02 CDIF-LimContinui-01-Limites (1)

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Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Asignatura:
Cálculo diferencial
CDIF
Grado:
1er. Semestre
Competencia general:
Utilizar el concepto de la diferenciación para resolver ejercicios y problemas teóricos y aplicados a diferentes áreas de conocimiento, por medio de las
propiedades de la derivada.
Antología basada en los autores;
Dennis Edwin J. Purcell. Cálculo con geometría analítica.
Universidad Abierta y a Distancia de México. Cálculo diferencial.
William Granville. Cálculo diferncial e integral.
Swokowski Earl. Cálculo con geometría analítica
Facilitador:
Orlando Fabián Echeverría Alonso
Lic. en Cs. Físico - Matématicas
Mtro. en Tecnología Educativa
[email protected]
Entrega de actividades en foro
100 %
Entrega de actividad
100 %
Entrega de evidiencia
100 %
Entrega de autorreflexión
100 %
Promedio
100 %
Purcell (1992), UnADM (SF), Granville (1995), Swokowski (1982),
MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
UnADM
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MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
UnADM
Índice general
1. Números reales
3
1.1. Propiedad de los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Límites y continuidad
5
2.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Límites unilaterales
3
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Representación de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.2. Actividad 1. U2.
2.1.3. Propiedad de los límites.
Límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
ÍNDICE GENERAL
UnADM
Capítulo 1
Números reales
1.1.
Propiedad de los números reales.
3
4
1.1. PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS REALES.
MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
UnADM
Capítulo 2
Límites y continuidad
2.1.
Límites
El límite de un función es uno de los conceptos más importantes que hay en
el cálculo, a través de este de definen otros conceptos importante como lo son
la continuidad, la derivada, la integral, entre otros. De hecho se podría definir
el cálculo como un estudio de los límites
La palabra límite se usa en el lenguaje diario, como cuando se dice ”estoy al
límite de mi paciencia”. Tal sentido tiene que ver con el cálculo, pero no tanto.
Una noción intuitiva. Consideré la función determinada por;
f (x) =
x3 − 1
x−1
Esta función no está definida para x = 1, esto por que;
f (1) =
0
(1)3 − 1
=
1−1
0
no∃
No Definidad.
La forma 00 , carece de significado.
La idea de límite es preguntar que sucede cuando x se aproxima a 1, por
ambos lados. Revisando la grafica 2.1, de la función, se observa el punto j(1, 3)
como indefinido.
5
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2.1. LÍMITES
Gráfica 2.1. Gráfica de y = f (x) =
x3 −1
x−1
Ahora realizamos la tabulación, asigando numeros a la variables x;
x
y = f (x) =
0
1
0.63
2.03
0.75
2.31
0.9
2.71
0.95
2.86
0.999
2.997
1.0
—-
1.001
3.003
1.01
3.03
0.04
3.14
1.08
3.24
x3 −1
x−1
En el tabular, se observa que cuando x se aproxima a 1, el valor de la función
tiende a 3. La forma de resolver, utilizando los conocimientos algebraicos de
nivel medio superior, se puede resolver, mediante;
x3 − 1
(x − 1)(x2 + x + 1)
= lı́m
=
x→1 x − 1
x→1
x−1
lı́m
lı́m x2 + x + 1 = (1)2 + 1 + 1 = 3
x→1
Def 2.1.1 Intuitivo. Decir que lı́m f (x) = L, significa que cuando x está
x→b
cerca, pero difiere de b, f (x) está cerca de L.
Considere las letras griegas (épsilon) y δ (delta) para representar números
positivos arbitrarios. Considere a y δ como números positivos pequeños.
Decir que f (x) difiere de L menor que , equivale a decir;
|f (x) − L| < MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
UnADM
CAPÍTULO 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
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o en forma equivalente,
L − < f (x) < L + Lo cual significa que f (x) pertenece al intervalo abierto (L − , L + ), cuya
gráfica se muestra en la figura 2.2.
Representación gráfica del intervalo (L − , L + ).
Figura 2.2.
Decir que x esta cercano a b pero que es diferente a éste, es decir; para algún
δ, x pertenece al intervalo abierto (b − δ, b + δ), del cual se ha suprimido b, del
cual se expresa;
0 < |x − b| < δ
de donde; |x − b| < δ, describe el intervalo |b − δ < x < b + δ|
0 < |x − b|, excluye x = c, ya que debe ser mayor que cero.
Def 2.1.2 Precisa de límite. Decir que el lı́m f (x) = L significa que para
x→b
cada > 0 dada (sin importar que tan pequeña sea), existe una correspondiente
δ > 0, tal que |f (x) − L| < , siempre que 0 < |x − b| < δ, es decir;
0 < |x − b| < δ ⇒ |f (x) − L| < La siguiente gráfica 2.3, puede ayudar a enter la definición.
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2.1. LÍMITES
Gráfica 2.3.
Ejem 2.1.1 Demostrar que el lı́m (3x − 7) = 5
x→4
Demostración. Sea un número positivo cualquiera, se puede producir una
δ > 0 tal que;
0 < |x − 4| < δ ⇒ |(3x − 7) − 5| < Se considera la desigualdad de la derecha;
|(3x − 7) − 5| < ⇔ |3x − 12| < ⇔
|3(x − 4)| < ⇔
|3||x − 4| < ⇔ |x − 4| <
3
Por lo que δ = 3 . Ahora se formaliza la demostración.
Dem. Sea > 0, se toma δ = 3 . Entonces, 0 < |x − 4| < δ, implica;
|(3x − 7) − 5| = |3x − 12| = |3(x − 4)| = 3|x − 4| < 3δ = Por lo tanto;
|(3x − 7) − 5| < Ejem 2.1.2 Mediante la defición de límite, demuestre que lı́m 21 (3x − 1) =
x→4
11
2 .
Demostración. Sea > 0 y δ > 0, tal que;
0 < |x − 4| < δ
⇔
⇒
1
11
(3x − 1) −
<
2
2
1
((3x − 1) − 11) < 2
⇔
|3x − 12| < 2
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CAPÍTULO 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
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⇔
Por lo tanto; =
2.1.1.
3|x − 4| < 2
2
⇔ |x − 4| <
=δ
3
y queda demostrado.
3δ
2
Límites unilaterales
Def 2.1.3 Sea f una función definida en un intervalo (a, c) y sea L un número
real.
La afirmación
lı́m f (x) = L
x→a+
Significa que para todo > 0, existe δ > 0 tal que
si
a < x < a + δ,
entonces
|f (x) − L| < Si lı́m+ f (x) = L, se dice que L es el límite por la derecha de f (x) cuando
x→a
x tiende a a.
El límite por la izquierda se define de manera semejante.
Def 2.1.4 Sea f una función definida en un intervalo (c, a) y sea L un número
real.
La afirmación
lı́m f (x) = L
x→a−
Significa que para todo > 0, existe δ > 0 tal que
si
a − δ < x < a,
entonces
|f (x) − L| < Si lı́m− f (x) = L, se dice que L es el límite por la izquierda de f (x) cuando
x→a
x tiende a a.
Teorema 2.1.1 Unilateral. Supongamos que un intervalo abierto contiene el
punto a y que una función f está definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a. Entonces lı́m f (x) = L si y solo si lı́m f (x) = L y lı́m f (x) = L
x→a
x→a−
Ejem 2.1.3 Determine el lı́m (1 +
√
x→2+
x→a+
x − 2)
Solución. Utilizando el teorema de límites unilateral, se tiene;
√
√
lı́m+ (1 + x − 2) = lı́m+ 1 + lı́m+ x − 2 =
x→2
x→2
=1+
√
x→2
0=1
Analizando la gráfica 2.4.
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2.1. LÍMITES
Gráfica 2.4.
En la gráfica observe que el límite por la izquierda no existe, ya que
√
x − 2 no
es un número real si x < 2.
Ejem 2.1.4 Determine el lı́m
x→3−
|x−3|
x−3
Solución. Se utiliza el teorema de límites unilateral, se tiene;
lı́m−
x→3
|x − 3|
x−3
Si se toma una valor para x, muy cercano a 3, por le lado izquierdo, es decir;
x = 2.95, se tiene que; f (2.95) = −1, lo cual implica que;
lı́m
x→3−
|x − 3|
=
x−3
lı́m |x − 3|
x→3−
lı́m x − 3
= −1
x→3−
Analizando la gráfica 2.5.
Gráfica 2.5.
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CAPÍTULO 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.1.2.
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Actividad 1. U2.
Representación de límites
2x2 −3x−2
x−2
x→2
i. Demostrar que lı́m
=5
ii. Demostrar que lı́m (mx + b) = mc + b
x→c
iii. Demostrar que si c > 0, lı́m
x→c
√
x=
√
c
iv. Demostrar que lı́m (x2 + x − 5) = 7
x→3
v. Demostrar que lı́m x2 = c2
x→c
1
x→c x
vi. Demostrar que lı́m
= 1c , con c 6= 0
Límites unilaterales.
vii. Sunponga que f (x) =
|x|
x ,
si x 6= 0 y f (0) = 1. Muestre que lı́m f (x) = 1
x→0+
y lı́m− f (x) = 1. ¿Cuál es el lı́m f (x)?
x→0
x→0
Encuentre el límite, si éste existe y realice la gráfica de función:
√
viii. lı́m− x 9 − x2
x→3
√
ix. lı́m x 9 − x2
x→3−
√
x. lı́m
(x−3)2
x−3
xi. lı́m+
√
1+ 2x−10
x+3
x→3+
x→5
xii. lı́m
x→4+
√
4
x2 −16
x+4
xiii. lı́m−
|π−x|
x−π
xiv. lı́m
1
x−8
x→π
x→8−
2.1.3.
Propiedad de los límites.
Límites de funciones
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MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
2.1. LÍMITES
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Bibliografía
Granville (1995). Cálculo diferencial e integral. México, Limusa.
Purcell, E. (1992). Cálculo con geometrÃa analÃtica. México, PHH.
Swokowski, E. (1982). Cálculo con geometría analítica. California, Wadsworth.
UnADM (S.F.). Cálculo diferencial. México, UnADM.
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