Subido por Gustavo Falcón

Formulario de Cálculo diferencial e integral - Copy

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UNIVERSIDAD NAVAL
GP 2022
ÁLGEBRA / CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
FÓRMULA GENERAL DE LA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
𝑥=
−𝑏 ±
√𝑏 2
𝐿𝑛 𝐴𝐵 = 𝐿𝑛 𝐴 + 𝐿𝑛 𝐵
𝐿𝑛
− 4𝑎𝑐
𝐿𝑛 𝐴𝑁 = 𝑁 𝐿𝑛 𝐴
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
2𝑎
𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 1
𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 1
𝑇𝑎𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 1
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
𝐶𝑜𝑠 𝑥
1 1
1 1
− 𝐶𝑜𝑠 2𝑥
𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥
2 2
2 2
𝑆𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑦 ± 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑦
𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑦 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑦
1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥
1 + 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥
𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝐶𝑜𝑠 2𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑥
DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
𝑆𝑒𝑛2 𝑥 =
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
𝑑
𝑆𝑒𝑛 𝑉 = 𝐶𝑜𝑠 𝑉 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
𝑇𝑎𝑛 𝑉 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
𝑆𝑒𝑐 𝑉 = 𝑆𝑒𝑐 𝑉 𝑇𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑉
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑉 =
𝑑𝑥
√1 − 𝑉 2
𝑑
𝑑𝑉
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑉 =
𝑑𝑥
1 + 𝑉2
𝑑
𝑑𝑉
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 𝑉 =
𝑑𝑥
𝑉 √𝑉 2 − 1
𝑑
𝑑
(𝑐) = 0
(𝑥) = 1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑 𝑁
𝑥 = 𝑁 𝑥 𝑁−1
𝑑𝑥
𝑑
(𝑉)𝑁 = 𝑁 (𝑉)𝑁−1 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
(𝑈)(𝑉) = 𝑈 𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑𝑈
𝑑𝑥
𝑑 𝑈
𝑉 𝑑𝑈 − 𝑈 𝑑𝑉
( )=
𝑑𝑥 𝑉
𝑉2
𝑑
𝑑𝑉
√𝑉 =
𝑑𝑥
2√𝑉
DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS
𝑑
𝑑𝑉
𝐿𝑛 𝑉 =
𝑑𝑥
𝑉
𝐴
= 𝐿𝑛 𝐴 − 𝐿𝑛 𝐵
𝐵
DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES
𝑑 𝑉
𝑒 = 𝑒 𝑉 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑉
𝐿𝑜𝑔 𝑉 =
𝐿𝑜𝑔 𝑒
𝑑𝑥
𝑉
𝑥 𝑁+1
+𝐶
𝑁+1
( 𝑉 )𝑁+1
∫(𝑉)𝑁 𝑑𝑉 =
+𝐶
𝑁+1
𝑑𝑉
∫
= 𝐿𝑛 𝑉 + 𝐶
𝑉
∫ 𝑥 𝑁 𝑑𝑥 =
∫ 𝑒 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑒 𝑉 + 𝐶
𝑎𝑉
∫ 𝑎 𝑑𝑉 =
+𝐶
𝐿𝑛 𝑎
𝑉
𝑑 𝑉
𝑎 = 𝑎𝑉 𝐿𝑛 𝑎 𝑑𝑉
𝑑𝑥
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
INTEGRALES ELEMENTALES ALGEBRAICAS
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
𝑑
𝐶𝑜𝑠 𝑉 = −𝑆𝑒𝑛 𝑉 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 = −𝐶𝑠𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
𝐶𝑠𝑐 𝑉 = −𝐶𝑠𝑐 𝑉 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑
−𝑑𝑉
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑉 =
𝑑𝑥
√1 − 𝑉 2
𝑑
−𝑑𝑉
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 =
𝑑𝑥
1 + 𝑉2
𝑑
−𝑑𝑉
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐 𝑉 =
𝑑𝑥
𝑉 √𝑉 2 − 1
∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = −𝐶𝑜𝑠 𝑉 + 𝐶
∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑆𝑒𝑛 𝑉 + 𝐶
∫ 𝑇𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑐 𝑉 + 𝐶
∫ 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑉 + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 𝑉 + 𝑇𝑎𝑛 𝑉 ) + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 ( 𝐶𝑠𝑐 𝑉 − 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 ) + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑇𝑎𝑛 𝑉 + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉 = −𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑉 𝑇𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑆𝑒𝑐 𝑉 + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑉 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = −𝐶𝑠𝑐 𝑉 + 𝐶
INTEGRALES COMPLEMETARIAS
𝑑𝑉
1
𝑉
𝑑𝑉
1
𝑉−𝑎
𝑑𝑉
1
𝑎+𝑉
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) + 𝐶
∫ 2
=
𝐿𝑛 (
)+𝐶
∫ 2
=
𝐿𝑛 (
)+𝐶
2
2
2
+𝑎
𝑎
𝑎
𝑉 −𝑎
2𝑎
𝑉+𝑎
𝑎 −𝑉
2𝑎
𝑎−𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑉
𝑉
∫
= 𝐿𝑛 ( 𝑉 + √ 𝑉 2 ± 𝑎2 ) + 𝐶
∫
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝐶
2
2
𝑎
√𝑎 −𝑉
√ 𝑉 2 ± 𝑎2
2
𝑉
𝑎
𝑉
𝑎2
𝑉
∫ √ 𝑉 2 ± 𝑎2 𝑑𝑉 = √ 𝑉 2 ± 𝑎2 ± 𝐿𝑛 ( 𝑉 + √ 𝑉 2 ± 𝑎2 ) + 𝐶 ∫ √ 𝑎2 − 𝑉 2 𝑑𝑉 = √ 𝑎2 − 𝑉 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝐶
2
2
2
2
𝑎
∫
𝑉2
ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR PARTES
∫ 𝑈 𝑑𝑉 = 𝑈 𝑉 − ∫ 𝑉 𝑑𝑈
UNIVERSIDAD NAVAL
GP 2022
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO ORDEN.COEFICIENTES CONSTANTES
Raíces distintas
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥
Raíces iguales
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒 𝑚1 𝑥
Raíces imaginarias 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 𝛽𝑥 )
ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO ORDEN.CAUCHY-EULER
CONSTANTES
𝑦 = 𝑥 𝑚 ; 𝑦 ′ = 𝑚 𝑥 𝑚−1 ; 𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2
Raíces distintas
𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚2
Raíces iguales
𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚1 𝐿𝑛 𝑥
Raíces imaginarias 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠 [ 𝛽 𝐿𝑛 𝑥 ] + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 [ 𝛽 𝐿𝑛 𝑥 ] )
TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
𝒇(𝒕)
𝟏
𝒕
𝒕𝑵
𝒆𝒂𝒕
𝒕𝑵 𝒆𝒂𝒕
𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝒘𝒕
𝒇 ′(𝒕)
𝒇(𝒕)
1
𝑠
1
𝐹(𝑠) = 2
𝑠
𝑁!
𝐹(𝑠) = 𝑁+1
𝑠
1
𝐹(𝑠) =
𝑠−𝑎
𝑁!
𝐹(𝑠) =
(𝑠 − 𝑎)𝑁+1
𝐹(𝑠) =
𝐹(𝑠) =
2𝑤𝑠
2
(𝑠 + 𝑤 2 )2
𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
𝑺𝒆𝒏 𝒘𝒕
𝑪𝒐𝒔 𝒘𝒕
𝒆𝒂𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝒘𝒕
𝒆𝒂𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒘𝒕
𝑤
𝑠2 + 𝑤 2
𝑠
𝐹(𝑠) = 2
𝑠 + 𝑤2
𝑤
𝐹(𝑠) =
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑤 2
𝑠−𝑎
𝐹(𝑠) =
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑤 2
𝐹(𝑠) =
𝒇(𝒕)
𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠)
𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒘𝒕
𝑠2 − 𝑤 2
𝐹(𝑠) = 2
(𝑠 + 𝑤 2 )2
𝒇 ′′(𝒕)
𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓 ′(0)
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