L T21A CONALEP RSAE

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Misael Garrido M
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Dirección editorial
Grupo Editorial Mx
Editor en jefe
Misael Garrido Méndez
Olivia Vega Ponce de León
1ª edición enero de 2019
D.R. © Grupo Editorial Mx.
Editor
ISBN: 978-607-8613-35-9
Revisión técnica
Organización didáctica por
unidades con proyectos formativos.
Dora Leticia González Parra
José Nicolás González Jiménez
Corrección de estilo
Georgina Margarita Arteaga Flores
María Julia Isabel Magaña Hernández
Coordinación de diseño
Karem Anabelli Zavala Acevedo
Diseño editorial
Flor Alejandra Carmona Vera
Verónica Rodrígez Zárate
Diseño de portada
Flor Alejandra Carmona Vera
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Dirección de producción
Pr
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Francisco J. Martínez García
Miembro de la Cámara
Nacional de la Industria
Editorial Mexicana.
Registro número 3790.
Durante el proceso de impresión hemos
contactado los sitios de internet referidos, para notificarles que utilizaremos
la información sin fines de lucro.
Derechos Reservados
No está permitida la reproducción total
o parcial de este libro ni su tratamiento
informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea
electrónico, mecánico, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier
sistema de recuperación de información
o grabado sin el permiso previo y por
escrito de los titulares del copyright.
La marca, Grupo Editorial Mx, es
propiedad de TRACK, S. A. de C. V.
Prohibida su reproducción total
o parcial.
Impreso en México / Printed in Mexico
www.grupoeditorialmx.com
Presentación
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Este libro tiene como propósito que desarrolles aprendizajes al relacionar
el conocimiento que adquirirás en este módulo con tus experiencias de la
vida cotidiana.
Proyecto formativo
Integra conocimientos, habilidades y actitudes para evidenciar el logro de las
competencias genéricas y disciplinares. Incluye instrumento de evaluación.
Descarga
Explora tu mundo
Actividad para despertar la curiosidad por los nuevos conocimientos.
Mx Digital App
en tu dispositivo
electrónico siguiendo
5 sencillos pasos:
Evaluación diagnóstica
Permite identificar los conocimientos previos para tomarlos como punto de
partida en el proceso de aprendizaje.
Actividades que desarrollarán competencias genéricas (CG)
y competencias disciplinares básicas (CDB) a través de la
movilización o transferencia de saberes.
Actividad transversal
Evidencian las relaciones entre las áreas del conocimiento a través de los
ámbitos transversales del Perfil de egreso.
Fomento a la lectura
Lecturas con ejercicios de prelectura y poslectura para alcanzar el nivel medio
de lectocomprensión.
Actividades enfocadas al Desarrollo de Habilidades Socioemocionales
2
3
•
Presiona el botón Catálogo;
se desplegará un menú con los
subsistemas, presiona el que
necesitas. Se abrirá una galería
con las portadas de todos
nuestros títulos.
•
Elige la portada de tu libro y
presiónala; inmediatamente se
habilitará un recuadro en el
que debes escribir los últimos
seis dígitos del número de
ISBN de tu libro, éste se
encuentra en el código de
barras de la contraportada.
El contenido digital de tu libro se
descargará automáticamente.
(DHS) de acuerdo con el programa ConstrúyeT.
Desarrollo de Habilidades Socioemocionales
Sección de orientación vocacional para acompañar el diseño de un plan de
carrera. A través de casos se muestran las profesiones que aprovechan
los conocimientos abordados en los contenidos.
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te
Evaluación formativa
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Actividades para la evaluación de los aprendizajes esperados. Incluye
instrumento de evaluación.
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Or
1
Conéctate a una red de Wi-fi
para ingresar a: Google Play
o Apple Store
• En el buscador de Google Play
o Apple Store escribe:
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• Toca el botón Instalar.
•
Evaluación sumativa
Reactivos para la evaluación de los conocimientos adquiridos.
•
Vinculación de competencias y resultados de aprendizaje
Autoevaluación de las competencias genéricas y disciplinares desarrolladas
a través de los resultados de aprendizaje.
Prueba tipo PLANEA
Reactivos similares a la prueba PLANEA.
Tabla de ponderación
Registro general de los avances en los resultados de aprendizaje de todo
el módulo.
5
•
En la pantalla del menú Mis
libros verás la portada de todos
los libros de Grupo Editorial Mx
que hayas descargado. Da clic
en la portada de tu libro y
conoce los recursos con los
que cuenta.
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Contenido
1
8
Elementos, características
y notación de los ángulos
Ángulos
Medición
Clasificación
Diferentes sistemas de mediciones
de los ángulos y sus equivalencias
Punto y línea
Recta secante a una curva
Ángulos entre paralelas y una secante
Ángulos entre paralelas y una secante
Perpendicularidad y paralelismo
Identificación de las propiedades
de los triángulos
Clasificación Relación entre sus lados y ángulos
Congruencia y semejanza
Dibujo a escala
Identificación de las propiedades
de los polígonos regulares
Lados y vértices
Ángulos interiores y exteriores
Diagonales
Circunferencia inscrita, circunscrita
y apotema
Identificación de los elementos
y propiedades básicas de los
ángulos en la circunferencia
Ángulos notables en una circunferencia
Patrones y fórmulas
Diámetro, radio, arco, cuerda,
tangente y secante
44
Pr
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Unidad 1 Interpretación de los origenes 10
10
11
12
13
16
18
19
20
21
22
22
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25
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34
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38
40
40
42
43
Sector
Cálculo de las magnitudes
de los triángulos
Dada la altura
Identificados los lados
Patrones y fórmulas de
las magnitudes de
figuras geométricas
Perímetro y área de cuadriláteros y
de polígonos de más de cuatro lados
Magnitudes del círculo
Relación de los polígonos
regulares con el círculo
Aplicación de cálculos en las figuras
geométricas irregulares
Estimación de volúmenes
Formas para medir volúmenes
Comparación de volumen
de distintos cuerpos sólidos
Criterios de congruencia
entre triángulos y polígonos
Aplicación de los diferentes tipos
de configuraciones figurales
Manejo con polígonos Propiedades y estructura Relaciones trigonométricas
Razones trigonométricas Funciones en el triángulo rectángulo Funciones en el plano cartesiano Resolución de triángulos rectángulos Teorema de Tales
46
46
48
51
51
55
55
57
58
58
61
63
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Unidad 2 Aplicación de las propiedades y funciones de los triángulos 94
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Identificación de razones
y funciones trigonométricas
Definición de funciones trigonométricas
Definición y fórmulas de
las funciones trigonométricas
Definición en la circunferencia unitaria
Ángulo notable de 30°
Ángulo notable de 45°
Ángulo notable de 60°
Resolución del triángulo rectángulo
Mediante razones trigonométricas
Mediante uso de logaritmos
Solución de triángulos oblicuángulos
Ley de senos
Ley de cosenos
Mediante uso de logaritmos
Dibujo a escala
Definición de las identidades
trigonométricas fundamentales
98
99
103
109
110
112
115
117
117
120
125
125
130
134
135
Deducción y demostración a partir
de las razones fundamentales
Deducción y demostración a partir
de las razones fundamentales. Deducción de las identidades
de argumento compuesto
Identidades trigonométricas
de suma de ángulos Doble
Identidades trigonométricas
de mitad de ángulo Descripción de funciones angulares
Funciones en el círculo trigonométrico
Ubicación en el espacio:
topografía y medición
Aplicaciones en geolocalización
Coordenadas polares
138
140
143
143
145
147
149
149
153
155
155
138
Bibliografía
168
Unidad
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1
Interpretación
de los orígenes
Resultados de aprendizaje
1. Demostrar las propiedades de
ángulos y figuras geométricas a
través de sus distintas aplicaciones
en la vida cotidiana.
2. Calcular las dimensiones de figuras
geométricas a través de fórmulas
y teoremas establecidos.
3. Representar las estructuras de los
fenómenos de la vida cotidiana con
base en las propiedades geométricas.
¿Por qué es importante?
Pr
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El objetivo es otorgar a los jóvenes estudiantes del Sistema CONALEP, un conjunto
de herramientas que les ayuden a enfrentar
las situaciones de una sociedad compleja y
cambiante; por medio del incremento de las
capacidades de pensamiento crítico, análisis,
razonamiento lógico y argumentación. Este
curso abona al fortalecimiento del aprendizaje
de las Matemáticas y el pensamiento lógico,
enfatizando las habilidades socioemocionales,
para dar lugar a que los estudiantes desarrollen habilidades por medio de la resolución
de problemas, más allá de la aplicación de
conceptos teóricos. Esto es de suma importancia, dados los retos que se deben enfrentar
actualmente en esta sociedad cambiante y
en rápido proceso evolutivo digital.
Palabras clave
• Ángulos, elementos básicos de geometría, punto, línea, recta, paralela, perpendicular, congruencia y semejanza,
dibujo a escala, lados, vértices, diagonales, circunferencia, apotema, líneas
notables del círculo, triángulos, perímetro, área, volumen, polígonos, teorema de Tales.
6
Competencias genéricas (CG) a desarrollar
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e
interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
2.1. Valora el arte como manifestación de la belleza y
expresión de ideas, sensaciones y emociones.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
4.2. Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes
sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra
y los objetivos que persigue.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas
a partir de métodos establecidos.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,
comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye
al alcance de un objetivo.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
7.2. Identifica las actividades que le resultan de menor y
mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando
sus reacciones frente a retos y obstáculos.
Competencias disciplinares básicas del área de Matemáticas
(CDBM) a desarrollar
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante
la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con
métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,
mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
Tecnologías de la Información y la Comunicación.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades
físicas de los objetos que lo rodean.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos
con símbolos matemáticos y científicos.
Transversalidad de los aprendizajes
Interdisciplinariedad
Comunicación en los ámbitos escolar y profesional.
• Contrasta los argumentos de dos textos, a través de una reseña
crítica.
• Emplea herramientas para el análisis de textos que le permitan
extraer información y procesarla y los emplea en un tema de su
interés (notas, síntesis, resumen, paráfrasis, sinopsis).
Relación entre compuestos orgánicos y el entorno
• Reconoce la importancia de los modelos en la ciencia.
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Un ejemplo de transversalidad entre diferentes módulos de un mismo semestre, se presenta con Interpretación de fenómenos físicos de la materia,
que se apoya de Análisis derivativo de funciones, donde se realiza la interpretación y representación de modelos numéricos de los fenómenos naturales, con ello se puede entender el comportamiento de la naturaleza y se
consideran las predicciones y deducciones en los casos que así se pueda.
Por otra parte, el idioma inglés, apoya la búsqueda de información, que
forma parte del método científico y permite fomentar la comunicación.
Emprendimiento e innovación.
• Desarrolla habilidades comunicativas efectivas en diferentes
ámbitos.
Colaboración y trabajo en equipo
Habilidades digitales
Lenguaje y comunicación
Aprendizaje esperado
Comunicación en los ámbitos
escolar y profesional
Relación entre compuestos
orgánicos y el entorno
Aprendizaje
esperado
Emprendimiento
e innovación
Aprendizaje esperado
Significa las fórmulas de perímetros, áreas
y volúmenes de figuras geométricas con
el uso de materiales concretos y digitales.
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Comunicación en los ámbitos
escolar y profesional
Aprendizaje
esperado
Relación entre compuestos
orgánicos y el entorno
Aprendizaje esperado
Comunicación en los ámbitos
escolar y profesional
Relación entre compuestos
orgánicos y el entorno
Mide, manual e instrumentalmente,
los objetos trigonométricos y da
tratamiento a las relaciones entre los
elementos de un triángulo.
Trabaja con diferentes sistemas
de medición de los ángulos, realiza
conversiones de medidas.
Interpreta las propiedades de las figuras
geométricas.
Aprendizaje
esperado
Significa los criterios de congruencia de
triángulos constructivamente mediante
distintos medios.
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Representación simbólica y angular del entorno
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Proyecto formativo
“Creación de empresa de maceteros decorativos”
En esta sección pondrás a prueba todas las competencias y aprendizajes que has logrado en
este bloque, a partir del desarrollo de la creatividad aplicada a un proyecto, el cual consta
de seis fases que se desarrollan a partir de este momento y concluyen al final del semestre
con la presentación del mismo. Verás que será divertido y generarás un producto innovador que aportará algo valioso a tu entorno. Toma en cuenta que en el salón de clases
sólo se presentarán los avances logrados. Para que entiendas la propuesta de tu proyecto
analiza el siguiente esquema:
Proyecto emprendedor: “ Creación de empresa de maceteros decorativos”
Emprendiendo mis metas personales
¿Qué hacer? Crear una empresa de maceteros decorativos para cubrir cualquier necesidad del cliente.
¿Con qué hacer? Con procesos de razonamiento, argumentación y argumentación de ideas.
¿Cómo hacer? Empleando el lenguaje matemático, habilidades y destrezas, así como contar con una
actitud y valores positivos.
¿Estado de mi proyecto? Organizar los procesos de ejecución del proyecto através de un cronograma
de actividades.
¿Evalúo mi talento? Reconocer los logros obtenidos en el desarrollo de las competencias académicas
y disciplinares en el aprendizaje de Matemáticas II
¿Evalúo mi proyecto? Identificar el impacto del cumplimiento del objetivo del proyecto, que se
observará con la puesta en práctica dentro de la comunidad escolar
¿Cuál es el propósito? Contribuir al desarrollo de la creatividad, pensamiento lógico y crítico para la
resolución de problemas reales con la aplicación de sus conocimientos.
Explora tu mundo
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I. De manera individual, utiliza la escala del mapa de 1 m: 1 000 km, para calcular el
perímetro y el área del triángulo de las Bermudas. El único dato que se tiene, es que
el lado que va de las Bermudas a Florida en el mapa es de 18.6 m.
Pr
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II. Explica verbalmente cómo hiciste cada cálculo. Puedes dibujar sobre el mapa o realizar cualquier actividad que te ayude a resolver este problema.
Florida
Bermudas
E
O
S
Puerto Rico
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N
50
100
200
Unidad
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Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
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Evaluación diagnóstica
Contesta los siguientes problemas en tu cuaderno. Al final, compara tus respuestas
con el grupo.
1. Tienes un terreno de forma hexagonal y quieres vender únicamente la tercera
parte de él, ¿cómo determinarías dicha área? Explica con tus propias palabras,
el procedimiento que seguirías.
2. Calcula el perímetro y área del rectángulo de medidas: ancho 13.5 × 1012 unidades y largo 9.5 × 1011 unidades.
3. Realiza la operación:
(2 × 103 )(3 × 104 )5
( 4 × 103 )5
=
4. Encuentra las dimensiones de un rectángulo, si el ancho es tres unidades menor
que el largo, con un área total de 120 m2.
5. El área de un terreno rectangular es de 247 m2 y su perímetro es de 64 m. ¿Cuáles
son sus dimensiones?
6. Calcula el perímetro y área del triángulo rectángulo ABC:
A
x+1
5cm
C
x
B
Pr
o
hi
7. Te están vendiendo un terreno, donde la suma de las medidas de sus ángulos
interiores es igual a la suma de las medidas de sus ángulos exteriores. ¿Qué tipo
de terreno es?
8. Supongamos que de una hectárea de terreno (ha = 10 000 m2) con dimensiones
de 50 m de largo por 200 m de ancho, te quieren vender una sección de 45.28 m
de largo por 36.67 m de ancho, ¿cuántos metros cuadrados te venden y cuántos
quedan?
9. En una parcela rectangular quieres sembrar zanahorias y lechugas, pero deseas
el doble de zanahorias que de lechugas. ¿Cuál es el área de zanahoria que debes
sembrar si el terreno mide 4 m × 6 m?
10. Necesitas cercar el jardín de tu casa y éste tiene forma de un pentágono. Escribe
una fórmula o expresión algebraica en la que expreses cómo calcularías los metros
de malla que requieres para cercarlo.
9
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Representación simbólica y angular del entorno
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Elementos, características
y notación de los ángulos
Los ángulos son una herramienta necesaria en diversas situaciones,
que van desde cálculos de corte científico para saber la dirección que
una nave debe tomar para cruzar la atmósfera terrestre, hasta la
forma en la que deben colocarse las butacas y la pantalla en una sala
de cine para que la visibilidad de los asistentes sea la adecuada, o el
ángulo que debe tomar una bola de billar para lograr un tiro efectivo.
l
fina
o
d
a
L
Lado inicial
B
Vértice
B
Ángulos
Un ángulo: es la unidad de medida que nos permite conocer
la amplitud de la abertura que se forma entre dos rectas que
se interceptan entre sí en un punto en común.
Ángulo
B
hi
Vértice
C
En la Figura 1.1 observamos dos segmentos de rectas, el BA (lado
inicial) y BC (lado final), los cuales se intersectan en el punto B.
De esta forma, se construye una figura en un plano que tiene dos
lados y un punto en el que se unen, al que se le conoce como vértice (punto B). La abertura interior entre los dos segmentos de las
rectas se le llama “ángulo”.
Reflexiona
¿Por qué son importantes los ángulos en tu entorno?
0A
Pr
o
Figura 1.1 Los elementos de un ángulo.
Figura 1.2 Transportador de ángulos: este instrumento se emplea para medir
y transportar ángulos. Es de material plástico transparente y su forma es
circular o de semicírculo. Viene graduado en la escala sexagesimal.
Las propiedades más importantes de un ángulo son la medida y
el sentido en el que se toma o se construye. En la siguiente sección
profundizaremos en ello.
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Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Medición
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La medida de un ángulo positivo o negativo, se puede realizar a través de un transportador
de ángulos (ver Figura 1.2), el cual se coloca en el vértice y se prolongan los lados del ángulo
hasta la escala sexagesimal, colocando el lado inicial en el valor de cero para después medir
en el sentido contario de las manecillas del reloj (ángulo positivo) hasta el valor que coincida con el lado final en la escala sexagesimal, como se muestra en la Figura 1.3. La medida
de un ángulo es la misma a lo largo de su apertura y se representa por el signo matemático
“∠” o “m∠=” (medida del ángulo).
Ángulo negativo es aquel que se mide en sentido de las manecillas del reloj, por lo que
todo ángulo positivo tiene un ángulo equivalente, negativo.
D
C
-333°
E
A
B
Figura 1.3 Los ángulos positivos se
miden en el sentido contrario de las
manecillas del reloj.
Figura 1.4 Los ángulos negativos se miden a favor de las
manecillas del reloj.
Un ángulo no mide distancias, sino amplitudes entre dos rectas.
Actividad 1
• CG 4.1 • CDBM 6 •
Pr
o
hi
Responde los siguientes ejercicios en tu cuaderno.
1. Consideras que el sentido de la flecha que aparece en la figura de un ángulo, influye
en la medición de ese ángulo o en su signo. Explica tu respuesta.
2. Dibuja los siguientes ángulos en tu libreta, indicando mediante una flecha el sentido
y la amplitud de la rotación. Anota los lados inicial y final.
a. 45°
c. 210°
e. -60°
g. -300°
b. 120°
d. 330°
f. -120°
h. -480°
3. Convierte los ángulos de sistema decimal a sexagesimal.
a. 35.483277°
b. 27.873823°
c. 125.268456°
4. Convierte los siguientes ángulos de notación sexagesimal a notación decimal.
a. 23°48’56’
b. 77°22’8’’
c. 210°45’45’’
5. ¿Cuánto vale el ángulo de rotación para cada uno de los siguientes giros?
a. Desde el oeste hasta el noroeste en el sentido del reloj.
b. Desde el oeste hasta el sur en el sentido contrario del reloj.
c. Desde el suroeste hasta el noroeste en cualquier sentido.
6. ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj en cada uno de los siguientes casos?
a. A las 3 en punto.
c. A las 5:30 horas.
b. A las 10 en punto.
d. A las 11:30 horas.
7. Traza los siguientes ángulos.
a. 30°
b. 45°
c. 60°
11
1
Representación simbólica y angular del entorno
Clasificación
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Los criterios de clasificación de los ángulos son los siguientes:
Por sus medidas
Agudos: son
aquellos que miden
más de cero grados
y menos de 90°, es
decir, si x es agudo,
entonces:
0° < α < 90°
Por la suma de sus lados
Complementarios:
Son dos ángulos
cuyas medidas
suman 90°, pueden
ser adyacentes o no.
A
Opuestos por
el vértice: se les
llama así cuando los
lados de uno son
semirrectas opuestas
a los lados del otro.
hi
Pr
o
α
α
Adyacentes: son
aquéllos que tienen
el vértice y un
lado en común.
Sus otros lados
son semirrectas
opuestas.
Llanos: son aquellos
cuya medida es igual
a 180°, es decir, si
α es llano entonces:
∠α = 180°.
12
β
α
Por la posición de sus lados
Obtusos: son
aquellos cuya medida
es mayor que 90° y
menor que 180°, es
decir, si α es obtuso,
entonces:
90° < α < 180 °
Perigonales: son
aquellos cuya medida
es igual a 360°,
es decir, si α es
perigonal, entonces
α = 360°.
β
Suplementarios:
Son dos ángulos
cuyas medidas
suman 180° pueden
ser adyacentes o no.
Rectos: son aquellos
cuya medida es igual
a 90°
Entrantes o
cóncavos: son
aquellos cuya medida
es mayor que 180° y
menor que 360°, es
decir, si α es entrante
o cóncavo, entonces
180° < α < 360°.
β + α = 90°
A
C
Formados por
paralelas cortadas
B
por una secante:
son los ocho ángulos
que se forman al
cortar dos rectas
paralelas con
una secante. Se
clasifican por parejas
de acuerdo a su
posición, se verán
más adelante en este
libro.
β
β
α
l1 Secante
l2
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Actividad 2
• CG 4.2 • CDBM 1 •
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Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza los procedimientos necesarios en tu cuaderno.
1. Traza con tu juego de geometría, un ejemplo de cada tipo de ángulo clasificado
según su medida. Intercambia tu cuaderno con un compañero y cada uno mida con
su transportador los ángulos que trazó su compañero.
2. Un par de ángulos son complementarios. Uno de ellos mide 72°, ¿cuánto mide el
otro? Trázalos en tu cuaderno.
3. Un par de ángulos son suplementarios. Si uno de ellos es un ángulo obtuso de 123°,
calcula cuánto mide el otro ángulo y trázalos en tu cuaderno.
4. Traza dos rectas formando una “equis”. Mide cada ángulo con tu transportador y
comprueba la relación entre cada par de ángulos puestos por el vértice.
5. El ∠B = 37° y es complementario del ∠A. Calcula cuánto mide el ∠A.
6. Si ∠A es suplementario del ∠B y el ∠A = 88°, ¿cuánto mide ∠B?
7. Si dos ángulos son complementarios, el ∠A = 6x y el ∠B = 9x, ¿Cuánto vale cada ángulo?
8. Los ángulos A y B son suplementarios. ∠A = 3x, el ∠B = 2x. ¿Cuánto vale cada ánglo?
9. Inventa otro problema parecido a los cuatro anteriores y pide a un compañero que
lo resuelva, resuelve tú el suyo.
10. Traza con tu juego de geometría cada uno de los ángulos mencionados y calculados
en los problemas del 5 al 8.
Diferentes sistemas de mediciones
de los ángulos y sus equivalencias
Hay cuatro diferentes sistemas para medir ángulos: grados sexagesimales, sistema horario,
grados centesimales y sistema absoluto o radial, que es el más utilizado en matemáticas.
Los símbolos que representan sus unidades son diferentes en cada uno y se relacionan entre
sí con las siguientes equivalencias.
Abertura
hi
1 vuelta o ángulo de giro
½ vuelta o ángulo llano
Sexagesimal
360°
180°
Horas
24 h
12 h
Centesimal
400
G
200
G
Radianes
2π rad.
π rad.
Pr
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Sistema sexagesimal de medición de ángulos
El sistema sexagesimal para medir ángulos es el más utilizado en la escuela, pues divide
una circunferencia completa en 360° y cada “un trescientos sesentavos” es 1° sexagesimal.
Su origen es caldeo, cuyo sistema de numeración es base 60; por ello está definido de esta
manera. El transportador de los juegos de geometría (Figura 1.2), está graduado en grados
sexagesimales y se utiliza como ya se describió anteriormente.
En este sistema, con base 60, los submúltiplos del ángulo son como sigue:
•• 1° = 60’ (un grado equivale a 60 minutos).
•• 1’ = 60’’ (un minuto equivale a 60 segundos).
•• 1° = 59’60” (un grado equivale a 59 minutos y 60 segundos).
•• Un grado: 1° = 1/360 de revolución.
•• Un minuto: 1’ = 1/60 de grado.
•• Un segundo: 1” = 1/60 de minuto.
13
1
Representación simbólica y angular del entorno
b
G id
ru a
po su
Ed re
ito pro
ria du
l M cc
x ión
Estos submúltiplos tienen equivalencias en notación decimal. Los siguientes ejemplos muestran cómo hacer conversiones entre ambos sistemas de numeración.
Ejemplo 1
Convertir el ángulo de 23°45’38” de notación sexagesimal, a notación decimal.
Procedimiento paso a paso:
1. Convertir los segundos a minutos, para ello dividimos 38 entre 60:
38/60 = 0.63 minutos, 0.63 es la parte decimal de 38” en minutos.
2. Sumamos la parte decimal de los segundos a los minutos: 45’ + 0.63’ = 45.63’
3. Convertimos los minutos en grados, para ello dividimos por 60, los minutos que
obtuvimos en notación decimal: 45.63/60 = 0.7605 grados.
4. Sumamos la parte decima a los grados del ángulo que teníamos en entero:
23° + 0.7605° = 23.7605°
5. Escribimos el resultado: 23°45’38” = 23.7605°
Para convertir de notación decimal a sexagesimal, hay que invertir este proceso.
Ejemplo 2
Convertir 55.345° a medida angular en sistema sexagesimal.
1. Separamos la parte decimal: 55.345 = 55° + 0.345°
2. Multiplicamos la parte decimal por 60: 0.345° × 60 = 20.7’ y obtenemos minutos, que
en este caso son 20 (la parte entera de este número).
3. Separamos la parte decimal de los minutos y la multiplicamos por 60: 0.7 × 60 = 42”
y obtenemos segundos.
4. Finalmente, escribimos la equivalencia: 55.345° = 55°20’4”
Sistema horario
Pr
o
hi
En este sistema de medición de ángulos, la unidad de medida es 1 hora. Como una vuelta com1
pleta es un día entero, equivale a 24 horas, por lo tanto, 1 h =
vuelta. Los submúltiplos
24
1
1
min
seg
son el minuto 1 =
h y el segundo 1 =
h , siendo similar en esto al sistema
60
3600
sexagesimal. Este sistema no es tan utilizado, pero hay que conocerlo como referencia.
Grados centesimales
Durante la Revolución francesa, surgió una manera de medir ángulos que facilitara los cálculos matemáticos, dado que estamos habituados a utilizar el sistema decimal de unidades.
En este sistema, una vuelta se “redondeó” en lugar de 360° (como en el sistema caldeo de nu1
meración), a 400° por asignación y así surgió por definición el grado centesimal: 1grad =
400
1
vuelta, con sus respectivos submúltiplos: minuto centesimal 1’ =
de grado y el segundo
100
1
centesimal: 1’’ =
de grado.
10000
14
1
Unidad
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
=r
ud
git
lon
El sistema absoluto o radial
Este es el sistema más utilizado en matemáticas, ya que es el más
exacto por estar acotado en el número irracional pi (π) y así es
más fácil de manipular algebraicamente. En este caso, la referencia
o unidad es el arco formado por el radio de una circunferencia (de
cualquier medida).
b
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radián
Equivalencia y conversiones del radián
con el sistema sexagesimal
La equivalencia entre los grados sexagesimales (muy utilizados en la
escuela) y los radianes (el sistema absoluto y más utilizado en matemáticas) es una proporción directa. Por lo tanto, se puede utilizar una
proporción para realizar conversiones entre ambas unidades de medida.
r
Figura 1.5. El ángulo, unidad o referencia
del sistema absoluto de medición de
ángulos, es el radián. Su símbolo de
unidad es el “rad.”, y equivale al ángulo
o abertura que se forma al trazar un
arco sobre la circunferencia, de medida
equivalente al radio del mismo círculo.
Ejemplo 1
Convertir 120° a radianes.
Solución:
120° ×
π
2π
=
rad. = 2.0944 rad.
180°
3
Ejemplo 2
Convertir 125°30’ a radianes.
Solución:
Primero se debe convertir 30’ a su equivalente en notación decimal, dividiendo los minutos
hi
entre 60. Luego, para transformar los grados a radianes, se multiplica la medida en radianes
180°
por
, como hicimos antes.
π
π
π
125° 30’ ×
= 125.5° ×
= 2.1904 rad.
180°
180°
Pr
o
Ejemplo 3
Convertir 2.45 rad., a su equivalencia en grados sexagesimales en notación decimal.
Solución:
2.45 rad. ×
180°
= 140.37°
π rad.
Ejemplo 4
Convertir 2π , a su equivalente en grados sexagesimales.
Solución:
3 rad
2π
180°
rad. ×
= 120°
3
π rad.
15
1
Representación simbólica y angular del entorno
Actividad 3
• CG 4.2 • CDBM 1 •
b
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Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza todos tus procedimientos en tu cuaderno.
1. Convierte en radianes los siguientes ángulos en grados sexagesimales:
a. 124°
b. 65°
c. 85°
d. 186°
e. 450°
2. Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos en radianes. Expresa tus
respuestas en notación decimal y con submúltiplos de minutos y segundos en los
casos que aplique.
4π
2π
3π
c.
d. 12
a. 3.56 rad.
b. 7.28 rad.
a.
7
5
3. Calcula el ángulo complementario de cada uno de los siguientes ángulos.
a. 47°
b. 35°12’
c. 68°17’15”
d. 0°45’
4. Calcula el ángulo suplementario de cada uno de los siguientes.
a. 75°10’
b. 104°26’
c. 135°33’12”
d. 95°52”
5. Resuelve las siguientes cuestiones.
a. Encuentra dos ángulos que sean complementarios, cuando el mayor es 40° más
grande que el menor.
b. Encuentra dos ángulos que sean suplementarios, cuando el mayor es el triple que
el menor.
c. Encuentra dos ángulos que sean continuos y formen un ángulo de 120°. El mayor
debe tener 20° menos que el triple del menor.
d. Dos ángulos son suplementarios y el mayor tiene 58° más que el menor.
Punto y línea
Pr
o
hi
Para poder hablar de los conceptos de ángulos y triángulos, es importante comprender los
elementos que los forman, por eso empezaremos hablando de puntos, rectas y planos.
16
Punto: este concepto es difícil de definir, aunque fácil de intuir; no tiene
longitud, anchura ni espesor, pero lo
podemos representar como la marca
de la punta de una aguja en la tela o
la huella de un lápiz en una hoja de
papel. Baldor (2010).
Figura 1.6 El punto es la unidad geométrica más
simple y pequeña. No tiene longitud, anchura
ni espesor, por lo tanto, no representa ninguna
dimensión geométrica.
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
b
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Unidad
Línea recta: posee longitud, pero carece de anchura y espesor. Está formada por una sucesión infinita de
puntos. Cuando los puntos están alineados o son colineales, la línea recibe
el nombre de recta. Baldor (2010).
Puedes observar cómo en el entorno
se puede percibir la línea recta en diferentes objetos.
Figura 1.7 La línea recta posee longitud, pero
carece de anchura y espesor. Es la primera
dimensión geométrica y se puede percibir en
diferentes objetos, como en las dimensiones de
largo, ancho y profundidad en la caja de un tráiler,
por ejemplo.
Segmento de recta: el segmento de recta,
es el conjunto de puntos que pertenecen a
una línea recta, ubicado entre otros dos llamados extremos del segmento (puntos A
y B). Se designa por las letras mayúsculas
que representan a estos puntos y van acompañadas de una raya encima (AB), o bien por
una letra minúscula. Por ejemplo, el siguiente
segmento se puede nombrar como: “a” o bien
como segmento “AB ”.
Pr
o
hi
Las rectas se pueden clasificar de acuerdo a su
posición en: horizontales, verticales y oblicuas o con
inclinación, como se muestra en la Figura 1.8.
Actividad 4
A
B
Horizontal
Vertical
Oblicua
o con inclinación
Figura 1.8 Las rectas se pueden clasificar de
acuerdo a su posición.
• CG 4.1 • CDBM 6 •
Contesta las preguntas y resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta.
1. ¿Cuáles son los conceptos básicos de la Geometría?
2. ¿Para qué sirven?
3. ¿Por qué el hombre los definió y se ha ocupado de estudiarlos?
4. ¿Qué situaciones nos permiten resolver?
5. Describe en una imagen a escala de tu escuela cada uno de los conceptos básicos de
la Geometría.
6. Describe en una maqueta a escala de tu hogar, cada uno de los conceptos básicos de
la Geometría.
17
1
Representación simbólica y angular del entorno
Recta secante a una curva
b
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Una secante es una recta que corta a otra línea en dos puntos. En este caso, nos interesa
analizar las líneas respecto a unacircunferencia.
•• Recta secante: La recta JK es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.
(Figura 1.9).
•• Circunferencias secantes: Son circunferencias que se cortan en dos puntos. El segmento rectilíneo que une los puntos de intersección entre las circunferencias (I1I2 ) es
una cuerda para ambas circunferencias, por lo tanto, es perpendicular a la recta que
pasa por los centros de ambas circunferencias.
Tangente
I1
Secante
Cuerda
Radio
90°
C1
Diámetro
r2
r1
I2
Arco
Figura 1.9 Líneas notables de la circunferencia.
La recta secante es el segmento (JK).
C2
C1C2 < r1 + r2
Figura 1.10. Circunferencias secantes.
Actividad 5
• CG 2.1 • CDBM 6 •
I. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno de notas. Justifica tus respuestas, ya
sea numéricamente, o mediante una explicación con tus propias palabras.
2. Une dos puntos de la siguiente curva,
1. Traza rectas secantes por los puntos
de color rojo.
para formar rectas secantes.
Pr
o
hi
B
A
D
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
C
3. Traza una circunferencia con un radio de 7 cm de longitud. En ella, traza una secante
y etiquétala correctamente con la notación de un segmento de recta.
4. En una circunferencia de 8 cm de diámetro, traza tres rectas secantes.
II. Investiga e identifica la representación de rectas secantes en situaciones ordinarias.
Presenta tu investigación a tus compañeros, mediante fotos tomadas con algún dispositivo.
18
1
Unidad
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Ángulos entre paralelas y una secante
b
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Si cortas dos rectas paralelas por una transversal no perpendicular,
como se muestra en la Figura 1.11, se forman ocho ángulos de los
que cuatro son iguales entre sí y otros cuatro son iguales entre sí;
es decir hay cuatro ángulos agudos iguales entre sí y cuatro ángulos
obtusos iguales entre sí, que se clasifican según sus posiciones.
Observa la Figura 1.11. En ella verás ocho ángulos y confirmarás
los siguientes teoremas.
Igualdad
Porque son
Igualdad
∠a
∠c ∠d
∠e ∠f
∠g ∠h
Porque son
∠a = ∠d
opuestos por el vértice
∠b = ∠c
opuestos por el vértice
∠b = ∠g alternos externos
∠e = ∠h
opuestos por el vértice
∠c = ∠f
alternos internos
∠g = ∠f
opuestos por el vértice
∠d = ∠e
alternos internos
∠a = ∠e
correspondientes
∠c = ∠g
correspondientes
∠b = ∠f
correspondientes
∠d = ∠h
correspondientes
∠b
∠a = ∠h alternos externos
Actividad 6
Figura 1.11 Se forman ocho pares de
ángulos al cortar dos rectas paralelas
con una secante no perpendicular,
con propiedades de correspondencia
entre ellos.
• CG 4.2 • CDBM 1 •
Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza los procedimientos necesarios en tu libreta.
1. Relaciona ambas columnas, de tal manera que cada pareja de ángulos tenga el nombre
que le corresponda. Para determinar tus conclusiones, observa detenidamente la figura.
kym
a. Opuestos por el vértice
( )
dye
b. Adyacentes
( )
ayc
c. Correspondientes
( )
pym
d. Alternos externos
( )
fyg
e. Colaterales internos
( )
byo
f. Colaterales externos
Pr
o
hi
( )
a b
c d
g h
e f
k m
p q
i j
n o
2. Con base en la siguiente figura de ángulos entre rectas paralelas, escribe en tu cuaderno
la razón que justifique cada afirmación.
E
a. 1 = 4 por ser
1 2
b. 3 + 5 = 180° por ser
B
A
3 4
c. 2 + 8 = 180° por ser
d. 2 = 7 por ser
5 6
C
D
e. 3 = 6 por ser
7 8
f. 4 = 8 por ser
F
19
1
Representación simbólica y angular del entorno
Ángulos entre paralelas y una secante
Actividad 7
b
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• CG 4.1 • CDBM 1 •
Resuelve los siguientes problemas. Realiza los procedimientos necesarios en tu libreta.
1. Uno de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante tiene
43°, ¿cuánto miden los demás?
2. Tomando en cuenta las figuras, escribe el valor de los ángulos solicitados.
A
C
a. =
b. =
100°
3x+50°
P
Q
F
c. =
f g
d. =
e
H
e. =
I
4x+30°
a b
R
S
f. =
D
c d
g. =
PQ||RS
FG||HI
B
x. =
3. Calcula los valores de (x) y (y):
a.
x x
BB
yy
20
'4
18
7x
7x +35
+3 °
5°
t ut u
w
v w
4x+5°
7x
v
2
1 142 4
1 4
3 3
3
5 58 8
5 8
7 7
7
2
°
q
r s=125°
32' 32'
s=125° 32' r s=125°
37
q
p
c.
2'
'
6=
6= 37°
37 18
° '
18 42
' 4 ''
2'
'
t u
v w
p
q
6=
Pr
o
r
4. Escribe el valor de todos los ángulos en cada recta.
b.
a.
p
40°40°
60°
60°
hi
AA
y y
5°
xx
b.
+3
60°
60°
G
4x+5°
4x+5°
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Perpendicularidad y paralelismo
b
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Rectas paralelas
Se les nombra así a las líneas rectas que se encuentran
trazadas en un plano con la misma dirección, y que no se
cruzan en ninguno de sus puntos, además de que conservan
su distancia de separación a lo largo de su trayectoria. Lo
anterior lo podemos observar en las vías del tren y su representación geométrica.
Existen rectas no paralelas, por lo tanto, no siguen la
misma dirección y se cruzan en un punto. A este punto le
llamamos intersección de dos rectas o vértice.
d
d
Figura 1.12 Este segmento de vías del tren es un
ejemplo de líneas paralelas, no se cruzan entre sí
en ninguno de sus puntos, además de conservar su
distancia de separación a lo largo de su trayectoria.
Rectas perpendiculares
La perpendicularidad de dos rectas, de un plano y una recta
o de dos planos geométricos se identifican fácilmente porque
al cortarse forman un ángulo de 90° y, pueden ser perpendiculares entre sí. Un plano tiene longitud y anchura, pero no
espesor. Por lo general, se representa por una letra minúscula y puedes visualizarlo como una pared, la superficie de
una mesa o el mismo piso. Baldor, (2010). Esto se muestra
en la pared de ladrillo que representa un plano y el piso de
madera es otro esquema de plano.
Actividad 8
Ancho
Ancho
Largo
Largo
Figura 1.13 La pared y el piso son ejemplos de
planos geométricos.
• CG 4.1 • CDBM 1 •
Pr
o
hi
Resuelve los siguientes problemas, desarrollando los procedimientos necesarios en tu libreta.
1. Dibuja, utilizando las escuadras, dos rectas que sean perpendiculares.
2. Investiga e identifica en tu entorno, la representación de rectas perpendiculares
y presenta a tus compañeros mediante fotos tomadas con algún dispositivo.
3. Investiga e identifica en una circunferencia la representación de rectas perpendiculares y presenta a tus compañeros mediante fotos tomadas con algún dispositivo.
21
1
Representación simbólica y angular del entorno
b
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Identificación de las propiedades
de los triángulos
Un triángulo por definición es una figura cerrada que tiene tres lados y tres ángulos.
Algunos lo definen como polígono que tiene tres ángulos (partiendo de su raíz etimológica). Generalmente empleamos el símbolo ∆ para referirnos a un triángulo y ∆’s para
referirnos a triángulos.
Actividad 9
• CG 4.1 • CDBM 1 •
Identificación de las propiedades de los triángulos
Analiza las siguientes cuestiones, desarrollando en tu libreta los procedimientos completos
que evidencien el uso de las propiedades de los ángulos internos y externos de los triángulos, exprésalos analítica y gráficamente.
1. En media página de tu libreta dibuja un triángulo escaleno, determina la medida de
sus ángulos internos y externos.
2. En media página de tu libreta dibuja un triángulo equilátero, determina la medida
de sus ángulos internos y externos.
3. En media página de tu libreta dibuja un triángulo obtusángulo, determina la medida
de sus ángulos internos y externos.
4. En media página de tu libreta dibuja un triángulo isósceles con una base de 6 cm y
lados iguales a 8 cm, determina la medida de sus ángulos internos y externos.
5. Realiza una maqueta donde puedas utilizar un modelo matemático para demostrar
que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
hi
Clasificación
Pr
o
Clasificación de los triángulos por sus lados
Escaleno
Isósceles
Aquellos que
Aquellos que tienen al menos dos lados
no tienen lados
congruentes. En él identificamos al lado
congruentes (iguales),
desigual como base y, al ángulo opuesto a
es decir, sus tres
dicho lado, como ángulo vértice. Los ángulos
lados son de diferente de la base son congruentes, mientras que el
medida.
ángulo vértice es el desigual.
Equiláteros
Aquellos que
tienen sus tres
lados y ángulos
congruentes.
A
C
22
b
c
b
a
B
h
a
b
h
30°
l
60°
1
Unidad
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
b
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Relación entre sus lados y ángulos
Los triángulos también pueden clasificarse según sus ángulos y esto se relaciona con sus lados,
como se muestra en la siguiente tabla.
Triángulos agudos
o acutángulos
Triángulos rectángulos
Triángulos obtusos
u obtusángulos
Aquellos que tienen sus
tres ángulos agudos.
Aquellos que tienen un
ángulo recto.
Aquellos que tienen un ángulo
obtuso (mayor de 90° pero
menor que 180°).
α
50°
75°
a
b
55°
90°
c
β
Propiedades de los ángulos en triángulos
2
3
Los ángulos internos
de un triángulo
suman 180°
Los ángulos externos de un
triángulo suman 360°
Cada ángulo externo de cualquier
triángulo es igual a la suma de los
ángulos internos no adyacentes a él.
Pr
o
hi
1
b
a
b
b
xa
a
x
x
∠x=a+b ∠x=a+b
∠x=a+b
23
1
Representación simbólica y angular del entorno
Actividad 10
Cómo se hace un papalote
b
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Unión de
la cruz
• CG 4.2 • CDBM 1 •
Varilla longitudinal
Cuerda tensa
Revistemiento o vela
Brida
Cola
Varilla transversal
Cuerda
Figura 1.14 Partes de un papalote.
Los papalotes son artefactos que vuelan por la fuerza del
viento. Los hay de muchas formas, incluso alrededor del mundo
hay infinidades de concursos para ver cuál es el papalote más
bonito y el que mejor vuela, sobre todo en China, donde son
muy populares como juego de niños y no tan niños. Vamos
a aprender a hacer un papalote en forma de triángulo, utilizando y aplicando los conceptos vistos en este bloque, échalo
después a volar en lugares despejados o la playa donde haya
ráfagas de viento.
Materiales:
• Hilo blanco.
• Papel de
china.
• Tijeras.
• Pegamento.
• 3 o más varillas de carrizo u otra
madera que sea ligera.
Pr
o
hi
Procedimiento:
1. Con las varillas de carrizo (o de otra madera ligera, para
que no se caiga por el peso), haremos la estructura del papalote en forma de una cruz, para darle al papalote la forma de
Figura 1.15. Cómo hacer la estructura o
un rombo constituido por 4 triángulos (escalenos, isósceles,
esqueleto del papalote y cómo pegar el papel.
equiláteros y/o triángulos rectángulos) y, las ataremos muy
firmemente con varios nudos en la intersección.
2. En las partes laterales de la caña de carrizo en forma de triángulos, y a una distancia
igual a cada lado partiendo desde el centro, ataremos dos tiras de hilo.
3. Ahora con mucho cuidado debemos atar estos dos trozos de hilo a una distancia del
centro como si quisiéramos hacer un triángulo equilátero. Desde ese nudo, atamos
el resto del hilo blanco, que debe tener una longitud mínima de 5 metros de largo,
que es el hilo que cogerás para echar a volar el papalote.
4. Recortaremos el papel de china de forma que hagamos triángulos que cubran las
varillas de extremo a extremo y lo pegaremos a éstas adhiriéndolo con pegamento
que previamente habremos distribuido a lo largo de cada varilla por la parte en la
que lo vamos a pegar.
5. Con lo que nos sobra del papel de china, recortamos una tira que hará la cola del
papalote y la pegaremos al extremo inferior del triángulo formado por las varillas.
6. Ahora debes aprender a hacer volar un papalote. Los papalotes se echan a volar
con ayuda, mientras otra persona agarra el papalote en posición vertical alejada del
suelo, tú que tienes el hilo, echas a correr y la otra persona debe soltar el papalote
antes de sentir el tirón del hilo. Cuanto más largo sea el hilo una vez echado a volar,
más alto volará.
Reflexión. Contesta las siguientes preguntas.
•• ¿Cuántos triángulos conforman tu papalote?
•• ¿Qué tipo de triángulos son?
•• ¿Cuáles son las medidas de los ángulos que tiene tu papalote?
24
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Congruencia y semejanza
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De manera intuitiva, decimos que dos triángulos son congruentes si,
por medio de movimientos de traslación, rotación y reflexiones, podemos hacerlos coincidir.
Dos figuras son congruentes si al colocar una sobre la otra,
todos sus puntos coinciden, es decir, si ambas tienen la misma
forma y tamaño. El símbolo de congruencia es “≅” y es resultado
de la unión de dos signos: “∼” que indica igualdad en forma y
“=” que indica igualdad en el tamaño.
Postulados de congruencia de triángulos
Los postulados de congruencia de triángulos son las medidas calculadas que permiten establecer si un par de triángulos son congruentes
entre sí. A continuación, se muestran los criterios para determinar la
congruencia de triángulos.
Figura 1.16. Al rotar las figuras y
traslaparlas, se nota fácilmente que
ambas tienen la misma forma y tamaño,
por lo tanto, son congruentes.
Postulado 1: LLL (lado-lado-lado)
Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro
triángulo, ambos triángulos son congruentes entre sí.
A
B
Figura
Justificación
D
E
C
Entonces:
ΔABC ≅ ΔFDE
F
hi
Si:
AB = DF
BC = DE
AC = EF
Pr
o
Postulado 2: LAL (lado-ángulo-lado)
Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente
iguales a los elementos similares de otro triangulo, ambos triángulos son congruentes
entre sí.
Figura
Justificación
D
A
E
α
β
B
C
F
Si:
AB = DF
∠BAC = ∠DFE
AC = EF
Entonces:
∆ABC ≅ ∆FDE
25
1
Representación simbólica y angular del entorno
Postulado 3: ALA (ángulo-lado-ángulo)
b
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Si uno de los lados de un triángulo y los ángulos adyacentes a él, son respectivamente
iguales a uno de los lados de otro triángulo, y a los ángulos adyacentes a él, ambos
triángulos son congruentes entre sí.
Figura
A
D
B
C
Justificación
Si:
AB = DE
∠BAC = ∠FDE
∠ABC = ∠FED
E
Entonces:
∆ABC ≅ ∆FDE
F
Aunque estos criterios se utilizan para afirmar que dos triángulos son congruentes entre sí,
para comprobarlo se utilizan las propiedades de los triángulos. Para resolver este tipo de problemas, es importante identificar las afirmaciones iniciales que se conocen. Estas afirmaciones
iniciales constituyen lo que llamamos hipótesis. Denominamos tesis a la afirmación conclusiva a la que pretendemos llegar, es decir, lo que queremos afirmar y logramos demostrar.
Ejemplo 1
Dadas las afirmaciones siguientes, determina los valores de x y z.
•• Los triángulos: ∆ABC ≅ ∆DEF
•• AB = 3x + 1, DE = 5.
•• ∠C = 62°, ∠F = 4z – 18°
Solución:
Afirmaciones
F=4Z−18
=
~
AB=3x+1
A
B
DE=5
D
Razones
Si: AB = DE
•• Propiedad aditiva de la igualdad.
•• Reducción de términos semejantes.
•• Propiedad recíproca de la igualdad.
•• Valor de x
4 z − 18° = 62°
4 z − 18° + 18° = 62° + 18°
4 z = 80°
4 z 80°
=
4
4
z = 20°
Si los ángulos ∠C y ∠F son iguales o congruentes.
•• Propiedad aditiva de la igualdad.
•• Reducción de términos semejantes.
•• Propiedad recíproca de la igualdad.
•• Valor de z.
x = 4/3
z = 20°
Resolviendo la primera afirmación para x, y la segunda
afirmación para z.
hi
3x + 1 = 5
3x + 1 − 1 = 5 − 1
3x = 4
3x 4
=
3
3
4
x =
3
Pr
o
26
C=62°
E
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
1
2
3
4
5
6
A
D
b
G id
ru a
po su
Ed re
ito pro
ria du
l M cc
x ión
Ejemplo 2
En la siguiente figura, BD es la diagonal del
rectángulo ADCB. Demuestra que los ∆ADB
y ∆CBD son congruentes.
Solución:
Hipótesis: ADCB es un rectángulo;
BD es su diagonal
Tesis: ∆ADB =. ∆CBD
C
B
Afirmaciones
Razones
ADCB es un
rectángulo
Por la hipótesis, podemos afirmar la existencia de parejas
de lados congruentes y el hecho de que los ángulos internos
son iguales, es decir, que todos miden 90°
BD ≅ BD
Propiedad reflexiva, es importante afirmar que BD, es al
mismo tiempo un lado de cada triángulo.
BC ≅ AD
Los lados de los rectángulos son congruentes dos a dos.
AB ≅ DC
Los lados de los rectángulos son congruentes dos a dos.
∆ADB ≅ ∆CBD
Por el criterio LLL, de las afirmaciones 2, 3 y 4.
Conclusión
La diagonal de cualquier rectángulo, lo divide en dos
triángulos que son congruentes entre sí.
Actividad 11
• CDBM 1 •
Pr
o
hi
I. Lee detenidamente las indicaciones de los incisos que se muestran enseguida y elabora
en tu libreta lo que se te pide en cada caso.
1. Utiliza la imaginación espacial para construir un triángulo en el que uno de sus lados
mida 3 cm y otro mida 2 cm.
a. ¿Cuántos triángulos diferentes puedes levantar con los elementos que se te proporcionan en esta construcción? Justifica tu respuesta.
b. ¿Puede el tercer lado del triángulo tener cualquier medida? Argumenta tu respuesta.
2. Dibuja dos triángulos cuyo perímetro sea de 12 cm ¿Son necesariamente iguales?
Sí
No
¿Por qué?
3. Dibuja dos triángulos que tengan ángulos de 30°, 60° y 90° ¿Son necesariamente
iguales? Sí
No
¿Por qué?
4. Toma un pedazo de papel en forma cuadrada y dóblalo diagonalmente por la mitad.
Posteriormente, dobla por la mitad el triángulo obtenido de la misma manera, dos
veces más. Desdóblalo y responde las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos triángulos iguales entre sí puedes contar?
b. ¿Qué elementos observas en ellos que te dicen que son iguales?
27
1
Representación simbólica y angular del entorno
b
G id
ru a
po su
Ed re
ito pro
ria du
l M cc
x ión
II. Realiza en tu libreta las razones o justificaciones necesarias para resolver lo que se
solicita, a fin de que te familiarices con los razonamientos deductivos y, en particular,
con el tipo de situaciones teóricas.
1. Observa la figura, si los triángulos ABC y DEF son congruentes, y AB = x + 2y,
DE = 5, BC = x + y, EF = 3, determina los valores de x, y.
F
C
EF=3
E
BC=x+y
DE=5
A
B
AB=x+2y
D
III. Lee el siguiente caso y determina si se puede establecer una congruencia entre los
triángulos que describen la ruta que tomó cada persona.
Dos personas parten del mismo punto y caminan en dirección norte, durante
cierto intervalo de tiempo, a la misma velocidad. Después, ambas giran: una
toma rumbo al este y la otra hacia el oeste, caminando nuevamente, ahora en
dichas direcciones respectivamente, a velocidades iguales en tiempos iguales.
Al término del segundo movimiento, las dos vuelven a girar y se encaminan al
punto de partida, al que llegan al mismo tiempo.
Pr
o
hi
IV. Contesta individualmente el cuestionamiento sobre este párrafo. Una vez que escribas
la respuesta en tu libreta, coméntalo en grupo.
2. Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes.
No
¿Por qué?
3. Sí
4. Observa que el ∆I ≅ ∆II. Encuentra los valores de x, y.
60°
24°
I
II
5. Observa que, el ∆I ≅ ∆II. Encuentra los valores de x, y.
x−6
4y
3y+6
28
2x
3y
I
II
x
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
b
G id
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Ed re
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x ión
6. Traza un cuadrado e indica sus vértices con las letras ABCD. Los puntos P y Q están
ubicados sobre los lados AB y CD respectivamente, de tal forma que AP = DQ. Si
R es el punto medio del lado AD muestra que ∆APR ≅ ∆DQR.
7. El triángulo ∆ABC es equilátero, además se sabe que E es el punto medio de AC,
D es el punto medio de BC, F es el punto medio de AB; AF ≅ DB ≅ CE.
Demuestra que los triángulos ∆AFD, ∆ECF y ∆BDE son congruentes. La correspondencia indica: ∆AFD ≅ ∆BDE ≅ ∆CEF.
B
D
F
A
C
E
8. Traza el triángulo ABC con ángulo recto en B los puntos E y F están en AC de tal
manera que AE = AB y CF = CB ¿Cuánto mide el ∠EBF?
Postulados de semejanza de triángulos
La semejanza entre dos elementos se da precisamente cuando lo que varía entre ellos
es su dimensión, es decir: la forma básica no cambia, solamente se altera el tamaño.
El símbolo matemático que representa a la semejanza es: (). Cuando hablamos de semejanza,
nos referimos a dimensiones proporcionales. Para distinguir los postulados de congruencia
y semejanza, y evitar confundirlos entre sí, utilizaremos letras minúsculas para designar los
criterios de semejanza (habrás notado que ya usamos mayúsculas en los de congruencia).
hi
Postulado 1: LLL (lado-lado-lado)
Pr
o
Si los tres lados de un triángulo son proporcionales, éstos son semejantes.
Figura
B
Justificación
AB
DE
C
A
E
D
Si:
=
BC
EF
=
AC
DF
Entonces:
∆ABC  ∆FDE
F
29
1
Representación simbólica y angular del entorno
Postulado 2: LAL (lado-ángulo-lado)
b
G id
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po su
Ed re
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l M cc
x ión
Si dos triángulos tienen un par de lados proporcionales y el ángulo comprendido entre
esos lados es congruente en ambos casos, los triángulos son semejantes.
B
Figura
Justificación
AB
Polígono 1
C
A
E
D
Polígono 2
DE
Si:
=
AC
DF
∠CAB ≅ ∠FDE
Entonces:
∆ABC  ∆FDE
F
Postulado 3: AA (ángulo-ángulo)
Si dos triángulos tienen dos parejas de ángulos congruentes entre ellos, significa que
son semejantes.
B
Figura
Justificación
C
A
E
F
Entonces:
∆ABC  ∆FDE
hi
D
Si:
AB  DE
∠BAC ≅ ∠FDE
∠ABC ≅ ∠FED
Pr
o
Aunque estos criterios se utilizan para afirmar que dos triángulos son semejantes entre
sí, para comprobarlo se utilizan las propiedades de los triángulos congruentes. Para resolver
estos diferentes tipos de problemas que requieren determinar la longitud de los lados de los
triángulos involucrados, es importante identificar las afirmaciones iniciales que se conocen.
Ejemplo 1
En la figura, AB || CD y los segmentos AD y BC se cortan en E. Determinar si ∆ABE y
∆CDE son semejantes.
Figura
Afirmaciones
B
A
E
C
30
D
∠EBA ≅ ∠ECD
∠BAE ≅ ∠EDC
∠AEB ≅ ∠CED
∴
∠ABE = ∠CDE
Razones
1. Por ser alternos internos entre
paralelas.
2. Por ser alternos internos entre
paralelas.
3. Por ser opuestos por el vértice.
Conclusión
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Ejemplo 2
En la siguiente imagen, se observa la parte baja
de un acantilado y el objetivo es medir la distancia
que hay de pared a pared del mismo, en la parte
más alta de cada lado. Supongamos también que
no es posible medir la distancia requerida de la
manera tradicional: ¿cómo resolver la situación?
A
b
G id
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Ed re
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l M cc
x ión
B
P
Solución:
N
Ubicamos un punto accesible, digamos P, a la
M
altura que consideremos. Visualizamos desde un
punto M el punto de medición A de una de las
paredes (donde apoyarías tu cinta métrica) y de la misma manera, desde otro punto N, el
correspondiente punto B en la otra pared. De tal forma que: AB || MN.
Así tenemos: ∠PAB ≅ ∠PMN y ∠PBA ≅ ∠PNM, luego por el criterio uno los triángulos
APB y MNP son semejantes.
De esta forma, para tener la distancia AB, bastaría con medir las distancias MN y cualquiera de los lados BN o AM, para tener dos de los lados de cada uno de los triángulos y
establecer la proporción adecuada.
Veamos la situación en un diagrama y supongamos algunas de las mediciones realizadas.
MN = 15 m, NB = 76 m, NP = 9 m.
Así:
15 AB
MN AB
15 × 76
=
, por lo tanto AB =
, luego
=
= 126.66 m
9
76
NP BP
9
Actividad 12
• CG 4.2 • CDBM 1 •
Pr
o
hi
Realiza las siguientes actividades en tu libreta y compártelas con tus compañeros, de tal
forma que muestres los elementos trabajados en la presente sección e integres los aprendizajes referidos.
1. Demuestra el siguiente enunciado: “Si una recta une los puntos medios de dos lados
de un triángulo, entonces es paralela al tercer lado e igual a la mitad de su longitud”.
2. Demuestra si los triángulos de la imagen siguiente son semejantes, y escribe el criterio que aprovechaste para establecer la semejanza.
4
10
100°
6
100°
15
3. Un triángulo tiene como medidas de sus lados: 8 m, 6 m y 12 m y otro triángulo
tiene medidas: 6 m, 4 m y 3 m. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es la razón
de semejanza?
4. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 27 m, 32 m y 40 m y un dibujo a escala de lados 135 m, 160 m y 200 m. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es
la razón de semejanza?
31
1
Representación simbólica y angular del entorno
Dibujo a escala
b
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x ión
Si cada centímetro de dibujo que hagamos representa tres metros de la realidad, ¿de qué tamaño dibujarías un tronco de un árbol, que en la realidad mide 28 metros?
Una escala es la relación matemática entre las dimensiones reales de un objeto y las
dimensiones de su representación o modelo; ya sea en un plano, mapa, dibujo o maqueta en tres dimensiones.
Las escalas se relacionan con la realidad de manera proporcional. Por ello, podemos utilizar
la notación de la proporción para realizar los cálculos o conversiones de unidades.
Ejemplo
Un arquitecto está realizando la maqueta de un edificio con escala 1:200 cm (significa: 1 cm
en el modelo equivale a 200 cm en la realidad). Si el edificio real mide 25 m de alto, ¿cuánto
debe medir en el modelo?
Solución:
Primero debemos establecer la proporción, comparando la escala en forma de una razón con
el dato desconocido o incógnita.
Recuerda que matemáticamente, en una razón siempre se comparan dos magnitudes en
un cociente escrito a manera de una fracción. Tener esto en mente es muy importante, para
no confundirnos al acomodar las cantidades y que las unidades siempre coincidan.
Para este problema escribimos:
1 cm
x cm
=
200 cm 2500 cm
Pr
o
hi
En los numeradores de ambas razones equivalentes, tenemos los cm en el modelo a escala
y en cada denominador, los cm de la medida del objeto real. Las magnitudes comparadas
deben coincidir en horizontal y siempre debemos comparar dos conceptos o magnitudes diferentes en cada razón o fracción.
Las cantidades que están en diagonal, se multiplican entre sí y este producto se divide entre
el número restante de la proporción; así obtenemos el valor de la incógnita:
32
1 × 2500
= 12.5 cm
200
La medida que se busca, es entonces 12.5 cm para la altura del edificio en la maqueta.
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
• CG 4.1 • CDBM 1 •
b
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Actividad 13
I. Resuelve los siguientes problemas, lleva a cabo en tu libreta los procedimientos y operaciones que se requieran.
1. Dibuja tu salón de clases (no incluyas el mobiliario), empleando una escala de 1:50
cm o también, 1 cm 0.5 m.
a. Comparte tu trabajo en el grupo y obtengan conclusiones acerca del concepto de
semejanza, relacionado con el uso de escalas para realizar dibujos.
b. Escribe una de las conclusiones a las que llegaron en grupo.
Pr
o
hi
2. Si un hombre de 1.75 m de altura proyecta una sombra de 3.50 m, ¿qué sombra
aproximada proyectará un poste de 8.25 m? Dibuja al hombre y al poste en tu cuaderno, a una escala adecuada y comprueba gráficamente tu cálculo matemático.
3. Si un árbol de 20 m proyecta una sombra de 45 m, ¿qué sombra proyectará un árbol
de 30 m? Comprueba gráficamente tu respuesta, con un dibujo a escala.
4. Un edificio de 95 m de altura proyecta una sombra de 650 m, un hombre quiere
aprovechar esta situación para calcular su estatura, si su sombra es de 11.60 m,
¿cuánto mide el hombre?
5. Una antena proyecta una sombra de 50.4 m, y un poste de altura 2.54 m proyecta
una sombra de 4.21 m. ¿Cuánto mide la antena?
6. Una torre proyecta una sombra de 79.42 m, y un poste de altura 3.05 m proyecta
una sombra de 5.62 m. ¿Cuánto mide la torre?
7. Una antena mide 1.20 m, otra semejante a ella mide 5 veces la antena original.
¿Cuánto mide la antena más grande?
8. Realiza una investigación acerca de otras notaciones diferentes para establecer escalas. Toma notas en tu cuaderno de al menos tres diferentes notaciones y compártelas con un compañero.
9. Regresa al problema del triángulo de las Bermudas en la página 8 y revisa tu procedimiento: ¿utilizaste proporción para calcular las dimensiones del triángulo de las
Bermudas, o recurriste a métodos diferentes? Si no habías resuelto o te das cuenta
de que lo hiciste incorrectamente, resuélvelo ahora aplicando proporciones.
II. Inventa un problema relacionado con realizar un dibujo a escala. Intercambia tu libreta
con un compañero y resuelva cada quien el problema del otro, luego comparen sus
procedimientos y respuestas.
33
1
Representación simbólica y angular del entorno
b
G id
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x ión
Identificación de las propiedades
de los polígonos regulares
Triángulo
Equilátero
Cuadrado
Heptágono
Octágono
Pentágono
Hexágono
Eneágono
Decágono
Figura 1.17 Ejemplos de los polígonos
regulares más comunes.
hi
Vértice
β3
Ángulo central
C
Pr
o
D
β4
Punto
medio
α3
α2
ϑ
α4
β2
B
Apotema
Centro
α5
Lado
Diagonal
α1
Ángulo interior
β1
E
β5
A
Ángulo exterior
Figura 1.18 Elementos principales de un
polígono.
34
En esta sesión abordaremos las propiedades de los polígonos, para
identificarlas en las situaciones diarias de nuestro entorno.
Lo primero que te preguntarás es por qué vamos a hablar de polígonos y qué tienen que ver con nuestra vida. Pues bien, para que veas
la importancia de los polígonos, observa a tu alrededor. Si estás en
tu salón de clase, seguro verás paredes, techo, piso, pizarrón, bancas,
sillas, puerta... en fin, verás muchas cosas; pero lo importante es que
observes que todas ellas tienen lados rectos, que son figuras como
rectángulos, cuadrados, triángulos, entre otras.
Como podrás haber observado, un polígono es una figura plana,
cerrada, formada por lados rectos. Por la medida de sus lados, los
polígonos pueden ser regulares o irregulares.
Observando los polígonos, puedes darte cuenta que tanto sus
lados como sus ángulos son iguales. Esta es la característica más
importante de los polígonos regulares.
Al trazar un polígono, comienzas desde un lado inicial continuando
el trazo de cada lado unido por un vértice hasta terminar uniendo el
lado final con el inicial.
Lados y vértices
Ahora, ¿cuáles son los elementos importantes que diferencian a unos
polígonos de otros? Observa la figura 1.18:
En ella se muestran los elementos principales de un polígono, los
cuales enlistamos a continuación.
•• Lados: Son los segmentos rectilíneos que unen dos vértices del
polígono. Del número de lados depende el nombre: triángulo
(3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), etc.
•• Ángulo central: Este ángulo se forma por las rectas que unen
el centro con dos vértices consecutivos.
•• Ángulo interno: Es el ángulo interior que se forma con dos
lados consecutivos.
•• Diagonal: Segmento rectilíneo que une dos vértices no
consecutivos.
•• Vértice: Punto de intersección de dos lados.
•• Centro: Punto equidistante de los vértices del polígono.
•• Ángulo externo: Ángulo suplementario del ángulo interno. Se
forma con un lado y la prolongación del lado que comparte el
mismo vértice.
•• Apotema: Segmento rectilíneo perpendicular trazado desde el
centro hasta el punto medio de cualquier lado.
1
Unidad
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Ángulos interiores y exteriores
b
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l M cc
x ión
Numéricamente, los lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales
son iguales.
En las siguientes figuras se muestra esta propiedad.
A
4 vértices
4 lados
4 ángulos interiores
A
A
D
B
C
D
D
B
4 ángulos centrales
4 ángulos exteriores
B
C
C
Figura 1.19. Propiedades de los ángulos interiores y exteriores.
Entonces, como en la figura anterior, si realizas una figura de seis lados, tendrás:
•• 6 vértices
•• 6 lados
•• 6 ángulos interiores
•• 6 ángulos exteriores
•• 6 ángulos centrales
Actividad 14
• CG 4.2 • CDBM 1 •
hi
Realiza las siguientes actividades.
1. ¿Cuántos ángulos, lados, ángulos internos, ángulos centrales, ángulos externos
y vértices obtienes en un dodecágono?
Pr
o
2. ¿Cuántos ángulos, lados, ángulos internos, ángulos centrales, ángulos externos
y vértices obtienes en un heptágono?
3. ¿Cuántos ángulos, lados, ángulos internos, ángulos centrales, ángulos externos,
y vértices obtienes en un cuadrado?
35
1
Representación simbólica y angular del entorno
Diagonales
b
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x ión
En las siguientes figuras se observa que, a partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar
un número definido de diagonales en función del número de lados.
E
D
D
C
A
B
E
C
n=4
nd = 1
F
C
A
B
A
D
B
n=5
nd = 2
n=6
nd = 3
Figura 1.20 A partir del vértice de un polígono, se pueden trazar un número definido de diagonales
en función del número de lados.
Podemos darnos cuenta que la diferencia entre el número de lados del polígono y la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices es 3, por lo que se puede
afirmar que:
“El número de diagonales (nD) que se pueden trazar en el polígono de n lados desde
cualquiera de sus vértices, está dado por la expresión: nD = n – 3”
Ejemplo 1
¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice en un octágono?
3
5
Pr
o
hi
Solución:
De acuerdo con la segunda propiedad: nD = 8 – 3 = 5.
La figura 1.21 muestra la veracidad de esto.
4
2
Por otro lado, si trazamos todas las diagonales
posibles desde todos sus vértices, aunque se crucen
entre sí, encontraremos que:
El número total de diagonales que se pueden
trazar en un polígono es:
nD =
36
n (n − 3 )
2
1
A
Figura 1.21 Demostración gráfica de
la validez de la fórmula para calcular la
cantidad de diagonales que se pueden
trazar en un polígono de n lados, desde
un solo vértice. Para el octágono, se
pueden trazar 8 – 3 = 5 diagonales.
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
b
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Ejemplo 2
Calcula la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices de un pentágono y un hexágono. Compruébalo gráficamente.
Para el hexágono:
Para el pentágono, las diagonales son:
nD = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
nD = 2 + 2 +1 = 5
B
E
C
D
C
A
B
A
F
E
D
Pentágono
Hexágono
Figura 1.22 Comprobación gráfica del número total de diagonales que se pueden trazar en un pentágono
y en un hexágono, desde todos sus vértices.
Del tema de sucesiones, estudiado en Pensamiento matemático I, tenemos que:
1+ 2 + 3 +…+ n =
n (n + 1)
2
Aplicando los resultados obtenidos, se tiene que:
•• Para el pentágono:
••Número de diagonales en cada vértice: n1 = 5 − 3 = 2
••Número de diagonales totales: nD = 2 + (2 + 1) = 2 +
2 ( 3)
Pr
o
hi
•• Para el hexágono:
••Número de diagonales en cada vértice: n1 = 6 − 3 = 3
2
••Número de diagonales totales: nD = 3 + (3 + 2 + 1) = 3 +
= 2+3 = 5
2
3
2
Generalizando…
•• Para un polígono de n lados.
••Número de diagonales en cada vértice: n1 = n − 3
••Número de diagonales totales:
nD = n − 3 + ([n − 3 ] + [n − 2 ] + [n ] + … + 3 + 2 + 1) = n − 3 +
nD =
4
= 3+6 = 9
(n − 3) (n − 2)
2
2 (n − 3) + (n − 3) (n − 2) (n − 3) ( 2 + n − 2 ) n (n − 3)
=
=
2
2
2
37
1
Representación simbólica y angular del entorno
Actividad 15
• CG 7.2 • CDBM 4 •
b
G id
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x ión
En tu cuaderno realiza el procedimiento para contestar las siguientes preguntas. Después
construye las figuras correspondientes.
1. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 10 lados?
2. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 8 lados?
3. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 12 lados?
4. ¿Cuántas diagonales tendría una figura de 20 lados?
Circunferencia inscrita, circunscrita y apotema
Media
triz de
AC
Una mediatriz es la recta perpendicular a uno de los
lados del triángulo que pasa por su punto medio. La
intersección de las mediatrices de un triángulo es el
punto denominado circuncentro, que es el centro
de la circunferencia que circunscribe al triángulo;
es decir, el circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
A
Punto
medio de AC
Circuncentro
Punto
medio de AB
bisectriz de A
de
BC
r
incentro
r
P
d2
3
bisectriz de B
hi
Pr
o
r
a
Figura 1.23 Mediatrices y circuncentro
de un triángulo.
3
Figura 1.24 Bisectrices e incentro de un
triángulo.
1/2
I
Figura 1.25. Apotema (ap) de un pentágono.
38
triz
A
1
1
dia
d1
B
2
r
C
Me
2
B
de A
Punto medio
de BC
B
bisectriz de C
iatriz
Med
C
Una bisectriz es la recta que divide un ángulo interior del
triángulo en dos ángulos congruentes; es decir de la misma
medida. Una propiedad importante de las bisectrices es que la
distancia de cualquiera de sus puntos a los lados del ángulo que
bisecta, son congruentes. La intersección de las bisectrices de
un triángulo es el punto denominado incentro, que es el centro
de la circunferencia que queda inscrita al triángulo; es decir,
el incentro es el centro de la circunferencia que está dentro
del triángulo de modo que toca los tres lados del triángulo.
Apotema: Es el segmento que une el centro del
polígono con el punto medio de cada lado.
Esta fórmula permite calcular la apotema de
cualquier polígono regular:
lado
ap = r −
2
2
2
l
= r −
2
2
2
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Actividad 16
• CG 5.1 • CDBM 4 •
b
G id
ru a
po su
Ed re
ito pro
ria du
l M cc
x ión
En equipos conformados de acuerdo con el profesor, resuelve los siguientes ejercicios. Escribe
en tu libreta los procedimientos completos que sean evidencia del análisis de solución.
1. El área de un triángulo es de 88 cm2 y su altura es de 25 cm, ¿cuál es la longitud
de la base?
2. ¿Cuánto mide la apotema de un octágono que tiene un área de 1 256 cm2 y un perímetro de 300 cm?
3. En la escuela se va a construir la cancha de futbol rápido que tiene 120 m de largo y
60 m de ancho, pero a su alrededor, se hará una pista de carreras de 8 m de ancho
para atletismo, como lo muestra la figura. Halla el área del terreno y el área de la pista.
Pista
Cancha
4. En una universidad, se va a construir el auditorio, que es un hexágono de 40 m de
lado. ¿Cuántas butacas se podrán poner si hay que reservar un área entre corredores
y estrado de 500 m2 y cada butaca ocupa un área de 2.5 m2?
5. En la comunidad se pondrá piso con losetas de 20 cm × 20 cm para el teatro que
es un octágono con dimensiones de 25 m por lado y una apotema de 15 m. ¿Cuántas
losetas se colocarán en el piso?
6. Encuentra el área de las regiones sombreadas y el perímetro de las regiones no sombreadas de la siguiente figura:
C
9 cm
5 cm
hi
12 cm
B
A
Pr
o
7. Encuentra el área de las regiones sombreadas y el perímetro de las regiones no sombreadas de la siguiente figura:
10 cm
10 cm
8.65 cm
39
1
Representación simbólica y angular del entorno
b
G id
ru a
po su
Ed re
ito pro
ria du
l M cc
x ión
Identificación de los elementos
y propiedades básicas de los
ángulos en la circunferencia
Ángulos notables en una circunferencia
De acuerdo con la naturaleza de los ángulos y la forma en la que se clasifican, ahora vamos
a estudiarlos desde con la circunferencia.
Un ángulo se puede trazar desde diferentes puntos en la circunferencia, el primero del que
hablaremos es:
•• Ángulo inscrito: un ángulo inscrito tiene
•• Ángulo central: es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y
su vértice sobre cualquier punto de la
determina un arco de la misma magnitud,
circunferencia, como vemos en la figura
como en la figura 1.26.
1.27, y el arco que genera es el doble de
Entonces si un ángulo central mide
magnitud que el ángulo.
60o, genera un arco de 60° también, si
Un ángulo inscrito de 80° genera un
es un ángulo de 120°, genera un arco
arco de 160°, un ángulo inscrito de 120°
de 120° también.
genera un arco de 240°.
B
B
C
A
α = 60°
α = 66.7°
A
hi
C
Pr
o
Figura 1.26 Ángulo central de una circunferencia.
40
•• Ángulo semiinscrito: es aquél que tiene
su vértice sobre un punto de la circunferencia, uno de sus lados es una secante
y el otro una tangente y el arco que
genera es el doble de la magnitud del
ángulo mencionado, tal como se aprecia
en la figura 1.28.
Entonces si el ángulo semiinscrito
tiene una magnitud de 170°, el arco
correspondiente mide 340°.
D
Figura 1.27 Ángulo inscrito en una circunferencia.
B
E
C
A
Figura 1.28 Ángulo semiinscrito en una
circunferencia.
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
B E
b
G id
ru a
po su
Ed re
ito pro
ria du
l M cc
x ión
•• Ángulo exinscrito: es el ángulo adyacente de un ángulo
inscrito, como se ilustra en la figura 1.29.
Entonces, si el ángulo inscrito mide 75°, el ángulo
exinscrito mide 105°.
•• Ángulo interior: es aquel cuyo centro es un punto interior y sus lados son secantes de la circunferencia; la
magnitud del ángulo es igual a la semisuma de los arcos
que determinan las secantes. Ver figura 1.30.
 + EFG

CHD
, que quiere decir:
En la figura 1.30, ∠CBD =
2
 y EFG
 ”.
“El ∠CBD es la mitad de la suma de los arcos CHD
Por ejemplo, si el ángulo interior mide 60°, entonces sus
arcos miden 100° y 20°.
•• Ángulo exterior: es un ángulo con vértice en un punto
exterior a la circunferencia y sus lados son secantes,
tangentes o secante y tangente a la circunferencia. Esto
se representa en las figuras 1.31 y 1.32.
A
C
A
D
Figura 1.29 Ángulo exinscrito en una
circunferencia.
E
F
B
G
C
A
H
A
D
Figura 1.30 Ángulo interior en una circunferencia.
Figura 1.31 En la izquierd, ángulo formado por dos rectas secantes
y en la derecha, un ángulo formado por dos rectas tangentes.
A
Pr
o
hi
Teorema: el ángulo exterior a una circunferencia es
igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidas por sus lados.
 + FGH

CED
∠
CBD
=
Esto es,
, como se observa en
2
la figura 1.33:
Entonces, si los arcos que determinan un ángulo exterior
son de 120° y 48°, el ángulo mide:
120° + 48° 168°
=
= 84°
2
2
Figura 1.32 Ángulo formado por una recta
tangente y otra secante.
C
F
A
E
G
B
H
D
Figura 1.33 El ángulo exterior a una circunferencia
es igual a la semisuma de las medidas de los arcos
comprendidas por sus lados
41
1
Representación simbólica y angular del entorno
Patrones y fórmulas
b
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ru a
po su
Ed re
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l M cc
x ión
Al determinar el área de figuras planas comunes regulares e
irregulares, existe una gran relación entre la medida de sus
lados para hallar la medida de su contorno o de su superficie.
a
1/2
r
apotema
radio
•• Cálculo del perímetro: sumando las longitudes de los
lados de un polígono, hallaremos su perímetro.
•• Cálculo del área: para determinar el área de un polígono regular cualquiera, se divide en triángulos, uniendo
el centro con cada uno de los vértices. La altura de cada
uno de los triángulos coincide con la apotema del polígono. Se calcula el área de uno de estos triángulos y se
multiplica por el número de triángulos que se han formado.
I
Figura 1.34. La apotema de un polígono regular
coincide con la altura de cada triángulo que se
forma con los ángulos centrales del mismo (trazados
del centro del polígono a dos vértices contiguos).
B
F
A
área 1
E
área 2
D
área 4
El perímetro de un polígono regular es: P = n · lado
C
área 3
y su área es: A =
P ⋅ ap
2
Cuando son polígonos irregulares, se sigue el mismo razonamiento: se segmenta el polígono en triángulos, sin dejar espacios
entre ellos, se calcula el área de cada triángulo y se suman las
áreas de los triángulos inscritos en el polígono.
Los modelos matemáticos (fórmulas) para obtener el área y perímetro de las figuras geométricas son.
Figura 1.35 Ejemplo de un polígono irregular
segmentado en triángulos, para calcular su área.
Perímetro de
cualquier polígono
P = l1 + l2 + l3 + …
Áreas
A=
Pr
o
hi
Triángulo
Cuadrado
Pentágono, hexágono,
heptágono, etc.
Figuras irregulares
42
A = l x l = l2 = lado x lado = lado2
A=
Rombo o romboide
Trapecio o trapezoide
b × h base × altura
=
2
2
A=
D × d diagonal mayor × diagonal menor
=
2
2
(B + b ) × h
2
=
A=
(diagonal mayor + diagonal menor) × altura
2
P × a perímetro × apotema
=
2
2
Suma de las áreas de sus triángulos internos.
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
• CG 4.1, 5.1 • CDBM 6 •
b
G id
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ito pro
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l M cc
x ión
Actividad 17
Resuelve en tu cuaderno los ejercicios siguientes. Utiliza tu juego de geometría para hacer
los trazos necesarios y desarrolla los procedimientos.
1. ¿Cuál es el área y perímetro de un heptágono regular de 7 cm de lado?
2. ¿Cuál es el área y perímetro de un cuadrado de 8.5 cm de cada lado?
3. ¿Cuál es el área y perímetro de un triángulo escaleno, de longitudes 8, 12 y 10 cm?
4. ¿Cuál es el área y perímetro de un nonágono regular de 6 cm de cada lado?
5. Con ayuda de tu compás y tu transportador, traza 10 círculos de al menos 3 cm de
radio y en cada uno, marca los ángulos que se te piden a continuación. Determina
la magnitud del arco de cada ángulo.
a. Un ángulo central de 200°
f. Un ángulo inscrito de 125°
b. Un ángulo central de 80°
g. Un ángulo inscrito de 49°
c. Un ángulo interior de 75°
h. Un ángulo semiinscrito de 79°
d. Un ángulo central de 300°
i. Un ángulo semiinscrito de 129°
e. Un ángulo interior de 150°
j. Un ángulo interior de 59°
Diámetro, radio, arco, cuerda,
tangente y secante
Tangente
Secante
El diámetro, radio, arco, cuerda, tangente y secante son conocidos
como líneas notables del círculo, ya que son los elementos más importantes de éste y a la vez, herramientas geométricas imprescindibles.
Elementos de la circunferencia
Pr
o
hi
 ): es un segmento de la circunferencia, comprendida
•• Arco (EF
entre dos puntos de ella.
•• Centro (C): es el punto interior de la circunferencia, con respecto al cual, la distancia de todos los puntos de ella es equidistante. Generalmente se marca con un punto o una equis y
se etiqueta con una letra mayúscula.
•• Radio (CF): es el segmento que une al centro con un punto
de la circunferencia. Su medida generalmente se representa
con la letra r.
•• Recta tangente (TQ ): es una recta del plano que corta a la
circunferencia en un solo punto (T), el cual se denomina “punto
de tangencia”. La propiedad más útil de la recta tangente es
que la perpendicular a ella en el punto de tangencia pasa por el
centro; de modo que el radio en el punto de tangencia es igual
a la distancia del centro
a la recta tangente.
•• Recta secante ( JK ): es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Diámetro
Cuerda
Radio
Arco
Figura 1.36 Elementos de la
circunferencia.
T
90°
Q
r
C
Figura 1.37 La línea roja es una recta
tangente a la circunferencia. El radio
en el punto de tangencia es igual a la
distancia del centro a la recta tangente.
43
1
Representación simbólica y angular del entorno
A
rda
AB
b
G id
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Ed re
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l M cc
x ión
cue
triz
•• Cuerda (AB): es el segmento que une dos puntos cualesquiera
de la circunferencia. La cuerda es el segmento que une los
puntos por los que una recta secante corta a la circunferencia.
Una propiedad útil para la solución de problemas de circunferencia consiste en que “la mediatriz de una cuerda pasa por
el centro”.
•• Flecha: es la porción de radio perpendicular a una cuerda,
que pasa por su punto medio, comprendida entre la cuerda y
la circunferencia. La flecha divide al arco y a la cuerda en dos
partes iguales.
•• Diámetro (DE): es la cuerda que pasa por el centro. Su medida, por lo tanto, es igual a la de dos radios: D = 2r.
dia
Me
C
90°
Cuerda AB
B
Figura 1.38 Una cuerda es el segmento
de recta que une los dos puntos por
los que una recta secante corta a la
circunferencia, pero esta recta nunca
“sale” de la circunferencia.
r
α
sector
circular
r
Sector
Un sector circular es la parte de un círculo comprendido por dos radios y el arco que forman.
Fórmulas para calcular el área de un sector circular
En grados sexagesimales
A = π ⋅r2 ⋅
Figura 1.39 Un sector circular es una
parte de un círculo, delimitado por dos
radios y el arco que conforman.
Descubre +
Pr
o
hi
Habrás notado que
cuando hablamos de
circunferencia, nos
referimos al contorno y
al decir círculo, hablamos
de la superficie.
α = 60°
r = 4 cm
a
360°
En radianes
A = π ⋅r2 ⋅
Ejemplo
Calcula el área de un sector circular dentro de un ángulo central
de 60°, en un círculo de 4 cm de radio.
Solución
Podemos utilizar la fórmula para grados sexagesimales, ya que
el ángulo central está en esta notación: a = 60°.
A = π ⋅r2 ⋅
60°
1 16π
= π ( 42 ) =
= 8.38 cm2
360°
6
6
Utilizando ahora la fórmula para radianes
Primero obtenemos la equivalencia de 60° en radianes. Como
vimos en el procedimiento anterior, 60° equivalen a una sexta
parte de la circunferencia completa, que a su vez equivale a 2π.
Entonces, 60° = 2π/6 = π/3. Sustituyendo en la fórmula:
π
a
2 3
A = π ⋅r ⋅
= π4
= 8.37 cm2
2π
2π
2
Y vemos que los resultados coinciden.
44
a
2π
Unidad
1
Tratamiento de las figuras geométricas, los criterios de congruencia y semejanza
Actividad 18
• CG 4.1 • CDBM 1 •
b
G id
ru a
po su
Ed re
ito pro
ria du
l M cc
x ión
I. Resuelve lo que se pide en cada uno de los siguientes ejercicios.
1. Encuentra el área de un sector circular en un círculo de 3 cm de radio y un ángulo central de 45°
2. Localiza el área de un sector circular en un círculo de 4 cm de radio y un ángulo central
de radianes.
Pr
o
hi
3. Identifica el área de un sector circular en un círculo de 5 cm de radio y un ángulo central
de 120°
II. Calcula las dimensiones de figuras geométricas a través de fórmulas y teoremas establecidos.
45