MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 1 Sobre una viga AB de longitud L actúa una distribución de fuerzas normales cuyo módulo por unidad de longitud varía linealmente de un extremo al otro de la viga, desde 0 hasta p. Considerando dichas fuerzas como un sistema de vectores deslizantes, determinar: i) un sistema equivalente con una fuerza y un momento aplicados en el extremo A; ii) un sistema equivalente formado por una única fuerza; iii) hallar un sistema equivalente formado por dos vectores cuyas rectas soporte sean paralelas y pasen por los puntos A y B, respectivamente. EJERCICIO 2 Un cilindro de radio R y espesor e<<R está sometido a la acción de un sistema de fuerzas cuyo módulo por unidad de longitud es igual a K y cuya dirección es tangente en cada punto a la circunferencia que define el cilindro, como se indica en la figura. Determinar el sistema equivalente más sencillo al sistema de fuerzas descrito. R EJERCICIO 3 Una cúpula semiesférica de densidad superficial σ y espesor mucho menor que su radio R, se encuentra soportada, como indica la figura, por un apoyo articulado fijo A y dos apoyos articulados móviles, B y C, que permiten el desplazamiento libre en el plano de la base de la cúpula. Determinar las reacciones que se producen en los apoyos como consecuencia del peso de la cúpula. z C C O A x O A y B 30º 30º R y B x EJERCICIO 4 Un semidisco de radio R descansa apoyado en una pared vertical lisa y en un suelo horizontal rugoso, de manera que su diámetro forma un ángulo θ con la vertical, como indica la figura. Determinar los valores del coeficiente de rozamiento entre el disco y el suelo que hacen posible el equilibrio descrito. Demuéstrense todas las expresiones que se utilicen θ µ =0 µ 1 MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 5 Una compuerta rectangular de anchura B (dimensión perpendicular al dibujo) se utiliza para cerrar un canal de lodo cuya densidad es función de la profundidad según la ecuación siguiente: 𝑦𝑦 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌0 �1 + � 𝐻𝐻 x p = p(y) O y H donde ρ0 es la densidad del lodo en la superficie, y la profundidad y H una constante con dimensiones de longitud. Determinar la distancia al fondo, h, a la que hay que colocar el eje A en torno al que puede girar la compuerta, para que se abra cuando el lodo alcance una altura H. h EJERCICIO 6 A un cuadrado de lado a se le extrae un rectángulo en su esquina inferior izquierda con una altura de a/3 y una base de 3a/4, como se muestra en la figura. Determinar el ángulo que formará la diagonal AC con la vertical cuando se suspenda el cuadrado desde el vértice A. EJERCICIO 7 Determinar el centroide de un casquete esférico obtenido al cortar una esfera de radio R por un plano paralelo al plano diametral ecuatorial situado a R/2 del centro. R/2 R 2 A MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 8 Determinar las áreas de revolución generadas al girar en torno a los ejes X e Y la curva de la figura formada por una línea recta vertical de longitud H, una semicircunferencia de radio R=H/2 y una línea recta que une el extremo de la semicircunferencia con el punto A. Demuéstrense todas las expresiones particulares que se utilicen. EJERCICIO 9 Determinar el momento de inercia del conjunto de tres círculos de radio R de la figura respecto de uno de sus ejes de simetría. Demuéstrense todas las expresiones particulares que se utilicen. EJERCICIO 10 Determinar el momento de inercia del área de la figura respecto del eje horizontal x. Demuéstrense todas las expresiones particulares que se utilicen. 3 MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 11 Determinar el momento de inercia de un cono de masa M, radio R y altura H con respecto a un eje que pasa por su vértice y por un punto de su base que dista R/2 del eje del cono. Demuéstrense todas las expresiones que se utilicen. H n z R/2 x y R EJERCICIO 12 Determinar el momento de inercia de un cubo de lado a y masa M respecto de la diagonal de una de sus caras. Demuéstrense todas las expresiones que se utilicen. EJERCICIO 13 El eje de un vagón de carga AB está sometido a la acción de las fuerzas indicadas en la figura. Las fuerzas P representan el efecto de la carga transmitida a través de la caja del vagón y las fuerzas R las cargas transmitidas por las ruedas. El diámetro del eje es d = 80 mm, la distancia entre ruedas es L = 1,45 m y la distancia entre las fuerzas P y R es b = 200 mm. Si cada carga P vale 9,3 kN, determinar: a) El valor de la fuerza transmitida por cada rueda b) La ley de esfuerzos cortantes a lo largo del eje c) La ley de momentos flectores a lo largo del eje 4 MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 14 Una partícula de masa m se mueve por un canal liso que forma un arco de circunferencia de ángulo θ. Sabiendo que el canal gira en sentido antihorario con velocidad angular ω constante en torno a su extremo fijo O y que la partícula se desplaza con velocidad v* constante respecto del canal, determinar la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante inmediatamente anterior a que abandone el canal. ¿v, a? m R θ O ω EJERCICIO 15 Un tubo AB de longitud L gira en un plano horizontal con velocidad angular constante ω en torno a un eje perpendicular que pasa por su extremo A. Una pequeña masa se deja sin velocidad relativa respecto al tubo en el punto medio de éste. Determinar la velocidad de salida de la masa por el extremo B del tubo, considerando despreciable el rozamiento entre ambos cuerpos. ω A B EJERCICIO 16 La oruga de un tractor con ruedas de radio R, avanza con velocidad v0 y aceleración a0 sin que se produzca ningún deslizamiento entre la oruga y el suelo o entre los distintas partes del vehículo. Determinar las velocidades y aceleraciones de los puntos M1, M2, M3 y M4 que se indican en la figura. M1 M4 R a0 M2 v0 M3 5 MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 17 El mecanismo que se muestra en la figura está compuesto por la deslizadera 1, que se mueve sobre la guía vertical y la deslizadera 2, que se mueve por una guía con una inclinación de 30º sobre la horizontal. Ambos elementos se encuentran unidos mediante una barra rígida de longitud L. Sabiendo que la velocidad de la deslizadera 1 es 𝑣𝑣1 y tiene una aceleración 𝑎𝑎1 , como se indica en la figura, determinar la velocidad y la aceleración angulares de la barra. EJERCICIO 18 Una transmisión diferencial de un vehículo es un sistema mecánico que permite que las ruedas de un mismo eje puedan tener velocidades de giro diferentes cuando el vehículo describe una trayectoria curva. Una versión simplificada del dispositivo se representa en la figura y consiste en dos discos de radio R, cuyos centros O1 y O2 se sitúan sobre un eje de rotación común. Los discos comprimen la rueda MN de radio r cuyo eje IG es perpendicular al de los discos. Suponiendo que no existe deslizamiento entre los elementos del sistema y que las velocidades angulares de los discos son ω1 y ω2, respectivamente, determinar la velocidad angular de la rueda MN y la velocidad lineal de su centro G. ω1 G r ω R I O2 ω2 N z EJERCICIO 19 La varilla de la figura, formada por dos tramos perpendiculares de longitudes a y 2a , gira en torno al punto fijo O con velocidad angular ω = ωk . Sabiendo que la varilla tiene una densidad lineal λ y que recibe un impulso en el extremo A de valor P = Pi , determinar en el instante inmediatamente posterior a recibir el impulso, la velocidad del centro de masas de la varilla y su velocidad angular. A a O y 2a x 6 O1 M MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 20 Determinar la energía cinética de un disco de masa m y radio R cuando gira con velocidad angular constante ω alrededor de un eje que pasa por el centro del disco y forma el mismo ángulo con los tres ejes coordenados x, y y z indicados en la figura. Calcular el ángulo que forman el momento angular y la velocidad angular del disco en la situación descrita. z ω y x EJERCICIO 21 Un disco de radio R y masa M rueda sin deslizar por una superficie horizontal con una velocidad vp, hasta chocar con un cuadrado de altura 2R y masa m que inicialmente está en reposo. Suponiendo que el choque se produce con un coeficiente de restitución de 3/4, determinar la velocidad angular del disco y las velocidades lineales de ambos sólidos inmediatamente después del choque. EJERCICIO 22 Un cilindro de radio R rueda sin deslizar por una superficie horizontal hasta que choca inelásticamente con un escalón de altura h (<R) como indica la figura. Determinar la mínima velocidad que debe llevar el cilindro para subir el escalón. Supóngase que no existe deslizamiento durante el contacto entre el cilindro y el escalón. R h EJERCICIO 23 Una barra de masa m y longitud L con su extremo inferior articulado, se apoya en su punto medio en una placa cuadrada de masa m, como indica la figura. Sabiendo que parte de la posición inicial con velocidad nula y que el rozamiento es despreciable en todos los contactos, determinar la velocidad angular de la barra y la velocidad lineal de la placa cuando el contacto entre ambos sólidos se encuentre a una distancia de 3L/4 del extremo articulado. 7 MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 24 Una placa cuadrada de lado a y masa m gira con velocidad angular constante ω en torno a su lado AB como indica la figura. Determinar las reacciones dinámicas que se producen en los puntos A y B. ω A a B EJERCICIO 25 Una barra de masa m y longitud L mantiene un extremo fijo unido a una rótula tridimensional mientras gira con velocidad ω constante, describiendo una superficie cónica como indica la figura. Determinar el ángulo que forma la barra con la vertical y la reacción en la rótula durante el movimiento descrito. O A ω EJERCICIO 26 Un aro homogéneo de masa M y radio R se lanza sobre un suelo horizontal con las velocidades iniciales indicadas en la figura. El coeficiente de rozamiento entre el aro y el suelo es 0,2. Determínese el tiempo que transcurre desde que el aro es lanzado sobre el suelo hasta que: a) invierte el sentido de avance; b) rueda sin deslizar. 2 v0 R B v0 EJERCICIO 27 Un disco de radio R y masa M rota con una velocidad angular inicial ωo. En un instante dado, entra en contacto con un segundo disco de radio r y masa m que inicialmente está en reposo y sobre el que actúa una fuerza F, como indica la figura. Determinar: i) el tiempo que transcurre entre el instante en el que los discos entran en contacto y el momento en el dejan de deslizar; ii) la velocidad angular de ambos discos en el tiempo calculado en el apartado i). 8 MECÁNICA TÉCNICA 2022/2023 GRADO EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES – URJC _______________________________________________________________________________________________ EJERCICIO 28 Un cilindro de masa m y radio R rueda sin deslizar por una superficie horizontal. Determinar la máxima velocidad v0 que puede llevar el cilindro para que no salte y siga rodando sin deslizar, al encontrarse una pendiente descendiente que forma un ángulo α con la superficie horizontal inicial. v0 α EJERCICIO 29 La esfera A de masa m y radio R se suelta desde una altura H, como se muestra en figura. Esta esfera rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa hasta chocar con otra esfera B de masa 4m y radio R. Considerando un coeficiente de rozamiento μ entre las esferas y la superficie y contacto liso entre esferas, determínese: i) ii) el valor que debe tomar el coeficiente de restitución, e, para que ambas esferas tengan la misma velocidad, pero se muevan en direcciones opuestas tras el choque. la altura a la que llega cada esfera tras el choque. EJERCICIO 30 Una esfera de radio r se mueve por el interior de una pista circular vertical de radio R+r, como muestra la figura. Suponiendo que la esfera rueda sin deslizar, determinar el ángulo θ para el que la esfera pierde el contacto con la pista si su velocidad lineal en el punto más bajo de la trayectoria es v1. R+r θ r 9
