UNIVERSIDAD NAVAL GP 2022 ÁLGEBRA / CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS FÓRMULA GENERAL DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 𝑥= −𝑏 ± √𝑏 2 𝐿𝑛 𝐴𝐵 = 𝐿𝑛 𝐴 + 𝐿𝑛 𝐵 𝐿𝑛 − 4𝑎𝑐 𝐿𝑛 𝐴𝑁 = 𝑁 𝐿𝑛 𝐴 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 2𝑎 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 1 𝑇𝑎𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑇𝑎𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 1 1 1 1 − 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 2 2 2 2 𝑆𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑦 ± 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑦 𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑦 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑦 1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 1 + 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 = DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 𝑑 𝑆𝑒𝑛 𝑉 = 𝐶𝑜𝑠 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 𝑇𝑎𝑛 𝑉 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 𝑆𝑒𝑐 𝑉 = 𝑆𝑒𝑐 𝑉 𝑇𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑉 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑉 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑉 2 𝑑 𝑑𝑉 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑉 = 𝑑𝑥 1 + 𝑉2 𝑑 𝑑𝑉 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑉 √𝑉 2 − 1 𝑑 𝑑 (𝑐) = 0 (𝑥) = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑁 𝑥 = 𝑁 𝑥 𝑁−1 𝑑𝑥 𝑑 (𝑉)𝑁 = 𝑁 (𝑉)𝑁−1 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 (𝑈)(𝑉) = 𝑈 𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑𝑈 𝑑𝑥 𝑑 𝑈 𝑉 𝑑𝑈 − 𝑈 𝑑𝑉 ( )= 𝑑𝑥 𝑉 𝑉2 𝑑 𝑑𝑉 √𝑉 = 𝑑𝑥 2√𝑉 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 𝑑 𝑑𝑉 𝐿𝑛 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑉 𝐴 = 𝐿𝑛 𝐴 − 𝐿𝑛 𝐵 𝐵 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES 𝑑 𝑉 𝑒 = 𝑒 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑉 𝐿𝑜𝑔 𝑉 = 𝐿𝑜𝑔 𝑒 𝑑𝑥 𝑉 𝑥 𝑁+1 +𝐶 𝑁+1 ( 𝑉 )𝑁+1 ∫(𝑉)𝑁 𝑑𝑉 = +𝐶 𝑁+1 𝑑𝑉 ∫ = 𝐿𝑛 𝑉 + 𝐶 𝑉 ∫ 𝑥 𝑁 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑒 𝑉 + 𝐶 𝑎𝑉 ∫ 𝑎 𝑑𝑉 = +𝐶 𝐿𝑛 𝑎 𝑉 𝑑 𝑉 𝑎 = 𝑎𝑉 𝐿𝑛 𝑎 𝑑𝑉 𝑑𝑥 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS INTEGRALES ELEMENTALES ALGEBRAICAS ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝑑 𝐶𝑜𝑠 𝑉 = −𝑆𝑒𝑛 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 = −𝐶𝑠𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 𝐶𝑠𝑐 𝑉 = −𝐶𝑠𝑐 𝑉 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑 −𝑑𝑉 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑉 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑉 2 𝑑 −𝑑𝑉 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 = 𝑑𝑥 1 + 𝑉2 𝑑 −𝑑𝑉 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑉 √𝑉 2 − 1 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = −𝐶𝑜𝑠 𝑉 + 𝐶 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑆𝑒𝑛 𝑉 + 𝐶 ∫ 𝑇𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑐 𝑉 + 𝐶 ∫ 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑉 + 𝐶 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 𝑉 + 𝑇𝑎𝑛 𝑉 ) + 𝐶 ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑉 𝑑𝑉 = 𝐿𝑛 ( 𝐶𝑠𝑐 𝑉 − 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 ) + 𝐶 ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑇𝑎𝑛 𝑉 + 𝐶 ∫ 𝐶𝑠𝑐 2 𝑉 𝑑𝑉 = −𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 + 𝐶 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑉 𝑇𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑆𝑒𝑐 𝑉 + 𝐶 ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑉 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑉 𝑑𝑉 = −𝐶𝑠𝑐 𝑉 + 𝐶 INTEGRALES COMPLEMETARIAS 𝑑𝑉 1 𝑉 𝑑𝑉 1 𝑉−𝑎 𝑑𝑉 1 𝑎+𝑉 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) + 𝐶 ∫ 2 = 𝐿𝑛 ( )+𝐶 ∫ 2 = 𝐿𝑛 ( )+𝐶 2 2 2 +𝑎 𝑎 𝑎 𝑉 −𝑎 2𝑎 𝑉+𝑎 𝑎 −𝑉 2𝑎 𝑎−𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑉 ∫ = 𝐿𝑛 ( 𝑉 + √ 𝑉 2 ± 𝑎2 ) + 𝐶 ∫ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝐶 2 2 𝑎 √𝑎 −𝑉 √ 𝑉 2 ± 𝑎2 2 𝑉 𝑎 𝑉 𝑎2 𝑉 ∫ √ 𝑉 2 ± 𝑎2 𝑑𝑉 = √ 𝑉 2 ± 𝑎2 ± 𝐿𝑛 ( 𝑉 + √ 𝑉 2 ± 𝑎2 ) + 𝐶 ∫ √ 𝑎2 − 𝑉 2 𝑑𝑉 = √ 𝑎2 − 𝑉 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝐶 2 2 2 2 𝑎 ∫ 𝑉2 ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN POR PARTES ∫ 𝑈 𝑑𝑉 = 𝑈 𝑉 − ∫ 𝑉 𝑑𝑈 UNIVERSIDAD NAVAL GP 2022 ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO ORDEN.COEFICIENTES CONSTANTES Raíces distintas 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥 Raíces iguales 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒 𝑚1 𝑥 Raíces imaginarias 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 𝛽𝑥 ) ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO ORDEN.CAUCHY-EULER CONSTANTES 𝑦 = 𝑥 𝑚 ; 𝑦 ′ = 𝑚 𝑥 𝑚−1 ; 𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2 Raíces distintas 𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚2 Raíces iguales 𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚1 𝐿𝑛 𝑥 Raíces imaginarias 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝐶1 𝐶𝑜𝑠 [ 𝛽 𝐿𝑛 𝑥 ] + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 [ 𝛽 𝐿𝑛 𝑥 ] ) TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE 𝒇(𝒕) 𝟏 𝒕 𝒕𝑵 𝒆𝒂𝒕 𝒕𝑵 𝒆𝒂𝒕 𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝒘𝒕 𝒇 ′(𝒕) 𝒇(𝒕) 1 𝑠 1 𝐹(𝑠) = 2 𝑠 𝑁! 𝐹(𝑠) = 𝑁+1 𝑠 1 𝐹(𝑠) = 𝑠−𝑎 𝑁! 𝐹(𝑠) = (𝑠 − 𝑎)𝑁+1 𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠) = 2𝑤𝑠 2 (𝑠 + 𝑤 2 )2 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0) 𝑺𝒆𝒏 𝒘𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒘𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝑺𝒆𝒏 𝒘𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒘𝒕 𝑤 𝑠2 + 𝑤 2 𝑠 𝐹(𝑠) = 2 𝑠 + 𝑤2 𝑤 𝐹(𝑠) = (𝑠 − 𝑎)2 + 𝑤 2 𝑠−𝑎 𝐹(𝑠) = (𝑠 − 𝑎)2 + 𝑤 2 𝐹(𝑠) = 𝒇(𝒕) 𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠) 𝒕 𝑪𝒐𝒔 𝒘𝒕 𝑠2 − 𝑤 2 𝐹(𝑠) = 2 (𝑠 + 𝑤 2 )2 𝒇 ′′(𝒕) 𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓 ′(0)