1 Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas Asignatura: Cálculo diferencial CDIF Grado: 1er. Semestre Competencia general: Utilizar el concepto de la diferenciación para resolver ejercicios y problemas teóricos y aplicados a diferentes áreas de conocimiento, por medio de las propiedades de la derivada. Antología basada en los autores; Dennis Edwin J. Purcell. Cálculo con geometría analítica. Universidad Abierta y a Distancia de México. Cálculo diferencial. William Granville. Cálculo diferncial e integral. Swokowski Earl. Cálculo con geometría analítica Facilitador: Orlando Fabián Echeverría Alonso Lic. en Cs. Físico - Matématicas Mtro. en Tecnología Educativa [email protected] Entrega de actividades en foro 100 % Entrega de actividad 100 % Entrega de evidiencia 100 % Entrega de autorreflexión 100 % Promedio 100 % Purcell (1992), UnADM (SF), Granville (1995), Swokowski (1982), MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM 2 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM Índice general 1. Números reales 3 1.1. Propiedad de los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Límites y continuidad 5 2.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Límites unilaterales 3 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Representación de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Actividad 1. U2. 2.1.3. Propiedad de los límites. Límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría ÍNDICE GENERAL UnADM Capítulo 1 Números reales 1.1. Propiedad de los números reales. 3 4 1.1. PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS REALES. MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM Capítulo 2 Límites y continuidad 2.1. Límites El límite de un función es uno de los conceptos más importantes que hay en el cálculo, a través de este de definen otros conceptos importante como lo son la continuidad, la derivada, la integral, entre otros. De hecho se podría definir el cálculo como un estudio de los límites La palabra límite se usa en el lenguaje diario, como cuando se dice ”estoy al límite de mi paciencia”. Tal sentido tiene que ver con el cálculo, pero no tanto. Una noción intuitiva. Consideré la función determinada por; f (x) = x3 − 1 x−1 Esta función no está definida para x = 1, esto por que; f (1) = 0 (1)3 − 1 = 1−1 0 no∃ No Definidad. La forma 00 , carece de significado. La idea de límite es preguntar que sucede cuando x se aproxima a 1, por ambos lados. Revisando la grafica 2.1, de la función, se observa el punto j(1, 3) como indefinido. 5 6 2.1. LÍMITES Gráfica 2.1. Gráfica de y = f (x) = x3 −1 x−1 Ahora realizamos la tabulación, asigando numeros a la variables x; x y = f (x) = 0 1 0.63 2.03 0.75 2.31 0.9 2.71 0.95 2.86 0.999 2.997 1.0 —- 1.001 3.003 1.01 3.03 0.04 3.14 1.08 3.24 x3 −1 x−1 En el tabular, se observa que cuando x se aproxima a 1, el valor de la función tiende a 3. La forma de resolver, utilizando los conocimientos algebraicos de nivel medio superior, se puede resolver, mediante; x3 − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) = lı́m = x→1 x − 1 x→1 x−1 lı́m lı́m x2 + x + 1 = (1)2 + 1 + 1 = 3 x→1 Def 2.1.1 Intuitivo. Decir que lı́m f (x) = L, significa que cuando x está x→b cerca, pero difiere de b, f (x) está cerca de L. Considere las letras griegas (épsilon) y δ (delta) para representar números positivos arbitrarios. Considere a y δ como números positivos pequeños. Decir que f (x) difiere de L menor que , equivale a decir; |f (x) − L| < MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM CAPÍTULO 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD 7 o en forma equivalente, L − < f (x) < L + Lo cual significa que f (x) pertenece al intervalo abierto (L − , L + ), cuya gráfica se muestra en la figura 2.2. Representación gráfica del intervalo (L − , L + ). Figura 2.2. Decir que x esta cercano a b pero que es diferente a éste, es decir; para algún δ, x pertenece al intervalo abierto (b − δ, b + δ), del cual se ha suprimido b, del cual se expresa; 0 < |x − b| < δ de donde; |x − b| < δ, describe el intervalo |b − δ < x < b + δ| 0 < |x − b|, excluye x = c, ya que debe ser mayor que cero. Def 2.1.2 Precisa de límite. Decir que el lı́m f (x) = L significa que para x→b cada > 0 dada (sin importar que tan pequeña sea), existe una correspondiente δ > 0, tal que |f (x) − L| < , siempre que 0 < |x − b| < δ, es decir; 0 < |x − b| < δ ⇒ |f (x) − L| < La siguiente gráfica 2.3, puede ayudar a enter la definición. MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM 8 2.1. LÍMITES Gráfica 2.3. Ejem 2.1.1 Demostrar que el lı́m (3x − 7) = 5 x→4 Demostración. Sea un número positivo cualquiera, se puede producir una δ > 0 tal que; 0 < |x − 4| < δ ⇒ |(3x − 7) − 5| < Se considera la desigualdad de la derecha; |(3x − 7) − 5| < ⇔ |3x − 12| < ⇔ |3(x − 4)| < ⇔ |3||x − 4| < ⇔ |x − 4| < 3 Por lo que δ = 3 . Ahora se formaliza la demostración. Dem. Sea > 0, se toma δ = 3 . Entonces, 0 < |x − 4| < δ, implica; |(3x − 7) − 5| = |3x − 12| = |3(x − 4)| = 3|x − 4| < 3δ = Por lo tanto; |(3x − 7) − 5| < Ejem 2.1.2 Mediante la defición de límite, demuestre que lı́m 21 (3x − 1) = x→4 11 2 . Demostración. Sea > 0 y δ > 0, tal que; 0 < |x − 4| < δ ⇔ ⇒ 1 11 (3x − 1) − < 2 2 1 ((3x − 1) − 11) < 2 ⇔ |3x − 12| < 2 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM CAPÍTULO 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD 9 ⇔ Por lo tanto; = 2.1.1. 3|x − 4| < 2 2 ⇔ |x − 4| < =δ 3 y queda demostrado. 3δ 2 Límites unilaterales Def 2.1.3 Sea f una función definida en un intervalo (a, c) y sea L un número real. La afirmación lı́m f (x) = L x→a+ Significa que para todo > 0, existe δ > 0 tal que si a < x < a + δ, entonces |f (x) − L| < Si lı́m+ f (x) = L, se dice que L es el límite por la derecha de f (x) cuando x→a x tiende a a. El límite por la izquierda se define de manera semejante. Def 2.1.4 Sea f una función definida en un intervalo (c, a) y sea L un número real. La afirmación lı́m f (x) = L x→a− Significa que para todo > 0, existe δ > 0 tal que si a − δ < x < a, entonces |f (x) − L| < Si lı́m− f (x) = L, se dice que L es el límite por la izquierda de f (x) cuando x→a x tiende a a. Teorema 2.1.1 Unilateral. Supongamos que un intervalo abierto contiene el punto a y que una función f está definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a. Entonces lı́m f (x) = L si y solo si lı́m f (x) = L y lı́m f (x) = L x→a x→a− Ejem 2.1.3 Determine el lı́m (1 + √ x→2+ x→a+ x − 2) Solución. Utilizando el teorema de límites unilateral, se tiene; √ √ lı́m+ (1 + x − 2) = lı́m+ 1 + lı́m+ x − 2 = x→2 x→2 =1+ √ x→2 0=1 Analizando la gráfica 2.4. MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM 10 2.1. LÍMITES Gráfica 2.4. En la gráfica observe que el límite por la izquierda no existe, ya que √ x − 2 no es un número real si x < 2. Ejem 2.1.4 Determine el lı́m x→3− |x−3| x−3 Solución. Se utiliza el teorema de límites unilateral, se tiene; lı́m− x→3 |x − 3| x−3 Si se toma una valor para x, muy cercano a 3, por le lado izquierdo, es decir; x = 2.95, se tiene que; f (2.95) = −1, lo cual implica que; lı́m x→3− |x − 3| = x−3 lı́m |x − 3| x→3− lı́m x − 3 = −1 x→3− Analizando la gráfica 2.5. Gráfica 2.5. MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM CAPÍTULO 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD 2.1.2. 11 Actividad 1. U2. Representación de límites 2x2 −3x−2 x−2 x→2 i. Demostrar que lı́m =5 ii. Demostrar que lı́m (mx + b) = mc + b x→c iii. Demostrar que si c > 0, lı́m x→c √ x= √ c iv. Demostrar que lı́m (x2 + x − 5) = 7 x→3 v. Demostrar que lı́m x2 = c2 x→c 1 x→c x vi. Demostrar que lı́m = 1c , con c 6= 0 Límites unilaterales. vii. Sunponga que f (x) = |x| x , si x 6= 0 y f (0) = 1. Muestre que lı́m f (x) = 1 x→0+ y lı́m− f (x) = 1. ¿Cuál es el lı́m f (x)? x→0 x→0 Encuentre el límite, si éste existe y realice la gráfica de función: √ viii. lı́m− x 9 − x2 x→3 √ ix. lı́m x 9 − x2 x→3− √ x. lı́m (x−3)2 x−3 xi. lı́m+ √ 1+ 2x−10 x+3 x→3+ x→5 xii. lı́m x→4+ √ 4 x2 −16 x+4 xiii. lı́m− |π−x| x−π xiv. lı́m 1 x−8 x→π x→8− 2.1.3. Propiedad de los límites. Límites de funciones MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría UnADM 12 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría 2.1. LÍMITES UnADM Bibliografía Granville (1995). Cálculo diferencial e integral. México, Limusa. Purcell, E. (1992). Cálculo con geometrÃa analÃtica. México, PHH. Swokowski, E. (1982). Cálculo con geometría analítica. California, Wadsworth. UnADM (S.F.). Cálculo diferencial. México, UnADM. 13