Tarea grupal 8 (2)

Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 7
Página 1
Integramos en el orden dado:
1
∫
1− 5
2
(
)
2
𝑦
2
(
2
)
1
(
2
3
𝑥
3
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦
𝑦+1
1
(
3
1− 5
2
2
2
2
2
𝑦)
𝑦)
(
(
= ∫ 𝑦 3 + 2 𝑦 −𝑦
1− 5
2
1
= ∫
1− 5
2
1
= ∫
1− 5
2
1
= ∫
1− 5
2
1
= ∫
1− 5
2
(
𝑦
3
(
𝑦
3
(
𝑦
3
(
2𝑦 +3𝑦 −5𝑦 −12𝑦 −9𝑦 −2𝑦
6
7
6
+
𝑦
2
+
𝑦
2
+
𝑦
2
7
3
− 𝑦
6
7
4
6
3
−
𝑦
3
4
4
3
−
2
(𝑦+1)
2
𝑦 +2𝑦+1
2
−
4
−
2
2
𝑦 +2𝑦 +𝑦
2
2
−𝑦 −𝑦 −
3
𝑥
2
2
2
−
+
)𝑑𝑦 =
𝑦
3
4
−
𝑦
2
𝑦
2
𝑦 |
)
𝑑𝑦 =
𝑦+1
)
2
2
𝑦 +3𝑦 +3𝑦+1
3
𝑦 +3𝑦 +3𝑦 +𝑦
3
6
7
3
(𝑦+1)
3
2
2
𝑦 𝑑𝑦 =
)
2
𝑦 𝑑𝑦 =
)𝑑𝑦 =
2
−𝑦 −
2
𝑦
2
)𝑑𝑦 =
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
1
6
1
7
(
6
8
7
=
=
1
6
⎡𝑦 +
⎢4
⎣
3𝑦
7
=
1
6
[
1
4
3
7
1
6
+
1
6
+
1
6
−
2
)
1− 5
2
⎡ 2𝑦 +
⎢ 8
⎣
(
3
∫ 2𝑦 + 3𝑦 − 5𝑦 − 12𝑦 − 9𝑦 − 2𝑦 𝑑𝑦 =
1
6
(
4
Página 2
8
1− 5
2
7
+
8
)
3(
+
5
3𝑦
7
−
5𝑦
5
4
−
12𝑦
4
1− 5
2
7
)
1− 5
2
[ 28 − 8 −
(
6016−2688. 5
1024
(
+
19
(
205
28
[−
37
168
+
1
⇒ ∫
1− 5
2
(
) − 3(
93−39 5
8
) − 3(
3 29−13. 5)
14
)+ (
2
5+
)
3− 5
2
1
2
−
2
)
. 5≃− 1, 21511
)
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ≃− 1, 2151
𝑦+1
1− 5
2
]=
3 29−13 5
− ( 14 ) + 6 − 3 5]=
2
(
4
3 1856−832. 5)
896
47−21. 5
8
101−39 5
112
𝑦
1− 5
2
)− ( (
21−9 5
2
+
⎤|1 =
⎥ 1− 5
⎦ 2
6−2 5
4
224
28
11−5. 5
2
5
) ( )] =
−(
)− ( (
) + ( ) + 6 − 3.
3(16−8 5)
8
19
−
−1 − 3− 3− 1 −
−(
[ 28 −
−
2
2𝑦
2
5
4
3
2 1
− 𝑦 − 3𝑦 − 3𝑦 − 𝑦 ⎤⎥| 1− 5 =
⎦ 2
7
4
3
9𝑦
3
3
) −(
176−80. 5
32
1− 5
2
2
) ) ]=
)+ ( (
3 56−24 5)
16
)
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
Integramos en el orden inverso:
Visualizamos regiones mediante el gráfico de las curvas:
Primer región:
0 ≤ 𝑥 ≤
3− 5
2
− 𝑥≤ 𝑦 ≤ 𝑥
3− 5
2
∫
0
3− 5
2
∫
0
(
− 𝑥
(
𝑦𝑥
2
𝑥
(
2
)
2
)
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
2 2
3
+
𝑥𝑦
3
|
𝑥
)𝑑𝑥 =
− 𝑥
Página 3
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
3− 5
2
∫
0
3− 5
2
∫
0
3− 5
2
∫
0
(
(
(
2 2
3
( 𝑥) 𝑥
2
+
2
+
𝑥
2
+
𝑥
2
2
2
2
3
− (
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2
∫ (𝑥 𝑥 )𝑑𝑥 =
0
(
(
(
𝑥
7
2
7
2
(
3− 5
2
) |0
3− 5
2
7
2
)
7
2
(3− 5)
(2)
4 (3− 5)
21
7
2
4(3− 5)
21.8. 2
)=
7
2
7
2
7
2
=
=
7
2
.
2
7
)=
)=
𝑥
2
2
−
3
−
∫ ( ( 𝑥)𝑥 )𝑑𝑥 =
3− 5
2
(− 𝑥) 𝑥
2
3
3
( 𝑥)𝑥
3
0
− (
3
( 𝑥)𝑥
3
3− 5
2
2 2
𝑥( 𝑥)
3
𝑥
2
𝑥 𝑥
3
2
+
𝑥 𝑥
3
3
+
𝑥(− 𝑥)
3
)
) 𝑑𝑥 =
)
𝑑𝑥 =
)
) 𝑑𝑥 =
Página 4
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
(3− 5)
7
2
42. 2
Segunda región:
3− 5
2
≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥 − 1 ≤𝑦≤ 𝑥
1
∫
3− 5
2
1
∫
3− 5
2
1
∫
3− 5
2
1
∫
3− 5
2
1
∫
3− 5
2
1
∫
3− 5
2
(
𝑥−1
(
𝑦𝑥
2
(
( 𝑥) 𝑥
2
(
(
(
𝑥
2
(
)
2
)
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
2 2
3
𝑥𝑦
3
+
2 2
3
3
+
+
𝑥 𝑥
3
+
𝑥 𝑥
3
3
3
2
− (
(𝑥−1) 𝑥
2
2
2
−
(𝑥 −2𝑥+1) 𝑥
2
−
(𝑥 −2𝑥 +𝑥 )
2
2
𝑥
2
2 2
𝑥( 𝑥)
3
2
𝑥
2
)
𝑥
|𝑥−1 𝑑𝑥 =
4
4
3
3
2
+
3
)
) 𝑑𝑥 =
2
−
𝑥(𝑥 −3𝑥 +3𝑥−1)
3
−
(𝑥 −3𝑥 +3𝑥 −𝑥)
3
2
4
3
𝑥(𝑥−1)
3
4
3
2
3𝑥 +2𝑥 𝑥 −3𝑥 +6𝑥 −3𝑥 −2𝑥 +6𝑥 −6𝑥 +2𝑥
6
3
)
2
𝑑𝑥 =
)
)
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥 =
Página 5
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
1
∫
3− 5
2
1
6
(
4
5
3
2
−5𝑥 +15𝑥 +2𝑥 2 −9𝑥 +2𝑥
6
1
(
4
Página 6
)
𝑑𝑥 =
5
2
3
)
2
∫ − 5𝑥 + 15𝑥 + 2𝑥 − 9𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥 =
3− 5
2
5
4
1
6
⎡ −5𝑥
⎢( 5 +
⎣
15𝑥
4
1
6
5
⎡
(−
𝑥
+
⎢
⎣
15𝑥
4
+
2𝑥
+
4
7
4
7
2
3
9𝑥
3
−
7
2
2
2𝑥
2
+
1
⎤
) | 3− 5 ⎥ =
2 ⎦
7
2
3
2 1
⎤
𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 ) | 3− 5 ⎥ =
2 ⎦
5
1 ⎡ 37
3− 5
⎢(
+( 2 ) −
6 ⎢ 128
⎣
15(
3− 5
2
4
)
4
−
4
7
(
3− 5
2
7
2
) + 3(
3− 5
2
3
) −(
2
⎤
) )⎥
⎥
⎦
3− 5
2
=
1 ⎡ 37
⎢(
+
6 ⎢ 128
⎣
⎡ 37
⎢( 168 +
⎢
⎣
(3− 5)
32
(3− 5)
192
Tercera región:
4
−
5
0,20856
1≤ 𝑥 ≤ 2
5
15(3− 5)
64
4
−
15(3− 5)
128
−
−
(3− 5)
7
2
14 2
(3− 5)
84 2
7
2
+
+
1
16
3
8
3
(3 − 5) −
3
(3 − 5) −
2
⎤
)⎥ =
⎥
⎦
(3− 5)
4
(3− 5)
24
2
⎤
)⎥ ≃
⎥
⎦
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
Página 7
𝑥 − 1≤ 𝑦 ≤ 1
2
(
1
2
(
)
2
)
∫ ∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
1 𝑥−1
2
∫
1
2
∫
1
2
∫
1
2
∫
1
2
∫
1
((
2 2
3
𝑦𝑥
2
𝑥𝑦
3
+
))
1
|𝑥−1 𝑑𝑥 =
(
𝑥
2
(
𝑥
2
(
3𝑥 +2𝑥−3𝑥 +6𝑥 −3𝑥 −2𝑥 +6𝑥 −6𝑥 +2𝑥
6
(
−5𝑥 +12𝑥 −6𝑥 +4𝑥
6
2
+
𝑥
3
+
𝑥
3
2
2 2
− (
4
−
2
4
2
3
3
2
4
(
2
2
)
4
(𝑥 −2𝑥 +𝑥 )
2
4
𝑥(𝑥−1)
3
+
3
)
3
(𝑥−1) 𝑥
2
2
(𝑥 −3𝑥 +3𝑥 −𝑥)
3
−
4
3
3
2
3
2
)
1
6
⎡( −5𝑥 +
⎢ 5
⎣
1
6
⎡⎢(− 𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥2) |2⎤⎥ =
1⎦
⎣
1
6
[
1
6
[6] = 1
5
4
12𝑥
4
𝑑𝑥 =
)𝑑𝑥 =
∫ − 5𝑥 + 12𝑥 − 6𝑥 + 4𝑥 𝑑𝑥 =
5
)
)𝑑𝑥 =
1
6
1
𝑑𝑥 =
3
−
4
6𝑥
3
2
+
4𝑥
2
3
2
) |1⎤⎥ =
⎦
2
]
(− (2) + 3(2) − 2(2) + 2(2) + 1 − 3 + 2 − 2) =
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
3− 5
2
∫
0
2
(
(
1
𝑥
2
(
)
2
)
1
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + ∫
− 𝑥
2
(
)
2
)
∫ ∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
1 𝑥−1
3− 5
2
(3− 5)
(
𝑥
2
(
Página 8
)
2
)
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +
𝑥−1
7
2
42. 2
+ 0,20856 + 1 ≃ 1, 2151
2
Desde que graficamos la recta 𝑥 = 𝑦 + 1, y la parábola 𝑥 =𝑦 , para
visualizar la región de integración, nos pareció que la variable 𝑥 está
2
comprendida entre la parábola y la recta, es decir : 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 + 1.
Al observar que al calcular la integral en el orden inverso el resultado
de la integral es opuesto al que nos dio la integral del orden dado.
Nos pusimos a analizar nuevamente los intervalos de integración.
Y concluimos a que la integral de orden inverso que nosotros
calculamos es la correspondiente a la integral de orden dado:
1
∫
1− 5
2
(
𝑦+1
(
2
2
)
)
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦, la cuál al integrar nos da cómo valor
2
𝑦
aproximado 1,2151.
1
∫
1− 5
2
(
𝑦+1
(
2
2
)
)
1
(
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦
2
𝑦
1− 5
2
3
𝑥
3
2
+
𝑥
2
2
𝑦 |
𝑦+1
2
𝑦
)
𝑑𝑦 =
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
1
(
(𝑦+1)
3
(
𝑦 +3𝑦 +3𝑦+1
3
3
= ∫ 𝑦
1− 5
2
1
3
= ∫ 𝑦
1− 5
2
1
= ∫
1− 5
2
1
= ∫
1− 5
2
1
= ∫
1− 5
2
1
6
1
+
2 3
2
𝑦
3
2
+
(
𝑦
3
(
−2𝑦 −3𝑦 +5𝑦 +12𝑦 +9𝑦 +2𝑦
6
3
2
4
3
4
+
2
6
4
7
(
2
𝑦
𝑦
3
3
−
6
𝑦
3
−
−
𝑦
2
7
𝑦
2
6
𝑦
3
+𝑦 +
𝑦
2
)𝑑𝑦 =
)𝑑𝑦 =
2
2
𝑦
2
2
6
−
4
+
𝑦
2
7
2
𝑦 +2𝑦 +𝑦
2
+𝑦 +𝑦 +
7
2
𝑦 +2𝑦+1
2
(
4
)
2 2
2
𝑦 − 𝑦 ( ) − ( ) 𝑦 𝑑𝑦 =
2
(𝑦+1)
2
𝑦 +3𝑦 +3𝑦 +𝑦
3
7
−
𝑦
3
6
−
𝑦
2
)𝑑𝑦 =
)𝑑𝑦 =
4
3
2
)
∫ − 2𝑦 − 3𝑦 + 5𝑦 + 12𝑦 + 9𝑦 + 2𝑦 𝑑𝑦 =
1− 5
2
8
=
1
6
⎡−
⎢
⎣
2𝑦
8
=
1
6
⎡−
⎢
⎣
𝑦
4
=
1
6
[ −
(−
=
2
Página 9
(
1− 5
2
4
7
−
8
1
4
−
3
7
−
3(
5𝑦
5
4
+
12𝑦
4
3
+
9𝑦
3
2
+
2𝑦
2
⎤|1 =
⎥ 1− 5
⎦ 2
5
4
3
2 1
+ 𝑦 + 3𝑦 + 3𝑦 + 𝑦 ⎤⎥| 1− 5 =
⎦ 2
3𝑦
7
8
)
+
7
−
5
3𝑦
7
+ 1+ 3 + 3+ 1 −
1− 5
2
7
7
)
+(
1− 5
2
5
) + 3(
1− 5
2
4
) + 3(
1− 5
2
3
) +(
1− 5
2
2
) )]
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
1
6
−
1
6
(
(
) −
) (
19
28
[−
+ 8+
6016−2688. 5
1024
19
28
(
11−5. 5
2
1
6
[
205
28
37
168
+
⇒ ∫
1− 5
2
47−21. 5
8
3 29−13. 5
14
21−9 5
2
39 5−93
8
+
39 5−101
112
(
6−2 5
4
224
28
−
1
3(1856−832. 5)
896
) (
)] =
+
+(
)+ ( ( ))
) − ( ) + 3. 5 − 6 + ] =
3(16−8 5
8
[−
) (
+
𝑦+1
(
2
5−3
2
3 29−13 5
− ( 14 ) + 3 5 − 6]=
+
1
2
2
)
. 5≃ 1, 21511
)
∫ 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ≃ 1, 2151
2
𝑦
−
Página 10
176−80. 5
32
) (
−
3(56−24 5)
16
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
Página 11
a)
((
3 1
𝑥
)
)
3
((
2
𝑥
∫ ∫ 𝑒 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑦 −
0 0
(
𝑥
= 𝑒 −
𝑥
2
)|
3
0
3
=𝑒 −
0
3
2
𝑦
2
0
))
3
3
3
(
𝑥
|0 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 −
5
2
−𝑒 =𝑒 −
⇒ ∫∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑒 −
𝐷
1
5
2
0
1
2
)𝑑𝑥 =
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
Página 12
b)
((
2 𝑥
2
)
2
)
2
((
3
2
∫ ∫ 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑦 +
0 −𝑥
2
((
3
2
= ∫ 𝑥𝑥+
0
2
(
=
8
3
) − (𝑥 (− 𝑥) +
3
3
= ∫ 𝑥 +
0
𝑥
3
𝑥
3
( )
4
( 2)
4
=
0
2
3
+𝑥 +
8
3
( )=
4
4
3
𝑥
3
)
8
3
𝑦
3
))𝑑𝑥 =
3
(−𝑥)
3
2
𝑑𝑥 = ∫
0
) )
𝑥
|−𝑥 𝑑𝑥 =
( )
3
8𝑥
3
𝑑𝑥 =
8
3
2
3
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
0
8
3
( )
4
𝑥
4
2
|0 =
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
8
3
⇒ ∫∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷
4
𝑥
− 2 +2
𝑥
∫⎛ ∫ ⎛
∫
0
0
⎝
0
⎝
4
2
= ∫⎛ ∫
⎝
0
(𝑥 (1 −
2
𝑥
− 2 +2
0
(
4
− 2 +2
𝑥 𝑑𝑧⎞𝑑𝑦⎞𝑑𝑥 = ∫⎛ ∫
⎠
0
⎠
𝑥
− 2 +2
4
0
𝑦
1− 4 − 2
𝑥
4
−
𝑦
2
⎝
0
𝑥
𝑦
1− 4 − 2
2
𝑥 𝑧 |0
)
𝑑𝑦⎞𝑑𝑥 =
⎠
𝑥
))𝑑𝑦⎞𝑑𝑥 = ∫⎛
⎠
Página 13
⎝
∫
0
(𝑥
2
3
−
𝑥
4
2
−
𝑥𝑦
2
)𝑑𝑦⎞𝑑𝑥 =
⎠
Susana Semería, María Noel Álvarez, Mateo Álvarez, Micaela Durán
TAREA GRUPAL 8
4
3
2
𝑥
=∫ 𝑥 𝑦 − 4
0
((
4
((
(
(
3
2
=∫ 𝑥 −
0
4
4
𝑦 −
)(−
3
=∫ −
0
𝑥
4
2 2
𝑥
2
𝑥
2
4
+ 2𝑥 +
4
=∫
(
0
(
0
(
)
+ 2 −
𝑥
8
2𝑥
4
−
𝑥
8
4
𝑥
8
4
𝑥
16
4
𝑥
16
−
3
−
−
−𝑥 +
)
3
𝑥
2
2
(
−
(
2
+ 𝑥 𝑑𝑥 =
(
𝑑𝑥 =
𝑥
8
+
2
)𝑑𝑥 =
3
)|
4𝑥
4
𝑥
3
5
4
=
0
⇒ ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐷
))
𝑑𝑥 =
4
−
)
−2𝑥+4
)
+ 2𝑥 −
5
𝑑𝑥 =
2
2
𝑥
80
))
4
−2𝑥 +4𝑥
3
(
2 𝑥
4
𝑥
4
2𝑥
4
2
)
𝑥
4
3
𝑥
4
4
2
2
𝑥 − 2 +2
3
4
3
=∫ −
0
)| )𝑑𝑥 =
𝑥
− 2 +2
4
2
= ∫ − 𝑥 + 2𝑥 +
0
𝑥𝑦
4
Página 14
32
15
4
80
4
−
4
8
3
+
4
3
=
1024
80
−
256
8
+
64
3
=
32
15