k
y que ,r > 0;.y > 0, no existenmás solucionesque para el valor t : 0'
- Utiliza esteprocedimientoPara:
a) Hallar todaslas solucionesenterasde la ecuación15x - 130y : 35'
b) En una escuelade Magisterio,la especialidadde Cienciastiene un número de
alumnoscomprendidoentre 250 y 300, distribuidosen tres grupos:en el
primero hay ios 19/35 del total, en el segundo hay Ul4 del total y en el
y
i.rr..o estáel restode los alumnos.¿Cuántosalumnostienela especialidad
gruPos?
cadauno de los tres
16 por el método de la regulafalsi.
d)
e)
0
I'
r
i:l
I
xz+
,:
il
ll
x+3x+rx:10
x+3x+5x:30
'1
I
x + jx 1x:
a
7. Fórmesela ecuacióncúbica cuyas raícesson I t
métodode Cardano.
.fi
y -3 y aplíqueseel
De Morgan propusoel siguienteacertijo:<En el año x2 teniax años.>Resolverlo.
utilizandoel <métodode la doblefalsaposisiguientes
9. Resolverlas ecuaciones
cióu o <métodode lqs escalas>.
a) 2x-5:0
EJERCICIOS
1. Empleandoel métodode Viéte,resolverlas ecuaciones:
a) x 2- l4x + 4 0 :0
b) x 2 - l4x - 3 2 :0
c) x2 + 7x - 60.750: 0
70
b)
c)
|+ t : o
x -3
.
-l : 0
)v+7
- -2: 4
d)'5 -' -'
7l
por.elmétodode completar
10. Resolverlasecuaciones
de segundogradosiguientcs
cuadrados:
a) x 2- llx : - 9
ll.
Expresaren lenguajehabituallos pasosdel algoritmoque utilizabanlos babilonios para resolverecuaciones
de segundogrado de la forma x2 I px : q.
12. Obtenerpor el métodode factorizaciónlas solucionesde las ecuaciones
cuadrá-
El álgebray los estadios
del desarrollo
ticas siguientes:
a ) x 2+ 7x - 60: 0
13. Los babiloniosconocíanla existenciade valoresx, y, z talesque x2 + y2 : 22,
pero se debe a la escuelapitagóricala soluciónparticular de esta ecuación
diofántica:
x :
rl 2 (n 2- l ),
y : n,
z :
l l 2(n2 + l )
con z impar, solución que probablementededujeron de la propiedad <todo
número impar es diferenciade dos cuadrados>.Probar ambasalirmaciones.
3.I. INTRODUCCION
La posibilidadde reconocerlos estadiosgenerales
del desarrollointelectual, representado
cadauno de ellos por un modo caracteristico
de razonamiento y por unas tareasespecíficas
de matemáticasque los alumnosson
capacesde hacer,constituyeuna información valiosapara los profesoresa la
hora de diseñar el material de enseñanzay permite conocer el nivel de
y respuestas
realizaciones
a cuestiones
esperadas
de los alumnos.
Dentro del marcode la psicologíacognitiva,los trabajosde Piaget,Collis
y del ChelseaC.S.M.S.Project (Conceptsin SecondaryMathematicsand
Science),
señalanpautasde estedesarrollogeneraldel conocimientode los
alumnosrelacionadocon susactuacionesen matemáticas,
en general,y del
álgebra,en particular.A ellosnos referiremosbásicamente
a lo largo de este
capítulo.
3,2. LOS ESTADIOS DEL DESARROLLO EN PIAGET
La psicologíaevolutiva se centra en el desarrolloo evoluciónde los
niños,enfatizandolos aspectosrelacionadoscon el aprendizajey los procesosde cognición.Estedesarrolloque comienzadesdeel nacimientodel niño,
va conformando
un procesode evolucióny maduración.
Los estadios
de este
procesoson universales,
propias.
aunqueca{a niño poseecaracterísticas
La personalidadmás importante de esta corrientees J. Piaget.Piaget
señalaque el desarrollode la inteligenciade los niños es una adaptacióndel
individuo al ambienteo al mundo que lo circunda.Aborda el problemadel
desarrollode la inteligenciaa travésdel procesode maduraciónbiológica.
'72
I
il{
li:
lll
'll
,ll
J)
En esteenfoque,la palabraaprendizajetienc un doble sentjdo.El primero,
más amplio, se refiereal propio desarrollode la inteligenciacomo proceso
espontáneoy continuo que incluye maduración,experiencia,transmisión
socialy desarrollodel equilibrio.El segundose limita a la adquisiciónde
nuevasrespuestas
para situacionesespecíficas
o de nuevasestructuraspara
determinadasoperaciones
mentales.
forma distinta de pensar y estructurarlas cosasque origina una nueva
comprensióny satisfacciónal sujeto. En definitiva, un e-tudo de nuevo
equilibrio.
tiempo. Piaget distinguetres estadiosde desarrollocognitivo,cualitativamentediferentesentre sí, que se subdividenen subestadios.
I.
Estadio sensoriomoror,
abarcadesdeel nacimientohasta los dos
primeros años de vida. período sensorialy de coordinációnde
accionesfisicas.
II. Estadiode operaciones
concreras,
abarcadesdelos dos a los onceo
doceañosde edad.consisteen la preparacióny realizaciónde las
operaciones
concretasde clases,relaciones
y números.Estesegundo
estadiose subdivideen:
a) Períodopreoperacional
(dos a sieteaños).período de pensamiento representativo
y prelógico.
b) Período operacionalconcreto(sietea once años).período de
pensamientológico concreto.
III. Estadiode operaciones
formales,se inicia alrededorde los once a
doceañosy alcanzasu plenodesarrollotresañosmás tarde.período del pensamientológico ilimitado.
El ordenpor el que pasanlos niñoslas etapasde desarrollono cambia,es
decir,debenpasarpor las operaciones
concretaspara llegaral estadiode las
operacionesformales;pero la rapidez con que pasan l,osniños por estos
estadioscambiade personaen persona.
En los niñosno seproducencambiosfrjosque apaÍezcande
la nochea la
74
mañana.Hay períodosde desarrol[r co¡ti¡u9 que se sobreponen;de hecho,
su desarrollosensoriomoCuandoun niño entra en la etapa ¡rrcopct'aciotral,
tor continúa, a pesar de que la nucv¿tcapacidadde pensamientorepresentacional seael rasgo dominante del pcríodo. lgualmente,un niño que sustenta
un pensamiento operativo concreto en una labor de permanencia (v'g. capacidad para retener un número) puede estar en la etapa preoperacional con
relación a trabajos más complicados de permanencia.
Análogamente, a medida que el niño entra en el período de las operaciones formales el pensamiento operativo concreto continúa en varias áreas,
para, poco a poco, llegar a ser integrado en un sistemamás comprensible de
operacionesformales. El razonamiento operativo formal no siempre funciona con toda su capacidad, y en determinadas circunstanciasbaja a un nivel
inferior de pensamiento. Adultos y adolescentes,a menudo, regresan al
pensamientode operacionesconcretas y aun al pensamiento preoperacional
cuando se les expone a nuevas áreas de aprendizaje, beneficiándosecon
experienciasconcretasen estasáreas antes de avanzar a niveles abstractosde
pensamlento.
Acerca de su concepto de <período de desarrollo>, Piaget señala que no
hay periodos estáticoscomo tales.Cada uno es conclusión de algo comenzado en el que precede y el principio de algo que nos llevará al que sigue' De
esta forma, como ya hemos señalado, las operacionesconcretas llegan a ser
integradas en las operaciones formales. En el período de las operaciones
concretas,la acción fisica y mental del niño hacia objetos crea operacionesy
relaciones. En el período operativo formal, la acción mental hacia esas
operaciones y relaciones, da por resultado operaciones de operaciones y
relacionesde relaciones.
En el esquema siguiente pueden verse estos estadios y sus principales
características.
Estadios del desarrollo cognitiuo según Piaget
[. Sensoriomotor
Al nacer, el mundo del niño se reduce a sus acciones.El
niño no es capaz de representacionesinternas de sus
acciones (lo que usualmente consideramos como pensamiento). Ausencia operacional de símbolos. Estadio
prelingüístico. Los objetos adquieren permanencia,aun
cuando éstos (cero a dos años) están fuera de su propia
percepción. Desarrollo de los esquemassensoriomotores. Finaliza con la iniciación de la conducta dirigida a
un objetivo y la invención de nuevas soluciones, es
decir, con el descubrimiento y las combinaciones internas de esquemas.
n 5T?i'TAti vF-RsI'i)AD I
tJt¿
( : A t - { ) A7' :5
,ii*atS116 'itii;i: 'rt
Hrht rrrr: \-* I
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Estadíosdel desarrollo cognitiuo .tt'gún l,iugt't ( t tmtinuación)
Estadios
II.
Operaciones
concretas
Ila) Preoperacional
(2-7 años)
('a n¡ctcristicas
El pensamiento infantil ya no está sujeto a acciones
externasy se intcrioriza. Inicio de las funcionessimbólicas. Representación significativa (lenguaje, imágenes
mentales,juegos simbólicos,invencionesimaginativas,
etc ). A pesar de los grandes adelantos en el funcionamiento simbólico, la habilidad infantil para pensar lógicamente está bastante limitada:
. Ausencia de reversibilidad: incapacidad para invertir
mentalmente una acción fisica para volver a su estado original.
. Ausencia de concentración: incapacidad para retener
mentalmente cambios en dos dimensiones al mismo
tiempo.
o Lenguaje y pensamiento egocéntrico: incapacidad
para tomar en cuenta otros puntos de vista.
II. Operaciones
concretas
ilb\ Operacional
concreto
(7-llll2 años)
III.
Operaciones
formales
(lrlr2-l4l15años)
76
El niño mejora su capacidad de pensamiento lógico
ante los objetos fisicos. es capaz de pensar en objetos
fisicamente ausentesque forman parte,de experiencias
pasadas,pero no con hipótesis verbales.El pensamiento infantil está limitado a cosas concretas en lugar de
ideas.
Adquiere la reversibilidad que le permite invertir mentalmente una acción que antes sólo habia llevado a
cabo fisicamente, la inclusión lógica, la clasificación y
ordenamiento de objetos, la habilidad'para conservar
ciertas propiedades de los objetos (número, cantidad) a
través de los cambios de otras propiedades,la capacidad de retener mentalmente dos o más variables cuando estudia los objetos.
Se vuelve más sociocéntrico,cada vez es más consciente de la opinión de los otros.
Las operaciones matemáticas básicas surgen en este
período.
Habilidad para pensar más allá de la referenciaa experiencias concretas. Capacidad de usar, a nivel lógico,
enunciados verbales y proposiciones en vez de objetos
concretos únicamente.
Habtlidad pata pensar teóricamente sobre las consecuencias de los cambios de objetos y sucesos.
Habilidad para razonar acercade las combinacionesde
las variables en un problema.
Capacidad para comprender reglas generalesde ejemplos particulares.
Capacidad para deducir de proposiciones generales
conclusionesparticulares.
3.3. LOS ESTADIOS DE DT]SARR0I,I,() Y LAS MATEMATICAS
En el parágrafo anterior hcmos lcc()gi(louna breve aproximación a los
nivelesde pensamiento(estadiosdc dcsarrollcl)cn el marco de la psicología
del desarrollode Piaget.Ahora qucrcrn()sprcscntarestosaspectosrelacionados con la enseñanza-aprendizajede las matemáticas,describiendocada uno
de ellos por su manera característicadc razonamientoy por los tipos de
tarea que los alumnos pueden hacer.
Los trabajos iniciales de Piaget, los posterioresde Collis y los del Chelsea
C.S.M.S. Project, señalan un camino en el desarrollo en los niños del estadio
operacional concreto al estadio operacional formal, en el contexto particular
de la enseñanza-aprendizajede las matemáticas.
En síntesis,los estadios del desarrollo cognitivo, tal como podrían derivarse de los trabajos de Piaget y propuestos por Collis (1980), serían los
cinco estadios siguientes:
(0)
(1)
(2)
(3)
(4\
Preoperatorio (cuatro a seis años).
Temprano de operacionesconcretas (siete a nueve años).
Final de operacionesconcretas (diez a doce años).
De generalizaciónconcreta (formal temprano) .(trecea quince años).
De operacionesformales (dieciséisaños en adelante).
Como ya se señaló, las edadescronológicas correspondientesa los estadios son solamente orientativas, varían mucho de una a otra cultura, de una
a otra persona y de una a otra tarea en la misma persona. Es el orden de
sucesiónde los estadios lo que permanece invariante.
Analizamos ahora los cuatro últimos estadiosdel desarrollo cognitivo en
el aprendizaje de las matemáticas, en el marco de los trabajos de Collis
(1975a, 1975b y I 980),quien ha intentado examinar algunos conceptosmatemáticos respecto al tipo de items que pueden usar los alumnos en los
distintos estadios, relacionándolos con los diferentes ítems científicos estudiados por INHELDEny Pncrr (1958).
Asi,el estadio(l) ( tempranode operacionesconcretasl se manihesta por la
capacidad de los alumnos para trabajar significativamentecon operaciones
simples sobre elementos concretos. Ambos, elementos y operaciones,deben
estar relacionados con objetos llsicos y con operaciones realizablesexperimentalmente. Por ejemplo, y en lo que se refiere al sistema de numeración,
aparte de la utilización de una de las cuatro operaciones de la aritmética
elemental con números pequeños, la concreción de las operaciones debe
venir garantizada por alguna analogía fisica, y la concreción de los números,
aseguradapor la disponibilidad del material fisico. El niño puede calcular 6
+ 3 : 9, imaginando un conjunto de seisy tres elementoscolocadosjuntos
y contados. Aun con estasrestricciones,el niño parece necesitarla operación
clausuraday con un resultado írnico para que la operación tenga sentido
71
y atrabajarcon fórmulascomo V : u x b x c, siempreque selescapacite
a un úniconúmeroy que cada
para teneren cuentaquecadaletra representa
momento'
cualquier
en
puede
clausurarse
operaciónbinaria
no tiene necesidadde
El
alumno
.
(
El estadio@) de operaciones
f'ormales)
ellos con modelos
de
la
combinación
o
operaciones
relacionarelementos,
abstractobien
sistema
un
realidad
y
puede
como
tomar
fisicos,
análogos
la clauabordando
y
no
reglas,
relaciones
definiciones,
sus
con
determinado
Estenivel de clausurano
surahastaque ha agotadotodaslas posibilidades.
necesitade ia tranquilidadque le proporcionanlos númerosy las operacionesfamiliares.La clausuraes ahora una propiedadmatemáticaque puedeo
la
no existir en un conjunto dado. El chico no relacionanecesariamente
a
elementos
clausuracon su propia realidadfisica,sino que puedeaplicarla
definidas.
abstractosy a operaciones
El alumno puederesolverproblemasen los que las letras representan
númeroso variablesque empleanuna operaciónbien determinada.Se enfrenta con variablesen cuanto tales, porque puede evitar sacar la conclusión final hasta haber consideradolas diversasposibilidades'estrategia
esencialpara obteneruna relacióndistinta de la de obtener un resultado
único.
operacionalconcretoes,como hemosvisto,el
el pensamiento
En síntesis,
de los niños menoresde diez años,
la
mayoría
pensamiento
de
tipo de
por
más
allá de esaedad.Caracterizado
extiende
se
muchos
casos
en
aunque
la necesidadde considerary manipular materialesfisicos,implica, solamente,
operacionesque presentenclausura,es decir, una expresiónmatemáticaserá
significativapara el niño si es posibleconcluiren un único número.
En cuanto al desarrollodel pensamientoen el niño, en términosde la
que éstetienede la clausura,veamosfinalmente,otros ejemplosde
necesidad
que implicanlas diferentesformasde clausura:a) clausurainmeoperaciones
diata,b) clausurano inmediatay c) clausuraimposible.
325 x 417
4T7
Jv
325 x 405
32s
son o-no equivalentes,
sin clausura.
Los alumnosde estenivel utilizanelementos
generalizados
(cifrasgrandes
y letrasen sustituciónde números).Estándispuestosa entendery usar con
significadola generalización
m'a
78
n ,a
r
5ó3 x 6y2 x gson
+7y4'+
a) Determinarsilasexpresiones3
'
equivalentes.Estas son operacionesde dos númerosque dan una
clausurainmediata.
b) Sepide igualmenteal niño que decidaen cadacasosi las expresiones:
225 + 387y227 + 385 6146 x 131y 131 x 146sonequivalentes.
Estosejemplosno requierenun cálculode estassumaso productosy,
por tanto, la clausurano es inmediata,aunquesí es posible.Esta
situación se entiendecomo clausurano inmediata.
4 Decidir si las expresionessiguientes:(a - b) y (a + 1) + (1 - ó)
o calcular
6(a - 1) x (á + 1)y (a + l) x (b - 1) sonequivalentes
3x * 2y, son expresionesque no tienen clausura.No existe un
camino sencilloque basadoen la experiencia,garanticela unicidad
anterioreso la adiciónen el último ejemplo.La
de las equivalencias
79
continua necesidadde los alumnos dcl pcnsamiento de clausura es,al
menos en parte, responsable de resultados tales como 3x + 2y :
: 5xy, común en los últimos cursos del Ciclo Superior de la E.G.B.
Parece que el pensamiento en el niño sigue un desarrollo desde un
estadio en que debe existir una garantía de clausura hasta el estadio final, en
que se ve a la clausura-simplemente como una propiedad matemática y
donde el alumno puede operar con variables en las relacionesmatemáticas.
Por último, el período formal se caracteriza, como hemos visto, por la
habilidad de los niños para pensar más allá de la realidad concreta. Razonamientos deductivos e inductivos, abstraccionesreflexivas,pensamiento proporcional, esquemasoperacionalesque implican combinacionesde operaciones o combinaciones de variables, etc., son aspectosde este desarrollo.
El niño de la etapa anterior desarrolló un número de relaciones con el
soporte de materiales concretos; ahora puede pensar acerca de relación de
relaciones y, en general, de otras ideas abstractas. Es capaz de entender
plenamente y apreciar,por ejemplo, las abstraccionessimbólicas del álgebra.
En general, los cálculos aritméticos conducidos por el uso de materiales
fisicos: ábacos,bloques aritméticos multibase, tableros de contar, etc., implican operaciones concretas. El cálculo con algoritmos formalizados es la frontera entre las operaciones concretqs y formales.
Podemos describir, siguiendo a Collis (1980),gran parte de las matemáticas de la escuelaobligatoria, y en particular del álgebra,como un sistema o
estructura lógica de relacionesformado básicamentepor un conjunto definido de elementos y por métodos claramente determinados para operar con
ellos. La necesidadde comunicar parte de la estructura o del sistema a los
demás, da origen a un simbolismo formal que incluye tanto a los elementos
como a las operaciones. En el enunciado 3(a + b) : 3a * 3á, tomando
como ejemplo para ilustrarlo, los elementosimplicados son números y variables y las operaciones a efectuar con ellos (multiplicación y adición), están
claramente definidas. Los símbolos 3, a y á, son abstracciones que nos
pcrmiten comunicar nuestro pensamiento a los demás de un modo abreviaclo, y, por último, el propio enunciado indica la existencia de una conexión
cntrc las dos partes de la estructura, las relativas a la suma y a la multiplicacirin.
Vcamos ahora en este marco descriptivo de las matemáticas de la escuela
obligatoria lo que puede esperarseen los distintos estadiosdel desarrollo. En
cl cstadio (l), los niños no tienen aún capacidad para construir un sistema
rrr¿rtcmático
en cuanto tal, pero ya comienzan a preparar sus cimientos en
lirrlna de estructuraselementalesconcretas.En el estadio (2), el niño comienz¿r u desarrollar sistemas matemáticos simples y representa un nivel de
rlcslrrrollo en el que ya puede comenzar a usar las matemáticas como tales.
lirrr¡riczaa desarrollaruna estructuraconcreta de experienciasque puede ir
8 ()
construyéndoseaño tras año para fonttitr rut sistcmalógico concreto.En el
cstadio (3),el chico es capaz de desarrollur r¡n¿rcstructura matemáticacompleja en la medida en que tenga un fundantcnto concreto.Los elementosy
sus símbolos presentan escasa dificultad, ¿l menos que se internen en el
dominio de lo abstracto y carezcan de una contrapartida fisicamente observable. Esto significa que se les escapanlos conceptos que implican nociones
irbstractasde razon y proporción, pero que si se les proporcionan fórmulas
cn las que estén incluidas estas nociones, son capaces de emplearlas para
ffcgar a resultados concretos. En el estadio (4), está preparado para trabajar
con el sistema formal abstracto que, para el matemático, constituye la esencia de las matemáticas.
En la enseñanza de la geometría igualmente podemos distinguir los
patrones de pensamiento concreto y formal. Van Hiele (1986),por ejemplo,
ha identilicado cinco niveles de pensamiento geométrico que conducen de lo
concreto a lo formal. Estos estadios son también analizados en el libro de
csta serie Inuitación a la didáctica de la seometría.de C. Alsina y otros (1987,
cap. 5).
3,4. Los estadios de desarrollo y el álgebra
Bajo el término <álgebra> consideramos el álgebra de los números y de
Ius <estructuras), entendiendo por ello todo lo concerniente al desarrollo de
lts habilidades y manipulación de las letras y otros símbolos que pueden
rcpresentarsepor objetos, incógnitas, números generalizadoso variables, y
t¡rmbién a los estadios de las operaciones,expresioneso entidades abstractas
crlnstruidas por relaciones bien definidas. Es útil reconocer qué tipos de
lntcrpretación y de operacionestienen dificultades en las tareas algebraicas.
('omprender los caminos en los que los alumnos interpretan o malinterpreIrrn los símbolos en los diferentes estadios del desarrollo, identifrcando formns particulares de interpretación y procedimientos, constituye la base del
ditgnóstico y tratamiento del álgebra en la escuela obligatoria, que será
oh.jcto de estudio en el capítulo 5.
Ahora nos ceñiremos a examinar la relación de la teoría de Piaget del
dcsarrollo cognitivo con el aprendizaje del álgebra.Comenzaremosanalizando los trabajos de Collis (1975a, b y 1980) seleccionandopara su presentaeión: sustitución de letras por números, resolución de ecuacionesy álgebra
nhslracta.Y acabaremoscon los trabajos de Küchemann (1981)y el C.S.M.S.
(llrrrt, 1981) que constituyen una presentaciónmás acabada del álgebra,
u¡luldo como fundamento los trabajos ya citados de Collis. El identifica
vnrios caminos en los que el alumno puede interpretar las letras en aritmétiEn gcneralizada,rehriéndosea los términos variables e incógnitas y desarrollnndo una explicaciónprecisade cstas interpretaciones.
lrl
En la sustituciónde letraspor números,Collis (1975b)descubrióque la
capacidadpara trabajarcon letrasdependía,en gran parte,de lo que ellos
eran capacesde considerarcomo real. El siguienteítem, tomado como
ejemplo,nos proporcionauna imagenclara de cada nivel de desarrollo:
<Debesdecidirsi la-safirmaciones
siguientes
son verdaderas
siempre,
algunas
veceso nunca.Hazun círculoalrededor
dela respuesta
correcta.
Si
hacesun círculoalrededor
de "algunas
veces"
explicaen quécasosescierta
la afirmación.
Todaslasletrasrepresentan
números
naturales
o el cero(por
ejemplo,
0, 1,2,3,etc.).
l. atb:b+
a Siempre
Nunca
Algunasveces,
estoes,cuando...
2. mln+q:m+P+q
Siempre
Nunca
Algunasveces,
estoes,cuando...
3. a + 2b * 2c : a + 2b + 4c Siempre
Nunca
Algunasveces,
estoes,cuando...>
En el estadio (1) los alumnos tienden a considerarcada letra como
representante
de un númeroy sólo de uno. Su manerade resolverel problema consistíaen sustituirdirectamentela letra por un númeroespecíf-rco.
Si
esteúnico intento no lograba un resultadosatisfactorioabandonabanesta
tarea. En este ejemplo,en el ítem 1 respondenhabitualmente<siempre>
sobrela basede ensayarun número para a y otro para b. Los dos ítems
siguientesfueron imposiblesde resolverpor los alumnosque utilizabanla
estrategiade sustituircada letra por un número.
En el estadio(2) los alumnosque operabanen estenivel intentabanun
par de númerosy si satisfacían
la relaciónsacabansu conclusiónsobreesta
base.Estosalumnospodíanresolverel ítem I porqueconfrabanen quecierta
cantidadde númerosespecíficos
reemplazara
a las letras,pero eranincapaces
de usar los ítems2 y 3.
En el estadio(3) los alumnos parecíantener un conceptode número
<generalizado)),
en el que un símbolo a podia ser consideradocomo una
entidadpropia,pero con las mismaspropiedades
que cualquiernúmerocon
previa.No habíandesarrolladoaún el,conceptode
el que tuvieraexperiencia
letra como variable,sino que en lugar de ello pensabanen las'letrascomo
representantes
de todos los númerosen los que uno quisierápensar.
Aun cuandoposeíanel conceptode númerogeneralizado,
los alumnosde
estenivel eran incapacesde afrontaradecuadamente
el problemade llevar a
cabo la deducciónnecesariaen el pasofinal de los ítems2 y 3. Así, cuando
consideraban
n : p o 2c : 4c no erancapacesde realizarla deducciónfinal
a partir de estasinformaciones.
En el primer casodecidíanp * n como si al
82
rlc cncontrarse
fueraremotay
vaÍiarn y p de forma ampliala posibilitlr¡tl
(nunc¿r))
lln lrrscgtrncl¿t
situaciónno erancapaces
la respuesta
seleccionaban
de concebirun casoen que 2.t (un nirrncro)fucra igual a 4x (un mismo
número).
En el estadio(4)el alumnopuedecontemplarla letracomo una variable
y es capazde realizarla deducciónfinal en los ítems2 y 3.
analizamos
el conceptoque el alumno
En la resoluciónde ecuaciones
utilizando
tienede la operacióninversaen los distintosnivelesde desarrollo,
comoejemploel problemade resolveruna ecuaciónsimplecomox + 5 : 7.
En el estadio(1) el problemase contemplacomo una tareade contar.
Para hallar x el alumno cuentadesde5 hasta7, y se registrael número de
unidadesempleado.No poseeel conceptode operacióninversa.En este
pero solamenteen térmiestadio,tambiénla sustraccióntieneun significado,
nosfÍsicos,que es como puedeserasumido.
de
En el estadio(2) ve ambaspartesde la ecuacióncomo representación
un númeroúnico y la ecuaciónpuedeserresueltafácilmente.Sin embargo,a
pesarde que puedereconocerla respuesta
como obtenidapor sustracciónde
puedesiempreusarsecomo
5 a7,no reconoce
en generalque la sustracción
anulaciónde la adición.
En los estadios(3) y (4),la noción de inversaes general,conoceque una
expresiónequivalentea x * 5 puedeser reducidaa x por sustracciónde 5.
En álgebraabstracta,consideramos
algunostrabajosposterioresde Collis (1978)referidosa sistemasabstractosde matemáticaelemental.Serefiere
operaciones,
al estudiode un sistemadehnidoen términosde suselementos,
reglas,etc.,y se esperaque el estudiantetrabajedentro de estesistemasin
referenciaa ningunarealidadfuera del propio sistema.
la siguientecuestión:
Consideremos
de los números0, 1,2,...,y * €Surlo
a, b, c,...,puedensercualquiera
operacióndel tipo a x b : a -f 2 x á. Examinacada una de las
siguientesafirmacionese indica cuándo es cierta cada una de estas
afirmaciones
l.
2.
3.
4.
5.
a*b:b*a.
a*(b*c\:(aiá)*c.
a*d:a.
a*(b-lc ):(a*b)*c.
a+(b,*c):(b,*c)+a.
Parecerazonablesugerirque seríaprecisoque un alumnoestuviera operandoal nivel formal para trabajardentro de un sistemamatemático
definidocomo el expuesto.
(1)y (2),los alumnosqueoperana estosnivelestiendena
En los estadios
ignorarla operacióndefiniday sustituyenlas operaciones
binariasde aritmé83
tica elemental,es decir, no pueden superar la tcndencia de ver una operación
ta l c om o * y r ec u rri r a u n a o p e ra c i ó nc o n o c i d a + , -, x,:.
En el estadio (3), los alumnos indicaban que eran conscientesdel hecho
de usar la operación dehnida como tal y no trasladarla a una operación más
familiar, pero no tenían suñcientecontrol del sistemacomo para ser capaces
de deducir los resultados correctos.
Estos son ejemplos de respuestastípicas a los dos primeros ítems:
<C uandobx a: a*2 x b > >
<C uandoa*b: b*c t>
ó
<Cuandoa+2x
<Cuandoa+2(b+2
:(aI2xb\2xc>
* 2xa> >
xc)
Parece como si en este estadio transitorio, el alumno pudiera generalizar
sufrcientementea partir de su experiencia con operaciones para utllizar la
operación definida correctamente, pero era incapaz de ir más allá de la
información que se le presentaba para realizar las deducciones necesarias
sobre las variables.
En el estadio (4) los estudiantes son capacesde trabajar correctamente
dcntro del sistema definido.
Estas ideas de Collis son utilizadas para la construcción de los tests de
álgebra de C.S.M.S. Küchemann establecesus ya mencionados usos diferentes de las letras en los tests (cap. 1).
6
,,
IE
aO
bo
ñ
Nd
+ú
r]
f)
evaluadas.
ignoradas.
como objeto.
como incógnitas específicas.
generalizando números.
como variables.
Los ítems de los tests son divididos en cuatro grupos de acuerdo con la
complejidad de los ítems y de la naturaleza de los elementosque intervienen
en cada cuestión,abarcando las seiscategoríasde interpretación de las letras.
Estos cuatro grupos pueden considerarse,aproximadamente,como representantes de los diferentes estadios o niveles de desarrollo descritos anteriormente.
Los ítems más representativos de cada nivel están recogidos en forma
abreviada en las tablas siguientes(3.1); (3.2); (3.3) y (3.4),junto con las
respuestasy los errores más comunes de los alumnos de catorce años.
Los ítems del nivel 1 (tabla 3.1) son puramente numéricos [8 y 7.ii)], o
tienen una estructura simple y pueden resolverse usando las letras como
objetos [9.i) y l3.i)], o como evaluación de letras [6.i)], o ignorando las letras
como [5 i)].
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XXXX
X
ole[qO
Los items del nivel 2 (tabla 3 2) incrcnrcntancon relacióna los anteriores
su grado de complejidad,sin cmblrrgo. lrrslctras aún tienen que ser evaluadas [11.i) y ll.iil], o ignoradas 12,4.i) y .5.ii)j,o usadascomo objetos [7.iii),
f.ii), f.iii) y 13.iv)1.
Para los alumnos del nivel I cstos ítcr¡s son de mayor complejidad y
erróneascquivalcntesa 4ht o hhhht envez de 4h + t
tiendena dar respuestas
en el ítem 9.1i ),68 aben vez de3a I 5ó en el í t em 13. iv) y, 763 envezdeT6l
en el ítem 5.ii).
Los alumnos de este nivel 2 no son capacesaún de trabajar consistentenúmeros generalizadoso variables.
mente con incógnitas especíl-lcas,
Parece que el avance producido en este nivel es, fundamentalmente, un
incremento familiar con la notación algebraica.
Los alumnos del nivel 3 (tabla 3.3) pueden utilizar las letras como incógnitas especifrcas,pero solamentedonde la estructura del ítem es simple. Estos
niños están dispuestos a ver con signihcado respuestassimilares a 8 + g
lítem S.iii)l;3 n + 4 [ítem 4.ii)], it p : 2n [ítem 9.iv)].
Los niños que se encuentran en niveles inferiores, fundamentalmente
nivel 1, en los ítems que requieren incógnitas especílicasasignan un valor a
las letras,p : 32 en vez de p : 2n,en9.iv) o e * f * g : 12 envezde 8 +
+ g en 5.iii) o en el caso de las letras ignoradas,,danrespuestascomo 7n o 7 en
vez de 3n -t 4 en 4.ii).
En el nivel 4 (tabla 3.4) los alumnos pueden competir con items que
requieren incógnitas específicasy tienen estructura compleja [13.v), 4.iii),
7.iv), etc.], o con ítems similares a20,22 o 17.i) que necesitanque las letras
sean consideradas como incógnitas especificas,pero donde hay una tentación fuerte a tratarlas como objetos.
Otros ítems de este nivel implican números generalizadoscomo 18.ii) o
variables como 3.
Observamos que los ítems de los niveles I y 2 pueden ser resueltos sin
tener que considerar a las letras como incógnitas específicas,mientras que en
los niveles 3 y 4 las letras tienen que ser tratadas al menos como incógnitas
específrcasy en algunos casos como números generalizadoso variables.
epE¡ou3I
¿p3nl3^3
selceJro3
70
Ir¡elruInN
r
N
h
r
'oñ
ñ
=
€
ollorresap
Iep orpEtsa
88
89
Enseñanza-aprendiz
aje
del álgebra
EI álgebra es una fuente de confusión considerable y de actitudes
negatiuas en los alumnos.
(BoorH, L. R. 1988)
4.I. INTRODUCCION
En la enseñanza-aprendizaje
del álgebra,como en la de toda la matemática, nos encontramoscon una gran variedad de dificultadesque pueden
agruparsea grandesrasgosen los siguientestópicos:
1. Dificultadesdebidasa la naturalezadel tema algebraicodentro del
contexto de las matemáticas.
2. Dificultadesque surgende los procesosdel desarrollocognitivo de
los alumnos y de la estructuray organizaciónde sus experiencias.
3. Dif'rcultadesatribuibles a la naturaleza del currículo, a la organización de las leccionesy a los métodosde enseñanza
usados.
4. Dificultades debidas e actitudes afectivasv no racionaleshacia el
álgebra.
Nos ocuparemosde estostópicosy seindicaránsugerencias
en forma de
principiosgenerales
y de estrategias
prácticas,para preveniry solucionarla
enseñanza-aprendizaje
del álgebra.Al tratar las dificultadesen términosde
prevencióny tratamiento,estamoscombinandoestrategiasgeneralesy, a
largo plazo, estrategiasparticularese inmediatas.La prevencióntiene una
incidencia directa en una mejor planificación del álgebra dentro de los
programasde matemáticas.
Los remedios,por otro lado, estánrelacionados
con la interacciónprofesor-alumno,
día a día, en la clase.Es importante
91
señalar que éstos no se sugieren en cl scntido ncgativo de una simple
correcciónde errores,sino más bien en scntido positivo de un conocimiento
de los mismos para que la corrección se incorpore a la mejora general de la
calidad de la enseñanza del álgebra. Si el profesor entiende los errores
específicosdel alumno más como una información parcial de las dificultades
del álgebra, que requiere un refuerzo preciso, que como equivocaciones
innecesarias,que con una mejor atención del alumno no se producirán, se
habrá avanzado mucho en el éxito de la enseñanza-aprendizaje del álgebra.
El capitulo lo hemos dividido en cuatro partes: diferentes interpretaciones del curriculo del álgebra en la escuela, errores en álgebra, principios
generalespara la enseñanza-aprendizajedel álgebra y estrategiasde enseñanza en aritmética generalizada.
4.2. DIFERENTES INTERPRETACIONES
DE ALGEBRA EN LA ESCUELA
DEL CURRICULO
Parece ser que actualmente hay unanimidad cuando se habla de las
competenciasdel álgebra en la escuelaobligatoria. El álgebra debe ocuparse
del estudio de las <letras> o <variables>y de las propiedadesque las relacionan. Ahora bien, existen diferentesinterpretacionesque pueden hacersede la
ahrmación anterior, y que dependen de la intervención que poseen esas
<letras>(variables)en diferentescontextos. Por ejemplo, el papel de la variable x en las expresión 2x * 5 : 7 y logx2 : z.logx es esencialmente
distinto, ya que en la primera de las expresiones,representauna incógnita y
cn la segunda, aparece incluida en una identidad que se satisfacepara un
rango determinado de valores (x e R+). Teniendo en cuenta lo anterior,
scgún las diferentesinterpretacionesde la variable, darán lugar a un tipo de
irlgebra, apareciendo distintos currículos y, como consecuencia,diferentes
concepcionesde la enseñanza-aprendizajede la materia, que aunque resulta
diñcil de delimitar, parece más claro si se tienen en cuenta las consideraciones señaladas.
Por otra parte, siendo evidente la diferencia entre el álgebra superior
(enseñanzaen la Universidad) y el álgebra de la escuela,resulta obvio que las
experiencias del profesor en la primera pueden ser <utilizadas> para la
segunda,aunque nunca <enseñadas>.
Con todo esto, analizando los diferentesusos que hacemosde la variable,
se podrán delimitar las interpretaciones a que nos hemos referido. El argumento <la suma de dos cantidades es igual a una tercera), nos permitirá
estudiar en detalle lo indicado. Consideremos, por ejemplo, la expresión
P : 2x + 2y (P indica el perímetro de un rectángulo) que constituye una
fórmula; 5 : 3x I 2,una ecuación;sen2x * cos2x : l, una identidad;e
| : 2x * 5, una función.
92
En el primer caso,podemos <lbscrvirrr¡rrcla lctra Júes un valor <conocldo> que puede ser sustituido par:r obtcrrcr cl pcrímetro de un rectángulo
cualquiera de dimensionesx e ¡,, cn cl scgundo cs una incógnita, en el tercero
es el argumento de una función, pcro roprcscntando una identidad, y por
último, en el cuarto caso es donde únicamcntc aparece un aspecto claro de
variabilidad que permite obtener las ordenadas de los puntos que forman
una recta en el plano. La x representaen estecaso una verdadera variable en
el sentido usual.
En el capítulo 2 hemos visto el complicado proceso histórico seguido por
la humanidad para llegar al actual uso e interpretación de las letras. En la
enseñanza del álgebra se pueden distinguir también distintos períodos y
diferentesinterpretacionesde las letras. En libros de la década de los sesenta,
la letra como <variable> solia aparecer representadapor números cuando se
comenzaban a resolver sistemasde ecuaciones.En el álgebra moderna, las
variables se entienden como <símbolos que pueden ser sustituidos por nombres de objetos y, normalmente, por números>. En la actualidad, esta última
tendencia es la más utllizada, esto es, se interpreta como un símbolo que
puede ser reemplazado por elementos de un conjunto. Muchos de nuestros
alumnos (incluso universitarios) consideran que las variables son letras que
deben ser sustituidas por números obligatoriamente, y no se detienen a
analizar que en geometría, por ejemplo, las variables representan puntos,
rectas, etc.; en lógica, proposiciones;en análisis, funciones. En el capitulo I
hemos hecho referencia a estas cuestiones;sin embargo, es conveniente resaltar la importancia que posee el concepto de variable tanto cuando se
intenta conformarlo como concepto matemático, como cuando se le considera para interpretar los distintos currículos de álgebra que se pueden
elaborar.
Tendremos, en primer lugar, una interpretación del álgebra como aritmética generalizada y, en bonsecuencia, las letras forman parte de modelos
que permiten generalizar las propiedades. Por ejemplo, la generulización de
3(5 + 2) : 3' 5 + 3'2nos lleva a la propiedad distributiva del producto
a(b + c) : a'b + a'c.
respectode la suma (o <sacarfactor común>>),
También, el razonamiento
2 ( 3+ 4 ) : 1 4 : 2 . 3 + 2 . 4 : 6 + 8
1(3+ 4) : 7 : I ' 3 + I . 4 : 3 + 4
0 ( 3+ 4 ) : 0 : 0 ' 3 + 0 ' 4 : 0 + 0
considerandolos números negativos
-1 (3 + 4 ) :
-2 (3 + 4 ) :
-7 : (-r).3 + (-l) 4 : -3 - 4
-t4: (-2).3 + (-2).4: -6 - 8
93
y, en general,
-a(b + c):
-a'b
- a'c
de la propiedaddel productode númerosnegatillevaríaa la generalizacíón
situadasentre paréntesis.
vos por expresiones
del
Haciendoanálisishistórico,seobservaque estesentidogeneralizador
álgebratuvo una repercusióninmediata,puestoque desdela invenciónde la
notaciónalgebraica(Viéte)hastael nacimientodel cálculopasaronescasamenteciento cincuentaaños.La geometríaanalíticase inventó entre estas
dos etapas.
Otra interpretaciónque podemoshacer del álgebrava encaminadaa
considerarlacomo el estudiode métodospara resolverciertos problemas
En estecaso,las letrasseconsiderancomo incógconcretos:las ecuaciones.
nitasespecíflrcas
a determinar.Por ejemplo,la soluciónal problema(encontrar un númeroque multiplicadopor 5 me dé 20>no seobtendríaescribiendo simplemente5x : 20. Si diésemosesto como soluciónválida se tendría
construidala expresiónalgebraicade su solución;sin embargo,en este
contexto,la variablex ha de ser calculada,esto es,actúacomo incógnitao
constante.
Otra concepciónque se puedetener del álgebraes la del <estudiode
En estecaso se consideraa la variableen su
relacionesentre cantidades>.
sentido completo de variabilidad.La fórmula del perímetrode cualquier
rectángulo,ya reseñada,es un ejemploclaro de estanueva interpretación;
existe,pues,una relaciónentre las variableslargo y ancho.Otro ejemplo
representativo
de estasituación., j, dond. a la pregunta<¿quéle ocurrea
] si t se hacetan grande.orno ,.-quiera?>.Pocosalumnosde los últimos
cursosde secundariason capacesde responder,que k no es una incógnitani
el estudiode un modelo
se trata de generalizaruna expresión.Representa
algebraicoestudiandoen él la variaciónde una función,lo que conformapor
Muchosprofesí mismola nafuralezapropia de los conceptosmatemáticos.
sorespiensanque, precisamentepor lo que acabamosde ver, el sentido
del álgebra.
funcionales el que priva en la enseñanza
El aspectofuncionaldel álgebraes esencialen la actualidadpara el uso
de los lenguajesinformáticosy hay que tener en cuenta que existe una
diferenciasustancialen el empleo de dichos lenguajes,por ejemplo,un
valorespara una
contadoresuna funciónque nos permiteobtenersucesivos
cierta variable.En estecaso,la función se representapor x : x * 1, y
considerando
los aspectosanterioresseríauna ecuaciónirresolubledondelas
Creemosque es fundaletras se interpretancomo númerosgeneralizados.
94
mental tener esto en cuenta dada la irrrport:rnciaque la informática va
adquiriendoen la enseñanza.
La última interpretaciónque tienc cl álgebraes la que denominamos
interpretaciónestructural.Ahora, las letrasconstituyenentespertenecientes
a estructurasalgebraicas
talescomo grupos,anillos,dominiosde integridad
o cuerpos,a los que se les puedenaplicar las propiedadessatisfechas
por
cada uno de los conjuntos en los que se actúe. Las ecuacionesen los
conjuntosusuales(N, Z, Q y R) admitiránsoluciones
segúnla estructuraque
seconsidere.
El trabajocon polinomiosrepresenta
un ejemplocaracterístico:
si se pide <simplilicarla expresiónalgebraica
a2xla2- bzx- b2
- bxz-
2bx+2ax+a-bD'
hemosde tener en cuentaque las letras (o variables)no se interpretande
forma análogaa los casosanteriores;es decir,no constituyenuna incógnita
específica,
no son tampocoargumentosde funcionesy no setrata de generalizar el modeloaritmético.La situaciónquedaresueltasimplemente
considerandoa las letrascomosímboloscon los que sepuedeactuarutilizandounas
que secumplenen ciertaestructuraalgebraica.
reglaso propiedades
Sacando
factor común y simplihcando,se tiene:
azx+ a2-b zx- b2
axz - bxz - 2bx t 2ax * a - b
(a+b)(a-ó)(x+1)
( a2- b2) ( x+t )
(a - b)(x2 -f 2x + l)
a+b
@:"+1
Se podría comprobarsustituyendolos valoresde x por distintosnúmeros, es decir,considerandoel aspectofuncionalde los polinomios,pero no
tendríaningún sentidohacerlo.Hemosmanipuladolas variablescomo entes
abstractoscon el objetivosimplede obteneruna expresiónmás sencilla.
Si tenemosen cuentatodo lo que hemosindicado,podemosconcluirque
estascuatro interpretaciones
debenser utilizadasen la elaboraciónde un
currículo de álgebra,de forma que éste no puede en ningún momento
observaruno solo de esoscontextos,por lo que es necesariocombinarlosy
no limitarseexclusivamente
a considerarel álgebracomo aritméticageneralizada,ni como el estudio de las ecuaciones,ni desdeel punto de vista
funcional,ni desdeel aspectoestructural,aunqueesciertoque un tratamiento inicial como aritméticageneralizadalavoreceel desarrollode los otros
aspectos.
En los apartadossiguientesde estecapítulo vemos que los currículos
utilizadosen nuestropaís fueron configurados,segúnlas distintasépocas,
9.s
poniendo énfasis en una dirección única, lo quc provocó consecuentemente
diferentesdiscontinuidades en el procesc.r
dc cnsoñanza-aprendizajedel álgebra.
Representamosen el cuadro 4.1 las distintas interpretacionesdel álgebra
escolar, indicando en un segundo nivel la concepción que se posee de las
variables o letras va mencionadas.
Cuadro4.1
do en el sentido de <aritméticagcncralizirtla>,ltl que implica el uso de letras
para números y la escritura de exprcsioncsgcrtcralesque representanreglas
aritméticas y expresionesdadas.
El proyecto SESM centró más el intorós cn analizar la naturaleza de los
errores cometidos por los alumnos quc cn el tipo de cuestionesque los
alumnos resuelven correctamente y, cspecialmente,en el caso en que tales
errores sean cometidos por un amplio número de estudiantes.Del análisis de
estos errores comunes, observamos que muchos de ellos podían ser atribuidos a aspectostales como:
la naturaleza y significado de los símbolos y las letras;
b) el objetivo de la actividad y la natvraleza de las respuestas en
álgebra;
c) la comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes,y
d) el uso inapropiado de <fórmulas> o <reglas de procedimientos>.
a)
CURRICULO DE ALGEBRA
DE LA ESCUELA OBLIGATORIA
Algunos de estos aspectoshan sido consideradosen los capítulos 1 y 3,
fundamentalmentelos señaladosen los apartados c y ó. Aquí completaremos
esta lista de errores y posibles causasde las dificultades de los alumnos para
aprender el álgebra, sin pretender que sea de ninguna manera exhaustiva.
Los tres primeros aspectosgeneran errores que se originan en la transición conceptual de la aritmética al álgebra, mientras que el cuarto d) se debe
fundamentalmente a falsas generalizacionessobre operadores o números.
a)
4.3. ERRORESEN ALGEBRA
4.3.1. Generalidades
Un conocimientode los erroresbásicosen álgebraesimportantepara el
profesorporque le proveede informaciónsobrela forma en que los niños
interpretanlos problemasy cómo utilizan los diferentesprocedimientos
algebraicos.
Esta informaciónle sugiereformasde ayudar a los alumnosa
corregirdichoserroresy, al mismo tiempo,le señalalas posiblescausasde
las dificultadesde los chicospara aprenderálgebra.
proyectode investigación
que trató de identificarlos tipos
Un interesante
de erroresque cometenmás comúnmentelos estudiantesy de explicarlas
razonesde estoserroresfue realizadopor el grupo de álgebradel proyecto
Strategiesand Errors in SecondaryMathematics(S.E.S.M.)llevado a cabo
en el ReinoUnido entre 1980y 1983(Booth, 1984).Los estudiantes
implicados en estetrabajo oscilabanentrelos trecey dieciséisaños,y a pesarde las
diferencias
de edad y de haberestudiadodiferentescursosde álgebra,cometían similareserroresen todoslos niveles.El términoálgebraera consi(era96
La naturaleza y significado de los símbolos y las letras
Los cambios conceptualestienen incidencia en la consecuciónde errores.
A veces,los alumnos fallan al asumir cambios conceptualesconvencionalesy
se tienen que contentar con conocer que existen situacionesnuevas donde su
conocimiento es inadecuado e inapropiado. El mayor cambio conceptual en
el aprendizaje del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética: signihcado de los símbolos e interpretaciones de las letras.
Los símbolos son un recurso que permite denotar y manipular abstracciones.Una de las teorías iniciales de los estudiantesserá el reconocimiento
de la naturaleza y significado de los símbolos para poder comprender cómo
operar con ellos y cómo interpretar los resultados. Este conocimiento les
permitiría la transferenciade conocimiento aritmético hasta el álgebra, aceptando las diferencias entre ambos. El discernimiento del significado de los
valores simbólicos les puede llevar a dar 7x como respuestade 3x * 4, que
tiene que ver con su interpretación del símbolo de la operación. En aritmética el símbolo + es interpretado como una acción a realizar, es decir, *
significa realizar la operación. La idea de que el símbolo de la suma puede
indicar el resultado y la acción, no es fácilmente apreciada por los alumnos
aunque estas dos nociones sean ncccsariaspara el conocimiento del álgebra.
91
En ordena trabajarcon valoressimbólicos,
el estudiante
necesita
ampliar
el conceptode notaciónusadopara las operaciones
aritméticas.A veces,los
alumnos reducenla comprobaciónde la validez de una transformación
algebraicaa comprobarla verdadaritméticade un ejemplo.La ambigüedad
notacionaly la dualidaden álgebraprovocanconfusiónen la conexiónentre
la evoluciónsimbólicay numérica.
En aritmética,la concatenación
es usadaen la notación<cadalugar, un
valor>.Error tipico en álgebraes concluir que si x : 6, 4x : 46. También
en la notación de fraccionesmixtas donde se denota implícitamentela
/1\
adiciónl4;1, seoriginanerrorescomoescribirxy : -8, dadosx : -3 e
a,/
\
no omitir el signode la multiplicacióndemasiado
5. Seríaaconsejable
ya que ayudaríaa evitar
pronto cuandosetrabajacon productosalgebraicos,
estoserrores,
En lo que serefierea la maduracióndel conceptode igualdad,sepresenta
un cambio conceptualmás critico. A diferenciade la situacióncon otros
valoressimbólicos,estecambioclaramenteimplica la extensiónde un connuevo,especeptoexistentemás que la adquisiciónde uno completamente
((:))
y
porque
en
ecuaciones
de
en
aritmética
las características
cialmente
algebraicas
compartenla mismanotación.
En aritmética,el signo(: )) es usadopara conectarun problemacon su
resultadonuméricoy, con menor frecuencia,para relacionardos procesos
que dan el mismoresultado
3x4:6+6
4+7:ll
de pasosque conducena un resultadoftnal
o para unir la secuencia
2 x (6 - 4) :2'2
: 4
esdecir,el signoigual tienesiempreun sentidounidireccionalque precedea
una soluciónnumérica.
Los alumnostrasladana vecesestesignificadodel signo<: > al álgebray
lo confundencon el (:) de la ecuación
3x*3:2x*7
aritméticasanteriores,no
a diferenciade las expresiones
Las ecuaciones,
esdecir,el signo(: )) no coneverdaderasuniversalmente,
son afirmaciones
sino que obligaa la incógnitaa tomar un valor paraque
xionaidentidades,
la expresiónsea verdadera.Este sentidobidireccionaldel signo igual, que
puedesera vecesun indicadorde una relaciónde equivalenciamásque\una
98
señalpara escribirla solución,no suclcscr fircilmenteinteriorizadopor los
alumnos.
lo veremosen
Los problemasque planteael signo((: )) en lasecuaciones
cl párrafo siguiente.
es el siguiente:
Un ejemplode error frecuente
3
2+x
3(x-l)
7x
x-l
+7x(2*x):3
Parececomo si el alumno hicierala transformación:
*.i -A D +B C
en el miembro izquierdoolvidandoel denominadorcomún y el significado
de equivalenciadel signoigual.
Por último, una de las diferenciasmás obvias entre la aritméticay el
álgebraresideen el signifrcadode las letras.Las letrastambiénaparecenen
aritmética,pero de forma diferente(m) y (g), por ejemplo,puedenusarseen
aritméticapara representar(metros))y (gramos>más que para representar
el número de metros o el número de gramos,como en álgebra,aunqueel
aspectomás signifrcativose da en la idea de la letra como variable.Incluso
cuando los alumnos interpretanletras que representannúmeroshay una
como en
tendenciaa considerarlas letrascomo valoresúnicosy especíhcos,
variables,
comoen
:
generalizados
o
como
que
números
más
como
a i 5 9,
:
analizadas
:
ampliamente
fueron
Estas
cuestiones
ó'
a.
a
o
A
b
+
aI b
en los capitulos2 y 3.
en algebra
b) El objetiuode la actiuidady la naturalezade las respuestas
El centro de la actividaddel alumno en aritméticaes hallar soluciones
numéricasconcretas,sin embargo,en álgebrano es así. El objetivo es la
obtenciónde <relaciones)y (procesos)y la formulaciónde los mismosen
Bien escierto,que una razón fundamengenerales
simplihcadas.
expresiones
tal para obtenertalesrelacionesy procesoses usarloscomo <fórmulas>o
<reglasde procedimientos>para resolverproblemasadecuadosque nos
permitanencontrarla soluciónnumérica,peroésteno esel objetivoinmediatO. Muchos estudiantesno se dan cuentay suponenque en las cuestiones
se les exigesiempreuna soluciónúnica y numérica.
algebraicas
de términoúnico pareceserla causade errores
Laideasobrela respuesta
por
cometidosfrecuentemente los alumnos que simplificanuna expresión
99
como 3x f 5y en 8xy. Esteproblemapuedeaparecerporquelos estudiantes
tienenuna dificultadcognitivapara aceptarla falta de clausura(Collis,1975)
reflejauna situaciónderivadade la aritmética,referentea lo
o, simplemente,
que se suponedebe ser una (respuestabien dadu (Matz, 1980),como ya
hemoscomentadoen el apartadoantenor.
c) La comprensiónde Ia aritméticapor parte de los estudiantes
El álgebrano estáseparadade la aritmética;en efecto,aquéllaesen gran
parte aritmética generalizada.De aqui que para entenderla generalizaciiln
de relacionesy procesosse requiereque éstosseanantesasimiladosdentro
del contextoaritmético.A veces,las dilicultadesque los estudiantespresentan en álgebrano son tanto dificultadesen el álgebracomo problemasque se
quedansin corregiren la aritmética.Situacionesde la aritméticadondelas
el
ideasde los alumnosinfluyenen el álgebrason,por ejemplo,las fracciones,
potencias,
paréntesis,
etc.
de
uso
con fraccionesy dan
Así, los alumnosque no dominan las operaciones
resultadoscomo éstos:
tll
235
t_
112
,- 1- s
111
t_
,-1 -6
al campo algebraico.
luegolos traducenerróneamente
el menor
También surgenmuchos erroresal calcular incorrectamente
denominadorcomún o en la obtenciónde fraccionesequivalentes.Por ejem1R
la efectúancometiendolos siguienteserrores:
plo, para sumar
+
n
lS
38
x-
3s:
3+8
4.7.5
otras veces,con la preocupaciónde no olvidar los factorespor los que hay
que multiplicarlos,omiten los numeradoresprimitivos
loo
3
I
5+4
\
28-35:41.5
TY"i
:TAL
UN] V€RSJOAI) I.II
FRA¡JcIsco J05€ ':t 'í-\ ''$
i t :' 1.f'fiA f,¿
El signo <<->>,
sobre todo cuand'va coloca<Jo
delantede un paréntesiso
de una fracción, genera frecuentcscrr()rcs. como
a+b
-(a*b):-a+b
a
b
+-
c
En estegrupo,podemosconsiderartambiénlos erroresdebidosa generalizacionesincorrectasde propiedades
aritméticas,que veremosen los apartadosdr, dz y ds.
En la mayoríade los errorescometidosen aritmética,los alumnosreflejan dificultadesen la interiorizacióndel conceptoo falta de percepción.por
ejemplo,en los erroresdel tipo ( - l)n : - 4, multiplicanen lugar de hacerla
potencia.
d) EI uso inapropiado de <fórmulas>o <reglasde procedimientoss>
Algunoserroresse debena que los alumnosusaninadecuadamente
una
fórmulao reglaconocidaque han extraidode un prototipo o libro de texto y
que usan tal cual la conoceno la adaptanincorrectamente
a una situación
nueva.Tiendenasí un puentepara cubrir el vacíoentre reglasconocidasy
problemasno familiares.La mayoríade estoserroresseoriginancomofalsas
generalizaciones
sobreoperadoreso sobrenúmeros.
Los primerosse debena la falta de linealidadde estosoperadores.
La linealidaddescribeuna manerade trabajarcon un objeto que puede
descomponerse
tratando cada una de sus partesindependientemente.
Un
operadoresempleadolinealmentecuandoel resultadofinal de aplicarloa un
objetoseconsigueaplicandoel operadoren cadasubpartey luegosecombinan los resultadosparciales.
La linealidad es bastantenatural para muchos alumnos,ya que sus
experiencias
anterioresson compatiblescon hipótesisde linealidad.Dentro
de ellos analizaremoscinco grupos de errores:
dr) Erroresrelativosal mal uso de la propiedaddistributiva.
dr) Erroresrelativos.almal uso de los recíprocos.
dr) Erroresde cancelación.
dr)
Ennon¡s
RELATIVOSAL MAL uso DE LA pRopIEDAD DrsrRrBUTrvA
Los primeros erroresque encontramospuedendebersea una aplicación
incorrectade la misma.tal como:
a'(b + c): a'b + c
llegandoinclusoalgunosalumnosa aplicarlacorrectamente
cuandoel valor
que multiplicaestáa la izquierday no sabenqué hacersi estáa la derecha:
a' (b + c) :
a'b + a'c
( a + b) . c:
''!
t0t
AL uso ¡>r nn<rlpxocos
dr) Ennon¡sRELATrvos
Con mucha frecuencia encontramos los errores:
Estoserroresresultangeneralmente
de los erroresen
como consecuencia
aritméticaque hemoscitado en el apartado l, y que al sumar fracciones
dan como resultadocualquierade las siguientesexpresiones:
algebraicas,
JA+B:,F+JE
(a + b )2 :a 2 + b 2
a ' (b ' c ) :
(a ' b )' (a ' c )
A
B+C
A
B
+-
A
C
*
y
A (B - C): A . B - A . c
puedecreerqueestoesválidosiempre,
inclusopuederecordarotrosejemploscomo
J A ú: J A J E
y
B +C
A
BC
:-{AA
para los cuales fue válido y generalizaesta propiedad. Por esto, es muy
importanteel resaltarcuándoy con respectoa quiénseverificala propiedad
distributiva;por ejemplo,cómo la raiz cuadradaes distribuiblecon respecto
a la multiplicacióny no con la suma. Para evitar taleserroresse podría
trabajar sobreun esquemacomo el que sigue(esquema4.1),el cual refleja
tambiénla prioridad de las operaciones.
Indica ésteque la propiedaddistributiva sólo puedeaplicarsedesdeuna línea a la inferior.
a+b
11
-*;
F
En general,éstos resultancuando una expresiónalgebraicaes linealmentedescompuesta
distribuyéndolael operadormásdominanteen partede
expresiones.
Una justificaciónde estoshechospodría venir de que cuandoal alumno
se le exponeque
A( B + r ) : n'B + A .C
l1
-+ab
*
-
ab
11
¿- b
2
t+b
I
a'b
Son frecuentestambiénal resolverecuacionesdondela variableestáen el
denominador:
de
1 :1
JX
deduc enque3:x t7
.+
Estetipo de error puedevenir inducido de situacionescomo:
1
1
::
queda x:2
¿x
ó
x
:;
J
+
J
.x :)
o
a
- +-
b
aI b
JJJ
de las que deducenque con los recíprocosse puede trabajar exactamente
igual.
dr) EnnonnsDEcANCELACTóN
En estegrupo estaríanerroresde la forma:
Ax+By
x+y
Esquema 4.1
:A+B
que probablementederivan de la regla
Av
;
: A, dando origen a diversas
como
situaciones
9x+6
4x-3
4'-
102
: 9X
-
Y-
I
t03
que pueden obtener por analogía con
El uso n¡ nlÉrooos rNFoRMAr.ris
r,()lrI'ARIEDE Los ESTUDIANTES
dr)
JI
3'x
x
Estos tipos de errores parecenindicar que los alumnos generalizanprocedimientos que se verifican en determinadas condiciones.
Tanto los errores de cancelación como los recíprocos se podrían haber
evitado si el alumno hubiese modificado la situación para que encajasecon
la regla, envez de extender la regla para abarcar la nueva situación. Para el
error recíproco, la solución podría ser igualar una fracción a otta, encontrando el denominador común y despuésexpresando la suma de fracciones en
una sola fracción.
Igualmente, si el alumno hubiese sacado factor común en los problemas
de cancelación, la regla ya conocida podría haberse aplicado, y si no se
encontrara un factor común implicaría que la regla usual no se puede aplicar
y no que debe encontrarse otra forma de usar la regla.
Por otra parte, podemos distinguir también:
Los alumnos no usan generalmcntclos métodos matemáticosformales
cnseñadosen clase,sino que emplean co¡r bastante frecuenciamétodos informales propios, tanto en la enseñanzaprimaria (Carpenter y Moser, l98l)
como en la enseñanzasecundaria(Booth, l98l). Estosmétodosparecentener
óxito en la resolución de cuestionessencillas,pero no pueden ser extendidos
a problemas más complicados, lo que tiene implicaciones negativas en la
habilidad de los estudiantespara elaborar o entender enunciados generales
cn álgebra. Por ejemplo, si un estudiante para encontrar el número total de
elementosen dos conjuntos de 27 y 32 elementosno usa la noción de suma,
representándola por 27 + 32, sino que resuelve el problema contando,
quizás sean pocas las posibilidadesde que el alumno representepor x * y el
número total de elementosde los dos conjuntos de x e y elementos.Aquí la
dihcultad no está tanto en la generalizacióndel ejemplo aritmético como en
la de tener un procedimiento apropiado y la representaciónde ese procedimiento en aritmética a partir del cual generalizar.
4.3,2. Errores en resolución de ecuaciones
Ennonns DEBIDoSA FALSAS
sosnp l.rúMnnos
GENERALIzACTONES
do)
La necesidadde generalizarsobre números en álgebra surge con muchísima frecuencia, pues permite formular una regla general a partir de un
problema-ejemplo con unos números esenciales.
En la solución de un problema como
(x -7 )(x
+
x - 7: 0
6
x-
-5 ):0
+
5 :0
x:7
+
x - a: k
6
x -b :k
x :a * k
+
ó
x:5
6
x:b+ k
En estos ejemplos,los números 0 y I son los que aparecencomo especiales.
Ay A * 0 : A ,p ro vi enenerrorescomol ' 0
Delas ex pr es ion e sA' l :
A y de A + (-Al :0
ro4
seoriginau
):
o.
Errores que se originan en la transición conceptual de la aritmética
al álgebra
a)
-
aunque el 7 y el 5 no son críticos para el procedimiento, el 0 sí lo es. Los
alumnos, sin tener esto en cuenta, lo generalizan dando el siguiente resultado:
(x -a )(x -b ):k
La mayoría de los errores cometidos en la resolución de ecuacionesse
deben a las causas señaladasanteriormente. Veamos algunos ejemplos.
Al calcular el m.c.m. o hallar el denominador común. lo hacen incorrectamente:
enj
-
hacen
*7x:r*;,
|*ett,:27+;
Efectúan operacionesen el primer miembro de la ecuación sin modificar el segundo:
3xl 5:7
hacen 3x+5- 5: 7.
dedonde
3x: 7
obien
en ( x+2) 2: 5
para lograr el cuadrado perfecto, suman cuatro unidades sólo al primer miembro:
x2 + 4r + 4 : 5 llegandoa (x * 2)' : 5
t05
- Cambianel signo de un miembro sin modificarel otro, en -2x + 3
: 5, multiplicanpor (-1) sólo el primermiembro,dando:
2x-3:5
b)
En estosúltimos erroresse observaque la causaprincipalestá,como ya
hemosdicho, en el desconocimiento
del significadodel signo igual en las
ecuaciones.
Ellos trabajan una parte de la igualdadsin ver la necesidadde
modificarel otro miembrode la misma manera.
En la resoluciónde ecuaciones,
se procedede arriba a abajo mediante
transformaciones
sucesivas,
pero no de una única expresión,sino de una
relaciónde expresiones
(ecuación)que son transformadas
aplicandolas mismas operaciones
a amboslados.Aunqueestasoperaciones
no mantienenla
igualdadde lados correspondientes
de líneasconsecutivas,
sí conservanel
valor de la incógnita.Por ejemplo,en la resoluciónde la ecuación
!_
x
el trabajar coll ccttitcitlnesrequiere, por un lado,
Consecuentemente,
interpretar el signo igual que aparccc cxplicitamentey, por otro, reconocer
expresionesequivalentescuando no sc dan.
(/so inapropiado de fórmulas o rcglus de procedimientos
Unas vecesson errores debidos a falsasgeneralizacionessobre operadores,así encontramoserroresdebidos al mal uso de la propiedad distributiva,
incorrectas,
o simplificaciones
deducen x:5
de'!':t,
¿
o referidasal uso de reciprocos,
6
2x-l
,l 1l
Oe
los lados correspondientes
consecutivos
no son igualesal pasara
x(2x - 1)1 : x(2x - l)^ !
'2x
x
-
-:--1-:'
3x+5
x
7
-|
e tc .
sin embargo, en ambos casos se conserva el valor de la incógnita.
Para ecuacionessimples como 2¡ : 6, es fácil encontrar el valor de la
incógnita reformulando la ecuación, pero para ecuacionesmás complejas,la
obtención de la incógnita requiere simplificaciones sucesivaspor medio de
transformaciones y reducciones apropiadas. En este sentido, los alumnos
deben observar en la resolución de la ecuación las lineas en orden a determinar:
l.
2.
La naturaleza de cada transformación.
La relación entre los nuevos lados izquierdo y derecho de la ecuación.
3. La igualdad o desigualdad de los lados correspondientesconsecutivos,cs dccir, las rclacionesentre el lado derechoe izquierdo consecutivo, rcspectivlmcntc.
|06
llegan a
3x*5:x17
sobre
Otras veces,son erroresproducidospor falsasgeneralizaciones
números,por ejemplo,al resolver
:+-v:o
x
y los lados correspondientesconsecutivos sí son iguales al pasar a,
8 x -4 :6 x ,
dan 3x]_2:7x
en 3(x+2\:7x
reducena común denominador y obtienen 3 + x2 : 0, y, análogamente,
cuando el segundomiembro es otro número, actúan igual que si fuesecero,
3
- .T -v :
.r
10, obtienen 3 + -t2 :
l0
con lo que resuelvenuna ecuacióndiferentea la dada.
También son frecuentesprocedimientostales,que
de (¡-3X x-5): 7,
ent onces x- 3: 7
Y
x- 5: 7
y procediendoanálogamente,
r le , vr :
- 3v
con lo que omiten la soluci<in.r :
+
.t:
-3
0.
|07
Hay también errores específicosal aplicar métodos o fórmulas de resolución para resolver la ecuación de segundo grado o los sistemasde ecuaciones. Son errores que reflejan descuido de rcalización más que malentendidos
reales.
En x2 -
3x -
6 :
0, escriben ,{ :
j '+v
:l
)
r J'
4x-3y:
tll
eliminan incorrectamente los denominadores en la primera ecuación y obtienen
2x + 3y:
4x - 3y:
l\
lJ
l2l
aplican el método de reducción, obteniendo la solución x : 3, sustituyen y
obtienen6 + 3y : l;! : -513. Para comprobarlo no acudena la primera,
sino a [2], verihcandola exactitud de las soluciones.
Por último, como ya hemos indicado anteriormente, los alumnos usan
con bastante frecuenciamétodos informales propios, y éstos generan dilicultades en la resolución de ecuaciones,sobre todo en aquéllas que tienen cierta
complejidad.
Al considerar ejemplos tales como:
1)
2)
3)
4)
x+7:20
4x+3:7x
5xt-4:6x
3x-t2:14
los alumnossuelenobtenerfácilmentela soluciónpor <métodosoperacionales>propiosde la aritmética.
En el caso1),x tieneque ser 13 al descomponer
20 en 13 + 7. En el caso
2), 3 tieneque serigual a 3x por serlo que le falta a4x paravaler7x, con lo
Quex: l.
En 3),4 seidentificacon la -r que eslo que le falta a 5x para el total 6x y,
sin embargo,en el caso 4), descomponen
el segundomiembro de manera
similar al primero,obteniendo3.u -t 2 : 12 + 2 y asix : 4.
108
,v*2
.v*5
' isnorando los
signos de los coeficientesde la ecuación.
O bien, al comprobar las soluciones de un sistema no lo hacen en las
ecuacionesde partida, sino en aquéllas más sencillasobtenidas por manipulaciones (que pueden ser erróneas)de las primeras:
2
Evidentemente,si se complica cl ¡rloblcnra,estos métodos informales
generan errores, así en
6
1
la ecuaciónpor igualación
contestanque x puedeser4 y 2, ya queresuelven
respectivamente.
de los numeradoresy denominadores,
4+2
x +2
r +5- 2+s - j
6
4.3,3. Corrección de errores
El análisis de errores, como ya hemos indicado, tiene un doble interés:de
una parte, sirve para ayudar a los profesoresa conducir mejor la enseñanzaaprendizaje del álgebra, insistiendo en aquellos aspectos en los que los
alumnos cometen errores, y de otra, contribuye a una mejor preparación de
estrategiaspara la corrección de los mismos. En estesentido, el profesor debe
entender los errores especificosde sus alumnos como una información de las
dilicultades del álgebra que requiere un esfuerzopreciso en las dos direcciones apuntadas anteriormente, entendiéndose,obviamente, que si al detectar
un error, el alumno reconoceinmediatamente el fallo y lo corrige, aplicándolo a la generalidad de los casos,no será necesarioningún remedio, si, por el
contrario, se produce con cierta frecuencia,implica que es algo más que un
descuido que necesita una atención más precisa.
La superación de los errores por parte de los alumnos constituye un tema
básico en el aprendizaje que genera grandes dificultades. Las investigaciones
actuales señalan que los errores están profundamente interiorizados por los
alumnos y que no son de fácil eliminación. Incluso en muchos casos,parece
ser que los estudianteshan superado un error y luego lo vemos, con desilusión, resurgir al poco tiempo. Por ello, plantear a los estudiantes que su
comprensión conceptual de una parte del álgebra es incorrecta y darles
entonces una explicación, es, a menudo, insuficiente para eliminar el error.
El estudiante debe participar activamente en el proceso de superar sus
propios errores, para ello, el profesor debe provocar conflicto en su mente a
partir de la inconsistencia de sus propios errores, forzándolo a participar
activamente en la resolución del conflicto sustituyendo los conceptos falsos
por la comprensión conceptual adecuada. El profesor rara vez indica a los
alumnos cuál es la respuestacorrecta,sino quc simplcmenteles pide comproquc resultan de
contrircliccioncs
baciones'y pruebas que intentan pr()v()c¿rr
los falsos conceptosde los cstr¡rlilurtcs.l:llos cst¡in dirig,iclosa conscguir la
I0()
resolución
de la contradicción,
mediantela solicitudde máscomprobaciones
y pruebas.El objetivono es tanto hacerescribira los estudiantes
la fórmula
o reglade procedimientoadecuada,
como hacerlosenfrentarse
con la contradicción y eliminar sus falsosconceptosde forma que éstosno vuelvan a
aparecer.
Otra ventajade estaforma de tratar el problema,dado que esmuy poco
probableque toda la claseestéde acuerdoal mismotiempocon la respuesta
correcta,esque en la clasesegenerandiscusiones
que son excelentes
no sólo
para mostrar los diferentesconceptosfalsos que los estudiantespuedan
tener, sino también para ayudarlesa superarlosa través de sus propias
interacciones.
4.4. PRINCIPIOS GENERALES PARA
LA ENSEÑANZA.APRENDIZAJE DEL ALGEBRA
El álgebra,entendidacomo el desarrollode habilidadespara manipular
letras y otros símbolosque puedensignificarcosasdiferentes,y también
como construcciónde operaciones,expresioneso entidadesabstractasa
través de relacionesbien defrnidas,ha sido consideradaen los diversos
currículosde formasdistintas.Su introducciónparteunasvecesde elementos
del lenguaje,poniendoénfasisen su aspectosintáctico(programasanteriores
a l97l), o en su doble aspectosemánticoy sintáctico(Nuffreld,1978),otras,
de las estructuras(programasde l97l: Dienes, l97l), y en ocasiones,de
(programas
elementos
funcionales
de 1981;Castelnuovo-Barra,
1983).Insisten,por lo general,en la relacióndel álgebracon la resoluciónde problemas
y con los procesosde generalización,
algunoscon la ayuda de la visualización geométricay otros con el uso de <modelos>.
El tratamientodel álgebraque se proponeen estelibro no olvida este
conjunto de apreciaciones,
aunque descartacomo punto de partida los
aspectosfuncionalesy de estructuraspor ser, como hemosvisto, los más
dificiles,teniendoen cuenta el procesológico-históricodel desarrollodel
álgebraque se recogeen el esquemal.
Para intentarminimizarla mayor parte de las dificultadesde la enseñanza-aprendizaje
del álgebraen la escuelaobligatoriaseñalaremos
ocho principios generales,
que son principiosválidostambién,en su mayor parte,para
toda la matemática.
1. Un determinadogrado de uutomutizaciónen las operaciones
básicusen un
estadioes un prerrequisitopura el desarrolloen el estadiosiguiente.
En otras palabras,el avancehaciael razonamientoen aritméticageneralizadaestarásubordinadoa que los niños hayanautomatizadolas operacio-
u0
ESQ I lllM A 4. 2
el razonamientode
nesbásicasde la aritméticaelemental;o el progresohacia
de quélos alumnoshayanautomatizado
i;;"p*;;i""es formales,dependerá
básicasiet trttimo estadioconcreto(nivel 3). Asi, la capaciiu,
putu manejarvariables,por ejemplo,iría precedidade una competencia
Ju¿"ir.ru"i"nes
en el
núnl"ro, !"n.r"ii""ios (collis, 1975b).otro ejemplo,
p"r"'""u"¡",
que
los
de
hecho
el
"án
;i;; ¡; góneralización.onórrtu(nivel 3), lo constituye
adolescentesencuentrannaturallafórmuladelvolumendelprismarecto
V:a.á.c,dandounamedidacorrectaparaunamultituddeprismas
rectos,enelsentidodequesustituyenpornúmerosletrasencadafórmula,
formalescuandoson capaces
es hastael estadiode las operaciones
;;;;;"
entre
las relacionesexistentes
a
relativas
cuestiones
de abordardirectamente
t"r¿i*.nrionesdelprismarecto;porejemplo,enunaafirmacióntalcomo:
a c p^ra mantener
si ó se duplica y o permaneceigual, ¿quédebehacerse
constantea Z?
demasiadorápido'
2. No introducir nueuasideaso técnicasalgebraicas
EstedeberíaSerunodelosprincipiosfundamentalesdelaenseñanza
crear.diftcultade las matemáticas;ignorarlo túpont, sin lugar a dudas'
de una línearecta
;;r;; eiaprendizaj".forn.nlo, como ejemplola ecuación
en
puede-ser.introducido
.n-et pUnó cartesiáno.Inicialmente,esteconcepto
:
m'
x
6
con la inclinacióno pendienteen la forma algebraica|
relación
';:
este
En
funcional.
en un sistema
;.x I ,,trabajando principalmente,
funcional, para resolver un sistemade dos
it"nt.u,oirnto'esencialmenie
del punto
coordenadas
icuacionescon dos incógnitasdebemosencontrarlas
deinterseccióndedoslíneasrectas'Alosalumnosselespidequeexpresen
las ecuaciones
ca¿áecuaciónde la forma y : trtx i /4y entoncesresuelvan
par
de números
del
funcional
aspecto
del
por sustitución,pero la reíación
lll
requiere una gran atención por parte de los alumnos. Una solución más
satisfactoria,entre otras, seria encontrar las coordenadasdel punto de interseccióndesdeel punto de vista estrictamentealgebraico,usando la técnica de
eliminación y, después,establecerexperienciascon la noción geométrica de
pendiente y su aspecto funcional.
Otro ejemplo podría ser la resolución de ecuacionessimples, donde el
desarrollado en el cap. 6)
método de la <igualdad> (método de la <balanza>>,
introducido apresuradamente,frente al <método operacionab propio de la
aritmética, puede ir en detrimento de ambos. Para muchos niños, la igualdad
no es un camino obvio para resolver ecuaciones,y su necesidadtiene que ser
bien preparada.La solución trivial, que consiste en evitar todos los usos del
método operacional, sólo servirá para confundir más a los alumnos. Las
limitaciones del uso operacional pueden ser probadas, por ejemplo, con
ecuacionesdel tipo
2 x + l :5 x -l l
donde la igualación es necesaria. Una vez entendido esto, la práctica
de la técnica de igualación puede ser desarrollada con ecuaciones como
2x i 5 : 17, antes de proceder con ecuacionescomo la anterior.
3.
No introducir ideas o técnicas algebraicas demasiado específicas que no
siruan para el desarrollo algebraico futuro.
Hemos analizado en el capítulo 1, párrafo 6, seis categoríasdiferentesde
interpretación y uso de las letras. No parece adecuado para el desarrollo
futuro del álgebra hacer una introducción de la misma viendo a las letras
como un objeto, sería un contexto demasiado específico que ahogaría su
desarrollo posterior. Análogamente, un comienzo del álgebra de forma que
considerara a las letras como incógnitas especílicascon un único valor,
también limitaría el proceso posterior. Parece que una introducción más
adecuada se lograría considerando a las letras como números generalizados
que permitiría pasar desdela aritmética a la aritmética generalizaday de ésta
al álgebra.
Un caso concreto donde las técnicas demasiado específicaspueden causar
difrcultades en el futuro podría ser la factorizaciín de polinomiosj A veces,
los <trucos> usados para factorizar polinomios de segundo grado dihcultan
la comprensión del proceso general; esto se pone de maniliesto al intentar
facforizar polinomios de mayor grado. Veamos como ejemplo la factorizaciln de p(x) : x3 * x2 - 6x - 18. Sabemos que p(x) tiene un factor
(x - o), si, y sólo si, a es una solución de la ecuación p(x) : 0, y que 4 es
una solución entera de p(x) : 0, si a es factor de 18 (si no hay solución
rt 2
entera no habrá una factorizaciiln scncilll). l)or ensayo y error podemos
encontrar una solución,x : 3, tal quo:
x3 + x2 _ 6x
ltt :
(.r _ 3)q(x)
El factor cuadrático 4(x) que queda por determinar se puede ahora
encontrar por una división sintética (Ruffini u otra); pero utilizar únicamente
esta técnica específicapuede oscurecer el principio de identidad de polinomios que es una técnica práctica, sencilla y de gran utilidad en el desarrollo
posterior de las matemáticas.Esta técnica consisteen encontrar los coeficientes del factor cuadrático comparando las potencias de x. Así, el término
constante debe ser 6, y si llamamos al término lineal áx y comparamos los
términosen Jr2,encontramosque -3 + b : l, de donde b : 4;igualmente
puede hacersecon los términos en x, -3b + 6 : - 6, que dará, obviamente,
el mismo resultado.
La factorización es, por tanto, p(x) : (x - 3)(xz * 4x * 6), y si
buscáramos la solución de p(x) : 0, se reduce a que
x-3: 0
o
x2+4x+6: 0
Asimismo, hemos de considerar que, si bien es cierto que introducir una
idea o técnica nueva en un contexto más general evitará los problemas
creados al tomar un contexto más específico,también puede crear otras
dihcultades iguales e incluso mayores. En muchos casos,al tratar con alumnos que desarrollan un aprendizaje más lento, un contexto más específico
será necesario para progresar. Sin embargo, esto no devalúa el principio
anterior. Será el profesor en su actuación el que debe cuestionarsesobre una
técnica o idea algebraica en términos parecidos a:
¿Un contexto más especíhco hace la idea o técnica más fácil de
comprender sin que oscurezcael significado auténtico de la idea, o el
propósito de la técnica?
4.
Asegurar que los aspectos diferentes de una idea, técnica o símbolo algebraico estén claramente distinguidos.
La variedad de interpretaciones semánticas de las letras en álgebra ha
sido considerada en los capítulos I y 3. En todos los casos, la falta de
comprensión de la idea, técnica o símbolo causa verdaderas dificultades de
aprendizaje.
Una ilustración de este principio es el uso del signo negativo en los
enteros y su extensión a los símbolos literales. Este uso incluye tres aspectos
distintos:
a)
Como representaciónsimbólica de los números negativos. Por ejemplo, -7 incluye el signo ( )y al digito 7 como un símbolo completo
que representaal entcro mcnos siete.
il:l
Por ejemplo,al
b) Como el inversode la suma(reglade los paréntesis).
:
y
negativo
en +5
-5
-(-5)
el
signo
-(+S¡
+5,
escribir
representauna operaciónsobre un entero que generaotro entero.
Desdeestepunto de vista se origina la escriturasimpliltcadade los
de la equivaenteros,asíomitir el signo(+ ) en (+ 5) esconsecuencia
lencia-(+5) : -5 ó +(+5) : +5.
c) Como la operaciónsustracción.Por ejemplo,en ( + 4) - (- 3), el
símbolonegativoen el centro denota una operaciónde un par de
enterosque origina un tercerentero, *7.
En álgebra,al consideraruna expresióncomo
7x t 3y
y operar sobreella se sugiereque estamostratando con cuatro entidades:
en cualquierordenconvenien5x, -y, -7x, I3y que podemosreescribirlas
que conectanlos diferentestérminos
te. Es decir,los signosoperacionales
unido al términoque estáa su derecha
estántratadoscomo si seencontrase
y opera con él como una expresióncompleta.Dicho de otra forma, lo que
sucedees que consideramos
5x-y-7x+3y
como (+5x)+(-y)
+(-7x)
+(+3y)
y utilizamosla leyesconmutativay asociativade la suma de enteros.En
otras palabras,uno tiene que sustituir(-) como una operaciónde sustracción en un par de términospor (-) como una operacióninversaaditivacon
término único.
De la mismamanera,otra situaciónque relacionalos aspectosa) y á) es
el hechode que muchosalumnospiensan,por ejemplo,que -2x siempre
debeserun númeronegativo,porquetieneun signonegativoa la izquierda.
5. No introduciro establecerla notaciónformal antesde que una idea o
técnicaalgebraicahaya sido asimiladapor los alumnos.
Con relacióna esteprincipio generalpuedeexistirdivisiónde opiniones.
Para algunoses la habilidadpara comprenderla notaciónformal el indicador de que una idea o técnicaalgebraicaha sido asimiladapor los alumnos.
Para otros,la notaciónformal es una ayudaen el procesode asimilación,es
decir,trabajandodesdeel principiocon la notaciónformal la idea o técnica
mejor entendillegacon másclaridada los alumnosy es,consecuentemente,
tieneéxito, se demuestra
da. Pero en la práctica,dondeestoaparentemente
que la notaciónconsolidala asimilaciónque previamentehabíarealizadoel
alumno.
Tomemoscomo ejemplo la manipulaciónde potenciasde exponente
tt4
que es una de las partcstlcl írlgcbraclementalque originamás
fraccionario
errores.Ello es debido,en muchc¡scasos,¿rque nunca se ha trabajado
adecuadamente
la ideaque estádetrirsdo la notación.Si los alumnosentendieranlos significadosasignadosa 2 I o l0 1/2,probablemente
desaparecerían la mayor parte de las dificultadespara entenderque
a^' en :
para todo m, n racionales
e^*'
De maneraanáloga,la notaciónfuncionalpuedesermal utilizadaporque
a menudo el conceptoque subyacede función nunca se desarrollaapropiadamenteen la mente de los alumnos más allá de la simple representación de los diagramasde Venn que se relacionanuno con otro. La idea
de que en la mayor parte de los casosprácticosuna función vienedeterminadapor la regladada en notaciónformal,vieneoscurecidapor el hecho
de que la regla permanecemás implícita que explícita para la mayoría
de los alumos,y así nos encontramosen trabajosposteriorescon la incapacidadde los alumnospara determinarf(g(x, y)), sabiendo,por ejemplo,que
f(x, y) : (n - !, x ¡ y)y g(x,r¡ : Qx I ),, x - 5y).
6. Euitar la complejidadnotacionalinnecesaria.
Estees un aspectoen el que las <matemáticas
modernas>de la década
pasadatienenmucho que decir,Toda notaciónexigeun gran esfuerzode la
memoria;los alumnosolvidan con facilidadpor qué surgela notacióny de
dónde vienensus reglasoperacionales.
Las notacionesinnecesarias
incrementannotablemente
la complicación,
inclusodondelas ideassonsencillasy
seconfundeen muchoscasoscon el propio proceso.
Tomemoscomo ejemplola resoluciónde la ecuación
5x * 3 : 2x -f 15. donde,v es un númeroracional
Se tieneque:
5x*3:2x+15+
+5x
* (-2x) + 3 : 2x + (-2x) * 15e
+3x+3:15<>
+3x
* 3 + ( -l) :
+. lx
e,
ll
{- 1r ) + > .!
tS + (--3)<>
12+
I
( 12) <>
4< >
la solucrónes el conjunto {4}
lls
Hay en este ejemplo complejidades inncccsariastales como el uso de la
doble implicación (+), que es considerada por cl alumno como una forma
decorativa del signo de igualdad, o simplemente,como una especiede ornamentación que utiliza el profesor, pero que no contribuye en nada en el
resultado; o el uso de las llaves para expr€sar la solución, donde la insistencia
de {a} nos lleva a que x : {4}, forma usual para inecuaciones,pero que en
ecuacioneses simplemente decorativa; o el uso de la adición de enteros, es
decir, tratar la sustracción como la adición de un entero negativo, que parece
más resaltar el punto de vista de las <matemáticas modernasr>,donde la
nación abstracta de grupo está detrás de todo ello. Todo este excesosupone
una complejidad añadida para entender el proceso de resolución de la
ecuación.
7.
los>, no solamentea los modelos ñsicos (hirliurzas,etc.) o gráfrcos(figuras,
diagramas), sino también a los modckrs l¡bstractos (aritmético, etc.). No
obstante,dada su importancia en álgcbra, scpararemosel modelo aritmético
y el modelo geométrico (del que nos ocuparcmos ampliamente en el cap. 5)
del resto de los modelos.
En este sentido, la enseñanza-aprendizajedel álgebra se realizará en
términos de traducción de los cuatro lenguajesbásicos:aritmético, habitual,
geométrico y algebraico, que los consideraremoscomo vértices de un cuadrado que se conexionan entre si por sus lados y diagonales.
L.AR.
L.AL.
Fauorecer la comprensión algebraica en términos de traducción de lenguaJes.
En el desarrollo histórico del álgebra, como hemos visto en el capitulo 2,
se dan dos característicasprincipales, de un lado el lenguaje y los simbolos,
que nos muestra el álgebra en su aspecto lógico-lineal relacionándose y
utilizando el lenguaje aritmético verbal, y de otro, el uso de modelos fundamentalmente geométricos, que nos pone de manifiesto la importancia de
cstos modelos como herramienta apropiada a la hora de comprender muchos conceptos y fórmulas algebraicas.Parece que un proceso adecuado de
cnseñanza-aprendizajedel álgebra debe incluir diferentes actividades que
provean de oportunidades para desarrollar sus características.
El uso de más de un lenguaje para representar un concepto favorece la
abstracción del concepto, ya que tenemos más puntos de referenciay permiten establecerasí más relaciones. Por otro lado, el hecho de presentar un
concepto de formas diversas hace que a éste se le conozca en más facetasde
las que normalmente se le considera cuando se hace el aprendizaje con un
solo lenguaje. De igual manera, el uso de los diferentes lenguajes permite
adaptarnos a los distintos niveles intelectualesde la clase,ya que cada niño o
niña evolucina a su ritmo y son más o menos aptos a los diferentesmodos de
comunicación.
Al ser el álgebra un lenguaje de comunicación de ideas abstractas,plantear su enseñanza-aprendizajeen términos de traducción de lenguajes: el
<habitual>, el de los <modelos> y el <algebraico>, estimula y favorece el
desarrollo de su conocimiento.
El uso de los diferentes <modelos))como forma particular de lenguaje y
como recurso que facilita la comprensión de una idea o técnica algebraica
será, en parte, el objeto del último párrafo de este capítulo, asi como de los
capítulos siguientes(caps. 5 y 6).
Conviene señalar que consideraremosen el amplio signihcado de <mode116
L.H.
En ocasiones,el lenguaje geométrico será sustituido por el lenguaje de
otro modelos fisicos o gráhcos e interpretado y usado en el mismo sentido,
principalmente en el capitulo 6 dedicado al tema de las ecuaciones,donde
además haremos un análisis más detallado sobre los modelos.
El cuadro 4.2 de la página siguiente muestra un ejemplo de traducción
de lenguajespara el cuadrado de la suma de un binomio.
En matemáticas,al estar los conceptos tan fuertementejerarquizados, es
decir, al existir entre ellos una gran dependencia, los <modelos> generan
(esquemas) mentales que facilitan la comprensión de estas abstraccionesy
permiten progresar en el aprendizaje de nuevos conceptos.
Fundamentalmente se utilizarán en la presentaciónde un concepto como
una herramienta de comunicación de ideas abstractas,ideas que expresadas
con el recurso de los <modelos>irán adquiriendo más fácil y adecuadamente
los alumnos.
8. No introducir técnicasformales demasiado pronto.
Sobre aspectos formales del álgebra ya hemos hecho algunos comentarios en los principios 5 y 6, nos referimos ahora de forma más precisa
a las técnicas o procedimientos formales, ya comentadas en el párrafo de
errores.
t7
CUADRO 4.2
(a+b)2:
= a2 + b2 + 2'a'b
LENGUAJE ALGEBRA¡CO
(1+3)'? :
:12 +3 2+2'1 3
r
r
z
E
e
e
6
6
z-
i
ñ.
ó
<El cuadrado de la suma de
un binomio es el cuadrado
del primer término más el
cuadrado del segundo más
el doble del producto del
primero por el segundo>
4
4,5. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
GENERALIZADA
e
i
F
LENGUAJE
En la introducción de métodos frtrmalcs se debe tener claro, antes que
nada, la necesidadde tales procedimicntos. Ello requiere que el profesor, de
una parte, reconozca que los estudiantes pueden tener un método informal
para una determinada clase de problemas y que el valor de este método
informal para solucionar problemas sencillossea reconocida y discutida, y de
otra, que las limitaciones del método seanconsideradaspor el procedimiento
de intentar usarlo para resolver un problema del mismo tipo, pero más
dificil. De esta manera se sugiere a los alumnos la necesidadde un procedimiento más general, esto es, más formal.
En cualquier caso, la introducción de una técnica formal debería estar
precedida por una reflexión en estos términos.
¿Es necesariay significativa?
¿Está motivado el alumno y procede de métodos más elementales ya
utilizados?
EN ARITMETICA
GEOMETRICO
En este apartado nos ocupamos de algunos aspectosde la enseñanzadel
álgebra en forma de aritmética generalizaday en términos de traducción de
lenguaje,tal y como hemos señalado en el párrafo 3, principio séptimo
a
L.AR.
b
L.AL.
Las expresionesgeneralesde las solucioneSde las ecuaciones,por ejemplo, de
ax t b: c
ax + b :c .r* d
como
a+ 0,
" :]k -ba),
como
-Y
ode
a+ c
no son, afortunadamente,de uso habitual. Los profesoresutilizan para esta)
situacionesformas más simples de resolución.
Retrasar las técnicas formales por procedimientos más informales hasta
que los procesos sean identlllcables en varios contextos (principio 7) parecc
lo más adecuado en álsebra.
l l8
L.G.
L.H.
aunque aquí nos limitaremos a los lenguajeshabitual, aritmético y algebraico, dejando, por su importancia, para el capitulo siguiente (cap. 5) las actividades del álgebra con el uso del lenguaje geométrico, y para el capítulo 6 el
estudio de las ecuacionescon el uso de diferentesmodelos lísicos y gráhcos.
En este sentido apareceránactividades conducentesa expresar,por ejemplo,
en lenguaje algebraico la relación entre dos variables dadas en lenguaje
habitual, o en lenguaje aritmético (mediante una tabla) o inversamente, a
escribir en lenguaje habitual situacionesdadas en otros lenguajes(por ejem-
119
plo, a partir de una sencilla ecuación de dos variables),etc. No obstante,
dada la imposibilidad a vecesde separar el lenguaje geométrico o el del resto
de los modelos, de los anteriores,apareceránesporádicamentealgunas actividades que los incluye.
Las estrategiasde enseñanzase apoyan en los ocho principios generales
anteriores (párrafo 4) e inciden fundamentalmente en las áreas de dihcultades
analizadasen el párrafo segundo de este capítulo, a saber:comprensión de la
aritmética por parte de los estudiantes,naturaleza y significado de los símbolos y las letras, objetivo de la actividad y natvraleza de las respuestasen
álgebra y el uso inapropiado de <fórmulas) o (reglas de procedimientos>.
Las estrategiasde enseñanzautilizadas siguen el esquemageneral recogido en el cuadro 4.3.
LENGUAJE
Lenguaje
aritmético
Situaciónde partida
Frimer nivel
de
generalización
Señalemosalgunas ideas básicasrecogidas en este esquéma,indicadas ya
cn los principios generales:
-
t20
-
NIVELES DE
COMPRENSION
Lenguaje habitual
Enunciado.
Situación de partida
La necesidad de alcanzar las estructuras adecuadas en el lenguaje
aritmético, sin las cualesel alumno está incapacitado para lograrlas en
el caso algebraico.
Introducir el nivel de las lctras ctlnlo n(rrncrosgeneralizados,de los
cualeses más fácil particularizarra c.jcnrpkrs
de valoresúnicoso específrcos como en ecuacionesdcl tipo r i 3 : 7, caso especialen el que
hay solamente un valor para cl quc cs verdadera la expresión, o
generalizara ejemplos donde se consideran las letras como variables y
estudiar esa relación de dependenciacomo en ejemplos del tipo
A: b'a
-
CUADRO 4.3
PROCEDIMIENTO
-
-
ó
y: 2x- t 5
Facilitar el proceso de generalizaciónen términos de buscar regularidades en el campo numérico y hacer generalizacionesbasadasen sus
observaciones.Comprobar las generalizacionesy encontrar métodos
formalizados y simbolizados que permitan probarlas.
Importancia de la formalización y simbolización del método en la
enseñanzadel álgebra. Recordemos en este sentido que los alumnos
están más acostumbrados a buscar respuestasconcretas que a hjarse
con detenimiento en el método para obtenerlas, y menos aún a la
simbolización del método.
Permitir la consecucióny validez de las respuestasabiertas,como, por
ejemplo, a * 5, a las que no están acostumbrados los alumnos.
Utilizar el lenguaje algebraico para modelizar situacionesrealesexpresadas comúnmente en lenguaje habitual o en lenguaje aritmético.
Con relación a la tercera columna del cuadro conviene señalar que no
podemos olvidar la idea hnal, que es que el alumno comprenda el lenguaje
algebraico y su uso, y que ésta debe ir precedida de una comprensión
cuantitativa que se facilita habitualmente en forma de lenguaje aritmético,
que a su vez, en la mayoría de los casos, necesita de una comprensión
cualitativa expresadageneralmenteen forma de lenguaje habitual.
En cuanto a la segunda columna, lenguajes,señalar que en la situación
intermedia, sin excluir al lenguaje aritmético, puede ser colocado cualquier
otro de los lenguajes de los modelos y, fundamentalmente,el geométrico.
Por último, con relación a los procedimientos, debemos señalar que el
primer nivel de generalizaciónhace referenciaa las conjeturas basadasen las
observacionesy a sus comprobaciones, mientras que el segundo nivel de
generalizacióncorresponde a los métodos formalizados y simbolizados que
permiten probar la generalización.
Un esquema sencillo que recoge el procedimiento en las actividades
propuestas sería el esquema 4.3.
Las actividades que se presentan,no pretenden en ningún momento ser
excluyentesy exhaustivascon relación a los diferentesproblemas que acarrea
la enseñanza-aprendizaje del álgebra en forma de aritmética generalizada,
sólo son ejemplos ilustrativos dc las estrategiaspresentadas.
t2l
. Actividades:Escribir el doble, el triplc, cl cuadrado, la mitad, la tercera parte, el
doble menos cuatro, etc., de cualquier número.
. Actividad 2:
Opnn¡rcIoNnso srruAcroNES
Expresarla base y la altura de cualquier
rectángulo en el que la base sea el doble de
la altura.
NUMÉRICAS
-_=
;-l
Situación
II
l_stt¡ación N
I
Rnv¡sróN DEL PRocESo
8 x 4 no podrá ser
la solución.
Y ANÁLISIS DE SITUACIONES
NOTACION Y DEMOSTRACION
FORMAL
Las actividadeslas dividiremosen tres grupos:situacionesen lenguaje
habitual;situacionesen lenguajearitmético,y otras situaciones.
SITUACIONES EN LENGUAJE HABITUAL. ACTIVIDADES
. Objetivos:Traducir el lenguajehabitual al lenguajealgebraicopasandopor el
lenguajearitmético.
Presentarlas letrascomo númerosgeneralizados.
Resaltarla validezde respuestas
abiertas.
Tanto 8 y 4 como 10 y 5 no son
de cualquier
las dimensiones
rectángulo.
, essolución
(Se observa cómo de esta manera podemos
representar cualquier rectángulo que tenga
la base doble que la altura.)
r Actividad3:
Escribirla sumade cuatro númeroenteros
cualesquiera.
consecutivos
. Actividadl:
Escribeuna expresiónque represente
la
sumade 7 con cualquiernúmero.
5+7
l+2+3+4,no
5+6+7+8,no
podrá ser la solución
podrá ser la solución
ó 7+5
no podrá ser la
solución
a+7
n*( n+1) +( n+2) +( n+3) ,
es la solución.
ó 7 + aesl asol uci ón
(Seobservaque a puedeser cualquier
número.)
r22
I
o Actividades:
Expresarla basey la altura de cualquierrectángulocuya baseexceda
en 5 unidadesa la altura;la altura es 512de la base;la basey la altura diheren
en 10 unidades;etc.
. Nivel: Once a treceaños.
3+7
ó 7+ 3
no podrá ser la
solución
V, o
l2a
Tanto 1, 2,3,4, como5, 6, 7 y 8
no son númeroscualesquicra.
(Seobservaque n representaa un número
enterocualquieray (n + 1),(n + 2) y (n + 3)
consecutivos,
son los siguientes
respectivamente.)
t21
Actividades de amontonar boliches:
SITUACIONES EN LEN G U A.II.] A RI'I'M I]'I'¡CO.ACTIVIDADES
o Objetivos: Traducir el lenguaje habitual al lenguaje algebraico.
Usar las letras como incógnitas.
Establecer igualdades de cantidades. Formular ecuaciones.
Utilizar el álgebra como herramienta para probar situaciones.
1. Tablas numéricas:
r Actividades: Un montón liene a boliches. Expresa el número de boliches que hay
en el segundo montón sabiendo que:
1. Hay doce boliches menos que en el primero.
2. Hay siete veces más que en el primero.
3. Hay la sexta parte de boliches que en el primero, etc.
1.a) Obseruando regularidades
. Actividad l: Escribir la igualdad de las dos cantidades sabiendo que hay dos
montones. El primero tiene doble que el segundo. Y en total hay 24 boliches.
. Nivel: Once a trece años.
1. "' m ont ón
2.o montón
Total
2a
a
24
. Objetivos: Traducir el lenguaje aritmético al lenguaje algebraico.
Generalizar situaciones numéricas.
Usar las letras como números generalizados.
Utilizar el álgebra como herramienta para probar situaciones.
. Material: Tablero de contar del I al 100, tabla de sumar y tabla de multiplicar.
Tablero de contar del I al 100
2 a + a :2 4
o Actividad 2i Escribir la igualdad de las dos cantidadessabiendo que hay tres
montones.El primero tiene 3 bolichesmás que el segundo.El tercerotieneel doble
de bolichesque el primero. En total hay 29 boliches.
1." montón
(a + 3 )
2.o montón
a
(a
3 ." ' m o ntón
2(a
T
3)
Total
29
Piensa un número entero. Súmale el
siguiente. Súmale 9 al resultado obtenido,
divide el resultado obtenido por 2. Réstale el
resultado de partida. ¿Qué solución obtienes?
2a+10
2
r24
:a 15
4
5
6
2
22
J
32
4
42
43
44
45
5
52
53 54
55
6
62
63
64
72
I5
74
8910
t'l
t8
27
28
19
20
JI
29 30
38 39 40
46
47
48
49
50
56
57
58
59
65
66
69
t)
76
67 68
7'7 78
60
't0
79
80
8
82
83
84
85
86
87
88
89
90
9
92
93
94
9s
96
97
98
99
100
7
8
9
Tabla de sumar
+
Por ejemplo,10,
1 0 + 1 1 :2 1 ;
2 l + 9 :3 0 ;
30:2 : 15;
1 5 -1 0 :5
a ;a + (a + l ):2a
(2 a+ l )+ 9:2a+ 10
J
t3 I 4 15 l6
23 24 25 26
JJ
34 3s 36
3)+a+2(a+3):29
. Actividad 3:
Por ejemplo,7;
7+ 8= 15;
15 + 9 : 24;
24: 2: 12;
12- 7: 5
2
t2
I
* l;
y a+ 5-i t:5
2
J
I
z
J
4
5
6
2
J
4
4
5
6
7
8910
5
6
7
8
9
3
4
5
0
7
8
9
0
tt2
6
6
7
4
5
5
6
8
9
0
I
213
7
8
9
t0
1
2
314
6
7
789
0
11
2
J
4t 5
8910
l12
J
4
516
6
718
8
9
10
ll
213
4
9
t0
ll
t2
314
5
11
6t 7
TTAL
UNI \/IIRSI OAD OIST'TT
is(:fJ Jü:iE ,llÉ i.)AL$A5
FRANTj
:¡rAlFnA ÉÉ BtBLt0l'LU^i
125
¡ Actividad 2: Lo mismo para la tabla dc sumar.
Tabla de multipliutr
X
I
2
2
2
2
^
6
5
6
'l
8
9
4
5
6
7
8
9
8
10 l 2
l+
t6
2l
a'l
6
7
7
5
421283542495663
8
8
6
9
9
8
24
27
32 40
36 4 5
56 64 72
54 63 72 81
48
propiedades..,
En las actividadesse trata de encontrarregularidades,
enunciarlas
(comprensióncualitativa),tratar de justihcarlassin usar el álgebra(comprensión
medianteuna notaciónadecuaday demostrarlasalgebraicuantitativa),expresarlas
camente(comprensión
conceptual).
Tomemosun cuadradoformadopor cuatro
númerosdel tablerode contar del I al 100,
6+8:7+7
lzlal
18
27
6
9
12 1 5
4812162024283236
0 15 20 25 30 35 40 45
5
6
2 l 8 24 30 36 42 48 54
J
A
+
18
J
f,Trt
I I
I
llTroI
f
+
9+11:10+10
,
I 1 0I 1 1|
x
A lg e b ra ic a me n|I t e . +l x+ I - l
lx+1lx+21
,
x+(x+2):(x+1)+(x+
r).
¡ Activid¡d 3: Lo mismo para la tabla de multiplicar.
f-Tf
l+lol
,
2+6+3+4
No se verifltca.
Sin embargo,sucedeque 2 x 6 : 3 x 4.
propiedadpara cualquiercuadradode 2 x 2 casillas?
válida
esta
¿Es
l6Tsl
que
por ejemplol--l
obsérvese
| ,o ,i l,
+ 15 : 5 + 14.¿Esválidaestapropiedad
,
l e l t2 l
| 15Trol
para todos los cuadrados2 x 2? Enunciarla
y justificarla.
l 18l 24l
,
6x12: 8x9
15x20: 18x20
Algebraicamente,
a' b
(a+ l )
1 6 + 27: 17+ 26
a(b
+
l)
(a+1)(á+l)
a'b'( a + l) ( á + l) :
a( b + l) ( a + r ) b
3 4 + 4 5 :3 5 + 4 4
OTRAS ACTIVIDADES
x
x+l
x+10
x+10+1
x + (x + 10 + 1) : (x + 1) + (¡ + 10)
126
Tratar de justifrcarlasin el uso
del álgebra.
¿Sonciertastambiénestaspropiedadessi tomamoslos cuatro númerosde dos
Y para cuadradosde 3 x 3
ftlas y dos columnasno contiguas,respectivamente?
Y
casillas,¿semantendránlas mismaspropiedadesrespectode las dos diagonales?
verificándose
si seeligeun númerode cadafila y columna,respectivamente,
¿seguirá
la propiedad?Y para cuadradosde 3 x 3 líneasno consecutivas,
¿seguirásiendo
válida?
t27
Las propiedades que pueden descubrirse son diversas y de diferentes grados de
dificultad. Las pautas más interesantespueden ser:
Observar filas, columnas, diagonales,simetrías,etc.
Situacionesde números, pares, impares, múltiplos, etc.
Sumas, diferenciaso productos de números en filas, columnas, diagonales,en
cuadrados de n x n. etc.
1.b) Combinando tablas
Otro tipo de actividades con tablas:
l. Construir tablas nuevas a partir de las dadas, examinando las diferencias.
Por ejemplo, de:
\xy)
I
2
J
4
(x+v)
I
2
J
1
I
2
J
4
2
J
4
5
2
z
A
6
8
12
t6
I
2
3
4
J
J
6'
9
4
4
8
t2
I
2
J
4
1
J
5
7
9
2
5
8
11
J
7
ll
A
9
T4
J
4
5
6
4
5
6
7
)
6
8
2(xv)
I
2
J
4
I
2
4
6
8
14
2
481216
15
t9
J
6
18
24
L9
24
4
8162432
o cualquieraotras como x' y + 5 6 x' y'(x
t2
2
10
J
t4
4
5
18
22
I
6
2
4
22 28 34
14 22 30 38 46
18 28 38 48 5 8
5
22
r28
. Actividades:Recorrerestosdiagramasnuméricosrealizandolas operacionesindicadas con númeroso con letras para obtener unas vecesrespuestasabiertasy otras
igualdadesy reglasde procedimientospara igualdades.
Ejemplosde diagramasabiertos:
r.
16
34
46
58
70
b
l
|
|
vA
l - +- - :- l
|
|
L^
x2O
1 nt't-"F'
f-------;-T
f.l
+-
.a
fQ
l
v1
v
o S
-ó
-:l
,)
lA
|
-10
_.
I
|
|
:?
I
-
: o_
i:
'
f----..'
_.i
r+_l
<
,-!_
o con instruccionesde la forma.
F==r¡------EF-----=-n'
+ y) * 2, etc.
a
l
@-'--''\2
w"\J-
Dada una tabla, encontrar la regla que la dehne.
Por ejemplo:
10
. Materiat Diagramasnuméricos.utilizaremos dos tipos de diagramasnuméricos:
abiertosque conducena respuestasabiertasy cerrados,que facilitan igualdadesde
expresiones(identidadeso ecuaciones).
+.
(xy)+(x+ y)
b
. Objetivos:Traducir el lenguajearitméticoal lcnguajealgebraico.
Usar letrascomo númerosgeneralizados
y como incógnitasespecíficas.
Dar respuestas
abiertasen forma de expresiones
algebraicas
sencillas.
. Nive[ Once a trece años.
A
Construir
a
2. Diagramasnuméricos
2
J
I
48142232
2
3
4
5
8
t2
18
4
5
Entendiéndose:
26
36
t4 18 24 32
22 26 32 40 50
32 36 42 50 60
42
E------'O------E
c:a - b
(lo de la izquierda menos lo de abajo)
129
o bien
equivalentea:
FFE
c =b - a
(lo de la derecha menos lo de la izquierda)
o Actividades:Expresaren forma de diagramasabiertos:
l.
2.
3.
4.
( a. 10 + 60) : 1 5 .
[ ( a + 3) . 2 + l 4 f:2 .
6( a+ b) - 4( a- b )-a .
( 3a + b) . 2 + (3 a - b ) + a .
o también
Ejemplosde diagramascerrados
x7
Lr)-l_J_-
+25
T
I]
10
cuando la salida en ambasramas es el mismo
Que también puederepresentarse
númeroo letra,así:
x4
l-1
l-l.-------_-t
A
I
5'a - 10 :
12 - 4a.
¡ Actividades:Expresaren forma de diagramascerradoslas situacionessiguientes:
5a= 3a+ 8
; 6a t 4 =7a- 2
7a + 4:
; 8 - 4a: 8a
+24
;
3( ¿ * E) ; 4 - 5a : 5( 6 - 2a)
3. Secuenci¡snuméric¡s
o bien
. Objetivo: Buscar regularidadesen secuenciasnuméricasy expresarlasalgebraicamente.
¡ Actividades:Para las siguientessecuenciasnuméricas,determinar otros números
que siganlógicamentea los anteriores.Di con tus propias palabrascuál creesque
es la regla que siguen.Exprésalaalgebraicamente:
l . l , 4,7, 10,...
3. I x 2,2 x 3, 3 x 4, 4 x 5, . . .
5. 4,9, 14,19,...
130
2. 5, 10,15,20,...
4. 95,89,83,77,
...
6. 1,3,6, 10,...
t3l
. Actividad 2:
. Nivek Catorce a dieciséis años.
. Actividad 1:
Yuxtaponemostriángulosequiláteros.
Encontrarla relaciónentreel númerode
ladosy el númerode triángulosde la
sucesiónsiguiente:
Para la siguientesecuencianumérica
determinaotros númerosque sigan
lógicamentea los anteriores.Di con tus
propias palabrascuál es la regla que siguen.
Exprésalaalgebraicamente.
2, 6, 10, 14,
Lu g a( /r) l t l 2 l 3 l 4
r*rn (t)ltl6l10l14
\/\/\/
444
tl l 2 l 3 1 4 l 5 l 6
r l tl 6 l ro l 1 4 l t8 l t
Tr iángulosl
2
3
4
l_\
tltl2l¡ l¿
t l:rlrsrlrzrlrr
t lrlzltl+ 5 1 6
.ltltlrle
11113
222
REGLA. Cada término se
obtienedel anterior sumándole
4 unidades.
REGLA: El númerode lados
de la siguientefrgura se
obtienedel número de lados de
la anteriormás dos.
REGLA:
REGLA:
t:4 1 -2
l: 2t +l
3. Otras situaciones:
. Objetivo:Usar las letras como númerosgeneralizados.
Resaltarla validez de las respuestasabiertasen forma de expresionesalgebraicas sencillas.
Traducir lenguajes.
132
t33
. Materiales:Figuras geométricas,fundamentalmenteel rectángulo.
Expresarel áreade cualquierrectángulocon
ladoscualesquiera.
4 x 3 no podrá ser
la solución.
-Calcular el perímetrode un hcxágonoregular y de un dodecágono
regular.
-Calcular el áreade los rectángulosde las hguras:
5 x 2 n o p o drá ser
la solucir)n.
Tanto 4 y 3, como 5 y 2 no son
las dimensiones
de cualquier
rectángulo.
. Actividades;
-Calcular el áreade las zonasno sombreadasque aparecenen las figuras
sisuientes:
0
a x b o b x a e s l a s o l u c i ó n ,¿porqué?
(Seobserva que a y á puedenser un número
cualquiera,con lo que el rectángulopuede
tener dimensionesarbitrarias.)
. Actividades:
x
- Expresarel perímetro de cualquier rectángulo.
- Calcular el perímetro de la figura siguiente:
v
+-10---------+
!
-1 0 -
r34
+r+
+
a
v
+b+
+-l_+
r35
D.iseñarestrategiasy proponcr actividadcspara la correción de los
erroresde la actividadanterior.
EJERCICIOS
t . Realizalas actividadespropuestasen estecapitulo.
2. Determinary explicarlos errorescometidosen los ejemplossiguientes.
Clasifrcarlos.
a) -3 - (-3) - -s.
15-a-b
a-b
h) )3
c) (-a + b)' : -a' + bz - 2ab.
.. 5(5¡ - 5y) :x-l'
d)
5
el::3.
Proponerdiferentesactividadesalgebraicas
dondelas letrasseanconsideradascomo variablesy distinguir los diferentesnivelesde comprensión:cualitativo,cuantitativoy conceptual,tomandocomo referenciael
esquema4.3.
4l
-s-j:j'
54 - 52 :
1. { 3 - o
hl"
' 3 " = ' : 53- 9.
d
5 4 -3 .
i\
4^- 4n: 4- ' .
i)
( o- b) ' : a2- b 2 .
t)
atñ
Prepararun diseñoinstruccionalpara 7.ode E.G.B.(iniciosdel álgebra)
dondeinicialmentelas letrasseanconsideradas
como númerosgeneralizados,siguiendolos principiosgeneralesy las estrategiasde enseñanza
consideradas
en el capítulo.
Prepararun diseñoinstruccionalpara 1." de B.U.P. (asentamiento
del
álgebra)donde inicialmentelas letrasseanconsideradas
como números
generalizados,
siguiendolos principios generalesy las estrategiasde
enseñanza
consideradas
en el capítulo.
k) oft : Jau.
, x 2x :
---;
ml'v'v
:
Proponerdiferentesactividadesalgebraicas
dondelas letrasseanconsiy distinguirlos diferentesniveles
deradascomo númerosgeneralizados
de comprensión:cualitativo,cuantitativoy conceptual,tomando como
referenciael esquemaL
Proponerdiferentesactividadesalgebraicas
dondelas letrasseanconsiy distinguirlos diferentesnivelesde
deradascomo incógnitasespecificas
comprensión:
cualitativo,cuantitativoy conceptual,tomandocomo referenciael esquema1.
I
f)
Elegir un problema algebraicoy dar diferentesversionesen lenguaje
habitual,aritméticoy geométrico.
a2b.
-'
n \ G - 4:a* 2.
- El
o)'J3 +s
p)
x 2- 4x : 5
x 2- 4x - 1
( x - 2) 2: 5
)
4 :5
x : 2 X. 6 .
d x ( x + 2 ) ( x-3 ):3 +x:3 ;
+x:3
136
; x:l
x*2:3
y
x-3=3+
I x:0.
|]7
Lenguajevisual
y lenguajealgebraico
5.I.
LA TEORIA DE LOS HEMISFERIOS CEREBRALES.
REPRESENTACION ESPACIAL Y LENGUAJE
En la actualidad, muchos autores, respaldadospor consideracionesfisiológicas, defienden que cada uno de los hemisferios (izquierdo y derecho)
representan procesos mentales diferentes; para ellos, el hemisferio izquierdo
constituye el soporte del pensamiento abstracto, analítico y lógico asociados
a las funciones lingüísticas; el hemisferio derecho correspondería al pensamiento concreto, global, intuitivo que corresponde a los procesosespaciales.
Esta clasifrcación puede identifrcarse, sin dihcultad, con dos maneras de
comunicar los conocimientos matemáticos que dependeno pueden depender
de las concepcionespropias que sobre la matemática tienen los enseñantes.
Distintas experienciasdemuestran que, mientras muchos niños son capaces
de progresar en un trabajo individual guiado por procesosespaciales,otros
son incapaces de avanzar en esos procesos, necesitando de esta forma un
trabajo más analítico y menos intuitivo.
Sharma (1979) identihca personas con oRrENr¡,clóN ¡n HEMTsFERTo
DEREcHo y personas con onrnNr¡,clóN DE HEMTsFERTo
rzeurERDo, con habilidades
claramente diferenciadas en cuanto a sus aptitudes matemáticas que dependen de las características propias de cada uno de los hemisferios cerebrales
para procesar la información.
Como se observa en el cuadro 5.1, de acuerdo con las característicasde
cada hemisferio se obtendrían alumnos con habilidades específicassegún el
tipo de enseñanzarecibida.
La enseñanzade las matemáticasen las últimas décadasha enfatizado los
contenidos correspondientesal desarrollo de aspectospropios del hemisferio
izquierdo, en detrimento de actividades enfocadasa procesos característicos
del pensamiento espacial.
t39
CUADRO 5.I
CARACTERISTICASEN
EL PROCESAMIENTO
DE LA INFORMACION
- <Piensa>en palabras.
- Procesala informaciónunidad
a unidad.
- Se organiza secuencialmente.
- Procesa la información en el
Hurr,rrsranlo nivel abstracto del lenguajey
las palabras.
IT,QUIERDO
- El trabajo se procesade las
parte al todo.
CARACTERISTICASDE
LOS ALUMNOS
- Son muy hábilespara resolver
actividadesde lenguaje y expresionesverbales.
- Resuelvenlos problemaspaso
a paso.
- Buenosen cálculo.
-Expertos en la resoluciónde
que seconstruyen
operaciones
(suma,multisecuencialmente
plicación,potenciación).
- Ante problemas de planteo,
buscanalgoritmos para resolverlos.
- Mira los problemasen conjun- <<Piensa>>
en imágenes.
to y realizala búsquedade sus
- Procesa la información glosolucionesaproximándolasglobalmente.
balmente.
- Se ocupa de los aspectosvi- Buenosen la identificaciónde
Hutrltsnenro sualesy espaciales.
- Procesala informaciónvisualmodelos, tanto espacialescot )liRu c H o
mo simbólicos.
mentey las comunicaa través
- Rápidosy creativosen la resode acciones.
- El trabajo se procesadel todo
luciónde problemasde la vida
real.
a las partes.
- Parecenjugar metafóricamente
con los problemasde planteo
antesde resolverlos.
(1980a,1980b)indicanque los pobresresultaCarpentery colaboradores
dos obtenidosen los exámenesnacionalesamericanose inglesesse deben
fundamentalmente,a la primacía de una enseñanzabasada en aspectos
verbalesy lingüisticospropiosdel lado izquierdodel cerebro.Aseguraquede
las tresetapasprincipalespropiasen la resoluciónde un problemamatemático:
1. hacerun esquemao dibujo de la situaciónplanteada,
2. aplicar los mecanismospropios del método de resoluciónelegido,
3. reflexionarsobreel sentidode la soluciónencontrada.
140
los pasos1 y 3, que constituyenescncialmcntc
procesosmentalespropiosdel
hemisferioderecho,son omitidospor la mayoríade los alumnosque resuelven mal esosproblemas.Esta situaciónes fácilmenteidentificablecon el
métodoseguidopor muchosde nuestrosalumnoscuandose les planteaun
problema,puestoque tiendensiemprea buscaruna ecuaciónpara <<despejar
la x>>,
en vezde reflexionarsobreél intentandoencontraruna estrategiamás
sencillaque permitaresolverlo.Setiendea buscarun método,un mecanismo
o una fórmula.
Estaclasificaciónes similar a la usadapor Pask(1976),que distingueen
sus experienciasa alumnos <serialistas>(correspondientesa preferencias
sobre el hemisferioderecho)y <holistas>(correspondientesa prelerencias
sobreel hemisferioizquierdo),estableciendode estaforma una teoría análoga a la cerebral.
Aunqueotros autorescalifrquentodasestasteoríascomo poco consistentes, lo que es verdaderamente
cierto es que se puedendistinguir en las
matemáticas
esosdos aspectosprincipales,lenguajey símbolospor una parte
y representaciónespacialpor otro, que debenser totalmentecomplementarios. Por ello creemosque en el proceso de enseñanza-aprendizaje
de la
matemáticaes necesarioincluir múltiplesactividadesque proveanoportunidadespara desarrollarparalelamente
que acabande ser
estascaracterísticas
señaladas.
5.2. SIMBOLOGIA VISUAL Y VERBAL
Skemp señalaen su libro Psicologíadel aprendizajede las Matematicas,
que la imaginación mental de las personaspuedeclasificarseen dos tipos:
visual y verbal, de maneraque en la representaciónde los conceptosmatemáticosse planteandos sistemasde símbolosa utilizar denominadosvisuales y verbales.Para é1,los símbolosverbalesson la representación
de la
palabra oral y escrita,y los visualesestánconstituidospor diagramasde
distintasclases.
El lenguajealgebraicotienemucho más en común con la simbolización
verbal que con la visual,aunquehay que teneren cuentala importancia que
el componentegráfico poseesobre todo tipo de razonamientológico-matemático que se realice.De esta manera,habrá que tener en cuentaque en
matemáticase utilizan con muchafrecuenciala combinaciónde ambostipos
de simbología,que puede quedar patente en la combinación realizadapor
Descartescon la invención de su Geometría.
Como característicasfundamentalesde estosdos sistemasde simbología
se tienen(Skemp,1980,pág. 117)
t4l
VISUAL
VERBAL-ALGEBRAICO
Abstrae propiedadesespaciales,tales
como forma,posición.
Abastraepropiedadesque son independientesde la conhguraciónespacial, talescomo número.
Más dificil de comunicar.
Más fácil de comunicar.
Puede representarpensamientomás
individual.
Puede representarpensamientomás
socializado.
Integrador,muestraestructura.
Analítico.muestradetalles.
Simultáneo.
Secuencial.
Intuitivo.
Lógico.
pero
Muchas de estaspropiedadesson en realidad complementarias,
caÍacterizzn y al mismo tiempo permiten estableceruna comparación
de ambasclasesde símbolos.Es fácilmenteobservableque las caracteristicas socializantesdel sistemaverbal-algebraicoexplican de alguna manera su hegemoníasobre el visual,por cuanto que su facilidad de comunicacióncontrastacon lo arduo que resultala expresiónde una idea por
una lmagen.
El aspectoalgebraicoque poseenlas matemáticas
de la escuelaobligatoen la clasificaciónanteriordentrode la simboria nos indicaque permanece
pero la experienciay la historia han mostrado la
logía verbal-algebraica,
importanciade la visualizacíoncomo una <herramientu fundamentalpara
Estecarácter
la comprensiónde muchosargumentosy fórmulasalgebraicas.
es debido al hechode que no se es
algebraicode las matemáticasescolares
consciente
del potencialque poseeel sistemagráficovisualy de la insuficiencia de modelos que enlacenambos sistemas.Convieneobservarg!¡e en
teórico-algebraicas
aparecenautománingún momentolas generalizaciones
sino que éstacomplementa
el entendimientode
ticamentede la visualización,
talesgeneralizaciones.
En otro orden de cosas,M. Otte (1986)consideraque las fórmulas
poseenun aspectológico-linealy otro visual-ideográfico,
aspecalgebraicas
con el verbalnuméricoy geométrico
tos que serelacionan,respectivamente,
gráficointrínsecosdel conceptode variablesurgidoen los siglosxu y xvu.
Podemosestablecerasí una serie de conexionesentre la imaginación
que permitiráen lo
mental,los sistemassimbólicosy las fórmulasalgebraicas
que siguerealizardiferentesactividadesapoyadaspor estosplanteamientos
(cuadro5.2),
Consideramos,
con todo esto,la importanciade combinarestosdos tipos
de las fórmulasalgebraicas
apoyándonosen los planteade representaciones
142
CUADRO 5. 2
IMAGINACION
MENTAL
SI STEM A
SI M BO LI CO
FORMULAS
ALGEBRAICAS
VISUAL
IDEOGRAFICO
VERBAL
ALGEBRAICO
LOGICO
LINEAL
mientosgeométricosgriegos,para quienesno existia el álgebra,sino que
todo se traducíaal aspectovisual-ideográfrco
ya indicado.
No obstante,existenmuchos profesoresque prefierencomprobar las
propiedades
para algunosejemplosnuméricos,antesque utilizarargumentos
geométricosrigurosos.Así, parajustificar la propiedaddistributivadel producto respectode la suma lo hacenmedianteargumentos(aritméticos>o
<<numéricos>
[4 y 5 son númerosnaturalesque cumplenque 4 x (4 + 5) :
4 x 4 + 4 x 51,pudiendoutilizarel argumentovisualde Los Erementos.de
Euclides(Fig. 5.1).
a 'b
a'c
a ( b +c) :
: a 'b + a .c
Figura 5.1,
Demostrando<aritméticamente)
un argumentocomo el anterior,la generalizaciónde una propiedadpierdesu significadoreal,ya que se trata de
pequeñasy simplescomprobaciones
que limitan la extensiónreal del descubrimientoy que incidenpoco a poco en la concepciónque el alumno puede
alcanzarde lo que es una demostraciónmatemática.Aunque claramenteel
argumentogeométricotienesuslimitaciones(en estecaso,a > 0 y ó > 0),
t43
ayudaa comprenderla justificaciónde la propiedad,puesabarcaun número
para cualquier
de casosinfinito que posteriormentepodrá ser generalizado
número real.
MODELO DE ACTIVIDAD PARA ORCANIZAR UNA SECUENCIA
DI DACTI CA
r Objetivos: Utilizar la representación gráfica de productos como rectángulos, para el
planteamiento de actividades dirigidas a la adquisición de los mecanismos básicos
que permitan realizar productos de expresionesliterales con paréntesis.
5.3. SUGERENCIAS DIDACTICAS A TRAVES
DEL LENGUAJE VISUAL
El lenguajevisual puedeser utilizado como recursodidácticode apoyo
de esto,
tanto al lenguajearitméticocomo al algebraico.Como consecuencia
planteadasa lo largo de estasecciónseconstruyenapoyándolas actividades
nos fundamentalmente
en el cuadro 5.3,es decir,considerandoel lenguaje
visual y una esquematizacióndel mismo (visualizaciónsimplifrcada)como
pasointermedioen el desarrollode cadaactividadalgebraica.
Dicho de otra
forma, dada una expresiónalgebraicao numérica,el paso previo a su
transformaciónvendrá apoyadopor una traducción al lenguajevisual en un
primer momento,sintetizadoen un esquemaen el pasosiguiente,que refleja
una nuevadimensióndel mismo,para terminar el procesocon la transformación de la exprbsiónalgebraica.
. Nivel: Once a trece años.
r Indicación: Se entregan cuatro fichas al alumno.
ACTMDAD
1 (de introducción):
4 x 5 podemos representarlocomo el área del rectángulo de dimensiones4 y 5, es
decir,
t
4x5
4
CUADRO 5.3
LENGUAJE
VISUAL
+
LENGUAJE
ALGEBRAICO.
NUMERICO
LENGUAJE
ALGEBRAICO.
NUMERICO
Si se quiere representar4 x b, parecelógico hacerlo así:
VISUALIZACION
SIMPLIFICADA
(ESQUEMA)
53.f.
Organizaciónde la instrucción
en nivel de difrcultad creciente,
Las siguientesactividadessecuenciadas
van encaminadas(siguiendoel esquemaanterior) a la adquisiciónde las
destrezasnecesariaspara la realizaciín de multiplicacionesde expresiones
literalescon paréntesis.
144
ya que la medidade b, al no serconocida,la podemosexpresarpor l-...-¡
¿Cómopodrias representara x 4?,¿y a x b?
ACTIVIDAD 2:
Teniendo en cuenta lo que se ha hecho en la ficha anterior, observa que
gráficamente?
4 x (5 + 3) se puederepresentar
145
t
ACTIVIDAD 3:
+-5--+<-_3€
R epresentar(a
+ 5) x b; ( x + 3) x 2; ( y + c) x 3m ediant er ect ángulos, y
utilizar un cuadro de doble entrada como el de la ficha anterior.
ACTIVIDAD 4:
4
Observaque (a * 4) x (b x 3) lo podríamosrepresentargráficamente
I
+--b
y más esquemáticamente
RECTANGULOS
¿Cómocalcularías4 x (5 + á[ Completa el cuadro siguiente.
resolviendolos productosde las expresionesentre paréntesis,podemosescribir
+5-++b+
(a + 4) x (á + 3) : a x b + a x 3 + 4 x b + 4 x 3
4x(5+b)
xl
s | ¿
4x(5+b):
4x5+4xb
que podemosesquematizarloasí:
x
a
4
4l4x5l4xb
<-5
++b+
b
axb
4xb
ax3
4x3
ESQUEMA
Completa las actividadesdel cuadro siguiente:
ax(5+ b)=
ax ( 5+ b)
)
b
(x+3)x(y+5)
(x+3)x(y+5):
=xx5+xxy+
13xyt3x5
(3+a)x(4+x)
( 3+a\ x( 4+x) :
ts -c + + d +
,ax(c+ d)=
:4xc* axd
ax ( c + d\
c
r46
ld
(x+y)x(a+b)
(x+r)x(a+b)
147
5,3.2. Fórmulas notables
Se planteandos actividadesque se apoyan en el lenguajevisual para
.justihcarlas fórmulas
Haz ahora el plieguerepresentadocn la figura 5.5;despliegay escribe,explicando razonadamente
las dimensiones
de los rcctángulosM, N, p, e fig. 5.6).
(a+b)2:a2*2ab+b2
Las dimensiones
de M son
ancho :
largo :
Las dimensionesde N son
ancho :
largo :
(x+yXx-y):x'-y'
Las dimensionesde P son
Se utilizan materialesdiferentespara cada caso,pretendiendocon esto
completarmanipulativamente
el soportevisual inicial.
ancho :
largo :
Las dimensionesde Q son
ACTIVIDAD 1:
ancho :
largo :
. Objetivo:Interpretar gráhcamentela identidad (x + y)(x - y) : x2 - y2.
M
. Nivek Doce a catorceaños.
. Material: Folios, láryi2,regla y tijeras.
. Actividad:Toma una hoja de papel y considerasusdimensiones,ancho (x) y largo
(x + y), tal y como se v€ en la figura 5.2.¿Podriasescribirque el ancho esr + / y
el largo x?, ¿por qué?
x- y
Figura 5.5
y
lP
r__
N
a
x
v
Figura 5,ó
¿Cuálesel áreadel cuadradode la figura 5.8?,¿eláreade p?, ¿y eláreade N *
área de Q?
Z
Figura 5.2.
x+y
N
Ahora pliega tal y como se indica en la figura 5.3 y vuelvea la posición original
(Fig. 5.a).Quedará un cuadradoy un rectángulo,¿por qué tienen las dimensiones
¡/
Figura 5.7
que se ven en la figura 5.4?
Figura 5.8
De la comparaciónde las figuras 5.7 y 5.g podemosescribir la igualdad buscada. Explica la importancia de la fórmula obtenida.
¿Secumplirá siemprecualesquieraque seanlas dimensionesdel folio elegido?,
¿quésignificaríaeso?
W
VWR
I a
ACTIVIDAD 2:
Figura 5.3,
Figura 5.4.
. Objetivo:Interpretar geométricamente
la identidad
( a +b ) 2 :a 2 +2 a b +b 2
148
t49
. Nivel: Doce a catorce años.
Agrupando en forma de puzzles los trozos de cartulinas que has ido obteniendo
a lo largo de la actividad, interpreta la siguiente gráfica y completa (Fig. 5.11)
o Materia[ Cartulinas de diferentes colores, tijeras.
o Actividad: Utlliza dos tiras de cartulina de diferentes colores y tamaños
ffi
b
Construyecon las cartulinasrecortadaslos cuadrados at, bt y también el
rectánguloa'b, como vesen la Iigura 5.9.
a(a + b)
a2
a
b(a + b)
I
I
I
t
b
b' a
¿
Figura5.11
( a+b) 2: ( a+b) ( a+b)
l
Figura 5.9
5.3.3. Razonamiento inductivo. Generalizaciones
Une ahora a con b, obtendrás una nueva tira de longitud a + b
ub
Cámbiala por una sola tira de ese tamaño.
Construye un cuadrado de lado a * b. Observa la hgura 5.10.
a *b
La importancia del razonamiento inductivo es obvia y tiene sus implicaciones directas en la enseñanza del álgebra. Polya se refiere extensamente a
é1.En sus trabajos distingue entre el razonamiento inductivo o inducción y
lo que conocemos por inducción matemática.
<La inducción es un modo de razonar que conduce al descubrimiento de
leyes generales a partir de la obseruación de ejemplos particulares y de sus
combinaciones. Se emplea en todas las ciencias, aun en las matemáticas. En
cuanto a la inducción matemática no se emplea más que en matemáticas a frn
de demostrar un cierto tipo de teoremas. Es bastante molesto que las dos
expresiones estén ligadas, ya que entre los dos procedimientos existe un lazo
lógíco, ex tr emadamente sutil... >
(Porvn, 1965, párg. úa.)
( a+ b \ ( a +b )
Figura 5,10
150
UNIV E RSI DA DDI $ T RI T A L
FRA NCIS CO
J t )$ E ü F Cu i" it t t 5
sIsTE lrA o E t llk r, )t " . -, " ;
Para la obtención de las leyes y propiedades,tanto en las cienciasexperimentales como en las matemáticas (a través de --€n palabras de Polya- la
observación, la regularidad y la coherencia) se emplea a menudo el razonamiento inductivo, aunque, si bien, en las matemáticas es donde únicamente
se pueden sistematizar mediante una demostracióh matemática (usando el
r 5t
métodode inducción)y admitir como válidoslos resultados
encontradospor
inducción.
Los utensiliosempleadospor la inducciónson para Polya,la generalización, la especializacióny la analogiaque él mismo define(Polya, 1966):
<Generalización es el paso de la consideración de una serie determinada de
objetos a la de una serie mayor que contiene a la primera..>
<Especialización (particularización) es pasar de la consideración de una
serie de objetos a la de una serie más pequeña contenida en la primera...>t
<Analogía es una especie de semejanza. Es, diríamos, semejanza sobre un
niuel conceptual...>
Sin pretenderextendernosen cuestionescomplejas,en la inducciónde
propiedadesmatemáticastrataríamosprimeramentede encontraruna regularidad entreciertosobjetosmatemáticos,de forma que buscandosimilaridadesentre éstos,podremospasara un nivel de abstracción,por último, que
nos permita generalizarla regularidad encontrada para particularizar a
a modo de comprobaciónde la validezde lo conjeturado.
casosespecíficos
Es importante generalizarexpresionesy entendersu significado.
Presentamos
a continuaciónalgunasactividadestípicasde generalización
de propiedadesde los númerosnaturales.
MODELOS DE ACTIVIDADES PARA GENERALIZAR
Figura 5.12
ACTIVIDAD 1:
. Objetivo:Interpretar, haciendouso de material y del lenguajevisual que | + 2 +
n (n + 1 )
+J + . . . + n
. Nivel Doce a quince años.
o MateriahCartulinacuadriculaday colecciónde cuadrados.
. Actividad:Alineandolos cuadradosque presentanlos primerosnúmerosnaturales
podemosconstruirescaleras
como las de la figura 5.12.
Construyedos escalerasde cada tipo y únelasen forma de prtzzle,tal y como
vesen la figura 5.13.
Observaque el área del rectánguloque se forma con la escaleracuarfa,por
ejemplo,es
A' B : 2 (l + 2 + 3 + 4)
y susdimensiones
las podemosescribircomo
A :4 + l
B :4
152
Figura 5.13
t53
Si en vez de los cuatro primeros númerosnaturales,lo hacemoscon 5, con 6,
etc., tendríamosnuevosrectángulosde dimensionesA y B. Completa el siguiente
cuadro:
Suma de los
números
naturales
l+2
l+2+3
l+2+3+4
l+2+3+4+5
I +2+3+4+5+6
Area
del
rectángulo
Dimensión
de
A
2(r+2+3+4)
Dimensión
de
B
tr
4+l
:1 6
12:l
4
1 2 +2 2 +3 2 +4 2 =
Figun 5.14
Para determinarloen el casogeneralen el que sumamoslos n primeros números naturales,observaque:
2(l+2+3+'..+n\:A.B
t ll
y también,
NH f fi
A :n + l
B :n
¿por qué?
Si sustituyesahora A y I por sus valoresen [],
+3 + . . . *n?
¿cuántovale I + 2 +
l + 2 + 3 + ...* n :.
Compruebasi esa <<fórmuloes válida para los valoresde
n :
Figura5.15
construye, recortandola cartulina cuadriculada,una torre como la de la figura 5.14y dos como la de la figura 5.15y únelastal como se ve en la figura 5.16.
Se observaque el área del rectánguloA. B es:
A'B: 3( 12
+ 22 + 32 + 421
1 ,2 ,3 ,4 , 5 , 6 ,7
ACTIYIDAD 2:
. Objetivo:Interpretar,haciendouso del material y el lenguajevisual que 12 + 22 +
n(n + lX2¿ + l)
T" ' T n- : "
6
A
. Nivek Catorce a dieciséisaños.
. M¡teri¡h Cartulina cuadriculaday colecciónde cuadrados.
. Activid¡d: Disponiendo convenientemente
los cuadradosque representanla suma
de los cuadradosde los cuatro primerosnúmerosnaturales,podemosconstruir una
torre como la de la figura 5.14o una torre como la de la hgura 5.15.
154
BFigure 5.16
t55
siendosusdimensiones
A:1+2+3+4
B:2'4 + 1
v
Suma de los
númeroscuadrados
Area del
rectángulo
Dimensión
deA
12+ 22
12+ 22+ 32
12+ 22+ 32 + 4 2
12+ 22+ 32 + 42 + 5 2
1 2+ 22+ 32 + 42 + 5 2 + 6 2
3 (1 2+ 2 2+ 3 2 + 4 2 )
l+2+3+4
Dimensión
deB
y B : 2' n
:n ("
:' )(véaseA C TIV ID A D
12or+ 22 + " ' n2?
l;
¿
p
o
rq
u
é
?
,¿
c
u
á
n
to
v
a
l
e
s
e
g
ú
nl
oanteri
*
Figura 5.lE
Se observaen la figúra 5.18un cuadradode lado | + 2 + 3. ¿Podremosdecir
que 13 + 23 + 33.: (1 + 2 + 3\2?
Recortaahoraun trozo mayor de cartulinay añadeun nuevobloquemultibase
(43)y los cuadradosnecesarios(de manera parecidaa lo hecho en el otro caso).
¿Sepuedeafirmarque13 + 23 + 33 * 43 : (l + 2 + 3 + 4)2?,¿porqué?
Si tuviésemosque sumar como último cubo el de arista n, ¿de qué forma
podríascalcularla suma lt + 23 + 33 + ... + n3?
3ú2 + 22 + 32 + 42)
ytendr em os que ,4: | + 2 + 3 + " ' * ,
32
Figura 5.17
2.4+l
Para determinarloen el casode n, observaque
A'B :
32
J-
si en lugar de los cuatroprimeronúmeroscuadrados,lo hacemoscon 5, 6, etc.,
podríamosionstruir también el rectángulode dimensionesA y B. completa el
siguientecuadro:
13+23+33+. . . *n3
l ),
L
1 2 + 2 2 + ...+ n 2 :.
ahoraParan : 2,3, 4, 5, 6,7'
Compruébalo
ACTIVIDAD 4
. Objetivo:Generalizaruna expresiónutilizando el lenguajevisual y materiales.
. Niveh Doce a catorceaños.
¡ Materiak Bloquesmultibaseo cubos de madera(por ejemplo,dc 3 cm de lado).
. Actividad:Construyeun cubo de arista 2 unidades(Fig. 5.19).
ACTIVIDAD 3:
o Objetivo:Interpretar,haciendouso del material y el lenguajevisual que lt + 23 +
+ . . . + n3 : ( l + 2 + ... + n )2 .
o Nivel: Catorce a dieciséisaños.
¡ Materiak Cartulina cuadriculaday bloquesmultibase'
o ActivirüaüConstruye sobre el papel centimetrado un cuadrado de lado 25 cm'
Recórtalo.
a
Coloca sobrela cartulina los cubosde los bloquesmultibasecorrespondientes
la
en
remarcados
cuadrados
f ,2r,33 tal y como vesen la figura 5.17,y cuentalos
con el númerode cubos?
figura 5.18,¿coinciden
156
Figura 5.19
157
Si se sumergecompletamenteel cubo <grande>en un recipientecon pintura:
a)
b)
cl
d)
e)
f)
¿Cuántoscubos <pequeños>forman el cubo mayor?
¿Cuántoscubos <pequeños>tienen pintadas las 3 caras?
¿Cuántossolamentedos caras?
¿Cuántossolamenteuna cara?
¿Cuántosninguna?
tCoát la suma de las respuestasdadasen los apartadosanteriores?
"r
compara las respuestasdadasen a) y f), ¿existenalguna relación entre ellas?
y completala
Hazio mismopára los cubosde las figuras5.20,5.21,5.22,5.23
tabla:
griegosa algunasclasesde números,estoes,a los que sedenominannúmeros
Jigurados.
l,os númerosl, 3,6, 10,...,n(n -l l)12, rectbianel nombre de números
triangulares,ya que podían ser dispuestosen forma de triángulos:
a
I
A
3
Los númerosl, 4, 9, ...,nz sedenominabanNúu¡nos cuADRADos,
ya que
podíanrepresentarse
por:
Figura 5.20
Dimensiones
del cubo
Figura 5.21
0
Figura 5.22
Número de caras pintadas
4
J
2
I
Figure523
Número total
de cubos
u
4
16
Sellaman númerospentagonales
a los que puedendistribuirseen forma
de pentágonosy son de la forma 1,5, 12,...,n(3n - l)12.
2
4
5
6
;
¿?
tienede dimensiones
¿Ocurrirálo mismosi el cubosumergido
anteriores
los resultados
Ánadea la tablaunafila conestosdatosy comprueba
(para2,3,4, 5,6).
Númerosfigurados
que se han visto en las actividadesanteriores(1,2 y 3)
Las expresiones
,on.ono.idas desdeia antigüedad.Una fuenteimportante de actividadesde
este tipo se encuentra en la representacióngeométricaque asociabanlos
158
Tendremoscon todo esto,que podrían ser construidosnúmeroshexagonales,etc. En general,tendría sentido hablar de NúMsnospoLrcoNALEs.
Si se observa la forma de obtener cada uno de los distintos tipos de
números(en general)poligonales,se pueden extraer algunas implicaciones
didácticasútiles para algunosde los aspectosde la enseñanzasecundariay
representativas
del métodoinductivo de razonamientomatemático.
r 59
el n-ésimo número pentagonal tcndrh oomo expresión general,la suma
de una progresión aritmética de razón 3
-Cada número triangular es obtenido añadicndo una nueva fila a la
anteflor:
t + 4 + 7 + ". + (3n - 2) : n(3n- 1)12
A
o
r+ 2
1
l+ 2 + 3 + 4
Tendrá sentido, vista la forma de definir los números poligonales, el
dehnir también NúMsnos pouÉonrcos. Las distribuciones más evidentes vendrían representadaspor cubos y pirámides triangulares y cuadrangulares:
por la sumade
númerotriangularvendrárepresentado
El n-ésimo
geométrica
de razón1:
unaprogresión
l+2
+3+
".*n:n(n+ l)1 2
Piramidal cuadragular
Piramidaltriangular
Cúbico
-Cada número cuadrado puede ser obtenido añadiendo una <L> al
ant er ior c on 3 , 5 ,7 ,9 ,... p u n to s .
1+3*6:10
1+4+9:14
3t:27
Se puede demostrar que el n-ésimo número con configuración espacialcn
dos dimensiones es de la forma
a
I
P{:
l+3+5
1+3+5+7
por la sumade
el n-ésimonúmerocuadrangularvendrárepresentado
una progresiónaritméticade razbn 2.
1+3+5+"'+(2n-l):n'
- Cadanúmeropentagonal,seobtieneañadiéndoal anterior,4,7, lO,...,
puntos.
an2 I
bn + c, n eN
( m : nit m er odeladosdelpolí gono)
y puede ser obtenido, conociendo tres de ellos, resolviendo el sistema de 3
ecuacionescon 3 incógnitas.
Análogamente ocurre para los números tridimensionales(poliédricos);se
trata entonces de determinar los coeficientesa, b, c y d, sabiendo que su
expresión general será de la forma:
PO ': an3+bnz+cnt d'
r eN
5.3.4. La demostración y justificación de propiedades algebraicas
I+4+7
160
l+ 4 + 7 + 1 0
La justificación de propiedades o teoremasen matemáticas requiere muy
a menudo un gran aporte intuitivo, así como un proceso de razonamiento
lógico deductivo. Teniendo en cuenta las experienciasy los resultados sobre
el desarrollo evolutivo del niño (cap. 3), sabemos que es a partir de los
dieciséis años cuando pueden alcanzar las capacidades necesariaspara desarrollar con rigor una demostración matemática. Por otra parte, conociendo
los resultados de van Hiele, el rigor de una demostración matemática es
t6l
alcanzadosólo por las pocaspersonasque seencuentranen el último de los
nivelesdel pensamientogeométrico(nivel 4, van Hiele, 1986).
Es por eso por lo que las actividadesde demostraciónque podemos
planteara alumnosde doce a dieciséisaños,no se correspondencon una
demostraciónrigurosa y formal, sino que más bien seránactividadesque
permitanjustificar una cierta proposición o teoremamatemático,y en ellas
debeintentarsepor todoslos mediossimplificaral máximoeserigor lógicoy
formalismoanteriormentealudido.
Segúnla teoríade van Hiele,los alumnosque seencuentranen el tercer
nivel de pensamiento
geométricoson ya capaces
de deducirpropiedades.
Los
niñospuedenestablecer
relacionesentrepropiedades
de una mismaligura y
entredistintasfiguras.Sededucenpropiedades
de las representaciones
visuales y se reconocenclasesde figuras.Se puedetambién:
- Comprenderla inclusiónentre figurasanálogas.
- Entenderel signihcadototal de una definición.
- Suministrarargumentosinformalesque puedenser seguidospor los
alumnos.
Sin embargo,en estenivel, el alumno no comprendeen su totalidad el
significadode la deducción,de las demostraciones
y el papelquejueganlos
axiomas.Los resultadosobtenidosempíricamente
seutilizan conjuntamente
con técnicasdeductivas,aunque las variacionesdel orden lógico de las
deducciones
no son advertidasen generalpor los niños.
C
e c-+
ts_
á_________>
Figure5.2
EI otro cuadradosedescompone
en cuatro triángulosrectángulosigualesy un
guldrafo, de tar forma que raslongitudesde los catetosseanlas dimensionesde ros
ladosde los cuadradosB y C (Fig. 5.25).
Recortala figura 5.24d,e.manera
q_ueobtengasdos cuadradosy dos rectánguros
y recortalos cuatro triángulosde la frgura5.25.
ACTIVIDADES
b
ACTIVIDAD 1:
. Objetivo:Justificarel teoremade Pitágorasy expresarloalgebraicay geométricamenteutilizandomaterialy apoyándose
en el lenguajevisual.
. Nivel: Trece a quince años.
. MateriaL Cartulina, tijeras y balanzade brazos iguales.
o Activid¡d: Recortaen cartulina dos cuadradosiguales(por ejemplo,de 17 cm).
Coloca uno en cada platillo de la balanza,Observa:LA BALANZAnsrÁ ¡N
EQUILIBRJO.
Descompónahora uno de los cuadradosen dos nuevoscuadradosy dos
rectángulos,tal y como se indica en la figura 5.24(no es necesarioque tenganuna
medida determinada).En nuestrocasoelegimosc = 5 cm. ¿Cuánto valdrá B?
r62
Figura5.25
separandolos dos rectángurosde ra figura 5.24 y los cuatro
triángurosde la
figura5.25,y colocandolo que queda(A, Bt C) enlabalanz"(,
." ;;;lutillo y B,
C en otro), observa:LA BALANZA
coNuNú¡l EN EeuILrBRro.
Se cumplirá que:
A: B+C
r63
Comprueba ahora que lo que se quedó fuera de la balanza para el primer
cuadrado (Fig. 5.2a),coincide con lo que dejasteen la figura 5.25. Hazlo por
superposición.
¿Quiénes l?
¿Quiénes B?
¿Quiénes C?
Observandola figura 5.25,vemos que I es el cuadrado construido sobre la
hipotenusade cualquierade los triángulos.
Observandola figura 5.24,vemosque -B es el cuadradoconstruidosobreel
catetomayor y C es el cuadradoconstruidosobreel catetomenor.
Esta propiedadsecumplirá siemprey recibeel nombre de r¡onru¡. on PtrÁc'on^l,sy lo enunciamosasí:
<El cuadrado construido sobre la hipotenusaen un triánguld rectángulo es
igual a la suma de los cuadradosconstruidossobre los catetos.>
Observay explica en la figura 5.26la forma algebraicade expresarlo:
a2+ b2: c 2
El volumen del cubo de la figura anterior será(a * b\, : V.
Teniendo en cuenta el valor numérico de a y ó, escogeahora los bloques
multibase necesariospara formar un puzzle. ¿Qué relación existirá con el cubo
inicial?Observala figura 5.28.
4A
Figura5.26
En el casoconcreto(c : 5), ¿cómoseríala igualdad?
Repitey compruebalo obtenido,dándolea c un valor cualquiera.
ACTIVIDAD 2:
. Objetivo:Justificarque (a * b)t : at + 3a2b+ 3ab2+ b3.
r Nivel: Trece a quince años.
. Material Bloquesmultibase.
. Actividad: Elige, de entre los bloques multibase,el que correspondea 5 cm3 y
consideremosque el lado es de la forma ¿ + á (Fig. 5.21),con a : 4 cm y
á :1 c m .
r64
Figura 5.28
Vamos a llamar Z'al volumen de la nueva figura. Completa:
V':a 3 +b 3 +
Comparando V y V' se obtiene una igualdad o fórmula importante:
( a +b ) 3 :
en nuestro caso concreto, ¿cómo será esta identidad? (a :
4 y b :
l\.
tó5
EJERCICIOS
a2-b2-(a*b)(a-bl
l.
Realizarlas actividadespropuestasen el capítulo.
I
I
2. construir una secuenciaanáloga a la ACTIVIDAD I para organizar una
secuenciadidáctica(5.3.1),con el objeto de obtenerproducios en lJs que intervenganmás de dos sumandosdel tipo (a + b + 2) x (3 + c).
I
I
I
(.+F--
Estableceruna secuenciaen la que se estudien mediante el lenguaje visual
expresionesde la forma 2a x 3b : 6ab.
lb
3b
X
2a
a
a
b
ab
ab
b
ab
ab
ab
ab
b
L!-
*_ a
a-r,
?_a
,
Estableceruna secuenciaen la que se estudien mediante el lenguaje visual
expresionesde la forma 2a x 3a : 6a2.
5. A¡alizar visualmentelas diferenciasentre 3a2y (3a)2.
6. Teniendo en cuenta las siguientesgráficas,plantear actividadescon cartulina
análogasa las reseñadas
en 5.3.2.
b
(a + b)(a - b) = a(a - b) -r b(a - b\ : a2 - b2
Los primerosnúmerosimparespuedenservisualizados
sobreun cuadradocomo
se indica en la figura.
a
l3
rlrl
¿l
(a -
r66
b)' :
a2 -
2(a = a2- 2ab+ b2
)
7
9
u
I
¡
t
I
r rl
t
I
t
¡
TT
T
T
T
T
T
I
T
T
r
b)b - b2 :
rtl
I
t67
Utilrzar cartulina cuadriculaday una colecciónde cuadradospara establecer
una expresióngeneralde la suma de los n primeros númerosimpares.
8. Teniendoen cuenta que el n-ésimonúmero poligonal es Pf : an2 + bn + c,
n e l\ (z : númerode ladosdel polígono)comprobar,sabiendoque los tres
primeros números triangularesson 1, 3, 6, que su término ¿-ésimoes de la
forma:
Iniciación a las ecuaciones
Obtener Ia expresiónpara los ¡r-ésimos
(Pi : l, Pt : 4, Pt : 9)
númeroscuadrados
númerospentagonales (Pf : I, P: : 5, P: : 12)
númeroshexagonales (4 : l, Pt : 6,4 : 15)
9. Construir una secuenciadidáctica para sumar y restar polinomios con los
visualessiguientes:
equivalentes
Lenguaje
visual
Punto
Lenguaje
algebraico
Lenguaje
verbal-conceptual
cantidad discreta
6.I. LOS MODELOS
Los conceptos,segúnla teoria de Piaget,son el resultadode abstraccioy que va íntimanes que logiamos despuésde un procesode percepciones
mente unido al conceptode clasificación.Los conceptosestán relacionados
unos con otros o se derivan de otros, salvo los conceptosprimarios, por lo
que podemos decir que existen unas estructurasbásicasen las cuales nos
asentamos.Por ello, el aprendizajetendrá como linalidad la formación y
consolidaciónde dichas estructurasmentalesque Skemp denomina EseuEMAS.
Segmento
longitud
Cuadrado
área
Cubo
volumen
10. Elaborar una actividadsimilar a la actividad I (5.4.3)para demostrarel teorema
del cateto y el teoremade la altura.
Si tenemosen cuenta que en matemáticaslos conceptosestán fuertementerelacionados,organizándolosen unas estructurasbásicaso esquemas
disminuiremosla cantidad de conceptosa aprender,ala vez que facilitamos
su aprendizaje.
Por ejemplo,rrnavez adquirido el esquemapara resolverun sistemade
dos ecuacionescon dos incógnitas,podemosgeneralizarel procesoa un
sistemade n ecuaciones
con r incógnitas.
Es interesante,
sin embargo,señalarque el uso de modelostienealgunas
desventajas.La primera está relacionadacon el tiempo. Aprender de forma
memorísticala regla para resolverla ecuaciónde segundogrado
- b+
2a
esmucho más sencilloque comprenderel procesopara llegar a ella, pero no
esnecesarioindicar la evidenciadel valor formativoque esteprocesoconlle-
168
169
va. La segundadesventajaestáunida a la correctaformaciónde los esquemas.Para que los modelosseanválidosdebenteneruna doblefunción,por
totalmenteacordes
una parte,han de permitir describiru obtenersoluciones
con la situación representaday por otra han de crear esquemasque el
alumnopuedaadaptarlosa nuevosconceptos.Los modelossonen el álgebra
una herramientafundamentalque permitepasarde una situaciónproblemápor ejemplo,en lenguajeordinario,al modeloy de éstea la
tica, expresada,
en estesentido,entenderemos
también
expresiónalgebraicacorrespondiente;
el modelocomo una forma de lenguaje,como ya seseñalóen el capítulo5, y
se utilizará en este capítulo de iniciación a las ecuacionescon un doble
signifrcado:como lenguajey como recursodidáctico que engendraesquemas
que hacen más fácil el aprendizaje.De esta manera, en ecuaciones,los
modelospermitirán pasar de forma simple de la situaciónproblemáticaa la
ecuacióncorrespondiente,así como iniciar a los alumnosen su resolucióny
en el conocimientode las reglasde manipulaciónde expresionesalgebraicas
sencillas.
Los modelosque vamos a proponer serán,en general,intuitivos, explícitos y analógicos.
Intuitiuos. Las relacionesmatemáticasson modelosabstractosde realiLas fórmulasF : m'a o V : a'b 'c son modelosabstracdadesconcretas.
tos de la fuerzaque ejerceun móvil o del volumen de un ortoedro, respectivamente.En el primer caso, conocida la aceleracióny su masa, podemos
predecirlo que sucederáen la realidad;y en el segundocaso,conocidaslas
tres dimensiones,podemosseñalarel volumen del ortoedro.
Muchas vecesen la elaboraciónde modelosabstractosutilizamos consfisicaso gráficaspara las
representaciones
cientementeo inconscientemente
son los modelos
nocionesque estamostrabajando. Estas representaciones
intuitivos, modelosde naturalezasensorialque algunasvecesno reflejan
constituyenun buenmodeuna realidad.Los cubosencajables
directamente
lo intuitivo para el volumen del ortoedro,y el grálico de la función F :
m' a, qve representaun fenómenoobservable.es un modelo intuitivo de
función.
En matemáticas,uno de los modelosintuitivos más utilizadosson los
diagramas.
Explícitos. Los modelosse planteanexplícitamentecon uso de diferentes tipos de recursosgráficos:gráficosde todo tipo, diagramas,<máquinas>,
<operadores>,
histogramas,etc.
<ordinogramas>,
a una clase
Analógicos. Los modelosson analógicoscuandopertenecen
Por ejemplo,los bloquesaritméticos
distintade la realidadque representan.
multibasede Dienespara conocerlos sistemasde numeracióny las operaciones.
170
La analogiaes utilizada constantemente
en matemáticas.Polya (1966)
distinguediferentestipos de analogías,que intervienen,tácita o explícitamente.en el razonamientomatemático.
1."categoria: Tanto el modelocomo el originalno usanexplícitamente
medios intuitivos. sino solamentesimbolismonumérico
por ejemplo,el casode las opealgebraico.Consideremos,
racionescon númerosimaginarios,dehnidospor analogía
con los númerosreales.
2." categona: Se da cuando un término es intuitivo, generalmenteuna
representacióngeométrica,y el segundotérmino es una
expresiónsimbólica.Las representaciones
geométricasde
las funcionesbasadasen el isomorfismofundamentalentre números y figuras es el ejemplo más importante de
esta categoría.
3." categoría: El modelo es extramatemático,más específicamente
una
representaciónmaterial de los conceptos matemáticos.
Los materialesestructurados(como los ábacoso regletas
de Cuisenaire)seencuentranen estacategoría.Pero también se puedenincluir aquí las representaciones
gráficas
de los númeroso de los conceptosgeométricos.
Como ya hemos indicado, la utilizaciín de modelos juega un papel
fundamentalen la creaciónde conceptosy procesosde razonamiento,pues
permite hacer accesiblesy manipulables conceptosintelectualmentemás
dificiles.Y para que esto ocurra es necesarioque el modelo cumpla las dos
condiciones:
- Que la descripcióno solución obtenida en el modelo seanigualmente
válidas en la situación que representany
- Que el modelo tengaen sí mismo una autonomíacon respectoa lo
representado.
Un estudio más detallado sobre modelospuede verseen la obra de
Fishbein(1987).
Los modelosque vamos a utilizar con más frecuenciaen estecapítulo
para el estudiode las ecuaciones,
reglasde manipulaciónde ecuacionesy
resoluciónde ecuacionesson: balanza,diagramas,máquinas,gráficas,tableros de ñchas.etc.
171
6.2. DISTINTOS TIPOS DE MODELOS
para pasarfinalmentea expresarestasituaciónde equilibriocon la ecuación
s*3:6
6.2.1. Balanza
Labalat]ua de dos platillos de brazosiguales(Fig. 6.1)utilizada en forma
pvzile
facilitará la adquisicióndel conceptode ecuación,el uso de algunas
de
reglasde manipulaciónde igualdadesy la resoluciónde ecuacionessencillas.
Buscarla soluciónseráencontrarel equilibriode nuevo,pero dejandoen
un platillo solamentela garrafa.Para ello, quitamos 3 kg de cada platillo
(Fig. 6.3),con lo que nos queda la garrafasola en un platillo (Fig. 6.4)
Figun 6.1
Representaremosla ecuación como la situación obtenida al estar la
balanzaen equilibrio. Supongamos que desconocemosel peso de una garrafa
(Fig. 6.2) y que la balanza se equilibra colocando en un platillo 3 kg y la
garrafa y en el otro 6 kg.
Figura 6.2
El purzzlerepresentadopodemosescribirlo con palabrascomo:
peso de la garrafa + 3 kg : 6 kg
o también como:
2+3:6
r72
expresadosimbólicamente
es:s : 3.
puede
Con este modelo se
llegar, realizandodiferentesactividades,a
conclusiones
sencillasque permitiránusaralgunasreglasde manipulacióndc
igualdades.En forma de resumentendríamos:
ACTIVIDAD EN EL MODELO
ECUACION
Si se añade o quita el mismo peso
a los dos platillos, la balanza sigue
equilibrada.
Si se sumao restael mismo número a
los dos miembros de una ecuación.
éstano varia.
Lo mismo ocurriría si multiplicáramos por un número uno de los miembros de la ecuación.deberíamosmultiplicar por el mismo número el otro.
Estemodelo tiene algunasdesventajasque debemostener en cuenta;una
de ellas es que se considerala s como una cantidad desconocida(en lugar
de una variable)que necesitamos<hallan. Por otra parte, el esquema<<equilibrio de los dos brazos>>
no es aplicable a ecuacionescomo x * 4 : O,
:4.
x2
Es importantetambiénno usarcon demasiadainsistenciala mismaletra
(x)) para designarla incógnita,porquelos alumnosllegana pensarerróneamenteque la ecuación(es una igualdaddondefrgurala x>. Convieneusar
también otras letras o símbolosy que los alumnosentiendanmuy clara-
t73
menteel carácterdistintivode una ecuaciónque sólo severificapara ciertos
valoresparticularesde la letra o letrasque en ella figuran,contrastandocon
las identidadesque se verifrcanpara todos los valoresde las letras que
intervienen.
Este modelo de la balanzapuedeser utilizado para las inecuaciones.En
éstasse tratará precisamentede buscar los valoresque mantenganel desequilibrio inicial. Por ejemplo,para la inecuación2x * 3 ) 9, tendríamos:
Puestoque ambasbalanzasestánen equilibrio,lo seguiránestandocon
cualquiercombinaciónde ellas:
En particular,
nosinteresará
aquellaqueelimineunavariable,
por ejemplo:
3A + C : 38 * D +3x + 6y +(-3x + y) : 2l _ 7
7y:14+l:2
De forma análogaa la anterior,llegaremosa la conclusiónque si añadimos o quitamosuna misma cantidada cada platillo, seguiráen la misma
situaciónde equilibrio o desequilibrio.
2x+3>9
2x>6
x>3
2x*3: 9
2x:6
y
X:3
La resoluciónde un sistemade ecuaciones
por el métodode eliminación
(o reducción)puedeser también ilustrado gráficamentecon el modelo de la
balanza.
Seael sistema
x*2 Y :
7I
-3 x* y:-7 J
Sillamamosa x+2y:A
7:B
v
-3.x*!:C
-7:D
podríamosrepresentarcada pareja por una balanza
6,2.2. Diagramas
Los diagramasson,en general,esquemas
expresados
unas vecesen lenguajegráfico-figurativo(pictórico)y otras en lenguajegráficono ligurativo
(ideográfico),
que sirvenpara demostraruna proposicióngeométrica,resolver un problema o expresarde forma lógica o gráficala ley de variación de
un suceso.con este último sentido se utilizará en estecapítulo,es decir,
como esquemas
ilustrativosde diferentesrelacionescuantitativasque representan el recorrido de esasrelacionesbajo órdenesde cálculo. Los otros
aspectosseránconsiderados
bajo el conceptomás generalde gráfico.
construiremoslos diagramascon el uso de tres tipos de símbolos:las
flechas y los círculos indicarán las órdenes de cálculo, por ejemplo, al
significaráel operador multiplicativo 3, al igual que @ indicará er operador
aditivo, los rectángulosl--l
representaránlas situacionesintermedias,así
como el comienzoy final de los diagramas.
Por ejemplo,el diagrama:
|-_[t 5 Do-t_1 ¡-rl
parte de un número conocido 4 y por medio de determinadasoperaciones
llegamosa obtenerel resultado.En estecamino toda la sentenciaanterior
es igual al último rectángulo;así,por ejemplo,si consideramos
el segundo
rectángulo:4 x 5 : 20 y nos frjamosen el último: 4 x 5 - J - 13. De
estamaneracada sentenciavienedeterminadapor el rectánguloinicial y por
las operaciones
de cálculoindicadas.
t74
175
Otro ejemplo de diagrama numénco:
Mediantelos diagramasse representan
fácilmentelas operaciones
inver-
t--{l
[zt l3 [T-t
t--2-1¿.1t-T-l
é
J
sin más que buscar la operación que nos permite recorrer el diagrama en
sentido contrario; de estaforma podemosjustifrcar los pasosa seguiren la
resoluciónde ecuaciones.En el ejemploanterior, 3s + 2 : 29, cuyo diagrama es:
ó
I
[il
t
oI
:1 [Ts-l:3 fx-l
su resoluciónvendrá dada por el diagrama inverso
Trt
l-l
Análogamente,podemos partir de datos desconocidos,por ejemplo, el
siguientediagrama:
.1
._ [---l (- fze-l
y escribiendoen forma simbólica,la sentenciasería:
Por tanto's :9
'T :"
t-il5T--l3|-Ir]
Veamosa nivel simbólico la situación anterior:
La sentenciacompleta permite expresarla ecuación:
tE¿laIr-z-t
5s-7:13
Los diagramasfacilitan al alumno el paso de un enunciadoverbal a la
expresiónde la ecuacióny a su resoluciónposterior. Veamosun ejemplo:
ENUNCIADO
VERBAL
Hallar un número
tal que su triplo
aumentadoen 2
dé 29
176
DIAGRAMA
[s- :3 f--131291
-)
DIAGRAMA
|E 3 ¡zr1 ,"2g1
EXPRESIÓN
SIMBOLICA
3s + 2:29
27
FORMA
SIMBOLICA
s :T
3s:29-2
3s + 2:29
3s :27
s: 9
t77
Es obvio que en los diagramaslinealesse podrá construir el diagrama
inversocon ciertafacilidad,no así en los ramificados.
Veamos qué sucedeen una ecuación de segundogrado en la forma
generalux2 + bx + c : 0. Esta no sepuedeexpresarmedianteun diagrama
lineal,pero sí medianteun diagramaramificado.
La soluciónmedianteeste modelo se hace imposible,ahora bien, las
para
expresiones
ax2 + bx * c : 0 y k(x + m)2 * n : 0 son equivalentes
:2kmy
pasarde
a: k,b
c : kmz t n.Elproblemaconsisteentoncesen
la primera forma a la segunday resolveresta última con el diagramainverso.
En el ejemplo(x * 3)z - 25 : 0, sería:
tr-g@@E
El siguienteesquemanos daría la posibilidadde plantearuna ecuación
cuya resoluciónnos permitiría obtenerel valor de s, es decir:(6 + s) + (5 +
* s) : 21; de dondos : 5.
Estos esquemasadmiten una representación
más sencillade la forma
siguiente:
6
J
5
2l
La reglapara esteejemploseríaque el valor de cada cuadradoinferior es
la sumade los dos superioresconsecutivos.
Situacionesque se pueden complicar más variando las operacioneso
aumentandoel númerode cuadraditoslescalones).
6.2.3. <Máquinas>
Veamosotras situacionesde aprendizajedonde algunosdiagramasno
linealesconstituyenmodelosinteresantes.
t78
Las máquinas constituyenun recurso didáctico de tipo gráfico, que
utilizando un lenguaje preinformático: entrada (input), salida (output) y
179
orden o regla de transformación,permitencrear situacionesde aprendizaje
de tipo aritmético o algebraico con una fuerte componente de carácter
funcional.
En otros casossepuedenconstruirmáquinascompuestas
con dos o más
caminos,como, por ejemplo:
la misma
entrada
ENTRADAII | 2 | 3 | s I
salnn
| , | 6l e | 3"_l
donde el alumno tiene que buscar el número que recorriendolos dos caminos distintos,origina la misma salida,esdecir, hay que plantear y resolverla
ecuación
Figure 65
5s*6:3s*20
La representaciónmás sencillaseríala figura 6.5,a la que correspondela
tabla adjunta.Tal gráfico permitedistintasvariantesde búsqueda:conocidas
la entrada y la regla, buscar la salida; o conocida la salida y la regla,
encontrarla entrada;o conocidasvarias entradasy salidas(la tabla) buscar
la regla.Un ejemplo de máquina compuestaseríala figura 6.6 con su tabla
correspondiente.
EN T R A D A I I | 2 | 3 | 4 |
s
S AL ID A I l l 3 l 5l ?
12" -l
6.2.4. Gráficos
Entenderemospor gráficos las diferentesformas de representaciónde
datos numéricospor medio de líneasque ponen de manifiestola relación de
esosdatos entre sí, y también las descripciones,representadas
por medio de
f-rguraso signos,de conceptos,operacionesy demostracionesmatemáticas.
En esteaspecto,los gráficosincluyena los diagramasy a las máquinascomo
situacionesparticulares y que por su importancia hemos querido tratar
separadamente.
Veamosalgunassituacionesde aprendizajede las ecuacionesdonde algunos grálicosconstituyenmodelosinteresantes.
l.
I
I
Dado un plano dondealgunasde susmedidasno estónespecíficadas,traÍar
de encontrarlss:
Activid¡d: Hallar las medidasdel siguienteplano, anotando susecuaciones.
I
Jt - 5{
Figurr 6.6
+-
¿t
\f
Estosgráficostambién podrían adoptar la forma de diagramasabiertos.
Así, los ejemplosanterioresse podríanexpresar,respectivamente:
+
2
i
t+3
ENTRADA
p.=[ro'oo
180
o ENTRADA
@[ro''oo
t+
(-)
'l T
+
(\¡
t+ lFigura 6.7
t8r
2. Estsblecerrelacionesdel tipo x t y : q.
Actividad:Encontrarlos valoresnaturalesde r y b talesque r I b : 7.
Podemosutilizar dos dados,uno rojo y otro blanco con suscarasnumeradasdel 0 al 5 y un gráficorectangular(Fig' 6.8).
La única regla de eliminación es:
<parejasde la misma forma y distinto color en un mismo lado del
tablero, se neutralizany eliminan>.
Para jugar se colocan las fichas sobre el tablero y se expresasimbólicamente el signihcadode las mismas.Así,
ooo
A
A:
oo
o
AAI
2 x+l :5
alo
Figure ó.ll
Figura ó10
0r2345
Figura6.t
donde r reprdsentael número obtenido en la cara del dado rojo y á el
número obtenido en la cara del dado blanco.
6.2.5. Tablerosde fichas de colores
El tablero de fichasde coloreses un material que constade un tablero de
madera o cartulina con un símbolo de igualdad en el centro (Fig. 6'9):
El procesocorrecto lo acabaráel que consigaaislar las fichasque representanlas incógnitaspositivas,sin que quede en el lado contrario otro
triángulo.
Sejugará por turno haciendomovimientos(introduciendoo eliminando
fichas)que hagan de la situación otra equivalente.
Surgenalgunaspropiedadesdel modelodespuésde habermanipuladoel
material y jugado con él:
a) Cada situaciónes equivalentea la anterior si se añadeo se quita el
mismo número de fichas en los dos lados del tablero siempreque
seande la mismaforma o color (Fig. 6.12).
A
tta
'J O Q
Figura 6.9
t82
amarillo para incógnitasnegativas.
negro para incógnitaspositivas.
amarillo para númerosnegativos.
negro para númerospositivos.
g
JJ
- x+3 :x- 1 +l
- x *2 :x* l - 2
A
A
O
O
A
A'
IA
oo
y flrchasde dos colores y dos formas. Las fichas puedenser bicolores,pero
siempreseránde dos formas.
Supongamosque se eligen las formas triángulo (A) y círculo (O). Las
fichas podrían ser:
- 3 x+2 :- l
oo
Figura 6.12
o bien
AA
oo
o
AA
3 :x* x
t83
b) Se presentancasosno resolubles.
Tambiéncadajugada de las de la frgura 16.13se podría expresar:
Estemodelopuedeayudar a introducir a los alumnosen el conceptode
ecuación,en la observaciónde algunasreglasde manipulaciónde la igualdad
y en la resoluciónde ecuaciones
sencillas.
-3+8-2:3
para(a)
para(b)
0+7-4:3
+ 3 para (c)
Es interesante
indicar tambiénque anteunajugadacualquiera(Fig. 6.1a)
y pretendiendoobtenerun determinadoresultado(Fig. 6.15)
6.2.6. Juegos
1. Juegoconfichas de plástico o csrtulinas
ffi tr
. Materiat Fichasde cartón o cartulinasen dos colorescon númerosnaturales y una ficha blanca para el cero.
Los cartonesrojos los representamos
de la forma
que se
m"indican
ffiÉE
gana un número de puntos igual a n.
Los cartonesazuleslos representamos
de la forma
E|.
w
indicanque se
Figura 6.14
Figura 6.15
pierdeun númerode puntos igual a n.
se puede actuar:
El cero se representapor un cartón blancode la forma | 0l
A\ f f iEtrffi re
a)
b)
7, -2 + 5 + 0 - 4 - 6 :
es lo mismoque <perder>,
b )f f iE E
(ganarD6,-2+
-7;y
@
l2)
Figura 6.13.a)
184
que procede de averiguar el valor de la jugada de la figura 6.14,que es:
-8 - 3 + 4 + 5 + 6 : 4y apar t ir de élllegar a lo anterior:
4-6:
3+5:
+6.
Tf f i
t--l
tr
Lrl
Figura 6.13.b)
-2
6
4 *(-6):
")
y en el casode coloresseríaquitar un cartón rojo del 6 o añadir un cartón
azul del 6.
Es oportuno indicar que no siempresepuedellegara todoslos números
con un grupo determinadode tarjetas.Por ejemplocon
Es importanteindicar que hay jugadasequivalentes.
f f it r
quitando el cartón 6;
añadiendo el cartón -6.;
Figura ó.13.c)
@==
L1I Li_l L:_-JL2]
no podemos obtener ?.
Supongamos ahora que disponemos de cartones rojos de <3> y uno azul
de 4 y queremos obtener 11 puntos, ¿cuántoscartones rojos necesitamos?
t85
y siguiendoel procesollegamosa que con sietecartonesrojos y 5 azules
tambiénse obtieneel 1:
Lo podemosaveriguarmedianteel siguienteesquema:
+3
-4
1
4
--+
-l --+ 2 --5 -
0+
15
3 * 6 --+ 9 --+ 1 2 --+
0 --+
8--+
J
-4
@
0--+
-4 I
3 --+ 6 + 9 --
8
4+ -l -r2 -5 --+
@
-
--+ - l
-8+
TJ
-12 --+ -9
tt
de cartones
solamente
ahoraquedisponemos
Supongamos
ffiAt
queremosganarun punto (o seaobtener1),¿cuántoscartonesrojos y azules
necesitamos?
Ahora
3T
-4--+ -1 --+ 2+
-4Jllll
-8 --+-5 --+ -i IJJJJ
-1 2 --9 --+ -6 +
186
I
z-
5
I
J
-2
-+
-6
--+
t
J
-
J
oI
--+
-7
J
J
8 --+
ü
J
11 - +
I
4 --+
7 --+
0 --+
t
--+ -4 --+
3 --+
i
--+
- 3 --+
J
-14 -- - 1l
--+ -8
J
J
--+
J
18 --+
2l
r4-- ri
J
t
10 -- t 3
t
6 --r
I
t
9
I
2- - 5
J
J
-J
-5 --+ -2 --+\v
I --+
6x-lOy:-13
0 --+
3 --+ 12
-4 --+ 2 --
JJJJJ
10 +
JJJJJ
18 --+24...
8 -¡ 14...
20 --, - 14 + -g --->-2 --+ 4...
9- - +12
5+
8
Oi '
4
- 3+
0
Observamosy concluimosque necesitamostres cartonesrojos y dos
cartonesazulespara llegar de <0> a <1> que era lo que queríamosobtener.
3'3 - 4'2:
9 --+ 12 --+ 15 --
esdecir.3'7 - 4'5 : I
Podriamos obtener diferentespares que son solución de la ecuación
diofánticadada en [1].
podemosexpresarque la soluciónvienedadapor el número
Resumiendo,
de flechasrojas y azulesque hay que poner para pasardel <0>al (l)) o a
cualquierotro númeroque queramosobtener.
Hay que considerarque existensituacionesen el juego que no tienen
solución.Por ejemplo,obtenersolamentecon cartones+6 y -10, el - 13.
tll
6 -+
6 --+
-16 + -13 -- - 10 +
lo podemosaveriguarmedianteel siguienteesquema:
oT
_ 4 JJIIJ
+
iJ
--+14 ....
3x-4Y:1
+
-5-+
-20 -- -17
1 5 --+ 18....
12+
JJ
it
que indica que necesitamos5 cartonesrojos. Continuandoel esquemaobservamosque no existeninguna otra solución,ya que los númerosvan aumentando:
3+
debidoa que con tarjetasde valores-10 y *6 nuncase puedeobtenerun
númeroimpar.
2. Rutas numérícas
Los ejemplosde rutas numéricasque vamosa presentarestánadaptados
del juego del Golf Matemático que figura en el libro La lógicaen la escuela,
de Glaymann, M., y Rosenbloom,P.; editado por Teide en 1973.
El desarrollo del juego consisteen dar dos númerosenterosque llamamos inicial (i) y final (,f) de la recta numérica y uno o dos operadoresque
indicaremosen forma de flecha. Se trata de llegar a f partiendo de i y
utilizandocadauno de los operadoreslas vecesque seannecesarias,
sin tener
ningunaprioridad un operadorsobreotro. (En ocasiones
podemoslimitar el
númerode vecesque se puedeusar uno de ellos.)
r 87
algunasde las rutas se puedenexpresarasí:
Veamosalgunosejemplos:
: 14 y T, r" trata de ver si partiendodel 2
1. Conocidosi :2,f
puedollegaral 14,añadiendoel 3 el númerode vecesque sequiera.
Se puedeprocederasí:
+1
+1
2;sjSjrr;14
2. Análogamente,
dadosi : 4,f :
+1
+1
ioT
- gl
16T
28:
-s l V WY WY Y -s l
-s l
1T
22:
7:
34:
-sl
1 3 T te T
-g l
sl
4:
4oT
-sl
2s:31T
-sl
-sl
1oT r c :
-e t
-el
tT
7:
46-sl
I
37-sl
f:20,
+6
+t
I
22:
28+
-e J
-e J t
t 3 T 1 e --
-9
--+
De estassituaciones
numéricaspodemospasartambiénal lenguaje algebraico.En el primer ejemplo: i :
2, f :
14, T, h ruta
numéricadescritaequivalea2 + 3 x 4 : 14;esdecir,pretendemos
analizarsienZ tienesoluciónla ecuación2 + 3'x : 14,dondex es
el númerode vecesque tenemosque aplicar el operador * 3. En el
segundoejemplo:
i :4 ,
188
f :1 9 ,
+6
+,
-9
+
19
19
es decir,pretendemos
ahora encontrarlas solucionesde la ecuación
diofántica4 + 6' x - 9' | : T9,dondelas
letrasxeypueden tomar
diferentesvaloresnuméricosen estecaso:
(7,3),
etc.
Otras variantesde estasrutas numéricasseoriginan cuandodamoscomo
dato conocido el número de vecesque se han utilizado los operadoresy
como desconocidoalgunosde los otros datos,por ejemplo:
En estediagrama se observanlos númerosfinales que podemos
alcatlzary que son: l, 4, 7, 13, 16, 19,22, 25, 28,etc.,diferentesrectas
por las que se puedellegar a cadauno de ellos, así como el número
de vecesque seha utilizadocadaoperador.En estesentido,sepuede
introducir una nueva regla de juego: <<Elcamino deberáser el más
corto posible), aunque no sea único. Es obvio que no siempre se
podrá alcanzarel ltnal previsto,como, por ejemplo,en
i:4,
4 + 6'7 - 9'3 :
(4, l),
I9,T V l.
Partamosdel número4 y apliquemoslos operadoresdados
4:
4 + 6'4 - 9 :
3. Conocido/ :
17,!,
-J,
encontrarI, sabiendoque seha usadotres
vecesla primera flecha y dos vecesla segunda.
Esta situación puede representarsefácilmentemediante un diagrama:
|--rt 5 t_] l3 tI
g t---l -g [-t
_9 [Trl
que se podrá expresaralgebraicamentecomo la ecuación:
i + 3.5 - 2.6:
17
obteniendosu solución medianteel diagrama inverso o resolviendo
la ecuaciónanterior.
Inversamente,podríamos dar ecuacionessencillaspara que el
alumno las expreseen forma de rectasnuméricas.
fichasde coloresy rutasnuméricas,de caracteLos dosjuegosanteriores:
rísticassimilares,han sido aplicadospara prepararel trabajocon ecuaciones;
en ellos las letras puedenintroducirsesegúnlas situaciones,como incógnitas
Ambosjuegosson tambiénsusespecíficas
o como númerosgeneralizados.
ceptiblesde seradaptadospara estudiarotros tipos de problemas.El primero, por ejemplo, puede ser utilizado, entre otras cosas, para hacer una
aproximacióna los númerosenterosy el segundopara el estudio de las
propiedadesde las operacionesdel cálculo mental semiescrito.
6.3. ECUACIONES
La resoluciónde problemasha sido el punto centralde las matemáticas
a
lo largo de la historia,como ya seha visto en el capítulo 2. Recientemente
se
189
ha convertidoen el eje de la educaciónmatemática(Agendafor Action,
1980);sin embargo,la resoluciónde problemasen generaly la que conlleva
situacionesalgebraicasen particular, siguepresentandograndesdificultades
a los estudiantes.
Uno de estosproblemasestá ligado a las cuestionesdel lenguajeque
hemoscitado en el capítulo 1. El alumno debe tener claraslas semejanzas
y
diferenciasentre el lenguaje ordinario y el lenguajede las matemáticas,y
conocerlas peculiaridades
del lenguajealgebraico.
Los estudiantesnecesitantambién adquirir ciertashabilidadesespecíficas
para resolverlos problemas:usar tablas,diagramas,fórmulas,saberdetectar
los datos conocidos y los que deben buscar, traducir frasesdel lenguaje
habitual al lenguajesimbólico y probar posiblessolucionesque satisfaganel
problema.Todo esto son estrategias
básicasque necesitan.
6.3.1. Escritura de ecuaciones
En este párrafo proponemoscómo utilizar los diferentesmodelos para
que el alumno pase del enunciado verbal de un problema a su expresión
simbólica.
Se presentan las actividades en una ficha con tres columnas. En la
primera de ellas se da el enunciadoverbal;en la segundase ha de reflejarla
situaciónproblemáticamedianteel modelo elegidopara, finalmente,escribir
la ecuacióncorrespondiente.
Antes de sugerirlea los alumnosel uso de distintos modelosse plantearían algunasactividadespara que se familiarizasencon los mismos.
El primer ejemplo se da completo y seguidamentequedaríansin.rellenar
cualquierade las tres columnas,para fomentar indistintamenteel paso del
problemaa la ecuacióny viceversa.
El camino seguidoviene dado por el siguienteesquema:
. Obietivo:Expresarigualdadesde cantidadescon númerosy simbolos.
r Nivek Doce a catorc,eaños.
¡ Materiah Balanza de brazos iguales.Caja de pesas.Objetos distintos. Papel y
bolígrafo.
ACTIVIDADES
1. Observa que los pesos de cada lado son
iguales.¿Cuál es el peso
de la barrica?
2. Consideraque la balanza no está en equilibrio, ¿Qué peso añadirías sobreel platillo para
que se equilibre?
3. Si en una balanzaen
equilibrio colocamosdos
pesas:de 6 y 2 kg en la
derechay en el otro dos
de 4 kg c/u, ¿cómo se
encuentralabalanza?
s:¡ + fl
Dibuja la situación indicada.
Expresa la igualdad numérica.
4. Explica aquí la situación reflejada en el
dibuio.
3kg+6kg: 4kg+
5. Observa que la balanza está equilibrada.
¿Quéocurresi añadimos
I kg a cada lado?, ¿y si
quito 2 kg a cada platillo?
Expresa numéricamente
la primera igualdad (dibujo) y las dos que te
han resultadoal hacer lo
indicado.
6. Observa esta balanza. ¿Qué ocurre si se
cambianlos dos platillos
entresí?
190
Escribe la igualdad numérica que expresala situación delabala¡za.
+n
trtrtr
E trE
Expresa numéricamente
ambassituaciones,
la dada y la pedida.
l9l
7. Observaesta balanza. ¿Qué ocurre si se AAA
añadesobrecadaplatillo r 12[2[2
la mitad de lo que tenía?,
¿.ysi seañadesobrecada
-^flato et doble?
z
8. Observa esta balanza. Calcula el peso de cada botella. (Todas las
botellas pesan igual.)
r
Expresa numéricamente
las situaciones obtenil-6lf-6.| 7 das.
. Objetivo: Pasar de un enunciado verbal a la representación simbólica mediante el
uso de la bala¡za.
. Nivel: Doce a catorce años.
Enunciado verbal
Expresa la situación de
la bala¡za.
Balatt¿a
Una bolsa de naranjasy
otra de manzanaspesan
54 kg. La bolsa de naranjas pesa 12 kg más
que la de manzanas.
Expresiónsimbólica
x+Y: 54
¡ : y¡ 12
. Objetivo: Iniciar al lenguaje simbólico.
. Nivel: Doce a catorce años.
o Material: Balanza de brazos iguales. Caja de pesas. Objetos distintos. Papel y
bolíerafo.
ACTIVIDADES
1. Observa que la balanza está equilibrada.
Llamandocon la letra x
al pesodel saco,expresa
la situaciónindicada.
. Objetivo: Plantear un sistema de ecuaciones mediante el uso de la balanza
ACTIYIDAD
Enunciado verbal
2. Representaen la balanza una situación correspondiente a la expresión
x-1 6:x+x+x+2
(imagina que lo desconocido es el peso de una
lata).
3. Inventa una situación semejantea las antenores.
r92
Modelo: balanza
Expresión simbólica
Si una lata de aceite y
una garrafa de vino pesan 40 kg y se sabe que
dos latas de aceite y 7
garrafas de vino pesan
230kg, expresa en el modelo de la balanza la situación.
. Objetivo: Pasar de un enunciado verbal a su expresión simbólica mediante el uso
diagramas y plantear ecuacionesde primer grado con una incógnita.
. Nivel: Doce a catorce años.
r93
ACTIVIDAD 1
Enunciadoverbal
Modelo
Halla el valor de los la.
dos igualesde un trián+ 3
gulo isósceles,sabiendolx
-r l+-l
q u e és t os s on, r es p e c ti v a mente, 3 crn más grande
que el lado desigualy su
perímetroes lE cm.
ACTMDAD
Expresiónsimbólica
5. Observala siguiente
representación de una
máquina.
Entrada
Escribe la igualdad nu
mérica que expresala si
tuaciónde la máquina.
7. Observa la siguiente
representación de una
máquina.
Escribela igualdad numéricaque expresala situaciónde la máquina.
x2
l+-H
6+ 3)2* x= 18
*"J
¡-,;f
I ro I
2. Completala columnaque falta.
Enunciadoverbal
l. La suma de dos números consecütivoses
43. ¿Ctánto vale el más
E
pequeñode los dos?
Modelo
+(r
'
Expresiónsimbólica
l)
-'
+
;
E
2. Observala representación de esta máquina
compuesta.
Expresa simbólicamente
la situación.
3. María tiene algunos
discos. Su amiga le dio
25. Ahora tiene 47.
¿Cuántos discos tenía
María al principio?
Expresa simbólicamente
la situación.
4. Observa que la salida recorriendo la parte
superior de la máquina
e ss x 5 + 6. S ilos d o s
s
caminos(superiore infe- (la misma
rior) dan la misma sali- entrada)
da, ¿cuáles la expresión
que indica el inferior?
Escribe la igualdad numérica que expresala situación de la máquina.
. Objetivo:Pasar de un enunciadoverbal a su expresiónsimbólicay plantear ecuacionesde segundogrado medianteel uso de diagramas.
ACTIVIDAD 1
(+ 0)
\
(la misma
salida)
Enunciadoverbal
Representaun diagrama
que permita obtener un
número cuyo cuadrado
aumentadoen 13 dé 28.
Modelo: Diagrama
Expresiónsimbólica
x2+13: 38
ACTIVIDAD 2
Enunciadoverbal
Modelo: Diagrama
Expresiónsimbólica
Representaun diagrama
que te permita obtenerel
lado de un cuadrado sabiendo que si a su área
se le suman6 cm2 obtienes70 cm2.
En esteprocesoplanteamosla utilizaciónde una nueva ficha con tres
columnas.En la primerapediremosque tratende buscarla situaciónexperimentalmente;en la segunda,mediantela inversióndel modelo y, hnalmente,
en la tercera,mediantelas reglasformales.
Planteamosa continuaciónuna seriede actividadespara resolverecuacionesde primer grado con una incógnita.El primer modelo que utilizaremos serádiagramas.
. Objetivo: Resolver ecuaciones de primer grado mediante diagramas.
. Nivek Doce a catorce años.
ACTMDAD
6.3.2. Resoluciónde ecuaciones
Una vez que los alumnos son capacesde pasar del lenguajehabitual al
lenguajealgebraico;es decir, que a partir de un problema expresadopor un
enunciadoverbal,pasana la ecuacióncorrespondiente,secomienzaa trabajar en la resofuciónde ésta.
En una primera fase es convenjentetrabajar mediante procedimientos
informaleso de <búsquedaexperimental>.
Estosmétodosson usadosfrecuentementepor los alumnos.Los procedimientosde búsquedaexperimental
más frecuentesserán:la descomposición(propia de la aritmética)y la estrategia de ensayoy error. La limitación de los procedimientosinformales nos
debedejar paso a la cimentaciónde los formales.
A continuación,medianteel uso de los diferentesmodelosy por inversión
de los mismos,encontraremosla solución;lo que nos permitirá descubrirlas
reglasformalespara resolverlos distintos tipos de ecuaciones.
En resumen,el
caminoseguidopara pasarde un problemaa su resoluciónvendrádado por
el siguienteesquemaque completael anteriormentemencionado(esquema
6.1).
1: Resolverla ecuaciónx + 7 : 9
Buóquedaexperimental
Inversión del modelo
x+7:7+2
x:2
ACTMDAD
2: Resolverla ecuación5'x :
Búsquedaexperimental
10
Inversión del modelo
5'x : 10
x:2
ACTMDAD
x l3 x + 2 1 5
t96
TRANSPOSICION
(ESTRATEGIA FORMAL)
¡-['
11
5
Estrategiaformal
5'x : l0
5'x
l0
. _-;
))
x:2
3: Resolverla ecuación3x + 2 : 5
Búsquedaexperimental
TNvERSION
DEL MODELO
tr
tr
(.- - {.')
ENUNCIADO
VERBAL
BUSQUEDA
EXPERIMENTAL
Estrategiaformal
Tr
15
Inversión del modelo
formal
Estrategia
tr-'@--@--tr
3x+2:5
3x-t2-2:5-2
E--@--O-E
JX5
3:1
x:l
197
Para estetipo de ecuaciones
también podemosutilizar el tablero y las
fichasbicolorescomo indicamosen las actividadessiguientes.
ACTMDAD
1. Resolverla ecuación3x : 9.
Representala ecuación en el
tablero.
. Objetivo:Resolverecuaciones
del tipo a * x : b.
3x :
9
. Nivel Doce a catorceaños.
. Material: Cartulinas. Fichas bicolores de dos formas (circulos y triángulos, por
ejemplo).
ACTMDAD
l. Resolverla ecuaciónx * 3 : 5
Representa la ecuación en el
tablero.
a
ooo
Quitamos tres unidades
a cada miembro (poniendo fichas de color contrario).
I ooo
I
Representa la situación en el
tablero.
A
|
aJ J
ñññ
Observael dibujo del tablero.
oo
ñga
Observael dibujo y explica lo que se ha hecho.
a
x* 3:5
Escríbelo
mente.
simbólica-
simbólica-
I ooo
¿Cuánto le corresponde
a cada incógnita?
Escribe la solución.
aaa
|
oo
= oo
Escribe la solución correspondiente.
x+3 1 5
. Objetivo:Resolverecuaciones
del tipo a'x * b : c.
. Nivel: Doce a catorceaños.
. Materi¡l: Cartulinas. Fichas bicolores de dos formas (círculos y triángulos, por
ejemplo).
ACTMDAD. Resolverla ecuación2x + 3 : 7.
Representada la ecuación en el tablero.
Escribe la ecuación correspondiente.
t-
. Objetivo:Resolverecuaciones
del tipo a- x : b.
. Nivel: Doce a catorceaños.
. Material: Cartulinas.Fichas bicoloresde dos formas (círculosy triángulos,por
ejemplo).
198
Escríbelo
mente.
x+3-3:5-3
Compruebael resultado
sustituyendoel valor de
la x en la ecuacióninicial.
?r-? 15
I ooo
-- ooo
--t
-'-
a
ooo
ooo
-:_ oo
o
t99
¿Cómo eliminarías los
círculosamarillos?
Representala situación
en el tablero.
Representa numéricamentelo que has hecho.
ACTMDAD
2. Resolverla ecuaciónx2 - ll :
Inversión del modelo
aa
'o o o o
aaa:
aaa
aññ
¿Cuántoscírculosnegros
le correspondena cada
triángulo?
Estrategiaformal
x2- ll: 64
x2- ll+11: 64+ll
| bññ
r.
/\¿/x' : \// l)
x : +JTs
oo
oo
A
A
64.
ACTIYIDAD 3. Resolverla ecuaciónx2 - 4x +
3 .: 0.
+ J :U
Inversión del modelo
Compruebaque la solución obtenidaes la verdadera.
Estratesiaformal
La transformamosen su equivalente
x2 -4x
+ 4-l :0;(x
( x - l) ' - I : 0
- 2) 2 - | : 0
( x- r ) ,- r + l :r
"@o
"@"
Para resolverlas ecuacionesde segundogrado podemosutilizar los
diagramascomenzandosiemprepor ejemplossencillos,tales como los siguientes:
JC -4:
//h-"tt\
"-^CI¡
\ y ' \ c / - Ir - o
,ffii*
^
{
x - 2 : +l
x:2+l
?
11
. Objetivo: Resolución de ecuacionesde segundo grado.
o Nivel: Catorce a dieciséis años.
ACTMDAD
l. Resolverla ecuaciónx2 :
Inversióndel modelo
La resoluciónde sistemasde ecuacionespuedecomenzarpor actividades
como la siguiente,en la que mediantemanipulacionescon las ecuacionesde
primer grado encontramosreglasde procedimientoy la solucióndel sistema.
64.
Estrateeiaformal
_E
o Objetivo:Hallar la solución de un sistemade ecuaciones.
x2:64
G:
x:
200
JA
*8
[JNIr/F.RSIDÁO f] | crQl TAL
FRANCI Si,$ .¡¡ri¡ri" :'t' ..¡,i i 'r-lj
StSTEnA DE u:¡r. ¡{.¡i--.. i
. Nive[ Catorce a dieciséisaños.
. Enunciadoverb¡k Sabiendoque tres rotuladoresy cuatro cuentoscuestan690 ptas.
y un rotulador y dos cuentoscuestan310 ptas. Calcular lo que valen:
a) Dos rotuladoresy dos cuentos.
b) Un rotulador y un cuento.
c) Un cuento.
dl Un rotulador.
201
Si restamos miembro a
miembro la segunda
ecuaciónde la primera
resulta una ecuación
equivalente.
l) lll + ¡ ¡ ! ¡:690
:310
2) | +
tr tr
4) ll + tr ¡:690 -310
Si dividimos los dos
miembrosde la ecuación
p o r dos , r es ult a u n a
ecuaciónequivalente.
3x + 4y :690
x+ 2Y :Jl Q
2x + 2y :38O
!
x+ v:l 9O
x + 2 y : ile
x r ! : l9 o
:1 2 0
v:120
ó)l+!:190
tr:120
4
|
x + y : r9 o
! : r2 0
:7 0
x :7O
Y para resolverecuaciones
sencillasde primer grado con dos incógnitas
podemosusar rutas numéricas.
. objetivo: Resolverecuaciones
de primer grado con dos incógnitas(ecuacióndiofántica)medianterutas numéricas.
. Nivel: Catorcea dieciséisaños.
Resolver3x - y :
2 equivalea construir la ruta numéricacon
i :0 ,-f: 2, i, : .
Realizar las actividades propuestas en este capítulo.
2.
Utilizar diferentes modelos para expresar las ecuaciones lineales siguientes:
b)
c)
d)
e)
f)
rl li
2
3 +6 +9
m+ 7:23.
3m* 5:2m .
5m-8:4m .
m-6:8.
4m - 5 :2 O .
3m+ 8:5m- 6.
3. Resolverde formasdiferenteslas ecuacionesde la actividadanterior,entre otras:
método aritmético,reglasformales,búsquedaexperimental,método de la balanza, inversión del diagramay resoluciónen una estructuraalgebraica.
4. Hacer un diseñoinstruccionalpara introducir a los alumnosde 7.' nivel de
linealesmedianteel métodode Ia balanza.
E.G.B.en la resoluciónde ecuaciones
5. Hacer un diseño instruccional para introducir a los alumnos de 7.o nivel de
E.G.B. en la resolución de ecuacioneslinealesmediante el tablero de lichas
bicolores.Analizar las similitudes,así como las ventaias e inconvenientesde
ambos procedimientos.
6. Utilizar diagramaspara expresarlas ecuacionescuadráticassiguientes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
c)
0+
x2-4:0.
2x2-21:o.
3x2+ 2x-5: 0.
x2-4x+ 4: 0.
3x2-5x+ 1 : 0.
x2 - 6x :8.
x2 + | :4 x.
7. Resolverla siguienteactividad utilizando el procesoindicador en el capítulo
para iniciar en la resoluciónde sistemasde ecuaciones.
- l+
2 +5 +8
- 2+
l +4 +7
. Objetivo:Hallar la solución de un sistemade ecuaciones.
-3 -
0-3+ 6
. Niveh Catorce a dieciséisaños.
IJJI
JIIJ
lttt
- 4+ - l +2 +5
202
t.
a)
á )l + D :1 9 0
2)l+ntr:310
b)l+ tr :190
ACTMDAD.
EJERCICIOS
. Enunciadoverba}Sabiendoque un obrero compra 2 tornillos y cuatro tuercas
que pesanl7 g, y otro compra 3 de las mismastuercasy 5 de los mismos
tornillosque pesan32 g. Calcularlo que pesan:
203
a) Dos tuercasy un tornillo.
b) Una tuercay un tornillo.
c) Un tornillo.
l)
¡ i' r * * + L, ] - : 17
2)
* ! r * + I l- J - LL: lZ
Resolvermediante formas diferenteslas ecuacionesde la actividad anterior,
entre otras: inversión del diagrama, reglasformales,búsquedaexperimentaly
completacióndel cuadrado.
9. Traduce los problemassiguientesal lenguajealgebraicoy resuélvelosmediante
la inversióndel modelo:
a) Hallar dos númerossabiendoque su suma es igual a 2l y que uno de ellos
es igual al doble del otro.
b) La edad de una personaes 4l años y la de su hijo es 9. Hallar al cabo de
cuántosaños la edad del padre triplica la del hijo.
c) Hallar la longitud del lado de un cuadradosabiendoque si se aumentaésta
en 4 cm, su área se incrementaen 64 cm2,
d) Dos coches, M y N, cuyas velocidadesmedias son de 30 y zl0 km/h,
respectivamente,
distan 280 km. Hallar a qué hora seencontraránsabiendo
que a las tres de la tarde empiezana moverseel uno hacia el otro.
Resolverlas siguientesecuacionesde primer grado con dos incógnitasmediante
rutas numéricas:
a)
b)
c)
d)
e)
2M
3x + 4y :2.
23m-4y:tt.
4r-7p:)).
x+lOY:$.
l3x + 6y: 136.
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