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RESISTENCIA DE MATERIALES
Deformación de vigas estáticamente indeterminadas
Integrantes:
 Cruz Segura José Antonio
 Estrella Ramos Rogelio Aurelio
 Pozo Yupanqui Luis Fernando
 Pardave Hurtado Renzo Walter
 Sanchez Ballon José
Deformación de vigas estáticamente indeterminadas
1. Una viga ABC está empotrada en el soporte A y reposa (en el punto B) sobre el punto medio
de la viga DE (consulte la primera parte de la figura). Por tanto, la viga ABC se puede
representar como una viga en voladizo apuntalada con una saliente BC y un apoyo linealmente
elástico con rigidez k en el punto B (consulte la segunda parte de la figura). La distancia de A a
B es L = 10 ft, la distancia de B a C es L/2 =5 ft y la longitud de la viga DE es L = 10 ft. Las dos
vigas tienen la misma rigidez a la flexión EI. Una carga concentrada P = 1700 lb actúa en el
extremo libre de la viga ABC. Determine las reacciones RA, RB y MA para la viga ABC.
Además, trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga ABC, e
identifique todas las ordenadas críticas.
Suma de fuerzas en el eje Y
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 − 𝑃 … (1)
Suma de momentos en A
𝑀𝐴 = 𝐿𝑅𝐵 −
3𝑃𝐿
… (2)
2
PRINCIPIO DE CONTINUIDAD
Grafica de fuerza /desplazamiento
𝛿𝐵 = (𝛿𝐵 )𝑡 − (𝛿𝐵 )2 =
𝑅𝐵
𝑘
En la viga tenemos:
𝑘=
48𝐸𝐼
𝐿3
Reemplazando valores
7𝑃𝐿3
3
7𝑃𝐿3 𝑅𝐵 𝐿3 = 𝑅
12𝐸𝐼
𝐵𝐿
−
=
12𝐸𝐼 3𝐸𝐼
48𝐸𝐼
3
𝑅𝐵 =
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28𝑃 𝑅𝐵 𝐿
=
17 3𝐸𝐼
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Reemplazando el valor de 𝑅𝐵 𝑒𝑛 (1)𝑦 (2)
𝑅𝐴 =
11𝑃
17
𝑀𝐴 =
5𝑃𝐿
34
Reemplazando el valor de P y L por dato
𝑅𝐴 = 1100𝑙𝑏
𝑅𝐵 = 2800𝑙𝑏
𝑀𝐴 = 300000𝑙𝑏 − 𝑝𝑢𝑙𝑔
Diagrama de fuerzas
1700
-1100
Diagrama de momentos
𝑥1 =
300
𝑝𝑢𝑙𝑔 = 27.27𝑝𝑢𝑙𝑔
11
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2. Una viga en voladizo apuntalada tiene una rigidez a la flexión EI = 4.5 MN∙m2. Cuando se
aplican a la viga las cargas que se muestran, se asienta 5 mm en el nodo B. Encuentre la
reacción en el nodo B
Solución
Datos
= 4.5
2
= 4500
2
Graficamos la fuerza y la deflexión
Sabiendo que 𝛿𝐵 es la deflexión en B de las cargas concentradas
(𝛿𝐵 )1 = −
7
2
2(𝑥 − 2)
𝑑𝑥 −
𝐸𝐼
5
1
5
5
𝑥
(𝑥 − 1)2 −
(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥
2
24
𝐸𝐼
(𝛿𝐵 )1 = −(29.63 + 34.963)𝑥1000
(𝛿𝐵 )1 = −64.593𝑥1000
(𝛿𝐵 )1 = −64.593𝑚𝑚
Sabiendo que (𝛿𝐵 )2 es la deflexión en B generada por la reacción en este punto
(𝛿𝐵 )2 =
5
0
𝑅𝐵
𝑥
𝑑𝑥
𝐸𝐼
(𝛿𝐵 )2 = 9.259𝑥10;3 𝑅𝐵
Principio de continuidad en B=5mm
(𝛿𝐵 )1 = (𝛿𝐵 )2 − 5𝑚𝑚
−64.593𝑚𝑚 = 9.259𝑅𝐵 𝑚𝑚
𝑅𝐵 = 6.44𝐾𝑁
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3. Dos vigas planas AB y CD yacen sobre planos horizontales se cruzan en ángulos rectos y en
conjunto soportan una carga vertical P en sus puntos medios (consulte la figura). Antes de
aplicar la carga P, las vigas apenas se tocan entre sí. Las dos están hechas del mismo material
y tienen los mismos anchos. Además, los extremos de las vigas están simplemente apoyados.
Las longitudes de las vigas AB y CD son LAB y LCD, respectivamente.
¿Cuál debe ser la razón tAB/tCD de los espesores de las vigas si las cuatro reacciones deben ser
iguales?
Del cuadro se puede observar que 2 vigas que soportan una carga P
Para que las 4 secciones sean iguales, cada uno debe soportar la mitad de la carga
Hallando la deflexiones
= 2
48
3
3
= 2
48
Igualando términos
=
3
3
=
Momentos de inercia
=
1
12
3
3
3
=
1
12
3
3
=
3
=
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4. Una viga en voladizo con longitud L está sometida a una carga con distribución triangular de
intensidad máxima q0 en B. Utilice la ecuación diferencial de cuarto orden de la curva de
deflexión para despejar las reacciones en A y B, y también la ecuación de la curva de
deflexión.
Del grafico se obtiene la carga triangular
ELV’’’’= - q = -q0X/L
ELV’’’= -q0X2/2L
… (1)
… (2)
ELV’’= M = -q0X3/6L + C1x+ C2
… (3)
ELV’= -q0X4/24L + C1x2/2+ C2 x + C3
… (4)
ELV= -q0X5/120L + C1x3/6+ C2 x2/2+ C3 x+ C4 … (5)
B.C. 1V’’ (L)=0
C1 L+C2=q0 L2/6
B.C. 2V’ (0) =0
C3 = 0
B.C. 3V (0) =0
C4 = 0
B.C. 4V (L) =0
C1 L/3 +C2=q0 L2/60
… (6)
… (7)
Resolución
9
40
1
=
2
= −
0
7
120
2
0
Fuerza de corte (ecuación 2)
2
=−
0
+
2
9
40
0
Reacciones
= (0) =
9
40
0
11
40
=− ( )=
0
Equilibrio
=
7
120
0
2
Curva de deflexión (ecuación 5)
5
=−
0
120
+
9
40
3
0
6
−
7
20
0
2
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2
2
=
=
1
240
(−2
0
5
+9
0
3
−7
0
2 2)
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5. Una viga doblemente empotrada con longitud L está sometida a una carga con distribución
triangular de intensidad máxima q0 en B. Utilice la ecuación diferencial de cuarto orden de la
curva de deflexión para despejar las reacciones en A y B, y también A L la ecuación de la
curva de deflexión.
=
0
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖 𝑛 (2)
=− =−
(1) 𝑉 = −𝑞0
0
2
=−
0
2
+
(2)
1
𝑥2
3
+ 𝑞0 𝐿
2𝐿 20
𝑅𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑅𝐴 = 𝑉(0) =
3
=
=−
0
+
6
4
=−
0
24
0
120
. . 1 (0) = 0
. . 2 (0) = 0
( )=0
. . 3
. . 4 ( )=0
3
20
1
=
2
=−
+
2
(3)
+
2
+
𝑅𝐵 = −𝑉(𝐿) =
2
+
1
5
=−
1
3
𝑞 𝐿
20 0
2
3
+
1
6
(4) 𝐷𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜
3
1
2
(5) 𝑀𝐴 = 30 𝑞0 𝐿
2
+
2
2
3
4
1
+
7
𝑞 𝐿
20 0
+
3
4
=0
=0
+2
1
+3
(6)
(7)
𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼 𝑁 𝐷𝐸 𝐿𝐴 𝐶𝑈𝑅𝑉𝐴 𝐷𝐸 𝐷𝐸𝐹𝐿𝐸𝑋𝐼 𝑁
2
2
=
=
2
0
12
0
2
20
𝑥5
3
𝑥3
(6) 𝐸𝐼𝑣 = −𝑞0 120𝐿 + 20 𝑞0 𝐿 6
1
𝑥2
2
−
𝑞 𝐿
∨
(7)
30 0 2
1
𝑣=
(−𝑞0 𝑥 5 + 3𝑞0 𝐿2 𝑥 3
120𝐿𝐸𝐼
− 2𝑞0 𝐿3 𝑥 2 )
0
1
30
0
2
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6. Un momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj M0 actúa en el centro del claro
de una viga doblemente empotrada ACB con longitud L (consulte la figura). Inicie con la
ecuación diferencial de segundo orden de la curva de deflexión (la ecuación del momento
flexionante), para determinar todas las reacciones de la viga y obtenga la ecuación de la curva
de deflexión para la mitad izquierda de la viga. Luego trace los diagramas de fuerza cortante y
momento flexionante para toda la viga e identifique todas las ordenadas críticas. Además, trace
la curva de deflexión para toda la viga.
(
)
=
0
.
=−
=−
=0
⁄2)
(0
=
=
−
2
=
2
−
+
3
=
6
1
2
−
2
+
+
1
2
. . 1 (0) = 0
. . 2 (0) = 0
1
2
=0
=0
. . 3 ( )=0
2
=
=
6
−
6
(
∑
∨
)
=0
6
+
=−
+
0
+
3
=
2
6
−
0
−
−
=0
=0
𝛿𝑚
0
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𝑥
=
𝑀0 𝐿2
216𝐸𝐼
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑖 𝑛 𝛿 = 𝛿𝑚 𝑥 ⁄2
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=
=−
6
=
0
4
(
=−
0
8
2
( −2 )
3)
(0
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)
2
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7. Una viga en voladizo apuntalada AB con longitud L soporta una carga concentrada P que actúa
en la posición que se muestra en la figura. Determine las reacciones RA, RB y MA para toda la
viga. Además, trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, identificando
todas las ordenadas críticas
Por propiedad de equilibrio
=
=
−
−
Para la estructura en voladizo
A
L
A
L
1
=
2
=
6
(3 − )
3
Para las reacciones
=
3 (3
2
=
2
2
2
−
2)
( + )
Comos sabemos las reacciones, podemos hallar las compatibilidades
2
1
=
6
=
(3 − ) = 0
1
−
2
=0
2
=
2
3
(3 − )
Diagramas de esfuerzo cortante y de momento flector
RA
M1
-RB
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-MA
M1=RBL
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8. Una viga ABC está empotrada en el extremo A y soportada por la viga DE en el punto B
(consulte la figura). Las dos vigas tienen la misma sección transversal y están hechas del
mismo material. (a) Determine todas las reacciones debidas a la carga P. (b) ¿Cuál es el
momento flexionante numéricamente máximo en cada viga?
Siendo B el punto de interacción entre ambas vigas
A
B
C
=
L
A
B
D
RB
Por compatibilidad
C
E
1
3
−
2
=
=
5
48
2
=
24
384
3
5
Sustituyendo las ecuaciones =>
48
−
24
=
384
=
40
17
Por simetría y equilibrio
=
=
=
−
2
−
=
20
17
=−
23
17
Para los momentos tenemos las siguientes ecuaciones
=
Para la viga ABC
Para la viga DE
=
=−
2
−
=
3
17
2
=
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=
5
17
entonces el momento mas largo
=
2
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9. El marco continuo ABC tiene una articulación en A, un apoyo guiado en C y un modo rígido en
B (consulte la figura). Los elementos AB y BC tienen longitud L y rigidez a la flexión El. Una
fuerza horizontal P actúa a la mitad de la altura del elemento AB.
a) encuentre todas las reacciones del marco.
b) ¿Cuál es el momento flexión ante máximo M máx en el marco? (Nota: no tome en cuenta las
deformaciones axiales en los elementos AB y BC y considere sólo los efectos de la flexión.)
SOLUCION
Por equilibrio:
=0
= - P/2 -
(
Por Compatibilidad:
=(
)1 - (
)1 =
/L
16
)2 = 0, Siendo
= -P/2 +
(
=
)2 =
3
64
/L
4
3
PL
Por Equilibrio:
= - P/2 -
/L = -
35
64
P
= -P/2 +
/L = -
29
64
P
=
35
128
PL
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10. Un cable CD con longitud H está sujeto al tercer punto de una viga simple AB con longitud L
(consulte figura). El momento de inercia de la viga es l y el área efectiva de la sección
transversal del cable es A. El cable en un inicio está firme pero sin tensión inicial.
a) obtenga una fórmula para la fuerza de tensión S en el cable cuando la temperatura disminuye
uniformemente en ∆T grados, suponiendo que la viga y el cable están hechos del mismo material
(módulo de elasticidad E y coeficiente de dilatación térmica)
- Utilice el método de superposición en la solución.
b) Repita el inciso a para una viga de madera y un cable de acero.
SOLUCION
(a) Siendo la viga y el cable del mismo material
( )1 =
4
243
Cable: ( )2 = αH(∆T) -Por compatibilidad
4
( )1 = ( )2
-Despejando S:
= αH(∆T) -
243
243
4
(
: 243
)
(b) Siendo la viga de madera y el cable de acero
( )1 =
4
243
Cable: ( )2 =
H(∆T) -
-Por compatibilidad
4
243
( )1 = ( )2
-Despejando S:
243
4
(
=
H(∆T) -
)
: 243
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