CLASES 1.1

PREUNIVERSITARIO
2023-1
TEMA
LOGICA
1.1
INTRODUCCIÓN
Definición:
La Lógica estudia la validez de los razonamientos
Cuando un individuo afirma algo, tiene que argumentar como llegó a
esa conclusión. Todo argumento civilizado (lo que escuchamos o
leemos) esta hecho sobre un razonamiento (una estructura de
pensamiento que en base a premisas aceptadas como ciertas obtenga
una conclusión), la lógica valida estos razonamientos.
En la clase de hoy haremos estudio de la Lógica Proposicional o lógica
de orden cero, la cual trabaja sobre unas unidades de pensamiento
llamadas proposiciónes, relacionándolas a través de los llamados
conectivos lógicos y analizando esas relaciones. Resaltamos que en
esta parte no nos interesa mucho lo que digan las proposiciones en sí,
sino como se relacionan para establecer razonamientos válidos.
2
PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS
Definición:
Una proposición lógica es un enunciado que:
1) Afirma algo acerca de un sujeto
2) Tiene o puede asignársele un valor de verdad esto es, puede
ser verdadero (V) o falso (F), uno y solo uno de ellos.
Ejemplos de proposiciones:
No son proposiciones:
p:
Raúl estudia en CepreUni
q:
Laura nunca será tu novia
El estudia en Mecánica
¡ que frío !
r:
Pedro ingresará a la UNI
Roberta me parece guapa
s:
2 + 8 = 10
x+7=9
t:
4 + 10 < 14
x + 12 > 15
Las proposiciones pueden nombrarse a través de una letra minúscula
3
PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS
Definición: Un conector lógico al afectar a una proposición, o al relacionar a
dos proposiciones, forma una nueva proposición lógica.
Nueva proposición
Representación
No es cierto que Julia estudie
∼p
Raúl No trabaja
∼p
Pablo estudia y Laura trabaja
p∧q
Enriqueta estudia pero trabaja en las noches
p∧q
Juana va al parque o va al mercado
p∨q
Si Pedro estudia entonces Pedro ingresa
p→q
4
PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS
Nueva proposición
Representación
Raúl Ingresa solo si estudia en CepreUni
q→p
Solo si Laura te ama, te será fiel
p→q
Juan ingresa si y solo si estudia
p↔q
Patty saldrá contigo siempre y cuando te bañes
p↔q
O Raul ingresa o Raul va al Ejército
p△q
O Julio come o Julio va al baño
p△q
5
PROPOSICIONES Y CONECTORES LÓGICOS
Definición:
Definición:
Al acto de generar una nueva proposición
mediante un conector o conectivo lógico
se le llama Operación Lógica
Conectivo usado
∼
Negación ………………
∧
Conjunción …………….
∨
Disyunción …………….
1) Una proposición simple es aquella
que no tiene presencia de conectores
lógicos, excepto en la descripción del
sujeto.
2)Una proposición compuesta es
aquella que no es simple
Operación Lógica
Condicional ……………
→
Bicondicional ………….
↔
Disyunción excluyente
△
Son proposiciones simples
El Perú tiene grandes ciudades
Juan sabe conducir autos
Raúl es ingeniero civil
Robert y Georgina son esposos
6
Ejercicio1:
Señale cuales de los siguientes son proposiciones:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
¿Por qué no cambias Melbert?
Mi auto se estrelló en plena curva
¡Soldados al ataque¡
El número 9 es menor que el número 3
En Piura hay altas temperaturas
Rolanda es bonita.
Resolución:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
No es proposición.
Si es proposición.
No es proposición.
Si es proposición.
Si es proposición.
No es proposición.
7
Ejercicio2:
Señale cuales de las siguientes proposiciones son compuestas:
I. Juan y María son compañeros en clase de álgebra.
II. Iré siempre a clases dado que saque mala nota en el parcial.
III. Pedro, el que no fue a clases dado que estaba enfermo de Covid,
hoy falleció.
IV. O mejoramos las notas o no ingresamos
V. Manuela ríe, pero esta reprobada en el curso de análisis.
VI. Enrique se pondrá triste si Roberto no va a la reunión.
Resolución:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Proposición
Proposición
Proposición
Proposición
Proposición
Proposición
simple
compuesta
simple
compuesta
compuesta
compuesta
8
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
Definición:
Una Fórmula Lógica es la representación simbólica de una
Proposición, indicándose en el caso de una proposición compuesta
los conectivos lógicos que la generan.
Algunas Fórmulas Lógicas
𝐩
𝐩 →∼ 𝐪
∼𝐩∨𝐪
(∼ 𝐩 ↔ 𝐪) →∼ 𝐫
((∼ 𝐩 ∨ 𝐪) → 𝒑) → 𝒑
9
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
Definición:
Una Tabla de verdad nos señala el valor de verdad de una
fórmula lógica, para cada estado de verdad que generan las
proposiciones simples que la conforman.
p q
Estados
de
verdad
f(p;q)
V V
F
V F
V
F V
V
F F
V
𝑵° 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅 = 𝟐𝑵°𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
10
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN:
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
La conjunción es Verdadera solo si ambas proposiciones son Verdaderas
Ejemplo
Juana estudia y Pedro trabaja (V)
Se concluye:
Juana Estudia
(V)
Pedro trabaja
(V)
11
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disyunción es Falsa solo si ambas proposiciones son Falsas
Ejemplo
Juana es Física o Juana es Pintora (F)
Se concluye:
Juana es Física
Juana es pintora
(F)
(F)
12
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
TABLA DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p
∼p
V
F
F
V
La negación tiene un valor de verdad
distinto al de la proposición original.
TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
La condicional es Falsa solo si el antecedente es
Verdadero y el consecuente es Falso
Ejemplo
Si Raúl estudia entonces Raúl Ingresa (F)
(V)
Raúl Estudia
Se concluye:
Raúl ingresa
(F)
13
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
Observaciones de
la condicional
1) Si el antecedente es Falso entonces la
condicional es verdadera
p
q
p→q
2) Si el consecuente es Verdadero entonces
la condicional es verdadera
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
3) En la condicional p→q se dice que:
p es suficiente para q
q es necesario para p
q→p es su recíproco
∼ q→∼p es su contrarrecíproco
14
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL
p q
p↔q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
La Bicondicional es Verdadera solo si
ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad
Observación
En la bicondicional p ↔ q se dice que:
q es suficiente y necesario para p
15
FÓRMULAS LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
TABLA DE LA DISYUNCIÓN EXCLUYENTE
p
q
p∆q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disyunción excluyente es Verdadera solo si ambas proposiciones
tienen distinto valor de verdad
Observación Si son verdaderas ambas a la vez la Disyunción excluyente
es FALSA
16
(p∨q)
→
Ejercicio 3:
Elabore la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta:
(p∧q)
(p∨q) → (p∧q)
p
q
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
17
Ejercicio 4:
Señale los valores de Verdad de p, q, r, s, t si la siguiente
proposición compuesta presentada como fórmula lógica es
[p q] → [r → (s t)]
Falsa:
Resolución:
(F)
(V)
[¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
p  q ] → [ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
r → ( s  t) ]
..... .....
..... .....
(V)
(V)
.....
(F)
(V)
p(V)
q(F)
r(V)
(F)
..........
(F)
s(F)
t(V)
18
EQUIVALENCIAS LÓGICAS, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN
Definición:
Dos fórmulas lógicas son equivalentes ( p ≡ q ) si tienen el
mismo valor de Verdad en cada Estado de Verdad.
Ejemplos
p
q
p→q
~p ∨ q
p
q
p ∨ (p ∧ q)
p
V
V
V
F V V
V
V
V V
V
V
V
F
F
F F F
V
F
V V
F
V
F
V
V
V V V
F
V
F F
F
F
F
F
V
V V F
F
F
F F
F
F
p→ q es equivalente a ~p ∨ q
p→ q ≡ ~p ∨ q
p ∨ (p ∧ q) es equivalente a p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
19
EQUIVALENCIAS LÓGICAS, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN
Definición: Una Fórmula Lógica es Tautología si es Verdadera en
cualquier estado de Verdad generado por las proposiciones
que la conforman.
Ejemplo
(p → q) ∨ p
p
q
V
V
V
V V
V
F
F
V V
F
V
V
V F
F
F
V
V F
(p → q) ∨ p es Tautología
(p → q) ∨ p ≡ V
20
EQUIVALENCIAS LÓGICAS, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN
Definición: Una Fórmula Lógica es Contradicción si es Falsa en cualquier
estado de Verdad generado por las proposiciones que la
conforman.
Ejemplo
p q
~ (p → q) ∧ q
V V
F
V
F V
V F
V
F
F F
F V
F
V
F V
F F
F
V
F F
~ (p → q) ∧ q es Contradicción
~ (p → q) ∧ q ≡ F
21
EQUIVALENCIAS LÓGICAS, TAUTOLOGÍA Y CONTRADICCIÓN
Definición:
Una Fórmula Lógica es Contingencia si no es
Tautología ni es Contradicción
Ejemplo
p q
~ (p → q) ∧ p
V V
F
V
F V
V F
V
F
V V
F V
F
V
F F
F F
F
V
F F
~ (p → q) ∧ p es Contingencia
22
Ejercicio
5: si las proposiciones son Tautologías(V) o contradicciones(F)
Señale
I. ( p∧q ) → ( p )
II. ( ~p∨q ) ↔ ( p→q )
III. q ∧ ~( p→q )
(p ∧q) → p
( ~p ∨ q ) ↔ ( p → q
)
q ∧ ~( p → q )
p
q
V
V
V
V
V
F V V V
V
V F F
V
F
F
V
V
F F F V
F
F F V F
F
V
F
V
F
V V V V
V
V F F
V
F
F
F
V
F
V V F V
V
F F F
V
V
23
Propuesto 1:
Siendo p, q, r proposiciones, señale el valor de verdad de:
I. p→F ≡p
II. p∆V ≡ p
III. [~p→( q∨r )] ∧ p ≡ p
Primera práctica 2021-2
Rpta: F F V
24
Propuesto 2:
Siendo p y q proposiciones lógicas, definimos el operador “ ∗ ” con la
siguiente tabla: p q
p∗q
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Determine una expresión
equivalente de: (p ∗ q) → q
Primera práctica 2022-2
Rpta: V
25
ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
𝟏𝐚.
𝐩∨𝐩≡𝐩
𝟏𝐛.
𝐩∧𝐩≡𝐩
𝟐𝐚.
𝐩∨𝐪≡𝐪∨𝐩
𝟐𝐛.
𝐩∧𝐪≡𝐪∧𝐩
𝟑𝐚.
𝐩 ∨ (𝐪 ∨ 𝐫) ≡ (𝐩 ∨ 𝐪) ∨ 𝐫
𝟑𝐛.
𝐩 ∧ (𝐪 ∧ 𝐫) ≡ (𝐩 ∧ 𝐪) ∧ 𝐫
𝟒𝐚.
𝐩 ∨ (𝐪 ∧ 𝐫) ≡ (𝐩 ∨ 𝐪) ∧ (𝐩 ∨ 𝐫)
𝟒𝐛.
𝐩 ∧ (𝐪 ∨ 𝐫) ≡ (𝐩 ∧ 𝐪) ∨ (𝐩 ∧ 𝐫)
𝟓𝐚.
𝐩 ∨ ~𝐩 ≡ 𝐕
𝟓𝐚.
𝐩 ∧ ~𝐩 ≡ 𝐅
𝟔𝐚.
𝐩∨ 𝐕≡𝐕
𝟔𝐚.
𝐩∧𝐕≡𝐩
𝟕𝐚.
𝐩∨ 𝐅 ≡𝐩
𝟕𝐚.
𝐩∧𝐅≡𝑭
26
ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Leyes de Morgan
𝟖𝐚. ~(𝐩 ∨ 𝐪) ≡ ~𝐩 ∧ ~𝐪
𝟖𝐛. ~(𝐩 ∧ 𝐪) ≡ ~𝐩 ∨ ~q
Leyes de Absorción
𝟗𝐚. 𝐩 ∨ (𝐩 ∧ 𝐪) ≡ 𝐩
𝟗𝐛.
Falsa Absorción
𝟏𝟎𝐚. 𝐩 ∨ (~𝐩 ∧ 𝐪) ≡ 𝐩 ∨ 𝐪
𝟏𝟎𝐛.
Condicional
𝟏𝟏. 𝐩 → 𝐪 ≡ ~𝐩 ∨ 𝐪
𝟏𝟐.
Bicondicional
𝟏𝟑.
𝐩 ∧ (𝐩 ∨ 𝐪) ≡ 𝐩
𝐩 ∧ (~𝐩 ∨ 𝐪) ≡ 𝐩 ∧ 𝐪
𝐩 → 𝐪 ≡ ~𝐪 → ~𝐩
𝐩 ↔ 𝐪 ≡ (𝐩 → 𝐪) ∧ (𝐪 → 𝐩)
27
ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Negación
𝟏𝟒. ~(~𝐩) ≡ 𝐩
Disyunción excluyente
Bicondicional
𝟏𝟓. ~(𝐕) ≡ 𝐅
𝟏𝟕.
𝟏𝟔. ~(𝐅) ≡ 𝐕
𝐩 △ 𝐪 ≡ ~(𝐩 ↔ 𝐪)
Disyunción excluyente
𝟏𝟖𝐚. 𝒑 ↔ 𝐩 ≡ 𝐕
𝟏𝟖𝐛. 𝒑 △ 𝐩 ≡ 𝐅
𝟏𝟗𝐚. 𝒑 ↔ 𝐪 ≡ 𝐪 ↔ 𝐩
𝟏𝟗𝐛. 𝒑 △ 𝐪 ≡ 𝐪 △ 𝐩
𝟐𝟎𝐚. ~ 𝐩 ↔ 𝐪 ≡ ~𝒑 ↔ 𝐪
≡ (𝒑 ↔ ~𝐪)
𝟐𝟎𝐛. ~ 𝐩 △ 𝐪 ≡ ~𝒑 △ 𝐪
≡ (𝒑 △ ~𝐪)
𝟐𝟏𝐚. ~𝐩 ↔ ~𝐪 ≡ 𝒑 ↔ 𝐪
𝟐𝟏𝐛. ~𝐩 △ ~𝐪 ≡ 𝒑 △ 𝐪
28
Ejercicio 6:
Simplifique las siguientes fórmulas lógicas
I. ( p ∧ q ) → ( p )
II. q ∧ ~( p → q )
III. [ ( p ∧ ~q ) → q ] ∧ ( p ∨ q )
(p∧q)→(p)
q ∧ ~( p → q )
[ ( p ∧ ~q ) → q ] ∧ ( p ∨ q )
≡(~p ∨ ~q ) ∨ p
≡ q ∧ ~(~p ∨ q )
≡[ (~ p ∨ q ) ∨ q ] ∧ ( p ∨ q )
≡(~p ∨ p ) ∨ ~q
≡ q ∧ (~q ∧ p )
≡[ ~ p ∨ q ] ∧ ( p ∨ q )
≡ V ∨ ~q
≡ ( q ∧ ~q ) ∧ p )
≡(q∨~p)∧(q∨p)
≡V
≡F∧p
≡q∨(~p∧ p)
≡F
≡q∨F
≡q
29
Propuesto 3:
Simplifique
( ∼ [(p → q) ∧ ∼ p] ) ∨ [(q → p)∧ ∼ q]
Primera práctica 2022-1
Rpta: q → p
30