Lógica Matemática
Lógica Proposicional
Material elaborado por:
Lic. Sabino Acosta Delvalle
Adaptado por:
Lic. María del Carmen Rolón
Campus Universitario
San Lorenzo, Paraguay
Universidad Nacional de Asunción
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Educación a Distancia
Índice
1.
2.
Lógica proposicional .........................................................................................................................3
1.1.
Proposiciones ...........................................................................................................................3
1.2.
Proposiciones atómicas y moleculares ....................................................................................4
1.3.
Otras definiciones ....................................................................................................................4
1.4.
Términos de enlace ..................................................................................................................5
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas .............................................................................5
2.1.
3.
4.
Simbolización de proposiciones ...............................................................................................5
2.1.1.
La conjunción (y) ..........................................................................................................6
2.1.2.
La disyunción (disjunción) (o) .......................................................................................6
2.1.3.
Negación (no) ...............................................................................................................7
2.1.4.
Proposición condicional ...............................................................................................8
2.1.5.
Proposición bicondicional ............................................................................................8
Inferencia lógica ............................................................................................................................ 10
3.1.
Reglas de inferencia .............................................................................................................. 11
3.2.
Deducción proposicional ....................................................................................................... 20
Tabla de certeza ............................................................................................................................ 30
4.1.
Valor de certeza de una proposición molecular ................................................................... 30
4.2.
Tautología, contingencia y contradicción. Implicaciones asociadas. .................................... 33
4.3.
Conclusiones no válidas. ....................................................................................................... 36
4.4. Implicación tautológica y equivalencia tautológica. Condicional asociado a una regla de
inferencia........................................................................................................................................... 37
5.
Demostración condicional (CP) ..................................................................................................... 38
6.
Demostración Indirecta (RAA)....................................................................................................... 39
Bibliografía ............................................................................................................................................ 41
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1. Lógica proposicional
Como menciona Espinosa (2006), la lógica estudia la forma del razonamiento, es una
disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. En un
nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un
argumento dado.
El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de
la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y
naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida
cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante
el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
1.1.
Proposiciones
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas
a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica
por qué algunos enunciados no son proposiciones.
Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula o mayúscula, dos puntos y la
proposición propiamente dicha.
Ejemplo:
p: La tierra es plana.
q:
r:
s: El club Cerro Porteño será campeón en la presente temporada de Fútbol.
t: Hola. ¿Cómo estás?
w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son
proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición válida, aunque el valor de falso
o verdadero depende del valor asignado a las variables e en determinado momento. La
proposición del inciso s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa
o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los
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enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno
de ellos es un saludo y el otro es una orden.
1.2.
Proposiciones atómicas y moleculares
Para empezar a analizar la Lógica Matemática, debemos considerar y analizar el significado
de las proposiciones en la lengua castellana.
Según Suppes y Hill (1992), cada proposición tiene una forma lógica a la que se le dará un
nombre. Se consideran y simbolizan dos clases de proposiciones en Lógica; unas se
denominan proposiciones atómicas y otras proposiciones moleculares. Las atómicas, son las
proposiciones de forma más simple (o más básicas). Si se juntan una o varias proposiciones
atómicas con un término de enlace, se tiene una proposición molecular.
Más específicamente, podemos decir que una proposición atómica es una proposición
completa sin términos de enlace. Se utilizan términos de enlace para formar proposiciones
moleculares a partir de proposiciones atómicas.
Para comprender estos conceptos, veamos algunos ejemplos:
Consideremos dos proposiciones atómicas,
Hoy es sábado.
No hay clase.
Ambas proposiciones son atómicas. Mediante un término de enlace se pueden unir y se
tendrá una proposición molecular. Por ejemplo, podemos decir:
Hoy es sábado y no hay clase
Esta proposición molecular se ha construido con dos proposiciones atómicas y el término de
enlace “y”.
1.3.
Otras definiciones
Según Fumero (2007), proposición atómica es el enunciado mínimo que podemos expresar y
mediante algún criterio decir que es verdad o falso. Esto lo podemos relacionar con el
concepto de átomo que es definido como elemento material de los cuerpos, que se
considera indivisible por su pequeñez.
Son ejemplos de proposiciones atómicas:
p : Una década tiene diez años
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q : Hay un premio Nobel de ciencias de la computación
r : La Tierra es plana
Se denominan Proposiciones moleculares o fórmulas, a las que se obtienen combinando
proposiciones atómicas, mediante ciertas partículas, llamadas conectivas o términos de
enlace.
De esta forma podemos obtener proposiciones moleculares combinando las proposiciones
atómicas “( ) y ( )” anteriores:
Por ejemplo:
(Una década tiene diez años) y (la Tierra es plana)
Como las proposiciones atómicas usadas las habíamos representado con las letras
respectivamente.
1.4.
y
Términos de enlace
Las palabras de enlace, por cortas que sean, no deben subestimarse, pues son de gran
importancia. Gran parte de nuestro estudio de la lógica se centrará en la manera de cómo se
han de utilizar estos términos de enlace.
En nuestro ejemplo “Una década tiene diez años y La Tierra es plana” el término de enlace
es “y”. La función de los términos de enlace hace alusión a su nombre, forman proposiciones
moleculares a partir de proposiciones atómicas.
2. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas
2.1.
Simbolización de proposiciones
En general, las proposiciones atómicas son cortas, pero existen proposiciones del lenguaje
corriente que son largas, que resultan pesadas y de difícil comprensión. En Lógica,
afrontamos este problema sustituyendo por símbolos las proposiciones completas.
Los símbolos que usaremos, de modo convencional, para representar proposiciones son
letras mayúsculas tales como: “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, etc.
Por ejemplo, si nombramos:
“Está lloviendo”
“Hace frío”
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Si a partir de estas proposiciones, consideramos “Está lloviendo y hace frío”. La forma lógica
de la proposición usando paréntesis, es:
(Está lloviendo) y (Hace frío)
Utilizando “ ” y “ ” queda simbolizada la proposición de la siguiente manera;
( )y( )
Los términos de enlace son conocidos también como conectores u operadores lógicas, estos
nos permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los
operadores o conectores básicos son: la conjunción, disyunciones, la negación, el condicional
y la bicondicional.
2.1.1.
La conjunción (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener
un resultado verdadero. Su símbolo es: {^, o un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como
la multiplicación lógica:
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene
corriente la batería”
Sean:
: El coche enciende.
: Tiene gasolina el tanque.
: Tiene corriente la batería.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es
como sigue:
2.1.2.
La disyunción (disjunción) (o)
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es
verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: { , +}. Se conoce como la suma
lógica.
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Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene
un pase”.
Si llamamos:
: Entra al cine.
: Compra su boleto.
: Obtiene un pase.
Con esto, la representación del ejemplo anterior es:
2.1.3.
Negación (no)
Según Suppes y Hill (1992), la palabra “no”, en castellano, se encuentra muy frecuente
dentro de las proposiciones atómicas. Por este motivo es fácil olvidarlo. Pero una
proposición tal como:
Hoy no es domingo
es una proposición molecular puesto que contiene el conector “no”. Es posible escribir este
término de enlace utilizando la frase “no ocurre que”. La proposición anterior se leería
entonces:
No ocurre que hoy es domingo
Su función es negar una proposición. Esto significa que si alguna proposición es verdadera y
se le aplica el operador “no” se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador
se indica por medio de los siguientes símbolos: { 1, , }.
Ejemplo:
La negación de “está lloviendo en este momento” es, “no está lloviendo en este momento”.
Si llamamos : Está lloviendo en este momento. A partir de esta proposición atómica
tenemos la proposición molecular,
: No está lloviendo en este momento.
Otros ejemplos de este término de enlace son:
No ocurre que (
)
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No (
)
No
Ejemplos:
Negar las siguientes proposiciones.
1. Diana es modista.
2. 12 es un número par.
3. estas dos rectas son paralelas.
Solución
1. Diana no es modista.
2. No es cierto que 12 sea un número par, también podría ser, 12 es un número impar.
3. Estas rectas no son paralelas; otra posibilidad es, estas rectas son concurrentes.
2.1.4.
Proposición condicional
Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples
(o compuesta) y . La cual se indica de la siguiente manera:
Se lee “Si
entonces
”
Ejemplo:
Un candidato dice: “Si salgo electo presidente de la República, recibirán un 50% de aumento
en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional.
Sean:
: Salió electo Presidente de la República.
: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera:
2.1.5.
Proposición bicondicional
Sean P y Q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la
siguiente manera:
Se lee “ si sólo si ”
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Ejemplo:
“Es buen estudiante si y solo si tiene promedio de cinco”
Donde:
P: Es buen estudiante.
Q: Tiene promedio de cinco.
En símbolo tenemos,
A partir de este momento, ya estamos en condiciones de representar cualquier enunciado
con conectores lógicos, veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1:
“El agua está fría y el calentador está descompuesto”, se representa por
, donde:
: El agua está fría.
: El calentador está descompuesto.
Ejemplo 2:
Dada la siguiente afirmación del lenguaje natural: “Si voy a clase y entiendo la lección,
entonces o estudio y apruebo o me voy al cine”, formalizarla en el lenguaje proposicional es:
: Voy a clase
: Entiendo la lección
: Estudio
: Apruebo
: Voy al cine
La simbolización completa es:
(
)
((
)
)
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Ejemplo 3:
Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y si
pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y si me quedo sin dinero y
pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y solo si soy desorganizado”
Podemos hacer:
: Pago la luz.
: Me cortarán la corriente eléctrica.
: Me quedaré sin dinero.
: Pediré prestado.
: Pagar la deuda.
: Soy desorganizado.
Con estas asignaciones, tenemos:
(
)
[
(
)
[(
)
3. Inferencia lógica
Como se menciona en Suppes y Hill (1992), ya hemos aprendido a dividir las proposiciones
en sus partes lógicas y de este modo se ha llegado a conocer algo de la forma de las
proposiciones. La idea de forma se puede ilustrar por ejemplo con
es la misma, en
cuanto a la lógica se refiere, cualesquiera sean las proposiciones en castellano que
sustituyan a la y a la . Los términos de enlace determinan la forma de la proposición.
Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos de simbolización a
nuestro alcance, podemos dirigirnos ya hacia una parte importante de la Lógica formal:
inferencia y deducción.
Las reglas de inferencias que rigen el uso de los términos de enlace son muy simples. Se
pueden aprender estas reglas y su uso como las reglas de un juego, donde se utilizan las
proposiciones o fórmulas lógicas, nombre que se dará a las proposiciones simbolizadas. Se
empieza con conjuntos de fórmulas que se denominan premisas.
El objeto del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras
fórmulas que se denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la conclusión es
una deducción. La conclusión que se obtiene se dice que es una consecuencia lógica de las
premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusión está permitido por una regla.
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La idea de inferencia se puede expresar de la manera siguiente: de premisas verdaderas se
obtienen sólo conclusiones que son verdaderas. Es decir, si las premisas son verdaderas,
entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente, han de ser verdaderas.
3.1.
Reglas de inferencia
Modus Ponendo Ponens (PP): Es la regla que permite demostrar
y
a partir de las premisas
Ejemplos:
a) Dadas las siguientes premisas:
Premisa 1: Si él está en el partido de fútbol, entonces él está en el estadio.
Premisa 2: Él está en el partido de fútbol.
En símbolos sería:
Premisa 1:
Premisa 2:
y por la regla del Modus Ponendo Ponens se concluye , es decir, “Él está en es estadio”.
b) Utilizando el Modus Ponendo Ponens sacar una conclusión de cada uno de los
conjuntos de premisas siguientes. Escribir la abreviatura de la regla utilizada.
(1)
(2)
(3)
c) Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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d) Simbolizar cada una de las proposiciones de los conjuntos siguientes y demostrar que
la conclusión (la proposición que empieza por “Por tanto...”) es consecuencias lógica.
a. Si 2 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 1.
Si 3 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 0.
2 es mayor que 1.
Por tanto, 3 es mayor que 0.
Al simbolizar tenemos:
Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
b.
Si
entonces
Si
entonces
Por tanto,
.
Observación: Cuando se usan símbolos matemáticos no es necesario utilizar letras
mayúsculas para simbolizar la proposición atómica, pues se utilizarán los símbolos
matemáticos como lógicos.
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Entonces, las premisas se pueden escribir:
Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
En cada uno de los ejemplos, la regla Modus Ponendo Ponens permite pasar de dos
premisas a la conclusión. Decir que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas, es
decir, que siempre que las premisas son ciertas, la conclusión es también cierta.
Recordemos que la regla se aplica a la forma de las proposiciones, o sea, que siempre que se
dé una proposición condicional y se dé precisamente el antecedente de aquella condicional,
se sigue precisamente el consecuente.
La misma regla se aplica tanto si el antecedente es una proposición atómica como si es una
proposición molecular.
Doble Negación (DN): La regla de doble negación es una regla simple que permite pasar de
una premisa única a la conclusión. Un ejemplo simple es el de una negación de negación,
que brevemente se denomina “doble negación”.
Ejemplos:
a) No ocurre que Ana no es un estudiante.
Se concluye, Ana es un estudiante.
Premisa 1:
Conclusión:
b) Juan toma el autobús para ir a la escuela.
Se concluye, No ocurre que Juan no toma el autobús para ir a la escuela.
Premisa 1:
Conclusión:
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Así la regla de doble negación tiene dos formas simbólicas.
c) Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Observación: Uso inadecuado de la doble negación
Es frecuente en la vida diaria utilizar la negación dos o más veces, hecho que genera,
en algunos casos confusiones. En efecto, se presentan ambigüedades, cuando se
pronuncian frases como estas:
No digas nunca lo que pasó
Yo no miento nunca
No estoy ni dentro
Así por ejemplo, en la frase yo no miento nunca, se está utilizando dos veces la
negación: cuando se dice “no” y cuando se dice un “nunca”. En Matemática, cuando
se usa dos veces la negación, estas funcionan como los signos negativos, es decir, se
eliminan mutuamente. En la frase “no es cierto que no fui al cine”, lo que está
diciendo es que si fui al cine
Cabe advertir, que se debe tener mucho cuidado cuando se utilizan expresiones como doble
negación.
Modus Tollendo Tollens (TT):
La regla de inferencia que tiene el nombre latino modus Tollendo Tollens se aplica también
a las proposiciones condicionales. Pero en este caso, negando (tollendo) en consecuente, se
puede negar (Tollens) el antecedente de la condicional. La deducción siguiente es un
ejemplo del uso del modus Tollendo Tollens:
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Premisa 1. Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella.
Premisa 2. El astro no es una estrella.
Conclusión. Por tanto, no tiene luz propia.
Se simbolizará en ejemplo de la manera siguiente:
Sean:
Tiene luz propia.
: El astro es una estrella.
Premisa 1.
Premisa 2.
Conclusión.
La regla se aplica a todo conjunto de premisas de esta forma. El antecedente o el
consecuente pueden ser proposiciones moleculares o proposiciones atómicas.
Ejemplos:
a. Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Observación: El uso de la doble negación es aquí importante. Se necesita la negación
del consecuente en la primera premisa para poder aplicar la regla TT. El consecuente
es 𝐵. La negación de esta proposición molecular se consigue anteponiendo el
símbolo que corresponde al “no”; y así,
𝐵 niega a 𝐵 . No se tiene
𝐵 entre
las premisas pero se puede deducir de la segunda premisa B. Obsérvese que esto se
ha realizado en la linea (3).
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b. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas. Indicar la
demostración completa.
Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
c. Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Obsérvese que se tiene la línea (5) de las líneas (1) y (4) puesto que “
de “
”.
” es la negación
Adjunción (A): La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina
regla de adjunción.
Ejemplo: Dadas dos proposiciones como premisas
Premisa 1. Jorge es adulto.
Premisa 2. María es adolescente.
Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces se podrían juntar en una proposición
molecular utilizando el término de enlace “y” y se tendría una proposición verdadera que se
leería:
Jorge es adulto y María es adolescente.
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De manera simbólica se puede ilustrar la regla así:
Premisa 1.
Premisa 2.
Se puede concluir
ó
Simplificación (S): La regla que permite pasar de una conjunción a cada una de las dos
proposiciones que están unidas por se denomina regla de la simplificación. Por ejemplo,
se tiene una premisa que dice:
El cumpleaños de María es el viernes y el mío es el sábado.
De esta premisa se pueden deducir dos proposiciones.
Una conclusión es
El cumpleaños de María es el viernes.
La otra conclusión es:
El mío es el sábado.
En forma simbólica la regla de simplificación es:
De la premisa
Se puede concluir
ó
Ejemplo: Probar que las conclusiones siguientes son consecuencia lógica de las premisas
dadas. Dar la demostración completa.
a) Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
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b) Demostrar:
(1)
(2) (
)
(3)
(4)
(5)
(6)
Modus Tollendo Ponens (TP): La regla modus tollendo ponens cuyo nombre latino dice que
negando (tollendo) un miembro de una disjunción se afirma (ponens) el otro miembro.
Simbólicamente, el modus tollendo ponens se puede expresar:
De la premisa
y la premisa
se puede concluir
ó
De la premisa
y la premisa
se puede concluir
Ejemplos:
a) Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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b) Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
c) Primero simbolizar las premisas y conclusiones, luego demostrar que la conclusión es
consecuencia lógica de las premisas.
Si
entonces
.
Si
entonces
.
O
o
Si
entonces
.
.
.
Por tanto,
.
Al simbolizar, recuerda que cuando se trata de símbolos matemáticos no es
necesario utilizar letras mayúsculas, basta con simbolizar sólo los términos de
enlace.
Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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(7)
(8)
(9)
3.2. Deducción proposicional
La deducción proposicional se empieza con un conjunto de premisas y el objeto es pasar de
estas premisas a una conclusión particular. Cada movimiento que se hace, cada línea que se
escribe debajo, ha de ser permitido por una regla de inferencia definida.
Las premisas están justificadas por la regla de las premisas (P) que es: Una premisa puede
ser introducida en cualquier punto de una deducción.
Ejemplos:
a. Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del
aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano.
Por tanto, no necesita branquias.
La conclusión que se desea demostrar o deducir es “No necesita branquias” (recordar que la
conclusión corresponde a aquella proposición que se le antepone la palabra “Por tanto”)
En primer lugar, se debe simbolizar el razonamiento de manera que la deducción sea
perfectamente clara.
Sea:
: La ballena es un mamífero
: Toma oxígeno del aire
: Necesita branquias
: Vive en el océano
Entonces:
Premisa 1.
Premisa 2.
Premisa 3.
Conclusión.
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La deducción proposicional se puede escribir como sigue:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
b. Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Observación: Por conveniencia se introducen las notaciones y ≯ para “no es
menor que” y “no es mayor que” de manera que “ (𝑥 𝑦)” se puede escribir
“𝑥 𝑦” y “ (𝑥 𝑦)” se puede escribir “𝑥 ≯ 𝑦”.
Ley de la adición (LA): La ley de la adición expresa el hecho de que si se tiene una
proposición que es cierta, entonces la disyunción de aquella proposición y otra cualquiera ha
de ser también cierta. Si se da la proposición , entonces la proposición
es
consecuencia.
Con ejemplos en lenguaje ordinario se ve lo obvia que es esta regla. Si, como premisa cierta
se ha dado:
Este libro es azul.
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Entonces se sabe que la proposición siguiente ha de ser cierta.
O este libro es azul o es rojo
Se puede también concluir:
O este libro es azul o es viejo
O este libro es azul o es nuevo.
Y así sucesivamente. En todos estos ejemplos una parte es cierta y esto es todo lo que se
necesita para que una disyunción sea cierta.
En forma simbólica, si se tiene la proposición , se puede concluir
así sucesivamente.
,ó
,ó
Ejemplo: Dar una demostración formal de los siguientes razonamientos.
a. Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
b. Demostrar:
(1)
(2)
(3)
≯
(4)
≯
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,y
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(5)
(6)
Ley del Silogismo Hipotético (HS): Primero examinaremos un ejemplo de la ley del silogismo
hipotético, de las premisas:
(1) Si hace calor, entonces Juana va a nadar.
(2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa después de comer.
Se puede concluir:
(3) Si hace calor, entonces arregla la casa después de comer.
Para simbolizar el razonamiento, sea
: Hace calor.
: Juana va a nadar.
: Arregla la casa después de comer.
Entonces:
(1)
(2)
(3)
La conclusión es una proposición condicional.
En forma simbólica, la ley del silogismo hipotético es:
de
y
se puede concluir
Ejemplo: Dar demostraciones formales de los siguientes razonamientos.
Demostrar:
(1)
(2) (
)
((
)
)
(
)
(3)
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(4)
(5)
(6)
(7)
)
(8) ((
(9) (
)
)
(10)
(11)
Ley del Silogismo disyuntivo (DS): La ley del silogismo disyuntivo empieza con una
disyunción y dos condicionales. En símbolos, la ley de silogismo disyuntivo se puede expresar
De
y
y
Se puede deducir
o se puede deducir
Puede ser conveniente considerar que para aplicar la regla DS, se han de dar los tres pasos
siguientes: Primero, se hace una inspección general para comprobar que se tienen las dos
condicionales y la disyunción requeridas. Segundo, se comprueba cuidadosamente que los
dos antecedentes de las dos condicionales son precisamente los dos miembros de la
disyunción. Tercero, se forma como conclusión una disyunción cuyos miembros son
precisamente los dos consecuentes de las dos condicionales.
Ejemplo: Dar una deducción completamente formal de las siguientes conclusiones a partir
de las premisas dadas:
a) Demostrar:
(
)
(1)
(2)
(3)
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(4)
(5)
(6)
(7)
(
)
b) Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Ley de simplificación disyuntiva (DP): Si alguien dice “El equipo de los Gigantes ganará o el
equipo de los Gigantes ganará”, se puede concluir que opina simplemente que “El equipo de
los Gigantes ganará”. En forma simbólica el razonamiento es:
por tanto
Una aplicación importante de la ley de simplificación disyuntiva se presenta cuando un
silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma especial,
Por tanto,
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En este caso particular se puede simplificar la conclusión
reduciéndola a .
Ejemplos: Dar una demostración formal de las conclusiones a partir de los conjuntos de
premisas dados.
a. Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
b. Demostrar:
(1)
(
)
(2)
(
)
(3)
(
)
(
)
(4)
(5)
(6)
(7)
Leyes conmutativas (CL): Estas reglas, probablemente, parecerán muy triviales; sin embargo,
se han de enunciar, pues no se puede dar ningún paso como conocido, si no se tiene una
regla explícita que lo permita.
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En forma simbólica:
De
se deduce
Es muy obvia, pues se sabe que el orden de las proposiciones atómicas en una conjunción no
afecta al significado de la proposición molecular. Sin duda, todo el mundo afirmaría que
siempre que
es cierta,
es también cierta.
Lo mismo se cumple en la disyunción, simbólicamente sería:
De
se deduce
Leyes de Morgan (LM): Lo que se hace al aplicar las Leyes de Morgan, como una regla de
operación, es verificar los siguientes pasos:
1. Cambiar en ó en ;
2. Negar cada miembro de la disjunción o conjunción;
3. Negar la fórmula completa
Ejemplos:
a. Aplicar las leyes de Morgan a las siguientes proposiciones para deducir conclusiones.
(
)
i.
Para aplicar las leyes de Morgan, verificamos los pasos y obtenemos lo que sigue:
ii.
(
)
(
)
iii.
b. Indicar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos
simbolizados siguientes.
Demostrar:
(1) (
)
(2)
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(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
c. Dar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos
siguientes.
Demostrar:
(1) (
)
(2)
(3)
(4)
≯
(5) (
)
≯
(6)
(7)
≯
(8)
≯
(9)
(10)
Ley de las Proposiciones Bicondicionales (LB): La proposición bicondicional
tiene la
misma fuerza que dos proposiciones condicionales; primera
y segunda,
. Así se
tiene una regla que nos permite deducir ambas
y
de
. En símbolos,
permite los siguientes razonamientos:
a.
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b.
c.
(
)
(
)
d.
Ejemplos:
Simbolizar completamente las premisas y conclusión del siguiente razonamiento y dar una
deducción formal.
El Sol sale y se pone si y sólo si la Tierra gira. La Tierra gira y la Luna se mueve alrededor
de la Tierra. Por tanto, el Sol sale y se pone o el clima es muy caliente y frío.
Al simbolizar:
Premisa 1.
Premisa 2.
Conclusión.
La deducción formal sería:
Demostrar:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
b) Demostrar: (
)
(1)
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(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) (
)
4. Tabla de certeza
Un método conveniente para analizar los valores de certeza de proposiciones, es el de poner
todas las posibilidades de certeza o falsedad en forma de una tabla.
En efecto, todas las reglas de certeza funcional que se utilizan para proposiciones
moleculares pueden resumirse en forma de tabla.
Estas tablas básicas de certeza indican rápidamente si una proposición molecular es cierta o
falsa si se conoce la certeza de las proposiciones que la forman.
4.1.
Valor de certeza de una proposición molecular
Se empezará con la idea de que cada proposición ha de tener un valor de certeza; cada
proposición ha de ser cierta o falsa. El valor de certeza de una proposición cierta es cierto, y
el valor de certeza de una proposición falsa es falso. Cada proposición atómica o molecular
tiene uno de estos dos valores de certeza posibles.
Si se conocen los valores de certeza de las proposiciones atómicas dentro de las
proposiciones moleculares, entonces es posible dar los valores de certeza de las
proposiciones moleculares. En consecuencia, la certeza o falsedad de las proposiciones
moleculares, depende completamente de la certeza o falsedad de las proposiciones
atómicas que la componen, además de los términos de enlace que las ligan.
Se dan a continuación las tablas básicas de certeza para los cinco términos de enlaces de
proposiciones. Si se conocen los valores de la proposición P y de una proposición Q, se busca
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la línea que presenta esta combinación particular de valores de certeza y en la misma línea
en la columna de la proposición molecular se encontrará su valor de certeza.
Conjunción
Negación
𝑃
C
F
𝑃
F
C
𝑃
C
C
F
F
Disyunción
C
C
F
F
C
F
C
F
𝑃
𝑄
C
F
F
F
C
C
C
F
Condicional
𝑃
C
C
F
F
𝑄
C
F
C
F
Equivalencia
𝑄
C
F
C
F
𝑃
𝑄
𝑃
C
C
F
F
C
F
C
C
𝑄
C
F
C
F
𝑃
𝑄
C
F
F
C
Ejemplo 1:
Determinar el valor de certeza de (
)
[(
)
(
)
Su tabla de certeza es:
(
)
(
)
(
)
(
)
[(
C
C
C
F
F
F
F
C
C
F
F
C
F
C
C
C
)
(
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)
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F
C
F
C
C
F
C
C
F
F
F
C
C
C
C
C
Determina el valor de veritativo de [
(
Ejemplo 2:
)
Su tabla de certeza es:
(
)
[
(
)
C
C
C
C
C
C
C
C
F
C
C
F
C
F
C
C
C
C
C
F
F
F
F
C
F
C
C
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
F
C
C
F
C
F
F
F
F
F
C
En el ejemplo 1, dado que consideramos dos proposiciones atómicas, y puesto que para
cada una de ellas hay dos posibles valores de certeza, el número de líneas en la tabla de
certeza es de
. Si hay tres proposiciones atómicas, como en el ejemplo 2,
entonces hay dos veces más, o sea,
combinaciones posibles de certeza o
falsedad.
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Como para cada proposición atómica tenemos dos posibles valores de certeza, la regla
general es que si hay n proposiciones atómicas, entonces hay
combinaciones (líneas)
posibles de certeza en la tabla.
4.2. Tautología, contingencia y contradicción. Implicaciones asociadas.
Una proposición molecular es una Tautología si es cierta, cualesquiera que sean valores de
certeza de las proposiciones atómicas que la componen. En una tautología se pueden
sustituir sus proposiciones atómicas por otras proposiciones atómicas cualesquiera, ciertas o
falsas, y la proposición es también cierta. Por ejemplo, para cualquier proposición atómica
es una tautología. Si es cierta, entonces
es también cierta.
es cierta. Además, si es falsa, entonces
Se puede presentar esto mediante una tabla de certeza.
C
F
C
F
C
C
En una tabla de certeza, si una proposición es una tautología, entonces cada línea ha de
tener una
en la columna encabezada por ella, lo que indica que la proposición es
siempre cierta independientemente de las combinaciones de los valores de certeza de sus
proposiciones atómicas.
Una definición formal de una Tautología es:
Según Fumero (2007), una proposición compuesta es una Tautología o que es lógicamente
verdadera (cierta), si y sólo si, dicha proposición toma valores de verdad cierto ( )
cualesquiera que sean las proposiciones atómicas que la formen.
Por tanto es inmediato que la tabla de verdad de una TAUTOLOGÍA contendrá solo
la última columna.
en
El método de la tabla de certeza para determinar si una fórmula es una tautología utiliza esta
definición. Independientemente de cuales sean las proposiciones atómicas que se sustituyan
en una tautología, la proposición resultante será siempre cierta. Así se encuentra la
de
certeza de cada línea de la columna final de la tabla, como en el ejemplo siguiente:
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(
)
(
)
C
C
C
F
C
C
F
F
C
C
F
C
F
C
C
F
F
F
C
C
Ejemplo: Si P, Q y R son proposiciones atómicas distintas. Decidir mediante tablas de certeza
cuáles de las proposiciones siguientes tautologías.
(
)
(
)
(
)
C
C
C
C
C
C
C
C
F
C
C
C
C
F
C
C
C
C
C
F
F
C
C
C
F
C
C
C
C
C
F
C
F
C
C
C
F
F
C
F
C
C
F
F
F
F
F
C
Luego,
(
)
es una tautología.
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Contingencia: Es una proposición compuesta que contiene tanto valores verdaderos como
falsos en el resultado final. Implica que no hay certeza de que el razonamiento sea válido.
Ejemplo: Si
y son proposiciones atómicas distintas. Decidir mediante tablas de certeza
si es una contingencia.
(
)
(
)
(
)
(
C
C
C
C
C
C
C
C
F
C
F
F
C
F
C
F
C
C
C
F
F
F
F
C
F
C
C
F
F
C
F
C
F
F
F
C
F
F
C
F
F
C
F
F
F
F
F
C
)
Contradicción: Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos. Implica que el
razonamiento no es válido.
Ejemplo: Las proposiciones de la forma
cuyos valores de certeza son opuestos.
Asistió a las clases de lógica pero no asistió a las clases de lógicas.
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4.3. Conclusiones no válidas.
Para mostrar que una inferencia es no válida se puede dar una interpretación por medio de
valores de certeza y no considerar proposiciones particulares. Tiene dos etapas la
comprobación de que una conclusión es no válida o de que un razonamiento es erróneo.
(1) Simbolizar las premisas y conclusiones.
(2) Hallar una asignación de valores de certeza para las proposiciones atómicas tales que
todas las premisas sean ciertas y la conclusión sea falsa.
Ejemplo:
Dado el siguiente razonamiento:
Si hoy es sábado, entonces mañana es domingo.
Hoy no es sábado.
Por tanto, mañana no es domingo.
La conclusión, es de hecho cierta cuando la segunda premisa es cierta. Pero, sin embargo, la
inferencia en sí no es válida. Recordemos que una inferencia válida es tal que la forma de la
inferencia permite sólo deducir conclusiones ciertas si las premisas son ciertas. El hecho de
ser cierta la conclusión en el ejemplo anterior no prueba la validez de la inferencia. La forma
del razonamiento es:
Es posible encontrar asignaciones de certeza tales que las premisas sean ciertas, pero la
conclusión sea falsa.
Por ejemplo:
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4.4. Implicación tautológica y equivalencia tautológica. Condicional
asociado a una regla de inferencia.
La implicación es probablemente el concepto de lógica más utilizado por el ser humano, se
usa en cualquier desarrollo matemático para indicar que un paso se obtiene de otro de
manera correcta. Se utiliza para enunciar teoremas y propiedades, casi todas las
propiedades se pueden enunciar utilizando la implicación.
Implicación tautológica y equivalencia tautológica.
Suppes y Hill (1992), una proposición P se dice que implica tautológicamente una
proposición
si y sólo si la condicional
es una tautología. Así, una implicación
tautológica es una tautología cuya forma es la de una proposicional condicional.
La implicación
tautología.
Con símbolos:
de dos fórmulas lógicas es la condicional cuando dicha condicional es una
significa que
es una tautología.
O sea que para poder utilizar la implicación,
expresión
es verdadera siempre.
debemos estar seguros de que la
Este tipo de verdades que no dependen de los hechos han sido consideradas de diversas
maneras en la historia de la filosofía: verdad necesaria, verdad analítica, verdad de razón.
Ejemplo:
Claramente es una implicación, pues no se puede presentar el caso de que
sea
verdadero y
falso, entonces para cualquier valor de , la expresión es verdadera y
por lo tanto una tautología.
Una proposición
condicional
La proposición
se dice que implica tautológicamente una proposición
es una tautología.
si y sólo si la
es una implicación tautológica.
Para construir la condicional asociado a una regla de inferencia se ligan simplemente con
todas las premisas para formar la conjunción de premisas que es el antecedente, y después
se pone la conclusión del razonamiento como consecuente.
Veamos el siguiente ejemplo:
Demostrar:
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(1)
(2)
(3)
(
)
La condicional correspondiente sería:
(
(
))
5. Demostración condicional (CP)
Demostración Condicional (CP): Si es posible deducir una proposición de otra
y un
conjunto de premisas, entonces se puede deducir sólo del conjunto de premisas la
proposición condicional
.
Ejemplo:
Si José gana, entonces Luis es segundo.
Si Carlos es segundo, entonces Luis no es segundo.
Por tanto, si Carlos es segundo, entonces José no gana.
Simbolicemos este razonamiento para decidir si somos o no capaces de demostrar su
validez:
Premisa 1.
Premisa 2.
Conclusión.
Las reglas que se conocen no son suficientes para deducir la conclusión es este
razonamiento, pero existe una regla que nos permite introducir una nueva proposición al
razonamiento, esta regla es la regla de las Premisas (regla ). Para indicar el conjunto
completo de premisas sobre las que se basa una conclusión se utilizará el método siguiente.
Cada vez que se introduce una premisa nueva en una deducción se moverá inmediatamente
toda la demostración unos pocos espacios hacia la derecha.
Sería de esta manera:
Demostrar:
(1)
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(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
6. Demostración Indirecta (RAA)
La abreviatura (RAA) proviene de “Reducción al Absurdo”
Haciendo uso de la regla de la demostración condicional y de la noción de contradicción se
puede introducir un nuevo método de demostración, la demostración indirecta. Esta
demostración se puede denominar también Demostración por contradicción o por
Reducción al absurdo.
La regla de demostración indirecta se expresa: Si se puede deducir una contradicción de un
conjunto de premisas y de la negación de , entonces puede deducirse del conjunto de
premisas solo.
Los pasos utilizados en una demostración indirecta son:
(1) Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa.
(2) De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas, deducir una contradicción.
(3) Establecer la conclusión deseada como una inferencia lógica deducida de las
premisas originales.
El ejemplo que sigue ilustra esta regla. Supóngase que se quiere demostrar
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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(7)
(8)
(9)
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Bibliografía
ESPINOSA, Dr. JOSÉ MANUEL: «MATEMÁTICAS BÁSICAS – LÓGICA MATEMÁTICA»,2006.
Fumero, José Manuel: GUIA No 2. Lógica de Proposiciones. Disponible en:
http://jmdiazfumero.hostoi.com/data/materias/logica/Guia2RLEV2.doc., 2007.
Suppes, Patrick y Hill, Shirley: Introducción a la lógica matemática. Editorial Reverté S. A.
278 p, Es: Barcelona, 1992.
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