CONJUNTOS
Muchos de los objetos que estudiaremos son a su vez colecciones de
otros objetos. Estas colecciones o conjuntos pueden ser a su vez finitas
o infinitas; más tarde encontraremos conjuntos con estructura adicional, pero, por el momento, estudiaremos sólo conjuntos abstractos y
las maneras en que pueden combinarse para formar nuevos conjuntos.
Por un conjunto entendemos cualquier colección de objetos. Por
ejemplo
1. El conjunto V de las vocales del idioma castellano
2. El conjunto de P los números pares
3. El conjunto S de los dı́as de la semana
4. El conjunto I de números reales pertenecientes al intervalo (0,1)
y ası́ muchos más. Usualmente denotamos los conjuntos con letras
mayúsculas y sus miembros, también llamados sus elementos, por
letras minúculas. Ası́ escribimos x ∈ C para indicar que x es un elemento del conjunto C; es caso contrario, escribimos x ̸∈ C.
Todo conjunto encontrado en el mundo real es finito; es decir, sus
elementos pueden ser contados usando los números naturales y este
proceso para al llegar a un cierto número. Los ejemplos 1 y 3 son
conjuntos finitos. En dicho caso se puede definir el conjunto, por enumeración de sus miembros, delimitando dichos elementos entre llaves
de la siguiente manera:
V = {a, e, i, o, u}
y
S = {L, M, X, J, V, S, D}
En este caso, se dice qie el conjunto está defininido por extensión
pues enumeramos todos sus elementos.
Lógicamente, si el conjunto es infinito esta opción no tiene cabida.
La única posibilidad es la definición por comprensión. En este caso sus elementos se describen a través de las propiedades que tienen
en común. El ejemplo 2 es un caso tı́pico de definición por comprensión. En este caso, la notación por comprensión exige una notación
matemática más precisa pero que significa lo mismo.
P = {x|x es número par}
Un conjunto finito puede ser definido tanto por extensión como por
comprensión. El conjunto de las notas musicales puede ser definido
por extensión
M = {Do, Re, M i, F a, Sol, La, Si}
como por comprensión
M = {x|x es una nota musical}
Esto último se lee ası́:
M es igual al conjunto de los x tales cada x es una nota
musical
Ası́ pues, un conjunto no es ni más ni menos, que la totalidad de
sus elementos, sin consideraciones sobre el orden o repeticiones de
elementos; es decir
{1, 2} = {2, 1} = {1, 1, 2, 2}
Dados dos conjuntos A y B. si todo elemento de A pertenece a B,
decimos que A es un subconjunto de B y lo denotamos por
A ⊆ B 0́ B ⊇ A
Cualquier conjunto A es subconjunto de sı́ mismo; recibe el nombre
de subconjunto impropio de A en contraste con los subconjuntos
propios de A que son aquéllos diferentes del propio A. Indicamos que
A es un subconjunto propio de B mediante
A ⊂ B, B ⊃ A, A ⊊ B ó B ⊋ A
También A posee podéis verlo escrito como
A ⫋ B ó B ' A
Todo conjunto A posee como subconjunto al llamado conjunto vacı́o,
denotado por ∅, definido como el conjunto que no tiene ningún elemento.
Frecuentemente describimos un subconjunto S de A por medio de
un predicado (o función proposicional). Ası́
{x ∈ A | p(x)}
denota el subconjunto de A formado por aquellos elementos (y sólo
aquéllos) para los cuales se verifica p(x). Por ejemplo, si N denota el
conjunto de los números naturales y Z el conjunto de los enteros, se
tiene que
{x ∈ Z | x ⩾ 0} = N
El intervalo real (0, 1) se puede definir como
{x ∈ R | 0 ⩽ x ⩽ 1}
Dado un conjunto A definimos, a partir de él, un nuevo conjunto llamado conjunto potencia de A, denotado por P(A) y cuyos
elementos son todos los subconjuntos del conjunto A. Aquı́ nos encontramos con un conjunto cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. Esto
nos sirve como ejemplo de que los elementos de un Conjunto pueden
ser de naturaleza muy diversa.
P(A) = {X | X ⊆ A}
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A y B, denotada por
A∩B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a
A y B simultáneamente. Dos conjuntos cuya intersección es el conjunto
vacı́o se denominan disjuntos.
Definimos la unión de A y B como un nuevo conjunto, denotado
por A ∪ B que está formado por los elementos que pertenecen a A o
B.
Si A ⊆ B definimos el complemento de A en B, denotado por CB (A)
como el conjunto formado por los elementos de B que no están en A.
En muchos casos, consideraremos que todos nuestros conjuntos están
contenidos en uno más grande, llamado conjunto universal, denotado por U. En este caso, las operaciones de conjuntos se pueden
relacionar con los operadores lógicos
A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}
A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}
CU (A) = {x ∈ U | x ̸∈ A} = A
Propiedades de las operaciones con conjuntos
1. Leyes conmutativas
A∩B =B∩A
A∪B =B∪A
2. Leyes asociativas
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
3. Leyes idempotentes
A∩A=A
A∪A=A
4. Leyes de identidad
A∩U =A
A∪∅=A
5. Leyes de dominación
A∩∅=∅
A∪U =U
6. Leyes distributivas
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
7. Leyes de absorción
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
8. Leyes de negación
A∩A=∅
A∪A=U
9. Leyes de De Morgan
A∩B =A∪B
A∪B =A∩B
PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos objetos x, y podemos formar la sucesión (x, y) que recibe
el nombre de par ordenado. Ası́ (x, y) = (z, u) si y sólo si x = z e
y = u.
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por
A × B está definido como el conjunto formado por todos los pares
ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B. Si A = B escribimos A2 en lugar
de A × A.
Más generalmente, a partir de n conjuntos A1 , A2 , ...., An podemos
formar su producto cartesiano A1 × A2 × · · · × An como el conjunto
de todas las sucesiones (x1 , x2 , · · · , xn ) con xi ∈ Ai para todo i = 1,
2, ..., n. Si A1 = A2 = · · · = An = A escribimos An .
