Ejercicio de esfuerzos en el suelo

Tarea 1. Esfuerzos en el Suelo
Estupiñán Mancera, Andrés Felipe. [email protected]
Ramos Canon, Alfonso Mariano. Marzo 26 de 2020
1.
Desarrollo analítico para encontrar los esfuerzos principales, cortante y horizontal (𝝈𝒉 , 𝝉𝒉 , 𝝈𝟏 , 𝝈𝟑 ) del siguiente estado de
esfuerzos:
Para este análisis se observará una solución gráfica aproximada, y desde ahí se empezará con las deducciones correspondientes:
Se grafican los puntos que corresponden a los estados de esfuerzos conocidos, se sabe que para encontrar el polo usamos la inclinación
del estado de esfuerzos, de esta manera encontraremos tres ecuaciones de una recta por el método de punto-pendiente, luego buscamos
el punto en común entre las rectas (1) y (2) que describe la posición del polo.
(1) 𝜏 = 𝜎𝑡𝑎𝑛(75) + 𝑏
𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝜎 = 8, 𝜏 = −2
𝑏 = −2 − 8𝑡𝑎𝑛(75) = −31.856
(1) 𝝉 = 𝝈𝒕𝒂𝒏(𝟕𝟓) − 𝟑𝟏. 𝟖𝟓𝟔
(2) 𝜏 = 𝑏 − 𝜎𝑡𝑎𝑛(30)
𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝜎 = 4, 𝜏 = 3
𝑏 = 3 + 4𝑡𝑎𝑛(30) = 5.309
(1) 𝝉 = 𝟓. 𝟑𝟎𝟗 − 𝝈𝒕𝒂𝒏(𝟑𝟎)
Polo: (1)=(2) 𝜎𝑡𝑎𝑛(75) − 31.856 = 5.309 − 𝜎𝑡𝑎𝑛(30)
𝜎[𝑡𝑎𝑛(75) + 𝑡𝑎𝑛(30)] = 5.309 + 31.856
𝜎=
𝜏 = 5.309 − (8.624)𝑡𝑎𝑛(30) = 0.330
→
5.309 + 31.856
= 8,624
𝑡𝑎𝑛(75) + 𝑡𝑎𝑛(30)
𝑷𝒐𝒍𝒐: (𝟖. 𝟔𝟐𝟒 , 𝟎. 𝟑𝟑𝟎)
Ahora para encontrar el centro del círculo de Mohr se halla el punto medio entre los puntos (4,3) y (8,-2) y la pendiente que describen
estos mismos, luego se calcula una pendiente ortogonal a la anteriormente descrita, ya con estos datos se obtiene la ecuación de una
recta (3) que corta el eje de las abscisas coincidiendo con el centro de la circunferencia que se está buscando y por ultimo se halla el
radio de la misma por el método de distancia entre puntos.
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜:
𝑃𝑚 = (
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∶
4+8 3−2
) = (𝟔 , 𝟎. 𝟓)
,
2
2
𝑚=
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑂𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙:
(3) 𝜏 = 0.8𝜎 + 𝑏 𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝜎 = 6, 𝜏 = 0.5
−2 − 3 −𝟓
=
8−4
𝟒
𝑚⊥ =
4
= 𝟎. 𝟖
5
→ 𝑏 = 0.5 − 0.8(6) = −4.3 →
𝝉 = 𝟎. 𝟖𝝈 − 𝟒. 𝟑
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (𝜏 = 0): 0 = 0.8𝜎 − 4.3 → 𝜎 =
4.3
= 𝟓. 𝟑𝟕𝟓 → 𝑪(𝟓. 𝟑𝟕𝟓 , 𝟎)
0.8
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜: 𝑟 = √(5.375 − 4)2 + (3 − 0)2 = 𝟑. 𝟑𝟎𝟎
Por último, se halla los esfuerzos 𝝈𝒉 , 𝝉𝒉 , 𝝈𝟏 , 𝝈𝟑 , para los esfuerzos principales se usan el centro y radio (𝒔, 𝒕) para calcularlos, para los
esfuerzos horizontales se sabe que el polo nos da el valor del cortante horizontal, y para el esfuerzo normal se halla la diferencia entre
el esfuerzo principal 𝝈𝟏 y el esfuerzo del polo 𝝈𝒑 , luego se suma este resultado al esfuerzo principal 𝝈𝟑 , todo esto es posible debido a
la simetría geométrica con respecto al centro 𝒔 que presenta el problema de encontrar los esfuerzos en el plano horizontal desde el polo.
𝝈𝟑 = 𝑠 − 𝑡 = 5.375 − 3.300 = 𝟐. 𝟎𝟕𝟓
𝝈𝟏 = 𝑠 + 𝑡 = 5.375 + 3.300 = 𝟖. 𝟔𝟕𝟓
𝝉𝒉 = 𝜏𝑝 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟎
𝝈𝒉 = 𝜎3 + (𝜎1 − 𝜎𝑝 ) = 2.075 + 8.675 − 8.624 = 𝟐. 𝟏𝟐𝟔
𝜽𝝈𝟑 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝜽𝝈𝟏 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
0.330
) = 𝟐. 𝟗𝟎𝟖°
8.624 − 2.126
−0.330
) = −𝟖𝟏. 𝟐𝟔𝟐°
8.675 − 8.624